Геометрия и алгоритмы аль-Фараби в современном образовании

ГЕОМЕТРИЯ И АЛГОРИТМЫ АЛЬ-ФАРАБИ В СОВРЕМЕННОМ ОБРАЗОВАНИИ

GEOMETRY AND ALGORITHMS OF AL-FARABI IN MODERN EDUCATION

Е.Ы. Бидайбеков, Г.Б. Камалова, Y.Y. Bidaibekov, G.B. Kamalova,

Б.Г. Бостанов B.G. Bostanov

Математическое наследие, геометрическое построение, построение с помощью циркуля и линейки, алгоритм, алгоритмический подход, прикладная направленность, математическое образование. В статье на основе изучения геометрического наследия аль-Фараби, работ А. Кубесова выявлена возможность внедрения геометрического наследия аль-Фараби в современное математическое образование благодаря его уникальности, которая заключается в использовании алгоритмического подхода при решении геометрических задач на построение, и прикладной его направленности.

Mathematical heritage, geometric construction, construction by means of a compass and a ruler, algorithm, algorithmic approach, applied orientation, mathematics education.

Based on the study of the geometric heritage of Al-Farabi, studying the works of A. Kubesov and following his studies, the paper detected the possibility of introducing the geometric heritage of Al-Farabi in modern mathematics education due to its uniqueness, which lies in the use of an algorithmic approach to solving geometric construction tasks and its applied orientation.

Аль-Фараби (870-950) - один из величайших ученых, мыслителей и энциклопедистов раннего Средневековья, уроженец Казахстана и представитель древних тюркских племен, на основе которых был образован нынешний казахский народ. Как обладателю незаурядных способностей во всех отраслях знаний ему принадлежит почетное место среди огромной плеяды ученых средневекового Востока, которые еще при жизни называли его вторым учителем - «ал-муаллимас-сани» - после Аристотеля.

Аль-Фараби является одним из основоположников прогрессивной общественно-философской мысли на мусульманском Востоке, в том числе в Средней Азии и Казахстане, откуда вышли такие философы и ученые, как Ибн Сина, аль-Бируни, Омар Хайям, Наср ад-Дин ат-Туси и др. Кроме чисто философских и логических сочинений, им написано множество естественно-математических и натурфилософских работ. Он оставил богатейшее научное наследие, которое оказало огромное влияние на последую-

щее развитие науки как на Востоке, так и на Западе. Изучение научного наследия этого мыслителя, определение его влияния на мировую науку и цивилизацию были и продолжают оставаться актуальными и сегодня.

В научной деятельности аль-Фараби значительное место занимают исследования в области физико-математических наук. Математическое наследие аль-Фараби достаточно хорошо изучено Ауданбеком Кубесовым (1932-2008), которой является крупным ученым в области истории математической науки и педагогики исламского Востока. Его труды «Математическое наследие аль-Фараби», «Математические трактаты» получили высокую оценку зарубежных исследователей научного наследия аль-Фараби и оцифрованы в Мичиганском университете (2007, 2010), а «Комментарии к "Альмагесту" Птолемея» - в Калифорнийском университете (2008) [Бидайбеков, 2013; Carry, 1978].

В исследованиях А. Кубесова приведены основные сведения о рукописях, изданиях, переводах и исследованиях сочинений аль-Фараби,

<С £

d pq

0

ь

к

1 W m Е-

U

CL

<

о ^ о о

О Й

2S

ш Е-

S

О

Рч

W

13

о §

к

%

о

W :г s

ь

I—

<с п

W

с

S

д

н

U

W М

содержащих физико-математические сведения. Некоторые другие сведения о зарубежных изданиях, переводах и исследованиях этих сочинений можно найти в библиографической книге Н. Решера [Rescher, 1962].

В широко известной монографии «Математическое наследие аль-Фараби» А. Кубесо-ва на основе опубликованных и неопубликованных рукописей ученого освещены математика в классификации аль-Фараби, геометрия, тригонометрия, арифметика, алгебра аль-Фараби и их применение в астрономии, учение о вероятностях и математической теории музыки и др., краткой обзор о которых приведен в статье [Бидайбеков, 2015].

А. Кубесовым был обнаружен до него не известный геометрический трактат аль-Фараби, который называется «Книга духовных искусных приемов и природных тайн о тонкостях геометрических фигур». Этот труд аль-Фараби, целиком посвященный геометрическим построениям, важным в землемерии, архитектуре, технике и геодезии, состоит из введения и 10 книг (макалат); он был создан, как видно из названия «Духовные искусные приемы», для приложений геометрии к различным вопросам практики и других наук.

Аль-Фараби в данном трактате уделил основное внимание алгоритмам геометрических построений, что соответствует общей характеристике математики средневекового Востока, которая в основном носила вычислительно-прикладной характер. Как известно, алгоритмы геометрических построений как алгоритмы для решения геометрических задач изучаются в вычислительной геометрии, которая является разделом современной информатики. Так что есть основание считать, что в трактате рассматривается начало современной вычислительной геометрии. Впрочем, аль-Фараби все построения приводит без доказательств.

В первой книге трактата рассматриваются элементарные построения с помощью циркуля и линейки. Вторая книга посвящена правильным многоугольникам, строящимся на данном отрезке, а третья книга - правильным многоугольни-

кам, вписанным в круг. В четвертой книге решаются задачи построения круга, описанного около треугольника и правильных многоугольников, а в пятой - построение круга, вписанного в треугольник. Шестая книга посвящена построению правильных многоугольников, вписанных друг в друга. Построение треугольников в некоторых задачах основано на применении метода гомотетии. В седьмой книге рассматриваются задачи разделения треугольника на равные части, увеличения и уменьшения его в несколько раз; применяется метод гомотетии. Восьмая книга посвящена разделению параллелограммов и трапеций прямыми, удовлетворяющими различным условиям. Здесь также применяется метод гомотетии. В девятой книге решен ряд задач на преобразование квадрата из п2 квадратов, построение квадрата из 2 п2 и п2 + т2 квадратов и обратные задачи, различные способы построения квадрата из трех равных квадратов. В этой же книге приводится критика аль-Фараби решения ремесленниками задачи утроения квадратов. Десятая книга посвящена различным построениям на сфере, в том числе разделению сферы на правильные сферические многоугольники, равносильные построению вписанных правильных многогранников, вершинами которых являются вершины многоугольников.

Геометрический трактат аль-Фараби сыграл большую роль в развитии конструктивной геометрии. Многие идеи, высказанные в этом труде, были развиты в дальнейшем в трудах математиков как средневекового Востока, так и Европы эпохи Возрождения.

Что касается геометрических задач на построение, то они, составляя одну из содержательных линий школьного курса геометрии, и сегодня являются весьма существенным элементом в обучении геометрии, неотъемлемой ее частью. А в трактатах аль-Фараби предлагаются уникальные алгоритмы огромного количества геометрических задач на построение с помощью циркуля и линейки даже для задач, в которых точное построение сделать просто невозможно. Для них приводится алгоритм, позволяющий осуществить построение только лишь

приближенно, что и является особенностью подхода аль-Фараби. Особый интерес в них вызывают классические задачи древности, неразрешимые точно с помощью циркуля и линейки: о трисекции угла, построении правильных многоугольников, вписанных в круг и др. Правильные многоугольники всегда привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других.

В качестве примера укажем пути эффективного использования приведенных геометрических построений из математических трактатов аль-Фараби [Аль-Фараби, 1972], а именно построения геометрических правильных многоугольников (с числом сторон от 3 до 10), строящихся на данном отрезке, при обучении предметам «математика» и «информатика» с применением современных образовательных и информационно-коммуникационных технологий. Этому способствуют уникальность исследования аль-Фараби, которая заключается в использовании алгоритмического подхода при решении математических проблем, и прикладная направленность проведенных исследований.

Эти алгоритмические подходы и прикладная направленность проведенных исследований позволяют построить дидактические средства электронного обучения, так как в основе информатики и информатизации, а также в основе использования ИКТ лежит понятие алгоритм. А если говорить о прикладной направленности, то один из главных принципов аль-Фараби - это изучение и рассмотрение математики с точки зрения естественных явлений и процессов и ее всевозможных практических применений. В этом плане особенно ценно рассмотрение «искусных приемов» (как прототип современной прикладной математики) как одного из разделов математики.

В рамках разрабатываемого образовательного портала по математическому наследию аль-Фараби нами создан набор библиотек, где приведены алгоритмы (ходы) построения многоугольников по аль-Фараби с исследованием их математической обоснованности, которые играют важную роль в обучении математике и информатике. Реализация этих алгоритмов

Отдельно следует рассмотреть семиугольник, стороны которого, как известно в настоящее время, не могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Доказательство этого утверждения приведено, например, в книге [Курант, Роббинс, 2001, с. 165]. Заметим, что большой вклад в решение задач построения подобных правильных многоугольников внес немецкий математик Гаусс (1801). Он указал все значения n, при которых возможно построение правильного n-угольника только с помощью циркуля и линейки. Этими многоугольниками оказались лишь многоугольники, у которых количество сторон является простым числом вида 22k + 1, а также те, которые получаются из них удвоением числа сторон.

С помощью циркуля и линейки оказалось невозможным построение правильного 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28... - угольников и т.д.

Как известно, Евклид не рассматривал построение правильных многоугольников (при n= 7,9,11,13,14), не осуществимое только циркулем и линейкой. А аль-Фараби предлагает алгоритмы построения таких многоугольников (в случае аль-Фараби n= 7,9) приближенно с некоторой точностью, хотя он не отмечает приближенного характера своих построений. Приближенность этих алгоритмов показана при исследовании математической обоснованности их, а для остальных n предложенные аль-Фараби алгоритмы построения многоугольников не вызывают затруднений и точны.

Он пишет: «Если он сказал: как построить на линии АВ равносторонний семиугольник, то сделаем линию ВС, равной линии АВ, построим на линии АС равносторонний треугольник DAC и опишем около треугольника ADC круг. Проведем в нем хорду - линию АЕ, равную линии АВ, и разделим АЕ пополам в точке G, восставим перпендикуляр GH и продолжим его до окружности круга (рис. 1).

<С £

d pq

0

ь

к

1 W m Е-

U

CL

<

о ^ о о

О Й

2S

ш Е-

S

О

Рч

W

13

о §

к

%

о

W :г s

ь

I—

<с п

W

с

S

д

н

U

W М

Рис. 1. Построение семиугольника

Разделим АВ пополам в точке ^ восставим в ней перпендикуляр П, равный перпендикуляру GH. Проведем через точки А, В и I круг АВ1 и отложим [на нем] дуги АК, ^, LI, IM, MN и NB, равные дуге АВ. Проведем линии АК, ^, LI, М, MN и NB; это - равносторонний и равноугольный семиугольник» [Аль-Фараби, 1972, с. 110-111].

Значение стороны правильного семиугольника с точностью до тысячных равно 2^^т(360°/ /14)=2^т25°43»^*0,868.

По алгоритму построения аль-Фараби сторона правильного семиугольника с точностью до тысячных равна ^-У3)/2^-0,866. Это точность не улучшаема. Правда, здесь аль-Фараби не отмечает приближенного характера своего построения, но он говорит об этом в другом месте, когда рассматривает аналогичное построение семиугольника, вписанного в круг [Аль-Фараби, 1972, с.126]. Позднее математики эту задачу свели к неприводимому уравнению третьей степени.

К категории таких задач, не разрешимых с помощью циркуля и линейки, относится и задача построения правильного девятиугольника. В основе алгоритма построения правильного вписанного девятиугольника, как видно из приведенного текста, лежит и задача о делении угла на три равные части.

Задача о трисекции угла, за исключением случая трисекции прямого угла, не может быть решена точно с помощью циркуля и линейки и сводится к кубическому уравнению sin(P)=3•x--4-х3, sin(P/3)=x, где в - рассматриваемый угол.

В книге [Курант, Роббинс, 2001, с.164] показано, что построение трисекции угла с помощью только циркуля и линейки в общем случае невозможно.

Аль-Фараби в работе приводит два способа ее решения. Они носят приближенный характер. Алгоритмы построения трисекции угла в трактате описаны следующим образом: «Если он сказал: как разделить угол АВС на три равные части, то если угол прямой, построим на линии ВС равносторонний треугольник ОВС. Тогда угол АВО -треть прямого угла. Разделим угол ОВС пополам. Вот рисунок этого» (рис. 2).

Рис. 2. Построение трисекции прямого угла

Если угол меньше прямого угла, то «построим острый угол - угол ABC и, если мы хотим разделить его на три равные части, опустим из точки A перпендикуляр AH на линию BC и проведем из точки A линию AD параллельно BC. Приложим линейку к точке B и будем двигать ее по линиям AD и AH до тех пор, пока линия, которая находится между линиями AD и AH, не станет равной удвоенной линии AB. Это, например, линия DEB, так что линия DE - удвоенная линия AB. Тогда угол DBC- треть угла ABC. Вот рисунок этого» (рис. 3).

ч * 1 * i г 7v \ Х^А--' --

—~Ят J^CL! i \ \ -" i \ в

\ \ % \ i \ \ - Л-------

Рис. 3. Построение трисекции острого угла

]

Эти построения, впрочем, как и все другие у аль-Фараби, приведены без доказательства. Построение девятиугольника аль-Фараби основано на трисекции, оно имеет вид: «Если он сказал: как построить на линии АВ равносторонний и равноугольный девятиугольник, то опишем круг СйЕ произвольного размера с центром в точке в, отметим на нем точку С, примем ее за центр и на расстоянии полудиаметра круга отметим [точки] Е и D. Разделим дугу йЕ на три равные части (рис. 4). Пусть одна такая дуга - ЕН. Проведем линии EG, ЕН и HG. Проведем между линиями Ев и Нв линию П, равную линии АВ и параллельную линии ЕН. Примем точки А и В за центры и на расстоянии Гв опишем круги, которые пересекутся в точке К. Примем точку К за центр и на расстоянии КА [опишем] круг ABL. Разделим дугу ALB на восемь равных частей и соединим эти точки деления хордами. Получится равносторонний и равноугольный девятиугольник на линии АВ» [Аль-Фараби, 1972, с. 113-114].

Ри. 4. Построение девятиугольника

Аль-Фараби здесь сторону правильного девятиугольника определяет с помощью трисекции дуги, равной одной трети окружности. Если обозначить sin(P/3)=x, то sin(P)=3•x-4•x3, где

Р=а/2, а=1200. Отсюда можно получить значение стороны правильного вписанного девяти-угольника. С точностью до тысячных оно равно 2^т(3600/18)^0,684.

Отметим, что вообще построение правильных многоугольников с заданной стороной при п=7,8,9,10 отсутствует у Евклида.

Таким образом, изучение приведенных задач на геометрические построения и разработанный нами набор библиотек вполне могут привести к большим достижениям в обучении учащихся геометрическим построениям. Например, наряду с заданием в виде алгоритмов геометрических построений отдельных многоугольников, удобных при обучении, могут быть приведены возможности алгоритмизации построения многоугольников высшего порядка с помощью построения многоугольников меньшего порядка. Эти алгоритмические подходы позволяют при обучении геометрическим построениям аль-Фараби создать систему дидактических средств электронного обучения. При этом можно эффективно осуществить и обучение математике - обучение учащихся построению многоугольников методами электронного обучения, с одной стороны, и обучение информатике - обучение алгоритмам построения отдельных многоугольников - с другой.

Особый интерес при обучении представляют мультимедийные образовательные ресурсы, позволяющие наглядно демонстрировать в этих задачах на построение всевозможные искусные приемы, предлагаемые аль-Фараби. Целенаправленная работа по разработке этих ресурсов в настоящее время ведется в Казахском национальном педагогическом университете имени Абая в рамках изучения математического наследия аль-Фараби.

На данный момент уже разработаны анимационные ролики практически всех геометрических построений, описанных аль-Фараби, и размещены на специально созданном научно-методическом образовательном портале. Главная их особенность в том, что работают они на большом числе операционных систем, предоставляя возможность осуществле-

<С ш £

С И

0

ь

к

1 ш т Е-

О

о.

<

О ^

о м :г

О О

X

и

<с «

м с

[ 21 ]

К

н

и

ее

ния доступа к ним с любых устройств, в том числе мобильных.

Естественно, внедрение в современное образование геометрических построений аль-Фараби и использование при их обучении разработанных средств обогащают обеспечение продуктивного, творческого обучения математике и информатике как инновационный подход.

Библиографический список

1. Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972. 318 с.

2. Бидайбеков Е.Ы., Бостанов Б.Г., Камалова Г.Б. The mathematical heritage of Al-Farabi by A.Kubesov in modern conditions of educations // Матер. IX Межд. конгресса ISAAC. 5-9 августа 2013 г. Краков, 2013. C. 33-34.

3. Бидайбеков Е.Ы., Камалова Г.Б., Бостанов Б.Г., Джанабердиева С.А. Эл Фэрэбидщ математикалык муралары заманауи бгшм беру аясында // эл-Фараби атындаFы К,аз¥У Хабар-шысы. Саясаттану, философия, мэдениеттану сериясы. Алматы. 2015. № 2(51). Б. 50-57.

4. Кубесов А.К. Математическое наследие аль-Фараби. Алма-Ата: Наука, 1974. 246 с.

5. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов). 3-е изд., испр. и доп. М.:МЦМНО, 2001. 586 с.

6. Carry J. Tee (University of Aucland), Kubesov A.K. The Mathematical Heritage of al-Farabi // Journal for the history of Arabic science. 1978. № 1. P. 150-153 (in Russian).

7. Rescher N. Al-Farabi: An Annotated Bibliography. University of Pittsburgh, 1962.