О минимизации выпуклых функционалов

УДК 517.988.8

О МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

А.А. ФОНАРЁВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

С использованием проекционного итерационного процесса, сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс, строится последовательность, минимизирующая выпуклый функционал, заданный в вещественном нормированном пространстве.

Ключевые слова: проекционный итерационный процесс, выпуклый функционал, минимизация Введение

В теории экстремальных задач, в разных областях математики: в выпуклом программировании и классическом вариационном исчислении, в математической физике, теории целых функций, математической статистике и т. д. широко применяются понятия и методы выпуклого анализа. Формирование выпуклого анализа как самостоятельного раздела относится к 50-60 гг. ХХ века. Многие понятия и концепции выпуклого анализа нашли своё завершение в функциональном анализе.

С работы В.Фенхеля [1] начался этап выпуклого анализа, на котором детально исследовались свойства выпуклых функционалов.

Важным направлением выпуклого анализа является построение последовательностей, минимизирующих выпуклые функционалы. В частности, в выпуклом анализе рассматривается задача о минимизации выпуклого функционала, заданного в нормированном пространстве X и дифференцируемого на плотном в X подпространстве пространства X.

В статье с использованием проекционного итерационного процесса (ПИП), сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс, строится последовательность, минимизирующая выпуклый функционал

f: X  Я1,

где X - вещественное нормированное пространство с нормой ||х|| для xе X и Я - одномерное

евклидово пространство.

При построении последовательности, минимизирующей функционал (1), предполагается, что функционал f ограничен снизу на пространстве X и дифференцируем на линейном многообразии E с X, плотном в X. При этом в линейном многообразии E используется норма, которая может не совпадать с нормой пространства X . В основном результате работы предполагается, что функционал f непрерывен на пространстве X.

1. Постановка и формализация задачи

В статье используется терминология из [2].

Предположим, что в линейном многообразии E с X, плотном в нормированном простран-

II \/

стве X, задана норма x для x е E. И предположим, что задана такая последовательность линейных многообразий E с E (i = 1,2,...), что Et с Ei+1 для каждого i > 1 и для любого zе E

II \/

существует такая последовательность zi е Et (i = 1,2,...), что \\zi — z  0 при i ¥.

Рассматривая линейное многообразие E, как нормированное пространство с нормой || || ,

И

будем называть его пространством E с нормой • .

Пусть E* - сопряженное с пространством E с нормой • пространство с нормой

Здесь и далее (у, х) - значение линейного ограниченного функционала у е E* на элементе х е E.

Предположим, что для функционала (1) выполняются следующие условия:

1) функционал f ограничен снизу на X, т. е. существует

d ° inf f (х) е Я;

хеХ

И ц/

2) функционал f дифференцируем по Гато на пространство E с нормой • и для его градиента

Vf

имеем неравенство

с постоянной a > 1 и неубывающей неотрицательной функцией M(t), заданной для t > 0;

3) Ft : Et  E* (i > 1) - такая последовательность операторов, что при всяком i > 1 для каждого u е Ei норма сужения функционала Ftu -Vf (u)е E* на Ei+1 (т.е. sup (Ftu -Vf (u), v)) не

превосходит L у |u|| jSi, где {d }°=1 - последовательность неотрицательных чисел, сходящаяся к нулю в Я1, а L(t) - неубывающая неотрицательная функция, заданная для t > 0;

4) {ri }°=1 и {t }°11 - такие последовательности положительных чисел, что t £ 1 и ri + trrn £ Г+1 для i >1,

r t  0, g ° L

и ряд ^ t расходится.

i=1

Замечание 1. Если для градиента функционала f имеем неравенство

где M(t) - неубывающая неотрицательная функция, заданная для t > 0, то выполняется неравенство из условия 2) с постоянной a= 2.

С использованием обобщённой формулы Лагранжа [2] и условия 2) имеем неравенство

Из выпуклости функционала f вытекает [2], что градиент функционала f является моно-

/

тонным оператором на пространстве E с нормой • , т.е.

vеE! + , llvll £1

(Vf (u) -Vf (v), u - v) > 0 (u, v е E), и что выполняется неравенство

f (v) - f (u) >(Vf (u) v-u) (v,u е E).

Следовательно, имеем неравенства

с использованием которых доказывается непрерывность функционала f на пространстве E с

N ../

нормой • .

Из условия 1) вытекает, что существует такое число d > d , что

d' ° inf f (х).

хе£

Пусть q - произвольное число из интервала (0,1). И пусть

Д ={хе Et :||х|' £ r} (i > 1).

Рассмотрим последовательность {u. }°=1 ПИП

u!+1 = u - tvl

с произвольным начальным элементом u1 е D1 , где если

Ъг = sup

ые Di+1

то v е {Fu, vJ > Ъ - q(bi - g) и tl =t, а если Ъ £ g, то v = 0 и tl = 0.

Итерационный процесс (2) является ПИП, совмещающим в себе проекционный метод и

итерационный процесс, ибо u. е Et для каждого i > 1.

Отметим, что на каждом шаге ПИП (2) рассматривается вспомогательная экстремальная задача, т. е. задача о нахождении Ъ в (3).

При исследовании ПИП (2) покажем, что при наличии непрерывности функционала f на пространстве E последовательность {ui}i¥=1 ПИП (2) минимизирует функционал f на пространстве X, т.е.

f (ui) — d (i ¥).

2. Основной результат

Предварительно приведём три леммы.

Лемма 1. Для последовательности {u. }°=1 ПИП (2) имеем:

1) последовательность {u. }°=1 релаксационная, т. е.

f (ui) > f (ui+1) (i >1);

2) нижний предел последовательности {Ъ.} (см. в (3)) равен нулю, т. е.

liminf Ъ = 0.

i ——¥

Доказательство. Для каждого i > 1 имеем неравенства

f (ui) - f (ui+1) > t (Vf (uiX v- >- M (max (r, ri+tr+1)) (tr+1 )a >

> ?г ((Ъг - Я (Ъг - Гг ))- Щ Уг+А ) - М ^г+хК Сх •

Следовательно, для каждого г > 1 имеем неравенство

I («г ) - I («м) >вг,

где 3г = (1 - Я)(Ъг - Г )Тг ПРИ Ьг > Гг, 3г = 0 ПРИ Ъг £ Гг •

Из неравенств

I

1=1

следует, что ряд

±Ъ

г=1

сходится. А если предположим, что НштГ > Ъ > 0, то получим расходимость ряда (4). Лемма

г——¥

1 доказана.

Лемма 2. Последовательность {иг }°=1 ПИП (2) минимизирует функционал I на пространстве Е с нормой У , т. е. I(иг) — ё' (г — ¥).

Доказательство. В силу заключения 2) леммы 1 существует такая подпоследовательность {«г }“ последовательности {«г }°=1 ПИП (2), что

Нш Ъг < 0.

Пусть = «^, Qj = Д (] > 1). В силу Qj с Qj+1 для ] > 1 существует такая последовательность zj е Qj (] > 1), что I(zj) — ё' при ] — ¥. Имеем НшБир а < 0, где

1—¥

=(у/(м1), - (1 >1). И т. к. I(м1) < у() + а- для всех 1 >1, то у(м1) — ё' при

1 — ¥, что в силу заключения 1) леммы 1 влечёт I(«г) — ё' при г — ¥. Лемма 2 доказана.

Доказательства лемм 1, 2 аналогичны доказательствам предложений 1, 2 в [3].

Аналоги лемм 1 и 2 имеются в работе [4] без доказательств в качестве леммы 1 и теоремы 1 работы [4].

Лемма 3. Если функционал I непрерывен на пространстве X, то ё' = ё.

Лемма 3 доказывается с использованием доказательства от противного.

Из лемм 2, 3 вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Если функционал I непрерывен на пространстве X, то последовательность {«г }°=1 ПИП (2) минимизирует функционал I на пространстве X.

Теорема 1 является основным результатом статьи.

Замечание 2. Лемма 2 и теорема 1 остаются справедливыми, если в них заменить непрерывность функционала I на пространстве X на такое условие: из сходимости последовательности {хп} с X к хе X в пространстве X, т. е. из ||хп - х|| — 0 (п — ¥), следует, что ИттГ1 (хп) <1 (х).

П — ¥

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы»

Заключение

Автором предложен проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс, последовательность которого минимизирует выпуклый функционал, заданный в вещественном нормированном пространстве X и дифференцируемый на линейном многообразии E с X, плотном в пространстве X.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fenhel W. On conjugate convex functional // Canad. J. Math. Soc. - 1949. - V. 1. - No. 1.

2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1972.

3. Фонарёв А.А. Об одном новом методе решения вариационных неравенств // Изв. вузов. Математика. - 1988. - .№ 11.

4. Фонарёв А.А. Об одном методе решения задачи о минимальных поверхностях // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений: сб. научн. тр. - Иркутск: Иркутский государственный университет, 1993.

ABOUT MINIMIZATION OF CONVEX FUNCTIONALS

Fonarev A.A.

The author builds sequence of a projective iterative process which minimizes the convex functional set in real normalized space. Projective iterative process combines a projective method and iterative process.

Key words: projective iterative process, convex functional, minimization.

Сведения об авторе

Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ (1972), кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, автор более 110 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа.