Влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание в многофотонной модели Тависа — Каммингса

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 5

ФИЗИКА

УДК 130.145

ВЛИЯНИЕ ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ПЕРЕПУТЫВАНИЕ В МНОГОФОТОННОЙ МОДЕЛИ ТАВИСА — КАММИНГСА1

© 2011 Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин2

Исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутыва-ние состояний двух атомов и одномодового поля в многофотонной модели Тависа — Каммингса в случае когерентного состояния резонаторного поля. Найдено, что диполь-дипольное взаимодействие приводит к стабилизации атом-полевого перепутывания в случае однофотонной модели.

Ключевые слова: двухатомная модель, многофотонные переходы, диполь-дипольное взаимодействие, атом-полевое перепутывание.

Квантовые перепутанные состояния являются основным ресурсом физики квантовых вычислений. Для основных протоколов квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни. Одной из основных проблем, которая возникает при использовании квантовых перепутанных состояний, является их нестабильность, возникающая за счет взаимодействия с внешним окружением. В последнее время было высказано большое количество предложений по стабилизации максимально перепутанных состояний, например стратегия кольцевого контроля, коррекция квантовых ошибок, использование избыточного кодирования и др. Однако указанные способы успешно решают проблему только при малой скорости генерации ошибок в исследуемой системе. Более экономичный подход состоит в использовании так называемых свободных от декогеренции пространств, которые полностью нечувствительны к специфическим типам шумов. Такой подход, однако, также требует использования дополнительных источников и эффективен только для определенных типов окружения, например сжатого вакуума, которые в настоящее время невозможно реализовать экспериментально [1]. В последнее время предложен целый ряд механизмов для стабилизации атомных перепутанных состояний, взаимодействующих с квантовыми электромагнитными полями в оптических и магнитных ловушках, такие как диполь-дипольное взаимодействие, внешнее классическое поле

1 Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 годы по лоту "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области оптики, лазерной физики и лазерных технологий", шифр "2010-1.1—122-084" (номер государственного контракта 14.740.11.0063).

2Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), Мастюгин Михаил Сергеевич (mast12basket@rambler.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

и др. (см. [3]). В настоящей статье нами исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия атомов на атом-полевые перепутанные состояния в двухатомных моделях Тависа — Каммингса с многофотонными переходами.

Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома, резонансно взаимодействующих с одномодовым квантовым электромагнитным полем в идеальном резонаторе посредством невырожденных М-фотонных переходов, при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия между атомами. В представлении взаимодействия и приближении вращающейся волны гамильтониан такой модели можно представить в виде:

2

Н =

г=1

где а+ и а — операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды, а+ и а- — повышающий и понижающий оператор в г-м атоме (г = 1, 2), д — константа взаимодействия атомов с полем и О — константа прямого диполь-диполь-ного взаимодействия атомов.

Обозначим через | +} и | —} — возбужденное и основное состояние двухуровневого атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида | а, в} =| а} | в}, где а, в = +, —. Пусть в начальный момент времени атомы находятся в суперпозиции

|Ф(0)}А = а|+, +} + в+ —} + 7—, +} + 5—, —},

где коэффициенты удовлетворяют соотношению

а поле - в когерентном состоянии

°° -и/2

и=0 V-•

где Щ — фоковское состояние моды поля и п — среднее число фотонов в моде.

Волновую функцию рассматриваемой модели в произвольный момент времени £ мы можем представить в виде

|*(*)> = ^Хщт+, +;-} + Х2и(Щ+, —; - + N}+

и=0

+ХаиШ—, +; - + N} + х4и(г)—, —; - + 2N}.

Аналитические выражения для временных коэффициентов Х$и(£) (г = 1, 2, 3,4) могут быть получены на основе точных решений для оператора эволюции рассматриваемой модели, найденных ранее в работах [4; 5].

Мы рассматриваем систему, состоящую из двух атомов и моды квантового электромагнитного поля. Хорошо известно, что если обе подсистемы приготовлены в начальный момент времени в чистых состояниях, то в качестве критерия перепутанности атомов и поля может быть использована линейная атомная или полевая энтропия. Эти системы согласно теореме Араки-Либа в этом случае равны друг другу [2]. Нам удобнее вычислять линейную атомную энтропию системы. Линейную атомную энтропию можно ввести как Б(£) = тгар^ь(^), где Раг(^) = Тгр|Ф(£)}(Ф(£)| — редуцированная атомная матрица плотности и |Ф(£)} — временная волновая функция системы "атомы+поле". Значению линейной атомной энтропии Б =1 соответствует полностью расцепленное состояние атомов и

Влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание.

155

поля, а значению Б =1/4 — максимальная степень перепутывания атомов и поля. На рис. 1, 2 представлены результаты численного моделирования линейной атомной энтропии для рассматриваемой модели в случае одно- и двухфотонных разрешенных переходов для различных значений параметра диполь-фотонного взаимодействия атомов. Из графиков хорошо видно, что включение диполь-дипольно-го взаимодействия приводит к стабилизации атом-полевого перепутывания системы атомов, взаимодействующих с когерентным полем, только в случае модели с однофотонными переходами.

Tr(Pat) 1.0

20

40

а

60 80

Tr( Pat)2 1.0 г

0.8

0.6

0.4

0.2

gt

20

40

б

60

80

Рис. 1. Временная зависимость атомной энтропии Тгр2а1 для модели с однофо-тонными переходами. Начальное атомное состояние: а = 5 = 1/%/2, в = 7 = 0. Параметры модели: п = 30, О = 0

Tr(pat)2 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

10

а

15

20

Tr( Pat)2 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

gt

10

б

15

20

Рис. 2. Временная зависимость атомной энтропии Тгр\г для модели с двухфотон-ными переходами. Начальное атомное состояние: а = 1,в = 1 = 5 = 0. Параметры модели: п = 30, О = 0

0

0

gt

0

5

0

5

Таким образом, мы показали, что диполь-дипольное взаимодействие приводит к стабилизации перепутывания только в случае модели Тависа — Каммингса с однофотонными переходами. Детальный анализ влияния диполь-дипольного взаимодействия на динамику атомной энтропии на основе анализа асимптотического поведения полной волновой функции (при n ^ 1) для рассматриваемой

модели в рамках общего подхода, развитого ранее в работе [6], будет являться

предметом нашей следующей работы.

Литература

[1] Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information, Cambrige: Cambrige University Press, 2000. 812 p.

[2] Schumacker D., Westmoreland M.,D. Quantum Processes, Systems and Information. New York: Oxford University Press, 2010. 469 p.

[3] Башкиров Е.К., Мастюгин М.С. Перепутывание в невырожденной двухфотон-ной модели Тависа — Каммингса // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. серия. 2011. № 5(86). C. 109-114.

[4] The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms in a cavity interacting with a thermal field / L.S. Aguiar [et al.] //J. Opt. 2005. Vol. B7. P. S769-771.

[5] The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms interacting with a thermal field via two-photon process / X.-P. Liao // Chin. Physics. 2008. Vol. B17. № 6. P. 2137-2142.

[6] Bashkirov E.K. Entanglement in degenerate two-photon Tavis - Cummings model // Physica Scripta. 2010. Vol. 82. 015401.

Поступила в редакцию 13/III/2011; в окончательном варианте — 13/Л/2011.

THE INFLUENCE OF DIPOLE-DIPOLE INTERACTION ON THE ENTANGLEMENT FOR MANY-PHOTON TAVIS — CUMMINGS MODEL

© 2011 E.K. Bashkirov, M.S. Mastygin3

The influence of dipole-dipole interaction on the entanglement between two atoms and field in many-photon Tavis — Cummings with coherent cavity mode has been investigated. The results show that in the case of one-photon model the dipole-dipole interaction leads to the stabilization of atom-field entanglement.

Key words: two-atom model, many-photon transitions, dipole-dipole interaction, atom-field entanglement.

Paper received 13/III/2011. Paper accepted 13/III/2011.

3Bashkirov Evgeniy Konstantinovich (bashSssu.samara.ru), Mastyugin Mikhail Sergeevich (mast12basketSrambler.ru), the Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.