Оптимальная работа асинхронного двигателя с учетом потерь в стали статора и ротора

УДК 621.31

ОПТИМАЛЬНАЯ РАБОТА АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЁТОМ ПОТЕРЬ В СТАЛИ СТАТОРА И РОТОРА

В.Ф. МИЛОСЕРДОВ, А.Ю. АФАНАСЬЕВ, М.Ю. ЗАВГОРОДНЕВ

Казанский национальный исследовательский технический университет

им. А.Н. Туполева

В данной статье рассмотрен поиск оптимальных режимов работы и параметров питания асинхронного двигателя, при которых потери в двигателе будут минимальны, что приводит к снижению энергопотребления электропривода. Описана методика расчета электромагнитного момента асинхронного двигателя с учётом потерь в стали статора и ротора.

Ключевые слова: трёхфазный асинхронный двигатель, обобщённая электрическая машина, мощность потерь, минимизация.

Электрические двигатели - несомненно, одно из самых используемых устройств в современном индустриальном мире. Асинхронные электродвигатели потребляют сегодня около 40 % всей вырабатываемой электроэнергии. Их установленная мощность постоянно возрастает.

Увеличение вырабатываемой энергии приводит к ряду проблем.

Первая - экологическая. На долю топливно-энергетического комплекса России приходится свыше 30% сброса загрязненных сточных вод, примерно 50% выбросов вредных веществ в атмосферу, свыше 30% твердых отходов и до 70% от общего объема выбросов парниковых газов.

Вторая - экономическая. Наблюдается увеличение затрат на добычу полезных ископаемых, их транспортировку и переработку. Происходят крупные вложения в строительство новых источников электрической энергии (ТЭЦ, ГЭС, АЭС и т.д.).

Оптимизация режимов и уменьшение потерь энергии при работе крупнейшего потребителя электроэнергии позволит увеличить экономическую эффективность асинхронных электроприводов и производственного оборудования.

Рассмотрим асинхронный электродвигатель с трехфазной обмоткой на статоре и с короткозамкнутым ротором. К обмотке статора подводится симметричная трехфазная система напряжений:

иЛ = Um sin rají;

UB = Um sin(rají - 2п/3); uc = Um sin(rají - 4п/3).

Получается магнитное поле, вращающееся с синхронной частотой raí, эл. рад/сек. Оно пересекает стержни короткозамкнутой обмотки ротора, в них наводится ЭДС и протекают токи с частотой скольжения ra2 = raí - ra, где ra - частота вращения ротора. Токи обмотки ротора взаимодействуют с магнитным полем и возникает электромагнитный момент, определяемый формулой

M = c Ф0/2 cos Ф2,

© В.Ф. Милосердов, А.Ю. Афанасьев, М.Ю. Завгороднев Проблемы энергетики, 2012, № 5-6

где Ф0 - основной магнитный поток; 12 - ток фазы обмотки ротора; ф2 - угол сдвига по фазе между ЭДС скольжения и током в фазе обмотки ротора; с - конструктивный коэффициент.

Схема замещения одной фазы асинхронного двигателя показана на рис. 1.

1l

WlLl„

Uo

X

T

юл/

lo

g!0

«iLo

№ MI

h' r2'/s

Рис. 1. Схема замещения фазы асинхронного двигателя

Здесь г1 - активное сопротивление фазы обмотки статора; Ь1а - ее индуктивность рассеяния; г2' - активное сопротивление фазы обмотки ротора, приведенной к обмотке статора; £2о' - ее индуктивность рассеяния; £10 - активная проводимость, соответствующая потерям в стали статора; Ь0 - индуктивность, соответствующая основному магнитному потоку; g20 - активная проводимость, соответствующая потерям в стали ротора; и1,11 - комплексные действующие значения напряжения и тока фазы обмотки статора; и0, 10 - комплексные действующие значения напряжения и тока поперечной ветви; 12' - комплексное действующее значение тока фазы приведенной обмотки ротора; 5 - скольжение, 5 = Ю2 / 1.

Для схемы замещения справедливы уравнения:

и1 = г1 ¿1+мАст ¿1 + и0; и0 =-V12'/ 5 - М^ст'12';

10 = gl0U0 - !1£0 + g205и0;

I о = h +12';

&10 = + V i); &20 = c2(s^ + n! ra);

где n - постоянные коэффициенты потерь на вихревые токи и гистерезис;

go = gio + g 20.

Мощность электрических и магнитных потерь определяется формулой

P = 3

Электромагнитный момент, согласно схеме замещения, может быть найден по выражению:

M = ЩР

rai ^ s )

где mi - число фаз обмотки статора (здесь mi = 3);p — число пар полюсов.

Механическая характеристика показана на рис. 2. На механической характеристике обозначены четыре характерные точки: 'а' — пуск; 'Ъ' - критический момент; 'с' - номинальный режим; 'd'- синхронное вращение.

1

При синхронной частоте вращения (со = Ю1) электромагнитный момент равен нулю. При уменьшении частоты вращения ш увеличиваются частота скольжения ш2, ЭДС, ток в роторе и электромагнитный момент. При частоте вращения, меньшей критической (шк), ток увеличивается незначительно, а из-за увеличения индуктивного сопротивления обмотки ротора снижается ео8ф2 и момент тоже уменьшается. Номинальное скольжение составляет 3 - 6 % .

Рис. 2. Механическая характеристика асинхронного двигателя

Для управления асинхронным электродвигателем имеются две величины -амплитуда напряжений статора ит и частота питания Юь Поставим задачу: при известной частоте вращения ротора ш найти амплитуду и1т или действующее значение напряжений питания Ц\, а также частоту питания Ю], при которых создается требуемый электромагнитный момент М а мощность электрических и магнитных потерь Р минимальна.

Рассмотрим асинхронный двигатель как обобщённую машину без учёта потерь в

стали.

Для фаз статора и ротора обобщенной машины имеем следующую систему уравнений:

"1С = гт + к1 ^ + М12 ^ - ш1

иц = п! + к ^+М12 + Ю1

0 = ¥2- + к2 ^ + М12 — Ю2

О = + к2 + М12 ^ + Ю2

Здесь Г\, к - активное сопротивление и индуктивность фазы обмотки статора обобщенной машины; г2 , к2 - активное сопротивление и индуктивность фазы обмотки ротора обобщенной машины; М12 — взаимная индуктивность между фазой статора и

соосной с ней фазой ротора; ю2 - угловая частота скольжения, эл.рад/сек; и1а, п1ч -напряжения продольной и поперечной фаз обмотки статора.

Электромагнитный момент определяется общей формулой

М = Р(Чд^и - % X где , - потокосцепления продольной и поперечной фаз обмотки статора. В случае асинхронного двигателя

= + М12 ¿2с1 ; = + М12 i2q и формула для момента принимает вид

М = РМ12(Ь1ЧЬ2а - i1di2q ).

Дифференциальное уравнение механики относительно частоты вращения ю, эл. рад/сек, имеет вид

= Р(М - М с).

Отметим, что мощность потерь в стали здесь не учитывается. В установившемся режиме все токи и напряжения постоянные. Приравнивая в уравнениях (9) - (12) все производные нулю, получаем систему уравнений:

и1а = + Ml2i2q);

иц = г1ц + 1

0 = -&2

0 = r2i2q + 2 (¿2г2а + М12\а ). (16) Имеется свобода в выборе осей координат а, q обобщенной машины. Направим

оси так, чтобы выполнялось равенство /2а = 0.

Из уравнений (15), (16) следуют соотношения:

L2i2q + М12Ь1Ч = 0; r2i2q + 2М12Ьк/ = 0;

Ю2М12Ь1а.

^ =--;

г2

1 .

г2

Электромагнитный момент М=-рМ^=Р2МА.

Мощность электрических потерь

Р = Г1 (Ь12а + %ч ) + r2i2q. Из равенства(19)следует .2 Г2М

Ча =-

Р2М\2

С учетом выражений (17), (18) получаем

( „2 ,-2 ^ ,2,^2

Р = Г1

2 ю2^2 -2 ги +—у- 1М

V г2 у

+ г «2М12 .2 + г2—2— г2

или

© Проблемы энергетики, 2012, № 5-6

р =

( 2 2 2 2 Л

л + Г1Ю2 А2

г2

г2

г2М

Р^2М12

Оптимальная частота скольжения ю2 получается из условия 1

(лА + мк ^

2

Л?

г2

Ш1П.

Дифференцируя выражение (20) по ю2 и приравнивая производную нулю, получаем:

1

2 + + —— = 0; 2 г2 Г2

Юо =

г2

А2 / Г2 + М122 / Г1

Согласно формуле (21) оптимальная частота скольжения не зависит от частоты вращения ротора. При учете потерь в стали ниже получена зависимость оптимальной частоты скольжения ю2 от частоты вращения ротора ю.

Пространственная векторная диаграмма асинхронного двигателя, согласно уравнениям (13) - (16), показана на рис. 3. Двигательный режим работы подтверждается тем, что вектор тока статора опережает вектор тока ротора в своем вращении против часовой стрелки.

д

]Ю1М1212

}ю21212

I

Рис. 3. Пространственная векторная диаграмма асинхронного двигателя

Далее рассмотрим асинхронный двигатель с учётом потерь в стали статора и ротора.

Проведем расчеты токов и напряжений фазы асинхронного двигателя согласно уравнениям (1) - (6). Здесь целесообразно воспользоваться методом единичного тока (см. рис. 1). Расчет проходит в следующем порядке:

a. Выбираем значение частоты вращения ротора ю.

b. Задаемся значением частоты скольжения ю2.

c. Определяем Ю1 = ю + ю2.

d. Вычисляем скольжение 5 = ю2 /ю1.

e. Находим реактивные сопротивления х1 = ю1^1о ; х2' = ю1^2о' и проводимость b0 = 1/ю1!о.

f. Находим сопротивление r2'/s и проводимость g0s.

g. Полагаем 12 = 1 + j0.

h. По формуле (2) находим напряжение поперечной ветви U0.

i. По формуле (3) находим ток поперечной ветви 10. j. По формуле (4) определяем ток фазы статора 11.

k. По формуле (1) находим напряжение фазы статора U1. l. По формуле (7) определяем мощность потерь Р. m. По формуле (8) находим электромагнитный момент М. п. Находим коэффициент пересчета

Y = VMo /M, где М0 - требуемый электромагнитный момент. о. Находим реальную мощность потерь

P0 = y 2 P.

p. Пересчитываем все токи и напряжения по формулам:

11о = y h; I20' = yJ2'; Io0 = y lo; U1° = y UÙ uo° = y uo.

q. Задаемся новым значением частоты скольжения ю2. r. Переходим к пункту с.

Таким путем можно построить семейство характеристик Р1(ю2) при различных фиксированных значениях частоты вращения ротора ю.

Была разработана программа в системе Turbo-Pascal. Параметры схемы замещения имеют следующие значения: r1 =3 Ом; r2 =3 Ом; L1o = 0,015 Гн; ¿2а' = 0,02 Гн; U = 0,2 Гн; £ = 0,002;

П = 0,2; С1 = 0,12; С2 = 0,1;^ = 0,1.

Были учтены потери в стали статора и ротора на вихревые токи и гистерезис. Активн^1е проводимости на схеме замещения, соответствующие этим потерям, определялись по формулам (5) и (6).

Отметим, что формула для оптимальной частоты скольжения (21) дает значение ю2о = 10,09 с-1, т.е. соответствует оптимальной частоте скольжения при неподвижном роторе на рис. 4.

На рис. 5 показаны зависимости оптимальной частоты скольжения ю2о, напряжения фазы статора U1 и суммарной мощности электрических и магнитных потерь P от частоты вращения ротора ю при единичном электромагнитном моменте. Отметим, что при нулевой частоте ю напряжение U1 больше нуля. Мощность P мало изменяется и возрастает с увеличением частоты ю.

Методом наименьших квадратов была произведена аппроксимация зависимостей ю2(ю), и1(ю) и AP^) при единичном электромагнитном моменте и оптимальном управлении частотой скольжения. Решение системы линейных алгебраических уравнений выполняется методом Гаусса с выделением главного элемента строки ю2о от частоты вращения ротора ю при единичном моменте.

Использованы результаты оптимизации при значениях частоты вращения ротора ю = 0, 30, 60, ..., 300 рад/сек. Получены следующие зависимости: ю2 = 10,015 + 0,0018904 ю + 0,000013598 ю2;

и = 7,6180 + 0,33689 ю - 0,000076430 ю2; Р = 44,712 + 0,011556 ю + 0,000059810 ю2.

Следует отметить, что аппроксимация квадратическим полиномом дает высокую точность в полученных 11 точках.

Р1

300

200

100

0 10 20 ю2

Рис. 4. Зависимости мощности Р1 от частоты скольжения ю2

Без учета нелинейности магнитопровода мощность Р пропорциональна моменту М. Общая формула, связывающая электромагнитный момент, частоту вращения и мощность потерь в асинхронном двигателе, имеет вид:

В результате получили оптимальные параметры питания асинхронного двигателя, при наименьших потерях и наименьшем потреблении электрической энергии. Также стоит отметить влияние учёта потерь в стали ротора и статора при расчете результирующего электромагнитного момента. Если ранее при стандартной питающей частоте в 50 Гц потерями в стали ротора можно было пренебречь, то с появлением преобразователей частоты, потери в стали ротора при малой частоте вращения ротора соизмеримы с потерями в стали статора.

Summary

This article describes the search for optimal operating conditions and power settings induction motor in which the motor losses will be minimal, thus reducing the energy consumption of electric drive. A technique for calculating the electromagnetic torque of induction motor taking into account losses in the steel stator and rotor.

Key words: three-phase induction motor, generalized electrical machine, the loss power, minimization.

Литература

1. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 2001.327 с.

2. Афанасьев А.Ю. Моментный электропривод. Казань: Издательство КГТУ им. А.Н. Туполева, 1997. 250 с.

Поступила в редакцию 13 февраля 2012 г.

Афанасьев Анатолий Юрьевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электрооборудование» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева. Тел: 8927-4235480

Милосердов Василий Фёдорович - аспирант кафедры «Электрооборудование» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева. Тел: 8-917-2984226 E-mail: greatvasiliy@mail.ru

Завгороднев Максим Юрьевич - аспирант кафедры «Электрооборудование» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева. Тел: 8-9274255172.