Импульсо- и теплоотдача в турбулентном пограничном слое

ЭНЕРГЕТИКА

УДК 532.517.4:66.011 Лаптев А.Г., БашаровМ.М.

ИМПУЛЬСО - И ТЕПЛООТДАЧА В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Рассмотрены полуэмпирические подходы математического моделирования явлений переноса импульса и теплоты в турбулентном пограничном слое промышленных аппаратов. Основное внимание сосредоточено на гидродинамической аналогии и ее обобщениях на различные условия движения потоков. Приводятся выражения для расчета коэффициентов импульсо- и теплоотдачи. Ключевые слова: турбулентность, аналогия переноса, теплоотдача, расчет коэффициентов.

Методы моделирования

Теоретические методы моделирования и исследования тепло- и мас-сообменных процессов условно подразделяют на точные, асимптотические, численные и приближенные. В связи с разнообразием конструкций контактных устройств и одновременно происходящих процессов обмена импульсом, массой и теплотой в большинстве задач промышленных технологий получить точные аналитические решения невозможно, поэтому наибольшее применение получили последние три метода. Так, например, среди различных асимптотических методов используется метод функциональных параметров. Для этого строится разложение оператора относительно малой шкалы сравнения. Зависимость членов асимптотической последовательности от малого параметра осуществляется с помощью процедуры сращивания. Получаемые асимптотические ряды часто расходятся или очень медленно сходятся. Кроме этого удается вычислить только несколько первых членов разложения. Эти обстоятельства ограничивают использование асимптотических формул для инженерных расчетов [1].

Для моделирования и исследования процессов тепломассообмена в химической технологии чаще используются приближенные и численные методы. К приближенным методам относятся, например, однопараметри-ческие интегральные методы в теории пограничного слоя, пленочная и пенетрационная модели, методы линеаризации уравнений и др. Приближенные методы позволяют получать формулы, необходимые для выполнения конкретных инженерных расчетов [2-4].

Приближенное математическое описание процессов переноса в пограничном слое связано с моделями Прандтля, Кармана, Ландау и Левича, а также с развитием гидродинамической аналогии Рейнольдсом и Чилто-ном - Кольборном. Причем наиболее теоретически обоснованной и перспективной является модель диффузионного пограничного слоя Ландау -Левича [5-7].

Известно, что турбулентный пограничный слой, как и всякая устойчивая статистическая система, имеет некоторые консервативные свойства [8]. В турбулентных течениях с продольным градиентом давления в тонкой пристеночной области профиль скорости описывается логарифмическим законом и слабо зависит от градиента давления. На распределение скорости во внешней области турбулентного пограничного слоя, составляющей 0,755, градиент давления оказывает значительное влияние. На важную особенность пристенной турбулентности - весьма слабую зависимость некоторых характеристик осредненного течения по отношению к внешним возмущениям - особое внимание обратил С.С.Кутателадзе совместно с А.И.Леонтьевым. На основе предельных относительных законов теплообмена и трения были созданы расчетные методы.

Способы расчета турбулентного пограничного слоя с градиентом давления были предложены Э.Грушвитцем и А.Бури и затем улучшены А.Келем и Г.К.Гарднером [9]. Общими особенностями всех этих способов является использование в качестве характерной толщины пограничного слоя толщины потери импульса. Для характеристики профиля скоростей, сильно зависящего от градиента давления, вводятся различные формпа-раметры. Толщина потери импульса вычисляется при помощи теоремы импульсов, где касательное напряжение на стенке находится используя закон сопротивления продольно обтекаемой пластины. Данные способы применяются при расчете сопротивления трения тел с различными профилями и дают удовлетворительные результаты.

Известны различные модификации аналогии Рейнольдса для отрывных течений за малыми препятствиями на стенках каналов. Нарушение аналогии в отрывных течениях учитывается некоторым коэффициентом К, показывающим степень различия в интенсивности переноса импульса и тепла в отрывном потоке (работы П.Тетервина, В.К.Мигая, Б.А.Дементьева и др.).

Теоретическая основа вышеописанных подходов заключается в использовании известных свойств консервативности законов трения к продольному градиенту давления в пограничном слое, т.е. структура матема-

тического описания элементарных актов переноса инвариантна к различным возмущениям и масштабу аппарата. Влияние этих факторов не изменяет структуру математического описания пограничного слоя, а учитывается параметрически [2].

Процессы переноса импульса и тепла в пограничном слое

Основные идеи механизма турбулентного переноса представлены в трудах Л.Прандтля и Т.Кармана и развиты многими исследователями [210]. Известно, что перенос импульса, вещества и тепла может происходить как молекулярным путем, так и вследствие турбулентного обмена, где, в отличие от молекулярного обмена, происходит макроскопическое движение турбулентных объемов. Для определения интенсивности молекулярного переноса вводятся такие коэффициенты, как коэффициент температуропроводности а и кинематическая вязкость V. В свою очередь, турбулентный перенос характеризуется величинами коэффициентов турбулентного обмена ат, V? (гипотеза Буссинеска). Тогда уравнения теплового потока и касательного напряжения (поток импульса) согласно молекулярному и турбулентному переносу имеют форму:

Ч = -срр

т = -р

где у - поперечная координата в пограничном слое, м; р - плотность, кг/м ; ср - теплоемкость, Дж/(кг К); и - скорость, м/с; Т - температура, К.

Потоки тепла и импульса на стенке (т.е. при у = 0) также можно записать в виде:

Чст = а

тст = рГ

где а - коэффициент теплоотдачи,

Вт/(м 2К);

у - коэффициент переноса

импульса, м/с.

В выражении (4) коэффициент импульсоотдачи у (аналог а) характеризует скорость переноса импульса. Коэффициент у стал широко применяться в работах для моделирования и расчета процессов переноса в одно- и двухфазных средах [2; 3].

На основе потоковых соотношений (1) - (4) приходим к следующим выражениям для определения коэффициентов импульсо- и теплоотдачи в пограничном слое толщиной 8 [3]:

У = ¡-8 г*с1у ,

г >0

Р+РТ

Рср

а = Г8 ц*с1у ,

^0 а +аТ

где т* и ц* - безразмерные потоки импульса и тепла.

Выражения (5), (6) являются достаточно общими и позволяют вычислить коэффициенты переноса импульса и тепла на основе коэффициентов молекулярной диффузии, а также известного характера изменения коэффициентов турбулентного обмена Рт(у), ат(у) и относительных по* Т(у) * Ч (у) Т-. /Г\

токов т =-; ц =-. В выражениях (5) и (6) не учитывается конвек-

тст Чет

тивный перенос, т.к. известно, что его роль в пограничном слое в направлении оси Оу мала.

Если известны функции турбулентного обмена Рт(у), ат (у), выражающие зависимость коэффициента турбулентного переноса по координате О у, то не составит труда вычислить все величины, характеризующие процессы переноса. Функции турбулентного обмена Рт(у), ат(у) подбирают по экспериментальным данным, но масштаб длины находят из соображений размерности. При этом исходят из гипотезы локальности, согласно которой процесс затухания турбулентности у твердой поверхности определяется только локальными условиями вблизи этой поверхности. Локальными величинами, характеризующими гидродинамические условия вблизи от поверхности, являются кинематическая вязкость жидкости V, ее плотность р и касательное напряжение у поверхности %ст. Кинетике Ри&

ческая энергия единицы объема —— и касательное напряжение имеют

одинаковую размерность силы на единицу площади. В результате записывают величину скорости трения (динамическую скорость):

и коэффициенты турбулентного обмена связывают с этой важной характеристикой пограничного слоя.

Гидродинамическая аналогия

Соотношение между потоками теплоты и импульса называют аналогией переноса. Для турбулентного пограничного слоя в случае числа Пран-дтля Рг = 1 и Ргт = — =1, ^ =0 следует подобие профилей скорости и температуры и полная аналогия переноса (аналогия Рейнольдса):

= Ч = тёЪ

то

где 5tг = —— - число Стантона; С^ - коэффициент трения.

При Рг 1 используется поправка Чилтона - Кольборна:

£

= —¿—

2Рг т

где неоднородность полей, вызванная молекулярным механизмом переноса, учитывается числом Прандтля. Показатель степени этого числа зависит от гидродинамических условий взаимодействия фаз. В случаях турбулентного движения однофазного потока вдоль твердой поверхности значение т находится в пределах т « (3 — 4). Чилтон и Кольборн принимали т « 3.

Связь между коэффициентами переноса импульса у и тепла а следует из аналогии (9) и потоков (3), (4):

а т-1

Г = —Ргт .

рСр

Следует отметить, что существуют различные модификации гидродинамической аналогии [2; 3; 11; 12] и её обобщение на градиентные потоки [13].

Коэффициент переноса импульса

Для интегрирования выражений (5) и (6) необходимы функции турбулентного обмена Р-р(у) и аТ(у), связь между которыми устанавливается

Ут

с использованием турбулентного числа Прандтля ат = -—. Если механизм

турбулентного переноса одинаков для всех субстанций, то выполняется полная аналогия процессов и Ргт = 1. В действительности же полной аналогии между процессами переноса различных субстанций не существует.

Если для области пограничного слоя, где распределение осредненной скорости описывается логарифмическим законом, величина Ргт « 0,85, то оценки числа Ргт в вязком подслое часто противоречивы [8; 9; 14-16]. Это объясняется тем, что в данной области начинает играть роль молекулярный механизм переноса субстанции и числа Ргт являются сложной функцией числа Рг среды и расстояния до поверхности. В прикладных расчетах обычно ограничиваются средним значением Ргт в пограничном слое. В области вязкого подслоя большинство экспериментальных данных дают среднее значение Ргт « 0,6 — 0,8.

В литературе известно большое количество различных функций -т (у) для двух- и трехслойных моделей пограничного слоя с учетом затухания турбулентности в вязком подслое. Некоторые функции представлены в таблице 1.

Таблица 1. Коэффициенты турбулентной вязкости

№ Формула Литература

1 —т = 0,01х4(у+)4, у+ < 5 [14]

2 р1 = Ой; О = Р 1 — ехр(-уУ-) , где А% = 26: й = Х2(У+)2,У+ = и% у [14]

3 Рт У+ -± = Ь(у+)4; Ь = ^^-гт,0 < У+ < 6 р * (400 + у+) ' [20]

4 Р-Т = 0,1242и+у+[1 — ехр(10,124и+у+)]у+ = У; и+ = и; у% = - — у % и % и % [15]

5 -т = (Х-)3при 0 < у+ <5;-т = 0,2у+ — 0,959 при 0 < у+ < 30 [16]

6 -т = 0,001-(у+)3 при 0 < у+ < 5; -т = 0,012-(у+ — 1,6)3 при 5 <у+ < 20; -т = Х-(У+ — 10) при 20 < у+ < [17]

7 -т -т = (у+)а , — 1 12 5 • 10Лч У+ 1000 -) ; а = 400(у+)°'°8,Ь =-г \йе 47 ' 400+ у+ [18]

8 хЬ — 1 г (У\п ^ хь — 1 _ „ -т = д и%—1 ^^ приу<—г;-т =и%у д приу>—! [3]

В таблице 2. приведены выражения для коэффициентов переноса импульса, полученные на основе интегрирования (5) с использованием известных моделей пограничного слоя:

у =

Х«1—1

«1

6^3В2

+<)

—1

Таблица 2. Коэффициенты импульсоотдачи

№ Формула Литература

1 и» 7 = 5,309 + 2,5 In (Rs) [13]

2 и» 7 = 5,219 + 2,5 In (Rs - 0,124) [13]

3 и» 7 = Ял 13,96 + 2,5 In [3]

4 и» 7 = IR Я1 +1 /п| [19]

5 xRi -1 \ (В + 2)2 ^ , (2 - В) V3/nB(B-1) + 1 + 6arctg BV3 -п(Я1) -1 [3]

7 Я! 6V3B2

6 Для и»^хЯг - 1 7 = —1- 7 Я1 двухфазных сред: >п(Ят) -1 [3]

и»8

В табл. 2: Я1 = —— - безразмерная толщина вязкого подслоя, на

пластине ^ = 11,6; = безразмерная толщина пограничного слоя; / = 0,4 - константа Прандтля.

На рис. 1 представлены результаты расчета коэффициентов им-пульсоотдачи у в безразмерном виде по уравнениям (1) - (6) из табл. 2 для плоской пластины при различных режимах.

у/г^

0.11

0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0.04 0,03

-Формула ] -----Формула 2 ----Формула 3 ---Формула -1 -------Формула 5 ----Формула 6

1

1

&

0 МО 1О00 1500 2000 2500 3000 3500 Рис. 1. Зависимость комплекса y/u* от Rs для плоской пластины

На рис. 2 представлены результаты расчета коэффициентов им-пульсоотдачи у в безразмерном виде по уравнениям (1) - (6) из таблице 2 для трубы при различных режимах.

0,055 0,05 0,045 0.04 0.035 0.03 0.025

> -формула 1 - -   формула 2 - - - формула? ...........формула 1 -.........формула 5 ........формула (1

V.----------------------------- у -

....................

200000

400000

600000

яооооо

чксло Не

Рис. 2. Зависимость комплекса у/и* от числа Яе для трубы

Из рис. 1 и 2 видно, что выражения (1) - (6) из табл. 2 для коэффициентов переноса импульса удовлетворительно согласуются между собой. Расхождение результатов лежит в пределах 10-15%, причем при больших числах Яв (>106) расхождение составляет менее 1% для плоской пластины.

Для проверки результатов по импульсоотдаче можно решить обратную задачу, т.е. вычислить коэффициент трения с использованием коэффициента у.

Сгри£

Из выражения (4) с касательными напряжениями тст —

С, — ^.

> и 00

получим:

Результаты расчета С^ по выражению (11) удовлетворительно согласуются с коэффициентами трения Блазиуса, Никурадзе и Шлихтинга.

Коэффициенты теплоотдачи

На основе использования аналогии (10) коэффициент теплоотдачи запишется в виде:

_ РСрУ

& — т-1,

Рг ш

где коэффициент у можно взять из табл. 2.

На рис. 3 приведены результаты расчета числа Нуссельта для пленочного течения с использованием выражения (12) (т=2) и у - 2 из табл. 2,

гдей5 — ; и* — ^д60; 60 - средняя толщина турбулентной пленки,

м.

2

1_I_1—1_I_I_I_|_|_

103 104

Рис. 3. Корреляция данных по теплоотдаче при пленочном течении: 1 - расчет по уравнению

Рассмотренный в данной статье подход также использовался для расчета коэффициентов теплоотдачи в градирнях, кожухотрубчатых теплообменниках, в зернистых и насадочных слоях, в барботажных и газлиф-товых аппаратах и в закрученных потоках [3]. Следует отметить, что достоверность расчета а в значительной степени зависит от точности определения динамической скорости, значение которой можно выразить через гидравлическое сопротивление канала (т.е. с использованием коэффициентов трения) или для более сложных течений - через скорость диссипации энергии. Безразмерные толщины вязкого подслоя И и турбулентного пограничного слоя Из находятся на основе удовлетворения балансу импульса, что дает возможность обобщать гидродинамическую аналогию (12) на градиентные течения [2; 3; 13].

Источники

1. Дильман В.В., Полянин А.Д. Методы модельных уравнений и аналогий в химической технологии. М.: Химия, 1988.

2. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1993.

3. Лаптев А.Г. Модели пограничного слоя и расчет тепломассообменных процессов. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2007.

4. Холпанов Л.П., Шкадов В.Я. Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела. М.: Наука, 1990.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. 5-е изд. М.: Физматлит, 2003.

6. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959.

7. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и массопередача в химической кинетике. 3-е изд. М.: Наука, 1987.

8. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в пограничном слое. М.: Наука, 1981.

9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

10. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Турбулентный пограничный слой. Методика и результаты экспериментальных исследований. М.: Физматлит, 2007.

11. Деменок С.Л. Теплообмен и гидравлическое сопротивление при турбулентном течении в каналах. СПб.: Бюро Ы ПРОМ, 2010.

12. Гортышев Ю.Ф., Олимпиев В.В., Байгалиев Б.Е. Теплогидравлический расчет и проектирование оборудования с интенсифицированным теплообменом. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2004.

13. Лаптев А.Г.,Бажиров XC., Ахметов P.H Mодификация гидродинамической аналогии для интенсифицированного теплообмена // ^временные проблемы науки и образования. 2010. № 4. C. 114-121.

14. Лойцянский Л.Г. Mеханика жидкости и газа. 6-е изд. M.: Наука, 1987.

15. Дейслер ИДж. Турбулентные течения и теплопередача / под ред. Линь Цзя-Цзяо. M.: Изд-во иностр. лит., 1963.

16. Исаев CK, Кожинов И.А., Кофанов В.И. Теория тепломассообмена / под ред. А.И.Леонтьева. M.: Высшая школа, 1979.

17. Owen P. Dust deposition from a turbulent airstream // Aerodynamic Carture of Particles. L.: N.-Y. 1960. P. 8-25.

18. Davies C.N. Deposition of aerosols from turbulent flow though tubes // Proc. Poy. Soc. 1966. V. 289. Ser. A. P. 2З5-24б.

19. Лаптев А.Г. , Башаров M.M., Фарахова А.И. Явления турбулентного переноса тонкодисперсных частиц в жидкой фазе динамических сепараторов // Научный журнал КубГАУ 2011. № 68 (04). C. 1-31.

20. Кишиневский M.X., Корниенко XC. К вопросу тепло- и массоотдачи от гладкой стенки к турбулентному потоку жидкости // ТОХТ. 1967. Т. 1. № 3. C. 456-462.

21. Нигматуллин P.K Основы механики гетерогенных сред. M.: Наука, 1978.

Зарегистрирована 20.05.2011 г.