Построение оптимального плана статистического контроля процесса при переменной интенсивности возникновения нарушений

ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И КАЧЕСТВА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

DIAGNOSTIC METHODS OF ENSURING THE RELIABILITY AND THE QUALITY

OF COMPLEX SYSTEMS

УДК 519.248: 681.518.5 DOI 10.21685/2307-4205-2018-4-10

Е. А. Зенцова, В. Н. Клячкин

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ПРОЦЕССА ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ НАРУШЕНИЙ1

E. A. Zentsova, V. N. Klyachkin

BUILD THE OPTIMAL PLAN OF STATISTICAL PROCESS CONTROL WITH VARIABLE INTENSITY OF OCCURRENCE OF VIOLATIONS

Аннотация. Актуальность и цель. Функционирование сложной системы зависит от совокупности многих факторов, обусловленных спецификой среды эксплуатации, сложностью организации самой системы, характером возникающих в процессе работы нарушений. Задача скорейшего обнаружения и устранения негативных внешних факторов является одной из важнейших в комплексе проблем по обеспечению качества функционирования системы. Индикатором влияния на систему возмущающих воздействий могут служить методы статистического контроля процессов. Сущность такого контроля состоит в том, что по статистическим данным, полученным в соответствии с планом, принимается решение о корректировке процесса, при этом нарушение по статистическим критериям выявляется до того, как произошел выпуск дефектной продукции. Эффективность статистического контроля во многом определяется правильным выбором параметров плана контроля (объема и периодичности выборок, положения контрольных границ). Поэтому целью исследования является разработка

Abstract. Background. The functioning of a complex system depends on many factors together caused by the specifics of the operation Wednesday, the complexity of the Organization of the system itself, the nature of the work involved in the violations. The task of early detection and removal of negative external factors is one of the most complex problems to ensure the quality of the system's functioning. Effect on the system indicator revolting influences can serve as methods of statistical process control. The essence of such controls is that, according to the statistical data obtained in accordance with the plan, the decision on the adjustment of process violation on statistical criteria is detected before the issue occurred defective products. The effectiveness of statistical control is largely determined by the correct selection of the parameters of the plan control (the amount and frequency of samples provisions controlling borders). Therefore, the aim of the study is to develop a methodology for determining the parameters of statistical control plan. Materials and methods. As performance indicators dealt with probabilistic and cost criteria. The idea of integrating val-

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект №18-48-730001.

методики определения параметров плана статистического контроля. Материалы и методы. В качестве показателей эффективности рассматриваются вероятностный и стоимостной критерии. Идея учета стоимостных показателей при оптимизации планов статистического управления обусловлена тем, что существуют такие значения контрольных границ, объема выборок и периодичности их отбора, которые минимизируют потери, связанные с нарушением процесса функционирования, затраты на его диагностику и корректировку. В соответствии с вероятностным критерием выбор параметров плана должен минимизировать риск ошибочных решений при проведении контроля. Результаты и выводы. Применение оптимального плана, построенного по предлагаемой методике, позволит оперативно выявлять и устранять нарушения процесса функционирования при низком уровне затрат на проведение контроля.

Ключевые слова: контрольная карта Хотеллинга, распределение Берра, вероятностный и стоимостной критерии, моделирование нарушений процесса.

ues during optimization plans the Statistical Office is due to the fact that there are such values control borders, samples and periodicity of their selection, which minimize losses associated with the violation of process operation, the cost of its Diagnostics and adjustment. In accordance with the probabilistic criterion for selecting the parameters of the plan should minimise the risk of wrong decisions during inspection. Results. Application of the optimal plan, built on the proposed methodology will quickly identify and eliminate violations of process functioning at low cost monitoring.

Key words: Hotelling's control chart, Burr distribution, probabilistic and value criteria, simulation process violations.

Проектирование плана статистического контроля

Для обеспечения стабильности производственного процесса могут применяться методы статистического управления, направленные на выявление и устранение отклонений от предъявляемых к процессу требований [1, 2].

Основным техническим средством статистического управления являются контрольные карты, которые позволяют отслеживать текущее состояние процесса и определять наличие статистической управляемости. Проектирование контрольных карт заключается главным образом в правильном выборе их параметров: объема выборок, периодичности, значения контрольных границ. Для эффективного применения карт в ходе статистического управления технологическим процессом необходимо получить достоверные оценки их эффективности уже на этапе построения. Для количественной оценки эффективности карт традиционным подходом является использование функции мощности критерия обнаружения нарушений процесса. Мощность критерия обнаружения определяется как вероятность принятия решения о выходе процесса из статистически управляемого состояния вследствие нарушения произвольного типа

М = /

где к - величина, определяющая положение контрольных границ; п - объем выборки; у - контролируемая характеристика, определяющая состояние процесса.

Статистические свойства алгоритмов обнаружения нарушений однозначно характеризуются вероятностями возможных ошибок а и в. Вероятность ошибки первого рода а (ложная тревога) определяется положением контрольных границ и объемом выборок п

а = /

где у0 - известное значение контролируемой характеристики для стабильного процесса.

Поскольку величина допустимого смещения уровня настройки процесса, как правило, известна, на практике используется функция мощности вида М = / (у) при постоянных а и п.

Вероятность ошибки второго рода в (пропуск перехода) связана с мощностью критерия обнаружения выражением р = 1 -М (у1), где у1 - значение контролируемой характеристики при неуправляемом процессе. Для оценки частоты ошибок первого и второго рода можно использовать понятие средней длины серии управляемого (10 = 1/а ) и неуправляемого (ь1 = 1/(1 - в)) процессов.

Соотношения (1) и (2) являются ключевыми при расчете характеристик плана статистического контроля процесса на основе вероятностного подхода. Компромисс между значениями вероятностей ошибок первого и второго рода позволяет установить оптимальные параметры карты. Недостатком вероятностного подхода является то, что не представляется возможным оценить экономическую эффективность плана [3-5].

В качестве оценки стоимостных показателей применения плана может быть использована функция затрат на контроль:

Мс = /

Составляющие затрат определяются следующими группами аргументов:

- параметрами контрольной карты: объемом выборок, периодичностью, значениями контрольных границ (п, к, к);

- характеристиками вероятностно-временных моделей процесса (количеством типов нарушений и величиной смещения уровня настройки процесса, параметрами управляемого и неуправляемого состояний процесса, видом и параметрами распределений контролируемых характеристик процесса) (Цо, Цр 8,...);

- стоимостными характеристиками процесса - средними потерями от одного бракованного изделия, однократной корректировки процесса, контроля одной выборки и одного изделия и др.

( С1 , ..., Си );

- временными затратами - длительностью периодов поиска и устранения причин нарушений, продолжительностью обработки наблюдений процесса и др. (Тх,..., Ту ).

Анализ зависимости (3) показывает, что при фиксированных значениях характеристик С1,..., Си и Тх,...,Ту изменения параметров карты (п,к,к) противоположным образом влияют на отдельные составляющие функции затрат. Это обстоятельство обусловливает существование оптимальных значений (п*, к*, к *), при которых суммарная стоимость М (С) минимальна для заданных

С1,..., Су и Тх,...,Ту . На этих принципах основано множество современных методов проектирования контрольных карт.

Многомерная контрольная карта Хотеллинга

Основным инструментом контроля многопараметрического процесса является контрольная карта Хотеллинга, предназначенная для проверки гипотезы о том, что средний уровень процесса соответствует заданным спецификациям, т.е. проверяется стабильность процесса по среднему уровню [2, 6-8].

Рассмотрим технологический процесс с р показателями качества. Пусть данные показатели коррелированы между собой и подчиняются многомерному нормальному закону распределения с вектором средних Ц =((,...,Ц0р) и ковариационной матрицей X . Применение карты Хотеллинга

для анализа стабильности такого процесса предполагает расчет и нанесение на карту значений выборочной статистики

Т2 = п

для каждой мгновенной выборки объема п через равные промежутки времени к, где ц0 - вектор средних для p показателей качества, Т - вектор средних в мгновенных выборках.

При условии, что ц0 и X известны или их оценки получены на основе большого объема данных, статистика Т2 имеет распределение %2 с р степенями свободы. Выборочные значения статистики Т2, таким образом, сравнивают с квантилью %2 -распределения: к = %2 (а, р).

При нормальном ходе процесса значения Т2 не превышают значения контрольной границы к . Попадание значения статистики за контрольную границу сигнализирует о неуправляемом состоянии процесса. Выход процесса из управляемого состояния обусловлен влиянием т независимых причин

нарушений. При возникновении нарушения I -го типа ( = 1,2,...,т) происходит смещение вектора

средних на величину ^ = ( -ц0) Х-1 ( -¡а0), где di - расстояние Махаланобиса, ^ - вектор средних при неуправляемом состоянии процесса [9].

Вероятностное моделирование нарушений процесса

Нарушения процесса носят случайный характер, что позволяет описать механизм их появления с помощью вероятностного моделирования. От правильного выбора аппроксимирующего распределения при построении вероятностной модели в значительной степени зависит применимость на практике методов проектирования контрольных карт. Важным критерием оценки адекватности теоретического распределения может служить интенсивность нарушений процесса. Она представляет собой условную плотность вероятности возникновения нарушений для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента нарушений не происходило. Кривую интенсивности нарушений можно моделировать, используя различные виды распределений.

Для описания последовательности нарушений с постоянной функцией интенсивности справедлив экспоненциальный закон распределения - частный случай распределения Вейбулла. Закон распределения Вейбулла с различными значениями параметра формы кривой применяется для моделирования нарушений процесса с убывающей или возрастающей на всей области определения функцией интенсивности. Однако простое распределение Вейбулла не способно описать характерные для множества сложных систем падение или рост интенсивности нарушений в разные периоды времени (^-образная форма кривой). Каждый из периодов моделируется своим собственным распределением Вейбулла.

Гибко моделировать возникающие на практике функции интенсивности нарушений: постоянную, убывающую, возрастающую, унимодальную, и в том числе ^-образную - позволяет трехпара-метрическое распределение Берра типа XII. Оно принадлежит к универсальному семейству распределений Берра и было введено впервые в 1942 г. Ирвингом Берром [10]. Кумулятивная функция распределения Берра имеет вид

F(t) = P(T < t) = 1-

1 +

t

v s j

где 5 - параметр масштаба; с, V - параметры формы такие, что V > 0, 5 > 0, с > 0.

Выражение для вычисления момента Я -го порядка задается формулой

г (V - Я1Г Г1 + Я1

м

1 ; Г

Как показано в работах Циммера и Берра [10, 11], целый ряд распределений является частным случаем распределения Берра. При V ^^ полученное распределение совпадает с распределением Вейбулла. Если с V = 1, распределение принимает форму логистического распределения с ко-

эффициентами асимметрии А5 = 0 и эксцесса Ех = 4.2 . В случае, когда с = 1, распределение Берра обращается в распределение Парето II. При значениях параметров с = 4,8737, V = 6,1587, А5 = 0, Ех = 3 распределение служит достаточно хорошим приближением для нормального распределения. Если параметр формы с > 1, плотность распределения Берра унимодальна, при с = 1 - имеет Ь -образную форму.

Функция интенсивности распределения Берра имеет вид

Г -1с-1

г

s

1 +

При контроле за ходом процесса с постоянной интенсивностью нарушений вероятности появления нарушений на каждом выборочном интервале предполагаются равными. При переменной интенсивности появления нарушений процесса разбиение на выборочные интервалы следует производить так, чтобы «взвешенная» вероятность появления нарушений на каждом интервале была одинаковой, т.е.

г ()( _ г ()(, 7 = 1,2,...; г _ 1,2,...,т ,

где Wj _ Ц - момент взятия 7 -й выборки; Н] - длина 7 -го выборочного интервала [12]. Выражение (8) эквивалентно следующему:

(1 -^(м>] ))_(1 -^ (м>1))), 7 _ 1,2,...; г _ 1,2,...,т .

Отсюда

Wj = s

у/с

1

-1

, j = 1,2,...

Воздействие на процесс нескольких типов нарушений с различной интенсивностью можно представить как последовательность случайных моментов времени их возникновения. Предлагаются два подхода к построению вероятностной модели нарушений процесса. Модель 1 предполагает определение доминирующего типа нарушений или обобщение воздействия всех т типов нарушений так, что общая интенсивность принимается равной сумме интенсивностей отдельных типов нарушений. Модель 11 позволяет отдельно учитывать воздействие на процесс каждого из т типов нарушений.

Модель I

Пусть Т - случайная величина, характеризующая время появления г-го нарушения процесса с известным законом распределения

F, (t) = P(T < t) = 1-

/ i + \ с Л

1+ ( t 1

v Vs j j

Тогда закон распределения случайной величины Т0, описывающей время появления моделируемых нарушений, можно представить в виде

P(Т° > t) = P(( > t,T2 > tTm > t) =

r ( -V°

1 + -

V s j

v v y j

Ет

Эта случайная величина имеет распределение Берра типа Х11 со средним значением

Ц °, = sv°

1

с j

п,+1

с j

r

При определении доминирующего типа нарушений предполагается, что другие нарушения не влияют на процесс, интенсивность их появления равна нулю, соответственно справедливы формулы

(11Н13).

Моделирование нарушений процесса позволяет оценить вероятность и ожидаемое время появления нарушений внутри каждого выборочного интервала.

Пусть р0. (( = 1,2,...) - условная вероятность появления нарушения на . -м выборочном интервале, при условии отсутствия нарушений на предшествующих выборочных интервалах

, jo (t)dt

p0 j = P (! < T < Wj | T > Wj- ))' = 1 -

J f, (t)dt

1 +

v s jj

Поскольку р0. не зависит от у -го интервала, можно записать р0 = р0. . Тогда длину начального выборочного интервала можно определить

h = s((Po rV* -1)1 С.

Безусловную вероятность д0у (] = 1,2,...) появления нарушения на . -м выборочном интервале можно выразить через вероятность р0:

q0j = С fo ()dt = Po ( -Po))-1' j = 1'2'-

Среднее время т0j (] = 1,2,...) появления нарушения процесса на у -м интервале рассчитывается по формуле

JJl(t - W-1 )f0 (t)dt

qo. ;

j = 1,2,...

Среднее время т0. (( = 1,2,...) появления нарушения процесса на любом интервале рассчитывается так:

т0 = Е= Е

где

/ j-1 V/с

A (1 - Po ) = Z (1 - Po ) (1 - Po ) -1

j=1 v

Модель II

Обобщая соответствующие выражения, используемые для описания модели I, на случай т типов нарушений, можно получить аналогичные зависимости для каждого ^го нарушения:

p,=1 -

1+

s j

V 4 у У W-1

где

q,j = p,

т, = ц ,T - spt (1 - pt )A (1 - p,),

A (1 - p, )=Z (1 - P,) (1 - P, -1V/C

j=1

Постановка задачи оптимизации плана

Предполагается, что в начальный момент времени процесс находится в статистически управляемом состоянии. Появление нарушения сопровождается переходом процесса в неуправляемое состояние. После корректировки уровень настройки процесса возвращается к начальному значению. Промежуток времени между регулировками можно определить как цикл регулировки. Поскольку нарушения процесса носят случайный характер, то и продолжительность цикла регулировки случайна, поэтому весь процесс контроля и последовательных регулировок можно рассматривать как вероятностный процесс восстановления и накопления [13]. На основе характеристик цикла регулировки можно определить соответствующие количественные характеристики плана статистического управления.

Такими характеристиками являются: А/ - среднее количество ложных тревог за цикл; Тз -среднее время обнаружения нарушений (аналог средней длины серии неуправляемого процесса); Мс - средние почасовые затраты на контроль [14, 15]. Параметры плана статистического регулирования могут быть получены в результате решения одной из следующих оптимизационных задач:

а) оптимизация по вероятностному критерию Тз ;

б) оптимизация по стоимостному критерию Мс;

в) совместная оптимизация по вероятностному и стоимостному критериям, величина А/ выступает ограничением задачи.

Получение оценок указанных характеристик связано с вычислением вероятностей ошибок I и II рода. Для карты Хотеллинга они определяются так:

а = Р

2 р/2 Г ( Р Л 1

в,=р

1!22' г [ 1+1 ]

где п , = пй1.

Тогда среднее число ложных тревог за цикл регулировки

А/ = а—Ро.

Ро

Для получения оценки величины Тз вводится система двух независимых дискретных случайных величин (X, У), характеризующих выборочный интервал 1 = 1,2,..., на котором произошло

нарушение процесса, и количество I = 1,2,... выборочных интервалов до обнаружения этого нарушения соответственно. Распределение двумерной случайной величины (X, У) задается формулой

Р

Суммарную длину интервалов, в течение которых процесс был статистически неуправляем, можно рассчитать как математическое ожидание случайной величины

2 = ф

Тогда

т л.

Тз = £^ ,

/=1 V.

тз, = ££ (1 - - ^ -))-1 (1 - р,) -т, =

1=1 /=1

Г| v, - с I г

sPi (1 в) (A( )-(1 - Pi) A(1 - Pi))- sv,—-

1+14

с j

Оценка средних почасовых затрат на контроль вычисляется как отношение средних затрат за цикл м (С) к средней его продолжительности м (Т). Можно выделить четыре этапа цикла регули-

ровки:

1) процесс находится в статистически управляемом состоянии:

o

_cJ

M (С, ) = Do svo

r

ГI 1 + - I Г [ vo -1 IГ

, M(T) = sv„- v c

1+1

с

J

Г

где В0 - затраты на производство бракованной продукции при управляемом состоянии процесса;

2) процесс находится в статистически неуправляемом состоянии (появление нарушения, его обнаружение и устранение):

M (С2) = Zяы(DJs,+ w,), M() = Z~ы^(Ts, + Gu),

где - затраты на производство бракованной продукции при появлении нарушения i -го типа;

- затраты на поиск и устранение нарушения i -го типа; Ои - время, необходимое для поиска и устранения нарушения . -го типа;

3) исследование сигналов ложной тревоги

М

где Е - затраты на исследование сигнала ложной тревоги; G0 - время, необходимое для исследования сигнала ложной тревоги;

4) проведение контрольных испытаний. Предполагается, что время обработки результатов выборочных наблюдений пренебрежимо мало

M

1 - Po

Po

+Z ^ J ,M T )=o

где а и Ь - постоянная и переменная составляющие затрат на взятие выборки. Тогда выражение для средних почасовых затрат имеет вид

Mc =

M

Правильный выбор аппроксимирующей функции распределения при вероятностном моделировании механизма возникновения нарушений позволяет более точно оценивать эффективность плана статистического управления. Для описания последовательности нарушений с постоянной функцией интенсивности традиционно используется экспоненциальный закон распределения, при переменной интенсивности нарушений каждый отдельный участок монотонности моделируется своим собственным распределением Вейбулла.

Заключение

В работе предложено использование трехпараметрического распределения Берра типа XII для моделирования нарушений с постоянной, убывающей, возрастающей, унимодальной или и -образной функцией интенсивности. Предложенная вероятностная модель позволяет учитывать воздействие одного или нескольких типов нарушений.

На основе вероятностной модели нарушений построена методика построения оптимального плана контроля. Параметры плана выбираются согласно вероятностному или стоимостному критериям оптимальности или при их совместном использовании. Полученный план позволяет осуществлять своевременное воздействие на систему, предупреждать возможные нарушения процесса функционирования, обеспечивать их оперативное выявление и ликвидацию с наименьшими затратами.

Библиографический список

1. Юрков, Н. К. Риски отказов сложных систем / Н. К. Юрков // Надежность и качество сложных систем. -2014. - № 1 (5). - С. 18-24.

2. Клячкин, В. Н. Модели и методы статистического контроля многопараметрического технологического процесса / В. Н. Клячкин. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 196 с.

3. Зенцова, Е. А. Сравнительный анализ подходов к оптимизации параметров контрольной карты Хотеллин-га / Е. А. Зенцова // Автоматизация процессов управления. - 2017. - № 1 (47). - С. 47-52.

4. Зенцова, Е. А. Адаптивный многомерный статистический контроль технологического процесса / Е. А. Зенцова, В. Н. Клячкин // Радиотехника. - 2017. - № 6. - С. 45-48.

5. Илларионов, О. И. Слагаемые эффективности контрольных карт / О. И. Илларионов // Методы менеджмента качества. - 2005. - № 2. - С. 30-35.

6. Клячкин, В. Н. Оптимизация статистического контроля многопараметрического процесса / В. Н. Клячкин, Е. А. Зенцова // Радиотехника. - 2016. - № 9. - С. 48-51.

7. Клячкин, В. Н. Модель затрат для многомерной контрольной карты Хотеллинга / В. Н. Клячкин, Е. А. Зенцова // Автоматизация. Современные технологии. - 2017. - № 4 (71). - С. 167-170.

8. Клячкин, В. Н. Статистические методы оценки стабильности функционирования технических систем / В. Н. Клячкин, И. Н. Карпунина // Надежность и качество сложных систем. - 2018. - № 2 (22). - С. 36-42.

9. Клячкин, В. Н. Построение адаптивных планов при многомерном статистическом контроле процессов / В. Н. Клячкин, Е. А. Зенцова // Автоматизация процессов управления. - 2017. - № 1 (47). - С. 40-46.

10. Burr, I. W. Cumulative Frequency Functions / I. W. Burr // The Annals of Mathematical Statistics. - 1942. -Vol. 13 (2). - P. 215-232.

11. Zimmer, W. J. Variables Sampling Plans Based on Non-Normal Populations / W. J. Zimmer // Industrial Quality Control. - 1963. - Vol. 21 (1). - P. 18-26.

12. Heydari, A. A. Economic and economic statistical designs of X control charts under Burr XII shock model / A. A. Heydari, M. B. Moqhadam, F. Eskandari // Int. J. of Quality Engineering and Technology. - 2016. -Vol. 6 (1). - P. 1-19.

13. Пасько, Н. И. Математическая модель контроля размерной настройки станка с ЧПУ по методу контрольной карты / Н. И. Пасько, И. С. Картавцев // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2012. - № 2. - С. 292-301.

14. Медведев, А. М. К проблеме создания критерия автоматического контроля соединений (статья) / А. М. Медведев, Г. В. Мылов, Н. К. Юрков // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2017. - Т. 2. - С. 117-119.

15. Юрков, Н. К. К проблеме организации контроля в производстве электронных средств (статья) / Н. К. Юрков, О. Н. Герасимов, Е. А. Кузина // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2017. -Т. 2. - С. 112-114.

References

1. Yurkov N. K. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem [Reliability and quality of complex systems]. 2014, no. 1 (5), pp. 18-24.

2. Klyachkin V. N. Modeli i metody statisticheskogo kontrolya mnogoparametricheskogo tekhnologicheskogo protsessa [Models and methods of statistical control of multiparameter technological process]. Moscow: FIZMATLIT, 2011, 196 p.

3. Zentsova E. A. Avtomatizatsiya protsessov upravleniya [Automation of management processes]. 2017, no. 1 (47), pp. 47-52.

4. Zentsova E. A., Klyachkin V. N. Radiotekhnika [Radiotechnics]. 2017, no. 6, pp. 45-48.

5. Illarionov O. I. Metody menedzh-menta kachestva [Components of the effectiveness of control charts]. 2005, no. 2, pp. 30-35.

6. Klyachkin V. N., Zentsova E. A. Radiotekhnika [Radiotechnics]. 2016, no. 9, pp. 48-51.

7. Klyachkin V. N., Zentsova E. A. Avtomatizatsiya. Sovremennye tekhnologii [Automation. Modern technology]. 2017, no. 4 (71), pp. 167-170.

8. Klyachkin V. N., Karpunina I. N. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem [Reliability and quality of complex systems]. 2018, no. 2 (22), pp. 36-42.

9. Klyachkin V. N., Zentsova E. A. Avtomatizatsiya protsessov upravleniya [Automation of management processes]. 2017, no. 1 (47), pp. 40-46.

10. Burr I. W. The Annals of Mathematical Statistics. 1942, vol. 13 (2), pp. 215-232.

11. Zimmer W. J. Industrial Quality Control. 1963, vol. 21 (1), pp. 18-26.

12. Heydari A. A., Moqhadam M. B., Eskandari F. Int. J. of Quality Engineering and Technology. 2016, vol. 6 (1), pp. 1-19.

13. Pas'ko N. I., Kartavtsev I. S. Izvestiya TulGU. Tekhnicheskie nauki [News of Tula State University. Technical science]. 2012, no. 2, pp. 292-301.

14. Medvedev A. M., Mylov G. V., Yurkov N. K. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma Nadezhnost' i kachestvo [Proceedings of The international Symposium Reliability and quality]. 2017, vol. 2, pp. 117-119.

15. Yurkov N. K., Gerasimov O. N., Kuzina E. A. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma Nadezhnost' i kachestvo [Proceedings of The international Symposium Reliability and quality]. 2017, vol. 2, pp. 112-114.

Зенцова Екатерина Александровна

аспирант,

Ульяновский государственный технический университет (432027, Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32) Email: v_kl@mail.ru.

Клячкин Владимир Николаевич

доктор технических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Ульяновский государственный технический университет

(432027, Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32) Email: v_kl@mail.ru.

Zentsova Ekaterina Alexandrovna

postgraduate student,

Ulyanovsk State Technical University

Klyachkin Vladimir Nikolaevich

doctor of technical sciences, professor, sub-department of applied mathematics and informatics, Ulyanovsk State Technical University

УДК 519.248: 681.518.5 Зенцова, Е. А.

Построение оптимального плана статистического контроля процесса при переменной интенсивности возникновения нарушений / Е. А. Зенцова, В. Н. Клячкин // Надежность и качество сложных систем. - 2018. - № 4 (24). - С. 90-99. - БОТ 10.21685/2307-4205-2018-4-10.