Модель расчета цен европейских опционов в дискретном времени, основанная на устойчивых законах распределения

А. B. Колоколов

МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ЦЕН ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ, ОСНОВАННАЯ НА УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В статье представлена дискретная модель финансового рынка, основанная на предположении, что доходность актива подчинена устойчивому закону распределения. Эмпирический анализ, проведенный в статье, показал, с одной стороны, высокую точность расчетов цен опционов на основе риск-нейтральных мер, получаемых в предложенной модели с параметрами, калиброванными из цен опционов, а с другой - несоответствие калиброванных параметров их оценкам, полученным из исторических данных доходностей базовых финансовых инструментов.

Ключевые слова и словосочетания: ценообразование опционов, устойчивые распределения, финансовое моделирование.

Расчет цен финансовых инструментов (таких как опционы европейского типа) является одной из основных задач математического финансового моделирования. Умение точно рассчитать цену производного финансового инструмента, зная цену базового актива, необходимо в первую очередь продавцам нового финансового инструмента для определения его первоначальной цены. Расчетные формулы востребованы игроками рынка для построения торговых опционных стратегий. Также методы расчета цен платежных обязательств применяются при моделировании кредитного риска.

Теория финансовых расчетов включает в себя целый набор знаний, главными в котором являются теория стохастических моделей финансовых рынков, статистика и эконометрическое моделирование. Аксиомой теории выступает предположение об отсутствии арбитражных возможностей - невозможность при нулевом начальном капитале построения инвестиционной стратегии, приносящей положительный доход без риска. Финансовые рынки моделируются как набор случайных процессов (обозначающих цены финансовых инструментов) с дискретным или непрерывным временем. В данной статье рассматриваются дискретные рынки.

Согласно фундаментальной теореме о расчетах цен активов1 дискретный финансовый рынок не допускает арбитражных возможностей тогда и только тогда, когда существует эквивалентная мартингальная (риск-нейтральная) вероятностная мера, т. е. вероятность в модели может быть задана таким образом, что дисконтированные цены активов образуют мартингалы. Как правило, при моделировании риск-нейтральную меру находят путем преобразования исторической вероятностной меры - закона распределения реальных наблюдаемых данных. Тогда справедливая цена любого платежного

1 См.: Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. - Т. 1, 2. - М. : ФАЗИС, 1998.

обязательства есть дисконтированное математическое ожидание его будущего дохода относительно риск-нейтральной меры. При этом если рынок является полным, риск-нейтральная вероятностная мера единственна. Однако для реальных финансовых рынков предположение о полноте является слишком строгим.

Для осуществления расчетов в моделях неполных рынков приходится выбирать одну из множества возможных риск-нейтральных мер, опираясь на дополнительные критерии. Например, часто используемыми методами замены меры в моделях неполных рынков являются преобразование Эшера1, минимизация дисперсии хеджирующего портфеля, максимизация функции полезности репрезентативного инвестора2.

Несмотря на развитую теорию, далеко не многие модели подходят для практических расчетов на реальных рынках. Ключевой ошибкой большого числа моделей является неверное предположение об историческом законе распределения. Например, подставив реальные цены европейских опционов в широко известные формулы Блэка и Шоулза (основанные на предположении о гауссовском распределении логарифмических доходностей активов) и вычислив значения параметров исторического распределения, окажется, что его дисперсия изменяется в зависимости от цен исполнения опционов. Кривая дисперсии имеет параболическую форму и называется улыбкой волатильно-сти (volatility smile). Данное противоречие свидетельствует о том, что распределение базового актива в момент исполнения опциона является асимметричным и имеет хвосты тяжелее нормального.

Для расчета цен опционов с учетом асимметрии и тяжелых хвостов исторического распределения доходностей активов в настоящей статье предлагается опираться на устойчивое распределение и основанные на нем динамические модели. Устойчивые распределения образуют широкий класс распределений. Начальные сведения о них изложены в известных книгах Б. В. Гне-денко, А. Н. Колмогорова3 и В. Феллера4, а более подробно их свойства описаны в работах В. М. Золотарева5 и др.

Устойчивые распределения зависят от четырех параметров: 0 < а < 2, c > 0, -1 < в < 1 и 5 и обозначаются S(a, c, в, 5). Параметр а отвечает за толщину хвостов распределения, c - параметр масштаба, в отвечает за симметричность, 5 - параметр сдвига.

1 См.: Gerber H. U., Smu E. S. W. Option Pricing by Esscher Transforms. Transactions of the Society of Actuaries. - Vol. XLVI, 1994; Buhlmann H., Delbaen F., Embrechts P., Shiryaev A. No-arbitrage, Change of Measure and Conditional Esscher Transforms // CWI Quaterly. - 1996. -Vol. 9. - N 4; Kallsen J., Shiryaev A. N. The Cumulant Process and Esscher's Change of Measure // Finance and Stochastics. - 2002. - Vol. 6. - N 4.

2 См.: Hugonnier J., Kramkov D. O., Schachermayer W. On Utility Based Pricing of Contingent Claims in Incomplete Markets // Math. Finance. - 2005. - Vol. 15. - N 2; Kallsen J., Muhle-Karbe J. Utility Maximization in Models with Conditionally Independent Increments // The Annals of Applied Probability. - 2010. - Vol. 20.

3 См.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. - М.; Л. : ГИТТЛ, 1994.

4 См.: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - Т. 2. - М. : Мир, 1967.

5 См.: Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. - М. : Наука, 1983.

Устойчивые законы распределения рассматривались как распределения логарифмических доходностей в качестве альтернативы гауссовским уже в ранних работах Макколаха1, однако не получили широкого распространения, в том числе и из-за сложности работы с ними (например, из-за бесконечности дисперсии неприменимы или существенно ограничены в применении многие методы замены меры на неполных рынках, указанных выше). Тем не менее в ряде работ авторам удалось эффективно использовать устойчивые распределения для построения риск-нейтральных вероятностных мер: в серии работ Макколаха2 был разработан метод расчета цен опционов в модели равновесия финансового рынка, а в статье Кара и Ву3 устойчивый закон распределения (с конечным математическим ожиданием) сам играл роль риск-нейтральной меры.

Эпирические результаты данных работ показали высокую точность предложенных моделей, что делает целесообразным дальнейшее изучение возможностей использования устойчивых распределений. Построение стандартных нелинейных процессов на основе устойчивых распределений также

4

возможно .

В данной статье, развивая идеи Макколаха, предлагается обобщенная динамическая модель расчета цен европейских опционов в дискретном времени, основанная на предположении о том, что условное относительно прошлого распределение логарифмических доходностей базового актива является устойчивым.

Основное отличие данной модели состоит в том, что в явном виде описана связь между динамикой базового актива и риск-нейтральной мерой. Это позволяет осуществлять расчет цен опционов при помощи, например, GARCH-модели с устойчивыми возмущениями, хорошо подходящей для описания динамики доходностей различных финансовых инструментов.

Кроме того, в рамках предложенной модели возможно одновременно и непротиворечиво осуществлять расчет цен опционов с разными сроками исполнения.

1 Cm.: McCulloch J. H. Financial Applications of Stable Distributions // Maddala G. S., Rao C. R. (Eds.). Handbook of Statistics. - Vol. 14. - North Holland : Elsevier, 1996.

2 Cm.: McCulloch J. H. Foreign Exchange Option Pricing with Log-Stable Uncertainty // Khoury S. J., Ghosh A. (Eds). Recent Developments in International Banking and Finance. - Vol. 1. -Lexington, 1987; McCulloch J. H. The Risk-Neutral Measure and Option Pricing under Log-Stable Uncertainty. mimemo. - Ohio State University, 2003; McCulloch J. H., Lee S. H. Estimation of the Risk Neutral Measure with the Stable Option Pricing Model. mimemo. - Ohio State University, 2006.

3 Cm.: Carr P., Wu L. The Finite Moment Log Stable Process and Option Pricing // Journal of Finance. - 2003. - Vol. 58.

4 Cm.: Mittnik S., Rachev S. T., Doganoglu T., Chenyao D. Maximum Likelihood Estimation of Stable Paretian Models // Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - Vol. 29; Mittnik S., Paolella M. S., Rachev S. T. Stationarity of Stable power-GARCH Processes // Journal of Econometrics, Elsevier. - 2002. - Vol. 106. - N 1; Liu S. M., Brorsen B. W. Maximum Likelihood Estimation of a Garch-Stable Model // Journal of Applied Econometrics, John Wiley and Sons, Ltd. -1995. - Vol. 10. - N 3; Liu S. M., Brorsen B. W. GARCH-Stable as a Model of Futures Price Movements // Review of Quantitative Finance and Accounting, Springer. - 1995. - Vol. 5. - N 2; Lombardi M. J., Calzolari G. Indirect Estimation of Alpha-Stable Stochastic Volatility Models // Computational Statistics and Data Analysis, Elsevier. - 2009. - Vol. 53. - N 6.

Модель ценообразования опционов на основе устойчивого закона распределения

Модель, описанная в работе Макколаха1, является моделью ценообразования опционов в состоянии равновесия финансовой экономики Эрроу - Деб-ре, функционирующей только в два момента времени (X = 0, 1), состоящей из единственного потребляемого товара, в единицах которого измеряются цены всех прочих активов, единственного рискованного актива, облигации и гомогенной группы инвесторов. Поведение инвесторов описывается стохастической функцией полезности, зависящей от количества потребляемого товара, финансового актива в распоряжении и случайной величины, описывающей субъективное эмоциональное состояние инвестора. В состоянии равновесия цену рискованного инструмента можно представить в виде отношения предельных полезностей потребления товара и обладания рискованным активом, а цена опциона на этот актив представляет собой математическое ожидание произведения его платежной функции и стохастического коэффициента дисконтирования.

В модели предполагается, что предельные полезности распределены по устойчивому закону, откуда следует, что логарифмическая доходность рискованного актива также подчинена устойчивому закону распределения, а произведение стохастического коэффициента дисконтирования и плотности распределения доходности (плотность риск-нейтрального распределения) является плотностью смеси экспоненциально наклоненного и максимально скошенного устойчивых распределений.

К недостаткам модели можно отнести то, что она однопериодная. В настоящей статье предлагается обобщение модели, лишенное данного недостатка.

Для построения многопериодной модели, сохраняющей интерпретацию модели Макколаха, необходимо рассмотреть финансовый рынок, функционирующий в моменты времени X = 0, ..., Т, включающий рискованный финансовый актив, доходности которого распределены по устойчивому закону, и предложить такой стохастический коэффициент дисконтирования, что при Т = 1 риск-нейтральная мера совпадает с риск-нейтральной мерой в модели Макколаха.

Рассмотрим дискретный финансовый рынок, функционирующий в моменты времени X = 0, ..., T и состоящий из двух базовых инструментов: рискованного (акции) и безрискового (облигации) В. Процессы, описывающие их динамику, соответственно 5 = 5Х и В = Вх, определены на вероятностном пространстве с фильтрацией ( ; Р). Процесс В является детерминированным и эволюционирует в соответствии с уравнением

В = егБ(

где г - безрисковая процентная ставка;

X = 1, ..., Т.

Динамика цены акции определяется ее логарифмической доходностью в момент X, обозначаемой как

1 Cm.: McCulloch J. H. The Risk-Neutral Measure and Option Pricing under Log-Stable Uncertainty.

У = .

St-1

Предположим, что в каждый момент времени условно относительно информации о прошлом доходность акции подчинена устойчивому закону распределения:

yt\Ft ~ S(a,ß, ct,5t).

Последовательность о-алгебр (Ft)t = 0, ..., т представляет собой поток информации, доступной к моменту t. Условное математическое ожидание случайной величины X относительно прошлого Ft обозначается Et\X\. Кроме того, обозначение E[X[yt] будет означать условное математическое ожидание относительно прошлого и значений процесса y в момент времени t.

Любая случайная величина, распределенная по устойчивому закону, может быть представлена в виде разности максимально скошенных устойчивых случайных величин (с параметрами ß = -1). Поэтому в каждый момент времени доходность может быть представлена в виде разности двух независимых факторов риска - v\ и v2, которые можно интерпретировать, например, как систематический и несистематический риски:

У = V2, t " V1,t .

Причем их условные распределения являются максимально скошенными устойчивыми:

vi,t|Ft ~ S (a -1 ci,t. 5i,t), v2,t|Ft ~ S(a -1 c2,t. 52,t).

Зная параметры условного распределения доходности, параметры масштаба условных распределений факторов риска могут быть рассчитаны по следующим формулам:

~(1+ ß

~ /"i

1/

/ а

С

Параметры сдвига не могут быть однозначно определены, известно лишь, что S2, t - Si, t = St. Как будет показано далее, значение параметра St и соотношение между 51, t и S2, t вычисляются из условия отсутствия арбитража.

Рекуррентно определим последовательность (Л^ = 0, ..., т, которая будет использована в качестве стохастического дисконтирующего множителя:

А о = 1,

V к

t 1 | V». ]

А( = П —-^ .

П -k-:[eVl'k ]

Очевидно, что математическое ожидание Лх существует. Используя телескопическое свойство условных математических ожиданий, получим, что последовательность (Лх)х=0, . , Т образует мартингал относительно (Е)=0, . , Т.

Для выполнения условия отсутствия арбитража необходимо, чтобы оставалось верным равенство

е" = Е,

t-i

v t

Е[е ' \Ук ]с yt

Е.

t-i

vi, t [е lt ]

которое, как легко можно проверить, выполняется для всех X, если

па

5t = " - (<t - c2,t )sec[yJ.

В таком случае дисконтированная последовательность

t = 0,

является мартингалом относительно исходной вероятностной меры. Иными

словами, дисконтированная цена актива (e r St)t

образует мартингал от-

носительно риск-нейтральной вероятностной меры Q = QT,At, связанной со стохастическим коэффициентом дисконтирования для всех X следующим образом:

Q.t,At (к е A\Ft-i}) = Et-i

I{yt е A}

v11

Е[е \ yt ]

v1 t

Et-i [е , ] .

где

А - некоторое открытое множество на действительной прямой;

1{Р} - индикаторная функция события Р.

Цена любого опционного контракта может быть рассчитана как математическое ожидание его платежной функции, взятое относительно риск-нейтральной меры Q. Пусть С(Х) есть цена колл-опциона в момент времени X, имеющего срок до исполнения Т периодов и страйк X, тогда

ад ад

с(X) = е~г(т) I (е2 -X(г^Ь = е-(т-) | (е2 -X)\т(г)р т(,

logX

logX

где qí, Т и р, Т - соответственно условные (относительно информации до момента X) плотности распределения риск-нейтральных и исторических вероятностей логарифмов цены базового актива;

Л^ Т = ЛТ/Лг - стохастический дисконтирующий множитель с периода Т

до X.

Цена пут-опциона определяется аналогично.

Если характеристическая функция риск-нейтрального распределения известна, цены опционов можно вычислить при помощи быстрого преобразования Фурье1. В общем случае, однако, вывести характеристическую функцию риск-нейтрального распределения затруднительно, поэтому значения интегралов рассчитывают численно при помощи метода Монте Карло.

Если финансовый рынок функционирует всего в два момента времени (X = 0, Т), то предложенная модель совпадает с моделью Макколаха. В таком

т

т

1 Cm.: Carr P., Mandan D. Option Pricing and the Fast Fourier Transform // Journal of Computational Finance. - 1999. - Vol. 2. - N 4.

случае риск-нейтральное распределение представляет собой свертку максимально скошенного устойчивого и экспоненциально наклоненного устойчивого распределений. В случае если один из факторов риска у1 равен нулю, риск-нейтральное распределение в однопериодной модели является максимально скошенным устойчивым распределением. Такая риск-нейтральная мера предлагалась в статье Кара и Ву1.

Важный частный случай - случай независимости логарифмических до-ходностей базового актива. При моделировании рынка в непрерывном времени он соответствует предположению о том, что логарифмическая цена базового актива является (устойчивым) процессом Леви. Подобные процессы широко используются при финансовом моделировании в непрерывном времени в связи с тем, что, учитывая стационарность и независимость приращений процессов Леви, зная закон распределения цены в некоторый момент времени, легко получить ее закон распределения в любой другой момент. В данном случае условный закон распределения логарифмической доходности за произвольное число периодов (Т - О является устойчивым с параметром масштаба е1 = с0(Т - t)lla. Это значительно облегчает процесс калибровки модели, так как характеристическая функция данного закона известна. Эмпирический анализ, представленный в статье, проводится при данном дополнительном предположении.

Эмпирические результаты

Информационную базу исследования составили цены европейских опционов на индекс S&P 500 лета и осени 2011 г., котировки индекса и значения безрисковой процентной ставки, любезно предоставленные коллегами из Университета Манчестера, котировки опционных контрактов на фьючерсные значения индекса РТС, торгуемые на бирже ФОРТС в течение 2011 г. Сначала на основе котировок опционных контрактов на индекс S&P 500 и в предположении о независимости доходностей базового актива была осуществлена калибровка и проведен анализ точности модели. Затем были рассмотрены различия оценок параметров исторического распределения базового актива, полученных из цен опционов и из исторических данных.

Как правило, в западной литературе калибровка моделей ценообразования опционов осуществляется путем минимизации по параметрам некоторой меры расхождения между наблюдаемыми рыночными ценами и рассчитанными при помощи модели. В статье оценками параметров также являются значения минимума средней квадратической ошибки расчета о^-о^топеу опционов, а само значение ошибки является критерием качества модели и обозначается МБЕ. Другим возможным критерием точности может быть разность между оценками волатильности модели Блэка - Шоулза, рассчитанной из рыночных и модельных цен в каждый момент времени и для каждого опциона отдельно. Хорошо известно, что для реальных данных оценка волатильности Блэка - Шоулза как функция страйков образует кривую, напоминающую улыбку. Таким образом, кривизна волатильности, рассчитанной из модельных

1 Cm.: Carr P., Wu L. The Finite Moment Log Stable Process and Option Pricing // Journal of Finance. - 2003. - Vol. 58.

данных, свидетельствует о точности используемой модели. Данный критерий используется в настоящей статье для графической иллюстрации качества расчетов.

Опционы на S&P 500

Точность расчетов цен опционов на основе риск-нейтральной меры, получаемой в предложенной модели, предположив дополнительно независимость доходностей базового актива, оказалась весьма высокой. Значение средней квадратической ошибки, например, цен опционов 13 сентября 2011 г. с датой исполнения 22 октября 2011 г. составило 2,1990, что в 9,6 раза меньше аналогичного показателя для модели Блэка - Шоулза. Рыночные и модельные цены ой-о^топеу опционов показаны на рис. 1 (для сравнения вместе с результатами модели Блэка - Шоулза). Рис. 2 иллюстрирует улыбки волатиль-ностей.

Рис. 1. Реальные и расчетные (при помощи предложенной модели (слева) и модели Блэка - Шоулза (справа)) цены оШ-о^топеу колл- и пут-опционов на индекс 8&Р 500 13 сентября 2011 г. с датой исполнения 22 октября 2011 г.

Рис. 2. Кривые волатильности из реальных и расчетных (при помощи предложенной модели (слева) и модели Блэка - Шоулза (справа)) цен колл-опционов на индекс S&P 500 13 сентября 2011 г. с датой исполнения 22 октября 2011 г.

В табл. 1 представлены оценки параметров исторической вероятностной меры а, в и с, полученные из цен опционов 13 сентября 2011 г. с датой исполнения 22 октября 2011 г. и из временного ряда дневных доходностей базового актива в период с 1 июня по 30 сентября. Однако оценки параметров исторического распределения, полученные из цен опционов на 13 сентября 2011 г., значительно отличаются от оценок, полученных из временного ряда дневных доходностей базового актива в период с 1 июня по 30 сентября, а оценки цен опционов, получаемые на основе оценок параметров, неадекватны.

Т а б л и ц а 1

Оценки параметров исторического распределения S&P 500

а в с MSE

Из цен опционов 1,7441 -1,0000 0,0800 2,1990

Из исторических данных 1,6173 -0,5678 0,0099 242,2394

Причиной данного расхождения может быть комбинация нескольких факторов. Анализ оценок параметров исторического распределения доходно-стей, полученных из цен опционов, зафиксированных в различные дни, показал, что они (за исключением оценки в) являются весьма неустойчивыми, что свидетельствует в пользу того, что предположение о независимости доходно-стей базового актива неверны, а следовательно, оценки, получаемые из анализа базовых активов, неточны. С другой стороны, риск-нейтральная мера отражает представление о доходности акций игроков рынка производных, которое может отличаться от ожиданий игроков на рынке акций, под влиянием которых и складывается цена индекса.

Выявленное расхождение не умаляет достоинств предложенной риск-нейтральной меры, однако позволяет по-новому взглянуть на интерпретацию модели: моделирование риск-нейтральной вероятностной меры при помощи свертки максимально скошенного и экспоненциально наклоненного устойчивых распределений является хорошим аппроксимативным методом. Возможность управлять риск-нейтральной мерой всего тремя параметрами - существенный плюс при анализе ожиданий инвесторов на рынке производных ценных бумаг, что, несомненно, важно для получения новых фактов для развития теории ценообразования ценных бумаг и финансовых рынков.

Оценка параметра в, полученная из цен опционов, оказалась равной -1, следовательно, риск-нейтральная вероятность является максимально скошенным устойчивым законом распределения. В своей работе Кар и Ву1 такое же распределение предлагали в качестве риск-нейтральной меры исходя из качественных рассуждений. Кроме того, была отмечена высокая точность при оценивании цен опционов 2000 г. Таким образом, анализ, проведенный в данной статье, показал неизменность параметрической формы риск-нейтральной меры, а значит, и сущности рынка опционов в течение последних десяти лет.

1 Cm.: Carr P., Wu L. The Finite Moment Log Stable Process and Option Pricing.

Опционы на РТС

Российский рынок срочных ценных бумаг, в особенности рынок опционных контрактов, значительно менее развит, чем рынки развитых стран. Наиболее ликвидными являются опционы на фьючерсные контракты на индекс РТС, однако и по ним количество сделок мало. Тем не менее количество зафиксированных цен о^-о^шопеу колл- и пут-опционов достаточно для формальной калибровки параметров предложенной в настоящей работе модели.

Значение средней квадратической ошибки, например, цен опционов 13 сентября 2011 г. с 34 днями до исполнения составило 5,9658, в то время как значение аналогичного показателя для модели Блэка - Шоулза равнялось 60,6251.

Таким образом, для российских данных предложенная модель превзошла модель Блэка - Шоулза в точности, однако и для нее среднеквадратическая ошибка достаточно велика по сравнению с размером ошибки, достигаемым при расчетах цен опционов на индекс S&P 500. Качество подгонки цен опционов проиллюстрировано на рис. 3.

Рис. 3. Реальные и расчетные (при помощи предложенной модели (слева) и модели Блэка - Шоулза (справа)) цены оШ-о^шопеу колл- и пут-опционов на фьючерсы на РТС 13 сентября 2011 г. с датой исполнения 22 октября 2011 г.

На рис. 4 показаны улыбки волатильности торгуемых колл-опционов. Кривые волатильности кардинальным образом отличаются от получаемых при работе с иностранными данными, что (неудивительно) свидетельствует об отличии российского рынка опционов от рынков развитых стран.

Учитывая малое количество проводимых сделок и величину средне-квадратической ошибки, можно заключить, что российский рынок опционных контрактов все еще находится на стадии становления и что предложенная модель (превосходящая модель Блэка - Шоулза) вряд ли может быть интерпре-

тирована как реальное устройство рынка (что, впрочем, верно и для американского рынка).

Strike price

0.028 0.027 0.026 0.025 | 0.024 S 0.023

0.021 0.02

* - actual price -e-estimated price

$00

1500 1600 Strike price

Рис. 4. Кривые волатильности из реальных и расчетных (при помощи предложенной модели (слева) и модели Блэка - Шоулза (справа)) цен колл-опционов на фьючерсы на РТС 13 сентября 2011 г. с датой исполнения 22 октября 2011 г.

Оценки параметров исторического распределения, полученные из цен опционов и из временного ряда дневных доходностей базового актива, представлены в табл. 2. Как и в случае с индексом S&P 500, оценки параметров, полученные различными путями, сильно различаются. Однако интересным является тот факт, что параметры риск-нейтральной меры, калиброванные из цен опционов, близки к параметрам риск-нейральной меры американского индекса. Это означает, что ожидания игроков двух рынков производных ценных бумаг относительно будущего распределения базовых инструментов схожи.

Т а б л и ц а 2 Оценки параметров исторического распределения РТС

а в с MSE

Из цен опционов 1,7705 -1,0000 0,0857 5,9658

Из исторических данных 1,6476 -0,4962 0,0112 209,5534

Представленные в табл. 2 оценки параметров исторической вероятностной меры а, в и с получены из цен опционов 13 сентября 2011 г. с 34 днями до исполнения и из временного ряда дневных доходностей базового актива за 2011 г.

Таким образом, предложенная дискретная модель финансового рынка позволяет производить расчет цен опционов и обобщить модель Макколаха1. Риск-нейтральная мера данной модели основана на устойчивом законе распределения. Анализ качества риск-нейтральной меры, проведенный на основе

1 Cm.: McCulloch J. H. The Risk-Neutral Measure and Option Pricing under Log-Stable Uncertainty.

данных российского и американского рынков опционов, показал существенное превосходство предложенной модели над моделью Блэка - Шоулза. Однако значения параметров, оптимальных для осуществления расчетов цен опционов, значительно отличаются от их оценок, полученных из исторических данных о доходностях базовых инструментов. Это означает, что риск-нейтральная мера отражает представление о вероятностном распределении доходностей базовых финансовых инструментов игроков рынка производных финансовых инструментов, но отличается от их исторического распределения.

Тем не менее риск-нейтральная мера с параметрами, калиброванными из цен опционов, может служить эффективным методом при теоретических исследованиях финансового рынка или использоваться при решении некоторых практических задач, таких как первичный расчет цены нового финансового инструмента.

По нашему мнению, перспективными направлениями дальнейших исследований в данной области являются изучение временных рядов оценок параметров риск-нейтральной меры, полученных из цен опционов, и связи с ними исторического распределения в духе методов непрямого анализа (indirect inference).

Список литературы

1. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. - М.; Л. : ГИТТЛ, 1994.

2. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. - М. : Наука, 1983.

3. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. -Т. 1, 2. - М. : ФАЗИС, 1998.

4. Carr P., Wu L. The Finite Moment Log Stable Process and Option Pricing // Journal of Finance. - 2003. - Vol. 58.

5. Hugonnier J., Kramkov D. O., Schachermayer W. On Utility Based Pricing of Contingent Claims in Incomplete Markets // Math. Finance. - 2005. -Vol. 15. - N 2.

6. Kallsen J., Muhle-Karbe J. Utility Maximization in Models with Conditionally Independent Increments // The Annals of Applied Probability. - 2010. - Vol. 20.

7. Lombardi M. J., Calzolari G. Indirect Estimation of Alpha-Stable Stochastic Volatility Models // Computational Statistics and Data Analysis, Elsevier. - 2009. - Vol. 53. - N 6.

8. McCulloch J. H. Foreign Exchange Option Pricing with Log-Stable Uncertainty // Khoury S. J. and Ghosh A. (Eds). Recent Developments in International Banking and Finance. - Vol. 1. - Lexington, 1987.

9. McCulloch J. H. The Risk-Neutral Measure and Option Pricing under Log-Stable Uncertainty. mimemo. - Ohio State University, 2003.

10. McCulloch J. H., Lee S. H. Estimation of the Risk Neutral Measure with the Stable Option Pricing Model. mimemo. - Ohio State University, 2006.

11. Mittnik S., Paolella M. S., Rachev S. T. Stationarity of Stable power-GARCH Processes // Journal of Econometrics, Elsevier. - 2002. - Vol. 106. - N 1.