Экстремальные значения интеграла средней кривизны на множестве параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 2, С. 78-82

УДК 514.17

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ НА МНОЖЕСТВЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ С ЗАДАННЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ДИАМЕТРОМ1

Н. В. Рассказова

В работе найдены экстремальные значения интеграла средней кривизны на множестве прямых трехмерных параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром поверхности. Наибольшее его значение достигается на вырожденном параллелепипеде с соотношением длин ребер а : Ь : с = 0: 1: 1, наименьшее — на вырожденном параллелепипеде с соотношением длин ребер а : Ь : с = 0:0:1.

Ключевые слова: прямоугольный параллелепипед, внутренний диаметр, интеграл средней кривизны.

Интересной задачей выпуклой геометрии в трехмерном евклидовом пространстве является поиск экстремальных значений естественных функционалов на множестве выпуклых тел, рассматриваемых на подмножестве тел с заданным геодезическим диаметром поверхности тела. Однако вычисление геодезического диаметра выпуклой поверхности является весьма непростой задачей, далекой в настоящее время от своего полного решения. Поэтому целесообразно провести соответствующее исследование для тех семейств выпуклых тел, для которых соответствующая информация доступна. К таким семействам относится семейство трехмерных прямоугольных параллелепипедов, для которых геодезический диаметр поверхностей вычислен в работе [5].

Весьма естественными функционалами на множестве выпуклых тел в k-мерном евклидовом пространстве являются интегралы поперечных мер Минковского Wi, где i = 0,1,..., k (см., например, [4, п. 6.1.6]). Пусть A — выпуклое тело, т. е. замкнутое и выпуклое точечное множество, в трехмерном евклидовом пространстве R3. Ему можно сопоставить следующие интегралы поперечных мер Минковского: Wo(A) = V(A) — объем, Wi(A) = F (A)/3, W2(A) = M (A)/3, W3(A) = const = 4п/3, где F (A) — площадь поверхности, а M (A) — интеграл средней кривизны. Все эти величины естественно появляются в формуле Штейнера для объема е-отступления (внешнего параллельного тела) Ae [4, п. 6.1.8]:

4п

V (Ae) = V (A) + F (A)e + M (A)e2 + — е3 = Wo(A) + 3Wi(A)e + 3W2 (A)e2 + W3(A)e3.

3

Напомним значения интегралов поперечных мер Минковского для прямоугольного параллелепипеда P = ABCDA'B'C'D' в E3 с ребрами длины |AB| = a, |AD| = b, |AA'| = c, где 0 ^ a ^ b ^ c. Общеизвестные формулы для объема W0(P) = V (P) = abc и площади

© 2013 Рассказова Н. В.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Россий-

ской Федерации, соглашение № 8206, а также Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых

российских ученых и ведущих научных школ, № НШ-921.2012.1.

поверхности F(P) = 2(ab + ac + bc) = W1(P)/3 дополняются формулой W3(P) = 4п/3 и M(P) = n(a + b + c) = W2(P)/3 [3].

Для параллелепипеда P будем обозначать через d (P) поверхность этого параллелепипеда (его границу в естественной топологии трехмерного евклидова пространства). Пусть d(M, N) — геодезическое (внутреннее) расстояние между точками M £ д(P) и N £ д(P), т. е. минимум длин ломаных, лежащих в d(P) и соединяющих точки M и N. Через D(P) обозначим геодезический (внутренний, в другой терминологии) диаметр параллелепипеда P (точнее, его поверхности) — максимальное геодезическое (внутреннее) расстояние между парой точек на поверхности параллелепипеда. Отметим, что геодезическое расстояние на поверхности параллелепипеда обладает рядом интересных свойств, о которых можно узнать, например, из работ [1, 2].

Интересной задачей является нахождение экстремальных значений интегралов поперечных мер Минковского (исключая тривиальный случай константы W3 = 4п/3) для прямоугольного параллелепипеда P = ABC DA'B 'C 'D' с заданным геодезическим диаметром. Для удобства мы будем рассматривать также вырожденные параллелепипеды, что соответствует случаю a = 0.

Максимум площади поверхности был найден в [5] Ю. Г. Никоноровым иЮ. В. Ни-коноровой (минимум в данном случае, очевидно, равен 0 и достигается в точности на (вырожденном) параллелепипеде со свойством b = a = 0), он достигается на параллелепипеде с соотношением длин ребер a : b : c = 1 : 1 : \/2. В частности, для произвольных параллелепипедов выполняется соотношение ab + ac + bc ^ (D(P))2.

Произведенные автором численные расчеты для объема позволяют предположить, что максимальное значение объема достигается на параллелепипеде с таким же соотношением длин ребер a : b : c = 1:1 : \/2, как и в случае с площадью поверхности (минимум равен 0 и достигается в точности на вырожденных параллелепипедах).

В настоящей работе мы исследуем экстремальные значения интеграла средней кривизны. Основным результатом настоящей заметки является следующая

Теорема 1. Среди всех прямоугольных параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром наибольшее значение интеграла средней кривизны M (P) достигается в точности на параллелепипеде с соотношением длин ребер a : b : c = 0:1:1, а наименьшее значение — на параллелепипеде с соотношением длин ребер a : b : c = 0:0: 1. Таким образом, для произвольного прямоугольного параллелепипеда выполнено неравенство nD(P) ^ M(P) ^ n\/2D(P), где D(P) — геодезический диаметр, а M(P) — интеграл средней кривизны параллелепипеда P.

В дальнейшем нам понадобятся некоторые результаты работы [5], которые мы для удобства читателей процитируем ниже. В частности, в [5] была получена явная формула для расчета внутреннего диаметра поверхности произвольного прямоугольного параллелепипеда.

Предложение 1 [5, теорема 1]. Пусть D(P) — это геодезический диаметр параллелепипеда P со сторонами длины 0 < a ^ b ^ c. Тогда справедливы следующие утверждения:

(I) если (a, b, c) £ ME, то D(P) = ^(a + b)2 + c2;

(II) если (a, b, c) £ M \ ME и a2b2 ^ c2(b - a)(a + b + 2c), то

D(P) = \Jb2 + 3c2 + 2b(a + c) - 2c^(b + c)2 - 2a(c - b) -a2;

(III) если (a, b, c) £ M \ ME и a2b2 ^ c2(b - a)(a + b + 2c), то D(P) = l, где l —

единственный действительный корень уравнения

VI2 - (а + с)2 + VI2 - (Ь + с)2 + - (а + Ь + с)2 = с,

удовлетворяющий неравенству I ^ тах{Ь + с, у/(а + б)2 + с2 }. Здесь

М = {(а, 6, с) £ Ж3 : 0 < а < Ь < с},

МЕ = {(а, Ь, с) £ М : л/шах{0,а2 + 2аЬ - 2Ьс} +д/тах{0, Ь2 + 2аЬ - 2ас} ^ 2с - а - Ь}.

Отметим, что для вырожденного параллелепипеда Р (т. е. прямоугольника, поскольку а = 0) его поверхностью д (Р) естественно считать дважды накрытый прямоугольник Р, при этом его геодезический диаметр, очевидно, вычисляется по формуле

£(Р) = ^Ь2^2.

Нам понадобится еще один результат из [5].

Предложение 2 [5, лемма 2]. Геодезическое расстояние между точками А и С' (т. е. геодезическое расстояние между двумя противолежащими вершинами параллелепипеда Р) удовлетворяет равенству ^(А, С') = д/(а + Ь)2 + с2.

Теперь мы можем доказать основное утверждение настоящей работы.

< Доказательство теоремы 1. Мы рассматриваем фиксированное отличное от нуля значение диаметра ^(Р). Поэтому для всех параллелепипедов с таким диаметром обязательно выполнено неравенство с > 0.

Заметим, что для вырожденных параллелепипедов (а = 0) неравенство п^(Р) ^ М(Р) ^ п\/2^(Р) принимает вид п

Ь2

+ с2 ^ п(Ь + с) ^ п>/2>/Ь2 + с2. Справедливость последнего неравенства очевидна. Понятно также, что у Ь2 + с2 = Ь + с в точности при Ь = 0, Ь + с = + с2 — в точности при Ь = с. Таким образом, нам осталось

доказать неравенство п^(Р) < М(Р) < п\/2^(Р) для всех невырожденных параллелепипедов (а > 0).

Сначала займемся доказательством оценки сверху для интеграла средней кривизны М(Р). По предложению 2 геодезическое расстояние между двумя противолежащими вершинами определяется формулой л/(а + Ь)2 + с2. Следовательно, для произвольного прямоугольного параллелепипеда Р с длинами ребер 0 ^ а ^ Ь ^ с выполнено неравенство

Я

Далее, из неравенства

(£(Р))2 ^ (а + Ь)2 + с2 = 1(а + Ь + с)2 + 1(а + Ь - с)2 ^ 2 (а + Ь + с)2

следует -\/2^(Р) ^ а + Ь + с, что эквивалентно неравенству пу^^Р) ^ М(Р).

Определим теперь случаи, когда последнее неравенство обращается в равенство. Из предложений 1 и 2 следует, что это равенство не может быть выполнено при (а, Ь, с) £МЕ (см. (1)), поскольку в этом случае ^(Р) > л/(а + Ь)2 + с2. Поэтому мы можем считать, что (а, Ь, с) £ МЕ и ^(Р) = ^(а + Ь)2 + С2.

Понятно, что равенство л/2\/(а + Ь)2 + с2 = а + Ь+с эквивалентно равенству с = а+Ь. Осталось проверить, какие значения (а, Ь, с) £ МЕ удовлетворяют условию с = а + Ь.

Первое подкоренное выражение из (1) при с = а + Ь примет следующий вид:

а2 + 2аЬ - 2Ьс = (а + Ь)2 - 2Ьс - Ь2 = с2 - 2Ьс - Ь2 = (с - Ь)2 - 2Ь2 = а2 - 2Ь2.

Поскольку а2 — 2b2 ^ 0, то m1 := max{0, а2 + 2ab — 2bc} = 0. Аналогично второе подкоренное выражение в формуле (1) принимает вид b2 + 2ab — 2ac = b2 — 2а2. Нас интересует случай, когда b2 — 2а2 > 0, тогда m2 := max{0, b2 + 2ab — 2ac} = b2 — 2a2 (в противном случае неравенство в формуле (1) принимает вид 0 = Л/т1 + у7m2 ^ 2c — a — b = a + b, откуда a = b = c = 0, что мы не рассматриваем).

Подставив найденные выражения в формулу (1), получаем

д/b2 — 2a2 = + л/т2 ^ 2c — а — b = а + b.

Последнее неравенство выполнено только при а = 0 и b = c, что соответствует уже разобранному случаю вырожденных параллелепипедов. Таким образом, наибольшее значение интеграла средней кривизны M (P) достигается в точности на прямоугольных параллелепипедах с соотношением длин ребер a : b : c = 0:1:1.

Теперь перейдем к оценке снизу интеграла средней кривизны M(P). Нам требуется доказать неравенство

a + b + c>D

для всех невырожденных параллелепипедов. Мы исследуем все три различных выражения для геодезического диаметра параллелепипеда в соответствии с предложением 1.

Рассмотрим сначала случай (I) в предложении 1. Неравенство (3) в данном случае выглядит следующим образом:

a + b + c > л/

Очевидно, что a + b + c ^ \J(a + b)2 + c2, а равенство здесь выполняется лишь при a = b = 0, что соответствует случаю вырожденных параллелепипедов. Таким образом, неравенство (4) выполнено.

В случае (II) предложения 1 (при a2b2 ^ c2(b — а)(а + b + 2c)) следует доказать неравенство

a + b + c> \jb2 + 3c2 + 2b

Приведем цепочку эквивалентных неравенств:

4c2 ((b + c)2 — 2a(c — b) — a2) > 4c4 — 8ac3 + 4a3c + a4,

b2 + 2(a + c)b — ^a2 + + 4^) > 0.

Решив относительно b уравнение

b2 + 2(a + c)b — (a2 + ^ + 4^) =0,

получим

a2 a2

b = —2a — 2c--, b = —.

2c 2c

2

Теперь ясно, что неравенство (5) справедливо при b > (для 0 < a ^ b ^ c) и, следовательно, при b ^ a( > .

В случае (III) предложения 1 выполняется неравенство a2b2 ^ c2 (b — а)(а + b + 2c) (которое мы не будем использовать), а число l удовлетворяет уравнению

/l2 — (a + c)2 + /l2 — (b + c)2 + /2l2 — (a + b + c)2 = c.

Нам следует доказать неравенство

a + b + c > I.

Поскольку

c = Vl2 - (a + c)2 + Vl2 - (b + c)2 + V212 - (a + b + c)2 ^ V212 - (a + b + c)2,

то c2 ^ 212 -

(a + b + c)2 ^ 212 - c2 ^ 212 - l2 = l2,

причем равенство a+b+c = l (как нетрудно заметить) влечет равенства c = l и a = b = 0. Следовательно, мы доказали неравенство (6) для невырожденных параллелепипедов.

Таким образом, наименьшее значение интеграла средней кривизны M(P) достигается в точности на прямоугольных параллелепипедах с соотношением длин ребер a : b : c = 0:0:1. >

Литература

1. Вялый М. Н. Кратчайшие пути по поверхности параллелепипеда // Мат. просвещение. Сер. 3.— М.: МЦНМО, 2005.—Вып. 9.—C. 203-206.

2. Никоноров Ю. Г., Никонорова Ю. В. О внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда // Тр. Рубцовского индустр. ин-та.—2000.—Вып. 9.—C. 222-228.

3. Сантало Л. А. Интегральная геометрия и геометрические вероятности.—М.: Наука, 1983.—360 с.

4. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии.— М.: Наука, 1966.—416 с.

5. Nikonorov Yu. G., Nikonorova Yu. V. The intrinsic diameter of the surface of a parallelepiped // Discrete and Computational Geometry.—2008.—Vol. 40.—P. 504-527.

Статья поступила 2 декабря 2011 г.

Рассказова Наталья Владимировна Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова», старший преподаватель кафедры прикладной математики РОССИЯ, 658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6 E-mail: ras_na@mail.ru

EXTREMAL VALUES OF THE INTEGRAL OF THE MEAN CURVATURE ON THE SET OF PARALLELEPIPEDS WITH A GIVEN GEODESIC DIAMETER

Rasskazova N. V.

In the paper, extremal values of the mean curvature integral on set of parallelepipeds with a given geodesic diameter are obtained. The maximal (minimal) value of the integral of mean curvature is attained for a degenerate parallelepiped with relation 0:1:1 (0:0:1, respectively) for its edge lengths.

Key words: rectangular parallelepiped, intrinsic diameter, integral of average curvature.