Прогнозирующее управление стохастическими нелинейными системами с сериально коррелированными параметрами при ограничениях

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2018 Управление, вычислительная техника и информатика № 42

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.865.5

DOI: 10.17223/19988605/42/1

В.В. Домбровский, Т.Ю. Пашинская

ПРОГНОЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ С СЕРИАЛЬНО КОРРЕЛИРОВАННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

Рассматривается задача управления с прогнозированием по квадратичному критерию для нелинейных дискретных систем с сериально коррелированными параметрами. Синтезированы стратегии управления при наличии явных ограничений на управляющие воздействия. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования.

Ключевые слова: нелинейные стохастические системы; прогнозирующее управление; сериально коррелированные параметры; ограничения.

Системам со случайными параметрами уделяется значительное внимание в современной научной литературе. Это связано с тем, что такие системы нашли широкое практическое применение при управлении сложными реальными объектами.

Эффективным методом решения задач управления такими системами при наличии ограничений является метод управления с прогнозирующей моделью (управление со скользящим горизонтом, model predictive control, receding horizon control) [1-3]. В работах [4-8] синтезированы алгоритмы прогнозирующего управления линейными стохастическими системами со случайными параметрами при ограничениях на управления. При этом в [4] рассматриваются системы с мультипликативными шумами, в [5] предполагается, что динамика вектора параметров описывается разностным стохастическим уравнением авторегрессии, в работе [6] предполагается, что известны только первые и вторые моменты распределения сериально коррелированных параметров, в [7, 8] рассматривается задача управления системами со скачкообразными параметрами, меняющимися в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи. В работе [9] исследованы алгоритмы синтеза прогнозирующего управления для систем с запаздываниями.

Обзор литературы показывает, что большинство работ посвящено управлению линейными системами, в то время как многие реальные процессы описываются уравнениями, содержащими нелинейные компоненты [10]. Метод прогнозирующего управления с генерацией сценариев для стохастических нелинейных систем с независимыми параметрами рассматривается в [11]. В работе [12] синтезированы стратегии управления со скользящим горизонтом для класса стохастических систем с аддитивной нелинейностью без учета ограничений. При этом предполагается, что нелинейная составляющая системы зависит от состояний, управлений и вектора шумов [13]. В [14] рассматривается задача прогнозирующего управления для этого класса нелинейных систем при ограничениях на управляющие переменные. В работе [15] предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления по квадратичному критерию при ограничениях для дискретных стохастических систем с марковскими переключениями, состоящих из конечного множества нелинейных подсистем с аддитивной нелинейностью.

В данной работе рассматривается задача синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для дискретных нелинейных систем со случайными коррелированными параметрами. Относительно параметров предполагаются известными только первые и вторые условные моменты распределений. Синтезированы стратегии управления с прогнозированием по квадратичному критерию при наличии явных ограничений на управляющие переменные.

1. Постановка задачи

Пусть объект управления описывается уравнением

х

где х(к) - пх-мерный вектор состояния, ы(к) - «„-мерный вектор управления, м>(к) - вектор белых шумов размерности пК с нулевым средним и единичной матрицей ковариации, п(к) - последовательность д-мерных случайных векторов; последовательности ^(к) и п(к) независимы; А, В[п(к),к] - матрицы соответствующих размерностей, причем элементы матрицы В[п(к),к] зависят от п(к) линейно.

Характер нелинейной зависимости в функции / таков [13], что для любых х

Е{ /

Е{/

где £{.../...} - оператор условного математического ожидания; г = п(п + 1) / 2, Тг (г = 0, г), и М1 (г = 1,/") - неотрицательно определенные симметричные матрицы.

Пусть = - поток о-алгебр, где каждая из о-алгебр порождается последовательно-

стью {п(^): 5 = 0, 1, 2, ... , к} и интерпретируется как доступная информация до момента времени к включительно.

Для процесса п(к) предполагаются известными условные моменты распределений

Е {П(к + г)/ дк }=П(к + г), Е{Л(к + /)Лт (к + ])/ дк } = (к), (к = 0,1,2,...), (г, ] = 0,1,2,..., й).

В дальнейшем будем использовать обозначения: для любой матрицы у[п(к),к], зависящей от п(к), у (к) = Е {^[^ (к), к ] / дк }, не указывая зависимость матриц от п(к).

На управляющие воздействия наложены ограничения вида:

иШ1П

где ^(к) - матрица соответствующей размерности.

Необходимо определить закон управления системой (1) при ограничениях (4) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления

т „

J(к+тк) = Е{Х х (к + г)^(к + г)х(к + г) -Я2(к + г)х(к + г) +

г=1

+ит (к + г - 1/к)Я(к + г - 1)и(к + г -1/к) / х(к), }, где т - горизонт прогноза; к - текущий момент времени; ^ (к+г) > 0, Я(к+г) > 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей; Л2 (к + г) - весовой вектор соответствующей размерности.

2. Синтез стратегий прогнозирующего управления

Для решения сформулированной задачи используем методологию управления с прогнозирующей моделью. Данный подход позволяет получить стратегии управления с обратной связью с учетом явных ограничений на управляющие воздействия.

Стратегии управления с прогнозированием определяются по следующему правилу. На каждом шаге к минимизируем функционал (5) по последовательности прогнозирующих управлений „(к/к), ... , и(к + т — 1/к), зависящих от состояния системы в момент времени к. В качестве управления в момент времени к берем и(к) = и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояний х(к), т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента к + 1 и т.д.

Теорема. Вектор прогнозирующих управлений и(к)=[ит(к/к), ... , ит(к + т - 1/к)]1, минимизирующий критерий (5) при ограничениях вида (4), на каждом шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида

при ограничениях

У

ц^Ск) < ^ (к)и (к) < ишах(к),

где

5(к) = (Иа%(5(к),...,5(к + т -1)) ,

ПТ г

иш!п

Н(к), О(к), ^(к) - блочные матрицы вида

'Нц

Н (к) =

Н21

Нт1

С

^(к) = [ ^(к) ад

Н2т

Нтт

Оя(к)]>

Рт(к)],

блоки которых равны:

Н

Н / (к) = Е{ВТ[П(£ + г),* + г]( ^- )т0(т - / )В[ф + / ),к + / ]/&}, г < /,

где

Н, (*) = Н/, (*), г > /,

С, (к) = ()Т 0(т - г)В(к + г), ^ (к) = б2 (т - г)В(к + г), г, / = 1т,

0(0 = ЛТб(/ -1)Л + 2>{б(/-1)Т+ ^(к + т -/),0(0) = ^(к + т),

02('") = 02(*-1) ^ + —2 (к + т - /),02(О) = —2 (к + т).

Закон управления с прогнозированием в каждый момент времени к определяется соотношением

и

где 1п - единичная матрица размерности Пи, 0п - квадратная матрица с элементами, равными нулю, размерности Пи.

Оптимальная стратегия прогнозирующего управления системой (1) без учета ограничений определяется уравнением (17), где

и м=. 2Н-чдао^) х(к) - ^ т(к)].

При этом оптимальное значение критерия (5) определяется выражением

Гр(к + т /к) = -1 [2хт(к)С(к) - ^(к)]Н(к)[2Ст(к)х(к) - ^т(к)] +

+хт (к) [0(т)- - (к)] х(к) + 02 (т -1) Лх(к) + I гг {б(/ - 1)Т0}.

Замечание. В силу линейной зависимости матриц от случайных параметров, условные математические ожидания в выражениях (10)-(14) можно вычислить без затруднений. Доказательство. Критерий (5) можно записать следующим образом:

J (к+т/к) = Е {хт (к +1) ^ (к +1) х(к +1) - Я2 (к + 1)х(к +1) + и т (к / к )Я(к )и(к / к) +

+Е {хт (к+2)^ (к+2) х(к+2) - Д2 (к + 2) х(к + 2) + и т (к +1 / к )Д(к + 1)и(к +1 / к) +

... + Е {хт (к+т) (к+т) х(к+т)- Я2 (к+т) х(к+т) +

+ит(к + т-1/к)Д(к + т- 1)и(к + т-1/к)/х(к + т-1),£к+т-1}/.../х(к +1),£к+1}/х(к),дк} . Введем обозначение

Jk+s = Е {хт (к + 5 + 1)Ях(к + 5 + 1)х(к + 5 +1) - Я2(к + 5 + 1)х(к + 5 +1) + и т(к + 5 / к )Я(к + 5)и (к + 5 / к) + +Е {хт (к+5+2)^ (к+5+2) х(к+5+2)-Д2 (к+5+2) х(к+5+2)+и т (к + 5 +1 / к )Д(к + 5 + 1)и(к + 5 +1 / к) +... +Е {хт(к+т)Ях(к+т)х(к+т)-Я2(к+т) х(к+т)+и т(к+т-1/к )Я(к+т-1)и(к+т-1/к)/

/х(к + т -1),5к+т-1} / ... / х(к + 5 + 1),дк+5+1} / х(к + дк+5} .

Очевидно, что

Jk+S = Е{хт(к + 5 + 1)Ях(к + 5 +1) х(к + 5 +1) - Я2(к + 5 +1) х(к + 5 +1) +

+и1 (к + 5 / к) Я(к + 5)и(к + 5 / к) + Jkх(к + 5), дк}

J

Рассмотрим

1 = Е{хт (к + т)Яг (к + т) х(к + т) - (к + т) х(к + т) + +ит(к + т -1/ к)Я(к + т - 1)и(к + т -1/ к) / х(к + т -1), дк+т_ 1}.

Выражая х(к + т) через х(к + т - 1) из (1), будем иметь

х(к + т) = Ах(к + т -1) + В[^(к + т), к + т]и(к + т -1) + / (х(к + т -1), и(к + т -1), м(к + т)). (23) Подставляя (23) в (22) и взяв условное математическое ожидание с учетом (2) и (3), получим

•4+т-1 = х

Ат0(0)А+ ^ ^ (0)Т3 )Ж3 3=1

х(к + т -1) +

+2хт (к + т -1)Ат0(0)Е{В[^(к + т),к + т] / }и(к+т-1/к) +

г

+иТ (к + т -1 / к)[Е{ВТ (к + т)£(0)£(к + т) / дк+т-1} + I /г{б(0)Т3 }М3 + Д(к + т - 1)]и(к + т -1 / к) -

з=1

-02 (0) Ах(к + т -1) - 02 (0)Е{В[П(к + т), к + т] / ^+т-1 }и(к + т -1 / к) + ?г{0(0)Т0 }, где 0(0) = ^(к + т), е2 (0) = Я2(к + т).

Предположим далее, что для некоторого q верно:

Jk+т-а = *Т(к + т -

Ат -1) А + 1 /г {б(а - 1)тз }жз з=1 '

х

+2хт(к + т - а)Ат 1 (Ат)а-гб(7 - 1)Е{£[г|(к + т - г +1),к + т - г +1]/дк+т-а}и(к + т - г /к) +

г=1

+1 ит (к + т - г /к)[Е{Вт [^(к + т - г +1),к + т - г +1]0(г - 1)£[г|(к + т - г +1), к + т - г +1] / ?} +

г=1

+I /г {0(г - 1)Т3 }м3 + Я(к + т - г )]и(к + т - г / к) + 3=1 1 '

и

+21] I ит(к + т -//к)Е{ВТ[г|(к + т -7 +1),к + т -7 +1]0(7 -1) х

7=11=7+1

хА1"гВ[^(к + т -/ +1),к + т -/ +1]/&+}и(к + т -/ /к) + ] гг {0(7 - 1)Т0 }

¿=1

9

-02(д -1)Ах(к + т - 9) - 102(7 - 1)Е{В[^(к + т - 7 +1),к + т - 7 +1] /^к+^Мк + т - 7 /к),

¿=1

где Q(i), Q2(i) определяются выражениями (15)-(16).

Покажем, что данная формула верна и для q + 1. Действительно, из (20) следует, что

.к+т-(9+1) = Е {хТ(к + т - д)— (к + т - д)х(к + т - д) - —2 (к + т - д)х(к + т - д) +

+иТ

Подставим в (25) вместо т- q его выражение из (24), вместо х(к + т - q) его выражение через х(к + т - ^ + 1)), используя (23); возьмем условное математическое ожидание и, преобразовав выражение, получим, что

.к+т-

А0(д)А + I ^ {0(дТ

х

+2хТ (к + т - (д +1)) АТ1; (АТ )(д+1)-7 0(7 - 1)Е{В[^(к + т - 7 +1), к + т - 7 +1] / &+т-(д+1) }и (к + т - 7 / к) +

7=1

д+1 Т„ , „ / ,ЧГГН0ТГ

+ 1 иТ (к + т -7 / к)[Е{ВТ [^(к + т - 7 +1),к + т -7 +1]0(7 - 1)В[^(к + т -7 +1),к + т - 7 +1] / %к+т-{ч+1)} +

7 =1

+1 гг {0(7 - 1)Т'}М] + -(к + т - 7)]и(к + т - 7 / к) +

д д+1 Т т

+21 I и1 (к + т - 7 / к)Е{ВТ[^(к + т - 7 +1), к + т - 7 +1]0(7 -1) х

7=1/=7+1

хА1 -1В[ц(к + т - / +1),к + т - / +1] / &+^+1)^(к + т - / / к) + д!:1гг {0(7 - 1)Т0 } -

д+1

-02 (д) Ах(к + т - (д +1)) - I 02 (7 - 1)Е{В[^(к + т - 7 +1), к + т - 7 +1] / &+т-(д+1) }и(к + т - 7 / к).

7 =1

Формула (26) совпадает с (24), если в (24) q заменить на q + 1, а значит, согласно принципу математической индукции формула (24) верна для всех д = 1, т . Из (24) и (21) следует, что

.

АТ0(т -1)А + I гг {0(т - 1)Т1}

х

+2хТ (к)АТ I (АТ Г- 0(7 - 1)В(к + т - 7 + 1)и(к + т - 7 / к) +

7=1

+!г иТ (к + т - 7 / к)[Е{ВТ [^(к + т - 7 +1),к + т - 7 +1]0(7 - 1)В[^(к + т - 7 +1),к + т - 7 +1] / &} +

7 =1

+1 гг {0(7 - 1)Т1}М1 + -(к + т - 7)]и (к + т - 7 / к) +

т—1 т

+2 II иТ(к + т -7 /к)Е{ВТ[^(к + т-7 +1),к + т -7 +1]0(7 -1) х

7=1 /=7+1

хА1 ^В^к + т - / +1),к + т - / +1] / &}и(к + т - / / к) + I гг {0(7 - 1)Т0 } -

гг {

7=1

т —

-02 (т -1)Ах(к) - 10 (7 - 1)В(к + т - 7 + 1)и(к + т - 7 / к).

7=1

Выражение (27) можно записать в матричном виде:

J(k + m/k) = xT (k)AT [Q(m) - R (k)] Ax(k) - Q (m -1)Ax(k) +

+[2xT

где матрицы #(£), G(£), F(£) имеют вид (7)—(14).

Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (28) при ограничениях (6), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (5) при ограничениях (4).

Очевидно, что если ограничения на управляющие воздействия отсутствуют, то оптимальный вектор прогнозирующих управлений U(k), минимизирующий критерий (28) на траекториях системы (1), определяется уравнением (18). Нетрудно показать, что при этом оптимальное значение критерия (28) имеет вид (19).

Заключение

В данной работе предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления по квадратичному критерию для нелинейных дискретных систем с сериально коррелированными параметрами. Для синтеза стратегий управления достаточно знать только условные первые и вторые моменты распределений вектора случайных параметров. Данный подход позволяет в явном виде учесть ограничения на управления. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии включает решение последовательности задач квадратичного программирования. Синтезированы стратегии управления с учетом явных ограничений на управляющие воздействия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mayne D.Q. Model predictive control: Recent developments and future promise // Automatica. 2014. V. 50 (12). P. 2967-2986.

2. Goodwin G.S., Carrasco D.C., Seron M.M. Predictive control: a historical perspective // Int. J. of Robust and Nonlinear Control.

2012. V. 22. P. 1296-1313.

3. Farina M., Giulioni L., Scattolini R. Stochastic linear model predictive control with chance constraints : a review // J. of Process

Control. 2016. V. 44. P. 53-67.

4. Primbs J.A., Sung C.H. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative noise //

IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. V. AC-54, No. 2. P. 221-230.

5. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными зависи-

мыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. С. 71-85.

6. Dombrovskii V., Obyedko T. Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parameters and

portfolio optimization // Automatica. 2015. V. 54 (4). P. 325-331.

7. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными пара-

метрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. 2000. № 271. С. 171 -174.

8. Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях

и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2011. № 5. С. 96-112.

9. Kiseleva M.Y., Smagin V.I. Model Predictive Control of Discrete Systems with State and Input Delays // Вестник Томского гос-

ударственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1 (14). С. 5-12.

10. Mhaskar P., El-Farra N.H., Christofides P.D. Robust hybrid predictive control of nonlinear systems // Automatica. 2005. V. 41. P. 209-217.

11. Kantas N., Maciejowski J.M., Lecchini-Visintini A. Sequential monte Carlo for model predictive control // Nonlinear Model Predictive Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences / L. Magni, D.M. Raimondo, F. Allgower (eds). Berlin, Heidelberg : Springer, 2009. V. 384. P. 263-273.

12. Yaz E. A control scheme for a class of discrete nonlinear stochastic systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1987. V. AC-32, No. 1. P. 77-80.

13. Jacobson D.H. A general result in stochastic optimal control of nonlinear discrete-time systems with quadratic performance criteria // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1974. V. 47 (1). P. 153-161.

14. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием нелинейными стохастическими системами при ограничениях // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 18. С. 320-323.

15. Dombrovskii V., Obyedko T., Samorodova M. Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions // Automatica. 2018. V. 87 (1). P. 61-68. https://doi.org/10.1016/ j.automatica.2017.09.018.

Домбровский Владимир Валентинович, д-р техн. наук, профессор. E-mail: dombrovs@ef.tsu.ru Томский государственный университет

Пашинская Татьяна Юрьевна, канд. физ.-мат. наук. E-mail: tatyana.obedko@mail.ru Национальный исследовательский Томский государственный университет

Поступила в редакцию 5 сентября 2017 г.

Dombrovskii Vladimir V., Pashinskaya Tatiana Y. (National Research Tomsk State University, Russian Federation). Model predictive control for nonlinear stochastic systems with serially correlated parameters under constraints. Keywords: stochastic nonlinear systems; model predictive control; serially correlated parameters; constrains.

DOI: 10.17223/19988605/42/1

Let the control object is described by the equation:

x

where x(k) is the nx-dimensional vector of state; u(k) is the nM-dimensional vector of control; w(k) is the «^-dimensional vector of white noses with zero-mean and identity covariance matrix; n(k) is the ^-dimensional stochastic vector; w(k) is independent of n(k) (k = 0, 1, 2...); A, B[n(k),k] are the matrices of corresponding dimensions. All of the elements of B[n(k),k] are assumed to be linear functions of n(k).

The function f is defined by its statistical properties as follows:

E { f (x(k ),u(k ),w(k+1))/ x(k )} = 0,

S {f

for all x(k), where r = n(n + 1)/2, Tl (i = 0,r), W' and M' (i = 1,r) are positive semidefinite and symmetric matrices.

Let F = (§£be the complete filtration with a-field generated by the {t|(s): 5 = 0, 1,2, ...,k} that models the flow of information to the moment k.

We allow the parameters n(k) to be serially correlated. Let us assume that we know the first- and second-order conditional moments for the stochastic vector n(k) about F :

E {r(k +')/Fk } = r(k +'),

E{r(k + i)rT (k + j)/ Fk } = ©j (k), (k = 0,1,2,...), (i, j = 0,1,2,..., d).

We impose the following inequality constraints on the control inputs (element-wise inequality):

umln

where S(k) is the matrix of corresponding dimension.

For control of system (1) we synthesize the strategies with a predictive control model. At each step k we minimize the quadratic criterion with a receding horizon

m

J(k+m/k) = E{ ^ xT (k + i)R (k + i)x(k + i) - R(k + i)x(k + i) + uT (k + i - Vk)R(k + i - 1)u(k + i - 1/k) /x(k), F }, i=1

on trajectories of system

is a given vector of corresponding dimension, m is the prediction horizon, k is the current moment. The synthesis of predictive control strategies is reduced to the sequence of quadratic programming tasks.

REFERENCES

1. Mayne, D.Q. (2014) Model predictive control: Recent developments and future promise. Automatica. 50. pp. 2967-2986. DOI:

10.1016/j.automatica.2014.10.128

2. Goodwin, G.S., Carrasco, D.C. & Seron, M.M. (2012) Predictive control: a historical perspective. International Journal of Robust

and Nonlinear Control. 22. pp. 1296-1313. DOI: 10.1002/rnc.2824

3. Farina, M., Giulioni, L. & Scattolini, R. (2016) Stochastic linear model predictive control with chance constraints - A review.

Journal of Process Control. 44. pp. 53-67. DOI: 10.1016/j.jprocont.2016.03.005

4. Primbs, J.A. & Sung, C.H. (2009) Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multipli-

cative noise. IEEE Transactions on Automatic Control. AC-54(2). pp. 221-230. DOI: 10.1109/TAC.2008.2010886

5. Dombrovskii, V.V., Dombrovskii, D.V. & Lyashenko, E.A. ( 2006) Model predictive control of systems with random dependent

parameters under constraints and its application to the investment portfolio optimization. Automation and Remote Control. 67(12). pp. 1927-1939. DOI: 10.1134/S000511790612006X

6. Dombrovskii, V. & Obedko, T. (2015) Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parame-

ters and portfolio optimization. Automatica. 54. pp. 325-331. DOI: 10.1016/j.automatica.2015.02.021

7. Smagin, V.I. & Popolzukhina, E.V. (2000) Synthesis tracking control systems for objects with random jump parameters and multi-

plicative disturbances. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 271. pp. 171-174. (In Russian).

8. Dombrovskii, V.V. & Obedko, T.Yu. (2011) Predictive control of systems with Markovian jumps under constraints and its

application to the investment portfolio optimization. Automation and Remote Control. 72(5). pp. 989-1003. DOI: 10.1134/S0005117911050079

9. Kiseleva, M.Y. & Smagin, V.I. (2011) Model Predictive Control of Discrete Systems with State and Input Delays. Vestnik Tomskogo

gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(14). pp. 5-12.

10. Mhaskar, P., El-Farra, N.H. & Panagiotis, D.C. (2005) Robust hybrid predictive control of nonlinear systems. Automatica. 41. pp. 209-217. DOI: 10.1016/j.automatica.2004.08.020

11. Kantas, N., Maciejowski, J.M. & Lecchini-Visintini, A. (2009) Sequential monte Carlo for model predictive control. In: Magni, L., Raimondo, D.M. & Allgower, F. (eds) Nonlinear Model Predictive Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences. 384. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 263-273. DOI: 10.1007/978-3-642-01094-1_21

12. Yaz, E.A (1987) Control scheme for a class of discrete nonlinear stochastic systems. IEEE Transactions on Automatic Control. AC-3 (1). pp. 77-80. DOI: 10.1109/TAC.1987.1104428

13. Jacobson, D.H. (1974) A general result in stochastic optimal control of nonlinear discrete-time systems with quadratic performance criteria. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 47(1). pp. 153-161. DOI: 10.1016/0022-247X(74)90043-2

14. Dombrovskii, V.V., Dombrovskii, D.V. & Lyashenko, E.A. (2006) Model predictive control for nonlinear stochastic systems under constraints. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 18. pp. 320-323. (In Russian).

15. Dombrovskii, V., Obyedko, T. & Samorodova, M. (2018) Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions. Automatica. 87(1). pp. 61-68. DOI: 10.1016/j.automat-ica.2017.09.018