Геометрические исследования поверхностей зонтичного типа

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗОНТИЧНОГО ТИПА

С.Н. КРИВОШАПКО, д-р техн. наук, профессор Российский университет дружбы народов, г. Москва

Зонтичным куполом называется циклически симметричная пространственная конструкция, образованная из нескольких тождественных элементов, в результате пересечения срединных поверхностей которых получаются кривые, являющиеся образующими некоторой куполообразной поверхности вращения. Контурной поверхностью называют куполообразную поверхность вращения, на которую «укладываются» контурные кривые элементов купола. Контурные кривые элемента - кривые, ограничивающие контур срединной поверхности элемента купола. Зонтичные оболочки обладают повышенной жесткостью, устойчивостью, архитектурной выразительностью.

Поверхностями зонтичного типа называются циклически симметричные поверхности, состоящие из нескольких тождественных элементов. Причем полная поверхность зонтичного типа и все поверхности составляющих ее тождественных элементов описываются одним и тем же явным, неявным или параметрическими уравнениями.

По-видимому, одной из лучших работ по геометрии зонтичных поверхностей является книга Г. Бранкова «Волнистые оболочки»[1], вышедшая в 1961 году. С тех пор исследования по зонтичным оболочкам почти не проводятся, несмотря на то, что эти оболочки очень привлекательны с архитектурной точки зрения. В настоящей работе предпринята попытка ввести в обращение новые формы зонтичных поверхностей.

Гофрированный параболоид вращения (рис. 1) имеет в основании круговую синусоиду x = (R + a cos nip) cos <p, y = (R + a cos n(p) sin (p, z = О, где

n - число вершин синусоиды на круговом плане, а - амплитуда гофров в основании поверхности, R - радиус базовой окружности параболоида в основании, относительно которой построена круговая синусоида. Гофрированный параболоид вращения с наружными гофрами (рис. 2) имеет в основании круговую волнистую кривую х = (/? + a|cos/j^|)cos$?, - (Л + a|cos sin с вершинами, направленными из центра кругового основания.

Гофрированный параболоид вращения с внутренними гофрами (рис. 3) имеет в основании круговую волнистую кривую

х - (И - а|сойгкр\)соб<р, у = (/? — а|сов2 = 0 с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания.

Формы задания гофрированного параболоида вращения 1) Параметрическая форма задания гофрированного параболоида вра щения (рис. 1):

х = x(r, <р) = г\ 1 + —--------| eos <р, у = y(r, <р) = г

ar eos

........Ti

Sin (p,

^ ) г = г

где 0 < 2 < Л; 0 <<р < 2к\ 0 < г < К, к - высота гоф рированного параболоида вращения.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:

Рис. 3

А1

( 2аг соъптХ 4r2h2

+ —— + ......

R1

R4

ar2n ( 2arcosn<p') . 2 2 f -.г.----_ | 1 ц---- ,— - sin >10. В г

Rу

R

( arcosncp)2 a2r2n2 . 2

R

+---------,— sin nw

R4

L = -

N =

+ 1 +

2 rh

R2 JA2В2 ~F2

2гъ h

ar eos пю \ , 2r ^ han sin n<p

+--------...... - I, M = -

R4 \ А2 В2  F2

R2 v .12 В2 - /•''

ar eos n(f>

2a2 r2 n2 sin2 n<p arn2 eos пю ( arcos иоЛ

---------------------------?.. ..... ..... .......r_¡ I + --------------. +

R

R¿

R'

2) Параметрическая форма задания гофрированного параболоида вра щения с наружными гофрами (рис. 2):

árleos п(р\

X = х(г, (р) = г

f árleos п<р\

1 +------|cos tp^ у - y(r, ф) - г 1 +

i

R¿

sin (р,

: - z

J

где 0 < г < /г; 0< <р < 2л\ Q<r<R.

3) Параметрическая форма задания гофрированного параболоида вра щения с внутренними гофрами (рис. 3):

г • .:

Л- = .*(/", <р) = г

ш-jcos пср\

- --Ri -

л

COS<p, V = \'{r,(f>) - г

/

1-

ar cos ист

2

sin ср.

Гофрированная сфера (рис. 4) имеет в основании круговую синусоиду х -(R +a cos п<р) eos <р, у = (R + a cos ntp) sin <р, где п число вершин синусоиды на круговом плане, а максимальная амплитуда гофров в основании поверхности (на экваторе), R - радиус окружности сферы на экваторе, относительно которой построена круговая синусоида, ;р ~ угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.

Гофрированная сфера с наружными гофрами (рис. 5) имеет в основании круговую волнистую кривую

х = (/? + £jjcos гнр\) cos <р, у -- (R + ájeos п<р\)sin <р

с вершинами, направленными из центра кругового основания.

Гофрированная сфера с внутренними гофрами Урис. 6) имеет в основании круговую волнистую кривую

х = (R- ojeos п<р\)cos <р, у - (R - ájeos п<р\) sin <р

с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания.

$ Формы задания гофрированной сферы

1) Параметрическая форма задания гофрированной сферы (рис. 4):

х = x{(p,v) = [/? cos v + <з(1 - sin v) cos jcos (p, y - y(<p,v) ~ [/?cosv+ a(\ -sinv)cos«^]sin(í», r - z(v) = ftsin v, 'где v - угол, отсчитываемый от плоскости хОу в ^сторону оси Oz\ О < z < /?; О < < 2л\ 0 < v < я\ В сечениях гофрированной сферы плоскостями z ~ const, то есть при v -= v„ = const, получаются круговые синусоиды ^ г ----- х{<р) =- [/?cosv„ f а(! s¡nv0)cos«<pjcos<p,

у =у(<р)[ Rcosv,, + а(1 - sinv„)cos/ip]sin^, z == Rsinva. Коэффициенты основных квадратичных форм гофрированной сферы. A2 =a2n2(l-sinv)2 sin2 п<р+ \Rcos v + a(\ -sin v)cos nq>}2. F - an{ 1 -sin v)[/?sin v 4 a cos v cos ncp\sin n<p, В2 ™ R2 + 2aRsin vcos veosn<p + a2 cos2 veos' ntp.

L =

-R cosv

Г

2b2-F2

rfa.a2n2(\ - sin v)2 sin2 nq> +

+ [ä cos v + a(l - sin v) cos n ф\ • [a0 ~ sin v)0 + ) COS Пф + R cos v|j,

.. R2 an cosv sin nm ч „ - Ä2[/? cosv + a(l - sin v) cos nm\ M = — —-(1 - sin v), N =-1----~1

Га

2B2-F¿ jA'B'-F'

2) Параметрическая форма задания гофрированной сферы с наружными гофрами (рис. 5):

х = х(ф, v) = [ä cos V + а(1 - sin v)|cos n^|]cos ф,

у = у(ф, v) = [/? cos v + а(1 - sin v)|cos w^|]sin ф, z = z(v) = R sin v,

где 0 < z < Ä; 0<ф< 2к\ 0 < v < ;r.

3) Параметрическая форма задания гофрированной сферы с внутренними гофрами (рис. 6):

х = х(ф, v) = [ä cos v - a(l - sin v)|cos w#>|]cos ф,

у = у(ф, v) = [/? cos v - a( 1 - sin v)|cos «^|]sin <p, z = z(v) = R sin v, где 0 < z < R\ 0<ф< 2к\ 0 < v < n.

Гофрированные сферы, показанные на рис.4-6, имеют R - 1 м; а = 0,24 м; w = 6;0 < v<я/2.

Встречаются 2 типа сфер с циклоидальными гофрами. Сфера с наружными циклоидальными гофрами (рис. 7) имеет в основании эпициклоиду

х = х{ф) = (/? + /•) cos ф - г cos(l + п)ф, У - У(ф) = (Ä + r)sin^-?-sm(l + п)ф, z = 0, где п - число вершин эпициклоиды на круговом плане; п = R/r, 2г - максимальная амплитуда гофров в основании поверхности (на экваторе), R - радиус окружности сферы на экваторе, по которой снаружи катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; <р - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Oy.

Сфера с внутренними циклоидальными гофрами (рис. 8) имеет в основании гипоциклоиду X = х(<р) = (Л - г) COS ф + r cos(« -1 )ф,

У - У(<Р) = (R-r)únф-r sin(w- \)ф, z = 0, с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п - число вершин гипоциклоиды на круговом плане; п = R/r, 2г - максимальная амплитуда гофров в основании поверхности (на экваторе), R - радиус окружности сферы на экваторе, по которой внутри

Га

2 п2

п = 12

Рис. 7

катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает гипоциклоиду; <р - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.

Формы задания поверхности 1) Параметрическая форма задания сферы с наружными циклоидальными гофрами (рис. 7):

х = х(и, <р) = [(/? + г) cos <р - г cos{п + l)^]cos и, у - у{и,ф) = [(/? + r) sin <р- г sin(« + 1)^>]cosm, z = z(u) = Rsinu, где и - угол, отсчитываемый от плоскости хОу в сторону оси Oz, О < z < R; О <ф< 2 я; 0 < и < яг/2. В сечениях рассматриваемой поверхности плоскостями z = const, то есть при и = и0= const, получаются эпициклоиды

х = х(ф) = [(Л + /-)cos^-rcos(w + 1)^>]cosm0, у = у(ф) = [(/? + r)sin ф - г sin (и + líjeos ио СП - const.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности: А2 = 2r(R + r)(l - cos п<р) sin2 u + R2, F = -R(R + r) sin и cos и sin n<p,

В2 =2(R + r)2( 1 - eos пф) cos2 и,

1 =

Rr(R + r)(2 + ri) eos и

ÍÁrB1~F1

(1-cos n<p), M = 0,

w R(R + r)2(2 + n)cos* и n

N = —-=======-(1 - eos n<p),

4A2B2-F2

„ R2r(R + r)3(2 + ri)2 eos4 и 2 К =---^Чг-г—--(1 - cos n<p) > 0.

{А2В2

F2)2

n = 6

Рис. 8

2) Параметрическая форма задания сферы с внутренними циклоидальными гофрами:

х = х(и, ф) = [(/? - г) cos ф + r cos(п - l)^]cos и, у = у(и, ф) - [(/? - г) sin ф - г sin(« - l)^]cos и,

z = z(u) = /?sinM, где 0< z < R, 0< ф< 2к\ 0<\<п!2.

Гофрированные сферы, показанные на рис.7-8, имеют R = 1 м; 0 < V < л 12. Параметр п указан на соответствующих рисунках.

Параболоид вращения с радиальными волнами формируется плоскими параболами, вершины которых совпадают с центральной фиксированной точкой. Касательные, проведенные к параболам в центральной точке все время должны оставаться в одной плоскости. В любом сечении поверхности плоскостью, проходящей через ось Oz, будет лежать парабола.

a b \ :п 4 a \:h 1,5: лг 5 а 0,8; Ь - 0,5; п8 Рис. 9

Формы задания параболоида вращения с радиальными волнами

1) Параметрическая форма задания: х = х(и, v)-u cos v, у ~ у(и, v) = и sin v, z ~ z(u, v) = [a sin(wv) + b}u', где v - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу\ а " const амплитуда волны; п - число вершин волн; Ь постоянный параметр базового параболоида вращения.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности: А2 = 1 + 4«2[«sin(w) + b}2, F - 2aM3/7[as'n('7v) + ^]cos('7V)>

В2 = u2[\ + n2a2u2 cos2 (wv)], А2 В2

I2 +п2а

'и2 cos2(m>)]

2w[«sin(m') + ¿>] ,,

L = —====:—, M

Га

2В2 - F2

аи~ ncos(nv) h2B2-F2

M'![2(üsin nv + b)-an2 sin «v]

В1 -F

К

2(asin nv + ft)[2(asin nv + b)~an2 sinnv]-a2n2 eos2 nv A1 +n2a2u2 cos2(«v)]

При Ь = 0 рассматриваемая поверхность становится поверхностью с радиальными волнами, затухающими в центральной точке, образованной

параболами. Если принять а = Ь, то нижние вершины волн поверхности будут лежать на плоскости хОу (рис. 9). Если Ь > а, то рассматриваемая поверхность будет лежать в области положительных значений ординаты г (рис. 10). Если Ь < а, то поверхность будет иметь как положительные, так и отрицательные значения ординаты г (рис. 11). При а -- 0 параболоид вращения с радиальными волнами выродится в параболоид вращения. Если брать за п четное целое число, то поверхность не будет иметь точек самопересечения поверхности при V > 2п. Если же брать за п нечетное целое число, то при 0 < и < и0 самопересечений

а = 0,8; Ъ = 1; п - 6 Рис. 12

поверхности не будет, но при -и0 <и<и0 будут появляться «соты». «Соты» будут также у поверхностей с дробными значениями параметра и при v > 2 п. Если принять п = 6; 0 < v < 2/г ; 0 < и < 1, то получится поверхность, показанная на рис. 12. Все поверхности, показанные на рис. 9-12,

имеют Ъ > а.

Крестообразный желоб состоит из четырех одинаковых лепестков, разделенных взаимно перпендикулярными прямыми линиями, лежащими в одной плоскости. Крестообразный желоб является поверхностью 4-го порядка. Его можно задать уравнением z = сху2 или параметрическими уравнениями

х = x(u,v) = «sinv, у = y{u,v) = KCOSV,

z = z(u,v) = см4 sin2(2v)/2, В сечениях поверхности координатными плоскостями х = 0 и у = 0 лежат прямые линии, совпадающие с координатными осями Оу и Ох.

В заключение можно отметить, что в последнее время поверхности зонтичного типа исследовались в работах И.А. Скидана [2], Н.М. Якупова [3] и Насра Юнеса [4].

Литература

1. Бранков Г.Й. Вълнообразни черупкови конструкции. - София: Изд-во Бълг. Акад. на Науките, 1961. - 80 с.

2. Skidan I. General analytical theory of applied formation// The 10th International Conference on Geometry and Graphics. -Vol. 1. - July 28 - August 2, 2002, Kyiv, Ukraine. - Kyiv, 2002. - P. 104-107 (библ.: 4 назв.).

3. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики упругих тонкостенных конструкций. - Казань, 1994. - 124 с.

4. Наср Юнее Ахмед Аббуши. Волнообразные купола// Строительная механика строительных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2002.-Вып. 11.-С. 49-58.

GEOMETRICAL INVESTIGATIONS OF UMBRELLA SURFACES

S.N. Krivoshapko

Umbrella shells are used as coverings of civil and industrial buildings. Umbrella surfaces are formed on surfaces of revolution. Several new types of umbrella surfaces are presented in the article. Base surfaces of revolution were chosen in the form of spheres and paraboloids of revolution. The coefficients of the first and second fundamental forms of surface are derived for presented surfaces. All of the surfaces contain the areas both of negative and positive total curvature.