Анализ интерференционных сигналов малой когерентности на основе моделей линейной и нелинейной стохастической фильтрации

1

ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА

АНАЛИЗ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ СИГНАЛОВ МАЛОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ М.А. Волынский, А.С. Захаров Научный руководитель - д.т.н., профессор И.П. Гуров

Предложены модель многослойной среды и модели интерференционных сигналов малой когерентности. Представлены результаты восстановления параметров интерференционных сигналов с использованием линейной и нелинейной дискретной фильтрации Калмана. Приведены характерные численные значения погрешностей оценки параметров сигналов.

Введение

Бесконтактный анализ внутренней микроструктуры неоднородных сред необходим для биомедицинских приложений, при исследовании свойств материалов и в других задачах. Весьма высокие требования предъявляются к точности и быстродействию методов восстановления структуры среды. Как известно, самыми точными из оптических являются интерференционные методы. Интерференционные сигналы малой когерентности [1-4] в системах оптической когерентной томографии (ОКТ) [1, 5] содержат информацию о свойствах исследуемых сред.

Быстродействие и устойчивость к шумам методов ОКТ во многом определяются математическими моделями и алгоритмами обработки сигналов, получаемых на выходе интерферометра. Известные методы, основанные, например, на преобразовании Фурье [1], не всегда устойчивы к шумам, а их разрешающая способность сопоставима с классическими ограничениями, накладываемыми критерием Рэлея [3, 6]. Необходимость больших вычислительных ресурсов для реализации этих методов снижает быстродействие [7].

В настоящее время широкое распространение получила адаптивная рекурсивная фильтрация, при которой коррекция предыдущих оценок происходит в зависимости от новой информации, поступающей на вход фильтра.

При обработке стохастических сигналов особый интерес представляет алгоритм фильтрации Калмана-Бьюси [8-10], который можно применять для обработки интерференционных сигналов и изображений [11].

В настоящей работе представлены результаты анализа интерференционных сигналов малой когерентности с использованием дискретной фильтрации Калмана.

Модели интерференционных сигналов при анализе характеристик

многослойных сред

Каждая точка среды характеризуется координатой по глубине слоя и координатой в боковом направлении. Для каждой точки среды было проведено моделирование интерференционного сигнала, получаемого в соответствующей точке плоскости наблюдения при изменении положения опорного отражателя. Этот сигнал описывается формулой

^

где ¿0 - фоновая составляющая сигнала; ¿т (х, г) - огибающая; г - координата по высоте слоя; Ф(г) - фаза сигнала; 5р(г) - флуктуации фазы, распределенные по равновероятному закону, вызванные движением опорного отражателя в интерферометре с частично когерентным освещением; п( х, г) - случайный белый гауссовский шум наблюдения [12]. Фаза сигнала равна Ф (г) = 2п/о г + р,

где/0 - несущая частота, которой соответствует центральная длина волны А} = с//о, р - начальная фаза сигнала.

В случае многослойной среды огибающую сигнала (1) можно определить в виде суммы гауссовских кривых

((х г) = £ 4 ехр

(г - г (х))2

представляющих отдельные слои среды. В выражении (2) Л/ - постоянные, о - параметр, зависящий от свойств источника излучения и имеющий смысл длины когерентности [2-3, 6], г(х) - координата по глубине /-ого слоя. Коэффициенты Л/ учитывают эффекты, связанные с отражением от исследуемого слоя и от предыдущих слоев, а также поглощение между слоями.

При дискретном перемещении опорного отражателя сигнал (1) принимает вид ^ (х, к) = ¿о + ¿т (х, к) соб(2п/к кг + р + 8р(к)) + п( х, к), где Аг - шаг смещения опорного отражателя, к - номер дискретного отсчета сигнала, амплитуда сигнала

х к) = Х Л ехР

(кАг - г/ (х))2

Можно показать, что информацию о границах слоев ¿¡(х) можно получать из данных о положении максимумов огибающей. При достаточном удалении максимумов друг от друга производная амплитуды каждого сигнала по г(х) равна

&т (х, к) = 2 Л дг(х) а1

(кАг - г (х))ехр

(кАг - г(х))2

откуда

г = ктахАг ,

где ктах - точка, в которой функция ¿т(х,к) имеет максимум (в общем случае экстремум), т.е. производная (4) равна нулю.

При случайном отклонении параметров сигналов целесообразно использовать дискретную фильтрацию Калмана.

Метод дискретной фильтрации Калмана

Линейный фильтр Калмана определяется векторным уравнением наблюдения 8

и уравнением системы

0

В уравнениях (5) и (6) Б(к) - векторная последовательность регистрируемых дискретных значений сигнала, С(к) - матрица измерений, 0(к) - вектор параметров, п(к) -шум наблюдения, Б(к) - матрица перехода, ,^к) - шум системы, к = 1, ..., К - номер отсчета дискретного сигнала.

Нелинейный фильтр предназначен для динамического оценивания параметров, нелинейно связанных со значением сигнала. Такой фильтр определяется уравнением наблюдения

8

и уравнением системы

0

В уравнениях (7) и (8) И(0(£)) и Г(0(£)) - известные нелинейные векторные функции, Дх - шаг дискретизации. Если удается найти решение уравнения 0(£+1)=0(£)+Г(0(£))Дх и использовать это решение 0рг(к) как оценку вектора параметров, то задача сводится к линейной фильтрации.

Подробно линейная и нелинейная дискретная фильтрация Калмана описана в [13]. В работе [2] показано, что дискретная фильтрация Калмана для случая гауссовских некоррелированных шумов обеспечивает оптимальную оценку параметров сигнала в линейном случае и асимптотически оптимальную - в нелинейном.

Ниже представлены результаты обработки интерференционных сигналов с использованием линейной и нелинейной фильтрации Калмана.

Результаты обработки сигналов

Рассмотрим случай, когда предметная волна почти не проникает внутрь среды, т.е. на вход фильтра подаются сигналы с одним истинным максимумом.

На рис. 1 представлен пример сигнала с одним максимумом. При моделировании использовались следующие характеристики: центральная длина волны 0,8 мкм, шаг смещения опорного отражателя Дг = 0,016 мкм, длина когерентности излучения источника 6 мкм, флуктуации фазы, распределенные по равновероятному закону, от 0 до 0,5 рад, максимум огибающей находится в точке 32 мкм.

£ -0,5

0 8 16 24 32 40 48 56 Смещение опорного отражателя, мкм

Рис. 1. Зашумленный сигнал с одним максимумом

На рис. 2, а, б представлены оценки огибающей сигнала рис. 1, полученные с помощью линейной фильтрации (5), (6) и нелинейной фильтрации Калмана (7), (8), соответственно. Среднее квадратическое отклонение (СКО) оценки амплитуды от истинного значения, вычисленное для каждой точки и усредненное по всему сигналу, составило 3,9 % и 2,9 % для линейной и нелинейной фильтрации, соответственно. СКО при восстановлении рельефа составило 0,8 мкм при диапазоне отклонения поверхности 88 мкм (одинаково для обоих методов).

Видно, что из-за присутствия флуктуаций фазы ошибка линейного фильтра больше, чем нелинейного, однако на точность восстановления положения максимума фазовые отклонения практически не влияют.

Следует отметить, что в задаче восстановления рельефа необходим поиск максимумов оценки амплитуды, т. е. дополнительные действия над данными, получаемыми на выходе фильтра. С этой точки зрения предпочтительно непосредственное восстановление координаты максимума ¿¡(х) в (3), однако в рамках линейной задачи это невозможно.

й ч й К и

к

о И « щ

^ ё к ° ч с

й ч й К и

к

о й

ч ^

к ч с

1,2 1

0, 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

ч и

к н о

0 8 16 24 32 40 48 56 Смещение опорного отражателя, мкм

а) Линейная фильтрация

1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

8

16 24

32

40 48

56

Смещение опорного отражателя, мкм

б) Нелинейная фильтрация Рис. 2. Оценка огибающей интерференционного сигнала с одним максимумом

СКО оценки фазы сигнала в случае нелинейной фильтрации составила 0,17 рад, предельная погрешность оценки фазы составила 0,47 рад.

д е

2,5 2 1,5 1

0,5 0

8 16 24 32 40 48 56 Смещение опорного отражателя, мкм

Рис. 3. Зашумленный сигнал с двумя максимумами

0

0

Рассмотрим сигнал, полученный при отражении предметной волны от слоя среды с отражающими границами (простейший вариант многослойной среды). Такой сигнал имеет два истинных максимума различной интенсивности, что обусловлено поглощением в слое. При наличии шума наблюдения и случайных флуктуаций фазы вид сигнала искажается, как это иллюстрируется на рис. 3. При моделировании использовались те же характеристики, что и выше. Максимумы расположены в точках 30 мкм и 40 мкм.

Из-за сложения сигналов, сформированных при отражении излучения от разных границ слоя, происходит смещение истинного положения максимумов. Для коррекции оценки положения второго максимума из исходного сигнала вычитается оцененная составляющая с первым максимумом [4]. На рис. 4 представлена оценка огибающей, полученная с помощью фильтрации Калмана.

Смещение опорного отражателя, мкм

Рис. 4. Оценка огибающей интерференционного сигнала с двумя максимумами

Погрешности восстановления огибающих и максимумов с помощью линейной и нелинейной фильтрации Калмана представлены в таблице.

СКО положения максимума, СКО при восстановлении слоя пере-

мкм менной толщины, мкм

Первый мак- Второй макси- Верхняя граница Нижняя граница

симум мум слоя слоя

Линейный фильтр 0,95 0,63 2,21 1,36

Нелинейный фильтр 0,85 0,60 1,91 1,13

Таблица. Сравнение СКО оценок, полученных с помощью линейной и нелинейной

фильтрации Калмана

Диапазон отклонения рельефа, как и раньше, составил 88 мкм.

Из представленных результатов видно, что при наличии случайных флуктуаций фазы, вызванных, например, перемещением опорного отражателя и неточностью этого перемещения, с точки зрения наименьшей ошибки предпочтительна нелинейная фильтрация Калмана с коррекцией фазы сигнала.

Заключение

Алгоритм фильтрации Калмана-Бьюси позволяет реализовать динамическую обработку интерференционных сигналов малой когерентности.

В реальных интерферометрических системах движение опорного отражателя вносит флуктуации фазы, коррекция которых невозможна при использовании метода ли-

нейной фильтрации. В этом случае использование нелинейной дискретной фильтрации

Калмана предпочтительнее с точки зрения минимизации ошибки.

При восстановлении внутренней структуры среды целесообразна коррекция оценок максимумов огибающей, полученных на выходе фильтра.

Литература

1. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к ин-терферометрическим системам. // СПб: БХВ-Санкт-Петербург, 1998. 237 с.

2. Захаров А.С. Нелинейный анализ стохастических параметров интерференционных систем: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.05: защищена 20.12.05. - СПб., 2005. - 157 с.

3. Коломийцов Ю.В. Интерферометры: основы инженерной теории, применение // Л.: Машиностроение, 1976. 296 с.

4. Волынский М.А., Захаров А.С. Исследование разрешающей способности метода дискретной линейной фильтрации Калмана при обработке сигналов в оптической когерентной томографии. В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики / Под ред. И.П. Гурова и С. А. Козлова, СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. С. 246-255.

5. Гуров И.П. Оптическая когерентная томография: принципы проблемы и перспективы. В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. / Под ред. И.П. Гурова и С. А. Козлова, СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. С. 6-30.

6. Борн М., Вольф Э. Основы оптики // М.: Наука, 1970. 856 с.

7. Таратин А.М., Гуров И.П., Захаров А.С. Анализ производительности вычислений при динамической обработке сигналов методом нелинейной фильтрации Калмана. В сб.: Труды Всероссийской научно-методической конференции «Телематика 2004». - Санкт-Петербург, 2004. - Т. 1. - С. 197-198.

8. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME, J. Basic Eng. 82, 1960. P. 35-45.

9. Калман Р.Э., Фалб П.Л., Арбиб М.А. Очерки по математической теории систем // М.: Едиториал УРСС, 2004. 400 с.

10. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана // М.: Мир, 1988. 169 с.

11. Гуров И.П., Захаров А.С. Анализ характеристик интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Оптика и Спектроскопия. - 2004. - Т. 96, № 2. -С. 210-216.

12. Tuzlukov V P. Signal Detection Theory // Boston: Birkhaser, 2001. 725 p.

13. Справочник по прикладной статистике / под ред. Э. Ллойда, У. Лидермана. - М.: Финансы и статистика, 1989. Т. 2. С. 421-470.