Макроскопические квантовые осцилляции в антиферромагнитных нанокластерах

удк 538.115

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ В АНТИФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОКЛАСТЕРАХ

А. К. Звездин

Исследованы макроскопические квантовые эффекты в антиферромагнитных нанокристаллах, индуцированные магнитным полем, линейно зависящим от времени.

Квантовые свойства магнитных нанокластеров привлекают к себе большое внима ние, так как их исследование расширяет существующие представления о переходе от квантового к классическому поведению. Кроме того, они представляют собой хорошие модельные системы для постановки экспериментов в области квантовой информатики. Особенно интересны с этой точки металлоорганические молекулы с большим числом ¿-ионов (Fe, Мп, Со и др.), такие как Mrii2, Fes, Few, Fe6. Характерным является наличие в них достаточно сильного антиферромагнитного взаимодействия между ¿-ионами. Некоторые из таких кластеров обладают магнитной структурой ферромагнитного типа (Mni2,Fe8), с большим спиновым моментом в основном состоянии (5 = 10). Квантовая механика этих нанокластеров исследована к настоящему времени наиболее подробно. В последние годы были обнаружены и предсказаны новые явления, присущие таким объектам: молекулярная бистабильность [1], макроскопическое квантовое туннелиро-вание намагниченности и квантовый гистерезис [2-4], проявление фазы Берри [5] и квантовые особенности в магнитной восприимчивости [6].

Квантовое поведение нанокластеров с магнитной структурой антиферромагнитного типа (Feю, Fee) исследовано значительно менее подробно [7]. Изучение некоторых новых макроскопических квантовых явлений в антиферромагнитных нанокластерах является целью настоящей работы.

В работе рассматриваются кольцевые молекулярные магниты (Fe^o, Fee, Fe^), состоящие из N = 2k ¿-ионов, связанных между собой антиферромагнитным обменным взаимодействием. Будем полагать, что молекула покоится в плоскости ху. Гамильтониан такой системы может быть представлен в виде

N-1 N N

h = j

i=i »=i i=i

где J > О - константа обменного взаимодействия, Ясг(5,) - кристаллическое поле, действующее на г-й спин (НСТ — KS2, где ось z направлена перпендикулярно к плоскости молекулы). Для ионов Fe3+S = 5/2. В соответствии с опытными данными будем полагать, что J К (типично J ~ 10 см'1, К < 1 сл«-1).

Предположим, что магнитное поле имеет вид В = (0, .0У, Bz), где ¿-компонента поля в общем случае является функцией времени. В качестве степеней свободы, характеризующих макроскопическое квантовое поведение молекулы, естественно взять координаты двух магнитных подрешеток, для описания которых будем использовать когерентные квантовые состояния [8, 9]

02,^2),

где в i, <¿>i полярные и азимутальные углы спиновых магнитных моментов подрешеток. (Они отсчитываются соответственно от оси z и оси х.) Лагранжиан системы может быть представлен в виде

М 2 2 2 2

L =--Е cos Onfii + BZMJ2 cos + ByM sm sin 4>i - (V2)^ sin2 sin2 v7«-

T i=i i=i i=i i=i

- NJS2[cos

где M = ¿gpßSN, 7 = д^в/h-, K{ = NKS2. Его можно вывести из (1), используя стан дартную технику когерентных квантовых состояний и интегрирования по траектория >1 (см., например, [10]). Все слагаемые в (3) имеют вполне очевидный физический смысл Первое, его называют член Весса-Зумино, - кинетическая энергия, второе и третье энергия Зеемана, четвертое - энергия магнитной анизотропии, пятое - обменная энергия. Поэтому Лагранжиан (3) можно было бы сконструировать без вывода, основываясь на принципе соответствия и физических соображениях. Отметим, что обязательный в ферромагнетиках вклад в кинетическую энергию (М/*у)ф в антиферромагнетике отсутствует (он "скомпенсирован"). Предположение о подрешеточной структуре молекулы сделано здесь для наглядности формулировки Лагранжиана (3). Фактически, это предположение не является необходимым. Для обоснования (3), по-видимому, доста точно использовать SU(2) симметрию и калибровочную инвариантность, связанные с

Гейзенберговским Гамильтонианом (1) (см. обсуждение подобного вопроса, например, в [20]).

Далее удобно перейти к новым переменным

01 + 02 ip^+lp2-к

° = —о—, V =-о--

и

01 02 - ¥>2 + Я" /сЧ

61 = -2—' 62 =-2-'

Тогда статистическая сумма системы может быть представлена в виде континуального интеграла в эвклидовом пространстве (т = И):

нр

/г - / ¿тЦв,<р,е 1,е2)

Ие^е^ / йвО^е ° .

Проводя интегрирование1 по и е2 в (6), можно получить следующий эффективный Лагранжиан, зависящий только от одной переменной у?(т):

, Хх (Ф п V , 2 ,7ч

и полный магнитный момент молекулы

= (8) I 2М, В, > Ве,

где

_ ^ а = ^ и дцв

Лагранжиану (7) можно поставить в соответствие следующее классическое уравнение движения для переменной <р:

Х± - , <*М . 1 Х±В2 . ХхВг

-V? Н--—^ вт ---— = 0.

7 2 27

Фактически, процедура интегрирования по £1 и (2 сводится к нахождению экстремума действия относительно ех и ег, подстановке найденных экстремальных значений в (6) и вычислению многомерных гауссовских интегралов (в тех случаях, когда это необходимо) по отклонениям ¿61 и бе2-

Здесь введен (феноменологически) диссипативный член который соответству

ет учету затухания в уравнениях Ландау-Лифшица, где а - безразмерная константа Гильберта. Уравнение (10) совпадает по форме с уравнением, описывающим динами ку магнитных моментов в макроскопическом антиферромагнетике [11, 12]. Связь этою уравнения с квантовым поведением молекулы можно, следуя работе [9], пояснить еле дующим образом (для а — 0). Переменная ip(t) характеризует квантовое когерентное состояние |<£>(í)). Другими словами, является его "индексом". Тогда, решая классическое уравнение для индекса <¿>(í) и подставляя его в соответствующее когерентное состояние |<¿>(í)), получаем полное квантовомеханическое описание системы в терминах когерент ных квантовых состояний.

Для описания термодинамических и неравновесных свойств молекулы при конечно! : температуре можно использовать ее статистическую сумму в следующем виде (см.. например, [13]):

ч>(Щ

/Г seff Wr)l

d<po j

v

где эффективное действие Sej¡ есть

hp п/з h(3

Sef/Ш] = J drL{<p,<p,T) + \jdrj dr'aír - r')b(r) - <¿(r')]2, (12) 0 0 0

aM (x/fi/3)2 Q(r)" 2^sin3{*Ф0У Формулировка проблемы в терминах континуального интеграла в эвклидовом про странстве (11 - 13) позволяет исследовать не только уравнение состояния и неравновес ные свойства антиферромагнитных молекул, но и макроскопические квантовые эффек ты - туннелирование, когерентность и разрушение ее под влиянием диссипации и т.д.. а также кроссовер от макроскопического квантового туннелирования к термоактивиро ванному поведению [13].

Ниже мы ограничимся чисто квантовыми свойствами (при Т = О Л'). Если прене бречь затуханием и положить В = 0, то гамильтониан системы можно представи гь в виде

М2 Yi В2

Я = 4

где Мг = Здесь использовано уравнение (7), а также тот факт, что магнит-

ный момент молекулы и угловая переменная </> являются сопряженными величинами: [Мг,ф\ = гдцв- Уравнение (14) изоморфно уравнению для частицы, движущейся в периодическом потенциале, поэтому можно использовать известные результаты для этой модели ([14], см. также [13]).

Собственными состояниями гамильтониана (14) являются функции Блоха

Ф,п

где т = — ^^ - произвольное вещественное число. По аналогии с термином " зарядовые состояния", которые используются для описания подобных состояний в теории эффекта Джозефсона [13], состояния (15) можно назвать магнитными.

Уравнение Шредингера для гамильтониана (14) сводится к уравнению Матье, из теории которого следует, что энергетический спектр гамильтониана (14) представляет собой систему полос Е3(т), определенных в соответствующих зонах Бриллюэна. При J зонная структура соответствует пределу "почти свободных электронов". В этом пределе энергетические полосы определяются приблизительно параболой

Еп

¿Х±

с запрещенными зонами на границах зон Бриллюэна: тв = 5 (з = 1,2, ...5тах), где 5та1 - максимальный спин молекулы. Запрещенная зона между г — 1 и ¿-полосами равна

В частности, АЕх = х±В^/4.

Если Вг ф 0, то гамильтониан системы принимает вид

2X1 4 к '

Здесь ХхДг можно рассматривать как классическое калибровочное поле. Волновые функции гамильтониана (18) могут быть получены из (15) при помощи очевидного калибровочного преобразования.

Рассмотрим поведение намагниченности молекулы под действием переменного магнитного поля Д.(£), которое изменяется адиабатически медленно, т.е.

X±BZ 9VB

<С

2 ft '

Последнее условие является условием адиабатичности. В этом случае молекула остается в состоянии с определенным 5 и все наблюдаемые величины, например, намагниченность (8), где

ф = ft

_xdEs(m) dm '

будут осциллирующими функциями времени с частотой

fBloch —

X±Bz gveBzN

дцв 4.7

Эти осцилляции являются аналогом осцилляций, которые испытываются электронами в периодическом кристалле или сверхрешетке под действием постоянного электрического поля [15] (блоховские осцилляции). Этот макроскопический квантовый эффект представляет собой, по существу, явление макроскопической квантовой когерентности, индуцированное в данном случае нарастающим во времени полем.

Если внешнее поле является суммой

В = В0 + at + b sin 2тг ft,

то можно ожидать возникновения резонанса, когда

f = fBloch

и на частотах г/Bloch, где г - рациональное число. Постоянное поле смещения Во играет здесь роль химического потенциала, оно сдвигает рабочую точку в нужное положение на зависимости Е(т), чтобы обеспечить оптимальные условия наблюдения обсуждаемых макроскопических квантовых эфффектов.

Приведем некоторые численные оценки. Для Fee и Feю J = 20.9 и 9.6 см~1, соответственно [16 - 18]. Магнитная анизотропия - типа "легкая плоскость". Константы одноионной анизотропии: К = —0.3 см~1 /ион (Fee) и К = —0.1 см~1 /ион (Few)- Оценки по формулам (19 - 21) дают для Fe 10 : Вс = 97Т, ше = 1.7 • 1013 рад/с, Jbi ~ 10° Гц при Bz = 106 Г/с.

Рассмотрим кратко роль диссипации. Из уравнения (10) следует, что время релаксации возмущений угла равно т = (ао^)-1. Для наблюдения блоховских осцилляции

необходимо, чтобы /вьсИ > г_1, что ограничивает величину Вг снизу. Для оценки времени релаксации воспользуемся экспериментальными данными работы [19] для антиферромагнетика МпК2, обменная константа, поле Вс, а следовательно, и ше в котором близки к таковым для обсуждаемых молекул. В работе [19] измерялась ширина линии антиферромагнитного резонанса АН, которая связана с константой Гильберта а и временем релаксации соотношением -уАН = аи>Е = 1/т> т.е. т = (7АН)~1. Согласно [19], температурная зависимость АН(Т) в интервале 5 — 40 А' ведет себя как среднее между Т3 и Т4, с тенденцией к Т4 (и даже Г5) при приближении к Т = 5 К. При Т = 5 А АН ~ 0.1 Э, следовательно, т « 0.5 • Ю-6 с. Если принять температуру измерения обсуждаемых квантовых свойств антиферромагнитных молекул Т < 0.5 К, что является типичным для современных экспериментов в области квантовой мезоскопики, то можно ожидать т > 10"3 с при Т = 0.5 К.

С другой стороны, на величину Вг сверху налагается условие адиабатичности (19). Таким образом, должно выполняться неравенство

и « В9 «

Ngp.Br

Принимая Ву = 0.1 Г, получим следующие граничные значения области допустимых значений для В2 : 3 • 103 Г/с и 0.9 • 109 Т/с.

Конечно, для антиферромагнитных нанокластеров правомерность использования приведенной выше оценки для величины а не очевидна. Более того, не очевидна правомерность использования диссипативного вклада в уравнении (10) в виде линейного по ф слагаемого (или в виде (13) - механизм "вязкого трения"). Однако, не вызывает сомнения, что при понижении температуры в область Т < 1 К и "дискретизации" энергетического спектра антиферромагнетика за счет уменьшения числа спинов в системе, число каналов, по которым происходит диссипация энергии и разрушение когерентности процесса, должно уменьшаться. Это означает, что приведенная выше оценка времени релаксации является оценкой снизу, т.е. в действительности условия наблюдения рассмотренных макроскопических квантовых эффектов могут быть менее строгими.

Таким образом, в работе показано, что внешнее магнитное поле, линейно зависящее от времени, индуцирует новые, весьма неожиданные макроскопические квантовые эффекты в поведении антиферромагнитных нанокластеров: осцилляции намагниченности, аналогичные блоховским для электрона в кристалле, и соответствующие резонансы в переменном магнитном поле. Эти эффекты относятся к эффектам типа макроскопиче-

ской квантовой когерентности. Показана аналогия в квантовом поведении антиферромагнитных нанокластеров и перехода Джозефсона с достаточно малой емкостью.

Работа поддержана РФИИ (проект 99-02-17830), МНТП (97 - 1071), ФЦП "Интеграция" (К - 0573).

ЛИТЕРАТУРА

[1] S е s s о 1 i R., Gatteschi D., С a n е s с h i A., and Novak H. A. Nature, 365, 14 (1993).

[2] В a r b а г а В., T h о m a s L., L i о n t i F., et al. A. Sulpice, JMMM, 200, 167 (1999); Barbara B. and G u n t h e r L. Physics World, 12 (3), 35 (1999).

[3] Friedman J., Sarachick M. P., Tejada J., Maciejewski J., and Z i о 1 о R. Phys. Rev. Lett., 76, 3820 (1996); Thomas L., L i о n t i F., В a 1 1 о u R., et al. Nature, 383, 145 (1996).

[4] D о b г о v i t s k i i V. V. and Z v e z d i n A. K. Europhys. Lett., 38(5), 377 (1997); G u n t e r L., ibid 39, 1 (1997).

[5] G a r d A. Europhys. Lett., 22 (3), 205 (1993); W e r n s d о r f e r W. and S e s s о 1 i R. Science, 284, 133 (1999).

[6] Z v e z d i n A. K., Dobrovitskii V. V., H a r m о n B. N., and К a t s n e 1 s о n M. I. Phys. Rev. B, 58, N 22, 14733 (1998).

[7] С h i о 1 e г о A. and L о s s D. Phys. Rev. Lett., 80, 169 (1998).

[8] P e r e 1 о m о v A. Generalized Coherent States and Their Applications, Springer. 1986.

[9] К 1 a u d e r J. R. in Path Integrals, Proceedings of the NATO Advanced Summer Institute, Ed. by G. J. Papadopoulos and J. T. Devreese (Plenum, New York, 1978).

[10] F r a d k i n E. Field Theories of Condensed Matter Systems (Addison-Wesley, Redwood City, 1991).

[11] Звездин А. К. Письма в ЖЭТФ, 29, 605 (1979).

[12] Звездин А. К., Мухин А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 12. 10 (1981).

[13] S с h о n G. and Z a i k i n A. D. Physics Reports 198, Nos. 5-6, 237 (1990).

[14] Аверин Д. В., Зорин А. Б., Л и х а р е в К. К. ЖЭТФ, 88, 692 (1985).

[15] Wannier G. Н. Phys. Rev., 117, 432 (1960).

[16] С a n е s с h i А., С о г n i a A., F а Ь г е t t i A., et al. Chem. En. J., 2, 1379 (1996).

[17] T a f t K. L., D e 1 f s C. D., P a p a e f t h y n i c o n G. C., et al. J. Am. Chem. Soc., 116, 823 (1994).

[18] C o r n i a A., J an sen A. G. M., and A f f r o n t e M. Phys. Rev. B., 60(17), 12177 (1999).

[19] K o t t h a u s J. R. and J a c c a r i n o V. Phys. Lett., 42A(5), 361 (1973).

[20] Chandra P., Coleman P., and Larkin A. I. J. Phys.: Condens. Matter, 2, 7933 (1990).

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 28 сентября 1999 г.