Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа

УДК 517.962.2

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 1

В. Л. Харитонов

ФУНКЦИОНАЛЫ ЛЯПУНОВА С ЗАДАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ ПОЛНОГО ТИПА

1. Введение. Одним из основных способов исследования устойчивости систем с запаздывающим аргументом является метод функционалов Ляпунова, предложенный в работе [1]. Для линейных систем вопрос об отыскании квадратичных функционалов с заданной производной был поставлен в работе [2]. В ней для матриц, определяющих такие функционалы, была получена совокупность уравнений. Разработка методов построения решений этой совокупности и анализ свойств функционалов продолжены в работах [3-6]. В частности, было показано, что для систем с одним запаздыванием задача построения функционалов сводится к отысканию решений специальной граничной задачи [5]. В работе [6] предпринята попытка построения нижней оценки квадратичных функционалов, производная которых является отрицательно-определенной квадратичной формой текущего состояния системы. Полученный результат - локальная кубическая оценка - существенно снизила интерес как к самим функционалам, так и к их использованию в приложениях. Причина, по которой не удалось получить глобальную квадратичную оценку снизу, была вскрыта в работе [7]. В ней же была предложена модификация функционалов, обеспечивающая наличие искомых квадратичных оценок. Это позволило использовать модифицированные функционалы для решения задачи ро-бастной устойчивости [7, 8]. Предлагаемая статья посвящена проблемам построения и анализа свойств квадратичных функционалов для систем с запаздыванием. В п. 2, 3 даны обозначения, связанные с описанием систем с запаздывающим аргументом, и необходимые вспомогательные утверждения; в п. 4 вводятся функционалы Ляпунова полного типа. В п. 5 для них получены квадратичные оценки. Некоторые приложения функционалов полного типа приведены в п: 6.

2. Вспомогательные утверждения. Будем рассматривать системы с запаздывающим аргументом вида

Здесь х Ау 6 ДпХп, 2 — 0,1,... ,т, а запаздывания пронумерованы в порядке

возрастания

Каждое решение системы (1) определяется начальными условиями: начальным моментом ¿о и начальной вектор-функцией <р(в), в 6 [¿о - Я, ¿о]- В дальнейшем будем полагать, что £о = 0, а начальные вектор-функции являются кусочно-непрерывными на промежутке [-Я, 0]. Решение системы (1) с начальной вектор-функцией будем обозначать через ж(£, </?), а сегмент траектории х^, ф) на промежутке [г -Я, £], у3) I £ € [£ — Я, £]}, через ж* (<£>). Если начальная вектор-функция решения очевидна из контекста или не существенна, то аргумент ц> в этих обозначениях будет опущен. В качестве векторной нормы будем использовать евклидову норму, а для оценок

т.

3=0

0 = /г0 < Ы < ... < Нт = Я.

© В. Л. Харитонов, 2005

векторных функций - равномерную норму

В дальнейшем под устойчивостью системы (1) будем понимать ее экспоненциальную устойчивость.

Система (1) называется экспоненциально устойчивой, если существуют 7 ^ 1 и а > 0 такие, что неравенство

И*, ¥>)||<7е-а4Мя>

справедливо для каждого решения этой системы. Тот факт, что матрица W является положительно-определенной (полуопределенной), будем обозначать следующим образом: W > О (W ^ 0). Величины Amin(W) и Лтах(^) - наименьшее и наибольшее собственные числа симметрической матрицы W. Особую роль при построении решений системы (1) играет ее фундаментальная матрица K(t), которая является решением матричного уравнения

т

3=О

с начальным условием: К(в) = 0ПХП, 9 € [—Н, 0) и К(0) = Е. Здесь Е - единичная матрица порядка п х п. Решение x(t,<p) системы (1) может быть представлено в виде

[9]

™ о

т р

x

Формула (3) известна как формула Коши для решений системы (1).

3. Метод функционалов Ляпунова. Применительно к системе (1) метод функционалов основан на следующем варианте классической теоремы Красовского [1]. Теорема 1. Пусть известен функционал ?;(), удовлетворяющий условиям:

1) существуют qi > 0 w аг > 0 такие, что для любого решения системы (1) выполняются неравенства

существует ß > 0 такое, что вдоль любого решения системы

Тогда система (1) является асимптотически устойчивой.....?

Замечание!.. Для систем вида (1) понятия асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости - синонимы.

Практическое применение теоремы 1 подразумевает наличие конструктивных способов отыскания функционалов, удовлетворяющих ее условиям. Первый шаг в этом направлении был сделан в работе [2]. В ней был поставлен вопрос о построении квадратичных функционалов с заданной производной. В частности, была получена совокупность уравнений, включающая уравнение в частных производных, обыкновенное

дифференциальное и алгебраическое уравнения, решение последней определяет искомый функционал. Оставались открытыми проблема построения решений этой совокупности уравнений и анализ свойств построенных решений. В работе [6] было показано, что в случае экспоненциальной устойчивости системы (1) функционал г>о(а;*), производная которого есть отрицательно-определенная квадратичная форма переменной допускает кубическую оценку вида

а||х(г)||3 ^ ь(хь), ¿^0 (а > 0).

Мало того, что эта оценка является кубической, она еще и локальна в том смысле, что справедлива только в некоторой окрестности тривиального решения системы (1). В п. 4 будет изложен процесс построения функционалов Ляпунова с заданной производной и дан анализ их свойств.

4. Функционалы Ляпунова полного типа. Пусть система (1) является экспоненциально устойчивой. Выберем квадратичную форму юо(х) = хтШх и построим функционал Уо(-), производная которого вдоль решений системы (1) удовлетворяет равенству

=-Шо

Ввиду экспоненциальной устойчивости системы (1) искомый функционал можно представить в виде

оо оо ,

г>о(у>) = £ гио(х{Ь,ф))(И = ! хт{1,1р)\№х(Ь,ф)сИ. о о

Заменив в последнем интеграле у?) по формуле (3), после несложных манипуляций приходим к выражению

тп о

ь0(х1) = хт{1)и{ 0)хф + 2ят(г) £ / и {-в - + в)М +

тп тп О Го ] ^4

+ ЕЕ / хТ(* + I + Ьк-в2-+ в2)йв2

к=1 -Ик | -И.,

Матрица

оо

и{т) = I КТЦ)ШК

о

известна как матрица Ляпунова для системы (1), ассоциированная с матрицей Если эта матрица известна, то формула (7) доставляет функционал, производная которого вдоль решений системы (1) удовлетворяет равенству (6). Выберем теперь функционал

т т ?

и поставим задачу отыскания функционала, производная которого вдоль решений системы (1) удовлетворяет равенству

С этой целью положим

т

IV = +

3=1

и построим соответствующий функционал (7). По построению

¿Ур{Х1) дЛ,

=

з=1

х(£), t ^ 0.

Рассмотрим функционал

т 0

и(а:4) = ио(^) + / + № + (кз +в)№т+з] + в)М-

Непосредственное дифференцирование показывает справедливость следующего утверждения.

Теорема 2. Пусть система (1) является экспоненциально устойчивой. Задан функционал (9). Тогда производная функционала

т О

у{хь)=хТ{г)и{0)ж(£) + 2жт(£) £ / и(-0-к^х(г + в)сШ +

3= 1-Л,-

пг тп О

+ ЕЕ / х^ + в^АТ

к=1 з=1 т О

+ £ I + 0) + (Л,- + о)уут+А х{г + в)м -

3=1-И,

/ 17(01 + Л* - 02 - Н5)А5х{г + 02)^02 [-Л,-

с*0! +

вдоль решений системы равна — ги(а^). Здесь V(г) - матрица Ляпунова для системы (1), ассоциированная с матрицей (10).

Определение 1. Функционал (11) будем называть функционалом Ляпунова полного типа, если все матрицы > 0, $ = 0,1,2т.

5. Свойства функционалов полного типа. Получим нижнюю и верхнюю оценки для функционалов полного ти#а. С этой цел^ю выберем положительно-определенные матрицы Щ, ] = 0, 1, ..., т, и зададим функционал

т .

(хг) = жт(г)#оя(£) + Ц / жТ(£ + + в)(1б.

Лемма 1. Заданы Wj > 0, з — 0, 1, ..., 2т. Если система (1) является экспоненциально устойчивой, то функционал полного типа (11) допускает на решениях системы (1) квадратичную оценку

Р\и(хг) ^ у{хь), £ ^ 0.

Здесь - положительная постоянная.

Доказательство проведем для случая т = 1. Рассмотрим функционал

г)(а^) = ь{х1) - ¡Зи(хг).

Его производная вдоль решений системы

dv{xt) du(xt) . . ft

—— = = -w{xt) - P—Jj—' t ^ 0.

Заметим, что

^^ = 2xT{t)Ro [Ao(0 + Mx{t - hx)] + xT(t)RlX{t) - xT{t - h^R^t - /ц), t ^ 0.

dt

Таким образом,

w{xt) — \xT{t),xL {t — h\)]M

0

A ]+/ «тс+w»(t+в)л. -hi

Здесь матрица

Матрица М(0) > 0. Пусть /3* является наименьшим положительным корнем уравнения с!е1;(М(/?)) = 0. Для любого € (0, /3*) матрица М(@ 1) > 0, а значит ги(ж*) ^ 0. Последнее неравенство позволяет заключить, что

ос

= Jw{xt{(p))dt ^ 0,

а следовательно,

v(zt) ^ 0iu(xt).

Другими словами, неравенство (13) справедливо для любого £ (0, ¡3*).

Замечание 2. Доказательство леммы 1 вскрывает причину затруднения с отысканием квадратичной оценки снизу для функционалов вида (7). Дело в том, что для них матрица М{0) не является положительно-определенной. Лемма 2. Функционал (13) допускает оценку

v

здесь 02 - положительная константа.

Доказательство проведем для случая т — 1. Введем вспомогательные величины

г€[0,Я] ,

Первое слагаемое, входящее в состав функционала v(xt), допускает оценку

xT(t)U{0)x{t) ^ upxT(t)Rox(t).

Оценим второе слагаемое

о о

2xT(t) j U{-e-h1)Aix{t + e)de ^uaphixT(t)Rox{t) + uap J xT{t + e)R1x{t + в)<Ю, —hi —hi

третье слагаемое ого i о

J xT(t 4 9i)Al J U{91 - e2)A1x{t + 62)dB2 dtíi ^ иа2кгр J xT(t + B)Rlx{t + 0)d9,

—h\ L-/ii ^ J —h i

и, наконец, последнее слагаемое

о о

J xT(t + e) [Wl + (hl + e)W2]x{t + e)de^{l + hí)\p J xT{t + e)RlX{t + 0)de.

В итоге

о

v(xt) < vp{\ + ahi)xT(t)Rox(t) + p[va{ 1 + ahí) + (1 + J xT(t + 9)Rix{t + 6)dB.

-hi

Следовательно, неравенство (16) имеет место для любого

^ max{i//o(l + ahi),p[ua(l + ahí) + (1 + ^i)A]} .

Теорема 3. Пусть система (1) является экспоненциально устойчивой, а матрицы Wj >0, j = 0, 1, ..., 2т. Тогда функционал полного типа (11) удовлетворяет вдоль решений системы (1) неравенствам

а1 11ж(01|2 ^ v(xt) ^ а2 \\xt\ftf , 0.

Здесь а\ и а2 суть положительные постоянные.

Доказательство проведем для т = 1. Действительно, по лемме 1 в качестве ai можно выбрать величину /?iAmin(#o), а по лемме 2 как а2 - величину в2 [А

шах (До) +/ц А шах mi 6. Приложения. Рассмотрим некоторые задачи, решение которых основано на использованшГфункционалов полного типа.

Экспоненциальная оценка решений. В работе [10] было показано, что в случае экспоненциально устойчивых систем функционал (11) доставляет конструктивный способ вычисления констант 7 и а, входящих в оценку (2). Действительно, выберем в функционале (12) матрицы fío = Wq и Rj = Wm+j, j — 1, 2, ..., m. По лемме 2 функционал (11) допускает оценку v{xt) ^ f32u(xt). Функционал (12) выбран так, что вдоль решений системы (1) выполняется неравенство

dv(Xí)+ ufoKO, t> о,

и, следовательно,

Последнее означает, что

dt

dt ¡32

v(xt(tp)) ^ v((p)e~eъ1. В соответствии с теоремой 3 справедливы неравенства

• 2 ^ [,' \ / v .. ..2

ai\\x(t)\\^V(xt),

В результате приходим к искомой экспоненциальной оценке (2), где

а 2

7= \ —, о-

V <*1

1

Устойчивость возмущенных систем. Пусть система (1) экспоненциально устойчива, рассмотрим возмущенную систему

3=0

Матрицы Aj, ] = 0, 1, ..., тп, будем полагать неизвестными, но ограниченными по норме:

НА;II ^ Р31 з = 0, 1; .1.,-т.

Разыщем величины р] = 0,1, для которых возмущенная система (15) остается экспоненциально устойчивой для всех значений матриц Д^-, удовлетворяющих неравенствам (16). Выберем Wj >0, ] = 0, 1, ..., 2т, и построим функционал (11). Его производная вдоль решений возмущенной системы равна

Здесь

Обозначим

¿уЫ)

= -«;(!/«)+ 2

з=о

1Ы), « ^ 0.

т р

з=1-к-

.и= тах ||*7(т)|| , Ц = \\Aj\l ] = 1, 2, ...., т,

г€[0,Я]

! Атш = тт {Лт5п(И^)}.

Справедливы оценки

т \1/2 т 1/2

ЕР,2

¿=0 / _/с=0 . •

1/2

Ер

,з=о

'МЫ

ЛТ

1/2

н'мк»' 1+Ев?л.

3=1

т р

1/2

1/2

¿=1

Мш)

У

В результате получим, что dv

dt

^ ~w

1/2 / \ 1/2' 21 fi+E^J

Следовательно, возмущенная система (15) остается экспоненциально устойчивой для всех значений Aj, удовлетворяющих неравенствам (16), если

771 «2 / " т

j=o • \ i=i

В работе [8] было показано, что функционалы вида (11) могут быть эффективно использованы и в случае возмущений в запаздываниях.

Summary

Kharitonov V. L. Lyapunov functional with a given time derivative. I. Complete type functional.

Some general expressions for quadratic Lyapunov functionals with prescribed time derivative are given. For the complete type functionals some constructive lower and upper bounds are obtained. The functionals have been used for computation of exponential estimates for the solutions of time delay systems and for the stability analysis of perturbed systems.

Литература

1. Красовский H. H. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

2. Репин Ю. М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. С. 564-566.

3. Datko R. An algorithm for computing Liapunov functionals for some differential difference equations // Ordinary differential equations / Ed. by L. Weiss. New York, 1972. P. 387-398.

4. Datko R. Lyapunov functionals for certain linear delay-differential equations in a Hilbert space // J. of Math. Analysis and Applications. 1980. Vol. 76. P. 37-57.

5. Infante E. F., Castelan W. B. A Lyapunov functional for a matrix difference-differential equation // J. of Differential Equations. 1978. Vol. 29. P. 439-451.

6. Juang W. Generelization of Liapunov's theorem in a linear delay systems // J. of Math. Analysis and Applications. 1989. Vol. 142. P. 83-94.

7. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P." 15-20.

8. Kharitonov V. L., Niculescu S. I. On the stability of linear systems with uncertain delay // IEEE Trans, on Automatic Control. 2003. Vol. 48. P. 127-132.

9. Веллман P., Кук К. Дифференциально разностные уравнения / Пер. с англ.; Под ред. Л.Э. Эльсгольца. М., 1967. 548 с. .

10. Kharitonov V. L., Hinrichsén D. Exponential estimates for time-delay systems // Systems and Control Letters. 2004. Vol. 53. P. 395-405.

Статья поступила в редакцию 21 апреля 2004 г.