Численные методы оптимизации интегро-дифференциальной системы

5. Robie, R. A. Thermodynamic properties of minerals and related substances at 298.15 K and 1 bar (105 Pascals) pressure and at higher temperatures [Text] / Rpbie R. A., Hemingway B. S. // U. S. Geological Survey Bulletin, 2131. — U. S. Government Printing Office, Washington, 1995. - 461 p.

6. Рид, Р. Свойства газов и жидкостей [Текст] : справ. пособие : пер. с англ./ РидР., Праус-ниц Дж., Шервуд Т. — Л. : Химия, 1982. — 592 с.

7. Helgeson, H. C. Theoretical prediction of the thermodynamic behavior of aqueous electrolytes at high pressures and temperatures: IV. Calculation of activity coefficients, osmotic coefficients, and apparent molal and standard and relative partial molal properties to 600°C and 5 kb [Text] / Helgeson H. C., Kirkham D. H., Flowers G. C. //Amer. J. Sci., 1981. — V. 281. — P. 1249—1516.

8. Lee, B. I. Generalized thermodynamic correlation based on three-parameter corresponding [Text] / LeeB. L., KeslerM. G. // AIChE J., 1975. — V. 21. — P. 510 — 527.

9. Current status of the SELEKTOR software package [Text] / Chudnenko K. V., Karpov I.

K., Bychinskii V. A., Kulik D. A. // Water-Rock Interaction ; ed. : Y. K. Kharaka & O. V. Chudaev, Proc. 8th Inter. Symp. on Water-Rock Interaction. — Vladivostok : A.A. Balkema, 1995. — P. 725 — 727.

10. Rush, E. A., Mathematical modeling of natural eguilibrium in water ecosystems [Text] / Rush E. A., Bychinskyi V. A., Samarkina E. V. // Environment and mineral processing : Proceding of international conference. — Ostrava, Czech Republic, 2000. — P. 243-249.

11. Руш, Е. А. Совершенствование технологий сорбционной очистки сточных вод оттяже-лых металлов для предприятий Ангарской промышленной зоны [Текст] : моногр. / Е. А. Руш. — Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2003. — 195 с.

12. Гидрохимические исследования озера Байкал / под ред. Г. И. Галазия. — М. : Изд-во АН СССР, 1963. — 145 с.

13. Исследование дисперсного и химического состава аэрозолей на южном Байкале [Текст] / Ходжер Т. В., Буфетов Н. С., Го-лобкинаЛ. П., ДроздоваВ. И. [идр.] //География и природные ресурсы. — 1996. — № 1. — C. 73 — 79.

Букина А.В.

УДК 517.977

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

СИСТЕМЫ

Введение.

Рассматривается задача оптимального управления интегро-дифференциальной системой, в которой дифференциальный оператор является гиперболическим с единичными собственными значениями. Такие системы используются в динамических моделях с возрастной структурой где в каждый момент времени на процесс влияет состояние объекта по всем возрастам и каким-либо дополнительным признакам, что и отражается интегралами. Примерами приложений могут служить модели эпидемического контроля, амортизации производственных фондов, динамики популяций [1, 2].

1. Постановка задачи.

Поставим задачу о поиске управлений, которые доставляют минимум функционалу 3(и) = ||ф(х(р,^ ),р,8+

ЗР

|ф( х, у, г, г ,и, р,

определенному на решениях следующей ин-тегро-дифференциальной системы х( + хз - f(х, у, г, г,и, р, ),

у( р, 8,() = || д( х(р,^), г(р,^),

r(p,£,,t ),u(p,U), р,р, s,%,t )dpd£,,

P S

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

z( р, в,г) = | д( х( ),и( ), р, в&г —,,

г( р, в, г) -1 к( х(р, в, г ),и(р, в, г), р,р, в, г —р,

р

х(р,8,£о) - X0(р,8), х(р,8о,£) -= 11( х( р, в, г ),и( р, в, г), р, —в.

При этом допустимые управления принадлежат множеству

У -{и е ¿Г (П ):и(р,s,í)еи}.

Здесь

(р, )еП=р х 5 хг = (р о, р^х( 8 о, в! )х(г ), х( р, в,г )е , у (р, в, г )е ЯМу, z( р, в, г )е ,

г(р,в,г)е ,и(р,в,г)е ,и е .

На параметры задачи (1)-(3) наложим следующие ограничения: функции ф -ф( х, р, ^), Ф =Ф( х, у, z, г,и, р, в,г),

вектор-функции Ц - х,у,z,г,и,р,в,г),

д -д(х,z,г,и,р,р,), д -д(х,и,р,),

к - к(х,и, р,р, в,г) непрерывны по совокупности своих аргументов и имеют непрерывные производные по переменным х,у,z , и г,х0(р,я) — измеримая существенно ограниченная в Р х 5 вектор-функция.

Дифференциальный оператор в системе (2) является простейшим гиперболическим оператором. Его характеристиками служат плоскости ^ - я - г +т с одинаковым наклоном к осям координат переменных я и г при любых значениях . Под обобщенным решением задачи (1)-(3) будем понимать измеримые существенно ограниченные функции х, у,z и г, удовлетворяющие почти в каждой точке (р,в,г) е П системе интегральных уравнений:

х( р, я, г) - х( р, <?( я, г ),£ ( я, г))+

г

+ | f(х(р,Ст), у(р,Ст),z(р,С,т),г(р,С,х),

и( р,С,Х ), р,С,Х )| ?= в-г+т —Т

где

в( в,г) -<

г (в,г)=

я - г+гп

0

г

0

г - я-

в в о г г о, в в о ^^ г г о, в в о г г о, в в о ^^ г г о.

нстве Ьт (П), при этом х является абсолютно непрерывным вдоль характеристик = я - г +т, р е Р, а также получить оценку скорости роста решений х, у,z и г.

Частные производные х(,х3 могут не существовать, тем не менее обобщенное решение х почти всюду в П имеет измеримую и существенно ограниченную производную

Юх( р, в,г) -

— х( р, в - г +т,т) —т

2. Необходимые условия оптимальности.

Путем анализа формулы приращения целевого функционала в задачке (1)-(3) на вариациях управления вдоль различных характеристик системы (2) можно получить [3] необходимое условие оптимальности управления в форме вариационного принципа максимума, который будет представлять собой три сосредоточенные задачи оптимального управления.

Введем в рассмотрение функцию Понтря-гина следующего вида

Н(у,0,цД, у, х, у, z, г ,и, р, в,г) --(у( р, в,г), ц х, у, z, г,и, р, в,г ^+

(0(р,^,£ ),д( х, z, г ,и,р, р,£,, в,г ^—р—£,+ +{1+|(ц( р&г ),д( х ,и, р,^, ^ ))+

5

,г), к( х ,и,р, р, я, г)—р + +(у(л,т ) Д(£,, и,л,ст,т )-Ф( х, у, z, г,и, р, в,г),

у,0Д,ц,у-решения задачи, сопряженной

(2):

Юу - -Н(у,0у,х,у,z,г,и,р,в, г),

у( р, ^) = -ф х (х( р, ^), р, я ),у( р, ) - о,

0(р,я,г) - Н(у,0у,х,у,z,г,и, р, в,г), (4) р, в,г) - Ну (у,0,цД, у, х, у, z, г,и, р, в, г), р, в,г) - Нг (у,0,цД, у, х, у, z, г ,и, р, в,г),

у( р,г)-у( р, я о,г),(р, в, г )еП

Теорема 1. Пусть (х*,у*,z*,г*,и*) — оптимальный процесс в задаче (1)-(3), (у*,0 *,у*) — соответствующее ему решение сопряженной задачи (4). Тогда:

1) для почти всех ре Р и те Т управление

и *(рт 1 (я) - и *(р, я,т) является решением задачи

Можно доказать [3], что обобщенное решение существует и единственно в простра-

J(px>(V) = -ф(x(px)(t1),s0 -T+11) +

V H(0,0 >*,^*,y*,x(px', ^ + 1 dt +

X y *, z *, r *,u*,p, s 0 -x + t,t)

fH(y*,0 *,0Д *,0, x *, y *, + ds ^ max,

{z

Jf(px> = /(x(px',y*,z*,r*,u*,p,s0 -x+ t,t),

v

,(px

>(x) = { 1( x *,v(px)(s ),p, s,x )ds,

S

'(s) = { q( x *,v(px ),p, s,2,x )d2,v(px'(s ;

2) для почти всех pe P и ? g Z = (s0 +10 - tx,sj) управление

u *(p? 1 (t) = u *(p,?-10 + t,t) является решением задачи

J(p? )(v) = -аф (x(p? )(t1 ),C -10 + tj +

f(f?) H (0,0 > *Д *, у *, x(p?y *, z *, r *, + 1 dt ^ max,

r{) v

xf IPU = f( x y *, z *, r *,v(p? )(t ),p,?-10 + t,t),

x (p^(t (?)) = x 0(p,? ),?> s 0, x (p^(t (?)) =

= {1(x*,v*,p,s,t(?)]ds,?< s0,

v(p? )(t ,

где

а

Г0,? > s1 -11 +10,

x(? ) =

x(? ) =

[1,?< s1 -11 +10,

4 0, V

0 -? + 10 , ?< s0 ,

ft, s1 -11 +10,

[ s1 t0, ?< s1 - t1 +10; 3) для почти всех 2 g 5 и x g T управление u *(2x) (p) = u *(p,2,x )является решением задачи

r< 2x U \ rH(V ',0 y ^

J(2x)(v) = ds^ max,

{z *, r

r

{

dp, v(2x)(p) gU .

Рассмотрев приращения функционалов в этих трех задачах на игольчатых вариациях управлений, придем к необходимому условию оптимальности в форме конечномерного принципа максимума.

Теорема 2. Пусть (x*,y*,z*,r*,u*) — оптимальный процесс в задаче (1)-(3), (у *,0 *Д*,у*) - соответствующее ему решение

сопряженной задачи (4). Тогда для почти всех (р,5,г) ёП оптимальны процесс удовлетворяет

условию

Н (у*,9*,ц*Д*, у*, х *, у *, 2*,

г*, и*, р, 5, г) -- тах Н (у*,9*,ц*Д*, у*,

уёП

х*,у *, 2*,г*, V, р,5, г).

Как было отмечено, из вариационного принципа максимума следует конечномерный принцип. Обратное утверждение не верно [3]. Таким образом, вариационный принцип максимума является более сильным необходимым условием оптимальности, чем принцип максимума Понтрягина.

3. Алгоритмы вариационного принципа максимума. Для обоснования сходимости численных методов к решениям, удовлетворяющим необходимым условиям оптимальности, требуются более сильные предположения на параметры задачи. Поэтому далее будем считать, что функцииф,Ф, вектор-функции f ,д,д,к удовлетворяют условию Липшица вместе со своими частными производными по фазовым переменным.

Рассмотрим задачи (1) - (3) с позиций численного решения на основе вариационного принципа максимума. В соответствии с теоремой 1 опишем и обоснуем три варианта численных алгоритмов, каждый из которых ориентирован на соответствующее семейство динамических задач.

Определим общую схему метода для первого случая вариационного принципа максимума. Выберем произвольное допустимое управление и0 - и 0

к к к к

найдем фазовые траектории х , у ,г , г и сопряженные траектории у к ,9 к ,Хк ,цк,ук. Сформируем семейство задач (5). Пусть управления ик(р,зд) при почти всех р ё Р и гё Т доставляет

максимум функционалу Iкрх 1. Построим функцию

5, (р, г) - Чик) - Чик),р ё Р, г ё Т и определим её среднее значение:

цк =:-—— Г [5к(р^

(р1 - р -10) ТР

В силу определения функция 5 к (p,í) неотрицательна и, следовательно, цк > 0. Причем,

г* к

если цк - 0, то управление и является решени-

S

S

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ем семейства вспомогательных задач (5), т.е. соответствующими невязками цк и множес-

удовлетворяют первому условию вариацион- твами варьирования управлений.

ного принципа максимума, сформулированно- Пусть на к-той итерации для почти всех

му в теореме 1. Поэтому всюду далее будем р £ Р, X следы ик (р,С-+ t,t) управления

считать цк > ик (р,) являются оптимальными в семействе

Пусть е - числовой параметр. Рассмотрим „

пт , , задач (6). Тогда, соответственно,

семейство РТк (е) измеримых подмножеств * ' К _. К .

о ^ - о к (р,с) - У (и ) - У и ), р £ Р,С£ X,

множества Р х Тс мерой е: \ > \ »г ^ >

те$рТ(е) -е,е£ (0,теэ(р х Т)]. цк =-1-Ц8к(

Проведём варьирование управлений ик на (р1 - р о)( - - to + tl) яр

множестве РТк (е )следующим образом: управление ик варьируется на семействе

Р?к (е):

Гик (р,5, г),(р, 0 £ РТк (е),5 е 5,

ие ^ ° > (р,*,г),(р, Г) £ (Р х Т)\РТк (е), 5 е 5. РХк (е) С Р Х Х те*Р2к (е) -е ,е£ [0те5(Р Х ™

Из формулы приращения целевого функ-едует сп

^ик) - У(ик ) < ' ' [ик (р, 5, г),(р, 5 - г + to) £ (Р х Х)\ Хк (е),

.„, , |ик (р, 5, г),(р, 5 - г + гп) £ РХ, (е),

ционала [3] следует справедливость оценки ик (р,5, г) = 1

< -

РТк (е

Ц 5к(рУ+ Се2, (9) Сходимость метода обеспечивают усло-

вия:

С >0 — константа. Значит, в силу неотрица- Р^к

варьирования управления е к > 0, который бу- е к :т1п У (и ч ),е к £ (0,те5(Р х X)],

дет обеспечивать уменьшение функционала: ик+1(р ,5, г) = ик (р,5, г),(р,5, г) £П.

Л0, тея(Р х Т)]: У ( и к ) < У(ик ).

е Теперь уточним алгоритм для третьего ва-

Определение очередного приближения рианта. Пусть ик(р,^)-управление, при по-

как

к+1, к / ^ чти всех 5 £ 5 и г £ Т, доставляющее максимум

и (р,5 г) - ие„(р,5г),(р,5г) £П функционалу У^1 в задаче (7). Положим

завершает к-тую итерацию метода. 5к (5, г) - У №0( ик) - у с*)(ик), 5 £ 5, г £ Т,

С целью обоснования сходимости описанного алгоритма введем дополнительные усло- ц^ -_1_[ (

вия на множество варьирования РТк (е )ипара- (- я 0)(^ -10) Тя метр е к, которые идентичны условиям, разработанным на уровне обыкновенных динами- и (р 5 г) (5 г) £ 5Т (е) р £ Р ческих систем [4]. ик (р,5,г)-< ^ к

Пусть множество РТк (е )строится так, что- [и (р,г),(г) £ (5 х Т)\ 5Тк(е),р £ Р,

бы при любых к -0,1,2,..., для него было спра- где 5Тк (е)с 5 х Т,те$5Тк (е)-е,е £ [0,тея(5 х Т)],

^длишн^а^нствск ^ у ц 5 к (^^ -

[[ 5к

РТк (е) ^ п , „ ^ е, :т1п У (ик ),е, £ [0,те^(5 х Т)],

для некоторых констант N > 0,ст> 1. Выбор шага к 4 к

е к пусть осуществляется с правилом наиско- и (р,г) - ич (р,г),(р,г) £П.

рейшего спуска: Основная трудность в реализации описан-

ек :ш!п У (и ч ),ек £ (0,те5(Р х Т)]. ных алгоритмов связана с нахождением управ-

Тогда из о цен ки (9) следует, что релакса- лени^ доставляющих максимум всп°м°га-

ционная последовательность ик сходится в тельным задачам (5), (6) и (7). Несмотря на их

смысле ц ^ 0, к ^ да [4]. нестандартный вид, для решения данных задач

Алгоритмы, ориентированные на второе и можно привлечь разнообразные алгоритмы,

третье семейства задач вариационного при- разработанные д^ задач оптимального управ-

нципа максимума, имеют аналогичную схему с ления обыкновенными системами дифференциальных уравнений, например, из работ [5, 6].

Примеры построения областей варьирования РТк (е), Р1к (е), БТк (е), удовлетворяющих определяющим неравенствам, можно найти в [4, 5]. Эти результаты на уровне обыкновенных динамических систем могут использоваться без всяких изменений в рамках предлагаемой схемы варьирования распределенных управлений.

4. Алгоритм конечномерного принципа максимума, или принципа максимума Пон-трягина. Основной теоретической предпосылкой метода является возможность получения оценки формулы приращения целевого функционала в виде

1(У) - 1(и) <-|Ц Д „Я(у ,9 ,цД, у, х, у,

П

г, г ,и, р, з, í )<р<б< + Се2 с константой С > 0 на игольчатой вариации управления и. Область П(е )считается однопа-раметрическим семейством подобластей (необязательно односвязных) исходной области определения управления. Параметр е регулирует размер области Пи (е) Будем считать, что швзПи(е) -е,е ё(0,швзП].

Основные конструкции методов конечномерного принципа максимума стандартны [4,6] и могут быть перенесены на численное решение задачи (1)-(3).

Шаг 0. Выберем произвольное допустимое управление и0 - и0(р,)и положим к = 0.

Шаг 1. По управлению ик - ик (р, эЛ) строим решения хк, ук, гк, гк и у к ,9 к ,Хк ,цк, у к задач (2) и (4). Определим управление ик - ик(р,зД), решив задачу (8) при х * - хк у * - ук, г * - гк, г* - гк у *-ук, 9 *-9 к, Г-^кц*-цк, у*-ук. По формулам

5 к (р, 5, г) -Д -кн (ук ,9к ,цк Дк, ук, хк,

ук,,Гк,ик,р,5,г) > 0,(р,5,г)ёП, цк -—1— ГГГ 5к(р,зД)<р«

вычисляем функцию 5 к (р, )и её среднее значение цк. Если цк - 0,то управление ик удовлетворяет конечномерному принципу максимума и подозрительно на оптимальность. Иначе цк > 0 и переходим на следующий шаг.

Шаг 2. Строим управление ик по правилу

:(р, ),(р, М )ЁП (е), :(р,),(р,зЛ)ёП\П к(е).

Определим s k из условия

J(иk ) = min J(uk).

k sg[0, mesn ]

Полагаем uk+1 - uSk ,k - k +1 и переходим на шаг 1.

Релаксационность и сходимость описанного алгоритма может быть доказана аналогично работе [4] если потребовать, чтобы на каждой итерации метода области варьирования Пk (s) строились так, чтобы выполнялось определяющее неравенство

5к (p,s, t)dpdsdt > Жц"s,s g (0,mesn],

Ш

П t

причем а >1и N >0,k = 01,...

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Dieckmann, U. On the origin of species by sympatric speciation [Text] / Dieckmann U., Doebeli M. // Nature. - 1999. - № 400. -С. 354-357.

2. Семовский, С. В. Видообразование в одномерной популяции: адаптивная динамика и нейтральная эволюция [Электронный ресурс] / Семовский С. В., Букин Ю. С., Щербаков Д. Ю. ; [Лимнолог. ин-т СО РАН] // Исследовано в России : Электрон. журн. -М., 2002. - Режим доступа : http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/1 25.pdf. - 27.10.2008.

3. Букина, А. В. Необходимые условия оптимальности управления интегро-дифферен-циальной системой [Текст] / А. В. Букина // Методы оптимизации и их приложения : Тр. XIV Байкал. междунар. шк.-семинара. - Иркутск, 2008. - С. 107-117.

4. Васильев, О. В. Методы оптимизации и их приложения [Текст] / О. Васильев, В. А. Срочко, В. А. Терлецкий. - Новосибирск: Наука, 1990. - Ч. 2 : Оптимальное управление. - 151 с.

5. Срочко, В. А. Вычислительные методы оптимального управления [Текст] / В. А. Срочко. - Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1982. - 110 с.

6. Любушин, А. А. Метод исследовательских приближений для расчета оптимального управления [Текст] / А. А. Любушин, Ф. Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. - 1983. - № 2. -С. 147- 159.

u( p, s,t) = <

uk'