Различные аналогии для равновесных форм упругой нити на двумерных поверхностях

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

31

Механика

УДК 531.01

РАЗЛИЧНЫЕ АНАЛОГИИ ДЛЯ РАВНОВЕСНЫХ ФОРМ УПРУГОЙ НИТИ

НА ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

И. Е. Глаголев1

В соответствии с аналогией Кирхгофа уравнения равновесия упругой нити на плоскости эквивалентны уравнениям движения математического маятника. В настоящей работе эта аналогия обобщается на случай, когда нить находится на гладкой криволинейной поверхности. Выводятся уравнения равновесия нити в общем случае и в частных случаях плоской, цилиндрической и сферической поверхностей. Для этих поверхностей аналогия Кирхгофа обобщается на случай математического маятника в добавочном силовом поле, также предлагаются электромагнитная и неголономная аналогии уравнений равновесия нити.

Ключевые слова: аналогия Кирхгофа, упругая нить.

In accordance with the Kirchhoff analogy, the equilibrium equations of the elastic thread on a plane are equivalent to the equations of motion of a simple pendulum. This analogy is generalized to the case when the thread lays on a smooth curved surface. We derive the equilibrium equations of the threads in the general case and in the particular cases of planar, cylindrical and spherical surfaces. For these surfaces the Kirchhoff analogy is generalized to the case of a simple pendulum in an additional force field. There are also considered the electromagnetic and nonholonomic analogies for the equilibrium equations of an elastic thread.

Key words: Kirchhoff analogy, elastic thread.

Рассматривается однородная тонкая нерастяжимая упругая нить, находящаяся на некоторой заданной поверхности без трения. Нерастяжимость означает, что длина нити фиксирована и не может изменяться при деформациях. Тем не менее нить может изгибаться, проявляя при этом упругие свойства. Упругим и идеальным (не обладающим упругими свойствами) нитям посвящена обширная литература [1—4], однако существует не так много работ, в которых нити находятся на поверхности общего вида (случай идеальной нити рассматривается в [5]). В данной работе мы выведем уравнения равновесия упругой нити на поверхности, используя вторую фундаментальную форму поверхности. Затем с помощью этих уравнений построим аналогии для случая равновесия нитей на поверхностях частного вида.

1. Уравнения равновесия нити на поверхности общего вида. Пусть M — гладкая двумерная поверхность в R3 с индуцированной метрикой g(X,Y) = {X, Y), h(X,Y) — вторая фундаментальная форма, зафиксируем также гладкое поле нормалей N. Длина нити L, ее положение на поверхности задается функцией y(t): [0,1] ^ M; T — единичный касательный к нити вектор, так что dj/dt = V = vT, {T,T) = 1. Лежащий в касательной плоскости к M вектор N образует вместе с T и N правую тройку, {N,T) = 0, {N, N) = 1. Обозначим через k геодезическую кривизну j. Тогда выполняются соотношения VtT = kN, VtN = —kT, где Vx Y есть ковариантная производная векторного поля Y вдоль вектора X.

Равновесное положение нити минимизирует упругую энергию нити, определяемую формулой E = \ fo (d2j/ds2)2 udt, где s — натуральный параметр кривой 7. Используя формулу Гаусса VxY = Vx^ + h(X,Y) М, где VxY — производная Y вдоль X в объемлющем пространстве, получим

OS)= 2=(Vtt)2=(vtt+t)n)2=+t)n)2=е+т)'

В работе [6] изучаются лежащие на поверхностях упругие нити c энергией J k2ds. Положения равновесия такой нити полностью определяются внутренней геометрией несущей поверхности. Здесь же плотность упругой энергии нити зависит не только от геодезической кривизны, но и от способа вложения поверхности в данной точке.

1 Глаголев Игорь Евгеньевич — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

glagolev_igor@mail.ru.

32

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

Для получения уравнения равновесия будем варьировать кривую 7. С этой целью зададим на поверхности семейство кривых 7^ = 7(-ш,£). Имеем

IV = *) = тр, V = р = ¿)Г(ги,

д ии д 6

Таким образом, V = /й^, или по-другому 7' = Т, ()' = д(-)/д«. Найдем выражение для [Щ, Т] = У^Т — УтЩ, которое потребуется в дальнейшем. Справедливо соотношение

0 = [Щ V] = [Щ vT] = W(V)Т + V[Ж, Т], поэтому [И7, Т] = — Т. Далее

2vW(V) = Щ(V2) = 2(У^V, V) = 2(УуW,V) = 2v2(VтЩ,Т),

откуда следует, что

[Щ,Т ] = — (Ут Щ,Т )Т = рТ,

или, другими словами,

Щ (Т) = Ут Щ — (Ут Щ Т )Т = (Ут Щ N Тензор кривизны Римана К зададим формулой

К(Х, У)£ = УхУ уЯ — У уУхЯ — У[х>у]£.

Найдем вариацию й2:

Щ(й2) = 2(У^УтТ, УтТ) = 2(УтУ^Т + У^т]Т + К(Щ Т)Т, УтТ) = = 2(УтУтЩ + Ут(рТ) + УртТ + К(Щ, Т)Т, УтТ) = = 2(УтУтЩ, УтТ) + 4р(УтТ, УтТ) + 2(Щ, К(УтТ, Т)Т) = = (УтУтЩ 2ж) + (УтЩ —4й2Т) + (Щ, ).

Здесь К = (К(Ж, Т)Т, Ж) — гауссова кривизна. Вариация Л2(Т, Т) имеет вид

Щ (Л2(Т,Т)) = 4Л(Т,Т )Л(Т,Щ (Т)) + 2Л(Т, Т )(Щ, УЛ(Т,Т)) = = (УтЩ 4Л(Т,Т)Л(Т, ) + (Щ, 2Л(Т,Т)УЛ(Т,Т)).

Определим функционал

£ 1

Я7) = ^ 1'(к2 + П2(Т, Т) + Л) ^ = ^ I(к2 + /г2(Т, Т) + Л) г/ М, 0 0

где число Л — множитель Лагранжа. Вариация Т в положении равновесия нити должна обращаться в нуль. Теперь все готово для получения этой вариации:

й 1 Г1

^ = 2 ] № (к2 + Н2{Т, Т))и + (к2 + /¿2(Т, Т) + А)И»] М =

1

кЫ) + (УтИ7, —2к2Т + 2ВД, Т)ВД, + ^ (к2 + /г2(Т, Т) + Л)Т) +

ь

+ (Щ ЛКЖ + Л(Т, Т)УЛ(Т, Т))] V = J [(УтУтЩ йж) +

0

+ (УтИ', ^ (-ЗА:2 + к2{Т, Т) + Л)Т + 2ВД, Т)ВД, ЩИ) + (И7", й/СЖ + ВД, Г)УВД Г))] ¿е.

Интегрируя по частям, находим L

d

¿•^7™) = / W Е) ds + [(^tW, kN) + (w, ^(-k2 + h2(T, T) + А)T + (2ВД Т)ВД N) - к')^"L

0

где

Е = (ут)3Т - Ут + ^2(т>т) + Л)т + 2}г(т,ТЩТ,ЛОЛ^) + Л/СЖ + Н(Т,Г) УВДТ).

Положение равновесия упругой нити удовлетворяет векторному уравнению Е = 0, или

Продолжим преобразование (1). Имеем УтТ = кМ, (Ут)2Т = —к2Т + к'М, поэтому

£ = Ут ^(Уг)2Т - ^(-З^2 + т) + Л)т - 2НТ, ТЩТ, Ю^ + кШ + ВД, Т)УВД, Т) = = Ут + т) + л)т + - 2}г(т, ТЩТ, ЛОж) + й/СЖ + ВД, Г) УВД, Т) =

2

= (kk' — 2h(T, T)h(T, kN) — h(T, T)Vth(T, T) — kk' + 2kh(T, T)h(T, N) + h(T, T)Vth(T, T))T + 1 2'

+ (-^("fc2 + h2(T, T) + А)k + k" - 2(ВД, ТЩТ, N))' + kK + ВД, T)VNh(T, N k" + i (k2 - h2(T, T) + 2/C - A)fc - 2(ВД, Т)ВД, ЛГ))' + ВД, T)VNh(T, N.

Таким образом, векторное уравнение (1) равносильно скалярному уравнению

к" + \{к2 ~ Ь2{Т, Т)+2К-\)к- 2

равновесия нити на поверхности.

2. Равновесие нити на поверхности постоянной кривизны. Далее мы будем полагать УК = 0, т.е. нить должна находиться на поверхности постоянной гауссовой кривизны К. Вектор Е в этом случае можно переписать в следующем виде:

1 ' ~'„2 , 7,2/

е = Vt ^(Ут)2Т - ^ (-3к2 + h2(T, Т) + Л)Г - 2ВД, ТЩТ, N)N^j + кШ + ВД, Т)УВД, Т) = = Ут (-к2 + h2(T, Т) - 2/С + Л)Г + (V - 2ВД, ТЩТ, N))N^j + ВД, Г)УВД Т) =

где Q = | (—А;2 + h2{T, Т) - 2/С + А)Т + (2ВД, ТЩТ, N) -

Для получения аналогий между формой нити в равновесии и движением различных механических систем потребуем выполнения условия Vh(T, T) = 0 в любой точке поверхности и для любого касательного вектора T. Тогда VtQ = 0, и векторы Q(s) для различных s получаются друг из друга параллельным переносом вдоль нити. Это обстоятельство играет ключевую роль в построении аналогий.

Условию Vh(T, T) = 0 удовлетворяют плоскость, сфера и прямой круговой цилиндр. Далее рассматриваются положения равновесия нити на каждой из этих поверхностей и приводятся соответствующие аналогии.

3. Равновесие нити на плоскости.

Аналогия Кирхгофа. Для плоскости гауссова кривизна K и вторая квадратичная форма h всюду равны нулю, поэтому

Q = const, k' = —{Q,N).

0

Если обозначить через р угол между ^ и Т, то получим уравнение математического маятника

р" + С sin р = 0, с = д/(Q, Q) = const.

Это и есть классическая аналогия Кирхгофа.

Электромагнитная аналогия. Рассмотрим другую аналогию, которую можно назвать электромагнитной. Поскольку вектор Q постоянен, то можно ввести декартову систему координат Oxyz, такую, что нить находится на плоскости Oxy, причем ex = c-1Q и ez = N. Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в постоянном магнитном поле B = Q х r = cyez, где r — радиус-вектор частицы. Выберем массу и заряд частицы так, чтобы уравнение движения частицы выглядело следующим образом:

dt

где V — скорость частицы. Так как сила гироскопична, то модуль скорости постоянен. Далее мы покажем, что траектории движения с единичной скоростью заряженной частицы в магнитном поле B совпадают с равновесными положениями нити. Если скорость единична, то справедливо равенство V = T = cos + sin ^>ey, где угол р определен выше при доказательстве аналогии Кирхгофа. Поэтому

dT

— = Т = Т' = ТхВ, dt

или

— sin рр' ex + cos рр' ey = cy sin ^>ex — cy cos р ey,

откуда р' = —cy, а значит, р'' = —c sin р. Видим, что уравнение для угла р наклона касательной к траектории такое же, как и для угла наклона касательной к равновесному положению нити. Значит, кривизны тоже одинаковым образом зависят от натурального параметра s (который можно отождествить со временем движения заряженной частицы). Следовательно, форма траектории частицы совпадает с формой, которую принимает нить в равновесии.

Таким образом, установлено, что каждая траектория заряженной частицы в магнитом поле B = cyez есть равновесное положение нити с вектором Q = cex. Верно и обратное: любому положению нити в равновесии на плоскости, кроме окружности, отвечает траектория частицы в магнитном поле B(r) = Q х r, где r — радиус-вектор частицы. Случай, когда нить в равновесии представляет собой окружность, является особым в том смысле, что направляющий вектор Q равен нулю. В аналогии Кирхгофа это соответствует движению маятника в отсутствие силы тяжести. Чтобы заряженная частица двигалась по кругу, необходимо создать постоянное однородное магнитное поле B = kN.

Неголономная аналогия. Рассмотрим конек Чаплыгина на плоскости Oxy. Он представляет собой диск единичной массы и с единичным центральным моментом инерции, движение его центра масс с координатами x и y подчинено кинематической связи xsin р = y cos р, где р — угол поворота диска. На конек действует сила с потенциалом —(2c2y2)-1.

В такой системе справедлив интеграл энергии

у2 , Ф2 1 U /-2 I -2

По теореме об изменении кинетического момента в осях Кенига имеем р = wt + ро. Будем рассматривать такие движения, для которых h = 1/2, w = —1 и y > 0. Это означает, что конек находится в верхней полуплоскости и вращается с единичной скоростью по часовой стрелке. Из интеграла энергии следует v = (cy)-1. Тогда

kN = T' = Tv-1 = —cy sin р р ex + cy cos р р ey = cy sin р ex + cy cos р ey = —cyN,

значит, k' = р'' = —cy' = —c sin р.

Для нижней полуплоскости доказательство проводится аналогично, там следует вместо w = —1 положить w = 1.

Мы опять получили уравнение математического маятника и, следуя соображениям в доказательстве предыдущей аналогии, можем утверждать: траектория конька при указанном выше движении может

служить равновесным положением нити и, наоборот, каждому плоскому положению равновесия соответствует некая траектория конька (кроме окружности, которой соответствует движение конька без потенциального поля).

Заметим, что силовой потенциал имеет особенность при у = 0. Поэтому равновесные положения нити, пересекающие ось абсцисс, разбиваются на участки, которым соответствуют траектории движения конька, вообще говоря, с различными начальными данными.

4. Равновесие нити на прямом круговом цилиндре. У прямого кругового цилиндра единичного радиуса также гауссова кривизна равна нулю, но вторая квадратичная форма отлична от нуля, хотя и не зависит от точки на цилиндре (УЛ = 0). Значит,

Ут Я = 0, к' — 2Л(Т, Т)Л(Т, Ж) = — ),

откуда

р'' + 2 sin3 (р — р0) cos (р — р0) + c sin р = 0,

где ро — угол между вектором Q и направляющей цилиндра. Это уравнение совпадает с уравнением движения математического маятника в добавочном потенциальном поле | sin4 (р — ро).

Рассмотрим еще одну аналогию. Пусть имеются три математических маятника, масса m которых одинакова, а длины равны 16c1m, 41m и 1m. Их углы отклонения обозначим соответственно р, р1 и р2. Маятники соединены посредством шестерен так, что между их углами отклонения существует связь

р1 = 2(р — ро), р2 = 4(р — ро) + п,

где угол р0 определен выше.

Функция Лагранжа этой системы выглядит следующим образом:

m<¿2 р2

L = (256с2 + 36) —+ mglm(16c cos р + 4 cos 2(р - р0) -cos4(p - р0)) =

m¿2 р2 / 1 з \

= (256с2 + 36) —^- + 16mglm(ccos р-- sin4 (р - р0) + — J .

Положим 16g/1m = 256c2 + 36. Тогда уравнение движения примет вид

р'' + 2 sin3 (р — р0) cos (р — р0) + c sin р = 0.

Заключаем, что отклонение касательного вектора от направляющей при равновесном положении нити подчиняется тому же уравнению, что и угол отклонения первого из трех маятников в рассмотренной выше системе.

5. Равновесие нити на единичной сфере.

Аналогия Кирхгофа для сферы. На единичной сфере K=1 и h(X, Y) = (X, Y), поэтому справедливы соотношения

Vt Q = 0, k' = —(Q,N).

Как и в случае равновесия нити на плоскости, мы приходим к уравнению, совпадающему с уравнением классического математического маятника:

р'' + c sin р = 0.

Здесь, как и раньше, р есть угол между Q и T.

Поскольку нормальная кривизна h(T, T) постоянна, ее вклад в плотность упругой энергии также постоянен и его можно не учитывать. Поэтому полученное уравнение равновесия (3) совпадает с уравнением кривой, минимизирующей средний квадрат геодезической кривизны. Исследование таких замкнутых кривых на двумерной сфере можно найти в [3].

Покажем, что для сферы также существует электромагнитная аналогия. Введем сферические координаты в и зададим магнитное поле B = C cos eN, C = const. Таким образом, магнитное поле равно нулю на экваторе и достигает наибольшей интенсивности на полюсах. Для доказательства аналогии достаточно проверить, что геодезическая кривизна траектории частицы с соответствующими массой и зарядом удовлетворяет уравнению (2), которое для сферы примет вид

k = 0.

Как и при выводе электромагнитной аналогии на плоскости, можно показать, что геодезическая кривизна к = Ccos в (считаем, что частица движется с единичной скоростью). Пусть р — угол поворота единичного касательного вектора T скорости частицы от вектора дф = дф/ sin в, т.е. T = дф cos р — дв sin р. Тогда ф' = cos р/ sin в и в' = — sin р. Найдем р':

VT T = — sin р р' дф + cos рУт дф — cos р р'дв — sin рУт дв = (р' + cos р ctg e)N,

откуда

р' = k — cos р ctg в.

Здесь использованы соотношения Vtдф = — cos вф'дв и Vtдв = cos вф'дф. Теперь посчитаем к'':

к" = (C cos в)'' = C(— sin вв')' = — C cos вв'2 — C sin вв'' = — C cos в sin2 р + C sin в cos рр' = = — C cos в sin2 р + C sin в cos р(к — cos р ctg в) = —k(1 — C sin в cos р).

Осталось показать, что 1 — C sin в cos р = (к2 — X + 1)/2. Действительно, (C sin в cos р)' = C cos в cos рв' — C sin в sin рр' = —Ck sin в sin р = — кк'.

Неголономная аналогия для сферы также имеет место. Рассмотрим плоский диск, центр масс которого находится на сфере, а ось симметрии ориентирована по нормали к сфере. Направлением конька в точке касания задается направление скорости центра масс диска. Движение такого конька Чаплыгина на сфере можно интерпретировать как движение твердого тела с неподвижной точкой, стесненное связью

sin в sin р ф + cos р в = 0,

где ф,в и р — углы Эйлера, задающие ориентацию диска. Угол собственного вращения р совпадает с определенным выше углом между вектором T, задающим направление скорости центра масс, и вектором дф.

В системе присутствуют интегралы энергии и кинетического момента относительно оси симметрии:

l(sin2 вф2 + в2) + Cr2 — 2U = h, cos вф + р = r0.

Здесь A и С — соответствующие моменты инерции, U — силовая функция внешних сил, приложенных к центру масс.

Заметим, что формула (4) справедлива и для кривизны траектории центра масс диска. Значит, к = ro/v, где и = \Jsin2 dip2 + в2 — модуль скорости центра масс. Из интеграла энергии следует v =

\J\h + 2U — Ctq)¡А. Если теперь положить h = А = С = 1, U = (С cos0)-2/2 и го = 1, когда cos в > 0 (ro = —1 при cos в < 0), то находим к = ro/v = Ccos в, что завершает обоснование аналогии.

Так же как и в случае плоскости, силовая функция U обращается в бесконечность на экваторе сферы. Поэтому равновесным положениям нити, имеющим точки нулевой геодезической кривизны, соответствует набор траекторий центра масс конька, которые возникают при движении с различными начальными данными.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 07-01-00663, 08-01-00042 и 06-0801574).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Love A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1927.

2. С'ветлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978.

3. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980.

4. Langer J., Singer D. The total squared curvature of closed curves //J. Diff. Geometry. 1984. 20. 1-22.

5. С'ветлицкий В.А. Стационарное движение идеально гибкой нити по поверхности // Науч. докл. высш. школы. Машиностроение и приборостроение. 1959. 2. 104-109.

6. Langer J., Singer D. Curve-straightening in Riemannian manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 1987. 5. 133-150.

Поступила в редакцию 28.03.2012