О носителях максимальных сцепленных систем

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 11, 2004

УДК 515.142.275

О НОСИТЕЛЯХ МАКСИМАЛЬНЫХ СЦЕПЛЕННЫХ

СИСТЕМ

Е. В. В АКУЛОВА

Статья посвящена вопросам, связанным с функтором суперрасширения. Основной результат — построение примера, показывающего, что объединение всех минимальных по включению элементов максимальной сцепленной системы может быть не замкнутым.

Исходя из общего определения носителя точки пространства где Т — ковариантный функтор, действующий из категории Comp компактов и их непрерывных отображений в ту же категорию, а X — компакт, в случае, когда рассматривается функтор суперрасширения Л, можно получить определение носителя максимальной сцепленной системы (МСС). Интересен вопрос о том, каким образом устроен носитель произвольной МСС. Известно, что носитель МСС является замыканием объединения ее минимальных по включению элементов. Является ли это объединение замкнутым? В некоторых важных частных случаях, например, когда это объединение конечно, очевидно, да. Основной результат данной работы — контрпример, показывающий, что объединение всех минимальных по включению элементов МСС может быть и не замкнутым.

Напомним основные определения, касающиеся ковариантных функторов в категории Comp и, в частности, функтора суперрасширения Л.

Функтор Т называется мономорфным, если для любого вложения i\Y —>• X отображение Т{г): J-(Y) —у Т(Х) также является вложением. Для мономорфного функтора Т и замкнутого подмножества Y С X пространство T(Y) естественно отождествляется с подпространством T{i){J-{Y)) пространства Т{Х).

© Е. В. Вакулова, 2004

Если Т — мономорфный функтор, то для любой точки а Е 3~(Х) определен носитель вирра следующим образом:

яирра = П{У С Х:У — замкнуто и а Е

Пусть X — компакт, £ — некоторое семейство замкнутых непустых подмножеств в X. Если любые два элемента £ имеют непустое пересечение, то £ — сцепленная система.

Сцепленная система £ является максимальной сцепленной системой (МСС), если £ не содержится ни в какой другой сцепленной системе.

МСС обладает следующим свойством: если замкнутое множество С X пересекается с каждым элементом из £, то Е £.

Любая сцепленная система может быть дополнена до максимальной, но такое дополнение, как правило, неоднозначно.

Обозначим через А(Х) множество всех МСС пространства X. Топология на А(Х) задается с помощью базы, которую образуют множества вида

0(ии..., ик) = Е А(Х): Уг Е {1,..., *}ЗВД Е С С/;)},

где [/!,...,[/*. — открытые множества в X. Открытую предбазу топологии на А(Х) образует семейство множеств вида 0(11), где и — открыто в X. Множество А(Х), снабженное такой топологией, называется суперрасширением пространства X.

Если А — замкнутое подмножество пространства X, то любая МСС £ пространства А содержится в единственной МСС £х пространства X.

Пусть f:X —> У — непрерывное отображение компактов. Тогда для £ Е А(Х) система {f(F): ^ Е является МСС пространства /(X). Эта система однозначно достраивается до МСС пространства У, которую обозначим А/(Х). Таким образом, определено отображение А/: АХ —у АУ, которое является непрерывным.

Пусть £ Е А(Х), тогда согласно определению

йиРР£ — С X: А — замкнуто и £ Е А(Л)}.

Очевидно, что носитель является замкнутым множеством (как пересечение замкнутых множеств). Условие £ Е А (А) можно заменить на

следующее: П^2 / 0 для любых ^Е £, и тогда определение

носителя МСС примет вид:

яирр £ = Г\{А С X: А — замкнуто, А П ^ П Г2 ф 0 \/^1, .Р2 Е £}.

Легко показать, что

эирр^П Рх П^2 / 0 У^1,^2е£.

Пусть £ — МСС, ¥ Е £. ¥ называется минимальным по включению элементом £, если из условия С Е ( и С С ^ следует, что С = ¥.

При помощи трансфинитной индукции [1] можно доказать, что для любого элемента МСС существует минимальный по включению элемент ¥, содержащийся в (?.

Теорема 1. Для произвольной МСС £ справедливо равенство

й11РР£ = [^{¥а : ¥а — минимальныйповключениюэлемент£}]

Доказательство. Покажем, что каждый минимальный по включению элемент МСС содержится в носителе. Для этого воспользуемся свойством носителя (1). Тогда для произвольного минимального по включению элемента ¥а Е £ справедливо

(эирр^ П ¥а) П (? / 0 УСе£.

По свойству МСС это означает, что элемент (яирр^ П ^а) Е £. Но так как (вирр^ П ¥а) С ¥а, а ¥а — минимальный по включению, то (8ирр£П.Ра) Е £ лишь в случае, когда 8ирр£П.Ра = ¥а, т. е. когда ¥а С й11РР£- Таким образом, любой минимальный по включению элемент содержится в носителе системы, следовательно,

[и{¥а: ¥а — минимальный по включению элемент £}] С вирр^.

Докажем теперь, что V 1,С2 Е £

[и{¥а: ¥а — минимальный по включению элемент £}] П (?1 П (?2 / 0.

Любые множества (?1, (?2 Е £ содержат в себе минимальные по включению элементы из МСС £: ¥\ С (?1, ¥2 С (?2, причем ¥1р\¥2 / 0. Тогда имеем, что

[и ¥а\ П П С2 Э [и ¥а\ П ¥х п ¥2 = ¥х П ¥2 ф 0.

Доказанное означает, что [и Га\ — одно из множеств в определении носителя МСС, пересечением которых он является. Таким образом, можно сделать вывод, что

й11РР£ С [и{Га: Га — минимальный по включению элемент £}].

Теорема доказана.

Теперь построим такую МСС, у которой объединение всех минимальных по включению элементов не является замкнутым множеством.

Рассмотрим в качестве компакта X отрезок [0; 1]. Все рациональные точки отрезка [0; 1] можно пронумеровать в некоторой последовательности: го,7*1,7*2,... Сформируем множества Еп следующим образом:

*1 = {’•0,1-1};

*2 = {го,г2}]

^3 = {Г1,г2,г3};

^4 = {г0,г3,г4};

= {го,гз,г5,г7,..  • ,Г2к-1,1'2к}',

Р2*!+1 = {Г1,Г2,Г4,Г6,    • ,1"2к,Г2к+1}',

Как видно из построения, множества Еп образуют сцепленную систему. Эта сцепленная система может быть дополнена до некоторой

МСС £о.

Пусть Ф — минимальный по включению элемент £о- Покажем,

что

1) либо Ф совпадает с некоторым Еп;

2) либо Ф 3 {г0,гз,г5,г7,г9,...};

3) либо Ф 3 {г1,г2,г4,г6,г8,...}.

Легко проверить, что элементы Еп являются минимальными по включению. Допустим Ф отлично от Еп для любого п. Так как Ф П / 0 и ^ <£ Ф, то либо Го Е Ф, либо Г\ Е Ф.

Рассмотрим первый случай, когда г о Е Ф, г\ 0 Ф. Так как Еъ (£_ Ф, то т2 0 Ф. ФП^Рз / 0, следовательно гз Е Ф. Так как Е± (£_ Ф, то г 4 0 Ф. Ф П ^5 / 0, следовательно, Г5 Е Ф. Продолжая цепочку рассуждений, получаем, что Ф I) {го, гз, 7*5,...}.

Аналогично, рассматривая второй случай, когда г\ Е Ф, т*о 0 Ф, получаем, что Ф I) {7*1,7*2,7*4,..Итак, для множества Ф возможны только три перечисленные альтернативы.

За счет выбора нумерации т*о,т*1,... создадим ситуацию, когда возможна только первая альтернатива. Например, пусть т*о = 0,

57*5,Г7,... — все рациональные числа интервала (|; 1) (пронумерованные в произвольном порядке), г\ = 1, 7*2,7*4,7*6,... — все рацио-нальные числа (0; |].

Если Ф э {г0,г3,г5,..то Ф = [Ф] 3 [{г0,г3,г5, ...}] = {0} и [|; 1] и, следовательно, Ф I) {0; 1} = то есть Ф не является минимальным ПО включению элементом довели Ф I) {7*1, 7*2, 7*4, . . .}, ТО, аналогично,Ф I) [{7*1, 7*2, 7*4, . . .}] = [0; |] и {1}, следовательно, Ф^{0;1} = .Р1,то есть Ф также не является минимальным по включению элементом £о-

Таким образом, все минимальные по включению элементы такой МСС £о — это множества Рп,п = 1,2,... Но их объединение совпадает с множеством С} всех рациональных точек отрезка [0; 1], которое не является замкнутым.

оо оо

Получаем, что йирр^0 = [ и Рп] = [0; 1] ф и = <2-

71=1 71=1

Этот пример показывает необходимость замыкания в правой части формулы (2).

Докажем, что в случае, когда X — сходящаяся последовательность, замыкание в формуле (2) можно опустить.

Пусть X = {хг}^1 и {а}, где а = Нт Е А(Х). Допустим, что

г—>-оо

возможна такая ситуация, когда а Е яирр^ и

а 0 и{Ра: Ра — минимальный по включению элемент £}.

Элементы МСС £ являются замкнутыми подмножествами X и, следовательно, точками пространства ехр(Х). Известно, что ехр(Х) является компактом в случае, когда X — компакт. Если множество всех минимальных по включению элементов бесконечно, то из него можно выделить сходящуюся последовательность , ^2,..., состоящую из различных элементов. Поскольку любая МСС, и в том числе £, является замкнутым подмножеством в пространстве ехр(Х) [2], то предел этой последовательности ^ Е £. Кроме того, очевидно, а Е Р.

Покажем, что Р является минимальным по включению элементом £, и тем самым установим невозможность описанной выше ситуации.

Допустим, что F не является минимальным по включению элементом £. F Е £, значит существует минимальный по включению элемент Fq, содержащийся в F, F / Fq. По нашему первоначальному предположению, а 0 Fq, т. е. Fq состоит из конечного числа точек. Пусть F = {xix, Xi2,..., ж;т }. Так как Fi —> F при i —> оо, то любая окрестность 0(F) содержит все элементы последовательности Fi, начиная с некоторого номера го-

Напомним, что открытую базу топологии пространства ехр(Х) образуют множества

п

0(У\,.. .,Vn) = {Gg exp(X):G С (J Ц и Vi е {1,..., n}G П V{ ф 0},

i= 1

где Vi,..., Vn — открыты в X.

Возьмем в качестве 0

(очевидно, данное множество является открытым в пространстве ехр(Х) и содержит F). Тогда из условия Fi Е 0(F) вытекает, что Fi П {xik} /0 Vfc = 1,...,т \/г > г0, т. е. F0 С FiM г > г0. Но Fi — минимальные по включению элементы, следовательно, Fq — Fi Mi > го- Значит F = Fq. Пришли к противоречию.

Resume

This article is devoted to the functor of superextension. By definition, the superextansion of a compact space consist of all maximal linked systems of that space. It is well known that the support of a maximal linked system coincides with the closed union of all its elements that are minimal with respect to inclusion. In this work it is shown by way of a counterexample that the union itself is not necessarily closed.

Библиографический список

[1] Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П. С. Александров. М.: Наука, 1977.

[2] Федорчук В. В. Общая топология. Основные конструкции /В. В. Фе-дорчук, В. В. Филиппов. М.: Издательство МГУ, 1988.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33