Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

В настоящее время главной целью экономической политики РФ является обеспечение экономического роста, который невозможен без совершенствования системы государственного управления, формирования эффективной бюджетной системы. В мировой практике совершенствование государственного управления осуществляется через укрепление финансовых основ местного самоуправления посредством ориентации бюджетной системы на стимулирование ускорения экономического развития муниципальных образований, повышение их заинтересованности в наращивании своего налогового потенциала, сокращение дотационности местных бюджетов, развитие инициативы и ответственности местных властей за проводимую ими бюджетную политику. В настоящее время главная задача бюджетной политики состоит в том, чтобы посредством совершенствования межбюджетных отношений решить основную проблему муниципальных образований — достаточность их собственной доходной базы, соблюдая при этом условие достижения компромисса между интересами бюджетов различных уровней бюджетной системы РФ. В связи с этим проблема создания информационных систем поддержки принятия решений при управлении меж-бюджетным регулирования является актуальной. В решении этой проблемы особое место занимает задача построения экономико-математических моделей для принятия оптимальных решений при распределении средств бюджетного регулирования в структуре <регион>о<муниципальное образование^ исходя из условий достижения компромисса интересов бюджетов этих уровней. В статье предложены экономико-математи-

ческие модели, формально описывающие принятие решений в стратегической задаче межбюджетного регулирования, заключающейся в определении нормативов отчислений в местные бюджеты от федеральных и региональных налогов и сборов, подлежащих зачислению в региональный бюджет. Разработанные модели включены в состав информационной системы поддержки принятия решений при управлении процессами бюджетного регулирования, системная структура которой приведена в последнем разделе статьи.

Постановка задачи принятия решений при управлении бюджетным регулированием

Объект управления, которым является бюджет муниципального образования с точки зрения его материального содержания, представлен абстрактным математическим объектом «динамическая система» Р. Рассмотрим обобщенные координаты этой системы. Входными управляемыми переменными являются нормативы БТ=(Б^ Б2,..., Бк) отчислений в местные бюджеты от федеральных и региональных налогов и сборов, подлежащих зачислению в региональный бюджет. Компонента Б/ вектора БТ представляет собой величину норматива отчислений в местный бюджет от налога вида /. Доходы X (Г) и расходы Y (Г) бюджета рассматриваются как возмущения, а величина остатков О (Г) бюджетных средств в момент времени Г — как фазовое состояние динамической системы Р. Стратегическая задача управления бюджетным регулированием ставится следующим образом: установить такие величины Б, /=1,2,., к нормативов отчислений от передаваемых при бюджетном

№2 2006

регулировании налогов и сборов, которые приводят к достижению компромисса интересов бюджетов региона и муниципального образования. Для выбора компромиссных решений Б, /=1,2,..., к предложена векторная целевая функция ф=(р, М, ц, Мц), где р — оценка вероятности дефицита бюджета, Мр — оценка математического ожидания дефицита, ц — оценка вероятности профицита бюджета, Мц — оценка математического ожидания профицита. Аналитические выражения компонентов р, Мр, ц, Мц функции ф имеют вид:

Мр =110(0 • /(Г);

N г=1

/ (Г) =

1(1 04

2У 0

если Q(t) ф 0;

0, если 0(0 = 0;

1 N

р=NN х/ (Г);

N г=1

0(Г) = 0(Г -1) + X (Г) + Яе д(БТ, Г) - / (Г);

Яед(БТ,Г) = 1 Б, • Яд(Г);

/=1

Мц = -1 Х0(Г) • J(Г);

N г=1

и(Г) =

1

2V 0(Г)'

если Q(t) ф 0;

0, если Q(t) = 0;

1 N

ц = тг Ъ ^

N г=1

где Иді (Г) — величина платежей по налогу вида /, по которому определяется величина норматива Б, отчислений в местный бюджет в момент времени Г (платежи по налогу вида / осуществляются физическими и юридическими лицами муниципального образования), X (Г) — величина поступлений от собственных доходов в бюджет муниципального образования в момент времени Г без учета средств бюджетного регулирования, Y (Г) — величина расходов бюджета муниципального образования в момент времени Г.

Компоненты р, Мр и д, Мд векторной функции ф являются противоречивыми по следующим причинам. Увеличение значений величин Б, /=1,2,., к влечет увеличение поступлений денежных средств в бюджет муниципального образования за счет налоговых доходов и тем самым приводит к убыванию функций р, Мр и возрастанию функций д, Мд. Но при этом снижаются доходы бюджета субъекта РФ. С целью увеличения этих доходов необходимо уменьшить величины Б, /=1,2,., к, но это приводит к возрастанию функций р, Мр, т. е. к возрастанию дефицита в местном бюджете. В связи с этим принятие решений относительно значений компонентов вектора БТ=(Б1, Б2,..., Бк) происходит в конфликтных ситуациях, вызванных противоречивым характером изменения функций р, М и д, Мд. Компромисс между интересами бюджетов регионального и муниципального уровней бюджетной системы РФ при определении величин Б, /'=1,2,..., к определяется как результат решения задачи многокритериальной оптимизации относительно векторной целевой функции ф=(р, Мр, д, Мд). Сущность задачи состоит в нахождении такого решения БТеБТ1 (БТ1 — множество допустимых решений), которое в том или ином смысле минимизирует значение всех компонентов вектора ф.

Поскольку функции р, Мр и д, М не достигают минимума в одной и той же точке, такая постановка является не вполне корректной [1]. Под решением задачи многокритериальной оптимизации понимается такое подмножество из БТ1, при котором значения функций р, Мр и д, М отвечали бы некоторым интуитивным представлениям о «наилучших» значениях этих функций при стремлении их одновременно к минимуму на множестве БТ1. Представления о наилучших решениях формализованы на основе принципа оптимальности по Парето [1]. В качестве решения поставленной задачи многокритериальной оптимизации авторами рассматриваются такие Б/, которые не поддаются улучшению по критериям р, Мр иначе, как за счет ухудшения по критериям

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

д, Мд (т. е. решения, оптимальные по Парето) [1]. Иначе говоря, в качестве решений рассматриваются такие БТ*сБТ1, что для любого БТсБТ1 из того, что д (БТ*)<ц (БТ*) и Мд(БТ*)<Мд (БТ), следует, что р (БТ*)<р (бТ*) и Мр (БТ*)<Мр (БТ):

УБТ е БТ,ЗБТ* с БТ/д(БТ*) <

< д(БТ) л Мд(БТ*) < Мд(БТ) ^ р(БТ*) > р(БТ) л Мр (БТ*) > Мр (БТ).

Следовательно, точку БТ* будем считать эффективной по Парето, если не существует такой точки БТ*еБТ1, что д (БТ*)<д (БТ)лр (БТ*)<р (БТ). Недостатком такого подхода является множественность оптимальных по Парето решений [1]. Этот недостаток преодолевается использованием аппарата теории игр.

Модель принятия решений по бюджетному регулированию

Для принятия решений при распределении налоговых доходов, передаваемых в порядке бюджетного регулирования, автором построен комплекс <Е1,Е2>моделей, где Е1 — модель определения нормативов отчислений от передаваемых при бюджетном регулировании налогов и сборов, удовлетворяющих локальным интересам бюджетов региона и муниципального образования, Е2 — модель распределения налоговых доходов, исходя из условия достижения компромисса интересов бюджетов региона и муниципального образования. Модель Е1 представлена автоматами А1 и А2, функционирующими в случайных средах [2]. Реакция среды описывается векторами:

С(1) =< (р(1), д(1)), (р21), д21) ),...,(р(1) .д™) >; с(2) =< (р(2), д(2)), (р22), д22)),...,(рГ.дГ) >,

компоненты которых принимают значения оценки вероятности выигрыша р1 <}) автомата А <Л в состоянии щ<}) и оценки вероятности проигрыша д! <}) в этом же состоянии. Элементами множества состояний {щ <1) }п/=1 автомата А1 и {щ (2)}п/=1 автомата А2

являются всевозможные наборы щ(1)=<Б/1

(1) б (1> Б (1)> щ (2)= <Б (2) Б (2) Б (2)>

, 0/2 . ^/к >>, У/ ^0/1, 0/2 ^/к

компоненты которых Б^, у=1,2, /=1,2,.., к отражают значения нормативов отчислений от собственных налогов бюджета вышестоящего уровня в бюджет нижестоящего уровня бюджетной системы РФ. Величины Б/!{1'> принимают значения из континуальных множеств (Б// <}) е[0,1]). Для перехода от континуума к конечному множеству осуществляется дискретизация структурных состояний Б(/<}), заключающаяся в разбиении отрезка [0,1] на некоторое конечное число отрезков с координатами концов [а/, а^], [а/, а^п [ау, ау+1]=0, /=1,2,., к,7=1,2,., к при /ф/ и [а,, а/+1]п [а}, а/+1]^0 при /'=/ В качестве Б/1{}) принимаются координаты концов отрезков [а/, а/+1]. Тогда в качестве структурного состояния можно рассматривать некоторый набор <а/1, а/2,., ак>; число таких всевозможных наборов равно числу комбинаций координат отрезков [а(, а/+1] и составляет N=(n+^)/, где п — число отрезков, а к — количество видов регулирующих налогов. Таким образом, рассматриваемый стохастический автомат А^ имеет М=(п+1)' состояний (щ (), щ Ч-. щм<})).

Автором разработана конструкция стохастических автоматов А1 и А2. Каждый из стохастических автоматов А(, /=1,2 имеет N состояний (щ (}), щ2 (}),., щ/})), отражающих всевозможные сочетания наборов значений нормативов отчислений от передаваемых в порядке бюджетного регулирования налогов в бюджет уровня /. В качестве выхода 0}.(/), у=1,2,., N. автомата А1 в состоянии щ (/) рассматривается уровень текущего запаса денежных средств, аккумулируемых в бюджете рассматриваемого уровня. Автомат имеет два значения входной переменной б^О, именуемой «штраф» при б^Г)^ и «нештраф» при би(0=0, и погружен в стационарную случайную среду С и= С </)(p1 (), р2 (),., р1Ч(/)). Если в момент времени г автомат произвел действие 0}{1)(г), то в момент (Г+1) на его вход поступит сигнал би(Г+1)=0 с оцен-

№2 2006

кой вероятности р^'] и сигнал 5(/)(/+1)=1 с оценкой вероятности ц^= (1- р^). Автомат А1 штрафуется, если величина текущего запаса денежных средств в бюджете примет значение 0/ <0, т. е. если в бюджете возникает дефицит. В автомат А2 поступает на вход сигнал «штраф», если величина текущего запаса денежных средств в бюджете примет значение О >0, т. е. если в бюджете возникает профицит. Автором предложена конструкция автомата с матрицами переходов из состояния в состояние под действием входных сигналов 5=0 (матрица ау(0)) и 5=1 (матрица ау(1), имеющими вид:

і °  °

° і  °

° °  і

° і °  ° ° °

У ° (1-у)  ° ° °

° ° °  У °

° ° °  ° і °

где у — избирательность тактики автомата при штрафе. Вероятность р-ц перехода автомата из состояния в состояние будет вычисляться следующим образом: р=Я! а ^ (0) + р! а/у(1). Матрица переходных вероятностей ||р.Ц имеет вид:

9, р, 0 ... 0 0 0

У-Р2 92 (1-У )Р2 ... 0 0 0

0 0 0 5= С*. 9«-1 (1-У Р-1

0 0 0 0 0 рп 9п

Матрица ||р/у|| является стохастической, т. к. XРц = 1. Система уравнений для определения финальных вероятностей пребывания автомата в определенном состоянии запишется в виде:

Я = Я х

, Я = Л, г2..................Гм

Я =

'О

Г = ЯіГ +ур2 г2,

г2 = РіГі + Яггг +УР3Г3,

Гз = (1-У )Р2 Г2 + Яз Гз +УР4 Г4,

Гм-1 (1 У )Р Ы-2ГЫ-2 + Ям-іГм-і + РмГм,

Гм = (і — У )рм-1Гм-і + ЯмГм

Выражения для финальных вероятностей г(, /=і,2.N, полученные в результате

решения системы уравнений, имеют вид:

і

Гі = і+Рі^(і^ +

/=2 Рі У/-1

Рм У

N-2

Рі

УР2(і + Рі І

і (і-уУ-2 , Рі (і-у)Л

і /=2 Рі Y/-1

Рм Г

Рі

Т 2 Рз(1 + •

/=2 Рі У

Рі(і-у )м-3

Рм У

Т N-2 Рм-,<1 + Р^^Г

Г=

/=2 Р/ У Рм У

Рі(і-у )м-2

У м-1Рм (1 + Рі І

і (і-у)-2 , Рі (і-УГ

1 /=2 Рі У/-2

Рм У'

В [3] доказано, что автоматы предложенной структуры обладают свойством целесообразности поведения и асимптотической оптимальности. В качестве меры целесообразности и асимптотической оптимальности используется математиче-

N

ское ожидание выигрыша М = ХГр . Ус-

/=1

ловиями целесообразности поведения и асимптотической оптимальности являются соответственно:

Г

2

а

к

Г2 =

к1

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

N

I Р.i

M

N

и lim M (у, p) = pmin.

Таким образом, предложенный для моделирования принятия решений автомат устроен целесообразно, т. е. при функционировании он будет чаще выигрывать и реже проигрывать. Если сравнить его средний выигрыш с тем выигрышем, который он получит, выбирая свои действия случайно, в соответствии с финальными вероятностями, то последний оказывается значительно больше. При неограниченном увеличении емкости памяти этот автомат ведет себя не хуже, чем человек, который заранее знает вероятности выигрышей в каждом из состояний: он производит действие, вероятность которого максимальна.

Модель игры стохастических автоматов

Для принятия решений по бюджетному регулированию, приводящих к согласованию интересов бюджетов различных уровней бюджетной системы РФ, предложена модель I коллективного поведения стохастических автоматов A1 и А2 [4]. Функционирование автомата A1 направлено на минимизацию дефицита бюджета, а автомата А2 — на минимизацию профицита. В связи с тем, что взаимодействие автоматов A1 и А должно обеспечить выбор некоторых компромиссных вариантов значений нормативов отчислений в бюджет муниципального образования от федеральных и региональных налогов, подлежащих зачислению в местный бюджет, в качестве инструмента описания этого взаимодействия использован аналитический аппарат теории игр. Игра р автоматов А1 и А состоит из последовательности партий у^у,,...,^. При этом партией у игры р, разыгрываемой в момент времени t, является набор стратегий у= (у,(1), у(2)), k=1,2,..., п, /=1,2,., п, выбранных участвующими в игре автоматами А1 и А2. Если у=(у} — множество партий, то ус(у (1)}i=1nx(y (2)}i=1n. Исходом ^

(t+1) партии у= (yk(1), у(2)) является набор (5k (1)(f+1), (5, (2)(/+1)) значений входов, где (5k (1)(f+1)=1, если автомат At выиграл, и (5k (1)(f+1)=0, если автомат At проиграл. Задание структуры автоматов A1 и А2 и оценок вероятностей р( (5( (1)(f+1), (5((2)(f+1)), /=1,2,., n, различных исходов партий определяет игру этих автоматов. Игра является игрой с нулевой суммой. Вероятность того, что автомат A1 выиграет за счет своей /-й стратегии определяется как v/ï=r/ (1-p/). Величины Vj образуют квадратную матрицу 11 vy II и принимаются в качестве платежей. Решение игры в форме смешанных стратегий R1=(n1, п2,... п2), Я2=(о1, а2,... а2) позволяет определить компромиссные значения нормативов отчислений в местные бюджеты от передаваемых в порядке бюджетного регулирования налогов и сборов, приводящие к равновесию интересов бюджетов регионального и муниципального уровней бюджетной системы РФ. Автором предлагается формальное описание нахождения решения игры автоматов в форме смешанных стратегий, заключающееся в определении оценок вероятностей п1, п2,... п2 и

о1, а2,... а2 применения стратегий соответственно первого и второго игрока. При этом составляются системы неравенств:

п1 • V„ + 0 • п2 +... + 0 • пm > £;

0 • п1 + п2 • V22 +... + 0 • пт > £;

0 •п+0 • П2+...+пп • vnn >£;

А^1 • Vu + 0• V12 +... + 0• V1n > 1;

0 • Vu + ^2 • v22 +... + 0 • V1n > 1;

0 • Vn + 0 • V12 + ... + *nVnn > 1.

Здесь £ — величина выигрыша первого

Л П1 л Пл л П m

игрока, *1 = -^, ^ = -£^,... *m = ~£г .

n n 1

В силу того, что Хп/ = 1, = - , и £ —

/=1 /=1 £

величина выигрыша первого игрока, то целевой функцией решения задачи линейного программирования, к которой сводится

№2 2006

решение игры в форме смешанных стратегий, является Ам + Ао +  + Аm min.

Решение А, =

1

А2 =

1

V,

к =

1

V„

'11 22 задачи линейного программирования позволило определить аналитические выражения для смешанной стратегии первого

игрока, п1 = А1 •£ =

_Ki_

n

ік

/=1

n

IK

. Эти выражения поз-

1^-

/=1

воляют определить набор коэффициентов для компромиссного решения. При этом компромиссные решения для величин Бк нормативов отчислений в местный бюджет от федеральных и региональных налогов вида /, подлежащих зачислению в бюджет

региона, определяются как S1 = IS11 •п

n . n /=1

S2 =I S/2 •П

/=1

Si =I S/i •п

/ = 1

Структура информационной системы поддержки принятия решений при управлении процессами бюджетного регулирования

Разработанные экономико-математические модели включены в состав информационной системы поддержки принятия решений. Структура моделей этой системы приведена на рис.1. В состав системы входят модели <11,12> принятия решений при управлении процессами межбюджет-ного регулирования и комплекс экономико-математических моделей <0, ш1, и2, ш3, и4, БТ>, имитирующих процессы изменения величины остатков денежных средств в бюджете муниципального образования при случайном характере изменения доходов и расходов бюджета, где О- модель нахождения законов распределения случайных величин: «собственные доходы бюджета муниципального образования без учета средств бюджетного регулирования», «платежи по передаваемым в порядке бюджетного регулирования нало-

гам и сборам», «расходы бюджета»; ш1, и2, ш3 — модели генерации возможных значений этих случайных величин по заданным законам распределения; и4 — модель формирования остатков денежных средств О (О под действием случайно изменяющихся величин доходов и расходов; БТ= <Б1, Б2,..., Бк> — вектор структурных состояний, компоненты которого Б/, /=1,2,..., к, задают величины нормативов отчислений от передаваемых в порядке бюджетного регулирования налогов и сборов -го вида в бюджет муниципального образования и осуществляют переключение объекта управления в новые структурные состояния. Кроме формирования величины остатков бюджетных средств, модель и4 вычисляет значения компонентов р, Мр, д, д и Мд векторной целевой функции ф=(р, Мр, д, Мд), давая при этом количественную оценку решений, принимаемых при бюджетном регулировании.

Решения, касающиеся определения величин Б/, /=1,2,., к, относятся к классу координирующих решений, принимаемых органами государственной власти субъекта РФ. Они задают режимы функционирования бюджета муниципального образования в течение некоторого периода ТасТ, где Т — временной интервал существования системы.

Модель О представляет собой основанный на применении методов статистической обработки информации алгоритм нахождения законов распределений случайных величин по реальным статистическим данным о доходах и расходах, получаемым ежедневно при исполнении бюджета (законы описываются в виде рядов распределений). Модели ш1, и2, и3 основаны на применении метода статистических испытаний. Эти модели используют в качестве исходных данных построенные моделью О законы распределения, описывающие доходы и расходы бюджета. Модель принятия решений при бюджетном регулировании построена на основе применения теории стохастических автоматов, функциониру-

/=1

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

Рис. 1. Структура моделей информационной системы поддержки принятия решений при управлении межбюджетным регулированием

ющих в случайных средах. Для принятия решений БТ, являющихся компромиссными относительно целевых функций р и q, используется модель игры автоматов А1 и А2. Результаты функционирования модели <0, ш1, и2, ш3, ш4, БТ> рассматриваются как реакции случайной среды, в которую погружены стохастические автоматы А1 и А2.

Разработанная система позволяет на формализованной основе принимать такие решения при распределении налоговых доходов между регионом и муниципальным образованием, которые удовлетворяют условию достижения компромисса интересов бюджетов различных уровней. Это создает базу для осуществления эффективной политики бюджетного регулирования, ориентированной на результат.

Литература

1. Математический энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков,

А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: Сов. Энциклопедия, 1988.

2. Стрельцова Е. Д. Применение стохастических автоматов для моделирования сложных систем с изменяющимся во времени характером поведения//Известия вузов. Электромеханика. 2002. №3. С. 76-78.

3. Стрельцова Е. Д., Федий В. С. Исследование целесообразности поведения и асимптотической оптимальности стохастических автоматов в случайных средах/ / Известия вузов. Электромеханика. 2003. № 3. С. 67-70.

4. Стрельцова Е. Д. Модель коллективного поведения автоматов для оптимизации бюджетного регулирования в системе <регион>о<муниципальное образование>//Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2002. Спецвыпуск: Математическое моделирование и компьютерные технологии. 2002. С. 113-114.