Электродинамическая модель многочастотного радиоволнового контроля параметров многослойных диэлектрических материалов

УДК 537.86; 621.317.335.3 DOI 10.21685/2072-3059-2018-3-10

А. И. Казьмин, П. А. Федюнин

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОЧАСТОТНОГО РАДИОВОЛНОВОГО КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОСЛОЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Аннотация.

Актуальность и цели. Широкое распространение многослойных диэлектрических структур в современной науке и технике обусловливает необходимость точного и достоверного контроля их электрофизических и геометрических параметров. Контроль при этом, как правило, должен быть неразрушаю-щим с односторонним доступом при измерениях. Одним из путей решения этой задачи является применение радиоволновых методов контроля, в частности, методов сверхвысокочастотного зондирования. Основу любого радиоволнового метода контроля составляет электродинамическая модель взаимодействия электромагнитного поля с исследуемым материалом. При этом выбор и обоснование электродинамической модели оказывают существенное влияние на точность и достоверность проводимых измерений. Цель исследования -разработка электродинамической модели многочастотного радиоволнового контроля параметров многослойных диэлектрических материалов с произвольным числом слоев на основе взаимодействия поверхностных медленных электромагнитных волн с объектом контроля.

Материалы и методы. Исследования базируются на применении теории макроскопической электродинамики, распространения электромагнитных волн в неоднородных средах, методах электродинамического машинного моделирования, теории антенн и измерений.

Результаты. Разработана электродинамическая модель на основе дисперсионных уравнений, позволяющая связать относительные диэлектрические проницаемости и толщины многослойного диэлектрического материала с коэффициентом ослабления поля поверхностной медленной электромагнитной волны по нормали к поверхности покрытия. Проведенная проверка достоверности и точности электродинамической модели показала хорошее совпадение теоретических зависимостей коэффициента ослабления поля поверхностной медленной волны от электрофизических и геометрических параметров многослойного покрытия с полученными в ходе электродинамического моделирования в системе моделирования CST Studio Suit зависимостями.

Выводы. Предложенная модель может служить основой для разработки многочастотных радиоволновых способов контроля электрофизических и геометрических параметров многослойных диэлектрических материалов.

Ключевые слова: многослойный диэлектрический материал, электродинамическая модель, электрофизические параметры, многочастотный радиоволновой контроль, поверхностная электромагнитная волна, дисперсионное уравнение.

© Казьмин А. И., Федюнин П. А., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

A. I. Kaz'min, P. A. Fedyunin

AN ELECTRODYNAMIC MODEL FOR MULTIFREQUENCY RADIO WAVE TESTING OF PARAMETERS OF MULTILAYER DIELECTRIC MATERIALS

Abstract.

Background. Wide distribution of multilayer dielectric structures in modern science and technology makes it necessary to accurately and reliably monitor their electrophysical and geometric parameters. The testing in this case, as a rule, should be non-destructive with one-sided access during measurements. One of the ways to solve this problem is to use the microwave methods of testing. The basis of any radio wave method of testing is an electrodynamic model of the interaction of the electromagnetic field with the material under study. The choice and justification of the electrodynamic model has a significant impact on the accuracy and reliability of the measurements. The purpose of the work is development of an electrodynamic model of multifrequency radio wave testing of the parameters of multilayer dielectric materials with an arbitrary number of layers on the basis of the interaction of surface electromagnetic waves with the object of testing

Materials and methods. The study are based on the application of the theory of macroscopic electrodynamics, the propagation of electromagnetic waves in inhomo-geneous media, the methods of electrodynamic machine modeling, the theory of antennas and measurements.

Results. The electrodynamic model is developed based on the dispersion equations that allow to bind the relative dielectric permittivity and thickness of dielectric material with the field attenuation coefficient of surface electromagnetic wave. The conducted verification of the reliability and accuracy of the electrodynamic model showed a good agreement between the theoretical dependences of the field attenuation coefficient of surface electromagnetic wave on the electrophysical and geometric parameters of the multilayer coating and dependencies obtained during electrodynamic modeling in the CST Studio suit modeling system.

Conclusions. The proposed model can serve as a basis for the development of multifrequency radio wave methods of testing the electrophysical and geometric parameters of multilayer dielectric materials.

Keywords: multilayer dielectric material, electrodynamic model, electrophysical parameters, multifrequency radio wave testing, surface electromagnetic wave, dispersion equation

Введение. Постановка задачи

Потребности развития современной науки и техники определяют необходимость использования различных диэлектрических материалов, включая композиционные. Особенностью конструкций из диэлектриков является то, что они часто имеют многослойную структуру, в которой слои отличаются электрофизическими и геометрическими параметрами (ЭФГП). Важнейшими ЭФГП являются относительные диэлектрические проницаемости £i,£г+1,...,£n и толщины bt, bi+1,...., bn слоев материала.

Отличительной особенностью применения диэлектрических материалов является то, что во многих случаях процессы изготовления изделия и процесс формирования его собственных слоев структуры протекают одновременно. Таким образом, возникает задача измерения ЭФГП материалов как

в процессе производства изделия, так и в ходе его эксплуатации. При этом измерения, как правило, требуют только одностороннего доступа.

Одним из путей решения этой задачи является применение радиоволновых методов контроля, в частности, методов сверхвысокочастотного (СВЧ) зондирования [1, 2]. В работах [1, 3] произведено обоснование методов радиоволнового контроля ЭФГП однослойных диэлектрических плоскослоистых структур на основе электродинамической модели взаимодействия поверхностных медленных электромагнитных волн (ПМЭМВ) СВЧ-диапазона с исследуемым материалом.

Основу электродинамической модели для измерения ЭФГП-покрытия составляют дисперсионные уравнения, которые позволяют связать ЭФГП-покрытия с коэффициентом ослабления поля ПМЭМВ по нормали к поверхности покрытия - а у [1, 3].

Существенным недостатком представленной модели является невозможность измерения ЭФГП многослойных диэлектрических покрытий при их селективном контроле с получением информации о каждом слое в отдельности. Сложность определения электрофизических параметров слоев многослойного покрытия заключается в невозможности получения простых аналитических зависимостей между относительными диэлектрическими проницаемостями £,ег+1,...,£п и толщинами Ь,Ьг+1,....,Ьп и непосредственно измеряемым коэффициентом ослабления поля ПМЭМВ по нормали к поверхности покрытия ау.

Задача определения электрофизических параметров многослойных диэлектрических структур с использованием ПМЭМВ может быть сформулирована как обратная задача, связанная с интерпретацией косвенных совместных измерений коэффициента ослабления ау на нескольких частотах /

(j = 1,...,2к ), количество которых 2к равно числу неизвестных параметров

покрытия 2п ,£п и ^,Ь^...^Ьп .

Следуя подходу, приведенному в [4], рассмотрим многослойное слоисто-однородное диэлектрическое покрытие с числом слоев п, параметры которого описываются (2 • п)-мерным вектором д = {£1, £2,.., £п, ¿1, Ь2,..Ьп }, составляющими которого являются относительные диэлектрические проницаемости £ и толщины Ь слоев структуры. Решение прямой задачи однозначно сопоставляет любому (2 • п) -мерному вектору коэффициент ослабления ау системы слоев для каждой фиксированной частоты / .

Таким образом, на некоторой совокупности (2 • п) -мерных векторов д определен нелинейный оператор [4]:

Л

где Е - пространство возможных значений частот ПМЭМВ, на которых проводятся измерения; ау (/) - значения коэффициентов ослабления ПМЭМВ

для соответствующей частоты / .

Коэффициенты ослабления ау (/) наблюдаются в эксперименте при наличии аддитивных случайных помех. Таким образом, при проведении из-

мерений а^(f) в точках У1,f2,...f2k из F [4] коэффициент ослабления можно представить в следующем виде:

А( ^) = а( у) + п(у);

т

где А( у) - коэффициент ослабления ПМЭМВ с учетом помехи; а( у) - истинное значение коэффициента ослабления ПМЭМВ; п(У^) - помеха, обусловленная как погрешностями самого физического прибора и другими измерительными погрешностями при проведении эксперимента, так и достоверностью выбранной электродинамической модели реальной физической ситуации; т(п(у^)) - математическое ожидание шума; k - число частот, на которых проводятся измерения.

Анализ выражения (2) показал, что выбор и обоснование электродинамической модели оказывает существенное влияние на точность и достоверность проводимых многочастотных измерений с использованием метода ПМЭМВ, так и с использованием других радиоволновых методов [4]. Электродинамическая модель многочастотных измерений должна быть максимально простой и не требующей много времени на проведение вычислений, но в то же время обеспечивать приемлемую точность и достоверность измерений.

Целью представленной работы является разработка новой электродинамической модели, основанной на дисперсионных уравнениях, которые однозначно связывают экспериментально определяемые коэффициенты ослабления поля ПМЭМВ и относительные диэлектрические проницаемости ег-,ег+1,...,£п и толщины ЬI,Ь+1,....,Ьп многослойного диэлектрического покрытия.

Электродинамическая модель распространения ПМЭМВ в многослойных диэлектрических материалах

Рассмотрим электродинамическую модель распространения ПМЭМВ в многослойном диэлектрическом покрытии на металлическом основании как для наиболее часто встречаемого на практике случая применения многослойного материала.

Многослойное слоисто-однородное диэлектрическое покрытие характеризуется электрофизическими и геометрическими параметрами: еу; Ц; Ь ; 1 = 1,...,п , где еу, Ц, Ь - соответственно относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, а также толщина 1 -го слоя, п - количество слоев покрытия. Поскольку рассматривается диэлектрическое покрытие, то Цу = Цо . Область свободного пространства для удобства составления дальнейших расчетных выражений формально берется в виде отдельного слоя покрытия с номером п с ЭФГП еп = ео , Цп = Цо и Ьп .

Геометрия электродинамической модели приведена на рис. 1,а.

Введем следующие ограничения для электродинамической модели многослойного диэлектрического покрытия:

1. Многослойное диэлектрическое покрытие имеет неограниченную протяженность вдоль координатной оси г и конечные размеры вдоль коорди-

наты х. С учетом этих условий распределение поля поверхностной волны в данной системе будет зависеть от поперечной координаты х, т.е. рассматриваются так называемые «несимметричные» волны [5]. Электромагнитное поле ПМЭМВ представляет собой гармоническую волну, распространяющуюся в положительном направлении вдоль оси г с фактором распространения

, где у - постоянная распространения поверхностной волны.

а) б)

Рис. 1. Геометрия исследуемой системы: а - многослойное диэлектрическое покрытие; б - его эквивалентная схема

С учетом приведенных ограничений для рассматриваемой слоистой электродинамической модели многослойного диэлектрического покрытия дисперсионное уравнение можно найти на основе формализации метода поперечного резонанса [6, 7] для случая покрытия с произвольным числом слоев. При этом входным информативным параметром дисперсионного уравнения является коэффициент ослабления поля ПМЭМВ а^,.

Следуя принципам метода поперечного резонанса [6, 7], каждому слою диэлектрического покрытия сопоставим в соответствие четырехполюсник, который представляет собой отрезок линии передачи длиной, равной толщине слоя Ь; шириной, равной длине покрытия в поперечном направлении й и соответствующим характеристическим сопротивлением . Таким образом, многослойное диэлектрическое покрытие можно заменить эквивалентной схемой связанных линий передачи. Эквивалентная схема многослойного диэлектрического покрытия приведена на рис. 1,б.

Дисперсионное уравнение многослойного диэлектрического покрытия на основе полученной эквивалентной схемы составляется при условии работы ее в «резонанс» - момента, когда в многослойном диэлектрическом покрытии ПМЭМВ имеет критическую частоту. При этом в качестве дисперсионного уравнения для собственных волн в многослойном диэлектрическом покрытии может использоваться уравнение поперечного резонанса [6, 7], записанное относительно произвольно выбранного опорного сечения уо :

2ир

где 2ир (у) и (у) - эквивалентные характеристические сопротивления

«вверх» и «вниз» относительно опорного сечения уо .

Само по себе опорное сечение выбирается произвольно. Для удобства дальнейших преобразований в качестве опорного сечения уо выберем границу между металлическим основанием и первым слоем покрытия. Ограничимся рассмотрением случая составления дисперсионного уравнения для ПМЭМВ Е-типа. Для ПМЭМВ Н-типа дисперсионное уравнение составляется аналогично.

Коэффициент ослабления поля ПМЭМВ ау связан с постоянной распространения у, поперечным волновым числом , характеризующим распределение поля по толщине и поперечным волновым числом в, характеризующим распределение поля по ширине покрытия (координате х). ПМЭМВ в многослойном диэлектрическом покрытии характеризуется следующими зависимостями [5]:

п

- область свободного пространства (у > ^ Ьу):

г=1

a y

= Vy 2 - ko +ß2 ,

где а у - коэффициент ослабления поля ПМЭМВ по нормали к поверхности; у - постоянная распространения поля ПМЭМВ; ^ - волновое число свободного пространства, ^ = 2п / X; в - поперечное волновое число, характеризующее распределение поля по ширине покрытия й , в = тп / й, т = 1,2..., й - ширина покрытия в поперечном направлении (координата х);

- в каждом слое многослойного диэлектрического покрытия:

Цу к2 -^-а2у +в2 , у = 1,...,п-1,

где ki - волновое число /-слоя покрытия, ki = —— ; ег- - относительная

X

диэлектрическая проницаемость.

С учетом выражений (4), (5) выразим характеристические сопротивления слоев у = 1,..., п через коэффициент ослабления поля ПМЭМВ а у.

Характеристические сопротивления для Е-волн имеют следующий вид [8]:

п

- слой свободного пространства (у > ^ Ь1):

у=1

а у

2Еп = 2 о =-]-,

юео

где ю = 2—У - круговая частота; ео - диэлектрическая постоянная.

- каждый слой многослойного диэлектрического покрытия:

ZEi —'

Ю808г-

, i — 1,...,П -1 ,

где - поперечное волновое число ПМЭМВ в / слое покрытия, определяемое по выражению (5).

Характеристическое сопротивление «вверх» 2ир (у) относительно опорного сечения уо представляет собой эквивалентное характеристическое сопротивление слоев с / = 1,...,п. Его можно получить путем последовательного применения формулы трансформации волновых сопротивлений методом теории цепей [8]:

+

Z (i, i +1) — Zi

Zi + jZi+itg

где 2(/,/ +1) - характеристическое сопротивление / -слоя покрытия, нагруженного на характеристическое сопротивление (/ + 1)-слоя покрытия;

2 - характеристическое сопротивление / -слоя покрытия; 2+1 - характеристическое сопротивление (/ +1) -слоя покрытия.

Расчетная схема для нахождения характеристического сопротивления «вверх» 2ир (у) путем трансформации сопротивлений слоев покрытия приведена на рис. 2.

Рис. 2. Расчетная схема трансформации характеристических сопротивлений эквивалентной схемы многослойного диэлектрического покрытия

На основании рис. 2 последовательные этапы трансформации можно представить следующей рекурсивной формулой, справедливой при числе слоев покрытия от 2 и более:

Z (i, i +1) = Zi

Zi+1 + jZjtg (qibi ) __ Zi + jZi+itg (qibi У

f

Z

Zi+2+jZ(i,+1)tg(qi+ibi+i) Z i+1)+jZi+2tg (qi+1bi+1) '

f

Z

Zn-1 + jZ(i,...,n -2)tg(qn-2bn-2) -I Zfo..^n -2) + jZn-1tg(qn-2bn-2) '

f

Z

Zn + jZ

>i = 1...n.

2

Таким образом, эквивалентное характеристическое сопротивление «вверх» 2ир (у) относительно опорного сечения уо равно характеристическому сопротивлению 2(!,...,п), полученному в результате последовательной трансформации сопротивлений слоев с номерами у,...,п :

ZUp ( y) = Z (i,..., n).

Характеристическое сопротивление «вниз» относительно опорного сечения уо принимается равным нулю 2^Ом,п (у) = о , так как ниже его слоев покрытия нет.

Таким образом, итоговое дисперсионное уравнение для многослойного диэлектрического покрытия на основе (1) может быть представлено в следующем виде:

Z (i,..., n) = 0,

где 2(у,...,п) - эквивалентное характеристическое сопротивление слоев покрытия (у,..., п), определяемое по рекурсивной формуле (9).

Электродинамическая модель распространения ПМЭМВ в многослойном диэлектрическом покрытии без металлической подложки сводится к рассмотренной выше модели с незначительными изменениями.

В данном случае первый у -слой покрытия нагружен не на металлическую подложку (случай «короткого замыкания»), а на область свободного пространства, поэтому в рассматриваемой системе необходимо формально ввести еще одни слой покрытия с номером (у -1), эквивалентный данной области. При этом расчетная схема трансформации сопротивлений (9) будет отличаться появлением снизу слоя (у -1) с характеристическим сопротивлением, определяемым по формуле (6).

Итоговое дисперсионное уравнение для многослойного диэлектрического материала без металлической подложки может быть представлено в следующем виде:

Z

где Z(i — 1,...,n) - эквивалентное характеристическое сопротивление слоев покрытия (i — 1,...,n).

Таким образом, представлена обобщенная электродинамическая модель, которая связывает относительные диэлектрические проницаемости £/,ег+1,...,£n и толщины bt,bi+1,....,bn слоев многослойного диэлектрического материала с коэффициентом нормального ослабления поля ПМЭМВ а^,.

Верификация электродинамической модели на основе машинного электродинамического моделирования

Достоверность и точность разработанной модели можно оценить, сравнивая результаты теоретических расчетов коэффициентов ослабления а^,

поля ПМЭМВ с результатами, полученными с использованием систем электродинамического моделирования, таких как, например, CST Studio Suit.

Поверхностную электромагнитную волну в исследуемом многослойном диэлектрическом покрытии можно возбудить с использованием внешних и внутренних апертурных антенн [1].

Разработана электродинамическая модель с источником возбуждения в виде пирамидального рупора, размещенного непосредственно на металлическом листе с исследуемым многослойным диэлектрическим покрытием. В модели имеется возможность выбора количества слоев покрытия (двух-, трех- и четырехслойное диэлектрическое покрытие). Полученная электродинамическая система представляет собой плоскую диэлектрическую антенну поверхностной волны.

Геометрия электродинамической модели в системе CST Studio Suite приведена на рис. 3.

точка измерения Ех

покрытия

Рис. 3. Электродинамическая модель многослойного диэлектрического покрытия в системе CST Studio Suite

Возбуждение рупорной антенны осуществлялось с помощью волновод-ного порта на открытом конце прямоугольного волновода. После завершения расчета при заданных электрофизических параметрах многослойного покрытия можно оценить общую трехмерную картину распределения поля ПМЭМВ и распределения по отдельным координатам и плоскостям.

Коэффициент ослабления поля ПМЭМВ ау определялся по результатам косвенных измерений составляющей напряженности электрического поля ПМЭМВ по нормали к поверхности покрытия. В данном случае это составляющая Ey . Измерение составляющей напряженности поля ПМЭМВ Ey

в точке измерения проводилось с использованием инструмента Field Along Curves, позволяющего оценить распределение напряженности электромагнитного поля в конкретной точке измерения. Вариант распределения составляющей Ey в точке измерения показан на рис. 4.

550

,500 >

...... 450

I* 400

i 350 Б 300

ш 250

Magnitude of Field Along Curve: curvel

^ ?................ .................i..................

1 r

s s s s s s

1

Length / mm

Рис. 4. Распределение составляющей ПМЭМВ Ey в точке измерения

Расчет коэффициента ослабления а^ составляющей Еу ПМЭМВ проводился по семи точкам измерений (рис. 5) по формуле [1, 3]:

а,

=1 ¿1ln

E.

yj

Jyj+1

где Eyj и Eyj+i - напряженности поля составляющей Ey ПМЭМВ по нормали относительно поверхности многослойного покрытия в разнесенных точках измерений y и y + s ; s - расстояние (шаг) между точками измерений, s = 1 мм.

Моделирование осуществлялось при различных ЭФГП покрытия (относительная диэлектрическая проницаемость каждого из слоев е = 2...13, толщины слоев b = 1...8 мм).

В качестве примера более подробно рассмотрим вариант моделирования, в котором толщина каждого слоя покрытия была фиксирована (b = 1 мм), а варьировались значения относительной диэлектрической проницаемости слоев (£ = 2...13 ). Возбуждение поля ПМЭМВ осуществлялось на частоте f = 10 ГГц. На рис. 5 показаны кривые изменения коэффициента ослабления для трех- и четырехслойных диэлектрических покрытий при увеличении относительной диэлектрической проницаемости слоев. На каждом рисунке показана теоретическая кривая, полученная по электродинамической модели, и кривая, полученная в CST Studio Suit.

а/м

500г

b\ = 1 мм 02 = 1 мм 63 = 1 мм

Элсктродина.ч модел [ическая

CST Studio suit

s2 =3 -r uf

U=2J l£3 =3J

• • •

s1=l =6

а)

(Ч=1Г) is, = 121

£, 10 el = 11

U=9j u = 10

al м 600-

i,=5 s2=4 s, = 3 s. =2

— 6 «2=5

s, =4 e, =3

= 9" s2=8 £з=7 î, =6 в)

(4 = 12"| fa =131

e2 =11 = 12

= 10 «3 =11

u =9 J u =ioJ

b\ Ь2 = 1 MM ЬЗ —1 мм t>4 = 1 MM = 1 MM^s*

Эле! стродинамиче модель екая .

CST St udio suit

Рис. 5. Теоретические зависимости коэффициента ослабления от относительной диэлектрической проницаемости слоев покрытия и полученные в CST Studio Suit: а - трехслойное покрытие; б - четырехслойное покрытие

Анализ полученных зависимостей, приведенных на рис. 5, показал, что отличие коэффициентов ослабления a,y, полученных на основе разработанной электродинамической модели и с помощью CST Studio Suit, не превышает 0,3 %.

Проведенный анализ подобных зависимостей для всех исследуемых интервалов для двух-, трех- и четырехслойных покрытий

показал хорошее совпадение теоретических результатов с результатами, полученными в CST Studio Suit. Отличие коэффициентов ослабления не превышает 0,3-0,4 %.

Заключение

Таким образом, представлена обобщенная электродинамическая модель многочастотных измерений электрофизических параметров многослойных диэлектрических покрытий на основе ПМЭМВ. Электродинамическая модель построена на основе дисперсионных уравнений, позволяющих связать электрофизические параметры многослойного диэлектрического покрытия с коэффициентом нормального ослабления поля поверхностной медленной электромагнитной волны. Дисперсионные уравнения выведены путем формализации метода поперечного резонанса для случая покрытия с произвольным числом слоев.

Проведенная проверка достоверности и точности электродинамической модели показала хорошее совпадение теоретических зависимостей коэффициента ослабления поля ПМЭМВ от ЭФГП многослойного покрытия и полученных в ходе электродинамического моделирования в системе моделирования CST Studio Suit с погрешностью, не превышающей 0,4 %.

Электродинамическая модель может служить основой для разработки многочастотных радиоволновых способов контроля ЭФГП многослойных диэлектрических материалов.

Библиографический список

1. Федюнин, П.А. Способы радиоволнового контроля параметров защитных покрытий авиационной техники / П. А. Федюнин, А. И. Казьмин. - М. : Физматлит, 2013. - 190 с.

2. Неразрушающий контроль и диагностика : справочник / под ред. В. В. Клюева. -М. : Машиностроение, 1995. - 408 с.

3. Федюнин, П. А. Теоретическое обоснование применения электромагнитных поверхностных волн в диагностике состояния диэлектрических и магнитодиэлек-трических покрытий / П. А. Федюнин, А. И. Фесенко, А. И. Казьмин // Радиотехника. - 2009. - № 2. - С. 30-39.

4. Борулько, В. Ф. Многочастотные СВЧ неразрушающие методы измерения параметров слоистых диэлектриков / В. Ф. Борулько, О. О. Дробахин, И. В. Славин. - Днепропетровск : Изд-во ДГУ, 1982. - 120 с.

5. Фельд, Я. Н. Антенно-фидерные устройства / Я. Н. Фельд, Л. С. Бененсон. -М. : ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1959. - Ч. 2. - 551 с.

6. Balanis, C. A. Advanced engineering electromagnetic / C. A. Balanis. - USA : John Wiley & Sons, 1989. - 1002 p.

7. Encyclopedia of RF and microwave engineering / Еd. by Kai Chang. - USA : John Wiley & Sons, 2005. - 5949 p.

8. Patrovsky, A. Dielectric Slab Mode Antenna for Integrated Millimeter-wave Transceiver Front-ends / Andreas Patrovsky, Ke Wu // Universal Journal of Electrical and Electronic Engineering. - 2013. - № 1 (3).

References

1. Fedyunin P. A., Kaz'min A. I. Sposoby radiovolnovogo kontrolya parametrov zashchit-nykh pokrytiy aviatsionnoy tekhniki [Methods of radio wave monitoring of protective coating parameters of aviation equipment]. Moscow: Fizmatlit, 2013, 190 p.

2. Nerazrushayushchiy kontrol' i diagnostika: spravochnik [Nondestructive testing and diagnostics: handbook]. Ed. by V. V. Klyuev. Moscow: Mashinostroenie, 1995, 408 p.

3. Fedyunin P. A., Fesenko A. I., Kaz'min A. I. Radiotekhnika [Radio engineering]. 2009, no. 2, pp. 30-39.

4. Borul'ko V. F., Drobakhin O. O., Slavin I. V. Mnogochastotnye SVCh nerazrushayush-chie metody izmereniya parametrov sloistykh dielektrikov [Multifrequency microwave non-destructive methods for measuring the parameters of layered dielectrics]. Dnepropetrovsk: Izd-vo DGU, 1982, 120 p.

5. Fel'd Ya. N., Benenson L. S. Antenno-fidernye ustroystva [Antenna-feeder devices. Part 2]. Moscow: VVIA im. prof. N. E. Zhukovskogo, 1959, part 2, 551 p.

6. Balanis C. A. Advanced engineering electromagnetic. USA: John Wiley & Sons, 1989, 1002 p.

7. Encyclopedia of RF and microwave engineering. Ed. by Kai Chang. USA: John Wiley & Sons, 2005, 5949 p.

8. Patrovsky A., Ke Wu Universal Journal of Electrical and Electronic Engineering. 2013, no. 1 (3).

Казьмин Александр Игоревич

кандидат технических наук, преподаватель, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»

E-mail: alek-kazmin@yandex.ru

Федюнин Павел Александрович доктор технических наук, профессор, начальник кафедры, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»

E-mail: fpa1@yandex.ru

Kaz'min Aleksandr Igorevich Candidate of engineering sciences, teacher, Military Research and Educational Center of the Air Forces "Air Forces Academy named after professor N. E. Zhukovskiy and Y. A. Gagarin"

Fedyunin Pavel Aleksandrovich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department, Military Research and Educational Center of the Air Forces "Air Forces Academy named after professor N. E. Zhukovskiy and Y. A. Gagarin"

УДК 537.86; 621.317.335.3 Казьмин, А. И.

Электродинамическая модель многочастотного радиоволнового контроля параметров многослойных диэлектрических материалов /

А. И. Казьмин, П. А. Федюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 100-112. - Б01 10.21685/2072-3059-2018-3-10.