Нелинейное поведения двухфазной стали в области упругих деформаций

тропотребления. // Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 11 / сост. и общ.ред. проф. Б.И. Кудрин. Томск: Изд-во Томск. гос.ун-та, 2003. С. 32-35.

4. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL. М.: Форум, 2008. 464 с.

5. Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов. СПб: Питер, 2003. 688 с.

B.V. Gilin, A.S. Isaev, D.E. Andreev

SHORT-TERM FORECASTING OF THE POWER CONSUMPTION OF THE ENERGETICAL COMPANY

Short-term forecasting of a power consumption of the company by means of schedules of electric loadings is considered.

Key words: forecasting, energetically company, production schedule, mathematical

model.

Получено 20.11.12

УДК 629.113.011

А.П.Фалалеев, канд. техн. наук, доц., проректор,

НЕЛИНЕЙНОЕ ПОВЕДЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ СТАЛИ В ОБЛАСТИ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Разработана модель поведения двухфазной стали DP780 при загрузке-разгрузке и пластическом деформировании. Модель основана на двухповерхностной теории течения материала и включает кинематическое и изотропное упрочнения, нелинейное поведение стали в области упругих деформаций.

Ключевые слова: двухфазная сталь, кинематическое упрочнение, изотропное упрочнение, нелинейная упругая деформация.

Двухфазные стали активно используются в современной автомобильной промышленности для несущих деталей, отвечающих за пассивную безопасность. Это позволило значительно снизить вес автомобиля, обеспечив более высокий уровень безопасности. Сложность моделирования упруго-пластического поведения подобных сталей на этапах производства, во время столкновения и во время ремонтных операций обусловлена тем, что прочностные характеристики материала зависят от всех предыдущих деформаций и температурных воздействий, начиная с момента производства. Технологическая память двухфазной стали создает пред-

325

посылки для анизотропного поведения детали, изготовленном изначально из изотропного материала. Одной из проблем при моделировании больших пластических деформаций является нелинейность в зоне упругих деформаций. Точное моделирование изменений модуля упругости и эффекта Баушингера является сложной задачей при учете пластических деформаций кузова автомобиля при ДТП и последующем ремонте.

Последние исследования свидетельствуют о том, что использование постоянного, линейного модуля Юнга вносит существенную погрешность при прогнозировании свойств материала при разгрузке после больших пластических деформаций [1], [2].

Нелинейное поведение сталей при снятии нагрузки наблюдается фактически у всех сталей. Изменение модуля упругости при разгрузке может достигать 22 % для высокопрочных сталей и зависит от типа и состава стали. Для двухфазных сталей будет наблюдаться наибольшее смещение кривой прочности от первоначальной линейной из-за большого содержания мартенситной фазы. Нелинейное поведение объяснялось остаточными напряжениями, развитием микротрещин, накоплением и релаксацией дислокаций. В работе [3] нелинейность определена, как упругость второго порядка и описывается

Г ^

а J + ô

а

Eo

Eo

где а - напряжения, возникающие в образце; s - удлинение, Eo - стандартный модуль упругости; ô - нелинейный параметр.

В соответствии с (1) для стали DP 780 изменение модуля должно составить около 3 %.

Для экспериментальной оценки значений исследовались образцы стали DP780 соответствующей стандарту Mazda MES MM 106G SPCN 780Y длиной 75 мм и шириной 12,5 мм согласно стандарта ASTM-E646 на

-3 -1

скорости 10 с на универсальной разрывной машине MTS 810. удлинение фиксировалось лазерным экстензометром LE-05. График растяжения двухфазной стали представлен на рис. 1. Двухфазная сталь обеспечила предел прочности 840 МПа и предел текучести 470 МПа. Отношение предела текучести к пределу прочности составило 0,56. При этом максимальное эффективное удлинение 9,8 %. График отчетливо демонстрирует петлю при снятии нагрузки и вторичной загрузке.

Изменение модуля упругости традиционно учитывают вычислением наклона хорды (рис.2) от точки уменьшения нагрузки С и до точки полной разгрузки D. Такой подход удобно использовать в расчетах одномерных деформаций, изменяя модуль упругости при нагрузке и разгрузке. Для сложных реальных деформаций остаются участки детали, где остаточные напряжения не позволяют произойти полной разгрузке. В этих местах модель будет заведомо иметь погрешности. На графике (рис.2) отчетливо

326

s

видна зона линейных упругих деформаций при разгрузке (С-В) и при повторной загрузке ^-А). На этих участках материал подчиняется закону Гука с модулями упругости Е1 и Е2 соответственно. Для стали DP 780 они оба равны стандартному модулю упругости 208ГПа. Использование метода «хорды» демонстрирует значение модуля Е3=145ГПа (участок D-C).

Рис. 1. Циклы загрузки-разгрузки при растяжении стали DP780

Рис. 2. Цикл загрузки-разгрузки двухфазной стали DP 780

В соответствии с [4] дислокации двигаются до достижения границ зерен или препятствий. Это создает нагромождение дислокаций в виде простейших дислокационных структур. После снятия напряжений дислокации расходятся друг от друга, обеспечивая дополнительную деформацию материала, которая складывается с обратной упругой линейной деформацией.

Последнее время для описания поведения двухфазных сталей в сложнонагруженных условиях широко стала использоваться нелинейная кинематическая модель упрочнения Шабоша [5]. Такой подход совмещает изотропную и нелинейную модели упрочнения, которые учитывают эффект Баушингера при нагружении в обратном направлении [6], [7].

Анализируя экспериментальное поведение двухфазной стали DP 780 в месте сжатия-растяжения (см. рис.2), в фазе растяжения можно выделить следующие элементы: эффект Баушингера, переходное упрочнение вблизи начала пластичности и постоянное разупрочнение.

В изначально изотропном и однородном материале за счет накопления деформаций может возникать анизотропия. Полагается, что в пространстве составляющих тензора напряжений существуют поверхность предела пропорциональности f и поверхность течения материала F. Внутри пропорциональной поверхности f материал ведет себя линейно-упруго и подчиняется закону Гука. За границей поверхности течения F материал ведет себя пластично. Расстояние между поверхностью течения и пропорциональной поверхностью является непрерывной функцией и в зависимости от функции может описывать нелинейное поведение упругой деформации или изменение модуля упругости. Графическая интерпретация двухповерхностной теории пластичности для двухмерного случая (аз = 0) демонстрирует взаимодействие поверхностей (рис. 3).

Рис. 3. Графическая интерпретация двухповерхностной теории

течения материала

Поверхности f и F могут быть описаны уравнениями:

f = р

F = Ф

где г и R — определяют размеры поверхностей f и F, соответственно, центры которых описываются тензорами остаточных микронапряжений а и аF соответственно; ар - эквивалентная пластическая деформация;

ёР - скорость пластической деформации; Т - температура нагрева детали.

328

Размеры поверхностей г и R определяются экспериментально исходя из диаграммы одноосного растяжения металла. Изменение размера поверхностей f и F описываются эволюционными уравнениями. Простейший закон изотропного упрочнения, предложенный Холомоном [6], не может учесть влияние технологий ремонта кузова, но для выполнения экспертизы ДТП или холодной ремонтной правки он может быть использован с небольшими допущениями

R = К

где К и п - постоянные, определяемые методом наименьших квадратов для описания кривой 8 - ё, полученной при растяжении.

Эволюционные уравнения зеркально отображают друг друга с учетом собственных постоянных. Основным допущением можно считать, что f меньше F и имеет ту же форму, соответственно f имеет во всех точках большую кривизну, это допущение необходимо для того, что бы быть уверенными, что f никогда не пересечет F. Изменение размера поверхностей представляет собой изотропное упрочнение, вызванное накоплением деформации, или разупрочнение, связанное с влиянием технологической температуры при вытяжке и(или) низких скоростей вытяжки, близких к условиям ползучести стали.

При начальной упругой деформации 8е тензор напряжений а находится внутри или на границе поверхности f, причем вектор приращений напряжений dа направлен внутрь поверхности, тогда угол между вектором приращения напряжений dа и нормалью dn к поверхности f должен быть острый, а их скалярное произведение меньше нуля, т.е. dа :: dn < 0.

Размеры и центры поверхностей f и F не меняются во время упругой деформации, которая подчиняется классическим линейным принципам:

dа = С0 : d£е,

где С 0 - постоянный тензор модулей упругости, демонстрирующий растяжение атомных связей.

Уравнение (5) определяет dsе в любом состоянии материала (пластическое течение, упруго-нелинейная или упругая деформация). При достижении тензора напряжений а границы поверхности f центр поверхности а начинает смещаться вместе с поверхностью в сторону роста напряжений. В этот момент происходит упруго-нелинейная деформация 8пе. Для идентификации этого состояния должны одновременно выполняться три основных условия:

тензор напряжений а должен находиться на поверхности£ вектор приращения тензора dа должен быть направлен наружу, dа :: dn < 0;

поверхности f и F не должны находиться в контакте. Во время упруго-нелинейной деформации размер и расположение F

не меняются, размер f постоянен, но поверхность смещается. В отличие от чистой упругой деформации в этом состоянии происходит некоторое рассеяние энергии, этим оно схоже с пластической, хотя при снятии нагрузки остаточной деформации не обнаруживается. Наблюдаемая на диаграмме петля гистерезиса обусловлена данным видом деформации. Смещение f во время упруго-нелинейной деформации подчиняется законам двухповерх-ностной модели течения материала для того, что бы обеспечить к моменту наступления пластичности (касание поверхностей) совпадение тензоров о

F F

и о , а также равенство нормалей п и п в этих точках поверхностей

п/

до

V

до

F дР

п =-/

до

дР

до

где

- норма вектора или тензора.

Для обеспечения этого должны выполняться следующие законы трансляции поверхности:

Р

da = d^

о - а

о

Р

Р

а

R

При условии того, что размеры поверхности остаются неизменными, т.е. = 0, закон (7) можно записать в виде:

dа

п: dо

Р

п:

Р

(о - о) ,

где угловые скобки демонстрируют, что уп : dоJ = 0 если п : dо < 0, иначе (п : <о) = п : dо .

Соотношение между приращением напряжений и приращением общей деформации можно записать в следующем виде

dо = С 0 : е = С : ,

= е + пе, (11) 7 е 7 пе

а*

пе

где С - функция тензора линейной и нелинейной упругости, который отражает изменение модуля Юнга Е, представляющая наклон кривой одноосного нагружения в координатах с - £

Е = Е0 — Е

Ч

1 - ехр

где интеграл оценивается от момента первого касания поверхности V изнутри и до текущего упруго-нелинейного состояния; Е0 - традиционный модуль упругости материала; Е1 и Ь - параметры, определяемые эмпириче-

г

ски.

Форма (13) определяет, что при переходе от упругой к нелинейно-упругой деформации модуль упругости будет принимать значение Е0 независимо от того с какой стороны будет двигаться тензор напряжений. Коэффициент Пуассона принимаем постоянным, поэтому С зависит только от Е.

Выражая тензор С в явном виде получим

уЕ „ „ Е

ЛЕЛ

=

где 8у - символ Кронекера; С°ук\ - компонент тензора С0 в прямоугольной системе координат.

Отметим, что С параллелен С0, что обеспечивается параллельностью dsе и dsпе (12).

В явной форме приращение упруго-нелинейной деформации можно выразить из

d8пе =

где S и S0 — тензоры с компонентами обратными матрицам, представляющих тензоры С и С0.

При достижении внутренней поверхностью f поверхности текучести F наступает пластическое состояние материала. Согласно условий трансляции поверхностей это касание происходит в точке конгруэнтной

¥

тензору напряжений а = а и приращение тензора напряжений направлено наружу поверхности £, dа :: dn > 0.

В этот момент присутствуют все три вида деформаций, описываемые данной теорией - пластическая деформация 8р, упругая деформация

8е и нелинейно-упругая деформация 8пе . В процессе деформации размеры £ и ¥ могут изменяться, в соответствии с эволюционными законами, которые отражают изотропное упрочнение и обеспечивая конгруэнтность тензоров

¥

а и а . Определяющие соотношения для этого вида деформации можно записать следующим образом:

dа = С 0 : d8е = С - d8р),

d8 = d8е + d8пе + d8р,

е пе

«8 «8

d8е

d8

пе

При пассивной разгрузке поверхность пропорциональности £ перемещается на величину а назад под воздействием напряжений, вызывавших упруго-нелинейную деформацию, а затем упругая деформация 8е

возвращается в ноль. Таким образом, центр поверхности f возвращается в исходное положение, а наружная поверхность течения F остается смещенной на величину тензора остаточных микронапряжений а . При повторном активном пластическом деформировании материал уже не является изотропным, т.к. наблюдается ассиметрия расположения внутренней и наружной поверхностей. Благодаря тензору остаточных микронапряжений моделируется кинематическое упрочнение, известное как эффект Баушин-гера. Кинематическое, как и изотропное упрочнения носят выраженный характер у современных автомобильных сталей, в связи с необходимостью поглощать большое количество энергии при деформации. Тензор остаточ-

~ а F ~ ~ F

ных микронапряжений а состоит из нелинейной составляющей а^ ,

предложенной в классической модели Шабоша, которая описывает пере-

F

ходное поведение материала и линейной составляющей а2 , описывающей

постоянное разупрочнение при активном деформировании

FFF а = а^ + аi ,

dаF = 3 QäsP - ylF äsP,

F 2 p

äа 2 = з C 2 äs ,

—p ^ ^

где ä s - приращение эквивалентной пластической деформации определя-

ется по критерию фон Мизеса

(2 P P ^ X

.

äs P

2 p p

— äs : äs 3

V ^ у

Отметим, что для начальной растягивающей нагрузки недеформи-

рованного материала а и аР будут равны нулю, г будет представлять предел пропорциональности (упруго - нелинейный переход), R - предел текучести (пластический переход). Это означает, что f будет значительно меньше Р, это избавляет от проблем взаимного геометрического пересечения двух поверхностей. При анализе больших деформаций возможно влияние поворота жесткого тела, которое может привести к погрешности в расчетах, поэтому все напряжения должны соответствующим образом пе-ресчитываться с учетом поворота базиса.

На основе графика одноосного растяжения (см. рис.1) определяем значения коэффициентов модели, которые приведены в таблице. Подбор коэффициентов осуществлялся методом наименьших квадратов.

епе

Среднее отношение линейной деформации к нелинейной - во

всех экспериментах оставалось равным 0,35 независимо от напряжений,

при которых происходила разгрузка-загрузка. Полученная модель описывает поведение стали с высокой точностью (5 %), что обусловлено использованием феноменологического подхода.

Эмпирические коэффициенты модели для стали DP780

К, МПа n b v £q, МПа Q, МПа C 2, МПа E1, МПа Y

1080 0,14 645 0,71 208000 17062 1270 117500 72

Во время нелинейной упругой деформации происходит рассеяние энергии, величина которой определяется напряжениями и деформациями. Для двух экспериментальных точек загрузки-разгрузки она составила 0,61х10б Дж/м3 (при 750 МПа) и 0,69х10б Дж/м3 (при 820 МПа) соответственно. Это дает возможность предполагать о линейной зависимости количества рассеянной энергии от напряжения разгрузки-загрузки.

Таким образом, предложенная модель описывает поведение двухфазной стали DP780 при эксплуатационных и ремонтных деформированиях. Модель основана на двухповерхностной теории пластичности материала и учитывает кинематическое упрочнение (закон Баушингера), изотропное деформационное упрочнение, зону непропорциональных упругих деформаций перед наступлением пластичности.

Применение современного высокоточного оборудования позволило исследовать нелинейную зону упругих деформаций и существенно повысить точность моделирования остаточных деформаций и рассеяния энергии при столкновениях автомобиля и последующих ремонтах.

Нелинейность проявлялась во всех экспериментах и нашла отражение в модели. Эмпирические коэффициенты, приведенные в таблице, дают возможность использовать модель для численных расчетов методом конечных элементов, путем описания свойств материала с помощью стандартных процедур. Использование реальной модели сможет существенно повысить точность экспертизы ДТП и определения пассивной безопасности кузова автомобиля после восстановительного ремонта.

Список литературы

1. Cleveland R.M., Ghosh A.K. Inelastic effects on springback in metals // International Journal of Plasticity. 18. 2002. P. 769-785.

2. Perez R., Benito S.A., Prado J.M. Study of the inelastic response of TRIP steels after plastic deformation // Isij International. №45. 2005. P. 19251933.

3. Yu H.Y. Variation of elastic modulus during plastic deformation and its influence on springback // Materials and Design. №30. 2009. P. 846-850.

333

4. Hirth J.P., Lothe J.Theory of dislocationws // A Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1982. 320p.

5. Chaboche J.L. Constitutive-Equations for Cyclic Plasticity and Cyclic Viscoplasticity // International Journal of Plasticity, №5. 1989. P. 247-302.

6. Фалалеев А.П. Моделирование поведения двухфазных сталей на операциях холодной ремонтной вытяжки кузовов автомобилей // Мiжву-зiвський 36ipKHK «НАУКОВ1 НОТАТКИ». Луцьк, Випуск №37. 2012. C. 336-340.

7. Eggertsen P.A., Mattiassou K. On the modeling of the bending-un bending behavior for accurate springback predictions // International Journal of Mechanical Sciences, №51. 2009. P. 547-563.

A.P. Falaleev

NONLINEAR BEHAVIOUR OF DUAL PHASE STEELS IN ELASTIC DOMAIN

Model of dual phase steel DP780 load-unload behavior was developed. Model based on the two surface theory of plasticity and describes kinematic and isotropic hardening, nonlinear steel behavior in the region of elastic deformation.

Key words: dual phase steel, kinematical hardening, isotropic hardening, nonlinear deformation.

Получено 25.11.12

УДК 211.334

Ю.Н. Журавлёв, д-р техн. наук, проф., +7

СИНТЕЗ ПРОФИЛЯ КУЛАЧКА РЫЧАЖНО-КУЛАЧКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ДВИЖЕНИЯ РОТОРНО-ЛОПАСТНОГО ДВИГАТЕЛЯ С ВНЕШНИМ ПОДВОДОМ ТЕПЛОТЫ

Выполнен математический анализ функции, задающей теоретический профиль кулачка для роторно-лопастного двигателя с внешним подводом теплоты и ры-чажно-кулачковым преобразователем движения. Дан ответ на вопрос - какая функция будет наиболее предпочтительной.

Ключевые слова: внешний подвод теплоты, математический анализ, рычаж-но-кулачковый преобразователь.

В настоящее время в Псковском государственном университете проводятся научно-исследовательские работы по созданию нового тепло-