К вопросу о классификации линейных коциклов над эргодическими автоморфизмами

Краткие сообщения

УДК 519.21

К ВОПРОСУ О КЛАССИФИКАЦИИ ЛИНЕИНЫХ КОЦИКЛОВ НАД ЭРГОДИЧЕСКИМИ АВТОМОРФИЗМАМИ

М. Е. Липатов

1

С помощью метода барицентра классифицируются комплексные линейные коциклы над эргодическими автоморфизмами. В явном виде строится сопрягающая случайная матрица.

Ключевые слова: линейные коциклы, классификация, барицентр.

We classify complex linear cocycles over ergodic automorphisms with the help of the barycenter method. A conjugating random matrix is built in explicit form.

Key words: linear cocycles, classification, barycenter.

Пусть T — эргодический, сохраняющий меру автоморфизм вероятностного пространства (Q, F, P). Произвольная случайная матрица A: Q — GL(N,K), где К — поле, порождает линейный коцикл, т.е. случайную последовательность An(w), которая задается формулой

An(u) :=

A(Tn-1u) ...A(TU)A(U), Id,

n ^ 1; n = 0;

A-1(T^и)... A-1(T-2u)A-1(T-1и), n < -1

GL(N, К)-значные коциклы An(w) и Bn(u) (и соответствующие случайные матрицы A(u) и В(и)) называются когомологичными, если существует случайная матрица C: Q — GL(N, К), такая, что

В

(здесь и ниже мы будем опускать слова "почти наверное" в соотношениях со случайными объектами, а также пользоваться принципом пренебрежения множествами меры нуль, в частности отождествляя случайные объекты, совпадающие mod 0).

В статье [1] для К = R доказывается, что любой линейный коцикл когомологичен коциклу, имеющему канонический вид. Однако используемая в доказательстве лемма Фюрстенберга не позволяет найти точный вид сопрягающей матрицы C(и). В работах [2, 3] в случае N = 2, К = R такая классификация осуществлялась с помощью метода барицентра.

В данной статье мы будем иметь дело с полем К = C. Случайное линейное подпространство U(и) в CN называется инвариантным относительно коцикла An(u), если U(Tu) = A(u)U(и) (определение случайного замкнутого множества можно найти в [1]). Из эргодичности автоморфизма T следует, что размерность такого подпространства — константа. Будем называть случайную матрицу A(u) неприводимой, если не существует нетривиальных (т.е. имеющих размерность, отличную от 0 и N) случайных подпространств, инвариантных относительно A„_(u). В настоящей работе мы распространяем метод барицентра на случай К = C и произвольного N для получения следующего комплексного аналога результата из [1].

Теорема. Любая GL(N, С)-значная случайная матрица когомологична блочно-треугольной случайной матрице с неприводимыми блочно-конформными случайными матрицами на диагонали

(

(A(1) (и) * * * \ 0 A(2) (и) * *

0 0 v 0 ...

A(i) (и) =

0 A

\

0

A{i\ )11(и) 0

\

0

A^i)

Gi (w)mi,m..

, i = 1,...,q,

/

1 Липатов Максим Евгеньевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: maxim.lipatov@gmail.com.

где Gi: Q — Smi — некоторые случайные перестановки и A^^y^ (ш) — некоторые конформные матрицы,

т.е. AHjJ(w) е{М е GL(di, С) : ММТ = ald,a> 0}.

Как будет видно из доказательства теоремы, метод барицентра позволяет явно построить сопрягающую случайную матрицу C(ш).

Проективное пространство Pd-1 (над полем C) SL(d, С)-эквивариантно отождествляется с SL(d, C)-орбитой некоторой точки границы на бесконечности Xd(<x>) симметрического пространства

Xd := SL

(см. [4, разд. 2.13; 5, с. 340]). Зафиксируем такое отождествление. Пусть po £ Xd. Обозначим через р функцию расстояния на Xd и через jpa,x(t) натурально параметризованную геодезическую в Xd, асимптотическую к x £ Xd(^>) и такую, что , x(0) = Po. Для борелевской вероятностной меры / на Pd-1 с Xd(^>) положим

Ко(p) •= bPChX(p)ß(dx),

Jpd-1

где

bpo,x(p) = lim p(7p0x(t),p) - t, p e Xd

t—

(bp0,x(p) — функция Буземана). Функция bp0 выпукла и для разных po отличается на константу, ее точка минимума (если он существует) называется барицентром меры ¡. Для каждого ненулевого линейного подпространства U С Cd обозначим через [U] индуцированное им проективное подпространство.

Предложение [5]. Пусть л — некоторая борелевская вероятностная мера на Pd_1 с Xd(<x>). Тогда барицентр b(ß) G Xd меры ß существует и единствен тогда и только тогда, когда ß([U]) < для

всех нетривиальных линейных подпространств U С Cd.

Доказательство теоремы. Пусть A • Q ^ GL(k, C) — неприводимая случайная матрица (о приведении произвольной случайной матрицы к блочно-треугольному виду с неприводимыми подматрицами на диагонали см. в [1]). Существует инвариантная эргодическая вероятностная мера для косого произведения

(и, x) ^ (Tu, A(u)x), (и, x) e Q x Pfc-\

вида л(du,dx) = P(du)ßw(dx) [6]. При этом условие инвариантности меры л таково: цтш ◦ A(u) = ¡лш (любую случайную меру ¡лш, удовлетворяющую последнему соотношению, будем называть инвариантной относительно коцикла An(u)).

Методом из статьи [1] доказывается, что (mod 0) мера ¡лш эквивалентна мере Лебега на случайном гладком равноразмерном проективном алгебраическом многообразии М(и) С Pfc_1. Пусть

1

M

i=1

— разложение на неприводимые компоненты, которые в силу гладкости М(и) являются непересекающимися комплексными многообразиями [7]. Из инвариантности меры л и эргодичности автоморфизма T следует, что 1(и) = const. Будем рассматривать такую нумерацию компонент, при которой они являются случайными множествами.

Так как всякая плоскость либо содержит неприводимое алгебраическое многообразие, либо пересекает его по подмногообразию меньшей размерности (см. [7]), то с вероятностью 1 из ¡лш([U] П Мг(и)) > 0 для некоторого линейного подпространства U С Ck и некоторого i следует, что Мг(и) С [U].

Зафиксируем и e Q. Пусть {Мг1 (и),..., Мгг (и)} — произвольный набор компонент, такой, что существует подпространство U С Cfc, для которого ([{/]) ^ и [U] содержит целиком только данные компоненты. Тогда среди всех таких подпространств U пересечение всех подпространств, содержащих данные компоненты, имеет наименьшую размерность. Пусть Ui ,...,Um — подпространства, обладающие вышеописанным свойством, с наименьшей размерностью с!(и) по всем рассматриваемым наборам {ii,..., ir}. Из инвариантности меры л и эргодичности автоморфизма T следует, что d(и) = d и т(и) = т — константы. Более того, Ui(u), ..., Um(и) можно выбрать измеримым образом, что, как и факты об измеримости других объектов, здесь мы оставляем без доказательства. Итак, набор {11г(и)}г=1,... ,m состоит из случайных линейных подпространств в Ck наименьшей размерности, для которых

/ мч dimЩ

Множество Z(и) = IJ [Ui(и)] инвариантно относительно коцикла An(u) (в том же смысле, что и слу-

i=1

чайные подпространства выше). Значит, в силу эргодичности меры ц получаем цш(Z(и)) = 1. Аналогично так как множество

W(и) = {][Щ(и) П U3(и)]

i=j

инвариантно, то цш(W(и)) = 0, поскольку в случае цш(W(и)) = 1 подпространства Ui(и) П Uj(и) удовлетворяли бы вышеупомянутому условию подпространств Ui(u), что противоречило бы минимальности размерности подпространств Ui(u). Получаем, что при i = j

([Ui(u)] П [Uj(и)]) = 0.

Тогда из инвариантности и эргодичности меры /л следует, что /лш([Щ(ш)]) = ^ для всех i. Кроме того,

J]dim Ui(u) < ([Ui(и)]) = кц.ш(U[Ui(u)]) = к.

Так как случайная матрица A(u) неприводима, то ^dimUi(u) = к и, следовательно,

m

Ck = 0 Ui(u).

i=1

Пусть a: Q — Sm — такая случайная перестановка, что A(u)Ui(u) = UG(u)i(Tu). Выберем случайный базис f, являющийся объединением случайных базисов подпространств Ui(u). Так же, как в статье [1], рассмотрим динамическую систему (Q,P,T), где Q := {1 ,...,т} х Q, P({i} х А) := (г = 1,...,т,

A G F) и T(i,u) := (a(u)i,Tu), и "поднятый" GL(d, С)-значный коцикл An(i,u) над (р, P,T), порожденный матрицей случайного оператора

LfaHi (Tu)A(u)L\ (и)-1,

где Lj(и) : Ui(u) — Cd — случайный изоморфизм, переводящий базис подпространства Ui(u) в стандартный базис пространства Cd. Обозначим

An(i,u) := Afn(i,u)/(det An(i,u))1/d,

где используется главная ветвь корня. Случайная мера ¡!(^ш) = m  о Li (и)-1 на Pd-1 инвариантна относительно коцикла An(i,u).

Из построения подпространств Щ(и) следует, что mod 0 < для всех нетривиальных

линейных подпространств U С Cd. Значит, по вышеприведенному предложению mod 0 существует единственный барицентр Ъ(р,(^ш)) G Xd. Доопределяя это выражение точкой o = SU(d) на множестве меры

нуль, получаем измеримую функцию b: Q — Xd. В силу инвариантности меры и изометричности

канонического действия группы SL(d, C) на Xd имеем b(TU) = Af (U)b(U). Пусть Cf: Q — SL(d, C) — такая измеримая функция, что b(U) имеет вид Cf (U)SU(d). Получаем

Cf (TU)-1Ai (U)Cf (U)o = o.

Значит,

c f

для некоторой случайной матрицы Bf: Q — SU (d). Тогда

Cf (Tu)-1Af (U)Cf (U) = (det Af (U))1/dBi (U).

Здесь справа стоит конформная матрица. Возвращаясь так же, как в [1], к исходной динамической системе, для соответствующих случайных матриц B(u) и C(и) получаем C(Tu)-1 A(u)C(и) = B(и), причем случайная матрица B(и) блочно-конформная. Теорема доказана.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору В. И. Оселедцу за постановку задачи и внимание к работе.

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 11-01-00982-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Arnold L, Nguyen Dinh Cong, Oseledets V.I. Jordan normal form for linear cocycles // Random Oper. Stochast. Eq. 1999. 7, N 4. 303-358.

2. Oseledets V.I. Classification of GL(2,R)-valued cocycles of dynamical systems. Report N 360. Bremen: Institut fur Dynamische Systeme, Universitat Bremen, 1995.

3. Thieullen Ph. Ergodic reduction of random products of two-by-two matrices //J. Anal. Math. 1997. 73, N 1. 19-64.

4. Eberlein P.B. Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago; London: The University of Chicago Press, 1996.

5. Kapovich M., Leeb B., Millson J. Convex functions on symmetric spaces, side lengths of polygons and the stability inequalities for weighted configurations at infinity //J. Diff. Geom. 2009. 81, N 2. 297-354.

6. Arnold L. Random dynamical systems. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1998.

7. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Т.1: Алгебраические многообразия в проективном пространстве. М.: Наука, 1988.

Поступила в редакцию 12.03.2012

УДК 519.214.6

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА СО СЛУЧАЙНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

В. П. Демичев1

В статье доказывается функциональная предельная теорема для решений уравнения Бюргерса, соответствующих последовательности начальных потенциалов, задаваемых определенными полями дробового шума.

Ключевые слова: уравнение Бюргерса, случайные поля дробового шума.

A functional limit theorem is proved for solutions to Burgers' equation corresponding to the sequence of initial potentials determined by specified shot noise random fields.

Key words: Burgers' equation, shot noise random fields.

1. Введение. Важную роль в математической физике играют уравнение Бюргерса и соответствующая ему задача Коши

+ (v,Vx)v = ±vAxv, v(0,x) = v0(x) = -V£(x), _ (t, x) G R+ x Rd, v G Rd, v > 0.

При некоторых условиях на начальный потенциал £(•) оператор A, определяемый соотношением

- у)ехР Ц {Ш ~Ы\Х~ УII2)} dv

v(t,x) = (A£)(t,x) =

^PÎïï (t(v) - è\\x - у\\2)} dy

задает решение задачи Коши. В современной теории уравнения Бюргерса со случайными начальными данными выделились два основных направления исследований — изучение асимптотики решений, когда £ — гауссовское случайное поле и когда £ — поле дробового шума. Последний случай рассматривается в работах А. В. Булинского [1], А. В. Булинского и С. А. Молчанова [2], Д. Сургайлиса и В. А. Войчинско-го [3] и др. Функциональные предельные теоремы для решений уравнения Бюргерса (преобразованных

1 Демичев Вадим Петрович — студ. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vadim.demichev@gmail.com.