О вероятностях высоких выбросов гауссовского стационарного процесса в случайной среде

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Композиционные материалы. Справочник / Под ред. Д.М. Карпиноса. Киев: Наукова думка, 1985.

2. Справочник по композиционным материалам / Под ред. Дж. Любина. Пер. с англ: В 2 т. М.: Машиностроение, 1988.

3. Композиционные материалы. Справочник / Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990.

4. Суздальцев Е.И. Радиопрозрачные высокотермостойкие материалы XXI века // Огнеупоры и техническая керамика. 2002. № 3. 42-50.

5. Калинин Д.Ю., Резник C.B., Суздальцев Е.И., Шуляковский A.B. Стекло и керамика. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее: В 3 т. Т. 2. Передовые технологии производства / Под ред. C.B. Резника. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

6. Ромашин А.Г., Гайдачук В.Е., Карпов Я.С., Русин М.Ю. Радиопрозрачные обтекатели летательных аппаратов. Харьков: Нац. аэрокосм, ун-т "Харьков, авиац. ин-т", 2003.

7. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоиздат, 1982.

8. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

9. Физика композиционных материалов / Под общ. ред. Н.Н.Трофимова: В 2 т. Т. 2. М.: Мир, 2005.

10. Сарычев А.К., Шалаев В.М. Электродинамика метаматериалов / Пер. с англ. М.: Научный мир, 2011.

11. Челидзе Т.Л., Деревянко А.И., Куриленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977.

12. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Математика и математическое моделирование: электронное научно-техническое издание. 2015. 2. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483.

13. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 3. 50-64.

14. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Оценки электрофизических характеристик композита с диэлектрической матрицей и дисперсными проводящими включениями / / Радиооптика: электронное научно-техническое издание. 2015. 03. DOI: 10.7463/rdopt.0315.0800066.

15. Победря В.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

16. Ванько В.П., Ермошина О.В., Кувыркин Г.П. Вариационное исчисление и оптимальное управление / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

17. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

18. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. 1962. 33. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579.

19. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. M.: Наука, 1977.

20. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

Поступила в редакцию 11.11.2015

УДК 519.218.7

О ВЕРОЯТНОСТЯХ ВЫСОКИХ ВЫБРОСОВ ГАУССОВСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

А. О. Клебан1, М. В. Корулин2

Пусть £ (t) — стационарный гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией г (t), удовлетворяющей условию Пикандса r(t) = 1 — |t|a + o(|t|a), t 0, 0 < а ^ 2, и г/ (t) X (t) — периодические случайные процессы. Найдена точная асимптотика вероятностей P(maxie[0jT] ??(i)£(i) > и), Р( maxie[0jT] (£ (t) +r](t)) > и) и P(maxie[0jT] (i?(t)£(t)+ ((t)) > и) при и —} оо для произвольного Т > 0 и независимых £ (t) ,r] (t), С (t).

1 Клебан Александр Олегович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexander.kleban Qgmail.com.

2Корулин Михаил Вячеславович — e-mail: michael.korulinQgmail.com.

Ключевые слова: гауссовский процесс, случайная среда, вероятности высоких выбросов, метод двойных сумм, асимптотический метод Лапласа.

Let £ (t) be a zero-mean stationary Gaussian process with the covariance function r (t) of Pickands type, i.e., r(t) = 1 — |t|a + o(|t|a), t —> 0, 0 < a < 2, and r](t)(t) be periodic random processes. For any T > 0 and independent £(t), r](t), ((t) we obtain the exact asymptotic behaviour of the probabilities P(maxie[0,T] V (t) £ (t) > u)> -P(maxie[o,T] (£ (t) + V (t)) > u) and P(maxie[0jT] (r) (t) £ (t) + С (t)) > u) for и ->• oo.

Key words: Gaussian process, random environment, high extremes probabilities, double sum method, Laplace asymptotic method.

1. Введение. В настоящей работе рассматривается задача о вероятностях больших выбросов гауссовских случайных процессов в случайной среде, другими словами, гауссовских процессов со случайными параметрами (средним и ковариационной функцией). Такая модель существенно расширяет класс процессов, для которых может быть использован хорошо развитый асимптотический анализ гауссовских процессов [1, 2]. Условно-гауссовские процессы находят применение в задачах различных областей, например в финансовом моделировании и оптимальном управлении.

Данная задача рассматривалась в работе [3], где изучена асимптотика вероятностей

Ри>о = Р max г] (t) £(i) > и , Ри>1 = Р тах (£(i) + r] (t)) > и

\i€[0,T] / \t&[0,T]

здесь Т > 0, £(i) — гауссовский стационарный процесс, rj(t) — гладкий ограниченный стационарный процесс. При этом условия на процесс г? в [3] исключают важный класс периодических и почти периодических процессов, в то время как достаточно часто в статистике временных рядов требуется рассматривать случайные процессы с периодическими средним и дисперсией. В частности, необходимое условие существования плотности распределения вектора (г? (t), rf (t), rf' (t)) не выполнено для периодических процессов. В настоящей работе восполняется этот пробел — мы рассматриваем условия, не исключающие периодические случайные среднее и дисперсию. Как и в [3], доказательства основаны на применении метода двойных сумм и асимптотического метода Лапласа с необходимыми в данной ситуации модификациями.

Итак, пусть t € [0,Т], Т > 0, — стационарный гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией r(t), такой, что r(t) < 1 для всех t > 0, и при t —> 0 имеет место разложение

r(t) = 1 - \t\a + o(\t\a), 0 < а < 2.

Обозначим Ф (х) := ф (х) /х, где ф (х) — стандартная гауссовская плотность. Напомним определение константы На Пикандса, 0 < На < oo [1]:

Я,

Нп = lim --— = lim

(S) . Е (exp{suPi€[0,i?]X(i)}

где % (¿) — дробное броуновское движение со средним — \Ца и ковариационной функцией Ща + — — з\а для всех 0 < а ^ 2.

Рассмотрим теперь условия на случайный процесс г? (¿). Пусть существуют положительные неслучайные постоянные р, а, С, такие, что:

г] (¿) почти наверное (п.п.) периодический с периодом р-,

г? (¿) имеет на отрезке [0,р] п.п. единственный максимум во внутренней точке ¿сь равный <т; 0 ^ г] (¿) ^ а п.н.; г/ (¿) независим от процесса £ (¿);

г] (¿) два раза п.н. непрерывно дифференцируемый, —С ^ г/' (¿о) ^ —и п.н.; распределение случайной величины г/' (¿о) имеет плотность, обозначим ее через / (х).

Примером такого процесса может служить X  сое (£ — ¿о)^ 5 где случайная величина X, 0 <

е ^ 1 ^ (Т п.н., независима от процесса £ (¿).

Вернемся к формулировке результатов. Введем число N € такое, что Ир + ¿о < Т < (ТУ + 1)р + ¿о- Основные результаты настоящей работы следующие.

Теорема 1. В приведенных выше условиях при а < 2

Ри,0 = № + 1)- I • аНа (-)1 ЧС-) (1 + 0(1)), и^ оо;

. -п \ — х \<т/ \а/

1-е л/-х

при а = 2

Ри,о = № + 1)-1 * / (ж) (Их • Ф (1 + о (1)), и^оо.

Теорема 2. В приведенных выше условиях

— к _

Риг = (М + 1)- ^Л=/(х)(1х-а~ънаи«~ъ\&(и-а)(1 + о(1)), и ^ оо.

У л/-Ж -с

Следующая теорема является объединением первых двух. Пусть случайный процесс ((¿) п.н. непрерывно дифференцируемый и п.н. периодический с периодом р. Пусть п.н. выполнены неравенства (¿)| ^ В, (С (¿)| ^ А и распределение случайной величины ((¿о) имеет плотность, обозначим ее через д (у).

Предположим, что для некоторого к € плотность д (у) к раз непрерывно дифференцируема слева в точке В, причем д^ (В) = 0 для I < к и д^ (В) ф 0.

Пусть процессы ?у(£), £ (£) и £ (¿) независимы. Обозначим

Рщ2 := Р тах (г? (*) £(*) + ( (*)) > и

\4€[0,Т]

Теорема 3. В приведенных выше условиях при а < 2

при а = 2

= (ЛГ + 1) • [ (х) (1х х

х (-1)кдЮ(В)и%-2-к* (1 + о(1)), и ^ оо]

Ри,2 =

X ^ (в) (1 + 0 (1)) , и ^ оо.

2. Доказательство основных результатов. Пусть £ — точка максимума процесса г] (¿), тогда

Зке С3

для з: — ^ £ = получаем

^ + ^ »/'

Если 8 отстоит от ближайшей точки максимума процесса г? (¿) по крайней мере на р, то

фКа + ^г/Ш"*)2-

Доказательство теоремы 1. Обозначим через ^ = ¿о + 1р, I = 0,1,... , АГ, точки максимума процесса г?(£) на [О, Т]. Для некоторого £1 ввиду (2) и неравенства Ферника имеем

Ри> ш «

+ О ехр -

и2

Согласно (1) вероятность под знаком суммы не превосходит

Р ( шах (1 + т/ШЬ ~ № > ^ \1,ф1-&м+&] \ 2а / а

Применив к процессу := (1 + — ¿)2) £(£), ^ € —теорему В. И. Питербарга

[1] в случае а < 2, получим оценку сверху для последней вероятности

3_2_ --

а2 а / 2тг 2_1

-===< ---Наи° 1Ф(-)(1 + 7(и)), ф)=о(1), и^оо.

V 1 - е

Тогда при и —> оо вероятность

Ри,о <

В случае о; = 2 по той же теореме получаем для искомой вероятности оценку, аналогичную (3):

Теперь перейдем к оценке вероятности снизу:

Р f max г? (i) £(i) > гЛ ^ V Р ( max г? (i) £(i) > и] -

vie[°'Ti ) h v^-fA+i] у

— ^P max r](t)£(t)>u, max r) (t) £(t) > и \ .

i+m ie[im-|,im+|] у

Согласно (1) и рассуждениям, касающимся оценки сверху, мы получаем, что одинарная сумма в оценке снизу стремится к соответствующим оценкам сверху с заменой (1 — е) на (1 + е). Оценим двойную сумму сверху.

Обозначим Ai = [ti - §, ti + §] , Аг = {тах5едг г? (s) > и}. Получаем

P(AtAm)^p( max (£(S) + £(i)) > —) , \(s,t)eДгхДт cr у

D(e(s)+e(t)) = 2 + 2r(i-S).

Тогда существует число А € (0,1), такое, что тахдгХдт (2 + 2r(t — s)) ^ 4 — 4А

Далее, воспользовавшись следствием из энтропийного неравенства Дмитровского [4], получим

Р С.,Жл. '«'> + т> > т) < еХР <

4 ( и2 \ ( и2А\ / /и

Число слагаемых в двойной сумме конечно. Значит, двойная сумма, деленная на одинарную, экспоненциально убывает к нулю при и —> оо. Следовательно, оценки искомой вероятности Ри>о при а < 2 ш а = 2 стремятся к соответствующим оценкам для одинарных сумм. В силу произвольности е получаем утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 2. Обозначим

PuA(V):=P[ max Ш+vit)) >и \te[o,T]

По формуле полной вероятности

Ри,1 = Е

Пусть А = ¿ги_2/а, обозначим Дд. = [кА,(к + 1)Д]. Используя стационарность и периодичность, получаем

( [4] , ,

Ри,1

^ к=о к=о ! \ к /

По лемме Пикандса [1] имеем равномерно по к для некоторой функции 7 (и) 4- 0 при и —> оо оценку сверху для вероятности под знаком суммы:

Далее,

к=0 Б у/и-а уф—аг]" (*0)'

Устремляя 5* —> оо, получаем оценку для (г?) для некоторой функции г/ (и) 4- 0 при и —> оо:

,_ 1 2 1

Дхд (»7) < (1 + V (и)) (ЛГ + 1) • ф2пНа^===и«-2 Ф - а) .

V—О"»/'

Перейдем к оценке снизу. Имеем

Ри, 1 М ^ Е Р

к=0 ^ к ' кф1

Оценка снизу первой суммы в (6) совпадает с ее оценкой сверху с заменой 1 + V (и) на 1 — V (и). Для оценки двойных сумм нам понадобится лемма из [1].

Лемма 1. Пусть в, 1/2 > е > 0, такое, что 1 — ^ Ща ^ г (¿) ^ 1 — 2 Ща для всех £ € [0, е]. Тогда

найдется константа С, такая, что для всех Л > 0, Ао > А, и ^ (2 (Ло + Л) /е)аимеет место неравенство

Р ( тах £(*) > и, тах £(*) > и ) < СЛ2Ф (и) е"^0"^.

у[0,м-2/«Л] м-2/«[Л0,Ло+Л] у

Применяя несколько раз эту лемму и лемму Пикандса, для всех достаточно больших и и некоторых констант С2, Сз, С4 приходим к оценке снизу

—к

2 1 Г 1

^ (1 - I/ (и)) (N + 1)- л/2ттНаи"2 / (ж) (¿жФ (и - а) -

-с

— к

- + + J 1 /

-с

а в силу (4), (5) имеем оценку сверху

— к

2 1 Г 1

Ри ^ (1 + ^ (и)) (ЛГ + 1) • л/2кНаи~-2 / / (ж) с?жФ (и - а) .

-с

Переходя в неравенствах к нижнему и верхнему пределам и устремляя ¿> к бесконечности, получаем утверждение теоремы 2.

Доказательство теоремы 3. Действуя по схеме доказательства теоремы 1, в случае а < 2 получим

P,,2«(w + i)<7l-i J -г=/М dx fj

1-е

Г В 2 / и _ _

(и - у - А5)~- Ф -у-- ) д (у) dy (1 + 7(и)), и -»• оо.

J-в \ <т

В случае а = 2 имеем при и —> оо оценку

х /дф(" "„ М]я(у)<1у(1 + 1(к)).

Как и в теореме 1, доказываем, что двойная сумма, деленная на одинарную, экспоненциально убывает к нулю при и —> оо. В завершение доказательства воспользуемся леммой работы [4].

Лемма 2. Пусть д (х), х € [а, В] , — оо < а < В < оо, — ограниченная функция, которая к раз непрерывно дифференцируема в точке В. Кроме того, <7 (В) = 0 для I < к и д^ (В) ф 0. Тогда при и —> оо имеет место равенство

в

I д(х)Ч>(и- х) (1х = (-1)* д{к) (В) и"^Ф (и - В) (1 + о (1)).

а

Авторы приносят искреннюю благодарность научному руководителю В. И. Питербаргу за постоянную поддержку и помощь в написании данной работы, также авторы благодарны рецензенту за ценные замечания, которые позволили существенно улучшить содержание статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Piterbarg V.I. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields // AMS Transl. Math. Monogr. Vol. 148. Providence, R.I., 1996.

2. Hiisler J., Piterbarg V.I., Rumyantseva E. V. Extremes of Gaussian processes with a smooth random variance // Stochast. Processes and Appl. Vol. 121. Elsevier BV, Netherlands, 2011.

3. Питербарг В.И., Румянцева Е.В. Экстремумы гауссовских процессов со случайными параметрами. Деп. в ВИНИТИ РАН № .",7! 152007. М., 2007.

4. Piterbarg V.I., Stamatovich S. On maximum of Gaussian non-centered fields indexed on smooth manifolds.Weier-strass-Institut fur Angewandtre Analysis und Stochastic. Preprint N 449. Berlin, 1998.

Поступила в редакцию 16.11.2015

УДК 517.9

О ЛИНИЯХ УРОВНЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С НЕКОТОРЫМИ АБЕЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

В. В. Фуфаев1

В работе исследована геометрия линий уровня гармонических функций, представляющих собой вещественные части некоторых абелевых интегралов. Гармонические функции рассматриваемого вида возникают при изучении асимптотики решений дифференциаль-

1 Фуфаев Владимир Владимирович — ассист. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fufaev vvQyandex .ru.