Методическая разработка «Реализация преемственности в формировании пространственных представлении у учащихся I-VI классов.»

Основы реализации преемственности в формировании пространственных представлений у учащихся I-IV классов в процессе обучения математике

Методика реализации преемственности в формировании пространственных представлений у учащихся при обучении математике

Анализ психолого-педагогической и методической литературы. позволил нам установить, что для эффективной реализации преемственности в формировании пространственных представлений у учащихся необходимо прежде всего выделить последовательность этапов организации этого процесса. К ним относятся:

1. Накопление пространственных признаков и отношений и их узнавание.

2. Воспроизведение накопленных представлений и их систематизация.

3. Конструирование пространственных образов.

4. Мысленное оперирование пространственными образами.

Цели формирования пространственных представлений и воображения обусловлены также и необходимостью организации работы по развитию речи.

Без развития воображения (в том числе и пространственного) не может успешно протекать развитие речи (В.В. Давыдов и др.), поскольку формирование пространственного воображения тесно смыкается с формированием и развитием мышления. В процессе мышления пространственные представления способствуют установлению более гибкой и точной взаимосвязи между реальным предметом и понятием, между термином, символом и образом.

Особое место занимают конкретные цели формирования пространственных представлений на каждом из выделенных нами этапов обучения.

На первом этапе – основными являются выработка действий и умений, позволяющих ребенку: описывать взаимное расположение предметов, фигур и их частей в реальном окружающем пространстве; определять их форму и сравнивать размеры, оценивать расстояние между ними; ориентироваться в рисунках, моделях, изображениях реального окружающего пространства; формировать активный запас слов, с помощью которых ученик описывает пространственные признаки и отношения, форму предметов, их взаимное расположение и т.д.

Основной целью второго этапа является дальнейшее развитие умений воспроизводить пространственные признаки и отношения с помощью словесного описания, рисунка, модели. Существенно расширяется содержание и объем накопленных пространственных представлений. Посредством установления различных связей и отношений между отдельными пространственными представлениями происходит их систематизация.

На третьем этапе складываются умения создавать целостный образ пространственного объекта. Конструирование образа осуществляется как на наглядной, так и с опорой на уже сформированные представления и понятия, на основе словесного описания или изображения. Распознавание и воспроизведение образа происходит в тех условиях, при которых проходило его формирование.

В процессе реализации четвертого этапа ставится цель – формирование у учащихся умений мысленно выполнять различные операции над пространственными объектами.

Каждый из этих этапов характеризуется набором выполняемых учащимися действий, адекватных структуре деятельности формирования пространственных представлений. Так, узнавание происходит в результате анализа и синтеза образов геометрических объектов, сопоставления различных изображений, в процессе вычленения формы, определения размеров, взаимного расположения образов геометрических конфигураций и их элементов, осуществления глазомерной оценки линейных и угловых величин; воспроизведение – в процессе вычленения формы, определения размеров, взаимного расположения образов геометрических конфигураций или их элементов, осуществления глазомерной оценки линейных и угловых величин, в процессе изображения образов геометрических объектов наглядно или словесно; конструирование образов геометрических конфигураций предполагает наличие умений синтезировать образы геометрических объектов, произвольно изменять позицию наблюдения и фиксировать изменения, происходящие в содержании образа, мысленно изменять положение, структуру образов геометрических конфигураций, конструировать образы новых геометрических конфигураций. Оперирование образами геометрических объектов успешно осуществляется при овладении умениями мысленно изменять положение, структуру образов геометрических конфигураций, а также производить эти преобразования одновременно.

Так как формирование и развитие пространственных представлений при обучении математике осуществляется в процессе выполнения специально подобранных упражнений (заданий), возникает необходимость выделения основных типов таких упражнений.

К основным типам упражнений, ориентированным на формирование и развитие пространственных представлений при обучении элементам геометрии, отнесем:

· упражнения на распознавание пространственных признаков и отношений, их узнавание;

· упражнения на воспроизведение пространственных признаков и отношений;

· упражнения на конструирование новых пространственных образов

· упражнения на мысленное оперирование пространственными образами

Выполнение выделенных нами упражнений требует овладение учащимися комплексом интеллектуально-практических умений:

1. Умение описывать взаимное расположение предметов в пространстве.

2. Умение распознавать объект среди объектов реального пространства.

3. Умение устанавливать взаимосвязи между представлением, словом и изображением.

4. Умение распознавать объект среди изображений.

5. Умение классифицировать:

- геометрические фигуры;

- геометрические тела.

6. Умение осуществлять оценку величины пространственного образа.

7. Умение воспроизводить в воображении объект.

8. Умение конструировать новые образы.

9. Умение мысленно выполнять различные операции над пространственными образами.

Сформированность этих умений, по нашему мнению, наиболее полно и разносторонне характеризует уровень развития пространственных представлений у обучаемых.

Таким образом, одним из основных условий реализации преемственности в формировании пространственных представлений в процессе обучения можно считать овладение комплексом умений, составляющих содержание пространственных представлений и характеризующих их сформированность.

Общими видами деятельности в процессе обучения математике, способствующими формированию пространственных представлений являются:

1. Организация учителем наблюдения и называние различных пространственных признаков и отношений.

Наблюдение – вид умственной деятельности, в основе которого лежат соединения восприятия, процессов мышления и речи учащихся. В зависимости от выделенных нами этапов реализации преемственности формирования пространственных представлений, меняются цели и задачи наблюдения.

На первом этапе основной задачей наблюдения являются непосредственное восприятие учащимися предмета или явления, различение, сравнение приобретаемых ими представлений об изучаемом предмете или явлении. Здесь учитель вносит необходимые дополнения и пояснения в полученные детьми представления и понятия для отделения основного от второстепенного.

На втором этапе путем наблюдения происходит чтение пространственных признаков на рисунках, моделях, чертежах, схемах, выделение существенных признаков от несущественных. На этом этапе осуществляется переход к обобщению наблюдаемых фактов, доведение частных случаев до общего положения.

На третьем этапе – задачи наблюдения усложняются, они направлены на конструирование пространственных образов на наглядной основе, на абстрактно логической основе с опорой на уже сформированные представления.

На четвертом этапе – формируются умения мысленно выполнять различные пространственные операции путем изменения структуры образа, различных перемещений в пространстве.

При выполнении упражнений на наблюдение геометрических фигур следует уделить особое внимание приобретению учащимися умения сопоставлять модели изучаемых фигур и их рисунками и чертежами, находить какой-либо элемент модели на ее рисунке, чертеже или развертке, выявлять особенности изображения отдельных частей фигур на чертеже, устанавливать вид фигуры по рисунку, чертежу или развертке. В процессе реализации каждого из выделенных нами этапов эти задания усложняются, вместе с усложнением задач наблюдения, сохраняя преемственную связь между ними.

2.Практика детей в построении, моделировании, конструировании, измерении.

Деятельность построения, моделирования, конструирования, измерения является средством, способствующим развитию у учащихся умения представлять и оперировать представлениями в мыслительной деятельности, формированию изобразительно-графических, измерительных, вычислительных, трудовых навыков и умений, необходимых во всех видах деятельности ребенка. Выполнение каждого вида деятельности строится с учетом реализации целей и задач, сформулированных нами для каждого этапа формирования пространственных представлений у учащихся.

Взаимосвязь пространственного и логического компонентов мышления, их роль в процессе формирования и развития пространственных представлений обучаемых подробно рассмотрена раннее. Там же было показано, каким образом соотносятся основные этапы формирования и развития пространственных представлений с умениями, характеризующими их сформированность.

Все вышесказанное подтверждает важность осуществления формирования пространственных представлений в связи с развитием логического мышления обучаемых и необходимость учета этого условия в процессе реализации преемственности данного процесса.

Большое значение для формирования и развития пространственных представлений при обучении элементам геометрии имеет сочетание наглядных средств и вербальных приемов обучения. Например, чтение чертежей (задаются вопросы по готовому чертежу); построение изображений геометрических конфигураций с заданным набором свойств; восстановление изображений геометрических фигур (по заданной части изображения достроить фигуру так, чтобы выполнялось требуемое свойство) и т.п.

Итак, рациональное использование средств наглядности является необходимым условием для активизации деятельности визуального мышления, лежащей в основе формирования и развития пространственных представлений при обучении математике. Это положение необходимо учесть при реализации преемственности этого процесса.

Совместное изучение элементов плоскости и пространства (фузионизм), рассмотрение планиметрических фигур как частей стереометрических также имеет большое значение для формирования и развития пространственных представлений.

Реализовать эту идею в процессе обучения математике для формирования и развития пространственных представлений можно в процессе выполнения выделенных нами типов упражнений, например, следующим образом:

1. В процессе выполнения упражнений на исследование свойств геометрических объектов (распознавание) осуществляется обучение правильному видению взаимного расположения плоских элементов пространственных фигур на моделях и изображениях (например, взаимное расположение ребер и плоскостей граней многогранников).

2. При выполнении упражнений на изображение образов геометрических конфигураций осуществляется обучение изображению нужной планиметрической фигуры на модели или изображении стереометрической фигуры.

3. При выполнении упражнений на оперирование образами геометрических объектов и конструирование новых образов геометрических конфигураций осуществляется изготовление моделей и разверток, моделей из разверток, разверток из моделей, оперирование развертками (построение развертки данной модели или изображения стереометрической фигуры).

Осуществляя в ходе обучения формирование и развитие пространственных представлений, необходимо учитывать возрастные и индивидуальные особенности обучаемых. Как показали исследования, в пространственных представлениях обучаемых имеют место ярко выраженные возрастные различия, которые проявляются в следующем:

· с возрастом, по мере накопления геометрических знаний, умений и навыков, происходит как обогащение запаса пространственных представлений, так и их качественное изменение, выражающееся в динамичности и более богатом содержании;

· обучаемые младшего возраста оперируют теми средствами наглядности, которые использовались учителем или данными в учебнике, с возрастом они начинают осуществлять самостоятельный выбор наглядного материала;

· с переходом к изучению стереометрии, где оперируют трехмерными образами, учащиеся испытывают отрицательное взаимодействие со стороны навыков оперирования двумерными образами, которые были получены раннее;

· обучаемые младшего и среднего возраста при выполнении почти любого задания по геометрии стараются выполнять чертеж, зарисовку, обучаемые более старшего возраста используют эти наглядные опоры гораздо реже;

· у обучаемых младшего и среднего возраста общие геометрические положения возникают как обобщение из опыта, у обучаемых старшего возраста нередко это происходит на основе логико-теоретических рассуждений;

· обучаемые младшего и среднего возраста зачастую не могут рассказать о тех трудностях, которые они испытывают при оперировании образами геометрических объектов, при решении задач; обучаемые старшего возраста об испытываемых ими затруднениях, как правило, всегда могут рассказать;

· с возрастом увеличивается возможность переноса усвоенных приемов оперирования образами геометрических объектов на новые задачи;

· обучаемые младшего и среднего возраста при решении задач ориентируются в основном на конечный результат оперирования образом, обучаемые старшего возраста проявляют наибольший интерес к процессу достижения результата, стремятся овладеть наиболее рациональными приемами оперирования образами геометрических объектов. Эти возрастные различия должны быть учтены в ходе формирования пространственных представлений у учащихся, реализации преемственности этого процесса.

Далее рассмотрим методику реализации каждого из выделенных нами этапов.

В начале первого этапа выполняют упражнения, связанные с уточнением и закреплением смысла терминов, обозначающие основные пространственные отношения (слева, справа, сверху, снизу, спереди, сзади, внутри, вне, над, под и т.д.). С этой целью обучение целесообразно начинать с выполнения упражнений на ориентировку в реальном окружающем пространстве, связанных:

· с ориентировкой «на себе» и направленных на освоение отдельных частей своего тела, лица, в том числе и симметричных частей (правая и левая рука и т.п.);

· с определением расположения предметов в пространстве «от себя», «от другого человека», «от других предметов» (слева, справа, между и т.д.);

· с ориентировкой по пространственным направлениям (вперед-назад, направо-налево и т.п.).

Следующий этап – выполнение заданий на листе бумаги. Это упражнения на раскрашивание определенным цветом фигуры, расположенной в некоторой части плоскости листа бумаги. Например (рис. 3):

1. «Раскрасьте синим карандашом фигуру, изображенную в верхней строке и левом столбце таблицы».

2. Для уточнения представлений учащихся об отношении взаимного расположения предметов на плоскости, выраженном словами: выше, рядом, между, верхний можно предложить задание типа: «Рассмотрите на своем листе эти круги (указывается рисунок к заданию)».

Один круг темный. Слушайте внимательно, как нужно раскрасить остальные круги:

а) возьмите синий карандаш и раскрасьте им круг, который находится рядом с темным, но расположен выше него;

б) возьмите красный карандаш и закрасьте им верхний круг;

в) возьмите желтый карандаш и раскрасьте им один из кругов так, чтобы темный оказался между синим и желтым кругом.

3. Проверку понимания терминов: а) следует за …», « находится перед …», «слева», «справа», «между» осуществляется путем выполнения аналогичных заданий на раскрашивание.

Для развития ориентировки детей на плоскости (листа, бумаги) важно, чтобы учащиеся уяснили термины: в центре, посередине, справа, слева, сбоку, левый (правый) верхний угол, верхняя (нижняя) строка и т.д. Например: «Поставьте на правый верхний угол желтый круг. Под ним зеленый треугольник. В центре оранжевый квадрат… ».

Для уточнения представлений о геометрических фигурах: круг, квадрат, треугольник, пятиугольник и т.д. можно использовать все фигуры из набора «Цветные фигуры». Например:

1. Выложите на парту все фигуры из набора. Отберите и положите отдельно все красные, все зеленые и все желтые фигуры. Смешайте все фигуры и отделите большие фигуры от маленьких.

2. Отделите из набора и положите отдельно все круги, все треугольники, все квадраты и все пятиугольники.

3. Найдите в наборе и покажите: а) красный треугольник, б) зеленый круг, в) желтый квадрат, г) красный пятиугольник, д) желтый круг, е) зеленый треугольник, ж) большой квадрат, з) маленький пятиугольник.

4. Отберите из набора все желтые фигуры. Найдите среди них и покажите: а) маленький круг, б) большой пятиугольник, в) маленький квадрат, г) большой треугольник.

5. Найдите в наборе и покажите: а) большой зеленый круг, б) маленький желтый пятиугольник, в) маленький красный квадрат, г) большой желтый пятиугольник, д) маленький зеленый треугольник, е) большой красный круг.

Выполняя упражнения с набором, следует стремиться к тому, чтобы учащиеся запомнили названия всех фигур из набора и умели охарактеризовать каждую из них по трем признакам – название, цвет, размер: большой зеленый квадрат, маленький зеленый пятиугольник и т.д.; научились отбирать одну или несколько фигур и по двум свойствам (название фигуры и ее цвет: желтый квадрат, зеленый круг и т.д.; название фигуры и ее размер: маленький пятиугольник, большой треугольник и т.д.).

На следующем этапе (второй этап) происходит воспроизведение накопленных пространственных признаков и отношений, их систематизация.

Вначале рассмотрим, как реализуется на этом этапе изучение взаимного расположения фигур и их частей.

1. Взаимное расположение точек и прямой: «Проведите прямую линию. Отметьте одну точку (А) на прямой линии и одну точку (К) вне прямой. Сколько еще точек можно отметить на прямой? А вне прямой?».

2. Рассмотрите рисунок (рис. 1):

Рис. 1

Назовите пропущенные слова: «Точка А … на прямой». «Точка … не лежит на прямой». «Точка О …». « Точка … вне прямой». «Точка К …».

3. Проведите прямую линию. Отметьте на ней точку О. Поставьте на прямой по разные стороны от точки О две точки на равном расстоянии от нее. Поставьте на этой же прямой две точки по одну сторону. Какая из точек расположена дальше от точки О? Какая ближе?

4. Начертите какую-нибудь прямую линию. Отметьте на этой прямой точку А и на расстоянии 8 см от нее точку Б. Сколькими способами это можно сделать?

а) Поставьте точку В между точками А и Б на расстоянии 2 см от точки А. Сколькими способами это можно сделать?

б) Поставьте на прямой точку Г между точками В и Б на расстоянии 3 см от точки В. Сколькими способами это можно сделать?

Аналогично можно рассмотреть взаимное расположение точки с другими геометрическими фигурами, взаимное расположение фигур и их частей. Рассмотрим типичные задания, которые нашли отражение в процессе экспериментального обучения.

Например: 1. «Принадлежат ли точки А и В углу? Отметьте две точки прямой, отличные от точек А и В, которые не принадлежат углу и прямой . Отметьте три точки, которые не принадлежат углу и прямой (рис.2)».

Рис. 2

2. Начертите отрезок и квадрат так, чтобы одна точка отрезка принадлежала ему. Начертите их так, чтобы каждая точка принадлежала ему.

3. Посмотрите на рисунок и вставьте пропущенные слова (рис.3):

Рис. 3

а) Центр круга лежит … треугольника.

б) Центр лежит … треугольника.

в) Центр лежит … стороне треугольника.

4. Отметьте точку О и начертите две пересекающиеся в точке О прямые. По разные стороны от точки О (на каждой прямой) отметьте по две точки на расстоянии 3 см от нее. Обозначьте эти точки и соедините их между собой отрезками. Как называется полученная фигура?

5. Через точку О (на клетчатой бумаге) проведите вертикальную и горизонтальную прямые. На каждой из прямых по разные стороны от точки О отметьте точки на расстоянии 2 см. Обозначьте полученные точки буквами A, B, C, D. Соедините эти точки отрезками. Какую фигуру вы получили?

6. Начертите четырехугольник. Обозначьте вершины буквами М, О, С, Д. Отметьте точку К вне четырехугольника, точку А – внутри четырехугольника, точку Р – на стороне четырехугольника.

7. Посмотрите на рисунок (рис. 4):

Рис. 4

Прямая линия АВ пересекает круг. Прямая МК не пересекает круг. Пересекает ли круг прямая СД? Проверьте линейкой.

8. Начертите треугольник и прямоугольник так, чтобы: а) прямоугольник лежал внутри треугольника, б) треугольник лежал внутри прямоугольника, в) треугольник лежал вне прямоугольника и т.д.

Охарактеризуем задания, основной целью которых является формирование представлений о геометрических фигурах. Сюда мы включили упражнения на:

· распознавание основных геометрических фигур и их видов в окружающей обстановке, на моделях, чертежах и рисунках;

· сравнение плоских и объемных фигур;

· классификация плоских геометрических фигур и геометрических тел;

· построение (вычерчивание) и вырезание геометрических фигур.

/*Остановимся на упражнениях, связанных с узнаванием знакомых геометрических фигур. В эксперименте мы рассматривали не только отдельные фигуры (в изолированном виде), но и фигуры, являющиеся элементами других фигур более сложной конфигурации, моделей геометрических тел. Эти упражнения направлены на развитие «геометрической зоркости». При их выполнении учащиеся должны уяснить, прежде всего, о какой фигуре говорится, мысленно представить эту фигуру, выделить ее на чертеже, на основе ее характеристических признаков.

В выполнении следующего типа заданий – упражнений на сравнение плоских и объемных тел важно, чтобы учащиеся не просто указывали фигуры: «Это – куб, а это – цилиндр», а путем рассуждений выявили сходные или различительные свойства фигур.

В экспериментальном обучении нашли отражение упражнения следующего типа:

1. Назовите общие признаки:

а) шара и куба;

б) куба и квадрата;

в) квадрата и круга;

г) квадрата и треугольника;

д) квадрата и прямоугольника.

2. Укажите, чем отличаются:

а) два различных куба;

б) куб от квадрата;

в) квадрат от прямоугольника.

1. Назовите как можно больше общих признаков следующих пар фигур:

а) квадрата и четырехугольника;

б) прямоугольника и квадрата.

Важное значение на этом этапе имеют упражнения на визуальное определение и сравнение размеров и форм геометрических фигур. Развиваемый через выполнение данных упражнений глазомер вооружает учащихся умением быстро и правильно определять форму фигуры, устанавливать ее вид.

В исследовании мы уделили особое внимание выполнению упражнений на измерение «на глаз» и построение от руки. Например:

1. Начертите отрезок длиной 5 см «на глаз» и «от руки». Проверьте себя, измерив отрезок линейкой.

2. Сравните на глаз длины отрезков

Рис. 5

Проверьте себя измерением.

3. Данный отрезок АВ (рис. 21 ) разделите «на глаз» на два одинаковых отрезка.

Рис. 6

Проверьте себя измерением и т.д.

Аналогичные задания мы предлагали для сравнения величин углов, при нахождении периметров и площадей «на глаз».

Следующий вид заданий на построение и вычерчивание геометрических фигур достаточно широко рассмотрен в методических исследованиях. Поэтому мы не будем подробно рассматривать и конкретизировать содержание этих заданий.

Среди заданий на построение в нашем исследовании важную роль играют задания на достраивание чертежа. Сначала эти задания учащиеся выполняют на клетчатой бумаге, а затем от руки. Например: а) достроить фигуру до прямоугольника (рис. 7);

Рис.7

б) достроить фигуру до квадрата (рис. 8);

Рис. 8

Серьезное внимание на этом этапе уделялось выполнению заданий на определение формы разреза

Рис. 9

Эти задания являются подготовительными для развития у учащихся деятельности конструирования пространственных образов – ведущей деятельности на третьем этапе.

Третий этап – конструирование пространственных образов. Этот этап связан с развитием у учащихся элементов конструктивного мышления. Под конструктивным мышлением мы подразумеваем умение видеть (представлять) объект в комплексе и при этом представлять себе соотношение его частей. Таким образом, конструктивные умения – это:

· умение узнать и выделить объект (видеть существенное);

· умение собрать объект из готовых частей (синтезировать) или построить с помощью чертежных инструментов;

· умение расчленять, выделить составные части (анализировать);

· умение трансформировать объект по заданным параметрам (видоизменять или преобразовывать);

· умение из трансформированного объекта или его частей собрать новый объект.

Рассмотрим типовые упражнения:

1. На сколько частей разделили квадраты (рис. 10)? Составь из первого квадрата большой треугольник, а из второго – два маленьких квадрата.

Рис. 10

2. На сколько частей разделили круг (рис. 11)? Как переложить эти части, чтобы получились две другие фигуры?

Рис. 11

3. Начертите на листе клетчатой бумаги такой квадрат и разрежьте его по

показанным на чертеже линиям (рис. 12).

Рис. 12

4. Какие из следующих фигур ты сможешь выложить, используя полученные части квадрата (рис. 13)? Запиши их номера.

Рис. 13

5. Игра « Танграм» (рис. 14):

а) Из двух больших треугольников составь два разных четырехугольника.

б) Составь новую фигуру из квадрата и 2-х маленьких треугольников.

в) Составь фигуру по собственному замыслу.

г) Составь такие же фигуры (рис. 15):
Рис. 14

Рис. 15

6. Выбери фигуры, которые можно сделать из данной развертки (рис. 16):

Рис. 16

7. Наложите на рисунок прозрачный лист бумаги, обведи на нем фигуру и вырежи (рис. 17).

Рис. 17

Догадайся!

а) Как из этой фигуры сделать фигуру, изображенную рядом? Она называется пирамидой.

б) Какая точка на изображении пирамиды соответствует точке А на фигуре слева?

в) Можно ли фигуру справа назвать разверткой пирамиды?

4 этап – мысленное оперирование пространственными образами. Под этим подразумеваем: умение мысленно поворачивать объект, смотреть на него с разных сторон, умение мысленно расчленить его и собирать (трансформировать), умение выбирать и произвольно менять точку отсчета, умение мысленно фиксировать изменения в содержании образа, умение мысленно конструировать новые образы.

Для формирования у учащихся умений мысленно представить различные положения предмета, изменения его формы и положения, различных поворотов и трансформаций, в зависимости от точки зрения наблюдателя мы предлагаем выполнение различного вида заданий. Например, учащимся целесообразно предлагать для выполнения задания типа:

1. Расположить данную фигуру так, чтобы ее изображение совпадало с заданным (рис. 18). Ученику предлагается конус и изображение этого конуса, выполненного с различных точек зрения.

Рис. 18

Или же данный цилиндр расположите так, чтобы его изображением была фигура, данная на рисунке (рис. 19):

Рис. 19

Посмотри внимательно на этот рисунок . Это геометрические фигуры (куб, цилиндр, конус и т.д.). Подумай и нарисуй, какой формы надо вырезать бумагу, чтобы из нее можно было склеить такую же фигуру. Решение такого типа задач требует выполнение развертки объемного геометрического тела с последующей зарисовкой ее. Для этого учащемуся необходимо мысленно его развернуть («разрезание» предмета и разворот его в пространстве), положить на воображаемую плоскость и сделать зарисовку того, что получилось.

2. Выполните мысленный разворот (вокруг оси на 180◦) заданной изображением фигуры с последующим размещением на ней имеющихся элементов (рис. 20). Например, учащемуся предъявляется квадратный лист бумаги, сложенный по вертикальной линии изгиба. На одной половине листа в правом нижнем углу нарисована буква Г, а в середине-квадрат. Требовалось мысленно развернуть лист бумаги и правильно расположить на нем фигуры.

Рис. 20

3. Ученику предлагается рисунок фигуры на одной половине листа бумаги. Требуется мысленно наложить ее на другую и определить, какую форму надо нарисовать на другой половине листа, какого размера и где разместить фигуры, чтобы при наложении они совпали. Фактически это задание на мысленное положение фигуры симметричной заданной.

4. На мысленное «представление» траектории движения по ее словесному описанию с последующим воспроизведением в виде схемы пути. Например: «Велосипедист проехал сначала вперед по шоссе 300м, затем свернул направо и проехал еще 600 м, затем свернул налево и проехал 300 м и еще раз свернул налево, проехав 300 м. Изобразите путь, который проехал велосипедист».

5. На мысленное сопоставление трех заданных фигур с целью выявления возможности создания новой фигуры (квадрата) путем соединения двух из них. Выполнение задачи требует от ученика не только пространственного сближения двух частей, но и соответствующего их поворота.

Например: выпиши номера фигур, из которых можно составить: фигуру 5; фигуру 7, фигуру 8 (рис. 21).

Рис. 21

В соответствии со всем вышеизложенным, учет возрастных и индивидуальных особенностей обучаемых является одним из необходимых условий реализации преемственности в формировании пространственных представлений у учащихся в процессе обучения математике.

Итак, на основе анализа научно-методических исследований с учетом специфики формирования пространственных представлений при обучении математике выделены условия, способствующие реализации преемственности этого процесса и руководству им. Ясно, что последнее условие накладывает определенные требования на все остальные, так как учет возрастных и индивидуальных особенностей обучаемых необходим и при отборе упражнений, и при использовании тех или иных средств наглядности, связей с другими предметами, и при совместном изучении элементов плоскости и пространства в процессе формирования и развития пространственных представлений.

Анализ и результаты экспериментальной работы

Цель экспериментального обучения заключалась в проверке предположения о том, что если организовать процесс обучения элементам геометрии в начальных классах поэтапно, с учетом эффективной реализации преемственных связей между ними по всем компонентам методической системы, то это будет способствовать повышению уровня сформированности пространственных представлений у учащихся.

Экспериментальное обучение проводилось в 4 классе МБОУ лицей № 9. В качестве контрольного также был выбран 4 класс.

Далее обучение в экспериментальном классе осуществлялось на основе разработанной нами методики.

Диагностика уровня развития пространственных представлений осуществлялась на основе сформированности умений:

· описывать взаимное расположение предметов в пространстве;

· распознавать объект среди объектов реального пространства;

· устанавливать взаимосвязи между представлением, словом и изображением;

· распознавать объект среди изображений;

· классифицировать:

- геометрические фигуры,

- геометрические тела;

· осуществлять оценку величины пространственного образа;

· воспроизводить в воображении объект;

· конструировать новые образы;

· мысленно выполнять различные операции над пространственными образами.

Для проверки сформированности этих умений подбирались специальные, не выходящие за рамки программы по математике задания, с учетом возможности их выполнения в экспериментальных и контрольных классах.

Все задания учащиеся экспериментальном и контрольном классах выполняли индивидуально, использовались различные способы фиксации решения: протоколирование хода решения, анализ различных зарисовок и результатов моделирования; учитывалось также время выполнения решения.

Количественная характеристика уровня сформированности пространственных представлений у учащихся (в %) ЭК и КК приведена в таблиц

Таблица

Классы

Уровни

IV кл.

КК

ЭК

I уровень (узнавание)

II уровень (воспроизведение)

III уровень (конструирование)

IV уровень (оперирование)

26

49

15

10

10

21

36

33

Приведенные в таблице данные показывают, что к концу экспериментального обучения большинство учащихся КК находятся только на первом и втором уровнях сформированности пространственных представлений. Сравнение представленных результатов показывает тенденцию роста уровня сформированности пространственных представлений у учащихся ЭК по сравнению с соответствующим контрольным классом. К концу экспериментального обучения 69 % - IV кл. находятся на уровне конструирования и оперирования.

Таким образом, предложенная в исследовании методика осуществления преемственности в формировании пространственных представлений у учащихся при обучении математике создает объективные условия для успешного изучения геометрии в последующих ступенях обучения.