Метод Давыдова - современный метод постановки вычислительного эксперимента в ракетном твердотопливном двигателестроении

УДК 621.454.3: 51.001.57

М.Ю. Егоров

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия

МЕТОД ДАВЫДОВА - СОВРЕМЕННЫЙ МЕТОД ПОСТАНОВКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА В РАКЕТНОМ ТВЕРДОТОПЛИВНОМ ДВИГАТЕЛЕСТРОЕНИИ

Дается подробное описание метода Давыдова (метода крупных частиц) - современного метода постановки вычислительного эксперимента. В качестве базовой используется полная (нестационарная и трехмерная) система вихревых дифференциальных уравнений гомогенно-гетерогенной (трехфазной) газовой динамики, записанная в дивергентном виде. Приводится параметрическая (используются два параметра) разностная схема метода. Применяется равномерная однородная и полностью изотропная расчетная сетка. В качестве иллюстраций вычислительных возможностей метода Давыдова приводятся результаты расчета ряда актуальных задач ракетного твердотопливного двигателестроения. Рассматриваются численное моделирование неустойчивости рабочего процесса в двухкамерном ракетном двигателе на твердом топливе (РДТТ); численное моделирование динамики внутрикамерных процессов при выходе на расчетный режим работы ракетного двигателя; численное моделирование внутрикамерных процессов при срабатывании бессоплового РДТТ.

Ключевые слова: вычислительный эксперимент, метод Давыдова (метод крупных частиц), формальное описание метода, параметрическая разностная схема, ракетный двигатель на твердом топливе, внутрикамерные процессы.

M.Yu. Egorov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

DAVYDOV METHOD AS A MODERN METHOD OF COMPUTING EXPERIMENT FOR SOLID ROCKET MOTORS

The paper gives a detailed description of Davydov method (method of large particles) which is a modern method of computing experiment. The complete (non-stationary and three-dimensional) system of the vortical differential equations of homogeneous-heterogeneous (three-phase) gas dynamics written down in divergent form is applied as a basic one. The parametrical (two parameters) difference scheme of the method is given. The uniform fully isotropic computational grid is used. Illustrating computational capabilities of Davydov method the calculation results of a number of urgent problems of solid rocket motor (SRM) are given. Numerical modeling of instability of the working process in a two-chamber SRM, numerical modeling of dynamic processes in the combustion chamber at the stabilization process of the rocket engine, numerical modeling of intrachamber processes in the nozzleless SRM are considered.

Keywords: computing experiment, Davydov method (method of large particles), formal description of a method, parametrical difference scheme, solid rocket motors, intrachamber processes.

В конце 60-х гг. XX в., будучи еще весьма молодым ученым, Ю.М. Давыдов предложил оригинальный и одновременно эффективный метод расчета задач газовой динамики - метод крупных частиц [1-3]. В дальнейшем сам автор, его ученики и последователи его сейчас уже известной во всем мире научной школы глубоко развили метод крупных частиц (метод Давыдова) - метод вычислительного (численного) эксперимента нового поколения [4-112].

1. На основе работ [2, 19, 30, 37] формальное описание метода Давыдова применительно к задачам газовой динамики следующее.

Основная идея предложенного Ю.М. Давыдовым метода состоит в расщеплении по физическим процессам (в общем случае не только по физическим процессам, но и по координатам и по времени, а также, при необходимости, совместно) исходной нестационарной системы дифференциальных уравнений (например, системы дифференциальных уравнений Эйлера - полной нестационарной системы вихревых дифференциальных уравнений газовой динамики), записанной в дивергентном виде в форме законов сохранения. Среда в методе моделируется дискретно системой из жидких (газообразных) элементов - крупных частиц, по форме совпадающих в данный момент времени с ячейкой эйлеровой сетки. Стационарное решение задачи, если таковое физически существует, получается в результате установления. Если стационарного решения задачи не существует, то в расчетах реализуется устойчивое нестационарное решение, которое адекватно (в рамках выбранных критериев адекватности) физике исследуемого процесса. Поэтому весь процесс вычислений состоит из многократного (в цикле) повторения шагов по времени. В свою очередь, расчет каждого временного шага (вычислительного цикла), в классическом изложении метода, разбивается на три этапа: эйлеров, лагранжев и заключительный. Рассмотрим каждый из этапов вычислительного цикла в отдельности:

1) эйлеров этап. Здесь пренебрегаем всеми эффектами, связанными с перемещением элементарной ячейки - крупной частицы (потока плотности, импульса и удельной энергии через границы расчетных ячеек нет), и учитываем эффекты ускорения жидкости (газа) только за счет потенциальных сил давления; на этом этапе для крупной частицы определяются промежуточные значения искомых параметров потока (так называемые «эйлерова» скорость и «эйлерова» удельная энергия);

2) лагранжев этап. Здесь при движении жидкости (газа) вычисляются потоки плотности, импульса и удельной энергии через границы ячеек эйлеровой сетки;

3) заключительный этап. На этом этапе определяются в новый момент времени окончательные значения всех искомых газодинамических параметров потока на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для каждой ячейки (крупной частицы) и всей системы ячеек в целом на фиксированной расчетной сетке.

Фактически на первом этапе метода производится чисто лагранжев расчет - рассматривается изменение за время Д" импульса и удельной энергии элементарного лагранжева объема жидкости (газа) -крупной частицы, заключенного внутри данной ячейки эйлеровой сетки (при этом граница объема деформируется и смещается относительно своего первоначального положения). Второй этап метода характеризуется перемещением расчетных ячеек эйлеровой сетки относительно жидкости (газа). На данном этапе вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку (моделируется движение потока плотности, импульса и удельной энергии через границы ячеек эйлеровой сетки и находятся смещения расчетных точек). На третьем этапе метода происходит перераспределение плотности, импульса и удельной энергии по вычислительному пространству, что позволяет определить новое распределение гидро- или газодинамических параметров на первоначальной эйлеровой сетке (находятся изменения за время Д" параметров потока в элементарной ячейке эйлеровой сетки, полученной возвращением лагранжева объема жидкости (газа) в исходное первоначальное положение).

Рассмотренный процесс построения разностных схем метода Давыдова можно с успехом использовать и для других достаточно разнообразных моделей среды (для уравнений Навье - Стокса с различными моделями турбулентности, Больцмана, радиационной газовой динамики, физики плазмы, теории фильтрации, теории деформируемого твердого тела, теории сыпучих сред, теории горения конденсированного вещества (твердого топлива) и др.). Метод позволяет эффективно проводить вычислительный эксперимент в наиболее общей (полной) постановке - в нестационарном и пространственно-трехмерном случае. При этом в расчетах могут учитываться многофазность, полидисперс-

ность и многокомпонентность (с учетом силового и теплового межфазного взаимодействия, фазовых переходов и т.п.), а также любые физико-химические взаимодействия (энерговыделение, горение, излучение, абляция, агломерация, дробление и т.п.).

На сегодня, по существу, метод Давыдова представляет собой целое направление в вычислительной науке (в определенном смысле это особая идеология вычислений) и по своему масштабу далеко выходит за рамки традиционного понимания численного метода. Метод базируется на современной, разработанной Ю.М. Давыдовым нелинейной теории разностных схем и представляет собой большое количество численных методов (так называемую открытую пополняемую систему численных методов), объединенных общей структурой и едиными принципами построения и предназначенных для решения актуальных задач в различных предметных областях с использованием различных моделей среды и с обеспечением необходимой точности вычислений [25, 33].

Современное понимание метода Давыдова состоит в рассмотрении многопараметрических классов разностных схем расщепления (разного типа и вида) с их широкой оптимизацией по параметрам (для данной предметной области и в конкретной вычислительной среде) [14, 25, 33]. Многопараметричность в методе вводится как на уровне разностных схем для внутренних точек расчетной области (ядра потока), так и на уровне разностных схем для граничных условий (приграничные области потока) [32, 47]. Полученные в результате параметрической оптимизации и расщепления в пространстве разностных схем алгоритмы максимально эффективны, любые другие алгоритмы менее эффективны (либо менее точны, либо дают немонотонное решение, либо не удовлетворяют необходимым физическим законам (например, законам сохранения массы, импульса и энергии), либо не удовлетворяют важным математическим свойствам (например, групповым свойствам и т.д.) [12, 14, 25, 89, 90]. Алгоритмы метода Давыдова конструируются в том числе и с учетом особенностей архитектуры современных высокопроизводительных вычислительных систем (супер-ЭВМ, многопроцессорных кластеров, мощных рабочих станций и пр.) [41, 62, 113-120].

Исследованию и оптимизации многопараметрических классов разностных схем расщепления метода посвящены многие работы Ю.М. Давыдова, его учеников и последователей [14, 25, 33, 89, 90].

Значительное (что крайне важно!) развитие получило исследование дифференциальных приближений и представлений разностных схем метода Давыдова, анализ вычислительной устойчивости, изучение групповых и других существенно нелинейных свойств разностных схем метода (диссипации, аппроксимационной вязкости, дисперсии, бивязко-сти, бидисперсии, тривязкости, тридисперсии и т.п., солитонных эффектов, консервативности, полной консервативности, К-свойства, сильного К-свойства, М-свойства и т.п.) [5, 18, 33, 54, 56, 99, 121, 122].

Отметим широкий круг рассматриваемых с помощью метода Давыдова проблемных задач. К ним можно отнести задачи внешней и внутренней (в том числе внутрикамерной) аэро- и гидродинамики (струйные, отрывные течения, зарождение, распространение и взаимодействие с препятствиями ударных волн, генерация звуковых колебаний, различные турбулентные течения, течения слабосжимаемых сред и пр.) [2, 13, 33, 58, 96], механики многофазных гомогенно-гетерогенных сред [22, 33, 40, 52], физики плазмы и электродинамики [23], тепломассообмена [27, 50], теории фильтрации [104], механики сыпучих сред (например, грунтов) [33], механики деформированного твердого тела [33] и др. Многие практические (прикладные) приложения метода относятся к решению актуальных задач общего и специального машиностроения, авиастроения, ракетостроения, двигателестроения [4, 8, 35-39, 123], энергомашиностроения [46], парашютостроения [27, 28, 50], химического машиностроения и нефтехимии [33, 87], биологии, медицины, экологии и охраны окружающей среды [33] и т.п.

2. Основываясь на работах [30, 37], перечислим тезисно сильные стороны данной численной технологии - метода Давыдова, которые способствовали такому широкому его распространению и использованию:

- метод Давыдова соответствует оптимальной точке многомерного пространства разностных схем; строгим математическим фактом является то, что любая другая точка этого пространства разностных схем не является оптимальной, т.е. любые другие численные методы уступают методу Давыдова по своим свойствам;

- оптимальность метода Давыдова аподиктична, т.е. неопровержимо доказана;

- метод Давыдова относится к численным технологиям вычислительного эксперимента (здесь имеется в виду прямая аналогия с физическим экспериментом в подготовке, проведении и получении результата);

- метод базируется на эйлерово-лагранжевом (смешанном) представлении пространства как наиболее выгодном с точки зрения получения точного и устойчивого решения при описании многомерных задач с существенной локальной деформацией среды;

- в методе Давыдова используется процедура расщепления по физическим процессам (и не только по физическим процессам), что повышает вычислительную устойчивость решения и вносит в расчет элементы физической аналогии, которые в ряде случаев помогают правильно трактовать получаемые результаты;

- в методе преимущественно используются однородные конечно-разностные схемы, позволяющие проводить устойчивый сквозной счет (в том числе и при расчете в нерегулярных приграничных областях) без предварительного выделения особенностей течения (ударных волн, контактных разрывов);

- конечно-разностные схемы этого метода обладают наиболее оптимальной схемной (аппроксимационной) вязкостью [124], адекватной реальной физической вязкости, влияние которой существенно в зонах больших деформаций среды (больших градиентов по параметрам) и практически несущественно в зонах незначительных изменений параметров среды;

- основные схемы метода Давыдова обладают свойством дивер-гентности или консервативности (в том числе и полной консервативности [95]); использование таких схем позволяет улучшить адекватность численной модели и повысить точность вычислений, так как при этом для них выполняются разностные законы сохранения;

- метод, в отличие от всех других численных методов, допускающих только одностороннюю трактовку, может рассматриваться со всех известных точек зрения: как эйлерова схема, лагранжева схема, схема расчета в локально-лагранжевых координатах, схема расщепления, сеточный метод, метод сквозного счета и т.д.;

- метод Давыдова может базироваться как на дифференциальных, так и на интегральных уравнениях; его разностная схема может быть получена сразу (без использования дифференциальных или интегральных уравнений) путем прямой разностной аппроксимации физических законов сохранения;

- в методе практически по единому алгоритму удается проводить расчет многофазного и полидисперсного течения;

- в методе Давыдова легко учитываются физико-химические процессы (фазовые переходы, горение, излучение, химическое взаимодействие и др.);

- в рамках данной численной технологии для расчета многомерных задач разработаны эффективные способы постановки граничных условий на сложной криволинейной образующей области интегрирования;

- сама процедура построения процесса вычисления и используемые разностные схемы метода компактны, хорошо поддаются трансформированию (например, для адаптации к архитектуре ЭВМ) и могут быть ориентированы на применение в вычислительных системах любой мощности.

В заключение отметим, что перечисленные выше позиции (их список можно продолжить) нужно рассматривать как некие характеристики качества любого известного сегодня численного метода. Чем больше этих характеристик присутствует в методе, тем он лучше.

3. Приведем один из вариантов параметрической разностной схемы метода Давыдова применительно к задачам нестационарного вихревого гомогенно-гетерогенного течения в камере сгорания ракетного двигателя на твердом топливе (РДТТ).

Принятые обозначения: а - коволюм газа; alfa - сеточный параметр; beta - сеточный параметр; с - удельная теплоемкость, коэффициент сопротивления; с* - скорость света; d - диаметр; Е - полная удельная энергия; G - расходно-приходный комплекс; h - постоянная Планка; J - теплотворная способность, удельная внутренняя энергия; KV - коэффициент поглощения; k - показатель адиабаты; к* - постоянная Больцмана; n - число частиц в единице объема; P - давление; q -плотность теплового потока, функция теплового межфазного взаимодействия; s - площадь; T - температура; t - время; u - скорость вдоль оси 0Х; V- объем; v - скорость вдоль оси 0Y, скорость горения твердого топлива; W - вектор скорости; W - модуль вектора скорости; w -скорость вдоль оси 0Z; а - доля объема, занимаемая i-й фазой смеси; X - коэффициент теплопроводности; ц - коэффициент динамической вязкости; V - показатель в законе горения, массовая доля твердой фазы в продуктах сгорания, спектральная частота; р - плотность; т -функция силового межфазного взаимодействия.

Символы: g - газ; г - номер, индекс; ] - номер, индекс; к - к-фаза, конвективный теплообмен, номер, индекс; I - лучистый теплообмен; п -номер, индекс; р - частицы в продуктах сгорания, параметр, зависящий от давления; н - твердое топливо; х - вдоль оси 0Х; у - вдоль оси 07; 2 - вдоль оси 0Z; в - воспламенитель; ис - истинное значение; о - объемное высвечивание; 1 - первая фаза смеси; 2 - вторая фаза смеси; 3 -третья фаза смеси; * - специальное условие.

Математическая модель. Для математического описания процесса течения в камере сгорания и сопловом блоке РДТТ будем использовать подходы механики сплошных многофазных сред, разработанные Х.А. Рахматулиным и Р.И. Нигматулиным.

Воздух в камере сгорания, газообразные продукты сгорания заряда твердого топлива и газообразные продукты сгорания воспламени-тельного состава назовем первой фазой. Мелкодисперсные частицы или жидкие капли в продуктах сгорания заряда твердого топлива -второй фазой. Мелкодисперсные частицы или жидкие капли в продуктах сгорания воспламенительного состава назовем третьей фазой. Первую, вторую и третью фазы будем считать гомогенно-гетерогенной смесью со своими температурами и скоростями движения. В такой системе каждая фаза занимает часть объема смеси: и2,^3. Движение их рассматривается как движение взаимопроникающих и взаимодействующих сред.

Дополнительно для моделируемой задачи примем следующие допущения:

- будем рассматривать газообразные продукты сгорания (первая фаза смеси) как идеальный полностью прореагировавший газ;

- полагаем, что вторая и третья фазы смеси имеют каждая свой средний (эффективный) диаметр частиц;

- не учитываем агломерацию и дробление мелкодисперсных частиц твердой фазы в процессе их движения по камере сгорания и соплу.

Таким образом, полная

- уравнения неразрывности

^^(р^ )=о^+ояв;

^ + ё1у(р2 w2 )=; Фз

д"

+ div(рзWз )=0рв;

д" у 2 2 2/ 2 дг

^+с!^^ )+аз-дР= т? -ОрВ; +^^з )+аз-дР=т? -СрВ; +с^и^з )+аз-дР=т13 -Срв;

д(р,ф) , л

& + div(р1фw1 )=ф„ ^ + Фв -0§в, ф = к, Ср, | а;

уравнения сохранения импульса по осям координат

^^+^(рЦ^ )+а1 -|Р=Ч2-тХ3 -08№ +ЖХв-Оёв; ^^+div(рlVlWl )+а1 -дР=Ч2-т^3 +Жу№-Оё№ +Жув-Оёв; +^(р^ )+а!-др=-т^2-т? ^ ^;

+^^ W2 )+а 2-|Р=тХ2 +Жх№ Ор№; ^^+div

+div(р2 ^ W2 )+а 2-|Р=Т22 ^;

уравнения сохранения внутренней удельной энергии д(р2 3 2) + ¿ЦР2 3 2 W2 )=д12+д12 + 3р 2-врю;

дг

фз33 )

+ ё!у(рз 3з ^ )=д1 + д13 + 3 рз-ОрВ;

дг 4, 3 3 3

уравнения сохранения полной удельной энергии смеси а(р1Е1) , а(р2Е2) , ^(РзЕ3) +

дг дг дг + div(р1E1W1) + ё1у(р2 Е2 W2 ) + ё1у(рз Ез W3) +

+ ) + div(a 2 PW2) + div(a3 PW3) =

= (EgW ' Ggw + Ер2 • ^ ) + (Ейв • Ggв + Ер3 • Срв ) - д/с>

2 2 з з

_ _ +К -.Гт где для декартовой системы координат

)=**)

дх ду дг

^=[рг, ри , р^г, рг^г, р,3,, р,Е,, ар];1 = 1-3-

Для замыкания системы дифференциальных уравнений (1)-(4) используем уравнение состояния в виде

2 у

1-

Правые части уравнений (1)-(4) имеют следующий вид: приход продуктов сгорания от воспламенительного устройства и с поверхности горения заряда твердого топлива

GgJ =

где ук - скорость горения заряда воспламенительного состава; \к -

скорость заряда твердого топлива.

Модуль вектора скорости поступления продуктов сгорания (газ + твердые частицы или жидкие капли) от воспламенительного устрой-

ства и с поверхности горения заряда твердого топлива в камеру ракетного двигателя определяется по формуле

] ] ' Р.]

Теплотворная способность продуктов сгорания (газ + твердые частицы или жидкие капли) воспламенительного устройства и заряда твердого топлива определяется как

^ =

С с Л Ср] к

V к] у

'Т*;Зр] =с]'Т*}' ]=™>в-

Выражения для функции силового межфазного взаимодействия, обусловленной только поверхностным трением, определяется по формулам

< = п]К'с] • - - и}).1

х'у = П]  рис-Суу^--(VI-). 1;

< = П].рис •с2у-- .(^1 - ). 1, / = 12; 13; ] = 2; 3. Коэффициент сопротивления в (9), например сх, вычисляется как

24,0 4,0

сх =-

Яе + Яе0'33 2

=4,3.(1вЯе)"

Яе < 700; Яе > 700;

Яе=

рис • Wl - w,

•й

р]

Выражение для функции теплового межфазного взаимодействия, обусловленной вынужденной конвекцией, определяется по формуле

д'к = П]-пйр] \ • Ып{Т1 -Т] ), / = 12; 13; ] = 2; 3,

с

где

Ыы=2+0,6 • Яе0'5- Рг0'333;

Яе=

Лис

Р1 •

W1 - W)

•й

Р1

Рг =

^ 1

сР

\

Выражение для функции теплового межфазного взаимодействия, обусловленной излучением, определяется следующим образом:

«и ="

= п}-п-ё ^ -а и -(т1 );

•(т2+Т2 }(т)'

8 • 8 ,

8у +88 • Ц-8

•

/ = 12; 13; ] = 2; 3.

Функция теплового потока лучистой энергии по газовой фазе в приближении объемного высвечивания

= 4 •пК •{ К1 Бу йV.

Заменяя в (12) интегрирование по частоте суммированием, получим

40 = 4 •яф^-Е

где

К1 = К, •

1- ехр

' К-V

\ к^^ТJ

Р 2к V

К„ = 0,012^Р; Б, =

Т

ехр

Ч лЛ

^ J

- 1

Параметрическая разностная схема метода Давыдова. В рамках рассматриваемой задачи изложим все этапы вычислительного цикла метода в отдельности. Область интегрирования (свободный объем камеры сгорания, соплового блока и область за сопловым блоком) покрывается фиксированной в трехмерном пространстве (эйлеровой) равномерной ортогональной расчетной сеткой с ячейками Ах х Ау х Аг . Значения целых чисел «/» (вдоль оси 0Х), <</» (вдоль оси 07) и «к» (вдоль оси 0Т) обозначают геометрический центр ячейки.

0

с

Эйлеров этап. На этом этапе расчета изменяются величины, относящиеся к ячейке в целом, а исследуемая среда (гомогенно-гетерогенная смесь газов и твердых частиц или жидких капель) предполагается заторможенной. Поэтому конвективные члены вида ёгу(рг-^^ ), где £=(1, и1, vi, , Ji, Е,); 1 = 1...3, соответствующие эффектам перемещения, в системе (1)-(4) отбрасываются. Кроме того, приходные комплексы и функции силового и теплового межфазного взаимодействия, входящие в правые части уравнений, зануляются. Уравнения неразрывности (1), в частности, упрощаются до тривиальных. Поэтому в оставшихся уравнениях системы р/ можно вынести из-под знака дифференциала и разрешить их относительно временных производных от ы1, vi, wi, Е1 (расчет фактически ведется в локально-

лагранжевых координатах).

Тогда имеем

ды, дР -Р, —+а, —=0;

д^ дх

дvi дР п р, —L+а,--= 0;

1 дЛ 1 ду

д^, дР „ Р, —L+а,--=0;

1 Ы дх

1 = 1...3;

ы 2 + V 2 Е] = J]+ ; ]=2...3;

Р1 -Е + Р2 ^ + Р3 'Е + div(аlPWl) + Ма2PW2) + ^^PW3) = 0.

Аппроксимируем на момент времени 1п уравнения системы (14) явной параметрической конечно-разностной схемой. Разрешая их относительно искомых величин, получим следующие разностные уравнения первого порядка точности по времени и второго порядка точности по пространству для ячейки (крупной частицы) «1, ], к »:

—(X?

¡ик ¡ик

~п И И

V, =у, -а.

мл =м>, , -а,

р" р" Р+0,5, ],к Р-0,5, ],к А/ .

Ах Р". ,к

р" р" Р1, ]+0,5,к Рг, ]-0,5,к А/ .

Ау

р" р" Р, ],к+0,5 1 1, ],к-0,5 А/

к

Аг

Р

к

I = ¡•••Э;

рп _ тп

К,,)

да = 2_3;

з

Е" =Е" - X

т=2

(еп -Еп V—'

\ тик) пп

] к

Р1,

]к

гч" Р" ТГ" -гч" Р" ТГ"

а1,+0,5„,-,к 'Р+0,5,],к ' к а1,-о,5„,-,к 'Р"0,5,],к ' и1/-0,5,],к

А/

Ах

Р1

п" Р" Л!П -Гч" Р" Л!П А

а1,',]+0,5,к ' р] +0,5,к • ^,]+0,5,к а1,]-0,5,к ' Р,]"0,5,к  %-0,5,к А/

Ау

Р1

'',] к

гч" Р" й)" -гч" Р" й)" А

а1 ],к+0,5 ' ',],к+0,5 • ,],к+0,5 а1,',],к-0,5 'Р,] к"0,5 • ],к"0,5 А/

Аг

Р1

',] к

2

3

-Е

да=2

гч" Р" и" —гч" Р" и"

ада+0,5,],к ' Р+0,5,],к ' иЩ+0,5],к " ада'-0,5,]к ' Р"0,5,],к ' 1-0$,],к А/

а" ' Р" ' V" -а" ' Р" ' V" Л

^ ти+0,5,к + 0,5,к ти+0,5,к а ти-0,5,к ', ] " 0,5,к да<'

Ау Р1к

а" Р" -а" Р" а

а р-,/ к+0,5 а да,-,-*_п<! Р, ] к - 0,5 А/

] ,к+0,5 '•},к+0,5 да,] ,к+0,5 да.',] ,к-0,5 ] ,к - 0,5 да.', ] ,к-__

Аг 'р"

,] ,к

В (15) приняты следующие обозначения:

р"

Pi+0,5,j,k '

р" ,р"

_ р,] ,k + p+1, j,k .

—n

u

" k -{\-alfd)-u" k +alfa-ü[ v^=(l-alfayvl^alfa.vl^ n^=(\-alfa}w"+alfa.w",

w"

где alfa - сеточный параметр.

Лагранжев этап. На данном этапе метода вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку. Здесь за время Át находятся потоки плотности, импульса и энергии через границы эйлеровых ячеек для каждой фазы гомогенно-гетерогенной смеси.

Потоковые формулы могут быть записаны различным образом. Выбор формы записи этих величин имеет важное значение, так как сильно влияет на устойчивость и точность расчета. В данной версии лагранжева этапа будем определять потоки плотности, импульса и энергии с учетом направления движения потока (используя так называемое транспортное свойство разносных схем) по следующим параметрическим формулам первого порядка точности: - первая фаза вдоль оси 0Х

(рМ).

i+0.5,jjc

(1 -beta}?"],k +betaVlhjл

£=(l, к, cp, ц, X, а, щ, vl9 - первая фаза вдоль оси 07

(l-beta)-p" ^ +beta-p" ^ (l-beta)-p" ^k+beta-p" к

£=(l, к, ср, ц, X, а, щ, vl9 ед);

",к-и" , если й" >0;

'JA i+0,5,j,k ' /+0,5 '

,если иГ <0:

i,j+0,5,k

n ~n

•V-ir-Vi'

если v," >0;

iM J.-V, ,если v, <0;

2

первая фаза вдоль оси 0Z

(\-betaj-p" ^ + beta-pi

i,j,k+0,5

i J ,k+1

если w

n

i,j,i+0,5

>0:

(l-beta)-p^+i + beta-pi -k

n wn

w"

если w

i,j,k+0,S

<0;

£ = (l, к, cp, Ц, X, a, щ, vl9 щЁ^; вторая - третья фазы вдоль оси 0Х

~ n ЯП

pm,,„ -Si.

rHj,k 'Umi+o,sj,k

если йт >0;

/+0,5 J,A '

¿+0,5 j,i

Я Я И ^ /-V

pm,+u, , если <0,

М1'"™'^'^'7'»'^ т=2-3;

вторая - третья фазы вдоль оси 07

п

i j+0,5,i '

„и я и

D -С ;-V

О» .Vй

F™<J+U ^J+U miJ+o,5,k

если v" >0;

mi,j+0,5,к '

если v" <0;

- вторая - третья фаза вдоль оси 0Z

я ^ ~ ?

D -С-  ;

г/». , ->1-1 -к т

"i

i,j,k+0,s

если wm >0;

mi,j,к+0,5 '

i,j,k+0,5

PZ -tl^-wl , если <0;

/,7,¿+0,5

m=2..3-

где beta - сеточный параметр.

На лагранжевом этапе метода вычисляются также приходные комплексы и функции силового и теплового межфазного взаимодействия, входящие в правые части уравнений (1)-(4) с учетом изменения параметров потока на эйлеровом этапе.

Заключительный этап. Здесь происходит перераспределение массы, импульса и энергии по пространству и определяются оконча-

п

п

п

тельные поля эйлеровых параметров трехфазного гомогенно-гетерогенного потока на фиксированной сетке в момент времени 1п+х = 1п . Уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массы, импульса и энергии, записанные с учетом промежуточных значений параметров потока и наличия приходных комплексов и функций межфазного взаимодействия, которые определены на эйлеровом и лагран-жевом этапах метода.

Исходная система дифференциальных уравнений (1)-(4) примет следующий вид:

- уравнения неразрывности

Ф1

- + <

Фз

ы

- +

+

Црз^3) = арв;

^

— ТШУ^ТТ^ -

с11у(р1ф^1) = ф^ • О^ + фв • ф = к, ср, |д, X, а;

уравнения сохранения импульса по осям координат

ы +с!1у

ы

^Рзг/з)-+с11у(рзйз\Уз)=т1х3+Жсв-арв;

ы.

а(рзУз)-+Црз^з)=т;3 +жув-Срв;

ы.

а

уравнения сохранения внутренней удельной энергии

+д]2 ^Р2

ФзЛ) , Т П7 \__13 , „13

Ы

уравнение сохранения полной удельной энергии смеси

Ы ' Ы ' Ы ' 1"1' ' '

+ ё1у(р3£3\¥з) = (^ -О^ +Ер2.Срм)+(ЕёВ.СёВ +Ер 3-Орв)-Ч1

Аппроксимируя уравнения (17)-(20) на новом временном слое .п+1 =.п и разрешая их относительно искомых величин, получим следующие конечно-разностные соотношения для «1, ], к» ячейки (крупной частицы):

- уравнения неразрывности

„+1 „ (Р1м1)/4О,5,УЛ~(Р1М1)<-0ДМ Л,

Рь =Р1 --л- Д~

•л к • л,к Ду

Ду

Ду

•а/+ а

я+1 п ¿-0,5 ,],к л

Р21У,4 Дх

Ду

-А*;

«+1 = п (Рзг/з)г+0;5;У-^ ~(Рзмз),-_оДМ

Р31 - ,4 Р31 Дх

Ду

•А 1+01, -М-

Дг

П+1 _ „ ^4 -(р1^1)г-0,5,УЛ АГ

ф— = Ф—'р-1 Дх Р+1

1,4 1 ,4

и+1

п+1

Рп+к

+„+фг, „-о^)

ф=(к, ср, |д, А,, а);

п+1

уравнения сохранения импульса по осям координат

й+1 _~п р"ик (р1й1йХодУ;Ирм)г-одУл А/ 111 — ы

1 ик 1 ик п+1 Ах р»+1

Ду Р1

п+1

1',] к

Дг ' рп+1 (Т ^ -к 1х ,1к )'рп+1

,У ,к ,к

+ (^ -с" +^хв -С" )•-

Д.

'и к ё™ик хв11 к gвi1к) п п+1 '

Р1л,к

ик 'ик р»+1 Ах р"+1

Чу к к

и+1

Ду рС,

+1

Д РГ,к

^^. (-г-гт-п ^ П -г-щ-т-п \

- (т12п +т1зп )•—+(жп С +жп С )•

ууик Уик) Рп+1 \ у™ик к у*ик ёвик)

М>ТХ =4!

. 1 \ ✓ 1,1 ,к «_> •,/,к ✓ 1,1 ,к «_> 1,1 ,к г /-к.п+1 Р Р1

Р "ик (р1^ХоАУИр№)г-одУл А/

- ГУ 1-----

ик 1ик р»+1 Ах р"+1

п+1

* к,,

Дг С

-(тГ +тГ У-Д^-с' -О"

\ к к пп+1 \ ™ик ,]к к %ъик) пп+1

р1У,к Р1к

14 ^ —14

2ил р„+1 Дх р"2+1

(р2^2)" "(Ру_о>5Л А/

^ С

Аг -"+1

-+

Р2 ,/ ,4

+ т12" +Ж1 -О" А

х1-,4 -«+1 4 т - ,4 -И+1 '

р2и,4 р2у,4

=У

2,-,Л4 2,,Л4 р„+1 ДХ р»+1

,4 ,4

Ау рГ1,

-+

р21 „4

+ т12« О Д

У1 - ,4 «+1 - 4 -4 «+1 '

р2и,4 р 21,- ,4

п+1 р2„к (р2^2)г';0ДуЛ-(р2^2^)г10ДуЛ А/

МЛ —М?

2У,4 2У,4 «+1 «+1

21',./ ,4 2 ,4

Ду рГ1,

(р2^2)  л,+0;5 -(Р2^2^2)"м_о)5 А/

Аг -"+1

-+

р21, ,4

+ т12« +Ж1 -о" Д

,4 _«+1 ,/,кР™1 - ,4 _«+1

р 21,- ,4 р 21,- ,4

//о — //

Зуд „+1 ДХ «+1

К3<,- ,4 К3<,- ,4

и+1

(рз^з)" у- ,+0;5 ~(РзВД)  у- А/

Аг 'р3"+1

К31 ,4

+ т13" --4--О" Д •

Х,- ,4 р«+1 4 Рв - ,4 р «+1 '

р31 - ,4 р3'-,4

уП+1 =г Рз",м (рзУз^оДуЛ-(Рз^з)г-о,5,м А/

31 ,/,4 31 ,/-,4

«+1

Аг ' ~ "+1

% ,4

+ т13" -4--О" Д

У1-,4 п"+1 Ув1, - ,4 Рв1, - ,4 «+1 '

р3У,4 р3У,4

Рз"^ (Рз^з)^-(РзЗД)^ А/

—Ж

о — VI/о--:—---:—

к р"+ Ах р"+

К3< - ,4 К31,- ,4

и+1

(рЗ^З^з)"уЛ+о;5 ~(Рз^3^з)"М-о,5 А/

Аг 'р3"+1

К3<,- ,4

+ т13" +Ж" -О" Д

п+1 гв1-,4 рв1,-,4 «+1

р3У,4 р3У,4

уравнения сохранения внутренней удельной энергии

т«+1 _ тп РЧм М

^ п+1 _

2 ^,к = ,к 'р^1 ду рр

(р2Л^2)  -(РгЛ^з)" у_од, Л/

Ду Р2+1,

2 л к

(РгЛ^з)  у- ,+0;5 -(Р2Л^2)  у- А/

Дг -п+1

-+

,/„12" „12" тп Гп \ _

+ к + % к + ^Р 2 ,к °Р™< и к )- рп+1

21,1 к

Р2у к Д.

-^ '

3,лк \лк рп+1 Ду рп

(рзЛ^з)"у+0;5Л (Рз-Л^Г ил; л/

п+1

(рзЛ^з)"уЛ+о;5-(рзЛ^з)"уЛ_о;5 А/ | Дг 'р3п+1 +

+ + ^ + ^ -ОРв )•— ;

\1к1 ,],к к р311 к рвУк] рп+1 '

У к

Д.

77 п+1 _ тп+1 .

г- = +

(ип+1 )2+(уп+1 )2

\ тик) \ к)

ик тик 2

т = 2...3;

уравнение сохранения полной удельной энергии смеси

и+1 77И+1 Т7П Л

]гп+1 =Ёп

1, , I- 1

1.Л4 Ч^к

У

Р1 3 _ ^

р П '1 т=2 <к

гм, т, .,, гт,ц. т.

Ч,)к тЧ,] к ти к тик

. п+1

1,,4 ,к

Р1 , к

¿-0,5 ,},к

Ах

А/

р1, к

/,/-0,5 ,к

Аt

Ау

р1

п+1

¡,4 ,к

¿,/,¿-0,5

Аг

Аг

п+1

¡,4 ,к

р1

г-0,5,/,к

3

-Е

т=2

+ (Е

Аг

• С! + Е" • ап

и+1

Р1

, ,4,к

Аt

к т4,к Р2ук к) пп+1

\ А/

- +

+1 Еп • ап + Еп • ап 1 —__а1 • А/

+ 'Е"в,-,4,к к + Ер3,,,,к арв,,} ^ п+1 Ч1о,,,.,к ^ п+1

Р1

,,] к

Р1

¡,4 ,к

Алгоритмически сначала вычисляются параметры второй-третьей фазы (несомой фазы), а затем параметры первой фазы (несущей фазы). Далее посредством пересчета по уравнению состояния вычисляется давление продуктов сгорания.

Для повышения точности вычислений в схему метода при расчете давления вводится поправка, обеспечивающая (уточняющая) баланс

п

по внутренней удельной энергии газовой фазы. Таким образом, для газовой фазы гомогенно-гетерогенной смеси выполняется условие полной консервативности конечно-разностной схемы метода. Выражение для вычисления давления примет следующий вид:

=«-i

(*-i)K с

J^n+1__1

1 j 2

ОС )2^К k )2

Pi, , !¡-

где

(wj) 4с) +('С)«);

(aw; )2=(»Г' -я," )2+(","' -'Т У+Й*1

С выполнением третьего (заключительного) этапа заканчивается вычислительный цикл метода Давыдова.

4. Проиллюстрируем возможности данного численного подхода на примере решения ряда актуальных задач современного ракетного твердотопливного двигателестроения.

Неустойчивость рабочего процесса в двухкамерном РДТТ [30, 32, 37, 38, 66, 80, 81, 86, 105, 107-109, 112]. Прямое численное моделирование низкочастотной акустической неустойчивости в двухкамерном РДТТ проводилось с использованием явной параметрической (три параметра: один на эйлеровом этапе, два на лагранжевом этапе расчета) полностью консервативной конечно-разностной схемы метода Давыдова. Для описания процесса течения в камерах сгорания и сопле РДТТ применялись подходы механики сплошных многофазных сред. В качестве базовой использовалась нестационарная система вихревых дифференциальных уравнений газовой динамики для гетерогенной двухфазной среды (газ + твердые или жидкие частицы), записанная в дивергентной форме. С пространственной точки зрения задача изучалась в трехмерной постановке (декартова прямоугольная система координат). Использовалась равномерная расчетная сетка, обеспечивающая однородность и полную изотропность вычислительного пространства. На нерегулярных (не совпадающих с расчетной сеткой) границах расчетной области применялся аппарат дробных ячеек. Приход с поверхности горения заряда твердого топлива осуществлялся путем

«впрыска» в расчетные ячейки, геометрически расположенные на поверхности горения, продуктов сгорания с предварительно определенными характеристиками, зависящими от состава твердого топлива и параметров омывающего поверхность горения потока. Постановка граничных условий осуществлялась с учетом того, чтобы генерируемые потоком продуктов сгорания возмущения оставались в расчетной области и не уходили из нее через открытые границы. По этой причине стенки камер сгорания, поверхность горения твердотопливного заряда и стенки сопла рассматривались как непроницаемые для возмущений границы. На закрытых границах выполнялись условия непротекания. На открытых границах использовалась экстраполяция параметров потока изнутри расчетной области.

Приведем некоторые результаты расчетов нестационарного переходного низкочастотного акустического пульсирующего течения в двухкамерном РДТТ тандемного типа. Принципиальная компоновочная схема ракетного двигателя показана на рис. 1 (КС1 - камера сгорания 1, КС2 - камера сгорания 2).

Рис. 1. Компоновочная схема двухкамерного РДТТ

Ракетный двигатель двухрежимный (осуществляется два включения). Расчетный режим - при втором включении (работает КС2 через четыре газохода в промежуточном днище в КС1 и далее в сопловой блок, см. рис. 1). Рассматривается течение продуктов сгорания в ракетном двигателе на твердом топливе с момента времени его работы t > 0, 1 5 с. В процессе вычисления отдельно в особых точках отслеживалось изменение во времени давления в КС2, в КС1, а также определялась тяга двигателя. Давление фиксировалось в районе переднего и заднего днища каждой камеры сгорания. Тяга определялась по параметрам течения на срезе сопла.

Для рассматриваемого РДТТ расчетным путем установлено следующее. КС2 работает в стационарном установившемся режиме без

заметных пульсаций давления. Низкочастотного акустического колебательного процесса здесь нет. В KCl, наоборот, устойчиво реализуется низкочастотное акустическое пульсирующее течение. На рис. 2 показано изменение во времени давления в районе переднего днища КС1 (кривая 1) и изменение во времени давления в районе заднего днища КС1 (кривая 2). Для удобства анализа графической информации расчетные кривые обработаны преобразованием Фурье. Гармоничный синусоидальный низкочастотный сигнал наложен на действительный сигнал. Достаточно четко прописывается несущая низкочастотная составляющая колебательного процесса, с наложенным на нее высокочастотным сигналом. Режим колебаний осуществляется на несущей частоте первой продольной моды. Пульсирующее течение меняет свою амплитуду во времени. Частота пульсаций давления в КС1 и тяги двигателя лежит в пределах fРд «120...130Гц. Относительная амплитуда колебаний давления и тяги

ракетного двигателя составляет величину Ar ~3,0...6,0%.

Расчетные данные хорошо согласуются с данными натурного эксперимента как по средним величинам давления (для КС2 и КС1) и тяги двигателя, так и по частоте и амплитуде пульсаций. Отслеживается также характер изменения амплитуды пульсаций. Частота пульсаций тяги двигателя в эксперименте лежит в пределах f ~(120...130)Гц.

Пульсации давления в КС2 и КС1 здесь не регистрировались. Максимальная относительная амплитуда колебаний тяги двигателя в экспе-

рименте составляет величину А

P R '

<7,0 %.

Рис. 2. Изменение во времени давления в районе переднего 1 и заднего 2 днищ КС:

На рис. 3-5 показано распределение газодинамических параметров пространственного трехмерного течения в РДТТ в фиксированный момент времени. Здесь дано распределение плотности (см. рис. 3), температуры (см. рис. 4) и осевой (ось 0Z) компоненты вектора скорости (см. рис. 5) для газообразных продуктов сгорания (первой фазы гетерогенной смеси). Поле течения показано в трех продольных плоскостях (сечениях) Z0X, Z0Y и ZXY (плоскость, расположена под углом в 45° к плоскости Z0X) и в поперечной плоскости X0Y (изображение в плоскости X0Y дано в масштабе 2:1). Поле течения в плоскости X0Y представлено сечениями в районе мест сопряжения цилиндрического корпуса с передним и задним днищами KCl. Данные наглядно иллюстрируют спокойный характер течения в КС2 и особый струйный характер течения в КС1 в районе переднего днища и на некотором удалении от него. В этом районе КС1 четко выражены области больших градиентов по параметрам потока, присутствуют обширные области обратного течения. Четыре симметрично расположенных газохода, соединяющих КС2 и КС1, работают в различных условиях. Здесь симметрии потока не наблюдается. И наоборот, в районе заднего днища КС1 поток стабилизируется, притормаживается, повышается его плотность и температура. Такая перестройка режима течения при движении продуктов сгорания от переднего днища к заднему и порождает низкочастотный акустический пульсирующий колебательный процесс в КС1 РДТТ.

5 4 3 2 I 0,8 0,6 0,4 0,2

Рис. 3. Распределение плотности газа в РДТТ

2800 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 1800 1700 1600

Рис. 4. Распределение температуры газа в РДТТ

1600 1300 1100 900 750 600 450 300 150 0 -150 -300

Рис. 5. Распределение осевой компоненты вектора скорости газа в РДТТ

Моделирование динамики внутрикамерных процессов при выходе на расчетный режим работы РДТТ [7, 74-79, 84, 85, 101, 111, 120]. Рассматривается сопряженная задача, включающая в себя:

- срабатывание воспламенительного устройства;

- прогрев, воспламенение и последующее горение заряда твердого топлива;

- течение продуктов сгорания в камере сгорания, сопле и за сопловым блоком ракетного двигателя;

- движение заглушки соплового блока. Каждая из подзадач рассматривается во взаимосвязи и разрешается одновременно - на одном шаге по времени.

Прямое численное моделирование переходного процесса течения в камере сгорания РДТТ проводилось с использованием явной параметрической (три параметра: один на эйлеровом этапе расчета, один на ла-гранжевом этапе расчета и один при постановке граничных условий на подвижной границе расчетной области - заглушке камеры сгорания) полностью консервативной конечно-разностной схемы метода Давыдова. Применялись подходы механики сплошных многофазных сред. В качестве базовой использовалась нестационарная система вихревых дифференциальных уравнений газовой динамики для гомогенно-гетерогенной трехфазной среды (газ + твердые или жидкие частицы в продуктах сгорания заряда воспламенительного состава + твердые или жидкие частицы в продуктах сгорания заряда твердого топлива), записанная в дивергентной форме. С пространственной точки зрения задача изучалась в трехмерной постановке (декартова прямоугольная система координат). Использовалась равномерная расчетная сетка. На нерегулярных границах расчетной области применялся аппарат дробных ячеек. Приход от воспламенительного устройства и с поверхности горения заряда твердого топлива осуществлялся путем «впрыска» в расчетные ячейки, геометрически расположенные в районе установки воспламени-тельного устройства и на поверхности горения заряда твердого топлива, продуктов сгорания с предварительно определенными характеристиками. На закрытых границах расчетной области выполнялись условия непротекания. На стенках заглушки соплового блока выполнялись условия непротекания с учетом ее движения. На открытых границах использовалась экстраполяция параметров потока изнутри расчетной области.

Приведем некоторые результаты численного моделирования переходного процесса течения в камере сгорания РДТТ при выходе его на расчетный режим работы. Принципиальная компоновочная схема РДТТ изображена на рис. 6. Первая секция заряда твердого топлива -канально-щелевая, вторая секция - канальная. Воспламенительное устройство установлено в сопловом блоке ракетного двигателя.

Рис. 6. Принципиальная схема РДТТ: 1, 2 - первая и вторая секции заряда твердого топлива; 3 - воспламенительное устройство

На рис. 7 представлено изменение во времени давления в фиксированных точках камеры сгорания РДТТ. Вблизи переднего днища (кривая 1), между секциями заряда твердого топлива у стенки камеры сгорания (кривая 2) и в районе заднего днища (кривая 3). Дополнительно для сравнения дано изменение во времени давления вблизи переднего днища, полученное в результате трех стендовых испытаний рассматриваемого РДТТ (кривые 1а, 1б, 1в). Расчетные данные хорошо согласуются с данными эксперимента. В начальной стадии процесса (до ~25 млс) отчетливо виден интенсивный ударно-волновой характер течения, особенно около переднего днища ракетного двигателя. В районе заднего днища (кривая 3, интервал по времени 15-20 млс) четко прослеживается спад давления за счет вылета заглушки соплового блока. По длине камеры сгорания наблюдается достаточно большой перепад давления, что характерно для двигателей большого удлинения. Причем перепад давления по передней (канально-щелевой) секции заряда существенно меньше, чем по задней секции (с цилиндрическим каналом).

15 14 13 12

10

= = =

я____

. < :

1в 1 <

10 \ - г

2

\

( Г

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

г, млс

Рис. 7. Изменение во времени давления в фиксированных точках камеры сгорания РДТТ: 1 (расчет) - переднее днище, 1а, 1б, 1в (экспериментальные данные); 2 - между секциями заряда твердого топлива; 3 - заднее днище

На рис. 8-10 показано распределение плотности, температуры и продольной скорости первой фазы (газа) в камере сгорания РДТТ, сопле и за сопловым блоком в фиксированные моменты времени: I = 9,0 млс; I = 18,0 млс; I = 68,2 млс. Поле течения дано в двух продольных плоскостях и X0Z (в плоскости соблюдается геометрическая симметрия камеры сгорания, 0Z - ось симметрии) и в четырех поперечных плоскостях Х0У.

Наблюдаются четко выраженные области больших градиентов у параметров потока, а также обширные области обратно-циркуляционного течения. Параметры процесса течения продуктов сгорания существенно изменяются по объему камеры сгорания и во времени. Динамика потока особенно ярко выражена вблизи переднего и заднего днищ ракетного двигателя, а также в средней части камеры сгорания между секциями заряда твердого топлива.

в

Рис. 8. Распределение плотности газа в камере сгорания РДТТ в фиксированные

моменты времени

в

Рис. 9. Распределение температуры газа в камере сгорания РДТТ в фиксированные моменты времени

Рис. 10. Распределение продольной скорости газа в камере сгорания РДТТ в фиксированные моменты времени

Моделирование внутрикамерных процессов при срабатывании бессоплового РДТТ [64, 67-73, 119, 123]. Рассматривается полный цикл работы бессоплового РДТТ. Решается комплексно-сопряженная задача, включающая в себя:

- срабатывание воспламенительного устройства;

- прогрев, воспламенение и последующее горение заряда твердого топлива;

- течение продуктов сгорания в камере сгорания и за камерой сгорания ракетного двигателя;

- движение заглушки камеры сгорания;

- изменение геометрии поверхности горения за счет постепенного и неравномерного выгорания свода заряда твердого топлива.

Каждая из подзадач также рассматривается во взаимосвязи и разрешается одновременно - на одном шаге по времени.

Прямое численное моделирование процесса течения в камере сгорания бессоплового РДТТ проводилось с использованием явной параметрической (три параметра: один на эйлеровом этапе расчета, один на лагранжевом этапе расчета и один при постановке граничных условий на подвижных границах расчетной области - поверхности горения заряда твердого топлива и заглушке камеры сгорания) полностью консервативной конечно-разностной схемы метода Давыдова. Применялись подходы механики сплошных многофазных сред. В качестве базовой использовалась нестационарная система вихревых дифференциальных уравнений газовой динамики для гомогенно-гетерогенной трехфазной среды (газ + твердые или жидкие частицы в продуктах сгорания заряда воспламенительного состава + твердые или жидкие частицы в продуктах сгорания заряда твердого топлива), записанная в дивергентной форме. С пространственной точки зрения задача изучалась в двухмерной осесимметричной постановке (цилиндрическая система координат). Использовалась равномерная расчетная сетка. На нерегулярных границах расчетной области применялся аппарат дробных ячеек. Приход от воспламенительного устройства и с поверхности горения заряда твердого топлива осуществлялся путем «впрыска» в расчетные ячейки, геометрически расположенные в районе установки воспламенительного устройства и на поверхности горения заряда твердого топлива, продуктов сгорания с предварительно определенными

характеристиками. На закрытых границах расчетной области выполнялись условия непротекания. На поверхности горения заряда твердого топлива и стенках заглушки камеры сгорания выполнялись условия непротекания с учетом их движения. Учитывалось также изменение формы и геометрических размеров поверхности горения. На открытых границах использовалась экстраполяция параметров потока изнутри расчетной области.

Приведем некоторые результаты численного моделирования процесса газодинамического течения в камере сгорания бессоплового РДТТ. Принципиальная компоновочная схема одного из вариантов конструкции бессоплового РДТТ показана на рис. 11. Здесь же дано изменение расчетной конфигурации камеры сгорания по мере выгорания свода заряда твердого топлива.

1 2 3 4

Рис. 11. Принципиальная компоновочная схема бессоплового РДТТ: 1 - воспламенительное устройство; 2 - заряд твердого топлива; 3 - корпус; 4 - заглушка

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Г

Рис. 12. Изменение давления Р в районе переднего днища камеры сгорания и силы тяги Я бессоплового РДТТ во времени

На рис. 12 представлено изменение давления в районе переднего днища камеры сгорания и силы тяги бессоплового РДТТ во времени. Время отнесено к полному времени работы ракетного двигателя. Давление и тяга бессоплового РДТТ отнесены к их максимальным величинам. Расчетные значения показаны сплошной линией, а экспериментальные - сплошной линией с маркером. В целом наблюдается хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных. Максимальное отклонение по параметрам ~10 %.

Рис. 13. Распределение плотности газа в РДТТ в фиксированные моменты времени

в

б

0.861 0.849 0.837 0824 0.812 0.800 0.788 0776 0.763 0.751 0739 0.727 0715 0.702 0.690 0.678 0.666

в

Рис. 14. Распределение температуры газа в РДТТ в фиксированные моменты времени

1.851 1 703 1 555 1 407 1 259 1111 0.963 0 615 0 667 0 519 0 371 0 223 0.075 -0.073 -0.221 -0 369 -0.517

а

1 709 1 596 1 483 1 370 1 257 1144 1.031 0.918 0805 0692 0 579 0466 0.353 0.241 0.128 0.015 -0 098

б

1.337 1 253 1.169 1 085 1.001 0.917 0.834 0.750 0666 0582 0.498 0414 0.330 0.246 0.162 0.078 -0.006

в

Рис. 15. Распределение осевой скорости газа в РДТТ в фиксированные

моменты времени

На рис. 13-15 показаны поля изменения плотности, температуры и осевой скорости первой фазы (газа) продуктов сгорания в различные моменты времени по мере выгорания свода заряда твердого топлива в камере сгорания бессоплового РДТТ: а - ^ = 0,002; б - I = 0,45; в -I = 1,00. Температура газа отнесена к максимальному ее значению, скорость газа - к скорости звука при максимальном давлении.

При постепенном зажигании поверхности горения заряда твердого топлива и достижении определенного уровня давления (давления страгивания) начинает свое движение заглушка камеры сгорания. В это время в камере сгорания бессоплового РДТТ генерируются интенсивные ударно-волновые процессы. После вылета заглушки волновые

процессы в камере сгорания прекращаются. В целом процесс срабатывания бессоплового РДТТ характеризуется резким подъемом давления в камере сгорания на начальном этапе (особенно в районе переднего днища) с постепенным снижением давления по времени работы. Скорость потока продуктов сгорания по длине камеры сгорания постепенно возрастает, достигая на выходе из канала заряда твердого топлива сверхзвуковых значений. Эта тенденция сохраняется на протяжении всего времени работы ракетного двигателя. Как такового фиксированного критического сечения в камере сгорания, которое формируется каналом заряда твердого топлива, здесь нет, причем нет практически на всем протяжении времени работы бессоплового РДТТ. Только на последней стадии работы ракетного двигателя, при почти полном выгорании свода заряда твердого топлива, критическое сечение фиксируется. Вследствие этого газодинамические параметры потока по длине камеры сгорания и по времени работы бессоплового РДТТ изменяются несколько иначе, чем в традиционном РДТТ с сопловым блоком.

Библиографический список

1. Давыдов Ю.М. Нестационарный метод расчета газодинамических задач. Отчет ВЦ АН СССР и МФТИ. - М., 1968. - № 173. - 29 с.

2. Давыдов Ю.М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М.: Изд-во МФТИ, 1970. - 183 с.

3. Давыдов Ю.М. Расчет обтекания тел произвольной формы методом «крупных частиц» // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1971. - Т. 11, № 4. - С. 1056-1063.

4. Августинович В.Г., Иноземцев А.А., Шмотин Ю.Н. Нестационарные явления в турбомашинах (численное моделирование и эксперимент) / Ин-т механики сплошных сред УрО РАН; Перм. гос. техн. ун-т. -Екатеринбург; Пермь, 1999. - 280 с.

5. Акжолов М.Ж. Выполнение в методе крупных частиц Давыдова группового свойства инвариантности по отношению к операции переноса // Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред: II Междунар. симпоз. / Нац. акад. прикладных наук России. -М.,1999. - 15 с.

6. Алиев А.В., Блинов Д.С. Решение газодинамических задач в областях сложной формы с использованием конечно-объемных алго-

ритмов метода крупных частиц // Вестник Иж. гос. техн. ун-та. - 2009. -№ 1. - С. 151-154.

7. Численное моделирование внутрикамерных процессов при выходе на режим работы ракетного двигателя твердого топлива / Г.Н. Амарантов, М.Ю. Егоров, С.М. Егоров, Д.М. Егоров, В.И. Некрасов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т. 3, № 3. - С. 5-17.

8. Применение метода крупных частиц в исследовании трансзвукового течения в решетке профилей компрессорной ступени / Л.Г. Бойко, Ю.М. Давыдов, В.Н. Ершов, Д.В. Калямин // Метод крупных частиц: теория и приложения: тр. всесоюз. конф.- 1988. - Т. 1, № Д07720. -С. 42-53.

9. Давыдов Ю.М. К расчету нерегулярного отражения ударных волн методом «крупных частиц» // Тр. МФТИ. Аэромеханика, процессы управления. - М., 1973. - С. 71-79.

10. Давыдов Ю.М. Исследование трансзвуковых и сверхзвуковых течений методом «крупных частиц» // Численное исследование современных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1974. - С. 83-181.

11. Давыдов Ю.М. Структура аппроксимационной вязкости // Докл. Акад. наук СССР. - 1979. - Т. 245, № 4. - С. 812-815.

12. Давыдов Ю.М. Исследование устойчивости разностных схем на границах расчетной области методом дифференциальных приближений // Докл. Акад. наук СССР. - 1979. - Т. 244, № 6. - С. 1298-1302.

13. Давыдов Ю.М. Метод «крупных частиц» (расщепление по физическим процессам) // Численные методы решения задач переноса: материалы междунар. шк.-семинара, Минск, 8-16.09.79. - Минск: Изд-во Акад. наук БССР, 1979. - Ч. 1. - С. 57-85.

14. Давыдов Ю.М. Многопараметрические схемы расщепления для решения пространственно-трехмерных нестационарных задач // Докл. Акад. наук СССР. - 1979. - Т. 247, № 6. - С. 1346-1350.

15. Давыдов Ю.М. Численный эксперимент в гидродинамике по исследованию срывных вязких потоков методом «крупных частиц» // Нелинейные волны. - М.: Наука, 1979. - С. 227-239.

16. Давыдов Ю.М. Пакет прикладных программ КРУЧА. - М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1979. - 150 с.

17. Давыдов Ю.М. Численный эксперимент в газовой динамике: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - М., 1981.

18. Давыдов Ю.М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем. - М.: Изд-во МФТИ, 1981. - 131 с.

19. Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод // Математическая энциклопедия. - М.: Сов. энцикл., 1982. - Т. 3. - С. 125-129.

20. Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод // Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов. энцикл., 1988. - С. 303-304.

21. Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод // Математика. Большой энциклопедический словарь. - 3-е изд. - М.: Рос. энцикл., 1998/2000. - С. 303-304.

22. Давыдов Ю.М. Образование зоны повышенной концентрации частиц при сфокусированном вдуве в двухфазной среде // Докл. Акад. наук СССР. - 1990. - Т. 315, № 4. - С. 813-815.

23. Давыдов Ю.М. Численное моделирование задач радиационной газовой динамики методом крупных частиц / НИИ парашютостро-ения. - М., 1990. - 96 с.

24. Давыдов Ю.М. Исследование Рэлей-тейлоровской неустойчивости / Ин-т морской геологии и геофизики Дальневост. отд-я АН СССР. - Владивосток, 1991. - 84 с.

25. Давыдов Ю.М. Современная нелинейная теория разностных схем газовой динамики / НИИ парашютостроения. - М., 1991. - 104 с.

26. Давыдов Ю.М. Устойчивость полета парашютов // Докл. Акад. наук. - 1998. - Т. 363, № 5. - С. 626-631.

27. Давыдов Ю.М. Исследование аэродинамики, аэроупругости, нагрева, прочности и устойчивости полета парашютных систем // Современные проблемы аэрогидромеханики / Ин-т прикладной механики РАН. - М., 1999. - Т. 2. - С. 35-54.

28. Давыдов Ю.М. Аэродинамика, гидроупругость и устойчивость полета парашютных систем. - 4-е изд., стер. / Нац. акад. прикладных наук России; НИИ парашютостроения. - М., 2006. - 364 с.

29. Давыдов Ю.М., Давыдова И.М. Об отображении проблем вычислительной математики на архитектуру вычислительных систем // Математические методы управления и обработки информации. - М.: Изд-во МФТИ, 1983. - С. 4-18.

30. Давыдов Ю.М., Давыдова И.М., Егоров М.Ю. Совершенствование и оптимизация авиационных и ракетных двигателей с учетом нелинейных нестационарных газодинамических эффектов / под ред. Ю.М. Давыдова / Нац. акад. прикладных наук России. - М., 2002. - 303 с.

31. Давыдов Ю.М., Давыдова И.М., Егоров М.Ю. Влияние полетной перегрузки на неустойчивость рабочего процесса в камере сгорания ракетного двигателя на твердом топливе // Докл. Акад. наук. -2004. - Т. 398, № 2. - С. 194-197.

32. Давыдов Ю.М., Давыдова И.М., Егоров М.Ю. Неустойчивость рабочего процесса в двухкамерном ракетном двигателе на твердом топливе // Докл. Акад. наук. - 2011. - Т. 439, № 2. - С. 188-191.

33. Численное исследование актуальных проблем машиностроения и механики сплошных и сыпучих сред методом крупных частиц / Ю.М. Давыдов, И.М. Давыдова, М.Ю. Егоров, А.М. Липанов [и др.]; под ред. Ю.М. Давыдова; Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1995. - Т. 1-Т. 5. - 1658 с.

34. Давыдов Ю.М., Давыдова И.М., Кондрашов В.В. Способ построения разностных схем метода крупных частиц повышенного порядка точности / Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1997. - 20 с.

35. Давыдов Ю.М., Егоров М.Ю. Исследование нестационарного течения в турбине высокого давления газотурбинного двигателя / под ред. Ю.М. Давыдова; Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1998. - 72 с.

36. Давыдов Ю.М., Егоров М.Ю. Исследование актуальных проблем внутренней баллистики артиллерийского выстрела // Первые Окуневские чтения: тр. междунар. науч.-техн. конф. - СПб, 1999. -С.44-56.

37. Давыдов Ю.М., Егоров М.Ю. Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях / под ред. Ю.М. Давыдова; Нац. акад. прикладных наук России. -М., 1999. - 272 с.

38. Давыдов Ю.М., Егоров М.Ю. Неустойчивость рабочего процесса в камере сгорания ракетного двигателя на твердом топливе // Докл. Акад. наук. - 2001. - Т. 377, № 2. - С. 194-197.

39. Давыдов Ю.М., Егоров М.Ю., Шмотин Ю.Н. Нестационарные эффекты течения в турбине реактивного двигателя // Докл. Акад. наук. -1999. - Т. 368, № 1. - С. 45-49.

40. Давыдов Ю.М., Еникеев И.Х., Нигматулин Р.И. Расчет обтекания затупленных тел потоком газа с частицами с учетом влияния отраженных частиц на течение газовзвеси // Прикладная механика и техническая физика. - 1990. - № 6. - С. 67-74.

41. Давыдов Ю.М., Кондрашов В.В. Адаптация метода крупных частиц к архитектуре высокопроизводительных современных ЭВМ. -Минск: Изд-во Акад. наук БССР, 1987. - 13 с. - (Препринт № 2).

42. Давыдов Ю.М., Коробицын Г.П., Постников В.Г. Обтекание затупленных тел с иглами и кавернами // Инженерно-физический журнал. - 1979. - Т. XXXVII, № 4. - С. 712-716.

43. Давыдов Ю.М., Косолапов Е.А. Численное моделирование двухфазных течений в соплах методом крупных частиц / Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1998. - 86 с.

44. Численное исследование течений в двигателях внутреннего сгорания методом крупных частиц / Ю.М. Давыдов, М.Г. Круглов, А.А. Меднов, В.А. Нефедов. - М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1983. - 57 с.

45. Давыдов Ю.М., Куликов В.Д., Майорский Е.В. Исследование критического расхода через решетки тонких крыловых профилей методом крупных частиц // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1984. - № 2. - С. 182-195.

46. Давыдов Ю.М., Куликов В.Д., Майорский Е.В. Исследование обтекания рабочих решеток профилей паровых турбин методом крупных частиц // Прикладная механика и техническая физика. - 1984. -№ 3 (145). - С. 47-50.

47. Давыдов Ю.М., Кутасов С.А. Решение задач физической механики методом крупных частиц // Физическая механика. - Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1978. - Вып. 3. - С. 133-141.

48. Исследование взаимодействия лазерного излучения с плоскими сплошными мишенями из различных материалов / Ю.М. Давыдов, С.А. Кутасов, Г.В. Перегудов [и др.]; Физ. ин-т Акад. наук. - М., 1988. - 38 с.

49. Давыдов Ю.М., Липавский М.В. Расчет двумерного внешнего обтекания тел гетерогенным потоком методом крупных частиц // Тр. МФТИ. Аэрофизика и прикладная математика. - Долгопрудный, 1979. - С. 131-134.

50. Давыдов Ю.М., Мозговой В.А. Эффект аномального аэродинамического нагрева при спуске парашюта по траектории // Докл. Акад. наук. - 1993. - Т. 330, № 1. - С. 48-51.

51. Давыдов Ю.М., Моллесон Г.В. Расчет пространственного обтекания наклонной преграды на режимах с отошедшей ударной волной //

Известия Акад. наук. Механика жидкости и газа. - 1997. - № 1. -С.31-35.

52. Давыдов Ю.М., Нигматулин Р.И. Расчет внешнего обтекания затупленных тел гетерогенным потоком газа с каплями или частицами // Докл. Акад. наук СССР. - 1981. - Т. 259, № 1. - С. 57-60.

53. Давыдов Ю.М., Рысев О.В. Гидродинамика парашютных систем / НИИ парашютостроения. - М., 1991. - 176 с.

54. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Анализ метода «крупных частиц» с помощью дифференциальных приближений. - М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1979. - 71 с.

55. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Исследование дробных ячеек в методе «крупных частиц». - М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1978. - 71 с.

56. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Метод «крупных частиц»: вопросы аппроксимации, схемной вязкости и устойчивости. - М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1978. - 71 с.

57. Давыдов Ю.М., Туранов Е.Н., Фокин Ю.В. О расчете параметров отрывного течения между телами методом крупных частиц // Повышение эффективности судовых энергетических установок. -Н. Новгород, 1993. - С. 53-57.

58. Давыдов Ю.М., Тутурин В.А. Взаимодействие ударной волны с аэроупругим парашютом // Докл. Акад. наук. - 1996. - Т. 351, № 3. -С. 329-331.

59. Давыдов Ю.М., Шевырёв С.П. Применение формул распада произвольного разрыва в методе крупных частиц / под ред. Ю.М. Давыдова; Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1999. - 16 с.

60. Давыдов Ю.М., Шевырёв С.П. Расчет некоторых взрывных задач методом крупных частиц // Аэродинамика. - Саратов, 1975. -Вып. 4 (7). - С. 108-118.

61. Давыдов Ю.М., Шидловская Л.В. Проведение численных экспериментов по исследованию физических процессов в ближнем космосе с помощью метода крупных частиц // Математические модели ближнего космоса. - Новосибирск: Наука, 1977. - С. 67-88.

62. Давыдова И.М. Алгоритмы метода крупных частиц для суперЭВМ // Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред: II Междунар. симпозиум / Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1999. - С. 20.

63. Давыдова И.М. Нелинейные разностные схемы для расчета авиационных и ракетных двигателей / Ин-т микропроцессорных вычислит. систем РАН. - М., 2002. - 17 с. - (Препринт № 3/2002).

64. Егоров Д.М. Моделирование внутрикамерных процессов при срабатывании бессоплового ракетного двигателя твердого топлива: дис. ... канд. техн. наук. - Пермь, 2012. - 182 с.

65. Егоров М.Ю. Дис. ... канд. техн. наук. - Пермь, 1986. - 177 с.

66. Егоров М.Ю. Численное моделирование нестационарных (переходных) процессов в активных и реактивных двигателях: дис. . д-ра физ.-мат. наук. - М., 1999. - 319 с.

67. Егоров М.Ю., Егоров Д.М. Численное моделирование внутри-камерных процессов в бессопловом РДТТ // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. - 2012. - № 32. - С. 36-49.

68. Егоров М.Ю., Егоров Д.М. Численное моделирование внутри-камерных процессов в бессопловом РДТТ // XXIII семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям: сб. тр. / под ред. Г.В. Кузнецова [и др.]. - Томск: Изд-во Том. политехн. ун-та, 2012. - С. 124-127.

69. Егоров М.Ю., Егоров Д.М. Численное исследование динамики внутрикамерных процессов в бессопловом РДТТ. Фундаментальные основы баллистического проектирования: сб. материалов III Всерос. науч.-техн. конф. - СПб., 2012. - Т. 2. - С. 73-76.

70. Егоров М.Ю., Егоров Д.М. Моделирование внутрикамерных процессов при срабатывании бессоплового ракетного двигателя на твердом топливе. Результаты расчетов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. - 2012. - № 33. - С. 30-42.

71. Егоров М.Ю., Егоров Д.М. Численное моделирование внутри-камерных процессов при срабатывании бессоплового РДТТ // Вестник Иж. гос. техн. ун-та. - 2012. - № 4. - С. 174-178.

72. Егоров М.Ю., Егоров Д.М. Численное исследование динамики внутрикамерных процессов при срабатывании бессоплового РДТТ // Известия вузов. Авиационная техника. - 2013. - № 1. - С. 51-54.

73. Егоров М.Ю., Егоров Д.М., Некрасов В.И. Моделирование внутрикамерных процессов при срабатывании бессоплового ракетного двигателя на твердом топливе // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. - 2012. - № 33. - С. 19-29.

74. Численное исследование процесса течения в РДТТ с камерой сгорания сложной формы / М.Ю. Егоров, С.М. Егоров, Г.Н. Амарантов, В.И. Некрасов // Аэрокосмическая техника и высокие технологии -2007: материалы Х Всерос. науч.-техн. конф. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. - С. 92-93.

75. Егоров М.Ю., Егоров С.М., Егоров Д.М. Исследование переходных внутрикамерных процессов при выходе на режим работы ракетного двигателя на твердом топливе // Вестник Пермского государственного технического университета. Прикладная математика и механика. - 2008. - № 7. - С. 77-88.

76. Егоров М.Ю., Егоров С.М., Егоров Д.М. Численное исследование процесса выхода на режим ракетного двигателя на твердом топливе // Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации -2008: материалы XI Всерос. науч.-техн. конф. (г. Пермь, 10-11 апреля 2008 года). - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - С. 95-98.

77. Егоров М.Ю., Егоров С.М., Егоров Д.М. Численное исследование нестационарных внутрикамерных процессов при выходе на режим работы РДТТ // Струйные, отрывные и нестационарные течения: тез. докл. XXII юбилейн. семинара с междунар. участием, 22-25 июня 2010 г., Санкт-Петербург / Балт. гос. техн. ун-т; Санкт-Петербург. гос. ун-т. - СПб., 2010. - С. 345.

78. Егоров М.Ю., Егоров С.М., Егоров Д.М. Численное исследование переходных внутрикамерных процессов при выходе на режим работы РДТТ // Известия вузов. Авиационная техника. - 2010. - № 3. - С. 41-45.

79. Егоров М.Ю., Егоров С.М., Некрасов В.И. Численное моделирование нестационарных переходных внутрикамерных процессов при выходе на режим работы РДТТ // Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации - 2009: материалы XII Всерос. науч.-техн. конф. (г. Пермь, 9-10 апреля 2009 года). - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. - С. 348-351.

80. Егоров М.Ю., Егоров Я.В., Егоров С.М. Исследование неустойчивости рабочего процесса в двухкамерном РДТТ // Известия вузов. Авиационная техника. - 2007. - № 4. - С. 39-43.

81. Егоров М.Ю., Егоров Я.В., Егоров С.М. Численное исследование акустической неустойчивости рабочего процесса в камере сгорания РДТТ // Научные исследования и инновации. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. - № 1. - С. 21-30.

82. Егоров М.Ю., Парфёнов А.Ю. Численное моделирование процесса срабатывания дульного тормоза артиллерийского орудия // Вестник Пермского государственного технического университета. Аэрокосмическая техника. - 2011. - № 31. - С. 37-48.

83. Егоров М.Ю., Парфёнов А.Ю., Егоров Д.М. Численное исследование динамики внутрикамерных процессов при срабатывании артиллерийского выстрела // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. - 2012. - № 32. - С. 50-66.

84. Егоров С.М. Численное моделирование внутрикамерных процессов при выходе на режим работы РДТТ // Итоги диссертационных исследований. Тр. II Всерос. конкурса молодых ученых. - М.: Изд-во РАН, 2010. - С. 27-38.

85. Егоров С.М. Численное моделирование переходных внутри-камерных процессов при выходе на режим работы РДТТ: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Пермь, 2010. - 162 с.

86. Егоров Я.В. Численное моделирование неустойчивости рабочего процесса в камере сгорания РДТТ: дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Пермь, 2008. - 131 с.

87. Математическое моделирование двухфазных закрученных потоков модифицированным методом крупных частиц / И.Х. Еникеев, О.Ф. Кузнецова, В.А. Полянский, Э.Ф. Шургальский // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1988. - Т. 28, № 1. -С.90-100.

88. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г., Родионов С.П. Формирование волн гетерогенной детонации в газовзвесях унитарного топлива под действием взрыва // Физика горения и взрыва. - 1995. - Т. 31, № 3. -С. 83-91.

89. Кондрашов В.В. Исследование многопараметрических численных схем метода крупных частиц (МКЧ) / Ин-т тепло- и массооб-мена им. А.В. Лыкова АН БССР. - Минск, 1986. - Ч. 1. - № 5. - 17 с.; Ч. 2. - № 6. - 24 с.

90. Кондрашов В.В. Построение оптимальных алгоритмов метода крупных частиц / Ин-т тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова АН БССР. - Минск, 1986. - № 4. - 34 с.

91. Математическое моделирование электродинамики летательного аппарата в разреженной плазме / В.А. Котельников, Т.А. Гурина,

В.П. Демков, Г.А. Попов; Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1998. - 256 с.

92. Кутушев А.Г., Назаров У.А. Ослабление ударных волн слоями однородной и неоднородной моно- и полидисперсной газовзвеси // Физика горения и взрыва. - 1991. - Т. 27, № 3. - С. 129-134.

93. Численный эксперимент в теории РДТТ / А.М. Липанов, В.П. Бобрышев, А.В. Алиев [и др.]; под ред. А.М. Липанова. - Екатеринбург: Наука, 1994. - 301 с.

94. Набережнова Г.В. Расчет нестационарного взаимодействия сверхзвуковой струи с плоской преградой методом крупных частиц // Тр. ЦАГИ. - 1980. - № 1899. - С. 31-42.

95. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1970. - № 3. - С. 773-779.

96. Терентьев А.Д. Исследование некоторых свойств вращающейся жидкости методом крупных частиц // Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред: II Междунар. симпозиум / Нац. акад. прикладных наук России. - М., 1999. - С. 40.

97. Уваров Г.А. Расчет методом Давыдова задач нефтегазового комплекса // Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения / Орлов. гос. техн. ун-т. - Орел, 2000. - С. 262-264.

98. Чарнцев Д.А. Математическое моделирование теплового состояния шумотеплозащитных кожухов газотурбинных установок: дис. ... канд. техн. наук. - Пермь, 2012. - 134 с.

99. Шевырев С.П. Исследование двумерной схемы метода крупных частиц на устойчивость // Дифференциальные уравнения и теория функций / Сарат. гос. ун-т. - Саратов, 1987. - С. 21-30.

100. Шмотин Ю.Н., Егоров М.Ю. Численное моделирование нестационарного течения в турбине ГТД // Турбины и компрессоры. -1997. - № 3-4. - С. 7-11.

101. Numerical modeling of the processes within the combustion chamber of a solid propellant rocket engine during the stabilization of the design operation mode / G.N. Amarantov, M.Yu. Egorov, S.M. Egorov, D.M. Egorov, V.I. Nekrasov // Fluid Dynamics. - 2011. - Vol. 46, № 3. -Р.467-478.

102. Numerical Study of Unsteady Flow in High Pressure Turbine of Aircraft Engine / I.N. Chmotine, V.G. Avgoustinovitch, M.I. Egorov, R.V. Chramin, I.R. Kaminski // AIAA 97-2754, 33rd AIAA / ASME / SAE / ASEE Joint Propulsion Conference & Exhibit. - Seattle, 1997.

103. Davydov Yu.M. Large-particle method // Encyclopaedia of mathematics. - Dordrecht; Boston; London: Kluver academic publishers, 1990. - Vol. 5. - P. 358-360.

104. Davydov Yu.M. Re-Entry and Landing Parachute Systems for Space Vehicles // 48th International Astronautical Congress. Report N IAF. -Turin, 1997. - Vol. 4.09. - P. 11.

105. Davydov Y.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Influence of overload on low-frequency instability of the working process in the combustion chamber of the solid propellant rocket engine // Journal of Vibroengi-neering. - 2008. - Vol. 10, № 3. - P. 272-276.

106. Davydov Y.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Flight Overloading Effect on the Working Process Instability in the Combustion Chamber of a Solid-Fuel Rocket Engine // Doklady Physics. - 2004. - Vol. 49, № 9. -P.527-529.

107. Davydov Y.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Instability of working process in a two-chamber solid-propellant rocket engine // Doklady Physics. - 2011. - Vol. 56, № 7. - P. 403-406.

108. Davydov Y.M., Egorov M.Yu. Low-frequency acoustic instability of the working process in the combustion chamber of the solid propellant rocket engine // Journal of Vibroengineering. - 2008. - Vol. 10, № 2. -P.155-164.

109. Davydov Y.M., Egorov M.Yu. The Instability of the Working Process in the Combustion Chamber of a Solid-Propellant Rocket Engine // Doklady Physics. - 2001. - Vol. 46, № 3. - P. 195-198.

110. Davydov Y.M., Egorov M.Yu., Chmotine Y.N. Unsteady-Flow Effects in Jet-Engine Turbines // Doklady Physics. - 1999. - Vol. 44, № 9. -P. 621-625.

111. Egorov M.Yu., Egorov S.M., Egorov D.M. Numerical research transitive inside chamber processes at an output on mode of operations of the solid propellant rocket engine // Russian Aeronautics, Allerton Press, Aircraft and Rocket Engine Theory. - 2010. - Vol. 53, № 3. - P. 303-311.

112. Egorov M.Yu., Egorov Ya.V., Egorov S.M. Study of working process instability in the two-chamber solid-propellant rocket engine // Rus-

sian Aeronautics, Allerton Press, Aircraft and Rocket Engine Theory. -2007. - Vol. 50, № 4. - Р. 402-408.

113. Давыдова И.М. Построение эффективных алгоритмов расчета на супер-ЭВМ нестационарных процессов в авиационных и ракетных двигателях / Ин-т микропроцессорных вычислит. систем РАН. -М., 2002. - 21 с. - (Препринт № 1/2002).

114. Давыдова И.М., Давыдов Ю.М. Об особенностях решения вычислительных задач на современных и перспективных вычислительных машинах // Вычислительные процессы и системы / под ред. Г.И. Марчука. - М.: Наука, 1985. - Вып. 2. - С. 162-172.

115. Давыдова И.М., Давыдов Ю.М. Организация больших программ. - М.: Изд-во МФТИ, 1973. - 146 с.

116. Давыдова И.М., Давыдов Ю.М. Пакет прикладных программ КРУЧА для векторно-конвейерной вычислительной машины // Метод крупных частиц: теория и приложения: тр. Всесоюз. конф. - 1988. -Т. 1, № 2269-88. - С. 85-104. - Деп. в ЦНТИ «Волна».

117. Давыдова И.М., Давыдов Ю.М. Разработка алгоритмов и программ решения задач газовой динамики и физики плазмы для векторно-конвейерной вычислительной машины. - М.; Владивосток: Изд-во Дальневост. отд-я АН СССР, 1990. - 40 с.

118. Давыдова И.М., Давыдов Ю.М. Элементы организации больших программ. - М.: Изд-во МФТИ, 1977. - 129 с.

119. Программный комплекс для численного моделирования внутрикамерных процессов в энергетических установках на твердом топливе (EMJ). Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2012617507 от 20.09.2012 (заявка № 2012615158 от 21.06.2012) / М.Ю. Егоров, Д М. Егоров.

120. Программный комплекс для численного моделирования течения в камере сгорания активных и реактивных двигателей на твердом топливе (ПК «Saturn_CM»). Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2011613103 от 19.04.2011 (заявка № 2011611286 от 28.02.2011) / М.Ю. Егоров, С М. Егоров.

121. Давыдов Ю.М. Архитектурная матрица аппроксимационной вязкости // Докл. Акад. наук СССР. - 1984. - Т. 278, № 4. - С. 789-792.

122. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 1985. - 364 с.

123. Амарантов Г.Н., Егоров М.Ю., Егоров Д.М. Исследование внутрикамерных процессов в ракетно-прямоточном двигателе на твердом топливе // Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации - 2009: материалы XII Всерос. науч.-техн. конф. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. - C. 86-87.

124. Давыдов Ю.М. Схемная вязкость // Математическая энциклопедия. - М.: Сов. энцикл., 1985. - Т. 5. - С. 303-304.

References

1. Davydov Yu.M. Nestatsionarnyy metod rascheta gazodinamich-eskikh zadach [Using unsteady method for calculating gas dynamics problems]. Otchet Vychislitelnogo tsentra Akademii nauk SSSR i Moskovskogo fiziko-tekhnicheskogo instituta, 1968, no. 173, p. 29.

2. Davydov Yu.M. Metod "krupnykh chastits" dlya zadach gazovoy dinamiki [Method of "large particles" for gas dynamics problems]. Moskov-skiy fiziko-tekhnicheskiy institut, 1970. 183 p.

3. Davydov Yu.M. Raschet obtekaniya tel proizvolnoy formy metodom "krupnykh chastits" [Calculation of flow around arbitrary shape bodies by "large particles" method]. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki, 1971, vol. 11, no. 4, pp. 1056-1063.

4. Avgustinovich V.G., Inozemtsev A.A., Shmotin Yu.N. Nes-tatsionarnye yavleniya v turbomashinakh (chislennoe modelirovanie i ek-speriment) [Unsteady phenomena in turbomachines (numerical simulation and experiment)]. Institut mekhaniki sploshnykh sred Uralskogo otdeleniya Rossiyskoy akademii nauk, Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy uni-versitet, 1999. 280 p.

5. Akzholov M.Zh. Vypolnenie v metode krupnykh chastits Davydova gruppovogo svoystva invariantnosti po otnosheniyu k operatsii perenosa [Performing in the Davydov's method of large particles group invariance properties towards to the transfer operations]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1999. 15 p.

6. Aliev A.V., Blinov D.S. Reshenie gazodinamicheskikh zadach v oblastyakh slozhnoy formy s ispolzovaniem konechno-obemnykh algorit-mov metoda krupnykh chastits [Gas dynamics problems solution in the areas with complex shapes using finite-volume algorithms of large-particle method]. Vestnik Izhevskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2009, no. 1, pp. 151-154.

7. Amarantov G.N., Egorov M.Yu., Egorov S.M., Egorov D.M., Ne-krasov V.I. Chislennoe modelirovanie vnutrikamernykh protsessov pri vykhode na rezhim raboty raketnogo dvigatelya tverdogo topliva [Numerical simulation of solid fuel rocket engine intrachamber processes during entering to the operating mode]. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred, 2010, vol. 3, no. 3, pp. 5-17.

8. Boyko L.G., Davydov Yu.M., Ershov V.N., Kalyamin D.V. Prime-nenie metoda krupnykh chastits v issledovanii transzvukovogo techeniya v reshetke profiley kompressornoy stupeni [Application of the large particles method in the study of the transonic flow in compressor stage profiles]. Trudy Vsesoyuznoy konferentsii "Metod krupnykh chastits: teoriya i prilo-zheniya ", 1988, vol. 1, no. D07720, pp. 42-53.

9. Davydov Yu.M. K raschetu neregulyarnogo otrazheniya udarnykh voln metodom "krupnykh chastits" [On the calculation of shock waves irregular reflection by the "large particles" method]. Trudy Moskovskogo fizi-ko-tekhnicheskogo instituta. Aeromekhanika, protsessy upravleniya. Mos-kovskiy fiziko-tekhnicheskiy institut, 1973, pp. 71-79.

10. Davydov Yu.M. Issledovanie transzvukovykh i sverkhzvukovykh techeniy metodom "krupnykh chastits" [Investigation of transonic and supersonic flows by the "large particles" method]. Chislennoe issledovanie sovremennykh zadach gazovoy dinamiki. Moscow: Nauka, 1974, pp. 83-181.

11. Davydov Yu.M. Struktura approksimatsionnoy vyazkosti [Approximation viscosity structure]. Doklady Akademii nauk SSSR, 1979, vol. 245, no. 4, pp. 812-815.

12. Davydov Yu.M. Issledovanie ustoychivosti raznostnykh skhem na granitsakh raschetnoy oblasti metodom differentsialnykh priblizheniy [The stability investigation of difference schemes at the boundaries of the computational domain using the differential approximation]. Doklady akademii nauk SSSR, 1979, vol. 244, no. 6, pp. 1298-1302.

13. Davydov Yu.M. Metod "krupnykh chastits" (rasshcheplenie po fizicheskim protsessam) [The method of "large particles" (splitting into physical processes)]. Materialy Mezhdunarodnoy shkoly-seminara "Chis-lennye metody resheniya zadach perenosa". Minsk: Institut teplo- i mas-soobmena BSSR, 1979, pp. 57-85.

14. Davydov Yu.M. Mnogoparametricheskie skhemy rasshchepleniya dlya resheniya prostranstvenno-trekhmernykh nestatsionarnykh zadach [Multi-

parameter splitting scheme for solving the 3D-space time-dependent problems]. Doklady akademii naukSSSR, 1979, vol. 247, no. 6, pp. 1346-1350.

15. Davydov Yu.M. Chislennyy eksperiment v gidrodinamike po is-sledovaniyu sryvnykh vyazkikh potokov metodom "krupnykh chastits" [Hydrodynamics numerical experiment in viscous shear flows research by "large particles" method]. Nelineynye volny. Moscow: Nauka, 1979, pp. 227-239.

16. Davydov Yu.M. Paket prikladnykh programm KRUChA [Software application KRUChA]. Moscow: Vserossiyskiy nauchno-tekhniches-kiy informatsionnyy tsentr, 1980, no. 4 (36). 150 p.

17. Davydov Yu.M. Chislennyy eksperiment v gazovoy dinamike [Numerical experiment in gas dynamics]. Moscow, 1981.

18. Davydov Yu.M. Differentsialnye priblizheniya i predstavleniya raznostnykh skhem [Differential approximation and representation of difference schemes]. Moskovskiy fiziko-tekhnicheskiy institut, 1981. 131 p.

19. Davydov Yu.M. Krupnykh chastits metod [Large particles method]. Matematicheskaya entsiklopediya. Moscow: Sovetskaya entsiklopedi-ya, 1982, vol. 3, pp. 125-129.

20. Davydov Yu.M. Krupnykh chastits metod [Large particles method]. Mathematical Encyclopedic Dictionary. Moscow: Sovetskaya Encyclopedia, 1988, pp. 303-304.

21. Davydov Yu.M. Krupnykh chastits metod [Large particles method]. Matematika. Bolshoy entsiklopedicheskiy slovar. Moscow: Sovetskaya entsiklopediya, 1998, 2000, pp. 303-304.

22. Davydov Yu.M. Obrazovanie zony povyshennoy kontsentratsii chastits pri sfokusirovannom vduve v dvukhfaznoy srede [Formation of zone with increased concentration of particles in the presence of focused injection in two-phase enviroment]. Doklady Akademii nauk SSSR, 1990, vol. 315, no. 4, pp. 813-815.

23. Davydov Yu.M. Chislennoe modelirovanie zadach radiatsionnoy gazovoy dinamiki metodom krupnykh chastits [Radiation gas dynamics numerical simulation by method of large particles]. Moscow: Nauchno-issledovatelskiy institut parashyutostroeniya, 1990. 96 p.

24. Davydov Yu.M. Issledovanie reley-teylorovskoy neustoychivosti [Investigation of the Rayleigh - Taylor instability]. Vladivostok: Institut morskoy geologii i geofiziki, 1991. 84 p.

25. Davydov Yu.M. Sovremennaya nelineynaya teoriya raznostnykh skhem gazovoy dinamiki [Modern nonlinear theory of difference schemes of gas dynamics]. Moscow: Nauchno-issledovatelskiy institut parashyuto-stroeniya, 1991, p. 104.

26. Davydov Yu.M. Ustoychivost poleta parashyutov [Flight stability of parachutes]. Doklady akademii nauk, 1998, vol. 363, no. 5, pp. 626-631.

27. Davydov Yu.M. Issledovanie aerodinamiki, aerouprugosti, nagreva, prochnosti i ustoychivosti poleta parashyutnykh system [Investigation of aerodynamics, aeroelasticity, heating, strength and stability of the flight parachute systems]. Sovremennye problemy aerogidromekhaniki. Moscow: Institut prikladnoy mekhaniki Rossiyskoy akademii nauk, 1999, vol. 2, pp. 35-54.

28. Davydov Yu.M. Aerodinamika, gidrouprugost i ustoychivost poleta parashyutnykh system [Aerodynamics, flight stability and hydroelas-ticity parachute systems]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, Nauchno-issledovatelskiy institut parashyutostroeniya, 2006. 364 p.

29. Davydov Yu.M., Davydova I.M. Ob otobrazhenii problem vychis-litelnoy matematiki na arkhitekturu vychislitelnykh system [About displaying of problems of computational mathematics to the architecture of computing systems]. Matematicheskie metody upravleniya i obrabotki informatsii. Moskovskiy fiziko-tekhnicheskiy institut, 1983, pp. 4-18.

30. Davydov Yu.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Sovershenstvo-vanie i optimizatsiya aviatsionnykh i raketnykh dvigateley s uchetom nelineynykh nestatsionarnykh gazodinamicheskikh effektov [Improvement and optimization of aircraft and rocket engines including nonlinear unsteady gasdynamic effects]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 2002. 303 p.

31. Davydov Yu.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Vliyanie poletnoy peregruzki na neustoychivost rabochego protsessa v kamere sgoraniya raketnogo dvigatelya na tverdom toplive [Influence of flight overload to workflow instability in the combustion chamber of a rocket engine with solid fuel]. Doklady Akademii nauk, 2004, vol. 398, no. 2, pp. 194-197.

32. Davydov Yu.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Neustoychivost rabochego protsessa v dvukhkamernom raketnom dvigatele na tverdom top-live [Instability of the workflow in a two-chamber solid fuel rocket engine]. Doklady Akademii nauk, 2011, vol. 439, no. 2, pp. 188-191.

33. Davydov Yu.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu., Lipanov A.M. Chislennoe issledovanie aktualnykh problem mashinostroeniya i mekhaniki sploshnykh i sypuchikh sred metodom krupnykh chastits [Numerical study of topical problems of fluid and bulk environments mechanics and engineering by large particles method]. Moscow: Natsionalnaya akademiya priklad-nykh nauk Rossii, 1995, vol. 1-5. 1658 p.

34. Davydov Yu.M., Davydova I.M., Kondrashov V.V. Sposob postroeniya raznostnykh skhem metoda krupnykh chastits povyshennogo poryadka tochnosti [A method for constructing high order difference schemes of the large particles]. Moscow: Natsionalnaya akademiya priklad-nykh nauk Rossii, 1997. 20 p.

35. Davydov Yu.M., Egorov M.Yu. Issledovanie nestatsionarnogo techeniya v turbine vysokogo davleniya gazoturbinnogo dvigatelya [The study of unsteady flow in a high pressure turbine of the gas turbine engine]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1998. 72 p.

36. Davydov Yu.M., Egorov M.Yu. Issledovanie aktualnykh problem vnutrenney ballistiki artilleriyskogo vystrela [The study of actual problems of artillery shot interior ballistics]. Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii "Pervye Okunevskie chteniya". Saint Petersburg: Baltiyskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 1999, pp. 44-56.

37. Davydov Yu.M., Egorov M.Yu. Chislennoe modelirovanie nes-tatsionarnykh perekhodnykh protsessov v aktivnykh i reaktivnykh dvigatelyakh [Numerical simulation of unsteady transition processes in active and jet engines]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1999. 272 p.

38. Davydov Yu.M., Egorov M.Yu. Neustoychivost rabochego protsessa v kamere sgoraniya raketnogo dvigatelya na tverdom toplive [Instability of the workflow in the combustion chamber of a solid fuel rocket engine]. Doklady Akademii nauk, 2001, vol. 377, no. 2, pp. 194-197.

39. Davydov Yu.M., Egorov M.Yu., Shmotin Yu.N. Nestatsionarnye effekty techeniya v turbine reaktivnogo dvigatelya [Transient effects of flow in a jet engine turbine]. Doklady Akademii nauk, 1999, vol. 368, no. 1, pp. 45-49.

40. Davydov Yu.M., Enikeev I.Kh., Nigmatulin R.I. Raschet ob-tekaniya zatuplennykh tel potokom gaza s chastitsami s uchetom vliyaniya otrazhennykh chastits na techenie gazovzvesi [Calculation of a flow around blunt bodies by gas flow with particles considering the influence of reflected

particles for a gas suspension]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 1990, no. 6, pp. 67-74.

41. Davydov Yu.M., Kondrashov V.V. Adaptatsiya metoda krupnykh chastits k arkhitekture vysokoproizvoditelnykh sovremennykh EVM [Adapting the method of large particles to the architecture of modern highperformance computers]. Minsk: Institut teplo- i massoobmena BSSR, 1987, no. 2. 13 p.

42. Davydov Yu.M., Korobitsyn G.P., Postnikov V.G. Obtekanie zatuplennykh tel s iglami i kavernami [Flow around blunt bodies with needles and cavities]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal, 1979, vol. XXXVII, no. 4, pp. 712-716.

43. Davydov Yu.M., Kosolapov E.A. Chislennoe modelirovanie dvu-khfaznykh techeniy v soplakh metodom krupnykh chastits [Numerical modeling of two-phase flows in nozzles by large particles method]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1998. 86 p.

44. Davydov Yu.M., Kruglov M.G., Mednov A.A., Nefedov V.A. Chislennoe issledovanie techeniy v dvigatelyakh vnutrennego sgoraniya metodom krupnykh chastits [Numerical simulation of internal combustion engines by large particles method]. Moscow: Vychislitelnyy tsentr Akade-mii nauk SSSR, 1983. 57 p.

45. Davydov Yu.M., Kulikov V.D., Mayorskiy E.V. Issledovanie kriticheskogo raskhoda cherez reshetki tonkikh krylovykh profiley metodom krupnykh chastits [Investigation of critical flow through the lattice of thin airfoils by large particles method]. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhani-ka zhidkosti i gaza, 1984, no. 2, pp. 182-195.

46. Davydov Yu.M., Kulikov V.D., Mayorskiy E.V. Issledovanie ob-tekaniya rabochikh reshetok profiley parovykh turbin metodom krupnykh chastits [Investigation of flow around steam turbines airfoil lattice by large particles method]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 1984, no. 3 (145), pp. 47-50.

47. Davydov Yu.M., Kutasov S.A. Reshenie zadach fizicheskoy mek-haniki metodom krupnykh chastits [Solving problems of physical mechanics by large particles method]. Fizicheskaya mekhanika. Leningradskiy gosu-darstvennyy universitet, 1978, no. 3, pp. 133-141.

48. Davydov Yu.M., Kutasov S.A., Peregudov G.V. Issledovanie vzaimodeystviya lazernogo izlucheniya s ploskimi sploshnymi mishenyami iz razlichnykh materialov [The study of interaction of laser radiation with a

flat solid targets of different materials]. Moscow: Fizicheskiy institut Akad-emii nauk, 1988. 38 p.

49. Davydov Yu.M., Lipavskiy M.V. Raschet dvumernogo vneshnego obtekaniya tel geterogennym potokom metodom krupnykh chastits [Calculation of two-dimensional external flow around heterogeneous bodies by large particles method]. Trudy Moskovskogo fiziko-tekhnicheskogo instituta. Aerofizika iprikladnaya matematika, 1979, pp. 131-134.

50. Davydov Yu.M., Mozgovoy V.A. Effekt anomalnogo aero-dinamicheskogo nagreva pri spuske parashyuta po traektorii [The anomalous aerodynamic heating during parachute descent on specified trajectory]. Doklady akademii nauk, 1993, vol. 330, no. 1, pp. 48-51.

51. Davydov Yu.M., Molleson G.V. Raschet prostranstvennogo ob-tekaniya naklonnoy pregrady na rezhimakh s otoshedshey udarnoy volnoy [Calculation of the spatial flow around inclined barrier to regimes with a detached shock wave]. Izvestiya Akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1997, no. 1, pp. 31-35.

52. Davydov Yu.M., Nigmatulin R.I Raschet vneshnego obtekaniya zatuplennykh tel geterogennym potokom gaza s kaplyami ili chastitsami [Calculation of the external flow around blunt bodies by heterogeneous gas flow with droplets or particles]. Doklady Akademii nauk SSSR, 1981, vol. 259, no. 1, pp. 57-60.

53. Davydov Yu.M., Rysev O.V. Gidrodinamika parashyutnykh system [Hydrodynamics of parachute systems]. Moscow: Nauchno-issledova-telskiy institut parashyutostroeniya, 1991. 176 p.

54. Davydov Yu.M., Skotnikov V.P. Analiz metoda "krupnykh chastits" s pomoshchyu differentsialnykh priblizheniy [Analysis of "large particles" method by differential approximations]. Moscow: Vychislitelnyy tsentr Akademii nauk SSSR, 1979. 71 p.

55. Davydov Yu.M., Skotnikov V.P. Issledovanie drobnykh yacheek v metode "krupnykh chastits" [Investigation of the fractional cells in "large particles" method]. Moscow: Vychislitelnyy tsentr Akademii nauk SSSR, 1978. 71 p.

56. Davydov Yu.M., Skotnikov V.P. Metod "krupnykh chastits": vo-prosy approksimatsii, skhemnoy vyazkosti i ustoychivosti [The method of "large particles": questions of approximation, numerical viscosity and stability]. Moscow: Vychislitelnyy tsentr Akademii nauk SSSR, 1978. 71 p.

57. Davydov Yu.M., Turanov E.N., Fokin Yu.V. O raschete par-ametrov otryvnogo techeniya mezhdu telami metodom krupnykh chastits [About parameters calculation of separated flow between bodies by large particles method]. Povyshenie effektivnosti sudovykh energeticheskikh usta-novok. Nizhegorodskiy proektnyy institut, 1993, pp. 53-57.

58. Davydov Yu.M., Tuturin V.A. Vzaimodeystvie udarnoy volny s aerouprugim parashyutom [Interaction of shock waves with aeroelastic parachute]. Doklady Akademii nauk, 1996, vol. 351, no. 3, pp. 329-331.

59. Davydov Yu.M., Shevyrev S.P. Primenenie formul raspada pro-izvolnogo razryva v metode krupnykh chastits [The formulas of an arbitrary discontinuity decay application in the method of large particles]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1999. 16 p.

60. Davydov Yu.M., Shevyrev S.P. Raschet nekotorykh vzryvnykh zadach metodom krupnykh chastits [Estimation of some explosive problems by large particles method]. Aerodinamika. Saratovskiy gosudarstvennyy universitet, 1975, vol. 4 (7), pp. 108-118.

61. Davydov Yu.M., Shidlovskaya L.V. Provedenie chislennykh ek-sperimentov po issledovaniyu fizicheskikh protsessov v blizhnem kosmose s pomoshchyu metoda krupnykh chastits [Numerical experiments conduction to study the physical processes in the near space using the method of large particles]. Matematicheskie modeli blizhnego kosmosa. Novosibirsk: Nauka, 1977, pp. 67-88.

62. Davydova I.M. Algoritmy metoda krupnykh chastits dlya super-EVM [Large-particle method algorithms for super computers]. International symposium "Actual Problems of continuum mechanics and granular media". Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1999. 20 p.

63. Davydova I.M. Nelineynye raznostnye skhemy dlya rascheta avi-atsionnykh i raketnykh dvigateley [Nonlinear finite-difference scheme for the computation of aircraft and rocket engines]. Moscow: Institut mikro-protsessornykh vychislitelnykh sistem Rossiyskoy akademii nauk, 2002, no. 3/2002.

64. Egorov D.M. Modelirovanie vnutrikamernykh protsessov pri srabatyvanii bessoplovogo raketnogo dvigatelya tverdogo topliva [Modeling of inchamber processes when triggered nozzleless solid fuel rocket engine]. Abstract of the thesis of the candidate of technical sciences. Perm, 2012. 182 p.

65. Egorov M.Yu. Abstract of the thesis of the candidate of technical sciences. Perm, 1986. 177 p.

66. Egorov M.Yu. Chislennoe modelirovanie nestatsionarnykh (perekhodnykh) protsessov v aktivnykh i reaktivnykh dvigatelyakh [Numerical simulation of unsteady (transient) processes in active and jet engines]. Moscow: Institut vysokoproizvoditelnykh vychislitelnykh sistem Ros-siyskoy akademii nauk, 1999. 319 p.

67. Egorov M.Yu., Egorov D.M. Chislennoe modelirovanie vnu-trikamernykh protsessov v bessoplovom RDTT [Numerical simulation of inchamber processes in nozzleless SRBs]. Vestnik Permskogo natsional-nogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika, 2012, no. 32, pp. 36-49.

68. Egorov M.Yu., Egorov D.M. Chislennoe modelirovanie vnu-trikamernykh protsessov v bessoplovom RDTT [Numerical simulation in-chamber processes in nozzleless SRBs]. XXIII seminar po struynym, otryv-nym i nestatsionarnym techeniyam. Tomskiy Polytechnicheskiy Universitet, 2012, pp. 124-127.

69. Egorov M.Yu., Egorov D.M. Chislennoe issledovanie dinamiki vnutrikamernykh protsessov v bessoplovom RDTT [Numerical simulation inchamber processes in nozzleless SRBs]. Sbornik materialov III Vse-rossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii "Fundamentalnye osnovy ballisticheskogo proektirovaniya". Saint Petersburg: Baltiyskiy gosudar-stvennyy tekhnicheskiy universitet, Sankt-Peterburgskiy gosudarstvennyy universitet, 2012, vol. 2, pp. 73-76.

70. Egorov M.Yu., Egorov D.M. Modelirovanie vnutrikamernykh protsessov pri srabatyvanii bessoplovogo raketnogo dvigatelya na tverdom toplive. Rezultaty raschetov. [Modeling of inchamber processes when triggered nozzleless solid fuel rocket engine]. Vestnik Permskogo natsional-nogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika, 2012, no. 33, pp. 30-42.

71. Egorov M.Yu., Egorov D.M. Chislennoe modelirovanie vnutrikamernykh protsessov pri srabatyvanii bessoplovogo RDTT [Numerical simulation of inchamber processes when triggered nozzleless SRBs]. Vestnik Izhevskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2012, no. 4, pp. 174-178.

72. Egorov M.Yu., Egorov D.M. Chislennoe issledovanie dinamiki vnutrikamernykh protsessov pri srabatyvanii bessoplovogo RDTT [Numeri-

cal study of the intrachamber processes dynamics when triggered nozzleless SRBs]. Izvestiya Vysshykh uchebnykh zavedeniy. Aviatsionnaya tekhnika, 2013, no. 1, pp. 51-54.

73. Egorov M.Yu., Egorov D.M., Nekrasov V.I. Modelirovanie vnu-trikamernykh protsessov pri srabatyvanii bessoplovogo raketnogo dvigatelya na tverdom toplive [Modeling of inchamber processes when triggered nozzleless solid fuel rocket engine]. Vestnik Permskogo natsional-nogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika, 2012, no. 33, pp. 19-29.

74. Egorov M.Yu., Egorov S.M., Amarantov G.N., Nekrasov V.I. Chislennoe issledovanie protsessa techeniya v RDTT s kameroy sgoraniya slozhnoy formy [Numerical study of the flow process in SRBs combustion chamber with complex shapes]. Materialy X Vserossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii "Aerokosmicheskaya tekhnika i vysokie tekhnologii 2007". Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2007, pp. 92-93.

75. Egorov M.Yu., Egorov S.M., Egorov D.M. Issledovanie perekhodnykh vnutrikamernykh protsessov pri vykhode na rezhim raboty raketnogo dvigatelya na tverdom toplive [Study of transition inchamber processes when solid propellant rocket engine entering the operating mode]. Vestnik Permskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Priklad-naya matematika i mekhanika, 2008, no. 7, pp. 77-88.

76. Egorov M.Yu., Egorov S.M., Egorov D.M. Chislennoe issledo-vanie protsessa vykhoda na rezhim raketnogo dvigatelya na tverdom toplive [Numerical study of the solid propellant rocket engine entering the operating mode]. Aerokosmicheskaya tekhnika, vysokie tekhnologii i innovatsii 2008. Materialy XI Vserossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii. Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2008, pp. 95-98.

77. Egorov M.Yu., Egorov S.M., Egorov D.M. Chislennoe issledovanie nestatsionarnykh vnutrikamernykh protsessov pri vykhode na rezhim raboty RDTT [Numerical study of unsteady inchamber processes of SRBs when entering the operating mode]. XXII yubileynyy seminar s mezhdu-narodnym uchastiem "Struynye, otryvnye i nestatsionarnye techeniya". Sankt-Peterburgskiy gosudarstvennyy universitet, 2010. 345 p.

78. Egorov M.Yu., Egorov S.M., Egorov D.M. Chislennoe issledovanie perekhodnykh vnutrikamernykh protsessov pri vykhode na rezhim raboty RDTT [Numerical study of transient inchamber processes when

SRBs entering the operating mode]. Izvestiya Vysshykh uchebnykh zavedeniy. Aviatsionnaya tekhnika, 2010, no. 3, pp. 41-45.

79. Egorov M.Yu., Egorov S.M., Nekrasov V.I. Chislennoe modeliro-vanie nestatsionarnykh perekhodnykh vnutrikamernykh protsessov pri vykhode na rezhim raboty RDTT [Numerical simulation of transition unsteady inchamber processes when SRBs entering the operating mode]. Ma-terialy XII Vserossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii "Aero-kosmicheskaya tekhnika, vysokie tekhnologii i innovatsii 2009". Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2009, pp. 348-351.

80. Egorov M.Yu., Egorov Ya.V., Egorov S.M. Issledovanie neus-toychivosti rabochego protsessa v dvukhkamernom RDTT [Investigation of workflow instability in double chamber SRBs]. Izvestiya Vysshykh uchebnykh zavedeniy. Aviatsionnaya tekhnika, 2007, no. 4, pp. 39-43.

81. Egorov M.Yu., Egorov Ya.V., Egorov S.M. Chislennoe issledovanie akusticheskoy neustoychivosti rabochego protsessa v kamere sgoraniya RDTT [Numerical study of workflow acoustic instability in the combustion chamber of SRBs]. Nauchnye issledovaniya i innovatsii. Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2007, no. 1, pp. 21-30.

82. Egorov M.Yu., Parfenov A.Yu. Chislennoe modelirovanie protsessa srabatyvaniya dulnogo tormoza artilleriyskogo orudiya [Numerical simulation of the response of artillery muzzle brake]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Aero-kosmicheskaya tekhnika, 2011, no. 31, pp. 37-48.

83. Egorov M.Yu., Parfenov A.Yu., Egorov D.M. Chislennoe issledovanie dinamiki vnutrikamernykh protsessov pri srabatyvanii artilleriyskogo vystrela [Numerical study of the intrachamber processes dynamics when triggered artillery shot]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issle-dovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika, 2012, no. 32, pp. 50-66.

84. Egorov S.M. Chislennoe modelirovanie vnutrikamernykh protsessov pri vykhode na rezhim raboty RDTT [Numerical simulation of intrachamber processes when SRBs entering the operation mode]. Itogi dis-sertatsionnykh issledovaniy. Trudy II Vserossiyskogo konkursa molodykh uchenykh. Moscow: Rossiyskaya akademiya nauk, 2010, pp. 27-38.

85. Egorov S.M. Chislennoe modelirovanie perekhodnykh vnutrikamernykh protsessov pri vykhode na rezhim raboty RDTT [Numerical sim-

ulation of transient intrachamber processes when SRBs entering the operation mode]. Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2010. 162 p.

86. Egorov Ya.V. Chislennoe modelirovanie neustoychivosti rabochego protsessa v kamere sgoraniya RDTT [Numerical simulation of workflow instability in SRBs combustion chamber]. Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2008. 131 p.

87. Enikeev I.Kh., Kuznetsova O.F., Polyanskiy V.A., Shurgalskiy E.F. Matematicheskoe modelirovanie dvukhfaznykh zakruchennykh potokov modifitsirovannym metodom krupnykh chastits [Mathematical modeling of two-phase swirling flows by modified method of large particles]. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki, 1988, vol. 28, no. 1, pp. 90-100.

88. Ivandaev A.I., Kutushev A.G., Rodionov S.P. Formirovanie voln geterogennoy detonatsii v gazovzvesyakh unitarnogo topliva pod deystviem vzryva [Formation of heterogeneous detonation waves in gas suspensions under the action of a unitary fuel explosion]. Fizika goreniya i vzryva, 1995, vol. 31, no. 3, pp. 83-91.

89. Kondrashov V.V. Issledovanie mnogoparametricheskikh chislen-nykh skhem metoda krupnykh chastits [Multiparameter study of numerical schemes of the large particles method]. Minsk: Institut teplo- i massoob-mena imeni. A.V. Lykova Akademii nauk BSSR, 1986, part 1, no. 5, p. 17; part 2, 1986, no. 6, p. 24.

90. Kondrashov V.V. Postroenie optimalnykh algoritmov metoda krupnykh chastits [Construction of optimal algorithms of the larger particles method]. Minsk: Institut teplo- i massoobmena imeni A.V. Lykova Akademii nauk BSSR, 1986, no. 4. 34 p.

91. Kotelnikov V.A., Gurina T.A., Demkov V.P., Popov G.A. Ma-tematicheskoe modelirovanie elektrodinamiki letatelnogo apparata v razre-zhennoy plazme [Mathematical modeling of the aircraft electrodynamics in a rarefied plasma]. Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1998. 256 p.

92. Kutushev A.G., Nazarov U.A. Oslablenie udarnykh voln sloyami odnorodnoy i neodnorodnoy mono- i polidispersnoy gazovzvesi [Shock waves weakening by homogeneous and heterogeneous layers of mono-and polydisperse gas suspensions]. Fizika goreniya i vzryva, 1991, vol. 27, no. 3, pp. 129-134.

93. Lipanov A.M., Bobryshev V.P., Aliev A.V. Chislennyy eksperi-ment v teorii RDTT [Numerical experiment in theory of SRBs]. Yekaterinburg: Nauka, 1994. 301 p.

94. Naberezhnova G.V. Raschet nestatsionarnogo vzaimodeystviya sverkhzvukovoy strui s ploskoy pregradoy metodom krupnykh chastits [Calculation of unsteady interaction of a supersonic jet with a flat barrier by method of large particles]. Trudy Tsentralnogo aerogidrodinamicheskogo instituta, 1980, no. 1899, pp. 31-42.

95. Popov Yu.P., Samarskiy A.A. Polnostyu konservativnye raznostnye skhemy dlya uravneniy gazovoy dinamiki v peremennykh Eylera [Completely conservative difference schemes for the gas dynamics equations in Euler variables]. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematich-eskoy fiziki, 1970, no. 3, pp. 773-779.

96. Terentev A.D. Issledovanie nekotorykh svoystv vrashchayushchey-sya zhidkosti metodom krupnykh chastits [A study of some properties of the rotating liquid by the larger particles method]. II Mezhdunarodnyy simpozium "Aktualnye problemy mekhaniki sploshnykh i sypuchikh sred". Moscow: Natsionalnaya akademiya prikladnykh nauk Rossii, 1999, p. 40.

97. Uvarov G.A. Raschet metodom Davydova zadach neftegazovogo kompleksa [Calculation gas complex tasks by Davydov's method]. Funda-mentalnye i prikladnye problemy tekhnologii mashinostroeniya. Orlovskiy gosudarstvenniy tekhnicheskiy universitet, 2000, pp. 262-264.

98. Charntsev D.A. Matematicheskoe modelirovanie teplovogo so-stoyaniya shumoteplozashchitnykh kozhukhov gazoturbinnykh ustanovok [Mathematical modeling of the thermal state of gas turbines protective covers]. Permskiy natsionalnyy issledovatelskiy politekhnicheskiy universitet, 2012. 134 p.

99. Shevyrev S.P. Issledovanie dvumernoy skhemy metoda krupnykh chastits na ustoychivost [Investigation of the two-dimensional scheme of the method of large particles on the stability]. Differentsialnye uravneniya i te-oriyafunktsiy. Saratovskiy gosudarstvennyy universitet, 1987, pp. 262-264.

100. Shmotin Yu.N., Egorov M.Yu. Chislennoe modelirovanie nes-tatsionarnogo techeniya v turbine GTD [Numerical simulation of unsteady flow in turbine GTE.]. Turbiny i kompressory, 1997, no. 3-4, pp. 7-11.

101. Amarantov G.N., Egorov M.Yu, Egorov S.M., Egorov D.M., Nekrasov V.I. Numerical modeling of the processes within the combustion chamber of a solid propellant rocket engine during the stabilization of the design operation mode. Fluid Dynamics, 2011, vol. 46, no. 3, pp. 467-478.

102. Chmotine I.N., Avgoustinovitch V.G., Egorov M.I., Chramin R.V., Kaminski I.R. Numerical Study of Unsteady Flow in High Pressure Turbine of Aircraft Engine. AIAA 97-2754, 33rd AIAA / ASME / SAE / ASEE Joint Propulsion Conference & Exhibit. Seattle, July 6-9, 1997.

103. Davydov Yu.M. Large-particle method. Encyclopaedia of mathematics, Dordrech, Boston, London: Kluver academic publishers, 1990, vol. 5, pp. 358-360.

104. Davydov Yu.M. Re-Entry and Landing Parachute Systems for Space Vehicles. 48th International Astronautical Congress. Report NIAF. Turin, 1997, vol. 4.09, p. 11.

105. Davydov Y.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Influence of overload on low-frequency instability of the working process in the combustion chamber of the solid propellant rocket engine. Journal of Vibroengi-neering, 2008, vol. 10, no. 3, pp. 272-276.

106. Davydov Y.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Flight Overloading Effect on the Working Process Instability in the Combustion Chamber of a Solid-Fuel Rocket Engine. Doklady Physics, 2004, vol. 49, no. 9, pp. 527-529.

107. Davydov Y.M., Davydova I.M., Egorov M.Yu. Instability of working process in a two-chamber solid-propellant rocket engine. Doklady Physics, 2011, vol. 56, no. 7, pp. 403-406.

108. Davydov Y.M., Egorov M.Yu. Low-frequency acoustic instability of the working process in the combustion chamber of the solid propellant rocket engine. Journal of Vibroengineering, 2008, vol. 10, no. 2, pp. 155164.

109. Davydov Y.M., Egorov M.Yu. The Instability of the Working Process in the Combustion Chamber of a Solid-Propellant Rocket Engine. Doklady Physics, 2001, vol. 46, no. 3, pp. 195-198.

110. Davydov Y.M., Egorov M.Yu., Chmotine Y.N. Unsteady-Flow Effects in Jet-Engine Turbines. Doklady Physics, 1999, vol. 44, no. 9, pp. 621-625.

111. Egorov M.Yu., Egorov S.M. and Egorov D.M. Numerical research transitive inside chamber processes at an output on mode of operations of the solid propellant rocket engine. Russian Aeronautics, Allerton Press, Aircraft and Rocket Engine Theory, 2010, vol. 53, no. 3, pp. 303-311.

112. Egorov M.Yu., Egorov Ya.V., Egorov S.M. Study of working process instability in the two-chamber solid-propellant rocket engine. Rus-

sian Aeronautics, Allerton Press, Aircraft and Rocket Engine Theory, 2007, vol. 50, no. 4, pp. 402-408.

113. Davydova I.M. Postroenie effektivnykh algoritmov rascheta na super-EVM nestatsionarnykh protsessov v aviatsionnykh i raketnykh dvigatelyakh [Building of effective computational algorithms for unsteady processes in aircraft and rocket engines for supercomputers]. Moscow: Institut mikroprotsessornykh vychislitelnykh sistem Rossiyskoy akademii nauk, 2002, no. 1. 21 p.

114. Davydova I.M., Davydov Yu.M. Ob osobennostyakh resheniya vychislitelnykh zadach na sovremennykh i perspektivnykh vychislitelnykh mashinakh [About features of solving computational problems on modern and advanced computers]. Vychislitelnye protsessy i sistemy. Moscow: Nau-ka, 1985, no. 2, pp. 162-172.

115. Davydova I.M., Davydov Yu.M. Organizatsiya bolshikh program [Organization of large programs]. Moskovskiy fiziko-tekhnicheskiy institut, 1973. 146 p.

116. Davydova I.M., Davydov Yu.M. Paket prikladnykh programm KRUChA dlya vektorno-konveyernoy vychislitelnoy mashiny [Software application KRUChA for vector- pipelined computer]. Trudy vsesoyuznoy konferentsii "Metod krupnykh chastits: teoriya i prilozheniya". Tsentr nauchno-tekhnicheskoy informatsii "Volna", 1988, vol. 1, no. 2269-88, pp. 85-104.

117. Davydova I.M., Davydov Yu.M. Razrabotka algoritmov i programm resheniya zadach gazovoy dinamiki i fiziki plazmy dlya vektorno-konveyernoy vychislitelnoy mashiny [Development of algorithms and programs to solve problems of gas dynamics and plasma physics for vector-pipelined computer]. Moscow, Vladivostok: Dalnevostochnoe otdelenie Rossiyskoy akademii nauk, 1990. 40 p.

118. Davydova I.M., Davydov Yu.M. Elementy organizatsii bolshikh program [Elements of the organization of large programs]. Moskovskiy fiziko-tekhnicheskiy institut, 1977. 129 p.

119. Egorov M.Yu., Egorov D.M. Programmnyy kompleks dlya chislennogo modelirovaniya vnutrikamernykh protsessov v energeticches-kikh ustanovkakh na tverdom toplive (EMJ) [Software package for numerical simulation intrachamber processes in power plants for solid fuels (EMJ)]. Svidetelstvo o gosudarstvennoy registratsii programm dlya EVM 2012617507 from 20.09.2012.

120. Egorov M.Yu., Egorov S.M. Programmnyy kompleks dlya chislennogo modelirovaniya techeniya v kamere sgoraniya aktivnykh i reak-tivnykh dvigateley na tverdom toplive (PK "Saturn_CM") [Software package for numerical simulation of the flow in the combustion chamber active and jet engines for solid fuels (RC "Saturn_CM")]. Svidetelstvo o gosudar-stvennoy registratsii programm dlya EVM № 2011613103, 2011.

121. Davydov Yu.M. Arkhitekturnaya matritsa approksimatsionnoy vyazkosti [Architectural matrix of approximation viscosity]. Doklady akad-emii nauk SSSR, 1984, vol. 278, no. 4, pp. 789-792.

122. Shokin Yu.I., Yanenko N.N. Metod differentsialnogo prib-lizheniya. Primenenie k gazovoy dinamike [Method of differential approximation. Application to gas dynamics]. Novosibirsk: Nauka, 1985. 364 p.

123. Amarantov G.N., Egorov M.Yu., Egorov D.M. Issledovanie vnu-trikamernykh protsessov v raketno-pryamotochnom dvigatele na tverdom toplive [Investigation of intrachamber processes in ramjet rocket engine for solid fuels]. Aerokosmicheskaya tekhnika, vysokie tekhnologii i innovatsii 2009. Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2009, pp. 86-87.

124. Davydov Yu.M. Skhemnaya vyazkost [Scheme viscosity]. Ma-tematicheskaya entsiklopediya. Moscow: Sovetskaya entsiklopediya, 1985, vol. 5, pp. 303-304.

Получено 3.03.2014

Об авторах

Егоров Михаил Юрьевич (Пермь, Россия) - доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., д. 29, e-mail: egorov-m-j@yandex.ru).

About the authors

Egorov Mikhail Yurevich (Perm, Russian Federation) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: ego-rov-m-j@yandex.ru).