Об определении температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных элементов

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И ТО м VI 19 7 5

№ 6

УДК 629.735.33.015.4-977

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИНАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Г. И. Сидоров

Приводится решение плоской задачи о температурных напряжениях в неравномерно нагретой прямоугольной пластине, подкрепленной ребрами жесткости. Считается, что ребра работают на растяжение (сжатие) и изгиб в плоскости пластины. Задача решена в перемещениях методом конечных элементов. Для минимизации потенциальной энергии использован метод сопряженных градиентов. Приведены примеры расчетов.

Рассмотрим задачу о температурных напряжениях в подкрепленной пластине при неравномерном распределении температуры в срединной плоскости пластины и по длине подкрепляющих ребер. По толщине пластины и по сечению ребер температура равномерна. Внешние нагрузки отсутствуют.

Предполагаем, что пластина и ребра устойчивости не теряют, и имеет место плоское напряженное состояние. Будем считать, что ребра обладают жесткостью на растяжение (сжатие) и на изгиб в плоскости пластины. Материалы пластины и ребер могут быть различными с зависящими от температуры механическими характеристиками.

Поставленную задачу будем решать в перемещениях методом конечных элементов.

Элемент пластины. В качестве конечного элемента пластины используем прямоугольный элемент (фиг. 1) с 32 степенями свободы,

который может рассматриваться как частный случай элемента цилиндрической оболочки, предложенного в [5]. Компоненты вектора перемещений в плоскости такого элемента аппроксимируются следующими выражениями:

и

где

» — {«„ аахХ, ЬиуХ, аЬи х, и2, и4,

16X1

• V ={г>„ аъхХ, Ьъ х, аЬя) х, г>2,. .г>8, ..г>4,.. .

16X1 1

есть векторы обобщенных перемещений узлов элемента; ик, ихк, иук, ихук) г>й, юхк, уук, ъхук — перемещения и их частные производные, отмеченные индексами х и у, в &-м узле;

Ь(х, у) = { Н1(х)Н1(у), Нв(х)Нх(у), М,(х)Н3(у), Я3(х)Н3(у),

1X16

И2(х)Н1(у), Н^х)Нх(у), Н2 (х)Н3(у), Нь(х)Нг{у), Нх{х)Н2(у), Нш (х)Нг(у), Нх(х)Н4(у), Н3{х)НА(у), Нг(х)Н2(у), Н4(х)Н^(у)\

Н2(х)НАу), НАх)Щ(у)}

есть транспонированный вектор-столбец аппроксимирующих функций, компонентами которого являются произведения кубических полиномов вида

Я, (х) = ~ (2х3 - Зал:2 + а3); (л) = (— 2л3 4 3ах2)-,

н* (*)=4г (**_ 2ах'2+а*хУ' м=^ (-*3 ~ал^-

При замене л на у и а на 6 получатся аналогичные выражения для направления у. Звездочка означает операцию транспонирования.

Следует отметить, что используемая аппроксимация перемещений обеспечивает непрерывность перемещений и деформаций вдоль границ между элементами.

Распределение Ь = аТ, где а — коэффициент линейного температурного расширения материала и Т — приращение температуры, в плоскости элемента аппроксимируем по квадратичному закону выражением

• t

где

t = £2> • • •» Ц*

9X1

есть вектор значений а Т в точках 1—9 элемента пластины (фиг. 1, б);

ь*(х, МлОМ-У). М-*)6!»», М-*)М.у)> М*)62.Су),

1x9

%(*) е2Су), 01 (л) е3 (у), е2 (*) 03Су). ез (*) езСу)} .

есть транспонированный вектор-столбец аппроксимирующих функций, компонентами которого являются произведения полиномов вида

6' М = 1а (2х* ~ Ъах + а^’

1

(•*) = (— 4** + 4аХ)>

вз(х) = -^-(2 х2 — ах).

При замене х на у и а на Ь получатся аналогичные выражения для направления у.

Энергия деформации нагретого элемента изотропной пластины толщиной к определяется выражением [1]

а Ь .

^пл = 11 (е* + £У + 2'^£у + '-2^- т^) ах с1у -

о о

а Ь а Ь

- т^т /1 а7>* + + ~т~11

0 0 оо

где е*, еу, ^ — деформации; Е — модуль упругости; V — коэффициент Пуассона. '

Предполагается, что Е зависит от средней температуры эле-

а Ь

мента Тс? = § §Т йхйу и в пределах элемента не меняется.

о о

Последний интеграл в (3) в дальнейшем опустим как величину постоянную, не зависящую от деформаций. Подставив известные соотношения между перемещениями и деформациями '

ди ди ди , дv

дх ’ ~у ду ' ду дх

в выражение (3), после интегрирования с учетом (1) и (2) получим

иш = -^-х* Их— х* f,

где

X

32x1

н:ь А-і;

есть вектор эффективной нагрузки элемента пластины;

ка Ііи*

Л =

32X32

к°

есть матрица жесткости элемента пластины.

Матрица к и вектор / определяются выражениями вида:

№

16X16

«К» 1 - 0 0

О О

Ша Ь дН дН* , 1 —» дк дк* \ . .

' ^7 "а* + — ~дт ~зу )ахс1У’

а ь *1. дН

16x1 о о

Элемент подкрепляющего ребра. В качестве элемента ребра используем стержень постоянного поперечного сечения, обладающего жесткостью на растяжение (сжатие) и на изгиб в плоскости

пластины.

Предположим, что элемент ребра соединен (по нейтральной оси) с элементом пластины по краю_у = 0 (см. фиг. 1). Тогда

перемещения нейтральной оси элемента ребра в плоскости пла-

стины, согласно (1), будут иметь вид

и

где

И0= {«1, ««ЛГ1, «2, аих2}*,

4X1

v0^{v^,avxUvг,avx2}*,

. 4X1

( А0 = {^1 (*), Нз (•*)> Н2(х), Я4 (х)}*.

4X1

Распределение ^0 = аГ по длине элемента ребра аппроксимируем по квадратичному закону выражением

/0

где = {^01> *02, ^оз}* — вектор значений аГ в точках 1—3 элемента ребра (фиг. 1, бу,

6о(х)={01(х), 62(х-), 63(*)}.

Энергия деформации нагретого элемента ребра с учетом гипотезы плоских сечений определяется выражением [1]

где /•"— площадь поперечного сечения; /г — момент инерции относительно оси г.

Здесь предполагается, что Ер зависит от средней температуры

а

элемента Тср = —^Тйх и в пределах элемента не меняется,

о

После подстановки (4) и (5) в выражение (6) и интегрирования получим

Ур ~2~ -^Р ^р ^р ^Р /р>

где

г

х _ГМ. , _(/? 5, I Й, 1о

8X1 ' ^0 > 8X1

есть вектор эффективной нагрузки элемента ребра;

—

8X8

есть матрица жесткости элемента ребра.

Матрица Лр и вектор /р определяются выражениями вида:

4X4 о

Ь^-Р 1 ('<?!*?

КР ср 1г ] дх2 0*3 ахи

4x4

а

п =£рН(‘^еи*к-

4X1 У ’

Минимизация потенциальной энергии. Потенциальную энергию конструкции в рассматриваемом случае можно представить в виде:

П = ±-Х* КХ — Х*Р,

где X — вектор обобщенных узловых перемещений; К — полная матрица жесткости и Р— вектор эффективной нагрузки конструкции.

Для минимизации потенциальной энергии П используем метод сопряженных градиентов [2, 3]. Будем производись операции минимизации с масштабированными величинами [4].

П(К) = 1_ у*КУ—

где I ¥ = 0'Х, К = ОКй, Р^ИР,

й — диагональная матрица преобразования с элементами

с!и = —^=, /ги — диагональные элементы матрицы К. Заметим, что

' У^и ,

при таком преобразовании все диагональные элементы матрицы К будут равны единице.

На фиг. 2 приведен пример решения задачи с масштабированием и без масштабирования, из которого видно, что масштабирование оказывает очень сильное влияние на сходимость метода сопряженных градиентов. В этом примере через ЦЛ'Ц обозначено

отношение

где |ХЙ| = V{Х& Хк) — норма вектора &-й итера-

ции, \Хп\=У{Хп, Хп)— норма вектора решения.

Основными операциями метода сопряженных градиентов являются вычисление произведений матрицы К на векторы и вычисление градиента АП = /СК — /\ Эти операции можно провести поэлементно, не прибегая к вычислению полной матрицы ^[4]. Все интегралы в матрицах жесткостей и векторах эффективных нагрузок берутся в явном виде. Напряжения в срединной плоскости пластины вычисляем по формулам:

У

г=И^ + ,£~(1 + ,>“п

= -пЦ£ + ’£-<1 + ’>“7'

'ху

I ди

дх)

2(1 + м) \ду

По описанному алгоритму составлена программа на алгоритмическом языке ФОРТРАН для ЭЦВМ БЭСМ-6.

Примеры расчетов. В качестве первого примера рассмотрена равномерно нагретая пластина с двумя одинаковыми продольными

ребрами и свободными попереч-

Закрепление

<х.Т=сап5і

-Свободный край

ными кромками (фиг. 3) при постоянном перепаде аТ между пластиной и ребрами. В данном при-

Число степеней свободы, п=81

11X11

1,0

0,5

і гС масштабирование м

и —7—

И Без масштабирования І І I

10 20 30

Фиг. 2

40 50

мере ребра предполагались работающими только на растяжение (сжатие), •») = ^^.= 2 и v = 0,3. Вследствие симметрии рассматривалась только четвертая часть пластины с граничными условиями

ду да

и**=0=дх-------=1у-о =

их\х=0

дУ\у=о

= 0.

Эта часть пластины разбивалась прямоугольной сеткой на 25 равных элементов и имела 242 степени свободы. Время решения задачи на ЭЦВМ БЭСМ-6 составило 395 с. В таблице приведены

результаты расчета ах = - по изложенной методике в сравне-

нии с результатами решения этой же задачи в напряжениях методом конечных разностей [3], когда на всю пластину была нанесена

прямоугольная сетка 50X50. Видно, что совпадение результатов удовлетворительное. Исключение составляет угловая точка g, что объясняется наличием особенности в этой точке.

Сечение с—Ь Сечение е—й Сечение *-/

из [3] из [3] из [3]

—0,7635 —0,7634 —0,8929 -0,9014 -0,9132 0

—0,4924 -0,4924 -0,1451 -0,1504 —0,0866 0

—0,2567 —0,2566 -0,0192 -0,0190 -0,0226 0

—0,0912 —0,0910 0,0044 0,0053 -0,0060 0

0,0016 0,0017 0,0116 0,0124 —0,0024 0

0,0310 0,0310 0,0134 0,0142 -0,0018 0

В качестве второго примера рассмотрена пластина, подкрепленная одинаковыми ребрами так, как показано на фиг. 4, и под-

верженная на участке

а

~2~

Фиг. 4

а

’

ному

— а Тп

неравномер-нагреву по закону аТ= 1 — 36-^2 )• В направле-

нии х температура не менялась. В расчете были приняты т]г=: Ека '

— 2, і =

Ер

ви з = 4,63-10-4

ЕЬа3 ’ и ч = 0. Ввиду симметрии рассматривалась одна четвертая часть пластины с теми же граничными условиями, что и в первом примере. Эта часть пластины разбивалась прямоугольной сеткой на 24 одинаковых элемента и имела 234 степени свободы. Время решения задачи на ЭЦВМ БЭСМ-6составило416с.

Сечение й-е

Сечение Ь-е

-10-0,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 бх

------ребра работают на растятение (сжатие) и изгиб

-----ребра работают только на растяжение

------неподкрепменная пластина

Фиг. 5

На фиг. 5 приведены результаты расчета, показывающие, что из-гибная жесткость ребер оказывает заметное влияние на напряжен-йое состояние пластины вблизи ребер.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боли Б., У э й н е р Дж. Теория температурных напряжений. М., „Мир*, 1964.

2. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. М., .Наука*,

1966.

3. Ж е ж е р я А. И., 3 а м у л а Г. Н., Молчанов И. Н., Шевалдин В. Н. К определению температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных разностей. „Ученые записки ЦАРИ* т. III, № 4, '1972.

4. Fox R<. L.f £ tan ton Е. L., Developments in structural analysis by direct energy minimization*, A1AA Journ, vol. 6 N 6, 1968.

5. Bogner r. K., Fox R. L. and Schmit L. A, A cylindrical shell discrete element, A1AA Journ., vol. 5, N 4, 1967.

Рукопись поступила IjVII 1974 г.

6—Ученые записки ЦАГИ № 6