On ultimate boundedness of solutions for some classes of population dynamics models

Сер. 10. 2010. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.925.51

А. Ю. Александров, А. В. Платонов, Я. Чэнь

О ДИССИПАТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МОДЕЛЕЙ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ*)

Введение. При решении задач управления различными реальными системами, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, в широком классе случаев требуется не только стабилизировать заданные программные режимы, но и гарантировать ограниченность всех движений рассматриваемых систем. С практической точки зрения, особый интерес представляет ситуация, когда в фазовом пространстве изучаемой системы существует ограниченная область, такая, что каждое решение за конечное время попадает в эту область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Системы, обладающие указанным свойством, называются диссипативными [1, 2].

Диссипативные системы играют важную роль в задачах математической биологии. При анализе динамики популяционных моделей, описывающих взаимодействие нескольких видов, часто требуется знать, могут ли численности каких-то из рассматриваемых видов неограниченно увеличиваться при возрастании времени [2, 3]. В ряде случаев при управлении биологическими системами необходимо обеспечить, чтобы в процессе эволюции численности видов оставались в некоторых заданных пределах [3, 4].

Основным методом качественного анализа нелинейных систем является прямой метод Ляпунова [2]. С его помощью получены условия ограниченности решений

Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 101. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: alex43102006@yandex.ru.

Платонов Алексей Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 30. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: al-platon1@yandex.ru.

Чэнь Янчжоу — доктор наук, профессор кафедры автоматизации, директор исследовательского центра автономных технологий и интеллектуального управления Пекинского технологического университета. Количество опубликованных работ: 80. Научные направления: гибридные динамические системы, сетевые системы управления, информационные процессы и управление интеллектуальными транспортными системами. E-mail: yzchen@bjut.edu.cn.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-08-92208ГФЕН_a) и Национального научного фонда Китая (гранты № 60774037, 60911120067).

© А. Ю. Александров, А. В. Платонов, Я. Чэнь, 2010

для широкого класса систем [1, 2, 5]. В частности, в работах [4, 6-8] доказаны теоремы о диссипативности некоторых типов обобщенных вольтерровских моделей динамики популяций.

Однако следует отметить, что до сих пор не существует общих конструктивных способов построения функций Ляпунова для нелинейных систем. Поэтому проблема дальнейшего развития методов исследования асимптотического поведения решений систем дифференциальных уравнений по-прежнему остается актуальной.

В настоящей статье рассматриваются обобщенные вольтерровские модели специального вида. С помощью метода функций Ляпунова устанавливаются условия равномерной диссипативности изучаемых систем.

1. Постановка задачи. В работе [3] было предложено для описания взаимодействия нескольких популяций в биологическом сообществе использовать модель вида

Здесь хг(Ь) - численность г-й популяции в момент времени Ь; Ъг, сг и ау - постоянные коэффициенты, причем сг < 0; функции дг(хг), иг(хг), /г(хг) заданы при хг € [0, +го) и обладают специальными свойствами. Коэффициенты Ъг характеризуют естественный прирост г-й популяции (удельная рождаемость минус удельная смертность). Слагаемые сгиг(хг) определяют процессы самолимитирования популяций по численности. Члены

а] 1] (Ху) описывают влияние одних популяций на другие. Так, если ау > 0, то ]-й вид благотворно влияет на г-й, если агу < 0, то негативно (конкурирует с ним или является хищником по отношению к нему), и наконец, при агу = 0 говорят, что ]-й вид нейтрален по отношению к г-му.

Система (1) является обобщением классической модели межвидового взаимодействия Лотки-Вольтерра [9]:

В (1) предполагается, что степень влияния каждого j-го вида на остальные одинакова (определяется функцией ^(х^)), что в реальных биологических процессах не всегда имеет место [4, 10, 11]. Поэтому далее мы рассмотрим следующую модель:

которая в ряде случаев позволяет более тонко учитывать различные нелинейные эффекты взаимодействия популяций, по сравнению с системой (1). Здесь также агу, Ъг, сг - постоянные коэффициенты, сг < 0; параметры цг, агу задают соответственно степень самолимитирования г-й популяции и степень влияния ]-й популяции на г-тую, цг > 0, ау > 0; ] = г, г,] = 1,...,п.

і = 1,...,п.

Если в системе (2) принять §і(хі) = іі(хі) = хі, і = 1,...,п, то получим известную модель Гилпина-Аяла, широко используемую во многих приложениях (см., например, [7, 8, 10-12]). В частности, в работе [13] модель Гилпина-Аяла была применена для описания конкурентных процессов в популяциях дрозофил и показано ее хорошее соответствие с экспериментальными данными.

В силу биологического смысла, систему (2) достаточно рассматривать только в неотрицательном ортанте К+ = {х : хі ^ 0, і = 1,..., п}. Здесь х = (хі,..., хп)*.

Следуя предположениям, сделанным относительно уравнений (1) в работе [3], будем считать, что функции ді(хі), Кх,,), і = 1,...,п, обладают свойствами:

1) ді(хі) и /і(хі) непрерывны при хі ^ 0;

2) для любых ¿0 € (_те, +те), х(0) Є К + через точку (¿0, х(0)) проходит единственное решение х(Ь, х(0),і0) системы (2);

3) ді(0) = іі(0) = 0 и ді(хі) > 0, )і(хі) > 0 при хі > 0;

4) іі(хі) ^ при хі ^ +го.

При выполнении данных условий К + является инвариантным множеством для рассматриваемой системы.

Дополнительно предположим существование такого положительного числа 7, что для любых чисел 7і ^ 7, і = 1,...,п, справедливы следующие соотношения:

Гх р*

5) г . . <1т —> +оо при Хі —> +оо;

Jl ді

6) 1 (1т < +оо.

.к ді(т) _

Например, функции д^,(х^) = хт*, іі(хі) = хр, і = 1,...,п, обладают свойствами 1)-6), если показатели степеней ті и рі удовлетворяют условиям ті ^ 1, а^pj ^ 1, j = i, і^ = 1,...,п.

Определение 1. Система (2) называется равномерно диссипативной в К +, если существует такое число Е > 0, что для любого Q > 0 можно выбрать Т = Т(^) ^ 0 так, чтобы при всех ¿0 ^ 0, х(0) Є Кд и і ^ ¿0 + Т имело место неравенство ||х(і, х(0),і0)|| < Е. Здесь Кд = {х : х Є К +, ||х||

^ Q}, II ' II _ евклидова норма

вектора.

В настоящей работе с помощью прямого метода Ляпунова устанавливаются условия равномерной диссипативности системы (2). Далее проводится развитие полученных результатов и их обобщение на более широкие классы систем. Кроме того, исследуются условия ограниченности решений гибридных моделей межвидового взаимодействия. Рассматриваются системы уравнений, параметры которых могут переключаться с одного набора значений на другой. Предлагается способ построения функций Ляпунова для таких систем.

2. Условия равномерной диссипативности. Покажем, что вопрос о равномерной диссипативности уравнений (2) может быть сведен к вопросу о существовании положительных решений у двух вспомогательных систем алгебраических неравенств.

Теорема 1. Для равномерной диссипативности системы (2) в К + достаточно, а в случае, когда все коэффициенты Ьі, а^ неотрицательны и функции іі(хі) не убывают при хі Є [0, +го), і^ = 1,...,п, j = і, то и необходимо, чтобы выполнялись условия:

1) существуют положительные числа ^1,...,^п такие, что

^* Н-—— ^ 0 при І і и а,ц ^ 0, г,_7 = 1,. .., п;

2) существуют положительные числа в1,...,вп такие, что

+ 52 ацв*" < 0,

3=1

3=і

і = \,...,и.

Здесь ац = тах {агз; 0}.

Доказательство. Достаточность. Пусть для положительных чисел 71,...,7„ выполнены неравенства (3). Не умаляя общности, можно считать, что ^ 7, г = 1,...,п.

Рассмотрим множество К0 = {х : хг > 0, г = 1,..., п}, которое представляет собой внутреннюю часть конуса К + и, так же как и К +, является инвариантным множеством для системы (2). Функцию Ляпунова строим в виде

V (х)=£ Лі

№ £І'.

17і

9і{т)

¿т,

где Л1,...,Л„ - положительные постоянные. Функция V(х) непрерывно дифференцируема на множестве К0, причем V(х) ^ +ж при ||х|| ^ ж. Вычислим ее производную, в силу уравнений (2). При всех х € К0 имеем

/

¿V

сМ

52 Л

і=1

\

Ы?

3 = 1 3=і

<

<

ЕЛ*

ЬііТ

V

3 = 1 3=і

/

Для доказательства равномерной диссипативности системы (2) в К0 достаточно показать [1], что положительные коэффициенты Лі, ...,Лп и число Д > 0 можно выбрать таким образом, чтобы для функции

/

Ш (у) =£ Лі

і=1

\

ЬіуТ + СіУ„7і+^і + у? 52 аізУз

\

3 = 1 3=і

в области || у у > Д выполнялось неравенство Ш(у) < 0. Рассмотрим вспомогательную функцию

/

СіУ,

\

Уі 7 . аі3 У3

з=і

/

Здесь агз = 0, если в системе (3) соответствующее данным значениям индексов г, ] неравенство является строгим, и а^ = а^, если оно обращается в равенство.

а„-о

Заметим, что Ш(у) - обобщенно-однородная функция [5]. Известно [14], что если система (4) имеет положительное решение, то существуют положительные коэффициенты Л1,..., Лп, при которых для всех у = 0 справедливо неравенство Ш(у) < 0. Используя свойства обобщенно-однородных функций [5], получаем, что тогда при найденных значениях Л1,...,Лп и при достаточно большом Д > 0 функция Ш(у) будет отрицательна в области ||у|| > Д.

Предположим теперь, что некоторое решение системы (2) начинается в точке х(0), лежащей на границе множества К +. Тогда эта точка имеет какое-то количество нулевых координат. Пусть для определенности х(0) = (х10),..., хХ^, 0,..., 0)*, где х(0) > 0, г = 1,...,т, 1 ^ т < п (случай, когда х(0) = (0,..., 0)* - тривиален). Учитывая инвариантность множества

К+., т = {х : хг > 0, г =1,...,т, хз = 0, j = т + 1,...,п} и используя функцию Ляпунова

т рX* г7г

У(х)=5>у ^ ^ (1т, Хг>0, *=1,...,ТО,

мы, как и выше, получим, что выполнение условий 1) и 2) теоремы 1 гарантирует равномерную диссипативность системы (2) в К+ т.

Необходимость. Предположим, что в уравнениях

является системой Важевского [15]. Известно [15], что если данная система равномерно диссипативна в К +, то для любого Д > 0 положительные числа 91,...,9п можно выбрать так, чтобы имели место неравенства ||О|| > Д и

п

Ь + егв^ + ^2 агзОЗ*3 < 0, г = 1,...,п.

3=1

Здесь О = (О1,..., Оп)*.

Пусть Ьг ^ 0, г = 1,...,п. В этом случае указанные значения О1,...,Оп удовлетворяют и неравенствам (4). В работе [16] доказано, что тогда для любого Д > 0 положительное решение О1,...,Оп системы (4) можно выбрать так, чтобы выполнялись условия Ог > Д, г = 1,...,п. А из этого следует [16], что система (3) также должна иметь положительное решение. Теорема доказана.

Следствие 1. Если существуют положительные числа ^1,...,^п такие, что

^1 Л---------—— < 0 при j ^ г и ац ^ 0, ^ = 1,. .., п,

Ъ + Иг + Из

то система (2) равномерно диссипативна в К +.

Доказательство. Пусть для положительных постоянных ^1,...,7п справедливы неравенства (6). Тогда при достаточно больших значениях т > 0 числа Ог = т 1/('^+^), г = 1,...,п, будут удовлетворять системе (4).

Замечание 1. В работе [17] получены необходимые и достаточные условия существования положительного решения системы (6).

Пример 1. Пусть уравнения (2) имеют вид

Таким образом, здесь п = 3, /¿(ж*) = х*, 0.12 = «21 = «23 = «32 = 1- По-прежнему предполагаем, что с* < 0, і = 1, 2, 3. Кроме того, будем считать, что коэффициенты 61, 62, Ьз, аі2, а21, а23, ^32 положительны. Значит, второй вид образует симбиоз с первым и третьим видами, а те друг к другу относятся нейтрально.

Рассмотрим систему неравенств (3), соответствующую уравнениям (7). Получим

-(1Н1 + Ь,2 < 0, -(2Н2 + ьл < 0, -(2Н2 + Н3 < 0, -(3Н3 + Н2 < 0,

где Н* = 1/(7і + Ці), і = 1, 2, 3. Переписывая эти неравенства в виде

несложно заметить, что для существования у них положительного решения необходимо и достаточно выполнения условий

Применяя к ней метод исключения переменных, придем к цепочке неравенств

С учетом ограничений (8) получаем, что для существования положительных чисел $1 ,62,63, удовлетворяющих этой цепочке неравенств, необходимо и достаточно, чтобы имело место одно из следующих условий:

а) (1(2 > 1, (2(з > 1;

г) (1(2 = 1, (2(3 = 1, (-«21/02) (-Й12/С1)М2 + (-«23/02) (-аз2/ез)М2 < 1. Следовательно, согласно теореме 1, выполнение одного из условий а)—г) необходимо и достаточно для равномерной диссипативности системы (7) в К +.

Замечание 2. С биологической точки зрения, большой интерес представляет ситуация, когда решения, начинающиеся в положительном ортанте К0, попадают в ограниченную область, отделенную от координатных гиперплоскостей (популяции не вымирают) [3, 4]. Отметим, что если Ъi > 0 и а^ ^ 0 при ] = г, т. е. если естественный прирост популяций положителен и все популяции благотворно влияют друг на друга (между любыми двумя популяциями в сообществе установлены отношения

(1(2 ^ 1, (2(3 ^ 1-

Составим теперь систему неравенств (4), соответствующую уравнениям (7):

С!^1 + а12@2 < 0, С2^2*2 + Я2161 + а2363 < 0, С30д3 + а3262 < 0.

1/21

6(1-2122 )/21 +

^23

1/23

6(1—М2М3 )/23

>

С2

б) (1(2 = 1, (2(3 > 1, (—Я21/С2) (-а12/с1)22 < 1;

в) (1(2 > 1, (2(3 = 1, (-Я23/С2) (-Я32/С3)22 < 1;

типа «симбиоз», «компенсализм» или «нейтрализм» [3]), то выполнение условий 1) и 2) теоремы 1 гарантирует подобное поведение решений системы (2). При этом функции д-(х-), /-(х-), г = 1,...,п, могут не удовлетворять дополнительному ограничению 6) из п. 1.

3. Некоторое обобщение полученных результатов. Рассмотрим теперь систему вида

О) О)

Ъ- + е- /?

3 = 1

По сравнению с системой (2), модель (9) может учитывать более тонкие особенности межпопуляционного взаимодействия. Здесь снова Ъ-, е-, а-ц - постоянные коэффи-

циенты, причем е- < 0; показатели степеней и- и ау удовлетворяют неравенствам и- > 0, аЦ) ^ 0; функции д-(х-) и /-(х-) обладают свойствами 1)-6), указанными в п. 1; ] = 1,...,к-, г, в = 1,...,п. Модели такого типа исследовались, например, в работах [8, 18, 19] для описания динамики популяций с ярко выраженными конкурентными процессами.

Пусть = тах{щц; 0}, ] = 1,...,к-, г = 1,...,п.

Теорема 2. Для равномерной диссипативности системы (9) в К+ достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) существуют положительные числа ^1,...,^п такие, что

и- п аЦ)

----^----1-УЗ----т— <0 при ац± 0, 3 = 1, ...,ки г = 1,..., п;

Ъ + и- + ив

2) существуют положительные числа в1,...,вп такие, что

аО) аО)

е-в? +52а-з в^1 ...6п™ < 0, г =1,...,п.

3 = 1

Доказательство. Пусть для положительных чисел ^1,...,^п выполнены неравенства (10). Снова, не умаляя общности, считаем, что ^ 7, г = 1,...,п. Функцию Ляпунова для системы (9) строим в виде (5), где А1,. ..,Хп - положительные коэффициенты. Дифференцируя ее в силу исследуемых уравнений, получаем, что при всех х € К0 справедливо равенство

дУ га, = 52^ ( (ж*) + (ж*) + /7* (ж*)¿ач!\Л (хп) ) .

() -=1 \ 3=1

А

Как и при доказательстве теоремы 1, используя результаты работы [14], нетрудно показать, что если система (11) имеет положительное решение, то коэффициенты А1,...,Ап и число Д > 0 можно выбрать так, чтобы функция

к*

^(у) = 52А-1 Ъ-у^ + е-у?+?+уТ52а-зу“'1 ...уа

3=1

была отрицательна в области ||у|| > Д. Значит [1], система (9) равномерно диссипативна в К0.

Аналогичным образом исследуется случай, когда начальные данные решений лежат на границе положительного ортанта.

Следствие 2. Если существуют положительные числа ^1,...,^п такие, что

п

---^------Н УЗ ~~М— <0 пРи ^ 3 = г = 1,...,п,

1- + и- у=1 ъ + ив

то система (9) равномерно диссипативна в К +.

Доказательство следствия 2 аналогично доказательству следствия 1. Замечание 3.В отличие от теоремы 1, в случае, когда все коэффициенты Ъ- и ац неотрицательны, а функции /-(х-) не убывают при х- € [0, +го), ] = 1,...,к-, г = 1,...,п, условия теоремы 2, вообще говоря, не являются необходимыми условиями равномерной диссипативности системы (9) в К+ (см. [16]).

Пример 2. Пусть система (9) имеет вид

X1 = Х1 (Ъ1 + С1Х?1 + ацха11 хО;12 + а12хОО13) ,

X2 = х2 (Ъ2 + С2х?2 + а21 х^1 хЧО22 + а22х^23) ,

хз = хз (Ъз + езх?3 + аз1 х°31 х%32).

Предположим, что ац < 0, а21 < 0, а12 > 0, а22 > 0, аз1 > 0.

Выпишем неравенства (10) и (11), соответствующие рассматриваемой системе. Получим

—и1^1 + а1зНз < 0, и2^2 + а2зЛ-з < 0, —из^-з + аз^ + аз2^2 < 0

и

С1в? + а^вОО13 < 0, С2^Ч2 + а22вОО23 < 0, Сзв? + аз1 в^31 в%32 < 0.

Здесь, как и в примере 1, Ь- = 1/(7- + и-), г =1, 2, 3.

Применяя к данным неравенствам метод исключения переменных, придем к соотношениям

( аз1 а1з аз2 а2з \ ,

(3/13 > «31^1 + «32^-2 >-----------1-------Ьз,

и1 и2

> I І 0а3! 0&32 ^ / «31 | / а12 | I а22 | ^азіаіз/мі+«32а2з/м2

азі/іі / \ «32/М2

"" Ч

С3 ) ~ V С3 / V С1 / V с2 /

Для существования положительных решений этих неравенств необходимо и достаточно, чтобы имело место одно из условий:

а) (3 > «31 «13/(1 + «32«23/М2!

б) (3 = «31 «13/(1 + «32«23/(2 и (-а3і/с3)(-аі2/сі)азі/і 1 (-а.22/с2)аз2/12 < 1.

Следовательно, согласно теореме 2, выполнение одного из условий а), б) достаточно для равномерной диссипативности в К + исследуемой системы.

4. Вспомогательный результат. В п. 2, 3 при получении достаточных условий диссипативности в рассматриваемых уравнениях отбрасывались межвидовые связи, которым соответствуют отрицательные коэффициенты а^. Покажем теперь, что более тонкий учет данных связей позволяет ослабить указанные в теоремах 1 и 2 ограничения на параметры изучаемых систем. Для этого нам потребуется один вспомогательный результат.

Рассмотрим функцию

П I

М =$3р°увз +X^у1Я    У™п,

8=1 ¿=1

где р и Цз - отрицательные постоянные; в и ¿¿в - рациональные числа с четными

П

числителями и нечетными знаменателями, /38 > 0, §з8 ^ 0, ^ §з8 > 0. Будем считать,

в=1

что имеют место соотношения

5з.

Пусть Л.(у) = ш |у1.|СТ1 |у„|СТп Здесь ш > 0, а8 ^ 0, в = 1,...,п. Положим а = (^1,    ,ап). Рассмотрим в неотрицательном ортанте точки М1, , Мп+1 с радиус-векторами Ш1 = (в1, 0,    , 0)*,    ,тп = (0,    ,0,вп)*, Шп+1 = (¿11,    Лп)*,    ,тп+1 = (¿;1,    , ¿1п)*, а также точку О с радиус-вектором ш0 = (0,    ,0)*. Обозначим через Q выпуклый многогранник [20], порожденный точками М1,    , Мп+1, О. Пусть Т - множество точек из Q, за исключением тех, что находятся на гранях этого многогранника, лежащих в гиперплоскостях, отличных от координатных гиперплоскостей. Множество Т можно представить в виде Т = Т1 и Т2, где

п £

Т\ = {ч = (чь • • • ,60 : X < 1’ & ^ 0, в = 1,..., п},

Рв

в=1

а Т2 = Т\Т1. Для случая п = 2, I = 2 его можно проиллюстрировать следующим образом:

Лемма 1. Для того чтобы при любом значении коэффициента ш существовало такое число Д > 0, что

^

при всех || у У > Д, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие а € Т.

Доказательство. Достаточность. Покажем, что если а € Т, то для каждого г € {1,    ,п} число Дг > 0 можно выбрать так, чтобы в области Ог = {у : \уг1 >

Дг, Уз € (-ж, +ж)^ = 1,    ,п,] = г} имело место неравенство (14).

Пусть а € Т. Тогда при достаточно малом е > 0 точка а = (а1,...,а._1,а. + е,а.+ 1,... ,ап) также будет принадлежать множеству Т. Следовательно [20], найдут-

п+1 п+1

ся такие неотрицательные числа Ао, А1,..., Ап+;, что а = ^ АвМв, причем У~] Ая = 1.

в=0 в = 0

Здесь М0 = О.

Зададим положительное число 7 и выберем величину Д. так, чтобы выполнялись условия Д. > 1, ш < ^Д1. Пусть ^ = ув°, в = 1,...,п; гп+з = у/1 ... уПп, 3 = 1,...,1.

Тогда в области О. справедливы оценки

¥>(у) + н(у) < ^(у) + 1\у1\а1... \yi_i\аг—1 Ыаг+е|у*+1Г+1... <

п I

\ Л | \ Л | Л1 Лг—1 Лг + Ло Лг+1 Лп+£

<2^+2^ СИгп+з + 1 1 ... ¿¿_1 2 0г*+1 . .. 2 п+1 .

Я=1 ¿=1

Получаем [5], что если число ^ > 0 достаточно мало, то при всех у € О. имеет место неравенство (14).

Определив таким образом величины Д1,..., Дп, в качестве требуемого значения Д из формулировки леммы можно взять Д = л/п тах{Д1,..., Д„}.

Необходимость. Пусть а € Т. Тогда найдется гиперплоскость, проходящая через одну из граней многогранника Q, такая, что или точка а принадлежит этой грани, или данная гиперплоскость отделяет а от многогранника [20]. Уравнение указанной

п п п

гиперплоскости можно записать в виде У~] а8^8 = 1, причем У~] авав ^ 1, и ^ ав< 1

в = 1 в=1 в=1

для любой точки (^1,..., пп) из множества Т.

Положим у = (у1,... ,уп)*, где ув = таз, в = 1,...,п, т > 0. Тогда при достаточно больших значениях ш и т имеем у>(у) + Н(у) > 0. Заметим, что, по крайней мере, для одного в € {1,...,п} справедливо неравенство ав > 0. Значит, ||у|| ^ то при т ^ +то. Таким образом, требуемое число Д существовать не может. Лемма доказана.

З а м е ч а н и е 4. Лемма 1 утверждает, что если а € Т, то для любого значения параметра ш найдется соответствующее число Д > 0. В случае, когда а € Q\T, можно указать числа Д > 0 и шо > 0 такие, что при всех ш < шо в области ||у|| > Д будет справедливо неравенство (14).

Замечание 5. Пусть для некоторых значений индекса 3 условия (13) не выполнены. Тогда соответствующие слагаемые ^ у1з1 ... упп, входящие в выражение для функции у>(у), не влияют на ограничения, получающиеся для параметров а1,...,ап. Если условия (13) не выполнены при всех 3 = 1,...,1, то, для того чтобы при любом ш > 0 нашлось требуемое число Д > 0, необходимо и достаточно, чтобы точка а принадлежала множеству Т1 .

Замечание 6. В случае, когда в качестве аргументов функций ^(у) и Н(у) рассматриваются только вектора из неотрицательного ортанта К +, предположение

о том, что и - рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями, является излишним.

5. Уточнение условий равномерной диссипативности. Снова рассмотрим систему (9). Положим А_ = {(г,3) : а¿^ < 0}, А+ = {(*,3) : а¿^ > 0}. Здесь 3 = 1,...,к., г = 1,...,п.

Выберем некоторые положительные числа 71,...,7п. Построим в неотрицательном ортанте точки О, М1,..., Мп, М., 3 = 1,...,к., * = 1,...,п, с радиус-векторами

то = (0,...,0)*, Ш1 = (71 + т, 0,...,0)*, ..., Шп = (0,...,0,7п + Ип)*,

mij = («¿i},...,aij)-i,Yi + aij,auh,...,ain) , j = h---,ki, i = l,...,n.

Пусть Q(yi, . ..,Yn) - выпуклый многогранник, порожденный точками O, Mi,..., Mn и такими точками Mj, для которых (i,j) G А-. Как и в п. 4, обозначим через T (yi, ... ,Yn) множество точек из Q(yi, . ..,jn), за исключением тех, что находятся на гранях этого многогранника, лежащих в гиперплоскостях, отличных от координатных гиперплоскостей.

Теорема 3. Для равномерной диссипативности системы (9) в K+ достаточно, чтобы существовали положительные числа Yi,...,Yn, Ys ^ Y, s = 1,...,n, такие, что Mij G T(yi, ..., Yn) для всех (i,j) G А+.

Доказательство. Функцию Ляпунова строим в виде (5), где Yi,...,Yn - положительные числа, удовлетворяющие указанному в формулировке теоремы условию, а Ai,...,An - произвольные положительные постоянные. Для доказательства равномерной диссипативности системы (9) в K0 достаточно показать, что число Д > 0 можно выбрать так, чтобы функция

n ( ki (j) (

W(y) = 52Ai IbiyYi + civT+^+уТ52y^1 ...ya

i=i V j=i

была отрицательна в области Сд = {y : y G K +, ||у|| > Д}.

Представим W(у) в виде W(у) = у>(у) + й-(у), где

•n , ж—ч a

р(у) = 52AiciyYi ^ + 52 AiуТа1 y^1 ...y™in,

i=i (i,j)^A-

n a

ь(у) = 52 AibiyYi + 52 AiyYiajyii1... ynin.

i=i (i,j)eA+

Применяя лемму 1, получаем требуемое.

Аналогичным образом рассматривается случай, когда траектории решений системы (9) расположены на границе неотрицательного ортанта K +. Теорема доказана.

Замечание 7. Для заданных положительных чисел Yi,...,Yn представим множество T (yi, ...,Yn) в виде T (yi, . ..,Yn) = T U T2, где

T\ = < £ = (£ь   - Лп) ' 52 —Z— < ^ s = 1,... ,n 1, Т2 = Т(71,... ,7„)\Ti.

I S= Ys + Vs J

Тогда выполнение неравенств (12) из следствия 2 означает, что Mj,j G Ti при (i,j) G А+. Выполнение дополнительных неравенств (11) позволяет точкам Mj,j, (i,j) G А+, находиться также на границе множества T1, лежащей в гиперплоскости

n Г-

V—-— = l.

S= Ys + Vs

Теорема 3 расширяет множество допустимых положений точек Mij, (i,j) G А+. Получаем, что эти точки могут принадлежать и множеству T2.

Замечание 8. Система (2) является частным случаем системы (9). Поэтому теорема 3 для нее также справедлива. Учитывая специфику уравнений (2), находим,

что если для какой-то пары индексов (г,з) имеют место неравенства а3 > 0 и а^ < 0, т. е. между видами г и ] установлены отношения типа «хищник-жертва», то применение теоремы 3 позволяет получить для параметра а3 более слабое ограничение по сравнению с ограничением, заданным соответствующим неравенством из совокупности (6).

Пример 3. Предположим, что система (2) имеет вид

Ж 1 = Ж1 (&1 + 01x1 + а12хз + alзх^^13) ,

Ж2 = Х2 (&2 + С2Х2 + а21Х1 + а2зх§) ,

хз = жз (Ъз + сзхЗ + аз2Ж3) ,

причем а12 < 0, а2з < 0, а1з > 0, а21 > 0, аз2 > 0.

Применяя к рассматриваемым уравнениям следствие 1, приходим к системе неравенств

71

2 «хз

7з

< 0, --

2

72

+

2

71

< 0, —

2

7з

+

3

72

< 0.

Для существования положительного решения 71,72,7з системы (16) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие а1з < 4/3.

В то же время, согласно теореме 3, для равномерной диссипативности системы (15) в К + достаточно, чтобы нашлись положительные постоянные 71,72,7з такие, что

27з > а1з(71 + 2)- 4, З71 > 272, 71 >72 - 1, 72 > 7з + 1, 272 > 37з.

А это имеет место тогда и только тогда, когда а1з < 2.

6. Гибридные модели межвидового взаимодействия. В п. 2-5 предполагалось, что коэффициенты в правых частях исследуемых систем являются постоянными величинами. Рассмотрим теперь случай, когда в процессе функционирования системы эти коэффициенты переключаются с одного набора значений на другой. Биологически такое переключение параметров модели может быть обусловлено изменением внешних условий среды обитания популяций.

Пусть задана система /

Жг = дг

V

3=1

3=г

г = 1,...,п.

/

Здесь функции дг(хг) и (хг) заданы и непрерывны при хг € [0, +то); а = а(Ь) -кусочно-постоянная функция, определяющая закон переключения, а(Ь) : [0, +то) ^ Б = {1,...,Ж}; Ъ(я), с(я), а3 - постоянные коэффициенты, причем с(я) < 0, ] = г, г,] = 1,... ,п, в = 1,...,Ы. Таким образом, в каждый момент времени работа рассматриваемой системы описывается одной из подсистем

/ \

дг

ъ(8) + с()1г (хг ) + ^3 а3^ (х3 ) 3=1 3 = г

1,...,n,

1,...,М.

\

/

Система (17) относится к классу так называемых гибридных систем [21]. Определим условия ее равномерной диссипативности.

в

Следует отметить, что при решении задач анализа и синтеза систем с переключениями в широком классе случаев требуется, чтобы система обладала заданными свойствами при любом допустимом законе переключения [21]. Это требование обусловлено тем, что закон переключения может быть или неизвестен, или слишком сложен для того, чтобы его можно было в явном виде учитывать при исследовании динамики системы.

Будем считать, что функции д*(ж*) и /*(жц) удовлетворяют условиям 1)—4), указанным в п. 1, и, кроме того, предположим, что /¿(ж*) - непрерывно дифференцируемые при ж* € [0, +аэ) функции, причем /(ж*) > 0 при ж* > 0, г = 1,...,п. Введем обозначения = шах | а\8), 0|, ] = г, г,] = 1,...,п, в = 1,...,К.

Теорема 4. Если существуют положительные числа в\,...,вп такие, что

е(я)вг + > і а£>в3 < 0,

53в

3 = 1 з=

і = 1,...,п,

= 1,...,К,

то при любом законе переключения система (17) равномерно диссипативна в К +.

Доказательство. Пусть ві,...,вп - положительное решение системы неравенств (19). Значит, найдется число 6 > 0, удовлетворяющее условиям

П

е^ві + 53 аЗвз < -6 < 0, і = 1,...,п, в = 1,...,Ж.

3=1

3=і

Функцию Ляпунова строим в виде

V (х) = тах

/і

і=1,...,п ві

Вычислим правую верхнюю производную Дини В+У(х) [2] от функции V(х) в силу в-й подсистемы из совокупности (18).

Выбираем точку X = (жх,...,хп)* € К+, X = 0, и рассмотрим решение х(Ь) = (жх(Ь),... ,жп(Ь))* в-й подсистемы, выходящее при Ь = 0 из данной точки. Найдем

Іі

тах —-—.

= 1,...,п ві

Пусть этот максимум достигается на индексах г € А С {1,..., п}, т. е. V(X) = /j(Жj)/9г при г € А, V(X) > /(ж* )/9г при г / А. Тогда для каждого г € А имеем

(

Л

¿і \ ві

£=+0

Яі

\

ьі + ч /і

з=1

з=і

<

У

,(я) . (я) , N /і(Хі ) V-' -(в)о

Ь\ ’ + с\ '/і(жі) + ——

з=1

3=і

/

в

Таким образом, производная Дини функции V(x) в силу любой подсистемы из совокупности (18) удовлетворяет условию D+V(x) < 0 при V(x) > b/S. Здесь b - наибольшее из чисел b(s), i = 1,...,n, s = 1,...,N.

Далее, используя стандартные рассуждения [1], получаем, что при любом законе переключения система (17) равномерно диссипативна в K +. Теорема доказана.

Замечание 9. Из доказательства теоремы следует, что если b ^ 0, то нулевое решение системы (17) асимптотически устойчиво в целом, т. е. в этом случае при возрастании времени все популяции вымирают. Если b > 0, то неравенство V(x) ^ b/S задает оценку области диссипативности системы (17).

Замечание 10.В работе [22] были найдены необходимые и достаточные условия существования положительного решения системы (19).

Замечание 11. Теорема 4 может быть доказана на основе результатов, полученных в [23]. Однако предложенный в ней подход базируется на использовании метода сравнения и свойств систем Важевского. Рассмотренный в настоящей статье способ доказательства теоремы 4, основанный на построении для подсистем (18) общей функции Ляпунова, обладает тем преимуществом, что с помощью найденной функции Ляпунова можно получить количественные оценки динамики исследуемой системы. Кроме того, он позволяет оценить границы допустимых возмущений, не нарушающих дисси-пативности изучаемых систем. Следует отметить, что возмущенные системы могут уже не являться системами Важевского. Тогда к ним нельзя будет применить результаты работы [23].

Замечание 12. Подход, предложенный нами, допускает распространение и на гибридные системы более общего вида, чем система (17). В частности, с его помощью можно установить достаточные условия диссипативности для систем (2) и (9), в которых имеют место переключения коэффициентов.

Литература

1. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov’s second method. Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.

2. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / пер. с англ.; под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 с.

3. Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983. 182 c.

4. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary games and population dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. 323 p.

5. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

6. Zhao J. D., Jiang J. F. Average conditions for permanence and extinction in nonautonomous Lotka-Volterra system // J. Math. Anal. Appl. 2004. Vol. 229. P. 663-675.

7. Chen F. Some new results on the permanence and extinction of nonautonomous Gilpin-Ayala type competition model with delays // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2006. Vol. 7. P. 1205-1222.

8. Chen F., Wu L., Li Z. Permanence and global attractivity of the discrete Gilpin-Ayala type population model // Computers and Mathematics with Applications. 2007. Vol. 53. P. 1214-1227.

9. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 288 c.

10. Gilpin M. E., Ayala F. J. Global models of growth and competition // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1973. Vol. 70. P. 3590-3593.

11. Ayala F. J., Gilpin M. E., Eherenfeld J. G. Competition between species: theoretical models and experimental tests // Theoretical Population Biology. 1973. Vol. 4. P. 331-356.

12. Fan M., Wang K. Global periodic solutions of a generalized га-species Gilpin-Ayala competition model // Comput. Math. Appl. 2000. Vol. 40. P. 1141-1151.

13. Gilpin M. E., Ayala F. J. Schoener’s model and Drosophila competition // Theoretical Population Biology. 1976. Vol. 9. P. 12-14.

14. Aleksandrov A. Yu., Platonov A. V. Construction of Lyapunov’s functions for a class of nonlinear systems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2006. Vol. 6, N 1. P. 17-29.

15. Мартынюк А. А., Оболенский А. Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важев-ского // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 8. С. 1392-1407.

16. Aleksandrov A. Yu., Platonov A. V. Conditions of ultimate boundedness of solutions for a class of nonlinear systems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2008. Vol. 8, N 2. P. 109-122.

17. Платонов А. В. Об устойчивости нелинейных сложных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 4. C. 41-46.

18. Chen F. D. On a periodic multi-species ecological model // Appl. Math. Comput. 2005. Vol. 171, N 1. P. 492-510.

19. Chen F. D., Shi C. L. Global attractivity in an almost periodic multi-spedes nonlinear ecological model // Appl. Math. Comput. 2006. Vol. 180, N 1. P. 376-392.

20. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ / пер. с англ.; под ред. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова. М.: Мир, 1973. 469 с.

21. Liberzon D., Morse A. S. Basic problems in stability and design of switched systems // IEEE Control Systems Magazine. 1999. Vol. 19, N 15. P. 59-70.

22. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями // Автоматика и телемеханика. 2008. № 7. C. 3-18.

23. Козлов Р. И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова. Новосибирск: Наука, 2001. 128 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.

Статья принята к печати 24 декабря 2009 г.