Непараметрический обнаружитель оптического сигнала

-

Проблемы передачи и обработки информации

УДК 621.396.969.181.34

Ю.Е. Сидоров, Ю.Г. Бельченко НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОБНАРУЖИТЕЛЬ ОПТИЧЕСКОГО СИГНАЛА

Обнаружение сигнала общепринято трактовать как статистическую задачу с априорной неопределенностью, выражающейся в том, что ряд параметров, а иногда и вид функции распределения шумов /ц(х) и смеси сигнала с шумом F\(x) неточно известны и могут изменяться в процессе наблюдения. В этих условиях классические алгоритмы обнаружения могут оказаться неэффективными [1—3].

Один из путей преодоления априорной неопределённости состоит в разработке адаптивных алгоритмов, структура и параметры которых могут изменяться в соответствии с результатами анализа входных данных. В тех случаях, когда неизвестным или изменяющимся является сравнительно легко контролируемый параметр сигнала или шума, удаётся преодолеть априорную неопределённость в результате подстройки (адаптации) параметров обнаружителя в ходе наблюдения. Задача адаптации обнаружителя существенно усложняется, когда неизвестны несколько параметров или вид функций распределения /ц(х) и ^,(х). Поэтому такие алгоритмы оказываются весьма сложными и плохо реализуемыми для работы в реальном масштабе времени. Тем не менее, если ограничить круг помех, воздействующих на приёмник, такой алгоритм можно синтезировать.

Другой путь преодоления априорной неопределённости состоит в разработке алгоритмов, нечувствительных или слабо чувствительных к статистическим характеристикам сигналов и шумов [1—3].

В связи с этим в последнее время в задачах обнаружения сигналов всё чаще привлекают внимание непараметрические методы. Статистический метод называется непараметрическим, если его применение не предполагает знания

функционального вида распределений сигналов и шумов. Обнаружитель принято называть непараметрическим, если при отсутствии сигнала (наличии только шума) распределение вероятностей его решающей статистики не зависит от распределения и параметров шума. Это значит, что такой обнаружитель обеспечивает постоянную вероятность ложного обнаружения независимо от статистических характеристик шума. Качество обнаружителя определяется двумя показателями — вероятностью ложного обнаружения (ложной тревоги) а и вероятностью пропуска полезного сигнала р (или вероятностью правильного обнаружения 1 — р). Поэтому задача стабилизации на заданном уровне хотя бы ода

нении помеховой обстановки весьма важна [ 1 ].

Характерная особенность задачи обнаружения сигналов в оптическом диапазоне заключается в том, что обнаружение ведётся в условиях априорной неопределённости, когда отсутствуют сведения о вероятностных распределениях и статистических характеристиках сигналов и помех или (и) имеется сильная зависимость этих распределений от различных факторов (турбулентности атмосферы, помеховой обстановки, метеорологических условий, времени года и т. д.), точный учёт которых не представляется возможным [4]. Кроме того, реальные вероятностные распределения могут существенно отличаться от своих теоретических моделей, в расчете на которые ведется приём сигналов. Наконец, нестационарность приводит к изменениям распределений и их параметров.

В этих условиях качество обнаружения может существенно отличаться от расчётного. Для обеспечения гарантированного уровня ложных тревог приходится сильно завышать порог

обнаружения, что приводит к ухудшению характеристик обнаружения сигнала.

Применение непараметрической процедуры обнаружения оптического сигнала позволяет существенно повысить надёжность обнаружения.

Ранговые решающие процедуры

Непараметрическое обнаружение характеризуется свойством инвариантности вероятности ложной тревоги по отношению к виду и параметрам распределения помехи. В то же время такие обнаружители незначительно уступают по мощности (вероятности обнаружения) классическим, а при изменении вида распределения помехи, как правило, превосходят классические, которые при этом утрачивают свою оптимальность. Среди не параметрических тестов наиболее распространены знаковые иранговые [1—3].

Знаковый тест является одним из наиболее простых непараметрических тестов. Его статистика основана на учёте полярностей (знаков) независимых наблюдений Х[, х2.....х„:

т = ± Цх,) ) = Ь>\

<=] [-1,' < 0.

Для принятия решения статистика 5 испы-тывается на порог С, определяемый по заданной вероятности ложной тревоги а из соотношения Р(Я> С/Щ) = а.

Более мощными оказываются ранговые тесты, которые, в отличие от знакового, учитывают не только факт, но и степень отклонения элементов исследуемой выборки от некоторого уровня или элементов опорной выборки.

Рангом Г/ элемента выборки называется порядковый номер этого элемента в вариационном ряду, составленном из элементов х (или х и у), расположенных в порядке возрастания от меньшего к большему.

Переход от выборочных значений хну к их рангам приводит к потере части информации. Однако при увеличении объёма наблюдений растет статистическая связь между х, у и гь поэтому эффективность ранговых правил может вплотную приближаться к оптимальным [2].

Один из наиболее эффективных и простых в реализации непараметрических критериев — ранговый критерий Вилкоксона, статистика 5 которого определяется суммой рангов отсчетов х

испытуемой выборки в вариационном ряду, составленном из отсчётов опорной (помеховой) выборки у и испытуемой х [5].

Ранговая статистика 5 имеет вид:

я п т

Т = Х г, А(-),

/=1 /=1 ./=1

где

и(' - Уц)2 и(') = -

IX ' > У] 0

0,х, < У у.

Для принятия решения статистика 5испы-тывается на порог С, определённый по задана

С, выносится решение об отсутствии сигнала (справедливости гипотезы Н()), если 5 > С — о наличии сигнала (справедливости альтернативы Нх).

При справедливости гипотезы Н() отсчёты испытуемого и опорных каналов принадлежат одной генеральной совокупности, поэтому величины х и у распределены одинаково, и СЛучаЙ-

яг

ная величина ^ Ьу

7=1

до т с равной вероятностью, независимо от распределения помехи. Распределение статистики

— суммы величин ^ Ь — также не зависит

от

7=1

распределения помехи, что и обеспечивает при выбранном пороге С постоянство вероятности ложной тревоги.

Стоит отметить, что хотя критерий Вилкоксона не является оптимальным в классе ранговых правил, при определённых видах сигналов и помех его эффективность приближается к оптимальной [1—3].

Описание алгоритма обнаружения

Рассматривается задача обнаружения сигнала в оптической локационной системе. Поиск сигнала производится путем анализа области его возможного появления, которая разбивается на т>2 интервалов разрешения (по углу, времени и дальности). Наблюдаются опорная (шумовая) и информационная (сигнальная) выборки, составленные из отсчётов — количества фотоэлектронов, относящихся к помехе и сигналу. Законы распределения фотоэлектронов в выборках априори неизвестны.

Рассмотренную ранее модель рангового обнаружителя можно использовать применительно к оптическому диапазону [5]. Полагаем, что приём сигнала осуществляется энергетическим приёмником, состоящим из фоточувствительного элемента, счётчика числа фотоэлектронов и порогового устройства, работающим по критерию Неймана — Пирсона по последовательности отсчётов. Число фотоэлектронов, зарегистрированных счётчиком в испытуемом канале х, сравнивается для образования ранговой статистики 5 с числом фотоэлектронов опорных (по-меховых) каналов ух, у2.....ут. Учитывая возможность получения в лазерных системах очень узких диаграмм направленности, можно использовать для формирования опорной выборки пространственные каналы (угловое разрешение). При этом задачу обнаружения сигнала на выходе одного из приёмных каналов можно решать с использованием для формирования ранговой статистики сигналов других каналов приёмника.

Распределение "сигнальных" и "помеховых" фотоэлектронов часто описывается сверткой различных комбинаций распределений Пуассона, Бозе — Эйнштейна и отрицательно-биномиального [4, 5]. Конкретный вид распределения зависит от многих параметров сигнала, помехи, отражающей поверхности и т. д. Отрицательно-биномиальное распределение наиболее общее и при определенных значениях параметров переходит в распределение Пуассона и Бозе — Эйнштейна. Вероятность эмитации к фотоэлектронов за время Г для этого закона выражается формулой [5]

\к ( I Лш"

Т(Т9м + к) ( 0

Р(к ,Т ):

1 + б ) I 1 + б

,

рость флуктуаций; ( =

ТЫ

Распределение фотоэлектронов для суперпозиции шумового и сигнального полей определяется сверткой [5]:

Рс+Р

1=0

Шумовые и сигнальную выборки, а также результаты вычисления рангов при каждом наблюдении удобно представить в матричной форме [1]:

Ум У

и 2

Уы

У 2т Г2

Уп

Воспользовавшись рассмотренным ранговым критерием Вилкоксона (сумма рангов), запишем решающую функцию:

ф(2

[1,5 > С ¡0,5 < С

5 = £ г,

Г

где ГА и' — число степеней свободы (и>— ширина полосы частот поля), характеризующее ско-

среднее число

фотоэлектронов, эмитируемых сигналом ((Эс) или помехой ((Эр) на одну степень свободы (0 пропорционально интенсивности облучения); (7 — среднее число фотоэлектронов за время наблюдения Г; Г(-) — гамма-функция. При А

А

Пуассона.

Алгоритм моделирования

При моделировании обнаружителя, работающего согласно правилу (5), использовался метод статистических испытаний (также известный как метод Монте-Карло). Его можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений [6]. Метод Монте-Карло показал свою плодотворность при решении и других радиотехнических задач, например [7].

Моделирование осуществлялось в пакете МаНаЬ 7.0.1. Для получения значений порога С также применялся метод статистических испытаний (Монте-Карло). Были заданы желаемые значения вероятности ложной тревоги а, для которых итерационным методом вычислялись соответствующие значения порога С. При этом моделировался случай, когда на вход обнаружителя поступают только шумовые отсчёты, а отсчёты полезного сигнала отсутствуют. В этом случае любое срабатывание обнаружителя априори

является ложным. Подсчитав количество обнаружений и поделив его на общее количество испытаний, получим вероятность ложной тревоги. Изменяя на каждом шаге значение С, эксперимент повторяется до тех пор, пока полученная вероятность ложной тревоги не станет равной (с наперёд заданной точностью) желаемому значению Рлт.

Для того чтобы убедиться в одном из основных свойств рангового обнаружителя — инва-

а

распределению помехи на входе — был смоделирован случай, когда шумовые отсчёты распределены в соответствии с законом Бозе — Эйнштейна (ТА\ур = 1, в то время как в остальных случаях параметры распределения задавались ГА^ = ТАц>с = 10). Были получены значения порога С для различного количества интервалов разрешения >п (при ()р = 4, п = 25), приведенные в таблице.

Результаты моделирования

TAwP = TAwc= 10 TAwP = 1; TAwc = 10

т С а т С а

10 199 2 • 10 5 10 199 2,1 -10 5

15 287 2 • 10 5 15 287 2,1 -10 5

20 374 2 • 10 5 20 374 2,1 -10 5

Приведенные значения получены при N = 2 • 1СР испытаниях. Можно сделать вывод, что обнаружитель действительно инвариантен к распределению помехи на входе, так как имеющиеся погрешности гораздо меньше погрешности метода Монте-Карло (которая составляет 1/71 что для N = 2 • 10" даёт 7- 10"4).

Блок-схема алгоритма моделирования приведена на рис. 1.

Перечислим основные этапы работы алгоритма:

а) формирование матрицы сигналыю-шумо-вых и шумовых отсчётов размером тхп;

б) вычисление ранга г;- (V = 1, п) каждого сиг-налыю-шумового отсчёта;

в) формирование ранговой статистики ¿"путем суммирования рангов

г) сравнение 5с порогом С;

д) повторение этапов а — г Л^раз;

е) вычисление вероятности правильного обнаружения;

ж) повторение этапов а — еддя всех значений отношения сигнал/шум.

Расчёт вероятностных характеристик. Результаты моделирования работы данного обнаружителя в пакете Matlab 7.0.1 представлены на рис. 2.

Зависимость вероятности правильного обнаружения при различных значениях вероятности ложной тревоги показана на рис. 3.

Моделировался случай, когда т = 10, ГА^ = TAwc = 10.

Рассмотренный обнаружитель оптического локационного сигнала обеспечивает стабильную вероятность ложной тревоги при любых изменениях распределения помехи. Это ещё раз подтверждает инвариантность ранговых правил к априорно неизвестным параметрам и законам распределений помех.

Исследование помехоустойчивости рангового обнаружителя оптического сигнала с помощью метода статистического имитационного моделирования (метода Монте-Карло) показало:

вероятность правильного обнаружения сильно зависит от количества интервалов разрешения. Это означает, что при проектировании подобных устройств целесообразно (в разумных пределах) увеличивать объём опорной выборки путем увеличения количества каналов;

вероятность правильного обнаружения уменьшается при уменьшении вероятности ложной тревоги (так как уменьшение а приводит к увеличению порога С, по результатам сравнения с которым и выносится решение о наличии или отсутствии полезного сигнала). Тем не менее обнаружитель позволяет достигнуть весьма малых аа

лесообразным использование его в системах, требующих уменьшения вероятности ложной тревоги при одновременном сохранении высоких значений вероятности правильного обнаружения.

Данный обнаружитель хорошо подходит для реализации на элементах дискретной микроэлектроники, а полученные результаты моделирования позволяют дать прогноз эффективности работы реальных решающих систем ещё на стадии их проектирования.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма моделирования

Рпо 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

-6 -5 -4 ^3 -2 -1 0 12 3 /*,дБ

Рис. 2. Вероятность правильного обнаружения при а = 2 • Ю"5

ш = 10

*ло 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

0,1

^6 ^5 -4 -3 -2 -1 0 12 3 /г, дБ

Рис. 3. Вероятность правильного обнаружения

а

а = 2 - Ю-5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В,А.

и др. Теория обнаружения сигналов / Под ред. П.А. Бакута. М.: Радио и связь. 1984. 440 с.

2. Акимов П.С., Евстратов Ф.Ф., Захаров П.С. и др. Обнаружение радиосигналов / Под ред. А.А. Колосова. М.: Радио и связь. 1989. 288 с.

3. Сидоров Ю.Е. Статистический синтез автоматизированных решающих систем при априорной неопределенности. М.: Воениздат. 1993. 231 с.

4. Шереметьев А.Г. Статистическая теория лазерной связи. М.: Связь. 1971. 264 с.

5. Акимов П.С., Кубасов А.Н. Ранговое обнаружение оптического сигнала // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1977. Т. 20. № 7. С. 29—35.

6. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука. 1975. 472 с.

7. Сидоров Ю.Е., Бельченко Ю.Г. Оптимальный обнаружитель узкополосного сигнала с неизвестной несущей частотой // Научно-технические

№