Стационарная задача влагоупругости для неоднородного толстостенного цилиндра

ВЕСТНИК 10/2012

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 624.04 + 539.3

В.И. Андреев, А.С. Авершьев

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ВЛАГОУПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ТОЛСТОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА

Приведено решение задачи определения напряженного состояния в массиве глинистого грунта вблизи цилиндрической полости для случая распространения влаги из полости в глубь массива. Задача решена в стационарной осесимметричной постановке с учетом изменения модуля упругости грунта от влажности. Задача сведена к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами. Это усложняет решение задачи по сравнению с решениями для постоянного модуля упругости, но позволяет получить более точный ответ.

Ключевые слова: влажность, влагоперенос, влагоупругость, напряженное состояние, неоднородность, грунт, глина, вынужденные деформации.

Термин «влагоупругость» появился в литературе относительно недавно. Первые публикации в России, в которых используется данный термин, относятся к началу 1980-х гг. В то же время, термин вполне естественный, поскольку постановка и методы решения задач определения напряженно-деформированного состояния в телах, подверженных увлажнению (или, наоборот, высыханию) аналогичны решению задач теории упругости для тел, находящихся в температурном поле. Для последних же существует вполне устоявшийся термин «термоупругость», английский перевод которого thermoelasticity. Попытка найти английский аналог слова «влагоупругость» не привела к успеху, и авторы предлагают вариант moisture elasticity.

В работе рассматривается задача распространения влаги от цилиндрического отверстия в массиве грунта. При набухании грунта возникают вынужденные влаж-ностные деформации, которые в совокупности с действием грунтового давления создают напряженно-деформированное состояние в массиве [1—3]. В качестве механической модели рассматривается толстостенный цилиндр, внутренний радиус которого равен а, а внешний — b>>a. Влага распространяется от внутренней поверхности цилиндра к периферии (разрыв трубы). Подобная модель рассмотрена в [3] в стационарной постановке. Отличительной особенностью многих грунтов (глина, лессовые породы) является существенное влияние влажности на механические характеристики и, в первую очередь, на модуль упругости грунта. В то же время в большинстве задач влагоупругости, как и в [3], модуль упругости материала считается постоянным, равным некоторой осредненной величине.

В [4—8] разработаны методы решения задач теории упругости для тел с непрерывной неоднородностью деформационных характеристик (модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v). Были решены многочисленные задачи в одномерной, двумерной и трехмерной постановках для тел, неоднородность в которых была обусловлена взрывным воздействием, температурным и радиационным полями. В настоящей работе рассматривается задача для случая, когда неоднородность обусловлена

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

VESTNIK

JVIGSU

неравномерным распределением влажности в теле. В [9, 10] приведены экспериментальные зависимости модуля упругости глины от влажности. На рис. 1 показана типичная зависимость Е(м) [10]. Эту зависимость можно аппроксимировать степенной функцией вида

Е

где Е0 — модуль упругости влагонасыщенной глины; м^ — влажность насыщенной глины; к — коэффициент степенной функции. В данном случае Е0 = 19,8828 МПа, м = 0,363, к = 2,4.

E, МПа

400 300 200 100 0

2

4/ 1 г

f

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 w/w Рис. 1. Зависимость модуля упругости глины от относитель-

ном влажности:---экспериментальная зависимость;-аппроксимирующая зависимость

В рассматриваемой задаче влагоупругости в качестве физических соотношений используются уравнения Дюгамеля — Неймана:

гг = 1 [Ч)] + г в;

Se = E [ae-VK + ar +

S = -1 [Ч-V(r + ^е)] + £в>

где г в — вынужденные деформации, в данном случае деформации набухания, определяемые при постоянном значении коэффициента линейного расширения Р равенством В м =РЛм,

где км — изменение влажности.

Распределение влажности в толстостенной трубе в стационарном случае при наличии осевой симметрии описывается законом Фика

^ 2 d2 w 1 dw V2 w = —— +--= 0

dr2

r dr

с граничными условиями

г = а, м = м2; г = Ь, м = м1.

Решение уравнения (4) с граничными условиями (5) имеет вид ) = м11п(г / а) - м2 1п(г / Ь) ( ) 1п(Ь / а) .

Решение задачи определения напряженного состояния для рассматриваемого случая с учетом изменения модуля упругости может быть получено из разрешающего уравнения [4]

ВЕСТНИК

10/2012

3 ёат ёЕ(т) ( ёат 1 - 2v а

ёт2

- + —

г ёт

+ -

ёЕ I ёт 1 - V

Е 1 р ё

г 1 -V

ёт

где Е(г) = Е[у(г)] определяется равенством (1), а Aw, согласно (6), равно

, w11п(г / а) - w21п(г / Ь) ч 1п(г / Ь) Aw(г) = —--, „ , 2--w1 = (w1 -w2)-

1п

1п

1 ёЕ

Входящие в (7) отношения — • и ё(Ди)/ ёт определяются равенствами

г ёт

Е'

2,4

ё(Ди(т)) и - И2

Е

Уравнение (7) должно быть дополнено граничными условиями для напряжений ст г. Считая, что давления на внутреннюю поверхность цилиндра отсутствует, а внешнее давление грунтового массива на рассматриваемый толстостенный цилиндр постоянным и равным рЬ = уИ, запишем граничные условия в виде

г = а, стг = 0; г = Ь, ст г = -уИ .

Как было отмечено выше, при решении задач влагоупругости чаще всего усредняют зависимые от влажности механические характеристики. Модуль упругости Е^) в рассматриваемой задаче может быть усреднен различными способами, например:

Е _ -У-^-уч;. Е Е ''2 ' "1 |. Е -И! Е(и)ёи

Еср1 _-;-. Еср2 _ Е1 —"— |. Есрз _ .

2 V 2 ) »2 - и

В [3] предложена формула Еср =| Е (и(т)у/(Ъ - а), которая и используется в дальнейшем.

Для анализа влияния на НДС зависимости модуля упругости от влажности были проведены расчеты как для среднего значения Еср4, так и для непрерывной зависимости Е (г), определяемой равенством (1).

В случае постоянного модуля упругости Е разрешающее уравнение (7) примет

вид

ё ат 3 ёат

ёт1

- + —

т ёт

_ - Ет -

1 1

ср

т 1 - V

ё (Ди) ёт

Ниже представлено аналитическое решение этого уравнения с граничными условиями (9):

ЕсрР(и2 - и1) 1п(т / а) Ъ2

2(1 -V) 1п(Ъ / а) Ъ2 -<

(а / т)2 -1

уИ +

Ев(»2 - ») 2(1 -V) .

Из уравнения равновесия а ст г/ёг + (ст г - сте)/г = 0 можно вычислить тангенциальное напряжение с„:

а ЕР(»2 - И1) 1п(т / а) ( , )2

а0 _---(а/ т) -

0 2

2 2 -а

уИ-

Ев(И2 - »1) ' 2(1 -V) _

ЕР

2

1

1п(Ъ / а) Ъ2 - а2

-уИ-

2 2 ' - а

Считая, что в цилиндре осуществляется плоское деформированное состояние е г = 0, из третьего равенства (2) можно найти напряжения ст 2.

2

а

г

Г

т

в

=

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УКТШК

_л/ЮБи

Ниже приводятся результаты расчетов, полученные при следующих исходных данных: а = 0,25 м; Ь = 2,5 м; = 0,363; ^ = 0,2; р = 0,6; V = 0,4; Е0= 19,88 МПа, м^ = 0,363; к = 2,4; у = 26950 Н/м3; Н = 10 м.

Подставив приведенные значения в (10) и (11), получим соответственно формулы

аг

ае

где с = 1 м — характерный размер.

На рис. 2 и 3 пунктиром показаны эпюры напряжений аг и а0 для однородного (с осредненным значением модуля упругости) цилиндра.

а, МПа , 0

- 0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5 -4

0

0,5

1,5

2Xr.

6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

2

ж

Рис. 2. Эпюры напряжений or:---однородный

материал

0 0,5 1 1,5 2 2,5 r, м Рис. 3. Эпюры напряжений ае:

неоднородный материал

Для проверки правильности результатов проведем статическую проверку [4], заключающуюся в равновесии половины цилиндра под действием напряжений а0 и внешних нагрузок, действующих на цилиндр. С учетом

О г (а) = -Ра = 0 а г (Ь) = -Рь = -УН данная проверка заключается в выполнении равенства

Ь

¡а0

а

Вычисления показали, что для однородного цилиндра левая часть равенства (14) равна (-0,67375 МПам), а правая — (-0,674 МПам), что говорит о правильности расчетов.

Решение уравнения (7), соответствующего задаче с переменным модулем упругости и с граничными условиями (9), было получено численно. Расчет проводился в МаШ1аЬ 2010 методом конечных разностей с постоянным шагом. Интервал интегрирования разбивался на 46 шагов. Статическая проверка (14) для неоднородного цилиндра дает результат:

D

J ае (r) dr = -0,6751 МПа • м,

что также свидетельствует о довольно высокой точности расчета.

Выводы. Максимальные сжимающие напряжения аг при учете изменчивости модуля упругости увеличиваются по сравнению с однородным материалом почти в 1,8 раза (см. рис. 2). Но это не столь существенно по сравнению с увеличением в 3,9 раза растягивающих напряжений на внешней границе цилиндрического массива (см. рис. 3), так как у глины и у грунтов в целом прочность на растяжение существенно меньше, чем на сжатие. Ясно, что реальные расчеты на прочность задач влагоупру-гости следует проводить с переменным модулем упругости или с очень большими коэффициентами запаса, иначе расчет может повлечь за собой нехватку прочности грунтов, что, в свою очередь, может привести к разрушениям.

1

1

2

вестник 10/2012

Библиографический список

1. Абеле в М.Ю. Строительство промышленных и гражданских зданий на водонасыщен-ных грунтах. М., 1982. 247 с.

2. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. М. : Высш. шк., 1976. 447 с.

3. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов. М. : Изд-во АСВ, 2005. 488 с.

4. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М. : Изд-во АСВ, 2002. 286 с.

5. Андреев В.И., Потехин И.А. Оптимизация по прочности толстостенных оболочек. М. : МГСУ, 2011. 86 с.

6. Андреев В.И. Метод решения некоторого класса трехмерных задач для упругого ради-ально неоднородного цилиндра // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1985. № 8. С. 28—31.

7. Андреев В.И. Приближенный метод решения смешанной краевой задачи для неоднородного цилиндра // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. № 2. С. 8—11.

8. Андреев В.И., Фролова И.И. Температурные напряжения в неоднородном массиве со сферической полостью // Сб. трудов Высшей инженерной школы. Польша : Ополе, 1991. С. 14—18.

9. Давыдов В.А. Особенности изысканий и проектирования автомобильных дорог в районах вечной мерзлоты. Омск : Омский ПИ, 1979. С. 44—56.

10. ОДН 218.046—01. Проектирование нежестких дорожных одежд. 2000. 93 с.

Поступила в редакцию в июле 2012 г.

Об авторах: Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, член-корреспондент РААСН, заведующий кафедрой сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; +7(499)183-57-42, asv@mgsu.ru;

Авершьев Анатолий Сергеевич — студент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, +7(906)735-27-03, fu11bass-@mai1.ru.

Для цитирования: Андреев В.И., Авершьев А.С. Стационарная задача влагоупругости для неоднородного толстостенного цилиндра // Вестник МГСУ № 10. С. 56—61.

V.I. Andreev, A.S. Aversh'ev

STATIONARY PROBLEM OF MOISTURE-INDUCED ELASTICITY OF HETEROGENEOUS THICK-WALLED CYLINDERS

Many problems of identification of the stress-strain state against the background of the heat and mass transfer are solved through the application of constant (averaged) values of mechanical properties (elastic modulus, Poisson's ratio) and derivation of differential equations with constant coefficients. Due to irregular distribution of temperature and other factors of impact, including the moisture content, mechanical properties of many materials change significantly; therefore, the problems in question are solved within the framework of mechanics of heterogeneous bodies.

In this paper, the authors solve the classical problem of the steady-state moisture-induced elasticity of a thick-walled cylinder by taking account of the changes in the value of the elastic modulus caused by the influence of moisture. In this case, the problem is reduced to a differential equation with variable coefficients, which makes the solution more complicated though more accurate. It is proven that due regard for the heterogeneity leads to a significant increase in stresses, if compared to the solution based on the mean values of the modulus of elasticity.

Key words: humidity, moisture transfer, moisture-induced elasticity, stress state, heterogeneity, soil, clay, induced deformation.

References

1. Abelev M.Yu. Stroitel'stvo promyshlennykh i grazhdanskikh zdaniy na vodonasyshchennykh gruntakh [Construction of Industrial and Civil Buildings on Saturated Soil]. Moscow, 1982, 247 p.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕ5ТЫ1К

_мвви

2. Vyalov S.S. Reologicheskie osnovy mekhaniki gruntov [Rheological Fundamentals of Soil Mechanics]. Moscow, Vyssh. shk. publ., 1976, 447 p.

3. Ter-Martirosyan Z.G. Mekhanika gruntov [Soil Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2005, 488 p.

4. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Some Problems and Methods of Mechanics of Heterogeneous Bodies]. Moscow, ASV Publ., 2002, 288 p.

5. Andreev V.I., Potekhin I.A. Optimizatsiya po prochnosti tolstostennykh obolochek [Optimization of Strength of Thick-walled Envelopes]. Moscow, MGSU Publ., 2011, 86 p.

6. Andreev V.I. Metod resheniya nekotorogo klassa trekhmernykh zadach dlya uprugogo radial'no neodnorodnogo tsilindra [Method of Resolving a Class of Three-dimensional Problems for an Elastic Radial Heterogeneous Cylinder]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo i arkhitektura. [News of Institutions of Higher Education. Construction and Architecture]. 1985, no. 8, pp. 28—31.

7. Andreev V.I. Priblizhennyy metod resheniya smeshannoy kraevoy zadachi dlya neodnorodnogo tsilindra [Approximate Method of Resolving the Mixed Boundary Value Problem for a Heterogeneous Cylinder]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Analysis of Structures]. 1989, no. 2, pp. 8—11.

8. Andreev V.I., Frolova I.I. Temperaturnye napryazheniya vneodnorodnom massive so sferiches-koy polost'yu [Thermal Stresses in a Heterogeneous Body with a Spherical Cavity]. Collected works of Higher School of Engineering. Poland, Opole, 1991, pp. 14—18.

9. Davydov V.A. Osobennosti izyskaniy i proektirovaniya avtomobil'nykh dorog v rayonakh vechnoy merzloty [Peculiarities of Surveys and Design of Motor Roads in Permafrost Areas]. Omsk, Omskiy PI Publ., 1979, pp. 44—56.

10. ODN 218.046—01. Proektirovanie nezhestkikh dorozhnykh odezhd [Design of Non-rigid Road Pavements]. 2000, 93 p.

About the authors: Andreev Vladimir Igorevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; asv@mgsu.ru; +7 (499) 183-57-42;

Aversh'ev Anatoliy Sergeevich — student, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; fullbass-@mail.ru.

For citation: Andreev V.I., Aversh'ev A.S. Statsionarnaya zadacha vlagouprugosti dlya neodnorodnogo tolstostennogo tsilindra [Stationary Problem of Moisture-induced Elasticity of Heterogeneous Thick-walled Cylinders]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 56—61.