СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЫ
METHOD TO DETERMINE TRANSFER FUNCTION OF LINEAR RADIOELECTRONIC SYSTEM

Изобретение относится к области радиоэлектроники, а именно - к определению передаточных функций линейных радиоэлектронных систем.
Передаточная функция является исчерпывающей характеристикой линейной радиоэлектронной системы в частотной области. Эта функция комплексная и может быть представлена в виде
jφ(ω)
H(jω)=A(ω)e,
где A(ω) - амплитудно-частотная характеристика системы, φ(ω) - ее фазо-частотная характеристика, ω - текущая круговая частота, j - комплексная единица.
Передаточная функция позволяет определить реакцию системы на любое известное входное воздействие. Так, если S(ω) - спектр входного воздействия, то спектр выходного сигнала определяется соотношением
Спектр выходного сигнала (1) часто является достаточной для дальнейшей обработки информацией. По нему можно определить временной выходной сигнал с помощью обратного преобразования Фурье:
Выражения (1) и (2) позволяют говорить об актуальности определения передаточной функции линейной радиоэлектронной системы.
k
Известен способ определения передаточной функции линейной системы [1], который состоит в том, что составляют дифференциальное уравнение системы, связывающее входной и выходной сигналы, заменяют в этом уравнении  на (jω) и выражают комплексную передаточную функцию системы как отношение выходного сигнала к входному.
Недостатком этого способа является то, что он применим только при известной схеме и параметрах системы.
В общем случае, при неизвестных или известных не точно параметрах и/или схеме системы, применяют способ (прототип) [2], в соответствии с которым на вход системы подают известные зондирующие гармонические воздействия на разных частотах и для каждого воздействия измеряют комплексный выходной сигнал. Отношение выходного сигнала к входному определяет значение передаточной функции на частоте сигнала. Перебрав частоты контролируемого диапазона, в котором требуется определить передаточную функцию, с шагом, определяемым требуемой точностью, получают в дискретизированном варианте комплексную передаточную функцию линейной системы.
Недостатком прототипа является
1. Необходимость измерять комплексный выходной сигнал, т.е. необходимость измерять две величины - амплитуду и фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного воздействия.
2. Необходимость перестройки измерительной аппаратуры под частоту каждого зондирующего входного воздействия.
Технической задачей данного изобретения является создание способа определения передаточной функции линейной радиоэлектронной системы, позволяющего сократить число измеряемых величин и упростить измерительную аппаратуру.
Поставленная задача достигается тем, что в способе определения передаточной функции линейной радиоэлектронной системы, заключающемся в том, что на вход системы подают известное воздействие и проводят измерения на выходе системы, согласно изобретению диапазон контролируемых частот, в котором определяют передаточную функцию, разбивают на элементы разрешения, размер которых Ω определяется требуемой точностью определения передаточной функции, формируют входное воздействие с известным комплексным спектром S(ω), включающим частоты контролируемого диапазона, где ω - круговая частота, всем элементам разрешения ставят в соответствие зависящие от времени весовые коэффициенты ,
1
2
N
где k - номер элемента разрешения, j - комплексная единица, t - время, задают N моментов измерений t, t, … t и формируют весовую матрицу
,
1
2
N
i
i
где K - число элементов разрешения в диапазоне контролируемых частот, * означает комплексное сопряжение, измеряют в заданные моменты времени t, t, … t мощность сигнала на выходе анализируемой системы, формируют из измеренных значений мощности вектор измерений , где p(t) - мощность выходного сигнала в момент t, индекс T обозначает транспонирование, составляют векторно-матричное уравнение измерений , где  - вспомогательный вектор, определяют из уравнения измерений оценку вспомогательного вектора, из компонент полученной оценки вспомогательного вектора составляют матрицу
,
ij
где  - оценка i-й компоненты вспомогательного вектора, q - значение соответствующей компоненты матрицы, по первому столбцу матрицы Q определяют передаточную функцию анализируемой системы в дискретизированном по элементам разрешения варианте в виде вектора , i-я компонента которого равна оценке значения передаточной функции в i-м элементе разрешения.
Положительный эффект достигается за счет того, что вместо измерения комплексного выходного сигнала, включающего измерение как амплитуды сигнала, так и его фазового сдвига, как это делается в прототипе для каждой из множества зондирующих гармоник, подаваемых на вход системы, в заявляемом способе достаточно измерять мощность выходного сигнала, подавая на вход интегральное воздействие, которое включает множество зондирующих гармоник. Таким образом, вместо двух измеряемых величин в прототипе (амплитуды и фазового сдвига), в заявляемом способе требуются измерения лишь одной величины - мощности, которая, к тому же, проще измеряется. Перестраивать измерительную аппаратуру под разные частоты входных воздействий при этом не требуется, что упрощает измерительную аппаратуру.
Обоснование способа.
н
к
Обозначим диапазон контролируемых частот, в котором требуется определить передаточную функцию линейной радиоэлектронной системы, как (ω, ω) и подадим на вход системы воздействие, комплексный спектр которого S(ω) известен и включает частоты этого диапазона.
Дискретизируем диапазон контролируемых частот на элементы разрешения с шагом дискретизации Ω и запишем выражение (2) в дискретизированной форме как интегральную сумму:
где k - номер элемента разрешения, K - число элементов разрешения в диапазоне контролируемых частот.
k
Введем обозначения:  - зависящий от времени весовой коэффициент, соответствующий k-му элементу разрешения, и h=H(kΩ) - значение комплексной передаточной функции в k-м элементе разрешения. С учетом введенных обозначений перепишем (3) в векторной форме:
где  - зависящий от времени весовой вектор,  - вектор передаточной функции, компонентами которой являются значения передаточной функции, дискретизированные по элементам разрешения.
Заметим, что для любого заданного t все K весовых коэффициентов и, следовательно, весовой вектор известны, так как известны спектр входного воздействия S(ω) и размер элемента разрешения Ω.
Будем искать передаточную функцию системы в дискретизированном варианте в виде вектора . Найдя этот вектор, мы определим передаточную функцию системы с шагом дискретизации Ω, который может быть выбран произвольно из соображений требуемой точности определения передаточной функции.
В уравнении (4) g(t) - выходной комплексный сигнал, содержащий все гармоники входного воздействия, преобразованные линейной системой. Будем измерять не сам этот сигнал, что затруднительно, а его мощность.
Мощность выходного сигнала, с учетом (4), запишем следующим образом:
где , , µ=(l-1)K+k,
2
Заметим, что вектор (6) известен для любого заданного t: он формируется из комбинаций известных весовых коэффициентов. Вектор (7) неизвестен; он включает в качестве компонент К комбинаций из элементов искомого вектора передаточной функции и, хотя сам не является искомым вектором, однако однозначно определяется компонентами последнего. В контексте решаемой задачи вектор  является вспомогательным.
1
2
N
Найдем вспомогательный вектор . Для этого измерим мощность выходного сигнала в некоторые заданные моменты времени t, t, … t и запишем уравнения измерений для этих моментов аналогично (5):
Перепишем систему уравнений (8) в векторно-матричной форме:
где  - вектор измерений,
-
- весовая матрица.
В уравнении (9) вектор измерений и весовая матрица известны. Найдем из этого уравнения оценку вспомогательного вектора . Сделать это можно, например, методом псевдообращения [3] по формуле
.
1
2
N
Если векторы ν(t), ν(t), … ν(t) линейно независимы, то согласно [4] оценка определяется более удобным для вычислений выражением
.
Получив оценку вспомогательного вектора , определим по ней оценку искомого вектора . Для этого составим из элементов вектора  квадратную матрицу, учитывая при этом структуру вектора (7):
∧
ij
где  - оценка i-й компоненты вектора , знак  обозначает оценку, q - значение соответствующей компоненты матрицы.
По первому столбцу матрицы (10) определим оценку вектора передаточной функции . Представим компоненты этого вектора в комплексной форме:
где i - номер компоненты.
Тогда из(10) получим
.
1
Полагая, что φ=0 и что первый элемент первого столбца в (10) определен точно, находим
.
Тогда для второго элемента столбца запишем
откуда находим
.
Проведя аналогичные выкладки для всех компонент первого столбца, определим искомую передаточную функцию в дискретизированном по элементам разрешения варианте в виде оценки вектора
i-я компонента которого равна оценке значения передаточной функции в i-м элементе разрешения.
Компоненты вектора (11) представляют собой дискретные значения комплексной передаточной функции H(ω) в каждом элементе разрешения. Таким образом, задача определения передаточной функции линейной системы решена с точностью размера элемента разрешения Ω. При этом для решения не потребовалось отдельных измерений для множества зондирующих гармоник входного воздействия, не потребовалось также измерять комплексные выходные сигналы, включая их амплитуду и фазовый сдвиг, как это делается в прототипе. Вместо этого, согласно изобретению, достаточно измерить мощность выходного сигнала в разные моменты времени при подаче на вход широкополосного воздействия - суммарного сигнала, включающего частоты контролируемого диапазона.
Преимущества предлагаемого способа по сравнению с прототипом следующие.
1. Сокращение числа измеряемых величин, на основе которых определяется передаточная функция системы: в прототипе необходимо измерять как амплитуду, так и фазовую составляющую выходного сигнала, в то время как в заявляемом способе достаточно измерять только мощность выходного сигнала.
2. Упрощение используемой для измерений аппаратуры, которое достигается, во-первых, за счет того, что мощность измерить проще, чем комплексный сигнал, а, во-вторых, за счет того, что не требуется перестраивать аппаратуру под разные частоты множества зондирующих гармоник, как это делается в прототипе.
Источники информации
1. Харкевич А.А. Основы радиотехники. - М.: Государственное изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1962, с.107-108.
2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - 4-е изд. - М.: Радио и связь, 1986, с.152 (прототип).
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988, с.35.
4. Самойленко В.И., Пузырев В.А., Грубрин И.В. Техническая кибернетика: Учеб. пособие. - Ь.: Изд-во МАИ, 1994, с.265.