О достаточном условии для отсутстия возможности сокращения периода в старших двоичных разрядных последовательностях над примарными кольцами

на следующий вопрос: насколько велико может быть различие мощностей полных тупиковых (несокращаемых) множеств S, S С An? Например, как ведёт себя (по n при фиксированном m) функция

где m = |A|, а максимум берётся по всем парам {S1, S2} полных тупиковых множеств, S1,S2 С An? Можно доказать, что эта функция не ограничена никакой константой. Более точные оценки её роста значительно прояснили бы структуру полных множеств слов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А., Крайнев В. А. Задачи о полноте систем слов // XXII Обл. науч.-технич. конф. Тезисы. Новосибирск, 1979. С. 105-107.

2. Евдокимов А. А. Полные множества слов и их числовые характеристики // Методы дискретного анализа в исследовании экстремальных структур: сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1983. Вып. 39. С. 7-19.

3. Евдокимов А. А. Исследование полноты множеств слов и языков с запретами // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2004. №9(1). С. 8-12.

4. Evdokimov A. A. and Kitaev S. V. Crucial words and the complexity of some extremal problems for sets of prohibited words // J. Comb. Theory. Ser. A. 2004. V. 105. P. 273-289.

5. Berstel J. and Karhumaki J. Combinatorics on words — a tutorial // Bull. EATCS. 2003. V. 79. P. 178-229.

УДК 512.624.5 DOI 10.17223/2226308X/9/4

О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ДЛЯ ОТСУТСТИЯ ВОЗМОЖНОСТИ СОКРАЩЕНИЯ ПЕРИОДА В СТАРШИХ ДВОИЧНЫХ РАЗРЯДНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ НАД ПРИМАРНЫМИ КОЛЬЦАМИ

С. А. Кузьмин

Рассматриваются двоичные разрядные последовательности над примарными кольцами нечётной характеристики. Указано достаточное условие для отсутствия сокращения периода в старших разрядных последовательностях в 2 раза при наличии не всех элементов на цикле исходной линейной рекурренты.

Ключевые слова: линейные рекуррентные последовательности, периоды последовательностей, примарные кольца, разрядные последовательности.

В настоящее время наблюдается особый интерес к изучению p-ичных разрядных последовательностей над кольцами вычетов по модулю pn. Это связано с тем, что данные последовательности обладают высокой линейной сложностью и могут быть использованы в датчиках псевдослучайных последовательностей. Со списком работ по данной тематике можно ознакомиться, например, в [1].

Большое внимание уделяется задаче восстановления линейных рекуррентных последовательностей (ЛРП) над примарными кольцами вычетов по их усложнению, особенно в тех случаях, когда ЛРП максимального периода (ЛРП МП) отображается в свою старшую координатную последовательность [2].

Меньше работ посвящено r-ичным разрядным последовательностям, где r = p, которые также могут быть рассмотрены как усложнения линейных рекуррент над простыми полями и кольцами Галуа. Такие последовательности рассматривались

Теоретические основы прикладной дискретной математики

13

А. С. Кузьминым в [3]. Им найдены все двоичные разрядные последовательности ЛРП МП над конечным простым полем нечётной характеристики, в которых наблюдается эффект сокращения периода. В [4] эти результаты обобщены и доказано, что сокращение периода в r-ичных разрядных последовательностях над конечным простым полем, где r > 2, невозможно.

Любой знак u(i) некоторой ЛРП МП u над примарным кольцом представим в виде

u(i)= Е Us(i)2s,

s=0

где k = [log2pn]. Таким образом, последовательность вида us = (us(0), us(1),...), является s-й разрядной последовательностью ЛРП МП u над примарным кольцом. Обозначим T(u), T(u) периоды последовательностей u и u.

В [5] сформулирован результат о том, что при наличии всех элементов на цикле ЛРП МП u существует только один номер z двоичной разрядной последовательности над кольцом Галуа, зависящий от вида числа p и степени n, для которого T(uz)|(T(u)/2). Вопрос о возможности сокращения периода в 2 раза в противном случае остался незатронутым.

Лемма 1. Для всех возможных пар элементов a и b кольца Zpn, таких, что выполняется соотношение a + b = 0 (mod pn), справедлива следующая формула для нахождения числа щ пар, у которых совпадают 1-е двоичные разряды:

щ = 2 mini

(pn - 1)/2 - 2l +mini

+min (2minl, ((pn - 1)/2 - 2l + minl) mod 2l) +minl,

2i

где minl = min(((pn - 1)/2) mod 2l, 2l - ((pn - 1)/2 + 1) mod 2l) + 1.

Замечание 1. Заметим, что так как 1 ^ minl ^ 2l-1 - 1, то верхняя и нижняя оценки числа щ могут быть получены тривиальным образом.

Полученное значение щ может быть использовано для доказательства следующих утверждения и теоремы.

Утверждение 1. Пусть u — ЛРП МП над кольцом Zpn с характеристическим многочленом f (x), deg f = m, пусть также на цикле последовательности u встречаются 2щ различных элементов из Zpn. Тогда для отсутствия сокращения периода в разрядной последовательности с номером I > z (см. [5]) в 2 раза достаточно выполнения неравенства

pn-1

Замечание 2. Данное утверждение носит скорее теоретический характер, на практике доля номеров двоичных разрядных последовательностей, для которых выполняется неравенство (1) в случае различных p, n, m и /, мала.

Теорема 1. Пусть u — ЛРП над примарным кольцом Zpn. Если на цикле последовательности u встречается более 2щ различных элементов, то T(ul) /(T(u)/2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сачков В. Н., Горчинский Ю. Н., Зубков А.Н., Яблонский С .В. Труды по дискретной математике. Т. 1. М.: ТВП, 1997. 280 c.

2. Кузьмин А. С., Маршалко Г. Б., Нечаев А. А. Восстановление линейной рекуррентной последовательности над примарным кольцом вычетов по её усложнению // Математические вопросы криптографии. 2010. Т. 1. Вып. 2. С. 31-56.

3. Кузьмин А. С. О периодах разрядов в г-ичной системе счисления знаков линейных рекуррентных последовательностей над конечными простыми полями // Безопасность информационных технологий. 1995. Вып. 4. С. 71-75.

4. Кузьмин С. А. Периоды разрядных последовательностей линейных рекуррент максимального периода над конечными простыми полями // Прикладная дискретная математика. 2015. №1(27). С.62-68.

5. Кузьмин С. А. О двоичных разрядных последовательностях над кольцами Галуа, допускающих эффект сокращения периода // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Т. 20. №1. С. 223-230.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308Х/9/5

О ГРУППАХ, ПОРОЖДЁННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ СМЕШАННОГО ТИПА И ГРУППАМИ НАЛОЖЕНИЯ КЛЮЧА

Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина

Наиболее распространёнными группами наложения ключа итерационных алгоритмов блочного шифрования являются регулярное подстановочное представление У+ группы векторного наложения ключа, регулярное подстановочное представление Ъ+п аддитивной группы кольца вычетов и регулярное подстановочное представление Ъ|Л+1 мультипликативной группы простого поля (2п + 1 — простое число). Рассматривается расширение группы Оп = (У+, Ъ+п) преобразованиями и группами, естественными для криптографической практики. К числу таких преобразований и групп относятся: группы х у+ Л и у+ Л х , подстановка псевдообращения над полем ОЕ(2п) или кольцом Галуа ОИ(2тй, 2т).

Ключевые слова: группа наложения ключа, аддитивная регулярная группа, сплетение групп подстановок, мультипликативная группа кольца вычетов, кольцо Галуа.

Группы наложения ключа итерационных алгоритмов блочного шифрования являются, как правило, регулярными абелевыми. Среди них наиболее распространены следующие:

— У+ — регулярное подстановочное представление группы векторного наложения ключа над полем СЕ(2). Оно является элементарной абелевой 2-группой и используется в АЕБ, Р34.12-2015 «Кузнечик» и многих других алгоритмах блочного шифрования. Группа У+ имеет (2п - 1)... (2п - 2Г-1 )/(2г - 1) ... (22 - 1)(2 - 1) изоморфных подгрупп порядка 2Г, г = 1,... ,п, и столько же систем импримитивности;

— Ъ+п — регулярное подстановочное представление аддитивной группы кольца вычетов. Оно используется, например, в алгоритме блочного шифрования ГОСТ 2814789. Из цикличности группы следует, что у неё имеется п - 1 собственных подгрупп и столько же систем импримитивности;

— Ъ+1 — регулярное подстановочное представление мультипликативной группы простого поля, в которой элемент 2п переобозначается как 0 (модульное умножение), а 2п + 1 —простое число. Как мультипликативная группа конечного поля она циклическая порядка 2п с п - 1 собственной подгруппой.

В этом смысле последние два способа наложения ключа предпочтительней, так как необходимо, чтобы слой з-боксов и линейный слой рассеивали меньшее число систем импримитивности.