Качественное исследование модели формирования разориентированных структур пластической деформации ГЦК-металлов

Качественное исследование модели формирования разориентированных структур пластической деформации ГЦК-металлов

Т.В. Онипченко, С.Н. Колупаева, В.А. Старенченко

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, Томск, Россия

Проведено исследование возможных путей развития дефектной подсистемы, состоящей из дислокаций и дислокационных стенок, в процессе пластической деформации ГЦК-металлов. При исследовании использована математическая модель, представляющая собой кусочно-сшитую систему из двух дифференциальных уравнений баланса дислокаций и дислокационных стенок. Граница сшивания определяется условием динамического формирования зародышей дислокационных стенок в процессе пластической деформации. Определены все возможные варианты структуры фазового пространства модели в зависимости от взаимного расположения стационарных точек и границ сшивания. Прямыми расчетами с использованием модели показано, что все полученные при анализе сценарии развития дефектной подсистемы могут быть реализованы при имеющих физический смысл значениях параметров модели.

1. Введение

Необратимая пластическая деформация металлических материалов в широком спектре условий деформирования связана с формированием зон кристаллографического сдвига [1-7]. Зона сдвига формируется с высокой скоростью в результате потери устойчивости дислокационным источником [5, 8]. В процессе распространения элементарного скольжения ограничивающая его расширяющаяся замкнутая дислокация пересекает десятки тысяч дислокаций других систем скольжения. При контактном взаимодействии дислокаций на них возникают дефекты: пороги и перегибы. Пороги, скользящие вместе с дислокациями, порождают точечные дефекты — межузельные атомы и вакансии [4, 5], которые являются важным структурообразующим фактором, определяющим интенсивность аннигиляции дислокаций в процессе деформации. В процессе движения дислокаций при формировании зоны кристаллографического сдвига точечные дефекты могут захватываться и поглощаться их экстраплоскостями, в результате чего у границы зоны сдвига могут возникать зародыши дислокационных стенок [9, 10].

В работах [9, 10] предложена математическая модель, включающая уравнения баланса дислокаций и дислокационных стенок, и показано, что для ГЦК-металлов динамическое возникновение зародышей дислокационных стенок возможно в достаточно широком спектре

условий деформирования. Рассмотрены также некоторые возможные варианты развития дефектной подсистемы, состоящей из дислокаций и дислокационных стенок, проведено качественное сравнение найденных тенденций развития дефектной структуры с наблюдаемой при деформировании ГЦК-материалов.

Целью настоящей работы является анализ математической модели, предложенной в [9, 10], и выявление всех возможных (в рамках приближений модели) сценариев развития дефектной среды, состоящей из дислокаций и дислокационных стенок. Исследование проводится с использованием аппарата теории устойчивости и методов качественного анализа динамических систем.

2. Математическая модель формирования разориентированных структур пластической деформации

2.1. Условие динамического образования зародышей дислокационных стенок

Рассмотрим механизм динамического образования зародышей дислокационных стенок вследствие взаимодействия дислокаций и межузельных атомов как наиболее подвижных дефектов [9, 10].

После активации дислокационного источника краевые и близкие к ним участки дислокационных петель,

© Онипченко ТВ., Колупаева С.Н., Старенченко В.А., 2000

испускаемых источником дислокации, в процессе скольжения могут совершать диффузионное переползание. При этом величина перемещения дислокации в направлении нормали к плоскости скольжения возрастает с увеличением номера дислокации в серии, поскольку последующие дислокации взаимодействуют с большеИ концентрацией точечных дефектов. Предположим, что первая дислокация остановлена непреодолимым барьером, а вторая движется к неи под деиствием избыточного напряжения т^ [4, 5], и движение происходит по плоскостям, отстоящим друг от друга на расстояние Н, т. е. первая дислокация перемещается на расстояние Н, вторая — на 2Н и т. д. Систему координат выберем таким образом, что начало координат лежит на границе зоны сдвига, а ось ОХ проходит через источник, имеющий координаты (-0/2, 0), где D — диаметр зоны сдвига.

На единицу длины движущеИся дислокации со стороны неподвижной деИствует сила [11]:

F = -

ОЬ

(

2п

Л

(х 2 + Н 2)2

(х 2 + Н 2)2

где V — коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига. Для движущейся дислокации имеем два положения равновесия, когда сила F = 0: при х = 0 и х = Н, при этом если дислокации достигают положения равновесия х = 0, то происходит образование зародыша дислокационной стенки.

Если на дислокацию действует избыточное напряжение т^уп, то на большом удалении от границы зоны сдвига тйупЬ > F (здесь Ь — модуль вектора Бюргерса), и дислокация ускоряется под действием силы тйупЬ - F до тех пор, пока эта сила не станет равной нулю в некоторой точке х0. При этом дислокация приобретает кинетическую энергию:

Э/ 2

Е1 = 1 (Тауп Ь - F ^.

стороны последней будет действовать сила вплоть до момента достижения дислокациеИ положения х = пН:

F =-

ОЬ1

22

2п

[ х 2 + (ІН )2]2

Пусть расстояние между плоскостями скольжения дислокациИ Н равно расстоянию между дислокациями стенки h, последнее определяется соотношением [9, 10]:

И = р} 2ь/[8(п +1)],

где р — плотность дислокаций, определяемая как общая длина дислокаций в единице объема; pj — вероятность образования порога при пересечении дислокации леса; £ — доля дислокаций леса; D — диаметр зоны сдвига. Для широкого спектра условий диаметр зоны сдвига D определяется соотношением [6, 7]:

D = Вт/ (ОЬр),

где В — вычисляемый параметр, характеризующий вероятность формирования протяженных барьеров, ограничивающих зону сдвига [6, 7]; т — напряжение сдвига. Тогда в результате интегрирования (1) с учетом (2), (3) получаем:

Ьт

гїуп

4п

( (О2)2 + (іИ)2 + 2і2 (пИ)2 - (О/2)2 л

(п2 + і2)И2 п2 + і2 (0/2)2 + (іИ)2 При Щ2 >> к можно пренебречь іИ, і = 1, ..., п, тогда

хЕ

і=1

щ,

тфп^Ь >

ОЬ1

(

4п(1 - V) і=і

1п

2 і

,•2 Л

(п 2 + і 2)к 2 п 2 + і 2

При х < х0 возникает сила отталкивания F - тйупЬ, поэтому для того, чтобы движущаяся дислокация “встроилась” в стенку, она должна преодолеть барьер, энергия которого равна:

х о

Е2 = I (F -Т^упЬ^х.

к

Дислокация будет “встроена” в стенку, если Е1 > Е2, т. е.

Щ/2 Щ2

Ь | Тйупdx > |Fdx.

Н Н

В более общем случае имеем стенку из п дислокациИ с координатами у = 0, Н, ..., (п-1)Н. Тогда на (п+1)-ую дислокацию, движущуюся по направлению к стенке, со

Производя необходимые преобразования с учетом соот-= а<1упОЬр^2 [4, 5], где а. — безраз-

ношения Т

dyn

мерныИ параметр [4, 5], получим условие встраивания дислокации в стенку [9, 10]:

аdyn >

пр

-1/2

-1п----.

пЩ(1 - V) 3кп

Таким образом, при выполнении условия (6) возможно динамическое образование зародышеИ дислокационных стенок.

2.2. Система уравнений баланса дислокаций и дислокационных стенок

Для описания формирования разориентированных структур деформации в работах [9, 10] предложена мате-

>

матическая модель, включающая уравнения баланса дислокаций и дислокационных стенок. Для записи явного вида уравнений модели было проведено последовательное рассмотрение механизмов и закономерностей формирования зон кристаллографического сдвига с учетом фундаментальных физических и топологических свойств дефектов строения решетки, осуществляющих пластический массоперенос [4-7, 9, 10]. Все параметры уравнений имеют ясный физический или кристаллогеометрический смысл и могут быть вычислены (или указаны очевидные пределы их изменения). При записи уравнения баланса дислокационных стенок учтено, что краевые (и близкие к ним) участки дислокационных петель, взаимодействуя с точечными дефектами, совершают диффузионное переползание, которое может приводить к образованию дислокационных стенок двумя механизмами [9, 10, 12]: 1) вследствие взаимодействия точечных дефектов с движущимися дислокациями (механизм динамического формирования стенок); 2) вследствие переползания неподвижных краевых участков дислокационных петель и образования низкоэнергетических конфигураций (механизм релаксационного роста стенок [12]).

Систему уравнений кинетики деформационной дефектной среды, состоящей из дислокаций и дислокационных стенок, можно представить в виде [9, 10]:

dN , GFр „ , ^ дг

---= h------ (1 -ю) - Кт N +

da Вт

h штЬ2DcCk(1-ю.) Л7

+---------рN,

dр

da

Вт

№

(ю- Ар) -

рN,

где

ю=

ю8, если айуп >

1, если айуп <

пр

-1/2

-1п

В

пВ(1 - V) 3hn

пр

-1/2

-1п

В

пВ(1 - V) 3hn

В уравнениях (7)-(9) используются следующие обозначения: N — плотность стенок, определяемая как общая их площадь в единице объема; а — степень деформации; F — вычисляемый параметр, характеризующий геометрическую конфигурацию зоны сдвига [6, 7], ю8 — доля винтовых дислокаций; Кт — константа [12]; ш — ориентационный множитель; Вс — коэффициент диффузии; Ск — концентрация точечных дефектов; k — постоянная Больцмана; Т — температура. Первое

слагаемое в уравнении (7) описывает интенсивность динамической генерации стенок в процессе деформации при условии, что все вновь образованные невинтовые дислокации перестраиваются в стенки [9, 10]. При этом необходимо учитывать, что динамическое формирование стенок происходит лишь при выполнении условия (6). Второе слагаемое — скорость распада стенок силовым путем при повышении деформирующего напряжения. Третье слагаемое — скорость релаксационного роста стенок при поглощении ими дислокаций.

В уравнении баланса дислокаций (8) первое слагаемое — скорость генерации дислокаций, второе — скорость аннигиляции винтовых дислокаций поперечным скольжением, А = 1/48п (ю^Ь/т£)_ — параметр аннигиляции [6, 7, 12], где тг — напряжение трения. Третье слагаемое в (8) описывает интенсивность изменения плотности дислокаций, вызванного их поглощением при релаксационном росте стенок [12]. Для напряжения сдвига используем зависимость вида т = т£ + аGbрl2, где а — параметр, характеризующий интенсивность междислокационных взаимодействий.

3. Исследование возможных путей развития дефектной подсистемы, состоящей из дислокаций и дислокационных стенок

3.1. Качественное исследование модели

Рассматриваемая математическая модель представляет собой кусочно-сшитую систему обыкновенных дифференциальных уравнений баланса дислокаций и дислокационных стенок, наиболее удобным математическим аппаратом анализа которой является аппарат теории устойчивости и методы качественного исследования динамических систем.

Исследование проведем для области низких температур (для температур порядка 200^500 К), где значение коэффициента диффузии мало, поэтому можно положить Вс = 0. Тогда уравнения (7)-(8) примут вид:

dN , GFр „ , ^

— = — (1 -ю) - Кт N,

da Вт

dр GFр

— = —- (ю-Ар),

da Вт

где ю определяется по формуле (9).

Запишем систему (10) с учетом выражений для D, h, т и А:

FBp£

dN

da 8(п + 1^Ь

(1 - ю)(т^ + аGЬрll2) - КтN,

dр

GFр

(

da В

ю-

( ^ ^ (11) ю^Ь

48п

где

р

т

0.0 и.

0 2.5 -1013 5 -1013 0 2.5-1013 5-1013 0 2.5-1013 5-1013

р, М"2 р, М"2 р, М"2

Рис. 1. График функции ^

Ш =

ш8,если аёуп >

пОЬ р

-V2

х 1п

1, если а ауп <

п

8( п +1^

3пр, ЪД

nGЬ р

-V2

п

х 1п

8( п +1^

3npj ЪД

Полученная система дифференциальных уравнений (11) является системой автономного типа. Заметим, что система уравнений (11) является кусочно-сшитой и имеет различный вид в двух областях фазового пространства, граница которых определяется условием (9).

Рассмотрим случай ю = 1 (т. е. когда невозможно динамическое формирование дислокационных стенок). Соответствующая система уравнений

dN

= -К т N,

da

dр = GFр ( da

Вт

1

V

—— (ю8 ОЪ/ т {)2 р 48л 8

имеет две стационарные точки:

1) = 0, р^ = 0,

2) N| = 0, р2 = 48п(т{/ю8GЬ)2.

Для случая, когда возможно динамическое формирование дислокационных стенок, т. е. при ю = ю8, система уравнений (11) принимает вид:

dN = FBpj Ъ da 8( п + 1)ОЬ dр _ GFр

(1 -ю8) т- К т N,

/

da Вт

ю,

V /

и также имеет две стационарные точки:

„ ¥ВрЪт { „

1) N1 = " ' (1 -ю.), р| = 0,

2) N1

р4

8( п + 1)ОЬК т

_ FBPj = 8( п + 1)GЬK1

— (т ,1 GЬf

ю,

-(1 - юД1 + о/48п/ю,),

В обоих случаях первая точка является седлом, вторая точка — устойчивым узлом. При этом стационарная точка типа “седло” лежит в области физически нереализуемых значений плотности дислокаций и дислокационных стенок. Поэтому представляет интерес рассмотреть поведение дефектной подсистемы деформируемого материала в окрестности стационарной точки типа “узел”, которая соответствует физически реальным значениям параметров и переменных модели.

Рассматриваемая система (11) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-сшитой правой частью, т. е. в процессе эволюции системы происходит ее переключение в зависимости от выполнения условия (9). Условие динамического образования зародышей дислокационных стенок будем называть условием переключения системы (11). Проведем анализ структуры фазового пространства системы (11).

х

х

Рис. 2. Взаимное расположение ^(р) и а ^п: а — вариант 1; б — вариант 2; в — вариант 3

Прежде всего исследуем условие динамического образования зародышей дислокационных стенок (9). Для этого обозначим функцию, стоящую в правой части неравенства (9), с учетом выражений для D и к как

т (р) =

nGЬ р

1/2

п(1 - V) Вт

-1п

8( п +1^ 3пр j ЪВт

где т =тf+аGbр1/2. Принимая во внимание физические соображения, функция и£(р) может быть определена для р > 0. Асимптот функция не имеет. При р ^ 0 функция Ц5(р) стремится к 0, а при р^+^ имеем Ц5(р)^-Функция и£(р) имеет один максимум. На рис. 1 приведены графики функции и£(р) при различных значениях параметров модели.

Рассмотрим, какие могут возникать варианты взаимного расположения функции и£(р) и аауп (т. е. прямой, соответствующей левой части условия (9)) при выполнении условия (9).

1. Случай аауп > иЯ(р) представлен на рис. 2, а. Здесь ю = ю, при любых р, т. е. всегда происходит динамическое формирование дислокационных стенок. И система уравнений (11) для любых р имеет вид (16). Стационарная точка одна и имеет координаты (N4, р4), определяемые по формулам (18).

2. Случай аауп = иЯ(р) представлен на рис. 2, б, он сводится к предыдущему.

3. Случай аауп < иЯ(р), представленный на рис. 2, в, наиболее интересен, т. к. здесь возникает несколько вариантов. В этом случае а ауп будет пересекать и£(р) в двух точках (рис. 3), в результате чего получаются два значения р1 и р 2. При р<р1 и р>р2, аауп >ц«(р), следовательно, ю = ю, и происходит динамическое формирование дислокационных стенок. Система уравнений (11) принимает вид (16). При р1 <р<р2, аёуп < < Ш(р), следовательно, ю = 1 и динамическое образование дислокационных стенок невозможно. Система уравнений (11) принимает вид (13). На рис. 4 представлено взаимное расположение стационарных точек систем уравнений (13) и (16). Точка Я1, имеющая координаты (N|, р 2), определяемые по формулам (15), является стационарной точкой системы уравнений (13) (ю = 1 и дислокационные стенки не формируются). Точка £2, имеющая координаты (N^, р 4), определяемые по формулам (18), является стационарной точкой системы уравнений (16) (ю = ю, и формирование дислокационных стенок происходит). Точки Я1 и Я2 являются устойчивыми узлами. На рис. 5 представлены все возможные варианты взаимного расположения точек Я1 и

Рис. 3. Схематическое изображение взаимного расположения Ш

Рис. 4. Взаимное расположение стационарных точек систем уравнений

б

0

Рис. 5. Все возможные варианты взаимного расположения стационарных точек ^ и ^ и границ сшивания р = р1 и р = р2 систем уравнений

£ 2 и границ сшивания системы уравнений (11) р = р1 и р = р2 на плоскости N р). На рис. 6 представлено схематическое изображение фазовых траекторий системы уравнений (11) в соответствии с рисунком 5.

Опишем поведение фазовых траекторий, изображенных на рис. 6.

Рис. 6, а. На линиях р = р1 и р = р2 будет происходить как бы излом фазовых траекторий, т. к. между этими линиями фазовые траектории будут стремиться к узлу £1, при переходе через границу “сшивания” фазовые траектории будут стремиться к узлу £2. То есть развитие дефектной подсистемы идет в направлении некоторого стационарного состояния, характеризующегося ненулевыми значениями плотности дислокаций и дислокационных стенок независимо от исходного состояния.

Рис. 6, б. Этот случай аналогичен предыдущему. Только в предыдущем случае выход системы на стационарное состояние сопровождается, в основном, увеличением плотности дислокаций, а в данном случае происходит, главным образом, уменьшение плотности дислокаций в зависимости от начальных условий.

Рис. 6, в. Развитие дефектной подсистемы определяется разрушением дислокационных стенок (независимо от их исходной плотности) и выходом на некоторую стационарную плотность дислокаций.

Рис. 6, г. В данном случае могут наблюдаться два стационарных состояния в зависимости от начальных условий. Если начальная плотность дислокаций р > р1, то все фазовые траектории стремятся к узлу £1. Происходит разрушение дислокационных стенок и дефектная

Рис. 6. Схематическое изображение фазовых портретов системы уравнений (11), соответствующих рисунку 5

подсистема выходит на некоторую стационарную плотность дислокаций, как и для случая, приведенного на рис. 6, в. Если же начальная плотность дислокаций р < р1, то формирование дислокационных стенок происходит и дефектная подсистема приходит к некоторому стационарному состоянию с ненулевыми значениями плотности дислокаций и дислокационных стенок.

Рис. 6, д. Все фазовые траектории, стремясь к одному из двух “узлов”, принадлежащих различным областям фазового пространства, не достигают его. Проходя линию р = р1, фазовые траектории терпят излом, а при достижении линии р = р2 движение прекращается, т. е. фазовые траектории “втыкаются” [13] в линию р = р 2. Таким образом, для фазовых траекторий линия р = р 2 является аналогом стационарного состояния. Система

приходит к стационарному состоянию равновесия, характерному для кусочно-сшитых систем [13]. В этом случае, независимо от начальных условий, плотность дислокаций стремится к значению р = р 2, которое достигается при различных значения плотности дислокационных стенок N.

Рис. 6, е. Развитие дефектной подсистемы может идти двумя путями в зависимости от начальных условий. Если начальная плотность дислокаций р < р1 , то дефектная подсистема приходит к некоторому стационарному состоянию с ненулевыми значениями плотности дислокаций и дислокационных стенок. Если начальная плотность дислокаций р > р1? возникает ситуация, аналогичная случаю, приведенному на рис. 6, д, т. е. при любых начальных значениях р > р1 плотность дислока-

0

Рис. 7. Фазовые портреты системы уравнений (11) при т, = 3 106 Н/м2 (в), 5 106 Н/м2 (б, г-е), 107 Н/м2 (а); п = 50 (а, б, г-е), 100 (в); G = 8-1010 Н/м2 (а, в), 9.881010 Н/м2 (б, г-е); а = 0.1 (в, е), 0.125 (г), 0.3 (д), 0.5 (а, б); ю, = 0.22 (е), 0.5 (б, г, д), 0.7 (в), 0.9 (а); аёуп = 0.14 (а), 0.31 (д), 0.4 (в), 0.75 (г), 0.89 (е), 0.945 (б). Координаты стационарных точек:

-N1 = 0, р2 = 4.654-1013 м-2, N1 = 6.105105 м-1, р4 = 4.1891013 м-2; б — N1 = 0, р| = 2.472-1013 м-2, N1 = 4.526-105 м-1, р4 = 1.236-1013м2;

г — N2? = 0, р2 = 2.472-1013 м-2, N1 = 5.244-105 м-1, р4 = 1.236 1013 м-2;

-N1 = 0, р2 = 4.54-1012 м-2, N1 = 2.507-105м-1, р4 = 3.1781012 м-

д — N1 = 0, р2 = 2.472-1013 м-2, N1 = 1.027 106 м-1, р4 = 1.236 1013 м-2; е — N1 = 0, р| = 1.947 1014 м-2; N1 = 1.53106 м-1, р4 = 4.283-1013 м-2

ций стремится к значению р = р2 при различных значения плотности дислокационных стенок.

3.2. Результаты расчетов эволюции дефектной подсистемы

Отметим, что на рис. 6 приведены схематически все фазовые портреты, которые могут существовать для системы дифференциальных уравнений вида (11) при наличии условия переключения вида (9), соответствую-

щие случаю, когда условие (9) выполняется не при всех значениях плотности дислокаций (рис. 2, в). В случае, когда условие (9) выполняется при любых физически реальных значениях плотности дислокаций, в фазовом пространстве наблюдается одна стационарная точка типа устойчивый узел, с координатами, определяемыми по формулам (18). Поскольку спектр изменения значений параметров модели с учетом их физического смысла весьма узок, можно было предположить, что лишь

часть сценариев развития дефектной подсистемы соответствует допустимым значениям параметров и переменных модели. Но результаты прямых расчетов с использованием системы уравнений (11) с учетом условия (12) (с предварительным нахождением стационарных точек) показали, что аналоги всех фазовых портретов, схемы которых приведены на рис. 6, могут быть получены при физически реализуемых значениях параметров модели (рис. 7). Для рис. 7 имеем B = 800, F = 10, Кт = 3, a = 10-2, значения остальных параметров и координаты стационарных точек приведены в подписи к рисунку. Поскольку описание рисунка 7 полностью соответствует описанию рис. 6, приводить его не будем.

4. Заключение

Как следует из результатов исследования и проведенных расчетов, в области физически реализуемых условий характер формирования деформационных структур может быть весьма разнообразным. Некоторые из этих сценариев развития субструктуры наблюдались экспериментально: 1) достижение стационарной плотности дислокаций без субструктурных превращений [14], 2) достижение стационарного состояния, когда плотности дислокаций и границ разориентации сохраняют постоянные значения [15]. Для исследования возможного изменения структуры фазового пространства модели при изменении значений параметров модели (которые определяются характеристиками деформируемого материала и условий нагружения) необходимо проведение параметрического анализа.

Литература

1. Mader S., Seeger A. Untersuchung des Gleitlinienbilds kubischflachen zentrierten Reinkristalle // Acta Met. - 1960. - B. 8. - Nb. 4. - P. 513— 522.

2. Neuhauser H. Slip-line formation and collective dislocation motion // Dislocat. Solids. - 1983. - B. 6. - P. 319-440.

3. Luff A. Microstructural processes of plastic instabilities in strengthened metals // Progress in Materials Science. - 1991. - V. 35. - P. 97-204.

4. Попов Л.Е., Пудан Л.Я., Колупаева С.Н., Кобытев В.С., Старенченко В.А. Математическое моделирование пластической деформации. - Томск: Изд-во ТГУ, 1990. - 185 с.

5. Колупаева С.Н., Старенченко В.А., Попов Л.Е. Неустойчивости пластической деформации кристаллов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1994.- 300 с.

6. ПоповЛ.Е., КобыгтевВ.С., Ковалевская Т.А. Концепция упрочнения

и динамического возврата в теории пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1982. - № 6. - С. 56-82.

7. Попов Л.Е., Кобыгтев В.С., Ковалевская Т.А. Пластическая деформация сплавов. - М.: Металлургия, 1984. - 182 с.

8. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Вихоръ Н.А., Пуспешева С.И. Дислокационная динамика кристаллографического скольжения // Изв. вузов. Физика. - 2000. - № 1. - С. 37-42.

9. Старенченко В.А., Колупаева С.Н., Коцюрбенко А.В. Математическое моделирование разориентированных структур деформации // Заводская лаборатория. - 1995. - № 8. - С. 28-35.

10. Старенченко В.А., Колупаева С.Н., Коцюрбенко А.В. Моделирование формирования разориентированных структур при деформации ГЦК-материалов // Металловедение и термическая обработка металлов. - 1998. - № 4. - С. 9-12.

11. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Мир, 1972. - 600 с.

12. Старенченко В.А. Экспериментальное исследование и математическое моделирование деформационного и термического упрочнения монокристаллов ГЦК чистых металлов и сплавов со сверхструктурой L12 / Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Томск, 1991. - 39 с.

13. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука,

1990. - 488 с.

14. Абзаев Ю.А., Старенченко В.А., Конева Н.А., Козлов Э.В. Изучение эволюции дислокационной структуры и механизмов упрочнения монокристаллов сплава Ni3Ge, ориентированных для множественного скольжения // Изв. вузов. Физика. - 1987. - № 3. -С. 65-70.

15. Козлов Э.В., Тришкина Л.И., Конева Н.А. Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела. - Томск: Изд-во ТГУ,

1991. - 94 с.