О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик

УДК 514.765

Д.Н. Оскорбин, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова

О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик*

D.N. Oskorbin, E.D. Rodionov, О.P. Khromova

About Calculation of the Spectrum of the Curvature Operator of Conformally (Half-)Flat Riemannian Metrics

Найден спектр оператора секционной кривизны многообразий с конформно (полу)плоской ри-мановой метрикой, исследован спектр оператора секционной кривизны трехмерных локально однородных римановых многообразий.

Ключевые слова: римановые многообразия, конформные (полу)плоские метрики, оператор кривизны.

БОЇ 10.14258/І2Уа8и(2013)1.2-04

The spectrum of the sectional curvature operator on manifolds with conformal (half-)flat Riemannian metrics was found, and the spectrum of the sectional curvature operator on 3-dimensional locally homogeneous Riemannian manifolds was investigated.

Key words: Riemannian manifolds, conformal (half) flat metrics, curvature operator.

Введение. Исследование римановых многообразий с конформно (полу)плоской римановой метрикой, т.е. римановых многообразий, у которых тривиален тензор Вейля или часть его компонент, является актуальной задачей римановой геометрии в целом. Это обусловлено последними результатами по конформно (полу)плоским римановым многообразиям с метрикой Эйнштейна [1].

Спектры дифференциальных операторов на римановых многообразиях интенсивно изучаются в последнее время. В этом направлении известны работы М. Каца, К. Гордон, В.Н. Берестов-ского, В.А. Шарафутдинова и др. (см. подробнее: [2-4]). В частности, известны исследования по теме: «Как услышать форму барабана?» или насколько однозначно можно восстановить римано-ву метрику многообразия по спектру дифференциального оператора.

1. Обозначения и факты. Пусть (М, д) - ориентированное риманово многообразие размерности п; X, У, Z, V - векторные поля на М. Обозначим через V связность Леви-Чивита и

*Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ—921.2012.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457) и гранта ФЦПК (Соглашение № 8206, заявка № 2012-1.1-12-000-1003-014), программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» на 2012—2016 годы «Развитие Алтайского государственного университета в целях модернизации экономики и социальной сферы Алтайского края и регионов Сибири».

через R(X,Y)Z = [Уу, Vх\% + У[х,у}^ - тензор кривизны Римана. Тензор Риччи г и скалярную кривизну в определим соответственно как г(Х, У) = іт(У —> И(Х, У)У) и в = іг(г). Разделим тензор кривизны Д на метрический тензор д в смысле произведения Кулкарни-Номидзу [1], получим тензор Вейля ТУ и тензор одномерной кривизны А:

К =\¥ + Ад,

где (А©д)(Х,¥,г,У) = А{Х,г)д{У,У) +

А{¥, У)д

А (’’ “ 25ГГЇ)) ’ И

или в координатном виде

= ^2

Определение. Риманово многообразие (М,д) называется конформно плоским, если его тензор Вейля тривиален.

Риманова метрика д индуцирует скалярное произведение (•, •} в слоях пространства расслоения АРМ по правилу

(Хі А ... А Хр, ¥г А ... А ¥р)х = det(дх(Хі, У,-)).

Тогда для любого числа р, 0 < р < п определим оператор Ходжа * как единственный изоморфизм векторных расслоений * : А?М —> Л"~РМ, для которого

(*а, (3) уо1 = а А (3

для любых а,/3 Є AgM, х Є М), где vol — форма объема на М.

При dim М = 4 и р = 2 оператор Ходжа задает эндоморфизм на А2М такой, что *2 = Id. Отсюда

А2ХМ = Л+  Ах ,

где Л+ и Л" обозначают соответственно собственные пространства, отвечающие собственным значениям + 1 и —1 оператора *.

Риманову тензору кривизны Д в любой точке многообразия М можно поставить в соответствие оператор 72. : А2М —> А2М, определяемый равенством

где Нх{Х,У,Т,У) = дх(ЩХ,У)Т,У).

Матрицу оператора кривизны 72. относительно разложения (4) можно представить в блочном виде [5]:

П-

ТУ+ + f^Id z

Z1 W- + £Id

где ТУ+ и ТУ- — матрицы автодуальной и антиавтодуальной составляющих тензора Вейля ТУ.

Согласно (1) можем записать

П-

—Id 121U z ) 1 f ТУ+ 0

Zt ПМ J I 0 ТУ“

где первая матрица соответствует произведению А@д, а вторая — тензору Вейля ТУ.

Определение. Ориентируемое риманово многообразие (М4,д) называется конформно полуплоским, если автодуальная или антиавто дуальная составляющая его тензора Вейля тривиальна.

Рассмотрим ортобазис {еі, Є2,..., е„} в некоторой точке х Є М, в котором одновременно диа-гонализируемы оператор Риччи и оператор одномерной кривизны. Он существует, так как эти операторы самосопряжены и связаны формулой (2). Имеет место

Теорема 1. Пусть (М,д) — конформно плоское риманово многообразие, т.е. ТV = 0. Рассмотрим ортобазис {еі, ег,..., еп}, в котором диагонализируемы операторы Риччи г и одномерной кривизны А. Тогда в базисе {єіЛє^}^ диаго-нализируем оператор кривизны 7Z : А2 М —> А2М, причем спектр оператора 72. есть где

К,Т ( 1 і А 1 -у ).

Доказательство. Рассмотрим разложение оператора кривизны (1) в координатном виде. Тогда, пользуясь формулой (5), а также симметриями тензора кривизны, нетрудно видеть, что в базисе {єіАєз}і<2 матрица оператора кривизны диа-гонализируема и по главной диагонали стоят секционные кривизны Ка(еі А е^-).

Естественно, что результат теоремы 1 позволяет поставить следующие вопросы.

1. Справедливо ли утверждение теоремы 1 в случае, когда метрика не является конформно плоской?

2. Возможно ли «услышать» секционную кривизну конформно плоских римановых метрик или трехмерных римановых многообразий?

2. Спектр оператора кривизны конформно (полу) плоской римановой метрики Далее будем предполагать, что риманово многообразие (М, д) является четырехмерным и ориентированным. Тогда любой ортонормированный базис {еі, Є2, ез, Є4} пространства ТХМ определяет ортонормированный базис

1

— (еі А е2 ± е3 А е4), --^=(ei А е3 ± е4 А е2),

—

пространства АХМ (см., например: [1]).

Отметим, что в ортонормированном базисе (8) компоненты оператора кривизны находятся по формулам:

72.Ц = ^(Rl212

7^12 = 2 (#1213

n13 = ^(Rl 214

72-14 = 2(Д1212

72-15 = 2 (#1213

72-16 = ^(#1214

Я to to ^(ДіЗІЗ

72-23 = ^(#1314

72-24 = ^(#1213

72-25 = 2(Д1313

72-26 = ^(#1314

n33 = -(Ді414

72-34 = ^(#1214

72-35 = ^(#1314

n36 = -(Ді414

2І?і234 -Й1242 + Й1223 +

Д3434),

Й1242 + Й1223 + 2І?і324 -Й1323 + Й1242 — ^2424), Й1323 + 2І?і423 -Й1223 — Й1323 — Й2323),

- Д3434),

Й3413 + Дз442), Дз414 + Й3423), Й3413 — Дз442), Дз414 — Й3423),

- Д2424),

Д4214 + Д422з), Й3413 — Дз442), Д4214 + Д422з),

- Й2323),

Дз414 — Й3423), Д4214 — Д422з),

#44 = 2 (#1-212 — 2Й1234 + #3434),

#45 = 2 (#1213 — #1242 — #3413 + #3442),

#46 = 2 (#1214 — #1223 — #3414 + #3423),

#55 = ^ (#1313 + 2Й1324 + #2424),

#56 = 2(#1314 — #1323 — #4214 + #422з),

#66 = 2 (#1414 — 21?1423 + #2323)•

Пусть далее М = С — группа Ли Ли д. Тогда справедлива

Теорема 2. Пусть С - вещественная 4-мерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда \¥+ = 0 в том и только том случае, если \¥ = 0; \¥~ = 0 в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий: либо ]¥ = 0, либо алгебра Ли группы С есть одна из алгебр таблицы 1 (см.: [6]).

Таблица 1

/0 0 0 0 0 0 \

0 0 0 0 0 0

0 0 -6Я2 0 0 0

0 0 0 1 (О Ьц ьо 0 0

0 0 0 0 1 (О Ьц ьо 0

V0 0 0 0 0 1 (О Ьц ьо

П-

оператора секционной кривизны

/ 0 -Я2 -Я2 —4Я2\

К = -Я2 0 -4Я2 -Я2

с алгеброй -Я2 -4Я2 0 -Я2

V -4Я2 -Я2 -Я2 о

оператора одномерной кривизны

А

(- -я2 0 0 0 \

0 -Я2 0 0

0 0 -Я2 0

К 0 0 0 -Я2/

№ Алгебра Ли Структурные константы алгебры Ли

1 а/3 4,9 сі,4 = 2Я, с\ 3 = С2 4 = сз,4 = Я > 0, /3 = 1

2 а/3 4,9 с1,4 = с2,3 = 2Я, А = с| 4 = Я > 0, /3 = 1

3 Да ^4,11 сі,4 = 2Яа, сі з = с|4 = сз,4 = На, 4 = —Сд 4 = —Я, Я > 0, а > 0

4 &а ^4,11 с1,4 = с2,з = 2Яа, с|4 = с3,4 = На, 4,4 = ~с3,4 = —Я, Я > 0, а > 0

оператора Риччи

(- -6 я2 0 0 0 \

0 —6Я2 0 0

0 0 —6 я2 0

К 0 0 0 -6Я2/

Переходя к базису внешних форм и используя равенства (9), (10), замечаем, что в данном случае

#12 = #34, #13 = #24, #14 = #23 И

Из данной теоремы и теоремы 1 следует

Теорема 3. Пусть д - вещественная 4-мерная алгебра Ли группы Ли С с конформно полу-плоской левоинвариантной римановой метрикой. Тогда в базисе внешних форм (бивекторов) пространства Л±д в матрице оператора кривизны на диагонали стоят секционные кривизны. Если, более того, ]¥ = 0, то матрица оператора кривизны диагональная, и на диагонали стоят секционные кривизны.

Доказательство.

Достаточно последовательно рассмотреть каждую алгебру Ли таблицы 1. Рассмотрим один из типичных случаев, остальные случаи изучены в [7].

^4 9, С1 4 = с2 3 = 2#, 4 4 = с| 4 = Н > 0, /3=1.’

Определяем компоненты оператора кривизны

( К12 0 0 0 0 -К12\

0 #13 0 0 #13 0

0 0 #14 #1423 0 0

0 0 #1423 #23 0 0

0 #13 0 0 #24 0

^ #12 0 0 0 0 #34 )

или

/-Я2 0 0 0 0 я2 \

0 -Я2 0 0 -Я2 0

0 0 -4Я2 —2 Я2 0 0

0 0 —2 Я2 -4Я2 0 0

0 -Я2 0 0 -Я2 0

\ я2 0 0 0 0 -Я2/

Доказанная теорема дает ответ на первый вопрос: «Является ли базис из бивекторов собственным для оператора кривизны в случае, когда тензор Вейля не тривиален?»

Теперь рассмотрим более подробно трехмерный случай, так как в этом случае тензор Вейля тривиален, и дадим ответ на второй вопрос: «Можно ли услышать форму кривизны для многообразий с тривиальным тензором Вейля?». Ограничимся случаем локально однородных пространств.

3. Локально однородные трехмерные римановы многообразия Следуя схеме рас-суждений [8], нетрудно получить теорему, обобщающую условия существования трехмерной группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой с предписанными главными значениями оператора кривизны (см. [7]) на случай локально однородных римановых многообразий.

Теорема 4. Локально однородное трехмерное риманово многообразие (М, д) с главными значениями оператора кривизны (а23, о"13, о"12) существует в том и только в том случае, если числа сгц (с точностью до перестановок) удовлетворя-

ют хотя бы одному (возможно, нескольким) из условий:

1. Два числа равны пулю.

2. (а 12 + СГ23)(023 + сгзі)(сгзі + а12) > 0, или по крайней мере два из чисел 0'12+0'23,0'23+0'31,0'31 + <712 пули.

3. <731<712 < <723 < < <723•

Доказательство. Применим теорему Секига-вы [9] о классификации трехмерных локально однородных римановых многообразий: каждое локально однородное трехмерное риманово многообразие либо локально гомотетично одному из симметрических пространств Н3, Б3, Е3, Н2 хЕ1,Б2х Е1, либо локально изометрично трехмерной группе Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда утверждение теоремы сразу следует из теорем (32, 33) в [7]. Условие 1 соответствует симметрическим пространствам, условие 2 - унимо-дулярному случаю, условие 3 - неунимодуляр-ному.

Замечание. Все полученные результаты можно распространить на метрики, конформно эквивалентные левоинвариантным римановым метрикам на трёхмерных группах Ли.

Библиографический список

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: пер. с англ.: в 2 т. - М., 1990.

2. Кас М. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. - 1966. - №73.

3. Шарафутдинов В.А. Локальная слышимость гиперболической метрики // Сиб. матем. журн. - 2009. - №50.

4. Gordon C.S. Survey of isospectral manifolds. Handbook of differential geometry. - Amsterdam, 2000. - Vol. I.

5. Singer I.М., Thorpe J.A. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces // Global Analisis. -1969.

6. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли // Владикавказский математический журнал. - 2011. - Т. 13, вып. 3.

7. Гладунова О.П., Куркина М.В., Оскор-бин Д.Н., Пономарев И.В., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. Математическое моделирование в социально-экономических и естественных науках: монография. - Барнаул, 2012.

8. Kowalski О., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemannian 3-manifolds // Geom. Dedicata. - 1996. - № 1.

9. Sekigawa K. On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces // Tensor. - 1977. - V. 31.