Разработка цифровых функциональных преобразователей модулирующего напряжения на основе интерполяционных методов для использования в квадратурных формирователях радиопомех с угловой модуляцией

УДК 621.396.62

РАЗРАБОТКА ЦИФРОВЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ МОДУЛИРУЮЩЕГО НАПРЯЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В КВАДРАТУРНЫХ ФОРМИРОВАТЕЛЯХ РАДИОПОМЕХ

С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

С.А. Шерстюков

В статье проведено сравнение аналитического, табличного и таблично-алгоритмического методов реализации синусного и косинусного функциональных преобразователей (ФП) модулирующего напряжения с точки зрения обеспечиваемой ими точности преобразования и вычислительных затрат. Произведена оценка составляющих ошибок кусочно-линейной интерполяции для таблично-алгоритмического метода ФП. Сделан вывод, что табличный способ ФП с предварительной низкочастотной фильтрацией входного сигнала является оптимальным для технической реализации с использованием цифровых вычислительных устройств и обеспечения требуемой точности формирования помеховых радиосигналов с угловой модуляцией

Ключевые слова: интерполяция, метод, точность преобразования, реализация

Развитие техники радиоэлектронного подавления (РЭП) требует постоянного повышения качества аппаратуры, в связи с чем, актуальными задачами продолжают оставаться исследование и разработка эффективных методов и устройств формирования активных маскирующих помеховых радиосигналов с заданными спектрально-временными параметрами. Наиболее эффективными помеховыми сигналами для подавления как аналоговых, так и цифровых систем радиосвязи (СРС) считаются помехи в виде несущих, модулированных по частоте или фазе шумовым напряжением. При этом точная оценка эффективности РЭП СРС возможна, если известно поведение спектральной плотности мощности формируемой помехи.

Для анализа спектрального состава радиосигналов с угловой модуляцией и учёта фазовых соотношений между составляющими модулированного колебания справедливым является известное выражение вида [1]

a(t) = A0 [cos(M sin Qt )sino0t + + sin(M sin Qt)cos сo0t]

где A0 - амплитуда высокочастотного колебания, М - индекс угловой модуляции,

Q и о - частоты модулирующего и несущего колебаний.

На основании теории функций Бесселя при М>1 периодические функции

cos(M sin Qt) и sin(M sin Qt) записываются в виде

Шерстюков Сергей Анатольевич - ВИ МВД России, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-910-345-33-15, E-mail: sergesher@rambler.ru

cos(M sin Qt )= J0 (M) + 2J2 (M )cos 2Qt + 2J4 (M )cos 4Qt +..., sin(M sin Qt) = 2J1 (M) + 2J3 (M) sin 3Qt + 2J5 (M )sin 5Qt...,

+

+

где Зп(М) - Бесселева функция первого рода п-го порядка. Подставляя формулу (2) в формулу

(1), произведя соответствующие тригонометрические преобразования и группирование составляющих одинаковых частот, получим

a(t) = A0

J0 (M )sin o0t + ^ Jn (M )sin(o0 + nQ)t +

+ ^ Jn (M )(-1)n sin(o0 + nQ)t

Из выражения (3) следует, что спектр частот при угловой модуляции гармоническим колебанием состоит из несущей частоты, амплитуда колебаний которой Л0щ10(М), и бесконечно большого количества колебаний боковых частот, амплитуды которых также пропорциональны значениям функции Бесселя Лпщ/п(М), где порядок функций п равен номеру боковой частоты (п=1, 2, 3...), а аргумент -индексу угловой модуляции М.

Анализ спектра угловой модуляции при сложных модулирующих сигналах выполняется с помощью функции корреляции или другими известными методами [2 - 4].

Не останавливаясь на сравнении методов построения модуляторов с угловой модуляцией, рассмотрим формирование управляющих сигналов для квадратурного (векторного) формирователя помеховых радиосигналов с угло-

1

n

1

п

вой модуляцией. Достоинством квадратурных формирователей является возможность осуществления в них модуляции в достаточно широком диапазоне изменения как модулирующих, так и несущих частот без перестройки схемы из-за отсутствия в ней управляемых реактивных элементов и частотно-избирательных цепей. В то же время, требуемая точность формирования помеховых радиосигналов как с малыми, так и с высокими значениями индексов модуляции напрямую зависит от точности реализации периодических функций cos(M sin Qt) и sin(M sin Qt) в низкочастотной области.

В соответствии с [6] синусное и косинусное преобразования модулирующего сигнала можно трактовать как задачу функционального преобразования сигналов вида y

где x(t) - входной сигнал, а y(t) и z(t) , соответственно, выходные сигналы синусного и косинусного функциональных преобразователей.

В дискретной форме такого рода преобразования имеют вид

y

где x(n) , y(n) и z(n) соответственно входной и выходные отсчеты функциональных преобразователей, удовлетворяющие требованиям теоремы отсчетов Котельникова.

Для реализации функциональных преобразователей (ФП) синуса и косинуса модулирующего сигнала в основном используются аналитические, табличные, табличноалгоритмические методы, а также их комбинации [6]. При этом основными характеристиками, влияющими на выбор метода ФП, являются точность преобразования, вычислительные и аппаратные затраты. Произведем сравнение вышеперечисленных методов реализации ФП с точки зрения обеспечиваемой ими точности преобразования и вычислительных затрат.

При аналитическом методе ФП используются разложения в ряд Тейлора функций

sin[x(n)]=x(n) - x(3L + ^nL -

x(n)7

+ K

cos[x(n)] = 1 - ^

2! 4!

x

б!

+ ...

(| x(n) |< ад).

Очевидно, что использование бесконечных рядов с точки зрения вычислительных затрат не представляется возможным, поэтому

на практике необходимо ограничивать количество членов ряда Тейлора или выбирать другие способы аппроксимации функций синуса и косинуса, такие как: 1) Паде-аппроксимация, 2) Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева, 3) наилучшая минимаксная аппроксимация, 4) наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза, 5) разложение функции в ряд Лорана, а также 6) аппроксимация с использованием функции наилучшего приближения.

Анализ данных способов показал, что аппроксимации 1) и 2) являются одними из лучших для точного приближения разрывных функций, при этом заданные функции осуществляют приближение отношением двух полиномов, однако, в интервале [- п п] погрешность резко возрастает на концах интервала аппроксимации. Это значит, что формировать неискажённые помеховые сигналы с угловой модуляцией возможно только с индексом модуляции М<3,14 для ЧМ (или п рад для ФМ) [7]. Аппроксимации 3), 4) и 5) отличаются от Па-де-аппроксимаций 1) и 2) минимизацией абсолютной погрешности во всём интервале аппроксимации, однако сложность реализации коэффициентов аппроксимаций ставит под сомнение их использование на практике. Интерполяция значений выходных величин синуснокосинусного преобразователя многочленами с использованием способа 6) является наиболее оптимальной с точки зрения технической реализации коэффициентов аппроксимации, аппаратных затрат и точности вычислений. В этом случае с использованием [8] для п

0 < x(n) <

2

запишем

sin[ x(n)] = x(n) + ax(n) S + bx(n)5 +s[ x(n)],

| є[х(п)]|< 2 • 10~4

соб[ х(п)] = 1 + сх(п)2 + йх(п)4 +є[ х(п)],

| є[х(п)]|< 9 • 10~4, где а = - 0,16605, Ь = 0,00761, с = - 0,49670, й = 0,03705.

На основании формул (6) и (7) составим программы косинусного (листинг 1) и синусного (листинг 2) преобразований и сведём в таблицы 1 и 2, соответственно, значения ошибок вычислений для двух способов аппроксимации функций синуса и косинуса: разложения в ряд Тейлора по формулам (6) и наилучшего приближения по формулам (7).

Из анализа численных значений таблиц следует, что минимальная ошибка вычисления функций косинуса и синуса обеспечивается

при аппроксимации методом наилучшего приближения. При этом ошибка для п-битного представления отсчетов х(п), выраженная в

единицах младшего разряда, может быть найдена в соответствии с формулой

5 = е[х

Листинг 1.

Программа косинусного преобразования. Program Cos_cos;

Function CosCos (t, U: real): real; begin

CosCos:=cos (U*cos(t));

end;

Function CosT (x: real): real;

var x2:= real;

begin

x2:=x*x;

CosT:= x2*(x2/24-0.5)+1;

end;

Function CosBest (x: real): real; const a2:=-0.49670; a4:=0.03705; var x2: real; begin

x2:=x*x;

CosBest:=x2*(a4*x2+a2)+1;

end;

var U, hU, t, ht, buf: real;

it, nt: integer; fout: text; begin

assign (fout, “Cos_Cos.txt”); rewrite (fout); hU:=0.5; U:=0; nt:=20; ht:=pi/(2*nt); repeat

U:=U+hU;

writeln (fout, “U= ”, U:6:3); writeln (fout, “t cos(U*cost) errCosBest errCosT”);

for it:=1 to nt do begin

t:=it*ht; buf:=CosCos(t, U); writeln (fout, t:6:3, buf:12:6,

CosBest (U*cos(t)) -buf:12:6,

CosT(U*cos(t)) -buf:12:6); end;

writeln (fout); until U>2; close (fout);

end.

то есть, например, при 8-битном представлении (n = 8) отсчетов x(n) ошибка вычисления y(n) и z (n) не будет превышать 0,0512-ых младшего разряда (одной двадцатой младшего разряда для s[x(n)] = 2 • 10~4) и 0,2304-тых младшего разряда (одной пятой младшего разряда для s[ x(n)] = 9 • 10 ~4).

Листинг 2.

Программа синусного преобразования. Program Sin_Sin;

Function SinSin (t, U: real): real; begin

SinSin:=sin (U*sin(t));

end;

Function SinT (x: real): real; begin

SinT:=x-x*x*x/6+x*x*x*x*x/120;

end;

Function SinBest (x: real): real; const a2:=-0.166605; a4:=0.00761; var x2: real; begin

x2:=x*x;

SinBest:=x*(x2*(a4*x2+a2)+1;

end;

var U, hU, t, ht, buf: real;

it, nt: integer; fout: text; begin

assign (fout, “Sin_Sin.txt”); rewrite (fout); hU:=0.5; U:=0; nt:=20; ht:=pi/(2*nt); repeat

U:=U+hU;

writeln (fout, “U= ”, U:7:4); writeln (fout, “t sin(U*sint) errSinBest errSinT”);

for it:=1 to nt do begin

t:=it*ht; buf:=SinSin(t, U); writeln (fout, t:6:3, buf:12:6,

SinBest (U*sin(t)) -buf:12:6,

SinT(U*sin(t)) -buf:12:6); end;

writeln (fout); until U>2; close (fout);

end.

Таблица 1

Ошибки вычислений при аппроксимации функций косинуса

Значение амплитуды, U Значение угла, г Значение функции со«(и*ео«г) Ошибка наилучшего приближения, еггСо«Бе«г Ошибка по Тейлору, errCosT

0.079 0.878320 0.000556 0.000021

0.500 0.785 0.938148 0.000343 0.000003

1.178 0.981750 0.000115 0.000000

1.571 1.000000 0.000000 0.000000

0.079 0.542894 0.000059 0.001339

1.000 0.785 0.760245 0.000668 0.000172

1.178 0.927666 0.000389 0.000004

1.571 1.000000 0.000000 0.000000

0.079 0.075349 -0.000781 0.014925

1.500 0.785 0.488296 -0.000192 0.001938

1.178 0.839722 0.000636 0.000049

1.571 1.000000 0.000000 0.000000

0.079 -0.410533 0.021487 0.081329

2.000 0.785 0.155944 -0.001144 0.010723

1.178 0.721128 0.000625 0.000276

1.571 1.000000 0.000000 0.000000

0.079 -0.796508 0.140745 0.298372

2.500 0.785 -0.195699 0.005328 0.040100

1.178 0.576213 0.000201 0.001048

1.571 1.000000 0.000000 0.000000

Таблица 2

Ошибки вычислений при аппроксимации функций синуса

Значение амплитуды, U Значение угла, г Значение функции 8ш(и*8шг) Ошибка наилучшего приближения, еггёшБезг Ошибка по Тейлору, еггётТ

0.079 0.039219 0.000000 -0.000000

0.500 0.785 0.346234 -0.000001 -0.000046

1.178 0.445685 -0.000008 -0.000174

1.571 0.479426 -0.000013 -0.000259

0.079 0.078379 0.000000 -0.000000

1.000 0.785 0.649637 -0.000089 -0.001456

1.178 0.797946 -0.000326 -0.005496

1.571 0.841471 -0.000466 -0.008138

0.079 0.117417 0.000000 -0.000000

1.500 0.785 0.872678 -0.000602 -0.010892

1.178 0.982940 -0.001636 -0.040698

1.571 0.997495 -0.001998 -0.059995

0.079 0.156275 0.000000 -0.000001

2.000 0.785 0.987766 -0.001734 -0.044957

1.178 0.961890 -0.001271 -0.165572

1.571 0.909297 0.001383 -0.242631

0.079 0.194892 0.000000 -0.000002

2.500 0.785 0.980664 -0.001894 -0.133609

1.178 0.739208 0.117876 -0.483104

1.571 0.598472 0.041489 -0.702639

Далее, произведем оценку составляющих ошибок кусочно-линейной интерполяции для таблично-алгоритмического метода непосредственно в единицах младшего разряда цифрового кода отсчета

х(п) . Структура вычислений при кусочнолинейном методе представлена на рисунке.

Если входной параллельный код отсчета х(п) задан в виде выражения

т = g + 1

х

т=1

и проведено разделение старших и младших разрядов на группы

Х (П ) ст = Е Х (П ) • 2 " т и

т =П

Х (п ) мл = Е Х (п ) • 2 т ,

$П1Х(П)(С0&

Структура вычислений при кусочно-линейном методе

то формулу для аппроксимации функции sin x(n) между двумя соседними узлами аппроксимации можно записать в виде

sin[x

где Ki - скорость нарастания функции синуса или косинуса между двумя узлами аппроксимации, определяемая разрядами аргумента

Ф) cm [9].

Для упрощения структуры вычислений во всем диапазоне L изменений значений функций sin x(n) и cos x(n), будем брать равные кратные степени двойки интервалы между узлами аппроксимации. Длина интервала интерполяции l в этом случае будет равна

, L

l =----,

2g

где 2g - число интервалов интерполяции.

Максимальная погрешность вычисления функций sin x(n) и sin x(n) в соответствии с

A sin x(n) = A sin x(n)cm + AK.x(n)мл +

V+д МЛ

~умн' окр•

Здесь A sin x(n)cm и AK. - ошибки оцифровки констант в ПЗУ для узлов аппроксимации, а именно функции sin x(n) и K . , так как число разрядов представления функции конечно.

Если задать код функции sin x(n)cm в узлах аппроксимации с п дополнительными разрядами и осуществить симметричное округление, то ошибка вычисления будет равна

A sin x

Таблицу значений коэффициента K. для

узлов аппроксимации следует строить с учетом полученных значений погрешности функции синуса. Таким образом, эти погрешности, имея разный знак, будут в соответствии с (13) в значительной степени компенсировать друг друга. В дальнейшем будем считать, что

AKi= °. ПЗУ

Рассмотрим возможность уменьшения и других составляющиКЦЩибок на примере структуры вычислени^приведенной на рис. 1, где в соответствии^ (Д^вИчисление функции sin x(n) осуществляется путем задания таблиц опорных значений функции и скорости ее изменения по значениям старших разрядов аргумента в ПЗУ, интерполяции значения приращения функции, определяемого скоростью ее изменения, и младшими разрядами аргумента между опорными точками на выходе умножителя [10].

Второй сумматор осуществляет сложение суммарного кода текущей погрешности аппроксимации функции между опорными табличными значениями полиномом первого порядка и кодов усечения разрядных сеток операндов, одновременно формируемых в ПЗУ коррекции ошибок со значениями функции sin x(n) , которое снимается с выхода умножителя. Если умножитель осуществляет вычисление произведения Kix(n)мл с учетом всех

значащих цифр, округление при отбрасывании разрядов, вес которых меньше веса разряда

2 (n+r), является симметричным, то ошибка умножения не будет превышать значения

A < 1 • 2-

^умн — 2

При отбрасывании г дополнительных разрядов и симметричном округлении значения функции во втором сумматоре

1 n+r I 2~n _ 2~

Aokp — Z 2_ =

^ (16) 2/ ==п+1 2

Значение погрешности аппроксимации функции полиномом первого порядка определяется выражением [11]

зЩх-х(п)/] х(п)-х(п)7+1 2

2 ^ /+1 и^п)2

2

d sinx

dxn)2 sinx(n),

=2х(п) - х(п)/ ] ] - х(п)/+1] а максимальное значение ошибки аппроксимации (с учетом пересчета в радианную меру угла) в соответствии с [12], не превосходит ве-

личины

5„

п2(2~g)2 32

Алгоритм формирования значения кода коррекции ошибки аппроксимации строится в соответствии с (17), где текущее значение ошибки аппроксимации 5 является функцией как старших, так и младших разрядов кода угла x(n) . С этой целью, в соответствии с предварительно определенным числом дополнительных разрядов r и максимальным значением ошибки 5 вычисленным в соответствии

max

с (18), определяют число разрядов представления кода ошибки аппроксимации. По заданному числу выходных разрядов ПЗУ коррекции ошибки задается число первых разрядов из группы x(n)cm , определяющих код функции sin x(n) в (17), и число первых разрядов из группы x(n) мл, определяющих приращение

аргумента внутри узла аппроксимации в (17). Указанные разряды являются входными для ПЗУ коррекции ошибки. Таким образом, максимальное значение ошибки аппроксимации можно уменьшить до значения

5Г

Естественно, что при этом в ПЗУ одновременно следует хранить и значение кода, обеспечивающего симметричное округление кода функции sin x(n) при окончательном отбрасывании дополнительных разрядов r во втором сумматоре, то есть, в таблицу кода коррекции в соответствии с (17) следует доба-

2 - п ^

вить значение ------. Окончательно, в соот-

2

ветствии с (14) - (19) для ошибки вычисления получим

A sin x(n) = 2 n I 2 r +

При (n + r) = 8 ошибка вычисления не будет превышать 0,00195, то есть, не будет превышать половины младшего разряда при 8ми разрядном представлении чисел на выходе преобразователя. Вычислительная сложность этого алгоритма несколько ниже, чем для аналитического метода, требующего до 20 операций сложения/умножения, и составляет только лишь 6 операций сложения/умножения на один выходной отсчет (рис. 1, представляющий структуру вычислений табличноалгоритмического метода).

В таблицу 3 сведены численные значения ошибок вычисления входного параллельного кода функции sin x(n) при различных значениях разрядности представления чисел n и количества дополнительных разрядов r. Из таблицы следует, что при увеличении значений n иг ошибка вычисления уменьшается, следовательно, повышается качество выходного сигнала.

Следует отметить, что при малой разрядности представления входных и выходных отсчетов

_ 2п k < x

Таблица 3

Значения ошибок вычисления входного параллельного кода функции в зависимости от значений разрядности представления чисел и количества дополнительных разрядов_______

Значение разрядности представления чисел, n Количество дополнительных разрядов, г Значение ошибки вычисления, A sin x

8 10 1,957-10-3

8 12 1,954-10-3

10 12 4,885-10-4

10 14 4,883-10-4

12 14 1,221-10-4

12 16 1,221-10-4

14 16 3,052-10-5

14 18 3,052-10-5

16 18 7,629-10-6

16 20 7,629-10-6

Значительно лучшие результаты по качеству представления выходного сигнала для малой разрядности входных/выходных отсчетов обеспечивает табличный способ преобразования с предварительной фильтрацией входного сигнала x(n) при помощи низкочастотного фильтра [13]. Такой способ обеспечивает ошибку преобразования, не превосходящую ошибки при таблично-алгоритмическом методе, но при этом формируется значительно лучшая форма выходного сигнала вблизи нулевых значений амплитуды. Вычислительная сложность этого метода преобразования несколько выше, чем у таблично-

алгоритмического, но значительно ниже, чем у аналитического, и составляет 5 операций сложения/умножения.

Таким образом, табличный способ функционального преобразования с предварительной фильтрацией входного сигнала x(n) при

помощи низкочастотного фильтра является оптимальным для технической реализации с использованием цифровых вычислительных устройств, использующих для воспроизведения элементарных функций программноструктурные (аппаратные) алгоритмы. При этом для формирования помеховых радиосигналов с частотной модуляцией, в отличие от фазовой модуляции, необходимо перед процедурой низкочастотного преобразования функций cos(M sin Qt) и sin(M sin Qt) проинтегрировать входной сигнал x(n) . После цифровых функциональных преобразований сигналы переводят в аналоговую форму, устраняют шумы квантования и с помощью радиочастотных микросхем векторных модуляторов [14] переносят спектр полученных управляющих сигналов в область несущего колебания.

Литература

1. Верещагин Е.М., Никитенко Ю.Г. Частотная и фазовая модуляция в технике связи. - М.: Связь, 1974. -224 с.

2. Сергиевский Б.Д., Оганесьянц Л.Г. Спектры колебаний, модулированных по фазе флуктуациями // Радиотехника и электроника. - 1966. - т.Х1, №5. - С. 811 - 821.

3. Владимиров В.И. Спектр гармонического колебания, модулированного по фазе узкополосным нормальным случайным процессом // Радиотехника. - 1967.

- т. 22, № 3. - С. 1 - 7.

4. Левин Б.Р. Теория случайных процессов и её применение в радиотехнике. Изд. «Советское радио», 1960.

5. Квадратурные формирователи радиосигналов: Монография / Попов П.А., Шерстюков С.А., Жайворонок Д.А., Ромашов В.В.; Под ред. П.А. Попова. - Воронеж: Воронежский институт МВД России, 2001. - 176 с.

6. Смолов В. Б. Функциональные преобразователи информации. - Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981.

- 248 с.

7. Шерстюков С.А. Анализ синусно-косинусного формирования управляющих сигналов для квадратурных частотных модуляторов в зависимости от индекса модуляции // «Вестник»: сб. науч. трудов / Воронежская высшая школа МВД России. - Воронеж, 1997. - Вып. 7 - С. 134 - 140.

8. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 600 с.

9. Байков В.Д., Вашкевич С.Н. Решение траектор-ных задач в микропроцессорных системах. - Л.: Машиностроение, 1986. - 245 с.

10. А.с. 1442984 (СССР). Устройство для вычисления элементарных функций табличным методом / В.В. Чекушкин. - Опубл. в Б.И., 1988. - № 45.

11. Хлистунов В.И. О погрешности аппроксимации дискретных методов измерения // Приборостроение.

- 1960. - № 5.

12. Шилин Н. Ф. Некоторые аппаратные способы вычисления тригонометрических функций 8ШХ, С08Х в цифровых вычислительных машинах // Вопросы радиоэлектроники. - 1969. - вып.14.

13. Шерстюков С.А. Функциональные преобразователи модулирующего сигнала с использованием ПЛИС для квадратурного фазового модулятора // Теория и техника радиосвязи: науч.-техн. сб. / ОАО «Концерн «Созвездие». - Воронеж, 2009. - Вып. 1. - С. 72 - 76.

14. Шерстюков С.А., Тихомиров Н.М. Экспериментальное исследование квадратурного фазового модулятора на базе радиочастотной интегральной микросхе-

мы векторного модулятора // Теория и техника радиосвязи: науч.-техн. сб. / ОАО «Концерн «Созвездие». - Воронеж, 2009. - Вып. 1. - С. 67 - 71.

Воронежский институт МВД России

DEVELOPMENT OF DIGITAL FUNCTIONAL CONVERTERS OF THE MODULATING VOLTAGE ON THE BASIS INTERPOLATING METHODS FOR USE IN QUADRATURE SHAPERS OF THE RADIO NOISE WITH ANGULAR MODULATION

S.A. Sherstukov

In paper is lead comparison of analytical, tabulared and tabulared-algorithmic methods of implementation sinus and cosinus functional converters (FC) of a modulating voltage from the point of view of accuracy of transformation provided with them and computing expenses. The estimation of making mistakes of piece-linear interpolation for tabulared-algorithmic method FC is produced. The leading-out is made, that tabulared way FC with a preliminary low-frequency filtering of an arrival signal is optimum for technical implementation with use of digital computers and maintenance of required accuracy of formation radio noise with angular modulation

Key words: interpolation, a method, accuracy of transformation, implementation