Онтологическая определенность математического объекта: пространственно-количественный аспект

УДК 111.1 : 114 : 119 : 51

Д. Н. Букин

Онтологическая определенность математического объекта: пространственно-количественный аспект

Историко-математический и философско-категориальный анализ занимают центральное место в изучении бытия математического объекта. В статье показано, что философские понятия количества и пространства, выступающие фундаментальными онтологическими определенностями математического объекта, в значительной мере дополняют и конкретизируют всеобщее содержание друг друга.

The historic-mathematical and categorial analysis are of primary importance in studying the mathematical object being. The author demonstrates that philosophical concepts "quantity" and "space" as fundamental ontological definiteness of mathematical object considerably supplement and concretize the general content of each other.

Ключевые слова: онтологическая категория, онтологическая определенность, количество, пространство, математический объект, дискретность, непрерывность.

Key words: ontological category, ontological definiteness, quantity, space, mathematical object, discrete, continuity.

Математика является единственной в своей уникальности наукой, изучающей абстрактные количественные отношения и пространственные формы - на это указывают не только философы (Энгельс), но и сами математики (Д'Аламбер, Гаусс и др.). С точки зрения учения о бытии это означает, что всякий объект математики, выделяемый как онтологически самостоятельная сущность, должен быть определен количественно и/или пространственно.

Основанием для написания настоящей статьи стало предположение о глубокой взаимосвязи пространственного и количественного аспектов бытия математического объекта, данных нам в мышлении и языке посредством соответствующих фундаментальных философских категорий. Мы попытаемся представить отдельные результаты категориального анализа данной проблемы, по необходимости прибегая к некоторым примерам из истории математики.

© Букин Д. Н., 2013

Начнем с количества. Как известно, богатейший образный материал для понимания сущности количества и количественных отношений дали в свое время метрические свойства физического пространства. Прежде всего, это касается арифметики и элементарной геометрии, где познание таких пространственных и временных характеристик, как «длиннее», «толще», «выше», «левее», «быстрее», «дольше» и т. п., сыграло решающую роль в формировании общих представлений о количестве. Ш. Фрейсине отмечал: «Числа в арифметике и количества в алгебре имеют бесспорно отвлеченный характер; но первоначально они обозначали группы конкретных единиц, находящихся в логической зависимости от пространства и времени» [5, с. 7]. По всей видимости, именно представления о бесконечности пространства и времени оказали решающее влияние на становление идеализаций типа натурального ряда.

До тех пор пока пространство как нечто, позволяющее «вместить» все плоские и объемные тела не стало пониматься и-мерным (т. е. более чем трёхмерным), геометрия позволяла решать множество прикладных математических задач, требующих наглядности, и тем самым параллельно с арифметикой, алгеброй и анализом развивала представления о числе, величине, функции и других математических объектах. До сих пор в обыденной речи термин «пространство» без дополнительных уточнений обычно обозначает трёхмерное евклидово пространство, которое в математике является не более чем частным случаем многомерного пространства. Идея последнего, появившись в нечетком виде у Орема (XIV в.), Штифе-ля и Рудольфа (XV в.) для четырех измерений, получает дальнейшее развитие у Валлиса и Д'Аламбера (XVII в.), Лагранжа и Канта (XVIII в.) и т. д. вплоть до ее расцвета в XIX в. (Грассман, Кэли, Бе-ти и многие другие). В результате пространство теряет свой «чувственный облик», наглядность, визуальную доступность и т. п. и превращается в некоторое абстрактное множество. Грань между геометрией и алгеброй, поколебленная еще Декартом, стирается практически окончательно, что может свидетельствовать об установлении некоторого «превосходства» методов количественного анализа над пространственным мышлением в математике.

Что касается категориальной интуиции времени в аспекте ее значимости для предмета нашего рассмотрения, то здесь наблюдается значительно более скромная картина. Так, на первых этапах развития математического анализа его основные понятия и положения действительно связывались с представлениями о времени. Стремление некоторой величины к своему пределу понималось как

процесс, протекающий во времени и проходящий последовательно все значения величины-аргумента. Дальнейшее совершенствование понятий анализа привело к ясному пониманию того, что временные образы в математике являются лишь способом наглядной интерпретации, но никак не прояснением сути математических понятий. Многие разделы современной математики не предполагают апелляции к каким-либо процессам во времени вообще. Это касается как сложных, сравнительно недавно открытых объектов и связей, так и фундаментальных, имеющих тысячелетнюю историю - например, числа. В.Я. Перминов пишет: «Представляется, что кантовская интерпретация числа на основе времени была навеяна особым типом восприятия математических последовательностей, который был характерным для XVIII столетия» [4, с. 22]. Отчасти соглашаясь с отечественным философом, мы приходим к следующему выводу: следует признать, что на определенном этапе интуиция времени действительно сыграла важную роль в процессе категориального постижения количественных отношений в мире, но роль эта строго ограничена как историческим развитием математики, так и спецификой ее отдельных объектов.

Итак, тот факт, что исследование пространства и времени повлияло на развитие представлений о количестве в математике, не вызывает сомнения. В то же время, едва ли можно согласиться с тем, что количество есть только качество в его пространственно-временном аспекте. Сама математика, наряду с пространственными и временными, широко использует и другие, не обязательно сводимые к ним количественные характеристики. С одной стороны, количественные признаки, выражаемые в русском языке посредством сравнительной степени прилагательных («длинный», «короткий»), могут считаться и пространственными, и временными (отрезок АВ длиннее отрезка ВС, ночь короче дня и т. п.). С другой стороны, количественный признак, отражаемый в сравнении степеней превосходства прилагательного «большой», может быть выявлен и обыкновенным числом без необходимости сведения его к его пространственно-временной ипостаси (число А больше числа В).

В то же время нельзя не отметить и обратного влияния - категория пространства, уточняющая содержание категории количества, сама получила значительное развитие благодаря последней. В частности, понятие «количество» играет большую роль в геометрии, где оно может принимать различные значения. Как известно, всякая физическая структура есть пространственное образование. Достаточно выбрать систему координат, как каждая точка структуры (по край-

ней мере, в физике макромира) окажется описанной пространственными величинами х, у, 2, а различные изменения - временной величиной Любое изменение х, у и 2 (а следовательно, любое изменение структуры) есть не что иное, как изменение величин. Очевидно, что две структуры, одинаковые по количеству элементов, но отличающиеся друг от друга по значениям, в таком описании будут иметь различные количественные характеристики.

Обратимся к истории. Простейшие формы (прямые, плоскости, многоугольники, многогранники, шары, пирамиды и т. д.), их площади и объемы были знакомы уже грекам. В работах Гиппарха и Менелая появляются элементы тригонометрии. Вплоть до Нового времени количество продолжает «обслуживать» геометрию практически без изменений. Величайшим событием в истории математики стало открытие Декартом координатного метода, позволяющего сопоставлять наборы чисел с точками и изучать отношения между пространственными формами с помощью методов алгебры. Так появляется аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, задаваемая алгебраическими уравнениями в координатах. После этого «пропасть», когда-то разделявшая геометрию и алгебру, начинает стремительно сокращаться. В итоге в течение приблизительно двух столетий в математике окончательно оформляется идея многомерного пространства, по сути своей сводящая последнее к некоторому абстрактному множеству. При этом некоторые основные понятия пространственной геометрии обобщаются и уточняются. Так, понятие точки, традиционно являвшейся объектом геометрии, получает теперь расширенную трактовку и понимается как объект, представленный в форме элемента, не имеющего частей. В современной теории вероятностей, например, в качестве точки может быть рассмотрено элементарное случайное событие. Другой пример относится к метрическим пространствам, в которых возможно определить такую количественную характеристику, как расстояние между точками. Поскольку понятие «расстояние» вводится аксиоматически, никаких проблем с вычислением расстояния в и-мерном пространстве не возникло - по-прежнему количество здесь выступает той стороной расстояния, которая при сравнении двух расстояний позволяет осуществлять оценку результата сопоставления в понятиях «больше», «меньше» или «равно».

Как ни странно, но все эти изменения и открытия не только специфицировали математическое понятие пространства, но и помогли сблизить его с философской категорией пространства. В этом отношении показательны рассуждения Г.И. Брызгалина: «Про-

странство - форма существования совокупности объектов (называемых элементами пространства), выражающая структуру их расположения, взаимоотношений и взаимодействия и обладающая свойством всеобщности охвата всех объектов определенного рода. <.. .> Пространство в математике так же, как и в философии, является именно формой существования объектов (точек). Так, например, вектор сам по себе не считается вполне определенным (существующим), если он не включен в некоторое (линейное) пространство, т. е. не представлен в форме элемента такого пространства с определенными правилами для отношений, распространяющимися на все такие векторы. С другой стороны, одни и те же (по существу) совокупности математических объектов могут быть представлены в разных формах (в форме разных пространств). Так, пространство (множество) комплексных чисел может быть введено в форме двумерного векторного пространства со специальными правилами перемножения и деления векторов либо в форме специально определяемого пространства пар действительных чисел, либо в форме множества двучленов, состоящих из действительной и мнимой частей» [2, с. 9].

Выражаясь языком философских категорий, не только пространство, но и подходы к его изучению стали теперь более количественными, что зачастую помогало обнаруживать довольно неожиданные и даже «шокирующие» вещи. Так, например, работы Кантора по теории множеств разрушили привычное мнение о том, что в двумерном пространстве точек «больше», чем в одномерном. В обиход прочно вошло множественное число понятия «пространство» (евклидово пространство, неевклидовы пространства, пространства состояний и т. п.).

На тесную взаимосвязь двух важнейших - пространственной и количественной - определенностей бытия математического объекта могут указывать и такие онтологические характеристики последнего, как дискретность и непрерывность. Уже Аристотель, выделяя «размерные» и «счетные» количества, связывал первые с убыванием или прибавлением непрерывных характеристик бытия, а вторые - с его дискретными, «множественными» характеристиками. В.В. Миронов и А.В. Иванов считают, что «в каком-то смысле оппозиция размерного и счетного количеств связана с более фундаментальными качественными противоречиями бытия между <...> прерывностью и непрерывностью» [3, с. 343].

Продуктом счета дискретного количества в математике традиционно считается натуральное число. Ряды натуральных чисел из-

вестны еще Никомаху (I в. н. э.), позже о них пишет Боэций (VI в.) и, наконец, в современном нам смысле натуральное число вводит Д'Аламбер. По крайней мере, с XIX в. «дискретное» употребляется в значении «численное» (Гуэль). Категория прерывности начиная уже с Античности и Средневековья, позволяет охватывать и рационально описывать бесконечные (в потенциальном смысле) последовательности и ряды. Благодаря ей же приблизительно с конца XIX в. математики оперируют понятиями «разрывность функции» (Эйлер), «верхняя граница», «нижняя граница» (Гаусс) и т. п. Посредством конечного или счетного множества в современной теории вероятностей вводится понятие дискретной случайной величины и т. д.

Непрерывность отражает ту сторону количества, которая связана с увеличением или уменьшением в рамках заданного качества - с количественной точки зрения «в чистом виде» в непрерывности можно сравнить между собою лишь начальную и конечную точки некоего интервала значений (например, инфимума или супремума множества). Для получения количественной оценки всего интервала (т. е. для его измерения) необходимо искусственное внесение прерывности в имеющуюся непрерывность. Внесенная в непрерывную величину искусственная дискретность делает возможным само измерение. Единица измерения, «накладываемая» на непрерывное свойство, вносит в него прерывность. Сама единица измерения также должна быть дискретной, т. е. заранее разделенной в каком-то масштабе, что важно для выражения в числе «остатков» (в простейшем случае это могут быть баллы, единицы и т. п.). При этом дискретность в процессе деления приближается к своей противоположности (непрерывности), что закономерно, поскольку измеряемое свойство непрерывно в тех пределах, в которых оно измеряется.

Таким образом, условная делимость, выработанная на основе отражения прерывности, включается в измерение непрерывной величины в виде счета и делает теоретически возможным отражать сколь угодно большую точность. Для процедуры счета прерывность естественна, органична и легко отражается в числе (сумма отдельных целых единиц дает результат). Что же касается измерения непрерывного математического объекта, то здесь она искусственна и вводится в предмет и единицу измерения лишь для создания условий счета и выражения результата в числе, которое на сей раз отражает не дискретность, а лишь интервал значений.

Несмотря на то, что само понятие непрерывности восходит к древнегреческой математике и философии, понятие непрерывной

переменной величины могло появиться не раньше Лейбница [1]. В первой половине XIX в. Коши дает определение непрерывности функции, опираясь на понятие предела. Несколько десятилетий спустя Кантор, наконец, придает постоянное четко оговоренное значение термину континуум (лат. continuum - непрерывный, смежный, следующий, непосредственно прилегающий), с которым в теории множеств и по сей день связывают равномощность данного множества множеству вещественных чисел R. Посредством континуальных множеств в теории вероятностей было введено понятие непрерывной случайной величины и т. д.

Безусловно, категории прерывного и непрерывного в значительной мере конкретизируют категорию количества, отражая ряд ее важных аспектов. Помимо математики, количественные характеристики познаются через категории прерывного и непрерывного в физике (корпускулярно-волновой дуализм), биологии (развитие органического мира и отдельных организмов), а также в общественных науках (история человечества, развитие общества). Вместе с тем, прерывность и непрерывность являются еще слишком абстрактными, чтобы быть в то же время достаточными для «полнокровного» количественного схватывания объективных мировых закономерностей. Любопытно, что не только в обыденном сознании, но и в сознании некоторых ученых укоренено мнение о том, что прерывность (дискретность) и непрерывность в математике характеризуют две ее различные сферы, а именно арифметику и геометрию соответственно. Так, А. Френкель и И. Бар-Хиллел пишут: «Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных - пожалуй, даже самая главная проблема оснований математики. <...> Чтобы уяснить сущность обсуждаемой проблемы, надо как следует осознать коренное различие между дискретной, качественной, индивидуальной природой числа в "комбинаторном" мире счета (арифметика) и непрерывной, количественной, однородной природой пространства в "аналитическом" мире измерения (геометрия). Каждое целое число отличается от любого другого целого числа характерными индивидуальными свойствами - подобно тому, как различаются между собой люди, - в то время как континуум представляется аморфным скоплением точек, совершенно равноправных во всех отношениях. <...> Преодоление пропасти между этими двумя столь различными областями - не только главная, но и древнейшая проблема оснований математики и соответствующих раз-

делов философии» [6, с. 240-241]. На наш взгляд, сама история, теория и, главное, практика математики опровергают эту точку зрения.

Во-первых, в том, что касается дискретности арифметических объектов, она не выдерживает никакой критики. «Чисто» дискретными по своей сути являются лишь объекты элементарной арифметики (натуральные, целые числа и т. п.) и операции вычисления над ними. Почему израильские математики исключают из предмета математики действительные и комплексные числа, а также операцию измерения, не совсем ясно. Единственное объяснение этому может заключаться в том, что ученые действительно имеют в виду «урезанный» вариант предмета арифметики.

Во-вторых (и это имеет более прямое отношение к категории пространства), даже элементарная геометрия оперирует не только отрезками, прямыми, плоскостями и т. п., но и точками - неделимыми объектами. Видимо, уже Аристотель имел представление о том, что такое точка и что такое измерение (координатизация) пространства. При этом единицу измерения можно неограниченно делить, дробя пространство. В пределе после потенциально бесконечного числа дроблений получается точка и вещественное число (в терминах того времени - отношение отрезков) - координата точки. Таким образом, пространство у Аристотеля есть дискретный набор взаимодействующих мест. В геометрии Евклида точка также является одним из первичных идеальных объектов.

Что же касается многомерных пространств, то их множественная природа говорит за себя - само выражение «элемент» предполагает делимость, выделение части из целого. Вместе с тем, в основе множества типа континуум лежит неделимость, непрерывность.

Подводя итог, кратко резюмируем вышеизложенное.

1. Проблема «категориальной сути» математического объекта выходит за рамки обыденного, специально-научного и т. д. словоупотреблений - это проблема «метауровня», т. е. онтологическая. Центральную роль в фиксации онтологической определенности объектов математики играют всеобщие философские понятия «количество» и «пространство».

2. История математики показывает, что понятия количества и количественных отношений дали обширный материал для более глубокого понимания сущности пространства, и, наоборот, сама категория количества в значительной мере конкретизируется в содержании таких математических и философских понятий, как «пространство», «размерность», «дискретность», «непрерывность» и т. п.

3. Понятие «пространство» приобрело характер специального математического термина, тем самым расширив всеобщее содержание вышеназванных онтологических категорий. Что касается категории времени, то в этом отношении она не проявилась столь ярко как с точки зрения математики, так и с точки зрения онтологии.

4. Глубже проникнуть в содержание категорий количества и пространства вкупе с другими важнейшими онтологическими категориями, структурирующих математическое мышление, позволяет неразрывное диалектическое единство категорий прерывного и непрерывного (возможно, с преобладанием одной из них в зависимости от специфики предмета и уровня рассмотрения).

Список литературы

1. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений. - М.: Изд-во ЛКИ, 2012. - 248 с.

2. Брызгалин Г.И. Введение в теорию качеств. - Волгоград: Изд-во ВПИ, 1988. - 91 с.

3. Миронов В.В., Иванов А.В. Онтология и теория познания. - М.: Гар-дарики, 2005. - 447 с.

4. Перминов В.Я. Деятельностная теория познания в философии арифметики // Число: сб. ст. - М.: Пресс, 2009. - С. 5-35.

5. Фрейсине Ш. Очерки по философии математики. - М.: Кн. дом «Либроком», 2010. - 170 с.

6. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М.: Мир, 1966. - 555 с.