Классификация газодинамических структур, описываемых нелинейным уравнением акустики релаксирующей среды

УДК 533.6

КЛАССИФИКАЦИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЕМ АКУСТИКИ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ

© 2009 В.Г. Макарян,1 Н.Е. Молевич^ Д.П. Порфирьев3

В работе рассматриваются аналитические и численные решения нелинейного уравнения акустики релаксирующей среды. Проведена полная классификация стационарных структур, описываемых этим уравнением.

Ключевые слова: ударная волна, стационарная структура, автоволна, устойчивость, неравновесная среда, релаксация, усиление звука, отрицательная дисперсия, отрицательная вязкость.

1. Предварительные сведения

В неравновесных средах (неизотермическая плазма, химически активные смеси с необратимыми реакциями, газы с неравновесным возбуждением колебательных состояний молекул) экспериментально наблюдается усиление акустических волн и модификация структуры ударных волн, в том числе ослабление или усиление ударной волны, ускорение ударной волны, уширение фронта, появление предвестников [1—10]. Полномасштабного объяснения этих явлений пока нет.

Как показано в [11—13], в средах со стационарно поддерживаемой нерав-новесностью изменение структуры слабой ударной волны может быть вызвано существенно новыми акустическими свойствами подобных сред, обусловленных знакопеременностью коэффициентов второй вязкости, дисперсии и газодинамической нелинейности. Структура слабой ударной волны,

хМакарян Владимир Георгиевич (vmak@rambler.ru), кафедра физики Самарского государственного аэрокосмического университета, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34.

2Молевич Нонна Евгеньевна (molevich@fian.smr.ru), Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

3Порфирьев Денис Петрович (dporfirev@rambler.ru), кафедра физики Самарского государственного аэрокосмического университета, Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

распространяющейся в слабо неравновесном колебательно-возбужденном газе, исследовалась с помощью нелинейного акустического уравнения, полученного с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде

Суст0 (ptt C^oPxx ССсФсp2xx Р pxxt^ t +

+СуQ (ptt — cQpxx — С0Ф0p2xx — pxx^ = 0-

Оно было получено в работе [14] для экспоненциальной модели релаксации

(Е _ Ее(Т) — Е (И

+ Q,

т

где E — колебательная энергия, Ee(T) — ее значение в состоянии равновесия и в отсутствие источника, т(T, р) — время VT релаксации, Q = const — мощность источника накачки (например, электрическая накачка в разряде или оптическая накачка), поддерживающего стационарное неравновесное состояние, которое характеризуется степенью неравновесности

S=

E0 — Ee0 Qt

Tq

Tq

При этом использовалась простейшая модель теплоотвода, осуществляющегося с поступательных степеней свободы и мощность которого полагается равной мощности источника накачки.

В уравнении

_ ' ер*

т^То

м ’ + 1 2 :

Со

Ф

о =

7оТо

~М’

St' (1 + S) CP 0Су о

7с

+

0 :

Су с

1 + 2Су о 2Су о

7о

СР о

Су о

St'' (1 + S)2 2Cp оСу

у о

Су о = Су с + Ск + St' , Сро = Срс + Ск + S

E0 — Ee0 Qtq ,

S — , т

Tq

Tq ’

То дт_ то дТ

Т 2 г)2 Т // _ Т0 ° т

T=To

То

дТ 2

4п „ , / 1

= -з + Xм С

3 \Суж СРоо

T=To

1

1 \ 4^ /1

> № = -з + Xм (С С

3 \Су0 Сро

Здесь р _ р — ро — возмущение плотности; р — плотность газа; Сж, Со — высоко- и низкочастотная скорость звука; 7ж, 70 — высоко- и низкочастотный показатели адиабаты; Су о, Ср о, Су оо, Ср ж — низко- и высокочастотные теплоемкости в колебательно-возбужденном газе при постоянном объеме и давлении; То, ро, то — невозмущенные значения температуры, плотности и времени релаксации; Ео, Еео — стационарные значения величин Е, Ее; С к — равновесная колебательная теплоемкость; цж, р,о — высоко- и низкочастотный вязкостно-теплопроводностные коэффициенты; П, X — коэффициенты сдвиговой вязкости и теплопроводности; Фж, Фо — высоко- и

C

DO

низкочастотный коэффициенты квадратичной нелинейности. Следует подчеркнуть, что коэффициент нелинейности Фо зависит от степени неравно-весности 5 и может быть даже отрицательным. Впервые на это было обращено внимание в [15].

Для волн, бегущих в одном направлении, уравнение (1.1) при помощи замены координат у _ вЬ/то, ( _ (х — СжЬ) /сжто преобразуется к безразмерному виду

/ т \

где Р_(р — ро) /ро — безразмерное возмущение плотности; По_^о/2тосЖро, Пж _ Цж/2тоС2жро, Фо _ Фо7о/7ж.

Исследованию решений, описываемых уравнением (1.2), посвящены работы [11—13]. В них получены как численно, так и аналитически решения для ряда значений параметров уравнения. В настоящей работе проведена полная классификация стационарных решений уравнения (1.2) и всех типов эволюции различных начальных возмущений.

2. Стационарные структуры, описываемые акустическим уравнением

Путем масштабных преобразований переменных

— \т\ , (' _ 2 ,

Р_2Фжр ’ ( _ М ’ У \и\\т\У’

уравнение (1.2) сводится к следующему виду:

где V = вдп(и), т' = вдп(т), Ф = Фо/Ф™, пЖ = 2^ПГ, По = . Данное

уравнение содержит меньшее количество независимых параметров по сравнению с (1.2) и, соответственно, допускает более простую классификацию решений.

Преобразуем уравнение (2.1) к стационарной форме, используя автомодельную замену г = (' — иу', с последующим интегрированием по пространственной координате г:

П'ооР'гг + Р'г

где и — скорость стационарной волны, а —V'0 — константа интегрирования. Из (2.1) и (2.2) следует, что она пропорциональна потоку 0 величины / р'Г(' через сечение, движущееся со скоростью стационарной волны:

Г Г™

0 = ъ р'йС’

Мі с і

где СО — координата сечения.

При пЖ _ 0 уравнение (2.2) не имеет аналитических решений. Однако в типичных газовых средах коэффициенты Поо, По имеют значения порядка 10_5, и их учет практически не сказывается на виде решений уравнения (2.2).

При пЖ _ 0 уравнение (2.2) сводится к виду

где

П_ =

Гг а (р' — р'т) '

а = 2/и'Ф, р'т = и — и'пО,

а р1 и р2 удовлетворяют соотношениям:

р1 + р2 =

2и — т'

'1 '2 =

2с

Ф Г1Г2 Фу'

Решение уравнения (2.4) можно записать в неявном виде

г = го + а

р'з

'1

р \п\р/ — р21 + р—рт 1п\р' — р11 2 1 — 2

В случае, когда р1 = р2,

г = го + а

р р2 + \и\р' — р2\

. р — р2

где го — произвольная постоянная.

На рис. 2.1 представлены интегральные кривые уравнения (2.4) при различных соотношениях между р1, р2, р'3 и условии а > 0. При а < 0 интегральные кривые отличаются лишь направлением (получаются из интегральных кривых рис. 2.1 заменой г на — г ). Положим в дальнейшем везде р1 ^ р2. Отсюда и из (2.6) следует условие на скорость волны:

и — т'/2

Ф

Рис. 2.1. Вид интегральных кривых уравнения (2.4) при различных

соотношениях параметров р2 и р'а\

а - р'а < р2 < р'\; б - р'а _ р2 < р'ъ в - р2 < ра < г

р2 < р'а = р'ъ

р2 < рі < р'а; е - р2 = рі < р.

ра < р2 = рі

д

Уравнение (2.4) допускает существование интегральных кривых восьми типов (с точностью до замены знака г), три из которых реализуются в конечном диапазоне значений параметров р1 , р2 , р'3 (рис. 2.1, а, в и д), а остальные являются вырожденными.

Как видно из уравнений (2.4) и (1.1), параметр р'3 не является независимым, он связан с р1 и р2 соотношением

р'в _ Ф (р1 + р2) /2 + т'/2-

Таким образом, вид решения уравнения (2.4) определяется значениями р1, р2 и Ф и знаками величин V и т.

Найдем решения уравнения (2.2), имеющие своими асимптотами р1 и р2 ( р'(±ж) _ р1, р2 ). Такие решения могут состоять из асимптот, отрезков интегральных кривых и разрывов. При этом, ввиду положительности Фж, разрывы могут быть только с переходом от большего значения р' к меньшему (при переходе через разрыв слева направо) [16]. Величина разрыва связана со скоростью волны и следующим соотношением:

р'ь + р'я _2

где р'ь, р'я — значения р' слева и справа от разрыва.

Из соотношения (2.10) следует, что решения с разрывами могут существовать только при выполнении следующего условия:

р'ь > р'в > р'я-

С учетом этого условия возможно существование только 10 решений с разрывами: по пять при а > 0 (рис. 2.2, а—д) и а < 0 (рис. 2.2, е-и и в).

Рассмотрим решения с разрывами при а > 0 .

1. Волна с плавным повышением плотности за фронтом (рис. 2.2, б), с разрывом на средней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, в. В этом случае р'я _ р2, величина разрыва определяется соотношением р'ь _ Фр1 + + (Ф — 1) р2 + т' — v'n0, а скорость равна и _ (Ф(р1 + р'2) + т')/2. Данное решение существует при условии р'ь < р1, что сразу дает условие р1<р'сг1 = (т' — V'По)/(1 — Ф) — р2 при Ф — 1 > 0 и р1 > р'сг1 при Ф — 1 < 0.

2. При условии р1 _ р'сг1 предыдущая стационарная волна превращается в ступеньку с р'ь _ р'\ и р'я _ р2 (рис. 2.2, в).

3. При условии р'1 > р'сг1 при Ф — 1 > 0 и р\ < р'сг1 при Ф — 1 < 0 становится возможным существование волны с плавным уменьшением плотности за фронтом, показанной на рис. 2.2, г, она включает в себя верхнюю ветвь интегральной кривой на рис. 2.1, в и разрыв до асимптоты р\. Величина разрыва определяется тем же соотношением, что и в случае 2.

4. При р'3 _ р'1 существует стационарная волна в виде ударного импульса (рис. 2.2, д), соответствующая разрыву на верхней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, г. Амплитуда импульса равна р[ = р'ь — р'я _ 2(р\ —

— р2) _2(т' — 2р2)/(2 — Ф), а его скорость иц _ (Ф р2 + т' — Ф^п'о)/(2 — Ф).

Рассмотрим теперь решения с разрывами при а < 0 .

_ А

\ а

2

а б в г д

V 1 ^— Ґ 4 ^

е СИС 3 и к л

Рис. 2.2. Стационарные решения уравнения

5. Волна с плавным повышением плотности перед фронтом (рис. 2.2, ж), с разрывом на средней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, в (с учетом инверсии оси г). В этом случае р'ь = р\, величина разрыва определяется соотношением р'к = Фр2 + (Ф — 1) р\ + т' — и'ц'0, а скорость равна и> = (Ф(р[ + р2) + т')/2. Данное решение существует при условии р'и > р'2, что сразу дает условие р'1 > р'сг2 = (т' — у’П0)/(1 — Ф) — р'2 при Ф — 1 > 0 и р\ < р'сг2 при Ф — 1 < 0.

6. При условии р^ = р'сг2 предыдущая стационарная волна превращается в ступеньку с р'ь = р^ и р'к = р2 (рис. 2.2, в).

7. При условии р\ < р'сг2 при Ф — 1 > 0 и р\ > р'сг2 при Ф — 1 < 0 становится возможным существование волны с плавным уменьшением плотности перед фронтом, показанной на рис. 2.2, з, она включает в себя нижнюю ветвь интегральной кривой на рис. 2.1, в и разрыв до асимптоты р^. Величина разрыва определяется тем же соотношением, что и в случае 5.

8. При р'3 = р2 существует стационарная волна в виде ударного импульса разрежения (рис. 2.2, и), соответствующая разрыву на нижней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, б. Амплитуда импульса равна —р', а его скорость —Wi.

Решения без разрывов в виде волн перепада, показанные на рис. 2.2, а, е, к и л, реализуются в следующих случаях.

9. При положительном коэффициенте а существует волна с плавным повышением плотности за фронтом (рис. 2.2, а), соответствующая слабому разрыву на нижней ветви интегральной кривой при р'3 = р2 (рис. 2.1, б). В этом случае р'ь = р'я = р'2, и скорость волны равна w = р2 + ^'п0. Данное

/ (2-Ф)р'.2-т/+2и/ц/

решение существует при условии р\ = ------- 2 ф------—.

10. При отрицательном коэффициенте а существует волна с плавным повышением амплитуды перед фронтом (рис. 2.2, е), соответствующая

слабому разрыву на верхней ветви интегральной кривой при р'3 = р\ (рис. 2.1, г при инверсии оси г). В этом случае р'ь = р'к = р1, и скорость

волны равна w = р\ + v'n0. Данное решение существует при условии р2> = = (2-Ф)р'1-т/+2и/п'0 = ф .

11. Решение в виде волны перепада с плавным нарастанием амплитуды (рис. 2.2, к) реализуется как средняя ветвь интегральной кривой при условии р'3 < р'2, если а > 0 и р\ < р'3, если а < 0.

12. Решение в виде волны перепада с плавным убыванием амплитуды (рис. 2.2, л) реализуется как средняя ветвь интегральной кривой при условии р'3 < р'2, если а < 0 и р\ < р'3, если а > 0.

3. Нестационарная эволюция волн

Для удобства численного моделирования исходное уравнение (2.1), которое содержит частные производные до третьего порядка включительно, было представлено в виде системы двух уравнений второго порядка:

/с — и'1' = V,

р'у/ + р' р'^/ —

где введено обозначение

V = V

т

—р'^/ — (1 — Ф) рр'^/ + (яЖ — ^о) р'с/с/

2

Первое из этих уравнений для заданной функции v(C', У') интегрируется в явном виде:

ГЖ

/ = — ¥(х)е-и'(х-‘"'')йх.

к/

Соответственно для сеточной функции /I = / ((' = Нг, у' = т]) имеем

/3± 1 =е

±и/Н

Н

где VI = V (С' = Нг, у' = т]) с учетом соотношения (3.3) было представлено в виде

з\ рт— ^-1 + п — по) р^+1 — 2р + р—

2Н

Н2

здесь

р3 = р (С = Нг, у' = т]

Для устойчивости вычислений по формуле (3.4) необходимо, чтобы в процессе счета ошибки округления убывали. Это возможно при условии, что множитель е±не превосходит единицы. Поэтому при V' > 0 счет по

формуле (3.4) производился справа налево, т. е. в (3.4) выбирался нижний знак, а при Vі < 0 — наоборот.

Для решения уравнения (3.2) использовалась неявная трехточечная схема с порядком аппроксимации

3 + 1 і 3

РІ +РІ + 1

3+1 3+1 3 3

З Рі+1 -Рі-і + 3+1 Рі+і-Рі-і рі 2Н "Г" рі 2Н

т ' 2

3+1 23+1 + 3+1 3 23 +3

рі+і -2рі +рі-і і рі+і-2рі +рі-і

Ь2 + Ь2

= я.

Для численного решения системы (3.1), (3.2) использовался следующий алгоритм. По формуле (3.5) находились значения правой части уравнения

(3.1). Затем по формуле (3.4) находились значения /3 и подставлялись в правую часть уравнений (3.6). Наконец, неизвестные значения плотности на верхнем временном слое р3+1 находились путем решения системы (3.6) методом прогонки.

В работе исследована эволюция начального возмущения в форме ступеньки с амплитудой р\ (при условии р2> =0) в неравновесном газе при различных знаках дисперсии т и низкочастотного коэффициента нелинейности Фо. При этом в зависимости от величины р1 имеют место следующие типы эволюции начального возмущения.

При выполнении условия р1 > р'сг1 начальное возмущение в виде ступеньки в процессе эволюции стремилось к стационарной структуре с плавным нарастанием амплитуды за скачком уплотнения (рис. 2.2, б). Скорость и амплитуда и форма получаемой структуры полностью совпадают с ранее полученными из аналитического решения стационарного уравнения акустики релаксирующей среды.

При выполнении условий р[/2 < р[ < р'сг1 начальное возмущение эволюционировало в стационарную структуру детонационного типа с плавным убыванием амплитуды за скачком уплотнения (рис. 2.2, в).

При р1 < ^/2 ’’ступенька” становилась неустойчивой и распадалась на последовательность стационарных импульсов (рис. 3.1, а). Амплитуда стационарного импульса рi совпадает с ранее полученным соотношением. Импульс имеет экспоненциальный задний фронт, описываемый зависимостью:

р'((О = А ехР [(С' — Со)/а] >

где Со — координата переднего фронта. Ширина его переднего фронта ~ ПЖ. Полученный импульс является автоволной, т. к. его амплитуда, скорость и форма определяются только параметрами неравновесной среды.

Как показано на рис. 3.1, б, тот же автоволновой импульс возникает и при эволюции возмущения типа локализованного импульса с профилем близким к р'((') = а ехр(—С'2). При этом получен еще один класс стационарных автоволновых решений — периодическая волна с ненулевым средним, амплитуда и период которой также не зависят от амплитуды или площа-

ди начального возмущения. Более подробно структура периодических автоволн будет рассмотрена в следующей части работы.

При отрицательном значении параметра а эволюция локализованного импульса приводила к образованию структуры, показанной на рис. 3.1, в, состоящей из распространяющейся впереди периодической автоволны и следующей за ней серии автоволновых импульсов разрежения (рис. 2.2, и). Как легко заметить, такая структура отличается от структуры, полученной при а > 0, только одновременной заменой знака у (' и р'.

Рис. 3.1. Одна из стадий распада ударной волны малой амплитуды (а) и локализованного импульса (б, в) на автоволновые импульсы и периодическую автоволну: а, б — а > 0, т' = 1; в — а < 0, т' = —1

При Ф < 0 возможно три новых режима эволюции начального возмущения типа ’’ступенька” с амплитудой

При выполнении условия р1 > р'сг начальное возмущение в процессе эволюции превращалось в следующую нестационарную структуру: впереди распространяется стационарная автоволна в форме ступеньки с амплитудой р'сг1. За ней распространяется постепенно расширяющаяся волна сжатия.

При выполнении условия рСг1 > р1 > р'ъ/2 начальное возмущение эволюционировало в структуру, состоящую из двух стационарных волн: ав-товолновой ступеньки с амплитудой р'сг1 и стационарной ударной волны разрежения с плавным убыванием амплитуды от р'СГ1 до р2>. Волна разрежения движется со скоростью иг = рСГ1/2 + Фр1/2, автоволновая ступенька со скоростью и = рСГ1 /2. Так как Ф < 0, то иг < и:, и ударная волна разрежения постепенно отстает от ступеньки.

4. Периодические автоволны

Как уже было отмечено выше, в большинстве газовых неравновесных сред коэффициенты Пж, По малы и слабо влияют на вид решения. Положим в уравнении (2.1) = По = 0, V = +1 , т' = +1, при этом оно примет

вид

{р'у> + р'р'с) — (ру' + р'с + ФрЧ') = 0

зависящий только от одного параметра Ф. Таким образом, периодическую автоволну (рис. 3.1, б) можно в первом приближении считать зависящей только от одного параметра Ф.

Профиль периодической волны описывается выражением

р' = р1 + (р'к — р1) ехр (Ф (С — (о) /2) ,

где Со — координата скачка уплотнения. Значения ’плотности” на разрыве р'ь и р'и связаны со скоростью волны и соотношением

р'ь = р1 + {р'к — р!) ехР

следующим из выражения для профиля автоволны. Здесь X' — длина одного периода.

В ходе численного моделирования эволюции периодической автоволны установлено, что в процессе эволюции хвост автоволны периодически восстанавливает свою форму с периодом Т (рис. 4.1):

р' (С', у') = р' (С' + и'Т, у' + Т) .

При этом он сдвигается назад на расстояние и'Т , а скачки уплотнения сдвигаются на иТ вперед, и возникает новый экспоненциальный участок. В соответствии с (2.3) поток ”массы” через скачок равен 0 . В силу сохранения полной ”массы” суммарный поток ”массы” через скачок за период Т равен площади под одним периодом кривой р'(('):

Г У

—0Т = р'

о

Рис. 4.1. Периодическое во времени воосстановление формы ”хвоста” автоволны

Численное решение уравнения (2.2) при различных начальных локализованных условиях и при различных значениях Ф показало, что величины и1 и Т не зависят от величины Ф. Для них получены следующие значения: и' ~ 1, Т ~ 3,17 (при численном моделировании невозможно поло-

жить вязкостно-теплопроводностный коэффициент Пж равным нулю. Полученные значения периода Т зависели от величины пж: при пж = 0,01, Т = 3, 21; при Пж = 0, 001, Т = 3,17).

Решая совместно систему алгебраических уравнений (2.5), (2.6), (2.10),

(4.1) и (4.2) с полученными при моделировании числовыми значениями и' и Т, получим зависимость скорости и (рис. 4.2) от параметра Ф.

Рис. 4.2. Зависимость скорости автоволны и> от параметра нелинейности Ф

Заключение

С помощью исследования интегральных кривых нелинейного акустического уравнения, записанного в автомодельной форме, проведена класси-

фикация его решений. Найдено семь типов разрывных решений и четыре решения с плавным фронтом (волны перепада). Численным моделированием неавтомодельной формы акустического уравнения подтверждена эволюционная устойчивость всех полученных структур. Наиболее интересными для физических приложений являются автоволновые решения исследуемого уравнения: импульсы сжатия и разрежения, форма которых описывается аналитической зависимостью, а также периодическая автоволна.

Эта работа частично поддержана НИР ГР 01200805605, аналитической целевой программой Министерства образования и науки РФ ’’Развитие научного потенциала высшей школы” (2009-2010 гг.), проект 2.1.1/309 и НК-410П(10) Федеральной целевой программы ’Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы.

Литература

[1] Распространение ударных волн в нестационарном тлеющем разряде / А.И. Климов [и др.] // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 20. С. 31-36.

[2] Басаргин И.В., Мишин Г.И. Предвестник ударной волны в плазме тлеющего разряда // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 8. С. 55-60.

[3] Быстров С.А., Иванов В.И., Шугаев Ф.В. Распространение плоской ударной волны в слабоионизованной плазме // Физика плазмы. 1989. Т. 15. № 5. С. 558-562.

[4] Гридин А.Ю., Климов А.И., Молевич Н.Е. Распространение ударных волн в плазме тлеющего разряда // ЖТФ. 1993. Т. 63. № 3. С. 157-162.

[5] Гридин А.Ю., Климов А.И. Структура ударной волны в неравновесной плазме (выделение энергии, запасенной в разрядной плазме за ударной волной) / А.Ю. Гридин // Хим. физика. 1993. Т. 12. № 3. С. 363-365.

[6] Ganguly B.N., Bletzinger P., Garscadden A. Shock wave damping and dispersion in nonequilibrium low pressure argon plasmas // Phys. Lett. A. 1997. V. 230. № 3. P. 218-222.

[7] Macheret S.O. Shock wave propagation and dispersion in glow discharge plasmas // Phys. Fluids. 2001. V. 13. P. 2693-2705.

[8] Klimov A.I., Bityurin V., Serov Yu. Nonthermal approach in plasma aerodynamics // AIAA Paper. 2001. № 0348.

[9] Molevich N.E., Klimov A. I., Makaryan V. G. Influence of thermodynamical non-equilibrium on acoustical properties of gases // Intern. J. Aeroacoustics. 2005. V. 4. № 3-4. P. 345-355.

[10] Bletzinger P. Plasmas in high speed aerodynamics // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V. 38. № 4. P. R33-R57.

[11] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. С. 181-191.

[12] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде // Письма ЖТФ. 2003. Т. 29. № 18. С. 11-15.

[13] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Слабые ударные волны в неравновесных средах с отрицательной дисперсией // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 6. С. 13-18.

[14] Молевич Н.Е. Нелинейные уравнения в теории сред с отрицательной второй вязкостью // Сибирский физико-технический журнал. 1991. № 1. С. 133-136.

[15] Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Ударные волны разрежения в неравновесном колебательно-возбужденном газе // Акустический журнал. 1993. Т. 39. № 5. С. 951-954.

[16] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

Поступила в редакцию 29/У/2009; в окончательном варианте — 29/У/2009.

THE CLASSIFICATION OF GAS-DYNAMIC STRUCTURES DESCRIBED BY THE NONLINEAR ACOUSTICAL EQUATION OF A RELAXING MEDIUM

© 2009 V.G. Makaryanf N.E. Molevichf D.P. Porfiriev6

Analytical and numerical solutions of a nonlinear acoustical equation of a relaxing medium are considired. The full classification of the stationary structures described by this equation is given.

Key words: shock wave, stationary structure, self-sustained wave, stability, nonequilibrium medium, relaxation, sound amplification, negative dispersion, negative viscosity.

Paper received 29/У/2009. Paper accepted 29/У/2009.

4Makaryan Vladimir Georgievich (vmak@rambler.ru), Dept. of Physics, Samara State Aerospace University, Samara, 443086, Russia.

5Molevich Nonna Evgenievna (molevich@fian.smr.ru), Samara Branch of the Russian Academy of Sciences of the Physical Intitute P.N. Lebedev by name, Russian Academy of Sciences.

6Porfiriev Denis Petrovich (dporfiriev@rambler.ru), Dept. of Physics, Samara State Aerospace University, Samara Branch of the Russian Academy of Sciences of the Physical Intitute P.N. Lebedev by name, Russian Academy of Sciences.