Применение интервальных оценок неопределенности для синтеза адаптивного управления с переменной структурой

Маркин В.Е. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ СИНТЕЗА АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

В настоящее время актуальной проблемой теории управления является создание новых высокоэффективных алгоритмов и систем управления сложными динамическими объектами. К классу сложных динамических объектов можно отнести такие объекты, как манипуляционные роботы, подводные аппараты, станки для сложной обработки т.д. Характерными особенностями подобных объектов являются большая размерность математической модели, нелинейности различного вида в математической модели, многосвязность, а также значительная структурная и параметрическая неопределенность, проявляющаяся в процессе функционирования.

Причинами параметрической неопределенности могут быть как динамические свойства самого объекта (например, изменение конфигурации манипулятора приводит к многократному изменению приведенного момента инерции), так и действие среды. В работе применяются интервальная оценка неопределенности, которую математически можно выразить следующим образом:

р ^ [ртш, ,ртах] ^ ^ )

где Р1 - некоторый параметр. В процессе функционирования параметры объекта могут принимать

значение из диапазона между минимальным и максимальным значением.

Для синтеза алгоритмов и систем управления сложными динамическими объектами в условиях неопределенности используются различные подходы: адаптивный, робастный, нейросетевой и т.д. В

работе в качестве базового используется алгоритм управления с переменной структурой. Работающие с использованием данного алгоритма системы с переменной структурой (СПС) известны достаточно давно как релейные системы с разрывным управлением [1]. Управление с переменной структурой обычно

строится в следующем виде:

|и+ (х), 5 > 0

и = \

[Ы (х), 5 < 0

где 5 = / (х! ,...хп) = 0 - уравнение поверхности переключения (скольжения) в пространстве состояния Яп,

содержащем фазовые координаты х1 ,...хп. Традиционно рассматриваются системы второго порядка, в этом случае пространство состояний вырождается в фазовую плоскость, а поверхность переключения - в линию переключения [1, 2]. Уравнение поверхности (линии) переключения может быть как линейным,

так и нелинейным. В простейшем случае линия переключения представляет собой прямую. В случае

линейного уравнения параметры поверхности переключения задаются некоторым вектором параметров С размерности (п х 1), где п - порядок системы. Прямая линия переключения задается коэффициентом наклона С. Характерная особенность систем с переменной структурой (СПС) - наличие так называемого скользящего режима. Скользящий режим - особый динамический режим системы, движение в котором происходит по поверхности переключения б = 0, построенной в фазовом пространстве Яп (рис.1).

Основное условие существования скользящего режима определяется следующим образом [2]:

5-5 < 0 .

Рис.1. Скользящий режим в СПС

В скользящем режиме система работает в режиме переключений, происходящих теоретически с

бесконечно большой частотой. Траектория движения системы теоретически определяется лишь

уравнением линии переключения, не зависящим от параметров системы (например, от варьируемой

нагрузки). Таким образом, свойство робастности скользящего режима по отношению к варьируемым

параметрам позволяет успешно применять управление с переменной структурой для сложных

динамических объектов, функционирующих в условиях неопределенности. Переходные процессы в

скользящем режиме устойчивы и монотонны. Для обеспечения приемлемых динамических свойств системы необходима начальная настройка параметров, для которой традиционно применяется минимаксный метод: вектор параметров C выбирается таким, чтобы при любом наборе начальных условий выполнялось условие существования скользящего режима (3). Иначе говоря, значения коэффициентов линии переключения выбираются с учетом максимального значения изменяющегося параметра pi min (1). Это позволяет обеспечить возникновение скользящего режима при любых начальных условиях. Вместе с тем быстродействие системы (которое также определяется значениями элементов вектора C) становится

невысоким. Это является одним из основных недостатков традиционных СПС. Для увеличения

быстродействия применяется адаптация по параметру скользящего режима [3]. Адаптивный алгоритм настройки коэффициента линии переключения с имеет следующий вид:

с- = *c

где kc - коэффициент пропорциональности, ц, ^.d - соответственно текущее и эталонное значения

параметра скольжения [3]. Недостатком алгоритма, описанного в [3], также является невысокое быстродействие вследствие использования прямой линии переключения.

В работе предлагается новые алгоритмы адаптивного управления с переменной структурой - с парными и деформируемыми поверхностями переключения и огрублением по параметру скольжения и ошибке. Подробное описание алгоритма управления с парными поверхностями переключения приведено в [4-8]. Рассмотрим подробнее управление с деформируемыми поверхностями переключения. Уравнение поверхности выбирается в следующем виде:

s = f

где х - вектор выходных координат системы, р - вектор параметров поверхности переключения. Функция (5) в общем случае может быть нелинейной. После попадания на поверхность переключения начинается процесс адаптивной настройки параметра р поверхности, который геометрически можно интерпретировать как ее деформацию. Алгоритм настройки следует выбирать таким образом, чтобы указанная поверхность в результате деформации смещалась в область более высоких скоростей. В начальный момент времени настраиваемая поверхность может быть линейной (рис.2). Алгоритм, описанный в [3], является частным случаем предложенного алгоритма.

Рис.2. Фазовые траектории СПС с деформируемыми линиями переключения:

В качестве примера в работе рассматривается система управления приводом манипуляционного робота, описываемая системой уравнений второго порядка. Уравнение линии переключения выбирается в следующем виде:

5 = є + &8signe • + с • є ,

к =

где ks и с - настраиваемые параметры линии переключения. Если коэффициент ks выбирается равным нулю, то уравнение (6) соответствует уравнению прямой скольжения в алгоритме, описанном в [3].

Законы адаптивной настройки с огрублением по параметру скольжения и по ошибке имеют следующий

вид:

k Od - ц). к - ц ^ V 0.

Ун-d-n-)’ И-А'

где кц - коэффициент пропорциональности;

kcOd - ц). |цd - ц| ^ ^

о.

*c(M-d — м-)- И-А'

0. |S < Д,

Предложенные адаптивные алгоритмы управления предполагают неопределенность некоторого набора параметров объекта управления. Параметры регулятора в системе управления предполагаются постоянными. Вместе с тем одной из серьезных практических проблем является отклонение значений параметров элементов от номинальных. Алгоритм управления с переменной структурой обеспечивает инвариантность по отношению к параметрической неопределенности объекта. В работе рассматривались отклонения параметров регулятора, выраженные так же, как и неопределенности параметров объекта, в виде интервальных оценок [1]. Как показывает моделирование, небольшие (5-10 %) отклонения

параметров регулятора не оказывают значительного влияния на динамику адаптивной СПС. В результате больших отклонений параметров регулятора от номинальных значений может нарушиться основное условие существования скользящего режима (3), что приведет к ухудшению динамических показателей. В этом случае необходимо искусственная стабилизация значений параметров для обеспечения надежности системы. Дальнейшее направление исследований - обеспечение большей робастности алгоритмов управления по отношению к параметрам регулятора. Также предполагается обобщить предложенные алгоритмы на системы более высокого порядка.

Применение интервальных оценок неопределенности параметров позволяет существенно облегчить синтез адаптивного управления с переменной структурой. На основе предложенных алгоритмов синтезированы адаптивные системы управления. Проведены численные эксперименты, продемонстрировавшие высокую эффективность предложенных решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Теория систем с переменной структурой. / Под ред. С.В. Емельянова - М.: Наука, Главная

редакция физико-математической литературы, 197 0 - 592 с.

2. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. - М: Наука., Главная

редакция физико-математической литературы, 1981 - 368 с.

3. Dyda A.A. Design of Adaptive VSS algorithms for Robot Manipulator Controls. Proc. Of First Asia Control Conference. Tokyo, July 27 - 30, 1994. pp 1077-1080.

4. Дыда А.А., Маркин В.Е. Системы управления с переменной структурой с парными и нелинейно деформируемыми поверхностями переключения. // Проблемы управления. - 2 0 05, №1, с. 22-25.

5. Маркин В.Е., Дыда А.А. Адаптивное управление с переменной структурой с парными и нелинейными деформируемыми поверхностями переключения. Информатика и системы управления. - 2003. - № 1(5). - С. 100-105.

6. Дыда А.А., Маркин В.Е. Адаптивная система управления с переменной структурой. Патент РФ № 22107 99. Опубл. В БИ № 23, 2003.

7. Маркин В.Е., Дыда А.А. Адаптивные системы управления с переменной структурой и парными и нелинейно деформируемыми поверхностями переключения. // Труды Межд. Симпозиума «Надежность и

качество» в 2-х ч, ч.1 / Под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во Пензенского гос. ун-та, 2004. - с.

216-218.

8. Маркин В.Е., Дыда А.А. Повышение надежности электромеханических приводов систем управления с переменной структурой.//Труды Международного симпозиума "Надежность и качество".-Пенза: Изд-во Пензенского гос.университета, 2003. - с.240-241.