Высокочастотный емкостной разряд: моделирование (обзор)

СТРУКТУРА ВЕЩЕСТВА И ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

УДК 537.525.7+621.762

И. Ш. Абдуллин, В. С. Желтухин, В. Ю. Чебакова

ВЫСОКОЧАСТОТНЫЙ ЕМКОСТНОЙ РАЗРЯД: МОДЕЛИРОВАНИЕ

Ключевые слова: Математическое моделирование, высокочастотный разряд.

Проведен анализ математических моделей высокочастотного емкостного (ВЧЕ) разряда. Показана необходимость включения уравнений, учитывающих перенос энергии электронами и тяжелыми частицами, и балансных уравнений для концентрации метастабильных атомов.

Keywords: Mathematical modeling, radio-frequency discharges.

The analysis of mathematical models of capacitive coupled radio-frequency discharge is carried out. The necessity of the adding of equations that take into account the transfer of energy by electrons and heavy particles, and balance equation of metastable atoms.

Введение

В последнее время устройства, использующие низкотемпературную плазму, интенсивно внедряются в промышленность. Плазма эффективно используется для создания и модификации наноструктур (например, для обработки материалов с целью повышения срока службы и надежности изделий машиностроения, создания легких и прочных полимерных композиционных материалов, полиэти-ленпластиков, получения нанодисперсионных порошков металлов и соединений и т. д. ) [1-10]. Большой интерес представляет изучение процессов взаимодействия ВЧ - плазмы пониженного давления с многослойными материалами. Это - и исследование стойкости тонкопленочных пластиковых материалов, используемых для формирования систем изоляции электрических, к действию электрических разрядов [11], и проблемы согласования энергетических параметров отдельных контактирующих слоев в многослойных устройствах типа органических электролюминесцентных диодов [12], а так же модификация различных полимерных и композитных материалов [13,14].

Разработка специальных установок, настроенных на работу в определенных режимах, связана с проведением большого количества экспериментальных исследований по подбору параметров плазменных установок. Для оптимизации режимов работы установки создаются и численно решаются математические модели, которые позволяют рассчитывать основные параметры ВЧ-разрядов, так как экспериментальные методы исследования не дают полной картины процессов в плазме. Численное моделирование газоразрядной плазмы в гидродинамическом приближении позволяет получить достаточно полные данные о пространственной структуре заряда. Проведем обзор математических моделей разработанных в приближении сплошной среды.

Классическая модель ВЧЕ разряда

В структуре ВЧЕ разряда выделяют области слоев положительного заряда (СПЗ), прилегающих непосредственно к электродам, в которых пре-

имущественным процессом переноса заряженных частиц является дрейф в электрическом поле СПЗ, и область положительного столба, в которой перенос электронов и ионов осуществляется амбиполярной диффузией. Оценки элементарных процессов показывают, что в типичных условиях поддержания ВЧЕ разряда пониженного давления (давление Р=13,3-'133 Па, мощность разряда 1№р=0,5-5 кВт, расход газа С до 0,04 г/с, частота /=13,56 МГц, межэлектродное расстоянй сС = 0,02-0,1 м) длина свободного пробега электронов /е=<10-3 м, толщина дебаев-ского слоя Ас = 10-5 м , толщина СПЗ Л = 10-3 м [15, 16]. Как видно, толщина приэлектродного слоя много меньше межэлектродного расстояния. Однако, именно процессы протекающие в приэлектродных областях оказывают существенное влияние на формирование режима горения ВЧЕ-разряда [17].

Поэтому при описании ВЧЕ- разряда строятся нестационарные одномерные и двухмерные математические модели, чаще всего включающие в себя уравнения баланса заряженных частиц и уравнения Пуассона для распределения потенциала электрического поля. Так, в работе [18] рассмотрены основные процессы, протекающие в высокочастотном емкостном разряде, техника и практические методы эксперимента, диагностики, измерений при работе с высокочастотными разрядами, вопросы теории и численного моделирования разрядного процесса. В ней рассматриваются методы возбуждения высокочастотного поля в газе, даны основные сведения о структуре и формах существования ВЧЕ-разрядов, а также представлена следующая одномерная математическая модель. В этой модели распределения и изменения во времени плотностей зарядов пе, п+ и поля Е в межэлектродном промежутке описываются системой уравнений непрерывности и электростатики:

да,

e

dt да

+ div Ge = ne

+

- + div G+ = ne (y - Bn+ ) dt + e j +

divgrad p = ж4e

G = -yG ,

e ' +-

Здесь ne, n+ - плотности потоков электронов и ионов, Ge, G+ - плотности потоков электронов и ионов, соответственно, причем в них учитываются только дрейфовые составляющие (Ge = ПеМеE, G+ = п+м+ E), напряженность электрического поля

E = -Vp, е -заряд электрона, Ме, М+ и De,D+ -коэффициенты подвижности и диффузии электронов и ионов, в - коэффициент электронной рекомбинации, частота ионизации v- считается зависящей от мгновенного поля и выражается через ионизационный коэффициент Таунсенда а согласно соотношениям neVj = cc\Ge \ •

Граничные условия у поверхности электродов или изолирующих их диэлектриков ставятся в

зависимости от направления поля:

если поле направлено в электрод;

G+ = 0 , если поле направлено от электрода. Здесь y - коэффициент ион-электронной эмиссии с поверхности катода. В плазме задается ток j = ja cos trn, связанный c n и E посредством уравнения ионизационно-рекомбинационного равновесия (ocMeE^ = Pn . Здесь плазма предполагается

квазинейтральной ne=n+=n.

Плазма ВЧЕ-разряда во многом подобна плазме тлеющего разряда. В работе [19] представлена модель тлеющего разряда, сходного по своим характеристикам с ВЧЕ разрядом. Моделирование плоского разряда в азоте проводится в рамках диффузионно- дрейфового приближения, ось х берется направленной вдоль поверхности электродов, а ось y - перпендикулярно к ним. В уравнениях (1), (2) учитывается скорость внешней ионизации Q. В уравнении (1) учитывается диффузия к боковой стенке путем включения члена со второй производной по х:

2

dne <r- ne

e + djvGe - D—f = ne V - pn+) + Q

Л iW2 '

dt ' dx'

Уравнение (3) остается без изменений. Считается, что вторичные электроны на катоде возникают за счет ионно-электронной эмиссии с коэффициентом у:

ne|y=0 =yn+M, / Me|y=о .

На аноде плазма предполагается квазинейтральной.

Для уравнения Пуассона (3) на электродах ставилось условие

<p\y=о = 0, <p\d = U, U = const > 0.

где U - падение напряжения на разрядном промежутке. Граничные условия на боковых поверхностях обеспечивают условия непротекания ионного и электронного тока

др дх

dn.

dnс

дх дх

Ионизация задавалась таунсендовской зависимостью. Исследованы условия формирования в

поднормальном режиме поперечной структуры разряда на катоде в виде многих пятен. Показано что разряд с многими пятнами является трехмерным, а не двумерным объектом

В [20] приводятся результаты численного моделирования тлеющего разряда в азоте в двумерной постановке для широкого диапазона давлений и токов. Показано существование стационарных анодных пятен с нормальной плотностью тока. Анализируются влияние диффузионных процессов на параметры анодного сдоя. Приведенные результаты соответствуют модели с осесимметричной геометрией. Для более адекватного описания пространственных неоднородностей использована нестационарная модель разряда (1)-(3) учитывающая как поперечные, так и продольные составляющие диффузионных процессов, то есть

ее =-°вУпв - пв^вЕ

G+=-D+Vn+- п+/и+Е,

В качестве граничных условий на боковых поверхностях и оси симметрии в квазинейтральной плазме ставятся условия непротекания ионного и электронного токов (4). На аноде ставятся условия 7 = 0, G+ х = 0, пв = х ,

где - единичный вектор в направлении внешней нормали на рассматриваемых поверхностях и

,-1/2

I 2\ { 8кТв

а = 211 - р2 )-

\ ' ^ лпв

р - вероятность отражения электронов.

На положительном столбе формулируются

условия

р = -U , U = const > 0 .

dn+ дх

= 0,

= 0

Для численного решения системы уравнений (1)-(3) использовалась неявные конечно- разностные схемы второго порядка аппроксимации по пространственной переменной и первого порядка по времени с равномерным разбиением сетки. На каждом временном шаге нелинейные уравнения решались неявным двухслойным итерационным методом с выбором оптимального итерационного параметра. Выбор оператора Лапласа в качестве разрешающего позволил применить метод полной редукции. На каждом шаге по времени проводились итерации по нелинейности. Сходимость итерационного процесса удалось повысить переходом к полностью неявной форме вычисления. Приведенные расчеты показали относительную самостоятельность анодного слоя и существование закона нормальной плотности тока на аноде.

В [21] изложен численный алгоритм второго порядка аппроксимации по пространственным координатам для моделирования двумерного тлеющего разряда повышенного давления в рамках диффузионно-дрейфового приближения. Особенностью рассматриваемого численного метода является выбор оператора Лапласа в качестве разрешающего при решении системы сеточных уравнений, позво-

лившего обеспечить сходимость решения в достаточно сильных сеточных нормах. Последовательно обсуждаются математические аспекты постановки дифференциально-разностной и конечно-разностной задач (разрешимость, неотрицательность решения, аппроксимация, устойчивость, сходимость) и вычисляются границы норм соответствующих дифференциальных и разностных операторов, необходимые для построения оптимального итерационного процесса.

В [22,23] исследована корректность математической постановки системы нелинейных уравнений диффузионно-дрейфового приближения, широко использующейся в моделировании газового разряда. Определен класс нелинейных граничных условий, обеспечивающих существование и единственность сильных решений. Показано, что при достаточно гладких параметрах и при условии строгой положительности коэффициентов диффузии электронов и ионов обычно используемые граничные условия обеспечивают существования и единственность распределений концентрации электронов и ионов.

В статье [24] приведены результаты численных экспериментов, в которых высокочастотный емкостный тлеющий разряд сосуществует в двух формах (в а- и у- формах) при одних и тех же граничных условиях. Модель включает уравнения (1)-(3) с соотношениями (5),(6). Граничные условия имеют следующий вид

при х = 0: Се = уС+ ,р = 0

при х = Н : п+ = 0, р = и

др дп+ при r = 0: — = —— дх дх

дп,

е.

дх

U

при r = R : 1)пе = п+= 0, (р = — х,

H

др = дп+ дг дг

Die дг

Здесь ось х направлена поперек электрода, ось г -вдоль. При г=И рассматриваются условия для плоской и цилиндрической геометрии соответственно. Для нахождения падение напряжения на разрядном промежутке были привлечены условия во внешней цепи.

В условиях установившегося процесса горения тлеющего разряда можно записать очевидное соотношение

е - и & т

-= 2ж\ ве,х(г,х=Н) г Сг ,

eR

0

0

которое указывает на равенство суммы падений напряжений на сопротивлении Р0 и разрядном промежутке электродвижущей силы £; Сех - проекция вектора плотности потоков электронов на ось х. В этом условии т = 0 соответствует плоскому случаю, а т=1 - цилиндрическому.

Путем численных экспериментов показано, что в широком диапазоне параметров тлеющего разряда тип граничных условий не оказывает существенного влияния на результаты расчетов.

В работах [25, 26] приведены зависимости основных ионизационных и дрейфовых характеристик от приведенной напряженности поля Е/р.

Следует при этом отметить, что решение двухмерных, а тем более, трехмерных задач весьма трудоемко, при этом оно проводится лишь в упрощенной постановке, когда не учитывается ряд специфических факторов, присущих ВЧЕ разрядам. Например, того что согласно [27], ионизационный коэффициент Таунсенда не применим в случае сильных полей, так как в этом случае частота ионизации монотонно нарастает с ростом отношения напряженность/давление, тогда как в очень сильных полях ионизационная способность с ростом поля падает.

Модели с учетом переноса энергии электронами

В ВЧЕ-разряде существенным является зависимость ионизационных, диффузионных и дрейфовых характеристик от электронной температуры. Изменение электронной температуры электронов может привести к изменению остальных характеристик плазмы, поэтому расчет температуры электронов в разряде является важной задачей. Температура электронов в газовом разряде устанавливается самосогласованно и зависит от природы газа, давления и плотности тока.

В статье [28] представлена модель ВЧЕ разряда включающая в себя уравнения непрерывности для электронов и ионов (1),(2), уравнение Паус-сона (3) с потоками частиц (5), (6) и уравнение для энергии электронов:

дпеее 5 е е + div(-GP) = -eGeE - пе№. . St 2 Б е е L

Здесь Gf, плотность потока энергии, равная:

5 5

Ge = 2%ее - 3°епеУее,

Бе - энергия электронов. Все основные коэффициенты аппроксимировались зависимостью от Е/N. Расчеты производились при частоте генератора 13,56 МГц, давление 100 мТорр и амплитуде напряжения 100 В и показали качественное согласие с экспериментальными данными.

В программном обеспечении SIGLO-RF 1.0 фирмы Kinema Software [29] заложена следующая физическая модель:

дпа SGc

= пе(vj -va -Рп+) + уапп-

д? дх

где Уд , Ус - частота прилипания и отлипания соответственно, пп - концентрация отрицательных ионов;

дпеБе

5 SGc

+—

= -е^Е - пе^ее).

д( 3 дх

Коэффициент электронной диффузии связан со средней энергией отношением Эйнштейна:

^ = кТе = 2ее

Ме

3е

Плотность потока энергии записывается в

дп+ дв.

виде

= neNk + ПрПък - + ктпп.к2;

ве = ~neMeseE - De

дпвев дх

где L(£) - член, учитывающий потери энергии и зависящий от локальной средней энергии электронов таким же образом, как и при равновесных условиях (L(e)= eyeE2).

Для положительных ионов:

dn+ <G+ - +

dt дх

= ne (y ~pn+) -P{¡-¡)ппп+, а для отрицательных ионов

дпп двп

—— + —— = па ya_Pt- ^ппп+- пп y.. дt дх e a (¡ _¡) п + п d

дп

Здесь Gn = Dn Х - ппМпЕ, и соответственно

Dn , Мп - коэффициент диффузии и подвижность отрицательных ионов, р^ ^) - коэффициент ион-

ионной рекомбинации .

Уравнение Пуассона для электрического потенциала записывается в виде: 2

д> в .

—2 = -—(п+- пв - пп).

дх — о

Используются следующие граничные условия для потока заряженных частиц и концентраций на электродах:

Ge= пв VI / 4,

п+ —»0 на электродах, где VI - тепловая скорость электронов.

Граничные условия для потенциала соответствуют заземленному левому электроду (нулевой потенциал), на правый электрод подается ВЧ напряжение. Начальные условия не оказывают значительного влияния и задаются только начальная температура электронов в эВ и начальная максимальная концентрация плазмы. Алгоритм расчетов основывается на использовании схемы Кранка- Николсона.

Модели ВЧЕ- разряда с учетом метастабильных атомов

Так как концентрация метастабильных атомов в аргоне сопоставима с концентрацией заряженных частиц, то сверхупругие столкновения этих атомов с электронами приводят к изменению средней энергии и коэффициентов скоростей всех процессов под действием электронного удара [30-33].

В работе [34] проведено моделирование ВЧЕ разряда в аргоне при межэлектродных расстояниях 2.54 см, давлении 1 Торр, постоянной газовой температуре, равной 300 К и амплитуде напряжения 50 В и 100 В. Расчеты проведены с учетом влияния метастабильных атомов. Модель включает в себя следующие уравнения: уравнение Пуассона (3), уравнения баланса заряженных частиц

дпв дGв 2

- + —^ = nвNkj + пвппк81 + ктрп*2,

<* дх ~ e ¡ e * уравнение баланса метастабильных атомов:

дп* дв* 0

= па№а,„ - 2 - -

e'" 2q 2„ .

дt

дч

dt dx e ex mp *

- nen* (ks¡ + ksc + kr) - k^N^n*;

уравнение баланса электронной температуры: 3k dneTe dqe

-^+ —e-eGeE + ZH-R. = 0 .

2dt dx e j j j

Здесь k¡, ks, kmp,kex ,ksc,kr, k2q, k3q -константы соответствующих процессов, Hj - количество энергии выделяемой или затраченной в соответствующем процессе, Rj есть численное значение соответствующего процесса при j=¡, s¡, mp, ex, sc, r, 2q, 3q, плотности потоков заряженных частиц определяются согласно (5), (6); плотность потока метаста-бильных атомов

dn*

G* = -D*—, dx

плотность потока энергии

dTe 5 qe =-Ke—e + 5kTeGe , e e dx 2 e e

коэффициент теплопроводности

Ke = 5Dene •

Граничные условия задавались в виде:

Ge = ±ksne - yG+, при x = 0,L

G+ = n+ju+E, при x = 0,L

n* = 0, Te = 0.5 эВ, при x = 0, L

p = 0, при x = 0, p = Va sin (;zft), при x = L.

Здесь Va - амплитуда напряжения.

В работе выделен следующий набор реакций для трехуровневой схемы термов атома аргона: *

Ar + е ^ Ar + е (i) - возбуждение метастабильного

уровня, А г + е ^ Ar+ + 2е (si) - прямая ионизация с

* +

основного состояния, А г + е ^ Ar + 2е (mp) ступенчатая ионизация с метастабильного уровня, * г

Ar + е ^ Ar + е (sc) - перемешивание с метаста-бильного на резонансный уровень,

Ar + Ar ^ Ar + Ar + е (r) - пеннинговская ионизация; а также процессы девозбуждения метаста-

*

бильного уровня Ar + Ar^2Aг (2q),

Ar* + 2Ar АГ2 + Ar (3q), Ar* + е ^ Ar + е (ex).

В работе [35] выделено также резонансное излучение с учетом самопоглощения Ar ^ Аг + Им.

В работе [36] более подробно рассмотрено влияние резонансных атомов:

Аг + е ^ Агг + е , Агг + е ^ Аг + е ,

Аг* + е ^ Агг + е , Агг + е ^ Аг+ + 2е

и упругих соударений частиц друг с другом, всего учтено 16 реакций.

В работе [37] для аргона учитывались кинетические уравнения для ионов (Аг , Аг2 ) и электронных возбужденных состояний аргона: связанного метастабильного уровня, связанного резонанст-ного уровня и 3-х вышележащих сосредоточенных уровней, всего учитывалось 26 реакций.

В работе [38] определены абсолютные заселенности метастабильных состояний аргона в плазме высокочастотного разряда в атмосфере чистого аргона.

В работе [39] дана схема нижних электронных уровней аргона и обозначено уже 32 элементарных процесса.

Программное обеспечение БОЬ8Ю+ версия 1.2 позволяет считать константы физических процессов для моделей сплошной среды с учетом их зависимости от приведенной напряженности электрического поля (Е/М) или (электронной температуры).

Заключение

Оценки элементарных процессов в плазме высокочастотных ВЧ-разрядов пониженного давления, приведенные в работе, показывают, что математическая модель ВЧЕ-разряда пониженного давления может быть удовлетворительно описана в приближении сплошной среды. В результате анализа изложенных математических моделей ВЧЕ-разряда пониженного давления установлено, что они не дают полного самосогласованного описания состояния плазмы, а в частности не учитывают ряд факторов приобретающих существенное значение при изменении характеристик плазмотронов, например развод электродов на большие межэлектродные расстояния.

Как уже было показано выше в аргоне наличие метастабильных атомов оказывает существенное влияние на процессы происходящие в разряде. Кроме этого при описании свойств низкотемпературной плазмы, при постоянном давлении, температура газа является важным параметром, который определяет концентрацию тяжелых частиц в объеме. Параметры электронной компоненты плазмы, а именно средняя энергия электронов, коэффициенты переноса и коэффициенты скоростей процессов при электронном ударе зависят от приведенного электрического поля. Кроме того, от температуры газа часто зависят коэффициенты скоростей реакции тяжелых частиц и длину свободного пробега тяжелых частиц [18, 27, 41].

Следовательно для определения диапазона устойчивого горения ВЧЕ-разряда пониженного давления в плазмотроне с большим межэлектродным расстоянием математическая модель должна включать в себя уравнения баланса для электронного и ионного газа, электронной энергии, энергии тяжелых частиц, а также баланса метастабильных

атомов и уравнение Пуассона для распределения потенциала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 12-01-00955, 14-01-00755) и Минобрнауки РФ (базовая часть госзадания, проект от 01.02.2014 г. № 2196).

Литература

1. Р. Оулет, М. Барбье, П. Черемисинофф и др. Технологическое применение низкотемпературной плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1983. 144с.

2. А.Л. Моссе, Междунар. Науч. конф. «Плазмен. Технол. исследования, модификации и получения материалов различной природы» и Междунар. Шк. молодых ученых и специалистов «Плазмен. Технол. в исслед. и получении новых материалов»: материалы конференции ( Казань, 2012) Изд-во КНИТУ, 2012, С. 16-19.

3. И.Ш. Абдуллин, Р.Г. Ибрагимов, О.В. Зайцева В.В.Парошин. // Вест. Казан. Технол. Ун-та, 9, 11-16

4. Г.И. Гарипова., И.Ш Абдуллин, Л.Ю. Махоткина // Вест. Казан. Технол. Ун-та, 17, 153-155

5. И.Ш. Абдуллин., Р.Г. Ибрагимов, О.В. Зайцева., В.В. Парошин // Вест. Казан. Технол. Ун-та, 24, 34-37

6. И.Ш. Абдуллин, Е.В. Слепнева, В.В. Хамматова // Вест. Казан. Технол. Ун-та, 16, 106-109

7. Т.В. Бурдикова, Междунар. Науч. конф. «Плазмен. Технол. исследования, модификации и получения материалов различной природы» и Междунар. Шк. молодых ученых и специалистов «Плазмен. Технол. в исслед. и получении новых материалов»: материалы конференции (Казань, 2012), Изд-во КНИТУ, 2012, С. 24-30.

8. А.Л.Моссе, И.О.Буров, Обработка дисперсионных материалов в плазменных реакторах. Минск: Наука и техника, 1980 - 205 с.

9. В.ВКудинов, Н.В.Корнеева, Междунар. Конф. «Физ. Высокочастот. разрядов». Междунар. Шк. Мол. ученых и специалистов «Высокочастот. разряд: теория и техника»: материалы конференции (Казань, 2011): Изд-во КНИТУ, С. 35.

10. В.В. Рыбкин. Сорос. Образ. Ж., 6, 3, 118-123 (2000).

11. В.В. Шалимов, Е.Б. Беспалов, Г.А. Зорин, Т.Б.Кандиболотская. ЖТФ, 63, 9, 185-190

12. Р.Б. Салихов, А.Н Лачинов, В.М. Корнилов, Р.Г. Рах-меев. ЖТФ, 79, 4, 131-135

13. А.Х. Зайнутдинов, М.А.Магрупов, ЖТФ, 63, 9, 53-64 (1993).

14. В. Л. Бычков, ЖТФ, 63, 2, 152-159

15. И.Ш.Абдуллин, В.С.Желтухин, Н.Ф.Кашапов. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения, Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2000, 348 с.

16. М.Митчнер, Ч.Кругер. Частично-ионизованнные газы. М.: Мир, 1976, 496 с.

17. А.Е.Дулькин., С.А.Мошкалев, А.С.Смирнов, К.С.Фролов, ЖТФ, 63, 7, 64-73

18. Ю.П Райзер, М.Н.Шнейдер, Н.А. Яценко, Высокочастотный емкостный разряд: Физика. Техника эксперимента. Приложения. М: Изд-во МФТИ, 1995, 320 с.

19. В. А. Швейгерт, ЖТФ, 63, 5, 29-40 (1993).

20. Р.Ш. Исламов, ЖТФ, 61, 7, 12-15

21. Р.Ш. Исламов, ЖВМиМФ, 46, 11, 2065-2080 (2006).

22. Р.Ш. Исламов, О разрешимости диффузионно-дрейфового приближения в теории газового разряда. Троицк, 1991, 32 с

23. Р.Ш. Исламов, ЖВМиМФ, 46, 1, 131-147

24. С.Т. Суржиков. Физико-химическая кинетика в газовой динамике, 7

25. В.А. Лисовский, Н.Д. Харченко, Вест. Харьк. Нац. Унта. Сер. Физ.: ядра, частицы, поля. 887, 1(45), 81-87 (2010).

26. А.Н. Ткачев, А.А Феденев, С.И. Яковленко, ЖТФ, 77, 6, 22-27

27. Ю.П. Райзер, Физика газового разряда. Долгопрудный: Изд. дом «Интеллект», 2009. - 736 с

28. J.P. Boeuf, L.C. Pitchford, Phys. Rev. E, 51, 2, 13761390

29. SIGLO-RF v.1.0. KINEMA SOFTWARE & CPAT. 1995. http://www.kinema.com

30. Л.С. Полак, Г.Б.Синярев, Д.И. Словецкий и др. Химия плазмы. Под редакцией Л.С. Полак и Ю.А. Лебедев. Новосибирск, »Наука»,1991-325с.

31. Ю.А. Лебедев, Высокочастотный разряд в волновых полях: материалы конференции, (Самара, 1990), 25-62.

32. E. Karoulina, Yu. Lebedev, J .Phys. D: Appl.Phys., 25, 401-412

33. Б. М. Смирнов, УФН, 133, 4, 569-616.

34. Dimitris P. Lymberopoulos and Demetre J. Economou, J. Appl. Phys., 73, 8, 3668-3679 (1993).

35. Е.А. Богданов., А.А. Кудрявцев., Л.Д. Цендин., Р.Р. Арсланбеков, В.И. Колобов, В.В. Кудрявцев, ЖТФ, 74, 6, 35-42 (2004).

36. L Lauro-Taroni, M M Turner and N StJ Braithwaite ,J. Phys. D: Appl. Phys. 37, 2216-2222

37. I. L. Epstein, M. Gavrilovic, S. Jovircevic, N. Konjevic, Yu. A. Lebedev, A. V. Tatarinov. Eur. Phys. J. D , 68, 334,

38. Б.Т. Байсова, В.И. Струнин, Н.Н. Струнина, Г.Ж. Худайбергенов, ЖТФ, 73, 8,30-33.

39. Н.А. Дятко, Ю.З. Ионих, А.В. Мещанов, А.П. Напар-тович, Физика плазмы. Т. 31, 10,939-953 (2005).

40. G. J. M. Hagelaar and L. C. Pitchford, Plasma Sources Sci. Techn., 14, 722-733 (2005).

41. И.Ш. Абдуллин, В.С. Желтухин, В.Ю., Чебакова, М.Н. Шнейдер, Уч. Зап. Казан. Ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 155, 2, 123-130 (2013).

© И. Ш. Абдуллин - д.т.н., проф., зав. каф. ПНТВМ КНИТУ, abdullin_i@kstu.ru; В. С. Желтухин - д.ф.-м.н., г.н.с. каф. ПНТВМ КНИТУ, vzheltukhin@gmail.com; В. Ю. Чебакова - асс. каф. мат. статистики КФУ, vchebakova@mail.ru.

© I. Sh. Abdullin - Dr.Sci., Prof., Chief of the Plasma Technology and Nanotechnology of High Molecular Weight Materials of Kazan National Research Technological University, abdullin_i@kstu.ru; V. S. Zheltukhin - Dr.Sci., chief researcher of the Plasma Technology and Nanotechnology of High Molecular Weight Materials of Kazan National Research Technological University, vzheltukhin@gmail.com; V. Yu. Chebakova - lecturer of Chair of Mathematical Statistics Department of Kazan Federal University, vchebakova@mail.ru.