Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса С1

Е. В. Васильева

УСТОЙЧИВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ДВУМЕРНЫХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ КЛАССА О1*

В работе рассматривается диффеоморфизм плоскости в себя с седловой неподвижной точкой. Предполагается, что существует нетрансверсальная гомоклиническая точка. Ранее, в статьях [1-4] были указаны условия, при которых в окрестности гомокли-нической точки существует бесконечно много устойчивых периодических точек. При этом оказывается, что один из характеристических показателей стремится к нулю с ростом периода.

Основная задача работы — доказать, что при выполнении определенных условий окрестность гомоклинической точки содержит бесконечно много устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями (результат был анонсирован в [6]).

Пусть / — диффеоморфизм плоскости, имеющий неподвижную гиперболическую точку в начале координат, т. е. / (0) = 0. Обозначим через А и ц собственные числа матрицы Д/(0). Будем предполагать, что А и ц удовлетворяют следующим неравенствам:

0 < А < 1 < ^, А^ < 1.

Обозначим 7 =

1п ^

Пусть

1 < 7 < 2

и, как обычно, Шя(0) и Ш“(0) —устойчивое и неустойчивое многообразия точки 0. Предположим, что существует гомоклиническая точка ад, т. е. т = 0 и т € Ш“(0) П Ш 8(0).

Цель работы — показать, что при выполнении определенных условий, наложенных на характер касания Шя(0) и Ш“(0), существует бесконечное множество устойчивых периодических точек, чьи характеристические показатели меньше некоторого отрицательного числа. Эти периодические точки лежат в малой окрестности гомоклинической точки. Пример такого диффеоморфизма приведен в книге [5].

Предположим, что существует окрестность точки 0 такая, что / линеен в этой окрестности. Обозначим эту окрестность через V. Введем в V координаты такие, что

/

Выберем из орбиты точки т две точки г и р, лежащие в V: г — на оси Оу, а р — на оси Ож. Пусть г = (0, уо), р = (жо, 0). Предположим, что

жо > 0, уо > 0.

Существует натуральное число т такое, что /т(г) = р. Пусть и столь малая окретсность точки г, что и С V и /т(и) С V.

* Работа выполнена в НИИММ им. акад. В.И.Смирнова СПбГУ при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-01079) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-4609.2006.1).

© Е.В.Васильева, 2007

Обозначим через L сужение fm|y. Ясно, что L — С 1-функция. Представим L в координатах x, у :

L

функции F и G принадлежат классу C1 и такие, что F(0,0) = G(0,0) = 0.

Из работ [1-4] следует, что для C^диффеоморфизма f (k > 1) такого, что

<9G

<9у дук~1 ’ <9yfc ’

можно указать дополнительные условия, при выполнении которых U содержит счетное множество устойчивых периодических точек, однако по крайней мере один из характеристических показателей стремится к нулю при стремлении периода к бесконечности. Предположим, что

F

G(x, у - уо) = y>2(x) + ^(у - уо), где ^1, ^2, 0, g — С1-функции, определенные в малой окрестности нуля. Ясно, что

¥>i(0) = ^2(0) = 0(0) = g(0) = 0.

Обозначим через a, b и с следующие величины:

^1(0) = а, ^2(0) =c, 0/(0) =b.

Пусть

b < 0, с > 0.

Для формулировки основного результата необходимо наложить дополнительные ограничения на функцию g, которые определят характер касания Ws(0) и W“(0) в точке р. Для этого рассмотрим следующие последовательности. Пусть £k — произвольная положительная убывающая числовая последоватеьность такая, что

lim £k = £ > 0.

k——ж

Положим

CTk =

Ясно, что справедливы следующие соотношения:

ak - ^k+1 = (A^)k [£k - (A^)£k+1 ] > 0 для любого k, lim (ok - ffk+1) = lim ak = 0.

k——ж k——ж

Зафиксируем постоянную s такую, что 0 < s < 1, и положим

s

£fc = т;—т—{cf к —crfc+l)-

1 + A^u,

Из условий (10) следует, что £k —положительная убывающая последовательность, стремящаяся к нулю. Кроме того, для достаточно больших k имеем

(ak - £k,ak + £k) П (ak+1 - £k+1,ak+1 + ek+1) = 0.

Из непрерывности функции д следует, что

д(<^к) ^ 0 при к ^ то.

Положим

_ УО , ^ Хкс{х0 + Ъак),

Т‘ = ^ + АЬ- 1-Л‘а ' <П)

ясно, что Тк ^ 0 при к ^ то.

Предположим, что д(<7к) удовлетворяют неравенству

\д{°к) ~ Тк\ < для любого к,

и пусть

д'

Допустим, что существует постоянная а > 0 такая, что справедливо неравенство

13»! <

Следовательно, функция д непрерывно дифференцируема в окрестности нуля и удо-

влетворяет условиям (12)—(14). Ясно, что д'(0) = 0.

Заметим, что если неравенства (2) не выполнены, то функции с перечисленными свойствами не существует. Однако в противном случае можно построить пример такой функции.

Ясно, что касание Ш“(0) и Шя(0) определяется условиями (7), (12)—(14).

Теорема. Пусть / — диффеоморфизм плоскости с неподвижной гиперболической точкой в начале координат. Пусть г — гомоклиническая точка, а и — достаточно малая окрестность точки г. Предположим, что выполняются условия (1)-(14), тогда и содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых меньше некоторого отрицательного числа.

Доказательство теоремы. Предположим, что окрестность и настолько мала, что существуют такие положительные а1, 61, С1, что справедливы следующие неравенства:

К

Рассмотрим последовательность точек г к = (жк, Ук), где

Ай(ж0 + Ьак) , ,1ГЛ

= —1-----^-----> Ук=Уо+як•

1 — Ак а

Ясно, что гк е и, если номер к достаточно велик. Далее будем рассматривать только такие к. Можно считать, что жк > 0, ук > 0.

Пусть гк = (ж к, У к) = 1кЪ{гк)- Так как Ь(гк) € /т(?7), имеем

жй = Ак[жо + у>1(жй) + 0(ай)],

Ук = Мк[^2(жк) + д(^)].

Функции ^1, ^2, 0, д принадлежат классу С1, таким образом имеем

^1(жк ) ажк + Д1кж^

^2

0(ак) = 6стк + Дзк ^к,

где Ajk (i = 1,2,3) —некоторые величины, обладающие свойством lim =

k—— ж

lim Д2д; = lim Дзд; = 0. Из соотношений (17), учитывая (11) и (13), получаем

k——ж k—— ж

xk xk + A Д1kxk + Д3kak,

__ kk/\kA

Уk = Уk - M rk + M g(Ok ) + M Д2kXk.

^ , 8bi£(1 - Aß)s , 5(1 - Aß)s , , v

Пусть а 1 = ------------, «2 = —------L±-, где величины F и s введены в (8) и (1U).

1 + Aß 8ci

Рассмотрим произвольную последовательность Jk, элементы которой удовлетворяют следующему неравенству:

Обозначим через Uk следующую окрестность точки rk:

Uk = {(x, у) : |x - Xk| < Jk, |у - у^ < £kj,

где величины £k введены ранее. Считаем, что Uk С U.

Пусть Uk = f kL(Uk), тогда можно легко показать, что для любого достаточно большого k выполнено включение

Uk с Uk.

Для ЭТОГО оценим величины \хк — xk \ W- \ук — ук\. Учитывая (18), имеем

I Ук Ук\ < 1^к\д(сгк) -тк I +,ufc|A2fc|xfc.

Из условий (19), (16), (10) следует, что для любого достаточно большого k справедливы следующие неравенства:

At|iuK = А*»(*. + |Au.| < l(AV)kdi < 4

л^д^ь, = (aV)‘&|A3»I < j(AV)4 < J,

кi л I (\ц)к(хо + Ъок) |Д2й| ^ £fc

" |Д2‘|х‘ =----------------------< Т'

Таким образом, учитывая (12), имеем

\хк-хк\<6-^, \ук-Ук\<Ц-

Из последних неравенств следует, что г к G Uk, если /г достаточно велико. Далее рассматриваются только такие k.

Зафиксируем k и выберем точку qk = (xk,у^, лежащую на границе Uk. Предположим для определенности, что справедливы следующие условия:

|xk xk| ^ yk yk + ^k.

Пусть

qk = (xk, 2/k) = f kL(xk,уД

таким образом, имеем

жк = Ак [жо + ^1(жк) + 0(У/к — уо)],

Ук = Мк [^2 (жк) + д(ук — уо)].

Существуют такие М1, м2, лежащие между жк и жк, и мз, М4, лежащие между ак и а к + £к, что

у>1(жк) = ^1(жк) + ^!(м1)(жк — жк),

^2(жк) = ^2 (жк) + ^2Ы(жк — жк),

0(ук — уо) = 0(ак) + 0'(мз)£к, д(ук — уо) = д(ак) + д'(м4)£к.

Учитывая условия (18), имеем

Хк =Хк + \к1р'1(и1)(хк - хк) + \кф'(из)ек,

Ук =Ук + цк^'2(и2)(хк ~ хк) + цкд'(и4)ек,

откуда, принимая во внимание (14), (15), (19), получим

\хк — хк\ ^ — + Ака\8к + ХкЪ\ек < 8к,

\Ук ~ Ук\ ^ -¿г + ^кс\8к -|—-г- < е*.

2 ^“к

Таким образом, имеем </к е ик для любого достаточно большого к. Аналогично можно показать, что любая точка, лежащая на границе ик, при отображении /кЬ перейдет во внутреннюю точку ик. Ясно, что /кЬ имеет в ик неподвижную точку, т. е. диффеоморфизм / имеет в и счетное множество периодических точек с периодом к + т.

Обозначим эти точки через гк и найдем их характеристические показатели. Пусть

г1 = (ж кл ак = ^(ж к^ бк = 0/(ук— уо^ ск = ^2(жк), дк = д/(ук— уо).

Легко видеть, что

Иш ак = а, Иш 6к = 6, Иш ск = с, Иш дк = 0.

7 Г1* 1 7 Г1* 1 7 Г1* 1 7

к —— ^ к —— ^ к —— ^ к ——

Обозначим через Р1(к), Р2(к) собственные числа матрицы

к к

я/кь(гк) = (А к ак Ак6 к ^ к; ^кск мкдк

Р1,2(*0 = ^Ч+Лк)±

!(/<,* -Ак4)2 + (Ам)кь*йск

Легко видеть, что р1(к) и р2(к) могут быть как действительными, так и комплексносопряженными величинами. Рассмотрим отдельно эти два случая.

1. Предположим, что существует последовательность номеров к таких, что соответствующие р1(к) и р2(к) —комплексно-сопряженные числа с ненулевой мнимой частью. Предположим, что это так для всех к. Тогда справедливо неравенство

В этом случае

к 1

\Р1

Пусть ^(к), ^(к) —характеристические показатели неподвижных точек. Известно, что они определяются следующим образом:

щ

к + т

Из условий (21) получим

нн*) ЧМ-ГЛ)' , = 1/2.

2

Из последнего равенства следует, что для достаточно больших к верно

г/«

Следовательно, если существует последовательность номеров к таких, что собственные числа матрицы Я/ кЬ(г к) имеют ненулевые мнимые части, то характеристические показатели соответствующих периодических точек ограничены сверху отрицательной

„ 1п(Ли) величинои —.

4

Более того, если справедливо неравенство а > (7 — 1)/2, то Р1(к) и Р2(к) являются комплексно сопряженными для любого достаточно большого к.

2. Предположим, что р*(к) е Д, * = 1, 2 для любого к. Это означает, что неравенство (20) нарушается. Кроме того,

7 — 1

Обозначим через

Л АЧА2 , 4(ЛМ)'£ЬкСй ^4 , • /*N,/,./,NN1

Л.(/г) — ( 1--^ ) Н *2 > ^1,2— к, *, + 811^(57.) ± (/¿(к))2,

V м кд^ м2 к дк2 м к |дк|

очевидно, что Л.(к) ^ 0.

Тогда р*(к), * = 1, 2, можно записать следующим образом:

Рг{к) = ^Щг^к), г =1,2.

Введем последовательность пк: ¡лк\дк\ = пк(Х/л)2; допустим, что имеет конечный предел. Ясно, что этот предел не может быть меньше, чем 2(—Ьс)5. В этом случае последовательность Л.(к) также сходится к некоторому отрицательному пределу, который должен быть строго меньше единицы. Ясно, что в этом случае последовательности |^г(к) |, * = 1, 2, ограничены сверху и отделены от нуля снизу.

Запишем характеристические показатели ^¿(к), * =1, 2, с учетом (22):

і(к) =

1

к + т

іп(^М)+іп |*(*0|

V

Нетрудно видеть, что в этом случае Vj

—^—-, начиная с некоторого номера.

Теперь предположим, что nk —неограниченно возрастающая последовательность, т. е. n k ^ +то при k ^ +то. Рассмотрим следующие соотношения:

к i 1 пк

Y — 1

Нетрудно видеть, что они выполняются, если ТОЛЬКО 0 < а < —. Очевидно, что

h(k) ^ 1 при k ^ то. Следовательно, для каждого достаточно большого номера k одна из величин |zi(k)|, i = 1, 2, близка к нулю, а другая — к двум. Однако если значение |zj(k)| близко к нулю, то ln |zj(k)| отрицателен. Следовательно, исходя из условий (24), (25), легко получить, что

a ln м

щ{к) <--------—, г = 1, 2.

Таким образом, если о. > ^ ^, то щ(к) ^ 1пС^аО ^ а если о < а ^ ^ ^, то щ(к) ^

— а In /х, ^ _ ^ 2 Последние оценки характеристических показателей справедливы для бесконечного числа k, начиная с некоторого номера.

Теорема доказана.

Summary

E. V. Vasilyeva. Stable periodic points of two-dimensional C1 diffeomorphisms.

The goal of this work is to prove the following result: there is a set of two-dimensional diffeomorphisms with a countable set of stable periodic points which are situated in a neighbourhood of the homoclinic point. The characteristic exponents of these points are negative and separated from

zero.

Литература

1. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической точки // Дифференц. уравнения. 1979. Т. XV. №8. С. 1411-1419.

2. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической точкой // Докл. Рос. Акад. наук. 1993. Т. 330, №2. С. 144-147.

3. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиниче-скими кривыми // Докл. Акад. наук СССР. 1986. Т. 286, №5. С. 1049-1053.

4. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1973. Vol. 12. P. 9-18.

5. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.

6. Васильева Е. В. К вопросу устойчивости периодических точек, лежащих в окрестности гомоклинической точки // Докл. Рос. Акад. наук. 2005. Т. 400. №2. С. 151-152.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.