О рождении предельных циклов из контура, образованного сепаратрисами седла и сшитого седло-узла кусочно-гладкого векторного поля

разных трофических типов. - СПб.: Наука, 1996. -189 с.

2. Балушкина Е.В., Винберг Г.Г. Зависимость между массой и длиной тела у планктонных животных // Экспериментальные и полевые исследования биологических основ продуктивности озёр. - Л., 1979. - С. 58-72.

3. Дзюбан Н.А., Кузнецова С.П. Зоопланктон как показатель загрязнения водохранилищ // Гидробиологический журнал. - 1978. - Т. 14. - № 6. -С. 42-47.

4. Зеликман А.Л. Количественная характеристика зоопланктона водоёмов Волжско-Костромской поймы // Труды всесоюзного гидробиологического общества. - Т. 10. - 1960. - С. 86-101.

5. Методические рекомендации по сбору и обработке материалов при гидробиологических исследованиях на пресноводных водоёмах. Зоопланктон и его продукция. - Л.: Изд-во ГосНИОРХ, 1982. - 33 с.

6. Минин А.Е., Кривдина Т.В., Логинов В.В. и др. Рыбоводно-биологическое обоснование на ры-бохозяйственное использование озера Каменик (Костромская область). - Н. Новгород, 2011. - С. 5.

7. Мяэметс А.Х. Качественный состав пелагического зоопланктона как показатель трофности озера // Тезисы докладов 20-й науч. конф. по изуче-

нию водоёмов Прибалтики и Белоруссии. - Рига, 1979. - С. 12-15.

8. Carlson R.E. A trophic state index for lakes // Limnol. and Oceanogr. - 1977. - Vol. 22. - № 2. -P. 361-369.

9. Nilssen J.P., Waervagen S.B. Superficial ecosystem similarities vs autecological stripping: the «twin species» Mesocyclops leuckarti (Claus) and Thermocyclops oithonoides (Sars) - seasonal habitat utilization and life history traits // J. Limnol. - 2000. -№59(2). - P. 79-102.

10. Hakkari L. Zooplancton species as indicators of environment // Aqua fenn. - Helsinki, 1972. -P. 46-54.

11. Pantle R., Buck H. Die biologische Überwachung der Gewässer und Darstellung der Ergebnisse // Gas- und Wasserfach. - 1955. - 96. Jg. №18. - P. 17-21.

12. Puttner-Kolisko A. Proposed formula for calculating body volume of planktonic rotifers. A review of some problems in zooplankton production studies // Norw. J. Zool. - 1976. - № 24. - P. 419-456.

13. Sladecek V. System of water quality from the biological point of view // Arch. Hydrobiol. Beihoft. -1973. - Vol. 7. - P. 1-218.

14. Shannon C.E., Weaver W. The mathematical theory of communication. - Urbana, 1963. - 117 p.

УДК 517.9

Ройтенберг Владимир Шлеймович

кандидат физико-математических наук Ярославский государственный технический университет

vroitenberg@mail.ru

О РОЖДЕНИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ КОНТУРА, ОБРАЗОВАННОГО СЕПАРАТРИСАМИ СЕДЛА И СШИТОГО СЕДЛО-УЗЛА КУСОЧНО-ГЛАДКОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Рассматривается кусочно-гладкое векторное поле на двумерном многообразии, имеющее контур, состоящий из седла, из сшитого седло-узла и из их сепаратрис. Исследуется рождение предельных циклов из контура при типичной двухпараметрической деформации векторного поля.

Ключевые слова: кусочно-гладкое векторное поле, сепаратрисный контур, бифуркации, предельные циклы.

1. Введение. Формулировка результатов.

Пусть М - ориентируемое компактное двумерное Сш -многообразие, Б - разбиение М на компактные двумерные Сш -подмногообразия М1, i е {1,2,..., п}, такие, что М = Мх и... иМп,

М1 пMJ = дМг пдМу при i,у е {1,2,...,п}, i Ф у . Кусочно-гладким векторным полем класса

Сг (г > 1) на многообразии М с разбиением Б назовем элемент топологического векторного пространства Хг (М, Б) = Xг (Мх) Ф... Хг (Мп ), где Xг (М,) - топологическое векторное пространство векторных полей класса Сг на

с Сг -топологией. Траекториями векторного

поля X = (X(1),...,X(п)) еХг(М,Б), следуя [4, с. 95], будем называть траектории дифференциального включения х = Х(х), х е М, где

Х

- вы-

пуклая оболочка векторов X г)(х) и X (у) (х) при

х е дMi п дМу, i Ф у . Кусочно-гладкие векторные поля применяются в качестве математических моделей реальных динамических систем с переключениями. Несомненный интерес представляет изучение бифуркаций кусочно-гладких векторных полей, при которых рождаются устойчивые периодические траектории (автоколебания). В [4] при-

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова AV- № 2, 2014

© Ройтенберг В.Ш., 2014

26

ведено описание бифуркаций особых точек первой степени негрубости. Ряд нелокальных бифуркаций рассмотрен автором [2; 3].

В настоящей работе мы рассматриваем бифуркации кусочно-гладкого векторного поля, имеющего контур, состоящий из седла, не лежащего на линии разрыва поля, из его сепаратрис и из особой точки на линии разрыва типа сшитый седло-узел.

Рассмотрим семейство векторных полей Xs = (X^,..., X(n)) из Xr (M, D), r > 3, Cr -гладко зависящих от параметра s, меняющегося в некоторой окрестности точки 0 е R2. Продолжим векторные поля Х(г), i е{1,2,...,n}, до векторных полей X(i) на некоторой окрестности

Mt в M так, чтобы отображения

принадлежали классу Cr.

Пусть для X0 выполняются следующие условия (Ai) - (А3):

(АЛ Точка z° принадлежит M0 '= M _ О M

1 ' j j

при некоторых j_, j +е{1,2,...,n}, jj+ и является сшитым седло-узлом, а именно: X0j) (z0) = 0 ; матрица линейной части поля X0j ) в z0 имеет собственные значения

PP <р < 0, а соответствующие собственные подпространства трансверсальны M0 ; вектор

X0j ) (z0) направлен внутрь M _.

(А2) Точка z0 е intMi при некотором 4е{1,...,n} и является гиперболическим седлом векторного поля X^*). Седловая величина О := tr dX0i') (z0) * 0.

(А3) Выходящая сепаратриса L_ седла z^ не

содержит особых точек и со -предельна к zf вдоль собственного направления, соответствующего

Pp. Из точки z0 выходит положительная полутраектория поля X0, не содержащая особых точек, отличных от z^, и совпадающая со входящей

сепаратрисой L+ седла zf.

Выберем ориентацию M так, чтобы сепаратриса L0 была продолжением сепаратрисы L+ с положительной стороны. Выберем локальную карту h : U ^ R2 так, чтобы

h(z0) = (0,0) , h(UnM-) = {(£,n):n <0}, h(UnMS+) = {(£,,П):П ^ 0}, для матрицы ли-

0

неинои части векторного поля в точке z1 вектор (0,1)г являлся собственным вектором, соответствующим собственному значению Рр, дуга П = 0, % > 0 находилась с положительной стороны

от контура Г0 := L+ и L0 и {z°}.

Вследствие условия (А1) существуют такие

окрестность U1 с U точки z° и окрестность Е1 с Е0 точки 0 е R2, что для всех ееЕ1 векторное поле ) имеет в U1 единственную особую точку z1(e), при этом z1(-) е Cr, z1(0) = z^ •

Пусть h(z1 (s) =: (i(s) fj(s) .

Из условия (А2) следует, что найдутся такие

окрестность U2 с intMt седла z^ и окрестность Е2 с Е1 точки 0 е R2, что для всех е е Е2 векторное поле xS'" ) имеет в U2 единственную особую точку - гиперболическое седло z2 (е), такое,

что z2 (•) е Cr, z2 (0) = z° • Из условия (А3) и из гладкой зависимости инвариантных многообразий

седла от параметров следует, что Е2 можно выбрать так, что седло z2 (е) имеет входящую сепаратрису L+ (е), содержащую дугу траектории поля X(S ), трансверсально пересекающую M0 в точке

h_1(ü(£ ),0) , где й(-) е Cr-1, ü(0) = 0.

Следующее условие не зависит от способа продолжения векторных полей XJS) до векторных полей XSS) и выбора локальной карты h.

дй(0)/ ds1 дй(0)/ ds2 077(0)/ds1 дт/(0)/ds2

* 0.

При условии (В) в некоторой окрестности Е3 с Е2 точки 0 е И2 можно выбрать Сг -координаты (еье2) так, что Щ(е) = -е1, й(е) = е2. (1) В дальнейшем будем отождествлять точку

ееЕ3 с ее координатной строкой: е =

и обозначать |е| := тах-Ц, |е21}.

Теорема. Пусть семейство векторных полей

X еХг (М, О), е е Е0, удовлетворяет условиям (А1) - (А3) и (В).

Если седловая величина а > 0, то существуют такое число 5 > 0 и такие С1 -функции ьк : (0,5) ^ (-5,5), Ьк(+0) = 0, к = 1,2, Уе1 е (0,5) Ь1(е1) <Ь2(е1), что у векторного поля Хе, Ц < 5, имеются только следующие неблуждаюЩие множества, рождающиеся

из сепаратрисного контура Г0: При 0 < е1 < 5, — 5 <е2 < Ь1(е1) - устойчивый цикл, при 0 < е1 < 5, е2 = Ь1(|1) - устойчивый цикл и неустойчивая петля Г± (£ ) ^ {12 (е )} сепаратрисы седла, при 0 < е1 <5, Ь1(е1) < е2 < Ь2 (е1) - устойчивый и неустойчивый циклы, при 0 < |1 < 5 ,

е2 = Ь2 (11) - двойной цикл.

Если седловая величина а < 0, то существуют такое число 5 > 0 и такая С1 -функция ь : (0,5) ^ (-5,5), Ь(+0) = 0, что у векторного поля Хе, || <5, имеются только следующие неблуждающие множества, рождающиеся из сепаратрисного контура Г0: при 0 <е1 <5, — 5<е2 <Ь(е1) - устойчивый цикл, при 0 < е1 <5, е2 = Ь(е1) - устойчивая петля Г± (е ) ^ {^2 (е )} сепаратрисы седла.

Доказательство для случая а > 0 приведено в разделах 2-5. Доказательство для случая а < 0 проще и потому опускается.

2. Функция соответствия в окрестности сшитого седло-узла. От координат £,?/, задаваемых

картой h, перейдем к координатам х = £ — £ (е), у = п — п(е) = п +е1. В этих координатах

Х(/) (I) = Р( х, у, е)д / дх + Q( х, у, е)д / ду,

Р( х, у,е) = А,0 х + хтп( х, у, е) + уг^ (х, у,е),

0

где а > 0, гук е Сг—1, т]к (0,0,0) = 0 , у,к = 1,2.

Пусть Ке й := {(х, у): 0 < у < й, |х| < 0у}, где й > 0, 0 < д < 1. Из (2) и условия $ < 0 следует, что мы можем считать й и 51 е (0,1) выбранными так, что функция Я( х, у, е) = Р( х, у, е) / Q( х, у, е) определена для (х, у) е Кд й, Ц<51 и ± Я(±ду, у,е) >д для у е (0, й]. Поэтому интегральная кривая х = х( у, и,е) дифференциального уравнения йх / йу = Я(х, у,е ), про-

ходящая через точку (и,й) е Квс1, определена при у е (0, й] и не выходит из Кд й, то есть Х(у, и,е)| <ду при у е (0,й]. Обозначим 1е и Jе - дуги, задаваемые в координатах (х,у), соответственно, условиями у = й, |х| <дй и у = е1 , |х| <дй. Пусть 52 = тт{5ь й /2} . Обозначим ^(и,е):=х(е1, и,е). При ее (0,52) х (—52,52) функция (р(-,е) :=х(е1,-,е) является функцией соответствия по траекториям векторного поля Х( ) между дугами 1е и 3е.

По условию (А1) $ / $ > 1 • Пусть

1 < Ц_ < $0 / ^2 < Ц+ • Из (2), используя уравнения в вариациях, получаем следующее утверждение.

Лемма 1. Существуют такие число 53 е (0,52] и положительные числа С1 и С2, что для всех ее (0,53) х (—53,53), \и\ <дй

е й Т+<фи

^ (и,е)| < С^—1 < С^

\Фег (и,е)| < С2е1.

3. Функция соответствия в расширенной окрестности седла. Обозначим 17 (е) - выходящую сепаратрису седла 12 (е), являющуюся продолжением сепаратрисы (е) с положительной стороны. В силу условия (А3) мы можем считать, что

й выбрано так, что Ь0 пересекает дугу 10 в точке

с координатой х = а0 е (—дй,дй). Так как инвариантные многообразия седла гладко зависят от параметра, то число 52 можно считать выбранным так, что 17 (е), Ц < 52, пересекает дугу 1е в точке с координатой х = а(е) е (—дй,дй), где а(-) е Сг—1, а(0) = а0. Согласно [1] из (1) и условия а > 0 следует, что найдутся такие числа 54 е (0,53], и„> 0, а > 0 и 1 <ут <ум, что траектория векторного поля — Хе, Ц < 54, начинающаяся в точках дуги 1е с координатой х = <я(е) + и, и е (0, и„], первый раз пересекает дугу 3в точке с координатой х = у(и,е), где

у(и,е) = е2 + иг(е)(с(е) + g(и,е) , (6) /() е Сг-1, с(-) е Сг,

с

| 5k+l+mg

Доопределим <^(и,е) по непрерывности при

и = 0, положив ^(0, е) := е2.

4. Функция последования и функция d . Пусть

цг1

и 3(и,е) -=ф(а(е) + и,е) -у(и,е). Функция f (, е) является функцией последования по траекториям векторного поля Хе. Нетрудно убедиться, что

/(V, е) = V, />, е) > 1 (/>, е) < 1) «

3(и,е) = 0, <(и,е) > 0 (<(и,е) < 0),

и = у -1

/ (V, е) = V, /V (V, е) = 1, /: (V, е) * 0 «

3(и,е) = 3'и(и,е) = 0, 3"ии(и,е) *0,

и = у -1

Ввиду (6) - (8) и неравенства |ф(и,е) | < 0ех мы можем считать, что и е (0, и„) и 54 выбраны

так, что 3(и,е) < 0, если е е (0,54) х (-54,54). Лемма 2. Существует Сг-1 -функция

т: (0,55) х (-¿5,¿5) ^ (0,и), где 55 е (0,54],

такая, что

3'и (и,е) > 0 при 0 < и < т(е), 3'и (и,е) < 0 при т(е) < и < и ,

(т(е ),е) = 0, 31 (т(е ),е) < 0 . (I2) Доказательство. Будем считать, что

числа / и /+ были выбраны так, что (У (0) - 2)/(у (0) -1) < . Тогда найдутся такие / и /ц+, что

1 < / < / < /+< /

и /+ (/(0) - 2)/(^(0) -1) < / . Будем считать 54 столь малым, что

(/(е) - 2)/(у(е) -1) < / при |е| < ¿4. (14) Обозначим т- (е ):= е/1/(т (е )-1) и

т+ (е ):= е^- /(т (е )-1) . Из (3), (6) - (8), (13) и по-

ложительности с(е) следует, что 54 можно взять столь малым, что при ее (0,54) х (-54,54) т- (е) < т+ (е) < и и

3'(и,е) > 0 для 0 < и < т-(е), 3'(и,е) < 0

для т+

Из (6) - (8) также получаем, что 54 можно считать выбранным так, что существует такая постоянная О > 0, что

у 'и (и ,е )| > О и1 (е )-2 при е < ¿4 и 0 < и < и. (16) Пусть ^(0) > 2. Можно считать, что у(е) > 2

при е < 54. Ввиду

у'и

Из (4), (13) и (17) следует, что при 0 <85 < min{84,(О/Сх)1/(^-)}

3'

Пусть теперь ^(0) < 2, а 55 выбрано так же, как и выше. Возьмем ее (0,55) х (-55,55). Если у(е) > 2, то получаем, как и выше, оценку (18). Если у(е) < 2, то из (16) следует, что

у 1и(и,е)|>О при И<*4 и т-(е)<и<т+ (е); учитывая (4), также получаем оценку (18).

Лемма 2 теперь вытекает из (15), (18) и теоремы о неявной функции.

Лемма 3. Число и можно считать выбранным так, что для функции М(е) := 3(т(е),е) и некоторого 5 е (0, 55 ]

М'е (е) < 0 для всех е е (0, 5) х (-5, 5). (19) Доказательство. Из (6) - (8) следует, что существует такая постоянная О > 0, что при и е (0, и„ ],

Ц<54 уе2(и,е)> 1 -Ои^т 1пи. Считая и достаточно малым, будем иметь

у'е (и, е) > 1/2 для всех ие (0, й], Ц < ¿4. (20) Учитывая (12), получаем

М е2 (е) = (и, е )| „=т(е) =

= [фУ (v,е)ае2 (е ) + фе2 (v,е)]у=а(е)+т(е) -

-уе2 (и, е).

Теперь лемма 3 следует из (3), (5), (20) и ограниченности а^ (е).

5. Бифуркации циклов. Так как 3 (0,е) = ф(а(е),е) - е2 , то ввиду (5) 5 можно

считать выбранным так, что

й'Ег (0,е) < 0 при ее (0,^) х (-5,5). (21) Так как |ф(а(г),£)|<0е1 и 0<6 < 1, то при

е2 = -е1 получаем 3(0, е) > е1 (1 - 6) > 0, а при е2 = е1 ¿~(0,е) < е1(-1 + 6) < 0. Отсюда и из (21) вытекает, что для любого е1 е (0,5) существует число Ь1(е1) е (-81,81) такое, что

sgn й

при ее

По теореме о неявной функции Ь1(-) е С1. Вследствие (6) - (8) мы можем считать, что при

и е[0, и ], ее (0,5) х (-5,5) \у(и,е) >е2. Из этого неравенства и из (22) имеем

М

При е2 = Ь1

и (19) получаем, что для любого е1 е (0,5) существует такое число Ь2(е1) е (Ь1(е1),е1) , что

sgn М

при ее

По теореме о неявной функции Ь2

сепаратрисы Ь (е) и (е) совпадают тогда и только тогда, когда е2 = Ь1(е1).

Пусть е1 е (0,5), - 5 < е2 < Ь1 (е1). Вследствие (22), (11) и неравенства й (и ,е) < 0, функция й (•, е) имеет на (0, и ] единственный нуль и1(е)е(m+ (е),и), в котором й'(и1(е),е)<0. Ввиду (9) через точку с координатами

х = а(е) + и1 (е), у = е1 проходит устойчивый

цикл Г(е) векторного поля Хе; он является единственной замкнутой траекторией, пересекающей

дугу у = е1, а(е) < х < а(е) + и . Так как и можно выбрать сколь угодно малым, то топологический предел Г(е) при е ^ 0 совпадает с Г0, то есть Г(е) рождается из Г0. Нетрудно убедиться, что Г(е) - единственная замкнутая траектория векторного поля Хе, рождающаяся из Г0.

Вследствие (24) и (9) - (12) векторное поле Хе

при е1 е (0,5), е2 = Ь1(е1) имеет единственную

замкнутую траекторию, рождающуюся из Г0 -

двойной цикл, при е1 е (0,5), Ь1(е1) < е2 < Ь2 (е1) имеет две замкнутые траектории, рождающиеся

из Г0 - устойчивый и неустойчивый циклы, а при е1 е (0,5) ,Ь2 (е1) <е2 <5 нет циклов, рождающихся из Г0.

При е1 < 0 отсутствие циклов, рождающихся из Г0, следует из поведения траекторий поля Хе в окрестности точки z10 [4, с. 186-187].

Библиографический список

1. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса // Мат. сборник. - 1986. - Т. 130. - № 4. - С. 552-570.

2. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях петли сепаратрисы сшитого седло-узла // Труды VI международных Колмогоровских чтений. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2008. - С. 148-153.

3. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях петли сепаратрисы положения равновесия на линии разрыва // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ 21: сб. трудов XXI Международной науч. конф.: в 10 т. - Саратов: Изд-во СГТУ, 2008. -Т. 1. - С. 125-127.

4. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985. - 224 с.