О методике обучения школьников решению иррациональных уравнений

УДК 372.851

О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

METHODS OF TEACHING PUPILS TO SOLVE SURD EQUATIONS

А. Н. Марасанов A. N. Marasanov

ГОУ ВПО «Марийский государственный университет», г. Йошкар-Ола

Аннотация. Значительное место в школьном курсе математики занимает содержательнометодический анализ уравнений и неравенств. В данной статье в контексте формирования математических подходов особое внимание уделено методике обучения школьников решению иррациональных уравнений.

Abstract. Profound-methodical analysis of the equations and inequality takes significant place in school course of mathematics. Methods of teaching schoolchildren to solve surd equations, is given a special attention in the given article in context of forming mathematical approaches.

Ключевые слова: иррациональные уравнения, методы решения.

Keywords: surd equations, methods of solving.

Актуальность исследуемой проблемы. Проблеме логико-психологического анализа задач в научно-методической литературе посвящено немало работ [1], [7]. Значительный вклад в теорию и методику решения задач внесли Ю. М. Колягин [3], [4], В. И. Крупич [5], Г. И. Саранцев [10], [11], Л. М. Фридман [12], [13].

Учебный материал, связанный с решением уравнений и неравенств, представляет собой значительную часть школьного курса математики, а его изучение в современной методике обучения математике выделено в отдельную содержательно-методическую линию. На сегодняшний день существует разработанная теория учебных задач, которая изучает особенности их внедрения в процесс обучения. Но вместе с тем недостаточно основательно проработана методика использования математических задач как средства реализации деятельностного подхода при изучении отдельных школьных дисциплин, в том числе алгебры и начал анализа. Таким образом, актуальность нашего исследования обусловлена требованиями общества к овладению учащимися не только знаниями, но и учебными действиями по их приобретению и применению; теорией учебных задач, которая позволяет использовать их для реализации деятельностного подхода.

Материал и методика исследований. Несмотря на разнообразие типов уравнений и неравенств, количество основных способов их решения достаточно невелико. Как известно, основными методами решения уравнений считают алгебраический и функционально-графический. Причем первый из них применяют, как правило, в стандартных, а

второй, в основном, - в нестандартных случаях. С расширением класса задач основные методы их решения остаются неизменными и лишь пополняются некоторыми специфическими приемами, соответствующими отдельным видам уравнений.

При обучении решению иррациональных уравнений необходимо учитывать их специфику, а именно:

1) если все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, то подкоренное выражение может быть отрицательно, равно нулю или положительно, соответственно, корень лишен смысла, равен нулю или значение корня положительно;

2) если все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения, то при этом корень может быть отрицателен, равен нулю или положителен, соответственно, подкоренное выражение отрицательно, равно нулю или положительно;

3) функции у = 2& и у = 2n+4X являются возрастающими на своей области определения.

Основными алгебраическими методами решения иррациональных уравнений принято считать: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) метод замены переменной. Однако нередко встречаются уравнения, при решении которых на том или ином этапе нахождения искомого значения переменной необходимо применить метод разложения на множители и тем самым свести исходное уравнение к совокупности двух или нескольких (иррациональных) уравнений. Следует также обратить внимание и на так называемые комбинированные иррациональные уравнения, в которых переменная или функция находится под знаком модуля. Очевидно, что для их успешного решения необходимо знать соответствующие приемы и методы. Но и для таких уравнений, в конечном счете, используют указанные основные способы решения.

Общий подход при использовании метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень выражается следующим алгоритмом:

1) нахождение области допустимых значений (ОДЗ) уравнения;

2) возведение обеих частей уравнения (возможно неоднократное) в одну и ту же степень и решение получившегося при этом рационального уравнения;

3) выполнение проверки:

а) найденные значения переменной проверяют на принадлежность к ОДЗ уравнения;

б) значения переменной, входящие в ОДЗ, подставляют в само уравнение: те из них, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения; в противном случае значение переменной является посторонним корнем.

В целом алгоритм решения иррационального уравнения можно сократить до двух пунктов:

1) возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и решение получившегося при этом рационального уравнения;

2) выполнение проверки - подстановки найденных значений переменной в исходное иррациональное уравнение.

Следует заметить, что на подробное изучение особенностей решения иррациональных уравнений в курсе математики основной школы отводится недостаточное количество времени. Поэтому усвоение приведенного выше алгоритма большинством учащихся и закрепление умений и навыков по его применению является вполне оправданным.

Результаты исследований и их обсуждение. Особенности и специфику решения иррациональных уравнений покажем на примерах, являющихся типовыми для тех или иных ситуаций и позволяющих систематизировать учебный материал по данному разделу школьного курса математики. Отметим, прежде всего, что нахождение ОДЗ уравнения в некоторых случаях существенно упрощает процесс его решения.

Пример 1. Решить уравнение л/2 - x -Vx - 3 = 1.

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

Г2 - x > 0,

- 3 > 0,

откуда с очевидностью получаем x е0, т. е. уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение V2 - x - x2 + 3x = V2x2 + 2x - 4 - 6 .

Решение. ОДЗ данного уравнения определяется системой неравенств

Г2 - x - x2 > 0,

[2x2 + 2x - 4 > 0.

Ее решение состоит из двух чисел - 2 и 1. Непосредственная проверка показывает, что x = -2 является корнем уравнения, а x = 1 - постороннее значение переменной.

Заметим, что приведенный выше алгоритм (как развернутый, так и сокращенный) содержит проверку как неотъемлемую часть решения. Это обусловлено тем, что процесс решения включает в себя, как правило, неравносильные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней. Однако проверка решений иррационального уравнения как по выполняемым действиям, так и по затратам времени может оказаться более трудоемкой, чем процесс решения самого уравнения. В таких случаях для решения целесообразно использовать другой метод - метод равносильных преобразований - замену исходного иррационального уравнения равносильным ему рациональным уравнением или системой (совокупностью систем) рациональных уравнений. Еще одним преимуществом этого метода является то обстоятельство, что при решении упомянутым способом некоторых видов иррациональных уравнений достаточно включить в равносильную систему лишь часть из условий для нахождения ОДЗ. А в некоторых случаях поиски области определения уравнения превращаются в совсем ненужную работу [9, 119].

Следует заметить, что при обучении школьников решению иррациональных уравнений многие учителя-предметники придерживаются следующей схемы (рис. 1). Выделим методические особенности решения стандартных иррациональных уравнений. Отметим, что метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень применим для различных типов уравнений. Рассмотрим некоторые из них. Уравнения вида

у/Лх) = & М

имеют смысл тогда, когда выполняется условие & ^) > 0. Но при этом условии обе части данного уравнения неотрицательны. И в таком случае равносильным преобразованием будет возведение в квадрат обеих частей соотношения (1). Таким образом, получаем систему

Г & °

I/

Но из соотношений (2) непосредственно вытекает ОДЗ данного уравнения: /^)> 0. Следовательно, система (2) равносильна уравнению (1).

Рис. 1. Основные методы решения иррациональных уравнений

Для уравнений вида

л/ТМ ±л№=№) или л/ТМ ± Т&М = ^)

также применим указанный выше метод. При этом отметим, что во многих случаях с методической, да и с познавательной точки зрения целесообразно рассмотреть решение одного примера хотя бы двумя разными способами вместо решения двух заданий одним методом. Пример 3. Решить уравнение ^/7~+5X- >/5~+4X — Vx + 2 .

Решение (первый способ). Применяя метод равносильных преобразований, получаем:

7 + 5x > 5 + 4x, 5 + 4x > 0,

^ >-1,25,

I л/7" + 5 x -V5 + 4x — 5 + 4x;

7 + 5x - 2 • л!7 + 5x • V5 + 4x + 5 + 4x — x + 2;

Гx >-1,25, Jx >-1,25,

1л/7 + 5x -V5 + 4x — (5 + 4x ) ; 1л/7 + 5x — V 5 + 4x , >/5 + 4x = 0.

Далее получаем: x = -1,25.

Второй способ. Приведем уравнение к виду

л/7 + 5x — л/5 + 4x + д/x + 2 .

В данном случае применим также метод равносильных преобразований:

7 + 5x > 0,

5

5 + 4х > 0, х + 2 > 0,

х > — 4

275 + 4 хл]х + 2 = 0.

7 + 5 ^ — 5 + 4 x + 275+4x7x72 + x + 2;

Далее имеем тот же самый результат: x — -1,25.

Сравнивая приведенные способы решения, замечаем, что во втором случае уравнение в равносильной системе получилось значительно проще уже на втором шаге решения. Рассмотрение разных подходов к решению одного и того же уравнения позволит школьникам глубже проникнуть в программный материал, и это, на наш взгляд, приведет к повышению мотивации их обучения и активизации самостоятельной работы. Особо следует заметить, что при использовании метода равносильных преобразований нет необходимости выполнять проверку решения подстановкой найденного значения переменной в исходное уравнение. Достаточно убедиться в правильности вычислений и равносильности каждого шага преобразований.

Решение иррациональных уравнений методом замены переменных, как правило, уже на первом шаге приводит к рациональному уравнению. Однако в результате дальнейших действий получается одно или несколько более простых иррациональных соотношений, решаемых ранее указанным способом.

Пример 4. Решить уравнение 2x2 + 3x - 5л/2x2 + 3x + 9 + 3 — 0 .

Решение. В данном соотношении легко заметить одинаковое выражение 2 x2 + 3x как под знаком радикала, так и вне его. Если указанную функцию обозначить за новую переменную, то это, конечно, приведет к некоторому упрощению уравнения. Однако, если заметить, что данное соотношение совсем нетрудно преобразовать в вид

2x2 + 3x + 9 - 5л/2 x2 + 3x + 9 -6 — 0, то более удачная подстановка г — 72x2 + 3x + 9 приводит к рациональному уравнению г2 - 5t - 6 — 0 с корнями -1 и 6. Далее получаем совокупность равенств -V2x2 + 3x + 9 — -1 и ^2x2 + 3x + 9 — 6, первое из которых решений не имеет, а для второго равносильными преобразованиями получаем x — -4,5 и x — 3 . Заметим, что на вводимую переменную г здесь нет необходимости накладывать условие неотрицательности, поскольку оно проявится в дальнейшем само по смыслу решения одного из уравнений получившейся совокупности.

Во многих случаях для решения уравнения нужно ввести не одну, а несколько новых переменных.

Пример 5. Решить уравнение 720 + x - 7x - 8 — 4 .

Решение. Используя свойство корня нечетной степени, перепишем соотношение в виде 720 + x + 78 - x — 4 и введем в рассмотрение две переменные и — 720 + x и V — 78 - x . Тогда данное уравнение равносильно системе симметрических рациональных уравнений

Г и + V — 4,

| и 3 + V3 — 28 .

Ее решениями являются пары чисел (1,3) и (3,1). Возвращаясь к радикалам, нетрудно получить решения {-19; 7}.

Таким образом, обучение школьников методу замены переменной в решении иррациональных уравнений требует соблюдения определенных методических особенностей -возможного преобразования исходного уравнения и нахождения наиболее рациональной замены переменной.

При использовании метода разложения на множители в решении иррациональных уравнений следует учитывать одну очень важную техническую и методическую особенность - обязательное нахождение ОДЗ уравнения.

Пример 6. Решить уравнение ^ + 4^/2x - 3 — x2 + 3x - 4 .

Решение. Разложение правой части данного уравнения на произведение двух сомножителей ( - 1)( + 4) приводит к совокупности равенств x + 4 — 0 и V 2 x - 3 — x -1. Решением первого из этих соотношений является x — -4. Однако это значение не принадлежит ОДЗ уравнения: 2x - 3 > 0 . Решением второго, как и рассматриваемого уравнения, служит x — 2 .

Применение нестандартных, т. е. функционально-графических методов решения иррациональных уравнений, без должной пропедевтики вызывает у школьников определенные затруднения. Однако, как подчеркивает А. Г. Мордкович [6, 182], надо сместить акценты, т. е. считать функционально-графический метод первым методом в любых типах уравнений. Таким образом будет достигнут двойной успех: во-первых, учащиеся получат мощный и активный метод решения уравнений; во-вторых, они перестанут со страхом относиться к построению графиков функций. Кроме того, важное значение когнитивно-визуального подхода при обучении математике подчеркивают и другие исследователи [2], [8].

Пример 7. Решить уравнение V4 - x — 11x1 - 2| .

Решение приведенного уравнения нетрудно получить именно графическим способом, что отражено на рисунке 2.

Рис. 2. Иллюстрация функционально-графического метода решения уравнения

Таким образом, решениями уравнения являются значения x — -5, x — 0 и x — 3. Пример 8. Решить уравнение ^ + 5 + + x — 3.

Решение. Используя только один метод замены переменной, корни данного уравнения можно найти тремя способами: 1) положив ^ — Vx + 2 и решая уравнение (-1)2 + 6)— 0 ; 2) произведя замену I — Vx + 5 и решая уравнение 13 -8t2 + 27^-30 — 0;

3) используя подстановки и — Vx + 5 > 0 и V — Vx + 2 , приводящие к системе

Ги + V — 3,

|у3 - и2 + 3 — 0,

с помощью которой нетрудно получить искомое значение переменной. Разумеется, при правильном решении в каждом из указанных случаев получается один и тот же результат: x — -1. Но здесь более интересным и поучительным для школьников будет нестандартный прием, в основу которого положены свойства функций. Используя определение возрастающей функции, нетрудно показать, что левая часть рассматриваемого соотношения есть возрастающая на ОДЗ уравнения функция. А правая часть данного равенства - величина постоянная. Следовательно, если графики функций для левой и правой частей уравнения пересекаются, то не более чем в одной точке. Так приходим к обоснованию следующего факта: если данное уравнение имеет решения, то их не более одного. Далее, используя метод подбора, нетрудно убедиться, что x — -1- корень уравнения.

Пример 9. Решить уравнение л/3 - x +у/x-1 — x2 - 4x + 6 .

Решение. Правая часть данного уравнения не меньше 2: X2 - 4 x + 6 — ( - 2)2 + 2 > 2.

Теперь оценим левую часть исходного равенства - функцию у — V3 - x + Vx -1, ОДЗ которой определяется условиями: 1 < x < 3. Чтобы найти множество значений

функции у , найдем ее производную:

, 1 1 -\/3-x -^fx—\, п IV3-x - Vx-1 — 0, .

у— I——I—; у— 0: ] , о ^ x—2.

2\x-1 2\3 - x 2у x-1 • \3 -x [x Ф 1, x ^ 3;

Используя далее достаточные признаки экстремума функции, находим, что x — 2 - точка минимума функции у^). Следовательно, имеем у — л/3 - x +у/x-1 > у(2) — 2 . Из приведенных рассуждений вытекает, что исходное соотношение равносильно системе уравнений

j^3—~X + V x -1 — 2,

|^x - 4x + 6 — 2.

Чтобы решить систему двух уравнений с одной неизвестной, достаточно найти корни одного из соотношений системы и проверить подстановкой, удовлетворяют ли они другому ее уравнению. Число x — 2 - корень второго уравнения системы и, как нетрудно убедиться, удовлетворяет и первому ее соотношению. Следовательно, получаем ответ: x — 2 .

Резюме. В данной статье автором предпринята попытка систематизировать учебный материал школьного курса математики по разделу «Иррациональные уравнения». Выделены специфика и методические особенности решения стандартных и нестандартных иррациональных уравнений. Рассмотренные примеры отражают важность рациональных подходов при анализе задач и позволяют сделать осознанный и обоснованный выбор методики их решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Балл, Г. А. О психологическом содержании понятия «задача» / Г. А. Балл // Вопросы психологии. - 1970. - № 6. - С. 81.

2. Далингер, В. А. Наглядные образы как средство решения математических задач / В. А. Далингер // Математика в школе. - 2007. - № 7. - С. 26-31.

3. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. 1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся / Ю. М. Колягин. - М. : Просвещение, 1977. - 110 с.

4. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. 2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач / Ю. М. Колягин. - М. : Просвещение, 1977. - 144 с.

5. Крупич, В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач : авто-реф. дис. ... д-ра. пед. наук / В. И. Крупич. - М., 1992. - 37 с.

6. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики : учеб.-метод. пособие / А. Г. Мордкович. - 2-е изд., доп. и перераб. - М. : ООО «Издательство Оникс»; ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. -336 с.

7. Пойа, Д. Как решать задачу : пособие для учителей / Д. Пойа ; под ред. Ю. Гайдука ; пер. с англ. В. Звонаревой и Д. Белла. - М. : Учпедгиз, 1959. - 207 с.

8. Попов, Н. И. Методика обучения тригонометрии на основе когнитивно-визуального подхода / Н. И. Попов // Сибирский педагогический журнал. - 2008. - № 11. - С. 34-42.

9. Рыжик, В. И. 25000 уроков математики. Книга для учителя / В. И. Рыжик. - М. : Просвещение, 1993. - 240 с.

10. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. - М. : Просвещение, 1995. - 240 с.

11. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2002. - 224 с.

12. Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи : пособие для учащихся / Л. И. Фридман, Е. Н. Турецкий. - М. : Просвещение, 1984. - 175 с.

13. Фридман, Л. М. Методика обучения решению математических задач / Л. М. Фридман // Математика в школе. - 1991. - № 5. - С. 59-63.