Зависимость между коэффициентом Пуассона и микроструктурой в микронеоднородной среде

Зависимость между коэффициентом Пуассона и микроструктурой в микронеоднородной среде

Е.Б. Сибиряков

Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В работе содержится дальнейшее развитие нового метода построения нефеноменологической теории сплошных сред, позволяющего получать зависимость макропараметров среды от микропараметров и законов контактного взаимодействия. Получены значения скоростей продольных и поперечных волн для зернистых сред, состоящих из равномерно перемешанных шаров с разными радиусами (при известной доле частиц каждого радиуса), взаимодействующих по модифицированному закону Герца. Показано, что важнейшими интегрально-геометрическими характеристиками такой среды являются пористость, средний объем зерна и плотность упаковки, равная отношению среднего числа контактов к максимально возможному числу контактов при данном законе распределения по радиусам.

Установлено, что в среде, состоящей из шаров одинакового радиуса, отношение скоростей поперечных и продольных волн будет максимальным при взаимодействии частиц по модифицированному закону Герца.

Выявлено существование двух разных амплитудных режимов распространения слабых волн, связанных с различным видом касательной силы, препятствующей сдвигу площадки контакта относительно центра зерна. На основании этого предложено объяснение различия частот продольных и поперечных волн, возбуждаемых взрывами, а также возможное отличие коэффициента Пуассона среды, измеряемого в статике и вычисляемого из отношения скоростей поперечных и продольных волн.

1. Введение

Объекты, содержащие поры и трещины, заполненные флюидами (контрастные микронеоднородные среды, то есть такие, в которых перепад физико-механических свойств хотя бы по одному параметру составляет многие порядки), являются очень перспективными с точки зрения обнаружения в них залежей углеводородов. Теория микронеоднородных сред в значительной степени несовершенна: в контрастных средах невозможно игнорировать внутреннюю геометрию пор и трещин, а также взаимодействие отдельных элементарных объектов. Как известно, теория смесей не позволяет адекватно описывать контрастную среду, так как теоремы об осреднении дифференциальных операторов требуют существования ограниченных обратных величин для всех упругих параметров. В случае равенства нулю какого-либо упругого модуля (или плотности) любого из компонентов формулы теории смесей становятся физически бессмысленными. Построение же вязкоупругих, упругих, упругопластических и других моделей с феноменологическим подбором констант или даже функций (релаксации, вязкости и пр.) не совсем ясного физического смыс-

ла (количество неизвестных параметров в уравнениях возрастает) сводит сложную задачу к еще более сложной [1]. Численные методы, основанные на решении большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений, требуют значительного количества вычислений (особенно в трехмерном случае) и не позволяют вывести аналитически зависимость макропараметров от микропараметров. Поэтому, начиная с середины прошлого века, широкое распространение и использование получила методика, учитывающая взаимодействие частиц между собой. Это позволило точно решить задачу на микроуровне. Однако переход к среде в целом от микроуровня осуществлялся феноменологически, так как среды описывались либо одномерными цепочками, либо какими-либо правильными упаковками (как правило, кубическими или гексагональными) [2]. Трудность состояла в том, что точно вычислить силу, действующую на частицу, можно только в том случае, если частицу окружает какая-либо правильная структура, а среда, составленная из правильных структур, ориентированных одинаковым образом, будет анизотропной. В итоге изотропная среда фактически мо-

© Сибиряков Е.Б., 2004

делировалась анизотропными моделями, что позволяло качественно верно определять поведение продольных волн в зависимости от различных внешних условий (закон пропорциональности скорости продольных волн одной шестой степени внешнего давления), но не позволяло сделать это для поперечных волн.

Как правило, современная физическая мезомеханика рассматривает материалы (в основном конструкционные) при достаточно больших нагрузках, а мезострук-турами называет реальные структуры и блоки, которые образуются в процессе нагружения. В данной работе предлагается обобщить это понятие и считать мезо-структурой любой минимальный объем среды, определяющий силу, действующую на элементарный объект в результате распространения волны (например, в зернистой среде мезоструктурой будет какое-либо случайно выбранное зерно и все его соседи, с которыми осуществляется контактное взаимодействие). Главное отличие мезоструктур — в их ориентации в пространстве. В изотропной среде ориентации равновероятны. Осреднение (т.е. переход от мезоуровня к макроуровню и среде в целом) нужно осуществлять путем вычисления силы (закон взаимодействия двух частиц на микроуровне предполагается известным), действующей на случайную частицу, в зависимости от относительных смещений центров масс соседей из положения равновесия по нормали к площадке контакта и сдвигов центров площадок контактов относительно центра зерна. Затем проводить осреднение сначала по ориентации (либо также и по любым другим параметрам мезоструктур), путем интегрирования и замены разностных операторов дифференциальными в длинноволновом приближении, затем по некоторому объему. Необходимый же представительный объем среды (для которого и находятся уравнения движения) должен быть таков, чтобы в нем содержались мезоструктуры со всеми возможными ориентациями, а также остальными параметрами, отличающими одну мезоструктуру от другой, если такие имеются. В результате получатся уравнения движения. В акустическом приближении — уравнения упругости, в которых упругие модули выражаются через параметры микроструктуры.

2. Зернистая среда, состоящая из квазисферических частиц

Представим трехмерную микронеоднородную среду в виде набора мезоструктур (рис. 1). Каждая мезострук-тура состоит из N + 1 сферических частиц, отличающихся только радиусами. Зерна взаимодействуют между собой по закону Герца:

г ~ ~ V/2

Fn=-

2E

3

R1R0

S32,

Я1 + Яо

где Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала зерна соответственно; 8 — сближение центров

масс шаров из положения равновесия; Я0 — радиус шара; Я1 — радиус соседа. Пусть к границам среды приложена начальная статическая сила F0. Не уменьшая общности задачи, будем считать эту силу силой всестороннего сжатия. При других условиях начального статического нагружения, например, среда засыпана в трубу с жесткими стенками, а по какой-либо оси приложена сжимающая сила, решение задачи будет отличаться на множитель, близкий к единице. Начальная сила F0 приводит к сближению центров масс соседних частиц на 80. В акустическом приближении разность смещений центров двух соседних частиц под действием волны А и, А V, АЖ, по осям X,, Y и Z соответственно, будет много меньше чем 80. Поэтому из (1) силу взаимодействия между двумя частицами можно выразить через F0, А и, А V, АЖ и их взаимное положение в пространстве (акустическое приближение):

¥= Л8„,

где

A=

3 Fo Л 13 f RiRo Л 1/3 f E Л 2/3

2 V J ч Ri + R) 1 -v2 , 1

S n = AU cos ф sin 0 +

+ A V sin ф sin 0 +AW cos 0,

0 и ф — полярный и азимутальный углы, образующие телесный угол, под которым соседнюю частицу видно из центра зерна (аналогично [3]).

Сила, определенная в (2) направлена по нормали к площадке контакта и прямо пропорциональна проекции на нормаль разности смещений двух частиц по соответствующим осям. Таким образом, при относительном смещении по прямой, лежащей в той же плоскости, что и площадка контакта (сдвиге), центра зерна и центра площадки контакта никакой дополнительной касательной силы не возникает. Однако существуют модификации закона Герца [4], которые вводят дополнительную

Рис. 1. Вид мезоструктуры в двухмерном случае

F0= BS0, Fф = В8ф,

касательную силу, возникающую при сдвиге центра площадки контакта относительно центра зерна. Физически появление этой силы объясняется наличием в площадке контакта зон частичного проскальзывания или полным его отсутствием, обусловленных спеканием (цементацией и пр.) в зоне контакта. В отличие от двухмерной среды, сдвиг можно осуществить в двух направлениях, ортогональных площадке контакта. Силы, препятствующие сдвигам, можно записать следующим образом:

§е= диа cos ф cos 0 +

+ AVa sin ф cos 0-AWa sin 0,

8ф=-Ди„ sin ф + ДКа cos ф,

где AUa, AVa, AWa — разность смещений центров зерна и площадки контакта под действием волны по осямX, Yи Zсоответственно. Отношение В/A меняется от 2(1 -v)/(2 -v) — полное отсутствие проскальзывания, до (1 -v)/(2 -v) — предельный случай частичного проскальзывания (спекание только в одной точке) по нелинейному закону [4]. Если среда состоит из квази-сферических частиц, как изображено на рис. 1, то излишек вещества продеформируется в поровое пространство. В этом случае коллективные взаимодействия внутри мезоструктуры, связанные со стесненностью деформирования, учитывать не нужно, и сила, действующая на частицу со стороны всех соседей, будет равна сумме парных взаимодействий. Заменим разностный оператор дифференциальным:

A = d

д

д

\

—sin 0 cos ф+---------sin 0 sin ф+------cos 0

дх дy дz

2

д2

д2 2 2 д2 2 2

—-sin 0cos ф + —— sin 0sin ф +

дх2 ^-2

+------- cos2 0

дz 2

+ d

дxдy

дy Z

sin 0 sin ф cos ф +

д 2 д 2 + _ sin 0 cos 0 cos ф +-------------------------sin 0 cos 0 sin ф

дxдz

дyдz

где d — расстояние между центром зерна и объектом, от относительного перемещения которого зависит сила. Таким образом, для вычисления А и, АУ, АЖ следует выбрать d = R1 + R0, а для Аиа, АУа, АЖа соответственно d = R0.

Далее находим проекции сил на оси X, У и Z. Например, проекция на осьX (= тиа), где т — масса частицы:

Fx = ASn cos ф sin 0 + BS0 cos ф cos 0- В8ф sinф = Fx(Q, R1, Ro),

¥у и Г2 получаются аналогичным образом.

На центральную частицу мезоструктуры будет действовать суммарная сила со стороны всех соседних частиц (слагаемые будут отличаться только углами ф и 0, а также радиусами, всего N слагаемых). Осреднение по телесному углу провести достаточно просто. Поскольку суммарная сила, действующая на частицу радиуса Я0, есть произведение функций, зависящих только от соответствующих телесных углов и радиусов, а представительный объем включает в себя мезострук-туры со всеми возможными ориентациями, то средняя сила, действующая на случайную частицу, вычисляется аналогично [3]. Используя (9) и записывая первые значимые члены разложения (9), получим уравнения трехмерной упругости, в которых:

А + 2ц 1

----- =---------3 х

р 20лрЯ)

' N

X 3 Л (Я>, Я) х (Я + Я )2 + щ (Я0, Я) х Я

i =1

£

p

1

2GnpR0

£ A (Ro, Ri) x (Ro + Ri)2 + 4Bi (Ro, Ri) x R

i =1

где Л{ = Л(Я0, Я); Вг = В(Я0, Я); р — плотность материала зерна. Сначала нужно произвести осреднение по радиусам окружения, затем найти среднюю силу в объеме. При осреднении по радиусам окружения нужно вычислять среднее арифметическое сил, действующих на частицу. Чтобы произвести корректное осреднение, нужно, вообще говоря, знать двухмерную функцию вероятности контакта частицы радиуса Я0 с частицей радиуса Я в среде. Проще говоря, нужно знать, с каким количеством частиц каждого радиуса будет в среднем контактировать частица радиуса Я0 и количество частиц данного радиуса. Однако, если предположить, что перемешивание частиц в среде равномерное, то достаточно знать функцию распределения частиц в среде по радиусам.

Эта функция распределения должна учитывать наличие так называемых «хлопающих контактов». Телесный угол, под которым частица радиуса Я видна из центра шара радиуса Я0, есть

= 2arcsin-

Ri

Я + Я

Если в этот телесный угол попадет какая-либо еще частица (более мелкая), то она будет не поджата, что может дать нелинейный эффект, но на упругие модули не повлияет. Поэтому функция распределения не должна учитывать такие «хлопающие» частицы. Принимая во внимание вышесказанное, пусть у нас есть дискрет-

x

x

+

+

д

ная функция распределения частиц («нехлопающих») по радиусам в среде. Пусть аг- есть отношение числа частиц радиуса Я к числу всех частиц в среде, X а = 1- В средней мезоструктуре (среднем арифметическом мезоструктур), состоящей из N + 1 частиц, количество частиц с радиусом Я есть аг- (N +1). Количество частиц радиуса Я, находящихся в контакте с частицей радиуса Я при {(аг-(N +1)) -1} > 0:

Nj = а j ^ +1) при i ф j,

N1 =аг (N +1) -1 при i = j,

при {(аг- (N +1)) -1} < 0:

Nj = а при г' ф j,

N = 0 при г = j.

Выражения (14), (15) означают равномерность перемешивания, т.е. если доля частиц какого-либо радиуса мала, то не будет никаких мезоструктур, где данная частица контактирует с частицей такого же радиуса, а частицы остальных размеров будут распределены в окружении так же, как и в среднем по объему среды. Если же доля частиц с выбранным радиусом не мала, то доля частиц других размеров в окружении будет больше (по сравнению со средней в среде), а доля частиц такого же размера — меньше.

В (13) определен телесный угол, под которым один шар виден из центра другого. Максимально возможное число контактов определяется как целая часть отношения полного телесного угла к сумме телесных углов, под которыми видны соседи, с которыми происходит контактное взаимодействие:

^шах = 1П

( ^

4п = ІП 2п

Xй.- V . ) V* • Я X arcsm — * Я + Я

Реальное же число контактов зерна N < N.

В

качестве количественной характеристики плотности упаковки среды, состоящей из сферических зерен разного (или одинакового) размера, введем величину J (интегрально-геометрическую характеристику среды), равную N/Nmax, которую в первом приближении можно положить не зависящей ни от радиуса конкретной частицы, ни от радиусов соседей. Таким образом, N = Мтгх-

Теперь можно найти средние значения (А + 2ц)/р и ц/р для частицы произвольного радиуса Я0, то есть провести осреднение по радиусам окружения. Получаем:

А + 2ц = 1

р 2ОлрЛ0

X N х {3А (Я, Я) X (Я + Я, )2 + 2В1 (Я,, я) X Ло2}

р 20лрЛ0

N х {А, (Я,, Я,) х (Я + Я,)2 + 4В, (Я,, Я,) X Л02}

,

где Ni определяются в (14), (15), N = JNшax,

( \ 2п

Nшax = 1П

X N2 X arcsin

Я

Я0 + Я

Таким образом, N и N выражаются неявно через доли частиц каждого радиуса в среде.

Теперь можно найти средние значения упругих модулей в среде в целом. Отметим, что теперь уже нужно находить не среднее арифметическое сил, действующих на каждую частицу, а среднюю силу в объеме. С одной стороны, это приведет к появлению множителя (1 - /), где f— пористость (при условии, что в порах вакуум и никакого взаимодействия между частицами и поровым пространством нет). С другой стороны, нужно не просто находить среднее значение (17) и (18), но среднее с весом Я3, так как вклад каждой частицы в суммарное волновое поле пропорционален ее объему.

Р

20прЛ3

Х« у X N х {3А.Я, Яі) х Я + Лі)2 + 2В, Я, Я,) х Я2}

. І І

ц = (1 — f) х

р 20прЯ3

Х« у X N х {А, (Я у, Я,) х (Я у + Я ) 2 + 4В, (Я,, Я,) х Я ]}

,

где Я3 = X а Я — средний куб радиуса зерна (сред-

І

ний объем), а суммирование идет по всем возможным і и j. Таким образом, задача об определении скоростей продольных и поперечных волн в среде, состоящей из неодинаковых сфер, взаимодействующих по модифицированному закону Герца (о ее важности сказано в [5]), решена. Важнейшими интегрально-геометрическими характеристиками такой среды являются средний объем зерна (а не средний радиус, как предполагалось в [3]), пористость и плотность упаковки, равная отношению

^шах.

Рассмотрим частный случай среды, состоящей из сфер равных (близких) радиусов. В этом случае

Я = Я0, а

^ + 2Ц = (1 — f)N х

з х

р 20лрЯ

х[зА

х

х

ц = (1 - /) N х

О Х

р 20прЯ3

х [Л

ц

2 Л + В - = у2 =-

, . / •

Л + 2ц 3 Л + В/ 2

При ,5 = 0 (герцевское взаимодействие) у2 = 1/3 (Л = = ц), что совпадает с [6]. В случае полного отсутствия проскальзывания (на всех зернах, по всем контактам, что достаточно сложно представить), когда В Л = 2(1 - у)/(2 -V), у2 зависит от V зерна и изменяется от 0.57 до 0.5. В предельном случае частичного проскальзывания (В Л = (1 - V )/(2 - V), у2 меняется от 0.46 до 0.42.

Если сравнить у2 моноразмерной среды и среды, где есть распределение по радиусам частиц, то при В = = 0, у2 = 1/3 при любом распределении. При любом В > 0 у2 > 1/3, однако распределение по радиусам значение у2 уменьшит, что следует из (20), (21). Следовательно, в моноразмерной среде (т.е. в среде, состоящей из сферических частиц одинакового размера) у2 будет иметь максимальное значение.

3. Существенная нелинейность как переходный процесс

Результаты (21)—(23) справедливы для случая «сверхслабых» волн. Дело в том, что существует такой диапазон амплитуд слабых волн (акустические приближения не нарушаются, и законы взаимодействия частиц между собой линейны), при котором В становится равным нулю. Если произвести сдвиг центра площадки контакта относительно центра шара (8ф или 80) на расстояние, большее чем размер атома, то связь, обеспечивающая сопротивление сдвигу, будет разорвана, взаимодействие сфер будет происходить по закону Герца (не модифицированному). Препятствовать сдвигу будет только сила сухого трения. Это приведет, с одной стороны, к дополнительному затуханию, пропорциональному первой степени частоты [1], с другой стороны, к тому, что окрестность фронта от первого вступления до амплитуды, примерно равной размеру атома, будет распространяться с большей скоростью (В > 0), чем остальная часть волны (В = 0). В результате будет происходить расплывание импульса и перекачка энергии в нулевые частоты, вследствие закона сохранения энергии, что и наблюдается в экспериментах [1]. Получается, что среда ведет себя существенно нелинейным образом при линейных законах взаимодействия частиц между собой. При этом нелинейность на поперечных волнах значительно более существенна, чем на продольных (21), (22). Существование такой зоны «умеренно-слабых» амплитуд может служить объяснением различия частот продольных и поперечных волн, возбуждаемых

Рис. 2. Показатели поглощения продольных волн в различных материалах: 1 — стружечно-опилочная смесь; 2 — влажный песок; 3 — мелкий щебень; 4 — рыхлый сухой грунт; 5 — крупный щебень

взрывами: т.к. поперечная волна расплывается сильнее, ее частота будет меньше. Различие же частот определяется шириной этой переходной зоны (точнее, значимостью вклада касательных сил (5), (6)). Другими словами, нелинейность среды может быть всего лишь переходом от одного линейного закона взаимодействия к другому. На рис. 2 изображены результаты экспериментов, проведенных В.А. Куликовым (ИГФ СО РАН) по измерению показателей поглощения сильных продольных волн в разных материалах [7]. На расстоянии 20 см наблюдалась существенная нелинейность поведения продольных волн при взрыве всего 2 г взрывчатого вещества (расплывание и дополнительное амплитудно-зависимое затухание, пропорциональное первой степени частоты). По-видимому, это и есть переходный процесс от одного линейного закона (В = 0, малые деформации, сухое трение), к другому (В > 0, сверхмалые деформации). Сверхмалые деформации распространяются быстрее, что приводит к существенной нелинейности и дополнительному перекачиванию энергии в область сверхнизких частот, пропорциональному первой степени частоты.

Данная методика построения уравнений движения микронеоднородной среды не исключает возможности существования сред с отрицательным коэффициентом Пуассона (у2 > 1/2), это не исключается и в модели, предложенной в [6]. Экспериментов же, в которых непосредственно (статически) измерялся бы в вышеупомянутых породах отрицательный коэффициент Пуассона, соответствующий аномально высокому отношению у, не существует. В связи с этим, есть мнение, что отрицательный коэффициент Пуассона среды получается только лишь в результате ошибок в методике измерения скоростей волн. Однако статические эксперименты проводятся совсем в другом диапазоне амплитуд, чем измерения скоростей волн. Константа А, определяющая нор-

мальные силы, и в том и в другом случаях будет одинаковой. Константа В (5), (6) в случае сверхмалых амплитуд будет значительно выше. В результате, в статических экспериментах будет измерен коэффициент Пуассона, соответствующий более низкому значению у, если амплитуда смещения на отдельном зерне будет больше атомного размера. Другими словами, отношение у (а значит и коэффициент Пуассона среды) может зависеть от амплитуды.

4. Выводы

1. Получены значения скоростей продольных и поперечных волн для среды, состоящей из равномерно перемешанных шаров разных радиусов. При этом важнейшими интегрально-геометрическими характеристиками среды являются пористость, средний объем зерна, а также отношение среднего числа контактов к максимально возможному числу контактов, при данном распределении. В отличие от [6], скорости упругих волн зависят от пористости.

2. Показано, что отношение скоростей поперечных и продольных волн максимально в случае, если среда состоит из шаров одинакового радиуса, взаимодействующих по модифицированному закону Герца.

3. Выявлено два режима распространения волн малой амплитуды, связанных с различным видом касательной силы, препятствующей сдвигу центра площадки контакта относительно центра зерна, что приводит к различию частот продольных и поперечных волн, возбуждаемых взрывами, а также к тому, что нелинейность

оказывает значительно большее влияние на поперечные волны, чем на продольные.

4. Предложено объяснение различию частот продольных и поперечных волн, возбуждаемых взрывами.

5. Показано, что коэффициент Пуассона среды может зависеть от амплитуды. Соответственно коэффициент Пуассона, измеренный непосредственно (статически) может отличаться от вычисляемого по отношению у, что связано с различием амплитуд при первом и втором способах его определения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 01-0565424.

Литература

1. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

2. Duffy J., Mindlin R.D. Stress-strain relations and vibrations of a granular

medium // J. Appl. Mech. - 1957. - V. 24. - No. 3. - P. 585-593.

3. СибиряковЕ.Б., КуликовB.A., ЕгоровГ.В. Распространение сейсмических волн в песчаных отложениях // Физ. мезомех. - 2003. -Т. 6. - № 1. - С. 13-22.

4. Johnson K.I. Contact Mechanics. - Cambridge-New York: Cambridge Univ. Press, 1985. - 250 p.

5. WinklerK.W. Contact stiffness in granular porous materials: comparison between theory and experiment // Geophysical Research Letters. -1983. - No. 11. - P. 1073-1076.

6. Digby PJ. The effective elastic moduli of porous granular rocks // J. Appl. Mech. - 1981. - V. 48. - P. 803-808.

7. Куликов B.A., Сибиряков Е.Б. Распространение сильных волн в неоднородных сыпучих средах // Динамика сплошной среды. Акустика неоднородных сред. - Новосибирск: ИГИЛ СО РАН, 2003. - Вып. 121. - С. 103-110.

Relationship between Poisson’s ratio and microstructure in a microheterogeneous medium

E.B. Sibiryakov

Institute of Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

In the paper a new method for the construction of nonphenomenological continuum theory is further developed. It allows one to obtain the dependence of the medium macroparameters on the microparameters and laws of contact interaction. The values of longitudinal and transverse wave velocities are found for granular media consisting of uniformly mixed balls of different radii (at a known fraction of particles of each radius), which interact according to the modified Hertz law. It is shown that the most important integral-geometric characteristics of such a medium are porosity, average grain volume and packing density equal to the ratio between the average number of contacts and the maximum possible number of contacts at a given radius distribution law.

It is found that in the medium consisting of balls of the same radius the ratio of longitudinal and transverse waves is maximum if particles interact according to the modified Hertz law.

Two different amplitude modes of weak wave propagation are revealed. They are associated with different types of tangential force that impedes the displacement of the contact area relative to the grain center. On this basis the difference in the frequencies of longitudinal and transverse waves excited by explosions as well as possible difference in the medium Poisson’s ratio measured in statics and calculated from the ratio of longitudinal and transverse wave velocities are explained.