Математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной обратной связи

УДК 621.372:621.375 Г.Н. Якушевич

Математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной обратной связи

Получена математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной обратной связи (ОС) на основе заданных коэффициентов передачи, отражения активного четырехполюсника с ОС и параметров четырехполюсника параллельной обратной связи.

Ключевые слова: математическая модель, активный четырехполюсник, широкополосный усилитель, четырехполюсник параллельной ОС.

В работе [1] при разработке усилителя используется декомпозиционный метод синтеза (ДМС). ДМС предполагает, что требования к активному устройству предварительно преобразуются в требования к корректирующим и согласующим цепям (КЦ и СЦ), которые представляются в виде областей допустимых значений (ОДЗ) иммитанса или коэффициента отражения цепей на фиксированных частотах. Далее КЦ и СЦ синтезируются по указанным ОДЗ. В работах [2, 3] было показано, что прежде чем охватить активный элемент (транзистор) двухполюсником обратной связи, необходимо приблизить параметры активного элемента к требуемым параметрам активного четырехполюсника.

В работах [2, 3] были получены математические модели активных четырехполюсников для широкополосных усилителей с двухполюсниками параллельной и комбинированной ОС на основе требуемых параметров в виде следующей функциональной зависимости: [S] = F([Soc ],[ioC ]). В работах [4-6] предложены алгоритмы моделирования и проектирования широкополосных усилителей на основе полученных математических моделей активного четырехполюсника. Показан выигрыш на верхней частоте в коэффициенте усиления широкополосного усилителя с двухполюсником параллельной ОС по отношению к номинальному коэффициенту передачи по мощности [2-6]. Но выигрыш в коэффициенте передачи на верхней частоте уменьшается с уменьшением коэффициента передачи четырехполюсника с параллельной ОС, так как начинают влиять параметры двухполюсника параллельной ОС. Поэтому представляет интерес получение математической модели активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной ОС в виде приведенной выше функциональной зависимости.

Постановка задачи. Математическую модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной ОС найдем в виде аналитических выражений для требуемых параметров активного элемента без четырехполюсника параллельной ОС, рассчитанных по заданным коэффициентам передачи, отражения усилителя с ОС и структуры четырехполюсника параллельной ОС

Математическая модель. Определение математической модели активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной ОС для схемы, приведенной на рис. 1, проведем в матричном виде. Для этого примем следующие обозначения:

S11OC S12OC г„ п ,S , л тт S . л тт |"7чос j

[Кюс ]

[ Sач ]

[SOC]=

S21OC S22OC

[ач ] =

S11A4 S21A4

S12A4 S22A4

Î11 Î21

Î12 Î22

Рис. 1. Активный четырехполюсник с четырехполюсником параллельной ОС

это обобщенные матрицы параметров рассеяния широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной ОС, параметров рассеяния активного четырехполюсника и параметров четырехполюсника параллельной ОС. Алгоритм нахождения матрицы требуемых параметров рассеяния активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной ОС запишется в следующем виде [2]:

[ач ]= 2

где [ Е ]- единичная матрица.

Из выражения (1), с учетом введенных выше обозначений, получим математическую модель в виде аналитических выражений для требуемых ^-параметров активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с ОС [7], при этом ошибочный ранее знак «+» перед последним слагаемым в числителе формулы (5) исправлен на знак «—»

„ 4511ОС + 2[У11 (511ОС +1) + У22 (522 ОС +1" % ОС) + У12521ОС + У21512ОС]"УУ55 ОС ,,,

^11АЧ =-;

11АЧ 4 - 2[7ц(^11ОС +1) + ^22(^22ОС +1) + У^ЮС + У21%ОС] + ОС

2

^1?АЧ =-;

12АЧ 4 - 2[УП(5ПОС +1) + ^22(^22ОС +1) + У^ЮС + У21%ОС] + ОС

2

5?1АЧ =-;

21АЧ 4-2[Уц(5цОС +1) + ^22(^22ОС +1) + У^ЮС + У21%Ос] + Уу55 ОС

„ 4522 ОС + 2[У11(511ОС +1 -55 ОС) + У22(522 ОС +1) + У12521ОС + У21512 ОС]-УУ55 ОС

5??АЧ =-,

22АЧ 4 - 2[7П(5ПОС +1) + !22(522ОС +1) + У^ЮС + У21%ОС] + УУ55 ОС

где УУ = У11У22 - У12У21,55 ОС = (511 ОС +1)(522 ОС +1) - 512 ОС 521ОС .

Полученные соотношения (2)-(5) позволяют рассчитывать требуемые 5ач - параметры активного четырехполюсника для широкополосного усилителя на основе заданных коэффициентов прямой 521ОС и обратной 512ОС передачи, коэффициентов отражения 5цос и 522ОС, заданных

УЧОС -параметров четырехполюсника параллельной ОС.

Из полученного соотношения (3) найдем коэффициент обратной передачи 5]2ос

„ 512АЧ {4 - 2[У11 (511ОС +1) + У22 (522 ОС +1) + У12521ОС] + УУ 555 ОС } - 2У12 555 ОС

512 ОС =-,

512АЧ (2У21 + УУ 521ОС) + 4 - 2У12 521 ОС

где 555 ОС = (511ОС +1) (522 ОС +1) .

Тогда с учетом выражения (6) соотношения (2), (4), (5) запишутся

„ 2 511ОС + У11(1+511ОС) + У12 521ОС + 512АЧ 5А

511 АЧ =-;

11АЧ 2-У11(1+511ОС)-У12 521ОС

2

4 521ОС + 2У21(1 + 511ОС)(1 + 522 ОС ) - 2У12 521ОС + 512АЧ 5А 5В

521АЧ =-;

[2 - У11(1 + 511ОС) - У12 521ОС][2 - У22(1 + 522 ОС ) - У12 521ОС]

2522ОС + У22 (1+522 ОС )+У12 521ОС + 512АЧ 5В

522АЧ =-,

2-У22 (1+522 ОС )-У12 521ОС

где 5а = 521У22 + (5ц +1)Уп , 5в = 521 Уц + (522 +№.

Полученные соотношения (7)—(9) определяют математическую модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником ОС в виде аналитических выражений требуемых 5-параметров активного четырехполюсника без четырехполюсника ОС.

Задавая значения коэффициентов отражения 5ц ос , 522 ОС и значение комплексного коэффициента передачи 521ОС широкополосного усилителя с ОС в виде 52юС = |521ОС|ехР(г' 21Ос), где ^юс] и 21 ОС - модуль и фаза комплексного коэффициента передачи, для заданной структуры четырехполюсника ОС по соотношениям (7)-(9) можно рассчитать требуемые 5-параметры активного четырехполюсника без четырехполюсника ОС.

Требуемые 5-параметры идеально однонаправленного активного четырехполюсника для согласованного широкополосного усилителя с четырехполюсником параллельной ОС. Для идеально однонаправленного активного четырехполюсника 512АЧ = 0, а для согласованного широко-

полосного усилителя 5цОС = £22ОС = 0. Тогда согласно (7)-(9) требуемые ^-параметры и номиналь ный коэффициент передачи по мощности ОНОМ определятся выражениями:

112

^12 ОС = ^ЛАЧ =

2 +112 ^21ОС ' 711 +712 ^21ОС

2-7ц -712 ^21 ОС

^21АЧ =

2(2821 ОС +721 - 712 5'^1ОС) (2-7П -712 $ИОС ) (2-722 -712 $21ОС ) : 722 + 712 <$21ОС

¿22АЧ =:

На рис. 2 приведены зависимости модулей коэффициентов передачи |521АЧ |, |<$2юС| и коэффициентов передачи по мощности ОНОМ для активного четырехполюсника с однонаправленными четырехполюсниками ОС ( 7ц = 722 = 712 = 0 ) Л-типа, Ж-типа, ЛС-типа [2, 3] для коэффициента передачи широкополосного усилителя |52юС| = 6 дБ от фазы коэффициента передачи ©21 ос АЧ .

О ном, дБ 21 Ач|, дБ 21 ос|, дБ 12'

10

2 - 722 - 712 ^21 ОС ' ^ИОМ = |^21АЧ| /

0

-180 ©21 ос ач

Рис. 2. Зависимости модулей коэффициентов передачи |£ 21 АЧ|, |£ 21 ОС| и коэффициентов передачи по мощности О НОМ для активного четырехполюсника с однонаправленными четырехполюсниками ОС: О - Л-типа;  - Ж-типа; - ЛС-типа от фазы коэффициента передачи ©21 ос ач

8

6

4

2

Анализ зависимостей, приведенных на рис. 2, показывает, что в областях ниже коэффициента передачи для каскада широкополосного усилителя с ОС |521ОС| = 6 дБ получается выигрыш по коэффициенту усиления и по верхней граничной частоте по отношению к номинальному коэффициенту передачи по мощности активного элемента (см. заштрихованные области). Для активного четырехполюсника с однонаправленными четырехполюсниками ОС Л£-типа выигрыш составляет 2,16 дБ, Л-типа - 2,5 дБ, ЛС-типа - 3,15 дБ.

Приведенные в табл. 1 значения выигрыша коэффициентов передачи |52юС| активного четырехполюсника с Л-двухполюсником ОС и с однонаправленным Л-четырехполюсником ОС показывают, что с уменьшением коэффициента передачи |52юС| активного четырехполюсника с Л-двухполюс-ником ОС величина выигрыша уменьшается, а для активного четырехполюсника с однонаправленным Л-четырехполюсником ОС остается постоянной.

Таблица 1

Выигрыш в коэффициенте передачи |5,2юс| активного четырехполюсника с й-двухполюсником ОС и с однонаправленным й-четырехполюсником ОС

1^21ос1, ДБ 6 12 20

Выигрыш с Я-двухполюсником ОС, дБ 0,56 1,29 1,97

Выигрыш с однонаправленным Я-четырехполюсником ОС, дБ 2,5 2,5 2,5

В общем случае зависимости ^-параметров активного элемента отличаются от требуемых ^-параметров активного четырехполюсника, приведенных на рис. 2, и для их сближения на входе и выходе активного элемента включают фазирующе-трансформирующие цепи (ФТЦ), фазирующие цепи (ФЦ), фазирующе-согласующие цепи (ФСЦ), симметрирующие цепи (СЦ) [2-6].

Математическое моделирование широкополосного усилителя с однонаправленным й-четырехполюсником ОС. Математическое моделирование проведем на основе, приведенной на рис. 3 эквивалентной схемы кристалла [8], отражающей в широком диапазоне частот частотные свойства полевого транзистора по алгоритму проектирования, предложенному в работе [5].

Принципиальная схема широкополосного усилителя на полевом транзисторе УТ1 с четырехполюсником ОС на основе схемы каскода общий сток (УТ2) - общий затвор (УТ3) приведена на рис. 4. СЦ на выходе и индуктивность в истоке приближают ^-параметры полевого транзистора УТ1 к требуемым параметрам активного четырехполюсника, приведенным на рис. 1. Значения элементов эквивалентной схемы полевых транзисторов УТ1, УТ2, УТ3 приведены в табл. 2.

Я

Сз,

Яс

Рис. 3. Эквивалентная схема кристалла полевого транзистора

С

Рис. 4. Принципиальная схема широкополосного усилителя с четырехполюсником ОС

Таблица 2

Значения элементов эквивалентной схемы полевых транзисторов

Параметры Язи, Ом Яси, Ом Сзи, пФ Сзс, пФ А/В ЯЗ, Ом ЯС, Ом ЯИ, Ом

Полевого транзистора УТ1 5 400 1 0,01 0,06 2 2 2

Полевого транзистора ОС УТ2, УТ3 20 1600 0,25 0,0025 0,015 8 8 8

З

На рис. 5 приведены результаты расчета ^-параметров широкополосного усилителя с четырехполюсником ОС на основе схемы каскода общий сток (УТ2) - общий затвор (УТ3). Результаты математического моделирования показывают выигрыш в коэффициенте усиления по отношению к номинальному коэффициенту передачи по мощности на частоте 8 ГГц порядка 2 дБ (см. рис. 5, а).

В работах [1, 2] приведены результаты экспериментальных исследований, подтверждающие достоверность аналогичных теоретических исследований с помощью математического моделирования на основе эквивалентных схем активных элементов.

Полученные результаты. Определены алгоритмическая математическая модель в виде выражения (1) и аналитическая математическая модель в виде выражений (7)-(9) для требуемых параметров активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с четырехполюсником ОС, к которым необходимо приблизить параметры активного элемента, прежде чем ввести четырехполюсник ОС.

S21, дБ; 0ном, дБ

0 2 4 6 8 F, ГГц 0 2 4 6 8 F, ГГц

а б

Рис. 5. Коэффициенты S21 и УНОМ (а), S11 и S22 (б) широкополосного усилителя с четырехполюсником ОС

Литература

1. Разработка GaAs-pHEMT-монолитного малошумящего усилителя диапазона 3-20 ГГц с использованием программ «визуального» проектирования / И.М. Добуш, А.А. Самуилов, А.А. Кален-тьев и др. // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2013. - № 4 (30). -С.39-44.

2. Якушевич Г.Н. Математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного СВЧ-усилителя с двухполюсником параллельной обратной связи // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2009. - №2 (20). - С. 32-37.

3. Якушевич Г.Н. Математическая модель активного четырехполюсника для широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной обратной связи // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2012. - №1 (25). - С. 34-39.

4. Якушевич Г.Н. Алгоритм расчета транзисторного широкополосного усилителя с двухполюсником параллельной обратной связи // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2010. - №1 (21), ч. 2. - С. 63-68.

5. Якушевич Г.Н. Проектирование транзисторных широкополосных усилителей с двухполюсником параллельной обратной связи // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2011. - №1 (23). - С. 65-70.

6. Якушевич Г.Н. Алгоритм расчета транзисторного широкополосного усилителя с двухполюсниками комбинированной обратной связи // Доклады Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. - 2013. - № 1 (27). - С. 28-33.

7. Jakushevitch G.N. A Model of the Active Four-port for the Wide Band UHF Amplifier with the Parallel Feedback Two-Port // The third International Symposium «Appfication of the Conversion Research Results for International Cooperation» (SIBKONVERS'99). Proceedings. - Tomsk: Tomsk State University of Conrol Systems and Radioelectronics, 1999. - P. 161-162.

8. Зи С. Физика полупроводниковых приборов: пер. с англ.; в 2 кн. - Кн. 1. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Мир, 1984. - 456 с.

Якушевич Геннадий Николаевич

Канд. техн. наук, доцент каф. средств радиосвязи ТУСУРа

Тел.: (382-2) 41-37-09

Эл. почта: mrc@main.tusur.ru

Jakushevitch G.N.

A mathematical model of an active four-pole network for a wideband amplifier with four-port parallel feedback

The paper describes a math model of an active four-port network for a wideband amplifier with four-port parallel feedback (FB). The model is built to provide the necessary transfer coefficient and reflection coefficients of the system after introduction the feedback. The feedback four-port parameters are specified. Keywords: mathematical model, active four-pole, wideband amplifier, four -port parallel feedback.