К определению напряженного состояния с наименьшим сопротивлением пластической деформации

УДК 539.3

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С НАИМЕНЬШИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

К. Ф. Комков

1

Показано, что минимальное значение отношения относительных пределов текучести, найденных по энергетическому критерию текучести в двух вариантах, является показателем состояния с наименьшим сопротивлением пластической деформации. Различие в положении графиков относительных пределов текучести в этих вариантах позволяет сделать оценку проявления материалом тензорной нелинейности. Алгоритм методики предполагает нелинейность характеристик как функций интенсивности напряжений и угла вида напряженного состояния.

Ключевые слова: диаграмма, методика, напряженное состояние, предел текучести, критерий, тензорная нелинейность.

It is shown that the minimum value of the relation of relative limits of fluidity found according to the power criterion of fluidity in two variants is an index of the state with the least resistance of flowage. A distinction in the position of charts for the relative limits of fluidity in these variants allows one to estimate the manifestation of tensor nonlinearity by the material. The algorithm of the methodology assumes the nonlinearity of characteristics as functions of stress intensity and of the aspect angle of the stress state.

Key words: diagram, methodology, stress state, limit of fluidity, criterion, tensor nonlinearity.

В работе Ю.И. Ягна, Н.М. Митрохина [1] показано, что диаграммы "интенсивность напряжений-интенсивность деформаций" So ~ eo для разных напряженных состояний укладываются в узком пучке кривых не хаотично. В их положении относительно друг друга наблюдается некоторая закономерность. Выше всех лежит диаграмма для сжатия, а внизу располагается диаграмма для чистого сдвига. В работе принято допущение, заключающееся в том, что процесс формоизменения при пластической деформации протекает одинаково независимо от знака параметра Лоде Аа. По этому допущению диаграммы со значением |АСТ | = 1 совпадают и находятся выше диаграмм, для которых |АСТ| < 1. Ниже всех лежит диаграмма для Аа = 0 и в = п/6, где в — угол вида напряженного состояния.

Анализ этих исследований позволяет сделать вывод, что одну и ту же деформацию можно вызвать разными по значению напряжениями So в зависимости от того, при каком значении угла в возрастает пластическая деформация. Работа [1] является одной из первых, в которой показано, что существуют напряженные состояния с минимальным сопротивлением пластической деформации.

Под сопротивлением здесь понимается напряжение, соответствующее пределу текучести при возрастающем значении энергии формоизменения простого процесса [2]. При обработке результатов испытаний в работах [1] и [3] вычислялись истинные напряжения при малых деформациях (не превышающих 10%). В настоящей работе использовалась только инвариантная величина eo с учетом упругой составляющей So/3G. Отмеченные исследования сопряжены с применением сложного оборудования и необходимостью определения деформаций с высокой точностью.

Основной целью данной публикации является разработка более точной и менее затратной методики определения напряженного состояния с наименьшим сопротивлением пластической деформации. Для этого были дополнительно использованы некоторые выводы работы В. Лоде [3]. Чтобы выделить из существующих гипотез пластичности наиболее приемлемую, он предположил, что величина

s =

постоянна и не зависит от деформации, если верна 3-я гипотеза, в соответствии с которой 0 — 031 ^ az, где 0z — текущий предел текучести при простом растяжении, 0 — главные напряжения, Si — главные компоненты девиатора напряжений, а (S — 1 — S3) — удвоенное значение предельного максимального касательного напряжения, i = 1, 2, 3.

Преобразование энергетического критерия

A = So2/6G =

1 Комков Кирилл Федотович — канд. техн. наук, доцент Военно-технического ун-та (г. Балашиха), e-mail: 06kfk38@mail.ru.

где О — модуль сдвига, т — главные касательные напряжения, позволило представить величину (1) в виде функции от параметра Ха:

5 = 2/УЗТЛ2,

которая также не зависит от деформации и далее называется относительным пределом текучести. График этой функции будем называть "эталонным" (на рис. 1, б кривая 2). Он отображается в координатах Ха или в в форме, близкой к полуволне синусоиды, представляющей собой часть эллипса Мизеса.

Рис. 1. Зависимость относительного предела текучести в* от в и А: кривая 1 — простое растяжение, 2 — чистый сдвиг, 3 — двухосное растяжение

Для доказательства своего предположения Лоде провел исследования на трубчатых образцах из никеля, меди и двух сортов стали. Нагрузка на образец прикладывалась ступенчато. За каждой ступенью простого растяжения, после разгрузки, следовала ступень роста напряжений от продольной силы и внутреннего давления, создающих состояние, изменяющееся в пределах следующих значений параметра Лоде: -1 < < +1.

Опытные точки (см. [3, с. 196] или [2, с. 68]) сопоставлялись с графиками для относительных пределов текучести по определениям (1) и (3). После проведенных исследований установлено, что большее число опытных точек лежит ближе к эталонной кривой, чем к прямой в = 1, отвечающей 3-й гипотезе. Следовательно, энергетический критерий можно считать более приемлемым. Фиксация состояния пластичности производилась [3] тогда, когда примерно вся рабочая часть образца находилась в состоянии текучести.

Критерий в форме (2) (вариант 1) содержит упругую характеристику, тогда как материал при фиксации пребывает уже в пластическом состоянии, поэтому критерий можно уточнить. Удельную энергию формоизменения (2) необходимо представить в следующем виде:

Ao < A = TiYi/3,

где — главные сдвиги, Ао — энергия формоизменения, соответствующая начальным пределам текучести. Это соотношение далее представляет обобщенную формулировку энергетического критерия (вариант 2). Для главных деформаций сдвига используются тензорно-нелинейные уравнения [4], сводящиеся к выражениям

Ъ = Тг

где ъ = 5о(с, — Со)! 6; г,],а = 1,2,3; г ф ;) ф а; с\ = 2соз0, с-2 = л/ЗвтА — со ев, Сз = 2соз(0 + 27г/3) = -(л/Зет 0 + СО8 0).

В уравнениях (5) Фт и Ф^ — нелинейные характеристики материала. Они представляют собой среднюю и среднеквадратическую податливости, восстанавливаемые непосредственно по результатам испытаний при простых напряженных состояниях [4]. Выполняя преобразования для относительного предела текучести, как и для (3), найдем другое соотношение:

s* =

Оно соответствует уже пластическому состоянию материала и подчиняется критерию (4), где

к8 = ^{2[ЗА - ^d/3)S02 cos 30]/Фт}Дт, = s*/s.

Коэффициент к3 является функцией, зависящей не только от вида напряженного состояния, но и от уровня £о.

Коэффициент может принимать значения больше или меньше единицы в зависимости от свойств материала. Необходимо отметить, что в частном случае, когда А = £ово/2, Фт = 1 /О = 3во/£о, а Ф^ = 0, коэффициент к8 = 1. При любых тензорно-линейных уравнениях связи деформаций с напряжениями соотношение (6) вырождается в (3). Следовательно, расхождение кривых для относительных пределов текучести и ё указывает на наличие тензорной нелинейности.

Графики, представленные на рис. 1, а для относительных пределов текучести 8* в координатах в и А, подтверждают предположение В. Лоде об их независимости от аргумента А или во. Теоретическая кривая 1 на рис. 1, б описывает результаты испытаний Лоде согласно соотношению (6). Она представляет 8* при А = Ао. Симметричность всех кривых на рис. 1, б относительно угла в = п/6 объясняется равенством пределов текучести на границах участков. Пределы текучести 0хх и 0х являются границами первого участка, а 0х и — границами второго участка, где 0хх и — пределы текучести при двухосном растяжении и сжатии соответственно.

Кривая 3 на рис. 1, б по форме подобна кривой сечения пучка диаграмм работы [1] и тем самым отражает тот факт, что минимальное сопротивление проявляется при в = п/6. Расхождение кривых 1 и 2 для относительных пределов текучести 8* и ё свидетельствует о том, что реальная поверхность текучести отличается от круговой, т.е. является неротационной. Согласно результатам испытаний В. Лоде для никеля, расхождение значений пределов текучести на границах участков составляет ~ 4%, т.е. ахх > ах. Если учесть это различие, то расчеты приводят к графикам, которые приведены на рис. 2, а.

Отличие относительного предела текучести 8* (кривая 1) от "эталонного" значения ё (кривая 2) можно рассматривать как реальное проявление сопротивления среды пластической деформации по сравнению с идеализированным критерием (2). Отклонение от симметрии — показатель того, что поверхность текучести имеет более сложную конфигурацию, чем отмеченная выше неротационная. Учет неравенства пределов текучести на границах участков существенно изменяет форму кривой 1, представленную на рис. 2, а. Разница между величинами ё и 8* при одном и том же значении угла в существенно изменяется. Она может быть как положительной, так и отрицательной, что иллюстрируется графиками на рис. 2, а. При этом минимальное значение коэффициента к8 при угле в* сдвигается от в = п/6 к в = 0 и тем самым уточняет положение напряженного состояния с минимальным сопротивлением пластической деформации.

Рис. 2. Зависимость в*, ё и кя от угла в: 1 — теоретическая кривая для в* при ахх > <г2, 2 — эталонная кривая,

3 — кривая изменения коэффициента кя = й*/ё для никеля

Порядок в расположении диаграмм £о ~ во для алюминиевого сплава 24S-T4 иной по сравнению с никелем. Диаграммы £о ~ во для сплава располагаются в следующей последовательности: выше всех лежит диаграмма испытаний при сжатии (в = п/3), затем при чистом сдвиге (в = п/6), а наиболее низкое положение занимает диаграмма испытаний при растяжении (в = 0). Экспериментальные сведения о данном сплаве приведены в работе [5]. Поскольку диаграммы ^ во для алюминиевых сплавов не имеют площадок текучести, в качестве предела текучести принято напряжение оо2 — условный предел текучести.

На рис. 2, б приведены графики для относительных пределов текучести 8* (кривая 1) и ё (кривая 2). Относительные пределы соотносятся между собой совсем иначе, чем для никеля, а именно при всех углах в имеем 8* > ё, кроме как при в = 0, где 8* = ё, что вполне объяснимо, так как предел текучести 0о2

при растяжении меньше любого напряжения So, вызывающего пластическую деформацию при в = 0. Вследствие этого кривая 3 для коэффициента ks возрастет от угла в = 0 до в = п/3. В заключение можно сделать следующие выводы:

а) соотношения (3), (6) и (7) представляют собой основной алгоритм методики по определению напряженного состояния с наименьшим сопротивлением пластической деформации при наличии данных о функциях Фт и Ф^;

б) пластические материалы проявляют тензорную нелинейность, если коэффициент ks = 1 и s* = s при 0 < в < п/3;

в) материалы тензорно-линейны, если ks = 1, а s* = s при любом значении угла в;

г) если коэффициент ks как функция от угла в имеет минимум, то значение угла в*, соответствующее этому минимуму (показанное на рис. 2, а), определяет напряженное состояние с наименьшим сопротивлением пластической деформации;

д) если коэффициент ks как функция от угла в не имеет минимума, то наименьшее сопротивление пластической деформации соответствует напряженному состоянию с наименьшим значением коэффициента ks.

Автор приносит искреннюю благодарность рецензенту за замечания, позволившие точнее сформулировать цель работы и тем самым полнее раскрыть ее содержание.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ягн Ю.И., Митрохин Н.М. О систематическом отклонении от законов пластичности // Докл. АН СССР. 1960. 135, № 4. 796-799.

2. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть первая. Упругопластические деформации. М.: Логос, 2004.

3. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности. М.: ИЛ, 1948. 168-205.

4. Комков К.Ф. Восстановление закономерности изменения вида деформируемого состояния и сдвиговых характеристик пластических материалов // Вестн. МГТУ им. Баумана. Сер. естеств. науки. 2009. № 2 (33). 81-91.

5. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: ИЛ, 1969.

Поступила в редакцию 23.01.2012

УДК 539.3

ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПОРИСТЫЙ КАРКАС С УЧЕТОМ ИНТЕРАКТИВНЫХ СИЛ ТИПА ДАРСИ И ФРОНТАЛЬНОГО НАПОРА

И. О. Фасхеев1

В статье приводятся постановка и численное решение задачи об одномерном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь твердый пористый каркас из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора.

Ключевые слова: насыщенные пористые среды, деформируемый каркас, жидкая фаза, краевые задачи, интерактивные взаимодействия.

The problem of one-dimensional time-independent flow of compressible fluid through a solid porous skeleton made of an incompressible material is formulated and numerically solved with consideration of the Darcy and frontal pressure interaction forces.

Key words: saturated porous media, deformable skeleton, fluid phase, boundary value problems, internal interactions.

В развитие классических моделей [1-4] предложена модель [5], учитывающая материальные межфазные взаимодействия [6] и различные режимы движения жидкости и каркаса [7].

1 Фасхеев Игорь Олегович — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fiomsu@mail.ru.