Точки либрации для задачи Бока

УДК 524.4+524.6-32-55

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 3

Л. П. Осипков

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧИ БОКА *)

1. Введение. Рассмотрим звездное скопление, центр масс которого движется по круговой орбите в гравитационном поле стационарной ротационно-симметричной галактики, потенциал которой обладает, кроме того, симметрией относительно плоскости, проходящей через центр масс и перпендикулярной оси вращения. Гравитационный потенциал скопления также будем считать стационарным. Исследуем движение пробной звезды в совместном гравитационном поле скопления и галактики. Размеры скопления будем считать малыми по сравнению с радиусом его орбиты. Тогда для потенциала галактики мы вправе принять так называемое приливное приближение, т. е. ограничиться членами до второго порядка малости включительно в разложении потенциала в окрестности круговой орбиты скопления. Задачу исследования движения звезды при данных предположениях называют задачей Бока [1, 2], поскольку Бок [3] первым рассмотрел ее (главным образом, для того частного случая, когда скопление считается однородным эллипсоидом). Если и скопление, и галактику считать точечными массами, то задача Бока сводится к известной в небесной механике задаче Хилла [4, 5], вырожденному случаю круговой ограниченной задачи трех тел. Иногда термин «задача Хилла» используется в более широком смысле, и в нее включается задача Бока [6].

В последнее время появилось несколько работ, в которых обсуждались задача Бока и близкие проблемы (см., например, [2, 6-11]). Однако ряд вопросов остается неясным. В данной статье, в частности, ищутся точки либрации для общей задачи Бока и исследуется, как перенести на нее понятие критической поверхности Хилла. Отсюда определяется и минимальная плотность скопления, устойчивого в поле приливных сил галактики.

2. Уравнения движения. Пусть х, у, г - равномерно вращающаяся система координат с началом в центре масс скопления, причем орбита скопления лежит в плоскости х, у, а ось х направлена к антицентру галактики. Как известно (например, [1, 12]), уравнения движения пробной звезды в этой системе имеют следующий вид:

Здесь Фс(х,у,г) - гравитационный потенциал скопления, О - круговая частота обращения центра скопления вокруг центра галактики, величины хц, хг локально характеризуют гравитационное поле галактики. Для окрестности Солнца в нашей Галактике я?н = 4А(А — В), где А, В - так называемые динамические коэффициенты Оорта, /2 и 27 км-с-1 • кнк-1, хд к, 42 км-с-1 -кпк-1, хг « 85 км-с-1 -кпк-1. Параметр х2 (параметр Кузмина) - частота малых вертикальных колебаний звезды, а хц предлагалось называть приливным инкрементом [1, 2].

*' Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ по поддержке ведущих научных школ России (грант X« НШ 1078.2003.02).

© Л. П. Осипков, 2007

х — 2Пу = дФс/дх + х^х, у + 2Пх = дФс/ду ,

I = дФс/дг - х2,г.

Классическая задача Хилла получается, когда Фс = GMc/(x'2 + у2 + z2)1^2, fi2 = >с = х"'я/3 = GMg/R3, где G' - гравитационная постоянная, Мс - масса скопления, Мд - масса галактики (считающейся материальной точкой), R - расстояние от центра галактики до скопления.

Перепишем уравнения движения (1)-(3) в безразмерном виде. Полагая, что масса скопления Мс конечна, введем единицу длины

го = (СМс/4)1/:!

и безразмерные координаты £ = х/го, rj = у/ro, £ = z/r0. За единицу времени примем to = Хд1. Обозначим т = t/to. Получим вместо (1)-(3) следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

d2 , d dip .,. l^t-W = Т^

d2 d , dip + ^ = {5)

^ л if

^ =

Здесь ¥>(£,77,0 = ^c{iro-irlro-,C,ro)/(GMcTq1) - безразмерный потенциал скопления, 7 = и А' = (>Т;/лгя)2 - безразмерные параметры. В окрестности Солнца в Галактике 7 «1,25, А; «4.

Для уравнений (4)-(6) известен один интеграл движения - интеграл Якоби

dr \dr J \dr

-V-\

Численные эксперименты (например, [7]) показывают, что для уравнений (4)-(6), вообще говоря, больше не существует глобальных интегралов движения и орбиты являются хаотическими. В частности, для классической задачи Хилла доказано отсутствие других алгебраических интегралов движения [5]. Известным исключением является случай, когда скопление моделируется однородным эллипсоидом. Тогда эти уравнения становятся линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и можно записать их общее решение. Интегралы движения для данной модели в явном виде были выписаны Минером [13]. Насколько известно автору настоящей работы, переход от упорядоченности к хаотическим орбитам для задачи Бока еще не исследовался.

Положив в (7) d£¡/dт — dr\|dт = d(/dт = 0, получим уравнение так называемых поверхностей нулевых скоростей

П£,77,0 = Н, Р = -V -

Для классической задачи Хилла свойства поверхностей (8) подробно изучены (например, [5]).

3. Точки либрации и их устойчивость. Найдем для уравнений (4)-(6) точки либрации, которые, как известно, определяются как корни уравнений ОР /8^ = <9ру<9г; = ОР/дС = 0, или

В частности, если скопление является сферически симметричным, т. е.

<Ж,V,О = /(г), г = + 7г + <2)1/2 ^ 0,

то уравнения (9) принимают следующий вид:

+ /') = vf =

Одно из решений уравнений (10) соответствует /'= 0 (или df/dr] = 0 в общем случае). Из других уравнений (10) получаем, что £ = £ = 0. В разумных моделях реальных скоплений (без центрального пика плотности) эти условия выполняются только в их центре, £ = rj = £ = 0. Таким образом, одной из точек либрации является центр скопления. Обозначим ее Lq. Напомним, что в классической задаче Бока начало координат - особая точка.

Вопрос об устойчивости точки либрации L0 в линейном приближении фактически был решен Боком [3], который искал решениё уравнений (4)-(6) для случая, когда скопление моделируется однородным эллипсоидом. Найдем условие линейной устойчивости в наших обозначениях. Запишем для (4)-(6) уравнения в вариациях

= (1-/%,

+ = -ßm,

= -<* + /%•

Здесь Tji. ([ - линейные отклонения от положения равновесия, ß = —/"(0). Легко убедиться, что для гравитирующих систем ß > 0. Из последнего уравнения (11) получаем необходимое условие устойчивости к + ß > 0, которое заведомо выполняется. В первые два уравнения (11) подставим

{i=Cieiur, щ=С2ешт,

после чего стандартным образом приходим к характеристическому уравнению

p2-p[j2 + 2/3-1] +ß(ß + l)= 0, p = üj2.

Его анализ [12] показывает, что для линейной устойчивости точки либрации Ьо необходимо, чтобы ß > 1. Как известно, для однородного скопления это условие сводится к ограничению на плотность сферического скопления, которая должна быть больше, чем (3/4)>гд/(7гС) [3, 12]. Оказывается, что в точности таким же является условие существования стационарного гравитирующего скопления как целого в приливном поле галактики [2]. Аналогичным образом при некоторых дополнительных предположениях можно рассмотреть и несферическую модель скопления.

Будем искать точки либрации, для которых /' ф 0. Из (10) получаем, что тогда г) = 0 и (поскольку /' < 0, а /с > 0) С = 0, т. е. точки либрации лежат на прямой, соединяющей центр галактики и скопление. Их положение определяется из уравнения

ГШ + 1*1 = 0.

Таким образом, точки либрации группируются в пары, расположенные симметрично относительно центра скопления. Число нар зависит от формы потенциала /(г). Если

в центре /'(0) = 0 и /3 > 1, а на периферии скопление притягивает как точечная масса, /'(г) = —г~~ + 0(г~3) —> —оо, то хотя бы одна пара точек либрации существует.

Исследуем устойчивость точек либрации. Движения вдоль оси £ будут заведомо устойчивы, что ясно и из физических соображений. Рассмотрим двумерную задачу. Будем следовать анализу в монографии [5], причем откажемся от предположения о сферической симметрии скопления. Пусть а - координата точки либрации по оси Обозначим V* = Положим £ = а + £ь V = щ. Разлагая эффективный потенциал

ф в ряд Тейлора, приходим к уравнениям в вариациях

сР г (1 , + ,

ск?1 ^ ~ т = + '

(Р с1 Г , е ,

¿р.I 7Л + 'У^р « = + ФтПг

В (12) производные эффективного потенциала по координатам, вычисленные в точке либрации, обозначены нижними индексами. Полагая опять

6 = ешт , щ=С-2 ешт , получаем характеристическое уравнение

р2 + 2 0хР + 02 = 0. Здесь по-прежнему р = со2 и введены следующие обозначения: 01 = К^« + - 72). #2 = Фк-Фпп -

(т. е. 02 ~ гессиан). Для потенциала точечной массы 201 = 1 — у2 < 0. То же справедливо и для скопления, имеющего конечный размер, меньший |а|. В этом случае, кроме того, 02 < 0. Для того чтобы решения характеристического уравнения

Р1,2 = -01±(021-0-2)1/2 были вещественными, необходимо, чтобы

01 > Р-2

Для положительности обоих корней (что означает линейную устойчивость) необходимо потребовать, чтобы 02 >0.

Обратимся теперь к частному случаю сферически симметричного скопления. Обозначим {}'(г)/г)' = Л(г). Тогда

^«(о,0) = |а|Л(|а|), 0) = -1, 0) = 0

Отсюда сразу же получаем, что симметричные относительно центра скопления точки либрации устойчивы (или неустойчивы) одновременно. Необходимое условие устойчивости имеет вид Л(|«|) < 0, т. е.

После этого остается проверить условие (13). Его легко преобразовать к неравенству

52 + 2(2 - и) Б + и > 0,

где 5 = |а| Л(|а|), и = 1 — 72. Для задачи Хилла условие (14) не выполнено, и, как известно, точки либрации неустойчивы. Трудно представить условия, чтобы симметричные точки либрации для задачи Бока были бы устойчивыми. В таком случае скопление при своем движении в галактике сопровождалось бы с двух сторон спутниками.

4. Критическая поверхность Хилла. Пусть £ = а > О, гу = 0, £ = 0 - координаты точки либрации Ьа. Соответствующее значение интеграла Якоби

На = —<Ра - а2/2 , где <ра = </?(а, 0,0). Рассмотрим поверхность нулевых скоростей

5„ = {(*,»?, С)| >(£,»?,0=#«}

и найдем точки ее пересечения с осями г/ и С, которые обозначим т]а, (а. Очевидно, что они являются решениями уравнений

</>(0,77,0) = ^„+а2/2

и

¥>(0,0, С) = К2/2 + <Ра + а2/2

соответственно. Если плоскости г) = 0 и £ = 0 являются плоскостями симметрии потенциала скопления, то справедливы следующие утверждения.

Если точка (0,т]а,0) € 5а, то и точка (0, —т]а, 0) £ 5а. Если точка (0,0, £„) € 5а, то также точка (0,0, —Со) €

Пусть а > 0- наибольшее из решений уравнения £ + д<р(£, 0,0)/д£ = 0. Соответствующую поверхность 50 будем называть критической поверхностью Хилла для задачи Бока. Если размеры сферического скопления конечны и а больше радиуса скопления, то эта поверхность обладает теми же свойствами, что и для классической задачи Хилла. В частности, звезды со значением постоянной Якоби, меньшим Н„. не вылетают за пределы поверхности, т. е. остаются связанными со скоплением. Размер стационарного устойчивого скопления должен быть меньше гшп (а, |?;а|, |Со|)- Если галактику считать точечной массой, а потенциал скопления сферически симметричным и монотонно убывающим, то можно доказать, что критическая поверхность Хилла является замкнутой [14].

В общем случае для произвольного потенциала скопления даже при предположении его сферической симметрии установить свойства критической поверхности Хилла не удается. Поэтому следует обратиться к примерам. Напомним, что когда Фс - потенциал точечной массы, то а = 1, Т]а = ±2/3, а |£а| определяется как корень уравнения к(3 + 3£ = 2. Заметим, что в аналогичном уравнении (П.5) в [2] в результате опечатки вместо к стоит обратная величина. Если к — 4, то (а = ±1/2.

5. Модель Шустера-Пламмера. Рассмотрим известную модель сферического

звездного скопления Шустера-Пламмера (см., например, [12]). Для нее

* < СМс

Я>е(Х,у,~) - (х2+у2 + г-2 + А2у/2 '

где А - масштабный параметр модели. Напомним, что сфера радиуса А содержит 1/л/8 « 0,354 полной массы модели. Безразмерный сферический потенциал

Нг) =

(г2 + ,.2)1/2 '

причем г» = Л/го- Уравнения (10) для нахождения точек либрации записываются для такой модели следующим образом:

г —

(г2 + г2)3/2

-V

(г2 +г2)3/2

= с

-кг

(Г2 +г2)3/2_

Одно из решений данных уравнений, £ = 77 = С = соответствует центру скопления. Для суждения об его устойчивости вычисляем /3 — —/"(0). Находим, что (3 = г^3. Условие устойчивости /3 > 1 принимает вид г* < 1, т. е. Л < го или

СМо Л3

>

При нарушении этого неравенства средняя плотность скопления оказывается недостаточной для удержания звезд, первоначально находившихся вблизи центра. Пусть д0 = Шс/(4тгА3) - центральная плотность модели. Тогда полученное условие устойчивости можно переписать в виде неравенства

£>о >

4тгС

>4>

которое аналогично условию Бока [3] и обобщает его на модель Шустера- Пламмера.

Симметричных точек либрации оказывается одна пара. Они удалены от центра скопления на безразмерное расстояние, равное (1 — г'2)1^2, и, следовательно, существуют только при г» < 1. Легко заметить, что эти точки неустойчивы, так как необходимое условие устойчивости (14) не выполняется. Соответствующее значение безразмерного интеграла Якоби (7) равно (—3/2). Определим координаты ±т]а, ±£а точек пересечения критической поверхности Хилла с осями т], Получаем, что

2 4

Ча

Эта величина положительна при г» < 1. Для нахождения ('2 необходимо решить кубическое уравнение

^ = ки2 + [3 - (к + 1)г2], и = у/(2 + г2. Для частного случая, когда г'2 = 3/(к + 1), сразу имеем, что

с2 =(2/к)2/3- 3/(к + 1).

Обозначив / = 3 — (к + 1 )г2, перепишем уравнение в следующем виде:

и3 +

Нас интересуют только вещественные положительные корни уравнения (15), большие, чем г*. Ограничимся значением к = 4, тогда I € [-2, 3]. Легко убедиться, что независимо от знака I существует единственный положительный корень и„ уравнения, причем если I < 0, то и„ > (—//12)1/2. Явное выражение для корня зависит от знака величины

Q = (//12)3 + 1/16.

Находим, что <3 = 0, когда / = -б/ \/2 < -2, т. е. достаточно рассмотреть Q > 0. Если I < 0, то, как известно,

иа = —2 у—//12 cosec2а , где tga = ^tgß/2 (а < тг/4), а sin/З = -4 (-//12)3/2, |/3| < тг/2. Если же / > 0, то

ua = -2^/12 ctg 2q ,

причем на этот раз tga = ^/3/2 (а ^ тг/4) и tg /3 = -4 (//12)3/2, |/3| < тг/2.

6. Модель Идлиса. Рассмотрим модель скопления в виде неоднородного шара конечного радиуса с потенциалом на внутреннюю точку

Фс{х,у,г) =

GMcA За/3

1

х2 + j/2 + -г2 + Л2

1

8Л2

(модель Идлиса [15]). Плотность в ней обращается в нуль на расстоянии от центра, равном А* — \/ЗЛ. На больших расстояниях Фс принимается равным потенциалу точки массы Мс. Безразмерны!! гравитационный потенциал

/(г) =

3V3

1

г '

г + г2

8г.

> \/3'

где опять г, = А/го- Заметим, что масса шара радиуса А составляет 4-33/2 « 0,77 пол-

16

ной массы модели. Получаем, что параметр устойчивости /3 = —-¡=—. Тогда условие

3 V Зг;!

устойчивости центральной точки либрации /3 > 1 записывается в следующем виде:

GMC 3V3

>

Xr-

А3 ' 16

Расстояние г3 от центра до симметричных точек либрации определяется равенством

16 3\/3

г* - г;

Эти точки существуют, если г< л/16/(3\/3) а 1,74, т. е. тогда, когда центральная точка либрации устойчива. Необходимо потребовать также, чтобы ?•; <3г2 (иначе формально найденные точки окажутся вне скопления). Последнее условие выполняется, если г3 < 1/(3^3), т. е. г, < 0,572....

Известно, что в поле потенциала точечной массы точки либрации расположены на безразмерном расстоянии от центра, равном 1 [1, 2]. Потому если г» < 1/V3, то существует и вторая пара симметричных точек либрации, которые будут расположены вне скопления. Если при этом (для окрестности Солнца в Галактике) г* < 1 / (2-у/З), то критическая поверхность Хилла будет целиком лежать вне скопления и совпадать с найденной в [16].

7. Заключение. В результате проведенного исследования движений в поле скопления и приливных сил галактики (задачи Бока) удалось установить следующее.

Найдено условие линейной устойчивости центра скопления как положения равновесия уравнений движения во вращающейся системе отсчета. Оно дает нижний предел плотности стационарного скопления и сводится для однородного скопления к условию Бока.

Остальные точки либрации образуют пары, симметричные относительно центра скопления и лежащие на прямой, проходящей через центры скопления и галактики. Выведены условия их устойчивости.

Приняв для скопления сферические модели Шустера-Пламмера и Идлиса, удалось получить явные выражения для координат симметричных точек либрации, оказавшихся неустойчивыми.

Напомним, что сходные задачи сначала исследовались в космогоническом аспекте (см., например, обзор [17]). Особое значение для нас имеют работы Н. Ф. Рейн [18-20]. Задача Бока свелась бы к изученным ею случаям, если бы галактику мы считали точечной массой. При этом скопление рассматривалось однородным [19] или неоднородным, но с нереалистическим ходом плотности [20]. Рейн нашла, что точки либрации лежат на оси х, что согласуется с результатами данной статьи.

Заметим, что можно было бы построить модель потенциала скопления, для которой существует несколько пар симметричных точек либрации, и даже добиться их устойчивости. Реалистичность такой модели, однако, вызывает сомнения.

Треугольных точек либрации, существующих для круговой ограниченной задачи трех тел, в задаче Бока нет, как и в классической задаче Хилла. Интересно было бы выяснить, не появятся ли они при отказе от предположения о локальности динамики, лежащего в основе задачи Бока.

Автор признателен В. А. Антонову, В. В. Орлову и К. В. Холшевникову за стимулирующее обсуждение работы.

Summary

Ossipkov L. P. Libration points for Bok's problem.

Bok's problem means an analysis of orbits under joint action of a galactic tidal force and a gravitational force of a cluster moving along a circular- orbit. An equation for finding libration points of the problem is studied. A cluster centre is obviously one of libration points. A general condition of its linear stability is found. Other libration points (if exist) lie on a line connecting centres of a galaxy and a cluster and are situated symmetrically relative a cluster center. As examples, cluster models by Schuster-Plummer and Idlis are considered and a condition for stability of their centres is found.

Литература

1. Оситмов JI. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах звёздной динамики // Математические методы исследования космических систем / Под ред. В. Н. Старкова. СПб.: КМУ физ. ф-та С.-Петерб. ун-та, 2003. С. 73-131.

2. Осипков JI. П. Равновесие звездного скопления в поле приливных сил Галактики // Астрон. журн. 2006. Т. 83, № 2. С. 139-145.

3. Бок В. J. The stability of moving clusters // Harvard Observ. Circular. 1934. N 384. P. 1-41.

4. Субботин M. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

5. Себехей В. Теория орбит. Ограниченная круговая задача трех тел / Пер. с англ.; Под ред. Г. Н. Дубошина. М.: Наука, 1982. 656 с.

6. Heggie D. С. Escape in Ilill's problem // The restless universe. Bristol: Scottish Univer. Suminer School in Physics and Institute of Physics Publ., 2001. P. 109-128.

7. Carpintero D. D., Muzzio J. C., Wachlin F. C. Regular and chaotic motion in globular clusters // Cel. Mech. & Dyn. Astron. 1999. Vol. 73, N 1/4. P. 159-169.

8. Ross D. J., Mennim. A., Heggie D. С Escape from a tidallv limited star cluster // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1997. Vol. 284, N4. P. 811-814.

9. Fukushige Т., Heggie D. C. The time-scale of escape from star clusters // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2000. Vol. 318, N 3. P. 753-761.

10. Кожанов Т. С. Гравитационная динамика иерархических систем. Алматы: Казак универат. 2003. 292 с.

11. Fellhauer М., Heggie D. An exact equilibrium model of an unbounded stellar system in a tidal field // Astron. Astrophys. 2005. Vol. 435, N 3. P. 875-881.

12. Огородников К. Ф. Динамика звездных систем. М.: Физматгиз, 1958. 628 с.

13. Mineur Н. Equilibre des nuages galactiques et des amas ouvertes dans la Voie Lacteé. Évolution des amas // Ann. d'Astrophys. 1939. T. 2, N 1. P. 1-244.

14. Cimino M. Sulla stabilitá deglu ammassi globulari nella piíi generale ipotesi della dis-tribuzione sferica della loru densitá. Nota I // Atti. Acad. Naz. Lincei. Rend. Se. fis. mat. e nat. 1956. T. 20, N 2. P. 217-223.

15. Идлис Г. M. Структура и динамика звездных систем // Труды Астрофиз. ин-та АН КазССР. 1961. Т. 1. С. 1-314.

16. Антонов В. А., Латышев И. Н. О возможности существования далеких спутников звезд // Астрон. журн. 1971. Т. 48, № 4. С. 854-861.

17. Рейн Н. Ф. Критический обзор по теории устойчивости метеорных скоплений и звездных куч // Труды Гос. астрон. ин-та им. Штернберга. 1936. Т. 9, № 1. С. 191-217.

18. Рейн Н. Ф. О сгущениях внутри пылевой туманности. О нижнем пределе массы сгущения // Астрон. журн. 1933. Т. 10, 4. С. 400-420.

19. Рейн Н. Ф. О сгущениях внутри пылевой туманности. Ч. III. Об устойчивости однородного и сферического сгущения // Астрон. журн. 1936. Т. 13, № 2. С. 122-155.

20. Рейн Н. Ф. О сгущениях внутри пылевой туманности. Ч. IV. Об устойчивости неоднородного сферического сгущения, плотность которого изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра // Астрон. журн. 1936. Т. 13, № 5. С. 414-434.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 22 февраля 2007 г.