Квантовое рождение начальных космологических возмущений

УДК 530.12

С. В. Червон, И. В. Фомин

КВАНТОВОЕ РОЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Источником анизотропии реликтового излучения являются космологические возмущения с длиной волны, сравнимой или большей радиуса Хаббла. Вполне резонно полагать, что такие длинноволновые возмущения пришли из эпохи, когда Вселенная была гораздо младше. Начальные возмущения имели квантово-механическую природу и впоследствии усиливались внешним параметрическим гравитационным полем. Таким образом, скалярные и тензорные возмущения являются источником информации о ранней Вселенной.

В данной статье рассматривается квантово-механическое происхождение начальных возмущений и производится расчет спектров мощности и спектральных индексов скалярных и тензорных возмущений в рамках точных решений уравнений динамики скалярного поля.

Космологические возмущения являются источником эволюции крупномасштабной структуры Вселенной. Генерация начальных возмущений имеет квантово-механическую природу. Длина волны возмущений сильно выросла со времени генерации, но другие физические характеристики возмущений все еще могут нести следы своего происхождения. Квантовомеханическая генерация космологических возмущений зависит только от существования их квантовых флуктуаций в начальной точке и взаимодействия возмущений с переменным гравитационным полем однородной изотропной Вселенной.

Сильное переменное гравитационное поле очень ранней Вселенной играет роль поля накачки. Оно замещает энергию нулевых квантовых возмущений и увеличивает их. Начальное квантовое состояние каждой моды возмущений трансформируется как результат квантово-механической эволюции Шредингера в состояние «замороженного» вакуума.

Теория скалярных и тензорных мод возмущений во Вселенной Фридмана сводится к квантово-механической задаче о независимых осцилляторах дк (п), находящихся во внешнем параметрическом поле а(п) в мире Мин-ковского. Действие и лагранжиан элементарных осцилляторов зависят от их пространственной частоты к [1].

Таким образом, для квантования скалярного поля будем считать, что уравнение динамики скалярных возмущений является уравнением Эйлера-Лагранжа для лагранжиана вида

где ю - частота осциллятора.

Далее рассчитаем спектр мощности и спектральный индекс возмущений в случае точных решений.

Введение

1 Возмущения скалярного поля

1.1 Эволюция скалярного поля

Рассмотрим невозмущенную метрику ФРУ, которая описывается масштабным фактором а(ґ) и однородным скалярным полем ф(ґ):

2 =а2

йп2 -^¿,йх1йХ

где П = & /ау), а угу - метрика пространства постоянной кривизны.

Уравнения динамики в таком случае можно записать следующим образом [2]:

ф + 3Н ф + V '

8п

2 = _

3М

р1

2 ф 2+V

Уравнения (2) и (3) определяют поведение динамических переменных а(^) и ф(^). Далее будем рассматривать случай плоской Вселенной К = 0 . Дифференцируя уравнение (3) и используя (2), получим

Н = -

4п . 2 2 Ф '

М

р1

Рассматривая Н как функцию ф, запишем

йН = 4л ф

-т Мр1

Это позволяет переписать уравнение (3):

(йН ^2 12_ 32_2

12п Н 2(ф)= -^ V (ф).

1 р1 мр1

Для заданного потенциала V (ф) это является дифференциальным уравнением для Н (ф). Таким образом, если эта функция известна, мы получаем ф(0 из уравнения (5) и ) - из (4).

1.2 Возмущения метрики

В течение инфляции квантовые флуктуации скалярного поля будут создавать возмущения метрики. Запишем в линейном приближении метрику с учетом скалярных и тензорных возмущений и возмущения поля [3]:

2 = а2

ф = ф

Функции скалярных возмущений А(п, X), В, Б, Е зависят от калибровки; | у - ковариантные производные в угу. Калибровочно-инвариантным

тензорным возмущениям соответствуют поперечные бесследовые гравитационные волны V¿hy = ^ = 0 .

Используем преобразования координат [3]

П = п + ^°(п, Xі),

X1 = Xі + Уу

с произвольными функциями (^°, ^) .

В таком случае скалярные и тензорные возмущения записываются следующим образом:

А = А -

/2у = ,

где штрих означает производную по конформному времени; Н = а /а .

Из них возможно сконструировать калибровочно-инвариантные потенциалы Бардина [3]:

¥ = А +—[а( В + Е')]',

Ф = Б + Н (В + Е').

Запишем Ф = ¥ .

В течение инфляции плотность энергии определяется скалярным полем и, таким образом, калибровочно-инвариантные уравнения для возмущенной метрики:

Ф" + 3Н Ф' + (Н' + Н 2)Ф =

8п

3М

ф'5ф'- а V(ф)5ф

^2Ф + 3Н Ф' + (Н' + Н 2)Ф = -

р1

8п

3М

р1

ф'5ф' + а V(ф)5ф

Ф' + Н Ф =

8п

3М

-ф'5ф';

рі

5ф" + 2Н5ф' -V25ф = 4ф'Ф' - 2а2V'(ф)Ф - а2Ф - а2V*(ф)6ф. Определим переменные, позволяющие решить эту систему уравнений [3]:

и = а5ф + ^Ф;

Ф'

г = а—. Ф

В этих переменных система (15)-(18) выглядит следующим образом:

№

г

и -V2« - —= 0; г

V Ф=------------—(ги — г и);

3М2р1 а2

Н

V /

8п

-ги.

3М

р1

Эта система уравнений позволяет найти 5ф .

2 Квантовое рождение космологических возмущений

Для квантования скалярного поля запишем, что уравнение динамики скалярных возмущений (21) является уравнением Эйлера-Лагранжа для действия [4]:

=11

Лагранжиан для и :

51 = ^ Л 3 xd п

(и ^2 — (^и )2 +---и 2

г

Ь =-

Канонический импульс:

(и') — ^и )2 + —и 2

г

дЬ ,

п =—- = и

ди

и канонические коммутационные соотношения:

[и

Представим оператор г?(п, х) в виде и к (п)ег1а . В таком случае уравнение (25) будет следующим:

ик +1 к2 + — Iик = 0 .

Не зависящую от времени нормировку выбираем следующим образом:

икик — икик = —г .

В разложении

и (п, х) = (2п)—3/21 d 3к

? к

ик (п)а+ ик (п)аIе '^

коэффициенты а к и а к - операторы рождения и уничтожения с обычными коммутационными соотношениями;

[а к, а к,] = [а к, а к'] = 0,[а к, а к] = 5

Моды и£ (п) выбраны таким образом, что на очень малых масштабах (к/аН ^ го) они представляют собой плоские волны:

ик

л/2к

В длинноволновом режиме, где к исчезающе мало, мы получаем решение в виде растущей моды:

ик = г, к /аН « 1,

таким образом, ик /г и скалярные возмущения метрики Я постоянны на мас-

штабах, превышающих горизонт. Спектр мощности удобно выражать в терминах Я:

Я

Я (п) =

ик (п) а , ик (п) „т

ак +^~а-к г г

Спектр мощности определяется как [4]

2п2

<01 ЯкЯІ 10) = Ря

к

Из формулы (35) получаем

Ря^^ММ!

2п2 г2

3 Точные решения уравнений динамики скалярного поля

Выберем представление системы уравнений динамики скалярного поля в терминах потенциала полной энергии Ж (ф) [5]:

Н 2 =----Т Ж

3М2р1

3Н ф = -Ж '

Напомним, что потенциал полной энергии определяется как функция скалярного поля:

12

Ж

Определим параметры

М Р ( Ж' Л 2

т=Т6Г

С

0 =

MpiW" Mpl f W

8n W 16п l W

/\2

Параметр у ограничивается значением тензорно-скалярного отношения Т/£ < 0,2 [1]. В таком случае у < 0,05 .

Упрощение системы (18), (19) приводит к

2 M 2pl 1 2

ф2=-JpL ±(w ')2.

24п W

Таким образом, получаем точные решения системы (38), (39) уравнений динамики скалярного поля.

4 Спектр мощности для степенной инфляции

Рассмотрим степенную эволюцию масштабного фактора a(t) = astm. Параметр Хаббла в таком случае будет H = m/t. Из (4) следует

і m 1 ф = V 4пMplt ;

m

таким образом,

H о

m M

pl

Рассмотрим спектр мощности для степенной инфляции. Для этого нужно в уравнении (28) определить г №/г . Из масштабного фактора получаем

. „1/1-га „т/1-т

ґ^п , так, а(п) ^ п .

Таким образом,

z

П

где

2 1 = m

4 (m -1)2

Уравнение (28) заменяем на

№ _L_

u k +

f, 2 v2 -1/4

k 2 n2

uk = 0.

Это уравнение решается в терминах функции Бесселя. Запишем предварительно два соотношения. Первое из H = mit и a(t) = üQtm :

П = -------------—.

aH 1 - 1/m

Второе:

z = Ф = Mpi/t = 1 a H V 4n (m/t) V4nm

Таким образом,

H 1 4n z2

M^.

Н2 т мр,1 а2 '

Решением уравнения (49) является [4]

Ч

Рассмотрим моды, находящиеся за горизонтом (к /аН) 1.

В этом пределе мы получаем

/Н^г) ~

Таким образом, находим

ч

к Г(3/Р)4Рк

Следовательно, используя (50) и (52), получим

і, і ру-3/2 ГМ

Перепишем уравнение (53) в виде

, , , л-у+1/2

1 I к

С

Г

Спектр мощности, в таком случае,

Pr (k ) =

k3 uk

2n2 2 z

2 k3 1 2 1 f k 11 2v = С

2п2 г2 2к І аН

Исходя из формул (5) и (20), получим [4]

z=-MiL adL.

4n H dф

с

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получим спектр мощности на масштабах, превышающих горизонт:

Рк (к) = СV) 4

3-2у

Сравнивая в случае степенной инфляции формулы (52) и (60), полу-

чим

мрі (аН/аф)2

4п

Н

2

= У .

т

Выражение (61), полученное для к /аН 1, остается постоянным во

времени. Следовательно, мы можем записать его на пересечении горизонта к = аН:

РК (к) = С2(у) 4

Н

4

м4р1 (аН /аф)2

к=аН

5 Спектр мощности в случае точных решений уравнений динамики скалярного поля

5.1 Спектр мощности скалярных возмущений

Запишем определение используемых параметров:

у=--

Н

Н 2

4п ф 'м2р1 Н2

м2рі (аН /афЛ 2

4п

Н

5_ Ф _ мрі а2н/аф2

Нф 4п Н

Используем их для нахождения г"/г . Перепишем выражения для параметров у и 5 :

у_ \-

Н' 4п г2

Н2 м^а2

5_1 - (ф7ф'Н) _1 + у- Нг

С помощью этих параметров можно записать выражения для конформного времени п и эффективного потенциала г"/г :

п

_--! + МЦ

Н ^ аН

г-_ Н 2

/ о/

у -5 Н

+

Параметры у и 5 можно считать постоянными во втором порядке:

Y = 2 H у(у-5) = 0(у2); 5' = H 5

( Ф л

Y+5 + —— =O(y2).

H ф.

В результате можно записать спектр мощности в случае точного решения аналогично случаю степенной инфляции. Для V = 3/2 получаем С(V) = 1:

Pr (k) = С2 (v) 4 H

мрг (аН/аф)2

Найдем спектральный индекс

1 H2 ( k ^3-2v

k=aH

nM2pl Y IaH

nS (k) -1 = ^ПМк! = 3 - 2v = 2 i '

dink ^ 1 - y

Подставляя значения Y и 5, получаем

«5 (k) -1 =

4H - Ш-

H + H

2

То есть спектральный индекс скалярных возмущений для точных решений, полученный в статье [6] имеет тенденцию к возрастанию.

5.2 Спектр мощности тензорных возмущений

Рассмотрим тензорные возмущения метрики, которые появляются на инфляционной стадии. Возмущенное действие для тензорных мод запишем следующим образом

3M

Pl

(h ij) - V(hij )2

с тензорным полем Нц, определенным следующим образом:

hij(n

x) = J—k! Z \hk(n)e,j(k,^)ok,xeik'X + hi(n)ej(k,X)ak,xe

t .e-ikx

С') —\3i 2 (2n) X=1,2

,

где ву (кД) - два тензора поляризации, удовлетворяющие условиям симметричности, поперечности и бесследовости,

eij = eji  eii = 0,

,(-k,X) = eij (k,X), Z eij (k ,X)ej (k ,X) = 4;

операторы рождения и уничтожения удовлетворяют условиям (31).

Переопределим калибровочно-инвариантную амплитуду тензорных мод следующим образом:

У

Получаем уравнение для каждой моды у(п):

'к + Г к2 + — 1 Ук = 0.

v

a

Уравнение (80) можно рассматривать как уравнение Шредингера с потенциалом a "la, аналогично z 7z для скалярных возмущений. В случае постоянных параметров y и 5 потенциал становится

f2H2

^^T-Y + 1.

1 -y 2

Уравнение (80) можно решить в двух асимптотических режимах:

vk =-^~eikn, k >> aH;

v2k

Vk = Ca, k « aH .

В пределе k aH на масштабах, превышающих Хаббловский радиус, квантовые возмущения «замерзают», т.е. их амплитуды становятся постоянными.

Запишем решение, аналогичное (53). На пересечении радиуса Хаббла

ы=ж [Ол г4

Определим спектр мощности [4]:

!<01 h k X, h k X10) = ^ Pg

X k 8п 2п

„ 4H2 ( k )3-2ц ,2( k )nT

здесь использовались уравнения (79) и (85). Спектральный индекс тензорных возмущений

= dlnM>=3_2^ = _[_2L').

T dink [ 1 -y J

Следует отметить, что, поставив выражение для у в (88), получим

т.е. результат, представленный в статье [6]. Таким образом, мы нашли спектр мощности и спектральный индекс тензорных возмущений в случае точного решения уравнений эволюции скалярного поля.

В работе показана процедура квантования возмущений скалярного поля. В рамках этого были найдены выражения для спектров мощности и спектральных индексов скалярных и тензорных возмущений.

Видно, что процедура квантования скалярного поля для точных решений идентична случаю приближения медленного скатывания.

В данном подходе параметр у ограничивается требованиями возникновения инфляционной стадии у < 1 и значением тензорно-скалярного отношения Т/5 < 0,2.

Таким образом, в работе показан расчет космологических параметров в рамках точных решений уравнений динамики скалярного поля.

1. Лукаш В. Н. // УФН. - 2006. - Т. 176. - № 1. - С. 113.

2. Линде, А. Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология /

А. Д. Линде. - М. : Наука, 1990.

3. Mukhanov, V. F. Theory of cosmological perturbations / V. F. Mukhanov,

H. A. Feldman and R. H. Brandenberger // Phys. Rev. - 1992. - V. 203.

4. Straumann, N. From primordial quantum fluctuations to the anisotropies of the cosmic microwave background radiation Ann / Norbert Straumann // Phys.(Leipzig). -2006. - № 10-11. - Р. 701-845.

5. Журавлев В. М., Червон С. В. // ЖЭТФ. - 2000. - Т. 118. - С. 259.

6. Chervon, S. V. About the calculation of cosmological parameters in exact models of inflation / S. V. Chervon, I. V. Fomin. - Gravitation and Cosmology, 2007.

6 Обсуждение результатов

Список литературы