Контактная напряжённость прямых зубьев эвольвентных зубчатых передач в условиях перекосов в зацеплении

УДК 621.833

КОНТАКТНАЯ НАПРЯЖЕННОСТЬ ПРЯМЫХ ЗУБЬЕВ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕКОСОВ В ЗАЦЕПЛЕНИИ

© 2011 г. В.И. Короткин, Д.А. Газзаев, Д.Ю. Сухов

Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону

Southern Federal University, Rostov-on-Don

Приведены результаты моделирования напряжённого состояния в контакте зубьев прямозубых эвольвентных зубчатых передач, работающих в условиях перекосов осей колёс. Установлено, что применяемые стандартные расчёты дают завышенную нагрузочную способность передачи, а расчёт рекомендовано проводить с учётом эффективных контактных напряжений. Показано, что для работающих при перекосах передач увеличение радиусов профильной кривизны поверхностей в контакте не приводит к дополнительному (помимо вытекающего из формулы Герца) повышению нагрузочной способности передачи.

Ключевые слова: прямозубая эвольвентная зубчатая передача; моделирование; нормальные контактные напряжения; эффективные контактные напряжения; перекосы в зацеплении.

The paper presents results of modeling the stress state in the teeth contact of involute strain gears which work with skewness of axes of wheels. Established that standard calculations which used now, give overestimated load carrying capacity of transmission and the calculation is recommended to conduct taking into account effective contact stress. Shown that for working with skewness of gearing increases the radius of profile curvature of surfaces in contact does not lead to additional (apart from the formula of Hertz) increase the load capacity of gear.

Keywords: involute strain gear; modeling; normal contact stresses; effective contact stresses; skewness in gear meshing.

Одним из существенных недостатков эвольвентных зубчатых передач, проектируемых в расчёте на теоретически линейный контакт, является, как известно, их повышенная чувствительность к возникающим в реальном зацеплении перекосам, что приводит к концентрации передаваемой нагрузки и напряжений в области торцов и, как следствие, снижению нагрузочной способности зубчатой передачи.

Стандартный расчёт [1] на контактную прочность поверхностей зубьев базируется на решении плоской контактной задачи Герца для линейного контакта, а концентрация нагрузки учитывается так называемым коэффициентом Кнр неравномерности распределения передаваемой нагрузки по длине контактных линий, который для прямых зубьев характеризует в конечном итоге концентрацию нормальных контактных напряжений по их длине. В силу сказанного для удобства дальнейших рассуждений введём коэффициент Кнст концентрации нормальных контактных напряжений по длине зубьев, который представляет собой отношение реального нормального напряжения стн к

нормальному герцевскому напряжению стН для «идеальной» передачи, не имеющей перекосов в зацеплении, т.е.

KH а = а H 1 ан

Связь между используемым в [1] коэффициентом КНр и введённым коэффициентом Кна выражается

зависимостью Кнст =^КН р .

Принимая для упрощения анализа единичный коэффициент еа профильного перекрытия зубьев передачи (еа = 1) и имея в виду рекомендованную стандартом в качестве расчётной полюсную зону, запишем для этой зоны формулу Герца (при одинаковых для взаимодействующих поверхностей модуле упругости E = 2-105 МПа и коэффициенте Пуассона ц = 0,3):

CTH = 186,9VFn /

где Fn - нормальное сжимающее усилие (Н), bw -длина зуба, мм, ра - приведенный профильный радиус кривизны взаимодействующих поверхностей зубьев в точке контакта, мм.

Если иметь в виду перекосы в зацеплении, связанные с погрешностями изготовления зубчатых колёс и сборки пары, то коэффициент KHст (как и KFр) зависит от отклонений по нормам контакта [1], причём в процессе расчёта и проектирования зубчатых передач оперируют соответствующими допусками: Fp12 -

допуск на направление зуба (нижний индекс «1» относится к ведущей шестерне, индекс «2» - к ведомому колесу); fx - допуск непараллельности осей передачи; fy - допуск на перекос осей передачи.

Принимая нормальный закон распределения технологических отклонений, запишем выражение для вероятного значения Fv отклонений:

Fv = ^FP2 + Fp22 + (fx sin a)2 + (fy cos a)2 / Kc ,

где Кс - коэффициент, зависящий от закона распределения погрешностей, при нормальном распределении Кс = 3; ^ - коэффициент, зависящий от принятой «степени риска», при рекомендуемой «степени риска» 3 % он равен ^ =2,17 [2]; а - угол профиля исходного контура.

Учитывая, что, согласно [3], Fp1 = Fp2 = Fp = fx,

fy = 0,5Fp, получим для передач со стандартным исходным контуром (а = 20°):

Fv = .

Параметр Fv обобщённо характеризует технологические перекосы в зацеплении. В дальнейших рассуждениях будем вместо Fv оперировать более удобным параметром - технологическим углом у перекоса, равным

У = Fv / Ь№ .

Для получения суммарного угла перекоса в формулу (4) в качестве алгебраического слагаемого следует добавить угол перекоса, который зависит от податливости конструкции, его величина при проектировочных расчётах может быть принята по рекомендациям работы [4].

Выше упоминалось, что стандартный расчёт [1] основан на решении плоской задачи. Однако при наличии перекосов мы имеем картину объёмного напряжённого состояния, и задача определения напряжений должна решаться как пространственная контактная задача. В этом случае, как показано в [5], в качестве критериальных должны учитываться не нормальные стн , а эффективные (эквивалентные) контактные напряжения стНе, которые в соответствии с энергетической теорией прочности выражаются в некоторой системе координат xyz через нормальные (ст) и касательные (т) напряжения :

He = 2

-0,5

[(СТ х y )2 + (СТ y z )2 + -

0,5

^ + (ст * -ст х )2 + 6(т2Ху +т2уг +т]х ) ]

Отметим, что для линейного контакта (частный случай) справедливо при ц = 0,3 [5]:

< = 0,4aH.

Целесообразность последнего требует некоторого пояснения. Дело в том, что одним из авторов в литературе многократно декларируется тезис о том, что при работе эвольвентных передач с перекосами увеличение угла зацепления и, следовательно, приведенного радиуса ра профильной кривизны поверхностей в точке контакта приводит к дополнительному повышению нагрузочной способности сверх той, которая обусловлена герцевской зависимостью (2). Такое явление этот автор назвал «эффектом кривизны» [6 и др.]. Нами предпринята попытка проверить данное положение.

Исследование перечисленного выполнено с помощью моделирования в конечно-элементной среде ANSYS напряжённо-деформированного состояния зубьев в рамках решения пространственной контактной задачи.

Схема нагружения представлена на рис. 1.

О 2

R2cosa

В настоящей статье поставлены следующие задачи:

1. Дать оценку адекватности стандартного расчёта [1] нормальных контактных напряжений поверхностей прямых зубьев реальной картине их взаимодействия в условиях перекосов в зацеплении;

2. Провести расчёт и анализ результатов эффективных контактных напряжений прямых зубьев, работающих с перекосами;

3. Выполнить сопоставление напряжённого состояния при перекосах прямых зубьев со стандартным (а = 20 °) и увеличенным (а = 30 °) углом зацепления.

Oi

Рис. 1. Схема нагружения зубьев передачи

Зубья 1 и 2 имеют жёсткие заделки оснований, определяющие граничные условия и заменяющие отброшенные части ободов зубчатых колёс, параметры заделок выбраны по результатам ранее выполненных исследований [7]. Нагружение производилось вращающим моментом, что обеспечивало возможность зубьям претерпевать не только контактные, но и изгибно-сдвиговые деформации по отношению к своим заделкам. Вращающий момент Р1 вокруг оси 02 прикладывался к зубу 2 через его заделку, при этом необходимое нормальное усилие Fn, вектор действия которого показан стрелкой, понимается как интегральная сжимающая нагрузка, распределённая по

возникающей в процессе взаимодействия зубьев контактной площадке; это усилие обеспечивается равенством FnR2cos а = Р1, где R1, R2 - начальные радиусы соответственно колеса 1 и 2.

Непосредственно модель взаимодействия зубьев 1 и 2 изображена на рис. 2, где К - точка первоначального касания поверхностей зубьев. Угол у перекоса осуществлялся в плоскости, определяемой линиями направления зуба и действия нормальной силы, и принимал требуемые значения, включая у = 0 .

Рис. 2. Расчётная модель

В приповерхностном слое обоих тел была выделена зона регулярного разбиения, которая в виде участков, эквидистантных поверхности, углублялась внутрь тела на некоторую величину. Для построения эвольвентной поверхности использована сплайн-интерполяция второго порядка. КЭ-модель сформиро-

вана с применением квадратичных элементов SOLID95 и контактной пары СОЫТА174 - TARGE170.

Тестирование задачи осуществлялось при условии у = 0, при этом полученные при моделировании напряжения стН и аНе сравнивались с вычисленными по (2), (5). Для наилучшего приближения условий моделирования к классической задаче Герца зубьям запрещались изгибные перемещения, для чего нерабочие профили жёстко закреплялись.

В табл. 1 приведены результаты тестирования для передач с параметрами т = 5 мм, Ь№ = 60 мм,

Еп = 15000 Н и углами зацепления а = 20 ° и а = 30 °. В табл. 1и далее нормальные напряжения сжатия приведены по модулю, т.е. без знака «минус».

Из табл. 1 следует, что совпадение результатов моделирования с теоретическими составляет около 2 %, что вполне приемлемо.

Таблица 1

Результаты тестирования задачи

а Расчёт по (2), (5) Моделирование

стН , МПа стН , МПа стН , МПа ст Не , МПа

20° 925 370 928 378

30° 765 306 765 308

В табл. 2 представлены результаты моделирования для передачи с вышеуказанными параметрами при различных углах у перекоса и свободно изгибающихся зубьях. Поскольку радиус ра кривизны у передачи а = 30 ° больше соответствующего радиуса у передачи а = 20 ° в sin30 ° ^ш20 ° раз, то в таком же отношении увеличено нормальное усилие Еп для первой передачи по сравнению со второй, что обеспечивает равенство для обеих передач герцевского напряжения по (2) и эффективного напряжения по (5).

Таблица 2

Результаты моделирования для передач с параметрами т = 5мм, Ьк = 60мм

а = 20 °, Fn = 15000 Н Y, рад, а = 30 °, Fn = 21930 Н

ст Н, МПа KH ст ст Не, МПа KH сте ст Н , МПа KH ст ст не, МПа KH сте

1011 1,09 585 1,58 0,00005 956 1,03 584 1,58

1035 1,12 601 1,62 0,0001 987 1,07 602 1,63

1079 1,17 634 1,71 0,0002 1043 1,13 646 1,75

1126 1,22 668 1,81 0,0003 1099 1,19 689 1,86

1217 1,32 735 1,99 0,0005 1187 1,28 767 2,07

1440 1,56 902 2,44 0,001 1354 1,46 908 2,45

1744 1,89 1143 3,09 0,002 1645 1,78 1138 3,08

1931 2,09 1302 3,52 0,003 1864 2,02 1318 3,56

2287 2,47 1599 4,32 0,005 2210 2,39 1600 4,32

2966 3,21 2204 5,96 0,01 2798 3,02 2135 5,77

В табл. 2 приведены максимальные значения напряжений. Как следует из приведенных на рис. 3 и 4 примеров, максимальные нормальные напряжения располагаются не на торце зубчатого венца, а вблизи него, в то время как критериальные максимальные эффективные напряжения действуют на самом торце. Приведены также полученные коэффициенты Кнст концентрации нормальных напряжений, вычисленные в соответствии с соотношением (1), и коэффициенты концентрации Кное = <зне / а°не эффективных напряжений (см. также тестовые данные из табл. 1). о, МПа

оНе

/

Он

bw, мм

m-5 b=60 Р п-15000 z_l»17 z_2-4Q al-20 х-0 gamma=.100Е-С2 stress_x—1Т4 0

Рис. 3. Графики распределения по длине зуба нормальных (стH ) и эффективных (стHe) контактных напряжений для

передачи с параметрами а = 20°, m = 5 мм, bw = 60 мм, ра = 10,2 мм, Fn = 15000 H, X = 0,001рад.

о, МПа

Оне

--

ционального им увеличения нормального сжимающего усилия изменяются незначительно (практически в пределах точности счёта). Это свидетельствует о том, что говорить здесь о каком-либо «эффекте кривизны», декларируемом автором работы [6], нет оснований.

Отметим важное обстоятельство - коэффициенты Кнг5е концентрации эффективных напряжений во всех случаях существенно превышают коэффициенты Кн а концентрации нормальных напряжений, из чего следует, что эффективные напряжения при работе передач с перекосами в зацеплении являются лимитирующим фактором.

Произведём теперь оценку стандартного расчёта [1] нормальных напряжений (эффективные напряжения в стандартном расчёте вообще не рассматриваются), сопоставив его с результатами моделирования, представленными в табл. 2.

В соответствии с [1] коэффициент Кнр может

быть представлен в виде

KhP= (1 + 0,4bW ic / Fn),

где с - удельная жесткость пары зубьев.

Согласно данным ГОСТа [1], угол у перекоса

рассчитывается из соотношения у = 0,5^ / Ь№ , в то

время как при моделировании использованы соотношения (3) и (4). Поэтому для корректного сравнения в формуле (6) при расчёте по [1] множитель 0,4 должен быть заменён на 0,4 • 0,5/1,1 = 0,182.

В табл. 3 представлены результаты расчёта нормальных напряжений по [1] для передачи со стандартным исходным контуром (а = 20°) и указанными выше параметрами (принято с = 15523Н/мм2). В последнем столбце табл. 3 дано отклонение Дст напряжения, полученного при моделировании, от рассчитанного по [1].

Таблица 3

Результаты расчёта нормальных напряжений по стандарту [1] для передачи с параметрами

т = 5 мм, = 60 мм, ра = 10,2мм, Fn = 15000 Н

bw, мм

m-5 Ь-60 P_n-21930 zJL»17 z_2-40 al-30 x-0 gamma-,100E-02 stress_x=-1354

Рис. 4. Графики распределения по длине зуба нормальных (стH ) и эффективных (стHe) контактных напряжений для

передачи с параметрами а = 30°, m = 5 мм, bw = 60 мм, ра = 14,9 мм, Fn = 21930 H, X = 0,001 рад.

Из табл. 2 следует, что как нормальные, так и эффективные напряжения, а также соответствующие коэффициенты концентрации напряжений при увеличении радиуса кривизны профилей зубьев и пропор-

1, рад, KHß KH ст ст H , МПа Дст, %

0,00005 1,034 1,017 941 7,4

0,0001 1,068 1,033 956 8,3

0,0002 1,136 1,066 986 9,4

0,0003 1,203 1,097 1015 10,9

0,0005 1,339 1,157 1071 13,6

0,001 1,678 1,295 1199 20,1

0,002 2,356 1,535 1420 22,8

0,003 3,034 1,742 1612 19,8

0,005 4,390 2,095 1939 17,9

0,01 7,780 2,789 2581 14,9

Из табл. 2 и 3 видно, что нормальные напряжения, полученные моделированием, превышают соответст-

вующие напряжения, рассчитанные по [1], причём эта разница варьирует и в среднем составляет 15...17 %. Получается, что расчёт по [1] даёт неоправданное занижение нормальных контактных напряжений и, следовательно, завышение нагрузочной способности передачи даже по этим напряжениям (не говоря уже об эффективных).

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Оценка напряжённо-деформированного состояния зубьев эвольвентной зубчатой передачи, работающей в условиях действия технологических погрешностей (перекосы и т.д.), должна производиться в рамках решения пространственной, а не плоской контактной задачи, что повышает достоверность получаемых результатов;

2. Результаты, получаемые по стандартным расчётам, базирующимся на решении плоской задачи, дают занижение нормальных контактных напряжений на 15.17 % и, следовательно, завышение нагрузочной способности передачи;

3. Концентрация эффективных контактных напряжений при перекосах в зацеплении значительно превышает концентрацию нормальных контактных напряжений; эффективные напряжения являются лимитирующим фактором, и контактные расчёты следует вести с учётом этих напряжений;

4. При моделировании напряжённого состояния зуба прямозубого эвольвентного колеса, проводимого в рамках решения объёмной задачи, установлено, что максимальные нормальные напряжения находятся не на торце зуба, а на некотором расстоянии от него, в то время как максимальные эффективные напряжения расположены на торце;

Поступила в редакцию

5. Наличие перекосов в зацеплении повышает контактную напряжённость зубьев эвольвентной зубчатой передачи в одинаковой степени независимо от параметров исходного контура и профильных кривизн в контакте. Следовательно, никаких так называемых «эффектов кривизны», о которых говорится в цитируемых выше источниках, не установлено.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 10-08-00031.

Литература

1. ГОСТ 21354-87. Передачи зубчатые цилиндрические звольвентные. Расчет на прочность. М., 1988. 125 с.

2. Короткин В.И., Онишков Н.П., Харитонов Ю.Д. Зубчатые передачи Новикова. Достижения и развитие. М., 2007. 384 с.

3. ГОСТ 1643-81. Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски. М., 1981. 69 с.

4. Часовников Л.Д. Передачи зацеплением (зубчатые и червячные) : 2-е изд., перераб. и доп. М., 1969. 486 с.

5. Ковальский Б.С. Расчет деталей на местное сжатие. Харьков, 1967. 233 с.

6. Журавлев Г.А. К обсуждению физических основ совершенствования зубчатых передач // Редукторы и приводы. 2007. № 1, 2 (08). С. 74 - 85.

7. Короткин В.И., Колосова Е.М., Сухов Д.Ю. Коэффициент формы зуба при расчёте на изломную прочность цилиндрических эвольвентных зубчатых колёс, работающих в условиях локального контакта // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2009. № 5. С. 78 - 84.

28 февраля 2011 г.

Короткин Виктор Ильич - канд. техн. наук, доцент, заведующий лабораторией, Южный федеральный университет. Тел. (863)2975223. E-mail: korotkin@math.rsu.ru

Газзаев Дмитрий Алексеевич - инженер, Южный федеральный университет.

Сухов Дмитрий Юрьевич - младший научный сотрудник, Южный федеральный университет.

Korotkin Viktor Iljich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Head of Laboratory, Southern Federal University. Ph. (863)2975223. E-mail: korotkin@math.rsu.ru

Gazzayev Dmitry Alekseevich - engineer, Southern Federal University.

Suhov Dmitry Jurjevich - Junior Research Associate, Southern Federal University.