Применение критериев согласия для решения задач обнаружения сигналов неизвестной формы в частотной области

УДК 621.396.41

А.Г. Вострецов, В.А. Богданович, М.В. Гундарева

Применение критериев согласия для решения задач обнаружения сигналов неизвестной формы в частотной области

Предложены алгоритмы обнаружения сигналов неизвестной формы в частотной области на основе совместного применения критериев согласия и принципа инвариантности. Исследование эффективности алгоритмов проводилось методом статистических испытаний на ЭВМ.

Ключевые слова: критерий согласия, принцип инвариантности, обнаружение сигналов.

Задача обнаружения сигнала в заданном частотном интервале возникает во многих практических приложениях, в частности, при мониторинге радиочастотного диапазона. Основной проблемой, которую приходится решать при обзоре диапазона частот, является то, что прием сигналов всегда ведется в присутствии шума, спектральная плотность которого может изменяться в широких пределах, мощность, несущая частота, вид модуляции принимаемых сигналов, особенно при работе несанкционированных источников электромагнитного излучения, заранее, как правило, не известны. Применяемые в настоящее время алгоритмы обнаружения сигналов требуют для своей реализации либо априорного знания энергетического спектра шума, либо его предварительной оценки, а сигнал обнаруживают на основе оценки его энергетического параметра. Однако зачастую в таких системах отсутствует априорная информация о спектре шума, а его оценка в полосе частот, близкой к ширине спектра сигнала, крайне затруднительна. Первой работой, в которой решение задачи обнаружения в заданном частотном интервале сигнала неизвестных уровня и формы на фоне шума с неизвестной спектральной плотностью не предполагало оценивать уровень шума и сигнала, была работа [1]. Используемый в ней подход основан на применении принципа инвариантности для преодоления априорной неопределенности уровней сигнала и шума и критерия согласия Пирсона для преодоления априорной неопределенности формы сигнала. Для преодоления априорной неопределенности фазы сигнала в работе [1] использовались модульные статистики, а для преодоления априорной неопределенности шума - нормировка к максимальному значению.

Цель настоящей работы - разработка и исследование алгоритмов, построенных на основе широко распространенных интегральных критериев согласия Колмогорова, Смирнова, га2 Крамера-Мизеса-Смирнова и О2 Андерсона-Дарлинга и сравнение их с результатами работы [1].

Постановка задачи

Как и в работе [1], будем предполагать, что обнаружение сигнала производится в достаточно узкой полосе частот, так что энергетический спектр шума в ее пределах можно считать приближенно постоянной (белый гауссовский шум). При переходе от одного частотного интервала к другому значение энергетического спектра может изменяться и является априорно неопределенным. В качестве информативного признака, позволяющего обнаружить присутствие сигнала, будем использовать отличие по форме энергетических спектров шума и смеси сигнала и шума. Спектр шума в рассматриваемой полосе частот является приближенно равномерным, в то время как спектр смеси сигнала и шума - существенно неравномерным, причем уровни этих спектров априори не известны.

В качестве наблюдаемых данных примем матрицу X, составленную из векторов

Хп = \Xrii,/' = 1,В}, п = 1,N, где ХП1 - коэффициенты дискретного преобразования Фурье

комплексной огибающей наблюдаемого процесса, выполненного на интервале длительностью At, N и В - соответственно число временных интервалов, используемых алгоритмом для реализации процедуры обнаружения, и число спектральных отсчетов в выделенном частотном диапазоне.

Как и в работе [1], для преодоления априорной неопределенности уровней сигнала и шума, а также начальной фазы сигнала, используем статистический принцип инвариантности [2], однако в качестве нормирующей статистики примем не максимальное значение из полученных в заданном

частотном интервале модулей спектральных отсчетов, а их сумму, в результате получим рабочую статистику в виде матрицы Z, составленной из векторов Zn = \гпг, г = 1,В}, п = 1,N, где

Статистики (1) при всех п являются инвариантными относительно унитарных и масштабных преобразований исходных выборок Хп . Это обеспечивает независимость их характеристик от уровня шума и аргументов комплексных коэффициентов ДПФ. При наличии сигнала группе масштабных преобразований соответствует такое изменение энергетических спектров сигнала и шума, при котором отношение сигнал/шум остается неизменным, группе унитарных преобразований -произвольное изменение начальной фазы сигнала [3]. Таким образом, статистики (1) представляют собой нормированный амплитудный спектр наблюдаемого процесса.

В отсутствие сигнала в силу того, что все компоненты наблюдаемой выборки X статистически не зависимы, подчинены гауссовскому распределению с нулевым средним и одинаковой дисперсией

ст2 , все компоненты 2п1 статистики Z будут иметь ^-распределение Фишера с 2,2В — 2 степенями свободы, при больших значениях В они будут приближенно статистически независимыми. При наличии сигнала, в силу неравномерности его спектра в пределах анализируемого частотного интервала, распределения этих статистик будет отличаться от ^-распределения Фишера. Поэтому задача обнаружения сигнала может быть сформулирована как задача проверки статистической гипотезы о том, что наблюдаемая выборка представляет собой выборку из ^-распределения Фишера. В математической статистике для решения подобных задач успешно используются непараметрические критерии согласия [4, 5]. Ниже данный подход будет применен к решению задачи обнаружения сигнала.

Построение алгоритмов обнаружения

Поскольку в нашем случае проверяемая гипотеза является простой (все наблюдаемые данные принадлежат единственному распределению - распределению Фишера ¥(2,2В — 2) с 2,2В — 2 степенями свободы), то предельные распределения статистик известных критериев согласия Колмого -рова, Смирнова, га2 Крамера-Мизеса-Смирнова и О2 Андерсона-Дарлинга не зависят от вида наблюдаемого закона, то есть эти критерии являются “свободными от распределения” [5]. Для построения алгоритма обнаружения сигнала воспользуемся методикой [5], в соответствии с которой расположим компоненты 2пг рабочей статистики Z в порядке их возрастания, получив, таким образом, вариационный ряд V = {у\У2,...ум}, где М = BN, у = тт(гпг-), гм = тах(^пг-),

п,г п,г

у <г2 <гз <...<гм . В настоящей работе в качестве алгоритмов обнаружения рассматривались четыре критерия согласия - критерии Колмогорова, Смирнова, га2 и О2. Методика их построения состоит в следующем [5].

*

В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляется значение статистики 5 критерия (статистики Колмогорова, Смирнова, Крамера-Мизеса-Смирнова и Андерсона-Дарлинга).

В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение

где g(я|Но) и 0(51Но) - соответственно плотность вероятности и интегральная функция распределения статистики критерия при справедливости гипотезы Но . Если р{5>5 } >а , где а - задаваемый уровень значимости (вероятности ложной тревоги), то принимается решение об отсутствии сигнала. В противном случае принимается решение о наличии сигнала в наблюдаемой выборке.

Можно вычисленное значение статистики 5 сравнить с критическим значением 5а, опреде-

+Х>

ляемым из условия а= | g(я|Но^я = 1 —0(5а |Но).

5а

*

Решение о наличии сигнала принимается, если значение статистики 5 попадает в критиче-

*

скую область, т. е. при 5 > 5а , т.е. алгоритм обнаружения сигнала имеет следующий вид:

* І1, S* >Sa

ФОП = Г V a

[0, S < Sa.

Статистика S для перечисленных критериев имеет следующий вид [6]:

гДе DM = max(+,Dm) ,

* 6MDm +1/

Sk =--¡=—

6VM

D+= max \M-F2,2B-2

M 1<i<M [M J

DM = max jF2,2B-2

1<i<M [ M J

M - объем выборки Z, \i,V2,...,vm - упорядоченные по возрастанию выборочные значения zni, F2,2£-2(') - интегральная функция распределения Фишера с 2,2 B - 2 степенями свободы;

* (++1)2

S^ =----9M------

где D+ задается выражением (5);

* 1 M Г 2i-1]

S“ = 12M + 2-'[F2,2B-2

* M Г 2i -1 2i -1^ 1

SQ = M - 4f

Пороговое значение Sa для каждой из статистик при больших объемах выборки можно определить, используя предельные распределения указанных статистик [6] или выбрать их из соответствующих таблиц, приведенных в работе [5]. Значения порога для случая a = 0,01 приведены в таблице (первая строка соответствует данным работы [5], вторая строка - значения, полученные в эксперименте для выборки объемом 1800; различие объясняется, видимо, наличием зависимости между статистиками (1) для разных частот).

Пороговое значение статистик Sa

Критерий Колмогорова Критерий Смирнова Критерий ю2 Критерий Q2

1,6276 9,2103 0,7434 3,8781

1,36 6,4 0,333 1,95

Исследование эффективности алгоритмов обнаружения

Для проверки эффективности алгоритмов было проведено их исследование методом имитационного моделирования. В качестве параметра, характеризующего неравномерность спектра, был принят коэффициент неравномерности спектра

В «Г «

r =-

(в-ОН2 -1

1 в

8 - - £8 i=1

где 5 = {б/, г = 1« - вектор масштабных параметров, определяющих форму энергетического спектра

наблюдаемого процесса (в общем случае - смеси сигнала и шума). В ходе имитационного моделирования осуществлялись статистические испытания алгоритмов обнаружения сигнала (3), в ходе которых для каждого алгоритма строилась зависимость вероятности правильного обнаружения сиг-

В*

нала от коэффициента неравномерности. Для этого в спектральной области в полосе частот (fd - частота дискретизации) моделировались значения статистик Хп ={хиг-,/ = 1,В}, п = 1,N, в со-

ответствии с законом Гаусса таким образом, чтобы в каждом опыте форма энергетического спектра моделируемых случайных спектральных составляющих была случайной, но с фиксированным ко -эффициентом неравномерности г. При моделировании было принято В = 18, N = 100, число испытаний каждого алгоритма К = 10000 . В каждом опыте из статистик Хи в соответствии с описанными выше процедурами формировались статистики (4), (7) - (9) алгоритмов обнаружения (3), которые сравнивались с соответствующим порогом, взятым из табл. 1. Число Ь превышений порога

фиксировалось, оценка вероятности правильного обнаружения вычислялась как Д = —. Средне-

К

квадратическое отклонение полученной таким образом оценки составит величину стр =

Л

относительная ст

среднекв адратиче ская

К

погрешность

с; -Л

оценки О р =^7" =

р.

р

(1 - р) рк

, где р - истинное значе-

Рис. 1. Зависимость относительной погрешности от значений оцениваемой вероятности

ние оцениваемой вероятности. Зависимость относительной погрешности от значений оцениваемой вероятности при К = 10000 приведена на рис. 1.

Таким образом, среднеквадратическая погрешность оценки вероятностей в диапазоне 0,01-0,99 не превысит 10%.

Зависимости вероятности правильного обнаружения сигнала от коэффициента неравномерности спектра и отношения сигнал/шум для исследуемых алгоритмов приведены на рис. 2.

Рис. 2. Зависимости вероятности правильного обнаружения сигнала от коэффициента неравномерности спектра и отношения сигнал/шум для исследуемых алгоритмов

Кривая 1 соответствует алгоритму на основе критерия Пирсона из работы [1], кривая 2 - алгоритму на основе критерия О2, кривая 3 - алгоритму на основе критерия ю2, кривая 4 - алгоритму на основе критерия Смирнова и кривая 5 - алгоритму на основе критерия Колмогорова. Видно, что наиболее эффективным является алгоритм на основе критерия согласия Пирсона, так как он на основе группирования наблюдаемых данных реагирует на отличие плотности вероятностей при альтернативе от плотности вероятностей при нулевой гипотезе. Рассмотренные в настоящей статье алгоритмы на основе критериев согласия Колмогорова, Смирнова, ю2 Крамера-Мизеса-Смирнова и О2 Андерсона-Дарлинга основаны на свойствах интегральной функции распределения и в нашем случае обладают меньшей эффективностью - проигрывают в пороговом отношении сигнал/шум алгоритму на основе критерия Пирсона примерно 3 дБ при вероятности правильного обнаружения равной 0,9.

Заключение. При обнаружении сигналов неизвестной формы на фоне белого гауссовского шума целесообразно в качестве признака присутствия сигнальной составляющей в наблюдаемой вы-

1

2

3

4

5

борке использовать коэффициент неравномерности спектра, а алгоритмы обнаружения строить на основе непараметрических критериев согласия. Из исследованных алгоритмов наиболее эффективным является алгоритм на основе критерия согласия Пирсона, алгоритмы на основе критериев согласия Колмогорова, Смирнова, ю2 Крамера-Мизеса-Смирнова и О2 Андерсона-Дарлинга, широко используемые на практике и использующие свойства интегральных функций распределения, уступают первому в пороговом отношении сигнал/шум 3 дБ.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-07-00078-а).

Литература

1. Богданович В.А. Построение инвариантного алгоритма обнаружения сигналов в частотной области на основе критерия согласия / В.А. Богданович, Ё.Ю. Бородич // Доклады АН ВШ РФ. -2010. - № 1(14) . - С. 74-83.

2. Леман Э. Проверка статистических гипотез. - М.: Наука, 1979. - 408 с.

3. Богданович В.А. Теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов / В.А. Богданович, А.Г. Вострецов. 2-е. изд. - М.: Физматлит, 2004. - 320 с.

4. Крамер Г Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 720 с.

5. Лемешко Б.Ю. Р 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. - Ч. I. Критерии типа хи-квадрат / Б.Ю. Лемешко, В.И. Денисов, С.Н. Постовалов. - М.: Изд-во стандартов, 2002. - 91 с.

6. Большев Л.Н. Таблицы математической статистики / Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. - М.: Наука, 1983. - 416 с.

Вострецов Алексей Геннадьевич

Д-р техн. наук, профессор, проректор по научной работе Новосибирского государственного технического университета Тел.: 8 (383) 346-48-72 Эл. почта: vostretsov@adm.nstu.ru

Богданович Вениамин Алексеевич

Д-р техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник Филиала ОАО «ВНИИРА»

«ВНИИРА-Навигатор», г. Санкт-Петербург

Тел.: 8 (812) 369-36-09

Эл. почта: bogdanovichv@mail.ru

Гундарева Мария Валерьевна

Аспирант кафедры конструирования и технологии РЭС Новосибирского государственного технического университета Тел.: 8 (383) 346-50-61 Эл. почта: konsyelo@mail.ru

Vostretsov A.G., Bogdanovich V.A., Gundareva M.V

Application of goodness of fit criteria for detection of signals with unknown shape in frequency domain

Algorithms of detection of signals with unknown shape in the frequency domain based on the joint application of goodness of fit criteria and the principle of invariance are suggested. Investigation of the efficiency of algorithms is implemented by the method of computer statistical tests.

Keywords: invariance principle, goodness-of-fit test, signal detection.