Численный расчет дисперсии гибридных волн в гиротропных ограниченных областях эллиптической формы при продольном намагничивании

УДК 537.876.4:537.622.6

© Г.Б. Итигилов, Д.Ш.Ширапов

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ ГИБРИДНЫХ ВОЛН В ГИРОТРОПНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ

НАМАГНИЧИВАНИИ

Проведен численный анализ с построением соответствующих графиков впервые полученных дисперсионных уравнений гибридных волн в гиротропных ограниченных областях эллиптической формы при продольном намагничивании.

Ключевые слова: электромагнитная волна, ограниченная гиротропная область, уравнения Максвелла, продольное намагничивание, дисперсионное уравнение.

© G.B.Itigilov, D.Sh.Shirapov

NUMERICAL SOLUTION OF DISPERSION OF HYBRID WAVES IN GYROTROPIC LIMITED AREAS OF THE ELLIPTIC FORM IN CASE OF LONGITUDINAL

MAGNETIZATION

The numerical analysis with creation of the appropriate diagrams for the first time of the received dispersing equations of hybrid waves in gyrotropic limited areas of the elliptic form is carried out in case of longitudinal magnetization.

Keywords: electromagnetic wave, limited gyrotropic area, Maxwell's equations, longitudinal magnetization, dispersing equation.

Введение

Известно, что направление поворота поляризации электромагнитной волны (ЭМВ) в продольно-намагниченной гиротропной ограниченной области не зависит от направления распространения волны и изменяется на обратное при изменении направления постоянного намагничивания. Это свойство, являющееся проявлением невзаимности используется в сверхвысокочастотных фер-ритовых устройствах поляризационного или фарадеевского типа [1, 2].

В настоящее время распространение ЭМВ в продольно-намагниченных ограниченных прямоугольных и круглых областях достаточно хорошо изучены [1-3]. Но распространение ЭМВ в гиротропных эллиптических областях мало исследованы и носят фрагментарный характер [4].

Численный расчет дисперсии

Уравнения Максвелла для гармонических процессов без наведенных токов и зарядов имеют вид [1]:

\rotH = jwsE; rotE =-jwB; \divE = 0; divB = 0,

где E, H - соответственно напряженности электрического и магнитного полей; s - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, sE = D -электрическая индукция, B - магнитная индукции, j - мнимая единица, w - циклическая частота.

При распространении волны в магнитогиротропной среде магнитная индукция B в системе (1) примет следующий вид:

B =11^1 H.

При продольном намагничивании, когда направление внешнего намагничивающего постоянного магнитного поля совпадает с направлением распространения ЭМВ (волна распространяется вдоль координаты Z), тензор магнитной проницаемости феррита, как следует из [1], имеет вид:

у" 0

н = - jK И 0 ,

0 0

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

9(3)/2014

где ц = р0 +Мо

к = ^о

ww

M

Кл

wM = /и0 YM0, Y = 1.76 *1011— - гиромагнитное от-

кг

ношения для спина электрона, w0 = 0 - частота ферромагнитного резонанса, ¡и0 -магнитная постоянная, М0 - намагниченность феррита, Н0 - намагничивающее внешнее магнитное поле. Знаки перед недиагональными компонентами в (3) могут быть противоположными, если взять

ww

к = ~Ро—2-г .

Ранее в работе [5], используя разработанный метод инвариантных преобразований для получения обобщенных уравнений Гельмгольца при продольном намагничивании, применяя к полученным уравнениям методы укорочения исходного дифференциального уравнения [6,7] и разделения переменных [8], были поставлены и впервые решены краевые задачи с получением дисперсионного уравнения для ограниченной гиротропной эллиптической области при продольном намагничивании, которое имеет вид:

_|к2 -у 2 - 43l\ 4q 2 Ce 1 q)

+j

e

у z 2ska 2 Л1Л 2

e 2 Cem

+|k2-y 2 -iq^l4qi Cem

2

cem

cem ((P, q2 ) v ? wsk + j Z 2 -И

cem qi )

. cem (<P, qi ),

e- J e" Cem q2 cem qi)

Л, -

ce.

.fa qi) 1

emq2)

.fa q2)

Л-

ce

= 0,

где к2 = м>, уг - постоянная распространения, Сет (<£, ) - четные модифицированные функции Матье 1-го рода (с целым индексом) и их производные Сет (<£, д1 2), - граничный эл-

f

к

\

липе, qi = ce

к± - у - A iyws—

f

к

\

и q2 =-

k± - у - A2yws

v Mj

- параметры функций Матье,

4 4

((р, дХ2) - четные обыкновенные функции Матье 1-го рода целого порядка т и их производные

(и \

к

cem (<р, q12), Л12 - корни уравнения ywe — Л2 +

И

w 2Щ\

2 2 2 — у - w SjU1 + у

И

к

A-ywu, — = 0 . И

Известно, что в ограниченных эллиптических областях распространяются четные и нечетные волны [8]. Выражение (4) описывает распространение четных волн. Для получения дисперсионного уравнения для нечетных волн в (4) надо сделать следующую замену:

[Cefe), qi,2 , qu), Ce , qi,2) ^ Se' (^0, qi,2);

[ce

где Se(^0, qi 2), Se (<^0, qi 2) - нечетные присоединенные (модифицированные) функции Матье 1-го рода (с целым индексом) и их производные, se(<p, qi 2), se (<р, qi 2) - нечетные обыкновенные функции Матье I-го рода целого порядка m и их производные.

Дисперсионное уравнение (4) не решается аналитически. Поэтому для численного решения (4) был разработан комплекс модифицированных программ для стандартного пакета maple.

На рисунках i, 2 представлены графики зависимостей постоянных распространения ^Z от

wn

напряженности намагничивающего магнитного поля — для гиротропной эллиптической облас-

w

ти при продольном намагничивании с длиной большой полуоси 8=0,016 м. и эксцентриситетам Е=0.75 при частоте w = 6.28 • 1010 Гц и намагниченности феррита wM = 0.15 • ^ .

На рисунке 1 и на всех последующих рисунках нижние индексы «С» и «8» означают четную и нечетную моды, верхние индексы «+» и «-» означают правое и левое направления вращения, каждая цифра нижних индексов «11» и «12» определяет число полуволн, укладывающихся вдоль

w0 wM

2

2

w0 w

w0 w

2

2

e

e

Z

поперечных координатных осей эллиптической ограниченной области: первая цифра означает пе-

wn

риодичность поля по координате (р, а вторая - по £ . При — = 1 наступает ферромагнитный резо-

w

нанс (на всех рисунках вертикальная пунктирная линия).

Рис. 1. Зависимости постоянных распространения от напряженности намагничивающего поля для эксцентриситета Е=0.75, полученные при решении уравнений (4) (показаны только ЕН- моды).

На рисунке 1 горизонтальными пунктирными линиями показаны моды при отсутствии магнитного поля: СЕ11, 3Еп.

I _2

Е = 0_75, 1 = = 0_15*

5.6

)_4 -

-ц

О.з 1 1.5 2 »

Рис. 2. Зависимости постоянных распространения от напряженности намагничивающего поля для эксцентриситета Е=0.75, полученные при решении уравнений (4) (показаны только НЕ- моды).

На рисунке 2 горизонтальными пунктирными линиями показаны моды при отсутствии магнитного поля: СНп, 5Ип, СН12 .

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

9(3)/20i4

Заключение

Из данных графиков следует, что порядок появления основной и высших мод зависит от эксцентриситета. Также анализ дисперсионных характеристик и их графиков показывает, что при продольном намагничивании в ограниченной гиротропной эллиптической области каждая ЭМВ может быть рассмотрена как две волны, распространяющиеся с разными фазовыми скоростями. Эта особенность может быть применена для разработки ферритовых устройств сверхвысоких частот на основе эллиптических направляющих систем с гиротропным заполнением

Литература

1. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. -Л.:Госэнергоиздат, i963. - 664 с.

2. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. - М.: Физматлит, i994. - 464 с.

3. Лаке Б., Баттон К. Сверхвысокочастотные ферриты и ферримагнетики. Пер. с англ. М.: Мир, i965. - 676 с.

4. Гончаров A.M., Карпенко В.А. Основы теории оптических волноводов. Изд. 2-е, испр. -М.:Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

5. Итигилов Г.Б., Ширапов Д.Ш. Дисперсионные характеристики гибридных волн в ограниченных эллиптических гиротропных областях при продольном намагничивании // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика.- 20i3. - №2. - С. 70-74.

6. Назаров А.В. Электромагнитные волны в структурах, содержащих продольно намагниченные ферритовые слои / А.В. Назаров, С.Б. Раевский // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2007. - T.i0. - № i. - С. 76-82.

7. Сул Г., Уокер Л. Вопросы волноводного распространения электромагнитных волн в гиро-тропных средах. - Пер. с англ. / под ред. Мироманова Г. М.: Изд. иностр. литературы, i955. - i92 с.

8. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложение функций Матье. Пер. с англ. В.А. Братановского. М.: Изд. иностранной литературы, i953. - 475 с.

Итигилов Гарма Борисович, старший преподаватель кафедры "Электронные вычислительные системы" Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, тел. 8-30i2-2i-53-i4, E-mail: Gablz@mail.ru

Ширапов Дашадондок Шагдарович, д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, заведующий кафедрой «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, тел. 8-30i2-2i-53-i4, E-mail: Shir@esstu.ru

Itigilov Garma Borisovich, senior teacher of chair "Electronic computer systems" of the East Siberian State University of Technology and Management, tel. 8-30i2-2i-53-i4, E-mail: Gablz@mail.ru

Shirapov Dashadondok Shagdarovich, the doctor of physical and mathematical sciences, the professor of applied mathematics department of Buryat State University, head of the chair "Electronic computer systems" of the East Siberian State University of Technology and Management, tel. 8-30i2-2i-53-i4, Email: Shir@esstu.ru