Оптимизация процедур построения и использования нечетких классификационных моделей принятия управленческих решений

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ В СОВРЕМЕННОМ ОБЫЕСТВЕ МЕТОДОЛОГИЯ И% ИССЛЕДОВАНИЯ

В.П. КАРЕЛИН,

зав. кафедрой математики и информатики ТИУиЭ,

д-р техн. наук, профессор, О.Л.КУЗЬМЕНКО,

аспирантка кафедры математики и информатики ТИУиЭ

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУР ПОСТРОЕНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ КЛАССИФИКАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Рассмотрены основные процедуры построения нечетких классификационных моделей принятия управленческих решений. Предложена модификация метода кластеризации «К-средних» для работы с нечеткими ситуациями. Для сравнения нечетких ситуаций и определения расстояния между ними предложен способ, основанный на представ-

лении каждого из нечетких множеств, входящих в описание ситуации, «репрезентативным числом», значение которого соответствует оценке «центра тяжести» нечеткого множества. Предложен способ нахождения эталонной ситуации для заданного класса нечетких ситуаций менее трудоемкий по сравнению с известными.

Классификация, кластеризация, К-средних, нечетко описанная ситуация, модель принятия решений, мера сходства, сравнение нечетких ситуаций, лингвистическая переменная, нечеткое множество, репрезентативное ЧИСЛО.

В современных экономических условиях принятие управленческих решений связано с нелегкой задачей выбора наилучшего решения в условиях неполноты информации, невозможности все строго рассчитать и проанализировать, а также с множественностью мнений о целях, критериях и их предпочтительности, поэтому при управлении сложными системами важным и определяющим фактором является наличие эффективных моделей и методов принятия решений (ПР), основанных на использовании современных информационных технологий. К наиболее часто используемым в практике организационного управления методам и моделям принятия решений (МПР) относятся классификационные, основанные на методе аналогий или прецедента и использующие алгоритмы классификации ираспознаванияситуаций [1, 5].

При управлении организационными системами множество возможных решений обычно значительно меньше числа возникающих и требующих принятия решений ситуаций. Это обстоятельство и позволяет формулировать задачи ПР в виде классификационных задач распознавания и применять для их решения соответствующие методы. В сложных и плохо формализуемых ситуациях практически оправдано использование нечетких классификационных МПР. Это позволяет легко и естественно решить проблему сжатия информации, а также упростить проблему отбора наиболее информативных, типообразующих признаков, влияющих на разбиение множества ситуаций на классы.

Разработка класс ификационных МПР актуальна для решения таких задач, как создание систем планирования, прогнозирования, структурного проектирования, экологического мониторинга, управления сложными организационно-технологическими объектами и т.п. [5].

Класс ификационные МПР основаны либо на вычислении для данной конкретной ситуации ее степени принадлежности к каждому из эталонных классов, либо на вычислении сходства описания текущей ситуации с каждой из эталонных ситуаций (ЭС) с последующим выбором решения, соответствующего тому классу или той ЭС, к которой данная ситуация принадлежит в наибольшей степени. Такие МПР описывают разбиение многомерного пространства признаков -факторов, наиболее существенно влияющих на выбор управляющих решений, на нечеткие области (эталонные классы), соответствующие этим решениям [1].

Ситуацией называется набор значений признаков, описывающих состояние объекта управления (ОУ) в некоторый момент времени. Очевидно, что от ситуации зависит и выбор управленческого решения. Под нечетким описанием ситуации понимается такое описание, когда отображены не только количественные, но и ряд качественных характеристик системы. Например, для рентабельности предприятия различают качественные уровни: «очень низкий», «низкий», «средний», «высокий». Вид нечеткого описания ситуаций существенно зависит от области приложения.

В ряде случаев нечеткое описание представляет собой совокупность нечетких множеств первого уровня, например: 8 = {качество среднее, производительность низкая, себестоимость высокая и т.д.}. В еще более неопределенных обстоятельствах ПР описание ситуации представляется совокупностью нечетких множеств второго уровня [2]. Пример такого описания ситуации, характеризующей некоторое состояние, возникшее при управлении предприятием, следующий:

8 = {(<0,4/«низкое»>, <0,8/«среднее»>, <0,2/«вьео-кое»> «качество»), (<0,1/«очень низкая»>, <0,4/«низ-кая»>, <0,8/«средняя»>, <0,6/«вьЕокая»>, «производительность»), (<0,1/«низкая»>, <0,6/«средняя»>, <0,9/«вьсокая»>, «себестоимостъ»>)}. Здесь каждому признаку (качество, производительность, себестоимость) соответствует лингвистическая переменная, значения которой (низкая, средняя, высокая и т.п.) в описании ситуации также заданы нечетко.

Применение нечетких множеств, отражающих и моделирующих неопределенности, значения качественных признаков, результаты сравнений, нечетких предпочтений, к которым прибегают эксперты при анализе ситуаций, позволяет формализовать в единой форме и использовать всю доступную неоднородную информацию (детерминированную, статистическую, субъективную, интервальную, лингвистическую и т.п.) для повышения качества и достоверности принимаемых как оперативных, так и стратегических решений.

При разработке моделей, имитирующих процессы ПР человеком-оператором, будем исходить из того, что ЛПР представляет собой нечеткую систему классификации и распознавания образов, соответствующих возможным управлениям в системе, а процесс ПР ЛПР есть процесс распознавания ситуаций в многомерном пространстве признаков. Это предположение при условии существования эффективных процедур формирования эталонных классов ситуаций (ЭКС) дает возможность строить эффективные схемы ПР [1, 5].

Процесс построения и использования классификационных МПР, основанных на определении сходства нечетко описанных ситуаций, предполагает структурирование информации на основе агрегирования (обобщения, классификации, кластеризации) полученных данных - формирование ЭКС; построение (или отыскание) для каждого из сформированных ЭКС лучшего представителя - ЭС; выбор лучших решений на основе нечеткого распознавания принадлежности текущей ситуации к тому или иному ЭКС.

Следует отметить, что задачи разбиения множества ситуаций на классы (ЭКС), включающие схожие ситуации, и выбор эталона для каждого класса (ЭС) -наиболее трудоёмкие и важны при построении клас-сификационных МПР.

Для формирования ЭКС применяются методы нечеткой кластеризации. Задача кластеризации заключается в разбиении объектов некоторого множества на несколько подмножеств (классов, кластеров), в которых объекты более схожи между собой, чем с объектами из других кластеров. Методы четкой кластеризации разбивают исходное множество объектов на несколько непересекающихся подмножеств. При этом любой объект из множества принадлежит только

одному кластеру. Методы нечеткой кластеризации позволяют одному объекту принадлежать одновременно нескольким (или даже всем) кластерам, но с различной степенью. Такая кластеризация во многих ситуациях более «естественна», чем четкая, например, для объектов, расположенных на границе кластеров.

Для формирования классов ситуаций необходимо прежде построить отношение сходства на множестве структурных описаний ситуаций, а затем, пользуясь одним из известных методов одноуровневой или многоуровневой (иерархической) кластеризации, разбить множество ситуаций на классы [1].

Для проведения кластеризации могут быть заданы такие параметры, как число объектов, включенных в каждый из кластеров, связность элементов одного кластера между собой, расстояния между отдельными кластерами, пороговая величина сходства (мера близости объектов, позволяющая отнести их к одному кластеру). При этом число классов либо задается априори, либо определяется в процессе работы самого алгоритма [6].

Для того чтобы определить на множестве данных (объектов) кластер, необходимо ввести меру сходства, которая будет заложена в основу правила отнесения объектов к кластеру, характеризируемому некоторым центром (эталоном, представителем).

К наиболее часто используемым алгоритмам кластеризации могут быть отнесены иерархический кластерный анализ и кластеризация методом К-средних (относящаяся к методам перераспределения).

Смысл иерархической агломеративной процедуры кластеризации заключается в следующем. Перед началом кластеризации все р объектов (ситуаций) считаются отдельными кластерами. На первом шаге алгоритма определяются два наиболее близких или сходных объекта, которые объединяются в один кластер, при этом общее количество кластеров сокращается на единицу. Итеративный процесс повторяется до тех пор, пока на последнем (р-1)-м шаге все классы не объединятся. На каждом последующем шаге рассчитываются расстояния от образованного кластера до каждого из оставшихся кластеров. Процедура кластеризации может быть остановлена, если получено определенное заранее количество кластеров, или все кластеры содержат более определенное число элементов, или же если кластеры обладают требуемым соотношением внутренней однородности и разнородности между собой.

В методах перераспределения число кластеров задается изначально, а исходные объекты каким-либо образом распределяются между кластерами. Далее итеративно каждый объект перераспределяется в другой кластер, оптимизируя определенную функцию цели. Алгоритм завершается, если нельзя больше перераспределить объекты со значительным улучшением функции цели. Метод К-средних основан на минимизации суммы квадратов расстояний между каждым из исходных объектов и центром его кластера.

Процедура кластеризации методом К-средних состоит из следующих шагов [6]:

- выбираются или назначаются к объектов, которые будут первичными центрами кластеров;

- остальные объекты приписываются к ближайшим заданным кластерным центрам;

- текущие координаты первичных кластерных центров заменяются на кластерные средние;

- предыдущие два шага повторяются до тех пор, пока изменения координат кластерных центров не станут минималь ными.

Предлагаем адаптацию процедуры кластеризации к условиям нечетко описанных ситуаций, позволяющую снизить трудоемкость этой процедуры.

Для разбиения множества из N объектов (ситуаций) на классы (кластеризация по сходству описаний) необходимо определить степень сходства (или расстояние) каждой пары ситуаций из заданного множества. Поскольку каждая ситуация описывается совокупностью нечетких множеств, то при определении близости (степени сходства или несходства) ситуаций можно использовать те же формулы, по которым сравниваются нечеткие множества.

Пусть на базовом множестве X = {хь х2, ..., Хд} заданы нечеткие множества Л={цА(х)/х} и В ={цв(х)/х}, где хеХ; цА(х), цв(х); е [0, 1]. Для определения степени сходства (несходства) нечетких множеств А и В применяют различные меры близости и расстояний, в частности, меры сходства Дейка, Танимото, расстояние Хэмминга и др. [1].

Предлагается на всех этапах построения и применения классификационных МПР оперировать не значениями дискретных функций принадлежности сравниваемых нечетких множеств, а их «репрезентативными числами» [3]. В качестве «репрезентативного числа» Гд, характеризующего данное нечеткое множество А, будем использовать значение центра масс (тяжести) его функции принадлежности, которое определяется по формуле

п

(X )  X

Га = -.

I=1

В нечетких множествах второго уровня элементами базового множества являются словесные (лингвис-тические) строго упорядоченные (по индексам 1) значения ti, поэтому в формуле для получения «репрезентативного числа» га такого нечеткого множества в качестве значения базовой переменной ti правомерно использовать ее порядковый номер - индекс г. Таким образом, формула (1) примет вид

п

)  г

^ =—п-.

)

г=1

Поскольку любая ситуация задана нечеткими значениями каждой из к лингвистических переменных (нечеткими множествами второго уровня), то для по-

строения усредненной ситуации (центра класса ситуаций) необходимо для каждого нечеткого множества рассчитать «репрезентативное число» г (выполнить переход от нечеткого представления к четкому). В результате каждая из N ситуаций будет представлена «репрезентативным вектором» (РВ) Я=(г\, г2,... гк), состоящим из к репрезентативных чисел (к - количество признаков, характеризующих объект). Усредненная ситуация также будет представлена аналогичным «репрезентативным вектором» Яср, каждый элемент г (г = 1, 2, ..., к) которого получен как среднее арифметическое соответствующих 1-х элементов всех N векторов Я.

Рассмотрим способ кластеризации множества нечетких ситуаций методом ^-средних на следующем примере.

Пример 1. Пусть С = {сь с2, с3, с4} - множество признаков, значениями которых описываются ситуации, возникающие на объекте управления. Каждый признак хг соответствует лингвистической переменной (ЛП), множество значений ti (термов) которой обозначим через Т. Значение каждой ЛП при описании ситуации задается нечетким множеством второго уровня О = {</ио(Ъ)Лг>}, где базовым множеством является терм-множество Т. В общем случае терм-множества для различных ЛП также различаются.

В нашем примере терм-множества значений каж-дого из признаков (ЛП), в силу их однотипности, примем одинаковыми: Т = {о - несущественный уровень; ^ - очень низкий ур.; Ь2 - низкий ур.; ^ - средний ур.; и - высокий ур.; ^ - очень высокий ур.; 4 - значительный ур.}. Приведенные лингвистические значения ti ЛП, в свою очередь, задаются нечеткими множествами первого уровня, функции принадлежности которых будем представлять нечеткими треугольными функциями или, иначе, нечеткими треугольными числами, определенными на базовом множестве и= {0; 0,17; 0,33; 0,5; 0,67; 0,83; 1}. Нечеткие треугольные или трапециевидные числа являются частным случаем функций принадлежности типа (Ь-Я), которые широко используются для описания экспертных суждений [4].

Зададим некоторое значение ЛП (признака) с1 следующим нечетким множеством: {<0/несущественный уровень>, <0/очень низкий ур.>, <0/низкий ур.>, <0/средний ур.>, <0,7/высокий ур.>, <0,7/очень высокий ур.>, <0/значительный ур.>}. Для компактности описания заменим в нечетких множествах все названия термов (низкий ур., средний ур. и т.д.) их обозначениями ^ (г = 0, 1, ..., 6) в терм-множестве Т. Получим для сг запись: {<0Л0> <0/А>, <0Л2>, <0Л3>, <0,7/£,>, <0,7Л5>, <0/4>}.

Пусть задано множество = {51, £2, £3, £4} (табл. 1), состоящее из следующих 4-х нечетко описанных ситуаций:

Таблица 1

Набор нечетко описанных ситуаций

0 1 2 3 4 5 6

Т Несуществ. Очень низкий Низкий Средний Высокий Очень высокий ¿5 Значите льный

к А ¿2 ¿3 ¿4 ¿6

и 0 0,17 0,33 0,5 0,67 0,83 1

Ях

С\ 0 0 0 0 0,3 1,0 0,3

С2 0 0 0 0,7 0,7 0 0

Сэ 0 0 0,3 1,0 0,3 0 0

С4 0 0 0 1,0 0 0 0

С\ 0 0 0,3 1,0 0,3 0 0

С2 0 0 0 0 0,3 1,0 0,3

С3 0 0 0 0 0 0,7 0,7

С4 0 0 0 0 0,2 0,9 1,0

Яз

С\ 0 0 0 0 0,7 0,7 0

С2 0 0 0 0 0,7 0,7 0

С3 0 0 0,3 1,0 0,3 0 0

С4 0 0 0 0 1,0 0 0

Я4

С\ 0 0 0 0,2 0,5 0,7 1,0

С2 0 0 0 0,2 0,5 0,7 1,0

С3 0 0 0 0 0,2 0,9 1,0

С4 0 0 0 0,2 0,5 0,7 1,0

Проиллюстрируем процедуру кластеризации методом ^-средних. Построим матрицу сходства ситуаций по критерию:

С(АВ) =1 _ г=1

ЦА ( X. ) -цв ( X. )|

2 ^ А (х.) + Е цв (х.) 1=1 1=1

где п - мощность базового множества X. Преобразуем транзитивную матрицу сходствав матрицу расстояний го формуле О у = 1 - Су. Получим табл 2.

Таблица 2

Матрица расстояний

Оу 51 52 53 54

51 0 0,60 0,46 0,60

52 0,60 0 0,60 0,35

53 0,46 0,60 0 0,60

54 0,60 0,35 0,60 0

Производим разбиение множества ситуаций на классы.

1. Задаем количество классов К=2. В качестве центров кластеров зададим объекты г1(1) = 51; г2(1) = 52.

2. По матрице расстояний (табл. 2) проверяем расстояние ситуаций до центров кластеров: |5,- - .(1)| < |5,- - .г/1)|, где г = 3, 4;у = 1, 2. Если это неравенство выполняется, то принадлежит первому классу, если не выполняется, то 5г принадлежит второму классу. Таким образом, разбиение имеет следующий вид:

Л(1) = {51, 53}, ВД = {52, 54 }.

3. Далее определяем в каждом классе новые центры. На этом этапе предлагается каждую ситуацию исход-

ного множества ситуации представить репрезентатив-ным вектором Я = (гь г2, ..., гк), состоящим из к репрезентативных чисел, рассчитанных по формуле (2).

Представление ситуаций при помощи РВ позволяет работать со средними значениями РВ без восстановления нечеткого описания ситуаций на каждом этапе алгоритма.

Для отыскания РВ каждой ситуации вычислим значения репрезентативных чисел гг (г=1, ..., 4) для каждого признака. Полученные значения представим в табл.3.

Таблица 3

Представление исходных ситуаций посредством РВ

51 52 53 54

С1 5,0 3,0 4,5 5,1

С2 3,5 5,0 4,5 5,1

С3 3,0 5,5 3,0 5,4

С4 3,0 5,4 4,0 5,1

Затем найдем среднее арифметическое значений гг ситуаций каждого класса по каждому из признаков. Полученные значения преде тавлены в табл. 4, 5.

Таблица 4

Значения элементов центра первого кластера

Г Ях&) Я3(53) .1(2)=^=^,}

С1 5,0 4,5 4,8

С2 3,5 4,5 4,0

С3 3,0 3,0 3,0

С4 3,0 4,0 3,5

Таблица 5

Значения элементов центра второго кластера

Г Я2(Ъ) Я4(54) 22(2)=Яср2={г,}

С\ 3,0 5,1 4,0

С2 5,0 5,1 5,0

Сэ 5,5 5,4 5,5

С4 5,4 5,1 5,2

Набор средних арифметических значений гг по каждому признаку в каждом классе дает РВ, соответствующие новым усредненным ситуациям (центрам) полученных классов.

Так как г!(1) ф 71(2), 22(1) Ф 22(2), то необходимо пересчитать расстояния от ситуаций множества до новых центров кластеров.

4. Для расчета расстояния между центрами кластеров и остальными ситуациями воспользуемся формулой Хэмминга:

к

Б

1=1

Полученные результаты предетавлены в табл.6.

Таблица 6

Расчет расстояний ситуаций до центров кластеров

71(2) £1 £2 53 £4

С\ 4,8 0,3 1,8 0,3 0,3

С2 4,0 0,5 1,0 0,5 1,1

С3 3,0 0,0 2,5 0,0 2,4

С4 3,5 0,5 1,9 0,5 1,6

Ср. арифметическое 0,3 1,8 0,3 1,4

22(2) £1 £2 £3 £4

С\ 4,0 1,0 1,0 0,5 1,0

С2 5,0 1,5 0,0 0,5 0,0

С3 5,5 2,5 0,0 2,5 0,0

С4 5,2 2,2 0,2 1,2 0,2

Ср. арифметическое 1,8 0,3 1,2 0,3

Номер кластера 1 2 1 2

Таким образом, разбиение имеет следующий вид:

Л(2) = {£:, 53}, Р2(2) = {52, £4}.

5. На следующем шаге получаем следующие центры кластеров:

Таблица 7 Центры кластеров на третьей итерации

21

С\ 4,8 4,0

С2 4,0 5,0

С3 3,0 5,5

С4 3,5 5,2

Так как 71(3) = 21(2), 22(3) = 22(2), то выполнение алгоритма закончено, получено искомое разбиение на 2 класса: Л(2) = {£1, £,}; ^(2) = {52, £4}. Эталонные элементы (представители, центры) каждого класса сформированы в процессе алгоритма.

Так как алгоритм кластеризации методом К-средних предполагает заранее заданное количество кластеров, то оценка результатов процесса кластеризации может быть проведена посредством анализа расстояний между центрами классов и расстояний между ситуациями одного класса. В нашем случае

подобный анализ показал, что кластеризация при количестве классов равном двум удовлетворительна.

Следующей важной задачей, которую необходимо решать при построении классификационных МПР, является нахождение представителя (ЭС) для каждого ЭКС. Традиционный способ ее решения - предварительное вычисление степени сходства или расстояния между ситуациями ЭКС. После чего в качестве представителя выбирается та из ситуаций данного класса (медиана Кемени), сумма расстояний от которой до всех ситуаций данного класса минимальна (либо сумма степеней сходства которой со всеми остальными ситуациями данного класса максимальна). Как было показано в работе [3], вычисление значений сходства (или расстояний) при большом количестве N ситуаций в ЭКС - процедура весьма трудоемкая с оценкой О(^). Оценка трудоемкости выбора представителя для класса из N ситуаций, каждая из которых описывается к признаками - лингвистическими переменными (ЛП), следующая: Т\Щк) = к^Тс. Трудоемкость Тс процедуры определения степени сходства двух нечетких множеств А и В, каждое из которых задано набором из п значений дискретного представления функции принадлежности, зависит от вида используемой меры сходства С(А,В). Например, при использовании формулы Дейка трудоемкость Тс = О(п) [5].

Предлагаем значительно менее трудоемкий способ нахождения представителя класса из N нечетких ситуаций, который заключается в формировании для данного класса некой усредненной ситуации. Поскольку любая ситуация задана нечеткими значениями каждой из к ЛП (нечеткими множествами второго уровня), то для построения усредненной ситуации необходимо для каждого нечеткого множества рас -считать репрезентативное число г (выполнить дефаз-зификацию). В результате каждая из N ситуаций будет представлена репрезентативным вектором (РВ) Я=(г\, г2,... Гк), состоящим из к репрезентативных чисел. Усредненная ситуация также будет представлена аналогичным репрезентативным вектором Яср, каждый элемент гг (г = 1, 2, ..., к) которого получен как среднее арифметическое соответствующих 1-х элементов всех N векторов Я.

Для предложенного способа оценка трудоемкости формирования РВ в качестве представителя для ЭКС из N ситуаций следующая: Т2(Ы,к) = кшЫшТг, где Тг -трудоемкость процедуры определения репрезентативного числа г нечеткого множества второго уровня. Учитывая, что Тг = (п/2) Тс, видим, что трудоемкость Т2(Л^к) в 2N/n раз меньше, чем Т^к).

Если в качестве ЭС необходимо выбрать медиану Кемени, то нужно определить расстояния от Яср до РВ каждой из N ситуаций данного ЭКС (хэммингово рас -стояние), а в качестве медианы, т.е. ЭС, взять ту нечеткую ситуацию, до которой это расстояние минимально. Это потребует выполнения еще порядка kN простых операций.

Предложенный способ представления ситуации посредством РВ выгодно использовать (с точки зрения трудоемкости вычислений) и при сравнении текущей ситуации с ЭС. Для этого необходимо получить РВ для текущей ситуации (для каждой из ЭС соответствующие РВ получены заранее). Расстояние

В(Б0, Б) между текущей ситуацией Б0 и ЭС Бу определяется по формуле Хэмминга (3). Ближайшей к текущей ситуации Б0 считаем ту из ЭС Бу, ДО которой расстояние 0(Б0, Бу) меньше, чем для остальных ЭС.

Применение для представления объектов «репрезентативного вектора» позволяет работать со средними значениями РВ без восстановления нечеткого описания объектов на каждом этапе алгоритма. При проведении процедуры кластеризации методом К-средних ЭС находятся в процессе разбиения объектов (ситуаций) на кластеры.

Рассмотрим предложенный способ нахождения представителя класса нечетких ситуаций на конкретном примере.

Пример 2. Пусть X = {хь х2, х3, х4} - множество признаков, значениями которых описывается состояние предприятия, где х\ - производственная устойчивость (ПУ), х2 - управленческая устойчивость (УУ), х3 -финансовая устойчивость (ФУ), х4 - деловая устойчивость (ДУ). Каждый признак (вид устойчивости) Х1 описывается соответствующей ЛП, множество значений ti (термов) которой обозначим через Т. Значение каждой ЛП в описании ситуации задается нечетким множеством второго уровня О = {<ио(,)Л,>}, где базовым множеством, как и в примере 1, является терм-множество Т = {о - несущественный уровень; ^ -очень низкий ур.; ^ - низкий ур.; /3 - средний ур.; и -высокий ур.; ^ - очень высокий ур.; t6 - значительный ур.}. Зададим некоторое значение ЛП (признака) «производственная устойчивость - ПУ» следующим нечетким множеством: {<0/несущественный уровень>, <0/очень низкий ур .>, <0/низкий ур.>, <0/средний ур .>, <0,7/вьеокий ур>, <0,7/очень вьеокий ур>, <0/значительный ур.>}. Для компактности описания ситуаций заменим в нечетких множествах все названия термов (низкий ур., средний ур. и т.д.) их обозначениями ti (/ = 0, 1, ..., 6)в терм-множестве Т.

Пусть задан ЭКС с известным управленческим решением, включающий следующие три нечетко описанные ситуации:

Б1 = {(<0//о>, <0/^>, <0Л2>, <0/^>, <0,7Л4>, <0,7/t5>, <0/t6> «ПУ»), (<0//о>, <0/t1>, <0/t2>, <0/t3>, <0,7/£,>, <0,7Л5>, <0/t6> «УУ»), (<0/t0>, <0/t1>, <0,3//2>, <1/t3>, <0,3Л4>, <0Л5>, 0/t6> «ФУ»), (<0//0>, <0/t1>, <0/t2>, <0/tз >, <Щ>, <0/t5>, <0/t6> «ДУ»)};

Б2 = {(<0/t0>, <0/t1 >, <0/t2>, <0/t3>, <0/£,>, <0,3//5>, <1/t6> «ПУ»), (<0#0>, <0,7/t1>,<0,7/t2>, <0/t3>, <0/£,>, <0Л5>, <0/t6> «УУ»), (<0//0>, <0/t1>, <0,3Л2>, <1/t3>, <0,3Л4>, <0//5>, <0/t6> «ФУ»), (<0#0>, <0/t1>, <0/t2>, <1/tз>, <0^>, <0/t5>, <0/t6> «ДУ»)};

Б3 = {(<0/t0>, <0/Т1>, <0,3/t2>, <1/t3>, <0,3Л4>, <0/t5>, <0/t6> «ПУ»), (<0/t0>, <0/А>, <0/t2>, <0/t3>, <0/t4>, <0,3Л5>, <1/4> «УУ»), (<0/t0>, <0/t1>, <0/t2>, <0Л3>, <0,7/£(>, <0,7/t5>, <0/t6> «ФУ»), (<0//0>, <0/t1>, <0/t2>, <0/t3>, <1/t4>, <0Л5>, <0/t6> «ДУ»)}.

Покажем, как для этого ЭКС найти представителя класса и в виде некоторой усредненной ситуации (РВ = Яср), и в виде медианы Кемени. Для отыскания РВ каждой ситуации вычислим по формуле (2) значения репрезентативных чисел г, (/=1,2,3) для каждого признака. Затем найдем среднее арифметическое значение г, по каждому из признаков. Полученные значения представлены в табл. 8.

Таблица 8

Значения элементов репрезентативных векторов

г, Я1(Б1) Я2(Б2) Я3(Б3) Яср={ г* }

Г1 (ПУ) 4,5 5,8 3,0 4,4

Г2 (УУ) 4,5 1,5 5,8 3,9

Г3 (ФУ) 3,0 3,0 4,5 3,5

Г4 (ДУ) 4,0 3,0 4,0 3,7

Набор г, средних арифметических значений г, по каждому признаку дает РВ = Яср, соответствующий новой усредненной ситуации, являющейся представителем класса из заданных трех ситуаций.

Для выбора в качестве представителя (ЭС) среди ситуаций заданного ЭКС медианы Кемени найдем по формуле (3) хэммингово расстояние между Яср и Яу (у = 1, 2, 3). Полученные результаты преде тавлены в табл. 9.

Таблица 9 Значения хэмминговых расстояний

1Яср - Щ ^

|гГ - г 11 0,1 1,4 1,4

|г2* - г2| 0,6 2,4 1,9

И*- г3| 0,5 0,5 1,0

|г4* - г4| 0,3 0,7 0,3

0(Б*, Б) 1,5 5,0 4,6

Медианой Кемени будет нечеткая ситуация Бь для которой значение Б(Б, Б{) хэммингова расстояния минимально.

Предложенные в работе метод формирования классов (кластеризации) на множестве нечетко описанных ситуаций, метод формирования эталонного представителя класса нечетких ситуаций и способ распознавания текущей ситуации позволяют строить классификационные модели принятия управленческих решений, способные оперировать качественной информацией, полученной от экспертов, и находить лучшее решение в конкретной ситуации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Берштейн Л.С., Карелин В.П., Целых А.Н. Модели и методы принятия решений в интегрированных интеллектуальных системах. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1999.

2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир,1976.

3. Карелин В.П., Кузъменко О.Л. Нахождение представителя класса нечетких ситуаций при построении модели принятия решений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2008.№ 4. С. 50-54.

4. Карелин В.П., Кузъменко О.Л. Особенности принятия решений в условиях неопределенности на примере управления промышленным предприятием //Вестник ТИУиЭ. 2008. №2. С.96-103.

5. Кузъменко О.Л., Карелин В.П. Класс ификационные модели принятия управленческих решений на основе нечеткого распознавания ситуаций // Вестник ТИУиЭ. 2006. №2. С.75-81.

6. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов /Пер. с англ. И.Б. Гуревича; Под ред. Ю.И Журавлева. М: Мир, 1978.