Анализ среднего времени до срыва синхронизма в импульсных системах фазовой синхронизации

Доклады БГУИР

2010 № 1

УДК 621.316

АНАЛИЗ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ДО СРЫВА СИНХРОНИЗМА В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

Д.Л. ШИЛИН

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 3 ноября 2008

Предложена математическая модель, учитывающая нелинейные и импульсные свойства систем фазовой синхронизации. Предложен способ введения помехи с различными законами распределения и различной интенсивностью, а так же проведены исследования стационарной плотности распределения вероятностей и анализ среднего времени до срыва синхронизма в системе. Проведенные исследования подтверждают высокую эффективность метода анализа статистических характеристик импульсных систем фазовой синхронизации.

Ключевые слова: импульсные системы фазовой синхронизации, статистические характеристики, синхронизм, плотность распределения вероятностей.

Введение

Основным рабочим режимом систем фазовой синхронизации (СФС) является режим синхронизма, который отличается тем, что входные импульсы фазового детектора и импульсы из цепи обратной связи чередуются. Выход из рабочего режима СФС происходит, как правило, под воздействием шумов, т.е. чтобы исследовать это явление необходимо уметь моделировать процессы в импульсных системах фазовой синхронизации при воздействии шумов.

В настоящей работе предлагается произвести цифровое моделирование ИСФС с учетом действующих помех. Производя моделирование большого количества процессов, путем соответствующей обработки полученных данных можно определить требуемые статистические характеристики.

Постановка задачи и разработка модели

Для разработки модели ИСФС рассмотрим структурную схему системы, на которую воздействуют шумы (рис. 1). [1].

Рис. 1. Структурная схема системы: ИФД — импульсно-фазовый детектор; ЗК — звенья коррекции; УГ — управляемый генератор; ДПКД — делитель с переменным коэффициентом деления; y(t) — входной сигнал; u(t) — сигнал из цепи обратной связи; НЛЧ — непрерывная линейная часть; z(t) — выходной сигнал НЛЧ; g(t) - постоянное воздействие УГ; e(t) — сигнал рассогласования; œ(t) — выходной сигнал системы.

Пусть непрерывная линейная часть системы задана передаточной функцией:

т+г

Т\

Мр) =

<2

М

Т\

1=1

где Ti — постоянная времени числителя / = т + 1, т + г и знаменателя / = 1, т , г<т. Уравнения состояния НЛЧ с передаточной функцией (1) имеют вид:

\Х(1) = Ах(1) + Вф),

где Х{0 — вектор переменных состояния; А — матрица размера тхт;

А = (Мщ{р1...рт} /г

= - 1/

/ = 1 ,т.

Векторы В, С С Rm: 0

В = [Ъ1...Ът],Ъ1 =

М

С = [Су..Ст],Сг = 1,/ = \,тп;

О,т> г;

ё = \\х№>( р) = <

со

р = р1,г = \,т;

,т = г.

Из (2) получим уравнение разомкнутой системы:

г

) = Ф

ч

где — время прихода опорного импульса; Ф((-(1)) = ехр/А«-(„)/.

В зависимости от выбранного фазового детектора в системе будет присутствовать ши-ротно-импульсная модуляция (триггерный фазовый детектор), широтно-частотно-импульсная модуляция (фазовый детектор типа "выборка-запоминание"). После выбора фазового детектора записывается уравнение (4) на интервале времени от прихода опорного импульса до окончания импульса следующего периода. Математическая модель системы содержит уравнение замыкания:

пТ+кТ+х„+к

| ш(! )ск = 2л/А''л ,

пТ+т„

где Щ — коэффициент деления ДПКД; п — текущий номер периода; тп, тп+к — длительность двух соседних импульсов рассогласования; к — количество импульсов входного сигнала за время тп; ] — количество импульсов на входе фазового детектора из цепи обратной связи за время I С[пТ+тп; пГ+кГ+тп+к].

j = int/

где ф„ — набег фазы входного сигнала на интервале времени t€[nT+x„;nT+kT\; int — операция взятия целой части числа.

^ пТ+кТ

Д пТ+хп

Величина k определяется из соотношения: k = mt[xn/T] + 2.

Выходной сигнал системы фазовой синхронизации: со

Установившийся режим работы СФС описывается следующими уравнениями: 7 =7 =7*

и+1 п '

Хп+1 = Хп= Х '

*

х = х = т ;

и+1 п '

Ж

Ф„ + 1 = Ф„ = Ф *

Для учета шумов на входе £,вх(0 и выходе ^ых(0 системы задается соотношение шум/сигнал[2]:

SM = mg(u2mm/u2J-

где иШт — амплитудное значение шума; Um — амплитудное значение полезного сигнала.

Далее генерируется закон распределения шума. При воздействии "белого шума", генерируется псевдослучайная последовательность в диапазоне пШ € [0;1], которая центрируется и нормируется:

Um6m =(пш~0,5)ишт,

Затем определяется текущее значение периода при воздействии шума: ТпШ =Т Jl + Unml2%), где

а„ш = arctg

Если шум, воздействующий на систему, имеет нормальный закон распределения, то алгоритм моделирования имеет следующий вид:

Т Шта,тп=Тп(1±аштах/2п),

где

arctg (UmnJU).

Затем генерируется последовательность пш е [0;1] с равномерным законом распределения и определяется знак воздействия на данном периоде работы:

sign^-signfXj +0,5/

Определяются экстремальные значения амплитуды шума:

у/2 л

Далее нормируется псевдослучайная последовательность шума и вычисляется частота сигнала с учетом шума при нормальном законе распределения:

Лш =/„ +5Щппш(А/Штах/2)(и„/3),

где

1 4тгат

4Л

[ [ [ш тах

Ш тах гр , 2 2

/ 4п —п

% ^ Ш тах

Таким образом, предложенный метод моделирования позволяет сформировать любой, описываемый аналитически в диапазоне воздействия, закон распределения шума.

Анализ результатов моделирования

Такая модель позволяет производить статистические испытания СФС. Наиболее полной статистической характеристикой системы является стационарная плотность распределения вероятностей (ПРВ) выходного сигнала.

На рис. 2 приведена стационарная ПРВ выходного сигнала при воздействии шума на входе системы 5"вх=— 80 дБ. Интердецильная широта составляет 5'д=б,098,103 Гц. Параметры исследуемого синтезатора частот следующие: период входного сигнала Тп=10— с; коэффициент передачи фазового детектора типа "выборка-запоминание" £В=5,2 •10 В/с; коэффициент передачи непрерывной линейной части &=5'10б Гц/в; нерегулируемая составляющая управляемого генератора g= 109 Гц; коэффициент деления цепи обратной связи ^д=1024; постоянные времени передаточной функции НЛЧ Т]=10^ с; Т2=10-5 с; Тз=5-10-5 с.

Весьма важной, а в некоторых случаях определяющей, характеристикой импульсных СФС является среднее время до срыва синхронизма (с. Под срывом синхронизма следует понимать выход координаты фазового рассогласования за пределы апертуры дискриминационной характеристики фазового детектора на время, больше некоторого заданного для системы. В данном случае будем считать, что возвращение системы в область слежения за малое время невозможно из-за большой инерционности системы. Поэтому будем считать, что первый выход сигнала рассогласования за пределы апертуры ФД эквивалентен срыву слежения. Методика определения среднего времени до срыва синхронизма заключается в следующем: задается шум с соответствующим законом распределения и интенсивностью; определяется точка приложения; производится расчет выходного сигнала и сигнала рассогласования; определяется такт квантования, на котором сигнал рассогласования е(0 впервые выйдет за пределы установленной границы.

Количество требуемых реализаций процесса для обеспечения заданной точности определяется с помощью асимптотической формулы Муавра-Лапласа[3]. Для достижения погрешности менее 10% необходимо осуществить 700 реализаций.

Исследовалась зависимость среднего времени до срыва синхронизма от интенсивности воздействующего шума и коэффициенте передачи НЛЧ, которая приведена на рис. 3.

2,3993Е-Н)7 2.3996Е+07 2..1998Г.+07 2,4001Е-Н)7 2,4003Е+07 2.4006Е+07

Рис. 2. Стационарная ПРВ выходного сигнала

Проводились исследования импульсной СФС, у которой изменялся коэффициент усиления: график 1 — к=107 Гц/В; график 2 — к=5-106Гц/Б; график 3 — к=2,5'106 Гц/В. Шум подавался на вход системы, его интенсивность менялась от -20 дБ до +20 дБ. Анализируя графики можно сделать вывод, что общая закономерность поведения графиков 1, 2, 3 отвечает классическим результатам [3], но также имеет отличия, которые заключаются в появлении локальных экстремумов на графиках 1, 2, 3. Отсутствие таковых в результатах анализа [2, 3] объясняется использованием упрощенной модели импульсной СФС.

Заключение

Таким образом, автором получена математическая модель, учитывающая нелинейные и импульсные свойства СФС; предложен способ введения помехи с различными законами распределения и различной интенсивностью; проведены исследования стационарной ПРВ и анализ среднего времени до срыва синхронизма в системе. Проведенные исследования подтверждают высокую эффективность метода анализа статистических характеристик импульсных СФС.

THE ANALYSIS OF AVERAGE TIME BEFORE SYNCHRONISM FAILURE IN PULSE SYSTEMS OF PHASE SYNCHRONIZATION

D. L. SHILIN

Abstract

Mathematical model considering nonlinear and pulse properties of systems of phase synchronisation is offered. The way of introduction of a hindrance with various laws of distribution and various intensity and as researches of stationary density of distribution of probabilities and the analysis of average time before synchronism failure in system are conducted is offered. The conducted researches confirm high efficiency of a method of the analysis of statistical characteristics of pulse systems of phase synchronisation.

Литература

1. Батура М.П., Кузнецов А.П., Шилин Л.Ю. Анализ и параметрический синтез импульсных систем с фазовым управлением. Минск, 1993.

2. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. М., 2006.

3. Ковригин В.А., Шахтарин Б.И. Методы спектрального оценивания случайных сигналов. М., 2005.

tc

1

\

\ ^

J

\ 5Е+06

Т з-ш= Hz/V

\

V/ \

1 \

\Г \

-К1-5.0Е-Н 56 \Ы\ Г \

\

\ д \

\ J \ \

\ V

\ \ А \

\ Kl l.OF.+l 7H/7V Л /Л

\ 1 V.

135

Рис. 3. Зависимость среднего времени до срыва синхронизма от интенсивности воздействующего шума и коэффициенте передачи НЛЧ