Об алгебре инвариантности стационарного уравнения Шредингера для частицы в электромагнитном поле

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 2. С. 24-27. УДК 514.8

М.Н. Болдырева, А.А. Магазев

ОБ АЛГЕБРЕ ИНВАРИАНТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

ДЛЯ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ*

Исследуется структура алгебры инвариантности стационарного уравнения Шредин-гера для частицы во внешнем электромагнитном поле. Показано, что алгебра инвариантности представляет собой одномерное центральное расширение подалгебры векторов Киллинга, сохраняющих электромагнитное поле. Приведена классификация трех- и четырехмерных алгебр инвариантности.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, оператор симметрии, алгебра инвариантности, центральное расширение.

Введение

Мощным инструментом исследования уравнений квантовой механики являются операторы симметрии, т. е. линейные операторы, оставляющие инвариантным пространство решений уравнения. Например, используя операторы симметрии рассматриваемого уравнения, можно провести классификацию решений по неприводимым унитарным представлениям соответствующей группы симметрии [1]. Кроме того, в ряде случаев знание алгебры операторов симметрии позволяет строить точные решения уравнения. Так, в хорошо известном методе разделения переменных важным условием является наличие у рассматриваемого уравнения полной коммутативной алгебры дифференциальных операторов симметрии не выше второго порядка [2; 3]. В методе некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений также используются алгебры операторов симметрии, имеющих первый порядок [4].

Объектом исследования настоящей работы являются операторы симметрии стационарного уравнения Шредингера для частицы, находящейся во внешнем электромагнитном поле. Более конкретно мы изучаем алгебру дифференциальных операторов симметрии первого порядка.

Коммутативные алгебры операторов симметрии стационарного уравнения Шредингера в рамках проблемы разделения переменных исследовались в работе [5]. В дальнейшем результаты, полученные в указанной работе, неоднократно обобщались и уточнялись рядом авторов (см., например, [6]). Некоммутативные алгебры симметрии уравнения Шредингера представляют интерес с точки зрения некоммутативной интегрируемости

[4] и так называемой суперинтегрируемости [7]. Например, в статье [8] авторы классифицируют алгебры операторов симметрии первого порядка для уравнения Шредингера со скалярным потенциалом и массой частицы, зависящей от ее координат. Отметим здесь также работу [9], где в рамках задачи суперинтегрируемости изучаются некоторые алгебры инвариантности уравнения Шредингера для частицы в постоянном электромагнитном поле.

Структура настоящей статьи следующая. В первом разделе мы получаем определяющие уравнения для операторов симметрии первого порядка стационарного уравнения Шредингера. Посредством анализа этих уравнений мы показываем, что операторы симметрии порождаются некоторой подалгеброй О полей Киллинга трехмерного евклидового пространства, сохраняющих электромагнитное поле. Во втором разделе мы иссле-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образована и науки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности (проект № 3107).

© М.Н. Болдырева, А.А. Магазев, 2016

Об алгебре инвариантности стационарного уравнения Шредингера.

25

дуем структуру алгебры инвариантности стационарного уравнения Шредингера, образованную операторами симметрии первого порядка. Мы доказываем, что указанная алгебра представляет собой алгебру Ли, являющуюся одномерным центральным расширением алгебры О. По видимому, данный результат получен впервые. В заключение работы мы даем исчерпывающую классификацию электромагнитных полей, допускающих трех- и четырехмерные алгебры инвариантности.

Оператор симметрии первого порядка

Рассмотрим частицу с массой т и электрическим зарядом е, находящуюся в постоянном электромагнитном поле со скалярным потенциалом р и векторным потенциалом

А = (А, А, А ) • Гамильтониан частицы записывается в следующем виде:

1 3

н=—X р к+('

2т к=1

где рк=-гЬдк--Ак, дк=д/дхк, к= 1, 2, 3. с

Операторы рк коммутируют между собой согласно правилу

7 с к

где ^ = дк А ~ ^ А - антисимметричный

тензор 2-го ранга, называемый тензором магнитного поля.

Напомним, что линейный оператор XX называется оператором симметрии уравнения Шредингера

Иу = Еу,

если он коммутирует с гамильтонианом:

[И, XX ]=И XX — X И = о.

Рассмотрим наиболее общий вид оператора симметрии первого порядка (здесь и далее по нижнему и верхнему повторяющимся индексам мы подразумеваем суммирование):

е

X = £ (х) рк +-Х(х) .

Требование (4) в этом случае будет эквивалентно следующей системе равенств:

дк £ + д .к = о,

д к Х = ^ 4 ,

£ дк р= 0 . (8) Формулы (6) - (8) представляют собой определяющие уравнения для оператора симметрии уравнения Шредингера (3). Отметим, что в работах [10; 11] были получены аналогичные уравнения для интегралов движения классической заряженной частицы в электромагнитном поле.

Вектор £ , компоненты которого удовлетворяют уравнению (6), называется вектором Киллинга евклидового пространства Я3.

Известно, что всякий вектор Киллинга является линейной комбинацией шести линейно независимых векторов и :

£ = б, £кр = ха5кр — хр5ка ,

Где а,Р = 1,2,3. Операторы 4а=да и

4ар = ха д р— Хр да , ассоциированные с векторами (9), образуют базис шестимерной алгебры Ли, удовлетворяя следующим коммутационным соотношениям:

, 4у6 ] = —бау4рв + баВ4ру — бра^ау + бру£аВ,

[4р ,£у ] = —бау£р + бру£а, £а,£р] = 0 .

Данная алгебра является алгеброй Ли группы движений евклидового пространства Я3 и обозначается как е (3).

Вообще говоря, не всякий вектор Кил-линга допускает разрешимость системы уравнений (7). Действительно, допустим, что функция X является решением указанной системы, соответствующим некоторому вектору Киллинга £ . Тогда будем иметь

дк дх — д. дкХ = дк (44,) — дJ £ 1) .

Из определения тензора Ек] следует тождество дк ^ + д Еш +д1 ^ = 0, используя которое, получаем

£ д + ^ д. 4 + ^ дк 4= о.

Левая часть равенства (10) представляет собой действие оператора производной Ли

Ь на тензор Ек] , т. е.

¿Л = о.

Таким образом, мы можем сделать следующий вывод: если X - решение системы уравнений (7), отвечающее вектору Киллинга £ , то производная Ли тензора ^ вдоль £

должна быть равна нулю. Отметим, что указанное условие является не только необходимым, но и достаточным для существования решения системы (7). Действительно, в качестве соответствующего частного решения можно выбрать функцию

х

Х

х0

При этом условие (11) обеспечивает независимость данного криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Наконец, уравнение (8) представляет собой еще одно дополнительное условие, накладываемое на векторы Киллинга, участвующие в построении операторов симметрии уравнения Шредингера. Фактически учет этого условия сводится к тому, что в равенстве (11) мы должны рассматривать только те векторы Киллинга, которые подчинены требованию (8). Далее векторы Киллинга,

с

26

М.Н. Болдырева, А.А. Магазев

удовлетворяющие условиям (8) и (11), мы будем называть допустимыми.

Структура алгебры инвариантности

В силу линейности условий (8) и (11), допустимые векторы Киллинга образуют некоторое подпространство в линейном пространстве векторов с базисом (9). Более того, пространство операторов, ассоциированных с допустимыми векторами Киллинга, замкнуто относительно коммутатора, и поэтому образует некоторую алгебру Ли, которую мы обозначим символом G. Ясно, что G -подалгебра в e (3).

Выберем в алгебре G некоторый базис {ea}, и ассоциируем с этим базисом набор допустимых векторов Киллинга = (x)dk . Положим в формуле (12) ^ = и обозначим результат соответствующего интегрирования через ха • В результате мы получим набор операторов

Xa=?aWPt+tXa

С

которые по построению будут коммутировать с оператором (1).

Для векторных полей имеют место

коммутационные соотношения ] = СсаЬ ,

где величины ССЛ есть структурные константы алгебры G. Используя эти соотношения, а также равенства (2) и (7), получаем

[Xa,X„] = -ifi[c:bXc+^nal>y

где мы ввели обозначение

^ - саь Хс + .

Нетрудно убедиться, что величины Qab, определяемые формулой (15), являются постоянными (т. е. не зависящими от координат). В самом деле, хорошо известно, что коммутатор двух операторов симметрии есть снова оператор симметрии. Это означает, что оператор, стоящий в правой части равенства (14), коммутирует с гамильтонианом

H . Но отсюда немедленно следует условие [H, Qab ] = 0, что возможно тогда и только тогда, когда QаЪ = const.

Введем оператор X0 — e / а , рассматриваемый как тривиальный оператор симметрии уравнения (3). Из (14) следует, что данный оператор вместе с операторами (13) образуют некоторую алгебру Ли G . Эта алгебра называется алгебра инвариантности уравнения Шредингера (3).

Нетрудно видеть, что тривиальный оператор симметрии X0 содержится в центре алгебры G , а соответствующая фактор-алгебра G/{X0} изоморфна алгебре G. Это

означает, что алгебра инвариантности уравнения Шредингера представляет собой центральное расширение алгебры О допустимых векторов Киллинга (по поводу теории центральных расширений алгебр Ли см., например, [12]).

Может так случиться, что ОаЬ = СсаЬ Лс, где Лс - некоторые постоянные величины. Тогда из (14) получаем:

[xa,xb] = -m<z \ хс+-лс

Введем вместо Xа новые операторы

симметрии Xa = Xa + (e / о)Ла, отличающиеся от прежних на постоянные слагаемые. Тогда будем иметь

[ха,хь]=-лс:Х-

Следовательно, в данном случае алгебра G раскладывается в прямую сумму алгебры G и одномерного центра, образованного тривиальным оператором X0 = e / c . Центральные расширения такого вида называются тривиальнъми.

Классификация трех- и четырехмерных алгебр инвариантности стационарного уравнения Шредингера

Методика, изложенная в предыдущих разделах, позволяет конструировать алгебру инвариантности стационарного уравнения Шредингера по заданному внешнему электромагнитному полю. Можно, однако, решать и несколько иную задачу. А именно, зафиксировав некоторую подалгебру G в алгебре е(3), можно найти электромагнитное поле, для которого подалгебра G является допустимой. После этого мы можем явно выписать операторы симметрии, образующие алгебру инвариантности в найденном внешнем поле. При этом, если нам будут известны все подалгебры алгебры Ли e (3), мы сможем явно перечислить все возможные алгебры инвариантности уравнения (3).

Классификация всех подалгебр алгебры e (3) приведена в монографии [13]. С точки зрения приложений наиболее интересны трех- и четырехмерные подалгебры допустимых векторов Киллинга, поэтому далее для всех таких подалгебр мы вписываем скалярный и векторный потенциалы внешнего поля. Мы также приводим явный вид операторов, образующих соответствующую алгебру инвариантности уравнения Шредингера в данном поле, выписываем коммутационные соотношения между ними и явно выделяем случаи, когда полученные операторы образуют тривиальное центральное расширение.

1) G = (ôj, ô2, ô3} . Потенциалы электромагнитного поля: a = о, A = ax,

A = a2x1 + аъх2 , P = 0 , a, a, a ~ const . Алгебра инвариантности:

Об алгебре инвариантности стационарного уравнения Шредингера...

27

Xj = pl — (ax + °2хз),

x2 = р2 +—(ах — ах),

с

X = р3 + е (ах + ах);

с

\Х1 , Х2 ] = -ИщХ0, |X,.X, | = -Иш2Х0,

[Х2,Х3] = Рш3Х0. Центральное расширение не тривиальное.

2) О = {х д2 — хд, Хд3 — Хд2, Х д — Хд}.

Потенциалы электромагнитного поля:

4 =

(Xj2 + х^)г'

А, =-

(Xj2 + х^)г'

А = 0, р = рр

где r = х2 + х22 + х32 , a — const. Алгебра инва-

риантности:

т e ax3

= ХР 2 — Xp1 ,

c r

e ax

X2 — X2p 3 XP2 '

c r

e ax2

X3 — XP3 -XP1 +--;

c r

[Xj, X2 ] = -itx,, [Xj, X3 ] = Ш2,

[X2,X3] = -ihXl. Центральное расширение тривиальное. 3) G — {x S2-xd\+°}— , dx, S2 }, o)> 0 . Потенциалы электромагнитного поля: — 0, — a^X\, A — a2 (X sin( x) - X cos( x)) + +a3 (x cos(x) + X sin(x)), Ф — 0, где a,a,a - const. Алгебра инвариантности:

Xj — xP2 - xPi + 0) 1 Рз + — — (xj2 + x2) +

c 2

+ — o la2 (x sin(o x) — X cos(o x)) +

+ — o a (x cos(o x)+ X sin(o x)), л e e

X2 = pj — ax +—o(a cos(o x)—a sin(o x)), c c

л e e

X3 = p2 + _ ax +—o—1 (a sin(o x)+a cos(o x)) • c c

[Xj, X2 ]=mx3, [Xj, X3 ] = -Ж-,,

[Х2,Х3] = -7?цХ0.

При a ^ 0 центральное расширение тривиальное.

4) G = {xjS2 — x2Sj,Sj,d2, d3} . Потенциалы электромагнитного поля: А = 0 , А = ax > А = 0 , р= 0 , a — const . Алгебра инвариантности:

T _ л л ea 2 2ч

X 1 = xiP2 — x2 Р1 + Г (xi + x2 ), c 2

X2 = pj — ax, X3 = p2 +— ax, XT^ = p3, с с

[Xj ,x2]=ihx3, [Xj, X3 ] = -iñX-, , [Х2,Х3] = -7йоХ0.

Центральное расширение нетривиальное.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике. М. : Мир, 1974. 250 с.

[2] Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М. : Мир, 1981. 344 с.

[3] Шаповалов В. Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. №. 10. С. 1864-1874.

[4] Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // Теоретическая и математическая физика. 1995. Т. 104. № 2. С. 195-213.

[5] Шаповалов В. Н., Багров В. Г., Мешков А. Г. Разделение переменных в стационарном уравнении Шредингера // Известия вузов. Физика. 1972. № 8. С. 45-50.

[6] Zhalij A. Quantum integrable systems in three-dimensional magnetic fields: the Cartesian case // Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing, 2015. Т. 621. №. 1. P. 012-019.

[7] Miller Jr. W., Post S., Winternitz P. Classical and quantum superintegrability with applications // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2013. Т. 46. №. 42. С. 423001.

[8] Niktin A. G., Zasadko T. M. Superintegrable systems with position dependent mass // Journal of Mathematical Physics. 2015. Т. 56. №. 4. P. 042101.

[9] Marchesiello A., Snobl L., Winternitz P. Three-dimensional superintegrable systems in a static electromagnetic field //Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2015. Т. 48. №. 39. P. 395206.

[10] Van Holten J. W. Covariant hamiltonian dynamics // Physical Review D. 2007. Т. 75. №. 2. P. 025027.

[11] Магазев А. А. Магнитные геодезические потоки на однородных многообразиях // Известия вузов. Физика. 2014. Т. 57. №. 3. С. 312-320.

[12] Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М. : Мир, 1981. 336 с.

[13] Фущич В. И., Баранник Л. Ф., Баранник А. Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук. думка, 1991. 304 с.

a x^ x^

a xj x^