Градуированные кольца частных полупервичных градуированных колец

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

ГРАДУИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ ПОЛУПЕРВИЧНЫХ ГРАДУИРОВАННЫХ КОЛЕЦ1

И. Н. Балаба, В. А. Ефремов

Аннотация

В работе рассматриваются градуированные кольца частных полупервичных градуированных колец, изучаются свойства градуированного расширенного центроида.

В последние десятилетия отмечается значительный интерес к алгебраическим объектам, снабженным градуировкой, в частности, к первичным и полупервичным градуированным кольцам и супералгебрам, В связи с этим значительный интерес представляет изучение колец частных градуированных колец. При изучении колец частных градуированных колец естественно рассматривать кольца, наследующие градуировку исходного кольца и обладающие свойствами, характерными для колец частных.

Используя конструкцию Утуми, Джесперс и Вау чере [10] определили градуированные аналоги максимального, мартиндейловских и симметрического колец частных; установили связь между этими кольцами и их неградуированны-ми аналогами. Другой подход к определению максимального градуированного кольца частных можно найти в монографии Наетаеееку и Ойстайна [14], там же был определен градуированный аналог классического кольца частных.

Свойства максимального градуированного кольца частных изучались одним из авторов при условии полупервичности исходного кольца, В [4] рассматривалось максимальное суперкольцо частных и исследовались свойства его суперцентра для полупервичного суперкольца. Заметим, что в этой работе под расширенным центроидом понимался суперцентр максимального суперкольца частных, в отличие от работы [9], в которой данному понятию предавался обычный смысл.

Всюду далее: С - мультипликативная группа с единичным элементом е, все рассматриваемые кольца - ассоциативные С-градуированные с единицей 1,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 08-01-00790-а

Напомним некоторые определения.

Для градуированного кольца А = фдеС Ад через к(А) обозначается множество однородных элементов идес Ад, а ненулевой эле мент а Е Ад называется однородным элементом степени д (пишут deg а = д).

Идеал I кольца А называется градуированным (или однородным), если I = (Вдес(! ^ Ад), Для любого (левого, правого или двуетороннего) идеала I в А, всюду далее - наибольший градуированный идеал, содержащийся в I.

Градуированный идеал Р градуированного кольца А называется дг-первич-ным, если для любых градуированных идеалов I, 7 кольца А из включения и С Р следует, что либо I С Р, либо ,1 С Р. Ясно, что градуированный идеал Р

элементов а,Ь Е А го включения аАЬ С Р следует, что либо а Е Р, либо Ь Е Р.

Градуированное кольцо А называется дг-первичным, если 0 является §г-первичным идеалом, и дг-полупервичным, если пересечение всех его дг-перви-чных идеалов равно нулю (см., например, [14]).

Нетрудно заметить, что всякое §г-первичное кольцо является §г-полупервич-ным, а всякое первичное (полупервично) градуированное кольцо является §г-первичным (соответственно, §г-полупервичным).

В то же время §г-полупервичное (даже §г-простое) кольцо может не быть полу первичным.

Действительно, в теории групповых колец известно, что:

1) первичность группового кольца АС равносильна первичности кольца А и отсутствию в С конечных нормальных делителей [2, теорема 21];

2) групповое кольцо АС полупервично тогда и только тогда, когда кольцо А полупервично и порядки нормальных подгрупп группы С не являются

А

Таким образом, групповое кольцо кС, где к - поле характеристики р = 0 является градуированным телом, а следовательно, §г-простым кольцом, но при

С

В то же время для некоторого класса групп данные понятия совпадают. В С

нейный порядок устойчивый относительно умножения, то всякое §г-полупер-вичное кольцо является и полупервичным [1, предложение 4].

Градуированный правый идеал I кольца А называется дг-плотным, если для любых однородных элементов а1, а2 Е к(А), а\ = 0, найдется такой однородный элемент а Е Н(А), для штор ого а1а = 0 и а2а Е I.

Ясно, что если градуированный правый идеал I является плотным, то он является и §г-плотным. Верно и обратное, градуированный §г-плотным правый идеал градуированного кольца является плотным (ем,[1, 10]).

Если Б - подмножество, а I — правый градуированный идеал кольца А, то обозначим через (I : Б)а = {а Е А | Ба С I}, Под правым аннулятором га(Б ) ( или про сто г (Б)) множест ва Б понимают множество {а Е А | Б а = 0}.

Аналогично определяется и левый аннулятор

l(S) = {а е A | aS = 0}.

Заметим, что если S состоит го однородных элементов, т.е. S С h(A), то аннуляторы r(S) и l(S) являются соответственно левым и правым градуированными идеалами кольца A, а правый идеал (I : S)а является градуированным,

В качестве определения градуированного плотного правого идеала можно рассматривать следующее свойство.

Предложение 1 ([10]). Пусть J — градуированный правый идеал градуированного кольца, A. Тогда, J является плотным идеалом в том, и только том случае, если, lÄ(J : а) = 0 для, всех а е h(A).

Обозначим через Dgr (A) — совокупность всех градуированных плотных правых идеалов кольца A Легко показать, что Dgr (A) является градуированной

A

бека ([14, с, 137]), Градуированное кольцо частных, соответствующее топологии Dgr (A), называется максимальным (полным) градуированным правым, кольцом частных градуированного кольца A и обозначается Qgr (A), Так как tvgr{Ä)(A) = 0, то

Qgr

A

кольца Qgr (A),

Максимальное градуированное правое кольцо частных является градупро-

A

Q(A) = lim HomÄ(1,A),

isd

(здесь D(A) — топология всех плотных правых пдеалов кольца A), конструкцию которого, впервые введенную Утуми, можно найти в монографиях [3, 7],

Максимальное градуированное правое кольцо частных обладает свойствами, характерными для колец частных.

Предложение 2 ([10], предложение 1,4). Максимальное градуированное правое кольцо частных Qgr (A) градуированного кольца, A обладает следующими, свойствами:

1) A градуированное подкольцо кольца, Qgr (A);

2) для, каждого q е Qgr (A) существует I е Dgr (A) такой, ч,то ql С A;

3) если q е Qgr(A) u qI = 0 для, некоторого I е Dgr(A), то q = 0;

4) если, I е Dgr(A) u f е HOM(IÄ, AÄ), то существует q е Qgr(A) такой, что f (x) = qx для всех x е I.

Свойства, 1) - 4) характеризуют градуированное кольцо Qgr (A) с точностью до из ом,орфизм,а.

А

Тогда

<дг(А) = 0стес <дг(А)а = и е <(А) I существует I Е Vgr(А) такой, что с А^ для всех í е С}.

Предложение 3 ([10], предложение 1.9). Пусть А и В - градуированные кольца, причем А с В с <дг(А). Тогда <дг(А) = <дг(В).

А

Ядг < (А)) = Ядг (А).

Градуированный правый идеал 1 градуированного кольца А называется дг-существенным,, если 1 ПК = 0 для любого ненулевого градуированного правого идеала К кольца А. Из [14, лемма 1.2.8] следует, что градуированный правый идеал является §г-существенным в том и только том случае, когда он является существенным правым идеалом.

Хорошо известно, что каждый плотный правый идеал кольца является существенным правым идеалом (см., например, [7, замечание 2.1.3]).

Лемма 1. Пусть А - дг-полупервичное кольцо и I - градуированный идеал, А

1) ¡(I) = 0;

2) I - плотный правый идеал;

3) I - существенный правый идеал.

Доказательство. Равносильность условий 1) и 2) следует из [3, с. 155, следствие].

Импликация 2) 3) хорошо известна.

Докажем импликацию 3) 1). Пусть I - существенный правый идеал кольца ^ «I = 0 для некоторого ненулевого а Е к(А). Так как I п аА = 0, то существует однородный элемент Ь Е к(А), такой что 0 = аЬ Е I. Тогда аЬАаЬ с aI = 0 чт0 противоречит §г-полупервичноети кольца А

Лемма 2. Пусть I - градуированный идеал дг-полупервичного кольца, А. Тогда:

1) ¡(I) = гЦ);

2) ¡(I) п I = 0;

3) I + ¡(I) - плотный правый идеал.

Доказательство. Докажем утверждение 1). Пусть а е ¡(I) - ненулевой однородный элемент, не принадлежащий г^), тогда существует Ь Е /г(!), для которого Ьа = 0, Но поскольку ЬаАЬа с ЬaI = 0, получим противоречие с §г-полупервичностью кольца А. Следовательно, ¡(I) с г^), Обратное включение доказывается аналогично.

Докажем утверждение 2), Пусть 1(1) п I = 0, и а - ненулевой однородный элемент, принадлежащий /(I) п I. Тогда aAa с aI = 0, что противоречит §г-полупервичноети кольца A.

Для доказательства утверждения 3) заметим, что в нашем случае

I(I + 1(I)) = 1(I) п/(/(I)) = 0. Откуда в силу леммы 1 получим, что I + /(I) - плотный правый идеал,

Таким образом, из лемм 1-2 следует, что градуированный идеал §г-полупер-вичного кольца является плотным правым идеалом в том и только том случае, если он является плотным левым идеалом.

Предложение 4. Пусть Б - градуированный плотный правый идеал дг-полупервичного кольца, А и В - такое градуированное подкольцо, что Б с В с (дг(А). Тогда В - дг-полупервичное кольцо.

Доказательство. Пусть I - ненулевой градуированный нильпотентный идеал кольца В, и 0 = q € I. Из предложения 2 следует, что qJ с А для некоторого идеала J € ^Одг(А). Тогда 0 = q(K п J) с I п А является ненулевым градуированным нильпотентным правым идеалом кольца А, получили

Лемма 3. Пусть А - дг-полупервичное кольца, и В - градуированное кольцо, такое что А с В с (дг(А). Тогда:

1) правый градуированный идеал, кольца В является плотным тогда, и только тогда, когда, J п А - градуированный плотный идеал, кольца, А;

2) правый градуированный идеал, кольца Б является, существенным тогда, и только тогда, когда, J п А - существенный правый градуированный идеал,

А

Доказательство. Докажем утверждение 1), Пусть J € 'Рдг(В) ж а\ = 0,а2 € Н(А). Тогда существует Ь € ^(В), такой, что а\Ь = 0 и а2Ь € J. Из предложения 2 следует, что существует I € ^Одг (А) такой, что qI с А, откуда получим, что I с (А : Ь)а € ^Одг (А^, следователь но, а\Ьа' = 0 для некоторого а' € (А : Ь)А, Так как а2Ьа' € J п А, то J п А €Т>дг(А).

Обратно, пусть J п А € ^Одг (А) для некоторого градуированного правого идеала ^ ^адьца В, и пусть Ь\ = 0,Ь2 € Н(В). Так как (А : Ь1)А п (А : Ь2)а € 'Одг(А), то Ь1а' = 0 для некоторого а' € Н((А : Ь1)а п (А : Ь2)а), Поскольку Ь1а',Ь2а' € А, и J п А € Рдг(А), то ^ п А : Ь2а') € т>дг(А), и, следовательно, Ь1а'а'' = 0 для некоторого а'' € к^пА : Ь2а'). Таким образом, Ь1а'а'' € JпА с J, и J € Vgr(В).

Докажем утверждение 2). Пусть ,1 - существенный правый градуированный идеал кольца В, и I = J п А. Пусть К - ненулевой градуированный правый идеал кольца А Из §г-полупервичноети кольца В следует, что КВ = 0

- градуированный правый идеал В, ж-, следовательно, 1 П К В = 0. Пусть 0 = д = = kiqi Е 1П К В гДе кг Е к(К), qi Е Н(В). Из предложения 2 следует, что для каждого г = 1,..., п существует ^ Е £>дг(А) такой, что qiIi С А. Тогда для I = Р| П=1 Ь Е (А) имеем 0 = qI С М П (1 П А), следователь но, 1 П А -

А

1ПА

ца А, и Р = 0 - правый градуированный идеал кольца В, Для 0 = р Е Р существует I Е £>дг(А) такой, что pI С А Таким образом, Р П А = 0, и 0 = (Р П А) П (1 П А) С (1 П Р), что и требовалось доказать,

Правым градуированным сингулярным, идеалом, в1^дг(А) градуированного А

лярном идеале А) кольца А, т.е. singgr(А) = в1^(А)дг,

Из определения следует, что если а Е к

- градуированный существенный правый идеал кольца А. Более того, а Е singgr (А) тогда и только тогда когда aI = 0 для некоторого существенного градуированного правого идеала I кольца А

С

лярный идеал sing(A) С-градуированного кольца А является градуированным [14, лемма 11.9.14], и, следовательно, в этом случае singgr(А) = sing(A),

Лемма 4. Пусть А - градуированное кольцо и singдr (А) = 0. Тогда, каждый

А

1

кольца А. Тогда для любого а Е к(А) градуированный правый идеал (1 : а)А является существенным. Действительно, пусть Ь = 0 - правый градуированный идеал кольца А. Если аЬ = 0, то Ь С (1 : а)а и поэтому 0 = Ь = Ь П (1 : а).

аЬ = 0 аЬ

кольца А, а 1 - существенный, то аЬ П 1 = 0, Но аЬ П 1 = а[Ь П (1 : а)]. Следовательно ЬП(1 : а) = 0 и поэтому (1 : а) является существенным идеалом.

Следовательно, ¡а(а : 1) = 0 для всех а Е А и 1 - плотный идеал (предло-

А дг В

цо, такое что А С В С <д7-(А). Тогда:

э^г(а) = А П singgr(В).

Доказательство. Заметим, что гА

А

для каждого однородного элемента а Е к(А) найдется элемент х Е А, такой,

аха = а а Е Ад х

компонентой хг степей и т = д-1 .

Теорема 1. Пусть А — дг-полупервичное градуированное кольцо и < = Qgr (А) — максимальное градуированное правое кольцо частных кольца, А. Тогда, следующие условия эквивалентны:

1) <дг (А) — дг-регулярное кольцо;

2) (А) = 0.

Доказательство. Докажем импликацию 1) 2). Пусть < = Qgr(А) — §г-регулярное кольцо и 0 = д Е Н«), Тогда дхд = д для некоторого х Е Н«), Ясно, что (хд)2 = хд Е <е и г^(хд) = гд(х), и, следовательно, г^(хд) = (1-хд)<. Следовательно, (1 — хд)< Р| хд< = 0 и градуированный правый идеал (1 — хд)< не являться существенным. Таким образом, singgr (<) = 0, откуда в силу леммы 5 получим, что (А) = «) П А = 0.

Докажем импликацию 2) 3) Пусть singgr(А) = 0. Тогда из леммы 4 следует, что множество всех плотных градуированных правых идеалов Тд7. (А) А

вых идеалов. Пусть д Е <д, тогда в силу предложения 2 существует идеал I Е ТДА) такой, что qI С А, и пусть Ь = keг¡q, где ¡д : I ^ А — левое умножение на элемент д. Среди гравированных правых идеалов кольца А выберем максимальный идеал К, обладающий свойствами: К П Ь = 0и К С I. Легко проверить, что градуированный правый идеал К ф Ь является существенным, а, значит, и плотным.

МА

относительно свойства М П дК = 0 тогда М ф дК - существенный правый идеал и, следовательно, М ф дК Е (А). Ясно, что отображение / : М ф дК ^ А,

где /(т+дк) = к для всех т Е М, к Е К определяет однородный гомоморфизм

А д-1 /

некоторый элемент р Е <д-1, такой, что ра = /(а) для всех а Е М ф дК. Ясно, что при этом дрд(к + ¡) = д(к + ¡) для вс ех к Е К^ Е Ь, и, следовательно, дрд = ^^ < кольцом.

Мартиндейл [13] впервые использовал для построения колец частных первичных колец двусторонние идеалы, поэтому эти кольца называют также мар-тиндейловскими кольцами частных. Амицур [6] продолжил эту конструкцию на случай полупервичных колец, а Пассман [15] на случай произвольных колец.

Используя идею Паеемана, Джесперс и Ваутере в [10] определили правое градуированное мартиндейловекое и градуированное симметрическое кольца частных. Для построения правого градуированного мартиндейловского кольца частных (А) они вместо множества градуированных плотных правых идеалов (А) использовали, множество всех двусторонних идеалов, являющихся плотными правыми идеалами. В работе были установлены свойства этих колец и их взаимосвязь друг с другом.

А через 1дг (А) множество

всех градуированных идеалов I кольца А таких, что 1аЦ) = 0. В силу лемм 1-2 каждый градуированный идеал I € 1дг (А) является плотным и существенным как правый (и как левый) идеал. В этом случае

(д (А) = ^ € (дг (А) | qL с А для некоторого Ь € 1дг (А)}.

Положив

(д/ (А) = ^ € (дг (А) | qL и qL с А для некоторого Ь € 1дг (А)},

А

охарактеризовать с помощью четырех свойств, подобных тем, которые характеризуют максимальное градуированное кольцо частных.

Предложение 5 ([10], предложение 1.5). Симметричное градуированное кольцо частных (дг (А) дг-полупервичного кольца, А обладает следующими, свойствами:

1) А градуированное подкольцо кольца, (9г(А);

2) для каждого q € (9/ (А) существует I € 1дг (А) такой, ч,то qI с А;

3) если q € (9г(А) и qI = 0 (или ^ = 0) для, некоторого I € 1дг(А), то

q = 0;

4) если, I € 1дг(А), / € НОМ(!а,Аа) м д € HOM(AI,A А) такие, чтох/(у) = д(х)у для, всех х,у € I, то существует q € (дг(А) такой, что /(х) = qx, xq = д(х) для, всех х € I.

Свойства, 1) - 4) характеризуют градуированное кольцо (дг (А) с точностью до из ом,орфизм,а.

Напомним, что расширенным центроидом С (А) полупервичного кольца А называется центр мартиндейловекого правого кольца частных. А поскольку центр градуированного кольца может не быть градуированным, то градуированным расширенным центроидом, Сдг (А) назовем максимальное градуированное подкольцо центра градуированного мартиндейловекого правого кольца частных ((д(А). Свойства градуированных расширенных центроидов первичных колец, градуированных абелевой группой изучались в работах [8, 11], и первичных супералгебр в [9].

А

Сдг(А) п к(А) = к^((А))) = к^((А))) = = ^ € (дг (А) | qr = т^ для всех а € к(А)}

Доказательство. Пусть с € к(^(((дг(А)), х € (А : с)А, а € к(А)А. Тогда с(ах) = а(сх) € А и ах € (А : с)А и следовательно .] = (А : с)А - градуированный плотный идеал кольца А. Так как Jc = ! с ^о с € (д/ (А) и, следовательно, к^((дг (А))) с к^((9Г (А))) .

Так как следует, что (дг(Ядг(А)) = (дг(А), то 2((А)) С 2((дг(А)), и, следовательно, к(2((г(А))) = к(2((дг(А))), Аналогичным образом получим, что к(2((А))) = к(2((А))).

Пусть q € к((дг(А)) и qr = тщ для всех а € к(А). Тогда (щх — xq)a = q(xa) — xqa = xaq — xaq = 0 для всех х € к((дг(А)) и а € (А : х)А, Таким образом, q € С.

Следствие 3. Градуированный расширенный центроид дг-полупервичного кольца является градуированным подкольцом расширенного центроида.

Теорема 3. Пусть А — дг-полупервичное С-градуированное кольцо, ( = Ядг (А) — градуированное максимальное правое кольцо частных кольца, А и С = Сдг(А) градуированный расширенный центроид кольца, А. Тогда С является, дг-регулярным и дг-самоиньективным кольцом.

Доказательство. Пусть с € С — однородный элемент степени тогда I = с(д и >] = с2(д — градуированные идеалы кольца Поскольку в силу пред-

(с К = г^)^) = то)!) и градуированные идеалы IфК и >]фК являются плотными, а, следовательно, плотным будет и идеал Р = (I ф К) П (J ф К) = (I П ) ф К.

Ясно, что отображение / : Р — (заданное правилом / (с2 + к) = ссщ определяет центральный однородный элемент кольца ((() степени з-1, Так как ((() = ((Я), то р € С. Ясно, что срс(сщ + к) = с2щ = с(сщ + к) для любого щ € Я, к € К, откуда срс = с, и, следовательно С(() — §г-регулярное кольцо.

Пусть К — градуированный идеал кольца С и р : К — С — градуирован-

С

с € С

( (х) = сх х € К

СС ляются §г-плоскими, т.е. плоскими [14, замечание 1,5,4, с,259], Тогда из [3, предложение 1] следует, что имеет место канонический изоморфизм / : ( Ффс К — (К задаваемый правилом /(^™=1 Щг Ф кг) = Щгкг (щг € Я, кг € К),

Следовательно, найдется градуированный морфизм, для которого коммутативна следующая диаграмма:

Ясно, что I = (К — градуированный идеал кольца ( и ф(ащ) = ф(а)щ,

фф(ща) = щф(а) для всех щ € Я, а € I Положим .] = т^, тогда I ф J — гра-

(

ф : I ф .] — ( где ф(а + Ь) = ф(а) (а € I, Ь € J) определяет центральный однородный элемент с € ((()) = ( Заметим, что ск = ф(к) = ф(к) = к[(1 Ф р)(1 Ф к)] = р(к) для всех к € К, чт0 и требовалось доказать,

Я Фс К

I /

(К

Я Фс С

I к

(

Хорошо известно, что расширенный центроид первичного кольца является полем, а в [11] было показано, что каждый однородный элемент градуированного расширенного центроида первичного кольца, градуированная абелевой группой, обратим, и, следовательно, является градуированным полем. Аналогичным образом доказывается и следующее

Предложение 6. Градуированный расширенный центроид gr-первичного кольца является градуированным полем.

Теорема 4. Пусть А - gr-полупервичное кольцо, Q = Qgr(A), C = Cgr(A), AUA - градуированный подбимодуль А-А-бимодуля Q и f :A UA —ïA QA - сохраняющий градуировку гомом,орфизм бимодулей. Тогда, существует элемент X g Ce, такой что f (u) = Xu для, всех u g U.

Доказательство. Из предложения 2 следует, что W = U п А является ненулевым градуированным идеалом кольца А. Положим I(w) = (А : f (w))a и V = "Yhwçw wI(w). Так как f (aw) = af (w) для всех a g А и w g W, то f (aw)I(w) ç А и I(w) ç I(rw), и значит V - градуированный левый идеал кольца А С другой стороны V является суммой градуированных правых идеалов, следовательно, V является градуированным идеалом кольца А. Заметим, что f (V ) = f ^)(А : f (w)) ç А Определим отображение g : V0rA(V ) —у А, полагая g(v + v') = f (v) + v' для всех v g V, v' g rA(V), Легко проверить, что g является сохраняющим градуировку гомоморфизмом А — А-бимодулей, Так как V ф Га(V) g dgr(А), то существует элемент X g C такой что g(x) = Xx для всех x g V Ç^)rA(V), Тогда Xrx = g(rx) = rg(x) = rXx для всех x g V0rA(V), r g А rX = Xr r g А X g C

Далее, пусть u g h(U), D = (А : u)A и d g D. Тогда udr g V для всех r g (А : f (ud)A и f (u)dr = f (udr) = g(udr) = Xudr, (f (u) — Xu)dr = 0. Следовательно f ((u) — Xu)d = 0 для вс ex d g D и поэтому f (u) = Xu для всех u g U.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Вал аба И.Н. Кольца частных полупервичных градуированных колец // Труды международного семинара "Универсальная алгебра и ее приложения". - Волгоград, 2000, с. 21-28.

[2] Бовди A.A. Групповые кольца. - Ужгород: Изд-во Ужгород, ун-та, 1974

[3] Ламбек И. Кольца и модули. - М,: Мир, 1971.

[4] Лимаренко C.B. Слабо примитивные суперкольца // Днсс. на сонск. уч. степени канд. физ.-мат. наук. - Москва, 2005

[5] Залесский Л.К.. Михалев А,В, Групповые кольца //Итоги науки и техники,Современные проблемы математики, - Т, 2, - М: ВИНИТИ, - 1973, С, 5-118.

[6] Amitsur S.A. On rings of quotients // Symposia Mathematica. 1972, V, 8, P. 149-164

[7] Beidar K.I., Martindale W.S., Mikhalev A.V. Rings with generalized identities, - New York: Marcel Dekker, Inc, 1996,

[8] Cohen M.. Eowen L.H, Group-graded rings, // Comm. Alg, 1983, V, 11, №1. P. 1253-1270.

[9] Fosner M. In the extended centroid of prime superalgebras with applications to superderivations // Comm. Alg. 2004. V. 32. N 2. P. 689-705.

[10] Jespers E,, Wauters P. A general notion of noncommutative Krull rings.// J. of Algebra, 1988. V. 112. P. 388-398.

[11] Jespers E. Commputing the extended centroid of Abelian-group graded-rings// Comm. Alg. 1992. V. 20 , N 12. P. 3603-3608.

[12] Jespers E. Jacobson rings and rings strongly graded by an abelian group// Israel J.Nath. 1988. V. 63 . P. 67- 78.

[13] Martindale W, S. Prime rings satisfying a generalized polynomial identity// J. Alg. 1969. V. 12. P. 576-584

[14] Nastaseseu C,, van Ovstaeven F. Graded ring theory. - Amsterdam e. a.: North-Holland, 1982.

[15] Passman D.S. Commputing the symmetric rings of quotients // J. Alg. 1987. V. 105. P. 207-235.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Получено 8.06.2010