Круглая плоская мембрана при больших деформациях

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 51-7

Е.П. Колпак

д-р физ.-мат. наук, профессор, кафедра вычислительных методов механики деформируемого тела, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Л.С. Мальцева

аспирант, кафедра вычислительных методов механики деформируемого тела, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

КРУГЛАЯ ПЛОСКАЯ МЕМБРАНА ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Аннотация. Задача о растяжении в плоскости круглой мембраны из изотропного упругого несжимаемого материала решается в рамках нелинейной теории тонких оболочек. Решение представлено в квадратурах. Для случая потенциала Черныха получено аналитическое решение. Показано, что решение может иметь особенность при конечных поперечных размерах деформированной мембраны.

Ключевые слова: эластомеры, мембрана, деформации, напряжения, упругий потенциал.

E.P. Kolpak, Saint Petersburg State University

L.S. Maltceva, Saint Petersburg State University

CIRCLE FLAT MEMBRANE FOR LARGE DEFORMATIONS

Abstract. The problem of stretching in the plane of a circular membrane of incompressible isotropic elastic material is solved in the framework of the nonlinear theory of thin shells. The solution is presented in quadratures. For the case of Chernykh potential was found an analytical solution. It is shown that the solution can have the singularity at finite transverse dimensions of the deformed membrane.

Keywords: elastomers, membrane, strain, stress, elastic potential.

Изделия из резиноподобных материалов могут испытывать большие - до нескольких сотен процентов - деформации без разрушения. Расчет изделий из таких материалов осуществляется в рамках геометрически и физически нелинейной теории упругости [5, 8-12, 16, 19, 20]. Математические модели представляют собой краевые задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Решение таких задач может быть неединственным [12, 45, 46, 49, 50]. Наряду с этим, возможны и решения, имеющие сингулярность в некоторых точках [1-4, 6, 7, 17, 18, 22, 24-26, 33-39, 43]. Аналитическое решение нелинейных уравнений удается построить в исключительных случаях. Численные решения не всегда позволяют выявить особенности в напряженно-деформированном состоянии [5, 13, 15, 28-32]. Ниже приводится пример существования аналитического решения с особенностью для круглой плоской эластомерной мембраны, растягиваемой в плоскости.

Нелинейная связь между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости определяется с помощью упругого потенциала Ф=Ф(Л1,Л2,Л3), являющегося для изотропного материала функцией кратностей удлинений Щ, 12 и Щ. Для несжимаемого материала должно выполняться условие несжимаемости: Щ = 1. К числу потенциалов для несжимаемых материалов относятся потенциалы Муни-Ривлина, Бартенева-Хазановича, Джента-Томаса, Исихары, Бидер-мана, Александера, Харт-Смитта, Огдена [12, 14, 42, 44, 47, 48]. Некоторые из них и их «модификации» достаточно часто используются при решении конкретных задач [19, 21, 23, 27, 40, 46, 51, 52]. Ниже будет использоваться степенной потенциал, предложенный К.Ф. Черныхом [41]:

ф=т \-{1+ь)

где т - линейный модуль сдвига, п - параметр, р - постоянная, удовлетворяющая ограничению -1 <р< 1. Из этого потенциала следуют потенциалы Бартенева-Хазановича (п = 1, р = 1), неогуковский (п = 2 , р = 1), Муни-Ривлина (п = 2).

Пусть круглая мембрана внешнего радиуса г2 и с радиусом внутреннего отверстия г1 растягивается в плоскости равномерной нагрузкой, приложенной к ее внешнему контуру. Пусть г0 - радиус точек срединной поверхности до деформации, г - после деформации; Л° - толщина мембраны в недеформированном состоянии, а Л - в деформированном; 1 и 12 - кратности удлинений, а Т1 и Т2 - усилия в радиальном и окружном направлениях. Тогда для случая осесимметричной деформации уравнение равновесия имеет вид [1°, 12]:

г ° + Т-Т2 = °,

а уравнение, связывающее кратности удлинения 1 и 12, -

сг

г ° +1 -1=^

си.

с1г0

Связь между усилиями и кратностями удлинений определяется с помощью упругого потенциала Ф = ФЩ) [1°]:

l = dp, l = r / r0, Я = h / h° = 1/Я1Я2.

T1 = h

ЭФ „ ЭФ 1 „ , 0 L ЭФ „ ЭФЛ

Л — - Я — |, T2 = h0 Я2 — -Я3 — ЭЛ, ЭЯ3 J ^ ЭЯ2 ЭЯ3

На внутреннем контуре мембраны принимаются следующие граничные условия: при r0 = r,: r = r1 или Я2 = 1,

а на внешнем контуре при r0 = r2: r = r* или Я2 = r* /r2 > 1.

Эти граничные условия предполагают, что точки внутреннего контура не смещаются. Радиус внешнего контура увеличивается до значения r = r*. При этом нагрузка, растягивающая

мембрану, подсчитывается по формуле P = T1(r0 = r2).

Для случая мембраны постоянной толщины (h0 = const) из уравнения (2) следует, что

ЭТ1 dl ЭТ1 T2 - T1

.

1 С12 дЯ2 1 -1

Поскольку усилия Т1 и Т2 являются функциями только кратностей удлинений, то из этого уравнения находится зависимость 1 = Л(Л). А зависимость между 12 и г° находится из уравнения (3):

12

Inr - lnC0 =

d12

Л(Л)-Я2'

12

где C0 - постоянная интегрирования.

Для сплошной мембраны уравнениям (2)-(3) удовлетворяет однородное решение:

Я = Я = Я = const, s = Яг , T = T2 = P, где P - нагрузка, действующая на внешнем контуре.

Для случая потенциала (1) из соотношения (4) следует, что

T =mh01 (1-1 )(1+b+(i-b)i2), T = (1 -1 )(i + b+(i-b)1),

и уравнение (5) принимает вид:

d1 dl

1 212

1 +

i + b+(1-bli

при b = -1: при lb < 1:

1 + b + (1 -b)1 Из этого уравнения следуют квадратуры при b = 1:

1

-= 1 = const = C,

13'2 + ЭЛ.;1^1'2 = const = C ,

(1 + b)4-V (x) + (1 - b)j( x) = (1 - b)c,

1 1 /1 + x -1 x = (1-b)(1 + b)-112, f(x) = x^n/T+x , j(x) = -f(x) + — .

2 х ' 4 ТГ+х +1

Постоянная интегрирования С , содержащаяся в (7)-(8), должна быть положительной величиной. Эта константа и константа С0 находятся из удовлетворения граничным условиям. Функция 1 =1(1) как решение уравнения (6) при различных значениях параметра 5 определяется из (7)-(9) явно.

Решения (8) и (9) допускают решение, на котором 1 может принимать бесконечные значения в некоторой точке промежутка [г,,г2]. При этом 12 в этой точке будет принимать конечные значения. Конечные значения будет принимать усилие ТГ, усилие Т2 - бесконечно большие, а кратность деформационного изменения толщины мембраны 1 - обращаться в ноль. То есть при конечных поперечных размерах растянутой мембраны в мембране может возникнуть особенность в некоторой точке.

3.5

2.5

1.5

[ р=-1

50

100

150

Рисунок 1 - Зависимость относительного изменения радиуса внешнего контура 12 от кратности удлинения 1 на внутреннем контуре при значениях параметра Ь = 0 и ¡5 = -1

Для решения (8) на внутреннем контуре, поскольку в этой точке 1 = 1, должно выполняться

3

2

0

равенство 1 + 311 = С . Так как 1 - положительная величина, то константа С должна удовлетворять неравенствам 1 < С < 4 . Значение С = 4 соответствует не деформированной мембране, а С = 1 -случаю, когда на внутреннем контуре 1 = ¥ . Для решения (9) при 1 = 1, поскольку ° < р < 1 и х = (1 - р)(1 + р)-1 < 1, функции f(х) и ((х) принимают положительные значения в рассматриваемом диапазоне изменения параметра р. Значения константы С в этом случае будут положительными и конечными при любых значениях 1 > 1 на внутреннем контуре, в том числе и при 1 = ¥ . На рисунке 1 показана зависимость кратности увеличения радиуса внешнего контура 12 от кратности удлинения 1 на внутреннем контуре для случая г1 = °.°1 и г2 = 1 при значениях р = ° и р = -1.

Заключение. Полученное решение с особенностью в рамках теории тонких оболочек следует рассматривать лишь как одно из возможных направлений развития деформаций. И уравнения теории тонких оболочек в таких вариантах физической нелинейности нельзя использовать для описания напряженно-деформированного состояния тонких мембран. В этих случаях необходимо прибегнуть к теориям, учитывающим более точно неоднородность напряженного состояния по толщине, чем теория тонких оболочек.

Список литературы:

1. Гасратова Н.А. Напряженно-деформированное состояние упругого пространства со сферическим жестким включением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1°: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2°°9. - № 1. - С. 14-18.

2. Гасратова Н.А. Решение некоторых классических пространственных задач теории упругости в напряжениях // Молодой ученый. - 2°14. - № 3 (62). - С. 1-6.

3. Гасратова Н.А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач линейной теории упругости / Н.А. Гасратова, В.А. Шамина // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2°°7. - № 2. - С. 1°1-1°6.

4. Гасратова Н.А. Решение в напряжениях линейной осесимметричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью / Н.А. Гасратова, В.А. Шамина // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2°°8. - № 2. - С. 122-128.

5. Голованов А.И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. IV. Конечноэлементная реализация. Примеры решения задач / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, Л.У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. - Т. 152, кн. 4. - С. 115-126.

6. Даль Ю.М. Сосредоточенные силы и моменты у границы упругой полуплоскости / Ю.М. Даль, Ю.Г. Пронина // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1998. - № 5. - С. 78.

7. Даль Ю.М. Деформация шаровой поры в нелинейно-упругом теле / Ю.М. Даль, Ю.Г. Пронина // Изв. РАН. Серия физическая. - 2°°6. - Т. 7°, № 9. - С. 1341-1343.

8. Кабриц С.А. Математическое моделирование нелинейной деформации эластомерно-го слоя / С.А. Кабриц, В.М. Мальков, С.Е. Мансурова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1°: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2°11. - № 3. - С. 56-63.

9. Кабриц С.А. Нелинейные уравнения плоского слоя для трех моделей эластомерного материала / С.А. Кабриц, В.М. Мальков, С.Е. Мансурова // Изв. РАН. Механика твердого тела. -2°°1. - № 1. - С. 38.

1°. Кабриц С.А. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига / С.А. Кабриц, К.Ф. Черных // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1996. - № 1. - С. 124.

11. Колпак Е.П. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Е.П. Колпак; С.-Петерб. гос. ун-т. - СПб., 2°°4.

12. Колпак Е.П. Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - СПб., 2°°°.

13. Колпак Е.П., Жукова И.В., Степанова Д.С., Крицкая А.В. О численных методах решения эволюционных уравнений на примере математической модели «хищник-жертва» // Молодой ученый. - 2°14. - № 4 (63). - С. 2°-3°.

14. Колпак Е.П., Мальцева Л.С. Большие деформации резиновых мембран // Молодой ученый. - 2014. - № 16 (75). - С. 78-84.

15. Куликов Р.Г. Численная методика решения задачи деформирования полимерной кристаллизующейся среды с учетом больших деформаций / Р.Г.Куликов, Т.Г. Куликова // Вычислительная механика сплошных сред. - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 172-180.

16. Мальков В.М. Математическое моделирование нелинейной деформации эластомер-ного слоя / В.М. Мальков, С.А. Кабриц, С.Е. Мансурова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2011. - № 3. - С. 56-63.

17. Мальков В.М. Анализ сингулярности напряжений в нелинейной задаче Фламана для некоторых моделей материала / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72, № 4. - С. 652-660.

18. Мальков В.М. Исследование нелинейной задачи Фламана / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2006. - № 5. - С. 68-78.

19. Мальков В.М. Нелинейная задача Фламана для материала Бартенева-Хазановича / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2005. - № 1-2. - С. 49-55.

20. Мальков В.М. Нелинейная задача Фламана для несжимаемого материала / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2004. - № 4. - С. 73-82.

21. Мальков В.М. Плоская задача нелинейной упругости для гармонического материала / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2008. - № 3. - С. 114-126.

22. Мальков В.М. Плоские задачи о сосредоточенных силах для полулинейного материала / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2013. - № 3. - С. 83-96.

23. Мальков В.М. Плоские задачи упругости для полулинейного материала / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. -2012. - № 3. - С. 93-106.

24. Мальков В.М. Бесконечная плоскость с круговым включением, имеющим отслоение на части границы / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова, В.А. Иванов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2009. - № 4. - С. 152-165.

25. Мальков В.М. Двухкомпонентная плоскость из материала Джона с межфазной трещиной, нагруженной давлением / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова, В.А. Степанова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2013. - № 3. - С. 113-125.

26. Мальков В.М. Трещина в форме дуги окружности, расположенная вблизи поверхности раздела материалов / В.М. Мальков, Ю.В. Малькова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2010. - № 1. - С. 93-104.

27. Олейников А.И. Определяющие уравнения связи напряжений с деформациями для чугуна / А.И. Олейников, И.О. Овчаров // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. - 2013. - № 111-1 (15). - С. 42-46.

28. Пронина Ю.Г. Оценка долговечности упругой трубы под действием продольной силы и давления в условиях равномерной поверхностной коррозии // Деформация и разрушение материалов. - 2009. - № 2. - С. 41-45.

29. Пронина Ю.Г. Механохимическая коррозия полого цилиндра из идеального упруго-пластического материала под действием постоянного давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2006. - № 3. - С. 121-130.

30. Пронина Ю.Г. Влияние поверхностных факторов на напряженно-деформированное состояние твердых тел с отверстиями: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / С.-Петерб. гос. ун-т. - СПб., 2010.

31. Пронина Ю.Г. Краевая дислокация и сосредоточенная сила в упругой полуплоскости с отверстиями и краевыми вырезами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2012. - № 4. - С. 120-124.

32. Пронина Ю.Г. О сосредоточенных воздействиях у границы упругой пластины // Тру-

ды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. - 2010. - № 53. - С. 117-122.

33. Пронина Ю.Г. Оценка устойчивости упругой трубы под давлением коррозионных сред // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2006. - № 3. - С. 55-63.

34. Пронина Ю.Г. Периодическая задача о точечных воздействиях в упругой полуплоскости с отверстиями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2009. - № 3. - С. 118-128.

35. Пронина Ю.Г. Равномерная механохимическая коррозия полой сферы из идеального упру-гопластического материала под действием постоянного давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2009. - № 1. - С. 113-122.

36. Пронина Ю.Г. Расчет долговечности упругой трубы под действием продольной силы, давления и осесимметричного нагрева в условиях равномерной коррозии // Проблемы прочности и пластичности. - 2009. - № 71. - С. 129-135.

37. Пронина Ю.Г. Сосредоточенные силы и моменты в упругой полуплоскости с отверстием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2009. - № 2. - С. 104-114.

38. Пронина Ю.Г. Центры расширения-сжатия в упругой полуплоскости // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2007. - № 2. - С. 140-149.

39. Султанов Л.У. Численное исследование больших деформаций методом конечных элементов / Л.У. Султанов, Р.Л. Давыдов // Инженерно-строительный журнал. - 2013. - № 9. - С. 64-68.

40. Султанов Л.У. Численное исследование гиперупругих материалов / Л.У. Султанов, Л .Р. Фахрутдинов // Magazine of Civil Engineering. - 2013. - № 9. - С. 69-74.

41. Черных К.Ф. Законы упругости для изотропных материалов (феноменологический подход) / К.Ф. Черных, И.М. Шубина // Механика эластомеров. - 1978. - Т. 2. - С. 56-62.

42. Agostiniani V., AntonioDeSimone D. Ogden-type energies for nematic elastomers // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2012. - V. 47. - P. 402-412.

43. Dal' Yu.M., Pronina Yu.G. On concentrated forces and moments in an elastic half-plane // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. - 1998. - № 1. - С. 5760.

44. Fenga Z., Peyraut F., Hec Q. Finite deformations of Ogden's materials under impact loading // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2006. - V. 41. - P. 575-585.

45. Kanner L.M., Horgan C.O. Elastic instabilities for strain-stiffening rubber-like spherical and cylindrical thin shells under inflation // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2007. - V. 42. - P. 204-215.

46. Lectez A.S., Verron E., Huneau B. How to identify a hyperelastic constitutive equation for rubber-like materials with multiaxial tension-torsionexp eriments // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2014. - V. 65. - P. 260-270.

47. Liu M., Hoo Fatt M.S. A constitutive equation for filled rubber under cyclic loading // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2011. - V. 46. - 446-456.

48. Nah C., Lee G.B., Lim J.Y., Kim Y.H., SenGupta R., Gent A.N. Problems in determining the elastic strainen energy function for rubber // International Journal of Non-Linear Mechanics. -2010. - V. 45. - P. 232-235.

49. Pronina Y. Analytical solution for the general mechanochemical corrosion of an ideal elastic-plastic thick-walled tube under pressure // International Journal of Solids and Structures. - 2013. -Т. 50, № 22-23. - P. 3626-3633.

50. Pronina Y.G. Estimation of the life of an elastic tube under the action of a longitudinal force and pressure under uniform surface corrosion conditions // Russian metallurgy (Metally). - 2010. -Т. 2010, № 4. - P. 361-364.

51. Rivlin R.S. The relation between theValanis-Landel and classical strain-energy functions // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2006. - V. 41. - P. 141-145.

52. Wineman A. Some results for generalized neo-Hookean elastic materials // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2005. - V. 40. - P. 271-279.