Вариант определения напряженно-деформированного состояния упругого тела конечных размеров с трещиной

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 122-131

Механика

УДК 539.375

Вариант определения напряженно-деформированного состояния упругого тела конечных размеров с трещинои *

Л. В. Глаголев

Аннотация. Рассмотрена задача о нахождении напряженно-деформированного состояния (НДС) в поврежденном трещиной теле конечных размеров. Трещина моделируется физическим разрезом с характерной толщиной So и материальным слоем на его продолжении. Напряженное состояние слоя описывается средними по толщине и граничными напряжениями, связанными условиями равновесия. Для смежных со слоем тел получены вариационные уравнения равновесия, решение которых определяет НДС в рассматриваемом слое. В случае линейно упругого поведения материала рассмотрены случаи деформирования типа нормального отрыва и поперечного сдвига. Из конечно-элементного решения задачи выявлены тенденции к началу пластического деформирования.

Ключевые слова: трещина, характерный размер, конечный элемент, физический разрез.

Введение

Основным модельным представлением трещины в твердом теле является математический разрез [1, 2]. Данное представление дает

возможность прогнозировать трещиностойкость хрупких и квазихрупких материалов, однако оставляет открытым вопрос о переходе материала с упругопластическими свойствами в пластическое состояние. Введение в модель сил сцепления требует задания их a priory и может быть использовано в случае нормального отрыва [3, 4], когда модуль сил сцепления ассоциируется с пределом текучести при одноосном растяжении. Однако при произвольном нагружении использование сил сцепления требует обоснования. В этом плане актуальным является развитие моделей

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 13-08-00134_а, 14-01-31138 мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).

трещины, в которых отсутствует сингулярность напряжений [5, 6], что позволяет в рамках естественных критериев механики сплошной среды определить момент перехода в состояние пластичности. В данной работе на основе модели [5] рассмотрена вариационная постановка задачи об определении напряженно-деформированного состояния тела конечных размеров с трещиной. Методом конечного элемента представлены решения для частных случаев нагружения. Найдены области, согласно критерию Треска-Сен-Венана, переходящие в состояние пластичности.

На рис. 1 представлено тело с трещиной в виде физического разреза с толщиной 5о и неопределенной границей его окончания. Процесс нагружения предполагаем квазистатическим и изотермическим. В этом случае условие равновесия запишем в вариационной форме:

где под номером 3 определена материальная область, лежащая на продолжении физического разреза; 1,2 — смежные с 3 области; Р — внешняя нагрузка на контуре £; а — тензор напряжений; є — тензор деформаций; и — поле перемещений.

Воспользуемся следующими обозначениями для напряжений на границах слоя: а+1 (хі) = а21 (х\,50/2), а^1 (хі) = а21 (х1,-50/2),

Принимаем, что векторы напряжений на сопряженных границах слоя равны и противоположны векторам напряжений сопряженных границ тела. Имеет место жесткое сцепление между границами и непрерывность функции перемещения по границе слоя.

В слое 3 средние напряжения, деформации и перемещения определяем через их граничные значения следующим образом [5]:

1. Постановка задачи

Р

Рис. 1. Тело с трещиной

5о/2

021 (Ж1> = 5“ У ^21 (Ж1,Ж2) ¿Х2 = 0.5 (а21 + а+1) , (2

-5о/2 ¿о/2

022 (Х1) = 5“ У 022 (1,Ж2) ¿Ж2 = 0.5 (а22 + 0+2) , (3

-5о/2

¿0/2

011

-5о/2

и+

г22

дй1

дж2 5о ’ дж1

= 0.5 ¿и2 (Х1) + ди2 (Х1Л , (6) \ дж 1 дж 1 у

и1

где и+, и- — векторы перемещения верхней и нижней границы области 3.

Из выражений (6) приходим к представлению средней сдвиговой деформации вдоль слоя:

— / \ п _ / дй2

^21 (ж1) = 0.5 —----------+

дж1 дж2

= 0 , и+

’ 5о ’ \ дж1 дж1

Напряжения по границе области 3: 0+1, а-1, а+2, а- связаны со средними напряжениями условиями равновесия:

5о = 022 - .

+ + - -

при условии симметрии касательных напряжений: = ^12, 021 = ^12.

Подставим (2), (3), (9), (10) в (1), рассматривая граничные напряжения слоя в качестве внешней нагрузки для тел 1 и 2. При отсутствии нагрузок по торцам слоя решение задачи о равновесии тела с трещиной сводится к совместному решению двух вариационных уравнений [7] для тела 1:

У а  ¿єМз + У а22£и+М + У а21£и+М1 +

-М

її її Еі

и тела 2:

а  -¿єМз — а22^и2 — а21^и1 М1+

$2 Ї2 ¿2

с вь-іГ с вь-іГ г

+^0(0.5 / а11 д 1 + 0.5 / а21 д 2 МІ) = Р2  &М,

І2 І2 Е

где І1,І2 — верхняя и нижняя границы тела 3; £1, £2 — контуры приложения внешней нагрузки для тела 1 и 2.

Для решения уравнений (11) и (12) необходимо замкнуть модель конкретными определяющими соотношениями, связывающими напряжения с деформациями. В рамках данной работы связь между напряжениями и деформациями представим в виде закона Гука:

а£- = 2^4,

0 п , х

Здесь и — модуль сдвига; (а) = ---------------------- — гидростатическое

3

напряжение; в = ----------------- — относительное изменение объема; К —

3

коэффициент объемного расширения; а-, — компоненты девиаторов

напряжения и деформации.

В результате решения (11)—(14) определяется поле перемещений в телах

1 и 2, в том числе и по границе со слоем взаимодействия, что позволяет с учетом (5), (8) найти средние деформации слоя.

Для решения вариационных уравнений (11), (12) совместно с

определяющими соотношениями (13), (14) предлагается использовать

метод конечного элемента с линейной аппроксимацией поля перемещений. Предполагается, что размер грани конечного элемента соизмеримы с введенным параметром ¿0.

В предлагаемой модели трещины основным параметром для конкретного материала является масштабный параметр So. Решение задачи о нахождении НДС в теле с трещиной может быть получено при произвольной внешней нагрузке.

В работе [7] показано, что введенный линейный размер может быть получен из эксперимента по податливости образца с трещиной в режиме упругого деформирования. В статьях [6], [7] даны оценки толщины слоя через известные механические характеристики материала.

Рассмотрим образец с трещиной, показанный на рис. 2, со следующими геометрическими характеристиками: So = 3.5  10-4м, MN = M'N' = 0.15м, MD = M'D' = NT = N'T' = 0.1м, DF = D'F' = 0.05м.

Рис. 2. Конфигурация образца

На примере образца рис. 2 смоделируем известные в механике виды деформирования типа разрушения по моде I и моде II для материала со следующими механическими характеристиками: С = 8.75  1010Па, К = 1.17  1011Па. После нахождения НДС в элементах слоя и сопряженных с ним тел определяются элементы с максимальным касательным напряжением [8]:

Л^1 - 021 |а1 - 031 |02 - 0з| аь = шах ----------,---------,--------

к V 2 2 2

где 01,02,0з — главные напряжения тензора напряжений.

Максимальное касательное напряжение согласно критерию Треска-Сен-Венана будет определять тенденцию к началу развития пластической зоны.

2. Моделирование трещины нормального отрыва

В этом случае в точках М и М1 приложим равные по модулю и противоположные по направлению силы. Точки N и N1 закрепим от перемещений. Таким образом, для образца на рис. 2 имеем следующие граничные условия:

¥1 = 0; ¥2 = ¥ для точки М;

¥1 = 0; ¥2 = —¥ для точки М'; и1 = 0; и2 = 0 для точки N; и1 = 0; и2 = 0 для точки N'; вся остальная поверхность тела свободна от напряжений.

В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть половинку тела 1. В этом случае имеют место следующие условия для границ слоя:

и

+ -

и = -и

С учетом (15) и (16) из (8) в слое а21 = 0. Следовательно, из (11) получаем:

2А

а  -5ейв + — и+5и+(1х1 + В . „

¿о У 2 2 } дх1

Бг РТ РТ

дЬи+,

'1 + I о..~ йХ1

РТ

ди+ би+йх1 +

где А =

состояния,

+В I и.

РТ

3К + 40 3

А=

+

2 дх

РТ РТ

;+ ¿оА [ ди+ д5и+ +

— йх1 +—— -1 1 йх1 = ¥5и+(М),

1 2 7 дх1 дх1

, В =

3К - 20

3

4(3К + 0)0

, В =

— для плоского деформированного 2(3К - 20)0

для плоского

(3К + 40) напряженного состояния.

На рис. 3 приведены значения средних напряжений по длине элемента слоя взаимодействия. Напряжения на графиках отнесены к максимальному касательному напряжению а к. Координата I определяет расстояние от вершины трещины, график 1 — напряжение а22, график 2 — напряжение ац, график 3 — напряжение СТ33. Из приведенной зависимости видно, что в окрестности трещины нормального отрыва при плоской деформации реализуется высокое гидростатическое растяжение.

Рис. 3. Распределение напряжений в слое в состоянии плоской

деформации

На рис. 4 показан элемент образца, где касательные напряжения достигают максимального значения для плоского деформированного состояния. В этой области согласно критерию Треска-Сен-Венана начинается развитие пластического деформирования. Значение параметра силы, при котором образуется зона пластичности (рис. 4), обозначим через *0, а значение максимального касательного напряжения — через а к.

Рис. 4. Форма пластической зоны

На рис. 5 приведены значения средних напряжений по длине элемента слоя взаимодействия в концевой зоне трещины для плоского напряженного состояния. Напряжения на графиках отнесены к максимальному касательному напряжению а к. В отличие от плоского деформированного состояния, значение максимального касательного напряжения будет ак при нагрузке равной 1, 048^0. Для плоского напряженного состояния тенденция к началу развития пластической зоны также будет соответствовать рис. 4.

О'И 1.5

0.5

о.о

0 25 50 75 100 £/¿>0

Рис. 5. Распределение напряжений в слое в плоском напряженном

состоянии

3. Моделирование трещины типа моды II

Для рассматриваемого модельного представления трещины нагружение по моде II должно приводить к следующему напряженному состоянию в образце (см. рис. 2): средние напряжения в слое взаимодействия должны удовлетворять условиям: Оц = 0; О22 = 0; О12 = 0. В областях 1 и 2 вне слоя взаимодействия должна наблюдаться симметрия по напряжениям 012 и антисимметрия по напряжениям 011, 022. Добиться соответствующего

напряженного состояния возможно, приложив к точкам О и О равные по модулю и противоположно направленные горизонтальные силы. При этом грани МЯ и М'Я' должны быть закреплены от вертикальных перемещений. Для образца на рис. 2 имеем следующие граничные условия:

= ¥; ^2 = 0 для точки О;

= —¥; ¥2 =0 для точки V; и1 = 0; 021 = 0 для грани ММ; и1 = 0; а21 = 0 для грани М'М'; вся остальная поверхность тела свободна от напряжений.

В данном случае в силу антисимметрии нагружения:

+ -и — —и

+ —

и2 = и2 ,

/0 5С [ [ ди+

а -бейв +—-— I 2и+-и+с!х1 + 0.25С I 2 -^Х2- -и+йх^

51 рт РТ

+0.25С / 2и+ д-и+ йх1 + 0.125-оС / 2 ^ д-и+ йхх =

7 дх1 J дх1 дх1

рт

= ¥-и+(Б), где С = 20.

На рис. 6 приведены значения среднего напряжения О12 для слоя в концевой зоне трещины.

Рис. 6. Распределение напряжений в слое

Для плоского напряженного состояния значение ак будет достигаться при силе, равной 0.72¥о, в силу того, что основной вклад в напряженное состояние концевой области трещины моды II определяют касательные напряжения. На рис. 7 показан элемент, с которого начинается развитие пластического состояния в концевой зоне трещины для плоского деформированного состояния. Результат для плоского напряженного

состояния практически повторяет рассмотренный выше, что обусловлено отсутствием гидростатической составляющей тензора напряжений в слое.

Рис. 7. Форма пластической зоны для плоского деформированного

состояния

Заключение

Предлагаемый подход расчета НДС для тел с трещиноподобным дефектом, основанный на концепции слоя взаимодействия, позволяет в отличие от традиционного представления трещины в виде математического разреза не только определять момент нахождения предельного состояния начала разрушения, но и находить критическую нагрузку начала пластического деформирования в рамках естественных критериев механики сплошной среды.

Список литературы

1. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1991. 416 с.

2. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

3. Barenblatt G.I. The formation of equilibrium cracks during brittle fracture. General ideas and hypotheses. Axially-symmetric cracks // J. Applied Mathematics and Mechanics. 1959. V. 23. P. 622-636.

4. Лавит И.М. Рост трещины в условиях квазихрупкого разрушения при монотонно возрастающей и циклической нагрузках // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001. № 2. С. 109-120.

5. Глаголев В.В., Маркин А.А. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 5. С. 174-183.

6. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В., Маркин А.А. К решению одной задачи механики разрушения // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. № 4. С. 121-127.

7. Glagolev V.V., Markin A.A. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut // World J. of Mechanics. 2013. V. 3. №. 7. P. 299-306.

8. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 324 c.

Глаголев Леонид Вадимович (len4ic92@rambler.ru), магистрант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Variant of definition of the stress-strain state of the elastic plane of the elastic finite body with the crack

L.V. Glagolev

Abstract. The problem of finding the stress-strain state (SSS) in damaged crack body of the finite sizes. The crack is simulated physical cut with a typical thickness ¿0 and material layer on its sequel. Stress state of a layer describes the average thickness and boundary stress related conditions of equilibrium. For connecting with a layer of bodies received variational equations, whose solution determines the SSS in this layer. In the case of a linear elastic behavior of the material is considered the cases of deformation of the body’s normal tear and transverse shift. Of the finite element solution of the tasks of the trends identified by the beginning of plastic deformation.

Keywords: crack, characteristic size, finite element, physical cut.

Glagolev Leonid (len4ic92@rambler.ru), master student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 07.05.2014