Группы изометрических движений сверхтекучей жидкости

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 150, кн. 3 Физико-математические пауки 2008

УДК 530.12

ГРУППЫ ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ

А.А. Литвинов, В.А. Попов

Аннотация

Рассматривается пространство-время, геометрия которого определяется тензором эпергии-импульса сверхтекучей жидкости. Исследованы группы движений при условии, что движение сверхтекучей и нормальной компонент жидкости направлены вдоль различных векторных полей Киллипга. Показано, что операторы, порождаемые векторами Киллипга, отвечающими нормальному и сверхтекучему движению, образуют центр алгебры Ли. Выделены и исследованы все возможные группы движения, удовлетворяющие данному условию. Показано, что существует единственное поле тяготения, допускающее группу изометрий с порядком г > 4.

Ключевые слова: релятивистская динамика сверхтекучей жидкости, группы движений, точные решения уравнений Эйнштейна.

Введение

Равновесно релятивистских систем сопряжено с определенными требованиями к симметрии пространства-времени [1. 2]. Для системы безмассовых частиц таким условием является наличие конформной симметрии, а для массивных существование вромоноподобного вектора Киллипга. вдоль которого направлено макроскопическое движение системы. В этой связи группа изометрий исследовалась применительно ко многим физическим системам, в том числе для уравнений Эйнштейна Максвелла [3. 4]. идеального газа [5] и заряженной идеальной жидкости [6]. Для сверхтекучей жидкости рассматриваемое ниже изометрическое движение является наиболее простым видом симметрии, при котором может реализоваться равновесное состояние [7].

В релятивистской физике явление сверхтекучести связано прежде всего с нейтронными звездами, для которых установлено существование сверхтекучей фазы. С другой стороны, нейтронные звезды обладают сильным гравитационным полем и должны рассматриваться в рамках общей теории относительности. Помимо этого, предполагается, что сверхтекучими свойствами может обладать скалярное поле, которое играет роль темной энергии и темной материи в ряде космологических моделей [8. 9].

Классическая двухжидкостная гидродинамика Ландау описывает движение сверхтекучей жидкости в терминах двух векторных полей, соответствующих скорости жидкости, находящейся в основном квантовом состоянии (сверхтекучая компонента). и скорости газа возбуждений (нормальная компонента). В работах [10. 11] было построено ковариантноо обобщение данной модели, согласно которому тензор энергии-импульса сверхтекучей жидкости может быть записан в виде

где р — давление, и и ч - потоки числа частиц и энтропии, из и вз- - динамически сопряженные нм импульсы, так что вариация давления есть

5р = ,ч15в + иг$и.

С другой стороны, в силу инвариантности давления его зависимость от из и в^ выражается в виде функции р = р(и2, в2, х2) от скалярных величин и2 = ииг, в2 = = ввг, х2 = и%вг  Тогда

* = и

Сравнивая (1) и (2), находим, что потоки числа частиц и энтропии являются линейными комбинациями импульсов из и вз-:

и = Ви + Ав, ч = а,и + С в.

Движение газа возбуждений происходит вдоль вектора в, а сверхтекучее движение - вдоль вектора из > который интерпретируется как градиент фазы волновой функции основного состояния, так что

^[ки] = 0.

Здесь Vк означает ковариантную производную, а величина и 1 определенная выше, является химическим потенциалом жидкости. Выбрав в качестве независимых потоков в и из > можно переписать тензор энергии-импульса в терминах нормальной н сверхтекучей компонент [12]:

Тз рдц,

где и и V - нормированные векторы скоростей нормального и сверхтекучего движения, которые связаны с соответствующими потоками с помощью соотношений

ч и

и* = V* =

1. Структура алгебры Ли, определяемая видом тензора энергии-импульса

В данной работе исследуется пространство-время У4 с сигнатур ой (+------------),

геометрия которого определяется уравнениями Эйнштейна

Сз = кТ^,

где тензор энергии-импульса имеет вид (4), причем адп > 0. Пусть это пространство допускает группу изометрических движений Ог с г линейно независимыми векторами Киплинга Ха = £га8, а =1, 2,... ,г (2 < г < 10)1. Коммутаторы

[X а,Х в ]=

задают структуру алгебры Ли дг группы Ог.

Вследствие того, что производная Ли вдоль векторов Киллиига от тензора Эйнштейна (із равна нулю, справедливо соотношение

£ Ті = 0.

х„

1 Компоненты тензоров маркируются латинскими индексами, а элементы группы - греческими. Для обоих типов индексов используется правило суммирования Эйнштейна.

Выполняя различные свертки (7) с метрическим тензором, векторами иг и

Vг, а также с единичным пространственноподобным вектором, ортогональным к

векторам иг и Vг, получим следующие соотношения

С р = 0,

С + юп) = 0,

х„

С {

£ и = —

х„ 2^'Шп х„

£ Ъ = £ ыв,

Х„ х„

где 7 = игУ^ характеризует относительную скорость движения нормальной и сверхтекучей компонент, причем 7 = 1. Кроме того, для величин тп и справедливо следующее утверждение:

Предложение 1. Если Оля какого-либо вектора Киллинги X выполнены соотношения = атБ и Сып = @тп, где а, в = сопв^, то = £тп = 0.

X X XX

Доказательство. В силу (9) имеем атБ + втп = 0 и, следовательно,

— - - А

тп а

где Л - положительная константа. Тогда (9) пере пишем в виде (1 + Л) С ып = 0, откуда следует равенство нулю производных Ли.

Предположим теперь, что векторы скоростей нормальной иг и сверхтекучей V, компонент направлены вдоль различных временеподобных векторов Киплинга группы движений Ог:

Н ____ уЛ ___

уг = тг, С = у/СО,, иг = —, 11= УГФ1и С п

где векторы Ун = £гдг и Уп = пгдг являются линейными комбинациями векторов Х«:

Ун = ааХа, Уп = ЪаЪа.

Используя уравнения Киллиига

Vj £а.г + V= 0 и структурные уравнения (6), из которых следует, что

еаVг^в - ев ^еа = $,

приведем равенства (11) и (12) к виду:

авс' е7г = (Лаа? + БаЪ^)£7г, в

Ъв с'в е7г = (Оаа? + БаЪЛ )£7г,

где введены следующие обозначения:

А — а^с17 ^а — Г w В — ^ Г w

“ " “/3 С 2ws £s’ “ - 2T1wa £s’

i (14) Da = b/3c^/3^^ - —1— £ wn, Ca = —^— £ wn.

ap n 2wn xa 2YZwn Xa

Докажем следующее утверждение:

Предложение 2. Величины Aa, Ba,Ca, Da, входящие в выражения (13) являются константами.

Доказательство. Выражение (13) ковариантно продифференцируем по xj и симметризуем по индексам j и k. В силу уравнений Киплинга получим

V

Выполним все возможные попарные свертки выражения (15) с векторами Zj и nj , а также с метрическим тензором gjk. В результате получим систему уравнений

CViAa + rf V iBa = °,

CCViAa + mCViBa = о,

ZmCV i Aa + Z VVi Aa + n2CViBa + ZmrfV i Ba = 0, nnrfV i Aa + nnlV iBa = о

относительно скалярных величин ZiV iAa, 'rfV iAa и т. д. Определитель системы (16) по равен нулю, следовательно, она имеет только тривиальные решения

CViAa = niViAa = CViBa = ^ ViBa = 0.

Выполним теперь однократные свертки выражения (15) с Zi и 'rf  Q учетом соотношения (17) получим следующие уравнения

Z VkAa + nY Vk Ba = о,

ZyV kAa + nV k Ba = 0.

k Aa k Ba

тривиальное решение V kAa = VkBa = 0 или Aa,Ba = const. Аналогично доказывается. что Сa, Da = const.

что

В силу предложения 2 и линейной независимости векторов ^ из (13) следует,

ав с1в = Ааа7 + БаЪ7.

Ъв с'в = Саа? + О а1А.

Сворачивая уравнения структуры алгебры (6) последовательно с аа и Ъа и учитывая (19), получим

[X * ,У п] = А* У в + Б* У п,

[X * ,У в] = С* У в + А* У п.

Следовательно, операторы Ув и Уп образуют идеал алгебры дг.

2. Следствия из уравнений движения

Еще одним следствием уравнений Эйнштейна (5) является ковариаитный закон сохранения энергии и импульса

VгTгj = 0,

который вместе с законом сохранения числа частиц V гпг = 0 и условием потенциальности движения сверхтекучей компоненты (3) составляет полную систему уравнений движения сверхтекучей жидкости. Свертки уравнения (3) с V"1 и проектором Д* = 5* — VгVj дают уравнение для ускорения сверхтекучей компоненты

V = Д^ф

и уравнение безвихревого движения в традиционной форме [13]

ДjVгVk — Д^г^ = 0.

Рассмотрим условия, которые накладывают уравнения движения на структуру группы движения Ог. Заметим, что иоскольку £ Vг = С иг = 0, то с учетом

уп

соотношений (9)—(12) скаляры ыв, шп, 7 те меняются вдоль векторных полей Ув и

п

С Ыв = С Ыв = С »п = С »п = С 7 = С 7 = 0.

Уп Уп Уп

Следовательно, в силу

CVг = С иг = 0.

уп ув

Представив производные Ли (24) через ковариаитиые производные, легко найти, что должно выполняться следующее соотношение:

vг С С = —иг с п.

уп Ув

В силу того, что вектора Vг и иг неколлинеарны, то С С = £ П = 0, что ведет к

уп Ув

равенству

V ^к иг = и

После несложных рутинных алгебраических преобразований, в которых используются соотношения (23) и (25), закон сохранения (20) может быть приведен к виду

^ V* + ып и V ги* — V* р = 0.

Рассмотрим теперь уравнение движения сверхтекучей компоненты (21). Свернув его с вектором еа 1 получим

В силу соотношения (2), уравнение (8) будет удовлетворяться тогда и только тогда, когда будут равны нулю производные Ли от всех независимых переменных в (2). Следовательно,

еа VгVгVk = 0.

Свертка (26) с вектором Киплинга е*, с учетом условий (8) и (27) дает

е* иг Vг и* = 0.

Правые части выражений (27) и (28) могут быть представлены в виде производных Ли:

фГЧМ = -1- С с = -аас<а^ = О,

> ^ <г ц

= -1-£'>1= -Ъас<а^ = 0.

С учетом выражений (29) две из четырех констант, определяемых выражениями (14). будут равны

Аа 7ч ~ С, "Шп.

2Ыв X а 2Ып X а

В силу предложения 1 отсюда вытекает, что все константы

Аа = Ба = Са = Ба = °.

Полученный результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Если пространств о-время V4 со сверхтекучей жидкостью допускает группу движений Ог и макроскопическое движение нормальной и сверхтекучей компонент происходит вдоль различных времеиеподобиых векторов Кил-лита, то эти векторы лежат в центре алгебры Ли дг группы Ог.

3. Отбор групп движения

Используя классификацию Петрова [14] полей тяготения по группам движений, с учетом теоремы 1 можно исследовать все возможные группы движений Ог.

Для групп с г > 4 соответствующие метрики выражаются явно через элементарные функции [14]. поэтому можно провести полное исследование этих групп с использованием уравнений Эйнштейна.

Среди групп размерности 4 требованиям теоремы 1 удовлетворяют простотранзитивные группы и С^У1з.

Алгебра Ли группы О4 VI3 имеет единственную отличную от нуля структурную константу с14 = 1. Центр алгебры образуют элементы Х2 и Х3. Метрические коэффициенты пространства-времени, допускающего эту группу движения, равны

дп = Кп, д12 = К12 — К13Х4, д1з = К13, ^2 = К22 — К23Х4 + Кзз(х4)2,

д23 = К23 — К33Х4, дзз = К33, д44 = К44, дг4 = 0.

Прямым вычислением легко показать, что ни при каких значениях аа условие (22) не может быть удовлетворено. Следовательно, данная группа исключается из числа допустимых.

О4 1

ную константу с24 = 1. Центр алгебры образуют векторы Х1 и Х2. Метрические коэффициенты пространства-времени, допускающего эту группу движения, равны

_ 4

д11 = Кц, д12 = К12, д1з = К1зе х , д22 = К22,

_ 4 _2 4

д23 = К2зе х , дзз = Кззе х , д44 = К44, дг4 = 0.

Такая метрика генерируется тензором энергии-импульса вида (4) с постоянными ыв, тп и р, то при этом р < 0. Действительно, из временеподобности

вектора С и условия (22) следует, что аа могут быть выбраны в виде а1 = K23, а2 = — K13. Тогда давление можно записать в виде p = Z2 exp (—2x4)/4«g. Эта величина отрицательна, поскольку д = det(gj) < 0.

Величины ws и wn могут быть выражены через давление посредством соотношений: 1 1

ws = 2р+ гип = 4р+ —-.

K44 K44

0 < 4p <

< I/K44.

Среди групп размерности r > 5 нет групп, допускающих изометрическое движение сверхтекучей жидкости. Этот вывод следует из того факта, что для всех групп движения с алгеброй gr, центр которой содержит не менее двух элементов, структура тензора энергии-импульса не совпадает со структурой тензора Эйнштейна. Проиллюстрируем это на примере группы G5, алгебра Ли которой имеет следующие элементы:

Xi = di — x2d2, Х2 = d2, X3 = дз,

х4 = а4, х5 = -х2^ + х1д, + ^ ~^г'^ дз,

а соответствующая метрика имеет вид:

ds2 = —

Центр этой алгебры состоит из векторов Х3 и Х4, следовательно, помимо диагональных компонент тензора энергии-импульса, ненулевой является только компонента T34, тогда как соответствующая компонента тензора Эйнштейна, вычисленная по метрике (30), G34 = 0, а компонента G23 = 0.

Остальные группы Gr с r > 5, удовлетворяющие условию теоремы 1, исследу-

ются аналогично.

G2 G3

соответствующий этим группам, может быть иайдеи только путем решения уравнений Эйнштейна.

Заключение

В данной работе исследованы группы движения в пространстве-времени, где источником гравитационного поля выступает сверхтекучая жидкость, которая описывается в рамках стандартного двухжидкостного формализма. Предполагается, что скорости сверхтекучей н нормальной компонент жидкости направлены вдоль векторов Киплинга, генерирующих алгебру Ли gr группы изометрий.

Gr r > 5

допускаются структурой тензора энергии-импульса.

Существует единственное решение уравнений Эйнштейна, для которого пространство-время допускает просто-транзитивную группу движения четвертого порядка. В данном решении давление жидкости постоянно и отрицательно, что позволяет рассматривать его как результат решения уравнений Эйнштейна с космологической постоянной. Решения такого вида сейчас активно обсуждаются в литературе в связи с проблемой темной энергии [15, 16].

Для групп второго и третьего порядка метрика пространства-времени может быть предъявлена только в результате непосредственного решения уравнений Эйнштейна. Эту задачу предполагается выполнить в дальнейшем.

Авторы выражают признательность Р. А. Даишеву и Е.В. Патрину за полезное обсуждение и ценные советы.

Summary

A.A. Litvinov, V.A. Popov. Isometry Group of Superfiuids.

A space-time with geometry determined by superfluid energy-moment.um tensor is considered. Groups of isometry are investigated under the assumption that movements of superfluid and normal components are directed along different Killing vector fields. It is shown that operators generated by the Killing vectors associated with the superfluid and normal flow constitute the center of Lie algebra. All possible groups of isometry satisfying this condition are specified and investigated. A unique gravitational field is shown to exist, admitting the isometry group of order r > 4.

Key words: relat.ivist.ic superfluid dynamics, groups of motions, exact, solutions of Einstein’s equations.

Литература

1. Черников H.A. Релятивистский газ в гравитационном поле. Препринт Л'! 1027.

Дубна: ОИЯИ, 1962. 32 с.

2. Черников Н.А. Равновесное распределение релятивистского газа. Препринт

1159. Дубна: ОИЯИ, 1962. 28 с.

3. Ozsvath I. Homogenous solutions of Einstein-Maxwell equations // J. Math. Pliys. 1965. V. 6. P. 1255 1264.

4. Hiromoto R.E., Ozsvath I. On homogenous solutions of Einstein’s field equations // Gen. Relat.. and Gravit.. 1979. V. 9. P. 299 306.

5. Иванов Г.Г., Даигиев P.А. Макроскопические движения идеального газа и симметрии прострапства-времепи // Гравитация и теория относительности. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. Вып. 14. С. 74 79.

6. Даигиев Р.А. Изометрические движения идеальной заряженной жидкости // Изв. вузов. Физика. 1987. .V 10. С. 25 30.

7. Popov V. R.elat.ivist.ic Kinetic Theory of Plionon Gas in Superfiuids // Gen. Relat.. and

Gravit.. 2006. V. 38. P. 917 935.

8. Silverman M.P., Mallett R.L. Coherent, degenerate dark matter: a galactic superfluid? // Class, and Quantum Grav. 2001. V. 18. P. L103 L108.

9. Ferrer F., Grifols J.A. Bose-Einstein Condensation, Dark Matter and Acoustic Peaks // J. Cosmology and Ast.ropart.icle Pliys. 2004. V. 0412. P. 012 024.

10. Лебедев В.В., Халатников И.М. Релятивистская гидродинамика сверхтекучей жидкости // ЖЭТФ. 1982. Т. 83. С. 1601 1614.

11. Carter В., Khalatnikov I.M. Equivalence of convective and potential variational derivations of covariant, superfluid dynamics // Pliys. Rev. D. 1992. V. 45. P. 4536 4544.

12. Carter B., Langlois D. Equation of state for cool relat.ivist.ic two-constituent superfluid dynamics // Pliys. Rev. D. 1995. V. 51. P. 5855-5864.

13. Синг Дон-,. Общая теория относительности. М.: ИЛ, 1963. 432 с.

14. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966.

496 с.

15. Tajmar М. A note 011 t.lie local cosmological constant and the dark energy coincidence problem // Class, and Quantum Grav. 2006. V. 23. P. 5079 5083.

16. Dutta S., Maur I. Voids of dark energy // Pliys. Rev. D 2007. V. 75. P. 063507.

Поступила в редакцию 15.04.08

Литвинов Александр Алексеевич студент физического факультета Казанского государственного университета.

E-mail: batnauka Qyandex. ru

Попов Владимир Александрович кандидат физико-математических паук, доцент кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета.

E-mail: vladim.ir.pupuveksu.ru