Методология оптимизационных подходов к процессам управления производством в машиностроении

Аркин П.А., Соловейчик К.А., Аркина К.Г.

МЕТОДОЛОГИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ПОДХОДОВ К ПРОЦЕССАМ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ В МАШИНОСТРОЕНИИ

Аннотация. Рост глубины передела промышленной продукции на предприятиях требует оптимизации производственного планирования, автоматизации и компьютеризации процессов управления. Существующие программные продукты не удовлетворяют требованиям машиностроения. В основе математического аппарата описываемого программного продукта лежат оптимизационные расчеты с помощью теории двойственности и аппарата Марковского процесса, в качестве критерия оптимальности используется максимизация ожидаемого дохода за N этапов (в статье приведен пример реализации при N = 2).

Ключевые слова. Процессы управления, машиностроение, управление промышленным производством.

Arkin P.A., Soloveychik K.A., Arkina K.G.

METHODOLOGY OF OPTIMIZATION OF PRODUCTION MANAGEMENT IN MACHINE-BUILDING

Abstract. Depth redistribution growth of industrial enterprises requires production planning optimization, automation and computerization of the management processes. Existing software products do not meet the engineering requirements. At the core of the mathematical apparatus of the described software are optimization calculations with the use of the duality theory and apparatus of Markov processes; expected income maximization of N stages (in the article it is an example for N = 2) is used as the optimality criterion.

Keywords. Management processes, mechanical engineering, industrial production management.

Рост глубины передела промышленной продукции на предприятиях [9] требует оптимизации производственного планирования, автоматизации и компьютеризации процессов управления, которые охватывают как инженерно-экономические процессы управления производством, такие как автоматизация сетевого планирования, диспетчирования и оперативного контроля производств на базе современных оптимизационных моделей, так и роботизацию и компьютеризацию производств (создание и внедрение программно-аппаратных управляющих комплексов) в разных отраслях промышленности.

На сегодняшний день существует несколько распространенных программных продуктов, позволяющих в той или иной степени выполнять задачи по планированию и диспетчеризации производства. Есть, в том числе, и российские производители, однако ни один из этих продуктов не удовлетворяет одновременно следующим требованиям:

1. Полный цикл планирования, начиная от конструкторско-технологической подготовки и заканчивая формированием сменно-суточных заданий.

ГРНТИ 55.01.75

© Аркин П.А., Соловейчик К.А., Аркина К.Г., 2017

Павел Александрович Аркин - доктор экономических наук, профессор, заместитель генерального директора по инновациям ООО «ХОЛДИНГ ЛЕНПОЛИГРАФМАШ» (г. Санкт-Петербург).

Кирилл Александрович Соловейчик - доктор экономических наук, доцент, вице-президент Торгово-промышленной палаты Санкт-Петербурга, президент ОАО «ЛЕНПОЛИГРАФМАШ», профессор кафедры процессов управления наукоемкими производствами Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Ксения Георгиевна Аркина - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена» (г. Санкт-Петербург). Контактные данные для связи с авторами (Аркин П. А.): 197376, Санкт-Петербург, наб. реки Карповки, 5 (Russia, St. Petersburg, Karpovki emb., 5). Тел.: 8 (812) 234-85-95. Е-mail: arkin1969@mail.ru.

2. Диспетчеризация производства с учетом уже имеющейся загрузки рабочих центров.

3. Программное решение, выполненное на самой распространенной в Российской Федерации отечественной программной платформе «1С:Предприятие 8» (более 1 млн организаций).

4. Интеграция с программно-аппаратными комплексами, необходимыми для обеспечения бесперебойной и мгновенной передачи данных о состоянии технического парка и стадии выполнения производственной программы.

Исходя из вышеупомянутых условий было принято решение о создании программного продукта для наиболее сложного и, тем не менее, широко распространенного в России вида промышленного производства - машиностроения. В качестве исходных данных была взята модель реально работающего производства - приборостроение для нужд Министерства обороны Российской Федерации. Данный выбор позволил учесть широкий набор требований, предъявляемых к процессу производства готовой продукции. Кроме того, такой выбор был сделан в том числе с учетом государственных интересов в области импортозамещения. Необходимость в отечественном продукте, применимом в максимально возможном спектре промышленных предприятий, как по видам, так и размерам производства, на сегодняшний день становится очевидной. Тем более, что интерес промышленных предприятий к данной тематике также значительно вырос в последнее время.

В ходе первого этапа были разработаны алгоритмы с их последующим переводом в программный код, тестированием программы для ЭВМ на реально действующем машиностроительном предприятии ОАО «ЛЕНПОЛИГРАФМАШ». Основной целью первого этапа являлось создание автоматизированной системы планирования и диспетчеризации производства, без учета интеграции с другими учетными системами. Основной целью второго этапа являлась разработка механизмов интеграции разработанной автоматизированной подсистемы диспетчирования производства со станочным цеховым оборудованием, а также с основной учетной системой.

Первоначально в качестве методики оптимизации была выбрана теория ограничений (теория критического пути) - популярная методика проектногоменеджмента, разработанная в 1980-е годы Элияху Голдраттом, в основе которой лежит нахождение и управление ключевым ограничением системы [3], которое предопределяет успех и эффективность всей системы в целом. Основной особенностью методики является то, что, делая усилия над управлением очень малым количеством аспектов системы, достигается эффект, намного превышающий результат одновременного воздействия на все или большинство проблемных областей системы сразу. Главная мысль Голдратта состоит в том, чтобы не бороться за тотальную производительность, а сосредоточиться на определении узких мест в производстве, продаже и начать бороться с ними.

Узкое место найти весьма сложно, в книгах Голдратта эти узкие места зачастую находятся вслепую, а не с помощью экономико-математических оптимизационных методов. Действительно известен ряд научных работ, в которых Голдратта активно цитируют, что правда не говорит о его признании в научных кругах [11, 12, 13, 14, 17]. При этом в англоязычной литературе теория ограничений разрабатывалась давно как теория критического пути и экономико-математического моделирования в проектном менеджменте [15, 16, 18, 20].

Более подробно обоснование ненаучности теории ограничений можно посмотреть в блестящей статье Дана Трича «Почему критический путь с другим названием будет на вкус менее сладок? На пути к целостному подходу к PERT / CPM» [19]. Там же Дан Трич отсылает нас к первоисточникам теории ограничений - трудам советских математиков В.М. Португала и А.А. Первозванского. Так А.А. Первозванский в монографии о математических моделях в управлении производством [7] рассматривает аналитическое решение поточного производства с узким местом и обсуждает связь между ограничениями ресурса и истинным критическим путем в проектах задолго до Голдратта.

Один из основных тезисов теории ограничений заключается в том, что если в системе имеется дефицит ресурса - «узкое место», то потери мощности других ресурсов несущественны. Трич,показывая, что многокритериальность вредна, ссылается на работы другого советского математика В.М. Португала [8], показавшего в СССР еще в 1970-е годы пагубное влияние многозадачности на производительность для любых проектов. Точно также математические программные принципы и модели (например, линейное программирование, за создание в 1939 году аналитической техники которого (описана в [4]) Л.В. Канторович получил премию Банка Швеции имени А. Нобеля) заменяют теорию ограничений. Таким образом, теория оптимального распределения ресурсов и теория двой-

ственности в линейном программировании, базис которых заложил в 1939 году в Советском Союзе Л.В. Канторович, опередили выводы Голдратта об ошибках традиционного учета почти на полвека.

Выбрав в качестве основы оптимизации математический аппарат линейного программирования, необходимо отметить следующее. Трудности в решении задач линейного программирования зависят не от количества переменных п, а от количества ограничений m, определяющих число итераций симплекс-метода. Поэтому, если прямая задача линейного программирования, еще не приведенная к стандартной форме, содержит большое количество ограничений (ш>п), как это чаще всего бывает в оптимизационных задачах в области организации производства, то в этом случае целесообразно перейти к двойственной задаче и использовать аппарат теории двойственности.

Раз уж был сделан первый шаг назад в советское математическое прошлое, то у авторов возникла мысль посмотреть, что из наработок советских и русских математиков, специализировавшихся в области прикладной математике, можно применить еще. При изучении литературы возникла идея наложить на оптимизационные расчеты с помощью теории двойственности теорию великого русского математика академика Императорской Санкт-Петербургской Академии наук А.А. Маркова, использовав аппарат Марковского процесса, то есть процесса, протекающего в некоторой системе, при котором для каждого момента времени поведение системы в будущем зависит только от состояния системы в данный момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Случайный процесс X(t) с дискретным временем и дискретным множеством значений называется в теории А.А. Маркова случайной цепью, а случайная цепь, для которой в каждый момент времени закон распределения Х^^) вполне определяется значением Х(^) и не зависит от предыдущих значений, простой Марковской цепью [6]. При этом Марковская задача принятия решений - это задача математического программирования к многошаговым задачам принятия решений в условиях риска, в которой процесс изменения состояния любой изучаемой системы является Марковским процессом с конечным множеством возможных состояний и дискретным временем. Математические модели, приводящие к таким задачам, называют Марковскими моделями принятия решений. Основная цель - определение оптимальной стратегии (оптимального решения), максимизирующей ожидаемый доход за конечное или бесконечное число этапов Марковского процесса изменения состояния системы. Ожидаемый доход при этом связан лишь с переходами системы из одного возможного состояния в другое при фиксированном допустимом решении.

В качестве принципа оптимальности, совпадающего с критерием оптимальности, используется максимизация ожидаемого дохода за N этапов. При этом специфика решения задач прежде всего связана с тем, будет ли число этапов N конечным или нет. В соответствии с этим рассматривают задачи принятия решений с конечным горизонтом планирования, когда N < да, или с бесконечным горизонтом планирования, когда N = да [1].

Необходимо отметить, что лицо, принимающее решения, может интересовать величина ожидаемого дохода при заранее определенной стратегии поведения в случае того или иного состояния системы. Так, например, лицо, принимающее решения, может считать, что если после (/-1)-го этапа система находится в состоянии Sj, то безотносительно к конкретному значению ] всегда необходимо принимать решение X* е G . В этом случае говорят, что процесс принятия решений описывается стационарными стратегиями. При конечном горизонте планирования N < да Марковскую задачу принятия решенийпредставляют как задачу динамического программирования, что нами и было сделано на примере конкретного производства.

Поскольку решение реальных оптимизационных задач с аппаратом двойственности линейного программирования [10]является не только громоздким, но и невозможным к представлению в силу того, что оформляется как ноу-хау конкретной организации, механизм работы алгоритма представлен далее на простом примере производства кирпичей при N = 2.

Задача 1 (К = 1): Кирпичный завод выпускает кирпичи двух марок М1 и М2. Для производства кирпича применяется глина трех видов - А; В; С. Нормы расхода глины каждого вида на 1 кирпич М1 равны 4; 2; 1 условных единиц (далее - УЕ); на один кирпич М2 - 2; 3; 4 условных единиц. Общие запасы глины А, В и С составляют 320; 480; 360 условных единиц. Прибыль от реализации одного кирпича марки М1 - 5 УЕ; а марки М2 - 8 УЕ. Сколько нужно выпустить изделий каждого вида, чтобы прибыль была наибольшей?

Решение: Для наглядности представим исходную информацию в таблице 1.

Таблица 1

Исходная информация к Задаче 1

Кирпич М1 Кирпич М2 Запасы

Глина А 4 2 320

Глина В 2 3 480

Глина С 1 4 360

Прибыль 5 8

Пусть Х1 (шт.) - количество кирпичей М1, х2 (шт.) - количество кирпичей М2. Тогда математическая модель выглядит следующим образом:

4х1 + 2х2< 320 2х 1 + 3х2< 480 х 1 + 4х2< 3 60

х, > 0, х2 > 0 ¥ (X) = 5 х1 + 8 х2 ^ мах

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом [5].Определим максимальное значение целевой функции Б(Х) = 5х1 + 8х2 при следующих условиях-ограничениях:

4х, + 2х. < 320

2 х,

3х2 < 4:

0

С1 + 4х2 < 3 60

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме [2]). В 1-м неравенстве смысла (<) вводим базисную переменную х3. В 2-м неравенстве смысла (<) вводим базисную переменную Х4. В 3-м неравенстве смысла (<) вводим базисную переменную х5:

4 х1 + 2 х2 +1х3 + 0 х4 + 0 х5 = 320 2 х 1 + 3х2 + 0 х3+1х4 + 0 х5 = 480 хх + 4 х 2 + 0 х 3 + 0 х 4 + 1х 5 = 360

Базисные переменные - это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Переменные хр х2, которые у нас были до введения

базисных, называются свободными переменными. Экономический смысл базисных переменных: дополнительные переменные задачи линейного программирования обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Теперь переходим непосредственно к основному алгоритму симплекс-метода и последовательно решаем задачу. Решение объемное, мы его опустим. Приведем лишь последнюю симплекс-таблицу (см. табл. 2).

Итоговые значения решения Задачи 1 симплекс-методом

Таблица 2

Базис В Х1 Х2 Х3 Х4 Х5

Х1 40 1 0 2/ 7 0 -1/7

Х4 160 0 0 -5/14 1 -4/7

Х2 80 0 1 -1/14 0 2/ 7

Б(Х3) 840 0 0 6/ 7 0 1477

Получаем следующее оптимальное решение для нашей задачи:

х1 = 40, х2 = 80; ¥ (X) = 5 • 40 + 8 • 80 = 840. Таким образом, мы получили, что максимальную прибыль мы получим, если при существующих запасах материалов мы выпустим 40 кирпичей М1 и 80 кирпичей М2.

Теперь построим двойственную задачу (см. табл. 3) по следующим правилам:

1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.

2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.

3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой - минимизируется.

Итак, математическая модель двойственной задачи выглядит следующим образом:

4 у 1 + 2 у 2 + У 3 > 5 2 у 1 + 3 у 2 + 4 у з > 8

У1 > 0, у2 > 0, у3 > 0

У ) = 320 у 1 + 480 у 2 + 360 у 3 ^ ш т Оптимальный план двойственной задачи:

у1 = 6, у2 = 0, у3 = 14; Ъ(У ) = 3 20 • 6 + 480 • 0 + 3 60 • 1-1 = 840 •

Таблица 3

Перевод исходной задачи в двойственную

Исходная задача I Двойственная задача II

xi > 0 4yj + 2y2 + Уз>5

x2 > 0 2yi + 3у2 + 4уз>8

5xi + 8x2 ^ max 320yi + 480у2 + 360у3 ^ min

4xi + 2x2<320 yi > 0

2xi + 3x2<480 у2 > 0

xi + 4x2<360 Уз > 0

В соответствии с критерием оптимальности: если существуют такие допустимые решения X и У прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций Б(х) = 2(у), то эти решения X и У являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно. Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов. Используя вторую теорему двойственности [2], определим дефицитные и недефицитные (избыточные) ресурсы. Для этого подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

Г4 • 40 + 2•80 = 320 = 320 < 2 • 40 + 3 • 80 = 320 < 480 1 • 40 + 4 • 80 = 360 = 360

1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (у! Ф 0).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане у2 = 0. Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет 160 (480-320). Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (у3 Ф 0).

Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие - менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны), они будут равны нулю.При подстановке оптимальных двойствен-

ных оценок в систему ограничений двойственной задачи мы обосновываем эффективность оптимального плана, получаем:

6 4 4• —+ 2•0 + 1 • 1 — = 5 = 5

7 7

64 2 • —+ 3 • 0 + 4 • 1 — = 8 = 8 77

1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый продукт экономически выгодно производить, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (xj>0).

2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый продукт экономически выгодно производить, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x2>0).

Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.

Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель - найти такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Итак, оценим чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции.Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на Ас!. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов. Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции определятся из соотношений:

1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах от min [yk/d1k] (для d1k>0) до |max[yk/d1k]| (для d1k<0). Используя данные таблицы 2, можно получить, что 1-параметр может быть уменьшен на 3 или увеличен на 11. Т.е. его интервал изменения равен:[5-3; 5+11] = [2; 16]. Если значение c1 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится;

2-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах от min [yk/d2k] (для d2k>0) до |max[yk/d2k]| (для d2k<0). Расчет показывает, что 2-параметр может быть уменьшен на 11/2 или увеличен на 12.Интервал изменения равен:[8-11/2; 8+12]=[5/2;20]. Если значение с2будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится.

Оценим далее чувствительность решения к изменению запасов сырья.Найдем такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной задачи линейного программирования, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы:

1-ый запас может изменяться в пределах от min[xk/dk1] (для dk1>0) до |max[xk/dk1]| (для dk1<0). Расчет показывает, что 1-ый запас может быть уменьшен на 140 или увеличен на 448. Интервал изменения равен:[320-140; 320+448] = [180;768];

2-ой запас может меняться в пределах от min[xk/dk2] (для dk2>0).Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 160.2-ой вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y2 = 0. Другими словами, интервал изменения равен:[480-160; +да] = [320;+да];

3-ий запас может изменяться в пределах от min[xk/dk3] (для dk3>0) до |max[xk/dk3]| (для dk3<0).Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен или увеличен на 280. Интервал изменения равен:[360-280; 360+280] = [80;640].

При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют «узкие места производства». Их следует заказать дополнительно. Найдем объем приобретения дополнительных ресурсов, удовлетворяющих указанным условиям и вычислим дополнительную возможную прибыль. Обозначим T = (t1,t2,t3) - вектор дополнительных объемов ресурсов. Причем уже известно, что t2 = 0 . При этом, для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок: Н + Q — 0, где (на основе данных таблицы 2):

H =

( 40 ^ 160 f 80

Г 2/

Q'

14

/7

Запишем и преобразуем матричное неравенство:

Г 2/

Г 40 ^ 160

V 80 /

14

0 - 1/ ^

0 /7

1 - 4/

Г t ^

V t3

> 0

Получаем систему неравенств:

40 + — t. - —t3 > 0 7 1 7 3

5 4

160--t.--13 > 0 «

14 1 7 3

80 - — t, + —13 > 0 14 1 7 3

2 1

--1. + —13 < 40

7 1 7 3

5 4 —tl + — 13 < 160 . 14 1 7 3

— t. - —13 < 80 14 1 7 3

Дополнительные объемы ресурсов по смыслу задачи не могут быть отрицательны. Таким образом, задача свелась к тому, чтобы найти вектор T = (t1,0,t3) максимизирующий суммарный прирост

6 4

прибыли W (T) = 711 + t3 ^ max

И перед нами новая задача линейного программирования:

2 1

--11 + — 13 < 4 0

7 1 7 3

5 4 —11 + — 13 < 160 14 1 7 3

—11 - —13 < 80 14 1 7 3

t1 > 0, t3 > 0

W (T) = 611 + 1413 ^ max

7 1 7 3

Решим задачу симплекс-методом и получим, что программа «расшивки», т.е. размер дополнительных ресурсов имеет вид: T = (0,0,280), а рост прибыли W(T) = +1-4• 280 = 440 . То есть, если у нас будет еще 280

единиц глины С, то можно рассчитывать на дополнительную прибыль в 440 условных единиц. Теперь сформулируем новую задачу с учетом «расшивки»(К = 2).

Задача 2(N = 2): Кирпичный завод выпускает кирпичи двух марок М1 и М2. Для производства кирпича применяется глина трех видов - А; В; С. Нормы расхода глины каждого вида на 1 кирпич М1 равны 4; 2; 1 условных единиц; на один кирпич М2 - 2; 3; 4 условных единиц. Общие запасы глины А, В и С составляют 320; 480; 360+280 условных единиц. Прибыль от реализации одного кирпича марки М1 - 5 УЕ; а от марки М2 - 8 УЕ. Сколько нужно выпустить изделий каждого вида, чтобы прибыль была наибольшей?

Решение: Представим исходную информацию в таблице 4.

Таблица 4

Исходная информация к Задаче 2

1

Кирпич М1 Кирпич М2 Запасы

Глина А 4 2 320

Глина В 2 3 480

Глина С 1 4 640

Прибыль 5 8

Пусть х1 (шт.) - количество кирпичей М1, х2 (шт.) - количество кирпичей М2. Тогда математическая модель выглядит следующим образом:

4х1 + 2х2 < 320 2х1 + 3 х2 < 480 х1 + 4 х2 < 640

х 1 > 0, х2 > 0 ¥ (X ) = 5 х 1 + 8 х 2 ^ шях

Решим задачу линейного программирования симплекс-методом аналогично Задаче 1. Получим следующее оптимальное решение для нашей задачи:

х1 = 0, х2 = 260, ¥(X) = 5 • 0 + 8 • 260 = 1280.

Как и предполагалось, наша прибыль увеличится на 1280-840=440 условных единиц. Но получится она в результате выпуска только кирпичей М2.

С Задачей 2 можно повторить, используя аппарат двойственности, операцию расшивки еще раз и посмотреть, как еще можно добиваться увеличения прибыли.

В итоге разработанная модель планирования и диспетчеризации производства с одной стороны включает все необходимые инструменты, обеспечивающие технологичность и другие оптимальные значения показателей производственного процесса. С другой стороны, учтены практические ограничения, часто встречающиеся на промышленных предприятиях и не укладывающиеся в классическую модель.

В сравнении с зарубежными и отечественными программными продуктами со схожими возможностями, разработанный нами продукт обеспечивает более полный учет как теоретических достижений, так и практическую применимость. Помимо описания разрабатываемого подмодуля взаимодействия подсистемы диспетчирования с оборудованием, описан алгоритм разрабатываемого подмодуля взаимодействия подсистемы диспетчирования с основной учетной системой машиностроительного предприятия, показаны основные этапы настройки, тестирования и отладки разработанного подмодуля интеграции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аркин П.А., СоловейчикК.А., Аркина К.Г. Исследование операций. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2016.

2. Ашманов С.А.Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

3. Голдратт Э.М. Критическая цепь. М.: ТОС Центр, 2006.

4. Канторович Л.В. Математические методы организации и планирования производства. Л.: Изд. Ленинградского государственного университета, 1939.

5. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980.

6. Марков А.А. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей. М.: Издательство Академии наук СССР, 1951.

7. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975.

8. Португал В.М.,Семенов А.М. Модели планирования на предприятии. М.: Наука, 1978.

9. Соловейчик К.А., Аркин П.А. Методические вопросы стимулирования роста глубины передела промышленной продукции субъектами Российской Федерации // Известия Санкт-Петербургского государственного экономического университета. 2015. №4 (94). С. 25-30.

10. ТахаХ.А. Введение в исследование операций. М.-СПб.-К.: Вильямс, 2001.

11. Erenguc S., Tirupati D., WooJru^D.Introductiontospecialissueoncapacityconstrainedplanningandscheduling // Production and Operations Management. 1997.№ 6 (1).Р. 1-2.

12. Herroelen W., Leus R. On the merits and pitfalls of critical chain scheduling // Journal of Operations Management. 2001. № 19. Р. 559-577.

13. Herroelen W., Leus R., Demeulemeester E. Critical chain project scheduling: Do not oversimplify // Project Management. 2002. № 33 (4). Р. 48-60.

14. McKay K.N., Morton T.E. Critical chain // IIE Transactions. 1998. № 30 (8). Р. 759-762.

15. Morton T.E., Pentico D.W. Heuristic scheduling systems with applications to production systems and project management. NewYork: Wiley, 1993.

16. Nahmias S. Operations analysis. Boston: Irwin, 1989.

17. Raz T., Barnes R., Dvir D. A critical look at critical chain project management // Project Management Journal. 2003. № 34 (4). P. 24-32.

18. Raz T., MarshallR. Effect of resource constraints on float calculations in project networks // International Journal of Project Management. 1996. № 14 (4). P.241-248.

19. Trietsch D. Why a critical path by any other name would smell less sweet? Towards a holistic approach to PERT/CPM // Project Management Journal. March 2005.P. 27-36.

20. Wiest J.D. Some properties of schedules for large projects with limited resources // OperationsResearch. 1964. № 12. P. 395-418.