О применимости моделей турбулентности для задач с сильной закруткой потока

Том XXXIV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 3

№ 1—2

УДК 532.527

629.735.33.015.3

532.517.4

О ПРИМЕНИМОСТИ МОДЕЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ С СИЛЬНОЙ ЗАКРУТКОЙ ПОТОКА

В. Г. СУДАКОВ

Рассматривается задача о диффузии бесконечного осесимметричного несжимаемого турбулентного вихря с нулевой компонентой скорости вдоль его оси в рамках уравнений Навье — Стокса, осредненных по Рейнольдсу. Задача сводится к решению уравнения диффузии для окружной скорости. Для определения неизвестного напряжения Рейнольдса использовались алгебраическая и д-т двухпараметрическая модели турбулентности.

Определяются модели турбулентности, которые пригодны для расчетов сильно завихренных потоков. Для этого проводилось сравнение результатов, полученных на основе алгебраической и модифицированной д-т двухпараметрической дифференциальной моделей турбулентности с результатами эксперимента. Сделана попытка учета влияния внешней турбулентности на диффузию вихря. Для этого модифицировалась алгебраическая модель турбулентности.

В настоящее время существует несколько типов полуэмпирических моделей турбулентности [1]:

алгебраические модели турбулентности. В алгебраических моделях замыкание уравнений Навье — Стокса, осредненных по Рейнольдсу, производится с помощью алгебраических формул, без использования дополнительных дифференциальных уравнений для каких-либо параметров турбулентности. Алгебраические модели — самый простой тип моделей турбулентности. В них используется гипотеза локальности, согласно которой механизмы турбулентного переноса полностью определяются локальными параметрами среднего течения и моментально реагируют на изменение условий среднего движения. Эти модели не универсальны и сильно меняются от одного класса течений к другому, хотя и требуют минимальных вычислительных затрат;

модели с одним или двумя дифференциальными уравнениями (одно- и двухпараметрические модели). В дифференциальных моделях потоки выражаются не только через параметры среднего движения, но и через некоторые параметры, характеризующие пульсационное движение. Для этих параметров используются дополнительные дифференциальные уравнения. При этом гипотеза локальности не устраняется полностью, а используется при замыкании дополнительных дифференциальных уравнений для параметров пульсационного движения. Существует два наиболее важных диапазона турбулентных движений: крупномасштабные и мелкомасштабные. Эти диапазоны физически различны и должны описываться по отдельности. Поэтому чаще применяются двухпараметрические модели турбулентности;

двухпараметрические модели с алгебраическим замыканием для напряжений Рейнольдса (ARSM). Эти модели в настоящее время бурно развиваются. Они основаны на моделях анизотропной градиентной диффузии;

дифференциальные модели для напряжений Рейнольдса. В данных моделях для определения неизвестных напряжений Рейнольдса решаются дополнительные дифференциальные уравнения.

Модели с алгебраическим замыканием для напряжений Рейнольдса и модели с дифференциальными уравнениями для напряжений Рейнольдса достаточно сложны, поэтому в настоящей работе использовались алгебраические и двухпараметрические модели турбулентности. Константы замыкания этих моделей меняются от одного класса течений к другому, поэтому была предпринята попытка выбрать те модификации этих моделей, которые пригодны для расчета сильно завихренных потоков, в том числе в вихревом следе за самолетом. С этой целью проводилось сравнение результатов расчетов, полученных на основе алгебраической и двухпараметрической моделей турбулентности с различными экспериментальными данными. Коэффициенты в моделях подбирались по экспериментальным данным в аэродинамической трубе (АДТ-124 ЦАГИ — концевой вихрь и вихрь от закрылка [2], АДТ-105 ЦАГИ — концевой вихрь за полной компоновкой самолета) и по данным летного эксперимента [3], [4].

Отдельной серьезной и мало исследованной проблемой является учет влияния атмосферной турбулентности на структуру вихрей. Эта задача осложнена наличием двух существенно разных

масштабов турбулентности (масштаб турбулентности атмосферы---------200 — 300 м, а масштаб

турбулентных пульсаций в следе за тяжелым самолетом — ~1 — 10 м). Была предпринята попытка исследования влияния турбулентности атмосферы на структуру вихрей с использованием алгебраической модели турбулентности. При этом турбулентная вязкость находилась из уравнения для баланса энергии турбулентности, в которое было добавлено дополнительное слагаемое, которое описывает поток энергии из крупномасштабного турбулентного движения атмосферы в турбулентное движение на масштабах вихря.

1. Постановка задачи. В данной работе рассматривалась модельная задача о турбулентной диффузии осесимметричного вихря, в котором

где Уг, У2 и Ув — средние радиальная, осевая и окружная компоненты скорости соответственно. Таким образом, уравнения Навье — Стокса, осредненные по Рейнольдсу, сводятся к уравнению для окружной скорости:

где неизвестное напряжение Рейнольдса моделировалось с помощью гипотезы Буссинеска

где г — расстояние до оси вихря, ґ — время, V — молекулярная вязкость и V,. — турбулентная вязкость. В [5] и [6] приведено аналитическое решение аналогичной задачи в случае ламинарного течения.

Турбулентная вязкость моделировалась на основе алгебраической (с учетом и без учета турбулентности атмосферы) и двухпараметрической моделей турбулентности.

Задача решалась на отрезке 0 < г < гтах. Граничные условия: У(ґ, 0) = 0, У(ґ, гтах) = Г/2пгтах, где Г — циркуляция вихря. При этом гтах выбирался достаточно большим, чтобы положение границы не влияло на течение внутри расчетной области. В качестве начального условия использовался профиль окружной скорости, измеренный экспериментально.

1.1. Алгебраическая модель турбулентности. Рассмотрим сначала случай, когда турбулентность атмосферы отсутствует. Используя гипотезу равновесности турбулентности, можно записать:

Уг = У2 = 0, У0 = У (г),

Р

---= СОП8І,

рв

где Р — производство кинетической энергии турбулентности, рв — ее диссипация. Производство кинетической энергии турбулентности можно представить с помощью гипотезы Буссинеска следующим образом:

Р = ру6£2.

4 2

(дК дУ,

дх, д%і

\ і 1

— тензор скоростей деформации. Для

дУ _ у дг г

осесимметричного вихря, рассматриваемого в данной задаче, £ =

Турбулентную вязкость ут можно определить по Колмогорову из интервала равновесия где I — масштаб турбулентности; С — константа. Отсюда:

1/ 4/

= Св'ъ г3

в = с-\36г4.

Подставляя (3) и (4) в (2), получаем известную формулу:

V а = СОП8ІI £ .

В случае турбулентной атмосферы, которая характеризуется двумя величинами: да (уровень турбулентности атмосферы

= ( и’2 + у'2 + м>'2 ) ) и Ьт (масштаб турбулентности атмосферы

~200 — 300 м), скорость диссипации кинетической энергии турбулентности атмосферы ва выражается в виде

в = С ^ єа -Со - .

Ьо

Энергия турбулентности атмосферы должна передаваться по каскаду вихрей в более мелкие масштабы. Следовательно, в уравнении баланса турбулентной энергии вихря должен присутствовать член, связанный с притоком энергии от крупномасштабных вихрей атмосферы. Модифицируя (3), получаем:

Р = Р

V д£ 2 + Со ІЛ

ЬА

Тогда из (2), (5) и (4) следует, что

С^ 0£ 2 + С23^ = Ц-10 2 Ь 14

где I = г, если г < Ьь и I = Ьь, если г > Ьь.

Таким образом, получено кубическое уравнение для определения турбулентной вязкости. В этом уравнении предполагалось, что да, Ьт заданы.

1.2. Двухпараметрическая модель турбулентности. Расчеты проводились на основе д-ю модели [7]:

д q _ 1 д dt r dr

дю _ 1 д dt r дг

v о '

д q r—— д r

дю д r

P _

(СцP _ю2 2ю' ц

Сю1 P Сю 2 ю

ю

дУ _ У дr r

где Сц = 0,09; ад = 0,8; сю = 2,0; Сю1 = 0,555; Сю2 = 0,833; д — масштаб турбулентных

пульсаций скорости; ю — удельная скорость диссипации кинетической энергии турбулентных пульсаций. Граничные условия задаются в виде:

г = 0: д-3- = ^ = 0;

r _ r

дт дт дq дю дт дт

_ 0.

Для нестационарной задачи необходимы начальные профили q и ю. Экспериментальные данные для этих величин найти сложно. На первом этапе в качестве начальных данных для параметров турбулентности были выбраны простейшие профили q = const и ю = const. При вычислении выяснилось, что результат достаточно сильно зависит от начальных данных. Поэтому для того, чтобы найти начальные профили параметров турбулентности, использовалась

дУ

процедура, указанная в [8]. Решалась система уравнений (7) совместно с уравнением -------_ 0.

дt

После нахождения стационарных решений для q и ю эти данные использовались в качестве начальных для нестационарной задачи (1), (7).

Стандартные двухпараметрические модели турбулентности ориентированы, в основном, на моделирование турбулентности в пограничных слоях и слоях смешения. Расчеты показали, что эти модели дают чрезвычайно быструю диффузию вихря, как указано в [8]. Следовательно, стандартные модели требуют при их применении в расчетах вихревых движений газа модификации коэффициентов и функций замыкания для адекватного учета стабилизирующего эффекта закрутки потока в малотурбулентной области течения в ядре вихря.

Существует два варианта модификации двухпараметрических моделей турбулентности:

1. Модификация коэффициента Сц в формуле для вихревой вязкости (7), как в моделях

ARSM. Подробный обзор данного подхода рассмотрен в [9].

2. В дифференциальные уравнения для параметров турбулентности вводятся дополнительные члены, зависящие от внесдвиговых напряжений, а коэффициенты замыкания представляются в виде функций от параметра, описывающего эти напряжения.

В данной работе использовался второй подход.

При получении дифференциального уравнения для ю моделируются все члены исходного (полученного при осреднении по времени системы уравнений Навье — Стокса) уравнения и, следовательно, оно является наиболее вероятным источником погрешностей. Поэтому целесообразно модифицировать константы замыкания именно в этом уравнении. По-видимому, лучше всего модифицировать коэффициент Сю1, определяющий интенсивность генерации скорости диссипации, хотя следует отметить, что есть работы, где модифицируется коэффициент

С„2 [10].

В данной работе коэффициент Сю1 представлялся как функция параметра, описывающего закрутку потока. В качестве такого параметра в [11] предложено использовать угловую скорость

)

вращения главных осей тензора скоростей деформации Da. В трехмерном случае вместо этого

параметра необходимо использовать вектор угловой скорости, компоненты которого имеют сложную структуру. Поэтому в [12] для трехмерного течения предложен в качестве меры угловой скорости параметр

е = SJkDSij

(25 £ )3/2 Dt

у^^тп^тп /

где Ц, = 2

ду дуі

дх, дх.

\ 1 1

тензор завихренности.

Можно показать, что в двумерном случае е = Da. Параметр закрутки потока можно определить как

4Р

г =

|Da /Бг\ ’

где Р берется из (7). Для осесимметричного вихря, рассматриваемого в настоящей задаче,

г =

г дУ 1------------

У дг

В [8] приведена формула для коэффициента Сю1, которая и использовалась в настоящей работе для расчетов:

ч Г 0,261/(0,05 + г), апёе г < 0,2,

с„1 = О,555+

11,004/(1 + 0,0017А), ап.е г > 0,2,

где

А = (г + 3,27)(г -1)(г - 3)2.

2. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными. Ниже проведено сравнение расчетных и экспериментальных данных. Расчеты проводились на основе алгебраической и двухпараметрической моделей турбулентности. В первом случае решалось уравнение (1), где турбулентная вязкость бралась из (3) для случая отсутствия турбулентности атмосферы и

_12

из (6) для случая учета турбулентности атмосферы при С1 = 0,23(Г/у) 7 , С2 = 0,08. Функциональный вид зависимости коэффициента С от Г/у получен с помощью результатов

[13]. Во втором случае решалась система уравнений (1), (7), где Сю1 определялась из (8) и (9).

Для решения системы уравнений в частных производных использовался метод прямых [14].

Расчетные данные сравнивались с экспериментальными, полученными в аэродинамических трубах АДТ-124 ЦАГИ (концевой вихрь и вихрь от закрылка) [2] и АДТ-105 ЦАГИ (концевой вихрь за полной компоновкой самолета), а также с экспериментальными данными, полученными в ходе летного эксперимента [3], [4].

На рис. 1 представлено изменение окружной скорости с течением времени для концевого вихря (а) и вихря от закрылка (б) в АДТ-124 ЦАГИ. Для данного сравнения использовалась алгебраическая модель турбулентности без учета турбулентности атмосферы и модифицированная q - ю модель.

Как видно из сравнения, обе используемые модели турбулентности приводят к удовлетворительному соответствию расчетных и экспериментальных данных. Хотя алгебраическая модель с хорошо подобранными коэффициентами несколько лучше описывает экспериментальные данные, чем модифицированная q - ю модель, последняя является более универсальной.

Ниже представлено сравнение расчетов, выполненных на основе алгебраической модели с учетом турбулентности атмосферы, с результатами летного эксперимента. На рис. 2 представлено изменение по времени циркуляции вихря, взятой по окружности с радиусом г0 = 6 м, для самолета Вое^-757 [3]

(так называемая «потеря» циркуляции). На рис. 3 представлен профиль скорости для самолета DC10 в сравнении с результатами расчета с помощью LES и результатами эксперимента [4] для левого и правого вихря при qa = 0,7 м/с.

Результаты показывают, что совпадение расчетных и экспериментальных данных достаточно хорошее.

На основе алгебраической модели с учетом турбулентности атмосферы была дана оценка влияния внешней турбулентности атмосферы на структуру вихря. На рис. 4 приведены профили окружной скорости Вое1^-747-400 для случаев спокойной атмосферы, qa = 0,1 м/с (а) и случая qa = 0,5 м/с (б). Как видно из приведенных графиков, при наличии турбулентной атмосферы диффузия вихря происходит гораздо быстрее.

При этом радиус ядра растет с течением времени лишь несколько быстрее, а максимальная скорость в вихре уменьшается

значительно быстрее по сравнению со случаем спокойной атмосферы.

Г

Г

Рис. 2

Лидар прав.

— - — - вИеп е1 а1. 1_Ев

Лидар лев. Расчет

Рис. 3

V

а)

Начальный профиль - - - Двухпараметрическая модель Алгебраическая модель а Эксперимент

V м/с

б)

Начальный профиль - - - Двухпараметрическая модель Алгебраическая модель а Эксперимент

Рис. 1

Рис. 5

На рис. 5 показано, как ведет себя циркуляция скорости, взятая по окружности заданного радиуса, с течением времени для случаев спокойной (а) и турбулентной (б) атмосферы соответственно. Можно заметить, что на расстоянии нескольких радиусов ядра циркуляция уменьшается. В турбулентной атмосфере происходит быстрая диффузия внешней части вихря и возникает потеря циркуляции. На рис. 6 приведены графики турбулентной вязкости для случаев спокойной и турбулентной атмосферы. Следует отметить, что в данной задаче завихренность сконцентрирована около оси вихря. Поэтому поведение турбулентной вязкости при больших значениях г практически не влияет на течение внутри вихря.

В заключение отметим, что алгебраическая модель с выбранными коэффициентами и модифицированная q - ю дифференциальная модель достаточно хорошо описывают экспериментальные данные. При этом была сделана попытка учесть влияние внешней турбулентности на диффузию вихря. Для этой цели в уравнение баланса турбулентной энергии введен дополнительный член. Показано, что при увеличении уровня турбулентности атмосферы происходит быстрая диффузия внешней части вихря и возникает потеря циркуляции.

Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (грант № 632).

Автор благодарит Г. Г. Судакова и В. В. Вышинского за полезные замечания и обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Власенко В. В. О некоторых свойствах двухпараметрических дифференциальных моделей турбулентности // Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники». Тезисы докладов. — Жуковский — Москва. — 2000.

2. Brysov O. P., Soudakova I. A., Soudakov G. G. Experimental investigation of the vortex wake behind a high-lift wing // Trudy TsAGI. — 1999. Vol. 2641.

3. Sarpkaya T. A new model for vortex decay in the atmosphere // AIAA Paper 99-0761.

4. Shen S., Ding F., Han J., Ary a S. P., Proctor F. H. Numerical modeling studies of wake vortices: real case simulations // AIAA Paper 99-0755.

5. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Т. 2. —

М.: Гостехиздат. — 194S.

6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука. — 19S7.

7. C o a k l e y T. J., Huang P. G. Turbulence modeling for high speed flows // AIAA Pa-

1,4

vT, m2/c

0,7

0

----- 9=0,1 м/с ? :0,5 м/с

Рис. 6

per 92-0436.

8. P a k i n A. N. Application of a modified q - m turbulence model to simulation of twodimensional vortex gas motion // Trudy TsAGI. — 1997. Vol. 2627.

9. Lakshminarayana B. Turbulence modeling for complex shear flows // AIAA Journal. — 1986. Vol. 24, N 12.

10. Hellsten A. Some improvements in Menter’s к - m SST turbulence model // AIAA Paper 98-2554.

11. Knight D. D., Saffman P. G. Turbulence model prediction for flows with significant mean streamline curvature // AIAA Paper 78-258.

12. S p a l a r t P. R., S h u r M. On the sensitization of turbulence model to rotation and curvature // Aerospace Science and Technology. — 1997. Vol. 5.

13. Saffman P. G. Structure of turbulent line vortices // Phys. Fluids. — 1973. Vol. 16, N 8.

14. Madsen N. K., Sincovec R. F. Algorithm 540: PDECOL, General collocation software for partial differential equations // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1979. Vol. 5, N 3.

Рукопись поступила 1/Х 2001 г.