Описание процессов в кольцевом интерферометре дискретным отображением: бифуркации и размерности аттрактора

И.В. Измайлов, А.В. Лячин, Б.Н. Пойзнер

ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ В КОЛЬЦЕВОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ ДИСКРЕТНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ: БИФУРКАЦИИ И РАЗМЕРНОСТИ АТТРАКТОРА

Динамика нелинейного фазового набега U в кольцевом интерферометре, содержащем керровскую среду, описана обыкновенными дифференциальными уравнениями и дискретным отображением Ui+1 = K [1+у cos (U + Ф)]. Построены серии бифуркационных диаграмм и карт дробной размерности аттрактора дискретного отображения. Дана интерпретация строения карт на основе бифуркационных диаграмм. Результаты ориентированы на разработку оптической криптосистемы.

Прошедшие 50 лет исследовательской деятельности на РФФ ТГУ и в соответствующих подразделениях СФТИ побуждают утверждать: синергетика в начале XXI столетия может и должна играть ту же интегративную роль в науке, что кибернетика - в середине ХХ.

Синергетика сегодня развивается в трёх плоскостях:

- как физико-математическая дисциплина (нелинейная динамика, или Nonlinear Science), оперирующая моделями открытых нелинейных систем в виде дифференциальных уравнений, дискретных отображений (ДО), в том числе порождающих математические фракталы - регулярные геометрические объекты с дробной размерностью;

- как направление полидисциплинарных исследований процессов самоорганизации и хаотизации в природных, со-циоприродных, социокультурных, познающих динамических системах (Science of Complexity); при этом этимология слова «синергетика» (от др.-греч. auvspyia - содействие, сотрудничество, содружество) указывает на два близких содержания: а) ориентация на изучение явлений, для которых характерен синергизм, т.е. совместное действие двух или более процессов, факторов и т.п.; б) способность обеспечить сотрудничество, или синергию, нескольких научных дисциплин;

- как новое мировоззрение, т.е. основа динамичной картины становящегося мира, раскрывающая «бытие становления» [1 - 5].

Идеи и методы синергетики органичны для профессионального восприятия радиофизика, поскольку ему на роду написано решать нелинейные задачи. Следовательно, он обречён иметь дело со сложностью, сопровождаемой, как правило, синергией факторов.

Системно-синергетический подход считается перспективным при решении многих прикладных проблем радиофизики. Так, разработка устройств скрытой передачи информации в радиодиапазоне предполагает режим хаотических колебаний в шифраторе, т.е. наличие хаотического (и, как правило, странного, т.е. с дробной размерностью) аттрактора [6, 7]. При решении этой задачи в оптическом диапазоне волн одним из возможных прототипов шифратора является нелинейный кольцевой интерферометр (НКИ) [8, 9]. НКИ представляет собой открытую динамическую систему, через которую проходит оптическое излучение. Поэтому НКИ способен генерировать в поперечном сечении светового пучка регулярные либо хаотические пространственно-временные структуры.

НКИ изучался на рубеже 1970 - 1980-х гг. К. Икедой и его группой [10], а в конце 1980 - начале 1990-х гг. С.А. Ахмановым, М.А. Воронцовым, В.И. Шмальгаузеном с коллегами [11], а также Н.Н. Розановым [12] и др.

Переходя к постановке задачи, подчеркнём, что до сих пор не проводилось исследования процессов в модели НКИ с точки зрения оценки размерности её аттрактора в контексте анализа режимов, бифуркаций, применимости НКИ для развития принципов обработки информации в оптическом диапазоне. Более определённая формулировка задачи будет вырисовываться по мере изложения следующего раздела.

ОПТИЧЕСКАЯ СХЕМА И МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНОМ КОЛЬЦЕВОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ

Оптическая схема НКИ изображена на рис. 1. Здесь Евх и Евых - поля на входе и выходе НКИ; НС -нелинейная среда (например, жидкий кристалл), протяженностью Ь; О - элемент крупномасштабного преобразования светового поля (растяжения, сдвига, поворота поля); Мь М2, М3, М4 - зеркала (М\ и М2 - полупрозрачные, с коэффициентом отражения по интенсивности К). Для М3 и М4 коэффициент отражения равен 1.

Рис. 1. Ход лучей в НКИ при повороте светового поля на Д = 120“ в плоскости х0у: а) траектории лучей 1, 2, 3, замыкающиеся после трех обходов; б) проекция траекторий лучей 1, 2, 3 на плоскость х0у

Пусть на вход НКИ поступает сумма двух квази-монохроматических полей с амплитудами а(г, г), Ъ(г, г) и с частотами ю±О круговой поляризации различных (при ю>О) либо одинаковых (при ю<О) направлений вращения:

Ех(г, г)=а (г, г)соБ[( ю+О) г+ф(г, г)+у (г, г)]+ +Ъ(г,г)сов[(ю-О)г+ф(г,г)-у(г,г)],

Еу(г,г)=а(г, г)8т[(ю+О)г+ф(г, г)+у (г, г)] --Ъ(г,г)вт[(ю-О)г+ф(г,г)-у(г,г)].

Здесь ю (либо О - при ю<О) имеет смысл средней частоты, а 2О (2ю - при ю<О) - частотный интервал между составляющими поля. Чтобы отразить специфику рассматриваемого оптического поля, мы оперируем параметром бихроматичности д=О/ю [13].

В пренебрежении диффузией молекул НС из модели, предложенной в [13], можно получить описание динамики нелинейного фазового набега V в НС НКИ в точечном приближении. Термин «точечное приближение» означает, что всё множество точек поперечного сечения пучка света в НКИ - в зависимости от вида крупномасштабного преобразования поля элементом О в контуре обратной связи - разбивается на бесконечное число независимых (в смысле отсутствия фи-

зического взаимодействия между полями, нелинейными фазовыми набегами) друг от друга подмножеств. Но эти подмножества представляют собой цепочки точек, в которых последовательно осуществляется взаимодействие между световыми полями и нелинейными фазовыми набегами (рис. 1, б).

Иными словами, луч света, проходя через НС и контур обратной связи НКИ в точке i (например, на рис. 1, б i=1, 2, 3), приобретает фазовый набег U, и испытывает временную задержку tei. Из-за наличия элемента G луч попадает в точку i+1. Здесь, «складываясь» с одним из входных лучей интерферометра, он, согласно модели в [13], воздействует на темп изменения величины нелинейного фазового набега Ui+1. Отметим, что в силу замыкания лучей на рис. 1 значение индекса i+1=4 следует положить равным i+1=1. Именно так набег Ц в точке i влияет на набег Ui+1 в точке i+1. Если число точек в этих подмножествах конечно и равно т, то говорят о вырожденной двумерной обратной связи т-го порядка [11]. Данный тип точек, согласно терминологии [14], называют транспозиционными точками, а т - порядком транспозиции. Соответственно будем говорить о цепочках транспозиционных точек (ЦТТ). Иллюстрация к понятию ЦТТ дана на рис. 1,б. При такой организации обратной связи траектория луча замыкается после т обходов НКИ. Согласно принятому способу нумерации транспозиционных точек, под записью i+1 в дальнейшем подразумевается операция ((i+1) mod m)+1, где символ (i+1) mod т означает остаток от деления i+1 на т. Физически это означает, что луч из т-й точки попадает в первую.

В НКИ возможна и невырожденная обратная связь, если ЦТТ незамкнута, например, когда т=да. Элемент G может как снимать, так и «организовывать» вырождение.

Таким образом, в точечном приближении из общих соотношений в [13] для одной ЦТТ получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений т„ ,dU,(t)/dt = - U,(t) + f, fi = fi (t) = Kabn(t) + pKabi_u(t-T) + [y,-i(t)/a] x x{ Ka,, i_i(t,t-T)cos[(1+g)ror+9i(t)-9i_i(t-T)+ +Vi(t)-Vi-i(t-t)]+

+ Kbi,i_i(t,t-T)cos[(1-q)roT+9i(t)-9i_i(t-T)-

-Vi

где T=Ti_i(t)=te i_i(t)+Ui_i(t-te i_i(t))/ro; y,_i(t) - удвоенный коэффициент потерь излучения за один проход через НКИ; p=0 в случае приближения больших потерь, но _p=[yi_i(t)/a/2]2 в приближении одного прохода; «смешанный» (Kab) и «парциальные» (Ka, Kb) параметры нелинейности:

Kabij(t) = (1-R) nvlk [ai2(t)+bi2(t)],

Kai,i_i(t,t-T) = (1-R) n2,lk a,-(t)ai_i(t-T),

Kbi,i_i(t,t-T) = (1-R) n2,lk b,-(t)bi_i(t-T), k=ro/c.

В статическом режиме работы НКИ, т.е. при отсутствии изменений во времени фазового набега (dU/di=0), модель (1) сводится к рекуррентному соотношению. Будем считать, что статический режим осуществляется при постоянстве величин a,, b, , ф,, у, , у,-, te, во времени. Тогда из (1) имеем

и = КаЪц + рКаЪ-ц + [у^/ст] х X { Ка,-¡_1СОБ[( 1 +?)(Ф;_1+и,-_1)+ф,-ф,-_1+у,-у,--1]+

+ КЪ,-;,-_1СО8[

где Ф,- = ,; КаЪи = (1 - К) щ1к [а,2 + Ъ,2]; Ка,,,- =

= (1 - К) п2Д а,а,-1; КЪ,- ,_1 = (1 - К) п2,1к Ъ,Ъ,-1. По своей математической форме выражение (2), как известно [15. С. 15 - 20], является одномерным ДО.

В случае однородности (в пределах одной ЦТТ) оптических свойств НС НКИ (п2=п2у) и амплитуд входного поля (а=а,-, Ъ=Ъ,) верно соотношение КаЪ = Ка+КЪ. Удобно ввести суммарный параметр нелинейности К и долю Qa интенсивности компоненты с частотой (1+д)ю по правилу К = КаЪ = (Ка+КЪ), ба = Ка /К. Тогда Ка = К ба, КЪ = К(1-^а). В случае однородности остальных оптических свойств НКИ (Ф = Фь у = у,) и входного поля (у = 0, ф, = 0) нетрудно получить ДО:

и+1 = К { 1 + Р + у{ба СО8[(1+9)(Ф+и,)] +

+

Напомним, что в приближении больших потерь ^=0, в приближении одного прохода _р=(у/ст/2)2.

В случае монохроматического излучения на входе НКИ (д=0) и при р=0, ст=1 из (2а) получим рабочее ДО:

Ц+1 = К [1 + усов

ОСОБЕННОСТИ БИФУРКАЦИОННЫХ ДИАГРАММ И СТРОЕНИЯ КАРТ ДРОБНОЙ РАЗМЕРНОСТИ АТТРАКТОРА ДИСКРЕТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Как уже говорилось выше, статья посвящена особенностям работы НКИ в статическом режиме. Интерес к последнему вызван тем, что в ходе моделирования была продемонстрирована возможность шифра-ции и соответственно дешифрации двумерного изображения в этом режиме [9]. Отмечается, что статический режим предпочтительнее, если лимитирующим фактором является пропускная способность оптического канала связи либо если стоит задача хранения информации в зашифрованном виде [9]. При этом степень скрытности передачи сообщения зависит от характеристик статического режима, в свою очередь, определяемого комбинацией параметров светового поля, НС и интерферометра.

Почему же это возможно? Статический режим отнюдь не исключает (из-за нелинейности системы) хаотизации пространственной структуры пространственных распределений амплитуды, фазы оптического поля и показателя преломления НС. Так, при моделировании процессов в НКИ, функционирующем в статическом режиме, было обнаружено явление, названное пространственным детерминированным хаосом (ПДХ) [9]. Он представляет собой статическое детерминированное, но неупорядоченное распределение в пространстве упомянутых величин.

Действительно, соответствующая ДО (3) зависимость V,- от 1 при увеличении параметра нелинейности К в некоторых интервалах его значений демонстрирует весьма сложное поведение (рис. 2). Причём эта зависимость соответствует незамкнутой ЦТТ. Согласно

смыслу модели (1) на языке ОДУ, это неизбежно влечёт установление статического устойчивого (во времени) режима. А как следует из рис. 2, моделирование на языке ДО (3) того же самого физического процесса в НКИ позволяет ожидать неустойчивое (и потому хаотическое) поведение с ростом дискретной эволюционной переменной, т.е. ожидать появление ПДХ.

и, рад 18

14

10

6

0

14 К

Рис. 2. Зависимость от параметра нелинейности К значений нелинейного фазового набега и в пяти первых точках незамкнутой ЦТТ для статического режима НКИ при сдвиге элементом О оптического поля (вдоль оси Ох в плоскости хОу). Цифры обозначают номер точки в ЦТТ

В случае же замкнутой ЦТТ оперирование моделью (1) на языке ОДУ позволяет выявить не только устойчивые, но и неустойчивые статические состояния, а также их бифуркации (рис. 3). При этом одному и тому же набору параметров могут соответствовать несколько (не)устойчивых состояний. Очевидно, что в математически идеальной ситуации при помещении начального условия в ДО (3) на одну из ветвей бифуркационной диаграммы ДО даст периодическую последовательность значений Ц с периодом, не превышающем числа т точек в ЦТТ.

Для описания бифуркационных диаграмм на рис. 3 введём следующие обозначения: 1 - разрывные бифуркации возникновения нового устойчивого решения (1), 2 - разрывные бифуркации исчезновения старого устойчивого решения (1), 3 - бифуркация обретения устойчивости, 4 - бифуркации потери устойчивости [16]. Существенно, что классификация одной и той же точки бифуркации зависит от направления движения в пространстве бифуркационных параметров через неё. В частности, существенно, движемся ли мы вдоль оси К, у или Ф. На рис. 3 цифровые обозначения типов бифуркаций соответствуют движению вдоль оси К либо у.

и, рад 8

6 -

4 -

2 -

" б _ 4 К = 5,5

- “ і 1 4 і і

0 0,2 0,4 0,6 0,8 у

г К = 5,5 ^

4

:. '5

0

0,2

0,4

0,6 0,8

У

Рис. 3. Бифуркационные диаграммы статических состояний нелинейного фазового набега при т=т„, для т = 1 (а, б); т = 2 (в, г). Жирные линии отображают состояния, устойчивые при любых т, линии средней толщины - состояния, устойчивые при данном т, тонкие линии - неустойчивые состояния

2

4

Исследуя особенности бифуркационного поведения в моделях (1) и (3), целесообразно строить серии некоторых сечений пространства параметров плоскостями. Пусть множество точек бифуркаций (определённого типа) в пространстве параметров модели образуют поверхности, соответствующие этим типам бифуркаций. Тогда пересечение указанных поверхностей с секущей плоскостью порождает линии, кото-

рые можно назвать линиями бифуркаций соответствующего типа. Отображая линии на этой плоскости, получим тем самым сечения, позволяющие судить о положении и типе бифуркаций. Примеры таких сечений плоскостями у=0,5 (а) и К=5,5 (б) даны на рис. 4. Нумерация линий бифуркаций на нём отвечает принятым ранее обозначениям, но применительно к анализу статических состояний вида и\=и2-

Рис. 4. Линии бифуркаций Ф=ю^, т.е. бифуркационное значение Ф как функция: коэффициента нелинейности К (а), параметра потерь у (б). Значение Ф приведено в диапазон [0; 2п], т=2. Смысл цифровых обозначений раскрыт в комментариях к рис. 3

Другим способом исследования свойств ДО служит построение распределений некоторой характеристики динамики на секущей плоскости, т.е. карт на плоскости параметров ДО. Одной из показательных характеристик статического режима НКИ является дробная (фрактальная) размерность аттрактора, соответствующего динамике в модели НКИ.

Естественно, построение карт размерности аттрактора способно помочь решению задачи оптимизации параметров и/или режимов, обеспечивающих наибольшую степень скрытности передачи сообщения,

замаскированного ПДХ. Для построения карт рассчитаны размерности Б аттрактора в модели (3), в частности размерность Хаусдорфа - Безиковича:

Шп“« ,

МО 1п Г

где г - размер кубика; М(г) - число кубиков, необходимых для того, чтобы построить покрытие аттрактора [15].

На рис. 5 - 7 показаны карты размерности Б0(К, у), Б0(К, Ф), Б0(у, Ф) соответственно для начального условия и^к.

у

0,8

0,6

0,4

0,2

10 12

Рис. 5. Карты фрактальной размерности Ь0

10 12

10 12

Рис. 6. Карты фрактальной размерности Д0

Ф 5 4 3 2 1

0,0

0,2

0,4 0,6

0,8

Y

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

Y

Рис. 7. Карты фрактальной размерности .О0

По поводу интерпретации содержания рис. 5 - 7 отметим, во-первых, явное сходство карт размерности -О0(К, у) на рис. 5 с картой динамических режимов на плоскости параметров двумерного ДО Икеды (рис. 5.6 в [15. С. 72]). Последнее сводится к ДО (3) в приближении больших потерь. Такое сходство может служить косвенным доказательством достоверности выполненных в статье расчётов. Кроме того, это сходство свидетельствует о наличии некоторых структурных инвариантов в строении карт размерности аттрактора в модели (3) и карты режимов в [15]. Изучение этого обстоятельства составляет предмет отдельного исследования, выходящего за рамки статьи.

Во-вторых, оказывается возможным указать на обусловленность строения карт размерности аттрактора (рис. 6, 7) структурой семейств линий бифуркаций (рис. 4). А именно на рис. 4 между ближайшими парами линий 1 и 4, 2 и 3 расположены устойчивые участки ветвей (соответствующих состояниям и^Ц) бифуркационных диаграмм (см. рис. 3). Причём эти участки не зависят от числа точек т в ЦТТ. Можно предположить, что их наличие способствует регуля-

ризации режима ДО (3), приводя тем самым к формированию на карте (рис. 6, 7) узких полос, в пределах которых размерность аттрактора далека от 1. В доминирующих на карте областях, размерность близка к 1, логично ожидать ярко выраженный ПДХ. Именно в этих областях параметров ДО и следует осуществлять скрытую передачу информации.

Из сказанного вытекает самостоятельная задача более строгого сравнения структуры карт размерности аттрактора и строения семейств линий бифуркаций, в том числе для состояний ЦфЦ и для т>2. Итак, опыт построения и интерпретации структуры карт размерности (рис. 5 - 7) вкупе с семействами линий бифуркаций (рис. 4) и бифуркационными диаграммами (рис. 3) даёт основание утверждать, что они являются продуктивным инструментом для исследования изменения свойств аттрактора в модели ДО (3). Ещё более эффективный инструмент можно создать, дополнив указанные построения картой ляпуновских характеристических показателей.

Авторы благодарны С.Н. Владимирову за поддержку программными средствами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хакен Г. Тайны природы. Синергетика: наука о взаимодействии. М.: ИКИ, 2003. 320 с.

2. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики. СПб.: Алетейя, 2002. 414 с.

3. Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве / Под ред. В.А. Копцика. М.: Прогресс-Традиция, 2002. 496 с.

4. Пойзнер Б.Н. Бытие становления как объект познания // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2. №2 3-4. С. 100-110.

5. Прытков В.П. Оправдание синергетики // Вопросы философии. 2001. № 4. С. 146-149.

6. ДмитриевА.С. Динамический хаос как носитель информации // Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002.

С.82-122.

7. Владимиров С.Н., Негруль В.В. Сравнительный анализ некоторых систем хаотической синхронной связи // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 6. С. 53-64.

8. Garcia-Ojalvo J., Roy R. Spatiotemporal communication with Synchronized Optical Chaos // http://xxx.lanl.gov/abs/nlin.CD/0011012. 2000. 6 Nov. 4 p.

9. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н. // Оптика атмосферы и океана. 2001. Т. 14. № 11. С. 1074-1086.

10. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by ring cavity system // Opt. Comm. 1979. V. 30. No. 2.

P. 257-260.

11. Новые физические принципы оптической обработки информации: Сб. ст. / Под ред. С.А. Ахманова, М.А. Воронцова. М.: Наука, 1990. С. 263-326.

12. Розанов Н.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределённых нелинейных системах. М.: Наука, 1997. 336 с.

13. Измайлов И.В., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Моделирование процессов в кольцевом интерферометре с нелинейностью, запаздыванием и диффузией при немонохроматическом излучении // Изв. вузов. Физика. 2000. №2 2. С. 29-35.

14. Аршинов А.И., Мударисов Р.Р., Пойзнер Б.Н. Механизмы формирования простейших оптических структур в нелинейном интерферометре Физо // Изв. вузов. Физика. 1995. № 6. С. 77-81.

15. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). - М.: ИФМЛ, 2001. 296 с.

16. Измайлов И.В., Раводин. В.О. Влияние нелинейности и запаздывания в кольцевом интерферометре на бифуркации (расчет и моделирование) / Ред. журн. «Изв. вузов. Физика». Томск, 1998. 34 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.98, № 2882-В98.