Голоморфное продолжение функций вдоль конечных семейств комплексных прямых в шаре

УДК 517.55

Голоморфное продолжение функций вдоль конечных семейств комплексных прямых в шаре

Александр М. Кытманов* Симона Г. МысливеЦ

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 29.03.2012, окончательный вариант 31.06.2012, принята к печати 31.08.2012 В данной статье рассматриваются непрерывные функции, заданные на границе шара В в Сп, п > 1, и обладающие одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль семейств комплексных прямых, проходящих через конечное число точек в шаре. Исследуется вопрос о существовании голоморфного продолжения таких функций в шар В.

Ключевые слова: голоморфное продолжение, интеграл Пуассона.

Эта статья содержит некоторые результаты, связанные с голоморфным продолжением функций f, заданных на границе шара B С Cn, n > 1, в этот шар. Речь пойдет о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых.

На комплексной плоскости C результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны. Поэтому наши результаты существенно многомерны.

Первый результат, относящийся к нашей теме, был получен в [1] М.Л.Аграновским и Р.Е. Вальским, изучившими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.

В [2] Э.Л. Стаутом, использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено в [3] Кытмановым, применившим интеграл Бохнера-Мартинелли. Идея использования интегральных представлений (Бохнера-Мартинелли, Коши-Фантаппье, логарифмического вычета) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения (см. обзор [4]).

Вопрос о нахождении различных семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения, был поставлен в [5]. Ясно, что семейство комплексных прямых, проходящих через одну точку, не является достаточным. Как показано в [6], семейство всех комплексных прямых, проходящих через конечное число точек, также, вообще говоря, не является достаточным. Таким образом, простых аналогов теоремы Гартогса ожидать не следует.

В работе [6] доказано, что семейство комплексных прямых, пересекающее росток порождающего многообразия y, является достаточным для голоморфного продолжения. В работе [7] рассмотрены семейства комплексных прямых, проходящих через росток комплексной гиперповерхности, росток порождающего многообразия на комплексной гиперповерхности, росток вещественно-аналитического многообразия, вещественной размерности n — 1. В частности, в C2 это может быть любая вещественно-аналитическая кривая. Различные другие семейства приведены в работах [8-11]. Отметим здесь работы [9,11], в которых показано,

*akytmanov@sfu-kras.ru tsmyslivets@sfu-kras.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

что семейство комплексных прямых, проходящих через некоторым образом расположенное конечное число точек, является достаточным для голоморфного продолжения. Правда, это утверждается только для вещественно-аналитических или бесконечно дифференцируемых функций, заданных на границе шара. Так, в C2 Аграновским и Глобевником для вещественно-аналитических функций, заданных на границе шара, показано, что достаточно 2 точек, лежащих в замыкании шара. Следующий пример Глобевника показывает, что для функций непрерывных на границе шара 2 точек не достаточно для голоморфного продолжения.

Пример 1. Рассмотрим в шаре B = {(z, w) G C2 : |(z,w)| < 1} часть комплексного многообразия

Г = {(z, w) G B : w = 0},

wk+2

то, как показал Глобевник, функция f = —=— (k G Z, k ^ 0) обладает одномерным

w

свойством голоморфного продолжения с dB вдоль комплексных прямых из семейства Lp, является гладкой на dB, но не продолжается голоморфно в B. Рассмотрим комплексные прямые, пересекающие Г :

la = {

Эти прямые проходят через точку (a, 0) G Г. При |a| < 1 точка (a, 0) G B, при |a| > 1 точка (a, 0) G B. Без ограничения общности можно считать, что |b|2 + |c|2 = 1. Пересечение la ПdB образует окружность

Действительно, так как для комплексных прямых вида (1) на dB выполнено равенство

t =-L-L—-,

t + ab

то функция f на dB примет вид

f =1 (t^2ab)-bt  И-1 — | a| 2 — a bt

Знаменатель данной дроби обращается в 0 в точке to = ——|—|—. Подставляя эту точку в

ab

выражение (2), получим

Поэтому точка прямой /а, соответствующая ¿о, лежит вне шара В. Так что функция / голоморфно продолжается в /а П В.

В нашей статье рассмотрены семейства комплексных прямых, проходящих через конечное (п +1) число точек, лежащих в шаре В в Сп.

Пусть В = {г С Сп : < 1} — единичный шар в Сп с центром в нуле и S = дВ граница шара. Рассмотрим инвариантное ядро Пуассона [13, с.48]

P (z,Z ) = cn

(1 — |z|2) " (1 — <z,z})n

=c

1 — Ml2" (1 — <z,z»n(1 — мг

(n — 1)!

где С" = 2n" ', (z, Z} = ziZi +-----+ z„Zn.

Если функция /(г) М-гармоническая в В и непрерывная на В, то справедливо интегральное представление

Р

где

2 "

^

к= 1

мера Лебега на = ¿С1А- • -Ай^", = ¿(дА• • •А^0к-1 А^Ск+1 А- • -Ай^". Граничные значения функции Р(г) совпадают с /(С), т.е. Р(г) = /(£). Напомним, что М-гармоническая функция удовлетворяет инвариантному уравнению Лапласа [13, с.55-56]

Д Р (г) = 0,

где

ДР(г) = 4(1 - И2) £ («^ - г^к)^Г ¿,к = 1 3 к

и «¿к — символ Кронекера. Функции, голоморфные в шаре В, являются М-гармоническими. В частности, формула (3) является интегральным представлением для голоморфных функций.

Рассмотрим комплексную прямую вида

1г,ь =

где г е С", 6 е СР"-1.

Будем говорить, что функция / е С(5) обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль прямой /2,ь, если 5П /г,ь = 0 и существует функция Р^ ь со следующими свойствами:

1) Р1„ъ е С(В П /г,ь),

2) Ргг ь = / на множестве 5 П /х,ь,

3) функция Р;г ь голоморфна во внутренних (относительно топологии /2,ь) точках множества В П /2,ь.

Пусть Г — некоторое множество в С". Обозначим через £г семейство всех комплексных прямых /г,ь таких, что г е Г, а 6 е СР"-1, т. е. это множество всех комплексных прямых, проходящих через г е Г.

Будем говорить, что функция / е С(5) обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль семейства £г, если она обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль любой комплексной прямой /2,ь е £г.

Назовем множество £г достаточным для голоморфного продолжения, если из того, что / е С(5) обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из семейства £г, следует, что функция / голоморфно продолжается в В (т. е. / является СЛ-функцией на 5). Различные семейства достаточных множеств были рассмотрены в работах Аграновского, Вальского, Стаута, Глобевника, Баракко и авторов этой статьи.

Рассмотрим ядро вида

п( /л (1 - (-,ш))"

д

я

Очевидно, что P(z, Z) = Q(z, z, Z)• Введем функцию

ФМ = У f (Z)Q(z,w,Z) da(Z).

Эта функция голоморфна по переменным (г, ад) в В х В С С2п, поскольку при £ С £ и .г, ш С В знаменатель в ядре (6) не обращается в ноль. Отметим, что Ф(г, и) = Р(г), а производные

ф

dzadwe

где

Я а+в F

W=2 dzadze'

да+в ф д1Н1 + 11в11ф

dza dzaj11 • • • dza- dwf1 • • • 3toU"

и а = (ai,. .., а„), в = (въ • • •, ви) — мультииндексы, ||а|| = ai+-----+а„, ||в|| = в1 +----+ ви-

Предложение 1. Пусть функция f (Z) G C(S) обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль семейства £{>}, тогда для интеграла

ФМ = У f

, w/

S

справедливы свойства Ф(0, w) = const и производные -- являются многочленами

Доказательство. Рассмотрим производные

да+в f_1_А _Z aZ в_

Нетрудно показать, что производная —-—-—— является суммой слагаемых вида

ОХаОшР

. -.п+иви_и7„и , < п и 117"II < 117'У. Поэтому производная дгадшв равна

(1 - (С, ш)) дг дш

линейной комбинации интегралов вида

/Са—у' z в—У"

1^) Г1

9

Форма da

2|tp_"t dt Л I

4=1 7 4=1

da(bt) = in|t|2n-2tdt Л f¿(-1)fc-1bfc db[kA Л (¿(-1)k-i b k db[kA .

Поскольку на сфере S верно равенство 1 = |Z| = |bt|, то |t| = -1 и t = • Тогда

d^(bt) = 2 tjp dt Л (Í^(-1)fc-1bk db[k^ Л (Í^(-1)fc-1b k db[k]) = A(b) Л ^

Применяя теорему Фубини, получим

/л а—y' Z e—'/"

f(Z)7---чП+ш-цуи ) =

S (1 -<C,w»n+llel1 ll7 11

= A(bM f(^Ь-чп+ш-ИУИ dt =

n J t( 1 - t(b, w})n+lie11 ll7 1

/[ t11^11-117"11 A(bW f(bt) ........ 7-,n+||e|Hl7"ll dt = 0,

J tHHh"ll + l( 1 - t(b, w})"7 "

если ||вМ > |N| (тогда ||вУ - ||y"У > INI - IIY'N), а функция --—- голоморфна в

1 - t(b, w}

замкнутом круге |t| <777, т. е. в B П Ь. Отсюда в силу (8) | b|

да+в Ф

dz«dwe 0

при МвМ > Ма|.

Поэтому по формуле Тейлора для функции Ф(г, w) в точке (0, 0) получим, что Ф(0, w) =

da $(0,w) .. ..

const и производные --- есть многочлены по w степени не выше ||а||.

dz"

da+e F

Следствие 1. В условиях предложения 1 производные — а — = 0 при ||в|| > ||а||-

Доказательство. Подставляя в равенство (9) w = z и используя равенство (7), получим требуемое утверждение.

Напомним, что автоморфизм шара ya(u), переводящий точку a в 0 и наоборот, имеет вид

(ua} гл—гп( (u,a} А

a —-—— a - л/1 — | a | ^ ( u —-—— a I

(a, a} (a, a} Z = ^a(u) = -

1 -

и «а(и) является инволюцией, т. е. «-1 = «а [13, с. 34]. Отметим, что («а(м),«а(«)) служит автоморфизмом В х В, переводящим точку (а, а) в точку (0,0) и наоборот. Как показано в [13, с.52, замечание], верно равенство

¿^(«а(п)) = Р(а, п) П е

а используя равенство (6), получим

¿ст(«а(п)) = Р(а, п) = ^(а, а, п) ¿а(п), П е

По теореме 2.2.2 [13, с. 34] автоморфизм «а(и) является гомеоморфизмом шара В на себя и гомеоморфизмом сферы 5 ^ 5. Так же по теореме 3.3.5 [13, с. 50] верно равенство

Р («аМ^М) = Р^

Поэтому

д

Поскольку многообразие V = и является порождающим в Сп, а функции, входящие в равенство (10), вещественно-аналитическими, то

Рассмотрим функцию

Ф(^) = Ф(^а(и),^Н) =У / (С)ОЫи),^Ы,0 ).

я

Сделаем замену £ = у>а(п) и, обозначая /(у>а(п)) = /а(п), получим

Ф(^ т) = J / (^а (П))О (^а (и), ^а^^ ^а(П)) 'М'Ып)) = я

f ^

= У /a

S

Предложение 2. Пусть функция /

-д"а- являются многочленами по (w) степени не выше чем ||а||.

Доказательство. С помощью автоморфизма ^>а переведем точку a в 0. Тогда по предложению 1 функция Фа

производные --- являются многочленами от (w) степени не выше чем ||а||.

п

Представим функцию Ф(г, w) в виде суммы однородных многочленов по z и w. Разложим Q(z, w, Z) в ряд по степеням (z, С), (С, w). Поскольку

1 ^ Л ^k / k

(1 -<z,C»n = £ ^,

= Е СП+i-1(Z,w)1 w)> t0

(рассматриваемые ряды сходятся абсолютно для £ € Б, г, т £ В, а также равномерно на Б х К, где К — произвольный компакт из В х В). Поэтому

Q

k=oг=о S

Интегра^ f(С)(z,C)k(М'<ЭД является однородным многочленом степени однородно-

сти к по г и I по т. Умножая сумму в равенстве (12) на множитель (1 — (г, т}) и перегруппировывая слагаемые, получим, что

Ф

й,г=о

S

где Pfc,;(z, w) — однородные голоморфные многочлены степени однородности k по z и l по w. Причем двойной ряд сходится абсолютно в B х B и равномерно на любом компакте из B х B.

Теорема 1. Пусть функция f (Z) G C(S), точка a G B и функция Ф^^) удовлетворяет

^ ж, даФ(0, w) условиям: Ф(0, w) = const, Ф^, w) = const, -- _ многочлен по w степени не выше

чем ||а||, тогда для любого фиксированного z, принадлежащего комплексной прямой 10,a =

дв Ф

{z G Cn : z = at, |t| < 1}, выполняется Ф^, w) = const по w, т. е. --—— = 0 при

dwe

Доказательство. Представим функцию Ф^, w) в виде

Ф(z,w) = Y^ Рм(z,w). fc,i=o

По условию теоремы разложение (13) примет вид

ФМ= £ PM(z,w),

fc^i^O

da+eФ

Введем функции Ф^(z,w) ^^ Pk,;(z, w), тогда

i=fc

=

fc=0

Рассматриваемые ряды сходятся абсолютно в B х B и равномерно на компактах из B х B, поскольку двойной ряд (13) сходится абсолютно в B х B и равномерно на компактах их B х B, а ряд (14) является повторным рядом ряда (13).

Из вида ряда (z, w) получаем, что (tz, w) = (z, w) для любого t G C. По условию теоремы

Рассмотрим

Ф

l=0

Ф(a, w) = ^^ Фд:^, w) = const.

fc=0

Ф

к=0

Вычислим

Вычислим эту же производную как производную сложной функции

-— Ф(at, w) = т!Фт(a, w) +-----+ k(k - 1) • ... • (k - m + 1)tk тФй(a, w) +

-Ф(at,w)= > -' 7 • aa.

dtm v ' ^ dza

и

ai=m

Приравнивая производные, получим равенство

Е ^• a" = Е - 1) • ... •

dm

Подставляя в равенство (17) значение t = 0, получим, что Ф(0, w) = т!Фт(а, w) — многочлен степени не выше чем m по w, поскольку левая часть этого равенства многочлен степени не выше чем m по w по условию теоремы. При m = 0 получим Ф(0, w) = Фо(а, w) = const и из (15) имеем Ф(0^) = Ф0(а, w) = Ф0(0^).

В равенство (16) подставим t =1, получим

^

Ф(а, w) = ^^ Фк (a, w) = const.

fc=0

Поскольку Фд (a, w) ^^ Pk i(a, w) — многочлен по w степени не выше чем k, то

i=fc

^Pfcji(a,w) = Pfc,fc(a, w). Поэтому

i=fc

const = Ф(а, w) = Фк (a, w) = ^^ Pk,k (a, w).

fc=0 fc=0

Следовательно, Рд^

ж/ n Ф^, w) ..

получим Ф^, w) = const и --—-z- = 0 при lipII > 0.

dwe

Следствие 2. Пусть функция f (Z) G C(S) обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль семейства £{0,а}, тогда Ф(^, w) = const для точек z, принадлежащих

Ф

комплексной прямой l0 а П B, т. е. --—з— = 0 при ||в|| > 0.

dwe

Доказательство следует из предложения 1 и теоремы 1.

д e F

Следствие 3. В условиях следствия 2 производные —— = 0 для точек z G l0 а П B и

dze

lien > 0.

Теорема 2. Пусть функция f (Z) G C(S) обладает свойством одномерного голоморфного

продолжения вдоль семейства £{c, d}, c, d G B, тогда Ф(c + (d — c)t, w) = const по w при

Ф(с + (d — c)t,w) ' ,, ,,

|t| < 1, т. е. -i-—'-^—t- = 0 при ||вП > 0.

dwe

Доказательство. Пусть точки c, d G B. Рассмотрим автоморфизм y>c(z), переводящий точку c в 0 и наоборот, т.е. y>c(c) =0 и ^c(0) = c. Пусть при этом автоморфизме точка d переходит в некоторую точку a = yc(d). Обозначим fc(Z) = f (<£>c(Z)) и

ФсМ=| fc(Z)Q(z,w,Z) da(Z).

S

Из равенства (11) имеем Ф^^) = Фс(<£>c(z), <£>5(w)). Поскольку по предложению 1 Фс(0, <£>5(w)) = const, то Ф(^ w) = const.

Покажем, что при автоморфизме шара комплексная прямая переходит в комплексную прямую. Действительно, пусть г = с + (й — с)£. Вычислим (г, с) = |с |2 + (й, с) — |с|2), тогда

с(|с|2 — (й,с)) — уг-щ^|с|2 — (й,с)с) с + — ^ = '-1 с | 2(г — | с | 2 — — | с | 2))-•

При £ = 0 получим "с(с + (й — с)0) = "С(с) = 0, при £ = Г получим

с(|с|2 — (й,с)) — ^Г—Щй|с|2 — (й,с)с) а = "Ас + (й — с)Г) = "<(й) = -|с|2(г — (й,с))-,

а в остальных точках £ оно примет вид

<£>с(c + (d - c)t) =

ei - e2t'

^ n ^i + eizi tgj eizigi

где g — вектор из С . Положим zi =-, тогда t = -, а Zj =--— =-.

ei - e21 gi + e2Zi ei - e2t eigi

Поэтому <^>c(c + (d - c)t) определяет комплексную прямую, проходящую через точки 0 и а. По теореме 1 имеем Фс(е^ w) = const, тогда Ф(c + (d - c)t, w) = const.

d e F

Следствие 4. В условиях теоремы 2 верно равенство

= 0 при ЦвУ > 0.

z=c+(d-c)i

Теорема 3. Пусть п = 2 и функция /(С) € С($) обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль семейства £{а,С1й}, точки а, с, й € В не лежат на одной

2 двФ

комплексной прямой в С2, тогда --—^— = 0 для любого г € В и ||в|| > 0, а /(С) голоморфно продолжается в В.

Доказательство. Переведем точку й автоморфизмом " в точку 0. При этом условия относительно точек 0, "(а) и "(с) останутся прежними. Поэтому точки "(а) и "(с) снова обозначим через а и с.

дв Ф

Пусть г — произвольная точка прямой (а с, тогда по теореме 2 имеем --—^— = 0 при

11 в N > 0. А по теореме 1

1 в нуле) тогда --—^— = 0 для всех г € (о г, т. е. для всех точек г из некоторого

открытого множества в В. Подставляя в последнее равенство ад = г и используя равенство дв Р

то —г—5— = 0 для всех точек г из некоторого открытого множества и, следовательно,

дев

во всех точках шара В в силу вещественной аналитичности функции Р

——— = 0 для любого г € В и ] = Г,..., п, поэтому Р(г) голоморфна в В, а значит, /(£) голоморфно продолжается в В.

Из теоремы 3 следует, что в шаре В С С2 достаточным множеством для непрерывной функции, заданной на границе шара, является множество £{а , с , где а, с, й — произвольные точки из шара, не лежащие на одной комплексной прямой.

Обозначим А множество точек а^ € В С С", к = Г,..., п+Г, не лежащих на комплексной гиперплоскости в С".

Теорема 4. Пусть /(С) € С($) обладает свойством одномерного голоморфного продол-

двФ

жения вдоль семейства £д, тогда —д—в— = 0 для любого г € В и ||в|| > 0, а /(С) голоморфно продолжается в В.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по п. Основанием индукции является теорема 3 (п = 2). Предположим, что для всех размерностей к < п теорема верна. Не ограничивая общности при к = п, будем считать, что ап+1 = 0.

Рассмотрим комплексную плоскость Г, проходящую через точки ах,... ,а„, ее размерность по условию теоремы равна п — 1 и 0 / Г. Пересечение Г П В является некоторым шаром в С"-1. Функция / |Гп5 непрерывна и обладает свойством голоморфного продолжения

дв Ф

вдоль семейства £д,, где = {ах,..., ап}. По предположению индукции --—- = 0

д—в

дв Ф

Соединяя точки г' € Г с точкой 0, получим по теореме 1, что —д—в— = 0 при ||в|| > 0 для некоторого открытого множества в В. Отсюда, как и в теореме 3, получаем, что Р(г) голоморфна в В, а значит, /(£) голоморфно продолжается в В.

При написании статьи авторы были поддержаны грантом РФФИ 11-01-00852.

Список литературы

[1] М.Л.Аграновский, Р.Е.Вальский, Максимальность инвариантных алгебр функций, Сиб. матем. журн., 12(1971), №1, 3-12.

[2] E.L.Stout, The boundary values of holomorphic functions of several complex variables, Duke Math. J, 44(1977), no. 1, 105-108.

[3] Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Новосибирск, Наука, 1979.

[4] A.M.Kytmanov, S.G.Myslivets, Higher-dimensional boundary analogs of the Morera theorem in problems of analytic continuation of functions, J. Math. Sci., 120(2004), no. 6, 1842-1867.

[5] J.Globevnik, E.L.Stout, Boundary Morera theorems for holomorphic functions of several complex variables, Duke Math. J., 64(1991), no. 3, 571-615.

[6] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, О семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения, Матем. заметки, 83(2008), №4, 545-551.

[7] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, В.И.Кузоватов, Семейства комплексных прямых минимальной размерности, достаточные для голоморфного продолжения функций, Сиб. матем. журн., 52(2011), №2, 326-339.

[8] M.Agranovsky, Propagation of boundary СД-foliations and Morera type theorems for manifolds with attached analytic discs, Advances in Math., 211(2007) no. 1, 284-326.

[9] M.Agranovsky, Analog of a theorem of Forelli for boundary values of holomorphic functions on the unit ball of Cn, Journal d'Analyse Mathematique, 113(2011), no. 1, 293-304.

[10] L.Baracco, Holomorphic extension from the sphere to the ball, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 388(2012), no. 2, 760-762.

[11] J. Globevnik, Small families of complex lines for testing holomorphic extendibility, Amer. J. of Math. (to appear), http://arxiv.org/abs/0911.5088.

[12] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения, Новосибирск, Наука, 1992.

[13] У.Рудин, Теория функций в единичном шаре из Cn, М, Мир, 1984.

Holomorphic Continuation of Functions Along Finite Families of Complex Lines in the Ball

Alexander M. Kytmanov Simona G. Myslivets

In this paper we consider continuous functions given on the boundary of a ball B of Cn, n > 1 and, having one-dimensional property of holomorphic extension along the families of complex lines, passing through finite number of points of B. We study the problem of existence of holomorphic continuation of such functions in a ball B.

Keywords: holomorphic continuation, Poisson integral.