Базисный вариант аксиоматической теории множеств с подлежащей интуиционистской логикой

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2008. № 4

ЛОГИКА

В.Х. Хаханян

БАЗИСНЫЙ ВАРИАНТ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

МНОЖЕСТВ С ПОДЛЕЖАЩЕЙ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ

ЛОГИКОЙ

1. Краткая история развития теории множеств с интуиционистской логикой: философские аспекты

Третий кризис в основаниях математики, порожденный развитием созданного Г. Кантором в конце XIX в. учения о множествах (теории множеств), вызвал бурный рост различного рода течений философской математической мысли. Это было связано в первую очередь с попытками преодоления возникшего кризиса с устранением различного рода парадоксов в теории множеств (и не только в теории множеств, но и в самой логике), а во вторую очередь пересмотром философских концепций всего математического здания, которое к тому времени имело, казалось бы, прочное основание. Известные предложения по преодолению создавшейся кризисной ситуации и сохранению всего математического знания, накопленного к началу XX в., не имели полного, признаваемого всеми математиками того времени успеха. И тем не менее эти попытки преодоления кризиса в основаниях математической науки дали могучий рост различных течений философской математической мысли, начиная от позиций формализованного подхода Б. Рассела, Э. Цермело, Д. Гильберта и заканчивая появлением такого интересного направления в основаниях математики, как интуиционизм Л. Брауэра.

Интуиционизм мыслился его создателем Л. Брауэром как полностью невозможное к формализации математическое знание, ибо в основу математической деятельности он положил интуитивную ясность и точность математических определений и конструкций.

Однако интуиционистская математика, созданная Л. Брауэром, была недостаточно четким образованием (для сравнения приведем ситуацию, которая сложилась чуть позже в теории алгоритмов, когда стало ясно, что существуют неразрешимые проблемы и что для успешного доказательства несуществования алгоритма необходимо было уточнить неформальное понятие алгоритма, что и было сделано различными эквивалентными способами).

В 1930 г. один из последователей Л. Брауэра — А. Гейтинг1 предложил формализацию трех основных логических исчислений интуиционизма — интуиционистского исчисления высказываний IL, интуиционистского исчисления предикатов IPC и интуиционистской арифметики НА. Стало возможным изучать интуиционистскую математику с точки зрения теории доказательств (метаматематики) и ее соотношение с классической математикой, т.е. математикой, применяющей полный закон исключенного третьего. Было доказано, что все три исчисления получаются из их классических аналогов исключением полного закона снятия двойного отрицания и что классические исчисления и соответствующие им интуиционистские аналоги равнонепротиворечивы.

Дальнейшие исследования в области формализованной интуиционистской математики сосредоточились в первую очередь вокруг арифметики НА, которая рассматривалась как базисная. Различные расширения НА — такие, как арифметика Пеано, традиционный конструктивизм A.A. Маркова-младшего, антитрадиционный конструктивизм, арифметика реализуемости и ряд других, оказались непротиворечивыми относительно базисной системы арифметики НА. Одно из последних исследований принадлежит автору. Это теория НА+М+Р, которая не совпадает с арифметикой Пеано, так как обладает свойством нумерической экзистенциальности. Здесь М — принцип Маркова и Р — принцип, выражающий некоторую узкоконструктивную точку зрения. Оба принципа классически истинны и не выводимы в НА. Отметим, что каждая из формализованных теорий имеет свою семантику, с которой НА оказалась согласованной.

Затем исследования коснулись математического анализа, или теории действительного числа. В этом случае спектр рассматриваемых формализованных теорий оказался неизмеримо богаче арифметического. Обзор работ в этой области можно найти в ряде монографий А.Г. Драгалина2, М. Бизона3, А. Трулстры4 и Дж. Майхилла5, хотя полного изложения имеющихся результатов исследований на данную тему не существует. Наконец, очередь дошла и до систем теории множеств.

Первые формализованные системы теории множеств, базирующиеся на интуиционистской логике, появляются в конце 60-х и начале 70-х гг. XX в. Здесь одними из первых появились работы Дж. Майхилла по интуиционистской теории типовб и еще очень несовершенные, наполовину бестиповые теории множеств Л. Тарпа7 и Л. Позгея8. Пик исследований систем теорий множеств приходится на 1973—1990 гг. Здесь нельзя оставить без внимания работы X. Фридмана9 и Дж. Майхилла10, посвященные интуиционистскому варианту ZF, исследование Г. Шварца11

по интуиционистской теории типов, замечательную работу В. Поуэлла12 (в которой строится расширение интерпретации Гёделя для арифметики НА до уровня некоторой бестиповой системы теории множеств Цермело—Френкеля) и исследование Р. Грайсона13 (для интуиционистского варианта теории множеств со схемой собирания строится Ун — гейтингозначный универсум над полной алгеброй Гейтинга Н). Полный перечень работ занял бы не одну страницу, и здесь приведены наиболее важные и интересные работы.

Значение исследований по формализованным исчислениям с подлежащей интуиционистской логикой состоит в возможности получения богатого и тонкого спектра моделей с целью уточнения различных оттенков трактования эффективности в математике, выявления влияния интуиционистской логики (как наиболее глубоко исследованной на данный момент среди неклассических логик) на различное понимание таких фундаментальных математических объектов, как натуральные числа, действительные числа, функциии различного рода, множества и т.д. Для теории множеств трудность и актуальность такого рода исследований состоит в построении различного спектра моделей для универсума множеств, для понимания поведения и роли разного вида дополнительных, специфически как интуиционистских, так и конструктивных, а также и чисто теоретико-множественных принципов, метаматематики их соотношений на уровне теории множеств.

Как уже упоминалось ранее, первые работы в области теории множеств с подлежащей интуиционистской логикой появляются в конце 60-х и начале 70-х гг. прошлого столетия. В определенной степени они опираются на исследования по формализованному математическому анализу А. Трулстры (арифметика всех конечных типов), Дж. Московакиса, А.Г. Драгалина, М.Д. Кроля, А.М. Левина, В.Г. Кановея, Е. Бишопа, представителей школы исследователей-конструктивистов во главе с А.А. Марковым-млзд-шим (Н.А. Шанин, Б.А, Кушнер, И.Д. Заславский, Г.С. Цейтин и ряд других), М. Бизона, Г. Крайзеля, И. Стаплса, С.К. Клини, Р. Весли, Б. Скарпеллини и ряда других, а также на исследования уже упоминавшихся Л. Тарпа и Л. Позгея по полубестипо-вым и полуинтуиционистским теориям множеств.

В статье будет предложен формализованный вариант бестиповой односортной теории множеств с подлежащей интуиционистской логикой, который мог бы играть роль базисной системы теории множеств и был бы признаваем исследователями других направлений в основаниях математики (классиками, интуицио-нистами, конструктивистами и т.д.) как нейтральный по отноше-

нию к развиваемым ими вариантам теории множеств. Это позволило бы также оценить влияние интуиционистской логики на бестиповые теории множеств.

С этой целью удалось решить следующие задачи:

а) исследовать вопрос о совместности и независимости предлагаемого базисного варианта теории множеств с рядом конструктивных, интуиционистских и теоретико-множественных принципов, в том числе с некоторым вариантом стандартной формы аксиомы выбора;

б) исследовать свойства класса ординалов в предлагаемом варианте теории множеств с интуиционистской логикой;

в) усилить и расширить ряд результатов (Р. Грейсона, X. Фридмана) для рассматриваемой системы теории множеств;

г) расширить до исследуемого базисного варианта теории множеств два класса моделей, построенных ранее для интуиционистской арифметики Гейтинга А.Г. Драгалиным.

Перечисленные выше задачи оказались тесно связанными между собой с точки зрения построения необходимых моделей, и их решение дало возможность предложить базисный вариант для интуиционистской системы теории множеств типа ZF.

Для решения перечисленных выше задач удалось построить ряд моделей для теории множеств с интуиционистской логикой, которые имеют в целом и общем по своей структуре характер универсума, конструкция которого осуществляется с помощью трансфинитной индукции по ординалам (метатеорией является та же теория множеств с интуиционистской логикой, и, таким образом, классические свойства ординалов не используются). Универсумы похожего вида строились и ранее в работах X. Фридмана, Дж. Майхилла, Л. Тарпа и ряда других исследователей. Однако автором был предложен единый метод построения таких моделей, в которых в первую очередь выполнялась аксиома объемности и вводились те или иные необходимые дополнительные принципы. Модели этого вида (и в первую очередь их разновидность типа реализуемости) и дали возможность получить ряд метаматематических результатов для варианта теории множеств с интуиционистской логикой типа Цермело—Френкеля, которые не удавалось до сих пор получить.

Как итог всех полученных результатов и предлагается вариант аксиоматической базисной системы теории множеств с интуиционистской логикой, удовлетворяющий большинству естественных требований к такому варианту со стороны исследователей различных направлений в основаниях математики.

2. Базисный вариант теории множеств с подлежащей интуиционистской логикой

1. Дадим краткое описание базисного варианта теории множеств с интуиционистской логикой, избегая каких-либо технических деталей. В языке аксиоматической теории ZFI один сорт переменных (по множествам), предикатный символ — и символы логических связок и кванторов a,v, 3 а также символ ±. Это обычный язык первого порядка; ->ф есть сокращение для Ф ^ х.

Аксиомами теории ZFI являются собственные аксиомы теории множеств ZF Цермело—Френкеля (конечно, подлежащая логика есть интуиционистское исчисление предикатов). Не давая формальной нотации аксиом и схем аксиом, приведем все же достаточно известные названия этих постулатов. Это аксиомы объемности, пары, объединения, степени, бесконечности; схемы выделения, собирания (collection) или подстановки (в интуиционистском варианте их нужно различать!), трансфинитной индукции по множествам (так как стандартная аксиома фундирования влечет полный закон исключенного третьего; классически аксиома фундирования эквивалентна схеме аксиом трансфинитной индукции). К приведенным выше постулатам добавлен еще принцип двойного дополнения множеств DCS, который имеет вид: Vx3zVy[yez<->^-"yex]. Этот теоретико-множественный, классически верный принцип утверждает существование двойных дополнений множеств. Принцип DCS появляется впервые в упомянутой выше работе Поуэлла для построения универсума, используемого в конструкции модели для теории ZF. Теория ZFI+DCS далее будет обозначаться через БВ (базисный вариант).

2. Теперь мы рассмотрим дополнительные аксиомы и схемы аксиом, отражающие различную специфику понимания кванторов. Первые четыре принципа относятся к конструктивному направлению в математике. Далее символы n, m, р, е — переменные по натуральным числам, х, у, z — по множествам, а, Ь, с — по функциям из натуральных чисел в натуральные числа:

а) СТ (тезис Черча с выбором):

Vn3m ф(|1,т) ^ 3eVn3ro(Tj(e, п, го) л ф(п,и(го))).

Здесь Ti(e, п, т) — формула в точности с тремя свободными переменными, выражающая в БВ следующий примитивно-рекурсивный предикат: m есть гёделевский номер процесса вычисления значения функции с клиниевским номером е для аргумента п. U — это некоторый терм с единственным параметром, представляющий в БВ одноместную примитивно-рекурсивную функцию с клиниевским номером к такую, что если m — гёделевский номер процесса вычисления для {е}(п), то k(m)={e}(n), т. е.

функция с номером к по т выдает результат процесса вычисления.

Тезис Чёрча с выбором утверждает, что если для всякого п найдется т такое, что выполняется условие ф(п, т), то найдется общерекурсивная функция с номером е, которая по всякому п выдает требуемое т, причем одновременно производится и выбор одного из таких т-ов. Это отражает конструктивную специфику понимания кванторов всеобщности и существования. Более слабый вариант тезиса Чёрча требует единственности в посылке;

б) СТ! (тезис Чёрча с единственностью, или слабый тезис Чёрча):

¥пЗт ф

Здесь З!п ф (п) есть стандартное сокращение для Зп (ф(п)л¥т(ф(т) ^ т=п)).

Следующим из рассматриваемых далее принципов, также приемлемым с конструктивной точки зрения, является принцип конструктивного подбора (принцип Маркова);

в) М (принцип Маркова).

¥п(ф(п) V -*ф (п)) л -<¥п ф(п) ^ Зп-- ф(п)).

Предположим, что мы умеем устанавливать для каждого на-

ф( ) ф

первой посылки). Тогда мы утверждаем, что найдется (эффектив-

ф

поиска такого п не может не завершиться (вторая посылка принципа);

М (слабый принцип Маркова):

-"-Зпф(п) ^ Зпф(п), где ф — разрешимая формула;

г) Р (этот принцип в некотором смысле является альтернативой принципу Маркова):

(-V ^ Эуф(у)) ^ 3 у(-у ^ ф(У))-

Здесь формула V не содержит свободно переменную у. Приведем аргументацию в пользу этого принципа. Семейство алгоритмов, которые в предположении этого принципа берутся для «обоснования» утверждений нашего языка, состоит не из всех рекурсивных функций, а из заранее выбранного подсемейства, которое является достаточно богатым, чтобы «обосновать» все аксиомы и правила вывода, т.е. это является выражением некоторой «узкоконструктивной» точки зрения, когда считается неясным ничем неограниченное понятие общерекурсивной функции. Если посылка принципа Р реализована, то требуемое у может быть получено непосредственно применением к этой реализации тривиальной реализации формулы ->у. В БВ принципы Р и несовместны.

7 ВМУ, философия, № 4

97

Дадим теперь формулировки принципов, отражающих интуиционистскую специфику понимания и трактовки математических объектов и утверждений:

а) BI

л¥ рф((т*2Р+1) ^ ф(т))] ^ Ф (1).

ф

для т в ф(т). R(m) не содержит свободно переменные аиоиа и п свободны для m в R(m). Через в(ш) обозначен начальный сегмент значений функции а, т.е. есть кортеж <а(0), а(1),...,а(ш-1)>.

Этот индуктивный принцип (выводимый в классическом анализе) существенно используется при доказательстве теоремы о веере и является независимым от остальных постулатов интуиционистского анализа14. Сдругой стороны, непосредственным следствием BI является тот факт, что не все функции из натуральных чисел в натуральные числа являются общерекурсивными;

б) BP (принцип непрерывности Брауэра для функций): ¥аЗЬф(а,Ь) ^ 3с¥а{¥п3!тс(2п+1Мт))>(0л¥Ь[¥пЗтс(2п+1*(в(т))=

= Ь(п)+1^ф((а,Ь)]}.

Здесь через * обозначена операция сочленения кортежей. Принцип Брауэра для функций утверждает, что если всякой последовательности выбора {а(0), а(1),...,а(п),...} сопоставлена некоторая функция Ь, то для всякого п значение Ь(п) этой функции должно полностью определяться по п и некоторому начальному сегменту значений функции а. При этом функцию мы понимаем как последовательность, закон образования которой полностью может быть неизвестен. Такое понимание функции отлично как от классической, так и от конструктивной точки зрения. Принцип Брауэра противоречит классической математике, т.е. несовместим с полным законом исключенного третьего. Отметим также, что рассматриваемый принцип непрерывности для функций является дедуктивно наиболее сильным вариантом принципа Брауэра.

Следующие два из рассматриваемых принципов относятся к системе теории множеств:

a) U (принцип униформизации): ¥хЗп ф(х,п)^3п¥х ((х,п).

Этот принцип утверждает, что если для всякого множества х найдется натуральное число п такое, что условие ф(х,п) выполнено, то тогда необходимое п может быть найдено единым образом сразу для всех х. Принцип униформизации был рассмотрен в процитированной ранее работе Поуэлла. Впервые этот принцип для арифметики второго порядка со специями с интуиционистской логикой появляется в одной из работ А. Трустры, в которой и дается его философское обоснование. Сточки зрения интуици-

онистской логики множества являются нечеткими, размытыми объектами, в то время как натуральные числа являются точно и однозначно заданными, т.е. конструктивными объектами. Легко заметить, что принцип униформизации несовместим с классической теорией множеств ZF;

б) U! (принцип униформизации с единственностью или слабая униформизация):

Vx3!n ф(х,п) ^ Зп¥х ф(х,п).

Замечание: во всех аксиомах и схемах аксиом в формулах из постулатов выше допускаются параметры.

3. Приведем теперь сводку результатов для варианта теории множеств БВ.

3.1. Свойства ординалов в БВ изложены в работе автора15. Часть этих свойств исследовалась Р. Грейсоном с помощью гей-тингозначных моделей, а также устанавливались свойства ординалов, которые остаются верными при замене классической логики предикатов на интуиционистскую. Доказательства Р. Грейсона использовали внешним образом схему собирания, которая не является выводимой из схемы подстановки. В той же работе автора доказано, что достаточно внешним образом воспользоваться только схемой подстановки, что усиливает результат Р. Грейсона. Также в работе Р. Грейсона отсутствовало полное доказательство того факта, что ряд свойств ординалов влечет полный закон исключенного третьего.

3.2. Дано доказательство совместности тезиса Чёрча с БВ, причем внешним образом достаточно воспользоваться также БВ. Таким образом, метаматематика доказательства использует только интуиционистскую логику (в отличие от работы Поуэлла, где внешним образом используется теория множеств ZF). Доказательства всех результатов автора приведены в докторской диссертации16. Здесь же приведен результат, который является ответом на вопрос X. Фридмана: «...it is not known whether ZFIR is equi-consistent with ZFIR + "Every few™ is recursive"»17. ZFIR и есть БВ.

3.3. Приведем ряд результатов, касающихся соотношения различных принципов конструктивного, интуиционистского и теоретико-множественного характера в БВ + collection. Часть этих результатов была получена ранее 18:

а) доказана независимость сильного теоретико-множественного принципа униформизации от тезиса Чёрча с выбором: БВ + СТ  U. Сначала в БВ отсутствовала аксиома объемности: БВ — ext + СТ  U. Для теории типов с интуиционистской логикой этот результат получен Г.Ф. Шварцем (там же приведен вывод слабого принципа униформизации U! из слабого тезиса Чёрча СТ! в полной теории типов). Нереализуемый пример сильного прин-

ципа униформизации содержал единственный параметр. Следствия: БВ+ U!  U, БВ+ СТ!  U;

б) каждое из следующих соотношений можно доказать в теориях множеств, которые находятся слева от знака выводимости:

1. БВ + СТ!  U! (доказательство проводится как у Шварца);

2. БВ + U  U! (это очевидное соотношение приводится для полноты картины);

3. БВ + U  СТ (так как теория БВ + BP + U + BI непротиворечива относительно БВ);

4. БВ+ U!  СТ! (доказывается по аналогии с пунктом 3);

5. БВ+ СТ! + U  СТ.

3.4. Аксиоматическая теория множеств БВ обладает свойствами дизъюнктивности и полной экзистенциальности (известная модель Майхилла расширяется до теории множеств БВ). Отметим, что теория БВ + collection свойством полной экзистенциальное™ не обладает, и, следовательно, collection не выводима в БВ. Также доказывается, что принцип DCS не зависит от схемы аксиом собирания в БВ — DCS.

3.5. Был также исследован вопрос о допустимости сильного правила Маркова с параметрами только по множествам в теории множеств БВ + collection. Допустимость этого правила говорит в пользу конструктивного характера БВ. Для НА и для HAS (арифметики второго порядка) этот результат был получен в 1973 г. Трулстрой, применившим очень сложную технику. Позднее А. Драгалин, а также несколько ранее А. Драгалин и независимо X. Фридман предложили очень изящный и простой метод доказательства допустимости слабого правила Маркова для интуиционистских теорий (от арифметики до теории типов). Однако этот метод не мог быть прямо применен к бестиповой теории БВ. Тот же самый результат удалось получить и как следствие обобщенного модельного подхода в виде предикатов реализуемости к теории множеств, что распространяет технику предикатов реализуемости А. Драгалина для арифметики НА на теорию БВ.

3.6. Интересно было найти варианты аксиомы выбора, которые не усиливали бы подлежащую интуиционистскую логику до классической. Актуальность и необходимость использования аксиомы выбора в интуиционистской теории множеств связана в первую очередь с построением математического анализа в этой теории. Известно, что стандартная форма аксиомы выбора (в интуиционистской теории множеств не все известные формы аксиомы выбора эквивалентны) влечет в БВ полный закон исключенного третьего (ситуация, аналогичная соотношению аксиом регулярности и трансфинитной индукции. В. Поуэлл доказал, что лемма Цорна совместима с БВ, а также без доказательства

утверждал, что интуиционистски приемлемой является аксиома выбора в виде счетной стандартной формы, обозначаемой АСШ, у которой все множества являются дискретными (множество дискретно, если любые два его элемента либо равны, либо не равны (интуиционистски!)). Удалось доказать, что эта счетная форма аксиомы выбора по множествам натуральных чисел (и по дискретным множествам) совместима с БВ и независима от нее. Все эти результаты имеются в докторской диссертации автора, процитированной выше.

3.7. Удалось также поднять до уровня теории множеств БВ другой подход А. Драгалина к построению моделей (теперь уже не только типа реализуемости!) для интуиционистской арифметики НА, использующий технику функциональных алгебраических моделей. Основной результат состоит в том, что в любой такой модели выполняется вся интуиционистская логика предикатов. После этого модели конкретизируются и для НА приводится ряд примеров, демонстрирующих технику моделей функционального типа. Однако при построении функциональной алгебраической модели, соответствующей штрих-реализуемости Клини, была допущена ошибка. Автору удалось доказать, что такой модели не существует. Для обобщения функциональных алгебраических моделей А. Драгалина до уровня теории БВ строится подходящий универсум и расширяется понятие функциональной модели так, что не только интуиционистская логика предикатов, но и все основные аксиомы теории множеств выполняются в любой такой модели. Все эти результаты также имеются в докторской диссертации автора.

3.8. Наконец, приведем еще ряд полученных ранее результатов для теории БВ. Доказана совместимость теории множеств БВ + collection с принципами Чёрча, Маркова и униформизации. Доказана совместимость той же теории БВ + collection с принципами Брауэра и бар-индукции. Доказано, что в теории БВ + collection + слабый тезис Чёрча невозможно вывести тезис Чёрча с выбором. Этот результат приведен в кандидатской диссертации автора, упомянутой выше (для интуиционистской арифметики этот результат был получен В. Лифшицем). Отметим, наконец, еще раз, что метаматематика всех приведенных в этом пункте и выше результатов не выходит за рамки теории БВ. Методика построения моделей, использованных при доказательстве всех приведенных в статье результатов, дает возможность поднять до уровня теории БВ практически все результаты, полученные ранее А.Г. Драгалиным для интуиционистской арифметики НА.

Заключение

Сделаем некоторые выводы из рассмотренного выше материала. Открытие Г. Кантора оформилось в отдельную ветвь математической науки во второй половине XIX в. К концу XIX — началу XX в. теория множеств стала широко применяться сначала в анализе и геометрии, а затем и в отдельных разделах математики. Однако едва завершилось оформление учения о множествах Кантора, как оно натолкнулось на ряд противоречий (Бурали-Форти — 1895 г., Рассел — 1902 г. и др.). При этом и сами логические истины подверглись сомнению, и проблема обоснования логики и математики вновь стала поистине сверхактуальной. Многие математики резко изменили свою позицию по отношению к теории множеств (А. Пуанкаре). Наступил третий кризис в основаниях математики. Были предложены различные возможные варианты выхода из этого кризиса. Один их таких выходов заключался в создании аксиоматических систем теории множеств, устраняющих неограниченную схему аксиом свертки (аксиоматическая система теории множеств сначала Цермело, а затем Цермело—Френкеля). Стандартной моделью такой аксиоматической системы теории множеств может служить кумулятивная иерархия Дж. Фон Неймана.

С другой стороны, Л.Я. Брауэр предложил положить в основу математической деятельности интуитивную ясность математических конструкций и определений. А. Гейтинг дал соединенное начало этих двух направлений (формализма и интуитивной ясности) в 1930 г., что в итоге привело к созданию аксиоматической системы теории множеств, основанной на интуиционистской логике. Желаемого выхода из кризиса так найдено и не было, и ни одна из казавшихся наиболее оптимистичными программ (например, программа Д. Гильберта) в целом не привела к успеху (2-я теорема Гёделя и другие причины). В итоге кризис так и не удалось преодолеть. У крупнейших специалистов в области оснований математики мы читаем18: «Во взглядах на то, каким образом можно было бы достигнуть удовлетворительного обоснования, все еще имеется большое расхождение, и громадное количество возникающих в этой связи проблем еще далеко не решено. И все же подавляющее большинство математиков отказываются считать, что идеи Кантора были всего лишь болезненным бредом. Несмотря на то что основания теории множеств все еще довольно шатки, эти математики продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей части разделов анализа и геометрии и даже отчасти в арифметике и алгебре, твердо веря, что работы по обоснованию теории множеств приведут в конце концов к реабилитации теории множеств

в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом объеме. Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще»19. Первая часть этого вывода — «...к реабилитации теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом объеме...» — кажется мне излишне оптимистичной и туманной, так же как и возможность полного пересмотра интерпретации логики и математики, потому что никаких удачных идей такой реабилитации (и направлений) пока даже не просматривается. Но уже нашло себе место направление, заключающееся в более или менее локальной формализации той или иной части (раздела) математики и в изучении с определенной метаматематической и философской точек зрения этой части (раздела), причем последняя (метаматематика) является более или менее делом привычки и взглядов того или иного исследователя. Взаимоотношение различных метаматематических разделов также может изучаться с формальной точки зрения (т. е. возникает метаматематика формализованных систем метаматематик). Именно такая ситуация имеет сейчас место в большинстве исследований по основаниям математики и именно с этой точки зрения и стояла задача создания такой системы теории множеств на базе интуиционистской логики, которая была бы:

а) достаточно мощной, не слабее классической теории множеств Цермело—Френкеля;

б) достаточно эффективной, например обладающей свойством полной экзистенциальности, в которой были бы допустимы разные эффективные правила, например Чёрча, Маркова и др.;

в) приемлемой с различных точек зрения, т. е. допускала бы расширение до различных, может быть, несовместимых друг с другом вариантов теории множеств (классическое расширение до теории ZF, конструктивное в стиле Майхилла до конструктивной теории множеств С8Т, интуиционистское до теорий множеств с различными оттенками понимания эффективности и тд.).

Последний пункт говорит о базисном характере такой аксиоматической системы теории множеств, основанной на интуиционистской логике предикатов. Описанная выше аксиоматическая система БВ и является, с точки зрения автора, искомой как обладающая всеми отмеченными свойствами. Это основной философский вывод из исследований и результатов, полученных в области теории множеств с интуиционистской логикой рядом математиков как в России, так и за рубежом за последнее 35 лет. Отметим также, что наиболее трудной и нерешенной проблемой в исследованиях по аксиоматической системе теории множеств остается

следующая (после, естественно, проблемы построения модели для аксиоматической системы теории множеств NF Куайна): возможна ли интерпретация системы БВ (или системы БВ + collection, или классической теории множеств ZF) в системе БВ — DCS?

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Heyting A. Die formalen Regeln der intuitionistichen. Mathematik. Berlin, 1930. S. 57—71, 158—169; Гейтинг А. Интуиционизм. VI.. 1965.

2 См.: Драгалин А.Г. Математический интуиционизм: Введение в теорию доказательств. VI.. 1979; Он же. Конструктивные модели теорий интуиционистских последовательностей выбора: Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М., 1974. С. 214—252.

3 Beeson М. Problematic principles in constructive mathematics/University Utrecht. Department of Mathematics. 1981. February. Preprint № 185.

4 Troelstra A.S. Metamathematical investigations of intuitionistic arithmetic and analysis // Lecture Notes in Mathematics. 1973. V. 344, ch V; Idem. Notes on the intuitionistic second order arithmetic // Lecture Notes in Mathematics. 1973. V. 337. P. 171—205; Idem. Notions of realizability for intuitionistic arithmetic in all finite types // Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium / Ed. by J. Fenstad. Amsterdam, 1971. P. 369—405; Idem. The theory of choice sequences // Proceedings of III Congress of LMPS. Amsterdam, 1968. P. 201-233.

5 Myhill J. Notes towards an axiomatization of intuitionistic analysis // Logique et Analyse. 1967. V. 35. P. 280—297; Idem. Formal systems of intuitionistic analysis I // Logic, methodology and philosophy of science // Proceedings of III Congress of LMPS. P. 161 — 178; Idem. Formal systems of intuitionistic analysis II // Intuitionism and proof theory. Proceedings of the Summer Conference at Buffalo. N.Y., 1968; Amsterdam,

1970. P. 151-162.

6 Myhill J. Embedding classical type theory in intuitionistic logic // Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1973. V. 19. P. 93—96.

7 Tharp Z.H. A quasi-intuitionistic set theory // The Journal of Symbolic Logic.

1971. V. 36. N 3. P. 456-460.

8 Pozgay L.J. Semi-intuotionistic set theory // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1972. V. 13. N 4. P. 546-550.

9 Friedman H. Some applications of Kleene's methods for intuitionistic systems // Lecture Notes in Mathematics. 1973. V. 337. P. 113—170; Idem. The consistency of classical set theory relative to a set theory with intuitionistic Logic // The Journal of Symbolic Logic. 1973. V. 38. N 2. P. 315-319.

10 Myhill J. Some properties of intuitionistic Zermelo-Fraenkel set theory // Lecture Notes in Mathematics. 1973. V. 337. P. 206—231.

11 См.: Шварц Г.Ф. Некоторые применения метода рекурсивной реализуемости к интуиционистской теории типов // Вопросы кибернетики. Неклассические логики и их применение. М., 1982. С. 37—54.

12 Powell W.C. Extending Godel's negative interpretation to ZF // The Journal of Symbolic Logic. 1975. V. 40. N 2. P. 221-229.

13 Grayson R. Heyting-valued models for intuitionistic set theory // Lecture Notes in Mathematics. 1979. V. 753. P. 402-414.

14 См.: Клини С., Весли Р. Основания интуиционистской математики. М.,

1978.

15 См.: Хаханян В.Х. Интуиционизм и теория множеств: Дис. ... д-ра филос. наук. VI.. 2004.

16 Там же.

17 Friedman //., Scedrov A. The lack definable witnesses and provably recursive functions in intuitionistic set theories // Advances in Mathematics. 1985. V. 57. N 1. P. 1-13.

18 См.: Хаханян В.Х. Модели интуиционистской теории множеств: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. VI.. 1982.

19 Френкель А., Бар-Хшглел И. Основания теории множеств. VI.. 1966. С. 416.