Модель изотермической внутренней эрозии в деформируемом грунте

УДК 551.345 + 539.3

Модель изотермической внутренней эрозии в деформируемом грунте *

А.А. Папин, А.Н. Сибин, К.А. Шишмарев

Алтайский государственный университет

Model of Isothermal Internal Erosion in Deformable Soil

A.A. Papin, A.N. Sibin, K.A. Shishmarev Altai State University

Рассматривается математическая модель изотермической внутренней эрозии в пороупругой среде. При достижении определенной величины скорости фильтрации происходит вынос частиц грунта из области течения. В качестве математической модели используются уравнения сохранения массы и закон Дарси для воды, воздуха и подвижных твердых частиц. Движение твердого скелета моделируется уравнением сохранения массы с учетом фазового перехода «твердый скелет - подвижные частицы», законом сохранения импульса системы в целом и уравнением для эффективного давления и пористости в форме реологического закона типа Максвела. Дается постановка задачи и краткий обзор моделей внутренней суффозии, описаны гипотезы, которые определяют интенсивность фазового перехода. Проводится преобразование возникшей системы уравнений составного типа. В результате преобразований для насыщенности водной фазы возникает вырождающееся на решении параболическое уравнение, для специальным образом подобранного «приведенного давления» - эллиптическое уравнение и уравнения первого порядка для пористости и скорости грунта. Имеется аналогия с классической моделью Маскета - Леверетта двухфазной фильтрации.

Ключевые слова: многофазная фильтрация, по-роупругая среда, суффозия, фазовый переход, насыщенность, эффективное давление.

БО! 10.14258/izvasu(2017)4-24

In this paper, a mathematical model of isothermal internal erosion in a poroelastic medium is considered. Removal of moving solid particles from a flow region happens after achieving a certain value of a filtration rate. The equations of mass conservation and Darcy law for water, air and moving solids are taken as constitutive equations of the mathematical model. The motion of the solid skeleton is modeled by the equation of mass conservation with "solid skeleton-moving particles"phase transition, the law of momentum conservation for the entire system, and an equation for effective pressure and porosity in the form of Maxwell's rheological law. In section 1, a statement of the problem is given and a brief review of internal suffusion models is presented. In section 2, the hypotheses determining intensity of the phase transition are described. In section 3, development of the composite type system is discussed. A degenerate parabolic equation for the saturation of water phase, an elliptic equation for a so-called "reduced pressure and a first-order equation for the porosity and velocity of soil are the development results. It is shown that there is a similarity with the classical Musket-Leverett model of two-phase filtration.

Key words: multiphase flow, poroelastic medium, suffusion, phase transition, saturation, effective pressure.

1. Постановка задачи. Изучаются математические вопросы моделирования процессов напорной фильтрации подземных вод и внутренней суффозии. Грунт рассматривается как многофазная сплошная пористая среда. Поры полностью заполнены смесью воды (1 = 1), воздуха (1 = 2) и подвижных твердых частиц (1 = 3). Доля пор в грунте (1 = 4) определяется пористостью

*Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 17-41-220314.

Ф = (VI + V + +Vз)/V, где V = V + V + V! + +Ц* - общий объем грунта, VI, V2, Vз, У4 - соответственно объемы воды, воздуха, подвижных твердых частиц и скелета грунта.

Уравнения сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазового перехода имеют вид [1,2]

dPi , Y7 ! -

-Ж + V^(PiU i

0,

d3 + V • (рама) = т,

др4

— + V • (р4и4) = -m,

где m - интенсивность фазового перехода (суф-фозионный поток); иi, Й2, из,, и4 - соответственно истинные скорости воды, воздуха, подвижных твердых частиц грунта и скелета грунта; pi = фSlPl, p2 = ФS2P2, Р3 = фsзP0з, Р4 = (1 - Ф)Р° -приведенные плотности воды, воздуха, подвижных твердых частиц грунта и скелета; si = Vi/(Vi +

V2 + Va),s2 = Vi/(Vi + V2 + V3), S3 = Vs/(Vi +

V2 + V3), - концентрации воды (насыщенность), воздуха и подвижных твердых частиц в порах (si + S2 + S3 = 1); pi,p2,p0,p0 - истинные плотности воды, воздуха, подвижных твердых частиц

грунта и скелета грунта; V = (-£:, dk, дк) -

оператор градиента, x = (xi,x2,x3). В рассматриваемом случае = p4, так как подвижные частицы захватываются суффозионным потоком из грунта.

Уравнения сохранения импульса для воды и подвижных твердых частиц грунта берем в виде [3-6]

k

Siф(йi - U4) = -Ко(ф) — (vPi + p0g), i = 1, 2,3;

Pi

P3 - Pi = Pi(Si,S2), P2 - Рз = P2 (si, S2 ).

Здесь Ко (ф) - симметрический тензор фильтрации пористой среды; k0i - относительные фазовые проницаемости (k0i = k0i(si) > 0, k0i\Si =0 = 0, 0 < Si < 1); Hi - коэффициенты динамической вязкости; g - ускорение силы тяжести; pi - давления фаз, Pi, P2 - заданные функции.

Система уравнений (1)-(4) относительно характеристик щ, pi и Si несмешивающихся жидкостей, движущихся в недеформируемой пористой среде, в изотермическом случае (температура в потоке постоянна) замыкается либо предположением о несжимаемости жидкостей, т.е. p0 = const, либо условием p0 = p0(pi).

Пример 1. Пусть s2 = 0, s = si, тогда 1-s = s3. Разность фазовых давлений удовлетворяет соотношению вида [7]

Рз - Pi = Pc(s,x) > 0,

где рс - заданная функция обладающая свойствами [8, 9]

Рс(х^)= Ро(х)З^), ро(х) > 0, 3> 0;

з(0) = о, з (1) = 1, Ц < о;

Система (1)-(4), (5) в случае неподвижного грунта (и4 = 0) и постоянных истинных плотностей р0 сводится к эллиптико-параболической системе и уравнению кинетики вида [10, 11, 12]

^ = V (Коа V s - Ыо + Р);

V -V = 0;

о д(1 - ф) .

ро^Т~ = -т;

-V = Ко (Ф)Ф) V Р + //.

Здесь искомыми являются функции s, р, ф и V; функции а, Ь, /, k, т, / - заданные функции.

Принципиальным моментом является учет сжимаемости пористой среды. Следуя [13-15], дополним систему (1)-(4) реологическим уравнением для пористости и условием равновесия "системы в целом":

1 дре VU4 = - -щ)Ре - Рь

V•

где ре = ро - Рf - эффективное давление; = фpf + (1 - ф)ps - общее давление; pf = s1p1 + s2p2 + sзРз, Рs = Р4 - соответственно давления жидкой и твердой фаз; рш = (1 - Ф)р° + Ф(^1р° + S2р2 + sзрl) - общая плотность; £(ф) и вь(Ф) - коэффициенты объемной вязкости и объемной сжимаемости грунта есть заданные функции (модельные зависимости: ^ = фт/и,вь(Ф) = ФЬвф, где Ь = 1/2, т € [0, 2], п = 3, Ц, V, вф - положительные параметры пороупругой среды [13, 14]).

Система (1)-(7) записана в эйлеровых координатах х € R3, г € [0, Т]. Истинные плотности р°

з

принимаются постоянными. Поскольку ^ Si = 1,

i=l

то неизвестными являются 19 скалярных величин: Sl, S2, Sз, Ф, Р1, Р2, Рз, Р4, 3 и[, 3и2, 3 из, 3и4. Для их определения служат также 19 скалярных уравнений: четыре уравнения неразрывности (1) -(3), девять уравнений закона Дарси (4), два уравнения для скачка давлений, реологическое соотношение (6), три уравнения равновесия (7).

2. Интенсивность фазового перехода. На основе обработки экспериментальных данных были предложены различные формулы для интенсивности фазового перехода. В работе [2]

mer = p3A(1 - ф>з\\г/з\\.

где Л - определяемая экспериментально функция (отвечает за устойчивость грунта суффозионному воздействию); щ = фsз(из - и4) - поток подвижных частиц грунта.

Обобщение формулы (8) предложено в серии работ [2, 5, 16]

m = mer - mdep,

где тег поток твердых частиц (процесс суффозии), т¿ер поток осевших твердых частиц (процесс кольматации).

Для определения rn¿ep в работе [2] предлагает-

ся использовать соотношение

m dep

Ь ст

Здесь scr - критическое значение концентрации подвижных твердых частиц грунта при достижении которой (S3 = scr) процессы суффозии и коль-матации уравновешивают друг друга. Подставив (8) и (10) в (9), получим соотношение [2]

Scr

В работе [17] проведен анализ экспериментальных данных, из которого следует, что суффозион-ный процесс начинается после достижения скоростью фильтрации критического значения Vк. Также из обработки результатов экспериментов получено соотношение для определения критической скорости фильтрации воды

vk = 4.2ф ^gV7-

1

V37-21 "К'

где V - кинематический коэффициент вязкости воды; д - модуль ускорения силы тяжести.

В работе [16] для т используется зависимость

В работах S. Bonelli (см. например, [18, с. 187]) движение воды, подвижных частиц и отрыв частиц от скелета моделируется на основе подходов, развитых в задачах с неизвестной границей. Вода и подвижные частицы грунта рассматриваются как однородная смесь (несжимаемая вязкая жидкость со стандартной реологией), которая движется со скоростью и и имеет плотность р = фр1 + (1 — ф)р3. Неизвестная граница Г между областями, занятыми смесью и твердым скелетом, определяется из уравнения переноса вида

ж+*= 0

где функция ф имеет следующие свойства: ф = 0 на Г, ф > 0 в твердом скелете, а в области фильтрации ф < 0; с = crп, п - вектор нормали к границе Г. Скорость движения последней равна

Сг =

kd(t - тс),т > тс; 0,т < тс,

тс - критическое значение касательного напряжения при достижении которого начинается суффо-зионный процесс.

Тензор напряжений и тензор скоростей деформации имеют вид

Т = — Р1 + 2^ D(й); D(й ) = 1(уй +(уй )Т).

В данном подходе интенсивность фазового перехода определяется формулой

т = р(сг — и  п).

В работе [10] рассматривалось двухфазное течение (вода (I = 1), подвижные частицы ^ = 2), в1 + S2 = 1) и использовалось следующее соотношение для определения суффозионного потока

m = S^R^mMxHvi|- vk, 0}.

Здесь

где kd - коэффициент пропорциональности; т- модуль касательного напряжения

( 0, s > 1;

<^) = I 1 — s, 0 <s< 1;

I 1, s < 0.

( 1, Ф > 1; R(ф) = I ф(1 — ф), 0 < s < 1; | 0, ф < 0.

Пример 2. Пусть s2 = 0, s = s1, тогда 1 — s = s3. Для простоты изложения рассмотрим двухфазное течение воды ^ = 1), подвижных частиц (I = 2) в деформируемом скелете ^ = 3) при наличии (5) и при постоянных истинных плотностях.

Преобразуем систему (1)-(7) [19]. Поделив уравнения (1)-(4) на истинные плотности и сложив полученные равенства, получим соотношение

V  (ф^1Щ + S2й2) + (1 — Ф)из) = 0, которое приводится к виду

V  (ф.?1(й1 — из) + фs2(й2 — из) + и3) = 0.

Положим

V = фSl(йl — и з) + фs2(м2 — йз), ^ = —.

Используя (4) и (5), получим следующее представление для V

—V = Ко(ф)(^(уР1 + Р°д)+

+^2(у(Р1 + Рс) + р2а)) =

у/(Тп)2 - (пТп)2,

Кз(ф)к(-) V Р + f,

2

2

где "приведенное" давление р определяется равенством

Р = Р1

ЫО дрс

%.

т д^

s

Здесь также введены обозначения:

к(.) = кох + ко2, 1

/ V п „ ,7 [ ко2

/ = Ко(ко2 ^х Рс + к у -Щ-(£+

s

+(ко1Р°° + ко2 р°)д),

а символ Vх применяется только по переменной х, входящей явно, например

VхРс(., х) =

дрс

дхх дх2 дхз

Таким образом, справедливо равенство

V  из = -V У = ^-

С учетом введенного давления р для V1 = .хфйх имеем

V1 = .хф(и 1 - из) + .хфиз =

= -Коа V . - Коко1 V Р - /о + .хфиз,

где

= кохко2 дрс дрс < о к д. д.

/ Г Г к02(О ^ дРс(£,х) ,с . 0^ ¡о = Кокох(\ Vx--+ р°д).

т

дф.1 т

- V  (Коа V я + Кокох V Р + /о) +

С учетом рЬоЬ для Ре получим

Ре =

Формулы (14)-(17)дают представление Ре, рЬоЬ, Рf через р. Обратная связь:

Р = РЬоЬ - Ре -

или

-Р = -,--Ре - Рs + ^с + Я2Рс).

1-ф

В силу (7) и (14) имеем

Vp = ршд - ^Ре -V(Gc + Я2Рс) . С учетом (18), (19) для V и щ получим

-V = Ко(ф)к(.)(ршд - VРe - V(Gc + Я2Рс)) + ¡,

V1 = -Коа V .$ - ¡о + .$хфйз--Кокох V (ршМ- ^Ре - V(Gc + Я2Рс)). Наконец, рЬоЬ через ре выражается следующим об-

разом:

РЬоЬ = Рс

ф

1-ф

Уравнение (3) представим в виде

д1п(1 -

дГ~

-+й3V 1п(1—ф) = —Vй3 —

рзз(1 -

= ),

Тем самым уравнение неразрывности для первой фазы можно представить в виде

ф\ь=о = ф0(х) и будем рассматривать относительно (1 - ф) при заданном поле скоростей из и т. Характеристики этого уравнения определяются задачей Коши

ду

дт

= из(у (т,г,х ),т), у\т = = х.

Если ) - достаточно гладкая функ-

ция (например, Ф(ж,£) € ), из(х,£) е

Ж^^т), Ч > п, фо е [то,Мо], то > 0, Мо < 1,

+V  (фя1йз) = 0. (13) Vф (х) е Lq(О,)), то справедливо следующее пред-

Система (12), (13)служит для определения я, р (при заданных ф, divйз). Давления ре, рЬоЬ, Рf и р связаны равенствами:

Рf = Я1Р1 + Я2Р2 = Р + Gc + Я2Ре, 1

п _ ( ко2(£) др,

т д^

Ре = Рш - Рf = Рш - Р - ^с + .2Рс),

Рш = фpf + (1 - Ф)Рs = ф(р + Gc + Я2Рс) +

+

ставление [20]:

(1 - ф(х,г)) = (1 - ф0(у(о^,х))) ь

ехр^ Ф(у(т,^х),т)(1т). о

Опишем схему решения системы (1)-(7). На первом шаге зададим ф и из. Из системы (12), (13) находим я, р; уравнение (6) при заданных ф и из дает ре; из (14) находим pf, а из (15) - рЬоЬ; из (16) определяем ps; на этом шаге вычисляется V1 и, следовательно, т. Второй шаг: из (20) по найденным ранее ф, т вычисляем "новое"ф и рЬоЬ, рЬоЬ (со "старыми1^, ps и "новым"ф) и находим из (7) "новое"значение из. После этого процесс повторяется.

1

е

Заключение. В работе построена новая мо- твердых частиц с учетом пороупругих свойств дель изотермического суффозионного выноса грунта.

Библиографический список

1. Vardoulakis I. Sand-production and sand internal erosion: Continuum modeling // Alert School: Geomechanical and Structural Issues in Energy Production. — 2006.

2. Vardoulakis I., Stavropoulou M., Papanastasiou R. Hydro-Mechanical Aspects of the Sand Production Problem // Transport in Porous Media 22, 1996.

3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. — М., 1987. — Ч. 1.

4. Варченко А.Н., Зазовский А.Ф. Трехфазная фильтрация несмешивающихся жидкостей // Итоги науки и техники. Серия: Комплексные и специальные разделы механики. — М., 1991. — Т. 4.

5. Vardoulakis I., Stavropoulou M., Papanastasiou R. Sand Erosion in Axial Flow Conditions // Transport in Porous Media 45, 2001.

6. Gard S.K., Pritchett J.W. Dynamics of gas -fluidized beds. Journal of Applied Phisics // Journal of Applied Phisics, Vol. 46, № 10. — 1975.

7. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. — М., 1971.

8. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск, 1983.

9. Антонцев С.Н., Папин А.А. Приближенные методы решения задач двухфазной фильтрации // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 247. — № 3.

10. Папин А.А., Вайгант В.А., Си-бин А.Н. Математическая модель неизотермической внутренней эрозии // Известия Алтайского гос. ун-та, — 2015. — № 1/1. DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.1-16.

11. Папин А.А., Сибин А.Н. О разрешимости первой краевой задачи для одномерных

уравнений внутренней эрозии // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — № 1/2. DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-25.

12. Papin A.A., Sibin A.N. Model isothermal internal erosion of soil // Journal of physics: Conference Series 722 (2016) 012034.

13. Connolly J. A. D., Podladchikov Y. Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. — 1998. — Vol. 11.

14. Connolly J. A. D., Podladchikov Y. Y. Temperature-dependent viscoelastic compaction and compartmentalization in sedimentary basins // Tectonophysics. — 2000. — Vol. 324.

15. Tantserev E., Cristophe Y. Galerne, Podladchikov Y. Multiphase flow in multi-component porous visco-elastic media // The Fourth Biot Conference on Poromechanics. — 2009.

16. Wang J., Walters D. A., Settari A., Wan R. G. Simulation of cold heavy oil production using an integrated modular approach with emphasis on foamy oil flow and sand production effects // 1st Heavy Oil Conference. — 2006.

17. Рекомендации по методике лабораторных испытаний грунтов на водопроницаемость и суф-фозионную устойчивость. — Л., 1983.

18. Bonelli S. Erosion of Geomaterials. UK, 2012.

19. Папин А.А., Подладчиков Ю.Ю. Изотермическое движение двух несмешивающихся жидкостей в пороупругой среде // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — № 1/2. DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-24.

20. Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. — 1976. — Т. 56.