Моделирование сетей массового обслуживания с последовательно соединенными узлами

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ЛОГИСТИКА В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 658:69

Д.П. Ануфриев, А.Ю. Холодов, А.А. Волков*

ГАОУАО ВПО «АИСИ», *НИУМГСУ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫМИ УЗЛАМИ

Разработаны дискретно-событийная и агентная имитационные модели сети массового обслуживания с последовательно соединенными фазами, являющимися системами массового обслуживания с накопителем и интервальной задержкой начала обслуживания. Проведен сравнительный анализ разработанных имитационных моделей. Посредством динамических структур предусмотрены возможности буферного перехода транзакций между фазами и различных дисциплин прохождения заявками очередей с использованием приоритетов, в т.ч. и эгоистических, основанных на стохастических подходах. С использованием критерия Фишмана — Кивиа установлена адекватность логического функционирования разработанной модели.

Ключевые слова: сети массового обслуживания, транзакции, приоритеты, дисциплины прохождения очередей, дискретно-событийная имитационная модель, агентная имитационная модель

В [1] была определена система массового обслуживания (СМО) с накопителем и интервальной задержкой начала обслуживания, а также реализована ее имитационная дискретно-событийная модель с установлением адекватности, введенной в рассмотрение системы. Работа [2] была посвящена статистическому анализу введенной в рассмотрение СМО с целью определения возможности прохождения через систему простейшего потока, в связи с чем была реализована методика определения функциональной зависимости значений допустимого интервала временной задержки начала обслуживания и частоты l экспоненциального закона распределения, определяющей выходящий поток. В данной работе рассмотрены имитационные модели сети массового обслуживания (СеМО), в которой узлами (фазами) являются СМО с накопителем и интервальной задержкой начала обслуживания, между которыми обеспечивается последовательное соединение. Особое внимание уделено разработке функциональных ядер моделей, а именно возможности моделирования инерционного перехода между фазами, необходимости использования динамических структур для реализации приоритетов в дисциплинах прохождения очередей, а также агентного моделирования для поставленной задачи.

Постановка задачи. Предметом моделирования является одноканаль-ная (единственность входящего потока) открытая СеМО с N последовательно соединенными узлами. Узел (фаза) сети, состоящий из накопителя (очереди) и обслуживающего устройства, функционирует согласно следующим правилам:

ВЕСТНИК

МГСУ-

в момент времени Ti (7 = 1, ..., И) заявки начинают поступать в 7-й узел (фазу) и накапливаются в очереди;

в момент времени Т. + т1 заявки начинают поступать в обслуживающее устройство;

в момент времени Т. + т2. прекращается поступление заявок в 7-й узел (фазу).

Кроме того, к СеМО предъявляется требование инерции межфазного перехода, накладывающее требования на функционирование узлов, суть которого заключается в том, что для каждых смежных узлов существует «буферная» очередь размерностью М при наступлении времени Т. + т2. в 7-м узле продолжается обслуживание заявок. Таким образом, возникают задачи, связанные с моделированием различных дисциплин прохождения очередей с относительными приоритетами, так как не предусмотрены режимы прерывания обслуживания. Данное требование обусловлено тем, что введенная в рассмотрение СеМО предусматривается для моделирования бизнес-процессов, исключающих скачкообразный переход между физическими состояниями [3—6].

Также необходимо отметить, что для имитационного моделирования СеМО, в подавляющем большинстве случаев, используется дискретно-событийный подход, но, кроме того, существуют методики преобразования дискретно-событийных моделей в агентные. В связи с этим предусмотрены реализации обоих подходов моделирования с целью установления их совместной адекватности и проведения сравнительного анализа.

Методы исследования

Имитационное дискретно-событийное моделирование. Как отмечалось выше, функционирование узла моделируется посредством СМО с накопителем и задержкой начала обслуживания. Таким образом, в качестве базовой модели фазы, отвечающей всем правилам (согласно пунктам 1—3), принята блок-схема, реализующая объект пользовательского класса (рис. 1).

Рис. 1. Базовая блок-схема узла СеМО

Рассмотрим логику функционирования узла с целью установления адекватности согласно критерию Фишмана — Кивиа [3]. Через внешний порт (port In) заявка поступает в узел и помещается в объект queue (очередь) и остается в нем, так как объект hold при инициализации узла изначально заблокирован. Переменные Т1 и Т2 определяют временные интервалы t1. (задержка начала обслуживания) и t2. (прекращение обслуживания) для /-го узла соответственно. Моделирование этих процессов происходит посредством двух объектов event (событий): eventl и event2 с использованием программного планирования динамических событий, а именно при истечении модельного времени, определяемого значением переменной Т1, срабатывает событие eventl, что, в свою очередь, приводит к разблокированию объекта hold и планированию к отложенному запуску, определяемому значением переменной Т2, события event2. При разблокированном объекте hold заявки начинают поступать на обслуживание (объект delay), так как переменная-флажок S, определяющая маршрутизацию заявок через объект selectOutput, инициализируется как true. Заявки, получившие обслуживание, переходят в выходной узел и покидают его. При наступлении модельного времени, равного сумме значений переменных Т1 и Т2, срабатывает событие event2, переменной-флажку S присваивается значение false, что приводит к изменению маршрутизации заявок и они по соединителю connectorl, минуя обслуживающее устройство, через внешний порт port_Out, покидают узел.

На рис. 2—4 приведены эволюционные этапы работы узла имитационной модели при значениях переменных Т1 и Т2, равных 10 и 20 единицам модельного времени соответственно.

Рис. 2. Презентация работы блок-схемы узла СеМО при текущем значении модельного времени 6.00 единиц, что соответствует процессу накопления поступающих в узел заявок без предоставления обслуживания

ВЕСТНИК

МГСУ-

10/2015

Рис. 3. Презентация работы блок-схемы узла СеМО при текущем значении модельного времени 13.82 единиц, что соответствует процессу обслуживания заявок

Рис. 4. Презентация работы блок-схемы узла СеМО при текущем значении модельного времени 31.59 единиц, что соответствует процессу прекращения обслуживания заявок

На основании разработанной блок-схемы узла достаточно просто формируется блок-схема имитационной модели одноканальной открытой СеМО с N последовательно соединенными узлами (на рис. 5 представлена блок-схема с тремя узлами).

Рис. 5. Блок-схема имитационной модели одноканальной открытой СеМО с тремя последовательно соединенными узлами

Необходимо отметить, что смежные узлы соединены объектами типа hold. Это обусловлено тем, что во входящих узлах этих объектов инициализируются значения переменных Т1 и Т2, а также включается отложенное выполнение события event1 для последующего узла.

Теперь перейдем к программной реализации требования инерции межфазового перехода. Поскольку для каждого /-го узла определяется размерность «буферной» очереди размерностью M, то данная проблема решается введением переменной M, динамически связанной с полем capacity (вместимость) объекта delay в блок-схему узла. Кроме того, возникает потребность в определении относительного приоритета заявок из «буферной» очереди обслуженных в i-м узле перед заявками, поступившими в смежный узел и не получившими обслуживание в предыдущем (i-м) узле. Предлагается реализация стохастического метода для реализации относительного приоритета [7—11]. Суть метода для i-го узла заключается в том, что для некой произвольной функции плотности распределения fx) случайной величины

( +м ^

и среднеквадратичное отклоне-

математическое ожидание

mX = | xf (x)dx

ние

=4D, DX = J (x - mx )2 f (x)dx

рассматриваются несобственные

х — X

интегралы: | /(х)дх и | /(х)йх , если они оба не равны 0, то отрезок

-да тх +а х

[тх - ох, тх + ох ] разбивается на количество интервалов у - 1, где у определяется количеством заявок в очереди последующего узла. Осуществляется генерация значения случайной величины X и посредством определения номера интервала обслуженная заявка в 7-м узле помещается в очередь последующего узла на место с определенным индексом. Если один несобственный интеграл равен нулю (возможно при экспоненциальном распределении), либо оба равны нулю, то отрезок [тх - ох, тх + ох ] разбивается на количество интервалов, равных у и у + 1 соответственно. Программная реализация данного метода осуществляется посредством введения пользовательских функций для каждого межфазного соединения.

Имитационное агентное моделирование. Как отмечалось выше, существуют методики формального перевода дискретно-событийных моделей в

ВЕСТНИК

МГСУ-

агентные. Согласно им были разработаны: логика функционирования агента (рис. 6) и агентная имитационная модель одноканальной открытой СеМО с N последовательно соединенными узлами (на рис. 7 приведена блок-схема с тремя фазами).

Рис. 6. Блок-схема агента

При разработке агента учитывался тот факт, что он может находится в двух состояниях: ожидания и обслуживания, поэтому блок-схема агента содержит диаграмму состояний (statechart), включающую три состояния: state0 моделирует инициализационное состояние, statel моделирует процесс ожидания в очереди-накопителе и state2 моделирует процесс получения обслуживания. Кроме того, реализованы доступные переходы между состояниями, а именно: из состояния statel агент может перейти в состояние state2 или посредством перехода-петли в состояние statel, определяющей очередь последующей фазы. Переходы осуществляются по тайм-аутам со значениями непрерывной случайной величины. Для идентификации агентом текущей фазы введена динамическая структура collection.

В модуле высокоуровневого объекта (рис. 7) также присутствует диаграмма состояний, моделирующая процессы задержки и начала обслуживания, фактически каждая фаза характеризуется двумя состояниями, длительность которых определяется значениями массивов T1 и Т2. При переходах между фазами всем агентам добавляется элемент коллекции с функциональными характеристиками вероятных распределений, используемых при переходах между состояниями.

Сравнительный анализ разработанных имитационных моделей. При проведении анализа согласованности имитационных моделей используются элементы статистического анализа [12—17]. Суть его заключается в том, что вводится в рассмотрение «стоимостная» функция, инициализированная нулевым значением, посредством определения весовых коэффициентов для каждого узла (фазы) и заявка, получившая обслуживание или агент, перешедший в состояние обслуживания, увеличивают ее на значение коэффициента. Проводится ряд имитационных экспериментов при одинаковых данных, определяются максимальные, минимальные и средние значения

«стоимостных» функций для каждого типа модели. Далее оценивается модуль разности средних значений, если он меньше максимального интервала значений стоимостных функций, то делается вывод о согласованности моделей.

Рис. 7. Блок-схема имитационной агентной модели одноканальной открытой СеМО с тремя последовательно соединенными узлами

Было проведено по 50 имитационных экспериментов с имитационными моделями разных типов (дискретно-событийной и агентной) с одинаковыми вероятностными распределениями (экспоненциальными). Получены следующие результаты:

максимальное значение «стоимостной» функции при дискретно-событийном моделировании равно 87,505 весовым единицам;

минимальное значение «стоимостной» функции при дискретно-событийном моделировании равно 72,714 весовым единицам;

среднее значение «стоимостной» функции при дискретно-событийном моделировании равно 75,603 весовым единицам;

максимальное значение «стоимостной» функции при агентном моделировании равно 92,371 весовым единицам;

минимальное значение «стоимостной» функции при агентном моделировании равно 76,881 весовым единицам;

среднее значение «стоимостной» функции при агентном моделировании равно 85,215 весовым единицам.

Модуль разности средних значений составляет 9,612 весовых единиц, что меньше 14,781 и 15,490 весовых единиц, соответственно, что позволяет сделать вывод о согласованности разработанных моделей.

Заключение. Рассмотрены реализации имитационных моделей различных типов: агентного и дискретно-событийного подходов для моделирования од-ноканальной открытой СеМО с последовательно соединенными узлами. Представлены описания функциональных ядер моделей, а также проведен анализ их согласованности.

ВЕСТНИК лтплла

10/2015

Необходимо отметить, что агентные модели характеризуются децентрализованным поведением агентов, в отличие от централизованного поведения заявок в дискретно-событийных реализациях. Поэтому выбор типа модели зависит от требований, предъявляемых моделируемым бизнес-процессом и уровнем абстракции.

Библиографический список

1. Ануфриев Д.П., Холодов А.Ю. Имитационная модель системы массового обслуживания с накопителем и интервальной задержкой начала обслуживания // Перспективы развития строительного комплекса : материалы VII Междунар. науч.-практ. конф. профес.-преп. сост., молодых уч. и студ. 28—31 октября 2013 г. / под ред. В.А. Гутмана, А.Л. Хаченьяна. Астрахань : ГАОУ АОО ВПО «АИСИ», 2013. Т. 1. С. 88—94.

2. Ануфриев Д.П., Холодов А.Ю. Статистический анализ имитационных экспериментов модели системы массового обслуживания с накопителем и интервальной задержкой начала обслуживания // Вестник МГСУ 2014. № 10. С. 197—211.

3. Ануфриев Д.П. Математическая модель регионального строительного комплекса // Астрахань — дом будущего : тезисы II Междунар. науч.-практ. конф. Астрахань : Изд. Сорокин Роман Васильевич, 2010. С. 58—73.

4. Ануфриев Д.П. Управление строительным комплексом как социально-экономической системой: постановка проблемы // Промышленное и гражданское строительство. 2012. № 8. С. 8—10.

5. Холодов А.Ю. Имитационная модель финансовых взаимоотношений участников долевого строительства // Имитационное моделирование. Теория и практика : сб. докл. V Всеросс. науч.-практ. конф. ИММ0Д-2011. СПб. : ОАО «ЦТСС», 2011. Т. 2. C. 300—302.

6. Холодов А.Ю., Ануфриев Д.П. Имитационное моделирование финансовых взаимоотношений участников долевого строительства и оценки рисков строительных организаций при комплексной застройке // Тр. Всеросс. науч.-прак. конф. по имитационному моделированию соц.-эконом. систем (ВКИМСЭС). 15 мая 2012 г. М. : ООО «Принт-Сервис», 2012. C. 120—124.

7. Konheim A.G., Reiser M. A queueing model with finite waiting room and blocking // J. Assoc. Comput. Mach. 1976. Vol. 23. No. 2. Pp. 328—341.

8. Kuehn P. Approximate analysis of general queuing networks by Decomposition // IEEE Transact. on Communications. 1979. Vol. 27. No. 1. Pp. 113—126.

9. Henderson W., Taylor P.G. Some new results on queueing networks with batch movement // Journal of Applied Probability. 1991. Vol. 28. No. 2. Рр. 409—421.

10. Henderson W. Queueing networks with negative customers and negative queue lengths // Journal of Applied Probability. 1993. Vol. 30. No. 4. Рр. 931—942.

11. Bronshtein O., Gertsbakh I. An open exponential queueing network with limited waiting spaces and losses: A method of approximate analysis. Performance evaluation. 1984. Vol. 4 (1). Pр. 31—43.

12. Закс Ш. Теория статистических выводов / пер. c англ. М. : Мир, 1975. 776 с.

13. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука / пер. с англ. под ред. Е.К. Масловского. М. : Мир, 1978. 420 с.

14. Economou A., Fakinos D. Product form stationary distributions for queueing networks with blocking and rerouting // Queueing Sistems: Theory Appl. 1998. Vol. 30. No. 3/4. Pp. 251—260.

15. Williams R.J. Diffusion approximations for open multiclass queueing networks: sufficient conditions involving state space collapse // Queueing Systems: Theory Appl. 1998. Vol. 30. No. 1/2. Pp. 27—88.

16. Kelly F.P. Networks of queues // Advances in Applied Probability. 1976. Vol. 8. No. 2. Рр. 416—432.

17. Baskett F., Chandy K.M., Muntz R.R. and Palacios F.G. Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers // J. of ACM. 1975. Vol. 22. No. 2. Pp. 248—260.

Поступила в редакцию в августе 2015 г.

Об авторах: Ануфриев Дмитрий Петрович — кандидат технических наук, профессор, профессор кафедры физики и математики, информационных технологий, ректор, Астраханский инженерно-строительный институт (ГАОУ АО ВПО «АИСИ»), 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, д. 18, adp_2000@mail.ru;

Холодов Артем Юрьевич — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры физики и математики, информационных технологий, Астраханский инженерно-строительный институт (ГАОУ АО ВПО «АИСИ»), 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, д. 18, artemhol@rambler.ru;

Волков Андрей Анатольевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информационных систем, технологий и автоматизации в строительстве, ректор, Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, volkov@mgsu.ru.

Для цитирования: Ануфриев А.Д., Холодов А.Ю., Волков А.А. Моделирование сетей массового обслуживания с последовательно соединенными узлами // Вестник МГСУ 2015. № 10. С. 171—181.

D.P. Anufriev, A.Yu. Kholodov, A.A. Volkov

SIMULATION OF QUEUING NETWORKS WITH A SEQUENCE OF CONNECTED NODES

The authors have previously defined the queuing system with a bunker storage and an interval delay of service beginning and its simulation discrete-event model was implemented with setting adequacy introduced into system observation.

In the present article the authors developed discrete-event and agent-based simulation models of queuing networks connected in series with the phases that are queuing systems (QS) with the bunker and the interval delay of service beginning. A comparative analysis of the developed simulation models is conducted. The dynamic structures allow the buffer transition possibility of transactions between phases and different disciplines of applications queues transmission using priority, including selfish based on stochastic approaches. Using the Fishman-Kiviat criterion the authors set the adequacy of logical operation of the developed model.

It is also important to note, that agent models are characterized by decentralized behavior of applications in comparison to the centralized behavior of applications in discrete-event realizations. That's why the choice of model type depends on the requirements to the business-process being simulated and the level of abstraction.

Key words: queuing networks, transactions, priorities, queues transmission discipline, discrete-event simulation model, agent-based simulation model

References

1. Anufriev D.P., Kholodov A.Yu. Imitatsionnaya model' sistemy massovogo obsluzhivani-ya s nakopitelem i interval'noy zaderzhkoy nachala obsluzhivaniya [Simulation Model of a Queuing System with Storage and Interval Delay of the Beginning of Service]. Perspektivy razvitiya stroitel'nogo kompleksa : materialy VII Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii professorsko-prepodavatel'skogo sostava, molodykh uchenykh i studentov. 28—

BECTHMK

31 oktyabrya 2013 g. [Prospects for the Development of the Building Complex: Materials of the 7th International Scientific-Practical Conference of Academic Staff, Students and Young Scientists, October 28—31, 2013]. Astrakhan, GAOU AOO VPO «AISI» Publ., 2013, vol. 1, pp. 88—94.

2. Anufriev D.P., Kholodov A.Yu. Statisticheskiy analiz imitatsionnykh eksperimentov modeli sistemy massovogo obsluzhivaniya s nakopitelem i interval'noy zaderzhkoy nachala obsluzhivaniya [Statistical Analysis of Simulations of Queuing System Models with Bunker Storage and Interval Delay of the Inception of Service]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 10, pp. 197—211.

3. Anufriev D.P. Matematicheskaya model' regional'nogo stroitel'nogo kompleksa [Mathematical Model of Regional Building Complex]. Astrakhan' — dom budushchego: Tezisy 2 Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Astrakhan — Home of the Future. Proceedings of the 2nd International Scientific and Practical Conference]. Astrakhan, 2010, Sorokin Roman Vasil'evich Publ., pp. 58—73.

4. Anufriev D.P. Upravlenie stroitel'nym kompleksom kak sotsial'no-ekonomicheskoy sistemoy: postanovka problemy [Managing the Building Complex as a Social and Economic System: Problem Statement]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo [Industrial and Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 8—10.

5. Kholodov A.Yu. Imitatsionnaya model' finansovykh vzaimootnosheniy uchastnikov dolevogo stroitel'stva [Simulation Model of Financial Relations between the Participants of Shared Construction]. Imitatsionnoe modelirovanie. Teoriya i praktika : sbornik dokladov 5 Vserossiyskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii IMMOD-2011 [Simulation. Theory and Practice: Proceedings of the 5th All-Russian Scientific-Practical Conference IMMOD 2011]. Saint Petersburg, OAO «TsTSS» Publ., 2011, vol. 2, pp. 300—302.

6. Kholodov A.Yu., Anufriev D.P. Imitatsionnoe modelirovanie finansovykh vzaimootnosheniy uchastnikov dolevogo stroitel'stva i otsenki riskov stroitel'nykh organizatsiy pri komplek-snoy zastroyke [Simulation Modeling of Financial Relationships in Participatory Construction and Risk Assessment of Construction Companies in the Process of Complex Building]. Trudy Vserossiyskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii po imitatsionnomu modelirovaniyu sotsial'no-ekonomicheskikh sistem

7. Konheim A.G., Reiser M. A Queueing Model with Finite Waiting Room and Blocking. J. Assoc. Comput. Mach. 1976, vol. 23, no. 2, pp. 328—341. DOI: http://dx.doi. org/10.1145/321941.321952.

8. Kuehn P. Approximate Analysis of General Queuing Networks by Decomposition. IEEE Transact. on Communications. 1979, vol. 27, no. 1, pp. 113—126. DOI: http://dx.doi. org/10.1109/TCOM.1979.1094270.

9. Henderson W., Taylor P.G. Some New Results on Queueing Networks with Batch Movement. Journal of Applied Probability. 1991, vol. 28, no. 2, pp. 409—421. DOI: http:// dx.doi. org/10.2307/3214876.

10. Henderson W. Queueing Networks with Negative Customers and Negative Queue Lengths. Journal of Applied Probability. 1993, vol. 30, no. 4, pp. 931—942. DOI: http://dx.doi. org/10.2307/3214523.

11. Bronshtein O. and Gertsbakh I. An Open Exponential Queueing Network with Limited Waiting Spaces and Losses: A Method of Approximate Analysis. Performance Evaluation. 1984, vol. 4 (1), pp. 31—43. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/0166-5316(84)90024-5.

12. Zacks S. Theory of Statistical Inference. John Wiley & Sons Inc; First Edition edition, 626 p.

13. Shannon R. Systems Simulation: The Art and Science. Prentice Hall, 368 p.

14. Economou A., Fakinos D. Product Form Stationary Distributions for Queueing Networks with Blocking and Rerouting. Queueing Sistems: Theory Appl. 1998, vol. 30, no. 3/4, pp. 251—260. DOI: http://dx.doi.org/10.1023/A:1019117121530.

15. Williams R.J. Diffusion Approximations for Open Multiclass Queueing Networks: Sufficient Conditions Involving State Space Collapse. Queueing Systems: Theory Appl. 1998, vol. 30, no. 1/2, pp. 27—88. DOI: http://dx.doi.org/10.1023/A:1019108819713.

16. Kelly F.P. Networks of Queues. Advances in Applied Probability. 1976, vol. 8, no. 2, pp. 416—432. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/1425912.

17. Baskett F., Chandy K.M., Muntz R.R. and Palacios F.G. Open, Closed, and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers. J. of ACM. 1975, vol. 22, no. 2, pp. 248—260. DOI: http://dx.doi.org/10.1145/321879.321887.

About the authors: Anufriev Dmitriy Petrovich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Physics and Mathematics, Information Technologies, Rector, Astrakhan Institute of Civil Engineering (ACEI), 18 Tatishcheva st., Astrakhan, 414056, Russian Federation; adp_2000@mail.ru;

Kholodov Artem Yur'evich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Physics and Mathematics, Information Technologies, Astrakhan Institute of Civil Engineering (ACEI), 18 Tatishchev St., Astrakhan, 414056, Russian Federation, artem-hol@rambler.ru;

Volkov Andrey Anatol'evich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Information Systems, Technologies and Automation in Construction, Rector, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337; volkov@mgsu.ru.

For citation: Anufriev A.D., Kholodov A.Yu., Volkov A.A. Modelirovanie setey massovo-go obsluzhivaniya s posledovatel'no soedinennymi uzlami [Simulation of Queuing Networks with a Sequence of Connected Nodes]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 10, pp. 171—181.