Закономерности отрывного течения при входе в выступающий канал с экранами

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 2

УДК 533.6:628.5

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОТРЫВНОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ ВХОДЕ В ВЫСТУПАЮЩИЙ КАНАЛ С ЭКРАНАМИ

О. А. АВЕРКОВА, И. Н. ЛОГАЧЕВ, К. И. ЛОГАЧЕВ, А. К. ЛОГАЧЕВ

В рамках теории струй идеальной несжимаемой жидкости решена задача об отрывном течении на входе во всасывающий канал, всасывающий факел которого ограничен тонкими экранами. Определены ортогональная сетка эквипотенциалей и линий тока, поле скоростей, поджатие струи отрывного течения; оптимальное удаление щита, при котором наблюдается минимальная толщина струи и наибольшая величина коэффициента сопротивления на вход всасываемой среды в канал.

Ключевые слова: отрывные течения, идеальная несжимаемая жидкость, метод Н. Е. Жуковского, метод дискретных вихрей, коэффициент местного сопротивления.

ВВЕДЕНИЕ

В корпусах многих технологических агрегатов (например, в нагревательных печах, обжиговых машинах, аспирационных укрытиях) предусматриваются открытые рабочие проемы, через которые происходят нежелательные перетоки воздуха. Для снижения расхода этого воздуха широкое распространение получили воздушные завесы, увеличивающие аэродинамическое сопротивление этих проемов. Отдавая должное такому способу уменьшения расхода, следует отметить достаточно высокие эксплуатационные затраты, связанные с неизбежными потреблениями электроэнергии вентиляторами воздушных завес. Некоторой альтернативой может служить устройство перед входом в отверстия конструктивных элементов, обеспечивающих увеличение аэродинамического сопротивления без перекрытия живого сечения проемов (для обеспечения технологических операций загрузки агрегатов, перемещения различного рода манипуляторов или транспортных средств) при минимальных затратах.

Как было показано в работах [1—3], на величину поджатия в струе перетекаемого воздуха и связанный с этим поджатием коэффициент местного сопротивления (к.м.с.) оказывают заметное

АВЕРКОВА Ольга Александровна

кандидат технических наук, доцент БГТУ им. В. Г. Шухова

ЛОГАЧЕВ Иван Николаевич

доктор технических наук, профессор БГТУ им. В. Г. Шухова

ЛОГАЧЕВ Константин Иванович

доктор технических наук, профессор БГТУ им. В. Г. Шухова

в Ш

ЛОГАЧЕВ Артур Константинович

студент МГТУ им. Н. Э. Баумана

влияние устройство входных тамбуров (выдвижных каналов) и экранирование входных отверстий проницаемыми щитами. В работе [2] выяснено, что установка на входе в щелевидное всасывающее отверстие горизонтального щита ВС (рис. 1) , оптимальная длина которого равна полуширине щели (S = 0.5В), способствует повышению к.м.с. Исследования проводились с помощью метода конформных отображений и функции Н. Е. Жуковского, метода дискретных вихрей (МДВ), численного решения ос-редненных по Рейнольдсу уравнений Навье — Стокса и неразрывности (Reynolds Averaged Navier — Stokes — RANS), где использовалась модель k -в турбулентности, натурного эксперимента. Наилучшее совпадение поля скоростей с экспериментом в среднем продемонстрировал метод RANS, но заметно различие очертаний отрывной области относительно натурного эксперимента. Более точную картину отрыва потока дают методы теории струй идеальной несжимаемой жидкости. МДВ и метод Н. Е. Жуковского хорошо согласуются в расчетах поля скоростей, но МДВ не позволяет c достаточной точностью определить детерминированные границы течения (например, толщину струи ), соответственно и к.м.с. [4]. В работе [5] предпринята попытка разработки численного метода моделирования отрывных течений на входе во всасывающие каналы в плоских многосвязных областях, содержащих экраны, с использованием стационарных дискретных особенностей. Рассматривалось бесциркуляционное обтекание экранов. Однако зависимость величины к.м.с. от расстояния вертикального экрана до входа во всасывающий канал отличается от экспериментальной: наблюдается минимум этой величины, а не максимум, как в натурном эксперименте.

Целью настоящей работы является разработка адекватных методов моделирования отрыва потока на входе во всасывающие каналы для определения комбинации экранов, обеспечивающих наибольшее увеличение сопротивления входа в канал.

1. РАСЧЕТ ОТРЫВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ОБЛАСТИ С ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫМ ЭКРАНОМ

Рассмотрим сначала задачу об экранировании полубесконечным щитом M2H всасывающего канала, выступающего от вертикальной стенки на некоторое расстояние S (см. рис. 1). Течение ограничено непроницаемым экраном, удаленным на расстояние G от входного сечения плоского канала высотой 2B, и разделено на расстоянии M вертикальным щитом с центральным отверстием высотой 2R на две области*.

Рис. 1. К определению ортогональной сетки и поля скоростей всасывающего факела выступающего канала с экранами

* Частные случаи описаны: при Б = 0 в работе [1]; при Б ^ 0, О = ю и отсутствии щита (М -или Я в [2]; при Б ^ 0, О Фю и отсутствии щита в [3].

-S или M = G,

1.1. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Среда полагается идеальной, несжимаемой. В силу симметрии всасывающего факела рассмотрено течение в верхней полуплоскости 1т г > 0 комплексной переменной г = x + iy, действительная ось которой совпадает с осью симметрии задачи. Пусть линия тока у = 0 проходит по лучам ^2Р и , линия тока у = q — по лучу М^В, отрезку ВС и по свободной линии тока С£>1, а нулевая эквипотенциаль ф= 0 — через точку отрыва свободной линии тока С. В этом случае область изменения комплексного потенциала V представляет собой полосу шириной q с выброшенным лучом М2ИАХ (у = kq, -<х><ф<-^), а областью изменения функции Жуковского ю = 1п (и0/и ) + /'9 является полуполоса 1п и ) > 0, -л<9<0 с выброшенным лучом В2ГР1 (1п(и0/и)>С; 6 = -п/2), где и0 — скорость на свободной линии тока СВЪ и — скорость

в произвольной точке, 0 — угол наклона вектора скорости и к положительной оси ОХ. Учитывая прямолинейность границ изменения этих областей, в качестве вспомогательной принята верхняя полуплоскость комплексной переменной * = Х1 + /У1, а для осуществления конформного отображения этой полуплоскости на внутренность указанных многоугольных областей использован интеграл Кристоффеля — Шварца [6]. Переход «сингулярных точек» М и А области V и точек Р и В области ю по полуокружностям с бесконечно малыми радиусами определяет константы этого интеграла, а соответствие границ — соотношения между параметрами задачи Ь, т, к, р и геометрическими размерами физической области течения Б, М, О, Я.

Для функции Жуковского:

ю = — ln

2

4t +4ь 4t-4ь

iln

2

4t +4P 4t-4P

или

ею =

4t+4ъ 4t +4P

откуда

^-Ь 4*-Р

Кроме того, из анализа перехода «разрывных» точек Р и В области ю следует:

^ЬД/Р = ( / - Ь )/( р - /),

/=4ЬР,

а из соответствия точки с максимальной скоростью F(Z — in/2) области ю и точки F(f + i • 0) комплексного переменного t:

z = ln

4f+4P f—b 4P—f

или с учетом

Z= ln

( Pi/4 + bi/4 I

Pi/4 — bi/4

Выражение для комплексного потенциала примет вид:

w = (i — к )q ln I — | + kq ln (t — i). n v m ) n

Из анализа перехода сингулярных точек M и A области w следует:

k = (1 - h )/(1 - m ).

Связь точек вспомогательной плоскости t и точек физической области определяется формулой Жуковского

z = ± Ь*) d^dt + г,

м„ J dt

которая в данном случае примет вид:

= i + (1 - k )5„ A/п + k 5^ В/п,

где интегралы задачи равны соответственно

A =

j f0

t - m

-; B=

j To" 7; f0 J t -1

= ею.

Интегралы (5) выражаются в элементарных функциях лишь в частных случаях [1]. В общем случае интегралы А и В можно представить как суммы четырех интегралов, два из которых выражаются через элементарные функции, а два — через эллиптические интегралы:

A = ai +(m + yfby[p ) a2 + (yfp + yfb )(a3 + ma4 ); B = ai +(1 + )b2 +((p + Vb )(a3 + b4 ),

где

a =

j fidt; a2 =j fi

t

t

t - m

a3 =j fi Jt'' a4 = j fi

0

0

4t (t - m)'

b2 =

jfi^; b4=jfi~n 0 t-1 0

:; fi =

t -1) Vt - ьф - p

С использованием принятых обозначений в уравнении (4) получено следующее расчетное соотношение:

z = i

5^{ai +

(i + 4b4P )b2 +(4P + Jb ) bA

V

связывающее точки физической области z с точками верхней полуплоскости Im t > 0.

Следует отметить, что соотношение (6) позволяет проще найти мнимую и действительную части точки z. Хотя, зная параметры задачи b, m, h, p и задавая точку t = xi + iyi, при помощи универсальной математической среды Maple можно выполнить численное интегрирование и найти соответствие точек, не прибегая к раскрытию интегралов и разделению их на A и B. Однако такой метод решения уравнения (6) мало пригоден для определения четырех геометрических размеров физической области S, M, R и G. Чаще всего требуется решать прямую задачу: по заданным геометрическим размерам физической области следует найти параметры задачи b, m, h и p.

Для формирования уравнений прямой задачи необходимо определить явный вид интегралов а^ ^2, ¿2, °э, °4 и ¿4. Три первых интеграла в верхней полуплоскости 1т t > 0 по действительной оси при 0 < Ь < т < к < 1 < р выражаются через элементарные функции, а последние три — через эллиптические функции. Путем громоздких преобразований для решения этой задачи получена следующая система уравнений:

где

5 = 2-^1п п

\[р-у[Ь

4Р-ь

т + у[Ьр ( [Ьу1р - т Л

\1т - Ьу/р - т

^агс^

4т - Ь

к(1 ^) ^(р ^/тrP^/7rl ^р 4\-ь

(1 + р' V \Р

(1 - к)п

т

-к П

(Ь

Ь, . —

- К

( р'

М + 5 = 8«

4р-

+ Vт л/т +

л/Ь"

4 р - т 4т - Ь

Л = 1 + -2- Я

^ О г л +-1ъ фр +4т 1 + У!ъ фр +1 С + 5 = 8«(1 - к) ,- - + 8«к- ^

4т - Ь у[р -

т

В, = 2

8« =п/(п + В);

(1 +. ИЛ

1 , (1 - к) т

р - т р -1

К (к1 )-

(1 - к) т

р - т

П

р -1

к = V 1 -Ь/р; V = 1 -т/р; Vl = 1 - 1/р;

Я4 = - агссо8

( р + Ь - 2к р - Ь

С11п

1 + Р

1 -Р

С21п

1 + а

1 -а

1+,Ь

V ^р у

V

Я

V V

р - ь , v р

\

Л

- N1 - 7

к ( р Л (

2 1+ Яе П

р -1 V Чр у V

2 1 - к

2-т

р - т

Р4 • ^ 4 -р

I р - Ь р -1 V р

Л ( -П

р-Ь 1-р

1 + .Ь

л ( (

Яе

П

V V

^, ^ М1 - Р

р - Ь р - т ^ р

р -1

Л (

Л'

/у

-П

р-т - ь

р - т у

/у

Q = ( - k) m • Q = к 1 + ^ •

y/p - mVm - b -yjp - Wl - b

Здесь эллиптические полный и неполный интегралы первого рода

* (к Й/ Л 22; F ( ki Й/ 2 ^t1 22;

Wl - ti2Vl - ki2ti2 о V1 - ti2Vl - ki2ti2

полный и неполный интегралы третьего рода

п(kiЙ/-2)ldt\l 2; П(V,ki)={--2) Д 22,

0 (i - vt2 )i - twi - Vi2 о (i - vti2 )i -12 Vi - k2ti2

а Re (f) действительная часть функции f

Очевидно, что уравнение для расхода воздуха может быть представлено в следующем виде:

Um (S + M) + ^ (G - M ) = 5„,

ио ио

где в силу (1) для скорости в точке М (t = m) и в точке А (t = 1) справедливы равенства:

им = Vm - b у/Р - m ; иА = 41 - b ^p -1 и0 4m + 4b 4m +4b ' U0 1 + 4b 1 ^ Л/Р

Таким образом, прямая задача — определение вспомогательных параметров b, m, h и p по известным размерам физической области S, M, Л и G — формально осуществима при совместном решении системы уравнений (7), (8), (9) и (10) с учетом (2), (3), (11) и (12). Однако решение этой системы из четырех трансцендентных уравнений в общем виде сопряжено с большими трудностями. Особенно при практически значимой конфигурации границ течения с удалением глухой стены в «бесконечность» (G > 10) и близком размещении щита с центральным отверстием R = 1

(0.2 <M < 1), когда толщина струи претерпевает значимое изменение. Решение данной прямой задачи удалось получить путем комбинации задания одного вспомогательного параметра k (0 < k < 1) и трех основных размеров физической области (G, Mи S).

Это дало возможность в соответствии с (3) выразить искомый параметр h через параметр m, найти функцию Bi (b, m, p, h (m)), определяемую соотношением (12), и по формуле (11) — толщину струи как функцию остальных искомых параметров b, m, p. Для определения последних формируется система трех уравнений на основании (7), (8) и (10). Найдя путем решения этой системы параметры b, m, p и используя, по сути, заданный параметр h, по формуле (9) определяется четвертый размер области течения R (предварительно вычислив 5^ и значение функции F4). Задача решена, естественно, при корректном задании параметра расхода k. Разработанная в среде Maple программа позволила найти параметры задачи при некоторых интересующих нас размерах области течения.

1.2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Используя найденные параметры, не трудно построить ортогональную сетку эквипотенциа-лей и линий тока (рис. 2). Как видно из картины течений, щит с центральным отверстием разде-

Рис. 2. Ортогональная сетка при разных положениях вертикального щита:

а — М = -0.2; б — М = 0.2

ляет всасывающий факел на две части, причем, несмотря на малый расход ближайшей к отверстию отсекаемой части, скорость его оказывается выше другой части, что увеличивает инерционное поджатие струи к оси канала и, как следствие, уменьшает толщину струи 5да.

На величину 5да оказывает влияние как место расположения щита М, так и величина отверстия Я (рис. 3, 4). Так, при удаленном размещении щита (М > 0.5) при росте Я толщина струи увеличивается монотонно от 5„(0) до 5„(<ю). Причем, 5„(0) = 5„ и

5да (да) = 5да |Я^да являются предельными значениями толщины струи, когда щит отсутствует. В первом варианте это соответствует случаю слияния щита с глухой стенкой (М = О), а во втором — щит исчезает в бесконечности и предельные значения величин 5да (0) и 5да (да) соответствуют частному случаю выступающего отверстия (Б Ф 0) и одного глухого экрана [3].

0.5

0.45

0.4

М = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Рис. 3. Изменение толщины струи 5да в зависимости от величины центрального отверстия в щите Я и удаления щита от всасывающей щели М

Рис. 4. Изменение толщины струи 5да в зависимости от удаления щита с центральным отверстием Я = 1 от всасывающей щели М

Аналогично, при удалении —S < М < 0 и Я = 1 величина 5да(1) = 5да |д=1 достигает максимального значения 5да = 0.6098 при О = 10, что соответствует случаю S = 0 [1], и — минимума в области М « 0.75 (см. рис. 4). В области 0.25 > М > 0 наблюдается небольшое увеличение 5да за счет экранирования всасывающего отверстия, что уменьшает влияние выступа S на толщину струи 5да. Это экранирование прекращает сказываться уже при Я > 1.5, и величина 5да стремится

к 5да (да) при дальнейшем росте Я.

Как известно, величина 5да оказывает существенное влияние на величину коэффициента

сопротивления входу среды в отсасывающее отверстие. Это связано с подавляющим влиянием на сопротивление эффекта Борда — Карно, заключающегося в том, что при сужении потока и последующего расширения потери давления определяются неупругим «ударом» быстрого потока с медленным. Еще в 1944 г. И. Е. Идельчик в работе [7] на основании этого эффекта предложил следующую зависимость коэффициента местного сопротивления от толщины сжатой струи*:

С ВО =

а для потери полного давления записал следующую формулу:

АР = Л^и 2р/2.

Здесь индекс «Во» подчеркивает связь с эффектом Борда — Карно; А — поправочный коэффициент И. Е. Идельчика (чаще всего Л «1); и — средняя по расходу скорость в канале, м/с;

р — плотность среды, кг/м3.

Для круглой трубы к.м.с. рассчитывается по формуле:

С Во =

Как показали проведенные исследования (рис. 5), изменения относительной толщины 5 = 5да (1)/5да (да) и относительного коэффициента сопротивления ^ = СВо (1)/СВо (да) (здесь

С Во (1) = С Во Я = 1; С Во (да) = С Во Я ^да) имеют четко выраженные экстремумы при удалении щита М « 0.75 не только при большом удалении глухой стены, но и при заметном приближении этой стены к всасывающему отверстию.

При этом величина 5 имеет минимум, а ^ — максимум.

Несмотря на малое изменение 5 (0.9<5<1), величина ^ заметно возрастает и

в области М«0.75 достигает почти 1.5, что указывает на значительное увеличение сопротивления входу среды при размещении перед каналом щита с отверстием Я = 1. Такой размер отверстия имеет технологическое назначение, например, для прохода железнодорожных составов или поездов метрополитена в тоннель.

* В работах [1, 3] этот коэффициент назван коэффициентом инерционности, подчеркивая тем самым тормозящее действие инерционного потока, срывающегося со стенок при входе в канал.

1.4 1.3 1.2 Ы 1

0.95

G = 10

G = 10

М

0,9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Рис. 5. Изменение относительной толщины струи

5^1)

8 =

5ш

и относительного коэффициента сопротивле-

7 ^Во

ния входу воздуха ц =-т^т в зависимости от удаления

Сво

щита М (Я = 1; S = 0.5) и глухой стенки О

При наличии технологического отверстия в щите (Я = 1, М = 0.75, £ = 0.5, О > 10) толщина струи уменьшается на 21%, а коэффициент местного сопротивления увеличивается в 2.75 раза, расход среды в канале снижается почти на 40% по сравнению с неэкранированным каналом (Я ^<х>, О > 10), заделанным заподлицо в стенке (£ = 0). При дифференциальной оценке выдвижение входного сечения канала до £ = 0.5 увеличивает величину потерь давления на 54% (^во увеличивается от 0.41 до 0.7972), а установка щита с отверстием Я = 1 при М = 0.75, £ = 0.5 — на 46% (^ во увеличивается от 0.7972 до 1.1275).

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С ЭКРАНОМ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Использование методов теории функций комплексного переменного и Н. Е. Жуковского позволяет достаточно точно определить параметры отрыва потока, но не дает возможность исследовать течения в плоских многосвязных областях, содержащих экраны конечной длины, а также течения вблизи круглых всасывающих каналов.

Рис. 6. Область течения вблизи всасывающего канала с вертикальным экраном

В данном параграфе рассматривается многосвязная область течения (рис. 6) на входе в плоский (или круглый) всасывающий канал, в спектре действия которого находится тонкий экран, при его циркуляционном обтекании. С острой кромки С происходит срыв потока, и образуется свободная линия тока. Необходимо определить ее положение, скорость потока в любой заданной точке и коэффициент местного сопротивления при входе во всасывающее отверстие.

2.1. РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Математическая постановка задачи состоит в решении двумерного уравнения Лапласа для потенциальной функции ф

Дф = 0

= V* (х)- ип, где

£

х — точка границы £. Функция ип выражает влияние свободных вихрей, находящихся на свободной линии тока, положение которой заранее неизвестно.

Данное уравнение сводится к граничному сингулярному интегральному уравнению:

„ дф при заданных значениях граничной нормальной составляющей скорости

дп

|О(х, ф = уп (х)-ц[О(х, ф,

£

а

где ю(^) — плотность циркуляции присоединенного вихревого слоя; ц = const — плотность

циркуляции свободного вихревого слоя непрерывно размещенного на линии с, образующейся при срыве потока с острой кромки; — произвольная точка границы S. Функция G(x, численно равна величине скорости в точке x (Xj, x2) вдоль направления единичного вектора n = {«j, }, вызываемая вихрем единичной циркуляции, расположенной в точке ^(1, ^2 ). Для плоской задачи в декартовой системе координат

1 ( xj) «2 -( x2 ) «1

G (x, ¡0 =

2П (X1 -^1 )2 +(X2 Ч2 )2

Для осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат:

ч (A b + A2а) 4 / ч A2 4

G (x, 0 = —-^- . E (t)--F(t) при

V 4 b (а -b)40++b V ' b 40+b v; p

b Ф 0,

£2 n

G (x, = при b = 0,

2ал/а

2x2^2 = b > 0, а = (x-^)2 + ^ + x22 >0, A1 =

^n1 4n

A2 = [(x1 )П2 - x2n1 ],

« 2

F (t )= J

п/ 2

V1 -12 sin2 e

E(t)= J V1 -12 sin2 e <

t = -

2b а + b

Вихревой слой, моделирующий профиль, заменяется бесконечно длинными прямолинейными вихревыми нитями постоянной интенсивности г(ск), к = 1, N (рис. 7). Вихрь, лежащий на

острой кромке С козырька, считается свободным, что следует из теоремы, изложенной в ра-боте [8]: интенсивность присоединенного вихря в точке срыва потока равна нулю. Присоединенные вихри располагались также в точках изломов границы. Между присоединенными вихрями располагались контрольные точки.

Точка Е,к (1, С2) — точка расположения к-го

присоединенного вихря; хр (1, Х2 ) — р-я кон-

\ трольная точка. Тогда скорость в точке хр вдоль единичного направления п, индуцированная вихрем г(ск), расположенного

г к

в точке с , определится из выражения

^ (хр) = О(хр, ск)г(ск).

Для обеспечения непроницаемости оси ОХ отразим симметрично относительно нее все вихри; циркуляции симметричных вихрей должны быть противоположны:

Рис. 7. Дискретизация границы области: г(^к ) = -Г(^к+N ), где к = 1, N. Выполнение

• — присоединенные вихри; о — свободные вихри; х — контрольные точки этого условия автоматически приводит к усло-

вию бесциркуляционного течения (сумма циркуляций всех вихрей равна нулю).

Полагалось, что на искомой свободной линии тока циркуляция вихрей постоянна и равна у. Расстояние между свободными вихрями есть величина постоянная и равная h. Первое приближение для свободной линии тока выбиралось следующим образом. Первые три вихря располагались параллельно OY и ниже точки срыва, начиная с острой кромки, остальные параллельно — OX и левее этой точки.

Суммарное воздействие всех вихрей на контрольную точку xp вдоль направления внешней нормали выражается равенством:

N NS

q=1 k=1

где ^ — точка расположения свободного вихря, функция G определяется при помощи выражения (15).

Поскольку vn (xp ) = 0 во всех контрольных точках, т. е. выполняется условие непроницаемости, то при изменении p = 1,2,..., N выражение (17) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных циркуляций г(^) присоединенных вихрей:

N NS

q=1 k=1

Этот случай соответствует варианту циркуляционного обтекания экранов, когда на одной из кромок интенсивность вихревого слоя считается конечной.

Если расстояние от точки x до вихря, расположенного в точке меньше ^2, то величина вычисляется по формулам:

Г( г ( )п2 -(S2 -%2)п1 „ h ( р ) + р

пh (Sl-^1 )2 +(2 )2 2Г

S2 = (Х2 ) + ^ Г = >/( )2 + (2 )2.

Второе приближение для свободной линии тока строится с использованием метода Рунге — Кутта численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений: dx|dt = , dy|dt = vy, где vx, vy определяются из выражения (17) при п = {1, 0} для и п = {0, 1} для vy.

Линия тока начинает строиться с острой кромки С. Шаг во времени Дt выбирается достаточно малым (например Дt = 0.0001). Как только расстояние между точкой (x, у) и острой кромкой становится h, то в эту точку помещается свободный вихрь, т. е. это будет второе приближение для свободной линии тока. Далее опять строится линия тока, пока расстояние между точкой ( у) и предыдущим положением свободного вихря снова станет h. В эту точку помещается свободный вихрь и т. д.

После определения второго приближения для свободной линии тока необходимо снова решить систему уравнений (18) и определить циркуляции присоединенных вихрей. Затем строится третье приближение свободной линии тока и т. д. Данный итерационный процесс продолжается до тех пор, пока расстояние между последующим положением Ns -го свободного вихря и предыдущим будет не больше заданной точности в.

Поскольку границы области «обрываются» на некотором удалении от всасывающего проема, то возникает ситуация, когда свободная линия тока начинает подниматься вверх, т. е. ее ордината начинает увеличиваться. Поэтому в данном случае для всех оставшихся точек ордината фиксируется и является равной ординате точки наибольшего снижения.

Для осесимметричной задачи дискретная математическая модель строится подобным образом. В качестве дискретных особенностей использовались бесконечно тонкие вихревые кольца без самоиндукции, корректность использования которых доказана в [9]. Система уравнений для определения неизвестных интенсивностей присоединенных вихревых колец примет вид:

N

£ о (, ^ )г( ) = -у£ а (, Ск),

д=1 к=1

где функция О определяется из формулы (16), а скорость определяется по формуле:

N N3

уп (х) = £О(х, ^)г( ) + у£О(, Ск).

5=1 к=1

Если расстояние от точки до вихря меньше радиуса дискретности к/ 2, то скорость, вызываемая этим вихрем, определяется из следующего выражения:

( ) а (х1 )п2 -(х2 42)п1 к

Величину к.м.с. ^ при входе среды в канал определяется с помощью найденной численным путем толщины струи на бесконечности и формул (13), (14).

2.2. НАТУРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Для проверки достоверности полученных расчетных величин была разработана и смонтирована экспериментальная установка (рис. 8). Коэффициент местного сопротивления при входе воздуха в экранированный воздуховод определяется в соответствии с общепринятым соотношением

с = 2ДР/ (ры 2 ),

Рис. 8. Схема экспериментальной установки для определения сопротивления при входе воздуха в экранированное круглое отверстие:

1 — экран с центральным отверстием; 2— щит; 3 — направляющая трехгранная призма; 4 — труба; 5 — микроманометр с наклонной трубкой; 6 — пневмометрическая трубка Пито — Прандтля; 7 — стальные стержни-шпильки; 8 — гайки для фиксации экрана

представляющим собой отношение разности полных давлений к динамическому давлению. Опыты проводили на установке (см. рис. 8), измерительная часть которой состоит из микроманометра ММН-2500 и пневмометрической трубки Пито — Прандтля. Измерения давлений проводили в сечении, удаленном на расстоянии 1.5 м от оси входного сечения винипластовой трубы с внутренним диаметром 125 мм и толщиной стенки 1.7 мм. Система экранов (щита на трубе и экрана с круглым отверстием) связана с помощью стальных шпилек диаметром 4 мм и длиной 400 мм. Для обеспечения перпендикулярности этой системы к оси трубы и ее осевой симметрии щит, моделирующий вертикальную непроницаемую стенку, жестко прикреплен к скользящей по трубе трехгранной правильной призме высотой 100 мм, а шпильки для крепления экрана — к ребрам этой призмы. Щит и экран выполнены из прессованного картона толщиной 4 мм в виде дисков с диаметрами В0 = 128 мм, В = 450 мм и В0 = 128 мм, В = 360 мм, соответственно в некоторых опытах внутренний диаметр экрана В0 составлял 106.5, 102.5, 90 и 73 мм. Большая часть опытов проводилась при Б0 = 128 мм. Для жесткой фиксации и установки экрана на нужном расстоянии г использовали гайки для зажима с двух сторон.

В опытах изменялась длина выступающей части трубы й = 0—100 мм и величина зазора между входным сечением и экраном г = 0—150 мм. Средняя скорость воздуха в трубе и определялась с помощью измерения скоростного давления по оси трубы и внесения поправочного коэффициента на неравномерность поля скоростей, величина которого была определена измерениями скорости в четырех точках равновеликих колец. Потерями давления на трение о стенки трубы от входного до замерного сечения пренебрегали (не только из-за гладкости трубы, но и из-за невозможности корректного учета этих потерь в условиях стабилизации потока при отрывном входе воздуха). Средняя скорость воздуха в трубе составляла 7—9 м/с.

2.3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Расчеты производились при В = 1. Как показали методические исследования, для расчета параметров течения достаточно принять величину калибра удаленности (см. рис. 6) кв = 10, шаг дискретности к =0.05; шаг по времени А^ = 0.0001. В этом случае количество итераций не превышает 15.

Рассматривались различные режимы обтекания вертикального экрана, содержащегося в спектре всасывания канала. Наиболее близкого к опытным данным оказалось циркуляционное обтекание экрана с условием конечности скорости на нижней кромке (рис. 9).

1 2

3

4

г

0.2 0.4 0.6 0.8 "Г 1.2 14 * 1.6 1.8 2

Изменение параметров отрывного течения от г вертикального экрана от входа во всасывающий канал при разной его длине: нижнеи кромке при г = 0. / и а0 = и.5 1 — й0 = 0.5; 2 — й0 = 1; 3 — й0 = 2; 4 — й0 = 10

Рис. 9. Линии тока при циркуляционном обтекании вертикального экрана с условием конечности скорости на

Рис. 10. удалени

Рис. 11. Сравнение расчетных величин коэффициента местных сопротивлений ^ от расстояния г при

d0 = 1.55:

а — ё = 0.24; б — ё = 0.48; в — d = 0.56; г — d = 1.2 (- — расчеты для плоской задачи, — • — • — —

для осесимметричной,.....— метод Н. Е. Жуковского, ••• — эксперимент)

При фиксированном значении длины вертикального экрана и различном удалении его от горизонтального (рис. 10) наблюдаются минимумы величины 5да. Здесь непронумерованные кривые соответствуют осесимметричному случаю, а их расположение аналогично плоской задачи. В частности, величина 5да для плоской задачи имеет минимум в диапазоне 0.55 < г < 0.75, а для осесимметричной — 0.3 < г < 0.35. При значительном увеличении для плоской задачи экстремум наблюдается при г = 0.75, что корреспондируется с расчетами по методу Н. Е. Жуковского при ё0 ^ да.

Заметим, что вычислительный эксперимент для осесимметричной задачи производился при тех же параметрах дискретной модели, что и для плоской. Сравнение расчетных и экспериментальных величин ^ (рис. 11) демонстрирует удовлетворительное их согласование.

Завышение расчетных величин не более чем на 15%, наблюдается при малых значениях г. Наиболее близки к опытным данным величины найденные для задачи в осесимметричной постановке, что естественно, так как натурный эксперимент ставился в той же постановке.

Расчетный и экспериментальный экстремумы к.м.с. (см. рис. 11) совпадают, что позволяет сделать вывод о достоверности полученных результатов исследований как для плоской задачи, так и для осесимметричной.

2.4. ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ОТРЫВЕ ПОТОКА С ОСТРЫХ КРОМОК ЭКРАНА

В расчетах не было учтено, что с острых кромок В и М экрана (рис. 12) может происходить срыв потока. Поэтому интересно оценить, насколько это влияет на полученные результаты.

На острых кромках расположим свободные вихри, в остальном дискретизация не изменяется. Для свободных линий тока ВБ и МБ начального приближения не задавалось. Циркуляция на них заранее неизвестна. Будем полагать, что циркуляции на этих линиях тока равны по абсолютной величине, но разные по знаку, что с физической точки зрения логично. Вращение

Рис. 12. Срыв потока с острых кромок щита

частиц жидкости, сорвавшихся с острых кромок экрана должно осуществляться в противоположных направлениях. При их слиянии в некоторой точке они компенсируют друг друга, и далее вращение частиц не наблюдается.

Обозначим N — количество присоединенных вихрей, включая два свободных на кромках М

и В; номер вихря в точке В обозначим N; номер вихря в точке М — N С,к — точка расположения свободного вихря; У1 — циркуляция на свободных линиях тока, срывающихся с острых кромок М и В; у} — эти же циркуляции, найденные на предыдущей итерации; N51 — количество свободных вихрей, расположенных на свободной линии тока СЕ; N5 — количество свободных вихрей на всех линиях тока, на первой итерации N51 = N5.

Система линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных циркуляций ) присоединенных вихрей имеет вид:

N-1

2 (с(хр, ?)-С(хр, ^))) + (о(хр, ^ )-О(хр, ^)-

9=1,

Я * N1

- О

к=1

N5 2 N5

-у; 2 (о(хр, Ск)-О(хр, ))+у1 2 (о(хр, Ск)-О(хр, ск++)),

к=Ы51 +1 к=Ы52 +1

где р = 1, 2, ... N -1, на первой итерации у{ = 0.

После определяются неизвестные циркуляции Г ), 9 = 1,... N1 -1, N1 +1,... N -1 присоединенных вихрей и величина циркуляции свободных вихрей У1. Скорость в любой точке х (хь х2 ) области вдоль любого заданного направления вычисляется по формуле

N-1

V»(х)= 2 (о(х, ^)-О(х, ^))г(9) + (о(х, ^ )-О(х,^)-

9=1, я * N

- О

к=1

у; 2 (о(х, Ск)-О(х, ))-у1 2 (о(х, Ск)-О(х, ск++)).

к=^5\ +1 к=Ы52 +1

На первой итерации, после определения неизвестных циркуляций вихрей, строятся все три линии тока: СЕ, ВБ, МБ. Они строятся так же, как было описано в п. 2.1. Заметим, что линии тока ВБ, МБ на самом деле не сливаются, но приближаются друг к другу на расстояние меньше шага дискретности. После того, как абсцисса точек этих линий не будет превосходить величины ё + г - а?0, свободные вихри на них не располагаются; циркуляция свободных вихрей у на линии тока СЕ равна -0.2. Данный итерационный процесс продолжается до тех пор, пока расстояние между новым и предыдущим положениями N^1 -го свободного вихря будет не больше заданной точности в = 0.0005.

Из расчетов видно, что застойная область за вертикальным профилем (рис. 13, а) имеет небольшие размеры, поэтому ее можно было и не учитывать, как в предыдущих пунктах, в отличие от горизонтально расположенного (рис. 13, б).

При удалении профиля от всасывающего канала величина к.м.с. £> имеет экстремумы (рис. 14). Для вертикального профиля наблюдается максимум, для горизонтального — минимум. С точки зрения практики, для снижения объемов воздуха, поступающего в канал, предпочтительней использование вертикального профиля. Как показали вычислительные эксперименты, увеличение длины профиля более одного калибра не дает значимого практического эффекта.

Рис. 14. Зависимость коэффициента местного сопротивления ^ от расстояния г:

1 — горизонтальное расположение профиля; 2 — вертикальное расположение профиля для отрывной модели; 3 — вертикальное расположение профиля для безотрывной модели

ВЫВОДЫ

Вычислительный и натурный эксперименты позволили установить размеры и расположение экранов, способствующих наибольшему сопротивлению входа во всасывающий канал за счет эффекта отрыва струи. Для выступающих на величину полукалибра прямоугольных всасывающих каналов предлагается размещение вертикального экрана на расстоянии 0.75 полуширины отверстия от его входа и длиной в один калибр. В этом случае к.м.с. увеличивается более чем в два раза, а расход поступающего в канал воздуха снижается на 30%. Для круглых всасывающих отверстий, выступающих из плоской стенки на расстояние полурадиуса, предлагается устанавли-

Рис. 13. Линии тока при вертикальном и горизонтальном расположении профиля:

г = 0.5; ё = 0.5

вать на расстоянии 0.4 радиуса диск с центральным отверстием такого же диаметра, что и всасывающий канал, и шириной кольца, равной его радиусу, что позволяет увеличить к.м.с. более чем в полтора раза и снизить расход всасываемого в канал воздуха на 20%.

Работа выполнена по грантам Президента РФ НШ-588.2012.8 и РФФИ № 12-08-97500-р_центр_а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логачев И. Н., Логачев К. И., Аверкова О. А. Математическое моделирование отрывных течений при входе в экранированный плоский канал // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11, № 1, с. 72—81.

2. Логачев И. Н., Логачев К. И., Зоря В. Ю., Аверкова О. А. Моделирование отрывных течений вблизи всасывающей щели // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11, № 1, с. 47—56.

3. Логачев И. Н., Логачев К. И., Аверкова О. А. Математическое моделирование струйного течения среды при входе в плоский канал с козырьком и непроницаемым экраном // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11, № 2, с. 7—14.

4. Аверкова О. А., Зоря В. Ю., Логачев И. Н., Логачев К. И. Численное моделирование воздушных течений на входе в щелевые неплотности аспирационных укрытий // Новые огнеупоры. 2010. № 5, с. 31 —36.

5. Аверкова О. А., Логачев И. Н., Логачев К. И. Моделирование потенциальных течений с неизвестными границами на основе стационарных дискретных вихрей // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12, № 2, с. 7—13.

6. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Физматгиз. 1959, 376 с.

7. Идельчик И. Е. Гидравлические сопротивления при входе потока в каналы и протекании через отверстия // Сб. «Промышленная аэродинамика», № 2, БНТ, НКАП, 1944, с. 27—57.

8. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.: Янус, 1995, 520 с.

9. Гоман О. Г., Карплюк В. И., Ништ М. И., Судаков А. Г. Численное моделирование осесимметричных отрывных течений несжимаемой жидкости / Под ред. М. И. Ништа. — М.: Машиностроение, 1993, 288 с.

Рукопись поступила 19/12012 г.