Задача вероятностного расчета конструкции на линейно и нелинейно деформируемом основании со случайными параметрами

ВЕСТНИК

12/2014

ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ.

МЕХАНИКА ГРУНТОВ

УДК 624.042

О.В. Мкртычев, Г.А. Джинчвелашвили, М.С. Бусалова

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ЗАДАЧА ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ НА ЛИНЕЙНО И НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Рассмотрена постановка задачи о расчете системы сооружение — основание на землетрясение с учетом случайных свойств грунтов основания в различных точках массива грунта. В качестве случайной функции при расчете на линейно деформируемом основании был выбран модуль деформации, который принимает разные значения в направлении х, у, г. При расчете системы на нелинейно деформируемом основании в качестве случайно распределенных величин были приняты следующие параметры: модуль деформации, модуль сдвига, удельное сцепление, угол внутреннего трения. Приведен краткий обзор решения задачи о балке, лежащей на упругом основании, которое было получено Д.Н. Соболевым при случайном распределении коэффициента пастели по направлению х.

Ключевые слова: землетрясение, взаимодействие с основанием, случайная функция, математическое ожидание, дисперсия, линейно деформируемое основание, нелинейно деформируемое основание, массив грунта.

Грунт основания представляет собой неоднородную среду, в которой параметры, характеризующие его свойства, имеют различные значения в точках массива. В частности, таким образом изменяется модуль деформации, который в этом случае определяется как случайная функция трех переменных.

Случайной функцией Е(х, у, г) будем называть такую функцию своих аргументов, значение которой в любой точке пространства с координатами (х, у, г) является случайной величиной. Аргументы функции модуля деформации будем считать неслучайными величинами, при этом х, у, г в заданном грунтовом массиве могут принимать любые значения [1].

Функцию Е(х, у, г) будем рассматривать со следующими признаками: непрерывная функция своих аргументов; нестационарная случайная функция;

нормальная функция, т.е. ординаты случайной функции распределены по нормальному закону (закон Гаусса).

Задача о расчете балки, лежащей на упругом основании [2—4]. В работе Д.Н. Соболева [2] решается задача о балке, лежащей на упругом основании, коэффициент постели которой является случайной функцией абсциссы к( х). На балку действует распределенная нагрузка д( х), граничные условия на кон -цах балки могут быть любыми. Дифференциальное уравнение равновесия балки имеет следующий вид:

Е1уш + к( х) у = дх.

В [2] для случайной функции k(x) введены следующие упрощающие гипотезы:

k( x) — стационарная функция в смысле А.Я. Хинчина;

ординаты k(x) имеют нормальное гауссовское распределение;

функция k(x) дифференцируема в интервале ее изменения (-1, l).

Для того чтобы полностью определить поставленную задачу, Д.Н. Соболев приводит выражения для математического ожидания и корреляционной функции случайной функции k( x). Эти параметры теории вероятности различны для каждого типа грунта. Конечной целью работы являлось определение вероятностной характеристики функции y(x) и ее производных. Ниже приведены основные выкладки решения этой задачи.

Каноническое разложение случайной функции k(x) по ее координатам [5—7] имеет вид

< ~ i и=м

к

n=0

где m {( x)} — математическое ожидание k( x), X n = n%¡ 2l; Cn и En(n = 0,1, 2,....) — некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю, а дисперсия определяется следующим выражением:

i 2l

D = - f Kc

10

В (3) Kc (Ax) — корреляционная функция случайной функции

Kc

n=0

Если из выражения (2) выделить конечное число членов ряда, что обычно и реализуется в практических расчетах, тогда задача о нахождении вероятностных характеристик функции y(x) будет иметь вид

y = q

ElyIV + M {k

_ n=0 _

В (5) случайной функцией будет функция y(x), а стоящее перед ней выражение содержит уже случайные величины.

Точное решение выражения (5) получено не было, но Д.Н. Соболев применил вариационный метод Бубнова — Галеркина [8, 9]. Согласно этому методу решение задачи представляется в виде канонического разложения [5—7], в которое также будут входить случайные величины:

m

У

Случайные величины в (6) являются неизвестными и определяются из решения алгебраических уравнений, полученных из уравнений работ внешних и внутренних сил на выбранных возможных перемещениях ф^). После решения этой системы были получены математические ожидания и дисперсии коэффициентов am, а из (6) математические ожидания и дисперсии y(x) и ее производных.

ВЕСТНИК

12/2014

Массив грунта с параметрами, переменными в плане

Аналогичный подход был предложен Д.Н. Соболевым к решению задачи о штампе, вдавливаемом в статически неоднородное упругое основание [3].

Постановка задачи вероятностного расчета конструкции с параметрами основания при их случайном распределении в плане и по высоте. Рассмотрим грунтовый массив, в котором параметры основания обладают большой изменчивостью в плане (рис.). Разные цвета отображают участки с разными значениями основных характеристик [10, 11].

В случае линейно деформируемого основания случайной функцией будет модуль деформации Е (х, у, г). Случайные значения модуля деформации в разных точках грунта являются причиной неравномерности осадок, что в свою очередь влияет на работу конструкции, особенно при сейсмическом воздействии [12].

Если при расчетах учитывать нелинейную работу основания, то в этом случае число параметров со случайным распределением в плане и по высоте увеличивается. К этим характеристикам также будет относиться модуль деформации Е (х, у, г), добавится модуль сдвига (С (х, у, г), удельное сцепление с( х, у, г) и угол внутреннего трения ф (х, у, г). Случайное распределение последних двух характеристик вносит большой вклад в итоговое напряженно-деформируемое состояние.

Для полной постановки задачи определим воздействие. Так как расчет производится на землетрясение, то случайной функцией будет ускорение ). В этом случае сейсмическое воздействие рассматривается как стационарный случайный процесс [13—20].

Выводы. В данной статье описана постановка задачи вероятностного расчета конструкций с переменными параметрами грунта основания и с сейсмическим воздействием, заданным в виде стационарного случайного процесса. Аргументами случайных функций характеристик грунта являются три параметра, определяющие координаты точек грунтового массива. Как показано в данной работе до этого рассматривались и решались задачи с одним аргументом случайной функции.

Для решения поставленной задачи следует применять программные комплексы, позволяющие решать дифференциальные уравнения движения путем прямого интегрирования с использованием явных схем.

Библиографический список

1. Шейнин В.И., Михеев В.В., Шашкова И.Л. Статистическое описание неоднородности грунтовых оснований при случайном расположении слоев // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1985. № 1. С. 23—26.

2. Соболев Д.Н. К расчету конструкций, лежащих на статически неоднородном основании // Строительная механика и расчет сооружений. 1965. № 1. С. 1—4.

3. Соболев Д.Н. Задача о штампе, вдавливаемом в статистически неоднородное упругое основание // Строительная механика и расчет сооружений. 1968. № 2 (56). С. 15—18.

4. Соболев Д.Н., Фаянс Б.Л., Шейнин В.И. К расчету плиты на статистически неоднородном основании // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. № 3. С. 24—26.

5. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А. Моделирование сейсмического воздействия в виде случайного процесса методом канонического разложения // Фундаментальные науки в современном строительстве : сб. док. III науч.-практ. и учеб.-метод. конф. МГСУ 22.12.2003 г. М. : МГСУ, 2003. С. 79—84.

6. Мондрус В.Л. К вопросу об определении автокорреляционной функции в случайном процессе // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 1993. № 5. С. 185—190.

7. Решетов А.А. Моделирование случайного сейсмического воздействия методом формирующего фильтра // Фундаментальные науки в современном строительстве : сб. тр. VII Всеросс. науч.-практ. и учеб.-метод. конф., посв. 5-летию обр. ИФО МГСУ М. : МГСУ, 2010. С. 159—162.

8. Петров В.В., Кривошеин И.В. Устойчивость форм равновесия нелинейно деформируемых гибких пологих оболочек // ACADEMIA. Архитектура и строительство.

2011. № 2. С. 91—94.

9. Мамедов Э.З. Собственное колебание неоднородной круглой пластинки, лежащей на вязко-упругом основании // Архитектура и строительство России. 2013. № 12. С. 24—29.

10. Мясникова Е.С. Оценка надежности нелинейно и линейно деформируемого основания // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 6. С. 51—54.

11. Мкртычев О.В., Мясникова Е.С. Оценка надежности плиты на линейно деформируемом основании с переменным в плане модулем деформации // Вестник МГСУ.

2012. № 5. С. 29—33.

12. Тер-Мартиросян З.Г., Мирный А.Ю. Механические свойства неоднородных грунтов // Строительство — формирование среды жизнедеятельности : сб. тр. XIII Междунар. межвуз. науч.-практ. конф. мол. уч., докт и асп. М. : Изд-во АСВ, 2010. С. 790—794.

13. Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. Расчет конструкций на сейсмические воздействия с использованием синтезированных акселерограмм // Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 6. С. 52—54.

14. Мкртычев О.В. Расчет элементов строительных конструкций на надежность методом статистических испытаний // Межвуз. сб. науч. тр. М. : РГОТУПС. 1999. С. 64—67.

15. HerreraI., Bielak J. Soil-structure interaction as a diffraction problem // Proceedings of the 6th World Conference on Earthquake Engineering. New Delhi, India, 1977. Vol. 2. Pp. 1467—1472.

16. Bielak J., Loukakis K., Hisada Y., Yoshimura C. Domain reduction method for three-dimensional earthquake modeling in localized regions, Part I: Theory // Bulletin of the Seismological Society of America, April 2003. Vol. 93. No. 2. Pp. 817—824.

17. Yoshimura C., Bielak J., Hisada Y. and Fernandez A. Domain reduction method for three-dimensional earthquake modeling in localized regions, Part II: Verification and applications. Bulletin of the Seismological Society of America, April 2003. Vol. 92. No. 2. Pp. 817—824.

18. Basu U. Explicit finite element perfectly matched layer for transient three-dimensional elastic waves // International Journal for Numerical Methods in Engineering. January 2009. Vol. 77. No. 2. Pp. 151—176.

ВЕСТНИК лцчплл

МГСУ_12/20^4

19. Guo Shu-xiang, Lii Zhen-zhou. Procedure for computing the possibility and fuzzy probability of failure of structures // Applied Mathematics and Mechanics. 2003. Vol. 24. No. 3. Pp. 338—343.

20. Lutes L.D. A Perspective on State-Space Stochastic Analysis // 8th ASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability, Indiana, July 20—26, 2000. Pp. 1—5.

Поступила в редакцию в ноябре 2014 г.

Об авторах: Мкртычев Олег Вартанович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры сопротивления материалов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, mkrtychev@yandex.ru;

Джинчвелашвили Гурам Автандилович — кандидат технических наук, профессор, профессор кафедры сопротивления материалов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, guram2004@yandex.ru;

Бусалова Марина Сергеевна — аспирант кафедры сопротивления материалов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, marina8busalova@gmail.com.

Для цитирования: Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А., Бусалова М. С. Задача вероятностного расчета конструкции на линейно и нелинейно деформируемом основании со случайными параметрами // Вестник МГСУ 2014. № 12. С. 106—112.

O.V. Mkrtychev, G.A. Dzhinchvelashvili, M.S. Busalova

PROBLEM OF PROBABILISTIC CALCULATION OF THE DESIGN ON LINEARLY AND NON-LINEARLY DEFORMABLE BASIS WITH CASUAL PARAMETERS

In the article the problem of calculation of a construction basis system in case of earthquake is considered taking into account casual properties of basis soil in various points of the soil body. As a stochastic function in the calculation of linearly deformable basis, the deformation module, which accepts different values in the direction x, y, z, was chosen. In the calculation of the system on non-linearly deformable basis as incidentally distributed sizes the following parameters were accepted: deformation module, shear modulus, specific adhesion, angle of internal friction. The authors of the article offer to consider initial seismic influence in the form of casual stationary process. In order to solve such problems modern software systems are proposed that solve differential equations of motion via direct integration with explicit schemes. The calculation in this case will be held on the synthesized accelerograms. A short review of the task solution of the beam lying on elastic basis, which was received by D.N. Sobolev at casual distribution of pastel coefficient in the direction x, is provided in article. In order to define the objective, D.N. Sobolev gives expressions for a population mean and correlation function of stochastic function. As a result of the task solution population means and dispersions of function of movements and its derivatives were received. The problem formulation considered in the article is more complicated, but at the same time important from a practical standpoint.

Key words: earthquake, interaction with the base, stochastic function, mathematical expectation, variance, linear deformable basis, nonlinear deformable basis, soil body.

References

1. Sheynin V.I., Mikheev V.V., Shashkova I.L. Statisticheskoe opisanie neodnorodnosti gruntovykh osnovaniy pri sluchaynom raspolozhenii sloev [Statistical Description of Heterogeneity of Soil Bases at Casual Arrangement of Layers]. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov [Bases, Foundations and Soil Mechanics]. 1985, no. 1, pp. 23—26.

2. Sobolev D.N. K raschetu konstruktsiy, lezhashchikh na staticheski neodnorodnom os-novanii [On Calculation of the Designs Lying on Statically Non-uniform Basis]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 1965, no. 1, pp. 1—4.

3. Sobolev D.N. Zadacha o shtampe, vdavlivaemom v statisticheski neodnorodnoe up-rugoe osnovanie [Problem of the Stamp Pressed into Statistically Non-uniform Elastic Basis]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 1968, no. 2

4. Sobolev D.N., Fayans B.L., Sheynin V.I. K raschetu plity na statisticheski neodnorodnom osnovanii [Calculation of a Plate on Statistically Non-Uniform Basis]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 1969, no. 3, pp. 24—26.

5. Mkrtychev O.V., Dzhinchvelashvili G.A. Modelirovanie seysmicheskogo vozdeystviya v vide sluchaynogo protsessa metodom kanonicheskogo razlozheniya [Modeling of seismic influence in the form of casual process by the method of initial decomposition]. Fundamental'nye nauki v sovremennom stroitel'stve : sbornik dokladov III nauchno-prakticheskoy i uchebno-metodicheskoy konferentsii MGSU, 22.12.2003 goda [Fundamental Sciences in Modern Construction. Collection of the Third Science-Practical, Educational and Methodical Conference of MGSU]. Moscow, MGSU Publ., 2003, pp. 79—84.

6. Mondrus V.L. K voprosu ob opredelenii avtokorrelyatsionnoy funktsii v sluchaynom protsesse [A Question of Finding Autocorrelated Function in Casual Process]. Izvestiya Ros-siyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela [News of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of Solids]. 1993, no. 5, pp. 185—190.

7. Reshetov A.A. Modelirovanie sluchaynogo seysmicheskogo vozdeystviya metodom formiruyushchego fil'tra [Modeling of Casual Seismic Influence by Shaping Filter Method]. Fundamental'nye nauki v sovremennom stroitel'stve : sbornik trudov VII Vserossiyskoy nauchno-prakticheskoy i uchebno-metodicheskoy konferentsii, posvyashchennoy 5-letiyu obrazovaniya IFO MGSU [The Collection of Works the 7th All-Russian Science-Practical, Educational and Methodical Conference Devoted to the 5th Anniversary of IFO MGSU "Fundamental Sciences in Modern Construction"]. Moscow, MGSU Publ., 2010, pp. 159—162.

8. Petrov V.V., Krivoshein I.V. Ustoychivost' form ravnovesiya nelineyno deformiruemykh gibkikh pologikh obolochek [Equilibrium of the Sustainable Forms of Nonlinear Deformable Flexible Shallow Shells]. ACADEMIA. Arkhitektura i stroitel'stvo [ACADEMIA. Architecture and Construction]. 2011, no. 2, pp. 14—18.

9. Mamedov E.Z. Sobstvennoe kolebanie neodnorodnoy krugloy plastinki, lezhashchey na vyazko-uprugom osnovani [Characteristic Oscillation of Non-uniform Round Plate Lying on Visco-elastic Basis]. Arkhitektura i stroitel'stvo Rossii [Architecture and Construction of Russia]. 2013, no. 12, pp. 24—29.

10. Myasnikova E.S. Otsenka nadezhnosti nelineyno i lineyno deformiruemogo os-novaniya [Reliability Estimation of Non-linearly and Linearly Deformable Basis]. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya [Scientific and Technical Bulletin of the Volga Region]. 2011, no. 6, pp. 51—55.

11. Mkrtychev O.V., Myasnikova E.S. Otsenka nadezhnosti plity na lineyno deformirue-mom osnovanii, s peremennym v plane modulem deformatsii [Assessment of Reliability of the Foundation Slab Resting on the Linearly Deformable Bed and Characterized by the Modulus of Deformation Variable in X- and Y-axis Directions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 5, pp. 29—33.

12. Ter-Martirosyan Z.G., Mirnyy A.Yu. Mekhanicheskie svoystva neodnorodnykh gruntov [Mechanical properties of non-uniform soil]. Stroitel'stvo — formirovanie sredy zhiznedeyatel'nosti : sbornik trudov 13 Mezhdunarodnoy mezhvuzovskaoy nauchno-prak-ticheskoy konferentsii molodykh uchenykh, doktorantov i aspirantov [Works of the 13th International Interuniversity Scientific and Practical Conference of Young Scientists, Doctoral and Postgraduate Students "Construction — Formation of Living Environment'']. Moscow, ASV Publ., 2010, pp. 790—794.

BECTHMK

MfCY_12/2014

13. Mkrtychev O.V., Yur'ev R.V. Raschet konstruktsiy na seysmicheskie vozdeystviya s ispol'zovaniem sintezirovannykh akselerogramm [Calculating Seismic Influences on the Structures with the Use of Synthesized Accelerograms]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo [Industrial and Civil Engineering]. 2010, no. 6, pp. 52—54.

14. Mkrtychev O.V. Raschet elementov stroitel'nykh konstruktsiy na nadezhnost' meto-dom statisticheskikh ispytaniy [Reliability Calculation of the Elements of Construction Designs by the Method of Statistical Tests]. Mezhvuzovskiy sbornik nauchnykh trudov [Interuniversity Collection of Scientific Works]. Moscow, RGOTUPS Publ., 1999, pp. 64—67.

15. Herrera I., Bielak J. Soil-Structure Interaction as a Diffraction Problem. Proceedings of the 6th World Conference on Earthquake Engineering. New Delhi, India, 1977, vol. 2, pp. 1467—1472.

16. Bielak J., Loukakis K., Hisada Y., Yoshimura C. Domain Reduction Method for Three-Dimensional Earthquake Modeling in Localized Regions, Part I: Theory. Bulletin of the Seis-mological Society of America, April 2003, vol. 93, no. 2, pp. 817—824. DOI: http://dx.doi. org/10.1785/0120010251.

17. Yoshimura C., Bielak J., Hisada Y. and Fernandez A. Domain Reduction Method for Three-Dimensional Earthquake Modeling in Localized Regions, Part II: Verification and Applications. Bulletin of the Seismological Society of America. April 2003, no. 93, pp. 825—840. DOI: http://dx.doi.org/10.1785/0120010252.

18. Basu U. Explicit Finite Element Perfectly Matched Layer For Transient Three-Dimensional Elastic Waves. International Journal for Numerical Methods in Engineering. January 2009, vol. 77, no. 2, pp. 151—176. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/nme.2397.

19. Guo Shu-xiang, Lii Zhen-zhou. Procedure for Computing the Possibility and Fuzzy Probability of Failure of Structures. Applied Mathematics and Mechanics. 2003, vol. 24, no. 3, pp. 338—343. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF02438271.

20. Lutes L.D. A Perspective on State-Space Stochastic Analysis. 8th ASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability. Indiana, July 20—26, 2000, pp. 1—5.

About the authors: Mkrtychev Oleg Vartanovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; mkrtychev@ yandex.ru;

Dzhinchvelashvili Guram Avtandilovich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; guram2004@yan-dex.ru;

Busalova Marina Sergeevna — postgraduate student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; marina8busalova@gmail.com.

For citation: Mkrtychev O.V., Dzhinchvelashvili G.A., Busalova M.S. Zadacha veroyat-nostnogo rascheta konstruktsii na lineyno i nelineyno deformiruemom osnovanii so sluchayny-mi parametrami [Problem of Probabilistic Calculation of the Design on Linearly and Non-Linearly Deformable Basis with Casual Parameters]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 12, pp. 106—112.