Синтез регулятора стабилизации температурного поля тепловой камеры

© Ю.В. Ильюшин, A.B. Комарских, В.Е. Трутников, 2014

УДК 681.5

Ю.В. Ильюшин, А.В. Комарских, В.Е. Трутников

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА СТАБИЛИЗАЦИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ТЕПЛОВОЙ КАМЕРЫ

Рассмотрена задача синтеза распределённого регулятора для стабилизации температурного поля камеры. Проведен анализ математической модели с целью учета формы камеры и задаваемой точности решения. В качестве методики управления выбрана распределенная система.

Ключевые слова: система автоматического регулирования, регулирование температурного поля, регулятор, объекты с распределенными параметрами.

Введение

Большинство физических задач (объектов) имеет пространственную протяжённость, при этом входное воздействие и функция выхода распределены в некоторых пространственных областях. Такие объекты носят название объектов с распределёнными параметрами.

Основной формой представления распределённых объектов управления является представление их в виде дифференциальных уравнений в частных производных, а также использование временных и частотных характеристик. Стандартные входные воздействия на распределённые объекты являются такими же, как и на сосредоточенные, но при моделировании им придаётся некоторая пространственная форма.

Отличительной особенностью распределенных систем является наличие пространственных составляющих в сигнале входа и выхода. Система автоматического регулирования состоящая из регулятора, объекта управления и управляющих воздействий является неотъемлемой частью электрических нагревательных камер, которые используются и на предприятиях горной промышленности.

Требуется разработать распределенную систему управления, обеспечивающую регулирование температурного поля требуемой формы с заданной точностью.

Анализ математической модели и синтез регулятора

Необходимо составить более простую математическую модель, которая должна отражать сущность происходящих в объекте процессов и более удобна для расчётов на ЭВМ. При этом некоторые параметры объекта впоследствии будут уточняться с помощью экспериментальных исследований.

С учётом принятых допущений математическая модель нагревательной камеры может быть записана в виде:

Щ ^ r т) _ a

дт _ 1

дТ2

дх2 r Ör Ör2

0 < х < LH, R2 < r < Rp

дТ2(х, г, т) дт

дТ3

дТ22

-+-г

дх2г дг 0 < х < Ьн, Я3 < г < Я2;

+

дг2

а„

-V •

дт 3

дТ3(х, г, т) дх '

дТ32

дх2

г

дг

+-

дг2

0 < х < Ьн, Я4 < г < Я3;

дТ4

дт

дх2

дг

дг2

0 < х < Ьн, 0 < г < Я4;

где Т2, Т3, Т4 - температурные поля в зазоре между нагревателем и трубой, в стенке трубы, между трубой и заготовкой световода и внутри заготовки, ах, а2, а3, а4 - коэффициенты температуропроводности материалов стенки трубы, воздуха и заготовки световода, V - скорость течения газа в камере, х, г - текущие координаты, т - время.

В установке осуществляется вытяжка световодов разных диаметров. В связи с тем, что очень сложно описать процессы в рассматриваемой заготовке, поэтому заменим её кварцевым цилиндрическим стержнем, объём которого равен объёму заготовки и который располагается в интересующей нас зоне камеры.

Запишем равенства, отражающие физические условия на границах раздела сред и границах объекта управления с внешней средой. Управляющее воздействие в виде постоянной температуры распределено по границе Бх:

дТ

Л--^-= ц

1 дг

Условия на границах Б2, Б3, Б4:

дТ

-н-= 0; 0 < г < Я ;

дх 1

дТ(х> 0, т) = 0; 0 < х < Ь ; дг н

Т(0, г, т) = 10, 0 < г < Я .

Условия на границах Б5, Б6, Б7: дТ

Л-д ~ =Л -;

1 дг 2 дг дТ

л —Н—=Л —Н—;

2 дг з дг

0 < х < Ь

0 < х < Ь

н

н

дТ

X-з-4— = Х-з-4—; 0 < х < Ь

3 дг 4 дг н

Лалее приступаем к составлению дискретной модели объекта управления.

Дискретная модель объекта управления

Для составления дискретной модели объекта уравнения (1) - (4) в разностном виде:

Т - Т I, у, т I, у, т-1 =

Ат

Г Т+1, у, т-1 - 2Т1, у, т-1 + Т1-1, у, т-1 1 Т, у, т-1 - Т, у-1, т-1

= а

(Ах)2

]Аг

Аг

+

т. + 1 - 2Т. . 1 + т. . 1 1 ^

/, у+1, т-1 /, у, т-1 /, у-1, т-1 (Аг )2

1 < i < пХ -1, пХ - пЯ1 +1 < у < пЯ -1, т> 1;

т - т

i, у, т ^ у, т-1 Ат

=

Г Т +1, у, т-1 2Т', у, т-1 + Ti-1, у, т-1 (Ах)2

1 Т. . 1 - Т. . 1 1 Т. + 1 - 2Т. . 1 + Т. . 1 1 >

1 i, у, т-1 ^ у-1 , т-1 ^ у+1, т-1 i, у, т-1 ^ у-1, т-1

уАг Аг

1 < i < пХ -1, пЯ4 + пЯ3 < у < пЯ - пЯ 1, т > 1;

2

Т - Т i, у, т ^ у, т-1

Ат

= а.

Г Т.+1 . 1 - 2Т. . 1 + Т. 1 . 1

i+1, у, т-1 i, у, т-1 ^1, у, т-1

(Ах)2

1 Т. . 1 - Т. . 1 1 Т. .+1 1 - 2Т. . 1 + Т. . 1 1 >

1 i, у, т-1 i, у-1 , т-1 i, у+1, т-1 i, у, т-1 i, у-1, т-1

уАг

Аг

(Аг)2

-V

Т. . 1 - Т. 1 . 1

i, у, т-1 i-1, у, т-1

Ах

1 < i < пХ -1, пЯ4 + пЯ3 < у < пЯ4 + пЯ3 + пЯ2, т> 1;

Т - Т i, у, т i, у, т-1

Ат

= а.

Г Т.+1 . 1 - 2Т. . 1 + Т. 1 . 1

i+1, у, т-1 i, у, т-1 i-1, у, т-1

(Ах)2

1 Т. . 1 - Т. . 1 1 Т. .+1 1 - 2Т. . 1 + Т. . 1 1 >

1 i, у, т-1 i, у-1, т-1 i, у+1 , т-1 i, у, т-1 i, у-1, т-1

уАг Аг

1 < i < пХ -1, 1 < у < пЯ4, т > 1; 330

(Аг )2

3 .

где N, M - число точек разбиения по координатам х и г соответственно, i и j -счётчики по координатам, т - счётчик по времени, Ах, А г, Ат - величины шагов разбиения по соответствующим переменным.

Граничные условия (5) - (11) тоже перепишем в дискретном виде:

S1: T(i, M, т) = q(h T^'Ar + T(i, M -1, т); 0 < i < N, т>1; Л1

S2: T(0,j,T) = 10, 0< j<nR, т> 1; S3: T(N, j, т) = T (N -1, j, т), 0 < j < nR, т> 1; S4: T(i,0,т) = T(i,1,т), 0 < i < nX, т> 1; S5:

T(i, nR4+nR3+nR2, т) =

T(i, nR4+nR3+nR2-1,т)Л1 +T(i, nR4+nR3+nR2+\,т)Л = '

0 < i < nX, т > 1; S6:

T(i, nR4+пК3-1,т)Л + T(i, nR4+nR3+1j)V T(i, nR4 + nR3, т) =-2-

Л+Л

2 3

0<i<nX, т>1;

T(i, nR4-1,т)Л + T(i, nR4+1,т)-Л S7: T(i, nR4, т) = —-—-3---—-4; 0< i <nX, r>1.

Л+Л

3 4

При этом величина шагов разбиения равна 0.001 м. В зависимости от геометрических параметров объекта количество шагов дискретизации подбирается автоматически.

Количество шагов по времени примем равным 10000. Величина шага по времени равна 0,001 с.

Анализ объекта управления

Для частотного анализа объекта управления положим, что входное воздействие представимо в виде ряда Фурье по пространственной координате:

да

и(x, т) = X Сл(т) x),

n=1 (1) п (n- 0,5) , Vn=— г ' n =

н

Положим Сп(т)=ет, где ю - круговая частота, ц=1..2 . Найдём реакцию объекта на каждую пространственную моду входного воздействия. Эту реакцию будем искать в виде следующей функции:

Тп,/ = Hh71(г, а)• яп(уу х)• еуат

д^пМ 1 дН

дг2 + г дг  ^ - а

Решение уравнения (3) может быть представлено в следующем виде:

Н. п = А • ЗЛу. • Я.) + В, -У0

i,п п 0Ч/п п 0Ч/п I'

+ |(-^)2 • Нп^а)-^1 = 0

уф

у. = \М. •

п

(р1 =агс^

-а

а у

Мп =

\( \2 а

а

V . У

+ у2= 1..4; л

В этом уравнении З0 и 70 - функции Бесселя 1-го и 2-го рода нулевого порядка, А и В - функции, которые определяются для каждого значения ю. Соотношения для определения указанных функций Бесселя имеют вид:

1 П

З (г) = — | соэ(г-эт ()&;

0 П „

п/2

ВД ^• 1

П2 0

соэ

Ж.

где матрица А имеет вид: 332

Для определения передаточной функции объекта и построения реальных частотных характеристик необходимо определить значения коэффициентов А и В . Для этого подставим уравнение (4) в граничные условия и, преобразуя, получим:

-X-А1 • З0'(Г1 • -X-Вц• Я!) = с,

А1 •30^1 • Я2) + В1 ^ТМ • Я2) - А • З0(Г2 • Я2) - В270^2 • Я2) = 0, А1 •30^1 • Я2) + В1 • Я2)А • 30'(^2 • Я2)-XВ2-Г0'(Г2 • Я2) = 0,

А •30^2 • Я3) + В2^ • Я3)- А3 • ЗМ • Яз) -В3 ^з • Яз) = 0 А •З0' (/2 • Яз) + В2 •^0,(/2 • Я3)-XА3 • З0'(Г3 • Яз)^В3-^с'СГз• Яз) = 0, Аз • З0(/з • Я4) + В3-70(^3 • Я4) - А4 • З0(^4 • Я4) = 0,

А3 -З0^3 -Я4) + В3-7)'(^3 -Я4)-Хх3А4 -З0^4 -Я4) = 0.

Запишем систему уравнений (7) в матричном виде: АХ=В,

'-V«1) Ч *V

•^Г «2 ) «2 )

0 (V «2 ) о о о о

^0 '(Ух- «2 ) 0 0 0 0

- ^2- «2 )

-\

^¿¿

/0(У2-«3) ¿0^2 -«3 ) 0 0

«3 ) «3 )

0 0

0 0

0

- J 0

-ЧУ3- «3 )

¿0%-«3) -ЗДт«3)

10^3- «4 ) ¿0^3- «4 )

«4 )

-¿0^4- «4 )

А.

%- «4 ) -14-«4 ) А3

Матрицу А рассчитываем для каждого значения т. Затем, подставляем А в

выражение Х=А-1В, где В имеет вид:

В =

' С ^ 0 0 0 0

0 0

После решения матричного уравнения (8) определим X:

X =

' А } 1

Д

Д

В3

\А4у

С учётом всего вышеизложенного передаточная функция объекта может быть записана в виде:

Ж (уа) = А3( »С)0У«3), где С - входное воздействие (примем С=1). Синтез регулятора

Определим параметры распределённого высокоточного регулятора (РВР). РВР реализует пропорционально-интегрально-дифференциальный закон управления.

Используемый регулятор состоит из распределённых пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев. Его передаточная функция имеет вид:

\-1 _ 1

-V2 п,

+ ЕЛ

' п4 -1

1

1

+ Е~

' п2 -1

1

-5,

Ж(х, 5) = Е1

V "1 "1 ; V "4 "4

где Е1, Е4, Е2 - общие коэффициенты усиления пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев соответственно; п1, п2, п4 - весовые

_гь

коэффициенты (п^1, ¡=1,2,4), V - лапласиан.

Передаточная функция РВР может быть записана и с использованием обобщённой координаты:

жш

+20 да I дек

III ¡тт;

Общий вид ЛАЧХ ПИД - регулятора по первой моде

ж (х, о)=е1 •

(

п\_1 + 1

л

о

1

1

+ Е„

Г п4 _1 + 1

Л

• о

1 + е2

5 2

(п2 _1 + 1

• о

• 5.

4 2

0 < о <ю.

Синтез регулятора производится графоаналитическим методом. Определяются частоты среза, т.е. частоты на которых ЛФЧХ объекта пересекает линию Ф=-п+Аф. Далее определяются значения коэффициентов усиления объекта на частотах среза

Для определения параметров е2, п2 решаем следующую систему уравнений:

Кр (01) = Е

п1-1 + 1

А

—• о

п1 1

Кр (о2) = Е1

п1-1 + 1

п

—• о

п

= 1,628;

= 1,802;

где Кр(С2), Кр(в2) - коэффициенты усиления регулятора, определяемые из графика на рис. 1. Делим первое уравнение на второе и получаем выражение для нахождения п2:

_1 ч\

Е

п

Е1 •

п

+1 • о

п1 1

+1 о

п1 2

= 0,903.

Подставляя значения С2, получим:

п1 _ 1 +18,023

-1---= 0 978-

п1 _1 +162,21

п1 = 157,7

Затем преобразуем систему уравнений (3) к виду:

К (С!) п = е •п -ех + е

К (О^•П! = Е1 •п -Е1 + Е1

Вычитая из первого уравнения второе, получаем равенство для определения параметра Еу. (К (ф - Кр П1 = - в2).

Отсюда: (К (С1) - К (С2)) • П1 Е = _Р_•

Е1_ С1 - О2

Подставляя численные значения, получим: Е1 = 1,608.

Лля определения параметров Е2, Е4, п2, п4 необходимо решить следующую систему уравнений:

^Иф) = 0,5-1в

Г г п -1+а 11

у4

V V

- 0,5-1в

Г Г п -1+а

'2

V V

ЫИо2)) = о,54е

Г г п -1+а 11

у4

V V

- 0,5^

Г г п -1+а 11

у2

V V

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

1в(Аи2) =

(

П4 -1+а

п -1+а

л

18

(

п2 -1 + О г п~ -1+Ол

\

V ч -  -1у V' 2 х ' у 1§,И(Сх)) = -2,452; 18(ю(О2)) = -2,048.

Затем определяем АИ2:

Аю2 =

Г ч 12

и

и

= 6,441.

Т. к Аю2 >0, то примем п2=т. Подставляя П2 в уравнение и преобразуя, получим:

Аю2-1+с -Аю2а

п4 =

1 .

Аю2 -1

Подставляя числовые значения, получим: п4 = 11,041

Введём параметр А (О¡), необходимый для компенсации параметрических возмущений в объекте управления. Это достигается за счёт расширения облас-

ти возле частоты среза модуля разомкнутой системы, в которой фазовый сдвиг, вносимый в систему регулятором равен нулю:

1в((ф) = 0,5 • 1в( - 0,5- 1в( К2(Ох).

Лля этого к уравнению допишем уравнения, связывающие параметры к (О^ и K2(G1) с параметром А (Ох).

Уравнения связи могут быть записаны в следующем виде: АО1 = -

( 1 ^ 1§ш2 = 1ё( К4(О1));

= ^

К2

АО! =

1

К2

- Ша

Значение А О1 выбрано равным 0,5. Лля нахождения Е2, Е4 решим систему уравнений:

1вИО1)) = 0,5- 1в

( ( 1 , ^ ^ п -1+О 4 1

Е •

4

АО1 = 1в

1

'2

V V

п, -1 + О

п

п

-1§

- 0,5- 1в

( ( 1 , ^

п -1+О 2 1

Е •

2

п

( ( 1 , ^

п -1+О 41

Е •

4

п

/у

Подставляя численные значения, получим:

Е2:= (1/((Шср[1])1/2*(10)1/2))1/2;

Е4:= ( (Шср [1]2)/( (10)1/2* (С3)2))1/2, где С3:=(п4-1+С[1])/п4;

Е2=159.349,

Е4=0.0006982.

Таким образом, была получена система автоматического регулирования состоящая из регулятора, объекта управления и управляющих воздействий. Вывод

В результате проведенных расчетов была спроектирована система автоматического управления распределённым техническим объектом - электрической нагревательной камерой по вытяжке световодов.

В соответствии с требованиями технического задания к критериям качества САУ в установившемся и переходном режиме был выбран пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования (ПИЛ).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Першин И.М. «Анализ и синтез систем с распределёнными параметрами» - Пятигорск, 2004, - 212 с.

2. Григорьев В. В., Быстрое C.B., Першин И.М. «Синтез распределенный регуляторов» - СПбГУ ИТМО, 2010.

3. Рапопорт Э.Я. «Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами» - Москва, Высшая школа, 2005, -292 с. [ТТШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Ильюшин Ю.В. - кандидат технических наук, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Санкт-Петербург, e-mail: bdbyu@rambler.ru,

Комарских А. В. - ассистент, Северо-Кавказский государственный федеральный университет, e-mail: Komarskich-Alexandr@yandex.ru,

Трушников В.Е. - доктор технических наук, доцент, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Санкт-Петербург, e-mail: tvye@yandex.ru.

А

UDC 681.5 ^-

SYNTHESIS OF STABILITY CONTROL TEMPERATURE FIELD THERMAL CAMERA

Ильюшин Ю.В. - кандидат технических наук, Трушников В.Е. - доктор технических наук, доцент,

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Санкт-Петербург, Комарских А.В. - ассистент, Северо-Кавказский государственный федеральный университет,

We consider the problem of synthesis of distributed control for the stabilization of the temperature field of the camera. The analysis of a mathematical model to account for the form and set the camera's precision solutions. As a method of control is chosen distributed system.

Получена система автоматического регулирования состоящая из регулятора, объекта управления и управляющих воздействий

Спроектирована система автоматического управления распределённым техническим объектом -электрической нагревательной камерой по вытяжке световодов.

В соответствии с требованиями технического задания к критериям качества САУ в установившемся и переходном режиме был выбран пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования.

Key words: automatic control system, the regulation of the temperature field, the regulator, the objects with distributed parameters.

REFERENCES

1. Першин И.М. «Анализ и синтез систем с распределёнными параметрами» - Пятигорск, 2004, -212 с.

2. Григорьев В.В., Быстров С.В., Першин И.М. «Синтез распределенных регуляторов» - СПбГУ ИТМО, 2010.

3. Гапопорт Э.Я. «Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами» - Москва, Высшая школа, 2005, -292 с.