Уточнение асимптотического поведения сложности сборки слов схемами конкатенации

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Москвин А.Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения // Нелинейная динамика. 2009. 5, № 3. 345-356.

2. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

3. Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287.

4. Matveev S. V., Fomenko А. Т. Constant energy surfaces of Hamiltonian systems, enumeration of three-dimensional manifolds in increasing order of complexity, and computation of volumes of closed hyperbolic manifolds // Rus. Math. Surveys. 1988. 43, N 1. 3-24.

5. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378-407.

6. Fomenko А. Т., Nikolaenko S.S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesies on the ellipsoid //J. Geom. and Phys. 2015. 87. 115-133.

7. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. Algebra and geometry through Hamiltonian systems // Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Ser. "Solid Mechanics and Its Application". Vol. 211 / Ed. by V.Z. Zgurovsky and V.A. Sadovnichii. Springer, 2014. 3-21.

8. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.

9. Кудрявцева E.A., Фоменко А.Т. Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Сер. матем. 2012. 446, № 6. 615-617.

10. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.

11. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Матем. сб. 1903. 24. 139-168

12. Борисов А.В., Мамаев И.С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара // // Матем. заметки.

1987. 70, № 5. 793-795.

13. Болсинов А.В. Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999.

14. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: РХД, 2005.

15. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ,

1988.

16. Kilin A.A. The dynamics of Chaplygin ball: the qualitative and computeral analysis // Regular and Chaotic Dynamics. 2001. 6, N 3. 291-306.

17. Козлов И.К. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2014. 205, № 4. 79-120.

Поступила в редакцию 27.05.2015

УДК 519.7

УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СЛОЖНОСТИ СБОРКИ СЛОВ СХЕМАМИ КОНКАТЕНАЦИИ

В. В. Кочергин,1 Д. В. Кочергин2

Исследуется задача о сложности сборки слов. Под сложностью слова понимается минимальное число операций конкатенации (склейки), достаточное для получения слова из однобуквенных слов над конечным алфавитом А (допускается многократное использование полученных слов). Пусть ЪсА(п) — максимальная сложность слова длины п над конечным алфавитом А. В работе установлено, что ЬсА(п) = п + (2 + о(1)) ") •

1 Кочергин Вадим Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, вед. науч. сотр. ИТПМ при МГУ, e-mail: vvkochQyandex.ru.

2Кочергин Дмитрий Вадимович — студ. 2-го курса мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kochdvQyandex.ru.

Ключевые слова: схемы конкатенации, цепочки слов, схемная сложность, функция Шеннона.

The problem of complexity of word assembly is studied. The complexity of a word means the minimal number of concatenation operations sufficient to obtain this word in the basis of one-letter words over a finite alphabet A (repeated use of obtained words is permitted). Let LcA(n) be the maximum complexity of words of length n over a finite alphabet A. In this paper

we prove that L^n) = ^ (l + (2 + o(l))^^) .

Key words: concatenation circuits, word chains, circuits complexity, Shannon function.

Асимптотическая постановка задачи синтеза управляющих систем [1] связана с изучением поведения той или иной функции Шеннона при растущем значении ее натурального аргумента. О. Б. Лу-пановым [2-4] найдена асимптотика функции Шеннона для сложности булевых функций во всех основных классах схем, включая классы формул и схем из функциональных элементов, построенных из элементов произвольного конечного полного базиса. С.А.Ложкиным [5] многие из этих оценок усилены, в частности установлены оценки, названные автором асимптотическими оценками высокой степени точности (которые условно можно трактовать как оценки, дающие не только асимптотику функции Шеннона, но и асимптотику остаточного члена) для класса формул, а также для схем из функциональных элементов в базисах специального вида. В случае класса схем из функциональных элементов над полным конечным базисом В установлены следующие нижняя и верхняя оценки3 функции Шеннона Ьв(п):

РВ-

п \ п J п \ п J

где рв — приведенный вес базиса [1], ж в = 1 в случае, когда базис В симметричный [5], и я в = О в остальных случаях. Приведенные оценки не дают ответа на вопрос, может ли коэффициент при (log п) jп в нижней оценке быть асимптотически равен 2 (или хотя бы асимптотически превышать 1 + £ для некоторого е > 0). В настоящей работе для похожей задачи — задачи сборки слов схемами конкатенации — такая возможность выявлена.

Определим меру сложности порождения (сборки) слов с помощью операции конкатенации (приписывания к одному слову другого), которая с небольшими модификациями известна и как длина цепочек слов (см., например, [6]), и как мультипликативная сложность слов (см., например, [7, 8]), и как аддитивная сложность слов (см., например, [9]).

Последовательность S слов (наборов) Т\,Т2,    ,тг = а из конечного алфавита А назовем схемой конкатенации [7], реализующей (вычисляющей) слово (набор) й, если для каждого г, г = 1, 2,... , г, слово fi можно представить в виде fj = /3^/3^, где для j = 1,2 либо — буква из алфавита А, либо ¡3i- = тт для некоторого т, удовлетворяющего условию т ^ г — 1. Сложностью LC(S) данной схемы S, реализующей слово а, назовем число г. Положим Lc(a) = minLc(S'), где минимум берется по всем схемам конкатенации, реализующим слово а в алфавите А. Величину Lc(a) назовем мультипликативной сложностью слова (набора) а в алфавите А. Отметим, что схему конкатенации в алфавите А можно рассматривать как схему из функциональных элементов [1], имеющую входов, на которые подаются буквы из алфавита А, а каждый элемент схемы реализует конкатенацию наборов, подаваемых на его входы.

Обозначим Wa(ti) множество всех слов в алфавите А длины п. Положим LcA(n) = maxLc(o;), где максимум берется по всем словам а из множества Wa(ti).

Задача нахождения асимптотики роста функции Шеннона LcA(n), характеризующей сложность сборки самого сложного слова длины п в алфавите А, является, по существу, "фольклорной", а ее решение впервые было опубликовано, по-видимому, в [10]. При аккуратном применении известных методов можно получить следующие нижнюю и верхнюю оценки:

log I+ (1 + о(1„») < «(„) < log,(: + (2 + о(1»«) . (2>

Если в оценках из (1) величину п представить как log log \Р(п)\, где Р(п) — множество всех булевых функций от п фиксированных переменных, а в оценках из (2) величину п представить

3 Здесь и везде далее, где не указано основание логарифма, имеется в виду логарифм по основанию 2. 7 ВМУ, математика, механика, №2

как (log\Wa(ti.)\)/log |у!|, то соотношения (1) для симметричного базиса и соотношения (2) дадут совершенно одинаковые4 оценки соответствующих функций Шеннона через мощности исследуемых классов, причем в обоих случаях нижняя и верхняя оценки отличаются лишь коэффициентами при втором слагаемом в скобках, асимптотически равными 1 и 2 соответственно. В настоящей работе для функции Шеннона сложности сборки слов схемами конкатенации этот "зазор" устранен — установлена нижняя оценка, имеющая точно такой же вид, что и верхняя оценка в соотношениях (2).

Теорема. При п —> оо для функции Шеннона сложности сборки слов схемами конкатенации в конечном алфавите А справедливо равенство

«<») = ks|A|^(l + <2 + 0<l))logloin

logn \ logn

Сначала для полноты картины установим оценки (2), а затем усилим нижнюю оценку до оценки требуемого вида. Пусть А = {а\,..., as}.

Верхняя оценка. Пусть t — натуральный параметр, значение которого определим позже. Построим схему конкатенации, вычисляющую некоторое слово а над алфавитом А длины п, удовлетворяющее условию Lc(a) = LcA(n).

Первая часть схемы вычисляет все слова длины t. Для этого потребуется не более (t — l)s* операций конкатенации. Вторая часть схемы, склеивая полученные слова длины t, вычисляет все множество из s2t слов длины 21 за s2t операций (по одной операции конкатенации на слово). Третья часть схемы собирает слово а из заготовок длины 21 и букв исходного алфавита с использованием не более \_n/(2t)\ +2t — 1 операций конкатенации. Таким образом, Ьд(п) ^ (t — 1) sb+s2t+ [n/(2i)J+2i-l.

Положив t = |_(logs n — 2 logs l°g n)/2j, при n —> оо получаем

+ 1

logsn \ logn \logn

Верхняя оценка доказана.

Нижняя оценка. При доказательстве нижней оценки под схемами конкатенации будем понимать схемы из функциональных элементов, на входы которых подаются буквы алфавита А, а каждый элемент схемы реализует конкатенацию подаваемых на его входы слов. Схему конкатенации будем называть минимальной, если никакая схема меньшей сложности не вычисляет то же самое слово. Обозначим через N^(1) число минимальных схем конкатенации со входами а\,... ,as сложности не более I. Верхние оценки на число схем из функциональных элементов, реализующих булевы функции (см., например, [11, § 3]), легко переносятся на случай схем конкатенации.

Лемма 1. Существует такая константа с (зависящая только от, числа букв в алфавите А), что для любого натурального I справедливо неравенство Na(1) ^ (cl)1.

С использованием леммы 1 стандартным образом устанавливается мощностная нижняя оценка функции Шеннона.

Лемма 2. Для любого е > 0 при всех достаточно больших значениях п справедливо неравенство

logsn V logn

Доказательство. Положим 1£ = , п (1 + (1 — е)loglogra ]. Установим, что lim = 0. В си-

iogs п log га у s

лу леммы 1 при всех достаточно больших значениях п выполняются соотношения

Na(1£) п ( , . log log , , , ... . . ..n log log п

logsn \ log n J s s s log n

Неравенство Na(1£) < sn влечет оценку LcA(n) > le. Лемма 2 доказана.

Нижняя оценка из (2) непосредственно следует из леммы 2 в силу произвольности е. Уточнение нижней оценки проведем для двухбуквенного алфавита {0,1}, общий случай рассматривается аналогично.

4 С точностью до наличия множителя рв в неравенствах (1). При этом если в задаче сборки слов схемами конкатенации разрешить использование многовходовых операций конкатенации с приписанными таким операциям весами или стоимостями, то аналогичный мультипликативный коэффициент появится и в соотношениях (2).

Положим к = к(п) = min{t | 2г + t — 1 ^ п}. В случае, когда п =

2к

+ к (п) — 1, обозначим

через В(п) множество всех двоичных слов де Брёйна [12] порядка к(п) (т.е. множество всех слов длины

2к

+ к(п) — 1, в которых все

2к

подслов длины к

+ к(п) — 1 определим

множество В(п) как множество всех слов длины п, в которых все п — к(п) + 1 слов длины к(п) различны. Отметим, что множество В(п) содержит множество всех подслов длины п во всех словах множества В (2fc(ra) +к{п) - 1).

Лемма 3. При всех натуральных п выполняется неравенство \В (п)\ ^ 2ra/2-logra.

Доказательство. Очевидно, что 2к<уП^~1 + к{п) — 1 ^ п ^ 2fc(-ra) + к(п) — 1. Если

2к

^ п ^

2к(п) + к(п) — 1, то |В (п) | = 22?с(п) 1. В этом случае нужная оценка следует из соотношений

2к(п)-1 = 1 j'2к(п) + _ ^ _ 1 _ 1) ^ _ I logn + I > _ I logn.

При 2fc(ra)-1 + А;(п) — 1 ^ п < 2fc(ra) требуемая оценка извлекается из рассуждений, используемых при доказательстве теоремы 9.3.2 из [12]. Лемма 3 доказана.

Для произвольного натурального г ^ 2 определим величину г' = г'(г) равенством г1 = г/2 в случае, когда г является степенью двойки, и равенством г' = \г/2\ + 1 в противном случае. Среди всех бинарных корневых деревьев с г листьями (вершинами степени 1) выделим какое-либо дерево, в котором ровно г' вершин смежны с листьями. Назовем это выделенное дерево каноническим,.

Пусть а € В(п), a S — некоторая минимальная схема конкатенации для слова а. Рассматривая S как схему из функциональных элементов, каждую из вершин v схемы отнесем к одному из двух множеств в зависимости от длины А(г>) вычисляемого в вершине (на входе схемы или в функциональном элементе) v слова:

Vi = {v € 5 | A(v) 4 k(n) - 1}, V2 = {v eS | A(v) ^ k(n)}.

Обозначим через R = R(S) число всех ребер в схеме S, у которых начальная вершина лежит в множестве V\, а конечная — в В силу определения множества В(п) из каждой (отличной от выхода) вершины множества ДО выхода существует единственный ориентированный путь. Поэтому соединения множества вершин V2 в схеме образуют бинарное корневое дерево с II листьями, находящимися в множестве V\, при этом листья могут быть "склеенными", т.е. из одной вершины, лежащей в множестве V\, может идти несколько ребер в вершины множества V2. Очевидно, что справедливо равенство \V2\ = R — 1. При изменении структуры этого бинарного корневого дерева с сохранением порядка "подключения" к листьям получается другая минимальная схема для слова а. Теперь среди всех получающихся таким образом минимальных схем выделим схему, в которой множество вершин V2 образует каноническое бинарное корневое дерево с II листьями. Такую схему будем также называть канонической.

В канонической схеме S множество вершин (функциональных элементов) V2 разобьем на два подмножества V2' и к множеству V2' отнесем вершины, смежные с вершинами из множества V\, а к множеству V^ — все остальные вершины из V2.

Лемма 4. При всех достаточно больших значениях п для любой минимальной схемы S, вычисляющей слово из множества В(п), справедливы неравенства

п + 3nloglogn

log п log п log п

Доказательство. Верхняя оценка непосредственно следует из соотношений R(S) = \ V2\ + 1 ^ LC(S) и установленной верхней оценки функции Шеннона. Нижняя оценка следует из неравенств R(S) ^ fc(-r^_1 и п ^ 2fc(ra)_1 + k(n) — 2. Лемма 4 доказана.

Обозначим через N(1, п, г) множество схем конкатенации S, удовлетворяющих следующим условиям: 1) схема S вычисляет некоторое слово из множества В(п); 2) схема S является минимальной; 3) схема S является канонической; 4) выполняется неравенство LC(S) ^ ¿; 5) выполняется равенство R(S) = г, а через N(1, п) — множество схем, удовлетворяющих первым четырем из этих условий.

Лемма 5. Найдется такая константа с > 0, чт,о при всех дост,ат,очно больших значениях п справедливо неравенство

log^n J \ п

Доказательство. Учитывая лемму 4 и верхнюю оценку функции Шеннона, без ограничения общности можно считать, что выполняются соотношения < г I т——Ь 3nlog.!ogn а также

' log п ^ ^ log п log^ га 1

неравенство I — г ^ (log log п)/2.

Сначала оценим сверху величину |N'(1, п,г) |, где N'(1, п, г) — подмножество схем S из множества N(l,n,r), удовлетворяющих условию LC(S) = I.

Пусть S € N'(l,n,r). Для этой схемы информация о том, выходы каких элементов подаются на произвольный элемент из множества V^", однозначно определяется значением параметра г, а на входы всех остальных элементов (кроме, быть может, одного входа одного элемента из множества V2) подаются либо выходы функциональных элементов из множества V\, либо входы схемы (также входящие в множество V\).

Занумеруем произвольным образом числами от 1 до \V\\ — 2 функциональные элементы из множества V\, а числами от \V\\ — 1 до \V\ \ + \ — 2 — все элементы из множества V^- Схеме S с введенной нумерацией невходовых вершин из множества V\ U V2' сопоставим таблицу из | V\ | +1V2' I ~~ 2 строк и двух столбцов, указав на пересечении г-й строки и j-го столбца, выход какого элемента или какой вход подается на j-й вход г-го элемента. При различных нумерациях описанного вида получаются разные таблицы (способ доказательства этого факта можно найти в [14]). Поэтому, учитывая равенства IV2I = г — 1, \V\\ = I — г + 3, = г'(г) и = г — г'(г) — 1, имеем

IN'd п r)\ < m\)2mi+ini~2) =

(1^1-2)1(1^1)! (I — г + 1)!(г')! "

(Mr/2)) 4(¿_r)t

^ (l-r)l-r (r/2y/l ^ Гг/2 ^ / \ г/2

ol — r Qr/2 I ,

\ logra

где С1,С2,Сз — некоторые константы. Просуммировав оценки величины \N'(l',n,r)\ по всем I', не превосходящим I, получаем требуемую оценку. Лемма 5 доказана.

Лемма 6. При всех достаточно больших значениях п для любой минимальной схемы конкатенации S, вычисляющей слово из множества В(п), справедливо неравенство

R(S) > П +(l- 4l-0gl0gl0gn^ nl°Sl°Sn

log n \ log log n J log n

Доказательство. В минимальной схеме конкатенации S, вычисляющей некоторое слово из множества В(п), множество вершин (функциональных элементов) V\ разобьем на два подмножества V{ и V/': к множеству V^ отнесем вершины, смежные с вершинами из множества V2, а к множеству V/' — все остальные вершины из V\. В свою очередь множество вершин V{ разобьем на два подмножества V/(l) и V/(2) в зависимости от длины А(г>) вычисляемого в вершине v слова:

V[{1) = {ve V[ I X(v) > Ao}, V((2) = {ve V[ I \{v) < A0},

где Ao = log n — log log n + 3 log log log n.

Для каждой вершины v схемы S обозначим через d(v) степень ветвления выхода расположенного в этой вершине элемента (т.е. полустепень исхода этой вершины). Тогда

™ = Еd(v)\(v)< ( Е Ф))(ад-1)+( E^W^+f Е

Кроме того,

Введя обозначение

R(S)= Е ф) + Е d{v).

v£V{

Т=

ЧеУ/С!) ' \&V{

получаем

Следовательно,

£ d(l'>>iogn+V- R(g> = 41 Е «м-

кеУ/а) 6 vev-l

ад>» п

+А0

Для произвольной вершины V из множества V/ выполняется неравенство с?(г>) ^ так как любое слово длины Л, Л < к, встречается в слове де Брёйна порядка к ровно 2к~х раз. С использованием указанного неравенства получаем

£ Ф)

\у(1)\ > > п 2 т > 2 т

2к(п)~Ло " 2fc(™) Т log п + Ло " 2(т log п + Ло)' Теперь докажем, что при всех достаточно больших значениях п справедливо неравенство

Т < (loglogп)-1.

С учетом леммы 4 имеем

ГС(Я) > lT/'mUlT/l + 1 - lT/'mU ШЪ > n i T(loglogn)2 nloglogn

L (S) > 1^(1)1 + \V2\ + 1 - |Vi(l)| + R(S) > ^ + 2(T + 1}--j^--

Но последняя сумма при выполнении противоположного неравенства Т > (log log п)-1 противоречит установленной верхней оценке теоремы, что и доказывает нужное неравенство.

Теперь утверждение леммы следует из справедливости при всех достаточно больших п цепочки соотношений

__> n(T + 1)__n_ = n(logn - Лр) >

logn ^ Tlogn + Ло logn logn(Tlogn + Ло) ^ ^ n log log n (log log п — 3 log log log n) ^ n log log n ( log log log n ^ log2n(loglogn +1) ^ log2n V log log n

Лемма 6 доказана.

Переходя к непосредственному доказательству нижней оценки теоремы, положим Lc(B(n)) = maxLc(a), где максимум берется по всем словам а из множества В(п). В силу очевидного неравенства Lc(n) ^ Lc(B(n)) достаточно получить требуемую нижнюю оценку для величины Lc(B(n)).

Для произвольного положительного е положим l£ = + (2 — е) • Установим, что

г N&>n) П

lim I р / м =

со \В(п)\

Используя леммы 3-6, получаем

^ п_ | 1 + (2-g) 1оё1о§та j (log n — 2 log log n + log log log n + log(2c)) +

\B(n)\ logn \ logn

— + f 1 - 4l0fl0fl0gn) I^gZA (loglogn-logn)-f- - logn) = (-,+0(1))^^. 2 Vlogn V log log n J log 2n J B J v y " log n

Неравенство N(le,n) < \B(n) \ влечет оценку Lc(B(n)) > le. Отсюда в силу произвольности е следует окончательная оценка.

Нижняя оценка, а с ней и вся теорема доказаны.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-00598.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Лупанов О.Б. Об одном методе синтеза схем // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. 1, № 1. 120-140.

3. Лупанов О.Б. О синтезе контактных схем // Докл. АН СССР. 1958. 119, № 1. 23-26.

4. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматлит, 1960. 61-80.

5. Ложкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Наука, 1996. 189-214.

6. Arnold А., Brlek S. Optimal word chains for the Thue-Morse word // Inform, and Comput. 1989. 83, N 2. 140-151.

7. Мерекин Ю.В. Нижняя оценка сложности для схем конкатенации слов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. 3, № 1. 52-56.

8. Кочергин В.В. О мультипликативной сложности двоичных слов с заданным числом единиц // Математические вопросы кибернетики. Вып. 8. М.: Наука, 1999. 63-76.

9. Потапов В.Н. Аддитивная сложность слов с ограничениями на состав подслов // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2004. 11, № 1. 52-78.

10. Strassen V. Berechnungen in partiellen Algebren endlichen Typs // Computing. 1973. 11. 181-196.

11. Лупанов О. Б. Об одном подходе к синтезу управляющих систем — принципе локального кодирования // Проблемы кибернетики. Вып. 14. М.: Наука, 1965. 31-110.

12. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

13. de Bruijn N. G. А combinatorial problem // Ned. Akad. Wetensch. Proc. 1946. 49. 758-764.

14. Конспект лекций О. Б. Лупанова по курсу "Введение в математическую логику" / Отв. ред. А. Б. Угольников. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.

Поступила в редакцию 29.05.2015

УДК 517.518

ОБ УСЛОВИИ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА СО СЛАБЫМ АНАЛОГОМ СВОЙСТВА ОРТОНОРМИРОВАННОСТИ

В. В. Галатенко1, Т.П. Лукашенко2, В. А. Садовничий3

Для функциональных рядов со слабым аналогом свойства ортогональности получено условие сходимости почти всюду, аналогичное условию Меныпова-Радемахера. Следствиями являются результаты о сходимости почти всюду рядов по системам Рисса, системам Гильберта, системам Бесселя и по фреймам.

Ключевые слова: сходимость почти всюду, условие Меныпова-Радемахера, системы Рисса, системы Гильберта, системы Бесселя, фреймы.

The almost everywhere convergence condition similar to the Menchoff-Rademacher condition is obtained for functional series with some weak analogue of the orthogonality property. As a corollary, the results of almost everywhere convergence of series with respect to Riesz systems, Hilbert and Bessel systems, and frames are obtained.

Key words: almost everywhere convergence, Menchoff-Rademacher condition, Riesz systems, Hilbert systems, Bessel systems, frames.

В теории ортогональных рядов известна теорема Меныпова-Радемахера (см. [1, гл. 9, § 1; 2, гл. 5, § 3; 3, гл. 2, § 3]) об условии сходимости почти всюду рядов по ортонормированным системам. В настоящей работе доказана аналогичная теорема для функционального ряда со слабым аналогом свойства ортогональности. Как следствия получены результаты о сходимости почти всюду рядов по некоторым функциональным системам, в том числе по системам Рисса, системам Гильберта, бесселевым системам и по фреймам.

1 Галатенко Владимир Владимирович — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgalatïmscs.msu.ru.

2Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenkomail.ru.

3 Садовничий Виктор Антонович — акад. РАН, зав. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, ректор МГУ, e-mail: inforector.msu.ru.