Применение методов многокомпонентного анализа для решения некорректных задач

Системный анализ и управление

Шерыхалина Н. М., Поречный С. С. Применение методов многокомпонентного анализа

для решения некорректных задач

Введение

Согласно определению корректности по Ада-мару задача считается корректно поставленной, если ее решение существует и единственно, а малое изменение исходных данных приводит к малому изменению результатов. Проблема некорректности гораздо сложнее, чем это следует из грех условий данного определения. Например, некорректной по Адамару является задача решения квадратного уравнения.

Наряду с этим имеют место существенно некорректные задачи, например, задача интерполяции и задача приближенного определения предела по поведению конечных подпоследовательностей.

При решении некорректных задач применимы различные подходы.

Традиционный подход заключается в следующем: некорректность задачи - это недостаток информации и нужно в той или иной форме дополнить ее априорной информацией [1-5].

Другой возможный подход: некорректная задача - это невидимая за погрешностью, за шумом информация. Необходимо найти способы ее расшифровки и подавления шума. Отсюда возникают идеи многокомпонентного анализа, повторной экстраполяции, фильтрации и т. п.

Идея многокомпонентного анализа заключается в представлении зависимости погрешности от параметра дискретизации (например, шага или числа узлов сетки) в виде суммы нескольких компонентов, которые могут иметь разный характер [6-8]. В ряде случаев такой вид зависимости обоснован математическими методами, например, разложением по формуле Тейлора. Эксперимент, однако, показывает, что не всегда

многокомпонентность можно объяснить прямым применением формулы Тейлора. Это многокомпонентное представление можно считать априорной информацией. В отличие от использования дополнительной априорной информации, которая в общем случае влияет как на оценки погрешности, так и на сами результаты, применение разных алгоритмов при многокомпонентном анализе не должно приводить к получению противоречащих друг другу данных. Наоборот, сравнение и проверка на непротиворечивость результатов разных способов анализа позволяет повысить достоверность полученных оценок. Отметим, что непротиворечивость результатов следует понимать как пересечение интервалов неопределенности, которые порождаются приближенными значениями и оценками их погрешностей, полученными разными методами [9].

Представляется перспективным использовать подходы и идеи, которые применяются в области информационных технологий, например:

• идентификация математической модели по

результатам численного эксперимента;

• обработка результатов эксперимента путем

численной фильтрации для подавления ненужных и выделения полезных компонентов;

• визуализация результатов эксперимента и

распознавание образов;

• эвристические критерии для поддержки при-

нятия решения о достоверности оценки в условиях неопределенности.

В связи с этим предлагается разделить задачу анализа результатов на подзадачи.

Первая - это обработка результатов численного эксперимента с получением для дальнейшего анализа по возможности большего численного

материала. Приведенный ниже общий метод решения этой задачи назван численной фильтрацией.

Вторая - анализ полученного путем фильтрации численного материала для поиска ответа на вопрос: можно или нельзя доверять полученным оценкам. Точнее, речь идет о принятии решения: оценка принимается или отвергается. Для этого необходима разработка критериев и правил, на основе которых принимается это решение. Необходима также экспериментальная проверка данных правил, поскольку они сформулированы на основе определенных допущений и эмпирических знании.

Третья подзадача - это проверка сформулированных выводов. В основном, это сравнение с результатами, полученными независимо друг от друга разными методами. Возможно построение различных математических моделей для оценки влияния количества проверок на надежность результата [9]. При этом завышение точности приводит к увеличению достоверности.

1. Задача интерполяции

Рассмотрим задачу интерполяции (перенести определение) функции /(дг)= бшдс. С точки зрения вычислителя эта задача вполне разрешима, так как известна производная этой функции любого порядка, ее легко оценить сверху, и вместе с этим становится возможной оценка погрешности [10, И]. Данный момент является ключевым для вычислителя. так как именно оценка погрешности придает численному результату информационную ценность. Кроме того, появляется возможность, варьируя степенью интерполяционного многочлена, положением узловых точек, добиваться чтобы погрешность не превышала заданного значения. С математической и практической точек зрения задача имеет смысл.

Обшая задача интерполяции (вычисления приближенного значения функции, заданной только своими значениями в узловых точках) является существенно некорректной, поскольку существует бесконечное число функций, графики которых проходят через конечное число точек. С чисто математической точки зрения, без задания дополнительной информации эту задачу решать нет смысла, поскольку невозможно оценить погрешность (относительно какой функции ее оценивать, если существует множество разных функций?).

После появления ЭВМ задачи интерполяции функций, заданных таблично, не потеряли актуальности, поскольку в результате численного решения сложных задач получается ряд значений искомой функции при разных значениях входного параметра. Получение большого числа таких значений сопряжено с большими затратами машинного времени. Применение интерполяции позволяет существенно уменьшить эти затраты.

Основополагающее значение задачи интерполяции объясняется также тем, что многие методы решения задач численного дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных и интегральных уравнений сводятся к дифференцированию и интегрированию интерполяционного многочлена.

Некорректность общей задачи интерполяции сводится к тому, что к полученному нами решению задачи интерполяции может быть добавлена произвольная функция ф(дг), имеющая нулевые значения во всех заданных узловых точках.

Можно указать разные способы использования нескольких сеток для повышения надежности получаемых результатов. Если результаты интерполяции с использованием двух сеток совпали с оцененной погрешностью, то мы убеждаемся, что гипотетическая добавочная функция ф(дг) имеет нулевые значения (в рамках этой погрешности) и в узлах новой сетки. Продолжая этот эксперимент, мы приходим к заключению, что ф(х) равна нулю все в большем и большем числе точек. Из этого мы делаем вывод, что эту гипотетическую функцию ф(д) следует принять равной нулю во всех точках.

Это не есть математическое доказательство, поскольку каков бы ни был набор точек, при любом количестве численных экспериментов он конечен, а значит, можно вообразить функцию, равную нулю во всех узлах всех сеток, но не равную нулю тождественно.

Принцип проверяемости результатов, оценок и выводов имеет не строго логическое, а скорее практическое обоснование с позиции «здравого смысла», как это принято, например, в физике.

Таким образом, хотя полностью исключить возможность ошибки (неправильной оценки погрешности результата), связанной с некорректностью задачи, нельзя, но есть пути уменьшения такой возможности.

Многокомпонентная модель погрешности интерполяции алгебраическим многочленом т-й

степени Рт(х) функции/(л), имеющей п+1 непрерывную производную на сетке .г, у'= 1.....М

представляется в следующем виде [12]:

'и-'м-у/п!"')-

к+т

-П ('-»/) X

п-т /•(т+Р) р-1

=2 («+р)! ,/=0

X (-V - «Г -

/=* р к+т

-П (*-*/М*). /=*

к + т , к+ш 1

где V -К^Г-Т!

Ык х,- ~ Х1 1*1

Л»* О г>"|

/ \ / чп-т

у *)= / ч, (Л-с) ,

(/и + I )!(// - ту.

хк < С < ХА < П < *к+т-

2. Фильтрация

Целью фильтрации является устранение первой составляющей погрешности интерполяции в (1) (в предположении, что она больше других). Тогда уточненное значение может быть использовано для оценки погрешности интерполяции, аналогично правилу Рунге.

Строится два интерполяционных многочлена с использованием наборов узлов одной сетки, смещенных на шаг один относительно другого.

.. к + т к+т

ЯЧ*)- 1*П

.г - дг,

1=к ¡=к Х1 ~ Х1 1*1

... к + т + 1 к+т + 1 ~ „

42)(*) = I V, п

1*1

В соответствии с (1),

¿-(»1+1) 1 \ и

гИ'1) (,.

^-м-^-Жу-',)---

Составим линейную комбинацию:

= а^"

к+т+1

аП

и потребуем, чтобы суммарный коэффициент при / (.г) был равен 1. а второе слагаемое в (2) равно 0. Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно аир:

а + р = 1, а П' (.г - х\1)) + р р] (.г - х<2)) = 0.

1=к ^ ' /=к ^ '

Решение этой системы:

/=*+1

/=А+1 /=*-!

.V - ДГ

к - т . I

(-г •Х*)~(ДС Хк .т .I ) Хк + т+\ Хк Р = _Л" ~ УА_ = л' ~ л А

(.V - хк ) - (х - + т + 1 ) + | - хк

Отсюда получим формулу фильтрации:

Р{х) = *к+т+х ~Х рЦ](х) +

хк + /и +1 ~ хк

X - Л7

Хк+т +1 ~~ Хк

Формула (3) представляет собой рекуррентное соотношение Эйткена и позволяет получить интерполяционный многочлен я+1-й степени с помощью двух многочленов /7-й степени [10].

Таким образом, данный способ фильтрации сводится к построению интерполяционного многочлена Рт4., (.г). Поэтому следующая фильтрация состоит в построении многочлена Рт+2 (-*) и т. д.

3. Критерий размытости

Поскольку оценки погрешности, полученные с помощью фильтрации (3), справедливы только в случае, когда многочлен более высокой степени дает более точный результат (а это может быть не так), то необходима проверка справедливости этого допущения.

Оценкой погрешности проверяемого значения Рт (л ) считается разность Ат = Рт (дс) - Рт+[ (л). Процесс увеличения степени интерполяционного многочлена можно продолжить и получить значение Рт+2 (дг). Разность Л<: = Рт+1 (.г) - Рм+, (л) является оценкой погрешности оценки погрешно-

+...= сти. Отношение/1"' =

имеет смысл от-

носительной размытости оценки погрешности.

При повторных фильтрациях вычисляются коэффициенты размытости

Ai)

= Д

Ги/д

=|(/>т.,+1 (.V) - РтЧ+2 {х))!(РтЧ (*) - Рт+у+| (дг))|.

Если при этом г]/' < г < 1, то изменение результата фильтрации мажорируется сходящейся геометрической прогрессией. При этом ее сумму можно использовать как предсказание наибольшего отклонения гипотетического предела от вычисленного значения.

Рассмотрим три вычисленных значения

'т+уС*)' 'т+у+|(х)> ^/114-7 + 2 (*)•

Результат вычислений представляется в виде интервала:

У = ^m+j + l (*) ±

= (х) - (х).

Если справедлива гипотеза о мажоранте в виде геометрической прогрессии с основанием г < 1/2. то при продолжении фильтрации результат вычислений не выйдет из указанного интервала. Следовательно, оценка погрешности будет достоверной. Для повышения надежности в [6,7.8.12] в качестве критерия используется более жесткое

условие г^' < г < 1/3. При этом, чем большее

количество чисел г^1 вычислено и удовлетворяет этому условию, тем больше надежность полученных оценок.

Следует отметить, что при интерполяции поведение Рт+, (х) при увеличении / может не удовлетворять данному условию, т. е разности полиномов при увеличении / убывают медленнее или нерегулярно. В этом случае в качестве исследуемой последовательности можно использовать значения полиномов через один, два и т. д. номера, если эта последовательность удовлетворяет критерию размытости. При этом все предыдущие рассуждения остаются справедливыми.

Важной деталью приведенного обоснования критерия размытости является не только мажорирование геометрической прогрессией, но и предположение о существовании предела последовательности Р (.г) при у-»°о. Парадокс заключается в гом, что последовательность Р (.х), как показывает эксперимент, может не иметь предела, даже, если предположить бес-

конечное развитие процесса вычислений. В этом проявляется двойственность поведения решений задачи интерполяции (все хорошо до определенного момента, а потом все портится), что не является исключением, а скорее правилом при применении различных численных методов. Эту двойственность следует рассматривать как факт, подтвержденный множеством экспериментов, например, критическое значение относительной размытости, равное 1/3, сначала возникло как вывод из анализа численного эксперимента [12]. Поэтому основным обоснованием критерия размытости следует считать экспериментальное, и целью его применения является увеличение надежности оценок, а не строгое доказательство их справедливости.

4. Численный эксперимент

Дтя тестового численного эксперимента были использованы результаты расчета значений sin.v в точке х = 0,1 с помощью интерполяции на сетках

х: = 20к- , j = 0,...,« для п — 50, 100,200,..., п

6400. Степени интерполирующих полиномов т изменялись от 1 до 30.

Результаты фильтрации и оценки погрешности удобно представлять на графике в виде зависимости -lg¿> (десятичного логарифма относительной погрешности), т.е. точности, выраженной в количестве точных десятичных знаков от десятичного логарифма степени полинома т.

Результаты расчетов представлены в виде графиков (рис. 1). На каждом графике кривые 1 построены путем сравнения с известным точным значением:

Р (.г) - sin .г

5 =

sin X

кривые 2 - сравнением значении полиномов:

8 =

Рт

Рт+\ П

Рис. 1. а-г соответствуют разному числу узлов (разному шагу сетки) п = 50; 100; 200: 6400.

Из рисунков видно, что при п = 50 увеличение степени интерполяционного полинома не приводит к увеличению точности; при п = 100 точность увеличивается от от 0 до 8 значащих цифр (при изменении степени полинома от 1 до 30); при п = 200 сначала происходит увеличение точности до 12 знаков, затем уменьшение точности; при п = 6400 для т > 7 точность устанавливается на уровне 16 значащих цифр.

а б

Рис. 2. Зависимость значений погрешностей интерполяционных полиномов разных степенен от \grti:

а-п = 50:б-п= 100

Рис. I. Зависимость значений погрешностей интерполяционных полиномов разных степеней ог ^ т:

а - п = 50; 6 - » = 100; в - п = 200; г-п = 6400

случаях имеет аномально малые значения. Это можно объяснить тем, что функция sin.v нечетная, а интерполяционные полиномы содержат четные составляющие.

Для увеличения надежности оценок можно использовать простейший способ статистической фильтрации - усреднение по паре значений полиномов. На рис. 2 приведены результаты такой фильтрации. Сравнивая рис. 1, а, б и рис. 2, а, ó нетрудно отметить повышение точности оценок.

По этим результатам можно судить о точности оценки погрешности, которая получается в виде разности значений полиномов разных степеней. Отметим, что имеет место запаздывание оценки по разности значений полиномов относительно точного значения в тех случаях, когда точность интерполяции при увеличении т растет (особенно это заметно на рис. 1, е. г), которое объясняется тем. что с помощью более точного значения оценивается менее точное. Кроме того, как видно на рис. 1, а, б, разность полиномов в некоторых

На рис. 3 показаны результаты интерполяции численных решений задачи о волнах [13]. Кривая 1 построена путем сравнения с эталоном (поскольку точное значение неизвестно), кривая 2 - сравнением значений полиномов, как и выше. Видно, что погрешность интерполяции можно уменьшить до 15-й значащей цифры. Ограничение в данном случае объясняется количеством разрядов мантиссы чисел в машинном представлении.

1 5 10 15 m

Рис. 3. Зависимость значений погрешностей интерполяции решений задачи о волнах от m

дойти как к задаче интерполяции зависимости г(л) от параметра х = 1 /п алгебраическим многочленом с последующей экстраполяцией до х = 0 (метод Ромберга. см. [10, 11]). Другой подход. приводящий к аналогичному алгоритму, но не требующий целочисленности к/ - это численная фильтрация, т.е. последовательное устранение степенных слагаемых суммы (4) при сохранении значения константы 2.

Пусть имеется последовательность гя , / = вычисленных результатов. При

увеличении п в целое число раз. т.е. п.= п ()'~\ задача фильтрации решается точно, несмотря на наличие неизвестной составляющей Д(н). Дня этого рассмотрим два значения г„ |, гп , вычисленные при числе узлов, равном я(_, и л, = ( соответственно. Составим линейную комбинацию, аналогичную (2):

п,

= (а,+Р,.) * + +МГ*У)СУ'"1, + -

Следует отметить, что разность между ординатами точек является десятичным логарифмом отношения оценок погрешностей. Поэтому относительная размытость гЦ- легко определяется из графика. Надежные оценки получаются при достаточно большом расстоянии между точками кривых (а именно, большем lg 3 « 0,5, в соответствии с принятым выше критерием).

5. Определение предела последовательностей

Рассмотрим зависимость погрешности вычисления некоторым численным методом некоторой величины z, которая часто представляется в виде суммы:

г„ - г = ctn'k> + с2п~к; + ... + cLn'ki + д

где г - точное значение; z — приближенный результат, полученный при числе узловых точек (или числе слагаемых суммы), равном и; kt - произвольные известные действительные числа (А',< кл<...< kL).

Такую зависимость погрешности имеют многие методы численного дифференцирования, интегрирования и т. д. Если при решении задачи можно допустить возможность разложения функций по формуле Тейлора, то к/ - это часть ряда натуральных чисел. Тогда к задаче оценки предельного при и -> оо значения г можно по-

(/= 1,.-¡10) = ) и потребуем, чтобы, суммарный коэффициент при г был равен 1, а при су~и равен 0. Тогда а,=-((?*'- 1) , (3, = 1 - ау Отсюда получим формулу фильтрации. которая в данном случае совпадает с экстра-поляционной формулой Ричардсона [10. 11]:

Si) _

_(>-!) _ JJ-и

£/< - 1

Проводя последовательно фильтрацию по всем парам соседних значений ~п ^, гп , получим отфильтрованную зависимость, не содержащую

члена с и

М) _

,<л„ */.1

где

JJ) -ci ~

l=j +

+ c)Vi"

f \~к> n.

+ ... + су n

V)„ h

+ Д <»(я).

aj

Jj h _ .(/  i — ti

-.) Qk' - Qk'

Qk' - 1

Заметим, что отфильтрованная последо-

чем Если она содержит больше одного

члена, то ее также можно отфильтровать, устранив степенную составляющую с п к'*' .Операции

4

фильтрации можно повторять последовательно для л л , если исходная последовательность содержит достаточное количество членов.

Главным ограничением для применения рассмотренного метода является наличие неизвестной составляющей погрешности Д(п).

Если зависимость 2п от п имеет нерегулярную составляющую, модуль которой оценивается сверху величиной Д,0), то модуль нерегулярной

части погрешности Д1". содержащейся в значениях , при каждой фильтрации можно оценить сверху следующим образом:

, д(/~ " + А>/ " - С?*' <2к<- - 1 ф - 1 Для метода Ромберга, применяемого к последовательности (4) (£=/), произведение:

ñ

ограничено числом, приближенно равным 8, т. е. метод Ромберга является устойчивым к погрешности исходных данных.

Результат расчета с оценкой погрешности

СМ) + а(»

п '

У)

представляется в виде интервала z = -„ ' ± Д

Д</> = z[j) - ziy+l).Отношение ¿J) =

д(/+,)М

имеет смысл относительной размытости оценки пофешности. которая используется для проверки выполнения критерия размытости, как было указано выше.

5. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей

Пусть на отрезке [а.Ь] требуется найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами:

у" + р

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

сху

с, + 6S * 0,

* 0.

Численное решение задачи методом конечных разностей состоит в нахождении приближённых значенийу0,у,,...,уп искомого решения Цл) в узловых точках л(), .v.....,хп. Используем равномерную

сетку, образованную системой равноотстоящих узлов x¡ - .t0 + ih, i — 0, 1, 2, ..., п. При этом х0 = а, хп= b, h — (b-a)/n. Аппроксимируем y'(v.) и УС*,) в каждом внутреннем узле центральными разностными производными и на концах отрезка - односторонними производными. При подстановке разностных производных в (6) получившиеся равенства образуют систему п + 1 линейных алгебраических уравнений с п + 1 неизвестными

у0, ух.....уп с трехдиагоналыюй матрицей. Таким

образом, чтобы найти приближённое решение дифференциальной задачи (6), (7) необходимо решить эту систему методом прогонки.

В соответствии с аппроксимационными свойствами разностных производных значение А', равно 2, если е,= с/, = 0. или 1 в противном случае.

Зададимся решением задачи (6). (7), например, у = sin х, а = 0, b = к/4 . Тогда левая часть уравнения (6) дает:

-sin.v+ р{х)cosх + í/(.v)sin .y = /(.v).

с, sin a + c2 cos a = c,

í/i sin b + d2 cos b = el.

Определяя из этих равенств значения /(je), с и с/, получим краевую задачу с известным точным решением, которое можно использовать в качестве тестового. Пусть:

а = 0,Ь = ±р{х) = -T—.q{*) = -Т= <9> 4 * - 1 VI - *

Результаты фильтрации полученных численных данных представлены на рис. 4.

Рис. 4. Фильтрация результатов численного решения задачи (8)49) конечно-разностным методом. Прямая V = 19-2-1у п

Отличительной особенностью этих результатов по сравнению с рассмотренными в [7, 8] задачами численного интегрирования является

быстрое (~п:) увеличение погрешности округления при возрастании п.

Для сравнения рассмотрим решение той же задачи методом стрельб (редукции к задаче Коши) [10, 11] (рис. 5).

Рис. 5. Фильтрация результатов численного решения задачи (8)-(9) методом стрельб. 11рямая у = 16.5—/41§ п

Из рис. 5 видно, что погрешность округления в двух случаях ведет себя совершенно по-разному. В методе стрельб механизм образования погрешности округления тот же, что и при однократном решении задачи Коши (определяется статистическим законом накопления квазислучайной погрешности, аналогично численному интегрированию функций [6, 8]).

6. Анализ результатов численного эксперимента

Алгоритм решения задачи методом конечных разностей содержит дополнительный элемент - решение системы линейных алгебраических уравнений, что и вызывает вопросы о возможном влиянии дополнительной погрешности. Метод прогонки заключается в вычислении прогоночных коэффициентов щ, V,- и использовании рекуррентной зависимости у, = и, + у(._у/+1 для определения искомых величин >•, в обратном порядке следования / = л - 1, л - 2.....1,0 . Рекуррентные формулы

могут способствовать накоплению погрешности округления, аналогично численному интегрированию [6]. Для устранения этой возможности была предпринята попытка применения попарного суммирования. Однако результат такого видоизменения алгоритма практически не отличается от исходного.

Другой причиной погрешности может быть особенность последовательностей и,, V, , поскольку для их вычисления используется операция

деления. На самом деле, исследование показывает, что для задачи (8) с указанными выше зависимостями /?(л), д(х) при делении знаменатель меняет знак. Чтобы устранить эту возможную причину погрешности была решена задача (8) при р(х) = 1. ^ (.г) = 1. Как показал численный эксперимент. наклон пунктирной прямой не изменился. Произошел параллельный сдвиг прямой вниз на три единицы. Тем самым, изменение р(х), с/(х) приводит к изменению только коэффициента, но не закона нарастания погрешности округления 5 (л) = б0/г при увеличении п.

Все сказанное выше заставляет искать причину погрешности в другом направлении. В [6] подобная квадратичная зависимость погрешности округления от п наблюдалась при фильтрации результатов вычисления второй разностной производной. При решении краевой задачи также вычисляется вторая конечно-разностная производная. При этом погрешность округления определяется операцией вычитания близких значений функции

I , ч| 4ДП 4ДП V Д(л) < —г- =--—— л" при вычислении вто-

Л Л А (Ь-а)2

рой производной, поэтому увеличивается как п2 при увеличении п. Если в (6) ц (л ) = 1, то изменение У(*) на некоторую константу эквивалентно изменению на эту константу решения у (.V). Если ц(х) * 1, то результатом возмущения г" (.г) будет

более сложное возмущение у (.г), чем Д (п)/д (*) и это отношение может быть использовано только для грубой оценки данного возмущения. Эта грубая оценка, тем не менее, позволяет утверждать, что чем больше </(*), тем меньше влияние погрешности производной на решение. Последнее и подтверждается численным экспериментом.

Выводы

Экспериментальная проверка на тестовых примерах показала, что, несмотря на некорректность, путем многокомпонентного анализа и повторной фильтрации возможно получение достоверных оценок погрешности рассмотренных задач, а предложенный критерий размытости позволяет установить практически, можно доверять полученным оценкам или нет.

Методы численной фильтрации позволяют исследовать различные компоненты погрешности. Например, устранение влияния погрешности численных методов дает возможность изучить

характер погрешности округления при решении различных задач вычислительной математики.

В качестве примера было рассмотрено решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения двумя методами. При решении методом стрельб погрешность определяется механизмом накопления погрешности округления при вычислении сумм [6] (зависит

от числа разбиений п по статистическому закону как V« ). При решении методом конечных разностей численная погрешность определяется погрешностью численного дифференцирования, связанной с округлением значений искомой функции, которая для второй производной оценивается как 10 А,гг, где М - длина мантиссы в десятичных разрядах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. -240 с.

2. Тихонов А. Н„ Гончарский А. В., Степанов В. В. и др. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 290 с.

3. Тихонов А. И., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. 1995. 312 с.

4. Федотов А. ¡VI. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.280 с.

5. Зверев Г. Н., Дембицкий С. И. Оценка эффективности геофизических исследований скважин. М.: Недра. 1982. 224 с.

6. Шерыхалина Н. М. Применение фильтрации для обработки результатов численного эксперимента // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9. № 7. С. 90-96.

7. Житников В. П., Шерыхалина Н. М. Обоснование методов фильтрации результатов численного эксперимента // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9. № 3. С. 71-79.

8. Шерыхалина Н. М. Применение фильтрации численных результатов для увеличения надежности САПР // Информационные технологии, 2008, № 9. С. 16-22.

9. Житников В. П., Шерыхалина Н. М. Оценка достоверности численных результатов при наличии нескольких методов решения задачи // Вычислительные технологии. 1999. Том 4. N 6. С. 77-87.

10. Бахвалов Н. С., Жидков И. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука. 2004. 636 с.

11. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 256 с.

12. Вычислитетельная математика: учебное электронное издание / В. П. Житников. Н. М. Шерыхалина, Г. И. Федорова, О. Р. Зиннатуллина; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-г. Уфа: УГАТУ. 2008. И н форм регистр, peí. св-во № 12683 от 20.02.08.

13. Житников В. П. Гравитационные волны на офаниченном участке поверхности жидкости // Прикл. мех. и техн. физика. 1996. Т. 37. № 2. С. 83-89.

Клюшин А. Ю., Кузнецов В. Н. Информационно-управляющие системы принятия решений

целеустремленными субъектами

Информационно-управляющая система (ИУС) или субъект информационного управления представляет централизованное или распределенное подразделение, выполняющее функции информационной поддержки или информационного управления принятием решений активными субъектами организационной системы управления. ИУС обеспечивает рост эффективности управленческих решений за счет применения формальных методов и средств обработки и отображения информации.

Системы принятия решений представляют собой целеусфемленные системы, т.е. системы.

которые проявляют волю, выбирают в соответствие со своими целями проблемы и задачи принятия решений, и средства их выполнения. В этом случае принятие решения осуществляется в процессе целеусфемленного поведения лиц и фупп, анализирующих решения и осуществляющих выбор. Целеустремленное поведение включает в себя формирование лицами и группами, осуществляющих выбор, модели ситуации выбора, на основе которой они оценивают свое целеу-сфемленное состояние. Если целеустремленное состояние перерастает в проблемную ситуацию.