К механизму образования скоплений дефектов в твёрдых телах

формации, распространяющейся по стержню без отражений, определяется формулами:

А = —\Р2Л = аЕ/\е2Л,

рр л J

12/1 о о

где б(1) - соответственно усилия и деформации в волне; г - длительность волны деформации.

При обработке осциллограммы разбивались по оси времени на достаточно малые интервалы длительностью А/ (рис. 2, г) и интегралы, входящие в формулы (3), находились суммированием по методу трапеций. При этом

где п - число интервалов длительностью А /.

Оценка погрешности измерений показала, что относительная среднеквадратическая ошибка в определении длительности и амплитуды волны деформаций не превышает 3%, амплитуд напряжений и усилий - 4%, энергий волн деформаций - 6%.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Еремьянц, В. Э. Волновые процессы в ударной системе «боёк-волновод-пластина» при равных ударных жёсткостях бойка и волновода / В. Э. Еремьянц, Е. Г. Климова // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. - 2006. - Т. 6, №5. - С. 92-96.

2. Еремьянц, В. Э. К задаче о продольном ударе по стержню, опирающемуся на пластину / В. Э. Еремьянц, Л. Т. Панова, А. Л. Слепнев // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2007. - №4. - С. 58-63.

3. Еремьянц, В. Э. Волны деформации, генерируемые при продольном ударе в стержне, опирающемся на пластину / В. Э. Еремьянц, А. А. Слепнёв // Материалы IV Международной конференции «Проблемы механики современных машин». Т. 1. - Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2009.-С. 175-178.

4. Еремьянц, В. Э. Колебания пластины при поперечном ударе / В. Э. Еремьянц, Л. Т. Панова, А. А. Асанова // Материалы IV Международной конференции «Проблемы механики современных машин». Т. 1. - Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2009.-С. 171-174.

©

Еремьянц Виктор Эдуардовичу академик Международной инженерной академии, доктор технических наук, профессор кафедры «Механика» Кыргызско-Российского Славянского университета. Имеет монографии и статьи в области продольного удара в стержневых системах, динамики машин.

УДК 621.38

• - - •

Р. С.МАКИН - " ""

К МЕХАНИЗМУ ОБРАЗОВАНИЯ СКОПЛЕНИЙ ДЕФЕКТОВ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ

Предлагается общий механизм неустойчивости однородного поля распределения дефектов большой плотности. Он состоит в возникновении потока дефектов против градиента их концентрации за счёт деформации решётки, обусловленной, в свою очередь, скоплениями дефектов. Получены кинетические уравнения на основе модели дефектов в линейной теории упругости. Показано, что неустойчивость концентрации дефектов возникает при достижении некоторой критической величины.

Ключевые слова: радиационные дефекты, кинетическое уравнение, диффузия, теория упругости, неустойчивость.

1. Хорошо известно, что дефекты решётки (вакансии, междоузельные и примесные атомы) имеют тенденцию к образованию скоплений [1-4].

©МакинР.С.,2010

Для радиационных дефектов этому способствуют относительно низкие температуры и сравнительно высокие скорости создания смещений.

Обычно причину сравнивают с энергетической выгодностью образования скоплений. Однако очень трудно найти энергии связи дефектов

и скорости роста скоплений с учётом температуры, интенсивности облучения (флюенса) и других параметров. Существует также другой подход к объяснению механизма скоплений, основанный на описании поля дефектов с помощью кинетических уравнений для концентрации дефектов [3-7]. В этом подходе появление скоплений связывается с неустойчивостью однородного распределения дефектов относительно неоднородных возмущений. Однако члены в кинетическом уравнении, приводящие к неустойчивости, обычно постулируются. Поэтому возможность и условия возникновения неустойчивости остаются неопределёнными, а сравнение предсказаний теории с опытными данными затруднено.

Как известно, диффузионный поток атомов примеси в кристалле описывается уравнением

Фика = где О - коэффици-

ент диффузии; ф - безразмерная концентрация;

- атомный объём. Диффундирующие атомы находятся в симметричных потенциальных ямах, и поэтому каждый из них с равной вероятностью совершает скачки в противоположных направлениях. Направленное движение атомов оказывается следствием энтропийной тенденции к их равномерному распределению в объёме кристалла-матрицы.

Ситуация изменяется, когда силовое поле, определяющее внутреннюю и\или внешнюю силу Р, действует на диффундирующие атомы. Под её влиянием потенциальный барьер становится асимметричным, следовательно, на фоне миграции Фика должно наблюдаться направленное дрейфовое смещение ятомов, мто позволяет записать для потока ] = - (Э V ф - £ ср Р) / £1 Здесь дрейфовое смещение атомов описывается вторым слагаемым; £ = Э/ кТ - подвижность атомов. В общем случае сила Р может быть обусловлена различными полями - полем упругих напряжений, температурным, электрическим или вакансионным полями. Если векторы ф и Р ан-типараллельны, сила Р вносит в диффузионный поток компоненту «восходящей диффузии», направленной против ф и способствующей сегрегации для примесных атомов.

Таким образом, восходящая диффузия и диффузионная сегрегация - взаимообусловленные эффекты.

Далее нас будут интересовать диффузионные дефекты, обусловленные действием поля упругих напряжений на диффузионное смещение атомов: собственно эффект «восходящей диффузии», которому сопутствует диффузионное последействие, и диффузионная сегрегация (что

связывается с именем В. С. Горского [8], на что любезно обратил мое внимание В. С. Макин). Диффузионную сегрегацию можно проиллюстрировать различными явлениями, наиболее важными из которых для нас являются те, которые возникают при радиационном воздействии на твёрдые тела, когда в процессе облучения в кристалле поддерживается поток вакансий и междо-узельных атомов источником точечных дефектов. Именно этот эффект является причиной сегрегации примесей в сплавах при облучении.

В настоящей работе предлагается некоторый общий механизм неустойчивости однородного поля распределения одинаковых дефектов достаточно большой плотности. Он состоит в возникновении потока дефектов против градиента их концентрации за счёт деформации решётки, обусловленной, в свою очередь, скоплениями дефектов. Соответствующие кинетические уравнения получены с помощью обычной модели дефектов в линейной теории упругости [6, 8] без использования новых предположений и параметров.

Показано, что неустойчивость возникает, если концентрация дефектов достигает некоторой

критической величины ис, зависящей от температуры, модуля всестороннего сжатия и дилата-ционного объёма дефекта.

2. Основное кинетическое уравнение. Рассмотрим кристаллит, в котором рождаются дефекты. Концентрация дефектов удовлетворяет кинетическому уравнению

ди

dt

= 0-R(u)-divJ.

Здесь Q - источник дефектов, однородный по

пространству кристаллита; Я - член, описывающий рекомбинацию дефектов; последнее слагаемое определяет движение дефектов, причём выражение для тока J имеет вид [6,8]:

J= дди(г,0 , Du-°-dcju

дг 3 Т дг

Здесь первое слагаемое описывает диффузию с коэффициентом D Ф D(r,t); второе слагаемое

отвечает движению дефектов в упругом поле напряжения сгД= div<j)\ Q - дилатационный

объём, Q = а3, а — постоянная решётки; Q < О - для вакансии, Q > 0 - для междоузлий.

Дефекты в кристалле вызывают появление

напряжений сг1к. Эти напряжения можно найти

из усреднённых по хаотическому распределению дефектов уравнений теории упругости [6, 8]:

д?

j

Здесь к - модуль всестороннего сжатия; < (Т1к > - среднее напряжение. Можно показать, что из (3) следует [9]

дг дг

/

к* = к

1 +

\

4/£ 3 к

\

/

-1

где ц - модуль сдвига. Из (2) с учётом (4) мож-

но получить для тока

/ ~ 2 * * --->

J = -D

du

д?

1-

\

Q2k*u(r) Т

у

Как видно из выражения (5), учёт напряжения приводит к дополнительному вкладу в ток, направленному против диффузии в системе с

одинаковыми дефектами (О >0 для 0>0 и

< 0). Для разных дефектов (О, • П2 < 0) дополнительный ток совпадает по направлению с диффузионным. Эти результаты имеют простой физический смысл. Как известно [7, 9], дефекты

с 0>0 (например, междоузлия) вызывают растяжение решётки (увеличение объёма), причём области с растяжением являются притягивающими для дефектов с П > 0 и отталкивающими с 0<0.

3. Неустойчивость в системе с одним типом дефектов. Если имеется один тип дефектов (вакансии или примеси внедрения), то уравнение (1) с учётом (4) принимает вид

dt

дг

1-

\

Q -к* u(r,t) Т

/

Здесь у - коэффициент взаимной рекомбина-

ции.

Решение уравнения (6) будем искать в виде

u(r,t) = и0 + v(r,t), u0=Q/y,

v(r, t) = vnexp( a t + i qr).

•

Здесь и0 - стационарное решение (6). Подстав-

ляя соотношения (7) в уравнение (6), для декремента затухания а находим

/

а - -q2D

1-

П2к*и

\

0

V

т

/

Г\

q2D > уТ/(р.2к*и0 - г).

Если принять а = а3 = 5 • 10"23 см'; к* = 10

- 1л12

1

эрг/см^; Т = 400£ , то ис = 10,у см". Эта концентрация значительно ниже атомной, что говорит о

применимости используемого подхода. Условие (9) накладывает ограничения на масштаб неоднородности. В случае примесей последнее ограничение может отсутствовать.

4. Неустойчивость в системе с двумя типами дефектов. Представляет интерес рассмотреть обычно реализующуюся ситуацию, когда под действием облучения создаются междоузлия с

концентрацией и1 (О = > 0) и вакансии с иу (Г2У <0). Соответствующее уравнение для и1 (/%/) можно записать в виде

dUjfrj) д

ди,

дг

D.

=div\

Q Q

du,

дг

г

D:

1-

Q:U:k

* \

II

\

Т

/

+

Т

и.к Л Q. у и^ - .

}

+

последние два слагаемых в (10). опидывают рег комбинацию междоузлий на вакансиях и дисло-

кациях, соответственно; ; = Ц/?, р - плот-

Уравнение

ность

дислокации.

г«пп (+ \ ТХГ\ ГТХГГТООНГГ^ГТ ртт^чг* ; г;

/Д.Л/1 М у\г , I ) П^Л^ 1 У^П < V В

системе (10).

Исследуем устойчивость системы (10), воспользовавшись представлением (7). После несложных выкладок можно найти:

~в±л1в2 - АС

а\,7 ----; 00

X [q2Dv(\-kv) + yui+Gv]-

-(q'Dfc+yuMq DA+yuv)l

к =T~] -Q2 -и -к*;

Q Q и • к*:

/V /,v 5

К, = т

и, у - концентрации, удовлетворяющие стационарным, однородным (по пространству) уравнениям:

0 = =

В частном случае, когда параметры вакансий и междоузлий совпадают

находим:

«1.2 = <

-q2D(\-2k)-G -q2D-G-2yu

к = Q2uk*/Т.

Неустойчивость возникает при выполнении условий

2к > 1, с]2 > р/

Удвоение к (по сравнению с соотношением (8)) происходит в силу сложения потоков междоузлий и вакансий. Следует также отметить отсутствие коэффициента взаимной рекомбинации у в первом из уравнений (14), что связано с

соответствующей компенсацией. В общем случае граница неустойчивости определяется следующими условиями (здесь учтено, что в реальной ситуации /)у « Ц, иу » и1):

К+к> 2,

^/2>д2/р>2(ку+ку-2)9 (16) если реализуется предел сильной рекомбинации,

4 уО

» 1. В обратном случае г] « 1

когда rj -

G,GV

имеем kv > 1, q2 < p/{kv -1) .

Оценки показывают, что критическая концентрация для вакансий обычно достигается при

облучении нейтронами {Q- 1(Г6 смещений в

1с) или ионами (Ю-4 смещений в 1с) в интервале температур 300-500 К.

Отметим в заключение, что предложенный в работе механизм неустойчивости может быть полезен также при построении нелинейной математической модели лазерно-индуцированных периодических наноструктур в конденсированных средах (см., например, [10, 11]).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Томпсон, М. Дефекты и радиационные повреждения в металлах / М. Томпсон. — М. : Мир, 1971.

2. Ибрагимов, Ш. Ш. Радиационные повреждения металлов и сплавов / Ш. Ш. Ибрагимов, В. В. Кирсанов, Ю. С. Пятилетов. — М. : Энерго-атомиздат, 1985.

3. Кирсанов, В. В. Процессы радиационного дефектообразования в металлах / В. В. Кирсанов, А. J1. Суворов, Ю. В. Трушин. - М. : Энерго-атомиздат, 1985.

4. Макин, Р. С. Введение в радиационную физику твёрдого тела: учебное пособие / В. С. Макин. — Ульяновск-Димитровград: УлГУ, 2009.

5. Олемской, А. И. Синергетика конденсированной среды / А. И. Олемской, А. А. Кац-нельсон. - М.: Едиториал УРСС, 2003.

6. Смирнов, А. А. Молекулярно-кинетичес-кая теория металлов / А. А. Смирнов. - М. : Наука, 1966.

7. Косевич, М. А. Основы механики кристаллической решётки / М. А. Косевич. - М. : Наука, 1972.

8. Гегузин, Я. Е. Восходящая диффузия и диффузионное последействие / Я. Е. Гегузин // Успехи физ. наук. - 1986. - Т. 149. - Вып. 1. -С. 149-159.

9. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Наука, 1965.

10. Макин, В. С. Универсальность Фейген-баума и порядок Шарковского в лазерно-индуцированных периодических структурах на поверхностях и в объёме конденсированных сред / В. С. Макин, Р. С. Макин, А. Я. Воробьёв, Ч. Гуо // Нелинейность в современном естество-

оиоими _ А/Т • 1/Гоп_о^ П1/"Ы ОППО _ Г

ч/llUI КПД*

ATI

• Л UV •/ JLJL VJL А 2

^ V/V У

11. Vorobyev, A. Y., Makin V. S., Makin R. S., Guo C. Brighter light sources from black metal: significant increase in emission efficiency in incandes-cant light sources. // Phys. Rev. Letters. 2009. -V.102. 234301.

©

Макин Руслан Сергеевич, доктор физико-

математических наук, профессор кафедры «Ядерные реакторы» ДИТУД. Сфера деятель-ности - теория переноса ионизирующих излуче-

4 ний, радиационная физика твёрдого тела, ма-

тематические основы ядерных реакторов, нелинейные динамические системы, синергетика.

Автор четырёх монографий и семи учебных пособий, а также более 200 публикаций.