Об умножении контравариантных символов

Обозначим a1 = (d\,hi) а2 = (di,gi). Если Р2 или Q2 не делятся, соответственно, на а1 и а2, то система (4) - (5) решений не имеет. Если Р2 делится на а1 и Q2 делится на а2, то поделим уравнения (4) и (5), соответственно, на а1 и а2. Поэтому изначально можем считать, что (d1,h1) = 1 (d1,g1) = 1.

Известно, что два многочлена p и q взаимно простые тогда и только тогда, когда существуют многочлены и и v такие, что up + vq = 1. Можно воспользоваться алгоритмом Евклида, чтобы найти такие и и v.

Применяя этот способ, находим общие решения h2, d1, и д2, d2 уравнений (4) и (5). Затем в семействах d1, и d2 находим общий элемент, если он существует, с наименьшей степенью, причем применяем еще раз алгоритм Евклида. Именно этот элемент выбираем в качестве d2. Построенный таким образом d = d1 + id2 называем HOD многочленов Р и Q. Если d не существует, многочлены Р и Q называем взаимно простыми.

N. A. Malaschonok. GCD of polynomials in the dual variable

For polynomials on the ring of the dual variable, an analog of GCD is constructed Keywords: greatest common divisor, dual numbers, Euclidean algorithm

УДК 517.98

Об умножении контравариантных символов 1

© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова

Вводится умножение контравариантных символов в полиномиальном квантовании на пара-эрмитовых симметрических пространствах. Для простоты изложения мы ограничиваемся ключевым примером такого пространства: однополостным гиперболоидом в М3. Умножение индуцируется умножением операторов. Оно задается некоторым интегралом. С другой стороны, ядро этого оператора дает преобразование (аналог преобразования Березина), которое переводит ковариантные символы в контравари-антные. Его можно выразить через оператор Лапласа-Бельтрами. Для полученной алгебры контравариантных символов справедлив принцип соотвествия.

Ключевые слова: группы и алгебры Ли, представления групп Ли, пара-эрмитовы симметрические пространства, многочлены, исчисления символов

хРабота поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/9191, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

В своей конструкции квантования на эрмитовых симметрических пространствах G/K Березин вводит два сорта символов операторов: ковариантные и кон-травариантные символы. Ковариантные символы образуют алгебру с умножением, порождаемым умножением операторов. Квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H было введено в [3], см. также [1]. Здесь тоже рассматривалось умножение только ковариантных символов. Однако, для пара-эрмитовых пространств G/H, благодаря существованию на них орисфери-ческих координат, возможно определить умножение контравариантных символов естественным и внутренним образом. В настоящей работе мы это делаем для ключевого примера - однополостного гиперболоида в R3, для наиболее алгебраической версии квантования - полиномиального квантования. Мы опираемся на нашу работу [4], см. также [2].

Напомним необходимый нам материал из [4], [2].

Группа G = SL(2, R) состоит из вещественных матриц второго порядка с определителем единица:

Алгебра Ли 0 группы О состоит из вещественных матриц X со следом 0. Базис в ней образован матрицами

Центр универсальной обертывающей алгебры Env (g) порождается элементом

Для о € С, £ = 0,1, обозначим через РСТ,£(М) пространство функций f из Сте(М) таких, что функция

тоже входит в C^ (R). Представление Та,£ группы G действует в DCT£(R) по формуле:

Обозначим через Ta,e "контраградиентное" представление g ^ Ta,£(g), где

Подгруппы H состоит из диагональных матриц

aô = 1.

^0 = + 2 (L+L- + L-L+).

f(t) = t2°,ef(1/t), t2CT,e = |t|2CTsgnet,

(Ta,e(g)f )(t) = f (t)(Pi + ô)2(J,e, î

* et + ô .

at + y

Оператор Лст,є, задаваемый формулой:

/ГО

(1 - ^)-2ст-2,є/(в) Ж,

•ГО

сплетает Та,£ и Т-ст-1є:

Т-а-і,є(д)Ла,є = Аст,£Тст,£(д) , а также Тст,є и Т-ст-1є. Композиция Лстє и Л-ст-1є есть скалярный оператор:

Л-ст-1,є Лст,є = ~, г  Е

с

где

, , 2а + 1 (-1)є + сов 2ап

с

2п від 2ап

Для элементов X из алгебры Ли 0 и ее универсальной обертывающей алгебры Епу($) представления Та,є не зависят от є, поэтому мы опустим є из обозначений.

При а = 2/ Є N = {0,1, 2,... }, є = 2/ (шоё2), представление Тає имеет инвариантное конечномерное подпредставление пі, действующее в пространстве V многочленов степени ^ 2/, его размерность равна 2/ + 1.

Введем в К3 билинейную форму

[ж, у] = -ЖіУі + Х2У2 + ХзУз.

Однополостный гиперболоид X задается уравнением [ж, ж] = 1. Реализуем К3 как множество матриц

1 ( 1 - Жз Ж2 - Жі

ж = — I

2 \ Ж2 + Хі 1 + Хз

тогда ёе1 ж = (1 - [ж, ж])/4. Группа О действует транзитивно на этих матрицах сопряжениями:

ж ^ д-1жд.

Стационарная подгруппа точки

ж0 = (0,0,1)= ( 0 ?

есть подгруппа Н, так что X = О/Н.

Действие группы О на функциях / на X сдвигами обозначим через и:

(и(д)/)(ж) = / (д-1жд).

Введем на X орисферические координаты £,^:

ж = N-1 (£ + п С - П 1+ ^ N =1 -

в матричной реализации:

-п£ -п

х N V £ 1

Эти координаты определены на множестве ж3 = —1 в X. Действие (4) сводится к дробно-линейным преобразованиям отдельно по £ и по п:

е 7 а£ + 7 - йП +в

£ ^ £ = ас , х , П ^ ^ =------------------------:— .

в£ + й 7П + а

Базисная точка ж0 имеет координаты £ = 0, п = 0. Элемент д € О переводит ж0

в точку с координатами £ = 7/$, п = в/а, так что N =

1

Напишем в координатах £, п меру ^ж, оператор Лапласа-Бельтрами А и скобку Пуассона на X, инвариантные относительно О:

^ж = ^ж(£, п) = N-2 ^£^п, д 2

А = и (А0) = N2

д£дп 2 і д/ дЛ, д/ дЛ,

{/,^} N V д£дп дп д£

Многочлен / на К3 называется гармоническим относительно формы (3), если

д2 д2 д2 \ . = 0

+ я „_2 + я „2 / = 0.

5x2 дж2 дж3 _

Обозначим через Н(Х) и Нк (X) ограничения на X пространства гармонических многочленов и однородных гармонических многочленов степени к, соответственно. Это отображение ограничения - взаимно однозначное соответствие. Пространство Н(Х) совпадает с пространством ограничений на X всех многочленов на К3, а пространство

Мк

совпадает с пространством ограничений на X всех многочленов степени ^ к.

Пространство Нк (X) инвариантно и неприводимо относительно и, соответствующее представление эквивалентно Пк. Многочлены из этого пространства являются собственными для оператора Лапласа-Бельтрами:

А/ = к(к + 1)/, / € Нк(X).

В качестве исходной алгебры операторов мы берем алгебру операторов Та (X), X € Епу($), с параметром о, действующих в функциях <^(£), £ € К. В качестве переполненной системы мы берем ядро сплетающего оператора А-ст-1,е, а именно, функцию

Ф(£,п) = фа,е (£,п) = N(£,П)2СТ,£

от двух переменных £,п- Ковариантные символы определены в [4], [2]. Контpаваpиантный символ ^ оператора А мы определяем формулой

(А^)(0 = с/ ^ (и,^) ^(и) ^х(и’^

Зо/н Ф

Ядро Ь

£

У Ф(и, V) (1 - и^)2

Обратно,

^<е ч) = фчЪ) /і<

где мы обозначили

Ф’(£’П) = Ф-<т-1,е(£’П) 1

Ф(С,п)(1 - Сп)2 ’

Ковариантные и контравариантные символы - многочлены из Н(Х). В частности, элементам ¿!, Ь+, Ь- отвечают ковариантные символы (—а — 1)(х1 — х2), (а + 1)(х1 + х2), (—а — 1)х3, соответственно.

Перенесем умножение операторов на их контравариантные символы. Пусть А1, А2 - операторы с контравариантными символами ^\, ^2, соответственно. Тогда произведение А1А2 имеет контравариантный символ, который мы обозначим * ^2. Найдем для него интегральное выражение.

Пусть Ь1(£, и), Ь2(С, и) - ядра операторов А1, А2, соответственно. Тогда ядро Ь(С,и) оператора А1А2 есть

^(С,и)^У ^1(С,а) Ь2(а,и) ^а.

Следовательно, по (7) имеем

№ *^2)(С,П) = ф,(С п) У ^1(^,а) ¿2(а,£)Ф*(*,п) ^а^.

Подставим сюда выражения для Ь1, Ь2 по (6), получим

№ *^2)(С,П) = ^ У ^1(а,^)Ф(^,^)Ф*(а,^) х

х ^2(С, и) Ф(а, и) Ф*(£, и) Ф*(£, п) ^ ¿и ,

с = с(а, е), см. (2). Теперь используем соотношение

с ( Ф(£, ^)Ф*(£, п) ^ = й(^ — п),

которое есть другая запись (1). Получаем

(Fi *F2)(£,n) =

І

С / F2(f,u) Fi(a,n) ф’(a,n) x

или

где

Ф*

В (С, п; а, и) = с ———------------

Ф*

Мы видим, что ядро В* получается из ядра Березина В из [4], [2] заменой а

на а І :

В’ = В

а ^ —а— і

а само умножение контравариантных символов получается из умножения этих функций как ковариантных символов перестановкой множителей и заменой а на — а — 1 :

Fi * F2 = (F2 * Fi) .

а ^ —а—і

Найдем преобразование B’, переводящее ковариантные символы в контравариантные. Оно - обратное для преобразования Березина B из [4], [2].

Пусть один и тот же оператор A имеет ковариантный символ Fl и контра-вариантный символ F. По [4], [2] ядро K(£,u) оператора A есть

K(£,u) = с У Fl(^, v) ф(£, v) Ф’^^) dv.

Следовательно, по (Т), контравариантный символ есть

1

F

ф’

c / F^u, v) Ф(^ v) Ф’(£, v) Ф’(^ n) dudv

c /Fi(u,v) dx(u,v).

Ф’

Мы видим, что

B’ = B

l

B

а i— — а—і

Из [4], [2] следует, что преобразование В* выражается через оператор Лапласа-Бельтрами А следующим образом:

В*

Г

Г(2а + 2) Г(2а + 1) Отсюда находим его асимптотику при а ^ —то:

B’ - 1 + ^ А , 2а

т (т +l)=A

Это дает асимптотику прозведения контравариантных символов:

Fi  F2 - F1F2 + — N2 dFl

2а д£ 5п

в правой части - поточечное умножение. Отсюда вытекает справедливость принципа соответствия: пусть а ^ —то, тогда

* ^2 ^ ^1^2,

— 2а(^1 * ^2 — ^2 * ^ {^1,^2}.

Полное асимптотическое разложение преобразования В* дается формулой (3.34) из [2] с заменой а на —а — 1.

На всяком подпространстве Нк(X) собственное число Ь*к(а) преобразования В* дается формулой (8) с т = к, оно есть 1/Ьк(а), где Ьк(а) - собственное число преобразования Березина В.

Литература

1. В. Ф. Молчанов, Квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2009, том 14, вып. 6, 1426-1442.

2. В. Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова, С. В. Цыкина, О. В. Гришина. Полиномиальное квантование Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2009, том 14, вып. 6, 1443-1474.

3. V. F. Molchanov. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces, Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2, vol. 175 (Adv. in the Math. Sci.-31), 1996, 81-95.

4. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского Унив. Серия: Ест. техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

V. F. Molchanov, N. B. Volotova. On multiplication of contravariant symbols We introduce a multiplication of contravariant symbols in polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces. For simplicity, we take a crucial example: the hyperboloid of one sheet in R3. The multiplication is induced by the multiplication of operators. It is defined by an integral. The kernel of this integral gives a transform (an analog of the Berezin transform) which moves covariant symbols to contravariant ones. We find an expression of this transform in terms of the Laplace-Beltrami operator. For this algebra of contravariant symbols, the correspondence principle is true

Keywords: Lie groups and algebras, representations of Lie groups, para-Hermitian symmetric spaces, polynomials, symbol calculi