О примарных полугруппах

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2002. №3. С. 18-20.

\1 7ТТ\" О К Q о

(С) Омский государственный университет УДК

О ПРИМАРНЫХ ПОЛУГРУППАХ

Л.М. Мартынов, Т.Ю. Финк

Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры, прикладной математики

644099, Омск, наб. Тухачевского 141

Получена 15 марта 2002 г.

We characterize primary semigroups, finite primary reduced semigroups, finite primary complete semigroups, and pseudovarieties of finite primary semigroups.

В теории групп важную роль играет понятие примарности. Оказывается, к этому понятию возможен другой подход, использующий теорию многообразий групп. Это позволило первому из авторов ввести в [1] аналог этого понятия для произвольных алгебр. Там же введены аналоги других понятий теории абелевых групп, таких как, например, полнота (делимость) и редуцированность, сформулирована основная проблематика, касающаяся этих понятий. В настоящей работе эти понятия изучаются для полугрупп в русле данной проблематики. Охарактеризованы примарные полугруппы, полные примарные конечные полугруппы, редуцированные примарные конечные полугруппы и псевдомногообразия конечных примарных полугрупп.

Прежде чем формулировать основные результаты, напомним некоторые определения и условимся относительно некоторых обозначений.

Главную роль в определении обсуждаемых понятий играют атомы решетки многобразий всех полугрупп. Напомним их список, указав в квадратных скобках системы тождеств, которыми они определяются:

Ap = [xy = yx, xpy = y] — многобразие абеле-вых групп простой экспонеты p;

Lo = [xy = x] — многобразие полугрупп левых нулей;

Ro = [xy = y] — многобразие полугрупп правых нулей;

S = [x2 = x,xy = yx] — многобразие полурешеток;

Z = [xy = zu] — многобразие полугрупп с нулевым умножением.

Пусть V — произвольное многообразие полугрупп, L(V) — решетка его подмногообразий, X G L(V) и S G V. Ядром конгруэнции р полугруппы S назовем дизъюнктное семейство под-

1 e-mail: mart@omsk.edu

полугрупп из £, являющихся классами конгруэнции р. Ядро X-вербальной конгруэнции р(Х, £) полугруппы £ называется X-вербалом полугруппы £ и обозначается через X (£). Полугруппа £ называется X-полной, если X (£) = £; и X -разрешимой, если она не имеет нетривиальных X-полных подполугрупп. Заметим, что понятие X -разрешимой полугруппы можно определить, используя X -вербальную цепь полугруппы £ [2] (см. также [3]). Это позволяет ввести понятия ступени X-разрешимости полугруппы и конечной X-разрешимости (см. там же). Мы называем полугруппу £ примарной по атому V решетки Ь{у) или V-полугруппой, если любая циклическая подполугруппа из £ является конечно V-разрешимой. Полугруппа £ называется полной, если она является V-полной по любому атому V 6 Ь(У), и редуцированной, если она не имеет нетривиальных полных подполугрупп.

Мы называем полугруппу комбинаторной, если любая ее подгруппа тривиальна. В остальном следуем терминологии и обозначениям [4].

Теорема 1. Полугруппа £ является примарной тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1) £ — периодическая комбинаторная полугруппа;

2) £ — периодическая полугруппа, типы элементов которой суть (г, рк) для некоторых г,к,р таких, что г < рк .

Доказательству этой теоремы предпошлем несколько лемм. Первая из них является основной.

Лемма 1. Если унипотентная периодическая полугруппа £ не имеет нильэлементов индекса г > 1 и ее наибольшая подгруппа О является конечно Ар -разрешимой, то и сама полугруппа £ конечно Ар -разрешима.

Напомним, что О является наименьшим иде-

О примарных полугруппах

19

алом в £, т. е. ядром £. Пусть п — ступень Ар -разрешимости группы О. Рассмотрим Ар -вербальный ряд группы О:

О = Со Э О1 Э О2 Э    Э О„_1 Э О„ = {е},

где Ог = Ар (О) (г = 0,1, 2,...,п) есть г -й Ар -вербал [3] группы О. С рядом (1) ассоциируется следующий убывающий ряд подполугрупп полугруппы £:

S — So D Si D S2 D    D Sn-1 D Sn

в котором Si — {x G Sj_i | xe G Gj} при i > 0. Понятно, что при любом i < n имеем SiOG — Gj. В частности, Sn O G — Gn — {e}. Кроме того, Gj идеал в Sj при любом i, в частности, {e} — идеал в Sn. Но по условию в S нет нильэлементов индекса r > 1, и поэтому Sn — {e}. Введем обозначения: <Xj : Gj ^ G//Gj+i — естественный гомоморфизм, : Sj ^ Gj — гомоморфизм, определенный следующим образом: ^j(x) — xe для любого x G Sj. Тогда CTj^j : Sj ^ G//Gj+i — сюръективный гомоморфизм и ядро соответ-свующей конгруэнции pj на Sj равно Sj+i. Таким образом, Sj+i — конгруэнц-допустимая подполугруппа полугруппы Sj при любом i < n. Поскольку S/pj — Gj/Gj+i и Gj/Gj+i G Ap, получаем, что Sj/pj G Ap. Итак, (2) —субнормальный Ap -разрешимый ряд полугруппы S, и поэтому S есть конечно Ap -разрешимая полугруппа.

Доказательство следующей леммы проводится без особого труда и мы его опустим.

Лемма 2. Циклическая полугруппа (а) типа (r, m) содержит нильэлементы индекса > 1 тогда и только тогда, когда r > m.

Лемма 3. Циклическая полугруппа (а) типа (r, m) является Ap -полугруппой тогда и только тогда, когда m — pk для некоторых p и k > 0 таких, что r < pk .

Пусть (а) имеет тип (r, m) и (а) является Ap-полугруппой, в частности, (а) конечно Ap-разрешима. Если предположить, что m делится на простое число q — p, то (а) содержит циклическую подгруппу порядка q, которая Ap -полна, что противоречиво. Таким образом, m — pk для некоторого k > 0 . Если предположить, что r > pk, то по лемме 2 (а) содержит нетривиальную циклическую нильподполугруппу, которая Ap -полна, что снова противоречиво. Таким образом, r < pk.

Обратно, пусть (а) имеет тип (r, pk) для некоторого k > 0 и r < pk. Тогда ее наибольшая

подгруппа Ga

r _r+i

{аг, а

2r+p -i} явля-

ется циклической порядка р^, и поэтому Ар -разрешима. По лемме 2 полугруппа (а) не содержит нильэлементов индекса > 1 и по лемме 1

она конечно Ар -разрешима. Из леммы 2 работы [2] вытекает, что любая ее подполугруппа, в частности циклическая, конечно Ар -разрешима, т. е. (а) является Ар-полугруппой.

Доказательство теоремы 1. Пусть полугруппа £ примарна по некоторому полугрупповому атому Р. Рассмотрим возможные случаи.

Пусть сначала Р = 2. Поскольку для любой полугруппы А имеет место 2 (А) = А2, легко понять, что бесконечная циклическая полугруппа не является конечно 2-разрешимой. Значит, любая циклическая подполугруппа (а) полугруппы £ конечна. Пусть тип (а) равен (г, т). Если предположить, что т > 1, то 2(Оа) = О^ = Оа и (а) содержит нетривиальную 2 -полную циклическую подполугруппу Оа , что противоречиво. Следовательно, тип (а) равен (г, 1). Таким образом, £ — периодическая комбинаторная полугруппа.

Если Р 6 {¿о, ^о, , то легко понять, что любая Р -разрешимая циклическая подполугруппа из £ одноэлементна. Отсюда следует, что в этом случае £ — полугруппа идемпотентов.

Пусть, наконец, Р = Ар для некоторого р. При доказательстве теоремы 1 [2] установлено, что Ар -вербальная цепь любой свободной полугруппы является бесконечной строго убывающей. Отсюда вытекает периодичность полугруппы £. По лемме 3 тип любой циклической подполугруппы из £ есть (г, р^) для некоторых г, к таких, что г < р^.

Обратно, предположим, что £ — комбинаторная периодическая полугруппа. Тогда любая циклическая подполугруппа полугруппы £ будет нильпотентной и поэтому конечно 2 -разрешимой. Таким образом, в этом случае £ является 2-полугруппой. Если предположить, что £ — периодическая полугруппа, типы элементов которой суть (г, р^) для некоторых г, к, р таких, что г < р^ , то по лемме 3 £ является Ар -полугруппой.

Напомним, что любая конечная р-группа является нильпотентной, а потому разрешимой и, следовательно, редуцированной. Для полугрупп справедлив аналогичный результат.

Предложение 1. Любая конечная Ар -полугруппа является редуцированной.

Достаточно показать, что любая конечная полная Ар -полугруппа £ тривиальна. Прежде всего, структурная группа О ядра К полугруппы £ (напомним, что К является вполне простой полугруппой) является р -группой. С другой стороны, в силу полноты £ группа О должна совпадать со своим коммутантом [5]. Это возможно только в случае, когда О — единичная группа. Пусть (2) есть главный ряд полугруппы £. Тогда £п = К — полугруппа идемпотентов. Если п = 0, то £ = К и, следовательно, £ тривиальна, так

20

Л.М. Мартынов, Т.Ю. Финк

как очевидно, что любая полугруппа идемпотен-тов редуцирована. Пусть п > 1. Тогда по теореме 1 из [5] фактор £„_!/£„ ряда (2) является либо вполне 0 -простой с делителями нуля, либо полугруппой с нулевым умножением. Но тогда в £„_1 \ £п будет существовать такой элемент а, что а2 6 £п, т. е. а2 = е, где е = е2. Таким образом, в полугруппе £ имеется нетривиальная циклическая нильполугруппа (а), которая Ар -полна, что противоречит примарности £ по Ар. Таким образом, п = 0 и £ тривиальна.

Аналог предложения 1 для примарных полугрупп по другим атомам, в общем случае, не имеет места.

Предложение 2. Конечная примарная полугруппа £ является полной тогда и только тогда, когда £ — комбинаторная, совпадающая со своим квадратом и неразложимая в связку своих подполугруппа полугруппа.

В самом деле, пусть £ — конечная полная примарная полугруппа. Тогда по теореме 1 она может быть двух типов. Если £ комбинаторна, то заключение выполнено очевидным образом. Пусть для £ выполнено условие 2) теоремы 1. Тогда ввиду леммы 3 £ есть Ар -полугруппа и в силу предложения 1 £ тривиальна, а значит, удовлетворяет требованиям предложения 2. Обратное утверждение очевидно.

Предложение 3. Конечная примарная полугруппа £ является редуцированной тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1) £ — комбинаторная полугруппа, любая совпадающей со своим квадратом подполугруппа которой разложима в связку;

2) £ — полугруппа, типы элементов которой суть (г, рк) для некоторых г, к, р таких, что г < рь .

Пусть £ — редуцированныя конечныя при-марная полугруппа. Согласно теореме 1 полугруппа £ может быть двух типов. Допустим сначала, что £ — комбинаторная полугруппа. Если предположить, что £ содержит совпадающую со своим квадратом неразложимую в связку подполугруппу, то легко понять, что последняя будет нетривиальной полной, что противоречит редуцированности £ . Таким образом, в этом случае выполнено условие 1). Вторые условия в теореме 1 и предложении 3 идентичны.

Обратно, пусть выполнено условие 1). Тогда в силу предложения 2 £ не содержит нетривиальных полных подполугрупп и поэтому редуцирована. Если для £ выполнено условие 2), то она редуцирована в силу предложения 1.

В заключение отметим еще одно утверждение.

Теорема 2. Псевдомногообразие V конечных полугрупп является примарным тогда и только тогда, когда оно состоит либо из конечных ком-

бинаторных полугрупп, либо из конечных связок р -групп.

Пусть V — псевдомногообразие примарных конечных полугрупп. Согласно теореме 1 его полугруппы могут быть двух типов. Если все они комбинаторны, то доказывать нечего. Пусть типы элементов любых полугрупп из V суть (г, рь) для некоторых г, к, р таких, что г < рь. Так как

V замкнуто относительно гомоморфизмов, легко понять, что индексы элементов равны 1. Тогда £ является объединением р -групп и потому £ — связка р-групп. Предположим теперь, что V содержит неидемпотентную комбинаторную полу-групппу £1 и полугруппу £2 , являющуюся связкой р -групп, среди которых есть неединичная. Так как V замкнуто относительно декартовых произведений, полугруппа £1 х £2 принадлежит V. Среди главных факторов полугруппы £1 есть либо вполне простая полугруппа с делителями нуля, либо полугруппа с нулевым умножением [5]. В любом случае полугруппа £1 содержит нильэлемент а индекса 2. Подполугруппа (а) х £2 полугруппы £1 х £2, в силу замкнутости

V относительно подполугрупп, принадлежит V. Нетрудно понять, что она не является примарной ни по какому полугрупповому атому. Остальное очевидно.

[1] Мартынов Л.М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды межд. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 179-190.

[2] Шеврин Л.Н., Мартынов Л.М. О достижимых классах алгебр // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12. № 6. С. 1363-1381.

[3] Мартынов Л.М. О проблеме спектров разрешимости для многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 2. С. 162-178.

[4] Шеврин Л.Н. Полугруппы // Общая алгебра / Под ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. Т. 2. Гл. IV. С. 11-191.

[5] Финк Т.Ю. Конечные полные полугруппы // Естественные науки и экология: Межвуз. сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. С. 8-14.