Хаотическая динамика в математических моделях транспортных систем

С. 229-234.

I. E. Agureev, K.A.Avdeev, M. Yu. Bogatyrjev, M. Yu. Vlasov, A. I. Volkov THE FORMATION OF DYNAMICAL REGIME OF INTERNAL COMBUSTION ENGINES IN NONLINEAR MODELING FRAMEWORKS

The questions connected with developing and using non-linear dynamical models of internal combustion engines (ICE) are considered. The algorithm of formation of dynamical regimes of reciprocating internal combustion engines based on the non-linear modeling conception is presented for construction of characteristics of the ICE.

Key words: internal combustion engines, non-linear mathematical models, nonstationary regime, characteristics of internal combustion engines.

Получено 07.03.12

УДК 519.6: 656.13: 537.8

И.Е. Агуреев, д-р техн. наук, проф., 8-910-943-65-72, agureev-igor@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ), Е.Е. Атлас, д-р мед. наук, проф., 8-910-702-05-87, atlas@tula.net (Россия, Тула, ТулГУ),

Н.С. Пастухова, асп., 8-920-751-02-09

ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Приведен анализ типов динамического поведения в некоторых диссипативных системах. Результаты служат основанием для исследования инвариантов (паттернов) поведения в транспортных системах различной природы. Приведены системы аттракторов, возникающих в моделях, показано, что некоторые формы аттракторов могут возникать в математически отличающихся моделях.

Ключевые слова: математическое моделирование, транспортная система, обыкновенные дифференциальные уравнения, аттракторы.

Разнообразие и мощь методов синергетики являются следствием двух противоположно направленных тенденций. С одной стороны, растет количество фундаментальных и прикладных исследований, затрагивающих все большее разнообразие изучаемых систем и порождающих значительное число новых парадигм, теорий и методов. С другой стороны, постоянно предъявляемые требования научного сообщества к объединению результатов заставляют исследователей находить универсальные формы описания разнородных на первый взгляд систем. Исследования нелинейной науки изначально были междисциплинарными, таковыми они остаются и по сей день.

Если вести речь о математических описаниях исследуемых систем, то существующие методы можно свести к формулировкам систем обыкновенных дифференциальных уравнений, систем в частных производных, интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям. В зависимости от дополнительных условий эти уравнения могут содержать и стохастические функции. Иногда модель системы можно построить только для вероятностных характеристик, как это бывает для различных систем массового обслуживания. Как правило, модели отличаются значительным разнообразием размерности, могут быть непрерывными и дискретными.

Среди относительно новых парадигм, которые изначально в синергетике отсутствовали, но появились позднее на основе «классических» результатов, следует упомянуть отдельно понятия «русел и джокеров», «жесткой турбулентности», «переключающейся перемежаемости» [1, 2]. При этом безусловными, неизменными традициями нелинейной науки остаются представления о самоорганизации, режимах с обострением, диссипа-тивных структурах, динамическом хаосе. Методы теории бифуркаций, нелинейных колебаний, асимптотического анализа по-прежнему находятся в арсенале исследователей.

Постепенно формируется сфера представлений о природе динамического хаоса в диссипативных системах. Расширяется описание сценариев перехода к хаосу. Каскад бифуркаций на основе сценария Фейгенбаума и порядка Шарковского получил дальнейшее развитие в виде так называемого гомоклинического каскада, разработанного Н. А. Магницким (сценарий ФШМ) [3]. В рамках теории ФШМ определенно заявлено о том, что единственным универсальным способом, который можно рассматривать как сценарий, является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонический каскад в соответствие с порядком Шарковского и далее гомоклинический каскад. Перемежаемость при этом рассматривается лишь как артефакт численного эксперимента, существующий при наличии нескольких неустойчивых решений. Другим не менее удивительным результатом теории ФШМ является вывод о нефрактальной структуре нерегулярных (сингулярных) аттракторов. Претерпел существенные коррекции и классический сценарий возникновения аттрактора в системе Лоренца.

Среди нерешенных вопросов в теории ФШМ остается отсутствие сколь-нибудь общей теории, соответствующей бифуркациям за пределами гомоклинического каскада.

В работах [4-8] выполнялись численные исследования различных диссипативных систем, полученных при моделировании некоторых транспортных процессов. Среди предварительных результатов можно отметить следующие. Во-первых, существенно расширяется представление о геометрии нерегулярных решений. Можно утверждать, что найдены неизвестные до сих пор формы нелинейных колебаний, которые требуют детального исследования. Во-вторых, среди полученных решений

достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В-третьих, обнаруживается некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения) в одной и той же исследуемой системе. Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В-четвертых, в различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца, Ресслера или других более сложных).

В настоящей работе исследуются только диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полутора степенями свободы и с нелинейностью не выше второй степени. Системы разработаны авторами для различных модельных ситуаций, касающихся в основном, транспортных процессов. При этом в анализе основное внимание уделяется некоторым общим результатам, характерным для большинства представленных здесь моделей.

Модель 1

Рассмотрим вариант модели логистической системы (ЛС), которая может быть описана следующими переменными: х - число автомобилей в текущий момент времени, участвующих в транспортном процессе; у - уровень текущих запасов на складах розничной торговли; z - уровень текущих запасов на складе оптовой торговли. Таким образом, формулируем модель ЛС в виде

х = F

или

X = F

где х е М с ^т, ц е L с Ж к, ? е I с ^, к и т - размерности соответственно

параметрического и фазового пространств.

Представим правые части уравнений системы следующим образом:

X = kz

Число автомобилей, участвующих в транспортном процессе, пропорционально запасам оптового склада и разнице (7 - у), представляющей собой объем вакантных мест для хранения запасов. Здесь 7 - суммарная предельная вместимость складов розничной торговли,

у = X у+ +Х у -, где X у+ = ах (1 - у17 ), X у - = /(у). (3) i ] i ]

Запасы на складах розничной торговли формулируются в виде ба-

лансового уравнения, в котором слагаемое X у+ описывает скорость поступления материальных запасов, а слагаемое X у— = /(у) задает функ-

]

цию (скорость) их расходования. Правая часть уравнения X у+= ax(1 — у/У) отражает факт пропорциональности скорости поступ-

г

ления материальных запасов числу автомобилей. Параметр а при этом может иметь смысл грузоподъемности, «прибывающей» в единицу времени, а величина (1 — у/У), равная относительной незаполненности складских помещений, служит для отражения, например, коэффициента использования грузоподъемности и, в конечном итоге, для описания размера партии перевозимого груза. Функция расхода, в простейшем случае, может быть задана линейной в виде / (у) = —Ьу, а в более сложном - в виде случайного процесса

& = X4+Ъ ,

г ]

где X = g(&); X & — = —— у1у ). г ]

Запасы на складе оптовой торговли формулируются в виде балансового уравнения, аналогичного (3), при этом слагаемое X = g(&) ха-

г

рактеризует внешнее «воздействие» на открытую ЛС - поток материальных запасов от дистрибьютора и/или производителя. Эта величина также может быть выражена в виде простейшей линейной зависимости

g(&) = с(1 — z/Z) или в виде случайного процесса. Слагаемое X &— совпа-

]

дает, с точностью до коэффициента, с величиной X Уг+ , что является лог

гичным, поскольку d Ф а в общем случае, позволяющем учесть не только возвраты, потери и пр., но еще и поступление материальных запасов на розничные склады от иных поставщиков. Здесь Z - предельная вместимость складских помещений оптового склада.

Остановимся на смысле некоторых величин, используемых в формулах. Параметр Ь, имеющий размерность [ ] 1, обозначает интенсивность расходования запасов на складе розничной торговли (отнесенную, например, к одним суткам, если эта величина используется в качестве единицы измерения времени). Параметр с в этом случае будет обозначать суточную норму поступления запасов на склад оптовой торговли.

Таким образом, модель ЛС запишем окончательно в виде

375

х = к1 z - к2 yz, < у = к3х - к4у - к5ху,

^ = -к6 х - к7 z + ху + кд.

Положительные коэффициенты системы (5) определяются по формулам: к1 = к7 ; к2 = к; к3 = а ; к4 = Ь ; кз = а/7 ; кб = d; к7 = с^ ; к§ = d|7 ; кд = с. Очевидно, что девять коэффициентов кх - к9 выражаются

через семь параметров модели: а, Ь, с, d, к, 7, Z. Это означает, что коэффициенты нельзя выбирать произвольно.

Модели рассматриваемого класса, относящиеся к диссипативным динамическим системам, выраженным в виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяют на наш взгляд, учесть некоторые особенности транспортных систем:

1) сочетание детерминированных и стохастических факторов функ-ционир о в ания;

2) коллективный характер работы транспортной системы (большое число участников в виде совокупности транспортных средств; значительное количество происходящих событий - операций транспортного процесса);

3) неравновесное состояние открытой ЛС - постоянное присутствие потока материальных запасов.

Проиллюстрируем некоторые результаты численного моделирования системы (5).

Уравнения (5) совместно с начальными условиями и заданными значениями коэффициентов позволяют сформулировать задачу Коши.

Решение задачи выполнялось численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка, с точностью 1 • 10-б. Величина шага изменялась по алгоритму, обеспечивающему требуемую точность. Начальные условия выбирались таким образом, чтобы выполнялось условие:

хо е Md с М ,

где Мd - область диссипативности системы (5), определяемая из соотно-

к 4 + к 7

шения х >--, вытекающего из условия диссипативности

к5

divF

дх ду дz

На рис. 1 приведены некоторые найденные в модели ЛС режимы, соответствующие аттракторам диссипативной системы. На графиках фазового портрета и проекций вертикальная ось соответствует переменной z. В первом столбце вправо вверх направлена ось у, а вправо вниз - ось х. Во втором столбце вправо направлена ось у, а в третьем - ось х. В таблице приведены пять вариантов решений, коэффициенты для которых представ-

лены в табл. 1.

Как известно из теории хаотической динамики, в подобных системах могут наблюдаться состояния равновесия (устойчивые и неустойчивые), предельные циклы и нерегулярные колебания (аттракторы). С точки зрения практики все эти режимы работы ЛС могут представлять интерес. Так, устойчивые состояния равновесия, вычисленные в теоретической модели, построенной для конкретной ЛС, могут дать информацию о границах устойчивого поведения.

В модели (5) может быть от нуля до трех особых точек. Характер их устойчивости в зависимости от параметров в настоящей работе мы не рассматриваем. Вопросы, касающиеся стационарных состояний, более подробно изложены в работе [8].

Рис. 1. Варианты динамического поведения в модели

Предельные циклы (периодические колебания) могут изучаться с точки зрения влияния амплитуд и периодов колебаний на затраты при изменении параметров модели. Хаотические колебания могут быть предме-

377

том исследований для выяснения наличия и доли детерминированных составляющих нерегулярного поведения в реальных ЛС. Конечно, невозможно ограничить моделирование ЛС только классом рассматриваемых в настоящей работе систем уравнений. Совершенно очевидно, что для более глубоких исследований требуется иметь дело со стохастическими дифференциальными уравнениями.

Параметры модели ЛС

Таблица 1

Вариант kr k 2 k 3 k 4 k 5 k6 k 7 k8 k9

1 4 3 14 2 2,4 17 0,1 3 6

2 2 0,3 1 0,9 9 11,4 4 0,2 5

3 1 2 24 2 3 12 1 4 5

4 2 15 6 7 1 28 1 6 3

5 0,8 12 5 6 1 0,3 2 12 4

Модель 2

Более сложный и интересный вариант модели ЛС с точки зрения разнообразия решений может быть представлен в виде системы уравнений

гх = а[(X - х)+ ку - т2 - г )- Ь(7 - у)(2 - г);

у = с[

^ = ех - ¿у + g.

Здесь переменные имеют следующий смысл: х - автомобили, доставляющие груз; у - автомобили, развозящие груз; г - количество груза на складе. Параметры в уравнениях (7) обозначают: X - число автомобилей, участвующих в доставке груза; 7 - число автомобилей, участвующих в развозе груза; 2 - предельная (или наиболее вероятная) емкость склада; g - интенсивность восполнения груза другими видами транспорта.

Выражая систему (7) в явном виде относительно фазовых координат, получим

2

X

k\X + k 2 y + k3 z + k4 xz + k5 yz + k 6 z + k 7, 2

y = kg xz + kg yz + kio z + k\\ z, z = ki2 x + ki3 y + ki4.

При этом, если выбирать произвольно 14 параметров в системе (7), то из 14 коэффициентов в (8) независимыми будут только 12 из них. Таким образом, система (8) представляет собой более широкое множество моделей по сравнению с (7). Отметим, что в системе (8) имеется преобразование симметрии вида:

x ^ A - ~ + azz y ^ ~ + ßz , z ^ B - ~.

При формулировке модели (7), так же, как и (5), использовалось представление о балансе транспортных средств и груза (по аналогии с уравнением баланса массы в механике сплошной среды), а также были учтены основные причинно-следственные связи, приводящие к изменению поведения участников транспортной системы. Например, в первом уравнении учтено: чем больше груза на складе, тем больше автомобилей снимают с маршрута (— mz); чем меньше запас z, тем интенсивнее будут поступать автомобили (2 — z); чем больше автомобилей стоит на погрузку, тем медленнее отбывают автомобили типа х (множитель У — у); чем больше груза, тем сложнее разгрузиться (множитель 2 — z) и т.д. Отсюда становится ясным смысл коэффициентов а...f, которые выражают интенсивность прироста или убывания переменных в результате действия соответствующих причин.

Анализ модели (7) в основном выполнялся при допущении, что все параметры положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начиналось с определения точек стационарных состояний, их типа и устойчивости.

Система (7) диссипативна, если выполнено условие (6), при

а2 а2

этом z <-, если а > с и z >-, если а < с. Следовательно, возникает

а — с а — с

предположение о возможности существования сингулярных циклов и аттракторов, а также гетероклинических контуров, определяющих вид траекторий в фазовом пространстве.

Уравнения (7) исследовались численно методом Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью 1 • 10—б. Были найдены все основные виды решений, характерные для трехмерных автономных нелинейных систем: стационарное состояние, предельный цикл, странный (хаотический) аттрактор и другие типы циклов различной периодичности. Зафиксируем константы модели (7), как указано в табл.2. Некоторые результаты исследований представлены в табл.3. Найденные численные решения образуют два симметричных семейства, в соответствии с формулами (9). Для анализа рассмотрим нечетное семейство решений, которым были присвоены условные номера: 1, 3, ..., 13 (т.е. семь типов). Решения, принадлежащие каждому типу, достаточно четко выделяются от иных. Между всеми решениями имеется тесная связь, которая заключается в том, что плавное изменение некоторых параметров может приводить от решений одного типа к решениям другого типа (в форме бифуркаций).

Исходными (базовыми) решениями в представленной цепи аттракторов можно считать сингулярные циклы и соответствующие им сингулярные аттракторы типа 1 и типа 7, находящиеся на противоположных концах. Они отличаются тем, что ведут происхождение от различных особых

точек.

Таблица 2

Параметры модели

Вариант а Ъ с (1 е / £

1 3 8 2 25 1 5 180

2 3 5 6 2 1 4 2

3 5 0,6 3 1 0,4 2 9

4 1 7 4 5 0,9 2 2,1

5 1,5 2 1 0,4 7 9 -15

6 2,1 1 4 0,7 од 4 0,1

7 1 0,5 2,8 5,5 0,5 2 3

8 2 1 0,5 4 2Д1 7 5

Вариант к / т п АГ У г

1 0,2 4 1,7 10 50 20 150

2 3 2 1 3 4 5 1

3 7 0,7 4 2 1 0,5 2

4 0,3 6 0,1 2 5 10 0,4

5 0,1 5 2 4 1 2 1

6 2 1 9 3 2 1 4

7 1 0,4 9 0,4 од 2 5

8 0,5 2 1 9 0,6 3 2

Система аттракторов в модели

Таблица 3

Тип 1

Тип 3

Тип 13

Тип 9

Тип 5

Тип 7

В табл.3 (вариант 4, тип 13) приведена зависимость, которая свидетельствует о существовании в модели (7) так называемых «контрастных структур» и пограничного слоя [9]. Подобные решения вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». Зависимость z(t) в этом варианте весьма напоминает при этом некоторую стратегию управления запасами, что придает модели (7) практическую привлекательность.

Модель 3

Модель транспортного процесса перевозок пассажиров в населенном пункте может быть сформулирована в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными правыми частями:

х = а[Х + ку — mz) — х \ — Ь(У — у )(2 — z);

< у = —cхz + d

Z = — eyz + f (2 — z) + ^ — h(Y — у )]х.

Здесь переменными являются: х - количество автобусов, находящихся на остановке; у - количество пассажиров, ожидающих посадку; z - число свободных мест в автобусах, находящихся на остановке. Остальные параметры имеют следующий смысл: Х - среднее (нормативное) число автобусов, работающих на маршруте; У - среднее количество пассажиров на остановке (условная «вместимость» остановки); 2 - среднее число мест для пассажиров (вместимость автобуса). Коэффициенты модели: а - характеризует интенсивность прибытия автобусов на остановку (имеет размерность 1/(местмин)); Ь - характеризует интенсивность отправления автобусов от остановки (авт/(пассместмин)); с - учитывает интенсивность посадки пассажиров в автобусы (пасс/автместмин)); d - отражает интенсивность прибытия пассажиров на остановку (1/мин); е - учитывает скорость уменьшения числа свободных мест вследствие посадки пассажиров (1/(пассмин)); f - характеризует интенсивность увеличения числа свободных мест за счет высадки пассажиров (1/мин); g - характеризует скорость роста числа свободных мест, «прибывающих» вместе с автобусами (1/автмин)); h - отражает интенсивность «убывания» свободных мест, не занятых пассажирами до отправления автобуса (1/пассавтмин)); к - описывает интенсивность выхода на линию автобусов сверх нормативного значения при увеличении числа пассажиров на остановках (авт/пасс); т - характеризует интенсивность «схода» автобусов с маршрутов вследствие роста числа свободных мест (авт/мест).

Слагаемые в правых частях уравнений имеют следующий смысл. В первом уравнении (10) слагаемое с знаком «+» отражает поступление автобусов на остановку, зависящее от разности общего количества автобусов, находящихся на маршрутах, и числа автобусов на остановке. В этом слагаемом учитываются также выпуск автобусов на маршрут при росте

381

числа пассажиров на остановке (например, в часы «пик»), а также «сход» с маршрута при увеличении числа свободных мест в автобусе. Это слагаемое пропорционально количеству свободных мест в автобусах на остановке (чем больше свободных мест, тем интенсивнее будут автобусы поступать на посадку с целью загрузки - или сходят с маршрута, о чем уже сказано). Слагаемое со знаком «-» отражает процесс отправления автобуса от остановки. Оно осуществляется быстрее, если, с одной стороны, на остановке мало пассажиров (становится короче по времени процесс посадки) или, с другой стороны, если мало свободных мест в самом автобусе (пассажиры отказываются от посадки). Таким образом, имеем произведение Ь(У — у — z).

Во втором уравнении слагаемое со знаком «+» описывает приход пассажиров на остановку: чем меньше занята остановка, тем выше вероятность увеличения числа пассажиров. Чем больше занята остановка (уменьшение разности (У — у)), тем больше пассажиров будет ее покидать с целью поиска альтернативного способа передвижения. Чем больше пассажиров уже находится на остановке, тем меньше потенциальных пассажиров находится за ее пределами. Слагаемое со знаком «-» описывает процесс посадки пассажиров в автобусы: чем больше автобусов на остановке и чем больше на ней свободных мест, тем выше вероятность посадки.

В третьем уравнении слагаемое f (2 — z) учитывает процесс увеличения числа свободных мест за счет высадки пассажиров (чем больше пассажиров в автобусе, тем вероятнее выход пассажиров на остановке). Второе слагаемое со знаком «+» учитывает «поступление» свободных мест с автобусами. Слагаемое со знаком «-» описывает процесс уменьшения свободных мест за счет посадки пассажиров. Это слагаемое пропорционально произведению yz: чем больше пассажиров на остановке и чем больше свободных мест, тем выше вероятность того, что свободные места будут заняты.

В целом, в уравнениях (10) отражены основные причинно-следственные связи, реально действующие в системе и учитывающие коллективный характер динамики пассажиров, транспортных средств и свободных мест. Последний фактор становится здесь своего рода управляющим параметром, влияющим на процесс принятия решений пассажирами и водителями автобусов. Следует ожидать, что построенная модель относится к целой совокупности остановок (метаостановке) и содержит решения, имеющие практический смысл. Отрицательные значения переменных х, у, z будут означать потребность в соответствующем виде компонента, т.е.,

мы специально не ограничиваем значения функций х(Х), у(1), множеством .

Система уравнений (10) решалась численно методами Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью 1 • 10-б. В модели были найдены все основные виды устойчивых аттракторов (фокус, предельный цикл, нерегулярный аттрактор). В табл. 4 представлены значения параметров модели и начальные условия, которые принимались при изучении системы.

Таблица 4

Параметры модели

Вариант a Ь c d е / Я

1 0,5 5 2 1 12 2 0,2

2 0,5 0,95 1,б 0,2 1 5 8

3 5 2 0,4 4 0,5 9 1

4 0,2 б 3 5 1 0,5 4

5 2,5 0,2 15 0,5 7 50 2

б б 20 0,б 1 0,5 2 14

7 0,3 0,1 0,3 0,8 2 5 15

Вариант h k ш X Y Z -

1 3 15 б 2 0,3 25 -

2 0,2 0,5 0,3 20 10 14 -

3 0,8 10 7 15 12 3 -

4 9 2 0,2 20 10 б0 -

5 1,5 1 0,5 50 25 20 -

б 48 5 2 12 24 10 -

7 5 5 12 б 3б 15 -

Практический интерес представляет решение системы, приведенное в табл. 4 (вариант б) (рис. 2). Здесь имеет место циклический характер работы системы. Временная зависимость переменных х и у показывает изменение числа автобусов и пассажиров на метаостановке, напоминающее известные функции из теории управления запасами. В течение некоторого времени число автобусов на остановке плавно уменьшается, число пассажиров остается до определенного момента почти постоянным, затем их количество заметно уменьшается и практически мгновенно (в масштабе времени одного цикла) осуществляется интенсивный переходный процесс, связанный с накоплением пассажиров и автобусов до исходного уровня. Эти пилообразные кривые представляют своего рода временные структуры, показывающие согласованный характер работы всех элементов (остановок) системы (метаостановки), т.е. самоорганизацию.

Рис. 2. Примеры аттракторов в модели

384

Изучение подобных структур в реальных системах позволит сформулировать постановку задачи теории управления для создания требуемых типов временных структур в течение дня работы автобусного парка.

Модель 4

Известна динамическая модель конкуренции, предложенная в работе [10], представленная в [11] как система Агуреева и описывающая производство взаимозаменяемых товаров одинакового качества двумя фирмами. Фазовыми координатами являются в модели оборотные средства конкурентов.

Если в качестве переменных модели выбрать х - увеличение затрат перевозчика «1» на организацию и повышение качества перевозочного процесса (реклама, информация, маркетинговые исследования, техническое состояние подвижного состава и др.), у - то же, для перевозчика «2», г - увеличение количества груза, доставленного потребителю перевозчиком «1», то один из возможных вариантов модели конкуренции может быть записан в виде системы:

Система представляет собой выражение стратегий двух игроков рынка, записанное в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Каждое из них является уравнением динамического баланса типа х = Р — R, где в общем случае Р = Р^, х) - источник, а R = R^, х) - потери изучаемой величины х.

Первое слагаемое ау(2 — г) выражает стремление игрока (перевозчика «1») увеличить затраты ресурсов (в итоге - увеличить объем своих рыночных предложений), если конкурент увеличивает свои. Поэтому слагаемое пропорционально переменной у. Множитель (2 — г) выражает запас спроса на услуги со стороны потребителя. Коэффициент а учитывает степень информированности игрока «1» о стратегии игрока «2» и о спросе на услуги перевозчиков. Параметр 2 следует понимать как максимальную величину спроса потребителя.

Второе слагаемое Ьг(х — X) выражает стремление игрока «1» использовать свои ресурсы с максимально допустимой отдачей. Величина X есть ее предел. Если х < X (есть возможность наращивать объем предложения), слагаемое в целом имеет знак «+» и смысл источника величины х. Если х становится больше X, игрок вынужден сокращать использование ресурсов. Слагаемое пропорционально г, т.к. при высоком уровне г игрок «1» может позволить себе интенсивнее сокращать использование ресурсов на увеличение предложения. Коэффициент Ь отражает представление игрока «1» о необходимости такого снижения.

Аналогично интерпретируется запись второго уравнения (11). Смысл третьего уравнения очевиден.

Условие диссипативности системы (11) представляет собой неравенство

divF

Таким образом, рассматриваемая система, подобно исследованной в [3] модели Ресслера, не является всюду диссипативной в фазовом пространстве.

Перепишем уравнения (11) в каноническом виде

х = ^ у + k2 г — kз хг — k4 yz, < у = — k5 у — kб г + k7 хг + k8 уг + k9,

г = % х — ^у.

Здесь kl = aZ ; k2 = ЬХ ; kз = Ь; k4 = а ; k5 = dZ ; ^ = dY ; k7 = с; k8 = d; k9 = dYZ ; klo = kll = е .

Исследование системы (11), как и ранее, выполнялось численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка с точностью 1-10-е. Отметим, что вследствие высокой размерности параметрического пространства (к=8) в настоящее время говорить о законченном исследовании системы не представляется возможным.

Рассмотрим вариант 1 системы (11), приняв параметры в соответствии с табл. 5.

Таблица 5

Параметры модели

№ вар. а Ь с d Е X 1 Z

1 4 8 2 2,5 8 1,5 14 7

2 5 11 13 7 8 0,5 4 1,5

3 0,8 3 9 2,5 15 14 2 18

Здесь наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода, если в качестве параметра выбрать коэффициент а. Например, при а = 4 имеем устойчивый предельный цикл (окно периодичности а е (4,00025; 3, 798)), при а е (3,798; 2,10б7) - цикл периода 2, при а е (2,10б7; 1,894) - цикл периода 4 и т.д. Последующий субгармонический каскад бифуркаций аттрактора Фейгенбаума приводит при а = 1,3б0б0б0б к циклу периода 3. Дальнейшее уменьшение а ведет к гомоклиническому каскаду (по терминологии Н. А. Магницкого [3]). При а «0,8233... «глаз» аттрактора закрывается и структура аттрактора изменяется (рис.3, а-г). Отметим, что аттрактор подобного вида существует и при бесконечном числе других со-

четаний параметров (см., например, вариант 2, табл.5). Отмеченное выше изменение структуры аттрактора выражается в усложнении траектории, выходящей из «глаза» и совершающей затухающие колебания вокруг некоторой осевой линии (см. рис.3, г).

Рис. 3. Проекции аттрактора системы

На рис. 4 приведен полный набор проекций полученного для варианта 2 решения.

Рис. 4. Проекции решения (вариант 2) на фазовые плоскости

Если параметры системы выбрать согласно варианта 3 (см. табл. 5), то получим аттрактор, обладающей симметрией по отношению к аттрактору 1-го варианта и являющийся результатом аналогичной последовательности бифуркаций.

Обратим внимание, что эволюция аттракторов в этом случае может быть более развитой и приводить к решениям, которые подходят под понятие «контрастных структур», примеры которых приведены в работе [9]. Каскад бифуркаций проходит всю последовательность, начиная от удвоения периода предельного цикла, субгармонический и гомоклинический каскады, а далее - более сложную последовательность бифуркаций, приводящую к «контрастным структурам».

Заключение

Результаты выполненных исследований диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений показывают, что универсальным способом, который можно рассматривать как сценарий перехода к хаотическому поведению, является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонический каскад в соответствие с порядком Шар-ковского и далее гомоклинический каскад Магницкого (теория ФШМ).

Среди полученных решений достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В некоторых моделях (например, модель 3 и модель 4) обнаруживается некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения). Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца в модели 1, Ресслера в модели 2 или других более сложных).

Список литературы

1. Зульпукаров М.-Г. М. Жесткая турбулентность. Моделирование с помощью русел и джокеров // Нелинейность в современном естествознании / под ред. Г. Г. Малинецкого. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. С.159-187.

2. Малинецкий Г. Г. Простота нелинейного мира // Нелинейность в современном естествознании / под ред. Г. Г. Малинецкого. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. С.10-19.

3. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 320 с.

4. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. Сер. Автомобильный транспорт. 200б. Вып. 9.С.3-13.

5. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 10. С.3-11.

6. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2007. Вып.1.

7. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / под ред. С. В. Емельянова. Т. ЗЗ.Вып. 12. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. С. 159-175.

8. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып.4. С.158-167.

9. Неймарк Ю. И., Смирнова В. Н. Контрастные структуры, предельная динамика и парадокс Пэнлеве // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. № 11. С. 1507-1515.

10. Чернавский Д. С., Щербаков А. В., Зульпукаров М.-Г. М. Модель конкуренции. Препринт № 64 ИПМ имени М. В. Келдыша. М., 2006. 22 с.

11. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: Изд-во «URSS (ЛЕНАНД)», 2011. 320 с.

I. E. Agureev, E.E.Atlas, N.S.Pastukhova.

THE CHAOTIC DYNAMICS IN THE MATHEMATICAL MODELS OF TRANSPORTATION SYSTEMS

The analysis of the dynamical behavior in some of dissipative system is presented. These results are the basis to investigations of patterns of behavior in transportation systems of any nature. The systems of attractors in the models are presented, and it is shown that some forms of attractors are able to appear in mathematically different models.

Key words: mathematical modeling, transportation system, usual differential equations, attractors.

Получено 07.03.12