Анализ хаотической синхронизации в различных диссипативных системах

ТРАНСПОРТ

УДК 519.6: 656.13: 537.8

АНАЛИЗ ХАОТИЧЕСКОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ В РАЗЛИЧНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ

И. Е. Агуреев, А. В. Гладышев

Рассмотрены некоторые автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых построены и приведены последовательности существующих в них сингулярных аттракторов, обосновывающие мультиат-тракторную природу моделей. Представлен предварительный анализ их бифуркационного поведения, соответствующего современным представлениям теории динамического хаоса (теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого). Приведены отдельные результаты численного исследования хаотической синхронизации в системах скрытой передачи информации, построенных на используемых моделях.

Ключевые слова: хаотическая синхронизация, скрытая передача информации, нелинейная диссипативная система, нерегулярный аттрактор, математическое моделирование, обыкновенные дифференциальные уравнения.

В настоящей работе приведены и исследованы некоторые гладкие автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных, разработанные ранее в контексте математического описания различных транспортных систем [1-11]. Результаты изучения их динамического поведения показали в отдельных случаях наличие сложной системы аттракторов, которые рождаются из простых сингулярных циклов и являются родоначальниками целых рядов сингулярных аттракторов [12]. Такие системы обозначены как «мультиаттракторные», в которых имеет место наличие «контрастных» структур. Математические модели систем оказались интересными объектами с точки зрения их применимости в качестве основы для моделирования работы генераторов сигналов в системах скрытой передачи информации (СПИ) [13, 14].

Общим для формирования всех моделей является представление их

в виде:

х=^

ИЛИ

х = Г (х, г, /),

где х е М с Ят, /е ^ с Як, г е / с Я, к и т - размерности соответственно параметрического и фазового пространств.

Интегрирование рассматриваемых в настоящей работе систем требует аппроксимации решения различными линейными функциями на последовательных малых отрезках времени (шагах) длительности т. В процессе исследования представленных здесь моделей использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка, алгоритм которого был реализован в программах на языке С++.

Модель 1.

Рассмотрим динамическую систему, которая описывает макроскопическую динамику транспортных процессов. Переменными этой системы являются [6]: х - количество выполненной транспортной работы; у - суммарные потери времени при выполнении работы х; г - инвестиции, направленные в инфраструктуру транспортной системы:

х = к1 г - к2 у - к3,

у = к4 х - к5 г,

г = к6 х - к7 у + к8 у2 + к9 ху + к10 г2 - к11 хг,

В ходе проведения эксперимента был получен вариант сингулярного аттрактора (рис.1), который был получен при некотором наборе параметров. С целью экономии места мы не приводим здесь информацию об этих параметрах, а интересующихся отсылаем к работам [4, 5], где представлено большее разнообразие исследуемых в данной работе моделей и ириведеиы соответствующие им наборы параметров.

Рис. 1 Вариант динамического поведения модели

Представленная система была исследована на предмет возможности построения на ее основе модели СПИ. С помощью численного моделирования пока не удалось найти работоспособные варианты функционирования, не приводящие к разрушению хаотического режима и одновременно дающие надежное выделение конфиденциального сигнала. Распознавание отдельных битов информации оказалось возможным лишь при наличии совершенно неудовлетворительного с точки зрения стенографии (маски-

ровки) вида передаваемого сигнала. Предположительно, те хаотические режимы, которые в настоящее время найдены в системе (1), скорее всего не имеют полного каскада бифуркаций перехода к хаосу в соответствии с положениями теории ФШМ.

Модель 2.

Рассмотрим систему, которая была описана следующими переменными [10]: х - число автомобилей в текущий момент времени, участвующих в транспортном процессе; у - уровень текущих запасов на складах розничной торговли; г - уровень текущих запасов на складе оптовой торговли:

х = к1 г - к2уг;

у = кзх - к4у - к5ху;

г = -к6 х - к7 г + к8 ху + к9

Один из вариантов динамического поведения системы (2), полученного в результате численного моделирования представлен на рис. 2. Данная модель имеет значительное разнообразие аттракторов, включая вариант поведения, эквивалентный аттрактору Лоренца. Однако, в силу высокой размерности параметрического пространства, эволюция аттракторов такова, что общее разнообразие топологически отличных режимов превышает возможности модели Лоренца. Тем не менее, преждевременно говорить о мультиаттракторности данной системы, так как пока не найдены закономерности формирования динамических режимов, начинающихся от различных исходных простых сингулярных предельных циклов.

Рис.2. Вариант динамического поведения модели

Система уравнений (2) также была исследована на предмет возможности построения на ее основе модели СПИ. С помощью численного моделирования достаточно долго не удавалось найти работоспособные варианты функционирования, основанные на обычном методе модулирования управляющего параметра. Однако, применение изложенного в работе [14] метода векторного формирования передаваемого сигнала показало хорошие результаты, которые приведены на рис.3, где показан трехмерный фазовый портрет передающего генератора, передаваемый и восстановлен-

ный сигналы. Здесь использовался следующий набор параметров: к1=3,0; к2=2,0; к3=14,0; к4=1,4; к5=6; к6=16,0; к7=0,1; к8=2,0; к9=5,0. Таким образом, эффективность этого метода подтверждается еще и возможностью достижения результата, когда иные методы могут не работать. При этом степень конфиденциальности сигнала (визуальная) не вызывает сомнений. Недостатком метода, пожалуй, можно считать необходимо высокие значения параметра усиления разности между соответствующими фазовыми координатами передающего и принимающего генераторов.

Рис. 3. Процесс СПИ в модели (2) методом векторного формирования сигнала

Модель 3.

Более сложный и интересный вариант модели с точки зрения разнообразия решений может быть представлен системой уравнений [1, 2, 4, 5]

х — к1 х + к2 у + к3 г + к4 хг + к5 уг + к6 г2 + к7;

у — к8 хг + к9 уг + кю г2 + киг;

г — ки х + к1з у + км.

Здесь переменные имеют следующий смысл: х - автомобили, доставляющие груз; у - автомобили, развозящие груз; г - количество груза на складе. Были найдены все основные виды решений, характерные для трехмерных автономных нелинейных систем: стационарное состояние, предельный цикл, странный (хаотический) аттрактор и другие типы циклов различной периодичности (рис. 3).

Рис. 4. Некоторые хаотические режимы в мультиаттракторной

системе

Рис. 5. Результаты численного моделирования процесса СПИ

с помощью модели

172

На рис. 5 приведены некоторые результаты численного моделирования процесса СПИ с помощью модели (3), выполненные в работе [13]. Слева изображена проекция фазового портрета колебаний передающего генератора. Из нее видно, что передающий генератор находится поочередно в состояниях, соответствующих двум близким устойчивым предельным циклам (при передаче «0» и «1»). При этом амплитуды колебаний отличаются настолько незначительно, что передающийся сигнал выглядит почти неразличимо при передаче битов «1» и «0» (рисунок внизу). Отмечается изменение частоты сигнала, которое находится в пределах 3... 5%.

В центре показана проекция фазового портрета автоколебаний для принимающего генератора, который в данных условиях вычислительного эксперимента находится в режиме хаотических колебаний. При этом сам генератор настроен на те же параметры в системе (3), что и передающий. Справа приведен восстановленный сигнал, который возникает в результате операции вычитания г) - м^).

Модель 4.

В работах [1, 2, 9] была сформулирована и исследована модель транспортного процесса перевозок пассажиров:

х — к1 у + к2 г + к3 г + к4 хг + к5 уг + к6;

у — к7 у + к8 хг + к9;

г — к о х + к 1 г + к 2 ху + к 4 хг + к 5 уг + к 6.

Здесь переменными являются: х - количество автобусов, находящихся на остановке; у - количество пассажиров, ожидающих посадку; г -число свободных мест в автобусах, находящихся на остановке.

Примеры динамического поведения модели (4) изображены на рис. 6.

Рис. 6. Некоторые хаотические режимы в мультиаттракторной

системе

Система уравнений (4) также была исследована на предмет возможности построения на ее основе модели СПИ. В целом, относительно характера полученных результатов можно придерживаться тех же выводов, что и для моделей (1), (2). Тем не менее, система обладает множеством топологически разных сингулярных предельных циклов. Это делает ее привлекательной для дальнейших исследований как объекта СПИ. Имеется предположение, что уравнения (4) содержат внутренние симметрии, как и модели (3), (5).

Модель 5.

Известна динамическая модель конкуренции, предложенная в работе [3], представленная как «система Агуреева» [12] и описывающая производство транспортных услуг двумя фирмами. Если в качестве переменных модели выбрать х - увеличение затрат перевозчика «1» на организацию и повышение качества перевозочного процесса (реклама, информация, маркетинговые исследования, техническое состояние подвижного состава и др.), у - то же, для перевозчика «2», г - увеличение количества груза, доставленного потребителю перевозчиком «1», то модель конкуренции может быть записана в виде:

х = к1 у + к2 г - к3хг - к4уг;

< у = -къу - к6г + к7хг + к8уг + к9;

г = кюх - к11 у.

Модель конкуренции содержит не только стационарные состояния и устойчивые предельные циклы, но и режимы детерминированного хаоса, а также решения в виде контрастных структур, обладающих свойствами аттрактора и способных к бифуркациям, по крайней мере, в рамках классических сценариев перехода к хаосу, таких как удвоение периода и субгармонический каскад Шарковского. Пример динамического поведения модели (5) изображен на рис. 7.

Рис. 7. Вариант динамического поведения модели

В результате проведенных вычислительных экспериментов, представляющих собой численное интегрирование системы (5) в течение модельного отрезка времени, обеспечивающего имитацию передачи заданной

последовательности битов «0» и «1», выяснилось следующее: 1) при использовании модели (5) при передаче бита «0» режим полной хаотической синхронизации не возникает; 2) имеет место иной, более сложный режим взаимодействия генераторов, который позволяет тем не менее различать с помощью вычитающего устройства принимающего генератора передаваемую последовательность битов.

На рис. 8 показан вариант исходного и восстановленного сигнала, соответствующих передаваемой последовательности битов: 1, 0, 1, 0... На рис. 9 приведены проекции нерегулярного аттрактора, возникающего в модели (5) при следующих значениях параметров [3]: а=1, Ъ=2, с=0,5, ^=2,1, е=-1, Х=48, 7=448, 2=28. Особое значение следует придавать при этом выбору начальных условий, так как аттрактор не обладает глобальной устойчивостью, а имеет ограниченный бассейн притяжения.

б

Рис. 8 Исходный (а) и восстановленный (б) сигналы, полученные с помощью модели (1) в схеме модулирования управляющим

параметром

а

б

Рис. 9 Проекции хаотического аттрактора, возникающего в модели (1): а - на оси х, у; б - г, у

175

Заключение.

Отметим, что преимуществами большинства рассмотренных в настоящей работе моделей по сравнению с моделями Чуа, Рёсслера или Лоренца является наличие в них не одного, а нескольких типов исходных сингулярных циклов, которые лежат в начале каскадов бифуркаций, приводящих к нерегулярным режимам. С точки зрения практической реализации это означает возможность получения более высокой конфиденциальности за счет применения одних и тех же аппаратных средств (генераторов), которые можно настраивать на требуемый набор параметров.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-08-01359).

Список литературы

1. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-13.

2. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-11.

3. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / Под ред. С. В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008. С. 159-175.

4. Агуреев И. Е., Агуреев К. И., Гладышев А. В. Последовательности сингулярных аттракторов в некоторых автономных диссипативных мультиаттракторных системах // Изв. ТулГУ. Техн. науки. 2013. № 11. С. 160-171.

5. Агуреев И. Е., Атлас Е. Е., Пастухова Н. С. Хаотическая динамика в математических моделях транспортных систем // Изв. ТулГУ. Техн. науки. 2012. № 3. С. 372-389.

6. Агуреев И. Е., Богма А. Е., Пышный В. А. Динамическая модель транспортной макросистемы // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.6 (Ч.2), 2013. С.139-145.

7. Агуреев И. Е., Гладышев А. В. Динамика производства и спроса в диссипативной модели логистической системы // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.6 (Ч.2), 2013. С.152-160.

8. Агуреев И. Е., Гладышев А. В. Развитие синергетических методов в исследованиях транспортных систем // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.6, 2014. С.139-162.

9. Агуреев И. Е., Денисов М. В. Математическое описание динамики пассажирских транспортных систем // Мир транспорта и технологиче-

ских машин. 2011. № 1. С. 15-22.

10. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.4, 2011. С.158-167.

11. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.1, 2007.

12. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: Изд-во URSS (ЛЕНАНД), 2011. 320 с.

13. Агуреев И. Е., Агуреев К. И. Численный анализ процессов скрытой передачи информации на основе мультиаттракторной системы // Изв. ТулГУ. Техн. науки. 2013. № 10. С. 169-177.

14. Агуреев И. Е. Хаотическая синхронизация в диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений при передаче векторного сигнала // Изв. ТулГУ. Техн. науки. 2014. №9. Ч.2. С.204-211.

Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, заведующий кафедрой, agureev-igor@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Гладышев Александр Владимирович, асп., glav-alex@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE ANALISYS OF CHAOTIC SYNCHRONIZATION IN VARIOUS DISSIPATIVE SYSTEMS

I.E. Agureev, A. V. Gladyshev

Some autonomous dissipative systems of ordinary differential equations are considered. The sequences of existing in the systems singular attractors are built and given to justification of their multiattractor character. The preliminary analysis of their bifurcation behavior, corresponding to the modern ideas of dynamical chaos theory (Feigenbaum-Sharkovskii-Magnitskii's theory), is done. Some results of numerical experiments of chaotic synchronization in the secure communication systems based on the used models are represented.

Key words: chaotic synchronization, secure communication, nonlinear dissipative system, non-regular attractor, mathematical modeling, ordinary differential equations.

Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, head of department, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Gladyshev Aleksandr Vladimirovich, postgraduated, glav-alex@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University