Связь непрерывного и дискретного в математическом образовании

12. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники. Графы. Оптимизация. - М.: Наука, 1981. - 344 с.

13. Балакин Г.В., Никонов В.Г. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений И Обозрение прикладной и промыш-

ленной математики. Сер. "Дискретная математика". Т.1. - Вып. 3. - М., 1994. - С. 389-401.

14. Никонов В.Г. Пороговые представления булевых функций // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. "Дискретная математика". Т.1 - Вып. 3. - М., 1994. - С. 402-457.

СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

О.Н. ЖУРАВЛЕВА, доцент МГПИим. М.Е. Евсевъева (Саранск), к. пед. н.,

Т.А. ЛАСКОВАЯ, ст. преподаватель МГТУ им. Н.Э. Баумана,

К.К. РЫБНИКОВ, докторант МГУЛа, к. ф-м. н.

Современные учебные программы высших учебных заведений предусматривают изучение элементов дискретной математики уже на младших курсах. Несмотря на то, что студенты к этому времени обладают недостаточно глубоким математическим аппаратом, процесс постепенного проникновения дискретной математики в учебные планы и рабочие программы развивается достаточно быстро. Объективные причины подобной перестройки в системе математического образования заключаются, прежде всего, в возросшем значении для подготовки специалиста основ информационных технологий, электроники, а также принципов математического моделирования реальных технических и социально-управленческих задач и процессов. При этом оказывается важным научить студента не только анализировать модели, но и доводить в алгоритмической форме решение задач, определяющих эти модели, до конечных результатов.

При непосредственном построении моделей часто оказывается трудным использовать методы классической непрерывной математики. Информация, которой оперирует исследователь, как правило, оказывается дискретной, так как современная информационная техника переработки информации базируется на дискретных представлениях.

Основной трудностью при построении курса дискретной математики является необходимость отказа от основополагаю-

щих понятий классической математики -предела и непрерывности при непосредственном анализе дискретных задач. Студенты в первый период обучения достаточно трудно преодолевают особенности дискретного математического аппарата. Причина этого, как представляется, лежит в возникшем разрыве преемственности математических курсов средней и высшей школ. Действительно, в школе в настоящее время изучается, в основном, классическая, т. е. непрерывная, математика, и, как показывают исследования психологов, способности обучаемых к усвоению знаний в различных отраслях математического знания представляют собой относительно самостоятельные образования [1].

Приведем пример. Ключевым моментом в школьном курсе, безусловно, является введение понятия «функция». В большинстве методических рекомендаций и школьных учебников [2], [3] с одновременным определением понятия функции приводятся способы ее задания: аналитический, графический, табличный и словесный. При этом о существовании дискретных функций не упоминается. Так, при определении функции как отображения, как правило, функциональный закон сопоставления образа и прообраза определяется как непрерывная функция. Табличный способ задания функции также иллюстрируется исключительно на примерах непрерывных функций, хотя в данной си-

туации учащиеся действительно сталкиваются с заданием дискретной функции. Не приводятся примеры дискретных вычислительных процедур (алгоритмов), которые можно трактовать как задание дискретной функции в рамках вышеупомянутого словесного задания функции. Между тем, на практике любому будущему специалисту придется часто сталкиваться исключительно с эмпирическими описаниями функций, что приводит к их заданию в табличном виде. В связи с этим представляется целесообразным, уже в школьном курсе, останавливаться на связи табличных и непрерывных функций на примере простейших задач интерполяции. Подобные задачи в частных случаях хорошо знакомы учащимся средних школ; например, построение квадратичной функции у = ах' + Ъх + с, график которой проходит через три точки: (х0,у0), (х2,у2).

Аналогичный подход позволяет облегчить изучение курса «Дискретная математика» для студентов младших курсов высших учебных заведений. Структура этого учебного курса, апробированного одним из авторов в Московском государственном университете леса, определяется следующими главами [7]:

Часть I. Введение в дискретный анализ

1.1. Множества. Операции над множествами. Формула включения и исключения.

1.2. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки и сочетания. Рекуррентные соотношения и производящие функции.

1.3. Функции. Инъекция, сюръекция и биекция. Непрерывные и дискретные функции. Булевы функции.

1.4. Методы приближения дискретных функций непрерывными. Классическая интерполяция. Метод наименьших квадратов. Наилучшее равномерное приближение.

1.5. Алгебраические конечные структуры.

1.6. Системы булевых уравнений и смежные вопросы.

1.7. Методы погружения множества решений системы булевых уравнений в полиэдр.

1.8. Основные понятия теории графов.

Часть II. Экстремальные задачи дискретного анализа

2.1. Модели, описываемые дискретными экстремальными задачами. Дискретное программирование. Экстремальные задачи на множестве подстановок.

2.2. Линейное программирование. Симплекс-метод.

2.3. Целочисленное линейное программирование. Основы общих методов решения задач целочисленного программирования: метод отсечений Гомори и метод ветвей и границ.

2.4. Использование симплекс-метода для решения задач целочисленного линейного программирования с целочисленными многогранниками допустимых решений. Условия целочисленности многогранников. Задача о назначениях. Задача о максимальном потоке в сети.

2.5. Об использовании симплексных процедур при решении некоторых классов систем булевых уравнений.

2.6. Задача о рюкзаке на абелевой группе.

Программа курса такова, что студент может при изучении ряда вопросов опираться на уже известный ему «непрерывный» математический аппарат - ряд Тейлора при изложении теории производящих функций, линейное программирование при изучении части 2 и т. д. Наконец, раздел 1.4, обычно излагаемый в курсах методов вычислений, полностью базируется на классическом математическом анализе.

Наименее изученным, но наиболее интересным с точки зрения излагаемого подхода к построению курса, является сведение задачи решения системы булевых уравнений к задаче определения (ОД)-точек полиэдра (п. 1.7).

Решение системы булевых уравнений /{х^х2,...,хп)=а.,

где f(xl,x2,...,xii) - булевы функции, а х0хг,...^хп, а^...,ат принимают значение О или 1, является достаточно сложной задачей, носящей дискретный характер. В то же время эта задача представляет значительный практический интерес, так как является универсальной моделью т технических устройств с п двоичными входами и одним двоичным выходом.

Рассмотрим ряд подходов, позволяющих использовать для решения этой задачи классический аналитический аппарат.

1. Метод фундаментальных произведений [4]

Пусть функция fi(xl,x1,...,xi) задана

своей таблицей истинности. Будем искать непрерывную функцию, принимающую те же значения, что и функция /.(л:,,х2,...,х ) на

каждом наборе (х,,х2,...,х ), состоящем из

нулей и единиц.

Отметим в таблице истинности все строки j, в которых значение функции равно 1. Пусть - некоторый (0,l)-

набор значений х^х,,...,^, для которого

1. Образуем для этого набора произведение

^’=П£. га

Ы

, если = 1;

1 - , если £ ° = 0.

Произведения вида (2) называются фундаментальными произведениями. Составим теперь фундаментальное произведение P'f1 для каждой строки j, в которой

fl(xl,xJ,...,xa)=l, и образуем булеву сумму

этих Pji]:

fix,....<3>

где J. - множество номеров строк таблицы

истинности, соответствующих единичному значению функции.

Существуют последовательно применяемые способы упрощения представления (3) функции /(д:,,...,^) (см., например, [4]).

Анализируя метод фундаментальных произведений, следует заметить, что структурно он представляет собой ничто иное, как метод построения интерполяционного многочлена, принимающего на множестве 2" (ОД)-векторов те же значения, что и функция /!(х,,...,х ). Нетрудно заметить также, что в случае а. =0 (/ = 1,2,...,/я) сумма всех

таких многочленов принимает нулевые значения на множестве решений системы (1).

2. Метод полиэдрального представления множества решений системы булевых уравнений [5]

Рассмотрим систему булевых уравнений

/,

Применяя метод фундаментальных произведений в построении многочленов вида (2), заметим, что алгоритм построения этих многочленов совпадает с алгоритмом построения дизъюнктивных нормальных форм для функций /(х,,...,X ) .

Действительно, заменяя в многочленах вида (2) знак операции умножения на и знак операции сложения на "V", а

также выражения вида (1 - <* ) на , получа-

ем соответствующие дизъюнктивные нормальные формы.

Таким образом, систему булевых уравнений (4) можно представить в следующем виде:

0, I = 1,2,...,от, (5) где К'., (1 = 1, 20 = 1, 2,...,5,) - многоместные конъюнкции, т. е.

К1 = х6' &х*2 ;

; '1 п 1,-и

8к е {ОД} = х* , ^ = х. ;

г, е {1,2,...,п} к = 1,2.ги.

Напомним, что элементарные (двухместные) конъюнкции х, & х2 и дизъюнкции

х, V х, задаются таблично следующим образом

х, &Х2 ^,Ухг

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

Ясно, что система уравнений (4) удовлетворяется тогда и только тогда, когда все конъюнкции, входящие в нее, принимают значение 0.

Нетрудно заметить, что условие К1 =0 }

эквивалентно условию

а. х. ¥... +а. х <г — л.; —1,

<1 <1 ;и >,ы 1.1 ' >

где

1, если 5. = 1;

-1, если =0, ’

а г и - число переменных, входящих в конъюнкцию К', с отрицанием.

Отсюда ясно, что решение системы булевых уравнений (6) может быть получено как решение соответствующей системы линейных неравенств, переменные в которой принимают значения 0 или 1.

Как известно, множество решений системы линейных неравенств называется полиэдром. Таким образом, предложенный метод заключается в погружении множества решений системы булевых уравнений в полиэдр. Подобный подход позволяет использовать для решения системы булевых уравнений аппарат целочисленного программирования [5].

3. Пороговые функции и разделяющие плоскости

Рассмотренный в предыдущем разделе подход характеризуется построением большого количества линейных неравенств, соответствующих таблице истинности. Каждое из этих неравенств определяет полупространство «-мерного евклидова пространст-

ва, в котором лежат все (ОД) -векторы (х,,х2,...,х ).

Для некоторых булевых функций вида /

где х,,х2,...х ,х0 могут принимать значения 0

или 1, оказывается возможным построить плоскость, строго разделяющую нулевые и единичные вершины единичного гиперкуба, т. е. векторы вида и

(х(,х2,...,х ,1), удовлетворяющие уравнению

(7) (см. напр. [6]).

Другими словами, можно построить плоскость, уравнение которой имеет вид

Ь

причем

1, если ь(хгх2,...,х1:)> 0;

0, если ¿(х1,д:,,...)л(1)< 0.

Такая плоскость называется разделяющей, а функция (7), для которой существует разделяющая плоскость, называется пороговой.

В том случае, если А' и Л" - нижняя и верхняя границы для линейной формы Ь(х), то условие (9) можно записать как _ | 1, если 0 < Л(дг)< А;

0 0, если -Х<ь(х)<0,

где

Так как

Ь(х)> А(х0-1), Ь{х)<Хха, то отсюда следует, что

-А<£

В качестве примера рассмотрим ограничения типа (9) и (10) для двухместной конъюнкции х0 = х, л х2. Нетрудно видеть,

что уравнение разделяющей плоскости можно выбрать, например, таким образом: х, + х, -1,5 = 0. Соответственно,

[ 1, если х,+х, -1,5 > 0;

[0, если х, + х, -1,5 < 0;

1,5 = шах{ |-1,5}, |0,5| };

1, если х, +х2 -1,5 < 1,5 ;

О, если 1,5 < х, + х2 -1,5 < 0;

х, + х, -1,5 > 1,5(х0 -1), х, + х, -1,5 < 1,5 • х0;

-1,5 < х[ + х2 -1,5 - 1,5х0 < 0.

Окончательно

О < х, + х2 - 1,5х0 < 1.

Этот результат легко обобщается на общий случай

х0 = х1 А X, А ... Л Х_ .

Условия вида (11) имеют в этом случае вид

0 < х, + х2 +... + х - (п - 0,5)х0 < п -1.

Завершая главу, заметим, что все рассуждения, связанные с погружением множества решений системы булевых уравнений в полиэдр, могут быть распространены на случай, когда используются не все строки таблиц истинности. Тогда помимо решений системы булевых уравнений построенный по вышеизложенной схеме полиэдр будет, вообще говоря, содержать и другие (ОД)-векторы.

Разумеется, задача определения (0,1)-точек полиэдра является весьма сложной. Однако в том случае, когда полиэдр является целочисленным многогранником, очевидно, возможно свести эту задачу к определению вершин этого многогранника на основе использования симплекс-метода. Оценки сложности такого подхода содержатся в работе [5].

Таким образом, при изучении чисто дискретных структур используются методы

классического анализа и его приложений, что облегчает изучение предмета и дает лектору возможность не только изложить необходимый материал, но и познакомить слушателей с вопросами прикладного характера.

Литература

1. Кохно А.П., Романенко Н.Д. Использование элементов дискретной математики в математическом образовании студентов экономических вузов // Тезисы докладов международной конференции «Проблемы теории и методики преподавания математики, физики и информатики». -Минск, 1998.-С. 17-18.

2. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. - М.: Аякс, 1999.

3. Мордкович А.Г. Алгебра. 9-й кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемо-зина, 1999.

4. Корбут A.A., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. - М.: Наука. 1969.

5. Рыбников К.К. Методы решения систем булевых уравнений, основанные на погружении множества решений в выпуклый многогранник // Науч. тр. / Моск. гос. ун-т. леса. - 1995. - Вып. 269. - С. 88-91.

6. Головкин Б. А. О некоторых линейных

ограничениях с булевыми переменными // Экономика и математические методы. - 1971. -Т. VII, Вып. 4.-С. 43-48.

7. Рыбников К.К. Элементы численного дискретного анализа в подготовке преподавателей математики. Связь непрерывного и дискретного //Материалы Всероссийской научной конференции "Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика. Ч. II. - Саранск: МГПИ, 2002. - С. 132— 135.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ МАКСИМАЛЬНО НЕГАМИЛЬТОНОВЫХ ГРАФОВ

П.В. РОЛДУГИН, сотрудник объединения «ТВП», Москва

В этой работе мы рассматриваем только непомеченные конечные неориентированные графы без петель и кратных ребер. Термины, относящиеся к теории графов, можно найти в [1]. Напомним, что гамильтоновым графом называется граф, в котором существует простой цикл, проходящий по всем верши-

нам графа, - гамильтонов цикл. Графы, в которых такой цикл отсутствует, называются негамильтоновыми. Представление о непосредственных применениях гамильтоновых цепей дает следующая ситуация: имеется станок и п заданий, каждое из которых она способна выполнить после соответствующей на-