Индикаторные системы, связанные с пара-эрмитовыми пространствами

С помощью этого уравнения можно исследовать, например, задачу о математическом маятнике на алгебре A, см. [2].

Литература

1. В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. Державинские чтения V, Матер. научн. конф., февр. 2000, Тамбов, 2000, 5-7.

2. Н. А. Малашонок, В. С. Боровенникова. Математический маятник на двумерных алгебрах. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 6, 543-548.

УДК 517.98

Индикаторные системы, связанные с пара-эрмитовыми пространствами 1

© В .Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова

Ключевые слова: симметрические пространства, конечномерные представления, производящие функции

Предъявляются системы дифференциальных уравнений, выделяющие пространства конечномерных представлений группы SL(n, R), реализующихся в многочленах на группе Гейзенберга размерности 2п — 3

We present systems of differential equations to describe spaces of finite dimensional representations of the group SL(n, R) acting on polynomials on the Heisenberg group of dimension 2п — 3

Мы распространяем наш результат [1] на более общие конечномерные представления группы G = SL(n, R), связанные с пара-эрмитовым пространством G/H, где H = GL(n — 1, R). Мы рассматриваем конечномерные представления, содержащиеся в вырожденной серии представлений группы G, отвечающей разбиению п = 1 + (п — 2) + 1 числа п. Они реализуются в многочленах на подгруппе Z нижних унипотентных блочных матриц. Заметим, что группа Z есть группа Гейзенберга размерности 2п — 3.

Будем записывать матрицы g из G в блочном виде соответственно разбиению п = 1 + (п—2) + 1. Пусть Z и B - подгруппы группы G, состоящие соответственно

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, 06-06-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпла-ном 1.5.07.

из матриц

1 0 0 \ / р **

Ь Е 0 I , Ь = I 0 д *

ев 1 у у00 г

где в - вектор-строка из Мп-2, Ь - вектор-столбец из Мп-2, е - число из М, р,г -числа из М*, д - матрица из ОЬ(п — 2, М). Матрица, обратная матрице г, есть

1 0 0

г-1 = I —Ь Е 0

с —в 1

где С = вЬ — е. Пусть вг обозначает инвариантную меру на Z:

вг = вевв2 ... ввп-1 вЬ2 ... вЬп-1.

Почти всякую матрицу д Е О можно записать в виде произведения: д = Ьг (разложение Гаусса).

Пусть Б^) - пространство многочленов на Z. Обозначим N = {0,1, 2,...}. Представление Т^т (1,т Е М) группы О действует в некотором подпространстве Угт пространства Б^), см. ниже, по формуле

(Тт(д)!) (г) = /(2) 2/рт,

где 2, 2, р находятся из разложения Гаусса матрицы гд: гд = Ьг. Пространство VI,т содержит тождественную единицу 1 в качестве циклического вектора. Представление Т,т неприводимо, его младший вектор есть 1, его старший вектор есть е1еСп, старший вес есть (I, 0,... , 0, —т), размерность равна

2т + п — 1 {[ + п — 2\ [т + п — 2

в1, т —

п — 1 \ I ) \ т

Пусть Еу обозначает "матричную единицу", это матрица, в которой на месте (г,]) стоит 1, а на остальных местах стоят нули;

В алгебре Ли группы Z матрицы Ел, Епг, г = 2,... ,п — 1, являются образующими. Инфинитезимальные операторы левых сдвигов на группе Z, отвечающих этим матрицам, - это дифференциальные операторы

д ^ д д

Li = ТГТ , + — , г = 2, . . . ,п — 1.

дЬг де двг

Рассмотрим в пространстве Б ^) систему уравнений

Ьт+1^ = 0, О1+1! = 0, г = 2,... ,п — 1.

Назовем ее, следуя Желобенко [2], индикаторной системой.

Теорема 1.1 Пространство VI,т есть в точности пространство решений индикаторной системы (2).

Одним из основных шагов в доказательстве теоремы служит интегральное представление многочленов из Vmm:

f (z) = / Kimm(z,Z)F(Z) d(,

JZ

здесь F - обобщенная функция на группе Z, сосредоточенная в единице E, в этой точке с = 0, s = 0, t = 0. Ядро Klmm(z,Z), z,Z E Z, имеет следующее выражение: пусть z имеет параметры с, s, t, см. (1), а Z имеет параметры a, и, v, пусть J - диагональная матрица порядка n — 2 с диагональю {-1,1,    , 1}, тогда

Klm(z, Z) = (1 — sJv + aac)1 (1 — uJt + ca)m.

Таким образом, ядро Kimm(z, Z) служит производящей функцией для многочленов из Vimm. В частности, дельта-функция 8(z), сосредоточенная в точке E, переходит в 1.

В работе [1] рассматривались представления Timm с l = m, такие представления используются при изучении полиномиального квантования на G/H.

Литература

1. Н. Б. Волотова. Индикаторные системы для представлений вырожденных серий линейной группы. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2007, том 12, вып. 4, 430-432.

2. Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

УДК 517.98

Конечномерные пространства функций на двумерных алгебрах, инвариантные относительно

1

движений 1

© Д. С. Тугарёв

Ключевые слова: двумерные алгебры, группа движений, оператор Лапласа

Описываются конечномерные пространства функций на алгебрах обобщенных комплексных чисел, инвариантные относительно группы движений

A description of finite dimensional spaces of functions on algebras of generalized complex numbers invariant with respect to a motion group is presented

1 Работа поддержана Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.