Резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки со сдвиговым сверхзвуковым течением

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 539.3:001.891.54; 532.526

С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.К. Сергеева РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОЙ ПЛАСТИНКИ СО СДВИГОВЫМ СВЕРХЗВУКОВЫМ ТЕЧЕНИЕМ

Показано, что ветровая неустойчивость неоднородного течения сжимаемого газа с профилем скорости может приводить к развитию упругих колебаний тонкой пластинки с характерной длиной волны. Получены дисперсионное уравнение и инкремент неустойчивости, обладающий максимумом в длинноволновом диапазоне. При сверхзвуковом режиме течения длинноволновые возмущения, бегущие вдоль потока, стабильны, в то время как наиболее быстро растущие волны распространяются под углом к скорости потока.

Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца, ветровая неустойчивость, инкремент неустойчивости, дисперсионное уравнение.

S.G. Gestrin, A. N. Salnikov, E. K. Sergeeva

RESONANCE INTERACTION OF ELASTIC OSCILLATIONS OF THIN PUZZLE WITH SHEAR SUPERSONIC FLOW

It is shown that the wind instability in inhomogeneous flow of compressible gas with velocity profile may give rise to the development of elastic oscillations of thin puzzle with characteristic wavelength. The dispersion relation and instability growth rate which have maximum in the long-wave region where obtained. In the supersonic regime of flow the long wavelength perturbations which run along the flow velocity are stable. On the other hand, the most rapidly growing waves will be those propagated at an angle to the flow velocity.

Instability of Kelvina - Gelmgoltsa, instability increment, dispersive equation.

Одной из основных задач теории гидродинамической устойчивости является задача о генерации волновых возмущений сдвиговым потоком [1, 2]. Как известно, в простейшем случае при наличии в движущейся жидкости тангенциального разрыва скорости возникает неустойчивость Кельвина - Гельмгольца (КГ) [2]. Механизм неустойчивости КГ многократно применялся для объяснения широкого круга волновых процессов, начиная от возникновения волн на поверхности моря и заканчивая развитием гигантских возмущений на границе многих космических объектов, таких как кометные хвосты, выбросы из

активных ядер галактик и тому подобное [3, 4, 5]. Существенной сложностью при этом является то, что инкремент неустойчивости укг увеличивается с ростом волнового числа к. Так, в случае плоской границы раздела двух жидкостей и дозвукового течения

Yёа = U0^VPTP7/(Р + Р'), где U0 - величина скачка скорости, р и р' - плотности жидкостей.

Таким образом, отсутствие максимума у величины уКГ на линейной стадии развития неустойчивости не позволяет объяснить наличие выделенного масштаба наблюдаемых возмущений. Выход ищут в рассмотрении сложных нелинейных режимов.

Как было показано в ряде работ [6, 7, 8], более простой выход состоит в использовании механизма ветровой неустойчивости (ВН). При развитии ВН резонансное усиление поверхностных волн происходит в критическом слое сдвигового потока, где его скорость близка к фазовой скорости поверхностной волны: U0 (ус )&<$/к. Инкремент ВН при малых к растет степенным образом, а при больших убывает по экспоненциальному закону уj <х exp (- 2kyc), что приводит к максимуму, определяемому из условия 2кус « 1

[7, 8]. В работе [9] было показано, что с максимумом уВН связан выделенный масштаб упругих колебаний тонкой пластинки, возникающих при обтекании ее неоднородным течением с профилем скорости. Получены дисперсионное уравнение и выражение для инкремента неустойчивости.

Если течение газа происходит со скоростью, сравнимой со скоростью звука с, или является сверхзвуковым, то в уравнениях гидродинамики необходимо учесть сжимаемость среды. Расчеты показывают, что при U0 > 2л/2с неустойчивость КГ тангенциального

разрыва стабилизируется для волн, бегущих вдоль скачка [2], однако, неустойчивость сохраняется для волн, бегущих под углом к вектору скачка скорости. В работах [6,7,8] было исследовано влияние сжимаемости на поверхностные альфвеновские волны в магнитогидродинамическом аналоге ВН и было показано, что в пределе uA>>c (иА -альфвеновская скорость) наиболее быстро нарастают возмущения, распространяющиеся под углом п/4 к скорости потока U0 (у) [6, 7].

Ниже исследована ВН упругих колебаний тонкой пластинки, возникающая при её обтекании потоком сжимаемого газа. Показано, что с ростом U0(y) происходит смещение максимума инкремента ВН в сторону меньших длин волн. Произведен расчет частоты и инкремента наиболее быстро растущих волн для пластинки из Al.

Будем предполагать, что пластинка имеет толщину h, плотность р1 и расположена перпендикулярно к оси оу (см. рисунок). Граница между пластинкой и газом совпадает с плоскостью xoz. Газ плотности р2 занимает область у < 0, где движется со скоростью U(y), и область у > h, в которой покоится. Уравнение, описывающее свободные колебания пластинки, имеет вид [10]:

p'h§ -й(

д 4д + д 4д дх4 dz4

где ^ - вертикальное смещение точек пластины. При этом компоненты смещения этих точек в плоскости хв2 являются величинами второго порядка малости по сравнению с ^ и потому полагаются равными 0 [10],

в =

ЕИЪ

12

где Е - модуль Юнга; о0 - коэффициент Пуассона. При наличии газа к правой части (1) прибавим разность между его давлениямир на противоположные поверхности пластинки:

д 2 с

Рі^ -д^=~в +&т)+р

Возмущенные величины в газе представим в виде бегущей волны Р = р(у)ехРі(кхх + кг2 -ші) и т.п. Из системы уравнений газодинамики на поверхности

х г

пластины находим:

Р (х, у = 0, г; і ) = р- с2 =Р?

V и у У у=0

Ки0

к2

-

где р - возмущение плотности газа; к2 = к2х + к2. Для простоты в дальнейшем введем обозначения: и'0(0) = и'0;ио(0) = ио. Для у > И предположим, что ио(у) = 0, тогда

аналогично (4) имеем:

ш

Р (х, у = к, г; і) = р?

V и у У у=0

к 2 -ш2

с

шф;у = к,г;і) .

Уравнение для компоненты скорости иу при у < 0:

,, + 2к2

0"у +

и' -и

уу

и'

+ 2, и

и0

В выражении (6) величина а(у) - поперечное волновое число:

а2(у) = к2 + к2 - 0 (у2)-ш) .

= 0

При у>И уравнение для иу имеет существенно более простой вид:

и"у-[к 2-£ )и у =0 .

Заметим, что (6) совпадает с уравнением Рэлея, полученным ранее для сжимаемого газа [6, 7, 11]. Малая добавка 5 > 0 определяет правило Ландау - Линя обхода особой точки при 1т ш = 0

и

Подставляя (4) и (5) в (3), находим дисперсионное уравнение для поверхностных

волн:

р1кш2 = Бк4 -р2

Ч )

V и у У

- кхи0

ш

Ч л

2

(кхи0 -Ш) -‘

к2 -

V и у У( у=ю

к 2-Ш

ш

с

с

2

с

с

Входящие в (10) величины (и'У1 иу ) и (и'у / иу) должны быть определены из уравнений (6) и (8) соответственно. Величина (и'у/иу) =0 может быть представлена в виде:

V иу У

1

2

к 2 -

+ / 1т

V иу У

При р2<<р1з из (10) получим приближенные значения вещественной и мнимой частей частоты:

Б

шК ~ ШЯ0 + ШЯ , ШЯ0 — 1/ 1

к2

р12 к7

ш,

1 Р 2 1

2 р1 кшд0

0 -/Я0 )2

ш

Я 0

ки0

к2 -

(кхи0 -/0)2 \к2 -/0 к2 - 0___Шд0^

1 Р2 1

1т I 0у/

у^

ш

Я 0

к2 -

Для нахождения величины 1т (и' у/ и у )=0, определяющей значение у, рассмотрим уравнение, сопряженное к (6):

У'-

2к2

с2а2

У

-У

£0

+ 21 Щук'] +а2

и0

= 0 .

Умножим (6) на У, а (14) на уу и вычтем (14) из (6). Проинтегрировав полученную разность по у от 0 до -да с учетом вклада полюса, получим:

-да г -да

К У -иуУ) +1

2к2

с 2а2

иУ

йу - / иуу

2/ 8£0

0 (у)-/к ) +8

-йу = 0.

В последнем интеграле в (15) разложим и0(у) в ряд Тейлора вблизи резонансной точки ус:

2/8 £0 (у) . -да - 2/8

1 и уу ^ ^2

0 (£0 (уЬ^ ) +8

В пределе малых 8:

Нт-

-йу « 1 иуУ—

и0 (ус )2 (у- ус )2 +82

и0(у)йу .

8

п

г8(у - ус).

£0

В правой части выражения (17) величина 8(у - ус) представляет собой 8-функцию Дирака.

Выполняя интегрирование в (16), с учетом свойств 8-функции, а также считая и у (-да) = У (-да) = 0, находим:

2к2

-и',,

у у с а2 (0) у и (ус) у

2

с

2

2

2

с

с

с

У

2

с

Начальные условия для уравнения (14) выбираем в виде: У (0) = иу (0),

У'(0) = и'* (0) . Тогда, разделив (18) на иу(0)У(0), имеем [6, 7]:

1т

Л-' л ^,,

и'

= П

чш Ке

Vй у У у=о

40

Перепишем уравнение (6) в виде:

и"у + Р(У )и'у-и У

где введено обозначение

и0

ио

= о,

, ) 24»(Чо(у)-%)и’„(у) Р(У) =---------2-1(1------

с а2

Как известно [12], подстановка

Ґ

—| р(^ )ds

и

приводит (20) к форме, не содержащей первую производную:

и — и

и0,

ио

+ 2|ЧМк1 + Ш+¿М+-2

Л

4

2

= о.

При достаточно больших значениях а2(у), а также вдали от у = ус, заменим (23) приближенным уравнением:

и"- и а2

Вдали от точки поворота у0, определяемой равенством а2(у0) = 0, для приближенной записи решений уравнения (23) воспользуемся методом Вентцеля -Крамерса - Бриллюена (ВКБ).

Предположим вначале, что для всех у < 0 выполняется неравенство £0 (у) - /к < с, тогда в этой области всюду а2(у0) > 0 и решение (24) можно записать в виде:

- / Г 0 ^

и

V у )

Подставляя (25) в (22), получим:

>

и у « Аа-2 (у )ехр

—к Г о )

Аа /2 (у) ехр — | а(^)ds I.

V у У

Здесь учтено, что при переходе от (23) к (24) предполагалось а2 (у) >> р2 (у)/4.

Как показали расчеты, проведенные ранее [8], вблизи резонансной точки, когда уравнение (6) можно приближенно записать в виде:

и•

и", —и

у У тт’

ио

= о,

одно из его решений проходит через ноль при у = ус, в то время как второе остается конечным

Г1+иш л

и у

о

\

ио

Су—Ус)1п2к

У

В качестве оценки из (26) возьмем:

к Г 0 ^

«у (Ус ) * а /2 (Ус ) ЄХР - |а(5 )&

V Ус

Подставляя (29) в (19), и полагая и (ус) * У(ус), из (13) находим:

у(к) * -

П Р 2

(к,и0-ш„ 0)2

и;

2 р1Ик2

шЯ0-\/1 - соб2 9

(и0 - и0(Ус ))/ и0 (У Я

х ехр

- 2к I

Ус

1 - соб2 9

(0 (У )-и0 (Ус ))2

где

и0 (Ус ) =

ш

Я0

к

к„

Б12 _______

соб 9

Р1

9 - угол между волновым вектором к и скоростью потока и(у) (см. рисунок).

Неустойчивость имеет место, если выполняется условие и"(ус)< 0, так как при этом у(к) > 0.

Формула (30) справедлива при ио(ус) - ио < с , а также, если выполняется условие:

соб2 9 < •

(и0 (Ус)- и0 )2

Из (30) видно, что с ростом к инкремент у(к) убывает экспоненциально. Поскольку фазовая скорость рассматриваемых волн растет с ростом к, то очевидно, что начиная с некоторого к0, она превосходит максимальную скорость течения. Для таких волн у(к) = 0, так как условие резонанса для них не реализуется.

Рассмотрим теперь случай, когда условие (32) не выполняется. Предположим, что

существует интервал значений у0 <у < 0, для которых В этой области

и " + и |а2 (у) = 0 . ВКБ решение (33) имеет вид [12, 14]:

А

и0 (У)-Ш

к

> с /|соб 9 и а2 (у )< 0.

и(У ):

4/а2

При у < у0 выполняется неравенство и0 (у)-<ш'£ экспоненциально затухающим

< с, и решение является

и

^ехр

- Ь/а 2 (У)Фг.

2^а2

Функции (34) и (35) являются приближенными выражениями справа и слева от точки поворота для одного и того же точного решения уравнения (33) [14]. Заметим, что в предположении а2 (у) >> р2 (У ) 4 , как и ранее иу (у) * и(у).

На поверхности пластинки модуль скорости |иу (0) должен иметь максимальное значение. Для этого входящий в (34) синус должен быть равен ±1, а его аргумент -принимать значения, равные ^ + пп, где п є Z . Выполнение этого требования приводит к тому, что в области у0 <у < 0 могут существовать лишь возмущения, для которых:

2

с

2

с

IV Ia 2 C, y) dy = ín + tV.

y0 (k) v 4y

Соотношение (36) представляет собой уравнение для нахождения k, корни которого будем обозначать kn. Тогда реализуются лишь волны, в которых волновой вектор k принимает дискретный ряд значений k = kn, а скорость

uyn

y a (kn, y) i yo (kn) 4 j

A f уо (kn) i------------ 1

uyn

2V a2 (kn, У) i y J

Как видно из (37) и (38), экспоненциальное затухание волны в газе происходит, начиная с у <у0. В непосредственно прилегающем к пластине слое (у0 <У < 0) волна носит объемный характер. Вместо (30) находим:

Y

2 р1 k ы» ,cos2 9(иo - иo Су, ))/ J l£,o(yc) i y- J

C-

где и0(ус) определяется из (31) при к = к„. Если условие (32) не выполняется и 17"(ус) < 0,

то неустойчивость отсутствует, так как при этом у(к„) < 0. Для существования нарастающих во времени решений в этом случае необходимо ЦХУс) > 0 .

Будем предполагать в дальнейшем, что вблизи поверхности пластины при г < 0 в газе формируется логарифмический пограничный слой [2]:

и0

* 0,13у

Данное выражение справедливо для величины |у| > 30 у/V*, в которой V - вязкость

газа, и* = -\/5/р2 - пульсационная скорость турбулентного движения; 5 - сила трения, действующая на единицу площади поверхности пластинки. Непосредственно к пластинке |у| < 5 V/«* прилегает тонкая прослойка газа, называемая вязким подслоем, в котором

профиль скорости линейный: и0(у) = |у|и2/V [2]. Как показывают приведенные ниже

оценки, величина V/«* крайне мала, однако, изменение скорости на интервале:

- 30V/«* < у < 0 весьма существенно. В дальнейшем будем представлять данное изменение в виде скачка скорости и0 на поверхности пластины.

Предполагая, что резонансный слой, определяемый (36), находится внутри логарифмического слоя (44), и вычисляя производные в (35), находим:

ПР2 0 -Юд 0 )2 1 1 „

Y(k );

2 р- k^ I. - cos2 „(иo - и0Су-))/ Iу-

J - cos2 9' 2

x exp

'- 2k jJ- - cos2 9 (o (y)-Uo CyZdy'

yj C y

Из (41) видно, что неустойчивыми являются возмущения, для которых:

D2 k c . D-2 k с ґл^

< cos 9 < v v--------------1-----.

—n—w------------------<- <- —-П—17---------------1-.

^ hJ2 Uo Uo p-2 hJ2 Uo Uo

Как следует из (42), неустойчивость сохраняется при всех значениях и0, хотя при и0 > с происходит стабилизация длинноволновых возмущений, бегущих вдоль и0 (у).

Г, ./ и1/2 ^

Короткие волны

к > ср^2 —т/ , распространяющиеся перпендикулярно к ио (у),

Б12 ) '

устойчивы при любых значениях и0.

Из (41) видно, что при большом значении к инкремент у(к) убывает благодаря наличию экспоненциального множителя. При малом значении к, когда фазовая скорость рассматриваемых возмущений мала, слой совпадения фазовой скорости со скоростью течения и0(ус) попадает внутрь вязкого подслоя, где и”( у) = 0 и у(к) = 0. Таким образом, инкремент ветровой неустойчивости имеет максимум при:

0

Ус

1-0032 9

с

Предположим, что имеется алюминиевая пластинка толщиной к = 0,01 м, помещенная в воздушный поток. Для А1: Е « 70 ГПа, а0 « 0,34, рт» 2,7-10 кг/м; для воздуха: р2=1,293 кг/м3, V = 0,15-10-4 м2/с, с = 340 м/с. Принимая 5 « 67 Н/м2, находим и, = д/а/р2 « 7,2 м/с. Из (43) при 9 = 0 и условия резонанса (31), записанного для профиля

(40), определим волновое число наиболее быстро растущего возмущения ктах =13,61 м-1 (^тах ~0,461 м), а также положение резонансного слоя «ус(тах) 0,037м. Фазовая

скорость волн изгиба в пластинке иф = ш™ / ктах « 212,724 м/с, частота ш™ « 2895 с-1. Из

(41) инкремент неустойчивости утах « 3,589 с-1, что подтверждает использованное при вычислениях предположение: утах <<Шд0.

Расстояние от пластинки, на котором и(у) имеет вид (40), составляет у* « 30^и* « 6,249-10-5 м. Подставляя данное значение у в (40), находим и(у*) ~ 97,946 м/с Моделируя столь большое изменение скорости на столь малом расстоянии скачком, принимаем на поверхности пластины и0 = 97,946 м/с. Полагая и’0 = и0(у,), и

дифференцируя (40), находим и0 « 2,88 -105 1/с. Подставляя данное значение в (12), получим ш^ « 300,424 с-1. Найденное значение ш^ <<шЯ0, что также подтверждает проделанные выше вычисления.

Заметим также, что при достаточно большом значении к > Су]р.к/Б « 21,753 м 1 одно из подкоренных выражений в ш^ становится мнимым, что соответствует излучению звука колеблющейся пластиной в среду у > к.

Таким образом, в работе изучена ветровая неустойчивость изгибных колебаний пластины при ее взаимодействии с потоком сжимаемого газа. Показано, что сжимаемость потока оказывает, в целом, стабилизирующее воздействие на ветровую неустойчивость, однако, не приводит к окончательному ее подавлению. Инкремент ВН имеет максимум по к, что приводит к возникновению выделенного масштаба возмущений. С увеличением скорости потока происходит смещение максимума инкремента ВН в область более коротких волн. Получены оценки длины волны, частоты и инкремента наиболее быстро растущего возмущения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанянц Ю.А. Распространение волн в сдвиговых гидродинамических течениях / Ю.А. Степанянц, А.Л. Фабрикант // Успехи физических наук. 1989. Т. 159. Вып. 1. С. 83-123.

2. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. 736 с.

3. Birkinshow M. The Kelvin-Helmholtz instability for relativistic particle beams. Stability analyses in the time and space domains for vortex-sheet flows / M. Birkinshow // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1984. Vol. 208. Р. 887-903.

4. Hardee P.E. Helical and pinching instability of supersonic expanding jets in extragalactic radio sources / P.E. Hardee // The Astrophysical Journal. 1982. Vol. 257. P. 509526.

5. Turland B.D. Instabilities of Kelvin-Helmholtz type for relativistic streaming / B.D. Turland, P.A.G.Schouer // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1976. Vol. 176. P. 421-443.

6. Гестрин С.Г. Ветровая неустойчивость и спиральные структуры в кометных хвостах / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Письма в астрономический журнал. 1984.

Т. 10. № 10. С. 790-796.

7. Гестрин С.Г. Ветровая неустойчивость и винтовые возмущения релятивистских замагниченных струй / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1986. Т. 91. № 3. С. 779-791.

8. Гестрин С.Г. Ветровая неустойчивость в астрофизике (применительно к джетам, кометным хвостам, спиральной структуре галактик). II / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Радиофизика и радиоастрономия. 1998. Т. 3. № 3. С. 259-272.

9. Гестрин С.Г. Резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки с гидродинамическим потоком / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Известия вузов. Физика. 2007. № 7. С. 77-80.

10. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1987. 246 с.

11. Бетчов Р. Вопросы гидродинамической устойчивости / Р. Бетчов, В. Криминале. М.: Мир, 1971. 340 с.

12. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк. М.: Наука, 1983. 352 с.

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям /

Э. Камке. М.: Наука, 1965. 703 с.

14. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. 702 с.

Гестрин Сергей Геннадьевич - Gestrin Sergey Gennadyevich -

доктор физико-математических наук, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics,

профессор кафедры «Прикладная физика» Professor of the Department of «Applied Physics»

Саратовского государственного of Saratov State Technical University

технического университета

Сальников Александр Николаевич - Salnikov Aleksandr Nikolayevich -

доктор технических наук, профессор, Doctor of Technical Sciences, Professor,

заведующий кафедрой «Прикладная физика» Head of the Department of «Applied Physics»

Саратовского государственного of Saratov State Technical University

технического университета

Сергеева Елена Константиновна - Sergeeva Elena Konstantinovna -

ассистент кафедры «Прикладная физика» Assistant of the Department

Саратовского государственного of «Applied Physics»

технического университета of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 14.06.08, принята к опубликованию 05.09.08