Оценка пиковых значений параметров колебательных процессов

21. Леун Е. В. Интеллектуальный токарный резец с приборами активного контроля температуры зоны резания, размеров изделия и параметров формы его поверхности // Омский научный вестник. 2017. № 4 (154). С. 87-93.

22. Леун Е. В., Сысоев В. К. Использование способа контроля длины и температуры нераспавшейся струи в капельных холодильниках-излучателях энергетических установок космических аппаратов // Проблемы разработки, изготовления и эксплуатации ракетно-космической техники и подготовки инженерных кадров для авиакосмической отрасли: материалы XI Всерос. науч. конф., посвящ. памяти гл. конструктора ПО «Полёт» А. С. Клинышкова. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2017. С. 74-80.

23. Leun E. V., Leun V. I., Sysoev V. K., Zanin K. A., Shulepov A. V., Vyatlev P. A. The active control devices of the size of products based on sapphire measuring tips with three degrees of freedom // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 944. DOI: 10.1088/1742-6596/944/1/012073.

24. Леун Е. В., Леун В. И. Вопросы построения многофункциональных приборов активного контроля линейных и угловых размеров изделий и их формы поверхности // Омский научный вестник. 2018. № 1 (157). С. 89-95.

25. Леун Е. В. Разработка приборов активного контроля размерных параметров изделий с использованием сапфировых измерительных наконечников // Омский научный вестник. 2016. № 4 (148). С. 123-127.

УДК 681.518.5:519.254

ОЦЕНКА ПИКОВЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ EVALUATION OF PEAK VALUES OF THE OSCILLATION PROCESSES PARAMETERS

А. П. Науменко, И. С. Кудрявцева, А. И. Одинец

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

A. P. Naumenko, I. S. Kudryavtseva, A. I. Odinets

Omsk State Technical University, Omsk, Russia

Аннотация. Оценка технического состояния технических устройств, идентификации дефектов и отклонений динамического механико-технологического оборудования, формирование и определение параметров и критериев технического состояния основывается на измерении параметров колебательных процессов. Как правило, в качестве источника информации используются виброакустические колебательные процессы. Такие процессы характерны как для виброакустической диагностики, так и для аку-стико-эмиссионого контроля. Многие критерии оценки состояния основываются на измерении параметров пиковых значений процессов. Учитывая случайный характер процессов, оценка погрешности измерения и определения пиковых значений сигналов становится актуальной. Задачей данной работы является представление методических основ оценки погрешности измерения и определения пиковых значений виброакустических сигналов с учетом законов распределения их мгновенных значений. В частности, представлено решение задачи по определению зависимости асимптотической оценки погрешности выборочной оценки квантиля от величины дискретных значений в выборке (временной реализации сигнала), что позволяет обосновывать и проверять метрологию средств измерений, а также оценивать достоверность измерений пиковых значений виброакустического сигнала.

Ключевые слова: пиковое значение, квантиль, погрешность, виброакустические колебания.

DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-4-47-52

I. Введение

Мониторинг технического состояния основывается на оценке технического состояния технических устройств, идентификации дефектов и отклонений динамического механико-технологического оборудования, путем измерения и анализа параметров колебательных процессов. Как правило, в качестве источника информации используются виброакустические колебательные процессы. Такие процессы характерны как для виброакустической диагностики, так и для акустико-эмиссионого контроля [1, 16].

Известно [1, 2, 3, 4, 5], что виброакустические колебательные процессы являются композицией гармонических составляющих, генерируемых различными источниками с независимыми фазами, а также содержат шумовые компоненты узкополосных и широкополосных случайных процессов.

Для анализа свойств детерминированных колебаний используют пиковое значение или амплитуду процесса как абсолютного значения максимума или минимума колеблющегося параметра в рассматриваемом промежутке времени, а также размаха колебаний как разности между максимумом и минимумом колеблющегося параметра в этом промежутке [1, 4]. Такие параметры являются определяющими, в частности, при оценке по виброперемещению величины зазоров между колеблющимися телами. Величина размаха колебательного процесса является источником оценки механических напряжений в узлах и деталях для оценки накопления усталостных повреждений [6]. Существующие методики схематизации колебательных процессов с целью оценки действительных максимальных механических напряжений разработаны 40...50 лет назад и мало ориентированы на цифровую обработку сигналов в реальном времени [6]. Для измерения пиковой величины колебательного процесса или сигнала используют пиковые детекторы [8]. Однако погрешность измерения пикового значения (амплитуды) существенным образом зависит от свойств анализируемого процесса. Поэтому параметры пикового детектора должны настраиваться под свойства измеряемого процесса.

В то же время измерение такой статистической характеристики, как пиковое значение при заданной величине вероятности или квантиля, позволяет однозначно судить о свойствах процесса независимо от его характера - будь то детерминированный или случайный процесс [14, 16].

По определению квантиль в математической статистике - значение, при котором заданная случайная величина не превышает фиксированную вероятность, другое определение: квантиль - одна из характеристик распределения вероятностей [7, 9].

Значение квантиля Ua уровня а находится как значение аргумента u, соответствующего значению функции Ф(и)=а, где Ф - функция распределения вероятностей (ФР) случайной величины, т.е. a-квангаль (или квантиль порядка или уровня а) - это числовая характеристика закона распределения случайной величины или такое число, значение которого определяет, что данная случайная величина попадает левее заданного значения с вероятностью, не превосходящей а [9].

II. Постановка задачи

Применение квантиля для анализа параметров вибрации (виброускорения, виброскорости, виброперемещения и их огибающих) позволяет оценить максимальные силовые нагрузки на узлы и детали механизма с учетом статистических свойств виброакустического процесса, что обеспечивает возможность оценки прочностных и ресурсных характеристик конкретного узла или детали путем их оценивания методами расчета усталостной долговечности при нерегулярном нагружении [6].

Вначале определим классическую оценку квантили. Пусть имеется априорная выборка (Xb X2, ... ,Xn} случайной величиныX~ FX(x). Упорядочим выборку (Xb X2, ... , Xn} и построим вариационный ряд:

X(1) <X(2) < ... <X(n>

где X(,) - порядковая статистика с номером i, i = 1, n .

Тогда выборочная оценка квантили уровня а е (0,1) по выборке X^, i = 1,n определяется, согласно [11], следующим образом:

X а = X

где [na] - целая часть числа n a, т.е. смысл данной операции состоит в выборе элемента вариационного ряда выборки Xi, с номером i=[na]+1.

Одной из основных характеристики любых оценок является погрешность. В качестве погрешности выборочной оценки квантили рассмотрим асимптотическую оценку среднего квадратического отклонения (СКО). Часто данную оценку употребляют как меру качества статистических оценок и называют в этом случае квадратичной погрешностью (ошибкой) [9, с. 262] или среднеквадратической случайной погрешностью [12].

III. Теория

Выборочная оценка квантили случайной величины X с непрерывной плотностью распределения p(x) в окрестности точки xa , в которойp(xa)>0, по теореме Мостеллера [11], асимптотически нормальна:

jn

где xa - точное значение квантили, а оа - асимптотическое значение среднего квадратического отклонения оценки Ха(п), которой равно [7, 10]:

= Л ~г Г •

V p

Вместе с тем у выборочной квантили Ха(п) всегда существует математическое ожидание, если п достаточно велико, даже, когда сама случайная величина не имеет моментов, например в случае распределения Коши [13]. Величину <га/у[п , имеющую скорость сходимости и4 2, можно интерпретировать как точность выборочной

оценки квантили. Плотность вероятности случайной величины X на интервале [а, Ь], распределенной равномерно, имеет вид:

Р(х) =

0, х < а

1

Ь - а 0, х > Ь

х е [а, Ь],

При а е (0,1) имеем ха е (а, Ь) , и функция распределения имеет вид:

Р

Ь - а

С учетом (3) получим асимптотическое значение среднего квадратического отклонения оценки квантили для равномерного распределения:

= ^

Если случайная величина X распределена по экспоненциальному закону с параметром X, то плотность вероятности можно представить как

0, х < а,

Аг^, х > 0.

Р

В этом случае аналитическое выражение для квантили имеет следующий вид [7]:

ха = ае

А

тогда асимптотическое значение среднего квадратического отклонения оценки квантили для экспоненциального распределения можно представить как:

СТа=иТ0)-

Плотность вероятности распределения Коши имеет вид (Х~АГ(0)):

I__1_

П 1 + х2

Р

а значение квантили в зависимости от а имеет вид:

ха = tg

Подставляя выражение (12) для квантили в выражение для плотности вероятности (11) получим:

Р

П 1 + ^ (п(а-1/2))]

С учетом (3) и (13) для распределения Коши находим асимптотическое значение среднего квадратического отклонения оценки квантили в следующем виде:

^ = -а)

Если случайная величина u имеет стандартное нормальное распределение, то в этом случае асимптотическая оценка погрешности выборочной оценки квантили будет равна [7] (рис. 5, 6):

°а= , ^ 2 ,

yln

где n - количество элементов выборки случайной величины uh i=1,...,n, а - заданный уровень вероятности,

а е (0,1).

IV. Результаты экспериментов

Численное моделирование оценки СКО, согласно (6), показывает, что для случайной величины, распределенной равномерно на интервале [а, Ь], асимптотическая оценка СКО аа минимальна при а^0 и и максимальна при а=1/2 [15] (рис. 1, кривая 1).

Из выражения (10) определяем, что для случайной величины, распределенной экспоненциально с параметром X, асимптотическая оценка СКО аа минимальна при а^0 и является возрастающей функцией при а е (0,1). При этом, при асимптотическая оценка СКО аа будет стремиться к бесконечности. Следовательно, квантиль экспоненциального распределения оценивается тем хуже, чем а ближе к единице [7, 10] (рис. 1, кривая 2). Также из (10) легко заметить, что скорость стремления асимптотическая оценка СКО аа к бесконечности

при а^1 пропорциональна (л/1 -а) [7]. Из графика (рис. 1) можно сделать вывод о том, что для случайной

величины с распределением Коши асимптотическая оценка СКО аа минимальна для а =1/2. При а^0 и а^>1 оценка аа пропорционально стремится к бесконечности. Следовательно, квантиль распределения Коши оценивается тем хуже, чем ближе а к нулю или единице [7] (рис. 1, кривая 3).

Рис. 1. Зависимости оценок СКО квантилей для различных законов распределения вероятностей случайных величин: 1 - равномерное распределение; 2 - экспоненциальное распределение; 3 - распределение Коши; 4 - нормальное распределение

Скорость стремления асимптотической оценки СКО аа к бесконечности при а^1 пропорциональна

(V1 -а) , а при а^0 - (>/а) [7]. Для стандартного нормального распределения при а^1 асимптотическая

оценка СКО аа будет стремиться к бесконечности. Следовательно, квантиль нормально распределения также оценивается тем хуже, чем а ближе к единице (рис. 1, кривая 4).

Из (15) получаем, что скорость стремления асимптотической оценки СКО аа к бесконечности при пропорциональна (^/-(1 - а) 1п(1 - а)) . Аналогично скорость стремления асимптотической оценки СКО аа к бесконечности при а^0 пропорциональна (^/-(а)1п(а)) .

V. Обсуждение результатов

Полученные данные, например для нормального распределения (15), позволяют произвести оценку зависимости СКО от уровня вероятности квантили при заданной длине выборки экспериментальных данных (рис. 2), что формирует требования к параметрам измерительного канала для измерения пиковых значений сигнала. При этом следует учитывать частоту дискретизации, длину выборки и минимальную частоту сигнала.

Вероятность, а

Рис. 2. Асимптотические оценки погрешности выборочных оценок квантилей для различных величин дискретных значений п в выборке данных для стандартного нормального распределения

Зависимость асимптотической оценки погрешности выборочной оценки квантиля от величины дискретных значений п в выборке данных можно оценить по формуле (рис. 3):

а

п = —2-2-.

-1п

Оценка СКО, а

0 -1 10 1 00 Кол и» « с 1 тв 000 о от сч ет о 10 в, 000 п 10 0000 1 00 0000

Рис. 3. Зависимость асимптотической оценки погрешности выборочной оценки квантиля от величины дискретных значений п в выборке данных при а=0.97 для стандартного нормального распределения

Таким образом, полученные формулы, в частности, для наиболее часто встречающегося случая нормального распределения случайной величины (15), (16), позволяют оценить возможные погрешности измерений пиковых значений процессов независимо от их характера - от детерминированного до нормального случайного.

VI. Выводы и заключение

Теоретически рассчитываемая нормированная среднеквадратичная ошибка оценки квантиля виброакустического сигнала позволяет однозначно определять погрешность измерений вне зависимости от свойств колебательных процессов, при этом погрешность оказывается зависимой только от свойств измерительного канала, который аттестуется метрологически в заданном диапазоне частот.

Полученные выражения позволяют оценивать погрешность измерения пикового значения сигнала независимо от формы и частоты периодического сигнала, спектра и статистических свойств измеряемого сигнала в отличие от пикового детектора, погрешность измерения которого определяется только для сигналов определенной формы.

Таким образом, решена проблема оценки величины мгновенных значений колебательных процессов независимого от их характера и свойств. При этом для различных законов распределения вероятностей случайной величины - значений колебательного процесса - определены погрешности оценки квантиля случайного процесса.

Результаты исследований необходимо использовать при разработке средств измерений пиковых значений сигналов, анализе параметров виброакустических сигналов и других процессов, используемых в системах контроля состояния и диагностики динамического механико-технологического оборудования, а также объектов различного назначения [14, 15, 16].

Список литературы

1. Балицкий Ф. Я. [и др.]. Неразрушающий контроль : справ. В 7 т. Т. 7. Кн. 2. Виброакустическая диагностика / под общ. ред. В. В. Клюева. М. : Машиностроение, 2005. 829 с.

2. Костюков В. Н., Науменко А. П. Виброакустическая диагностика как основа мониторинга технического состояния машин и механизмов // В мире неразрушающего контроля. 2017. № 3. С. 4-10.

3. Науменко А. П. Научно-методические основы вибродиагностического мониторинга поршневых машин в реальном времени : дис. ... д-ра техн. наук. Омск, 2012. 423 с.

4. Костюков В. Н., Науменко А. П. Основы виброакустической диагностики и мониторинга машин: учеб. пособие / М-во образования и науки РФ, Омский гос. тех. ун-т; НПЦ «Динамика». 2-е изд., с уточн. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2014. 378 с.

5. Науменко А. П. Методология виброакустической диагностики поршневых машин // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Машиностроение. 2007. Спец. выпуск «Двигатели внутреннего сгорания». С. 85-94.

6. Когаев В. П., Махутов Н. А., Гусенков А. П. Расчет деталей машин и конструкций на прочность и долговечность: справ. М.: Машиностроение, 1985. 224 с.

7. Вишняков Б. В., Кибзун А. И. Применение метода бустрепа для оценивания функции квантили // Автоматика и телемеханика. 2007. № 11. С. 46-60.

8. Пейтон А. Дж., Волш В. Аналоговая электроника на операционных усилителях. М.: БИНОМ, 1994. 352 с.

9. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / под ред. Ю. В. Прохорова. М.: Большая российская энциклопедия, 2003. 912 с.

10. Кибзун А. И., Кан Ю. С. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 372 с.

11. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984. 248 с.

12. Мирский Г. Я. Электронные измерения: 4-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь. 1986. 440 с.

13. Дейвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979. 336 с.

14. Костюков В. Н., Науменко А. П. Система мониторинга технического состояния поршневых компрессоров нефтеперерабатывающих производств // Нефтепереработка и нефтехимия. Научно-технические достижения и передовой опыт. 2006. № 10. С. 38-47.

15. Науменко А. П. [и др.]. Комплексный мониторинг технологических объектов опасных производств // Контроль. Диагностика. 2008. № 12. С. 8-19.

16. Костюков В. Н., Науменко А. П. Решения проблем безопасной эксплуатации поршневых машин // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2009. № 3. С. 27-36.