Численное моделирование взаимодействия ударных и детонационных волн с частицами на микроуровне

МЕХАНИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 2. С. 172-192. УДК 533.6.011.72+541.126

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ И ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН С ЧАСТИЦАМИ НА МИКРОУРОВНЕ

И. А. Бедарев

Институт теоретической и прикладной механики им. С. Л. Христиановича СО РАН; Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет, Новосибирск, Россия bedarev@itam.nsc.ru

Разработана вычислительная технология для прямого моделирования взаимодействия ударных и детонационных волн с совокупностью частиц на микроуровне с учётом тепловой и скоростной релаксации частиц. Проведено моделирование прохождения ударных и детонационных волн через систему частиц при их различном взаимном расположении. Получены подробные ударно-волновые картины течения газа в окрестности частиц. Изучено влияние расположения частиц на их коэффициент сопротивления. Показано, что в случае расположения частиц перпендикулярно потоку режим обтекания оказывает незначительное влияние на коэффициент сопротивления, а в случае частиц, расположенных вдоль потока, их взаимное влияние сохраняется на большом расстоянии. Определена динамика теплообмена при прохождении ударной волны по частицам и выявлено влияние на динамику теплообмена взаимного расположения частиц. В расчётах взаимодействия детонационной волны с частицами обнаружена возможность срыва детонации при объёмных концентрациях частиц, близких к концентрациям, полученным при моделировании на макроуровне.

Ключевые слова: ударные волны, детонационные волны, скоростная и тепловая 'релаксация частиц, численное моделирование.

Введение

Работа посвящена проблемам физико-математического описания явлений в реагирующих гетерогенных средах и разработке методов изучения ударно-волновых, взрывных и детонационных явлений в смеси газов и реагирующих частиц. Построение математических моделей механики реагирующих/инертных гетерогенных сред требует точного представления о локальных характеристиках поля течения, возникающего при взаимодействии газовой фазы и мелких частиц дискретной фазы. При прохождении ударной или детонационной волны через облако частиц такие характеристики обтекания, как сопротивление частицы, динамика её теплообмена с окружающей средой и химических превращений, будут зависеть от того, является ли скорость обтекания до- или сверхзвуковой, т. е. от того, какой режим обтекания реализуется. Режим обтекания частиц, во-первых, будет зависеть от того, сформировался ли коллективный скачок перед облаком частиц или частицы обтекаются

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 17-08-00634_а).

индивидуально, а во-вторых, от того, находится ли частица в аэродинамической тени частиц-соседей. Поэтому актуальным является анализ влияния режима обтекания частиц на их сопротивление, тепловую и скоростную релаксацию в рамках моделей ламинарного и турбулентного течений газа. При этом целесообразно рассмотреть различное взаимное расположение частиц относительно набегающего потока. Использование такого подхода позволит уточнить интегральные эмпирические формулы для коэффициентов сопротивления и теплообмена, более адекватно определить температурные условия вокруг частицы для описания их воспламенения и горения. Детальные сведения об особенностях обтекания, скоростной и тепловой релаксации частиц позволят точнее предсказать динамику их воспламенения и горения.

Задача о взаимодействии ударных и детонационных волн с облаками инертных/реагирующих частиц в основном исследуется в приближении континуальных или дискретно-континуальных моделей. Множество работ посвящено детальному изучению взаимодействия сверхзвукового потока газа и твёрдых тел различной формы. Как правило, в этих работах упор делается на экспериментальном [1; 2] или расчётном [3-13] моделировании газодинамики обтекания неподвижных тел и на изучении эффектов аэродинамической интерференции при совместном обтекании различных систем твёрдых тел. В [1] проведены одни из первых экспериментов по обтеканию двух сфер с линией центров поперёк потока и определена форма головной ударной волны. В [3] был сформулирован качественный критерий существования коллективной волны перед совокупностью частиц в виде выполнения требования о смыкании дозвуковых зон перед ними. Были даны также некоторые оценки данного явления, основанные на численных данных А. Н. Минайлоса и др. в задаче об обтекании тел несферической формы. В вычислительной работе [4] решается задача о сверхзвуковом обтекании нескольких тел при их различном относительном положении. Взаимное влияние оценивается по величине коэффициента аэродинамического сопротивления. Найдены расстояния, при которых взаимное влияние становится незначительным. В работе [2] экспериментально, а в работах [5; 6] численно также были идентифицированы три различных режима обтекания двух цилиндров, оси которых перпендикулярны направлению потока. Выявлено течение с коллективной ударной волной, взаимодействие с маховским отражением ударных волн от плоскости симметрии между цилиндрами и взаимодействие с регулярным отражением. Показано, что смена режимов происходит при изменении расстояния между цилиндрами и числа Маха набегающего потока.

Интересным приложением задачи об аэродинамической интерференции является моделирование движения метеоритов в атмосфере [7-9; 11]. В этих работах рассматривается обтекание агломераций различных объектов и проводятся оценки аэродинамических сил, действующих на тела. Показаны условия для разлёта и коллимации тел. В работе [12] также в приложении к моделированию движения фрагментов метеорного тела в атмосфере Земли показаны возможности многоблочной вычислительной технологии для решения задач обтекания системы объектов. Как и в случае двух цилиндров, показаны различные режимы обтекания системы цилиндров с коллективной и индивидуальными ударными волнами и промежуточный режим с существенной интерференцией элементов.

Ещё одной проблемой, где также требуется детальное моделирование сверхзвукового обтекания подобных систем, являются задачи снижения сопротивления с помощью экранов и уменьшения воздействия ударных волн на объекты. Примером таких исследований служат работы [10; 13; 14]. В работе [13] проведены

расчёты обтекания решётки цилиндров, которая моделирует проницаемый экран. Выявлены два новых типа гистерезиса. Показано значительное влияние на коэффициент сопротивления цилиндра в решётке режима обтекания. В [10] изучена возможность ослабления ударно-волнового воздействия с помощью массива цилиндров. Детально разобрана волновая картина течения. Показано, что пористость, а не число Рейнольдса влияет на пиковое давление на торцевой стенке. Показано, что существует оптимальное значение пористости, при котором давление становится максимальным, но нет такого, чтобы свести его к минимуму. В [14] исследовано прохождение ударной волны через решётку клиньев и её ослабление. В этой работе с использованием двумерных кодов и экспериментальных методов было проанализировано, как геометрия клиньев и их совокупность влияют на эффективность гашения падающей ударной волны.

И наконец, ряд работ по детальному изучению взаимодействия ударных волн и сфер связан с проблемой моделирования прохождения ударных и детонационных волн через облако частиц. Интерес к этой области обусловлен вопросами взрыво-и пожаробезопасности. В работе [15] экспериментально исследуется прохождение ударной волны через систему неподвижных тел. Здесь представлены результаты исследования динамики и физических условий формирования коллективного головного скачка перед сферами с линией центров, расположенной поперёк сверхзвукового потока за проходящей ударной волной. В экспериментах зарегистрированы два типа ударно-волновых структур с необходимостью предшествующих установлению общего скачка и соответствующих регулярному и маховскому отражению головных скачков каждой сферы друг от друга. На основании локальной теории интерференции газодинамических разрывов определены количественные критерии существования этих режимов и перехода их в общий головной скачок. Полученные критерии подтверждены в серии экспериментов на переходных режимах.

В [16] экспериментально и теоретически исследовано распространение ударных волн в облаке частиц. В расчётах использована континуально-дискретная модель течения ламинарной смеси газа и частиц. Получен эффект качественной перестройки сверхзвукового потока за ударной волной в облаке частиц в диапазоне объёмных концентраций дисперсной фазы 0.1-3 %.

В [17] проведено 2В-моделирование взаимодействия между ударной волной и плотным облаком дисперсной фазы. Частицы считаются неподвижными. Рассмотрены различные варианты распределения частиц в облаке. Показана важность многомерных эффектов и необходимость проверки результатов в 3В-постановке. Показано существование проходящей, отражённой ударной волны (УВ) и веера волн разряжения в облаке частиц. Контактный разрыв образуется на задней кромке облака, когда ударная волна выходит из облака. Этот разрыв имеет конечную ширину и не является контактным разрывом в обычном смысле. 2В-моделирование демонстрирует сильные нестационарные эффекты. Показано, что внутри облака частиц и за ним незамкнутые напряжения Рейнольдса в уравнении импульса сравнимы со статическим давлением. Кинетическая энергия турбулентности в этой области равна по величине кинетической энергии потока. Показано, что при построении точечных осреднённых (континуальных) моделей нельзя пренебрегать в уравнениях незамкнутым членом рейнольдсовых напряжений при моделировании плотных состояний дискретной фазы. Без учёта этих членов можно правильно описать положение проходящей и отражённой ударных волн, но градиент давления внутри и на выходе из облака частиц рассчитывается неправильно.

В [18] было выполнено параметрическое исследование влияния на подъёмную силу проходящей ударной волны при её взаимодействии со сферой, расположенной над пластиной. Источником подъёмной силы является вторичная отражённая ударная волна, которая отражается от плоской пластины и падает на нижнюю часть сферы. Данное исследование было проведено в невязкой и вязкой постановке. В каждом случае было исследовано соотношение между расстоянием от пластины до сферы и её диаметра. При приближении сферы к пластине коэффициент подъёмной силы увеличивается. Для невязкого случая было изучено влияние числа Маха падающей ударной волны: уменьшение числа Маха увеличивает коэффициент подъёмной силы. В целом учёт вязкости приводит к более высокому коэффициенту подъёмной силы.

В [19] представлено численное моделирование распространения ударной волны в воздухе над частицей и массивом частиц алюминия для чисел Маха до 10. Особенностью математической модели и численного алгоритма является то, что проводился сквозной расчёт в газовой фазе и внутри частиц. Вычисляется нестационарный коэффициент лобового сопротивления в зависимости от времени и показано, что максимальный коэффициент сопротивления уменьшается с увеличением числа Маха. Представлены результаты для массива частиц. Показано, что по мере прохождения ударной волны она усиливается на каждой последующей частичке и возрастает максимум коэффициента сопротивления. Приведён нормализованный коэффициент сопротивления для последней частицы в зависимости от расстояния между частицами для двух чисел Маха. Показано существование расстояния между частицами, где величина нормализованного коэффициента сопротивления является максимальной. В [20] этот подход развит для моделирования деформации частиц.

Детальному анализу газодинамики процесса с учётом скоростной релаксации частиц посвящено не слишком много работ. В [21] проведены экспериментальные исследования и феноменологический анализ проблемы взаимодействия ударной волны с группой частиц в горизонтальной цилиндрической ударной трубе в среде гелия или азота. Исследование позволило выявить следующие результаты. Отражение ударной волны от частиц приводит к увеличению давления. Интенсивность отражённой ударной волны увеличивается с ростом загрузки и уменьшением размера частиц. Интенсивность ударной волны затухает по мере распространения через облако частиц. Чем больше загрузка частиц и меньше их диаметр, тем сильнее затухает ударная волна. Процесс ускорения частиц можно разделить на три этапа. Гелий и азот играют совершенно противоположные роли в ускорении из-за различных сил, действующих на частицы на различных этапах взаимодействия.

В [22] в двумерной постановке проведено моделирование воздействия проходящей ударной волны на совокупность частиц. Основное внимание в этой работе уделено сравнению данных, полученных в различных столкновительных моделях течения газовзвесей. Показано, что влияние газодинамических сил на столкновение крупных (диаметром 1 мм) частиц незначительно по сравнению с влиянием сил столкновения.

Интересный многомасштабный подход для вычисления динамики многофазных потоков под действием ударных волн разработан в [23]. Исследована эволюция облака частиц, показано влияние на движение облака газодинамического взаимодействия частиц. Данные о силах, действующих на частицы в облаке, полученные путём прямого моделирования с помощью невязкого подхода, переданы искусственной нейронной сети (ИНС). Обученная ИНС используется для моделирования по-

ведения на макромасштабе потока запылённого газа под воздействием ударной волны. Указанная модель позволяет получить данные о движении частиц в облаке и описать другие явления в согласии с экспериментальными наблюдениями.

Настоящая работа является продолжением исследований, выполненных в работах [24-26]. В работе [24] для выявления типов взаимодействия отошедших ударных волн перед телами численно решена задача о прохождении ударной волны через массив частиц при их различном взаимном расположении. Численно показано, что в зависимости от скорости сверхзвукового потока за ударной волной и расстояния между сферами могут быть реализованы различные режимы обтекания частиц. До некоторого критического расстояния перед телами может образоваться коллективная ударная волна. При увеличении расстояния происходит переход от коллективного обтекания частиц к индивидуальному обтеканию, вначале с маховским, а затем с регулярным взаимодействием между ударными волнами. В [24] также численно показано, что в случае близкого расположения тел при прохождении ударной волны режим обтекания последовательно переходит от регулярного отражения к маховскому взаимодействию ударных волн, а затем к коллективной ударной волне. На основе расчётных данных построена карта режимов обтекания системы поперечных цилиндров и системы сфер в зависимости от числа Маха и расстояния между телами, описывающая переходы от одного типа течения к другому. В [25] проведено численное моделирование взаимодействия ударной волны с системой неподвижных или одиночных релаксирующих частиц. Описаны режимы обтекания частиц набегающим потоком газа, проведён анализ влияния начальных параметров изучаемого явления на картину течения. Рассчитаны зависимости коэффициента сопротивления частиц от числа Маха за ударной волной при фиксированном числе Рейнольдса. Определена динамика теплообмена для частиц различного размера (10 мкм + 1 мм) и установлены закономерности тепловой релаксации при прохождении ударной волны по частицам. Выполнены оценки времени тепловой и скоростной релаксации частиц в зависимости от числа Рейнольдса и проведено сравнение результатов расчётов времени релаксации с соответствующими эмпирическими зависимостями. Показано, что при поперечном расположении частиц режим обтекания слабо влияет на коэффициент сопротивления, а при продольном расположении взаимное влияние частиц сохраняется вплоть до 20 калибров, что соответствует объёмной концентрации т2 = 6 • 10-5. Сделан вывод о необходимости учёта движения массива частиц под воздействием ударной волны для выявления предельных положений их взаимного влияния. В работе [26] выполнено численное моделирование взаимодействия ударной волны с системой релаксирующих по скоростям частиц. Получена подробная волновая картина нестационарного взаимодействия проходящей ударной волны с движущимися частицами. Выполнена верификация вычислительной технологии по экспериментальным данным о динамике частиц за ударной волной. Показано, что приближённая модель расчёта скоростной релаксации плохо работает в случае взаимного влияния частиц, когда одни частицы находятся в аэродинамической тени других частиц. Проведено сравнение данных, полученных в двумерном моделировании динамики частиц под воздействием ударной волны, с расчётом по приближённой модели с использованием обыкновенного дифференциального уравнения для скорости с коэффициентом сопротивления, полученным с помощью корреляции Хендерсона, — модель одиночной частицы. Показано, что скорость одиночной частицы хорошо предсказывается в приближённом расчёте. Существенные отличия наблюдаются в динамике массива частиц. Даже на начальном этапе взаимодействия до соударения скорость частиц меньше, чем скорость одиночной частицы. Динамика частицы

в рассмотренных условиях определяется прежде всего коэффициентом сопротивления частиц. Показано, что значения коэффициентов сопротивления для частиц в аэродинамической тени, начиная с момента времени 10-4 с, существенно ниже приближённого значения. Это означает, что модель одиночной частицы корректна при описании движения лишь действительно одиночной частиц, т. е. когда в её окрестности отсутствуют другие частицы. При приближении к ней других частиц, т. е. при росте взаимного влияния, необходимо внесение в корреляционные формулы для коэффициента сопротивления поправок, учитывающих влияние объёмной концентрации частиц.

Целью работы было численное изучение количественных характеристик взаимодействия проходящих ударных и детонационных волн с системой микрочастиц для определения соотношения между временами тепловой и скоростной релаксации частиц, а также динамики гашения и реинициирования детонации при взаимодействии с инертными частицами.

1. Математическая модель и её численная реализация

В рамках пакета компьютерного газодинамического анализа ANSYS Fluent с применением решателя 6DOF была создана вычислительная технология прямого численного моделирования скоростной и тепловой динамики совокупности нескольких частиц. В качестве математической модели для описания течения газа в окрестности этой совокупности частиц использовались осреднённые по Фавру нестационарные уравнения Навье — Стокса, дополненные SST-модификацией fc-w-модели турбулентности и уравнением состояния идеального газа. Для учёта столкновений между частицами использовалась модель их упругого взаимодействия. Для моделирования теплообмена между газом и частицами решалась сопряжённая задача теплопроводности. При моделировании детонационных волн для описания химических превращений использовалась приведённая кинетическая схема, верифицированная в работе [27]. Расчёты выполнялись в плоской и осесимметричной постановке. Для аппроксимации по времени использовалась неявная схема второго порядка, а для аппроксимации невязких потоков по пространственной переменной — схема расщепления AUSM второго порядка точности. В расчётах применялась подвижная четырёхугольная сетка, которая сгущалась к поверхности тела и динамически адаптировалась по градиенту плотности к газодинамическим особенностям течения (ударным волнам, контактным разрывам, волнам разрежения). В окрестности частиц, движущихся в газовой среде под действием распространяющейся ударной волны, сетка перемещалась вместе с частицами по мере их движения в потоке газа, возникающем под воздействием ударной волны. При построении сетки контролировался параметр на поверхности частицы, который во всех расчётах не превышал единицы. На рис. 1 приведён пример такой расчётной сетки, адаптированной в процессе решения. На рисунке видно, как расчётная сетка подстраивается к особенностям течения — к проходящей ударной волне, головным и висящим ударным волнам, возникающим в течении в окрестности системы двух микротел.

2. Приближённые оценки времён скоростной и тепловой релаксации

На начальном этапе исследования проведены оценки соотношения времён скоростной и тепловой релаксации для одиночных частиц при взаимодействии с ударными и детонационными волнами. Использовалась модель, включающая два обык-

Рис. 1. Пример динамически адаптируемой расчётной сетки новенных дифференциальных уравнения для скорости и температуры частицы:

(Шр = 3 Ср рд 4 ррйр

(ид - ир) \ид - ир\

4ТР 41

= 6

МиЛд

ррСрв4р

(Тд - Тр) .

В приближённой модели для вычисления коэффициента сопротивления Ср применялась аппроксимация Хендерсона, а для числа Нуссельта — эмпирическая зависимость от чисел Прандтля и Рейнольдса. Если преобразовать уравнения (1), (2) к виду

где

бПр

4

Ти =

ид - ир

4Тр

4г

Рр4р

Тт =

ТТ

Тт '

1 ррС-рв4,

6 МиЛд

3 СРрд \ид - ир\ ^

то можно оценить соотношение между временами скоростной и тепловой релаксации по следующей зависимости:

, Ти 1 ¡Ни (Яв, Рг) Срд к = — ~ —

Тт 3 /ав

На рис. 2 изображены поля К в зависимости от чисел Рейнольдса и Маха для частиц алюминия (а) и никеля (б) в воздухе. Оценки показывают, что для алюминиевых частиц практически во всей области время тепловой релаксации превышает время скоростной релаксации. В случае никелевых частиц при низких значениях чисел Маха и Рейнольдса существует область, где время скоростной релаксации превышает время тепловой релаксации.

Рис. 2. Соотношение между временем скоростной и тепловой релаксации в зависимости от чисел Рейнольдса и Маха для частиц алюминия

Более точные оценки можно получить, если численно решить задачу Коши для уравнений (1), (2). В табл. 1, 2 и на рис. 3 приведены зависимости времён релаксации от диаметра для частиц алюминия и никеля при их взаимодействии с проходящей по воздуху ударной волной с числом Маха Msw = 3 (число Маха потока газа за

и

ударной волной Мх = 1.58). Из таблиц и графиков видно, что, действительно, для алюминиевых частиц в данных условиях только в случае диаметра 1 мкм времена скоростной и тепловой релаксации практически равны, а для больших диаметров время тепловой релаксации превышает время скоростной релаксации. Таким образом, основной прогрев частиц будет происходить на дозвуковом участке обтекания частицы и после окончания этапа скоростной релаксации. Это говорит о том, что для задач с горением частиц, в которых воспламенение происходит в конце этапа тепловой релаксации, в континуальном приближении в качестве характерной температуры окружающего газа нужно использовать статическую температуру газа за проходящей ударной волной, а не температуру за ударной волной, образующейся перед частицей, или полную температуру газа. Для никелевых частиц, которые обладают низкой теплоёмкостью, время скоростной релаксации превышает время тепловой релаксации в диапазоне 1^100 мкм. Можно сделать вывод, что для каждого сорта частиц необходимо проводить приближённые расчёты для оценки соотношений между характерными временами.

Таблица 1 Зависимость времён релаксации от диаметра для частиц алюминия при Ывш' = 3

Таблица 2 Зависимость времён релаксации от диаметра для частиц никеля при Ывш' = 3

й, мкм Ти ТТ Ти /ТТ

1 2.08 • 10-5 1.85 • 10-5 1.12

10 1.12 • 10-3 1.33 • 10-3 0.84

102 4.57 • 10-2 1.08 • 10-1 0.42

103 1.21 9.86 0.12

й, мкм Ти ТТ Ти /тт

1 6.55 • 10-5 1.99 • 10-5 3.29

10 3.68 • 10-3 1.15 • 10-3 3.19

102 1.49 • 10-1 7.75 • 10-2 1.93

103 3.99 6.43 0.62

т, э а б

1 Ю 102 с1, шкш Ю3 1 10 102 ¿/, шкш 103

Рис. 3. Зависимость времён релаксации от диаметра для частиц алюминия

при Ызш=3

Также проведены оценки соотношения времён скоростной и тепловой релаксации для частиц различного диаметра в потоке за детонационной волной в стехио-метрической водородовоздушной смеси. Выполнены расчёты для частиц глинозёма (А12Оз), песка (ЯЮ2) и карбида вольфрама (WC) диаметром в диапазоне от 1 мкм до 1 мм. Такой сорт частиц актуален для исследования проблем ослабления и подавления детонации инертными частицами. Учтены теплофизические свойства продуктов детонации и изменение теплоёмкости частиц в зависимости от температуры. В табл. 3 и на рис. 4, а показаны результаты расчётов для частиц глинозёма. Видно, что для частиц глинозёма и песка, обладающих сравнимой плотностью и близкой теплоёмкостью (поэтому представлены результаты только для глинозёма), время скоростной релаксации несколько превышает время тепловой релаксации (для частиц размером 1 мкм примерно в 1.5 раза, для случая 100 мкм времена практически сравниваются). Для частиц карбида вольфрама (табл. 4 и рис. 4, б), обладающих высокой плотностью и меньшей теплоёмкостью, во всём диапазоне диаметров на-

блюдается превышение времени скоростной релаксации по сравнению со временем тепловой релаксации примерно на порядок с тенденцией некоторого снижения этой разницы при увеличении диаметра. Проведённые оценки позволяют сделать вывод о том, что при взаимодействии с детонационной волной частицы крупнее 100 мкм могут считаться неподвижными и изотермическими, так как времена скоростной и тепловой релаксации более чем на порядок превышают газодинамическое время взаимодействия с детонационной волной.

Таблица 3 Зависимость времён релаксации от диаметра для частиц глинозёма (А12 Оз) при релаксации за детонационной волной

Таблица 4 Зависимость времён релаксации от диаметра для частиц карбида вольфрама (WC) при релаксации за детонационной волной

мкм Ти ТТ Ти /тт

1 1.93 • 10-5 1.24 • 10-5 1.55

10 1.23 • 10-3 9.29 • 10-4 1.33

102 6.67 • 10-2 6.75 • 10-2 0.99

103 2.48 5.61 0.44

мкм Ти ТТ Ти /Тт

1 7.63 • 10-5 8.02 • 10-6 9.51

10 4.87 • 10-3 4.30 • 10-4 11.34

102 2.64 • 10-1 2.10 • 10-2 12.53

103 9.80 1.26 7.75

10"6 Ю-6

1 Ю Ю2 щкш Ю3 1 Ю 102 с1, шкш юз

Рис. 4. Зависимость времён релаксации от диаметра для частиц глинозёма (а) и карбида вольфрама (б) в потоке за детонационной волной

3. Прямое моделирование скоростной и тепловой релаксации частиц за ударными волнами

3.1. Верификация вычислительной технологии по экспериментальным данным

В условиях эксперимента [28] исследован процесс взаимодействия проходящей ударной волны с системой незакреплённых частиц, которые движутся под воздействием ударной волны. Моделируется движение двух и трёх сферических частиц диаметром 5 мм с учётом газодинамических сил и проводится сравнение с экспериментальными данными. Ударная волна распространялась в воздухе слева направо с числом Маха М^ = 3. Перед ударной волной газ находился в нормальных условиях. Задача решалась в осесимметричной постановке. На рис. 5 представлена динамика двух частиц при прохождении ударной волны. Здесь приведены экспериментальные теневые снимки [28] и расчётные поля плотности в различные моменты времени. Данные, представленные на этом рисунке, позволяют проследить за изменением газодинамической картины обтекания частиц по мере продвижения ударной волны и сближения частиц. Видно, что вначале (£ = 2.3 • 10-5 с) перед первой и второй частицами образуется головной скачок уплотнения, что свидетельствует о

сверхзвуковом режиме их обтекания. Однако по мере развития дозвукового следа за первой сферой в моменты времени % = 5.3 • 10-5 и 8.3 • 10-5 с ударная волна перед второй сферой начинает разрушаться с образованием хвостового скачка и А-структуры. В дальнейшем из-за большей скорости первой частицы сферы начинают сближаться, и вторая частица оказывается целиком в дозвуковом следе первой частицы. Это обусловлено большей силой сопротивления, действующей на первую частицу. Обтекание второй частицы происходит в дозвуковом режиме с меньшей силой сопротивления (% = 17.3 • 10-5 и % = 36.3 • 10-5 с).

Гф

Головная

Головная волна

Хвост. волна скашок

м = 1.4 и=7 70м/Ф1 Т=770К

- Хвост. 1 скачок *

а

Пр оходящая Ударная Волна МБ=3

Интер.ЗОмкс

Тройная точка

\

Гол. волна

Хвост, ска чок

Тройная точка

Локальный

сверхзв.

переход

8

Локальный

сверхзв.

переход

Г •

12

I = 2.3Е-05 с

Ф <Ё

^^ЗЕ-05 (

I = 8.3Е-05 с

%

I

Рис. 5. Сравнение экспериментальных полей течения

в различные моменты времени

На рис. 6, а приведено сравнение расчётных и экспериментальных данных по изменению расстояния между двумя сферами, дистанция между центрами которых в начальный момент времени равна 1.56й и 3.2й (й — диаметр частицы). На этом рисунке видны моменты соударения частиц. Можно отметить, что в эксперименте для случая расстояния между центрами частиц 1.56й при их столкновении наблюдалась, по-видимому, их деформация, поскольку центры частиц сближались на расстояние меньше единицы. В эксперименте использовались полые сферы, деформация которых вполне предсказуема. В данном расчёте соударение считалось

абсолютно упругим, поэтому дальнейшая динамика частиц в расчёте и эксперименте заметно отличается. Этот факт (диссипация энергии) требует дальнейшего исследования. Также исследована динамика трёх частиц. Сравнение расчётных и экспериментальных картин показывает неплохое согласование данных по динамике трёх частиц до соударения первых двух. Убедиться в этом позволяют экспериментальные и расчётные траекторные характеристики частиц. На рис. 6, б представлены изменения расстояний между тремя сферами в зависимости от времени при их взаимодействии с ударной волной. В начальный момент сферы расположены на одинаковом расстоянии (3й) друг от друга. Здесь также можно отметить деформацию сфер в эксперименте. Расчёт позволяет проследить динамику частиц на большем временном промежутке, чем эксперимент. В случае взаимодействия трёх частиц наблюдается ситуация, когда все три частицы сходятся в одной точке в момент времени 1^1.5 мс, что можно трактовать как предварительную фокусировку дисперсной фазы. Первая и вторая частицы передают свой импульс третьей, которая приобретает большое ускорение и «убегает» от других частиц. Первая и вторая частицы в дальнейшем распространяются совместно, несмотря на множественные столкновения, происходящие между ними. Это явление можно назвать «слиянием». Вторая частица находится в аэродинамической тени первой, поэтому её коэффициент сопротивления меньше чем у первой, что и объясняет наблюдаемый эффект «слияния». В целом с учётом допущений расчётной модели сопоставление расчётных и экспериментальных данных показывает их удовлетворительное согласование.

Рис. 6. Изменение расстояния между частицами в зависимости от времени. Для двух частиц (а), отстоящих на 1.56й (1, 3) и 3.2й (2, 4), и для трёх частиц (б), отстоящих на 3й, расстояние между первой и второй (1, 3) и второй и третьей (2, 4). 1, 2 — эксперимент, 3, 4 — расчёт

3.2. Влияние режима обтекания на сопротивление частицы

Определим влияние взаимного расположения частиц на коэффициент их сопротивления. Снова рассмотрим нестационарную задачу о падении ударной волны с числом Маха MsW = 3 на систему частиц, расположенных перпендикулярно фронту волны. Задача решалась в плоской постановке. Взаимодействие ударной волны с частицами в различные моменты времени показано на рис. 7. Приведены поля чисел Маха и изолинии давления. Шаг «решётки» А = 1/й = 5 (где I и й — расстояние между частицами и их диаметр соответственно). Верхняя и нижняя граница области являются линиями симметрии. Полученная волновая картина взаимодей-

ствия показывает, что в случае близкого расположения тел режим течения последовательно переходит от регулярного взаимодействия ударных волн (рис. 7, в) к маховскому (рис. 7, г), а затем коллективному обтеканию тел (рис. 7, е).

Рис. 7. Поля чисел Маха и изолинии давления в различные моменты времени при М^^ = 3

и Л = 5

На рис. 8, а показана зависимость коэффициента сопротивления частицы от времени при режимах коллективного при Л = 5 (кривая 1) и индивидуального при Л = 20 (кривая 2) обтекания. Видно, что режим обтекания частиц оказывает незначительное влияние на коэффициент сопротивления. В случае режима коллективного обтекания в диапазоне 1 мкс < Ь <2 мкс коэффициент сопротивления уменьшается, что обусловлено приходом отражённой от оси симметрии ударной волны в зону за частицей и соответствующим повышением давления в этой зоне. Более существенное изменение сопротивления частицы имеет место в том случае, если одна частица расположена в тени другой частицы. Это подтверждается рис. 8, б, на котором приведены коэффициенты сопротивления частиц, полученные в условиях эксперимента [28]. На рисунке показаны коэффициенты сопротивления для первой (кривая 1), второй (кривая 2) и третьей (кривая 3) частиц в прямом расчёте в сравнении с коэффициентом сопротивления, вычисленным по аппроксимации Хендер-сона в приближённом расчёте, т. е. в модели одиночной частицы (кривая 4). Можно видеть, что значения коэффициентов сопротивления для второй и третьей частиц начиная с момента времени 10-4 с существенно ниже приближённого значения. Это означает, что модель одиночной частицы корректна при описании движения лишь действительно одиночной частицы, т. е. когда в её окрестности отсутствуют другие. При приближении к ней других частиц, т. е. при росте взаимного влияния, необходимо внесение в корреляционные формулы для коэффициента сопротивления поправок, учитывающих влияние объёмной концентрации частиц.

Рис. 8. Зависимость коэффициента сопротивления частицы от времени 3.3. Тепловая релаксация частиц в рамках сопряжённого подхода

Решение данной задачи заключается в определении температуры частиц, находящихся под действием высокотемпературного газа, нагретого проходящей ударной волной. Выполнены расчёты сопряжённой задачи обтекания и теплообмена алюминиевых частиц различного размера (10 мкм 1 мм) для определения динамики тепловой релаксации частиц в зависимости от числа Рейнольдса. Ударная волна распространялась с числом Маха Msw = 3. Параметры за ударной волной имели следующие значения: и 1=771 м/с, Т1=803 К.

На рис. 9 показаны поля температуры в различные моменты времени для двух частиц диаметром 100 мкм при их расположении вдоль потока на расстоянии друг от друга, равном 200 мкм. В момент времени 0.05 мс при прохождении ударной волны через частицы можно видеть образование ударных волн перед частицами с температурой около 1100 К за ними. При дальнейшем развитии течения видно, что температура первой частицы всегда превышает температуру второй. Это объясняется изменением волновой картины обтекания второй частицы. В дозвуковом следе за первой частицей не образуется ударная волна перед второй частицей, что приводит к уменьшению параметров торможения и соответственно температуры газа. При увеличении расстояния между частицами различие их температур исчезает, что обусловлено режимом индивидуального обтекания. Следует отметить, что в процессе установления теплового равновесия между газом и частицами разница температур между самой горячей и самой холодной точками частицы не превышает десяти градусов.

4. Моделирование взаимодействия детонационных волн с частицами на микроуровне

Выполнено моделирование прохождения детонационной волны, распространяющейся по водородовоздушной смеси, через решётку неподвижных частиц диаметром 1 мм. Проведены расчёты для трёх, пяти и семи частиц, расположенных в шахматном порядке, при различном относительном расстоянии между частицами. В начальный момент времени на входе в расчётную область задавался профиль плоской детонации Чепмена — Жуге.

Анализ ударно-волновых конфигураций показал, что в зависимости от поперечного расстояния между частицами в результате формирования скачков перед частицами в потоке за детонационной волной могут возникнуть различные режимы взаимодействия ударных волн. При малых расстояниях — реализуется коллективная конфигурация ударных волн, которая с увеличением расстояния переходит

Рис. 9. Поля температуры в различные моменты времени

сначала в маховское, а затем в регулярное взаимодействие. На рис. 10 показано поле давления при взаимодействии детонационной волны с тремя частицами при А = 5 в различные моменты времени. Такое расстояние между частицами соответствует объёмной концентрации порядка 10-2. Напомним, что верхняя и нижняя границы расчётной области являются линиями симметрии.

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 х Рис. 10. Поле давления при взаимодействии детонационной волны с тремя частицами при Л = 5

На этом рисунке можно наблюдать формирование коллективной ударной волны перед частицами. В процессе формирования коллективная ударная волна проходит стадию регулярного (время 14 мкс) и маховского (время 25 мкс) взаимодействия. Частицы являются источником возмущений для плоского фронта детонации. В момент времени 25 мкс наблюдается превращение плоской детонационной волны в подобие ячеистой. Тенденции к срыву детонации для данного случая не наблюдается.

При уменьшении расстояния между частицами до А = 3 (соответствует объёмной концентрации порядка 10-1) и увеличении длины «облака» до семи частиц наблюдается разделение фронта детонационной волны на ударную волну и волну горения. Разделение можно наблюдать в момент времени 18 мкс на рис. 11, на котором показаны поля температуры в различные моменты времени. Следует отметить, что при моделировании взаимодействия детонационной волны с инертными частицами с использованием континуального подхода на макроуровне срыв детонации наблюдался именно при такой объёмной концентрации частиц [28]. В дальнейшем волна горения догоняет ударную волну и происходит реинициирование детонации. При увеличении длины облака возможен полный срыв детонации без реиницииро-вания последней.

Рис. 11. Поле температур при взаимодействии детонационной волны с семью частицами

при Л = 3

5. Заключение

В работе выполнены оценки соотношения между временами тепловой и скоростной релаксации частиц за ударными и детонационными волнами, которые позволяют высказать предварительные суждения о возможности применения тех или иных моделей механики гетерогенных сред для расчётов таких течений. В рамках пакета ANSYS Fluent разработана вычислительная технология для прямого моделирования взаимодействия ударных и детонационных волн с совокупностью частиц на микроуровне с учётом тепловой и скоростной релаксации частиц. Проведены расчёты прохождения ударных и детонационных волн через систему частиц при их

различном взаимном расположении. Получены подробные ударно-волновые картины течения газа в окрестности частиц. Изучено влияние расположения частиц на их коэффициент сопротивления. Показано, что в случае расположенния частиц перпендикулярно потоку режим обтекания оказывает незначительное влияние на коэффициент сопротивления, а в случае частиц, расположенных вдоль потока, их взаимное влияние сохраняется на большом расстоянии. Определена динамика теплообмена при прохождении ударной волны по частицам и выявлено влияние на динамику теплообмена их взаимного расположения. В расчётах взаимодействия с детонационными волнами обнаружена возможность срыва детонации при объёмных концентрациях частиц, близких к концентрациям, полученным при моделировании на макроуровне.

Автор выражает благодарность Александру Владимировичу Фёдорову за полезные обсуждения и замечания, сделанные при выполнении данной работы.

Список литературы

1. Кузнецов, О. М. Сверхзвуковое обтекание двух сфер с линией центров поперёк потока / О. М. Кузнецов, В. П. Стулов // Аэродинамика входа тел в атмосферы планет / под ред. Г. Ф.Теленина. — М. : Изд-во МГУ, 1983. — C. 12-16.

2. Лягушин, Е. Е. Экспериментальное исследование взаимодействия ударных волн при обтекании двух цилиндров / Е. Е. Лягушин, В. П. Стулов, А.Ю.Юшков // Исследование газодинамики и теплообмена сложных течений однородных и многофазных сред / под ред. В. П. Стулова. — М. : МГУ, 1990. — С. 26-29.

3. Благосклонов, В. И. О взаимодействии гиперзвуковых неоднофазных течений / В. И. Благосклонов, В.М.Кузнецов, А. Н. Минайлос, А. Л. Стасенко, В. Ф. Чеховский // Приклад. механика и тех. физика. — 1979. — № 5. — С. 59-67.

4. Андреев, А. А. О сверхзвуковом пространственном обтекании затупленных тел с учётом интерференции / А. А. Андреев, А. С. Холодов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1989. — Т. 29, № 1. — С. 142-147.

5. Дубровина, И. А. Определение наибольшего расстояния аэродинамического взаимодействия пары сфер и цилиндров в сверхзвуковом потоке / И. А. Дубровина,

B. П. Стулов // Вестн. МГУ. Математика и Механика. — 1989. — № 5. — С. 46-49.

6. Ждан, И. А. Аэродинамическое взаимодействие двух тел в сверхзвуковом потоке / И. А. Ждан, В. П. Стулов, П. В. Стулов // Докл. Акад. наук. — 2004. — Т. 396, № 2. —

C. 191-193.

7. Artem'eva, N. A. Interaction of shock waves during the passage of a disrupted meteoroid through the atmosphere / N. A. Artem'eva, V. V. Shuvalov // Shock waves. — 1996. — Vol. 5, no. 6. — P. 359-367.

8. Ждан, И. А. Характерные элементы разрушенного тела в сверхзвуковом потоке / И. А. Ждан, В. П. Стулов, П. В. Стулов // Докл. Акад. наук. — 2004. — Т. 399, № 2. — С. 199-201.

9. Ждан, И. А. Коэффициенты сопротивления тел метеорной формы / И. А. Ждан,

B. П. Стулов, П. В. Стулов, Л. И. Турчак // Астроном. вестн. — 2007. — Т. 41, № 6. —

C. 544-547.

10. Naiman, N. The effect of porosity on shock interaction with a rigid, porous barrier / H.Naiman, D.D. Knight // Shock Waves. — 2007. — Vol. 16, no. 4. — P. 321-337.

11. Барри, Н. Г. Аэродинамическое взаимодействие фрагментов метеорного тела. Эффект коллимации / Н.Г.Барри // Докл. Акад. наук. — 2009. — Т. 428, № 1. — С. 35-37.

12. Максимов, Ф. А. Сверхзвуковое обтекание системы тел / Ф.А.Максимов // Компьютер. исслед. и моделирование. — 2013. — Т. 5, № 6, — С. 969-980.

13. Гувернюк, С. В. Сверхзвуковое обтекание плоской решётки цилиндрических стержней / С. В. Гувернюк, Ф.А.Максимов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2016. — Т. 56, № 6. — C. 1025-1033.

14. Skews, B.W. Shock wave trapping / B.W. Skews, M.A.Draxl, L.Felthun, M. W. Seitz // Shock Waves. — 1998. — Vol. 8, no. 1. — P. 23-28.

15. Бойко, В. М. Коллективный головной скачок перед поперечной системой сфер в сверхзвуковом потоке за проходящей ударной волной / В. М. Бойко, К. В. Клинков, С. В. Поплавский // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2004. — № 2. — C. 183192.

16. Бойко, В. М. О взаимодействии ударной волны с облаком частиц / В. М. Бойко,

B. П. Киселёв, С. П. Киселёв, А. Н. Папырин, С. В. Поплавский, В. М. Фомин // Физика горения и взрыва. — 1996. — № 2. — C. 86-99.

17. Regele, J.D. Unsteady effects in dense, high speed, particle laden flows / J.D.Regele, J. Rabinovitch, T. Colonius, G. Blanquart // International Journal of Multiphase Flow. —

2014. — Vol. 61. — P. 1-13.

18. Igra, D. Lift and drag on a sphere above ground by a sliding shock / D. Igra, J.Falcovitz // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part G. Journal of Aerospace Engineering. — 2012. — Vol. 226, no. 5. — P. 550-560.

19. Sridharan, P. Shock interaction with one-dimensional array of particles in air / P. Sridharan, T.L.Jackson, J.Zhang, S. Balachandar // Journal of Applied Physics. —

2015. — Vol. 117. — P. 1-18.

20. Sridharan, P. Shock interaction with deformable particles using a constrained interface reinitialization scheme / P. Sridharan, T. L. Jackson, J. Zhang, S. Balachandar, S.Thakur // Journal of Applied Physics. — 2016. — Vol. 119. — P. 1-18.

21. Zhang, L. T. Aerodynamic characteristics of solid particles' acceleration by shock waves / L.T.Zhang, H.H.Shi, C.Wang, R.L.Dong, H.X.Jia, X.N.Zhang, S.Y.Yue // Shock Waves. — 2011. — Vol. 21. — P. 243-252.

22. Nourgaliev, R. R. Treatment of particle collisions in direct numerical simulations of high speed compressible flows / R. R. Nourgaliev, T. N. Dinh, L. Nguyen, T. G. Theofanous. — Proceedings of IUTAM Symposium on Computational Approaches to Disperse Multiphase Flow / eds. by S. Balachandar, A. Prosperetti. — Dordrecht : Springer, 2006. — P. 247-259.

23. Lu, C. Multiscale modeling of shock interaction with a cloud of particles using an artificial neural network for model representation / C.Lu, S. Sambasivan, A.Kapahi, H. S. Udaykumar // Procedia IUTAM. — 2012. — Vol. 3. — P. 25-52.

24. Бедарев, И. А. Численный анализ течения около системы тел за проходящей ударной волной / И. А. Бедарев, А. В. Федоров, В. М. Фомин // Физика горения и взрыва. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 83-92.

25. Бедарев, И. А. Расчёт волновой интерференции и релаксации частиц при прохождении ударной волны / И. А. Бедарев, А.В.Федоров // Приклад. механика и техн. физика. — 2015. — Т. 56, № 5. — С. 18-29.

26. Бедарев, И. А. Прямое моделирование релаксации нескольких частиц за проходящими ударными волнами / И. А. Бедарев, А.В.Федоров // Инж.-физ. журн. — 2017. — Т. 90, № 2. — С. 450-457.

27. Бедарев, И. А. Применение детальных и приведённых кинетических схем для описания детонации водородовоздушных смесей с разбавителем / И. А. Бедарев, А. В. Федоров, К. В. Рылова // Физика горения и взрыва. — 2015. — Т. 51, № 5. —

C. 22-33.

28. Boiko, V. M. On a mechanism of intraphase interaction in nonrelaxing two-phase flow / V. M. Boiko, K.V. Klinkov, S. V. Poplavski // Procedings of 11th International Conference on Methods of Aerophysical Research (ICMAR'2002), Novosibirsk, 28 June — 3 July, 2002. — Novosibirsk, 2002. — С. 24-27.

29. Bedarev, I. A. Mathematical modeling of the detonation wave and inert particles interaction at the macro and micro levels / I. A. Bedarev, A. V. Fedorov // Journal of Physics: Conference Series. — 2017. — Vol. 894, no. 1. — P. 012008.

Поступила в 'редакцию 26.12.2017 После переработки 04.05.2018

Сведения об авторе

Бедарев Игорь Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института теоретической и прикладной механики имени С. А. Хри-стиановича СО РАН, Новосибирск; доцент кафедры прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета, Новосибирск, Россия; e-mail: bedarev@itam.nsc.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 2. P. 172-192.

NUMERICAL MODELING OF THE SHOCK AND DETONATION WAVES INTERACTION WITH PARTICLES ON MICROLEVEL

I.A. Bedarev

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Novosibirsk, Russia; Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering, Novosibirsk, Russia bedarev@itam.nsc.ru

A computational technology has been developed for direct modeling of the interaction of shock and detonation waves with a set of particles at the microlevel, taking into account the thermal and velocity relaxation of the particles. The simulation of the shock and detonation waves passage through a system of particles with their different mutual location is carried out. Detailed shock-wave patterns of the gas flow in the vicinity of the particles are obtained. The influence of the particles location on their drag coefficient is studied. It is shown that in the case of particles located perpendicular to the flow, the flow regime has an insignificant effect on the drag coefficient, and in the case of particles located along the flow, their mutual influence is preserved at a large distance. Dynamics of heat transfer during the passage of a shock wave through particles is determined and the influence of the mutual location of particles on the dynamics of heat exchange is revealed. In the calculations of the detonation wave-particles interaction, the possibility of detonation failure at particles volume fraction close to the concentrations obtained in modeling at the macrolevel was discovered.

Keywords: shock waves, detonation waves, velocity and thermal relaxation of particles, numerical simulation.

References

1. Kuznetsov O.M, StulovV.P. Sverkhzvukovoye obtekaniye dvukh sfer s liniyey tsentrov poperek potoka [Supersonic flow around two spheres with a line of centers across the stream]. Aerodinamika vkhoda tel v atmosfery planet [Aerodynamics of the entrance of bodies into the atmospheres of the planets], ed. G.F. Telenin. Moscow, Moscow State University, 1983. Pp. 12-16. (In Russ.).

2. LyagushinE.E., StulovV.P., YushkovA.Yu. Eksperimental'noye issledovaniye vzaimodeystviya udarnykh voln pri obtekanii dvukh tsilindrov [Experimental study of the interaction of shock waves in the flow around two cylinders]. Issledovaniye gazodinamiki i teploobmena slozhnykh techeniy odnorodnykh i mnogofaznykh sred [Investigation of gas dynamics and heat transfer of complex flows of homogeneous and multiphase media], ed. V.P. Stulov. Moscow, Moscow State University, 1990. Pp. 26-29. (In Russ.).

3. Blagosklonov V.I., Kuznetsov V.M., Minailos A.N., Stasenko A.L., Chekhovskii V.F. Interaction of hypersonic multiphase flows. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1979, vol. 20, no. 5, pp. 571-578.

4. AndreevA.A., KholodovA.S. On three-dimensional supersonic flow past blunt bodies when interference is present. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1989, vol. 29, no. 1, pp. 103-107.

5. DubrovinaI.A., StulovV.P. Opredeleniye naibol'shego rasstoyaniya aerodinamicheskogo vzaimodeystviya pary sfer i tsilindrov v sverkhzvukovom potoke [Determination of the greatest distance of the aerodynamic interaction of a pair of spheres and cylinders in a supersonic flow]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1.

The work is supported by the Russian Foundation of Basic Research (grant 17-08-00634_a).

Matematika i Mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics and Mechanics], 1989, no. 5, pp. 46-49. (In Russ.).

6. ZhdanI.A., StulovV.P., StulovP.V. Aerodynamic interaction of two bodies in a supersonic flow. Doklady Physics, 2004, vol. 49, no. 5, pp. 315-317.

7. Artem'evaN.A., ShuvalovV.V. Interaction of shock waves during the passage of a disrupted meteoroid through the atmosphere. Shock Waves, 1996, vol. 5, no. 6, pp. 359367.

8. ZhdanI.A., StulovV.P., StulovP.V. Characteristic elements of a fractured solid in supersonic flow. Doklady Physics, 2004, vol. 49, no. 11, pp. 680-682.

9. ZhdanI.A., StulovV.P., StulovP.V., TurchakL.I. Drag coefficients for bodies of meteorite-like shapes. Solar System Research, 2007, vol. 41, no. 6, pp. 505-508.

10. NaimanH., Knight D.D. The effect of porosity on shock interaction with a rigid, porous barrier. Shock Waves, 2007, vol. 16, no. 4, pp. 321-337.

11. Barri N.G. Aerodynamic interaction of meteor-body fragments: The collimation effect. Doklady Physics, 2009, vol. 54, no. 9, pp. 423-425.

12. MaksimovF.A. Sverkhzvukovoye obtekaniye sistemy tel [Supersonic flow of bodies system]. Komp'yuternye issledovaniya i modelirovaniye [Computer Research and Modeling], 2013, vol. 5, no. 6, pp. 969-980. (In Russ.).

13. Guvernyuk S.V., MaksimovF.A. Supersonic flow past a flat lattice of cylindrical rods. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2016, vol. 56, no. 6, pp. 1012-1019.

14. Skews B.W., DraxlM.A., FelthunL., Seitz M.W. Shock wave trapping. Shock Waves, 1998, vol. 8, no. 1, pp. 23-28.

15. Boiko V.M., KlinkovK.V., Poplavskii S.V. Collective bow shock ahead of a transverse system of spheres in a supersonic flow behind a moving shock wave. Fluid Dynamics, 2004, vol. 39, no. 2, pp. 330-338.

16. Boiko V.M., Kiselev V.P., KiselevS.P., PapyrinA.N., Poplavskii S.V., Fomin V.M. Interaction of a shock wave with a cloud of particles. Combustion, Explosion and Shock Waves, 1996, vol. 32, no. 2, pp. 191-203.

17. Regele J.D., Rabinovitch J., Colonius T., Blanquart G. Unsteady effects in dense, high speed, particle laden fows. International Journal of Multiphase Flow, 2014, vol. 61, pp. 1-13.

18. IgraD., FalcovitzJ. Lift and drag on a sphere above ground by a sliding shock. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part G. Journal of Aerospace Engineering, 2012, vol. 226, no. 5, pp. 550-560.

19. SridharanP., Jackson T.L., Zhang J., Balachandar S. Shock interaction with one-dimensional array of particles in air. Journal of Applied Physics, 2015, vol. 117, no. 7, pp. 1-18.

20. SridharanP., Jackson T.L., Zhang J., Balachandar S., ThakurS. Shock interaction with deformable particles using a constrained interface reinitialization scheme. Journal of Applied Physics, 2016, vol. 119, no. 6, pp. 1-18.

21. ZhangL.T., Shi H.H., WangC., DongR.L., JiaH.X., ZhangX.N., YueS.Y.

Aerodynamic characteristics of solid particles' acceleration by shock waves. Shock Waves, 2011, vol. 21, no. 3, pp. 243-252.

22. Nourgaliev R.R., DinhT.N., Nguyen L., Theofanous T.G. Treatment of particle collisions in direct numerical simulations of high speed compressible flows. Proceedings of an IUTAM Symposium on Computational Approaches to Disperse Multiphase Flow, S.Balachandar and A.Prosperetti (eds). Dordrecht, Springer, 2006. Pp. 247-259.

23. LuC., Sambasivan S., KapahiA., Udaykumar H.S. Multiscale modeling of shock interaction with a cloud of particles using an artificial neural network for model representation. Procedia IUTAM, 2012, vol. 3, pp. 25-52.

24. BedarevI.A., Fedorov A.V., FominV.M. Numerical analysis of the flow around a system of bodies behind the shock wave. Combustion, Explosion, and Shock Waves, 2012, vol. 48, no. 4, pp. 446-454.

25. Bedarev I.A., FedorovA.V. Computation of wave interference and relaxation of particles after passing of a shock wave. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2015, vol. 56, no. 5, pp. 750-760.

26. Bedarev I.A., FedorovA.V. Direct simulation of the relaxation of several particles behind transmitted shock waves. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2017, vol. 90, no. 2, pp. 423-429.

27. Bedarev I.A., FedorovA.V., RylovaK.V. Application of detailed and reduced kinetic schemes for the description of detonation of diluted hydrogen-air mixtures. Combustion, Explosion and Shock Waves, 2015, vol. 51, no. 5, pp. 528-539.

28. BoikoV.M., KlinkovK.V., Poplavski S.V. On a mechanism of intraphase interaction in nonrelaxing two-phase flow. Proceedings of 11th International Conference on Methods of Aerophysical Research (ICMAR'2002), 28 June — 3 July, 2002. Novosibirsk, 2002. Pp. 24-27.

29. Bedarev I.A., Fedorov A.V. Mathematical modeling of the detonation wave and inert particles interaction at the macro and micro levels. Journal of Physics: Conference Series, 2017, vol. 894, no. 1, p. 012008.

Accepted article received 26.12.2017 Corrections received 04.05.2018