$ЛП_\tau$-ПОИСК ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ С УПРУГИМИ СВЯЗЯМИ

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 148-160

= ИНФОРМАТИКА =

УДК 519.81

ЛП т-поиск при решении задач оптимального управления динамическим объектом с упругими связями

М. В. Грязев, О. А. Кузнецова

Аннотация. Рассмотрены вопросы применения ЛПТ-поиска при решении задач оптимального управления динамическим объектом с упругими связями. Метод основан на использовании точек ЛПТ-последовательности.

Ключевые слова: ЛПТ-последовательность, пространство

варьируемых параметров, оптимизация, оптимальное управление.

Введение

Проблема повышения энергетической эффективности динамической системы с упругими связями и электродвигателем еще далека от исчерпывающего решения, так как на практике широко применяются так называемые целесообразные режимы работы [7, 8, 9]. Поэтому в современных условиях дефицита энергетических ресурсов исследования в области энергетической эффективности таких систем имеют особое теоретическое и практическое значение.

Выбор оптимальных параметров динамической системы с упругими связями и электрическим двигателем является достаточно сложной задачей. Обычно для решения такой задачи используют сочетание различных методов. Для оценки эффективности работы динамической системы целесообразно использовать идею принципа энергетического баланса, позволяющую оценивать не только влияние отдельных параметров динамической системы, но и законов управления системой.

Решение таких инженерных задач оптимизации широко связано с использованием метода исследования пространства параметров (PSI-метод). Корректную постановку задачи проектирования обеспечивает применение ЛПТ-последовательности (в англоязычной литературе — Sobol sequences) [24, 25], которая обеспечивает равномерное зондирование

пространства параметров, учет нескольких критериев и принятие решения из множества Парето. Оптимизация, основанная на использовании ЛПТ-последовательности, позволяет как решать задачи поиска оптимальных

параметров, оптимальных режимов работы, так и решать задачи синтеза систем управления. В отличие от всех других методов оптимизации Р81-метод является единственным, в основе которого лежит корректное определение допустимого множества решений. Это содействовало тому, что метод стал одним из основных инструментов в решении инженерных задач оптимизации.

Анализ выполненных исследований по оптимизации электромеханических систем позволил сформулировать концепцию многокритериальной оптимизации систем с упругими связями, приведенную в работах [11, 12]. Концепция предусматривает поиск стратегий повышения энергетической эффективности динамической системы за счет совершенствования конструктивных и режимных параметров системы, синтеза энергоэффективных законов управления, используя метод исследования пространства параметров [7, 10], основанный на точках ЛПТ- последовательности [24, 25].

Существует проблема формирования единого целостного подхода, обосновывающего дальнейшее развитие теории ЛПТ-оптимизации и оптимального управления динамическими системами, практического повышения эффективности метода [7], реализуемого в работах [1, 15, 16, 26, 27].

1. Постановка задачи

Постановка задачи оптимального управления динамической системы с упругими связями и электрическим двигателем связана с определением оптимальных параметров системы и поиском оптимального закона управления.

Динамический объект может быть представлен системой дифференциальных уравнений [17-23]

х = /

где х = [х\,..., хп]Т — вектор параметров объекта в пространстве состояний,

х € Кп, и = [и1,..., ик]Т — вектор управления, и € и С Кк, и — ограниченное замкнутое множество, / (х, и) = [/1 (х, и) ,..., /п (х, и)]Т — вектор-функции, соответственно размерности п, описывающие непрерывное однозначное отображение:

/ (х, и): Кп х Кк ^ Кп.

В [3] и [28] подробно рассмотрена постановка задачи оптимального управления динамической системы с упругими связями и электрическим двигателем [9].

2. Особенности модели оптимизационного расчета динамической системы

Основная задача оптимального управления динамическим объектом вида (1) состоит в регулировании (в определенных условиях — демпфировании) переходных процессов, которые вызываются задающими и возмущающими воздействиями и может характеризоваться критериями оптимальности. При этом оптимальное управление должно обеспечивать устойчивость системы и выполнение качественных показателей в переходных и установившихся режимах и обеспечивать существенное снижение значений динамических процессов системы.

Принято считать, что для всех систем автоматического управления быстродействие является одним из основных требований, а для целого ряда условий функционирования распространенных объектов — определяющим.

Принимаемый критерий оптимальности при синтезе управления используется как средство для выявления или конструирования инварианта в динамической системе и построения на его основе оптимального управления.

Критерий оптимальности может также выполнять роль вспомогательного средства или инструмента для синтеза управления, переводящего объект из произвольного начального состояния на сконструированный тем или иным образом инвариант или его окрестность, с последующим обеспечением асимптотической устойчивости движения изображающей точки в фазовом пространстве вдоль инварианта.

Данный подход целесообразно использовать при построении многокритериального управления динамическими объектами на основе сопровождающего функционала, имеющего синергетическую интерпретацию [21, 22].

Декомпозиция критерия оптимальности через синтез закона управления на основе заданного или выявленного инварианта обеспечивает его минимизацию на траекториях движения изображающей точки в фазовом пространстве.

Проводимые исследования, связанные с многокритериальной оптимизацией динамических систем с упругими связями и электрическим двигателем, показывают, что необходимо учитывать взаимные связи процессов двигателя и процессов динамической системы, выраженные в виде нескольких критериев оценки процессов системы. Следовательно, математическая модель оптимизационного расчета должна отражать характерные свойства системы, которые в процессе оптимизации необходимо улучшать.

Следуя работам Б.В. Булгакова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского и А.Л. Фрадкова, целесообразно в качестве одного из критериев оптимизации использовать полную энергию и другие инварианты свободного движения. В этом случае для описания динамических процессов используется

гамильтонов и лагранжев формализм. Энергия представляет собой не только основной инвариант реальной динамической системы, но и меру взаимодействия различных систем. Внутренняя энергия динамической системы является мерой ее возможности совершения работы. Задача изменения энергии за счет внешних управляющих воздействий имеет как теоретическое, так и практическое значение. Это положение хорошо согласуется при оптимизации, когда критерии связаны с энергией, с потерями и т.д. [4, 5, 8, 13]. Исключительное значение энергии как функции состояния системы состоит в том, что функционал полной энергии - гамильтониан — является основой для построения математического описания динамики системы.

Необходимо рассматривать задачу поиска стратегии перевода системы с одного уровня энергии на другой при помощи малого (в идеале — сколь угодно малого) по величине уровня.

Математическая модель системы задана в гамильтоновой форме:

dH (q, p, u) dH (q, p, u) .

qi =—^---------------, Pi =—^-----, i =

dpi dqi

где n — число степеней свободы, q = col (q\,... ,qn), p = col (p\,... ,pn) —

векторы обобщенных координат и обобщенных импульсов, образующие

вектор состояния системы x = col (q,p); H = H (q,p,u) — гамильтониан системы; u (t) € Rm — вход (вектор внешних обобщенных сил). Предполагаем в этом случае, что гамильтониан H (q,p,u) = H (x,u) — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов.

В дальнейшем будем предполагать, что гамильтониан линеен относительно управления u:

H (q, p, u) = Ho (q, p) + Hi (q, p)T u,

где Ho (q,p) — гамильтониан свободной системы; Hi (q,p) — m-мерный вектор независимых гамильтонианов взаимодействия.

Развернутая модель оптимизационного расчета динамической системы с упругими связями с электрическим двигателем приведена в [8, 9].

Решение задачи (1) связано с формированием множества эффективных расчетных вариантов [27], с разработкой процедур поиска оптимальных решений с учетом нескольких критериев [7], концепции многокритериальной оптимизации динамических объектов [11, 12]. Поиск оптимальных решений реализуется в работах [2, 3, 4, 5, 8, 26].

Для динамического объекта необходимо учитывать варьируемые параметры самого объекта и параметры, связанные с системой управления.

Исследования, связанные с поиском оптимальных параметров динамического объекта, позволяют проводить формирование управления динамическим объектом [2, 4, 5, 6].

Численное решение выполняется с помощью программного комплекса [7], который отражает диалоговые процедуры.

Таким образом, перечисленные работы показывают возможность рассматривать вопросы оптимального управления динамическим объектом, находить структуру и значения параметров системы управления, применительно к динамическому объекту.

При принятых в [8] допущениях систему уравнений динамического объекта необходимо привести к следующему виду:

хі = (и - хз)/Зь

х2 =

х3 =

х3 = (в (ио - хі) - х*з)/Те,

где в — статическая жесткость характеристики двигателя, Те — электромагнитная постоянная времени двигателя, ио — синхронная частота вращения двигателя, Зі, З2 — моменты инерции, С — упругий элемент, хі, х2 — скорости первой и второй масс, х3 — упругий момент, хд — заданная величина момента.

80 с------------------------1----------------------1---------------------1----------------------1---------------------г----------------------1---------------------1----------------------г

I _______і_______і_______і________і_______і_______і_______і________і_______

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

t, с

Рис. 1. Переходной процесс исходной системы

Запись объекта (2) позволяет проводить синтез законов управления, обеспечивающих существенное снижение динамических нагрузок в системе с упругими элементами. Решение задачи оптимизации средствами АМИПП [1, 7, 14, 16, 26] позволяет определить рациональные области динамического объекта с синтезированным законом управления.

На рис. 1 приведены изменения Х1, Хз при следующих значениях параметров:

31 = 0,102 кгм2, 32 = 0, 408 кгм2, С = 2000 Н/рад,

Мс = 15 Нм, Те = 0,1 с, в = 0, 75.

3. Синергетический подход решения задачи оптимального управления динамическим моментом

Для его обоснования и выявления преимуществ использования при построении различных классов управляемых систем рассмотрим сначала методы синтеза оптимального по быстродействию (как наиболее распространенного в прикладных задачах) управления на основе выявляемых и предложенных инвариантов, а также метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов, позволяющий осуществить синтез многокритериального управления динамическими объектами на основе сопровождающего функционала.

Устанавливая в системе возможность управления упругим моментом, осуществляем ограничение нагрузок в элементах механической части привода при резких нагружениях и стопорениях исполнительного органа.

Регулирование упругих моментов обеспечивает снижение упругих колебаний в элементах привода исполнительного органа.

Если электромагнитный момент электродвигателя обладает большим быстродействием, то принимаем допущение, что момент мгновенно поступает на вход механического преобразователя. Необходимо синтезировать зависимость (закон) изменения иорг = / (ж1, Ж2, Жз, ж|), основываясь только на математической модели механического преобразователя энергии при

и = и орг.

Применяя методологию АМИПП, изложенную [7, 14], поставленную задачу синтеза можно решать путем поиска аналитической зависимости иорг = / (х1, Х2, Х3, Жд) либо зависимости иорг в пространстве параметров состояния динамического объекта [10]. Исходной предпосылкой является использование методов синергетической теории управления А.А. Колесникова [21]. Согласно синергетической теории необходимо ввести в рассмотрение инварианты. Инварианты для электропривода приведены в [8]. Для динамической системы, имеющей число масс больше двух, синтез управления возможен. При этом полученный алгоритм позволяет регулировать только один упругий момент, который выбирается для слабого звена.

Повышение ресурса динамического объекта осуществляется за счет уменьшения интенсивности накопления усталостных повреждений, вызываемых изменением технологического процесса и траекторий движения. Задание гладких траекторий движения обеспечивает снижение интенсивности колебаний.

Для достижения поставленной цели представлено обоснование и решение проблемы методологии инвариантного управления моментом и оптимального, по энергетическим критериям оценки, управления. Необходимо исключить упругие колебания. Для этого вводится желаемое

инвариантное многообразие Ф1:

Ф1 = х3 — х3 = 0,

где х3 — желаемое значение момента упругих сил.

Если считать, что заданная величина упругого момента х3 = const, то при переходе системы на инвариантное многообразие Ф1 упругие колебания в системе (2) будут отсутствовать [22]. Величина х3 в системе электропривода является управляемой, определяет ускорение и, следовательно, скорость механической системы.

Желаемое движение системы на инвариантном многообразии Ф1

определяется уравнением первого порядка

Т1Ф1 + Ф1 =0.

Для решения задачи оптимизации системы (1)—(2) используем методологию АМИПП [7], которая отличается от решения задачи синтеза с инвариантными множествами, приведенной в [22].

В рассматриваемой двухмассовой системе (2) управляющий момент приведен в первом уравнении. Для обеспечения выполнения условия управляемости системы (2) целесообразно применить дополнительное управление относительно первой массы. В этом случае принимаем

инвариантное многообразие для дополнительного управления

Ф2 = Х1 — £ = 0,

где £ — желаемая траектория скорости первой массы.

Уравнение движения инвариантного многообразия Ф2:

Т2Ф2 + Ф2 = 0.

Опуская промежуточные вычисления, связанные с определением Ф1 и Ф2, приходим к следующей системе уравнений:

x 1 = (U — жз)М, x 2 = (хз — Mc )/J2,

х3 =

Ф1 = —Ф1/Т1, ф 2 = —Ф2/Т2.

Выполняя решение уравнений (3)—(7), получаем выражение для закона управления динамической системы (8):

U = х3 — J

но

Мс

-20,

0.5 1.0 1.5 2.0 2 5 3.0 3.5 4 0

С

Рис. 2. Переходной процесс при управлении

25

3.0

40

4,5

На рис. 2 приведены графики переходных процессов системы (7)—(8) при следующих параметрах:

1\ = 0,102 кгм2, 32 = 0, 408 кгм2, С = 2000 Н/рад,

Мс = 15 Нм, Т1 = 0,1 с, Т2 = 0,1 с, Те = 0,1 с, в = 0, 75.

4. Применение ЛПТ-поиска при синтезе закона управления динамическим объектом с упругими связями

Математическое описание объекта управления представляем системой дифференциальных уравнений (2) при нулевых начальных условиях.

Для выполнения поиска оптимального закона управления вводятся в рассмотрение макропеременные Ф1 и Ф2, а также уравнения движения на инвариантных многообразиях (4), (5).

В качестве критериев оптимальности приняты:

ф1 = /

0

о

Ф4 = у Я^.

о

Закон управления представлен в линейной форме:

и = а1Жз + а2Мс + аз Ж з + а4 ж3.

В уравнение (13) введено слагаемое а3Ж3, которое обеспечивает

устойчивость при решении задачи вместо отдельных слагаемых, учитывающих скорости Ж1 и ж2-

Параметры а1, а2, а3, а4 изменяются в границах

1, 0 < а1 < 1, 3; 0,1 < а2 < 0, 3; 0, 001 < аз < 0, 004;

0,1 < а4 < 0, 8; 0,1 < Т < 0, 8; 0,1 < Т2 < 0, 8.

В результате решения оптимизационной задачи (2) с учетом макропеременных (3), (5) и критериев (9)—(12) сформировано множество расчетных вариантов, оптимальных по Парето, с числом вариантов 2, из множества принят вариант 1.

Для ранее принятых значений параметров системы и полученных значений параметров закона управления

а1 = 1,191, а2 = 0,25, а3 = 0,00346, а4 = 0, 0586,

Т = 0, 02949, Т2 = 0, 02949.

Графики переходных процессов приведены на рис. 3.

Полученные результаты расчета показывают хорошую сходимость с результатами [8] и переходными процессами, приведенными на рис. 2.

\

\ Х1

/^хз

^Мс

'

г

У

Рис. 3. График переходного процесса

Особый интерес вызывает работа динамической системы при периодическом характере изменения момента сопротивления Мс, приведенного на рис. 4.

Момент сопротивления за период времени до 10 с имеет наибольшее значение Мс = 10 ^ 15 Нм, Мс = 15 + 25 вт (30*); Мс = 20 ^ 25 Нм, Мс = = 15 + 20 Бт (60*).

Оптимальный закон управления (13) обеспечивает минимальное значение упругого момента Ж3, график которого приведен на рис. 5.

Рис. 4. Периодическая нагрузка

Рис. 5. Изменение Ж1, ж3 при периодической нагрузке

Заключение

Показана возможность использования ЛПТ-поиска при решении задач оптимального управления динамическим объектом и решение этой же задачи при синергетическом подходе из работы А.А. Колесникова.

Применение метода исследования пространства параметров, использующего ЛПТ-последовательность, позволяет решать задачи поиска оптимальной совокупности параметров с учетом многих критериев и задачи оптимизации системы управления динамического объекта. Применение ЛПТ-поиска при решении задачи оптимального управления показало возможность поиска значений параметров закона управления.

Имеется возможность поиска оптимальных параметров с учетом дополнительных требований, выраженных в критериальной форме.

Полученные результаты решения задачи оптимального управления показывают, что с заданной точностью осуществляется поиск управляющего воздействия. Данный метод можно распространить на нелинейные системы с ограничениями, выполнять на основе полученных зависимостей построение системы управления с пространственной траекторией, программных систем и систем со стабилизацией выходного параметра.

Список литературы

1. Афанасьева С.М., Кузнецова О.А. Программный комплекс многокритериальной оптимизации // Сборник научных трудов Б^^огМ. Матер. международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований ’2013». Т.9. Вып. 1. Технические науки. Одесса: КУПРИЕНКО, 2013. С.22-24.

2. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Поиск оптимальной структуры системы

управления динамическим объектом // Механика и процессы управления: матер. ХХХХ11 Всероссийского симпозиума. М.: РАН, 2012. Т. 3. С. 50-59.

3. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Применение ЛПТ-последовательности при

оптимизации динамического объекта // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 142-153.

4. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Оптимальное управление асинхронным электроприводом // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып.5. Ч.2. С. 212-220.

5. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Формирование оптимального управления

электромеханическими системами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 5. С. 130-135.

6. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Оптимизация параметров и системы управления динамического объекта с упругими связями // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС’2013), 22-31 мая 2013 г., Алушта. М.: Изд-во МАИ, 2013. С. 761-763.

7. Кузнецова О.А. Адаптивный метод исследования пространства параметров. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 288 с.

8. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация асинхронного электропривода. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 104 с.

9. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация электромеханических систем с асинхронным двигателем // Приводная техника. 2010. № 6. С. 20-25.

10. Кузнецова О.А. Формирование управления в пространстве варьируемых параметров // Сборник научных трудов Б'ОгЫ по материалам международной научно-практической конференции. 2010. Т. 5. № 3. С. 61-62.

11. Кузнецова О.А. Многокритериальная концепция оптимального управления динамическим объектом // Сьома міжнародна науково-практична конференція. Математичне та імітаційне моделювання систем МОДС. Тези доповідей. 2012. С. 411-415.

12. Кузнецова О.А. Многокритериальная концепция энергоэффективных режимов электроприводов // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 6. Ч.1. С. 191-196.

13. Кузнецова О.А. Энергетические особенности регулируемого электропривода // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 6. Ч.1. С. 196-203.

14. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Адаптивный метод исследования пространства параметров // П‘ята науково-практична конференція з міжнародною участю "Математичне та імітаційне моделювания систем. МОДС "2010, Тези доповідей. Киів. 21-25 червня 2010. С. 106-107.

15. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Диалоговая система многокритериальной оптимизации и синтеза оптимальных законов управления // Сборник научных трудов Б'ОгЫ по материалам международной научно-практической конференции. 2010. Т. 4. № 2. С. 47-54.

16. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Формирование оптимального управления асинхронным электроприводом средствами АМИПП // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 3. Ч.1. С. 160-167.

17. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с.

18. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-и тт. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 744 с.

19. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

20. Пупков К.А., Фам С.Ф., Дивеев А.И. Синтез оптимального управления динамическим объектом со случайными начальными значениями // Наука и образование. 2012. № 3. http://technomag.edu.ru/doc/376455.html

21. Синергетические методы управления сложными системами: Механические и электромеханические системы / под общ. ред. А.А. Колесникова. М.: КомКнига, 2006. 304 с.

22. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / под ред. А.А. Колесникова. Ч.ІІ. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 559 с.

23. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 711 с.

24. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.

25. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006. 175 с.

26. Сушкин В.А. Применение многокритериальной оптимизации на основе точек Соболя // Сборник научных трудов SWorld. Материалы международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований ’2013». Т. 9, Вып. 1. Технические науки. Одесса: КУПРИЕНКО, 2013. С. 19-21.

27. Сушкин В.А., Кузнецова О.А. Эффективное множество расчетных вариантов оценки электромеханических систем. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. 80 с.

28. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Возможность использования ЛПт-поиска при решения оптимального управления динамическим объектом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. С. 137 - 147.

Грязев Михаил Васильевич (info@tsu.tula.ru), д.т.н., профессор, ректор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Кузнецова Ольга Алексеевна (o.a.kusnetsova@mail.ru), к.т.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

LPT-searching for at decision of the problems of optimum management dynamic object with springy relationship

M.V. Gryazev, O.A. Kuznetsova

Abstract. The Considered questions of the using LPT-searching for at decision of the problems of optimum management dynamic object with springy relationship. The Method is founded on use to Sobol sequences.

Keywords: Sobol sequences, method of parameters’ space, optimization, optimal control.

Gryazev Michael (info@tsu.tula.ru), doctor of technical sciences, professor, rector, department of mathematical modeling, Tula State University.

Kuznetsova Olga (o.a.kusnetsova@mail.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 27.06.2013