Стабилизация непрерывно-дискретной системы с периодической матрицей коэффициентов

УДК 517.977.1

Е. А. Лизина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Аннотация. Рассматривается управляемая динамическая система, заданная в виде линейной системы дифференциальных уравнений с периодической матрицей коэффициентов. Доказывается существование кусочно-постоянного стабилизирующего управления по всем фазовым переменным. Доказательство в существенной части опирается на критерий асимптотической устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей. При этом используются приближенно построенные матрицы монодромии и их мультипликаторы.

Ключевые слова: непрерывно-дискретные системы, кусочно-постоянное

управление, периодические коэффициенты.

E. A. Lizina, V. N. Shchennikov, E. V. Shchennikova

STABILIZATION OF CONTINUOUS-DISCRETE SYSTEM WITH PERIODIC MATRIX OF COEFFICIENTS

Abstract. The article considers a controlled dynamical system given as a linear system of differential equations with periodic coefficient matrix. The authors prove the existence of piecewise continuous stabilizing control over all phase variables. The proof is substantially based on the criterion of asymptotic stability of linear differential equations with a periodic matrix. At their research the authors use the approximate construction of the monodromy matrix and its multiples.

Key words: continuous-discrete systems, piecewise constant control, periodic coefficients.

1. Постановка задачи

В настоящее время большое внимание уделяется моделям так называемых неперывно-дискретных систем, содержащих дискретные и непрерывные компоненты [1-3]. Такие системы встречаются всюду, где дискретные регулирующие устройства (компьютеры, микропроцессоры и просто пороговые устройства) сочетаются с непрерывными по своей природе объектами управления. Здесь под непрерывно-дискретными системами понимаются системы дифференциальных уравнений, в которых управление является кусочнопостоянным.

Рассмотрим систему уравнений с дискретно-непрерывным временем:

x = A

где xe Rn, u e R, A(t), B(t) - непрерывные ю -периодические матрицы размерности соответственно nхn и nх1; u = u(ph) - кусочно-постоянное управление, зависящее от дискретных моментов времени; x (0 ) = Xq - начальное условие, под нормой вектора понимается евклидова норма, согласованная с нормой матрицы.

Измерения вектора состояния системы (1) производятся в равноотстоящих точках t = рк , где к - шаг квантования, р = 0,1, 2,... На основе этих

измерений и формируется управление и = и (рк). При этом возникает задача

нахождения кусочно-постоянного управления, стабилизирующего систему (1).

Для решения поставленной задачи предлагается перейти от исходной системы (1) к вспомогательной дискретно-непрерывной системе с кусочно постоянными матрицами коэффициентов, для которой строится приближенная матрица монодромии и стабилизирующее управление. Доказывается, что данное управление может быть принято за сколь угодно точное стабилизирующее управление исходной системы.

2. Стабилизация управляемой непрерыно-дискретной динамической системы с периодической матрицей

Разобьем отрезок [0, ю] на т равных частей точками =от так, что-

бы ^ = 0, tm =ю.

Случай 1. Для определенности сначала рассмотрим случай, когда точки разбиения и = и (рк) tk [к = 0, т —1) совпадают с моментами квантования

системы (1) {рк} =01 т . Обозначим через кк величину к-го шага разбие-

ния, т.е. кк = tk+1 — tk , к = 0, т — 1. По предположению кк = к.

В системе (1) на каждом промежутке tk < t < tk+1 заменим матрицы

А ^) и В ^) постоянными матрицами, построенными по следующему правилу:

1 tk+1 1 tk+1 _______________________

Ак = — [ А к )Л, Bk = — [ В к )Л, k = 0, т — 1.

кк I кк к

Тогда на отрезке [0, ю] матрицу А ^) заменит кусочно-постоянная матрица а к), т.е.

А» = {АЬ..., Ат },

где min A(t)< Ak < max A(t), te [д,tk+1), k = 0,m -1.

teVk A+1) re[% ,fk+1)

Аналогично в рассмотрение вводится кусочно-постоянная матрица B*(t), т.е.

B*

где min B

Введем обозначение х*(1) - непрерывный вектор, удовлетворяющий

в точках непрерывности матриц А*^) и В*^) системе дифференциальных уравнений с кусочно-постоянной матрицей

х*= А*

Рассмотрим данную систему на промежутке t е ^, tk+1), где (5) будет

представлять собой непрерывно-дискретную систему с постоянными коэффициентами вида

х* = АкХ* + Ви

Для системы

ик = С1х*

где Ск (к = 0, т -1) - п -мерный вектор такой, что для каждого промежутка

^к,tk+1) выполняется условие Яе Xу (ак + ВкС1)< 0. Как известно, данное условие выполнимо тогда и только тогда, когда матрицы управляемости Калмана {Вк, АкВк,..., Ап—1Вк} имеют ранг п [4, с. 51]. Отметим, что условие

управляемости выполнено при t е ^к, tk+1), к = 0, т — 1. Далее будем считать,

что такие коэффициенты уже найдены.

В качестве управления для системы (5) выбирается векторная функция

вида

и = С*Т А1 )х*

где С*Т ^ ) - п-мерный вектор-строка, определяемый следующим образом:

С*

Яе Xу (к + ВС) < 0, у = 1,к, к < п.

Подставив управление (8) в систему (5), получим х* = А*(1 ) х* + В*(1 )С*т А1 ) х*( рк),

или

х* =

Введем следующие обозначения: А*(1 ) + В*(1 )С*Т ^ )= М*^) и

В*(1 )С*Т ^ ) = И* А). Тогда

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

^^{^..^т }, где м*(1)= Мк = Ак + ВкС'Т при t е[^, ^+1 ), к = ° т ,

Н*(1 )={ ^Ь..^ Ит }, где И*= Ик = ВкСт при t е^к, tk+1), к = 0, т .

С учетом этих обозначений система (10) примет вид

х*= М*

При этом отметим, что для системы

х* = М *

в силу выбора непрерывного управления выполняется условие асимптотической устойчивости решения, т.е. мультипликаторы матрицы монодромии данной системы по модулю меньше единицы [5].

Для промежутка времени , tk+1) системы (11) будет справедливо

следующее неравенство [6, с. 100]:

х* — х*

где Vк (к = 0, т — 1) - вещественные числа, не зависящие от к. Здесь и далее

используется евклидова норма. Используя данную оценку в неравенстве (11), получим

х* <М*(1 )х*+ И*(1 )v*k х*(рк) , tе tk,tk+1), к = 0,т — 1, где V* = Vк при t е ^к, tk+1) и система сравнения для которого имеет вид у* = м*(1 ) у* + И*(1 )v*k х*( рк) , у* (рк ) = х* (рк), г е tk, tk+1), к = 0, т — 1.

Запишем ее фундаментальную матрицу решений на промежутках ^к, tk+1) и tе [tk+1,tk+2) соответственно. В результате получим

у* = ^)МкПк ^ккюАх*(рк)|| |е(х—^ 1МкКк (х)ёх,

v* -Yk+1 =

e

х

х J e(x tk+l^MkNk+1 (x)dx (k = 0,1,...,m -1).

lk+1

Здесь Б* и Б*+1 есть произвольные матрицы, tк = рк, tk+1 =(р + 1)к .

Используя непрерывность решения У *^) в точке t = tk+1 = (р + 1)к согласно [7] будем иметь

t

k

= D.

k+1'

Dk (ehMk +Vkh||x*(ph)j| J e(—ph)MkNk (х)dх) =

ph

(E + Vk+lh||x*((p + l)h)|| J e(—(p+l)h)kNk+l (х)dх).

( p+l)h

Оценив по норме в данном равенстве, получим

ph

i<

(p+l)h

ph « .| Nk

или

hIN +vkh x*(ph)|| J e(T—phM -|Nk (х)|dх

ph

x

x

1+vk+lh

x *((p + l)h )|| J e(x~(p+l)h )k+1!

(p+l)h

lNk+1 (х)|d х

—l

При к = 0 и t = to = 0 получаем

X (0) = Е = А).

Из формулы (14) последовательно получили оценки норм матриц Б1,..., Ат—1:

ehM^\ +v0h x*(0) JeW .1N0 (

х M о II .і

х)І dх

<-

1 + vlh x*(h) Je(T h)Mll||N1 (х)|dх h

ehhM°l + v0h|x* (0)| JєхM°l .1N0 (х)|dх

IN <--------------r^—---------------:

1 + Vlh x* (h) Jє(х h)MlH||Nl (х)|dх

/N1 + vlh X*(h) J)7i|||N1

х)І dх

x-

1 + V2^|x*(2h)|| J e((~2h(х)|dх 2h

eh\r4 +v0h X*(0) Je^0! .|N0 (х)|dх

... x

1 + vlh X*(h) Jє(х h)Mll||N1 (х)|dх

4—2)h|M„

+ V

m—2'

x•

x

' ((m - 2)) J є(х (

(m—2)h

Nm-2 (х) dх

1 + V

m—1'

X*((m -

, J e

Jm—l)h

-l)h)m—lH| |Nm_i 1х)| dх

Слагаемые, содержащие интегралы, обозначим в равенствах (15) следующим образом:

V0h X* (0) Je^l J|N0 (х)dх = V0То (t)h,

vlh|X(h)|Je(х hM -|N1 (х)|dх = vlTl (t)h,

m—l'

x

((m - l)h) J є(х (

(m—l)h

m—l

Nm—l (х)|dх = vm- 1Tm— 1 )h.

Тогда из (15) будем иметь

INI <

INI <

є"Г 0II + v0 Т 0 (t )h 1 + vlTl (t )h ,

eh\r4 + v0Т0 (t)h ehM + vlTl (t)h 1 + V1T1 (t)h 1 + v2Т2 (t)h ,

+ voТo(t)h x x e

m—2

+ vm—2Тm—2 (t)h

1 + vm—1Тm—l (t)h

1 + у1Т1 ^ )к

где Т0 ^ ),..., Тт—2 ^ ) - вещественные функции. Таким образом, при достаточно малом к и t ^ т — 0 = ю — 0 фундаментальную систему решений системы (11) можно оценить следующим образом:

X *

<

m—l

+Ф(1 )к + ^ '... • ^т—1Т0 •...' Тт—1 • к"‘ ", tk < t < %+Ъ

где Ф(1 ) - вещественная функция. На последнем промежутке ^т—1, tm =ю] данная оценка примет вид

X *

<-

(t —(m—l)h^^|Mm—l^Mm —1| . . eh\M0

+Ф(ґ )к + Уо •... • Ут_1 -То •... -Тт_1 • кт_\ Таким образом, получим при ґ ^ ґт - 0 = ю- 0

X *

k —HI . . єЩИoil

(1 + VlТl (t)).... .(1 + vm—іТ m—l (t)) +Ф^)h + vo .....vm—і .То ....^m— і .hm—l.

Итак, найдена оценка нормы фундаментальной матрицы решений системы (11) при совпадении точек разбиения tk (к = 0, т — 1) с моментами квантования системы (1). Далее рассмотрим случаи, когда разбиение периода [0, ю] системы (1) точками tk (к = 1, т — 1) не совпадает с моментами квантования данной системы.

Случай 2. Пусть период [0,ю] разбивается точками tk (к = 0,т — 1, to = 0, tm =ю) таким образом, что промежуток разбиения , tk+1) содержит несколько моментов квантования рк. Для определенности положим, что на рассматриваемом промежутке , tk+1) проводится п измерений, р = 1, п .

При этом первый и п-й моменты квантования совпадают с точками tk и tk+1 соответственно, т.е. tk = к, tk+1 = пк .

Используя преобразования (2)-(4) и управление, построенное по правилам (8)-(9) перейдем к системе вида (11). В отличие от рассматриваемого выше случая, на промежутке , tk+1) будет выполняться (п — 1) неравенство

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

вида (13) для каждого отрезка [рН,(р + 1)И) с [ґь,ґк+1). Следовательно, на промежутке [ґ^, ґк+1) имеет место система неравенств

х* <Ык (ґ)х* + (ґ^Н х*(pH) , ґє [рН,(р + 1)Н),

х* <Ык (ґ)х* + Ыь (ґ)у2Н х*((р + 1)Н) , ґє [(р + 1)Н,(р + 2)Н),

х* <М* ^)х* + Ы* ^ )vnk х*((п — 1)к) , tе [(п — 1)к,пк). Система сравнения для данной системы имеет вид

У = М* к) у + Ы* А )у *к х (рк) , t е[ рк, (р +1) к), р = 1, п — 1, фундаментальная матрица решений которой запишем следующим образом:

Yk = e(t—h )MkDk +v k'Dk Z

i=h,2h,...,nh

(/ )IIJє(х г)MkNk (х)dх, tє[tk,tk+l),

, при t є[tk+l, tk+2):

Yk+l = eA—h )Mk+1 Dk+1 + v k+lhDk+1 x

x Z

j=nh,(n+l)h,... ,2nh

x*

(j) Jє(х jMk+lNk+l (x)dх.

Так как решение системы непрерывно в точках tk+1 = пк, то имеет место следующее соотношение:

eA—h )|К

Dk+1 < Dk

+vkh Z

i=h,2h,...,nh

X *(i )I|J є(х—і

ЖІЬ

Nk (х) dх

1+vk+lh Z

i=nh,(n+l)h,...,2 nh

x

,(х—i )\\Mk+J| N

dх

Используя предыдущие рассуждения и обозначив

vkh Z

j=h,2h,...,nh

x!

;х—j )|K

получим оценку матрицы монодромии в виде неравенства

Случай 3. Рассмотрим последовательность точек разбиения ґк, ґь+1, ґь+2, где ґь = рН , ґь+2 = (р +1)Н , а ґь+1 не совпадает ни с одним моментом квантования.

Тогда на промежутках , tk+1) и +1, tk+2) система (6) примет вид

соответственно

х*=Д*х*+вкик (рк) tе tk,%+1), х0 = х*(1* )=х*(рк), х* = Ак+1х* + Вк+1ик+1 (рк), t е t к+Ъ^+2 ), х* = х* (к*+1).

Управление для данных промежутков выбирается в соответствии с

-т *

ик = СkX (ph), tє

uk+l=Ск+1 x*(ph), t

tk, tk+l), t к+1, tk+2 ),

где С* — п -мерный вектор, таким образом, чтобы выполнялись условия:

Re Хj (а, + bC ) < 0 при t є Re Хj (Ak+1 + Bk+lCk+l) < 0 при tє

t к, tk+1

t к+1, tk+2

Подставив выбранные управления в системы, получим

X*=(Ak + BC )x* + BC

x* = (Ak+1 + Bk+lCk+l )x* + Bk+lCk+l

-X I, tє

-X I, tє

tk+b tk+2 ).

Заменив невязку х* (рк) — х* оценкой (13), которая выполняется на

промежутке

tk , tk+2 ) , и обозначив Ak + BkCk = Mk , BkCk = Nk , получим

систему неравенств

х* <Мкх* + Ыкукк х*

х*+1 <Мк+1х* + Ык+1укк х*(рк) и соответствующую систему сравнения

У* = МкУ* + Ы*Vкк х*

t є

tk, tk+l), t є tk+1, tk+2

t є

tk , tk+1 ),

t є

tk+2 , tk+2 ).

у*+1 = Мк+1 У + Ык+^кк х

Фундаментальная матрица решений данной системы на промежутках t к, tk+1) и t *+1, tk+2) соответственно запишется следующим образом:

к = е(к—Ч )МкПк +V ккВк\х *(рк ))\е(к-1* МЫк (ту х,

Yk =

tk

Yk*+l = e(t—fk+l)Mk+lDk+l + vk'D,+11|X* (ph)|| J eA~tk+ )kNk+1 (х)dх.

k+l

Отсюда при переходе к нормам и ґ = +] будем иметь

eA—tk Ml + vkh||x * (ph )|| J e(k~tk Ml ||Nk (х)| d х _____________________tk_________________

1 + Vkh X* (ph)|| J e(—?k+l^UNk+l (х)|dх

k+l

Следовательно, для данного случая также выполняется оценка (16).

Итак, независимо от способа разбиения периода, матрица монодромии линейной непрерывно-дискретной системы с кусочно-постоянными коэффициентами (10) оценивается через матрицу монодромии системы (11). Следовательно, вывод относительно устойчивости или неустойчивости данной системы можно сделать, оценив мультипликаторы фундаментальной матрицы решений системы (12).

Далее проведем обоснование того, что кусочно-постоянные коэффициенты управления системы (10) С*^), построенные по правилу (6), решают задачу стабилизации для уравнения (1). Для этого примем, что и (рк) = СТ ()х(рк), где С^) - некоторый непрерывный периодический вектор, и запишем уравнение (1) в виде

х = А А )х + В А )СТ ^) х (рк), t е [0, ю],

или

x =

Введем обозначения А ^) + В (1)СТ (^ = М ^), В ( )СТ ^ ^ ). То-

гда (17) примет вид

X = M(t)x + N(t)(x(ph)-x), tє [О,ю].

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть для системы (5) построено стабилизирующее управление (8) с кусочно-постоянными коэффициентами С*(), вычисляемыми по правилам (9). Тогда, если для любого существует такое разбиение отрезка [0,ю], что коэффициенты управления и = СТ ^)х(рк) системы (1) удовлетворяют условию

^

3L

то верно

x

й єйює

2roR+l

где х(ґ) - решение системы (1); х*(ґ) - решение системы (5); Ь - верхняя граница нормы матрицы В (ґ); Я - верхняя граница нормы матрицы М (ґ);

й - вещественное число.

Доказательство. Зададим число є> 0 . В доказательстве будем рассматривать системы (1) и (5) соответственно в виде (18) и (11). Так как коэффициенты управления Є*(ґ) кусочно-постоянные на промежутках, очевидно, что существует такое разбиение отрезка [0, ю] на части точками ґк так, что тах Нк = %+1 - ґк < є , и при этом будет выполняться неравенство

C*

й S.

Далее оценим нормы матриц С) и М ^). Так как матрицы А ^) и В ^) непрерывны и ю -периодические, то они ограничены, т.е. существуют числа К > 0 и Ь > 0 такие, что ||А ^ )|| < К, ||В ^ )|| < Ь . Тогда

, ik+1 jJA t

t )dt

i k+1 л

т J IIа(t)|dtйі*hK-

й S , следует BJ й L,

= K.

Аналогично, из того что ||В(ґ)||< Ь , Є*(ґ) є> 0 \ЄЛ < ^ . Следовательно,

rnA =

Ak + BkCI

й K + LS = R

для всех промежутков в

tk, tk+1

),

а значит,

M *

й R .

Учитывая (19) и (20), оценим норму ||Є(ґ)||. Запишем неравенство

CAtC*tt) < с

. Откуда получаем

||С(t)|s С*(t) + С(t) — c*tt

< S + — = P. 3L

Далее оценим норму 0 < ґ < ю, можно записать:

ґ

х(ґ)- х*(ґ) . Решения х(ґ) и х*(ґ) при

X*(t ) = E + J M *(tl )x*(tl )dtl + Z ch\x (i )|J N * (tl )dtl,

О

i=0,h,2h,...,ffl

x (t ) = E + J M (tj )x (tj )dtj - J N (tj )x (tj )dtj + Z x (z' )J N (tj )dtj

i=0,h,2h,...,ff)

откуда

x* (t)- x (t) = J [M * (tj )x* (tj)- (M (tj)- N (tj)) x (tj )]dtj

x (i) J N* (tj )dtj -x (i) J N (tj )dtj].

+ z

i=0,h,2h,...,ff)

Переходя к норме при 0 < t < ю, получим

х*(1 )-хА1 ) = | М*А11 )х*(11 )-МА11 ) + ЫА11 )||-||хА11 )||dtl

hJI Iм (tl)- N (tl)||  x* (tl)- x (tl) dtj

+ z hh -

i=0,h,2h,...,ffl

N*(tj)-N(tj) dtj.

Из неравенства (16) при t е [0,ю] находим

< екЫекМ -11..... еЩМ ^ < (к+..+к)=ю

\t)

Так как А^) и В^) непрерывны на отрезке [0,ю], то для любого е>0 существует 8>0 (8 = 8(е)) такое, что

1И(t')-A(t')|<3, ||B(t')-B(t')||:

3P

при /, ^е^,ю] и |1г- 1л’|<8 . Разобьем отрезок [0,ю] так, что кк <8 (к = 0,1,...,т -1). Тогда для всех t е [0,ю] будем иметь

A*

3P

а следовательно,

M *

A*

0

й

й- + LS, З

A*

M tt)—N (t )|=||A tt)+в tt )cT tt)—в (t )cT (t x<| Iа (t ц< k ,

N* (t)- N(t) = B*(t)C*T (t)- A(t)CT (t)|й

й

B*

є є 2

й L — + P — й - є. 3L 3P З

Таким образом, из формулы (21) получаем

t / \ t х* ^) - х ^ ) = Л -3 + Ls |||х

dt; +

Z llc;h -1 ix A )J |є^і < f -7+LS J^ + J K||x*

, O L . 3 f 3 J r,

i=0,h,2h,...,to

dt; +

3PеюIIc;h -l|| KemR =

dt;.

Применяя лемму Гронуолла - Беллмана [6], получим

х*(1 )-х^ ) <(е + Ьк + |\с1к -1К^ге0^ = 0.югеюК^ и, следовательно,

x*

й йюєє'

o

Так как число е> 0 можно взять произвольно малым, то из неравенства (22) будем иметь

lim

h^O

x*

= 0.

Причем стремление к нулю является монотонным. Теорема доказана. Рассмотрим характеристические уравнения

det ((ю)-рЕ ) = 0 и det |х*(ю)-р* Е ) = 0,

пусть ру, р* (к) (у = 1,п) - соответственно корни этих уравнений. Так как

корни р* (к) являются непрерывными функциями величины к, то в силу соотношения (22) имеем

Нш р* (к) = ру, (у = 1,п).

к^0 у у у '

Таким образом, выбрав h достаточно малым, можно определить мультипликаторы рj с любой степенью точности. Отметим, что решение непрерывной системы (П) асимптотически устойчиво по Ляпунову, а значит, при всех h < ho решение системы (5) также асимптотически устойчиво. В этом

случае абсолютное значение мультипликаторов р*

меньше единицы. По доказанной теореме lim р* (h) = р j, (j = j, n), т.е.

h^o J J v '

мультипликаторы исходной непрерывно-дискретной периодической системы (!) также меньше единицы, что означает ее асимпточескую устойчивость.

Итак, в работе доказывается существование стабилизирующего управления дискретно-непрерывной линейной с периодическими матрицами коэффициентов. Для этого рассматриваемые системы переводятся в системы с кусочно-постоянными коэффициентами, для которых строится стабилизирующее управление. При выполнении приведенных выше условий данное управление будет стабилизировать также и исходную систему.

Таким образом, в работе приведены условия для нахождения кусочнопостоянного управления применительно к непрерывно-дискретным линейным и линейным многосвязным управляемым системам с периодическими матрицами коэффициентов.

Список литературы

L DeCarlo, R. Perspectives and results on the stability and stabilisability of hybrid systems / R. DeCarlo, M. Branicky, S. Pettersson, B. Lennartson // Proc. IEEE. - 2000. -V. 88. - Р. Ш69-Ш82.

2. Shorten, R. Stability criteria for switched and hybrid systems / R. Shorten, F. Wirth, O. Mason, K. Wulf et al. // SIAM Rev. - 2007. - V. 49, № 4. - P. 545-592

3. Hai Lin. Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results / Hai Lin, P. J. Antsaklis // IEEE Trans. Automat. Control. - 2009. - V. 54, № 2. -P. 308-322.

4. Воронов, А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем / А. А. Воронов. - М. : Наука, ^85. - 352 с.

5. Блинов, И. Н. Линейные дифференциальные системы с кусочно-постоянными периодическими коэффициентами / И. Н. Блинов // Автоматика и телемеханика, Ш5. - Т. XXVI, №L - С. Ш-Ш.

6. Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. - М. : Наука, ^75. -496 с.

7. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. - М. : Наука, ^67. - 472 с.

References

L DeCarlo, R. Perspectives and results on the stability and stabilisability of hybrid systems / R. DeCarlo, M. Branicky, S.Pettersson, B. Lennartson // Proc. IEEE, 88 (2000), j069-j082 pp.

2. Shorten, R. Stability criteria for switched and hybrid systems / R. Shorten, F. Wirth, O. Mason, K. Wulf et al. // SIAM Rev., 49:4 (2007). Pp. - 545-592.

3. Hai Lin Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results / Hai Lin, P. J. Antsaklis // IEEE Trans. Automat. Control, 54:2 (2009). - Pp. 308322.

4. Voronov, A. A. Vvedeniye v dinamiku slozhnykh upravlyayemykh sistem / A. A. Voronov. - M. : Nauka, j985. - 352 s.

5. Blinov, I. N. Lineynyye differentsial'nyye sistemy s kusochno-postoyannymi peri-odicheskimi koeffitsiyentami / I. N. Blinov // Avtomatika i telemekhanika, j965. -T. XXVI. - №L - S. Ш-Ш.

6. Zub ov, V. I. Lektsii po teorii upravleniya / V. I. Zubov. - M. : Nauka, ^75. -496 s.

7. Demidovich, B. P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti / B. P. Demidovich. - M. : Nauka, j967. - 472 s.

Лизина Елена Александровна аспирант, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева

E-mail: lizina-elena@yandex.ru

Щенников Владимир Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева

E-mail: du@math.mrsu.ru

Щенникова Елена Владимировна

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра информатики и вычислительной техники, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева

E-mail: du@math.mrsu.ru

Lizina Elena Aleksandrovna Postgraduate student, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov

Shchennikov Vladimir Nikolaevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of differential equations, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov

Shchennikova Elena Vladimirovna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of informatics and computer science, Mordovia State University named after N.P. Ogaryov (Saransk,

68 Bolshevistskaya str.)

УДК 517.977.1 Лизина, Е. А.

Стабилизация непрерывно-дискретной системы с периодической матрицей коэффициентов / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - С. 181-195.