Быстрое решение модельной задачи для уравнения Пуассона

УДК 519.63

DOI: 10.14529/mmph170405

БЫСТРОЕ РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

А.Л. Ушаков

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: ushakoval@susu.ru

Рассматривается уравнение Пуассона в прямоугольной области при смешанных краевых условиях. Его численное решение с помощью итерационных факторизаций и фиктивного продолжения сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с треугольными матрицами, в которых количество ненулевых элементов в каждой строке не более трех. При достаточно малой погрешности аппроксимации решаемой задачи задаваемая относительная погрешность численного метода достигается за несколько итераций. Предлагаемый итерационный метод является почти прямым методом, асимптотически оптимальным по количеству арифметических операций. Разработан итерационный метод для указанной модельной задачи. Эта задача получается в методах фиктивных компонент при решении краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков в плоских областях. Предложен алгоритм для реализации численного метода с автоматическим выбором итерационных параметров на основе метода скорейшего спуска. Задан критерий остановки итерационного процесса, при достижении заранее задаваемой относительной погрешности решения. Приводятся графические результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие асимптотическую оптимальность метода по вычислительным затратам. Построение метода основывается на использовании комплексного анализа.

Ключевые слова: итерационные факторизации; фиктивное продолжение.

Введение

Рассматривается уравнение Пуассона в прямоугольнике, когда на двух смежных сторонах прямоугольника задано условие Дирихле, а на двух других сторонах выполняется условие Неймана. Для разностного аналога этой краевой задачи в виде системы линейных алгебраических уравнений строится факторизованный переобуславливатель попеременно треугольного вида. Такая краевая задача возникает при решении задач в работе [1]. Разработанная методика аналогична методам фиктивных компонент, но использует комплексный анализ.

Непрерывная задача для применения продолжения

Рассматривается задача

U е W1: A

где

W = W(W) = {v e W2 (W): v | = o}

пространство функций Соболева на прямоугольной области

W = (0;bi)х(0;b2), с G = {bi}x(0;b2)U(0;bi)x{b2},

а

A(«i, Vi) = J (UixVix + ы^ )d W

W

билинейная форма, когда заданы константы b1, b2 > 0. Решение задачи из (1) существует и единственно [2, 3].

При

li (Vi ) = J fiVid W

W

где / - заданная суммируемая с квадратом функция, задача из (1) представляется в виде

^ I Эи I

-Д«1 = /1, М11Г1 = 0, Г2 = 0,

где Г2 ={0}х(0;Ь2)и(0;Ь1)х{0], п - внешняя нормаль к ЭО .

Продолжаемая дискретная задача

Рассматривается система линейных алгебраических уравнений, которая получается при дискретизации (1), (2) по методу сумматорных тождеств

м1 е : Аи1 = /1, / е ,

здесь векторы

у е Мы: у = (зи,..., у ы)', N = т • п, т , п е N,

полагается, что

31,т(;-1)+г = з1,/,/ , * = 1,...,т , / = 1,...,П , а у 1 у - значения функций дискретных аргументов соответствующих узлам сетки,

(хг, у у) = ( (/ - 0,5)Л1,( у - 0,5)^2),

когда выбираются следующие шаги сетки

Н1 = Ь1/(п + 0,5), И2 = Ь2/(п + 0,5), которая состоит из указанных выше узлов, а матрица А размерности N х N, определяется так:

т п

у|) = ЕЕ ((и1,/+1,у - и1,/,у )(у1,/+1,у - у1,/,у )А1-2 + (и1,/,у +1 - и1,/,у )(у1,/,у+1 - у1,/,у ,

1=1 у=1

М1,»,п+1 = 31,/,п+1 = 0, * = m, М1,т+1, у = 31,т+1,; = 0, / = 1,..., П ,

здесь - скалярное произведение векторов вида

N

(«ь ^1)=Е и1,к^лъ2 уе МN. к=1

Если функция /1 непрерывна на области О, то возможно положить

/1,/, у = /(х/, Уу), 1 = 1,..., m, / = п Решение задачи в (3) существует, единственно, так как А > 0.

Фиктивно продолженная дискретная задача

Строится фиктивное продолжение задачи из

и е М^: Би = /, / е М^, /2 = 0,

здесь векторы

где блочная, верхнетреугольная матрица Б размерности 2 N х 2N такая, что а матрицы

з е М2N: з = (у, з2'

Бц = А, Б12 = 0, Б21 = 0, Б22 = А ,

^ = У х V у-V у V х, А = У х V х +У у V у,

матрицы Vх, V у размерности N х N задаются по формулам:

X ' у

т п

(Vxul,Ю = ЕЕ (-(и1,/+1,} - и1,/,} )АГЧ/,у и1,т+1,у = 31,т+1,у = 0 / = /=1 ] =1

тп

(Vyul,^ = ЕЕ (-(и1,/,у+1 - и1,/,у ^Ч/,у , и1,г,«+1 = 3и«+1 = 0, 1 = т. /=1 ] =1

Вводятся подпространства векторов в пространстве М2N :

Щ = {у = (у',У2')': у2 = 0}, Щ = {у = (у',у2')': — в2 = о}.

Лемма 1. Решение задачи из (4) и е Щ существует и единственно.

Итерационные факторизации на фиктивном продолжении

Определяется блочная матрица С размерности 2N X 2N так, что

С11 = С22 = А , С12 = — в , С21 = в . Для решения задачи из (4) строится итерационный процесс:

ик е М™ : С

В итерационном процессе из (5) получается задача с факторизующимся оператором следующего вида

и е CN: И*и = Р, Р е CN, которая расщепляется на более простые задачи

ё е CN, = Р , Р е CN, и е CN, ь*й = ё, ё е CN,

здесь матрицы

L = v; -iV/, L* = L = V x + Ny , LL* = (v; -/V/)(V x + /V,) = A + id,

поэтому

(А + 7^)(м1 + ш2) = / + //2

или

| Аи1 — ви2 = /, и1 + ш2 = и,

в + АЙ2 = /2, /1 + //2 = Р,

т. е. на каждом шаге итерационного процесса из (5) действительно возникает задача вида

Си = / , и = (й[,щ)', / = (/',/2')'. Лемма 2. А"ак только в итерационном процессе из (5) и —1 = и , так сразу и = и "к е N . Считается, что и к = и + у/к, "к е N и {0}. Лемма 3. Для итерационного процесса из (5) выполняется

Аук —в¥к2 = (1 — Гк)(Аук—1 —Ук—1),

а при Г1 = 1, получается, что у/к е Щ "к е N . Вводится норма

И А =>/ ю.

Лемма 4. Выполняется следующее равенство

(Су,у) = (АУгУг1 — (УУ) "Уе ^

здесь

V) у) + У?) У Vе М^.

Доказательство. Так как

Ау1 — ву2 = 0, в = — в,

имеем

№ = (У У2 ) + ( АУ2, У2 ) = (У1в'У2 ) + ( АУ2У2 ) = = ( АУ2У2 ) — (УУ) = ( УУ) — ( АУ\У\1.

Предположение 1. (О продолжении мнимой части на действительную часть). Имеет место неравенство

$а1 е (0;1): (Ау1,у) <о1(АУ2,у2) "уе Щ2.

Заметим (у = (1 - а1) 1 или а1 = 1 - у 1), что

Зуе (1; +¥): (Ау,, < у( Су у) = у(( А^, -( Аз[, у)) "з еЖ>, потому, что матрица А > 0 и матрица С > 0 . Последнее можно получить

(Су,у) = (Vу -VуУ2)2 + (VуУ +VУ2)2 > 0 "У* 0,

(VX + /Vу)(у + у * 0 "У3*з. ЗД-1 е (0; +¥): 0 < (Ау,з1) = (вз2,з1) = (А"1^< Д"1 (&з2,вз2)  0, при Л1,Л2  0 ,

учитывая, что

Заметим, что -1

тогда

потому что

(Ау,у)  0 , з1  0 , при И1,Н2  0

Яг = (V/V у - V/V х) з2  0, при к2  0 "з е#2,

из формулы Тейлора, когда з2 - дискретные аналоги дифференцируемых необходимое число раз функций.

Лемма 5. Выполняются неравенства

1 -а _ _ _ _ з

-ЧАУ1,¥1) < (1 -а)(АУ2,У2) < {Су,у, "уе Ж>.

а1

Доказательство. Используя, что

(Ау,*) <а( A¥2,¥2>, "у3 е

1 -а __ __ __ __

-Ч АУу <(1 -а){ А¥2,¥2> = ( А¥2,¥2>-а1< А¥2,¥2> <

получаем

а

<

<А¥2,¥2> -(Ау,у) = С*,*), "¥е %.

Лемма 6. В итерационном процессе из (5) при к = 1, Т1 = 1 выполняются оценки

-0 ,з

С*1'*1) < Т-а А¥10,¥0) = (у- 1Д с¥0,¥с

¥1

<

а

У0

=

У0

А 1 -а1

Доказательство. Для итерационного процесса выполняется

С (у1 -у0) = -ю*0,

С (у1 -¥ Чу1) = (су1,*1) = -/ юу 0,у1) = 4 Ау0,*1) <

У0

тогда

учитывая, что

По лемме 5

с*1,*1) <^yтТy3l/(Ау0,¥10) <Т-Ч Ау0,у0) = 7^ (с*0,*0), с* ,¥ ) 1 -ах ' 1 -а

Ау1,у1) <а( Ay2,y2),

Суз1,узМ = (Ау1,у1) 4Ау\,у\\ > (1 -а)(А*2,у1).

А*,*-) < (Су1,^) = а(Су310,¥310 а1 1 -а1

так получается вторая оценка.

А

А

Лемма 7. Имеют место оценки

Зуе (1; +¥): (Су-,{Р) < (ГуР,^) < у(Су,{Р) "уРе Щ . Доказательство. Отметим, что

(1 — а)( Г у, ур) < (1 — щ){ А У2, У) < (С У, р = = (А¥, ¥2) — {А¥1,У) < <АУ2,¥2) = (ГФ,Ф) "^е Щ

а это позволяет завершить доказательство.

Лемма 8. Если в итерационном процессе из (5) к > 1,

2 а1

0 <г=Т = -

q =

г-1

< 1,

то

i+ g 2 - a g+1

Cyk, ip*) < q2/ С yPk-1, iPk-1), k e N .

Доказательство. Из итерационного процесса

C (p - p-1) = -tD p-1, p = T p-1, T = E - tC _1D, T = T' > 0,

тогда

C^k,^k\ = (CT?k-1,T^k-Л < sup ^^

: SUp

ipeV2

{CTxp, pp)

(с fk-1, fk=

sup

yeV2

yeV2 (C Щ, i) ' ((C -tDT )yp ,f) ^2

(c i, i i

C p k -i, iPk -1)=

(c fk -1, yP k=

1 -tj^P^ | (c^-1, p-1) = max {11 -t|2|l-g2} (c^-1, y^-1) = q2{cp-\ p-1) .

= sup

yeV2

Теорема 1. Для итерационного процесса из

u1k - u1

— о — u1 - u1

если

получается, что

t1 = 1, tk =t = 2/(1 + g), ke N\{1},

£1 <

g-1 g+1

Доказательство. По лемме 5 получается

1 -a -

-КÍ1, щ) < (QP,yP) "ype^2

a

по лемме 6 имеем

C?PV) < AP1V10) = (g-1)( Ai10,i10

Вывод. Исходя из вида матриц L, LL, нужно сказать, что задача из (3) при N неизвестных, по теореме 1, построенным итерационным процессом из (5), решается с относительной погрешностью £1 за O(Nln£"1-1) арифметических операций. Можно отметить, что при достаточно малых параметрах дискретизации для решения требуется O( N) операций, т. е. итерационный процесс, сходится за несколько итераций и превращается в почти прямой метод.

Эксперименты при вычислении решения модельной задачи для уравнения Пуассона

Решается задача, если заданы компоненты правой части системы линейных алгебраических уравнений

ÁMi-1)+j = flu = Ь + b2 - ((i - 0,5W2 - ((j - 0,5)h2)2)/2, i = 1,..., m, j = 1,..., n, m = n = 2,...,125,

40 Bulletin of the South Ural State University

Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2017, vol. 9, no. 4, pp. 36-42

A

k

где

\ = Ь1/(т + 0,5), Н2 = Ь2/(п + 0,5), Ь1 = Ь2 = 2,5 итерационным процессом из (5). Для выбора итерационных параметров используется метод скорейшего спуска [4]. Тогда для решаемых задач в итерационном процессе применяется следующий алгоритм вычислений:

1. Ищется первое приближение и1 е М2^: Си1 = /;

2. Задается первая невязка 71: 7^ = 0, Г,1 = Лм"2;

3. Определяется квадрат нормы ошибки Е1 = у712 =^ Лу2,Уг) = ^ 72, м"2);

4. Ищется поправка йк-1 е М2^ : Сйк-1 = 7к-1, к е N \ {1};

5. Определяется итерационный параметр

к-1 - к-1\ ¡—к-1 — к-1

\г , й / \г2 , й2 / Ч = к-1,*к= (Лй2к-1,^-А ке N\{1};

6. Определяется новое приближение ик = ик-1 -тки>к-1 ке N \{1};

7. Задается новая невязка 7к : 7Цк = 0, 72к = Лм^, ке N\{1};

8. Определяется квадрат нормы новой ошибки

2

Ек =

У

= ( ЛУ2к ,У2к) = ( 72к, йк2)к е N \ {1};

Л

2

9. Ставится условие остановки итераций Ек/Е1 < Е , Ее (0; 1), ке N \{1}.

Заметим, что в условии остановки итерационного процесса Ее (0; 1) - задаваемая относительная погрешность. Можно отметить, что вычисления, при реализации на ЭВМ, экспериментально подтверждают асимптотическую независимость к - числа итераций от т (п) - числа узлов сетки по направлениям осей 0х (0у) для достижения Е - заданной относительной погрешности при решении систем линейных алгебраических уравнений (см. рисунок).

График функции к - числа итераций от т (п) - числа узлов сетки по направлениям осей 0х (0у) при заданной относительной погрешности вычислений Е = 0,001 Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.Л03.21.0011

Литература

1. Ушаков, А. Л. О моделировании деформаций пластин / А. Л. Ушаков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2015. - Том. 8, № 2. - С. 138— 142.

2. Оганесян, Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец. - Ереван: изд-во АН АрмССР, 1979. - 235 с.

3. Обен, Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обен. -М.: Мир, 1977. - 383 с.

4. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. -М.: Наука, 1978. - 592 с.

Поступила в редакцию 31 августа 2017 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2017, vol. 9, no. 4, pp. 36-42

DOI: 10.14529/mmph170405 FAST SOLUTION OF THE MODEL PROBLEM FOR POISSON'S EQUATION

A.L. Ushakov

South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: ushakoval@susu.ru

Poisson's equation in rectangular area under the mixed regional conditions is considered. Its numerical solution by means of iterative factorizations and fictitious continuation amounts to the solution of the systems of linear algebraic equations with triangular matrixes, in which the quantity of nonzero elements in every line is less than three. At rather insignificant error of approximation of the problem under consideration the set relative error of a numerical method is reached by some iterations. The given iterative method is almost a direct method, asymptotically optimum by the number of arithmetic operations. The iterative method is developed for the specified model problem. This problem turns out to be in the methods of fictitious components at the solution of boundary problems for elliptic differential equations of the second and fourth orders in flat areas. The algorithm for realization of a numerical method with an automatic choice of iterative parameters on the basis of a method of the fastest descent is offered. The criterion to stop an iterative process is set at the achievement of the set relative error of the solution. The graphic results of computing experiments confirming an asymptotic optimality of the method on computing expenses are given. The developing of the method is based on the use of the complex analysis.

Keywords: iterative factorizations; fictitious continuation.

References

1. Ushakov A.L. About Modelling of Deformations of Plates. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2015, Vol. 8, no. 2, pp. 138-142. (in Russ.). DOI: 10.14529/mmp150213

2. Oganesyan L.A., Rukhovets L.A. Variatsionno-raznostnye metody resheniya ellipticheskikh uravneniy (Variation-difference methods for solving elliptic equations), Erevan: izd-vo AN ArmSSR Publ., 1979, 235 p. (in Russ.).

3. Оben Zh.-P. Priblizhyennoe reshenie ellipticheskikh kraevykh zadach (Approximate solution of elliptic boundary value problems). Мoscow, Мir Publ., 1977, 383 p. (in Russ.). [Aubin J.-P. Approximation of elliptic boundary-value problems. New York, Wiley-Interscience, 1972. 360 p.]

4. Samarskiy A.A., Nikolaev E.S. Metody resheniya setochnykh uravneniy (Methods for solving grid equations), Moscow, Nauka Publ., 1978, 592 p. (in Russ.).

Received August 31, 2017