К расчету смешанного течения в соплах с несимметричной дозвуковой частью

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м V 1974

№ 5

УДК 517.9:533.7

К РАСЧЕТУ СМЕШАННОГО ТЕЧЕНИЯ В СОПЛАХ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ ДОЗВУКОВОЙ ЧАСТЬЮ

В. М. Дворецкий, М. Я• Иванов

Приведены результаты численного исследования течения невязкого и нетеплопроводного газа с переходом через скорость звука в соплах, сужающаяся часть которых не является осесимметричной. В основе исследования лежит интегрирование нестационарной трехмерной системы уравнений газодинамики с помощью пространственного варианта известной конечноразностной схемы С. К. Годунова. Наряду с соплами, имеющими гладкие стенки, анализируется течение в соплах с несимметричным изломом контура в дозвуковой части. Проведено сравнение результатов расчета по разностным схемам, построенным в декартовой и цилиндрической системах координат, и рассмотрены некоторые особенности вычислительного метода.

Большая часть опубликованных результатов по исследованию смешанных до- и сверхзвуковых течений в соплах получена в осесимметричной постановке. Помимо экспериментальных и приближенных подходов развиты достаточно точные и эффективные численные методы решения как прямой, так и обратной задач теории двумерных сопл. В противоположность двумерному случаю численный анализ течения в пространственных соплах проведен только в ограниченном числе работ. Так, в [1—4] рассчитывались сверхзвуковые трехмерные течения в соплах, причем в первых трех работах решение проводится с помощью метода характеристик, а в работе [4] использован метод сквозного счета, предложенный в [5]. Исследованию смешанных течений идеального газа в пространственных соплах посвящены работы [6—8]. В работах [6; 7] методом установления решена прямая задача о течении в пространственном сопле заданной формы, в [8] предложен обратный подход к определению поля течения и построению пространственного сужающегося — расширяющегося сопла. Названные работы содержат в основном примеры расчета смешанных и сверхзвуковых течений в трехмерных соплах, имеющих две плоскости симметрии. Практический интерес представляет также анализ пространственных течений в соплах более сложной формы.

В данной работе исследовались смешанные течения в соплах заданной формы с одной плоскостью симметрии. Стационарная картина течения получается одновременно во всей рассчитываемой области в процессе установления при численном интегрировании нестационарной трехмерной системы уравнений газодинамики, когда граничные условия не зависят от времени. Использован трехмерный вариант конечноразностной схемы С. К. Годунова [9, 10], примененный ранее к анализу двумерных (в работах [11, 12]) и пространственных (в работах [6, 7]) течений в соплах. Наряду с изучением смешанного течения в сопле, имеющем достаточно гладкие стенки, рассматривается течение газа в сопле с резким, уступообразным изломом стенки в дозвуковой части.

Большое внимание в работе уделено выяснению особенностей использованного метода расчета и улучшению вычислительного алгоритма с целью сокращения машинного времени, необходимого для получения стационарного течения, и уменьшению погрешностей вычислений.

Сложность вычислительного алгоритма и точность аппроксимации профиля сопла в известной мере зависят от выбора системы координат. В работе проведено сравнение результатов расчета по разностным схемам, построенным с использованием декартовой и цилиндрической систем координат.

Расчеты, результаты которых представлены ниже, выполнены на ЭЦВМ „БЭСМ-6“ по программам, составленным на алгоритмическом языке АЛГОЛ-бО применительно к транслятору, созданному в ВЦ АН СССР.

1. Рассматривается смешанное (до- и сверхзвуковое) течение невязкого и нетеплопроводного газа в соплах пространственной формы, имеющих одну плоскость симметрии. Пересечение стенок сопла с плоскостью симметрии представлено на фиг. 1 для двух возможных конфигураций сопл. Первое сопло (фиг. 1, а) имеет достаточно гладкие стенки, второе сопло (фиг. 1,6) имеет уступообразный несимметричный профиль. Дозвуковые части сопл примыкают к полубесконечному цилиндрическому каналу, сверхзвуковые расширяющиеся части имеют коническую форму.

Оси декартовой системы координат х, у, г располагаются таким образом, что координатная плоскость ху совмещается с плоскостью симметрии, а координатная плоскость уг — с критическим сечением сопла. Помимо декартовой системы вводится также цилиндрическая система координат х, г, <р, причем ось х цилиндрической системы совпадает с осью х декартовой системы, а координата <р определяет угол между меридиональной плоскостью хг и координатной плоскостью ху. Дозвуковой части сопла отвечает область х<^0, сверхзвуковой части—х>0.

Предположим, что энтальпия торможения и энтропия газа во входном сечении сопла, расположенном в цилиндрическом канале, известны и постоянны. На установившемся режиме течения при хш= — со реализуется равномерный поступательный поток с параметрами, определяемыми в процессе решения. Одно из возможных граничных условий в начальном сечении сопла, которое является достаточно простым и обеспечивает решение задачи, основано на следующих допущениях [6, 11]:

|^=0; ъ = 0,

где и, V, IV — проекции вектора скорости газа на оси либо декартовой х, у, г, либо цилиндрической х, г, ср систем координат. Отметим, что данное граничное условие выполняется точно только при х = — оо, но в процессе решения оно используется на конечном расстоянии от критического сечения сопла при х = х0. Ввиду этого в работе анализируется влияние выбора координаты начального сечения х0 на картину течения в дозвуковой части пространственного сопла. В выходном сечении сопла с координатой хе реализуется сверхзвуковое течение. На стенках сопла и на плоскости •симметрии выполняются условия непротекания.

Пусть Ь — время; р, р, е, / — давление, плотность, удельные внутренняя энергия и энтальпия газа, а <7 — модуль вектора скорости. Ограничимся случаем совершенного газа с постоянным показателем адиабаты *, для которого г = */?/(* — 1)р.

Интегральные законы сохранения массы, количества движения и энергии, эквивалентные дифференциальным уравнениям течения и соотношениям на сильных разрывах, записываются в виде

1[{ /.Г/ а йх сіу йх + о

11 Ь йу йг + с йх йг + / йх йу — О

для декартовой системы координат и

йі

для цилиндрической системы координат.

Здесь <3— произвольный, не зависящий от времени t элементарный объем в пространстве хуг либо хпр, а 5—его граница. Обозначения а, Ь, с, / и & введены для вектор-столбцов:

р ри ру

ри р + ри2 р ЫЯ)

ру ; Ь = р ПУ ; с = р + ру2

рда риге/ рун’

/=

ри; 0

р ит 0

рут ; ё = р + рда2

р + рта2 — рут

рда(2 і + д2) 0

)

В (1) — (4) и далее все величины удобно считать безразмерными. Обезразмеривание параметров состоит в отнесении пространственных координат к выбранной характерной длине компонент скорости и плотности — к своим критическим значениям аЧ; и р*, времени — к давления — к р* а\, внутренней энергии и энталь-

иии — к а'-’. В случае постоянства полной энтальпии на входе сопла, а,следовательно, и во всем потоке, уравнение энергии в случае стационарного режима течения можно заменить интегралом Бернулли, который с учетом принятого обезразмеривания имеет вид

2и р , х 4- 1

Получение конечноразностных соотношений, построение расчетной сетки, анализ аппроксимации и устойчивости разностной схемы и процесс вычислений подробно изложены в работах [6, 9—12]. Форма расчетной сетки в плоскости ху показана на фиг. 1. В начальный момент при 1 — 0 распределение параметров в сопле определяется из одномерного расчета [6].

¿Г+

у-

2. На фиг. 2 — 4 представлены некоторые результаты расчета смешанных стационарных течений совершенного газа с показателем адиабаты х=1,4 в трехмерных соплах. За характерный размер принимается радиус критического сечения сопла. Будут рассмотрены сопла, у которых горло, сверхзвуковая и цилиндрическая части являются осесимметричными. Пространственность потока обусловлена только несимметрией сужающегося участка сопла. Контур первого сопла в плоскости симметрии (фиг. 1 , а) задается функциями у+(х) и у_(х), которые составлены из плавно сопрягающихся прямых и дуг окружностей. Радиус цилиндрического канала равен 3, за отрезком прямой, соответствующим цилиндрическому участку, следует дуга окружности с радиусом 1. Сужающаяся часть сопла задается углами наклона а_ и а+ образующих v_(x) и у+(х) к оси х. Так, для у_{х) величина а_ = 45°, а для у+(х) угол а+= 30°. Критическая часть сопла образована дугой окружности единичного радиуса. Сверхзвуковая часть сопла представляет собой осесимметричный конус с полууглом раствора 15°, оканчивающийся при хе = 0,4. В плоскости xz образующая сопла Z+ (х)=у_(х), следовательно, нижняя четверть сопла осесимметрична. Линии пересечения zw(x, у) верхней четверти сужающегося участка сопла с плоскостями х = const являются эллипсами и определяются уравнением

а(х, у) I2

ЛХ)

+

УЛх)

1.

Расчет течения в этом сопле проведен с использованием конечноразностных соотношений, аппроксимирующих систему (2), т. е. в декартовой системе координат.

На фиг. 2, а показано изменение по координате л: разности давлений Др на нижней и верхней стенках сопла в плоскости максимальной несимметрии на стационарном режиме течения. Сплош-

ная кривая отвечает расчету с сеткой в 3808 ячеек, штриховая — расчету, выполненному при почти четырехкратном уменьшении числа ячеек.

На фиг. 2, б представлено изменение по х интегральной силовой характеристики, а именно проекции интеграла сил давления на ось у, которую в дальнейшем будем называть „боковой силой“ Ру. Обозначения кривых на этой фигуре аналогичны принятым на фиг. 2, а. Хорошая сходимость результатов делает возможным проведение расчетов стационарного течения в два этапа. Сначала течение устанавливается с использованием грубой сетки, а затем уточняется на мелкой разностной сетке. На втором этапе начальное распределение параметров на мелкой сетке определяется с помощью линейной интерполяции по уже найденным параметрам в ячейках грубой сетки. Такой подход позволяет примерно в два раза сократить время расчета каждого варианта.

Рассматриваемое сопло имеет незначительные отклонения от осесимметричной формы, что приводит к слабым градиентам по координате ч> у локальных параметров газа, например, у давления. Максимальная ошибка в определении расходов на всей длине дозвуковой части данного сопла на установившемся режиме течения не превышает 1,4%.

Дополнительные расчеты показали возможность выбора координаты х0 в непосредственной близости от начала сужения сопла. Например, расчет течения в сопле, показанном на фиг. 1 ,а, был выполнен также при х0 =— 4. Распределения локальных и интегральных характеристик по соплу при этом остались практически без изменения. Уменьшение рассчитываемой области потока в сопле позволяет сократить число разностных ячеек и, как следствие, время вычисления стационарного режима течения. Время счета одного варианта составляет около 3—4 часов.

*р

0,04

0,02

о

-002 -0,04 -0,06

-006

а)

Фиг. 2 _

• Приведенные результаты расчета смешанного течения в пространственных соплах выполнены с использованием декартовой системы координат. Более точная аппроксимация гладких стенок сопла может быть получена с помощью цилиндрической системы координат и конечноразностного аналога системы уравнений (3).

Расчет течения в сопле, изображенном на фиг. 1 ,а, проведен также численным интегрированием системы (3), когда вместо уравнения сохранения энергии использовалось конечное соотношение (5). На фиг. 2, а штрих-пунктиром показано изменение До по длине сопла, полученное в этом расчете. Неточности в аппроксимации гладкого криволинейного профиля сопла хордами в плоскостях х = const при проведении расчетов в декартовой системе координат приводят к некоторому отличию результатов, более существенному в окрестности горла сопла.

На двух последних фигурах представлены результаты расчета

&Q

002

0,0/

о

-0,01

-0.02

А 1 1

V—^Jo

j N

Ч

0,050

0,025

О

-0,025

-0050

Фиг. 3

стационарного течения в сопле с уступообразным изменением стенок, показанном на фиг. 1,6. Цилиндрическая дозвуковая часть сопла имеет радиус 2,8 и является осесимметричной. Образующая конической сужающейся части сопла у_(х) наклонена к оси х под углом а_ = 13°, угол а+ наклона образующей у+{х) составляет 23°. Нижняя четверть конической сужающейся части имеет круговое сечение г+(х)=у_(х), которое в верхней четверти переходит в эллипс с уравнением (6). При х=— 1,25 в месте соединения цилиндрического и конического участков сопла образуется несимметричный торец, который плавно стыкуется с этими участками при помощи дуг окружностей радиуса 0,3. Горло сопла при --0,05<л:<0 образовано цилиндром единичного радиуса. Сверхзвуковая часть сопла имеет коническую форму с полууглом раствора конуса 15°. В окрестности критического сечения профиль сопла содержит два излома.

О точности расчета стационарного течения в этом сопле можно судить по фиг. 3, где представлено изменение по длине сопла относительных ошибок в определении расхода ДС= (О —

И энтропийной функции Д/=(/7/'рх— Рп/р1)1(Ро1р1)- Здесь величины без индексов отвечают текущему значению координаты х, причем О — интегральный расход через сечение х, а р и р— давление и плотность газа у верхней образующей сопла у+ (х). Отметим, что в дозвуковой области потока, исключая узкую окрестность уступа, величина расхода О через сопло близка к постоянному значению.

Отличие G от постоянной достигает 2,7% около уступа и несколько больше 1% в сверхзвуковой части сопла. Максимальная ошибка Д/ при определении энтропийной функции /— р/р* в дозвуковой части сопла равна 3,2%, но из-за наличия точек излома в критическом сечении доходит до 6% в окрестности горла сопла. Такая величина Д/ наблюдается около стенок сопла. В большей части потока Д/ не превышает 1%.

На фиг. 4 приведено изменение по длине сопла боковой силы Fy и разности давления Ар у нижней у_[х) и верхней у+ (х) образующих сопла. Боковая сила для второго сопла положительна и достигает своего максимума в районе горла, в то время как для первого сопла боковая сила в дозвуковой области отрицательна и при х —0 имеет нулевую величину, будучи максимальной при — 1. Для первого сопла максимальная величина боковой силы составляет около 1,18% от импульса в критическом сечении сопла,, для второго сопла —2,2% от импульса.

Авторы признательны А. И. Крайко и Г. Г. Черному за полезные советы и замечания, высказанные ими при обсуждении результатов данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Каиков а О. Н., Чушкин П. И. Пространственные сверхзвуковые течения газа с неравновесными процессами. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 8, № 6, 1968.

2. Борисов В. М., Михайлов И. Е. Об установившихся трехмерных безвихревых движениях газа со сверхзвуковой скоростью.

Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 10, № 4, J970.

3. Ransom V. Н., Н о f f m a n J. D., Thompson H. D. Threedimensional supersonic nozzle flowfield calculations. J. Spacecraft and Rockets, vol. 7, No 4, 1970.

4. Иванов M. Я., Крайко A. H. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. П. Жури, вычисл. матем. и матем. физ., т. 12, № 3, 1972.

5. И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н., Михайлов Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. 1. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 12, № 2, 1972.

6. Иванов М. Я., Р ы л ь к о О. А. Расчет трансзвукового течения в пространственных соплах. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 12, № 5, 1972.

7. И в а н о в М. Я., Рылько О. А. К анализу трансзвукового течения в эллиптических соплах. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 3.

8. Пиру мов У. Г. Пространственные до- и сверхзвуковые течения в соплах и каналах переменного сечения. „Прикл. матем. и мех.“, т. 36, вып. 2, 1972.

9. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. Матем. сб , 47 (89), Л1» 3, 1959.

10. Г о д у н о в С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 1, № 6, 1961.

11. Иванов М. Я., Крайко А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1969, № 5.

12. Иванов М. Я., К р а й к о А. Н. Расчет смешанного течения газа в соплах. В сб.: Труды секции по численным методам в газовой динамике второго международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем. Т. 2, Новосибирск, 1969, М., ВЦ АН

' СССР, 1971.

Рукопись поступила І4/ХІІ 1973 г.