Замкнутая форма операторов метода начальных функций для плоской задачи теории упругости ортотропного тела

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №4

УДК 519.6+539.3

ЗАМКНУТАЯ ФОРМА ОПЕРАТОРОВ МЕТОДА НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА

© А.В.Матросов

Решено в случае ортотропного тела рекуррентное соотношение алгоритма метода начальных функций (МНФ), что позволило выразить в замкнутой форме операторы МНФ и получить в ги-перболо-тригонометрическом виде решение плоской задачи теории упругости ортотропного тела.

Ключевые слова: метод начальных функций, краевая задача, вычислительная устойчивость.

1. Введение

Метод начальных функций (МНФ) позволяет строить аналитические решения для краевых задач теории упругости. Для анизотропных тел с его помощью обычно строится решение в виде степенных рядов по одной из декартовых координат. При этом трудно судить о сходимости полученных рядов. В случае получения замкнутой формы операторов МНФ (по существу, просуммировать ряды) вопрос о сходимости степенных рядов, используемых в решении МНФ, решается просто, так как в результате воздействия операторов МНФ на начальные функции будет известна формула общего члена получаемого степенного ряда решения, что может позволить вычислить его сумму. Для плоской задачи изотропного тела замкнутая форма операторов МНФ получена в [1]. В данной работе получена замкнутая форма операторов МНФ для плоской задачи ор-тотропного тела, а также получено решение через гиперболо-тригонометрические функции в случае задания начальных функций в виде тригонометрических.

2. Основное соотношение МНФ

В работе [2] представлен алгоритм получения основного соотношения МНФ для плоской задачи линейно-упругого анизотропного тела в декартовой системе координат в матричнооператорном виде

и=ьи0.

С помощью этого соотношения, зная вектор начальных функций

и = {и (X), Уо ( х), а° (х), Ту (х)} , компоненты которого определены на линии у = 0, можно вычислить все компоненты вектора НДС и = {и (л у) V^, у)Сту (л; у) Тху (л у)ах (л; у)} линейно-упругого анизотропного тела. Элементы (операторы МНФ) матрицы Ь = [Ь 7 ] , (I = 1,...,5 ,

7 = 1, .,4), представляют собой степенные ряды

по переменной у с коэффициентами, зависящими от упругих постоянных материала А^ и оператора дх = д/дх дифференцирования по переменной х

да

Ь=!і',1 (а,,дх).

к=0

Вид (2) операторов МНФ получается из их представления через функции М2 (у) , М3 (у) и

их производные в процессе построения соотношения (1) на основе алгоритма МНФ

ь = - У

7 А

к=1

(

Р0

\

Р0 д у-'Ы 2 +^ д х д^Ы3

V У

Ъ,к д:

,3-к

Ґ

Л

Рз01 дк;1Ы 2 +11 д х д ку-'Ы3

V А у

І = 1,2,1 = 1,2,

Ъц+зд

,3-к

1 4

ь.. =—Г

1 А 1=1

У

Л

,4-к

(

р0

\

Р. д У-1Ы 2 + -А- д х д к;1Ы3

ІІ ,к+3д х -

\ = 3,4,5, 7 = 1,2.

В (3) и (4) коэффициенты Ьк , gк, Р° и А зависят только от упругих постоянных анизотропного материала и имеют следующие значения:

Ь11 = Ь26 = Дзб , Ь12 = 2А26 , Ь13 = ^22 , Ь14 = Ь21 = —А16 , Ь15 = Ь22 = —(А12 + А66 ) , Ь16 = Ь23 = —^26 , Ь24 = А11 , Ь25 = 2А16 , g11 = g27 = g38 = —^16^26 + ^12^66 ,

g12 = — g17 /2 = — g23 = —g34 = —^16^22 + Д2^26 ,

—^3 = ^8 = g24 = ^22^66 — ^26 ,

^4 = ^1 = ^8 = = 0 ,

^5 = >?26 = g32/2 = —g37 = Д1 ^26 — ^12^16 ,

^6 = &3 = А11 ^22 — А12 Дз6 — А12 + ^16^26,

§22 Дб4б Д2Дзб , §25 §31 §36 А11 Дзб А16

Р = Абб, ^12 = 4б, Р1 = 4б, Р2 = 42,

Р21 = "^16^22 4б — Дб 4б + 2А12 4б 4б ,

-^22 =_2А1б ^22 4б +А12 4б + А12 А22 Абб ,

Р41 = _2А1б А22 4б + 2А12 4б — 4б 4б + А224б ,

-^42 = 2А12А22А2б — 2А1бА^2 + А22А2бАбб — 4б ,

Д = А22 А6б — А^, а сами функции М2 (у) и М3 (у) имеют вид степенных рядов

да

Мр = Уг/Р! + Е тркУк1к!, Р =

к=4

коэффициенты трк которых определяются из

рекуррентного соотношения П0 т

р,к+ 4 + П1т р,к+3 + П2 трМ 2 +

+Атр,к+1 + П4 трк = 0

со следующими начальными условиями: трк = 1, если р = к , иначе трк = 0, к = 0,1,2,3. Коэффициенты Д , / = 0,...,4 уравнения (6) выражаются через упругие константы и оператор дифференцирования дх следующим образом

П = А А — А 2

1^0 ^*22^66 Л26 ’

П1 = 2 (А16 А22 — А12 А26 )д х,

П2 =

П3 = 2(А11 А2б — А12 А1б )дх ,

ВА =(АП Абб — А1б2 ).

Обычно при реализации МНФ коэффициенты трк вычисляются последовательно с использованием рекуррентного соотношения (6), начиная с тр4 и до того номера к , при котором можно

считать, что суммы рядов (5) вычислены. Такой подход связан с тем, что в общем случае анизотропии найти общее решение уравнения (б) с указанными начальными условиями для получения формул общих членов рядов (5) не представляется возможным.

3. Случай ортотропного материала Общее решение рекуррентного соотношения (б) можно получить, зная корни его характеристического уравнения

10А4 + ДА3 + 12А2 + 13А + 14 = 0.

эффициенты которого определяются так, чтобы равенство (9) было справедливо для первых четырех членов рассматриваемой последователь-

, Е Рг = 4.

ности.

Общее решение линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами можно также построить, решив двойственное уравнение

П0 + Д2 + П242 + П323 + П424 = 0,

корни которого связаны с корнями характеристического уравнения (8) следующим образом

2 = Л—1, г = 1,•••,т, а поэтому общее решение рекуррентного соотношения

1

....

/к=1Ак).

1=12

В случае ортотропии (Дб = А2б = 0) исходное рекуррентное соотношение (6) упрощается (коэффициенты П1 = П3 = 0) и соответствующее ему характеристическое уравнение (8) переходит в бигармоническое

П0 2 4 + П2 2 2 + П4 = 0

с коэффициентами П0 = ё0 (ё0 = А22 А6б),

П2 = ^ (А = А11А22 — 2А12Абб — А122 ^ П4 = ^4д4 (^4 = Ац Дбб).

Его решением, если П2 — 4П0П4 Ф 0, будут следующие четыре различные величины (четыре однократных корня):

4,2 = ±

Л,4 = ±

1 2 \/ ^2 41014

2І0

02 + > У В2 41014

21

а поэтому общее решение рекуррентного соотношения (6) запишется в виде

/к = С1А + С2 А2 + С3 Лі + С4 А4

или через корни Л12 = +

И2 +^ 1)2 — 4Д, Л4 21

Л,4 = +

Тогда общее решение рекуррентного соотношения запишется в виде [3]

12 — 11 — 410 21

двойственного

уравнения 10 +12 Я2 +14 Я4 = 0

/к = Сі-ік- + С2^ + Сз4т + С

где Аі - корень характеристического уравнения кратности рі, р - многочлен степени рі — 1, ко-

-1- +

л ^ ^3 Г к

г=1

1=1

Для нахождения общих членов рядов М2 и представленных формулах введены обозначения

M3 воспользуемся решением (13).

a =

\

Произвольные константы C = {C1, C2, C3, C4} '

2d.

2d.

, d — d2 4dod4 .

найдем, решив систему линеиных уравнении ЛС = Г

с матрицей Л = Гл. "I , Л.. = 1/ Л'Г1 и вектором-

І— .-ІІ ,і=1 . ' .

столбцом начальных условий Г = {/0,/1,/2,73) с

Для ортотропного тела величины а1 и а2 будут чисто мнимыми, так как в этом случае

<й2 = Д1А22 - 2Д2А66 - Д22 > 0 и й22 - 4<й0<й4 > 0, а,

следовательно, подкоренные выражения указанных величин будут отрицательными. Доказать единственным ненулевым компонентом /2 = 1 строго математически, что й2 > 0, невозможно,

для ряда М2 и / = 1 для ряда М3. Подставив однако вычислительные эксперименты с рядом

полученные значения С, в (13), получим сле- ортотропных материал°в, например, трехслой-

ной березовой фанерой, склеенной бакелитовой

дующие выражения для общих членов рядов M2 и M

m2k =

Do1 + (-1)k

d 2

Dol - (-1)*

2D4 k + I I 2D4 k

U D2 - d J D2 + d j

II 2D4 k-1 + I 2D4 k-1

W D2 - d J [\ D2 + d j

3k d 2 и замкнутой формы для самих рядов

-

пленкой или графитовым эпоксидом T300/5208, показали достоверность выдвинутого предположения. При чисто мнимых значениях а1 и а2 функции М2 и М3 будут представлены через тригонометрический синус и косинус в силу тождеств sh

d д:

-(-C0S (°1дхУ ) + C0S (дхУ)) ,

M2 =

d д 2

M3 =

M3 = ^r 3 d д3

sh

d д3

sin

где a =

2d

2d

которая получается с использованием разложения в степенные ряды гиперболических функций

/ \2к+1 / \2к

“

sh (ах) = V 7—-—— и сЬ (ах ) = V ^—— .

^ ' к=0 (2к +1)! ^ ’ к=0 (2к)!

В

Подстановка (14) в (3) и (4) позволяет получить вид операторов МНФ для ортотропного тела в замкнутой форме

111 = 144 = А66 [

Ц2 = Ьз4 = А66 [ а2

113 = 124 =(А12 + А66 )[Cos(а1дхУ)- Cos(а2дхУ)]/(йдх) ,

Ьи = [а2 (-А66 + А22а12 )SІn (а1дхУ ) + а1 ( А66 - А22а22 ) SІn (а2дхУ)]/(а1а2д] ) ,

121 = 143 = 456 [а2 (-а12 А12 - А11 ) SІn (а1дхУ )+ а1 (а22 А12 + А11 ) (Я2дхУ

^22 = ^33 = [

+ (-А12 А66 - А12 + А11А22 - А22 А66а1 )C0S (а2дхУ )^/(Й ),

123 =[а2

131 = 142 = А66 (А122 - А11А22 )[^ ( а1дхУ)-C0S ( а2дхУ)]д7 ( Й ) ,

^32 = [а2 (-А12 А66 - 2 А12 А22 А66 а1 + А11А22 а1 - А12 А22 а1 - А22 А66 1 ) 1п(а1д хУ ) +

+а1 ( А12 А66 + 2А12А22 А66а2 - А11 А22а2 + А12 А222 + А22А662 ) (а2дхУ)]дх/((а1а2 ),

, °2 —

L41 = A66 Г a2

L51 = A66 (-A122 + A11A22 )[afC0S («1дхУ )-a22c0S («2дхУ Ддх/ (d ) ,

L52 = [a2 (-A11A12A66 + A11A12 A220і - A12A66al - A12°1 - A11A22 A66°1 - A12A22^66°1 ) Sin (оідхУ ) +

+al

LC/1 ------

Г02 ( A11A66 + A11A22al A12 A66al A12al ) Sin (оідхУ) +

+al (A11A6^ _ A11 A22a2 + A12 A66a2 + A1202 )in (<°2дхУ )]/(aia2d ).

Располагая замкнутой формой операторов где s = sin (ах) , с = cos (ах) а = mn/a , a

^ m V m / 5 m \ m / m /’

МНФ, все же при вычислении их воздействия на .

л, - вещественная константа, m - целое число, b

начальные функции приходится переходить к их m

представлению в виде рядов Маклорена, чтобы (1 = 1•••,4) - произвольные вещественные числа,

выполнить операцию дифференцирования дх то все компоненты вектора напряженно-

над соответствующей функцией. Однако наличие деформир°ванног° с°ст°яния U также будут

замкнутой формы позволяет получить, во- представлены соответствующими тригонометри-

первых, формулу общего члена ряда оператора ческими функциями

МНФ, а во-вторых, и общую формулу члена ряда, получаемого после выполнения операции дифференцирования над начальной функцией, что может, в конечном счете, способствовать представляется

суммированию полученного ряда.

4. Тригонометрические функции в качестве начальных функций

Если для ортотропных тел взять в качестве ствия оператора на тригонометрическую начальных функций следующую последователь- функцию в соответствии с основным соотноше-

ит = {Ь с , Ь s , Ь s , Ь с , Ь s ).

{ т т5 т т~ т т~ т т5 т т І V /

Здесь каждый коэффициент Ьт (і = 1,...,5) следующей суммой

Ьт = °'тЬП + °тЬі2 + ЬтЬІз + КЦг , в которой каждая

функция Ь. (. = 1,., 4) есть результат воздей-

ность тригонометрических функций

Um ={bl с , b2 s , b 3 s , b 4 с }.

0 ішш’шш’шш’шші-

нием МНФ (1):

Lh = Ц4 = A66 [( A22°12 + A12 ) Ch («ЛУ) + (-A22°22 - A12 ) ch (°2атУ)]/) ,

L12 =-Ц4 = A66 Г a2

Ц3 =-Ц4 =-( A12 + A66 )[ch ( а1агпУ )-ch ( й2“ У )]/( d^) ,

тт ______

L1 л —

Г a2 (-A66 + A22 °12 )sh (іОпУ) + °i ( A66 - A22 °22 ) sh (а2а У ) =

t2l = -Ц3 = -a66 Г a2 (-°і2 A12- An)sh («аУ) + °l (a2 Al2 + aii )sh (аа ^/((аа):

L22 = L33 =( A12A66 + A12 - A11A22 + A22 A66«1 (аіага У)-ch (a2^m У )]/(d ) ,

Ц3 =Г a2

Ці =-1^2 = A66 (A122 A11A22 )[ch ( °1а„У)-СЬ ( °2 “ш У)] “to / ( d ) ,

Г«2 (-A12A66 - 2A12A22A6601 + A11A2201 - A12A2201 - A22A660l) Ь(аіа,пУ ) +

1 ( A12A66 + 2A12A22A6602 - A11 A2202 + A12A22«2 + A22A6602 ) sh (о2апУ)/аш/(daia2 ),

ТШ _____

L^o

+a

тш ______

Цлл —

A66 Г a2 (-2 A12 A - A22 °i4 - A11 )sh (іОпУ ) + 01 ( 2 A12 °i2 + A22 О* + A11 ) sh (°2«пУ ) ,

Ц^5П1 =-A66 (-A122 +A11A22 )[ch (аіапУ)-Ch (а2апУ)] Оп/(d) ,

L52 = |^a2 ( A11 A12 A66 + A11A12A22ai A12A66ai A12ai A11A22A66ai A12A22 A66ai ) sh (а\атУ ) +

+ai (A11A12A6^ _ (iA12A22a2 + A12A66a2 + A12a2 + A11A22A66a2 + A12A22A66a2 ) sh )(2атУ)]ат/(aia2d), Т3 = A66 (A11 + A12 af ) ( aia m У) Ch ( а2атУ )]/( d ) ,

L54 =_|^a2 (—A11Д56 + A11 A22ai — A12A66ai — A12ai) sh (а1атУ) +

+a2 (ц A6^ _ A11 A22a2 + A12A66a2 + A12a2 )sh (а2атУ)]/(aia2d)-

Эти функции вычислены с использованием следующих равенств

с

т

-s„

sin

= sh

= ат Sh

—Srn

—с

sin (д xay ) " Srn " = sh («таУ) " 5т "

д с а С

x т т т

cos(дxay) sт _Ст _ = ch (атаУ) sт _Ст _

дx C0S

= a cl

с

т

—s'

cos(дxay) 5т § S Л c II Ст

д x Ст а т Sт

= qo Sin

и касательное т° = т0 cos

мальное

касательное

ределятся из удовлетворения заданным краевым условиям на линии у = И .

Для этого вычислим по формулам (17) соответствующие напряжения на этой линии и приравняем их заданным:

т 0 т 0 т 0

L31U + L32V + L33Gу '

Т Т =

^34 * xy

= («o L31 л + Vo Щ h

\ ly=h ly=h

7 Тт\ +т Тт\ s =

10^33\ у *0 ^34 , I т

ly= h ly=h /

L41u0 + L42v0 + Т43уУ°

Т т =

44 xy

т

= I U0 L41

y= h

+ vnC

ly=h

q Тт

i0 43

У= h

T Я y=h ) ст =

которые можно вывести, если операторы их левых частей представить рядами Маклорена с последующим суммированием рядов, получаемых после выполнения операций дифференцирования дх над соответствующими тригонометрическими функциями. Таким образом получено гипер-боло-тригонометрическое представление компонентов НДС плоской задачи для ортотропного упругого тела.

Это представление можно использовать для решения задачи периодически нагруженного слоя толщиной И. Пусть рассматриваемый слой вдоль координаты у ограничен значениями 0 < у < И, по координате х бесконечен в обе стороны. На линии у = 0 заданы нормальное

Из этих соотношений получается система линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов в представлении начальных функций перемещений:

тт

Т31 , U0 '

ly= h

т

Т41 h '

ly=h

-ТТ,

тт

Т

\y=h

Vo = qh L33 qo L:

У=h

ly= h

V« = T — T^I

q — Tm ,

20 ^44

.

у= И " ^1у= И™ 1у=И "

В качестве примера рассмотрим решение периодически нагруженного бесконечного слоя, изготовленного из трехслойной березовой фанеры, склеенной бакелитовой пленкой со следующими значениями технических упругих констант

E = 1,2 -104 МПа.

E = 0,6 -104 МПа.

напряжения, на линии y = h также заданы нор-

у = qhsin (аx) 1

zXy=zh cos(атх) напряжения. Для применения

построенного представления (17) необходимо вычислить недостающие начальные функции и0 = u0cos (атх) и v0 = v0sin (атх), которые оп-

-1 ‘-г-ч™ , 2

О = 0,07-104 МПа, к1 = 0,071, к2 = 0,036. Упругие константы, необходимые для расчетов, вычисляются по следующим формулам:

А11 = ^1/(1 — ^1^2 ) , А22 = Е2 /(1 — ^1^2 ) , Д2 = (Е1к2 + Е2к1 ^2(1 - у1у2), А66 = О . На линии у = 0 задана только нормальная нагрузка (т0 = 0), линия у = И свободна от нагрузки (qИ = 0, тИ = 0), а = И = 1.м . Результаты расчетов напряжений и перемещений при разных значениях гармоник т нагрузки представлены на рис.1 и 2. Все расчеты выполнялись в математическом пакете Мар1е.

------- т = 1 ------- т = 1

....... т = 3 ....... т = 3

------- т = 5 ------- т = 5

а б

Рис.1. Безразмерные касательные напряжения тху^0 в сечении х = 0 (а) и нормальные напряжения сгу^0

в сечении х = а/2 (б) при различных значениях параметра т нагрузки

Следует отметить, что, даже имея формулы для вычислений компонентов НДС, при стандартной длине мантиссы 10 удалось просчитать только результаты при т = 1. При больших значениях гармоники проявилась вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций, связанная с плохой обусловленностью [4] матрицы системы (19). Для рассматриваемого случая трехслойной березовой фанеры при

2 < т < 7 ее число обусловленности имеет порядок 108, а коэффициенты системы - для т = 3 порядка 1023, для т = 5 порядка 1034. Поэтому для получения достоверных результатов при т = 3 длину мантиссы пришлось увеличить до 22, а при т = 5 - до 33, так как коэффициенты системы при длине мантиссы 10 имеют погрешность порядка 1012 и 1023 соответственно.

т-1 т = 3

т - 5

т-1 т - 3

т = 5

б

Рис.2. Безразмерные перемещения vА11/q0И в сечении х = а/2 (а) и нормальные напряжения <ух^0 в сечении х = а/2 (б) при различных значениях параметра т нагрузки

а

Можно в Маріє выполнить расчеты в точной арифметике, задавая все исходные данные в виде рациональных дробей. Однако при вычислении значений в виде вещественных чисел все равно придется увеличивать мантиссу точно так же, как и при расчетах в вещественной арифметике.

5. Заключение

В работе получен замкнутый вид операторов МНФ для плоской задачи ортотропного тела, а также решение через гиперболо-тригонометри-ческие функции в случае использования в качестве начальных функций тригонометрических.

Использование построенного решения продемонстрировано на примере периодически нагруженного бесконечного слоя толщиной И . Проведенный ряд вычислительных экспериментов показывает, что использование замкнутой формы операторов МНФ не снимает проблему вычислительной неустойчивости алгоритма МНФ, хотя позволяет выписать решение в явном виде.

1. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. - М.: Стройиздат, 1975. - 223 с.

2. Матросов А.В. Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер.10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. - 2010. -Вып.4. - С.30-39.

3. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. Учеб. пособ. - М.: Изд.МГУ, 2007. - 261 с.

4. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. - М.: Мир, 1980. - 279 с.

A CLOSED FORM OF THE OPERATORS OF THE METHOD OF INITIAL FUNCTIONS FOR A LINEARLY ELASTIC PLANE PROBLEM OF AN ORTHOTROPIC SOLID

A.V.Matrosov

The recurrence equation in the algorithm of the method of initial functions (MIF) is solved. This has allowed to express in a closed form the MIF operators and to solve the linearly elastic plane problem of an orthotropic solid in a hyperbolic-trigonometric form.

Key words: method of initial functions, boundary-value problem, computational stability.

Матросов Александр Васильевич - кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем Санкт-Петербургского государственного университета.

E-mail: avmatrosov@mail.ru

Поступила в редакцию 15.10.2010