Оценка погрешностей полигонометрических ходов методами математического моделирования

УДК 622.1:528.4

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПОЛИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ХОДОВ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

А.В. Загибалов1, О.В. Данченко2

Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются вопросы моделирования полигонометрических ходов различной степени сложности с целью определения вероятности попадания координат конечной точки хода в контуры теоретических эллипсов средних квадратических ошибок. Установленные методами моделирования вероятности позволяют заранее, на этапе проектирования хода, определять методику полевых работ и выбор геодезического инструмента для их выполнения.

Ил. 5. Табл. 4. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: полигонометрия; моделирование; погрешность; вероятность.

POLYGON TRAVERSE ERROR ESTIMATE BY MATHEMATICAL MODELING METHODS A.V. Zagibalov, O.V. Danchenko

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article discusses the problems of modeling polygon traverse of varying degrees of complexity in order to determine the probability of end point traverse coordinates hitting the contours of theoretical ellipses of mean-square errors. The probabilities established through the modeling methods enable early determination of the field works procedure and selection of the geodetic instrument to perform these operations at the traverse design stage. 5 figures. 4 tables. 4 sources.

Key words: polygonometry; modeling; mean-square error; probability

Полигонометрические ходы являются одним из видов маркшейдерских работ при создании опорных сетей как на поверхности, так и в подземных условиях. В основу этих ходов должны быть положены:

- геометрическая форма хода;

- расположение и длина замыкающей хода;

- длина хода и длины его сторон;

- погрешности измерения углов и длин сторон.

Геометрия хода является одним из факторов,

определяющих погрешность конечной точки хода. Из теории анализа точности маркшейдерских работ известно, что наибольшая погрешность измерения горизонтальных углов при прочих равных условиях имеется при углах, близких к 180°. В то же время при прокладывании замкнутого полигонометрического хода при измерении длин сторон исчезает влияние систематической ошибки. При определении погрешности измерения горизонтального угла по известной формуле

\щ +

Р

2a2b2

e2 (a2 + b2 )+ eC (t

2

учитываются длины сторон хода (а,Ь), величина горизонтального угла (в), инструментальная погрешность (т) и погрешности центрирования сигналов (е) и теодолита (во).

В учебнике «Маркшейдерское дело» Д.Н. Оглоб-лин рассматривает частные случаи при измерении горизонтальных углов, близких к 0 , 90 и 180 , и делает ряд выводов:

1. Влияние ошибки центрирования сигналов на ошибку измерения угла не зависит от его величины и обратно пропорционально длине сторон, образующих угол.

2. Влияние ошибки центрирования теодолита на ошибку измерения угла зависит от его величины. Наибольшее влияние ошибка центрирования теодолита, при прочих равных условиях, будет иметь при измерении углов, близких к 180 .

3. Влияние ошибки центрирования теодолита обратно пропорционально длине сторон, образующих угол.

4. Влияние ошибки центрирования теодолита и сигналов тем больше, чем больше отличаются между собой длины сторон измеряемого угла.

Расчет погрешности положения последней точки полигонометрического хода подробно описан в литературе по маркшейдерскому делу [1, 3].

Погрешность координат последней точки хода определяется ошибками угловых и линейных измерений и ошибкой определения дирекционного угла начальной стороны хода. При этом следует отметить, что две первые ошибки, равно как и величины углов и длины сторон, определяют геометрию хода, а послед-

Шп =

ß

1Загибалов Александр Валентинович, кандидат геолого-минералогических наук, профессор кафедры маркшейдерского дела и геодезии, тел.: (3952) 405102, е-mail: azagibalov@yandex.ru

Zagibalov Alexander, Candidate of Geological and Mineralogical sciences, Professor of the Department of Mine Surveying and Geodesy, tel: (3952) 405102,е-mail: azagibalov@yandex.ru

2Данченко Оксана Владимировна, старший преподаватель кафедры маркшейдерского дела и геодезии, тел.: (3952) 405102. Danchenko Oksana, Senior Lecturer of the Department of Mine Surveying and Geodesy, tel.: (3952) 405102.

няя ошибка определяет ориентацию этого хода по сторонам света. Погрешность координат можно определить по следующим формулам:

9 9 9 n т 2 9 n 9 9

M2xK = M2X + M2Xi = Y-^r • Rl + Zml  cos2 ai; a i=i p i=i 2

9 9 9 n m a , n , ,

MXV = MXp + Mx = Z-^T • RX, + Zml, • sin2 ai,

2

i=1

i=1 p

где me - погрешности измерения горизонтальных углов; m¡ - погрешности линейных измерений; Rx, Ry -проекции замыкающих каждой точки хода, соответственно, на оси X и Y; а - дирекционные углы стороны хода.

При решении большинства вопросов, связанных с анализом полигонометрических ходов в маркшейдерской практике, следует давать более полную характеристику их точности, нежели только ошибки по координатным осям. Одной из таких наиболее полных характеристик будет средний квадратический эллипс погрешностей, или кривая средних ошибок [4]. Уравнение кривой средних ошибок в полярной системе координат имеет вид

p2 = A2 cos2 в + B2 sin2 в,

где p - радиус-вектор кривой; в - угол, образованный радиус-вектором с большой полуосью A среднего квадратического эллипса погрешностей; B - малая полуось среднего квадратического эллипса погрешностей.

Средний квадратический эллипс погрешностей считается определенным, если известны дирекцион-ный угол ф0 малой полуоси эллипса, а также большая A и малая B полуоси среднего квадратического эллипса погрешностей: 1 k

2 2 k~i 2 Z mfíR-i sin2yi - Z т, sin2ai 2 ai . , li i=1

_УУ .

где

1 k 2 2 k-1 2 —7 Z mfíRi cos2yi - Z m, cos 2ai p2 i=1 ai i=1 li

B2 = — (M2-v); A2 = -(M2 + v), 2 2

2

. k-1 k m 2 M2 = Z m2 + Z-A-R2; i=1 li i=1 p2

V = г2* +у2у

В формулах: Ri - замыкающие каждой точки хода;

Y¡ - дирекционные углы этих замыкающих.

Применение методов математического моделирования позволяет проверить или опровергнуть эти тео-

ретические выкладки.

Как известно, случайные ошибки измерений (а речь идет именно о случайных, потому что систематические и грубые ошибки должны исключаться из результатов измерений) подчиняются нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной квадрату средней квадратической ошибки измерений. Таким образом, модель полигонометрического хода будет построена

по следующим формулам:

Xk = Xо + (Si ±mSi)• cosa + (S2 ±msz)х

хcosa + ••• + (S ±m„ )• cosa ;

2 ^ n ^n n

YK = X0 + (S1 ± ms, ) • sinai + (S2 ± msz ) х

х sin a + ••• + (S ± m„ ) • sin a ;

2 n Sn n

a =a0+ (a ± m) ± 180°; a = a+(a ± m2) ± ш°;

а = а , + (В ±т„ )± 180°,

п п—1 п рп ' '

где ms, mв - средние квадратические ошибки измерения длин сторон и горизонтальных углов соответственно.

Моделирование средних квадратических ошибок измерения углов и длин сторон заключается в формировании случайного числа с нормальным законом распределения. Такое число можно получить следующим образом:

_ 12 г = т + а- ( — 6),

I=1

где Yi - случайное число, подчиняющееся равномерному закону распределения; т - математическое ожидание; а - среднее квадратическое отклонение.

В качестве предельной ошибки используются однократные среднеквадратические ошибки m, имеющие вероятность появления P = 0,68; двойные ошибки 2m, вероятность которых равна P = 0,95 и утроенные квадратические ошибки 3m с вероятностью P = 0,997.

Для исследований погрешностей были применены ходы различных форм, представленных на рис. 1. В качестве критерия сложности применен коэффициент сложности полигонометрического хода к, определяемый как отношение периметра хода P к длине замыкающей последней точки L:

Л = Р.

1

В табл. 1 приведены параметры вытянутых поли-гонометрических ходов (рис. 1а и б) различной сложности ^ изменяется от 1,0 до 1,39) и элементы эллипсов погрешностей для этих ходов. Количество повторений модели для каждой формы хода равнялось 5000.

На рис. 2 показаны результаты моделирования с построением эллипсов погрешностей. При выполнении модели определялось количество точек, попавших в пределы однократного, двукратного и трехкратного эллипса, после чего определялась вероятность попадания последней точки в эллипс (табл. 2).

По результатам моделирования видно, что для простых ходов вероятность попадания конечной точки хода в эллипсы погрешностей в основном совпадает с теоретическими вероятностями для нормального закона распределения за исключением эллипса с однократными размерами. В этом случае вероятность попадания колеблется в пределах 50-53% при теоретической вероятности 68%.

V

x

Таблица 1

Параметры вытянутых полигонометрических ходов простой формы_

Номер точки 1 2 3 4 5

К=1,39 К=1,00 К=1,10 К=1,02 К=1,21

Гор. угол Длина у иг Гор. угол Длина Дир. угол Гор. угол Длина I ии Гор. угол Длина Дир. угол Гор. угол Длина Дир. угол

0

50 0 100 30 50 45 50 60 50 90

1 90 180 130 160 110

50 270 100 30 50 355 50 40 50 20

2 270 180 230 200 250

50 0 100 30 50 45 50 60 50 90

3 90 180 130 160 110

50 270 100 30 50 355 50 40 50 20

4 270 180 230 200 250

50 0 100 30 50 45 50 60 50 90

5

Параметры эллипсов погрешностей

т 2т 3т т 2т 3т т 2т 3т т 2т 3т т 2т 3т

А,м 0,02 8 0,056 0,08 4 0,03 6 0,072 0,10 8 0,03 3 0,066 0,09 9 0,03 5 0,070 0,10 5 0,03 1 0,062 0,09 3

В,м 0,01 2 0,024 0,03 6 0,01 7 0,034 0,05 1 0,01 5 0,030 0,04 5 0,01 6 0,032 0,04 8 0,01 4 0,028 0,04 2

Р 53,5 300,0 294,8 321,9 331,7

г

Рис. 1. Схемы полигонометрических ходов различной формы сложности: а - вытянутые; б - ломаные вытянутые; в -круговые; г -произвольные

Таблица 2

Коэффициенты попадания точек в пределы эллипса для простых по форме ходов

Номер хода Количество точек, попавших в эллипс п1 Количество точек, не попавших в эллипс п2 Вероятность попадания точек в пределы эллипса, p Коэффициент сложности хода, k

m 2m 3m m 2m 3m m 2m 3m

1 2515 4646 4978 2485 354 22 50,3 92,92 99,56 1,39

2 2668 4687 4979 2332 313 21 53,36 93,74 99,82 1,00

3 2650 4694 4982 2350 306 18 53 93,88 99,64 1,10

4 2694 4724 4991 2306 276 9 53,88 94,48 99,58 1,02

5 2609 4671 4976 2391 329 24 52,18 93,42 99,52 1,21

При удвоенных размерах эллипса вероятность попадания составляет 93-94% при теоретической 95% (рис. 3).

Таким образом, при проектировании вытянутых полигонометрических ходов простой формы (коэффициент сложности не более 1,5) в качестве предельной погрешности можно выбирать удвоенную ошибку, что в конечном итоге позволит при выполнении работ по прокладке полигонометрических ходов использовать более простые технологии.

По аналогии с описанным выше анализом простых по форме ходов выполнено моделирование сложных ходов, схемы которых показаны на рис. 1,е и г. Пара-

метры моделируемых ходов и элементы эллипсов погрешностей приведены в табл. 3. Для этих ходов коэффициент сложности изменялся от 1,59 до 4,97. В табл. 4 показана вероятность попадания последней точки хода в контуры эллипсов погрешностей. На рис. 4 показаны эллипсы погрешностей для ходов сложной формы.

Анализ результатов моделирования погрешностей сложных по форме ходов показывает, что для таких ходов даже двукратные размеры эллипсов не обеспечивают вероятность попадания последней точки хода в эллипс погрешностей (см. табл. 4).

Рис. 2. Эллипсы погрешностей для ходов вытянутой формы

1,21 а

Рис. 3. Вероятности попадания последней точки простых ходов в эллипсы погрешностей при однократных (а), двукратных (б) и трехкратных (в) его размерах

б

в

Рис. 4. Эллипсы погрешностей для ходов вытянутой простой формы

Параметры вытянутых полигонометрических ходов сложной формы

Таблица 3

Номер точки 1 2 3 4 5

К=1,76 К=4,05 К=4,96 К=1,59 К=1,77

Гор. угол Длина Дир. угол Гор. угол Длина Дир. угол Гор. угол Длина Дир. угол Гор. угол Длина Дир. угол Гор. угол Длина Дир. угол

0

50 0 50 30 50 45 50 60 50 90

1 200 260 260 270 60

50 20 50 110 50 125 50 150 50 330

2 200 120 150 100 310

50 40 50 50 50 95 50 70 50 100

3 200 280 220 300 100

50 60 50 150 50 135 50 190 50 20

4 200 120 170 90 260

50 80 50 90 50 125 50 100 50 100

5 200 300 280 260 140

50 100 50 210 50 225 50 180 50 60

6 200 130 140 60 300

50 120 50 160 50 185 50 60 50 180

7 200 270 300 250 80

50 140 50 250 50 305 50 130 50 80

8 200 140 130 80 280

50 160 50 210 50 255 50 30 50 540

9 200 280 250 290 90

50 180 50 310 50 325 50 140 50 90

10

Па раметры эллипсов погрешностей

т 2т 3т т 2т 3т т 2т 3т т 2т 3т т 2т 3т

А,м 0,066 0,132 0,198 0,038 0,076 0,114 0,034 0,064 0,102 0,062 0,124 0,186 0,058 0,116 0,174

В,м 0,030 0,060 0,090 0,026 0,052 0,078 0,027 0,054 0,081 0,019 0,038 0,057 0,022 0,044 0,066

Р 27,0 290,1 329,9 21,9 9,9

Рис. 5. Вероятности попадания последней точки сложных ходов в эллипсы погрешностей при однократных (а), двукратных (б) и трехкратных (в) его размерах

б

а

в

Таблица 4

Коэффициенты попадания точек в пределы эллипса для сложных по форме ходов

Номер хода Количество точек, попавших в эллипс n1 Количество точек, не попавших в эллипс n2 Вероятность попадания точек в пределы эллипса, p Коэффициент сложности хода, k

m 2m 3m m 2m 3m m 2m 3m

1 2689 4744 4988 2311 256 12 53,78 94,88 99,76 1,76

2 2051 4451 4971 2949 549 29 41,02 89,02 99,42 4,05

3 1985 4340 4951 3015 660 49 39,7 86,8 99,02 4,96

4 3011 4823 4995 1989 177 5 60,22 96,46 99,9 1,59

5 2774 4747 4990 2226 253 10 55,48 94,94 99,8 1,77

На рис. 5 показано, что с увеличением коэффициента сложности хода резко уменьшается вероятность попадания последней точки хода в пределы эллипса погрешностей. Так, для однократного размера эллипса вероятность попадания уменьшается от 0,6 до 0,4 при теоретической вероятности 0,68. При двукратном размере эллипса вероятность изменяется от 0,87 до 0,97 при теоретическом значении вероятности, равном 0,95. При этом вероятность 0,97 возникает только на самом простом из представленных ходов. И только трехкратные размеры эллипсов обеспечивают необходимую вероятность попадания последней точки хода в пределы эллипса погрешностей. Следовательно, при проектировании сложных полигонометрических ходов

необходимо в качестве предельной ошибки применять утроенную среднюю квадратическую ошибку, что приводит к требованию применения более точных измерительных инструментов, более жесткой методики измерений.

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

Необходимая предельная средняя квадратическая ошибка должна определяться в зависимости от сложности полигонометрических ходов.

Для простого хода в качестве предельной достаточно применять удвоенную среднюю квадратическую ошибку, в то время как для сложных ходов не менее чем утроенную ошибку.

Библиографический список

1. Оглоблин Д.Н. Маркшейдерские работы при подземной разработке месторождений. Ч. I. М.: Металлургиздат, 1950.

2. Загибалов А.В. Применение методов математического моделирования для оценки точности маркшейдерских работ // Проблемы развития минеральной базы Восточной Сибири: сб. науч. трудов. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2004.

3. Загибалов А.В., Охотин А.Л. Маркшейдерия. Математический анализ точности маркшейдерских работ: учеб. пособие. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005. 179 с.

4. Павлов Ф.Ф. Предвычисление погрешностей в основных маркшейдерских работах. М.: Углетехиздат, 1950.

УДК 631.811:534.23:537.632/.636

ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ НА ПРОЦЕСС ЭКСТРАКЦИИ ГУМИНОВЫХ ВЕЩЕСТВ ИЗ БУРОГО УГЛЯ И ТОРФА

Т.В. Москаленко1, В.А. Михеев2

Институт горного дела Севера им. Н.В. Черского СО РАН, 677018, Республика Саха (Якутия), г. Якутск, пр. Ленина, 43.

Посредством фотометрического анализа изучено изменение молекулярного строения гуминовых веществ в щелочных растворах, полученных при экстрагировании бурого угля и торфа под действием ультразвукового, переменного и постоянного магнитного полей. Результаты исследования говорят о принципиально отличающихся по характеру молекулярных процессах, протекающих при экстракции бурого угля и торфа под воздействием физических полей. Наименьшая степень конденсированности молекул гуминовых веществ, а следовательно, и большее количество функциональных групп отмечены у экстрактов, полученных при воздействии ультразвукового поля как из бурого угля, так и из торфа. В то же время ультразвуковое воздействие на процесс экстракции приводит к значительному увеличению времени фильтрации растворов гуминовых веществ, полученных из торфяного сырья.

Ил. 3. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.

1 Москаленко Татьяна Владимировна, кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории комплексного использования углей, тел.: (41147) 69844, e-mail: labkiy@mail.ru

Moskalenko Tatyana, Candidate of technical sciences, Senior Researcher of the Laboratory of Integrated Use of Coal, tel.: (41147) 69844, e-mail: labkiy@mail.ru

2Михеев Валерий Александрович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, зав. лабораторией комплексного использования углей.

Mikheev Valery, Candidate of technical sciences, Senior Researcher, Head of the Laboratory of Integrated Use of Coal.