Приближенные методы переходного анализа межсоединений сверхбыстродействующих цифровых СБИС

5.Выделение котуров и характерных точек изображения

Будем называть характерными те точки (i,j) изображения, которые являются наиболее

информативными, т.е. по которым можно восстановить с некоторой точностью исходное изображение. Нетрудно заметить, что предлагаемый метод сглаживания позволяет выделить

характерные точки. Это точки с координатами (/, у"), которые являются граничными в том

смысле, что i € Данные точки должны определять согласно решению

оптимизационной задачи положение всех нехарактерных точек.

Нетрудно заметить, что граничными точками будут также точки, определяющие контуры края изображения. В этих точках является большим значение модуля градиента, поэтому в окрестности этих точек не удастся сгладить изображение и значения яркости в этих точках сглаженного изображения окажутся на границе допустимых значений.

Предлагаемая процедура сглаживания позволяет улучшить качественные Характеристики методов предварительной обработки изображений, использующих градиент изображения. Отметим в заключение, что предлагаемый метод сглаживания особенно эффективно фильтрует ошибки, возникающие при оцифровке реальных изображений.

Литература

1. Lee D. Coping with discontinuities in Computer Vision: Their Detection, Classification and Measurement// IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 12, № 4, 1990.

2. Дуда P.,. Харт II. Распознавание образов и анализ сцен. - М. Мир, 1976.

3. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. - М.: Радио и связь, 1986.

УДК 621.382.002

Коробков А.И., Золотов В.П.

Приближенные методы переходного анализа межсоединений сверхбыстродействующих цифровых СБИС

В данной статье приведен обзор публикаций зарубежных авторов, посвященных приближенным методам переходного анализа межсоединений, применяемых при автоматизированном проектировании цепей синхронизации сверхбыстродействующих

Цифровых СБИС.

1.Введение

С повышением степени интеграции и переходом к субмикронным размерам резко й°зрастает влияние межсоединений на быстродействие цифровых СБИС. Оптимизация критических цепей, в особенности цепей синхронизации, является важной составной частью автоматизированного проектирования топологии кристалла. Решение этой задачи требует быстрого расчета задержек и их чувствительностей к вариациям параметров межсоединений. ^Дним из способов, позволяющим наиболее точно оценить задержку, является использование Модели с распределенными параметрами. Однако высокая вычислительная сложность 0гРаничивает область практического использования данной модели. Более простой является Модель с сосредоточенными параметрами. В соответствии с ней топология разбивается на °тДельные сегменты, каждый из которых замещается ЯС-моделью 1_, или Т-типа (рис. 1). Индуктивностью обычно пренебрегают, поскольку ее влияние существенно меньше влияния

RC-параметров. Полученная электрическая схема является пассивной линейной схемой с монотонным откликом на импульсный сигнал. Расчет задержек в схеме выполняется путем численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Обычно для точной оценки задержек используют программы схемотехнического анализа, например, SPICE [1]. Однако низкое быстродействие таких программ не позволяет использовать этот подход для целей оптимизации межсоединений.

R R К/2 R/2

С С/2 С/2 С

а) б) в)

Рис.1

Другим фактором, ограничивающим применение программ схемотехнического анализа, является трудность их использования для анализа чувствительности задержек.

Другим подходом к анализу линейных пассивных цепей, построенных на основе модели с сосредоточенными параметрами, является получение аналитического выражения, описывающего зависимость задержки сигнала в цепи от ее параметров. Этот подход состоит из следующих этапов:

1.Построение ЯС-цепи на основе модели с сосредоточенными параметрами, исходя из заданной топологии межсоединений, технологических параметров и проектных требований. 2.0писание ЯС-цепи системой ОДУ или в операторной форме. Система ОДУ ЯС-цепи для переменных состояния имеет следующий вид [2]:

Сх(1) = -Сх(0 + Ьи(0 у(0=Г х(0

где дг(/) - вектор переменных состояния, и(1) - функция, описывающая источник входного сигнала, у(0~ напряжение отклика цепи для заданного выходного узла, С диагональная матрица емкостей, С матрица проводимостей, Ь вектор проводимостей источника сигнала.

Операторное описание цепи имеет следующий вид:

У(8)=Н(5)-ЩЗ) (1.2),

где Щх) изображения по Лапласу функции напряжения в заданном узле и функции, описывающей источник входного сигнала соответственно, Щб) передаточная функция.

Применением преобразования Лапласа к выражению (1.1) получается система ОДУ в операторной форме:

* • с • ;вд =-с • .вд+&• £/

У(5)=1т Х(5) (1.3).

Из (1.2) и (1.3) можно получить выражение для передаточной функции:

н(з)=1т (с+5 с; у ь (1.4).

З.Вычисление аналитического выражения у(()дпя напряжения отклика ЯС-цепи в заданном узле. Эта задача сводится либо к вычислению собственных значений матрицы системы ОДУ (1.1), либо к вычислению оригинала функции напряжения отклика У(з) с

помощью обратного преобразования Лапласа, что эквивалентно нахождению полюсов и вычетов Y(s).

4. Расчет задержек в RC-цепи путем решения уравнений вида

У(0=У0 (1.5),

где уо - фиксированный уровень напряжения отклика для измерения задержки.

Уравнения для расчета чувствительностей задержки получаются путем Дифференцирования (1.5).

Данный подход позволяет получить аналитическое выражение для передаточной Функции цепи и функции напряжения отклика. Это облегчает анализ цепи для различных форм Годного сигнала, вычисление чувствительностей задержек. Однако скорость вычислений Недостаточно высока при решении задач большой размерности.

В настоящее время разработан ряд быстрых методов приближенного переходного анализа межсоединений, наиболее важные из которых рассмотрены в данной работе. В разделе 2 представлена методика AWE (Asymptotic Waveform Evaluation), основанная на аппроксимации Паде (Pade) передаточной функции цепи [3-5]. В разделе 3 описан метод Элмора [6,7], который является частным случаем AWE. В разделе 4 рассмотрена модификация Методики AWE, основанная на применении алгоритма Ланцоша (Lanczos) для расчета экстремальных собственных значений матрицы [8,9]. Этот метод известен также как PVL (Pade v'a Lanczos). В разделе 5 представлен метод, использующий матричное уравнение Четырехполюсника для вычисления его передаточной функции [10]. В заключении приведен сРавнительный анализ описанных в данной статье методов и перспектив их дальнейшего Развития, даны рекомендации о целесообразности использования методов для решения Практических задач.

2.Методика AWE

Данная методика основана на применении аппроксимации Паде для получения Приближенной передаточной функции цепи. При аппроксимации Паде исходная передаточная

Функция H(s) заменяется приближенной передаточной функцией H(s) следующего вида [2]:

Л/ V BqJS)

H(s)=-f— (2.1),

Aq

где Aq(s), Bq_j(s) являются полиномами степени q и q-1 соответственно. Вычисление

коэффициентов полиномов A (s), Bq_,(s) основано на разложении H(s) в ряд Маклорена и

Оставлении системы уравнений [3]:

, . , Ь0 + Ь.  s + b2 -s2 +...+ b .  s4'1

m0+ml s+...+m2 ,-s4 +o

] + a,  s + a2 • s +... + aq • s4

Учитывая, что передаточная функция H(s) равна напряжению отклика в операторной Форме Y(s) при единичном импульсном воздействии, можно вычислить коэффициенты rnf‘--.m2q.n заменив в (1.3) b-U(s) на U0 и разложив X(s) в ряд Маклорена:

(G + s• С)  (Х0 + s• Х\ + s2 X2+--.) = U0 (2.3).

Из сравнения (1.3), (1.4) и (2.2) следует, что Х0,Х1,Х2,... являются векторами Коэффициентов т0,т,,т2,... в разложении передаточных функций для всех узлов цепи. Как Показано в [3], эти коэффициенты вычисляются путем проведения анализа по постоянному ТокУ исходной и ряда модифицированных схем [3]. Описанная методика позволяет получить Сближенную передаточную функцию RC-цепи и вычислить напряжение отклика в заданном Точность приближения определяется порядком многочленов в (2.2).

Другое обоснование методики AWE предложено в [4,5]. Оно основано на равенстве коэффициентов разложения передаточной функции (2.2) и моментов импульсного отклика цепи:

ОО

т0 = \h(t)dt = 1

о

(-_!)* 00

тк = -——  J tк  h(t)dt, к>0 (2.4),

к!

о

где h(t) - импульсный отклик цепи.

Для RC-цепи функция импульсного отклика имеет следующий вид:

h(t) =^k, ePi' (2.5).

i=l

Подставив (2.5) в (2.4), получим:

ч к

nij = X — (2.6),

i = I Р.У

I

где pi, к- - полюса и вычеты соответственно.

Из системы уравнений (2.6) вычисляются полюса, вычеты, импульсный отклик цепи (2.5) и приближенная передаточная функция вида:

(2-7).

1-1 s-Pi

В [5] также показано, что решение системы нелинейных уравнений (2.6) можно свести к нахождению всех корней полинома, коэффициенты которого вычисляются из системы

линейных уравнений.

В настоящее время разработан ряд методов, представляющих собой модификации AWE. В частности, преобразование переменных и методы нелинейного программирования с ограничениями используются для решения проблемы нестабильности полюсов [3]. Для улучшения точности расчета полюсов в области высоких частот используется метод разложения передаточной функции в ряд Тейлора в окрестности различных (в основном комплексных) частот (CFH, Complex Frequency Hopping) [3]. В [11] представлен усовершенствованный метод AWE, позволяющий рассчитывать схемы с нелинейными элементами, заданными кусочно-линейной моделью (PLAWE, Piecewise-Linear AWE). В работе [12] описан метод расчета переходного анализа схем с нелинейными элементами, заданными произвольной аналитической моделью (NOWE, NOnlinear circuit Waveform Evaluation).

3.Метод Элмора

Метод Элмора применяется для оценки задержек в ЯС-деревьях [6]. В соответствии с ним значение задержки сигнала в заданном узле цепи (задержки Элмора) вычисляется следующим образом:

V. = I Д-С (3.1),

) I

/ е Рф

где R - сопротивление t-й ветви схемы, принадлежащей пути P(j) от заданного узла j к

I

Корню дерева, С - общая емкость всех узлов, лежащих на пути от (-ой ветви к листьям

di

Дерева. В [7] показано, что этот подход эквивалентен методу AWE первого порядка.

4.Аппроксимация Паде с использованием метода Ланцоша

Аппроксимация Паде с использованием метода Ланцоша

°снована на вычислении экстремальных собственных значений матрицы (G + s  С) 1 из

выражения (1-4), что эквивалентно вычислению экстремальных значений полюсов Передаточной функции [8,9].

Пусть s0 - точка, в которой матрица (G + S  С)'1 несингулярна. Полагая s = s0 +8 в

(1.4), получим:

H(s0 + <5) = /т • (I - 5 • А)'1 • г (4.1),

где А = -(G + s0 • С)’ • С, г = (G + S0 • С)’1 Ь ,1 - единичная матрица.

Приближенное выражение для передаточной функции получается путем замены Годной матрицы А тридиагональной матрицей Ланцоша Г [8]:

H(s0 + 8) = Г  г е](1 - 8  ТУ‘ • е, (4.2),

где е, = [l,0,...0Y

После декомпозиции матрицы Т по ее собственным значениям Т = 5 Л - S '1 где ^ ~ diag (X! Х2 ... А? ) содержит собственные значения Т, выражение (4.2) примет

СЛедующую форму:

J-, 1Т г LI, V,

г; ' («j,

у=] 1 - о • Aj

где ц = ST -в,, v = S'1 -ех.

Поделив числитель и знаменатель (4.6) на Xj, можно видеть, что полюса

Приближенной передаточной функции равны обратным собственным значениям матрицы

^анцоша рj — —— . Вычеты рассчитываются следующим образом:

Xj

lT r-fl. V,

kj =----------------J=l.q, Xj Ф 0 (4.4).

Aj

v Тридиагональная матрица Ланцоша вычисляется по алгоритму, описанному в [9]. классический алгоритм Ланцоша имеет ряд существенных недостатков, связанных с ^Пибками округления и с потерей ортогональности векторов Ланцоша в процессе вычислений. *°этому на практике используют модификации алгоритма Ланцоша [8].

5.Испольэование модели четырехполюсника для формирования передаточной функции

Для формирования передаточной функции в области преобразований Лапласа каждый Роводник межсоединений представляется четырехполюсником [10]. Характеристическая J^Hua четырехполюсника, описывающего линию передачи с распределенными параметрами, вставляется следующим образом:

cosh

(5.1),

где Z = - волновое (характеристическое) сопротивление,

у = -JfR' + s  L') (G'+ s- С') - коэффициент распространения,

/- длина линии.

Л' и, Си С'являются распределенными паразитными параметрами - сопротивлением, индуктивностью, проводимостью и емкостью изоляции на единицу длины соотвественно. Значением проводимости обычно пренебрегают вследствие хороших изолирующих свойств. Результирующая характеристическая матрица для пути в цепи выражается в виде

произведения характеристических матриц сегментов А^э), принадлежащих этому пути:

Передаточная функция цепи вычисляется как передаточная функция четырехполюсника, нагруженного на эквивалентную емкость Сь

где /?5 - сумма сопротивлений драйвера и нагрузки.

Пользуясь передаточной функцией, можно вычислить выходное напряжение как функцию от входного напряжения:

Среди рассмотренных методов приближенного переходного анализа электрических цепей можно выделить метод AWE как наиболее изученный в практическом плане. Он позволяет вычислить приближенное аналитическое выражение для передаточной функции RC' цепи с точностью до требуемого порядка. Используя полученное выражение, можно оценить как задержки в цепях межсоединений СБИС, так и их чувствительность к вариациям параметров цепи. Вычислительная сложность данного метода невелика и зависит от порядка апроксимации передаточной функции. Метод работает особенно быстро для древовидных RC-цепей, т.к. в этом случае существенно упрощается вычисление моментов передаточной функции. Однако следует отметить, что в ряде случаев прямое применение данного метода может давать значительную погрешность апроксимации и даже приводить к неверному решению (положительным и комплексным значениям полюсов передаточной функции). Ряд способов повышения точности расчета с использованием AWE описан в [4]. Метод Элмора является частным случаем AWE. При общей корректности результата для большинства цепей его погрешность существенно больше по сравнению с результатами, полученными при использовании метода AWE второго порядка. Применение метода PVL частично решает проблемы AWE, но проблемы сходимости итерационного алгоритма, ошибки округления и неортогональности векторов Ланцоша в процесса выполнения итераций не позволяют утверждать о безусловном преимуществе данного метода перед AWE. Кроме того, анализ чувствительностей по методу Ланцоша имеет значительно большую вычислительную сложность. Метод расчета передаточной функции цепи с использованием матричных уравнений четырехполюсников свободен от перечисленных выше недостатков, однако чрезвычайно высокая вычислительная сложность ограничивает его применение цепями малой

Л

A<nJs)=Y[AJs)

U

(5.4).

Заключение

и средней размерности. Дальнейшие исследования и разработки в данном направлении связаны с улучшением точности и надежности описанных методов, а также поиском других подходов к решению поставленных проблем.

Литература

1. L.W.Nagel/SPICE2: A computer program to simulate semiconductor circuits// Technical Report ERL-M520, University of California, Berkeley, May 1975.

2. J.VIach, K.Singhal/Computer methods for circuit analysis and design//Van Nostrand Reinhold, New York, 1994,704 P.

3. M.Sriram, S.M.Kang/Physical design for multichip modules//Kluwer Academic Publishers, 1994, 197 P.

4. L.T.Pillage, R.A.Rohrer, C.Visweswariah/Electronic circuit and system simulation methods//McGraw-Hill, 1994, 392 P.

5. L.T.Pillage, R.A.Rohrer/Asymptotic waveform evaluation for timing analysis// IEEE Transactions on Computer-Aided Design, 1990, V.9, N.4, P.352-366.

6. S.S.Sapatnekar, S.M.Kang/Design automation for timing-driven layout synthesis//Kluwer Academic Publishers, 1993, 269 P.

7. J.-T.Kong,D.Overhauser/Digital timing macromodeling for VLSI design verification// Kluwer Academic Publishers, 1995, 265 P.

8. P.Feldmann, R.W.Freund/Efficient linear circuit analysis by Pade approximation via the Lanczos Process/Лп Proceeding of EuroDAC94, 1994, P.84-91.

9. C.Lanczos/An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operator//Joumal of Reseach of the National Bureau of Standards, 1950, V.45, P.255-282.

Ю. B.Wunder, G.Lehmann, K.D.Muller-Glaser/A new concept for accurate modeling of VLSI interconnections and its applications of electronic systems//In Proceeding of 33rd DAC, 1996, P. 119-124.

11. C.T.Dikmen, M.M.AIaybeyi, S.Topcu, A.Atalar, E.Sezer, M.A.Tan, R.A.Rohrer/Piecewise linear asymptotic waveform evaluation for transient simulation of electronic circuits//ln Proceeding International Symposium on Circuits and Systems, 1991, P.854-857.

12.0.0cali, M.A.Tan, A.Atalar/A new method for nonlinear circuit simulation in time domain: NOWE//IEEE Transactions on CAD, 1996, V.15, N.3, P.368-374.

УДК 658..512.2

Сергеев А.С.

Разработка программы проектирования топологии цепей БИС на основе алгоритма формирования сети соединений

В работах /1-3/ автором рассматривался подход к задаче трассировки, основанный на Использовании алгоритма формирования множества вариантов соединений (сети соединений) построения кратчайших связывающих деревьев цепей (алгоритм ФСТ), размещения цепей На коммутационном поле на основе выделения оптимальных клик графа пересечений, Реализации операции формирования сети соединений на параллельных вычислительных Системах, имеющих некоторое количество параллельно работающих обрабатывающих Устройств. Рассмотрим краткое описание программной реализации предлагаемого подхода, Позволяющего осуществить оптимальную разводку соединений (разводку с минимальным Числом пересечений) на коммутационном поле, имеющем дискретную структуру. Исходными Энными для работы программы является количество цепей, подлежащих разводке, далее для Ка*дой цепи вводятся количество выводов, их номера, начиная с 2, и координаты, при этом °сУЩествляется вывод на экран структуры коммутационного поля с расположенными