Стохастический подход к расчету угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2004. № 4. С. 31-33. © Омский государственный университет

УДК 539.173

СТОХАСТИЧЕСКИМ ПОДХОД К РАСЧЕТУ УГЛОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ КОМПАУНД-ЯДЕР

А.В. Сагдеев, P.M. Хирьянов

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 9 ноября 2004 г-

On the base of two-dimentional Langevin equations the stochastic approach to the calculation of angular distribution was developed. In this approach the relaxation time of the A'-mode was fenomenologically estimated.

Введение

До недавнего времени для описания углового распределения осколков деления использовалась модель переходного состояния [1]. Обычно в качестве такого переходного состояния выбирается седловая точка (модель ПССТ). При этом делается несколько предположений: 1) осколки деления разлетаются в направлении оси симметрии ядра; 2) ориентация оси симметрии определяется квантовым числом К (проекция вектора полного момента I на ось симметрии ядра), которое сохраняется в процессе эволюции ядра от седловой конфигурации к разрывной; 3) в седловой конфигурации устанавливается равновесное распределение по К.

Очевидно, что модель ПССТ будет работать только когда спуск с седла до разрыва происходит достаточно быстро, так, что установившееся значение К не успевает измениться за время спуска т88. То есть предполагается, что время релаксации -координаты тк . В случае, когда тк сравнимо с т33, в качестве переходного состояния была предложена точка разрыва (модель ПСТР) [2].

В последнее время, когда стало возможным изучать угловые распределения осколков при делении тяжелых ядер с большими температурами и угловыми моментами, обнаружилось, что модель ПССТ предсказывает заниженные, а модель ПСТР — завышенные значения анизотропии угловых распределений по сравнению с экспериментальными данными для целого ряда реакций

[3].

Таким образом, модели ПССТ и ПСТР оказались полезными для описания угловых распре-

делении осколков деления некоторых составных ядер, однако они являются предельными случаями и не претендуют на универсальность.

В работе [4] был предложен динамический подход к определению эффективного переходного состояния.

В настоящей работе развит стохастический подход к рассмотрению эволюции координаты К, которая предполагается термодинамически флуктуирующей величиной.

Динамическая модель и расчет угловых распределений

Для описания эволюции делящегося ядра используется двухмерная система уравнений Ланжеве-на, которая решается с помощью разностной схемы Эйлера [5]:

Pi = Pi

1

2 рз Рк

dAtjfc(q) dqi

(dFi{q)\(n) („) („) („Л lQ(n)Jn) Г \dqT~) ~ lij (q)Mj'fc {Ч)Рк J ij ^ ^

4i

n+l)

4i

n)

1

'.¡I' =1,2

(И+1К

-Pi )T

где q — набор коллективных координат, р — сопряженные им импульсы, верхние индексы (п) и (п + 1) означают п-й и п + 1-й шаги интегрирования соответственно, г — временной шаг интегрирования уравнений Ланжевена, ту и 7у — инерционный и фрикционный тензоры соответ-

i-i •

случайная

32

A.B. Сагдеев, P.M. Хирьянов

сила, Çj — ¿-коррелированная случайная величина с нулевым средним значением. Амплитуда Oij случайной силы связана с диффузным тензором: Dij = OikOkj , который определяется соотношением Эйнштейна: Dij = Т^ц . F(q) — свободная энергия системы выбирается в виде [5]:

A

Т — ядерная температура, которая определяется

1 /9

по формуле Ферми-газа: Т = (Aj„t/a(q)) , где Eint — внутренняя энергия возбуждения составного ядра, a(q) — параметр плотности уровней, определяемый согласно [6], V(q) — потенциальная энергия системы, определяемая выражением:

V

где Es(q), Ес(q) — поверхностная и кулоновская энергии деформированного, а Е, Е — сферического ядра соответственно, вычисляемые в модели жидкой капли с диффузным краем ядра [7]. Erot(q) — энергия вращения ядра:

Eroti q) =

tfK2 h2

2Эц

23±

где Эц, — моменты инерции ядра относительно оси симметрии и перпендикулярной ей оси соответственно.

На каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена проверялось выполнение закона сохранения энергии в виде Е* = Eint + Ек + V"(q), где Е* и Ек — полная энергия возбуждения ядра и кинетическая энергия коллективных степеней свободы соответственно.

В рамках стохастического подхода к динамике деления в данной работе рассматривается двухмерная система уравнений Ланжевена, записанная в разностной форме (1), где в качестве параметров формы ядра используется хорошо известный набор коллективных координат q = {с, /г} (рассматривается только симметричное деление) [8].

Начальные координаты, импульсы и угловой момент I для динамических расчетов выбирались из статистического распределения Максвелла— Больцмана:

P

гДе qo — набор коллективных координат в основном состоянии, а /(/) аппроксимируется выражением вида:

f(D =

21 + 1

2тг

k2 \1 + ехр[(/ — lc)/ôV\

Параметры 1С и 61 выбираются таким образом, чтобы воспроизводить результаты теоретических расчетов слияния и глубоко неупругих столкновений тяжелых ионов в рамках модели поверхностного трения [9]. Предполагается, что собственный момент компаунд-ядра равен нулю, поэтому 1 = 1. Наиболее естественный выбор начальных условий можно получить из рассмотрения динамики входного канала реакции. Однако проблема слияния двух ядер сама по себе достаточно обширна и выходит за рамки данного рассмотрения.

В процессе эволюции учитывалась эмиссия легких частиц (протонов, нейтронов и а-частиц) в рамках данного подхода предполагалось, что в среднем и протон, и нейтрон уносят момент в 1Й, а-частица — 2Й. После каждого акта эмиссии пе-ресчитывались потенциальная энергия и энергия возбуждения.

Процедура изменения координаты К выглядит следующим образом. Начальное значение проекции К разыгрывается в основном состоянии при q = qo как равномерно распределенное целое случайное число на отрезке [—/, I]. На каждом шаге динамической траектории определяется равномерно распределенное на отрезке [0,1] число Если выполняется условие: £ < ^ , где г — шаг интегрирования по времени, тк — время релаксации координаты К, то с помощью алгоритма Метрополиса выбирается новое значение К из распределения:

Р(К) ~ ехр ( -

F

т

А(А'х), А(А'г) — свободная энергия на текущем и следующем шаге интегрирования соответственно.

Каждая динамическая траектория, дошедшая до точки разрыва, имеет в этой точке определенные значения I и К. Точкой разрыва является пересечение ланжевеновской траектории движения ядра в пространстве коллективных координат q с линией разрыва, определяемой из условия /г = 0,3До (Ао — радиус недеформирован-ного ядра).

Усредняя по ансамблю траекторий разделившихся ядер, получим вероятность вылета осколков под определенным углом относительно оси пучка налетающих частиц [10]:

I I

J i=~l

1)

-'о к.

{0)

где А, А » — значения полного момента и его проекции, определенные в точке разрыва ¿-той траектории, Nf — число разделившихся траекторий,

Стохастический подход к расчету угловых распределений.

33

Рис. 1. Угловое распределение осколков деления для реакции 16 О +232 ТЬ:  — экспериментальные

данные [11];---— расчеты, в моделях ПССТ (1) и

ПСТР (2), выполненные по формуле Халперна-Струтинского [11]; сплошные линии — результаты расчетов, выполненных в рамках стохастического подхода при тк = 7 • Ю-21 с, тк = 10 • 10-21с; тк = 12 • 10-21с

Рис. 2. Угловое распределение осколков деления для реакции 16 О +248 Ст:  — экспериментальные

данные [11];---— расчеты, в моделях ПССТ (1) и

ПСТР (2), выполненные по формуле Халперна-Струтинского; сплошные линии — результаты расчетов, выполненных в рамках стохастического подхода при тк = б • 10-21с, тк = 7 • 10-21с; тк = 10 • 10-21с

^ок~ функция вращения Вигнера [11], в — угол между направлением вылета осколков деления и осью пучка налетающих частиц.

Результаты и обсуждение

В рамках данного подхода были рассмотрены реакции 16 0 + 232 ТЪ^248 С£ (Е1аЪ = 140 МэВ) и 1бо+248Ст^2б4К£ = 130МэВ).

В данной модели вычислений время релаксации К-координаты г к является варьируемым параметром. Выбирая различные значения этого параметра, рассчитывались угловые распределения, которые сравнивались с экспериментальными данными. Полученные результаты представ-ленны на рис. 1,2.

Как видно на рисунках, вычисления, проведенные с тк — (6-т-10)-Ю-21 с, удовлетворительно описывают эксперимент. Следует заметить, что для рассмотренных реакций расчеты, проведенные в модели ПССТ и ПСТР, дают соответственно заниженные и завышенные значения анизо-тропий углового распределения И^(0°)/И^(90°).

Также в данном подходе определялись времена спуска ядра с седловой точки к разрыву т33. Для рассматриваемых реакций оказалось, что Тзз^б-Ю-21 с. Таким образом, оно сравнимо со значением параметра г к, полученного из соображений наилучшего описания экспериментальных данных.

Заключение и выводы

Проведенные расчеты показали, что данный стохастический подход к описанию углового распределения удовлетворительно воспроизводит экспериментальные данные для рассмотренных реак-

ций. Кроме того, рассчитанное время перехода ядра от седловой точки до точки разрыва сравнимо со временем релаксации К-координаты тк, полученным из анализа экспериментальных данных.

В заключение авторы хотят выразить глубокую признательность своему научному руководителю проф. Г.Д. Адееву и канд. физ.-мат. наук A.B. Карпову за всестороннюю поддержку и терпение.

[1] Bohr N., Wheeler J.А. // Phys. Rev. V. 56. P. 426 (1939).

[2] Rossner H.H., Huizenga J.R., Shröder W.U.11 Statistical scission model of fission-fragment angular distributions. Phys. Rev. Lett. V. 53. P. 38 (1984).

[3] Ньютон Д. // ЭЧАЯ. T. 21. C. 821 (1990).

[4] Дроздов В.А., Еременко Д.О., Платонов С.Ю. и др. 11 ЯФ. Т. 64. С. 221 (2001).

[5] Nadtochy P.N., Adeev G.D., Karpov А. V. // Phys. Rev. С. V. 65. 064615. (2002).

[6] Игнатюк A.B., Иткис М.Г., Околович В.Н., Смиренкин Г.Н., Тишин A.C. // ЯФ. Т. 21. С. 1185 (1975).

[7] Sierk A.J. // Phys. Rev. V. СЗЗ. P. 2039 (1986).

[8] Brack M., Damgaard J., Jensen A.S., Pauli H.C., Strutinsky V.M., Wong C.Y. // Rev. Mod. Phys. V. 44. P. 320 (1972).

[9] Гончар И.И. 11 ЭЧАЯ. T. 26. C. 932 (1995).

[10] Drozdov V.A., Eremenko D.O., Fotina O.V., Platonov S.Yu., Yuminov O.A. // Book of abstract 8 international conference nucleus-nucleus collision. Dubna. P. 171 (2003).

[11] Back B.B., Betts R.R., et al. // Phys. Rev. V. C.32.

P. 195 (1985).