Моделирование теплообмена электропроводной жидкости в цилиндрическом слое

УДК 536.25

Л. С. Гринкруг, С. В. Соловьев, Р. И. Цой

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЕ

Целью работы является математическое моделирование нестационарного конвективного теплообмена электропроводной жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами (моделирующего жидкое ядро Земли) с учетом внутренних источников теплоты.

Ключевые слова: теплообмен, электропроводность жидкости, цилиндрический слой.

Lev S. Grinkrug, Sergey V. Solovyev, Rudolf I. Choi

HEAT TRANSFER MODELING OF ELECTROCONDUCTING FLUID

IN THE CYLINDRICAL LAYER

The aim of the work is mathematical modeling of unsteady convective heat transfer of electroconducting fluid between two rotating coaxial cylinders (simulating the Earth's liquid core). Internal heat sources are taken into account.

Key words: heat transfer, electroconducting fluid, cylindrical layer.

В работе исследуются температурные и магнитные поля при заданном поле скорости (т. е. используется кинематическая модель) между коаксиальными цилиндрами и наличии внешнего температурного и магнитного поля. Для решения поставленной задачи был разработан и создан программный продукт для исследования влияния поля скорости на структуру магнитного и температурного полей жидкости.

В работе рассматривается движение электропроводной жидкости, заключенной между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами Ri и R2 (рис. 1), при наличии магнитного и температурного полей.

Математическая модель, описывающая магнитное поле и теплообмен электропроводной жидкости между коаксиальными цилиндрами, в операторном виде представлена уравнениями:

/9 R

— + (VV)B = (BV)V+vmAB, дХ

Гринкруг Лев Соломонович — кандидат технических наук, доцент, ректор (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан), e-mail: rectorat@pgusa.ru

Соловьев Сергей Викторович — доктор физико-математических наук, профессор (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан), e-mail: solovjovsv@rambler.ru

Цой Рудольф Ирсунович — кандидат технических наук, доцент (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан), e-mail: no_formal@mail.ru

© Грингруг Л. С., Соловьев С. В., Цой Р. И., 2013

36

Рис. 1. Физическая постановка задачи

ср

' дТ

— + (VV)T

¿7 t

= ЯАТ+ qv+ —^-(rotB)2. v 4л-

В безразмерном виде система имеет вид:

дв* \ дв*

дв;

cl-— + Ре

¿То

г дх х дер

= Ре

дч; в, м;

ь. . » +

Г -Л * ' * *

£7Г Г £7(£>

cl-

£в,

¿?Fo

Рг

- + Ре

д2В; 1 ¿В/ 1 д2В/ Вг 2 дъ

дх*

*2 *2 «2 «2

г дер

г* Л* г*2 ф*2 г

V * -1*

дх г

dV * В * д\ ' В *V * В *V *

* <р ер <Р г ер ер <р

= Ре

Рг

dr

* 1 *

д2В„

1 зъ; 1 ¿г в; в; 2 дв

л

дг

*2 V дх* V дер 2 х

*2 *2 -*) * г Ф

(1),

(2),

cl-— + Ре

dFo

V,

. дТ* V/

—+ -

г Л* г* дер*

*2 /

¿?2Т* 1 ¿?2Т

* л * *2 ^ *

Г дх X дер

+Qv + :

На РгК

Re„

В„

г

дх

* * Г £7Г

1

*2

/

¿в/в/ дв;<?в,

* "Ь

л'

г* дер* дх*

(3).

В уравнениях (1 — 3) использованы следующие безразмерные переменные и критерии подобия:

«\

1

В

r

r

r

1

2

2

»2

r

2

r

37

тз

g * _ г - радиальная составляющая магнитной иидукции;

1 в0

В

В * =_- угловая составляющая магнитнои иидукции;

Ф в0

Т-Т

j* _ 2 - температура;

(Т-Т2) г

R,

г * _ JL - безразмерный радиус;

2 о+

р0 =_- число Фурье;

Я22

— - магнитное число Рейнольдса, определяет преобладаю-

щий эффект (эффект вмороженносги магнитного поля в среду или эффект диффузии «проскальзывания») магнитного поля относительно среды;

V ИРе =_5_- число Пекле, характеризует соотношение между переносом

а

теплоты конвекцией и теплопроводностью; <7

О = —±1—±-- внутренний источник тепла;

V а(Тг-Т2) У

R Т5

]_[а _ 0 2 - число Гартмана, характеризует соотношение между

силами магнитной вязкости и вязкими силами; критерий можно рассматривать как численную характеристику влияния магнитного поля на движение электропроводной жидкости;

Рг = —; Pr = - гидродинамическое и магнитное число Прандтля; а m а

V 2

К _ v о - характеризует кинетическую энергию единицы массы c

среды по сравнению с перепадом теплосодержания (между температурами среды и находящегося в ней твердого тела) [3];

_ qR2 _ поток тепла на границе, cl — const. ОД-Т,)

В начальный момент времени поля магнитной индукции и температуры принимали постоянное значение. Граничные условия на внутренней (ri=Ri) и внешней (r2=R2) границе следующие: для магнитного поля задаются граничные условия первого рода, а для температурного

38

поля задаются граничные условия: а) первого рода на обеих границах; б) второго рода на внутренней границе и первого — на внешней.

Исследуется кинематическая модель, рассматриваются два случая задания поля скорости:

• внутренний и внешний цилиндры вращаются с разными угловыми скоростями П и ГЬ соответственно;

• внутренний и внешний цилиндры неподвижны.

В первом случае распределение поля скорости имеет вид:

= П2 R^-Qt Rt2 (nt -tWV 1

^ — 2 -r-, 2 T-, 2 -r-, 2

Rz -г-) z "D z "D

2 — ^2 ~ -^l

r

Во втором случае распределение поля скорости имеет вид: Vr (г, <р) = -(г- R 1)(R 2 - r)(C 1 + С 2 • г) cos(C 3 • <р), удг, (р) = (г- R 1)(R 2 - r)(C 1 + С 2 • г) sin(C 3 • <р),

где С1, C2 и С3 — произвольные константы, задающие вид поля скорости.

Для численного решения системы дифференциальных уравнений использовался метод Патанкара [1]. При решении системы разностных аналогов использовался метод Гаусса-Зейделя.

Локальные числа Нуссельта для внутреннего и внешнего цилиндра определяются из следующих соотношений:

хт . . R1 д Т(г, ф) Num(cp) = -

R2 дп

XT / ч ST

> Nuout (ф) =

дп

Осредненные числа Нуссельта вычислялись по формулам:

— R1 °г — 1°г

NUn =--JNU" Ф' NUoUt = ~ JNUout (фМ Ф-

ТТ П / " ТТ J

яR2 -1 п

п 'я

Для математического моделирования исследуемого процесса был разработан программный комплекс [2], позволяющий рассчитывать поля температуры и магнитной индукции в широком диапазоне изменения безразмерных критериев. В качестве результатов расчета получены поле температуры, радиальная и угловая составляющие магнитной индукции.

На рис. 2 представлен фрагмент интерфейса программного комплекса.

На рис. 3 представлены поле скорости (а), числа Нуссельта (б), поле температуры (в), полная магнитная индукция (г), радиальная составляющая магнитной индукции (д), угловая составляющая магнитной индукции (е) для значений безразмерных параметров: Ре=40, Ргт=2, С).=0, Рг=1, Rem=l, На=1, Бо—К=1 (граничные условия: Вг1=1, Вг2=1, Вф1=0, Вф2=0, Т1=1, Т2=0).

г=К1

г —R 2

39

Рис. 2. Радиальная составляющая магнитной индукции

Уравнения поли скорости: |Уг = -

а)

б)

40

%!*&&*&&'%"*%&'H&*%( %('I&$%&!

На рис. 4 представлено поле температуры с учетом джоулева тепловыделения для значении безразмерных параметров: Ре=40, Ргт=1, С).=0, Рг=1, Кет=1, На=7, Бо—>сс, К=1. Граничные условия: Вг1=1, Вг2=1, Вф1=0, Вф2=0, Т1=1, Т2=0.

Рис. 4. Поле и распределение температуры

Список литературы

1. Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в канале. / Пер. с англ. Е. В. Калабина; под ред. Г. Г. Янькова. М.: Изд-во МЭИ, 2003. 312 с., ил.

2. Соловьев С. В. Моделирование конвективного теплообмена электропроводной жидкости между вращающимися цилиндрами. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. № 2012613609. Москва, 2012.

* * *

42