Модальное управление одной системой нейтрального типа в общециклическом случае при кратных корнях

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА

УДК 517.977

А. А. Якименко

Белорусский государственный технологический университет

МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОЙ СИСТЕМОЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА В ОБЩЕЦИКЛИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ПРИ КРАТНЫХ КОРНЯХ

В статье рассматривается решение задачи модального управления в общециклическом случае при кратных корнях уравнения, служащего для нахождения регулятора, для двумерной стационарной динамической системы с запаздывающим аргументом нейтрального типа с одним входом и одним запаздыванием по состоянию. Дается определение задачи модального управления для исследуемой системы. При решении задачи модального управления используются линейные регуляторы по типу обратной связи, содержащие как линейную, так и интегральную части. Регуляторы получены в явной форме как элементарные функции параметров исходной системы и ее вектора состояния.

Ключевые слова: системы нейтрального типа, модальное управление, регуляторы, обратная связь, запаздывание.

А. А. Yakimenka

Belarusian State Technological University

MODAL CONTROL FOR ONE NEUTRAL TYPE SYSTEM IN GENERAL CYCLIC CASE WITH DOUBLE ROOTS

The paper deals with the modal control problem for the stationary two-dimensional dynamical system with retarded argument of neutral type with one input and one state delay in general cyclic case with double roots of equation for founding regulators. The definition of a modal control problem for the system is given. For the solution for such a problem we use linear regulators of feedback type, comprising both linear and integral part. The regulators are obtained in an explicit form as a basic function of the initial parameters of the system and its state vector.

Key words: neutral type systems, modal control, regulators, feedback control, lag.

Введение. Задача модального управления является одной из основных задач теории управления. Такая задача хорошо изучена для систем без запаздывания. Для систем с запаздывающим аргументом и систем нейтрального типа [1-7] решение задачи модального управления значительно сложнее. Это обусловлено тем, что пространство состояний таких систем, как правило, бесконечномерно. В статье [7] изучен случай, когда уравнение, служащее для нахождения регуляторов, имеет различные корни. В этой статье рассматривается случай кратного корня такого уравнения.

Основная часть. Рассмотрим линейную стационарную систему с запаздывающим аргументом нейтрального типа с одним входом и одним запаздыванием по состоянию:

х

где А,' = 0,1,2 - постоянные 2*2-матрицы; И > 0- постоянное запаздывание; Ь - ненулевой 2-вектор. Не ограничивая общности, считаем Ь' = [0,1] («'» означает транспонирование).

Присоединим к системе (1) регулятор вида

Ь М

и () = ч'оох() + () ( - ) +

I=0 ]=1

0

+1 g)х

-И

6 Модальное управление одной системой нейтрального типа в обшениклическом случае при кратных корнях

где доо> Чу - 2-векторы; g (5), 5 е [-к, 0] - непрерывная 2-вектор-функция;

/ N Л'

х() = (г), X(0)(?)- X(,).

Характеристическое уравнение системы (1) имеет следующий вид:

det [ А0 + А

е-хь 2 2

+ Л2Хе

-Хк

-иг ] -

- ЦОС-Хе--Хк = 0

'=0 -=0

где числа щ- вычисляются как функции матриц Л = 0,1,2, в частности а00 = det Л0,

а20 = 1, аа22 = det Л2 *

Определение. Система (1) модально управляема регулятором вида (2), если для любых наперед заданных чисел аi -,' = 0,1, 2, - = 0,1, 2, а 20 = 1, найдется регулятор (2) такой, что характеристическое уравнение замкнутой системы (1), (2) имеет вид (ср. с (3)):

det [А + Ае-Хк + Л2Хе-Хк-Х/2 + Ьи (Х)] -

- X X а' Х'е- Дк = 0, '=0 -=0

где и (Х) - регулятор (2) в частотной области. Введем (2*2)-матрицы:

А (Х) = А + Ле-Хк + Л2Хе-Хк, Ж(Х) = [А(Х)Ь, Ь], ХеС. Рассмотрим общециклический случай: det Ж (Х) = с (у0 + ухе-Хк + Хе-Хк), (с * 0).

Матрица А (Х) в этом случае имеет следующий вид:

А (Х) =

Р0 +Р,е-Хк с ( + Хе-Хк)"

а

>

где в',' = 0,1, 2, у0 - некоторые действительные числа; а- (Х), ] = 1, 2 - квазиполиномы:

аг (Х) = а0 + аяе-Хк + ааХе~%к,

где аг] е м;' = 1, 2,- = 0, 1, 2.

Регулятор вида (2) в частотной области будем искать в виде

и(Х) = (( (Х)-а! (Х), П2 (Х)-а2 (Х)).

Рассмотрим уравнение

Х2 +

Пусть выполнено условие:

% =^2 = %е М.

Рассмотрим величину

8(^) = Р0 + Р1е-%к -%.

Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема. Для того чтобы система (1) была модально управляема регулятором вида (2) в случае (5), необходимо и достаточно выполнения условия

8(0* 0.

При этом компоненты регулятора вида (2) в частотной области имеют следующий вид:

П (Х) = -а22Хе-Хк + (а22в0 - а21в1 -а12 -

-Хк__+в3е-2^к

82 Г %

2а22%)е-Хк --4%-(р0р1 +Р3е-2%к +а00в1 -

- аюр0р1 е-2%к - 2а22Р0Р1 %е-2%к -

- 2а02р0%ке-%к - 2а12р0%2ке-%к - 2а22р0%3ке-%к + + а01р1 % ке-%к + 2а21р0р1 % е-%к + oРоР12e-%к -

- 2а22%3е-%к + а21р1%3ке-%к + а10р°2% ке-%к -

- а01р0р1 ке-%к + а11р1 %2ке-%к -а^Р %2ке-%к -

- апР0Р1 % ке-%к + а12Р2% ке-%к +а22Р0%2ке-%к -

- а 21р1 % 2е-%к + Р2 %2 ке-%к + а00р1° ке-%к + + апР0 Р1 е-%к +а02Р2ке-%к + ^ке-^ + ашР2е-%к + + а 22%4 ке-%к + а02%2 ке-%к + 3а 22р1% 2е-2%к + + 2а% е-2%к + 2а12Р1%е-2%к + 2а12р0%е-%к + + 4а22Р0%2е-%к - 2а22р0% е-%к + -

- аю%2е-%к -а12Р0е-%к +а11Р12е-2%к +а02Рх е-2%к )-

- (-а02%2 -а02р22 + а00р1 + а^ -Р2%2 -

- 3аю%4 - 4аюР0Р1%е-%к + 2ац^Р^е-%к -- 2аю%3 -2а21Р0Р12%е-%к -2а22Р0Р1%3ке-%к -

- апР0Р2%ке-%к - а01Р0Р2ке-%к - -

- 2а02Р0Р1%ке-%к + 8а22Р0%3 - 7а22Р0%2 + + а10р0р° + 5аюр0%2 - 2а21р1%3 - 4^0% +

+ 2а02Р0% + 4а21р0Р1%2 - 6ац^Р^е-%к + + 2а 22Р0% + 2Р0Р12% + 2Р3%е-%к + а22Р22Р1 %2 ке-%к + + аюР0Р1%ке-%к - а21Р0Р12%2ке-%к + а01Р1°%ке-%к + + а11р12%2 ке-%к + а12 р1 %3ке-%к + а10р3%ке-%к +

А. А. Якименко

7

+ а21 в253Ие-И +а02р2р! Ие-5И +а22Р: 54Ие-5И -- а^52 + аР3е-И + а0!Р2е-^И -аЛ -

- апР0 Р12е"5И + ап р2р! е-5И + ^3^^ + Р352Ие-5И

+ а02р!^2 Ие-5И + 2апР0РЛ + 4а22Р:^3е-^И + + 3а!2Р!^2е-^И + 2а 02Р1 5е-5И + 3а21Р2^2е-у! +

+ 2апР2^е-^И - 2^0^ е-5И - 2а21Р2Рг5)х х 82(^) 1~ХИ +(-а22^4-а01р1^ -апр!^2 -

- а!2^3 +а01р0р1 -а10р^^ -а21р1 5 -а02в2 -а02^2 + + а^Р: + 2а22р0^3 - 022Р^2 + 2^2Р0^2 - ^5 +

+ 2а02р0^ +апр0р!^ -а00р!2 -р^2 )х 1

х

8

(е~5И - е~ЯИ - Ие~5И ^

П2 (Я.)—Ра -°10 -а^Яе- +

+ ,2 Д)и (а00р12 -р!252 +а22^4 +а22р0 +

8 (?)Р1

+ 2а12Р0Р15 е-5И + а02Р?е-2^И-а21Р0Р1 -- 8а22Р2Р15 е-5И + 4а^Р?5е-5И -- 2а22Р0Р153Ие-5И - 2а12Р0р152Ие-5И -- 2а02Р0Р15 Ие-5И - 4а22Р053 + ба^^2 -

- а 21Р 0Р152 + апР252Ие-5И + а^Р^Ие-^ +

-4Ие-5И.

- 2апР0Р15+ 10а22р0р152^?И -4а22Р05 + 2Р0Р25 + 2в35е-5И +а22Р2Р152Ие-5И-+ а12Р0Р15 Ие-5И -апР0Р125 Ие-5И -

- а21^52Ие~^ + а01р25Ие"^И + а^Ие^ -- а 01р0р2 Ие-5И + а10р35Ие-5И + а21р1253 Ие-5И + + а02Р0Р1 Ие-5И - апр152 + а^е-5, + ашр0р2 + + -ацР2Р1 -апР0Р2е-5И - +

+ а00р3Ие-5И +Р352Ие-5И + а02р152Ие-5И -

- 4а22^5^ - аюР152е-5И-а21Р252е-5и  + 2апР125 е-5И + 2а5-а12Р0Р12е-25И -- а 21Р0Р3е-25И + а22Р2Р2е-25И + 2а22Р0Р1е-5и + + -25и + 2ацР35е-25и + 4а22Р2252е-25и -

- 2ацРЦР2е-5И - 4а22Р0Р25е-25И)е-Яи + + (-ац54 -аюР0 +Р352е-5И - а^Р^4 + а0Д52 +

+ а01р2р1 +а10р2252 -аюр^22 + апр30р1 -- а 00р°3е-5И + а10р352 Ие-5И + а12р154Ие-5И + + ацР!^4Ие-5И + а21Р22Р2252Ие-5И -а22Р0Р152Ие-5И -- аюР0Р15Ие-5И + апР2Р22 5Ие-5И + ^152 + + 2аюР153е-5И +а02в152 - а00Р0Р3Ие-5И +

+ а02 Р2Р1 е-5И + апРЦР! е-5И + ацР^2 е-5И +

+ в353Ие-5И -аюР0Р3е-5и -а12Р3р1 е-5и

4а21Р0Р153 + 2а2Д253е^И - 2^0^50"^ -

- 2а01Р0Р15 + 2а21Э0Р15 + 3а22Р154е-5И -

- 5аЛ 52 - 2Р0Р35е-5И - 2апР22Р15 + + 7а22Р2Р152е-5И - 4а21Р0Р2252е-5И -

- 5аюР0Р152е^И - 2апР0Р225^И -

- 8а22Р0Р15°е-5И + 4а12Р0Р15е-5И - 2а11Р0Р2252Ие-5И -

- 2а 21Р0Р2253Ие-5И + 3а цР!?! 53Ие-5И + + 3а12рЦР152Ие-5И + 3а02Р2Р15Ие-5И -

- 3а22Р0Р154Ие-5И - 3а12Р0Р153Ие-5И -

- 3а02Р0Р152Ие-5И + 2а21в0в225е-5И -

- 2а22Р0Р15е-5И - 2а01Р0Р225Ие-5И -

- 2а2255 -аюР0Р235Ие-5И - 2Р0Р125+ 2Р0Р252 +

-,0НГ

+ 8а22Р054 +а00Р35И^^И +а01Р252Ие-5И -

- 12а22р2253 + 4аюр053 - 6^252 + 4а12р05 -

- 2а00р0р22 - 2а^Р^ 8а22р052 + 2а00р225-

- а02Р0Р1 Ие-5И - Р0Р352Ие-5И + апР2253Ие-5И +

+ а^Рх 55 Ие-5И +а02Р153Ие-5И +а01Р22р12Ие-5И )х

о-5и - е-яи

х

х

82 (5)р1 я-5 ( а2254 + а01р15 + а11р152 + а1253 - а01р0р1 +

+ а10р125 + а21р153 + а02р0 + а0252 -а21р0р152 -- 2а22Р053 + а^Р252 - 2а12р052 + а^5 -- 2а02р05-аир0р152 + аooPl2 +pl252 )х

х

8(5)в1

-5И -яи е ^ - е

-5И

Замечание. В полученных регуляторах требуется перейти из частотной во временную область. При этом необходимо следовать следующим правилам:

8 Модальное управление одной системой нейтрального типа в обшепиклическом случае при кратных корнях

1. Слагаемые вида ak'e jUxk (А,), ае М, f e_fh _ e_u eh ^

3. Слагаемые вида tt

ДА),

ответствуют слагаемым a ( j) во вре- k = 1, 2, ае М, А, f е С в часготной области в силу

теоремы о свертке соответствуют слагаемым вида

о

k = 1, 2 , i, j е N и {0} в частотной области со-

(

dt

менной области.

2. Слагаемые вида aefA_f_Ahlxk (А), k = 1,2, a j H (t + s )H (h + s )(_h _ s )e_(h+s)4 (t + s )ds.

^ _ h

ае М, А, fe С в частотной области в силу г, г> /- m

^ J Заключение. В работе [7J исследуется за-

теоремы о свертке соответствуют слагае- дача модального управления в общецикличе-

мым вида ском случае, когда для корней уравнения

о выполнено условие f *f2. Условие f = f2,

a j H (t + s)H (h + s)e_(h+s)fxk (t + s)ds. исследованное в данной работе, полностью за-

_h крывает общециклический случай.

Литература

1. Марченко В. М. О проблеме модального управления в линейных системах с запаздыванием // Доклады Академии наук БССР. 1978. № 5. С. 401-404.

2. Salamon D. Control and Observation of Neutral Systems. Pitman Press, 1984. 362 p.

3. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. V. AC-12, no. 6. P. 660-665.

4. Spong M. W. A semistate approach to feedback stabilization of neutral delay systems // Circuits Systems Signal Process. 1986. Vol. 5, no. 1. P. 69-84.

5. Якименко А. А. Модальное управление одной запаздывающей системой // Труды БГТУ. 2013. № 6: Физ.-мат. науки и информатика. С. 3-7.

6. Якименко А. А. Модальное управление одной системой нейтрального типа // Труды БГТУ. 2016. № 6: Физ.-мат. науки и информатика. С. 18-21.

7. Якименко А. А. Модальное управление одной системой нейтрального типа в общециклическом случае // Труды БГТУ. Сер. 3, Физ.-мат. науки и информатика. 2017. № 2. С. 25-27.

References

1. Marchenko V. M. On problem of modal control in linear systems with delay. Doklady Akademii nauk [Reports of the BSSR Academy of Science], 1978, no. 5, pp. 401-404 (In Russian).

2. Salamon D. Control and Observation of Neutral Systems. Pitman Press, 1984. 362 p.

3. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable systems. IEEE Trans. Automat. Contr., 1967, V. AC-12, no. 6, pp. 660-665.

4. Spong M. W. A semistate approach to feedback stabilization of neutral delay systems. Circuits Systems Signal Process, 1986, vol. 5, no. 1, pp. 69-84.

5. Yakimenka A. A. Modal control for one delayed system. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], 2013, no. 6: Physical-mathematical sciences and informatics, pp. 3-7 (In Russian).

6. Yakimenka A. A. Modal control for one neutral type system. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], 2016, no. 6: Physical-mathematical sciences and informatics, pp. 18-21 (In Russian).

7. Yakimenka A. A. Modal control for one neutral type system in general cyclic case. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], series 3, Physics and mathematics. Informatics, 2017, no. 2, pp. 25-27 (In Russian).

Информация об авторе

Якименко Андрей Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: yakimenko@belstu.by

Information about the author

Yakimenka Andrei Aliaksandravich - PhD (Physics and Mathematics), Associate Professor, Assistant Professor, the Department of Higher Mathematics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: yakimenko@belstu.by

Поступила 28.11.2017