Задания по математическому анализу, способствующие формированию умений проектной деятельности

присутствия субъектов учебного процесса (или как минимум одного субъекта - обучаемого), что автоматически переводит МСО в другое качество - на более высокий иерархический уровень, а именно -уровень собственно образовательной или педагогической системы.

Проведенные нами более детальные исследования с привлечением общего системного подхода позволили уточнить понятие МСО. Под методической системой обучения (МСО) учебной дисциплине будем понимать совокупность взаимосвязанных элементов (содержательно-структурного, процессуального, методико-техноло-гического, критериального), направленную на удовлетворение социально-индивидуальных, корпоративно-индивидуальных и индивидуальных потребностей в знаниях, умениях и навыках по учебной дисциплине индивидуумов или групп индивидуумов при диалектическом взаимодействии субъектов образовательного процесса.

Литература

Александров, Г.Н. Педагогические системы, педагогические процессы и педагогические технологии в современном педагогическом знании [Электронный ресурс] / Г.Н. Александров. Режим доступа: http://ifets.ieee.org/russian.

Волков, В.Н. Основы теории систем и системного анализа: учебник для студентов вузов / В.Н. Волков, А.А. Денисов. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. 510с.

Готская, И.Б. Методическая система обучения информатике студентов педвузов в условиях рыночной экономики: дис. ... д-ра пед. наук / И.Б. Готская. Волгоград, 2003. 314 с.

Дружинин, В.В. Проблемы системоло-гии / В.В. Дружинин, Д.С. Канторев. М.: Сов. радио, 1976. 295 с.

Кузьмина, Н.В. Понятие «педагогическая система» и критерии ее оценки / Н.В. Кузьмина // Методы системного педагогического исследования. Л.: Знание, 1980. С.16 - 17.

Николаев, В.А. Системотехника: методы и приложения / В.А. Николаев, В.М. Брук. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1985. 199 с.

Пышкало, А.М. Методическая система обучения геометрии в начальной школе: авт. докл. ... д-ра пед. наук / А.М. Пышкало. М., 1975.

Рыжова, Н.И. Педагогический Web-дизайн [Электронный ресурс] / Н.И. Рыжова, Д.А. Шуклин.Режим доступа: http://ric.uni-altai.ru/Fundamental/cat-uch.htm.

Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике / Н.Л. Стефанова [и др.]. М.: Дрофа, 2005. 416 с.

О.В. ЗАДОРОЖНАЯ

ЗАДАНИЯ ПО

МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЙ ПРОЕКТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Рассматриваются задания по математическому анализу, способствующие формированию умений проектной деятельности, а также углублению знаний по математическому анализу.

В оответствии с социальным заказом высшей школе возрастает актуальность подготовки специалистов, готовых к исследовательской деятельности, обладающих творческими способностями. Такая подготовка предусматривает формирование у них умений проектной деятельности как особого вида исследовательской деятельности, к которой в последние годы наблюдается большой интерес. По мнению ряда ученых, таких как П.Р. Атутов (1986), И.А. Зимняя (2002), В.Ф.Сидоренко (1990) и др., одним из подходов, положительно влияющих на формирование и развитие творческой личности, способной к самостоятельному определению себя в профессии, является проектный. В то же время авторский коллектив под руководством В.Д. Симоненко (1999) определяет проектную деятельность как интегративный, творческий вид деятельности по созданию товаров и услуг, обладающих объективной или субъективной новизной и имеющих личную или общественную значимость. В исследованиях Н.В. Матяш (2000) содержится теоретический анализ проектной деятельности. Автор рассматривает ее как форму учебно-познавательной активности обучающихся, заключающуюся «в мотивационном достижении сознательно поставленной цели по созданию творческого проекта, обеспечивающую единство и преемственность различных сторон процесса обучения и являющуюся средством развития личности субъекта обучения».

© Задорожная О.В., 2008

Проектная деятельность на современном этапе является одной из инновационных форм обучения в системе образования, ее актуальность обусловлена тем, что она имеет широкую область применения в профессиональной деятельности. При этом, овладевая умениями проектной деятельности, человек получает возможность непрерывно совершенствоваться.

Формирование умений проектной деятельности в процессе изучения математического анализа является длительным процессом, охватывающим весь курс обучения, и эффективность его достигается при выполнении проектных заданий, поднимающих студентов на уровень осознанного, творческого применения знаний. Студент овладевает практическим материалом, приемами учебной работы и умственными действиями. Данные задачи предполагают применение знаний в незнакомых ситуациях. Они вводят студента в суть проблем, которые можно решить на основе полученных знаний, дают развивающие сведения, углубляющие материал, открывают перспективы творческого применения. Задания развивают теоретическое мышление, которое является универсальным, оно в любой области придает практической деятельности творческий характер.

Приведем одно из заданий по математическому анализу, в процессе выполнения которого мы считаем возможным целенаправленно формировать у студентов умения проектной деятельности. Его тема: «Расходимость математических объектов как альтернатива их сходимости».

Сходимость математических объектов (последовательности, ряды, интегралы, несобственные интегралы и т.д.) определяется как существование конечного предела. Альтернативой сходимости является расходимость математических объектов, когда предел не конечен или не существует.

Как правило, в математическом анализе сходящимся математическим объектам уделяется больше внимания, чем расходящимся. Однако для полноты картины, а также для лучшего усвоения материала о сходящихся математических объектах целесообразно рассматривать те и другие параллельно, тем более что в математическом анализе встречаются задачи, при решении которых приходится оперировать расходящимися рядами.

Задание

1. Рассмотреть вопрос о сходимости и расходимости несобственного интеграла на основе ранее изученного материала.

2. Дать определение и перечислить признаки сходимости и расходимости числового ряда.

Цели задания

• Обучающие: актуализировать и закрепить знания по теме «Предел последовательности, функций одной и многих переменных»; изучить новый материал (вопросы сходимости и расходимости математических объектов - несобственного интеграла, числового ряда) через призму изученных ранее понятий; отработать умение формулировать утверждения и их отрицание как альтернативных понятий; научить обобщать утверждения и их отрицания для функций одной переменной на случай многих переменных; показать единство понятий сходимости и расходимости; отработать и закрепить теоретический материал на практических примерах; обобщить полученный материал и создать зависимости между пределами числовой последовательности, функциональной последовательности и функционального ряда.

• Проектные: научно-поисковые - формировать умения собирать и систематизировать научную информацию, проводить задание на математический язык, анализировать собранные сведения: делать логические выводы, математически грамотно излагать свое решение: творческие (креативные) - формировать умения собирать и накапливать мысли, идеи, замыслы, для чего требуется актуализация своих знаний по некоторым разделам математического анализа (предел последовательности, функции одной и многих переменных), умение применять изученные методы в решении поставленной задачи; учебно-математические - развивать умения формулировать цели предстоящей работы, определять разделы из курса математического анализа, способствующие решению задания, подбирать соответствующие определения, теоремы, факты, математические методы, идеи, гипотезы для выполнения задания; умения рассматривать проблему со всех сторон, учитывать все варианты, формулировать утверждения и их отношения, анализировать, оценивать и корректировать результаты деятельности.

ИЗВЕСТИЯ ВГПУ -------------------------------------

Таблица 1

Утверждение Отрицание утверждения

Определение

3 lim p(x) = A := Ve > 0 3S(e) > 0, x ^a Vx e E : 0 <| x - a |< S ^ | p(x) - A |< e 3 lim p(x) ^ A :=3e > 0 VS(e) > 0, x ^a 3x e E :0 <| x - a |< S ^ | p(x) - A |> e

Критерий Коши

3 lim p(x) ^ Ve > 03S(e) > 0, x ^a Vx', x" e E : 0 <| x' - a |< S, 0 <| x" - a |< S ^| p(x') - p(x") |< e 3 lim p(x) ^ 3e > 0VS(e) > 0, x ^a Vx', x" e E : 0 <| x' - a |< S, 0 <| x" - a |< S ^| p(x' ) - p(x" ) |> e

Сходимость (расходимость) несобственного интеграла

Пусть несобственность интеграла

связана с верхним пределом, т.е. с точкой Ь. Несобственный интеграл (1) определяется как предел

Ь r

J f

a a

Если предел (2) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл (1) сходится или существует (3), в противном случае - расходится (3). Полагая

p(r) = J f (x)dx ,

где рМ=,(х1-аУ+Т. + (Х;"-ат)2 , где х = (х ,...,х ), а = (а ,...,а ).

Сходимость (расходимость) числового ряда

Пусть {ап}, {Бп} - числовые последо-

вательности, где Sn =

- Е а

к - n-я частич-

к = 1

ная сумма числового ряда

к . Сходи-

перепишем выражение (2) в виде

Ь

J f

a Л^Ь

Так как в силу (3), (4) сходимость (расходимость) несобственного интеграла (1), т.е. существование (несуществование) предела (2) определяется существованием (несуществованием) предела (4), т.е. предела функции p(r) , то целесообразно рассмотреть вопрос о пределе произвольной функции p(x) : E ^ R и сформулировать критерий Коши и его отрицание. Оформим решение в табл. 1.

Мы рассмотрели утверждения и их отрицания для функции одной переменной. Однако, если величину \x - a| рассматривать как расстояние между точками x и a и положить p(x, a) =| x - a |, то вышеуказанная схема останется без изменения и в случае вещественной функции многих переменных, где p(x) : Rm ^ R ,

Е а I, к = 1

мость числового ряда определяется как сходимость последовательности его частичных сумм. Поэтому целесообразно рассматривать одновременно вопросы сходимости и расходимости числового ряда и числовой последовательности. При этом изучение одного материала (числового ряда) изучается через призму другого (числовой последовательности). Таким образом, для получения знаний по новой теме студентам необходимо вспоминать и закреплять изученный ранее материал. Итак, в данной теме мы параллельно рассматриваем понятия для предела последовательности и для п-х частичных сумм числового ряда, кроме этого, мы одновременно формулируем утверждения и их отрицания.

Последовательность {ап}

ад / \

Ряд Е ак сходится

к =1_ к

или расходится ( 3 ), если существует или не существует конечный предел

lim

n^<»

an a

, Sn, , S ,

. (Данная запись означа-

ет одновременное рассмотрение понятий для последовательности и для ряда.) Приведем схему альтернативных утверждений в табл. 2.

Данное задание предполагает реализацию аналитического, прогностического,

a

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ -----------------------

Таблица 2

Утверждение Отрицание утверждения

Определение

1. 3 lim ^j ^aj := Ve > 03n(e) є N , ^ Г1 an - a l< e j Vn > n(e) Пl s„ - S|< ej 1'. 3 lim „ j * Гa j := 3e > 0Vn(e) є N , „-Аs„ J lS J v„ > „4iS„ - a eJ

Критерий Коши

2. 3 { n}1 » Ve > 03n(e) e N, ^{Sn} f1 am - an |< e1 Vn >n(e),Vm >n(e) ^; sm - snn '|< ej 2'. 3|{an» 3e > 0Vn(e) e N, Vn > n(e), Vm > n(e) ^ I| am - an |> e 1 () V| Sm - Sn |> eJ

fan1 fa1 3. lim I n 1 = 1 1, если в любой окрестности n^*\snJ VsJ f u(a) 1 I лежат все члены последователь- V U(S) J ности, за исключением, быть может, конечного их числа „ f an 1 f a 1 3". lim n 1 * I 1,если существует окрест- n^*\ Sn J Vs J fU(a) 1 й б ность I (S ) j , вне которой содержится бесконечно много членов последовательности

ад 4. Пусть 3 Е an ^ lim an = 0 n=1 п^ад — ад 4". Пусть lim an * 0 ^ 3Еan n^-ад n=1

проектного, рефлексивного этапов проектной деятельности, при этом формируются соответствующие умения:

• на аналитическом - студенты переводили задание на математический язык символов, знаков, анализировали задание;

• на прогностическом - определяли разделы из курса математического анализа, способствующие решению задания (теория предела последовательности, предела функции), выдвигали идеи, предположения, выбирали пути решения;

• на проектном - путем сравнения, аналогии, обобщения получали новые определения и понятия по темам «Несобственные интегралы» и «Числовые ряды».

На этапе рефлексии возникает вопрос об обобщении понятия суммы ряда и о суммировании расходящегося в обычном смысле ряда с помощью каких-либо обобщенных методов. Различные методы определения сумм рядов называются методами суммирования рядов. К числу таких методов относятся, в частности, метод Че-заро (метод средних арифметических) и метод Абеля. В силу этих обстоятельств представляет интерес изучение расходящихся рядов.

Анализ полученных результатов, выводов позволяет расширить границы дан-

ного задания и обобщить результаты для числовых рядов на функциональные ряды и функциональные последовательности. Так как сходимость функционального

ряда в точке хо определяется как

сходиадмость соответствующего числового ряда Е ип (х0Х то теория сходимости функ-

п =1

ционального ряда базируется на теории сходимости числового ряда, а сходимость числового ряда определяется как сходимость числовой последовательности {Бп}

ад п

его частичных сумм 5п (х0) = Е ип (х0) .

п =1

Таким образом, теория сходимости числовой последовательности является основой как для теории сходимости числового ряда, так и для теории сходимости функционального ряда.

С другой стороны, сходимость функ-

ад

ционального ряда Е ип (х) определяется

п =1

как сходимость функциональной последовательности его частичных сумм

{^п (х)} = {Е ик (х)|. Таким образом, теория сходимости функциональной последовательности является базовой для сходимости функционального ряда.

Сходимость функциональной последовательности {^(х)} в точке хо определяется как сходимость соответствующей числовой последовательности {^(х^}, поэтому теория сходимости числовой последовательности является основой для теории сходимости функциональной последовательности.

Итак, в процессе выполнения этого задания студенты научились также формулировать утверждения и рассматривать параллельно с их отрицанием как для известных ранее понятий, так и для новых. Закрепили понятие предела функции одной и многих переменных. Получили навыки проработки одного материала (предел функции, предел последовательности) через изучение другого (несобственные интегралы, числовые ряды). Определили понятие расходимости как альтернативу сходимости и рассмотрели вопросы сходимости и расходимости математических объектов в единстве. Определили структуру и взаимосвязь некоторых понятий математического анализа (пределы числовой последовательности, числового ряда, функциональной последовательности, функционального ряда).

Таким образом, в процессе выполнения заданий такого типа у студентов формируются проектные умения, развивается научное творческое мышление, углубляются знания по математическому анализу. Они учатся самостоятельно добывать знания, самостоятельно мыслить, предлагать идеи и пути их воплощения, аргументировать их. Основы знаний о проектной деятельности дают возможность развивать новые способности, действия. Результатом выполнения таких заданий будет не создание материального продукта, а овладение проектными знаниями и умениями, которые будут необходимы выпускникам вузов в самостоятельной практической жизни. При решении задач студенты пополняют и углубляют полученные знания, развивают свои способности, что дает им возможность не только использовать их, но и самостоятельно конструировать, ориентироваться в информационном пространстве, развивать профессиональную компетентность.

Литература

Атутов, П.Р. Политехническое образование школьников: сближение общеобразовательной и профессиональной школы / П.Р. Атутов. М.: Педагогика, 1986. 176 с.

Зимняя, И.А. Педагогическая психология: учеб. для вузов / И.А. Зимняя. 2-е изд., доп., испр. и перераб. М.: Логос, 2003. 384 с.

Сидоренко, В.Ф. Генезис проектной культуры и эстетика дизайнерского творчества: автореф. дис. ... д-ра пед. наук / В.Ф. Сидоренко. М., 1990. 32 с.

Симоненко, В.Д. Технологическое образование школьников: теоретико-методологические аспекты / В.Д. Симоненко, М.В. Ретивых, Н.В. Матяш; под ред. В.Д. Симоненко. Брянск: Изд-во БГПУ: НМЦ «Технология», 1999. 230 с.

Матяш,Н.В. Психология проектной деятельности школьников в условиях технологического образования / Н.В. Матяш; под ред. В.В. Рубцова. Мозырь: РИФ «Белый ветер», 2000. 286 с.

А.М. АКОПЯНЦ

ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРАГМАЛИНГВОДИДАКТИКИ

Актуальность статьи заключается в том, что автор впервые предпринимает попытку обоснования прагмалингводидактического подхода в обучении иностранным языкам в специализированных вузах, рассматривает основные приемы прагматизацииречи студентов-лингвистов в различных регистрах речевого общения, формулирует прагмалингводидактические требования к учебникам и учебно-методическим пособиям, обосновывает методическую целесообразность овладения современными языковыми средствами на базе новых лингводидактических приемов и технологий обучения (упражнений, заданий, коммуникативных задач, тренингов).

Современные стратегии модернизации образования предопределяют критическое осмысление и последующую реорганизацию содержания обучения в лингвистическом вузе с целью повышения качества преподавания студентам иностранных языков и культур. Студент лингвистического вуза - будущий специалист по межкуль-турной коммуникации должен быть готовым к межличностному и межкультурно-му сотрудничеству как внутри своей стра-

© Акопянц А.М., 2008