Фундаментальное свойство отрывных течений в нестационарных сверхзвуковых потоках идеального газа

Том ХЫ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ 3

УДК 533.6.011.5

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ПОТОКАХ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Р. Я. ТУГАЗАКОВ

Аналитически показано, что нестационарный сверхзвуковой поток газа, как и стационарный поток, отрывается от обтекаемой поверхности, когда вихревая особенность (ВО) типа «точки Ферри» всплывает с нее. Проведен анализ условий, при которых происходит отрыв стационарного и нестационарного потоков газа.

Ключевые слова: невязкий газ, нестационарный отрыв, ударная волна, вихрь, угол срыва.

Когда тело обтекается нестационарным сверхзвуковым потоком газа [1, 2] или совершает быстрые перемещения [3, 4], происходит отрыв потока газа за счет сил инерции. Теория отрыва нестационарного сверхзвукового потока газа за счет сил инерции при обтекании выпуклого угла построена в работе [5]. В ней объяснен механизм перехода от безотрывного к отрывному течению и определены силы, вызывающие отрыв потока газа в зависимости от величины раствора угла 0 и скорости набегающего газа. Теоретически подтверждены полученные ранее в эксперименте и при численном моделировании значения углов 0к, при которых происходит отрыв потока с вершины угла, и значения углов срыва потока 0^, вдоль которых движется оторвавшийся газ. При этом условие для угла 0^ находится из физического условия, что на линии срыва (слое смешения) величина скорости становится звуковой.

В настоящей работе показано, что условие для нахождения угла 0^ с математической точки зрения равносильно тому, что отрыв реализуется вдоль линии срыва, являющейся «следом» вихревой особенности, «всплывшей» с обтекаемой поверхности. Ранее это было получено для отрывного стационарного обтекания конуса [6]. То есть свойство прохождения скорости через звуковое значение является фундаментальным как в стационарных, так и в нестационарных отрывных сверхзвуковых течениях идеального газа. Прежде чем показать, как условие для угла 0^ из [5] соответствует тому, что ВО всплывает над обтекаемой поверхностью, опишем картину течения обтекания выпуклого угла нестационарным потоком газа.

1. Рассмотрим течение газа около клиновидного поршня ОДОЛЕЮ, начинающего внезапно двигаться вдоль стороны О^О со сверхзвуковой скоростью Q (рис. 1). В системе координат, связанной с поршнем, эта задача соответствует обтеканию угла раствора 0 нестационарным потоком газа. Основные параметры задачи: р — давление, Я — плотность, — энтропия, Q — скорость

потока газа, а также параметр М = \]р у/Я — число Маха и у — показатель адиабаты. Величи-

ны р и Я отнесены к их значениям в невозмущенном газе, в каждой области параметры течения взяты с индексом в соответствии с ее номером. Так как в задаче отсутствует характерная длина, то задача автомодельная в переменных ^ = хД, направленная вдоль поверхности ОЮ, и п = У Л — ортогональная к ОЮ. Поэтому в дальнейшем в работе рассматриваются картины течения в момент ^ =1 для разных значений угла 0.

а) 0 7^, х % б) \ 2 \ '

Рис. 1. Схема безотрывного обтекания выпуклого угла с характерными областями в задаче внезапного движения потока

В случае малых 0 область возмущенного газа АБЕіСО (рис. 1, а) ограничена предельными характеристиками АБ, СО и изобарой БС. Внутри области находятся слабый контактный разрыв ЕЕі и линии постоянной энтропии, сходящиеся в точке Е. Для координат точек Е, А и О имеем % е = ві, % а = ві - сі и % о = ві + с2, где с — скорость звука. Параметры газа в области 1 при заданных М0 и 0 находятся (в безотрывном режиме) при развороте потока газа в веере разрежения. Параметры течения в области 2 находятся при прохождении через волну Римана, которая образуется при движении поршня с отрицательной скоростью пр = во 8ш 0. При этом касательная скорость вдоль поверхности в области 2 (относительно вершины О) равна в2 = во С08 0, а величины энтропии в областях 1 и 2 равны ее значению в набегающем газе. Решения в областях 3 и 4 на поверхности тела в районе примыкания слабых ударных волн (характеристик АБ и СО) находятся как результат столкновения двух однородных потоков с параметрами: Рі, Яі, ві и р2, Я2, в2 по формулам распада произвольного разрыва. В областях 1, 3 находится газ, прошедший через угловую точку О или веер разрежения АОВ. Газ в областях 4 и 2 относится к донной (удаленной от вершины О) части течения, влияние которого на течение газа в областях 1 и 3 при малых 0 незначительно или совсем отсутствует.

С ростом 0 параметры течения в областях 1 и 2 существенно различаются: скорость ві растет, в2 падает. Поля изохор и изобар, полученных при численном моделировании, приведены на рис. 2, где поверхность ОО совмещена с осью %. Возмущенная область АЕіОіСіСО ограничена

О А Е С

Рис. 2. Изохоры (а) и изобары (б) при внезапном движении газа около угла раствора 0 = 26.5° (М0 = 1.5, р0 = 10, Я0 = 10). АВ и БС — ударные

волны, ЕЕі — тангенциальный разрыв

сильными разрывами АВ, БС и характеристиками ЕО1, ССу и ОС. Внутри области реализуется контактный разрыв конечной интенсивности ЕЕХ. Параметры газа, втекающего в возмущенную область вдоль границ АЕО1 и БСС1, существенно различаются. Так в пристеночной области реализуется столкновение потоков газа с однородными параметрами из областей 1 и 2, а в верхней части рассматриваемой области взаимодействуют потоки газов, сформировавшиеся после головного веера разрежения (граница ЕО1) и волны Римана (СС). Взаимодействие волн

разрежения вносит двумерность в характер течения газа в возмущенной области. Однако характер течения около поверхности АЕБ в возмущенной области близок к одномерному. Данное свойство следует из того, что ударные волны АЕ1 и БС перпендикулярны к поверхности и течение за ними локально одномерное; величина энтропии вдоль участков поверхности АЕ и ЕБ постоянна, как вдоль линии тока в автомодельных переменных. Это подтверждает и поле изобар (рис. 2, б). Одномерность течения в пристеночной области позволила найти параметры в областях 3 и 4 по формулам распада одномерного произвольного разрыва [8].

Точка Е — особая (типа точки Ферри), в которую при малых 0 сходятся изэнтропы, в том числе изэнтропа ЕЕЬ вдоль которой рвется полная скорость (см. рис. 1, а). Наличие конечного разрыва скорости приводит к образованию в окрестности точки Е вихря (рис. 3). Вихрь Е (область) характеризуется минимальными значениями р и Я и максимальным S в его центре. При этом линии равных S, исходящие из точки Е1, при приближении к поверхности ОБ сворачиваются вокруг центра вихря. То есть происходит всплытие точки типа Ферри в виде вихря Е, который при 0 = 45° почти не деформирует первоначальную волну АЕ1. С увеличением 0 до 55° (рис. 3, б) вихрь Е всплывает выше над поверхностью и образуется ножка ЕЕ — контактный разрыв. Газ, вращающийся вокруг вихря Е по часовой стрелке, в пристеночной области АЕ частично тормозит газ, движущийся от точки А к Е. При этом в ударной волне АЕ1 намечается перегиб в точке В, разделяющий ее на прямую ударную волну АВ и наклонную ВЕ1.

С увеличением угла 0 интенсивность и скорость движения ударной волны Б13 (АВ) растут так, что ее скорость относительно вершины ^1 - Б13 уменьшается. Так как координата ударной

60 120 90 120

Рис. 3. Превращение особенности типа «точки Ферри» в вихрь. Изолинии:

волны £,A = 61 - Б13, то в вершине угла (£,A = 0) скорость ударной волны АВ становится равной

скорости потока газа в области 1: Бв = 61. Это условие и определяет значение угла 0^, когда набегающий поток газа срывается с его вершины.

Второе условие для определения величины угла 0^ сформулировано по данным эксперимента [1] и результатам численного моделирования: М3 = 1, т. е. для нахождения углов 0^ и 0^ существуют два условия:

Условия (1.1) являются необходимыми для отрыва потока газа от вершины угла: во-первых, возмущения из донной части при предотрывных углах должны дойти до вершины угла; во-вторых, поток в отрывной зоне должен быть дозвуковым.

В работе проведено численное моделирование задачи в рамках нестационарных уравнений Эйлера. Расчеты проведены методом Бурштейна [7], являющимся двухшаговой интерпретацией известного метода Лакса — Вендроффа, в прямоугольной системе координат в поле размером 700 х 500 ячеек.

2. На рис. 3 видно, что ВО типа «точки Ферри» при больших углах 0 всплывает с поверхности. Покажем, что всплытие ВО происходит, когда выполняется условие М3 = 1. В этом случае компонента скорости V, нормальная к поверхности ОБ, меняет знак. Поэтому проведем анализ поведения величины V из нестационарных уравнений Эйлера.

В переменных £, и п уравнения неразрывности, количества движения и сохранения энтропии запишем в виде [9]:

где и, V — компоненты скорости в подвижной системе координат (^, п), связанные с компонентами скорости в системе координат (х, у) соотношениями и = и -^, V = V -гц р — давление; р —

плотность; ^ = рр-у — энтропия; у — показатель адиабаты.

Рассмотрим течение в окрестности точки Е (см. рис. 1, а). На поверхности тела нормальная компонента скорости V =0 и уравнения упрощаются:

Подставив в уравнение неразрывности величину и^ из второго уравнения (2.2), получаем:

Из (2.3) видно, что V = —п при М3 = 1. Тогда из определения V = V -п следует, что в неподвижной системе координат (х, у) нормальная компонента скорости V = 0. При М3 Ф1 следует учитывать поведение величины р^. Известно, что при малых углах 0 величина давления в окрестности вихревой особенности имеет минимум. По результатам численного счета настоящей работы на рис. 4 приведено распределение параметров газа 6, р, Я, ^ по поверхности ОБ для двух значений 0. Для удобства величина ^ на рис. 4, а, б увеличена на постоянные 4.6, 3.6.

Аз=а, M3=1.

PU + р(+ Vn+ 2 ) = 0, U (1 + U^) + pjp = 0, UV% + Pn/P = 0 P% = °2P^.

Vn=-1 -p^[uVa2 - 1)/pU,

где величина U/a = M3 — число Маха на поверхности OD в области 3. То есть имеем:

Рис. 4. Распределение параметров Q, Р, Я, S вдоль поверхности ОБ (кривые 1 — 4) при безотрывном обтекании угла 45° (а) и отрывном — 69° (б) с Mo = 1.5, р0 = 10,

Я 0 = 10

При малых 0 в пристеночной части областей 3 и 4 величины р и Я непостоянны, а скорость Q — линейная функция ^, как при одномерном автомодельном движении [10]. При средних и больших значениях 0 величины р, Я меняются изэнтропически на участках поверхности АЕ (50 < £, <70, рис. 4, б) и ЕБ (70 < £, <2 35). Когда значение 0 приближается к 0к, величины р, Я вдоль участка поверхности АЕ постоянны, а Q меняется линейно от ^, начиная от ударной волны АВ до точки стекания (£, = 100), где сталкиваются потоки газов. При £, = 125 на поверхности реализуется точка растекания. Основное свойство течения газа вдоль поверхности ОБ для всех углов 0 — изэнтропичность в областях 3 и 4.

Анализ поведения давления в окрестности точки Е показывает, что для 0 близких к 0^ величина р^> 0. Тогда из (2.3) при М3 > 1 следует, что V < 0, т. е. особая точка прижимается к поверхности ОБ. В случае же М3 < 1 имеем V >0, и вихревая особая точка Е всплывает над поверхностью (см. рис. 3). Так как в данной нестационарной задаче процесс распространения возмущений начинается в вершине угла, то при М3 < 1 ВО, начиная с вершины угла О, всплывает и движется вдоль луча ОЕ, где 0 = 06. (см. рис.1, б). Это происходит, когда 0>0£. При 0^ <0<0£ ВО всплывает в области АБЕуСБ (см. рис. 1,а).

Таким образом, показано, что при стационарном и нестационарном отрыве сверхзвукового потока газа вихревая особенность типа «точки Ферри» всплывает с обтекаемой поверхности. Выясним природу этого явления.

3. На рис. 5 приведена схема отрывного обтекания конуса сверхзвуковым потоком газа под углом атаки в поперечном сечении [6]. В данном случае на конус в поперечном направлении набегает поток газа со скоростью, равной Q 8т а, где Q — скорость набегающего на конус потока,

а а — угол атаки. При обтекании конуса в поперечном направлении поток в веере разрежения разгоняется от дозвуковой скорости до сверхзвуковой. В результате столкновения двух сверхзвуковых потоков в тыльной части конуса на линии симметрии скорость поперечного потока становится дозвуковой и появляются ударные волны NN. При этом, как указано в [6], вихревая особая

a) I 6)

Рис. 5. Схема отрывного обтекания конуса сверхзвуковым потоком газа в поперечном сечении

точка F всплывает над поверхностью. Сравнение процесса отрыва в работах [5] и [6] (торможение газа при столкновении потоков, всплытие вихревой особенности) указывает на их схожесть. Только в [5] картина течения рассматривается в момент t = 1, а в [6] — в поперечном сечении r = 1.

Приведенные сравнения даны для простых тел, для которых уже при умеренных сверхзвуковых числах набегающего числа Маха выполняется закон плоских сечений. В стационарной задаче [5] тело должно быть заостренным. В нестационарной задаче выпуклый угол OiOD образован прямолинейными сторонами. Если рассматривать профилированные удлиненные тела, то в формуле (2.3) для определения угла 0^ должны присутствовать члены, зависящие от продольной кривизны. При малой величине продольной кривизны (удлиненное заостренное тело), используя закон плоских сечений, можно показать, что поправка к условию (2.3) будет также мала. Это объясняется тем, что форма поперечного сечения тела определяет скорость поршня, движущегося в поперечном направлении.

Если же продольная кривизна обтекаемого тела велика (рис. 5, б), то задача о внезапном движении угла не является автомодельной, как на рис. 1. В этом случае газ разгоняется в нестационарном веере разрежения и срыв потока происходит не с вершины угла. В то же время скорость газа, движущегося вдоль поверхности OD, тормозится в области 2 до величины Q2 = Qo sin 0. Со временем столкновение двух потоков, имеющих разные скорости, приводит к появлению обратной волны, движущейся к точке A. Для теоретических оценок углов срыва необходимы дополнительные исследования. Численное моделирование течения около выпуклых и вогнутых цилиндрических поверхностей проведено в [11 —12].

Выводы. Показано, что при стационарном и нестационарном отрыве сверхзвукового потока газа вихревая особенность типа «точки Ферри» всплывает с обтекаемой поверхности. Эта аналогия нестационарного отрыва со стационарным реализуется при обтекании тел простой формы, когда для стационарного обтекания сверхзвуковым потоком газа выполняется закон плоских сечений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баженова Т. В., Гвоздева Л. Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. — М.: Наука, 1977, 274 с.

2. Hillier R. Computation of shock wave diffraction at a ninety degrees convex edge //

Shock Waves. 1991. V. 1, N 2, p. 89—98.

3. Ericsson L. E., King H. H. Rapid prediction of high-alpha unsteady aerodynamics of slender - wing aircraft // J. Aircraft. 1992. V. 29, N 1.

4. Тугазаков Р. Я. Влияние нестационарности на аэродинамические коэффициенты летательных аппаратов при отклонении его органов управления // Ученые записки ЦАГИ.

2008. Т. XXXIX, № 4, с. 16—22.

5. Тугазаков Р. Я. Теория нестационарного отрыва сверхзвукового потока газа при обтекании выпуклого угла // МЖГ. РАН. 2007. Т. 42, № 3, с. 169—179.

6. Fletcher C. A. J. Vortical singularity behind a highly yawed cone // AIAA J. 1975. V. 13. N 8, p. 1073 — 1078.

7. Тугазаков Р. Я. Исследование задачи о распаде двумерного произвольного разрыва // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. № 2, с. 159—164.

8. Кочин Н. Е. К теории разрывов в жидкости. Собр. соч. — М. — Л.: Изд. АН СССР, 1949. Т. 2, с. 5—42.

9. Сагомонян А. Я., Поручиков В. Б. Пространственные задачи неустановив-шегося движения сжимаемой жидкости. — Изд. МГУ, 1970, 120 с.

10. Черный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988, 424 с.

11. Березкина М. К., Красовская И. В., Офенгейм Д. Х. Дифракция двухударной конфигурации отражения на выпуклой цилиндрической поверхности // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 7, с. 8—14.

12. Березкина М. К., Красовская И. В., Офенгейм Д. Х. Дифракция двухударной конфигурации отражения на вогнутой цилиндрической поверхности // ЖТФ. 2007. Т. 77, вып. 10, с. 24—33.

Рукопись поступила 17/II2009 г.