Аналогия в обучении учащихся приемам распознавания геометрических образов

УДК 51:371.383

Н. В. Наземнова

АНАЛОГИЯ В ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ ПРИЕМАМ РАСПОЗНАВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

Аннотация. При решении задач посредством аналогии старшеклассники овладевают умениями формулировать некоторые обобщенные задачи, осваивают приемы познавательной самостоятельной деятельности, и, следовательно, у них формируются действия по распознаванию образа на уроках геометрии в старших классах.

Ключевые слова: аналогия, распознавание, образ, геометрия.

Abstract. Solving problems by means of analogy senior pupils get their skills to formulate general problems and master the methods of cognitive activity. Therefore they are forming their activities to recognize the image on geometry lessons in senior forms.

Keywords: analogy, recognition, to recognize, image, geometry.

Важным компонентом становления учащихся как личности является метод формирования у них действия по распознаванию образа. Образ - это результат и идеальная форма отражения предметов и явлений реального мира в сознании человека. Распознавание образа осуществляют через ощущения, которые являются результатом воздействия данного объекта на органы чувств через восприятие, как непосредственное чувственное отражение действительности в сознании, через представление как воспроизведение в сознании ранее изученного, через суждение как форму мышления, представляющую собой сочетание понятий, из которых одно определяет и раскрывает содержание другого, через умозаключения как вывод из каких-нибудь суждений.

К основным методам формирования действия по распознаванию образа относятся: аналогия, сравнение, обобщение, конкретизация. Аналогия как метод формирования действия по распознаванию образа характеризуется тем, что из сходства двух объектов в нескольких признаках и при наличии у одного из них дополнительного признака делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Вывод по аналогии является предположительным и подлежит последующему обоснованию. Аналогию как метод обучения можно использовать на этапе введения нового понятия и прогнозирования его свойств, а также способов при обучении решению задач, доказательству теорем.

В процессе обучения математике учителю следует приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. Применение аналогии является одним из эффективных приемов, способствующих формированию действия по распознаванию образа у учащихся. Этот метод приобщает детей к такому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от неизвестного объекта к известному. Необходимо широкое и систематическое использование аналогии как приема обучения математике, что неоднократно подтверждалось методистами В. А. Гусевым, М. И. Зайкиным, С. Н. Дорофеевым, О. В. Мантуровым, В. А. Селютиным.

Термин «аналогия» происходит от греческого analojia - соответствие, соразмерность. У древних математиков он применялся к отношению между числами. Так, Аристотель дает такое определение аналогии: «...под аналогией я разумею тот случай, когда второе относится к первому так же, как четвертое к третьему. Однако здесь следует заметить, что аналогия у Аристотеля носит значительно более общий характер, чем равенство числовых отношений. Говоря о применении аналогии в обучении школьников математическим методам распознавания геометрических образов, можно выделить аналогию: 1) в изучении десятичных дробей и натуральных чисел; 2) между свойствами алгебраических дробей и обыкновенных дробей; 3) между свойствами геометрической и арифметической прогрессий; 4) в изучении свойств фигур на плоскости и свойств фигур в пространстве, например в изучении треугольника и тетраэдра, параллелограмма и параллелепипеда, прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда и т.п. Следует отметить, что такое представление о роли аналогии в обучении математике сильно ограничивает ее возможности, особенно применение аналогии в контексте обучения учащихся решению задач. Так, решение одной задачи может быть использовано в решении другой задачи, аналогичной первой, т. е. имеющей с первой сходные условия или заключения. Для этого каждый шаг решения одной задачи «переносится» на решение другой, т.е. конструируется по аналогии с каждым шагом решения одной задачи каждый шаг решения другой, ей аналогичной.

Школьные учебники математики, алгебры и геометрии имеют широкие возможности для формирования приема аналогии в изучении математики.

Рассмотрим несколько задач, позволяющих описать общую характеристику приема аналогии и выделить действия, его составляющие.

В качестве примеров приведем формулировки двух задач на доказательство:

1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и в точке их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и в точке их пересечения делятся в отношении 3:1, считая от вершины.

Рассуждения в доказательствах приведенных задач 1 и 2 опираются на аналогию между треугольником и тетраэдром.

Обычно, когда говорят об аналогии в различной методической литературе, ее связывают с фигурами на плоскости и пространстве, между тем аналогия широко может применяться не только при решении задач на доказательство, вычисление или построение, но и при изучении свойств геометрических фигур.

Например, изучение свойств параллелепипеда значительно облегчается, если использовать следующие аналогии с параллелограммом:

1. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех измерений

2. Диагонали прямоугольника равны 2. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

3. Противоположные стороны параллелограмма суть равные отрезки 3. Противоположные грани параллелепипеда суть равные параллелограммы

4. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам 4. Диагонали параллелепипеда в точке их пересечения делятся пополам

5. Противоположные углы параллелограмма равны и т.д. 5. Противоположные двугранные углы параллелепипеда равны. Противоположные трехгранные углы параллелепипеда не равны и т.д.

Использование аналогии при решении стереометрических задач значительно упрощает поиск плана решения, ведь чертеж к стереометрической задаче, в отличие от чертежа к планиметрической задаче, меньше помогает в осознании задачной ситуации. Убедимся в этом на примере задачи: в данный шаровой сектор впишите куб так, чтобы четыре его вершины находились на сфере, а другие четыре - на конической поверхности. Другое дело - ее аналог: в данный сектор впишите квадрат так, чтобы две его вершины находились на окружности, а другие две - на прямых, содержащих образующие сектора. Анализ задачи-аналога приводит к способу ее решения - использование гомотетии с центром в вершине сектора. Остается провести аналогичные рассуждения в контексте данной задачи, при этом надобности в чертеже уже нет. Анализируя деятельность по применению приема аналогии в различных задачных ситуациях, дадим его общую характеристику.

Характеристика приема: перенесение некоторого знания, полученного из рассмотрения какого-либо объекта, на другой объект, т.е. если у объектов А и В некоторые признаки (отношения) одинаковы, и объект А, кроме того, обладает еще одним признаком (отношением), то делают вывод о том, что объект В обладает этим признаком (отношением).

Необходимо отметить, что вывод по аналогии может быть истинным и ложным.

Пример

Площадь любого треугольника выражается формулой Герона ^ = 4Р • (Р ~ a) • (P - Ь) • (p - с) .

Изыскивая формулы для вычисления площади четырехугольников, мы можем задаться вопросом: верна ли аналогичная формула для четырехугольника?

Исследование этого вопроса показывает, что для четырехугольников, вписанных в окружность (и только для них!), справедлива следующая формула для вычисления площади:

5 = 7(р - а) • (р - Ь) • (р - с) • (р - ё) .

Оказалось, что здесь полная аналогия не имеет места.

Отправляясь далее от обнаруженной аналогии в формулах, можно выяснить причину этой аналогии: существует связь между треугольником (многоугольником, который всегда можно вписать в окружность) и четырехугольником (не всяким, а только таким, который можно вписать в окружность).

Итак, существенным признаком, объединяющим треугольник и четырехугольник (в смысле общности формулы Герона), является возможность вписать их в окружность.

Однако аналогия имеет большое значение для дальнейших исследований возможных объективных связей, помогает объяснить в какой-то мере ис-

комые свойства и признаки, наводит на догадки, правильность или ошибочность которых проверяется доказательством.

Полезны специально подобранные упражнения в применении метода аналогии. Применение аналогии распадается на следующие действия: а) построение аналогов различных заданных объектов и отношений; б) нахождение соответствующих элементов в аналогичных предложениях; в) составление предложений или задач по аналогичным данным; г) проведение рассуждений по аналогии.

В школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными планиметрическими фактами. Это есть следствие линейного построения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно концентрической организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы. Сейчас школьные учебники по геометрии ориентированы на аксиоматическое и силлогистическое изложение. Целесообразна трансформация линейного построения содержания школьного курса геометрии в линейно-концентрическое, что дает возможность проводить глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций, уже ранее изученный материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности. Наряду с полезной ролью, которую играет формирование действия по распознаванию образа, они же могут приводить отдельных учащихся, которые не усвоили или формально усвоили учебный материал, к грубым ошибкам.

Так, учитель, рассматривая вопрос об окружностях, вписанных в четырехугольник, предлагает учащимся сделать предположение: всегда ли возможно в четырехугольник вписать окружность?

Найдутся учащиеся, которые по аналогии с треугольником сделают поспешное умозаключение: «В четырехугольник всегда можно вписать окружность».

Практически установив, что в некоторые четырехугольники невозможно вписать окружность, учитель далее выясняет, в какие четырехугольники можно вписать окружность, т.е. переходит к доказательству теоремы о признаках описанного четырехугольника.

Необходимо требовать от учащихся постоянно обосновывать выполняемые математические операции с ссылками на определение, теоремы, формулы, чтобы добиваться сознательного и прочного усвоения материала. При решении упражнений необходимо руководствоваться принципом «Сначала правило, потом действие. Без правила нет действия!». В процессе преподавания надо не только подчеркивать истинные аналогии, но и отличать ложные, разрушать их с целью предупреждения возможных ошибок. Насколько важна аналогия в математике, можно судить по следующему высказыванию известного польского математика Стефана Банаха: «Математик - это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик - тот, кто замечает аналогии теорий; но можно себе представить и такого, кто между аналогиями видит аналогии». Таким образом, умозаключения по аналогии являются умозаключениями вероятности. Для того чтобы выяснить достоверность или ложность вывода по аналогии, необходимо дополнительно исследовать этот вывод.

Умозаключение по аналогии рассматривается в единстве с процессом доказательства его истинности. Здесь в теснейшем переплетении и во взаимосвязи встречается индукция и дедукция. В умозаключении по аналогии прежде всего используется индукция, ибо переход от первого предмета ко второму (от треугольника к тетраэдру, от окружности к сфере) состоит в установлении связей между частными свойствами. В то же время умозаключение по аналогии тесно связано с дедукцией, ибо истинность вывода по аналогии устанавливается дедуктивным доказательством. При использовании аналогии совершается сложный мыслительный процесс, в котором применяются в единстве приемы анализа и синтеза.

Пример

а) Какой из всех прямоугольников, вписанных в данный треугольник, имеет наибольшую площадь? (Основание прямоугольника находится на основании треугольника, а две вершины его на боковых сторонах треугольника.)_________

б) Какая из всех прямых треугольных призм, вписанных в данных тетраэдр, имеет наибольший объем?

II

Решение: (б) Проведем высоту тетраэдра АА = И (рис. 1).

А

О

Рис. 1

Пусть АА = х - высота призмы.

Тогда

^Б'С'Б' _ (АА )2 _ (И - х)2 ^БСБ (АА)1 И1

Найдем объем призмы:

Т е _ (И - X)1 е

Т1 _ х'еБ'С'В' _ х-------1---еБСБ

И1

Это выражение представим так:

V =-1г • Ббсб ‘ [1 х(И - х)(И - х)].

2И1

Сумма переменных множителей, заключенных в скобки, постоянна:

1х + (И - х) + (И - х) = 1.

Поэтому, согласно известной теореме, произведение будет максимальным при равенстве множителей:

1х = И - х; х _ —.

3

Итак, наибольшим объемом обладает призма, имеющая основание -треугольное сечение тетраэдра на высоте от основания тетраэдра.

Подставим значение х в выражение для объема призмы, получаем

Т _ 1 е 8И3 Т _ 4 , е

Т1 _—у еБСО • — ; Т1 _ — •И^БСБ .

1И1 17 17

Учитывая, что объем тетраэдра АВСО равен

Т _ 3И ^ ^БСО ,

получаем

4

Т1 =-V.

1 9

Итак, в статье представлен достаточный материал об аналогии как методе формирования действия по распознаванию образа в геометрии старших классов. Рассматриваются задачи, позволяющие описать общую характеристику приема аналогии и выделить действия, его составляющие.

Список литературы

1. Далингер, В. Л. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии / В. Л. Далингер // Математика в школе. - 1995. - № 6. - С. 16-11.

1. Доровеев, Г. В. О составлении циклов взаимосвязанных задач / Г. В. Доровеев // Математика в школе. - 1998. - № 6. - С. 34-35.

3. Дорофеев, С. Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности : моногр. / С. Н. Дорофеев. - Пенза : Изд-во ПГУ, 1001. - 118 с.

Наземнова Наталья Владимировна

кандидат педагогических наук, старший преподаватель, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Nazemnova Natalya Vladimirovna Candidate of pedagogic sciences, senior lecturer, sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

УДК 51:371.383 Наземнова, Н. В.

Аналогия в обучении учащихся приемам распознавания геометрических образов / Н. В. Наземнова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 1010. - № 4 (16). - С. 147-151.