РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА НАИЛУЧШИХ ВАРИАНТОВ ДРОНОВ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМАЦИИ РАВНОЦЕННЫХ ВЕКТОРНЫХ ОЦЕНОК

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА НАИЛУЧШИХ ВАРИАНТОВ ДРОНОВ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМАЦИИ РАВНОЦЕННЫХ ВЕКТОРНЫХ ОЦЕНОК

А.П. Ворошилов, магистрант Московский авиационный институт

DOI:10.24412/2500-1000-2023-6-4-99-103

Аннотация. Рассматривается задача выбора наилучших альтернатив из заданного множества. Каждая альтернатива оценивается по критериям качества. Альтернативы необходимо упорядочить по предпочтительности. Разработан алгоритм, позволивший решить задачу выбора наилучшей модели дрона для наблюдения за местностью на заданном расстоянии. Для решения задачи ранжирования дронов использовался разработанный метод выбора алгоритма построения агрегированной оценки дронов по критериям. Весовые коэффициенты важности критериев находились методом, использующим полученную от лица, принимающего решение информацию о равноценных векторных оценках альтернатив. Полученное решение задачи оптимального выбора позволило ранжировать дроны с учётом важности всех критериев качества.

Ключевые слова: ранжирование альтернатив, аппроксимация, векторные оценки, свёртка, метод наименьших квадратов, оптимальный выбор, критерии качества.

В последнее время проблемы многокритериального принятия решений становятся все более актуальными. Возможность получения и необходимость обработки большого объема исходной информации не позволяют осуществить выбор, основываясь только на интуиции лица, принимающего решения (ЛИР).

Появилась потребность в разработке математически обоснованных методов и алгоритмов, позволяющих доверить процесс выбора оптимальных вариантов программной системе.

Часто в качестве решающего правила в программных системах многокритериального выбора необоснованно выбирают аддитивную свертку оценок по критериям. В работе показано, как правильно выбрать решающее правило на основе предпочтений лица, принимающего решения, и на

его основе упорядочить рассматриваемые альтернативы по предпочтению.

Дано. Рассматривается задача, в которой альтернативы из множества А = {а1,а2,...,ап} оцениваются по критериям качества К = {К1,К2, ...,Кт] с числовыми шкалами X = {Х1,Х2, ...,Хт] и каждой альтернативе ставится в соответствие векторная оценка, т.е. существует отображение

А^ (Х1 хХ2х ... х Хт).

Требуется. Обосновать выбор решающего правила и на его основе упорядочить альтернативы по предпочтительности.

Определение. Функцией ценности (полезности) у(х1, х2,..., хт) называется функция, которая каждой точке (векторной оценке) < X1, Х2, ..., > ^ X Х2 X ... X Хт) ставит в соответствие действительное число, причем:

< XVX2, ...,хт > - <У1,У2,-,Ут> ^v(.Xl,X2,-,Xm) ==У(.У1,У2,-,Ут),

<ХъХ2,...,Хт > > <УъУ2,-,Ут >^v(Xi,X2,...,Xm) > У(УЪУ2,  ,Ут).

Таким образом, значения функции ценности используются для ранжирования альтернатив по предпочтительности. Ранжирование, если значения функций для

некоторых векторных оценок альтернатив совпадают, может быть нестрогим.

Выделяют особый вид функции ценности - свертка оценок по критериям. Сверт-

ка локальных критериев бывает аддитивной, параболической, мультипликативной и т.д.

Свертка может содержать весовые коэффициенты важности критериев ..., . Обычно требуется, чтобы для

весовых коэффициентов выполнялось условие £¿=1^1 = 1.

Приведём примеры свертки критериев (таблица 1).

Таблица 1. Примеры свёрток

Мультипликативная т v(x1,x2,^,xm) = n(Xj)fci ¿=1

Аддитивная т V(Xi,X2, ... ,xm) = ^^ fcjXj ¿=1

Параболическая (в случае двух критериев) т v(Xi,X2.....Xm)=^fc;(X;)(m+1)-i ¿ = 1

Выбор вида свертки и нахождение весовых коэффициентов важности критериев

Будем использовать такой метод:

1. ЛПР выбирает из специально подобранных векторных оценок равноценные.

2. Оценки приводятся к единой шкале по формулам (и те, что изначально были получены от ЛПР, и равноценные, которые были получены в результате диалога с ЛПР):

Хуодн = Ху/х^ах, если оценки по шкале критерия максимизируются.

л70дн

— V  лтт

/х|, если оценки по шкале критерия минимизируются.

У = 1, ...,п (строки — альтернативы); I = 1,... ,ш (столбцы — критерии).

3. Аппроксимируются полученные оценки с заданной точностью кривыми, поверхностями и т.д.

4. Находятся весовые коэффициенты.

5. Подставляются коэффициенты в выбранную свертку и получается ранжирование альтернатив по предпочтительности.

Выбор вида свертки, а также нахождение весовых коэффициентов важности критериев осуществляется в диалоговом режиме с ЛПР. Вторая сторона диалога -аналитик, специалист по теории принятия решений (программная система).

Выбор вида свертки

1. Полученные от ЛПР равноценные векторные оценки, представляющие собой точки в многокритериальном пространстве, аппроксимируются с определенной точностью прямой линией и параболой (в случае двух критериев). Возможность применения мультипликативной свёртки определяется прямой, которая аппроксимирует логарифмы векторных оценок. В случае трёх критериев сами оценки и логарифмы оценок аппроксимируются плоскостью. Аппроксимация выполняется с заданной точностью. Используется метод наименьших квадратов. Точность оценивается с помощью среднеквадратичной ошибки МББ.

2. Выбор свёртки осуществим следующим образом: при какой аппроксимации получилась наименьшая ошибка МББ, такой вид свёртки и выбираем для ранжирования альтернатив по предпочтительности.

3. Если заданная точность не была достигнута, то при необходимости точность аппроксимации может быть уменьшена.

4. Если ЛПР согласен с выбором метода решения, то упорядочиваются альтернативы согласно формулам сверток, предварительно приведя шкалы критериев к однородным.

Выявление равноценных векторных оценок. Диалог с ЛПР

Равноценные векторные оценки альтернатив находим в диалоге с ЛПР: задаём значения оценки альтернативы по одному

из критериев, а затем ЛПР устанавливает компенсацию (уступки) по шкале другого критерия, чтобы полученные векторные оценки были равноценны.

Например, для двух критериев задаются следующие вопросы (методика разработана Р.Л. Кини и Х. Райфа) (табл. 2):

Заполните выделенные графы таблицы так, чтобы полученные векторные оценки альтернатив были для Вас равноценны:

Таблица 2. Диалог с ЛИР при двух критериях

Критерии/альтернативы К 1 К 2

Векторная оценка 1 1-худшая 1000-лучшая

Векторная оценка 2 4 ?

Векторная оценка 3 7 ?

Векторная оценка 4 10-лучшая ?

Аналогично выявляется информация о равноценных векторных оценках для трёх критериев. Заметим, что отвечать на подобные вопросы при большом количестве критериев непросто для ЛПР. Для легкости восприятия ЛПР пары векторных оценок различаются по двум критериям, а по

остальным берутся одинаковые средние значения.

Например, для трех критериев задаются следующие вопросы (табл. 3):

Заполните выделенные графы таблицы так, чтобы полученные векторные оценки альтернатив были для Вас равноценны:

Критерии/альтернативы К 1 К 2 К 3

Векторная оценка 1 5-средняя 6000-средняя 5-средняя

Векторная оценка 2 5-средняя 10000-худшая ?

Векторная оценка 3 ? 6000-средняя 1-худшая

Векторная оценка 4 1-худшая ? 5-средняя

Векторная оценка 5 5-средняя ? 10-лучшая

Оценка точности аппроксимации при двух критериях

Таблица 4. Оценка точности аппроксимации при двух критериях

i MSE = jYft1 -

I MSE = j^iУi -

"SE=i

Оценка точности аппроксимации при трёх критериях

Таблица 5. Оценка точности аппроксимации при трёх критериях

1 MS£ = - fax + by + c))2 ¿=i Оценка точности аппроксимации при аппроксимации плоскостью равноценных оценок

=1 v = efc3e -\2 v X 1yi2 J Оценка точности аппроксимации при аппроксимации плоскостью логарифмов равноценных оценок

Пример выбора наилучшей модели дро-на для наблюдения за местностью на определенном расстоянии

ЛПР даёт оценки восьми моделей дро-нов по трём критериям качества: стоимость, дальность полёта, качество съёмки (табл. 6).

Таблица 6. Информация о ^ дронах от JÜ1P

Критерии/альтернативы Стоимость, тыс. рублей Дальность полёта, км Качество съёмки, баллов

DJI Mavic 3 350 15 7

DJI Mini 3 Pro 110 9 4

Autel EVO Lite Plus Premium Bundle 200 12 6

DJI Mavic 3 Thermal 680 15 9

DJI Matrice 30T 1550 15 10

DJI Phantom 4 RTK 500 7 8

Autel EVO Nano Plus Premium Bundle 112 8 6

Autel EVO II Dual 640T Enterprise 750 13 9

Max/Min min max max

Реализуем вышеописанные действия и проводим аппроксимацию плоскостью полученных равноценных точек и их логарифмов и получаем (табл. 7).

Таблица 7. Результаты проведённых аппроксимаций

Аппроксимации плоскостью равноценных оценок Аппроксимации плоскостью логарифмов равноценных оценок

Коэффициенты плоскости: а а -0.485, Ъ а -0.66, с а 1.4 Коэффициенты плоскости: а а -0.375, Ъ а -0.8, с а -1.1

Весовые коэффициенты: а 0.226, ~ 0.308, а 0.466 Весовые коэффициенты: ^ а 0.172, а 0.368, а 0.46

Точность аппроксимации: М5Я = у^Оч - (а*1 + Ъу£ + с))2 а 0.00327 ¿=1 Точность аппроксимации: е^ \ а 0.00415

Ранжируем альтернативы в соответствии со значениями функции полезности в виде аддитивной свёртки:

110 7

v(DJI Mavic 3) = fci ^ —— + fe2 • 1 + fc3 --- 0.7050286085

v ' 1 350 2 3 10

110 13 9 v(Autel EVO II Dual 640T Enterprise) = fc1 • — + • — + • — = 0.7193283618

Итоговое ранжирование: DJI Matrice Autel EVO Lite Plus Premium Bundle —» DJI 30T — DJI Mavic 3 Thermal — Autel EVO Mini 3 Pro — DJI Phantom 4 RTK. Можно II Dual 640T Enterprise —» DJI Mavic 3 —» сделать вывод, что лучшей является аль-Autel EVO Nano Plus Premium Bundle —» тернатива DJI Matrice 30T.

Библиографический список

1. Кини, ЕЛ. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения / ЕЛ. Кини, Х. Pайфа; [перевод с английского В.В. Подиновского]. - М.: Pадио и связь, 1981. - 560 с.

2. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач: монография / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин; Главная редакция физико-математической литературы. -М.: Наука, 1982. - 256 с.

3. Смерчинская С.О., Яшина Н.П. Шкалы критериев и выбор метода принятия решений: учеб. пособие для студ. вузов. - 2023.

4. Подиновский В.В. Идеи и методы теории важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: монография. - М.: Наука, 2019. - 103 с.

5. Агрегирование предпочтений с учетом важности критериев / С.О. Смерчинская, Н.П. Яшина // Труды МАИ. - 2015. - №84.

6. Агрегирование предпочтений в многокритериальных задачах / С.О. Смерчинская, Н.П. Яшина // Вестник МАИ. - 2013. - № 2. - С. 219-225.

SOLVING THE PROBLEM OF SELECTING THE BEST OPTIONS FOR DRONES USING APPROXIMATION OF EQUIVALENT VECTOR ESTIMATES

A.P. Voroshilov, Graduate Student Moscow Aviation Institute

Abstract. The problem of choosing the best alternatives from a given set is considered. Each alternative is evaluated according to quality criteria. The alternatives must be ordered in order of preference. An algorithm has been developed that has made it possible to solve the problem of choosing the best drone model for observing the terrain at a given distance. To solve the problem of ranking drones, the developed method for choosing an algorithm for constructing an aggregated assessment of drones by criteria was used. The weight coefficients of the importance of the criteria were found by a method using information received from the decision maker about equivalent vector estimates of alternatives. The resulting solution to the optimal choice problem made it possible to rank the drones taking into account the importance of all quality criteria.

Keywords: ranking of alternatives, approximation, vector estimates, convolution, least squares method, optimal choice, quality criteria.