Функции Лебега по системе Хаара на нуль-мерных компактных группах

Библиографический список

1. Джаков П. В., Митягин Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и Дирака // УМН. 2006. Т. 61, № 4. С. 77-182.

2. Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators // Math. Nachr. 2010. Vol. 283 (3). P. 443-462.

3. Баскаков А. Г., Дербушев А. В., Щербаков А. О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Сер. математическая. 2011. Т. 75, № 3. С. 3-28.

4. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 340 с.

5. Бурлуцкая М. Ш. Об асимптотике решения одного дифференциального уравнения первого порядка с

непрерывным потенциалом // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж. весенней мат. шк. «Понтрягинские чтения ХХ1». Воронеж : Издат.-полиграф. центр Воронеж гос. ун-та, 2010. С. 3-9.

6. Хромов А. П. Об асимптотике решений уравнения Дирака // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж. зимней мат. шк. Воронеж : Изд.-полиграф. центр Воронеж гос. унта, 2011. С. 346-347.

7. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Мат. сб. 1981. Т. 114 (156), № 3. С. 378-405.

8. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М. : Наука, 1965. 445 с.

УДК 517.51

ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА ПО СИСТЕМЕ ХААРА НА НУЛЬ-МЕРНЫХ КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ

Н. Е. Комиссарова

Саратовский государственный университет E-mail: NataliyaKomissarov@yandex.ru

На компактной нуль-мерной группе (g, +) рассматриваются функции Лебега по системе Хаара. Указываются случаи, когда они являются постоянными, а также получаются двусторонние оценки для функций Лебега.

Ключевые слова: компактные нуль-мерные группы, функции Хаара, функции Лебега.

Lebesgue Functions for Haar System on Compact Zero-Dimensional Group

N. E. Komissarova

In this article we discuss Lebesgue functions for Haar system on compact zero-dimensional group. We find cases when they are constant, also we find two-sided estimates for Lebesgue functions.

Key words: compact zero-dimensional group, Haar functions, Lebesgue functions.

1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Из [1] известно, что для констант Лебега Ln по системе характеров компактной нуль-мерной группы G справедливо неравенство ln < C log N. С. Ф. Лукомским в работе [2] были получены двусторонние оценки констант Лебега, причём в случае pn < p одинаковые по порядку. В [3] Б. И. Голубов рассматривал на отрезке [0,1] класс полных ортогональных систем X, построенных по последовательности чисел P = (pn)£=0. Для функций Лебега LM(x),M = jmN + q по таким системам получил оценку сверху Lm (х) < C log pn . Функции Хаара на произвольной нуль-мерной компактной группе G были определены в работе [4]. Причём если отобразить группу G на отрезок [0,1] с помощью естественного отображения, то функции Хаара, определённые в [4] на нуль-мерной группе с точностью до меры нуль, совпадают с функциями из [3]. В данной работе изучаются функции Лебега по системе Хаара на компактной нуль-мерной группе и даются для них двусторонние оценки.

Пусть (G, +) — нуль-мерная компактная абелева группа, топология в которой задана системой вложенных подгрупп G = G0 D Gi D  D Gn D Gn+1 D ... таких, что P| Gn = {0},

n=0

(Gn/Gn+1 )Й = pn, где pn — простые числа; ^ — мера Хаара на G. Положим m0 = 1, mn+1 = pnmn. Пусть далее (gn)^=0 — базисная последовательность, т.е. gn е Gn\Gn+1. Напомним, что непрерывная функция х : G ^ c называется характером, если 1) для всех х е G выполняется |х(х)| = 1, 2) X(x+У) = X(x)X(V)-

Совокупность характеров для которых х(Сп) = 1, называют аннулятором группы Сп и обозначают .

Известно, что группа характеров группы С представляет из себя объединение возрастающей последовательности аннуляторов {1} = Сдт С С]1 с    С С С ... При любом п е n0 = n и 0 выберем характер гп е . Функцию гп будем называть функцией Радемахера. Для функций Радемахера гп имеем гп (Сп+1) = 1.

В работе [2] была доказана лемма, в которой содержатся свойства функций Радемахера, а именно

Лемма 1. Пусть Сп/Сп+1 — фактор-группа, Сп+1 + е Сп/Сп+1 (^ = 0,1,...,рп — 1) — смежные классы. Тогда

1) гп (Ь) постоянны на каждом смежном классе Сп+1 + ;

2) гп (Сп+1-Ъ) есть различные корни из единицы порядка рп;

3) "Т.1 гп(*) = {Рп' ье Сп+1'

-0 0, ь е Сп \С П + 1 ;

ь е С^+1, ь е \С^+1.

Определение. Функции Я/Шта+к = 1,рп — 1,к = 0,шп — 1), определённые равенствами

V Рк-1

О П £ (Гк(Ь)У = .

к=0 .7=0 I 0,

Яо = +к(х) = ^ )1с„ + hfe (х) = ^^п(х — ^ )1С„ (х — ^ ),

где е С и к е n0, связаны соотношениями

^ = а0#0 --«1 #1 -- ... +«п-1 #п—1 ^ к = а0^0 + а1 Ш1 ------Ъ ап—1Шп—1 (а* = 0,р — 1),

1а„+ hfc (х) — характеристическая функция множества Сп+, будем называть функциями Хаара на нуль-мерной группе.

Функции Я0, +к были введены в работе [4]. Там же было доказано, что они образуют орто-нормированную систему функций на С.

Обозначим через Ьм (х) = /

а

м-1 _

£ Як(х)Як(ь) к=0

ф(Ь) (Ж = 1, 2,...) функции Лебега по системе

Хаара. Любое число М е n представимо в виде М = + д, где 1 < < — 1,0 < д < — 1.

При доказательстве основных результатов данной работы нам понадобятся следующие леммы. Лемма 2. Пусть дан отрезок [а,6], причём 1 < а < 6. Тогда если 1,1 + 1,..., I + к — все целые числа, попадающие в данный отрезок, расположенные в порядке возрастания, I — наименьшее из этих чисел, то справедливо неравенство

1 1 1 1 + 1-7 + + ^-^ >

I I + 1

I + к " 3

йх

х

Лемма 3. Для функций Лебега Ьм (х) справедливо неравенство

1

£м (х) >

(М = 6^ ш^ + д).

Доказательство. Из определения функций Хаара следует, что

2

Поэтому

м-1

Я,

г=0

м1

Шд — 1

ф(ь)= £ |Я, (х)|2 > £ |Я,(х)|2 =

г=0

г=0

N — 1 ш3- + 1 —1 N — 1

1+Е Е (х)|2 = 1+£ ш,-(р — 1)= т^.

^•=0 г=ш3- ^'=1

шN <

м—1

£ Я, (х)Я^ г=0

Ф(Ь) <

м—1

£ Я, (х)Я() г=0

вир

г

м—1

£ Я,(х)Я,(Ь) г=0

<

б

2

mN+1 — 1 / N mj + i-l

< Lm (x)sup Hi (x)Hi(t)\< Lm (x) \Ht (x)\2 | = Lm (x)mN+i.

l=0

j=0 l=mj

mN 1

Отсюда находим, что LM(x) > -= —.

mN+i Pn

Замечание. Полученная оценка конечно является неточной, особенно при Pn ^ ж. В дальнейшем мы получим при Pn ^ ж оценку снизу, точную по порядку.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этом параграфе мы получим двусторонние оценки для функций Лебега при некоторых ограничениях на Pn и bN, которые не являются принципиальными.

Теорема 1. Пусть число M представлено в виде M = bNmN + q, где 1 < bN < pN — 1, 0 < q < mN — 1. Тогда 1) если M = mN, то LmN = 1, 2) если M = bNmN, то LbNmN (x) = const. Доказательство. 1) Рассмотрим функции Лебега с номерами M = mN.

LmN = J \KmN (x,t)\d^(t) = J

G G

Выпишем ядро Лебега и преобразуем его:

mN — 1

Hi

l=0

d^(t).

mN — 1 N —1 Pn — 1 mn — 1 _

KmN

(x, t) =

i=1

N—1 Pn — 1 fmn — 1

n=0 j = 1 k=0

N — 1 pn — 1

= ^ Шп ГП (х~ + -^Оп +И,к (х)1Оп +И,к ШпГП (х~ (х-

п=0 з = 1 \ к=0 ) п=0 ] = 1

Тогда, учитывая инвариантность интеграла относительно сдвига, получим

Lmn (x) =

N — 1 pn — 1

1 + mnj

n=0 j=1

d^(t) =

N — 1 pn — 1

1 + mn rn

n=0 j=1

d^(t) =

N — 1 pn — 1

1+^ Y, mnri

n=0 j=1

d^(t).

pn — 1

Так как £ rn(t)iGn(t) = { j=1

0, t e Gn,

— 1, t e Gn\Gn+1, то получим Pn — 1, t e Gn+1,

LmN

N1

1 + Y [(mn+1 — mn)1g„+i (t) — mn 1

n 1Gn\Gn + i

(t)]

n=0

dp(t)= \1gn (t)mN \ d^(t) = 1.

2) Пусть теперь M = bNmN (bN > 2). В этом случае

N — 1 pn — 1 mn — 1

bN — 1 mN — 1

KM

п=0 ] = 1 к=0

И для функций Лебега получим выражение следующего вида:

j=1 k=0

Lm (x) = LbN mN (x) =

G

bN — 1 mN — 1

N — 1 pn — 1 mn —1

mn rn (x — hk )lGn+ hk (x)ri (t — hk )lGn + hk (t) +

n=0 j=1 k=0

+ mNrN

j=1 k=0

d^(t) =

bN-1

1Gn (t)mN + mNrN (x-t)1GN (x-1) j = 1

dj(t) =

bN-1

1gn (t)mN + mN rN (t)lGN (t) j=i

dj(t) =

bN-1

1Gn (t)mN rN(t) j=0

dj(t).

И снова LM(x) = LbNmN = const, т. е. не зависит от x.

Теорема 2. Если M = bNmN + q (pN > 2, 2 < bN < pN — 1, 0 < q < mN — 1), то для всякого x e G справедливо неравенство

1 in! n 1 \ t f s 1 L 1 4

max | ——г in vN — 2, — < LM (x) < - 1 +--^ in vN + 5,

PnJ ° 1 ^ '

1п5 'рм; ;~2\ л/2

где им = тт{Ьм — 1,рм — (Ьм — 1)}.

Доказательство. Если М = Ьмтм + q, то ядро Лебега будет иметь вид

М-1 Рп-1 тп — 1

Км(х1г) = 1 + ^ ^ ^ н^тп+к(х)н^тп+к

п=0 3 = 1 к=0 Ьм — 1 тм — 1 д—1

+ У^ У^ Н3тм+к (х)н3тм +к + ^ НЬмтм +к (х)НЬмтм +к = 1 + + $2 + $33 = 1 к=0 к=0

Отметим, что последняя сумма есть функция от х, так как при некоторых значениях аргумента х мы попадаем в смежные классы, которые не участвуют в суммировании. Будем считать, что Ьм > 1, так как при Ьм = 1 сумма $2 = 0. Введём следующие обозначения:

/1 = у |1 + 12 = 11$21М+) 1з = у |$з|

Интеграл /1 уже вычислен при доказательстве теоремы 1: /1 = 1. Оценим интеграл /3:

1з =

q 1

У^ HbNmN +k

k=0

dj(t) =

q 1

mNrNN

k=0

dj(t).

Если x e Gn+hl, то

q 1

mNrbNN

k=0

= <

q-1

mNrNN (x)1Gn + hi (x)f°NN (t)lG N+hi (t)! если hl e U gn + hk,

k=0

q-1

0, если hl e U GN+hk.

k=0

I

q-1

Тогда если ^ У См+кк, то интеграл /3 = 0. В противном случае, так как 1Сн + (х)1См + кк (I) =

k=0

= 1Gn (x—t), имеем Is =

mNrNN(x—t)lGN(x—t) dj(t) = J mN \rNbN(t)| 1gn(t)dj(t) = 1,

g

т.е. 13 принимает значения 0 или 1, и справедливо /3 < 1. Теперь будем рассматривать интеграл /2.

I2 =

bN — 1 mN — 1

У^ У^ HjmN +k (x)HjmN +k (t) j = 1 k=0

dj(t) =

с Ъм-1

Ъм — 1 тм — 1

£ £ тмГдт (х)1 • г 3 = 1 к=0

£ тмг3м

3 = 1

х)1См +hfc Гм (Ь)1См +Ьк (Ь) = тм

См

=

Ъм — 1

£ 3

3=1

Отдельно рассмотрим подынтегральное выражение, учитывая, что гм(Ь) = ехр ^при Ь е См+1+1дм — одно из значений корня из единицы порядка рп:

Ъм — 1

£ Гм (Ь) =

3=1

Ъм — 1 1

3 = 1

£ ехР^

Рм

«Р (- 1

ехР

(2ш±\ _ 1

\ Рм у

Сначала рассмотрим знаменатель:

/2пг1\

ехр - — 1

\Рм /

=2 п1

эт —

Рм

и 41/рм < |ехр(2пг1/Рм) — 1| < 2п1/рм.

Оценка снизу справедлива, если п1/рм е (0;п/2), т.е. при 1 е [1, (рм — 1)/2]. Следовательно,

Рм 2п1

<

1

ехР

/2ел\ _ 1

\ Рм у

<

Рм 41

Если 1 е [Рм— ,рм — 1, то 2

эш

пг

Рм

Выражение

ехР ( — 1

> 4 Рм—г — Рм '

П ^ , 2 + 2пк <

— л/2, если 2п1(Ьм — 1) 3п

Рм

< у + 2пк (к = 0,Ьм — 1),

т. е.

или если

Рм

1

к + т < 1 <

Рм

(Ьм — 1) V 4

Ъм — 1

к +

(Ьм — 1) V 4)1

к = 0,Ьм — 1,

1 е Е = и

При этом при всех 1 е Е

к=0

Рм

Ьм — 1

к-8 "ЙТ—1 (к +3

ехР

2пИ(Ъм — 1) Рм

1

2пгг

ехР I 2Рм 1 — 1

>

Рм

л/2пГ

Оценка сверху для подынтегрального выражения получается в виде

1 е [1, Рм—1 ] и 1 е Е,

ехр

ЧЪм -1) —1

ч Рм < Рм

ехр 2пИ рм — 21 '

1(ЬМ -1) —1

1 Рм < Рм

ехр 2пИ рм 2л/21'

1(ЬМ -1) —1

1 рм < Рм

ехр 2пИ рм 2

( 2п 1(ЬМ -1) —1

\ Рм < Рм

ехр 2пИ рм 2л/2(Рм

если

если 1 е [1, Рм—1] и 1 ее, если 1 е [Рм—, Рм — 1] и 1 е Е, —-, если 1 е [Рм— ,Рм — 1] и 1 ЕЕ.

3

Заметим, что

Рм-1 £

1=1

ехр (- 1

( 2жИ\ _

ехр1, тмт) -1

-2--Рм -1

Е- + £

1 = 1 1= РМ +1

Рм— 1

—2— РМ -1

< £ Р» + £ р»

Г, PN ^ 1

= р» Е Т

1=1- ^ 2

1=1

1=1

Оценим интеграл 12 снизу. 12 = т»

Рм -1

/Ъ М 1 г.

£ г»dv.it) = т» £

3 = 1 ' "

1=0

См+1+ 1дм

Ъм-1

£ г» (о

3=1

dv(t) =

Ь» - 1

Р»

Рм -1

гм ^ р

+ т» £

1 = 1 ^ ;

Ъм-1

£ г» (о

3=1

, ,, ь» — 1 1 1 dv(t) > —— + £

См+1 + 1дм

Рассмотрим последнюю сумму отдельно. Предварительно вычислим:

р» ^ ^ 1

-

рм

ьм-1 С" ' 4 ,

I? =

Ьм—1V 4

dx , /к + 4

— = 1п -4

х \к + 4

ЬР— (?+1,

Т- ? = Т2 =

Ьм — 1 V 4

dx Л (к + 4 — = 1п -4

х + 4

Очевидно, что последовательность I?/I? ограничена. Легко видеть, что она монотонно убывает и тах I?/I? достигается при к = 0. Следовательно, I?/I? < 1п5/1п3, т.е. I? > I? 1п3/1п5.

?=0,Ъм-1

Перейдём к оценке суммы. Используем лемму 2:

Ъм-1 1

^—Л ^—Л 11 1 ^—Л 1 1 м—л \—л 1

^=й ^ = ^ к1 = ^ к ,=4)' >

рм

1 Ъм-1 1 Ьм — 1 ( 4) dx 1 1п3 Ъм-1 Ьм" 1 - >

Т

^п ?=0 3

ьм—

рм

х 3^2п 1п 5

£

?=0

dx

1 1п 3

-

ьм—

рм

x 3лДп 1п 5

dx

x

1 1п 3 1 1 1п 3

1п Ь» - 1 + - +1п4 > -^г^ 1п(Ь» - 1).

3 лДп 1п 5 V V 4 3лДп 1п 5 у 7

Таким образом, получаем оценку вида

1 1п 3

12 > 3-/2Пь31п(Ь» -1).

В итоге для функций Лебега получаем неравенство

1 1п 3

Ьм и > 12 - 11 - 1з > 12 - 2 > —1п(Ь» - 1) - 2.

3^2п 1п 5

Оценим теперь 12 сверху. 12 = т»

См

Ъм-1

Е г» ю

3=1

dц,(t) =

Ь» - 1 Рм

Рм-1

^ л

+ т» Е / =1

См+1 + дм1

Ъм-1

Е г»»

3=1

dv(t) <

2

2

^Г — 1 4

М

рм — 1 рм — 1

, —2— Т —2— Т Рм-1 1 Рм-1

р» 1=1 21 1=1 2

г/В '=2 '=2

гев г/в

1

bN - 1 PN

PN-1 PN-1

2 1 ^ 1

+ £1 + £

1=1

leE

1 л/21

, bN-2 bNN 1 (k + 3 )..

— + E E 1 +

PN ^ ^

l/E

1 bN-2 bNN 1 (k+ 5 )1

l ' л/2 ^ ^ 1 <

k=0 Ä

^ - 1 + 2 ьР-Т

6^ -1 1 1 1 6^ -1 1Л 1\п „ ^ „

= —-+ > -гт + —г-^ < —-+ ~ 1 + ^ 1п(6^ - 1) + 2.

Р^ ¿0 2

Следовательно,

Ьм < 1т +12 + II < 2(1 + - 1) + 5.

В итоге для функций Лебега при 6^ > 2 получаем двусторонние оценки вида 1 1п3....... 1

ln(bN - 1) - 2 < Lm < 1 (1 + ln(bN - 1) + 5.

3л/2п 1п5 4 " у " ж~2

Если 6^ = 1, то в этом неравенстве надо опустить логарифм. При этом учитывалось условие 6^ < ^.

В случае 6^ > РЛГ2~1, принимая во внимание равенство

( 2пг1(6м - 1)V ( 2пг/[(6^ - 1) -Р^ + Р^] ехр--= ехр 1

PN J \ PN

= ехр

V Р^ У V Р^ /

и проводя аналогичные рассуждения, получаем неравенство того же вида, что и в первом случае. Итак, при 1 < 6^ < Р^ - 1

1 1п3 п „ г , ч 1 ( 1 V

1п ^ - 2 < Ьм (х) < - 1 +—= 1п ^ + 5,

3^2п ln5 JV " J - 2 V У2

где vN = min {bN - 1,pN - (bN - 1)}. Используя лемму 3 отсюда получаем требуемое неравенство. Замечание. Теорема 2 сформулирована и доказана для pN > 2. При pN = 2 для bN остается единственная возможность 6n = 1. В этом случае, как мы видели из доказательства, S2 = 0, и в окончательном неравенстве пропадает логарифм.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00097-a).

Библиографический список

1. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Ру- 3. Голубов Б. И. Об одном классе полных ортогональ-бинштейн А. И. Мультипликативные системы функ- ных систем // Сибирский мат. журн. 1968. Т. 9, № 2. ций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. С. 297-314.

Баку : ЭЛМ, 1981. 4. Лукомский С. Ф. О рядах Хаара на компактных

2. Lukomskii S. F. On Lebesgue constants for characters нуль-мерных группах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. of the compact zero-dimensional Abelian groups // East 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информати-J. of Approximation. 2009. Vol. 15, № 2. P. 219-233. ка, вып. 1. C. 14-19.