Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство

УДК 517.988.67

А. Н. Андронов

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗВЕТВЛЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛНАХ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ, НИЖНЯЯ ИЗ КОТОРЫХ ЗАНИМАЕТ ПОЛУПРОСТРАНСТВО1

Аннотация. Рассматриваются потенциальные течения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в пространственном слое с границей раздела, близкой к горизонтальной плоскости z = 0, ответвляющиеся от основных течений со скоростями V и V2 в направлении оси Ox в случае, когда нижняя, более тяжелая, жидкость занимает полупространство. Исследуется их орбитальная устойчивость относительно возмущений той же симметрии. Применяются методы группового анализа в теории ветвления в условиях групповой инвариантности.

Ключевые слова: двухслойная жидкость, капиллярно-гравитационные волны, ветвление, устойчивость, групповая симметрия.

Abstract. Potential flows of two immiscible incompressible fluids in a spatial layer with an interface close to the horizontal plane z = 0 bifurcating from the basis flows

V and V2 in Ox-direction in case the lower (the heavier) fluid occupies a halfspace are considered. Their orbital stability relative to perturbations with the same symmetry is investigated. Group analysis methods in bifurcation theory under the group invariance conditions are applied.

Keywords: two-layer fluid, capillary-gravity waves, bifurcation, stability, group symmetry.

Введение

Нелинейная задача о волнах установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости, описывающая плоские потенциальные течения, была решена в 20-х гг. прошлого столетия в работах А. И. Некрасова [1, 2], Т. Леви-Чивита [3] и Д. Стройка [4]. В 1928 г. Н. Е. Кочиным методами теории функций комплексного переменного исследована плоская задача о движении несмешивающихся несжимаемых жидкостей с плотностями Pi и Р2 в слое, ограниченном горизонтальными плоскостями. Линия раздела жидкостей обладает периодом и перемещается без изменения формы с постоянной горизонтальной скоростью. Было доказано существование решений задачи.

С начала XX в. развивается теория ветвления решений нелинейных уравнений, основы которой были заложены в работах А. М. Ляпунова и

Э. Шмидта. Они показали, что исходная задача о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений эквивалентна исследованию уравнения разветвления (УР) - системе неявных аналитических функций. Метод построе-

1 Полученные результаты поддержаны программой «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/6194) Министерства образования и науки РФ, грантом Российского фонда фундаментальных исследований - Румынская академия № 07-01-91680а.

ния УР стали называть методом Ляпунова - Шмидта. Далее теория ветвления развивалась в работах Л. Лихтенштейна, А. И. Некрасова, М. А. Красносельского, В. А. Треногина, М. М. Вайнберга [5]. Наиболее интересным и трудным является случай кратного вырождения линеаризованного оператора (так называемое многомерное ветвление), полностью не исследованный до настоящего времени. В конкретных приложениях многомерного ветвления нелинейное уравнение может иметь семейство решений. Как правило, параметры семейства имеют групповой смысл, нелинейная задача допускает непрерывную группу преобразований. Идея применения групповой симметрии в теории ветвления принадлежит В. И. Юдовичу (1967), исследовавшему вместе с авторами гидродинамические задачи стационарной и динамической бифуркации. Дальнейшим развитием симметрийной теории ветвления явился метод группового расслоения для построения редуцированного УР (Б. В. Логинов, В. А. Треногин, 1971). Доказанная в 1971 г. и опубликованная в 1973 г. теорема о наследовании [6] уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи положила начало методам теоретикогруппового моделирования теории ветвления решений нелинейных уравнений и ее прикладных аспектов. Она обосновала возможности применения методов группового анализа дифференциальных уравнений по С. Ли -Л. В. Овсянникову [7] для построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии, оказавшихся наиболее полезными в прикладных задачах о нарушении симметрии [8].

В работе теория многомерного ветвления в условиях групповой симметрии применяется к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений, возникающей в задаче о поверхностных волнах на границе двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство.

Рассматриваются периодические потенциальные течения с периодами 2к 2к ,

— = а1 и — = Ь двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей с плот-a Ь

ностями Р1 и Р2 в пространственном слое с границей раздела, близкой к горизонтальной плоскости г = 0, ответвляющиеся от основных течений с постоянными скоростями V и V? в направлении оси Ох в случае, когда нижняя, более тяжелая, жидкость занимает полупространство. Потенциалы скоростей имеют вид Фу (х, у, г) = -Vух + фу (х, у, г), у = 1, 2 .

В безразмерных переменных ответвляющиеся периодические режимы описываются системой дифференциальных уравнений:

1 Постановка задачи

ДФі = 0, -~< г < /(х, у), Дф2 = 0, /(х, у) < г < 1,

Эф}- Э/ Эф}- Э/ , Эф}- Э/ _

^ “Г ^ •> %

Эг Эх Эх Эх Эу Эу ’

г = /(х, у), j = 1,2,

ЭФ1 , ЭФ 2 11

Эх

- к°іхг+2 уф112 уф 212+(1 - к°)р 2 /=

= уР

Эх

/х +^_ ^

Ф+/У+/у) ду \^уії+/Уг+/)

/

2

'у /

, г = /(х, у),

'У / V

с условиями убывания функций Фу и первых ее производных по х, у на бес-

Р2

конечности; £0 =------отношение плотностей жидкостей; Р =------------квадрат

Р1

величины, обратной числу Фруда; у =

V

а

Р1*

- число Бонда.

Система (1) инвариантна относительно 2-параметрической группы сдвигов Ьр g (х, у) = g (х + Р1, у + Р2) и отражений

^ х ^ —х, Фу (х, у, г) ^-Фу (-х, у, г), /(х,у) ^ /(-х, у),

^2:у ^—у, Фу(х,у,г) ^Фу(х, —у,г), /(х,у) ^/(х, —у),

представляющих собой группу симметрии прямоугольной решетки.

2 Построение систем разветвления

Выполняя распрямляющую границу раздела, замену переменных

с=

г - /

, (х, у, С) = ф j ( х, у, /(1 - /(х, у)) + /(х, у)) и

полагая

Р2 = ^пип + е, получаем эквивалентную (1) систему:

Аиу =—2

—2(С — 1) / (/хи^ + /уиуус)— (С-1)2 ( + ) — 3/2и

—(С — 1)(2( + /у) + (/хх + /уу )/)иуС, у = 1, 2,

^С-

7сс

V ЭС У1

= 0,

Эи1

V ЭС і

V ~ У -гс>

= 0;

и І. - /х = -/ujС + /хujx + /yujy -

ulx - ^+(1 - кс) гтп/-у^т„ д/=--1 +к^і2+

+ ( -kou2С ) + ( -^2^ )) -k0u2xu2С ) +

u1yu1С - k0u2yu2С) /у -у^п (/х /хх + 2/х/у/ху + /'У/уу ) +

+ е(-1(1 - *0) ( + Y( fxx + fyy - fxfxx - 2 fxfyfxy - fy fyy ) ), С = 0.

Система (2) может быть представлена нелинейным функциональным уравнением BX = R(x, е), R(0, е) = 0, Rx (0, 0) = 0 , X = (^, U2, f) - задачей о точках бифуркации с линейным фредгольмовым [9] оператором

B = Втп : С2+а (П0 х(-~,0]) С2+а (П0 х[0,1]) С2+а (П0) ^

^ С а(П 0 х(-~,0]) С а(П 0 х[0,1]) С а(П 0),

0<а<1, П0 — прямоугольник периодов в плоскости ( У).

Представляя функцию f (x, у) ее рядом Фурье

^ (amn cos max cos nby + bmn cos max sin nby +

mn

m,n

+cmn sin max cos nby + dmn sinmaxsin nby)

в однородном уравнении BX = 0 и решая первые шесть уравнений системы методом разделения переменных, находим

Zmaesmn^

--------(cmn cos max cos nby + dmn cos max sin nby -

s

m, n mn

-amn sin max cos nby - bmn sin max sin nby);

ma cosh(smn (L-1)), , .

U2 (x, y, L) = - > ----------—---------(cmn cos max cos nby + dmn cos max sin nby -

m,n mn

-amn sin max cos nby - bmn sin max sin nby);

2 2 2 , 2.2 J-.2 J-.2

smn = m a + n b , Fmn = F0 .

Тогда последнее уравнение системы

2 2 m2 a2

Fmn

°mn

справедливое для некоторых пар (mj, nj), j = 1, 2,..., к , таких, что базисные элементы подпространства нулей N(В) линеаризованного оператора В имеют вид

Ф1 j = j-V1 j (L) sin mjaxcos njby, - V2 j (L) sin mjaxcos njby, V3 j cos mjaxcos njbyJ; Ф2 j ={-V1 j (L)sin mjax sin njby, - V2j (L)sin mjax sin njby, V3 j cos mjax sin njbyJ; Ф 3 j = j'V1 j (L)cos mjax cos njby, V2 j (L )cos mjax cos njby, V3 j sin mjax cos njbyJ;

Ф4j = {vij (С)cos mjaxsin njby, V2j (С) cos mjaxsin njby, V3j sin mjaxsin njbyJ,

m.a'Jab sm.n.

где Vl J (С) =-±------------------e'

ks

. VI .

m

;.a4abcosh(s„ „ (С-ВД JOb

vi j (С)"-----------------, V3 j (С)=-v ab

J •гг о гч и и a J

KsmJnJ- sinh Smjnj

К

и возможные порядки dim N(B) представляют собой суммы четверок (двумерная решетка периодичности) и двоек (одномерная решетка).

Упрощающий вычисление коэффициентов УР переход от вещественного базиса к комплексному осуществляется с помощью матрицы C с диагональными блоками Cj , если J -я решетка двумерная:

Ф = С'ф, CJ =

і -І І -i І > і І 1 1 -ІN

1 1 -1 -1 , c -1 = 1 -І 1 1 І

1 1 1 1 J 2 І -1 1 І

ч І -І -І i J ч -І -1 1 -І,

или

l і-І І C, =-J 2, l l

^ l l і 2і 2 ^

C-1 = -J 2 ч -2і 2у

если ] -я решетка одномерная.

Уравнение разветвление (УР) Г(^, е) = 0 в вещественных переменных при переходе к комплексному базису переходит в УР в комплексных переменных ^,2 = Л1 ± ^2 , ^3,4 = Л3 ± г'Л4 :

tj & е) = (С-1?),. (С£, е) = 0, ] = 1...4.

Симметричность оператора В доказывается стандартными методами [10]. Те же самые методы, примененные к неоднородной системе, приводят к условиям ее разрешимости, позволяющим получить выражения для коэффициентов первого уравнения разветвления, отвечающего ] -й решетке периодичности:

t(1 J) = -

a;k

f wak Ul dxdydС- f ko wOkU2 dxdyd С

П ox(-^,0] П ox[0,l]

+

+ f [W^^Ul (x, y,0) - ko w{a22U2 (x, y,0)]dxdy + Г f/ fy,

J ? J ? J J > j

П 0

П0

„0)

где - коэффициенты при ^aek правых частей (2) в их разложении по

£ = (^1,..., ) и е при применении метода неопределенных коэффициентов

Некрасова - Назарова.

Для построения общего вида уравнения разветвления используется теория инвариантов и инвариантных многообразий С. Ли - Л. В. Овсянникова. В частности, при n = dim N

ts(S,є) = a0s)^)^ + 2a(qs)№s(^2)9l(^4)92 = 0, s = 1...4,

где соотношения между коэффициентами и уравнениями (групповая симметрия УР) определяются равенствами

(Рк*)г (£, е) = tr (Ри£, е), к = 1, 2,3 ,

где Р1 = (12)(34), Р2 = (13)(24), Рз = (14)(23).

Равенства (4) позволяют выразить все УР через первое:

t1 (^ є) = ^1є + B^1 ^2 + C ^3^4 + . = 0;

A = t, B = t21)

e1;1

C = tel+e2+e3, el = (1, 0, 0, 0), ., Є4 = (0, 0, 0,1);

2 Єї +^2^05

ік (£,є) = Рк-й(£, Є) = о, к = 2,3,4.

Вычисление коэффициентов УР проводилось с использованием систе-

2

мы МаШешайса 6: А = -(1 -ко + У5тп) <0, вид коэффициентов В и С громоздкий.

Симметрия задачи относительно Ьр позволяет выполнить редукцию УР

в вещественных переменных Т(^, є) = 0 , полагая ^2 = Л4 = 0 . Тогда главная часть редуцированной системы принимает вид

Агіїє + Вг|3 + С г|ї^2 = 0;

А^зє + С г|2Лз + В^3 = 0.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Задача (1) в окрестности точки бифуркации ^2 = ^тп - 4-кратного собственного значения, определяемого условием (3), имеет с точностью до преобразования у ^—у два 2-параметрических семейства периоди-

ческих решений: (1) Ф (1) f (1)1 =

- A (F2 - F2 ) B mn '

фГ;, ф 2;, f

ma4ab cosh

Ksmn sinh smn

1

2 I mayfab s с r / о ч г./ ом e mn= cos[ma(x + Pi) + nb(y + P2)],

ns„

sfab .

cos[ma(x + Pi) + nb(y + P2)], ---sin[ma(x + Pi) +

К

+ nb(y + P2)] r + О

F2 - F2 F Fmn

), sign (2 - ) = sign B, C = 1

- f

ф(2), ф 22), f(2)i=

A ( f2 - F2 ) mn

B + C

2ma4ab

ks„

eSmnC cos[ma(x + Pi)]x

q

l

x cos[nb( y +

cos[ma( x + Pj)]cos[nb( y + P2)],

3 Об устойчивости решений задачи о волнах на границе раздела двух жидкостей

Орбитальная устойчивость семейств разветвляющихся решений (1) определяется [11] устойчивостью стационарных решений обыкновенного диф-

тойчивость здесь понимается по отношению к возмущениям с той же симметрией, что и ответвившееся решение. Неустойчивость по отношению к таким возмущениям означает неустойчивость вообще. Полученные для случая n = dim N(B) = 4 критерии устойчивости выражены в виде неравенств, содержащих коэффициенты УР, которые зависят от нескольких параметров. Их реализация представлена в виде таблиц.

Теорема 3.1. Для того чтобы первое семейство решений (1) было ор-битально устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Действие оператора ^p,p2 на произвольный элемент N(Bmn) равносильно преобразованию его координат в разложении по базису подпространства нулей с помощью матрицы Ag (здесь /i(P,, P2) = cos maPlcos nbP2,

/2 (Pl, P2) = cos maPlsin nbP2, /3 (Pl, P2) = sin ma P,cos nbP2, /4 (Pl, P2) =

= sin maPl sin nbP2);

ференциального уравнения dr = t(r, є), где t(r, є) - левая часть уравнения

dt

2 2

разветвления, є = F -Fmn . Устойчивость же последних определяется знака-

KJli

ми собственных значений матрицы Якоби J = ----------------- на этих решениях. Ус-

L э% J

signє = signB = sign(B + С) = -1 (B = B + С, С = 3B-С);

^ /1(pl,p2) ЛФъp2) ./3(pl,p2) .У4(P1,p2)^

- /2

- /3

v /4 (P1,P2) -/3(PbP2) -У!(P1,P2) /l^bP2) у

С помощью матрицы Ag определяется семейство решений

л = Agл0(є) = -j== ШРьР2),-/2(Рх,Р2),-/з(РъР2),-/4(Р1,fc)f [-Aє I +

1/2

+0(£1/2), f| 0(e) = (1,0,0,0)T ^ - A p j + o(p1/2),

где ifo(e) - решение редуцированного УР. Таким образом, устойчивость ответвляющихся решений Agifo(e) определяется знаками главных членов собственных значений матрицы Якоби на этом решении, которые имеют вид

Ар 2 Ар

V1,2 = 0, V3 = -2Ар , v4 = — (В - С) = (С - В).

В В + С

Теорема 3.2. Для того чтобы второе семейство решений (1) было орби-тально устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

sign р = sign(В + С) = sign В = -1;

В

0 <

Решение редуцированного УР:

С

< 1.

л0(є) = (1,0,1, o)T I - є

1/2

+ о(є1/2),

устойчивость определяется знаками главных членов собственных значений матрицы Якоби на этом решении, которые имеют вид

V12 = 0, V3 = -2 Ae, v4 =

2As_ B + С

(С - B).

ma

Придавая значения параметрам n, b, q =---------, мы определяем

nb

С

B

. Ре-

зультаты (для ко = 0,8) первой группы решений представлены в табл. 1, где решения (5) устойчивы, а решения (6) неустойчивы.

Таблица 1

n B q С / B n b q С / B

1 2 з 4 5 6 7 8

1,000 1,000 0,4500 0,900557655 2,000 2,000 0,4000 0,322462678

1,000 1,000 0,5000 0,057744454 2,000 2,000 0,4500 0,287869724

1,000 1,000 0,5500 0,721048916 2,000 2,000 0,5000 0,213069993

2,000 1,000 0,4000 0,905174164 2,000 2,000 0,5500 0,311566767

2,000 1,000 0,4500 0,482613624 3,000 3,000 0,1500 0,854370203

2,000 1,000 0,5000 0,020687025 3,000 3,000 0,2000 0,888436527

Окончание табл. 1

1 2 3 4 5 6 7 8

2,000 1,000 0,5500 0,641085992 3,000 3,000 0,2500 0,906207058

2,000 2,000 0,1500 0,511768485 3,000 3,000 0,3000 0,915218725

2,000 2,000 0,2000 0,076154192 3,000 3,000 0,3500 0,917925930

2,000 2,000 0,2500 0,140149238 3,000 3,000 0,4000 0,914252870

2,000 2,000 0,3000 0,256014710 3,000 3,000 0,4500 0,900971896

2,000 2,000 0,3500 0,312168742 3,000 3,000 0,5000 0,865188101

Результаты для второй группы решений содержатся в табл. 2, где решения (6) устойчивы, а решения (5) неустойчивы.

Таблица 2

n B q BIС n b q BIС

1,000 1,000 0,3000 0,023310436 2,000 1,000 0,2000 0,229482091

1,000 1,000 0,3500 0,157844790 2,000 1,000 0,2500 0,361195193

1,000 1,000 0,4000 0,399998387 2,000 1,000 0,3000 0,526581055

2,000 1,000 0,1000 0,046064575 2,000 2,000 0,0500 0,138166358

2,000 1,000 0,1500 0,125067544 2,000 2,000 0,1000 0,614013465

Список литературы

1. Некрасов, А. И. О волнах установившегося вид / А. И. Некрасов // Известия Ивановского политехнического института. - 1922. - № 6. - С. 155-171.

2. Некрасов, А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости / А. И. Некрасов. - М. : Изд-во АН СССР, 1951. - 96 с.

3. Levi-Civita, T. Determination rigoureuse des ondes permanents d’ampleur finie / T. Levi-Civita // Math. Annallen. - 1925. - № 93. - P. 264-324.

4. Struik, D. J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques / D. J. Struik // Math. Annallen. - 1926. - № 95. - P. 595-634.

5. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М. : Наука, 1969. - 524 с.

6. Логинов, Б. В. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления / Б. В. Логинов, В. А. Треногин // Дифференциальные уравнения. - 1975. -№ 8. - С. 1518-1521.

7. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. - М. : Наука, 1978.

8. Логинов, Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия / Б. В. Логинов // Вестник Самарского государственного университета. -1998. - № 4 (10). - С. 15-70.

9. Агранович, М. С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях / М. С. Агранович // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М. : ВИНИТИ, 1990 - Вып. 63. - С. 5-129.

10. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. -М. : Наука, 1969.

11. Loginov, B. V. Generalized Jordan Structure in the problem of the stability of bifurcating solutions. / B. V. Loginov, Yu. B. Rousak // Nonlinear Analysis. - TMA. -1991. - V. 17. - № 3. - P. 219-231.

Андронов Артем Николаевич

аспирант, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева

E-mail: arbox@inbox.ru

УДК 517.988.67 Андронов, А. Н.

Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство / А. Н. Андронов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 3 (11). - С. 12-21.

Andronov Artem Nikolaevich Post graduate student,

Mordovia State University named after N. P. Ogarev