Дискретизация многомерных аналоговых данных: финитные спектры и поля ограниченной протяженности

УДК 519.6.65 + 621.391

СВИНЬИН Сергей Фёдорович, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации РАН. Автор 140 научных публикаций

ВЛАСЕНКО Юрий Сергеевич, аспирант кафедры прикладной математики Института математики и компьютерных наук Cеверного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор одной научной публикации

КОНОВАЛОВ Михаил Александрович,

начальник сектора ОАО «Российский институт радионавигации и времени» (Санкт-Петербург). Автор 15 научных публикаций

ПОПОВ Александр Игоревич, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры информационных технологий Института математики и компьютерных наук Cеверного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 10 научных публикаций

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ АНАЛОГОВЫХ ДАННЫХ: ФИНИТНЫЕ СПЕКТРЫ И ПОЛЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ

В статье рассматриваются оценки точности восстановления многомерных полей по дискретным отсчетам на основе теории аппроксимации функций системами полиномиальных базисных сплайнов различных степеней. Применительно к многомерным функциональным зависимостям, заданным на ограниченных носителях, например на площадях или объемах конечных размеров, появляется проблема оценки потерь информации, возникающих при применении многомерных аналогов дискретной модели Котельникова-Шеннона. Одной из основных причин ошибок дискретизации является инфинитность спектров сигналов.

Ключевые слова: многомерный сигнал, финитная функция, дискретизация, сетка узлов, восстановление, базисный сплайн, конечная энергия, эффективная площадь спектра.

Введение. Необходимость восстановления данных в задачах обработки многомерных данных требует создания цифровых моделей физических полей и применения методов интерполяции [1]. Одним из наиболее эффективных методов построения математических моделей является метод сплайн-функций.

Выводы теории дискретизации сигналов, которая базируется на принципе финитно сти

спектров, были обобщены на область функций нескольких переменных У^(х1,х2,_,х^), т. е. на ситуации, когда ^-мерный интеграл Фурье можно приравнять нулю вне ^-мерного пространственного гиперкуба {х.} [2]. Результатом явились идеи о возможности точного восстановления многомерного сигнала /ы посредством интерполирующих структур, представляющих собой взвешенные суммы произведений одномерных ядер Котельникова-Шеннона.

© Свиньин С.Ф., Власенко Ю.С., Коновалов М.А., Попов А.И., 2012

В частности, согласно этой теории, пространственный сигнал f(x,y) - функция двух переменных, имеющая спектр Е(шх,шу) равный нулю вне прямоугольника, ограниченного значениями двух частот отсечки ш^. и ш , может быть однозначно выражен через свои дискретные значения в узлах пространственной сетки, равные:

fik = f I

bd

ni nk

CO x CO ,

Фо.оО’-У)1

sin^^sin^O^)

co„x

<°суУ

Применительно к реальным функциональным зависимостям, заданным на ограниченных носителях, например, на площадях конечных размеров с координатами x и у, появляется проблема оценки потерь информации, возникающих при применении вышеупомянутой идеальной модели. Источников ошибок, появляющихся в процессе восстановления, существует несколько: например конечность выборки отсчетов, неточность измерений в узлах, неиде-альность спектральных характеристик восстанавливающих фильтров низкой частоты (ФНЧ) и др. [2]. В многомерных пространствах эти ошибки проявляются в большей степени, чем в области функций одной переменной.

1. Финитные функции и их спектры. В качестве основной характеристики сигнала в последнее время принимается энергия E, которая может рассматриваться как в пространственной, так и в частотной областях. Предположим, что ограниченные непрерывные сигналы f(x,y), заданные на ограниченной (финитной) прямоугольной области D=[a,b; c,d], принадлежат классу функций с конечной энергией, т.е. для них выполняется неравенство

E = J J | f (x, у| dxdy < да.

Финитным по протяженности сигналам соответствуют инфинитные спектры. Для функций двух переменных, если ограничиться только областью положительных значений частот (юх > 0, юу > 0), известное равенство Парсеваля [4] принимает вид:

где . = 0, 1, 2, ...; к = 0, 1, 2, ...; юх и юу -частотные переменные.

Восстановление сигнала достигается за счет применения пространственных интерполирующих импульсов вида [3]:

bd

Е = ))\/^,у)\2 Му = \Цг

ас о 0

Тогда можно по аналогии с понятием эффективной ширины спектра Дю=[0, юе], введенного для функций времени [5] определить понятие эффективной площади на частотной плоскости (шх, шу). Это - показанная на рис. 1 площадь прямоугольника, ограниченного координатными осями и линиями ш и ш = №еу. В ней сосредоточена основная (низкочастотная) часть Ее < Е полной энергии сигнала (например, 90 % или 95 %). Величина энергии остальной (высокочастотной) части двумерного спектра может считаться пренебрежимо малой. Это позволяет говорить о подходе к проблеме выбора величин шагов дискретизации непрерывных многомерных сигналов (в частности, двумерных) с позиций теории финитных функций, а не финитных спектров.

(Р.

Д hf

If

О

*

Рис. 1. Области интегрирования в частотной плоскости

2. Многомерные базисные сплайны.

Примерами финитных функций являются многомерные полиномиальные базисные

сплайны (В-сплайны) целой степени m по каждой из независимых переменных [6]. Если таких переменных только две, то функцияД(х,у), восстанавливаемая по дискретным отсчетам, может быть представлена в виде билинейной суммы:

fk,y)= X XbtkBmi

i=-\k=-1

где b.k - постоянные коэффициенты; Bm .(х), Bm k(y) - одномерные 5-сплайны; /, k - номера узлов сплайнов (узлов дискретизации) по осям х и у соответственно, /=0,1,.. .,nx; k=0,1,...,n .

В качестве области определения функции fix, у) и ее аппроксимирующей сплайн-формы рассмотрим прямоугольник, внутри которого задана дискретная сетка узлов вида: Dx: х0 < х1 < Х2 < ...х < xn,_, <xni; Dy: уо < yi < у2 < -ук< Уn2-1 <Уп2'

Если узлы расположены равномерно, то можно обозначить: х = h = const.

у

Билинейные 5-сплайны определяются как произведения одномерных 5-сплайнов первой степени [6]:

вик(х,у)= ви

x-xt

К

ви

У-Ук

К

Бикубические 5-сплайны, соответственно, являются произведениями одномерных 5-сплайнов третьей степени.

Графики билинейного 5100 и бикубического 5300 5-сплайнов при индексах, равных /=£=0, и шагах дискретизации к=к =1 приведены на рис. 2.

3. Спектры многомерных В-сплайнов.

Двумерные 5-сплайны целой степени т имеют своими преобразованиями Фурье аналитические формулы вида [7].

Fm{ax,<dy) = B0hxhy

( sin(G)A/2)r+1 "sinCco^ /2)"

1 (ЮА/2) J (A/2) J

.

где В0 - амплитуда начального В-сплайна, т. е. сплайна с индексами і=к=0.

Функция модуля спектральной плотности амплитуд (СПА) двумерного поля ортогональных В-сплайнов степени т>0, аппроксимирующих функцию/(х,у) в соответствии с формулой (5), описывается следующим выражением [8]:

і+і - xi=hx = const; Ук+і - Ук

п\ п2

і=0к=0

Рис. 2. Графики билинейного (а) и бикубического (б) В-сплайнов

Приближенное равенство между спектральной энергией G(wx, wy) = |FB(wx, wy)|2 сигнала fx, y) и спектральной энергией аппроксимирующей суммы 5-сплайнов FBP (wx, w) можно записать в виде:

1 “°°| |2 £ = ^dcoxd(Qy = It 00

= \Т\\рвр^х^у) \2dtaxdcor It 00

(7) и на основании теоремы об интегральных неравенствах величина Е^ может быть оценена сверху неравенством:

1 7 7 I I2

— 1 J d(oxda>y <

ТС ю„ <в„,

\2

sin

ayh/2 “J

d(Oy <

<C

vJ(-M

-J »aj

d(Oy j

ЧЛ

дт-rL

<to, =------------------

y (2m + 1)ti r

Оно будет выполняться, если совокупность двумерных 5-сплайнов разбить на

ортогональные группы. 5-сплайны нулевой степени с разными индексами являются ортогональными по определению, поскольку они финитны и построены на непересекаю-щихся элементарных прямоугольных площадях со сторонами Ни h .

* x y

5-сплайны более высоких степеней также финитны, их число конечно, и соответствующее множество может быть разбито на группы ортогональности. Например, множество билинейных 5-сплайнов представляет собой объединение двух ортогональных подсистем: 1-я содержит 5-сплайны, сумма индексов которых является четной, а 2-я включает 5-сплайны, сумма индексов которых является нечетной.

4. Эффективная площадь на бичастотной плоскости. Основная часть спектральной энергии поля 5-сплайнов сосредоточена в площади прямоугольника низких частот (low frequencies - lf), приведенного выше на рис. 1. Представим полную энергию E как сумму двух составляющих: низкочастотной Elf и

высокочастотной E : E = E„ + E *

hf lf hf

В свою очередь, энергия, относящаяся к области высоких частот, оценивается по формуле:

Ehf=\l 1 \FBP((0x,(0y)\2 d(oxd(oy. (10) п

Обозначим нижние границы высокочастотной области w = p/h , w = p/h . С учетом

ex' x7 ey1 у J

где С - число, являющееся пределом модуля двойной суммы экспонент в выражении (8) при

С -

«1 «2

£ XI hk i=0t=0

Полученное неравенство (11) показывает, что при фиксированном значении степени сплайна m = const энергия Ehf высокочастотной части спектра группы двумерных 5-сплайнов зависит от значений шагов между узлами как величина порядка O(hhy). В принципе, ее верхняя граница может быть вычислена точно, если известны все значения отсчетов.

В процессе измерений характеристик физического поля получены экспериментальные данные для значений вариации магнитной индукции D5, выраженной в мГал, над одной из площадей поверхности нашего континента. График поля размерностью 21^21 отсчетов при начальных

значениях шагов дискретизации, равных hx = hy = 0,2 км, приведен на рис. 3, а график модуля двумерной спектральной характеристики поля интерполирующих билинейных 5-сплайнов - на рис. 4.

Заключение. Таким образом, изменение расположения точек отсчетов вдоль координат плоскости x,y приводит к следующему

изменению соотношений между полной

спектральной энергией магнитного поля и ее высокочастотными составляющими:

1) Полная энергия Е равна 235,6.

Рис. 3. График функции двумерного геомагнитного поля

2) Энергия высокочастотных составляющих при значениях шагов отсчетов И=И=0,2 км равна £^=14,1, что составляет 5,9 % от полной энергии, а при более редкой сетке узлов Ъ==к=0,4 км £^=89,2, т. е. погрешность дискретизации поверх-

си,,км-1

Рис. 4. График модуля двумерного амплитудного спектра совокупности билинейных В-сплайнов, аппроксимирующих геомагнитное поле

ности поля во втором случае превышает первоначальную погрешность примерно в 6,3 раза.

Эти результаты говорят о достоверности выводов теории дискретизации финитных сигналов, имеющих инфинитные спектры.

Список литературы

1. Восстановление параметров геополей // Измерительная техника. № 12. 2005. С. 3-9.

2. Джерри А. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор // ТИИЭР. Т. 65. 1977. № 11. С. 53-89.

3. ПтачекМ. Цифровое телевидение. Теория и техника. М., 1990. С. 1-528.

4. Даджион Д., Мерсеро Р.М. Цифровая обработка многомерных сигналов. М., 1988. С. 1-488.

5. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М., 1957. С. 1-236.

6. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. С. 1-352.

7. Свиньин С.Ф. Базисные сплайны в теории отсчетов сигналов. СПб., 2003. С. 1-120.

8. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы . М., 1981. С. 1-416.

9. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М., 1977. С. 1-608.

Svinyin Sergey Fyodorovich

St. Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences, Vlasenko Yuri Sergeevich Northern (Arctic) Federal University named after M.V Lomonosov, Institute of Mathematics and Computer Sciences, Konovalov Mikhail Alexandrovich Russian Institute of Radionavigation and Time, Popov Alexander Igorevich Northern (Arctic) Federal University named after M.V Lomonosov, Institute of Information and Space Technologies

DISCRETIZATION OF MULTIDIMENSIONAL ANALOG DATA:

FINITE SPECTRA AND LIMITED LENGTH FIELDS

The article considers accuracy evaluations of recovery of multidimensional fields on samples on the basis of the theory of function approximation by systems of polynomial basis splines with various orders. In the context of multidimensional functions with bounded supports there arises a problem of estimation of loss of information due to the use of multidimensional analogues of the discrete Kotelnikov-Shannon model. One of the main causes of sampling errors is infinity of signal spectra.

Key words: multidimensional signal, finite function, discretization, mesh nodes, recovery, basis spline, finite energy, effective area of spectrum.

Контактная информация: Свиньин Сергей Федорович e-mail: svinyins@mail.ru Власенко Юрий Сергеевич e-mail: 1yuri.vlasenko1@gmail.com Коновалов Михаил Александрович e-mail: konovalov.ma@mail.ru Попов Александр Игоревич e-mail: aleneus@gmail.com

Рецензент - Попов В.Н., доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики Института математики и компьютерных наук Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова