Пересечение бифуркаций рождения вихрей Тейлора и азимутальных волн в задаче Куэтта-Тейлора в нерезонансном случае

МЕХАНИКА

УДК 532.516

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ БИФУРКАЦИИ РОЖДЕНИЯ ВИХРЕИ ТЕЙЛОРА И АЗИМУТАЛЬНЫХ ВОЛН В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА В НЕРЕЗОНАНСНОМ СЛУЧАЕ

© 2010 г. А.А. Алексеев, И.В. Моршнева

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Изучаются режимы течения жидкости между вращающимися цилиндрами в окрестности точки пересечения нейтральных кривых монотонной и колебательной потери устойчивости в нерезонансном случае. Для исследования используются методы теории бифуркаций коразмерности 2 в системах с цилиндрической симметрией. С помощью теоремы о центральном многообразии строится система комплексных дифференциальных уравнений для амплитуд. Исследованы решения амплитудной системы на инвариантных подпространствах, которым отвечают стационарные и периодические режимы исходной системы Навье-Стокса. Найдены их асимптотики, указаны области существования и устойчивости таких режимов в плоскости параметров надкритичности.

Ключевые слова: задача Куэтта-Тейлора, пересечение бифуркаций, амплитудные уравнения, вторичные режимы.

The work is devoted to investigation of regimes of flow between two concentric rotating cylinders near the point of intersection of neutral curves, which correspond to monotonic and oscillatory instabilities in the non-resonant case. The methods of studying codimension-2 bifurcations in the systems with cylindrical symmetry are used. Using the neutral manifold approach the amplitude system is constructed. The solutions of the amplitude system in the invariant subspaces, which correspond to stationary or periodic solutions of the Navier-Stokes system, are found. The conditions of their existence and stability are given.

Keywords: Couette-Taylor problem, intersection of bifurcations, amplitude equations, secondary regimes.

Постановка задачи

Рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными соос-ными цилиндрами с радиусами г1, г2, вращающимися с угловыми скоростями 01, 02 (задача Куэтта-Тейлора).

Безразмерные уравнения движения (уравнения Навье-Стокса) запишем в виде

— + Аг = -Ур - Я1Ь

д1

Vv = 0,

где V = (уг,Уд,) - скорость течения; р - давление; (г,в, 2) - цилиндрические координаты; ось г на-

„ П^2

правлена вдоль оси цилиндров; К = ——--число

V

Рейнольдса; V - кинематический коэффициент вязкости; ё = т -1 - безразмерный зазор между цилиндра-г2

ми; т] = —— отношение радиусов цилиндров. Линей-

Г1

ный оператор А и нелинейный Ь определяются дифференциальными выражениями:

Л ч л Уг 2 дуг

(Мг =-^г +~Г + >

г2 г2 дв

(Av)0=-Av0

v9 2 dvt

в

2 r 2 дв

(Av) z = -Avz

Д- —+ i — + — 9 I d2

Or2 r Or r2 дв dz2 '

LU v)) r = Vr ^ + ^ + Vz ^ _ № , or r дв dz r

див ve див див veur

Or r du 9z r

,т, чч duz ve duz duz (L(u, V)) z = vr+ + Vz-rf- >

Or r du dz

v = (l l д_ r Or ' r дв' dz На твердых границах задано условие прилипания:

vr = vz = 0 :

Vt =

V-1 '

ve =

v-i

1

1

V-1

r = -

v-1

vr = vz = 0 :

о Q2

где Li = —2 - отношение угло-

вых скоростей вращения цилиндров.

Будем рассматривать течения с периодическими по 2 полями скорости и давления с заданным периодом 2ж/а. Заметим, что требование периодичности

играет здесь роль осевого краевого условия.

Система (1) обладает группой симметрии G=SO(2)xO(2): она инвариантна относительно вращений ьв, трансляций ьЬ2, и инверсии 3, действующих

на поле скоростей

LSev(t,r,в,z) = v(t,r,U +S,z) ,

Lhzv(t, r, в, z) = v(t, r,U, z + h),

по

правилам:

Л

r =

Jv(t, г, в, 2) = (уг (г, Г, в, z), ^ (г, Г, z),(/, г, в,-2)) для любых вещественных 8 и к .

При всех значениях параметров система имеет точное решение vg (г) = (0, у0в(г),0) - течение Куэтта.

Здесь v0ß = ar + —, a =

r2 - R1 R1T2 -1)

, b =

R2 - Rjn Rlin2 - 1)d2

= ^¡d2 v

- второе число Рейнольдса.

Линейная задача устойчивости

Устойчивость течения Куэтта может быть исследована методом линеаризации. Известно строгое обоснование этого метода [1] для возмущений, периодических по осевой переменной 2 .

Линеаризуя исходную систему на течении Куэтта,

получаем уравнение и краевые условия:

^

— + Av = -Vр - Я](Ь^0,V) + Ь(у,v0)) ,

dt Vv = 0.

v = 0 , r =

1

r =

T

T — 1 j — 1

Рис. 1. Точки пересечения нейтральных кривых, сответст-вующих ситуации общего положения; т=0, п=2, к=1,1=3

ф01 = e~i(a"t+ne+laz)901 (r),

Требуется найти такие значения чисел Рейнольдса Я]*, при которых задача (2) имеет нетривиальное решение (критические числа Рейнольдса). При фиксированных параметрах т, к,а,ц критические числа

Я]*(т, к, а, Я2,Ф описывают кривую в плоскости (ЯъЯ2) .

На плоскости (Я],Я2) при фиксированных значениях т = 0, к,а,ц и п, I нейтральные кривые Я]*(т,к,а,Я2,ц) и Я]*(п, 1,а,Я2,ц)пересекаются в точке (Я]*,Я2*). Это соответствует ситуации, когда в спектре устойчивости находятся нулевое и пара чисто мнимых собственных значений.

Будем предполагать, что осевые квантовые числа к и I различны. Это так называемый нерезонансный случай (случай общего положения). Случай к = I исследован в [2, 3], хотя авторы специально не отмечают выполнение этого соотношения. В [4] рассмотрен аналогичный случай отсутствия резонансных соотношений между осевыми и азимутальными квантовыми числами в ситуации, когда спектр устойчивости состоит из 2 пар чисто мнимых собственных значений.

Точки пересечения, соответствующие ситуации общего положения, образуют в пространстве параметров (Я],а,Я2,ц) поверхности, которые находятся выше поверхности 1-го перехода. На рис. 1 изображено сечение одной из таких поверхностей при г\ = 1,2 для т/п = 0/1; к/1 = 2/3.

Пусть (Я]*, Я2*) - точка пересечения бифуркаций в случае, когда спектр устойчивости <Уо = {0+1 юп}.

Это соответствует пересечению нейтральных кривых монотонной и колебательной потери устойчивости течения Куэтта. В этом случае система имеет три

независимые нейтральные моды: Ф0о = г—ка2фоо (г),

911(r) •

ф _ £-1

В окрестности точки пересечения эти моды сильно взаимодействуют, что может приводить к появлению разнообразных режимов движения.

Амплитудные уравнения

Рассмотрим малую окрестность точки пересечения

2 2 бифуркаций Я] = Я]* + к]£ , Я2 = Я2* + к2е , где е -

вещественный малый параметр; коэффициенты к], к2 - параметры надкритичности (каждый раз фиксированы).

Асимптотическое решение нелинейной системы в

окрестности точки (Я]*, Я2*) ищется в виде

*

v = v0 +е(Ф + Ф ) +...,

ф = €00 Т)Фоо + ^01 МФо1 + €11 (ОФц, где - неизвестные амплитуды, зависящие от медленного времени т = е2г. При малых е с помощью теоремы о нейтральном многообразии строится система комплексных дифференциальных уравнений 1 -го порядка для амплитуд [5].

В нерезонансном случае амплитудные уравнения содержат только члены, отвечающие обязательным резонансам, и имеют вид:

Z00 = £00(0 + A\^oo\2 + BZ

?01

Г,* \f- |2ч

4о1 =4а(м + D4oo \2 + Щ4о1 \2 + F Z11 f), ¿11=ым+DZoof+F Z01I2+EZnf) •

Для вещественных А и комплексных В,

О, Е, Г коэффициентов системы (3) получены явные

формулы, (3) наследует симметрию исходной задачи.

Можно отделить систему уравнений для вещественных амплитуд:

2 2 2 Р00 = Р00 (р + АР00 + Br (Ро\ + Рп )) >

2 2 2

Р01 = Р01 (Mr + DrP0O + ErPoi + FrPw ) >

222 Р11 =Р\\ (Mr + DrP00 + FrP0l + ErPl 1 ) •

Здесь и далее нижний индекс r означает действительную часть, i - мнимую часть комплексного числа. Эта система носит название моторной подсистемы. После того как найдено решение моторной подсистемы, фазы находятся простым интегрированием уравнений

2 2 2 2 2 ¥00 = Bi (Р01 ~Р\\ ) ,¥01 = Mi + DiP00 + EiP0l + FiPl\ =

2 2

¥ц = Mi + DiРoo + Р1Р0\ + Е1р11 , если амплитуды отличны от нуля, иначе ¥00¥0ъ¥и не определены.

Простейшие режимы движения

Рассмотрим равновесия и G-стационарные решения амплитудной системы на инвариантных подпространствах, на которых обращается в нуль одна, две или три амплитуды. Подчеркнем, что устойчивость найденных режимов исследуется относительно возмущений общего вида, а не только принадлежащих инвариантным подпространствам.

1. Подпространство €00 = €0] = €]] = 0. Течение Куэтта.

При всех значениях параметров у системы существует тривиальное решение, соответствующее течению Куэтта, которое асимптотически устойчиво в области плоскости параметров надкритичности, где одновременно выполняются < < 0, /г < 0 .

2. Подпространство €00 ^ 0,€0] = €]] = 0. Вихри Тейлора.

При выполнении условия < / А < 0 амплитудная

система имеет равновесие £00 =,

J W00

4ох = 4xx = 0,

где ¥00 - произвольная постоянная. Область устойчи-

вости описывается неравенствами: — > 0, цг dг

D — < 0. A

Хо =4-</Ае-'ка2роо(г).

3. Подпространства €00 = 0, €0] ^ 0, €и = 0 и €00 = 0, €0\ = 0, €]] ^ 0 . Инверсионно связанная пара спиральных волн.

Если /г / Ег < 0, у амплитудной системы существует О-стационарное решение, которое можно записать в виде €0] = Е^-в^^ , €00 =€п = 0 .

Этому решению соответствует режим движения с вектором скорости, который может быть записан следующим образом: v = v(г,юnt + пв + 1а 2) =

= v00 + е(Ь<(г) Хг + к .с.) + в(е2) .

Здесь X! =4-/ / Егв-1(пв+1а2)ш (г), <р(г) = сопг/п -1^0] /п . Режим с таким вектором скорости носит название спиральной волны. Преобразование / дает 2-е решение из ./-связанной пары, которое представимо в виде v = v(г,mnt + пв- 1а2).

Для обоих режимов получаем условия устойчиво-

сти: — + Бг

Hr_ E„

< 0, Er - Fr > 0, ¡dr > 0 .

Поля скоростей режимов «вихри Тейлора» и «спиральные волны», а также области их устойчивости в плоскости параметров надкритичности в окрестности точки (Я]* = 43,288,Я2* = 37,233) изображены на рис. 2, 3.

Решение исходной системы Навье-Стокса, соответствующее равновесию, представляет собой так называемый вихрь Тейлора - стационарный по г осе-симметричный режим. Вектор скорости найденного режима имеет вид

v = v(г,ка2) = v00 + е(1У200 1 каХ0 + к.с.) + й(е2) .

Здесь v00 - вектор скорости течения Куэтта при критических значениях параметра;

Рис. 2. Поля скоростей режимов «вихри Тейлора» (слева) и «спиральные волны» (справа) в сечении цилиндров стью, проходящей через ось вращения цилиндров

4. Подпространства €00 ^ 0,€0] ^ 0,€ц = 0 и €00 ^ 0,€0] = 0,€и ^ 0. Смешанные спиральные волны.

Смешанные спиральные волны - режим, представляющий собой вихрь Тейлора с бегущей по нему спиральной волной: v = v(г, ка2,юпг + пв + 1а2) =

= V,

00

Хо =

-ж,' ках0 + щ-1 ) Xj + k.c.) + O(s2), где

МгБг —Er -ikaz _ / ч

-Фоо(r),

AEr - DrBr

Рис. 3. Области существования и устойчивости режимов «течение Куэтта» (I), «вихри Тейлора» и «спиральные волны» (II) в плоскости параметров надкритичности

= аВг -МгА Кпд+1ш) ,

1 ] АЕГ -БГБГ К)

ср(() = / п - у01 / п •

Аналогично предыдущему случаю, преобразование / дает 2-е решение из ./-связанной пары: V = v(r,каг,аг^ + пв - 1аг) .

Явные выражения условий устойчивости опустим ввиду их громоздкости.

5. Подпространство %00 = 0,= \%и\^ 0. Азимутальные волны.

Если ¿иг /(Ег + ¥г) < 0 , то в рассматриваемом подпространстве существует стационарное решение с

иг Лс*+У0\)

амплитудами ^0 = 0, =J_

Er + Fr

in =J-

^_el(ar+Wll), Где ,

E + F

Z11

произ-

^ 1 * г

вольные постоянные. Соответствующее поле скорости представимо в виде

V = v(r,юnt + пв + 1аг,ап} + пв - 1аг) =

= V00 + е(Ь%Ьр)Х2 + к.с.) + 0(е2),

=-'-

Mr

-e~ln9

с + 2B.

Mr

E + F

V *r r

< 0 , Er + Fr < 0, Er - Fr < 0 .

Из условий устойчивости следует, что азимутальные волны и любая из инверсионносвязанной пары

спиральных волн не могут быть устойчивы одновременно.

6. Подпространство %00 ^ 0,= \4и\ ^ 0. Смешанные азимутальные волны.

Смешанные азимутальные волны - режим, представляющий собой вихрь Тейлора с парой бегущих по нему навстречу друг другу инверсионносвязанных спиральных волн. Вектор скорости режима: V = v(r,ка2,тг} + пв + 1аг,аг} + пв - 1аг) =

voo

+ s(Lfz 00

/ ka

Xo + I^Lq' X2 + k.c. ) + O(s2 ),

где

Xo =J MBr -:(Er, + F ) e "^00 (r)s

p(t) = ant/n-(^oi +Yn)/ln , y = (Wii ~ш)/21а , Yoi = const , Щ1 = const.

Режим представляет собой нелинейную смесь пары бегущих навстречу друг другу спиральных волн. Азимутальные волны устойчивы, если

A(Er + Fr ) - 2DrBr

аЛг-цгА~ х ^ Л1А(ЕГ + Fr) - 2DrBr х е-тв^-И<я9о1{г) + e^j9ol{r)X

p(t) = ant / n - (Woi +Y\i)/2n , \y = (\yn-Yo\)/2la , Yoi = const , W11 = const.

Явные выражения условий устойчивости громоздки, поэтому здесь не приводятся.

Несложно заметить, что если равновесия общего положения моторной подсистемы существуют, то они имеют равные вещественные амплитуды ро\,рц (случай 6).

Результаты расчетов

Для вычисления коэффициентов амплитудной системы при заданных значениях отношения радиусов цилиндров, аксиальных и азимутальных волновых чисел на плоскости параметров (Щ,R2) строятся нейтральные кривые монотонной и колебательной потери устойчивости течения Куэтта. Ищется точка пересечения нейтральных кривых (R\*,R2*) и при Ri = Ri*, R2 = R2* проводится численное решение серии линейных однородных краевых задач, вычисление ряда линейных функционалов, и затем решение неоднородных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами. Коэффициенты амплитудных уравнений вычисляются по явным формулам через найденные ранее решения линейных краевых задач. Для реализации этого алгоритма использовался пакет программ на языке Фортран, составленный С.Н. Овчинниковой. Для визуализации поля скорости использовалась программа, написанная в среде Matlab.

Результаты вычислений для случаев вращения цилиндров в одну сторону (R2* >0) и противоположные (R2* < 0) представлены в таблице и на рис. 2, 3.

Для примера рассмотрим существование и устойчивость простейших режимов в окрестности точки (R1* = 43,288,R2* = 37,233). На рис. 2, 3 показаны области, в которых режимы существуют и устойчивы в плоскости параметров надкритичности, а также поля скоростей режимов в сечении цилиндров плоскостью, проходящей через ось вращения цилиндров.

Критические числа Рейнольдса и коэффициенты амплитудных уравнений

R,* 43,288 21,296 30,368 44,037

r2* 37,233 -3,035 -29,911 -68,486

а 1,25 1,25 1,50 2,00

k 2 2 2 2

l 3 3 3 3

n 1 1 1 1

юп 0,777 0,437 0,367 0,388

A -2,079 1,096 3,475 18,420

Br -2,496 -1,388 0,355 3,134

Bi -0,012 -0,095 -1,255 -5,500

Dr -5,545 -3,000 0,356 28,681

Di -0,228 -0,185 -5,903 11,361

Er -1,754 -0,948 -0,686 1,755

Ei -0,041 -0,179 -1,487 -4,490

Fr -3,464 -1,859 -2,608 -4,473

Fi -0,026 0,025 1,160 4,385

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (№ 2.1.1/554).

Литература

1. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической

теории устойчивости. Ростов н/Д, 1984. 192 с.

2. Колесов В.В., Юдович В.И. Расчет колебательных режи-

мов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 4. С. 81-93.

3. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor problem. N.Y.,

1994. 233 p.

4. Юдович В.И., Овчинникова С.Н. Пересечения бифурка-

ций в проблеме Куэтта-Тейлора. I. Нерезонансный случай. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 05.04.05, № 458-В2005.

5. Юдович В.И. Переходы и возникновения хаоса в тече-

ниях жидкости // Аннотации докл. 6-го Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986. С. 661.

Поступила в редакцию

29 октября 2009 г.