Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа с учетом вращательных степеней свободы молекул

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том X 19 7 9

№ 2

УДК 533.6.011.8

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНЫ ПОТОКОМ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА С УЧЕТОМ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ

С. J1. Горелов, А. И. Ерофеев

Методом прямого моделирования (Монте-Карло) решается задача об обтекании пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа с учетом вращательных степеней свободы молекул. Взаимодействие между молекулами рассчитывается на основе модели двухточечных центров отталкивания с постоянным сечением столкновения. Приведены результаты расчетов аэродинамических характеристик пластины и полей течения при числах Неэ<!30 и для углов атаки а ^ 60°. Результаты сопоставляются с данными расчетов для одноатомного газа и с экспериментальными данными.

Численному решению задачи об обтекании пластины разреженным газом посвящен ряд исследований [1—6]. В большинстве работ решение проводилось для одноатомного газа на основе уравнения Больцмана. В [1, 5, 7] отмечено существенное влияние внутренней структуры молекул на локальные и суммарные аэродинамические характеристики при обтекании пластины под малыми углами атаки. В данной работе на основе модели двухточечных центров отталкивания исследуется влияние внутренних степеней свободы молекул на картину обтекания пластины, расположенной под углом атаки к потоку разреженного газа. Результаты расчетов сравниваются с данными для одноатомного газа и с экспериментальными результатами.

1. В качестве модели взаимодействия между молекулами газа выбрана модель двухточечных центров отталкивания в предположении, что взаимодействие между частицами происходит в момент сближения их центров на расстояние r = R, т. е. взаимодействие предполагается импульсным, а сечение столкновения а = яг-= const. Такая модель достаточно просто может быть реализована в методе прямого моделирования (метод Монте-Карло), которым ре-

шается задача. Скорости молекул после столкновения вычисляются по формулам:

§1,2 = 11,2 + (2т) 1 FC, Wi,2 = u)i.2-f/ 'ФьгС,

где 5,-. 5/— скорости молекул до и после столкновения, о);, <»/—соответствующие угловые скорости, /—момент инерции молекулы, F — силы взаимодействия между молекулами, Ф; — момент сил, действующих на молекулу, постоянная С определяется из закона сохранения энергии при столкновении

С = 2[&-51>#Ч-(ю1, Фа)-(»я, Ф2)] [/и-1 F2 -f-1~1 (Ф? -f Фг)]-1 •

Модель молекулы характеризуется расстоянием d* между атомами массы т, и расстоянием d между силовыми центрами. Для описания зависимости величины силы, действующей между силовыми центрами разных молекул, от расстояния используется экспоненциальный закон:

Рц == А ехр (— vr¡j) г'¡j/r,¡, /,

где rl} — радиус-вектор между силовыми центрами взаимодействующих молекул. Величина rtJ зависит от расстояния между молекулами R, параметра d и ориентаций осей молекул. Параметры v, d*, R выбирались из данных для потенциала Морзе для молекулы азота [8] и по данным газокинетических размеров молекул: v = = 4,03 A-1, ai* = l,094A, А; = 3,6 А. Оставшийся параметр d определялся из отношения времен релаксации вращательных и поступательных степеней свободы ZR. Зависимость ZR от температуры известна [9]. В описанной модели взаимодействия Z# = const, и значение Zr оценивалось по температуре газа в возмущенной области течения около пластины, которая принималась равной температуре торможения Т0. Таким образом, выбор величины параметра Z/? определялся из конкретных условий обтекания. Для моделирования трубного эксперимента без подогрева воздуха в форкамере (т. е. т0 = 300 К) параметр ZR принимался равным 5, для моделирования натурных условий обтекания на больших высотах — Z^=l0. Отметим, что для описанной модели взаимодействия коэффициент вязкости [х— Т112, молекулы обладают двумя вращательными степенями свободы, поэтому в равновесных условиях отношение удельных теплоемкостей 7=1,4.

2. Решение задач обтекания бесконечно тонкой пластины проводилось на основе уравнения Больцмана одним из вариантов метода Монте-Карло — методом прямого моделирования, подробное описание которого дано в [3, 5]. В этом методе прослеживается движение ансамбля молекул, моделирующих реальный газ. Около обтекаемого тела выделяется прямоугольная область, которая разбивается на ячейки, размер которых меньше длины свободного пробега молекул. Процессы движения молекул и столкновения между ними рассматриваются последовательно. Столкновения молекул просодятся статистически, причем сталкиваться могут только молекулы, находящиеся в одной геометрической ячейке. В момент столкновения направление единичного вектора вдоль прямой, соединяющей центры молекул, определяется случайным образом из равномерного распределения по сфере. Направление оси молекулы в плоскости, перпендикулярной вектору угловой скорости ш, также определяется случайно из равномерного распределения по кругу.

На границах области вверх ио потоку задается невозмущенная функция распределения

/ос

3/2 j

I 4 -kT,

СО

exp

m (I — иот)2 /шг

FT TkT[

СЮ О

здесь »ос, 7’^, йос — скорость, температура и плотность невозмущенного потока газа.

От поверхности пластины молекулы отражаются диффузно с коэффициентом аккомодации, равным единице (как для поступательных, так и для вращательных степеней свободы). На остальных границах области задается граничное условие отсутствия градиента функции распределения.

В методах прямого моделирования точность расчетов зависит от величины рассматриваемой области, от разбиения области на ячейки, от количества молекул в ячейке, от количества шагов по времени. Статистическая погрешность в определении сил, действующих на пластину, зависит от количества ударов молекул о пластину. В расчетах, в среднем, в одной ячейке находилось четыре молекулы, что давало при 2000 шагов ио времени примерно Ю4 ударов о поверхность пластины. В этом случае статистическая ошибка в определении суммарных аэродинамических характеристик не превышала 2—3%. Для определения оптимальных размеров области и величин ячеек проводились повторные расчеты в пределах возможности оперативной памяти ЭВМ. Количеством ячеек области и ее размерами определяются предельные числа Рейнольдса (Re0), для которых проведены данные расчеты.

3. Для сопоставления с результатами работы [7], в которой применяется аналогичная модель молекул, но с другим потенциалом взаимодействия, был проведен расчет обтекания пластины, расположенной под нулевым углом атаки (а = 0). На рис. 1 нанесены значения коэффициента теплопередачи ch и давления на поверхности пластины, отнесенного к свободномолекулярному значению, в зависимости от длины пластины л;*, отнесенной к средней длине X* свободного пробега частиц потока в поле отраженных от тела молекул

где Т№ — температура пластины.

Кривые 1 — результаты данной работы (Моо = 21,8, 7'ш/7’ос=: 13,4), кривые 2 — результаты работы [7] (Мсс = 22,93, Тт/'Т00 = 14,4). На этой же фигуре нанесены результаты экспериментов Уппингтона (треугольники, Мос = 21, Т^/Тсо ^ 12,7) и Левиса (заштрихованная область, Мос = 25, Т^/Т^^Ю—50), взятые из 17].

Из рис. 1 следует, что результаты расчетов для данной модели межмолекулярного взаимодействия достаточно хорошо согласуются с данными работы [7] и с экспериментальными результатами. Некоторое отличие в результатах на передней кромке пластины, следуя работе [10], по-видимому, можно объяснить разницей в зависимости коэффициентов вязкости от температуры для моделей молекул, употребляемых в расчетах.

Для прямого сравнения с результатами расчетов для одноатомного газа [10] принимались одинаковыми скоростное отношение — (2 /^Т’^)1'2 и температура поверхности ТВ этом слу-

-{0 1 1одНеа

Рис. 3

-1 О 1 Щ Че0

Рис. 4

чае аэродинамические характеристики пластины при свободномолекулярном обтекании не зависят от структуры молекул. Рассматривались два случая: 5^ = 9,13, Т^—Т0 и 5^=18,26, Т^ — 0,1То. Число Рейнольдса Ке0 = 2 тпх их /./«(Т0) (£ •—длина пластины, и — коэффициент вязкости) определялось по температуре торможения То для одноатомного газа (7 = 5/3).

Результаты расчетов аэродинамических характеристик приведены на рис. 2—4 (кривые /). Здесь же приведены данные расчетов для одноатомного газа [10] (кривые 2). Черточками справа отмечены значения коэффициентов сопротивления сх и подъемной силы су для случая невязкого обтекания, вычисленные по данным работы [11]. Слева нанесены величины сх и су при свободномолекулярном обтекании. Результаты расчетов показывают, что при а^-15° влияния внутренних степеней свободы на коэффициент сопротивления практически нет.

На величину подъемной силы внутренние степени свободы молекул оказывают более существенное влияние, причем су для одно-

атомного газа больше, чем для газа с внутренними степенями свободы. Так при Soc = 9,13, TW = T0, Z#=5 и Re — 20 коэффициент подъемной силы, полученный при обтекании пластины одноатомным газом, превышает cv для двухатомного газа на 17% (а=15°). На рис. 2 и 3 приведены также экспериментальные данные (штрихованные области), взятые из работы [10]. Как видно, учет вращательного движения молекул газа сближает результаты расчетов с экспериментальными данными по коэффициенту подъемной силы.

Уменьшение сил, действующих на пластину, при учете вращательных степеней свободы связано с „перекачиванием“ энергии поступательного движения во внутреннюю энергию молекул, что приводит к уменьшению температуры в возмущенной области и нормального импульса на поверхности пластины (по сравнению с обтеканием пластины одноатомным газом).

Данные расчетов показывают, что при а >-15° коэффициент сопротивления монотонно уменьшается при увеличении Re0. Основываясь на полученных в данной работе значениях су как функции числа Re0 и на результатах, полученных для случая невязкого обтекания [11], можно заключить, что при ó'co = 9,13 и TW=T0 для углов атаки а = 15 и 30° функция cy(Re0) немонотонная, причем максимальное значение су достигается при Re0 ж 10. В случае а = 45 и 60° су монотонно увеличивается при увеличении Re0. При S^ — = 18,26 и 7^ = 0,1 Г0 немонотонное изменение cy(Re0) имеет место только при а = 15°.

На рис. 5 приведены результаты расчетов коэффициента трения сf (кривые а) и теплопередачи ch (кривые Ь) вдоль поверхности пластины, обращенной к набегающему потоку газа при 5«.= 18,26 и 7^ = 0,1 Т0 для двух случаев: а = 30°, Re0 = 10 (кривые 7), а — 15°, Re0 = 20 (кривые 2). В [10| отмечалось, что в случае холодной

Рис. 5

Рис. 6

стенки при обтекании одноатомным газом на малых углах атаки приближенно выполняется соотношение С] ~2 которое имеет место в свободномолекулярном случае:

2 ch cos а

1 +

1 v+l Т,

~г 1 л w і

-I Т0 J

-1

В нашем случае при указанных выше значениях и Tw в свободномолекулярном пределе имеем: я =15°, cf = 2ch 1,08; а == 30°, су=2£А0,97. Приведенные на рис. 5 данные показывают, что при а=15° это соотношение между су и 2сл выполняется приближенно и в переходной области течения, но с увеличением угла атаки оно нарушается.

На рис. 6, в качестве примера, приведены распределения поступательной (кривые а) и вращательной (кривые Ь) температуры для случая а =15°, S^— 18,26, Tw = 0,1 Т0, Re0 = 20 в трех сечениях x/L, перпендикулярных пластине: x¡L = 0,036 (кривые 1), x\L = = 0,535 (кривые 2), x/Z. = 0,964 (кривые 3). Результаты расчетов указывают на неравновесный характер течения газа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Huang А. В., Hwang P. Е., Glddens D. P., Sriniva-san R. High-speed leading edge problem. .Phys. Fluids“, vol. 16, N 6,1973.

2. Ill a x о в E. М. Обтекание пластины потоком разреженного газа. В сб. „Численные методы в динамике разреженных газов*. ВЦ АН СССР, 1973.

3. V о g е n i t г F. W., В г о a d w е 11 J. Е., Bird Q. A. Leading edge flow by Monte-Carlo direct simulation technique. „А1АА J.‘, vol. 8, N 3, 1970.

4. В л а с о в В. И. Расчет течения разреженного газа около пластины под углом атаки. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 6, № 2, 1975.

5. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 1, J976.

6. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет поперечного

обтекания пластины потоком разреженного газа. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1976, № 4. '

7. Pullin D. I., Harvey J. К. A numerical simulation of Ihe rari-fied hupersonlc flat-plate problem. „J. Fluid Mech.“, vol. 78, part. 4, 1976.

8. К о n о w a 1 о w D. D., H i r s hfelder J. O. Intermolecular potential function for nonpolar molecules. „Phys. Fluids“, vol. 4, N 5, 1961.

9. Lordi J. A., Mates R. E. Rotational relaxation in nonpolar diatomic gases. .Phys. Fluids", vol. 13, N 2, 1970.

10. Гусев В. H., Ерофеев А. И., Климова Т, В., Перепухов В. А., Рябов В. В., Толстых А. И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гипер-звуковым потоком разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып. 1855, 1977.

11. Б азжин А. П. К расчету обтекания сверхзвуковым ното-ком газа плоской пластинки с неприсоединенным скачком уплотнения. „Инженерный журнал“, т. 3, вып. 2, 1963.

Рукопись поступила 27//// 1978 г.