Нахождение максимумов амплитуд упругих колебаний пластин при возбуждении радиочастотным магнитным полем

Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 22 (377).

Физика. Вып. 21. С. 127-135.

УДК 537.6, 537.86

НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМУМОВ АМПЛИТУД УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ РАДИОЧАСТОТНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Л. Н. Котов, П. А. Северин, В. С. Власов, Д. С. Безносиков

ФГБОУ ВПО «Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина», Сыктывкар, Россия

Найдены максимумы амплитуд упругих колебаний в зависимости от материальных констант и параметров постоянного и переменного магнитных полей в нормально намагниченной ферритовой пластине при её возбуждении радиочастотным магнитным полем. Для решения этой задачи использован алгоритм «имитация отжига». Построены трёхмерные графики резонансных поверхностей упругих колебаний в зависимости от толщины пластины, параметров затухания упругих, магнитных колебаний и значений констант магнитоупругости.

Ключевые слова: магнитное возбуждение колебаний, максимум амплитуд упругих колебаний, алгоритм «имитации отжига»

Моделирование релаксационных, магнитных и упругих свойств магнитоупорядоченных структур на основе систем дифференциальных уравнений с учётом граничных условий стало возможным с использованием современных математических методов [1; 3; 6; 8; 10; 15], к которым можно отнести и методы глобальной оптимизации [13].

Исходя из отношения точности получаемых результатов и сложности реализации применение алгоритма «имитации отжига» (далее — АИО) является одним из наиболее перспективных методов глобальной оптимизации, если детерминистические алгоритмы для решения соответствующих физических задач отсутствуют [12].

Настоящая работа посвящена применению АИО для поиска максимумов амплитуд упругих колебаний в зависимости от материальных параметров и параметров внешних полей в нормально намагниченной магнитной пластине, возбуждаемой внешним радиочастотным магнитным полем. Практическая значимость решения задачи нахождения максимумов амплитуд упругих колебаний пластин состоит в том, что результаты моделирования могут быть использованы для определения материальных характеристик, а также параметров внешних полей, при которых могут работать миниатюрные мощные акустические излучатели, обладающие магнитострикционного эффектом [2]. Поскольку экспериментальный поиск максимумов амплитуд упругих колебаний обычно затруднён

из-за отсутствия мощных радиочастотных генераторов и чувствительных приёмников с малым уровнем шума, то проведённый расчёт позволяет сузить частотный и амплитудный диапазоны возбуждающих внешних магнитных полей, в которых необходимо осуществлять исследование. То есть решение этой задачи позволяет уменьшить финансовые затраты и время поиска максимумов амплитуд упругих колебаний ферритовых пластин.

Метод имитации отжига

Решение систем дифференциальных уравнений с учётом граничных условий можно свести к более общей задаче поиска экстремумов целевой функции, которая является отображением определённых моделируемых характеристик (например, степени хаотичности возбуждаемых колебаний, амплитуды упругих и магнитных колебаний) в действительное число.

Одним из наиболее эффективных методов глобальной оптимизации является метод АИО, используемый для решения большого класса проблем. Его преимуществом является то, что даже в условиях ограниченности вычислительных ресурсов он позволяет найти один из экстремумов, близкий по значению к глобальному [9; 11; 14]. В настоящей работе производится верификация полученных данных путём построения поверхностей с областями экстремумов в обнаруженном при помощи АИО диапазоне.

Уравнения движения вектора намагниченности в пластине

Рассмотрим полную систему дифференциальных уравнений для задачи о возбуждении магни-тоупругих колебаний радиочастотным магнитным полем в нормально намагниченной ферритовой пластине [6]. Геометрия задачи показана на рис. 1. В её основе лежит плоскопараллельная пластина толщины ё, обладающая магнитными, упругими и магнитоупругими свойствами. Материал пластины имеет кубическую кристаллографическую симметрию, плоскость (100) которой совпадает с плоскостью пластины (слева показана схема ориентации кубической ячейки). Вектор внешнего постоянного магнитного поля Н 0 направлен нормально, а вектор переменного магнитного поля И — тангенциально к поверхности пластины.

z;

OJIH

1 H

7 С - h

O; ----y-x-y*-

/ * / /

Рис 1. Геометрия задачи

Задача решается в декартовой системе координат Охуг. Плоскость Оху совпадает с плоскостью пластины, а оси Ох, Оу и 02 параллельны рёбрам куба кристаллографической ячейки. Центр системы координат О находится в центре пластины, так что координаты плоскости соответствуют координатам 2 = +ё/2.

Полагая полную плотность энергии пластины и в поле

Н = {Их; Иу; Но}

равной сумме плотностей магнитной, упругой и магнитоупругой энергий, получаем [3]

и = - М0И т - М0 И т - М0 Н0 т + 2% МО т1 +

0 хх 0 у у 00 2 0 2

+ 2 + иУу + и2 ) + С12(иххиуу + иууи22 + и22ихх ) +

+ 2С44(и1у + К + и1) + В1(Ж1ихх + т1иуу + ^Лг ) +

+ 2В2

где т = М /М 0 — нормированный вектор намагниченности;

M0 — намагниченность насыщения; Си, c12, c44 — константы (модули) упругости; B\, B2 — константы магнитоупругого взаимодействия.

В этом выражении компоненты тензора деформаций равны [4]

1 ( д и. ди,

uik = —-\-L +--

2 х- д х.

где и, — компоненты упругого смещения при i = х, y, z, х, — координаты х, y, z.

При этом тензор напряжений имеет вид

=

1 + 8*

2 ди,,,

где Ъ,к — символ Кронекера.

Уравнение движения для намагниченности (уравнение Ландау — Лифшица с диссипативным членом в форме Гильберта):

дт

~дГ

= -у-[ т х He J + a'

дт

~дГ

где у — гиромагнитная постоянная (у > 0); а — параметр затухания; Не — эффективное поле, равное

1 ди

H„ =-

M0 д т

Уравнения движения для упругих смещений [4]:

Р--

д2и, д и, да,,

д t2

+ 2ßp-

д t

д х,

где р — плотность материала пластины; Р — параметр затухания.

В работе [6] проводилось упрощение задачи для случая возбуждения только первой упругой моды и рассмотрении только однородных колебаний вектора намагниченности в пластине. В результате задача сводилась к системе 7 обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка:

дтх

У

\_(ту +a тхт ) • Hez -

дt 1 + a2 — -

-Oz-a ШуШх)  Hey-a  (т2у + ml)  нх J;

дту

У

\_(т +amymx ) Hех -

д 1+a

-(тх -a тт )  Hez -a К2 + тх2)  Hey ];

дтz

-Г(т +aт т ) H -

\ ^ х z y' ey

Dt 1+a " "

-(ку-a тт)  H<a К2+т1)  Hz];

У

Cv

—- = w ; Ct "

Hy = hy + M M0c

B2 2 2B2 -mm--mvy,

y z M0 d z y

dv„

——= w '

ct Wy'

Cw,

= -2p wx -

C44 Л P d 2

V +

4 B2 d

G,

Cw c к

-L = - 2P w - ^

д t y p d

2 vy +'

4 B2 d

Gv.

Выражения для компоненты упругого смещения имеют следующий вид:

B2 . i л

=--— m,mz • z + v, sinI — z

c

44

B,

d

u, =---mmz  z + v, sin I — z

y ~ y z y \ d

где ух, уу — амплитуды однородной части упругой моды.

Входящие в уравнения (1)-(3) эффективные поля определяются следующими выражениями:

He, = К + *

B2 2 2 B2 -m,m, -

M 0 C44

M 0 d

Hez = H0 - 4лМ0mz +

2 B2

B2

M 0C44

•mz (m-2 + ш2) -

M 0 d

2 B2

- mvvv.

M0 d y y

Входящие в уравнения (6), (7) функции Gx и Gy определяются следующими выражениями:

G = m

д m,

д t

C2m

_z

д t2

+ 2p

+ m

C2mx ~dtr

+ 2

д mx

~дГ

д m,

m

- + m.

д m,

Gy = my—

д m

_z

д t

+ 2p

+ m.

m

д t

д 2m _y

д t2 д m

д mx

~дТ

•+ 2-

д m _y

д t

д t

-+m.

д my ^

~дГ

Входящие в (7) и (8) первые производные от намагниченности по времени определяются выражениями (1)—(3), а вторые производные от намагниченности определяются следующими выражениями:

д2mx

~дГ

1+а2

д ш,

~дГ

а

дш2

ИГ

m

д mx ~дГ

Hz -

Cmz

-а•

д

m

дш ^ + ш,—1 дt y Ct

Hey -

-2а

m

дш _У

ct

д ш

Л

+ш

z д t

H + ( + ) H ( ) H ( 2 + 2) дН,

Н- + К + а mm)  - (mz-а ) - а  К +

дt

Ct

Ct

д my д/

1 + а2

дш,

+ а-I my

Ct { y Ct

Cm,

+ m,

Cmy

Ct

Hx -

Cm,

—- - а^ш,-:

Ct { y Ct

Cmz

- + mz

д

_y

Ct

Hz -

i Cm Cm -2а  m -- + m

Ct

CH CH дH H + (m+а mm)--— - (m -а m m )---— а  (m2 + m2)--—

Ct j y Ct " z y Ct z Ct

C2mz Ct

1 + а2

Cm,

-2а

m,

Cm,

Ct Cm \

i д m Cm ^ + m -- + m -:

^ z Ct y Ct j

Hy -

д my

~д7

- ач m.

dmx ~df

- + m,

Cm2 ~dt

H , -

- + mv-^

Ct y Ct

CH

_e

Ct

CH

H + (m +аm m )--— - (m -аm m ) - а(m2 + m2)- ez

ez \ , z y' ^, ^v , z s ^, v, y'

CH

Ct

Ct

Входящие в (10)—(12) первые производные от полей по времени определяются следующими уравнениями [6]:

дНе. д/

дИх д/

2В2

М 0 ё

-т„м +

В2

М 0 С44

дтх

~дГ

2В2

М 0

В,

-т т--V

х 2 ё х

дт2

~дГ

дН е д/

дк1 д/

2В2

-— т м +

М0 ё 2 у

В2

М 0 С44

дту д/

2 В2

(

М 0

В2

с тут2-

\ 44 "у

дт2

~дГ

дНв д/

2В2

2В2

М 0 ё

М 0 ё

-туму +

2 В2

М

В2 1

—— тхт2--vx

с44 ё

2 В2 ( В,

М 0

4 л М 0 -

В2

-2—

М „с,, у

дтх

дту д/

дт2

~дГ

Таким образом, система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1)—(7) является исходной системой для расчёта амплитуд магнитоупругих колебаний и их оптимизации АИО. Система уравнений (1)-(7) решалась методом Рунге — Кутта Фельберга 7-8 порядков с контролем длины шага интегрирования.

Максимизация значений упругого смещения

При решении задачи о нахождение максимумов компонент намагниченности и упругого смещения в нормально намагниченной магнитной пластине брались константы упругости (с44 = 7,64-10п эрг-см-3)и плотность материала пластины (р = 5,0 г-см- ) принимались как неизменные входные параметры модели.

Некоторые параметры изменялись при поиске максимума упругого смещения в указанных диапазонах:

- константа магнитоупругого взаимодействия В2 — от 106 до 108 эргсм-3;

- параметры затухания магнитной и упругой систем — а от 0,002 до 0,5, в от 10 до 10 с- ;

- толщина пластины ё от 10- до 10- см;

- намагниченность насыщения М0 от 50 до 600 Гс;

- величина постоянного поля Н0 превышала поле насыщения 4лМ0 на значения от 0 до 200 Э, частота переменного поля ю0 варьировалась от 108 до 3-1010 с-1;

- амплитуда компоненты переменного поля И0х изменялась от 0,05 до 50 Э.

Зависимости амплитуд колебаний от времени рассматривалось с шагом 10- с на временном отрезке от 0 до значения времени релаксации, оценённого формуле [3] т = (а^юге,+ в)-1 и помноженного на корректирующий множитель 32 (для наличия «запаса» по времени, необходимого для установления колебаний).

Согласно [3], максимальные значения упругого смещения должны иметь место вблизи частоты упругого резонанса, значение которой оценивалось по формуле

-44 р ё

Вместе с тем при поиске максимума амплитуды упругого смещения их данный параметр рассматривался как варьируемый, поскольку в случае большого уровня нелинейности наблюдается «затягивание» магнитной подсистемы упругой (то есть уменьшения амплитуды магнитных колебаний за счёт «перекачки» энергии в упругую подсистему); уровень упругих колебаний при точном соблюдении условий обоих резонансов может быть не максимальным.

Константы и параметры модели, соответствующие найденному максимуму, приведены в первой строке таблицы. Максимум наблюдается при наибольших значениях постоянного поля и намагниченности насыщения из допустимого диапазона поиска. Значение толщины пластины и амплитуды компоненты переменного поля И0х также являются практически «максимальными», но несколько не достают верхней границы диапазона из-за основного «ограничивающего» фактора — критического угла прецессии, который для данной модели составляет п/12 [6].

Рассмотрим трёхмерные резонансные зависимости амплитуды их компоненты упругого смещения их на поверхности пластины (2 = а/2) от тех входных параметров, значения которых не стремятся к границам диапазонов поиска (при вычислении максимальной амплитуды их учитывается значения их, находящиеся во временном интервале, составляющем 1/5 от общего времени расчета).

Положение максимумов на рис. 2 объясняется обратно пропорциональной зависимостью частоты

упругого резонанса от толщины пластины, которая определяется формулой (13). На рис. 3 видно уши-рение главного и второстепенного максимумов при изменении магнитного параметра диссипации а от 0,01 до 0,026 (примерно в 1,5 раза), что связано с ростом частоты релаксации магнитоупругих колебаний, которая определяет ширину резонансных пиков [3]. Видимого уширения резонансных максимумов при изменении параметра затухания упругой подсистемы в на рис. 4 не происходит. Это наблюдается потому, что для выбранного при построении (рис. 4) диапазона параметра в, частота релаксации упругих колебаний значительно меньше частоты релаксации магнитных колебаний, изменение значения в не даёт весомого вклада в частоту релаксации магнитоупругих колебаний и, следовательно, в ширину пиков.

На рис. 2-5 можно видеть резонансные поверхности с главным максимумом в центре

и второстепенными по бокам. Такая система резонансных максимумов обусловлена тем, что исследуемая колебательная система состоит из взаимодействующих магнитной и упругой подсистем. Магнитная подсистема является нелинейной, а упругая — линейной. Дополнительные резонансные пики соответствуют резонансам на комбинационных частотах магнитной и упругой подсистем.

Для возможности сравнения с существующими результатами был проведён поиск при параметрах, указанных в работе [6].

Константы и параметры модели, при которых наблюдается максимум при поиске для фиксированной толщины пластины (4 = 6,865-10~5см), приведён во второй строке таблицы. В статье [6] было получено значение величины упругого смещения при аналогичной толщине пластины (3 строка таблицы).

Рис. 2. Зависимость амплитуды их от толщины пластины и частоты переменного поля

Рис. 3. Зависимость амплитуды их от параметра затухания магнитной подсистемы

и частоты переменного поля

Рис. 4. Зависимость амплитуды Пх от параметра затухания упругой подсистемы и частоты переменного поля

Рис. 5. Зависимость амплитуды их от константы магнитоупругого взаимодействия В2 и частоты переменного поля

Константы и параметры для максимального значения их

Пх, см й, см а в, с1 М0, Гс В2, эргсм 3 Ьсх, Э Ю0, •с 1 Но, Гс

1,06 10-5 8,1110-3 1,87-10-2 4,28^104 599,90 3,78-107 49,43 1,51108 7740

7,5-Ш-8 6,86-10-5 2,0Ы0-3 2040 289,30 5,4б407 19,83 1,78^1010 4110

4,5-10-10 6,86-10-5 0,02 109 139,26 б,9б^10б 20,00 1,7б1010 2750

Таким образом, показана возможность возбуждения упругих колебаний на частотах гиперзвука, при котором его амплитуда для аналогичной толщины пластины превышает указанную в работе [6] более чем на 2 порядка.

Необходимо отметить, что данный результат был получен посредством применения АИО без привлечения дополнительной информации об области значений параметров, в которой имеет место максимум амплитуд упругого смещения. Это указывает на важность применения метода отжига при исследовании моделей нелинейного возбуждения колебаний в многослойных плёночных структурах, что является сейчас актуальной задачей [4; 5; 7].

Заключение

В данной работе показана перспективность применения АИО к исследованию нелинейных физиче-

ских систем большой размерности, в том числе релаксационных, магнитных и магнитоупругих свойств магнитоупорядоченных систем. Действие АИО продемонстрировано на задаче нахождения максимума упругих смещений в нормально намагниченной ферритовой пластине. Построены трёхмерные резонансные поверхности зависимостей амплитуды упругих смещений от толщины пластины, частоты ферромагнитного резонанса, параметров и констант затухания, магнитоупругой константы. На основе анализа трёхмерных резонансных поверхностей определены области эффективного возбуждения гиперзвука путём определения значений материальных параметров и внешних полей, соответствующих максимуму упругого смещения для двух значений толщины пластины с учётом основных ограничений используемой модели.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-02-01401-а.

Список литературы

1. Асадуллин, Ф. Ф. Исследование магнитных и упругих колебаний в ферромагнитной плёнке в области резонанса / Ф. Ф. Асадуллин, Д. С. Безносиков, В. С. Власов, Л. Н. Котов // Вестн. Челяб. гос. ун-та. - 2008. -№ 3. Физика. - С. 11-19.

2. Власов, В. С. Анализ нелинейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов в квадратичном приближении / В. С. Власов,

A. П. Иванов, В. Г. Шавров, В. И. Щеглов. // Журн. радиоэлектроники. - 2014. - № 1. - С. 1-43.

3. Власов, В. С. Исследование релаксационной и нелинейной динамики магнитных и магнитоупругих колебаний пленок и частиц : дис. ... канд. физ.-мат. наук / В. С. Власов. - Сыктывкар, 2007. - 149 с.

4. Власов, В. С. Нелинейная динамика установления намагниченности в ферритовой пластине с магнито-упругими свойствами в условиях ориентационного перехода / В. С. Власов, Л. Н. Котов, В. Г Шавров,

B. И. Щеглов // Радиотехника и электроника. - 2010. - Т. 55, № 6. - С. 689-701.

5. Власов, В. С. Нелинейное возбуждение гиперзвука в двухслойной ферритовой структуре при ферромагнитном резонансе / В. С. Власов, В. Г. Шавров, В. И. Щеглов. // Радиотехника и электроника. - 2014. - Т. 59, № 5. - С. 482-497.

6. Власов, В. С. Нелинейное возбуждение гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе / В. С. Власов, Л. Н. Котов, В. Г. Шавров, В. И. Щеглов // Радиотехника и электроника. - 2009. - Т. 54, № 7. - С. 863-874.

7. Дианов, М. Ю. Исследование ВЧ и СВЧ нелинейных магнитоупругих взаимодействий в трехслойной структуре / М. Ю. Дианов, В. С. Власов, Д. С. Безносиков [и др.] // Изв. РАН. Сер. физ. - 2013. - Т. 77. - С. 1462-1465.

8. Карпачев, С. Н. Нелинейная релаксационная динамика магнитной и упругой подсистем тонкой феррито-вой плёнки вблизи акустического резонанса / С. Н. Карпачев, В. С. Власов, Л. Н. Котов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика и астрономия. - 2006. - № 6. - С. 57-60.

9. Карпов, П. М. Критерии принятия в алгоритме симуляции отжига / П. М. Карпов // Техн. науки - от теории к практике. - 2012. - № 12. - С. 33-43.

10. Котов, Л. Н. Релаксация намагниченности в ферритовых частицах и плёнках с магнитоупругой связью / Л. Н. Котов, В. С. Власов // Конденсированные среды и межфазные границы. - Т. 10, № 1. - 2008. - С. 25-28.

11. Лопатин, А. С. Метод отжига / А. С. Лопатин // Стохаст. оптимизация в информатике. - 2005. - Т. 1, № 1. - С. 133-149.

12. Минаков, И. А. Сравнительный анализ некоторых методов случайного поиска и оптимизации / И. А. Минаков // Изв. Самар. науч. центра Рос. акад. наук. - 1999. - Т. 1, № 2. - С. 286-293.

13. Орлянская, И. В. Современные подходы к построению методов глобальной оптимизации / И. В. Орлян-ская // Исследовано в России : электрон. журн. - 2002. - Т. 5. - С. 2097-2108.

14. Тихомиров, А. С. О быстром варианте алгоритма отжига / А. С. Тихомиров // Вестн. Новгор. гос. ун-та им. Ярослава Мудрого. - 2010. - № 60. - С. 53-56.

15. Vlasov, V. Nonlinear oscillations in a thin ferrite film close to the condition of magnetoacoustics resonance / V Vlasov, L. Kotov, F. Asadullin // J. of Magnetism and Magnetic Materials. - 2006. - Vol. 300, iss. 1. - Р. 48-51.

Поступила в редакцию 3 сентября 2015 г. После переработки 13 октября 2015 г.

Сведения об авторах

Котов Леонид Нафанаилович — заведующий кафедрой радиофизики и электроники Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина, Сыктывкар, Россия. kotovln@mail.ru.

Северин Павел Алексеевич — аспирант кафедры радиофизики и электроники Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина, Сыктывкар, Россия. pav9687@yandex.ru.

Власов Владимир Сергеевич — доцент кафедры радиофизики и электроники Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина, Сыктывкар, Россия. vlasovv78@mail.ru.

Безносиков Дмитрий Степанович — инженер кафедры радиофизики и электроники Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина, Сыктывкар, Россия. uvn71p3@gmail.com.

Bulletin of Chelyabinsk State University. 2015. № 22 (377). Physics. Issue 21. P. 127-135.

FINDING THE MAXIMUM AMPLITUDE OF ELASTIC VIBRATIONS OF THE PLATE DURING ITS EXCITATION RADIO-FREQUENCY MAGNETIC FIELD

L. N. Kotov, P. A. Severin, V. S. Vlasov, D. S. Beznosikov

Syktyvkar State University named after Pitirim Sorokin, Syktyvkar, Russia Corresponding author L. N. Kotov, kotovln@mail.ru

The maximum amplitudes of elastic vibrations, depending on the material parameters and parameters of external fields in a normally magnetized anisotropic magnetic plate at its excitation by radio frequency magnetic field are obtained. For this purpose we used the method "annealing simulation". A brief description of the main parameters of the method of "annealing simulation", its advantages and disadvantages to use in the observed problem is contributed. The problem of the motion of the magnetization vector in a plate with magnetoelastic properties was considered. The choice of the optimal geometry of the transducer is justified. The transformation of the problem to the form of ordinary differential equations was made. The ranges of the varied constants during the optimization method of and parameters of external fields, as well as the main limitations of the studied model were contributed. The comparison of the maximum amplitude values of the elastic displacement obtained in earlier work with the value obtained by the "annealing" method for equivalent plate thickness was made. The three-dimensional graphics of resonant surfaces of elastic oscillations on the thickness of the plate, on the elastic constants, magnetic damping constant and the magnetoelastic constant in the area of maximum amplitudes found by the "annealing simulation" algorithm were constructed and explained.

Keywords: magnetic excitation of vibrations, maximum amplitude elastic vibrations, algorithm "simulated annealing"

References

1. Asadullin F.F., Beznosikov D.S., Vlasov V.S., Kotov L.N. Issledovanie magnitnykh i uprugikh kolebaniy v fer-romagnitnoy plenke v oblasti rezonansa [The study of the magnetic and elastic waves in the ferromagnetic film in the resonance region]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2008, no. 3, Physics, pp. 11-19. (In Russ.).

2. Vlasov V.S., Ivanov A.P., Shavrov V.G., Shcheglov V.I. Analiz nelineynogo vozbuzhdeniya giperzvukovykh kolebaniy magnitostriktsionnogo preobrazovatelya na osnove modeli svyazannykh ostsillyatorov v kvadratichnom priblizhenii [The analysis of nonlinear hypersound vibrations excitation of magnetostriction transducer based on connected oscillators model in quadratic approximation]. Zhurnal radioelektroniki [Journal of radio electronics], 2014, no. 1, pp. 1-43. (In Russ.).

3. Vlasov V.S. Issledovanie relaksatsionnoy i nelineynoy dinamiki magnitnykh i magnitouprugikh kolebaniy ple-nok i chastits: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Relaxation and study of nonlinear dynamics of magnetic and magneto-oscillations films and particles. Thesis]. Syktyvkar, 2007. 149 p. (In Russ.).

4. Vlasov VS., Kotov L.N., Shavrov V.G., Shcheglov V.I. Nelineynaya dinamika ustanovleniya namagnichennosti v ferritovoy plastine s magnito-uprugimi svoystvami v usloviyakh orientatsionnogo perekhoda [Nonlinear dynamics of the magnetization in the establishment of a ferrite plate with magnetoelastic properties in terms of orientation transition]. Radiotekhnika i elektronika [Radio Engineering and Electronics] 2010, vol. 55, no. 6, pp. 689-701. (In Russ.).

5. Vlasov VS., Shavrov V.G., Shcheglov V.I. Nelineynoe vozbuzhdenie giperzvuka v dvukhsloynoy ferritovoy strukture pri ferromag-nitnom rezonanse [Nonlinear excitation of hypersound in a two-layer structure of ferrite ferromagnetic resonance]. Radiotekhnika i elektronika [Radio Engineering and Electronics] 2014, vol. 59, no. 5, pp. 482497. (In Russ.).

6. Vlasov V.S., Kotov L.N., Shavrov VG., Shcheglov VI. Nelineynoe vozbuzhdenie giperzvuka v ferritovoy plastine pri ferromagnitnom rezonanse [Nonlinear excitation of hypersound in the ferrite plate ferromagnetic resonance]. Radiotekhnika i elektronika [Radio Engineering and Electronics], 2009, vol. 54, no. 7, pp. 863-874. (In Russ.).

7. Dianov M.Yu., Vlasov VS., Beznosikov D.S., Kotov L.N., Shavrov V.G., Shcheglov VI. Issledovanie VCh i SVCh nelineynykh magnitouprugikh vzaimodeystviy v trekhsloynoy strukture [Study RF and microwave nonlinear magnetoelastic interaction in the three-layer structure]. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya [Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics], 2013, vol. 77, pp. 1462-1465. (In Russ.).

8. Karpachev S.N., Vlasov V.S., Kotov L.N. Nelineynaya relaksatsionnaya dinamika magnitnoy i uprugoy podsistem tonkoy ferritovoy plenki vblizi akusticheskogo rezonansa [Nonlinear Relaxation dynamics of magnetic and elastic subsystems Fine ferrite film near acoustic resonance]. VestnikMoskovskogo universiteta. Seriya 3.Fizika i as-tronomiya [Moscow University Physics Bulletin], 2006, no. 6, pp. 57-60. (In Russ.).

9. Karpov P.M. Kriterii prinyatiya v algoritme simulyatsii otzhiga [Acceptance criteria in the simulated annealing algorithm]. Tehnicheskie nauki - ot teorii kpraktike [Engineering - from theory to practice], 2012, no. 12, pp. 33-43. (In Russ.).

10. Kotov L.N., Vlasov VS. Relaksatsiya namagnichennosti v ferritovykh chastitsakh i plenkakh s magnitoupru-goy svyaz'yu [The relaxation of magnetization in ferrite particles and films with magnetoelastic coupling] // Kon-densirovannye sredy i mezhfaznye granitsy [Condensed matter and Interphases], vol. 10, no. 1, 2008, pp. 25-28. (In Russ.).

11. Lopatin A.S. Metod otzhiga [The annealing method]. Stokhasticheskaya optimizatsiya v informatike [Stochastic optimization in computer science], 2005, vol. 1, no. 1, pp. 133-149. (In Russ.).

12. Minakov I.A. Sravnitel'nyy analiz nekotorykh metodov sluchaynogo poiska i optimizatsii [Comparison of different random search and optimization techniques]. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiyskoy akademii nauk [Bulletin of the Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences, Samara], 1999, vol. 1, no. 2, pp. 286-293. (In Russ.).

13. Orlyanskaya I.V. Sovremennye podkhody k postroeniyu metodov global'noy optimizatsii [Current approaches to the construction of global optimization methods]. Issledovano v Rossii [Investigated in Russia], 2002, vol. 5, pp. 2097-2108. (In Russ.).

14. Tikhomirov A.S. O bystrom variante algoritma otzhiga [On the fast version of the annealing algorithm] Vestnik Novgorodskogo gosudarstvennogo universiteta im. Yaroslava Mudrogo [Vestnik of Yaroslav the Wise Novgorod State University], 2010, no. 60, pp. 53-56. (In Russ.).

15. Vlasov VS., Kotov L.N., Asadullin F.F. Nonlinear oscillations in a thin ferrite film close to the condition of magnetoacoustics resonance. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2006, vol. 300, iss. 1, pp. 48-51.

Submitted 3 September 2015 Resubmitted 13 October 2015