Об алгебраических операциях на графах, сохраняющих степенную последовательность

48

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

Краткие сообщения

УДК 519.171.4; 519.178

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЯХ НА ГРАФАХ, СОХРАНЯЮЩИХ СТЕПЕННУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

М. И. Лашева1

В работе рассматривается конечно-автоматная реализация алгоритма перехода от одного заданного графа к другому с сохранением степенной последовательности. Изучаемый алгоритм может быть использован для оптимизации свойств компьютерных сетей с заданным множеством провайдеров и ограничениями на коммутационные возможности каждого из них. При этом необходимо знать лишь локальные свойства сети, а не глобальные ее характеристики, как в алгоритме В. Гавела-С. Хакими.

Ключевые слова: степенная последовательность, конечный автомат.

A finite state automaton implementation of the algorithm of a transformation from a given graph to another one with keeping a degree sequence is considered. The algorithm studied here may be used for optimization of computer networks with a given set of providers and restrictions posed on their communication capability. In this case it is sufficient to know only local characteristics of a netwok, but not global ones as it is required in the algorithm of V. Gavel and S. Hakimi.

Key words: degree sequence, finite state automaton.

В 1962 г. С. Хакими, изучая проблему нахождения всех возможных схем строения молекулы данного химического соединения, поставил задачу построения эффективного алгоритма для перебора всех графических реализаций заданной степенной последовательности, допускающих существование кратных ребер [1]. При этом ранее, в 1955 г., В. Гавелом была предложена процедура перехода от одного заданного неориентированного графа без петель и кратных ребер к другому с сохранением степенной последовательности [2]. Этот переход осуществляется путем последовательного выполнения операций переключения ребер, исключающих получение кратных ребер и петель в неориентированных графах [3].

В настоящей работе рассматривается конечно-автоматная реализация описанного в [4] алгоритма, позволяющая оптимизировать его время работы по сравнению с известным алгоритмом из [2]. А именно полученный в работе [4] алгоритм А для неориентированного графа без петель и кратных ребер с п вершинами, степень каждой из которых не превосходит к, дает возможность осуществить указанный переход за время 0(к2п2). При фиксированном к эта оценка лучше, чем оценка 0(п2^2п) для алгоритма [2], вытекающая из описания процедуры, изложенной В. Гавелом и С. Хакими.

Изучаемый алгоритм А может быть использован для оптимизации свойств компьютерных сетей с заданным множеством провайдеров и ограничениями на коммутационные возможности каждого из них. При этом необходимо знать лишь локальные свойства сети, а не глобальные ее характеристики, как в алгоритме В. Гавела-С. Хакими.

Пару Ох ,С2 : Ог = (Уг ,Шг), Уг = {Уг,1,...,Уг,и}, г = 1,2, degVlJ• = degV2j, ] = 1,...,п, неориентированных графов без петель и кратных ребер с п вершинами (далее — графов) зададим квадратной

матрицей М(0) = (а(0))пхп, каждый элемент которой может принимать значения из некоторого конеч-

ного множества Ь. Конечный автомат У [5], "обрабатывая" такую матрицу, в каждый момент времени Ь получает на вход некоторый элемент а^ квадратной матрицы М= (а^)пхп :

ajj е L, i = l,...,n, j = l,...,n.

1 Лашева Мария Игоревна — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

maria.lasheva@gmail.com.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

49

В зависимости от аЗ автомат V переходит в новое состояние, и, изменив, быть может, элемент аЗ, он в

момент времени Ь + 1 получит на вход либо элемент , либо соседний с ним. При этом элементы Ь3

и Ь^у матрицы В называются соседними, если \г — г'\ + Ц — ]'\ = 1.

В момент времени Ь = 0 автомат V получает на вход элемент аЦ матрицы М(0) и заканчивает работу при переходе в некоторое конечное состояние. Если автомат V закончил работу в момент , то матрица М(1к) соответствует паре изоморфных графов С1 и О'2. При этом автомат V фактически выполняет последовательное переключение ребер графов, переводя пару занумерованных графов С\ , О2 в пару С'1,С2.

Алгоритм А, свойства которого рассматриваются в настоящей работе, реализует следующую идею. Вершины графов Ог,г = 1, 2, с одинаковыми степенными последовательностями нумеруются в порядке невозрастания их степеней. Матрица М(0) = (аЗ)пхп определяется парой этих графов, а по элементам

а(0) определяется наличие ребер между г-й и ]-й вершинами как в графе О1, так и в графе О2. Исходя из пары занумерованных графов О1 ,О2 автомат V находит два ребра, принадлежащие либо О1, либо О2, такие, что, применив к ним операцию переключения ребер, получим пару занумерованных графов с большим числом соответствующих ребер. При этом соответствующими называем ребра занумерованных графов О1,О2, соединяющие вершины с одинаковыми номерами. Эта процедура продолжается до тех пор, пока автомат V не преобразует исходную матрицу к матрице, соответствующей паре изоморфных графов.

Рассматриваемый алгоритм корректен, т.е. верна

Теорема 1. Для любой пары занумерованных графов О1, О2 изучаемый алгоритм строит матрицу, соответствующую паре изоморфных графов О\,О'2.

Для времени работы алгоритма А справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Время работы алгоритма А для пары занумерованных графов с п вершинами, степень каждой из которых не более к, составляет 0(к2п2).

(0)л _ „2

Размер задачи определим как количество элементов квадратной матрицы М(0) = (аЗ)пхп, т.е

n

Из существования конечно-автоматной реализации рассматриваемого алгоритма следует

Теорема 3. Объем памяти алгоритма А отличается от размера задачи не более чем на константу.

В 1963 г. Г. Райзер в работе [6] рассмотрел операцию, при которой в орграфе без кратных ориентированных ребер два ориентированных ребра (а,Ь), (с,й) могут быть заменены на (а,й), (с,Ь); при этом допускаются ориентированные петли. Он доказал, что, используя эту операцию, любой орграф без кратных ориентированных ребер можно перевести в любой другой такой орграф, имеющий те же степенные последовательности как по входящим, так и по исходящим ориентированным ребрам.

В работе [4] были введены операция переключения для орграфов, не допускающая образования петель и кратных ориентированных ребер, и операция переключения для гиперграфов, не допускающая образования кратных гиперребер. Также были построены алгоритмы, позволяющие распространить результаты теорем 1-3 на орграфы без петель и кратных ориентированных ребер (далее — орграфы) и на гиперграфы без кратных гиперребер (далее — гиперграфы).

Теорема 4. Для любой пары занумерованных орграфов О1 ,О2 алгоритм для орграфов [4] строит матрицу, соответствующую паре изоморфных орграфов О1,О2. Время работы этого алгоритма для пары занумерованных орграфов с п вершинами, степень каждой из которых — сумма входящих и исходящих ориентированных ребер — не более к, составляет 0(к2п2), а объем памяти отличается от размера задачи не более чем на константу.

Теорема 5. Для любой пары занумерованных гиперграфов О1, О2 алгоритм для гиперграфов [4] строит матрицу, соответствующую паре изоморфных гиперграфов О\,О'2. Время работы этого алгоритма для пары занумерованных гиперграфов с п вершинами, степень каждой из которых не более к, и гиперребрами, каждое из которых содержит не более т вершин, составляет 0((max(k,m))222п), а объем памяти отличается от размера задачи не более чем на константу.

Автор приносит благодарность А. А. Часовских за руководство над работой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hakimi S.L. On realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a linear graphs. I // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1962. 10, N 3. 496-506.

2. Гавел В. Заметка о существовании конечных графов // Cas. Pest. Mat. 1955. 80, N 4. 477-481.

50

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2009. №5

3. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.

4. Лашева М.И. Об алгебраических операциях на графах, сохраняющих степенную последовательность // Интел. системы. 2007. 11. 551-592.

5. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

6. Ryser H.J. Combinatorial Mathematics. Rahway, N. J.: Mathematical Association of America, XIV, 1963.

Поступила в редакцию 01.02.2008

УДК 519.633.6

К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ОДНОЙ НЕУСТОЙЧИВОЙ ЗАДАЧИ

И. В. Федорова1, Е.В. Чижонков2

При моделировании кильватерных волн, возбуждаемых в плазме лазерным импульсом, групповая скорость импульса, как правило, меньше скорости света, в отличие от традиционного допущения об их совпадении. В настоящей работе показывается, что учет различия скоростей приводит к экспоненциальной неустойчивости модели. Дополнительно устанавливается равносильность рассматриваемой неустойчивой и вспомогательной устойчивой задач. Это свойство позволяет одновременно конструировать устойчивые численные алгоритмы их решения.

Ключевые слова: кильватерная волна, колебания плотности электронов, плазма, лазерный импульс, неустойчивая задача, численные алгоритмы, малый параметр.

While modelling nonlinear wakefield excited with a short laser pulse in a plasma channel, the pulse group speed is normally less than the speed of light, whereas they are usually considered to be equal. This paper shows that consideration of the speed difference leads to an exponential unstability of the model. It is also proved that this unstable problem is equivalent to a specific stable problem. This feature allows us to develop stable numerical schemes for their solution.

Key words: nonlinear wakefield, electron density oscillation, plasma channel, short laser pulse, unstable problem, numerical scheme, small parameter.

Рассмотрим в области О = {(р,т) : К ^ р ^ 0, т ^ 0} задачу Коши для линейной системы уравнений

д2ф

дрдт д2ф 1 д

dq

( 927 rfiq

£ \дрдт ^ дт2

дт2 р др

- Д±(ф - y)+Ф - Y = 0

относительно неизвестных функций ф(р, т) и q(p, т) с заданными граничными

дф

др

= q(0,т) = ф(Е,т)= q(R^)=0 Ут ^ 0

р=0

и начальными условиями при т = 0, R ^ р ^ 0 :

ф(р, 0) = А(р),

дф

дт

= В(р),

т=0

1 Федорова Инна Вячеславовна — соискатель каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fedorova@isean.ru.

Чижонков Евгений Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chizhonk@mech.math.msu.su.

q