Промежуточные подгруппы групп Стейнберга над полем частных кольца главных идеалов

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 60-66

УДК 512.544.2

ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП СТЕЙНБЕРГА НАД ПОЛЕМ ЧАСТНЫХ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ1

Т. В. Моисеенкова, Я. Н. Нужин

Описаны промежуточные подгруппы групп Стейнберга типа 2Л2т-1, 2От+1, 2Е6, 3над полем

частных кольца главных идеалов при некоторых ограничениях на мультипликативную группу кольца главных идеалов.

Ключевые слова: кольцо главных идеалов, группа Стейнберга, промежуточные подгруппы.

В 1970 г. Ю. И. Мерзляковым в «Коуровской тетради» была поставлена задача [1, вопрос 7.40].

ЗАДАЧА. Дать описание (решетки) подгрупп, заключенных между заданной классической группой матриц над кольцом К и подгруппой всех ее матриц с коэффициентами в подкольце О.

К настоящему времени эта задача рассматривалась, главным образом, в следующих двух случаях: а) К — алгебраическое расширение поля О [3, 6, 9, 17]; б) К — поле частных области целостности О [4-6, 8, 10-14]. В указанных выше работах установлено, что промежуточные подгруппы исчерпываются классическими группами того же типа над промежуточными подкольцами или их расширениями при помощи диагональной подгруппы — стандартными промежуточными подгруппами. При доказательстве подобных результатов полезны различные факторизации данной классической группы. Различные нестандартные промежуточные подгруппы указаны в [15, 16].

В [14] авторы установили разложение Ивасавы для групп Стейнберга над полем частных кольца главных идеалов и, используя его, описали их промежуточные подгруппы при некоторых ограничениях на характеристику и мультипликативную группу кольца главных идеалов. В данной работе показывается, что ограничения на характеристику основного кольца могут быть сняты.

1. Терминология и обозначения

Далее всюду К поле частных кольца главных идеалов О, О = О(К) — группа Шевал-ле (нормального типа) над полем К, ассоциированная с системой корней Ф и решеткой весов Ь, лежащей между решеткой корней и решеткой фундаментальных весов. Для любого подкольца Р поля К через О(Р) обозначим подгруппу в О, состоящую из элементов,

© 2010 Моисеенкова Т. В., Нужин Я. Н.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,

проект № 01-09-00-717.

координаты которых относительно решетки Ь лежат в Р. Группа О порождается своими корневыми подгруппами

X = (жг(г) | г е к), г е ф,

где хг(г) — соответствующий корневой элемент в группе О.

В применении результатов по линейным группам степени 2 к группам Шевалле или Стейнберга мы будем использовать известный гомоморфизм фг группы 6X2 (К) на подгруппу

Ог = (X,Х-Г), г е Ф,

продолжающий отображение

0 ^ ^ хг(г), ^ ^ х-г(г).

Пусть г е К *, где К * — мультипликативная группа поля К, тогда образы матриц

г о \ / о г

0 ' ^-г1 о

обозначаются соответственно через Нг (г) и пг (г). При этом для любых г, в е Ф и г, и е К * имеем

пг х5(п) п-1 = хШг (5)(±и), (г) х5(и) (г-1) = х^ иг2(г'5)/(г'г)),

где пг = пг(1), — отражение относительно корня г.

Выделим некоторые подгруппы в группе О. По определению: и = (Хг | г е Ф+) — унипотентная подгруппа; Н = (г) | г е Ф, г е К *) — диагональная подгруппа; N = (пг(г) | г е Ф,г е К*) — мономиальная подгруппа; В = иН — борелевская подгруппа.

Система корней Ф типа А;, ^, Е6 с базой {г1,..., г;} обладает симметрией р порядка 2, а система типа имеет еще и симметрию порядка 3 (рис. 1).

Если кольцо (а следовательно, и поле К) обладает автоморфизмом /, порядок которого совпадает с порядком симметрии р графа Кокстера, то определена группа Стейнберга О1 = О1 (К) над полем К как централизатор графового автоморфизма а = /р, т. е.

01 = {д е О | а(д) = д}.

С группой Стейнберга О1 типа

2 а2т, 2 а2т—1, 2^т+ъ 2e6' 3^4 естественно связана система корней Ф1 типа

вт, Ст, вт, , о2

соответственно. Группа О1 порождается своими корневыми подгруппами Х<1, Б е Ф1, где Б пробегает классы эквивалентности относительно симметрии р. Если тип О1 отличен от 2А2т, {о все корневые подгруппы коммутативны, причем: = {х^(г) = хг(г) | г е К/}, если Б = {г};

= {х^(г) = хг(г) | г е К}, если Б = {г, г}; X1 = {х^(г) = хг(г) хг-© | г е к}, если Б = {г, г, г}.

Здесь Kf — подполе неподвижных элементов поля К относительно автоморфизма /, И= /(г) и Г = р(г).

а,

П. О—

г 2 -О—

п-1 -о-

т1

-о

г-1

в,

ее

вл

Рис. 1.

В группе О1 также определяются унипотентная, диагональная, мономиальная и бо-релевская подгруппы

и1 = о1 п и, н1 = о1 п н, N1 = О1 П N в1 = о1 п в

соответственно. Если тип О1 отличен от 2^2ТО, то существует также гомоморфизм ф группы БЬ2(К) или группы БЬ2(Kf), если Б = {г}, на подгруппу

ОЯ = <Х|^, Б е Ф1,

продолжающий отображение

1 г 0 1

хя (г),

10 г1

х-я (г).

В заключение отметим, что классическим примером кольца главных идеалов и даже евклидова кольца, обладающего автоморфизмом порядка два, является кольцо целых

—

—

гауссовых чисел Ъ + ¿Ъ. Его автоморфизмом порядка два является обычное сопряжение комплексных чисел. В этом случае в наших обозначения

В = ъ + ъ

К = О + г<&

а группа Стейнберга О1 типа 2А2т_1 изоморфна специальной унитарной группе

Би2т(< + ¿<Ш,

если решетка весов Ь совпадает со всей решеткой фундаментальных весов, или проективной специальной унитарной группе

РБи2т(< + ¿<Ш,

если решетка весов Ь совпадает с решеткой корней.

2. Предварительные результаты

В [11] описаны подгруппы лежащие между группами БЬп(В) и БЬп(К). Ранее для евклидова кольца В аналогичное описание получено в [6]. В частности, при п = 2 получаем следующий результат.

Лемма 2.1. Пусть подгруппа М удовлетворяет условию

БЬ2(В) с М с БЬ2(К).

Тогда

М = БЬ2

для некоторого промежуточного подкольца Р, В С Р С К. Лемма 2.2 (Разложение Ивасавы для групп Стейнберга).

О1 = В1О1(В).

Лемма 2.3. Если диагональный элемент Н е Н1 нормализует группу О1(Р), где В С Р С К, то Н е О1(Р).

Разложение Ивасавы для групп Стейнберга и утверждение леммы 2.3 доказаны авторами в [14]. Отметим, что доказательство разложения Ивасавы для групп Шевалле

(нормального типа) приведено в книге Р. Стейнберга [7]. Положим { }

Ап = {ап | а е А}.

По определению подгруппа А мультипликативной группы Р * кольца Р удовлетворяет условию (А;,п), если аддитивная группа, порожденная множеством (1 — Ак) Ап, содержит единицу кольца Р.

Лемма 2.4. Пусть М — подгруппа группы и 1Н1 С О1 (К), нормализуемая группой Н1 П О1(Т), где Т — подкольцо поля К, а Ту — его подкольцо неподвижных элементов относительно автоморфизма /. Пусть мультипликативная группа Т* удовлетворяет условию (2,1) и, кроме того, условию (2, 2) для О1 (К) типа 2А2т_1 и условию (3,1) для О1 (К) типа 3В4. Тогда, если

х^ (¿1) хДз (¿1).. ,хДк (4) Н е М,

где 0 < Е1 < К2 < ... < Ек и Н е H1, то Н е И и

XRi (и) е И, I = 1, 2,..., к.

Утверждение леммы 2.4 является частным случаем теоремы 3 из [2] для групп Стейн-берга.

Нам потребуются также следующая техническая лемма.

Лемма 2.5. Любое промежуточное подкольцо Р, О С Р С К, порождается под-кольцом О и любой своей степенью Рп, п = 1, 2,...

< Пусть а, Ь — взаимно простые элементы из О и элемент

а

Р = Ь

лежит в Р. Из определения кольца главных идеалов следует, что существуют элементы с, ( е О такие, что

апс + Ьп( = 1.

Поэтому

ап 1 апс + Ьп( 1 — с + а =-;-= —.

Ьп Ьп Ьп

Отсюда элемент р лежит в кольце, порожденном подкольцом О и элементом рп. >

3. Основная теорема

Теорема 3.1. Пусть О1 (К) — группа Стейнберга типа 2А2т-1, 2От+1, 2Е66, или над полем частных К кольца главных идеалов О. Предположим, что:

1) О* удовлетворяет условию (2, 2), если О1 (К) типа 2А2т-1 (т ^ 2);

2) О* удовлетворяет условию (2,1), если О1 (К) типа 2От+1 (т ^ 3) или 2Е§;

3) О* удовлетворяет условиям (2,1), (3,1), если О1 (К) типа . Пусть подгруппа И удовлетворяет условию

О1 (О) С И С О1 (К).

Тогда

И = О1

для некоторого промежуточного подкольца Р, О С Р С К.

< Пусть д е И. По лемме 2.2

9 = Ьд1,

где

Ь е в1, 91 е О1(О) с И.

Поэтому Ь е И. Элемент Ь однозначно представляется в виде иН, где и е и1, Н е Н1. В свою очередь, элемент и однозначно представляется в виде

X(Ь) х^2 (и). ..XRk (гк),

для некоторых Ег с условием 0 < Е1 < Е2 < ... < Ек и некоторых и е К. По лемме 2.4 из включения Ь е И следуют включение Н е И и включения

х^ (и) е И, I = 1,2,..., к.

Таким образом,

М = <О1(В),М п Н1 ,М п 1 Б е ф1). Пусть { }

Р? = {г | х?(г) е М}.

По условию теоремы

М П О? Э <О?(В),х?(Р?),х_?(Р-?)).

Так как мономиальная подгруппа N 1(В) лежит в М и действует транзитивно на корневых подгруппах, то множества Р? совпадают для корней Б одинаковой длины. Пусть Р? = Р, если Б — короткий корень, и Р? = К для длинных корней Б. Ясно, что К С К/. По лемме 2.1

М П О? = О?

для некоторого подкольца Р? С К, поэтому множества Р и К являются кольцами.

Пусть тип О1 отличен от 3В4. Возьмем корни К, Б е Ф1, составляющие базу системы корней типа В2, где корень К короткий, а Б длинный. Тогда из коммутаторной формулы Шевалле вытекает равенство

[хд(и), х?(г)] = (±иг) х2д+?(±ииг), и е Р, г е к.

По лемме 2.4 каждый из двух сомножителей этого равенства лежит в М. Поэтому получаем при и =1 включение К С Р/, а при г = 1 включение Р2 С К. Сейчас в силу леммы 2.5 К = Р/.

Пусть О1 типа 3В4 и корни К, Б е Ф1 составляют базу системы корней типа О2, где корень К короткий, а Б длинный. Тогда из коммутаторной формулы Шевалле следует равенство

[хя(и),х?(г)] = (±иг) х2д+?(±ииг) хзд+?(±иииг) хзд+2?(±иииг2), и е Р, г е к.

По лемме 2.4 каждый из четырех сомножителей последнего равенства лежит в М. Поэтому получаем при и =1 включение К С Р/, а при г =1 включение Р3 С К. По лемме 2.5 К = Р/.

Таким образом, мы показали, что для некоторого промежуточного подкольца Р

М = <О1

и пересечение М П Н1 нормализует подгруппу О1(Р). По лемме 2.3 М = О1(Р). >

В заключение отметим, что утверждение теоремы 3.1 было доказано авторами в [14] при дополнительном условии обратимости 2 в кольце В для типов 2А2т_1, 2Вт+1, 2Е6 и обратимости 3 для типа 3 В4.

Литература

1. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 17-е, доп.—Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010.—219 с.

2. Левчук В. М. Параболические подгруппы некототорых ABA-групп // Мат. заметки.—1982.—Т. 31, № 4.—С. 509-525.

3. Нужин Я. Н. Группы, лежащие между группами лиева типа над различными полями // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 5.—С. 526-541.

4. Нужин Я. Н. О группах, лежащих между группами Шевалле над различными кольцами.— Красноярск: Красноярский политехн. ин-т, 1984.—б с. Деп. в ВИНИТИ № 77б4-84.

5. Нужин Я. Н., Якушевич А. В. Промежуточные подгруппы групп Шевалле над полем частных кольца главных идеалов // Алгебра и логика.—2000.—Т. 39, № 3.—С. 199-20б.

6. Романовский Н. С. Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом // Мат. заметки.—19б9.—Т. б, № 3.—С. 335-345.

7. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.—М.: Мир, 1975.—2б2 с.

8. Степанов А. В. Описание подгрупп общей линейной группы над кольцом с ипользованием условий стабильности // Кольца и линейные группы.—1988.—С. 82-91.

9. Шкуратский А. И. О подгруппах симплектической группы над алгебраически замкнутым полем // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 4.—С. 4бб-473.

10. Шкуратский А. И. О подгруппах симплектической группы над полем частных евклидова кольца // Алгебра и логика.—1984.—Т. 23, № 5.—С. 578-59б.

11. Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца главных идеалов // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР.—1979.—Т. 8б—С. 185-187.

12. Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР.—1979.—Т. 94.—С. 119-130.

13. Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца Безу // Структурные свойства алгебраических систем.—Нальчик, 1981.—С. 133-135.

14. Moiseenkova T. V. The Ivasava decomposition and intermediate subgroups of the Steinberg groups over the field of fractions of a principal ideal ring // Scien. in China Series A: Math.—2009.—Vol. 52, № 2.—P. 318-322.

15. Stepanov A. V. Nonstandard subgroups between En(R) and GLn(A) // Algebra Colloquium.—2004.— Vol. 10, № 3.—P. 321-334.

16. Stepanov A. V. Free product subgroups between Chevalley groups G^, F) and G^, F[t]) // J. Algebra.—2010.—Vol. 324.—P. 1549-1557.

17. Wang D., Li S. Overgroups of l(k) in l(f ) // Algebra Colloquium.—1998.—Vol. 5, № 4—P. 417-424.

Статья поступила 4 октября 2010 г.

Моисеенкова Татьяна Владимировна Сибирский федеральный университет, старший преподаватель

РОССИЯ, 660074, Красноярск, ул. Киренского 26 E-mail: mpi75@rambler.ru

Нужин Яков Нифантьевич

Сибирский федеральный университет, профессор РОССИЯ, 660074, Красноярск, ул. Киренского 26 E-mail: nuzhin2008@rambler.ru

INTERMEDIATE SUBGROUPS OF THE STEINBERG GROUPS OVER THE FIELD OF FRACTIONS OF A PRINCIPAL IDEAL RING

Moiseenkova T. V., Nuzhin Ya. N.

It is described Intermediate subgroups of the Steinberg groups of type 2A2i-1, 2Di, 2E6, 3D4 over the field of fractions of a principal ideal ring are described under some restrictions on the ring.

Key words: Principal ideal ring, Steinberg group, intermediate subgroups.