Электродинамический анализ зон пропускания и запрещенных зон в спектре оптического фильтра на основе фотонного кристалла

УДК 535.32

О. А. Голованов, Г. С. Макеева, А. С. Николенко

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗОН ПРОПУСКАНИЯ И ЗАПРЕЩЕННЫХ ЗОН В СПЕКТРЕ ОПТИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА НА ОСНОВЕ ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА

Аннотация. Проведено математическое моделирование дифракции электромагнитной волны на 3_0-фотонно-кристаллической структуре декомпозиционным методом автономных блоков с каналами Флоке. Получены результаты электродинамического расчета коэффициента прохождения оптического излучения через оптический фильтр - 3.0-фотонно-кристаллическую структуру на основе опаловой матрицы - в зависимости от частоты при различной толщине фотонного кристалла.

Ключевые слова: дифракция, коэффициент прохождения, фотонно-кристаллическая структура, опаловая матрица, оптический фильтр.

Abstract. The authors have carried out mathematical modeling of diffraction of electromagnetic wave on the 3D-photonic crystal structure using the decomposition method of autonomous blocks with Floquet channels. The article adduces the results of electrodynamic calculation of the coefficient of optical radiation transmission through the 3D-opal-based photonic crystal structure depending on the frequency at different thickness of a photonic crystal.

Key words: diffraction, transmission coefficient, photonic crystal structure, opal-based matrix, optical filter.

Введение

Оптические свойства фотонных кристаллов, в том числе положения запрещенной фотонной зоны (полосы непропускания электромагнитной энергии), зависят от периода, а глубина запрещенной зоны - от совершенства структуры матрицы [1]. В настоящее время достаточно отработана технология изготовления фотонных кристаллов на основе опаловой матрицы из наносфер двуокиси кремния SiO2 [2]. Для того чтобы изготовить оптический фильтр с требуемыми свойствами, необходимо провести анализ прохождения оптического излучения через решетку опаловой матрицы ограниченных размеров в зависимости от периода решетки (размера наносфер SiO2).

Целью работы является математическое моделирование на электродинамическом уровне строгости дифракции электромагнитной волны на 3^-фотонно-кристаллической структуре на основе опаловой матрицы в оптическом диапазоне и оптимизация частотной характеристики коэффициента прохождения излучения через оптический фильтр в зависимости от геометрических размеров.

1. Декомпозиционный вычислительный алгоритм решения задачи дифракции

Рассмотрим дифракцию плоской однородной электромагнитной волны с амплитудой с" и частотой f на 3,0-фотонно-кристаллической структуре в виде плоского диска радиуса D и толщиной d (при угле падения излучения 90°) (рис. 1).

Л

>

У

-*1

> В

*2

о.

Рис. 1. Дифракция электромагнитной волны на 3.0-фотонно-кристаллической структуре (при нормальном падении): с^ - амплитуда падающей волны;

с- - амплитуда отраженной волны; с- - амплитуда прошедшей волны; 01 21, 02 22 - локальные системы координат

В результате дифракции электромагнитной волны на ЗВ-фотонно-кристаллической структуре появляются отраженная волна с амплитудой сі и

прошедшая волна с амплитудой с^ .

Прохождение электромагнитной волны через фотонно-кристаллическую структуру на различных частотах характеризуется коэффициентом прохождения, который определяется следующим образом:

к = Лпр

Коэффициент прохождения принимает значения от кпр = 0 (полное отражение от фотонного кристалла - запрещенная фотонная зона) до кпр = 1

(полное прохождение через фотонный кристалл - зона пропускания).

Математическую модель процесса дифракции электромагнитной волны на ЗВ-фотонно-кристаллической структуре будем строить при помощи декомпозиционного подхода [3]. Область ЗВ-фотонно-кристаллической структуры на основе опаловой матрицы (рис. 1,б) расчленяем условными границами на подобласти - автономные блоки в виде однотипных прямоугольных параллелепипедов (рис. 2) с диэлектрическими наносферами и каналами Флоке на гранях [4].

Дескриптор (в линейном приближении это матрица рассеяния Я [5]) автономного блока с каналами Флоке определяем в результате решения краевой задачи дифракции для уравнений Максвелла с электродинамическими граничными условиями.

Краевая задача электродинамики для автономного блока (рис. 2), содержащего диэлектрические наносферы, с каналами Флоке формулируется следующим образом. Электромагнитное поле в области V (диэлектриче-

с

о

ские наносферы) автономного блока должно удовлетворять уравнениям Максвелла:

где £д, Мо - электрическая и магнитная постоянные; - относительная

диэлектрическая и магнитная проницаемости наносфер.

Рис. 2. Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с виртуальными каналами Флоке на гранях: У0 - основная область; V = V и ^ и Уъ и У4 -области диэлектрических наносфер; V) - V - межсферическое пространство; оа іа (а = 1,2,..., 6) - локальные системы координат для входных сечений (граней); а, Ъ, с - геометрические размеры параллелепипеда

На гранях автономного блока (входные сечения 5а) электромагнитное поле удовлетворяет условиям неасимптотического излучения [6]:

где (а), \(а) - электрическая и магнитная составляющие компонентов собственных волн каналов Флоке; к - номер моды собственной волны; а -номер грани параллелепипеда; ак(а), Ьк(а) - коэффициенты рядов Фурье;

к = 1,2,...; а = 1,2,...,6,

представления электрического и магнитного полей на гранях параллелепипеда.

Для решения этой краевой задачи применим проекционный метод [6]. В качестве базисных функций {Ёк } , {Н^ | используем системы собственных

функций прямоугольного резонатора с однородно-периодическими граничными условиями на гранях резонатора. Собственные частоты и собственные функции {ё^ |, {Нк | резонатора определяются из решения следующей краевой задачи для уравнений Максвелла:

Г0Ї Нк і Шк ^0^у Ёк;

ТОЇЕк —~іШк ЦоМ'-у Нк, ^

Ёк(5і) — Ек(54), Нк(5!) — Нк(54); Ек(52) — Ёк(5з), Нк(52) — Нк(5з); Ёк(5з) — Ёк(56), Йк(52) — Йк(56).

0

на гранях,

где - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости сре-

ды диэлектрических наносфер. Геометрические размеры прямоугольного резонатора (область V ) совпадают с геометрическими размерами автономного блока (рис. 2).

Применяя метод Галеркина, из проекционной формы и условий неасимптотического излучения (3) получаем матрицу рассеяния автономного блока Я.

Задачу дифракции на 3В-фотонно-кристаллической структуре решаем с помощью декомпозиционного вычислительного алгоритма на основе метода автономных блоков с каналами Флоке [4], модифицированного с целью учета диэлектрических наносфер.

В декомпозиционной схеме моделирования 3В-фотонно-кристалличес-кой структуры все автономные блоки являются однотипными, что позволяет использовать вычислительный алгоритм многоуровневой рекомпозиции блоков (рис. 3), который существенно сокращает время расчетов на компьютере.

/ / / /, / / /

1 о ^ * о о * О О

✓ о / * с о /  о о /

2

3

4

Рис. 3. Многоуровневая рекомпозиция автономных блоков в виде прямоугольных параллелепипедов с диэлектрическими наносферами: 1-4 - фрагменты рекомпозиции

Многоуровневая рекомпозиция автономных блоков в виде прямоугольных параллелепипедов с диэлектрическими наносферами заключается в следующем. Два однотипных автономных блока объединяются в один блок в виде прямоугольного параллелепипеда (фрагмент 1). Два виртуальных канала Флоке на гранях этого автономного блока преобразуются в один виртуальный канал. В результате преобразования получаем автономный блок с шестью виртуальными каналами на гранях (фрагмент 2), затем процесс повторяется (фрагменты 3, 4 на рис. 3).

2. Результаты моделирования прохождения оптического излучения через 3В-фотонно-кристаллическую структуру на основе опаловой матрицы

Результаты электродинамического расчета коэффициента прохождения оптического излучения через 3В-фотонно-кристаллическую структуру в зависимости от радиуса наносфер г при различной толщине фотонного кристалла й = 2гЫ (различного числа слоев Ы) показаны на рис. 4.

110 120 130 140 150 160 г, нм

Рис. 4. Коэффициент прохождения оптического излучения через 3^-фотонно-кристаллическую структуру в зависимости от радиуса наносфер г при различной толщине фотонного кристалла й = 2гЫ: / = 283 ТГц

(X = 1,06 мкм ); наносфера 8Ю2 (= 4,6 -/5 • 10-4 , ^ = 1); межсферическое заполнение (е2 = 1, ^1 = 1); О = 10 мм; кривые: 1 - N = 8, 2 - N = 16, 3 - N = 32, 4 - N = 64

Как следует из результатов математического моделирования, положение запрещенной фотонной зоны зависит от радиуса наносфер г (периода решетки опаловой матрицы), и непрохождение оптического излучения через фотонный кристалл вблизи частоты / = 283 ТГц (Х = 1,06 мкм ) наблюдается при радиусах наносфер от 128 до 142 нм. Чем больше толщина фотонного кристалла (число слоев Л^), тем меньше коэффициент прохождения, а следо-

вательно, и лучше защита от оптического излучения. При этом разброс размеров наносфер (радиусов г) не должен превышать 5 %.

Рассчитанные зависимости коэффициента прохождения оптического излучения через 3О-фотонно-кристаллическую структуру от частоты при различной толщине фотонного кристалла й = 2гЫ (различном числе слоев Ы) показаны на рис. 5. Как следует из результатов электродинамического расчета, приведенных на рис. 5, оптический фильтр на основе фотонного кристалла имеет запрещенные фотонные зоны (полосы непропускания для оптического излучения) на частотах / = 283 ТГц (Х = 1,06 мкм ) и / = 566 ТГц (Х = 0,53 мкм), в остальной части частотного спектра практически пропускает электромагнитные волны.

200

300

400

500

600

200

к

700 / ТГц

300

400

500

600

700

Ї, ТГц

пр

Рис. 5. Спектральные зависимости коэффициента прохождения оптического излучения через 3Б-фотонно-кристаллическую структуру при различной толщине й = 2гЫ фотонного кристалла: а - N = 8; б - N = 16; в - N = 32; г - N = 64;

наносфера 8Ю2 (є1 = 4,6 - і5 • 10-4, ц1 = 1), г = 135 нм ;

межсферическое заполнение

200 300 400 500 600 700 / ТГц

Рис. 5. Окончание

Степень защиты от излучения с помощью оптического фильтра существенно зависит от толщины фотонного кристалла - чем больше толщина, тем надежнее защита. Однако необходимо отметить, что изготовление фотонных кристаллов толщиной ё = 2гЫ с числом слоев N = 64 и выше сопряжено со значительными технологическими трудностями. Время изготовления таких кристаллов - несколько недель, при этом структура решеток может иметь значительные дефекты. Поэтому так важна оптимизация частотной характеристики оптического фильтра в зависимости от его геометрических размеров, проведенная на основе строгого математического моделирования.

Как следует из полученных результатов математического моделирования, оптический фильтр на 3,0-фотонно-кристаллической структуре на основе опаловой матрицы с гексагональной решеткой из наносфер 8Ю2 диаметром 270 мкм (разброс по диаметру не более 5 %) с толщиной N = 32 (рис. 5,в) надежно защищает зрение. Поток световой энергии, оцениваемый по зрительному ощущению, снижается в два раза, при этом наблюдатель практически не видит зеленый цвет и частично желтый.

Список литературы

1. Горелик, В. С. Оптические и диэлектрические свойства наноструктурирован-ных фотонных кристаллов, заполненных сегнетоэлектриками и металлами / В. С. Горелик // Физика твердого тела. - 2009. - Т. 51, № 7. - С. 1252-1258.

2. Самойлович, М. И. Исследование опаловых матриц и нанокомпозитов на их основе / М. И. Самойлович, А. Ф. Белянин, С. М. Клещева, В. Д. Житковский,

A. В. Гурьянов // Высокие технологии в промышленности России (материалы и устройства функциональной электроники и микрофотоники) : коллективная монография. - М. : ОАО ЦНИТИ «Техномаш», 2004. - Ч. 3. - С. 257-363.

3. Никольский, В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики /

B. В. Никольский, Т. И. Никольская. - М. : Наука, 1983. - 297 с.

4. Голованов, О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006. - Т. 51, № 12. - С. 1423-1430.

5. Голованов, О. А. Построение дескрипторов нелинейных универсальных автономных блоков с каналами Флоке итерационным методом на основе проекционной модели / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, А. А. Туманов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. - 2006. - №. 5 (26). - С. 157-166.

6. Никольский, В. В. Проекционные методы в электродинамике / В. В. Никольский // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике. -М. : Высшая школа, 1977. - С. 4-23.

Голованов Олег Александрович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии, Военный учебно-научный центр Сухопутных войск «Общевойсковая академия ВС РФ»

E-mail: golovanovol@mail.ru

Макеева Галина Степановна

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет, действительный член Академии инженерных наук им. А. М. Прохорова

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and descriptive geometry, Military research and educational center of the Land Forces “Combined Arms Academy of the Armed Forces of the Russian Federation”

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio electronic systems, Penza State University, full member of the Academy of Engineering Sciences named after A. M. Prokhorov

Николенко Антон Станиславович преподаватель, Военный учебнонаучный центр Сухопутных войск «Общевойсковая академия ВС РФ»

E-mail: nikolants@mail.ru

УДК 535.32 Голованов, О. А.

Электродинамический анализ зон пропускания и запрещенных зон в спектре оптического фильтра на основе фотонного кристалла /

О. А. Голованов, Г. С. Макеева, А. С. Николенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№ 4 (20). - С. 168-176.

Nikolenko Anton Stanislavovich Lecturer, Military research and educational center of the Land Forces “Combined Arms Academy of the Armed Forces of the Russian Federation”