Пятимерная вакуумная задача с вихревым гравитационным полем

УДК 539.1

А. С. Киселёв, В. Г. Кречет

Пятимерная вакуумная задача с вихревым гравитационным полем

Данная поисковая научно-исследовательская работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

В работе в рамках пятимерной геометрической теории исследуется проблема гравитационного взаимодействия вихревого гравитационного и скалярного полей. Дано решение пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна, проводится сравнение результатов с полученными ранее в четырехмерной теории.

Ключевые слова: пятимерие, скалярное поле, вихревое гравитационное поле, единая геометрическая теория, «кротовые норы».

А. S. Kiseliov, V. G. Krechet

Five-Measured Vacuum Sum with a Vortical Gravitational Field

In the work within the five-measured geometrical theory the problem of gravitational interaction of the vortical gravitational and scalar fields is investigated. The solution of the five-measured vacuum equations of Einstein is given. Is presented the comparison of results with received before in the four-dimensional theory.

Keywords: five-dimention, a scalar field, a vortical gravitational field, the integrated geometrical theory, «mole's holes».

Рассмотрим принципиально важную задачу о гравитационном взаимодействии геометрического скалярного поля с вихревым гравитационным полем в пятимерном пространстве-времени. Подобная задача для четырехмерного случая рассматривалась ранее в работе [1].

Для удобства будем использовать экспоненциальные выражения для метрических коэффициентов, так что соответствующая пятимерная метрика будет иметь вид:

ds2 = -ev

Здесь метрический коэффициент e^( ) — g^ соответствует наличию вращения конгруэнций

p( x) _

временеподобных мировых линий, а коэффициент e — g44 описывает некое скалярное поле геометрического происхождения.

Для исследования поставленной задачи необходимо решить вакуумные уравнения Эйнштейна в пятимерном пространстве-времени:

Rab -2RgAB — 0;

Для рассматриваемого случая эта система уравнений будет выглядеть следующим образом:

(Ц + у' + <p')' - (Ц + v' + Y' + P)(P + Y' + Ц) - e2р-ц-У (в' -v' )2 — 0;

Ц(р + Y' + v') + v ' (y ' + p) - Y< + e2p-v-v (в' -v' )2 — 0;

(v ' + y ' + P)' - (Ц + v' + Y' + <)(v ' + Y' + P) + e2в~ц~У (в' -v' )2 — 0;

в''-v'' +

Ц' + v' ' - p' + (p - Ц - v' )(Ц + v' + y ' + P) — 0; Ц' + v' ' + y ' ' - (Ц + v' + y ')(ц' + v' + y ' + P) — 0.

© Киселёв А. С., Кречет В. Г., 2012

Последние три уравнения системы (3) имеют следующие первые интегралы:

(в '-v' )ер-2т-ф = 2о0;

(У + v ' + y ' )e ~(»+v+r+v)= c 2;

здесь c1, c2, о0 = const. При этом кинетическая характеристика вихревого гравитационного поля о , то есть его интенсивность, определяется формулой:

о= ев

Ц+у + 7-+Ф

2е 2 2

Рассмотрим последние два интеграла системы (4): вычитая одно из другого, получим:

(Y'-ф)е^+ф = cj - c2,

поскольку метрические коэффициенты y, ф в рассматриваемой задаче зависят только от х и не зависят от z их4 соответственно и стоят при пространственных измерениях, они обладают одинаковым типом симметрии, и поэтому постоянные интегрирования c1, c2 для них без ограничения общности можно считать равными между собой: c1 = c2 = c . Тогда получаем, что y(х) = ф(х), а интенсивность гравитационного вихря (или угловая скорость вращения конгруэнций линий времени) принимает вид:

евв '-v')

о—, (6) а учитывая первое соотношение системы (4), это выражение упростится до следующего:

о

Сама же система (3) перепишется в виде:

т = а)0 вм+г.

+ 2у'у' + У у' - у'2 + 402еЪц+у+4у = 0; (У + 2^') ' - (У + V ' + 2^' )(У + 2^') - 402 вЪц+у+4г = 0; (V ' + 2^') ' - (У + V' + 2у')(у' + 2у') + 402вЪц+у+4г = 0;

(в '-V' )вр-2у-у~2г = 20; (У + у '-у' )е"(У+^ = с.

Складывая второе и третье уравнение полученной системы (8), имеем:

(У + у' + 4у') ' - (У + V' + 2у')(У + V' + 4у') = 0;

откуда получаем еще один интеграл:

У + у' + 4у' = с3ем+у+2г. Учитывая этот интеграл и последнее уравнение системы (8), имеем:

5у' = (с3 - с)ем+у+27

С помощью этих выражений получаем следующие соотношения:

У + у' = £з+4£ у.

сз - с

. С3 С c-, -c

Y = —-в 3

5

2c+3c3 Y

откуда

2с +3сз

-сз-т} 2с + 3с3 е 3 =--3 X

сз - с

Тогда уравнение первого порядка системы (8) примет вид:

-У1 + ^ У У+/2 +44—/е2У2г =0

с3 с с3 с с3 с

Для получения условий на константы интегрирования с,с3, т0 с помощью оставшегося уравнения второго порядка системы (8), используя выведенные выше интегралы движения, получим еще одно уравнение первого порядка для коэффициентов у, У :

2с+3с3

_ У2 + (с3 + 4с)2 _ (с3 + 4с)2 '2 + 2040(с3 + 4с) е2Ц+2г +

20

2с+3с3 2с+3с3

9с + с -Г 4т2 -Г 20т2

+ уе с3-с + 4Ш0 ес3-с е2У+2у + 2^0 уе2у+27 =0

5 2(с3 - с) 2с + 3с3

которое должно быть эквивалентно уравнению (11) для них. Этого можно добиться при условии:

с3 + 4с = 0.

В таком случае оба уравнения совпадут и запишутся в виде:

.' 2 9с + с3 2 + 20т0 г„2ц+у _

У'^-и- У2+^ у е ^ = 0

с3 с с3 с

Поскольку у' и ег уже известны (формулы (9)), это уравнение, учитывая соотношение между с3 и с , окончательно примет вид:

' 2 4 е 2у = 1

У 22 е =--2 ,

с х 4 х

при этом из

2сх

0 < х < да.

Решая уравнение, получим:

У с

2т0 соз

Здесь cos(1n(c4Vх)) должен быть положительным, чтобы не менялась сигнатура, поэтому

П /— П

аргумент этого косинуса лежит в границах: - — < 1п(с4Ух) < —. На данном интервале е^ нигде в

нуль не обращается, а на его концах ем ^ да, то есть получаем решение, описывающее геометрию

c

пространства-времени «кротовой норы». При этом радиус ее горловины г0 будет равен г0--.

20

Полное решение исследуемой задачи, учитывая все полученное ранее, предстанет в следующем виде:

С 1

вм =---ег = ^ = —— •

2ю0 cos(ln(c4 л/Х )) ' ^2сх '

2&>0 cos(ln(c4VX)) 1

С- 1 с-

С

2сХ

е ~п еп

— < х < — •

С4 С4

В данном решении отсутствует плоская асимптотика.

Таким образом, получается, что вихревое гравитационное поле в пятимерном пространстве -времени может образовывать «кротовые норы» так же, как и в четырехмерном [1].

Библиографический список

1. Кречет, В. Г. Топологические и физические эффекты вращения и спина в общерелятивистской теории гравитации [Текст] / В. Г. Кречет // Известия вузов. Физика. - 2007. - №10.