Определение наличия гармонических составляющих и их частот в дискретных сигналах на основе автокорреляционной функции

УДК 519.6:004.93

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЛИЧИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ И ИХ ЧАСТОТ В ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛАХ НА ОСНОВЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

В.С. Аврамчук

Томский политехнический университет E-mail: avs@tpu.ru

Предложен и проверен способ определения наличия гармонических составляющих и их частот в дискретных сигналах на основе расчета частотно-временной автокорреляционной функции. Показано, что данный способ позволяет корректно определить наличие периодических сигналов и их частот в анализируемом сигнале.

Ключевые слова:

Цифровой сигнал, корреляционный анализ, автокорреляция.

Key words:

Digital signal, correlation analysis, autocorrelation.

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) в настоящее время используется практически во всех областях науки и техники: анализ и распознавание речевых сигналов, сейсмология, радиолокация, медицина, биология, химия и т. д. Одними из наиболее часто решаемых задач ЦОС являются спектральный анализ, цифровая фильтрация и выделение полезного сигнала на фоне интенсивных помех. Для решения последней задачи привлекается математический аппарат корреляционного анализа сигналов. Так, например, взаимная корреляционная функция применяется в задачах обнаружения координат утечек в трубопроводах, по максимальному значению которой судят как о факте наличия утечки, так и о расстоянии до нее. По характеру автокорреляционной функции определяют наличие слабого периодического сигнала в смеси и его период. Несколько сложнее обстоит анализ полигар-монических сигналов, трактовка автокорреляционной функции которых весьма затруднительна и зависит от параметров гармонических составляющих сигнала. В этом случае для определения частот гармонических составляющих применяются спектральный анализ и фильтрация сигнала. Использование данного подхода затруднено по нескольким причинам: во-первых, спектр полезного сигнала чаще всего неизвестен, а мощность полезного сигнала может быть весьма малой по сравнению с мощностью шума, во-вторых, спектр полезного сигнала может перекрываться спектром помех. Эти обстоятельства затрудняют использование указанного подхода. Целью данной работы является расширение возможности использования корреляционного метода анализа сигналов при определении наличия гармонических составляющих и их частот в полигармонических сигналах.

Использование математического аппарата корреляционного анализа основано на свойстве периодичности автокорреляционной функции периодического сигнала. Автокорреляционная функция непрерывного сигнала х(/) при интервале наблюдения Т^ю выглядит следующим образом [1]:

1 Т/2

К(т) = Ит— | х^)  х(? + т)&,

Т Т -т/2

где т - величина задержки. Для расчета автокорреляционной функции конечной длины записи применяется следующая формула [1]

1 T

K (т) = — J x (t) • x (t +T)dt.

Для функции случайного процесса, представленного одной гармоникой

x

где A, w - соответственно амплитуда и круговая частота гармоники - известны, а р, фазовый угол гармоники, является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0..2 лт], обладающего свойством эргодичности, автокорреляционная функция выглядит следующим образом K (т) =

1 т

lim - JA cos(w • t + р) • A cos(w • t -w-т + р) dt =

A

cos( •т) +

+ Jcos(2 ю • t + 2 •у-ют) dt =

2 T

-2 •T

AL

T

С08(ю т).

На основании (3) автокорреляционная функция с ростом т не стремится к нулю, а её значения меняются с частотой о - частотой изменения исходного сигнала. Именно этот факт используется для обнаружения и выделения слабого периодического сигнала на фоне интенсивных помех [2, 3], при этом автокорреляционная функция помехи спадает практически до нуля с ростом т при т>т0, где т0 - интервал корреляции. В случае, когда сигнал представлен суммой независимых между собой составляющих периодического сигнала х(/) и ста-

U

2

0

ционарного шума п(?): y(t)=x(t)+n(t), автокорреляционная функция суммы согласно [2] запишется следующим образом

К (т) = К (т) + Кп (т),

причем Кп(т) при т>т0п, где т0п - интервал корреляции шума, приближенно равна нулю. Следовательно, Ку(т)=Кх(т) при т>т0„. Таким образом, определить наличие или отсутствие в сигнале у(^ периодического сигнала x(t) можно по автокорреляционной функции Ку(т). Если при т>т0п автокорреляционная функция периодична, то в у (0 присутствует гармонический сигнал, частоту которого можно определить. При использовании такого подхода к выявлению периодического сигнала в смеси необходимо отметить некоторые свойства автокорреляционной функции [2]:

• К(т)=К(-т), т. е. функция К(т) является чётной;

• максимальное значение соответствует т=0 и равно квадрату среднеквадратичного отклонения КГ(0)=^;

• значения автокорреляционной функции большинства случайных процессов убывают с ростом аргумента т;

• если х(0 - синусоидальная функция времени, то её автокорреляционная функция представлена косинусоидой той же частоты (1-3);

• если х(0 - периодическая функция, то К(т) для неё может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной составляющей и от синусоидально изменяющейся составляющей;

• функция К(т) не несёт информации о начальных фазовых углах гармонических составляющих;

• автокорреляционная функция и спектр мощности связаны преобразованием Фурье.

На основании приведенных свойств можно определить наличие периодического сигнала в смеси, однако этот подход, как правило, не приемлем для полигармонических сигналов, которые представляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов

N

х(()=Х Ап +(рп х

/=0

где Ап, (оп, (рп - соответственно амплитуда, круговая частота и фазовый угол гармонической составляющей, N - число гармонических составляющих. Это обусловлено сложностью интерпретации графика полученной автокорреляционной функции. Для устранения этого недостатка воспользуемся частотно-временной корреляционной функцией [4, 5] и ранее приведенными особенностями автокорреляционной функции.

Как известно, автокорреляционную функцию можно получить, используя преобразование Фурье по следующему выражению [1]

К (т) = ^-1[ ^ (х,.) ^ *( х,.)],

где Р - прямое дискретное преобразование Фурье сигнала х, - комплексно-сопряженное значение

результатов прямого дискретного преобразования, - обратное дискретное преобразование Фурье. Прежде чем подвергнем произведение Дх;) Р*(х;) обратному преобразованию Фурье, составим т его копий Мк, к=0,...,т-1, предварительно обнулив весь спектр, кроме к-й части. В результате обратного преобразования Фурье каждой из этих копий получим автокорреляционную функцию на соответствующих частотах. Совокупность всех результатов обратного дискретного преобразования Фурье дает частотно-временную автокорреляционную функцию. Формульная запись имеет следующий вид:

к (Л, ь) = 2*,

2* = ^-1[М* ],

0, иначе,

р = ^

где х - дискретные отсчёты анализируемого сигнала, /=0,1,...,2п-1, у'=0,1,...,2п-1+1, к=0,1,..., т-1, т=1,2,...,2п-1, п=2,3,...

Блок-схема вычислений, соответствующих условию (4), приведена на рис. 1. Прямое и обратное преобразования Фурье реализованы в форме быстрого преобразования Фурье (БПФ). На входы блоков вычисления прямого преобразования Фурье (БПФ) поступают сигналы х^ и уразмерностью 2п.

Рис. 1. Блок-схема вычисления частотно-временной автокорреляционной функции: БПФ - блок быстрого преобразования Фурье; БПФ* - блок получения комплексно сопряжённых чисел; БФС - блок формирования сигналов; БПФ- - блок быстрого обратного преобразования Фурье; БИ - блок интерпретации

Из полученного произведения Pj в блоке формирования сигналов БФС формируются m сигналов M где j=0,1,...,2"-1+1;m=1,2,...,2"-1;k=0,1,...,m-1. Полученные сигналы Mk подвергаются обратному преобразованию Фурье Zc=F^i[Mk]. По результатам обратного преобразования Фурье в блоке интерпретации определяется частотно-временная корреляционная функция

K (f, t,) = Z,.k,

где

ti ^ [tmin’ tmax]; fk ^ [ fmm.* ./maxt _ r ;

Jd

f _ Jl , =-2Ш t _ 2n-1 -1.

J k ; min r ; max r ;

m -1 fd fd

j fd . j fd .

J min 2 n ; j max ^ ;

f - частота дискретизации сигнала. По полученным результатам можно построить график частотно-временной автокорреляционной функции K(f,t), который визуально иллюстрирует корреляцию гармонических составляющих исследуемого сигнала xt на различных частотах.

Таблица. Исходные данные и результаты расчета тестовых примеров

№ примера Частоты гармонических составляющих, кГц Расчетное значение частоты, Гц

1 5 5000,6250

6 6004,6875

7 7008,7500

8 7993,1250

9 8997,1875

10 10001,2500

20 20002,5000

2 5 5000,6250

6 6004,6875

7 7008,7500

8 7993,1250

17 17010,0000

18 17994,3750

19 18998,4375

20 20002,500

3 1 1004,0625

2 1988,4375

3 2992,5000

9 8997,1875

10 10001,2500

11 11005,3125

18 17994,3750

19 18998,4375

20 20002,5000

Для демонстрации работоспособности и корректности получаемых данных воспользуемся предложенным способом для расчета частотновременной автокорреляционной функции Щ,Р).

Для этого сформируем несколько тестовых примеров, представленных в таблице. Частота дискретизации тестовых сигналов равна^=44100 Гц, что соответствует стандартному и широко используемому значению в современных аналого-цифровых преобразователях (АЦП), в частности АЦП звуковых карт персональных ЭВМ. Размер выборки 2п=214= 16384 отсчета, количество формируемых сигналов т=1121. Амплитуды гармонических составляющих в тестовых примерах приняты равными единице. Результаты анализа тестовых примеров представлены в таблице и приведены на рис. 2.

Полученные частотно-временные автокорреляционные функции ярко выражены на частотах близких к заданным в тестовых примерах, что свидетельствует о наличии в анализируемом сигнале гармонических составляющих и работоспособности предложенного способа определения наличия гармонических составляющих и корректности получаемых данных. Расчетные значения частотновременной автокорреляционной функции Я(/,^ представлены цветом: максимальное значение отображено черным цветом, минимальное - белым, а промежуточные значения - в уровнях серого цвета.

Необходимо отметить, что выбор оптимального значения т осуществляется экспериментальным путем при решении конкретных задач и необходимой точности определения частот гармонических составляющих. Для уточнения частоты гармонической составляющей можно воспользоваться разработанными способами гармонического анализа [6-8] в интересующем интервале частот, при этом точность определения частоты гармоники будет зависеть от выбранного шага перебора по частоте.

Выводы

Показано, что использование предложенного способа расчета частотно-временной автокорреляционной функции позволяет определить наличие гармонических составляющих в сигнале и значения их частот на ограниченной по размеру выборке дискретного сигнала.

Наличие гармонических составляющих в анализируемом сигнале определяется по полученной частотно-временной автокорреляционной функции и сводится к выделению на графике горизонтальных линий и выделению частот, соответствующих им. Таким образом, использование приведенного способа расчета частотно-временной автокорреляционной функции расширяет возможности корреляционного анализа при исследовании полигармонических сигналов и непосредственно упрощает процесс их анализа.

Разработанный способ расчета частотно-временной корреляционной функции может быть использован при решении задач обнаружения утечек, вибродиагностики, обнаружения и анализа слабых периодических сигналов.

8192 Отсчет

8192 Отсчет

6144 8192 Отсчет

Пример 3

Рис. 2. Частотно-временные автокорреляционные функции результатов расчета тестовых примеров

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход. 2-е изд. - М.: Вильямс, 2008. - 992 с.

2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Советское радио, 1966. - 680 с.

3. Lee Y.W. Statistical Theory of Communication. - New-York: John Wiley & Sons, Inc., 1960. - 288 p.

4. Способ частотно-временного корреляционного анализа цифровых сигналов: пат. 2405163 Рос. Федерация.

№ 2009118627/28; заявл. 18.05.09; опубл. 27.11.09, Бюл. № 33. -10 с.

5. Аврамчук В.С., Чан Вьет Тьяу. Частотно-временной корреляционный анализ цифровых сигналов // Известия Томского политехнического университета. - 2009. -Т. 315. - № 5. -С. 112-115.

6. Аврамчук В.С., Яковлева Е.М. Применение решетчатых периодических функций в спектральном анализе узкополосных периодических сигналов // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. - № 7. - С. 40-44.

7. Способ спектрального анализа многочастотных периодических сигналов, представленных цифровыми отсчетами: пат. 2229140 Рос. Федерация. № 2003108753/28; заявл. 28.03.03; опубл. 20.05.04, Бюл. № 14. - 6 с.

8. Способ спектрального анализа сложных несинусоидальных периодических сигналов представленных цифровыми отсчетами: пат. 2229139 Рос. Федерация. № 2002Ш542/28; заявл. 10.12.02; опубл. 20.05.04, Бюл. № 14. - 9 с.

Поступила 17.09.2012 г.

УДК 519.87

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В ОЦЕНКЕ СОСТОЯНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МЕДИЦИНСКИХ СИСТЕМ

О.М. Гергет, В.А. Кочегуров

Томский политехнический университет E-mail: Olgagerget@mail.ru

Обсуждается проблема использования энергетических и информационных показателей для оценки состояния здоровья биообъекта. Изучена динамическая биосистема, которая характеризуется входом, выходом и вектором состояния, изменение которого обеспечивается обменными энергетическими процессами, происходящими внутри и поддерживаемыми поступлением энергии извне. Рассмотрены методы, позволяющие осуществить индивидуализированный подход к принятию решения в задачах практической медицины.

Ключевые слова:

Математические методы, доказательная медицина, энергетические показатели, энтропия, здравоохранение.

Key words:

Mathematical methods, evidence-based medicine, energy indicators, entropy, health service.

Введение

В настоящее время широко обсуждаемыми в научной общественности проблемами в области медицины являются: доказательная медицина и медицина будущего.

В каждой из перечисленных выше проблем можно выделить по два направления. В первой -выявление закономерностей развития в исследуемых объектах и индивидуализированная оценка состояния каждого объекта [1]. Решения задач доказательной медицины могут быть получены только с использованием математических методов. Для выявления закономерностей развития, как правило, широко используются статистические методы, позволяющие определить траекторию функционирования однородных объектов. Однако в большинстве случаев они не дают возможности выявить причинно-следственные связи, которые очень важны в доказательном подходе. Во второй - создание современного инструментария для профилактики здоровья и соответствующих средств лечебно-восстановительной терапии [2].

Обе проблемы и их направления важны и требуют дополнительного исследования. В данной статье более подробно остановимся на направлении создания современного инструментария для профилактики здоровья и оценке состояния здоровья детей в раннем неонатальном периоде с использованием энергетических и информационных показателей.

Энергетические показатели в оценке состояния функционирования биосистемы

В настоящей работе будем рассматривать организм ребенка как некоторую сложную динамическую биосистему. Сложные системы могут качественно отличаться друг от друга - быть физической, экономической, физиологической, социальной и др. природы, однако все они подчиняются законам термодинамики и представляют собой целостный объект с взаимосвязанной структурой, который взаимодействует с окружающей средой. Для того чтобы биосистема существовала, она должна обмениваться с внешней средой информаци-