Уточненные выражения для диффузионных потоков, приводящие к гиперболическим уравнениям массопереноса

Рис. 4. Расходно-напорная характеристика ЭГД-насоса Dp=f(m) при напряжении U=25, 30, 35 кВ.

ЭГД-насос создает перепад давления Ар =250 кПа или 2,5 бара, достаточный для преодоления сопротивления в циркуляционном контуре холодильной установки. При этом насос потребляет всего 32 Вт, а его общий КПД составляет 43 %. Масса ЭГД-насоса - 4 кг, источника питания -3 кг.

Анализ работы данной конструкции ЭГД-насоса показывает, что предложенная новая система электродов и её геометрические размеры позволяют развивать необходимый массовый расходш = 30 -ь 50 г/с, а установленные в последовательный ряд 20 таких ступеней создают

перепад давления др =200 250 кПа, что обеспечивает нормальную работу холодильной системы с холодопроиз-водительностью 8 кВт на температурном уровне +1 -¡--5 °С. При этом КПД всего ЭГД-насоса, ч = 45 % существенно превышает эффективность работы обычных механических насосов, КПД которых при этих относительно малых расходов жидкости составляет всего 15 + 20 %.

. Данная холодильная система с крио-ЭГД-насосом, на наш взгляд, найдет широкое применение в районах с относительно холодными зимами и, в частности, в Омской области. Работа одной холодильной установки только в течение 3-х месяцев в году при номинальной производительности 40 кВт с учетом расходов на капитальные затраты, связанные с установкой ЭГД-насоса, позволяет сэкономить свыше 20000 кВт.ч электроэнергии.

Литература

1. Медовар Л.Е. Целесообразность применения насосных фреоновых систем с использованием естественного холода.-Холодильная техника, 1989. №6.

2. Филиппов Э.Б., КпепадаА.С.,ПашкоВ.П. Расширение температурного диапазона работы фреоновой холодильной машины.-Холодильнаятехника, 1990. №11.

БУМАГИН Геннадий Иванович - д.т.н , профессор кафедры "Техника и физика низких температур" ОмГТУ. ПОПОВ Леонид Викторович - зам. генерального директора ОАО "Сибкриотехника".

РАХАНСКИЙ Анатолий Евгеньевич - научный струдник ОАО "Сибкриотехника".

С. А. КОРНЕЕВ

Омский государственный технический университет

УДК 536.7

УТОЧНЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ

диффузионных ПОТОКОВ,

ПРИВОДЯЩИЕ К ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ МАССОПЕРЕНОСА

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К БИНАРНОЙ СМЕСИ ГАЗОВ ПОЛУЧЕНО УТОЧНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ МАССООБМЕНА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. ВЫВЕДЕНА ЗАВИСИМОСТЬ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ ДИФФУЗИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ СМЕСИ.

1. Введение

Теория диффузии в бинарных газовых смесях строится, как правило, на основе уравнения

h = -pDl

задающего значение массового диффузионного потока для одного из компонентов. Согласно кинетической теории газов в приближении Чепмена-Энскога [1]

к? = ?-у[у2 (2, Р Ц

где

"а Ра Ра .. _ Vц х

п ' р На а

р = 1ра " = 2>а v = IyaVa W = Ixava

а О^' и Аг- коэффициенты взаимной диффузии в системе средней массовой скорости V и средней молярной скорости соответственно. Выражение для диффузионного потока второго компонента получается из уравнения (1) простой заменой индексов. При этом имеют место равенства

Й2 = 02.. ¿Г—*!' =*2°'

В случае изобарно-изотермической диффузии в неподвижной среде (¥=о) при постоянной величине

коэффициента Аг и = ^на основании выражения (1) получается уравнение массопереноса

Круг задач, решаемых с помощью соотношений (1 )-(3), исключительно обширен и непрерывно пополняется большим количеством новых практически важных результатов.

Поскольку уравнение (3) является уравнением параболического типа, скорость распространения диффузионных возмущений равна бесконечности. Чтобы избавиться от данной особенности, обычно предлагается ввести в левую часть уравнения (1) дополнительное слагаемое тф'|/с!/ = т(^|/Э/ + у/| у). Благодаря этому вместо параболического уравнения (3) получается гиперболическое уравнение

а скорость распространения массы становится равной

Различные варианты обоснования указанной поправки содержатся, например, в обобщенной теории Онсагера [2], в рациональной термодинамике [3] и в расширенной необратимой термодинамике [4].

Уточнённые уравнения массообмена играют важную роль при исследовании сверхзвуковых течений, особенно в тех случаях, когда скорость течения больше или равна скорости распространения диффузионных возмущений. Учет конечности скорости диффузии имеет немаловажное значение и при расчётах ряда быстропротекающих массообменных процессов, например, нестационарных волн химического превращения, поскольку распространение пламени от начального очага реакции существенно зависит от скорости пространственного перераспределения образующихся активных центров.

Гпавной причиной, сдерживающей широкое применение уточнённых уравнений массопереноса, является отсутствие достоверных сведений о величине времени релаксации т. Чтобы устранить данное затруднение и определить вид функциональной зависимости времени релаксации от параметров состояния бинарной смеси, можно воспользоваться гидродинамической теорией диффузии Максвелла-Стефана.

2. Постановка и решение задачи

Следуя гидродинамической модели диффузии Максвелла-Стефана, будем рассматривать многокомпонентную сплошную среду как совокупность взаимопроникающих сплошных сред [5]. В этом случае изменейие плотности

ра и скорости уи каждого компонента будет описываться парциальными уравнениями переноса массы и импульса

^- + У.

3

Э/

= 7'(^-Рау^а)+Ра41 + £раР|1/"ар (6) Р

По третьему закону Ньютона для сил межкомпонентного взаимодействия справедливо равенство

/ар = -/ра

Отнесём движение смеси к системе средней массовой скорости у Тогда массовый диффузионный поток

Уа=Ра"а

определится через диффузионную скорость

иа = \а-\.

Просуммируем уравнения (5), (6) по всем компонентам смеси и учтём выражения (7)-(9). Введя обозначения

Т = ЦТа Ь = £уаЬа а ' а ' получим следующие уравнения для смеси в целом:

Эр о!

Ару)

д1

= У(7'-рУ¥-Храиаиа) + рА

Без ограничения общности конечного выражения для времени релаксации можно пренебречь вязкостью компонентов смеси, положив с приемлемой для практики точностью

Га = -Ах'  Ра = . Удельная сила межкомпонентного взаимодействия /ар является функцией состояния. При ее определении в теории Максвелла-Стефана во внимание принимается только относительное движение компонентов. Однако, как учит опыт, на поведение смеси заметное влияние оказывает также градиент температуры. Поэтому будем исходить из более общей зависимости

/ар=/ар

Разложим функцию (12) в ряд Тейлора по аргументам (уа- ур), у0 и ограничимся первыми членами ряда. Поскольку газовая смесь представляет собой изотропную сплошную среду, будем иметь

/ар = -[*ар

^ар = ^-ра 1 кар = ""-ра

Следовательно, каа = 0. Без ограничения общности можно принять, что каа - 0.

Преобразуем выражение (8) к эквивалентному виду

)а =(РаУа)->'а(РУ) и обратим внимание на то, что величины ра уа и ру представляют собой плотность импульса а-компонента и смеси в целом. Тогда с помощью уравнений (5), (6), (10), (11) нетрудно установить уравнения, которые описывают

эволюцию диффузионных потоков уа.

Если наряду с выражениями (2) ввести обозначения

2

и отбросить малые слагаемые, содержащие квадрат диффузионной скорости, то для одного из компонентов бинарной газовой смеси получится уравнение

у, = -рО^?*! + Р + *?!п 0 + - А,)] - т(фу/<1/ + у, V у+ У V- /',).

При этом время релаксации будет равно ЭТ8ц

Для различных бинарных систем, находящихся при атмосферном давлении и 9 = 0 "С, в табл. 1 приведены значения времени релаксации и скорости диффузии, рассчитанные по формулам (4), (14). Пример зависимости времени релаксации от состава смеси при различных температурах представлен на рис. 1. При этом коэффициент диффузии 012 вычислялся формуле [6]

0,2 = ф/т)а,

где а - эмпирические константы, принимающие разные значения для разных бинарных систем (например, величина а изменяется от 1.5 до 2.1).

По формулам (13) нетрудно определить величину коэффициентов межкомпонентного взаимодействия:

.2

*12 =

Р»

Р ИМ2А2 '

42 :

ца|9) РЙ1И2 '

где а! = к) /(х\х2) -термодиффузионныйкоэффициент, численные значения которого приводятся, например, в работе [1].

Таблица 1. Диапазон изменения времени релаксации и скорости диффузии для различных бинарных смесей

Смесь т, 10~1и с с, м/с

н2-о2 0.6-9.7 266-1065

Н, - С02 0.5-10.9 227-1065

N,-O2 2.2-2.6 266 - 285

02-Н02 1.6-2.9 266 - 355

т, Юнос

Рис. 1. Зависимость времени релаксации диффузионных возмущений от состава бинарной системы О, - Н,0:1 - в = 300 К; 2 - 0 = 350 К; 3 - в = 400 К.

/aß - удельная сила межкомпонентного взаимодействия, м^кгс2);

I -единичныйтензор;

j - массовый диффузионный поток в системе средней массовой скорости, кг/(м2с);

-коэффициенттермодиффузии; - коэффициент бародиффузии;

к^ - коэффициент седиментации, (с/м)2;

^aß - коэффициент межкомпонентного трения, м3/(кг-с); п - молярная плотность, кмоль/м3; Р - давление, Н/м2;

91 -универсальная газовая постоянная, Дж/(кмольК); I -время, с;

Т -тензор напряжений, Н/м2; и - диффузионная скорость, м/с; v - средняя массовая скорость, м/с; w - средняя молярная скорость, м/с; х - молярная доля (молярная концентрация); у - массовая доля (массовая концентрация); а -термодиффузионный коэффициент; 9 -абсолютная температура, К; Kaß -термический коэффициент межкомпонентного взаимодействия, м5/(кг-с2-К);

ц -молекулярный вес, кг/кмоль; р - плотность, кг/м3; х -время релаксации, с. Индексы:

a , ß , у - номер компонента смеси.

Литература

3. Заключение

Время релаксации диффузионных возмущений зависит от природы компонентов газовой смеси, её состава и температуры. Скорость диффузии и скорость звука (в данной смеси) являются величинами одного порядка. Поэтому параболические уравнения массообмена обеспечивают вполне приемлемую точность при расчёте дозвуковых течений. При математическом моделировании сверхзвуковых течений следует использовать гиперболические уравнения массообмена.

Обозначения

а -эмпирическийкоэффициент; Ь - плотность внешних массовых сил, м/с2; с - скорость распространения диффузионных возмущений, м/с;

о, 2 - коэффициент взаимной диффузии бинарной смеси в системе средней молярной скорости, м2/с;

о'г* - коэффициент взаимной диффузии бинарной смеси в системе средней массовой скорости, м2/с;

о0 -значение коэффициента оп при 0 "С и атмосферном давлении, м2/с;

1. Вальдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении //Термодинамика газов. - М.: Машиностроение, 1970.-С. 169-414.

2. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // ИФЖ. - Т. 9. - N 3. -1965. - С. 287-304.

3. Самогил И. Рациональная термодинамика нере-агирующей бинарной линейной жидкости // ИФЖ. - Т. 25. -N2. -1973.-С. 271-285.

4. Muller I., Ruggeri Т. Extended Thermodynamics. - New York: Springer-Verlag, 1993.-240 p.

5. Truesdell K. Mechanical Basis of Diffusion // J. Chem. Phys. -1962. -V. 37. - N 10. - P. 2336-2344.

6. Физические величины: Справочник/А.П. Бабичев, И.А. Бабушкина, A.M. Братковский и др.; Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиэдат, 1991. -1232 с.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович - кандидат технических наук, доцент, докторант ОмГТУ, кафедра "Основы теории механики и автоматического управления".