О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами, возмущенных операторами одностороннего мультипликативного сдвига

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 5-13

УДК 517.9

О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ, ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРАМИ ОДНОСТОРОННЕГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СДВИГА

О. Г. Авсянкин

А. Г. Кусраеву в связи с шестидесятилетним юбилеем

Рассматриваются многомерные интегральные операторы, ядра которых однородны степени (—п) и инвариантны относительно группы вращений, возмущенные операторами одностороннего мультипликативного сдвига. Получены критерии обратимости и односторонней обратимости таких операторов в Ьр-пространствах.

Ключевые слова: интегральный оператор, однородное ядро, мультипликативный сдвиг, обратимость.

1. Введение

Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами играют заметную роль в математике и в приложениях. В настоящее время для интегральных операторов, ядра которых однородны степени (—п) и инвариантны относительно группы вращений БО(п), получены критерии обратимости и нетеровости, описаны порождаемые этими операторами банаховы алгебры, найдены условия применимости проекционного метода (см., например, [1-6] и цитированные в них источники). В работе [5] рассматривалась С*-алгебра, полученная присоединением к С *-алгебре операторов с однородными ядрами всех операторов мультипликативного сдвига. Для этой С *-алгебры было построено символическое исчисление, в терминах которого были получены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости операторов. В статье [6] некоторые результаты, полученные в [5], были перенесены на случай пространства Ьр при р = 2.

Данная работа продолжает исследования, начатые в [5] и [6]. В ней рассматривается оператор А вида

ГО р

(А(Р)(х) = ^ а(Щ¥)(х)+ к(х,у)^(у) йу, |х| ^ 1,

?_1 |уК1

где и$^ — оператор одностороннего мультипликативного сдвига, а функция к(х,у) однородна степени (—п) и инвариантна относительно всех вращений (ниже эти понятия будут конкретизированы). Для такого оператора в работе определен символ, в терминах которого получены критерии обратимости и односторонней обратимости.

© 2013 Авсянкин О. Г.

Ниже использованы следующие обозначения: Ж” — п-мерное евклидово пространство; х = (XI,Х”) € Ж”; |х| = \/х\ + ... + х”; х' = х/|х|; х • у = Х\у\ + ... + ж„у„; В” = {х € Ж” : |х| ^ 1}; Бп-\ = {х € Ж” : |х| = 1}; Х+ — множество целых неотрицательных чисел; Ж+ = (0, ж); Ут^(а) — сферические гармоники порядка т; (1и(т) — размерность пространства сферических гармоник порядка т:

ё”(т) = (п + 2т - 2)(п + т ^;

т!(п — 2)!

/(£) = Ю / (I) е%^ йг — преобразование Фурье функции /.

2. Предварительные сведения

В пространстве ЬР(Ж+), 1 ^ р ^ ж, рассмотрим оператор одностороннего аддитивного сдвига УТ (т € Ж), который задается равенством

(ут т) = ¡*’(г — т 1 г> т

[о, о <г<т,

при т > 0, и формулой (УТф)(г) = ф(г — т) при т < 0.

Пусть Н € ^(Ж). В пространстве ЬР(Ж+), 1 ^ р ^ ж, рассмотрим интегрально-разностный оператор Винера — Хопфа

СО

СО р

з=1 0

в предположении, что а3 € С и ^О=1 |а^| < ж.

Теория интегрально-разностных операторов Винера — Хопфа хорошо известна (см. [7, гл. VII]). Символом оператора С называют функцию

О

с(0 = £ а3 вгт* + Щ), £ € Ж.

3 = 1

Если

то можно определить два числа

1

1

7 = Ді^ 2£А[&Щ а

2п

где

а вгт *.

а(0 = Е'

3 = 1

Предложение 1 [7, с. 239]. Для того чтобы оператор С вида (1) был обратим в пространстве Ьр(Ж+) хотя бы с одной стороны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (2). Если условие (2) выполнено, то при ^ > 0 оператор С обратим только слева, при ^ < 0 оператор С обратим только справа, а при 7 = 0 обратимость оператора С согласована с индексом к, т. е. оператор С обратим, обратим только слева, обратим только справа в зависимости от того будет ли индекс к равным нулю, положительным или отрицательным.

СО

3. Постановка задачи и основные результаты

1. Пусть 1 ^ р ^ ж. В пространстве ЬР(В”) рассмотрим оператор

Вп

где функция к(х,у) определена на Ж” х Ж” (здесь и далее предполагается, что п ^ 2) и удовлетворяет следующим условиям:

1° однородность степени (—п), т. е.

к(ах,ау) = а-”к(х,у) (Vа> 0);

2° инвариантность относительно группы вращений БО(п), т. е.

к(ш(х),ш(у)) = к(х,у) (Vш € БО(п));

3° суммируемость, т. е.

к := J |к(в1 ,у)||у|-”/р йу < ж, в1 = (1, 0,..., 0).1

Из [1, теорема 6.4] следует, что оператор К ограничен в Ьр(Шп), причем ||КУ ^ к. Далее, для каждого 5 > 0 определим в пространстве Ьр(Шп) оператор одностороннего мультипликативного сдвига и$ формулой

и ,)

если 0 < 5 < 1, и формулой

если 5 > 1. Нетрудно видеть, что іи \| = 1.

Основным объектом исследования в данной работе является оператор

ГО

А = Е аз щ + К,

3 = 1

где К — оператор вида (3), ІІ5. — операторы вида (4) или (5), а постоянные а3- Є С таковы, что

ГО

3 = 1

Очевидно, что оператор А ограничен в Ьр(Шп). Наша цель — установить необходимые и достаточные условия обратимости и односторонней обратимости оператора А.

2. Рассмотрим в пространстве Ьр(Шп) оператор

ГО

В = ^ аз Щ,

3 из

3=1

Функция к(х,у) = \х\ а\х — у\а п, где 0 < а < п, является примером функции, удовлетворяющей

условиям 1°, 2° и 3° при 1 < р < п/а.

і

предполагая, что выполнено (7). Символом оператора B будем называть равномерно почти периодическую функцию

СО СО

Ь

j = 1 ,= 1

Лемма 1. Для того чтобы оператор B был обратим в пространстве Lp(Bn) хотя бы

с одной стороны, необходимо и достаточно, чтобы его символ b(£) удовлетворял условию

inf lb

£€R

Если условие (10) выполнено, то обратимость оператора B согласована с индексом

1 t

v = ,И+ TfA[arg b

t^+О 2С —t

т. е. оператор B обратим, обратим только слева или обратим только справа в зависимости от того будет ли число v равным нулю, положительным или отрицательным.

< Для любого h > 0 положим Uh = Ue—h, где Ue—h определяется формулой (4).

Нетрудно проверить, что семейство изометрических операторов {U^Ih^O, где U0 = I,

образует сильно непрерывную полугруппу операторов. Кроме того, очевидно, что выполнены условия:

1) Uh(Lp(Bn)) = Lp(Bn) для любого h > 0,

2) каждый оператор Uh имеет левый обратный оператор Uh—1, причем U^~1 = Ueh, где Ueh определяется формулой (5). Заметим, что семейство обратных операторов также образует сильно непрерывную полугруппу.

Тогда, учитывая вышесказанное и применяя теорему 4.1 главы VII книги [7], получаем требуемый результат. >

3. Для того чтобы получить критерий обратимости оператора A вида (6), рассмотрим в Lp(Bn) уравнение, порожденное этим оператором:

СО „

J2ajS—n/pV

,=1 b„

где согласно формуле (4) предполагается, что ^(x/S-) = 0, если |x| > S.

Так как функция k(x,y) удовлетворяет условию 2°, то существует такая функция k0(r,p,t), что k(x,y) = k0(|x|2, |y|2,x'  y') (см. [8, с. 36]). Учитывая это и переходя в уравнении (12) к сферическим координатам x = ra, y = р9, получим

f а,5—1/рФ +J J rD{p:,a ' в) Ф

j=1 0 s,

n — 1

где

Ф(т) = V(ra)r(n—1)/p, F (ra) = f (ra)r(n—1)/p; D(p,t) = ko(1,p2 ,t)p(n—1)/p.

Нетрудно проверить, что

СО 1

Ц\ОЫ)\р-'/’

0 -1

Умножая обе части уравнения (13) на Ym^(a), интегрируя по единичной сфере и применяя формулу Функа — Гекке [8, с. 43], получим бесконечную диагональную систему одномерных уравнений

Е aj5- 1 /рФт^ j + J rDm{Г)

j=1 0

где r £ (0,1), m £ Z+, ß = 1,2,..., dn(m),

^mß(r) = J Ф(га)Утр(a) da, Fmß(r) = J F(ra)Ymß(a) da,

S„-1 Sn-1

1

2n(n-1)/2 r

Dm

-1

Здесь Pm (t) — многочлены Лежандра, определяемые равенством

{cos (m arccos t), n = 2,

m!(n-3)! c(n-2)/2 (t) n > 3

(m+n-3)! Cm (t), П ^ 3,

где Cm-2)/2(t) — многочлены Гегенбауэра.

В пространстве Lp(0,1) рассмотрим оператор Am (m £ Z+), определяемый левой частью уравнения (15):

О п 1

(Amg)(r) = Y^ aj (USj g)(r)+l -Dm{Pp)g(p) dp, r £ (0,1),

j=1 о r r

где оператор Us (5 > 0) задается аналогами формул (4) и (5), а именно: если 0 < 5 < 1, то

(Ug)(r) = {0- 1/Pg(r/5)' 0 <r<f

0, 5 < r < 1,

а если 5 > 1, то

(Us g)(r) = 5-1/p g(r/5).

Лемма 2. Пусть выполнено условие (10). Тогда найдется такое число mо £ Z+, что для любого m > m0 оператор Am обратим, обратим только слева, обратим только справа, в зависимости от того будет ли число v, определенное формулой (11), равным нулю, положительным или отрицательным.

< Положим Am = R + Km, где операторы R и Km задаются в пространстве Lp(0,1) равенствами

~ 1

-Dm (-'

rr

ґ* і

r=Y1 ajUsj, (Kmg)(r) = j rDm[Г) g(p) dp-

j=l

0

Так как выполнено условие (10), то оператор К обратим по крайней мере с одной стороны, причем его обратимость согласована с индексом V. Обозначим через К-1 оператор обратный, обратный слева или обратный справа к оператору К (в зависимости от V). Далее, хорошо известно (см., например, [1, с. 52]), что

СО

о

Из равенства (16) и полноты системы многочленов Лежандра следует, что Ишт^О Вт (р) = 0 для почти всех р £ М+. Тогда, применяя мажорантную теорему Лебега, с учетом (14) получаем, что интеграл в (17) стремится к нулю при т ^ ж. Следовательно, Ишт^О ||Кт|| = 0. Поэтому найдется такое число т0 £ ^+, что ||Кт|| < ||К-1||-1 для всех т > т0. Тогда оператор Ат, где т > т0, обратим с той же стороны, что и оператор К, т. е. обратимость оператора Ат согласована с индексом V. >

4. Определим изоморфизм Шр: Ьр(0,1) ^ Вр(Ж+) формулой

(Шрд)(г)= е-г/р д(е-).

Нетрудно проверить, что оператор

^'т — уу рАт уу р

задается в пространстве Ьр(Ж+) формулой

Ст = ^^рАт Ж-1

со

СО р

(Ст'Ф)(Ь)=^ а3 (V- 1п 55) ф) (г) + ] Нт (1 - й»,

*3\у (-^ -з

3=1

где

Пт

Таким образом, Ст — интегрально-разностный оператор Винера — Хопфа, символом которого является функция

О

Ст (0=£ е-^1п 5з + 11т (£), £ £ К.

3=1

Далее, рассмотрим на множестве х К функцию

°(т,0 = ! к(е1 ,у)Рт(е1  у')\у\-п/р+< йу,

Щ.п

где Рт(Ь) — многочлены Лежандра. Назовем символом оператора А вида (6) функцию а(т,£), заданную на множестве х К равенством а(т,£) = Ь(£) + а(т,£), где функция

Ь(£) определяется формулой (9). Из формул (19) и (16) непосредственно следует, что

при любом фиксированном значении т £ справедливо равенство

а

Символ а(т,£) назовем невырожденным, если

Ы \а

Z+ хК

В этом случае невырожденной будет и его почти периодическая компонента Ъ(£) (см. [7, с. 218]), т. е. выполнено условие (10). Это позволяет определить индекс V формулой (11). Кроме того, введем индексы кт (т £ ^+):

1 .

Кт =

2п

агё

Теорема 1. Для того чтобы оператор А вида (6) был обратим в пространстве Ьр (Вп), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия: неравенство (21), V = 0 и Кт = 0 для всех ш Є Ъ+.

< Необходимость. Очевидно, что обратимость оператора А в Ьр(Шп) влечет обратимость в Ьр(0,1) всех операторов Ат, где ш Є Тогда из равенства (18) вытекает обратимость в Ьр(Ж+) всех операторов Ст, ш Є ^+. Используя теперь равенство (20) и предложение 1, убеждаемся в справедливости условий теоремы.

Достаточность. Покажем, что оператор А обратим.

В пространстве £р(Шп) = {Ф(тя) : Ф(та)т-(п-1)/р Є Ьр(Шп)} рассмотрим оператор А, определяемый левой частью уравнения (13). Запишем его в виде А = В + К, где операторы К и В задаются формулами

1

(К$)(та)= I [ -п(Г,а . ^ ф(р0) йрйв, В = Еа^Щ,

0 ЗІ! Г Г 1 =

здесь Т — соответствующий аналог оператора и$ в пространстве Ьр(Шп):

(и§Ф)(тя) = § 1/рФ ^Г ^ , если § > 1,

«ты, ^ \§-Х'р Ф( Г я), 0 <г<§, П . 1

(и§Ф)(та) = < если 0 < § < 1.

(^0, § < т < 1,

Очевидно, что оператор А обратим в пространстве Ьр(Шп) тогда и только тогда, когда оператор А обратим в пространстве Ьр (Вп).

Определим в Ьр (Вп) проектор равенством

N <іп

(Рм Ф)(та) = Е Е Фтц (т)Ут^(С),

т=0 ц=1

и обозначим через QN дополнительный проектор. С помощью формулы Функа — Гекке непосредственно проверяется, что Рм КС QN = 0, QN КС Рм = 0. Кроме того, очевидны равенства PNBQN = 0 и QNBPN = 0. Учитывая это, запишем матричное равенство

PN QN А ( А 0 А / PN QN А = ( -В + PNКСPN _ 0 ^ \

QN PN ) у 0 В ) \QN PN ) у 0 В + QNкQN ) '

Поскольку выполнено условие (21), то, как уже отмечалось выше, выполнено и неравенство (10). При этом по условию теоремы V = 0. Тогда по лемме 1 оператор В вида (8) обратим в Ьр(Шп), и значит, оператор В обратим в Ьр(Шп). Следовательно, оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы В + PNКСPN и В + QNКСQN. Покажем, что последний оператор обратим при достаточно большом значении N.

ОО

В [1, с. 80-81] показано, что для любого є > 0 найдется функция Нм (р,г) вида Нм(Р,1) = ^ ^ йп(т)Нт{р)Рт(г),

П т=0

где Рт (г) — многочлены Лежандра, такая что оператор Нм вида

1

(Нмф)(тя) = ! I 1 Нм (ре • д) Ф(р0)йрйд

0 Яп-!

удовлетворяет неравенству

При этом всегда можно считать, что N > то. Непосредственно устанавливается равенство ЯмНм Ям = 0, из которого следует, что В + Ям КС Ям = В + Ям (КС — Кім )Ям  Так как оператор КЗ обратим, то в силу (22) можно добиться выполнения неравенства

\\Ям (К — Нм)Ям ¡1^(£р(Вп)) < \\В 1 \=2’1(£р(Бп))’

из которого вытекает обратимость оператора КЗ + Ям КС Ям.

Таким образом, оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор К3 + РмКСРм. Обратимость последнего, в силу равенства

В + Рм КС Рм = Рм (К3 + КС )Рм + Ям ВЯм,

равносильна обратимости оператора Рм(В + КС)|1тр^ (см. [1, с. 6]). Ясно, что уравнение, порождаемое этим оператором сводится к конечной системе вида (15), где т = 0,1,    ^. Таким образом, необходимым и достаточным условием обратимости оператора А является обратимость операторов Ат, где т = 0,1,    ^. Учитывая лемму 2, получаем, что оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы Ат, где т = 0,1,    ,т0.

Если выполнены все условия данной теоремы, то, применяя (20), (18) и предложение 1, получаем, что все операторы Ат, где т Є ^+, обратимы в Кр(0,1). Тогда оператор А обратим в Кр(Шп). >

Замечание. В силу леммы 2 достаточно требовать выполнение условий кт = 0 для значений т = 0,1,^^,то. Однако, использование в записях «неопределенного» числа то весьма неудобно. Поэтому в теореме 1 мы пишем, что т Є ^+.

Обратимся теперь к односторонней обратимости оператора А.

Теорема 2. Для того чтобы оператор А вида (6) был обратим в пространстве Кр(Шп) только слева, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условие (21), а также одно из двух следующих условий:

1) V > 0,

2) V = 0 и все индексы кт неотрицательны, причем среди них есть хотя бы один положительный.

< Рассуждая совершенно аналогично доказательству теоремы 1, получаем, что оператор А обратим в Кр(Шп) только слева тогда и только тогда, когда обратимы слева в Кр(0,1) все операторы Ат, причем хотя бы один из них обратим только слева. Тогда, применяя (20), (18) и предложение 1, убеждаемся в справедливости теоремы. >

Теорема 3. Для того чтобы оператор A вида (6) был обратим в пространстве Lp(Bn) только справа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (21), а также одно из двух следующих условий:

1) v < 0,

2) v = 0 и все индексы кт неположительны, причем среди них есть хотя бы один отрицательный.

Литература

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators.—Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2001.-427 p.

2. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени —n ядрами // Докл. РАН.—1999.—Т. 368, № 6.—С. 727-729.

3. Авсянкин О. Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки.—2003.—Т. 73, вып. 4.—С. 483-493.

4. Авсянкин О. Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радиальными коэффициентами // Диф. уравнения.—2007.—Т. 43, № 9.—С. 1193-1196.

5. Авсянкин О. Г. О C‘-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН.—2008.—Т. 419, № 6.—С. 727-728.

6. Авсянкин О. Г. Обратимость многомерных интегральных операторов с однородными ядрами, возмущенных операторами мультипликативного сдвига // Тр. научной школы И. Б. Симоненко. Сб. науч. трудов.—Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2010.—С. 22-29.

7. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.—352 с.

8. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ,

1984.—208 с.

Статья поступила 4 октября 2011 г.

Авсянкин Олег Геннадиевич Южный федеральный университет,

профессор каф. дифференциальных и интегральных уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: avsyanki@math.rsu.ru

ON MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH HOMOGENEOUS KERNELS PERTURBATED BY ONE-SIDED MULTIPLICATIVE SHIFT OPERATORS

Avsyankin O. G.

We study the multidimensional integral operators with kernels homogeneous of degree (—n) and invariant under the rotation group, which are perturbated by one-sided multiplicative shift operators. For these operators the invertibility and one-sided invertibility criterions in Lp-space are obtained.

Key words: integral operator, homogeneous kernel, multiplicative translation, one-sided invertibility.