А. Н. Колмогоров и летние шкoлы

ХРОНИКА И ИНФОРМАЦИЯ

А.Н. Колмогоров и летние школы A.N. Kolmogorov and summer schools

Школа-интернат № 18 при МГУ имени М.В. Ломоносова была открыта 2 декабря 1963 г. Подготовка к ее открытию началась весной того же года, когда победителей третьей Всероссийской олимпиады школьников пригласили в подмосковное Красновидово в летнюю школу. Всего туда приехали 46 учащихся, 19 из которых составили первый набор учеников интерната, а затем и первый выпуск летней школы. Мы очень гордимся этим выпуском: многие из этих первых выпускников стали выдающимися учеными и с большинством из них школа поддерживает контакты до настоящего времени.

По предложению Андрея Николаевича Колмогорова (одного из главных инициаторов создания школ при университетах страны) набор учащихся в школу при МГУ осуществлялся следующим образом: основная масса кандидатов на зачисление в школу (по итогам вступительных экзаменов) приглашалась на трехнедельне обучение в летнюю физико-математическую школу (ЛФМШ), проводимое механико-математическим и физическим факультетами университета и школой-интернатом; при этом вся организация работы летней школы и другие многочисленные хлопоты целиком лежали на спецшколе. По итогам работы в летней школе происходило окончательное зачисление учеников. Те ученики летних школ, которые по тем или иным причинам не поступили в школу-интернат, не потеряли время зря, ведь они получили неизгладимое впечатление от той атмосферы увлеченности делом, которая всегда присуща таким школам, приобрели добротные знания, а также возможность постоянных контактов как с маститыми учеными, так и с молодыми способными аспирантами и студентами.

Справедливости ради нужно отметить, что в «Положении о специализированной школе-интернате при государственном университете», на основании которого школа жила вплоть до 1988 г., ничего не было сказано о летних школах; дословно было предписано следующее: «Отбор кандидатов на за-

числение в специализированную школу-интернат производится университетом совместно с органами народного образования на основе конкурсных экзаменов по профилирующим дисциплинам и собеседования ученых с поступающими, с учетом рекомендации педагогического совета школы». Поэтому организация летних школ накладывала на университет ежегодное дополнительное финансовое бремя.

В 1988 г. школа-интернат изменила свой статус: на ее основе был создан «Специализированный учебно-научный центр МГУ» как самостоятельное подразделение университета, а школа-интернат в этот центр вошла как «Школа имени академика А.Н. Колмогорова».

В летних физико-математических школах 5-6-дневная рабочая неделя, а система занятий, как правило, лекционно-семинарская. Лекций немного: 1-2 часа в неделю по каждому предмету. Учащиеся занимаются 6 часов: 4 часа до обеда и 2 часа после.

Традиционно проводятся различные олимпиады и тестирования. В дополнение к обязательным занятиям для особо заинтересованных школьников работает несколько кружков. В каждой группе работают два-три преподавателя математики, которые одновременно присутствуют на занятиях, так что во время работы на уроке преподаватель беседует с каждым школьником несколько раз. Тесное общение между преподавателями и школьниками, конечно, не ограничивается только уроками, ученики в любое время могут получить нужную консультацию. Благодаря такой организации занятия в ЛФМШ проходят в атмосфере дружбы, взаимопонимания и увлеченности.

Отметим, что пребывание в летних математических школах в один из каникулярных месяцев - это не только время для занятия математикой. Здесь никогда не забывают о спорте и туризме, об отдыхе, экскурсиях, беседах на музыкальные, литературные и другие, самые разнообразные темы. Поэтому очень важен подбор преподавателей, воспитателей и других «взрослых», которые проводят занятия и организуют всю жизнь летней школы. Основными преподавателями (лекторами) летних школ являются профессора и

доценты университета, а дополнительые преподаватели подбираются из числа способных студентов и аспирантов, бывших участников олимпиад, обладающих своими ярко выраженными интересами, любящих спорт и работу с талантливыми школьниками.

А. Н. Колмогоров работал в Краснови-довских летних школах в 1963, 1964, 1965, 1968 и 1970 г., в городе Пущино на Оке - в 1971, 1972, 1975 и 1977 г.

О первой летней школе в Красновидово в 1962 г., которая была организована на базе отдыха МГУ, подробно рассказал ее участник А. М. Абрамов, ставший потом учащимся первого набора школы-интерната, а впоследствии - выпускником механико-математического факультета МГУ и его аспирантуры, защитившим кандидатскую диссертацию под руководством А.Н. Колмогорова, а затем и членом-корреспондентом Российской академии образования. Мы приведем здесь полностью выдержку из его воспоминаний (А.М. Абрамов. О педагогическом наследии А.Н. Колмогорова // Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. - М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.

- С. 99-148.) об этой летней школе: «... Одновременно велось несколько основных курсов, из которых нужно было выбрать два обязательных - по ним предстояло сдать зачет.

А.Н. Колмогоров читал курс (примерно 10 уроков) “Конечные поля и булевы алгебры”, завершившийся примерами применения булевой логики к задачам построениях контактных схем. П.С. Александров прочел курс по теории множеств. В.И. Арнольд вел продвинутую группу, в которую вошли ребята, уже знакомые с понятиями анализа; А.Г. Кушни-ренко и А.М. Леонтович (тогда студенты) вели занятия с группой начинающих. Н.Х. Розов и О.Н. Найда занимались механикой, а

А.А. Карацуба - теорией чисел. Особенностью семинарских занятий было одновременное участие двух или даже трех молодых преподавателей (среди них А.С. Мищенко, М.Л. Гервер, А.Л. Тоом), занимавшихся с учащимися индивидуально. Кроме того, велись кружки, читались отдельные лекции.

Занятия, естественно, сопровождались упражнениями. Постоянно вывешивались списки задач, учитывающие все вкусы. В любое время можно было, встретив преподавателя (и Андрея Николаевича в том числе), задать вопрос, получить консультацию. Уче-

никам и преподавателям выдавались краткие конспекты лекций...

По вечерам регулярно устраивались музыкальные или литературные вечера, велись беседы учеников с молодыми преподавателями на самые волнующие школьников темы, собственно математические или же связанные с поступлением в университет. Популярностью пользовались “английские шарады”, логические игры. Обязательные утренние зарядки и ежедневные купания три раза в день при любой погоде, походы в лес, заплыв через Московское море, “флагманами” которого были П.С. Александров и А.Н. Колмогоров, экскурсия на Бородинское поле - вот штрихи красновидовского лета.».

Содержание курсов в летней школе всегда составляется так, чтобы разница в уровне подготовки учащихся как можно меньше сказывалась на результатах их работы в ЛФМШ. Отбор учебных материалов происходит таким образом, чтобы обучение было интересным и доступным для всех, а его изучение создавало атмосферу поиска, увлеченности и развития интереса к проведению пусть небольших работ исследовательского характера. По каждому предмету проводятся контрольные работы, а в конце курса - зачеты.

ЛФМШ является удобной базой для экспериментирования с содержанием и методикой обучения школьников, интересующихся математикой и физикой, и поэтому в летней школе нет раз и навсегда заданных программ. При этом организаторы таких школ, конечно, учитывают имеющиеся у школьников знания, но стремятся не затрагивать те разделы школьной программы, которые учащимся в дальнейшем еще предстоит изучить, а если уж такие темы и включаются, то они рассматриваются с других позиций.

В 50 км от Иванова находится Рубское озеро, на берегах которого Ивановский пединститут имеет свою спортивно-оздоровительную базу. Здесь и была организована в июле 1968 г. работа ЛФМШ, в которую были приглашены 60 школьников из Ивановской и Ярославской областей, и 20 человек были направлены приемной комиссией школы-интерната при МГУ из числа окончивших восьмые классы в сельских школах в других областях и поступающих на учебу в интернат.

Таким образом, здесь были в основном учащиеся, окончившие восьмой (ныне девя-

тый) класс, и с самого начала было решено, что около 30 участников летней школы получат направление на продолжение обучения в школе при МГУ. Отметим, что прием в эту школу детей из Ивановской и Ярославской областей в этом году проходил только через указанную летнюю школу.

Организационно все происходило как и в других летних школах, но со своей спецификой. Утро каждого дня начиналось с короткой линейки и зарядки, а потом - купание по желанию. Многие из участников школы увлеклись этими купаниями, и были внесены даже некоторые запреты на их продолжительность и дальность заплывов. С 9 до 12 часов - лекция и два часа практических занятий. Затем спортивные игры, обед, прогулки в лес, а с 16-ти часов проводилось еще 2-3 часа учебных занятий. В послеобеденные часы проводились семинарские занятия, работали кружки, проходили консультации, олимпиады. Вечер - для самостоятельных занятий, катания на лодках, отдыха и пр. Запомнилась поездка в Суздаль, ведь большинство школьников побывали там впервые. А.Н. Колмогоров изумлял всех своими познаниями в архитектуре и рассказами о великих зодчих.

В школе были три основные дисциплины: алгебра, геометрия и физика.

Курсом алгебры руководил А.Н. Колмогоров. В программе курса было несколько разделов. Первый из них назывался «Функция и ее график», в котором вводилось общее понятие функции как отображения, понятие обратной функции, рассматривались геометрические преобразования с функциональной точки зрения. Вторая часть этого раздела была посвящена функциям двух и многих переменных, другим зависимостям между переменными и их графикам, системам уравнений и неравенств. Заключительная часть была посвящена методам решения алгебраических уравнений при помощи номограмм. Проводились групповые занятия (математические практикумы), и многие учащиеся выполняли довольно значительный объем графической и чертежной работы, давали к полученным «картинкам» интересные и довольно глубокие пояснения теоретического характера.

Курс геометрии состоял из четырех лекций, посвященных построению геометрии из аксиоматики Г. Вейля и трех лекций по линейному программированию. Лекции чита-

ли профессор Ивановского педагогического института С.В. Смирнов и старший преподаватель этого же института Г.В. Пухова.

Учащиеся впервые здесь узнали, как можно получить уже известные им геометрические факты при помощи формальных средств из немногих аксиом. На примере простейших задач линейного программирования было показано, как математика применяется в задачах реального прикладного содержания. Все учащиеся под руководством И.Г. Жур-бенко проводили измерительные работы на местности, занимаясь съемкой плана берегов озера. Этот опыт был заимствован у московских интернатов, в которых подобные работы уже проводились (например, измерение расстояния от школы до МГУ). Одна группа школьников наносила на план некоторые основные точки, расположенные на берегах озера, другая группа, объезжая его, уточняла план. Это было довольно увлекательно, так как работа сопровождалась поездками на лодках и самостоятельным изготовлением измерительных приборов.

Каждую субботу проводились олимпиады. Они не были обязательными, но в них с большим удовольствием участвовали все школьники.

Расскажем также о летней школе 1977 г., работа которой проходила в Пущино на базе филиала МГУ. На организацию работы этой самой многочисленной летней школы было потрачено много сил: в нее было приглашено около 250 учащихся из многих регионов страны. Из числа преподавателей математики в ней работали: А.Н. Колмогоров, Ю.П. Соловьев, В.Н. Чубариков, В.В. Никулин, А.А. Егоров, В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, В.В. Рождественский, С.А. Богатый, В.В. Годованчук, Л.В. Богачев, О.В. Селезнев, В.А. Чулаевский, В.К. Семина, В.В. Пле-скунин, С.Н. Артемов, О.Р. Мусин, В.Г. Никитенко, Л.Г. Ветров, Л.Н. Фахретдинова, Н.В. Теплова, Р.М. Давлетов, Т.Н. Трушани-на, Н.М. Бовт, Б.М. Ивлев, В.Ф. Пахомов, О.В. Ляшко, Д.И. Гордеев, И.К. Светличнова, Т.П. Старкина. Некоторые из них приехали с семьями. А.Н. Колмогоров был со своей женой Анной Дмитриевной, В.В. Рождественский также был с женой, Д.И. Гордеев - с сыном Денисом.

В этой школе было два учебных математических курса: «Алгебра и начала анали-

за» (лекторы: А.Н. Колмогоров, В.В. Вавилов и В.В. Рождественский) и «Геометрия» (лекторы: А.Н. Земляков и Ю.П. Соловьев). Проводилась работа разнообразных кружков и математические практикумы.

Преподаватели «оккупировали» обе гостиницы в Пущино, школьники - филиал общежития МГУ. Гостиницы находились вблизи живописного крутого берега Оки, на другом берегу - известный Серпуховской заповедник. Кстати, именно тогда там снимался один из эпизодов фильма «Несколько дней из жизни Обломова», и шумная съемочная группа Н. Михалкова жила в той же гостинице, что и А.Н. Колмогоров. Там же проживал довольно известный музыкант Д.В. Шебалин, которого А.Н. Колмогоров пригласил как-то на чай к себе в номер, где говорили не только о музыке, но и о проблемах школьного образования. Кафе «Нептун» на высоком берегу реки постоянно было заполнено людьми, связанными с летней школой, и его посетители слышали тогда много нетипичных «застольных» разговоров о математике, физике, о трудностях преподавания и пр.

Курс А.Н. Колмогорова для 9-х классов (ныне 10-х) «Дифференциальные уравнения» состоял из 5-ти лекций. Его содержание (материалы сохранились) сводилось к следующему: задача о камне, брошенном вверх, радиоактивный распад, первообразная и интеграл, формула Ньютона-Лейбница, задача о прыгающем мячике, гармонические колебания, векторзначные функции и их производные, циклоида, теория часов (практикум).

Вводная часть этого курса полностью соответствовала материалу школьного учебника. Однако уже на первой лекции ставилась задача расчета движения не вполне упругого мяча, отскакивающего от пола, которая подводит к обобщению понятия первообразной для функции с конечным числом разрывов. На основе дифференциального уравнения у' = ку был рассмотрен целый ряд задач, приводящих к этому уравнению: радиоактивный распад, ядерное деление, движение с трением и т. д.

Возникающие в кинематике векторнозначные функции действительной переменной - третья тема курса. Годографы таких функций и годографы скорости и ускорения были предметом специального чертежного практикума. При анализе дифференциального

уравнения гармонических колебаний у''=у вводилась так называемая фазовая плоскость, а само дифференциальное уравнение записывалось в векторном виде. Используя уже имеющиеся сведения о производных векторнозначных функций, отыскивались все решения исходного дифференциального уравнения, а затем и более общего вида. Все занятия сопровождались объемными графическими заданиями (практикумами).

Курс А.Н. Землякова «Комбинаторика и теория групп» был посвящен группам само-совмещений правильных многоугольников и многогранников. Его содержание было следующим: 1) Отображения и подмножества конечных множеств. Сочетания, перестановки, размещения, разбиения. 2) Группы вращений плоских и пространственных фигур. Комбинаторика раскрасок. 3) Группы подстановок. Общее понятие группы и подгруппы. Представление об изоморфизме групп.

В начале этого курса изучались элементы комбинаторики на основе анализа задач о числе отображений конечных множеств, о числе подмножеств данного множества, об упорядоченных множествах, о разбиениях конечного множества на подмножества. Основная цель курса - на доступном материале познакомить учащихся с одним из важнейших понятий современной алгебры - понятием группы.

Тема начиналась с описания самых простых и наглядных примеров: групп само-совмещений (точнее, вращений) прямоугольника, куба, тетраэдра, правильных многоугольников. Интересными были задачи о числе геометрически различных раскрасок таких фигур. На основе интерпретации вращения фигур с помощью перестановок вершин, отыскивались композиции поворотов, что подводило учащихся ко второму основному примеру - группам подстановок.

Они изучались подробно: рассматривались разложения подстановок на циклы, отыскивались порядки подстановок, решались различные уравнения в группах подстановок в виде композиции транспозиций, приводящих к понятию образующих. Удачная иллюстрация этих понятий (образующих, четности подстановки) была приведена в виде теоретического обоснования математической игры «в пятнадцать». Среди интересных примеров приложений теории групп упомянем задачу о

числе раскрасок вершин правильного р-угольника в п цветов, приводящую к малой теореме Ферма (при простом р число пр - п делится на р); аналогично выводится и теорема Вильсона (при простом р число (р-1)! + 1 делится на р), работа с орнаментами на плоскости.

В лекциях и на занятиях у Ю.П. Соловьева по теме «Геометрические преобразования», предназначенных для восьмиклассников (ныне девятиклассников), в первой части подробно рассматривались перемещения плоскости: параллельные переносы, повороты, симметрии, скользящие симметрии. Исходя из группового свойства перемещений детально изучались всевозможные композиции перемещений. Опорой здесь служило представление произвольного перемещения в виде композиции не более трех осевых симметрий. Отсюда же с использованием аксиомы подвижности плоскости выводилась теорема Шаля, согласно которой любое перемещение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо осевой или скользящей симметрией.

Задачи общего характера сочетались с разнообразными упражнениями на доказательство и построение, выполнение которых упрощается после применения свойств тех или иных перемещений. На основе этого материала рассматривались плоские орнаменты и группы их самосовмещений, так называемые плоские кристаллографические группы. Проводился практикум по вычерчиванию орнаментов и отысканию всех 17-ти плоских кристаллографических групп. При изучении свойств подобных фигур и преобразований подобия особое внимание уделялось приложению этих понятий к доказательству важных планиметрических теорем, в том числе теорем Чевы, Менелая, Птолемея и других.

Этот курс вызвал самый живой интерес учащихся. Отметим, что как раз в это время готовилась к переизданию широко известная книга П.С. Александрова «Введение в теорию групп», и ее автор попросил Ю.П. Соловьева написать к ней специальное приложение. В том числе этим была вызвана особая тщательность в проведении этого курса Ю.П. Соловьевым, блестящим лектором, рассказчиком и популяризатором науки.

Автор статьи и В.В. Рождественский (мы вели этот курс совместно) в своих лекци-

ях в основном раскрывали темы, связанные с функциями и методами построения их графиков. Курс назывался «Функции и графики» и имел следующее содержание: 1) Зависимости между двумя переменными и их графики. Системы уравнений и неравенств на плоскости. Линейное программирование. 2) Полярные координаты и графики. 3) Графическое исследование квадратичной функции. Линейные преобразования графиков. Дробнолинейные функции. Асимптоты. Графики квадратично-рациональных функций.

Основной целью этого курса являлось изучение разнообразных типов функциональной зависимости на наглядно-графической основе. Помимо традиционных вопросов -методы построения графиков и их преобразования, графическое решение уравнений, неравенств и систем с одной и несколькими переменными и так далее - был подобран и нестандартный материал. Так, например, учащиеся с большим интересом вычерчивали кривые Уатта, «кривую дьявола» (х4 - 96х2 — у4 - 100у2), «розы и розетки», круговые циклоиды и их эволюты и т.п. При изучении квадратичной функции основное внимание уделялось отысканию на координатной плоскости множеств точек с координатами (р, д), которые соответствуют трехчленам х2 + рх + д с заданным свойством корней. Композиции переносов и сжатий, позволяющие из графика функции у = ^х) получить график функции у = аА(кх+1) + Ь, подробно рассматривались на примерах дробно-линейных и квадратичнорациональных функций. Итогом работы явилась полная классификация этих функций по типу их графиков, основанная на элементарных соображениях. Здесь было также несколько практических заданий по вычерчиванию различных кривых.

Сейчас на базе школы им. А.Н. Колмогорова проводится «Летняя олимпиадная школа», и это стало уже традицией как важное и продуктивное направление работы школы им. А.Н. Колмогорова, продолжающей и развивающей идеи своего основоположника.

В качестве одной из нереализованных задумок А.Н. Колмогорова отметим организацию летних (зимних) школ для учителей математики и руководителей школьных математических кружков. Этот проект, в таком совершенном виде, пока не реализован нами

широко. Отметим, что летних школ у нас в стране сейчас большое количество и формы их проведения довольно разнообразны: традиционные для школьников, тематические летние школы для студентов и аспирантов, специализированные летние семинары и др. Такого рода деятельность школ, педагогических институтов и университетов страны заслуживает внимания и всяческой поддержки.

В заключение отметим, что в прошлом году набор учащихся в школу им. А.Н. Колмогорова был осуществлен через двухнедельную летнюю школу; планируется такой отбор для наших абитуриентов и в этом году. Нет сомнения, что составление содержания учебных курсов и их преподавание пройдет с учетом того опыта, который уже накоплен и который в значительной мере продолжит реализацию методических и тематических идей Андрея Николаевича Колмогорова.

Об учебных курсах некоторых других ЛФМШ можно прочесть в воспоминаниях, представленных в следующей литературе: А.Н. Колмогоров, В.В. Вавилов, И.Т. Тропин Физико-математическая школа при МГУ. -М.: Знание, 1981. - 64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика», № 5); А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, Г.В. Пухова, О. С. Смирнова, С. В. Смирнов Летняя школа на Рубском озере. Из опыта работы летней физико-математической школы. - М.: Просвещение, 1971. - 160 с.; В.В. Вавилов,

A.Н. Земляков Из опыта работы летней физико-математической школы при МГУ // «Математика в школе». - 1978. - № 4. - С. 18-23;

B. В. Вавилов Школа им. А. Н. Колмогорова Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова // Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова. - М.: Научно-технический центр «Университетский», 2003. - С. 3-41; В.В. Вавилов Школа математического творчества. - М.: РОХОС, 2004. -72 с.; А.М. Абрамов О педагогическом наследии А.Н. Колмогорова // Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. - М. ФАЗИС, МИРОС, 1999. - С.99-148; А.А. Егоров А.Н. Колмогоров и колмогоровский интернат // Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове.

- М. ФАЗИС, МИРОС, 1999. - С. 162-167;

В.Н. Дубровский, А.Б. Скопенков, А.В. Спивак Математика, 10 класс. Материалы летней физико-математической школы. - М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, 1999.; В.В. Вавилов,

М.Е. Колоскова Уроки в цветущем саду. -Учебно-методическая газета «Математика. 1 сентября», 20 (2006). - С. 19-22.

В.В. Вавилов

Зоологический музей ЯГПУ имени К.Д. Ушинского Zoological museum of YSPU named after K.D. Ushinsky

Зоологический музей университета был создан при кафедре зоологии в 1933 г. благодаря усилиям профессора А.В. Шестакова и старшего препаратора Н.В. Кузнецова. В то время в фондах музея уже имелись обширные коллекции различных групп позвоночных и беспозвоночных животных. Немало ценных экспонатов было привезено из научных экспедиций профессора Б.С. Грезе на Мурманскую биологическую станцию и профессора А.В. Шестакова в Среднюю Азию. За счет обмена с другими музеями и сборов самих преподавателей кафедры коллекция музея постоянно пополнялась.

В настоящее время музейная экспозиция занимает две учебные аудитории общей площадью 106 кв. м, а общий фонд насчитывает более 1500 экспонатов позвоночных и беспозвоночных животных (чучела, тушки, влажные препараты, коллекции насекомых). Есть в коллекции и совершенно уникальные экспонаты, изготовленные еще в XIX веке.

В фондовой коллекции позвоночных объединены обширные фаунистические сборы. Наряду с редкими и обычными видами фауны Ярославской области, преобладающими в коллекции, представлены и экзотические виды.

Экспозиция построена по систематическому принципу. Наиболее разнообразны по составу и многочисленны коллекции насекомых, моллюсков, птиц, рыб, млекопитающих. В орнитологической коллекции насчитывается 130 видов из 46-ти семейств. Коллекция млекопитающих представлена в основном животными Ярославской области, Севера и Средней Азии. Экспозиция рыб наряду с местными видами включает экзотические экземпляры тропических широт.

Зоологический музей постоянно уделяет большое внимание развитию фондовых коллекций (сбору, обработке, хранению и вовлечению экспонатов в научный оборот). Му-