Свойства статистики var на группе перестановок

Теорема 2. Для любой подстановки h вида (1) верно неравенство d2(Sh) ^ 4.

Теорема 3. Пусть R = GR(q2,p2),m = 1,p > 2. Тогда если разрядное множество P = r(R) удовлетворяет условию

{Y1(a + e) 0 Y1(b + e) : a, b Є P} = P,

то для любой подстановки h вида (1) справедливо равенство d2(Sh) = 4.

Если при этом R = Zp2, то группа (Sh) содержит знакопеременную группу Ap2.

Теорема 4. Пусть R = GR(q2, 4), m > 1. Тогда если все миноры матрицы Uo в (1) ненулевые, то для подстановки h из (1) справедливо равенство d2(Sh) = 4.

Автор выражает глубокую благодарность профессору А. А. Нечаеву за постановку задачи и внимание к проводимым исследованиям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин А. С., Нечаев А. А. Линейные рекуррентные последовательности над кольцами Галуа jj Алгебра и Логика. 1995. Т. 34. №2. С. 169-189.

2. Глухов М. М. О 2-транзитивности произведения регулярных групп подстановок // Труды по дискретной математике. М.: Физико-математическая литература, 2000. С. 37-52.

3. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. Т2. М.: Гелиос АРВ, 2003. 416 с.

УДК 519.1

СВОЙСТВА СТАТИСТИКИ VAR НА ГРУППЕ ПЕРЕСТАНОВОК1

Л. Н. Бондаренко

Рассматриваются некоторые свойства статистики var, определяющей число различных символов слова, полученного поэлементным сложением по mod n перестановки степени n с фиксированной перестановкой — ключом.

Ключевые слова: перестановка, статистика, производящий многочлен, перманент, циркулянт.

Ряд статистик на симметрической группе Sn перестановок а, где а = а1... ап — слово над алфавитом {1,..., n}, рассматривался в [1].

В криптографии применяется биекция vp : а М т перестановки а Є Sn на слово т = т1... тп Є Tn, определяемая фиксированным ключом к = к1... кп Є Sn. Она отображает а Є Sn на слово т Є Tn по правилу т = а ф к, где ті = аі + кі (mod n), i = 1,...,n, а ті — наименьший положительный вычет, и индуцирует статистику var^, к) = card{r1,... , тп} — число различных символов слова т = vp^).

Так как для любого ключа к Є Sn статистика var имеет производящий многочлен

n

Vn(t) = Е Vn,ktk = Е tvar(CT’к),

k=1 aES„

то в качестве ключа удобно использовать перестановку v = v1... vn Є Sn, где vi = = n — i + 1, i = 1,... , n. Многочлен Vn(t) не изменяется и при замене перестановок а на обратные а-1 Є Sn.

По определению статистики var многочлен Vn(t) имеет коэффициенты Vn,k ^ 0, а их нахождение уже при сравнительно небольших n является трудной задачей. Вычисление даёт V1(t) = V2(t)/2 = t, V3(t)/3 = t+t3, V4(t)/4 = t+t2+4t3, V5(t)/5 = t+20t3+3t5.

1Работа поддержана грантом РФФИ, проект № 11-01-00212а.

Теорема 1. Справедливы следующие свойства коэффициентов многочлена УП(і): а) п|УП,к; б) при чётном п все Уп,к > 0, кроме УП,п = 0; в) при нечётном составном п все Уп,к > 0, кроме УП,п_і = 0, а для простого п, кроме того, Уп,2 = 0.

Доказательство теоремы 1 основано на применении перманента циркулянта

/ Zl Z2 . . zn \

circ(z1,. . . , zn) zn Zl . . Zn— 1

V Z2 Z3 . . Zl /

порожденного вектором (zi,... , zn). Каждый член per circ(zi,... , zn) имеет вид

П

zm1 ... zmn, причём 0 ^ mi ^ n, а сумма E imi кратна n. Число различных членов

i=1

per circ(z1,..., zn) равно [2]

где <^(d) —функция Эйлера числа d. Рассматриваемый percirc(z1,... ,zn) преобразуется в многочлен Vn(t) при замене каждого mi в выражении zm1 ... zmn на sign(mi) и отождествлении z1 = ... = zn = t.

Задание равномерной меры на множестве Sn и использование нормировки многочлена Vn(t), заключающейся в его делении на число Vn(1), позволяет вместо последовательности коэффициентов {Vn, k}П=1 рассматривать распределение, отвечающее случайной величине Xn.

Теорема 2. Математическое ожидание

E(Xn) =n (1 - inr) ~ n (1 -1) •

где Dn — число беспорядков на множестве Sn, т. е. число перестановок a Е Sn, не имеющих неподвижных элементов.

Для доказательства теоремы 2 с помощью свойств чисел Dn [3] устанавливается, что при фиксации символа i Е {1,... , n} количество слов т Е Tn, не содержащих этого символа, равно Dn, и применяются свойства математического ожидания. Асимптотика E(Xn) следует из соотношения Dn ~ n! e-1.

Записывая VT(t) = VT+(u) + tVT_(u), где u = t2, с помощью теоремы 1 получаем, что при n ^ 6 VJ+(u) = umU+(u), причём m = 2 для простого n и m =1 для составного n. Вычисления показывают, что при n ^ 6 все корни многочленов Ц+ (u) и V- (u), исключая U+ (u) = 1, различны и отрицательны.

Доказательство этого свойства явилось бы существенным моментом для нахождения асимптотики функции распределения случайной величины Xn.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фоата Д. Распределения типа Эйлера и Макмагона на группе перестановок // Проблемы

комбинаторного анализа: сб. статей. М.: Мир, 1980. С. 120-141.

2. Brualdi R. A. and Newman M. An enumeration problem for a congruence equation // J.

Research National Bureau Standards. Math. Sci. 1970. V. 74B. No. 1. P. 37-40.

3. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.