Априорность и реальность исходных представлений математики

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2010. № 4

В.Я. Перминов*

АПРИОРНОСТЬ И РЕАЛЬНОСТЬ ИСХОДНЫХ

ПРЕДСТАВЛЕНИЙ МАТЕМАТИКИ

В статье на основе понятия практики обосновывается априорность категорий и логики. Приводятся аргументы в защиту положения об априорности и реальности исходных математических теорий, таких как арифметика и евклидова геометрия.

Ключевые слова: практика, категории, логика, арифметика, евклидова геометрия, априоризм, математический реализм.

V.Ya. P e r m i n o v. The apriority and reality of initial conceptions of mathematics

Using the notion of praxis shows that categories and logic are a priori conceptual structures. The author gives arguments to support propositions of apriority and reality of primary mathematical theories such as arithmetic and Euclidean geometry.

Key words: praxis, categories, logic, arithmetic, Euclidean geometry, apriorism, mathematical realism.

Идея априорного знания поддерживается самой практикой математического мышления. Мы все осознаем самоочевидность и непреложность утверждений элементарной математики, а также безусловную надежность признанных доказательств. Это значит, что математический априоризм как идея безусловной необходимости математических истин не может быть устранен из философии математики, он может быть лишь так или иначе объяснен с теоретико-познавательных позиций. Теория познания, однако, не достигла здесь полной ясности.

То же самое относится и к понятию реальной значимости математики. Многие факты говорят о том, что исходные определения арифметики и геометрии — не результат чистого мышления, а выражение форм окружающего нас мира. Но такого рода реалистическая концепция входит в противоречие с традиционным априоризмом, для которого эти исходные представления — только формы мышления, устанавливаемые самим мышлением.

Примирение и соединение этих воззрений становится возможным на основе праксеологической трактовки исходных представлений математики.

* Перминов Василий Яковлевич — доктор философских наук, профессор кафедры философии естественных факультетов философского факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, тел.: 8-905-559-90-14; e-mail: perminov_v@list.ru

1. Практика как основа универсальной нормативности

Прояснение оснований реалистического взгляда на математику требует анализа математического априоризма. Наш основной тезис будет состоять в том, что априорное знание — это знание, порожденное человеческой практикой. Суть второго тезиса сводится к тому, что априорное знание реально, оно раскрывает картину бытия, дополнительную к той картине, которую строит наука.

В марксистской теории познания подчеркивается, что практика является стимулом познания, основой познания (в смысле наличного материала и средств), а также высшим критерием истинности теорий и идей. К этим несомненно верным положениям необходимо добавить еще одно, состоящее в том, что практика является нормативной основой познания, т.е. источником универсальных норм, которым подчинено всякое знание. Это абстрактное положение важно в том отношении, что оно дает нам возможность понять природу априорного знания из естественных задач мышления.

Если некоторая функционирующая система является частью другой более широкой системы, то в своих функциях она неизбежно подчинена целям этой системы и общие регулятивы ее развития могут быть поняты только при рассмотрении этого функционального соподчинения. Этот абстрактный системный принцип должен быть руководящим и при анализе процесса познания. Познавательная деятельность человека — это функциональная часть его практической деятельности, а это значит, что высшие нормы, регулирующие познавательную деятельность, имеют праксеологиче-скую природу и должны быть выведены из практической функции знания.

Суть этого тезиса состоит в том, что всякое знание, сориентированное на практику, подчинено нормам, проистекающим из самой этой цели, а именно из общей установки на его эффективность. Это значит, что наряду с принципами, проистекающими из предмета исследования, которые различны для различных сфер опыта и выражаются в понятиях конкретной теории, существуют универсальные принципы, проистекающие из общих целей знания и единые для всех его видов. Это принципы, определяющие универсальную форму знания. Априорное знание и апостериорное различаются в этом плане как знание телеологическое, заданное практической ориентацией мышления, и знание отражательное, определенное специфическими подразделениями опыта.

Здесь необходимо провести ясное различие между практикой и опытом как гносеологическими понятиями, которое часто упускается из виду при их обыденном использовании. В самом широком плане практику мы должны понять как деятельность субъекта, из-

меняющую предметный мир, а опыт — как систему представлений о мире, полученную на основе чувственного восприятия. В понятийной картине мира опыту соответствует вся позитивная информация о мире, основанная в конечном итоге на актах чувственного восприятия явлений, а практике — универсальные нормы мышления, прежде всего категориальные и логические, порожденные дея-тельностной ориентацией мышления.

Важно понять то обстоятельство, что только практика конституирует мир реальных предметов и структуру реальности в целом. Структура предметного мира выявляется в процессе деятельности, до актов познания и независимо от этих актов. С праксеологиче-ской точки зрения предметная реальность абсолютно первична перед познавательной деятельностью и она никоим образом не может быть понята как порождаемая активностью сознания на основе данных чувственности, как это думал Кант. Выявление структуры предметного мира — не функция знания, а исключительно функция деятельности. Знание принципиально предметно в том смысле, что оно начинается только там, где уже выделен его возможный предмет. Структура предметной реальности — первичная структура сознания, обладающая беспредпосылочностью и строгой интерсубъективностью.

В этом плане мы получаем и общий подход к истолкованию понятия реальности. Следует признать реальным то, что выделено деятельностью и возведено на уровень интерсубъективности. Предметная структура мира реальна, ибо она выделена коллективной деятельностью. Предметные подразделения обладают высшей реальностью, ибо подтверждены всей совокупностью человеческой практики.

2. Априорность и реальность категорий

Наряду с миром предметов как общезначимой чувственной реальностью деятельность формирует также структуру идеальной нормативности, систему универсальных ограничений на содержание и логику мышления.

Универсальная праксеологическая нормативность проявляется прежде всего в категориальных принципах. Всякое опытное знание строится как знание о чем-то материальном, как основанное на причинно-следственных связях, на различении объектов в пространстве и времени и т.п. Нетрудно понять, что мы имеем здесь дело с общими требованиями к структуре представлений, проистекающими из их практической функции. Теория, которая отказалась бы от различения объектов по пространственно-временным характеристикам, не подчинялась бы общим свойствам причинно-

следственных связей, не отделяла случайное от необходимого и т.д., не могла бы быть квалифицирована как знание, ибо она заведомо не могла бы быть использована для координации действий в какой-либо сфере опыта. Знание должно быть соединено с практикой, а следовательно, оно должно быть подчинено категориям практики, безотносительным к сфере опыта.

Мы убеждены, что каждое явление, даже самое незначительное, имеет достаточную причину своего существования. Это положение (принцип причинности) — не тривиальность и не тавтология. Оно относится к классу синтетических, так как совершенно очевидно, что оно не следует ни из понятия события, ни из понятия причинной связи. Каковы основания нашей веры в безусловную истинность этого принципа, что заставляет нас мыслить любое явление в контексте причинной зависимости? Опыт сам по себе не обосновывает необходимости причинного видения мира как универсального. Исходя из опыта, мы можем утверждать, что наш мир является в достаточной степени причинно обусловленным, но никакой конечный опыт не позволяет нам утверждать, что все явления причинно обусловлены. Существование человека и его возможность влияния на события вполне совместимы с дефектами детерминации, с отступлениями от принципа причинности, по крайней мере в тех сферах реальности, до которых еще не дошла человеческая практика. Мы не знаем всех событий в мире и хорошо понимаем, что допущение отдельных беспричинных событий ничему не противоречит ни в теоретическом, ни в практическом плане.

Безусловный характер принципа причинности становится, однако, совершенно понятным при рассмотрении деятельностной установки мышления. Каков бы ни был мир в своей основе — полностью или только частично детерминированным, мы можем влиять на него только посредством причинных связей, которые дают возможность, действуя на некоторое событие А, оказывать влияние на появление события В. Вся наша деятельность представляет собой попытку повлиять на будущее, и вследствие этого она органически связана с установлением причинных зависимостей, которые являются необходимой основой такого влияния. Это значит, что общий принцип причинности представляет собой не индуктивный вывод из множества наблюдаемых причинных связей, а констатацию универсальной направленности сознания на выявление причин, порождаемую актами деятельности. Используя кан-товскую терминологию, мы можем утверждать, что принцип причинности — это регулятивный принцип сознания, проистекающий из его деятельностной ориентации.

На этом примере мы можем уяснить двоякую основу онтологических категорий. Во-первых, они, безусловно, отражают в себе

некоторую сторону реальности. В абсолютно хаотическом мире, где не было бы регулярных причинных связей, определяющих возможность действия, идея причинности вообще не могла бы возникнуть. Во-вторых, категориальные принципы — это не прямые констатации опыта, а идеализации, мотивированные деятельност-ной ориентацией субъекта. Все или не все явления в мире имеют причину — это не может быть установлено в опыте. Мы утверждаем тем не менее, что каждое явление имеет причину. Принцип причинности, таким образом, не обобщение опыта, а определенный идеал реальности, ее проект, максимально благоприятный для деятельности.

Человек как деятельное существо создает идеализированную картину мира, согласующуюся с реальными условиями деятельности и являющуюся в своей сути оправданием возможности действия. Такова природа всех основоположений рассудка. Их априорность не что иное, как универсальная нормативность, порожденная практической функцией знания. Здесь особо следует отметить то обстоятельство, что априорность этих принципов, т.е. их универсальность и необходимость для сознания, не противоречит тому факту, что они являются вместе с тем и отражением реальности в ее наиболее существенных моментах. Это понятно в плане генезиса сознания: человеческое сознание, вписываясь в структуру реальности, с самого начала выделяет характеристики реальности, существенные с точки зрения деятельности, и возводит их в конститутивные принципы всякой реальности.

Другой универсальной нормативной структурой сознания, проистекающей из деятельности, является система логических норм, которой подчинено всякое понятийное мышление. Если категории ограничивают содержание представлений, являются системой интуиций, лежащих в основе определения предмета мышления вообще, то логические нормы — это ограничения на структуру понятий (значений) и возможные их связи. Знание, построенное вне логики, не является знанием, поскольку оно не является осмысленным и не может служить основой практической ориентации. Логика органически связана с категориальной онтологией, поскольку она построена на константах, определенных в сфере категориальных очевидностей. Жесткий параллелизм логики и категорий, установленный Кантом, в некоторых отношениях может быть поставлен под сомнение, но в общем он, безусловно, верен: система реальных логических принципов соответствует системе онтологических категорий и не может быть изменена без изменения последней.

Деятельностная трактовка категорий существенно меняет их кантовское понимание как имеющих свои истоки в рассудке и упорядочивающих мир явлений. Деятельностный подход отвергает

абсолютную первичность сознания и подчиненность потока феноменов его формирующей активности. Человек живет не в мире феноменов, а в мире материальных событий. В действительности, первична деятельность и процесс вписывания действующего существа в мир. Категории с этой точки зрения отражают необходимые условия деятельности как аспекты мира, благодаря которым эта деятельность вообще возможна. Ни человек и ни какое-либо другое живое существо не могло бы вписаться в совершенно хаотический мир, в котором нет регулярного следования определенных следствий за определенными причинами. Реальный мир — не трансцендентальная иллюзия. Причинность, время, необходимость, возможность — сущностные характеристики акта деятельности, отражающие стороны мира, являющиеся условием деятельности.

Мы должны провести здесь разделение деятельностной позиции с установкой эволюционной эпистемологии. Эволюционная эпистемология справедливо указывает на реальные основания априорных структур сознания. Ее ошибка состоит в том, что она не разделяет эмпирического и телеологического отражения опыта и возводит на уровень априорного все стороны опыта, соответствующие наиболее устойчивым сторонам реальности. Априорное знание, понятое таким образом, становится приближенным и изменяющимся исторически. В действительности, в ранг общезначимости и априорности возводятся лишь те представления о реальности, которые определяют саму возможность деятельности. Здесь мы имеем уже не эмпирическое, а телеологическое или субъектно-объектное отражение. Будучи в своих истоках обусловлено реальностью, телеологическое видение мира по своему объему ограничено требованиями познающего субъекта и имеет внеисто-рический характер. Деятельностная позиция согласуется со взглядом Канта на априорное знание как нормативное и внеисторическое.

Категории внеэмпиричны не потому, что они отражают лишь структуру самого сознания, а потому, что они отражают бытие лишь в тех характеристиках, которые выявляются деятельностью самой по себе, независимо от ее предметного (эмпирического) содержания. Категории внеисторичны вследствие инвариантности структуры деятельности и единства деятельностной ориентации субъекта.

В категориях мы раскрываем особую реальность, не выразимую в эмпирических понятиях. Категории в этом смысле образуют первичную и абсолютно автономную сферу представлений. Мы будем называть эту сферу представлений категориальной онтологией, или категориальным видением мира. Категориальная онтология представляет собой первичный и определяющий уровень априорного знания.

3. Априорность и реальность исходных представлений арифметики

Для обыденного сознания истины арифметики получаются из операции счета и несомненно апостериорны. Но эта точка зрения не соответствует действительности.

Косвенное соображение в пользу положения об априорности арифметических истин проистекает из самоочевидности этих истин. Как уже сказано, априорные истины даны сознанию с особой степенью очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру, нормы логического умозаключения. Но в таком случае сама аподиктическая oчeвидность может быть использована в качестве признака априорного знания. Если мы посмотрим на исходные представления арифметики, то должны будем признать, что они являются аподиктически очевидными либо полученными из аподиктически очевидных истин на основе аподиктически очевидных операций. Пифагорейский тезис, согласно которому ложь не может быть присоединена к утверждениям о числах, понятен современному математику ничуть не в меньшей мере, чем математикам (да и всем людям) во все времена. Элементарные арифметические даны человеческому сознанию с непреложностью, и этот факт заставляет нас признать, что здесь мы имеем дело с представлениями, радикально отличными от представлений опытных наук.

Теоретическое обоснование априорности арифметики требует рассмотрения структуры универсальной онтологии. То, что мы называем универсальной, абстрактной или категориальной онтологией, состоит из двух существенно различных частей, которые можно назвать причинной и предметной онтологией. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей. Причинность является, таким образом, универсальным онтологическим основанием деятельности. Система онтологических категорий, включающая категории материи, пространства, времени, причинности, случайности, необходимости, бытия, небытия и т.п., является целостной в том смысле, что все эти категории описывают аспекты реальности, определяющие деятельность, а точнее, акт деятельности в его необходимых онтологических предпосылках. Эта часть онтологии может быть названа каузальной, или динамической, так как в центре ее находится представление о причинной связи, определяющее практическое отношение человека к миру.

Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы универсальных онтологических представлений. Для того чтобы действовать, мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о связях, но и в идеальных представлениях о предметах, с которыми

мы действуем. Мы должны, прежде всего, выделять и отождествлять предметы. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и постоянства их структуры, т.е. на идеальные представления о предметах, как максимально удовлетворяющих условиям деятельности. Точно так же, как деятельность вырабатывает у нас идеальные представления о причинной связи, она вырабатывает и представления о мире как совокупности предметов, которые конечны в пространстве и времени, стабильны в своих формах, отделены друг от друга и т.д. Наряду с каузальной онтологией, которая выражает собой идеальные условия акта действия, мы имеем систему предметных идеализаций, идеализированную структуру мира, конституируемую деятельностью. В основе этой идеализированной структуры мира лежит разделение единичности и множественности. Действие конкретно, оно всегда направлено на некоторую единичность и предполагает универсальное (онтологическое) определение единичности, систему признаков единичного вообще.

Адекватное понимание арифметики как априорного знания достигается при осознании того факта, что в ее основе лежат универсальные идеализации единичного и множественного, выработанные деятельностью. Аристотель говорит, что «исследователь чисел полагает человека как единого и неделимого» [Аристотель, 1976, т. 1, с. 326]. К этому правильному положению мы должны добавить лишь то, что образование понятий о едином и неделимом в процессе восприятия продиктовано не каким-либо чистым стремлением к абстрактности, а универсальной деятельностной установкой мышления. Мы имеем универсальное онтологическое представление о единичности и множественности, законы которого и выражает арифметика.

Наивное эмпирическое представление об арифметике состоит в том, что мы извлекаем понятие числа и законы арифметики из опыта, а именно из процесса счета. Но чем в таком случае обусловлена универсальность арифметики, ее независимость от особенностей считаемых предметов? Еще древние философы справедливо указывали, что операция счета предполагает представление о единице и подведение некоторой ситуации под понятие определенного числа. Боэций говорит, что «существует два рода числа: одно, посредством которого мы считаем, другое, заключенное в исчисляемых вещах» [Боэций, 1990, с. 149]. Это тонкое различение эмпирического и априорного в арифметике. Мы должны четко разделить единичность как эмпирически выявляемую дискретность предметного мира и единичность как онтологическую идеализацию, порождаемую деятельностной ориентацией субъекта. Без реальной дискретности нет счета. Но реальная дискретность неоднородна,

неустойчива, реальные «единицы» сливаются и разделяются. Онтологическая единица, на которой построена арифметика, однородна, постоянна, вневременна, не разделяется и не сливается с другими единицами. Онтологическая единичность и множественность — объекты идеализированной картины мира, созданные деятельностной ориентацией субъекта и имеющие универсально эмпирическое или надэмпирическое значение.

Анализ процедур счета показывает, что они имеют смысл только в рамках представлений об идеальной предметности. Арифметика представляет собой в своей сущности не что иное, как описание требований к объекту, продиктованных универсальной предметной онтологией. Но это означает, что законы арифметики не порождены процедурами счета, а являются их условием, их убедительность для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из универсальных требований предметной онтологии, из онтологического разделения единичности и множественности. Ошибка философов-эмпириков состоит в том, что они истолковывают сферу приложения арифметики в качестве источника ее понятий. Они, как говорил Фреге, «смешивают применение математической истины с самой этой истиной» [Г. Фреге, 2000, с. 45].

Эти простые соображения подводят нас к пониманию реальности арифметики. Априорность арифметики не означает, что понятие числа имеет свои истоки в разуме. Для того чтобы в мире был счет, мир должен быть в какой-то мере дискретным сам по себе, безотносительно к деятельности счета. Вопрос состоит лишь в том, чтобы понять, каким образом реальные отношения возводятся в ранг абсолютных представлений сознания. Мы должны здесь снова возвратиться к понятию телеологического отражения. При самом зарождении человеческого мышления дискретная структура реальности в силу своей важности для деятельности сразу же была возведена на уровень онтологической и субъектно-ориентиро-ванной идеализации, относящейся к объекту вообще. Априорное, таким образом, не творение духа, оно укоренено в структуре эмпирической реальности, но оно другое по способу своего становления и существования в иерархии понятий: законы арифметики даны нам как телеологические, диктуемые нашим подходом к реальности вообще, необходимые для опыта вообще и в этом смысле абсолютные. Основной недостаток традиционного априоризма состоит в том, что он упускает из виду реальное основание априорного, не видит других путей обоснования абсолютности априорных структур мышления, кроме как через постулирование их абсолютной первичности перед опытом.

Важным вопросом обоснования арифметики является вопрос о формировании представления о натуральном ряде чисел, который

упорядочивает числа в их отношении к единичности. Вопрос состоит в том, как мы поднимаемся от представления единицы к понятию упорядоченной последовательности чисел. По Канту, в основе этого процесса лежит представление о времени. С деятель-ностной точки зрения формирование представления о бесконечном ряде чисел обусловлено общим стремлением деятельностного сознания к преодолению конечного. Натуральный ряд чисел — идеализация, отражающая эту тенденцию. На становление этой идеализации оказало влияние как представление о бесконечности времени, так и представление о бесконечности пространства.

4. Априорность и реальность представлений евклидовой геометрии

Геометрическое априорное, как и арифметическое, задает некоторого рода абсолютную предметную онтологию, необходимую структуризацию объекта действия.

Представление о пространстве как пустоте не содержит в себе никакой геометрии, или точнее, оно совместимо с любой геометрией. В действительности, законы геометрии определены свойствами движения. На этот момент впервые указал Беркли в своем известном эссе против Ньютона: «Когда я говорю о чистом или пустом пространстве, не следует предполагать, что словом "пространство" обозначается идея, отличная от тела или движения или мыслимая без них. <...> Если бы и мое тело было уничтожено, то не могло бы быть движения, а следовательно, и пространства» [Дж. Беркли, 1978, с. 226].

Эту мысль повторяет и развивает Э. Мах. Он указывает на определение прямой у Лейбница как множества точек, сохраняющих свое место при вращении тела около двух неподвижных точек, а также на способ механического определения плоскости через процедуру шлифовки поверхностей. Общий вывод его состоит в том, что геометрия фиксирует свойства движений твердых тел, т.е. тел, обладающих пространственным постоянством. Эти законы, однако, — только идеализации, так как нет абсолютно твердого тела, как нет совершенной прямой линии и абсолютной плоскости.

Но здесь возникает затруднение. Почему математические идеализации, в отличие от физических, воспринимаются как абсолютные и неизменные? Мах признает, что евклидова геометрия выступает как законченная и в своем роде единственная. Он принимает это положение как факт и признает, что во взглядах Канта есть зерно истины. Он полагает, что возможна некоторая новая теория априори, соединяющая эмпиричность и априорность геометрии [Э. Мах, 2009, с. 447].

3 ВМУ, философия, № 4

33

Конвенционалисты (Дж.Ст. Милль, А. Пуанкаре) несколько ослабляют трудность, объявляя геометрии схемами опыта, которые не могут быть опровергнуты в сфере опыта. Но это лишь видимое решение проблемы. Очевидно, что речь здесь идет не о том, что геометрия вследствие своей формальной структуры не может быть опровергнута опытом, а о том, что опыт не может существовать без представлений, заключенных в евклидовой геометрии. Мы должны обосновать тезис априоризма, а именно абсолютность евклидовой геометрии для любого опыта. Но это обстоятельство не проистекает из возможности формального определения системы геометрических истин.

Деятельностная установка решает это затруднение. С этой точки зрения мы должны признать наличие эмпирической основы геометрии и возможность разъяснения ее понятий в опытах с движением. Но мы должны учитывать праксеологическую природу геометрических понятий, тот факт, что геометрические представления являются определяющими для практики и что по этой причине они в самом процессе своего формирования возводятся в онтологический статус, становятся нормативной основой мышления, основой структуризации любого предмета мышления. Возможность обнаружить истоки геометрии в опыте ничего не говорит о статусе геометрии как системы представлений. Представления о твердых телах, об их движении, о расстояниях между ними, о прямой линии и плоскости — это представления, определяющие любой опыт и неизбежно приобретающие статус идеализированных общезначимых представлений практически ориентированного сознания.

В отличие от мира теории, практика как в своей структуре, так и в свойствах объекта остается исторически неизменной. Человек в своем соприкосновении с миром всегда имеет дело с твердыми телами, находящимися на определенном расстоянии друг от друга, претерпевающими те или иные перемещения в пространстве. И техническое оснащение практики ничего не меняет. Все наши инструменты нацелены на свойства твердых тел как на ее исходный объект. Общезначимость и устойчивость евклидовых представлений для сознания объясняется их включенностью в предметную практику в качестве универсальных структурирующих представлений. Идеализации евклидовой геометрии онтологичны по своей сути, они представляют собой универсальную основу для классификации отношений предметности в актах деятельности.

Милль, Гельмгольц, Мах и Пуанкаре не ошибались, когда связывали само существование евклидовой геометрии с движением твердых тел. Мы можем вывести понятие прямой из вращения твердого тела, понятие плоскости из понятия движения. Это верные

соображения, показывающие укорененность геометрии в опыте. Но они упускали из виду, что геометрические понятия сформировались не как обобщения опыта, а как общезначимые онтологические интуиции, определяющие предмет практики. Эмпирическое обоснование евклидовой геометрии — это привнесенное обоснование, полезное в смысле анализа ее содержания, но не учитывающее онтологический статус ее представлений.

Евклидова геометрия — исключительная геометрия, она является онтологически означенной или онтологически истинной. Именно эта геометрия включена в любую деятельность как структурирующая предмет деятельности. Все другие геометрии существуют как формальные структуры, имеющие возможность получить эмпирическую интерпретацию, но не имеющие онтологического значения. В этом состоит ее особое значение для математики и для философии. Именно евклидова геометрия есть система представлений, структурирующих предметность в формах, максимально пригодных для действия

Как и в случае с арифметикой, нам важно здесь понять соотношение априорной геометрии и ее реального, эмпирически выявляемого содержания. Геометрия априорна не потому, что она не имеет отношения к опыту и к реальности самой по себе. Априорность и абсолютность евклидовой геометрии проистекают из того обстоятельства, что отношения реальности, фиксируемые в ней, имеют универсальное значение для акта деятельности. Статус априорности означает, таким образом, не отказ от реальности, а указание на глубинную реальность, определяющую само бытие действующего и мыслящего субъекта.

5. Реальность математических объектов

Праксеологическое понимание интуитивной основы математического мышления позволяет нам по-новому посмотреть на старый спор о реальности математических абстракций: являются ли эти абстракции фикциями, изобретениями человеческого ума, либо они содержат в себе некоторое содержание, предопределенное структурой мира, в котором мы существуем. Изложенные соображения дают нам возможность защитить математический реализм и прояснить его действительные основания.

Необходимо разделить методологическое и философское понимание математического реализма. Методологический реализм сводится к утверждению, что в математике в качестве непосредственно истинных могут приниматься не только утверждения о конкретных предметах (числах, фигурах), но и утверждения об абстрактных сущностях, таких, как множество действительных чисел и т.п.

Номиналисты полагают, что подлинной надежностью обладают только высказывания о конкретных объектах, таких, как натуральные числа и операции с ними. Этот спор в настоящее время можно считать законченным: методология математики в достаточной степени прояснила тот факт, что строго номиналистическое построение математики не может быть осуществлено1.

Необходимо также отделить математический реализм от математического объективизма, который имеет существенно иные истоки и иную сферу действия. Обсуждая проблему реальности в математике, Р. Пенроуз ставит вопрос следующим образом: являются ли математические теории фикциями, изобретениями человеческого ума или они открываются нами, как предсуществующие [Р. Пенроуз, 2003, с. 88]? Примеры, которые он рассматривает для подтверждения позиции реализма, показывают, что в действительности речь идет не о реальной (метафизической) подоснове математических теорий, но об их объективной определенности в системе математического знания. Множество Мандельброта, о котором у него идет речь, конечно, объективно определено операциями с комплексными числами, но мы не можем ему, в отличие от арифметики и евклидовой геометрии, приписать реальную (метафизическую) значимость.

Для философии математики наиболее важной является именно идея метафизического реализма, который стремится найти за исходными математическими абстракциями некоторого рода реальное существование. Праксеологическое понимание математических идеализаций решает этот вопрос в положительном смысле. Мы выяснили, что система исходных представлений математики не вымысел, не конвенция и не плод свободного воображения: она навязана реальностью, а именно теми аспектами в структуре реальности, которые определяют человеческую практику. Система исходных математических идеализаций как однозначная для мышления задана деятельностной установкой мышления, но за этими идеализациями стоит реальная структура мира: дискретность мира, определяющая возможность счета, и реальные движения, определяющие структуру геометрии. В этом смысле математические объекты — необходимые составляющие картины мира, и следовательно, объекты, имеющие реальную значимость.

Понятие реальности раскрывает и уточняет понятие априорности. С праксеологической точки зрения априорные принципы — не внутреннее устроение мышления самого по себе, а идеализированное отражение сторон реальности, являющихся необходимыми условиями его действия и мышления. Априорное и реальное со-

1 Обсуждение проблем методологического реализма в математике см.: [Р. Bernays, 1964].

впадают, так как на уровень априорных и общезначимых возводятся те аспекты реальности, которые являются необходимыми условиями деятельности. Это причинность, единичность и множественность, пространство, время, движение. Исходные представления арифметики и евклидовой геометрии априорны, так как они произведены и удерживаются в нашем сознании именно этими сторонами бытия, определяющими деятельность.

В своем отношении к миру человек строит два уровня представлений: теоретические представления, систематизирующие данные опыта, и онтологические представления, фиксирующие в себе необходимые условия деятельности. Оба этих уровня представлений обладают объективной значимостью, ибо оба они определены и подтверждены практическим отношением человека к миру. Устойчивость и общезначимость исходных математических представлений говорит не об их принадлежности к чистому сознанию, а об их связи со структурами реальности, определяющими деятельность и имеющими значимость в отношении любого опыта. Законы математики — не законы природы, основанные на опыте и корректируемые им, но они, несомненно, реальны, ибо имеют отношение к фундаментальным аспектам реальности, определяющим саму возможность человеческого бытия и мышления.

Связывая исходные математические идеализации с универсальной онтологией, праксеологический априоризм оправдывает традиционную веру математиков в реальную значимость математических объектов и теорий. От кантовского априоризма с его абсолютной имманентностью форм мышления мы должны возвратиться к априоризму Лейбница, для которого универсальные принципы мышления выступают одновременно и в качестве основополагающих характеристик реальности. Наше различение евклидовой геометрии как реальной от других геометрий, полученных из нее посредством логических трансформаций, безусловно, оправданно и имеет вполне определенный смысл: в отличие от других геометрий, евклидова геометрия является онтологически истинной, согласованной с принципами идеальной предметности. Все геометрии равноправны в качестве формальных структур, все они равноправны в возможности эмпирической интерпретации и практического использования, но только евклидова геометрия истинна онтологически и в этом смысле обладает статусом реальности. Ясно, что такого рода реализм относится только к генетически исходной группе математических понятий, имеющих онтологическую значимость. К внутренним объектам теории, полученным на основе конструкции, применение понятий априорности и реальности не имеет смысла. Эти понятия объективны, но не реальны.

Мы вправе, таким образом, говорить о метафизической основе математики как о системе представлений о реальности, включенных в ее исходные понятия. Метафизика в опытной науке выступает либо как система гипотез, предваряющих теоретические принципы (идея атомизма, импетуса), либо как система воззрений на мир, производных от принятой методологии (идея детерминизма, дополнительности, холизма). Для метафизики в опытных науках существенно то, что она меняется от эпохи к эпохе вместе со сменой теорий и принятых парадигм. Метафизика математики отличается от метафизики опытных наук в том отношении, что она имеет категориальный и вневременный характер.

6. Синтетичность математических истин

Важнейшей особенностью математики, отличающей ее от логики, является синтетический характер ее принципов. Мы определяем суждение как синтетическое, если связь субъекта и предиката, осуществляемая в нем, опирается на некоторое внешнее представление, которое не раскрывается анализом его понятий. Эмпирические суждения, безусловно, синтетичны, поскольку они опираются на представления опыта.

Аналитичность законов логики становится очевидной уже из простого их рассмотрения, которое показывает, что каждый такой закон является не чем иным, как разъяснением используемых в нем исходных смыслов, таких, как «не», «и», «или» и т.п. Утверждая, что из Ух F(x) следует Эх F(x), мы опираемся на интуитивно ясное понимание отношения между целым и частью. Признак, принадлежащий всем объектам, не может не принадлежать некоторым из них, ибо это противоречило бы прuняmому смыслу слов «все» и «некоторые». Аналитичность логики проистекает из ее функции как универсальной языковой нормы. Отображение содержания в суждениях может происходить только через соподчинение значений на основе предварительно принятых смыслов, которые мы называем логическими константами. Органическая связь логики с онтологией проистекает из того обстоятельства, что только онтологические представления могут дать систему стабильных и общезначимых смыслов, необходимых для кодирования предметного содержания в суждениях и установления строгих смысловых тождеств между ними. Принципы реальной логики аналитичны, ибо это те и только те утверждения, которые определяют смысл логических констант.

Принципы математики, по Канту, синтетичны, поскольку они опираются на априорные представления о пространстве и времени. Устанавливая синтетичность математических истин, Кант устраняет лейбницевское отождествление математики и логики, намечая

тем самым более глубокое понимание природы математического мышления. Однако надо признать, что объяснение синтетичности математических суждений, данное Кантом в «Критике чистого разума», не обладает достаточной убедительностью. Большая часть его аргументации искусственна и уязвима для критики. Действительно, непросто согласиться с положением, что 5 + 7 не заключают в себе числа 12. Логистическая экспликация понятия числа опровергла это положение [см.: Л. Кутюра, 1913, с. 216—223].

Арифметика как теория, основанная на определениях, несомненно, содержит в себе также и аналитические суждения, и разграничение одних от других на уровне непосредственной очевидности, как это пытается сделать Кант, недостижимо. Ясно, что при обосновании синтетичности математики мы должны исходить не из конкретных примеров, а из некоторых общих положений о статусе математической теории в целом. Понимание деятельностной и предметно-идеальной природы исходных математических истин позволяет дать более строгое объяснение их синтетичности. Арифметика с этой точки зрения синтетична потому, что она имеет истоки не в логике, а в идеально-предметных представлениях о мире и, следовательно, в какой-то части своих принципов является содержательной и описательной наукой. Хотя это абстрактное положение не дает критериев, позволяющих с полной определенностью отнести конкретное математическое суждение к классу аналитических или к классу синтетических, оно позволяет нам утверждать, что конструирование математических теорий невозможно без привнесения некоторого внешнего содержания, выходящего за рамки логических тождеств. Мы приходим к выводу, что, в отличие от логики, математическая теория по необходимости должна содержать в себе суждения, не выводимые из одних лишь понятий. Понимание этого обстоятельства позволяет оправдать разделение логики и математики как аналитического и соответственно синтетического знания и тем самым уже на философском уровне показать несостоятельность общей установки логицизма, который стремился понять математику лишь как продолжение и усложнение логической теории.

Изложенные соображения позволяют нам с большей определенностью очертить сферу априорных синтетических истин. Кант, как известно, понимал принципы механики также как априорные и, следовательно, имеющие тот же статус, что и принципы геометрии. Близкая позиция обосновывалась Э. Гуссерлем в его теории региональных онтологий. Деятельностное понимание априорного знания исключает такую расширенную трактовку априорного. Принципы теории, имеющей эмпирический базис, обладают не онтологическим, а собственно теоретическим (гипотетико-дедук-

тивным) статусом и ни при каких обстоятельствах не могут быть отождествлены с априорными принципами мышления, выполняющими роль механизма эмпирического синтеза. Принципы механики синтетичны в эмпирическом смысле, а не в смысле онтологической истинности, и они не могут быть отождествлены по своему статусу с принципами геометрии и арифметики, производными от универсальной онтологиии22. Границы априорного синтетического знания строго определены сферой универсальной онтологии и вследствие этого не выходят за пределы категориальных принципов и аподиктически очевидных истин математики.

7. Основные подходы к пониманию статуса математических объектов

Понятие а priori по отношению к логическим и математическим истинам систематически стал использовать Г.В. Лейбниц. Он полагал, что все математические истины врожденны («потенциально находятся в душе человека») и что они аналитичны в том смысле, что их можно свести к системе самотождественных утверждений типа А = А. Лейбниц считал, что принципы математики относятся к реальности и заключают в себе глубинные истины о строении мира, не доступные для опытного познания. Математика и метафизика образуют, по Лейбницу, систему необходимых истин, противостоящих истинам случайным, взятым из опыта. Недостаток позиции Лейбница состоит в ее догматичности. В сущности, эта позиция — лишь переложение пифагорейского верования в то, что человеческий разум как таковой без помощи чувств способен восходить к постижению законов космоса.

Кант существенно углубил лейбницевское понятие необходимых истин. Главное достижение кантовской теории познания состоит в разделении содержания и формы мышления и в обосновании того факта, что математическое знание относится к форме мышления и обладает принципиально иными характеристиками, чем знание, основанное на опыте. Кант отделил априорность от врожденности и строго обосновал факт синтетичности математического знания. Он таким образом отделил математику от опытных наук как науку о форме мышления, а также и от логики как от системы аналитических априорных истин. Математика, по Канту, непосредственно базируется на априорных представлениях пространства и времени: геометрия понимается как теория, концептуализирующая представление о пространстве, арифметика аналогичным образом соотносится с представлением о времени. В отличие от

2 Попытки защитить априорный характер принципов механики предпринима-

ются и в наше время [см.: А.Ю. Грязное, 2000, № 8].

Лейбница, Кант истолковывает математические представления как сугубо идеальные, не имеющие отношения к вещам самим по себе. С деятельностной точки зрения становится очевидным, что такая радикально антионтологическая позиция не вскрывает истоков и реальной основы математического знания.

Несколько иная концепция априорного знания была выдвинута Э. Гуссерлем в начале прошлого века. Гуссерль стремился освободить априорное знание от остатков антропоморфизма, имеющих место в кантовской теории. Кант не исключал того положения, что существа, отличные от человека, могут иметь другие априорные представления. С точки зрения Гуссерля, априорные представления не зависят ни от объекта, ни от субъекта мышления и являются совершенно одинаковыми для любого познающего существа, будь это люди, чудовища или боги. Гуссерль предпринимает попытку связать априорное с реальным, намечая зависимость эйдосов от системы фактов. Эта попытка, однако, приводит его к некоторой форме эмпиризма, который заметен в его последних работах. Становление геометрии, по его мнению, было бы невозможно без протогеометрии — грубой эмпирической геометрии, создаваемой в практике измерений [E. Husserl, 1970, p. 28]. Исключив анализ целей мышления как неприемлемую метафизику, Гуссерль не смог понять процесса восхождения от реальных отношений к нормативной основе мышления.

С деятельностной точки зрения идею протогеометрии нужно признать несостоятельной. Хотя геометрия, несомненно, внедрена в реальность и имеет основания в свойствах движения, геометрические понятия никогда не развивались по типу понятий эмпирических. В силу своей особой связи со структурой деятельности геометрические представления с самого начала формировались как телеологические, как продиктованные деятельностным отношением человека к миру. Они с самого начала приобрели значение представлений общезначимых, необходимых и некорректируемых данными опыта.

Нужно особо отметить подход к обоснованию геометрии, намеченный Г. Динглером, приближающийся в определенном смысле к ее праксеологическому пониманию. Концепция Динглера направлена против мнения Пуанкаре, согласно которому ни одна из геометрий не может быть объявлена более истинной, чем другая. По мнению Динглера, евклидова геометрия имеет особый статус, она, в отличие от всех других геометрий, обладает реальностью и истинностью. Принципы евклидовой геометрии, по мнению Дин-глера, абсолютны, поскольку они проистекают из наших требований к эксперименту. Теоретически значимый эксперимент должен быть воспроизводим, но это возможно лишь в том случае, если он

будет составлен из воспроизводимых частей и геометрических форм, обеспечивающих соподчинение этих частей. Определяющей геометрической формой является плоскость как наипростейшая поверхность, обе стороны которой одинаковы. Преимущество этой геометрической формы состоит в том, что она воспроизводима. Техническое искусство с древнейших времен ориентировано прежде всего на производство плоских поверхностей. Плоскость не просто мыслится, как это думал Кант, она производится, вносится в предметную реальность. В отношении плоскости мы вправе говорить об априори изготовления. Поскольку определение плоскости лежит в основе определения всех других геометрических понятий, то евклидова геометрия в целом приобретает статус априорной в смысле изготовления. Эта особенность относится только к евклидовой геометрии и к никакой другой.

Динглер призывает включить в понятие опыта наличие вмешательства, действия и воспроизведения. Понимание опыта как эксперимента требует принятия установок евклидовой геометрии как его априорной структуры. В сфере эксперимента, говорит он, «скрылись платоновские идеи, после того как для них более не осталось места в безотрадном мире чистого эмпиризма» [Г. Динглер, 1977, № 12, с. 103].

Динглер убежден, что он доказал реальное существование евклидовой геометрии и соответственно несуществование альтернативных геометрий. Неевклидовы, многомерные и другие возможные геометрии существуют, по его мнению, только как логические системы, они могут занимать определенное место в структуре теоретического знания как функции, связывающие показания экспериментов, но они не существуют как реальные или метафизические.

Ценность теории Динглера состоит в том, что он впервые вводит человеческую практику в обоснование априорного знания. Опытное знание у него не противопоставляется знанию априорному: свойства телесности, фиксируемые в опыте и в производстве, могут быть, по его мнению, возведены в ранг априорных вследствие их особой значимости для практической ориентации человека в мире. Априорное, таким образом, соединяется с реальным: априорное — это реальное, наиболее значимое для практики.

Основной недостаток концепции Динглера состоит в ее привязанности к понятию эксперимента и к активности, связанной с этим понятием. Эксперимент — это явление зрелой науки, но геометрия и арифметика сформировались как априорные структуры задолго до появления экспериментальной науки. Этот факт принуждает нас предполагать, что априорный статус геометрии обусловлен не специфической конструктивной активностью, связанной с экспериментом, а деятельностной установкой познающего субъекта вообще, имеющей место в любой сфере знания и на любом его

этапе. Установка на активность в сфере эксперимента имеет также тот недостаток, что она не позволяет подойти к обоснованию априорности категорий и логики как высших нормативных структур сознания.

Некоторый подход к решению проблемы был предложен П. Мед-ди в ее книге «Реализм в математике» [Р. Maddy, 1990]. Она ставит своей задачей выявить реальные основания понятия множества и соответственно реальные основания теории множеств в целом. Основная идея, из которой она исходит, состоит в том, что понятие математического множества возникает в процессе восприятия реальных агрегатов вещей при особой направленности процесса восприятия. По ее мнению, наряду с эмпирическим восприятием существует некоторый его аналог (имеющий основание в устройстве нервной системы), который приводит к образованию специфической математической абстракции (например, числа «три» при рассмотрении трех яиц, лежащих на столе). Фактически здесь делается попытка понять расщепление факта и эйдоса через натуралистический анализ процесса восприятия. Представляется, что механизм этого расщепления не выводим из природы восприятия и может быть объяснен только телеологически, из практической ориентации сознания. Другой спорный момент в подходе Медди состоит в попытке вскрыть реальные основания такой математической теории, как теория множеств. Свойства априорности и реальности (онтологической значимости), как мы выяснили, принадлежат лишь генетически исходным математическим теориям, таким, как арифметика и евклидова геометрия, непосредственно связанным со структурами практики. Хотя в понятиях теории множеств присутствуют элементарные математические интуиции, она включает в себя и чисто конвенциональные положения, не поддающиеся реалистической интерпретации.

В течение последнего столетия были намечены подходы к обоснованию априорного знания из принципов позитивной науки. Одним из таких подходов является эволюционная эпистемология, которая стремится понять априорное знание как знание, врожденное или закрепленное эволюцией в самих механизмах познания. Априорное в эволюционной эпистемологии реально, ибо отражает сложившиеся механизмы познания, но оно становится подвижным, изменяющимся от эпохи к эпохе вследствие изменчивости аппарата познания [К. Лоренц, 1997, с. 7]. Хотя сторонники эволюционной эпистемологии убеждены, что они вскрывают подлинную основу кантовского априоризма в действительности, мы имеем здесь дело с очевидным искажением его сути, с подменой трансцендентального идеализма некоторого рода натурализмом: идеальный (нормативный) субъект заменяется субъектом психофизиологическим, априорность — врожденностью. При такой трак-

товке исчезает принципиальное разделение формы и содержания мышления и за априорное знание выдается часть предметного знания, обладающая относительной стабильностью. Система априорных принципов становится подвижной и подверженной корректировке. Врожденное знание, несомненно, существует и может быть предметом исследования, но оно не имеет никакого отношения к априорным формам мышления, которые обладают предельной объективностью, общезначимостью, реальностью и абсолютностью.

Деятельностное обоснование априорного знания важно в том отношении, что оно, с одной стороны, реабилитирует традиционный априоризм в его наиболее существенных моментах, прежде всего в радикальном разделении формы и содержания мышления и в понимании форм мышления как абсолютного (инвариантного) содержания сознания, а с другой —утверждает реалистическое понимание форм мышления. Мы выяснили, что формы мышления априорны и реальны, поскольку они порождаются деятельностной ориентацией субъекта и отражают необходимые условия акта деятельности и необходимые требования к объекту, проистекающие из деятельностной ориентации мышления. Особенность математики состоит в том, что, являясь развитой и постоянно развивающейся наукой, она в своих основаниях покоится на абсолютных представлениях, отражающих универсальные требования к объектам реальности с точки зрения человеческой деятельности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1976. Т. 1.

Беркли Дж. Соч. М., 1978.

Боэций. Утешение философией и другие трактаты. М., 1990.

Грязное А.Ю. Методология физики и априоризм Канта // Вопросы философии. 2000. № 8.

Динглер Г. Эксперимент: его сущность и история / Пер. с нем. А. Михайловского // Вопросы философии. 1997. № 12.

Кутюра Л. Кантовская философия математики // Философские принципы математики. СПб., 1913.

Лоренц К. Кантовская доктрина a priori в свете современной биологии // Человек. 1997. № 5.

Мах Э. Познание и заблуждение. М., 2009.

Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. М., 2003.

Фреге Г. Основоположения арифметики. Томск, 2000.

Bernays P. On Platonism in mathematics // Philosophy of mathematics: Selected readings / Ed. by P. Benacerraf, H. Putnam. Cambridge, 1964.

Maddy P. Realism in mathematics. Oxford, 1990.

Husserl E. The msis of European sciences and transcendental philosophy. Evanston, 1970.