Операторные методы вычисления ляпуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 1 (2018). С. 25-49.

УДК 517.938

ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛЯПУНОВСКИХ ВЕЛИЧИН В ЗАДАЧАХ О ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЯХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Н.И. ГУСАРОВА, С.А. МУРТАЗИНА, М.Ф. ФАЗЛЫТДИНОВ,

М.Г. ЮМАГУЛОВ

Аннотация. В работе рассматриваются задачи об основных сценариях локальных бифуркаций динамических систем. Изучаются системы, описываемые автономными дифференциальными уравнениями, дискретными уравнениями, а также неавтономными периодическими уравнениями. Предлагаются новые формулы для вычисления ляпуновских величин. Предлагаемые формулы получены на основе общего операторного метода исследования локальных бифуркаций и не требуют перехода к нормальным формам и использования теорем о центральном многообразии. Указанный метод позволил получить новые бифуркационные формулы для исследования основных сценариев локальных бифуркаций. В работе показано как эти бифуркационные формулы приводят к новым формулам для вычисления ляпуновских величин в задачах о бифуркациях положений равновесия, Андронова-Хопфа, удвоения периода, вынужденных колебаний и др. Основное внимание в статье уделено получению первой и второй ляпуновских величин. Предлагаемый подход позволяет получить ляпуновские величины и более высокого порядка. В качестве приложения полученных формул в статье проведен анализ основных сценариев локальных бифуркаций. Рассмотрены задачи о направленности бифуркаций, задачи об устойчивости возникающих решений, задачи о главных асимптотиках решений и др. В качестве иллюстрации приведено вычисление ляпуновских величин в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа в системе Лэнгфорда и в задаче о бифуркации удвоения периода в модели Хенона.

Ключевые слова: динамические системы, бифуркации, ляпуновские величины, точка равновесия, устойчивость

Mathematics Subject Classification: 37G10, 37G15

1. Введение

Ключевую роль в теории бифуркаций динамических систем играют так называемые ляпуновские величины, позволяющие определить такие важнейшие свойства бифуркации, как устойчивость возникающих решений, направленность бифуркаций и др. Вычисление ляпуновских величин важно и с точки зрения приложений, например, при изучении вопроса о поведении динамической системы при значениях параметров, близких к границе области устойчивости (опасные и безопасные границы).

Имеется ряд подходов, позволяющих вычислять ляпуновские величины. Здесь следует выделить следующие подходы. Первый подход является классическим, именно он обычно и используется для формального определения ляпуновских величин. Этот подход связан с применением теоремы о центральном многообразии и метода нормальных форм (см. |1| |7|). Указанный подход позволяет для задач об основных сценариях локальных

N.I. Gusarova, S.A. Murtazina, M.F. Fazlytdinov, M.G. Yumagulov, Operator methods for

calculating lyapunov quantities in problems on local bifurcations of dynamical systems.

© Гусарова Н.И., Муртазина С.А., Фазлытдинов М.Ф., Юмагулов М.Г. 2018.

Поступила 6 марта 2017 г.

бифуркаций преобразовать исходные уравнения к весьма простому (каноническому) виду, коэффициенты нелинейности которого и определяют ляпуновекие величины. Получаемые при этом формулы оказываются чрезвычайно эффективными для анализа бифуркации, что продемонстировано в ряде работ; здесь особо следует выделить работы [1], [2] и [7], в которых проведено детальное исследование основных сценариев бифуркаций в зависимости от значений ляпуновеких величин. Следует, однако, отметить, что использование этих формул для исследования конкретных уравнений, как правило, требует предварительного преобразования исходных уравнений, что далеко не всегда является тривиальной задачей.

Другой подход направлен на вычисление ляпуновеких величин в терминах исходных уравнений. Он часто используется в приложениях. Получению формул и алгоритмов для расчета ляпуновеких величин посвящены работы многих авторов (см., например, [1], [2] и имеющуюся библиографию). Хотя получаемые при этом формулы, как правило, достаточно сложны, но основным их преимуществом является именно тот факт, что они позволяют проводить анализ бифуркаций непосредственно в терминах исходных уравнений.

Следует также отметить подходы, основанные на применении современной компьютерной техники и пакетов символьных вычислений. Эти подходы позволили существенно продвинуться в изучении ляпуновеких величин, в частности, в задаче вычисления величин третьего и более высоких порядков, В то время как явные выражения для первой и второй ляпуновеких величин для многих сценариев бифуркаций были получены еще в 1940-1950-е гг., выражения для следующих ляпуновеких величин в виде символьных выражений были получены относительно недавно (см., например, [8], [9] и имеющуюся библиографию),

Вопрос о том, какой из подходов лучше, не имеет однозначного ответа, так как разные классы задач обладают различными свойствами и, следовательно, в одних ситуациях какие-либо методы предпочтительнее других, а в других - наоборот. Следует также помнить, что применяемые различные подходы с необходимостью дают одни и те же окончательные формулы (если, конечно, их правильно сравнивать).

Результаты настоящей работы относятся ко второму подходу, В ней предлагается общая схема, позволяющая получить новые формулы для ляпуновеких величин в задачах об основных сценариях локальных бифуркаций динамических систем в терминах исходных уравнений. Предлагаемые формулы позволяют не только эффективно вычислить ляпуновекие величины, но и провести в новых условиях исследование свойств бифуркации.

Предложенные в настоящей статье формулы для вычисления ляпуновеких величин получены на основе общего операторного метода исследования локальных бифуркаций динамических систем, основные аспекты которого изложены в [10] [14]. Указанный метод позволил, в частности, получить новые бифуркационные формулы для основных сценариев бифуркаций; эти формулы, в свою очередь, позволяют провести эффективное исследование бифуркаций и получить ответы на важнейшие вопросы о свойствах бифуркации: условия трансверсальности, направленность бифуркации, устойчивость возникающих решений, главные асимптотики решений и т.п. Оказалось, что эти бифуркационные формулы тесно связаны и с формулами для ляпуновеких величин, что и показано в настоящей работе.

Схема работы следующая, В § 2-4 рассматриваются динамические системы, описываемые автономными дифференциальными уравнениями (§2), дискретными уравнениями (§3) и неавтономными периодическими уравнениями (§4), В них приводятся новые формулы для ляпуновеких величин, обсуждаются некоторые свойства бифуркаций; полученные результаты иллюстрируются примерами, В §5 приводятся доказательства основных утверждений работы.

2. Автономные дифференциальные уравнения

В этом параграфе задача о построении ляпуновеких величин будет изучаться применительно к динамическим системам, описываемым автономным дифференциальным уравнением

х' = ^

в котором ^ - скалярный параметр, Р(х,^) - непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных функция,

2.1. Бифуркации и центральное многообразие. Пусть при некотором ^ = уравнение (1) имеет точку равновесия х = 0, т.е, Р(0, ^0) = 0, Тогда уравнение (1) предетавимо в виде

х' = А

где А(^) = Р'х(0, - матрица Якоби, и(^) = Р(0,^), функция Ь(х,^) удовлетворяет соотношению: ||6(ж,^)|| = о(||ж||) при х ^ 0 равномерно по а функция и(^) - условию и(^о) = 0.

Ниже будем предполагать, что функция Ь(х,^) имеет вид:

Ь

где Ь2(х, содержит квадратичные по х слагаемые, Ъ3(х,^) - слагаемые третьей степени, а Ь4(х, у) является гладкой и удовлетворяет соотношению: ||64(ж,^)|| = 0(||ж||4) при х ^ 0 равномерно по

Если матрица Якоби А0 = А(^0) имеет одно или несколько собственных значений с нулевыми вещественными частями, то является точкой бифуркации системы (1), В этом случае при переходе параметра ^ через фазовый портрет системы (1) в окрестности точки ж = 0, как правило, качественно перестраивается. Исследованию различных сценариев бифуркаций посвящено огромное число работ (см., например, [1], [2], [7]-[10]), в которых предложен ряд эффективных методов таких, как метод нормальных форм, методы, основанные на теории центральных многообразий, метод функционализации параметра и др.

Согласно теореме о центральном многообразии (см., например, [1], [2]) задача о локальных бифуркациях для М-мерной системы (1) может быть сведена к исследованию равносильной (в естественной постановке) задаче для системы меньшей размерности. Приведем в этой связи некоторые используемые ниже понятия и факты.

Пусть спектр а матрицы А0 состоит го двух непустых частей: ст = ст0 и ст0, где ст0 содержит собственные значения, вещественные части которых равны нулю, а ст0 - остальные собственные значения. Обозначим через Е0 и Е0 - корневые подпространства матрицы А0, отвечающие, соответственно, частям ст0 и ст0 ее спектра, Пуеть к0 и к0 - это размерности подпространств Е0 и Е0; тогда к0 + к0 = N и 1 ^ к0,к° ^ N — 1. Пространство Ям представляется в виде прямой суммы Ям = Е0 ф Е0 инвариантных для оператора А0 : Нм ^ Нм подпроетранетв Е0 и Е0, Обозначим, наконец, через Р0 : Нм ^ Е0 и Р0 : Ям ^ Е0 соответствующие операторы проектирования.

Согласно теореме о центральном многообразии, существуют ^-окреетпоеть Т(0, $1) точки ж = 0 и $2-окреетноеть числа такие, что система (1) при — ^0| < 62 имеет в шаре Т(0, гладкое инвариантное &0-мерпое многообразие Ш(у), содержащее точку х = 0, касающееся (при ^ = в точке х = 0 подпроетранетва Е0. Инвариантность многообразия Ш (у) для системы (1) означает, что если некоторое ее движение в некоторый момент времени находится на многообразии Ш(у,), то оно будет находитьея на Ш(у) и во все последующие моменты времени до тех пор, пока это движение остается в шаре Т(0,^1), Многообразие Ш(у) называют центральным; оно может быть задано уравнением вида

{

{

V = ф(и, где и € Е0, V € Е°, а функция ф(и,^) является гладкой и удовлетворяет равенствам: ф(0,^0) = 0, ф'и(0,ц0) = 0,

Уравнение (1) в окрестности точки х = 0 (путем проектирования на подпространства Е0 ъ Е0 соответственно) может быть представлено в виде равносильной системы

и' = /, ^

V' = д(и, ,

где и = Р0х., V = Р0ж, а / и д - гладкие функции, принимающие значения в Е0 и Е° соответственно и предетавимые в виде

/

в которых функции £(и,у, у) и удовлетворяют соотношениям:

£(0, 0,»о) = 0 , ^(0,0,/ю) = 0 , &(0, 0,»о) = 0 , &(0, 0,»о) = 0 , ^(0, 0,»о) = 0 , г&(0, 0,»о) = 0 .

Таким образом, задача о локальных бифуркациях в Ж-мерном уравнении (1) может быть сведена к исследованию &0-мерного уравнения:

и' = С

где С(и, у) = f (и, ф(и, Оно содержит все основные особенности, присущие тому или

иному сценарию бифуркации в исходном уравнении (1), В частности, анализ уравнения (6) (обычно с использованием метода нормальных форм) и приводит к понятию ляпунов-скнх величин. Более детально этот вопрос обсуждается ниже при рассмотрении основных сценариев бифуркаций,

В настоящей статье задача о ляпуновеких величинах будет изучаться в следующих основных случаях:

81, матрица А0 имеет простое собственное значение 0;

Б2, матрица А0 имеет пару простых собственных значений вида ±ш0ц где > 0,

При этом предполагается, что остальные собственные значения матрицы А0 имеют ненулевые вещественные части.

Отметим, что при изучении локальных бифуркаций в случае Я2. а также в некоторых поделучаях случая обычно предполагают, что в уравнении (2) функция и(^) является нулевой, т.е. это уравнение имеет вид:

х' = А

в котором Ь(х,^) определяется равенством (3),

2.2. Случай 81: бифуркация положений равновесия. Рассмотрим сначала случай 81, В этом случае качественная перестройка поведения системы (1) в окрестности точки х = 0 при переходе пара метра ^ через как правило, состоит в возникновении у нее ненулевых точек равновесия. Такую перестройку поведения системы будем называть бифуркацией положений равновесия системы (1),

Уравнение (6) в случае Б1 является одномерным, при этом в силу предположения (3) функция С(и, у) при ^ = ^0 предетавима в виде (см., например, [1]):

С

Другими словами, уравнение (6) при ^ = ^0 здесь имеет вид:

и' = 11и2 + 12и3 + о(и3).

Числа ¿1 и 12 называют соответственно первой и второй ляпуновекой величиной в задаче о бифуркации положений равновесия системы (1),

Замечание 1. Вообще говоря, первая и вторая, ляпуновские величины 11 и 12 определяются не единственным способом,. Это связано с тем,, что базис в подпространствах Е0 и Е0 (см,, предыдущий пункт) может выбираться, разными способами и, соответственно, функция С (и, у0) может быть различной (но в любом, случае вида (8)). Можно, однако, показать, что, во-первых, если, в каком-то из вариантов выбора, базиса, число 11 (или 12) является, ненулевым, то оно остается, ненулевым и в любом, другом, варианте. При этом, знак числа 11 может измениться, а знак числа 12 не изменяется.

Приведем утверждение, позволяющее вычислить ляпуновские величины ^ и 12 непосредственно в терминах исходного уравнения (1), Обозначим через е и д собственные векторы матрицы А0 и транспонированной матрицы А0 соответственно, отвечающие собственному значению 0, Эти векторы можно выбрать в соответствии с равенствами

N = 1,

Теорема 1. Пусть матрица А0 имеет простое собственное значение 0, а остальные ее собственные значения не лежат на, м,ним,ой оси. Тогда, первая ляпуновская величина, системы (1) в задаче о бифуркации, положений равновесия, равна 11 = (Ъ2(е,^0),д). Если Ь2(х,у) = 0, то 11 = 0 и 12 = (Ъ3(е,^0),д).

Доказательство этого и других основных утверждений приводятся ниже в п, 5,

Замечание 2. В теореме 1 говорится, о вычислении только первой и второй ляпу-новских величин 11 и 12. Это связано с предположением, (3), согласно которому у нелинейности Ъ(х, у) задаются только слагаемы е второй Ъ2(х, у) и треть ей Ъ3(х,у) степеней. Если предполагать известными слагаемые более высоких степеней, то аналогичные утверждения можно получить и для, последующих ляпуновских величин и, в частности, рассматривать ситуации, когда, несколько первых ляпуновских величин одновременно обращаются, в нуль.

Замечание 3. Очевидно, имеется лишь два варианта, выбора, нормировки векторов е и д в соответствии с равенствами (9): эти варианты отличаются лишь знаками. Поэтому в теореме 1 по сути предлагаются два варианта, формул для ляпуновских величин 11 и 12. Это, наряду с приведенным в теореме вариантом, следующие формулы: 11 = (Ь2(—е,^), —д) = —(Ь2(е,№),д) и 12 = (Ь3(—е,^0), —д) = (Ь3(е, ^0), д)- Другими словами, в указанных двух вариантах числа 11 отличаются лишь знаками, а, числа 12 совпадают.

Бифуркация положений равновесия системы (1) может реализовыватьея по различным сценариям, основными из которых являются седло-узловая бифуркация, транскритическая бифуркация и бифуркация типа вилки. Приведем некоторые свойства указанных сценариев бифуркаций, доказательство которых использует теорему 1,

2.2.1. Седло-узловая, бифуркация. Модельный пример седло-узловой бифуркации дает скалярное уравнение х' = ^ — х2 , При ^ < 0 состояний равновесия это уравнение не имеет, при ^ = 0 имеет только нулевое состояние равновесия х = 0 а пр и ^ > 0 имеет два ненулевых состояния равновесия х = Таким образом, при переходе ^ через значе-

ние ^ = 0 у рассматриваемого уравнения в окрестности точки х = 0 возникает сначала (при ^ = 0) одна нулевая точка равновесия х = 0, которая затем (при ^ > 0) «расщепляется» па две ненулевые точки равновесия х\)2 = первая из которых устойчива, а вторая неустойчива. Первую ляпуновекую величину здесь можно считать равной 11 = —1.

Аналогичным является сценарий седло-узловой бифуркации в уравнении (1) при произвольном N ^ 1 в случае, когда первая ляпуновская величина 11 является ненулевой.

Он связан со слиянием (а затем и исчезновением) двух точек равновесия, одна из которых имеет тип «узел», а другая - тип «седло». Приведем соответствующее утверждение, вытекающее из результатов работы [10].

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы, 1 выполнены соотношения:

11 = (Ь2(е,^о),д) = 0 , и1 = (и1 (¡ло),д) = 0 .

Пусть ^1 = -11/и1 > 0. Тогда существует 5 > 0 такое, что:

1, Уравнение (1) при ^ € (^0 — 8, ^0) не имеет состояний равновесия в 5-окрестности точки х = 0, а при каждом, ^ € + имеет два ненулевых состояния равновесия, X = х1 (у) и X = х2(у).

2, Определенные при ^ € + 8) функции х = х1(^) и х = х2(х1(^0) = х2(^0) = 0) являются, непрерывно дифференцируемыми, при этом, их графики, при ^ = касаются собственного вектора е матрицы А0, отвечающего собственному значению 0.

3, Пусть ненулевые собственные значения матрицы А0 имеют отрицательные вещественные части, тогда, один из графиков функций х = х1(^) и х = х2(у) содержит асимптотически устойчивые состояния равновесия, а другой - неустойчивые.

Аналогичное утверждение можно привести и для случая ^1 < 0, В этом случае изменится только направленность бифуркации, т.е. ненулевые состояния равновесия х = х1(^) их = х2 будут возникать при ^ € (^0 — 8,^0).

Таким образом, если первая ляпуновская величина 11 является ненулевой, то в системе (1), как правило, реализуется обычный сценарий седло-узловой бифуркации, при котором вблизи точки х = 0 не существует положений равновесия системы (1) при ^ < (или при ^ > и существует два положения равновесия для каждого ^ > (или при ^ <

Отметим, что если 11 = 0 и 12 = 0, то в системе (1), как правило, реализуется сценарий седло-узловой бифуркации, при котором вблизи точки х = 0 существует одно ненулевое положение равновесия системы (1) как при каждом ^ < так и при каж дом ^ >

2.2.2. Тра,некритическая, бифуркация и бифуркация типа, вилки. Оставаясь в рамках случая Б1, будем считать, что в уравнении (2) имеем и(^) = 0. Другими словами, будем рассматривать уравнение (7). Это уравнение при всех ^ имеет точку равновесия х = 0. Тогда основными сценариями бифуркации системы (7) в окрестности точки х = 0 являются транскритическая бифуркация и бифуркация типа вилки.

Модельный пример транскритической бифуркации дает скалярное уравнение х' = ^х — х2 . Оно при веех ^ имеет точку равновесия х = 0, При переходе ^ через значение ^ = 0 у рассматриваемого уравнения в окрестноети точки х = 0 возникает ненулевая точка равновесия х = которая устойчива при ^ > 0 и неустойчива при ^ < 0. Первая ляпуновская величина здесь равна 11 = — 1.

Модельный пример бифуркации типа вилки дает скалярное уравнение х' = ^х — х3. Оно также при всех ^ имеет точку равновесия х = 0. Пр и ^ < 0 других точек равновесия система не имеет, а при переходе ^ через значение ^ = 0 у рассматриваемого уравнения в окрестности точки х = 0 возникают две ненулевые точки равновесия х = ±у/Ц, являющиеся устойчивыми. Здесь ляпуновекие величины равны: 11 = 0 и 12 = —1.

Аналогичными являются сценарии транскритической бифуркации и бифуркации типа вилки и в уравнении (1) при произвольном N ^ 1. При этом если 11 = 0, то имеет место транскритическая бифуркация, если же 11 = 0 и 12 = 0 - то бифуркация типа вилки.

Приведем некоторые свойства транскритической бифуркации, вытекающие из результатов работы [10].

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 1 вы/полнены, соотношения:

11 =

Тогда существует 5 > 0 такое, что:

1, Уравнение (7) в 8-окрестности, точки х = 0 при каждом ^ € (^0 + и ^ € (^0 — 8,^0) имеет в точности одну ненулевую точку равновесия, х = х(^).

2, Определенная при ^ € (^0 — 8,^0 + 8) функция х = х(^) (х(^0) = 0) является, непрерывно дифференцируемой, при этом, она, при ^ = касается, собственного вектора е матрицы А0, отвечающего собственному значению 0.

3, Пусть < 0 (у1 > 0) и пусть ненулевые собственные значен ия матрицы А0 имеют отрицательные вещественные части; тогда, функция х = х(^) при ^ > содержит неустойчивые (асимптотически устойчивые) состояния, равновесия, а, при ^ < - асимптотически устойчивые (неустойчивые).

Из этой теоремы, в частности, следует, что качественные свойства транскритической бифуркации не зависят от знака первой ляпуновекой величины 11 (что естественно с учетом замечаний 1 и 3),

Приведем некоторые свойства бифуркации типа вилки, вытекающие из результатов работы [10],

Теорема 4. Пусть в условиях теорем,ы, 1 выполнены соотношения:

11 = (Ь2(е,^о),д) = 0 , 12 = (Ь3(е,^о),д) = 0 , = (А(^о)е,д) = 0 . Пусть ^2 = —12/^1 > 0. Тогда существует 8 > 0 такое, что:

1, Уравнение (!) в 8-окрестности, точки х = 0 при каждом ^ € (^0 + имеет в точности две ненулевые точки равновесия, х = х1(^), х = х2(у), а при каждом ^ € (^0 — 8,^0) это уравнение не имеет ненулевых точек равновесия.

2, Определенные при ^ € + 8) функции х = х1(^) и х = х2(у) (х1(^0) = х2(^0) = 0) являются, непрерывно дифференцируемыми, при этом, они, при ^ = касаются, собственного вектора е матрицы А0, отвечающего собственному значению 0.

3, Пусть 12 < 0 (12 > 0) и пусть ненулевые собственные значен ия матрицы А0 имеют отрицательные вещественные части; тогда, при каждом ^ € + точки, равновесия, х = х1(^) и х = х2(у) уравнения (!) асимптотически устойчивы (неустойчивы).

Аналогичное утверждение можно привести и для случая ^2 < 0, В этом случае изменится только направленность бифуркации, но не свойства устойчивости, т.е. ненулевые состояния равновесия х = х1 (Ц) и х = х2 (Ц) будут возникать при ^ € (^0 — 8,^0), при этом если 12 < 0 (12 > 0), то эти решения будут асимптотически устойчивы (неустойчивы),

2.3. Случай Б2: бифуркация Андронова-Хопфа. Продолжим рассмотрение уравнения (7), Пусть теперь имеет место случай Б2, т.е. матрица А0 имеет пару простых чисто мнимых собственных значений ±ш0г (ш0 > 0) и не имеет других собственных значений на мнимой оси, В этом случае основным сценарием бифуркации является бифуркация Андронова-Хопфа, означающая возникновение у уравнения (7) при переходе параметра ^ через в окрестности точки х = 0 нестационарных периодических решений х(Ь,^) малой амплитуды. Бифуркация Андронова-Хопфа возможна лишь при N ^ 2,

Бифуркационные решения х(Ь, Ц) уравнения (7) при малых |^ — ^01 возникают, как правило, в одном из трех случаев: (51) ^ > ; (52) ^ < (Б3) ^ = . Последний случай называют вырожденным; он типичен для линейных и консервативных систем. Первые два случая имеют место при выполнении некоторого условия невырожденности относительно нелинейного слагаемого (3) в правой части уравнения (7) (один из вариантов такого условия будет указан ниже). При выполнении этого условия в случаях (Б 1) и (Б2) каждому

^ отвечает в точности один ненулевой цикл х(Ь,^) малой амплитуды, при этом функция х(Ь, гладко зависит от ^ и имеет место соотношение: тах ||ж(£,^,)|| ^ 0 при ^ ^ Наконец, период Трешений х(Ь, также гладко зависит от ^ и имеет место соотношение: Т(у) ^ Т0 при ^ ^ здееь Т0 = 2ж/ш0.

В задаче о бифуркации Андронова-Хопфа уравнение (6) является двумерным. Это уравнение при ^ = может быть представлено в виде:

{

и\ = —Ш0Щ + /1(щ,и2) , иГ2 = Ш0Щ + ¡2(Щ ,42) ,

где функции ¡1 ъ ¡2 обращаются в нуль в точке и = 0 вместе со своими первыми производными, при этом для этих функций верны аналогичные (3) представления,

В соответствии с теорией нормальных форм (см., например, [1], [2], [6]) существует полиномиальная замена переменных (близкая к тождественной в окрестности точки и = 0), которая преобразует систему (11) к виду:

х! = —Ш0Х2 + (Ь1Х1 — 0.1Х2)(Х22 + х2) + о(г3), , ,

х'2 = ш0х1 + (П1ж1 + Ь1х2)(х2 + х"2,) + о(г3), ^ '

{

где г = \]х\ + х2  Число Ь1 называют первой ляпуновской величиной системы (7) в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа, Ниже для простоты оба числа Ь1 и ^ будем называть ляпуновскими величинами системы (7),

В ряде работ (см., например, [1], [2], [15], [16]) предложены различные подходы и алгоритмы, позволяющие вычислить ляпуновские величины Ь1 и ^ непосредственно в терминах исходного уравнения. Приведем новую схему, позволяющую вычислить ляпуновские величины Ь1 и П1 в терминах исходного уравнения (7),

2.3.1. Вспомогательные построения. Так как матрица А0 = А(^0) имеет пару простых собственных значений ±гш0, то найдутся ненулевые векторы е,д,е*,д* € Ям такие, что выполняются равенства:

А0

здесь А"* - транспонированная матрица, Векторы е, д, е* ,д* можно нормировать в соответствии с равенствами:

Ниже будем считать, что векторы е,д,е*,д* выбраны в соответствии с равенствами (14), Положим

е

г

М1) = ЬзШ,»0) + Р2

0

где

Ш = Т0Ь'2Х

здесь Ь'2х(х, у) - матрица Якоби вектор-функции Ь2(х,у). Наконец, определим вектор:

1

рз = [ е

Ниже понадобится также следующее вспомогательное утверждение. Пусть y(t) - непрерывная периодическая (периода 1) Ж-мерная вектор-функция, Через ус и ys обозначим отвечающие cos 2nt и sin 2nt коэффициенты Фурье этой функции. Определим вектор

i

u = J e

о

Лемма 1. Имеют место равенства

Доказательство этой леммы проводится простым подсчетом с использованием равенств (13).

2.3.2. Ляпуновские величины для, двумерных систем. Приведем сначала схему получения ляпуновеких величин L1 и Q для случая, когда уравнение (7) является двумерным, т.е. для уравнения

х' = А

Теорема 5. Ляпуновские величины L1 и Q двумерной системы (21) определяются, равенствами:

Li =

При этом, числа (22) не зависят от выбора, векторов е,д,е*,д* в соответствии с равенствами, (Ц).

Из леммы 1 и равенства (18) получим

Следствие 1. Для, вычисления чисел, (22) можно воспользоваться равенствами (20), в которых следует положить и = р3 и y(t) = f3(t), где f3(t) - функция (16).

2.3.3. Ляпуновские величины для, случая N ^ 3. Вернемся к системе (7), Пусть N ^ 3. Пусть Е0 - это собственное подпространство оператора А0.; отвечающее простым собственным значениям ±гш0, Пространство Е0 является двумерным; в качестве его базиса могут использоваться векторы е и д. Пространство RN может быть представлено в виде RN = Е0 ф Е0, где Е0 - дополнительное ннварнантное для А0 подпространство размерности N — 2.

Равенство RN = Е0 ф Е0 определяет операторы проектирования Р0 : RN ^ Е0 и Р° : Rn ^ Е0 так, что Р° = I — Р0, а оператор Р0 может быть представлен в виде

P0X =

последнее следует из того, что по предположению векторы е,д,е*,д* выбраны в соответствии с равенствами (14), Положим В0 = еТ°А°. Несложно устанавливается, что оператор I — В0 + Р0 : Rn ^ Rn обратим. Определим далее вектор и матрицу:

i i

Р2 = J e(i-t)ToAob2(e(t),p0) dt , B2

00

e

где е({) - функция (15), а Е2({) - матрица (17). Отметим, что по построению верно включение р2 € Е0, Наконец, положим

<р = В2

Теорема 6. Ляпуновские величины Ь\ и ^ системы (7) определяются равенствами:

и =

При этом, числа (26) не зависят от выбора, векторов е,д,е*,д* в соответствии с равенствами, (Ц).

Имеет меето аналог следствия 1,

Следствие 2. Для, вычисления чисел, (26) можно воспользоваться равенствами (20), в которых следует положить и = р + р3 и у(Ь) = д(Ь) + ¡з(Ь), где ¡3(Ь) - функция (16),

9$) = Р2(1)(1 - Во + Ра)-1Р2 .

В важном частном случае, когда в нелинейности (3) отсутствует квадратичное слагаемое, т.е. Ь2(х,ц) = 0, формулы (26) существенно упрощаются:

Ь1 =

где Ь0 = е( — 0 0Ь3(е(Ь), ц0) сИ , При этом для вычисления чисел (28) можно восполь-о

зоватьея равенствами (20), в которых следует положить и = Ь0 и у(Ь) = Ь3(е({),ц0).

2.3-4- Некоторые свойства бифуркации Андронова-Хопфа. Положим

71 =

здесь А = А(ц0). Можно показать, что числа (29) не зависят от выбора векторов е, д, е*, д* в соответствии с равенствами (14), Пусть гу1 = 0, Положим

2 Т

ц2 =--.

1

Из результатов работы [10] следует, что верны следующие утверждения.

Теорема 7. Пусть ц2 > 0 (ц2 < 0). Тогда бифуркационные решения х(Ь,ц) системы (21) возникают при ц > ц0 (ц < ц0).

Теорема 8. Пусть все отличные от ±ш0г собственные значения матрицы А0 имеют отрицательные вещественные части. Тогда, при всех малых |ц — ц0| существующие в условиях теоремы 7 бифуркационные решения х(Ь, ц) системы, (21) асимптотически орбитально устойчивы, если Ь1 < 0; они неустойчивы, если, Ь1 > 0.

2.3.5. Пример: м,одел,ь Лэнгфорда. В качестве иллюстрации рассмотрим модель Лэнг-форда (см., например, [15]):

х1 = (2ц - 1)х1 - х2 + х1х3 , х'2 = х1 + (2ц - 1)х2 + х2х3 , х'з = -цх3 - (х2 + х2 + х3).

Эта система имеет вид (7) при N = 3 и

А(ц) =

2ц - 1 -1 0 1 2ц - 1 0 0 0 - ц

Ь(х,ц) = Ь'(х) =

х1 х

х2 х 22

1 (Ду' (Ду

При ц = ц0 = 1/2 матрица А0 = А(ц0) имеет собственные значения \12 = ±ги^ = -1/2, ц = цо

при этом имеем: = 1 шТ0 = 2п. Вычислим ляпуновские величины Ь1 и ^ этой системы в соответствии с равенствами (26),

2

з

В качестве собственных векторов е, д, е*,д*, удовлетворяющих равенствам (14), выберем векторы

е = е =

1 0 0

9 = 9

0 -1 0

Так как

А'

2 0 0 х3 0 Х1

0 2 0 , &2х(х) = 0 Хз Х2

0 0 -1 -2х1 -2X2 -2хз

то, во-первых, числа (29) здесь равны: 71 = 4 и j2 = 0, во-вторых, имеем:

cos 2nt - sin 2nt 0 cos 2nt

eToAot = sin 2nt cos 2nt 0 , e(t) = sin 2nt

0 0 e-wt 0

b2(e(t)) = Наконец, имеем:

0 0

1

Ь'2х(Ф)) =

0 0

0 0

-1

— 2 cos 2nt — 2 sin 2nt

1 0 0 0 1 0

0 0 (1 - е-ж)-1

cos 2nt sin 2nt 0

где B0 = eT°A° и P - матрица оператора проектирования (23),

Все готово для вычисления функций (16) и (27), В результате получим

~ (1 - е-^) cos 2nt (1 - e-wt) sin 2nt 0

m = -2

g(t) = -2

e жЬ cos2nt -nt sin 2nt 0

e

Следовательно, положив y(t) = f3(t) + g(t) и обозначив через yc ш ys отвечающие cos2nt и sin 2nt коэффициенты Фурье этой функции, получим:

cos 2nt -2 0

y(t) = -2 sin 2nt , Ус = 0 , Vs = -2

0 0 0

Отсюда и из следствия 2 получим (<р + р3, е*) = — 2 и (<р + р3,д*) = 0 . Таким образом, из (26) окончательно получим Р1 = — 2 и П1 = 0,

Отметим, что число (30) здесь равно р2 = 1, Поэтому из теорем 7 и 8 следует, что бифуркационные решения системы (31) возникают при р > 1/2 и они являются асимптотически орбитально устойчивыми,

3. Дискретные динамические системы

В этом параграфе задача о построении ляпуновеких величин будет изучаться применительно к дискретным динамическим системам, описываемых уравнением

xn+i = A(p)xn + a(xn,p) + u(p), xn е R

N

П

0,1, 2,...,

где матрица А(р) и функция а(х, р) непрерывно дифференцируемы по х и р. Предполагается, что функция а(х,р) предетавима в виде:

а

где а2(х,р) и а3(х, р) являются, соответственно, квадратичными и кубическими по х слагаемыми, а а4(х,р) удовлетворяет соотношению: ||а4(ж,^)|| = 0(||ж||4), х ^ 0, равномерно

по р. Функция и(р) также предполагается гладкой, при этом для некоторого значения р = р0 выполнено равенство и(р0) = 0. Система (32) при р = р0 имеет точку равновесия ж = 0.

3.1. Бифуркации и центральное многообразие. Если матрица А0 = А(р0) имеет одно или несколько собственных значений, равных по модулю единице, то р0 является точкой бифуркации системы (32), В этом случае при переходе параметра р через р0 фазовый портрет системы (32) в окрестности точки х = 0, как правило, качественно перестраивается.

Так же, как и в случае непрерывных динамических систем, согласно теореме о центральном многообразии задача о локальных бифуркациях для ^"-мерной системы (32) может быть сведена к исследованию равносильной (в естественной постановке) задаче для системы меньшей размерности. Приведем в этой связи некоторые используемые ниже понятия и факты.

Пусть спектр а матрицы А0 состоит го двух непустых частей: ст = ст0 U а°где ст0 содержит собственные значения, равные по модулю единице, а а° - остальные собственные значения. Обозначим через Е0ъ Е0 - корневые подпространства матрицы А0.; отвечающие, соответственно, частям ст0 и ст0 ее спектра, Пусть к0ъ к0 - это размерности подпространств Е0ъ Е0-, тогда к0+к° = N и 1 ^ к0,к° ^ N —.Пространство RN представляется в виде прямой суммы Rn = Е0 ф Е0 инвариантных для oneратора А0 : RN ^ RN подпространств Е0 и Е0. Обозначим, наконец, через Р0 : RN ^ Е0 и Р0 : RN ^ Е0 соответствующие операторы проектирования.

Согласно теореме о центральном многообразии, существуют ^-окрестность Т(0, точки ж = 0 и ^-окрестность числа р0 такие, что система (32) при — р01 < 62 имеет в шаре Т(0, гладкое инвариантное &0-мерное многообразие W(р), содержащее точку х = 0 и касающееся (при р = р0) в точке х = 0 подпространства Е0. Инвариантность многообразия W(р) для системы (32) означает, что если некоторая ее траектория в некоторый момент времени находится на многообразии W(р), то она будет находиться на W(р) и во все последующие моменты времени до тех пор, пока эта траектория остается в шаре Т (0, ^.Многообразие W (р) называют центральным; оно может быть задано уравнением вида v = ф(и, р), где и Е Е0, v Е Е0, а функция ф(и,р) является гладкой и удовлетворяет равенствам: ф(0,р0) = 0, ф'и(0,р0) = 0,

Уравнение (32) в окрестности точки х = 0 (путем проектирования на подпространства Е0 и Е0 соответственно) может быть представлено в виде системы

ип+1 = f (и п >

Vn+1 = g(Un,Vn ,р),

{

где ип = Р0хп, уп = Р0хп, а / и д - гладкие функции, принимающие значения в Е0 и Е0 соответственно, при этом выполняются те же равенства (5), что и для непрерывных динамических систем.

Таким образом, задача о локальных бифуркациях в Ж-мерном уравнении (32) может быть сведена к исследованию ^0-мерного уравнения:

ип+1 = С

где С(и,р) = f(и,ф(и,р),р). Оно содержит все основные особенности, присущие тому или иному сценарию бифуркации в исходном уравнении (32), В частности, анализ уравнения (35) (обычно с использованием метода нормальных форм) и приводит к понятию ляпуновских величин.

Здесь будут рассматриваться следующие основные случаи: Р1, матрица А0 имеет простое собственное значение 1; Р2. матрица А0 имеет простое собственное значение -1;

РЗ, матрица А0 имеет пару простых собственных значений вида е±г2жво^ где 90 - иррационально или 90 = р/д, где р/д - рациональная несократимая дробь, причем д ^ 5.

Во всех этих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы А0 имеют модуль, не равный единице.

Отметим, что случай, когда матрица А0 имеет пару простых чисто мнимых собственных значений вида е±г2жв, где 9 = р/д - несократимая дробь и 1 ^ д ^ 4, обычно называют сильным резонансом, (см., например, [1]); этот случай в данной статье не рассматривается. Отметим также, что случай РЗ, когда 90 = р/дш д ^ 5, называют слабым, резонансом.

Отметим, наконец, что при изучении локальных бифуркаций в случаях Р2 и РЗ, а также в некоторых поделучаях случая Р1 обычно предполагают, что в уравнении (32) функция и(р) является пулевой, т.е. это уравнение имеет вид:

хп+1 = А

3.2. Случай Р1: бифуркация положений равновесия. Рассмотрим сначала случай Р1, В этом случае (как и в аналогичном случае для автономного уравнения (1)) качественная перестройка поведения системы (32) в окрестности точки х = 0 при переходе параметра р через р0 состоит в возникновении у нее ненулевых точек равновесия. Такую перестройку поведения системы также (как и для уравнения (1)) будем называть бифуркацией положений равновесия системы (32),

Уравнение (35) в случае Р1 является одномерным, при этом в силу предположения (33) функция С(и, р) при р = р0 предетавима в виде:

С(и, р0) = и + 11 и2 + 12и3 + о(и3).

Другими словами, уравнение (35) при р = р0 здесь имеет вид

и,п+1 = и,п + 11и2п + 12и3п + о(и3п).

Числа ^ и 12 называют соответственно первой и второй ляпуновской величиной в задаче о бифуркации положений равновесия системы (32), Отметим, что замечание 1 здесь также имеет место (естественно с соответствующей модификацией).

Бифуркация положений равновесия для дискретной системы (32) аналогична бифуркации положений равновесия для непрерывной системы (2), Это связано с тем, что указанные бифуркации связаны с возникновением в окрестности точки х = 0 ненулевых точек равновесия, а задача о таких точках приводит по сути к одинаковым уравнениям:

А(р)х + Ь(х,р) + и(р) = 0 (для системы (2)),

х = А(р)х + а(х,р) + и(р) (для системы (32)).

Поэтому все факты и утверждения из п, 2,2 остаются верными и для дискретной системы (32) (при соответствующей их модификации).

Ограничимся для иллюстрации приведением аналога теоремы 1, Другими словами, приведем утверждение, позволяющее вычислить ляпуновекие величины ^ и 12 дискретной системы (32) для указанных сценариев бифуркаций непосредственно в терминах исходного уравнения (32),

Обозначим через е и д собственные векторы матрицы А0 и транспонированной матрицы А0 соответственно, отвечающие простому собственному значению 1, Эти векторы можно выбрать в соответствии с равенствами (9),

Теорема 9. Пусть матрица А0 имеет простое собственное значение 1, а остальные ее собственные значения имеют модуль, не равный единице. Тогда, первая ляпуновская величина, дискретной системы, (32) в задаче о бифуркации положений равновесия, равна Ь = (а2(е,р0),д). Если а2(х,р) = 0, то 11 = 0 и 12 = (аз(е,р0),д).

Отметим, что здееь также справедливы замечания 2 и 3 (с соответствующей модификацией) ,

Как и в случае непрерывной системы (2), бифуркация положений равновесия системы (32) может, как правило, реализовыватьея либо как седло-узловая бифуркация, либо как транскритическая бифуркация или бифуркация типа вилки. Отметим также, что два последних сценария бифуркаций требуют, чтобы в уравнении (32) функция и(ц) была нулевой, т.е. чтобы это уравнение имело вид (36), Отметим, наконец, что теоремы 2-4 (при соответствующей их модификации) остаются справедливыми и для дискретной системы (32).

В завершение этого пункта приведем для иллюстрации модельные примеры указанных сценариев бифуркаций.

Модельный пример седло-узловой бифуркации дает скалярное уравнение %п+1 = + М — хп  При ц < 0 состояний равновесия это уравнение не имеет, при ц = 0 имеет только пулевое состояние равновесия х = 0 а ПРи № > 0 имеет два ненулевых состояния равновесия х = Таким образом, при переходе ц через значение ц = 0 у рассматриваемого уравнения в окрестности точки х = 0 возникает сначала (при ц = 0) одна пулевая точка равновесия х = 0, которая затем (при ц > 0) "расщепляется" па две ненулевые точки равновесия х1>2 = первая из которых устойчива, а вторая неустойчива, Здесь первая ляпуновекая величина равна ^ = —1,

Модельный пример транскритической бифуркации дает скалярное уравнение хп+1 = Мхп — . Оно при всех ц имеет точку равновесия х = 0, При переходе ц через значение ц = 1 у рассматриваемого уравнения в окрестности точки х = 0 возникает ненулевая точка равновесия х = ц — 1, которая устойчива при ц > 1 и неустойчива при ц < 1, Здесь также ^ = —1,

Модельный пример бифуркации типа вилки дает скалярное уравнение хп+1 = цхп — х3п . Оно также при всех ц имеет точку равновесия х = 0. При ц < 1 других точек равновесия уравнение не имеет, а при переходе ц через значение ц = 1 в окрестности точки х = 0 возникают две ненулевые точки равновесия х = — 1, являющиеся устойчивыми. Здесь 1 = 0 2 = 1

3.3. Бифуркация удвоения периода. Рассмотрим уравнение (36), в котором а(х,ц) определяется равенством (33), Пусть имеет место случай Р2, Тогда основным сценарием бифуркации в окрестности точки х = 0 является бифуркация удвоения периода.

Модельный пример бифуркации удвоения периода дает скалярное уравнение хп+1 = Мхп + хп- Оно при всех ц имеет точку равновесия х = 0, При < 1 эта точка устойчива, а при ц < —1ъц> 1 она неустойчива. При переходе ц через значение ц = — 1 в окрестности точки х = 0 возникает устойчивый цикл периода 2: х1 = V — 1 — ц, х2 = — у/— 1 — ц, Сценарий такого типа и называют бифуркацией удвоения периода. Отметим также, что в этом примере значение ц =1 является точкой бифуркации типа вилки. При N ^ 2 бифуркация удвоения периода развивается по аналогичному сценарию. Так как матрица А0 имеет простое собственное значение —1 и не имеет других собственных значений по модулю равных одному, то уравнение (35) является одномерным, причем в силу предположения (33) функция С(и,ц) при ц = ц0 предетавима в виде (см., например, [1]):

С(и, ц0) = —и — Ьи3 + о(и3).

1

ода системы (36),

Приведем утверждение, позволяющее вычислить ляпуновекую величину 1\ непосредственно в терминах исходного уравнения (36), С этой целью обозначим через е и д собственные векторы матрицы А0 и транспонированной матрицы А0 соответственно, отве-

—1

венетвами (9), Подпространство Е0 здесь является одномерным; оно содержит вектор е. Наконец, операторы проектирования Р0 : RN ^ Е0 и Р° : RN ^ Е° могут быть определены равенствами: Р0х = (х, д)е и Р0 = I — Р0. Несложно устанавливается, что оператор I — А2 + Р0 : RN ^ RN обратим.

Для простоты обозначений положим а2 = а2(е,р0), а3 = а3(е,р0) и а!2 = а'2х(е,р0).

Теорема 10. Пусть матрица А0 = А(р0) имеет простое собственное значение -1, а остальные ее собственные значения имеют модуль, не равный единице. Тогда первая ляпуновская величина, 1\ системы (36) для, бифуркации, удвоения, периода равна

j _

<1 =--2-, '''

где ei = (I — ^0 + Р0)-1(1 + Л)К

Замечание 4. Число (37) не зависит от варианта выбора, нормировки векторов е и g в соответствии с равенствами, (9). Действительно, как отм,еч,а,л,ось выше (см,, замечание 3), эти варианты отличаются лишь знаками. Несложно видеть, что в формуле (37) оба, варианта приводят к одному и 'тому же числу.

Рассмотрим важный частный случай, когда система (36) является скалярной, а именно, рассмотрим уравнение

Хп+1 = @1

в котором функции ftj (р) являются гладкими, причем = —1. В этом случае формула

(37) упрощается:

h = —

где fo = $2

3.3.1. Свойства, бифуркации удвоения, периода. Приведем некоторые свойства бифуркации удвоения периода уравнения (36), вытекающие из результатов работы [10].

Теорема 11. Пусть в условиях теоремы 10 выполнены соотношения:

h = 0 , 11 =

Пусть р2 = l1/j1 > 0. Тогда существует 8 > 0 такое, что:

1. Уравнение (36) при р Е (р0 — 8,р0] в 5-окрестности, точки х = 0 имеет единственную точку равновесия, х = 0 и не имеет циклов, а при каждом р Е (р0, р0 + i) имеет (наряду с точкой равновесия, х = 0) один ненулевой цикл, периода 2: х1 = х1(р), Х2 = Х2(р).

2. Определенные при р Е [р0,р0 + 8) функции х1(р) и х2(р) (х1(р0) = х2(р0) = 0) являются, непрерывно дифференцируемыми, при р = р0 они, касаются, собственного вектора е матрицы А0, отвечающего собственному значению -1.

3. Пусть 11 < 0 (11 > 0) и пусть при этом, не равные -1 собственные значения матрицы А0 = А(р0) имеют модуль, меньше единицы; тогда, цикл, х1 = х1(р), х2 = х2(р) при р Е (р0,р0 + является, асимптотически устойчивым (неустойчивым).

Аналогичное утверждение можно привести и для случая р2 < 0. В этом случае изменится только направленность бифуркации, т.е. бифуркационные решения будут возникать при р Е (р0 — 8, р0),

Отметим также, что для скалярного уравнения (38) определенное вторым из равенств (40) число j1 равно: j1 = @1(р0).

3.3.2. Пример: модель Хенона. В качестве примера рассмотрим модель Хенона (см., например, [1]):

!

ип+1 ,

2

= а — цип — V*

в котором 0 < а < Зи —1 < ц < 1. Ниже значение а будем считать фиксированным, а ц

будет рассматриваться как бифуркационный параметр. Система (41) имеет точку равновесия (и*(ц), ь*(ц)), где

и*

— (1 +ц) + \/(1 + Ц)2 + 4а

Произведя в (41) замену и = х + и*(ц) и V = у + У*(ц), перейдем к системе:

I

т.е. к системе вида (36) при N = 2 и:

хп+1 Уп ,

Уп+1 = — цхп — 2и*(ц) уп — у\

А

01

—ц — 2и*

а

2

здесь т = (х,у). Матрица А(ц) при ц = цо = 2^/ф — 1 имеет собственные значения Л1 = — 1 и \2 = — цо. Поэтому следует ожидать, что при переходе параметра ц через значение ц = цо в окрестности точки равновеспя (и*(ц), У*(ц)) системы (41) возникают циклы периода 2, Изучим этот вопрос.

Найдем собственные векторы е и д матрицы Ао = А(цо) 0 1

—цо —

и транс-

понированной матрицы АО, отвечающие собственному значению —1 и удовлетворяющие

равенствам: ||е|| = 1 и (е,д) = 1, Имеем: е = —=

2

1

1

л/2

цо 1

цо — 1

Вычислим теперь входящие в формулу (37) выражения. Имеем: а3 = 0

1 0 / 0 0

а2 = — 2 2 1 , а2 = 0 —2_

Ро

1

о=

цо — 1

цо 1 —цо —1

о) =

1

(1 — цо)2(1+цо) 1

=

2

— + цо — 1 —цо

цо + цо — 1

¡4

1

цо

1

Подставляя эти выражения в формулу (37), получим ^ = 0--

" " " ЗД — 1)

мой задаче первая ляиуновская величина отрицательна,

00

т.е. в раеематривае-

Далее, так как А'(цо) = З

здесь равно: 71

— 1 1/2 . Тогда = 11/71 = —

1

<0

2

получим, что циклы периода 2 в окрестности точки равновесия (и*(ц), У*(ц)) системы (41) возникают при ц < цо, и они являются асимптотически устойчивыми.

0

А

3.4. Бифуркация Андронова-Хопфа. Продолжим рассмотрение уравнения (36), Пусть теперь имеет место случай РЗ, т.е. пусть матрица А0 имеет пару простых собственных значений вида е±г2жв°, где в0 - иррационально или в0 = p/q, где p/q - рациональная несократимая дробь, причем q ^ 5, Для простоты будем считать, что N = 2, т.е. уравнение (36) является двумерным, А именно, будем считать, что оно имеет вид:

%n+i = A

при этом будем считать, что матрица А(р) имеет вид

" cos 2п

где функции <р(р) и ф(р) являются гладкими и удовлетворяют равенствам: <р(р0) = 0 и ф(ро) = 0 ПРИ этом ip'(р0) = 0 и ф'(р0) = 0,

В рассматриваемом случае основным сценарием локальных бифуркаций в окрестности точки равновесия х = 0 уравнения (42) при переходе параметра р через р0 является возникновение в окрестности точки х = 0 инвариантной кривой 7(р), ограничивающей бассейн притяжения или отталкивания этой точки. Такой сценарий часто (по аналогии с рассмотренным в п, 2,3 непрерывным случаем) называют бифуркацией Андронова-Хопфа (см., например, [1]), Динамика системы (42) на указанной инвариантной кривой может оказаться весьма сложной, содержащей семейство периодических и квазипериодических орбит.

Инвариантная кривая 7(р) уравнения (42) при малых 1р — р01 возникает, как правило, в одном из трех случаев: (S1) р > р0; (S2) р < р0] (S3) р = р0, Последний случай называют вырожденным; он типичен для линейных и консервативных систем. Первые два случая имеют место при выполнении некоторого условия невырожденности относительно нелинейного слагаемого (33) в правой части уравнения (42) (один из вариантов такого условия будет указан ниже). При выполнении этого условия в случаях (S1) и (S2) каждому р отвечает в точности одна инвариантная кривая 7(р), при этом функция 7(р) гладко зависит от р и она стягивается к точке х = 0 при р ^ р0.

В рассматриваемой задаче уравнение (35) является двумерным. Это уравнение (в силу равенства (33)) при р = р0 методами теории нормальных форм (см., например, [1]) может быть представлено в виде:

Xn+i = Xn cos 2пво — yn sin 2пво + (axn — @Уп)(х2 + уП) + °(ГП), Уп+1 = Xn sin 2пво + Уп cos 2пво + (fan + ayn)(x2n + уП) + о(гП) ,

где гп = л/хП+уП Положим

L1 = a cos 2жв0 + ¡3 sin 2жв0 , ^ = ¡3 cos 2жв0 — a sin 2жв0 .

Число L1 называют первой ляпуновекой величиной системы (42) в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа, Ниже для простоты оба числа L1 и ^ будем называть ляпуновекими величинами системы (42),

Приведем новую схему, позволяющую вычислить ляпуновские величины L-^ъ П1 в терминах исходного уравнения (42) в случае, когда нелинейность (33) начинается с кубического слагаемого, т.е. имеет вид:

а

Положим

ХЫ = («з(e(<p),po),h(<p)), ф(^) = (а3(g(<p), po),h(<p)),

!

где

cos ф sin ф

g

sin ф cos ф

h

cos

Теорема 12. Ляпуновские величины L1 и Q системы (36) для задачи, о бифуркации, Андронова-Хопфа равны:

2ж 2ж

Li = У Qi = J .

0 0

4. Неавтономные периодические уравнения

В этом параграфе задача о построении ляпуновеких величин будет изучаться применительно к динамическим системам, описываемым неавтономным дифференциальным уравнением с Т-периодичеекой по t правой частью:

х' = A

в котором матрица A(i, ц) и функции а(х,Ь,ц) и g(t, ц) непрерывны по i и непрерывно дифференцируемы по х и ц. Предполагается, что функция a(x,t, ц) представима в виде

а(х, t, ц) = а2(х, t, ц) + а3(х, t, ц) + а4(х, t, ц),

где а2(х, t, ц) и а3(х, t, ц) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а нелинейность а4(х, t, ц) удовлетворяет соотношению: ||а4(х, ¿,ц)|| = 0(||х||4), х ^ 0, равномерно по t и ц. Функция g(t, ц) для некоторого значения ц = ц0 является нулевой: g(t,ц0) = 0, Система (45) при ц = ц0 имеет точку равновесия х = 0, Т

х = A

при некотором ц = ц0 имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю единице, то ц0 является точкой бифуркации системы (45), В этом случае при переходе параметра ц через ц0 поведение системы (45) в окрестности точки х = 0, как правило, качественно изменяется.

Здесь будут рассматриваться следующие основные случаи:

51, система (46) имеет простой мультипликатор 1;

52, система (46) имеет пару простых мультипликаторов вида е ±г2жв°^ где 90 - иррациональное число или 9 0 рациональное число вида 9 0 = р/q, где p/q - несократимая дробь, причем q ^ 5,

При этом предполагается, что остальные мультипликаторы системы (46) имеют модуль меньше или больше единицы.

Отметим, что система (46) не может иметь простой мультипликатор -1, Как и для дискретной системы (32), случай, когда система (46) имеет пару простых мультипликаторов вида е±г2жв^ где 9 = p/q - нееократимая дробь и 1 ^ q ^ 4, называют сильным резонансом; этот случай в данной статье не рассматривается. Случай S2, когда 90 = p/q и q ^ 5, обычно называют слабым резонансом,

4.1. Переход к дискретному уравнению. Задача о локальных бифуркациях системы (45) в естественном смысле равносильна задаче о локальных бифуркациях дискретной динамической системы

хп+1 = U

где хп G RN, U(*,ц) : RN ^ RN - оператор сдвига, (см., например, [17]) по траекториям системы (45) за время от 0 до Т. Оператор U(*,ц) (называемый также отображением Пуанкаре) представим в виде

U

где V(¡) - матрица монодромии линейной еиетемы (46); функция и(ц) удовлетворяет условию и (¡¡о) = 0 у(х,1) - нелинейный оператор, предетавимый в виде

у(х,1) = и2(х, ¡) + Уз(х,1) + (х, ¡),

где у2(х,!) и у3(х, ¡) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а нелинейность Ъ4(х,1) удовлетворяет соотношению: ||г>4(х, ¡)|| = 0(||х||4), х ^ О, ¡

Отметим, что точки равновесия уравнения (47) определяют начальные значения Т-иериодических решений системы (45), а каждая точка д-цикла уравнения (47) определяет начальные значения дТ-периодичееких решений этой системы.

Явный вид входящих в (48) функций может быть определен, если, например, известна фундаментальная матрица X(£, ¡) решений линейной системы (46), удовлетворяющая начальному условию X(0,1) = I. Тогда V(¡1) = X(Т, ¡) и, например,

v2(x,¡) = V(¡) X-1 (т, ¡)а2(Х(т, ¡)х,т, ¡) ¿т , о

и(ц) = V (¡) X-1( т,1)д( т,1)(1т. о

В частности, если А(£, постоянной по Ь матрицей, т.е. А(Ь, = А0(ц), то

X (1,1) = еТАо^.

Собственные значения матрицы V(¡1) - это мультипликаторы линейной системы (46), Поэтому рассматриваемые здесь случаи Я1 н Я2 для дифференциального уравнения (45) соответствуют случаям Р1 и РЗ для дискретной системы (47), Таким образом, задача о ляпуновеких величинах для дифференциального уравнения (45) может быть сведена к аналогичной задаче для дискретной системы (47), для изучения которой, в свою очередь, можно воспользоваться схемой, изложенной в предыдущем параграфе. При этом ляпу-новекие величины дифференциального уравнения (45) будем определять как ляпуновекие величины дискретной системы (47),

4.2. Основные сценарии бифуркаций. Рассмотрим сначала случай 81, Этот случай

соответствует случаю Р1 для дискретной системы (47), Как было отмечено выше, в этом

¡

¡0 состоит в возникновении у нее в окрестности точки х = 0 ненулевых точек равновесия,

Т

решений системы (45), Поэтому в случае Б1 основным сценарием перестройки поведения системы системы (45) является возникновение в окрестности точки х = 0 ненулевых Т

кацией вынужденных колебаний системы (45), В свою очередь, эта бифуркация может реализовыватьея либо как седло-узловая бифуркация, либо как транскритическая бифуркация или бифуркация типа вилки.

Пусть теперь имеет место случай Б2 и пусть для простоты N = 2, Этот случай соответствует случаю РЗ для дискретной системы (47), Как было отмечено выше, в этом

¡

¡0 состоит в возникновении у нее в окрестности точки х = 0 инвариантной кривой 7(1). Это соответствует тому, что в пространстве В2 х В1 (где х Е В2 ъ Ь € В1) возникает двумерная гладкая поверхность Т (¡¡^охватывающая ось Ь и являющаяся инвариантной для дифференциального уравнения (45), Динамика системы (45) на поверхности Т(¡1) может оказаться весьма сложной, содержащей семейство периодических и квазипериодических решений.

4.3. Ляпуновские величины. Для каждого из указанных сценариев бифуркации системы (45) задачи о вычислении ляпуновеких величин и свойствах самой бифуркации могут быть решены по схеме, изложенной в предыдущем параграфе. Ограничимся для иллюстрации приведением аналога теоремы 9, А именно, приведем утверждение, позволяющее вычислить первую ляпуновекую величину дифференциального уравнения (45) для случая 81,

Обозначим через е и д собственные векторы матрицы У0 = V(р0) и транспонированной матрицы соответственно, отвечающие простому собственному значению 1, Эти векторы можно выбрать в соответствии с равенствами (9),

Теорема 13. Пусть имеет место случай 5'1. Тогда первая ляпуновская величина системы (4-5) в задаче о бифуркации вынужденных колебаний равна

1\ = {X-1{т,ро)а,2 (X (т,ро)е,т,ро),д) ¿т. (49) ¿0

В важном частном случае, когда матрица А{1,р0) является постоянной, т.е. А{Ь,р0) = А0, формула (49) становится совсем простой:

11 = / {а2{е,т,ро),д)

0

В этой формуле е и д - это собственные векторы матриц А0 ъ АО соответственно, отвечающие простому собственному значению 0 и удовлетворяющие равенствам (9),

4-3.1. Пример. В качестве иллюстрации рассмотрим скалярное уравнение

х' = + cos t)x + х2 .

Это уравнение имеет вид (45) при A(t, р) = р(1 + cos t), а(х, t, р) = а2(х) = х2 и g(t, р) = 0, Значение р = 0 является точкой бифуркации этого уравнения, при этом имеет место случай S1, т.е. при переходе параметра р через значение р = 0 в окрестности точки х = 0 для уравнения (51) имеет место бифуркация вынужденных колебаний. Так как в рассматриваемом примере g(t,p) = 0, а нелинейность a(x,t,p) содержит только квадратичные слагаемые, то бифуркация реализуется как транскритическая.

Вычислим первую ляпуновекую величину 1\ уравнения (51), Здесь можно воспользоваться формулой (50), В ней в качестве е и д можно взять числа е = 1 и д = 1. Так как Т = 2п, то получим

г-2ж

l\ = (а2(е) ,д) dr = 2п. Jo

Для исследования свойств бифуркации в уравнении (51) перейдем к дискретной модели вида (47), Здесь оператор V(р) - это функция

"2тт

V (р) = ^ (1 + cos т )d^j = е2ж^

Далее воспользуемся теоремой 3 (точнее, ее аналогом применительно к дискретным системам), Второе из чисел (10) здесь, очевидно, равно гу1 = (У{0)е,д) = 2п > 0, Поэтому из указанной теоремы следует, что возникающие 2^-периодические решения уравнения (51) при р > 0 асимптотически устойчивы, а при р < 0 - неустойчивы.

5. Доказательства основных утверждений

5.1. Доказательство теоремы 1. В условиях этой теоремы подпространство Ео является одномерным, а оператор проектирования Р0 : Ям ^ Е0 может быть определен равенством Р0х = (х,д)е. Поэтому уравнение (6) здесь является также одномерным, а именно, при р = р0 оно имеет вид

и' = РоЬ2(и + ф(и,ро),ро) + РоЬз(и + ф(и,ро),ро) + РоЪ^и + ф(и,ро),Ро) . Отсюда и из равенств ф(0,ро) = ф'и(0,ро) = 0 получим утверждение теоремы,

5.2. Доказательство теорем 5 и 6. Ограничимся здесь доказательством теоремы 5, Теорема 6 доказывается по той же схеме, но требует более громоздких построений.

Без ограничения общности, можно считать, что уравнение (21) при р = р0 имеет вид:

Ах + а2

х

в котором А

01 xi

—1 0 , X = Х2

а2

О>20%2 + &11 Х\Х2 + а02х22 Ь20 Х2г + bUXi Х2 + Ьо2Х22

аз

+ Ü2ixfx2 + 0*12 Xix\ + йозХ'2 Ьзо%1 + b2iX2vX2 + bi2XiX22 + Ьозх2

Собственные векторы е + ig и е* + ig* матри ц А и А*, вы бранные в соответствии с

равенствами (14), здесь определяются из равенств: е = е* Далее, функции (15) и (16) здесь принимают вид:

1 0

9 = 9

0 1

e

\,/з(*)=°з(е^)+р2е-т°Ата2«т))^,

о

где Т0 = 2ж , Е2(Ь) = Т0а'2х(е(1))ет°м ; здесь а'2х(х) - матрица Якоби вектор-функции а2(х).

Для доказательства теоремы 5 требуется показать, что определенные равенствами (22) числа

До =

где рз - вектор (18), совпадают с ляпуновскими величинами ^ и П^ Ограничимся проверкой равенства Д0 =

До

(20) положить у({) = /з(¿). Вычисление коэффициентов Фурье усш у3 функции У(Ь) = /з(I), участвующих в (20), разобьем на два этапа,

5.2.1. Первый этап. На первом этапе положим а2(х) = 0. Тогда /з= аз(е(£)). Из (54) имеем:

а3(e(t)) = i cos 2nt

З^з о + ai2 3Ъ3 о + bi2

1

—- sin 2nt

4

Ü2i + З^03

b2i + ЗЬоз

+

+- cos 6nt 4

a>30 — 0,i2 Ьзо — bi2

—- sin 6nt

4

&2i — а>оз b2i — Ьоз

Выделим отвечающие cos 2nt и sin 2nt коэффициенты Фурье этой функции:

Зазо + ai2 ЗЬзо + bi2

ys

Ü2i + 3^оз b2i + ЗЬоз

У

Тогда, согласно (20), первое из чисел (55) принимает вид:

До = 1 [3 а,зо + аХ2 + + 3 Ьоз] = 1 [3(азо + Ьоз) + («12 + &21)]

о о

5.2.2. Второй этап. На втором этапе положим а3(х) = 0, Тогда

f3(t) = Toal2x(e(t)) еТ°м е-ТоАта2(е(т)) dr .

Здесь имеем:

„ToAt

cos 2nt sin 2nt — sin 2nt cos 2жt

a20 + a02 Ь20 + bo2

a2(e(r)) =

a'2x(e(t)) = cos 2nt

+ 1 cos t

a20 — a02 20 - 02

— - sin 4nt

aii bu

— sin 2nt

an +2 ao2 bn +2 bo2

2a2o an 2b2o bn

Подставляя эти выражения в (57) и проведя соответствующие вычисления, выделим отвечающие cos 2nt и sin 2nt коэффициенты Фурье этой функции:

Ус

1 12

Уз

1 12

10 a2ob2o + 14a2o^o2 — 3 ana2o — 3a nao2 + anbn — 4ao2^o + 4ao2bo2 10 b22o + 10 b2obo2 — 7b na2o — 5b nao2 + 4b2oan + + 2 bo2an + 4&o2

—5 &2oan — 7bo2a\\ + 10 ao2a2o + 10a^2 + 4a2o + 2b ua2o + a2í1 + 4b uao2 —3b nb2o — 3 b nbo2 + 14a2o^o2 + 10 ao2bo2 + 4 a2ob2o — 4ao2^o + an6

11

Тогда, согласно (20), первое из чисел (55) примет вид

До = 24«20^20 + 3ЬпЬ2о + 3 ЬпЬо2 - 3 апа2о - 3 апао2 - 6ао2^о2| =

= -1 |[(ацао2 + 2ао2Ьо2) - (2а2о^о + Ьп^о) - (&цЬо2 - аиа2о)].

о

В общем случае, когда в правой части системы

5.2.3. Сравнение До с ляпуновекой величиной Ь1. Рассмотрим уравнение (52), в котором

матрица А имеет вид А

a

где ш2 = —a2 — be > 0, В [1] (стр. 99) для этого

с -а

уравнения приведена первая ляпуновекая величина в виде:

Ь1 = - о1^ {[а° (а2п + ацЪо2 + ао2&п) + аЬ (Ь2и + а2оЪц + ап&2о) +

+с2(апао2 + 2ао2^) - 2ас(Ь^2 - а2оао2) - 2аЪ(а22о - &2о&о2)--Ь2(2а2оЬ2о + ЪцЪ2о) + (Ьс - 2а2)(ЬпЬо2 - аиа2о)]--(а2 + Ъс)[3(сЪозз - Ьазо) + 2а(а21 + &12) + (са12 - Ь&21)]} .

Ь1

ее надо поделить на число 2ж/ш). При подетаповке а = 0, Ь = -с = 1 получим Ь1 = -1 {[(апао2 + 2ао2Ъо2) - (2а2о^о + &п&2о) - (6п&о2 - апа2о)] +

о

+ [3(-Ьоз - азо) + (-а12 - 621)]} .

До Ь1

t

Для завершения доказательства теоремы 5 остается показать, что числа (22) не зависят

от выбора векторов е,д, е*, д* в соответствии с равенствами (14), Пусть имеется какой, , *, *

набор векторов описывается в виде

е1 = е cos р + д sin р , д1 = д cos р — е sin р ,

е 1 = е* cos р + д* sin р , д* = д* cos р — е* sin р

при некотором р. Подставляя эти векторы в (22), несложно убедиться, что числа (22) принимают одни и те же значения при любом р. Теорема 5 доказана,

5.3. Доказательство теоремы 10. Нам понадобится вспомогательное утверждение, в справедливости которого можно убедиться прямым подсчетом, и которое представляет самостоятельный интерес. Положим

Bi = I — Ao , В2 = I + Ao + Po . По построению операторы В1 : BN ^ BN и В2 : BN ^ BN обратимы, причем подпространства Eo и Eo инвариантны для них.

Лемма 2. Пусть матрица Ao имеет простое собственное значение -1, а остальные ее собственные значения имеют модуль меньше или больше единицы. Тогда центральное многообразие Wc системы (36) может быть описано равенством

Wc = [x : x = ее + ф

в котором

Ф(е) = £2Ф2 + £3фз + Ф4 (е);

здесь коэффициенты, ф2 и фф3 определяются, равенствами:

Ф2 = B-1Poa2 , фз = B-1Po[—2(a2, д)Аф2 + a2) — a^2 — as]

а функция ф4(е) является гладкой и удовлетворяет со отношению: ||ф4(е)|| = 0( £4), е ^ 0.

Для простоты ограничимся рассмотрением ситуации, когда система (36) двумерна, т.е. N = 2. Будем также для простоты считать, что при ^ = матрица А(/л) имеет вид

Ao = A

—1 0 0

где Ь = ±1, Наконец, пусть в нелинейности (33) квадратичная и кубическая нелинейности при ^ = имеют, соответственно, вид:

а2ох2 + 2а 11X1X2 + ао2 хх2 Ь2ох22 + 2Ь11X1X2 + Ьо2х2

a2(x) =

a3

a3ox3 + 3 a2ixfx2 + 3)ai2xix2 + ao3x'2 bsox3 + 3 b2ix1x2 + 3b i2xix\ + bosx\

Далее, имеем:

=

a2

1 0

Po

a2o 2o

10 00

a2o a11 2o 11

Po

as

00 01

aso bso

2

a

{

Определим вид уравнения (35) при р = ро в рассматриваемом случае, С этой целью сначала отметим, что система (34) для системы (36) имеет вид:

un+i = Ро[А(р)(ип + vn) + a(un + vn, р)] , vn+i = P°[A(p)(un + Vn) + a(un + Vn, p)],

где un = Рохп и vn = Рохп; оба уравнения этой системы являются скалярными. Полагая un = £ne, получим, что уравнение (35) при р = ро равносильно скалярному уравнению:

£'n+i = —£'n + (a(£nne + ^(en), Ро), g).

Таким образом, правая часть уравнения (35) при р = ро здесь имеет вид:

С(е,ро) = —£ + (а(ее + ф(е),ро),д).

В силу равенств (33) и (60) несложно показать, что тогда при малых е имеем:

G(e, ро) = —£ + £2(а.2,д) + £з[(а2ф2,д) + (аз,д)] + 0(е4).

В [1] (стр. 114) отмечено, что если в рассматриваемой здесь постановке правая часть уравнения (35) при р = ро имеет вид

G(£, Ро) = —£ + 12£2 + 1з£з + 0(е4) , то первая ляпуновекая величина определится формулой:

h = —Ы + Тз),

совпадающей с формулой (39) (замечание: в действительности, в указанной работе в формулу для li вкралась опечатка: она должна иметь противоположный знак).

Остается убедиться в том, что числа (37) и (64) (в котором 72 = (а2,д) и 7з = [(a'2^2, д) + (аз, д)]) совпадают. Учитывая формулы (61), непосредственным вычислением получаем, что (37) и (64) равны одному и тому же числу:

2

h = —(а2о + азо + --т ацЪ2о).

1 — b

Теорема доказана,

5.4. Доказательство теоремы 12. Ограничимся доказательством первой из формул (44), Пусть в нелинейности (43) функция аз(х,р) при р = ро определяется равенством (63), Для этого случая в [2] (стр. 209) приведена следующая формула для ляпуновекой величины Li.

З

Li =0 [

о

Доказательство первой из формул (44) поэтому можно свести к подстановке (63) в (44) и вычислению соответствующего интеграла, в результате чего получим число, совпадающее с (65).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2009. 548 с.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.-Ижевск: Ин-т компьют. исслед. 2002. 560 с.

3. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1977. 304 с.

4. A. Kellev The stable, center-stable, center-unstable, unstable manifolds // J. Diff. Eq. № 3. 1967. P. 546-570.

5. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды ММО. 1971. Т. 25. С. 119-262; Труды ММО. 1972. Т. 26. С. 199-239.

6. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005. 416 с.

7. Yu.A. Kuznetsov Elements of Applied Bifurcation Theory. N.Y.: Springer, 1998. 593 p.

8. Леонов Г.А., Кузнецов H.B., Кудряшова E.B. Прямой м,ет,од вычисления ляпуновских величин двумерных динамических систем // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 119-126.

9. S. Lynch Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert's sixteenth problem // Differential equations with symbolic computations. Basel: BirkhEauser. 2005. P. 1-26.

10. Вышинский A.A., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования, правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах 11 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4. 2010. С. 3-26.

11. Ибрагимова Л.С., Мустафина И.Ж., Юмагулов М.Г. Асимптотические формулы в задаче построения, областей гиперболичности и устойчивости динамических систем // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8. № 3. С. 59-81.

12. Юмагулов М.Г. Локализация, языков Арнольда, дискретных динамических систем // Уфимский математический журнал. Т. 5. № 2. 2013. С. 109-131.

13. Юмагулов М.Г. Операторный мет,од исследования, правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады АН. 2009. Т. 424, № 2. С. 177-180.

14. Красносельский М.А., Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений // ДАН России. Том 365. № 2. 1999. С. 162-164.

15. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация, рождения цикла, и ее приложения. М.: Мир. 1980. 368 с.

16. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости // Серия «Современные проблемы механики». Л.-М.: ОГИЗ Гостехиздат. 1949.

17. Красносельский М.А. Оператор сдвига, по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966. 332 с.

Надежда Ивановна Гусарова,

Рыбинский государственный авиационный технический университет имени П.А. Соловьева, ул. Пушкина, д. 53,

152934, г. Рыбинск Ярославской обл., Россия E-mail: gusarova-73@mail.ru

Сария Аширафовна Муртазина,

Сибайский институт (филиал) Башкирского государственного университета,

ул. Белова, 21,

453833, г. Сибай, Россия

E-mail: sariamurtaz@mail.ru

Марат Флюрович Фазлытдинов, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: fazlitdin_marat@mail.ru

Марат Гаязович Юмагулов, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: yum_mg@mail. ru