О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом

УДК 621.317

О РАСЧЕТЕ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ С НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫМ РЕЗЕРВОМ

Е.А. Алёшин

RELIABILITY CALCULATION OF RESTORABLE SYSTEMS WITH NONRESTORABLE RESERVE

E.A. Aleshin

Описана работа восстанавливаемой системы с невосстанавливаемым резервом. Приведены граф переходов системы и математическое описание. Рассчитаны основные показатели надежности такой системы.

Ключевые слова: восстанавливаемая система, работоспособность, надежность.

The operation of a restorable system with nonrestorable reserve is described in the article. System transition graph and mathematical descriptions are given. Basic reliability index of the system is shown.

Keywords: restorable system, operating capability, reliability.

Рассмотрим систему из п + 1 идентичных элементов, из которых только один является рабочим, а остальные п - ненагруженными резервными элементами. Система функционирует таким образом, что после отказа рабочего элемента производится его замена (восстановление системы) одним из резервных элементов, при этом восстановление отказавшего элемента не производится и в дальнейшей работе системы он участия не принимает. Система функционирует до тех пор, пока не откажет последний п + 1 элемент. Смысл такого рода резервирования заключается в том, что хотя каждый отказ элемента, стоящего на рабочем месте, фиксируется как отказ системы, но быстрая замена отказавшего элемента позволяет форсированно перевести систему в состояние работоспособности, поддерживая ее высокую готовность к функционированию [1].

Начав работать, система последовательно попадает из состояния работоспособности в состояние отказа, затем опять в состояние работоспособности и т. д., причем за время функционирования система может побывать только в конечном числе состояний H0, Н1, ..., H2п, Н2п+1. Пусть система

находится в работоспособном состоянии, если она находится в «четных» состояниях

H0, Н2, ..., H2у, ..., H2п ; система находится в

состоянии отказа, если она находится в «нечетных» состояниях Н1, Н3, ..., Н2у+1, ..., Н2п+1. Та-

ким образом, H2j - состояние работоспособности, в которое система переходит после _/-го отказа и _/-го восстановления; Н2 j+1 - состояние отказа, в

которое система переходит после j-го восстановления и, соответственно, у+1-го отказа.

Нъ н5 н2Н H2J+l Н2„-\ Я2„+1

Рис. 1. Граф переходов восстанавливаемой системы

Граф переходов описанной выше системы показан на рис. 1. На графе все нечетные (нижние) состояния являются состояниями отказа системы, а все четные (верхние) состояния - состояниями работоспособности. Введем обозначения N = 2п +1; X j = Ю2 j; Ц j = ^2 j -1;

Ц_1 = 0 ; 0 < ; < п, тогда граф переходов можно представить в другом виде (рис. 2), что соответствует графу переходов системы для «схемы гибели» [1, 2].

м0 (її, (Ол. со2 /+| (1)\-і

нп—» я,—^н2—*----------~ —*- ЯдЯд-

Рис. 2. Преобразованный граф переходов

Алёшин Евгений Анатольевич - канд. техн. наук, доцент кафедры систем управления, Южно-Уральский государственный университет; su@susu.ac.ru

Aleshin Evgeniy Anatolievich - Candidate of Science (Engineering), Associate Professor of Control Systems Department, South Ural State University; su@susu.ac.ru

О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом

Решая систему дифференциальных уравнений, отвечающих графу на рис. 2, вероятность Рк (ґ) того, что система в момент времени ґ находится в состоянии Ик [1] при начальных условиях

Ро (0)= 1; рк (0 ) = 0; 1 < к < N ;

для случая, когда все ю, различны, получим

1 < к < N-1:

l=0 і Фі

N-1 N-1

Pn () =1-Пюj Т

N-1

j=0 i=0 “і П

l=0 l Фі

Если замена отказавшего элемента на резервный производится с одной и той же интенсивностью ц независимо от номера отказа системы, а интенсивности последовательности отказов одинаковы и равны А, т. е.

ю

.N-3

2j+1 = м: 0<j<——: ю2j = Х 0<j<

N-1 2 ’

то в этом случае [1] получаем для четных к

pt>»=Ä

(-,)к

e~Xt -1 )C

і=0

+(-1 )2 e~Mtтс

к . —+i

i=0 2

для нечетных к

к -1

Рк

к-1 2

к-1 к -1

e-xtт( 1)іс 2 Км--i)t] 2

e т(-1) с^~Тк-1

і=0

2

- - і

к+1 ~ е~№'

-1 к-1

Г [(ц-А>]

+ (-1) 2 e~Mt ТCк-1. п 1

і=0 -+ (к -1

Pn (t) = 1-

(м-я)п

мп -и» faP' v( j»-! ( Х I +

м e I— Т(-1У с»-1++ [м-х ^

і=0(п - і)!

7=0

ЧП+1 п-1 (и,)--1 і

, f 1л»+1 Л „-Mt^ l^V V/^n

+(-1) —Te Т—_i^TCn+jі ,

,-X і=0(п - і-1)!j=0 V ,-X

Используя формулы (1)-(5), для соответствующих вариантов можно определить вероятность пребывания системы в момент времени t в одном из состояний работоспособности К к):

K (t) = Т Рк (t) (для четных к).

к=0

В условиях рассматриваемой модели значение коэффициента готовности равно

K = lim K

t

Среднее время TN функционирования системы до ее окончательного отказа (состояние HN) и среднее время ТЕ пребывания системы в состояниях работоспособности определяются по выражениям

N-1

1

N-1

1

TN = £ ---, = £ —

к=0 Ю, к=0 Юг-

Вероятность того, что система в интервале времени [0; ґ ] еще функционирует (либо работает,

либо производится замена отказавшего элемента), т. е. вероятность того, что система за интервал [0; ґ] не попадет в конечное состояние ИN, определяется по формуле SN (ґ) = 1 - pN (ґ), где вероятности pN (ґ) для соответствующих случаев определяются по выражениям (2) и (5).

Пусть имеется система из оного основного элемента и пяти резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме. Интенсивность отказов работающего элемента равна Х = 0,05 1/ ч , интенсивность подключения резервных элементов на место отказавшего (интенсивность восстановления) равна ц = 5 1/ ч. Определим, что в момент времени ґ = 30 ч система будет работоспособной.

Система может находиться в двенадцати со-

стояниях: H0 , H2, H4, H6, H8,

H10 - состояния

Hn -

работоспособности; Н1, Н3, Н5, Н7, Н9, состояния отказа, причем Н0 - состояние системы, характеризующееся тем, что основной элемент работает безотказно; Н1 - состояние системы, в котором основной элемент отказал и началось подключение первого резервного элемента (восстановление системы); Н2 - состояние системы, в котором закончилось подключение первого резервного элемента, и система продолжает работать безотказно и т. д.; Н11 - состояние окончательного отказа системы, когда отказали последовательно все пять резервных элементов.

Так как п = 5, N = 2п +1 = 11, то, воспользовавшись формулами (3)-(5), для вероятностей рк (/) того, что в момент времени t система находится в состоянии Нк {к = 0, 1, ..., 11), получим

ро (0=е-*. р,к)=-^(к-е-»),

Р2 (t) = Р10 (t) =

(м-х)2

(Хм)5

(м-Х)10

-Mt

,-Xt

—(-X)515 (-X)414 +

12^ ’ 24V' ’

Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника», выпуск 16

193

<“• t

e

2

к-1

2

-і

2

1

Е.А. Алёшин

+ 2(ц-А)3 Р -32-(ц-А)2 t2 +70(ц-А)-12б]-

24(ц-А)4 t4 +(ц-А)313 + 2- (ц-А)2 t2 + +5б (ц-А)t +126).

Вероятность того, что система в момент времени ? = 30 будет работоспособной в соответствии с формулой (6) равна К ( = 30) = 0,986. Вероятность того, что система в момент времени ? = 30 попала в состояние окончательного отказа Н11 равна pN () = р11 (30) = 0,004. Среднее вре-

2

е-ц

мя работы системы (8) ^ = 220 , а среднее время пребывания в состояниях работоспособности

Литература

1. Козлов, Б.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики / Б.А. Козлов, И.А. Ушаков. - М.: Советское радио, 1975. - 472 с.

2. Элементы прикладной теории надежно-

сти: учеб. пособие / А.Г. Щипицын, А.А. Кощеев, Е.А. Алёшин, О.О. Павловская. - Челябинск:

Изд-во ЮУрГУ, 2007. - 114 с.

Поступила в редакцию 4 июня 2012 г.