Алгоритм экстремального регулирования на основе рекуррентной процедуры метода наименьших квадратов

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 681.511.4

А. Д. Семенов, О. В. Авдеева, А. С. Никиткин

АЛГОРИТМ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЕКУРРЕНТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Аннотация. Предлагается алгоритм поиска экстремума статической характеристики инерционного объекта по текущим измеренным значениям его входного и выходного сигналов с использованием рекуррентной процедуры метода наименьших квадратов, в результате которой оценивается коэффициент передачи объекта, а затем с использованием прямых методов поиска нуля функции находится его нулевое значение.

Ключевые слова: алгоритм поиска экстремума, коэффициент передачи, система экстремального регулирования.

Abstract. The authors suggest an extremum-seeking algorithm of the static characteristic of an inertial object according to current measured value on input and output, using recursive least squares method to estimate a transfer coefficient of an object, and then useing direct methods to search a zero value of the function.

Key words: extremum-seeking algorithm, transfer coefficient, system of ExtremumSeeking Control.

Введение

Помехозащищенные быстродействующие алгоритмы экстремального регулирования занимают важное место в теории поисковых систем автоматической оптимизации. Эти системы используются для управления инерционными объектами (энергетическими и химическими установками, ракетными двигателями и т.п.), существенно повышая их технико-экономические показатели [1].

Основная проблема при реализации таких алгоритмов в реальном времени заключается в обеспечении противоречивых требований точности и устойчивости процедуры поиска экстремума целевой функции. В наибольшей степени этим требования удовлетворяют поисковые или шаговые алгоритмы [2].

Недостатком идентификационного алгоритма является сложность идентификации неизвестных параметров целевой функции, что может приводить к значительным ошибкам при вычислении оптимального значения управляющего воздействия и «рысканью» системы экстремального регулирования. Основная проблема при реализации шаговых алгоритмов в реальном времени заключается в обеспечении устойчивости процедуры поиска экстре-

мума, сводящейся к решению, как правило, плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений [3].

Предлагается совместить достоинства идентификационных и шаговых алгоритмов на основе использования рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК). Предложенный метод, во-первых, будет применим при достаточно высоких отношениях интенсивностей шума и полезного сигнала, т.е. будет обладать высокой помехозащищенностью. Во-вторых, он даст надежную сходимость оценок при относительно небольшом объеме вычислений [4]. Последнее обеспечивает устойчивость и высокое быстродействие алгоритма экстремального регулирования, построенного на его основе.

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему, состоящую из объекта управления и экстремального регулятора (ЭР) (рис. 1). Объект управления представляет собой последовательное соединение нелинейного звена и линейного инерционного звена с передаточной функцией Щ(р). На рис. 1: х - входной сигнал (управляющее воздействие); у - выходной сигнал (целевая функция, экстремум которой следует найти); и - выходной сигнал нелинейного элемента; е - случайная помеха, которая является центрированным случайным процессом типа белого шума.

Рис. 1. Структурная схема экстремальной системы с инерционным объектом

Будем считать, что нелинейное звено имеет априори неизвестную характеристику и = Дх). Инерционное звено может быть представлено АРСС-моделью порядка [ п, т] [4]:

п т

у

і=1 і=0

где к = 0, 1, 2... - дискретное время; у(к) - выход модели на к-м шаге; аі - коэффициенты авторегрессии, і =1, ..., п; п - количество коэффициентов авторегрессии; Ьі - коэффициенты скользящего среднего,і = 1, ..., т; т - количество коэффициентов скользящего среднего; и(к) - входной сигнал; е(к) -помеха.

Требуется на каждом шаге вычислительной процедуры поддерживать экстремальное значение целевой функции у(к). Для достижения цели предлагается следующий алгоритм экстремального регулирования:

1. Считать входной и(к) и выходной у(к) сигналы экстремального объекта.

2. Вычислить коэффициенты авторегрессии ai и скользящего среднего ^ по РМНК.

3. По найденным коэффициентам ai и bj вычислить коэффициент передачи объекта.

4. Осуществить поиск управляющего воздействия на следующем шаге u(k+1), обеспечивающего нулевое значение коэффициента передачи с использованием прямых методов поиска нуля функций.

Очевидно, что при переходе через экстремум коэффициент передачи объекта будет изменять свой знак. Следовательно, задача поиска экстремального значения регулируемого параметра сводится к задаче нахождения нуля коэффициента передачи. Поиск нуля к0 может осуществляться одним из известных методов [5], например: дихотомии, золотого сечения, Ньютона.

2. Определение коэффициента передачи объекта с помощью рекуррентной процедуры метода наименьших квадратов

Значение коэффициента передачи можно определить, используя РМНК, отличающийся гарантированной сходимостью оценок и требующий сравнительно небольшого объема вычислений.

Уравнение для вычисления коэффициентов АРСС-модели (1) будет выглядеть [4] следующим образом:

вой матрицы, причем а - достаточно большое число, I - единичная матрица соответствующей размерности.

Коэффициент передачи объекта к0 может быть вычислен по найденным значениям параметров уравнения на основании теоремы о конечном значении дискретной передаточной функции:

{б (к +1) = 0 (к ) + у(к) у (к + 1)-¥Т (к +1)0 (к) ,

где вк + 1)=[ al,..., an, />1,..., Ъm ] - вектор параметров АРСС-модели;

уТ (к) = [-у (к -1),...,-у (к - п),и (к -1),..., +и (к - т) - вектор данных;

Т Т т т

¥ (к)= у (к),у (к-1),...,у (к-т) - расширенный вектор данных;

весовая

вектор

коррекции;

матрица;

Р (к +1)= I — у(к)*РГ (к +1) Р(к) - весовая матрица, рассчитанная на следующем шаге; 0(0) = 0;Р(0) = а/ - начальные значения параметров и весо-

к0 = 1ш ь° + ^ + -+Ът2~т = ^0Ь-

2^1 1 + Щ2 +... + ап2 п П

1 П 1 + Таї

ї=1

Вычисление коэффициента передачи объекта к0 проводилось в среде MATLAB по специально разработанной программе, реализующей решение уравнений (2) и (3). Входной и выходной сигналы для вычисления коэффициента к0 формировались в Simulink-модели объекта (рис. 2), соответствующей структурной схеме системы, изображенной на рис. 1. Модель состояла из экстремального объекта, включающего в себя звено с экстремальной характеристикой и три последовательно соединенных апериодических звена.

Рис. 2. Simulink-модель объекта с экстремальной характеристикой

График экстремальной характеристики (кривая 1) представлен на рис. 3. В первом приближении можно считать, что коэффициент передачи нелинейного звена будет равен производной от его статической характеристики (кривая 2) на рис. 3 и будет менять знак при переходе через точку экстремума.

'.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Значение аргумента х

Рис. 3. Экстремальная характеристика объекта управления

На рис. 4 показаны осциллограммы входного, выходного сигналов объекта и его коэффициенты передачи, вычисленные разработанной программой по формулам (2) и (3) для постоянных значений входного сигнала нелинейного элемента х0. Помеха имитировалась подачей на вход случайного сигнала, уровень которого соизмерим с уровнем входного сигнала х0.

Сравнение вычисленных коэффициентов передачи экстремального объекта с их значениями, полученными в результате дифференцирования статической характеристики (см. рис. 3), показывали высокую точность их вычисления.

3. Проверка алгоритма экстремального регулирования на основе РМНК

Для проверки предложенного алгоритма разработанная в Simulink модель системы (рис. 2) дополнялась программой (М-функцией), реализующей разработанный алгоритм. Поиск нуля к0 осуществлялся методом Ньютона.

Дрейф экстремальной характеристики моделировался путем подачи на вход системы гармонического низкочастотного воздействия, к которому добавляются высокочастотные помехи (рис. 5).

Результаты моделирования показаны на рис. 6.

Анализ осциллограмм, приведенных на рис. 6, позволяет сделать вывод, что даже при действии сильных помех, уровень которых соизмерим с уровнем входного сигнала, система экстремального регулирования удерживает координаты объекта в области экстремальных значений его целевой функции.

Коэффициент передачи объекта

50........:.......\.......ь........I-..............;.......I-......-

о_________I_______I_______I________I_______I_______I_______I_______

О 10 20 30 40 50 60 70 г с

а)

Рис. 4. Осциллограммы входных, выходных сигналов и коэффициентов к0: рабочая точка системы до экстремума

¿о

50

о

-50

О

и0, В

I-

ко

о

-50

-100 С-

с

10 20

30

40 50 60 70

Коэффициент передачи объекта

10 20

30

40 50 60 70

б)

Входной сигнал

Л С

Коэффициент передачи объекта

О 10 20 30 40 50 60 70 /, С

в)

Рис. 4. Окончание

На рис. 7 представлена фазовая траектория системы экстремального регулирования в пространстве координат нелинейного звена.

Рис. 5. Модель системы экстремального регулирования

50

100 150

а)

200

І, с

о

-10

50

100

150

200

б)

I с

30

в)

60 І, с

и

100

о

-100 к

ррял

-

10

20

30

г)

40

50

60 І, с

Рис. 6. Осциллограммы входного сигнала

Фазовая траектория располагается в окрестности точки, в которой целевая функция достигает экстремума (максимума). Несмотря на высокий уровень помех, отклонение системы от точки экстремума не превышает 24 %, что подтверждает эффективность предлагаемого алгоритма.

и

Рис. 7. Фазовая траектория системы экстремального регулирования

Заключение

Разработан алгоритм поиска экстремума характеристики инерционного объекта по текущим измерениям его входа и выхода с использованием рекуррентной процедуры метода наименьших квадратов, в результате которой оценивается коэффициент передачи объекта, а затем с использованием прямых методов поиска нуля функции находится его нулевое значение.

В результате моделирования работы алгоритма установлено, что он обеспечивает сходящиеся значения оценки коэффициента передачи, устойчиво удерживая объект в окрестности точки экстремума, даже при наличии сильных возмущений.

Проверка предложенного алгоритма показала, что относительная приведенная погрешность в определении коэффициента передачи объекта не превышает 5 %, отклонение рабочей точки системы от точки экстремума не превышает 24 % при отношении сигнал/шум, близком к единице. Время поиска экстремума соизмеримо со временем переходного процесса объекта регулирования.

Список литературы

1. Егупов, Н. Д. Методы робастного, нейронечеткого и адаптивного управления / Н. Д. Егупов. - М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 744 с.

2. Мандровский-Соколов, Б. Ю. Системы экстремального управления при случайных воздействиях / Б. Ю. Мандровский-Соколов, А. А. Туник. - Киев : Наукова думка, 1970. - 172 с.

3. Ariyur, K. Real-Time Optimization by Extremum-Seeking Control / B. K. Ariyur, M. Krstic. - New Jersey : Wiley-interscience, 2003. - 230 с.

4. Изерман, Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. - М. : Мир, 1984. -541 с.

5. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций / Хемди А. Таха. - 8-е изд. -М. : Вильямс, 2007. - 912 с.

Семенов Анатолий Дмитриевич

доктор технических наук, профессор, кафедра автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет

E-mail: sad-50@mail.ru

Авдеева Ольга Викторовна

аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: sad-50@mail.ru

Никиткин Александр Сергеевич аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: sashanikitkin@rambler.ru

Semyonov Anatoly Dmitrievich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of automation and remote control, Penza State University

Avdeeva Olga Viktorovna Postgraduate student, Penza State University

Nikitkin Alexander Sergeevich Postgraduate student,

Penza State University

УДК 681.511.4 Семенов, А. Д.

Алгоритм экстремального регулирования на основе рекуррентной процедуры метода наименьших квадратов / А. Д. Семенов, О. В. Авдеева, А. С. Никиткин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 3-11.