Совместное описание пространственных и атрибутивных данных на основе многомерных информационных объектов

управления различными объектами (роботами, компьютерами, телевизорами и т.п.) и открываются пути повышения интеллектуальности и интуитивности человеко-машинных интерфейсов за счет использования широкого спектра модальностей и их отношений.

Литература

1. Sharma R. Speech-Gesture Driven Multimodal Interfaces for Crisis Management // The IEEE Proceedings. 2003. Vol. 91, № 9, pp. 1327-1354.

2. Ронжин А.Л., Карпов А.А., Ли И.В. Речевой и многомодальный интерфейсы. М.: Наука, 2006. 172 с.

3. Akasaka Y., Onisawa T. Individualized pedestrian navigation using fuzzy measures and integrals // Proc of IEEE Intern. Conf. on syst., man and cybern. Hawai, 2005. Vol. 2, pp. 1461-1466.

4. Tahani H., Keller J.M. Information fusion in computer vision using the Fuzzy integral // IEEE transactions on systems, man and cybernetics. 1990. Vol. 20, № 3, pp. 733-741.

5. Kwak K., Pedrycz W. Face recognition: A study in information fusion using fuzzy integral // Patt. Recog. Lett. 2005. Vol. 26, pp. 719-733.

УДК 004.652

СОВМЕСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ И АТРИБУТИВНЫХ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ОБЪЕКТОВ

О.И. Христодуло, к.т.н.

Предложен метод совместного описания пространственных и атрибутивных данных на основе многомерных информационных объектов, позволяющий описать каждый тип географического объекта в виде одного многомерного информационного объекта, достичь общности описания слоев объектов разных типов, упростить описание структуры существующих БД систем обработки информации, сделать модель данных обозримой и понятной. Метод может использоваться для интеграции разнородных БД в корпоративных информационных системах.

Ключевые слова: атрибутивные и пространственные данные, многомерные информационные объекты, системы обработки информации, географический объект, операция добавления размерности.

Для совместного описания БД и операций над ними автором предложен специальный способ описания больших массивов информации с помощью многомерных информационных объектов (МИО). В зависимости от размерности МИО может описывать отдельный параметр, таблицу, класс пространственных объектов или всю БД.

В работах [1-3] введены математически формализованные процедуры построения многомерных моделей; для реализации основных функций обработки данных описаны операции порождения, проецирования, объединения и удаления. Основная идея заключается в обобщении реляционного подхода, при котором несколько различных отношений с одинаковой структурой предлагается размещать в некий многомерный объект, названный МИО.

Главным достоинством данного подхода является то, что многомерные модели данных (ММД) получили формализованное описание операций манипулирования данными, хранящимися в различных элементах (двух кубах) ММД, сохранив при этом все достоинства ММД, введенной Э. Коддом [4].

В дальнейшем удалось адаптировать предложенный подход для описания единым образом территориально распределенных разнородных

пространственных данных по территориально распределенным объектам и системам [5].

Характерной особенностью пространственных данных, используемых в геоинформационных системах (ГИС), является то, что одни и те же географические объекты могут быть представлены слоями разных типов (точечными, линейными и полигональными) с учетом степени детализации пространственных данных.

Точечный географический объект характеризуется парой координат X, У. В зависимости от масштаба рассматриваемой территории такими объектами могут быть водозабор, скважина.

Линейный географический объект характеризуется совокупностью атрибутивных характеристик линейного объекта и набором узловых точек ломаной линии, представляющей этот объект. Примеры таких объектов - реки, границы муниципальных округов, горизонтали рельефа.

Полигональный географический объект характеризуется совокупностью атрибутивных характеристик полигонального объекта и совокупностью замкнутых линий, ограничивающих его контуры. Такими объектами могут быть представлены территории, занимаемые определенной особо охраняемой природной территорией, озером, рекой или целой республикой.

Применительно к пространственным данным, описывающим состояние природных ресурсов с учетом способов представления различных типов географических объектов (точечных, линейных и полигональных), МИО различных размерностей предлагается описывать следующим образом.

• Т0 - элементарная Ья характеристика географического объекта любого типа (точка, линия, полигон), например, для водозабора это значение координаты, характеризующей местоположение объекта в выбранной системе координат, или объем забранной воды;

• Т1 - полное описание точечного географического объекта (в зависимости от детальности информации, например, описание гейзера, водозабора, содержащее все характеристики):

Т1 = {т° }• 8!, 1 = 1,к0,

где S1 - перечень различных характеристик данного объекта; к - количество характеристик географического объекта (например, описание водозабора, который обозначен на карте точкой (рис. 1),

X У Ъ

Точка X, У, юь,

Рис. 1. Графическая интерпретация описания точечного географического объекта в виде Т1

может быть представлено как МИО Т1 следующим образом: Т^ТД T20, Tз0, T40}, где Т10=х -значение координаты x, характеризующей местоположение объекта в выбранной системе координат; Т20=у - значение координаты у, характеризующей местоположение объекта в выбранной системе координат; T30=z - значение координаты z, характеризующей местоположение объекта в выбранной системе координат; T40=IDt - номер (идентификационный код) точки);

• Т2 - полное описание одного линейного географического объекта как набора узловых точек ломаной линии, представляющей этот объект (например, река, дорога, канал) (рис. 2а);

• S2 - перечень узловых точек линии.

Пусть - МИО размерности 2 со схемой

Sп2: ТПь = }• 8П2, 1 = 1,к1,

где SП2 - перечень узловых точек линии; к1 - количество узловых точек; , - МИО со схемой

SП1, описывающий одну узловую точку линии как совокупность значений координат, характеризующих местоположение узловой точки в пространстве в системе координат, где X, У, Z -координаты точки; IDt - номер (идентификационный код) точки.

Кроме набора узловых точек, линейный географический объект характеризуется совокупностью характеристик (атрибутивных данных), поэтому он может быть описан в виде пары МИО:

ь= {Т^ ,ТП ь},

где - МИО размерности 1 со схемой SAL1, описывающий атрибутивные характеристики линейного объекта (например, для рек название, судоходность, водность и др.) (рис. 2б).

Полное описание одного полигонального географического объекта можно представить как совокупность замкнутых линий, ограничивающих его контур (например, озеро, особо охраняемая природная территория, полигон твердых бытовых отходов), и атрибутивных характеристик объекта.

Пусть Т^р - МИО размерности 3 со схемой SП3, описывающий полигон как совокупность замкнутых линий Т2Ь , ограничивающих его контуры (рис. 2в):

Т,

= {т2 }

• 8пз , 1 = 1,к2

где к2 - количество линий, ограничивающих полигон, определяемых в (2); SП3 - перечень замкнутых линий, ограничивающих контуры полигонального объекта.

Атрибутивные характеристики полигонального объекта (например, для озер название, водность, показатели качества воды и др.) можно описать аналогично линейному как МИО размерности 1- ТЦр со схемой SAП1.

X У Ъ

Точки ЮЬ1 X У

юь2 Х2 У2

юи X У 4

Имя Длина

Линия

!Dt X У Ъ

ЮЬг X У

Гочки ЮЬ2 X У2

Характеристики точек

б

Рис. 2. Графическая интерпретация описания линейного географического объекта

а

в

Тогда полное описание одного полигонального географического объекта представим в виде пары МИО:

р= {т!р ,ТПр }.

Полное описание одного тематического слоя карты можно представить в виде группы однотипных объектов - точечных, линейных или полигональных (например, речная сеть или совокупность постов гидрологического контроля) и их характеристик.

Для описания одного тематического слоя карты, представленного точечными географическими объектами, получим

Т

-{Т}

* ^СТ2 , 1 — 1,П1,

где 8Ст2 - перечень номеров (кодов) точечных объектов.

Для полного описания одного тематического слоя карты, представленного линейными географическими объектами, объединим совокупность линейных географических объектов, входящих в данный слой, и их атрибутивные характеристики.

То есть совокупность атрибутивных характеристик Т1 для линейных объектов объединим в МИО размерности 2:

Тъ — {Т^, }* 1 — йь

где 8дъ2 - перечень номеров (кодов) линейных объектов.

А совокупность линейных географических объектов Т2 , входящих в данный слой, объединим в МИО размерности 3:

Ть -{т ь,, }* 8ПЬз, 1—

где 8т2 - перечень номеров (кодов) линейных объектов.

Поскольку МИО (7) и (8) являются разнотипными, но при этом имеют общее измерение - номера (коды) линейных объектов, то согласно [3] их можно объединить по этому общему элементу (рис. 3а), результатом которого будет веерный МИО размерности 4:

код объекта

гр4 _ гр2

и

Т4

ь - полное описание одного тематического слоя карты, представленного линейными географическими объектами.

Для полного описания одного тематического слоя карты, представленного полигональными географическими объектами, объединим совокупность полигональных географических объектов, входящих в данный слой, и их атрибутивные характеристики аналогично (7)-(9).

Совокупность атрибутивных характеристик Т1 для полигональных объектов объединим в МИО размерности 2:

ТАР = {ТАР, }* 8АР2 , 1 — Мз,

где 8АП2 - перечень номеров (кодов) полигональных объектов.

Совокупность полигональных географических объектов Тз , входящих в данный слой, объединим в МИО размерности 4:

ТПР —{ТПР,, }* 8ПР4, 1 — ,

где 8ПР2 - перечень номеров (кодов) полигональных объектов.

Результатом объединения МИО (10) и (11) по общему измерению - номера (коды) полигональных объектов - будет веерный МИО размернос-

код объекта

ти 5 (рис. 3б): ТР5 — Та2р и ТП

где Тр - полное описание одного тематического слоя карты, представленного полигональными географическими объектами.

Чтобы описать рассматриваемые объекты, сгруппированные в слои с некоторой степенью детализации и составляющие карту некоторой территории определенного масштаба (например, речная сеть, посты гидрологического контроля, полигоны твердых бытовых отходов и т.д., нанесенные на карту Республики Башкортостан в масштабе 1:1 000 000), необходимо объединять МИО, представляющие слои для каждого типа геометрии (точечный, линейный, полигональный), однако использовать для этого операцию объединения разнотипных МИО, описанную в [3], весьма затруднительно. Это связано с тем, что полное описание одного географического объекта может состоять из нескольких МИО разной размерности, то есть иметь довольно сложный вид, а для совместного описания различных типов географических объектов в рамках единой модели данных необхо-

X У I

X! У, £ юь

Точки Хг Уг £ юг

Характеристики точек

X У I I Dt

X! У, юь

Точки Хг у2 £ юг2

Характеристики точек

Скрыто измерение «Номера линий»

а б

Рис. 3. Графическая интерпретация описания одного тематического слоя карты, представленного линейными географическими объектами

димо, чтобы описание каждого типа географического объекта представляло собой один МИО. Кроме того, в данном представлении нет общности в описании слоев объектов разных типов геометрии, что затрудняет выполнение над ними операций по преобразованию данных.

Для единообразного представления географических объектов различных типов необходимо, чтобы они были однотипными.

Пусть существует некоторый МИО размерности п, который обозначим как Т0", со схемой 8(Т0") =Sn. МИО Т0п следует объединить с МИО размерности п+1, который обозначим как Т"+1, со схемой 8(Т1П+1) = {8П,8п+1} = 8"+1, то есть данные МИО отличаются одним элементом схемы Sn+1.

Чтобы схема МИО Т0П приняла вид 8"+1, предлагается использовать новый тип МИО - модифицированные многомерные информационные

объекты (ММИО), которые обозначим как тп,ш, где п - количество реальных размерностей; т -количество дополнительных размерностей. Данные объекты соответствуют МИО большей размерности по схеме и МИО той же размерности по информационному наполнению.

Для случая, когда т=1, ММИО представляет-

Тп.1

, где п - количество реальных размерностей; 1 - количество дополнительных размерностей. Схема данного объекта такова:

8(Хп,1) = {8%8п+1} = 8„

где Sn+1 - элемент схемы с исходным МИО размерности п, отличающимся от схемы МИО, с которым его необходимо объединить. При этом МИО, соответствующий элементу схемы 8п+х в

Т"'1, будет содержать пустой набор данных. Чтобы отличать такие размерности от остальных, назовем подобную размерность фиктивной.

Для получения модифицированного МИО размерности п+1 из МИО размерности п вводится операция добавления размерности I,:

11(Тп,8п+1) = (Т")*8п+1 =ТП

где Sn+1 - множество, которое определяет элементы фиктивной размерности.

В отличие от операции порождения [3] операция добавления размерности 11 применяется одновременно только к одному МИО.

В общем случае для получения модифицированного МИО, включающего т фиктивных размерностей, последовательно применим несколько операций добавления размерности:

11(Т",8п+1)=Тп*8п+1=Т

П.1

^(Т" , 8п+2) = Т"' * 8п+2= Т'

пп,2

МТ"' ,8п+т)=Т' что можно записать как

п,т-1

*Sn

Т*т=1т(Г, {8п+1})=Тп*{8„+!}, I = 1,Ш , (15) где множество 8„-н задает порядок вхождения Т"'1"1 в Т"'1. При этом Г'°=Та.

Введенная операция добавления размерности позволяет получить ММИО любой размерности, превышающей размерность исходного МИО.

Для иллюстрации действия операции добавления размерности рассмотрим процесс получения ММИО для единообразного описания различных типов географических объектов и их представление в виде слоев разных типов (точечных, линейных и полигональных) в зависимости от степени детализации пространственных данных в базе пространственных данных.

Пусть элементарная Ья характеристика географического объекта любого типа (точка, линия, полигон) описывается в виде МИО Т0.

Точечный географический объект предлагается по-прежнему описывать в виде МИО Т.1 как совокупность характеристик Т0 со схемой 81 :

Тщ1 = {Т° }• 8„1, 1 = 1,ко,

где Sm1 - перечень различных характеристик данного объекта; ко - количество характеристик географического объекта.

Описание линейного географического объекта представляется как Т2 - МИО размерности 2 со схемой 8 2 , описывающий линию как совокупность узловых точек,

Т^ = {Т^}• 8п2 , 1 = 1,к1,

где SП2 - перечень узловых точек линии; к1 - количество узловых точек линии; Т1 - МИО со схемой 81 , описывающий одну узловую точку линии как совокупность значений координат, характеризующих местоположение узловой точки в пространстве в системе координат.

Описание полигонального объекта можно представить как Т^р - МИО размерности 3, описывающий полигон как совокупность замкнутых линий со схемой 8;3:

ТПР = {^ }• 8ПЗ , 1 = ^2,

где к2 - количество линий, ограничивающих полигон; - перечень замкнутых линий, ограничивающих контуры полигонального объекта.

Поскольку схемы МИО Т2 и Т1 отличаются на SП2, а схемы МИО и Т^р на Sm, то, чтобы получить единое представление любого географического объекта, необходимо применить операцию добавления размерности к МИО Т1 и Т2 , описывающих соответственно точечный и линейный географические объекты. Так как максимальная размерность в этом случае 3, любой географический объект будет представлен в виде МИО размерности 3. Для применения операции добав-

ления и получения модифицированного МИО Т^2 из Т'м , описывающего точечные географические объекты, введем для него фиктивные размерности {8Ш, 8ш}, где 8П2 ={номера точек} и 8пз={номера линий}. Последовательно применяя две операции добавления размерности, получим:

11(т:,8ш)=(т:)*8ш=тт1-1.

11

что можно записать как

12(Т:,8ш,8ш) = (Т1)*{8ш,8ш} = Тт1'2.(20) где 8П2 - номера точек; 8Ш - номера линий.

Схема полученного ММИО будет иметь вид:

={ вт, 8п2, 8ПЗ}-

Для получения модифицированного МИО Т^ из Т,2,,. описывающего линейные географические объекты, используем фиктивную размерность 8ш={номера линий}:

I!

где 8Ш - перечень номеров линий.

Схема полученного ММИО будет иметь следующий вид:

вП. ={ вПь, 8пз}-

Для графической интерпретации фиктивных размерностей будем использовать пунктирные линии. На рисунке 4 показано графическое представление каждого типа географических данных с использованием фиктивных размерностей: (а) -

графическая интерпретация ММИО Т^'2, описывающего точечные объекты; (б) - графическое представление ММИО Т,,;1. описывающего линейные объекты; (в) - вид МИО Т^р, описывающего полигональные объекты.

Для совместного описания атрибутивных и пространственных данных необходимо привести МИО, описывающие атрибутивную информацию для географических объектов, к ММИО размерности 3.

В общем случае атрибутивные характеристики географического объекта любого типа (точечного, линейного, полигонального) описываются как МИО размерности 1.

Согласно (3)-(5), характеристики точечного объекта можно описать как МИО размерности 1 -Т^, со схемой в1^ , линейного - как Т}ь со схемой , полигонального - как Т^р со схемой в1 . Введем для атрибутивных данных дополнительные размерности {8П2, 8Ш}, где 8П2={номера точек} и 8пз={номера линий}, аналогично (20)-(22) для модифицированного МИО, описывающего точечные объекты, получим

М^Ат' 8ПЗ}) = ,„1Ч

1 ~12

= (ТАт ) * ' 8П3 } = ТАт '

для модифицированного МИО, описывающего линейные объекты,

= (Таь ) * {8П2, 8Ш} = , для модифицированного МИО, описывающего полигональные объекты,

(Т^р 5 {8П2, 8ПЗ}) =

1 ~12 ^26) = (ТАР) * {8П2, 8ПЗ} = ТАР.

Теперь МИО, описывающие атрибутивные данные, являются однотипными с МИО, описывающими географические данные. Полученные МИО отличаются только одним элементом схемы 8А1 - перечнем атрибутов географического объекта, 8А1^8Ш. После выполнения преобразований (16)-(26) для совместного описания пространственных и атрибутивных данных можно применить операцию объединения разнотипных МИО:

Т2-1 = Т1'2 и = Т3 = Т"' и Т2.

Тогда полное описание точечного объекта можно представить в виде ММИО

и

полное описание линейного объекта можно представить в виде ММИО

т,3=т;,2 и Х-;.

полное описание полигонального объекта можно представить в виде ММИО

_ АР

и Т3

^ Атт

Точечный объект о ^ 5 = о Линейный объект о ^ 5 = о Полигональный объект 1омера\ пиний \

'

Т1 У1 Л юъ Т12 1 Х1 У1 71 ¡юи т2'1 1 XI У1 71 юи Т3

о Т1 О *2 У? 72 юt2 Т1 о Х2 У? 72 Юt2

Характеристики точек Характеристики точек Характеристики точек

Т11 Т2 Т2

а б в

Рис. 4. Графическое представление результата добавления фиктивных размерностей к МИО, описывающим географические объекты различных типов

Соответственно схемы полученных ММИО будут иметь вид:

8(Тт) = {8Пт1, 8Ш, 8Ш, 8Ат1},

) = {8ПЫ, 8Ш, 8Ш, вдц}.

Гь)

8(Тр) = {Snpi, Sn2, Sn3, SAP1}.

где 8ПР1=8Пт1=8Пъ1=8П1 - перечень пространственных характеристик; 8АР1=8Ат1=8Аъ1=8А1 - перечень атрибутивных характеристик. Объединим их для каждой схемы и обозначим как 81, тогда схема МИО, представляющего собой полное описание любого географического объекта, будет следующей:

8

На рисунке 5 дано графическое представление полного описания каждого типа географических данных: (а) - показана графическая интерпретация

ММИО Тп!1. описывающего точечные объекты; (б) - линейные объекты; (в) - полигональные объекты.

Поскольку любой географический объект согласно (28)-(30) может быть описан как ММИО размерности 3, отдельный тематический слой карты можно представить в виде 1 - группы однотипных объектов (например, речная сеть или совокупность постов гидрологического контроля) и их характеристик. Применим к множествам однотипных объектов операцию порождения из [3], тогда слой точечных объектов можно представить в виде ММИО

^{Т^^Л^.

слой линейных объектов - в виде ММИО

ТЬ4={ТЬ3}*84. ¡ = 1^.

слой полигональных объектов - в виде ММИО

Тр = {Tp}*S4, i = l,n3

где п1 - количество точечных объектов в слое; п2 -количество линейных объектов в слое; п3 - количество полигональных объектов в слое; 84 - перечень объектов в слое.

На рисунке 6 дано графическое представление описания группы однотипных объектов: (а) - точечных, (б) - линейных, (в) - полигональных, составляющих отдельный тематический слой карты в виде МИО.

С учетом преобразований описание всех рассматриваемых объектов, сгруппированных в слои с некоторой степенью детализации и составляющих карту некоторой территории определенного масштаба, можно представить в виде модифицированного МИО размерности 5:

Т5 ={T4}*S5, i = l,n

где 85 - перечень типов объектов (слоев).

Соответственно, тематическая база пространственных данных о природных ресурсах - совокупность карт различного масштаба рассматриваемой территории, может быть описана в виде модифицированного МИО размерности 6:

Т6 ={T5}*S6, i = l,n

где 86 - перечень степеней детализации (масштабов).

Таким образом, разработанный метод совместного описания пространственных и атрибутивных данных на основе МИО и вновь введенной операции добавления дополнительной размерности позволяет описать каждый тип географического объекта в виде одного МИО, достичь общности описания слоев объектов разных типов, упростить описание структуры существующих БД систем обработки информации, а также сделать модель данных обозримой и понятной.

Предложенный в статье метод может использоваться для интеграции разнородных БД в корпоративных системах обработки природоресурс-

Точечный объект

Точечный объект % §

s Xi Y, Zi IDti

*

Характеристики точек

нейный объект 1 i Полигональный объект S |

И

s Xi Y, Zi IDti длина1 название1 IDt, X, Y, Z, площадь! названиеi

X2 Y2 Z2 IDt2 о KDt2 X2 Y2 Z2

--

Характеристики точек Характеристики линии Характеристики тс чек Характеристики полигона

Рис. 5. Графическое представление полного описания каждого типа географических данных

Слой точечных объектов

Слой линейных объектов

IDt1 X, Yi Zi

IDt2 X2 Y2 Z2

/Dt/ X,

2;

Zi

площадь,

Слой полигональных объектов

IDt,

IDt

Характеристики т< в

площадь,

Характеристики

Рис. 6. Графическое представление описания группы однотипных объектов, составляющих отдельный тематический слой карты в виде МИО

а

б

в

X

Y,

Z,

Yi

IDt2 X2

X

Y

Z

Y

Z

2

б

а

ной и природоохранной информации промышленного региона.

Литература

1. Павлов С.В., Христодуло О.И., Ершова В.А. Автоматизированные системы обработки результатов контроля состояния сложных технических систем с использованием тензорных структур данных и операций над ними // Управление в сложных системах: межвуз. науч. сб. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1995. С. 91-99.

2. Павлов С.В., Христодуло О.И. Методология создания многомерных баз данных на основе тензорных структур // Проблемы создания национальной академической системы баз

данных и баз знаний: тезисы докл. Всерос. совещ. Уфа, 1995. С. 20-21.

3. Павлов С.В., Христодуло О.И. Использование разнотипных информационных тензоров для описания информации о результатах испытаний авиационной и ракетно-космической техники // Актуальные проблемы авиадвигателестроения: межвуз. науч. сб. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1998. С. 185-188.

4. Codd E.F., Codd S.B., Salley C.T. Providing OLAP (OnLine Analytical Processing) to User-Analysts: An IT Mandate. E.F. Codd @ Associates, 1993.

5. Павлов С.В., Хамитов Р.З., Христодуло О.И. Интеграция геоинформационных систем в корпоративные информационные системы крупных предприятий и организаций // Вестн. УГАТУ. Уфа. 2007. Т. 9. № 2 (20). С. 50-57.

УДК 519.8

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

С.В. Микони, д.т.н.; В.А. Евстифеев

Исследуется влияние вогнутой и выпуклой форм функции полезности на результаты многокритериального выбора. На примере двухкритериальной задачи скалярной оптимизации показывается различие в оценках линейных и нелинейной функций полезности. Это различие тем больше, чем больше степень нелинейной функции отличается от линейной. На различие оценок влияет также число агрегируемых критериев. По результатам экспериментов рекомендуется более тщательно подходить к формированию функций полезности агрегируемых показателей.

Ключевые слова: функция полезности, вогнутая, выпуклая, линейная функции полезности, обобщающая функция, аддитивная обобщающая функция, мультипликативная обобщающая функция, скалярная оптимизация.

Многокритериальные оценки сущностей, характеризуемых совокупностью однородных показателей, вычисляются непосредственно на основе их значений. Такие задачи решаются в теории игр, где ход каждого игрока оценивается вектором выигрышей (потерь) от возможных ходов второго игрока. Однородность показателей определяется единством их шкал и единиц измерения. Условием получения многокритериальных оценок объектов, характеризуемых совокупностью неоднородных показателей, является их приведение к единой шкале и единицам измерения [1]. Такая задача решается методом нормализации значений показателей. При этом все оценки получаются безразмерными, а шкала абсолютной, с фиксированным нулем и единицей, что позволяет выполнять над оценками любые арифметические операции. С точки зрения многокритериальной теории полезности нормализация значений показателей означает создание линейных функций полезности. Для автоматического порождения функции полезности достаточно лишь указать направление оптимизации показателя. Иными словами, линейная функция полезности возникает тогда, когда ничего не известно о цене делений показателя и, следова-

тельно, все деления его шкалы равноценны. По этой причине при многокритериальной оптимизации обычно не используется термин «полезность».

Полезность показателя специально рассматривается в тех случаях, когда деления его шкалы неравноценны. Этой информацией обладают эксперты в соответствующей предметной области. На основе их опыта или известных статистических данных определяется форма функции полезности (ФП). Если отсутствует аналитическая форма, ФП строится по точкам. В [2] описываются исчерпывающие процедуры построения ФП на основе диалога с экспертами. Многокритериальная теория полезности получила применение при решении экономических задач, характеризуемых небольшим числом альтернатив и критериев. Между тем применение функций полезности актуально для решения и других задач. Примером такой задачи является упорядочение объектов, принадлежащих множеству Парето.

Целью настоящей работы является экспериментальное исследование степени влияния кривизны ФП на результаты многокритериального выбора. Для проведения исследования будем использовать множество из пяти объектов: Х={хь х2,