Определение реакции упругого полупространства под штампом прямоугольной формы

УДК 624.1 5:536.3

И.В. Наумов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОД ШТАМПОМ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Для расчета балок и плит на упругом основании важными стали два решения теории упругости. Решение Буссинеска [3] для абсолютно жесткого эллиптического штампа на упругом полупространстве в его частном случае — для абсолютно жесткого центрально нагруженного круглого штампа — нашло широкое применение для расчета круглых жестких плит. Второе решение — для абсолютно жесткой полосы в условиях плоской задачи — принадлежит М. Садовскому. Полученные формулы и эпюры реактивных давлений практически одинаковы.

На первых этапах развития теории расчета балок на упругом полупространстве предполагалось, что большого различия результатов в условиях пространственной и плоской задачи нет. Однако исследования показали существенную разницу при расчете ленточных фундаментов. В условиях плоской задачи получаются совершенно недопустимые запасы прочности. А решение в пространственных условиях сложнее, и соответствующих методов предложено меньше.

Приближенный метод Горбунова-Посадова [3] для определения реактивных давлений имеет аналитический характер и основан на применении двойных степенных рядов. Значения коэффициентов определяются из следующих условий:

1) равновесия штампа под действием внешней нагрузки и реактивных давлений;

2) равенства перемещений грунта и штампа в каждой точке опорной площади.

Приближенность в определении реакции заключается в вычислении коэффициентов степенного ряда.

Решение задач теории упругости в конечном виде для полупространства требует интегрирования совокупных дифференциальных уравнений, что не всегда возможно. Решение некоторых задач теории упругости зависит от выбора системы координат и их комбинаций. При решении можно также задаваться функциями, выражающими напряжения или перемещения

(так называемый обратный способ). Эти функции далее подставляют в уравнения и смотрят, удовлетворяют ли они им. Практически этот способ оказывается очень сложным.Поэтому Сен-Венан предложил полуобратный способ, по которому пренебрегают частью напряжений и перемещений. Воспользовавшись полуобратным способом, можно получить конечное решение — реакцию упругого полупространства под центрально нагруженным прямоугольным штампом.

Принимаем следующие допущения:

1) основание — бесконечная, упругая, однородная изотропная среда;

2) касательные напряжения по контакту основания со штампом равны нулю.

Решение можно получить из уравнения равновесия сил реакции и внешней единичной нагрузки, приложенной в центре прямоугольного штампа площадью АхВ.

Второе условие заключается в том, что полученная функция сил реакции, приложенных к упругому полупространству по прямоугольной площадке АВ, должна вызвать одинаковую осадку в произвольной точке.

Результат вычислений реакции под прямоугольным штампом с соотношением сторон

й

Р = —= 2 по формуле Горбунова-Посадова дает

Ь

замкнутую кривую, похожую на эллипс [3]. Так, при координатахх — +0,5 м, у = 0 имеем Дх, у) = = 0,636 т/м2. При х = 0, у = + 0,5 м - Дх, у) = = 0,675 т/м2. При увеличении координаты х до величины ±0,59 м значения приближаются к Дх, V) = 0,675т/м2. Отложив по оси г величину Дх, V) = 0,675 т/м2, проведя через эти четыре точки кривую, получим кривую, похожую на эллипс.

Поэтому для подбора первоначальная функция реакции основания имеет вид

Ф =

2 2 х У ^

а2 Ь1

где 2а, 2Ь — стороны прямоугольника (рис. 1).

Рис. 1. Схема расположения площадки нагружения и штампа в принятых координатах

решение Буссинеска и [ 11 ] для сосредоточенной силы, получим

пЕ Хх у]х2+у2

1-ц

2 Г2Х2

аЦ-

пЕ гх хх \1х2+у2

(2 2^ X у

~Т + Т2

Vй Ъ J

+ 1/3

йхйу = AZ.

Вычисление первого интеграла:

X2

\хг I -2

гххха

2

йх с1у -

Условие равновесия сил реакции и равномерно распределенной нагрузки () = 1/(2а2Ь), приложенной к прямоугольной площадке 2ах2Ь, выразится следующим образом:

/ / А

Не

О О

2 2 X _

а2 Ъ2

¿хс1у = Р = 1.

Проинтегрируем и получим С:

Ь а " "

л

-А-А

Ь

2 2 * У ^

а2 Ь2

-ъ

3 2

ЛГ XV —т + +

Ъа2 Ъ2

с!х (¡у =

1 У2 3 ¿2

(/у = 2а2Ь

1 1 ~ - + -+С

3 3

Из уравнения 2а2Ь(2

1 1 ^ -+- + С

3 3

= 1 получим

С = 1/3.

Введем следующее обозначение:

Ф=е

/2 2 О

= Я1{х,у).

/

Для составления второго уравнения необходимо получить функцию вертикальных перемещений в произвольной точке под прямоугольной площадкой от действия сил реакции. Используя

2 , 2 ' У

йу.

-у11п

Подробное ввмисление первого интеграла:

,-

А. \Х2^Х22+у2(1у =

= Х,

X,

У1+^Х22 + Г2

Б. При вычислении следующей части интеграла сделаем подстановки

у = и 3

Тогда ус/у = ¿V и с!ы =

уйу

-4*2 +У2

УФ

4х21+у1

Х2 1 —-+ —

У 4*2+у1 У

¿У-

Соответственно

у,

¡у2^ы(х2+4х22+у2уу-

у~ ш

+

12 1

X

-Мп 12

V.... 2 2 Ж 2 -Н У2

КУ{+{Х2+У2 ^

т т

Суммирование частей первого (А) интеграла:

X

Цу24х22+У22-Ух4х22+У{

+

Х2

Н--^—111

4

у2+. 1*22 + У2

1*2 + У2

Л

к3'

(Х2+4Х22+У2У

X

12 \

2 1п (у + 4*22+У2)-~

2 . ..2 \ ]_У_

'з 3

У

з

= ^-1п [х2+4х22 + У22^-

У3 6

х2+4Х22 + У2У

А'

12

УЗ т/3

- ^ к - I 2 Г>

+—^— 1п I У, +л У, +Х/ —^ +

9 9

К

з

=^Цаг2+^АГ22 + К22)-

з

Х22 + У22

4

Г^Х' + У^-У^Х' + У2 з Л

-111

У2+у1 'Х,2 + 722

Нл1 Х2 + К,2

—Мп 6

Х22 + Г22 | +

У3 6

Х22 + У22 +

+-

Х7,

12

7

2

Х2 + У| ч—1п

12

у2+4Х22+Г22

Ф

У+х1Х22 + У2 у

6

6

(х1+Д2 + К22)-

х2+У22

12 да 12

2-Х>~ 1п

,Х12 + 722 '

Х,2 + К,2]

За'

+Х31п

-Х2У24х^-У^-—Х2У2ф{2 + У2 +

г

У2+л № + У22

1х,2 + Г2

~-Х1У2у1х^У2

22 +

+-Х1¥^Х2 + ¥2-Х^1п

Г2+л1Х2 + ¥22

-—к/ 1п

2 2

+-¥,31п 2 1

Х2 + ^ X2 + Х1+^Х2+Г2 ^

Х2 н~ Х2 + У|

КХ1+/Х2+У2 ;

А

За2

Суммирование частей второго (Б) интеграла:

^Х^^Х/ + ¥2 -—Х1У2^¥22 +Х2 +

+У/ 1п

+ + ^2

2

2 У

Х1+^Х2 + ¥:

--Х2¥^¥2+Х22 +

+-Х1¥^Х2 + ¥2-¥31П

Х-}2 + ¥2

Ьл

--Л-? 1п

2 2

2 1

¥2+у]¥22+Х22 ¥1+у1¥2+Х22

+

У2Ч К22+Х,2

¥л Ьл/

= Ог

ЗЬ2

Возьмем теперь третий интеграл:

} 2 хг

Я

с1хс1у

Г 2 2 ^х^х +у

У21п

= $\п

У\

Х2 +^Х22 + К;

(1у =

'22у

-^111

Х1+^Х2 + ¥2

¥1+^¥2+Х2

Х22 + У2

^х,2 + г,2

+Х21п

¥1+,1¥2+Х12

-Хх 1п

¥2+^¥2 + Х2

Ух+№ + х\2

= в.

В результате интегрирования получены зависимости в виде конечного интеграла. Теперь после алгебраических преобразований получим функцию осадки:

Обозначим 1-й, 2-й и 3-й интегралы соответственно через 0,, 02 и В. Тогда

Л7 =

пЕ З1й2 Ь'

Рассмотрим на плоскости упругого полупространства две одинаковые площадки нагружения 2ах2Ь. Левую площадку обозначим символом а, правую — Ь. Нагрузка левой площадки выражается начальной функцией реакции ф(х, V), нагрузка правой — равномерно распределенная. Суммарные нагрузки левой и правой площадки равны соответственно Ра = 1 т, Рь = 1 т. Потенциальная энергия деформации упругого полупространства под площадками нагружения:

ру —Р 7 •

й йср Ь срф'

1.7 = 1.7

йср срф'

Определим средние перемещения. В интегральной форме среднее перемещение выразится следующим образом:

1

й ь

= 2,

йср

2а2Ь 1

2а2Ь

-а-Ь

а Ь

| \Ь7.ьйхйу = 7срф.

-а—Ь

Введя в левую часть равенства а(Т|, Хь ¥2) и 1±2, уравнение можно представить так:

а{Х1,Х2Л1Л2)А7 = 2срф.

Заменим Д2' его конечной интегральной формой, полученной раннее:

а(Х^ Х2,¥^¥2)М =

пЕ 3

2+ТТ+В

1 — И-2 У ; Я](х,у )(Ыу 1-ц2 л -а] |—, ; ^ =—

лЕ "Ц г2  -2

х'+У

кЕ

1'2 ! хП-П—2

^х^х +у

+ 1/3

fl'xф• = Zcpф.

Из уравнения (2) видим, что а(Хи Х2, является коэффициентом функции реакции. Для упрощения умножим обе части уравне-

пЕ

ния (2) на дробь -^г— и получим

(1-Ц2)<?

1 га. е2

аз(й2 + Ь2 +£> l~2Zcpф,

а

К "

к=щ+щ+в.

а2 Ь2

20_ кЕ

А 1п

б+^Б2+А2

А

+ В 1п

А + ^В2^2

В

ЗАВ

где Zcpф — средняя осадка под прямоугольной площадкой нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (см. решение Фогта [2, 12]).

Окончательно функцию реакции можно записать в таком виде:

Г = Ра

г 2 2 1 Л

X у 1

2 V " 3

где Р — равномерно распределенная нагрузка.

Проверим полученную формулу по уравнению равенства потенциальной энергии деформации упругого полпространства под площадками нагружения:

(ь а

| \Лг(1х(1у

\-b-a у

у а _ ре у ,

ср — срф4

' Ь а Г 2 2 Л ^

-Ь -а

Г у Ь а

\

| ^&2с1хс1у

2а2Ь , п

V -Ь-а у

срф'

Ь а -Ь-а

2а2Ь

Ь а

и

-Ь-а

1-ц2 У^р}(х,у)с1хс1у

пЕ а 4

х2 + у2

йхйу =

: Р"7.

срф'

г

срф

л. в+4в2+а2 А + л[в~2

А 1п-+ 51п-

А В

а+4в2+а2

ЗАВ

= 2

я1п

Ь + 4а2 + Ь2 ,, а + 4ь2 +а2

- + ¿111-

V

аЬ

Ь а (2 2 Л X V 1

уа Ь2 3;

-Ь-а

йхйу21р =

срф '

где — 2срф.

Полученная формула реакции удовлетворяет условию равновесия приложенной единичной нагрузки. Под действием этих сил перемещения во все точках одинаковы:

Ь а (2 2 1 ^ X V 1

й2 ь2 з

И**

—Ь—а

йхйу = ре =\.

Проверим размерность полученной формулы. Часть формулы, находящаяся в скобках, —

(г 2 Л

х V

— безразмерна. Определим размер-

6z1

ность а = ——. Размерность Z(! ф — [м], К —

К

также; таким образом, а — величина безразмерная. По размерности полученная формула соответствует функции реакции.

Для того чтобы формула была удобна и понятна для расчетов, выразим координаты Хъ Х{, У2, У, через координаты хиу (см. рис. 1):

Х2=(а-х)< Х,=-(а + х), 72=(6-у), У{={Ь + у).

Тогда

+ 1 (*"*) {ь + у) Р-х)2+{Ь + у)2 +

+

(а-х)" 1п

Ь-У + ^{а~х)2+(Ь-у)2

-{Ь + у) + 4{а-х)2+(Ь + у)2

Д (а + х)(Ь- у)4(а + х)2 +(Ь- у)2 ~{а + х){Ь + у)4(а + х)2 + (Ь + у)2

+

+

+(а + х)"> 1п

Ь-у + 4(а + х)2 +{Ь-у)2

~{Ь+ У) + ^/(Й + Х)2+(А+у)2 а-х + 4(а-х)2 +{Ь- V')2

-(а + х) + 4{а + х)2 +(Ь-у)2 а-х + 4(а-х)2 +{р+ V')2

-(Й + Х) + -^(Й + Х)2 +(Ь + у)2 02 =\{а~х){Ь- у)4{а-х)2 +(Ь-у)2 + +иа + х)(Ь-у)4{а + х)2 +(Ь-у)2 +

+

а-х + 4(а-х)2 +{Ь- V')2

+

+(Ь+ урн

а-х + л

-(й + х) + 1^(й + х)2 +{р + у)2

Ь-у + 4{а~х)2 +(Ь-уУ -{Ь + у) + 4(а-х)2+(Ь + у)2

-^-(а + х)"' 1п

Ь-у + 4{а + х)2 +(Ь-у)2 -{Ь + у) + 4{а + х)2+(Ь + у)2

а-х + 4(а-х)2 +{Ь- V')2

+{Ь + у) 1г

+(а-х)1г

+(а + х)1г

~(а + х) + 4{а + х)2 +(Ь-\'У

а-х + 4(а-х)2 +[Ь+ V')2 -(а + х) + ^(а + х)2 + (Ь + V')2

Ь- у + 4(а-х)2+(Ь-у)2 ~{Ь + у) + 4{а-х)2+{Ь-у)2

Ь-у + 4{а + х)2+(Ь-у)2 -{Ь + у) + ^{а + хУ+{Ь + }^2

Теперь преобразуем К:

а Ь2 12а 2 Ь1

(а-х)(Ь-у)4(а-х)2+(Ь-у)2 +

-(а + х)(й-.у)^(а + х)2+(й-.у)2 + -(а-х)(й + >-)^/(а-х)2+(й + >-)2 +

+

J___1_

и2 2 Ь2)

(а-Л)' 1П

+(а + х)31п

Ь - .у + ^¡(а-х)2+(Ь-у)2

~(Ь + у) + ^{а~х)2+(Ь + у)2

Ь-у + ^(а + х)2 +(Ь-у)2 ~{Ь + у) + ^{а + х)2 +(Ь + у)2

+

+

+

_1___1_

^Ь2 2а2)

(Ь-у)31п

+ (б + >-)31п

а-х +

а-х)2+(Ь-у)2

~(а + х) + ^(а + х)2 +(Ь- у)2

а - х + ^(а - х)2 + (Ь + у)2 -(а + х) + ^(а + х)2 + (Ь + у)2

+

+

+

(Ь-у) 1г

а-х +

^(а-х)2 +(Ь-у)2

+(Ь + у) 1г

+(а-х)1г

+(а + х)1г

-(а + х) + ^(а + х)2 +(Ь-у)2

а-х + ^(а-х)2 +(Ь+ V')2 -(а + х) + -\1(а + х)2 + (Ь + у)2

Ь- у + ^(а-х)2+(Ь-у)2 ~(Ь + у) + ^(а-х)2+(Ь-у)2

Ь-у + ^(а + х)2 +(Ь- у)2

Итак, мы получили простую формулу реакции: в ней осталось из шести координат только две.

Проанализируем полученную формулу и определим , в каких точках функция принимает максимальные и минимальные значения. Из решений, полученных другими авторами [2, 5] мы знаем: минимальное значение функция реакции должна иметь в центре под штампом, а максимальные значения должны быть в угловых точках прямоугольника.

При х = у = О Я' (х, >') должно быть равно Лг(х,у) . .

\ - /тт

Г т т >

,2 а1 2 Ь2)

' -3 ^

К

+2

1 1 | -у--т \а~ 1п

и 2 Ь2

1 1 ^4аЬ^а2 + Ь2 +

Ь^(а)2+(Ь)2

+2

J___1_

Ь2 2а2

+

2 а 1п

91п

Ь +

с(Ь)^(а)2+(Ь)2

а + ^(а)2+(Ь^ ^-(а)^(а)2+(Ь)2

+

+

-(Ь) + ^(а)2+(Ь)2

+ 2Ь 1п

а +

мм

-(а) + ^(а)2+(Ь)2

Произведем расчет для конкретной площадки нагружения — а = Ь = 1 м (соответствует площадке нагружения 2x2 м) при Р— 1 т/м'1:

7 =7

ср ^

я1п

Ь + ^1а2+Ь2

+ 61п

а +

аЬ

= 2-21n

у/2

~з

23/2_2-

= 2

21п2,414-

(2,828-2)'

= 2-1,762-082/3 =

: 2,973;

V - /min i

mm т К 3 К

min - min

*min =4V2 + lll

' 1 + л/2 '

-1 + V2

1 + V2 -1+-Л

л f + 111

1+V2 -1+V2

+

+4 In

= 4>/2 + 61n

1 + л/2 '

-1 + V2

= 4-1,4142+ 6-1,76272= 16,224;

. = 2'2,973 = 0,367 т/м2.

V - /шт 16,224

Возьмем координаты верхней правой угловой точки, где К (х'>') должно принимать значение В? (х, V) - При х = а, у = Ь вычислим следующие значения:

шах

' — + — 4

U а2 2 Ь2)

+

\—^18^111 U 2b

2a2bj4a2 +4b2 +

<Лa

J___1_

Vb2 2 a2

+2a In

83 b In

-2b+ 4 4a2 + 4b2

44b2

-2a + 4 4a2 + 4b2

44a

+261n

-2b + J 4a2 + 4b2

44b2

+

-2a + 4 4a2 + 4b2

RrUy)

V s /n

Г 4a2 462

——T+-

4a2 4b2 3

a =

1 + 1 +

H6Z'p 42 Z(

cp

к 3K

J max J max

' 2 Л

При a = b = 1.

= 4л/8 + 3 In 1 ^ +

= 4-2,828 + 12-0,8817 = 9,128 + 10,58 = 19,71;

=42'Z973 =1,901T/M2.

V /max 3 • ? 1 89

Функция R' (x,y) непрерывна на участке

[2a, 2b\. Максимальные значения она принимает в угловых точках, минимальные — в центре площадки. Значения функции Rr (х, >') откладываются по ochZ. Плоскостью, которая параллельна плоскости ХО7с координатой, равной единице,

рассечем поверхность R' (х, >') на две части. Геометрически получим замкнутую кривую пересечения функции R' (х,>') с плоскостью. В точках пересечения х„, уп функция реакции будет принимать значение, равное единице. По первому условию подбора функции реакции точки х„, уп будут удовлетворять условиям теоремы о среднем значении: R' (х„, уп) = 1.

Согласно теореме о среднем

а Ь

1

2а2Ь

J J Rr(x,y)dxdy.

-а-Ь

1

2а2Ь

Условие равновесия единичной силы, приложенной в центре прямоугольного штампа, и реакции упругого полупространства под штампом выполнены.

Геометрически это означает, что некоторый объем 1х2ях2й равен объему, заключенному между площадкой 2ах2Ь на плоскости ХОУи функцией 7?г(х,>').

Окончательно получена следующая формула реакции основания под прямоугольным штампом:

Я'(х,у) = Ра

' 2 2 , ^

X у 1

чй Ь

6Z

где а = -

срф

К '

у 1 _ 7

срф — ^

. Ь + 4а2 +Ь2 ,, а + \1Ь"+а а 1п--нош

4ь2-2

^ /

аЬ

а, о2

а2 Ь2

иа2 2Ь2

(а-х)(Ь-у)4{а-х)2+(Ь-у)2 +

+

_1___1_

,2 тА2

(а-х)"' 1п

+(а + х)31п

а1 2Ьг)

Ь- у + 4{а-х)2+(Ь-у)2 ~{Ь + у) + 4{а-х)2+(Ь + у)2

Ь-у + 4{а + х)2+(Ь-у)2 ~{Ь + у) + 4{а + х)2+(Ь + у)2

+

+

_1___1_

^Ь2 2а2)

{Ь-уУ\п

а-х +

^(а-х)2 +(Ь-у)2

-(а + х) + ^(а + х)2 +(Ь-у)2

+

+ (А->')1п

-{Ь + у) 1п

-(а-х)1п

+(а + х)1г

Й-Х + ^(Й-Х)2 +(й+V')2 -(а + х) + ^ (а + х)2 + {р + V')2

-^(а-х)2 +(Ь-у)2

а-х + 1

~(а + х) + 4{а + х)2 +{Ь-у)2

а-х + 4(а-х)2 +{р+ V')2 -{а + х) + ^(й + х)2 + (р + V')2

Ь- у + 4(а-х)2+(Ь- у)2 ~{Ь + у) + 4{а-х)2+(Ь-у)2

Ь-у + 4(а + хУ +(Ь-уУ -{Ь + у) + 4{а + х)2+(Ь + у)2

Ниже приведены расчеты сил реакции упругого полупространства под жестким центрально нагруженным штампом 2x2 м от равномерно распределенной нагрузки 1/(2ах2й).

В табл. 1 приведены расчеты сил реакции для точек, находящихся на оси X. В табл. 2 приведен расчет сил реакции по диагональной линии квадратной площадки нагружения. Функция реакции принимает значения, равные единице, на осевых линиях при х = +0,824 м, у = 0 и у = +0,824 м, х = 0. На линии диагоналей квадратной площадки, где функция принимает единичные значения, координаты равны х = у = +0,6 м.

На графике 2 реакционные силы рассчитаны по формуле и табличным коэффициентам, приведенным в работе [3]. График выполнен сплошной линией.

Как видим из расчета, наибольшее значение функция реакции принимает в угловой точке под штампом. По периметру площадки функция реакции не принимает бесконечных значений. Объясняется это конечными перемещениями по периметру площадки нагружения. Методики решения и получения формул реакции упругого полупространства в работах [3, 5, 6], существенно отличаются от предложенных в настоящей работе. Реакция упругого полупространства по периметру круглого и прямоугольного штампа принимает значение бесконечность.

Таблица 1

Расчет сил реакции Яг (х, у) квадратного штампа,

нагруженного единичной силой, при движении расчетной точки вдоль оси х

Номер расчетной точки У Я

1 -0,99999 0 1,24

2 -0,75 0 0,87

3 -0,5 0 0,606

4 -0,25 0 0,428

5 0 0 0,366

6 0,25 0 0,428

7 0,5 0 0,606

8 0,75 0 0,87

9 0,99999 0 1,24

Я

0,2

0 J-т-т-т-т-т-т-т-т-

1 2 3 4 5 6 7 8 Номер ТОЧКИ

Рис. 2. Силы реакции под квадратным штампом, нагруженным единичной силой, при движении вдоль оси х

Опыты на плотном песке показывают, что реактивное давление у краев штампа всегда равно нулю. Такие эпюры получены и представлены в работах В.Н. Морозова, И.О. Строгова, Ю.Н. Мурзенко и А.П. Криворотова [7, 8, 9]. С представленными выше решениями сравнивать численные результаты сил реакции по краям площадки нагружения будет неправильно. Современные методы МКЭ позволяют приближенно считать эти задачи для штампов небольших размеров. При больших размерах плиты, когда ее площадь может достигать нескольких квадратных километров, расчет вызывает затруднения. Построение полной глобальной картины изменения сил реакции в зависимости от формы и размеров штампа окажется очень трудоемким.

В данном решении размер и форма плиты неограниченны. Функция а является коэффициентом формы и размеров произвольного прямоугольного штампа.

Согласно СНиП напряжения в основании под плитами не должны превышать их упругой работы. На практике под жесткими фундаментными плитами грунт выравнивают достаточно большим слоем песка. Горизонтальное напряжение при такой засыпке под плитой практически равно нулю.

К предложенной методике решения и численным результатам для сравнения подходит работа [3]. Авторы предупреждают, что коэффициенты степенного ряда вычислены приближенно. Однако в работе используется и второе упроцение:

Таблица 2

Расчет сил реакции Яг(х, у) квадратного штампа, нагруженного единичной силой, при движении расчетной точки по диагонали квадрата

У R 4 Номера точек

-0,99999 -0,99999 1,901 2,741 1

-0,75 -0,75 1,298 1,241 2

-0,5 -0,5 0,823 0,747 3

-0,25 -0,25 0,489 0,605 4

0 0 0,366 0,556 5

0,25 0,25 0,489 0,605 6

0,5 0,5 0,823 0,747 7

0,75 0,75 1,298 1,241 8

0,99999 0,99999 1,901 2,741 9

Рис. 3. Силы реакции под квадратным штампом,

нагруженным единичной силой, в точках по диагонали квадрата (—--^--

не учитывается форма площадки нагружения при вычислении коэффициентов. Расчет десяти коэффициентов степенного ряда произведен только для семи площадок с различными соотношениями сторон. Сравним центральную и угловую точки, где должна быть существенная разница по результатам расчетов. Так, для соотношения ß = а / Ъ = 1 реактивная нагрузка в центре площадки равна Р(х,у) =0,556T/(2ö2Z?)t/m2, вугловой точке — Р(х, у) = 2,741T/(2ö2Z>) т/м2. По формулам, полученным в виде конечного интеграла, имеем в центре Rr (х, у) = 0,366T/(2ö2Z>) т/м2, в угловой точке — Rr (х, у) = 1,90-1/(2я2й) т/м2. Разница есть; нельзя сказать, что она очень большая. Коэффициенты степенного уравнения получены приближенно и только для семи

различных по форме площадок нагружения. Полученную формулу в работе [3] нельзя назвать законченным аналитическим решением.

В отличие от решения Буссинеска для круглого штампа и решений других авторов для прямоугольного штампа, здесь впервые решение получено полуобратным способом. Оно имеет существенное отличие от контактной задачи теории упругости. В сущности, здесь выполнен подбор функции реакции по двум основным условиям — равновесия сил реакции под штампом и одинаковой осадки под ним. Коэффициент а получен в виде конечного интеграла. Это функциональный коэффициент конкретной точки штампа, который учитывает его форму и размеры.

Существенно отличаются и величина сил реакции под прямоугольным штампом при приближении расчетной точки к краям штампа. Величи-

на сил реакции для упругого полупространства не стремится к бесконечности на краях штампа, что существенно ближе к реальности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филоненко-Бородач, М.М. Теория упругости. [Текст]: учеб. пособие для техн. вузов / М.М. Филоненко-Бородич,— 3-е изд. М.: Гос. изд-во технико-теор. лит, 1947,— 300.

2. Фогт, Ф. О расчете деформации фундаментов |Текст| / Ф. Фогт / ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева,- ОППНТИ НТБ, Перевод № 911. 1973.

3. Горбунов-Посадов, М.И. Расчет конструкций на упругом основании [Текст] / М.И. Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин // М.: Стройиздат, 1984.

4. Наумов, И.В. Упругое полупространство |Текст| / И.В. Наумов // Научно-тех. ведомости СПбГПУ,- 2005. №4.- С. 84-93.

5. Абрамов, В.М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким штампом при учете сил тренья | Текст] / В.М. Абрамов // Доклады Академии наук СССР,- 1937. Т. XVII. № 4,-С. 173-178.

6. Абрамов, В.М. Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство / В.М. Абрамов // Доклады Академии наук СССР,— 1939,— Т. XVIII,— №8.- С. 759-763."

7. Морозов, В.Н. Контактные напряжения под штампами малого диаметра [Текст] / В.Н. Моро-

зов, И.О. Строг / ЛИСИ // Механика грунтов и фундаментостроение,— 1970. №61.

8. Мурзенко, Ю.Н. Результаты экспериментальных исследований характера распределения нормальных контактных напряжений по подошве жестких фундаментов на песчаном основании [Текст] / Ю.Н. Мурзенко // Основания, фундаменты и механика грунтов,— 1965. N° 2,— С. 1—4.

9. Криворотов, А.П. Экспериментальное исследование распределения нормальных давлений по контакту штампа с песчаным основанием [Текст] / А.П. Криворотов // Основания, фундаменты и механика грунтов,— 1963. N° 2.

10. Штаерман, И.Я. Распределение давления под фундаментами при наличии пластической зоны |Текст] / И.Я. Штаерман // Тр. МИСИ им. В.В. Куйбышева,—1956. № 14.

11. Наумов, И.В. Определение напряженно деформированного состояния упругого полупространства от нагружения произвольной нагрузкой |Текст|: дисс. ... канд. техн. наук / И.В. Наумов / СПбГПУ. 2009.

12. Наумов, И.В. Средняя осадка упругого полупространства под прямоугольной областью нагружения |Текст] / И.В. Наумов // Научно-технические ведомости СПбГПУ"- 2009. № 4. Т. 2(89).