О некоторых направлениях исследований экономической динамики

В. А. КУРЗЕНЕВ

О НЕКОТОРЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

V. A. KURZENEV

ON SOME TRENDS IN RESEARCHES OF ECONOMIC DYNAMICS

Ключевые слова:

макроэкономика, производственная функция, стохастическая модель динамики

Key words:

macroeconomics, the production function, stochastic model of dynamics

В статье сформулировано несколько постановок задачи для исследования макроэкономики с помощью динамических стохастических моделей. В основе предлагаемых автором моделей лежит оценка состояния и использование принципа максимума для различных условий.

Several statements of the problem for the investigation of macroeconomics using dynamic stochastic models are formulated. The models are based on state assessment and utilization of the principle of maximum for different conditions.

При обосновании и принятии экономических решений представляется необходимым учитывать не только прошлый опыт, но и результаты, полученные при концептуальном и математическом моделировании по адекватным моделям конкретной экономической ситуации. Согласно экономической теории, в экономике действуют устойчивые закономерности, для описания которых можно использовать формальный математический язык. В этом случае экономика рассматривается как целостная, неструктурированная единица. Известны линейные и нелинейные динамические модели макроэкономики с дискретным и непрерывным временем [4]. Из линейных динамических моделей макроэкономики с дискретным временем наибольшее распространение получили модели Кейнса, Самуэльсона-Хикса, Леонтьева, Неймана. Из линейных динамических моделей с непрерывным временем — модели Кейнса, Самуэль-сона-Хикса.

Экономическая система на макроуровне может рассматриваться как система, на входе которой поступают ресурсы, а на выходе получается результат функционирования в форме валового внутреннего продукта. Математическую модель такой системы называют производственной функцией:

Х= F(K,L),

где Х — валовый внутренний продукт; К — производственные фонды (капитал); L — трудовые ресурсы.

Если параметры производственной функции зависят от времени (дискретно или непрерывно), то можно проводить анализ динамики экономической системы.

Как известно [9], производственная функция составляет основу практически всех моделей макроэкономики. В свою очередь, производственные функции могут выбираться из класса линейных и нелинейных функций. Исследования социально-экономических процессов на основе использования производственных функций ведутся широким фронтом, и в научной литературе представлен широкий спектр моделей. Условно их можно разделить на два класса. Это наиболее представительный класс экзогенных моделей и менее представительный класс эндогенных моделей. Эндогенные модели обладают известным преимуществом и, как правило, используют специально сконструированные простые производственные функции. Из наиболее известных можно указать АК — модель, используемая в оценках МВФ, и FK — модель, предложенная в исследовании В. Д. Матвеенко [8]. FK — модель, которая хорошо согласуется с данными по российской экономике переходного периода. Хотя эндогенные модели обладают известным преимуществом, их разработка оказывается довольно серьезной научной проблемой и здесь не рассматривается.

Наиболее простой и известной из экзогенных нелинейных динамических моделей макроэкономики с непрерывным временем является модель Солоу. Однако ограничения такой модели слишком существенны и не позволяют считать модель достаточно адекватной. Следует выделить ряд таких ограничений:

1) экономическая система рассматривается как однородная система, т. е. как единое целое;

2) экономическая система замкнутая, т. е. взаимообмен между системами отсутствует;

3) описываемые процессы в системе детерминированные;

4) последействие не учитывается;

5) трудовые ресурсы однородные;

6) не учитывается влияние финансовой составляющей на экономическую систему;

7) не учитываются тип экономических агентов, взаимосвязи с торговлей и инновационной деятельностью и т. д.

При таких ограничениях модель оказывается чрезмерно идеализированной. Поэтому интерес представляют экзогенные модели, в которых ограничения снимаются.

Кроме того, процесс развития экономики в регионе на уровне интегральных показателей можно описать с помощью динамической модели с использованием формальной схемы стохастических дифференциально-функциональных уравнений или же схемы «пространство — состояние», в которой, по существу, возможен учет внешних воздействий с принятием определенной

структуры самой экономической системы [7]. В настоящей работе представлен обзор математических постановок некоторых задач управления экономикой с помощью моделей на основе указанных подходов и намечены пути их решения.

1. Постановка задачи управления односекторной региональной экономикой с оценкой состояния в общем виде изложена в статье, посвященной динамической модели макроэкономических процессов [6]. Развитие модели Солоу в удельных показателях при учете различных ограничений на управление выполнено в работе Н. С. Демина и Е. В. Кулешовой [2], а учет запаздывания введения фондов приводит к модели Рамсея-Солоу, исследованной В. Л. Хац-кевич [10]. В последней модели для анализа дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом используется формализм функций Ляпунова и оператора сдвига. В модели Рамсея-Касса-Купманса, которая также является развитием модели Солоу, учитывается тип экономических агентов и для каждого типа потребителя решается задача максимизации полезности от потребления с конечным или бесконечным горизонтом. Развитие модели Рамсея-Кас-са-Купманса с учетом торговли и инновации выполнено Д. Е. Крайновым, В. Д. Матвеенко, Ф А. Ущевым [5].

Для учета случайных воздействий модель должна быть модифицирована. Эта модификация приводит к стохастической модели более адекватной реальным условиям, где в исходные уравнения внесена неопределенность, например, по трудовым ресурсам и техническому прогрессу. После необходимых преобразований приходим к модели

где к = — фондовооруженность; х = —— народнохозяйственная произ-

ЛЬ J ЛЬ с

водительность труда; / = —— — удельные инвестиции; с = —— — среднеду-

ЛЬ ЛЬ

шевое потребление; К — фонды; А — технический прогресс; Ь — число занятых; Х — ВВП; I — инвестиции; С — фонд непроизводственного потребления; ц — норма амортизации (доля выбывших за год основных производственных фондов); р — норма накопления; а — коэффициент прямых затрат; V — коэффициент роста рабочей силы; п — коэффициент технического прогресса.

Последние пять параметров являются экзогенными и находятся в следующих границах: ц е (0;1), V е (—1;1), п е (0;1), а е (0;1), р е (0;1). Приняты также допущения:

^сИ2 = тЛ, = = СИ2 = 0, С^2 = М2 = А, сИ„ сИ2 е N

и введены обозначения:

Р (Л) = к(Ау 2 + А^пт + А2п2), Я 2(к) = к2 (А^ 2 + 2А1А^пт + А22п2),

где Z(t) — винеровский процесс, dZ е N(0, С?); А(К, AL)CZ1 — неопределенность для рабочей силы; А2(К, А1)й22 — неопределенность технического прогресса; соу^^С^) = т.

Уравнение (1) относится к диффузионному типу

Ск

с коэффициентом сноса Ь(?,к(?)) = р(1 — й) / (к) — (п + Ц + v)k + Р(к) и коэффициентом диффузии а(?,к(?) = Р(к).

Структура решения стохастического дифференциального уравнения (1) определяется производственной функцией /(к).

Исследование уравнения (1) при различных производственных функциях должно дать ответ на вопрос: существует ли сильное решение стохастического дифференциального уравнения (1) и если существует, то единственное ли оно?

Очевидно, что коэффициенты сноса и диффузии при известных производственных функциях удовлетворяют условию Липшица и условию линейного роста, поэтому полученное стохастическое дифференциальное уравнение имеет единственное решение. При выбранном классе производственных функций их неизвестные параметры (коэффициенты) оцениваются методами математической статистики на основе данных реальной статистики. В качестве управляющих параметров могут рассматриваться удельные инвестиции и среднедушевое потребление, например, через коэффициенты а и р, а также другие интересующие исследователя параметры.

2. Задача построения динамической модели для многосекторной экономики региона по Колемаеву [4] условно делится на три сектора: нулевой (материальный), производящий предметы труда; первый (фондосоздающий), производящий средства труда; второй (потребительский), создающий предметы потребления. Предполагается, что за каждым сектором закреплены основные производственные фонды, а труд и инвестиции могут свободно перемещаться между секторами. Экономика не является замкнутой системой. Тогда в качестве модели роста в удельных показателях для открытой многосекторной экономики в стохастической форме в обозначениях [7] имеем:

В динамической модели роста управляющими параметрами могут быть 0., я,, У0, У1, Уг Поэтому далее возможны различные постановки задач на оптимальное управление.

Схема исследования для стохастической модели аналогична предыдущей. Условия Липшица и линейного роста выполняются, поэтому существует единственное решение.

3. Будем считать, что трудовые ресурсы разделены на три категории: лица с высшим образованием 17, со средним образованием 12 и все остальные 13 . Это значит, что

: ц+ц+ ц

где 11 = 12 = 1з = v1,2,з е (-1,1).

Переход к удельным показателям, когда абсолютные показатели относятся к фондам, позволяет получить стохастическую модель при неопределенности по трудовым ресурсам и техническому прогрессу с учетом тех же допущений вида:

А

А к0 к0

А '¿1 А А. '¿3

где /, =-, /, =-, Л =-— удельные фондовые трудозатраты;

1 К 2 К 3 К

ДКА

х =-= J(A(L1 + ¿2 + ¿3)) — удельный (относительный) регио-

К I С

нальный ВВП; 1=--фондовая доля инвестиций; с =-— фондовая доля

К К

потребления и введены обозначения:

\2

1

Условия Липшица и линейного роста на коэффициенты диффузии и сноса выполняются, поэтому существует единственное решение.

Стохастические модели (1), (2) и (3) могут рассматриваться без последействия и с последействием. В случае последствия за основу модели берется стохастическое дифференциально-функциональное уравнение Ито, а для его анализа применяется второй метод Ляпунова с использованием оператора Ляпунова-Красовского [11].

Предложенные модели не учитывают расходы на образование, на проведение научных исследований и т. д. Для учета этих факторов используются модели Узавы, Барро, Ромера и Лукаса, в которые также можно ввести неопределенность и привести к стохастическим моделям. Существует целое направление исследований, связанное с «человеческим капиталом».

4. Другим подходом анализа уравнений роста с получаемой текущей статистической информацией является формализм «пространство — состояние». Вместе с моделью роста в условиях воздействия случайных факторов рассматривают модель наблюдения, которую на первом этапе можно свести к линейной: у(0 = И({)Щ + е(*).

Используя принцип разделения, решаются две самостоятельные задачи. Задача фильтрации (слежения) связана с построением фильтра Калмана для линейного случая и фильтра Стратоновича для нелинейной правой части уравнения динамики (1)—(3). Находятся оценки состояния как условные средние с построением и решением нелинейных дисперсионных уравнений типа Ри-

катти. Фильтр и будет решением стохастического дифференциального уравнения. По плотности распределения начальных условий можно поставить задачу нахождения закона распределения для искомой величины фондовооруженности и удельных трудозатрат. Полученная оценка состояния используется при решении второй задачи — оптимального управления.

Задача оптимального управления обычно ставится на основе принципа Беллмана или же принципа максимума Понтрягина. В качестве критерия качества, например, при использовании последнего принципа, за простейший критерий можно принять функционал:

где 5 — есть параметр дисконтирования; и(ф)) — есть функция полезности потребления.

Относительно функции полезности потребления обычно принимаются допущения о строгой вогнутости, монотонности и возрастании. Далее схема известна [4; 6]: строится гамильтониан, находится условие его экстремума и по сопряженному оператору строится закон управления.

5. С учетом кейнсианского монетарного подхода модель трансформируется в модель Солоу—Тобина (Тобина) [3]. Учет случайного характера воздействия внешних факторов приводит к необходимости дополнительного анализа влияния факторов на предельные циклы, если они имеются, а также к необходимости подробного анализа структуры решений [3]. В неустойчивой экономической системе случайные отклонения могут увести систему далеко от первоначальной траектории. Объем исследований оказывается весьма значительным, тем более, если в этих исследования есть необходимость рассматривать различные производственные функции. Механизм исследований основан на концепции формализма фазового пространства, связан с анализом фазовых портретов, с применением показателей Ляпунова, определением наличия аттракторов и точек бифуркации, «детерминированного хаоса» [1; 3]. Все это составляет большую самостоятельную область исследования.

Таким образом, в настоящей работе указаны математические постановки задач для моделей:

1) замкнутой однородной экономики со случайными воздействиями;

2) многосекторной экономики с взаимодействием в удельных показателях;

3) открытой многосекторной экономики со случайными воздействиями;

4) стохастической экономики с разделением трудовых ресурсов;

5) «пространство — состояние» с оптимальным управлением и нелинейной фильтрацией.

Анализ и решение указанных задач управления и наблюдения для основных производственных функций в предложенных постановках представляют собой отдельный объект для исследований.

Кроме того, отмечены направления исследований для анализа нелинейных динамических моделей макроэкономики на основе модели Тобина с использованием фазового концептуального подхода, концепции «детерминированного хаоса» и фракталов.

Представляется, что строгость математических постановок в изложенных моделях макроэкономики достаточна для получения практических рекомендаций в результате исследований.

1. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. М., 2007.

2. Демин Н. С., Кулешова Е. В. Управление односекторной экономикой при ограничениях на накопление и ограничение // Проблемы управления. 2009. № 6.

3. Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М., 1999.

4. Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. М., 2005.

5. Крайнов Д. Е., Матвеенко В. Д., Ущев Ф. А. Торговля, инновации и экономический рост // Экономическая школа. Альманах. Международная экономика. СПб., 2011. Т. 7. С. 68-86.

6. Курзенев В. А. Динамическая модель макроэкономических процессов с управлением в регионе // Государственное и муниципальное управление в России: история и современность: материалы науч. конф. СПб., 2002.

7. Курзенев В. А., Лычагина Е. Б. Задача управления региональной экономикой с оценкой состояния // Управленческое консультирование. 2008. № 4. С. 62-70.

8. Матвеенко В. Д. Модели экономической динамики. СПб., 2006.

9. Столярю Л. Равновесие и экономический рост. М., 1974.

10. Хацкевич В. Л. Об устойчивости модифицированной модели Рамсея-Солоу, учитывающей запаздывание при вводе фондов // Экономика и математические методы. 2010. Т. 46. № 1. С. 137-143.

11. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига, 1989.

References

1. Grinchenko V. T., Matsypura V. T., Snarskiy A. A. Vvedenie v nelineynuyu dinamiku. Khaos i fraktaly. M., 2007.

2. Demin N. S., Kuleshova E. V. Upravlenie odnosektornoy ekonomikoy pri ogranicheniyakh na nakoplenie i ogranichenie // Problemy upravleniya. 2009. №6. S. 9-17.

3. Zang V.-B. Sinergeticheskaya ekonomika. Vremya i peremeny v nelineynoy ekonomicheskoy teorii. M., 1999.

4. Kolemaev V. A. Ekonomiko-matematicheskoe modelirovanie. M., 2005.

5. Kraynov D. E., Matveenko V. D., Uschev F. A. Torgovlya, innovatsii i ekonomicheskiy rost // Ekonomicheskaya shkola. Almanakh. T. 7. Mezhdunarodnaya ekonomika. SPb., 2011.

6. Kurzenev V. A. Dinamicheskaya model makroekonomicheskikh protsessov s upravleniem v regione // Gosudarstvennoe i munitsipalnoe upravlenie v Rossii: istoriya i sovremennost: Materialy nauchno-prakticheskoy konferentsii. SPb., 2002.

7. Kurzenev V. A., Lychagina E. B. Zadacha upravleniya regionalnoy ekonomikoy s otsenkoy sostoya-niya // Upravlencheskoe konsultirovanie. 2008. №4. S. 62-70.

8. Matveenko V. D. Modeli ekonomicheskoy dinamiki. SPb., 2006.

9. Stolyaryu L. Ravnovesie i ekonomicheskiy rost. M., 1974.

10. Khatskevich V. L. Ob ustoychivosti modifitsirovannoy modeli Ramseya-Solou, uchityvayuschey zapaz-dyvanie pri vvode fondov // Ekonomika i matematicheskie metody. 2010. T. 46. №1. S. 137-143.

11. Tsarkov E. F. Sluchaynye vozmuscheniya differentsialno-funktsionalnykh uravneniy. Riga, 1989.