Выпуклость 2-чебышевских множеств в гильбертовом пространстве

Если не принимать во внимание многообразия нулевой CR-размерности, то в пространство C3 можно вложить вещественные многообразия лишь двух типов: (2, 1) и (1, 2). О строении пространства орбит групп автоморфизмов модельных поверхностей этих типов сказано выше. В пространстве C4 есть три возможности: (3, 1), (2, 2) и (1, 3). Существуют два модельных многообразия типа (3, 1). Это Q+ = {Imw = |zi|2 + |z2|2 + |z3|3} и Q± = {Imw = |zi|2 + |z2|2 — |z313}. В обоих случаях группа автоморфизмов 24-мерна, при этом имеются три орбиты: две области и разделяющая их модельная гиперповерхность. Модельные многообразия типа (2, 2) — это 6-мерные многообразия вида

Qi = {Imw' = |zi|2 + |Z212, Imw" = ziz2 + z2zi}, Q-i = {Imw' = |zi|2 — |Z212, Imw" = ziz2 + Z2Zi}, Qo = {Imw' = |zi|2, Imw'' = ziz2 + Z2Zi}.

Группы автоморфизмов Qi и Q-i 20-мерны, а группа Qo 21-мерна. Орбита точки общего положения открыта, но при этом не исключена возможность существования и других особых орбит, кроме модельной поверхности, например 7-мерных гиперповерхностей. Имеется единственная модельная поверхность типа (1, 3). Это 5-мерная поверхность вида

Q = {Im w2 = |z|2, Imw3 = 2Re(z2z), Imw3' = 2Im(z2z)}.

Группа ее автоморфизмов 7-мерна, поэтому орбита точки общего положения является однородной гиперповерхностью. При этом возможны и 6-мерные орбиты. Однородные вещественные гиперповерхности в C4 изучены мало. Не известна даже размерность пространства модулей. Описанная нами конструкция позволяет расширить список примеров.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00735 и 08-01-00743.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белошапка В.К. Универсальная модель вещественного подмногообразия // Матем. заметки. 2004. 75, № 4. 507— 522.

2. Beloshapka V.K. CR-varieties of the type (1, 2) as varieties of "super-high" codimension // Russ. J. Math. Phys. 1998. 5, N 2. 399-404.

3. Лобода А.В Однородные строго псевдовыпуклые гиперповерхности в C3 с двумерными группами изотропии // Тр. Матем. ит-та РАН. 2001. 192. 3-24.

4. Fels G., Kaup W. CR-manifolds of dimension 5: A Lie algebra approach // arXiv:math.DS/0508011v1, 1 aug 2005.

Поступила в редакцию 18.10.2007

УДК 517.982.256

ВЫПУКЛОСТЬ 2-ЧЕБЫШЕВСКИХ МНОЖЕСТВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

П. А. Бородин

Пусть (X, У-У) —действительное банахово пространство. Множество М С X называется чебышевским [1], если для каждого х € X существует и единствен ближайший к х элемент в М, т.е. такой элемент у € М, что Ух — уУ = р(х, М) := т!{Ух — : г € М}.

Известна трудная проблема выпуклости чебышевских множеств (Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин, В. Кли; см. обзоры [2-4]). Наиболее остро эта проблема стоит в гильбертовом пространстве: всякое ли чебышевское множество в гильбертовом пространстве выпукло? Цель настоящей работы — показать, что при замене свойства "чебышевское" на (вообще говоря, более сильное) свойство "2-чебышевское" этот вопрос получает положительный ответ.

Для двух произвольных элементов х1,х2 € X положим

Определение. Множество M назовем 2-чебышевским, если для любых xi,x2 е X выполнено одно из двух следующих условий:

(1) p(xi,x2, M) > ||xi — Ж2| и Pm(1,Ж2) состоит ровно из одного элемента;

(2) p(xi,x2,M) = ||xi — Х2| и Pm(^1,^2) = 0.

Всякое 2-чебышевское множество является чебышевским: для любого элемента x е X имеем p(x, M) = ljp(x,x, М), и для пары жх = ж, ж 2 = ж условие (1) в определении означает, что р(х,М) > 0 и в М существует единственный элемент, ближайший к x, а условие (2) означает, что x е M.

Нетрудно привести пример чебышевского, но не 2-чебышевского множества — это подпространство констант Y = {/(t) = const} в пространстве X = C[0,1]. Хорошо известно, что Y — чебышев-ское подпространство. Однако оно не 2-чебышевское: для функций /i(t) = t + 1 и /2 (t) = t — 1 имеем p(/i, /2, Y) = 3 > 2 = ||/i — /21 и в то же время ||/i — c|| + ||/2 — c|| = 3 для любой константы c е [0,1].

Теорема. Пусть X = H — гильбертово пространство. Множество M С H является 2-чебышевским тогда и только тогда, когда оно выпукло и замкнуто.

Доказательство. Достаточность. Пусть множество M выпукло и замкнуто, xi,x2 е H. Возьмем последовательность yn е M, для которой ||xi — yn|| + ||x2 — yn|| ^ p(xi,x2,M). Поскольку множество M секвенциально компактно в слабой топологии, некоторая подпоследовательность ynfc слабо сходится к некоторому элементу y е M. Следовательно,

к^то к^то

откуда y е Pm(xi,x2), т.е. множество Pm(xi,x2) непусто. Если же p(xi, x2,M) > ||xi — x2|| и есть два разных элемента y,y' е Pm(xi,x2), то хотя бы одна из точек xi,x2 не лежит на одной прямой с y и у'. Положим т = . Тогда

+ — (11^2 - У\\ + IN - у'\\) = Р{Х\,Х2,М),

2

что невозможно, поскольку т € М. Таким образом, в случае р(х1, х2, М) > ||жх — х2|| множество Рм (х1, Х2) одноточечно.

Необходимость. Пусть М — 2-чебышевское множество. Тогда М является чебышевским, т.е. для каждого х € Н метрическая проекция Рм(х) = {у € М : ||х — у|| = р(х,М)} состоит ровно из одной точки. Следовательно, М замкнуто.

В работе [5] Л.П. Власов доказал, что если множество М чебышевское и для любого х € М с Рм (х) = {у} справедливо равенство Нтд^о+ Рм(х + А(х — у)) = у, то М выпукло (см. также [2, теоремы 4.14 и 3.10]).

Предположим, что в нашем случае существуют такой элемент х € М с Рм (х) = {у} и такое е > 0, что в любой близости от х на луче {х + А(х — у) : А > 0} найдется элемент х' с Рм(х') = {у'}, для которого ||у — у'|| > е.

Рассмотрим двумерную плоскость П, содержащую точки х, у, х', у' (рис. 1). Обозначим ||х — у|| = р, ||х' — у'|| = р', ||х — х'|| = 5. Очевидно, р' < р + 5, р < р' + 5, ||х — у'|| < р+25 и ||х' — у|| = р+5 < р' + 25.

Докажем, что при достаточно малом 5 весь отрезок [у, у'] содержится в объединении кругов К = {и € П : ||и — х|| < р} и К' = {и € П : ||и — х'|| < р'}. Для этого покажем, что середина отрезка — точка гп = --принадлежит обоим этим кругам. Имеем

x — m

2

2

< -(2pz + 2(p + 25)2 - = p2 + 2p5 + 25 - —

Рис. 1

2

Цат' - ??г||2 = ~(2\\х' - уII2 + 2\\х' - у'\\2 - ||у - у'\\2) <

1 р2

< ±(2(р' + 2<5)2 + 2р'2 -е2) = рг2 + 2р'6 + 25'2 -

При достаточно малых 6 получаем Ух — тЦ < р, Ух' — тЦ < р', так что т € К П К', откуда [у,т] С К, [т, у'] С К', а следовательно, [у, у'] С К и К'.

Теперь докажем, что на плоскости П есть эллипс, проходящий через точки у и у' и целиком лежащий в объединении К и К'. Для этого рассмотрим семейство эллипсов, проходящих через точки у и у' и имеющих в этих точках внешние нормали, коллинеарные векторам у — х и у' — х' соответственно. Векторы у — х и у' — х' составляют тупые углы с отрезком [у, у'] (поскольку этот отрезок лежит в К и К'), поэтому такие эллипсы существуют. Если, например, точки у и у' — это точки (0, 0) и (1, 0) на координатной плоскости, а направления внешних нормалей в этих точках заданы векторами (—1,&1) и (1,&2) соответственно, то указанное семейство эллипсов имеет вид

х2 + ту2 + (к2 — ^1)ху — х + Й1у = 0,

где т — произвольное число с условием т > (^2 — )2/4. Нетрудно видеть, что при т ^ эти эллипсы сходятся в метрике Хаусдорфа к отрезку [0,1] на оси абсцисс.

В общем случае найдется эллипс Е из указанного семейства, настолько близкий в хаусдорфовой метрике к отрезку [у,у'], что он имеет две точки а и й2 пересечения с окружностью дК', лежащие внутри К (см. рис. 1: эти две точки расположены по разные стороны от прямой уу' и близки к соответствующей точке пересечения интервала (у, у') с дК'), а также две точки и пересечения с окружностью дК, лежащие внутри К' (эти две точки расположены по разные стороны от прямой уу' и близки к соответствующей точке пересечения интервала (у, у') с дК). Таким образом, эллипс Е имеет по 4 общие точки (с учетом кратностей) с каждой из окружностей дК и дК' (точки у и у' имеют кратность 2). Следовательно, Е С К и К', иначе эллипс Е пересекался бы с дК (или с дК') в точках, не лежащих внутри К' (соответственно внутри К), т.е. имел бы не менее 5 точек пересечения с какой-то из этих окружностей, что невозможно.

При этом эллипс Е можно выбрать настолько близким к отрезку [у,у'], что точки й1 и й2 лежат по одну сторону, а точки и — по другую сторону от прямой 7, проходящей через точку т перпендикулярно большой главной оси эллипса (точки пересечения Е П 7 близки к т, а значит, лежат внутри обоих кругов). Тогда прямая 7 разбивает эллипс Е на две части, каждая из которых лежит в своем круге К или К'.

В плоскости П рассмотрим фокусы /1 и /2 эллипса Е. Имеем Е = {и € П : Ци — /Ц + Ци — /2У = где ^ > У/1 — /2У, поскольку эллипс Е невырожденный. _

Покажем, что эллипсоид Е = {г € Н : — /11| + — /21| = (1} содержится в объединении замкнутых шаров В = {г € Н : У г —

хЦ < р} и В' = {г € Н : Цг — х'У < р'}. Пусть г € Е \ Е, и пусть и € П — ортогональная проекция точки г на плоскость П. Точка и лежит внутри эллипса Е. Отрезок [и1,и2 ] в плоскости П с концами на эллипсе Е, перпендикулярный прямой /1/2 и содержащий точку и, целиком лежит в одном из кругов К или К' (этот отрезок параллелен прямой 7, а значит, и и и2 попадают в одну из тех двух частей эллипса Е, на которые 7 его разбивает и каждая из которых лежит в своем круге К или К'). Пусть для определенности [и1,и2] С К. Двумерная плоскость П^, перпендикулярная П и проходящая через точки г, и1, и2, пересекается с эллипсоидом Е по окружности С Э г с диаметром [и1,и2 ], а с шаром В — по кругу П с диаметром К П П^, лежащим на прямой и1и2 и содержащим отрезок [и1,и2] (рис.2). Очевидно, круг П содержит окружность С, а вместе с ней и точку г, откуда г € В.

Итак, эллипсоид Е лежит в объединении шаров В и В'. Следовательно, ЕПМ = {у, у'}, р(/1, /2, М) = d > У/1 — /2У и Рм(/1, /2) = {у, у'}, т.е. М — не 2-чебышевское множество. Противоречие. Теорема доказана.

Эта теорема с доказательством докладывалась автором на Международной летней математической школе С. Б. Стечкина по теории функций, проходившей в г. Алексине в августе 2007 г.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-01-00648).

Рис. 2

и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышевских множеств // Докл. АН СССР. 1958. 118, № 1. 17-19.

2. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи матем. наук. 1973. 28, вып. 6. 3-66.

3. Балаганский В.С., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебышевских множеств // Успехи матем. наук. 1996. 51, вып. 6. 125-188.

4. Алимов А.Р. Всякое ли чебышевское множество выпукло? // Матем. просвещение. Сер. 3. 1998. Вып. 2. 155-172.

5. Власов Л.П. О чебышевских и аппроксимативно выпуклых множествах // Матем. заметки. 1967. 2, вып. 2. 191-200.

Поступила в редакцию 14.11.2007

УДК 517.52

О ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНКАХ СУММ МОДУЛЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ

ФУНКЦИЙ ИЗ Нш

Д. М. Дьяченко

1. Введение. Пусть m > 2, w(ti,...,tm) — неотрицательная, монотонная по каждой переменной, непрерывная на [0, oo)m функция, такая, что для любых фиксированных ti,..., i, tj+i,..., tm и любого j = 1,..., m имеем

w(ti, . . . , tj —i, 0, tj+i, . . . , tm) = 0

и для любых положительных ¿ j, ¿ j

W(tb . . . , tj — i, ij + j, j+b • • • , tm) <

< W(tb . . . , tj — i, ij, j+b . . . , tm) + W(tb . . . , tj— b ¿j, j+b . . . , tm).

Определение 1. Пусть {an}ngzm — m-кратная числовая последовательность, k € Zm и 1 < j < m. Тогда обозначим

△j(afc) = afc — +i,fcj+i,...,fcm, A(afc) = Ai (A2 ... (Am(afc))).

Скажем, что неотрицательная, монотонно неубывающая по каждой переменной, непрерывная на [0,1]m функция Lü(t\,... ,tm) обладает свойством (А), если для любого вектора п € Z™ имеем Д ^^L,...,

— I I > 0, иными словами, если последовательность (ш (—,..., — I ) монотонна в смысле Харди. nm)) \ \ni nmJJ

Теперь пусть = {f : w(/; t) < w(t), 0 < tj < п}, где w(/; t) — смешанный модуль гладкости 2п-периодической по каждой переменной непрерывной функции /(xi, ... ,xm), т.е.

u u

w(/;íi,...,ím) = sup |Д(/;ж--;ж + -)| =

\'Uj 2 2

= sup I ^ (-l)ll+-+lmf(x1-^ + hu1,...,xm-^ + lmum)\. К\<íji,e{0,i} 2 2

Определение 2. Скажем, что функция w(ti,..., tm), монотонная в смысле Харди, обладает свойством (C), если для любого множества B С {1,..., m} имеем

П* / /

П [0,j] П V¡jj€B j/B

je в j/в