Моделирование векторной диаграммы направленности параболической зеркальной антенны

УДК 621.396

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕКТОРНОЙ ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗЕРКАЛЬНОЙ АНТЕННЫ

С.В. БОЯРКИН, В.Л. КУЗНЕЦОВ, Т.В. ЛОССИЕВСКАЯ

В работе развивается новый подход к вычислению векторной диаграммы направленности параболической зеркальной антенны, основанный на представлении рефлектора как неплоского торца цилиндрического волновода и расчета его отражательных характеристик методом инвариантного погружения. В результате удается получить выражение для распределения векторного поля в апертуре антенны в многомодовом режиме возбуждения. Развиваемый подход можно интерпретировать как принципиально новый шаг в развитии апертурной теории антенн.

Ключевые слова: параболическая зеркальная антенна, апертурная теория, метод инвариантного погружения, векторная диаграмма направленности.

Введение

В работах [1; 2] был предложен новый подход, позволивший вычислить матричный коэффициент отражения рефлектора параболической антенны. Он основан на представлении рефлектора как неплоского торца круглого волновода с радиусом, равным радиусу апертуры, т.е. как некоторой секции нерегулярного волновода. Для описания коэффициента отражения такой структуры было предложено использовать метод инвариантного погружения [3-5], хорошо зарекомендовавший себя при анализе излучения волн рупорными антеннами [6-8]. Сами рупоры при этом рассматривались как участки нерегулярного волновода - волновода, чьи поперечные геометрические размеры изменяются вдоль его оси. В каждом сечении нерегулярного волновода (в рассматриваемом случае - рефлектора) поле может быть представлено в виде суперпозиции собственных мод однородного волновода соответствующего сечения. В процессе распространения электромагнитного поля внутри нерегулярного волновода эти моды активно взаимодействуют между собой, формируя при этом отраженное поле. В результате коэффициент отражения рефлектора представим в виде бесконечной комплексной матрицы Я = ||Япт||, где

п, т е N, а Япт - отношение комплексной амплитуды п - й отраженной моды к амплитуде т - й падающей моды.

Задание способа вычисления матричного коэффициента отражения рефлектора Я решает главную составляющую общей задачи нахождения векторной диаграммы направленности параболической зеркальной антенны. Для завершения всей схемы решения необходимо дополнительно задать поле, облучающее рефлектор, и связать излучаемые поля в апертуре антенны и в свободном пространстве. Этим вопросам посвящена настоящая статья.

1. Постановка задачи и основные приближения модели

Рассмотрим осесимметричную параболическую зеркальную антенну с фокусным расстоянием /, излучающую монохроматическое поле длиной волны Я . Матричный коэффициент отражения рефлектора антенны - Я = \арЯпт|| известен [1; 2]. Необходимо вычислить векторную

диаграмму направленности антенны - Р (б,д>).

При построении решения будем полагать, что диаметр раскрыва рефлектора Б >> Я . Облучатель антенны, как это часто полагается, будем учитывать лишь на этапе формирования поля, падающего на рефлектор. Эффектами, связанными с частичным затенением облучающим модулем апертуры антенны и соответствующими искажениями диаграммы направленности, будем пренебрегать.

2. Модель облучающего модуля и порождаемого им поля

Достаточно часто облучатель описывают некоторой конструкцией с заданной диаграммой направленности, т.е. вводят некоторую феноменологическую модель, не предполагающую электродинамического расчета взаимодействия поля с краями рефлектора. Таким подходом можно воспользоваться, например, в случае, когда диаметр раскрыва антенны значительно больше длины волны излучения, т.е. когда переизлучением краев апертуры антенны можно

пренебречь. В этом случае поле, порождаемое облучателем в раскрыве антенны - Е'"с (р), можно представить в виде разложения по модам круглого волновода, радиуса, равного радиусу раскрыва антенны, записав

Е'"с

Здесь

ап =

\(Етс(р), еФп(р;арр ; Ъп = \(Е"с(р), ИФп(р;а^р

а е Ф п (р,Р ; а) и ^ Ф п (р,р ; а) - проекции полей п-й моды ТЕ- и ТН- типа соответственно, определяемые соотношениями [9]:

;ф п (р,р ; а) = -

л/2/

П

х1 -1

'1

Хп (хп

С08(р) • е -

р-\

р

а

Бт(р) • е

1п

Р

Ф п (РР ;а) = — -

V п

И^п

3'

п 7

а

3

1п

а

со8(р;> • ер --

2

Бт(р) • е

п

2^ п'

Р

где е и е - орты полярной системы координат.

р Р

Два вектор - столбца, составленных из коэффициентов (2) - еО = {а1,а2,...}т и И0 = {Ъ1,Ъ2,..}т, определяют поле, создаваемое облучателем в апертуре рефлектора и записанное в ортонорми-рованном базисе мод (3), (4). Если еО и И0 известны, то, зная матричный коэффициент отражения рефлектора [1; 2], можно вычислить и Егай (р) - поле излучения антенны в ее апертуре

Е ( ееКт )- ( ) - е Ф п (р а)+Е ( ИеКт )- ( )- И Ф п (р а )+1

Еш (р) = Е

+

Е

Первые две суммы в фигурных скобках в (5) описывают поля, порожденные волнами ТЕ - типа, падающими на рефлектор. При отражении от рефлектора они порождают также волны ТН - типа. Последняя сумма описывает трансформацию волн ТН - типа.

К сожалению, рассматриваемый подход встречает «технические» затруднения, связанные с вычислением интегралов (2), которые в общем случае могут быть рассчитаны только численными методами. Поэтому в этой работе будет использована другая, более простая модель облучателя, позволяющая свести результаты расчетов к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим антенну с углом раскрыва, равным ж/2 . В этом случае облучатель оказывается расположенным в апертуре антенны. Если при этом применить искусственный прием с виртуальной (очень короткой) цилиндрической секцией, наращиваемой на рефлектор, то при расчете поля облучателя можно полагать, что он находится внутри цилиндрического волновода радиуса Б/ 2 - радиуса апертуры антенны. Теперь облучатель можно смоделировать концом круглого волновода малого диаметра, ось которого совпадает с осью симметрии рефлектора. Геометрия такой системы изображена на рис. 1а.

Поле в большом волноводе при этом делится на две части, основная его энергия направлена на рефлектор антенны, однако частично поле может затекать за облучатель в направлении свободного пространства. Этой частью излучения, формируемого облучателем, будем пренебрегать. Последнее допущение позволяет смоделировать систему как фланцевое сочленение двух соосных волноводов (рис. 1б). Описание поведения поля в такой системе можно достаточно просто осуществить, используя метод проекционного сшивания [9; 10].

Рис. 1. Моделирование излучения облучателя: а - первый шаг моделирования - излучение среза коаксиального волновода; б - второй шаг моделирования - переход к фланцевому сочленению волноводов

Рассмотрим наиболее интересный случай, когда облучатель возбуждается волной ТЕ - типа. В этом случае на рефлектор со стороны облучателя падают волны ТЕ- и ТМ- типов. Условия гладкости поля (непрерывности как самого поля, так и его пространственной производной) в плоскости сочленения двух волноводов после достаточно громоздких, но идейно простых выкладок метода проекционного сшивания, приводят к следующей системе алгебраических уравнений для матричных коэффициентов прохождения - и отражения - г- :

вв^ = ввО- 'квГ + ввО- ; Не1 = Не0 ' ввГ + НН0 ' НеГ + Не0 ;

НвГ = —'ьь £ а ' ННО'НН СЬ ' \ы 0 ' ввГ + Не0 ];

ввГ = А2 ее Я- 'ев 0 'ев Яь'вв0 + ввЁа'вЬ0 ' НН ЯЬ ' ЬЬ0 ' ' НН Я- ЬЬ0 НьЯ Ь ' Не0 —

- С"' 0' С+' 0Т

ев а вН ^ НН Ь Нв^ J ,

где аМ:ь)=Ц(аф а (р), вФ т (РЬ Р ;

I

Г-= Оая! Ка ,1/ к2а ,1/К-,...}; = {К ,...},

а = НН^- 'НН0' НН^Ь ' НН0 ]-

и G =

1+ ее^а ' (ее 33 ' ее^Ъ ' ее33 + еиО. ' ИИ^Ъ ' Ие 33 ) С ' еИ33' ИИ^Ь ' ИИ33 ' ' ИИ Га ' ИИ33' ИИ^Ъ ' Ие зТ Г-

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения относительно размерности матриц в приведенных соотношениях. Если размерность матрицы Я = Япт||, описывающей коэффициент

отражения рефлектора, - 2N х 2N, где N - число мод, учитываемых при расчете рефлектора, а удвоение (индексы а и в ) связано с учетом двух типов волн (ТЕ и ТН), то размерности матриц

ее^ + , ие^+ и еег-, ег- будут N х п и п х п, соответственно. Здесь п - число учитываемых мод в

подводящем волноводе рефлектора. Поскольку диаметр волновода облучателя - ё >> Б, а описывать поля в большом и малом волноводах надо с одинаковой степенью детализации, то должно приближенно выполняться соотношение - ^п = Б/ё. Выбирая п так, чтобы поле в волноводе облучателя (вблизи среза) содержало, кроме одной распространяющейся, еще 2 неоднородные моды, то число мод, описывающих отражение рефлектора, будет N = 3 Б/ё . Если теперь положить, например, Б/ё = 12, то число мод, падающих на рефлектор, будет равно 36. Из них 19 будут распространяющимися, а остальные - неоднородными. Такое число учитываемых неоднородных мод вполне достаточно для адекватного расчета рефлектора.

3. Матричный коэффициент прохождения для системы «облучатель-рефлектор» и поле в апертуре антенны

Полученные в предыдущем пункте выражения для коэффициентов прохождения облучате-+ для волн ТЕ - типа и ИИI

ля - 1 +, + для волн ТЕ - типа и ииt + для волн ТН - типа, вычисляемого аналогично, можно

С t + 0 ^

записать в виде блочной матрицы Т = е\ „ размерности 2N х 2п. Отметим, что равен-

t + t +

V Ие1 ИИ1 У

ство нулю недиагонального блочного элемента обусловлено тем, что волны ТН - типа порождать волны ТЕ - типа не могут. Если представить инициирующее поле в волноводе облучателя в виде блочного столбца

Егггаё

в базисе собственных мод волновода ТЕ- и ТН- типов, то поле, падающее на рефлектор, пред-ставимо в виде Егпс = Т' Е Гггсё1. Тогда поле, излучаемое антенной, точнее, поле в ее апертуре в базисе собственных мод волновода с диаметром, равным диаметру раскрыва антенны, предста-вимо в виде

ЕАР = к' Т' ЕггШ,

где R - блочная матрица коэффициента отражения рефлектора

' R 0 ^

ee

R ,,R

he ИИ

, вид блочных эле-

У

ментов которой получен в работах [1; 2]. Если необходимо записать это поле в обычном представлении, то достаточно EAP домножить слева на блочную строку вида

Ф(Р)=((е 1, e Ф 2, e Ф 3,) (и И Ф 2, И Ф 3,.)),

где элементы аФ n определены соотношениями (3), (4), p = (p,q>) - радиус-вектор точки в апертуре антенны. То есть

Eap

Матричный коэффициент Я • Тв (9) определяет коэффициент прохождения системы облучатель - рефлектор.

Выражение (9) позволяет вычислить поле в апертуре при произвольном виде возбуждения облучателя (7), т.е. позволяет описывать многомодовый режим возбуждения.

Численно нами был рассмотрен случай возбуждения облучателя первой модой ТЕ - типа.

Это соответствует тому, что ЁГгшс1 в (7) представим блочным столбцом ((1,0,0,...)т (0,0,0,...)т ^ . В этом случае поле в апертуре в соответствии с (9) задается соотношением

ЁАР

где А1 =-0.359 + 0.424 • I , А2 = 0.288 - 0.332 • I , А3 =-0.117 + 0.197 • I, ... В1 = 0,034 - 0.026 • I , В2 = 0,03 + 0.006 • I, В3 = 0,021 - 0.002 • I, ...

Вид поля в апертуре (10) можно наглядно изобразить, представив его в виде суперпозиции структур поля различных мод, взятых с соответствующими коэффициентами (рис. 2).

Рис. 2. Компоненты структуры поля в апертуре параболической антенны, суммируемые с весами Ап и Вп

Соотношение (10) вместе с рассчитанными коэффициентами Ап и Вп и графическими

изображениями структуры поля различных мод (рис. 2) позволяют оценить степень аппроксимации поля в апертуре антенны, используемую в стандартной апертурной теории [11; 12].

4. Расчет векторной диаграммы направленности параболической зеркальной антенны

Теперь, когда поле в апертуре известно, можно перейти к вычислению векторной диаграммы направленности антенны. Точное решение задачи об излучении открытого конца цилиндрического волновода получено Л.А. Вайнштейном [13]. Фактически с учетом виртуальной секции, наращенной на рефлектор, и соотношения (10) решение Вайнштейна дает возможность точно вычислить векторную диаграмму направленности параболической антенны. В работе [14] эти формулы Вайнштейна для поля в дальней зоне приведены к виду, удобному для проведения численных расчетов. Здесь, однако, мы воспользуемся более простым приближенным приемом, основанном на том, что диаметр используемой антенны - О значительно больше длины волны излучения Л . В этом случае ролью краевых токов можно пренебречь, поскольку их поле влияет на поле в апертуре в относительно узкой области - «полосе» шириной порядка длины волны.

Это приближение аналогично гипотезе Кирхгофа в теории дифракции света на щели. Тогда векторная диаграмма направленности антенны по полю находится простым разложением

ЕАР (р) - поля в апертуре в угловой спектр.

Вычислим Р(в,р) = Р(к), где к - волновой вектор, направленный под углами в,р к внешней нормали к апертуре антенны. Далее нам будет удобнее оперировать с вектором Ц - проекцией волнового вектора к на плоскость раскрыва антенны - к = (р,^к2 - д2 ), поэтому вместо Р (к ) будем писать Р (Ц ).

Векторную диаграмму направленности антенны Р(Ц) будем представлять в базисе горизонтально и вертикально поляризованных плоских волн в системе, связанной с антенной. Поле горизонтально поляризованной плоской волны, характеризуемое вектором Ц, в плоскости апертуры может быть записано в виде

$

= 1 г

гРу 1Я.

Ц

]

Ц

ех

Р{- гЧр},

где Цх и Цу - проекции вектора Ц на оси ОХ (орт г ) и ОУ(орт ] ), лежащие в плоскости апертуры антенны. Аналогичное выражение может быть записано и для поля плоской вертикально поляризованной волны

ц )

гЧх , -Л

л

Ц Ц у

ехр{- гцр}.

Теперь диаграмма направленности в базисе горизонтально и вертикально поляризованных волн может быть представлена в виде

^(Е(р),нч(р Ц))р

Р (Ц )=

\(Е{р),уЧ>(р |д))ёр

V 5

где Е(р) - поле в апертуре антенны, определяемое соотношением (9), а интегрирование ведется по Б - поверхности апертуры.

После подстановки в (13) выражения для поля Е(р) из (9) или, в частном случае, (10), интегралы (13), определяющие горизонтальную и вертикальную компоненты диаграммы направленности антенны, сводятся к известным интегралам, приведенным в [15]:

|( е Ф п (р), н Ч(р \Ц)Ур = Т—^В '

5 [

с

нп

\2 2 Хп

'ТхМ

J[(qD/2)' соБр1;

С

соБр;

нБп

(д) = /(е Фп (р),уч(р Ц))ёр = ^ Л (дБ/2)' р;

5 Цт] Хп - 1

уБп (ц)=ц Ф1 (р\Уч(р \Фр=-\(В:в" п>1 л

5 ЬБ12)

[

БШ р .

ч

где Хп и - корни уравнений J '(х) = 0 и 3(х) = 0, соответственно, а срх = аг^— .

Чх

Подставляя (10) и (14) - (17) в (13), получаем следующее выражение для векторной диаграммы направленности антенны в поляризационном базисе вертикально и горизонтально поляризованных волн

'Ек •( яСп (Ч))+Вп •( ноп (ч ))}^

F

ZK •(yC„(q)) + Bn \yDn(q))}

V n

Отметим, что вычисленные выше коэффициенты Ап и Вп были найдены в предположении, что облучатель возбуждается одной модой - ТЕ11 и диаграмма направленности (18) вычислена в одномодовом режиме. Это обстоятельство отражает индекс 1 у Р1 (ч). Нетрудно видеть, что, выбирая в качестве поля в облучателе ЕГггас1 (формула (7)) другой базисный столбец, можно получить диаграмму направленности для любого другого, вообще говоря, многомодового режима возбуждения.

Заключение

В работе развивается оригинальный подход к вычислению векторной диаграммы направленности параболической зеркальной антенны, основанный на принципиально новом способе расчета отражательных характеристик рефлектора антенны. В основе предлагаемого подхода лежит использование метода погружения и представление рефлектора как неплоского торца (нерегулярной секции) цилиндрического волновода. В результате удается получить выражение для распределения векторного поля в апертуре антенны, в том числе, и в многомодовом режиме возбуждения. Развиваемый подход можно интерпретировать как принципиально новый шаг в развитии апертурной теории антенн.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бояркин С.В., Кузнецов В.Л. Метод инвариантного погружения в теории зеркальных антенн // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2013. - № 195. - С. 29-36.

2. Boyarkin S.V., Kuznetsov V.L. The Imbedding Method in the Internal Electrodynamics Problem of Parabolic Reflector Antennas. В сборнике: Progress in Electromagnetics Research Symposium, Сер. "PIERS 2013 Stockholm - Progress in Electromagnetics Research Symposium, Proceedings", 2013. - С. 144-148.

3. Амбарцумян В.А. Об одном случае задачи о рассеивающей и поглощающей среде конечной оптической толщены // Известия Академии наук Армении. - 1944. - № 1-2.

4. Barbanenkov Yu.N., Kouznecov V.L., Barbanenkov M.Yu. Transfer relations for electro- magnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization, Progress in Electro- magnetic Research: PIER, Vol. 24, 1999.

5. Barabanenkov Yu.N., Barabanenkov M.Yu. Energy Invariants to Composition Rules for Scattering and Transfer Matrices of Propagating and Evanescent Waves in Dielectric Structures // PIERS proceedings. Cambridge, 2006.

6. Кузнецов В.Л., Скобелев С.П., Филонов П.В. Модификация метода погружения для анализа решетки рупоров, возбуждаемых TE-волнами // Радиотехника. - 2010. - № 4.

7. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Уравнение погружения и малый параметр в задаче о нерегулярном волноводе // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56. - № 9.

8. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Уравнение погружения для обобщенной матрицы рассеяния в теории нерегулярных волноводов // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2010. - № 157. - С. 5-11.

9. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Митры. - М.: МИР, 1977.

10. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. - М.: МИР, 1974.

11. Антенны и устройства СВЧ // Расчёт и проектирование антенных решёток и их излучающих элементов / под ред. Д.И. Воскресенского. - М.: Советское радио, 1972.

12. Silver S. ed., Microwave Antenna Theory and Design, Peter Peregrinus, Ltd, London, 1984.

13. Вайнштей Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. - М.: Советское радио, 1966.

14. Скобелев С.П., Виленко И.Л., Сусеров Ю.А. и др. Комбинированный подход к анализу осесимметрич-ных рупорных антенн // Радиотехника. - 2007. - № 4. - С. 82.

15. Амитей Н., Галиндо В., Ву Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. - М.: МИР, 1974.

MODELING OF A VECTOR RADIATION PATTERN OF PARABOLIC REFLECTOR ANTENNA

Boyarkin S.V., Kuznetsov V.L., Lossiyevskaya T.V.

A new approach to a vector radiation pattern of parabolic reflector antenna calculation based on its reflector consideration as a no-planar end of circular waveguide and reflection coefficient calculation by invariant imbedding method, is developed. As a result, an expression for the distribution of the vector field at antenna aperture in multimode regime of excitation is obtained. The developed approach may be interpreted as a basic new step in the development of aperture antenna theory.

Key words: parabolic reflector antenna, invariant imbedding method, aperture-field method, vector radiation pattern.

Сведения об авторах

Бояркин Сергей Валерьевич, 1987 г.р., окончил МГТУ ГА (2010), аспирант МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование электродинамических процессов, дистанционное зондирование, радиолокационные системы.

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), профессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, УВД, безопасность полетов.

Лоссиевская Татьяна Владимировна, окончила МГУ им. М.В. Ломоносова (1965), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 30 научных работ, область научных интересов - методы решения уравнений математической физики, моделирование электродинамических систем.