Алгоритмы извлечения информации из хаотических сигналов, основанные на обработке временных рядов

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника

УДК 621.396

Алгоритмы извлечения информации из хаотических сигналов, основанные на обработке временных рядов

П.И. КОБЫЛКИНА, Б.И. ШАХТАРИН

Рассмотрено применение методов реконструкции непрерывных и дискретных динамических систем в задачах скрытой передачи информации с помощью хаотических колебаний. Для хаотических генераторов Дуффинга, Лоци и Хенона, используемых в качестве генераторов несущих колебаний, разработаны алгоритмы формирования временных рядов сигналов передатчиков и извлечения из этих рядов информации с учетом шумов в канале связи. В качестве генераторов информационных сигналов, управляющих работой несущих генераторов, использовались широкополосные хаотические генераторы Чуа и Ресслера. На основании проведенного исследования сделан вывод о перспективности применения методов реконструкции динамических систем для извлечения информации из хаотических сигналов, особенно при использовании дискретных хаотических генераторов в качестве генераторов несущих колебаний.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время интенсивно изучается проблема использования хаотических колебаний для передачи информации [1]. Одним из основных аргументов, определяющих перспективность применения хаотических колебаний в системах передачи информации, является возможность обеспечения ее эффективной маскировки. Даже при использовании простейших хаотических систем посторонний наблюдатель должен обладать практически полной информацией об используемой системе, чтобы иметь потенциальную возможность для перехвата передаваемой информации.

Предложены различные варианты введения информационного сигнала в несущий сигнал широкополосного хаотического генератора на передающей стороне и его выделения на приемной. Как показали исследования, более сложной оказалась задача выделения информационного сигнала на приемной стороне, поскольку схемам связи с использованием хаотических генераторов свойственна высокая чувствительность к искажениям в канале связи, шумам и неполной идентичности параметров генераторов передатчика и приемника. Так, например, при использовании для выделения информационного сигнала явления хаотической синхронизации параметры генераторов передатчика и приемника не должны различаться более чем на 2%. В противном случае алгоритмы выделения информации становятся неэффективными [1].

Следуя [2], рассмотрим альтернативный метод выделения информации из хаотического сигнала, основанный на технике глобальной реконструкции динамических систем по одномерному временному ряду, представляющему собой дискретную реализацию выходного сигнала передатчика. В общем случае глобальная реконструкция динамической системы состоит в восстановлении математической модели системы по экспериментальному временному ряду. В настоящей работе рассматривается частный случай глобальной реконструкции динамической модели, когда априорно известна математическая модель динамической системы - генератора передатчика, а целью реконструкции является извлечение из принятого сигнала информационной составляющей.

1. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

Пусть в качестве генератора передатчика G1 используется перестраиваемый хаотический генератор, описываемый автономной системой дифференциальных уравнений

тХ -

— = ¥

т

ёдг <<

ОХ т

где х = (х1,..., X”) - вектор динамических переменных; Д = (д1,..., д п) - вектор управляющих параметров. Предположим, что на приемной стороне общий вид нелинейной вектор-функции ¥ (X, д) (структура генератора передатчика G1) известен.

Чтобы передать информацию, будем осуществлять модуляцию параметров д. информационным сигналом

дг 0) = д0 + д г ОХ г = ^..^ т ,

где дг0 - постоянные опорные значения параметров системы (1); дг(Х) - информационные составляющие управляющих параметров. Уравнение генератора приобретает вид

ах -

— = ¥

аХ

В канал связи передается одномерная реализация колебаний системы (1а), например х1(Х). При известной функции ¥ (X, д) с использованием значений временного ряда х1(Х) при определенных условиях возможно восстановление информационной составляющей принятого сигнала. Рассмотрим эти условия.

Первое условие состоит в том, что модуляция управляющих параметров должна осуществляться достаточно медленно, т.е.

а,, ах

для любых г и/ Это условие позволяет выбрать размер временного окна Х (отрезок временного ряда х1(Х)_х1(Х+ Х )), в пределах которого значения параметров дг(Х) допустимо считать практически постоянными, а систему (1а) - автономной. Скользя временным окном вдоль временного ряда х1(Х), можно осуществить выделение информационных сигналов дг(Х).

Второе условие состоит в том, чтобы вектор-функция ¥(X, д) имела специальную структуру, позволяющую представить систему (1) в виде

ОХ, аХ2 йхп .. _

~Г = Х2, —Г = ^ —Г = /

аХ аХ аХ

В этом случае определение текущих значений информационных параметров дг(Х) осуществ-

ляется путем п-кратного дифференцирования принятого сигнала х1(Х) для определения зависимостей ху(Х),] = 2, ..., п и левых частей системы (4). Поскольку обрабатываемый сигнал представляет собой скалярный временной ряд х1,г(/АХ), г = 1, ..., N, N = Х /АХ, все производные вычисляются в дискретные моменты времени Хг = гАХ по приближенным формулам численного дифференцирования (АХ - шаг дискретизации). В результате для определения значений информационных параметров необходимо решить систему уравнений

Ох . „

= /

аХ

*

Обычно эта система уравнений получается переопределенной N >> т и ее решают методом наименьших квадратов.

Основным недостатком описанного алгоритма является необходимость последовательного численного дифференцирования зашумленных временных рядов. Как известно, дифференцирование неизбежно приводит к усилению шумовой компоненты в производных. Без предварительной фильтрации временного ряда зависимость от времени уже второй производной может оказаться шумоподобным процессом. В нашем исследовании для устранения описанного эффекта используется процедура сглаживания.

2. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Зададим модель дискретного хаотического генератора в виде п-мерного дискретного отображения

Х+і = Р(х> Д )> (6) где % = (хи, •••, хпі)- координаты вектора состояния генератора, рассмотренные в моменты

времени їі = іАї; Р(X,Д) - нелинейная вектор-функция; Д = (д1,..., Дп) - вектор управляющих

параметров, включающих в себя, в соответствии с (2), информационные составляющие Дг(ї).

Преимущество дискретных динамических систем обусловлено тем, что при извлечении информационной составляющей отсутствует необходимость многократного численного дифференцирования временного ряда и, следовательно, не нужно учитывать влияния соответствующих ошибок. Ограничимся моделями дискретных хаотических генераторов, которые допускают преобразование (6) к виду

Хи+1,1 = Хп,2. Хи+1,2 = Хп,3. ..., Хп+1, п = /

Пусть в канал связи передается одномерная реализация колебаний системы (7), например, хі,1. Тогда на приемной стороне известен временной ряд соответствующих значений передаваемого сигнала. С использованием этого временного ряда с помощью (7) возможно последовательное восстановление других, не передаваемых в канал связи компонент Ху, ] = 2, ..., п.

При известной функции /(Х, Д) с использованием значений отрезка временного ряда на некотором интервале времени Ї при определенных условиях возможно восстановление информационной составляющей принятого сигнала. Для этого путем последовательной подстановки в последнее уравнение системы (7) вместо неизвестных (не передаваемых в канал связи) Ху, ] > і их значений, выраженных через предыдущие известные (передаваемые в канал связи) значения хі,1, получим систему уравнений для определения информационных параметров, которые предполагаются постоянными на рассматриваемом отрезке временного ряда. Необходимая длина отрезка временного ряда определяется структурой хаотического генератора.

3. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

Будем моделировать информационный сигнал колебаниями хаотического генератора Чуа, канонические уравнения которого имеют вид [4, 5]

^ = чщ -щ + (Рі - Чі)8Щ);

аї

. . . .

= Ч2Щ - Щ3 +

аї

^ = ЧзЩ1 + (Рз - Чзі)8(Щ1).

аї

Нелинейный элемент генератора описывается уравнением

8(Щі) = 0,5 (| Щ + 1| - Щ1 - 1) .

Значения управляющих параметров генератора примем следующими

р1 = 0,09; Р2 = 0,432961; р3 = 0,653525; д = -1,168; ч2 = 0,846341; д3 = -1,2948.

Пример реализации информационного сигнала приведен на рис. 1. Там же представлен фазовый портрет информационного сигнала.

Щ2

Рис.1. Реализация и фазовый портрет колебаний информационного генератора Чуа

В качестве хаотического генератора несущих колебаний будем использовать генератор Дуффинга, описываемый следующей системой дифференциальных уравнений [4]

Сх,

сії

ІХ2 = -5х2 + — (і - Х12 ) + Л, соб Х3; сії 2 2 V ’

аХ3 ії

= ш .

Опорные значения управляющих параметров примем следующими

5 = 0,08; Х = 0,1; ю = 0,8.

Реализация колебаний и фазовый портрет генератора Дуффинга для этих значений управляющих параметров приведены на рис. 2.

Временной ряд, содержащий информационный сигнал, формируется с помощью программы-функции, осуществляющей интегрирование методом Рунге-Кутты системы (9) с наложением информационного сигнала путем аддитивного модулирования параметра 5 информационным сигналом первого канала ^(Х) генератора Чуа. Система дифференциальных уравнений передающего генератора принимает вид

ї

2

0

2

Хі

Рис. 2. Реализация и фазовый портрет несущих колебаний непрерывного хаотического генератора Дуффинга

сХ1 ії

ІХ^ = - (8 + ащ (ї)) х2 + — (і - Х12) + X соб х3 ; аї 2

аХ3 ії

=Х

• = ш.

Информационный сигнал м1(Х) в систему уравнений (9а) вводится с масштабным множителем а. Величина а выбирается исходя из того, чтобы колебания несущего генератора после введения информационного сигнала сохранили хаотический характер. Для рассматриваемой системы методом проб выбрано значение а= 1/50. Реализация и фазовый портрет колебаний на выходе передатчика приведены на рис. 3.

Пусть в канал связи передается сигнал х2

( 1 С ^ . Л ^

ж(ї) = — — | ІХ2 + —(і-х2) + Хсобх3 1-8

1 а ^ х21 ії 2 і 4 3)

На принимающей стороне компоненты колебаний генератора передатчика х1 и х3 неизвестны, но для определения информационного сигнала они необходимы. Для их восстановления из принятого временного ряда х2{() воспользуемся знанием математической модели генератора несущих колебаний (9а).

ї

ї

0.5

Рис. 3. Сравнение форм колебаний на выходе генератора Дуффинга без информационного сигнала и с наложенным информационным сигналом на выходе передатчика и фазовый портрет колебаний для генератора Дуффинга с

наложением информационного сигнала

Обозначим временной шаг записи принимаемого сигнала через Б. Тогда текущее время, соответствующее к-му отсчету, определяется как 1к = (к -1)Б, к = 1,...,N. Компонента х3 с учетом начального условия может быть определена с помощью соотношения

х3к = х30 + (к -1)Бю .

Восстановление компоненты х1 на приемной стороне осуществляется путем интегрирования первого уравнения системы (9а) с учетом того, что дифференциал времени равняется шагу записи принимаемого сигнала Ж = Б. Тогда, используя метод Эйлера с усреднением правой части по двум соседним значения, получим рекуррентное соотношение для определения х1

1, к-1

В(

+ —(к + х

'"2, к-

И, наконец, определим производную от принимаемого сигнала. Для этого воспользуемся формулой численного дифференцирования функции, заданной в равноотстоящих точках, по пяти точкам [3]

2,к

— (

О П V

х2,к - 2 8 х2,к-1 + 8 х2,к-1 х2,к+2

).

Ж 12Б'

После того, как определены необходимые величины, с помощью зависимости (10) определяем информационный сигнал. Как правило, полученный сигнал получается сильно зашумленным ошибками вычислений. Особенно амплитуда шумов возрастает при делении на разность близко расположенных величин. Поэтому на заключительном этапе извлечения информационного сигнала целесообразно применение алгоритмов сглаживания, позволяющих устранить высокочастотные случайные составляющие в сигнале. Поскольку в нашем исследовании численное моделирование осуществляется с помощью пакета МАНТСАО, то для сглаживания исполь-

0

зуется встроенная наиболее устойчивая функция шеёвшооШ, осуществляющая сглаживание методом скользящей медианы. Удовлетворительных результатов удается добиться при ширине окна сглаживания, большем 7 рядом стоящих значений извлеченного сигнала. Соответствующие графические зависимости приведены на рис. 4. Таким образом, если канал связи не зашумлен, то с помощью простых алгоритмов обработки принимаемого сигнала из него удается извлечь практически неискаженный информационный сигнал.

Аддитивное введение в состав принимаемого сигнала высокочастотного белого гауссовского шума со среднеквадратичным отклонением а = 0,001 без его предварительной фильтрации требует для извлечения информационного сигнала процедуры сглаживания с использованием не менее 100 отсчетов. Увеличение а до 0,1 делает практически невозможным извлечение информационного сигнала с помощью описанного алгоритма без предварительной фильтрации принимаемого сигнала.

5 := шеё8шоо1Ь

8 бб := теёБшооЛ (8 б , 7Х

Рис.4. Сравнение переданных щ1 и щ2 и извлеченных на приемной стороне информационных сигналов щі1 и щі2 при

различной ширине окна сглаживания

ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим передачу информации с помощью колебаний дискретного хаотического генератора Лоци, описываемого двумерным отображением [4, 5]

хп+і = -ак1+3+1,0 Уп;

Уп+і = Ьхп.

Реализация и фазовый портрет несущих колебаний генератора Лоци для а = 1,8, Ь = 0,3 приведены на рис. 5.

Временной ряд, содержащий информационные сигналы, формируется с помощью программы-функции, осуществляющей наложение информационных сигналов на несущее колебание путем аддитивного модулирования параметров а и Ь информационными сигналами, в качестве которых используются колебания первого щі(ї) и второго каналов щ2(ї) генератора Чуа, рассмотренного в предыдущем разделе

а = а0 + ащ

Ь = Ь0 + ащ2(ї)'

В качестве опорных значений управляющих параметров а и Ь будем использовать значения а0 = 1,65, Ь0 = 0,25. Значение масштабного параметра а принимается равным а = 1/10. Таким образом, уравнение генератора передатчика, формирующего выходной сигнал с наложенным информационным сигналом, приобретает вид

хп+і = - (а0 + ащі(пАї)) | хп\+3 +1,0 Уп;

Х

У

У

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

Уп+1 =(Ь0 +аЩ2(пАї) )Хп

п

х

Рис.5. Реализация и фазовый портрет несущих колебаний генератора Лоци для а = 1,8, Ь = 0,3

Реализация колебаний передатчика с наложенными информационными сигналами и фазовый портрет колебаний генератора Лоци, управляемого сигналом генератора Чуа, приведены на рис. 6.

Пусть в канал связи передается компонента у. На приемной стороне известен временной ряд у, і = 1, ..., N остаются неизвестными: временной ряд хі и информационные составляю-

0

4

3

2

4

щие м1 и м2. Легко видеть, что для определения неизвестных на приемной стороне значений хп, х„+1, м1,п = м1(пАХ) и м2,п = м2 (пАХ) необходимо знать четыре значения временного ряда ус уп, уп+1, У п+2 и у п+3. Действительно, из второго уравнения системы (12) следует

Хп =

Уп+1

(Ь0 +аЩ2,п Х

У п+2

(Ь0 +аЩ2,п Х

200 п

Уі

хі

Рис. 6. Реализация колебаний передатчика с наложенными информационными сигналами и фазовый портрет колебаний генератора Лоци, управляемого сигналом генератора Чуа

Подставляя эти соотношения в первое уравнение системы (12) и записывая его для двух последовательных состояний, получим систему уравнений для определения информационных составляющих щ и щ2. Опуская промежуточные выкладки, запишем окончательные выражения для щ и щ2

(

1

а

У п + 3 У п+2

Уп + 2

Уп+1

Л

Уп + 2

Щ1,п = —

1

а

Уп+1

Ь0 +аЩ2, п

Уп+1

(уп + 3)+ уп+1 + 3

г

3+Уп -

Уп+2

Ь0 +аЩ2,п У

а,

2

0

—і

Таким образом, минимальный отрезок временного ряда, необходимый для извлечения информационных сигналов, состоит из четырех членов. Естественно, на протяжении этого отрезка значения н,1 и м2 предполагаются постоянными.

Извлеченные с помощью алгоритма (13) сигналы в сравнении с переданными приведены на рис. 7. Если канал связи не зашумлен, то, применяя процедуру сглаживания полученных рядов с шириной окна, большей 10 членов, удается достичь практически идеального воспроизводства информационных сигналов.

Ьб := medsmooth

medsmooth

Щі,, Щіі

Рис. 7. Сравнение переданных щ1 и щ2 и извлеченных на приемной стороне информационных сигналов щі1 и щі2 .

Шумы в канале связи отсутствуют

Аддитивное введение в принимаемый сигнал высокочастотного белого гауссовского шума со среднеквадратичным отклонением до а = 0,01 без его предварительной фильтрации требует для извлечения информационного сигнала с уровнем 1.2 процедуры сглаживания с незначительным увеличением окна сглаживания до 25 отсчетов (рис. 8 а).

Увеличение а до 0,05 при том же уровне информационного сигнала требует увеличение ширины окна сглаживания по второму каналу до 55 отсчетов, по первому - до 225 (рис. 8 б). Таким образом, более устойчивым к зашумлению оказывается второй канал. В целом можно сделать вывод о достаточно высокой для хаотических генераторов помехоустойчивочти дискретного генератора Лоци.

Аналогичное исследование было выполнено и для случая использования в качестве генератора несущих колебаний дискретного хаотического генератора Хенона, а в качестве генератора информационных сигналов - непрерывного хаотического генератора Ресслера [4]. В этом исследовании также удалось построить эффективные алгоритмы выделения информационных сигналов из временного ряда принятого сигнала.

ї

ау

ї

W2, ^12

2

0

—2

^2, ^/*2 2

0

—2

^1, ^/*1

2

0

—2

^2, ^/*2

^2, ^/*2

^1, ^/*1

Ьэ := шеёвшооШ

аэ := теёэшооШ

:= шеёвшооШ

0 10 20 Ьэ := шеёвшооШ

30 40

50 60 70

80 90 100 Х

Ьэ := шеёвшооШ

аэ := шеёвшооШ

Х

а э = 0.05

а

б

Рис.8. Сравнение переданных wI и w2 и извлеченных на приемной стороне информационных сигналов w/I и w/2 при наличии гауссовского шума в канале связи при различной ширине окна сглаживания

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен частный случай реконструкции динамической системы по временному ряду принятого сигнала, когда на приемной стороне известна математическая модель динамической системы - генератора передатчика. Целью реконструкции является извлечение из принятого сигнала информационной составляющей. Для хаотических генераторов Дуффинга, Лоци и Хе-нона, используемых в качестве генераторов несущих колебаний, разработаны алгоритмы формирования временных рядов сигналов передатчиков и извлечения из этих рядов информации с учетом шумов в канале связи. В качестве генераторов информационных сигналов, управляющих работой генераторов несущих колебаний, использовались широкополосные хаотические генераторы Чуа и Ресслера.

На основании проведенного исследования можно сделать вывод о перспективности применения методов реконструкции динамических систем для извлечения информации из хаотических сигналов, особенно при использовании дискретных хаотических генераторов в качестве генераторов несущих колебаний. При использовании процедуры сглаживания даже в присутствии шумов в канале связи путем обработки временных рядов сигналов передатчика удается на приемной стороне достаточно точно воспроизвести информационные сигналы.

ЛИТЕРАТУРА

1.Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М: Физ-матлит, 2002.

2.Анищенко В.С., Астахов В.В., Владивасова Т.Е. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.: Институт компьютерных исследований, 2003.

3.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966.

4.Кобылкина П.И., Шахтарин Б.И., Сидоркина Ю.А. Исследование режимов генераторов хаоса. // Радиотехника и электроника. Т. 48, № 12, 2003.

5.Кобышкина П.И., Сидоркина Ю.А., Морозова В.Д. Источники хаотических колебаний с дискретным временем. // Научный Вестник МГТУ ГА, сер. Радиофизика и радиотехника, № 62, 2003.

P.I. Kobylkina, B.I. Shakhtarin

The algorithms of information extraction from chaotic signals based on time series’ processing

Application of reconstruction methods for continues and discontinues dynamical systems in problems of confidential information transfer with the help of chaotic oscillations was considered. The algorithms of transmitted signals’ time series forming and extraction from this series taking into account communication channel noises were worked up for different chaotic generators: Duffing, Loci and Xenon generators. Wideband chaotic Chua’s and Resler’s generators were used as information signal’s generators controlling generation of bearing oscillations. Relying on realized researching we concluded about perspectives of application of methods of dynamical systems reconstruction for information extraction from chaotic signals, especially using discontinuous chaotic generators as generators of bearing oscillations.

Сведения об авторах

Кобылкина Полина Ивановна, студентка кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 9 научных работ, область научных интересов - динамический хаос и его применение в радиоэлектронике для передачи и приема информации.

Шахтарин Борис Ильич, 1933 г.р., окончил Ленинградскую военно-воздушную инженерную академию (1958) и ЛГУ (1968), Заслуженный деятель науки и техники, лауреат Государственной премии, доктор технических наук, профессор кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор более 250 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов, фазовые системы синхронизации.