Методологические основы интервальной теории портфеля

Фондовый рынок

методологические основы

интервальной теории портфеля

М. И. ЛИСИЦА, доктор экономических наук, профессор кафедры финансов Международный банковский институт

В статье критически проанализировано современное состояние теории портфеля, перечислены основные недостатки существующих подходов к формированию портфеля ценных бумаг. Представлена авторская точка зрения на понятие «портфель», а также собственный взгляд на информационное состояние рынков капитала и поведение инвесторов. Разработан подход к формированию портфеля финансовых активов, опирающийся на классический инструментарий теории портфеля и инструментарий теории ценообразования опционов.

Ключевые слова: портфель, ценные бумаги, доходность, опцион, рынок, капитал, инвестор, зона неведения, стрэддл.

1.Обзор подходов, формирующих теорию портфеля

В настоящее время теория портфеля представляет собой научное направление без общей методологии. Говоря о современном состоянии портфельной теории, можно выделить лишь отдельные подходы к формированию портфеля ценных бумаг и перечислить наиболее значительные работы в рамках данного научного направления.

следует обратить внимание на разработанную Г. Марковицем и опубликованную им в статье [20], а затем и в монографии [19] модель выбора портфеля. В этих работах излагается методология инвестирования в финансовые активы и предлагается соответствующий математический аппарат. но они имеют в значительной мере теоретическую направленность, что приводит к серьезным затруднениям в их практическом использовании.

Во-первых, процедура выбора портфеля носит скорее исключительный, нежели всеобщий характер, поскольку модель опирается на гипотезу об отсутствии взаимосвязи между показателями фактической доходности ценных бумаг. Однако на практике коэффициент корреляции может существенно отличаться от нуля (хотя статистически это ничего не значит).

Во-вторых, графическое решение задачи выбора портфеля, состоящего из двух-трех финансовых активов, является учебным примером, который уместен для объяснения причин и логики устранения риска портфеля под воздействием диверсификации, т. е. расширения портфеля при включении в него ценных бумаг.

В-третьих, модель выбора портфеля лишь декларирует принцип «короткой» продажи1 финансовых активов, однако ее математическая формулировка и модельные предположения не позволяют создать портфель, в котором содержится обязательство выкупа ценных бумаг. По крайней мере, математическое решение этой задачи абсурдно. Можно сказать, что декларирование принципа «короткой» продажи является традиционным едва ли не для всех подходов в теории портфеля, хотя за этим может и не стоять никаких инструментальных возможностей совершения данной финансовой операции, в частности, как в модели выбора. таким

1Иапомним, что «короткая» продажа предполагает заимствование ценных бумаг, затем их продажу по существующему рыночному курсу с последующим выкупом по снизившемуся и, наконец, возврат держателю. Инвестор, совершающий «короткую» продажу, безусловно, рассчитывает на падение рыночного курса, что и позволит заработать прибыль, в противном же случае, если курс вырастет, будет получен убыток.

образом, использование модели может привести к фундаментальным ошибкам при формировании финансовой инвестиционной стратегии, т. е. модель выбора всегда будет рекомендовать создание портфеля на основе приобретения ценных бумаг, даже тогда, когда очевидна необходимость их «короткой» продажи.

В-четвертых, модель работоспособна, когда исследуется небольшое число финансовых активов. Однако при их количестве в несколько сотен, допустим, как в биржевом фондовом индексе S&P500, процедура выбора портфеля теряет практический смысл из-за необходимости изучить астрономическое число (в данном случае более 10150) комбинаций ценных бумаг, поскольку алгоритм модели выбора портфеля сводится к задаче целочисленного программирования. Неработоспособность модели выбора при большом числе видов ценных бумаг диктует необходимость определения степени диверсификации портфеля, т. е. предпочтительного количества содержащихся в нем видов финансовых активов. При этом, если не исследовать всех имеющихся в поле зрения ценных бумаг, то «лучшие» их комбинации могут оказаться незамеченными. Последнее противоречит теореме об эффективных множествах, на создание которых и направлена модель выбора портфеля. А именно: сочетание финансовых активов должно обеспечивать максимальную ожидаемую доходность при интуитивно заданном уровне финансового инвестиционного риска либо должно обеспечивать минимальный финансовый инвестиционный риск при интуитивно заданном уровне ожидаемой доходности.

В-пятых, по-прежнему психологически трудно выполнимой задачей, как и 50—55 лет назад, остается проблема интуитивного выбора приемлемого уровня риска и доходности. Кроме того, данный вопрос является исключительно экономической проблемой и всегда будет относиться к числу открытых.

Заслуживает внимания разработанная У. Шарпом и опубликованная им в статье [26] упрощенная модель портфельного анализа, являющаяся следствием модели выбора портфеля. В данной работе предложен более простой и практичный, по мнению У. Шарпа, способ формирования портфеля ценных бумаг. А представленная техника и инструментарий позволяют, опять же, по мнению автора модели, эффективно управлять портфелями, содержащими большое число (даже в несколько сотен) видов финансовых активов.

Однако, несмотря на некоторый прогресс (в частности, не предусматривается интуитивный

выбор уровней риска и ожидаемой доходности), упрощенная модель портфельного анализа также имеет ряд существенных недостатков, «перешедших» в нее из модели выбора портфеля.

— Несмотря на необходимость оценки меньшего количества параметров, упрощенная модель сводится, в конечном итоге, к задаче целочисленного программирования, как и в случае с ее предшественницей (моделью выбора), что снова объективно предполагает изучение астрономического числа сочетаний ценных бумаг. Напомним, что с практической точки зрения эта задача относится к числу неразрешимых.

— Упрощенная модель портфельного анализа исключает «короткие» продажи, что неточно отражает процессы, происходящие в области ценообразования финансовых активов, т. е. согласно модели предполагается только рост котировок, а их падение не рассматривается, по крайней мере, этого не допускает математическая формулировка упрощенной модели. Покупка ценных бумаг, когда нужна их продажа, есть фундаментальная ошибка выбора финансовой инвестиционной стратегии, поскольку инвестиции в «падающие» фондовые активы приводят к получению убытков, а это противоречит логике рационального выбора. Таким образом, упрощенную модель портфельного анализа нельзя признать в качестве универсальной — это не более чем частный случай, как и модель выбора портфеля.

— Упрощенная модель показывает пользу диверсификации портфеля, фактически рекомендуя инвесторам создание хорошо диверсифицированных множеств, т. е. портфелей, содержащих примерно 40 — 50 видов финансовых активов, отобранных случайным образом. Это приводит к устранению общего риска портфеля до уровня систематического риска, который по своей экономической природе уже не поддается устранению. Однако здесь следует отметить, что к таким рекомендациям мало кто прислушивается, т. к. на практике инвесторы создают портфели, существенно отличающиеся друг от друга по показателю риска. В общем, модель не отражает ни мышления, ни поведения рыночных субъектов.

Безусловно, особо следует выделить разработанную У. Шарпом и опубликованную им в статье [27] модель оценки доходности финансовых активов, которая обеспечила прорыв в преодолении недостатков, как модели выбора портфеля, так и упрощенной модели портфельного анализа. Этому также во многом способствовали работы Д. Линт-

нера [17, 18] и Я. Моссина [21, 22]. Модель оценки доходности показывает разделение ожидаемой доходности по ценным бумагам под воздействием их финансового инвестиционного риска, что определенно объясняет (необъяснимое в рамках концепции упрощенной модели портфельного анализа) расхождение инвесторов при выборе более или, наоборот, менее рисковых фондовых объектов. Модель показывает и необходимую к получению (по данному виду ценных бумаг) ожидаемую доходность, которую также называют требуемой (для компенсации риска) нормой прибыли (по-другому, требуемой доходностью). Модель оценки доходности требует расчета минимального количества параметров, таким образом, основанная на расчетных оценках купля-продажа финансовых активов представляется практически осуществимой задачей в отличие от модели выбора портфеля и упрощенной модели портфельного анализа. Она исключает интуитивный выбор уровня риска, ожидаемой доходности, а также оценку взаимосвязи между показателями фактической доходности ценных бумаг, показывая, какая норма прибыли должна быть получена при данном уровне риска. Это позволяет рыночному субъекту сделать рациональный выбор при инвестировании свободных денежных средств, что существенно затруднено при использовании модели выбора портфеля.

Тем не менее, несмотря на очевидные преимущества и интуитивное принятие большинством инвесторов положений модели оценки доходности финансовых активов, изначально она была сформулирована в условиях жестких, а в некоторых случаях нереалистичных ограничений, что и предопределило все ее многочисленные недостатки. Перечислим наиболее значительные.

Во-первых, если инвесторы не признают самого существования рыночного портфеля или затрудняются с определением его состава (на что указал Р. Ролл в публикации [23]), то оценка требуемой нормы прибыли будет невозможна либо некорректна в связи с отсутствием или, как минимум, некорректностью необходимых для этого статистических данных о риске и ожидаемой доходности рыночного портфеля.

Во-вторых, модель оценки доходности не подлежит эмпирической проверке как целостная концепция из-за отсутствия возможностей инвестирования под ставку безрисковой доходности, на гипотезу о наличии которой модель опирается, т. к. нельзя проверить то, что не существует. Данный недостаток (реальное отсутствие ставки безриско-

вой доходности) является определяющим в признании модели несостоятельной с практической точки зрения. В общем, модель следует отнести к числу эмпирических, когда можно говорить о подтверждении лишь ее отдельных существующих компонентов.

В-третьих, позиционируемая в качестве равновесной модель оценки доходности не учитывает налогов и издержек, связанных с осуществлением сделок по купле-продаже ценных бумаг. Если ставки налогообложения и комиссионных дифференцированы в зависимости от суммы доходов, а также возникают различные по величине непроцентные расходы у разных инвесторов, то соотношение риск — доходность будет искажено. Совершенно очевидно, что будет иметь место множественность восприятия происходящих рыночных процессов. Таким образом, однородности ожиданий инвесторов может и не быть, а это должно вывести биржевой фондовый рынок из равновесия, чего модель оценки доходности финансовых активов, по мнению разработчиков, не допускает. В-четвертых, если считать модель истинной, то соотношение риск — доходность должно описываться с помощью уравнения линейной регрессии по всем видам ценных бумаг. Но оказалось, что к акциям это применимо, а к облигациям — нет. Данное обстоятельство наводит на мысль, что модель оценки доходности отражает лишь некоторые статистические взаимосвязи, а не поведение инвесторов, которое вполне может отклоняться от фактически навязанного разработчиками модели в своих публикациях [17, 18, 21, 22, 27] стереотипа (напомним, риск должен компенсироваться пропорциональной ему величиной ожидаемой доходности).

В-пятых, после изучения статистики за длительный промежуток времени (около 50 лет) Ю. Фама и К. Френч опубликовали статью [14], в которой показали, что растущий риск акций (а было проверено несколько тысяч видов) не всегда сопровождался ростом ожидаемой доходности. Более того, оказалось, что ожидаемая доходность оставалась относительно стабильной. Соответственно, модель оценки доходности финансовых активов в данном случае вообще не отражает зависимости между риском и ожидаемой доходностью. Следовательно, вряд ли в условиях равновесного рынка она может быть инструментом оценки требуемой нормы прибыли (напомним, что в условиях равновесия требуемая и ожидаемая доходности должны совпадать). Объяснить данный эмпирический парадокс (о стабильности ожидаемой доходности ак-

ций при их растущем риске) с позиций равновесия на биржевом фондовом рынке, по нашему мнению, вряд ли представляется возможным, что является фундаментальным противоречием между теорией и практикой финансового инвестирования.

Считаем необходимым представить разработанную и прошедшую относительно длительную эволюцию, опубликованную в целом ряде изданий [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] модифицированную модель оценки доходности финансовых активов, которая, по нашему мнению, ставит точку в дискуссии по поводу практической состоятельности модели оценки доходности.

Методология модели ориентирована на возможность неравновесия на биржевых фондовых рынках, что позволяет удовлетворительно объяснить эмпирический парадокс о стабильности ожидаемой доходности при растущем риске акций, а также выработать рекомендации, как о покупке, так и о «короткой» продаже финансовых активов. Причем математическая формулировка модифицированной модели не противоречит выполнению этих рекомендаций, чего нельзя сказать ни о модели выбора портфеля, ни об упрощенной модели портфельного анализа. Модифицированная модель доказывает, что соотношение между риском и требуемой нормой прибыли ценных бумаг, равно, как и действия инвесторов при формировании портфелей, свободны от влияния взаимосвязи между показателями их фактической доходности. С практической точки зрения последнее значит, что при составлении портфелей можно обходиться без ставки безрисковой доходности, опираясь только на реальные статистические данные. А решения о включении или, наоборот, исключении ценных бумаг из портфеля (в том числе на основе «коротких» продаж) принимаются изолированно, т. е. вне связи с другими финансовыми активами в частном портфеле инвестора.

Модифицированная модель оценки доходности финансовых активов прошла эмпирическую проверку, подтвердившую, что она является состоятельной и целостной концепцией, которая не только объясняет закономерность формирования требуемой нормы прибыли ценных бумаг под влиянием риска, но и позволяет дать точную количественную оценку этой закономерности. Наконец, модифицированная модель может быть рекомендована к практическому использованию, в отличие от ее предшественницы (модель оценки доходности), которая представляет частный случай модифицированной модели.

Тем не менее модифицированная модель оценки доходности финансовых активов может быть несвободна, как минимум, от двух недостатков своей предшественницы (модели оценки доходности): а) модифицированная модель, вероятно, в большей степени подходит для оценки требуемой доходности акций, а не облигаций, хотя это надо подтвердить экспериментально, поскольку наши тесты не показывают наличия данной проблемы; б) модифицированная модель по-прежнему умалчивает о составе рыночного портфеля.

Некоторого внимания заслуживают также факторные модели и процессы формирования доходности, обзор которых представлен в монографии [10]. Причем именно У. Шарп, являющийся одним из ее авторов, заложил методологические основы использования факторных моделей в теории портфеля. Процесс формирования доходности можно организовать на основе одно-факторных и многофакторных моделей. Среди однофакторных наиболее известна рыночная модель, которую впервые применил У. Шарп в рамках разработанной им упрощенной модели портфельного анализа, о достоинствах и недостатках которой уже упоминалось. среди многофакторных наиболее известна популярная среди институциональных инвесторов разработанная Б. Розенбергом совместно с В. Маратом модель E2, ранее именовавшаяся BARRA.

Факторные модели объединяют в себе факторы, которые статистически значимы в процессе вычисления ожидаемой доходности ценных бумаг. Таким образом, факторные модели являются сугубо позитивными, т. е. направлены на поиск ожидаемой доходности. Это значит, что они могут быть легко интегрированы. например, в упрощенную модель портфельного анализа в качестве целевой функции, как в случае с рыночной моделью, которая, напомним, направлена на устранение специфического (несистематического) риска финансовых активов. Соответственно все прочие факторные модели направлены на устранение нефакторного риска ценных бумаг, что в любом случае приведет к формированию хорошо диверсифицированного портфеля.

не станем перечислять всех недостатков упрощенной модели портфельного анализа, которые унаследует от нее любая факторная модель в случае интегрирования в упрощенную модель в качестве целевой функции. Однако в дополнение к имеющимся недостаткам использования факторных моделей можно причислить, как минимум, еще три:

— факторы, влияющие на формирование ожидаемой доходности финансовых активов, могут быть как заметными, так и скрытыми. Следовательно, далеко не всегда можно уверенно считать исчерпывающей некоторую совокупность таких факторов. Вот почему теоретическое преимущество имеют модели, основанные на использовании результирующих показателей. В частности, речь идет о финансовом инвестиционном риске, который складывается под воздействием вариации значений фактической доходности, являющейся результатом финансово-хозяйственной деятельности и учитывающей как заметные, так и скрытые воздействия. Таким образом, применение рыночной модели (опирающейся именно на показатель финансового инвестиционного риска) в качестве целевой функции поиска ожидаемой доходности более предпочтительно по сравнению с другими факторными моделями;

— при подборе факторов необходимо решить задачу об опровержении гипотезы Н0, т. е. гипотезы о случайности связи между вариацией значений каждого фактора и фактической доходности. А затем и задачу о статистической значимости факторной модели, т. е. о достаточности включенных в модель факторов для объяснения порядка формирования ожидаемой доходности. Все это требует дополнительных интеллектуальных усилий (причем далеко не всегда вознаграждаемых, поскольку нельзя определенно ожидать, что выбранный фактор статистически значим);

— многофакторные модели при интегрировании в упрощенную модель портфельного анализа (вместо рыночной модели) в качестве целевой функции поиска ожидаемой доходности требуют оценки большего числа параметров по сравнению с рыночной моделью, что усложняет и без того непростую задачу формирования портфеля.

Отдельного упоминания требует арбитражная теория оценки доходности финансовых активов (несмотря на лежащую в основе ее математической формализации многофакторную модель), методология которой разработана С. Россом [24]. Арбитражная теория показывает, как без увеличения инвестиций в портфель, т. е. только за счет изменения его структуры, увеличить ожидаемую доходность портфеля. По сути, арбитражная теория опирается на несколько видоизмененный принцип формирования эффективного множества, который определен в рамках модели выбора портфеля, а именно: за счет продажи ценной бумаги с меньшей ожидаемой доходностью следует при-

обрести финансовый актив с большей ожидаемой доходностью, безусловно, при неизменности риска портфеля.

Однако арбитражная теория оценки доходности не получила широкого распространения на практике. Это является следствием ее недостатков, которые экстраполируются на любую теорию, в основе математической формализации которой лежит факторная модель, о чем уже упоминалось при обсуждении недостатков таких моделей. Добавим, что арбитражная теория умалчивает о составе ценных бумаг, формирующих структуру портфеля — это один из двух основных недостатков теории (напомним, что первым является неопределенность факторов, влияющих на формирование ожидаемой доходности). Она лишь интуитивно предполагает достаточно большое число видов финансовых активов в портфеле.

2. Гипотеза об информационной эффективности рынка капитала, риск и доходность как ключевые параметры ценных бумаг и модифицированная модель оценки доходности финансовых активов

Итак, портфель представляет собой динамическую совокупность финансовых активов, состоящую из включаемых в нее и исключаемых из нее, в том числе на основе «короткой» продажи, ценных бумаг. Таким образом, портфель есть объект, определяющий во времени состояние финансовых активов по отношению к данному объекту.

Кроме того, мы принимаем гипотезу о существовании информационно эффективного рынка капитала в качестве саморегулирующейся системы управления потоками денежных ресурсов и платежных средств, приносящих доход, который зависит от спроса и предложения, платежеспособности рыночных субъектов. Обозначенная система поддается классификации по ряду признаков. Иначе говоря, состоит из сегментов, причем в одном из таких сегментов справедливы наши выводы и рекомендации. Это биржевой фондовый рынок первичных финансовых инструментов (в частности, акций и облигаций), обладающий высокой ликвидностью совершаемых торговых операций с ценными бумагами. Высокая же ликвидность сделок обычно подтверждается тем, что изменения курсов ценных бумаг на биржевом фондовом рынке и в поведении его участников происходят практически мгновенно и при этом стохастически, под воздействием факторов, как уловимых, так и незаметных.

Почему мы верим в информационную эффективность рынка? Потому что полагаем — курсы ценных бумаг формируются (уместно было бы даже сказать, изменяются) рыночными субъектами под влиянием на их мышление и поведение поступающей практически непрерывно общедоступной информации. Рынок же капитала следует считать информационно эффективным лишь тогда, когда в курсах ценных бумаг находит отражение вся общедоступная информация. Причем быстрее, чем инвесторы успевают это спрогнозировать. Таким образом, участники рынка обречены действовать интуитивно. Есть уверенность в том, что дело именно так и обстоит, т. е. получение сверхрыночных доходов (на основе выявления недооцененных или переоцененных финансовых активов), называемых также сверхдоходами, возможно лишь в результате случайности. Нет оснований оспаривать совершенно очевидную мысль о том, что при мгновенных ситуационных изменениях надежный прогноз практически невозможно дать также мгновенно (тем более, полагаясь на интуицию), можно только угадать развитие ситуации, т. е. любые решения о купле-продаже ценных бумаг вынесены исключительно в область азартных выводов.

Отметим также и то, что среди специалистов, исследовавших «поведение» ценных бумаг и опубликовавших по этому поводу наиболее значительные работы [11, 12, 13, 15, 16, 25], все-таки нет единой точки зрения на степень информационной эффективности биржевых фондовых рынков. Тем не менее в обозначенных работах приводятся достаточные для подтверждения факта эффективности рынка капитала эмпирические основания.

Во-первых, не была выявлена связь между доходностью во времени, т. е. данные о фактической доходности (иначе говоря, доходности за прошлые периоды времени), как правило, не предоставляют возможностей и оснований для прогнозирования ожидаемой доходности. В своих исследованиях [7, 9] мы также подтверждаем эту мысль. Почему прогнозы ожидаемой доходности являются случайными? Если цены меняются под воздействием поступающей общедоступной информации, то они должны меняться строго в соответствии с закономерностями поступления этой информации. Однако у нас нет оснований думать, что поступление информации подчиняется хоть какой-то закономерности — это спонтанное явление, как правило, отражающее появление спонтанных событий. Следовательно, цены формируются спонтанно, а за ними и фактическая доходность. Логично, что

и оценка ожидаемой доходности также является не более и не менее случайной.

Во-вторых, учитывая во многом распределительный характер финансовых отношений, имеет место равновероятное соотношение прибыльности и убыточности финансовой инвестиционной деятельности. Совершенно очевидно, что первоначальная покупка финансового актива прибыльна в случае последующего роста его курса, соответственно, первоначальная продажа была бы связана с равной по величине упущенной выгодой. Наоборот, первоначальная покупка была бы убыточна в случае последующего падения курса. Соответственно, первоначальная продажа была бы связана с равной по величине выгодой, если бы после падения курса был совершен обратный выкуп финансового актива. Таким образом, прибыль и убыток равновероятны (так же, как равновероятно выпадание при подбрасывании монеты одной из ее сторон). Отсюда вероятность получения только положительной доходности снижается во времени, т. е. из одной тысячи инвесторов в течение, скажем, десяти дней подряд на это способен лишь один (1 000-0,510«1). Как правило, именно так и происходит на практике. Указанному единственному инвестору, скорее всего, просто повезет. Вряд ли речь может идти о том, что данный субъект обладает какими-то выдающимися профессиональными качествами и/или особыми знаниями по сравнению с другими инвесторами.

Итак, в целом можно заключить, что биржевые фондовые рынки являются эффективными. В большинстве случаев рыночные субъекты обладают равнодоступной информацией и ограниченными знаниями. Обреченность же инвесторов на интуитивные действия весьма затрудняет их аналитические возможности и не позволяет определить — цены каких финансовых активов отклоняются от своих нормальных (рыночных) значений, когда это происходит и насколько велики эти отклонения. Таким образом, участникам рынка капитала логично действовать, исходя из предположения, что биржевой фондовый рынок информационно эффективен, а в курсовой стоимости ценных бумаг не содержится никаких искажений.

На какие же мысли наводит утверждение об отсутствии искажений в курсах, а отсюда и об отсутствии возможностей получать сверхдоходы? Во-первых, указывает на необходимость выделить ключевые (из их множества) характеристики ценных бумаг. Мы относимся к числу специалистов, которые полагают, что главными (с точки зрения

гипотезы эффективных рынков) количественными параметрами финансовых активов являются их риск и доходность. Причем риск есть следствие колебаний фактической доходности. Во-вторых, различия в ожидаемых значениях доходности определяются не более чем разной величиной риска ценных бумаг. Мы полагаем, что при отсутствии искажений вряд ли можно найти финансовые активы, различающиеся по уровню ожидаемой доходности при одинаковом уровне риска, иначе это само по себе являлось бы искажением, дающим возможность получения сверхдоходов, основанных на совершении арбитражной операции по замене содержащихся в портфеле ценных бумаг с меньшей ожидаемой доходностью на ценные бумаги с большей. Отсутствие же искажений исключает арбитраж, т. е. включение в портфель финансового актива с большей ожидаемой доходностью однозначно предполагает лишь изменение уровня риска. Причем, если бы риск (при возросшей ожидаемой доходности) снизился, то это снова можно было бы расценить как искажение, дающее основание для арбитражной операции по замене содержащихся в портфеле ценных бумаг с большим риском на ценные бумаги с меньшим. Таким образом, при отсутствии искажений предпочтение инвестором большей ожидаемой доходности может сопровождаться исключительно бульшим риском.

Риск инвестиций в ценные бумаги мы трактуем как угрозу отклонения фактической доходности от ожидаемой, т. к. рыночный субъект может не получить доходности, на которую рассчитывает, представляющую собой финансовый результат, приносимый каждой единицей стоимости ценных бумаг. Доходность можно измерять в долях единицы или процентах. Укажем, что фактическая доходность рассчитывается в соответствии с формулой (1):

Я, =

Р,- Р,,+А,,

Р7,-1

Я, = 2 ,

п,

т

2 п,

п

т

2 п,

Я, = 2 Я„-Р,,

где К — ожидаемая доходность ценной бумаги у; Яу . — фактическое i-е значение доходности финансового актива у; п;. — число наблюдений г'-й доходности; р1 — вероятность получения г'-й доходности. Иначе, ожидаемая доходность есть среднее арифметическое по динамическому ряду фактических доходностей, что и примем в качестве математической основы:

2 Я„

Я,

п=2 п,

¡=1

где п — длина динамического ряда.

Прежде чем определить количественную меру риска, укажем, что риск инвестиций в ценные бумаги носит спекулятивный характер, т. е. отклонения фактической доходности от ожидаемого уровня могут происходить в любую сторону. Итак, финансовый инвестиционный риск (скажем, по финансовому активу у) принято исчислять с помощью стандартного отклонения (а), которое показывает средний разброс возможных значений доходности вокруг ожидаемого уровня и имеет одинаковую с доходностью единицу измерения:

а, = ШЯ,,i-Я,) Р,

или (что и примем в качестве математической основы):

где Я. — фактическая доходность финансового

3 , 1

актива у за период 1;

Р. . — рыночная стоимость ценной бумаги у на

3 , 1

конец периода времени 1;

Р -1 — курс финансового актива у на конец

периода 1-1 (т. е. на начало 1);

D . — платеж к получению по ценной бумаге у

3 , 1

за период времени 1.

Определим математически ожидаемую доходность финансового актива как средневзвешенную величину, полученную из распределения вероятностей вариационного ряда фактических доходностей:

а,

2

Отметим, что стандартное отклонение является легко интерпретируемым абсолютным показателем риска с точки зрения единицы его измерения. Например, если доходность исчислена в процентах, то и риск в данном случае также исчисляется в процентах, что и предопределяет преимущество стандартного отклонения перед дисперсией (а2), которая измеряется квадратом единицы измерения доходности. В обозначенном здесь примере — это проценты в квадрате, что интерпретировать крайне затруднительно, если вообще возможно.

¡=1

¡=1

¡=1

-=1

п

п

Rest КэЬ

0

0est ОэЬ 0Ьс

Рис. 1. Риск (по оси абсцисс) и ожидаемая доходность (по оси ординат) финансовых активов а, Ь, с и их сочетаний

Теперь (рис. 1) покажем, как могут меняться риск и ожидаемая доходность при объединении ценных бумаг в портфель. Прежде всего следует указать, что линейные профили (аЬ, Ьс, ас), отражающие изменение риска и ожидаемой доходности в зависимости от доли включаемых в портфель ценных бумаг, могут иметь более или, наоборот, менее изогнутый вид по сравнению с представленными на рис. 1. Изогнутость профиля определяется направлением и синхронностью взаимных колебаний (иначе говоря, теснотой взаимной связи) показателей фактической доходности финансовых активов, что можно измерить с помощью коэффициента корреляции, величина которого меняется в пределах ±1. Однако на рис. 1 мы представили наиболее распространенный на практике случай, когда величина коэффициента составляет 0,5...0,7. Далее, вспоминая теорему об эффективных множествах, обозначим месторасположение эффективных портфелей — это профиль аЬ, поскольку (рис. 1) при заданном уровне риска (стеЛ) ожидаемая доходность сочетания ценных бумаг аЬ больше ожидаемой доходности сочетания ценных бумаг ас (Ё.аЬ>Ё.ас), соответственно, при заданном уровне ожидаемой доходности риск сочетания ценных бумаг аЬ меньше риска сочетания ценных

бумаг Ьс (стай<стйс).

Не будем пока придавать значения тому, что представленный факт (т. е. выполнение теоремы об эффективных множествах) противоречит гипотезе об информационной эффективности рынка капитала, и покажем случай (рис. 2), как меняются риск и ожидаемая доходность, когда существует возможность покупать или продавать финансовые активы с нулевым стандартным отклонением. Пусть при этом справедливы допущения:

Яп

Ял

1. Отдельный субъект не влияет на рыночные курсы ценных бумаг.

2. Количество финансовых активов определено и фиксировано.

3. Отсутствуют сопутствующие сделкам комиссионные и спонтанные расходы.

4. Отсутствует налогообложение.

5. Ожидания инвесторов однородны.

6. Цель деятельности инвесторов — максимизация собственных выгод.

7. Рыночные субъекты склонны к операциям с единичным периодом упреждения.

8. Сделки с ценными бумагами абсолютно ликвидны.

9. Можно инвестировать под безрисковую ставку доходности.

10. Разрешены «короткие» продажи.

11. Исследуются как портфели, так и отдельные ценные бумаги.

12. Инвесторы способны к идентификации рыночного портфеля.

теорема об эффективных множествах не дает нам оснований утверждать, что эффективными являются сочетания ценных бумаг dh и gh (рис. 2). Обозначим месторасположение эффективных портфелей. допустим, каждый инвестор обладает рыночным портфелем т, состоящим из сочетания ценных бумаг ef. Данному портфелю характерен исключительно рыночный риск <зт и ожидаемая доходность Ят. Если существует ценная бумага, доходность которой (Яу) не меняется ни при каких условиях (поэтому она называется безрисковой), т. е. финансовый актив с нулевым показателем риска (а^=0), то можно снизить риск портфеля, например до уровня стЬ, включив безрисковую ценную бумагу в рыночный портфель. В данном случае сформируется частный портфель Ь, однако снижение риска неизбежно приведет к снижению ожидаемой доходности портфеля до уровня ЁЬ.

п. •— '/

у ь ^¿^г /

е 1 1 -1-1

! п

! -

агО

оь

Рис. 2. Соотношение между риском (по оси абсцисс) и ожидаемой доходностью (по оси ординат) финансовых активов d, е, /, g, к и их сочетаниями

Ь

т

^т Оц=0

т ..••'^1""' / / --/

ь —1 * ь

-

Оь

Рис. 3. Соотношение между риском (по оси абсцисс) и ожидаемой доходностью (по оси ординат) финансовых активов d, е, /, h и их сочетаниями

Если инвестор пожелает увеличить ожидаемую доходность своего портфеля, например до уровня к, то должен исключить из рыночного портфеля безрисковый финансовый актив на основе «короткой» продажи. Однако это приведет к увеличению риска сформировавшегося частного портфеля ] до уровня о.

Таким образом, мы можем наблюдать, что эффективные множества расположены исключительно на прямой линии Я^рт]. А что, если рыночный субъект рассматривает в качестве потенциального объекта для инвестиций ценную бумагу d (рис. 2), ожидаемая доходность которой расположена ниже обозначенной эффективной прямой? Если это так, то данный финансовый актив не будет привлекателен для инвестиций, поскольку должен обеспечить более высокую ожидаемую доходность, очевидно, расположенную на эффективной прямой. Налицо феномен «вертикального» разделения доходности на требуемую (очевидно, для компенсации риска) и ожидаемую. В обозначенном случае владельцы ценной бумаги d предпочтут ее продать, поскольку она не обеспечивает требуемой (для компенсации риска) доходности. напомним, что рост предложения при постоянном спросе на данную ценную бумагу должен привести к снижению ее рыночного курса до уровня, когда требуемая и ожидаемая доходности сравняются.

теперь представим, что ожидаемая доходность ценной бумаги g расположена выше эффективной прямой (рис. 3). Если это так, то каждый инвестор займется переформированием своего частного портфеля на основе включения в него финансового актива g (курс которого вырастет вслед за ростом спроса при неизменном предложении) и исключения посредством «короткой» продажи безрисковых ценных бумаг. Это приведет к формированию пор-

тфеля ], который в данном случае и станет рыночным, поскольку будет представлять совокупность частных портфелей. Заметим, что портфели Ь, т будут расформированы, т. к. их ожидаемая доходность не «дотягивает» до требуемого уровня, определяемого эффективной прямой Я$]. Теперь инвесторы будут создавать частные портфели, определяемые новой эффективной прямой (рис. 3). Очевидно и то, что ожидаемая доходность всех остальных ценных бумаг меньше требуемой, поэтому их держатели начнут продавать данные финансовые активы (иначе говоря, расформировывать содержащие их частные портфели). Это неизбежно приведет к падению рыночных курсов (вслед за ростом предложения при неизменном спросе), пока требуемая и ожидаемая доходности ценных бумаг не сравняются.

наконец, гипотетически может существовать ценная бумага] (рис. 2, 3), требуемая и ожидаемая доходности которой совпадают (Я=к). Если это так, то ни покупок, ни продаж этой ценной бумаги не будет, т. к. владение данным финансовым активом не может привести ни к получению дополнительной доходности, ни к ее недополучению. Это равновесная рыночная ситуация, в которой не предполагается изменения спроса и предложения. Следовательно, курс ценной бумаги ] останется неизменным.

Допустим, рынок капитала равновесен, как показано на рис. 2, что означает равенство требуемых и ожидаемых показателей доходности. Следовательно, ожидаемую доходность гипотетически существующей ценной бумаги Ь (кЬ) можно определить с помощью выражения (9), а требуемую доходность гипотетически существующей ценной бумаги ] (Я) — с помощью выражения (10), детальный вывод которых представлен в работах [1, 7, 9, 10, 27]:

— — оь

Яь

Я!

ЯТ + <Ят - Я . „

т т от

+ (Ят

о,

т от

Представленные модели наводят на мысль об их практической несостоятельности, поскольку не существует безрисковых ценных бумаг, приносящих перманентно одинаковую

т

выражение (9) и после некоторых алгебраических преобразований получим:

С ^ = К °]_Яу о'-В-т'о» + К] К»

о»

от

от

от

от

Теперь выразим безрисковую доходность через формулу (9), что также предполагает некоторые алгебраические преобразования:

Я

-у

к» о т 1\т

о»

от ~о»

Заменим Яу в выражении (11) на правую часть записи (12) и после алгебраических преобразований получим:

— . — , о ] ~о»

К] = К» + (Кт - Кь>-

от о»

Выражение (13) устраняет допущение о возможности инвестиций под безрисковую ставку доходности (т. е. мы отменяем допущение 9). Таким образом, требуемая доходность любой ценной бумаги может быть точно рассчитана практически.

Однако формула (13) требует некоторого обсуждения. Во-первых, мы называем модель (13) модифицированной моделью оценки доходности финансовых активов, которая выражает отношение инвесторов к риску, являясь общим доказательством теоремы о невозможности существования «впадин» ^Ь, Ьет, mfj, jg — рис. 2) на эффективном множестве. Во-вторых, при объединении ценных бумаг ожидаемая доходность не будет меняться линейно под воздействием риска портфеля, как предсказывает модель (13). Иначе говоря, возникнут «впадины» ^Ь, Ьет, т$, jg — рис. 2). Почему? Потому что речь идет именно о приобретении ценных бумаг, которые при соответствующем риске и обеспечат ожидаемую доходность по линиям обозначенных «впадин».

Но ирония ситуации в том, что информационно эффективный рынок капитала не позволит заработать доходность на уровне ожидаемого значения, если требуемая для компенсации риска доходность, рассчитанная по формуле (13), окажется выше ожидаемого уровня (т. е. при наличии «впадин»). Более того, покупающий ценные бумаги инвестор получит убыток (что является отличным стимулом, чтобы отказаться от приобретения финансовых активов), т. к. их котировки пойдут вниз из-за завышенной оценки, не обеспечивающей компенсации риска. Объясним подробнее.

Мы убеждены в том, что участники рынка капитала склонны к рациональным действиям. Соответственно, выбирая между меньшей (ожидаемой) и большей (требуемой) доходностью, они

остановятся на большей доходности. Таким образом, если ожидаемая доходность достигается при покупке, а требуемая — при продаже, то рыночные субъекты постараются выставить ценные бумаги на продажу. Напомним, что рост предложения (при постоянном спросе) приведет к падению котировок до уровня, при котором будет обеспечен потенциал для получения требуемой доходности. Таким образом, «короткая» продажа переоцененных фондовых активов будет являться наиболее адекватным шагом инвестора, что сделает действие модели (13) корректным и исключит возникновение «впадин». В общем, допущение 10 (о возможности «короткой» продажи ценных бумаг) является ключевым свойством модифицированной модели оценки доходности финансовых активов, экономически подтверждая математически формальную зависимость требуемой доходности от финансового инвестиционного риска ценных бумаг. Причем данная зависимость (в рамках модифицированной модели) носит функциональный характер. На информационно эффективных биржевых фондовых рынках ничто не может исказить прямолинейную функциональную зависимость требуемой нормы прибыли от риска — это математический закон.

Уместно еще раз повторить фундаментальное свойство эффективных рынков, а именно: при отсутствии искажений предпочтение инвестором большей ожидаемой доходности может сопровождаться исключительно бульшим риском (соответственно, теорема об эффективных множествах справедлива только для неэффективных рынков2), а покупка или продажа (в том числе «короткая») ценных бумаг должна быть основана исключительно на идее о «вертикальном» разделении доходности на требуемую и ожидаемую.

Если зависимость требуемой доходности от риска прямолинейна, как показывает модель (13), то инвесторы могут не обращать внимания на корреляцию доходностей ценных бумаг в своих частных портфелях. Иначе говоря, если складываются соответствующие условия (напомним, что речь идет о численном несовпадении показателей требуемой и ожидаемой доходности), то имеет место

2 Примером информационно неэффективного рынка может служить рынок депозитов. Если коммерческий банк входит в систему страхования вкладов, то можно полагать, что сумма депозита и процентов по нему будет гарантированно выплачена (если не превышает установленного максимума), следовательно, риск одинаков. В обозначенной ситуации надо выбирать вклады (без превышения суммы гарантированно выплачиваемого максимума) в коммерческих банках, предлагающих самый высокий процент.

свобода выбора фондового объекта для включения в частный портфель или, наоборот, исключения (в том числе и на основе «короткой» продажи) из частного портфеля.

Назовем финансовые активы Ь базовыми, в качестве которых могут выступить наиболее надежные ценные бумаги (например, государственные), обладающие риском оь и имеющие ожидаемую доходность Ё.ь, причем данные показатели можно вычислить с помощью выражений (14), (16), учитывая стремление биржевого фондового рынка к равновесию (что вытекает из гипотезы об информационной эффективности рынков капитала):

Оь = ]

п _ 2

Ъ

0 = Рь,1 Рь,1-\ + Оь,1 Яь,( =

Рь,1-1

Яь

2 Яь , ( (=1

пенсации риска), возникнет повышенный интерес (растет спрос) при ее постоянном предложении. В данном случае необходимо успеть приобрести недооцененный фондовый актив у по имеющейся рыночной стоимости Pj (до повышения курса), переоценить и продать его по более высокой — РУ. Формально математически переоценка текущей стоимости ценной бумаги у (Р. производится на основе общеизвестной процедуры компаундирования (наращивания) рыночной цены по ставке ожидаемой доходности с последующим дисконтированием по ставке требуемой нормы прибыли3. Причем следует принять во внимание допущение 7 о предпочтении инвесторами единичного периода упреждения ^=1):

1+Я

р у=рг4

где Яь 1 — фактическая доходность базового финансового актива за период £ Рь 1 — рыночная стоимость базового финансового актива на конец периода времени £ Рь — курс базового финансового актива на конец периода —1 (т. е. на начало ) Dь 1 — платеж к получению по базовому финансовому активу за период времени t. Итак, будем считать, что мы преодолели носящую принципиальный характер концептуальную проблему модифицированной модели оценки доходности финансовых активов. Модель работоспособна при отсутствии безрисковой ставки. Об эмпирической проверке модели мы уже упоминали — она может быть рекомендована для практического использования. Соответственно, теперь следует показать, как применять модель для совершения операций по купле-продаже ценных бумаг, помня о допущении 5 (об однородности ожиданий инвесторов). Рассмотрим три возможные ситуации:

1. Ранее (рис. 3) уже была проанализирована ситуация, которая возникнет, если ожидаемая доходность окажется больше требуемой нормы прибыли (&>Я). Это приведет к росту курсовой стоимости финансового актива у до уровня, при котором требуемая (для компенсации риска) и ожидаемая доходности сравняются (что вытекает из гипотезы об информационной эффективности рынка капитала). напомним, что с позиций экономической теории к ценной бумаге, которая позволяет заработать больше, чем требуется (для ком-

2. Также было обговорено, что произойдет (рис. 3), если требуемая норма прибыли окажется больше ожидаемой доходности — это приведет к снижению рыночного курса финансового активау также до уровня, при котором требуемая и ожидаемая доходности сравняются. Поскольку по ценной бумаге, заработок на которой не «дотягивает» до уровня, требуемого для компенсации риска, будет наблюдаться рост заявок на продажу (рост предложения) при постоянном спросе на нее. В данном случае следует осуществить «короткую» продажу, т. е. позаимствовать имеющий завышенную оценку фондовый актив у, продать его по имеющейся рыночной стоимости Р. (до падения курса), переоценить и выкупить его по более низкой — РУ,, после чего вернуть владельцу (держателю). Для переоценки же финансового активау следует вновь воспользоваться выражением (17).

3. Напомним, наконец, что при равенстве ожидаемой и требуемой норм прибыли (&=Я) будет наблюдаться рыночное равновесие, т. е. спрос и предложение ценной бумаги у останутся согласованными. Что означает равенство текущей стоимости и рыночного курса финансового актива у (РУ==Р), поскольку инвесторы в связи с согласованностью своих ожиданий и требований по поводу компенсации риска (по-другому, ожидаемого и требуемого заработка) не будут иметь оснований ни для наращивания заявок на покупку (роста спроса), ни для наращивания заявок на

3 При компаундировании предполагается, что в будущем стоимость финансового актива вырастет на величину ожидаемого дохода, который необходимо продисконтировать для получения его текущей оценки.

п

п

продажу (роста предложения) фондового актива ]. Обратим внимание и на то, что ценовое равновесие подтверждается и формально математически, т. е. с помощью формулы (17). В общем, в данной ситуации, на наш взгляд, отсутствуют какие бы то ни было основания и для совершения спекулятивных операций с финансовым активом ].

Теперь зададимся вопросом о соответствии модели (17) гипотезе об информационно эффективных рынках капитала и нашему видению мышления и поведения инвесторов, действующих на эффективных рынках капитала.

Прежде всего, модель (17) ясно указывает на то, что инвесторы должны воспринимать ожидаемую доходность финансового актива ] (к) в качестве единственно возможной и это в условиях, когда каждый инвестор вынужден интуитивно реагировать на спонтанные информационные сообщения, идущие практически непрерывным потоком. На наш взгляд, было бы наивно думать, что рыночные субъекты не обращают внимания на информационный поток, а сосредоточиваются исключительно на оценке математически ожидаемой доходности (к,). Тем не менее, допустим, что это так. Теперь обратимся к публикации [14], авторы которой в результате обработки большого объема статистических данных (за период около 50 лет) не сумели статистически подтвердить зависимость между математически ожидаемой доходностью акций и их риском. Что означает данный феномен? Мы называем его эмпирическим парадоксом о стабильности ожидаемой доходности при растущем риске (о чем уже упоминалось), т. е. ожидаемая доходность может и не расти под воздействием растущего риска:

Оа < - <О, <О,<Оь < - <О;

Яаи - и Я и Я, * ' Яь ~ — ~ Яz

Напомним, что с точки зрения гипотезы об информационной эффективности при отсутствии искажений на рынке капитала разные ценные бумаги, имеющие разный риск, не могут иметь одинаковой ожидаемой доходности. Причем рост риска должен вызывать рост ожидаемой доходности, чему противоречит эмпирический парадокс (18). Допустим, биржевой фондовый рынок равновесен (не имеет искажений) относительно финансового актива], т. е. его ожидаемая доходность, оцениваемая с помощью формулы (5), и требуемая норма прибыли, оцениваемая с помощью модифицированной модели (13), равны. Это значит, что ценные бумаги а., л должны обеспечивать меньшую ожидаемую доходность, чем к, соответственно,

финансовые активы к...1 должны обеспечивать большую ожидаемую доходность, чем к . Следовательно, инвесторы должны и будут распродавать ценные бумаги к...7, риск которых превышает риск ценной бумаги ] (о.<о,<...<о ), а рост предложения при постоянном спросе вызовет снижение котировок, т. е. курсы этих финансовых активов понизятся. Наоборот, инвесторы начнут скупать ценные бумаги а..л, риск которых меньше риска ценной бумаги ] (о<...<о.<о.), а рост спроса при

а I ]

постоянном предложении вызовет рост котировок, т. е. курсы этих финансовых активов повысятся. Мы можем лишь констатировать, что на рынке именно так все и происходило за те 50 лет, о которых шла речь в статье [14].

Тогда как объяснить эмпирический парадокс (18) о стабильности ожидаемой доходности при растущем риске? Мы полагаем следующее. Во-первых, парадокс (18), скорее всего, эмпирически подтверждает нашу идею о «вертикальном» разделении доходности на ожидаемую и требуемую норму прибыли. То есть модифицированная модель оценки доходности финансовых активов действительно объясняет процессы, происходящие на биржевых фондовых рынках, являясь универсальной (а не равновесной) моделью. Во-вторых, парадокс (18) наводит на мысль о том, что инвесторы, в силу своей рациональности, не могут (или, по крайней мере, не должны) воспринимать математически ожидаемую доходность по ценной бумаге (к ) в качестве «истинной» оценки, поскольку ожидаемая доходность, по нашим интуитивным убеждениям, не может быть одинаковой по всем фондовым объектам.

Получается, что модель (17), с помощью которой проводится переоценка стоимости финансовых активов, нельзя признать корректной, а рекомендации по купле-продаже ценных бумаг следует считать ошибочными? Забегая вперед, укажем, что модель (17) дает лишь общее представление о целесообразности купли-продажи ценных бумаг. Здесь важна сама идея, а не ее детальная реализация. Объясним это подробнее.

3. Концепция интервальной теории портфеля

Еще раз отметим, что равновесная рыночная ситуация, согласно логике модифицированной модели оценки доходности финансовых активов, характеризуется равенством показателей ожидаемой доходности и требуемой нормы прибыли, что предполагает стабильность в соотношении спроса

и предложения ценных бумаг, следовательно, неизменность их курсов. Однако наблюдения показывают, что сделки заключаются в условиях спонтанно меняющихся цен (напомним, что причины спонтанности изменений обсуждались в рамках гипотезы об информационной эффективности). Считаем, что так рынок капитала переходит из неравновесного состояния в равновесное и статистически это отражается, как отмечалось, в случайной динамике значений доходности ценных бумаг. Таким образом, равновесное рыночное состояние, скорее всего, не более и не менее случайно, как и любое неравновесное.

Мы уже выдвинули гипотезу о том, что величина доходности, определяемая как математическое ожидание, не является «истинной» ожидаемой доходностью. Это означает, что «истинная» ожидаемая доходность может быть любой величиной, причем отклоняющейся от своего математического ожидания по причине разнонаправленных интуитивных ожиданий4 рыночных субъектов (выводящих биржевой фондовый рынок из равновесия в связи с разной реакцией на постоянный информационный поток). Однако рациональный инвестор все равно будет стремиться к получению по данной ценной бумаге наибольшей доходности, выбирая между ожидаемой и требуемой величиной, в зависимости от того, какая из них больше. Обратим внимание на особенности обозначенного выбора. Во-первых, инвестор оценит требуемую им норму прибыли, причем будет ориентироваться на единственную требуемую (только им самим) доходность по исследуемому финансовому активу. Во-вторых, полагаем, что инвестор примет во внимание гипотетическую возможность существования множества оценок ожидаемой доходности. Поскольку интуитивные ожидания других рыночных субъектов по поводу «истинной» ожидаемой доходности могут (и, скорее всего, будут) не совпадать между

4 Почему ожидания инвесторов не являются однородными? Мы видим причину в том, что все без исключения рыночные субъекты просто разные люди, обладающие разными способностями, знаниями, опытом, интуицией, реакцией на спонтанные информационные сообщения и т. д. В общем, мы не верим в справедливость допущения 5 об однородности ожиданий, более того, мы полагаем, что именно разнонаправленные ожидания инвесторов в сочетании с их неиндифферентностью к информационному потоку выводят рынок капитала из состояния равновесия; по крайней мере, мы не верим в то, что обреченность инвесторов на принятие интуитивных решений (под воздействием непрерывного потока спонтанных информационных сообщений) может привести к однородной (точнее говоря, единственной для всех инвесторов) оценке ожидаемой доходности (что уже упоминалось при обсуждении гипотезы об информационно эффективных рынках).

собой. Если это так, то рыночный субъект будет вынужден искать «истинную» ожидаемую доходность в каком-то вероятном множестве альтернатив, образующем совокупность дифференцированных персональных оценок ожидаемой доходности (всех по-разному мыслящих инвесторов), которая либо компенсирует, либо не компенсирует риска, а не принимать в качестве таковой (компенсирующей риск) математически ожидаемую доходность.

Почему рациональный инвестор сосредоточится на поиске именно «истинной» ожидаемой доходности, а не на вычислении математически ожидаемой оценке доходности? Мы отрицаем допущение об устойчивом характере дискретного (точечного) распределения фактических значений доходности, полагая, что дискретное распределение является случайным и неустойчивым, т. е. любое (точечное) значение фактической доходности равновероятно (совпадения же являются результатом округлений). Соответственно и математически ожидаемая доходность (вычисляемая по ряду случайных значений фактической доходности) может лишь случайно совпадать с «истинной» ожидаемой доходностью. Отсюда следует, по крайней мере, то, что инвестор не сможет сделать вывода о целесообразности операции купли-продажи ценных бумаг, сравнивая величину требуемой нормы прибыли и случайную величину математически ожидаемой доходности финансовых активов. Иначе говоря, инвестор, зная, сколько ему надо заработать на купле-продаже ценных бумаг, не будет знать, сколько предположительно заработает, т. к. случайная точечная оценка ожидаемой доходности из-за рассогласованных ожиданий рыночных субъектов является недостоверной, следовательно, бесполезной.

Теперь обсудим, как понимать «истинную» ожидаемую доходность и что из этого следует. Представим, что некий инвестор сумел оценить ожидаемую доходность, а по прошествии времени (на которое был рассчитан прогноз) оказалось, что фактическая доходность совпала с ожидаемой величиной. Значит, обозначенный рыночный субъект сумел дать «истинную» оценку ожидаемой доходности. Отсюда следует, что «истинная» ожидаемая доходность — это будущая фактическая доходность. Если на рынке действуют другие инвесторы, и их оценки ожидаемой доходности были иными, значит, их оценки не были «истинными». Однако фактическая доходность есть случайная величина, которая случайно совпала с одной из ожидаемых оценок доходности, сделав ее «истинной». Полагаем, что в подобной ситуации (когда все оценки

ожидаемой доходности случайны) поиск случайной величины доходности, пусть даже «истинной», является бессмысленным занятием, что, казалось бы, должно завести инвестора в интеллектуальный тупик. Однако можем предложить решение этой проблемы, которое видится в отказе от определения точечной (единственной) оценки «истинной» ожидаемой доходности в пользу прогнозирования интервальных (т. е. совокупности ожидаемых) значений. Последнее вытекает из сделанного выше допущения, что ожидаемая доходность есть величина случайная и гипотетически может иметь место их множество. В общем, если существует множество ожидаемых доходностей (что примем в качестве основной гипотезы), то одна из них имеет минимальное, а другая максимальное значения (называемые пороговыми), определить которые можно, если опросить инвесторов (что нереально), либо же вычислить пороговые значения с заданной величиной доверительной вероятности. В данном случае инвестор, совершенно очевидно, будет наблюдать границы, образующие так называемый «коридор», ожидаемого заработка на вложениях в ценные бумаги, безусловно, с теми уровнями точности и надежности, которые считает для себя приемлемыми. Воспользуемся выводами, вытекающими из модифицированной модели (13) оценки доходности финансовых активов, а также принятыми за основу ее следствиями, инструментально воплощенными в модели (17), и сформулируем рекомендации о купле-продаже ценных бумаг:

1. Инвестиции в ценные бумаги возможны, когда требуемая норма прибыли расположена ниже «коридора» ожидаемой доходности, т. к. предполагаемый процентный заработок перекроет требуемый для компенсации риска. Напомним, что при постоянном предложении финансовых активов на них вырастет спрос (поскольку вложения будут привлекательны), что приведет к повышению рыночных курсов.

2. Приобретение ценных бумаг нежелательно, когда требуемая норма прибыли расположена выше «коридора» ожидаемой доходности, т. к. требуемый для компенсации риска процентный заработок не будет достигнут. Напомним, что при постоянном спросе вырастет предложение финансовых активов (поскольку вложения не будут привлекательны), что приведет к падению рыночных курсов. В данном случае уместно прибегнуть к операции «короткой» продажи.

3. Неизвестно, компенсируется ли риск, когда «коридор» ожидаемой доходности накрывает тре-

буемую норму прибыли — это «зона неведения». Однако гипотетически беспроигрышной позицией будет создание «короткого» опционного стрэддла, т. е. одновременная продажа европейских call- и put-опционов на данные ценные бумаги с последующим реинвестированием собранных от продажи опционного стрэддла5 средств, как минимум, под базовую ставку (Rb). Это должно обеспечить полное перекрытие убытков от исполнения какого-либо из опционов. Конечно, если фактическая доходность к моменту исполнения накрывается «коридором» ожидаемой доходности.

Выполнение представленных рекомендаций осуществляется на основе модели (17), причем данные рекомендации имеют ряд инструментальных особенностей. Однако пока следует оставить без внимания эти особенности и сосредоточиться на обсуждении вопроса о степени уверенности инвестора в своем прогнозе «коридора» ожидаемой доходности, поскольку разные инвесторы могут прогнозировать разные «коридоры», не совпадающие ни по ширине, ни по симметрии. кроме того, будущая фактическая доходность (которую мы назвали «истинной» оценкой) вообще может оказаться за пределами прогнозируемого «коридора» ожидаемой доходности. В общем, инвестор должен предугадать попадание «истинной» ожидаемой доходности в «коридор» ожидаемых оценок. Процедура, о которой идет речь, называется верификацией6. Она позволяет подтвердить или опровергнуть корректность и относительную надежность прогнозных расчетов «коридора» ожидаемой доходности. Верификацию следует провести на основе инверсного подхода, подразумевающего построение ретропрогноза «коридора» ожидаемой доходности, т. е. прогноза, направленного не из прошлого в будущее, а из более далекого прошлого в менее далекое прошлое, которым является последний (перед настоящим) период времени, что

5 Формат нашей статьи не предполагает обсуждения вопросов ценообразования опционов, однако мы полагаем, что модель Блэка-Шоулза не подойдет для оценки стрэддла, поскольку она предназначена для определения «действительной» стоимости са11-опциона, но с помощью данной модели нельзя оценить ри1-опцион. Надо воспользоваться биноминальной моделью оценки, методология использования которой представлена в любом учебнике по финансовому менеджменту или управлению инвестициями, например в монографии [10].

6 Образно верификацию можно сравнить с поездкой на автомобилях по бездорожью. Если первый автомобиль сумел преодолеть препятствие, то следующие за ним автомобили наверняка тоже смогут это сделать, если их водители попытаются проехать следом. Иначе говоря, верификация позволяет понять, можно ли и следует ли повторять проделанный опыт.

можно сделать с помощью группы формул (19), (20), (21):

Rj,n,min Rj,n ta,n—2

о,,

4n —1

о ,

R j,n,max Rj,n + ta,n—2 ^ щ — 1

О

j,n ^

Z(Rj,t—Rj,J

n — 1

Rj.

n—1

S Rjt

• t=1

n — 1

ки) за последний период времени в «коридор» ожидаемых ретрооценок (^ min<RJ> щ mJ, то параметры модели (19), т. е. величину статистической значимости и основание динамического ряда (момент начала рассматриваемого промежутка времени), следует утвердить. В данном случае имеются основания принять во внимание «коридор», содержащий «истинную» ожидаемую доходность. Далее с помощью модели (22) следует определить пороговые значения ожидаемой доходности по обыкновенной акции j (R.....R. ):

J х ], min j, max'

где n, min-h n, max — поРоговые значения («к°ри°-

дор») ожидаемой доходности по обыкновенной акции j для целей верификации; ta 2 — критическое значение критерия Стью-дента7 для уровня статистической значимости a=1-p (p — доверительная вероятность) и n-2 числа степеней свободы;

CTj n — финансовый инвестиционный риск обыкновенной акции j за наблюдаемый промежуток времени t=1,.., n-1;

R j,min R j —tt

. Ol

a,n—1 I

Vn О

R j,max Rj + ta,n—1 jn

где ^ п1 — критическое значение критерия Стью-дента для уровня статистической значимости а и п-1 числа степеней свободы. Итак, вернемся, наконец, к выработке основанных на формальном математическом подходе рекомендаций о купле-продаже ценных бумаг и специфике использования формулы (17). Снова рассмотрим три ситуации (при этом опустим рассуждения о взаимодействии спроса и предложения, т. к. это уже было сделано выше, однако напомним об остающемся в силе допущении 7, в соответствии с которым инвесторы предпочитают единичный период упреждения, т. е. t=1):

1. Если требуемая норма прибыли расположе-ретр°пр°гноза «к°рид°ра» ожидаемой доходности на ниже «коридора» ожидаемой доходности (Я<

к, п — математически ожидаемая (но не «истинная» ожидаемая) доходность по обыкновенной акции у на последний наблюдаемый период времени п.

Если фактическая доходность по обыкновенной акции у за последний

период времени (Я, п) расположена за пределами

л п

(Rj, n<Rj, n, min" j, n, max или Rj, n, min" j, n, max<Rj, n-^ т°

выбранные для расчета параметры модели (19) следует пересмотреть. Дело в том, что «истинная» ожидаемая ретрооценка, т. е. фактическая доходность (R „), оказалась за пределами пороговых ретрооце-

J, n V. V.

нок ожидаемой доходности (R.....R. ), что

^ ^ ^ J, n, min j, n, max''

означает лишь одно — нельзя принимать в расчет «коридора» ожидаемой доходности, не содержащего «истинной» ожидаемой оценки. В обозначенной ситуации следует расширить «коридор». Это можно сделать тремя способами. Во-первых, за счет снижения параметра а, который в данном случае можно расценить как вероятность ошибки. Во-вторых, если первая мера не помогла, необходимо сократить длину динамического ряда (например, с t=1,.., n-1 до t=2,.., n-1 вплоть до t=n-3,.., n-1). В-третьих, если не помогла вторая мера, следует сочетать обе меры.

Если удалось добиться попадания фактической доходности («истинной» ожидаемой ретрооцен-

R.....R. ), то риск будет компенсирован. Учиты-

j, min j, max" * *

вая имеющийся «коридор» ожидаемой доходности, инвестор должен приобрести обыкновенную акцию j по рыночной стоимости (Pj), затем повысить ее оценку и выставить обыкновенную акцию j на продажу по максимальной текущей стоимости (PK max), которую можно постепенно снижать до уровня минимальной текущей стоимости (PVj min). Соответственно для переоценки текущей стоимости обыкновенной акции j, т. е. определения ее пороговых значений (PV . ...PV. ), видоизменим

* х j, min j, max'' ^

выражение (17) и получим:

1+Rl

PV  =P, 1 +u

j, min J 1 + R,

1+R

pv = P___^Lm

j, max 1 j 1 + R

7 Определяется с помощью встроенной статистической функции «СТЬЮДРАСПОБР» в крупноформатной электронной таблице «Microsoft Excel».

2. Если требуемая норма прибыли расположена выше «коридора» ожидаемой доходности (к. тп... к тах^Я), то риск компенсируется за счет «короткой» продажи обыкновенной акции у. Также, учи-

t=1

тывая «коридор» ожидаемой доходности, инвестор должен позаимствовать обыкновенную акцию j и реализовать ее по рыночной стоимости (Pj), затем понизить ее оценку и постараться (если получится) выкупить обыкновенную акцию j по минимальной текущей стоимости (PV, min), которую можно постепенно повышать до уровня максимальной текущей стоимости (PV, max). Для переоценки текущей стоимости обыкновенной акции j, т. е. определения ее пороговых значений (PVj mn—PVj max), следует снова воспользоваться той же моделью (23);

3. Если требуемая норма прибыли накрывается «коридором» ожидаемой доходности (R, min<Rj<^j, max), то теоретически беспроигрышный вариант инвестирования достигается за счет открытия «короткого» (т. е. продажи) опционного стрэддла на обыкновенную акцию j с последующим реинвестированием собранных средств, как минимум, под ставку доходности базового финансового актива (Rb). Причем для оценки текущей стоимости пороговых значений (PV . ...PV. ) обыкновенной

* х j, min j, max'

акции j применяем все ту же модель (23). Авторы монографии [10] предлагают для оценки внутренней (минимальной) стоимости европейских опционов биноминальную модель, формализованную в выражениях (25), (26). Однако мы видоизменим эти модели. Во-первых, для определения внутренней стоимости опционного стрэддла, которую можно вычислить с помощью формулы (24). Во-вторых, для определения будущей компаундированной (наращенной) стоимости опционного стрэддла (т. е. оценки после инвестирования его внутренней стоимости), которую можно рассчитать с помощью выражения (27). Напомним, что компаундированная стоимость опционного стрэддла позволяет аккумулировать сумму денежных средств, нужную для покрытия убытков, возникающих в момент выплаты вычисляемой с помощью формул (28), (29) максимально возможной премии либо при исполнении call-, либо при исполнении put-опциона:

FV

P, = P-• --^

H

PV. -PV. .

j j, min

PV. r = P „ + P ,

j, str j, call j, put

j, call

j

' j, call

1+Rb

P,

FV. t

j,put _ p  H

Pj Hj, put

j,put 1 + R

^^j,ssr VVj,str ( Rb PRM = PV — PV.

j, call j, max j

PRM = PV— PV

I1X1Vij, put lvj Trj, min

PV —PV.

j, max j

PV. —PV .

j,max j, min

H c,call

j, put PV — PV

j, max j,min

FV = PV  H.

j, call j, min j, call

FV = PV H

j, put j , max j, put

где PV str — внутренняя стоимость опционного стрэддла на обыкновенную акцию j; Pj cali — внутренняя стоимость call-опциона на обыкновенную акцию j;

Р. . — внутренняя стоимость put-опциона на

], put

обыкновенную акцию j;

H, aall — хедж call-опциона, представляющий собой соотношение премии держателя (в числителе) и ценового разброса (в знаменателе) по обыкновенной акции j; Н. . — хедж put-опциона по обыкновенной

J, put

акции j;

FV cal¡ — будущая стоимость портфеля, состоящего из обыкновенной акции j и выплаченной держателю call-опциона максимальной премии;

FV. — будущая стоимость портфеля, состо-

h put

ящего из обыкновенной акции j и полученной держателем put-опциона максимальной премии;

FV. . — будущая компаундированная стоимость опционного стрэддла на обыкновенную акцию j;

PRMj cal¡ — максимально возможная премия при исполнении call-опциона на обыкновенную акцию j;

PRMj put—максимально возможная премия при исполнении put-опциона на обыкновенную акцию j;

PV. — цена исполнения опциона на обыкновенную акцию j, рассчитываемая, напомним, с помощью выражения (17) и представляющая собой зафиксированную в опционе цену, по которой акция может быть куплена или продана. Обратим внимание еще раз на то, что выражения (25), (26), (27) справедливы, если инвесторы предпочитают единичный период упреждения. Это дает нам основания преобразовать модели (24), (27) - (33). Итак, суммируем правые и левые части модели (22):

— — _ — О j — о j

Rj,min + Rj,max _ Rj ~ to,n-l' + Rj + ^,»-1' ~J» '

.Ol

4»

После соответствующих преобразований получаем формулу (35):

_ ^Rj,min ^Rj,max

Rc _ 2 .

Затем меняем R. в формуле (17) на правую часть

записи (35):

1+

Rj .min +Rj ,max

Р v=Pf

1 + Rj

Проводим необходимые преобразования выражения (36) и получаем формулу (37):

1 1+R  1+R

PV = -• (pf—+рг-

-).

j 2^ J 1 + R 1 J 1 + R

Теперь заменим слагаемые в правой части выражения (37) на указанную в левой части модели (23) сумму пороговых значений текущей стоимости обыкновенной акции j: 1

PV. = - '

j 2 i>m,n i,max

Далее меняем PV. в формуле (30) на правую часть записи (38):

Hjc

PP. =~

j,max 2 j' mm j' max7

pv. - pv. . '

j, max j, min

Hf

После преобразования формулы (39) получаем равенство (40), которое замещает выражение (30):

1

j .call 2

Повторим ту же процедуру для формулы (31):

1

- • (PV + PV ) — PV.

2 Р j, min j, max' j, min

H x.put ~ pV _pv '

j, max j,min

После преобразования выражения (41) получаем равенство (42), которое замещает формулу (31): 1

: f.put 2 .

Теперь можно преобразовать запись (32), если заменить сомножитель Hj call на правую часть равенства (40). В результате получим выражение (43):

H,

PV. „ = ~ PV. ..

j, call 2 j, min

Подставим в формулу (45) вместо H. „ правую

j, call

часть равенства (40), соответственно, вместо H правую часть равенства (42):

j, put

PV

rrj,str 2

FV. „

j, call

FV. t

P j, put

PV ,

j, str

= —  p.--+----p

2 P (1+Rb) (1+Rb) 2 Pj

FV - FV.

P j, putt P j, call

(1+Rh)'

Заменим в формуле (47) FVJ. ри1 на правую часть выражения (44), а FV аа11 на правую часть записи (43) и получим модель (49), замещающую запись (24):

PV

j, str

1 PV -1 PV. .

2 j, max 2 j,m,n

1+Rb

, PV -PV. .

PV = 1 j> max_j,

j str~2 1+Rb

Далее меняем Р¥. , в формуле (27) на правую часть выражения (49) и получаем формулу (51), которая замещает выражение (27):

, PV. -PV. .

= ^ j, max _ j, mm ^ (1 + 1 rj, str 2 i ^ " Rb

1+Rb

1

JV =-

j, str 2 . max . min '

Наконец, докажем, что компаундированная стоимость опционного стрэддла (FV. .) на обыкновенную акцию j достаточна для покрытия убытков, возникающих при перечислении максимально возможной премии в момент исполнения любого из опционов. При этом напомним, что исполнится либо call-, либо put-опцион, либо не исполнится ни один из опционов. Однако последнее возможно только в случае совпадения в момент истечения опционов фактического рыночного курса обыкновенной акции j с ценой исполнения. Формально математически наша задача заключается в преобразовании записей (28), (43) (29). Прежде всего, заменим PV. в формуле (28) на

Подобным же образом преобразовываем запись (33), меняя сомножитель H, put на правую часть равенства (42), и получаем выражение (44):

FV. t = - PV. .

jjPUt 2 j, max х '

Теперь преобразовываем формулу (27), что предполагает замену слагаемых выражения (24) на сумму правых частей записей (25), (26): FV FV

j, call j, put

PV, tr = Py H jcutt - - t + n - t - Pj H j.put.

правую часть записи (38):

P™,,caU = PV,, max - Г

После соответствующих преобразований формулы (52) получим выражение (53), замещающее формулу (28):

PRM, _ =1  (PV. —PV. .).

j, call 2 j,max j, min'

Точно так же заменим PV в формуле (29) на правую часть записи (38) и получим:

РЩ, PUU = 2'

После соответствующих преобразований формулы (54) получим выражение (55), замещающее формулу (29):

РЯМ. t (РГ. -РГ. ).

},])и1 2 .тах .т!П

Таким образом, если равны правые части выражений (51), (54), (55), то равны и левые, что и требовалось доказать. Компаундированной стоимости опционного стрэддла будет достаточно для выплаты максимально возможной премии в момент исполнения любого из опционов, что справедливо оформить в виде равенства (56):

РЯМ = ¥¥ = РЯМ

РЛ1и1 са11 ГУ], str РЛ1и1 рШ

Итак, если действует ограничение 7 о предпочтении инвесторами единичного периода упреждения, то структура биноминальной модели опционного ценообразования преобразовывается: (24) ^ (49), (27) ^ (51), (28) ^ (53), (29) ^ (55), (30) ^ (40), (31) ^ (42), (32) ^ (43), (33) ^ (44), причем формула (49) является основополагающей при оценке внутренней стоимости опционного стрэддла на обыкновенную акцию ..

Подводя итоги, отметим, что для рынка капитала вполне естественной и неизбежной является ситуация неравновесия, когда «истинная» величина ожидаемой доходности финансовых активов может отклоняться от математически ожидаемого уровня (в связи с изменчивостью и без того неоднородных ожиданий инвесторов). Данные колебания поддаются количественной оценке на основе разработанного нами подхода (мы называем его интервальной теорией портфеля), который дает ответ, в какие ценные бумаги целесообразно вкладывать денежные средства, а от каких следует «избавиться» на основе «короткой» продажи, что подтверждают результаты проведенных и опубликованных нами в работах [7, 9] экспериментов. Представленные рекомендации по селекции финансовых активов с целью их включения в портфель или исключения из него предполагают принятие быстрых решений (учитывая почти мгновенные изменения курсов ценных бумаг). Однако использование моделей интервальной теории представляется трудоемким процессом, поэтому необходима ее автоматизация. кроме того, не следует переоценивать прикладного значения подхода, даже при условии, что он теоретически позволяет повысить эффективность принимаемых субъектами решений о купле-продаже финансовых активов. Дело в том, что биржевой фондовый рынок в силу своей информационной эффективности никому не предоставляет воз-

можности осознанно зарабатывать сверхдоходы, если и не сразу, то, по крайней мере, когда новой техникой овладевают все инвесторы, о чем до сих пор свидетельствовали исследования событий подобного рода.

В целом же, разработанная нами концепция интервальной теории портфеля использует более гибкий инструментарий математической статистики по сравнению с предшествующими подходами. Причем основополагающим принципом отбора ценных бумаг в интервальной теории является ориентация на компенсацию финансового инвестиционного риска. Различия между подходами (интервальным и его предшественниками) заключаются в разных взглядах на состояние биржевого фондового рынка. классическая теория ориентируется на равновесие, что случается, по нашему мнению, крайне редко, интервальная теория рассчитана на неравновесную рыночную ситуацию, встречающуюся в подавляющем большинстве случаев.

Список литературы

1 Лисица М. И.. Неравновесие эффективных рынков капитала, модифицированная модель оценки доходности финансовых активов и интервальная теория портфеля: новый методологический подход /М. И. Лисица// Инвестиции в России. 2008. № 6. с. 30 - 39; № 7. С. 36 - 43; № 8. С. 31 - 39.

2 Лисица М.. И.. Построение ценовой модели фондового рынка без использования доходности безрискового актива /М. И. Лисица //Инвестиции в России. 2000. №12. С. 26 - 28.

3 Лисица М.. И.. Модель оценки доходности финансовых активов: концепция и эксперимент /М. И. Лисица// Экономика и управление. 2005. №4. С. 92 - 96.

4. Лисица М. И. Модифицированная модель оценки доходности финансовых активов /М. И. Лисица// Дайджест-Финансы. 2007. №1. С. 6 - 13.

5. Лисица М. И. Модифицированная модель оценки доходности финансовых активов: концепция и эксперимент /М. И. Лисица// Дайджест-Финансы. 2007. №2. С. 18 - 22.

6. Лисица М. И. Модифицированная модель оценки доходности финансовых активов: концепция и эксперимент /М. И. Лисица// Финансы и кредит. 2007. №14. С. 27 - 30.

7. Лисица М. И. Портфельный подход при формировании структуры капитала компании: теория и методология: Дис. на соиск. учен. степ. д-ра экон. наук: (08.00.10) /Лисица М. И.[Ивановский гос. химико-технологич. ун-т]. Иваново, 2007. 390 с.

8. Лисица М. И. Требуемая доходность и структура капитала /М. И. Лисица. — Архангельск: Из-дат. центр Северн. гос. мед. ун-та, 2005. — 184 с.

9. Соколов Ю. al. Методология формирования доходности ценных бумаг и структуры капитала/Ю. А. Соколов, М. И. Лисица. СПб.: Изд-во Санкт-Петербург. акад. упр. и эконом., 2007. 268 с.

10. Шарп У. Инвестиции /У. Шарп, Г. Алек-сандер, Дж. Бэйли; Пер. с англ. М.: ИНФРА. М. 1999. — XII, 1 028 с.

11. De Bondt, W. F. M. Does the Stock Market Overreact?/W. F. M. De Bondt, R. H. Thaler//Journ. Finance. 1985. July. P. 793 - 806.

12. Fama, E. F. Efficient Capital Markets. II/E. F. Fama//Journ. Finance. 1991. Dec. P. 1575 — 1617.

13. Fama, E. F. The Adjustment of Stock Prices to New Information/E. F. Fama, L. Fisher, M. C. Jensen, R. Roll//Inter. Econ. Rev. 1969. Febr. P. 1 — 21.

14. Fama, E. F. The Cross-Section of Expected Stock Returns/E. F. Fama, K. French//Journ. Finance. 1992. P. 427-465.

15. Grossman, S. J. On the Impossibility of Informationally Efficient Market/S. J. Grossman, J. E. Stiglitz//Amer. Econ. Rev. 1980. June. P. 393 - 408.

16. Jensen, M.A. Capital Markets: Theory and Evidence/M. A. Jensen//Bell Journ. Econ. a. Management Sci. 1972. Autumn. P. 357 - 391.

17. Lintner, J. Security Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification/J. Lintner//Journ. Finance. 1965. Dec. P. 587 - 616.

18. Lintner, J. The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets/J. Lintner//Rev. Econ. a. Statistics. 1965. Febr. P. 13-37.

19. Markowitz, H. M. Portfolio selection/H. M. Markowitz. New Haven, Conn.: Yale Univ. Press, 1959. 344 p.

20. Markowitz, H. M. Portfolio selection/H. M. Markowitz//Journ. Finance. 1952. March. P. 77 — 91.

21. Moissin, J. Equilibrium in a Capital Asset Market/ J. Moissin//Econometrics. 1966. Oct. P. 768 - 783.

22. Moissin, J. Security Prices and Investment Criteria in Competitive Markets/J. Moissin//Amer. Econ. Rev. 1969. Dec. P. 749 - 756.

23. Roll, R. A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests/R. Roll//Journ. Financial Econ. 1977. March. P. 129 - 176.

24. Ross, S.A. The Arbitrage Theory of Capital Assets Pricing/S. A. Ross//Journ. Econ. Theory. 1976. Dec. P. 341 - 360.

25. Seyhun, N. H. Insiders Profits, Costs of Trading and Market Efficiency/N. H. Seyhun//Journ. Financial Econ. 1986. June. P. 189 - 212.

26. Sharpe, W. F. A Simplified Model of Portfolio Analysis/W. F. Sharpe//Management Sci. 1963. Jan. P. 277 - 293.

27. Sharpe, W. F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk/W. F. Sharpe//Journ. Finance. 1964. Sept. P. 425-442.

Реклама в журналах Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ»

Мы гарантируем Вам:

^ Оперативное размещение ^ Гибкую систему скидок ^ Индивидуальный подход ^ Особые условия для рекламных агентств. Ваши выгоды очевидны, потому что у нас: ^ Самые низкие цены

^ Широкая профессиональная аудитория по всей территории России и СНГ ^ Оперативная публикация рекламы осуществляется в необходимые Вам сроки ^ Высокая эффективность рекламы проверена временем.

Реклама в наших журналах — прямой путь к конечному потребителю.

Тел./факс: (495) 621-69-49, http: www.fin-izdat.ru

(495) 621-91-90 E-mail: post@fin-izdat.ru

(495)621-72-79