О течении и интегральных характеристиках потока невязкого газа в соплах

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVI 1995 № 3-4

УДК 532.525.011.5

О ТЕЧЕНИИ

И ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ПОТОКА НЕВЯЗКОГО ГАЗА В СОПЛАХ

С. В. Ягудин

Представлены результаты расчетно-теоретического исследования задачи профилирования контура сверхзвукового сопла с равномерным потоком невязкого газа на выходе, когда контур строится от точки, расположенной на заданной сужающейся части сопла. Показано, что существуют контуры, в минимальных сечениях которых течение на «запертых» режимах является чисто сверхзвуковым (в отличие от известных представлений о смешанном или равномерном звуковом течении). В предположении, что «запертое» течение можно перевести в равномерное звуковое, получены простые доказательства неравенств для интегральных характеристик сопл.

Одной из наиболее известных задач профилирования расширяющейся части сопла Лаваля является задача о построении контура, дающего равномерный сверхзвуковой поток в выходном сечении [1]. Построение такого контура обычно начинается от минимального сечения или несколько ниже от него по потоку от заданного участка контура. Поток в минимальном сечении, как правило, принимается равномерным звуковым (с прямой звуковой линией). Если сужающаяся часть сопла не спрофилирована на число М=1, звуковая линия, как известно, является криволинейной (в основном она смещена за минимальное сечение и лишь незначительная ее часть около сужающейся стенки располагается перед ним).

Влияние формы звуковой линии на интенсивность разгона потока в веере волн разрежения и на распределения параметров вдоль контуров плоских сопл с угловой точкой в минимальном сечении и равномерным потоком на выходе с Ме « 4 исследовалось в [2].

Ниже рассматривается практически не изученный ранее случай профилирования контура сверхзвукового сопла с равномерным потоком на выходе, когда контур строится не от минимального сечения, а от точки, расположенной перед ним на заданной сужающейся части сопла.

1. В области минимального селения потока с выпуклой внутрь его границей кт (рис. 1, а) можно выделить звуковую линию кс, предельную характеристику второго семейства (линию ас) и линию тс с

углом наклона вектора скорости 6 = 0, пересекающую все волны разрежения от участка ат. Верхняя граница потока может быть либо стенкой, либо границей струи с постоянным давлением на ней. В последнем случае верхние точки линий кс й ас (но не сами линии) могут совпадать, что имеет место при «запертом» режиме истечения струи из конического сопла с концевой точкой .контура к.

В дальнейшем часть границы вплоть до точки а считается неизменной, а правее ее строится новый контур, который дает равномерный поток с заданным значением числа Ме в выходном сечении. Делается это известным образом. Вниз по потоку от характеристики Сд осуществляется ускорение течения до заданного числа Ме в точке е на оси х. Из точки е проводится прямолинейная характеристика и между ней и граничной характеристикой разгонного участка сопла решается задача Гурса. Ускорить течение до заданного значения Ме можно, пристраивая к точке а различные участки контура (в том числе с угловой точкой), но такие, чтобы обтекание их не приводило к нарушению течения на предельной характеристике (по крайней мере необходимо, чтобы они были выпуклыми в сторону потока). Интересным, позволяющим уменьшить длину сопла, является случай, когда волны разрежения, ускоряющие течение от числа М=1 до заданного значения Ме, исходят из точки а (рис. 1, б). Линия 0 = 0, показанная пунктиром, пересекает все волны разрежения с 0 < 0 в точке а.

В работе [2] течение на характеристике т/, ускоренное в волнах разрежения, идущих от участка ат линии тока струи, истекающей из отверстия с плоскими стенками, ускорялось в волнах разрежения, исходящих из точки т. Принимая в качестве начального течение на линии т/, можно построить лишь контуры с Ме > Му (в плоском случае Му = Мт). Чтобы получить Ме < Му, нужно чтобы верхняя точка граничной характеристики разгонного участка сопла находилась перед

У

се / *

с

Рис. 1. Построение контура сопла от заданной сужающейся части

минимальным сечением (т. е. на сужающейся части сопла), а 0 в ней было отрицательным и уменьшалось от 0 до ва при уменьшении Ме от Му до 1. Последнее просто достигается, например, при укорочении участка ат до нуля или с помощью угловой точки а.

Независимо от способа ускорения течения общим является следующее. Если угол наклона вектора скорости в верхней точке граничной характеристики неотрицательный, то минимальное сечение проходит через точку с 0 = 0, т. е. через точку т (см. рис. 1, а) или точку а (см. рис. 1, б). Если же он отрицательный, то контур за этой точкой должен сначала сужаться, а затем, при Ме > 1, расширяться (штриховые линии на рис. 1, а и б), поскольку поток в минимальном сечении, как известно из одномерной теории сопла, равномерным сверхзвуковым быть не может. При этом линия 0 = 0 будет совпадать с линиями тс или ас лишь частично, до точки пересечения с граничной характеристикой разгонного участка. Выше нее линия 0 = 0 будет отклоняться вправо и идти в точку т минимального сечения построенного контура. Такой результат достаточно очевиден в плоском случае, когда течение выше граничной характеристики с Ме > 1 является простой волной и значения параметров просто переносятся на контур сопла по прямолинейным характеристикам первого семейства (что позволяет, в отличие от осесимметричного случая, рассчитывать течение в областях а'ек или аеА по конечным формулам без использования метода характеристик).

2. Были рассчитаны методом характеристик при сравнительно небольших неравномерностях параметров на предельной характеристике Сд контуры плоских и осесимметричных сопл со значениями Ме

вплоть до 4, но основное внимание было уделено расчету сопл с су-жающе-расширяющимися участками (при этом значения Ме составляли менее 1,7). Начальные данные на характеристике С~ были получены с помощью известных аналитических решений прямой задачи о течении совершенного невязкого и нетеплопроводного газа в области минимального сечения сопла Лаваля. В плоском случае — решения [3] с тремя членами разложения по 1/Я (Л — радиус кривизны контура в области минимального сечения), в осесимметричном случае — решения [4] с тремя членами разложения по 1/(.К+г|), где Т1 — параметр . Отношение удельных теплоемкостей газа ае при расчетах принималось равным 1,4.

На рис. 2, а для примера приведены контуры четырех осесимметричных сопл с Ме=1,614; 1,283; 1,050 и 1,008, соответствующие им равномерные и граничные характеристики разгонных участков, а также линии 0 = 0 и характеристики Сд, показанные пунктирными и штриховыми линиями. Концевые точки контуров и линии 0 = 0 отмечены цифрами 1—4. Начальные данные на граничных характеристиках были получены при К = 0,625 и г| = 1. За единицу длины принята ордината минимального сечения исходного сопла при х = 0.

Рис. 2. Результаты расчетов сопл 1—4

Минимальные сечения сопл с Ме 2:1,614 получающегося на выходе сопла 1 проходят через сечение х = 0. При этом линия 0 = 0 является «обычной», т. е. полностью располагается за минимальным сечением.

При уменьшении Ме до значения 1,18 минимальное сечение смещается к сечению, проходящему через центр сопла, хт -» хс (минимальное сечение сопла 2 занимает промежуточное положение). При этом течение в минимальном сечении в соответствии с общепринятыми представлениями является смешанным (дозвуковым в центральной части и сверхзвуковым около стенки), как и в соплах с Ме > 1,614. Но линия 0 = 0 уже отличается от «обычной» тем, что верхняя ее часть располагается перед минимальным сечением. Такого же рода, но сильноградиентное течение в минимальном сечении было получено и при профилировании оптимальных сопл в работе [5].

При дальнейшем уменьшении значения Ме минимальное сечение сопла продолжает смещаться вниз по потоку (уже ниже сечения хс = const, сопло 3 ), но затем при Ме < 1,029 начинает двигаться в обратном направлении, к сечению хс при Ме->1 (сопло 4 ). В соплах с хт > хс линия 0 = 0 располагается полностью перед минимальным сечением.

Положения точки т в минимальных сечениях сопл показаны на рис. 2, б (масштаб по оси у в 10 раз мельче, чем по оси х). Вертикальным отрезком отмечено сечение, проходящее через центр сопла. Штриховыми линиями на рис. 2, б показаны результаты для плоских сопл с исходным течением в сопле с R = 2. Кружками отмечены значения ординаты yd = (<7/р*м,)1/^1+^ (G — расход газа через сопло, рф> и„ —

критические плотность и скорость, 8 = 0 и 1 в плоском и осесимметричном случаях).

В плоском случае возможность хт > хс строго доказывается следующим образом (см. рис. 1, в). На вертикали, проходящей через центр сопла, отметим точку d с ординатой уа, вычисленной как указано выше. На линии 0 = 0 исходного течения (на тс или ас) выберем точку v с ординатой меньше у d/2. Проходящая через v граничная характеристика второго семейства выпукла в сторону выхода сопла (вплоть до предельной характеристики первого семейства, выходящей из точки с), поэтому касательная к ней в точке v пересечет линию cd в точке над осью х. Из построения ясно, что проходящая через точку v прямолинейная характеристика первого семейства пересечет вертикаль ниже точки d и, следовательно, концевая ее точка т, в которой достигается расход газа через область cvm, равный G, лежит правее cd.

Таким образом, с помощью известных результатов теории сопла Лаваля о смешанном течении невязкого газа в области минимального сечения обнаруживается возможность получения сверхзвукового течения в минимальном сечении при профилировании контура от сужающейся его части. В соплах с таким течением переход от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым происходит до минимального сечения. Потом поток после некоторого ускорения в волнах разрежения, идущих от участка аа'или из угловой точки а, тормозится в пристеночной области, а затем вновь ускоряется и выравнивается.

Торможение потока в плоском сопле происходит до предельной характеристики (что следует из условий совместности вдоль характеристик обоих семейств). В осесимметричных соплах, как показывает анализ результатов расчета, торможение потока около стенки заканчивается раньше точки попадания на нее характеристики Cq , но может

продолжаться и за минимальным сечением на расширяющемся контуре (как в плоских соплах с равномерной [2] и в соплах с вариационной [5] характеристиками). Подтверждают это распределения чисел М вдоль контуров сопл 2—4, приведенные на рис. 2, в, где значками «+» отмечены значения числа М в точках попадания на контур характеристик .

Если часть контура сопла с Ме > 1 и неравномерным сверхзвуковым течением в минимальном сечении укоротить (по крайней мере, до минимального сечения или даже до сечения хс = const), то окажется, что неравномерное сверхзвуковое изоэнтропическое течение на выходе сопла можно получить не только с помощью сужающе-расширяю-щегося, но и с помощью сужающегося сопла. Неравномерное сверхзвуковое течение в минимальном сечении сопла с изломом контура перед ним было получено при расчетах в работе [6], но оно не было изо-энтропическим из-за образования скачка уплотнения при обтекании излома.

При Ме = 1 задача профилирования сопла сводится к построению такого контура ad, который приводит к торможению и выравниванию

неравномерного потока на ас до равномерного звукового в выходном сечении, т. е. на отрезке вертикали ей (рис. 3, а).

Возможность профилирования плоского сопла отмеченным выше образом рассматривалась в работе [7]. Полагая, что при Ме = 1 течение в области аек является простой волной, было доказано, что прямолинейные характеристики первого семейства, идущие от прилегающего к центру сопла участка характеристики ас, должны пересекаться с характеристикой первого семейства, выходящей из точки с (т. е. с отрезком ей ). Затем, опираясь на непрерывность решений, был сделан вывод, что такое пересечение характеристик должно происходить «...по крайней мере, и при значениях скорости на выходе из сопла, близких к скорости звука, что означает невозможность спрофилировать контур сопла, исходя из условия равномерного потока на выходе».

Н

Рис. 3. Доказательство неравенства для удельного импульса в минимальном сечении сопла

Здесь нужно отметить следующее. При Ме>1 течение в области аеЛ (см. рис. 1, б) в плоском случае является простой волной (это известно и следует из условий совместности вдоль характеристик обоих семейств). Однако предположение о том, что течение остается таким и при Ме = 1 (в области ас(1, см. рис. 3, а), не обосновано. При попытке выяснить вид поля характеристик около особой линии ей (являющейся характеристикой обоих семейств, звуковой линией и линией 0 = 0) возникают затруднения. Например, оказывается, что характеристики первого семейства не должны пересекать отрезок сс1 (как рассматривалось в работе [7]), иначе условия совместности вдоль них не будут выполняться, учитывая, что на звуковой линии значения 0 < 0. Вопрос об особенностях и устойчивости течения перед линией с<1 открыт и требует специальных аналитических исследований течения в окрестности прямолинейной звуковой линии, аналогичных [8 —10], но с учетом того, что перед ей «прямой» переход от чисел М < 1 к М > 1 уже осуществлен.

Интересно, что численное решение обратной задачи сопла Лаваля, а также разложение решения в ряд в окрестности прямолинейной звуковой линии [10], полученные с заданным законом изменения скорос-

ти вдоль оси X, свидетельствуют о существовании второй звуковой линии, идущей от сужающейся стенки и попадающей на прямолинейную звуковую линию, но не по касательной, как линия кс, а по нормали к ней между точками с и а?. Не исключено, что существует закон изменения скорости вдоль оси х, соответствующий течению в области асй.

Учитывая трудности расчета методом характеристик течений с числами М»1 и отсутствие точных данных на характеристике С~

(известно, что точность решений [3, 4] снижается при удалении от минимального сечения), рассчитать контур сопла с Ме = 1 можно лишь приближенно. Без применения специальных мер по увеличению точности расчетов методом характеристик при трансзвуковых скоростях в осесимметричном случае были построены контуры с Ме = 1,006 (при Я =1) и 1,008 (при И =0,625), а в плоском — при Я =2,0 и 1,5 Ме удалось уменьшить лишь до 1,009 и 1,018 соответственно (из-за невысокой точности решения [3], о чем отмечалось в работе [1]). Проведенные расчеты дают основания предположить, что неравномерное течение на характеристике Сд можно изоэнтропически перевести в равномерное

звуковое. Сравнительно короткий контур, переводящий неравномерное дозвуковое течение в равномерное звуковое, дает граница предельного течения Чаплыгина — граница струи с критической скоростью на ней (расчету такого контура посвящена работа [11]). Очевидно, что контур ас1 короче.

Сделанное выше предположение позволяет получить оценки для интегральных характеристик сопла.

3. Оценим сначала удельный импульс / =//(7 (/ — импульс, (7 — расход) в минимальном сечении потока, проходящем через точку т (см. рис. 3, а). Пусть контур ас1 переводит неравномерное сверхзвуковое течение на линии ас в равномерное звуковое на линии ей. Тогда можно записать

= \-Хг,

а а *

где Хх = | рйР, Х2 = | Р(1Р.

<1 т

Нижними буквами отмечено соответствующее сечение, а индексом * — что величина определяется по критическим параметрам, р — давление, (1Р — элементарная площадка в вертикальной плоскости. С учетом сохранения расхода (<7 = <7в = <7т = б^) из (3.1) следует

1т = ‘е!. + Д1 / <?, = Х\ - Х2-

Но удельный импульс равномерного по сечению потока не зависит от площади, поэтому . Таким образом, в минимальном сечении

соотношение между удельным импульсом неравномерного потока и удельным импульсом, рассчитанным по одномерной теории, опреде-

ляется знаком Дг. Давление вдоль контура ас1 монотонно увеличивается от значения ра < р, до р„ (линия 1 на рис. 3, б, значения у убывают слева направо). Очевидно, что во всех случаях, когда давление на контуре ат не выше кривой 1, > 0 и . Это относится к случаю,

когда контур кт является прилегающим к минимальному сечению участком контура сопла Лаваля с «запертым» течением в нем. При этом давление на контуре ат снижается (линия 2 на рис. 3, б), если кт — «обычный» контур типа дуги окружности, параболы и т. д. с «обычной» линией 0 = 0, расположенной за минимальным сечением, но может также увеличиваться, оставаясь ниже кривой 1, или изменяться, например, по кривой 2' (если аа' — часть контура ат — лежит на контуре ай). Другой случай: контур кт является границей струи, истекающей из конического сопла в неподвижную среду с давлением ра < р„ (прямая 3). При этом очевидно, что из неравенства 1т > в

минимальном сечении потока при рт > р„ следует неравенство и для выходного сечения сопла /* > , так как импульс минимален в мини-

мальном сечении сопла. Впервые неравенство для удельного импульса было доказано в работе [12]. При этом линия 0 = 0 была «обычной», а течение в сопле «запиралось» как в коническом. Если сужающееся сопло имеет выпуклый участок контура перед минимальным сбуением и истечение струи из него происходит с образованием отошедшего скачка уплотнения перед кромкой (при сравнительно низких значениях степени понижения давления лс = р0/рх, где ро — полное давление на входе в сопло), то знак может меняться и соотношение между /т и /,^ не определено.

Вычтя из обеих частей уравнений (2) член р„Рт/От, после простых преобразований получим выражение для удельной тяги г = I - рКР / (7:

Гт = гт.+А2 / <?, Д2 = Ах - Р«,{Рт ~ ра)-

Отметим, что деление обеих частей уравнений (3) на идеальную ско-

Iг / ае +1 (, (1-гё)/вгЛ .

рость истечения Ку = -----И -пс 'I приводит к выражению для

коэффициента тяги Р° = Р / (7К,.

Рассмотрим основные случаи, когда знак второго слагаемого можно предсказать.

1. Линия кт — граница струи, истекающей из конического сопла с кромкой к в неподвижную среду. В этом случае давление на кт равно

о .

рК и Д2 принимает простой вид ^{р - р^Б. Очевидно, что Д2 при

а

рх < р, положительно И гт> ГЩ'. Ясно, что при этом для выходного сечения сопла выполняется неравенство > г^т, так как участок струи вклад в тягу не дает. Полученный в работе [13] и сформулированный в

общем виде вывод для сужащихся сопл, что величина удельной тяги на сверхкритических режимах превышает значение, определенное по одномерной теории, строго говоря, ограничивается случаем конических сопл, так как доказательство построено на том, что истечение из сопла происходит так же, как из конического. В соплах с выпуклыми участками контуров перед минимальным сечением течение запирается не так, как в коническом, а с перерасширением [14]. Поэтому, как будет видно из дальнейшего, при сравнительно небольших сверхкритических 7гс > я* = — величина гт может быть как меньше, так и больше А

г1ГК. Когда гт становится больше , зависит от контура сопла.

2. Линия кт — часть контура сопла перед минимальным сечением в виде границы струи, истекающей из конического сопла при внешнем давлении р' < рт (рис. 4, а). При рж < р (уровень давления рх показан штриховой линией со знаком «-») из точки т исходят волны разрежения; при р„ = р' (линия со знаком «=») течение в окрестности точки т непрерывно, при рх > р' (линия со знаком «+») сужение струи за точкой т приводит к образованию скачка уплотнения (либо присоединенного в точке т, когда давление на линии кт остается равным р\ либо отошедшего, когда давление непосредственно перед точкой т возрастает и становится выше р,). Значение Д2 остается положительным и при значениях р„, несколько превышающих р\ но очевидно, что при некотором рК > р' знак Д2 должен меняться.

Рис. 4. Доказательство неравенства для удельной тяги сужающегося сопла

Интересно сравнить значения выражения (3) в случаях 1 и 2. При р' меньше второго критического давления р*, значения расхода (7 и инте1рала Х\, входящего в Д1; в обоих случаях одинаковы. Но давление на линии кт в первом случае равно рл, а во втором р'. Это приводит к тому, что удельная тяга (коэффициент тяги) конического сопла при Ра, < р' оказывается меньше, а при некоторых рт> р' — больше удельной тяги (коэффициента тяги) сопла, контур которого состоит из контура конического вместе с сужающимся участком траницы струи. Более

подробный расчетно-теоретический анализ коэффициентов тяги конического сопла с участком границы струи и без него, выключая случаи Р* > Р > А*> сделан в работе [14].

3. Давление на линии кт снижается до значения рт (рис. 4, б). Это происходит, если линия кт является «обычным» контуром (например, дугой окружности), причем участок ат может быть уменьшен до нуля. Как и в случае 2, при некотором р„ > рт знак Д2 меняется и неравномерность течения приводит к снижению коэффициента тяги.

4. Линия кт — параллельный оси х участок, примыкающий к контуру сужающего сопла. Такой участок приводит к тому, что течение в сопле «запирается» при значительно меньших пс, чем в сопле без него.

Если исходным является коническое сопло, то точка а совпадает с точ-

к

кой к, X = 0, Рт = и Д2 = j(p - Роо)^. При рю < р„ значение гт тай

кое же, как в случае 1 и больше ггп>. Неравенство гт > выполняется и при значениях рт, несколько превышающих р„. Но, как следует из рис. 4, в, при рх > Хі / (Рк - Р^) знак неравенства меняется и гт < .

Подтвержают изложенное для случаев 3 и 4 приведенные на рис. 5 зависимости коэффициента тяги Р° = г / V/ от пс. Штриховой линией показана тяговая характеристика идеального звукового сопла, линией 1 — плоского сопла с углом сужения контура 0 = 90° и радиусом

скруглення в области минимального сечения, равным 0,1 (на входе в

сопло ордината вдвое выше ординаты в минимальном сечении, принятой за единицу длины). Линия 2 соответствует плоскому соплу с

0 = 75°, а линия 3 — соплу с цилиндрическим насадком.

Коэффициент тяги конического сопла с насадком меньше, чем идеального звукового до значения п_, которое можно определить по

формуле

где ц = <7/(г*и /° = ///* — коэффициенты расхода и импульса сопла без насадка на «запертом» режиме. Максимум тяговой характеристик" сопла с насадком достигается практически

при значении пр = 1--------->? ,

у ^ ае +1 )

соответствующем свехзвуковому значению скорости X в уравнении для приведенного расхода <?(А.) = ц.

При фиксированных расходе и площади выхода сопла более высокие значения коэффициента тяги, чем в случае сопла 3 с насадком, можно по-

Рис. 5. Тяговые характеристики сопл

лучить, если вместо прямолинейного использовать криволинейные контуры 4 и 5, переводящие неравномерный поток на выходе конического сопла в равномерный сверхзвуковой. Контур 4 профилируется в соответствии сп. 1 и 2. Сужающаяся часть контура 5 обеспечивает равномерный звуковой поток в минимальном сечении, а расширяющаяся — сверхзвуковой на выходе. Отношение площади выхода к площади минимального сечения сопла 4 меньше, чем сопла 5. Но неравномерность течения в минимальном сечении сопла 4 приводит к эффективному увеличению относительной площади выхода до значения

1 / ц, такого же, как и в случае сопла 5. Поэтому участки тяговых характеристик сопл 4 и 5 при %с > жр совпадают (штрихпунктирная линия).

Эффективным увеличением относительной площади выхода сопла из-за неравномерности в минимальном сечении потока объясняется также то, что коэффициент тяги любого сужающегося сопла выше, чем идеального звукового, начиная с некоторого значения пс, которое зависит от формы сопла (см. рис. 5). Если сопло коническое, начиная с л, (при пс < л,, поток в минимальном сечении струи равномерный и

Р° = 1). Чем больше неравномерность в минимальном сечении потока, тем выше эффективное значение относительной площади выхода сопла.

Автор благодарит В. П. Верховского за содействие в проведении расчетов методом характеристик.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пир у мо в У. Г., Росляков Г. С. Течение газа в соплах. — М.: Изд-во Моск. ун-та. — 1978.

2. Камзолов В. Н., Пирумов У. Г. Расчетное исследование сверхзвуковой струи, истекающей из отверстия с плоскими стенками // Ж. прикл. мех. и техн. физики. — 1967, № 2.

3. Hall Т. М. Transonic flow in two-dimensional and axially-symmetric nozzles // Quart. J. Mech. Appl. Math. — 1962. Vol. 2, pt. 4.

4. Dutton J. C., Ad ay a. L. Transonic flow in the throat region of axisymmetric nozzles // AIAA J. — 1981. Vol. 19.

5. Крайко A. H., Тилляева H. И., Щербаков С. А. Сравнение интегральных характеристик и формы профилированных контуров сопл Лаваля с «плавным» и с «внезапным» сужениями // Изв. АН СССР, МЖГ. —

1986, № 4.

6. Ягудин С. В. О течении невязкого газа в сопле с изломом контура перед минимальным сечением // Изв. РАН, МЖГ. — 1995, № 1.

7. Ш и ф р и н Э. Г. Об использовании течений с прямой звуковой линией в соплах с угловыми точками // Изв. АН СССР, МЖГ. — 1981, № 1.

8. Овсянников Л. В. Исследование газовых течений с прямой звуковой линией // Труды ЛКВВИА. — 1950. Вып. 33.

9. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. —

М.: ВЦ АН СССР. - 1965.

10. Пирумов У. Г. Расчет течения в сопле Лаваля // Изв. АН СССР,

МЖГ. - 1967, № 5.

11. Подсыпанина Н. А., Шифр ин Э. Г. Об одном методе профилирования коротких плоских сопл // Изв. АН СССР, МЖГ. — 1975, № 1.

12. Крайко А. Н., Соколов В. Е. Об удельном импульсе потока в минимальном сечении сопла Лаваля и в выходном сечении сужающегося сопла // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1976, № 1.

13. Щербаков С. А. О тяге сужающегося сопла // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1983, № 6.

14. Ягудин С. В. Запирание течения идеального газа в сужающихся соплах и их интегральные характеристики // Изв. РАН, МЖГ. — 1994, № 6.

Рукопись поступила 20/УІ1994