Концентрация напряжений в упругих телах с множественными концентраторами

Механика

УДК 539.219.2

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГИХ ТЕЛАХ С МНОЖЕСТВЕННЫМИ КОНЦЕНТРАТОРАМИ

В. И. Горбачёв1, P.P. Гаделев2

Рассматривается концентрация напряжений при наличии в упругом теле двух и более упругих концентраторов. Отдельно взятый концентратор в отсутствие остальных создает свое поле напряжений, которое вычисляется через внешнее поле с помощью тензора-оператора концентрации. Поле напряжений от нескольких концентраторов заменяется взаимодействием полей напряжений каждого из концентраторов. В работе исследуется тензорная теория концентрации напряжений от нескольких концентраторов различной природы, описывающая их взаимодействие. Найдено приближенное аналитическое выражение для тензора концентрации напряжений в плоскости с двумя круговыми отверстиями, которое сопоставляется с известными решениями.

Ключевые слова: упругость, концентрация напряжений, тензор концентрации.

The stress concentration is considered in the case of two and more elastic concentrators in an elastic body. A single concentrator, in the absence of the others, creates its stress field calculated using an external field by means of the concentration tensor-operator. The stress field from several concentrators is replaced by the interaction of the stress fields of each of the concentrators. The tensor theory of stress concentration from several concentrators of various nature, approximately featuring the interaction of concentrators, is studied. An approximate analytical expression for the stress concentration tensor is found in the plane with two circular holes and is compared with known solutions.

Key words: elasticity, stress concentration, concentration tensor.

1. Оператор концентрации напряжений. Рассмотрим задачу об упругом равновесии тела с инородными упругими включениями — концентраторами напряжений. Наряду с этой задачей рассмотрим точно такую же задачу для тела той же формы, только без концентраторов (тело сравнения). Пусть uij и Tij — напряжения в исходном теле с концентраторами и в теле сравнения. В [1] показано, что напряжения Uij в теле с концентраторами выражаются через деформации eki в теле сравнения с помощью интегральной формулы

dj Ы)

f r 1 d^lj

У

где V — область, занимаемая телом; Cijki(x) и hijki компоненты тензоров модулей упругости исходного тела и тела сравнения; (x,0 — компоненты тензора напряжений Грина исходной краевой задачи. Выражение (1) можно записать в следующем виде:

Oij

v

Где aA — интегральный оператор концентрации напряжений; K(x, С) — сингулярное ядро, являющееся тензором четвертого ранга, компоненты которого имеют вид

да\m)

Kijki(x,C) = Cijmn(x)HmnkiS(x - С) + [А mnkl Cmfipqij^jHpqki^

дСп

Здесь 5(x - С) = 5(xi - Сi)5(x2 - (2)^x3 - Сз) — дельта-функция Дирака [2]; Aji = (Sik 5ji + 5ц 5jk)/2 — компоненты единичного тензора четвертого ранга [3]; Sj — дельта Кронекера; Hijki — компоненты тензора податливостей тела сравнения, обратного к тензору модулей упругости: Hijki = h^ki-

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorbyQmech.math.msu.su.

2 Гаделев Руслан Рамилевич — соискатель каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ruslan.gadelevQgmail.com.

В случае когда напряжения в теле сравнения не зависят от координат, т.е. г = const, интегральный оператор концентрации становится просто тензором четвертого ранга A = A, компоненты которого

Aijki(x) = J Kijki(x, £) dV(.

V

являются функциями координат, не симметричными по первой и второй парам индексов: А^^г = А^щ-

2. Разложение оператора концентрации на однородную и неоднородную части. Представим далее оператор А в виде суммы тензора концентрации А и оператора А 1 которые назовем соответственно однородной и неоднородной частями оператора концентрации: А = А + А

При т = Т (х) однородная часть оператора концепт рации напряжений, или иначе тензор концентрации, учитывает влияние напряжений в теле сравнения на величину напряжений в теле с концентраторами. В самом деле, из (2) получаем

е(х) = Ае = / км) л* = /к(х,0 ^ е(х) + / кОг.шш - Фт = (А + Г)е,

V V г V

А*Т = ] К(х,С) [г(С) - е(х)] .

V

Неоднородная часть учитывает влияние неоднородности напряженного состояния в теле сравнения на концентрацию напряжений. Представим неоднородную часть оператора концентрации в виде суммы дифференциальных операторов, каждый из которых учитывает влияние только производных д-го порядка от напряжений в теле сравнения. Для этого предположим, что напряжения т являются гладкими функциями координат, и выразим т(С) через т(х) с помощью ряда Тейлора:

1

Г

q=0 д'

Индексы после запятой обозначают частные производные по координатам, соответствующим значениям индексов.

Подставив (3) в правую часть формулы (2), получим

те

K(x,0r(0 dVs = £ / K(x,£)nn...i?(x,£) dVs Z,n...iq(x) =

<x> V <x> 4 V <x> <x>

= £ An...iq (x)r,i1...iq(x) = £ A(q) dq z = (a + £ A(q) dq) Z ^ A* = £ A(q) ddq-

q=0 q=0 q=1 q=1

Здесь с^ обозначает всевозможные производные д^го порядка, так что с^ т = тг1 г  Коэффициенты A

= Аг1 ...гч (х), образующие тензоры (д + 4)-го ранга, называются тензорами концентрации градиентов

дг

Aijkiii...iq (x) = J Kijki(x,i)nii...iq (x,0 dV%, q = 0,1, 2,

V

3. Уровни концентрации. При анализе концентрации напряжений от различных факторов целесообразно выделять несколько уровней и на каждом уровне указывать свое тело сравнения. Поясним сказанное на примере: прежде всего в формуле (2) обозначим напряжения т(С) через т[1] (С) и предположим, что поле напряжений т[1] (С) также является результатом воздействия еще одного концентратора на напряжения т[2]. Назовем их наряжениями второго уровня, в то время как т = т[1] считаются напряжениями первого уровня, т.е.

е[11(С) = /к [2](С,С2)е[2](С2) V = А [2]е[21.

V

В результате напряжения в исходном теле представляются в виде двойного интеграла

е(х) = / /к [1](х,С1)к [2](С1,С2)е[2](С2) йУь йУ*1 = А[1] А[21е[2].

V V

Если и т [2] есть результат влияния некоего третьего концентратора на напряжения т[3] третьего уровня, то напряжения а представляются через т с помощью трехкратных интегралов, и т.д. Пусть т[n] (n = 1,..., N) — напряжения в n-м теле сравнения, тогда

, = Azn = J - J K ...K[N4£N-i,b)z[N](b) dVN ...dVb ,

4 iV '

что эквивалентно цепочке операторных равенств

, = A[l]z[1], ,[1] = ¿[21х[2], ..., ,[N] = AlN ]Z[N].

Таким образом, оператор Л, связывающий тепзоры а и т[N], равен произведению операторов

, = Л, = 4[114[2]...4[N]r[N].

Операторы концентрации на каждом уровне являются операторами-тензорами четвертого ранга, не симметричными по первой и второй парам индексов, и произведение операторов в (4) не коммутативно.

Найдем выражение для тензора концентрации напряжений в случае двухуровневой концентрации, используя на каждом уровне разложение оператора концентрации в ряды:

те те

, = £ A[1]

q=0 p=0

и пусть т = const. В этом случае во второй сумме остается только первый член, т.е. тензор напряжений

т

т [1] = Л[2]

Подставляя (6) в первое выражение (5), получим

те те

iq[1]dq/„ЛлИ

ф) = £А[2](х)г = £А^(х)^(х)т.

4=0 д=0

Таким образом, в случае двух уровней тензор концентрации напряжений определяется по формуле

те

а (х) = ^2 а ЦЦ (х)А (х),

4=0

или

те

[1] [2]

Aijkl

4=0

те

г„ (х).

4=1

Интерес представляет первый член этой суммы, поскольку он дает основной вклад в напряжения для тела с концентраторами.

4. Тензор концентрации напряжений в пространстве с цилиндрическим отверстием. В

случае бесконечного упругого изотропного пространства с цилиндрическим отверстием радиуса К (ось хз декартовых координат совмещена с осью цилиндрического отверстия) компоненты тензора концентрации напряжений А^к1(К,т,д) имеют вид [4]

Я2 2 г2 В^ 2 г2

2 г2 R2 "

Ацц = 1 - —

^2211 = —

^1211 = —

Al122 = ¿2

^2222 = 1 +

^1222 = —

Ац1'2 = —"Г^Г

^2212 = —"Г^Г

3R2

3 cos 2i? - I —т- - 2 ) cos 4i?

3R2

cos 2')? + ( — - 2 ) cos

3r2

sin 2i? - ( —T- - 2 ) sin 4i?

3R2

cos 2i? - ( —T- - 2 ) cos 4i?

2

2 r2

2r2 E2 2r2 E2 2r2

r

3R2

3 cos 2$ + ( — - 2 ) cos 4$

3R2

sin 2i? + ( —r- - 2 ) sin 4i?

3R2

2 sin 2i? - ( —г- - 2 ) sin 4i?

3r2

2 sin 2i? + ( —- 2 I sin 4i?

R2

Л3311 = -2z/^-cos2i?, R2

^3322 = 2z/

R2

^4-3312 = -2z/sin 21?,

1 R2

^1313 = cos 20

R2

^2313 = sin 21?,

1 R2 2323 = -+2^2 COS 21?

R2

-4i323 = sin 21?,

^3333 = 1,

2

1R

- 2 " 2Й

3R2

— 2 cos 4$,

где V коэффициент Пуассона, а г = х\ + , 1? = агс^Жг/жь

В формулах (7) коэффициенты А^ы, в индексах которых отсутствует "3", являются компонентами тензора концентрации напряжений в бесконечной плоскости с круговым отверстием радиуса К в центре координат.

Пользуясь этими формулами, можно вычислить тангенциальные напряжения на контуре отверстия в бесконечной плоскости при заданных напряжениях тц, т22, т12 вдали от отверстия:

Ст = тц + 722 — 2(т 11 — Т22) cos 2$ — 4т12 sin 21.

Более общий случай рассмотрен в работе [5], где найден тензор концентрации напряжений для случая инородного n-мерного упругого сферического включения в n-мерном упругом пространстве.

5. Тензор концентрации напряжений в плоскости с двумя отверстиями. Рассмотрим задачу о концентрации напряжений в бесконечной плоскости с двумя неодинаковыми круговыми отверстиями, центры которых находятся друг от друга на расстоянии b. Начало декартовых координат расположим в центре одного из отверстий (пометим его номером 1), а ось Ж1 проведем через центры отверстий. Пусть второе отверстие лежит правее первого (рис. 1).

R1

R2

чения 1 и 2.

При решении этой задачи в частных случаях нагружения широко используются методы теории функций комплексного переменного, развитые Н.И. Мусхелишвили [6]. Подробный анализ концентрации напряжений около отверстий круговой и некруговой формы приведен в монографии Г.Н. Савина [7]. При заданных на бесконечности напряжениях Т22 и тц приближенное решение по методу Шварца с применением ТФКП найдено A.C. Кос-модамианским [8]. Использование биполярных координат позволило получить точные решения некоторых задач для плоскости с двумя круговыми отверстиями [9 12].

Рис. 1

r

r

r

r

r

r

2

r

Пусть на бесконечности задан постоянный тензор напряжений т = const. Отверстия изменяют одно,

Концентрация напряжений в пространстве от левого отверстия описывается тензором концентрации а[1](г, Я), компоненты которого в декартовых координатах получаются из формул (7):

Aji(r,V) = Aijki(R1 ,г,я).

Для правого отверстия компоненты тензора концентрации получаются также но формулам (7):

[2]

Ajkl(r, Я) = Aijkl(R2, Г2 (r, Я), Я2 (r, Я)),

где

г2(г,:д) = л/г2 + Ь2 — 2Ъгcos Я2(г,:д) = arctan

r sin Я r cos Я — b'

Концентрацию напряжений от двух отверстий в плоскости будем описывать приближенно с помощью двухуров-него подхода. В этом случае

Л

ijkl

A[1] А [2]

ijmn mnkl

В окрестности отверстий получаем приближенное выражение для напряжений

aij = AijklTkl

А[1] А[2] + А Aij11A11kl + Aij22A22kl

[1] [2]

А [2] I 2А[1] Л К ,

, + 2Aij12A12kl I 'kl.

[2]

Напряжения (9) удовлетворяют условию свободного контура первого отверстия, т.е. о^и^ ^ = 0. Тангенциальные напряжения на контуре Г в плоскости с двумя отверстиями будут определяться по формуле (8), в которой т^

[2]

следует заменить на А\2к1(К2,т2(К1,Я),Я2(К1,Я))тк1. В результате получаем

АМ + А[2] _ A11kl + A22kl

-2(A12l]kl - A222kl) cos 2Я - 4A122kl sin 2Я

ты.

В таблице приведены значения параметров т, Т2, $2 в характерных точках 1-8 (рис. 1) па контурах Г1 и Г2.

Пользуясь таблицей и формулами (9), (10), легко получить коэффициенты концентрации напряжений в характерных точках 1 8 при различных способах нагружения плоскости на бесконечности.

Рассмотрим, например, случай растяжения плоскости

т11

По формулам (10) найдем коэффициенты концентрации напряжений в точках 1 3 (рис. 1) на границе первого отверстия:

К{ 1) =

т11

19=ж

-1 +

4£2е

22

6£4 е4

K (2) =

(700 т11

&=ж/2

(1+ е)2 (1+ е)4'

8СУ(1-3,-2) (1 +t2)3

+

6C4g4(l - бе2 + г4) (1 +1~2)4

0,2 0,3 0,4

Рис. 2

К{ 3) = ^

Т11

Я=0

-1 +

2J2

6£4е4

4 •

Здесь £ = К2/К\ ^ 1 и е = К\/Ь — безразмерные параметры, причем 0 ^ е ^ 1/(1 + £). При задан ном £

параметр е принимает наибольшее значение, равное 1/(1 + £), в том случае, когда отверстия касаются друг друга, т.е. при Ь = К\ +

Параметр Характерные точки

1 2 3 4 5 6 7 8

г Ri Ri Ri Ri b-R2 v&2 + RI b + R2 V&2 + RI

ê TT tt/2 0 Зтг/2 0 arctan -ß- 0 — arctan -r2-

Г2 b + Ri Vb2 + Rï b-Ri Vb2 + Rï Ä2 Ä2 Ä2 Ä2

TT тт — arctan -г1- TT тт + arctan -¡J- TT тт/2 0 Зтг/2

На рис. 2, а, б, в приведена зависимость коэффициентов концентрации напряжений от е в точках 1, 2, 3 рис. 1 соответственно при £ = 10, 5, 1 (кривые помечены соответствующими цифрами). Сплошные кривые построены по приближенным формулам (11)—(13), штриховые — по приближенным формулам A.C. Космодамианского [8]; маркерами отмечены значения, полученные численно с помощью метода конечных элементов.

Как видно, графики практически совпадают при £ > 5. Наличие второго отверстия большего диаметра уменьшает растягивающие напряжения в точках 2 и 4. Сжимающие напряжения в точках 1 и 3 различаются, причем в точке 3 они больше. Их абсолютная величина может быть как больше, так и меньше —1 в зависимости от соотношения параметров £ и е.

Численный расчет показывает хорошее совпадение полученного решения с кривыми для K(2) и K(3), построенными по формулам (12), (13). В точке 1 численный расчет ближе к формулам A.C. Космодамианского [8].

Авторы приносят благодарность профессору Г.Л. Бровко за ценные замечания, способствовавшие существенному улучшению статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 12-01-00020а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горбачёв В. И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычисл. механ. деформируемого твердого тела. 1991. № 2. 61-76.

2. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978.

3. Лобедря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1979.

4. Победря Б.Е., Горбачёв В.И. Концентрация напряжений и деформаций в композитах // Механ. композ. мат-лов. 1984. № 2. 207-214.

5. Горбачёв В.И., Михайлов А.Л. Тензор концентрации напряжений для случая n-мерного упругого пространства со сферическим включением // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 78-83.

6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

7. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968.

8. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975.

9. Ling C.B. On the stresses in a plate contaning two circular holes //J. Appl. Phys. 1948. 19, N 1. 77-82.

10. Подстригач Я. С. Напруження в полощиш, ослаленш двома нер1вними круговими отворами // Докл. АН УССР. 1953. № 6. 456-460.

11. Подстригач Я. С. Напряжения около двух неравных круговых отверстий в плоском поле // Науч. зап. Ин-та машин, и автомат. АН УССР. Киев. 1955. 4. 60-61.

12. Саврук H.A. Напряжения в плоскости, ослабленной двумя неравными круговыми отверстиями, при изгибе // Науч. зап. Львов, политехи, ин-та. 1955. 29. 100-105.

Поступила в редакцию 29.05.2013