Построение бесконечного семейства классов частичных монотонных функций многозначной логики

Математика

УДК 519.716

ПОСТРОЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО СЕМЕЙСТВА КЛАССОВ ЧАСТИЧНЫХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

О. С. Дудакова1

Рассматриваются частичные функции k-значной логики, монотонные относительно произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим и наибольшим элементами, отличного от решетки. Показано, что семейство замкнутых классов частичных монотонных функций, содержащих предполный в Pk класс всех всюду определенных монотонных функций, бесконечно.

Ключевые слова: функции k-значной логики, частичные функции, классы монотонных функций.

Partial functions of the k-valued logic monotone with respect to an arbitrary partly ordered set with the least and largest elements and distinct from a lattice are considered. It is shown that the set of closed classes of partial monotone functions containing a precomplete in Pk class of everywhere determined monotone function is infinite.

Key words: functions of k-valued logic, partial functions, monotone clones.

Известно, что множество всех замкнутых классов в частичной k-значной логике имеет мощность континуума при всех k ^ 2. Поэтому представляет интерес задача об описании отдельных фрагментов решетки замкнутых классов в частичной k-значной логике. Описание замкнутых классов в частичной двузначной логике, содержащих множество P2 всех булевых функций или какой-нибудь из предполных классов в P2, получено в работах [1, 2]. Подобные результаты установлены для предполных классов функций k-значной логики (см., например, [3, гл. 20]). Однако для предполных классов функций, монотонных относительно частичного порядка, не являющегося решеткой, окончательный результат не получен.

Настоящая работа представляет собой подробное изложение результатов работы [4]. Рассматриваются классы частичных функций, монотонных относительно частично упорядоченного множества из шести элементов — наибольшего и наименьшего элементов и двух пар несравнимых элементов. Установлено, что существует бесконечное число классов частичных функций, содержащих предпол-ный класс всюду определенных монотонных функций. Показано, что этот результат можно обобщить на случай произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим и наибольшим элементами, отличного от решетки. Аналогичный результат получен в 2018 г. В. Б. Алексеевым [5, 6]. Отметим, что основной результат настоящей работы непосредственно следует из результатов работы [4] и получен независимо от работ [5, 6].

Пусть P = (Ek, — произвольное частично упорядоченное множество с наименьшим и наибольшим элементами. Через P* обозначим семейство всех частичных функций на P, т.е. множество отображений Un^i{f | / : Pn ^ (PU {*})}. Областью определения (D(f )) функции / (xi,... ,xn) € Pfc будем называть множество всех наборов из Pn, на которых значение / отлично от *. Пусть F и G — замкнутые классы в P*, F С G, через I(F,G) будем обозначать семейство всех замкнутых подклассов класса G, содержащих F. Через Mp обозначим класс всюду определенных монотонных функций на P (из существования наименьшего и наибольшего элементов в P следует, что Mp — предполный класс в Pk, см. [3]). Через M* будем обозначать множество всех частичных функций, монотонных на области определения. Через MP* будем обозначать множество всех частичных функций из M*, доопределяемых до функций из Mp. Легко видеть, что M* и M* — замкнутые классы в P* и выполняются соотношения Mp С M* С M*.

Обозначим чрез E частично упорядоченное множество {0,а,а',в,в', 1} с наименьшим элементом 0, наибольшим элементом 1 и двумя парами несравнимых элементов а, а' и в, в', для которых а, а' < в, в'. Известно (см. [3]), что для произвольного частично упорядоченного множества P с

1 Дудакова Ольга Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: olga.dudakova@gmail.com.

наименьшим и наибольшим элементами число замкнутых классов в интервале 1(Мр, Мр) конечно.

В настоящей работе доказывается, что число классов в интервале I(М|,М|) бесконечно. В качестве следствия устанавливается, что для произвольного частично упорядоченного множества Р с наименьшим и наибольшим элементами, которое не является решеткой, число классов в интервале I(Мр,Мр) бесконечно.

Пусть / (ж1,...,жп) € М|. Пятерку наборов а, а', 6,6', с назовем квадратом для / в Еп, если выполняются неравенства с, сс' < с < Ь, Ь' и значения / на этих наборах задаются следующим образом: /(а) = а, /(а') = а', /(6) = в, /(6') = в', /(с) = *. Из монотонности функции / следует, что наборы а и а' несравнимы и наборы Ь и 6' несравнимы.

Отметим, что понятие квадрата является частным случаем понятия зигзага из работы [7]. Отсюда следует

Утверждение. Пусть /(х1,..., жп) € М|. Тогда / € М| в том и только в том случае, когда в Еп нет квадрата для /.

Пусть / € М|; а, а', Ь, Ь', с — квадрат для функции /. Последовательность наборов а0,..., ан+1, где к ^ 1 и все наборы различны, назовем нижним путем в квадрате, если выполняются следующие условия: 1) а0 = а, = а'; 2) а и сравнимы для всех г = 0,... ,к; 3) /(а^) = * для всех

г = 1,..., к; 4) с < Ь, Ь' для всех г = 1,..., к. Аналогично определяется понятие верхнего пути в квадрате а, а', Ь, Ь', с для функции / € М|: это последовательность различных наборов Ь0,..., Ьн+ь к ^ 1, для которых выполняются следующие условия: 1) Ьо = Ь, Ьн+1 = Ь'; 2) Ь и Ь^+1 сравнимы для всех г = 0,..., к; 3) /(Ь^) = * для всех г = 1,..., к; 4) Ь^ > а, а' для всех г = 1,..., к. Число к будем называть длиной пути.

Определим следующие семейства функций:

Р» = {/ € М| | для / нет квадратов или ни в каком квадрате для / нет нижнего пути};

Рн = {/ € М| | в любом квадрате для /, в котором есть нижний путь,

длина любого нижнего пути в этом квадрате не меньше к}, к ^ 1;

= {/ € М| | для / нет квадратов или ни в каком квадрате для / нет верхнего пути};

Сн = {/ € М| | в любом квадрате для /, в котором есть верхний путь,

длина любого верхнего пути в этом квадрате не меньше к}, к ^ 1.

Из определений следует, что выполняются включения:

М| с С ... С Рк+1 С Рк С ... с р = М|,

М| С С ... с Ск+1 С Ск С ... с С1 = М|. _

Лемма 1. Пусть /(жь ... ,жп) = /о(/1(^1,... , жп), . . . , /"т(ж1, . . . , Жп)), где /о, /1,..., /т € М|. Пусть для / есть квадрат в Еп и нижний (верхний) путь длины к в этом квадрате, к ^ 1. Тогда либо для одной из функций /1,..., /т есть квадрат в Еп и нижний (соответственно верхний) путь длины к в этом квадрате, либо для /0 есть квадрат в Ет и нижний (соответственно верхний) путь длины I в этом квадрате, где I ^ к.

Доказательство. Пусть а, а',Ь, Ь',с — квадрат для функции / в Еп, и пусть а, а1,..., ан, а' — нижний путь в этом квадрате, к ^ 1.

Рассмотрим отображение £ : Еп ^ (Е и {*})т, задаваемое набором функций (/1,..., /т). Обозначим наборы £(а),£(а'),£(Ь),£(Ь') через е,С, а!, а!' соответственно. Из определения квадрата для / следует, что /0(в) = а, /0(С) = а', /0(аТ) = в, /0(аО = в', откуда получаем в, <?,(]!, а!' € Ет. Из этих же соотношений в силу монотонности функций /о, /1,..., /т следует, что б и с несравнимы, а! и а!' несравнимы и ! < а!, а!'.

Обозначим наборы £(а1),..., £(ан) через с1,...,! соответственно. Из определения пути в квадрате и монотонности отображения £ следует, что са € Ет, са < а!, а!' для всех г и каждые два соседних набора последовательности с!,...,!;либо совпадают, либо сравнимы. Поэтому из последовательности 01,...,! можно выбрать подпоследовательность ,..., а, где 1 ^ I ^ к, так, что все наборы этой подпоследовательности различны и отличны от ! и любые два соседних набора последовательности а^,..., с, с сравнимы.

Предположим, что существует такой набор с € Ет, что ! < с < а! а!'. Тогда в силу монотонности функции /0 выполняется /0(а) = *. А значит, а, !,а!, а°, с — квадрат для функции /0 в Ет и а, ё^,..., а, с — нижний путь длины I в этом квадрате.

Пусть теперь такого набора а нет. Нетрудно показать, что в этом случае для некоторого в € {1,...,т} будет выполнено {/«(а), /Да')} = {а,а'}, {/«(Ь), /ДЬ')} = {в,в'}. Отсюда в силу монотонности функции / получаем /(с) = *. Таким образом, пятерка наборов а, а', Ь, Ь',с в — квадрат для функции /. Далее, из проведенных выше рассуждений следует, что /Дец) = * для всех г = 1,..., к, а значит, а, С1,..., , а' — нижний путь для / в этом квадрате.

Для случая верхнего пути в квадрате все рассуждения аналогичны. Лемма доказана.

Теорема 1. Семейства функций и С, к = 1, 2,... , ж, являются замкнутыми классами

в Р*-

Доказательство. Каждое из множеств и С, к = 1, 2,..., ж, содержит все селекторные функции в™(ж1,...,жп) = жг, п ^ 1. Поэтому утверждение теоремы следует из леммы 1. Теорема доказана.

Пусть /(ж1, ..., жп) — функция из М*, такая, что наборы в ее области определения образуют квадрат и нижний (верхний) путь в квадрате длины к, к ^ 1, причем этот квадрат — единственный квадрат для /, нижний (соответственно верхний) путь в квадрате также единственный, на всех остальных наборах / принимает значение *. Такую функцию / назовем примитивной функцией нижнего (соответственно верхнего) типа порядка к.

{2, если к = 1;

п, если к = 2п — 1, п ^ 2;

п + 1, если к = 2п, п ^ 1.

Лемма 2. Для любого к ^ 1 существует примитивная функция нижнего (верхнего) типа порядка к от ^(к) переменных.

Доказательство. Докажем утверждение для функций нижнего типа, для функций верхнего типа все рассуждения аналогичны. Рассмотрим отдельно несколько случаев.

1) к = 1. Определим функцию /(ж1,ж2) следующим образом: положим /(а, а) = а, /(а', а') = а', /(1,в) = в, /(в, 1) = в', /(0, 0) = 0, на остальных наборах / принимает значение *. Легко

видеть, что / € М*, наборы (а, а), (а',а'), (1,в), (в, 1), (в, в) образуют квадрат для / в а последовательность (а, а), (0, 0), (а',а') — нижний путь длины 1 в этом квадрате. Других квадратов для / нет и других путей в этом квадрате также нет. Таким образом, / — примитивная функция нижнего типа порядка 1.

2) к нечетно, к = 2п — 1, п ^ 2. Определим функцию /(ж1,... ,жп). В качестве ) возьмем следующие наборы из : а = (а,..., а), а' = (а',..., а'), Ь = (1, в,..., в), Ь' = (в, 1, в,..., в), с = (в,..., в), а2г-1 = (а',..., а', 0, а,..., а) для г = 1,..., п, а2г = (а',..., а', а,..., а) для г = 1,..., п — 1 (в наборе а2г-1 г-я компонента равна 0, компоненты с меньшими номерами равны а', остальные равны а, в наборе а2г первые г компонент равны а', остальные равны а). Далее положим /(а) = а, /(а') = а', / (Ь) = в, /(Ь') = в', / (а) = 0 для всех г = 1,..., 2п — 1, на остальных наборах / принимает значение *. Из определения функции / следует, что / € М*, а, а', Ь, Ь', с — квадрат для / в последовательность наборов а, а1,... ,а2п-1, а' — путь длины 2п — 1 = к в этом квадрате. Нетрудно показать, что других квадратов для / нет и других путей в имеющемся квадрате нет. Таким образом, / — примитивная функция нижнего типа порядка к.

3) к четно, к = 2п, п ^ 1. Определим функцию /(ж1,...,жга+1). В качестве ) возьмем следующие наборы из £га+1: а = (а,..., а), а' = (а',..., а', 0, а'), Ь = (в,..., в), Ь' = (в,..., в, в', в), с = (в,..., в, а, в), а2г-1 = (а',..., а', 0, а,..., а) для г = 1,..., п, а2г = (а',..., а', а,..., а) для г = 1,..., п — 1, а2П = (а',..., а', а', в) (в наборе а2г-1 г-я компонента равна 0, компоненты с меньшими номерами равны а', остальные равны а, в наборе а2г, г = п, первые г компонент равны а', остальные равны а). Далее положим /(а) = а, /(а') = а', /(Ь) = в, /(Ь') = в', / (а) = 0 для всех г = 1,..., 2п—1, /(а2П) = а', на остальных наборах / принимает значение *. Как и в предыдущем случае, нетрудно показать, что / — примитивная функция нижнего типа порядка к. Лемма доказана.

Следствие. Для любого к ^ 1 при любом г ^ ^(к) существует примитивная функция нижнего (верхнего) типа порядка к от г переменных.

Доказательство. Пусть к ^ 1 и г > ^(к). Пусть /(ж1,..., ж^(^)) — примитивная функция нижнего типа порядка к. Определим функцию ^(ж1 ,...,жг) следующим образом: ^(д) состоит из всех наборов из Ег вида (рь ... 0,..., 0), где (рь ... ) € £(/), и д(рь ... 0,..., 0) =

/(р1,... ) для каждого набора из ^(д). Легко видеть, что д — примитивная функция нижнего типа порядка к. Для функций верхнего типа все рассуждения аналогичны. Утверждение доказано.

Обозначим через Т/ замкнутый класс ^ П С/, г, ^ = 1, 2,..., ж. В этих обозначениях М* = Т/,

Fi = Ti1, Gi = T-i (i = 2, 3,... , то). Из определения классов следует, что имеют место включения:

(1) ME С T£;

(2) Tj С Tp для всех i, j,p, q € {1, 2,... , то}, таких, что одновременно выполняются неравенства p ^ i и q ^ j (считаем, что индекс то больше любого натурального числа).

Теорема 2. Все классы Tj при i, j = 1,..., то различны и отличны от класса M|.

Доказательство. Для каждого класса Tj, i, j = 1, 2,... , то, построим функцию xj, такую, что xj € Tp для тех и только тех p, q € {1,... , то}, для которых одновременно p ^ i и q ^ j. Такую функцию xj будем называть характеристической функцией класса Tj.

Пусть i ^ 1,i = то. Легко видеть, что любая примитивная функция нижнего (верхнего) типа порядка i является характеристической функцией класса T¿^ (соответственно T^). Далее, пусть f (х-,..., xm) — примитивная функция нижнего типа порядка i. Определим функцию ,..., xm): положим g(a) = f(а) для каждого набора а € D(f) и g(1,..., 1) = 1. Нетрудно показать, что g — характеристическая функция класса Ti1. Аналогичным образом строится характеристическая функция класса T-.

Пусть теперь i, j > 1, i, j = то. Положим k = max(^(i), ^(j)). Пусть f и g — примитивные функции нижнего и верхнего типа порядка i и j соответственно, зависящие от k переменных. Положим Dh = {(а-,..., afc, а) | (а-,..., afc) € D(f)} U {(bb..., bfc, а') | (bi,..., bfc) € D(g)}. Определим функцию h(x1,..., Xfc+1): для каждого набора (а1,..., , а) € Dh положим h(a1,..., , а) = f (а1,..., ), для каждого набора (b1,..., b^, а') € Dh положим h(b1,..., b^, а') = g(b1,..., b^), на остальных наборах из значение h считаем равным *. Нетрудно показать, что h — характеристическая функция класса Tj.

Для класса T^ определим характеристическую функцию f (x1,x2) таким образом: f (0,а) = а, f (а, 0) = а', f (в, в) = в, f (в', в') = в', на остальных наборах f принимает значение *. Заметим, что f € \ ME.

Проведенные рассуждения показывают, что все классы Tj при i, j = 1,..., то различны и включения (1), (2) строгие. Теорема доказана.

Полученные результаты обобщаются на случай произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим и наибольшим элементами, не являющегося решеткой (решеткой называется частично упорядоченное множество P, такое, что для любых элементов а, b € P существуют 8ир(а, b) и т£(а, b)). Пусть P = (E^, — частично упорядоченное множество из k элементов с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1. Нетрудно показать, что P не является решеткой тогда и только тогда, когда в P найдутся две пары несравнимых элементов а, а' и в, в', такие, что а, а' — в, в' и не существует элемента y € P, для которого а, а' — 7 — в, в'. Далее, все предыдущие рассуждения можно провести для частичных функций из , монотонных относительно частичного порядка принимающих значения только из множества {0, а, а', в, в', 1}. Таким образом, основным результатом работы является следующая теорема, обобщающая теоремы 1 и 2.

Теорема 3. Пусть P — произвольное частично упорядоченное множество с наименьшим и наибольшим элементами, не являющееся 'решеткой. Тогда число классов в интервале I(Mpp, Mp) бесконечно.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №18-01-00337 "Проблемы синтеза, сложности и надежности в теории управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фрейвалд Р.В. Критерий полноты для частичных функций алгебры логики и многозначных логик // Докл. АН СССР. 1966. 167, № 6. 1249-1250.

2. Алексеев В.Б., Вороненко А.А. О некоторых замкнутых классах в частичной двузначной логике // Дис-кретн. матем. 1994. 6, вып. 4. 58-79.

3. Lau D. Function algebras on finite sets: a basic course on many-valued logic and clone theory // Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer, 2006.

4. Дудакова О.С. О классах частичных монотонных функций шестизначной логики // Мат-лы XVIII Меж-дунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" (Пенза, 19-23 июня 2017 г.). М.: МАКС Пресс, 2017. 78-81.

5. Алексеев В.Б. О числе замкнутых классов в частичной k-значной логике, содержащих класс монотонных функций // Тр. X Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Москва и Подмосковье, 23-25 мая 2018 г.). М.: МАКС Пресс, 2018. 33-36.

6. Алексеев В.Б. О замкнутых классах в частичной k-значной логике, содержащих класс монотонных функций // Дискретн. матем. 2018. 30, вып. 2. 3-13.

7. TardosG. A not finitely generated maximal clone of monotone operations // Order. 1986. 3. 211-218.

Поступила в редакцию 20.06.2018

УДК 519.95

0 СЛОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАЛОЙ СТЕПЕНИ

В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И КОЛЬЦАХ ВЫЧЕТОВ

С. Б. Гашков1, И. Б. Гашков2, А. Б. Фролов3

Доказано, что для произвольного многочлена f (x) G Zpn [X] степени d битовая сложность вычисления одного корня (если он есть) при фиксированном простом p и растущем n равна O(dM(nA(p))), где A(p) = [log2p], M(n) — битовая сложность умножения двоичных n-битных чисел. При известном разложении на простые множители данного числа n = mi ... mfc, mi = p"i, i = 1,..., k, фиксированном k, фиксированных простых pi,

1 = 1,..., k, и растущем n битовая сложность вычисления одного из решений сравнения f (x) = 0 mod n равна O(dM(A(n))). В частности, такая же оценка получается для извлечения одного корня любой заданной степени в кольце вычетов Zm. Как следствие получено, что битовая сложность вычисления целых корней многочлена f (x) равна Od(M(n)), если f (x) = adxd + ad-1xd-i + ... + a0, ai G Z, |ai| < 2n, i = 0,.. ., d.

Ключевые слова: полиномиальные уравнения в кольце целых чисел и в кольцах вычетов, битовая (булева) сложность.

It is proved that for an arbitrary polynomial f (x) G Zpn [X] of degree d the Boolean complexity of calculation of one its root (if it exists) equals O(dM(nA(p))) for fixed prime p and growing n, where A(p) = |"log2 p], M(n) is the Boolean complexity of multiplication of two binary n-bit numbers. Given the known decomposition of this number into prime factors n = mi ... m-fc, mi = p"i, i = 1,..., k, fixed k, fixed prime pi, i = 1,..., k, and growing n, the Boolean complexity of calculation of one of solutions to the comparison f (x) =0 mod n equals O(dM(A(n))). In particular, the same estimate is obtained for calculation of one root of any given degree in the residue ring Zm. As a corollary, we obtained that the Boolean complexity of calculation of integer roots of the polynomial f (x) is equal to Od(M(n)) if f (x) = adxd + ad-1xd-i + ... + a0, ai G Z, |ai| < 2n, i = 0,. .., d.

Key words: polynomial equations over ring of integer numbers and finite rings, Boolean complexity.

Введение. Алгоритмы решения уравнений в кольцах вычетов имеют приложения в кодировании и криптографии. Алгоритмы извлечения корней в полях вычетов по простому модулю были предложены в конце XIX — начале XX в. А. Тонелли и М. Чипполой (см., например, [1-3]). Впоследствии они неоднократно переоткрывались. Эти алгоритмы вероятностные, но в предположении справедливости некоторых теоретико-числовых гипотез алгоритм Тонелли имеет детерминированный вариант полиномиальной сложности (см., например, [4]). Если его нужно многократно применять в одном и том же поле (например, в схемах декодирования), то сложностью предварительных вычислений (однозначно определяемых этим полем) можно пренебречь (но их результаты использовать при построении схемы извлечения корня в данном поле) и упомянутые алгоритмы извлечения корня становятся детерминированными.

Для вероятностного алгоритма Чипполы имеет место оценка O(log2 p)M(log2 p) его битовой сложности, где M(n) — битовая сложность умножения двичных n-битных чисел.

Известно [5, 6], что M(n) = ^(n)n log n, где ^(n) — некоторая функция, растущая медленнее любой итерации логарифма. Для средних значений n лучше алгоритмы Шенхаге-Штрассена и Полларда. При малых n предпочтительнее методы Карацубы и Тоома (см., например, [1-3]).

1Гашков Сергей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sbgashkov@gmail.com.

2Гашков Игорь Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент Университета г. Карлстада, Швеция, e-mail: igor.gachkov@kau.se.

3 Фролов Александр Борисович — доктор техн. наук, проф. НИУ МЭИ, e-mail: abfrolov@gmail.com.