Нестационарное деформирование упруго-вязкопластической балки

УДК 539.374

Ю. В. Мастиновский, А. В. Засовенко

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ

Рассматриваются упруго-пластические волны в однопролетной шарнирно опертой балке постоянного поперечного сечения. Движения балки описываются уравнениями типа Тимошенко. Свойства материала, применяемого для модели, зависят от скорости деформирования. Предполагается, что материал балки обладает линейным упрочнением, а упругие деформации не зависят от скорости деформирования. Прямое численное решение основано на использовании метода характеристик. Приведен анализ полученных результатов.

1 Введение

Стержневые конструкции широко используются в самых различных областях техники и строительных сооружениях. В процессе эксплуатации они часто находятся под действием ударных нагрузок, которые приводят к изгибным деформациям, и возникающие при этом возмущения распространяются в виде изгибных волн напряжений. Упругое состояние балки при поперечном ударе соответствует очень малым скоростям, увеличение скорости уда -ра приводит к переходу в упруго-пластическое состояние.

Проблема поперечного удара по балкам важна не только с теоретической и практической точек зрения, но и как способ выявления свойств материалов. Задачи поперечного удара в математическом отношении весьма сложны. Отсутствие удобных для анализа аналитических решений, даже при решении задачи в упрощенной постановке, затрудняют получение ясного представления о влиянии параметров нагрузки и материала на волновые процессы в балках. Основные результаты по этой проблеме достигнуты в работах [1, 2, 3]. Обзор построения динамических зависимостей между напряжениями и деформациями приводится в работе [4]. Экспериментальные и теоретические исследования распространения волн с учетом эффекта скорости деформации, возникающего в тонких стержнях, приводились в основном при продольном ударе. Задачи о распространении возмущений с учетом вязкости и других временных эффектов при поперечном ударе, когда определяющие уравнения заданы в дифференциальной форме, в литературе изучены мало.

В данной работе подход к проблеме динамических поперечных деформаций упруго-пластических балок основан на исследовании распространения волн. Уточненные уравнения движения учитывают инерцию вращения и сдвиг элемента балки. Закон деформирования, учитывающий влияние скорости

деформации, применяется как для изгибных, так и для сдвиговых напряжений.

Постановка задачи

Физическая модель балки, определяющая правила знаков и обозначения, показана на рис. 1.

Так как свойства материала, применяемого для модели, зависят от скорости, для анализа нестационарных процессов в балке следует пользоваться теорией вязкопластичности. Предполагается, что скорости деформаций можно разложить на упругую и пластическую составляющие:

Е 8 = а + к *(а-а6,); • •

С у = т + к*(т-тя),

где 8 = 8 е +8

Р

У = У в + У Р

Рис. 1. Деформация упруго-пластической балки

© Ю. В. Мастиновский, А. В. Засовенко, 2008

Здесь упругие и пластические компоненты обозначаются индексами е и р соответственно, индекс 5 обозначает величины в статическом состоянии, Е и О - модуль Юнга и модуль сдвига, в и у - нормальная деформация и деформация сдвига, с и

т - осевые и касательные напряжения, к * - коэффициент вязкости материала.

Вторые слагаемые зависимостей (1), определяющие закон пластического деформирования, основаны на критерии пластичности, известном как условие Мизеса. Предполагается, что упругие деформации не зависят от скорости деформирования, и в процессе нагружения, когда скорость поперечного

движения V = ду > о а с < с х , т < тх полага-

дt

ем к * = 0. При разгрузке, когда V < 0, балка ведет

себя как упругая, соответственно тоже к * = 0 . Уравнения движения балки имеют вид [2, 3]:

dQ + q(x, t) - R(x, t) = p A 'd-; dx dt

dM _ r da

--Q = p J—

dx dt

EJ

da dM

dx dt

+ k*(M -Ms);

GAk 2( ^ + ) =dQ + k 'Q - Qs). dx dt

и граничными условиями, которые соответствуют шарнирному закреплению балки на концах:

у (х,0) = = у( х,0) = = 0;

dt

dt

ж т)=*f- т)=

dx dx

Используя связь с безразмерными переменны-

S x tcb и

ми S = —, т = —-, V = —, L L c

b

„. aL ~ M W =-, M =

Q

, Q =-, перепишем

AEL AE

систему уравнений (2) в безразмерном виде:

dQ dV ~ ~ дг-д- = R(S, т) - ~(S, т);

öS от

dM 1 dW

dS С,2 дт

= Q;

dW - с» M =

dS дт dV ± dQ = K~

dS C22 5т 2 2.

Здесь Е - модуль упругости материала балки (модуль Юнга), О - модуль сдвига, 3 - момент инерции поперечного сечения балки, А - площадь

поперечного сечения балки, к2 - коэффициент сдвига, р - плотность материалов балок, х - координата, измеряемая от левого конца балки (0 < х < Ь),

t - время, д(х, t) - механическая нагрузка, Л(х, t) - реакция основания. Также по определению:

м = — Е3 - изгибающий момент; га = —-

дх дt

угловая скорость поперечного сечения;

2 ду

Q = АОк2(--у) - перерезывающая сила;

дх

и =

скорость поперечного движения.

Здесь С, = J— и С = .

Gk2

- скорости

AL *

распространения волн, а K, = k и

K =

LE Gk С

1 *

k - безразмерные коэффициенты.

ду dt

Дополним уравнения (2) нулевыми начальными

3 Численное решение

В соответствии с методом численного решения с использованием сетки характеристик [5, 6] система уравнений (4) преобразуются к виду:

вдоль характеристик первого семейства дт ±С

— = ±С получаем

dS

d

C1

а вдоль характеристик второго семейства

c

b

p

дт -+г

~ — +с2, соответственно

й (V)+С2 й (й )—

— (+С2Ж - С- К2 Р2й + Щ, т) - т).

Рр(т) — т е-т, а г/(£) —

Для сравнения на рис. 3 показано распределение изгибающего момента в упругой балке. Для обоих рисунков приведены распределения в безразмерные моменты времени:

т1 — 0,25; т2 — 0,5; Т3 — 0,75; Т4 — 1.

Из сравнения графиков на рис. 2-3 видно, что учет пластических компонентов значительно изменяет как величину изгибающего момента, так и ха-

Для проведения расчетов в упругой стадии, как и для стадии разгрузки, в правой части уравнений

(5, 6) коэффициенты К1 и К2 приравниваем нулю. Алгоритм численного решения задачи сводится к следующему. В процессе нагружения балки, когда

V > 0 и изгибающий момент не достиг предельного значения (м| <МПР ), т.е. в области малых упругих деформаций, - расчет в узлах характеристической сетки производится с к * — 0. Для пластической же стадии работы материала балки расчет в узлах производится по уравнениям (5, 6), но только при условии нагружения балки. При разгрузке, когда

V < 0, вычисления проводятся как в упругой области.

4 Анализ полученных результатов

Система находится под действием заданной механической нагрузки: т) — ~р(т)г где

[1 ^е (0,45; 0,55) 1

[0 ^ (0,45; 0,55)]

При расчетах задавались следующие значения исходных параметров:

Дт — 0,005; К1 — 0,375; К2 — 7,157.

Результаты вычислений для упруго-пластической балки в виде распределения изгибающих моментов приведены на рис. 2, где из соображений симметрии представлена правая часть распределения

от сечения ^ — 0,5 до конца балки.

Рис. 3. Распределение изгибающего момента в упругой балке

рактер его распределения.

На рис. 4 приведена плоскость Лагранжа с отмеченными на ней зонами пластической деформации.

Темным цветом показаны зоны пластичности, наклонная прямая условно отмечает фронт распространения волны. Зоны пластической деформации расположены вблизи места приложения нагрузки и непосредственно за фронтом волны. В отличие от идеально-пластического решения [2], наблюдается увеличение зоны пластической деформации в районе фронта волны.

Данная методика численного решения, позволяет учитывать как упругие, так и пластические компоненты деформаций, и может быть использована для опрег—--------------------------------1х кон-

струкции

Рис. 2. Распределение изгибающего момента в упруго-пластической балке

0,5 1

Рис. 4. Зоны пластической деформации

Перечень ссылок

1. Рахматуллин Х. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. - М.: ФМ, 1961. - 400 с.

2. Гольдсмит В. Уцар. Теория и физические свойства ссуцаряемых тел. - М.: Стройиздат, 1965. - 488 с.

3. Новацкий В. К. Волновые задачи теории пластичности. - Москва: Мир, 1978. - 447 с.

4. Васин Р. А., Ленский В. С., Ленский Э. В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями // Механика. Пробл. динамики упругопластических сред. - М.: Мир. - 1975. -С. 7-38.

5. Чоу, Мортимер. Решение одномерных задач о распространении упругих волн методом характеристик // Прикладная механика. Труды американского общества инженеров-механиков (русский перевод) - №3, 1967. - С. 308-315.

6. Засовенко А. В., Мастиновский Ю. В. Одностороннее взаимодействие балки с упругим основанием. //Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванш.- №»1. - 2005. - С. 105-107.

Поступила в редакцию 10.09.2007

Розглядаються пружньо-пластичнг хвилг в однопрогоновш шартрно обпертш балцг по-стшного поперечного перергза. Рух балки описуються ргвняннями типу Тимошенко. Влас-тивостi матергалу, застосовуваного для модел1, залежать eid швидкостг деформування. Передбачаеться, що матергал балки мае лШйне змщнення, а пружнг деформацИ не залежать вгд швидкостг деформування. Пряме чисельне рШення засноване на використаннг методу характеристик. Приведено анализ отриманих результатгв.

Elastoplastic waves are considered in a single span of joint supported beam with a permanent cross-section. Beam motion is described by a Timoshenko type equation. Properties of material being usedfor a beam is related to the speed of deformation. It is expected that material the beam possesses linear strengthening and elastic deformation does not depend upon the speed of deformation. Linear numerical solution is based on using the method of characteristics. Analysis of obtained data are given.