Гашение колебаний упругого стержня

УДК 517.98

С.Г. Баргуев, А. С. Богданов, А.Д. Мижидон ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

В работе рассматривается возможность гашения колебаний упругого стержня в виде консоли, один конец которой закреплен, а другой свободен.

Ключевые слова: гашение, колебания, стержень, амплитуда, частота, коэффициент передачи.

S.G. Barguev, A.S. Bogdanov, A.D. Mizhidon THE DAMPING OF AN ELASTIC CORE VIBRATION

The article is devoted to problem of the damping of an elastic core vibration, which has one fastened, and another free.

Key words: damping, vibration, core, amplitude, frequency, transfer coefficient

Введение

Источником колебаний упругого стержня, один конец которого закреплен, а другой свободен, служит внешняя сила, приводящая закрепленный конец в периодическое движение. В качестве гасителя колебаний выступает твердый стержень, соединенный с упругим стержнем пружиной, твердый стержень может вращаться вокруг своего неподвижного конца. Также рассмотрен гаситель в виде осциллятора -груза с пружиной.

1. Постановка задачи 2.

Рассмотрим механическую систему типа упругий стержень с гасителем в виде твердого стержня, присоединенного к упругому стержню пружиной (рис. 1).

x

Рис. 1. Механическая система - упругий стержень с гасителем

Упругий стержень представляет собой консоль, то есть один конец жестко закреплен, а второй свободен. Твердый стержень одним концом закрепляется шарнирно, а другой его конец свободен. Стержни соединены между собой пружиной жесткости с. Твердый стержень имеет массу М, длину Ь. Пружина закреплена на расстоянии а от оснований обоих стержней. Упругий стержень имеет длину I, и - поперечное смещение стержня, р - плотность материала стержня, Б - площадь поперечного сечения стержня,

] - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний.

Нижний конец упругого стержня приводится в периодическое движение с некоторой малой амплитудой В. Ставятся следующие задачи:

а) рассчитать относительную амплитуду верхнего конца упругого стержня при наличии гасителя;

б) при тех же условиях на нижний конец упругого стержня рассчитать относительную амплитуду верхнего конца упругого стержня при отсутствии гасителя.

в) сравнить полученные амплитуды.

2. Решение краевой задачи для колебаний системы с гасителем

Движение указанной системы описывается гибридной системой дифференциальных уравнений:

J d2 г

+ с (г - и (а, ґ )) = 0

а2 йґ2

^2 л4

„а и ^Тд и . . .

рг—- + —- = с (г - и(х, ґ))о(х - а),

дґ дх

МЬ

где ] = - момент инерции твердого стержня относительно своего конца. Преобразуем систему к

приведенному виду, обозначив —а2 = р2, -Е— = Ь, —— = е . Тогда система (1) запишется в виде:

I рГ рГ

г + р 2(г - и (а, ґ)) = 0,

д 2и д 4и „

—-2Т + Ь—т = е(г - и(х, ґ)Жх - а), дґ дґ

7 EJ с [с „ Гс~

где Ь =-------, е =---, р = аЛ— для гасителя в виде твердого стержня с пружинои, р = .--------------для гаси-

рГ рГ \ J V М

теля в виде осциллятора - груз массы М с пружиной жесткости с.

Левый конец упругого стержня совершает вертикальные периодические движения с частотой О и фиксированной амплитудой В. На и(х,ґ) наложены граничные условия:

и(0, ґ) = В ят(о + у), — (0, ґ ) = 0,

2 з дх

д2и „ д3и

-т(/, ґ ) = 0^—г(/, ґ ) = 0. дх дх

Согласно методу Фурье разделения переменных, примем

г(ґ) = А 8іп(о + У),

и (х, ґ ) = V (х) 8ІП(О + /).

Из системы (2) получим:

-о2 А + р2( А - V(а)) = 0,

й"V

-ю V(х) + Ь----4— = е( А - (х))3(х - а).

dx

Здесь А и V(x) соответственно неизвестная величина и функция. Отметим, что второе соотношение из (5) понимается в обобщенном смысле, т.е. для любой функции ф( х, г) из некоторого класса справедливо:

Г

0 дх

Из граничных условий (3) получим условия, накладываемые на функцию У(х):

йх2 йх3

В [1] показано, что при любых О и А функция

йУ

V(0) = В, -------(0) = 0,

йх

й V й V

й Г(і) = 0, йУ- = 0.

V

1 + eV

удовлетворяет соотношению (6). Здесь V (х) является решением уравнения

й^Щх х) йх

Отметим, что из первого соотношения (5), первого граничного условия (7) и (8) вытекает:

-О)^

___ В р2

V

еА О

В

Полагая — = 1 в (10), получим краевые условия: А

п2 йV

V (-а) = -пт, — (-а) = 0,

еО 2 йх

- (і - а) = 0, —— (і - а) = 0.

-o2V(х) + Ьй V 4 = 0

dx dx

Краевая задача (9-11) решается путем представления V (х) в виде суммы обобщенного решения

О0 (х) однородного уравнения

С1V

dxA

и обобщенного решения G( х) неоднородного уравнения (9), то есть

V

где

О0 (х) = с151 (вх) + с2 S2(вx) + с3 S3 (вх) + с4 54(Дх),

5

S

- функции Крылова, с1, с2, с3, с4 - неизвестные постоянные [1]. Постоянные с1, с2, с3, с4 находятся из

краевых условий. Частное решение G( х) можно представить в виде

в

Ьрл

где в(х) - функция Хэвисайда, в = ^[Ю_.

Ь 4

Используя краевые условия (11), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с1, с2, с3, с4:

п2

сД (ва) - сг S2 (ва) + Сз £, (ва) - С4^(ва) = -——

-с154

схБ3 (в(1-а) + с2Ба (в(1 - а)) + с351 (в(1 - а)) + с452 (в(1 - а)) = -а052(в(1 - а)) с152(в(і - а)) + с2Б3(в(1 - а)) + с3БА(в(1 - а)) + с4Б1(в(1 - а)) = -а0Б1(в(1 - а)).

Вычислив с1, с2, с3, с4 и подставив в (12), получим амплитуды упругого стержня.

3. Решение краевой задачи для колебаний системы без гасителя

Дифференциальное уравнение движения системы без гасителя имеет вид

д2и Э4и п

рГ^ТГ + Е^^Г4 = 0, дґ дх

в приведенной форме

д2и д4ы

—г + Ь — дг дх

Решение ищем в виде и(хД) = п(х) §1п(юг + у). После подстановки в (15) получим

2 + b—г = 0.

-—П

Решение (16) имеет вид:

д 4п

>-----

дxA

П

краевые условия -

П(0) = B, ^(0) = 0, dx

d 'nd)=0, ^=0

dx2 dx3

Подставляя (17) в (18), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с1, с2, с3, с4, решая которую, после подстановки в (17), получим амплитуды упругого стержня. В дальнейшем полагаем В = 1.

4. Сравнение амплитуд свободного конца упругого стержня

Расчеты амплитуд проводились в среде МаШСаё при параметрах системы

I = 5, р = 8000, Б = 0,0009, = 13500, с = 10000, М = 4

Рис. 2. Амплитуды колебаний верхнего конца упругого стержня с гасителем (график с изломом) и без гасителя (нисходящий график) в зависимости от частоты

ю

Рис. 3. Амплитуда колебаний верхнего конца упругого стержня с гасителем в зависимости от частоты

У

П

1

0.5

0

- 0.5 - 1

200

400

600

800

Рис. 4. Амплитуды колебаний верхнего конца упругого стержня с гасителем (график с изломом) и без гасителя (нисходящий график) в зависимости от частоты

ш

У

П

ш

Рис. 5. Амплитуды колебаний верхнего конца упругого стержня с гасителем в виде осциллятора -груза с пружиной, присоединенного к стержню в середине (график с изломом), и без гасителя (нисходящий график) в зависимости от частоты

На рис. 2 видно, что амплитуда конца упругого стержня с гасителем мала по сравнению с той же амплитудой без гасителя, причем последняя растет с увеличением частоты. Отрицательность амплитуды говорит о том, что конец стержня без гасителя движется в противофазе по отношению к движению нижнего конца стержня. Всплеск на верхнем графике происходит на резонансной частоте упругого стержня. На рис. 3 показано изменение амплитуды упругого стержня с гасителем в мелком масштабе.

На рис. 4 можно видеть изменение амплитуд верхнего конца упругого стержня с гасителем (график с изломами) и без гасителя (нисходящий график) в увеличенном масштабе по оси ординат и более широком диапазоне изменения частоты. Здесь также наблюдаются более низкие амплитуды для упругого стержня с гасителем. Всплески связаны с наличием резонансов.

На рис. 5 показано изменение амплитуд верхнего конца упругого стержня с гасителем в виде осциллятора (график с изломами) и без гасителя (нисходящий график). Здесь также наблюдаются более низкие амплитуды для упругого стержня с гасителем. Всплески связаны с наличием резонансов.

5. Заключение

Проведенное исследование показало, что присоединение гасителей обоих типов значительно уменьшает уровень колебаний упругого стержня. Это свидетельствует об эффекте гашения колебаний упругого стержня, связанном с перераспределением энергии колебаний от стержня к гасителю.

Литература

1.Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - №2(22). - 2009. - С.13-20.

Баргуев Сергей Ганжурович, кандидат физико-математических наук, доцент Бурятского филиала Сибирского университета телекоммуникации информатики, e-mail: barguev @ vandex .ru

Богданов Анатолий Сергеевич, кандидат технических наук, и.о. доцента кафедры прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета.

Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета.

Barguev Sergey Ganzhurovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Buryat Branch of Siberian Telecommunications University of Informatics.

Bogdanov Anatoly Sergeevich, candidate of technical sciences, associate professor of applied mathematics department of East Siberian State University of Technology.

Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical sciences, professor, head of applied mathematics department of East Siberian State University of Technology.