Несколько слов о преподавании дифференциального исчисления

A few words on the teaching of differential calculus Shirjaev K. , Kravchenko S.

Несколько слов о преподавании дифференциального исчисления Ширяев К. Е. , Кравченко С. В.

1 Ширяев Кирилл Евгеньевич /Shirjaev Kirill - кандидат физико-математических наук, доцент;

2Кравченко Светлана Валерьевна / Kravchenko Svetlana - студент, кафедра высшей математики, институт физико-математических и естественных наук,

Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова, г. Кострома

Аннотация: статья посвящена вопросам преподавания дифференциального исчисления в школе и в ВУЗе. Ввиду важности понятия производной эта тема является актуальной. Проанализированы некоторые плюсы и минусы сложившегося положения, сделана попытка различить термины «усвоенное понятие» и «выученное определение».

Abstract: paper refers to the teaching of calculus in high school and at university. Given the importance of the concept of derivative, this topic is relevant. Analyzed some pros and cons of the situation, an attempt to distinguish between the terms «assimilation of concepts» and «learned the definition».

Ключевые слова: усвоение, определение, дифференциальное исчисление, производная.

Keywords: assimilation, determination, differential calculus, the derivative.

Область науки, которой посвящена эта статья - математика. Однако это не научный математический текст с обилием формул и теорем, как, например [1], [2] или [3]; скорее, эту работу можно как [4], [5] и [6] отнести к педагогическим наукам, точнее к той части, которая связана с преподаванием математики.

Одним из фундаментальных математических понятий, изучаемых в курсе математического анализа в ВУЗе, является понятие производной. Действительно, трудно переоценить значение этого понятия, особенно его приложения в геометрии, механике, физике и многих других науках. А если добавить, что без производной немыслимы такие области, как Ньютонова механика или дифференциальные уравнения, то важность усваивания этого понятия студентами становится решительно ясной.

Вводится производная и в школе. Но вводится как-то лукаво. Без определения дифференцируемости, без акцента на определение (что и понятно, ведь теория пределов в школе не изучается, куда там, на подготовку к ЕГЭ времени не хватает). И приходят школьники в ВУЗ без всякого понятия о производной. А ведь именно в школе должно быть заложено понимание главных математических истин.

Но и это еще не самое страшное. Куда хуже, что некоторые приложения производной в школе освещаются просто неправильно. Так, большинство абитуриентов (вчерашних школьников) на вопрос, что такое касательная, отвечают: «прямая, имеющая с кривой одну точку пересечения». Но это как раз и неверно! Во-первых, есть прямые, просто имеющие с кривой одну точку пересечения, но не являющиеся касательными; а, во-вторых, касательная, например, к синусоиде в точке максимума («пик» дуги синусоиды) - прямая, параллельная оси абсцисс - имеет не одну, и даже не две, а бесконечно много общих точек (все подобные «пики»). На такой пример абитуриент пожимает плечами и сваливает всё на школу, дескать, «нас так учили».

Разумеется, авторы данной статьи далеки от мысли обвинять бедных героических школьных учителей математики в некомпетентности или, более того, в неправильном обучении. Просто в определении касательной есть уточнение, что свойство единственности точки пересечения выполняется «вблизи» точки касания, то есть касательная - это секущая с одной точкой пересечения. Такое определение, хотя и нестрогое, все же даст некое понятие о касательной; но именно понятие, а не строгое определение, которое надо выучить и усвоить; понятие же достаточно просто усвоить. Но времени у школьника на это нет, «на носу» ЕГЭ! Поэтому запоминается лишь часть понятия. Вот и приходится потом ВУЗовскому преподавателю «мучить» студентов, заставляя переучивать неправильно усвоенный школьный материал, а это ведь куда сложнее обучения заново.

Выход, думается, в том, чтобы те, кто планируют поступление в ВУЗ (особенно туда, где нужно понимание математики), занимались факультативно. Именно дополнительно, без спешки и суеты нужно давать основы анализа, требуя именно усваивания понятий.

При изложении же элементарного понятия производной в школе (заметим, не строгого математического определения, а именно понятия) нужно, думается, вернуться к способу, возникшему в 18 веке. В самом деле, понятие производной возникает, естественно, из анализа неравномерного движения. Так, скорость, как пройденный путь, делённый на затраченное время, в случае такого движения не дает никакой информации о том, как совершается движение. Эти соображения и приводят к «мгновенной скорости», которая оформляется, в конце концов, в производную движения по времени. Но разжевать эти факты школьнику потребует опять-таки времени, поэтому куда легче просто дать правила вычисления производных, «штрихования», а дальше: «делай по аналогии». Показательно то, что даже некоторые студенты, довольно прилично вычисляющие производные, затрудняются сказать, что именно они вычислили.

Подводя итог всему вышеперечисленному, можно заметить следующее. Во-первых, определение и понятие - совершенно разные вещи. И если понятие можно усвоить и без строгого математического определения, то, вызубрив определение, мы не можем говорить об усвоении самого понятия. В то же время определение строже, глубже и поэтому требует куда большего времени на проработку, с тщательным разбором примеров и контрпримеров. Во-вторых, крайне нежелательно вырывать определение из контекста. Дать определение производной (строгое!) без теории пределов, определений дифференцируемости и непрерывности - лишь «забить» человеку голову информацией, которую он забудет после экзамена. К сожалению, сегодня в некоторых ВУЗах пытаются «задвинуть» математику на задний план, уменьшая число часов и передавая их «профильным предметам». Эффект от такого действия сомнителен, поскольку приводит к некому «верхоглядству». Давайте скажем откровенно - если знание математики не нужно, то и преподавать её не надо вообще, а не на мифическом «понятийном» уровне; а уж если нужно, то обучать ей надо фундаментально, строго, а не по принципу: «тяп-ляп, ясно, что очевидно!».

Литература

1. Мохнина Н. В., Юрова Н. В. Об одном доказательстве теоремы Ферма-Эйлера. // Наука, техника и образование, 2014, № 1, С. 6-7.

2. Исакова Е. В. и др. Хроника семинара по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в Костромском Государственном университете имени Н. А. Некрасова, «Об одном показателе линейной системы». // Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова, 2014, № 6, С. 13.

3. Розова В. А. и др. Хроника семинара по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в Костромском Государственном университете имени Н. А. Некрасова, «Нерешенная задача об обобщенном логарифмическом показателе». // Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова 2014, № 6, С. 13.

4. Марголина Н. Л. Из опыта преподавания математической статистики студентам физико-математического факультета. // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественных дисциплин: материалы IX Все-рос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015 г, С. 82.

5. Матыцина Т. Н. Об одной форме проведения контрольных мероприятий. // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественных дисциплин: материалы IX Все-рос. науч.-метод. конф. -Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015 г, С. 83.

6. Ширяев К. Е. Об универсальном подходе к оценке уровня компетенций, формируемых математическими дисциплинами. // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественных дисциплин: материалы IX Все-рос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015 г, С. 99.