Математическая модель сердца

24

Медицинские компьютерные технологии

УДК 612.171:536.8

И. С. Лебеденко, канд. техн. наук, Е. С. Новосёлова, канд. техн. наук, А. С. Ракитянская, магистрант, Ю. А. Ефимцева, магистрант, Тульский государственный университет

Математическая модель сердца

Ключевые слова: сердце, математическая модель, насосная функция сердца, моделирование, система автоматии сердца

Статья посвящена моделированию насосной функции сердца 34-го порядка, которая построена по методу технической (физической) функциональной аналогии и отражает взаимосвязь сердечно-сосудистой системы человека.

Математическая модель позволяет воспроизводить врожденные и приобретенные пороки сердца и сосудистой системы, давления в предсердиях, желудочках, артериях и венах, расходы крови через клапаны, сосуды и капилляры тела и легких.

Модель предназначена для исследования насосной функции сердца при различных отклонениях от нормы сердечно-сосудистой системы.

Введение. Математическое моделирование биологических объектов методом технической функциональной аналогии

Сущность метода технической функциональной аналогии заключается в том, что сначала тщательно изучаются физиология и функциональное назначение органа, который необходимо моделировать, параметры, которые будут воспроизводиться при моделировании, а также морфология моделируемого органа, последовательность операций, выполняемых при его функционировании. Изучив работу моделируемого биологического органа, переходят к следующему этапу: разработке технической конструкции, способной выполнять сходное по морфологии и воспроизводимым параметрам функционирование и в той же последовательности. Такое конструирование мы будем называть графическим построением расчетной схемы. Построив графически техническую расчетную схему, отражающую морфологию моделируемого биологического органа, необходимо перейти к математическому описанию ее функционирования. Для этого используются уравнения, применяемые для описания технических объектов. Так, для описания движения механических масс используются уравнения Д'Аламбера, для описания движения жидкостей —

уравнения гидродинамики, для описания движения газов — уравнения газовой динамики, для отражения движения токов в электрических цепях — уравнения электрических цепей и т. п. Таким образом, на основе расчетной технической схемы составляется система уравнений, отражающая ее функционирование в общем виде. Применим описанный выше метод для построения математической модели сердца.

С технической точки зрения сердце представляет собой четырехкамерный насос. В этом насосном агрегате предсердия выполняют функцию насосов низкого давления (подкачки), а желудочки — функции насосов высокого давления. Эти насосы управляются системой авторегуляции, состоящей из синусного узла с частотой 70-90 ударов в минуту, предсердного узла с частотой собственных колебаний 40-60 ударов в минуту, пучка Гиса с собственной частотой 30-40 ударов в минуту и ножек Гиса, имеющих частоту собственных колебаний 20 ударов в минуту. Эта система работает самостоятельно с понижением частоты ударов в минуту при удалении звеньев с более высокой частотой.

Итак, насосы будем представлять в виде поршней со всасывающим и нагнетательным клапанами, на поршни которых действуют импульсы, вызывающие сокращение объемов камер на определенные промежутки времени. Так, в соответствии с физиологией сердца, предсердия сокращаются синхронно в течение 0,1 с, подавая кровь в желудочки, а желудочки, так же синхронно, сокращаются в течение 0,3 с, сразу за прекращением сокращения предсердий. Остальное время предсердия и желудочки находятся в состоянии расслабления — диастолы. Предсердия и желудочки соединены между собой митральными клапанами. Левый желудочек соединен с жесткими капиллярами тела через упругие сосуды артерии и артери-олы. Жесткие капилляры тела соединены с правым предсердием сердца через упругие вены и ве-нулы (модель Франка [1]). Правый желудочек сердца соединен упругими сосудами (каналами) с жесткими капиллярами легких, которые в свою очередь соединены упругими сосудами легочных

Медицинские компьютерные технологии

вен и венул с левым предсердием. С точки зрения технической аналогии упругость сосудов моделируется упругими камерами переменного объема, т. е. цилиндрами с подпружиненными поршнями [2].

Исходя из уравнений динамики и газовых законов [3-5] составлена система уравнений, описывающая данную модель сердца.

Построение расчетной схемы, математической модели насосной функции сердца, определение параметров, получение графиков, отражающих динамику функционирования сердца

Согласно изложенной выше методике, расчетная схема механико-гидравлической системы сердца имеет вид, показанный на рис. 1.

Так как реальный объект исследования очень сложный, то при моделировании был принят ряд допущений:

• жесткость сердечной мышцы считается постоянной во время систолы;

• площади открытия клапанов постоянны во время систолы (клапаны открываются и закрываются мгновенно), так как их изменение компенсируется сложным характером тока крови;

• масса жидкости, перемещаемая при открытии клапана, неизменна;

• вязкость крови постоянна;

• клапаны считаются безынерционными, а их диаметр — постоянным.

Р4

ПРАВЫЙ ЖЕЛУДОЧЕК

Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со стороны электрической системы регуляции, имеет вид

О" х

т —^ + й+ КЧ Ю = ^ Ю - ^шк •

аг

аю

Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:

й2х9

аг

аю

Согласно закону сохранения массы, можно записать

^ 1 ^ 2 аг ваг

где V ^ -V — объемный расход; ^^ —

V ар

изме-

нение объема по времени;---изменение дав-

в а

ления, обусловленное сжимаемостью (В — объемный модуль упругости — величина, обратная коэффициенту сжимаемости).

Рис. 1

Расчетная схема механико-гидравлической системы сердца:

ЛЖ — левый желудочек; ЛП — левое предсердие; ПЖ — правый желудочек; ПП — правое предсердие; А — аорта; ПВ — полая вена; ЛВ — легочная вена; ЛА — легочная артерия; БК — большой круг кровообращения; МК — малый круг кровообращения; — возбуждающие силы; $8— площади поршней; Р4— давление; 01, 08 — массовые расходы крови; хГ х8— перемещения поршней по оси х; й8— диаметры клапанов; к8 — коэффициенты жесткости пружин

2

2

Медицинские компьютерные технологии

следует пренебречь, поскольку кровь рас-

Для моделируемого процесса составляющей

в а

сматривается как несжимаемая жидкость. Тогда уравнение, описывающее изменение объема камер сердца, примет вид

ОУ

а

С другой стороны, уравнение расхода жидкости можно записать следующим образом:

О = рSv,

где р — плотность жидкости; £ — площадь сечения отверстия; V — скорость течения жидкости.

Скорость V можно выразить через разность давлений:

V =

2

Р

тогда

О = ^2р(Р, - Р2).

Таким образом, кровь перекачивается из области высокого давления в область более низкого давления. Кровь по всей системе кровообращения течет лишь в одном направлении, чему способствует наличие клапанов в сердце, препятствующих обратному току крови.

Для разрабатываемой модели £ — площадь отверстия, закрываемого дисковым клапаном,

£ = - , 4

где й — диаметр отверстия.

Таким образом, уравнение расхода жидкости примет вид

О = ±л*- Р2).

Уравнения расхода крови через митральный клапан между правым предсердием и правым желудочком:

еслирпп>рпж, то

если -^пж < ^ЛА , то

ЛА'

«2 = 0.

Уравнение Пуазейля для расхода крови через капилляры малого круга кровообращения:

еслиРЛА>рЛБ, то

0 = Ъа (í) - РЛБ (*).

еслиРЛА<РЛВ, то

«3 = 0.

Согласно закону сохранения энергии, вся полезная работа сердца переходит в энергию крови. Поэтому полную работу сердца за систолу можно рассчитать как сумму потенциальной и кинетической энергий крови. В покое «кинетическая» часть работы сердца составляет лишь 2-5 % от полной работы сердца, поэтому при расчетах ею можно пренебречь.

Тогда уравнения, описывающие изменения давлений в правом желудочке и легочной артерии, примут вид:

уравнение давления в правом желудочке:

гпж

а) к

& в [х01 - хг (£)]

х| а) - о2 ю] + в,

дополнительное уравнение давления в легочной артерии будет иметь вид:

¿РЛА «) РЦА

а)к ^

& Б2 [[ - х2 (0]

х| ю - ^ (*)] + ^^

I р аЮ

Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:

= 7 п^2 ^2р[ рпп (г)- рпж (г)];

еслирпп<рпж, то

= 0.

ЛЕВОЕ ПРЕДСЕРДИЕ

Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:

Уравнения расхода крови через клапан легочной артерии:

еслиРпж>РЛА, то

О = - л*2 д/гРр^О-^О];

й Х, Ц) йХъ (¿) , ч , ч „

т.-^ + + к3х3

йГ

йг

Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со стороны электрической системы регуляции, имеет вид

Медицинские компьютерные технологии

т,

а2х4

аг

+ +

Уравнение расхода крови через клапан между легочной веной и левым предсердием: еслиРлв>Рлп, то

Уравнение расхода крови через клапан между левым желудочком и аортой:

еслиРлж>РА, то

Ов = ±п^2^2р[рлж

= 7 п^ ^^

еслиРлв<Рлп то

^ = 0.

Уравнение расхода крови через клапан между левым предсердием и левым желудочком:

еслиРлп>Рлж, то

^ =

7 п^ ^^^^Й^У^^а^)];

еслиРлп<Рлж, то

Дополнительное уравнение давления в легочной вене:

^ЛВ (0 *лв (*)К

^ [Хоз - Х(0]

X

^ [С3(0 - 04 ф] + &

[р- " ^ № Уравнение давления в левом предсердии:

<рлп (*) _ рлп

<И &4 [х04 - х4 (£)]

х{ а) - ^ ю] + }.

Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:

еслиРлж<РА, то

^6 = °.

Уравнение Пуазейля для расхода крови через капилляры большого круга кровообращения:

если РА > -Рпв, то

_ _ РА (г) - Рпв (г). ^ _-,

X,

если РА < Рпв, то

= 0.

Уравнение давления в левом желудочке:

<рлж(1) _ рлж (*)К х < ^ [[ - X (<)]

х{(¿) - ОЮ] + [р м

Дополнительное уравнение давления в аорте:

арк а) _ рА а)к х

М Бв [[ - Хд

х{ ю - о ю] + ^^ [ р м

Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:

Ъ (г)_

Ъ при 0,2 < г < 0,5 с; 0 при 0 < г < 0,2 с и 0,5 < г < 0,8 с.

, . Ъ при 0,1 < г < 0,2 с; Ъ

[0 при 0 < г < 0,1 с и 0,2 < г < 0,8 с.

ПРАВОЕ ПРЕДСЕРДИЕ

ЛЕВЫЙ ЖЕЛУДОЧЕК

Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со стороны электрической системы регуляции, имеет вид:

а2х (ю) Ох (ю) ть—^ + Й + кх (ю) _ (ю) - Рлж (*)«5 • (25) аг аю

Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:

ОХ* (ю) , ОХа (ю) , , ч „ ,

+ Й^^ + кх

Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:

Охч

Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со стороны электрической системы регуляции, имеет вид

а^х

т —^ + й-о^- + ю _ ^ ю - рпп ад •

аю аю

Уравнение расхода крови через клапан между полой веной и правым предсердием: если Рпв > Рпп, то

G8 = Ind62^2р[Рпв

если Рпв < Рпп, то

G0 = 0.

Дополнительное уравнение давления в полой вене:

¿Рпв (t) _ Рпв (t)K w

dt S7 [x07 - x7

x|(t) - Ge (t)] + S

dt

(38) _

Уравнение давления в правом предсердии:

¿Рпп (t) _ Р (t)K w dt S [[ - xs(t)]

x|(t) - G (t)] + S

dx8 (t) dt

Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:

F (t)_

F при 0,1 < t < 0,2 с; 0 при 0 < t < 0,1 с и 0,2 < t < 0,8 с.

В приведенной выше системе: т1, ..., т8 — массы поршней; х1, ..., х8 — перемещения поршней по оси х; К — коэффициент вязкости крови; F1(t), ..., — силы, отвечающие за внешнее воздействие со стороны авторегуляции сердца и подающие сигнал на систолу; к1, ..., к8 — коэффициента жесткости пружин; Рпж, рла, рлв, рлп, рлж, РА, Рпв, Рпп — давления соответственно в правом желудочке, легочной артерии, легочной вене, левом предсердии, левом желудочке, аорте, полой вене, правом предсердии; £1, ..., £8 — площади поршней; К — поправочный коэффициент; р — удельная плотность крови; й1, ..., й6 — диаметры клапанов; ..., «8 — массовые расходы крови; Хг Х2 — общее периферическое сопротивление сосудов малого и большого кругов кровообращений.

Система уравнений (1)-(2), (7)-(40) представляет собой математическую модель сердца.

Определим значения перечисленных параметров с учетом физиологии сердца [6, 7, 8 ].

раз больше массы поршня правого желудочка: т2 _ 0,0833-5 _ 0,417 кг; 1

• для левого предсердия _—• 0,175 _

3

_ 0,0583 кг; масса поршня легочной вены в пять раз больше массы поршня левого предсердия: т3_ _ 0,0583-5 _ 0,2915 кг; 2

• для левого желудочка т5 _ — • 0,175 _

_ 0,1167 кг; масса поршня аорты в пять раз больше массы поршня левого желудочка: т6_ 0,1167 • 5 _ _ 0,5833 кг; 1

• для правого предсердия _—• 0,125 _

3

0,04167 кг; масса поршня полой вены в пять раз больше массы поршня правого предсердия: т7 = = 0,04167-5= 0,2084 кг.

ПЛОЩАДИ ПОРШНЕЙ ..., в8

Примем площади поршней камер сердца равными 10 см2, а вен и артерий — в 10 раз больше, т. е. £1 = £4 = £& = £8 = 10 см2 = 0,001 м2, £2 = £3 = = £6 = £7 = 100 см2 = 0,01 м2.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОРШНЕЙ ПО ОСИ х

(ХОД ПОРШНЕЙ) х1, ..., х8

Ход поршней камер сердца равен 5 см: х1 = х4 = = х5 = х8 = 5 см = 0,05 м.

Найдем средние значения конечно-систолического и конечно-диастолического объемов:

т 40 + 60 кп п

К =-= 50 мл = 0,05 л;

с 2

V = 65 +130 = 97,5 мл = 0,0975 л. д 2

Объем выброса крови

д^ = Гд - Гс = 0,0975 - 0,05 = 0,0475 л.

Отсюда перемещения поршней вен и артерий будут равны результату деления объема выброса крови на площадь поршня:

->-з

0,0475 • 10-л . „к -.„-з

_ Хч _ —-_ 4,75 • 10 м.

0,01

МАССЫ ПОРШНЕЙ m

1'

, m0

Общая масса сердца 300 г. Основная ее часть приходится на левую половину. Тогда массу левой половины примем равной 175 г, правой — 125 г. Массы предсердий составляют 1/3 от масс соответствующих половин. Следовательно, в данной математической модели сердца примем: ^

• для правого желудочка т1 = —• 0,125 =

3

= 0,0833 кг; масса поршня легочной артерии в пять

КОЭФФИЦИЕНТЫ ЖЕСТКОСТИ ПРУЖИН к1, ..., к8

Сила, отвечающая за внешнее воздействие правого желудочка со стороны авторегуляции сердца,

_ рсист. ПЖА1'

где £1 — площадь поршня. 1 25 + 30

Если R

сист. ПЖ

_ 27,5 мм рт. ст. _

_ 3619 Па, то F1 _ 3619-0,001 _ 3,619 Н.

Тогда

Тогда

К _ Ъ _ 3,619 _ 72 38 н/м_

X 0,05

К _

Ъ _ 15,134 X 0,05

_ 302,68 Н/м.

Найдем коэффициент жесткости пружины поршня легочной артерии &2. Определяем давления систолы Р ттл и диастолы Р „л легочной ар-

сист. лА ^ диаст. лА ^

терии:

' сист. ЛА

25 + 30 2

6 +10

диаст. ЛА

Тогда

_ 27,5 мм рт. ст. _ 3619 Па; _ 8 мм рт. ст. _ 1052,8 Па.

Найдем коэффициент жесткости пружины поршня аорты к6. Определим давления систолы Рсист А и диастолы Рдиаст. А аорты:

Рсист. а _ 11в + 12в _ 115 мм рт. ст. _ 15 134 Па;

диаст. А

Тогда

2

60 + 75

_ 67,5 мм рт. ст. _ 8883 Па.

АР _ Рсист. ЛА - Рдиаст. ЛА _ 3619 - 1052, 8 _ _ 2566,2 Па. Сила, действующая на поршень легочной артерии,

ЪЛА _ ДР£2 _ 2566,2 • 0,01 _ 25,662 Н. Тогда

АР _ Р - Р •

сист. А диаст. А'

К _

^ _ 25,662 _ 5402,53 н/м_

X 0,00475

АР _ 15 134 - 8883 _ 6251 Па. Сила, действующая на поршень аорты ЪА _ДР£а _ 6251 • 0,01 _ 62,51 Н. Тогда

ЪА _ 62,51

К _

X 0,00475

_13160 Н/м.

Найдем коэффициент жесткости пружины пор- Найдем коэффициент жесткости пружины пор-

шня легочной вены к3.

Давление диастолы легочной вены

рдиаст. Л В _ _ 9 мм Рт- ст- _ И84,4 Ш.

Сила, действующая на поршень легочной вены, -лв _ рдиаст. лва _ 1184,4 • 0,01 _ 11,844 Н. Тогда

ЪЛВ _ 11,844

шня полой вены к7.

Давление диастолы полой вены

0 + 2

Р _ Р

диаст. ПВ -1 диаст. ПВ

_ 1 мм рт. ст. _

К=

X о, 00475

_ 2493,5 Н/м.

_ 131,6 Па.

Сила, действующая на поршень полой вены,

-в _ рдиаст. Пва _ 131,6 • 0, 01 _ 1,316 Н.

Тогда

Ъв _ 1,316

Сила, отвечающая за внешнее воздействие левого предсердия со стороны авторегуляции сердца,

—2 _ Рсист. ЛПА4 • О 10 +12

Если рсист лп _ —2— _ 11 мм рт- ст- _

_ 1447,6 Па, то

Ъ _ 1447,6 • 0,001 _ 1,4476 Н.

Тогда

_ Ъ _ М476 _ 28,952 н/м.

4 х °5

Сила, отвечающая за внешнее воздействие левого желудочка со стороны авторегуляции сердца,

К=

X 0,00475

_ 277,05 Н/м.

Сила, отвечающая за внешнее воздействие правого предсердия со стороны авторегуляции сердца,

— _ рист. пп^в •

3 + 7

Если Рсист> пп _ —— _ 5 мм рт. ст. _ 658 Па, то 2

Ъ _ 658 • 0,001 _ 0,658 Н.

Тогда

—3 _ Рсист. ЛЖ^ •

Если Р

110 +120

сист. ЛЖ

= 15 134 Па, то

_ 115 мм рт. ст. _

Ъ _ 15 134 • 0,001 _ 15,134 Н.

, Ъ 0,658 ,„ 1 „ „ ,

К _ — _ —-_ 13,16 Н/м.

^ X 0,05

ДИАМЕТРЫ КЛАПАНОВ d1, ..., d6

Диаметры клапанов принимаем равными 0,02 м, т. е. = й2 = й3 = й4 = й5 = й6 = 0,02 м.

31

Медицинские компьютерные технологии

УДЕЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ КРОВИ р

х,

07

= о, 15;

х08 = 0,0975.

Примем значение удельной плотности крови р равным 1060 кг/м3. Значения й1, ..., й8 примем равными 10 кг/с.

По таблице основных параметров физиологии сердца [8] были приняты следующие значения х01, ... х00, определяющие максимальные объемы ка-

08'

мер сердца, вен и артерий:

х

01

= 0,0975; х02 = 0,01667; хпя = 0,01667

03

х

04

= 0,0975; х05 = 0,0975; хпв = 0,15

06

Расход крови „ „ „ О , 0,14

Ор кг/с 0 12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

Расход крови 0 16

°-Кг/с 0'Л2 0,1 0,08 00,,0046 0,02

Расход крови 0 25 05,кг/с 0,2 0,15 0,1 0,02 0

Расход крови 0 д

О^ кг/с 0,25 0,2

0,12 0,1 0,02 0

Давление в левом 1350-предсердии Рлп, Па 1300

/1

Давление в левом 1800i желудочке Рлж, Па 1600

Давление в правом 1450 желудочке Рпж, Па 1400

Давление в правом предсердии Рпп, Па 1350 1300 1250 1200

К

LL

В качестве среды реализации алгоритма решения данной системы уравнений была выбрана среда компьютерной алгебры Maple.

На рис. 2 представлены некоторые результаты моделирования насосной функции сердца.

Заключение

Таким образом, в данной работе были поставлены и решены следующие задачи:

fV

fV

(V

t, с

t, с

8 t, с

Рис. 2 Результаты моделирования

• на основании тщательного изучения физиологии сердца найдены технические элементы различной физической природы, которые в совокупности выполняют аналогичную функцию моделируемого объекта;

• составлена расчетная схема механико-гидравлической системы сердца (см. рис. 1);

• на основании расчетной схемы механико-гидравлической системы и с учетом исходных данных составлена система уравнений, представляющая собой математическую модель сердца;

• составлена программа решения полученной системы уравнений в среде компьютерной алгебры Maple;

• получены результаты моделирования в виде графиков изменения различных физических величин, меняющихся в течение кардиоцикла.

Сравнив результаты моделирования с экспериментальными данными, полученными из физиологии, можно сделать вывод, что разработанная модель сердца достаточно достоверно отражает качественный характер насосной деятельности сердца.

При дальнейшей доработке системы уравнений, описывающих процессы функционирования сердца, а также более точном подборе коэффициентов, содержащихся в них, такая модель может быть использована в медицине в диагностических целях. С помощью данной модели можно производить экспериментальные исследования без причинения вреда здоровью человека и выдавать информацию о нагрузках, выносимых сердцем, поведении

сердечной мышцы при возможных отклонениях работы сердца, в частности — инфаркте, инсульте. Также при использовании математической модели кардиологи смогут определять генетические патологии и различные типы патологий работы сердца, возникшие в результате деятельности сердечной мышцы.

1. Бегун П. И., Шукейло Ю. А. Биомеханика: Учеб. для вузов. СПб.: Политехника, 2000. 463 с.

2. Амосов Н. М. Моделирование сложных систем. К.: Наук. думка, 1968. 392 с.

3. Подчуфаров Б. М. Тепломеханика: Учеб. пособие. Тула: ТПИ, 1983. 100 с.

4. Лебеденко И. С., Немущенкова Н. И. Электрическая модель авторегуляции сердца//Изв. ТулГУ. Пробл. спец. машиностроения: Материалы Всерос. НТК. Тула, 2003, вып. 6, ч. 2. С. 17-19.

5. Лебеденко И. С., Немущенкова Н. И. Модели желудочков и предсердий//Биотехн., мед. и экол. системы и комплексы: Материалы Всерос. НТК. РГРА. Рязань, 2003. С. 106-108.

6. Морман Д., Хеллер Л. Физиология сердечно-сосудистой системы. Пер. с англ. Под ред. Р. В. Болдырева. 4-е изд., СПб.: Питер, 2000, 256 с.

7. Физиология кровообращения. Физиология сердца. Л.: Наука,1980. 598 с.

8. Физиология сердца: Учеб. пособие/ С. В. Б а р а б а-нов, В. И. Евлахови др. Под ред. Б. И. Т к а -ченко. 2-е изд. СПб.: СпецЛит, 2001. 143 с.