Определение основной частотыколебаний прямоугольной трехслойной пластины с двумя свободными краями

УДК534.121.1

А. В. Лопатин, П. О. Деев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С ДВУМЯ СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ

Представлено решение задачи об определении основной частоты колебаний трехслойной пластины, у которой два смежных края жестко закреплены, а два других свободны. Пластина состоит из двух одинаковых композитных несущих слоев и ортотропного заполнителя. Для решения динамической задачи был применен обобщенный метод Галеркина. Получена формула для определения основной частоты колебаний трехслойной пластины с двумя свободными краями.

Ключевые слова: трехслойная пластина, частота колебаний, обобщенный метод Галеркина.

При проектировании трехслойных пластин часто возникает задача выбора геометрических и упругих параметров, которые обеспечивают максимальную изгибную жесткость и минимальную погонную массу конструкции [1; 2]. Особенностью этой задачи является взаимное влияние изгибной жесткости и погонной массы трехслойной пластины. Это влияние проявляется в том, что рост из-гибной жесткости пластины всегда сопровождается увеличением ее погонной массы. Поэтому для проектирования трехслойных пластин необходим определенный критерий эффективности конструкции. В качестве такого критерия удобно использовать основную частоту колебаний трехслойной пластины.

Рассмотрим прямоугольную трехслойную пластину, которая состоит из двух одинаковых композитных несущих слоев и ортотропного заполнителя. Введем систему декартовых координат хух, связанную со срединной плоскостью пластины. Обозначим размеры пластины по осям х и у через а и Ь соответственно. Пусть края пластины х = 0 и у = 0 будут жестко закреплены, а края пластины х = а и у = Ь свободны.

Получим вариационное уравнение изгибных колебаний трехслойной пластины, используя принцип Гамильтона. В соответствии с этим принципом, интеграл действия Гамильтона для действительного движения трехслойной пластины в некотором промежутке времени имеет стационарное значение. Выберем в качестве этого промежутка период колебаний с круговой частотой ю. Тогда условие стационарности интеграла действия Гамильтона примет вид

§

где 8 - знак вариации; Ттах - максимальная кинетическая энергия трехслойной пластины; итах - максимальная потенциальная энергия изгиба трехслойной пластины. Величины Ттах и ?Утах определяются следующими выражениями:

а Ь

dxdy,

0,1

+Д9

0 0 (09

V

ду

ев,

дх - Д-,-

-2Д,

36 39 у

(

39х 39 Зу Зх

Зх Зу А2

где w = w(х, у) - прогиб пластины; 9х = 9х (х, у), 9у =9у (х, у) - углы поворота нормали; Дп, Д12, Д21, Д22, Д33 - изгибные жесткости трехслойной пластины (Д12 = Д21); Кх, Ку - сдвиговые жесткости трехслойной пластины; Вр - инерциальный параметр. Функции w, 9х и 9у определяют форму трехслойной пластины при изгибных колебаниях.

Подставим (2) в (1):

а ь 11

Д

. + Д ~~у 11 12

Зх

уАЛ

I Зх

Зу

Д

39„

39„

. ___________ , Д --------------у-

12 22

V ''у У V -г У

( ъь яа \

+Д-,

+Д->

+д9у.

Зу Зх

Зх Зу

39х 39 Зу Зх

8

Зу

V '-V У

(ж Я9 А (^9 А

£9

Зу

у V дх у

+ КI 9+^189.

дх

+Кх |9х +1 М* ] + Ку (9 у +^ ,80.у

ду

+К> ^ М| )-ю2 Вр -

Варьируя функционал (3), получим

dxdy.

| j*L8wdxdy -|[9х8w]aad^ - |[9у8wJodX = 0,

0 0 0 0 Ь а

11489х^у - |[Мх89х ]у - |К89х I^ = 0,

0 0 0 0

а Ь Ь а

| |Ьу^у^Ф - |[Мху89у Хф - |[Му89у ^ = 0,

где

З2 w З2 w 39 39у 2

Ь = К —- + К —- + К —- + К —- + Врю2 w,

х Зх2 у Зу2 х Зх у Зу р

д 29„

+Д-,

Ь, .-Кх^ + Дп 2

х х 11 2

дх дх

д 29 х

Зу2

• +

- Кх 9х +

д 29 у

ЗхЗу

= - Ку I+(

12 + Д33

Л .

5х5у

+Д-,,

д2 9 у

дх2

Д

д2 9 у

5у2

- ку 9 у;

11

59^

дх

Д-

5w

дх

59

ду

ву = Ку

(

Мху = Д33

Му = Д.2

59 59.

£9

5х

л

5w

дх

+

59у

ду

Му -изги-

5у 5х ^

Здесь бх, бу - перерезывающие силы, Мх, бающие моменты, Мху - крутящий момент.

Уравнения (4) являются основными вариационными уравнениями, которым должны удовлетворять собственные функции w(х, у), 9х (х, у) и 9у (х, у), влияющие на форму действительных изгибных колебаний трехслойной пластины.

Полученные вариационные уравнения могут быть использованы для формирования традиционной краевой задачи определения основной частоты колебаний рассматриваемой трехслойной пластины. В силу произвольности вариаций 8w, 89х, 89у подынтегральные выражения в двойных интегралах дадут уравнения движения пластины:

Ь = 0, Ь = 0, Ьу = 0.

у = 0, w = 0, 9.

= 0, = 0,

= 0,

, = 0,

Мху = 0,

Представим прогиб и углы поворота в следующем виде:

w = ^ (х)иу (у), 9х = ТхУх (х)иу (у),

9у = Туих

где ^, Тх, ту - неизвестные числа; их (х), Ух (х), иу (у), Уу (у) - аппроксимирующие функции, которые задаются выражениями

их (х)-а

Ух (х )-

3 2 /

х лх ^х л^ (х ^

— - 4 -7 + 6-------12Ух I------2

а а а V а

(- х+1а

3а2 а

и, (у)- Ь

- 4 ^ + 6 у -12у у |у - 2

уу (у >- Ь

2

% -у+1 3Ь2 Ь

Л

Здесь

у =-ДЧ у =.

ь л* У у =

Д

Подынтегральные выражения в одинарных интегралах зададут естественные граничные условия на краях

х = 0, х = а:

Ях8w = 0, Мх89х = 0, Мху89у = 0

и на краях у = 0, у = Ь :

ду8w = 0, Мху89х = 0, Му89у = 0.

Для рассматриваемого нами закрепления трехслойной пластины граничные условия (8) и (9) примут следующий вид:

х = 0, w = 0, 9х

Кха у КуЬ2'

Безразмерные параметры ух и уу характеризуют сдвиговые податливости трехслойной пластины в плоскостях хх и ух соответственно.

Производные от аппроксимирующих функций (13) и (14) могут быть найдены по следующим формулам:

dUy 4

dy Ь

32

у ?у , 1 у

3 -3^- + 3^-6уу| ^-1

ь3 ь2 ь у V ь

у

dУy 1 (у2 у

—^ = - 4т-2- +1

dy Ь V Ь Ь

СП 4

dx

4 - 3 4+3 - - бух (х -1

а а а

а

СУ 1 (- 2 х .

2 2 +1 аа

Л

х = a, бх = 0, Мх = 0,

у = Ь, бу = 0, Му = 0, Мху = 0.

Точное определение частот и форм колебаний исследуемой трехслойной пластины связано с решением однородной краевой задачи (7), (10) и (11), которое вызывает значительные математические затруднения и не получено до настоящего времени. Однако определение основной частоты колебаний данной пластины может быть выполнено с помощью весьма эффективных приближенных методов, одним из которых является обобщенный метод Галеркина. В этом методе прогиб w(х, у) и углы поворота 9х (х, у), 9у (х, у) заменяются аналитическими выражениями, которые аппроксимируют первую форму колебаний пластины вдоль осей х и у. В качестве функций, задающих возможную первую форму таких колебаний, можно принять функции, полученные из решения задачи изгиба консольно закрепленной балки под действием постоянного давления.

ск а V

Вариации функций (12) имеют вид

8w = ихиу8^, 89х = Ухиу8Тх, 89у = ихУу8Ту.

Подставляя (12) и (18) в соотношения (4), (5), (6) и учитывая произвольность вариаций 8^, 8Тх и 8Ту, получим

а Ь Ь а

1 \ЬихиуСхСу - |[бхихиу ]“Су - |[0,^^ ]0Сх = 0,

0 0 0 0

1 Ь^ЬхУхиуСхСу -1[МУхРу ]“Су - \МуУхиу ]0Сх = 0,

0 0 0 0

ГК^хФ -\МхуихУу ]0Су - 1[Мурхуу ]0Сх = 0,

0 0 где

Ь =

х Сх2 у у ^'-2 х

с2и А

иг

Сх

СУ

р+Кх~£и-хх +

+К'1ки-Т- + В.Ш‘ихи-Г - 0,

4 = -Кх +

Сх

V

d2V d 2иу

°ХХ ~!ХГ1]у + °3зГх ~И/ КхГи:

Р =

[ си ] а [ ]

и х И = -

Сх 0 X Сх

, , dU dVy

хГх +((12 + Д, )-Ц-£Т, = О,

4 =- К их‘^и~Р + ( + Д33)аУх Тх

у у х dy К 12 33 1 dx dy х

Ру =

Г d 2и d %

Д^~ТТ %у + Д22и^ —- Куи%у

ах ау ^

а = Кх ^ ^)и,

С% с%

М = Д,—- и Т + Д,и —-Т ;

х 11 г у х 12 х 1 у’

С£/С (л у

1 с: с Уи 1 Ь ИУ = 1 1 с У 1

0 У

Т = 0;

у

=[и%. ] О-

Определим значения интегралов (25), используя (13), (14), (16) и (17):

/ = 8а а

1х 315 ^1х, 1х 14,

8Ь

Ь

(

бу = Ку

Си у ^

Л

и

315

14

Му = А2^ иуТх + Д22и^^уТу;

Мху = Д33

а%

Сх

( dUy dUy А

%------~Т„ +--------^ %Т

, -у>

Су

Су Сх

Г =-^2 Т =- _1_

2 х ~ _ У 2 х, 2 х £. ,

35а 5а

т = ^ т =-± т2у = 35Ь у2у , т2у = 5Ь ’

у у

V ^ — у

Уравнения (19) автоматически обеспечивают приближенное (интегральное) удовлетворение граничных условий (11) на свободных краях пластины.

Выполняя в уравнениях (19) интегрирование, получим следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений:

[Кх (/2х - Рх )у + Ку1и (/2у - Ру )]х

х^+Кх (/3 х - з; ) уТх +

+ку1и

- ктЪх1ьР+

+ [Дц (Д2 х - К )у + Д33 4х Д2 у -Ру )-Тку ] Тх +

+ [ Д12 ( - ^ ))у + Д33Лх (/3у - Зу )] Ту = 0,

- КуТ3 +

+ [Д22 (^2 у - И, ) + Д33 Лу Д2х -Рх )-КуТХу1Хх ] Ту +

+ [ Д12 (/3у - Зу ) )х + Д33/3у (Кх - ^ )] Тх = 0,

т = У3х Т = 6 / 3х

3х 35 , 3х = 35 ,

т = Ь. Т = 6у3у

3 у _________? —

6У3.

3у 35 ’ ^у 35

где

где

Лх = |и2 ах, /, = |иу2Су,

Тх = 1 %х2 Сх, Лу = %Су,

Т2 х = Сх, Т2 У = СУ

а и

Сх

а %

Сх

Сх,

Су а2 V

/2у = 1 %у-ргСу,

У1х = 91 + 999Ух + 3024Ух , У 2х =-5 + 28Ух + 560Ух ,

У3х = 5 + 56Ух, У3х = 5 + 14ух,

Гху = 91 + 999уу + 3024у2, у2у =-5 + 28уу + 560ууУ,

У3у = 5 + 56Уу, У3У = 5 + 14уу.

Определим значения величин Рх, Ях, Зх, Ру, Яу, Зу, входящих в коэффициенты уравнений системы (24). Учитывая равенства (24), (25) и (26), соотношения (26) можно представить в следующем виде:

Р. = - (1 + Ух ), Кх = 0, Зх = 1 + Ух ,

а

ру = 12

Подставляя (30) в (24), после некоторых преобразований имеем

(Кх!2х/1 у + К у 11х12У ) ) - )Ъх!ХуТх -

-Ку/1х/3 уТу + БрЮ2 /1х/1 УР = 0,

-Кх/3х/ 1У^ + (Д 11 Т2х/1у + Д33 Т1х/2У - КхТ 1х/1у )Тх -

~(Д12^3^3 у - Д33 Т3хТ 3 у = 0,

-КУТ3 уТ 1,Р -{Д1Лх13 у - Д33 Т3 хТ 3 у )Тх +

+ (Д33 Т1 у^2х + Д 22 Т2 уТ1х - КуТ 1уТ1х )у = 0,

/,х иха|сх, />;, и сул,,

0 СУ

Ь

аи„

где

здесь

-г 24у2х - = 24У

/ 2 х =--------, т 2 у =-

35а

2 У

35Ь

У 2 х = 15 + 84У х + 280У х

Y 2 у = 15 + 84Y у + 280Yy

Преобразуем уравнения (31) таким образом, чтобы коэффициенты при неизвестных стали безразмерными. Для этого подставим соотношения (27) и (32) в систему (31), а затем умножим каждое уравнение на величину 99 225 аЪ/ . В результате преобразований получим

1 728а11 Г + 432а12 Гх + 432а13 Гу = 64Ь ппГ,

432а21 Г + 36а22 Гх + 81а23Гу = 0,

432a31F + 81a32 Fx + 36a33 Fy = 0,

где

Fx = aTx, Fy = ЪТу.

a =а

Y2x Ylу 1 Ylx Y2у

Y3x І1у

Y x

а Y у _

1 Ylx Y3 у

3=

а Уу

1 Ylx Y 3 у а

Yx

+ 135Рзз y2x'.

+ 1З5Рзз Y2у

Ylv Y 3x

Уу Yx

a23 = a32 = Pl2 Y3x Y3у + 36Y3x Y3у , Ъ11 = YlxУ1у , где а, в12, в33 - безразмерные параметры:

а =

Du Ъ

Рзз = "

Pl2 =

D,

D,-

yJD11D2.

27

n = T

Ъи

27

Частотный параметр п зависит от безразмерных параметров а, в12, в33, ух, уу, значения которых определяются жесткостными и геометрическими характеристиками трехслойной пластины с композитными несущими слоями и ортотропным заполнителем.

Основная частота колебаний щ этой пластины при известном параметре п определяется по равенству (38):

X

"

ю =

Бр

Коэффициенты a;, j (i, j = 1, 2, 3) имеют следующие значения:

Л/А1А2 '

Величина п, входящая в первое уравнение системы (34), является безразмерным частотным параметром: Д,ю2 а2Ь2

п=Ж52Т

Таким образом, задача об определении основной частоты колебаний рассматриваемой трехслойной пластины сведена к вычислению безразмерного параметра п, при котором однородная система уравнений (34) будет иметь решение, отличное от нуля.

Получим формулу для параметра п. Используя второе и третье уравнения системы (34), исключим из первого уравнения неизвестные Ех и Еу. Затем, учитывая, что Е Ф 0, получим для п следующее выражение:

где X = 7П-

В качестве примера определим основную частоту колебаний для нескольких трехслойных пластин с двумя свободными краями, отличающихся размерами в плане, толщинами несущих слоев и заполнителя. Пусть несущие слои выполнены из материала со следующими параметрами: Е{‘) = 54,55 ГПа, Е(‘) = 54,55 ГПа, = 20,67 ГПа, G% = 3,78 ГПа, G(Z = 3,78 ГПа, v% =0,32, v£ =0,32, pt =1 500 кг/м3. Материал заполнителя характеризуется модулями сдвига G^ =440МПа, G^ =220 МПа и плотностью ph =83кг/м3. Рассмотрим пластины со следующими размерами в плане: b = 1 м, a = 1 и 2 м. Пусть суммарная толщина несущих слоев t равна 0,001 и 0,002 м, а толщина заполнителя h будет 0,01; 0,05; 0,1 м. Безразмерный параметр п определяется с помощью формул (34), (38), (39). Для вычисления круговой частоты колебаний ю используется уравнение (40). Частоты колебаний f = ю/2п трехслойных пластин с различными значениями размеров а, t и h приведены в табл. 1.

Для проверки полученных результатов определим основную частоту колебаний трехслойной пластины с двумя свободными краями с помощью метода конечных элементов. Расчет выполним в пакете COSMOS/M. Для моделирования воспользуемся конечным элементом SHELL4L. Значения частот колебаний, вычисленных с помощью метода конечных элементов, представлены в табл. 2.

Сравнивая соответствующие частоты из табл. 1 и 2, можно сделать вывод, что разница между полученными результатами не превышает 5 %. Это дает основания утверждать, что определение основной частоты колебаний трехслойной пластины с двумя свободными краями может быть достоверно выполнено с помощью предложенного в данной статье способа.

Таким образом, было получено решение задачи об определении основной частоты колебаний трехслойной

Таблица І

Частоты колебаний трехслойной пластины c двумя свободными краями

2

а

t, м a = 1м a = 2 м

h = 0,01 м h = 0,05 м h = 0,1 м h = 0,01 м h = 0,05 м h = 0,1 м

0,001 30,759 93,808 139,648 19,084 58,426 87,377

0,002 35,492 117,428 179,770 22,038 73,458 113,415

Таблица 2

Частоты колебаний трехслойной пластины c двумя свободными краями

t, м a = 1м a = 2 м

h = 0,01 м h = 0,05 м h = 0,1 м h = 0,01 м h = 0,05 м h = 0,1 м

0,001 30,057 90,811 134,722 18,692 57,169 85,203

0,002 34,402 113,229 171,913 21,555 71,766 110,381

пластины, у которой два смежных края жестко закреплены, а два других свободны. Пластина состоит из двух одинаковых композитных несущих слоев и ортотропного заполнителя. Для решения динамической задачи был применен обобщенный метод Галеркина.

Выведена формула для определения основной частоты колебаний трехслойной пластины с двумя свободными краями. Верификация этой формулы для пластин с различными жесткостными параметрами выполнена с помощью метода конечных элементов. Сравнение между собой результатов вычислений позволило сделать вывод о

пригодности выведенной в статье формулы для надежного и быстрого определения основной частоты колебаний трехслойной пластины с двумя свободными краями.

Библиографические ссылки

1. Zenkert D. An Introduction to sandwich construction. London: Chameleon Press, 1995.

2. Vinson J. R. The Behavior of sandwich structures of isotropic and composite materials. Lancaster : Technomic, 1999.

A. V. Lopatin, P. O. Deev

DETERMINATION OF THE FUNDAMENTAL FREQUENCY FOR RECTANGULAR SANDWICH PLATE WITH TWO FREE EDGES

In the article the problem offundamental frequency determination for sandwich plate with two clamped edges and two free edges is solved. Variation equations ofplate dynamics were solved by generalized Galerkin method. The formula for general frequency determination has been obtained.

Keywords: sandwich plate, vibration frequency, generalized Galerkin method.

© Лопатин А. В., Деев П. О., 2011

УДК681.332.53/519.676

В. Б. Малинкин, Е. И. Алгазин, А. В. Малинкин

ИНВАРИАНТНАЯ МНОГОВОЛНОВАЯ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПЕРЕДАЧИ

Предложена структура инвариантной многоволновой волоконно-оптической системы передачи, позволяющая существенно повысить помехоустойчивость рассматриваемой системы.

Ключевые слова: инвариант, помехоустойчивость, вероятность ошибки, отношение сигнал/шум.

В работах [1-5] проведен анализ технических характеристик инвариантных методов передачи. Эти методы используют линейные и нелинейные операции обработки. К достоинствам данных методов можно отнести существенное (более чем на 3 порядка) уменьшение вероятности ошибочного приема. К недостаткам авторы относят сложность определения параметров канала связи, а также ухудшение качественных характеристик при увеличении алфавита инвариантной системы передачи информации (ИСПИ).

Постановка задачи. Имеется многоволновая волоконно-оптическая система передачи. Длины волн в окнах прозрачности обозначим через Х1 - Окна прозрачности

выбраны для сигналов передачи таким образом, что сохраняется линейный режим обработки. На вход волоконно-оптической системы передачи (ВОСП) поступает цифровой поток со скоростью У0. Требуется спроектировать многоволновую ИСПИ.

Решение поставленной задачи. Повышение мощности передаваемого сигнала в ВОСП приводит к появлению нелинейных эффектов. Поэтому повышение мощности

сигнала передачи не гарантирует уменьшения вероятности ошибочного приема.

Уменьшения вероятности ошибки в ВОСП можно достичь с помощью линейных инвариантных методов обработки с ограниченной мощностью передаваемого сигнала.

Данную задачу решим следующим образом. Цифровой поток со скоростью передачи У0 разобьем на N отдельных подканалов. В каждом подканале скорость информационного сигнала будет У0/^- 1); ^й подканал отведен для передачи обучающего сигнала, как это принято в инвариантных системах. Каждый из подканалов модулирует соответствующую длину волны.

На приемной стороне каждая длина волны принимается оптическим фильтром, преобразуется в электрический вид, а затем подвергается обработке с помощью алгоритмов [1; 2]. Этот метод в научной литературе носит название «параллельной передачи».

В классических системах параллельной передачи по кабельным линиям и радиоканалам можно выделить следующие достоинства и недостатки.