Опыт разработки подсистемы синтеза активов и пассивов банка на основе стохастических моделей и оценка ее возможностей

БАНКОВСКОЕ ДЕЛО

ОПЫТ РАЗРАБОТКИ ПОДСИСТЕМЫ СИНТЕЗА АКТИВОВ И ПАССИВОВ БАНКА НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ОЦЕНКА ЕЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

А.Е. КУЛАКОВ, доктор технических наук, Я. С. ЦАГАРЕЙШВИЛИ, В.В. ЯШИН

3. Решения вопроса о начале использования или неиспользовании нового вида актива или пассива;

4. Определения оптимальных величин изменения долей используемых видов активов и (или) пассивов по различным критериям оптимальности и с учетом различных ограничений;

5. Оперативной оценки качества управления активами и (или) пассивами банка с целью изменения управляющих воздействий;

6. Прогнозирования различных показателей эффективности работы банка на ближайший месяц.

Структурная схема подсистемы синтеза структуры активов и пассивов банка, математическое обеспечение которой было рассмотрено в статье [1], приведена на рис. 1. Данная подсистема синтеза, использующая стохастический подход, может быть использована для решения следующих задач:

1. Определения оптимального направления изменения (увеличение или уменьшение) долей используемых банком активов и пассивов по различным критериям оптимальности;

2. Анализа ожидаемых изменений показателей эффективности работы банка по принципу "что, если";

Формирование исходных данных по доходностям и стоимостям

Рис. 1. Структурная схема подсистемы синтеза структуры активов и пассивов банка

В качестве основных видов активов в подсистеме синтеза были определены: ссуды организациям, ссуды населению, межбанковский кредит, государственные ценные бумаги, размещение средств в вышестоящей организации, а в качестве основных видов пассивов: вклады населения, сберегательные сертификаты, счета организаций, депозиты юридических лиц и кредитные ресурсы, полученные от территориальных банков. Такой состав основных видов активов и пассивов достаточно давно сложился в Московском территориальном банке Сбербанка России и постоянно используется при составлении форм: "Анализ структуры привлеченных пассивов", "Анализ структуры производительных активов", "Фактическая стоимость привлеченных пассивов" и "Фактическая доходность производительных активов" для проведения экономического анализа. Эти формы ежемесячно составляются экономическим управлением на основе данных баланса и отчета о доходах и расходах банка. Из разделов консолидированного баланса банка (рубли + валюта) первых двух форм в качестве исходных данных для подсистемы синтеза структуры активов и пассивов выбираются доли видов активов и пассивов х(М на начало месяца. Из разделов консолидированного баланса последних двух форм выбираются значения доходностей видов активов и стоимостей видов пассивов за каждый месяц. Для приведения в соответствие требованиям математического обеспечения подсистемы синтеза, в которой эти величины имеют размерность (проценты в месяц), данные из форм делятся на двенадцать.

Доли определялись путем деления перечисленных группировок счетов на суммарные активы (суммарные пассивы плюс собственные средства). Месячные доходности активов и стоимости пассивов вычислялись как отношения доходов (расходов) соответствующих активов (пассивов) к их стоимости. Стоимости активов и пассивов рассчитывались как средние стоимости за месяц (среднее арифметическое двух величин). Так как доходы и расходы в банке оцениваются нарастающим итогом, то месячные показатели вычислялись как разность этих величин за два последующих месяца.

В начале статьи [1] было показано, что квазилинейный характер зависимость доходности вида актива и стоимости вида пассива имеет, когда дневной оборот средств по ним 0 значительно меньше общей задолженности С. При одноразовых крупных выплатах квазилинейный характер зависимости нарушается. В этом случае необходимо проводить коррекцию входных данных подси-

стемы по соответствующей доходности или стоимости. Коррекция данных осуществляется путем выделения из состава активов или пассивов конкретного вида, составляющей которая должна привести в будущем к сильному изменению доходности или стоимости привлечения соответствующего вида актива или пассива.

В отличие от полностью управляемых параметров технических объектов, системы управления которыми реализуют любую из заданного диапазона значений величину управляемого параметра, обеспечить любое заданное значение долей активов и пассивов, причем в ограниченное время, невозможно в силу объективных причин. Все активы и пассивы, в зависимости от вида, характеризуются разной степенью управляемости в смысле возможности изменения их стоимости. Одни виды активов, например, государственные ценные бумаги (ГЦБ), можно считать хорошо управляемыми. Стоимость портфеля ГЦБ достаточно просто изменить в любом направлении и практически на любую величину. Связано это с высокой ликвидностью данного вида актива. Ограничителями для полной управляемости здесь выступают обороты рынка, препятствующие в ряде случаев совершить продажу или покупку требуемого количества бумаг, а также фактор переоценки для переоцениваемых бумаг, ежедневно меняющий стоимость актива. Другие виды активов менее управляемы. Например, дебиторская задолженность не может быть снижена на произвольную величину, а лишь по мере погашения задолженностей по кредитам самими клиентами. Еще сильнее ограничены возможности по управлению большинством видов пассивов. При постоянных процентных ставках по вкладам, как правило, лишь удается констатировать тот или иной прилив по вкладам. Увеличить целенаправленно прилив по вкладам возможно только за счет увеличения процентных ставок.

Доли активов и пассивов жестко взаимосвязаны. При увеличении стоимости одного из видов актива (пассива) его доля увеличивается, а всех остальных снижается и, наоборот, при уменьшении стоимости одного из видов актива (пассива) его доля снижается, а всех остальных увеличивается. Поэтому, по сравнению со стоимостями активов и пассивов, при управлении их долями необходимо учитывать эту взаимосвязь.

В зависимости от особенностей построения (вид используемых моделей доходностей видов активов и стоимостей привлечения видов пассивов, число используемых при группировке активов и пассивов), подсистема может решать все или только часть из перечисленных выше задач

или решать их с различной степенью надежности (точности). На вероятность возникновения ошибок и на точность результата, кроме особенностей построения подсистемы, оказывают влияние входные данные по доходностям и стоимостям привлечения, которые отражают степень стабильности или нестабильности на финансовых рынках, участником которых является банк.

Приведенные выше задачи, решаемые с помощью подсистемы синтеза, перечислены в порядке возрастания требований к подсистеме, необходимых для их реализации. Действительно, дня того чтобы определить направления изменения долей без расчета величины их изменения требуется минимальная точность моделирования показателей эффективности или расчета целевых функций. Очень часто величины приращений показателей эффективности или целевых функций при анализе по принципу "что, если" могут быть рассчитаны с достаточной точностью, даже если точность расчета самих этих показателей эффективности или целевых функций достаточно низкая. Правильность последовательности перечисления остальных четырех задач будет обоснована ниже.

Оценка возможностей рассматриваемой подсистемы синтеза структуры активов и пассивов методом "натурных испытаний" допустима лишь при высокой ее надежности, то есть при полной уверенности в невозможности серьезных ошибок, так как несовершенство метода может повлечь за собой большие убытки. Поэтому наиболее оправданным для оценки возможностей метода синтеза является "пассивный эксперимент", то есть подход, при котором доли активов и пассивов специальным образом не изменяются, их изменения происходят только естественным образом в результате изменений или управляющих воздействий, осуществляемых в соответствии с уже устоявшимися правилами управления.

Для оценки результатов такого пассивного эксперимента использовались данные за предшествующий период путем условного выделения в нем базовых интервалов и интервалов управления. По фактическим величинам доходностей видов активов и стоимостей привлечения видов пассивов в условном интервале управления, а также по фактическим долям активов и пассивов в начале условного интервала управления и по фактическим их изменениям в этом условном интервале управления определялись модельные значения показателя эффективности П%/АХ. Эти модельные значения сопоставлялись с фактическими величинами показателей эффективности за тот же условный интервал управления. В качестве

длительности условных интервалов управления были выбраны календарные месяцы.

Расхождение между модельными и фактическими значениями целевой функции целиком обусловлено неточностями моделей доходностей и стоимостей привлечения, а также отклонениями от линейного характера изменения долей в интервале управления.

Поставим задачу скомпенсировать это расхождение за счет минимального изменения долей активов и пассивов. Для этого необходимо в случае показателя эффективности П%/АХ найти такие отклонения Scoi от фактических изменений долей coi активов и пассивов, при которых:

П

и X [i - Scùi) /

i= 1

Решение этой задачи проводилось с использованием электронной таблицы Excel'97 с встроенной функцией "Поиск решения". Средняя величина отклонения 8<oi в процентах определялась как:

п

8соср.= X|Sœi / coij / n х 100%.

i=i

Среднее значение всех бсоср. по этим условным базовым интервалам составило 2,77%. В силу ограниченной управляемости долей, обеспечить их изменение реально с существенно более высокой погрешностью (5... 10%). Таким образом, реальная погрешность моделей доходностей видов активов и стоимостей привлечения видов пассивов в предлагаемом методе мала по сравнению с возможной на практике точностью изменения их долей при управлении. В связи с этим задачей первостепенной важности при синтезе активов и пассивов становится задача определения правильного направления их изменения. Определение степени изменения долей является поэтому задачей второй очереди. Несовпадение в направлении изменения долей наблюдалось здесь в 13 случаях из общего числа 80 случаев, причем для активов и пассивов с изначально малыми долями в семи случаях.

Оценить точность реальной подсистемы синтеза структуры активов и пассивов в ситуации, характеризующейся той или иной степенью нестабильности (изменчивостью доходности видов активов и стоимостей видов пассивов) можно либо по величине ожидаемого суммарного процентного риска, либо путем сопоставления модельных и фактических значений целевой функции. Учитывая, что точностные параметры под-

системы сильно зависят от состояния финансовых рынков, единственно правильным следует считать такую постановку задачи создания подсистемы синтеза структуры активов и пассивов, которая при принятых величинах суммарных процентных рисков эквивалентных активов и пассивов обеспечивала бы заданные наперед требования по точности (по абсолютной погрешности) показателей эффективности. Задавать требования по относительной погрешности показателей эффективности неправомочно, так как при возможных нулевых значениях показателей эффективности относительная погрешность стремится к бесконечности при сколь угодно малой абсолютной погрешности.

До настоящего времени мы рассматривали вопросы точности исключительно с точки зрения точности моделей доходности видов активов и стоимости привлечения видов пассивов или, точнее, с точки зрения рисков снижения доходности активов и увеличения стоимости привлечения пассивов, которые однозначно определяют суммарные риски по показателям эффективности работы банка за период. Были даны рекомендации по коррекции входных данных в случае крупных единичных сделок. Вместе с тем точностные параметры подсистемы в целом зависят не только от точности моделей доходности отдельных видов активов или стоимостей привлечения отдельных видов пассивов. Очень большие или, как будет показано ниже, основные возможности снижения погрешности между модельными и фактическими значениями показателей эффективности банка заключаются в количестве используемых видов активов и пассивов, точнее, в принципах группировки общих активов и пассивов по видам. Перейдем к подробному рассмотрению этого вопроса.

Для случая относительно постоянных величин доходности видов пассивов, стоимости привлечения видов пассивов и их долей, принимая в качестве обозначения общего количества видов активов и пассивов п, выражение (13) (см. статью [1])можно записать в виде:

п1 п

П% / АХ = X юШ - X х'с' - к X Ск X Т .

¡=1 1=т+1

Дисперсию такого выражения можно записать в виде:

с2(п%/ А£)=|>2о2(сН) + ¿А'2°2(с0 +

¡=1 1=т+1

+ X А' АМс0°(с-0 +

+ Хгу А* А)°(сП)ст(Ы)-

Здесь А1 и А] - производные П%/АХ по доходности сН или 4) или производные П%/АХ по стоимости привлечения а или с] , взятые со знаком "минус". Таким образом, А1 и А] есть не что иное, как доли активов и доли пассивов, взятые со знаком "минус". Дисперсия сг2(П%/А£) в этом случае запишется в виде:

о2(П%/ А£)=£х12а2(сИ) + £х12о2(с1) +

1 = 1 ¡ = 111 + 1

+ х гУ х* а(40 + X гч°(с0 а(с.О ~

¡<.¡<111 11151^

к];кт;]>ш

Анализ этого выражения показывает, что составляющие третьей и четвертой сумм, включающие соответственно доходности активов и стоимости привлечения пассивов, увеличивают процентный риск, если они положительно коррелируют и уменьшают его, если коррелируют отрицательно. Составляющие пятой суммы, включающие произведение доходности активов на стоимость привлечения пассива, наоборот, увеличивают процентный риск, если они коррелируют отрицательно и уменьшают его, если коррелируют положительно.

Исследования корреляции доходности видов активов и стоимости привлечения видов пассивов показывают, что как для доходности активов, так и для стоимости привлечения пассивов корреляция может быть и положительной, и отрицательной. Число положительно и отрицательно коррелирующих пар приблизительно равно, а среднее значение коэффициентов корреляции близко к нулю. В этом случае можно пренебречь тремя последними суммами в (6) и записать это выражение в виде:

Щ 11

¡=1

1=111+1

Умножив обе части этого выражения на девять и, полагая, что погрешности величин сП и а распределены по нормальным и симметричным законам с максимальными рисками 81 = 3 от , можно считать, что с вероятностью 0,9973 абсолютный суммарный риск снижения показателя эффективности П%/А£ выразится зависимостью:

5 (п% / Ах) =

2>252

¡=1 ¡=т+1

1/2

Зависимость (4) для суммарных активов и пассивов запишется как:

к.); |<т^>111

П% / А£ = сЕ - сХ - к х Ск х Т.

Тогда выражение для абсолютной погрешности показателя эффективности или абсолютного значения риска снижения показателя эффективности запишется в виде:

6

Нами были получены следующие результаты:

5(П% / АЕ) = (0,752 + 0,632 - 2 х 0,6 х 0,75 х 0,63)'/2 = = 0,83 % за месяц .

Отметим, что данная погрешность складывается для конкретной структуры активов и пассивов банка и отражает конкретную ситуацию стабильности или нестабильности на финансовых рынках, в условиях которой эти структуры складывались.

Рассмотрим, каким образом на погрешность показателя эффективности П%/А£ влияет количество сгруппированных по видам активов и пассивов. Пусть имеется п/2 видов активов и п/2 видов пассивов. Введем также следующие условия: доли по всем видам активов и пассивов одинаковы; абсолютные риски снижения доходности по всем видам активов одинаковы и равны абсолютным рискам увеличения стоимости привлечения по видам пассивов, которые также одинаковы. Обозначим эти одинаковые риски через 8. Доля любого вида актива или пассива при этом равна 2/п. Очевидно, что при принятых допущениях выражение (8) будет иметь вид:

ровка активов и пассивов должна включать 86 их видов. Такое большое число видов активов и пассивов получается из-за того, что нами принято допущение о неизменности величин среднего риска 5 по видам активов и пассивов с ростом их общего числа п. Однако с ростом п величина 8, как будет показано ниже, снижается, уменьшая тем самым требуемое для обеспечения заданной точности количество используемых при группировке видов активов и пассивов, то есть величина 8 - некоторая функция.

Вместе с тем с ростом числа видов активов и пассивов при их группировке средние абсолютные риски снижаются и достижение заданной величины 8доп. возможно при существенно более низком числе видов активов и пассивов. Рассмотрим это подробнее.

Известно, что дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Если суммируемые дисперсии одинаковы, то результирующая дисперсия ровно в два раза больше любой из двух составляющих дисперсий. Среднеквадратичное отклонение, а значит и абсолютный риск в этом случае для составляющих величин меньше в /2 раз, по сравнению с аналогичными показателями для результирующей величины. Поэтому окончательно зависимость для абсолютных и равных рисков по видам активов и пассивов от числа их п в группировке будет иметь следующий вид:

Г ( I \ ~ п / 2

8

Средний риск равен 8 = 0,04627 % за месяц, что приводит к значению абсолютного риска по показателю эффективности П%/АХ или к погрешности показателя эффективности 8 (П%/ АЕ) по формуле (11) 0,0293 % за месяц. На практике допустимыми значениями абсолютного риска 8доп. следует считать существенно меньшие величины. Для средней величины риска снижения доходности вида актива и стоимости привлечения вида пассива 8 необходимое число видов активов и пассивов при их группировке можно вычислить на основе выражения (11). Заменив в нем 8 (П%/ АХ) на 8доп. и разрешив полученное уравнение относительно п, получим:

Исходя из этой зависимости, можно получить соотношение для расчета необходимого в подсистеме числа видов активов (пассивов), обеспечивающих снижение абсолютной величины риска снижения доходности суммарных активов (увеличения стоимости привлечения суммарных пассивов) до значения, не выше некоторой заданной величины 8'. Заменив в (13) 8(п) на 8', разделив обе части на 8шах и взяв от обеих частей логарифм по модулю два, получим:

1о§2(8'/ 8шах) = - п / 2, или окончательно:

п = 2

п = 4 (5 / 8доп.)2.

При 8 = 0,04627 и 8доп. = 0,01 получим п = 86, то есть при варианте линейных моделей группи-

Мы показали, что снижение абсолютной величины процентного риска показателя эффективности работы банка П%/АХ происходит как за счет уменьшения долей видов активов и пассивов при их группировке на большее число "мелких" подвидов, так и за счет уменьшения при этом самих

абсолютных величин рисков снижения доходности видов активов и увеличения стоимостей привлечения видов пассивов. Поэтому, будет правильно заменить в выражении (12) 8 на 8(п). Подставив в получившееся при этом выражение зависимость (13) для 8(п), выведем соотношение:

п = 4[2"п/28тах/5доп.]2

или п = 4 х 2~п

Взяв от обеих частей логарифм по модулю два, получим: log2n = 2 - п + 2 1о§,(8тах/8доп.) или n + log2 п = 2[1 + log2(8max/8flon.)]. Учитывая, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, а 1 = log2 2, окончательно получим:

n + log2 n = 21og2

Данное уравнение является трансцендентным относительно п и может быть решено только численным методом.

Выше с использованием линейной регрессии нами было рассчитано значение 8шах = 0,7429 с доверительной вероятностью около 0,5 (8 = 2а). Для доверительной вероятности 0,9973 (8 = За) величина Srnax будет на треть больше, то есть 8тах = 1,152. При выборе 8доп. следует иметь в виду, что относительная величина риска показателя эффективности работы банка П%/А£ сильно зависит от его среднего значения: 8отн.(П%/АХ) = 8доп./П%/А£. Поэтому желательно, чтобы 8доп. было как можно меньше. Для обеспечения относительной величины суммарного риска 8отн.(П%/АХ) = 1% при П%/АХ = 0,01 % за месяц необходимо, чтобы 8доп.= 0,01% за месяц. Подставив это значение в (16) и взяв логарифм, получим: n + log2 п = 15,69. Численное решение этого уравнения дает значение п = 12,2. Округляя до ближайшего большего целого, получим п = 13. Как уже отмечалось, зависимость (16) выведена при условии равенства между собой всех составляющих абсолютных значений рисков снижения доходности активов и увеличения стоимости привлечения пассивов по принятой группировке их на виды (подвиды), а также при условии равенства из долей. Вместе с тем при используемой в банке группировке на 10 основных видов активов и пассивов абсолютные значения рисков сильно отличаются (до 40 раз), а доли их отличаются еще сильнее (более чем в 1000 раз). Указанные обстоятельства требуют увеличения числа подвидов активов и пассивов при их группировке. Точно оценить влияние высоких различий в величинах процентных рисков составляющих видов (подвидов) активов и пас-

сивов, а также очень высоких различий в их долях возможно, по-видимому, только на основе оценки точности использования реальной подсистемы.

Нами были получены данные по фактическим и модельным значениям показателя эффективности П%/АХ для варианта использования линейных моделей за несколько месяцев, на основе которых найдено среднее значение абсолютной погрешности 0,238% за месяц. Значения долей активов и пассивов точно совпадают с фактическими на начало и конец каждого месяца (условный интервал управления). Принимая полученные абсолютной погрешности за величину 8доп., по формуле (16) найдем, что при равенстве процентных рисков видов активов и пассивов и при равенстве их долей такой результат может быть достигнут при п = 4,41. Иными словами, неодинаковость процентных рисков составляющих видов активов и пассивов, а также неодинаковость их долей приводит к тому, что равные требования к абсолютной величине риска показателя эффективности П%/АЬ достигается при числе видов активов и пассивов в 10/4,41 = = 2,68 раза большем.

При сложившейся степени неравенства в процентных рисках и долях активов и пассивов, установленное требование по предельно допустимой величине абсолютной погрешности показателя эффективности П%/А£ 8доп. = 0,01% за месяц может быть достигнут не при п = 12, как было установлено выше, а при п = 12,2 х х 2,68 = 33.

Установленные требования к числу активов и пассивов подсистемы синтеза позволяют обеспечить выполнение ею всех перечисленных выше функций вплоть до прогнозирования ожидаемой величины показателя эффективности П%/А£. Из изложенного очевидно, что по мере уменьшения числа видов активов и пассивов при их группировке возможности подсистемы синтеза снижаются, обеспечивая решение меньшего числа из перечисленных в начале статьи задач.

На основе изложенного можно также дать следующую практическую рекомендацию: при группировке активы или пассивы с очень малыми долями следует относить к прочим активам или пассивам.

Уменьшение доходностей видов активов и несколько меньшее снижение стоимостей привлечения видов пассивов всегда приводят к уменьшению показателя эффективности П%чист./АХ по отношению к П%/АХ- Таким образом, если подсистема синтеза построена исходя из требований обеспечения точности по расчету показа-

теля эффективности П%/АХ (значения абсолютного риска), то по показателю эффективности П%чист./АХ будет обеспечиваться несколько более высокая точность (меньшее значение абсолютного риска). Иными словами, при формулировке требований к точности подсистемы синтеза на основе показателя эффективности П%чист./А£ они оказываются немного ниже. Можно показать, что аналогичная ситуация складывается при формулировке требований к точности подсистемы синтеза на основе доли собственного капитала.

В данной работе везде под синтезом долей активов и пассивов понимался оптимальный выбор изменения долей видов активов и пассивов, которые уже числятся на балансе банка. Однако это не является строго обязательным условием. Если в состав активов и (или) пассивов предполагается включить новые виды, то есть рассматривается вопрос целесообразности или эффективности использования банком новых видов активов и (или) пассивов, то достаточно построить соответствующую модель доходности или стоимости привлечения. Сделать это можно, введя рыночные статистические данные по доходности или стоимости привлечения, скорректировав их, если необходимо, исходя из условий их использования в банке. Естественно, что начальная доля (доля на начало интервала управления) предполагаемого к использованию вида актива или пассива, закладываемая в модель, должна быть равна нулю.

Для обеспечения возможности проведения коррекции управляющих воздействий в течение месячного интервала управления, необходимо иметь балансовые данные и данные по доходам и расходам банка за некоторые промежуточные интервалы, например за декады месяца.

В заключение отметим, что использование в подсистеме синтеза структуры активов и пассивов более сложных стохастических моделей до-ходностей видов активов и стоимостей привлечения видов пассивов, по сравнению с описанными в статье [1] линейными моделями, позволяет существенно (почти в два раза) снизить число необходимых при группировке видов активов и пассивов для достижения аналогичного максимально допустимого абсолютного риска при расчете ожидаемых на предстоящий месяц показателей эффективности работы банка. Так, для обеспечения максимального абсолютного риска 0,01% за месяц по показателю эффективности П%/А£ требуется группировка из 25 видов активов и пассивов, а для определения оптимального направления изменения долей - всего 15 видов.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. К Кулаков, Н.С. Цагарейшвили, В. В. Яшин. Процентные риски и синтез структуры активов и пассивов банка. Финансы и кредит, 2000, № 6.

2. Уотшем ТДж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Пер. с англ. - М.: Финансы, "ЮНИТИ", 1999. - 528 с.