Трансзвуковое течение около выпуклого угла

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 19 7 6

№ 2

УДК 533.6.011.35

ТРАНСЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО ВЫПУКЛОГО УГЛА

В. С. Бойченко, Ю. Б. Лифшиц

Рассматриваются локальные свойства течения сжимаемого газа в окрестности точки контура, в которой его образующая терпит излом и скорость потока перед этой точкой дозвуковая, а за ней — сверхзвуковая. Определяется форма скачка уплотнения, выходящего из указанной точки. Выясняется зависимость параметров потока от радиуса скругления контура и рассматриваемой окрестности. Приведенные результаты расчета течений около трех тел вращения согласуются с выводами асимптотического анализа.

1. Задача о трансзвуковом течении газа около выпуклого угла была впервые рассмотрена в работе [1] при исследовании особенностей сверхзвукового потока, обтекающего торец. В ней указано, что главный член разложения искомых параметров в некоторой области, прилегающей к вершине угла, удовлетворяет уравнению Кармана для трансзвуковых течений. В [1] было получено соответствующее решение уравнения Кармана. В последующих работах [2, 3] проводилось уточнение следующих членов разложения, что позволило связать внешнее численное решение с локальным его разложением в окрестности угловой точки.

Однако структура потока в полной окрестности угла в этих работах исследована не была. Такой анализ свойств полученного в [1] решения проведен в работе [4] при помощи исследования особенностей годографа течения вниз по потоку от угловой точки. В [4] доказана необходимость появления в потоке скачка уплотнения, который выходит из угла, касаясь последней характеристики центрированной волны разрежения. Само же решение, обладающее указанным свойством, не было определено в [4]. Ниже такое решение будет построено.

2. Рассмотрим обтекание выпуклого угла АОО (фиг. 1), такого, что угол отклонения потока РС1- Это предположение позволяет взять в качестве уравнения движения газа уравнение Кармана для возмущенного потенциала трансзвукового потока:

здесь х и у оси декартовой системы координат (фиг. 1), а* <?{х, у) — потенциал возмущений равномерного звукового потока вдоль оси

х, а* — критическая скорость звука, / — показатель адиабаты Пуассона. Вдоль граней угла АО и 00 должны выполняться условия непротекания

сру = 0 на АО, <?у = — р на ОО.

Полученное в [1] решение уравнения (2.1), удовлетворяющее первому из условий (2.2) и имеющее в точке О особенность типа центрированной волны разрежения, имеет вид

¥ = У7/4/о

При повороте потока в волне разрежения на угол р его скорость возрастает на величину, пропорциональную т2, где 2х3 == = 3 (х -)— 1) р. Будем считать ниже, что х2 — характерное изменение скорости частиц в потоке и рассмотрим окрестность точки О, в которой это изменение происходит. Согласно (2.3), ее протяженность вдоль осей х и у имеет соответственно порядки X5 И X4. Введем в этой области новые независимые переменные и потенциал возмущений

Х= '

' х'> у = ^у', I

I

<р = х7 <р' (х', у').

В новых переменных уравнение

(2.1) не изменится, а второе из граничных условий (2.2) изменится на

<Э<р' 2

ду' ~ " 3

(2.3). В дальнейшем для

Также неизменным останется решение сокращения записи опустим штрихи над всеми переменными.

В работе [5] функция /0(?) была записана в параметрическом виде

/о=2-& =

-6 3-17/853 7-1 Сз (160^2 UOt

С (8t — 5) (1

—7/8 ^—9/8

2 2 3—3/8 ,

t)~5/8 t~3IS

В приведенных формулах С>0 — произвольный множитель, определяемый из условий на больших расстояниях от угловой точки; t -» 1 соответствует приближению к отрицательной полуоси х, a t -* 0 — к положительной полуоси л;. Решение (2.6) позволяет описать характер течения в некоторой части окрестности точки О.

Течение в области АОВ (см. фиг. 1) дозвуковое. Звуковая линия ОВ имеет форму £ = const, получается при t= 1/4 и выпукла в сторону набегающего потока. В точке О вниз по потоку от звуковой линии ОВ имеется центрированная волна разрежения, которая оканчивается предельной характеристикой ОС. Сама характеристика ОС определяется из условия, что вектор скорости в точке О на ней составляет с осью х угол р. Течение в области COD должно быть получено в результате решения уравнения (2.1) совместно с условием (2.5) на OD и условием непрерывности потенциала при переходе через ОС.

Как показано в [4], линия ОС является предельной линией. На ней охх = оо, поэтому вдоль этой линии происходит склейка первого листа римановой поверхности АОС со вторым листом

СОС^ Линия 0СХ является огибающей исходящих из 0£> характеристик и вдоль нее происходит склейка второго листа СОСх с третьим листом СхОО. Существование складки в физической плоскости означает невозможность непрерывного решения задачи. Поэтому реальный поток должен содержать скачок уплотнения ОЭ, вдоль которого происходит склейка решений на листах АОС и СхОО. Граничными условиями по разные стороны скачка ОБ являются условия Гюгонио.

3. Прежде чем перейти к непосредственному построению решения между характеристикой ОС и стенкой ОГ>, выясним, возможно ли представление решения в области АОС, отличающееся от (2.3) на малую величину. Представим искомое решение в виде суммы

Ф = ¥ + 8<1, Х = Уа1*

и подставим его в уравнение (2.1). Для /*(£) получим линейное однородное уравнение

25 Л/0\ аЧа

-пг«

2 \ 8 )' ¿;2 Величины а и функции /„(£) должны быть определены из условия непротекания на ОА\

\[туа~1

и условия, что уа/,*(|) имеет не более сильную особенность при у -+ 0, д:>0, чем главный член разложения _у7/4/0(?).

Воспользуемся параметрическим представлением (2.6) функции /о(«) и заменим в (3.2) переменную \ на Положим, кроме того,

/а = /1/6

тогда для ga(t) получим гипергеометрическое уравнение Г 4 7 4 1 йе 2

*0 — 0 ¿А + [х  + “6--------з"(а + ^\1Г~ + Т(а + 1)^=0.

Его решение, удовлетворяющее при ¿=1 условию симметрии (3.3), записывается в виде гипергеометрической функции Гаусса [6]

(0 = (1 - О" Т*7 (2а + 4** -г ~ -г а; ~Т; 1 “ *) * (3-5>

Произведем аналитическое продолжение гипергеометрического ряда в (3.5) в окрестность точки / = 0 [6]. Для /*(?) получим

/« = ¿»ЛС1—)(1 - *)—/2

г т- -г—г)

Г

X

г! № |г (1 3 г-Ч) 1

Г |2а + - г) 1Г1 (.1 а ^ 6 3 •а) /

4 1

чх с/ о 2 1 5 4

Х/7(-2а, т«-т;-т-уч

здесь посредством Г (г) обозначена гамма-функция. Чтобы /а удовлетворяла второму из упомянутых выше условий, второе слагаемое в фигурных скобках должно быть тождественно равно нулю.

Отсюда сразу следуют формулы для а

0. = \к+\, а = “4“4-’ * = 0,1,2,....

В случае а >7/4 сумма Ф = ?4-?>х описывает течение около угла АОЪ в области АОС. Если же а <7/4, то второй член суммы при любом 8 становится в некоторой окрестности точки О больше первого. Такие решения могут быть использованы для анализа обтекания контура, который лишь в малой окрестности начала координат отличается от угла АОВ.

Отметим еще, что при значениях а, удовлетворяющих равенствам (3.6), гипергеометрический ряд (3.5) обрывается на конечном числе членов. Так, при & = 2, согласно первой из формул (3.6), а = 13/4. Соответствующая функция

1— 28(1— ¿)-2§1(1_ qs].

Это — первая из собственных функций, относящихся к значениям а >7/4. Первое собственное число из области спектра а <7/4 равно 1/4. Ему соответствует функция

/1/4 = ¿'»

4. Перейдем теперь к построению решения в области COD. Для этого нужно прежде всего определить форму характеристики ОС и значение потенциала на ней. Согласно уравнению (2.1), характеристика определяется равенством

% =

В точке О на OD вектор скорости составляет с осью л: угол ß. Поэтому в этой точке 'рЛГ= ^2(х+ I)“1 и характеристика ОС касается в ней прямой

х = ту. .

Согласно (4.2) и (2.3), область, прилегающая к характеристике ОС, при малых у соответствует значениям \ сю. Для вычисления производной <?х в этой области следует воспользоваться разложением функции /0(Е) при больших £. Оно имеет вид

/о(S) == “3“ £3 + ^1 ^1/3 337“ ^-7/3 зГ~ ; 0 + . . . , 1 ^

А1 = — 2-16/3 Зг 55/3 С8/3. J

Рассмотрим в области COD в г раз меньшую окрестность точки О, чем та, которая была определена формулами (2.4). Вместо

(2.4) положим теперь

Х = ~в X1, y = zby', <р = Is ср'

и будем искать уравнение характеристики ОС в виде

х — у — Gi xWyBia — Go т4/3y?i3 — G3 т2_y3 + •  •

После несложных вычислений при помощи формул

получим для Gi следующие выражения:

Gt = - 4- (* + W G2 = А\ (х + 1)«/», G3--w-4^x + 1)8/3-

п

Прежде чем выписать значение потенциала на характеристике ОС, произведем поворот системы координат на угол {3 (см. фиг. 1). В новых координатах х1У ух формула (4.5) для ОС останется прежней, а величина потенциала на ней определится равенством

Искомое решение в области СОИ удовлетворяет уравнению

(2.1), граничному условию (4.7) на характеристике (4.5) и условию непротекания на оси хх

Будем искать его в виде разложения по малому параметру т2/3

Второй член суммы уу{хи ух) является решением волнового уравнения. В характеристических переменных

Легко проверить, что (/., }*) действительно удовлетворяет условию (4.7) на характеристике >. = 0, а на линии а = ^ его производная по нормали к оси х1 обращается в нуль. Дважды дифференцируя 9! по х,, убеждаемся, что на характеристике Х = 0 д2ух!дх\ = эо, т. е. вдоль линии >- = 0 ускорение частиц бесконечно, сама она является предельной линией, а каждая из линий тока, приходящая на Х = 0 из области АОС, имеет на ней точку возврата и далее проходит по второму листу римановой поверхности СОС, (см. фиг. 1).

Как указывалось выше, линия ОСх является огибающей характеристик, выходящих из линии СШ и расположенных на третьем листе С, ОБ. Одновременно ОС, — огибающая характеристик, выходящих из ОС и расположенных на втором листе СОСх. Поэтому вдоль ОС! происходит склейка упомянутых листов римановой поверхности.

Воспользуемся первыми двумя членами разложения потенциала

(4.9) для определения искомой огибающей. После несложных вычислений при помощи формул (4.1) и (4.10) получим для нее

Приведенное равенство означает, что ОСх может отличаться от ОС, начиная только с членов, пропорциональных -2у3. Поэтому для построения скачка уплотнения ОБ следует брать не менее четырех членов разложения потенциала. В решении, построенном при помощи меньшего количества членов, скачок уплотнения будет совпадать с характеристикой ОС.

5. Для определения слагаемых ?2(-*1» У\) и ?3 (хи _у,) суммы (4.9) нельзя непосредственно применить метод последовательных приближений. При его использовании вдоль особой линии хг =уг уже первая производная д^х/дхх обратится в бесконечность. Это связано

л?(* + 1)5/3<у?-|- • • • •

Л і (х + 1 )7/9 х4'3 у[/3 —

к = х1-у1, р = х1+у1

он имеет вид

= 2-5/3 Л, (х +1 Г19 (>5'3 + Л

=Уі — Р^у3, Р> 0.

с тем, что главный член отклонения истинной характеристики ОС от прямой х! совпадает по порядку величины со вторым членом разложения потенциала (4.9). Поэтому применим для рассматриваемой задачи метод деформированных координат [7]. Деформацию координат будем вводить таким образом, чтобы она была равна нулю на оси хг, а характеристика ОС для каждого следующего приближения совпадала с характеристикой, полученной в предыдущем приближении.

Перейдем к деформированным характеристическим координатам

*1-_У1 = Х+ т273 ^, ц) + т4'3С2

и подставим (4.9) в исходное уравнение (2.1). Согласно принципу невозрастания особенности у последующих приближений [7] потребуем, чтобы каждая из функций ср,, <р2 и <р3 удовлетворяла волновому уравнению. Тогда приравнивание нулю сумм, стоящих при т4/3 и т2, дает для определения искомых деформаций С! и С2 соответствующие линейные гиперболические уравнения. Граничные условия для при Х = 0 следуют непосредственно из (4.5):

С,

При А = ¡А нужно положить

' С, = Сг = 0.

При этом X = О как и прежде является уравнением характеристики ОС, а линия X = (а изображает ось х,.

Производя указанное выше преобразование независимых переменных, получим для С, (X, ¡1) уравнение

"5X^7 [^1 (?1Х+ ?!,,,)] = § (^Г + ^г)(?и + сР^)г-

Оно интегрируется до конца при любых <рг (X, и). Если же ср, определено равенством (4.10), то его решение, удовлетворяющее граничным условиям (5.2) и (5.3), будет следующим:

С1 = 2-11/3Л1(х + 1)8,£

5/3 , ..5/3 , 5 . Л1/3 + (X1,3 17 Х7/3

+ [А -г Д ,2,3 , 2/3 .4 12/3 , ,2/3

6 1 Х2/3 + ,,2/3 3 Х2/3 + ,а-

Функция С1 (X, [л) ВХОДИТ В ср2 (X, ¡а) только через граничное условие на оси хи которое имеет вид

Т2Х — (Тп + ?1^

Второе граничное условие, необходимое для вычисления ср2, ставится при х = 0, согласно формуле (4.7),

ср2(0, [1.) = 2-19/3 З-3 52 7”1 17Л? (X 4- 1)7/9 ^7/3,

Теперь получаем искомое выражение

Ъ = 725Гб1727~Л^х + 1)7/92-7/3

Совершенно идентично может быть получена следующая деформация С2(Х, ¡д.) и четвертый член разложения потенциала ср3(л, р.). Но для определения формы скачка уплотнения 05 этого делать не следует. Действительно, уравнение скачка получается из уравнения ударной поляры и условия непрерывности потенциала при переходе через фронт разрыва. В оба упомянутых равенства входят значения составляющих скорости, которые выражаются через

первые производные потенциала. В области COD в эти выражения входят еще первые производные деформаций, взятые приХ = 0. Поэтому для их определения достаточно вычислить значения производных cp3ll, С2|1. и Сгх при л = 0.

Первые две производные получаются непосредственно из формул (4.7) и (5.2). Для вычисления Сгх следует воспользоваться уравнением для С2(^> t1). которое здесь не выписывается. Это линейное гиперболическое уравнение и /. = 0 является его характери-

стикой. На ней, согласно (5.2), задана искомая функция С2(0, ц.). Поэтому Сг>.(0, [*) получается простым интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения вдоль характеристики А = 0. В результате приходим к формуле

Г ф / = __ (у —1 \5 3 л3 53 • 11 мЛ

2Х * 1(х/ >.=0 I 1 21° З5 '

6. Будем искать положение скачка уплотнения в виде

х2

Из способа определения членов разложения потенциала ср

в области COD следует, что <р непрерывен при переходе через х2(у)- Уравнение ударной поляры в рассматриваемых приближениях можно заменить равенством

-^)2=-Ч^.1 + ?*.2),

где второй индекс 1 или 2 относится соответственно к области перед скачком OS или за ним.

Произведем необходимые вычисления производных потенциала в обеих областях на линии (6.1), подставим их в формулу (6.2) и приравняем члены правой и левой частей при одинаковых степенях малого параметра т. В результате получим

E, = G,.

Положим далее

Е3 = — )5

тогда для определения k следует уравнение

Ь _ 1 £>2/3 _ 5- 587

к 23 3 29 З7 ‘

Оно имеет единственное положительное решение.

Сравнивая (6.4) с (4.6), убеждаемся, что скачок действительно расположен левее характеристики ОС (см. фиг. 1) и отличается от нее, начиная с членов, пропорциональных t2j>3.

7. Рассмотрим результаты расчетов трансзвуковых течений около трех тел вращения, меридиональным сечением которых является ромб с углом при вершине 160°, сглаженным сопряженными окружностями радиусами R, равными 0,3; 0,2 и 0,1. На фиг. 2 приведены в качестве примера линии М = const течения около тела с /? = 0,3 при Мсо = 0,99. На ней хорошо виден А-образный скачок, замыкающий местную сверхзвуковую зону, одна из ножек которого выходит из точки сопряжения. Предельным случаем такого течения при /?-*0 является обтекание выпуклого угла.

Рассмотренные потоки обладают всеми свойствами трансзвуковых течений. Так, перед скачком уплотнения в них наблюдается

стабилизация параметров [8]. Из фиг. 3 следует, что местное число М в точке тела с координатой x=s0,31 линейно зависит от (1—Мм)5/3 при всех рассчитанных значениях/?. При изменении М» координата нормальной к телу ножки Х-скачка в полном согласии с результатами работы [9] смещается к хвостику тела линейно относительно (1—Мзо)2/3. Это хорошо видно из фиг. 4, где точками отмечено ее положение на теле при R = 0,3.

Во всех рассчитанных случаях максимальная скорость на теле достигалась при х = 0,5 (1 т. е. в точке сопряжения окруж-

ности. Обработка ее величины при Моо=1 и различных R показывает, что Мтах линейно зависит от R213. Более того, при Моо>0,95 значения максимальной скорости ложатся практически на одну и ту же кривую при всех R. В дальнейшем местные величины М перед скачком уплотнения также получаются почти одинаковыми для всех трех рассчитанных тел и 0,95. Поэтому приве-

денное на фиг. 4 положение ножки А-скачка при R = 0,3 будет таким же и для остальных значений R = 0.2 и 0,1.

Таким образом, падение скорости на теле после разворота в волне разрежения происходит в соответствии с формулой (4.10), т. е. линейно относительно величины (х — 0,5)2/3. Этот результат

означает, что при расчете обтекания выпуклого угла с малым скруглением постоянно реализовывалась только одна из двух возможных асимптотических форм потока в окрестности угла, рассмотренных в [10], а именно та, которая была получена в работе [1].

Как указывалось в п. 3, представление решения в области АОС в виде суммы (3.1) при а <7/4 позволяет определить влияние изменения граничного контура в малой окрестности точки О. Воспользуемся этими результатами для выяснения зависимости параметров потока от величины R. Согласно (3.6), имеем вне указанной окрестности точки О формулу для потенциала

Ф = y7l*f0 + W*fw-

На поверхности тела на расстоянии х = o(R$) оба слагаемых в (7.1) должны иметь одинаковый порядок. На больших же расстояниях второй член становится значительно меньше первого. Отсюда получаем

3 =

Приведенное равенство, в частности, означает, что конечное скругление угла радиусом R вносит в поток возмущение, пропорциональное R615. Результат обработки данных расчетов в точке

с х~0,31, приведенный на фиг. 5, вполне удовлетворительно

согласуется с этим выводом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Vaglio-Laurin R. Transonic rotational flow over a convex corner. J. Fluid Mech., vol. 9, N 1, 1960.

2. Friedman M. P. Two-dimensional and axicymmetric rotational flows past a transonic corner. J. Aero/Space Sci., vol. 29, N 4, 1962.

3. Белоцерковский О. М., Седова Е. С., Шугаев Ф. В. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел вращения с изломом образующей. Ж. выч. матем. и матем. физ., т. 6, № 5, 1966.

4. Шифрин Э. Г. О скачке уплотнения при трансзвуковом обтекании выпуклого угла. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1974, № 5.

5. Фальков и ч С. В., Чернов И. А. Обтекание тел вращения звуковым потоком газа. Прикл. матем. и механ., т. 28, вып. 2,

1964.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1. М., .Наука', 1965.

7. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости М., .Мир“, 1967.

8. Д и е с п е р о в В. Д., Л и ф ш и ц Ю. Б., Рыжов О. С.

Закон стабилизации для трансзвуковых течений около тел вращения.

.Изв. АН СССР, МЖГ", 1974, № 5.

9. Диесперов В. Д., Лифшиц Ю. Б. О сопротивлении тел вращения при трансзвуковых скоростях потока. Прикл. матем. и механ. М., т. 39, № 2, 1975.

10. Лифшиц Ю. Б., Шифрин Э. Г. К задаче о трансзвуковом обтекании выпуклого угла „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971 № 2.

Рукопись поступила 9/1 1975 г.