О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых модуляр

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 8. 2008

УДК 517.98

О НАТУРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ РЕГУЛЯРНО МЕНЯЮЩИХСЯ КВАЗИВОГНУТЫХ МОДУЛЯР

A.A. Меклер

Квазивогнутые функции, определённые на вещественной положительной полуоси или на конечной её части, играют важную роль в функциональном анализе, используясь, например, в виде так называемых модуляр для задания норм банаховых пространств измеримых функций. Наиболее важные топологические и геометрические свойства задаваемых пространств определены, во-первых, квазивогнутостью мо-дуляры и, во-вторых, - её предельным поведением в окрестности некоторых точек области её задания, обычно - одной или двух. Собственно говоря, поведение модуляры в остальных, некритичных точках зачастую не имеет значения и в таких случаях задание модуляры на целом числовом континууме содержит информацию, во многих вопросах несущественную. Поэтому в [1] и [2] был разработан (обратимый) способ замены задающей пространство модулярной функции последовательностью натуральных чисел. Сохраняя общность, такая замена делает более прозрачной интерпретацию некоторых особенностей предельного поведения модуляры пространства, могущих отвечать как за топологическое, так и за геометрическое строение этого пространства. В частности, появляется возможность легко строить разнообразные контрпримеры.

В настоящей работе этот секвенциальный подход применён для характеристики модуляр, представляющих собой регулярно меняющиеся (в нуле) функции, [3]. Задаваемые такими модулярами банаховы пространства изучались в работах [4] и [5]. Здесь мы получаем выраженный в терминах натуральной последовательности топологический (т.е. инвариантный по отношению к эквивалентной перенормировке) критерий а-регулярного изменения соответствующей модуляры, где а - показатель регулярности, 0 < а < 1. Для случаев же так называемых быстро

© Меклер A.A., 2008.

и медленно меняющихся модулярных функций (см., например, [3]), т.е. для случая крайних значений показателя а : а = 0 и а = 1, соот-

ветственно, мы предлагаем ещё и геометрический критерий регулярности изменения, выражающий некое свойство единичной сферы задаваемого пространства. Из него, например, прямо следует, что только те пространства Марцинкевича, норма которых задаётся медленно меняющимися модулярами, могут по составу своих элементов совпадать с подходящими пространствами Орлича (см., например, [6]).

Класс с которым мы в дальнейшем имеем дело, состоит из всех положительных непрерывных в нуле функций, заданных на отрезке [0,1] и принимающих нулевое значение в точке нуль. Две функции ^ 5 называются эквивалентными (обозначение: ^ ^ £7), если найдётся константа с > 1, такая что

с-1£7(£) < ^(¿) < сСг(£), I Е [0,1].

Функцию ^5, <^(1) = 1, мы называем квазивогнутой, если обе функции £ и ^(¿) := щ] 0 < £ < 1; £х(0) := 0, строго возрастают и непрерывны в нуле. Квазивогнутую функцию ф, такую что *0(1) = 1, мы называем модулярной функцией Марцинкевича, коротко М-функцией, если она вогнута на [0,1], т.е. ф(Ц1) > ; 5, е [0,1]. Множе-

ство всех М-функций обозначается 971. Для каждой функции ф Е 971 справедливы неравенства

г0

(см. [7]). Каждой квазивогнутой функции £ можно сопоставить её наименьшую вогнутую мажоранту £, причём £ ^ £, точнее, |-£(£) < £(£) <

£(£), £ Е [0,1], [7]. Для квазивогнутой функции £ положим := £-4 Ясно, что £** := (£*)* ~ £, причём ф* Е 971, если ф Е 971. М-функция ф* называется дуальной для ф\ дуальность определяет на 971 инволюцию ф ф*. Множество V М-функций мы называем М-свойством, если ф Е V влечёт (р Е V для всякой М-функции (р эквивалентной ф. М-свойствами являются, очевидно, следующие подмножества.

Тг := {ф Е 971: Итйир < 1},

40 'ФкЧ

-Г- {#е»:Нт81р--<2},

40

равно как и семейство подмножеств, каждое из которых определяется ПО OL £ [0,1] формулой

va := {ф е Ш : lim sup ~ sa}.

4 0 w)

Очевидным образом для М-свойств справедливы следующие соотношения дуальности.

Теорема А. ([8], Theorem 5). Ддл всякой квазивогнутпой функции

(р и для любого а, а Е [0,1], следующие условия равносильны.

a). limsup40 ^

b). Существует М-функция ф, такая что ф ~ </? г/ при этом для каждого s, s € [0,1], выполняется равенство

lim Éí£_í! = s«

но t/>(i) 11

Замечание. 1. Функция, удовлетворяющая предельному равенству (3), называется регулярно меняющейся (в нуле) с показателем а, [3].

2. Из теоремы А прямо следует, что PQ С ?г, 0 < а < 1; Vo С Vr.

Далее мы предлагаем наглядную интерпретацию условий теоремы А в терминах натуральных последовательностей. Отсутствие доказательств у некоторых приводимых ниже утверждений означает, что последние просты.

Пусть ф - М-функция. Точки вида ф(2-J), j = 0,1,... будем называть ^-точками. Обозначим через Dn двоичный полуоткрытый сегмент [2-n,2-n+1), п > 1, и введём функцию натурального аргумента, сопоставляя каждой ^-точке номер сегмента D, её содержащего:

р^

где [г] обозначает целую часть вещественного числа г. В силу (1) отображение р^ сюръективно на своей области задания, причём

рф

Пусть теперь р : N и N - любая сюръекция натурального ряда на себя, удовлетворяющая соотношением (5), дополненным договорённостью р(0) = 1. Рассмотрим последовательность натуральных чисел qp, полагая ______ ______

qp

Вместо qP]/j мы пишем q^. По определению q^(n) есть количество ф-точек на двоичном промежутке Dn, п > 1. Отметим неравенство lim supyj^oo q^ (п) > 1, верное для любой М-функции ф.

Лемма 1. Для любой последовательности q натуральных чисел найдётся (единственная) сюръекция натурального ряда р; удовлетворяющая (5) и такая, что q = qp.

Доказательство следующего утверждения см. [1], Proposition 6.

Теорема В. Пусть q есть произвольная последовательность натуральных чисел. Найдётся М-функция ф, такая что q = q^.

Предложение 1. Пусть ф и ip две М-функции. Следующие утверждения равносильны.

%). Найдётся константа с, с > 1, такая что ф{{) < с • <p(t), t G [0,1]; гг). Найдётся натуральное d, такое что р<Дп) < рф(п) + d, п > 0; ni). Найдётся натуральное Ь, такое что <р(к) —

т > 1.

Следствие 2Л. Для любых двух М-функций ф и ip следующие условия равносильны, г), ф ~ р\

гг). Найдётся натуральное d, такое что

I Рф(п) ~ Pv(n) 1^ п> 0; ni). Найдётся натуральное Ь, такое что

т т-\-Ъ т-\-2Ь

1Х*)<£р*т< £ рip(k), т> 0. к=0 к=0 к=0

II. (Сравни [1], Proposition 7.) Любые две М-функции ф, р, такие что Чф = эквивалентны.

Последнее утверждение позволяет обозначать через фч любую из функций, существование которой гарантируется теоремой В, ибо все

они между собой эквивалентны и, значит, М-свойства у них одинаковы; сюръекцию, соответствующую выбранной М-функции фч, мы обозначаем рч.

Пусть 0 обозначает класс всех последовательностей натуральных чисел, а <3# - подкласс 0, состоящий из ограниченных последовательностей: q = (дп) е С1в означает, что найдётся натуральное й, такое что дп < й, п > 1. Определим на 0 отношение эквивалентности, считая две последовательности q(1) = д^(п), q(2) = д(2)(п) эквивалентными (обозначение q(1) ~ q(^), если найдётся натуральное 6, такое что

п п-\-Ь п-\-2Ь

^2ч{1)(к) <^2ч{2)(к) < '^2q{1')(k).

к=1 к=1 к=1

Из теоремы В и предложения 1 вытекает, что М-свойствам взаимнооднозначно соответствуют подклассы ^-эквивалентности множества 0.

Лемма 3. Пусть q(1) и q(2) две ограниченные последовательности: Они эквивалентны, тогда и только тогда, когда

т т

Замечание. Очевидно, что (7) является достаточным условием эквивалентности даже и в случае неограниченных последовательностей. Необходимым условием в этом случае (7) не является, что видно из следующего примера: q(1)(n) = 2П; q(2)(2п — 1) = 22п, q(2)(2п) — 22п-1, п > 1.

Следующее утверждение доказывается стандартным методом срезок.

Предложение 4. Для любой ограниченной натуральной последовательности найдётся натуральное число А и такая эквивалентная последовательность, члены которой суть либо числа А, либо числа 1.

Зафиксируем натуральную последовательность q = (с[п) и пусть т

- некоторое натуральное число. Отрезок вида п + 1,п + 2,...,п + £; натурального ряда мы называем т-точечным q-блоком длины к, если Яп Ф т, яп+1 = яп+2 = • • • = дп+к = т, дп+к+\ ф т; если q = qv, для некоторой М-функции ф, то мы говорим о ^-блоке длины к и называем

сегмент Dn начальным для этого блока. Понятия “первой”, “последней”, “предпоследней”, и т.п. ^-точки этого блока относятся к расположению точек в порядке следования на двоичных промежутках

Dm -£^п+1> ’ ' ’ -Dn+fe+l-

Теорема С. ([1], Propositions 8,9) г). М-свойство Тг выполняется для М-функции ф, тогда и только тогда, когда последовательность

ограничена.

п). М-свойство Тг выполняется для М-функции ф, тогда и только тогда, когда последовательность длин одноточечных q^-блоков ограничена.

Снова зафиксируем натуральную последовательность q = (qn) и определим по ней сюръекцию р следующим образом. р(0) = 1; р(т) = т — pq(m) + l, т > 1. Ясно, что для р выполняется (5). Эту сюръекцию мы называем дуальной с pq, а последовательность q^ называем дуальной с исходной последовательностью q.

Нетрудно видеть, что дуальность есть инволюция в классе Q, согласованная как с инволюцией в классе ШТ, так и с эквивалентностью в обоих этих классах.

Для интерпретации М-свойств Va в терминах натуральных последовательностей напомним понятие повторного предела.

Определение. Говорят, что двойная последовательность 1

вещественных чисел имеет повторным пределом число i, обозначаемое lim^oo lirr^^oo in?m, если для любого £, е > 0, найдётся натуральное N — N(e) такое что для всякого п > N существует натуральное М = М(п,е), для которого | tn^m — t \< е при всех т > М.

Теорема 5. Для любой последовательности натуральных чисел Q = (Чп) и любого а, 0 < а < 1, следующие условия равносильны ъ) • Фс\ ^ 'Ра?

п). Повторный предел lim7WOC lim//woc — существует и равен а.

г=п + 1

Доказательство. Если предположить, что q удовлетворяет гг), то выполнение равенства

для всякого m > 0 и любой монотонной последовательности натуральных чисел {п^}, стремящейся к бесконечности, легко проверяется с помощью правил Ы\ — Ы4 построения М-функции работы [1]. Возьмём произвольные числа i, s G (0,1] и подищем такие натуральные ntl ms, что 2~nt < t < 2_ni+1, 2~ms < s < 2_ms+1, так что

2-nt-ms < ts < 2-nt-me+2e Тогда получим

^q

^

Ясно, что щ ^4о °°5 откуда из (1) и (8) для фиксированного s выводим:

-sQ < lim sup < 4 •

4-40 ^q(i) “

т.е. ÿq G Импликация iï) =>* г) доказана.

Докажем обратную к ней. Если для q выполнено включение г), то теорема С, а также Теорема А и замечание 2 к ней влекут, что q G Qg. С учётом Теоремы А и Леммы 3 для можно считать выполненным предельное равенство

Итмг^)=2«.

n-^oo ïpç}

Для п > 1 обозначим через Ln множество всех частичных пределов последовательности { —}т=и ГДе (Яг) — Зафиксируем произ-

г=т + 1

вольную вещественную последовательность Si, 0 < Si < 1, Si î 1? и обозначим = {п : Ln П [0,5* • a) ф 0}. По предположению

при каждом п G для некоторой строго возрастающей последова-

( \

тельности {гщ } предел lini/^oo существует и меньше Si • a, где

( ) ^k /4^ := Yl^n+i 0.ф(ъ) ^ k,n> 1. Поскольку речь идёт о пределе,

то полученное неравенство можно записать как

m

lim . ----< Si • a.

1

Покажем теперь, что все множества возрастающей последовательности Nf, i > 1, конечны. Допустим, что это не так. Тогда для любого г > 1 с помощью (9) найдём J^, такое что

фч(2-J^'+1) ^ oi.e

^q

> 2 , j > 1.

Обозначим щ, щ > 2, такой номер, что 2 щ 1 < фч{2 < 2 Выбе-

рем п, п £ -/V“, п > п*, и возьмём последовательность {т^}, удовлетворяющую (10). Для достаточно большого к из (10) следует неравенство

Шк <8-а.

п - 1

Обозначим фч{2 у ) наибольшую ^-точку двоичного сегмента Оп+\. Имеем:

2-п-т(») < < < ^(2—!) < 2~п, что вместе с (11) даёт

о-» чмг—1) ^(2--^",+1) .

2 г,,’ч(2 ) = Ш^)- *,(2-.-^) 4)>

> -0ч

откуда > й • а, вопреки (12).

У к 1

Возьмём теперь произвольную последовательное ^ | 1 и обозначим через подмножество натуральных чисел {п : ЬпГ\(а-5г, 1] ф 0}. Рассуждая как и выше, нетрудно показать, что все множества А^+, г > 1, также конечны. Но конечность множеств А^- и А^+ при всех г > 1 означает справедливость утверждения гг). Теорема доказана.

Предложение 6. Если М-фунщия ф удовлетворяет условию

ф

Ит = 2,

40 ф{г)

то тогда

1). Итэир^^^п) = 2;

2). Ит^оо/п = ос, где {1п} обозначает последовательность длин всех одноточечных ц^-блоков.

Доказательство. Доказываем 1). Предположим, что найдётся натуральная последовательность {п^}, для которой Иггц^оо q7/;(n^c) — г >

2. Положим 6 = \/2-1 и выберем номер ТУ, такой что ^ф^2-п) ^ 2 • £ при п > N. Далее выберем натуральное К = ^(5), таким образом, чтобы во-первых Я?/;(п/с) = г при к > К и во-вторых, чтобы при всех к > К

неравенство j > N выполнялось, если только 2 Пк < ф(2 7) < 2 пк+1. Для каждого к > К выберем ш*, так чтобы

2_п* < ф(2~Шк~т) < ф(2~Шк~т+1) <    < ф(2~ГПк~1) < 2~Пк+1.

По определению тк > ./V для всех к > К, значит, поскольку г > 3, мы имеем:

2_п* < ф(2~тк~3) = к ^

^ ф(2~тк~2) ф(2~тк~1) }

ф(2~ГПк~1) 2~(Пк+1^

~ (2 • 5)2 - (2 • ¿)2 ’

откуда (2£)2 < 2, - противоречие.

Доказываем 2). Допустим противное: Игщ^оо 1Пк := р < ос. Положим £ = (|)^+з, и по предыдущему найдём такое натуральное М = М(5), что для т > М выполняются условия.

1). 2~г < ф(2~т) < 2-г+1 влечёт <\ф(г) — 1 или ^(г) = 2;

Обозначим К — К(6) такое натуральное число, что при к > К для ^-точки /0(2_ш), содержащейся в двухточечном полусегменте 0Пк, начальном по отношению к q^-oднoтoчeчнoмy блоку длины 1Пк, справедливо неравенство т > М. Имеем: ф(2~т~1) £ 0Пк, ф(2~т~2) £

ППк+\, • • •, ф(2~т~р~1) е £>„*+„ ф(2~т~р~2) е ИПк+р+1, ф(2~т~р~3) е

0Пк+р+1' Следовательно

2р+2 ф

ф{2~т-р-3) ф{2~т~1) ф{2~т~2) ф(2~т~р~3) ~ ^ ’ ’

откуда 5 < (|)н-5, - противоречие. Предложение доказано.

Предложение 7. Если для М-функции ф справедливы равенства Итзирп^^^п) = 2 и Нт^оо 1п = оо,

где {1п} означает последовательность длин одноточечных q^-блoкoв, то ф Е VI, тогда и только тогда, когда множество длин всех двухточечных qí/,-блoкoв ограничено.

Доказательство. По условию существует натуральное N0, такое что при п > Щ имеем: qф(п) = 1 или qф(п) = 2.

Определим натуральную последовательность q = (д„), полагая = qф(п), п > 1, и, согласно правилам Ы\ — Ы4 работы [1], построим

М-функцию

- первая <р-точка этого блока, то очевидно, что 1р(2~к~2т+1) есть его предпоследняя (^-точка; отношение их аргументов есть 22т-2. С другой стороны, вычисляя по упомянутым выше правилам построения <р, мы

22т_ 2ш

получим -----^2-*?+1)-- = ^ . Отсюда и из того, что птзирф)

возрастает по п следует, что <р Е Vтогда и только тогда, когда множество всех длин двухточечных q^-блoкoв ограничено. Но в этом случае для М-функции (р очевидным образом выполняется условие п) Теоремы 5, и тем самым (р £ VI. Поскольку же VI есть М-свойство и <р ~ ф, то и ф е Рь Предложение доказано.

Теорема 8. Для любой последовательности натуральных чисел Ч = (Яп) следующие требования I и II равносильны.

I. фч £ VI;

II. Найдётся последовательность Ч = (Яп), О Э ^ ~ q, удовлетворяющая условиям

1). Последовательность длин одноточечных блоков для с| стремится к бесконечности;

2). цп = 1 или с[п = 2;

3). Длина каждого двухточечного <\-блока равна 1.

Доказательство. Импликация // => / прямо следует из предложения 7 . Доказываем / =^> II. Если ^ ^ ?1, то, пользуясь теоремой А и предложениеми 6 и 7, для можно найти последовательность Ч— (Яп) ~ 4-0? удовлетворяющую условиям

a). Итп^1п — ос, где (1п) обозначает последовательность длин одноточечных ¿^-блоков;

b). Нт зирп^.00 (¡п = 2;

c). Множество длин всех двухточечных ¿^-блоков ограничено подходящим целым (1.

Из 6), из леммы 3 и из Замечания 2 к теореме А следует, что, изменяя, если нужно, некоторую начальную часть последовательности (дп), мы можем, оставаясь в том же классе ^-эквивалентности, считать, что (¡п — \ или = 2, п > 1. Из тех же соображений мы можем предполагать для <} выполненными условия цх — 2, 1п > 3о!, п > 1. Таким образом, последовательность {дп} разбивается на идущие поочерёдно один за другим двухточечные и одноточечные блоки длины тп и /п, соответственно. Оставляя количество двоек и единиц в каждой

соседней паре вида 22 • • • 211 • • • 1 неизменным, преобразуем её к виду

211 •• • 1211 • • • 1..211 • • • 1, помещая тп — 1 раз за одной двойкой

блок из [^~\ единиц, а в последний тп-й раз помещая за ней все оставшиеся из 1п единиц. Поскольку 4^- = ос, то полученная таким

ТПп

путём последовательность будучи по лемме 3 эквивалентной с[, является искомой. Теорема 8 доказана.

Она допускает дуальную переформулировку.

Теорема 9. Для любой натуральной последовательности q = (дп) следующие требования I и II равносильны.

I. Фч Є Го;

II. Найдётся последовательность ^ = (</га), эквивалентная q, такая что Ііт^оо дп = оо.

Литература

1. Mekler A.A. On Regularity and Weak Regularity of Functions Generating Marcinkiewicz Spaces// Proc. Intern. Conf. ’’FUNCTION SPACES, V.”- Poznan, Poland, July 2000. ed. by H. Hudzik and L. Skrzypczak. Marcel Dekker, Led. Not. Pur. Appl. Math. Ser. 213. P. 379-387.

2. Меклер А.А. Представление суперпозиции вогнутых модуляр на двоичной логарифмической шкале. "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования", Гер-ценовские Чтения - 2007. LX. СПб, 2007. С. 121-128.

3. Bingham N.H., Goldie С.М., Teugels J.L. Regular Variations. Cambridge: Cambridge University Press, 1987.

4. Меклер А.А. О полугруппе модулярных функций с операцией инволюции/ / ’’Исследования по линейным операторам и теории функций”, 32. Записки научных семинаров ПО МИ. Т. 315. 2004 С. 121 -131.

5. Dodds P.G., B.de Pagter, Semenov E.M., Sukochev F.A.

Symmetric functionals and singular traces. Positivity. 2. 1998. P. 47-75.

6. Седаев А.А., Смуров В.А. О нахождении одной числовой характеристики для пространств Марцинкевича. В сб. "Методы решения операторных уравнений". Воронеж: ВГУ, 1978. С. 135-142.

7. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

8. Abakumov E.V., Mekler A.A. A Concave Regularly Varying Leader for Equi-concave Functions. J. Math. Anal. Appl. 187. 1994. 3. P. 943-951.

Summary

Mekler A.A. On positive integer characteriyation of regular variyng quasi-concave modulars

The initiated in [1] study of the correspondence between quasi-concave modulars and sequences of positive integers is continued. In the presented paper are examenated especially regularly variyng quasiconcave modulars. It is stated in Theorems 9, that a sequence of positive integers corresponds to a fast variyng quasi-concave modular (that means the case of regularity index a = 0) iff it is equivalent to a integer sequence which tends to +oo. In Theorem 8 is proved that the sequece of positive integers corresponds to a slow variyng modular (the case of regularity index a = 1) iff it is equivalent to a sequence of the form

211 * * • 1211 • • • 121...where the lengths of blocks of units tends

to +oo. In Theorem 5 the case of intermediate value of regularity index a : 0 < a < 1 is investigated.

Потсдамский университет Потсдам, Германия e-mail:alexandre.mekler@freenet. de

Поступила 17.02.2008