О решении некоторых нестандартных уравнений в школьном курсе математики

Библиографический список

1. Грязнова Е.В., Зеленов Л.А. Прикладные проблемы философии: научно-педагогический опыт: монография. Гжель: ГГУ 2015.

2. Килина И.А. Наставничество как процесс формирования личности молодого специалиста. Образование. Карьера. Общество. 2014; № 3 (42): 26 - 34.

3. Рябова М.А. Педагогический потенциал учебно-производственной деятельности в колледже: теоретические основания. Среднее профессиональное образование. 2015; № 4: 9 - 12.

4. Дмитриева И.А. Организация социального партнерства как условие успешной подготовки студентов к будущей профессиональной деятельности. Профессиональное образование в России и за рубежом. 2013; № 10: 37 - 45.

5. Власкина И.В., Лысуенко С.А. Особенности психологического сопровождения формирования профессионально важных качеств будущих специалистов социономиче-ских профессий. Педагогическое образование в России. 2015; 1: 112 - 118.

6. Митягина Е.В. причины утраты престижа рабочих специальностей среди молодежи, способы преодоления негативных тенденций. Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2014; 6: 122 - 127.

References

1. Gryaznova E.V., Zelenov L.A. Prikladnye problemy fitosofii: nauchno-pedagogicheskj opyt: monografiya. Gzhel': GGU, 2015.

2. Kilina I.A. Nastavnichestvo kak process formirovaniya lichnosti molodogo specialista. Obrazovanie. Kar'era. Obschestvo. 2014; № 3 (42): 26 - 34.

3. Ryabova M.A. Pedagogicheskij potencial uchebno-proizvodstvennoj deyatel'nosti v kolledzhe: teoreticheskie osnovaniya. Srednee professional'noe obrazovanie. 2015; № 4: 9 - 12.

4. Dmitrieva I.A. Organizaciya social'nogo partnerstva kak uslovie uspeshnoj podgotovki studentov k buduschej professional'noj deyatel'nosti. Professional'noe obrazovanie v Rossii i za rubezhom. 2013; № 10: 37 - 45.

5. Vlaskina I.V., Lysuenko S.A. Osobennosti psihologicheskogo soprovozhdeniya formirovaniya professional'no vazhnyh kachestv buduschih specialistov socionomicheskih professij. Pedagogicheskoe obrazovanie v Rossii. 2015; 1: 112 - 118.

6. Mityagina E.V. prichiny utraty prestizha rabochih special'nostej sredi molodezhi, sposoby preodoleniya negativnyh tendencij. Vestnik Vyatskogo gosudarstvennogo gumanitarnogo universiteta. 2014; 6: 122 - 127.

Статья поступила в редакцию 02.02.19

УДК 372

Amuchieva T.S., Dagestan State University (Makhachkala, Russia), E-mail: amuchieva@rambler.ru

ON SOLUTION OF SOME NON-STANDARD EQUATIONS IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS. The article deals with some issues arising in the solution of exponential equations. The author concludes that exponential-power equations and inequalities are of interest for their study and use in the courses of school mathematics and elementary mathematics in higher education school. The greatest difficulties can be encountered in solving exponential equations and inequalities in the case where the base of the degree is negative. It is necessary to devote more time to solving exponential equations and inequalities, because. This will help students successfully pass the exam and entrance exams to universities. Mastering the technique of their solution is very useful: it increases the mental and creative abilities of students. When solving problems, students acquire the first skills of research, enriched their mathematical culture, develop the ability to logical thinking.

Key words: exponent, equation, extraneous roots, degree basis.

Т.С. Амучиева, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала, Е-тэИ: amuchieva@rambler.ru

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

В статье рассмотрены некоторые вопросы, возникающие при решении степенно-показательных уравнений. Автором делается вывод, что что показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в вузе. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно. Необходимо больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т. к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы. Овладение методикой их решения является очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению.

Ключевые слова: показатель, уравнение, посторонние корни, основание степени.

Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540 - 1603), служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е. коэффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и z, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами х, у и z.

Лишь в XVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.

Последнее время стало вызывать споры решение показательно-степенных уравнений. Некоторые считают, что х если входит в основание и

3 = 1.

показатель степени, то основание должно быть больше нуля и не равным единице. Естественно эти моменты нужно учитывать при нахождении ОДЗ. Однако прежде вспомним определение корня и области допустимых значений уравнения.

Число а называется корнем уравнения, если при подстановке его вместо х в уравнение получается верное числовое равенство.

Областью допустимых значений уравнения называется множество значений х, при которых правая и левая части уравнения имеют смысл.

В связи с этим при решении показательно-степенных уравнений имеет смысл рассмотреть основания степени с «особыми» свойствами, такие как 1, -1, 0.

Если значения х, при которых основание равно одному из чисел 1, -1, 0 обращают уравнение в верное числовое равенство, то эти значения также являются корнями уравнения.

Пример 1. Решить уравнение | х — 3 |3 Рассмотрим «особые» случаи. 1. | х — 31= 0.

Это возможно, если X = 3. Подставим это значение в уравнение

О3

=1,

О0 = 1.

Левая часть равенства не определена, следовательно, значение х = 3 корнем не является. 2. Пусть | х — 3|= 1. Тогда х = 4 или х = 2. Подставляя первое значение в уравнение, получим

цЭ-42 —10-4+0 _ 1

111 _ 1 - в-руо- рЛНУТСТНР. П95СТЛНУМ НТРрРУ, получим

13-22 -10-2+0 _ 1

1-5 _ 1 - Н-рУР.

0. УрЛНУ-ТУ- | Ы — 3|_ — 1 р-Ш-УУй У- УМУУТ.

Рассмотрим р-ш-уу- урлни-туя, предположив Ы у- равным 2, 0, 4. Тогрл из 9-рвоиачальиого урЛНУУУУЯ получим

Оы2 — 10ы + 0 _ 0;

0 _ (—10)2 — 4 - 0 - 0 _ 100 — 06 _ 64;

10 — 8 1 10 + 8 _

ы. _-_—; ы2 _-_ 0.

1 2 - 0 0 2 2 - 0

X 1 ^

Отн-т: 4; —; 2. 0

Пример 2. Р-шить урлнУ-УУ- ы — 0 |ы+1 _ 0/| ы — 0|ы 2.

Используя свойства ст-п-уу с рробУым показат-л-м, запиш-м урлнУ-УУ- в вир-

ы+1 ы—2

Рассмотрим случай, когра осуовлуу- равУо 0.

| ы — 0 |_ 0, -сли ы _ 0.

Порставим это зуач-уу- в ураву-уу-

0+1 0—2 0 4 _ 0 0, 1

01 _ 00.

Рлн-7стнл в-руо, сл-5оватyльио, зуач-уу- ы _ 0 кору-м явля-тся. Пусть | ы — 0|_ 1. Тогра ы _ 4 улу ы _ 2. Пров-ряя п-рво- зуач-уу-, получум

14 _ 10.

Порставум второ-0 1

14 _ 10. (в-руо- рав-уство).

Еслу ы Ф 0;2;4, то ух п-рвоуачальуого ураву-ууя получум ы +1 ы - 2

3(ы +1) = 4(ы - 2), 3ы + 3 = 4ы - 8, ы = 11.

Ответ: 3; 4; 2; 11.

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, часто используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма. Пример 3. Решить уравнение (ы + 5)ы -ы-1 = (ы + 5)2ы+3.

Прологарифмируем обе части уравнения по любому основанию, например, по основанию 2. Получим

(ы2 - ы -1)^(ы + 5) = (2ы + 3)^2(ы + 5), ^2(ы + 5)(ы2 - ы -1 - 2ы - 3) = 0, ^2(ы + 5)(ы2 - 3ы - 4) = 0.

Это уравнение распадается на совокупность

1о§2 (ы + 5) = 0 и ы2 - 3ы - 4 = 0. ы + 5 = 1, ы =-1, ы = -4. ы2 = 4.

Все корни уравнения удовлетворяют условию ы + 5 > 0. Ответ: -4; -1; 4.

Рассмотрим некоторые виды логарифмических уравнений, которые не так часто рассматриваются на уроках математики вы школе, но широко используются при составлении конкурсных заданий, в том числе и для ЕГЭ.

Например, уравнения, содержащие переменную и в основании логарифма и в выражении, стоящем под знаком логарифма. Пример 4. Решить уравнение

^3ы+7(9 + 12ы + 4ы2) + ы+3(6ы2 + 23ы + 21) = 4.

Найдем область допустимых значений уравнения

2 ы + 3 > 0 2ы + 3 * 1 3ы + 7 > 0 3ы + 7 * 1

ы > -1,5; ы * -1;

7 ^ ы е (-1,5;-1) и (-1;+»). ы > —; 3

ы * -2.

Пример 4. Решить уравнение

log3x+7 (9 + 12x + 4x2) + log2 x+3 (6x2 + 23x + 21) = 4.

Найдем область допустимых значений уравнения

2x + 3 > 0; 2x + 3 Ф1; 3x + 7 > 0; 3x + 7 Ф1.

x > -1,5; x Ф-1;

7 ^ x e (—1,5;—1) U (-1;+»). x >—; 3

x Ф-2.

Заметим, что 9 + 12x + 4x2 = (2 x + 3)2; 6 x2 + 23x + 21 = (2 x + 3)(3x + 7). Тогда уравнение можно записать в виде log3j+7 (2x + 3)2 + log2 x+3 (2x + 3)(3x + 7) = 4, 2 log 3x+7 (2 x + 3) + log2 x+3 (2 x + 3) + log2 x+3 (3x + 7) = 4,

2log3x+7 (2 x + 3) +1 + ---1—— = 4,

log3,+,

2log3x+7(2x + 3) + --i-— = 3.

log3x+7

Введем новую переменную log3x+7(2x + 3) = t. Получим уравнение

2t +1 = 3, t

2t2 - 3t +1 = 0.

1

Его корни: t1 = t2 = 1.

Возвращаясь к исходной переменной, получим логарифмические уравнения вида

l0g3x+7 (2x + 3) = ^ или bg3x+7 (2x + 3) = 1.

Отсюда

2x + 3 = (3x + 7)1/2 и 2x + 3 = 3x + 7, соответственно. Решим первое уравнение

(2 x + 3)2 = 3x + 7,

4 x2 + 9x + 2 = 0.

Его решения: — 2; — 0,25.

2x + 3 = 3x + 7,

Из второго уравнения следует:

x = —4.

В область определения уравнения входит только число -0,25. Ответ: -0,25.

Некоторые уравнения удобно решать функциональными способами. Пример 5. Решить уравнение log3(8 + 2x — x2) = 2x—1 + 21-x.

Рассмотрим функцию y = 8 + 2x — x2. Это квадратичная функция. Ее график - парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины (1;9). Соответственно, область значений функции (—ю;9]. Так как левая часть уравнения определена при 8 + 2x — x2 > 0, т.е. когда x £ (—2;4), следует рассматривать лишь значения (0;9]. Значит выражение в левой части уравнения принимает наибольшее значение, равное 2, при x = 1.

Рассмотрим теперь функцию y = 2' 1 + 21 '. Если принять 2' 1 = t, то функция примет вид 1

y = t + -, где t > 0. При таких условиях она имеет единственную критическую точку t = 1. Это

точка минимума. Значение функции в ней равно 2, и достигается оно, соответственно, при x = 1.

Теперь очевидно, что графики рассматриваемых функций могут пересечься лишь один раз в точке (1;2). Получается, что x = 1 единственный корень решаемого уравнения. Ответ: 1.

Резюмируя вышеизложенное отметим, что показательно-степенные отрицательно. Проведенные факультативные занятия в школе по теме: «По-уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и исполь- казательно-степенные уравнения и неравенства» показали доступность этой зования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. темы для учеников, интересующихся математикой. Тем самым необходимо Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм ре- больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и не-шения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показатель- равенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные но-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени экзамены в ВУЗы.

Библиографический список

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 - 11 кл. сред. шк. А.Н. Колмогоров и др. Москва: Просвещение, 1994.

2. Факультативный курс по математике: Решение задач. Москва: Просвещение, 1991.

3. Липатникова И.Г Семинарские занятия и лабораторные работы по методике преподавания математики. Available at: http://window.edu.ru/window/catalog7p_ rubr=2.2.74.12

References

1. Algebra inachala analiza: uchebnik dlya 10 - 11 kl. sred. shk. A.N. Kolmogorov i dr. Moskva: Prosveschenie, 1994.

2. Fakul'tativnyj kurs po matematike: Reshenie zadach. Moskva: Prosveschenie, 1991.

3. Lipatnikova I.G. Seminarskiezanyatiya i laboratornyeraboty po metodike prepodavaniya matematiki. Available at: http://window.edu.ru/window/catalog7p_rubf2.274.12

Статья поступила в редакцию 02.02.19

УДК 371

Barahoeva J.M., Cand. of Sciences (Philology), Ingush State University (Magas, Russia), E-mail: zhanna.barakhoeva@mail.ru

Aliyeva EM-B., MA student, Ingush State University (Magas, Russia), E-mail: zhanna.barakhoeva@mail.ru

PROBLEM-BASED TEACHING AS A MEANS OF INCREASING THE CREATIVE ABILITIES OF PUPILS AT PRIMARY SCHOOL. The development of education in the Republic of Ingushetia at the present stage presupposes, firstly, the preservation of a single educational space in the republic, which would help ensure a guaranteed level of training for school graduates, and secondly, the training of each student, taking into account his individual characteristics and interests. A pressing issue in connection with these tasks is to identify promising areas in the field of education. One of these areas is problem-based teaching. The article discusses the role of problem situations in the learning process, also describes experimental education, the purpose of which is to identify the possibilities of applying problem situations in the course of writing essays in Russian language classes for the formation of creative thinking, to determine ways and specific techniques to enhance creative thinking in younger students.

Key words: problem-based situation, problem-based teaching, alternative, flexibility, originality, creative work.

Ж.М. Барахоева, канд. филол. наук, доц., Ингушский государственный университет, г. Магас, E-mail: zhanna.barakhoeva@mail.ru

Е.М.-Б. Алиева, магистрант, Ингушский государственный университет, г. Магас, E-mail: zhanna.barakhoeva@mail.ru

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Развитие образования в Республике Ингушетия на современном этапе предполагает, во-первых, сохранение единого образовательного пространства в республике, которое бы способствовало обеспечению гарантированного уровня подготовки выпускников школы, во-вторых, обучение каждого учащегося с учётом его индивидуальных особенностей, интересов. Актуальным вопросом в связи с этими задачами является определение перспективных направлений в области образования. Одним из таких направлений является проблемное обучение. В статье рассматривается роль проблемных ситуаций в процессе обучения, также описывается экспериментальное обучение, цель которого - выявить возможности применения проблемных ситуаций в ходе написания сочинений на уроках русского языка для формирования креативного мышления, определить способы и конкретные приемы активизации творческой мыслительной деятельности у младших школьников.

Ключевые слова: проблемная ситуация, проблемное обучение, альтернатива, гибкость, оригинальность, творческая работа, творческие способности.

Проблемное обучение не новое направление в педагогике. Существование этого метода начинается с введения исследовательского метода, большая часть правил которого была разработана в свое время Джоном Дьюи [1].

Более детально и полно метод проблемного обучения стал изучаться в середине прошлого столетия учеными С.Л. Рубинштейном, Д.Н. Богоявленским, А.М. Матюшкиным [2; 3; 4]. Также большое внимание в своих трудах данному методу уделяли Ю.К. Бабанский, И.Я. Лернер [5; 6].

В настоящее время теория проблемного обучения достаточно глубоко разработана и является частью педагогики. До середины прошлого столетия, исследуя методы обучения, основной акцент делался на деятельности учителя, при этом на втором плане оставалась сущность учебно-познавательной деятельности учащихся. Однако со временем возникала все в большей степени необходимость понимания процесса обучения как процесса бинарного, то есть процесса, в котором одинакова роль деятельности, как учителя, так и обучаемого. В связи с этим, возникает ряд концепций деятельности школьников в процессе обучения, одной из которых и является теория проблемного обучения. Данная теория направлена на раскрытие сущности познавательной деятельности учащихся, и, что немаловажно, описывает уровни их познавательной самостоятельности, которые достигаются посредством внедрения разного рода методов. Следовательно, можно утверждать, что теория проблемного обучения обусловлена потребностями самого учебного процесса.

Оригинальность мышления, изобретательность, интуиция, быстрота умственных реакций, «Ага-реакции» - способности, которые развивает проблемное обучение. Используя определенную систему дидактических игр, данный вид обучения ставит учащихся в условия, требующие решения нестандартных задач. При этом учащиеся на основании имеющихся знаний, выдвигают научные предположения, и возможными путями доказывают ее целесообразность.

Существуют определенные предпосылки, при отсутствии которых существование данной теории невозможно. Сюда относятся:

- исследования в области психологии, в частности в психологии мышления, открывшие проблемную ситуацию как источник мыслительной деятельности;

- опыт учителей-практиков, которые до появления теории проблемного обучения использовали ее элементы в своей практике.

Для традиционного обучения характерна модель, при которой учитель сообщает информацию, доказывает её, подтверждает наглядным материалом, экспериментальной работой, проводит связь с изученным ранее, а также кон-

тролирует усвоение материала учащимися. В этом случае деятельность учителя - объяснительно-иллюстративная. Школьники запоминают, усваивают материал, воспроизводят его. То есть их деятельности репродуктивна. Репродуктивная деятельность присуща и неизбежна при любом характере обучения, поскольку в противном случае детям пришлось бы самим без всякой помощи взрослых приобретать знания. Однако здесь есть и свои отрицательные моменты, которые заключаются в отсутствии развития творческих способностей личности, а если эти способности и развиваются, то стихийно, бессистемно.

В процессе проблемного обучения учащиеся не получают от учителя готовых знаний, если и получают, то лишь на особом предметном содержании, то есть при решении проблемных задач (особых) учащиеся самостоятельно приобретают знания. Традиционное обучение характеризуется еще и тем, что акцент делается на непосредственном побуждении (интересный рассказ учителя, иллюстрации), традиционному обучению присущи мотивы познавательной деятельности интеллектуальные: самостоятельное решение вопроса, поиск знаний, удовлетворение от интеллектуального творчества, решение сложных моментов. Эффективность проблемного обучения неоспоримо доказана, многие учителя-практики продуктивно используют его в настоящее время.

Однако данная методика не до конца и неполно представлена в современной психолого-педагогической литературе.

Последние десятилетия ведутся исследования, направленные на преодоление противоречий между готовым, заранее продуманным содержанием обучения и необходимостью гибкости при отборе видов деятельности ребёнка и их содержания в соответствии с изменяющимися обстоятельствами и ситуативными потребностями, а также между требованиями, которые предъявляет общество к уровню активности, креативности членов общества, и существующим реальным уровнем этих качеств.

Данный подход предполагает активизацию познавательной деятельности учащихся, придает процессу обучения характер исследования, вследствие чего учащиеся сам организует процесс познания.

Отмеченные противоречия создают проблему, которая связана с организацией целенаправленного формирования более глубоких познавательных мотивов учащихся, при котором сочетание условий, форм, методов, дают возможность учащимся развиваться как личности.

С целью выявить возможности применения проблемных ситуаций в ходе написания сочинений на уроках русского языка для формирования креативного мышления, а также определить способы и конкретные приемы активизации