Режимы дилатансии и уплотнения развития деформации в зонах локализованного сдвига

УДК 539.3, 539.4

Режимы дилатансии и уплотнения развития деформации в зонах локализованного сдвига

Ю.П. Стефанов

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Предложены соотношения, описывающие взаимосвязь изменения поверхности предельного состояния и коэффициента дилатансии, которые позволяют учесть изменения режимов развития деформации. Численно исследовано развитие деформации в режимах дилатансии и уплотнения в рамках математической модели с комбинированной предельной поверхностью. Рассмотрено проявление смешанных режимов и их смены в ходе деформирования в зоне локализации. Показано, что в близких областях одновременно могут развиваться области сдвига с дилатансией и уплотнением.

Ключевые слова: горные породы, определяющие соотношения, уплотнение, локализация, пластическая деформация, пористость, дилатансия

Dilatation and compaction modes of deformation in localized shear zones

Yu.P. Stefanov

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia Equations relating the yield surface and the dilatancy factor are proposed making possible consideration of changes of deformation modes. Deformation in dilatation and compaction modes is studied in the framework of a mathematical model with a combined limiting surface. Mixed deformation modes and their alternation in a localization zone are analyzed. It is shown that dilatancy and compaction can evolve in shear bands at a time.

Keywords: rocks, constitutive relations, dilatancy, compaction, localization, plastic deformation, porosity, shear band

1. Введение

Известно, что в зависимости от условий нагружения и свойств горной среды развитие деформации может протекать в режимах дилатансии и уплотнения. Возможность реализации каждого из этих режимов обычно разделяют с учетом действующей нагрузки и пористости среды. На определенном интервале давлений принципиальных различий в особенностях поведения плотных, консолидированных и пористых пород не проявляется. В условиях сдвига прочность пород сильно зависит от давления, а деформация обычно сопровождается изменением объема. С ростом давления происходит увеличение эффективной прочности. В ходе сдвиговой деформации имеет место дилатансия, рассеянное накопление микротрещин с увеличением эффективного объема. Разрушение в основном протекает по межзерен-ным границам, а в полосах локализации заметно разрыхление среды. Различие в поведении плотных и по-

ристых пород проявляется при давлениях, превышающих некоторую пороговую величину. Тогда с ростом давления эффективная прочность пористых пород начинает снижаться. Чем выше пористость, тем ниже этот порог. При таких давлениях в пористых средах начинается интенсивное разрушение зерен, скелета породы, в результате чего поровое пространство сокращается, имеет место уплотнение, или компакция, например [15]. В этом случае могут формироваться не только полосы локализованного сдвига с уплотнением, но и зоны локализованного уплотнения, в которых сдвиговая составляющая мала.

Результаты экспериментальных исследований показывают, что наряду с возможностью реализации двух указанных режимов деформации, при которых наблюдается дилатансия (разрыхление) или компакция (уплотнение), могут наблюдаться смешанные режимы. В этом случае в разных областях имеют место разрыхление и

© Стефанов Ю.П., 2010

уплотнение, что говорит о неоднородности среды и напряженного состояния. Имеются факты о неоднородности изменения пористости по ширине полосы локализации (или разлома) среды. В зоне локализации иногда можно выделить несколько слоев, различающихся по степени поврежденности и пористости. При одних условиях пористость и поврежденность среды растут от краев к центру полосы. В других условиях в центральном слое наблюдается уплотнение, при котором пористость оказывается ниже, а в слоях по краям полосы локализации пористость оказывается выше, чем в окружающем материале [6]. На основе таких наблюдений можно сделать вывод о существовании переходного режима, при котором в ходе деформирования процесс разрыхления сменяется уплотнением.

Различие в поведении плотных и высокопористых сред при большом давлении проявляется также в ориентации полос локализации деформации. В плотных, а также в высокопористых материалах при давлении ниже порогового полосы локализации образуют угол менее 45° к оси наибольшего сжатия. В высокопористых средах при больших давлениях этот угол превышает 45° [7]. Нередко плоскость локализованного уплотнения ориентирована ортогонально оси наибольшего сжатия. Таким образом, структура и ориентация разломов могут зависеть не только от направления осей главных напряжений, но также от величины давления и пористости среды.

При формулировке условий разрушения, построении поверхности предельного состояния обычно рассматривают процессы, характерные лишь для плотных или пористых материалов. Для плотных материалов ис-

пользуют коническую поверхность предельного состояния [8-10], а для пористых — замкнутую комбинированной или эллиптической формы [11-13] (рис. 1, 2).

Уплотнение среды, или компакция, обычно развивается с упрочнением среды. Для продолжения этого процесса необходимо увеличение давления, т.к. дробление зерен приводит к увеличению числа контактов, следовательно, к распределению и снижению действующей на них нагрузки. В соответствии с этим предельная поверхность расширяется, «крышка» сдвигается вправо (рис. 1, 2, б), величина порогового давления растет.

Сдвиговая деформация с дилатансией до определенного предела также протекает с упрочнением. В ходе сдвига меняется сцепление, с которым в значительной мере связано упрочнение. Кроме того, увеличение эффективного объема, обусловленное дилатансией, приводит в стесненных условиях к увеличению давления, следовательно, согласно диаграмме предельной поверхности, к росту эффективной прочности. Возникает эффект дилатансионного упрочнения. Но существует некоторый порог, после чего дилатансия прекращается. Вероятно, это происходит, когда дилатансия и уплотнение компенсируют друг друга. Таким образом, существует взаимосвязь между пороговым давлением, величиной пористости, соответствующей текущему состоянию среды, и началом разупрочнения, соответственно, и началом интенсивного разрушения.

Принимая во внимание, что условия инициации и развития разрывов напрямую зависят от состояния среды и условий нагружения, представляет интерес рассмотреть возможность развития деформации в разных режимах, а также изучить возможность протекания де-

Рис. 1. Обобщенный вид поверхности предельного состояния горных пород различной пористости

Рис. 2. Поверхность предельного состояния горных пород и ее изменение в ходе сдвиговой

формации в смешанных и переходных режимах. Особенно важно это для областей повышенной пористости и трещиноватости среды, какими являются зоны разломов. Для этого необходимо записать соотношения модели, которые позволили бы учесть такие особенности деформирования.

Для моделирования процесса деформации горной породы использован подход [14, 15], который основан на решении уравнений динамики упругопластической среды по явной численной схеме [16]. Описание деформации за пределом упругости осуществлялось в рамках модели с комбинированной поверхностью предельного состояния [17-19], построенной на основе модифицированных моделей Друккера-Прагера-Николаевского [8-10] и Рудницкого [11, 12]. Моделирование процессов осуществлялось в двумерной постановке для условий плоской деформации.

2. Математическое описание поведения горных пород. Основные уравнения

Примем, что скорость деформации состоит из упругой и пластической частей:

є;, = єХ- + є1

& р

^а

Пластической деформацией здесь будем называть неупругую деформацию независимо от ее природы. До начала пластической деформации напряжения будем рассчитывать по гипоупругому закону:

кк 8 у

а = - К

Г V ’

где і у = і у - і іксо]к - іук<% — производная Яуманна, учитывающая поворот элементов среды в ходе процесса; К и ц — модули сжатия и сдвига соответственно. Использовано разложение тензора напряжений Коши на шаровую и девиаторную части: а у = -а8у + і у, где а = -а кк13 — давление; і у — компоненты девиатора тензора напряжений; 8у — символ Кронекера. Компоненты тензора скорости деформаций Єу и тензора ско-

ростей вращения Юу определяются из соотношений

еу = 1/2

где иI — компоненты вектора скорости.

Упругое состояние среды в пространстве напряжений ограничено поверхностью предельного состояния, при достижении которого начинается процесс неупругого, пластического деформирования, или разрушения

/

где f — уравнение предельной поверхности (функции нагружения). Пластическая деформация определяется из уравнения

где g(ау; е?) = 0 — пластический потенциал; ^ определяется в ходе деформирования из условия пластичности; е/ — компоненты пластической (неупругой) деформации. Простейшее уравнение пластического потенциала, позволяющего учитывать дилатансию, можно записать в виде [9, 10]:

g = т - Ла,

где Л — коэффициент дилатансии.

Эффективную прочность среды удобно представлять в виде поверхности предельного состояния (рис. 1, 2), где по осям координат отложены эффективное давление и интенсивность касательных напряжений. Будем использовать предельную поверхность, представленную на рис. 1, 2, которая в области сдвиговой деформации на интервале давлений а( < а < а0 описывается уравнением [8]

У1

и при давлениях а> а0 — уравнением [11, 12]

/2 (а, т) =

а“ Ь

Здесь а = а(уР; а), с = с(ур) — коэффициенты, связанные с внутренним трением и сцеплением закона Кулона-Мора [8-10]; т = 2)1/2 — интенсивность

касательных напряжений; а( — прочность на отрыв; а0(Ф) — пороговое давление, при котором начинается уплотнение материала; ур — интенсивность сдвиговой

пластической деформации; а = а1 -а0; Ь = с + аа0; ф — пористость.

Сложность описания поведения материалов за пределом упругости состоит в том, что поверхность, ограничивающая напряженное состояние, при достижении которого начинается развитие пластической деформации и/или разрушение среды, не является фиксированной, она меняется в ходе деформирования. Кроме того, в ходе развития деформации меняется соотношение между приращениями сдвиговой и объемной частей пластической деформации, т.е. направление вектора пластической деформации. Таким образом, параметры, описывающие поведение среды за пределом упругости, являются функциями от накопленной пластической деформации (ее объемной и сдвиговой частей) и давления.

Как показано на рис. 2, предельная поверхность не остается постоянной, а меняется в ходе деформирования. При сдвиговой деформации сначала происходят упрочнение материала и накопление повреждений. Затем начинается процесс интенсивного разрушения, поверхность сужается (рис. 2, а). Это означает, что сдвиговые напряжения, которые может испытывать материал, снижаются. Такое поведение среды может быть описано уравнением [14, 15, 20]

с

где h — параметр упрочнения. Используются линейная зависимость для учета упрочнения

А

и квадратичная — для учета разупрочнения

ДУр) =

где у* — критическая деформация, после достижения которой преобладает деградация материала.

Влияние давления на предельную деформацию, которую материал выдерживает до начала разупрочнения, может быть учтено при помощи выражения [17, 20]

У* =у0

где у0 — пластическая деформация начала разрушения при отсутствии обжимающего (сдерживающего) давления; w и а * — параметры.

В ряде работ предложены соотношения, отражающие влияние давления, предельной пористости и накопленной неупругой объемной деформации на коэффициент дилатансии, например [9, 21-23]. Зависимости вида Л = Л(а, ер) подтверждаются экспериментами и имеют естественную интерпретацию, в том числе отражая факт, что скорость объемной деформации и ее предельная величина зависят от действующего давления. Однако задание параметра модели как функции двух параметров состояния среды становится сложным и неоднозначным. Поэтому попробуем, не теряя общности, учесть влияние давления и накопленной объемной

деформации на коэффициент дилатансии, несколько упростив вид данной зависимости.

При рассмотрении процесса деформации справедливо считается, что при сокращении пористости в результате уплотнения среды пороговая величина а0 возрастает, соответственно, «крышка» — правая, замыкающая часть предельной поверхности — смещается вправо. Причем обычно рассматривается процесс именно в направлении уплотнения. Тогда логично предположить, что увеличение объемной деформации, а соответственно, и пористости в ходе сдвиговой деформации приводит к снижению порогового давления а0, что означает смещение «крышки», замыкающей предельную поверхность влево по оси давления. Запишем это в виде одного выражения:

% е* &т

ао(єР) = ас

є -єр

Здесь єР =єкк; є — предельная объемная деформация уплотнения или начальная пористость.

Приняв такой закон изменения порогового давления а0 без ограничения на знак неупругой объемной деформации, мы допускаем возможность смены режима деформации с дилатансионного на компакционный и наоборот. Напомним, что компакция имеет место, когда давление а>а0. Теперь зависимость коэффициента дилатансии от давления можно записать в виде:

Л(а) =

Л,

%ао-а&

СТ-СТп

для а < а(

а1 ао

для а0 < а < а

Таким образом, коэффициент дилатансии стал функцией только давления, а влияние накопленной объемной пластической деформации проявляется через значение порогового давления. Заметим, что в работах [9, 21, 22] сделано наоборот: коэффициент дилатансии фактически зависит от предельной пористости, величина которой есть функция давления.

В представленных ниже расчетах были использованы следующие значения параметров: т = 2, п = 0.75, е*~ ф0 = 0.2.

В связи с низкой прочностью геоматериалов на отрыв а( поверхность обычно ограничивают в области растяжения. При высоких значениях давления, когда раскрытие трещин и проскальзывание их поверхностей становятся практически невозможными, происходит переход к пластическому деформированию кристаллической решетки зерен, что имеет место, например, на глубинах в несколько десятков километров [10, 22]. При таких нагрузках предельная поверхность может быть принята в виде цилиндра Мизеса, в который переходит поверхность (8) при а = 0.

Следует заметить, что здесь не учитывается влияние флюида. При наличии порового давления в определяющих соотношениях вместо а принято использовать ае£Г = а - арог. Использование эффективного давления в уравнениях (8), (9) означает, что рост порового давления на интервале аг < а < а0 приведет к снижению эффективной прочности среды, тогда как при а> а0 поровое давление будет препятствовать уплотнению и может перевести среду в дилатансионный режим деформирования. Таким образом, изменение порового давления также может привести к смене режима деформирования.

Для моделирования процесса деформации численно решается система уравнений, включающая уравнения неразрывности и движения:

р + Ри-, г = 0;

ау; у +Р^- =Ри.

Здесь р — плотность материала; ^ — массовые силы; точка сверху означает производную по времени, индекс после запятой означает производную по соответствующей координате.

Система уравнений замыкается приведенными выше определяющими соотношениями (1)-(6).

3. Обсуждение результатов численного моделирования

3.1. Сдвиг слоя вдоль направляющих

В условиях сдвиговой деформации в геосреде, как правило, возникает сеть полос локализованного сдвига [24-27]. Деформационная картина такого вида наблюдается очень часто на обнажениях и внутри разломных зон, а также на поверхности вдоль линий глубинных разрывов.

Рассмотрим сдвиг слоя среды, зажатого между направляющими. В таких стесненных условиях сильно сказывается упрочняющее влияние дилатансии. Большое влияние коэффициента дилатансии на результаты численного моделирования в геоматериалах отмечается во многих работах, например [14, 18, 20, 28, 29]. При малых значениях этого коэффициента (Л < 0.2а) деформация часто с самого начала имеет локализованный характер (рис. 3), причем увеличение скорости сдвига приводит к более четкому проявлению сопряженных полос [14].

Рассмотрим влияние изменений коэффициента ди-латансии на развитие процесса деформирования в слое.

Рис. 4. Изменение давления, касательных напряжений и коэффициента дилатансии в ходе сдвига слоя среды

Для устранения влияния ограниченной протяженности слоя на торцах были заданы замкнутые граничные условия, имитирующие бесконечную протяженность, так чтобы левый край был продолжением правого и наоборот. Расчеты проводились для следующих значений коэффициентов: модуль сжатия К = 27.6 ГПа, модуль сдвига |1 = 17.7 ГПа, коэффициент внутреннего трения а = 0.55, сцепления с = 0 и переменное значение коэффициента дилатансии.

Проведенные расчеты показали, что в случае больших значений коэффициента дилатансии деформация в сыпучей среде протекает однородно. Изменение коэффициента дилатансии в ходе деформирования в диапазоне Л = 0.2-0.13 (рис. 4) согласно уравнениям (14), (15) не привело к появлению зон локализации (рис. 5). Довольно узкий диапазон изменения коэффициента дила-тансии в данном расчете обусловлен тем, что значение порогового давления было заведомо высоким, что не предполагает значительных изменений коэффициентов (а0 = 100 ГПа). На рис. 4, где показаны графики зависимостей напряжений и коэффициента дилатансии в слое, можно увидеть изменение наклонов графиков интенсивности касательных напряжений и давления вследствие изменения коэффициента дилатансии. Заметим, что огромное возникающее давление вызвано исключительно дилатансией среды, его величину в данных условиях деформирования можно оценить как: у

а = К ер = К _|Му.

0

Уравнения (15) определяют связь между коэффициентом дилатансии и разностью между пороговым и

Рис. 3. Формирование полос локализованного сдвига при деформировании слоя среды вдоль направляющих. Распределение интенсивности сдвиговой деформации

Рис. 5. Распределение объемной пластической деформации (дилатансии) при однородном деформировании слоя среды

б

Рис. 6. Изменение коэффициента дилатансии (а) и давления (б) в ходе сдвига слоя среды

текущим давлением среды. Учитывая, что пороговое давление зависит от величины пористости или объемной деформации, т.е. дилатансии среды, эта связь становится достаточно сложной. При начальном значении а0 = 300 МПа изменение коэффициента дилатансии происходит значительно быстрее, чем в предыдущем расчете. На рис. 6 приведены кривые изменения коэффициента дилатансии и давления в нескольких точках деформируемого слоя. Хорошо видно, что при значениях Л < ~0.1 (у = 1.2 %; а = 150 МПа) в разных точках величины давлений и значений коэффициента становятся различными, что говорит о появлении неоднородности развития деформации. Отрицательные значения коэффициента соответствуют смене дилатансии на уплотнение. На графиках заметны в отдельных областях среды значительные осцилляции, свидетельствующие о смене режимов деформирования в разных точках. На рис. 7 показано распределение объемной деформации в различные моменты. Рисунок 7, а соответствует возникновению неоднородности деформации на дилатансион-ном этапе деформирования. На рис. 7, б максимальные значения объемной деформации оказываются ниже, чем в предыдущий момент, а в отдельных областях можно увидеть отрицательные значения. Это говорит о том, что развитие деформации после достижения некоторого уровня разрыхления перешло в режим уплотнения.

3.2. Распределение объемной деформации по ширине полосы локализации и смена режима деформирования

Рассмотрим изменение неупругой объемной деформации в полосе локализованной деформации в ходе ее формирования и развития. Для этого выполним численное моделирование осевого деформирования образца

породы с начальной пористостью 20 % при разном боковом обжатии. Сначала к образцу прикладывалось давление обжатия ас, а затем образец деформировался с постоянной скоростью при запрете скольжения на верхней и нижней гранях (рис. 8, а). Были приняты начальные значения коэффициента дилатансии Л0 = = 0.55 и порогового давления а0 = 75 МПа.

При малом боковом давлении быстро формировались полосы локализованного сдвига. Ширина полос составляла порядка двух-трех расчетных ячеек, что соответствует минимальному значению для подобных расчетов. Несмотря на небольшое значение порогового давления а0 и его снижение с ростом объемной деформации согласно уравнению (14) в полосах локализации сохранялся дилатансионный режим деформирования. Коэффициент дилатансии сохранял положительное значение. Изменение режима не происходило ввиду прекращения роста напряжений и последующего их снижения в результате разупрочнения и быстрого разрушения образца.

При более высоком давлении бокового обжатия (ас = 0.5а0) на отдельных участках полос локализованного сдвига в ходе деформирования наблюдалось изменение знака коэффициента дилатансии. Таким образом, была достигнута смена режима. Однако уплотнение среды было незначительным и не компенсировало накопленную дилатансию. Причем, вопреки ожиданиям, переход в режим уплотнения наблюдался не в центральной части полос локализации, где дилатансия максимальна, а по их краям. Ширина полос локализованной деформации достигала 5-7 расчетных ячеек.

Четкая смена режима деформации от разрыхления к уплотнению была получена в условиях увеличения боковой нагрузки в процессе осевого деформирования

4.49280

2.82059

1.56643

0.31227

б

",

0

3.19110

1.51500

0.00000

-0.99914

Рис. 7. Распределение объемной пластической деформации при сдвиге слоя среды в различные моменты

б AVIV, %

40 42 44 46 48

70 72 74

Рис. 8. Схема нагружения (а), распределение неупругой объемной деформации в образце (б) и на участке вертикального сечения образца (включающем две полосы локализации) в последовательные моменты времени при росте осевой деформации и нагрузки в образце (в). Кривая

1 соответствует дилатансионному режиму, кривая 2 — переходу в режим уплотнения и кривые 3, 4 — компакционному режиму развития деформации в полосах локализации

образца (рис. 8, б). Такая ситуация больше соответствует деформационным процессам, протекающим в земной коре, т.к. имитирует наличие вмещающей среды, препятствующей разгрузке. На рис. 8, в показано развитие данного процесса по ширине двух полос локализации в последовательные моменты с ростом осевой деформации образца. На рисунке хорошо видно, что после первоначального увеличения объемной деформации на 2.5 % (рис. 8, в, кривая 1) начался процесс уплотнения (кривые 2-4). В результате в центральной части полосы уменьшение пористости по сравнению с первоначальным состоянием составило ~7 % (рис. 8, б, в, кривая 4).

3.3. Одновременное развитие деформации в разных режимах

Протекание деформации в разных режимах может быть проиллюстрировано на примере деформирования области среды с наклонным нарушением, представляющем собой область с низкой прочностью

и высокой пористостью ~20 %. При наличии вытянутого нарушения его поведение и влияние на напряженно-деформированное состояние окружающего материала приближается к влиянию трещины. От вершин нарушения развиваются полосы локализации деформации, а при малом боковом сжатии — трещины. Направление распространения полос локализации происходит под некоторым углом к оси нагрузки, определяемым параметрами среды. На начальном этапе при больших коэффициентах дилатансии возможно образование пар полос локализованной деформации [14].

В ходе деформации с положительным коэффициентом дилатансии наблюдается раздвижение стенок разлома. Однако, принимая во внимание, что в зоне нарушения материал имеет высокую степень пористости, по-врежденности, при высоком уровне давления развитие сдвиговой деформации может сопровождаться уплотнением среды. В этом случае в зоне ответвлений нарушения развитие деформации будет протекать с разрых-

0 37

-0,80

Рис. 9. Распределение объемной пластической деформации в окрестности наклонного нарушения (а) и при формировании полосы локализации (б). Темная область соответствует уплотнению, светлая — разрыхлению среды

лением среды, тогда как в зоне исходного нарушения материал будет уплотняться (рис. 9, а). Таким образом, будут наблюдаться сдвиг и сближение стенок исходного нарушения. При этом приращение длины ответвлений, сопровождающееся дилатансией, и уплотнение в исходном нарушении будут протекать одновременно. В ходе развития смещений в разломе возможна и смена знака дилатансии в соответствии с чередованием механизмов разрыхления и уплотнения среды.

На рис. 9, б показан другой пример возникновения зон, в которых деформация сопровождается объемными изменениями разных знаков. В условиях комбинации сжатия и сдвига на первом этапе деформирования сформировались два участка локализованного сдвига с дила-тансией среды. В ходе дальнейшей деформации вместе с изменением напряженного состояния и прочностных свойств меняется геометрия образца. Поэтому если сформировавшиеся полосы локализованной деформации не пересекают всю область, то образование новых участков протекает уже в иных условиях нагружения. Соответственно возможно формирование зон локализованного сдвига с уплотнением среды, как это показано на рис. 9, б.

Следует отметить, что похожая ситуация возможна и в случае образования полосы локализованной деформации, пересекающей весь образец. Пока не произошло деградации прочностных свойств в зонах локализации, могут формироваться новые полосы локализованного сдвига, при этом развитие деформации в прежних полосах локализации может быть заморожено.

Таким образом, в сложных условиях нагружения возможно последовательное изменение картин и режимов деформирования, что обусловлено изменением свойств среды в ходе развития деформации и влиянием схемы нагружения, при которой меняется геометрия объекта.

4. Заключение

Реализация режимов дилатансии и уплотнения при деформировании в зонах локализации и разломах зависит от напряженного состояния и состояния среды, ее поврежденности, пористости. В условиях, близких к критическим, рассмотрение различных режимов деформирования может быть важным, т.к. от этого зависят условия инициации и развития деформации в разломе. На различных участках разлома могут быть реализованы разные режимы деформирования, при этом возможна их смена, а соответственно, могут меняться условия инициации и распространения разрыва. Показано, что смена режимов деформирования с дилатансии на уплотнение может быть вызвана не только изменением напряженного состояния, но и изменением свойств среды в ходе процесса, а именно с накоплением объемной деформации. Формирование разрыва может быть за-

ключительиой стадией развития деформации, когда ди-латансионный режим сменяется в узкой зоне уплотнением и снижением эффективной прочности среды.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 10-05-01064-а), проекта VII.64.1.8 фундаментальных исследований СО РАН на 2010-2012 гг. и Интеграционного проекта СО РАН №114.

Литература

1. Cuss R.J., Rutter E.H., Holloway R.F. The application of critical state soil mechanics to the mechanical behaviour of porous sandstones // Int. J. Rock Mech. Min. - 2003. - V. 40. - No. 6. - P. 847-862.

2. Schultz R.A., Siddharthan R. A general framework for the occurrence and faulting of deformation bands in porous granular rocks // Tecto-nophysics. - 2005. - V. 411. - No. 1-4. - P. 1-18.

3. Fossen H., Schultz R.A., Shipton Z.K., Mair K. Deformation bands in sandstone: A review // J. Geol. Soc. London. - 2007. - V. 164. - No. 4.-P. 755-769.

4. Schubnel A., Fortin J., Burlini L., Gueguen Y Damage and Recovery of Calcite Rocks Deformed in the Cataclastic Regime // High-Strain Zones: Structure and Physical Properties / Ed. by D. Bruhn, L. Burlini. - London: Geological Society of London, 2005. - 203 p.

5. Zhu W., Wong T. The transition from brittle faulting to cataclastic flow. Permeability evolution // J. Geophys. Res. B. - 1997. - V. 102. -No. 2. - P. 3027-3041.

6. Bied A.El., Sulema J., Martineau F. Microstructure of shear zones in Fontainebleau sandstone // Int. J. Rock Mech. Min. - 2002. - V. 39. -No. 7. - P. 917-932.

7. Issen K.A., Rudnicki J.W. Conditions for compaction bands in porous rock // J. Geophys. Res. B. - 2000. - V. 105. - No. 9. - P. 2152921536.

8. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 2. Определяющие законы механики грунтов. - М.: Мир, 1975.- С. 166-177.

9. Николаевский В.Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды // ПММ. - 1971. - Т. 35. - № 6. -С. 1017-1029.

10. Гарагаш И.А., Николаевский В.Н. Неассоциированные законы течения и локализации пластической деформации // Успехи механики. - 1989. - Т. 12. - № 1. - С. 131-183.

11. Rudnicki J.W. Shear and compaction band formation on an elliptic yield cap // J. Geophys. Res. B. - 2004. - V. 109. - No. 3. - P. 03402 (10 pages).

12. Grueschow E., Rudnicki J.W. Elliptic yield cap constitutive modeling for high porosity sandstone // Int. J. Sol. Struct. - 2005. - V. 42. -P. 4574-4587.

13. DiMaggio F.L., Sandler I.S. Material models for granular soils // J. Engn. Mech. ASCE. - 1971. - V. 97. - No. EM3. - P. 935-950.

14. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. - 2002. -Т. 5. - № 5. - С. 107-118.

15. СтефановЮ.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 129-142.

16. Wilkins M.L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - 246 p.

17. Стефанов Ю.П. Численное моделирование деформирования и разрушения горных пород на примере расчета поведения образцов песчаника // ФТПРПИ. - 2008. - № 1. - С. 73-83.

18. Стефанов Ю.П., Евсеев В.Д. Численное исследование деформации и разрушения горных пород под действием жесткого штампа // Изв. ТПУ - 2009. - Т. 315. - № 1. - С. 77-81.

19. Стефанов Ю.П. Об инициации и распространении разрывов в разломной зоне // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 1. - С. 94100.

20. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Трубицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., ВорошиловЯ.С. Нелинейная механика геоматериалов и геосред. - Новосибирск: Изд-во «Гео», 2007. - 240 с.

21. Капустянский С.М., Николаевский В.Н. Параметры упругопластической дилатансионной модели для геоматериалов // ПМТФ. -1985. - № 6. - С. 145-150.

22. Капустянский С.М., Николаевский В.Н. Количественная формулировка упругопластической дилатансионной модели // МТТ. -1984.- № 4. - С. 113-123.

23 Замышляев Б.В., Евтерев Л.С. Модели динамического деформирования и разрушения грунтовых сред. - М.: Наука, 1990. - 215с.

24. Шерман С.И., Семинский К.Ж., Борняков С.А. и др. Разломооб-разование в литосфере. В 3-х т. - Новосибирск: Наука, 1991. -Т. 1. - 261 с., 1992. - Т. 2. - 262 с., 1994. - Т. 3. - 263 с.

25. Tchalenko I.S. The evolution of kink-bands and the development of compression textures in sheared clays // Tectonophysics. - 1968. -V.6. - No. 2. - P. 159-174.

26. Katz Y, Weinberger R., Aydin A. Geometry and kinematic evolution of Riedel shear structures, Capitol Reef National Park, Utah // J. Struct. Geol. - 2004. - V. 26. - No. 3. - P. 491-501.

27. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах // ФТПРПИ. - 1974. - № 3. - С. 130-133.

28 Назарова Л.А., Назаров Л.А., Козлова М.П. Роль дилатансии в формировании и эволюции зон дезинтеграции в окрестности неоднородностей в породном массиве // ФТПРПИ. - 2009. - № 5. -С. 3-12.

29. Астафуров С.В., Шилько Е.В., Псахье С.Г. Влияние стесненных условий на характер деформирования и разрушения блочных сред при сдвиговом нагружении // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 6.-С. 23-32.

Поступила в редакцию 16.09.2010 г.

Сведения об авторе

Стефанов Юрий Павлович, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, stefanov@ispms.tsc.ru, yu_st@rambler.ru