Генерация среднего течения пульсационным потоком около цилиндрического газового пузырька

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 1

УДК 532.5.032, 532.526.2

Генерация среднего течения пульсационным потоком около цилиндрического газового пузырька

Л. С. Клименко, Д. В. Любимов

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучается генерация среднего течения около свободной искривленной поверхности на примере цилиндрического газового пузырька, находящегося под воздействием гармонических поступательных вибраций малой амплитуды. Получено, что, в отличие от случая плоской не-деформируемой свободной поверхности, в вязком пограничном слое около поверхности пузырька происходит генерация среднего течения. Это течение распространяется в основной объем жидкости и может быть описано стационарным уравнением Навье-Стокса с эффективными граничными условиями для касательных напряжений. Показано, что в отличие от генерации около твердой поверхности, генерация около свободной поверхности зависит от вязкости жидкости и кривизны поверхности.

Ключевые слова: вибрации, среднее течение, эффективные касательные напряжения, цилиндрический пузырек, динамический пограничный слой

1. Введение

Как известно, одним из интересных проявлений действия вибраций является возникновение осредненных эффектов. На этих эффектах построен целый раздел механики и теории колебаний - вибрационная механика [1], берущая свое начало с классической работы [2] о математическом маятнике, где впервые было отмечено, что при вибрациях системы наряду с быстрым осциллирующим движением в большинстве случаев появляется и медленное, мало изменяющееся за период колебаний. Обычно основной интерес представляет именно такое движение. Аналогичное поведение наблюдается и в жидкости.

Так, в динамическом пограничном слое около твердой стенки, обтекаемой неоднородным пульсирующим потоком, происходит генерация средней завихренности [3,4], при этом на внешней границе пограничного слоя средняя касательная скорость отлична от нуля и ее значение может быть использовано в качестве граничного условия при нахождении среднего течения в основной области движения [5]. Для плоской поверхности раздела двух жидкостей кроме аналогичного механизма генерации [6] существует еще и

механизм Дора [7], определяющий эффективные касательные напряжения.

Для случая свободной плоской поверхности оба указанных механизма не работают, и лишь при наличии деформаций поверхности появляется еще один механизм - механизм генерации Лонге-Хиггинса [8], заключающийся в том, что средние течения формируются бегущими по свободной поверхности волнами. Нами был найден новый механизм генерации, связанный исключительно со средней кривизной поверхности,

нечувствительный к пульсационным деформациям. Исследование было проведено на примере конкретной системы: пузырек газа, взвешенный в жидкости. Ранее поставленную задачу мы решали для сферической геометрии [9]. Были определены форма и вид генерируемого течения.

В настоящей работе исследуемый механизм генерации описан для цилиндрического пузырька. Течение жидкости около пузырька возникает под действием малоамплитудных гармонических вибраций. Поверхностное натяжение

предполагается настолько большим, что пульсационные деформации пузырька

несущественны. Методами малого параметра получены вид среднего течения и эффективные граничные условия для средних касательных напряжений.

© Клименко Л. С., Любимов Д. В., 2011

2. Постановка задачи

Для изучения генерации среднего течения около искривленной поверхности рассмотрим пузырек газа, взвешенный в заполняющей все пространство жидкости (рис.1). Течение жидкости около пузырька возникает под действием внешнего вибрационного поля. Вибрации считаются поступательными гармоническими с амплитудой Ь и частотой а . Вязкость и плотность газа в пузырьке предполагаются исчезающе малыми, что позволяет пренебречь движением газа. Однако давление q должно учитываться при записи граничных условий.

Рис. 1 Конфигурация задачи

Обсудим уравнения и граничные условия, описывающие динамику системы. Удобно перейти в систему отсчета, движущуюся вместе с пузырьком, сделав замену Г = г - ^ (/). При этом предполагаем, что характер движения пузырька одномерный, причем направление его движения совпадает с направлением оси вибраций к . Функция ^ (/), определяющая закон движения центра пузырька, должна быть найдена в ходе решения. Уравнения движения и неразрывности в этой системе отсчета в безразмерном виде выглядят следующим образом:

— + ef -VV = -Vp + 82SV-—к, dt dt

divV = 0

ТТ dZo

где U = —0 - скорость пузырька относительно

dt

лабораторной системы отсчета.

Обсудим граничные условия. Вдали от пузырька, при r ^ ж, его влияние на движение жидкости не должно сказываться, поэтому скорость окружающей жидкости стремится к скорости вибраций:

V =

На поверхности пузырька, которая описывается соотношением r = a, заданы кинематическое условие, условия баланса нормальных напряжений и

отсутствия касательной компоненты вязких напряжений:

I? • ёг = 0,

р - q-82п •&• п = 0,

п •&•! = 0.

Выбраны следующие единицы измерения: радиальной координаты г - равновесный радиус пузырька а, скорости жидкости и пузырька V,и -

Ьа , времени - 1/а , давления - раЬа2, тензора вязких напряжений - руЬа/а . Здесь Ь , а - амплитуда и частота вибраций, ё , ё , % - орты цилиндрической системы координат.

Задача (1) - (3) характеризуется двумя безразмерными параметрами:

е = Ь - безразмерная амплитуда вибраций,

а

5 = -1.1— - безразмерная толщина динамиче-

а \ а

ского пограничного слоя (скин-слоя Стокса).

Задача о генерации среднего течения около пузырька решена в цилиндрической геометрии, в плоской постановке. Применялся метод малого параметра, решение искалось в виде ряда по параметру е . Толщина скин-слоя (и, следовательно, величина 5 ) считалась конечной.

3. Пульсационная часть поля скорости и давления

Пульсационная часть поля скорости окружающей жидкости и скорость центра пузырька определяются в нулевом по параметру е порядке. Среднее движение в главном порядке отсутствует.

Уравнения движения (1) для пульсационной части скорости в нулевом порядке по параметру е имеют вид

= -Vp +82AV0 -dUok, dt dt

divV0 = 0.

Их дополняют граничные условия вдали от пузырька, при r ^ ж :

V =

и на поверхности пузырька, при r = 1:

Vo - ^ = 0,

Po - 40 -5'CT0rr = 0,

ct, = 0,

dV

где ct„ = 2- 0r

CT =1 dV^+V

Vn,

дг ^гф г дф дг г

Поскольку рассматриваемая задача является плоской, удобно работать в терминах функции тока и завихренности. Применим операцию ротора к

уравнению движения (4). В результате для завихренности Q имеем обычное уравнение диффузии вихря:

Ю0 = 52ДЦ,.

Здесь учтено, что для пульсационных переменных зависимость от времени имеет вид e't.

Введем функцию тока соотношением

V = rot

откуда получаем стандартную связь завихренности с функцией тока:

Q = rotV = -Дце2.

Таким образом, завихренность можно представить в виде Q = Qez. Переопределим функцию тока, выделив в ней пропорциональное завихренности слагаемое

ц =' 52 Q + Ц ,

где новая функция тока $, согласно (7) и (9), удовлетворяет уравнению Лапласа.

Граничное условие на бесконечности (5) в терминах функции тока перепишется как

$ = r (1 - U ) sin^ .

Здесь учтено, что завихренность на бесконечности исчезает. Тогда решение для $ можно представить в виде

$ = f (r )siny,

где f (r) = [ r + c j(1 - U0). Здесь константа cx, как

и скорость пузырька, определится из граничных условий на поверхности.

Перейдем к определению давления. Для этого перепишем уравнение движения в терминах функции тока и спроектируем его на азимутальное направление, получаем

. d$ 1 dp0 .

-' — =-----0 + 'U0 siny .

dr r dy

Подставляя функцию тока, для давления имеем

P0 =-'fr -c(1 - U0 )jcosy.

Найдем компоненты скорости. Для этого воспользуемся определением функции тока (8):

1 d ц '52 dQ 1 d$

r r dy r dy r dy’

d ц 2 dQ d $

V =-------= -'5-----------.

y dr dr dr

Из уравнения (7) для завихренности получаем

Q = c2K\ I — I siny

5

где a =yfi = , K, - функция Бесселя первого

V2

рода.

Тогда для искомой скорости имеем

V0r = Re ^ 5 C2K1 [jT^ f 1 + C2 jj(1 - U0 )jj e" Cos у V0y = Re j-faa^K [a J + [1 - CLj(1 - U0) je" siny

Входящие в скорость и давление константы и скорость центра пузырька определяются из граничных условий на поверхности пузырька:

45 K | — I +a K Ь! + 2a5K0

a2K f|j + 2a8K0 [| 4a2

a1 K I aj + 2aSK0 f- J + 852K ia

5 )

U=

2 [452K [°^ + a2K (a ) + 2a5K0 [a

a2 KJ — I + 2a5K0 !-! + 852 K <5

Рис. 2. График зависимости амплитуды скорости движения центра масс от й

c1

С2 =

0.25

У

0.2

0.15

0.1

0.05

Рис. 3. График зависимости фазы скорости движения центра масс от й

Из представленных графиков (рис. 2, 3) видно, что при малых значениях параметра 8 амплитуда скорости центра пузырька стремится к 2 (известный результат для идеальной жидкости [5]), - в невязкой жидкости пузырек движется в фазе с жидкостью, опережая ее. Наоборот, при 8 , стремящемся к бесконечности, амплитуда скорости стремится к 1, т. е. к амплитуде скорости вибраций, - в сильно вязкой жидкости пузырек движется вместе с жидкостью, диссипации нет и, следовательно, нет и сдвига фаз.

4. Среднее течение

В первом порядке вокруг цилиндрического пузырька под действием вибраций генерируется среднее течение. Для определения его характеристик рассмотрим систему (1), которая после осреднения имеет вид

-Ур, +82АУі = V -УУ0.

Шуі? = о.

Таким образом, генерация среднего течения описывается уравнением Стокса с вынуждающей силой, порожденной пульсациями.

Граничные условия:

V» = 0, дК. дК

1ф

- + "

дЗ дг

- = о.

Правая часть уравнения движения может быть записана в виде

V -VI = Л(гуёг + /2(г )Р2 ёг + /з(г )У Р2, где теперь Р2 = — (2С082 3 -1).

Поскольку V пропорциональна функции Бесселя, то правая часть (10)будет содержать произведения функций Бесселя. По этой причине уравнение движения (10) аналитически не решается. Перейдем сразу к нахождению касательной компоненты вязких напряжений на внешней границе пограничного слоя. Для этого сделаем двойной предельный переход, то есть будем считать, что есть два малых параметра: 5 ^ 0 и (г -1) ^ 0, причем они разного порядка малости, их отноше-

ние

г -1

8

Входящие в компоненты пульсационной скорости функции Бесселя имеют в качестве аргумента величину, обратную 5 . Поэтому для них имеют место асимптотики при аргументе, стремящемся к бесконечности:

К1(х) ^ е-\ —\1 + —---------------15т

\2х ( 16х 256х2

+...

Используя данное асимптотическое выражение, в качестве решения уравнения (10) с граничными условиями (11) и (12) получаем для компонент средней скорости следующие предельные выражения:

т. 242 Лг2 -1),

V =---—е5 ^3 Р2 (^ф) ,

л/2 ~

К = -^у е5р2( С05ф).

Тогда на поверхности пузырька касательное напряжение в размерном виде равно

агф =-^Т2р— Ь-^.— 8ШфС08ф.

а \а

Используя выражение для амплитуды касательной компоненты скорости идеальной жидкости на поверхности и = 2Ьа$>\пф, получаем формулу, описывающую генерацию среднего течения:

= -2^2

рии

1 ди

на поверхности г = 1

где и =---------- производная касательной компо-

а дф

ненты скорости вдоль поверхности.

0

0

1

2

3

2

а

5. Заключение

Целью работы являлось изучение генерации среднего течения около свободной искривленной поверхности под действием малоамплитудных вибраций на примере пузырька газа, взвешенного в заполняющей пространство жидкости. В главном порядке пузырек движется без искажения формы. Во втором порядке по амплитуде вибраций вокруг пузырька возникает стационарное течение, причем пульсационные деформации поверхности никак не влияют на генерацию этого течения. Таким образом, среднее течение возможно и тогда, когда поверхность недеформируемая. Приближение неде-формируемости поверхности накладывает ограничение на приложенную частоту вибраций

а 0 -\1у/рЬ3 , где у - коэффициент поверхностного натяжения. С другой стороны, задача решалась в пределе малых, по сравнению с радиусом пузырька, пограничных слоев. Таким образом, полученные результаты будут справедливы для пузырьков, радиус которых удовлетворяет соотношению а  р—2 / у .

Среднее течение генерируется в вязком пограничном слое около пузырька и распространяется за его пределы. Получена формула, задающая величину вязких напряжений на внешней границе такого слоя. Эти эффективные напряжения, независимо от рассматриваемой геометрии, пропорциональны квадрату кривизны поверхности и кубу толщины пограничного слоя Стокса.

Список литературы

1. Блехман И. И. Вибрационная механика. М., 1994. 351 с.

2. Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т. 44, № 5. С. 7-20.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1969. 712 с.

4. Ниборг В. Акустические течения // Физическая акустика / под ред. У. Мэзона. Т. II, ч. Б. М.: Мир, 1969. С. 364-367.

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. 735 с.

6. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Черепанов А. А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлит, 2003. 216 с.

7. Dore D. On mass transport induced by interfacial oscillations at a single frequency // Proc. Camb. Phil. Soc. 1973. Vol. 74. P. 333-347.

8. Longuet-H'gg'ns M. S. Mass transport in water waves // Philosophical Transactions A. 1953. Vol. 245. P. 353-581.

9. Клименко Л. С., Любимов Д. В. Генерация среднего течения около искривленной свободной поверхности // Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) “Неравновесные процессы в сплошных средах”: матер. конф. Пермь, 2007. С. 222-225.

Average flow generation by pulsating flow near cylindrical gas bubble

L. S. Klimenko, D. V. Lyubimov

Perm State University, Bukirev st., 15, 614990, Perm

We investigated average flow generation near curved undeformated free surface under harmonic vibrations with small amplitude. We considered cylindrical gas bubble in unbounded liquid The problem was solved analytically using weakly nonlinear analysis. It was found that average flow is generated in viscous boundary layer and spreads beyond it. The flow can be described by stationary Navie-Stocks equation with effective boundary conditions for tangential stress. Significantly, generation near free surface depend on liquid viscosity and surface curvature.

Keywords: vibrations, average flow, effective tangential stress, cylindrical bubble, dynamic boundary layer.