Построение робастного алгоритма управления для подавления боковых автоколебаний модели самолета на трехстепенном шарнире в аэродинамической трубе

Том XL V

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 6

УДК 532.526.5

ПОСТРОЕНИЕ РОБАСТНОГО АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ БОКОВЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ МОДЕЛИ САМОЛЕТА НА ТРЕХСТЕПЕННОМ ШАРНИРЕ В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

М. Е. СИДОРЮК

Для модели маневренного самолета на трехстепенном шарнире в аэродинамической трубе предложен алгоритм системы автоматического управления для подавления автоколебаний большой амплитуды по крену и рысканию, возникающих на больших углах атаки. Построение алгоритма основано на методе Нм-синтеза для систем, зависящих от параметров. Численным моделированием подтверждена эффективность разработанного алгоритма подавления указанных автоколебаний.

Ключевые слова: большие углы атаки, робастное управление, ЬРУ-синтез.

ВВЕДЕНИЕ

Динамика современных самолетов при выходе на большие углы атаки характеризуется рядом сложных и опасных явлений, связанных с развитием автоколебаний большой амплитуды или попаданием в штопор. Низкочастотные колебания крен-рыскание большой амплитуды, возникающие на некоторых самолетах на углах атаки около 30° (получившие в англоязычной литературе название Wing Rock), не только ограничивают маневренные возможности самолета, но могут привести к катастрофе. Указанной проблеме уделялось большое внимание в течение многих лет. Были проведены многочисленные исследования для понимания механизмов возникновения этих автоколебаний и построения адекватной нелинейной модели аэродинамики самолета. Динамика автоколебаний Wing Rock исследовалась в ряде работ как численно, так и аналитически [1 — 14], с использованием, в частности, асимптотических методов [4, 10]. Предложено множество законов управления для подавления указанных автоколебаний: адаптивные законы управления [6], законы управления на основе нелинейной ^^-оптимизации [9], на основе нейронных сетей [6, 11] и некоторые другие. Тем не менее подавление боковых автоколебаний и предотвращение сваливания самолета остаются актуальными задачами, что связано, в том числе, с трудностью точного моделирования аэродинамических характеристик самолетов на больших углах атаки.

В настоящее время в ЦАГИ разрабатывается методика изучения критических режимов полета и способов управления ими с помощью экспериментов в аэродинамической трубе (АДТ) с динамически подобной управляемой моделью, закрепленной в трехстепенном шарнире. Методика направлена как на изучение динамики самолета на больших углах атаки, так и на уточнение математической модели нестационарных аэродинамических характеристик при движениях модели, максимально близких к управляемому движению самолета в полете. Настоящая работа выполнена в рамках цикла работ по развитию указанной методики. В работах [15,16] показано, что такие нелинейные явления динамики самолета на больших углах атаки, как боковые автоколебания

ш

СИДОРЮК Мария Евгеньевна

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

большой амплитуды, имеют место также для модели самолета на трехстепенном шарнире в АДТ, причем качественные и основные количественные характеристики этих автоколебаний схожи. Кроме того, в работе [15] показано, что закон управления для подавления боковых автоколебаний, разработанный для свободной модели самолета, пригоден и для модели на трехстепенном шарнире. Это позволяет изучать сложные нелинейные явления динамики полета и способы управления ими на динамически подобной модели в аэродинамической трубе.

В настоящей работе предлагается алгоритм управления моделью самолета в трехстепенном шарнире в АДТ для подавления боковых автоколебаний, построенный с использованием одного из современных методов синтеза робастных систем управления, так называемого LPV-синтеза [17]. Применение метода сводится к широко используемой в настоящее время технике выпуклой оптимизации при ограничениях, выраженных в форме линейных матричных неравенств.

В дальнейшем предполагается тестирование предложенного алгоритма на динамическом стенде. Исследование динамики управляемой модели самолета в аэродинамической трубе позволит апробировать построенный закон управления для подавления автоколебаний, а также подтвердить или уточнить математическую модель аэродинамических характеристик самолета на больших углах атаки, используемую при синтезе закона управления.

В разд. 1 приводятся уравнения движения модели самолета в трехстепенном шарнире в аэродинамической трубе, в разд. 2 кратко описывается используемая методика робастного LPV-синтеза, в разд. 3 она применяется для построения закона управления для подавления боковых автоколебаний модели на шарнире.

1. ДИНАМИКА МОДЕЛИ САМОЛЕТА НА ТРЕХСТЕПЕННОМ ШАРНИРЕ В

АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Схема динамической установки для исследования нестационарных аэродинамических характеристик различных моделей, на державке которой будет установлен проектируемый трехстепенной шарнир с управляемой моделью маневренного самолета, приведена в работе [16]. Положение модели в шарнире задается с помощью трех углов Эйлера у, 0, у. Под действием аэродинамических моментов, действующих на модель в потоке аэродинамической трубы, модель может поворачиваться на угол рыскания у в диапазоне у = -180 180°, отклоняться относительно державки на угол тангажа 0 в диапазоне 0 = 20 120° и на угол у в канале крена в диапазоне у = -40 40°. Динамика модели самолета на шарнире, в пренебрежении трением и смещением центра масс модели самолета относительно точки подвеса, описывается следующей системой дифференциальных уравнений [16]:

0 = со ^ sin у + coz cos у, у = - (соу cos у - coz sin у )/sin 0, у = сох +(coj,cosy-cozsiny)ctg0,

ю

ó = J (-о X Jo +М(а, р,о,8)).

Здесь 8 — вектор отклонения органов управления, ю = , , ) — вектор угловой скорости в связанной системе координат. Углы атаки а и скольжения р связаны с углами Эйлера соотношениями

tga = tg0 cos у,

on-

sin р = sin 0sin у.

В [16] приведено сравнительное моделирование боковых автоколебаний модели на трехстепенном шарнире в АДТ и той же модели в свободном полете и показано, что амплитуды автоколебаний по углам атаки и скольжения и амплитуды угловых скоростей весьма близки. Количественное различие амплитуд колебаний по крену обусловлено различием динамических уравнений.

2. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ,

ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Теория LPV-синтеза появилась в литературе по робастному управлению более пятнадцати лет назад как естественное продолжение популярной Ню-теории для линейных систем с постоянными коэффициентами, которая возникла в 1980-е годы [17, 18] как альтернатива классическим методам управления и пережила настоящий бум в течение двух десятилетий.

Сохранение устойчивости и требуемого качества управления при разбросе аэродинамических характеристик самолета и внешних возмущениях, т. е. обеспечение робастности замкнутой системы к возмущениям, — весьма важное свойство системы управления в реальных условиях эксплуатации. Достоинство Ню-синтеза заключается в том, что он позволяет включить непосредственно в процесс построения закона управления как динамические неопределенности, соответствующие методическим ошибкам моделирования динамики, так и вариации параметров объекта управления. Это позволяет получить замкнутую систему с гарантированным качеством управления при заданном разбросе параметров и заданных ограничениях на внешние возмущения. Теоретическую основу метода составляет Ню-оптимизация [18], т. е. минимизация Н^-нормы передаточной матрицы некоторой расширенной замкнутой системы, включающей объект управления вместе с разбросом параметров, описанием возмущений, а также требований к системе управления и ограничений.

При большом изменении параметров объекта управления, что обычно имеет место в реальной широкой области режимов полета самолета, этот метод дает слишком консервативные результаты. По аналогии с настройкой коэффициентов классических законов управления при изменении режима полета LPV-синтез распространяет Ню-синтез на системы, зависящие от параметров, измеряемых в полете. В данном случае лучшее качество управления достигается за счет включения измеряемых параметров в закон управления, т. е. его «настройки» к текущей динамике объекта управления.

Методы построения зависящих от параметров регуляторов, обеспечивающих робастную устойчивость и гарантированное качество робастного управления в заданной области изменения параметров объекта управления, разработаны в [19 — 29]. Развитие этих подходов, обобщения, модификации и многочисленные приложения имеют богатую историю. Обзор и некоторые важные приложения можно найти, например, в [27, 28].

В настоящей работе используется достаточно простой вариант LPV-синтеза, позволяющий, тем не менее, решить задачу подавления боковых автоколебаний модели самолета на трехстепенном шарнире в АДТ. Несмотря на обилие работ, посвященных подавлению колебаний Wing Rock, авторам не известно о применении LPV-синтеза для этих целей.

Приведем необходимые определения. Пусть объект управления описывается следующей системой уравнений:

х = A(p)x + B1(p)w + B2u,

z = C

y = C2X+D2lw+D22u,

где x — фазовый вектор размерности n; y, z, w и u — векторы измерений, ошибок, внешних возмущений и управляющих сигналов размерностей P2, Pi, т1, т2 соответственно; А, B2, Ci, C2, D11, D12, D21, D22 — матрицы соответствующих размеров. Вектор z может включать как ошибки наведения (слежения), так и другие величины, которые необходимо уменьшить или ограничить в процессе управления, например, активность управления. Ясно, что ошибки слежения и активность управления учитываются в векторе с z различными весами. Вектор p(t) = (p (0,-. Ps (t)),

p < p¡ (t)< p — меняющийся со временем вектор физических величин (скорость, скоростной напор, угол атаки, ...). Матрицы А, Б1, C1, D11 — аффинные функции p(t), а остальные матрицы постоянны.

Система (3) представляет собой простую модель объекта управления, динамические уравнения которого зависят от физических коэффициентов, меняющихся в процессе его функционирования. Если коэффициенты меняются значительно, то, как правило, невозможно достичь высокого качества управления во всем рабочем диапазоне при помощи единственного линейного закона управления с постоянными коэффициентами. Если значения параметра измеряются в реальном времени, то желательно иметь закон управления, который использует эти измерения для подстройки закона к режиму работы. Такая стратегия управления, как правило, позволяет достичь более высокого качества управления при значительных изменениях режима работы объекта управления. Заметим, что р (^) может включать часть компонент фазового вектора х при условии,

что эти компоненты измеряются в реальном времени. Это распространяет подход на нелинейные системы, устанавливая, таким образом, определенный мост между линейными и нелинейными системами.

Метод синтеза основан на понятии квадратичной устойчивости и квадратичного #«,-качества управления, определяемого индуцированной ¿2-нормой [17]. Индуцированная в силу системы

¿ = Ао/(р(0)* + Во/(р(0И

г = Сы (р (I))х + Ос1 (р ^)) w,

£2-норма определяется следующим образом:

Z 2

sup 2

У

2

LPV-система (4) имеет квадратичное Д^-качество управления у, если существует положительно определенная функция Ляпунова, устанавливающая асимптотическую устойчивость системы (4), и норма, индуцированная отображением w e ¿2 в z e ¿2 в силу (4), ограничена величиной у вдоль всех допустимых траекторий p (t):

INIL2 < У\ПL2-

Цель LPV-синтеза — построить зависящий от вектора p закон управления:

¿а: = аИр)х*:+вИР)у>

u = Ск (p) хк + Dk (p) y,

который стабилизирует замкнутую систему (3) экспоненциально и гарантирует, что при нулевых начальных условиях величина индуцированной £2-нормы не превосходит у для всех допустимых траекторий p (t).

Построение закона управления (5), автоматически учитывающего изменение параметров объекта управления, основано на поиске соответствующей функции Ляпунова, позволяющей установить устойчивость и качество управления в замкнутой системе. Существует два основных подхода к построению таких законов управления. Первый из них [20] основан на дробно-линейных преобразованиях матриц и поиске зависящего от параметра регулятора в дробно-линейном виде [19]. Второй основан на политопном (см. далее) представлении зависящего от параметров объекта управления и поиске регулятора в таком же виде [21]. Функция Ляпунова, устанавливающая устойчивость и качество управления, может быть как не зависящей, так и зависящей от параметров p; в последнем случае могут быть также учтены пределы скорости изменения параметров. Оба подхода сводятся к оптимизационной задаче с ограничениями, выраженными в форме линейных матричных неравенств [18, 29].

Используемый в настоящей работе достаточно простой подход следует работам [21, 24] и использует политопное представление зависящего от параметров объекта управления. Пусть

измеряемый параметр р ) лежит в гиперкубе пространства ^ с вершинами {П. (N = ).

Политопом называют любую выпуклую оболочку векторов или матриц, т. е. множество со свойствами

8 = , > 0, ^ =!.

I=1 1=1

При изменении параметра р в пределах этого гиперкуба

р(Г) = £4. П., 4. > 0, ]Г 4. = 1

I=1

матрица 8 (р), соответствующая системе (3),

г=1

Г Л (р) В1 (р) В2 Л

8 (Р ) = С (р ) Б11 (р) Б12

1 С2 Б21 Б22 У

изменяется внутри выпуклой оболочки (политопа) с вершинами 8 (П.) и может быть выражена через «угловые» матрицы политопа:

8 (р ) = £ 4. 8 (П.).

¿=1

По существу, политоп — это выпуклая совокупность матриц, зависящих от параметра, изменяющегося внутри гиперкуба.

Задача построения регулятора с помощью не зависящей от параметров функции Ляпунова, гарантирующей устойчивость замкнутой системы и робастное качество управления уровня не хуже у, сводится к поиску двух симметричных матриц Я > 0, 8 > 0, являющихся решением оптимизационной задачи [20]:

тт у

Ы, 8 еК"х"

при условии выполнения для всех вершин политопа следующих матричных неравенств:

(

N12 0

Л,-К + ЯЛ. С Я вТ

КС1 вьЛ

"Г! »11,

т

Б

11.

-у!

N12 0

< 0, . = 1,... N,

N21 0 0 I

^Лг8 + 8Л.Т В18

8Вь С Т. ^

у! Б

1 1 .

Б

11.

-у!

N21 0 0 I

< 0, . = 1,... N,

Я I I 8

> 0.

Здесь N12 и N21 — нуль-пространства (ядра) матриц (Б^, ) и (С2, Б21) соответственно.

При применении указанной оптимизационной процедуры одновременно алгебраически вычисляются также матрицы Ак., Б^ , Ск., , определяющие LPV-регулятор (5) в виде:

Ak

= E 5 i

t=\

B k

D

ki

где £^ — коэффициенты разложения параметра p (t) по вершинам политопа {П}; (6). Подчеркнем, что матрицы Ak,, Б^, Ck., D^, описывающие 2n «угловых» регуляторов, вычисляются при синтезе, а LPV-регулятор вычисляется в режиме реального времени с помощью простых формул (5), (11) и информации о текущем значении измеряемого параметра p (t).

Оптимизационная задача (7) — (10) может быть решена с помощью имеющихся вычислительных средств. В настоящей работе используется инструментарий Robust Control Toolbox [29] для среды MATLAB.

3. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ МОДЕЛИ САМОЛЕТА НА ШАРНИРЕ МЕТОДОМ LPV-СИНТЕЗА

Как показывают результаты моделирования, а также исследования многих авторов [1 — 12, 30, 31], возникновение боковых автоколебаний на больших углах атаки обусловлено нелинейной зависимостью аэродинамических характеристик, преимущественно в канале крена, от углов атаки и скольжения. Зависимость момента крена от углов атаки и скольжения для рассматриваемой модели маневренного самолета показана на рис.1. Для построения закона управления, позволяющего подавить боковые автоколебания модели самолета на больших углах атаки, нелинейная система уравнений (1) упрощается таким образом, чтобы боковые автоколебания качественно и, в основном, количественно совпадали с автоколебаниями в полной системе (1). Таким упрощением является следующая система уравнений бокового движения модели самолета на шарнире:

\|/ = ~(йу cos у/sin 9 0,

T = cox+coycosyctg0o, - _ _

Юу =Щу+м™*(ох +Myyoiy +м;лФ.

Здесь 90 = а0 — балансировочное значение угла тангажа при заданном угле отклонения стабилизатора ф. В уравнениях (12) величины

м7 , M7, му, м7, m7, мф, мф и функция Mx (р) зависят от угла атаки, однако характер автоколебаний практически не изменяется,

если угол атаки при вычислении этих величин считать фиксированным и равным балансировочному значению или среднему значению за период колебания. Единственной существенной нелинейностью, определяющей возникновение автоколебаний в рассматриваемой задаче, является нелинейная зависимость момента крена от угла скольжения Mx (р).

Зависимости действительных частей собственных значений продольного и бокового движения модели самолета на шарнире от угла отклонения стабилизатора в диапазоне ф = —28 —22° приведены на рис. 2. Из рисунка видно, что продольное движение устойчиво, а боковое — неустойчиво в диапазоне ф = —27.4 —22.6°. Именно в этом диапазоне углов отклонения стабилизатора существуют боковые автоколебания большой амплитуды самолета и модели самолета на шарнире. Ввиду малой эффективности элеронов и руля направления на больших углах атаки, как и в работах [13, 14], управление будем осуществлять с помощью дифференциального стабилизатора Лф.

Рис. 1. Зависимость момента крена от углов атаки и скольжения

Рис. 2. Действительные части собственных значений продольного и бокового движения модели на трехстепенном шарнире в зависимости от угла отклонения стабилизатора

С целью приведения системы (12) к квазилинейной форме (3) введем параметр следующим образом:

p (y(t )) =

Mx

Y 0,

у Ф 0, у = 0.

Тогда Mx (g0, p(90, у)) = p(y(t))y, и система (12) принимает квазилинейный вид:

у = -соeos у/sin 9 о,

у = со .,+<».,, cos yctge0, ¿>T=p(t)J+M^o,x  л/;:' .о г +ЩАФ, =м;У+щ*х • л/;:  <ог +м/дФ.

В данном случае измеряемый параметр р — скаляр, и как следует из анализа аэродинамических характеристик и динамики колебаний, его диапазон изменения равен

p е [-50, 0].

Зависимости параметра (13) от угла у при нескольких значениях балансировочного угла тангажа 0о («о =о) в диапазоне существования боковых автоколебаний 32° < ао < 46° приведены на рис. 3. Для упрощения синтеза закона управления угол ао считаем постоянным, равным среднему значению в рассматриваемом интервале: ао = 39°. Из приведенных графиков получена простая приближенная зависимость параметра p от у, показанная на рисунке жирной линией. Эта упрощенная зависимость в дальнейшем используется при численной реализации алгоритма управления.

С целью формализации задачи построения зависящего от параметров закона управления, обеспечивающего устойчивость нулевого положения равновесия системы (14) во всем диапазоне изменения параметра p, будем использовать блок-схему, представленную на рис. 4. Она содержит блоки, описывающие рассматриваемую модель динамики объекта управления LPV model, привод Actuator, а также возмущения, физические ограничения и цели управления. Требования к качеству управления формулируются посредством выбора весовой функции Wperf, приложенной к разности между желаемым и действительным движением в замкнутой системе. В рассматриваемом случае желаемое движение — стационарное решение у = у = 0, юу = юх = 0 (9 = 9о, <az = о).

Мультипликативное возмущение, представленное на блок-диаграмме весовой функцией Wdel и множеством неопределенностей А, используется для описания ошибок, обусловленных LPV-аппроксимацией нелинейной модели. Величина отклонения привода и скорость отклонения, взятые

AM /у

10

0

-10

-20 -30 40 -50

-60 -20

-Ф = -25°

V л V 4 ^— \/........ - Л\ |\\ А \ \\\

// ' III rv

/ / ' / / ' / / ' 1..................... ф = -26° Модель р = р

/ t I i > / !'

/А J// ........V \ " уЛ v\

-10

о

10

у, град

Рис. 3. Зависимость параметраp от угла крена

20

Рис. 4. Блок-схема замкнутой системы для формулировки задачи ЬРУ-синтеза алгоритма управления

с весом Wact, учитывают физические ограничения на величину управляющего сигнала и скорость его изменения. Величина возмущений, вносимых ошибками датчиков, описывается блоком Wnoise. Поскольку информационный вычислительный комплекс управления моделью в шарнире

обеспечивает измерение всего фазового вектора (у, у, юх, юу) системы (12) (а также 0 и ю2),

будем весь этот вектор использовать в качестве сигнала обратной связи.

Выбор весовых функций — итерационная процедура из-за противоречия между требованиями робастности и качества управления. Выберем весовые функции следующим образом:

^по^е = diag(жу, ЖЮх, Жю^) = 0.0114, = 1014 (1„ —единичная матрица размера п х п).

Для коррекции активности управления используем весовые функции "ае1 = 12, а величину мультипликативого возмущения возьмем равной "рег1 = 0.1. Модель привода аппроксимируем передаточной функцией первого порядка

1/ ( 0.0115 +1).

Расширенный LPV объект управления, к которому применяется оптимизационная процедура, образуется из блок-схемы на рис. 4 объединением соответственно всех входов и выходов с формированием одной передаточной матрицы. Задача синтеза зависящего от параметра регулятора, минимизирующего квадратичное качество управления у при ограничениях (8) — (10), была решена с помощью средств, имеющихся в MATLAB Robust Control Toolbox [29]. Применение оптимизационной процедуры [29] позволяет вычислить регулятор (5) 4-го порядка в виде:

Ak

= E 5 i

¿=1

Б k

D

где ^ > 0, г = 1,2 — коэффициенты разложения параметра р(^) по «угловым» точкам отрезка (15):

=

Pmax " P

Pm

Pm

^2 =

P (t)" Pm

Pm

~Pm

Здесь рШщ и ртах — минимальное и максимальное значения параметра р. Блок-схема зависящего от параметра закона управления приведена на рис. 5. Амплитудно-фазо-частотные характеристики передаточных функций у ^ Лф, у ^ Лф, юх ^ Аф, юу ^ Аф двух «угловых» регуляторов приведены на рис. 6.

Поскольку регулятор является непрерывной функцией угла крена у, то обеспечивается его автоматическая подстройка к амплитуде бокового движения. Переходные процессы в линейной замкнутой системе с построенным регулятором для двух граничных значений параметра р при начальных отклонениях по углу крена у и угловой скорости крена юх приведены на рис. 7.

Рис. 5. Блок-схема зависящего от параметра закона управления

Рис. 6. Амплитудно-фазовые частотные характеристики передаточных функций двух «угловых» регуляторов LPV закона управления

Рис. 7. Переходные процессы в линейной замкнутой системе для двух граничных значений параметра р при начальных отклонениях у и юх

Рис. 8. Подавление боковых автоколебаний с помощью LPV-регулятора

Сплошными линиями показаны переходные процессы при минимальном значении параметра р, штриховыми — при максимальном.

Для нескольких значений угла отклонения стабилизатора на рис. 8 показан эффект действия построенного LPV-регулятора для подавления автоколебаний большой амплитуды, развивающихся в системе (1) при отсутствии управления. Система подавления автоколебаний включается в момент времени ^ = 5 с. Модель привода при моделировании принималась, как и при синтезе, передаточной функцией первого порядка (16). Диапазон отклонений дифференциального стабилизатора при подавлении развитых автоколебаний с помощью синтезированного закона составляет 20°, что является приемлемым для рассматриваемой модели. Максимальная угловая скорость отклонения привода дифференциального стабилизатора составляет около Аф — ±150°/с, что также является приемлемым для современных сервоприводов, используемых для моделей в АДТ. Таким образом, результаты нелинейного моделирования подтверждают адекватность принятой схемы LPV-синтеза для построения закона управления, позволяющего подавить боковые автоколебания модели самолета на трехстепенном шарнире на больших углах атаки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе для модели маневренного самолета на трехстепенном шарнире в АДТ предложен алгоритм автоматического управления для подавления автоколебаний большой амплитуды по крену и рысканию, возникающих на больших углах атаки. Алгоритм построен с помощью метода LPV-син-теза. Численным моделированием подтверждена эффективность разработанного алгоритма. Аналогичный подход может быть использован для подавления боковых автоколебаний самолета

на больших углах атаки в полете. Приемлемость построенного алгоритма в полной мере будет оценена после проведения экспериментов с управляемой динамически подобной моделью маневренного самолета на трехстепенном шарнире в АДТ.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Минобрнауки (соглашения 14U01.21.8377 и 14U01.21.8757), а также гранта РФФИ (проект 12-08-00679_а). Автор выражает искреннюю благодарность А. Н. Храброву за полезные обсуждения при выполнении работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Schmidt L. V. Wing rock due to aerodynamic hysteresis // J. Aircraft. 1979. V. 16, N 3, p. 129 — 133.

2. Hsu C. Hao, Lan C. E. Theory of wing rock // J. Aircraft. 1984. V. 22, N 10, p. 920 — 924.

3. Elzebda J. M., N a y f e h A. H., M o o k D. T. Development of an analytical model of wing rock for slender delta wings // J. Aircraft. 1989. V. 26, N 8, p. 737 — 743.

4. Luo J., Lan C. E. Control of wing-rock motion of slender delta wings // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1993. V. 16, N 2, p. 225 — 231.

5. Rogers R. M. Parameter optimal control of wing-rock // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1994. V. 17, N 5, p. 1131 — 1133.

6. Singh S. N., Yirn W., W e 11 s a W. R. Direct adaptive and neural control of wing-rock motion of slender delta wings // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1995, V. 18, N 1, p. 25 — 30.

7. S hu e S.-P., Sawan M. E., Rokhsaz K. Optimal feedback control of a nonlinear system: wing rock example // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1996, V. 19, N 1, p. 166 — 171.

8. Monahemi M., Krstict M. Control of adaptive wing rock motion using feedback linearization // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1996, V. 19, N 4, p. 135 — 140.

9. S hu e S.-P., A g ar wa R. K. Nonlinear Нш method for control of wing rock // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 2000. V. 23, N 1, p. 60 — 68.

10. G o T. H., R a m n a t h R. Analysis of the two degree of freedom wing rock in advanced aircraft // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 2002. V. 25, N 2, p. 324 — 333.

11. Calise J., Shin Y., Johnson M. D. A comparison study of classical and neural network based adaptive control of wing rock // AIAA Paper 2004.

12. Goman M. G., Zagaynov G. I., Khramtsovsky A. V. Application of bifurcation methods to nonlinear flight dynamics problems // Progress in Aerospace Sciences. 1997, V. 33, N 59, p. 539 — 586.

13. Голиков В. И., Орлов А. А., Власов П. Н., Сыроватский В. А. Подавление боковых колебаний маневренного самолета на больших углах атаки // ТВФ. 2010. T. LXXXIV, № 2 (699), с. 17 — 41.

14. Дубов Ю. Б., Желонкин В. И., Храбров А. Н. Исследование боковых автоколебаний маневренного самолета на больших углах атаки // Вестник Московского авиационного института. 2012. T. 19, № 5.

15. Виноградов Ю. А, Колинько К. А., Сидорюк М. Е., Храбров А. Н. Исследование критических режимов динамики самолета на трехстепенном шарнире в аэродинамической трубе // XXII научная конференция по аэродинамике. — п. Володарского, 2012, c. 61 — 62.

16. В и н о г р а д о в Ю. А., Г р и ш и н И. И., К о л е с н и к о в Е. Н., К о л и н ь к о К. А., Сидорюк М. Е., Храбров А. Н. О возможности исследования в аэродинамических трубах критических режимов полета с использованием шарнира с тремя степенями свободы // Ученые записки ЦАГИ. 2014. Т. XLV, № 5, с. 91 — 100.

17. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H-infinity control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. 1994. V. 4, p. 421 — 448.

18. Doyle J., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and Нш control problems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. V. 34, N 8, p. 831 — 847.

19. Packard A. Gain-scheduling via linear fractional transformations // Systems and Control Letters. 1994. V. 22, p. 79 — 92.

20. Becker G., Packard A. Robust performance of linear parametrically varying systems using parametrically-dependent linear feedback // Systems and Control Letters. 1994. V. 23(3), p. 205 — 215.

21. G a h i n e t P., A p k a r i a n P., C h i l a l i M. Affine parameter-dependent Lyapunov functions for real parametric uncertainty // Proc. Conf. Dec. Contr. 1994, p. 2026 — 2031.

22. Apkarian P., Gahinet P. A convex characterization of gain-scheduled HM controllers // IEEE Transactions on Automatic Control. 1995. V. 40, N 5.

23. Apkarian P., Gahinet P., Becker G. Self-scheduled HM control of linear parameter-varying systems: a design example // Automatica. 1995. V. 31, p. 1251 — 1261.

24. W u F. Control of liner parameter varying systems: Ph.D. Dissertation — Dept. of Engineering, Univ. of California, Berkeley, 1995.

25. Wu F., Yang X. H., Packard A., Becker G. Induced L2-norm control for LPV systems with bounded parameter variation rates // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. 1996. V. 6, p. 983 — 998.

26. Apkarian P., Adams R. Advanced gain-scheduling techniques for uncertain systems // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 1998. V. 6, N 1, p. 21 — 32.

27. Bates D., Hag s tr o m M., e d s. Nonlinear analysis and synthesis techniques for aircraft control. — Springer. 2007, 360 p.

28. Marcos A., B ennani S. LPV modeling, analysis and design in space systems: rationale, objectives and limitations // AIAA Paper 2009-5633.

29. Gahinet P., Nemirovsky A., Laub A., Chilary M. Robust control Toolbox // The Math. Works Inc. 2005.

30. Жук А. Н., Столяров Г. И., Х р а б р о в А. Н. Различные режимы самопроизвольных колебаний по крену треугольного крыла малого удлинения // Ученые записки ЦАГИ. 1993. Т. XXIV, № 4, с. 113 — 123.

31. Гоман М. Г., Усольцев С. П., Храбров А. Н. Динамика модели самолета в аэродинамической трубе с подвижностью по крену и рысканию // Ученые записки ЦАГИ. 1995. Т. XXVI, № 3 — 4, с. 111 — 124.

Рукопись поступила 1/VII2013 г.