Несущая линия на режиме слабого сверхзвукового взаимодействия с турбулентным пограничным слоем

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 1997

№3-4

УДК 533.6.011.5:629.7.025.73 629.735.33.015.3.025.73

НЕСУЩАЯ ЛИНИЯ НА РЕЖИМЕ СЛАБОГО СВЕРХЗВУКОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

В. С. Николаев

Рассмотрено обтекание сверхзвуковым потоком газа несущей линии на режиме вязкого взаимодействия с турбулентным пограничным слоем. В рамках теории малых возмущений второго порядка получены аэродинамические характеристики, учитывающие влияние трения и индуцированного пограничным слоем добавочного давления.

Проведен анализ вариационных задач о минимуме лобового сопротивления и максимуме аэродинамического качества.

1. При обтекании тела сверхзвуковым потоком газа влияние вязкости на аэродинамические характеристики проявляется как непосредственно, в виде пристеночного трения, так и путем изменения параметров потока в невязкой области и распределения давления на теле, что связано с вытесняющим воздействием пограничного слоя (так называемый режим вязкого взаимодействия). Наиболее существенны вязкие эффекты при больших сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях в случае тонких тел при числах Рейнольдса, соответствующих полетным условиям на высотах более 50 км, когда пограничный слой является ламинарным. Однако и при турбулентном пограничном слое и умеренных сверхзвуковых скоростях эффекты вязкого взаимодействия имеют место, хотя количественно они существенно меньше и могут быть оценены в рамках слабого вязкого взаимодействия, когда вязкие эффекты сводятся к малым поправкам.

Теоретико-расчетные исследования сжимаемого турбулентного пограничного слоя проводились в ряде работ [1]—[4], [6]—[8], причем в работах [7]—[8] представлены данные с учетом вязкого взаимодействия. Целью настоящей работы было получение в рамках теории малых возмущений второго порядка для плоских течений аналитических соотношений для трения и индуцированного вытесняющим воздействием пограничного слоя добавочного давления.

2. Локальные аэродинамические характеристики, теория второго порядка. Рассмотрим обтекание тонкого профиля сверхзвуковым потоком совершенного газа. Параметры потока на границе эффективного тела, т. е. с учетом толщины вытеснения турбулентного пограничного слоя, определим с помощью теории малых возмущений. Согласно этой теории вплоть до членов второго порядка малости можно пренебречь изменением энтропии в слабом скачке уплотнения. Ниже при проведении выкладок будем пренебрегать членами более высокого порядка малости, чем второй. При этом малыми величинами считаются местный эффективный угол атаки ае, местный геометрический угол атаки а и дополнительный угол наклона эффективного тела, связанный с толщи-

„ с 4 ¿8’ ной вытеснения турбулентного пограничного слоя, агс^-

йх сЬс ’

<й*

ае = ос +---, где х — продольная координата, отсчитываемая от носка

сЬс

профиля. Заметим, что попытка построения теории второго порядка при ламинарном пограничном слое приводит к неинтегрируемой особенности в носке тела.

Согласно теории второго порядка Буземана, для давления р на границе эффективного тела имеем [5]

2 аеМ

Г

1 - М2 |а?

Ас

>2

Vм'-1 (м^-О

где индекс ао относится к параметрам набегающего невозмущенного потока, ае и М — отношение удельных теплоемкостей и число Маха. Заметим, что использование теории третьего порядка в задачах вязкого взаимодействия, предложенное в работе [7], представляется некорректным ввиду необходимости использования как малого параметра угла наклона эффективного тела в его носке.

В интегральном однопараметрическом методе расчета сжимаемого турбулентного пограничного слоя формпараметром является так называемый параметр трения

V* V р*

где м, V,, т, р — соответственно продольная скорость, динамическая скорость, напряжение трения, плотность, индексы 8 и » относятся к условиям на внешней границе пограничного слоя и на стенке. Использование классической двухслойной схемы пограничного слоя, полуэм-пирической теории Кармана и интеграла Крокко позволяет получить так называемый закон сопротивления, т. е. связь толщины потери им-

2т

пульса 8** и местного коэффициента трения с« = —В монографии

Р5»5

[3] этот закон приведен в виде явной зависимости Re** = — от

Us

( 9n.. V/2

С =

где ц — коэффициент вязкости. Там же представлены

l^CysPs

зависимости при больших Q величин Re* = рди55*/ц5 и ^е5 = Psw5x/Vs-Используя лишь главные члены зависимостей Re* и Re5 от С, [3], получаем асимптотическую связь толщины вытеснения 5* и местного коэффициента трения

8* (1 + P)gys

X 2(1 - CD - Р)’

где р и со — безразмерные коэффициенты в интеграле Крокко, связывающего температуру Т и скорость

Т - и

—- = 1-со-----------р

Tw Mg

«8

Параметры со и р зависят от температурного фактора ^ = Тк /Т0, где Го — температура торможения набегающего потока, его равновесного значения , параметра — отношения кинетической энергии к полной на внешней границе пограничного слоя

„ ~ Іуіг а ~ 1 + ^5

СО =----------, р =

где

t t ‘w

vs= (ae 1)Ms Twr = fl +

2 + (ae - 1)M? I 2 s

TS,

г — коэффициент восстановления, зависящий от турбулентного числа Прандтля. Обычно г = Рг1//3. Подставляя в выражение для Ъ*/х значения со и р, получаем

5* Un+rV^cjb х 2

Из соотношения между Cj5 и Reg в сжимаемом турбулентном пограничном слое на пластине значение с^ при заданном значении Res можно определить методом итераций. Однако эта процедура не подходит для анализа интегральных аэродинамических характеристик и при рассмотрении разного рода оптимизационных задач по выбору формы поверхности. Для этих целей можно использовать известные аппроксимационные формулы для коэффициента трения пластины без

учета сжимаемости Ср, [1]—[3] и способ учета сжимаемости, связанный с понятием характерной температуры.

Приведем, с несколько уточненными по сравнению с [3] численными коэффициентами, соотношение между Cp¡ и Res:

lg Res + lgc«, +0,4104 - = 0.

4CJ”

Сравнение с аппроксимационными формулами для Cp¡ [1]—[3]

Cfi, =0,085Re¡°’29+0,01l8Re5,

Cfn =0,0263Re¡1/7,

Cfn = 0,058Re¡1/5,

показывает, что наилучшую аппроксимацию в широком диапазоне Res дает вторая из этих формул. Так, при 106 < Res < 109 отличие от значений Ср,, подсчитанных по (2.3), не превышает 4%.

Учет сжимаемости при расчетах проведем по аналогии с [2], где подобная процедура использована для закона ср, = 0,058Re“1/5. Имеем

CJ5 ~ cfn

^8

1/7

6/7

Здесь индекс * относится к характерным величинам в пограничном слое. Используя рекомендуемое для характерной температуры выражение [2]

II

Ть

= 0,28 + 0,5^ + 0,22-^

: Ту/

п

и степенной закон зависимости ц от Г, ц ~ Тт, получаем т-6

0,0263 Гг*" 7 0,0263 Г0,5(1 + tw) + (0,22г - 0,5)fg 1

е* *4" Re*/7 [ 1-^8 J

т-6

~Т

Далее считаем, что формулы (2.2), (2.4), полученные для плоской пластины с постоянными параметрами на внешней границе пограничного слоя, справедливы и при малом продольном градиенте давления

— ф 0, для слабоизогнутого тела (эффективного тела), т. е. будем про-ах

водить дальнейший анализ в рамках локальной пластины. Перед интегрированием местных аэродинамических характеристик следует перей-

ти от Cjg и Re5 к Cf и Re, не связанных с переменностью параметров на внешней границе пограничного слоя:

В связи с тем что поправки на вязкость являются малыми величинами, для переменных на границе эффективного тела параметров газа в рамках теории второго порядка достаточно взять два первых члена разложения: основной и линейный по ае. Используя условие изоэн-тропичности и интеграл Бернулли, для р8, Тъ, иъ получаем

Приведем также некоторые, используемые для пересчета чисел Рейнольдса и коэффициента трения, выражения:

Используя соотношения (2.4), (2.5), (2.7), после преобразований получаем для коэффициента трения с у следующие выражения:

Р5 | , Mlae Т5 , (ае-1)М2ос^

Р°° -1 Г°° дК-1

иЬ _ і____ае

V~ 1 y/K-l’ 1+ "I ’

= і + [~1 + (1 + от~/иае)М”]ас

Для коэффициента давления ср на теле имеем

2-2М

2

С/ -~Т1{^агае\ Р = 0,0263

0,5(1+ /„) + (0,22г-0,5)1^ 1-У~

т-6

а/

-1

1 + (/яае - т - 1)М2 2

------------------------— + М -2 +

2(6 - от)(0,5/ц, + 0,22г)Ут + 7(1 - Р.)[0,5(1 + ^) + (0,22г - 0,5)ГМ

Аналогично для толщины вытеснения (2.2) получим

6* Я

* Ее1/7

(1 + д8аД

Х> =

0,0263

т-6

2

0,5(1 + /и,) + (0,22г-0,5)Кео 1-Г.

1

1 + (/мае - /и - 1)М2 2(/„ + г)Г0

7

______2(6 - /и) (0,5^ + 0,22^^_____

7(1 - Кв)[0,5(1 + /„) + (0,22г - 0,5)У„]

¿/5*

Определим значение производной ——, входящее в выражение

еЬс ’

для эффективного угла атаки ае = а +

(¡X

Запишем выражение Ъ*/х в виде

В

1 + Дд (X + Лд

х Ле1/7 ^

Подставим в него главный член разложения для

¿5*

сЬс

У

¿Й* 62)

Л 711е1/7

Имеем

Их ( 6а5В ^

8 —-------т-рТ 1 + а8а "*---------Г7Т

Ые1/7 I 711е1/7 ;

¿8*

После дифференцирования получим выражение для -------- с учетом ли-

ах

нейных и квадратичных членов разложения 66

£¡8* 2) (6 6 ¿/а 30а82> ^

В выражении для су (2.9) достаточно учесть главный член разложения

для . Имеем ах

Р а г Ра (¡йгИР

с/ = —Г7Т + ~лп + -7Т/7 • (2Л1>

1 Ие1/7 Ле1/7 711е2/7

В формуле для ср (2.8) следует в первом слагаемом учесть и квадра-

(¡5* „

тичные члены в выражении для----------. Получим

ах

с/а

бо „Б 2 б(ара5 + 2Ьр)Оа аРаь^х л*

с„ = а„а+---------¡-—=- + Ь„а +------- ------—--------+--------, +

Р Р 7 Ке ^ 9 711е ^ Ііе1/7

б(50р08 + 6^)р2 + 49Ке2/7 '

Следует отметить, что при выводе формул (2.11) и (2.12) для Су и Ср членами одного (первого) порядка малости считались величины

Л* 2)

а,

Л’ Ііе1/7’ Ле1/7'

Эти формулы могут быть использованы для расчета аэродинамических характеристик тонкого профиля под малым углом атаки в рамках теории малых возмущений второго порядка с учетом взаимодействия невязкой возмущенной зоны течения и турбулентного пограничного слоя.

3. Интегральные аэродинамические характеристики несущей линии. Без ограничения общности считаем длину хорды профиля равной единице, обозначим Неї, число Рейнольдса при х = 1 (т. е. по длине хорды). Введем обозначения для малых величин:

Р 2) Ва5

8/ = ^р’85 = ”/ = ^’ “8 = <^ Перепишем в новых обозначениях выражения для су и ср:

_*/_ «/а 6вв£

С/ *1/7 + Ххр + 7х2Р ’

6арЧ , 2 б(ар8 + 26рЕ8)а ьп (іа

ср - ара + 7^1/? + Ьра + 7^1/? + ара6х ^ +

б(5 арсо5 +6 6рє8)є8

+ 49х2/7 '

В случае ламинарного пограничного слоя теория малых возмущений второго порядка приводит к неинтехрируемым особенностям при х 0, так как некоторые слагаемые второго порядка в выражениях для Су и Ср растут как 1/х. Для турбулентного слоя интегралы от су и ср

сходятся и в рамках теории второго порядка.

Определим аэродинамические характеристики несущей линии. Обозначим локальные коэффициенты сил на нижней и верхней сторонах линии соответственно Су^, Ср-у и Су2, Ср2- Пусть а — геометрический угол атаки нижней стороны, тогда для верхней стороны этот угол равен (-а). Учитывая члены до второго порядка включительно, для коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления получим

1

СУа = |[СР1 ~Ср2 "

о

Ср1 ср2

, ч 12(<v»6 +26„es)<x

- [Cfi + С/2 ja = 2ара +------------------------

0 6/7 doс 2Буа

+2W' ---фг,

(с

ха = J[cyi + cf2 + (ср1 - cp2)a^dx, о

Cfi + Cf2 +{сpi - ср2) а

2s у

12е6ю у

(1П  -J^JT

+ 2а„а2.

В случае плоской пластины, а = const, для коэффициентов сУа и

2bpes 7еу")

СХа получим

СУа ~^аР

7В/

Cv -—г-

1 + 03 х +

1 +

а

Збш y6g

6 а

Р )

а,

35е

/

+ 2а ра?.

Здесь вторые и последующие слагаемые в скобках — следствие учета

dc

членов второго порядка, которые влияют как на производную

Уа

da ’

так и на значение сХа при а = 0. Приведем выражения для максимального аэродинамического качества Ктах и оптимального угла атаки aopt

плоской пластины:

К„

18а> ув8

35е у

4. Оптимальная форма несущей линии. Рассмотрим изопериметри-ческую вариационную задачу о минимуме лобового сопротивления несущей линии при заданной подъемной силе, что в силу принципа взаимности эквивалентно задаче о максимуме подъемной силы при заданном лобовом сопротивлении. Решение уравнения Эйлера для а(х) содержит множитель Лагранжа X:

а

1 6 Ь.

>РЧ

7а,*1/7

Е/

2арх^7

Параметр X. определяется после использования изопериметрического условия.

Вариационная задача о максимуме аэродинамического качества Ктах сводится к изопериметрической, и а(х) определяется также формулой (4.1). В задаче о А'тах множитель Лагранжа X = /Гтах.

Подставим выражение (4.1) в (3.3), (3.4) и проведем интегрирование. Получим

'’Уа

_ °Р

X

7е

За,

+ б

С г. =

/

35е

/

2Х2

За

При задании изопериметрического условия на сУа параметр Лагранжа

X определяется первой из формул (4.2). Подставив это X во второе соотношение (4.2), для минимума сх получим

_ 7е/

'х | 36е8ю у " + с Уа

1 35е/ ,1 2 ап Р V,

\ 4У8 | 78/ а„ 3 а„

2со *

Решая вариационную задачу о максимуме отношения функционалов (3.3) и (3.4), для максимального значения аэродинамического качества получаем

3 а

р

114е

/

2Ьргъ 7еу

35е

/

6 аТ

Выражение (4.4) совпадает с выражением для Ктах плоской пластины (3.6). Этот результат получен в рамках теории малых возмущений второго порядка. В более точной постановке может обнаружиться резерв увеличения -^щах за счет деформации формы несущей линии. Однако ясно, что главным при оптимизации формы несущей линии является ее отклонение как целого на угол атаки, а не деформация типа изгиба.

Исследование знака производной от местного угла атаки da _ 12bpе5 -7ву dx 98арХх&/7

показывает, что в большинстве случаев (разные параметры Мм, ее, tw) выражение 12Ьргъ - Izf > 0 и несущая линия оптимальной формы выпукла книзу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа,— М.: Гостехиз-дат.— 1957.

2. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.—

М.: Изд. иностр. лит.— 1962.

3. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа.— М.: Наука,— 1970. 1982.

4. Воротников П. П. Расчет коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи пластины, конуса и тупоносого тела в окрестности критической точки при турбулентном течении в пограничном слое. Материалы к расчету сопротивления трения и теплопередачи различных тел при гиперзвуковых скоростях потока//Труды ЦАГИ.— 1964. Вып. 937.

5. Ко чин H. E., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. П.— М.: Изд. физ.-мат. лит.— 1963.

6. Репик Е. У. Приближенный расчет поверхностного трения при безградиентном турбулентном течении сжимаемой жидкости//Технические отчеты ЦАГИ.— 1960. Вып. 167.

7. Коваленко В. М. Сопротивление трения профиля в сверхзвуковом потоке/Дехнические отчеты ЦАГИ,— 1967. Вып. 308.

8. Joung A. D., Kirkby S. Effects of interaction between boundary layers and extemal stieam and of incidence on boundary layer drag at supersonic speeds//A.R.C. Technical Report, C. P. N 451.— 1959.

Рукопись поступила 2J/VT1996 г.