Конгруэнции полигонов над группами

Библиографический список

1. Hardy G. H, Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number n// Quart. J. Math. 1917. Vol. 48. P. 76-92.

2. Tanenbaum G., Mendes France M. The prime numbers and their distribution. Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2000. 115 p.

3. Froberg C.-E. On the prime zeta function // BIT 8. 1968. P. 187-202.

4. Федоров Г. В. Верхнее предельное значение функции делителей с растущей размерностью // Докл. АН. 2013. Т. 452, № 2. С. 141-143. DOI: 10.7868/S086956521327 0042.

On a Number of Prime Divisors of an Integer with Bounded Multipleness

G. V. Fjodorov

Moscow State University, Russia, 119991, Moscow, Leninskie Gory st., GSP-1, fedorov@mech.math.msu.su

In this article generalisations of numeric functions related to a number of prime divisors of a given number are investigated. Upper and lower limit values of a number of prime divisors of a bounded power of integer are obtained.

Key words: devisor function, Mersenne theorem, prime zeta function.

References

1. Hardy G. H, Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number n. Quart. J. Math., 1917, vol. 48, pp. 76-92.

2. Tanenbaum G., Mendes France M. The prime numbers and their distribution. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2000, 115 p.

YAK 512.579

3. Froberg C.-E. On the prime zeta function. BIT 8. 1968. P. 187-202.

4. Fedorov G. V. The upper limit value of the divisor function with growing dimension. Doklady Math., 2013, vol. 88, no. 2, pp. 529-531. DOI: 10.1134/S1064562413 050074.

КОНГРУЭНЦИИ ПОЛИГОНОВ НАД ГРУППАМИ

А. Р. Халиуллина

Аспирант кафедры высшей математики № 1, Национальный исследовательский университет «МИЭТ», Москва, Зеленоград, haliullinaar@gmail.com

Получено полное описание конгруэнций полигонов над группами. Ключевые слова: полигон, конгруэнция, группа.

ВВЕДЕНИЕ

Полигоны над полугруппой, т.е. множества, на которых действует полугруппа, возникают в разных разделах алгебры и ее приложений. Понятие полигона является алгебраическим выражением понятия автомата (см. [1] и [2, гл. 6]), точнее, автомата Мура, т.е. автомата без выхода. Теория полигонов является довольно молодым разделом общей алгебры, а теория конгруэнций полигонов вообще находится на начальной стадии развития. А. Ю. Авдеевым и И. Б. Кожуховым в [3] было дано описание полигонов над регулярными рисовскими матричными полугруппами М0(С,/,Л,Р) (т.е. вполне 0-простыми полугруппами). Все правые конгруэнции на этих полугруппах были описаны Р. Оэмке в [4]. Это можно считать описанием конгруэнций свободного циклического полигона над вполне 0-простой полугруппой. Описание конгруэнций произвольных полигонов над вполне 0-прос-тыми или вполне простыми полугруппами представляется довольно сложной математической задачей. Поэтому естественно рассматривать частные случаи таких полугрупп. Данная работа делает первый

© Халиуллина А. Р., 2013

133

шаг в построении теории конгруэнций полигонов над вполне (0-)простыми полугруппами. А именно нами описаны в теоретико-множественных и теоретико-групповых терминах все конгруэнции произвольного полигона над группой. Основными результатами являются теорема 2, сводящая описание конгруэнций произвольного полигона X над группой G к описанию конгруэнций унитарного полигона XG, а также теорема 5, устанавливающая общий вид конгруэнций унитарного полигона над группой.

Напомним, что полигон над полугруппой S или S-полигон (см. [5]) — это множество X, на котором задано действие полугруппы S, т.е. определено отображение X х S ^ X, (x, s) ^ xs, удовлетворяющее условию x(st) = (xs)t при x е X, s, t е S. Всякая полугруппа является полигоном над собой относительно действия S х S ^ S, (а,Ь) ^ аЬ. Этот полигон мы будем обозначать Ss. Конгруэнцией полигона X над полугруппой S называется такое отношение эквивалентности р на X, что (x, y) е р ^ (xs,ys) е р при всех x,y е X, s е S. Очевидно, конгруэнции полигона SS — это в точности правые конгруэнции полугруппы S.

Если полугруппа S имеет единицу e и для S-полигона X выполняется равенство xe = x при x е X, то полигон X называется унитарным.

Если G — группа, то описание конгруэнций полигона Gg хорошо известно. А именно пусть H — подгруппа группы G, не обязательно нормальная. Обозначим через G/H множество правых смежных классов Hg, где g е G. Положим Он = {(а, b) е G х G | На = Hb}. Нетрудно видеть, что Он является правой конгруэнцией группы G. Кроме того, любая правая конгруэнция р на группе G имеет вид р = Он, где H — некоторая подгруппа группы G. То есть разбиение на классы правой конгруэнции — это в точности разбиение группы G на правые смежные классы по некоторой подгруппе.

1. СВЕДЕНИЕ КОНГРУЭНЦИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОЛИГОНА НАД ГРУППОЙ К КОНГРУЭНЦИЯМ УНИТАРНОГО ПОЛИГОНА

Пусть X — полигон над группой G с единицей е. Очевидно, Y = XG = Xe — унитарный подполигон полигона X. Описание произвольных полигонов (в нашем случае — это X) сводится к унитарным полигонам (здесь — Y), как показывает следующее утверждение.

Предложение 1 [6, теорема 4]. Пусть Y — унитарный полигон над группой G, A — произвольное множество такое, что A П Y = 0, и у : A ^ Y — произвольное отображение. Определим умножение элементов а е A на элементы g е G следующим образом: а  g = у(а)д. Тогда множество X = Y U A будет являться G-полигоном. Кроме того, всякий G-полигон может быть получен таким образом.

Заметим, что в условиях предложения 1 мы имеем у(а) = ае для всех а е A.

Теперь мы можем описать все конгруэнции полигона над группой при условии, что известны конгруэнции унитарного полигона.

Теорема 2. Пусть X — произвольный полигон над группой G. По предложению 1 мы можем считать, что X = Y U A, Y = Xe (e — единица группы G), A П Y = 0. Пусть у : A ^ Y — отображение такое, что у(а) = аe при всех а е A. Пусть р — конгруэнция полигона Y и {K | i е I} — множество классов конгруэнции р. Выберем в каждом множестве у-1 (K^ какое-либо подмножество Zi (возможно, пустое) и разобьём оставшееся множество y-1(Ki)\Zi на какие-либо подмножества: у-1 (Ki)\Zi = Ujej Kj. Положим KQ = Ki U Zi,

p = U

i i j&Ji

Тогда р — конгруэнция полигона X. Кроме того, любая конгруэнция полигона X получается таким образом.

Доказательство. Докажем вначале, что отношение р, определённое по формуле (1), является конгруэнцией на X. Очевидно, р — отношение эквивалентности, причём р D р. Пусть (u,v) е р и g е G. Если u, v е K"i, то ue, ve е Ki, откуда (ue, ve) е р, а значит, (ug, vg) = (ue, ve)g е р Ç р. Если u, v е Kij, то также (ug, vg) е р.

Теперь нужно доказать, что любая конгруэнция на X имеет вид (1). Пусть a — конгруэнция полигона X. Ясно, что р = a П (Y х Y) — конгруэнция на Y.

Рассмотрим произвольный класс K конгруэнции р. Пусть Z = (a е A | Elx е K, (x,a) е a}. Докажем, что Z Ç (K). Имеем: (x, a) е a, откуда (xe, ae) е a. Так как xe = x, то (x, ae) е a, поэтому ae е Kj. Мы видим, что a е (Kj). Осталось доказать, что любые a-эквивалентные элементы a, b е A лежат в одном каком-либо множестве (Kj). Предположим, что ^(a) е Kj, а ^(b) е Kj. Тогда будем иметь: ae е Kj, be е Kj. Так как (a, b) е a, то (ae, be) е a. Но ae, be е Y, поэтому (ae, be) е р. Это означает, что i = j.

2. КОНГРУЭНЦИИ УНИТАРНОГО ПОЛИГОНА НАД ГРУППОЙ

Пусть S — полугруппа и F = (Xj | i е /} — семейство S-полигонов. Определим понятие копро-изведения полигонов Xj. Мы можем считать, что полигоны Xj не имеют попарных пересечений, т.е. Xj П Xj = 0 при i = j (если это не так, то следует вместо Xj взять их изоморфные попарно не пересекающиеся копии). Тогда множество X = (Jje/Xj будет называться копроизведением полигонов Xj, умножение на элементы подгруппы S осуществляется очевидным образом: если x е Uje/ Xj и s е S, то x е Xj при каком-то i е I; полагаем xs равным произведению x  s в Xj. Копроизведение

полигонов Xj обозначается следующим образом: Ц Xj.

je/

Пусть G — группа с единицей e, X — полигон над G. Тогда X = Xe U (X\Xe). Нетрудно проверить, что Xe — унитарный подполигон полигона X.

Лемма 3. Если G — группа, H — её подгруппа, то G/H — унитарный циклический G-полигон. Кроме того, всякий унитарный циклический полигон над группой G изоморфен одному из полигонов G/H, где H — подходящая подгруппа группы G.

Доказательство. Полигон G/H унитарный, так как Hg  e = Hg, если e — единица группы G. Элемент He — образующий этого полигона, так как He  g = Hg для любого g е G. Следовательно, G/H циклический.

Пусть X — произвольный унитарный циклический G-полигон. Тогда X = xoG, где xo — образующий элемент. Рассмотрим отображение ^ : G ^ X, g ^ xog. Очевидно, оно является гомоморфизмом G-полигонов. По теореме об изоморфизме G/ker ^ = X. Так как G — группа, то всякая правая конгруэнция на G определяется некоторой подгруппой H. Таким образом, G/H = X.

Также просто определяются все конгруэнции унитарного циклического полигона над группой. Лемма 4. Пусть G — группа, H — её подгруппа. Если H' — подгруппа группы G такая, что H ' D H, то отношение рн ' = {(Ha, Hb) | H 'a = H ' b} является конгруэнцией полигона G/H. Кроме того, всякая конгруэнция полигона G/H совпадает с одной из конгруэнций рн'.

Доказательство очевидно.

Рассмотрим теперь произвольные унитарные полигоны над группой. Пусть X — унитарный G-полигон (G — группа). Орбитой элемента x е X назовём множество xG = (xg | g е G} (см. [7, § 11а], где орбиты названы системами транзитивности). Множество X является объединением непересекающихся орбит. Всякая орбита является унитарным циклическим G-полигоном. Поэтому X = Ц Xj,

je/

Xj — орбиты. По лемме 3 Xj = G/Hj, где Hj — подгруппа группы G. Таким образом, всякий

унитарный полигон над группой G изоморфен копроизведению Ц G/Hj, где Hj — подгруппы.

je/

Следующая теорема описывает все конгруэнции произвольного унитарного полигона над группой.

Теорема 5. Пусть G — группа, Hj (i е I) — её подгруппы, X = Ц G/Hj. Пусть задано

ie/i

отношение эквивалентности a на множестве индексов I, для каждого i е I задана подгруппа Hj D Hj группы G, для каждой пары (i,j) е a заданы элементы ajj е G, причём aj-j = a-1, ajj ajk = ajk и Hj =a-1 Hj ajj. Тогда

р =

— конгруэнция полигона X. Кроме того, всякая конгруэнция полигона X имеет вид (2).

Математика

135

Доказательство. Положим X' = G/HПроверим, что отношение р, определённое по формуле (2), является конгруэнцией. Из соотношений aj ajk = а^ следует, что ац = e при всех i e I (здесь e — единица группы G), поэтому р рефлексивно.

Докажем, что р симметрично. Пусть (Hb, Hjc) е р, т.е. c e Hjа-1 b. Тогда c = ha-1 b, где h e Hj, откуда b = aj h-1c = aj h-1a-1 aj c e aj Hj а-1ау c = H'aj/c, а значит, (Hj c, H b) e р. Следовательно, р симметрично. Пусть (Hb, Hjc), (Hjc, Hkd) e р. Тогда c e Hja-1b и d e H'ka— c. Отсюда получаем:

d e Hk j1 Hj a-1b = Hk j1 Hj ajk j1 a-1 b = Hk Hk (aij ajk) 1 b = Hk

т.е. (Hjb, Hk d) e р, а значит, р транзитивно. Из определения (2) следует, что

(Hi b, Hj c) e р ^ (Hibg, Hj cg) e р

при любом g e G. Таким образом, р является конгруэнцией.

Осталось доказать, что любая конгруэнция полигона X имеет вид (2). Пусть т — конгруэнция. Положим т = т|x.. Тогда т — конгруэнция на Xi. Так как Xi = G/H', то по лемме 4 существует подгруппа H' D Hi такая, что Ti = {(Hib, Hic) | H'b = Hic}. Рассмотрим на множестве индексов I отношение a, где (i, j) e a ^ 3 x e X' 3 y e Xj (x, y) e т. Очевидно, a — отношение эквивалентности.

Пусть (i,j) e a и i = j. Тогда существует т-класс, пересекающийся с X' и Xj. Рассмотрим группу G, изоморфную группе G при изоморфизме g ^ g, причём G П G = 0. Для удобства будем считать, что X' = G/H', Xj = (G/Hj. Для элементов H'b, H'c e X' имеем: (H'b, H'c) e т ^ (H'b, H'c) e т ^ H'b = H'c. Аналогично (Hjb, Hj c) e т ^ Hj b = Hj c.

Пусть (H' u, Hj c) e т. Тогда (H',.//.,- vu-1 ) e т. Положим a = uv-1. Тогда (H', HTj a-1 ) e т. Возьмем любой элемент h e H'. Тогда (H' h, iîj a-1) e т, откуда (Hi5Hj a-1h-1 ) e т. Отсюда получаем:

Hj a-1 = Hj a-1h-1. Это влечёт, что h e aH'a-1, а значит, H' С aHj a-1. Аналогично доказывается

j j j i j

обратное включение. Таким образом, H' = aHja-1. Для произвольных элементов p, q e G имеем:

(Hp, H/jq) e т ^ (H', îqp-1) e т ^ Hja-1 = Hjqp-1 ^ q e Hja-1p.

Пусть K — произвольный класс эквивалентности отношения a. Зафиксируем элемент i e K. Для j e K обозначим через aj какой-нибудь элемент такой, что Hj =a-1 H'aj. Положим aj = a-1. Для j, k e K положим ajk = a-1aik. Тогда будем иметь

Hk =a-k1Hi aik = (aij ajk ) 1 Hi'aij ajk = a-k4-1Hiai1. a., = a-k1 Hi'ajk.

j j k

Таким образом, все требуемые условия для эквивалентности aj выполняются. Кроме того, имеем: (H'b, H'c) e т ^ c e Hj a--1 b, поэтому т = р.

Из только что доказанной теоремы можно получить общий вид всех фактор-полигонов произвольного унитарного полигона над группой.

Следствие. Пусть X = Ц G/H', р — конгруэнция на X. Пусть a — отношение эквивалент-

iei

ности на I, участвующее в формулировке теоремы 5. Выберем из каждогоa-класса по одному

элементу. Обозначим это множество представителей через M. Тогда X/р = Ц G/H'.

ieM

Библиографический список

1. Кудрявцев В. Б., Подколзин А. С., Ушчумлич Ш. 0-simple semigroups // Acta Cybernet. 2000. Vol. 14, Введение в теорию абстрактных автоматов. М. : Изд-во № 4 P 523-531

М°ск. ун та, 1985- 176 с. 4. ohemke r. h. Congruences and semisiplicity for Rees

2. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М. : Мир, 1985. 440 с. matrix semigroups // Pacif. J. Math. 1974. Vol. 54, № 2.

3. Avdeev A. Yu., Kozhuhov I. B. Acts over completely P. 143-164.

О. О. Щекатурова, В. А. Ярошевич. О свойствах булевых матриц

5. Kilp M., Knauer U, Mikhalev A. V. Monoids, acts гонах над полугруппами // Мат. заметки. 2010. Т. 87, and cathegories. Berlin; N. Y., 2000. 529 с. № 6. С. 855-866.

6. Максимовский М. Ю. О биполигонах и мультиполи- 7. Курош А. Г. Теория групп. М. : Наука, 1967. 648 с.

Congruences of Acts over Groups A. R. Khaliullina

National Research University of Electronic Technology (MIET), Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, pass. 4806, 5, haliullinaar@gmail.com

A complete description of the congruences of acts over groups is obtained.

Key words: act, congruence, group. References

1. Kudriavtsev V. B., Podkolzin A. S., Ushchumlich Sh. Vvedenie v teoriiu abstraktnykh avtomatov [Introdunction in abstract automata theory]. Moscow, MGU, 1985, 176 p. (in Russian).

2. Lallement G. Semigroups and combinatorial applications. New York, Wiley, 1979, 376 p.

3. Avdeev A. Yu., Kozhuhov I. B. Acts over completely 0-simple semigroups. Acta Cybernet, 2000, vol. 14, no. 4. pp. 523-531.

4. Ohemke R. H. Congruences and semisiplicity for Rees

matrix semigroups. Pacif. J. Math., 1974, vol. 54, no. 2. pp. 143-164.

5. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and cathegories. Berlin, New York, 2000. 529 p.

6. Maksimovskii M. Yu. Bipolygons and multipolygons over semigroups. Math. Notes, 2010, vol. 87, no. 5-6, pp. 834-843.

7. Kurosh A. G. Teoriia grupp [Group theory]. Moscow, Nauka, 1967, 648 p. (in Russian).

УДК 512.554+512.643

О СВОЙСТВАХ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ

О. О. Щекатурова1, В. А. Ярошевич2

1 Аспирант кафедры геометрии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, ot-vna@mail.ru 2Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 1, Национальный исследовательский университет «МИЭТ», Москва, v-yaroshevich@ya.ru

Рассматривается частичная полугруппа булевых матриц конечных размеров относительно операций конъюнктного и дизъюнктного умножений. Получена оценка соотношения числа векторов в строчном и столбцовых базисах. Найдены предми-нимальный, а также предпредминимальный и предмаксимальный в обобщённом смысле Я-классы. Исследуются свойства вторичных идемпотентов. Предложена гипотеза рекурсивного построения приведённых матриц.

Ключевые слова: булева матрица, конъюнктное произведение, дизъюнктное произведение, строчная оболочка, столбцовая оболочка, строчный ранг, столбцовый ранг, приведённая матрица, классы Грина, первичный идемпотент, вторичный идемпотент.

ВВЕДЕНИЕ

Назовём и — объединением, П — пересечением, а ' — дополнением. Обозначим <Мт хп, и, П,', 0,1) алгебру булевых т х п матриц с элементами из некоторой булевой алгебры <В, и, П,', 0,1). Операции П, и и ' определяются для матриц поэлементно. Матрицы 0 и 1, образованные целиком из нулей и единиц соответственно, дают нуль и единицу такой вторичной булевой алгебры. Для краткости вместо Мпхп будем писать Мп. Пусть символ М обозначает множество всех матриц конечных размеров, то есть М = ит пеМ Мтхп. В дальнейшем, если специально не оговорено, мы полагаем, что исходная булева алгебра двухэлементна, то есть В = {0,1}.

© Щекатурова О. О., Ярошевич В. А., 2013

137