Синтез электрических сетей с оптимальной конфигурацией

УДК 621.311

СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ С ОПТИМАЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИЕЙ

Е.М. Васильев, И.В. Крутских

Решается задача построения электрических сетей с оптимальной конфигурацией, обеспечивающей минимум приведённых затрат на передачу энергии с учётом требований к допустимым потерям напряжения и уровню бесперебойного электроснабжения потребителей. Для совместного выполнения этих требований при поиске экстремума применён генетический алгоритм с матричной репликацией. На примере реальной электрической сети осуществлён синтез оптимальной конфигурации и дана оценка экономической эффективности полученного решения

Ключевые слова: электрическая сеть, конфигурация, бесперебойное электроснабжение, генетический алгоритм

1. Постановка задачи

Реализация государственной программы энергосбережения, осуществляемого на всех этапах производства, передачи и потребления электроэнергии, включает в себя задачу проектирования питающих и распределительных электрических сетей, конфигурация которых обеспечивает наименьшие приведённые затраты Z на передачу 1 кВт-ч энергии и одновременно удовлетворяет требованиям к степени резервирования потребителей, допустимым потерям напряжения, коэффициенту мощности, максимальным для данного уровня напряжения сечениям кабелей.

Представив входные и выходные подстанции сети вершинами графа с матрицей A размерностью nxn, где n - число подстанций, получим, что всякой конфигурации сети соответствует некоторый набор элементов üijeA, i = 0,n, j = 0,n , принимающих

значения aij=1, если вершина (узел) bi соединён с вершиной bj, и aij=0, если соединение отсутствует.

Функция затрат Z=Z(A) носит очевидно комбинаторный характер, при этом каждый набор элементов aij- определяет длину участков сети, распределение токов, сечения кабелей, выбранных из типового ряда значений, и потери напряжения в них существенно нелинейным образом.

Характер накладываемых ограничений - требований к сети - также носит дискретный характер.

В результате, общая постановка задачи синтеза электрической сети с оптимальной конфигурацией может быть представлена в виде:

Z=Z(a,j)^min, i = 0, n, j = 0, n ,

f 1, если узел bi соединён с узлом bj;

[0, иначе,

ch^hi, Ui,min¿Ui<Ui,max; fij^F; ___

СОБф^СОБфе^хдпкь С0§фист—С0§фйг,тт; k 1 n ;

где chi - количество простых цепей, связывающих узел bi с источником напряжения в узле b1 (условие резервирования потребителя bi числом hi непересе-кающихся маршрутов); Ui, Uimin, Uimax - расчётное,

aj ='

Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, тел.

(473) 243-77-76

Крутских Иван Владимирович - ВГТУ, студент, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, тел. (473) 243-77-20

минимально допустимое и максимально допустимое значения напряжения в узле bi сети; соБфь С08фвьи:>тт

- коэффициенты мощностей потребителей в узлах к сети и их нормативные минимальные значения на выходе сети; С0Sфист, С08фет>тт - коэффициент мощности источника напряжения и его нормативное минимальное значения на входе сети (отметим, что компенсирующие установки на входе сети учитываются как потребители с отрицательным реактивным сопротивлением); / - сечение кабеля на участке между узлами Ь, и Ь/, F - множество типовых сечений кабеля выбранного типа;

рК + М ,

Z =-

W

р - нормативный коэффициент экономической эффективности; К - капитальные затраты на строительство и оборудование сети; М - годовые эксплуатационные расходы: М=Ма+Мп, - складывающиеся из годовых затрат Ма на амортизацию, ремонт и обслуживание сети:

Ма =РаК

ра - коэффициент отчислений; и годовых затрат Мп на покрытие потерь в сети активной энергии АЖ:

Мп=Сж'А Ж,

сЖ - стоимость 1 кВт-ч потерянной энергии; Ж -переданная по сети за год активная энергия.

Известные попытки применения линейного программирования для решения поставленной задачи требуют существенного упрощения её постановки [1], и возникает необходимость перехода к приближённым методам поиска оптимальных решений [2]. В работах [3,4] описано использование таких методов для задачи реконфигурации электрических сетей, однако в число ограничений не включено требование, соответствующее условию обеспечения в сети заданной степени резервирования электроснабжения потребителей, являющееся обязательным при проектировании современных электрических систем.

Предлагаемая работа решает поставленную задачу на базе генетического алгоритма с полным учётом указанных в (1) ограничений.

2. Алгоритм синтеза

Общий алгоритм синтеза оптимальной конфигурации электрической сети включает в себя процедуры [5]:

формирование множества допустимых конфигураций - особей;

реализация генетических изменений в каждой особи;

отбор особей для продолжения эволюционного процесса.

2.1. Процедуры формирования вариантов сети

В качестве модели конфигурации сети используется матрица A=AT смежности вершин Ь,, вариант которой представлен в табл. 1.

Таблица 1

Матрица А смежности вершин

Вершина Вершина

bo bi b2 Ьз b4 b.5

bo 0 1 1 1 1 1

bi 1 0 1 1 1 0

b2 1 1 0 0 0 1

Ьз 1 1 0 0 1 1

b 4 1 1 0 1 0 0

b5 1 0 1 1 0 0

Пример сети, соответствующей матрице А, изображён на рис. 1.

g12

Tgel ú

goi I "t" El bi'

g13

\T-2—b 3TT

X?o2 ;

g.5 g-

4

g

g34

g25 g35

b ,

go5

Рис. 1. Пример модели сети

g14

b4

go4

По матрице А проводится проверка соответствия текущей конфигурации требованию бесперебойного обеспечения энергией, введённому в задачу (1) в виде условия ск^>к, задающего количество непересекающихся маршрутов (простых цепей), связывающих потребитель Ь, (/^1) с источником Ь1 (Ь0 - общая вершина сети). Для сети, представленной на рис.1, получаем: ск2=2, ск3=3, ск4=2, ск5=2.

Порядок проверки.

1. Исключается из рассмотрения конфигурация с матрицей А, содержащей хотя бы одну строку из Ьь Ь2,...,Ьи (или один столбец из Ьь Ь2,...,Ьи) с числом единиц, меньшим одной (строка Ь0 и столбец Ь0 всегда заполнены единицами одинаково и в данном анализе не учитываются, см. табл. 1).

2. Строится дерево простых цепей:

в первый уровень (корень) дерева размещается номер узла с источником напряжения Ьь

во второй уровень размещаются номера узлов, смежных с первым уровнем;

в третий уровень записываются номера узлов, смежных с каждым узлом второго уровня, за исключением узла ¿ь который повторно не встречается ни на каком уровне (рис.2);

Рис. 2. Составление дерева простых цепей

в четвёртый уровень записываются номера узлов, смежных с теми узлами третьего уровня, которые не встречались в первом и втором уровнях. При этом, просматривая номера третьего уровня (в порядке их записи) и обнаружив их повторение, в четвёртый уровень размещают номера тех смежных узлов, которые ещё не были записаны в этот уровень и не встречались в текущей ветви ранее для повторяющегося номера. На рис. 2 при просмотре 3го уровня слева направо для номера 5 из двух смежных узлов b2 и b3 был выписан номер 3, как не встречавшийся в ветви 1-2-5; для повторно обнаруженного в уровне 3 номера 5 в уровень 4 выписывается только номер 2, так как он ещё не был выписан при рассмотрении b5 в уровне 3);

алгоритм продолжается по индукции до тех пор, пока не появится незаполненный уровень;

для каждого номера подсчитывается число его вхождений во все уровни, которое и будет числом простых цепей, связывающих его с вершинной b1. Применительно к схеме рис. 1 по рис. 2 получаем: для b2 - 2 цепи (2-1; 2-5-3-1); для b3 - 3 цепи (3-1; 34-1; 3-5-2-1); для b4 - 2 цепи (4-1; 4-3-1); для b5 - 2 цепи (5-2-1; 5-3-1), т.е. ch2=2, ch3=3, ch4=2, ch5=2.

В том случае, если полученные значения cki не удовлетворяют условиям ck,>k„ конфигурация А исключается из рассмотрения и формируется новая матрица.

Известными параметрами модели являются матрица д = д T проводимостей участков сети (табл. 2) и матрица E=[E1 E2,...,En]T=[Ei 0 0 0 0]T источников напряжения.

Диагональные элементы матрицы д не используются и могут быть произвольными; проводимости gei источников напряжения обычно принимают значения намного большие, чем проводимость потребителей g0i,...g0n и проводимость кабелей gij-(i = 1,n, j = 1,n , ij

1 1

gij ='

(rO + j x0) • i i

Oi

где Я, X ¡0 - удельные активные и реактивные сопротивления выбранного типа кабеля на участке сети между вершинами Ь, и Ь/ Ом/м; 1 у - длина

участка сети между вершинами Ь/ и Ь/, Я, Xактивное и реактивное сопротивления потребителя Ь{.

Я0і -

+ (*ёф/ ^

и - номинальное напряжение питания потребителей в сети;, £, - полная мощность потребителя Ь; со8ф,- -коэффициент мощности потребителя Ь,.

Таблица 2

Матрица д проводимостей

Вершина Вершина

¿0 ¿1 ¿2 ¿3 ¿4 ¿5

¿0 - #01 #02 #03 #04 #05

¿1 #10 812 813 814 815

¿2 #20 821 - 823 824 825

¿3 #30 831 832 - 834 835

¿4 #40 841 842 843 - 845

¿5 #50 851 852 853 854 -

Если значения со8ф£<со8фвьи:>тт, то в расчёте целесообразно увеличить его до требуемого значения соБфеыд^т с указанием необходимости установки у данного потребителя устройств компенсации реактивной мощности.

Сформированная модель электрической схемы сети позволяет описать её состояние уравнениями первого закона Кирхгофа для узлов:

Оф^,

где ф - вектор потенциалов вершин Ьг, і -1, п ; О -матрица комплексных узловых проводимостей

размером [пхп],

в которой

Огг - £ 8,

]-о

т

ЧаЧ

О

]\іф] ~~8і]аі]:

О,,

и* ]

- О,,; J - матрица узловых

токов [пх1], 3, = Е^е1. Для рассматриваемого примера сети на рис. 1 получаем:

С15 =-815а15 =-815 •0 =0;

5

С11 = X81 / = £ю + £11 •0 + 812 + £13 + 814 + £15 •0 ;

у=0

^12 =-812; 3 = [Ее1 0 0 0 0].

При первоначальном расчёте сети с произвольной конфигурацией А проводимости я у всех

кабелей принимаются одинаковыми исходя из заведомо избыточного сечения с тем, чтобы получить начальное распределение токов, определяемое, главным образом, мощностями потребителей. Решение уравнения

ф= С'1 3,

даёт искомые значения комплексных потенциалов ф для каждого узла (потенциал вершины Ь0 принимается нулевым: ф0=0).

Если полученные расчётные значения потенциалов узлов не удовлетворяют условию и,;ттйи,<и1;тах из (1), где и,=\ф,\, то текущий вариант конфигурации исключается из рассмотрения.

Переход к модулям токов \/у\ на участках сети между узлами Ь, и Ьу

К] - Аф,] • 8,] -

/2 2 •Л

¿„лЯО + X,

даёт возможность по найденным значениям токов выбрать сечения кабелей /у из типового ряда F, заново сформировать матрицу проводимостей д уже для выбранных сечений кабелей и осуществить вторую итерацию расчёта потенциалов ф, токов Iу и сечений /у.

В случае несовпадения результатов выбора сечений /у в первой и второй итерациях можно провести дополнительные поверочные итерации, и при циклическом повторении их результатов из двух последних расчётов выбрать большее сечение.

Потери активной мощности на участке сети между узлами Ь , и Ьу.

2

Щ = \1у\ • Яу ,

для известных длин участков 1 = Ь • А , где Ь - матрица расстояний между всеми узлами сети [пхп], позволяют определить общие потери в сети:

АЖ = ТЦАр ,

, у

г*0уф0

Т - расчётное время потерь, а также составляющие капитальных затрат К, пропорциональные длине 1у участков сети (стоимости кабелей и их укладки).

2.2. Реализация генетических изменений

В качестве носителя генотипа в рассматриваемой задаче удобно принять матрицу А, в силу симметричности которой заполнению подлежат (п + 1)п

2

элементов - локусов, п из которых, соот-

ветствующих элементам Ь0 (Ь 0), заведомо равны 1.

Отмеченный выше существенно нелинейный характер функционала 2(А) обусловливает следующие особенности задачи:

наличие существенного влияния расположения любого гена на взаимосвязь других генов с фенотипом 2 и, как следствие, возникновение большого числа локальных экстремумов;

быстрое вытеснение локально-оптимальными вариантами перспективных особей, уступающих по критерию 2 на текущем этапе эволюции;

значительные отклонения от глобального экстремума, вызываемые изменением содержания минимального числа локусов - любого одного из них, что препятствует реализации направленного движения в значительных по размерам окрестностях этого экстремума.

Указанные особенности определили следующие процедуры генетических изменений хромосомы А.

1. Двумерная хромосома представляется одно-(п + 1)п

мерной длиной Н - -

2

2. В полученную хромосому регулярным образом вводятся матрицы репликации размерностью г:

п < г < Н ,

в виде г единиц, образующих в хромосоме перестановки с повторениями с общим числом вариантов:

Я

Значение величины г косвенно, но в целом однозначно связано со значениями задаваемых степеней резервирования к.

В результате введения матриц репликации будет получена популяция из П особей, некоторое подмножество БсП которых удовлетворяет ограничениям из (1), т. е. будут допустимыми.

3. В каждой из Б особей один, случайно выбранный ген изменяет свою аллелоформу с 0 на 1 или с 1 на 0, т. е. осуществляется мутация одного гена. Если полученная в результате мутации конфигурация А не удовлетворяет ограничениям на ск , то мутация исходной особи повторяется вновь до получения допустимой матрицы А. Для неё формируется и решается система (3), проверяются ограничения на допустимые пределы напряжений и вычисляется критерий (2).

В результате выполнения перечисленных процедур будет получено Б исходных особей и Б мутантов, подлежащих отбору.

2.3. Отбор особей для продолжения эволюционного процесса

Поскольку реализация матричной репликации [6] предполагает пространственное разделение развития каждой особи, то процедура отбора осуществляется независимо в каждой из Б эволюционной последовательности следующим образом:

если мутант лучше (в смысле критерия 2) родителя, то он заменяет родителя и продолжает собою цепочку развития;

если мутант уступает родителю на некоторую малую величину е от текущего значения 2, то он также заменяет собою родителя;

если мутант уступает родителю больше, чем на заданное значение е, то для последующего шага эволюции оставляется родительская особь.

Необходимое количество шагов решения задачи определяется опытным путём на основе нескольких предварительных решений задачи.

3. Пример синтеза системы

Для проверки работоспособности предложенного метода синтеза была решена задача построения оптимальной конфигурации реальной сети с напряжением 6 кВ, существующая схема которой представлена на рис. 3 с сохранением (в масштабе) истинного взаимного расположения узлов потребления энергии. Количество потребителей в сети п-1=30, общая мощность 12600 кВА. В результате применения предложенного алгоритма была получена конфигурация сети, представленная на рис. 4.

Рис. 3. Конфигурация существующей сети

Сравнительные характеристики вариантов сети приведены в табл. 3 и подтверждают эффективность предложенного метода синтеза оптимальной конфигурации электрических сетей.

Таблица 3

Сравнительные характеристики вариантов сетей

Характери- стики Сущест- вующий вариант Опти- мальный вариант

Длина сети, км 10,5 8,2

Потери энергии, кВт-ч 311784 235038

Приведённые затраты, руб./МВт-ч 74,87 55,58

Литература

Hamdaoui H. A new constructive method for electric system reconfiguration using ant colony / H. Hamdaoui, S Hadjeri, A. Zeblah // Leonardo Electronic Journal of Practices and Technologies. - 2008. - Is.12. - P.49-60. Романовский И.В. Дискретный анализ / И.В. Романовский. - С.-Пб.: Невский диалект, 2000. - 240 с.

Aoki K. A new algorithm for service restoration in distribution systems / K. Aoki, K. Nara, M. Itoh, T. Satoh H.Kuwabara // IEEE Transactions on Power Delivery. -1989. - 4(3). - P. 1832-1839.

Hayashi Y. Efficient determination of optimal radial power system structure using Hopfield neural network with constrained noise / Y. Hayashi, S. Iwamoto, S. Fu-ruya, C.-C. Liu // IEEE Transactions on Power Delivery. -1996, 11(3). - P. 1529-1535.

Батищев Д.И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач / Д.И. Батищев. - Воронеж: ВГТУ, 1995 .- 69 с.

Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул / М. Эйген. - М.: Мир, 1973.

- 224 с.

Воронежский государственный технический университет

SYNTHESIS OF ELECTRIC NETWORKS WITH THE OPTIMUM CONFIGURATION E.M. Vasilyev, I.V. Krutskih

The problem of construction electric networks with the optimum configuration providing a minimum of resulted expenses for transfer energy in view of requirements to allowable losses of a voltage and a level of uninterrupted electro supply of consumers is solved. The genetic algorithm is applied for joint performance of these requirements by search of an extremum with matrix replication. By the example of a real electric network synthesis of an optimum configuration is carried out and the estimation economic efficiency of the received decision is given

Key words: an electric network, a configuration, uninterrupted electro supply, genetic algorithm