Анализ микрополосковых антенных решеток с широкими излучателями методом наводимых ЭДС

УДК 621.396.677

Д. А. Литвинов

АНАЛИЗ МИКРОПОЛОСКОВЫХ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК С ШИРОКИМИ ИЗЛУЧАТЕЛЯМИ МЕТОДОМ НАВОДИМЫХ ЭДС

Аннотация. Рассматриваются вопросы моделирования излучателей полосковых антенных решеток. Описывается моделирование при помощи метода наводимых электродвижущих сил, заключающееся в анализе полного входного сопротивления широкого излучателя, находящегося в составе решетки.

Ключевые слова: моделирование, микрополосковые антенны, метод наводимых ЭДС.

Abstract. The purpose of this issue is description of microstrip arrays simulation. It describes simulation and analysis for full input impedance of array width patch by induced EMF method.

Keywords: simulation, microstrip antennas, induced EMF method.

Введение

При проектировании современных антенных систем с использованием полосковых антенн редко используются одиночные антенны, так как их применение не может удовлетворить высоким требованиям, предъявляемым к электрическим и энергетическим параметрам современных антенных систем. Поэтому полосковые антенны объединяются в решетки. Наиболее применяемой является фазированная антенная решетка (ФАР), в которой управление диаграммой направленности (ДН) осуществляется за счет изменения фазы подаваемых на излучатели электромагнитных волн.

Одним из важных этапов в проектировании антенных решеток является учет взаимодействия излучателей между собой. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показали, что нельзя пренебрегать взаимным влиянием излучателей решетки, которое проявляется в том, что входное сопротивление излучающего элемента в ФАР отличается от его сопротивления в свободном пространстве и является функцией угла сканирования.

В результате этого важнейшей задачей при проектировании антенных решеток (АР) являются расчет и анализ входного сопротивления излучателя в составе решетки.

1. Применение метода наводимых ЭДС для анализа микрополосковых антенн

Анализ микрополосковых антенн можно проводить, используя метод наводимых ЭДС. В работе [1] рассматривается математическая модель полосковой антенны, основанная на методе наводимых ЭДС и позволяющая моделировать входное сопротивление антенны с высокой точностью.

Данная модель основана на учете одной гармоники тока для линейной решетки из одинаковых линейных излучателей. Это обеспечивает достаточную точность расчета для резонансных излучателей, для излучателей, малых по сравнению с длиной волны, а также для других излучателей, расстояния между которыми в решетке значительны и форма распределения тока мало изменяется за счет взаимных связей.

Согласно данной модели распределение тока по полосковому вибратору принимается синусоидальным. Также учитывается наличие подложки путем введения эффективной диэлектрической проницаемости в закон распределения тока [2]. Для полосковых антенн с высоким значением диэлектрической проницаемости подложки (а именно такие антенны применяются чаще всего) характерно то, что большинство линий напряженности электрического поля находится между излучателем и экраном. Поэтому есть возможность учесть влияние подожки введением эффективной диэлектрической проницаемости. Эффективная диэлектрическая проницаемость позволяет моделировать полосковые антенны, как если бы излучатель находился в однородной среде с диэлектрической проницаемостью 8эф.

2. Применение метода наводимых ЭДС для широких излучателей

Математическая модель, описанная в разд. 1, также может быть использована для полосковых антенн с широким излучающим элементом, например, прямоугольной полосковой антенны. Из теории полосковых антенн известно, что токи по излучателю текут по его кромкам [3]. Воспользовавшись этим, можно принять эти токи за воображаемые вибраторы и рассчитать их входные сопротивления. Причем выбираются токи, текущие по большим краям излучателя. Эти токи выбираются исходя из того, что тангенциальные составляющие полей у больших краев синфазны и формируют в поперечном направлении максимум излучения. А так как при расчете методом наводимых ЭДС учитывается именно тангенциальная составляющая поля, то при расчете входного сопротивления полоскового излучателя необходимо принимать в расчет именно эти два тока, текущих по большим краям.

Так как длина прямоугольной антенны примерно равна Х/2 (X - длина волны), то необходимо рассматривать полуволновые вибраторы. Сопротивление этих воображаемых вибраторов рассчитывается согласно рассмотренной математической модели по методу наводимых ЭДС [1]. Диаметр воображаемых вибраторов принимается равным толщине металлизации. После вычисления их входного сопротивления необходимо найти общее сопротивление излучателя. Общее сопротивление будет вычисляться исходя из взаимного расположения этих вибраторов (расстояния между ними) и в точке, расположенной в центре излучателя, рассчитывается как параллельное соединение входных сопротивлений этих воображаемых вибраторов в этой точке (рис. 1).

Рис. 1. Модель прямоугольной антенны

Сопротивление каждого из вибраторов в центре излучателя может быть вычислено по формуле для расчета сопротивления линии передач с учетом расстояния от края излучателя до его центра. Зная сопротивление каждого вибратора в точке, находящейся в центре излучателя, можно рассчитать входной имеданс антенны в данной точке как равный сопротивлению параллельного соединения этих двух вибраторов в этой точке, а затем при необходимости можно пересчитать импеданс для точки подвода питания.

Сопротивление вибратора в центре излучателя может быть вычислено по методу длинных линий. Для этого необходимо знать характеристическое сопротивление полосковой линии. Согласно [4] характеристическое сопротивление полоскового излучателя для перерасчета входного имедан-са излучателя к точке питания может быть рассчитано по следующей формуле:

_ _ 300

_

1+^ к

где w - ширина полосковой линии; к - высота подложки; 8Г - диэлектрическая проницаемость.

Для перерасчета сопротивления вибраторов к центру излучателя величина w будет равна длине излучателя Ь, а для пересчета сопротивления к точке подвода питания - ширине излучателя Ж.

3. Анализ микрополосковых антенных решеток методом наводимых ЭДС

Для резонансных вибраторов можно считать, что их ДН в составе решетки за счет взаимодействия существенно не меняется, а меняется их входное сопротивление и сопротивление излучения.

Пользуясь методом наводимых ЭДС, можно определить характеристики АР с учетом взаимодействия излучателей. Так, для вибраторных антенных решеток, где ДН единичного излучателя в первом приближении можно считать неизменной, этим методом рассчитываются входное сопротивление и сопротивление излучения вибраторов в решетке, а также их собственное сопротивление.

В соответствии с методом наводимых ЭДС сопротивление излучения п-го вибратора с синусоидальным распределением тока в составе решетки из N элементов длиной Ь в общем виде может быть представлено так:

N

^Еп _ ^Епп ^ ^Епк ,

к _1, к Фп

где Я^пп - собственное сопротивление вибратора; К%пк _ —^взпк - наведен-

'п

ное сопротивление в п-й вибратор со стороны к-го; Лвзпк - взаимное сопротивление вибратора, определяемое параметрами вибраторов. При равных токах наведенное и взаимное сопротивления совпадают.

Мощность излучения п-го вибратора определяется как

р, = ип1п = 112 ±ьп 2 2 '

Для системы из N вибраторов мощность излучения будет представлять сумму мощностей излучения всех вибраторов:

N N п г * NN

Р, = ТР,п = Т П2 П = ТТТ 1п 1кК,пк •

п=і п=і п=1 к =1

Если учесть реактивную запасенную мощность и ввести полную ком-

плексную мощность, то можно перейти к комплексному входному сопротивлению, которое будет определяться выражением, аналогичным (1):

ип = 1п

N

2

\

7пп +

Т у

к =1, к Фп

пк

N

7пп +

V 1^7

/ , і ^взпк

к =1,кФп п

1п^пп + 2 ^к7взпк, п 1, 2,..., N .

к _1, к Ф п

Если токи в вибраторах одинаковы, то входное сопротивление вибратора не зависит от отношения токов и определяется только собственным и взаимными сопротивлениями:

N

7п _ 7пп + 2 7вз пк .

к_1,к Фп

Обозначим отношение комплексных амплитуд токов на входах вибраторов как

— _ Япк ехР(]фпк).

'п

Тогда полные входные сопротивления вибраторов будут определяться из соотношений

N

7п _ 7пп ^ 2 Упк7взпк ехр

к _1,к Фп

Мощность излучения п-го вибратора с учетом наведенных сопротивлений:

* *

Р _ 1п1 п 7 _ ^п^п и _

РЕп _ 2 7п _—^~иЕп _

*

N

Rnn + I qnk

k=1, k Фп

Полная мощность излучения всех вибраторов, отнесенная к току в пучности п-го вибратора, равна сумме излучаемых мощностей Р-£п :

N

N

1 qnk

k=1

h = IЦ-%„ =

n=1

N

Rnn + I qnk

k=1,k Ф n

1

Если учесть, что qnk exp (Фnk ) =---------------exp (-/Ф^), то (4) и (5) можно

qkn

преобразовать к следующему виду:

n 1

Zn = Rnn + {Rkn cosФkn + Xkn sin Фkп )

k=1,kФп qkn

N

+ 11 qnk (Rnk cosФnk Xnk Фnk ) +

k=n+1

+/

n1

Xnn 1 (Rkn cosФЬ Xkn sinФЬ ) +

k=1,k Фп qkn

N

+ qnk

k=n+1

N

1 qnk k=1

n 1

Rnn + 1

k =1,kФn qkn

N

+ qnk ( (nk cos Фnk + Xnk sin Фnk ) f •

k=n+1 J

Из (6) следует, что полное сопротивление излучения системы связанных вибраторов равно:

N

ZZ = I q-:k k =1

1

Znn + I I

k =1,kФn qkn

N

+ 1 qnk ((nk cos Ф nk Xnk sin Ф nk ). k=n+1

Еще одним способом анализа антенных решеток является анализ при помощи матриц взаимных сопротивлений.

Матрица \£\ по определению связывает между собой столбцы нормированных напряжений и токов на входах излучателей:

Каждый диагональный элемент Хпп в (7) представляет собой собственный импеданс излучателя с номером п, а любой недиагональный элемент 2пк = Хкп есть взаимный импеданс излучателей с номерами п и к; собственные и взаимные импедансы определяются при условиях холостого хода на входных сечениях других излучателей. Поэтому матрица \£\ оказывается жестко привязанной к определенным плоскостям отсчета фаз в фидерных линиях излучателей, и при смещении этих плоскостей в новые положения происходит изменение всех элементов матрицы. Нормирование собственных и взаимных импедансов осуществляется путем замены любых реальных линий передачи эквивалентными линиями с единичным волновым сопротивлением.

Расписывая произведение какой-либо строки с номером п в матрице \£\ на столбец распределения тока I по входам излучателей решетки, получаем

Разделив нормированное напряжение ип на входной ток 1п, находим нормированный входной импеданс излучателя с номером п в антенной решетке:

Согласно формуле (8) входной импеданс излучателя решетки является суммой его собственного импеданса 2пп и целого набора вносимых импедансов из других N - 1) излучателей, что идентично формуле (2).

Если составить уравнение (8) для каждого излучателя антенной решетки, то получим систему уравнений, в которой количество неизвестных будет равно количеству уравнений. Решив эту систему и подставляя значения для взаимных и собственных сопротивлений, можно найти сопротивление каждого излучателя в решетке.

Взаимные сопротивления микрополосковых вибраторов можно вычислить по следующей формуле:

2ті ••• 2тт

2п •••

ип - 2пі1! + 2п\1\ + ••• + 2пп1п + ••• + 2пт1т

X 1 1

ч Є2у + Уі +

2 2 2

где 21 - длина элемента; 2b - его ширина; Y = V%i + %2 _^0 ;

У1 = ^!2 + х2 - к!2 ; к = к0 ; й - расстояние между излучателями.

Считается, что ток в вибраторах задан в виде

л_ Iэх ^ т( x )Х( y )5( z — 0);

, — / < x < /;

Р_ 2л X , т(у) _ 1, d — b < y < d + b .

Согласно [5], зная выражение для Zвз двух идентичных параллельных вибраторов и уменьшая расстояние й между ними до значения половины ширины Ь, можно определить входное сопротивление уединенного вибратора или собственное сопротивление вибратора:

При вычислении входного импеданса антенны с широким излучающим элементом, входящей в состав антенной решетки, необходимо воспользоваться методом расчета, описанным в разд. 2, с той только разницей, что расчет входного сопротивления воображаемых вибраторов необходимо производить с учетом влияния остальных элементов антенной решетки по формуле (8).

Предложенный в данной статье способ вычисления входного сопротивления излучателей полосковых ФАР может быть использован при инженерных расчетах для оценки взаимного влияния излучателей в решетке как наиболее точный из простых и нетрудоемких методов расчета, а также для моделирования полного входного сопротивления полосковой антенны, входящей в состав ФАР.

1. Литвинов, Д. А. Математическая модель полоскового вибратора / Д. А. Литвинов // Электронная техника : сб. науч. тр. / под ред. Д. В. Андреева. - Вып. 9. -Ульяновск : УлГТУ, 2007. - С. 41-45.

2. Литвинов, Д. А. Математическая модель закона распределения тока на полосковом излучателе / Д. А. Литвинов // Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем : труды Пятой Всероссийской научно-практ. конф. (с участием стран СНГ) (5-15 июля 2007, Ульяновск). - Ульяновск : УлГТУ, 2007. - С. 258-260.

3. Микрополосковые излучающие и резонансные устройства / Е. И. Нефедов, В. В. Козловский, А. В. Згурский. - К. : Техника, 1990. - 160 с.

4. Balanis, С. A. Antenna theory: analysis and design. Second edition. / С. A. Balanis. -John Wiley & Sons Inc., 1997. - 941 p.

5. Лавров, Г. А. Взаимное влияние линейных вибраторных антенн / Г. А. Лавров. - М. : Связь, 1975. - 128 с.

Z^g Нш Хвз .

d ——b

Заключение

Список литературы

Литвинов Дмитрий Анатольевич Litvinov Dmitry Anatolyevich

аспирант, Ульяновский государственный Postgraduate student, технический университет Ulyanovsk State Technical University

E-mail: litvinov_dmitry@mail.ru

УДК 621.396.677 Литвинов, Д. А.

Анализ микрополосковых антенных решеток с широкими излучателями методом наводимых ЭДС / Д. А. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. -№ 2 (14). - С. 70-77.