Численное исследование отрывного нестационарного обтекания пластинки

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 10-15.

УДК 532.5: 533.6 А.И. Говорова

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРЫВНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНКИ

Проведено численное исследование начально-краевой задачи отрывного нестационарного обтекания пластинки. Представлены результаты расчета по алгоритму [1] решения задачи, учитывающего условия в точках схода вихревых следов. Использование этих условий позволяет корректно определять кинематические характеристики течения. Приведено сравнение с результатами решения данной задачи без учета условий в точках схода вихревых следов.

Ключевые слова: начально-краевая задача, нестационарное обтекание, отрывное обтекание пластины, численное исследование.

Отрывное нестационарное обтекание разомкнутого контура, в частности пластинки, исследовалось многими авторами. Главной особенностью такого течения является его нелинейность. Соответствующая начально-краевая задача обычно решается путем моделирования вихревых следов системой свободных дискретных вихрей и применения процедуры пошаговой дискретизации по времени [3; 5]. При таком подходе возникает проблема определения координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с кромок контура. В настоящей работе приведены результаты численного исследования отрывного обтекания пластинки, в основе которого лежит алгоритм [1]. Особенностью этого алгоритма является то, что в нем учитываются нелинейные дифференциальные соотношения в точках схода вихревых следов с пластинки и условия непрерывности вихревых слоев, моделирующих контур и вихревые следы, в тех же точках. Именно эти соотношения позволяют более корректно определять координаты свободных дискретных вихрей и другие кинематические характеристики течения в любые моменты времени, в том числе и в начальные. Наряду с применением алгоритма [1], численное исследование включает в себя расчет кинематических характеристик течения с использованием априорного задания координат вихрей, непосредственно сходящих с кромок пластинки (см.: [3]). В работе приводится сравнение результатов расчета по вышеобозначенным алгоритмам.

1. Постановка задачи

Модель отрывного обтекания пластинки идеальной несжимаемой жидкостью рассмотрим в рамках нелинейной теории крыла в плоском нестационарном потоке. Постановка соответствующей начально-краевой задачи изложена в [2]. Приведем основные моменты постановки задачи отрывного нестационарного обтекания пластинки.

Пластинка Ь начинает свое движение из состояния покоя в начальный момент времени t = 0 . После начала движения t > 0 пластинки Ь циркуляция скорости Г(V) вокруг нее меняется с течением времени, в результате чего с кромок пластинки сходят вихревые следы ) , Ьш(1;) , эволюционирующие во времени (рис. 1).

© А.И. Говорова, 2013

В £(1)2

Рис. 1. Отрывное обтекание пластинки

Границами области течения жидкости является пластинка Ь, вихревые следы Ь^у (ґ) , у = 1,2 и бесконечно удаленная точка г = да . Движение жидкости вне пластинки и вихревых следов потенциально. Это позволяет сформулировать задачу для комплексной скорости, которая в области течения представляется интегралом Коши:

2 1 г Ку (&,ґ)йа +

V ( Г, ґ) = + I —---------:--- +

+| Н5,ґ)й

2П I г - 2(я) ’ где ф) е Ь , (а, t) е ^), я, а - дуговые

координаты, у(я, 0, у^у (а, t) - интенсивности вихревых слоев, моделирующих пластинку и вихревые следы соответственно.

В начальный момент времени t = 0 предполагаем, что вихревые следы отсутствуют, комплексная скорость V(2,0) = 0 , циркуляция скорости Г(0) = 0 .

Граничными условиями в данной задаче является условие затухания возмущенной скорости в бесконечно удаленной точке (выражение (1) ему удовлетворяет), условие не-протекания жидкости через пластинку Ь

1ш

а также условия непрерывности давления и нормальной составляющей скорости жидкости при переходе через вихревые следы. Последнее выполняется, если вихревые следы свободно перемещаются вместе с жидкостью, т. е. если комплексная координата 2^у (а, t) вихря, сошедшего с кромки 2* у

пластинки в некоторый момент времени т (0 < т < t) , определяется решением нелинейного дифференциального уравнения

—2:^

----= V

с начальным условием

^

и заданным полем скоростей в момент времени т.

Для обращенного движения жидкости

[6] в системе координат Оху, связанной с пластинкой Ь , начально-краевая задача для комплексной скорости (1) сводится к системе нелинейных соотношений, в которую входят граничные условия (2), (3), а также — 2

— [Г

у=1

Уму

й

— Гу (ґ) = 7му (0, ґ)Му (Ґ) .

Соотношение (4) представляет собой теорему Кельвина о постоянстве циркуляции скорости жидкости по замкнутому жидкому контуру, (5) - условие непрерывности интенсивностей у(я, t), у^] (а, t) вихревых слоев, моделирующих пластинку Ь и вихревые следы Ь^у ^) соответственно. Соотношение (6) выполняется в точках схода вихревых следов с пластинки и является ключевым в определении координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с пластинки в любой момент времени (подробнее об этом в [1]). Здесь

га) = |у (я, t—, Гщ ^|у№] (а, t)—а ,

Ь К]

где М^) - скорости схода вихревых следов Ь^] ^) , сошедших с кромок пластинки Ь .

2. Метод решения

Численное решение нелинейной начально-краевой задачи основано на применении процедуры пошаговой дискретизации по времени, моделировании вихревых следов и пластинки системой дискретных вихрей [3] и определении координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура по алгоритму [1]. При этом краевая задача, возникающая на каждом шаге по времени, решается методом интегральных уравнений [4].

В ходе решения задачи определяются гидродинамические характеристики течения, включающие в себя координаты свободных дискретных вихрей, скорости схода и интенсивности вихревых следов в точках схода. Координаты свободных дискретных вихрей, сошедших с контура, перемещаются свободно вместе с жидкостью и определяют форму вихревого следа.

Под скоростью схода вихревого следа понимается проекция относительной скорости жидкости на касательную к контуру в точке схода. В случае обращенного движения относительная скорость жидкости в точке схода определяется соотношением

їй

V

где в . - угол наклона касательной в точке

схода г*у к оси Ох, Уа и Уп - касательная

и нормальная составляющие скорости жидкости соответственно. Тогда, по определению, скорости схода вихревых следов с кромок контура есть

М] = У<г, у = 1,2.

Заметим, что скорости схода подчиняются следующему условию

М] > 0, ] = 1,2.

С другой стороны, скорости схода определяются соотношением (б). В зависимости от выбранных положений свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура в вихревой след, значения скоростей схода, вычисленные по формулам (б) и

(7) могут различаться. В алгоритме [1] выполняется требование согласования соотношений (б) и (7), что позволяет корректно определять координаты дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура, в любой момент времени.

Для определенности в дальнейшем будем называть Алгоритмом 1 алгоритм [1], а Алгоритмом 2 алгоритм, в котором не учитывается соотношение (б) и координаты непосредственно сходящих дискретных вихрей задаются априорно. В данном численном исследовании, в случае априорного задания координат, непосредственно сошедший дискретный вихрь располагался по касательной к пластинке, а скорости схода вычислялись по формулам (7), (8). Все остальные характеристики для обоих алгоритмов рассчитывались по одним и тем же формулам.

3. Результаты численного эксперимента

Результаты расчета по Алгоритмам 1 и 2 представлены на рисунках 2-10. Расчет рассматриваемых характеристик проводился для пластинки, установленной под углом в = 30°, 60°, 90°. Момент времени ґп, для которого приведены результаты, соответствует прохождению потока жидкости, обтекающего пластинку, расстояния, равного длине пластинки.

На рисунках 2-4 показаны положения свободных дискретных вихрей. Из графиков видно, что формы вихревых следов, определенные по Алгоритмам 1 и 2, практически совпадают.

На рисунках 5-7 отображено изменение скоростей схода м., ] = 1,2 в зависимости

от времени. Цифрами 1 и 2 обозначены графики, полученные при расчете по Алгоритмам 1 и 2 соответственно.

У

Рис. 2. Форма вихревых следов, угол наклона пластинки в = 90°: а) Алгоритм 1; б) Алгоритм 2

Рис. 3. Форма вихревых следов, угол наклона пластинки в = 60°: а) Алгоритм 1; б) Алгоритм 2

Рис. 4. Форма вихревых следов, угол наклона пластинки в = 30 а) Алгоритм 1; б) Алгоритм 2

Рис. 5. Скорости схода вихревых следов, угол наклона пластинки в = 90°

Результаты показывают, что скорости схода, рассчитанные по Алгоритмам 1 и 2 различны. Особенно существенно это различие проявляется на передней кромке А пластинки Ь при уменьшении ее угла наклона к оси Ох. Заметим при этом, что по Алгоритму 2 в начальные моменты времени (когда проявление нелинейности течения особенно существенно) получены отрицательные скорости схода. Это противоречит предположению о наличии схода вихревого следа с кромки А, т. е. условию (9), и не соответствует физической картине течения.

б

Рис. 6. Скорости схода вихревых следов, угол наклона пластинки в = 60°: а) передняя кромка А; б) задняя кромка В

а

На задней кромке В наблюдаем обратное: чем меньше угол наклона пластинки Ь к оси Ох, тем меньшее отличие имеют значения скоростей схода. Действительно, при уменьшении угла наклона пластинки вихревой след, сходящий с задней кромки В, стремится к сходу по касательной к пластинке.

б

Рис. 7. Скорости схода вихревых следов, угол наклона пластинки в = 30°: а) передняя кромка А; б) задняя кромка В

Графики на рисунках 8-10 представляют собой изменение по времени значений интенсивностей Ум. (0, ґ), у = 1,2, вихревого

слоя, моделирующего вихревой след, в точках схода.

Сравнение значений интенсивностей Уму (0, ґ) , рассчитанных по Алгоритмам 1 и

2, снова показывает их различие. Причем на передней кромке разность значений интенсивностей в точках схода вихревого следа увеличивается с уменьшением угла наклона пластинки Ь к оси Ох. Этот факт является следствием невыполнения в Алгоритме 2 условия (5) в общем случае.

а

10 20 І 30

Рис. 8. Интенсивность вихревых следов в точках схода, угол наклона пластинки в = 90°: а) передняя кромка А; б) задняя кромка В

а

б

Рис. 9. Интенсивность вихревых следов в точках схода, угол наклона пластинки в = 60°: а) передняя кромка А; б) задняя кромка В

а

О 10 20 / 30

Рис. 10. Интенсивность вихревых следов в точках схода, угол наклона пластинки в = 30°: а) передняя кромка А; б) задняя кромка В

Таким образом, результаты данного численного исследования показывают, что при решении начально-краевой задачи отрывного обтекания пластинки, начавшей движение с постоянной скоростью из состояния покоя, необходимо учитывать условия схода (т. е. условия (5), (6), (9)) вихревого

следа с кромок пластинки. Включение этих условий в систему соотношений, ведущих к решению рассматриваемой задачи, приводит к корректному определению координат непосредственно сходящих дискретных вихрей с контура и, как следствие, к определению таких кинематических характеристик течения, как скорости схода и интенсивности вихревых слоев в точках схода. Следует отметить, что интегральные характеристики вихревых следов - их форма - в целом не имеют такой чувствительности к определению координат дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура, как обозначенные выше кинематические величины.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Горелов Д. Н., Говорова А. И. Моделирование начальной стадии отрывного обтекания разомкнутого контура методом дискретных вихрей // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. № 5. С. 24-33.

[2] Горелов Д. Н. К постановке нелинейной начально-краевой задачи нестационарного отрывного обтекания профиля // ПМТф. 2007. Т. 48. № 2. С. 48-56.

[3] Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М. : Наука, 1978. 352 с.

[4] Горелов Д. Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000. 215 с.

[5] Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Тр. Американского общества инж.-мех. Машиностроение. Сер. А. 1989. № 10. С. 1-60.

[6] Кочин Н. Е., Кибель Е. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1, 2. М. : Физматгиз, 1963.