Специальная система уравнений для функций и однородная смешанная краевая задача с параметрами

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

А.С. Сорокин

СПЕЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ДЛЯ ФУНКЦИИ И ОДНОРОДНАЯ СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПАРАМЕТРАМИ

Введение. Начало теории краевых задач было положено в первом десятилетии прошлого столетия работами классиков математики Д. Гильбертом и А. Пуанкаре; и она была существенно продвинута трудами Ф. Нетера и Т. Карлемана. Последующий период развития этой теории почти целиком связан с трудами российских математиков. В работах С.Г.Михлина, И.И.Данилюка, В.Н.Монахова, И.Н.Векуа, Э.И.Зверовича, П.А. Крутицкого, Ф.Д. Гахова основное внимание уделено качественному исследованию решений краевых задач. Решение многих практически важных задач (например, смешанная задача аналитических функций для односвязных и двусвязных областей, задача Дирихле для плоскости со щелями) в работах Ф.Д.Гахова, Н.И.мусхелишвили, А.В.Бицадзе, Л.И. Седова, Г.М.Голузина, Л.А. Аксентьева, Л.Е. Дундученко даётся в замкнутой форме. Используя методы теории функций комплексного переменного, строится интегральное представление регулярной и однозначной в многосвязной круговой области функции, являющейся решением смешанной задачи аналитических функций в этой области, с явным заданием ядерных функций.

Указанные формулы, обобщающие формулу Шварца на случай конечносвязных круговых областей, представляет собой развитие и усиление результатов В.Н. Монахова [1] и П.А. Крутицкого [2,3].

В настоящей статье продолжаются исследования аналитических представлений решений краевых задач теории аналитических функций [47]. Целью данной работы является построение представления регулярной и однозначной в многосвязной круговой области функции, являющейся общим решением смешанной однородной краевой задачи с параметрами в классе Мусхелишвили И0 [5-11] . В связи с необходимостью преодоления эффектов многозначности, проявляющихся из-за многосвязности области, указываются дополнительные условия разрешимости задачи.

1.Специальная система уравнений для функций рк {г). Пусть вещественные числа

Як > 0 и комплексные числа ак (а0 = ап = О, к= 0,1,.,п) таковы, что выполняются неравенства

Ы < Ео - Кк, К - ] > Кк - ,

к Ф ]; к=1,..,п

Рассмотрим область К в плоскости г, представляющую пересечение круга Д0: |г| < Я0, с

внешностью кругов Дк:. - ак| > Як, к= 0,1,.,п,

где ак и Як удовлетворяют условиям (1.1), и называть её (п+1) - связной круговой областью. Пусть на граничных компонентах Ск- ак\ = Як, к=0,1,..,п, заданы точки

а1,к; Ъ1,к; а2,к; Ъ2,к; ...; арк ,к; Ърк ,к

расположенные в порядке записи.

Сформулируем смешанную краевую задачу для многосвязных круговых областей. Следуя Монахову [1, гл.1, §4, п.6], назовём ее задачей Р:

Нахождение аналитической внутри (п+1)-связной круговой области К функции Дг) по известным значениям её вещественной части Дк (£) на дугах а,к;Ъ, к,] = 1,...,рк , и по известным

значениям её мнимой части (£) на дугах

рк +1, к = а1,к

Ъ]к; а, „ ,,, ] = 1,..., рк, а |1к = а,,, и

+1,к п Рк

N = {],к + Ч],к ) вещественных

постоянных

к=0 ]=1

и™ 1 1 и]Л , т = 1,..., р,, ] = I,.., Рк.

к=

0,1,.,п

и V],к , м = 1,...,], ] = 1,...,Р,, к= 0,1,.,п сведём к решению специальных систем уравнений, используя представление функцию Дг) в виде [4]

Д {г ) = М + {г ),

к=0

где М - некоторая постоянная, рк {г) - регулярная функция в Дк, к= 0,1,.,п Обозначим

Ок {г) = ШР - Ъ], ))Р - а,,,) , 0,1,,п

]=1

где рассматривается та ветвь корня, которая положительна на бесконечности. Введем обозначения

Л (с)=

~ Рк I \

л(с) на дУгах 4=и ((; 1 I

1=1

Рк, .

(с) на дугах ^=и (; а1+1,к \

1=1

где

I (с)=

1 = 1,..., Рк; к= О,1,.,«

Рк

!к (с) на дугах£к \ и 1

1=1

/к (с)+Гк (с)на дугах Ь,к =

и ( Р ^

~к (с) =

1 = 1,...,Рк; к = 0,1,...,«,

Рк

8к(с) на дУгахЬ \ и 1,

а(с)-,,ч

IШ (/ | ( С (Л

ик( Ж, ^=1

1=1

& (С)+(С)<к на дугах 1 =

-1-к '1,« / ч

Еф.,1 (-V; -ЕЕФ к (-(,

1=1 ;=1

Рк ,к / ,

Е Ефк ( ¿чМ*,

1=1 ч=1

где

Фк(г,а,р) = - |

— Л

О.

с.к

с--

Ог,

К (с, а, Р) =

к

на

дУгах (а,р) с ск(с),

О на дугах Ск (с) \ (а, р). Из формул (1.4) следует, что функции Ок (с), к= 0,1,.,« на : на дугах

а] к; 1, 1 = 1,.., Рк, принимает чисто мнимые значения.

В силу принятых обозначений на граничных компонентах Ок (с) области К имеют место следующие соотношения

ок (с)/ (с)-0к (с)I (с) = 2Ок (с)./к (с),

се Ск

В дальнейшем нам потребуется Лемма 1.1. Если сеСк(с), то имеет место

следующее соотношение

Г

1 = 1,...,Рк; к = 0,1,...,«. Функцию я(с) = Ок (с), се Ск (с), к= 0,1,.,« будем называть коэффициентом задачи Р. Обозначим

2Чаг§А

причем все кривые Ск (с) обходятся в положительном направлении относительно области Ок

(внутренние кривые Ск (с) по часовой стрелке,

«

наружная - против). Величину К = Е Кк назовём

к=0

2- а 1п (с-А) 1 = 2- а 1п(с-ак) 2— ) 2—

- 2- а 1п

2т

где

4 (с)=

- £

-к\ы~ ак +-

, к= 0,1,.,«

с- ак

Для доказательства леммы достаточно заметить, что для точек, лежащих на Ск (с), выполняется следующее тождество ^ - £

с -ак +

к= 0,1,.,« .

индексом задачи Р.

С целью более компактной записи

« Рк / ч

N = ЕЕк + к) вещественных постоян-

к=0 1=1

ных и1к , ; = Р}-к 1 = 1,...,Рк , к= 0,1,.=«

и УЧк , 4 = 1,...,4},к , 1 = 1,...,Рк , к= 0,1,.=«

будем использовать постоянные ^ , 1= 1,.,N , связанные соотношением

N Рк Р ,к

1,к

с- ак

Обратимся к выводу специальных систем уравнений для определения функций (г),

к= 0,1,.,«.

Умножим обе части равенства (1.5) на

1 ас

--2— и проинтегрируем произведение по

2— с - -

С; (с), ;= 0,1,.,« , предполагая, что г еК, получим

^ Г О(с) 1 (с)ас Г ас

2— с/(с) с- - 2—с;(с) с- -

N

=р.

1=1

где

¿к (-)=-3- I ас,

Применяя ко второму интегралу в формуле (1.8) лемму 1.1 имеем

± г Ок (с)/(с) с 1 г О (с)/(с)~

2—

Г О^слуас Г ^

с/(с) с- - 2—Ск(с) с- ак

+ 2- | ^Щ^ = {г)+£Ф,,]{г>,]

2л1с,{С) С-Ьк{г) ]=1

Затем в полученном равенстве (1.10) заменим Д {г) по формуле (1.3) и, преобразовав результат с помощью формул Коши и (1.7) , придём к следующим соотношениям: В случае к=0

00 {г М + О0 {г )

п ____N

-Xо0Ь0{

Р=1 ]=1

В случае кф0

__п ___

0к{г

Р=0 рфк

—

+ М0кЬк {г) + X 0кЬк {г

р=0 р фк

+

N

ХФк,]^К ' к = 1'...'п.

]=1

т \ / т

понимать

ЬкЬт {гX УРЬк {гX ¥/рЬкЬт {г).

Полагая в (1.11) г=0 и в (1.12) г = ю , с учётом р0{0) = 0 и рр(оо)= 0, р = 1,...,п, получаем соответственно

О0{0)М -МО0

]=1

- МоЛОк)-¿0, {а, )

¿¿0{г) + ХФ0,]{гК -О0{0)М

]=1

_ _

0к {т )

р=0 рфк

N

МОкЬк {г )-¿к {г )-ХФк,] {г К

]=1

к = 1,..., п.

Введём обозначения

Л00 = к = 1,..., п.

Тогда из (1.15) и (1.16) следует

¿0 )-¿0 {0)

р=1

О0 {г )

+огл {т )-Ф0,] о>)к+( ооЩ -1

00 {т ) ]=1 100 {т )

Л

М,

« _

р=0 рфк

В формулах (1.11) и (1.12) под ркЬт{г) понимается суперпозиция функций рк {/) и 1 = Ьт {г) = Ьт {г); так же следует в дальнейшем

)-ш М+

0к V) ) 0к)

5к XФ0,]{т, к = 1,...,п.

символы

0к {г) £

Заметим, что правые части системы (1.17) -(1.18) есть линейные функции относительно

М, М , w], ] = 1,...,N.

Функции рк{г), к = 1,...,п, будем отыскивать в виде суммы

Рк {г ) = МРк {г )+ МР

+

N

]=1

р=0 рфк

+ Х0А{ю)

р=0 рфк

Заметим, что соотношение (1.14) является тождеством. Тогда с помощью (1.13) система (1.11) и (1.12) принимает вид

00 {гр0 {г) - XX [°0Ь0 {гррЬ0 {г^ р=1

где Рк{гX Рк{г), (рк{г), Рк,]{г), ] = 1,...,N -

регулярные функции в Дк , к = 1,...,п.

Подставив (1.19) в (1.17) и (1.18) и приравняв коэффициенты приМ, М и ] = 1,. .,N.

получим

п _

рк{г)-А{г)ХррЬк{г) Ък = Фк(г),

р=0 рфк

'

к = 0,1,..., п,

п _

р=1

2

со

г

0

г

с

г

У0

Р=1

У к

p=0

рфк

= 0,

z

= 0,

к = 1,..., n.

Ук (z) - Ak (z)Z VpLk (z) = Gk (z),

Р=0 p^k

k = 1,..., n,

Ук^

p=0

p^k

[ (z) -Фк,; (bk)],

Gk

где

Фк

Gk

G (z ) = ^ -1

G0

^kWZ-i Vp ^k*

p=0 pф к

k= 0,1,.,n

Ук (z )=yf(zMíz),

значений (с ) задачи Р.

Установим условия при которых поставленная выше задача Р имеет решение в классе однозначных функций.

В каждом дополнении многосвязной области К возьмём ровно по одной точке г*к, к = 0,1,...,«, ¿¡е СБк.

Умножая обе части равенства (1.5) на

1 ас

---— и проинтегрируем произведение по

2— с - -1

Ск (с), к = 0,1,...,«, предполагая, что е СК. Тогда с помощью леммы 1.1 получим

± Г ок (с)/(с) 2—

j = 1,...,N, к= 0,1,.,п

Я Ck"fc) С zk

1 Г Gk

2™ Cf(c) С-ак

1 f Gk (С)/(С),

Tí J

ld£

,С

+- I ^^чщйС

2™ct

N

g;

При этом b0 = 0, bk =да, к = 1,...,п. Пусть

Ук (z) = Ук (z) + Ук (z), УУ (z) = У к (z) - У к (z X

к= 0,1,.,п (1.28) Из (1.21) - (1.24) с учётом (1.28) следует

У!(z)-Ak(z)Z7pLk(z) l = Gk(z),

p=0 p^k

к = 0,1,..., n,

Уf(z) + Ak (z)z ^Lk (z) : =SkGk (z),

Таким образом, функции Ук (z) и Ук (z), к = 0,1,...,п определяются с помощью соотноше-

= FkЙ+Жjj, к= 0,1,.,п

j=1

В соотношении (2.1) заменим /(С) по формуле (1.3) и преобразовав результат с помощью формулы (1.7) и формулы Коши, получим : В случае к=0

G0L0

- Z G0 (z0\>p (z0) = F0 fe)+£Ф0,j (z0,

p=1 j=1

z0e CL>0.

В случае кф0

MGk

p=0 p^k

+MGkLk (;) ¿[gA (z¡}ppLk fe)- Gk (акУ a)] =

+

p=0 p^k

Ук(z)=У(^), k= 0,1,.,n (1.32) 2. Условия согласованности граничных

Л ф.,1 , к = 1,...,«.

1=1

В частности, если точки выбраны следующим образом: г"0 = <х>, г*к = ак, к = 1,...,«, то соотношение (2.2) превращается в тождество, а формулы (2.3) принимают вид

МО.

z

z

к

+X [0к {ак Урр {ак) - 0к {к Урр &)]

р=0 рфк

N

= ¿к {ак) + ХФ,,]{а,, к = 1,...,п.

]=1

Введём обозначения

Рк = Рк {а, )

~ N

1т<~ 1та ,,+2 1тР -Х1т<~

т,^+1 т,п+2 / т / - т

т, ] ]

]=1 N

1т~р,№1 1т°>+2 1тРр-Х1т~

. М>

р,] ]

]=1

= 0,

+ X [ок {ак )р р {ак ) - 0к {ак )рр {ак )],

р=0 рфк

а,

к,] =-Ф к,; {ак)

к ф т ф р; к= 0,1,.,п Раскрыв этот определитель по элементам последнего столбца, получаем п-1 условий согласованности граничных значений

Д{С), к = 0,1,...,п, в следующем виде

+ XX [0к {ак )Рр, ] {ак ) - 0к {ак рр,] {ак )]

А „

р=0 рфк

1т /Зр - X 1т с?

ж.

p,] ]

]=1

а

к ,N+1 _ к

+

0к {ак )- 0к {ак ) X [ок {ак к {ак) - ок

-А

кр

1т Рт -X 1тС~-

Ж .

]

+ А.

р=0 рфк

=1 N

= 0,

+2 = {ак)- 0к{ак) X [ок {ак

1т рк ^ 1т ак

_ ]=1

к ф т ф р; к= 0,1,.,п

где

р=0 р фк

А =

тр

1тар,^1 1тар,^2

ф 0

есть основной определитель системы (2.11). Преобразуем систему (2.12) к виду

Из (1.13) и (2.4) с учётом (2.5), (2.6), (2.7), (2.8) получаем систему уравнений относительно

М, М и ^,] = 1,...,N

N ~

Xек,]™] и+1 Яе М + +2 1т М = Д,

]=1

к= 0,1,.,п

Применяя к (2.9) метод кластерного агрегирования [12], основанный на объединении (агрегировании) отдельных уравнений системы (2.9) в отдельные группы (кластеры), сформируем два кластера:

-Xке Ф,] а ь=ке рк а),к=0,l,..., п

N

XАKш,pWJ =А к ,т, р , к ф т ф р;

]=1

к= 0,1,.,п

где

А

к ,т, р

А

к ,т, р

1т<~ N+1 1т<~к ,N+2 1т Р

1т +1 1т +2 1т Рт

1т<~р^+1 1т<~р^+2 1т Рр

1т<~ ,N+1 1т~ ,N+2 1так, ]

+1 +2 1т<~т, ]

1т р^+1 1тс~р^+2 1т "р.]

]=1

.

Решение системы (2.11) в этом случае имеет

(2.10) вид

X1т , ^ +1т ,N+1Яе М

Яе М = -

1

А _

+ 1т ак ^+2 1т М = 1т Р,,

к= 0,1,.,п (2.11) Пусть - ранг системы (2.11) . Если ^=2, то правые части (2.11) связаны условиями совместности системы

1т рт 1татД+2

1т Рр ^тар^+2

N 1

-X-А

тр

1т а т  1т ат

т, ] т

1т а р . 1т а

р,Я +2

ж,-

1т М =

А.

тр

1т а

т,м+1 1т Р,

p,N+1

1тарМ+1 1т Р

1

N 1

-X-

¿—I Л

1 А,

]=1 тр

1т а м+1 1т Р

т,Ы+1 / т

\та„ ш+ 1тР

и>. т ф р.

^,N+1 1т Рр ]'

Если rg=1, то систему (2.11) преобразуем к виду а

1т«к,N+1 ЯеМ =1тД - 1т«к,N+21тМ

N

-X 1т~]], к= 0,1,.,п

=1

В этом случае имеем п условий совместности системы

N 1

-X-а

тр

1тат,] 1т ат^+2 1т<~р,] 1т<~р^+2

1т М =

А,

1та рМ+ 1т Р

N 1

^ Л

1А

=1 тр

1 1т +1 1т Д

тр ...ххх ^ p,N+1

1т~т,N+1 1т Р

1т<~„„ + 1т Р

м,, т ф р.

1ва« ^- Imа,N+2ImM^"а,

=1

~ N

^тД! 1тРт -Imаm,N+2ImM

. М-

т,

]=1

р, N+1 ---р

Теорема 2.2. Если ранг системы (2.9) ^=1, то для решения задачи Р должны выполняться 2п+1 условий

=0,

к ф т; к= 0,1,.,п Эти условия можно представить в виде

=1

Тта,

,,N+1

М

т,] ]

]=1

^ПОц ^ -Imak,N+2ImM-XIma

_ ]=1

к ф т; к= 0,1,.,п (2.16) Преобразуем систему (2.16) к виду

XАk,mWj +Ат,т ¡тМ = Ак,т, к ф т; к = 0,1,...,п,

=1

-^КеФк,]{акV, = М,к), к = 0,1,...,п,

=1

и кроме того, Яе М в системе (1.17) - (1.18) вычисляются по формуле

—~ М. Imаm

ЯеМ=•

ЩРт ^к

N

,,N+2

=0,

ImM -V-¿—1

N

УЛк^, +Аткт !т М = А кт, к ф т;

^^ к,т ] к,т к,т ? '

]=1

к= 0,1,.,п

]=1 хи 1Ь1т,^+1

Рассмотрим систему (2.18) 2п уравнений с N неизвестными.

Из (2.18) следует, что матрица коэффициентов при неизвестных имеет вид

Б1" =

2п

п+1

=

п-1

А

к,т, р

где

А к ,т

Тта

к N+1

!т Рк

Imt?m,N+1 !т Рт

Атк ,т = к ,т

^так,N+1 !т ак,N +2 ^«т, N +1 +2

Ак =

к ,т

1так N+1 !т а,, ] 1тат,М + 1 ат, ]

Имеет место

Теорема 2.1. Если ранг системы (2.9) гg=2, то для решения задачи Р должны выполняться 2п условий

N

XАk,m,pW] = Ак,т,р , к ф т ф р; к = 0,1,...,n,

j=N

-XЯеФ,, а)] = Яе/,{а,), к = 0,1,...,п, „ ]=1

и кроме того, Яе М и !т М в системе (1.17) -(1.18) вычисляются по формулам

<+1 =||- Яе ^,] {ак |п+1,ц.

Пусть матрица коэффициентов в системе уравнений (2.18) имеет ранг г. Тогда надлежащей перестановкой уравнений и изменением нумерации неизвестных можно добиться, что миноры до г - го порядка включительно будут отличны от нуля. [14]. Имеет место неравенство

г < тт

Система линейных уравнений (2.18) относительно неизвестных ,] = 1,...,N, в которой

число уравнений 2п меньше число неизвестных, 2п<N имеет решение , Обозначим базисные неизвестные М  ] = 1... г а свободные неизвестные ,] = г +1,...,N. Тогда общее решение системы (2.18) имеет вид

N

М = А + X А М к,

р р ¿^и р,к к ' к=г+1

р = 1,..., г.

Яе М =

1

Ат

1т Рт ат! +2

1т Рр ^С?^ +2

где коэффициенты Ар,Арк, к = г + 1,...,N, определяются с учётом (2.13'), (2.4') , (1.5), (1.9) по известному алгоритму [13] .

В случае, если г< 2п, то правые части

N

п-1

N

п-1М

/ =

] = 1,...,2п,

А к ,т, р

Яе Рк (ак )|.

подчинены 2п - г условиям совместности

/т = Ехт/ы, т = г + 1,...,2п,

к=1

т

где Хк некоторые величины.

Покажем, что система (2.18) совместна. Определитель г0-го порядка, где Г(1 = тт(2п, N), составленный из коэффициентов при

неизвестных:

Д =

ДО0

г0

N

'п-1

N

кп+1

ф 0.

^=

и

оказались выбранными так,

т=1

что

Д =

ДО

= 0.

г0,г0 т

Тогда изменив величины а'^к и Р"тк на е

'} ,к

Д(е) = Д + еУ V ц

1=1 ]=\

где С ^ обозначает алгебраическое дополнение элемента а1 ^ в определителе Д.

Следовательно, система (2.18) имеет реше-

ние.

Имеет место Теорема 2.3. Если ранг системы (2.18) г, то общее ее решение имеет вид

м>

= А р + рА , р = 1,..., г,

р р р , к к к=г+1

и Яв М и 1т М в (1.17) - (1.18) вычисляются по формулам

N

\Я + ^

к=г+1

Предположим противное. Пусть промежутки

Яе М = АЯ0 +

к=г+1 N

1т М = А10 + ^А1

к=г+1

АЯ0,4», и

получим определитель Д(е), который получится из Д , если к каждому его элементу прибавим одно и тоже число е .

Этот определитель Д(е) равен сумме определителей, которые получаются, если во всех столбцах оставить только первые слагаемые, или в одном каком-нибудь столбце оставить только вторые слагаемые, а во всех остальных только первые, или в двух каких-нибудь столбцах оставить только вторые, а в остальных первые слагаемые, и т.д. Определитель, составленный из первых слагаемых каждого элемента в Д(е), равен Д. В результате указанных преобразований получим [15, гл. 1, §1, п.4]

где коэффициенты

А,к,А0,к,Ар,Ар,к , к = г +1,...,N, определяются

с учётом (2.13'), (2.4'), (1.5) , (1.9), по известному алгоритму [13].

Аналогично, для системы (2.21) имеет место Теорема 2.4. Если ранг системы (2.21) г, то общее решение системы (2.21) имеет вид

р = Ар + рА + А10,р 1тМ, р = 1,...,г,

к=г+1

И Яв М в (1.17) - (1.18) вычисляются как

~ N ~ ~

Яе М = ~Я + Е ^0,^ к + Ао 1т М,

к = г+1

где

АЯ А1 А1 А

р = 1,...,г, и АК0,к, Арк , к = г + \,...,N, определяются по известному алгоритму [13].

г ,г

0''0

N

п-1

N

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. -Новосибирск: Наука, 1977, 242 с.

2.Крутицкий П.А. О задаче Римана-Гильберта и задаче с косой производной на плоскости с разрезами вдоль окружности //Математическое моделирование.- М., 1990, т.2, №9, с.114-123.

3.Крутицкий П.А. О задаче с косой производной для плоскости с разрезами вдоль прямой и связанных с нею задачах // Математическое моделирование.- М., 1990, т.2, №4, с.143-154.

4Александров И.А., Сорокин А.С. Задача Шварца для многосвязных круговых областей //Сиб.матем.журн., 1972, т.13, №5,с.971-1001.

5. Сорокин А.С. Однородная задача Келдыша -Седова для многосвязных круговых областей в классе Мусхелишвили Н0 //Дифференциальные уравнения.1989, т.25, №2, с. 283-294.

6. Сорокин А.С. Параметрическое представление функций в конечносвязных областях. // Сиб. ма-тем.журн., 1997, т.38. №5, с. 1163-1178.

7. Сорокин А.С. Формулы Келдыша -Седова и дифференцируемость по параметру семейств однолистных функций в конечносвязных областях.))Математические заметки, 1995, т.58, вып. 6, с.878-889.

8. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения ( Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике ). -М.: Наука, 1968, 512 с.

9. Александров И.А., Сорокин А.С. О распространении вариационного метода Г.М.Голузина -П.П.Куфарева на многосвязные области. ))Докл. АН СССР, 1967, т.175, №6, с. 1207 - 1210.

10. Гахов Ф.Д.,Хасабов Э.Г. Краевая задача Гильберта для многосвязной области.)) Изв.ВУЗов, математика, 1958, т.1, вып. 2, с.12-21.

11.Сорокин А.С. Краевые задачи для аналитических функций в многосвязных круговых областях.-Новокузнецк: Изд. КузГПА, 2004, 274 с.

12. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Итерационные методы кластерного агрегирования для систем линейных уравнений.))Докл. РАН., 1996,т.349, №1, с.22-25.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.:Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953,492 с.

14. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. -М.: Гос. изд. физ. -матем. лит., 1962, 300 с.

15. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. -М.-Л. : ОНТИ, 1936, 592 с.

Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с. (филиал КузГТУ , г. Новокузнецк) тел.: 8(3843) 772459