О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей с базы в ее касательное расслоение

- УДК 514.76

80 У

Г. А. Султанова

О ГОРИЗОНТАЛЬНО-ВЕКТОРНЫХ ПОДНЯТИЯХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ С БАЗЫ В ЕЕ КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ

Векторное поле типа GHj , полученное из тензорного поля G e3j(M), заданного на гладком многообразии М в касательное расслоение T( M), возникает при инфинитезимальных аффинных преобразованиях со связностью полного лифта. Hy-лифт был введен С. Танно в 1974 г. при изучении инфинитезимальных изометрий на касательном расслоении с метрикой полного лифта. Определение Н/-лифта (r ^ 2) дано в настоящей работе. Установлены свойства введенного лифта, а также найден коммутатор [РНт,GH''], где P,G е 3j(M).

The vector field of the type GHy, obtained from the tensor field G e3j( M) on a smooth manifold M to the tangent bundle T( M), arises in the study of

infinitesimal affine transformations with a complete lift. The Hy-lift was introduced S. Tanno in 1974 in infinitesimal isometries on the tangent bundle with the complete lift. The definition of H/-lift given by the author in this paper. There are established the properties of the entered lift and founded the commutator [PHy,GHy ], where P, G M).

Ключевые слова: гладкое многообразие, касательное расслоение, лифты тензорных полей, тензорное поле, коммутатор векторных полей.

Key words: smooth manifold, the tangent bundle, lifts of tensor fields, tensor field, commutator of vector fields.

1. Необходимые сведения

Пусть M— связное дифференцируемое многообразие класса С™ размерности n, TP(M) — касательное пространство к нему в точке P е M, то есть множество всех касательных векторов многообразия М в точке P. Тогда множество

T

PeM

называется касательным расслоением над многообразием М.

© Г. А. Султанова, 2015

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 80 -89.

Отображение %: Т(М) ^ М, определенное условием ) = х, е Т(М), называется канонической проекцией. Для функции / е С"(М) функция /(0) = / о % называется вертикальным лифтом функции /с базы М в его касательное расслоение Т(М). На Т(М) возникает естественная структура гладкого многообразия над полем действительных чисел, атлас которого состоит из координатных окрестностей (), х0, х1). Закон преобразования координат при переходе от локальной карты (%^1(Ы), х0, х1) к локальной карте (%^1(У), х'0, х1) имеет виц [6, с. 2]:

хо х0(хо,..., хо),

= с%1) к

Xо =' дxк J(0)Xl.

Формулы второй группы системы (1.1) допускают обобщение, имеющее приложения.

Лемма 1. Пусть K - тензорное поле типа (1, г ), заданное на М. Закон преобразования объекта, заданного на Т(М) компонентами (К^... ь )(0) х1° х22...х,' :

( Ки /,... 1, )(0) х1 х2

= (К^К )(

дх'

Доказательство. Предположим, что (% °(У), х'0, х1) — другая локальная карта, такая, что %^1(и)пя~°(У) Ф0 . Используя формулы (1.1) и закон преобразования компонент тензора произвольного ранга, получим

(К)1)2... ]г )(0) х1 х22...х1' =1 К!

дх1 дх"1 дх*

дхч дх11 дх1'

(-я дх' дх"1 дх*' дх'1 К",

дх! дх11 дх11 дх1

дх'' ' дхк'

Л

дх11

дхк1 \°х /

дх1 дхк'

/

/

£-«к; • - |0) •*••-•=( § хк1 •... • *.

Пусть (и, х'), (V, х1 ) — карты гладкого атласа многообразия М, д' =-д-, д. =-д- — поля натурального репера на и и V соответственно.

дх1

дх1

д дхк д

В локальной карте

дх' дх' дх

для индуцированных координат на Т(М) | -д~71 = I дрг I I "дрт | . Тогда

для тензорного поля К е31

81

(к;.„ )(0) д 1=(Кк!1 ...к, ...• хк'[§ § |0) (£

= (К!1...к, )(0) хк ' ...' х1' д1 .

82

Таким образом, выражение (Щ ' }(0)х^.х]'д1 = уГК не зависит от выбора локальной системы координат и является векторным полем.

Определение 1.1. Векторное поле у 'К называется у' -лифтом тензорного поля К еЗ^М).

Приведем определение полного лифта функции, лифтов векторных полей с базы в касательное расслоение, а также полного лифта линейной связности V с базы М в касательное расслоение Т( М).

Пусть / — функция класса С™, заданная на М. Функция Д = у

называется полным лифтом функции /с базы М в его касательное расслоение Т( М).

Для произвольного векторного поля X е З1(М) на Т(М) определим вертикальный X ' и полный лифты, задаваемые условиями

Х(1) Д = (ХД0), Х(1)¿0) = 0, Х(0)Д = (X/)(„), (а = 0,1),

для любой функции / из алгебры С™ (М). В локальных координатах векторные поля Х(1), Х*0) имеют вид

х (1) = х 0 д1 х (0) = х 0 д0 + Х1 д1

где Х0 = (X')(0), Х1 = х1 (д;Х*)(0) соответственно.

Предположим, что на М задана линейная связность V. На касательном расслоении Т( М) существует единственная линейная связность

V«0, удовлетворяющая условиям

^^ = ^хД0), ^0)х

где X,У еЗ^М). Такая связность называется полным лифтом линейной связности V [2, с. 78; 6, с. 40].

В дальнейшем мы будем рассматривать линейные связности V, тензорное поле кручения которых, определяемое условием Т(X, У) = = VXY - VУX - [X, У ], равно нулю.

Определение 1.2. Векторное поле СНу, заданное в локальных координатах соотношением

СНу = еж дН,

где С еЗ1(М), а д;Н = д0 -Г^др, называется горизонтально-векторным поднятием аффинора С [5, с. 139].

2. Нуу -лифт тензорного поля типа

В дальнейшем нам потребуются операции свертки для тензорных полей различных типов.

Для тензорных полей ФеЗ)( M) (r ^ 1), X e3j( M) определим опера-

i

нию свертки Ф ° X по правилу

i Л

Фо X

Л

для произвольных X,X1,X2,...,Xr e3j(M), а знак означает пропущенный аргумент.

В локальных координатах

4 V- 1,-1 i,+1... 1r h h... 1,-1i i,+1... Ir h 4 '

Для тензорных полей ФеЗ^(M) (r ^ 1), F e^1(M) операции свертки

i

Ф • F зададим по правилу

Ф.ДХ,..., Xr,..., Xr+s-1) = Ф(^1,^, X.-1, F(Xr,..., X+-1), Xi+1,^, Xr-1) (2.3) для произвольных X1, X2,..., Xr+s-1 e3j( M).

В естественных координатах (2.3) равносильны соотношениям

V '11... 1r+s-1 h 11... 1,-1 . 1,+1... 1r-1 1r... 1r+s-1 h V '

i

Докажем, что операция свертки • является ассоциативной. Справедлива

Теорема 2.1. Для любых тензорных полей ФeЗ;t

Доказательство проведем прямыми вычислениями в локальных координатах. На основании соотношений (2.4) получим

(Ф•f)h 1 д. = Ф}1. . . F1 д. =Ф}г д.

4 'h...1r-1m1...m, h 11....... 1r-1 m1 ...ms h 11... 1,-11,+1... 1r-1m1 ...ms h

где Фh    дh = Фh .  F' дh

M 11... 1,-11,+1... 1r-1m1...ms h 11....... 1r-1 m1...ms h

i l 1

Компоненты тензорного поля (Ф •F)• P = Ф •P по формулам (2.4) будут следующими:

Ф • P = Фh 1 1 1 , P1 дh = Ф>' . . F' l P' д,.

11... 1,-11,+1... 1r-1m1.ml-1Iml+1"ms-1 "1...", h 11...i... 1r-1 m1....m,-1Ím,+1..ms-1 ^...n, h

l

Рассмотрим компонентах тензорного поля F • P :

(Fp д h = Fh l P' д h = Fh д h

V /m1...m/¡1...n, h m1...mi-1lmi+1..m,-1 Щ...П, h m1...mMmM..ms-1 h

где Fh д = Fh Pl д

^ m1...ml_1ml+1..mB-1 h m1...ml_1lml+1..mB-1 щ...п, h •

i l i „

Компонентах тензорного поля Ф •( F • P) = Ф •F будут иметь следующий вид:

Ф• FF = Ф1г . 1 . F' д- = Ф1г . - F' , P1 д-.

11... 1,-1i1,+1... 1r-1 m1 .m,-1m,+1 ..ms-1"1...", h 111r-1 m1....m,-1lm,+1..m,-1 Щ...П, h

83

84

Из равенства правой и левой частей тождества следует, что операция

г

свертки • является ассоциативной.

Для того чтобы ввести определение Нц -лифта, вычислим коммутатор векторных полей [РН1, СН1 ], где Р, С е^1(М). Вычисления проведем, используя равенство (1.4) и естественные локальные координаты на Т( М).

[РН1, сн1 ] = [Р/х1 д0 - Р/хг1 грх1 д;, С^д0, - СктхтЦХд] ] = (Р'д>С -

- р'ГС - Фр + ст гр кх! док + (-?!дрт + р>грс+стдр -

- стгррк житх^д1 + р>ст (-д^+дк ц+г; г^ -гь г]р )хтх!х! д] =

=(р>у,от - сту1 рк кх! (д°к-цх д!)+^щ^хщ = =(р^ рт - стур )хтх! дн + р стщ^тххд! = (р^ск -- стУтр )х! х! дН +1Ч(К) • с) • р).

В данном равенстве набор функций р™Утсгк - С^У^- определяет тензорное поле типа (1, 2) на М, которое обозначим через Цк = ртУтск - стУтр . Разность

[рн 1, сн' ] -13 ((К(,) • с) • р) = В'х А д н

есть векторное поле на касательном расслоении Т( М). Докажем, что вид компонент этого векторного поля не зависит от выбора локальной системы координат.

На (к-1(У), х,, х) для индуцированных координат на Т(М) получим

/ , \ / \Н I ртгк \ I я

дн = 1

дхк ~дхТ

д дхк

Подставляя соотношения (1.1) и (2.7) в В 11, будем иметь

В)кх[х\дН = В),

дх, а дх!

]к А0)

дхл дх,

^ хь

1 стгЪ Л1

дх'

/

д

дх!

=

]к А0)

дх; дхк сТ

"дх7 Их

\

хахь д н = В!хахь д н

/

На основании доказанного свойства можно ввести Определение 2.1. Векторное поле ВНг1 = В^х х1 дн называется Нц -лифтом тензорного поля В е М).

Из соотношений (2.4) и определения Нц -лифта получаем, что имеет место

Теорема 2.2. Для любых р, с е^1

[рН1, сн1 ] = (Ус• Р-ур• с)Н11+13((Я(,)• с)• р).

3. Дальнейшие свойства Нуу -лифтов тензорных полей типа

В этом пункте мы будем рассматривать новые свойства Нуу -лифтов тензорных полей типа (1, 2).

Справедлива

Теорема 3.1. Для любых X е 3;(М), Р еЗ;(М):

(1) Ьх<1)РНуу = (Р о X + Р2 Х)Ну-уу(УХ • Р);

2

(2) Ьх(0)Рйуу= (ЬхР )Нуу-у 3(1х V. Р).

Доказательство. Так как X(0), Х(1), РНуу — векторные поля, то производная Ли ЬхРНуу = [X, РНуу ] вдоль векторного поля X от векторного поля РНуу есть скобка Ли [X, РНуу]. В частности, Ь^'" = [х(0), РНуу] и Ьх(1)РНуу = [X*1', РНуу]. Из определения коммутатора векторных полей имеем

(1)Ьх(1)РНуу = дар,90 -р;ПЖ^] =

= хо (р;Х 90 - р^х! 1 ++р^ 90 - 1)-) 90x091 --хор; г, 9 р = х0; (рх 9 0 - р;*! где р + р;хк9 0 - р^ вдр )-

-Р,VIX0;91 = (Р о X + Р2 X)Ну -уу^Х^ Р).

(2) Д(0)= [X*9° + X*9;, 90 -^ВД**^9р] =

= х; 9 0рХХ (90 -гдер) - х;р,;х!х!9; вдр + х;х! (р; + р; )90 --х,к р гр + р; гр + р; г? )9р - 90x090 - р, 9 0х;91 + +Р1х'1х!грх!91х;91 = (Х'90Р! +90х;р; + 90Х;Р' -90Х'Р1 ).к9Н +

,к 11 1в 1 р 1 ; ; .к , 0 ;к к 0 ; 0 ,к ' 11 г

+р; (-9 0Х0грв - Х090гр -90 х Ц -90 90Х0+г;59 0хр ))9р =

= ЬхР,9Н - Р'кЬхгрх'хкх^ 1 = (ЬхР)Нуу - у3(Ьх V• Р).

Для ковариантных производных векторного поля РНуу верна

Теорема 3.2. Для произвольного векторного поля X еЗр(М) и тензорного поля Р е 3>2(М):

(1) ^Р^ (Р1 х + Р2 X )Ну;

(2) VX0()п)РHуу = ^ХР + Р • VX + Р • VX )Нуу +у 3(Я(, X). Р).

Доказательство этих тождеств проведем, используя естественные локальные координаты на Т(М).

Применяя определение вертикального и полного лифтов векторных полей, а также полного лифта линейной связности V, будем иметь

85

(1) у^ = у^ (д 0 - ^ г р,х1х1х1д р) =

= X,(ркх\д0 -рхгде 1 + Р^д0 -^гхд\) = (РоX + РоX)Н1.

(2) Используя равенства д]Р?'к ^Г^ гя + РРг]к и дД! = УХ! - Хрг^, получаем:

= У^+Х, д0 - р; гм^ д1) = х^ +

гг )х1хкд0 + Х0(Ркд0г]г -д]¥''кгр - р;д0гр - Ркгтг]т Жхкх^ +

+д0Х]х1 (рк + Р])хкд0 +д0Х]х1 (Ркгр -Р]кгр -Р]гр -РкгР])хкх11 = = Х!д]Р;кх{хк1 дН + Х]Рк Цгх{х1 д0 +д0Х1х1Р!;кхк1 дН+д0Хо!х1Рк!х1к дН +

+Х]Рк (д0 г]'-д! гр-гт г]т )х1хк1х1д1р = Х!У0Р;х1х1 дН + +У(0)Х00 х^х* дН +У^Х0 х^хЧ дН + Х0 Р^'х!^ =

1 2 Л л 1

= (УХР + Р•УХ + Р•УХ)Нуу+13(Я( ,Х)• Р).

Теорема 3.3. Для любых Х е^КМ), Р е М) :

1

(1) УХ Х(1) =11( УХ • Р);

(2) У°1 Х(0) = (УХ • Р )Н'"+13(У2Х • Р).

Доказательство. Линейная связность У не имеет кручения, ее полный лифт У-0) также не имеет кручения, то есть ее тензорное поле Т кручения равно 0. Поэтому Т(РНгг, Х(1)) = 0, и УД,Х(1) = У^Р"1" + [Р^1, Х(1)].

На основании равенств (1) теорем 3.1 и 3.2 получим

12 12 1 1 Х(1) = (Р о Х + Р о Х)Ну -(Р о Х + Р о Х)Ну + 11(УХ• Р) = 11(УХ • Р).

Аналогично доказывается второе равенство. Так как Т (РН'Г1, Х(0)) = 0, то У! Х(0) = уХ)0)РН11 + [РН11, Х(0)]. Из равенств (2) теорем 3.1 и 3.2 и из то-

2 1 л л 1

го, что РХУ^Р = У2Х•Р-Я( , Х)•Р, будем иметь

УХ Х(0) = (УХР + Р • УХ + Р • УХ )Н11 +13( РЦР, Х)) - (ЬХР )Н11 +13(ЬХУ • Р) = = (УХ • Р )Нг/ +13(Я(л, Х) • Р + У2 Х • Р - Я(л, Х) • Р) = (УХ • Р )Н11+13(У2Х • Р).

4. Лифты Н1' тензорных полей типа (1, г) (г ^ 1) и их свойства

Определение лифтов Ну, Нц = Ну2 распространим на общий случай. Рассмотрим равенство вида

КН1 = ()(0) х11...х1 дН

Убедимся, что выражение, стоящее в правой части равенства (4.1), не зависит от выбора локальной системы координат на Т( М).

Пусть (тс-к(У), Х0, X)— другая локальная карта такая, что (я:-к(и) ) ф 0 . Используя формулы (1.2) и (2.7) и подставляя их в

КНу , получим

, ),0) ^9 Н),0) -... § Щ

= (Кк1...кг )(0) Х11 - ••• - Хк' 9к  Таким образом, КНу не зависит от выбора локальных координат на Т(М) и является векторным полем.

Определение 4.1. Отображение Ну': зк(М) ^Зк(Т(М)), задаваемое условием (4.1), называется Нуг -лифтом тензорного поля К е 30(М). Рассмотрим свойства Н уг -лифтов. Теорема 4.1. Для любых X е ^0(М), К е Згк(М):

(1) Ьх(к)КНу' = (К О X +... + Р 0х)Ну'-к - уг ^Х • К);

(2) ЬхтКНу = (ЬхК)Ну' - уг+к(ЬхV• К).

Доказательство. Учитывая, что производная Ли Ьх КНу = [00, КНу ] вдоль векторного поля X от векторного поля КНу есть скобка Ли [X, КНу ] векторных полей, используя естественные локальные координаты на Т( М), получим:

(1) ЬхтРНуу = [Х09;, К,1 ...хк90 - К,1 ...хкВДр] =

=х; ((К; 1..,г-1+К;1,.,-1 к-,90 - (К;,..-1+...хк-х^9к -

-К;к...,. хкк...хкг 90X09; - х0К;к..., хкк...хкг гр; 9р = (К О х+...+К Ох)НуГ-к -у- ^х.К). (2) Lх(n>РHуу = [Х09; + Хк9;, К,1 ...хкг90 - К;..., хк1 ...хк-ВДр] =

= X09;К'к...,Х ...хкг90 - Х19;К\..]гх1 ...х!г^ -

-Х?9К;..,. *кк...хк'г;5хк9к -9;ХгК;к...,.хкк...хкг90 + ХкК4..,;_кхкк...хк-к90 +

+... + ХкКД._кгхкк...хкг-к900 - ХкК4...,_к хкк...хк-к ^9 р -... --ХкКк..,^ ...хк;-Чхк9р - Х{гК,! ...хк-9; - К;..., хкк ...хк-90X09; -

-90Х0К;. ...,.хкк ...хк-хкг^91 = (Х09;К;. ...,.хкк ...хк;9Н + ХкК|...,._кхкк ...хк;-к9Н +

+...+Хк^...,-^..^-к9 Н-9ХгК1,хкк...х190)+(-Хк пк;...,^..^ 91-

-К;...., хкк...хк- 90X091 -9рхК,..,хк..л1'хк г рк91 - Щ9рК1;...,хкк...х1' х

хг;кхк91) = (ЬхК )Ну- + К;1...,.хкк...хк-хк (-9рх; грк - хр9р г; -

2

-9кХрП -9;9кХ; +9рХ;г?)91 = (ЬхК)Ну- -у-+к(ЬхV.Р).

87

88

Теорема 4.2. Имеют место следующие тождества:

(1) У^К"1 = (К о Х +... + К ТоХ)Ну'-;

(2) У^^К"1 =(УХК + К• УХ + ... + К• УХ)Н1 +1'+1(к(,Х)•к) длялюбых Х е30(М), К еЗ;(М).

Докажем данные равенства, используя локальные координаты на Т( М).

(1) УХКН1 = У^ ц^х ...х1; дН=Х0 ((ц,, +...+К'НЧтц к..., д0 -

1 т т-1

-(К, +... + 4...,т-1! )гР;х11...х1^1 х'др = (К о Х +... + К о Х)Ну ;

(2) УХ()0) КН1т = У^ +хУч( Я.,хЦ ...х1 дН д 0 - К,1 ...х' дН Пх^) =

= X(д0КЛ..,т ++ К;1...,. Г*)х11...х1тд0 + Х0(К,1...,д0гр-д0К.1..,г' --К' -д° г?- К' .гт г? Х.х: д1 +д0 Х0х! (К. . +... + К' . ) х хх{1...х{т-1 д0 +д °Х0 х!( К' . гр. - К'. . П -... - К' . П - К' . П) х

1 1 ' б 0 П .1... , !' ,... .т-1 , ,1~.,т-1! ', .1... .т '!

хх{1...х{т д' = Х0д 0 К,.,-*!1...^ дН + хщ^.х гр д0 +

+д0Х0х1 (К;1...,т1 +... + Ц,«)х11...х1т-1 дН + X¡K^l..,r(дТ -

-д0 гр - гт г]т к ...х^д' = Х!У!0)К,1...,.х{1 ...х1т дН + У1О)Х0х1 (к;.. +... +

+к'!...,-!! )х11 ...х1т-1 дН + Х0К1,х11 ...х'^х' и' = (УхР + Р • УХ +... +

т л Л 1

+Р•УХ)"11 +1т+1(Я( ,X)• К).

Теорема 4.3. Для любых X е З'(М), К е З'(М):

1

(1) У(к01!1тХ(1) ^ (УХ • К);

(2) У^Х*0 = (УХ • К)Н1 т +1т+!(У2Х • К).

Доказательство. (1) Так как тензорное поле Т кручения полного лифта У(0) связности У равно нулю, то есть Т(КНу , Х(1)) = 0, то

уК°1)1тХ(1) = У(х°()1)KHlт + [КН1т, Х(1)].

На основании равенств (1) и теорем 4.1 и 4.2 будем иметь

у<к01)1тХ(1) = (К о X +... + К ГоХ)Н1'- - (К о X +... + Р ГоХ)Н1'- +1 (УХ • К) = 1т (УХ • К).

(2) Так как Т(КНу',Х(0)) = 0, то У^Х(0) = уХ»,КН1 + [КН1, Х(0)]. Используя равенства (2) теорем 4.1 и 4.2, получим:

1 т

У-^Х^ = (УХк+к о ух+...+к о ух)н1 +1т+1(к(к, X)) - (ьХк)Н1 +

+1т+1 (1у К) = (УХ • КН + 1т+1 (Щ , X) • К + У2X • К - Щ , X) • К) = = (УХ • КН +1т+!(У2Х • К).

Список литературы

1. Каган Ф. И. Каноническое разложение проективно-киллинговых и аф-финно-киллинговых векторов на касательном расслоении // Матем. заметки. 1976. № 19:2. С. 247-258.

2. Султанов А. Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения линейных реперов со связностью полного лифта // Труды геометрического семинара. 1994. Вып. 22. С. 78 — 88.

3. Шадыев X. Аффинная коллинеация синектической связности в касательном расслоении // Тр. геом. сем. 1984. Вып. 16. C. 117—127.

4. Sato K. Infinitesimal affine transformations of the tangent bundles with Sasaki metric // Tohoku Math. Jourr. 1974. № 26. P. 353-361.

5. Tanno S. Infinitesimal isometries on the tangent bundles with complete lift metric // Tensor, N. S. 1974. Vol. 28. P. 139-144.

6. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles // Marcel Dekker, Inc. N. Y., 1973. P. 12-25.

Об авторе

Галия Алиевна Султанова — асп., Пензенский государственный университет, Пенза.

E-mail: sultgaliya@yandex.ru

About the author

Galiya Sultanova — PhD student, Penza State University, Penza.

E-mail: sultgaliya@yandex.ru

89

УДК 514.75