Поглощение энтропийного слоя вязким слоем

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX 1 9 7 8 №5

УДК 532.526.533,694.71/72

ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНТРОПИЙНОГО слоя ВЯЗКИМ СЛОЕМ

Л. А. Соколов

Рассмотрена задача о поглощении энтропийного слоя вязким слоем. Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, дан вывод уравнений и граничных условий, описывающих поставленную задачу. Приведены примеры численных расчетов.

Наличие сильно искривленных скачков уплотнения около тонких затупленных тел приводит к большим градиентам энтропии у поверхности тела. В настоящее время вопрос о влиянии внешней завихренности на характеристики пограничного слоя хорошо изучен. В литературе обсуждаются различные подходы к решению таких задач [1—6].

На основе анализа данных по распределению градиентов скорости в невязком потоке по поверхности тела в пограничном слое в работе [4] сделаны следующие выводы: при больших значениях чисел Рейнольдса в окрестности носка тела расчет пограничного слоя можно проводить без учета влияния завихренности на его внешней границе. В кормовой части тела большие значения невязкого градиента скорости имеют место в тонком слое вблизи стенки, поэтому этот слой можно включить в пограничный слой (т. е. энтропийный слой поглощается пограничным слоем). При этом граничные условия на внешней границе пограничного слоя формулируются без учета завихренности. К такому же выводу приводит анализ асимптотического поведения решений уравнений Навье— Стокса, описывающих сверхзвуковое течение вязкого газа около тела с малым затуплением. Пока расход газа в энтропийном слое около носка тела имеет тот же порядок, что и в пограничном слое в кормовой части тела, в рамках асимптотической теории энтропийный слой и пограничный слой описываются общей системой уравнений. В данной работе эта задача решена при стремлении радиуса кривизны затупления носка тела к нулю.

В данной работе рассматривается класс плоских затупленных тел, наклон боковой поверхности которых при предельном переходе

Re -> oo остается фиксированным. При таком предельном переходе расход газа через энтропийный слой и толщина энтропийного слоя могут быть оценены по порядку величины, равного радиусу затупления. Ограничимся случаем, когда влияние вязкого взаимодействия через давление слабое, пограничный слой развивается внутри энтропийного, относительная толщина пограничного слоя 0

и Моо^>0(1), где rw и г,-расстояние от оси тела до поверхности тела и до ударной волны соответственно. Тогда давление на теле может быть оценено по порядку величины из решения, соответствующего обтеканию тела невязким потоком. При этом вблизи носовой части тела существует область, в которой влияние затупления на распределение давления существенно, а ниже по течению — область, в которой давление может быть оценено из решения для заостренного клина.

Естественно, между этими областями имеется переходная область. Значительная в сравнении с размером носовой части протяженность рассматриваемых областей течения показывает, что влияние деталей в распределении давления или углов наклона скорости в переходной области затухнет на некотором удалении от него, и на течение вниз по потоку будут влиять распределение энтропии по линиям тока в энтропийном слое. Это справедливо лишь асимптотически, для достаточно удаленной от носовой части области. Однако анализ результатов работы [9] показывает, что для затупленных тел с прямолинейными образующими боковой поверхности выравнивание давления происходит уже на расстоянии нескольких радиусов затупления, что существенно повышает прикладное значение теории. Интерес к такого рода предельному переходу предопределяется задачами о течениях в локальных областях, возникающих при асимптотическом подходе к решению уравнений Навье —Стокса.

Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, дан вывод уравнений, граничных условий и приведены результаты численных расчетов рассматриваемой задачи.

1. Рассмотрим задачу об обтекании плоского тела с малым затуплением носка сверхзвуковым потоком вязкого газа. Будем считать безразмерный радиус затупления rjL малой величиной,

порядка e = Re-1/2, где Re — Р°° 00---число Рейнольдса, вычис-

ленное по линейному размеру L и параметрам набегающего потока. Индекс „0“ означает, что параметры берутся при температуре торможения.

Выберем криволинейную систему координат (s, п), начало которой совпадает с критической точкой затупленного носка. Уравнения Навье — Стокса для двумерного течения можно записать в виде [7]:

(Р»), + Ю +kn)pv]n = 0,

. , Ь \ , ps

Здесь отброшены те члены (обозначены многоточием), которые нам в дальнейшем не понадобятся, £ — кривизна поверхности (п = 0), и, V — тангенциальный и нормальный компоненты скорости, р — плотность, р — давление, Т — температура, о—число Прандтля. Как уже предполагалось, значение кривизны имеет порядок Л~0(е-!).

Нетрудно установить, что в большей части течения при Ие -> оо влияние вязкости исчезает и уравнения Навье — Стокса переходят в уравнения Эйлера. Вблизи поверхности тела в пределе при Ие -»оо образуется поверхность контактного разрыва. Если вдоль такой поверхности продольные градиенты параметров течения не очень велики, ее структура в первом приближении, как известно, описывается уравнениями типа уравнений пограничного слоя Прандтля.

Предположим, что основное положение теории пограничного слоя выполняется всюду, кроме окрестности малого затупления, длина которой по порядку величины равна е. В пределе Яе -» оо (е -+ 0) длина такой области, а также и само затупление будут стремиться к нулю. Характер особенности, возникающей при использовании метода возмущений, можно понять, рассматривая предельный процесс при стремлении к нулю затупления носовой части. Можно видеть, что для тел с прямолинейными образующими (клин, конус) этот предельный процесс эквивалентен сжатию системы координат или физически —перемещению в бесконечность при фиксированном затуплении носовой части [8].

2. Вводя соответствующие масштабы независимых переменных и асимптотических представлений для функций, получим следующую картину течения. На фиг. 1 изображен предельный вид течения при Ие оо в масштабе ($, я)~0(1).

Область 1 с характерными масштабами 5, га~0(1) описывается полными уравнениями Эйлера. Им соответствуют обычные граничные условия задачи о невязком течении, включая условия равенства нулю нормальной на теле составляющей вектора скорости, условия совместности на ударной волне и контактных поверхностях, если такие образуются.

Область 2 с характерными масштабами («, О(е) также описывается уравнениями Эйлера. Уравнения Эйлера не могут удовлетворять условиям прилипания. Следовательно, вблизи поверхности тела должны быть области течения 32 и 5 вязкого газа.

Фиг. 1

Соответствующие масштабы координат и асимптотические разложения для области 32 имеют вид:

5 п

^32 г > ^32 “ ^3/2 >

и (в, п, е) = и32 (5а2, п32) +...; V (5, п, 8) = г3'2 va2 ($з2, л82) + ...;

/?(5, П, 0 —/»82 (*«*» «3*)+ •••; р(*1 п> ) = р32 (^82, Лаг) + .--;

Я(в, п, г) =//,2(532, А(з) — -|-Ава(*и)-

Подстановка (1) в уравнения Навье — Стокса и предельный переход е .-* О приводят к уравнениям Прандтля с обычными граничными условиями.

Задача в области 32 решается с заданным распределением давления, которое получается из рещения невязкой задачи для области 2.

Течение в области 5 также описывается уравнениями пограничного слоя. Соответствующие масштабы координат и асимптотические представления для функций течений для области 5 имеют вид:

s5 = s,. . п5 = п/в,

u

H(s, я, ») = H&(s6r я5) + ...; v(s, я, е) = tv-0 (s5 я5) ..,

p(s, я, e) = p6(sBt л*)'+; k(s, s) = A8(ss).

Сращивание решений для областей 2 и 5 дает начальные профили распределения параметров в области 5 при sb 0 и s2 -» оо. Это следует из принципа сращивания и следующих соотношений:

S5 -- е&>, tt(£ -- tl^y

Hm«2(s2, я2) = и5 (0, п&), оо, limp2(s2, ti2) — Pi(0), s2~* оо.

3. Задача для области 2 решена в работе [9], где приведены результаты расчетов распределения давления на поверхности клиновидных профилей с круговым затуплением, обтекаемых сверхзвуковым потоком совершенного газа. Полученное в работе [9] распределение скорости на поверхности тела является внешним краевым условием для задачи в области 32.

Если ввести переменные

П

Те\ и — и/й*; 71==|Иай?я,

5* = j Ре ие

,?edx = V Н

о

то для описания течения в области 32 получим следующую систему уравнений:

{Nfy + //" + р (g - П = а (/'/'• - /• /");

(-7- s') +fs' + T^v(^)2 = “ (/' g‘ - / £');

I* dx D a due ue' P[A

'i* ue dx ’ ' He ’ p,^

Граничные условия запишем в следующем виде:

/(5, 0)=/'($, 0) = 0, ^,0) = ^,

./'(?, Ч)- 1. ,

1J-+-00

Если ввести переменные

и = —

и.

п

г

р й?Я,

1---7 *

Ь* = У 2/?о +|реи,н.,йх

то для описания течения в области 5 получим следующие уравнения:

(МП'

~ g,'} .+/е' + =* (/' г- - /я');

цл, &Х ^ 1 г___

а 51*’ ^ ^

Не

Ре

с граничными условиями

/(£, 0) =/'(£, 0) = 0; ^(Е,0) = ^;

/(5, ч)-» 1; г (5, •>!) -* 1

1)-+-оо 1}-*-00

и начальными условиями

/'

Начальные условия (4) для задачи (3) получаются из принципа сращивания (2) и для численного расчета взяты из работы [8], где приведены решения при Яг -> оо. Так как в работе [8] рассматривалась обратная задача, то использование данных из нее вносит некоторую погрешность в численные расчеты.

Методы решения уравнений пограничного слоя с произвольными начальными условиями рассмотрены в работе [10].

На фиг. 2 и 3 представлены распределения по Е значений безразмерного коэффициента трения на стенке су и безразмерного с/

0.3

0,2

о,*

о 1 ' г ' з * 5 *

Фиг. 2

Фиг. 3

удельного теплового потока См, рассчитанных по следующим формулам:

где І/та* — максимальная скорость в набегающем потоке; г—радиус затупления.

Для сравнения на фиг. 2 и 3 пунктиром нанесены значения коэффициентов поверхностного трения и удельного теплового потока на клине без затупления. Видно, что затупление вызывает уменьшение коэффициента поверхностного трения и теплового потока.

1. Гендерсон А. Гиперзвуковые вязкие течения. Сб. «Современные проблемы газовой динамики'. М., .Мир", 1971.

2. Лунев В. В. Метод среднемассовых величин для пограничного слоя во внешнем потоке с поперечной неоднородностью. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1967, № 1.

3. Мурзинов И. Н. Ламинарный пограничный слой на затупленных телах с учетом завихренности внешнего потока. „Изв. АН СССР, Механика", 1966, № 6.

4. Ферри А. Влияние кривизны ударной волны на поведение гиперзвукового пограничного слоя. „Механика*, 1960, № 5.

5. Николаев В. С. Вязкое гиперзвуковое течение за параболическим осесимметричным скачком. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1964, № 6.

6. Провоторов В. П. Аэродинамические характеристики тонкого затупленного клина в вязком гиперзвуковом потоке. Труды ЦАГИ, вып. 1214, 1970.

7. Ван-Дайк М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел ги-перзвуковым потоком. Сб. статей .Исследование гиперзвуковых те-чений“, М., „Мир”, 1964.

8. Я к у р а Дж. Теория энтропийных слоев и затупление носка в гиперзвуковом течении. Сб. статей „Исследование гиперзвуковых течений', М., „Мир', 1964.

9. Б а з ж и н А. П., Челышева И. Ф. Аэродинамические характеристики затупленных клиновидных профилей. Труды ЦАГИ, вып. 1034, 1966.

10. Нейланд В. Я. О решении уравнений пограничного слоя при произвольных начальных условиях. ПММ, т. 30, вып. 4, 1966.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 4/Х 1977 г.