О прогнозировании прочности и деформации древесно-цементных материалов

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

Распоряжением Правительства РФ от 28 августа 2003 г. №1234, в которой есть ряд предложений, но нет конкретных мер по развитию биоэнергетики.

В России не существует единой государственной программы развития биодизельного топлива, но создаются региональные программы, например Алтайская краевая целевая программа «Рапс-биодизель». В Липецкой области создана Ассоциация производителей рапсового масла. Планируется строительство заводов по производству биодизеля в Липецкой области, Татарстане, Алтайском крае, Ростовской, Волгоградской, Орловской областях, Краснодарском крае.

Нельзя не отметить, что проблема производства и использования биотоплива представляется не вполне однозначной. Продовольственные потребности человечества по-прежнему имеют преимущественное значение по сравнению с энергетическими. Следует отметить неоднозначную реакцию пищевой промышленности ЕС на стимулирование развития биотоплива. Представители отрасли выражают опасение, что рост производства биодизельного топлива может вызвать удорожание исходного сырья. В результате, как полагают представители многонационального пищевого концерна «Unileven» пищевая и кормовая отрасли столкнутся с дефицитом сырья и неконтролируемым ростом цен. По мнению генерального директора компании Global Commodities Грега Смита (Greg Smith), увеличение использования сельскохозяйственной продукции для производства

биотоплива может привести к серьезным негативным последствиям, поскольку возникнет ситуация, когда пищевая отрасль будет вынуждена конкурировать за сырье с производителями биогорючего.

В то же время интенсивное животноводство и последующая переработка мясного сырья проводит к накоплению значительного количество жиросодержащего сырья и отходов. Этот ресурс может быть задействован с целью дополнительного решения энергетических проблем для производства биодизеля.

Библиографический список

1. Неклюдов, А.Д. Переработка органических отходов: монография / А.Д. Неклюдов, А.Н. Иванкин.

- М.: МГУЛ, 2006. - 380 с.

2. Аронов, Э.Л. Производство и применение биодизельного топлива (с рапсовым маслом) в сельском хозяйстве / Э.Л. Аронов // Техника и оборудование для села. - 2007. - № 3. - С. 39-41.

3. Смирнова, Т.Н. Биодизель - альтернативное топливо для дизелей / Т.Н. Смирнова, В.М. Подгаец-кий // Двигатель. - 2007. - № 2 (50). - C. 100.

4. Давыдова, Е.М. Развитие топливного рынка ЕС: биодизельное топливо - возобновляемый энергетический ресурс / Е.М. Давыдова, Н.Н. Пасхин // Масложировая промышленность. - 2005. - № 4. - С. 77 - 80.

5. Митин, С.Г. Состояние и перспективы развития бионергетики в РФ / С.Г. Митин, В.Ф. Федоренко, Е.А. Усачев // Техника и оборудование для села.

- 2007. - № 3. - C. 3-7.

6. Sobolik J. Eu doubles biodiesel production in two years // Biodiesel magazine.- 2007.- № 9. /http:// engine.aviaport.ru/issues/50/page32.html

7. Лисицын, А.Н. Биотопливо, его получение и использование/ А.Н. Лисицын, В.В. Ключкин и др. // Масложировая промышленность. - 2007.- № 2.

- С. 40-45.

О ПРОГНОЗИРОВАНИИ ПРОЧНОСТИ И ДЕФОРМАЦИИ ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

В.И. ЗАПРУДНОВ, проф. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук

Свойства древесно-цементного материала, сочетающие такие качества, как высокая прочность, низкая деформированность, малая средняя плотность, трещиностойкость и другие, определяются его структурой [1].

Прогнозирование физико-механических свойств древесно-цементного композита позволяет свести к минимуму эксперимен-

zaprudnov@mgul.ac.ru тальные работы по выбору оптимального состава компонентов и геометрических параметров структуры. Для этого модель механической смеси древесно-цементного композита представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняется условие непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого

96

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить распределение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале и его эффективные или макроскопические свойства.

Рисунок. Схема механической модели структуры древесно-цементного материала: а - с минеральным наполнителем; б - с разориентированными частицами; в - с однонаправленными (ориентированными) частицами

Однако практическое решение указанной задачи связано с серьезными математическими трудностями.

Древесно-цементный композит имеет случайную или стохастическую структуру, характерными особенностями которой являются дискретность включений частиц древесного заполнителя, цементного камня и пор, их хаотичное расположение в пространстве, а также случайная форма. Поэтому для адекватного описания напряженно-деформированного состояния в древесно-цементном материале необходимо привлекать методы теории случайных функций.

Определить эффективные линейно-упругие постоянные древесно-цементного композита с учетом геометрических параметров, формы поперечного сечения органического заполнителя и его расположения позволяет применение метода условных моментов.

Схемы механических моделей структуры древесно-цементного материала представлены на рисунке.

Исходные представления. Точное описание механического поведения упругого тела из древесно-цементного материала в линейной постановке сводится к уравнениям сохранения импульса

о + F = р-и.;

соотношениям упругости

о = Я.. •е ;

ij ijmn mn7 v y

и Коши

e = и.., = 1/2

где о - тензор напряжений, Па; е . - тензор деформаций;

Я n - тензор упругих модулей четвертого ранга, Па;

F . - вектор объемных сил, Н/м3;

и. - вектор перемещений; р - плотность, кг/м3.

Уравнения (1-3) и входящие в них параметры относятся к микроточкам, т.е. элементарным объемам и площадкам, размеры которых значительно меньше характерных размеров структурных параметров.

Характеристики Я , р древесно-цементного материала являются регулярными или случайными функциями координат в зависимости от характера расположения структурных элементов. При этом внутренняя

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008

97

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

энергия в микроточке определяется выражением

U = 1/2о s = 1/2X.. ss = 1/2s.. о о ,

ij ij ijmn ij mn ijmn ij mn7 v y

где s.. = X.. _1 - тензор упругих податливое-

ijmn ijmn

теи.

Решение уравнении (1-3) в общем случае связано с серьезными математическими трудностями. Однако для практичес-кои задачи, в которои изучается изменение напряжений и деформации в древесно-цементном материале на расстояниях, значительно превышающих размеры структурных элементов, но достаточно малых в сравнении с размерами тела, можно ввести макронапряжения, макродеформации и макроперемещения, т.е. средние по элементарным макрообъемам и макроплощадкам от соответствующих параметров. При этом исходим из того, что размеры элементарных макрообъемов и макроплощадок значительно больше размеров структурных элементов и их можно рассматривать как микроточки. Тогда соответствующие уравнения относительно макроскопических параметров имеют вид

Ы + <F> = <рХц>;

<0ij> = \mn*-<Smn>;

<Sij> = <um>.

При этом внутренняя энергия в микроточке определяется формулой

<U> = 1/2<o..><s..> = 1/2X.. *<s. ><s > =

i i i mn i mn

= 1/2s.. *<о.><o >,

ijmn ij mn

л * * л * 1

где X , s.. = X.. - соответственно тензо-

ры эффективных модулеи упругости и упругих податливостеи.

Согласно уравнениям (5-8) эффективные постоянные упругого древесно-цементного композитного материала могут быть определены на основе решения простеишеи задачи о напряженно-деформированном состоянии в микроточках макрообъема при условии, что он находится в условиях однородного статического нагружения, т.е. <о.> = const, <siJ> = const.

В этом случае уравнение сохранения импульса (5) удовлетворяется тождественно, а при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, из соотношении Коши

(7) следует

<u> = Jj.

Постановка задачи. Пусть макрообъем линеино-упругого древесно-цементного композитного материала стохастическои структуры находится в условиях заданных однородных макронапряжений <о.) или макродеформаций <s..>. Задача о напряженно-деформированном состоянии в микроточках тела сводится к уравнениям равновесия

о = 0;

соотношениям упругости

о = X.. •s ;

ij ijmn mn

и соотношениям Коши

s = и..

ij (.

где тензор упругих модулей X

ijmn

является заданной случайной функцией координат.

В уравнениях (10-12) по повторяющимся индексам ведется суммирование, а индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.

Подставляя (11), (12) в (10), приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно перемещений

при этом граничные условия на поверхности макрообъема при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, имеют вид и I = <s..>x..

Из соотношений Коши (3) следует уравнение совместности микродефомаций

e e s = 0,

где e. - единичный антисимметричный тен-

зор.

Если соотношения

удовлетворяющим граничным условиям

оЛ = <оЛ

где nj - направляющие косинусы нормали к поверхности.

Тензорное поле модулей упругости Xijmn принимаем статистически однородным, поэтому микронапряжения о и микродеформации s.. будут также статистически однородными. Так как масштаб корреляции случайных полей X.jmn, о.., s.. пренебрежимо мал по сравнению с размерами макрообъема, то они удовлетворяют свойству эргодичности, т.е. осреднение случайных полей по области определения совпадает со статисти-

98

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

ческим осреднением по ансамблю реализации. В этом случае выполняются равенства

а„и(1)> = а.>; j = <ай.>;

г 's

ijmn ' ' ijmn

<s.(1)> = <s..>; <Х.. (1)s

' ij ' ' гу 7 ' гjmn pq

<s (% (i)> = <s a >.

' ij mn pq ' ' ij mn pq'

= <Х.. e >;

. mn pq

Здесь слева - статистические средние в точке, справа - статистические средние по макрообъему. Следует отметить, что ансамбль реализаций представляет собой совокупность полей для большого количества макрообъемов, находящихся в одинаковых условиях внешнего воздействия и имеющих один и тот же вид структуры.

Методы решения краевых задач (13), (14), (16-18) идентичны, поэтому рассмотрим задачу в перемещениях. Представим случайные поля Х.. , а , e в виде сумм математических ожиданий и флуктуаций

Х.. = <Х.. > + Х.. 0, а . = <а.> + а.0,

ijmn ' гjmn' .jmn 7 .j ' г. гj 7

e.j = <ej> + j

Тогда, проводя статистическое осреднение соотношений упругости (11) и учитывая равенства (18), получаем

<а> = <Х.. ^

ij ijmn mn ijmn mn ijmn mn

Из (20) следует, что для определения эффективных упругих постоянных необходимо из краевой задачи (13), (14) найти одноточечные моменты второго порядка <Х (1)e (1)>

.jmn mn

= <Х.. e > или <Х.. 0(1)е 0(1)> = <Х.. e 0> как

. mn mn . mn mn . mn mn

функции математических ожиданий деформаций <ey(1)> = <e..>.

Представляя вектор перемещений в виде суммы математического ожидания и флуктуации

иг = <u> + u0,

и учитывая, что для статистически однородных деформаций имеет место равенство

<u> = <et)xp

получаем

u . = <e .>x. + u.0.

Подставляя (23) в уравнение (13), приведем его к виду

Х.. cu 0 + [

Здесь Х c - некоторый тензор модулей упругости с независящими от координат компонентами, называемый тензором модулей упругости тела сравнения.

Из соотношений (14), (23) следует, что на границе макрообъема флуктуации перемещений должны обращаться в нуль

Поскольку макрообъем древесно-цементного композитного материала существенно превосходит размеры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бесконечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема древесно-цементного композитного материала сводится к решению стохастического дифференциального уравнения (24) для бесконечной области при условии, что на бесконечности выполняется условие

u.0L = 0.

Если воспользоваться тензорной функцией Грина, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

Х .. G . (x(1) - x(2)) + 5(x(1) - x (2))5.. = 0, (27) то, подставляя (25), (27) в соотношение взаимности Бетти, приходим к интегральному соотношению

u0(1) =f G (x(1) - x (2))(Х (2)'e (2)) du(2);

г J грк г г /v pqmn mn ' ,q 7

и2 Х = Х

pqmn pqmn pqmn Подставим (28) в соотношения Коши

(12) и проведем интегрирование по частям.

Тогда получим стохастические интегральные

уравнения относительно деформаций

e.

г] ' г]' VpqK г г у pqmn mn 7 v /

или флуктуаций деформаций

e 0(1) = K (x(1) - x(2))( <e > + e 0(2)). (30) Здесь действие интегрального оператора K определяется равенством

K (x(1) - x (2))ф(2) = f G. )q (x(1) - x(2)W2)do(2) +

ypqv г г L ()pjny г г

U

+ f G

S2

где s - бесконечно удаленная граница области и; nq - направляющие косинусы нормали к ней.

Если учесть, что интегрирование по бесконечно удаленной границе вследствие эргодичности поля деформаций эквивалентно статистическому осреднению, то соотношение (31) можно привести к виду K (x(1) - x (2))ф(2) = f G. (x(1) - x (2))ф(2)^и(2),

ypqv г г L lypOq4 г г ’

и

ф0

Библиографический список

1. Запруднов, В.И. Трехслойные конструкции с древесно-цементными теплоизоляционными слоями: Монография - 2-е изд. / В.И. Запруднов. - М.: МГУЛ, 2006. - 322 с.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008

99