Исследование асимптотической устойчивости систем фазовой синхронизации с равномерной дискретизацией

УДК 681.511.42

П. В. Колготин, А. Ю. Колотков, В. В. Дорошкевич, Н. Б. Румянцева, С. Л. Зефиров, Б. В. Султанов

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ С РАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ

Аннотация. Описана цифровая система фазовой синхронизации с равномерной дискретизацией и аналогово-цифровым преобразованием до петли фазовой автоподстройки. На основе метода D-разбиения определены области асимптотической устойчивости рассматриваемой системы третьего порядка. Выявлены области значений параметров k\,k2,k3, при которых все корни характеристического уравнения линейного приближения рассматриваемой дискретной нелинейной системы на комплексной плоскости находятся внутри единичной окружности.

Ключевые слова: цифровая система фазовой синхронизации, математическая модель, асимптотическая устойчивость, D-разбиение, передаточная функция, характеристическое уравнение, особая прямая, D-кривая, область устойчивости.

Abstract. The article describes a digital phase-locked loop (DPLL) system with even digitization and analog-to-digital convertion to a closed loop of PLL. On the basis of D-decomposition method the authors has defined domains of asymptotic stability of DPLL under consideration. Besides that they have detected a range of values of k1, k2, k3 parameters for which all the roots of characteristic equation of linear approximation of considered discrete nonlinear system are within complex plane unit circumference.

Key words: digital phase-locked loop, mathematical model, asymptotic stability, D-decomposition, transfer function, characteristic equation, singular line, D-curve, domain of stability.

Введение

Объектом исследования являются системы фазовой синхронизации (СФС) с равномерной дискретизацией (РД) [1], которые представляют собой дискретные аналоги цифровых систем фазовой синхронизации (ЦСФС) с аналого-цифровым преобразователем (АЦП) до контура регулирования, получаемые в предположении бесконечной разрядности АЦП. Подобные системы используются при когерентном приеме сигналов с различными видами модуляции в составе разнообразных устройств техники связи, применяемых в защищенных телекоммуникационных системах (в частности, при построении цифровых модемов и эхокомпенсаторов [2]), а также в измерительновычислительных комплексах (например, для оценки параметров гармонического колебания, наблюдаемого на фоне шума [3]) и т.д.

1. Описание СФС третьего порядка и условия асимптотической устойчивости

В работе [1] получена математическая модель СФС третьего порядка в виде нелинейного разностного уравнения:

^ [k] - 3^[k -1] + 3^ [k - 2] [k - 3] + k sin ^ [k -1] +

+k2 sin ^ [k - 2] + k3 sin ^ [k - 3] = 9[k ] - 3 9[k -1] + 3 9[k - 2] -

-9[k - 3] - ki«m [k -1]- k2^ [k - 2]- k3^ [k - 3],

где ki = Р + ц + у; k2 = -(2P + |i); k3 = P; P, ц, y - соответствующие масштабирующие коэффициенты цифрового фильтра (ЦФ) СФС, определяющего порядок и свойства этой системы, структура которого показана на рис. 1; ^ [k ] - отсчет фазового рассогласования на выходе системы синхронизации;

9[k ] - отсчет фазы задающего колебания; пш [k ] - отсчет аддитивного шума на входе системы синхронизации; k - номер отсчета.

Рис. 1. Структура ЦФ третьего порядка, применяемых в СФС

Условием асимптотической устойчивости подобных дискретных нелинейных систем, как отмечается в работе [4], является расположение нулей характеристических полиномов (корней характеристических уравнений) их линейного приближения на комплексной плоскости внутри единичной окружности. Поскольку характеристическое уравнение исследуемой ЦСФС имеет высокий порядок, выражения для его корней в явном виде получены быть не могут. В этих условиях для определения областей асимптотической устойчивости рассматриваемой ЦСФС целесообразно применить разработанный в теории автоматического регулирования метод ^-разбиения [5], несколько видоизменив его применительно к анализу дискретных систем, описываемых в операторной форме с помощью Z- преобразования.

2. Исследование асимптотической устойчивости методом .О-разбиения

При отсутствии шума (пш = 0) и в предположении sin(•) = (•) (в линейном приближении) уравнение (1) принимает вид

у ^ ] - (3 - ^)у ^ -1] + (3 + ^)у ^ - 2] - (1 - ^)у ^ - 3] =

= ] - 3-1] + 3ф[k - 2] -ф[k - 3].

Тогда передаточная функция линеаризованной системы по фазовой ошибке Hуз (г) определяется по временному алгоритму (2) как

, 3 -1 , 3 -2 -3

гг I \ 1 - 3г + 3г - г

Н у 3 (г) 1 2 3

4 1 -(3-^)г-1 + (3 + k2)z-2 -(1 -^)г-3

z3 - 3z2 + 3z -1

z3 -

В соответствии с (3) характеристическое уравнение исследуемой ЦСФС имеет вид

Задачей анализа является выявление области значений параметров ^, k2, kз, при которых все корни уравнения (4) на комплексной плоскости находятся внутри единичной окружности.

Для решения этой задачи трансформируем границу устойчивости на комплексной плоскости в плоскость, задаваемую уравнением единичной окружности

где ю0 = 2 п ///д - безразмерный аргумент образующего единичного радиус-вектора.

Подстановкой (5) в (4) в результате получим

Воспользовавшись формулой Эйлера, последнее уравнение можно записать в виде

Приравнивая нулю действительную и мнимую части последнего выражения, получаем систему уравнений относительно k\, , а k-$ выделяем

в качестве фиксированного параметра:

Ík1cos2ro0 + k2Cosю0 =-cos3ro0 + 3cos2ro0 -3cosю0 +1 -k3, i (6) [ki sin 2Ю0 + k2 sin Ю0 = - sin ЗЮ0 + 3 sin 2Ю0 - 3cos Ю0.

Определители этой системы имеют вид

z3 - (3 - k1)z2 + (3 + k2)z - (1 - k3) = 0 .

z = exp j Ю0 ),

exp j 3юо) - (3 - k1)exp j 2юо) + (3 + k2)exp j Ю0) - (1 - k3) = 0.

cos 3Ю0 -(3 -k1)cos 2Ю0 + (3 + k2)cos 3ю0 -(1 -k3) + +j[sin 3^0 - (3 - k1) sin 2^0 + (3 + k2)sin Ю0] = 0.

cos2ro0 cos ю 0

sin 2ю0 sin Ю0

sin Ю0;

(-cos3юо + 3cos2юо - 3cosЮ0 -k3 + 1) cosю0

= -(2 + k3 -2cosЮо)sinЮ0 ;

cos 20

sin20

= 2[1 + (k3 -1) cos ©о ]sin©0 .

На основании выражений (7)-(9) можно записать выражения для решения системы (6):

Соотношения (10), (11) представляют собой параметрические уравнения кривой ^-разбиения в плоскости параметров ^ и k2 при фиксированном

тельно Юо функций, представленных в правых частях соотношений (10) и

^-кривой (в плоскости параметров ^ и k2 при фиксированном параметре

Избавимся от параметра Ю в выражениях (10) и (11). Из (10) находим

ко - к + 2

сое Юо =---------------2------

Подставляя последнее равенство в (11), получаем

Последнее выражение представляет собой уравнение кривой ^-разбиения в явном виде. Из (12) видно, что уравнение ^-кривой в плоскости параметров ^ и k2 при фиксированном параметре kз представляет собой прямую, которая в зависимости от kз имеет разный угол наклона и разное смещение по оси k2.

Из анализа определителей (8)-(10) видно, что они обращаются в ноль при Ю0 = 0 и Ю0 = я. Это говорит о наличии на диаграмме ^-разбиения двух особых прямых. Уравнение первой из них, соответствующей Ю0 = 0 , получается путем подстановки в (4) значения г = ехр( у 0) = 1 и имеет вид

Аналогично уравнение второй особой прямой находится с помощью подстановки г = ехр( у я) = -1 в (4):

параметре kз в интервале (0 -^я). Ввиду четности и периодичности относи-

(11), при изменении Ю0 в диапазоне (я^2я) получается та же ветвь

kз), что и при юе (0 -^я), пробегаемая в обратном направлении.

После упрощения:

к2 = к1 (к3 - 1) _ к3 I1 + к3 ) .

1 -(3 - к1 )1 + (3 + к2 )1 -1 + к3 = 0,

к2 = -к1 - к3 .

1 + (3 - к1 )1 -(3 + к2 )1 -1 + к3 = 0, к2 = к1 + к3 - 8 .

Рассмотрим общие закономерности, присущие выражениям (12), (13) и

(14). Положим в (13) и в (14) kз = 0, тогда графики особых прямых в плоскости параметров . и k2 будут иметь вид, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Диаграмма .О-разбиения в плоскости параметров . и .2 при kз = 0

После подстановки (13) в (14) точка пересечения особых прямых будет

. - .3 = 4.

При kз = 0 . = 4, а k2 =-4 (рис. 2). С ростом или уменьшением kз первая особая прямая (13) соответственно опускается или поднимается параллельно самой себе. Вторая особая прямая с ростом kз поднимается, а с уменьшением kз опускается параллельно самой себе. Так, в плоскости kз = 2 особые прямые будут иметь вид, показанный на рис. 3.

Точка пересечения первой и второй прямых при kз = 2 будет

. = 4 - kз = 2, k2 =-..1 - kз = - 4.

Точка пересечения двух особых прямых при фиксированном .3 в общем случае будет (15).

При этом .2 можно найти либо из (13), либо из (14).

Сама О-кривая в соответствии с (12) при .3 = 0 будет иметь вид .2 = .1, т.е. будет совпадать с первой особой прямой. На рис. 2 она показана штриховой линией.

При .3 = 2 О-кривая совпадает со второй особой прямой, что показано штриховой линией на рис. 3.

С ростом .3 от нуля до двух О-кривая (в данном случае прямая) будет поворачиваться против часовой стрелки. Найдем значение .3 , при котором

О-кривая будет параллельна оси .1. Для этого в (12) положим .3 -1 = 0 , отсюда .3 = 1 . Эта ситуация показана на рис. 4.

Рис. 3. Диаграмма .О-разбиения в плоскости параметров к1 и к2 при к3 = 2

Рис. 4. Диаграмма О-разбиения в плоскости параметров к1 и к2 при к3 = 1

Штриховка кривых О-разбиения и особых прямых выполнена на основании анализа знака главного определителя, задаваемого выражением (7) по правилам, приводимым в [5], для непрерывных систем, с той лишь разницей, что диапазон изменения Ю является не -^ 0 , а 0 ^п^2п.

Так, на рис. 4 точка А с координатами к1 = 1 и к2 =-2 соответствует Ю0 = 0 и получена из выражений (10), (11). Точка В с координатами к1 = 5 и

.2 = -2 соответствует ^0 = я. При движении от А к В знак главного определителя (7) отрицательный, значит, штрихуется правая сторона О-кривой. При изменении ^0 от я до 2я движение осуществляется в обратном направлении от точки В к точке А, знак главного определителя положительный и штрихуется левая сторона О-кривой, т.е. отрезок АВ штрихуется дважды.

Штриховка особых прямых осуществляется в соответствии со штриховкой О-кривой, причем одновременно заштрихованные или одновременно не заштрихованные стороны кривой и прямой располагаются навстречу друг

Таким образом, зона устойчивости ЦСФС третьего порядка располагается внутри треугольника АВС (рис. 4). Причем точка пересечения первой особой прямой (13) с О-кривой (точка А) при фиксированном .3 в общем

случае будет .1 (£3 -1) - .3 (1 + .3) = -.1 - .3 , откуда

Точка пересечения особых прямых в таком случае определяется выражением (15), а точка пересечения второй особой прямой (14) с О-кривой

Итак, исходя из построения области устойчивости, на рис. 4 с учетом

(15), (16) и (17) условие устойчивости для ЦСФС третьего порядка выражается следующим образом:

Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего анализа характеристик рассмотренного класса ЦСФС в предположении их действительной нелинейности и наличия шума.

1. Султанов, Б. В. Математические модели цифровых систем фазовой синхронизации с равномерной дискретизацией / Б. В. Султанов, М. А. Щербаков, В. Е. Захаренков, В. В. Дорошкевич // Цифровая обработка сигналов и ее применение : доклады 4-й Международной конференции (Москва, 27 февраля - 1 марта 2002 г.). - М., 2002. - Т. 1. - С. 106-109.

2. Бочков, В. К. Двухпроводный дуплексный модем / В. К. Бочков и др. // Электросвязь. - 2000. - № 7. - С. 35-38.

3. Султанов, Б. В. Применение цифровых систем фазовой синхронизации для измерения сдвига частоты гармонического сигнала на фоне шума / Б. В. Султанов // Радиотехника. - 2000. - № 9. - С. 21-26.

другу.

-.3 (1 + .3) = .1 + .3 - 8, откуда

к = 4 + к3 .

0 < к3 < 2,

к1 (к3 - 1)- к3 I1 + к3 )> к2 >

-к - к3 при к3 < к1 < 4 - к3, к1 + к3 - 83 при 4 - к3 < к1 < 4 + к3.

Заключение

Список литературы

4. Султанов, Б. В. Анализ цифровых систем фазовой синхронизации на основе функциональных разложений Вольтера / Б. В. Султанов, М. А. Щербаков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2002. - 172 с.

5. Егоров, К. В. Основы теории автоматического регулирования / К. В. Егоров. -М. : Энергия, 1967. - 648 с.

Колготин Павел Вячеславович инженер, Центр специальной связи и информации ФСО России в Пензенской области

E-mail: mr_jok@rambler.ru

Колотков Александр Юрьевич ассистент, кафедра информационной безопасности систем и технологий, Пензенский государственный университет

E-mail: ibst@pnzgu.ru

Дорошкевич Виктор Вениаминович

ассистент, кафедра информационной безопасности систем и технологий, Пензенский государственный университет

E-mail: ibst@pnzgu.ru

Румянцева Нина Борисовна

программист, кафедра информационной безопасности систем и технологий, Пензенский государственный университет

E-mail: ibst@pnzgu.ru

Зефиров Сергей Львович кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой информационной безопасности систем и технологий, Пензенский государственный университет

E-mail: ibst@pnzgu.ru

Султанов Борис Владимирович

доктор технических наук, профессор, кафедра информационной безопасности систем и технологий, Пензенский государственный университет

E-mail: ibst@pnzgu.ru

Kolgotin Pavel Vyacheslavovich Engineer, Center of Special Communication and Information, Federal Protective Service of Russia in Penza region

Kolotkov Alexander Yuryevich Assistant, sub-department of information security of systems and technologies, Penza State University

Doroshkevich Viktor Veniaminovich Assistant, sub-department of information security of systems and technologies, Penza State University

Rumyantseva Nina Borisovna Programmer, sub-department of information security of systems and technologies,

Penza State University

Zefirov Sergey Lvovich

Candidate of engineering sciences, associate

professor, head of sub-department

of information security of systems

and technologies, Penza State University

Sultanov Boris Vladimirovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of information security of systems and technologies,

Penza State University

УДК 681.511.42 Колготин, П. В.

Исследование асимптотической устойчивости систем фазовой синхронизации с равномерной дискретизацией / П. В. Колготин, А. Ю. Колот-ков, В. В. Дорошкевич, Н. Б. Румянцева, С. Л. Зефиров, Б. В. Султанов //

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 187-195.