Монте-Карло исследования влияния различных начальных состояний на значения флуктуационно-диссипативного отношения для трехмерной модели Изинга

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 1. С. 18-24.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко

МОНТЕ-КАРЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ РАЗЛИЧНЫХ НАЧАЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ НА ЗНАЧЕНИЯ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОГО ОТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА

Осуществлено исследование влияния различных начальных значений намагниченности на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга методами Монте-Карло. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционной функции и динамической восприимчивости выявлено существенное влияния начальных состояний на эффекты старения, характеризующиеся аномальным замедлением релаксации системы с ростом времени ожидания, и нарушение флуктуационно-дис-сипативной теоремы. Вычислены значения предельного флуктуационно-диссипатив-ного отношения и показано, что характеристики систем с различными значениями начальной намагниченности сводятся к двум случаям: случаю низкотемпературного начального состояния с т0 = 1 и случаю высокотемпературного начального состояния с т0 << 1.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, влияние начальных состояний, структурно неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения.

В настоящее время большой интерес у исследователей вызывает поведение систем, характеризующихся аномально медленной динамикой. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Данные особенности неравновесного поведения характерны и для систем, испытывающих фазовые переходы второго рода [2], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации.

В окрестности температуры Тс фазового перехода второго рода время релаксации системы является расходящейся величиной ~| Т-Тс |-ги. Таким образом, системы в критической точке не достигают равновесия в течение всего релаксационного процесса. Именно на этапе t << Ьы проявляются эффекты старения. Они выражаются в осуществлении двухвремен-ных зависимостей для корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения t и времени о^кидания tw. Время ожидания tw характеризует промежуток от момента приготовления образца до момента начала измерения его характеристик. Принципиально важным проявлением медленной динамики является нарушение флуктуационно-диссипа-тивной теоремы (ФДТ) [2-4], которая связывает функцию отклика системы на внешнее возмущение Е(^ш) и корреляционную функцию С(^ш):

к«,и = ХШ. СО,

' • ^ кТ 31, ' 1

где Х(%и) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). Для времен с t > ^ >> Ьег ФДТ устанавливает, что Х(^ш) = 1. Однако в общем случае для времен с << Ьег Х(% tw) ^ 1. Асимптотическое значение ФДО, вводимое

* Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562. Исследования выполнены с привлечением вычислительных ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, 2017

как

Xда = lim limX

tw ^да t^да

оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.

В данной работе мы представляем результаты численного Монте-Карло исследования влияния различных начальных состояний на значения предельного ФДО для чистой и структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга. Гамильтониан модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля h задается выражением

h = -j X p.pjs.sj - м ,

<i,j > i

где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Si = ±1, зафиксированными в узлах решетки. В данной модели немагнитным атомам примеси сопоставляются пустые узлы. Числа заполнения pi вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: pi принимается равным 1, если в узле i находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения P(pi) = (1 - p)S(pi) + + pS(pi), где p = (p^ задает величину спиновой концентрации в системе. Положение дефектов структуры фиксировалось для отдельной примесной конфигурации.

В исследованиях влияния начальных состояний системы на характеристики неравновесного критического поведения различают высокотемпературные состояния, созданные при T0 > Tc и характеризуемые начальной намагниченностью mo = 0, и низкотемпературные состояния с To < Tc с mo ^ 0. Дальнейшая реализация неравновесного процесса характеризуется тем, что в начальный момент времени система приводится в контакт с термостатом при критической температуре Tc системы и затем с момента времени tw проводится измерение двухвремен-ных величин корреляционной функции и функции отклика на временах 1 << t, tw<< trei.

К настоящему времени исследование неравновесного критического поведения различных статистических систем наиболее полно проведено для случая их эволюции из высокотемпературного начального состояния (см. обзор [2]). В работах [5-7] было осуществлено методами Монте-Карло численное исследование влияния дефектов структуры на особенности неравновесного поведения трехмерной модели Изинга при ее релаксации из высокотемпературного начального состояния. Изучены эффекты старения. Прове-

ден расчет новой универсальной характеристики неравновесного критического поведения - предельного значения ФДО X™. Выявлена их зависимость от изменения концентрации дефектов. Однако случай неравновесной критической релаксации систем из низкотемпературного начального состояния исследован заметно хуже.

Ренормгрупповой анализ [8] неравновесной динамики диссипативной модели А в классификации Гальперина - Хоэнберга [9] показал, что начальное состояние с намагниченностью то ? 0 приводит к появлению нового временного масштаба ~ т°к с показателем к > 0, существенно влияющего на временное поведение автокорреляционной функции и функции отклика.

Описаны предельные режимы: режим с временами tw < Ь << т, который всегда реализуется для случая высокотемпературного начального состояния с то = 0 и характеризуется соответствующим этому начальному состоянию временным поведением корреляционной функции и функции отклика, а также режим с большими по сравнению с tm временами t и tw, т. е. т << tw < Ь. В последнем случае, соответствующем, например, приведенной начальной намагниченности системы с то = 1 при То = 0, долговременное поведение корреляционной функции и функции отклика характеризуется новыми показателями и новым значением предельного ФДО X™. В работе [8] результаты ренормгруппо-вого описания были дополнены расчетом характеристик неравновесной критической динамики диссипативной модели с помощью метода е-разложения. Затем предсказания теории были сопоставлены с результатами проведенного компьютерного моделирования неравновесного критического поведения двумерной модели Изинга. Получено убедительное подтверждение их справедливости.

В работе [10] было проведено исследование неравновесной критической релаксации намагниченности т(Ь) для «чистой» модели Изинга для различных начальных состояний то. Были выявлены существенные как качественные, так и количественные различия в релаксации намагниченности из высокотемпературного начального состояния с то << 1, низкотемпературного полностью упорядоченного состояния с то = 1 и промежуточного состояния с то = 0,4. Так, для случая высокотемпературного начального состояния с то << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост намагниченности, описываемый степенным законом

т) ~ Iе с 0' = 0,111(4), где & - независимый динамический критический индекс [11-13]. При временах t > ^ ~ т011(е+^'*2) данный этап эволюции сменяется режимом, характеризуемым степенной временной зависимостью

намагниченности т(') ~ t р1*2, где [, V - известные статические индексы, определяющие равновесное критическое поведение намагниченности и корреляционной длины, г - динамический критический индекс, характеризующий критическое замедление времени релаксации системы. При эволюции системы из начального упорядоченного состояния с то = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью

т(') ~ Г111** со значением показателя [^х = = 0,241(8). Промежуточный случай с то = 0,4 характеризуется коротким этапом роста

намагниченности по закону т(') ~ Xе с последующим переходом к более длительному этапу релаксации по закону т(') ~ Г11**. Таким образом, процесс неравновесной критической релаксации намагниченности т(Ь) из высокотемпературного начального состояния является наиболее «быстрым» по сравнению с релаксацией из других начальных состояний с то ? 0.

В данной работе проведено исследование особенностей неравновесного критического поведения трехмерной однородной и структурно неупорядоченной модели Изинга при эволюции из состояний с различными значениями начальной намагниченности то. Осуществлено компьютерное моделирование динамического процесса односпиновых переворотов в рамках статистического метода Монте-Карло. Моделирование проводилось на кубической решетке с наложенными периодическими граничными условиями. N = рЬ3 характеризует число спинов в решетке с линейным размером Ь. В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность

м (') = у | ллх [( 5 (х, t)) ] =

1 N \ £ §

,

временная корреляционная функция С(Ь, Ьш) и линейная функция отклика ЩЬ, Ьш) на малое внешнее поле, примененное в момент времени Ьш, которые могут быть определены соотношениями:

£ (', ',) = 11 Я(',',) =11

V* ё^х,Г, ) "= где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решетке.

В настоящее время известно, что автокорреляционная функция и функция отклика в неравновесном режиме при эволюции из низкотемпературного начального состояния с то ? 0 имеют следующие скейлин-говые зависимости [8]:

с(', ',, 'т) =

= Ас

Ж', К, С) =

= Ая (t - ', Г^ (' / ', У Гя (', / ', t/tm ), (6) где 'т = Втт- - новый временной масштаб, определяемый начальным значением намагниченности. Показатели к, в, а связаны с критическими индексами рассматриваемой системы: к = 1/(1 + а + в /vz) > 0, а = (2 - п -- г) / г, в = в' - (2 - г - п) / г, откуда к = 2,732(7) для системы с р = 1,0, к = 2,917(24) для р = 0,8 и к = 3,001(25) в случае р = 0,5 [10]. Скейлинговые функции (Ш / / Ьт) и (Ьш / / т являются конечными при Ш ^ 0 и Ь/Ьт ^ 0, ЛК и Ас - неуниверсальные амплитуды, значения которых фиксируются условием Кс,я(0, 0)= 1.

В данном исследовании по аналогии с работами [5; 8] была использована методика, позволяющая рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля. Расчет обобщенной восприимчивости осуществлялся в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости) t

" 1 N

х(',',) = | Л''Я(',t') = — §[(рБ(')ДБ(t"))] ,(7) 0 '=! функция отклика ЩЬ, Ьш) задается соотношением (1), функция АБ(Ьш) рассчитывается в процессе моделирования состояний системы от начального момента времени Ь = 0 до времени ожидания Ьш и определяется соотношением

'

Ж ,(',) = § [ад - Б* (4

где Б* = 'Ь(3§РтБт / Т) .

С другой стороны, применение в (7) для функции отклика соотношения (1) позволяет получить

X ',) = '¡X

0 3' 0 Таким образом, ФДО может быть определено соотношением

.Зх

X (', ) = ИшТ

с-0 3С

с помощью которого можно вычислить предельное ФДО (2).

Моделирование системы проводилось на кубической решетке спинов с линейным размером Ь = 128 со случайно распределенными

5=0

х

х

по узлам замороженными точечными немагнитными дефектами структуры при спиновых концентрациях р = 1,0; 0,8 и 0,5 и соответствующих критических температурах Тс(р): Тс(1,0) = 4,5114(1), Тс(0,8) = 3,4995(2); Тс(0,5) = 1,84509(6) [14]. Формировались начальные состояния системы со значениями намагниченности, равными то = 0,02; 0,05; 0,1; 0,25; 0,4; 0,7 и 1,0. На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Поэтому применение для моделирования решетки с достаточно большим линейным размером Ь = 128 позволяет пренебрегать конечномерными эффектами по сравнению с их проявлением при исследовании равновесных критических явлений [13].

В данной работе осуществлялось вычисление двухвременной зависимости для динамической восприимчивости Ьш) (7) от времени наблюдения Ь для набора различных времен ожидания Ьш, зависящих от Ь. Поведение систем исследовалось на временах до 3000 шагов Монте-Карло на спин. При моделировании однородной модели Изинга с р = 1,0 вычисляемые величины усреднялись по 1500 прогонкам. При моделировании структурно неупорядоченных систем усреднение проводилось по 500 примесным конфигурациям и 5 прогонкам для каждой примесной конфигурации. На рис. 1 представлены временные зависимости восприимчивости х(Ь, Ьш) для времени ожидания Ш= Ь/3. Эффекты старения проявляются через отклонение х(Ь, Ьш) от прямой, определяющей поведение восприимчивости в случае постоянного значения Ьш, и характеризуются замедлением релаксации системы с увеличением ее «возраста». Из графиков также видно, что с ростом начального значения намагниченности эффекты старения усиливаются, причем в структурно неупорядоченных системах это явление более существенно по сравнению с чистыми системами (без дефектов структуры).

Для времени ожидания Ьш= Ь/3 в случае чистой системы (р = 1) неравновесное поведение воспримчивости характеризуется скейлинговой зависимостью в виде [8]

_2р

3) = t -ОМшк).

Для проверки этого соотношения были построены зависимости ^2р'У2t / 3) от , к

х = №0 с использованием значений критических индексов: 2^/и = 1,032(5) [13], г = 2,024(6) [14] для р =1,0. Результат при веден на рис. 2, а, который демонстрирует «коллапс» полученных для различных то данных на универсальной кривой, характеризуемой скейлинговой функцией О ) .

в)

Рис. 1. Неравновесные зависимости динамической восприимчивости %

В случае слабо неупорядоченой системы с р = 0,8 также реализуется скейлинговое соотношение (13) с учетом соответствующих значений 2^/и = 1,016(32), г = 2,191(21) [14] (рис. 2,6). Однако поведение восприимчивости для сильно неупорядоченной системы показывает нарушение соотношения (13),

определяемого О(т!к) (рис. 2,в). Представ-

ление зависимости twот tмтк позволяет при значении показателя ц = 2,80(7) [10] для системы с р = 0,5 получить совпадение данных при 0,02 < то < 0,1 и параллельное расположение графиков при 0,25 < то < 1 (рис. 3). Таким образом, в случае

сильно неупорядоченных систем для восприимчивости реализуется более сложная скей-линговая зависимость вида

неупорядоченной системы, так и для слабо неупорядоченной.

цуг .

7Xt,t^) = t^G%{emk0),

где 2ß/v = 0,924(80), z = 2,663(30) [14] для p = 0,5.

: ю

........—.........—.........—..... p = 0.8

----^аяи

- mö= 0.02

mn= 0.05

• mo= 01

m0= 0.25 , А

т„=°-4

г — m„= 0.7 tf

* m0= 1

10 к x=tm

б)

р = 0.5

10 10 10 10"* 10 10 х=Ц

в)

Рис. 2. Скейлинговые зависимости t

2ß/

X

от М0 для р = 1,0 (а), р = 0,8 (б) и р = 0,5 (в), демонстрирующие «коллапс» полученных для различных то данных для систем с р = 1,0, р = 0,8 и нарушение «коллапса» для случая р = 0,5

Случай скейлинговой зависимости, характеризуемой показателем ц > 1, классифицируется в теории неравновесных процессов как явление «сверхстарения» [15]. В работе [16] показано, что в поведении автокорреляционной функции наблюдается явление «сверхстарения» как для случая сильно

Рис. 3. Эффект сверхстарения в скейлинговом поведении

динамической восприимчивости tw 2ß' C

от tцт\ для системы с p = 0,5

Данные особенности в поведении автокорреляционной функции и восприимчивости связаны с пиннингом доменных стенок на дефектах структуры в процессе неравновесного изменения доменной структуры.

На следующем этапе исследования осуществлялся расчет ФДО в соответствии с соотношением (10). Значение времени ожидания было выбрано равным tw = t/9, что соответствует условию t- tw>>tw. Из представленных на рис. 4 графиков видно, что в случае начального состояния с намагниченностью 0,02 < то < 0,1 система характеризуется линейной зависимостью Tx от C и предельными значениями ФДО, представленными в таблице ниже. Эти значения в пределах погрешности совпадают со значениями, вычисленными для высокотемпературного начального состояния X™ = 0,391(12) (p = 1,0), X™ = = 0,419(11) (p = 0,8) и X™ = 0,443(11) (p = 0,5) [5]. В случае 0,25 < то < 1 предельное значение ФДО для чистой системы (p = 1,0) хорошо согласуется с найденным для то = 1 значением X™ = 0,784(5) [10]. Для структурно неупорядоченных систем при 0,25 < то < 1 X™ = 0, что связано с сильным замедлением корреляционных эффектов на временах t - tw >> tw >> 1 вследствие пиннинга доменных стенок на дефектах структуры [10].

Таким образом, ФДО систем с различными значениями начальной намагниченности сводится к двум случаям: случаю низкотемпературного начального состояния с то = 1 и случаю высокотемпературного начального состояния с то << 1. При 0,25 < то < 1 система характеризуется предельными значениями ФДО, вычисленными для случая низкотемпературного начального состояния с то = 1 , которые равны X™ = 0,784(5) для чистой системы и нулю для структурно неупорядоченных систем. При 0,02 < то < 0,1 значения ФДО совпадают с найденными для случая то << 1 значениями [5-7].

0,04

ia 0,02

0,00

- p = 1.0

У

1 лГ " 0

//A г" ' "V 0.02

/ / /Mr mo= 0.05

* 0 1

m<T 0.25

Vjj}' • ma= 04

mo= 0.7

* mo= 1

C

а)

С

в)

Рис. 4. Зависимости восприимчивости от автокорреляционной функции, определяющие в соответствии с (10) флуктуационно-диссипативное

отношение для различных значений начальной намагниченности, в системах с концентраций спинов р = 1,0

Значения предельного флуктуационно-диссипативного отношения X" для систем с концентрациями спинов р = 1,0, р = 0,8 и р = 0,5

mo X"

p = 1,0 p = 0,8 p = 0,5

0,02 0,381

0,05 0,392

0,1 0,401

0,25 0,762(39) 0 0

0,4 0,773(41) 0 0

0,7 0,775(45) 0 0

1,0 0,779(44) 0 0

В заключение отметим, что в результате численных исследований выявлено существенное влияние начальных состояний на неравновесную критическую динамику трехмерной модели Изинга. Показано, что с ростом начального значения намагниченности происходит усиление эффектов старения. В сильно неупорядоченных системах по сравнению с чистыми и слабо неупорядоченными наблюдаются существенные изменения в поведении динамической восприимчивости, связанные с пиннингом доменных стенок на дефектах структуры в процессе неравновесного изменения доменной структуры. В случае начальных значений намагниченности в интервале 0,25 < mo < 1 предельные значения ФДО, определяемые динамикой доменов в долговременном режиме и их пиннингом на дефектах структуры, стра-новятся равными нулю. При 0,02 < mo < 0,1 доменной структуры в системе не возникает, предельные значения ФДО совпадают между собой для разных mo в этом интервале и с найденными ранее значениями для высокотемпературного начального состояния [5-7]. В итоге выявлена реализация двух типов универсального неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга, соответствующих высокотемпературному и низкотемпературному начальным состояниям.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J. P., Cugliandolo L. F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. P. 184.

[2] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.

[3] Berthier L., Holdsworth P.C.W., Sellitto M. Nonequilibrium critical dynamics of the two-dimensional XY model // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. Vol. 34. P. 1805-1824.

[4] Berthier L., Kurchan J. Non-equilibrium glass transitions in driven and active matter // Nature Phys. 2013. Vol. 9. P. 310-314.

[5] Прудников П. В., Прудников В. В., Поспелов Е.А. Расчет флуктуационно-диссипатив-ного отношения для неравновесного критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98. С. 693.

[6] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е.А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. С. 462.

[7] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov Е. А., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical aging in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774.

[8] Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical aging of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech.: Theory and Experiment. 2006. P06016.

[9] Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49. P. 435-479.

[10] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.

[11] Janssen Н. К., Schaub В., Schmittmann В. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation processes // Z. Phys. B. 1989. Vol. 73. P. 539.

[12] Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И. А., Циркин С. С. Ренормгрупповое описание процессов неравновесной критической релаксации в коротко-временном режиме: трех-петлевое приближение // ЖЭТФ. 2008. Т. 133. С. 1251.

[13] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S., Vakilov A. N., Pospelov Е. А., Rychkov M. V. Short-time dynamics and critical behaviour of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 011130.

[14] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Наука, 2013.

[15] Henkel М., Pleimling М. Non Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2: Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). Heidelberg : Springer, 2010. P. 544.

[16] Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование влияния различных начальных состояний на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга методами Монте-Карло // Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 3. С. 31-36.