Математическое моделирование рыночного риска

• Перевод диагностических данных в удобный для восприятия формат и сравнение результатов с аналитическими прогнозами.

• Понимание уже зарегистрированных и происходящих событий, которые могли вызвать изменения в состоянии машины.

• Представление данных состояния машины по возможности в компактной инженерной форме.

• Проведение быстрых корректирующих действий, основанных на диагностике машины.

Библиограф

1. Лонцих П.А., Шулешко А.Н., Марцынковский Дм. А. Управление качеством. Прогнозирование, риск-менеджмент, оптимизация: монография. Изд-во Lambert Academic Publishing, 2011. 301 с. Германия.

2. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев [и др.]. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.

Оценка состояния любой машины требует знаний основных характеристик машины, типа, геометрических размеров, веса, зазоров и т.д. Для достижения этой цели рабочие и вибрационные параметры необходимо тщательно проверять и контролировать. Разные методы, например, контрольные тесты отклика на вносимый дисбаланс и тесты по несинхронному возбуждению, используются для записи отклика ротора в процессе стационарной работы (совместно с частичной и полной нагрузкой) и переходных процессов.

ский список

3. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т.2: Динамика. М.: Наука, 1980. 640 с.

4. Климов А.В. Динамика рычажной релаксационной подвески с прерывистым демпфированием: дис. ... канд. техн. наук / А.В. Климов. Орел: ОрелГТУ, 2001. 186 с.

УДК 330.131.7:330.4

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЫНОЧНОГО РИСКА

Ю.Н.Журавлёва1, В.С.Микшина2

Сургутский государственный университет ХМАО-Югры, 628412, Тюменская обл., г. Сургут, пр. Ленина, 1.

Приведен анализ математических моделей количественной оценки рыночного риска методом VAR («Value at Risk»). Объектами исследования выбраны так называемые «голубые фишки» - акции наиболее крупных, ликвидных и надежных компаний со стабильными показателями получаемых доходов и выплачиваемых дивидендов. Проведена работа по анализу данных на российском рынке ценных бумаг согласно двум вариантам исследования: рассматривался ряд значений цен последовательно на периоде 250 дней (получено всего 1150 оценок) и периоде 1400 дней (получена одна оценка). Особое внимание в статье уделено сравнению эффективности различных методов оценки VAR. Ил. 1. Табл. 4. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: рыночный риск; VAR-метод; метод исторического моделирования; модель постоянных кова-риаций; имитационное моделирование Монте-Карло.

MATHEMATICAL SIMULATION OF MARKET RISK Yu.N. Zhuravleva, V.S.Mikshina

Surgut State University, Khanty-Mansi Autonomous Okrug, Ugra 1 Lenin Av., Surgut, Tyumen Region, 628412.

The analysis of mathematical models for quantitative assessment of market risk by VAR ("Value at Risk") method is pr e-sented. The objects of the study are so-called "blue chips", which are the stocks of the largest, liquid and reliable comp a-nies with stable rates of earnings and dividend payments. The authors carried out the analysis of data on the Russian securities market in two research courses: series of cost values were sequentially examined for the periods of 250 days (the total of 1150 assessments was received) and for the period of 1400 days (one assessment was received). Special attention is paid to the efficiency comparison of various VAR- methods of assessment. 1 figure. 4 tables. 7 sources.

Key words: market risk; VAR-method; method of historical modeling; model of constant covariances; Monte Carlo simulation.

1Журавлёва Юлия Николаевна, аспирант, тел.: 89227834370, e-mail: zhuravlyovajn@yandex.ru Zhuravleva Yuliya, Postgraduate, tel.: 89227834370, e-mail: zhuravlyovajn@yandex.ru

2Микшина Виктория Степановна, кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой информатики и вычислительной техники, тел.: 89124175940, e-mail: mikshinavs@gmail.com

Mikshina Victoria, Candidate of technical sciences, Associate Professor, Head of the Department of Information Science and Computing Machinery, tel.: 89124175940, e-mail: mikshinavs@gmail.com

Оценка рыночного риска является одной из наиболее важных задач при формировании портфеля ценных бумаг. Рыночный риск имеет макроэкономическую природу, то есть источниками рыночных рисков являются макроэкономические показатели финансовой системы — индексы рынков, кривые процентных ставок и т. д.

Для количественного измерения рыночного риска широко применяется методика «Value at Risk» VAR [1]. Под термином VAR понимают как методику, так и количественную оценку рыночного риска в виде единственного параметра VAR.

VAR портфеля для данного доверительного уровня р и данного периода поддержания позиций t определяется таким значением V, которое обеспечивает покрытие возможных потерь х держателя портфеля за время t с вероятностью р, то есть Р(х < V) = р.

Основными, классическими и в равной степени актуальными на современном этапе методами оценки VAR считаются [2]:

- метод исторического моделирования;

- метод параметрической оценки, наиболее распространенный в форме модели постоянных кова-риаций;

- метод имитационного моделирования, часто именуемый по основной применяемой в его рамках модели методом Монте-Карло.

Одним из основных уроков кризиса на международном финансовом рынке 2008 - 2009 гг. стала необходимость выработки инструментария для оперативной оценки и в дальнейшем адекватного прогнозирования аналитиками самых значимых рисков, в том числе и рыночных [3].

Вычисление VAR

Пусть имеется некоторый финансовый инструмент, который инвестор приобретает в момент t0 на период At = tt -10. Текущую стоимость данного инструмента обозначим: p(t0).

Если инвестор может на основе некоторой имеющейся у него информации оценить вероятности конечного числа значений цены p(t) в момент t = td, то можно говорить о наличии ситуации риска. Формально под риском будем понимать вероятностное распределение рискового фактора P(t) в момент времени t = tj и наличие «измеримой»/вероятностной ситуации неопределенности.

Функция распределения случайной величины (рискового фактора) {P(t),t = t,} будет определяться как

F(w) = P[P(t) < w] , t = t1.

Величина УАК. отражает некий уровень Ь = р(г1)-р(го) потенциальных потерь инвестора за период Ль по некоторому финансовому инструменту. При этом предполагается, что фактическая стоимость портфеля в момент времени г1 будет не меньше некоторой величины p(t) = w с вероятностью 1 -а = P.

Тогда вероятность того, что фактическая стоимость портфеля в момент составит меньшую величину (то есть величина фактических потерь за период Лt будет больше чем I), будет равняться а .

Вместо цены финансового инструмента в момент времени t = ь1 инвестор может попытаться оценить его доходность за период Л = ь, - ь0 .

Доходность финансового инструмента за период Лt будет вычисляться следующим образом:

r( At) =

p(tj - p(t0) p(t0) '

где г(Ль) - доходность финансового инструмента за период Ль .

Если от фактора Р(ь) перейти к производному рисковому фактору Я(Ль), Ль = ^ - ^, то под риском будет пониматься распределение рискового фактора я(Ль) . Функция распределения я(ль) будет определяться как

F(u) = P[R(At) < u)],At = t, - tB.

Рассмотрим некоторую совокупность наблюдений случайной величины Х(ь) в определенные моменты ь = ьк из временного периода Т. Такая последовательность называется дискретным скалярным случайным процессом. Будем предполагать, что ^ <ьк,к = 1,п .

Характеристиками дискретного скалярного случайного процесса являются моменты: математическое ожидание (начальный момент первого порядка), дисперсия (центральный момент второго порядка) [5] и корреляционная функция (корреляционный момент) [6], - если они существуют.

В рамках подхода VAR существует ряд методов анализа и оценки рыночных рисков на основе различных моделей вычисления величины VAR (рисунок).

Метод исторического моделирования основан на предположении о стационарности рынка в ближайшем будущем. Идея метода исторического моделирования состоит в использовании исторических изменений цен на составляющие портфель финансовые инструменты для построения распределения будущих изменений цен и потенциальных прибылей и убытков портфеля в целом.

Пусть инвестор обладает информацией относительно реализации случайного процесса на историческом периоде Т{р(1),1 еТ,г = 1,т} (то есть имеет

временной ряд цен некоторого инструмента за прошедший период Т). В рамках данного метода не делается никаких предположений относительно закона распределения случайной величины (рискового фактора). Оценивание величины VAR осуществляется на основе использования эмпирической функции распределения.

Мера риска \/А[3

Непараметрический метод

Метод ковариаций

-Историческое моделирование

Параметрические модели ковариаций

-Постоянных ковариаций -Экспоненциально взвешенных ковариаций -вАИСН-модепи

Непараметрические модели ковариаций

-Ядерные оценки -Разложение Фурье -Вейвлет-разпожение

Классификация методов и моделей VAR

Историческое моделирование

В качестве рискового фактора рассматривается доходность портфеля, а не его цена. Это связано с тем, что ценовая последовательность, в общем случае, не стационарна.

Полученный ряд доходностей {г} упорядочивается и очищается на часть наихудших значений, превышающую принятый доверительный уровень. В соответствии с желаемым уровнем доверия риск-менеджер может определить VAR как тот максимальный убыток, который не превышается в некотором количестве случаев.

Пусть эмпирическая функция распределения задана двумя векторами: вектором значений доходности

г = (г, г,),1 < т -1 и вектором вероятности данного значения р = (рг ,р1) . Каждый /-ый элемент вектора г однозначно соответствует /-му элементу вектора р. В отношении элементов вектора г выполняется условие г , <г,' = 1,1, т.е. элементы вектора г упорядочены по возрастанию.

Функция распределения Я(Аг) будет определяться как:

Е(и) = Р[Я(А) < и)],Аг = г1 - гг

Для определения VaR в векторе вероятности р = (р^^^р,) находим значение вероятности р = 1 -а и соответствующее значение доходности г=1 в векторе значений доходности г = (< т -1.

Величина VAR отражает некий уровень потенциальных потерь инвестора за период Аг по некоторому портфелю (финансовому инструменту).

Данный метод относительно легко применять, если хранится ежедневно пополняемая база данных о рыночных котировках. Чем выше глубина используемого для симуляций цен периода, тем больше точность оценок и тем выше опасность использования устаревших данных, заглушающих новые тенденции рынка. Метод исторического моделирования связан с непосредственным выбором горизонта (Аг)VAR, доходность измеряется за интервалы, соответствующие горизонту.

Алгоритм вычисления УЛР методом исторического моделирования:

1) Упорядочиваем выборку доходностей {г(} по

возрастанию.

2) Находим в упорядоченной выборке номер к, соответствующий доверительной вероятности Р, по формуле:

к=1+Целое((1-Р)*( -1)),

где гтах- количество значений в выборке {г}.

3) г в упорядоченной выборке {г(} соответствует уровню максимального убытка, который не превышен в количестве случаев (- к), соответствующий доверительной вероятности Р.

Модель постоянных ковариаций Модель постоянных ковариаций относится к группе методов ковариаций, включающих параметрические и непараметрические модели.

В основе модели лежит предположение о соответствии фактического распределения случайной величины (рыночного показателя) определенной теоретической закономерности. Соответственно, на рассматриваемый рыночный показатель проектируются выводы, сделанные на основании расчетов по теоретическому распределению.

Для этого по выборке Т{р(1),1 еТ,1 = 1,т} (т.е.

имеет временной ряд цен некоторого инструмента за прошедший период Т) необходимо построить эмпирическую гистограмму распределения случайной величины Я(Ль) и аппроксимировать гистограмму каким-либо аналитическим законом распределения. Таким образом будет найдена формула плотности распределения р(Я(Ль)). Тогда, при заданной доверительной вероятности Р= 1 -а, величина VAR может быть найдена аналитически или численно из уравнения

-УаЯ

Пусть рассматривается дискретный скалярный случайный процесс для некоторого периода Т, включающего исторический период времени Т и временной горизонт Т (Т = Т + Т). В качестве случайной величины (дискретной случайной величины) будем использовать доходность портфеля за некоторый период времени Дf . На временном горизонте Т2 будем рассматривать непосредственно случайный процесс { Я(Лк),Лк еТ2,к = 1,п}, а на историческом периоде

Т - его реализацию{ г(Лк),Лк еТ,,к = 1,1}.

Если совместная функция распределения временной последовательности случайной величины Я(Ль) является нормальной, то данный скалярный случайный процесс можно называть нормальным [4].

В качестве характеристик класса нормальных процессов более удобно использовать моменты (начальный момент первого порядка, центральный момент второго порядка и корреляционный момент).

В отношении случайного процесса данные моменты необходимо рассматривать как неслучайные функции от времени [7].

Алгоритм вычисления VAR методом постоянных ковариаций:

1) Находим для выборки доходностей {г(}

начальный момент первого порядка - математическое ожидание М, центральный момент второго порядка -дисперсию й.

2) Определяем значение обратного нормального распределения I в соответствии с полученными ранее параметрами М и й и обратным доверительным уровнем: 1 -а = Р, которое соответствует уровню максимального убытка с доверительной вероятностью Р.

Имитационное моделирование

В рамках развития моделей оценки VAR качественно новым шагом стало применение имитационного моделирования по методу Монте-Карло, в соответствии с которым обычно именуется данная оценка VAR. Принципиальное отличие VAR Монте-Карло от оценок исторического и вариационно-ковариационного моделирования является та особенность, что объектом моделирования выступает не только величина потерь, но и стоимость самого инструмента. В рамках данного метода потери определяются не по отноше-

нию к текущей стоимости инструмента, но по отношению к ее будущему наиболее вероятному значению, что с формальной точки зрения существенно более корректно.

В классическом варианте оценка VAR методом имитационного моделирования осуществляется следующим образом:

- на первом шаге определяется форма и параметры распределения (функциональной зависимости) для рассматриваемого ряда. Предполагается, что никаких ограничений в части вида распределения в рамках метода Монте-Карло не существует;

- на втором шаге осуществляется непосредственно моделирование ряда изменений, распределенного в соответствии с полученными параметрами.

Алгоритм вычисления VAR методом Монте-Карло.

1. Находим для выборки доходностей {rt} начальный момент первого порядка - математическое ожидание M, центральный момент второго порядка - дисперсию D.

2. По полученным характеристикам М и D и генерируем случайный процесс \rt'] с нормальным распределением, наилучшим образом приближающий фактическое распределение рассматриваемого ряда доходностей {rt}.

3. Упорядочиваем ряд {^}по возрастанию.

4. Находим в ряде |r/} номер к1, соответствующий доверительной вероятности P, по формуле

к1=1+Целое

где (1тш - количество значений в выборке {•/}.

5. rl"в упорядоченной выборке {r/} соответствует уровню максимального убытка, который не превышен в количестве случаев (t1max -kl), соответствующий доверительной вероятности Р.

Необходимо отметить, что имитационное моделирование не дает однозначного результата - по итогам каждого расчета формируется индивидуальное значение. Естественно, при условии корректного построения модели разброс указанных значений ограничен. В зависимости от целей анализа могут варьироваться требования к точности расчета, однако для технической реализации высокоточной модели может потребоваться технически сложный инструментарий.

Математическое моделирование рыночного

риска «голубых фишек» российского рынка

С целью анализа применимости методики VAR для моделирования и оценки рыночных рисков был выбран российский рынок акций (торговая площадка ММВБ).

В качестве объекта исследования нами были выбраны так называемые «голубые фишки» - акции наиболее крупных, ликвидных и надежных компаний со стабильными показателями получаемых доходов и выплачиваемых дивидендов.

Для расчета показателя VAR портфеля ценных бумаг, состоящего из одного инструмента, различны-

ми методами нами использовались данные (цены закрытия в руб.) за период с 01 января 2006 г. по 15 сентября 2011 г. (всего 1400 наблюдений) по следующим акциям:

- обыкновенные акции ОАО «Лукойл», обыкновенные акции ОАО «Газпром», обыкновенные акции ОАО «СНГ», обыкновенные акции ОАО «Ростелеком», обыкновенные акции ОАО «Полюс Золото».

В качестве периода инвестирования (горизонта прогнозирования) Дf был выбран однодневный период. Исходя из этого, временные ряды цен закрытия по акциям выбранных эмитентов были преобразованы во временные ряды однодневных доходностей согласно формуле (3). Все дальнейшие расчеты осуществлялись исключительно по ним.

С целью оценки применимости методики VAR для моделирования и оценки рыночных рисков были выбраны следующие методы математического моделирования:

- историческое моделирование;

- модель постоянных ковариаций;

- имитационное моделирование Монте-Карло.

В рамках тестирования моделей нами были рассмотрены два варианта исследования исходных данных:

1. Исторический период времени 11 =250 дней. На этом периоде рассматривается реализация случайно-

го процесса и для этого периода получают оценку VAR. Так как исходные данные содержат 1400 измерений, то оценка VAR производится последовательно на основе предыдущих 250 дней для последовательности, состоящей из ^=1400-250=1150 точек, сдвигаясь каждый раз на одно измерение. Соответственно, мы получаем 1150 оценок VAR и формируем диапазон оценок VAR: (VARmiri;VARmax) для каждого метода и для двух доверительных уровней 95% и 99%.

2. Исторический период времени равен N= T1 =1400 дней, оценка VAR производилась для 1400 измерений за период с 01 января 2006 г. по 15 сентября 2011 г.

Критерием точности модели выступает число случаев превышения реальных потерь над величиной VAR, назовем такой случай «ошибкой» модели. Чем точнее модель, тем меньше ошибок. Расчеты производились при помощи прикладной программы MS Excel.

Результаты оценки рыночного риска по первому варианту исследования для трех моделей и доверительного уровня 95% представлены в табл. 1, а для доверительного уровня 99% - в табл. 2. Табл. 1 и 2 позволяют сравнить эффективность методов оценки VAR по трем моделям.

Анализ результатов расчета по первому варианту исследования показывает, что для доверительного

Таблица 1

Результаты расчетов оценки УАЯ для 1150 последовательных периодов _сроком 250 дней (доверительный уровень 95%)_

Бумага Метод исторического моделирования Метод постоянных ковариаций Метод Монте-Карло

Диапазон VAR, 95% Ошибки Диапазон VAR, 95% Ошибки Диапазон VAR, 95% Ошибки

Лукойл (0,02 -0,09) 55 (0,023 -0,092) 50 (0,021 -0,085) 63

Газпром (0,024 -0,08) 63 (0,024 -0,093) 57 (0,023 -0,088) 64

СНГ (0,023 -0,084) 56 (0,024 -0,104) 49* (0,024 -0,108) 47*

Ростелеком (0,018 -0,057) 60 (0,02 -0,64) 47* (0,023 -0,071) 41*

Полюс-Золото (0,023 -0,101) 60 (0,025 -0,108) 47* (0,025 -0,11) 45*

* Помечены результаты наилучшего метода Таблица 2 Результаты расчетов оценки УАЯ для 1150 последовательных периодов сроком 250 дней

Бумага Метод исторического моделирования Метод постоянных кова-риаций Метод Монте-Карло

Диапазон VAR, 99% Ошибки Диапазон VAR, 99% Ошибки Диапазон VAR, 99% Ошибки

Лукойл (0,04-0,165) 12* (0,032-0,13) 19 (0,036-0,144) 16

Газпром (0,039-0,178) 10* (0,035-0,131) 22 (0,043-0,161) 13

СНГ (0,035-0,192) 12* (0,033-0,147) 22 (0,031-0,138) 23

Ростелеком (0,042-0,125) 10* (0,03-0,09) 26 (0,031-0,93) 26

Полюс-Золото (0,033-0,279) 10* (0,035-0,153) 16 (0,037-0,158) 15

* Помечены результаты наилучшего метода

Таблица 2

Результаты расчетов оценки УАЯ для 1150 последовательных периодов сроком 250 дней

Таблица 3

Результаты расчетов оценки УАЯ для периода сроком 1400 дней _(доверительный уровень 95%)_

Метод исторического моделирования Метод постоянных ковариаций Метод Монте-Карло

VAR, 95% Ошибки VAR, 95% Ошибки VAR, 95% Ошибки

Лукойл 0,04 70 0,049 48* 0,049 47*

Газпром 0,042 69 0,05 51* 0,05 50*

СНГ 0,046 69 0,057 41* 0,057 41*

Ростелеком 0,04 63 0,045 47* 0,045 47*

Полюс-Золото 0,042 65 0,056 38* 0,055 39*

* Помечены результаты наилучшего метода

Таблица 4

Результаты расчетов оценки УАЯ для периода сроком 1400 дней

Метод исторического моделирования Метод постоянных ковариаций Метод Монте-Карло

VAR, 99% Ошибки VAR, 99% Ошибки VAR, 99% Ошибки

Лукойл 0,086 14* 0,069 23 0,066 24

Газпром 0,081 13* 0,07 19 0,067 22

СНГ 0,089 13* 0,08 18 0,08 19

Ростелеком 0,086 11* 0,064 20 0,064 20

Полюс-Золото 0,104 12* 0,08 18 0,078 18

* Помечены результаты наилучшего метода

уровня 95% оценка рыночного риска по методу Монте-Карло и методу постоянных ковариаций дает меньшее количество «ошибок».

Для доверительного уровня 99% анализ результатов расчета по первому варианту исследования показывает (табл.2), что меньшее количество «ошибок» для всех «голубых фишек» дает оценка рыночного риска по методу исторического моделирования.

В табл. 3 представлены результаты расчета рыночного риска по второму варианту исследования и по трем моделям для доверительного уровня 95%, а для доверительного уровня 99% - в табл. 4. Расчеты проводились для периода сроком 1400 дней. Таблицы 3 и 4 позволяют также сделать сравнение эффективности трех математических моделей оценки VAR.

Анализ результатов расчета по второму варианту исследования показывает, что для доверительного уровня 95% оценка рыночного риска по методу Монте-Карло и методу постоянных ковариаций дает меньшее количество «ошибок», чем по методу исторического моделирования. Число случаев превышения реальных потерь над величиной VAR,95% (цена закрытия акции в рассматриваемый период) упала ниже уровня VAR, 95%.

А для доверительного уровня 99% оценка рыночного риска по методу исторического моделирования,

Библиографический список

напротив, как и в случае предыдущего варианта исследования, дает меньшее количество «ошибок» для всех «голубых фишек» по сравнению с двумя другими методами математического моделирования.

В работе показано, что для доверительного уровня 95% по первому и второму варианту исследования оценки рыночного риска метод постоянных ковариаций и метод Монте-Карло дают меньшее количество «ошибок» для всех «голубых фишек», т.е. случаев превышения реальных потерь над рассчитанной величиной VAR. Более точная оценка рыночного риска позволяет покрыть возможные потери инвестора за один день при условии анализа изменения цен акций за период с 01 января 2006 г. по 15 сентября 2011 г. (всего ориентировочно 1400 наблюдений). А для доверительного уровня 99% по первому и второму вариантам исследования для всех «голубых фишек» лучшие результаты оценки рыночного риска получаются по методу исторического моделирования. Это можно объяснить тем, что в методе исторического моделирования рассматривается эмпирическое распределение случайной величины (доходности), которое существенно расходится на уровне 99% с нормальным распределением, моделируемым в методе постоянных ковариаций и в методе Монте-Карло.

1. Милосердов А.А., Герасимова Е.Б. Рыночные риски: формализация, моделирование, оценка качества моделей. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004.

2. VAR-техническая схема расчета //http://www.riskinfo.ru/analytics/20/

3. Севрук В.Т. Методы оценки и прогнозирования банковских рисков//Управление в кредитной организации. 2010. №3.

4. Канторович Г.Г. Анализ временных лагов: лекционные и

методические материалы // Экономический журнал ВШЭ. 2002. №1. С. 85-116.

5. Кузнецов В. Измерение финансовых рисков. Банковские технологии. 1997. №7 www.bizcom.ru

6. Кулагин О.А. Принятие решений в организациях: лекционные материалы. www.ooipkro.ru

7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.