Двусторонние оценки сумм модулей коэффициентов фурье функций из hω(tm) с помощью частных модулей гладкости

Математика

УДК 517.52

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СУММ МОДУЛЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ Иш (Tm) С ПОМОЩЬЮ ЧАСТНЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ

Д. М. Дьяченко1

В работе установлены двусторонние оценки сумм степеней модулей коэффициентов Фурье функций многих переменных из классов Иш (Tm) с помощью частных модулей гладкости.

Ключевые слова: коэффициенты Фурье, частные модули гладкости, класс Никольского.

Two-side estimates of sums of absolute values of Fourier coefficients for functions of many variables from the classes Иш(Tm) are established in the paper with the help of partial moduli of smootness.

Key words: Fourier coefficients, partial moduli of smootness, Nikol'skii class.

1. Введение. Работа посвящена оценкам сумм степеней модулей коэффициентов Фурье функций многих переменных из классов Иш(Tm) с помощью частных модулей гладкости. Ранее (см. [1-3]) автором были получены аналогичные результаты для функций одного переменного, а в статье [4] — для многомерного случая с использованием смешанного модуля непрерывности. Результаты, публикуемые в данной работе, были анонсированы в [5]. Данная задача непосредственно связана с классической тематикой изучения абсолютно сходящихся рядов Фурье. Основные результаты в этой области принадлежат С. Н. Бернштейну и С. Б. Стечкину. Соответствующие результаты описаны в статьях [1-4], здесь же ограничимся ссылкой на работу С. Б. Стечкина [6], а также на монографии [7-9]. Отметим, что, поскольку различия между классами, определяемыми с помощью смешанного модуля непрерывности и частных модулей гладкости, проявляются лишь в многомерном случае, в данной работе изучаются размерности m ^ 2.

Приведем некоторые определения и сформулируем основной результат работы.

Пусть натуральное число m ^ 2 и Tm = [0, 2п]т. Если x = (x\,..., xm) и n = (u\,..., nm) — m-мерные векторы, то обозначим nx = Х\П\ + ... + xmnm.

Через C (Tm) обозначим пространство 2п-периодических по каждой переменной непрерывных функций f (x) с конечной нормой

\\f\\c{Tm) = max \f(x)|.

Для функции f (x) G C (Tm ) рассмотрим ее ряд Фурье u(f ) = ^ cneinx, где

nez

1 f j{t)e~itndt.

' (2п)т и

Для того чтобы сделать формулировки утверждений в многомерном случае более простыми, будем рассматривать класс тех функций / (х) € С (Тт), у которых ряд Фурье имеет вид

<х <х

Ec einx = c einx

cne ~ / y . . . / y cni,...,nm e .

neN ni = 1 nm = 1

Пусть функция / (х) € С (Тт), точка х € Тт, вектор Ь € И,т, а натуральные числа ] € [1,т\ и г ^ 1, определим разность

г

; Ьт) = ^2(-1)Г-к Сг / (Х1, Х]-1,Х] + кЬ, Х]+1, ...,Хт). к=0

1 Дьяченко Дмитрий Михайлович — канд. физ.-мат. наук, финансовый аналитик управляющей компании "Росбанк" e-mail: dmd84@mail.ru.

Ниже мы будем рассматривать смешанный

Ur(f; 5г,...,5т ) = sup НА™ (Д^ ... (ДГт) (f; tm ),tm-1) ||о(т™),

а также частные

^(f; s) = sup

ms

r

'У — 1)r kCk f (Xi, . .., Xj-1, Xj + Ы, Xj+1, . .., xm) k=0

C

1 ^ ] ^ т, модули гладкости порядка г функции / (х) € С (Тт). Положим также

Ur(f; t) = max иГг)и; t).

г=1,..,т

Аналогичным образом вводятся модули гладкости и в пространствах Ьр(Тт), 1 ^ р < ж.

Нам понадобится еще одно определение. Функцию шг (Ь) одного переменного Ь будем называть модулем гладкости порядка г, если шг(Ь) — неотрицательная, непрерывная, не убывающая на [0,1] функция, такая, что шг (0) =0 и

Шг(ЛЬ) < (Л + 1)гШг(Ь) (Л> 0).

Теперь, если задан одномерный модуль гладкости шг(Ь) порядка г, обозначим

Н(Тт) = {/ : и~г(/; Ь) < Шг(Ь)}.

Подробнее о различных модулях гладкости и о приближении функций можно прочитать в монографии [9].

Нам понадобятся некоторые условия, налагаемые на модуль гладкости порядка г Шг (5). Эти условия, по существу, содержались в работе П. Л. Ульянова [10] и получили широкую известность после выхода статьи Н. К. Бари и С. Б. Стечкина [11], где, в частности, были введены условия В и Б\ (более подробно об этом можно прочитать в статье П. Л. Ульянова [12]). В настоящей работе нам понадобятся как условие В, так и условие Вд, ц ^ 1, являющееся непосредственным обобщением условия В1.

Определение 1. Будем говорить, что функция ш(Ь) удовлетворяет условию В, если существует некоторая константа Е, не зависящая от Н € (0,1], такая, что

Y^ и (n2-k+1) < Fu(h) при 0 <h < 1.

к=[ 1О82£] + 1

Определение 2. Пусть число ц ^ 2, тогда будем говорить, что шя(Ь) удовлетворяет условию (Вд), если существует константа ^1, не зависящая от Н € (0,1), такая, что

К ы

Н^ ш (п2-к) 2«к < Ц1Ш(Н). к=1

Основным результатом работы является следующая

Теорема. Пусть р € (0, 2), г ^ т и шг (Ь) — модуль гладкости порядка г, удовлетворяющий условиям (Вт) и (В). Тогда справедливы неравенства

. , ^ те тете те

т^Е* ©V—< ^р Е - Е Е-

1 к=1 *г > кх = 1 кт = 1 к=1

где А1(р,т,г) и А2(р,т,г) — некоторые константы, зависящие только от р,т и г.

Отметим, что теорема остается верной и для случая р = 2. Оценка снизу проводится так же, как и для р € (0, 2), а оценка сверху даже упрощается (тем не менее доказательство меняется и объем статьи не позволяет привести его).

Введем следующее обозначение:

1-я

К(д) = <1(1±1

2 \ 1-д

1-4

о < ^

5'

22"^(3 - д)'1^ - д)1'«, | < д < 1.

Затем будет использовано понятие наилучшего приближения "углом", введенное М. К. Потаповым в [13]. Напомним, что наилучшим приближением "углом" порядка п функции многих переменных в некотором нормированном пространстве называется ее наилучшее приближение при помощи функций из того же пространства, у которых любой ненулевой коэффициент Фурье сп1..пт имеет шт(\п11,..., \пт\) < п.

2. Оценка сверху. Лемма 1. Если т ^ 2, 0 < р < 1, {ип]<^=(П1 п )=1 — неотрицательная последовательность, то

...

П1 ...Пт, ,

П1 = 1 Пт = 1 \ к1=П1 кт='п

£... £ ик) >(К(рр))т Е...£

ип

П1 = 1 Пт = 1

где константа К(р) была определена во введении.

Доказательство. Воспользуемся методом индукции по размерности пространства т. При т = 1 утверждение верно (см. [14, с. 413, теорема д61]). Пусть это утверждение верно для размерности I = т — 1, тогда

1

те те

Е---Е

1 1 \ П1 ...Пт ,

П1 = 1 Пт = 1 \ к1=П1 кт=пт

Е-Е ик) = Е...Е

1

те 1 те

Е ••• Е - Е

, . ,П2 ...Пт . ^ П1

П1 = 1 пт = 1 \ к2=П2 кт=пт к1=п1

Р

.кт * >

>

(вдг- Е-Е ^ Е«

те те

п1 = 1 пт = 1

п1

1,п2,...,п„

(вдг'Е-ЕЕ ¿Е-

к1 = п1

п2 = 1 пт = 1 п1 = 1

п1

1 ,п2,...,п„

>

к1 = п1

>

(к(р))т^2... Е

п1 = 1 пт = 1

что и требовалось доказать.

Доказательство следующей леммы является модифицированным доказательством теоремы Н. И. Чер-ныха (см. [8, с. 237, теорема 9.3.1]).

Лемма 2. Если натуральное г ^ 1, иг(/; ¿1,... ,5т)^2(тт) — смешанный модуль гладкости порядка г в Ь2(Тт) функции /(х) € Ь2(Тт), имеющей ряд Фурье вида (1), а Еп1,..,пт(/)^2(тт) — ее наилучшее приближение "углом" в Ь2(Тт), то

1 ( п п \

Еп1,...,пт(Ль2(т^ I /;—,..., — I

2 2 у II1 Ит у

т/ Ь2

Доказательство. Имеем

(Епь... ,пт (/)ЫТт ))2 = (2п)т^ Ц \Ск\2

к1 —п1 кт —пт

С другой стороны, при любых Ь1,...,Ьт > 0

лг ( - у;*

2

Ь2

сю сю

Е-Е Ск ^П 2

г ♦ г к 7 Ь 7

к1 — 1 кт — 1

7=1

те те

Ь2

(2п)тЕ ...Е \ск\2Ц 4

к1 = 1 кт = 1 7 = 1

Р

1

Р

Р

Р

2

Поэтому

(шг (/; Ь1,...,Ьт)ь2(тт ))2 = йир

\из

Аг

ь2

оо оо

(2Г+1 ... £ \ск \2Ц (1 - сов кз г3 )г

_ (г)Т+1^.\т

ь2(Тт) к= кт=1 з=1

Отметим еще, что если к,п — натуральные числа и к > п, то

п п п

ап,к = | 2вш пт сов кт(т = J 8ш(к + п)т(т — J 8ш(к — п)т(т =

п __п п

2 п (_ 7г к\

п + к

кп

п + к к — п

, 9 9 > 1 + сое — ^ 0,

к2 п2 п

откуда

п п

' ' 2 г 2

/ эш пт(1 — совктУйт ^ / вш пт(1 — г сов кт)с1т =---апк ^ —

п 2 п

о о

Заметим, что ак,к = 0. Таким образом, при любых натуральных щ,... ,пт имеем

_7Г_ 7Г

п1 пт

//> иь

... (Шг (/; Ь1,...,Ьт)ь2(Тт ^^П ^ пз Ьз ...(Пт >

' з=1

оо

_7Г_ 7Г

п1 пт

те те т

>

п П к1 =1 кт = 1 з=1

— сов кзЬз)г 8Ш пзЬз) (Ь1 ... Мт ^

оо

7Г 7Г

П1 пт

/л оо оо »»^

... Е Е \ск\2П ((1 — сов кз Ьз )Г 8Ш пз Ьз) (Ь1 ...(Ьт =

оо

кг=П1 кт=пт з=1

оо оо

(2Г+Мт ^ ... Е \ск\2^ /((1 — сов кзЬз )г 81п пзЬз) (Ьз >

к\=п\ кт=пт з=1 о

2т те те

м^г—— £ ... Е М

те те ^

2 2 2

п1 ...п.

к 1 —п 1 кт —п^

п1 ...пг,

{Ещ,.. (/)ь2(тт)) .

С другой стороны,

7Г

/Л

... (Шг (/; Ь1,...,Ьт)ь2(Т™ ^ пз Ьз (Ь1 ...(Ьт ^

о о з=1

П П

2т

7Г

"з

2т

^ ( Сс>г( /; —,..., — ) ) ТТ / =

п1 пт/Ь2

з=1 о

—,

ПП

Отсюда и из неравенства (1) вытекает утверждение леммы.

2

2

Лемма 3. Если f G C(Tm), то выполнено неравенство

Ur (f; 6i,...,öm) < 2r(m_1) ujr (f; min Sj),

1 ^ j ^n

где ur (f; Si ,, Sm) — смешанный модуль гладкости порядка r функции f, а

ür(f; t) = .max u(f; t),

где ur(f; t) — частный модуль гладкости по i-й переменной порядка r функции f.

Доказательство. Пусть min Sj = Si. Заметим тогда, что для любых ti,...,tm > 0 имеем

1 ^ j ^n

Ur(f;¿1 ,...,sm) = sup WA^(A^ ...(Aim)(f;tm),tm-1) )||c(Tm) <

\tj ,i<j<m

< sup ЦАГ1) (АГ2 ...(АГг-1)(А(;+1) ...(АГт) (A (f; U),tm ),...tt-i),tl+i),...,ti))Wc(Tm) <

\tj \<<j

< 2r sup ||АГ2)... (A(;-1) (A(;+1)... (Am (A^f; U),tm),. ..t— ),U+i),.. .,t2)Wc(Tm) \tj \<¿j

< 2r(m-1) sup Дг) (f; 1г)\\с{тт) < 2r(m-1) ur (f; 6г), \ti K&i

что и требовалось доказать.

Перейдем к доказательству оценки сверху в теореме. Учитывая справедливость лемм 1, 2 и 3, получаем

£

9

тете ___ тете/ i те те

Е-Еы><И0) E-EqE- Е KI

ki — 1 km— 1 ki — 1 km — 1 \ —ki Пт—km

^ e••• E (kl 1 k) {Eki,...,km(f)L2(T^)Y<

(2vr)2 kl=i km=Л«1

те те í,, ( t.n n \ \ p

ki — 1 km — 1

< Ö2(p,m,r)J2 ... E

k i — 1 km — 1

те те (üJf-, min £-) \

V i^j^m kj ) C

1m

^ C3(p, m, r) x

m ( те kj kj kj kj /- / r. \

*E ЕЕ- E  E - E ( 'УГ) ¡

j—1 \kj — 1 ki — 1 kj-1 — 1 kj+1 — 1 km — A VM ...km J

m те (ujr( — )\P kj l kj l kj l kj l

j / ki — 1 k1 kj- 1 — 1 j 1 kj + 1 — 1 kj+1 km — 1 km

j=l kj = 1 \ V J / fc1 = l fcj_i = l ^j-l fcj+i = l ^j+l km = \

m те /,,, ZiL"* \ p те

<се(р,™,г)Е E №) С"4'1"1' <Cb(p.™.r)E^(y)>-I-""/2.

j=l kj = A vkj) Z=l

где Ci(p, m, r) — некоторые константы, зависящие только от p,m и r, что и требовалось доказать.

3. Оценка снизу. Нам понадобится следующий результат Рудина-Шапиро (см., например, [15, с. 155]).

Лемма Л. Существует такая последовательность {еп}, что еп € {1, —1} при всех п и

N

N

п=о

£п&

гпЬ

< ЪУ/Ы + 1

при N = 0,1, 2,... и Ь € [0, 2п] .

Чтобы получить оценки снизу для заданного модуля гладкости шг (Ь) порядка г, рассмотрим функцию

00 ш 2А;+1-1 2к+1-1 иг(х) = £ 2кт/2 Е ••• Е £Г1    £Гт 8111 Г1Х1 • • • йШ ГтХт,

к=1

Г1

=2к тт=2к

где {еп} — последовательность из леммы A. Введем при к = 1, 2 обозначение

2к+1-1 2к+1-1 9к (х) = £ ... Е ...£т ^п в1Х1 ...й1п 8тХт. в1=2к вт=2к

Отметим, что по лемме A

с

<

2к+1-1 Е е31 8ш в1х1

в1=2к

С [0,2*-]

2к+1-1

У ^ &тхт

Згп = 2к

< 10т 2^т/2

С [0,2*-]

Замечание. Покажем, что если функция шг удовлетворяет условию В, то ряд (2) сходится равномерно на Тт.

те

Действительно, так как функция иг удовлетворяет условию В, то ^ < оо, и поскольку

к=1

00 Мф)

к=1

и имеет место (3), то по теореме Вейерштрасса ряд, определяющий /Шг (х), сходится равномерно и /Шг (х) € С (Тт).

Лемма 4. Пусть г ^ т, Шг(Ь) — модуль гладкости порядка г, удовлетворяющий условиям Вт и В с константами и и Е соответственно. Тогда

Шг/,5) < М(т,г)(Щ + Е)шг(5),

где М(т,г) — некоторая константа, зависящая только от т и г.

Доказательство. Достаточно проверить лемму для частных модулей непрерывности, т.е. проверить неравенство шГг\/Шг,5) ^ М(т,г)(и + Е)шг(5). Без ограничения общности можно считать, что г = 1. Пользуясь неравенствами Бернштейна и Лагранжа и оценкой (3), имеем

11лт (9к',Щс{т™) = \\А^1(дк(х1+1,х2,...,хт)-д^УМс(тт) < Щт2§*-2™1(Г.

Теперь для заданного 5 € (0,1) подберем ко так, чтобы 2 ко <5 ^ 2 ко+1, и оценим при \Ь\ ^ 5 разность

те

к=1

ко

<С(т,г) 2~ЪкЩт2%кт20т + £ шг

иг . Д.") 2~тк2тк10т2т I <

к=1

к=ко+1

(ко ж

Е ) ^C(m,r)20m(U1 + F)ur(5).

k=1 к=к0+1

При S ^ 1 оценка аналогична предыдущей:

ж

тг \__т.,

k=1

ж

< Ci(m, г) Е Wr (|ь) < C\(m,r)20mFour(l) < C2(m,r)Fur(5).

k=1

Таким образом,

max u^iUr; t) < C(m,r)(U1 + FК(S),

i=1,...,m

где C(m,r) — некоторая константа, зависящая только от m и r, что и требовалось доказать. Для получения оценки снизу в теореме теперь достаточно заметить, что

оо (Ж \Р ОО оо

k=1 k=1 1=1

где положительная константа C(r,p) зависит лишь от r и p.

Исследования, описанные в данной статье, были начаты под руководством академика РАН, профессора

П. Л. Ульянова

Автор выражает глубокую признательность профессору М. К. Потапову за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-2787.2008.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дьяченко Д.М. О точных константах в абсолютно сходящихся рядах Фурье функций из класса Lip а // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 4. 17-21.

2. Дьяченко Д.М. О свойствах коэффициентов Фурье для функций класса Нш // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 4. 18-25.

3. Дьяченко Д.М. О некоторых константах в абсолютно сходящихся рядах Фурье из Нш // Изв. вузов. 2007. № 7(542). 42-50.

4. Дьяченко Д.М. О двусторонних оценках сумм модулей коэффициентов Фурье функций из Нш (Tm) // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 19-26.

5. Дьяченко Д.М. О некоторых неравенствах для сумм модулей коэффициентов Фурье функций из Нш (Tm) // Современные проблемы теории функций и их приложения. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2008. 70.

6. Стечкин О.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Матем. сб. 1951. 29 (71). 225-232.

7. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

8. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.

9. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: ГИФМЛ, 1960.

10. Ульянов П.Л. О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов // Успехи матем. наук. 1953. 8, № 6. 133-141.

11. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. матем. о-ва. 1956. 5. 485-522.

12. Ульянов П.Л. О модулях непрерывности и коэффициентах Фурье // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 1. 37-52.

13. Потапов М.К. О приближении "углом" // Тр. конф. по конструктивной теории функций. Будапешт (Венгрия), 1972. 371-399.

14. Харди Г., Литлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

15. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

Поступила в редакцию 08.09.2009