Фредгольмовость краевой задачи для дифференциального уравнения специального вида

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Д. О. ДЕГТЯРЁВ, С. В. РЕПЬЕВСКИЙ

ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

В статье рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка с нулевым коэффициентом при первой производной и коэффициентом специального вида при неизвестной функции. Указываются условия, при которых решение данного уравнения при любой непрерывной правой части и при произвольных заданных значениях искомой функции на концах некоторого промежутка вещественной прямой существует и единственно.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение второго порядка, краевая задача, нетривиальное решение, средняя функция.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

Ьп = п" + д

на отрезке [—а, а], где д(х)^ (х) Е С [—а, а], и краевые условия следующего вида:

п

Хорошо известно, что в случае отрицательного коэффициента д(х) задача

(1), (2) имеет единственное решение, так что спектр самосопряжённого оператора + д(х)Е с условиями (2) целиком лежит на отрицательной полуоси. Условие д(х) < 0 является существенным, так как при его нарушении могут появиться неотрицательные собственные значения. Предположим, что условие отрицательности нарушается на малом отрезке [—5,5]. Нетрудно указать достаточные условия для д(х) на этом отрезке, при выполнении которых задача (1), (2) имеет единственное решение. Цель статьи состоит в получении точных, в определённом смысле, условий на коэффициент д(х) как в метрике С[—5,5], так и в метрике

Ь1—ё, 5].

Более точно: будет указана постоянная М(а, 5) такая, что при выполнении условия \\д(х) ||с[-г,г] < М2(а,5) однородная задача (1), (2) имеет только тривиальное решение (а значит, неоднородная задача всегда имеет единственное решение). Далее будет показано, что при достаточно малом 5 для любой постоянной М\(а,5) > М(а, 5) существует непрерывная функция д(х) такая, что \\д(х) ||с[-г,г] < М^(а,5), а однородная задача (1), (2) имеет ненулевое решение.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-01-96002 р-урал-а), НШ-2215.2008.1.

Аналогичное (и менее очевидное) условие на коэффициент д(х) будет получено в метрике ЬХ[—8,8].

Лемма 1. Если в уравнении

Ьи = и" + р

с краевыми условиями

и

коэффициент д(х) < —^ < 0, а д(х), р(х) Е С [-а,а], то решение краевой задачи (3), (4) при любых Л\, Л2, / (х) Е С [—а,а] существует, единственно, и для него справедлива оценка

\и(х)\ ^ тах + |А11 + |А2|.

х£[-а,а] 'у

Лемма 2. Рассмотрим краевую задачу (3), (4), причем д(х), р(х) Е С [—а,а]. Если существует функция 1^(х) Е С2[—а,а], 1^(х) > 0 при х Е [—а, а] такая, что Ьw < 0, то решение краевой задачи (3), (4) при любых Лх, Л2, / (х) Е С [—а,а] существует и единственно.

Доказательство первой леммы можно найти в [1], вторая же лемма является следствием первой, для этого достаточно сделать замену и(х) = v(x)w(x) и рассмотреть новое уравнение относительно неизвестной функции v(x).

Далее перейдем к формулировке основных утверждений.

Теорема 1. Если в уравнении (1) выполнены условия:

д

а < 8

\р Ыр') ) 2

то существует единственное решение краевой задачи (1), (2).

Доказательство. Достаточно показать, что однородная задача имеет только нулевое решение. Построим положительную, непрерывную на отрезке [—а, а] функцию w(x), которая имеет вторую производную всюду на отрезке, кроме точек

сх = 8 и с2 = —8. Положим а = 8 ( -------- —;--— + ^. Константу Мх выбираем

\Мг8 Ьё

П

таким образом, что Мх > М и а < а, при этом сохраняя неравенство Мх8 < .

Такой выбор Мх возможен ввиду условий (5), (6). Далее рассмотрим функцию

w(x):

—Мх 8т(Мх8)х + (соз(Мх8) + Мх 8т(Мх8)8 + к82) — кх2, 8 < х ^ а, w(x) = ^ оояМх), \х\ ^ 8,

Мх 8т(Мх8)х + (со8(Мх8) + Мх 8т(Мх8)8 + к82) — кх2, —а ^ х < —8.

к > 0.

Заметим, что т(х) Е С[—а, а]. Кроме того, функция т(х) имеет вторую производную всюду на отрезке [-а, а], за исключением точек с1, с2. Также для функции т(х) выполнены условия

т'

т'

Ьт(х) < 0

в тех точках, в которых существует т''(х). Выберем к достаточно малым, таким, что выполняется неравенство т(±а) > 0. Это возможно поскольку а < ц.

Пусть у(х) — решение уравнения (1). Сделаем замену V = —т, где т > 0. Так как V дважды дифференцируема, то для —(х) выполняется равенство

—•

т

а также сохраняется условие — (±а) = 0.

Для окончания доказательства достаточно показать, что — = 0. Действительно, предположим, что —(х) имеет положительный максимум. Он не может достигаться в точках гладкости функции —(х), т.к. в этих точках дифференциальный оператор для функции — (х) принимает вид -X + 2т' ^ • Е, причем

Ьт < 0, т > 0. Но тогда для промежутков, на которых сохраняется гладкость функции —(х) справедлива Лемма 2, более того решение — (х) не может принимать положительного максимума во внутренних точках этих промежутков в силу знаков коэффициентов дифференциального оператора. Но из (7), (8), (9) следует, что —(—5 — 0) < — '(—5 + 0), — (5 — 0) < — (5 + 0), следовательно, он не может достигаться и в точках ±5. Значит, положительный максимум не достигается. Теперь предположим, что достигается отрицательный минимум. Из (7), (8), (9) получаем: —(—5 — 0) > — '(—5 + 0), —(5 — 0) > —(5 + 0) и, рассуждая аналогично,

приходим к выводу, что отрицательный минимум тоже не достигается. Получаем,

что — = 0.

Теорема 2. Для любых постоянных М > 0; 5 > 0 таких, что

а > 5 ( ттг—/„,-гч + 1 ) , М5 < П,

\М5 tg(M5) ) 2

существует функция д(х), удовлетворяющая условиям

д(х) ^ 0 при 5 ^ |х| ^ а, \д(х)\ ^ М2 при |х| ^ 5,

и существует нетривиальное решение однородной краевой задачи (1), (2).

Доказательство. Пусть 51 = 5 — е, где 0 < е < 5, выбираем настолько малым,

что и1 = 51 ( ^. + 1 ) < а. Определим функцию v(x):

И1 ^ М51 Ьё(М5^ ) К '

' СОЪ(М51) ( Л ^

—-------(х — а), 51 < х ^ а,

51 — а

v(x) = ооз(Мх), х ^ 5Ь

СО8

-------— (х + а) , —а ^ х < —о1.

а — 51

В силу построения функции v(x) выполняются следующие условия:

v(±a) = 0,

^(—51 — 0) < ^(—51 + 0),

^5 + 0) > ^(51 — 0).

Также заметим, что v(x) дважды дифференцируема всюду на отрезке [—а, а], за исключением точек с1 = — 51, с2 = 51, причем ^'(х) < 0 при |х| < 51. Обозначим через а к, вк достаточно малые окрестности точек ск :

ак = {х : ^ — Ск| < а} , вк = {х : ^ — Ск| < ,

где к = 1, 2. Рассмотрим неотрицательные функции и1, и2 Е Сгх[—а, а] такие, что

V = 1, х Е вг,

иг = 0, х = аг.

Далее построим бесконечно дифференцируемые функции иг(х), где г = 1, 2, 3, исходя из условий

3

^2шг(х) + щ(х) + щ(х) = 1, иг(х) ^ 0

г=1

на отрезке [—а, а]. Тогда по построению справедливо тождество

3

v

г=1

при х Е [—а, О]. Рассмотрим функцию т(х):

3 а а

т(х) = ^ шг(ф(х)+ [ Кн(х — ^(£) ^ + [ Кн(х — ^)^2(СМ£) ^,

і=1

где К^(х) — усредняющее ядро. Тогда при достаточно малых к и а можно добиться того, что у(х) = т(х) вне интервала (-8,8). Определим функцию д(х) следующим образом:

™"

, х Е (-8,8),

д

0, 5 ^ х ^ а.

Заметим, что данная функция удовлетворяет условиям теоремы в силу того, что и''(х) ^ 0 при |х| ^ 51 — а [2]. Рассмотрим краевую задачу (1), (2) при f (х) =

0. Тогда по построению получаем, что т(х) является нетривиальным решением однородной задачи.

п

Замечание. Условие М5 < ^ является существенным, поскольку при его нарушении можно построить ненулевое решение однородной задачи. Сформулируем это утверждение более точно.

п

Предложение. Пусть М5 ^ , тогда существует коэффициент д(х) Е

С [—а, а] такой, что

при этом однородная краевая задача (1), (2) имеет ненулевое решение.

п ~ ~

Доказательство. Пусть а = -^М' Положим р = Мб, где 6 = а — £, при-

чем 0 < £ < 5. Заметим, что

М* <п

6 | ~-------— + 1 | ---------------------------> 6 < а.

уМ61%(М5) ) £^0

Таким образом, при достаточно малом £ мы попадаем в условия теоремы 2. Следовательно, существует функция д(х) такая, что выполнены условия:

д(х) ^ 0 при 6 ^ х ^ а, |д(x)| ^ М2 при х ^ 5,

и существует нетривиальное решение однородной краевой задачи (1), (2). Но 6 < 5, значит, построенная функция д(х) будет удовлетворять и условиям (10).

Далее получим условие на коэффициент д(х) в метрике Ь\[—5, 5]. Оказывается, что справедливы следующие утверждения.

Теорема 3. Если для коэффициента д(х) Е С [—а, а] выполнены условия

д(х) ^ 0 при 5 ^ |х| ^ а, ё

[ 2

д(х) йх <

а + 5 -ё

то существует единственное решение краевой задачи (1), (2). Доказательство. Умножим обе части уравнения (1) на и(х) и проинтегрируем:

а а а

1ф)  и'(х) ь + 1 ,,2(х)йх = ! !(х)  ф)йх.

-а -а -а

Заметим, что справедлива оценка

а ё

1д(х) ,г(х) Лх */д(х) ,г(х) Лх

-а -ё

в силу того, что д(х) ^ 0 вне отрезка [—$,$]. В результате получим следующее неравенство:

a й

22

J /

-а -а -ё

Учитывая, что и(±а) = 0, получаем:

х а

и(х) = ! и'(Ь) йЬ, и(х) = — ! и'(Ь) йЬ.

-а х

Тогда для х Е [—5, 5] справедливы оценки:

х х х

и(х) = | I и(Ь) йЬ ] и'2(Ь) йЬ ^ 12 йЬ ^ (а + 5^ и'2(Ь) йЬ,

-а -а -а

а а а

и (х) = (—J и (Ь) йЬ ] и'2 (Ь) йк ^ 12 йЬ ^ (а + 5^ и'2(Ь) йЬ.

\ х / х х х

Сложив неравенства, получим:

а

2и2(х) ^ (а + 5) ( и'2(Ь) йЬ, х Е [—5,5] ,

2u2(x) a + б

2

^ u' (t) dt, x Є [-б, б]

a + б Vxe—й,й] В силу принципа максимума

max |u(x)| ^ u (t) dt

x^—a^] xG — й,й]

а значит,

2

max |u(x)| I ^ u' (t) dt.

a + 8 \ж€[—a,a]

Правую часть этого неравенства оценим из соотношения (11):

2 2 ^ max |u(x)| ) ^ I max |u(x)| I q(x) dx + \(f,u)\ ;

a + б yxG —a,a] J yxG —a,a]

—й

a

a

2 a

2 a

2 II II 2 ё

2 ''и'\С[-а,а\ ^ и ц2

а + 5’ < НС-а,а] д(х) йх + ;

-ё

ё

22

^ I и2(х) йх

а

Таким образом, получаем, что

\

а

2

/2(х) йх ^ 2а ||/||с-а,а]  Ыс[-а,а] .

ё

2

\и

С[-а,а] I а+5 — д(х) йх ] ^ 2а 1/1 С[-а,а]

-ё

но по условию теоремы

ё

2

д(х) йх <

а + 5 -ё

Следовательно, однородная задача имеет только нулевое решение.

Теорема 4. Существует 5 > 0 и функция д(х) Е С [—а, а], удовлетворяющая

ё 2

условиям д(х) ^ 0 при 5 ^ |х| ^ а и J д(х) йх > при которой однородная

-ё а

краевая задача (1), (2) имеет ненулевое решение.

Доказательство. Построение коэффициента д(х) и функции 1^(х) аналогичны

построениям в теореме 2. Для этого выберем константы М > 0 и 5 > 0 и прове-

рим, что При этом а>» = ^МЩЩ + 0 '

ё 2

Пусть д(х) = М2 при |х| ^ 5, тогда / д(х) йх = М225 > —. Кроме того,

-ё а

п

потребуем, чтобы М5 < ^. Таким образом, получаем неравенства для М и 5:

М25 > 1, М5<П, а > ——тг + 5. а 2’ М Ьё

Легко видеть, что существуют достаточно большое М и достаточно малое 5, при которых выполняются эти неравенства, а следовательно, выполняются условия теоремы 2.

Список литературы

1. Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин. — М. : Физматлит, 2009.

2. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в вопросах математической физики / С. Л. Соболев. — М. : Наука, 1988.

а