ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО КАЛЬКУЛЯТОРА DESMOS ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

Таким образом, инициация использования информационных технологий в учебной деятельности, а также интеграция моделей информационных технологий в научную деятельность, позволяет эффективно решать проблему повышения качества усвоения нового знания и его дальнейшего использования в контексте профессиональной деятельности молодых специалистов вне зависимости от сферы их деятельности.

Список литературы:

1. Венделева М.А. Информационные технологии управления: [учебное пособие для бакалавров по специальности «Менеджмент организации»] / М.А. Венделева, Ю.В. Вертакова. - М.: Юрайт, 2011. - 462 с.

2. Корнева Г.В. Информационные технологии в управлении [Электронный ресурс] // Интернет-журнал Науковедение. - 2011. - № 4 (9). - Режим доступа: http://cyberleninka.rU/article/n/informatsionnye-tehnologii-v-upravlenii (дата обращения: 22.04.2016).

3. Минькович Т.В. Информационные технологии: понятийно-терминологический аспект [Электронный ресурс] // Образовательные технологии и общество. - 2012. - № 2. - Режим доступа: http://cyberlemnka.ш/artide/n/in-formatsionnye-tehnologii-ponyatiyno-terminologicheskiy-aspekt (дата обращения: 08.07.2016).

4. Михеева Е.В. Информационные технологии в профессиональной деятельности. Технические специальности: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Е.В. Михеева.

5. Рагулин П.Г. Информационные технологии. Электронный учебник. -Владивосток: ТИДОТ Дальневосточного ун-та, 2004. - 208 с.

6. Титоренко Г.А. Информационные системы и технологии управления / Под ред. Г.А. Титоренко. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2011. - 591 с.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО КАЛЬКУЛЯТОРА DESMOS ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

© Преснякова Ю.С.1

Балашовский институт

Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского, г. Балашов

В статье рассмотрено использование графического калькулятора Desmos при решении уравнений с параметрами. Проанализирована

1 Студент 3 курса факультета математики, экономики и информатики.

значимость применения информационных технологий при знакомстве, решении и закреплении материала связанного с построением графиков на уроках математики.

Ключевые слова графический калькулятор, уравнение, неравенство, Desmos Graphing Calculator, параметр, график, графический метод.

Задачам с параметрами в программах по математике отводится далеко не первое место, что совершенно не заслужено, ведь они играют одну из важнейших ролей в формировании логического мышления и развития математической культуры учеников. При решении задач с параметрами перед учащимися открывается возможность овладения множеством эвристических приемов общего характера, которые важны для математического развития и применимы в изучении других разделов математики. Задачи с параметром основаны на исследовательских навыках и умениях анализировать, что в большинстве своем, ученикам дается не просто, отсюда и следует трудность выработки мастерства решения таких задач. При решении уравнений с параметрами используется широкая терминология из различных разделов математики связанных с функциями, уравнениями, построениями графиков. Для успешного решения задач, обучающиеся должны свободно ориентироваться в пройденном материале.

В связи с тем, что в теме уравнения с параметрами практически отсутствует механичность действий, процесс решения задач вызывает у школьников страх. Не достаточно применить формулу или алгоритм решения, необходимо понять закономерность и анализировать каждый конкретный пример. Наиболее существенной частью решения задач с параметрами часто является переход к более простой равносильной ей задаче. В основе анализа частных случаев должен лежать общий подход изучения свойств исследуемых объектов. Задача учителя состоит в том, что бы научить школьников совершать последовательные шаги при решении и прийти к единому результату собирая воедино все рассмотренные частные случаи. Часто задачи распадаются на такое большое количество частей, что ребята затрудняются даже в написании ответа.

В школьном курсе математики рассматривается лишь основной класс задач. К ним, например, относятся задачи, в которых первым шагом является отыскание решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, анализируется количество их корней в зависимости от значений параметров. Так как класс задач, представленный в данной теме не разнообразен, он лишь в небольшой мере отражает глубину материала, что вызывает недопонимание со стороны обучающихся, а в дальнейшем и страх перед экзаменами.

В настоящее время задачи с параметрами на постоянной основе встречаются в ОГЭ и ЕГЭ. Для успешной сдачи экзаменов в выпускных классах, необходимо еще в 7 и 8 классе рассмотреть эту тему до полного понимания. Для высокого уровня понимания школьниками задач данного типа, мы

предлагаем рассмотреть как можно больше вариантов решения подобных заданий как в 7, так и в последующих классах.

В 7 классе первый раз происходит знакомство с параметрами при изучении линейных уравнений. Начинать изучать данную тему нужно еще в средней школе для того, чтобы обучающиеся привыкли к понятию «параметр» и уже в старших классах без страха воспринимали материал и без трудностей решали задачи на более высоком уровне. Так же задачи с параметрами отлично развивают внимание и память, формируют логическое мышление и воображение. Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания, в которых надо выразить одну переменную через другую.

В 8 классе начинается изучение квадратных и дробно-рациональных уравнений. Добавление параметра в эти темы делает их еще более трудными для понимания. Школьникам приходится обдумывать не только алгоритм решения уравнений, но и графические составляющие, которые способны помочь при нахождении нужного параметра. При изучении темы квадратные и дробно-рациональные уравнения с параметрами проверяется действительное усвоение обучающимися изученного материала. Задачи с параметрами очень важны, они отрабатывают навыки решения уравнений, повышают логическое мышление и интеллект учащихся. В том числе формируют навыки исследовательской деятельности, что повышает интерес школьников в математике. Для решения задач с параметрами школьникам необходимо свободно владеть навыками решения уравнений, уметь их преобразовывать и строить логическую цепочку рассуждений, приводящую к ответу. Решение подобных задач придает мышлению гибкость, а рассуждениям логичность, что помогает хорошо и полно анализировать различные математические ситуации. Именно поэтому задачи с параметром имеют диагностическую и прогностическую ценность.

Одним из самых эффективных методов решения уравнений с параметрами является графический метод. К сожалению, этот метод рассматривается в школе весьма не значительно, как так на него отводится мало времени на практике. Причина тому довольно трудоемкий процесс построения графиков, который отнимает много времени от и так недолгого урока. Незначительное выделение времени на применение графического метода при решении уравнений с параметрами можно считать ошибкой, так как в данной деятельности расширяются возможности обучающихся. Они могут наглядно увидеть ясную картину направлений исследования сложных уравнений, которые в старших классах встречаются на экзаменах.

В учебно-методических комплексах решение уравнений и неравенств с помощью графического представления функций практически не рассматривается. В решении этой проблемы мы предлагаем использование Desmos Graphing Calculator [1], этот ресурс в значительной мере сократит время

построения графиков, но при этом обеспечит наглядность решаемого задания. Суть графического метода решения уравнений состоит в том, что бы найти абсциссы точек пересечения графика с осью. Для этого необходимо его построить, что можно сделать и на обычной доске. Абсциссы и являются корнями уравнения. Но если это уравнение с параметром, необходимо проанализировать и перемещение параметра относительно графика к осям, чтоочень легко сделать в Desmos Graphing Calculator.

Правила работы и методические особенности использования в обучении математике сервиса Desmos Graphing Calculator рассмотрены в работах исследователей Л.В. Рождественской [2] и Е.В. Сухоруковой [3].

Рассмотрим примеры использования графического калькулятора Desmos при решении задач с параметрами.

№ 1. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение х2 + х - а = 0? Перепишем уравнение в виде X + х = а, построим графики функций у = х2 + х и у = а. Графический калькулятор позволяет ввести параметр и определить количество точек пересечения графиков в зависимости от его значения. С легкостью перемещая прямую у = а, выявляем три ее положения, при котором количество пересечений с параболой меняется: если a < — то корней

1 1

нет; если a = ——, то уравнение имеет один корень; если a > ——, то уравнение имеет два корня. Это и будет ответом к данной задаче.

№ 2. При каких а уравнение \X + 2х - 3| - 2а = X - а| + 3 имеет ровно три корня? Такой пример, мы приводим не случайно, в нем помимо параметра присутствует еще и модуль. При решении такого типа задач, так же применим графический метод с использованием Desmos. График функции у = \х2 + 2х - 3\ имеет различия с параболой у = х2 + 2х - 3 только в том, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно оси Ох, так как значение модуля не может принимать отрицательных значений. В графическом редакторе мы легко построим график любой сложности, включая график функции у = х - а\ + 2а + 3. После построения увидим график в виде так называемой «галочки», вершина которой смещена в точку (а; 2а + 3). Заметим, что решение задачи свелось к всевозможным перемещением графиков относительно параметра а и их взаимным расположениям на координатной плоскости. В графическом калькуляторе данные манипуляции с графиками делается быстро и легко. После различных перемещений приходим к выводу, что первый случай выполняется при условии верности следующего равенства 0 = \—3 - a\ + 2a + 3 » a = -2. Второй случай выполняется при условии, что дискриминант квадратного уравнения х2 + х + 3а = 0 равен нулю, то есть при

a = —. Получили два корня, которые запишем в окончательный ответ.

№ 3. Для каждого значения параметра а определите число решений сис-

темы уравнений ^ 2 2 2 Что бы в полной мере овладеть темой реше-I х + у — а .

ния уравнений с параметрами, проанализируем решение системы уравнений. Определим вид каждого из уравнений. Графиком первого уравнения системы является квадрат, заданный в координатной плоскости Оху, а второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом г = \а\. В графическом калькуляторе построим несколько окружностей. Точкой А обозначим пересечение окружности с центром в начале координат и радиусом равным половине диагонали, построенного ранее квадрата, и осью абсцисс. Точкой В обозначим пересечение окружности с центром в начале координат и радиусом равным половине стороны квадрата и стороной квадрата. Начало координат обозначим точкой О. Соединим точки и получим прямоугольный равнобедренный треугольник ОВА, находим

„ >/2

ОВ . По графику в Desmos видно, что система не имеет решений, если у/2

г или г > 1; при если г — или г = 1 система имеет четыре решения;

^ 1 - тг

при если < г < 1 у системы восемь решений. При записи ответа также

необходимо учесть, что есть случаи, когда система не имеет решений

, ч ( ф. -Д ) , ч Г 72 ]

а е(—»;-1)и--;— , так как г = \а\. При а е^±1;±-

(

2

четыре решения, при а е

-1; —

Л) (42

и

;1

- восемь решений.

При правильном подходе подобные задания решаются буквально за считанные минуты. Но злоупотреблять удобством этого способа не стоит, так как дети могут перестать самостоятельно, строить графики. Метод идеален для начального, наглядного знакомства с темой решение уравнений с параметрами. Графический метод является эффективным при решении нестандартных уравнений с параметром, решение которых аналитически часто приводит к громоздким и трудным вычислениям.

Таким образом, во-первых, необходимо научить детей решать уравнения и неравенства графическим методом, так как это позволит экономить время на выполнение заданий на уроках математики, ЕГЭ и олимпиадах. Во-вторых, графический метод является эффективным методом решения задач уравнений и неравенств повышенного уровня сложности, уравнений и неравенств с параметром, смешанных.

Таким образом, мы пришли к выводу: задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, умение анализировать, сравнить и обобщать. Решение подобных упражнений представляет собой небольшую исследовательскую работу, которую гораздо легче выполнять, опираясь на чертеж, в построении которого удобно применять графический редактор. На начальных стадиях знакомства с параметрами Desmos Graphing Calculator может стать незаменимой программой, облегчающей жизнь, как ученикам, так и учителю.

Список литературы:

1. Desmos Graphing Calculator [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.desmos.com/calculator (дата обращения: 01.08.2016).

2. Рождественская Л.В. Полезный Desmos [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://edugalaxy.intel.ru/index.php?automodule=blog&blogid= 8&showentry=6789 (дата обращения: 01.08.2016).

3. Сухорукова Е.В. Использование графического калькулятора Desmos в методической подготовке учителя математики и информатики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всерос. научно-практ. конф. (2-3 ноября 2015 г.). - Саратов: ООО «Издательский центр «Наука», 2015. - С. 321-324.