Решение задачи теплопереносо в затопленной стесненной струе вязкой жидкости при температурных граничных условиях третьего рода

УДК 665.75

Э. В. Шамсутдинов, Ю. Г. Назмеев РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЗАТОПЛЕННОЙ СТЕСНЕННОЙ СТРУЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА

Представлена математическая модель нестационарного теплопереноса при ламинарном течении плоских затопленных стесненных струй вязкой жидкости в ограниченном объеме при температурных граничных условиях третьего рода. В результате численного исследования получены распределения полей температур при течении плоской затопленной стесненной струи при скачкообразном изменении температуры жидкости на выходе из насадки.

Введение

На практике весьма часто встречаются задачи, решения которых основано на теории струйных течений как сжимаемой, так и несжимаемой жидкости в резервуарах или истечения из них. Большое количество работ посвященных данному вопросу в основном основаны на моделях невязкой сжимаемой жидкости и нашло большое применение в аэродинамике и газовой динамике. Так же весьма часто встречаются работы, в которых моделирование движения вязких несжимаемых струй производится в рамках теории ламинарного и турбулентного пограничного слоя. Рассматриваемый в данной работе случай описывает процесс теплопереноса при ламинарном течении плоской стесненной струи вязкой жидкости, причем решение гидродинамической части рассматриваемой задачи базируется на использовании фундаментальной системы уравнений механики сплошной среды -уравнений движения и неразрывности.

Постановка задачи

Так как в рассматриваемой задаче насадки расположены близко друг от друга, то распространение одиночных струй, выходящих из насадок можно заменить распространением одной плоской струи, выходящей из плоскощелевой насадки. В математическом плане подобное приближение позволяет свести трёхмерную постановку задачи о теплопере-носе к двумерной постановке.

Рассматриваемая математическая модель исследования неизотермического течения ламинарного потока затопленной стесненной струи вязкой жидкости в ограниченном объеме основана на следующих допущениях:

1. нестационарность процессов теплопереноса обусловлена зависимостью от времени температуры Т пост и расхода вязкой жидкости О;

2. теплофизические свойства жидкости, плотность р, теплоёмкость Ср и теплопроводность А, меняются в ходе процесса незначительно.

3. Кинематическая вязкость жидкости V зависит от его температуры Т :

V = V

4. Объёмные силы, влияющие на процесс нестационарного теплопереноса, являются силами тяжести;

5. Основная система уравнений, описывающая процесс рассматриваемого теплообмена базируется на системе дифференциальных уравнений механики сплошных сред.

Исходная система уравнений движения и переноса энергии, описывающая процесс теплопереноса при течении плоской затопленной свободной струи течений в декартовой системе координат (х,у,2), для сформулированных допущений имеет вид:

/ЭТ ЭТ ЭТ^ Э Л ЭТ^ Э и этл

........... хаХ,

с

p

э t

x

+ v

x

V

Э v

Э t Э vz

"эГ

+ v

д X

д v

+ v

z

x

x

+ v

x

X

+

d v-

д X

d vz

д X

= 0,

+ v-

- Z, d v

д X

+

d Z

d Z

X

+ v

Э Z

d v

Э P Э /

_P9x + ^-

dx 3x

z

z

d z

Э P Э

P9z л + л

3z dx

/_чЭ vxA ^(T^

Э vz Э x

+

n

+

- z V -_ / Э z

-vx

n(T ь£

n

V

Э vz Э z

компоненты

Эх Эz

где дх, gz - компоненты вектора ускорения свободного падения, Vx, Vz

вектора скорости V , р - плотность, Р - давление, иСг) - динамическая вязкость, t - время.

В качестве естественных граничных условий для затопленных стесненных струй примем:

1. На АВ: считаем заданным профиль вектора скорости:

v

X

= 0, vz = f (x, t) при 0 < x <5, z = 0,

где f (x,t) - функция, зависящая от профиля насадок и от характера изменения расхода жидкости.

2. На BC: скорость жидкости равна нулю (граничное условие прилипания): v = 0, при 5 < x < l, z = 0.

3. На CD и AE выполняется условие симметрии течения: v • n) = 0, при x = 0, 0 < z < hz,

где n - нормаль к границам AE.

4. На DE примем, что:

P = const, при 0 < x < l, z = hz,

Температурное начальное условие имеет вид:

T(x,z,t = 0) = T0 (x,z),

при (x, z) е области прямоугольника ABCD.

Для плоских затопленных стесненных струй температурные граничные условия имеют вид:

1. T = TBx (x,t), при 0 < x <5, z = 0, где tbx (x,t) - заданная функция координаты x и времени t.

В частности температура жидкости на выходе из насадки может иметь постоянное значение:

TBX (x, t) = T| = const.

Для граничных условий третьего рода имеем следующее выражение:

Э Т -X — + а(хД )Т = а(хД )Токр, при 5< х < I, г = 0? Эг

где Тг (х,1) - заданная функция температуры стенки;

Я(хД) - заданная функция теплового потока на стенке;

Токр (х, 1) - заданная температура окружающей среды;

Ос(хД) - коэффициент теплоотдачи с окружающей средой.

2.Тепловые граничные условия на СБ и АЕ будут следующие: л Т

— = 0 при х = 0,1, 0 < г <

Э х

3. Тепловые граничные условия на СБ имеют вид:

Э Т

— = 0, при 0 < х < I, г = И7.

Эг г

Введём безразмерную температуру:

0 = Т _ Тт1п

Т Tmax

где Тmin, Tmax _ некоторые минимальная и максимальная характерная для задачи температуры, которые для граничных условий третьего рода могут быть выбраны следующим образом:

Tmin = min{T0min>TBx min-^окр min }, Tmax = max{Tümax-TBx max-^окр max },

Токр min, Токр max - минимальное и максимальное значения функции Токр

в области x е [б,l], t е [ü, Т]:

Токр min = min Токр (x,t), Токр max = max Токр (x,t) •

к 8<x< l,0 < t < Т K K 8<x< l,0< t < Т K

Введем также безразмерные компоненты U * и U * вектора скорости U , давление

x z

* * *

Р, время t и независимые переменные x , Z :

* x * z * 3Qmax

x = -, z = -,t =—maxt,

5 5 4pb5

4pb5ux 4pb5uz 16pb262P

u * =---------, u * =---------, p =-----------,

x 3Qmax z 3Qmax 9Qmax

где Qmax - максимальный расход вязкой жидкости на выходе из насадки, 8 - радиус насадки. Метод решения

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом конечных элементов (МКЭ).

Искомые переменные, такие как давление Р и составляющие ui скорости u заменяются приближёнными выражениями:

Р

]

и;

]

где % — точка области определения неизвестных переменных; % j - узлы конечных элементов; ф j (%) - базисные функции МКЭ, являющиеся полиномами заданного порядка.

Подставив (5) - (6) в систему уравнений движения и неразрывности (2) - (4), и записывая её в слабой форме с использованием метода Фаэдо-Галеркина (с учётом начальных

и граничных условий) получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных

уравнений относительно неизвестных функций в узлах р( ,%j), и; ( ,%j). Для её решения

используются стандартные методы (например, метод Рунге-Кутта).

Результаты численных исследований

Численные расчеты процессов теплопереноса при течении стесненных затопленных струй вязкой жидкости были проведены при скачкообразном законе изменения температуры на выходе из насадки:

_ ЫООО ^ ЗОтзх 1 * 1п 1000

0вхМ = 1 - е к 4рЬ§2 = 1 - е ^,

где константа к подбиралась таким образом, что изменение температуры 0 от начального значения 0 вх = 0 до конечного 0=0,9999~ 1 происходило за определенный промежуток

времени 11 (11, С), которая является некоторой постоянной времени для закона (7).

кг

Расход жидкости через насадку плоскощелевую равен О = 18.52----------. В началь-

м • с

ный момент времени температура жидкости Т = 293К . Начиная с нулевого момента времени, температура жидкости, проходящей через насадку, возрастает скачкообразно за время 1 = 0,001 (1* = 0,7с) (безразмерное) до значения Т = ЗЗЗК . На стенке выдерживаются тепловые граничные условия третьего рода, при этом а = 5 Вт/(м2-К). Максимальная ве-

ЗО

личина скорости Vmax =----------= 0.144 м/с. В этом случае, определяющие параметры

4р Ь5

задачи равны Ре'о = 0.98, Ре^ = З9.З, Рг' = 0.04914, Ре' = 16ЗЗ97.7, Ыи' = З.2.

Время, выраженное в секундах, связано с безразмерным временем формулой 1* = 0.696 • 1, с.

Из графиков на рис.1-3 виден характер изменения безразмерной температуры при изменении безразмерного времени 1 от 0 до 100.

Из рис. 1 видно, что при г = 0 по всей ширине насадки температура равна единице. Чем ближе к линии «раздела» струй тем менее интенсивнее происходит нагрев жидкости. Это также объясняется значительным преобладанием компонент и2 вектора скорости над

компонентами и х .

Рис. 1 - Зависимости безразмерной температуры от времени для различных точек сечения при течении плоских стеснённых струй при скачкообразном изменении температуры жидкости на выходе из насадки для различных моментов времени: 1 - х = 0; 2 - х = 0.5; 3 - х = 1; 4 - х = 1.5; 5 - х = 2. а) г = 0; б), г = 0,5

0,8

0,6

0,4

0,2

——— — 1 I \ \

^Т1 0,8

'Н-2 И-2 I ; /

П~

-:1 ' 4/ ! А 0,6 /з Г.М—4

0,4  ( 1 5

II \

0,2

, , , , V. . . .

0 10 20 30 40 50

О 10 20 30 40 50

о

Рис. 2 - Зависимости безразмерной температуры от времени для различных точек сечения при течении плоских стеснённых струй при скачкообразном изменении температуры жидкости на выходе из насадки для различных моментов времени: а) г = 1; б) г = 2. Обозначения в соответствии с рис. 1

При удалении потока «горячего» жидкости от границы «впрыска» наблюдается вполне закономерная ситуация: до момента поступления «горячего» жидкости в заданную точку пространства, температура остается неизменной в течение определенного промежутка времени.

Как только «горячий» жидкости достигает этой точки, происходит нагрев и температура увеличивается. Причем, профиль безразмерной температуры по оси струи подстраивается практически мгновенно.

Необходимо отметить следующую закономерность. Чем дальше уходит струя от сопла насадки (Ъ = 2;4;8) (рис. 2,3), тем интенсивнее происходит увеличение температуры жидкости в точках находящихся за линией х=1. При этом максимально достижимые значения температуры жидкости увеличиваются - профиль температуры в этих точках асимптотически стремится к единице.

Рис. 3 - Зависимости безразмерной температуры от времени для различных точек сечения при течении плоских стеснённых струй при скачкообразном изменении температуры жидкости на выходе из насадки для различных моментов времени: а)

= 4; б) = 8. Обозначения в соответствии с рис. 1

Это говорит от том, что при удалении от границы сопла на расстояния Ъ —> ^>, струя размывается и зоны интенсивного теплопереноса постепенно исчезают.

Заключение

В результате численного исследования получены распределения полей температур при течении плоской затопленной стесненной струи в полубесконечном пространстве при нестационарном процессе теплопереноса, позволяющие оценить характер происходящих тепловых процессов при скачкообразном изменении температуры жидкости на выходе из насадки.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №05-08-65508, №0502-08037).

© Э. В. Шамсутдинов - канд. техн. наук, зам. дир. исследовательского центра проблем энергетики КазНЦРАН; Ю. Г. Назмеев - д-р техн. наук, чл.-корр. РАН, дир. исследовательского центра проблем энергетики КазНЦРАН.