МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТОКА АВТОЭМИССИИ ИЗ ОДИНОЧНОЙ УГЛЕРОДНОЙ НАНОТРУБКИ

НАНОТЕХНОЛОГИЯ

УДК 681.3.06

Методика расчета тока автоэмиссии из одиночной углеродной нанотрубки

С.В. Булярский, А.В. Лакалин Ульяновский государственный университет

А.С. Басаев НПК «Технологический центр»

Представлен метод расчета тока автоэмиссии из одиночной углеродной нанотрубки во внешнем электрическом поле, направленном вдоль оси нанотрубки. В основе метода лежит полуклассический подход с использованием механизма подбарьерного туннелирования. Показано, что в случае высоких полей ток соответствует механизму Нордгейма-Фаулера для автоэмиссии, а в случае низких - имеет отклонения, связанные с особенностью поведения потенциального барьера.

Ключевые слова: ток автоэмиссии, углеродная нанотрубка, модель Нордгейма-Фаулера, потенциальный барьер.

В последние годы наблюдается большой интерес к исследованиям новых форм углерода - фуллеренов и нанотрубок [1]. Углеродные нанотрубки (УНТ) обладают рядом важных свойств, что делает возможным их использование в наноэлектронике. Так, в настоящее время широко изучается автоэлектронная эмиссия (АЭ) из холодных катодов, в качестве которых используются УНТ [2]. В силу наноразмеров УНТ обладают высоким аспектным отношением, что позволяет достичь больших токов при меньших напряжениях. Перспективным направлением является создание триодных структур на основе УНТ. При расчете токов в триодной структуре необходимо знать распределения полей и потенциалов, а это в общем случае можно сделать только численно. Цель настоящей работы - разработка методики численного расчета тока АЭ из УНТ для дальнейшего его использования при моделировании электрических свойств триодных структур на базе УНТ.

Как правило, описание токов АЭ из УНТ основано на теории Нордгейма-Фаулера [3], согласно которой плотность тока АЭ описывается выражением

где Ci и C2 - функции, зависящие от напряженности электрического поля E и работы выхода электрона A.

Согласно (1) ВАХ, построенная в координатах Нордгейма-Фаулера ln(J / U2) = f (1/ U), представляет собой прямую линию (E = U/L, U - приложенное на© С.В. Булярский, А.В. Лакалин, А.С. Басаев, 2013

пряжение, L - расстояние между анодом и катодом). Формула (1) получена для простейшего случая плоской металлической поверхности и поэтому не отражает всех особенностей АЭ из УНТ и может использоваться лишь для качественного описания АЭ.

Применяя модель Нордгейма-Фаулера к УНТ, необходимо учитывать свойства УНТ, ее зонную структуру (эффективную массу), наличие электронной и дырочной проводимости, взаимное расположение валентной зоны и зоны проводимости [4]. В результате окончательное выражение для тока АЭ описывается выражением Нордгейма-Фаулера (1) с несколько измененными параметрами.

Помимо модели Нордгейма-Фаулера существуют и другие подходы к описанию токов АЭ из УНТ. Однако в основе всех подходов лежит механизм подбарьерного тун-нелирования электронов из УНТ под действием внешнего электрического поля. Поэтому при вычислении токов АЭ возникает вспомогательная задача - расчет электрического поля между УНТ и анодом. Обычно для вычисления электрического поля используется полуклассический подход [5]. Считается, что ядра атомов углерода создают кулоновское поле точечных зарядов, а валентные тс-электроны - распределенную электронную плотность заряда, локализованную в некотором объеме вокруг ядра. При этом пространственное распределение электронной плотности рассчитывается кван-тово-механическими методами. Роль сильно связанных a-электронов, участвующих в образовании связей между атомами углерода, сводится к частичной экранировке заряда ядра.

В работах [6, 7] описана техника выбора потенциала и вычисления потенциальной энергии. В [8] этот подход применялся для теоретического сравнения полевой эмиссии из одно- и многостенных УНТ. Вычисление тока внутри УНТ основывается на квантово-механическом подходе. Электронный поток от каждого из концов УНТ, проходящий через произвольное сечение, представляется как движение электронов заданных квантовых состояний, вероятность заполнения которых описывается некоторой функцией распределения [9].

Постановка задачи. В работе представлена методика расчета тока АЭ из одиночной УНТ во внешнем электрическом поле, направленном вдоль оси УНТ. Расчет проводился на УНТ типа zigzag (n = 10, m = 0) с открытыми концами. Длина и диаметр нанотрубки

составляли соответственно l = 14d0 = 1,988 нм, d = (d0V3/n^Jn2 + m2 + nm = 0,783 нм

(d0 = 0,142 нм - расстояние между атомами углерода). Предполагалось, что УНТ находится между двумя проводящими плоскостями, к которым приложены потенциалы 0 В (катодная плоскость) и +8 В (анодная плоскость). Расстояние между плоскостями L = 4 нм (рис.1).

Расчет электростатического поля и потенциала. При расчете электростатического поля и потенциала полагалось, что три валентных a-электрона любого атома углерода, образующих связь с соседними атомами углерода,

полностью экранируют ядро. Поэтому поле

+

создается атомным остовом с зарядом e и одним тс-электроном с зарядом -e.

Результирующее электростатическое поле Е(г) или ф(г), создаваемое всеми атомными .////////////////7/////////////// ОСТОВами (с Зарядами +е) и 71-ЭЛектрОНами (с Катодная плоскость

зарядами ~е) описывается выражением Рис 7 Геометрия задачи

Анодная плоскость

+8 В

4 нм

>—•—4 • • i

• • > • <  • < • •  > 2 нм

• • ТТТТТ7Т

E(r) = Eexi(r) + (r) + Eelec (r),

Ф

W (r) = -ev(r),

где Eext(r) или Vext(r) - внешнее поле; Eion (r) или vion (r) - поле всех атомных остовов; Ee/ec(r) или ve/ec(r) - поле всех к-электронов; W(r) - потенциальная энергия внешнего электрона в поле нанотрубки; r - радиус-вектор точки наблюдения.

Полагалось, что каждая заряженная частица создает поле, описываемое законом Кулона. Тогда

e

Eion (r) = E- . ,3

Vion (r) = Z

i 4^s 0 r - Ri

Ee/ec(r) = ZEi elec(r) = Z ^- I-.-"¡3-,

T„ r - r'

i 4>Lb0 V' r - r'

Л Л ^ Л Л ^ - e tP'e/ec(r')dV

Фe/ec(r) = ZVi e/ec(r) = Z д-J

i '4ksо V' Г - r'l

где Я, - положение центра /-го атомного остова, р1е1ес(г) - электронная плотность

л-электрона /-го атома (р, е/ес(г) = у, (г) ). При расчете полагалось, что валентный

л-электрон каждого атома имеет гауссово распределение вокруг атомного остова. Параметры гауссова распределения выбирались согласно [6]:

/- л 1

Pie/ec(r) = 3/2 ~ 3 ' exP к R,

2

lr - ri, R2

где г - положение центра л-электронной плотности /-го атома (в общем случае г ^ К ), Я, - некоторый характерный радиус [6], равный

R =.

h

^ а ^

V то j

1/4

е - элементарный заряд; т0 - масса электрона.

Положение центра л-электронной плотности г определялось следующим образом. Известно, что дипольный момент атома описывается выражением р = 0Е = аЕ,

а = %80, где х - поляризуемость атома. Дипольный момент атома может быть представлен и в виде р = е\ = е(к — г, ). Из двух последних выражений следует, что

г = к, — ^,

е

где Ег- - среднее поле в месте расположения /-го атома; аг- - константа, одинаковая для всех атомов: а = 4тсе0- 1,100 А3 [6]; Ег- - поле, равное внешнему электрическому

полю Еех, которое задавалось постоянным и направлено вдоль оси нанотрубки от анодной плоскости к катодной противоположно декартовой оси г (см. рис.1) (Егех{ = -8 В/4 нм = -2 • 109 В/м). Тогда потенциал внешнего поля фех/(г) = Еех1г .

Подставляя (5) в (4), получаем:

exp

( i , |2 Л Г - ri

Eelec(r) - , ^ 3,2 ~ 3 Í"

4л8 o Y R

R

(r - r ' )dV'

3

i V

r - r

2

r - r,

exp

9elec(r) Í-

4л8 o , л3'2 R J

R2

dV

iV

r - r

В (8) dV' - dx' dy' dz', |r' - ri|2 -(x ' - x, )2 + (y ' - yt )2 + (z ' - z, )2 и т.д. Область интегриро-

вания задавалась по принципу «трех сигм», т.е. x' e[xi -3^¡2R; xi + 3V2R ],

y ' e [y, - 3V2R ; у, + зЩ ], z ' e [z, - зЩ ; z, + зЩ ].

Алгоритм расчета электрического поля состоит в следующем.

1. Задаются параметры нанотрубки: тип (zigzag или armchair), индекс хиральности n, количество шестиугольников в основном и промежуточном столбцах.

2. Рассчитываются диаметр нанотрубки и координаты всех атомов нанотрубки.

3. Задается внешнее поле Eext (Eext Oz).

4. Задается область пространства, для которой проводится расчет поля.

5. По формулам (3) рассчитываются напряженность поля и потенциал атомных остовов, по формулам (6), (7), (8) - напряженность поля и потенциал л-электронной плотности атомов, по формуле (2) находится результирующее поле.

На рис.2 показана потенциальная энергия электрона в плоскости z = 2-10-9 м. Указанная плоскость расположена вблизи эмитирующего торца нанотрубки перпендикулярно геометрической оси. Значение внешнего электрического поля равно

EZeXt--2-109 В/м.

Расчет эмиссионного тока. В основе расчета тока эмиссии из нанотрубки лежит представление о туннелировании электронов через потенциальный барьер, который образуется между атомами на открытом торце нанотрубки и анодной плоскостью. Решение подобной задачи для случая континуальной (непрерывной) бесконечной проводящей поверхности представляет со-

бой закон Нордгейма-Фаулера. Однако в настоящей работе в силу дискретного по-атомного представления нанотрубки используется не закон Нордгейма-Фаулера, а непосредственное вычисление вероятности туннелирования и туннельного тока.

Расчет токов эмиссии из нанотрубки осуществляется при следующих ограничениях:

- туннелирование электронов происходит только от атомов, расположенных на открытом торце нанотрубки в направлении оси Oz. Количество таких атомов для нанотрубки типа zigzag и armchair равно индексу хиральности n;

- при расчете высоты туннельного барьера (т.е. потенциальной энергии W(r) = W(x, y, z)) для конкретного i-го электрона вклад данного электрона в общий потенциал не учитывается. Это является аналогом учета сил зеркальных изображений для континуальной среды в законе Нордгейма-Фаулера.

- полная энергия туннелирующего электрона s вблизи i-го атомного остова определяется как

е = -eEextZ, - A,

где A = 4,8 эВ для углеродной нанотрубки; Z¿ = Rzi - координата z i-го атомного остова;

- вероятность туннелирования рассчитывается согласно выражению

Г _z, Л

D = D0 • exp

2 z2

2m0 (W(x, y, z) - е) dz

h

v zi

где пределы z\ и Z2 определяются из условия W(x, у, zl) = W(x, у, Z2) = 8. Для качественного расчета можно положить D0 = 1;

- эмиссионный ток является суммой туннельных токов от каждого эмитирующего атомного остова. Тогда

( Гг ^

--Ш . I У ГГ#_ I 1/1/ It I/ '/ I - i

j = £СА = £ j  exp -2 2m0(W (x,yi,z) - ei) dz

где = С^ы = сош^ . В силу симметрии расположения эмитирующих атомных остовов на торце нанотрубки можно считать, что все у0г- одинаковые и равны ]0.

Алгоритм расчета тока эмиссии состоит в следующем.

1. По формулам (9), (10) рассчитываются полная энергия и вероятность туннелирования для каждого эмитируемого 1-го электрона от эмитирующего 1-го атомного остова на торце нанотрубки. При расчете высоты барьера (потенциальной энергии Wi(xi,yi,zi)) вклад данного 1-го электрона не учитывается. Потенциальная энергия рассчитывается согласно формуле (9).

2. По формуле (11) рассчитывается ток эмиссии. Для качественного расчета полагается 7о = 1. При описании экспериментальных точек у0 является подгоночным параметром.

3. Строится ВАХ для разных значений внешнего электрического поля Еех( ( Еех1 = и / £, где U - внешнее приложенное напряжение (0-9 В), L - расстояние между анодной и катодной плоскостями, равное 4 нм).

На рис.3 показаны зависимости потенциальной энергии эмитируемого электрона Ж

представлена для различных значений приложенного напряжения и = 0-9 В. Эмитирующий атом находится в точке с координатами х0 = 3,91-10-10 м, у0 = 0 м, г0 = 1,988-10-9 м,

анодная плоскость - га = 4 нм. Из рисунка видно, как меняется форма потенциального барьера с ростом напряжения. При малых напряжениях для рассматриваемой нанотрубки потенциальный барьер имеет форму возрастающей функции и распространяется до самой анодной плоскости. Начиная от напряжений около 5 В, потенциальный барьер принимает форму функции с максимумом. По мере увеличения напряжения (приблизительно начиная от 6,3 В) потенциальный барьер перестает распространяться до анодной плоскости. Эти особенности поведения потенциального барьера проявляются и на токах эмиссии нанотрубки.

На рис.4 представлена зависимость] = ](Ц), рассчитанная для рассматриваемой нанотрубки. ВАХ имеет экспоненциальный характер. Токи области III обусловлены тун-нелированием электронов через потенциальный барьер, имеющий максимум и не распространяющийся до анодной плоскости. На рис.5 показан участок III ВАХ, перестроенный в координатах Нордгейма-Фаулера 1п(у / и2) = /(1/ и). Видно, что точки хорошо аппроксимируются прямой. Это позволяет предположить, что токи на участке III соответствуют механизму Нордгейма-Фаулера для автоэлектронной эмиссии. Наоборот, токи на участке I определяются не только формой потенциального барьера, но и геометрией рассматриваемой задачи. Так как на участке I потенциальный

Рис.3. Зависимость потенциальной энергии электрона Ж от координаты г для различных значений внешнего приложенного напряжения:

1 - 0 В; 2 - 1 В; 3 - 2 В; 4 - 3 В; 5 - 4 В; 6 - 5 В; 7 - 6 В; 8 - 7 В; 9 - 8 В; 10 - 9 В

Рис.4. ВАХ рассматриваемой нанотрубки

барьер распространяется до анодной плоскости, следует ожидать, что токи на этом участке будут сильно зависеть от расстояния от торца нанотрубки до анодной плоскости. При увеличении этого расстояния (ширины барьера) вероятность туннелирования будет экспоненциально уменьшаться.

Таким образом, расчет тока АЭ из простой УНТ, выполненный согласно разработанной методике, дал результаты, описываемые в актуальном диапазоне напряжений законом Нордгейма-Фаулера. Это подтверждает правильность расчетов и качественно согласуется с результатами многих экспериментальных работ по токам эмиссии из углеродных нанотрубок [10]. Развиваемый в работе численный способ расчета токов АЭ может быть положен в основу моделирования электрических характеристик более сложных нанообъектов на базе УНТ.

Литература

1. Булярский С.В. Углеродные нанотрубки: свойства, технология, применение. - Ульяновск: Стрежень, 2011. - 485 с.

2. Елецкий А.В. Углеродные нанотрубки и их эмиссионные свойства // УФН. - 2002. - Т. 172, № 4. -С. 401-438.

3. Fowler R.H., Nordheim L. Electron emission in intense electric fields // Proc.Roy.Soc. - 1928. - Ser A. -Vol. 119. - P. 173-181.

4. Stratton R. Energy distribution of field emitted electrons // Phys.Rev. - 1964. - Vol. 135 (3A). -P. A794-A805.

5. Mainwaring D., Jakubov T., Calvitto L. Potential energy distribution within and on single-walled and double-walled carbon nanotube // J. Nanoparticle Research. - 2005. - P. 59-73.

6. Mayer A., Senet P., Vigneron J-P. Electron scattering by a C60 molecule in a projection configuration // J.Phys.: Condens. Matter. - 1999. - Vol. 11. - P. 8617-8631.

7. Structural-energy calculation, based on norm-conserving pseudopotentials and localized Gaussian orbitals / Bachelet G.B. et al. // Phys.Rev.B. - 1981. - Vol. 25, № 8. - P. 4745-4751.

8. Mayer A., Miskovsky N.M., Cutler P.H. Theoretical comparison between field-emission from singlewall and multi-wall carbon nanotubes // Phys.Rev.B. - 2002. - Vol. 65. - P. 155420-1 - 155420-6.

9. Савинский С.С., Белослудцев А.В. Кондактанс однослойной углеродной нанотрубки в однопара-метрической модели сильной связи // ФТТ. - 2004. - Т. 46, № 7. - С. 1333-1338.

10. Field emission energy distributions from individual multiwalled carbon nanotubes / Fransen M.J. et al. // Appl.Surf.Sci. - 1999. - Vol. 146. - P. 312-327.

Статья поступила после доработки 28 июня 2012 г.

Булярский Сергей Викторович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой инженерной физики Ульяновского государственного университета, заслуженный деятель науки РФ. Область научных интересов: физические процессы в полупроводниковых приборах с дефектами, нанотехнологии и на-ноэлектроника, термодинамика и кинетика формирования наноструктур, адсорбция, процессы переноса в наноструктурах.

Лакалин Александр Вячеславович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инженерной физики Ульяновского государственного университета. Область научных интересов: генерационно-рекомбинационные процессы в структурах с областями пространственного заряда, фотоэлектрические явления в кванто-во-размерных структурах. E-mail: lak@sv.uven.ru

Басаев Александр Сергеевич - кандидат физико-математических наук, заместитель директора НПК «Технологический центр» (г. Москва). Область научных интересов: технология и проектирование СБИС, наноматериалы и наноразмерные элементы для ИС.