Математические модели для прогноза макроэкономических показателей России

Практическая ценность образования тем выше, чем больше у учащегося умений устанавливать межпредметные связи и в нынешних условиях информационного взрыва - самостоятельно получать новые знания, умения, навыки. Здесь компьютер может стать одним из ключевых инструментов. С точки зрения преподавателя компьютерные технологии не только снимают рутинные проблемы, но позволяют перейти от вещания к творческой дискуссии с учениками, совместным ис-

следованиям, новым формам обучения, в целом - к более творческой работе.

С точки зрения обучаемого компьютерные технологии значительно индивидуализируют учебный процесс, увеличивают скорость и качество усвоения учебного материала, существенно усиливают практическую ценность, в целом - повышают качество образования.

Поступила в редакцию 26 декабря 2007 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗА МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ

ПОКАЗАТЕЛЕЙ РОССИИ

© Е.Г. Поздникина

Проблема сохранения накоплений является очень актуальной на сегодняшний день для многих граждан Российской Федерации. Существует множество способов вложений сбережений как с целью их сохранения от инфляции (пользоваться услугами официальной банковской сферы), так и существенного преумножения вложенного капитала (покупка ценных бумаг, недвижимости, организация бизнеса и т. д.), что сопряжено со значительным риском. Но вне зависимости от способа вложений денег индивид (человек) должен предполагать, где он получит наибольшую выгоду. Если индивид собирается вложить свои сбережения в банк, он должен решить, в какой валюте (или валютах) их хранить, чтобы потери были минимальными. То есть индивид должен уметь предсказывать курсы валют, которые определяются экономической ситуацией в стране (т. е. изменением различных макроэкономических показателей). Аналогично обстоит дело, если индивид занимается покупкой и продажей ценных бумаг, акций различных компаний - чтобы инвестиции приносили доход, он должен хорошо разбираться и уметь анализировать как внутреннюю политику предприятия, чьи акции приобрел, так и видеть влияние внешних экономических и политических факторов.

Таким образом, построение прогнозов различных макроэкономических показателей, которые напрямую или косвенно могут влиять на получение прибыли или уменьшение потерь от тех или иных видов вложений сбережений, является важнейшей составляющей экономической деятельности.

Прогноз - это промежуточное звено между познанием объективной реальности и деятельностью людей по ее преобразованию. Разработкой прогнозов рынка сбыта, финансовых потоков, курса валют и других важнейших показателей деятельности заняты тысячи, если не миллионы работников банков, фирм, государственных органов, частных компаний. Создание методов прогнозирования - одна из главных проблем науки и, может быть, труднейшая из них [1].

Создание адекватной экономико-математической модели, описывающей реальный объект, является сложной задачей, требующей от разработчиков не столько глубоких теоретических знаний, сколько «здравый смысл и стремление не вступить в противоречие с формальной и экономической логикой» [3].

В статье М.Н. Узякова «Квартальный прогноз макропоказателей экономики РФ в 2006-2008 гг.» исследуется прогноз ключевых макроэкономических показателей России. С одной стороны, прогноз основывается на тенденциях динамики этих показателей, сложившихся в последние годы, с другой - учитывает характер взаимосвязей экономических переменных, нашедших отражение в модели QUMMIR [2].

Группой разработчиков Института народнохозяйственного прогнозирования (ИНП) РАН разработана модель QUMMIR (QUarter Macroeconomic Model of Interactions for Russia) - квартальная макроэкономическая модель взаимодействия российской экономики. [2]

Модель QUMMIR, отражающая взаимодействие производства, доходов и цен в экономике, строится как замкнутая система, в которой эндогенные переменные зависят друг от друга, а также от экзогенных переменных, являющихся, как правило, параметрами экономической политики или внешних (по отношению к российской экономике) условий. Общая схема взаимодействий переменных в модели показана на рис. 1 [2].

Все прогнозы, разрабатываемые с помощью модели QUMMIR, имеют сценарный характер. В этой связи базовым сценарием автор называет такой сценарий, который основан на сохранении параметров экономической политики и на наиболее вероятной (ожидаемой) динамике экзогенных переменных, не являющихся параметрами экономической политики [2].

К числу наиболее динамично изменяющихся экзогенных переменных модели относятся:

- экспорт нефти и газа;

- тарифы естественных монополий;

- потребительские кредиты, предоставляемые населению;

- расходы бюджета;

- цена нефти марки Brent.

Таким образом, модель QUMMIR позволяет в оперативном режиме проводить прогнозные расчеты не только инерционного характера, но и в рамках множества иных сценарных постановок, например:

- расчеты по сценарным условиям Министерства экономического развития и торговли РФ с оценкой реализуемости ожидаемых министерством темпов экономического роста, инфляции и других итоговых показателей прогноза;

Рис. 1. Схема модели QUMMIR

- расчеты, основанные на принципиально иных гипотезах динамики экзогенных переменных;

- специальные проблемно-ориентированные расчеты, в т. ч. связанные с прогнозированием обменного курса [2].

В статье М.Н. Узякова, В.М. Ефимова и др. «Макроэкономическая политика и ее последствия» на основе предложенной авторами динамической модели анализируются основные факторы (сценарные условия) развития экономики России до 2005 г., рассматривается мера воздействия внутренних и внешних условий на характер экономического развития России в среднесрочной перспективе [3].

В основе работы лежит исследование, проведенное по заказу Министерства экономического развития и торговли РФ (МЭРТ) по теме: «Совершенствование макроэкономической политики, среднесрочного и долгосрочного прогнозирования».

Группой разработчиков Института народнохозяйственного прогнозирования (ИНП) РАН создана модель RIM (Russian Interindustry Model) - межотраслевая модель российской экономики. Данная модель позволяет показать результаты анализа влияния на экономи-

ку как отдельных внешних и внутренних факторов, так и различных их совокупностей, представляющих собой описание соответствующих сценариев [3].

К внешним условиям (экзогенные параметры) отнесены следующие показатели: цены на нефть, цены на газ, выплаты по внешнему долгу, темп роста мировой экономики, экспорт нефти и газа. К внутренним условиям (эндогенные параметры) относятся инфляция, курс доллара, динамика валового внутреннего продукта, цены на продукцию и т.д. Сценарные условия разработаны МЭРТ РФ.

Авторами была предложена следующая методика проводимого исследования.

На первом этапе рассчитывался условный, так называемый нулевой вариант развития на среднесрочную перспективу. Главная отличительная особенность этого варианта состоит в фиксировании на прогнозном интервале всех экзогенных переменных модели на уровне 2002 г. Это означает, что темп изменения всех экзогенных переменных равен нулю.

На втором этапе происходит «включение» того или иного параметра сценарных условий (причем всякий раз только одного) и оценивание прогнозной траектории (и всех переменных модели) с участием этого экзогенного параметра. Сопоставление значений переменных модели по данному расчету со значениями соответствующих переменных нулевого варианта позволяет понять меру влияния каждого конкретного параметра сценарных условий на производство, доходы и цены как в целом по экономике, так и применительно к отдельным секторам и сферам российской экономики.

На третьем этапе осуществляется исследование совместного влияния на экономику основных факторов и сценарных условий, в рамках вариантов развития, предложенных МЭРТ [3].

На рис. 2 представлена динамика ВВП по различным вариантам расчетов.

Рис. 2. Динамика ВВП по вариантам: -♦- - нулевой вариант; - - - вариант воздействия роста мировой экономики; -- - нижний вариант МЭРТ; -•- - вариант сценарных условий МЭРТ

Представленные в работе результаты - лишь предварительная оценка реакции экономики на внешние условия и управляющие воздействия экономической политики. Результаты модельных исследований вызывают сомнения в точности расчетов в отношении некоторых показателей. Авторами предполагается дальнейшая работа над моделью RIM.

В статье А.В. Новичкова «Методы прогнозирования динамики валового внутреннего продукта» предложены модели для оперативного и среднесрочного прогнозирования и мониторинга динамики показателей валового внутреннего продукта (ВВП) в текущих и сопоставимых ценах в зависимости от изменения факторов, определяющих объем используемого ВВП. Основными факторами, характеризующими объем ВВП, являются денежные доходы населения (ДДН) и инвестиции в основный капитал [4].

С учетом определения основных факторов внутреннего рынка, в значительной степени влияющих на годовую динамику ВВП, автором работы были выполнены следующие оценки динамики ВВП:

- в текущих ценах - в годовом исчислении; в квартальном исчислении, нарастающим итогом в течение года;

- в темпах роста к предыдущему году.

По результатам проведенных аналитических расчетов автором были разработаны четыре экономикоматематические модели, базирующиеся на использовании методов регрессионно-корреляционного анализа и показавшие высокую степень достоверности аппроксимации отчетных данных. Для проведения аналитических расчетов в работе использовались уравнения регрессии следующего вида:

Модель (1) сформирована на информационной базе за период 1999-2005 гг. и предназначена для проведения расчетов годового объема ВВП в текущих ценах на базе ежегодных данных. Исходной информацией для модельных расчетов служат годовые показатели ДДН и инвестиций в основной капитал в текущих ценах.

Уравнение модели имеет вид:

Y = 331,74 + 0,678Х, + 3,386Х2.

Модель характеризуется следующими показателями достоверности: коэффициент детерминации - 0,998; среднее отклонение за анализируемый период модельных показателей от фактических данных - 0,4 %; отклонение расчетного значения показателя от фактических отчетных данных в 2005 г. - 1,3 % [4].

Динамика отчетных и соответствующих им расчетных данных на основе модели (1) показана на рис. 3 [4].

Модель (2) предназначена для оценки зависимости объема ВВП от ДДН и инвестиций в квартальном разрезе и базируется на информационной базе за 19992005 гг. Уравнение модели имеет вид:

у = 207,57+1,32X1 + 0,675Х2.

Y = a + bX + b2X2,

где Y - объем ВВП; X! новной капитал [4].

Модель (3) предназначена для оценки годовых показателей в зависимости от нарастающих в течение года итогов показателей ДДН и инвестиций в основной капитал, в определенной степени сглаживающих влияние сезонных факторов в отдельных социальноэкономических процессах. Уравнение данной модели имеет вид:

ДДН; Х2 - инвестиции в ос-

Y = 397,59 + 0,921X1 + 2,517Х2.

Рис. 3. Динамика ВВП по модельным расчетам

Рис. 4. Динамика ВВП по модельным расчетам

Рис. 5. Динамика темпов роста ВВП по модельным расчетам

Динамика отчетных и соответствующих расчетных данных на основе моделей (2) и (3) представлена на рис. 4 [4].

Наряду с оценкой ожидаемых объемов ВВП в текущих ценах, являющихся основой для всех последующих бюджетных и денежных расчетов, существует потребность проведения оценки реальных темпов изменения ВВП в сопоставимых ценах предыдущего года [4].

Анализ динамики ВВП в сопоставимых ценах предыдущего года позволяет реально оценивать масштабы и скорость происходящих в экономике процессов. Для проведения анализа динамики ВВП в сопоставимых ценах в годовом разрезе автором предложена модель

(4), базирующаяся на использовании информации о темпах роста ДДН и инвестиций за период 2002-2005 гг. Уравнение модели имеет вид:

У = 73,49 + 0,04Х + 0,259Х2.

Динамика отчетных и расчетных данных на основе модели (4) приведена на рис. 5 [4].

Таким образом, предлагаемые модели, которые основываются на учете минимального количества факторов воздействия, достаточно просты в использовании и позволяют оперативно проводить аналитические и про-

гнозные расчеты по мере поступления отчетной информации. Автором представляется возможным дальнейшее развитие данной работы в целях усовершенствования модели (4) для расчетов на основе квартальных и нарастающих в течение года итогов [4].

Таким образом, как видно из представленного обзора математических моделей прогноза макроэкономических показателей, можно выделить модели, описывающие один показатель, динамика которого характеризуется некоторым набором экономических факторов (параметров) и довольно сложные математические модели связи макроэкономических показателей, в которых рассчитываются изменения основных показателей

по различным взятым сценариям развития экономики России.

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование.

2. Узяков М.Н. Квартальный прогноз макропоказателей экономики РФ в 2006-2008 гг. // Проблемы прогнозирования. 2006.

3. Узяков М.Н., Ефимов В.М., Серебряков Г.Р., Шибалкин О.Ю., Широв А.А., Шошкин С.П., Янтовский А.А. Макроэкономическая политика и ее последствия // Проблемы прогнозирования. 2001. № 3.

4. Новичков А.В. Методы прогнозирования динамики валового внутреннего продукта // Проблемы прогнозирования. 2007. № 3.

Поступила в редакцию 23 декабря 2007 г.

ЗАВИСИМОСТЬ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ ОТ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

© Д.В. Слетков

В статьях [1, 2] описывается математическая модель модели популяции, развитие которой происходит на плоскости, и проведены вычислительные эксперименты по ее исследованию.

Поскольку математическая модель разрабатывалась нами в основном для анализа морфологических характеристик указанных объектов, то речь может идти о качественном соответствии между изображениями, полученными в результате вычислительных экспериментов и формами реальных колоний.

Для различных бактериальных колоний, растущих на плоской среде (в основном на агаре), японские ученые [3] исследовали их фрактальной природу и проводили измерения фрактальной размерности. Они проводили исследования для различных бактериальных штаммов: S. typhimunum (LT2, ATCC, NM-2b), S. anatum (KS 200, KS 700), E. соїі (ATCC 25922, W 3110), C. freundii (NPC 3003), K pneumoniae (Ful), P. mirabilis (NPC 3007), S. marcescens (NS 25, NS 38). Фрактальная размерность бактериальных колоний находилась у них в диапазоне от 1,72 до 1,85. Однако в данной работе исследователи не пытались рассмотреть изменения фрактальной размерности во время роста популяции, они ограничились лишь ее измерением для уже сформировавшихся популяций. В проведенных нами вычислительных экспериментах фрактальная размерность сформировавшихся популяций находится в диапазоне от 1,7 до 1,9, что соответствует данным работы [3].

В статье [2] установлено, что на начальном этапе развития фрактальная размерность популяции, также как и ее численность, увеличиваются, поэтому мы поставили себе цель связать численность популяции и фрактальную размерность на данном этапе развития популяции. Следует учесть, что фрактальную размерность и численность популяции нельзя связать линейным или полиноминальным соотношением. Это следует из того факта, что фрактальная размерность ограничена (она может принимать значения от 0 до 2 для слу-

чая роста на плоскости) и факта, что после некоторого периода времени в модели фрактальная размерность не изменяется, т.е. происходит насыщение кривой, что должно учитываться в виде зависимости. Мы использовали зависимость следующего вида:

N = с Хехр[1/

где N - количество живых клеток в популяции, 4 -фрактальная размерность изображения популяции, с, к, Ъ - коэффициенты пропорциональности. Для определения коэффициентов к и Ъ мы используем линейную регрессию 1Ли(^) от 4. В дальнейшем коэффициенты к и Ъ определяем для всего семейства экспериментов с помощью усреднения коэффициентов линейной регрессии для каждого отдельного вычислительного эксперимента. Коэффициент с выбирается отдельно для каждого вычислительного эксперимента.

Высокое значение коэффициента корреляции между данными вычислительного эксперимента и их аппроксимацией (табл. 1) говорит о возможности использования фрактальной размерности для определения численности популяции на ее начальном этапе развития. На рис. 2-4 изображены модельная кинетическая кривая и ее аппроксимация для одного эксперимента из каждой серии вычислительных экспериментов.

Также экспериментально взаимосвязь между фрактальной размерностью и концентрацией клеток были получены в работах [4, 5]. Экспериментальная зависимость концентрацией клеток от фрактальной размерности хорошо согласуется с нашей моделью.

Таким образом, проведено дополнительное исследование серии вычислительных экспериментов, в ходе которых получена зависимость численности популяции от фрактальной размерности ее изображения на начальном этапе развития популяции.