Формирование и развитие вероятностно- статистического мышления учащихся на уроках математики

УДК 37.01

Т. Л. ПОЛЯКОВА

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

На основании психологического анализа общих закономерностей мыслительной и познавательной деятельности детей в разные возрастные периоды выделены три основных этапа обучения в основной и старшей (профильной) школе, для каждого из которых определены основные виды деятельности учащихся на уроках математики, направленные на формирование и развитие вероятностно-статистического мышления.

Немецкий ученый и философ XVIII в. Кант писал:

"Учить надобно не мыслям, а мыслить". И эти слова имеют огромное значение, поскольку являются одним из приоритетных принципов в обучении математике. Основной целью образовательного процесса становится усвоение определенных способов мышления, обеспечивающих понимание и производство новых знаний.

Введение в школьный курс математики стохастической линии (от греч. яЮсИазикоз — умеющий угадывать, случайный) вызвано, прежде всего, необходимостью развить один из специальных типов мышления — вероятностно-статистический, необходимый современному человеку как в общекультурном смысле, так и для профессионального становления. В жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предположения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т.д. Каждый человек, живущий в современном сложном и вариативном обществе, имеет право на получение информации, ее доступность и достоверность, право на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки часто неполной и противоречивой информации. Таким образом, стохастическая линия вводится в школьный курс математики из тех соображений, что этот материал является практически значимым и направлен на формирование комбинаторного мышления и вероятностной интуиции.

Анализ программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев показал, что существуют специальные учебники, содержащие в себе обязательный минимум по теории вероятностей, математической статистике и комбинаторике. Но всех разработчиков нового содержательного школьного курса математики, прежде всего, должна волновать проблема возрастной и социальной готовности учащихся к осознанию тех или иных стохастических процессов, к теоретическим обобщениям закономерностей в массовых случайных явлениях. И здесь очень важно ответить на следующие вопросы: с какого возраста нужно начинать знакомить учащихся с миром случайного? Как лучше "привязать" конкретный стохастический учебный материал к социально-мотивационным, нравственным и интеллектуальным особенностям наших школьников? Как правильно сформировать вероятностное мышление? Именно поэтому необходимо

обратиться к психологии и вспомнить общие закономерности мыслительной и познавательной деятельности детей в разных возрастных группах.

Исследования психологов (Ж.Пиаже, Е.Фиш-бейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Так, до 6-7 лет ребенок, оперируя предметами, овладевает окружающим миром через конкретные действия. В этом возрасте большинство детей не может выполнять обратные операции и не владеет принципами сохранения количества и величины предмета.

Ученик начальной школы (до 10-11 лет) уже может совершать действия в обратной последовательности, способен упорядочить имеющиеся предметы, овладеть принципом сохранения. Кроме того, ребенок постепенно переходит от действий с предметами к выполнению операций с образами (символами) этих предметов; операции выполняются уже не непосредственно методом проб и ошибок, а сначала мысленно. Однако эксперименты показывают [ 1 ], что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях ученика о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата (прежде всего - простых дробей) для объяснения представлений о вероятности, а выполняемые школьником операции конкретны и ограничены его жизненным опытом.

В своих работах психологи утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13лет, что примерно соответствует 5-7 классу российской школы. Примерно к 12 годам индивидуум переходит в последнюю стадию умственного развития - стадию «формальных операций» [2], когда становится возможным выполнение мыслительных операций, уже не опирающихся на личный конкретный опыт. Внутренние умственные операции на этой стадии превращаются в структурно организованное целое. Подросток овладевает абстрактно-понятийными способами мышления, а к 14-15 годам у него формируется логика взрослого человека. Теоретически отечественные педагоги уже определили, что в возрасте 10-13 лет (в результате целенаправленного накопления статистического опыта) ученик в состоянии интуитивно осознавать тенденции в небольших по объему "учебных" выборках, а в возрасте 13-16 лет - совершать обобщения, работать с достаточно объемными выборка-

ми и создавать вероятностные модели для решения несложных прикладных задач.

Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений [1], [3], проведение экспериментов со случайными исходами и обсуждение на качественном уровне их результатов показали, что этот не закрепленный формальными "обязательнымирезультатами" периоддаетхорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений школьников. В 5 класс дети приходят с достаточно высоким уровнем комбинаторного мышления независимо от того, по каким учебникам математики они работали в начальной школе [3]. Большинство учащихся 5-6 классов готовы к восприятию понятия вероятности в классическом и геометрическом толковании. Они способны верно оценить шансы событий, когда число элементарных исходов испытания очевидно и невелико. Возможно, когда жизненный опыт учащихся обогатится и они на практике столкнутся с оценками шансов событий (7-8 классы), учащиеся без труда воспримут статистическое определение вероятности. Понятие относительной частоты конкретной величины дети готовы воспринять сразу после изучения обыкновенных дробей в 5 классе. Но путь до осознания закона больших чисел должен быть долгим, думается, до конца 8 класса либо до начала 9 класса. К осознанному восприятию закономерностей в массовых явлениях большинство детей готово лишь к 14-15 годам.

Вероятностно-статистическое мышление — это специальный тип мышления, выражающийся в умении анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие ситуации и, что самое главное, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях неопределенности. И для правильного его формирования кроме всего прочего нужна грамотно разработанная система задач на каждом этапе обучения в соответствии с возрастом, интересами и возможностями ребенка. Очень важно избрать такие методы обучения, виды учебной деятельности, когда ученик сам формулирует то или иное понятие, определение, делает выводы и обобщения в процессе и на этапе «открытия» новых знаний в ходе практической деятельности. Ведь делается это, прежде всего, для того, чтобы, участвуя в этом процессе, учащиеся глубже вникали в смысл понятия, познавали его структуру. Работа по освоению учащимися опыта эмоциональной и творческой деятельности заключается в развитии мышления через разные его виды [4]. На всех ступенях обучения фактически формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами.

Анализируя все вышесказанное, попытаемся выделить основные виды деятельности, направленные на развитие вероятностного мышления на разных этапах обучения в соответствии с возрастными особенностями учащихся.

Возраст 11-12 лет является важным этапом в интеллектуальном развитии личности, в становлении вероятностной интуиции и мышления. Основной методический принцип на начальном этапе обучения — учить не готовым формулам, теоремам и определениям, а некоторым простейшим навыкам. Желательно обучать детей 5-6 классов самостоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их жизни, подсчету данных в небольших (объемом до 30 единиц) выборках, систематизации этих данных по различным признакам. На данном этапе понятие вероятности вводится на

эмпирическом уровне, т.е. первые интуитивные представления о вероятности связаны с понятием частоты. Например, можно рассматривать такие стохастические эксперименты, которые повторимы при неизменном комплексе условий любое число раз, чтобы при этом исход каждого предыдущего опыта не повлиял на события, которые произойдут в последующем (эксперименты с шарами, монетами, бусинками, игральными костями и т.п.). При проведении испытаний очень важно обратить внимание ребят на то, что частота наступления интересующего события обладает свойством устойчивости: с ростом числа испытаний она имеет тенденцию стабилизироваться вблизи определенного значения, которое и является вероятностью события, понимаемой пока на интуитивном уровне.

В 7 - 9 классах следует усилить уровень строгости в изложении материала. Например, на данном этапе целесообразно ввести классическое понятие вероятности. Исторически оно возникло раньше остальных и сводилось к представлению о равновозможности: до опыта выпадение герба и решки на симметричной монете представляется равновозможными, грани правильной игральной кости одна по отношению к другой также не имеют преимуществ. Возникает возможность сравнения частоты наступления событий и его вероятности, вычисленной на основе классического определения. Подобные занятия имеют большое воспитательное значение, показывая, что в задаче, где господствует случай, имеются свои закономерности. Здесь также важны проведение лабораторных работ, различных экспериментов, самостоятельная работа и работа в малых группах. Можно также рассматривать вопросы организации статистических исследований и наглядного представления информации. Если со столбчатыми и круговыми диаграммами учащиеся уже встречались в младших классах, то новыми для них на этом этапе станут «полигон» и «гистограмма», а также статистические характеристики ряда данных: мода, медиана, среднее арифметическое, размах. При выполнении соответствующих упражнений основное внимание следует уделить практическому смыслу статистических характеристик. Также необходимо организовать целенаправленное наблюдение за массовыми явления ми окружающей действительности и чаще фиксировать внимание ребят на неравномерных распределениях величин в различных явлениях природы и техники. Тем самым школьники научатся распознавать величины, имеющие нормальное распределение.

Что же касается старших классов, то здесь очень важно отметить следующее. Происходящая в настоящее время модернизация всей системы образования выдвинула в качестве одной из своих задач профи-лизацию старшей школы. Изучение математики в профильных классах имеет свою специфику: каждый профиль включает инвариантное ядро содержания, определяемое обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования по математике, и вариативную составляющую, определяемую профилем обучения. При этом вариативная представляет собой набор разделов, из которых учитель может составить материал, дополняющий основную часть курса. Общий для всех профилей уровень обязательной подготовки предполагает, что учащийся овладевает теми умениями и навыками, которые необходимы ему как современному человеку для ориентации в повседневной жизни, так и будущему специалисту, профессиональные интересы которого не связаны с математикой, Возможный уровень подготовки не является максимальным для всех профилей,

он ориентирован на формирование общекультурных представлений и развитие навыков прикладного характера, позволяющих использовать вероятностно-статистические идеи и методы для решения задач, связанных с различными отраслями знаний, организацией производства и повседневными нуждами людей. Этот уровень характеризует возможную вероятностно-статистическую подготовку выпускника большинства профилей, однако в отдельных профилях (математическом, физическом и т.д.) может быть дополнен рядом требований, связанных с более высоким уровнем конкретных знаний. Здесь мы уже можем говорить о том, что для разных профилей изложение материала будет отличаться как по объему, так и по представленным задачам. Естественно, что задачи для физико-математического и гуманитарного профиля будут отличаться и по содержанию, и по уровню сложности. Если для первого профиля они будут более глубокие, то для второго они вполне могут носить формальный характер. То же самое можно сказать и об изложении теоретического материала. Кроме всего прочего здесь очень важно отметить прикладную направленность в обучении стохастике [5]. При решении задач прикладного характера учащиеся получают представление о необходимости и универсальности математики и ее методов. Сама ценность стохастических задач определяется не столько тем аппаратом, который используется при их решении, сколько возможностями продемонстрировать процесс применения математики для решения нематематических задач, которые, в свою очередь, можно встретить в таких далеких от математики областях, как биология, медицина, гуманитарные дисциплины.

Подводя итог, скажем следующее. Во многих развитых странах (Англия, Франция, США., Япония и т.д.) уже десятки лет школьные курсы математики предусматривают изучение элементов комбинаторики, вероятности, статистики. В нашей стране уже предпринимались попытки введения в школьный курс математики основ теории вероятностей (период реформы 60-70-х 1Т,), но в силу ряда причин этот материал вскоре был изъят из программ и учебников. В настоящее время одним из основных аспектов модернизации школьного математического образования является включение теоретико-вероятностных знаний во всеобщее обучение. Эта необходимость обусловлена, во-первых, высоким уровнем развития науки. Естественные, гуманитарные и технические науки во многом опираются на статистические концепции и широко используют вероятностно-статистические методы. Во-вторых, эта необходимость диктуется социально-экономическими потребностями общества, народным хозяйством - промышленным производством, сельским хозяйством, транспортом, связью, военным делом, здравоохранением и т.д. Новая вероятностная линия в школьном курсе математики призвана сформировать у учащихся адекватное отношение к миру случайностей, сформировать и развить особый - вероятностно-статистический тип

мышления, для того чтобы ученик, вступая во взрос-

лую жизнь, мог бы обладать всеми теми элементами стохастической культуры, которые необходимы человеку для повседневной жизни в современном цивилизованном обществе, а также для продолжения образования практически во всех сферах человеческой деятельности. Не случайно перед методистами стоит задача естественно связать новую содержательную линию курса математики с другими. Стержнем, связывающим эту линию с традиционными линиями школьного курса математики, является метод математического моделирования - известно, что многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, а большинство реальных явлений и процессов описывается вероятнос тными моделями. Следует усилить внимание к анализу данных, обработке статистического материала. Новые темы должны гармонично влиться в школьный курс математики, переплестись с остальными темам и В противном случае новые темы будут изолированы, оторваны от всего остального материала, что приведет к непрочности полученных учащимися знаний, умений и навыков.

Примечание

В соответствии с концепцией модернизации российского образования на период до 2010 года, утвержденной распоряжением Правительства Российской Федерации № 1756-р от29 декабря 2001 г., элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое знамение [6).

Библиографический список

1. Бунимович ЕЛ. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики / Е.А. Бунимович // Математика в школе. — 2002. - № 4. - С. 52-56.

2. Немов P.C. Психология: Учеб. для студентов высш. пед. Учеб. заведений: в Зт. Общие основы психологии. — М.: Гума-нит. изд. центр ВЛАДОС, 1997, Т. 1. - 088 с.

3. Ткачева М.В., Василькова E.H., ЧуваеиаТ.В. О готовности учащихся к изучению стохастики / М.В. Ткачева, E.H. Василькова, Т.В. Чуваева // Математика в школе. — 2003. - № 9. - С. 56-61.

4. Маркова В. Формирование мышления учащихся / В. Маркова // Газета «Математика». — 2004. - № 34. — С. 2-4.

5. Плоцки А. Стохастические задачи и прикладная направленность в обучении математике / А. Плоцки // Математика в школе. - 1991.-№3. - С. 69-71.

6. Сборник нормативных документов. Математика / Сост. Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев. - 2-е изд., стереотип. - М : Дрофа, 2006. - 80 с.

ПОЛЯКОВА Татьяна Анатольевна, аспирантка второго года очной формы обучения математического факультета ОмГУ, кафедра методики преподавания математики.

Дата поступления статьи в редакцию: 14.09.2006 г. © Полякова Т.А.

удк372 878 Е. С. ДИКАЕВА

Государственное учреждение культуры Омской области »Учебно-методический центр по образованию в сфере культуры и искусства»

СОВРЕМЕННЫЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ МУЗЫКЕ ДЕТЕЙ С ОСОБЫМИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМИ ПОТРЕБНОСТЯМИ

Статья посвящена проблемам социально-педагогической адаптации и обучения детей с особыми образовательными потребностями музыке. К данной категории относятся дети, имеющие отклонения в психическом и физическом развитии, страдающие хроническими заболеваниями.

Автор, опираясь на свой многолетний педагогический опыт, указывает на необходимость углубленной подготовки профессиональных педагогических кадров для работы с данной категорией детей и разработки специальных образовательных технологий как на непременные условия успешности обучения детей на музыкальном отделении в школе искусств в соответствии с индивидуальными особенностями их развития.

Одной из самых острых социальных проблем современной России является высокий уровень заболеваемости детей и неуклонный рост детской инвалидности. В настоящее время у каждого 7-го из 10 новорождённых выявляются различные нарушения здоровья. Поданным НЦ ЗД РАМН, не более 3-10% детей (в зависимости от возраста) можно признать здоровыми [13]. В органах социальной защиты населения на учёте в 1999 году состояло 597,2 тысячи детей-инвалидов, в 2003 году - 604 тысячи человек, в 2004 году число детей-инвалидов возросло до 613 тысяч [8,с. 48.]. Одна из основных причин инвалидности у детей, проживающих на территории Российской Федерации, — заболевания нервной системы, а в группе этих заболеваний максимум приходится на инвалидность, обусловленную детским церебральным параличом [8, с.85].

Численность детей-инвалидов на территории Омской области в 2005 году составила 9 906 человек, По сравнению с прошедшим годом этот показатель уменьшился на 3,3 % и в настоящее время находится на самом низком уровне за последние пять лет. В структуре детской инвалидности региона первое место занимают врождённые аномалии развития (преимущественно врождённые пороки сердца), второе — психические расстройства (преимущественно умственная отсталость различной степени выраженности), третье — болезни нервной системы (превалирует детский церебральный паралич). В связи с негативными тенденциями в медико-демографической ситуации дальнейший прогноз относительно детской инвалидности в Омском регионе остаётся неясным [9,С.5-6].

На I Международном конгрессе по проблемам комплексной реабилитации детей, страдающих церебральным параличом, который состоялся в конце февраля 2006 года в Москве, научные работники, видные зарубежные учёные, специалисты различных ведомств подчёркивали важность взаимодействия учреждений образования, культуры, здравоохранения, социальной защиты в оказании помощи таким детям. Неоднократно цитировалось высказывание выдающегося отечественного психолога Л.С. Выготского: «Человечество победит раньше или позже и слепоту,

и глухоту, и слабоумие. Но гораздо раньше оно победит их в социальном и педагогическом плане, чем в плане медицинском и биологическом».

В настоящее время зарубежными и отечественными специалистами накоплен богатый опыт использования искусства в решении проблем, связанных со здо-ровьемдетей. Именно по этой причине возрастает роль учреждений дополнительного образования в решении одной из самых значительных социальных проблем.

Министерством образования и науки определены приоритетные направлением развития системы образования, которые направлены на обеспечение условий, способствующих сохранению, укреплению здоровья обучающихся и воспитанников, на расширение доступа к качественному образованию детей с ограниченными возможностями здоровья [3].

Права и равные возможности любого гражданина Российской Федерации в получении образования закреплены законом, при организации образовательного процесса «особые нужды неполноценного ребёнка» должны быть признаны и учтены [6].

В Законе Омской области «Об областной целевой программе «Дети Омской области» подчёркивается «необходимость разработки мер, направленных на улучшение положения детей-инвалидов», «представляется необходимой работа с одарёнными детьми с ограниченными возможностями, их социальная адаптация и интеграция в общество» [4].

В связи с вышеизложенным учреждения дополнительного образования призваны выполнять важную социальную функцию, которая заключается в том, чтобы средствами искусства способствовать эффективному процессу социализации, развития и оздоровления детей, имеющих различные уровни сохранности здоровья.

В Концепции модернизации дополнительного образования детей, разработанной в целях дальнейшего развития системы и обеспечения взаимосвязи с основными направлениями социально-экономической политики правительства Российской Федерации на период до 2010 года, подчёркнуты отличительные особенности педагогики дополнительного образования: — личностно ориентированный подход к ребён-