Исследование изгиба прямоугольной пластины приближёнными методами с учётом деформаций сдвига

11. Результаты испытаний отечественных и зарубежных шарошечных долот на карьерах АК «АЛРОСА» / Ю.В. Фи-липповский [и др.] // Актуальные проблемы разработки ким-берлитовых месторождений: Современное состояние и пер-

спективы решения: сб. докл. / АК «АЛРОСА». М.: Руда и металлы, 2002. С.64-70.

12. Буровое и горнотранспортное оборудование железорудных карьеров России и стран СНГ / С.П. Решетняк [и др.] // Горная промышленность. 2009. №5. С.18-29.

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИБЛИЖЁННЫМИ МЕТОДАМИ С УЧЁТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА

© Н.В. Осадчий1, В.Т. Шепель2

ОАО «Научно-производственное объединение «Сатурн», 152903, Россия, г. Рыбинск, Ярославская обл., пр. Ленина, 163.

Представлено исследование изгиба прямоугольной пластины приближенными методами с учетом деформации сдвига. В данном случае рассмотрен поперечный изгиб прямоугольной, жестко закрепленной по кромкам пластины методом Бубнова-Галёркина при условии того, что угол поворота кромок пластины от сдвига не ограничен. Выполненный анализ точности показал, что при вычислении прогибов предлагаемая методика позволяет достигнуть приемлемой точности при малом количестве членов рядов. При вычислении изгибающих моментов сходимость хуже, чем при вычислении прогибов. Ил. 3. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: пластина; метод Бубнова-Галёркина; изгиб; прогиб; моменты.

RECTANGULAR PLATE BENDING STUDIES BY APPROXIMATE METHODS WITH REGARD TO SHEAR STRAIN N.V. Osadchy, VJ. Shepel

NPO Saturn JSC,

163 Lenin pr., Rybinsk, Yaroslavl region, 152903, Russia.

The paper presents a research of rectangular plate bending with the use of approximate methods with regard to shear strain. Using the Bubnov-Galyorkin method, it examines a lateral bending of the rectangular plate rigidly fixed on the edges provided that the plate edge rotation angle is not limited from the shear. The performed accuracy analysis showed that when calculating deflections the proposed methods allow to achieve the adequate accuracy with a small number of the term of a series. It is noted that convergence is worse under the calculation of bending moments than under the calculation of deflections. 2 figures. 3 cources.

Key words: plate; Bubnov-Galyorkin method; bending; deflection; moments.

Введение. В основу данной работы положена система дифференциальных уравнений поперечного изгиба прямоугольной пластины (1) [3], которая имеет аналитическое решение лишь для ограниченного круга условий закрепления кромок пластины. Кроме этого, её решение связано с трудоёмкими и длительными вычислениями.

3

-• Я

52ф 5 ф ~дх2 +д/

Dv

54w ' дх4

+ 2 • Dn

54 w n + Dy

5x 5y

54w 4

—r = q+—

4

5y

D

2 • h

54ф

(

GV4 5x

4 + Do

1

V GXZ

G

A

YZ

5x25y

2 2 + d

^' Grv

5у 4

где юх , Д- цилиндрические жесткости пластины при изгибе относительно осей OX и OY; д - жесткость пластины при кручении; ^, ^ - модули сдвига пластины в плоскостях XZ и YZ; Н - толщина пластины; ц - распределенная поперечная нагрузка.

В ряде случаев задачу о поперечном изгибе пластины проще решить с помощью приближённых методов. Поэтому в статье рассмотрен поперечный изгиб прямоугольной, жёстко защемлённой по кромкам пластины методом Бубнова-Галёркина [2, 3] при условии, что поворот кромок пластины от сдвига ничем не ограничен.

Приближенное решение. В данной задаче координата пластины X изменяется в интервале [0...а], а координата Y - в интервале [0. Ь], где a и Ь - размеры пластины в плане (рис. 1).

1Осадчий Николай Васильевич, кандидат технических наук, эксперт по прочности, тел.: 89206522794. Osadchy Nikolai, Candidate of technical sciences, Expert on durability, tel.: 89206522794.

2Шепель Вячеслав Тимофеевич, доктор технических наук, профессор, начальник КО Сертификации, тел.: 89605386407,

e-mail: sshepel@yandex.ru

Shepel Vyacheslav, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Construction Department of Certification, tel.: 89605386407, e-mail: sshepel@yandex.ru

О

У

X

Рис. 1. Координаты и размеры пластины в плане

Правая часть второго уравнения (1) представляет собой сумму двух функций:

Ре

4

Ъ (х У) = -•

ДХ д4ф О,

(

л + Д дх4 0

1 1

+

Л

V Охъ

О

д4ф Д д4ф

УЪ у

дх ду ОГ2 ду

Д -д4Ч

+ 2 • До -

^ + Д

..2^.2 У

Поэтому решение уравнения (1) можно представить как сумму решений двух уравнений: - первое из них описывает поперечный изгиб ортотропной пластины без учёта деформаций сдвига

д4 V ^ д4 V,

= д ,

дх4 и дх'ду1 у ду4

- второе уравнение - уравнение поперечного изгиба пластины от распределённой нагрузки ^ (х,у) - описывает поперечный прогиб пластины, обусловленный деформацией сдвига

д4ч ' дх4

+ 2 • Д

д4 V д4ч„ . -£--+ Д---

0 ,2 я, .2 + у

дх1ду1

ду4

Дхд

Охъ дх4

+ Д

1 1

— + —

О„

V Охъ

д4ф Д д4ф

дх ду Ош ду

Таким образом, полный прогиб пластины, равный сумме решений уравнений (3) и (4), будет представлять собой сумму прогибов от изгиба и сдвига.

В результате систему (1) можно переписать в виде

д2ф д2ф

дх2' + 'ду2

3 2-к

• g,

Д+2 • Д

д4ч д4ч

Д--± + 2 • Д —г-^ + Д

дх4

дх ду

дх4

дЧ

• ду4

д4 Ч тл д4 чь

о ^Ьг+Д-^т = g,

дх2ду2

До. • дф+Д

Охъ дх4 0

ду (

1 1

— + —

О„, О,

V хъ

д4ф + Д д4ф

ТЪ у

дх ду ОГ2 ду

ч( х, у) = чь (х, у) +

(x, у).

Решение первого уравнения системы

и решается независимо от остальных уравнений. Уравнения метода Бубнова-Галёркина для данного случая запишем в виде

!!

д2ф д2ф 3 + —-т +—-• д

фп ,т (x, у) • ^ • Ф = 0

дх ду 2 • к

Причём функции фпт (х, у) представим в виде двойного тригонометрического ряда, который получается при решении задачи о поперечном изгибе пластины с учётом сдвига методом Навье [2]:

. , ч . I n-ж-x ] . I mж- y Фп,ш(XУ) = sinl - I-sinl

a ) V b

k k í n ж x ] . i m ж y

n=1 m=1 V a

Используя свойство ортогональности функции фпт

ф(Х У) =ZEBn,m -Sin l - ] sin I

b a B тпри n = j ,m = k,

\\фпт

oo J 0 при n * j , m * k,

можно получить формулу для любого члена ряда

ПА 2 А2  iЖ mY • ' 42 96-a b q sinl- I sin

B =_V 2 )_v 2 )__

m ж2 -h-

В [1] выполнено исследование изгиба удлинённой пластинки по цилиндрической поверхности. Согласно [1] полный прогиб пластинки складывается из прогиба, обусловленного изгибом, и прогиба, обусловленного сдвигом. Причём вид уравнения, описывающего прогиб, обусловленный изгибом, совпадает с уравнением для балки, жёстко заделанной по концам. При этом вид уравнения прогибов, обусловленных сдвигом, совпадает с уравнением для прогибов от сдвига для шарнирно-опёртой балки. В соответствии с этим функцию, описывающую прогиб пластины от изгиба, выберем в виде двойного степенного ряда (аналогичного уравнению прогибов при изгибе удлинённой пластинки по цилиндрической поверхности):

n=1 m=1 I 1 ] 2- n m

2^

Функцию, описывающую прогиб, обусловленный сдвигом, запишем в виде двойного тригонометрического ряда:

ч ^^^  In-ж x] . Im ж y] w

Граничные условия можно представить в виде

д

x = 0, x = a ^ w(x, y) = 0, — w(x, y) = 0,

dx

д (12) y = 0, y = b ^ w(x, y) = 0, — w(x, y) = 0.

dy

Члены ряда (11) удовлетворяют граничным условиям (12). Действительно, подставляя значения координат x = 0, x = a и y = 0, y = b в выражения для углов поворота

dwb _ xn-1  ym

dx 11 ]2 m+2' n , , ,

i 1 ] a 2  n-b 2 m

dwb_xn-ym-1

dy 11 ]2 m+2 -n , , ,

' I ^J a2n-b2m

получим равенства (12).

Члены ряда (11) удовлетворяют условию отсутствия прогиба на кромках пластины. В этом можно убедиться, подставив координаты кромок пластины в выражения (11).

Найдём выражения для коэффициентов ряда (10). Для этого ограничимся пятью первыми членами ряда (10). Причём будем рассматривать случай, когда n = m. Уравнения метода Бубнова-Галёркина будут иметь вид

^ + 2-D  -^L + D

dx4 D° dx2dy2 Dy dy4

b a

í í

0 0

wbnm

Функция ЧЪпт(х,у) имеет вид

™ъп,т (х у)=х" • (а - х)" • ут • (Ъ - у Г

Подставляя функции из ряда (10) в уравнение (15), получим систему уравнений, линейных относительно коэффициентов Ат. Матрица коэффициентов при неизвестных и матрица свободных членов определяются с помощью выражения (15).

Коэффициенты Спт в выражении прогиба от сдвига (11) найдём из уравнений метода Бубнова-Галёркина, которые будут иметь вид

11

_ д4Ч ^ д4 ч _ д4Ч 4 Д---Г + 2 • д —^ + Д--± - -

х дх4 0 дх2ду2 у ду4 5

ОХ7 дх \ ОХ7 ) дхду О72 д

• Ч1пт

Используя равенства (16) и (11) и свойство ортогональности (7), (8), можно получить общую формулу для коэффициентов ряда (11):

384• а2 • Ъ2 • ц• зт • зт •(д • Ож

~2 »2 2 2

~2 Ь.1 „Л 2

,т 5•ж4 • О^ • О72 • Н•

Изгибающие моменты для пластины равны [2]: - относительно оси OX

Мх =-Бг •

д^

д2 у

+ №х7 •

д2 Ч

д2 х

+ -• Д

1 д 2ФШ+Рхг дф

- относительно оси OY

ы7 = -Бх •

д V

д2 х

+ ^7Х •

д 2 Ч

д2 у

х

О72 ду ОХ2 дх

1 ^Ф+Ях дФ

ОХ2 дх' О72 ду2

Подставив выражение для полного прогиба как суммы прогиба от изгиба чь(х,у) и прогиба от сдвига Ч(х,у) в (18) и (19), получим следующие выражения для изгибающих моментов:

Мх =-Д

дЧ

д2 у

дЧ

д2 х

- Д

д2 у

д2 х

О72 ду2 ОХ2 дх2

Мг =-Дх

дЧ

д2 х

дЧ

д2 у

- Д

дЧ

д2 х

дЧ

д2 у

5 х

1 д_Ф

ОХ2 дх2 О72 ду2

Анализ выражений (20) и (21) показывает, что первое слагаемое в этих выражениях определяет изгибающий момент, обусловленный изгибом пластины. Два других слагаемых определяют изгибающие моменты, связанные с деформациями сдвига. Таким образом, мы имеем равенства: - для моментов, обусловленных деформациями изгиба:

МЪх =-Д •

дЧ

д2 у

+ ^Х7 -

дЧ

д2 х

МЪ7 =-Вх

дЧ

д2 х

7х

дЧ

д2 у

4 4

4 4

С

5

- для моментов, обусловленных деформациями сдвига:

д2ч д2ч

-- + ^хг--1

Мх = - вг

д2 у

д2 х

4

+ - В

1 дФ

^ дУ2 &2

М ^ = -Вх

дЧ

д2 х

дЧ

д2 у

+ - В 5

X

1

д 2Фш+&х

д 2Ф

Охг дх Огг ду

Анализ полученных выражений позволяет сделать вывод, что изгибающий момент в пластине в общем случае зависит от жёсткости пластины на сдвиг.

Выясним, при каких условиях изгибающий момент в пластине не зависит от жёсткости пластины на сдвиг и определяется только деформациями изгиба, то есть определим условия, при которых выполняются равенства

В„

д2 Ч

д2 у

дЧ

д2 х

= - Ву

1

д 2Ф

Огг ду2 Охг дХ

д 2Ф + Нхг

В

х

д2ч д2ч

д2х

д2у

= -В

х

1

д гф.+Нх

д 2ф

Охг дх Огг ду

Для этого проанализируем выражения в квадратных скобках. Функции ч(х,у) и ф(х,у) являются рядами, поэтому их можно сравнивать почленно. Кроме того, эти функции одинаковы. Поэтому можно сравнивать только коэффициенты при членах рядов. Таким образом, равенства (26) и (27) будут выполняться, если

Гс 1 = в

_ п,т J п.

ОV

[В а4 т4 + Вх Ъ4 п4 + 2-Вйа2 Ъ2 т2 п)

В  ОХ2  а  т + В  ОГ2 Ъ п + В0  ОХ2  а Ъ т п + В0  ОГ2  а Ъ т п

_Сп,т ] = Вп,

Ол [В а4 т4 + ВхЪп + 2^В^а2 Ъ т2 п)

В  ОХ2 а т + Вх  Огг Ъ п + В0  ОХ2  а Ъ т п + В0  Огг  а  Ъ т п

Уравнения (28) и (29) тождественны для случая, когда пластина изготовлена из изотропного материала

Ох2 = ОГ2 = О

Достоверность приближенного решения оценивалась путем его сравнения с точным решением для частного случая изгиба и прогиба прямоугольной пластины без учета эффекта сдвига [2]. Для расчета принималась прямоугольная квадратная пластина с размерами 100*100 мм, толщиной 1 мм, при равномерно распределённой нагрузке 0,02 кгс/мм2, с модулем упругости 2 104 кгс/мм2, коэффициентом Пуассона 0,3 и модулем сдвига

Е / [1 + = 7692 кгс/мм2. Величина прогиба в этом случае равна 1,385 мм. Точное значение прогиба

1,376 мм. Погрешность не превышает 0,65 %.

Расчёты показывают, что для квадратной пластины изгибающие моменты Мьх, Мьу равны (24), (25):

- для центра пластины - 0,0296цэ2 (точное решение [2] 0,0231 цэ2)\

- для точки, расположенной посередине края пластины, - 0,05399цэ2 (точное решение [2] 0,0513цэ2). Ошибка при вычислении изгибающих моментов не превышает 5,2%. Следует заметить, что ошибку вычисления изгибающих моментов можно уменьшить, увеличив количество членов ряда (10). Однако для практических вычислений полученная погрешность вполне приемлема.

Исследование точности вычисления прогибов и изгибающих моментов, обусловленных сдвигом, удобнее производить, построив зависимость значения прогиба и изгибающего момента от количества удерживаемых членов ряда. Будем рассматривать квадратную прямоугольную пластину размерами 100*100 мм, толщиной 5 мм, с модулем упругости 2 104 кгс/мм2, коэффициентом Пуассона 0,3 и модулем сдвига 79,6 кгс/мм2. Для оценки точности вычисления прогиба от сдвига использовано выражение

Ч (х, у, к) - ч (х, у, к -1)1

А = 1 А , у )-^^-4  100%,

' Ч

где к = 1,3...п

На рис. 2 показана зависимость А3 от числа удерживаемых членов ряда. Видно, что при трёх членах ряда ошибка в вычислении прогиба равна 1%, а при восьми членах ряда она не превышает 0,1%.

Рис. 2. Зависимость точности вычисления прогибов, обусловленных сдвигом, от количества

удерживаемых членов ряда

Оценку точности вычисления изгибающих моментов, обусловленных деформациями сдвига, производить аналогично.

Для расчёта изгибающих моментов, обусловленных сдвигом, зададим значения модулей сдвига равными 0Х2 = 769,2 кгс/мм2, G7Z = 76,9 кгс/мм2. Исследование зависимостей (24) и (25) показывает, что ряд для изгибающих моментов сходится медленно. Например, для получения точности 6% необходимо удержать 75 членов ряда (24, 25) (рис. 3), а для получения точности 2% необходимо удержать не менее 200 членов ряда.

Рис. 3. Зависимость точности вычисления изгибающих моментов, обусловленных сдвигом, от количества

удерживаемых членов ряда

Заключение. Выполненный анализ точности показал, что при вычислении прогибов предлагаемая методика позволяет достичь необходимой точности при малом количестве членов рядов. При вычислении изгибающих моментов сходимость рядов хуже, чем при вычислении прогибов. Однако, имея общую формулу для коэффициентов при членах ряда, можно достичь необходимой точности расчёта. Данный метод позволяет оценить величину прогибов и изгибающих моментов квадратной пластины с учётом деформаций сдвига.

Таким образом, предложенный приближенный метод расчета пластины методом Бубнова-Галёркина с учетом деформаций сдвига имеет важное практическое значение для тестирования конечно-элементных моделей композитных панелей сложной геометрии и структуры.

Статья поступила 9.12.2013 г.

Библиографический список

1. Осадчий Н.В., Шепель В.Т. Аналитическое исследование цилиндрического изгиба пластин с учетом деформаций сдвига при различных условиях закрепления их кромок // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. №9(80). С.82-89.

2. Тимошенко C.n., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 c.

3. Справочник по строительной механике корабля / Г.В. Бойцов [и др.]. В 3 т. Т. 2: Пластины. Теория упругости, пластичности и ползучести. Численные методы. Л.: Судостроение, 1982. 464 с.

УДК 621.914.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ОТ ПАРАМЕТРОВ РЕЗАНИЯ ПРИ ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНОМ ФРЕЗЕРОВАНИИ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ*

© А.В. Савилов1, С.А. Тимофеев2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматривается зависимость электропроводности в образцах из деформируемого алюминиевого сплава от режимов резания при фрезеровании концевыми и торцевыми фрезами. Ил. 7. Табл. 2. Библиогр. 8 назв.

Ключевые слова: авиационные детали; высокопроизводительное фрезерование; алюминий; неразрушающий контроль; вихретоковый контроль; электропроводность.

STUDYING ELECTRICAL CONDUCTIVITY DEPENDENCE ON CUTTING PARAMETERS UNDER HIGH-PERFORMANCE MILLING OF ALUMINUM ALLOYS * A.V. Savilov, S.A. Timofeev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article deals with the dependence of electrical conductivity of wrought aluminum alloy samples on cutting modes under face and end milling. 7 figures. 2 tables. 8 sources.

Key words: aircraft parts; high-performance milling; aluminum; non-destructive testing; eddy current testing; electrical conductivity.

При механообработке авиационных деталей большое внимание уделяется обеспечению прочности, коррозийной стойкости материала, отсутствию в нём дефектов. Эти процедуры регламентируются соответствующей нормативной документацией. Для проведения контроля механических свойств и структуры материала деталей применяются различные методы. Например, для контроля алюминиевых деталей применяется измерение электропроводности методом вихревых токов. Этот метод неразрушающего контроля отличается точностью, оперативностью, низкой стоимостью применяемой аппаратуры и простотой её

использования. Измерение электропроводности может производиться в производственных условиях без специальных подготовительных мероприятий.

Вихретоковый метод уже довольно долгое время применяется для эффективного контроля электропроводных материалов. В общем виде данный метод выглядит следующим образом (рис. 1). При воздействии переменного электромагнитного поля в металле исследуемой детали возникают так называемые вихревые токи. Они создают собственное электромагнитное поле, которое противодействует внешнему полю. Появление поля вихревых токов фиксируется измери-

1Савилов Андрей Владиславович, кандидат технических наук, доцент кафедры оборудования и автоматизации машиностроения, тел.: (3952)481859, e-mail: saw@istu.edu

Savilov Andrei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Machinery and Automation of Mechanical Engineering, tel.: (3952) 481859, e-mail: saw@istu.edu

2Тимофеев Сергей Анатольевич, аспирант, тел.: 8(3952)405280, e-mail: sevans@istu.edu Timofeev Sergey, Postgraduate, tel.: 8(3952) 405280, e-mail: sevans@istu.edu