Применение метода обобщенных координат к исследованию трехмерной динамики ядерных реакторов

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 168

1969

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ К ИССЛЕДОВАНИЮ ТРЕХМЕРНОЙ ДИНАМИКИ ЯДЕРНЫХ

РЕАКТОРОВ

В. А. ТАРТАКОВСКИЙ, И. Г. ВИНТИЗЕНКО

¿Представлена научным семинаром вычислительной лаборатории ТПИ)

В данной работе рассматривается применение разложения в ряд по собственным функциям для решения на АВМ дифференциальных уравнений в частных производных, отвечающих пространственно-временной динамике ядерного реактора.

Сущность рассматриваемого метода в том, что искомую функцию представляют бесконечным рядом по собственным функциям пространственного оператора исходной задачи. Временную зависимость содержат в себе коэффициенты ряда — моды.

I. Рассмотрим ядерный реактор, представляющий собой цилиндр с экстраполированными высотой Н и радиусом R. В этом цилиндре находятся топливо, замедлитель и управляющие стержни. Охлаждение, достаточное для компенсации радиальных и азимутальных неравностей температурного поля, осуществляется газом, циркулирующим снизу вверх по каналам, параллельным вертикальной оси (оси г) цилиндра. Влияние замедлителя на тепловые процессы в системе предполагается незначительным. Диффузией тепла в топливе и теплоносителе пренебрегаем.

Стационарное состояние подобного реактора в одногрупповом диффузионном приближении описывается уравнениями.

М*ч'Фс

Г UФс

CrMrvr 7иЛ [Ти

dz

где

2s R

^ («) = ] j Фс (Г, Z) rdrd 6,

о о

а граничные условия для Фс имеют вид

ФС(Я, 9, г) = Фс (г, 9, Н) = Фс(г, 0, 0) = 0.

Известно, что уравнение (i) является уравнением на собственные значения. В общем виде оно запишется

V"fltnn + L2lmnflmn — 0.

4. Заказ 2238.

49

Для рассматриваемого цилиндра и при нулевых граничных условиях, представляя /¡тл в виде /¡тп = Z {г) к [г) Б (0), найдем конечные и непрерывные в и решения

4-1)

I (г) = вт ><п г; = -

И

; л = 0,1,2,3

S, (0) = sin т0; S„ (6) = cos тб; от = 0,1,2..

Я (г) = Л

Tim

Я

/ю (V/«) —

2s/m

II//- II2 =

/2

"7 т я

1т

',2

1о

R2

Если

Be = const, то так как Фс (г, 0, г) > 0.

Фс = Psin — z-J0 Н

i 00

VR2 H2J

P — константа, характеризующая уровень мощности. Далее найдем, что

к p. UHP Т. 1 n =---cos —z;

tl CrMrv,

н

Ти = '- к »-UP

sin — z Н cos — 2

н н

L Тиг^н CrMrvri; J

Реактор управляется пятью стержнями, расположенными соответственно в точках

(г', 0, г); (>", (Г''У*2)' (0Лг)'

В стационарном состоянии они находятся на половине высоты реактора. Толщина стержней несравнимо меньше поперечного сечения реактора, поэтому уравнение для стержня запишем следующим образом:

Р.-= 8 [0-, п)

2. Запишем уравнения для нестационарного реактора (для отклонений от стационарного уровня).

5

MV?

(г, 0 + агтг (z,t) + V р,-/-1

X Фс (Г, z) = V

д . dt '

СИЛ4„d'-"t] = ^i/? (2, 0 - --„/=•„ [ти (г, i) - тГ (г, *)]; dt

Сгмг 0 = [х„ (2, /•) - (г, о ] - СГМГ^ (г, *). (10) дЬ дг

о (г, 9, г, представим рядом по собственным функциям

со

? = р V J

г ) sin к Z [<fimn (t) cos т в + '\>Шп (t) sin т 8J.

Поставим это выражение в уравнение (8) и учтем (4), (7). Затем умножим полученное на какую-нибудь собственную функцию и проинтегрируем по области ¿7; так как /шп ортогональны, получим:

l<?lmn = tfmn9lmn + Wflmn- Н~2 { [^и + ¥г] ^о ^ г 4

*(Im

sin и Z- sin t.n Z COS ш

В dv + £ о, г' г') Jm ¡V? r'jcos тЩ[z (í)] j .

Г)

/ ;Ьтп = '"пп + II flmn Ii-2 S a/ r'J0 r'1 Jm ( r

X Sin mbihn[z(i)],

где а

*Чтп = ^W2 (¿000 " Limn),

hl

r H

4 *

2ic

Тс + sin — Z (¿)---z (0

Я W H

i И «"ST

3 sin — г (t) — sin — z (t) — 4 H H

3. Из (11) (12) видно, что связь нейтронного потока х температурой осуществляется через интеграл.

г ¡ Jm[ г ) sin К z sin Х0 z cos т В X [аихи -J- аТхГ] dv.

Это выражение отлично от нуля только для 1 = 0 и ш = 0. Учитывая это, получим

н

А/ = —2— \ ^ Ао2'^ [осити агтг| а^. о

Теперь наша задача состоит в том, чтобы исключить переменную 2 из этого выражения. Для этого существует несколько способов. Мы рассмотрим представление ти и тг на интервале О — Н рядом Фурье по косинусам, будем иметь

2 оэ

. Я-7/2 V V

sin (п — v) тс ^ sin (п -f v) тс sin (/г — v — 2) к /г + v я — v + 2

П — v

Подставим выражения

оо

S 7TV

COS- 2;

v = 0

О = ?/on(Osin).flz Г Г

г,л-о ^

Tui?2

гЛ I ^ r\drtti

о о

= 2 &/?*«„ (О sin >.„z

в уравнения (9), умножим их на руем от 0 до /У; получим:

о i iUH

cos— г И

t:v

cos — г /V

для

0

10 п

G (п) __ Тнг^и п+ 1

"0

V,

\

для V == о

у-« и) СТМГ "

сим„

проинтегри

V II Г/'

2\ilJH

оо

2i/r

S

у-0

-о

У

Р (/г + v) G\n --

п + V -f. 1

/г

+1

у.,./

ИГ и

с„жи

^ И Г'

УЬ+j) | У

I

J

i ИГ* и

СГУИГ

где

~~ / ' ПРИ л 4^TH0M

(О при я нечётном Г (я) - i

Записанные уравнения решались на АВМ «ЭМУ-10». Естественно, что принимались во внимание лишь первые члены бесконечных рядов/Было взято Двенадцать «мод» для нейтронного потока и четыре — для температуры. Такое приближение обеспечивало необходимую точность.

Следует отметить, что аналоговая схема получилась простой, поэтому возможно дальнейшее уточнение модели. Ядерный реактор в этом смысле представляет .большие возможности. Одним из путей уточнения является учет эффекта отравления ксеноном и йодом. Трудности, возникающие при этом, связаны с вычислением довольно сложных определенных интегралов. Далее следует учесть распределение нейтронов по энергиям (хотя бы двухгрупповое приближение), более полно учесть кинетику с запаздывающими нейтронами. Однако необходимо помнить, что речь идет о малых колебаниях исследуемых параметров около стационарного уровня, к тому же эти уточнения осуществимы лишь при наличии достаточного количества прецизионного оборудования.

Рассмотренный метод позволяет, с учетом всего вышеизложенного, построить глобальную модель ядерного реактора.

ЛИТЕРАТУРА

1. JI. В. Канторович, В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. ГИТТЛ, М., 1949.

2. Д. Джексон. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ГИИЛ, М, 1948.

3. Gian Paolo Caligiuri, Herve d'Hoop Nuovo método sperimentale analogico per la simulazione tridimensionale dei reattori nucleari. Rivista di ingegneria Vol. 12, № 5, 493—507, 1962.