Применение теории планирования эксперимента для оценкипроцесса фильтрации через облицовки каналов

Применение теории планирования эксперимента для оценки процесса фильтрации через облицовки каналов

Е. О. Скляренко, К. В. Гвозденко

Новочеркасский инженерно-мелиоративный институт им. А. К. Корутнова,

Новочеркасск

Аннотация: На основе размерностно-регрессионного метода планирования эксперимента, используя греко-латинский квадрат, авторами были проведены теоретические исследования по изучению процесса фильтрации через повреждения облицовок каналов, образование которых практически неизбежно при устройстве защитных покрытий поверх противофильтрационного полимерного элемента. Используя факторы в безразмерном виде, были построены графики, отображающие результат эксперимента, а также получено уравнение коэффициента фильтрации облицовки, адекватность которого подтверждается критерием Фишера.

Ключевые слова: планирование эксперимента, противофильтрационная облицовка, фильтрация, повреждение, латинский квадрат, размерностно-регрессионный метод.

В настоящее время при строительстве и реконструкции каналов гидромелиоративных систем и устройстве противофильтрационных облицовок, все большее применение находят различные материалы на основе полиэтилена, битума, каучука и других, получившие название геосинтетические [1]. Такие материалы характеризуются повышенной прочностью, гибкостью, долговечностью, химической стойкостью и водонепроницаемостью.

Как правило, создание любой конструкции противофильтрационного покрытия для каналов, водоемов и накопителей отходов [2 - 4] сопровождается комплексом мероприятий, направленных на сохранение целостности противофильтрационного элемента, что в конечном итоге не всегда удается достичь. Это связано с подготовкой грунтового основания и защитного покрытия, которое по всем техническим условиями и рекомендациям по созданию экранов из геомембран [5] не должно иметь острых включений, камней, растительности и других элементов, способных привести к нарушению целостности полотнища.

Тем не менее, многолетний опыт создания противофильтрационных покрытий [3, 5, 6] показывает, что выполнении противофильтрационных (в том числе на каналах гидромелиоративных систем) неизбежно образование повреждений, в виде различных проколов, отверстий, трещин, проваров, которые чаще всего образуются при устройстве защитных слоев или соединении покрытий [4]. Поэтому важным вопросом для применения современных геосинтетических материалов при строительстве и реконструкции каналов гидромелиоративных систем является оценка процесса фильтрации через такие повреждения.

Подобные работы по исследованию водопроницаемости малых отверстий в натурных условиях и с применением теоретических зависимостей проводились ранее Ю. М. Косиченко и О. А. Баевым, в том числе используя метод теории планирования эксперимента, только на основе логарифмирования зависимостей [7].

Данные теоретические исследования могут быть выполнены также на основе размерностно-регрессионного метода планирования эксперимента, используя греко-латинский квадрат [8 - 10].

Размерностно-регрессионный метод планирования эксперимента позволяет получить сравнительно универсальную зависимость, в которой имеется возможность учесть, как можно больше основных факторов, участвующих в решении той или иной проблемы. При использовании этого метода в теории планирования эксперимента применяются сложные безразмерные комбинации, получаемые на основании размерностного метода.

Для решения поставленной задачи рассмотрим факторы, от которых зависит водопроницаемость противофильтрационных покрытий из геосинтетических материалов, применяемых при строительстве и реконструкции каналов гидромелиоративных систем.

Факторами, оказывающими влияние на водопроницаемость в повреждениях противофильтрационных элементов являются: толщина противофильтрационного покрытия, г, м; толщина защитного слоя из грунта, ^ , м; глубина воды в канале, , м; площадь повреждения в

геомембране, £, м ; давление грунта над поврежденной частью экрана, О1

дг -

кН; давления столба воды над площадью повреждения, О, кН; ускорение

2 2 сил тяжести, g, м/с ; атмосферное давление, Райи, кН/м ; частота

1 2 -2 повреждений на 1 м , п, м .

Используя приведенные факторы с их обозначениями, функциональная зависимость может быть представлена в следующем виде:

к =фЮ , О , г, g, Р , п),

защ т \ ^г5 5 о у аШ5 у ' V /

где к - коэффициент фильтрации грунта защитного слоя (искомая величина), м/с; Овг = (у^-К- давление грунта защитного слоя над отверстием; О = К^^ - давление воды над защитным слоем грунта.

Всем символам правой части зависимости (1) присваиваем показатели степени:

к =ф

защ т \ ^г^ ^ су^ аШ "у V /

В размерных единицах символов функциональная зависимость (2) примет вид:

Ь

т = [Е ]а, [г ], И'

Ь й Г е 1

Т2 Ь2 5 Ь2

откуда, используя основные размерности, находим показатели степени:

- для Г: 0 = а + й + е;

- для Ь :1 = с + й - 2е - 2/;

- для Т: -1 = -2й.

Исключаем а, с и й, выразив их через остальные показатели степени. Тогда имеем а = -Ъ - е, й = 0,5, с = 0,5 + 21 + 2 f.

Подставив эти значения показателей в зависимость (2), имеем:

к = т

защ т \ ^ 5 яг~ 'О 5 агт "у V /

Объединив переменные факторы с одинаковыми показателями, окончательно получим:

к

защ _ ^

О р . г2

()Ъ (рагт—)е (пг2)f

о,,, о,,,

л1г§

Применив основные размерности, функциональную зависимость (2) удалось представить в критериальной форме, содержащей в правой части три безразмерных параметра, т. е. число независимых факторов, влияющих на процесс фильтрацию через повреждения в защитном экране, значительно сократилось. Однако, функциональная зависимость (5) является еще многофакторной, даже в критериальном виде.

Чтобы выполнить эксперимент с каждым безразмерным параметром, варьируя его в пределах, нужно сделать большое количество опытов. Сведем количество опытов к оптимальному минимуму, применив теорию планирования эксперимента.

Воспользовавшись выражением (5), применяем размерностно-регрессионный метод, обозначив безразмерные комплексы в обеих частях следующим образом:

к О „ р . г2

К = , К =

В процессе эксперимента необходимо найти показатели степени Ъ, е, f при безразмерных параметрах и коэффициент пропорциональности у равенства (5).

Факторные планы в виде латинского и греко-латинского квадрата применяются не только в случае однофакторного эксперимента с несколькими внешними переменными, но и с несколькими факторами. Факторные планы чаще всего применяются для формул двух типов.

Первый тип формулы: зависимая переменная Ф представляет собой сумму функций от независимых переменных. В общем виде эта формула имеет вид:

Ф = Ш + Ш + Ш),

где f, ^, fз - функция любой сложности.

Второй тип формул представляет собой произведений отдельных функций независимых переменных:

Ф = Ш. ш. fз

Функциональная зависимость (8) представляет собой частный случай выражения (7), так как после его логарифмирования получают уравнение эквивалентное зависимости (7):

18 Ф = 1в /

Уравнение (8) включает выражение, применяемое при использовании метода размерностей (10), а также ряд других сложных зависимостей:

Ф = фа, уЪ, гс),

В случае, если известно, что функция относится к классу, который описывается равенством (8), выполнение факторного эксперимента проводится в следующем порядке.

Пусть в сбалансированном эксперименте на трех уровнях применяется х, у, г, тогда латинский квадрат имеет вид:

У1 У2 Уз

Х1 Zl Z2 Zз

Х2 Z2 Zз Zl

Хз Zз Zl Z2

В этом случае составляется три логарифмических уравнения для строки, содержащей х и производится их суммирование:

(1в Ф)а = 1в /1( х,) + 1в /2( У1) + 1в /з( (1в Ф)Ь = 1в /1( Х1) + 1в /2( уг) + 1в /з( 21) (1В Ф)с = 1в /1( х,) + 1в /2( Уз) + 1в /з( 2 2)1

S lg Фхх = 3lgf(xj + lg [f2( yx)f2( y2)f2( y3)]+ lg [/з( z3)f3( z1)f3( z2)].

Аналогичный вариант может быть получен для строки, в которую входит х2, а затем х3, вплоть до п-й строки. В общем виде получим:

lg f (Xi) = S lg ФХ] - const n

, N S lg Фх7

lg fi (x2) =-2- - const

n

lg fi(Xn) =S lg Фхn - const n

где п - число уровней независимых переменных.

Системы уравнений (11) и (12) показывают, что если усреднения производить по соответствующим уровням переменной у , а затем 2 , то результат будет получен тот же самый, что и для случая усреднения по уровням переменной Х . В случае добавления еще одной или двух независимых переменных, получится греко-латинский квадрат, при этом правило влияния новых переменных на результат Ф останется прежним.

Пользуясь формулами системы уравнения (12), можно построить графики, которым будут соответствовать функции:

Фх = к/

где Фх - антилогарифм X 1в Фх„; к - постоянная в формулах (13), которая получена по значениям у и 2 , исключаемых при использовании латинского квадрата; / (х) - функция переменной х.

>

Решая уравнения системы (13) и поставив /(х), /(у), / (z) в зависимость (8), получим:

Ф = к

где к = (кк'к") 1. С учетом этого систему уравнений (6) представим в следующем виде:

К = ^1

Применив приведенные рассуждения к системе уравнений (5), которая удовлетворяет уравнению (8) с взятием переменных системы (6) на четырех уровнях латинский квадрат имеет вид:

У1 У2 Уз У4

Х4 Zl Z2 Zз Z4

Х3 Z2 Zl Z4 Zз

Х2 Zз Z4 Zl Z2

Х1 Z4 Zз Z2 Zl

В данном случае рассмотренную модель можно представить в виде следующей функции:

кзащ = Ь0 + Ь1Х + Ь2У + Ь32 + Ь4ХУ + Ь5Х2 + Ь6У2 + Ь7 ХУ2 .

Параметры х , у, 2 данной зависимости, а также коэффициенты Ь0. . Ъп, были определены опытным путем.

При исследованиях по определению фильтрационных характеристик защитного слоя, факторы, входящие в зависимость (1), изменились в следующих пределах: t = 0,002 - 0,007 м; Л = 0,2 - 0,5 м; ^ = 5 -10 м;

5 = 0,05 - 0,20 м2; р = 15,0 - 21,0 кН/м2; п = 0,001 - 0,0001 м-2.

Для проведения экспериментов был выбран план с квадратом 4х4 (15), в котором безразмерные параметры х , у, 2 имели следующие значения:

О р

X = = 2,4 • 10-2 - 5,5 • 10-2; У = рт = 7,92 • 10-5 - 2,4 • 10-4; О О

Z = па2 = 4,0 • 10 10 - 4,9 • 10 8.

Латинский квадрат будет иметь следующую структуру (таблица №1) [8].

Таблица № 1

План эксперимента на четырех уровнях варьирования переменными в формуле

Относительное давление на грунт защитного слоя, У 7,92 • 10 5 1,328 • 10 4 1,864 • 10 4 2,4 • 10 4

Коэффициент условий работы грунта защитного слоя, Относительная частота повреждений в противофильтрационном геосинтетическом материале, 2

5,5 -10-2 4,0 • 10-10 1,66 • 10 8 3,28 • 10-8 4,9 • 10 8

4,47 • 10 2 1,66 • 108 4,0 • 10-10 4,9 • 10-8 3,28 • 10 8

3,4 • 10 2 3,28 • 10 8 4,9 • 10 8 4,0 • 10-10 1,16 • 10 8

2,4 • 10 2 4,9 • 10 8 3,28 • 10 8 1,16 • 10-8 4,0 • 10-10

После проведения эксперимента при указанных 16 комбинациях по опытным данным был составлен квадрат (таблица № 2), содержащий значения зависимой переменной, которой является критерий

к

бурности (Г05) = Я = .

г

Таблица № 2

к

тл ^ п защ

Квадрат зависимой переменной Я = --щ

3,82 4,52 5,56 7,14

2,67 3,17 3,89 5,00

1,53 1,81 2,22 2,86

0,38 0,45 0,56 0,71

Для нахождения искомой зависимости от факторов, вошедших в зависимость (15), необходимо по данным полученного квадрата (таблица 1) вычислить средний логарифм, а затем определить антилогарифм по следующей схеме (рис. 1).

Относительная частота повреждений, z

Z = 4 -10"

Логарифм Я

Z = 1,66 -10~8 Z = 3,28 • 10-8 Z = 4,9 • 10-8 Сумма Среднее Антилогарифм

Относительное давление на грунт защитного слоя, Яу

Коэффициент условий работы грунта, х

Сумма Среднее Антилогарифм

2,83

1,28 1,29 1,27 1,29

0,71

2,22 0,56 0,60 0,15 -1,17 -0,29

0,32 0,32 0,318 0,32

5,10

3,60

1,41

0,51 Rx

2.09

2.10 2,08 2,10

Z = 4,9 -10"8 Z = 3,28 -108 Z = 1,66 -10"8 Z = 4 -10"10

Рис. 1 - Схема вычислений Я в функции от х , у и 2 формулы

По данным этих вычислений построим графики (рис. 2), изображающие результат эксперимента.

Rz

3,0 2,0 1,0 0,0

1 R =2,0925

-

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Z10'1 Рис. 2 - Графики по результатам вычислений

С помощью метода наименьших квадратов, определены коэффициенты и получены уравнения результатов Я. = /(х • 10-2); Я = /'(у • 10 -4) и

Я = 2,0925. С учетом уравнения (14) определены коэффициенты ki для всех 16 комбинаций и найдено среднее значение постоянной к для всех условий равное 0,254.

Подставляя уравнения с графиков (см. рис. 2) и среднее значение коэффициентов к = 0,254 в зависимость (14) получено окончательное уравнение относительно результата Я:

Я = 0,254

или, выполнив арифметические действия, окончательно получено:

Я = 0,596ху -1,227у + 0,729х -1,5.

Подставив безразмерные факторы из (6) в (19), выразим уравнение (19) через искомую величину к :

к = &

защ л I О

О Р л2 р г2 О

0,596

КО2 • 106' О • 104^ Кв • 102 7

Проверим адекватность полученного уравнения по Р-критерию Фишера. Для этого производим сравнение полученного и табличного Г -значения, (Г > Гтабл), исходя из этого можно сделать вывод, что уравнение (20) адекватно результатам эксперимента. Уровень значимости при этом был принят по статистическим таблицам равным 0,05.

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что полученное уравнение (20) на основе теории планирования эксперимента размерностно-регрессионным методом может быть использовано для расчета процесса фильтрации через повреждения в противофильтрационных облицовках каналов [11 - 13], выполненных из геосинтетических материалов.

Литература

1. Косиченко Ю. М., Баев О. А. Классификация геосинтетических материалов и их применение для противофильтрационных устройств. Актуальные вопросы гидротехники и мелиорации на Юге России сборник научных трудов. ФГБОУ ВПО «Новочеркасская государственная мелиоративная академия». Новочеркасск, 2013, с. 108-116.

2. Скляренко Е. О. Моделирование распространения загрязненного потока из накопителей промышленных отходов в грунтовых водах // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. 2007. № 4. С. 96-99.

3. Ищенко А. В. Повышение эффективности и надежности противофильтрационных облицовок оросительных каналов: монография. Изв.вуз. Сев. - Кавк. регион. техн. науки. 2006. 211 с.

4. Баев О. А. Противофильтрационные покрытия с применением бентонитовых матов для накопителей жидких отходов // Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, 2013. № 3 (11). С. 115-124.

5. Косиченко Ю. М., Баев О. А. Рекомендации по применению геосинтетических материалов для противофильтрационных экранов каналов, водоемов и накопителей. Новочеркасск, 2014. - 64 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.01.15, № 1-В2015.

6. Косиченко Ю.М., Баев О.А., Ищенко А.В. Современные методы борьбы с фильтрацией на оросительных системах // Инженерный Вестник Дона, 2014, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2593.

7. Баев О. А. Применение планирования эксперимента для изучения водопроницаемости экрана из геомембраны // Природообустройство. 2014. № 3. С. 46-51.

8. Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных. -Судостроение, 1980. С. 86-98.

9. Веников В. А. Теория подобия и моделирования. М.: Высшая школа, 1984. - 438 с.

10.Сидняев Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных: учебное пособие. М.: Юрайт, 2011. - 399 с.

11.Скляренко Е. О. Баев О. А. Анализ водопроницаемости противофильтрационных экранов в программном комплексе «Comsol multiphysics» // Инженерный Вестник Дона, 2015, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3104.

12.Offengenden C. P. Lining for irrigation canals / Washington: United States Government printing office, 1963. - PP. 15-65.

13.Rowe R. K. Performance of a geocomposite liner for containing / T. Mukunoki, R. J. Bathurst, S. Rimal, P. Hurst, S. Hansen // Geotextiles and Geomembranes. - 2007. - № 25 (2). - PP. 68-77.

References

1. Kosichenko Ju.M., Baev O.A. Aktual'nye voprosy gidrotehniki i melioracii na Juge Rossii sbornik nauchnyh trudov. FGBOU VPO «Novocherkasskaja gosudarstvennaja meliorativnaja akademija». Novocherkassk, 2013, pp. 108116.

2. Skljarenko E.O. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Severo-Kavkazskij region. Serija: Tehnicheskie nauki. 2007. № 4. pp.96-99.

3. Ishchenko, A.V. Povyshenie effektivnosti i nadezhnosti protivo-fil'tratsionnykh oblitsovok orositel'nykh kanalov: monografiya [Improving the efficiency and reliability of anti facing irrigation canals] Izv.vuz. Sev. Kavk. region. tekhn. nauki. 2006. 211 p.

4. Baev O.A. Nauchnyj zhurnal Rossijskogo NII problem melioracii, 2013. № 3 (11), pp.115-124.

5. Kosichenko Ju.M., Baev O.A. Rekomendacii po primeneniju geosinteticheskih materialov dlja protivofil'tracionnyh jekranov kanalov, vodoemov i nakopitelej. Novocherkassk, 2014. 64 p. Dep. v VINITI 12.01.15, № 1-V2015.

6. Kosichenko Ju.M., Baev O.A., Ishhenko A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2593.

7. Baev O.A. Prirodoobustrojstvo. 2014. № 3.pp. 46-51.

8. Montgomeri D.K. Planirovanie jeksperimenta i analiz dannyh [Experimental Design and Analysis]. Sudostroenie, 1980. pp. 86-98.

9. Venikov V.A. Teorija podobija i modelirovanija [Similarity Theory and Modeling]. M.: Vysshaja shkola, 1984. 438 p.

10. Sidnjaev N.I. Teorija planirovanija jeksperimenta i analiz statisticheskih dannyh: uchebnoe posobie [The theory of experimental design and analysis of statistical data]. M.: Jurajt, 2011. 399 p.

11.Skljarenko E.O. Baev O.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3104.

12.Offengenden C.P. Lining for irrigation canals. Washington: United States Government printing office, 1963. pp.15-65.

13.Rowe R.K., T. Mukunoki, R. J. Bathurst, S. Rimal, P. Hurst, S. Hansen. Geotextiles and Geomembranes. 2007. № 25 (2). pp.68-77.