О коэрцитивных свойствах и разделимости оператора Гельмгольца

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.948

О.Х.Каримов

О КОЭРЦИТИВНЫХ СВОЙСТВАХ И РАЗДЕЛИМОСТИ ОПЕРАТОРА

ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

Исследованы коэрцитивные свойства и доказана разделимость оператора Гельмгольца в пространстве Ь2(Я").

Ключевые слова: оператор Гельмгольца - коэрцитивное неравенство - разделимость.

Проблема разделимости дифференциальных операторов привлекла внимание многих математиков после публикации серии работ В.Н.Эверитта и М.Гирца [1,2], в которых авторы исследовали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней.

Первые результаты о разделимости дифференциальных операторов с частными производными получены в работе К.Х.Бойматова [3]. В последующем результаты этой работы были обобщены и развиты в работах К.Х.Бойматова [4,5], М.Отелбаева [6], С.А.Исхокова, А.С.Мохамеда [7] (см. имеющиеся там библиографии).

В настоящее время по разделимости опубликовано большое число работ и полученные результаты нашли свои приложения в теории функций, спектральной теории дифференциальных операторов и теории краевых задач для дифференциальных уравнений.

Разделимость оператора Гельмгольца ранее исследовалась в работе [8]. В настоящей работе мы исследуем разделимость оператора Гельмгольца другим методом, отличным от метода работы [8], и нами получены новые достаточные условия разделимости этого оператора.

Пусть д(х) (х е Я" ) - положительная функция. Рассмотрим оператор Гельмгольца

Ци\ = -

' г т

-. Следуя 11.31

-Г дх2

n д2и

где А = ^—-. Следуя [1,3], назовём оператор Гельмгольца (1) разделимым в пространстве

¿=1 дх,

Ц (Я"), если для всех функций и(х) е Ж>2ос(Я") Ц (Я") таких, что Ци\ е Ц (Я"), выполняются

включения

(А + k2 )u(х) е L (Rl, q(х)и(х) е L (Rl-

i

Для удобства записи вводим обозначение G( х) = q 2( х).

Адрес для корреспонденции: Каримов Олимжон Худойбердиевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: karimov_olim72@mail.ru

Определение. Будем говорить, что функция д(х) принадлежит классу М^3, если выполняются следующие условия:

I.

д1и\2 <8\и\2 , Ух е Я";

II. Т

1=1

О " 2

дх,.

<а, , Ух е Я";

III.

_1 О " 2 и

2

Ои , Ух е Я"

IV. Т

1=1

д-2

дх.

<а, , Ух е Я".

Теперь сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема. Пусть функция д(х) принадлежит классу . Тогда при выполнении условий:

ах + 4а2к < 4, а3+ 4к 8 < 4

оператор Гельмгольца (1) разделяется в пространстве Ь2 (Я") и для всех решений и(х) е W2hc(Я") Ь2 (Я") уравнения

-

с правой частью /(х) е Ь2(Я") выполняется следующее коэрцитивное неравенство

Д + к 2)и; Ь2 ( Я") + ди; Ь2 (Я

+Т

¿=1

д2 ; Ч Я")

дх,.

д2 и; ^

< М\\/( х); Ь2( Я" )|

где число М >0 не зависит от и(х).

Далее мы остановимся на некоторых основных моментах доказательства этой теоремы. Сначала сформулирем две леммы.

Лемма 1. Пусть в уравнении (3) правая часть /(х) принадлежит пространству Ь2 (Я") и

пусть решение и(х) уравнения (3) принадлежит классу №21ос(Я") (Я"). Тогда функции

д2(х)и(х), - (1 = 1,") принадлежат пространству Ь2(Я").

дх

2

Лемма 2. Пусть выполняются условия II-III, (2). Тогда если функция u(x) принадлежит классу WfocCR") ^L(R") и удовлетворяет уравнению (3) с правой частью f(x) G L2(R") > то

3 1 dkl _

функции q4(x)u(x), q4(x)- (i = 1,n) принадлежат пространству L2(R").

dx

Пусть ((x) G Cg (R") — фиксированная неотрицательная функция, обращающаяся в единицу при | x |< 1. Положим ((x) = (p(sx), (s > 0) . Используя равенство

(f (u) = —Z

fd2u

i=1

Л

2(squ

v °xi

— k2(u, (squ) + (q(x)u(x), (squ),

где ( , ) - скалярное произведение в пространстве Ц (Я"), после несложных преобразований получим:

где

(f, (qu) = Z Kis) (u)+(qu (qu)=

K(s)(u) = Z

i=1

^ du d( ^ —,—- qu

vdx у

Kf(u) = Z

i=1

^ du dq ^ —u

Vdxi dxi у

Kf(u) = Z i=1

Теперь поочерёдно оценим функционалы:

' du du ^

^ &г у

K(s)(u) = k2 (u,(qu) .

Kls)(u) = Z

i=1

^ du d( ^ —,—s qu

Vdx, dxi у

Так как

d(s

dx

< M0 s, то, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим следующую оценку

для K

K1)

i=1

^ 4 du d( 3 Л q4-,—^ q4 u

v dxi dxi у

<Z

i=1

du

dx

d(sq 4 u dx,.

< M о

4 du f —

dx,.

q4u

Отсюда следует, что lim K[s)(u) = 0.

s^-0

Для функционала K2s) (u), применяя неравенство Коши-Буняковского, получим следующую

оценку

п

3

Vsq 2

ox,

•q>eq 3х)-^;^R")

ox,

Далее, используя неравенство ab < a2 + b2) при a — -sJP • c, b — d

2 VP

и при

c —

pEq ^ 2 ;L

ox,

d —

q>sq 3х)^;^R")

ox,

имеем

q ч х) ; l2

ox,

+—E

2 Ж

•q>sq Чх)L2

ox,

где P - произвольное положительное число. Отсюда получим

P " ( - Г u - Г u ^ гт

|Kf(x)|<PE q 2( х) |^Л2(х) ^ +^3(qu,^qu) .

2 ¿=1 ^ Ох. Ох. j 2 P

Относительно функционалов K^\u) (m = 3,4) получаются следующие оценки

Ks)(u)\ <E

^£q2 Ги; 4

|к( г )(u) <Sk2(qu,vequ) .

Здесь 8,ст3 - такие же константы, как в условиях I, IV. На основе вышеполученных оценок из

равенства (5) находим некоторое неравенство, которое после перехода к пределу при £ ^ 0 примет следующий вид

1 _ k 2S 2 P

\

qu; L2{ R" )f + (1 _P)E 2 ¿=i

q1 ; L2( R") ох,

Подбирая число Р так, чтобы выполнялись неравенства <У3 + 2рк28 < <У3 + 48к2 < 4, из полученных неравенств после несложных преобразований получим коэрцитивное неравенство (4). Разделимость оператора Гельмгольца (1) в пространстве £2 (Я" ) следует из коэрцитивного неравенства (4) .

Теорема доказана.

Поступило 18.01.2015 г.

2

¿=1

ЛИТЕРАТУРА

1. Everitt W.N., Gierz M. An example concerning the separation property for differential operators. -Proc.Roy.Soc.Edinburg A., 1973, v.71, pp.159-165.

2. Everitt W.N., Gierz M. A Dirichlet type result for ordinary differential operators. - Math. Ann., 1973, v.203, 2, pp.119-128.

3. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости. - ДАН СССР, 1973, т.213, №5, с.1009-1011.

4. Бойматов К.Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка. - ДАН СССР, 1988, т.301, №5, с.1033-1036.

5. Бойматов К.Х. О методе Эверитта и Гирца для банаховых пространств.- ДАН РТ, 1997, т.356, №1, с.10-12.

6. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в rn.-Труды Математического института АН СССР, 1983, т.161, с.195-217.

7. Исхоков С.А., Мохамед А.С. Разделимость общего эллиптического дифференциального оператора с матричными коэффициентами в весовых пространствах. - ДАН РТ, 1992, т.35, №3, с. 45-51.

8. Saleh Omram, Khaled A.Gepeel. Separation of the Helmholtz Partial Differential Eduation in Hildert Space. - Ady. Studies Theor.Phys., v.6, 2012, №9, рр.399-410.

О.Х.Каримов

ОИДИ ХУСУСИЯТ^ОИ КОЭРСИТИВЙ ВА Ч,УДОШАВАНДАГИИ

ОПЕРАТОРИ ГЕЛМГОЛС

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Хосиятх,ои коэрситивй таткик гардида, чудошавандагии оператори Гелмголс дар фазой

L (R") исбот карда шудааст.

Калима^ои калиди: оператори Гелмголс - нобаробарии коэрситивй - цудошавандагй.

O.Kh.Karimov

ON COERCIVE PROPERTIES AND SEPARABILITY HELMHOLTZ OPERATOR

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of sciences of the Republic of Tajikistan

Coercive properties and a separation for Helmholtz operator in space L2(Rn) is proved.

Key words: Helmholtz operator - coercive inequality- separability.