Асимптотика решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с кратной точкой поворота внутри области

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯС КРАТНОЙ ТОЧКОЙ ПОВОРОТА

ВНУТРИ ОБЛАСТИ

Турсунов Дилмурат Абдиллажанович

канд. физ.-мат. наук, доцент ОшГУ, г. Ош E-mail: dosh2012@mail.ru

ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF SINGULARLY PERTURBED ELLIPTIC EQUATIONS WITH THE MULTIPLE TURNING POINT IN

AREA

Dilmurat Tursunov

candidate of physics and mathematics sciences, associate professor of Osh State

University, Osh

АННОТАЦИЯ

Целью данной работы является построить равномерную асимптотику решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения в круге. Соответствующее невозмущенное уравнение имеет кратную точку поворота внутри круга. Применяется новый метод — обобщенный метод погранфункций, который является аналогом метода погранфункций. Получена равномерная асимптотика решения поставленной задачи.

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct a uniform asymptotic solution of the Dirichlet problem for the bisingularly perturbed elliptic equation in a circle. The corresponding unperturbed equation has a multiple turning point within the circle. A generalized method of boundary functions has been applied. The proposed method is analog of the boundary functions. The uniform asymptotic solution of the problem was constructed.

Ключевые слова: асимптотика; точка поворота; задача Дирихле; погранфункций; эллиптические уравнения; асимптотический ряд; уравнение Гельмгольца.

Keywords: asymptotic; turning point; the Dirichlet problem; boundary functions; elliptic equations; asymptotic series; Helmholtz equation.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ по проекту № 13-0190903 молиннр

Постановка задачи. Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения

вАгфи-/1 и=Дг,ф),

м

а2 1а 1а2

где Агф = — + -— + — -—, и=и(г, ф,е),

ф дг2 Г дг г2 аф2

/ 4;, ф 3= X /к ^ > /к ^ 0<е<<1 — малый параметр.

Аналогичные задачи к задаче (1)—(2), методом сращивания, рассмотрены в работах [1], [4], [5] и в цитируемых в этих работах. А в работе [3] рассмотрен случай п=1.

Как и раньше, чтобы убедится, что решение соответствующего невозмущенного уравнения имеет особенность, рассмотрим структуру внешнего разложения решения задачи (1), которое ищем в виде:

У = Ее

к=О

Уь

где: V — это пока формальный ряд. Подставляя (3) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим рекуррентную систему уравнений: -г"г0(г,ф)=/(г,ф), Л^(г,ф)=Лгфук_1(г,ф), Отсюда определяются все ук С00 С* \

У0(г,ф) = -Дг,ФУЛ ук(г,ф)=Агфу,_1(г,ф)//г, к^.

Заметим, что при г= О все эти функции Ук(г,ф) имеют нарастающие особенности:

ук(г,ф)=0(1/^(и+2)), А=0Д,2,

Поэтому задача (1)-(2) является бисингулярной. В окрестности г=0, имеем:

¥ =

А Б \т

Т,п+2

РтГ,Ф>

при 8->0,

В окрестности г= О ряд (3) не только не приближает решение и(г,ф,е), но даже теряет асимптотический характер.

Построение ФАР решения. Решение задачи (1)-(2) будем искать в виде:

-1

<Г,Ф,8)= у +Vo

к=-п

где г|=(1—г)/е1/2, е=цп+2, т=г/\х. Учитывая граничное условие (2) имеем:

м(1,ф,в)= </ц,ф£* +4 1 ,ф)+71о(0,ф)+Я( 1 ,ф)=0,

к=—п

м^1/ц,ф)=0, к= -п-п+ 71о(0,ф)=-Уо(1,ф), Д(1,ф)=0.

1

п

Г

Подставляя (4) в (1) получим:

8ЛгфУо-/гУо+ _ Е - тпм?к ^1к+п +8Апф7Го-(1-е1/2Л)и7Го+

+8А=Дг,ф)-Я

к=-г,

где

А + —+ д _

тф дт2 х дт т2 5ф2' ^

2

а 1

+

д'

гдт\

Здесь мы в правую часть уравнения прибавили и убавили одну и ту же функцию Я(г,ф), которую определим ниже. Из равенства (8) получим:

8АгфУо-/Ч+ I +(^-7Го)+0(81/2)+

дц

д2%(

к=—г,

+еА^7?=/(г,ф)-Я(г,ф)+Я(тц,ф).

Отсюда, учитывая (5)—(7) получим:

-/Ч=/

к=—г,

д2п(

—7Го=0, 7Го

еД^-Л? =0(е1/2)- еАгфУо, Я(1,ф)=0.

1

2

Из равенства (9) определяем у0(г, ф): у0(г,ф)= -(/(г, ф )-Я( ((г, ф))//'.

Определим неизвестную функцию Н(г,ф) так чтобы у()(г,ф)е С 1f { D ). Значит,

п-1

Н(Г,ф)= Z fj * lJ.

j=о

Следовательно,

J=n

Задачу (10) запишем в следующем в виде:

-1

> . п-1 п.....к+п_

I Стф Wk~T~Wk J^ ^ Jj

к=—п

ZZ/OOW 1/щф)=о.

j=о

Приравнивая по степеням ц, получим:

:\п+к

К^к-^к =fn+kijn+\w,l\/^)=0,k=-n,-n+\,...,-\.

Уравнение ~ = приводим к неоднородному

уравнению Гельмгольца. Пусть г| = — та cos аф, = — та sin аф. Вычисляя соответствующие производные и подставляя их в уравнение

d2wk dwk d2w,

дт2 idx т2Эф

к -f ~Т Wk= 1п+кЧ>3 :

f -<1

получим: х

2а-2

2... Л

5 ^

Эл2 з^2

'с'Ч =/«+*<!> О

п+к

Отсюда, при а=(п+2)/2 имеем:

(д2 А о wk о wk

дц2 dt?

wk=fn+k

Так как г| = ссваф^а, ^=(а8таф^а, то т2а=а2(|2+^2

отсюда

следует, что х = 2^/а2 + £,2 . Следовательно,

(А о ^ о м>к

2~+

-ж

к

При -оо<г)<оо, -оо<^<оо, уравнение (15) имеет единственное решение [2]:

жк<1 лУ

<+"/2!к' -Т/ Зл 1* 1

271

2 2>к / П+2_

<2+й

где: р = ' ^о(р) — функция Макдональда (моди-

фицированная функция Бесселя).

Асимптотику решения задачи (14) при т—>оо, ищем в виде

Подставляя (17) в (14) имеем:

,2 а^

+ ...+

и+2

-1—{-

...

т т

Пап4

_п+1

+

3

Отсюда

при к= -т йг/Ф)=0,7=0,1,..,«-1, яи(ф)= -/о(Ф),.-; при к= -п+1: а/ф)=0,у=0,1,..,и-2, аи_1(Ф)= -/¡(ф),...;

при к= -1: £70(ф)=0, ¿/1(ф)= -/и_1(ф),.-- • Следовательно, справедливы равенства:

т. е.

-n+J

О-,

Для \/к, ф)—при т—>оо; м^т, ф)еС°°(Д), 1,...,-1.

Задача (11) имеет единственное решение представимое в виде:

Оценка остаточного члена Задачу (12) запишем в виде

вАгф Я-/1 Я = 0(в1/2), Д(1,ф)=0. Пусть Я(г,ф)=0(е1/2)2(г,ф)/|/, ц=в1/(и+2), г=\хт, тогда

Учитывая решение задачи (14) имеем:

2(г,ф)=0(1), 2(1/ц,ф)=0(1/тп), при т-юо.

Отсюда следует, что |Я(г,ф)|=0(8и/(2и+4)). Нами доказана

<1,Ф ^0,Т1 710

Теорема. Если Хг,ф)еС°( И), /(0,0)^0, тогда для решения задачи (1)-(2) справедливо асимптотическое разложение

и4,у,ъУ Iwk[ik + v0 + тгq+O(w/ при s_>o,

k=-n

где: vo, n0 — функции, определяемые из равенств (13), (16), (18).

Список литературы:

1. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. — 334 с.

2. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с.

3. Турсунов Д.А. Аналог метода погранфункции для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения // Сб. научн.трудов X межд.науч.конф. Молод. учен. «Перспективы развития фунд-х наук» Россия, Томск, 2013. — С. 623—626.

4. Eckhaus W., Boundary Layers in Linear Elliptic Singular Perturbation Problems, SIAM Review, — Vol. 14, — № 2 (Apr., 1972), — pp. 225—270.

5. Shagi-di Shih and r. Bruce Kellogg, Asymptotic analysis of a singular perturbation problem, SIAM J. Math. Anal. — Vol. 18, — № 5, (Sept 1987), — pp. 1467—1511.