Об одном подходе к задаче наведения системы в окрестность нормативной траектории

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Экономика Вып. 8

Об одном подходе к задаче наведения системы в окрестность нормативной траектории

В.П. Максимов

Пермский государственный университет

Предлагается подход к задаче наведения системы в окрестность заданной траектории. В основе подхода -математическая задача управления системой, в которой свойство управляемости определяется заданной системой линейных функционалов. При специальном выборе такой системы свойство управляемости может обеспечивать близость реализуемой и заранее заданной траекторий.

1. Введение

Одно из важнейших направлений в решении проблемы совершенствования методов управления экономикой на всех уровнях связано с применением целевого подхода к задачам управления для социально-экономических систем. Этот подход дает возможность найти пути и методы достижения стратегических целей, сбалансировать на уровне макроэкономических показателей цели и средства их достижения. Практическое применение целевого подхода к управлению конкретными социально- экономическими системами (регион, крупное предприятие, коммерческая структура, отрасль и т.п.) предполагает наличие специального математического и компьютерного

инструментария. Одно из направлений в исследовании задач управления для экономических систем связано с модификацией методов классической теории управления и оптимального управления применительно к моделям экономической динамики. Из работ зарубежных исследований здесь следует отметить работы А.И.Ве^йгт'а, Р.С.РЫШрв'а, Е.Ы.С1шк\\и. их учеников и последователей. Отметим также, что эффективные методы и алгоритмы разработаны, как правило, для достаточно простых моделей с непрерывным или дискретным временем. Для моделей, учитывающих возможность дискретной (или импульсной) природы управляющих

воздействий и в достаточно полной мере -эффект последействия в системе, большинство работ носят либо сугубо теоретический характер, либо далеки от вопросов эффективной компьютерной реализации алгоритмов

управления применительно к широким классам реальных систем экономической динамики. Исследования, проводимые на кафедре информационных систем

математических методов в экономике совместно с Компанией ПРОГНОЗ, позволили восполнить указанный пробел на основе новых идей и подходов, использующих результаты современной теории функционально дифференциальных систем [1], [2]. В рамках этой теории удается дать естественную и достаточно универсальную постановку задачи целевого управления для широкого класса систем и моделей, охватывающую как различные виды динамических моделей (дифференциальные, функционально-

дифференциальные, разностные, гибридные), так и разнообразные режимы управления и функционирования, включая случаи

классических, импульсных и смешанных управляющих воздействий. Здесь мы предлагаем подход к задаче управления, которую можно интерпретировать как задачу наведения системы в окрестность заданной (скажем, нормативной) траектории или как задачу удержания системы в окрестности заданной траектории. Отметим, что принципиальную возможность для этого дает свойство управляемости системы относительно системы линейных функционалов с произвольным фиксированным их числом.

В классической задаче управления для дифференциальной системы (Lx)(0 = х(/) +A(t)x(t) = F(t)u(t) + f(t), t e [0,Г] требуется найти управление и, переводящее систему из заданного начального состояния х(0) = а в заданное конечное состояние х(Т) =

р. Задачам управления для обыкновенных дифференциальных систем и систем с запаздыванием посвящена обширная литература (см., например, [3] и приводимый там библиографический список). Мы рассматриваем более общую задачу управления, в которой цель управления задается системой линейных функционалов, а динамика описывает функционально -дифференциальными уравнениями. Такая задача находит применение в экономической динамике [4]. Сначала мы приводим необходимые сведения из теории функционально -дифференциальных уравнений (ФДУ) и формулируем условия разрешимости общей задачи управления. Эти результаты лежат в основе предлагаемого подхода к упомянутой задаче наведения для систем с последействием.

2. Предварительные сведения

Пусть Б и В - банаховы пространства и Б изоморфно прямому произведению В х /?" (всюду ниже мы используем запись Б и ВхЯ").

Уравнение

Ьх = /

с линейным ограниченным оператором Ь : Б —> В называется линейным абстрактным функционально -дифференциальным уравнением (АФДУ). Теория уравнения (1) систематически изложена в [2],[5]. Зафиксируем изоморфизм 3 = {Л,У} : ВхЯ" —> Б и обозначим через ./ = [¿>, г] обратный оператор. Здесь Л:Й->ДГ:Й° —> £> и

5'.И—> В, г: Б —» II" - соответствующие

компоненты операторов .7 и ./ :

3{г,а} = Кг + Уа еД геВ, аеК", Г1х = {8х,гх}&ВхК", хеВ.

Система

Зх = г, гх = а

называется главной краевой задачей. Таким образом, для любого {г,а} еВхЛ"

х = Аг + Уа

является решением системы (2). Равенство (3) дает представление оператора Ь :

: Ьх = Ь(Л2 + Уа)=(?г + Аа, где так называемая главная часть оператора Ь , оператор () :В —> В и конечномерный

оператор А : Я" —> Б определены равенствами О = ЬЛ и А = ЬУ . В рамках общей теории уравнения (1) оператор (? предполагается фредгольмовым (представимым в виде суммы компактного и обратимого операторов).

Рассмотрим общую краевую задачу

Ьх = /, 1х = р

с линейным ограниченным вектор-функционалом I = : Б —. Краевая

задача (4) как объект исследования находится в центре внимания общей теории АФДУ. В случае, когда N = п и задача (4) однозначно разрешима для любого

{/, а} е В х Я" справедливо представление ее решения в виде

х = С/+1Д

Оператор О: В —> Б называется оператором Грина, оператор X: К" —> Б,

фундаментальным вектором. Для эффективного исследования задачи (4) на однозначную разрешимость можно воспользоваться следующими соображениями. Пусть главная краевая задача

Ьх = /, гх = а

однозначно разрешима. В таком случае, обозначая через Сг оператор Грина этой задачи, имеем представление

х = Ог/ + Ха

общего решения уравнения Ь х = /, считая, что

а - произвольный элемент пространства К". Из представления (7) следует, что однозначная разрешимость задачи (4) эквивалентна однозначной разрешимости алгебраической системы IX а =/3 - Юг/. Таким образом, краевая задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда обратима матрица IX. Условие обратимости не может быть проверено непосредственно, так как матрица X известна (может быть построена), как правило, лишь приближенно. Кроме того, даже при известной матрице X элементы матрицы IX тоже вычисляются в виде приближенных значений. В силу теоремы об обратном операторе обратимость матрицы £Х может быть

установлена, если удается найти такую матрицу Г, что выполняется неравенство ЦО"-Г|| <1/||Г_1||. Как показано в [6], для обратимой матрицы (.X такая матрица Г всегда может быть найдена среди матриц вида 7х,где

1 : Б —> - вектор-функционал,

близкий к £, а X - аппроксимация матрицы X. Поэтому технология так называемого конструктивного исследования линейных краевых задач включает в себя специальные методы построения решений функционально-дифференциальных уравнений с

гарантированной оценкой погрешности, а также доказательный вычислительный эксперимент, теория которого разработана в [6], [7].

Рассмотрим абстрактную задачу управления

Ьх = /Ги + /, гх = а, £х = /3, (8) где управление и принадлежит гильбертову пространству Н, Т7 :Н —> В - линейный ограниченный оператор, £ = [£1,...,£ целевой вектор-функционал, определяющий цель управления: 1х = ¡3. Приведем здесь теорему, которая позволяет воспользоваться идеей конструктивного исследования применительно к задаче управления (8).

Определим линейный ограниченный

функционал /I;: Н —> Я, / = 1.....N. равенством

Л1и=£1ОгЕи. Очевидно, что можно представить этот функционал в виде скалярного произведения: Л,,.и = (,£/,.,«), где //(е Н -элемент, порождающий Я, 1.: Н —> Я.

ТЕОРЕМА 1 ([8]). Задача управления (8) разрешима для любых

/ еВ, а е , е Я" тогда и только тогда, когда обратима матрица

N

Управление и 0 = ^ у ( ¡л (, где

1=1

со1 (уум) =АГ'[р-тг/-£Ха\, решает задачу (8).

Представление о возможных реализациях пространства Б дают два приводимых ниже примера (другие примеры и конкретные детали заинтересованный читатель может найти в [2]).

ПРИМЕР 1. Пусть Б = АС -пространство абсолютно непрерывных функций х:[0 ,Г]->ЯИ. В этом случае

х(1) = л"(л)<:/л' + х(0), В = Ь- пространство суммируемых по Лебегу функций

,\\2\\1=\То\\2(8)\\кЖ

(Лг)(0 = |о У = Е,8х = х,гх = х(0).

Здесь и всюду ниже Е - единичная матрица. Изоморфизм между пространством АС и прямым произведением /, / Н" играет основополагающую роль в теории функционально -дифференциальных уравнений и дает возможность сводить задачи в пространстве АС к задачам в пространстве I,. Систематическое изложение теории краевых задач и задач управления в пространстве АС дано в [1].

ПРИМЕР 2. Зафиксируем систему точек е (О,Г), 0 <1, <...</„<Т

и рассмотрим пространство D = DSirn) функций х:[0,Г] —> i?" вида

t m x(t) = joz(s)ífc + x(0) + £ (t)Ax(tk),

k= 1

где z e L, Ax(tk ) = x(tk ) - x(tk - 0), % r](/) -характеристическая функция отрезка | ik .'/ |. В

этом случае DÜIx R"+m",

tt m (Az)(0 = J z(s)ds; (Ya){t) = aa

k= 1

a = col(a°,...,am), Sx = x, rx = {x(0),Ax(t1),...,Ax(tm). Пространство D = DS(m) позволяет в естественной постановке рассматривать задачи импульсного управления, возникающие, в том числе, в экономической динамике.

3. Задачи управления относительно системы функционалов для систем с последействием

Рассмотрим функционально-

дифференциальную систему

где L: DS(m) —> /. - линейный ограниченный оператор с главной частью вида

{Qz){t) = z{t)-\'oK{t,s)z{s)ds.

Здесь элементы k'J(t,s) ядра K(t.s) измеримы на множестве {(/, s): 0 < s < t < Т} и таковы, что на этом множестве

\k'J {t,s)\<K{t\i,j = \,...,п, где функция к'(-) суммируема на |0.'/ |. Заметим, что системы вида (9) охватывают многие классы динамических моделей, включая дифференциальные системы с сосредоточенным и/или распределенным запаздыванием и интегродифференциальные системы.

Пространство всех решений однородной системы (Lx)(/) = 0, I е |0.'/ |. имеет размерность п + тп. Пусть {х1,...,хп+тп} -базис в этом пространстве. Матрица X = {х,,..., хп+тп} называется фундаментальной матрицей (будем для определенности считать, что гХ = Е). Главная краевая задача Lx = f,rx = a однозначно разрешима при

любых / е L, а е Rn+mn; ее решение представимо в виде

x(t) = X(t)a + j'c(t,s)f(s)ds, (10) где C(i.s)- матрица Коши.

Пусть £: DS(m) —> IV - линейный

ограниченный вектор-функционал. Имеет место представление

у т

° к=1

где элементы измеримой Мхп- матрицы ограничены в существенном, а х¥к,к = 0,...,т,-Л^х и -матрицы с вещественными элементами. Рассмотрим задачу управления

Lx = Fм + /, х(0 ) = а, 1х = /3.

Здесь Р :Ь2 —> Ь - линейный ограниченный оператор, Ь2- пространство функций и: [О, Г] —>ЯГ суммируемых с квадратом, в котором скалярное произведение определено равенством (и,у) = | ит(/)у(/)сй,

•т - символ транспонирования. В задаче (11) цель управления задается вектор-функционалом £: 08(т) —> IV , который на траектории системы Ьх = /<« + /' под действием управления должен принимать заданное значение р. Критерий разрешимости такой задачи управления дает приводимая ниже теорема. Для ее формулировки введем обозначения

©(5) = Ф(5) + \Т Ф(г) с; (г, 5) <1т,

4 $

«=|оГФ(5)Х(5)Л = (»1|»2), где 51-Лг х п -матрица, столбцами которой являются первые п столбцов Ых(п + тп) -матрицы 5 ,

/•" : /," ^ 1'-1 - оператор, сопряженный к

Р.

ТЕОРЕМА 2 ([8]). Задача управления

(11) разрешима тогда и только тогда, когда линейная алгебраическая система

разрешима относительно (пт + Ы) -вектора со1(Х, /и). Каждое решение

со1(А,0,Мо)>

Л0= со/(Л1,...,Лд), системы (12) определяет управление, решающее задачу (11):

Дг(^) = Лд, к = 1 ,...,т, и(0 = ^*©]т(0- Мо-

Поясним, как эта теорема может быть использована для решения задачи наведения системы управления в окрестность заданной нормативной траектории. Без ограничения общности можно считать, что роль нормативной

траектории играет вектор-функция с компонентами, тождественно равными нулю (общий случай сводится к этому заменой фазовой переменной). Таким образом, достаточно рассмотреть случай наведения системы в окрестность нуля и удержания ее там в течение заданного времени. Зафиксируем момент времени 2^6(0, Т) и сначала решим задачу управления

Lx = Fu+f,te[0,T], х(0) = а, х(Т= 0. (13) В момент t=Tl система находится в

состоянии, соответствующем нормативному. Если в этот момент убрать управляющее воздействие до конечного момента времени t = Т , то есть положить ii(t ) = 0. / е Г/ ,.7 1. то

даже при /(/) = 0 система с последействием не останется, вообще говоря, в нулевом положении (роль возмущения будет играть предыстория). Чтобы «удержать» систему в окрестности нулевого положения, можно воспользоваться тем, что число компонент целевого вектор-функционала в задаче (11) может быть произвольным. Добавим к условиям задачи (13) следующие условия:

\Т Vj

Здесь Vj = diag(Vj,...,Vj); vl5...,vv5...-система линейно независимых элементов пространства /,21'/, . 7 |. линейная оболочка которых всюду

плотна в этом пространстве. Можно показать, что при некоторых естественных условиях для любого заданного радиуса шаровой окрестности нуля в Ь2\Т1 ,Г]найдется такое число у, что

условия (14) гарантируют для соответствующей траектории х принадлежность ее сужения на I/, ,Г] упомянутой окрестности. Получение конструктивных гарантированных оценок, связывающих параметры задачи с числом у, представляет собой отдельную задачу, выходящую за рамки настоящей статьи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально -дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. М.: Наука, 1991.

2. Azbelev N. V. Introduction to the theory of functional differential equations: methods and applications / Azbelev N.V.; Maksimov V.P.; Rakhmatullina L.F. New York: Hindawi Publishing Corporation. 2007.

3. Андреева E.A. Управление системами с последействием / Е.А. Андреева, В.Б. Колмановский, Л.Е. Шайхет. М.: Наука,

1992.

4. Максимов В.П. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование /В .П. Максимов, А.Н. Румянцев // Известия вузов. Математика. 1993. Ха 5. С. 56-71.

5. Azbelev N. V. Theory of linear abstract functional differential equations and applications / N.V. Azbelev; L.F. Rakhmatullina // Memoirs on Diff, Equations and Math. Phys. 1996.VOL. 1-102.

6. Румянцев А.Н. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач / А.Н. Румянцев. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1999.

7. Maksimov V.P. Reliable computer experiment in the study of generalized controllability of linear funclkmal differential systems /V.P. Maksimov, A.N. Rumvantsev//Mathematical Modeling. Problems, Methods, Applications. New York: Kluver Academic/Plenum Publishers. 2001. P. 91-98.

8. Maksimov V.P. Theory of functional differential equations and some problems in economic dynamics / V.P. Maksimov// Proceedings

of the Conference on Differential and Difference Equations and Applications. New York: Hindawi Publishing Corporation. 2006. P. 74-82.

AN APPROACH TO THE PROBLEM OF DIRECTING THE SYSTEM TO A NEIGHBORHOOD OF A NORMATIVE TRAJECTORY

V.P. Maksimov

An approach to the problem of directing the system to a neighborhood of a normative trajectory is proposed. The approach is based on the control problem concerning the property of controllability with respect to a family of linear fimctionals. In the case of a specific choice of the fimctionals the approach allows one to provide that the solution of the control problem and a given normative trajectory are close to each other