Модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала по схеме «Learning-by-doing». III

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 438-444

УДК 517.977.5+519.86+330.35:330.42

МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ НАКОПЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО КАПИТАЛА ПО СХЕМЕ «LEARNING-BY-DOING». III

© 2014 г. Ю.А. Кузнецов, Т.С. Гребенкина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Yu-Kuzn@mm.unn.ru

Поступола в редакцою 15.05.2014

Исследуется общая математическая модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала в процессе деятельности, обобщающая ряд подобных моделей, включая классическую модель К. Эрроу. Представлены необходимые условия экстремума в общей оптимизационной задаче, охватывающей основные постановки задачи об оптимальном развитии экономики (задачи социального планировщика и о равновесном конкурентном развитии экономики). Исследованы условия существования и некоторые качественные свойства траекторий сбалансированного роста (balanced growth path, BGP).

Ключевые слова: экономический рост, физический капитал, человеческий капитал, формирование человеческого капитала в процессе деятельности, траектории сбалансированного роста.

Введение

В работе [1] была построена математическая модель экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающая ряд известных моделей экономического роста, рассматривающих рост запаса человеческого капитала как «непреднамеренное» (побочное, by-product) последствие опыта производственной деятельности, а сам механизм накопления человеческого капитала в которых реализуется в виде обучения работников без отрыва от производства (то есть происходит по схеме «learning-by-doing» - обученое в процессе работы (деятельносто); часто используется аббревиатура - процесс LBD). Впервые модель такого типа была построена в давно уже считающейся классической статье К. Эрроу [2]. Как отмечено в [1], значительный интерес представляет рассмотрение и некоторой «укороченной» (предельной) версии общей математической модели, в одном частном случае рассмотренной в работе [3]. В содержательном плане этой укороченной математической модели отвечает одна достаточно специфическая задача о конкурентном равновесии, в которой репрезентативный экономический агент не оценивает должным образом вклад процесса LBD в динамику экономического роста, но, тем не менее, ожидает, что делаемый им выбор оптимального (в его понимании) уровня потребления приведет его к конкурентному равновесою. Такая постановка задачи в содержательном плане по-

своему поучительна; кроме того, такая «упрощенная» задача о «недальновидном экономическом агенте» в математическом плане заметно проще общей проблемы и допускает достаточно детальное аналитическое исследование и наглядную экономическую интерпретацию. Рассмотрение этой математической модели при различных вариантах I — III трактовки понятия «объем освоенных материальных потоков»1 было проведено в работе [4].

В настоящей работе исследуется общая математическая модель [1] экономического роста с учетом накопления человеческого капитала в процессе деятельности. Представлены необходимые условия экстремума в общей оптимизационной задаче, охватывающей основные постановки задачи об оптимальном развитии экономики (задачи социального планировщика и о равновесном конкурентном развитии экономики). Установлены условия существования и некоторые качественные свойства траекторий сбалансированного роста (Balanced Growth Path, BGP). Изучение данных вопросов ведется в соответствии с подходом, изложенным в работе [5], и использует ряд приемов работы [6], содержащей методически «модернизированное» изложение классической модели Лукаса [7]. При этом, также следуя работе Р. Лукаса [7], во всех рассматриваемых вариантах данной оптимизационной проблемы в первую очередь исследуется проблема существования «сбалансированных траекторий роста» (Balanced Growth Path, BGP-траектороя).

Общая оптимизационная задача экономического роста с учетом накопления человеческого капитала в процессе деятельности

Как показано в работе [1], общая математическая модель динамики экономического роста с учетом накопления человеческого капитала в процессе деятельности может быть записана в виде следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

dk (t) dt

= Aga

^dr =

-2c(t) -yk (t)] -ц gg (t) с начальными условиями

k

В уравнениях (1), (2) приняты следующие обозначения: k - капиталовооруженность работника, k = K/N, цk = цK + n , цK - коэффициент выведения физического капитала (depreciation rate), n - темп роста численности рабочей силы (населения) N (t), c(t) - душевой (per capita) уровень потребления, ga (t) и g(t) -индексы удельного уровня человеческого капитала («learning index»), параметр s > 0 характеризует роль экстерналий в процессе производства, X, Xl, XA - положительные постоянные, характеризующие вклад процесса LBD «в целом» в динамику экономического роста, в деятельность работников и менеджеров, соответ-

ет^™^ X = X а + X l , XL = Xi(1 -Ph (1 -P)- доля трудовых ресурсов в выпуске.

В соответствующей оптимизационной задаче управлением служит выбираемый репрезентативным экономическим агентом (ЭА) уровень душевого потребления, а целью управления является максимизация суммарной дисконтированной полезности на бесконечном горизонте планирования:

с да ( c(t)1-стЛ|

Г e-р' dt ^max, сте

J 0 ^ 1-CTJ

где р - параметр дисконтирования, параметр ст -характеристика межвременного поведения потребителя

заменяется на условие

Г " e-p' ln c(t )dt J 0

^ max,

Вообще говоря, в соответствии с экономическим смыслом переменных должно быть выполнено равенство g (t) = ga (t), Vt > 0. Традиционно, по крайней мере, со времен работы [7], рассматриваются два основных (и различных в экономическом смысле) варианта «расшифровки» этого последнего условия, которые приводят к двум различным постановкам задачи (задача «социального планировщика», «social planner», s = 0 и задача о «конкурентном равновесии экономики», «competitive equilibrium», s > 0), а значит, к двум различным типам оптимальных траекторий. Дальнейшая конкретизация задачи о конкурентном равновесии экономики может быть осуществлена путем фиксации того или иного значения параметра s > 0 . Ниже, следуя принятой в теории экономического роста традиции, при изучении этих задач ограничимся рассмотрением только «внутренних» решений (таких, что для управления выполнено соотношение c(t) > 0, Vt eR +, см. примечание 2). Кроме того, всюду, где это не приводит к недоразумению, в формулах опущен аргумент t .

В работе [1] показано, что необходимые условия экстремума в общей оптимизационной задаче (1)-(3) в указанных выше постановках задачи могут быть записаны в следующей единой («унифицированной») форме.

Уравнения движения:

dk = Ag Чß- c -ц kk, dt

dg = ф[AgЧр - Sc-yk]-цgg .

Сопряженные уравнения и необходимые условия экстремума:

^ = (p + Ц k )0k +ФТ0 g -

г

dt

- (9k + ф9 g )ßAkß-1 gг,

dt

=

причем, как оказывается, необходимые условия оптимальности при этом сохраняют свой вид (см. ниже, (9)).

=et + фЕ9 g.

Кроме того, должны удовлетворяться условия трансверсальности

lim e~9'ek

Система уравнений (5)-(8) дополняется также начальными условиями (3).

С точки зрения приложений наибольший интерес представляют лишь некоторые конкретные значения параметра s > 0 . Значению параметра s = 0 в соотношениях (5)-(10) отвечает задача социального планировщика (далее - задача SP).

440

Ю.А. Кузнецов, Т.С. Гребенкона

В задаче о конкурентном равновесии (в дальнейшем - задача CE) наиболее интересны два варианта. В первом из них s = %A . Этот вариант задачи описывает ситуацию, когда ЭА «точно» учитывает последствия процесса LBD на уровне производства в отдельной фирме («внутренний эффект LBD»), но, не имея возможности «точно» оценить последствия процесса LBD на «социальном» уровне, для оценки «внешнего эффекта LBD » использует оценки уровня ga (t) и «теневой цены» (shadow price) 9 (t) этого эффекта (далее - задача CE(1)). Во втором варианте задачи CE параметр s = %. В этом случае репрезентативный ЭА не располагает какой-либо «точной» информацией о процессе LBD вообще (далее -задача CE(2)). При этом ЭА может по-разному

оценивать последствия процесса LBD. Ситуация, в которой ЭА использует для этого величины уровня ga (t) и цены 9 (t) эффекта LBD

(причем цену 9 g (t) ЭА определяет из уравнения (8) при s = %), обозначается далее как задача CE+ (2). Если же ЭА не оценовает последствия процесса LBD, то он полагает 9g (t) = 0 , Vt eR +, и фактически вообще не принимает во внимание уравнение (8). Поэтому, решая задачу на оптимум функционала (4) в этом последнем случае, на деле ЭА использует односекторную модель экономики, в которой запас человеческого капитала (уровень навыков) считается экзогенно заданным (далее - задача CE_ (2)). Именно такой предельный случай фактически и рассмотрен в работе [3]. Во всех вариантах задачи о конкурентном равновесии ЭА ожидает, что его выбор уровня потребления с целью максимизации критерия качества (4) приведет его к конкурентному равновесою (так что в итоге будет выполнено равенство g(t) = ga (t), Vt eR + ).

Условия существования и некоторые свойства траекторий

сбалансированного роста

Оптимальная траектория { k, g , c , 9k, 9g }

есть, по определению, траектороя сбалансо-рованного роста, или BGP-траектороя (balanced growth path, BGP), если темпы роста перечисленных переменных (см. примечание 3) являются постояннымо (см. [5, 7]). Определение BGP-траектории фактически неявно предполагает (в соответствии с экономическим

смыслом переменных), что на БОР справедливы неравенства юс > 0 , юк > 0 и ю^ > 0 .

Из соотношений (5) - (9) вытекают следующие представления для темпов роста переменных { к(?), я(?), с(?), 9^(?), 9^ (?) }:

ш- = Ak p-1g %---k

ck

fflg =Ф[ Ak p-1g %-Е - -у] - -ц g,

g - g g

ek =

1

---г "9 +-9 ,

с (1 + ф!р) 9к (1 + ф!р) 9я

где р = 9ш!9к - относительная цена человеческого капитала, причем, в силу предположения,

величина ш p = ш9 - ш9

является постоянной.

Равенство (15) получается из соотношения (9) с помощью «логарифмического дифференцирования»4. Подчеркнем, что в соотношениях (11)-(15) все переменные {к, я, с , 9к, 9я } изменяются экспоненциально, так что, например, к (?) = к (0)еШк', я (?) = я (0)еШя' и т.д. Анализ соотношений (11)—(15) с учетом этих последних представлений позволяет, аналогично [4], прийти к заключению, что для существования БОР-траекторий с ненулевыми темпами роста необходимо должно быть выполнено условие Р + X = 1 и следующие равенства:

ш9 = ш9 = -стш„

Таким образом, производственная функция системы y = Akр g % должна быть положительно однородной (принадлежать классу CRS, Constant Return to Scale). Из условий (16) следует, что на BGP имеют место следующие «законы сохранения»:

c- = const, k/g = const, 9 gj 9k = const.

Это позволяет провести в системе (5)-(9) замену переменных, «понижающую» её порядок. Введем «инструментальные» переменные х = k/g , q = c- , p = 9gj9k . Ясно, что в силу

(17) на BGP-траектории имеют место равенства х = const, q = const, p = const. Произведя замену переменных {k, g, 9k, 9 g } ^ {х, q,

p , c }, c-n=9k[1 + фЕp], получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

k

g

d- = x{( - Фх))х3 1 + уфХ +

+ (цg - Цk) -(1 -ф£х)<?}

^ = q{Axß-1F(x, p) + q -

dt I

Р + Ц k

CT

- G

dp dt

= pJ (1 + фр))х3-1

г x ^

ß- -

V p У

-УФP +

где

^ = ^ {{ (x, p) -p-O(p)}, (21) dt ct

F (x, p) = — H (x, p) -1,

CT

G( p) =

H (x, p) =

ФP[У + S(Цg )]

ct(1 + ф^) (1 + фp)[ß+хфЦг-8)]

, ФP(У + SЦg) ф(p) = л ^ ' + Цг

1

(1 + ф!р) к (1 + ф!р)' Ясно, что система (18)-(21) обладает специфической структурой - она распадается на две подсистемы (уравнения (18)-(20) и уравнение (21)). При этом динамика душевого уровня потребления с(у) > 0 , V? е И + (уравнение (21)) полностью определяется поведением переменных { х, р }, V? е И + . В свою очередь, динамика переменных { х, q, р }, V? е И +, описывается системой уравнений (18)-(20). Заметим, что система уравнений (18)-(20) в случае задачи социального планировщика (задача SP, е = 0) и первого варианта задачи о конкурентном равновесии (задача СЕ(1), е = %А) практически не упрощается по сравнению с наиболее общим случаем произвольного е еИ+ и имеет в указанных случаях одинаковую структуру. В то же время во втором варианте задачи о конкурентном равновесии (задача СЕ(2), е = %) система уравнений (18)-(20) серьёзно упрощается, причем в варианте СЕ_ (2) задачи о конкурентном равновесии следует дополнительно положить р(?) = 0, так что система уравнений (18)-(20) сводится к «предельной» двумерной системе уравнений (18), (19), рассмотренной в работах [3, 4]. При этом, как показано в работе [4], наиболее «богатая» динамика этой системы

наблюдается в случае, когда реализуется механизм К. Эрроу - М. Франкеля - П. Ромера -А. Грейнера (K.J. Arrow - M. Frankel - P.M. Romer - A. Greiner) процесса LBD (версия I трактовки понятия «объем освоенных материальных потоков»1). В связи с этим представляется целесообразным рассмотрение в первую очередь задачи CE(2) о конкурентном равновесии в её версии I. Это позволяет в обозримой ситуации установить ряд качественных свойств системы уравнений (18)-(20), а также провести сопоставление «предельной» и общей модели в наиболее интересном варианте механизма процесса LBD . Поэтому ниже кратко рассмотрена именно эта задача. Для задачи социального планировщика (задача SP) и первого варианта задачи о конкурентном равновесии (задача CE(1)) получение обозримых аналитических результатов не представляется возможным; для исследования этих задач целесообразно применить численные методы. Этим вопросам будет посвящена отдельная работа.

Задача CE(2) о конкурентном равновесии в случае версии I (S = 1, y = 0) сводится к исследованию следующей системы:

dx = x{

dt

x))xß-1 +

(ц g- ц k) -(1 -фх)Ь P( х q^

dq "dt ~ q

Р + Ц g - Ц kCT

CT

ü-1| Axß-

CT

+q-

= Q( ^ q, p),

^ = р{

Соответственно, уравнение (21) динамики уровня потребления записывается в виде

± = СТ {зАхр-1 - (р + Цк)-ВД}, (25) dt ст

ш( ) фр(ца -Цк) З

где р) =—-г— . Заметим, что есте-

ственным фазовым пространством системы уравнений (22)-(25) является область И + переменных (х, q, р, с), так как только в этой области указанные переменные имеют ясный экономический смысл.

Рассмотрим вопрос о существовании состояний равновесия (стационарных решений) системы (22)-(24) в области И+ переменных (х, q, р). Будем называть стационарное решение системы (22)-(24) «внутренним», если (х, q, р) е И++, и «граничным», если точка

+

442

Ю.А. Кузнецов, Т.С. Гребенкина

(х, q, р) принадлежит границе множества И + . Прежде всего, отметим, что система (22)-(24) может обладать несколькими граничными стационарными решениями. Действительно, в случае р = 0 уравнение (24) тривиально удовлетворяется, а система уравнений (22), (23) совпадает с системой (24), (25) работы [4]. Как показано в работе [4], в широком диапазоне параметров эта система обладает двумя внутренними (в смысле И +) стационарными решениями (х1, q¡) е И++ , I = 1,2, и одним граничным (х3,0) е И + . Кроме того, в этом случае начало координат И 2 также является особой точкой типа неустойчивого узла. При этом (х1, q1) является седлом, (х2, q2) - устойчивым или неустойчивым фокусом, (х3,0) - устойчивым узлом. Кроме того, в системе может существовать устойчивый предельный цикл, внутри которого лежит состояние равновесия (х2, q2). В случае q = 0 система уравнений (22)-(24) сводится к следующей системе уравнений Сх

сИ

Рассмотрим теперь вопрос о существовании «внутренних» стационарных решений системы (22)-(24). Как следует из структуры уравнения (24), такие стационарные решения могут существовать только при выполнении условия (ця - цк) < 0 . При этом, если выполнено противоположное неравенство (ця -цк) > 0, то для всех (х, q, р) е И++ справедливо дифференциаль-сйр

ное неравенство — = Я(х, р) > р(ця - цк) > 0.

Тогда

р(?) > р0е(ця-Цк"" ^ да при ? ^ да .

Пусть теперь выполнено условие (ц - цк) < 0 . В этом случае «внутренние» стационарные решения системы (22)-(24) определяются из соотношений

1] Ахр-1 + q -

= х{ фх))хр-1 +

р + ц я - ц кст

ст

= 0,

С- = р{ + фр)

Состояния равновесия системы уравнений (22а), (24а) определяются из соотношений

Р(х) = х{(1- фх))хр-1 + (ця - цк)}= 0 , (26) Я(х,р) = р{ + фр)рАхр-1 + (ця - цк)}= 0 .(27) Решение х е И++ уравнения (26) определяется из уравнения

(1 -фх))хр-1 + (ця -цк) = 0. (28) Условия существования решений уравнений такого типа подробно проанализированы в работе [4]. Например, при условии (ц -цк) < 0 уравнение (28) имеет единственное решение х е И++, которое лежит в области (0,1/ф). Ясно, что каждому решению х е И++ уравнения (28) может (в зависимости от знака величины (ця - цк)) соответствовать одно или два решения р е И + уравнения (27). Так, при (ця - цк) > 0 уравнение (27) имеет только одно решение р = 0; в случае же (ц -цк) < 0 возможно существование еще одного решения р е И++. Ясно, что уравнение (22а) «отделяется» и его решение полностью определяет динамику переменной р (определяемую уравнением (24а)).

ст(1 + фр) (1 + фр)рАхр-1 + (ця -цк) = 0.

Из уравнения (31) следует равенство

рА р-1

(Ахм = —^-г-, используя которое урав-

нение (30) можно записать в виде Ахр-1 - q + + (р + ця -цкст)/ст = 0. Отсюда и из уравнения (29) (при условии фх ф 1) следует равенство

задача имеет единственное решение (хе, qe,

ре) е И3, причем:

хе =-

1 [р + ця (1 -ст)]

ф [р + ц я-стцк] =Ахр-1 + [р+ц я -цкст]

" ст

ре =-

(цк -ця) -рАх!

р-1

фрАхр-1

При этом решение (хе,qe,ре)е И3, задаваемое формулами (32), является «внутренним», если выполнены условия хе > 0 , qe > 0 и ре > 0 . В частности, условие хе > 0 имеет место, если 81§п[р + ця (1 - ст)] = 81§п[р + ця - стцк ],

q

е

а условие pe > 0 - если выполнено неравенство (ц - цg) > ßAxß4 . Так как при выполнении условия цg < цk справедливо неравенство p + цg --стцg > p + цg - стцk, то, как легко видеть, при [p + ц g (1 - ct)] < 0 имеет место включение xe е (0,1 ф), а при [p + ц -стцk ] > 0 - включение xe е (1/ ф, да).

Таким образом, в общей математической модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала в процессе деятельности возможно существование не более одной «внутренней» траектории сбалансированного роста. В то же время в рамках «укороченной» (предельной) версии модели (см. [3, 4]) возможно существование нескольких таких траекторий. Следовательно, результаты анализа динамики экономического роста с учетом накопления человеческого капитала в процессе деятельности в рамках общей постановки могут иметь серьёзные отличия от результатов, получаемых с использованием «укороченной» (предельной) версии модели [3, 4]. Этот факт может оказаться весьма существенным при интерпретации моделей и сопоставлении их с реальными данными.

Примечания

1. Напомним определения этих версий [1]: I. S = 1, y = 0 (Arrow K.J. - Frankel M. - Romer P.M. - Greiner A.); II. S = 0 , y = 0 (Shell K. - Christiaans

T. - Tsur Y., Zemel A.); III. 1 = 1, у = цK (Göcke M.). Подробнее см. [1].

2. Здесь и далее R + = [0, да) , R++ = (0,да) .

3. Темп роста гладкой функции f

определению, га f (t ) = -

dt

f(t) dt

4. См., например, Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 2-х томах: Учебник для университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1981. Т. 1. С. 181.

Список литературы

1. Кузнецов Ю.А., Гребенкина Т.С. Модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала по схеме «learning-by-doing». I // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 2(1). С. 142-151.

2. Arrow K.J. The Economic Implications of Learning by Doing // Review of Economic Studies. 1962. V. 29. № 1. P. 155-173.

3. Greiner A. On the dynamics of an endogenous growth model with learning by doing // Economic Theory. 2003. V. 21. № 1. P. 205-214.

4. Кузнецов Ю.А., Гребенкина Т.С. Модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала по схеме «learning-by-doing». II // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 2(1). С. 180-189.

5. Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2008. 449 с.

6. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and Indeterminacy: On the Dynamics of Endogenous Growth // J. Economic Theory. 1994. V. 63. № 1. P. 113-142.

7. Lucas R.E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // J. Monetary Economics. 1988. V. 22. № 1. P. 3-42.

ECONOMIC GROWTH MODEL WITH CONSIDERATION FOR HUMAN CAPITAL ACCUMULATION THROUGH LEARNING-BY-DOING. III

Yu.A. Kuznetsov, T.S. Grebenkina

The general mathematical model of economic growth with consideration for human capital accumulation through learning-by-doing is considered including K. Arrow's classical model. We present the necessary conditions of optimali-ty in the general problem of the optimal development of the economy (the social planner problem and competitive equilibrium economic development). The conditions for the existence and some qualitative properties of the balanced growth paths are studied.

Keywords: economic growth, physical capital, human capital, human capital formation through learning-by-doing, balanced growth paths.

References

1. Kuznecov Yu.A., Grebenkina T.S. Model' ehko-nomicheskogo rosta s uchetom nakopleniya chelovech-eskogo kapitala po skheme «learning-by-doing». I // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Loba-

chevskogo. 2013. № 2(1). S. 142-151.

2. Arrow K.J. The Economic Implications of Learning by Doing // Review of Economic Studies. 1962. V. 29. № 1. P. 155-173.

3. Greiner A. On the dynamics of an endogenous growth model with learning by doing // Economic Theo-

444

W.A. Ky3rn^6, T.C. rpeöernma

ry. 2003. V. 21. № 1. P. 205-214.

4. Kuznecov Yu.A., Grebenkina T.S. Model' ehko-nomicheskogo rosta s uchetom nakopleniya chelovech-eskogo kapitala po skheme «learning-by-doing». II // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Loba-chevskogo. 2014. № 2(1). S. 180-189.

5. Kuznecov Yu.A. Optimal'noe upravlenie ehko-nomicheskimi sistemami. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2008. 449 s.

7. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and Indeterminacy: On the Dynamics of Endogenous Growth // J. Economic Theory. 1994. V. 63. № 1. P. 113-142.

446

W.A. Ky3m^e, T.C. rpe6eHKUHa

Development // J. Monetary Economics. 1988. V. 22. № 1. P. 3-42.