О различных трактовках понятия «Действительное число»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 51

Ю.Г. Абакумов, к. физ-мат. н., профессор каф. «Информатики, вычислительной техники и прикладной математики», ЧитГУ

О РАЗЛИЧНЫХ ТРАКТОВКАХ ПОНЯТИЯ «ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО»

Научные интересы: функциональный анализ, теория приближений, философские вопросы математики

Дан краткий обзор современных подходов к введению понятия «действительное число». Предложена классификация областей оперирования с действительными числами. Выделено пять таких областей

Y. Abakumov, Chita State University ABOUT DIFFERENT EXPLANATIONS OF THE NOTION «REAL NUMBER»

The text contains brief review of modern approaches to introduction of concept "real number". Classification of areas of operating with real numbers is offered. It is allocated such five areas

* * *

1. Вводные замечания.

Предлагаемая статья предназначена, прежде всего, для студентов специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Будущая профессия предполагает, в частности, вычислительную практику, в том числе работу с действительными числами. Программа некоторых дисциплин включает знакомство с современными концепциями действительного числа (математический анализ, дискретная математика). При этом наблюдается определенное предпочтение классической (канторовской) кон-

цепции. В то же время программисты по роду своей работы склонны к финитному подходу. Чтобы говорить предметно, дадим краткий обзор современных трактовок понятия «действительное число».

2. Некоторые подходы к введению понятия действительного числа.

Основными концепциями на сегодня являются: классическая, конструктивная, концепция на основе нестандартного анализа, известны также финитные подходы (однако они не так детально проработаны).

Основой классического подхода является абстракция актуальной бесконечности.

Недостаточность рациональных чисел выяснена еще в древности, когда была обнаружена непредставимость в виде частного

целых чисел выражения типа 4п, где п не является целым квадратом. Однако детально концепция разработана только в конце XIX - начале XX вв. «Дыры» в множестве рациональных чисел заполнялись благодаря принципу (аксиоме) Кантора, согласно которому вложенная последовательность отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет единственную общую точку. Существенным шагом явилось установление несчетности множества действительных чисел. Отсюда следовало, что иррациональных чисел больше (в определенном смысле), чем рациональных.

Основным понятием в конструктивном подходе является понятие алгоритма. Известно несколько способов математического уточнения интуитивно ясного понятия «алгоритм». В связи с этим основы конструктивной математики реализованы несколькими различными по форме способами. В настоящее время доказана эквивалентность всех известных определений алгоритма (машины Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгоритмы Маркова).

Конструктивный анализ подвергает ревизии результаты классического анализа. Он исключает из рассмотрения объекты, существование которых доказано с помощью «чистых» теорем существования. Так, действительное число считается существующим, если известен алгоритм его вычисления с любой точностью. Так как алгоритм - это инструкция, записанная с помощью букв в некотором алфавите, то число алгоритмов счетное, следовательно, множество конструктивных действительных чисел также счетное.

Если конструктивный анализ в определенном смысле «урезает» классическую математику, то нестандартный, напротив, дополняет ее. Основной момент - к множеству действительных чисел (в классическом

понимании) добавляются актуально бесконечно малые. Это такие числа, которые меньше любого положительного (стандартного) числа, но больше нуля. Понятно, что классический анализ «не знает» таких величин. Чтобы на расширенном множестве действительных чисел выполнялись арифметические операции, приходится вводить бесконечно большие числа. При этом появляется целая иерархия бесконечно малых (если

е - бесконечно малое, то е2 - «еще более» бесконечно малое) и бесконечно больших (так называемые галактики) чисел.

Противоположная крайность (по отношению к нестандартному анализу) - финитный подход. Признаются только конечные множества и конечные числа. При этом «очень большие» числа считаются недостижимыми.

Литература по основам классического анализа весьма обширна. Назовем лишь [1,2]. О конструктивном анализе см., например, [3,4]. Сведения о нестандартном анализе (в популярной форме) имеются в [5]. О финитном подходе литература малодоступна (см. [6]).

3. О различных областях оперирования с действительными числами

Здесь мы предложим некоторую классификацию областей оперирования с действительными числами по признаку способов работы с ними. Всего мы выделяем пять областей, из них первые две относятся к сфере вычислительной практики, а последующие три - к теоретическому изучению. У автора нет претензий на то, что предложенная классификация самая удачная, нет и претензий на оригинальность (однако в доступной литературе именно такого разделения на области автор не встречал).

Итак, можно выделить пять областей оперирования с действительными числами.

Первая область - практическая. К ней относится вычислительная практика расчетов (вручную, на калькуляторе или на компьютере) с точностью, достаточной для

практического использования. При работе на компьютере при этом используются специализированные пакеты, или языки программирования, где числа представляются стандартными типами (в Паскале - real, integer, в новых версиях деление более подробное). При работе с числами в данной области доступны широкие возможности: можно производить все арифметические операции, вычислять значения элементарных и некоторых специальных функций. Мы можем находить, например, площади фигур на плоскости, ограниченных отрезками или дугами окружностей (с достаточной точностью).

Вторая область. Это - область получения частичной информации. Поясним на примерах. Для практических применений универсальные константы e и п достаточно знать с точностью не более чем до десятого знака после запятой. Однако, как известно, в настоящее время найдено более тысячи знаков у обеих констант. Для этого на компьютере представляются e и п в виде массива цифр. В этом случае манипуляции с полученными числами значительно ограничены. Так, можно найти в том же представлении e+п, но с 4Р сложно.

Еще один пример. Математики давно исследуют так называемые числа Ферма

гуП

Fn = 2 + 1

(это проблема Ферма). Предметом исследований является вопрос о том, какие из чисел Ферма являются простыми, а какие составными. Так, было выяснено, что число ^23471 делится на

23473

5 • 2 +1. Заметим, десятичное пред-

ставление ^23471 заняло бы 107000 десятичных знаков (для сравнения, число атомов в веществе Земли не превосходит

10100 ).

Третья область - изучение свойств действительных чисел средствами конструктивного анализа. Сущность здесь заключается в том, что используется абстрак-

ция потенциальной осуществимости. Действительное число считается заданным, если имеется алгоритм его вычисления с любой точностью, при этом мы отвлекаемся от практических возможностей и трудоемкости алгоритма.

Четвертая область - изучение свойств действительных чисел средствами классического анализа. Здесь уже признается абстракция актуальной бесконечности, доказывается несчетность множества действительных чисел, рассматриваются функции как практически значимые, так и «экзотические». Здесь следует быть осторожным в причислении тех или иных объектов к «чистым выдумкам». Яркий пример -функция Вейерштрасса, график которой не имеет касательной ни в одной точке. Как оказалось, это - один из первых примеров столь популярных сейчас фракталов.

Пятая область. Здесь привлекаются средства нестандартного анализа. Разумеется, актуально бесконечно малые в вычислительной практике не применяются. Они введены с целью упрощения теории пределов. Следует сказать, при строгом изложении нестандартного анализа упрощения не получается.

В заключение приведем одно замечание для радикальных практиков («антитеоретиков»): хотя теоретическое изучение того или иного предмета сплошь и рядом абстрагируется от практики, но только теория дает ориентиры и поставляет объекты для вычислительной практики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1976. - 544 с.

2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. - М.: Наука, 1974. -480 с.

3. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ / Р.Л. Гудстейн. - М.: Наука, 1970. - 472 с.

4. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу / Б.А. Кушнер. - М.: Наука, 1973. - 448 с.

5. Успенский В.А. Что такое нестандартный ана- в анализ / С.В. Дронов, С.Д. Козлов. - Барнаул:

лиз? / В.А. Успенский. - М.: Наука, 1987. - 128 с. Алтайский государственный университет, 1991. -

6. Дронов С.В. Опыт нетрадиционного введения 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 7.12.90, № 72В-91.

УДК 62-52 Е.В. Стещенко, аспирантка, Арсеньевский технологический институт

МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С НЕОПРЕДЕЛЕНОСТЬЮ

Научные интересы: синтез адаптивной компенсации сопутствующих нелинейностей в системах автоматического

управления

К настоящему времени разработано несколько подходов к решению задач управления динамическими объектами в условиях неопределенности. В данной статье приведен краткий обзор методов синтеза систем управления, позволяющих обеспечить высокое качество функционирования систем

Ekaterina Steshchenko, Arseniev Technological Institute

CONTROL SYSTEMS SYNTHESIS METHODS FOR DYNAMICAL OBJECTS WITH UNCERTAINTIES: REVIEW

However, the modern view on the accuracy of mathematical models is more realistic. As a rule, most of objects demonstrate complicated dynamics which is characterized by uncertainties of different nature. The modern control theory has derived a number of uncertainty-oriented methods to synthesize control algorithms / systems. The methods are based on the following main principles: adaptivity, robustness, variable structure systems principles, neuron networks, fuzzy logics, passification. In the paper these principles and appropriate synthesis methods are considered and discussed. Some examples of synthesis are given

* * *

Трудности построения алгоритмов и систем управления динамическими объектами, как правило, связаны со сложностью их математических моделей: нелинейностью, стохастичностью, высоким порядком дифференциальных уравнений и

т.д. К числу наиболее существенных факторов, которые необходимо учитывать при построении законов управления различными динамическими системами, относятся различного рода неопределенности.

Неопределенность заключается в том,