Критерии функционирования систем автоматического управления

УДК 519.95

Д.А. Белоглазов, С.Е. Бублей

КРИТЕРИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается задача формального определения цели системы адаптивного управления. Приведена структура цели. Определены основные критерии качества в установившемся режиме систем управления. Приведены критерии для решения задачи оптимизации. Предложен метод задания критериев качества в условиях неопределенности.

Адаптация; управление.

D.A. Beloglazov, S.E. Bubley

CHOICE OF THE DISCRETE MOMENTS OF TIME OF FUNCTIONING OF AUTOMATIC ADAPTIVE CONTROL SYSTEMS

The problem of formal definition of the purpose of system of adaptive management is considered. The purpose structure is resulted. The basic criteria of quality in the established mode of control systems are defined. Criteria for the decision of a problem of optimisation are resulted. The method of the task of criteria of quality in the conditions of uncertainty is offered.

Adaptation; management.

Структурирование цели функционирования систем направлено на определение глобальной цели, выделение совокупности подцелей из глобальной цели, задание множества критериев и выявления множества задач, решение которых позволит обеспечить достижение поставленной цели.

Пусть задана глобальная цель C объекта управления C={cl, c2, ..., cn}. Качество функционирования объекта управления определяется множеством критериев K={k],k2,...,km}. Между элементами множества K и элементами множества C устанавливается соответствие G.

C учетом элементов множества конструктивных параметров Z={zl, z2, ..., zv} и модели объекта управления определяется множество (перечень) решаемых задач F={fi,f2,.,fr}, обеспечивающих достижение оптимальных (заданных) значений критериев из множества K={kl,k2,.,km}.

Модель объекта управления - соответствие Q, установленное между элементами множества Z и элементами множества F. Отображение связи между множеством решаемых задач F={fl,f2,.,fr} и элементами множества критериев K={kl,k2,.,km} осуществляется соответствием P.

В классической теории управления к системам автоматического управления предъявляют требования по точности, характеру переходных процессов, виду задающих и возмущающих внешних воздействий, характеристикам энергопитания и т.д. [1-3].

При оценке эффективности рассматриваются характеристики системы управления, связанные с ее динамикой и точностью. Так как эти характеристики являются качественными, то вводятся количественные эквиваленты качественных характеристик, которые называют критериями (показателями) качества систем автоматического управления. Эти показатели делят на показатели качества в установившемся режиме и показатели качества в переходном режиме.

Критерии качества в установившемся режиме характеризуют качество поддержания законов изменения переменных управляемого процесса (точность). В переходном режиме критерии характеризуют динамику системы или характер движений системы при переходе из одного установившегося состояния в другое.

Так как критерии оценки эффективности функционирования систем управления не теряют свой смысл и в условиях неполноты данных, то рассмотрим критерии классической теории управления более подробно.

По переходной функции h(t) определяются следующие показатели:

♦ установившееся значение переходной функции:

h= lim h

t

♦ время регулирования tp (показатель характеризует быстродействие системы):

tp=min{t\h

где 8-число (обычно £=0,05, иногда 0,01 или 0,03);

♦ перерегулирование:

а = hmax - h" -100%,

К

где hmax - максимальное значение переходной функции h(t);

♦ число колебаний h(t) за время переходного процесса (колебательность системы):

Nk=tp/Tk,

где Tk - период колебаний; Nk - число полных колебаний h(t) за время tp.

Предполагают, что установившийся режим работы системы начинается с момента окончания переходного режима tp и продолжается до бесконечности, так как изменение режимов работы системы происходит достаточно редко по сравнению с

длительностью переходных процессов. Тогда показатели качества системы в уста-

новившемся режиме находят из анализа вынужденного движения системы, которое описывается частными решениями систем дифференциальных уравнений системы автоматического управления.

Критериев качества системы в установившемся режиме является ее ошибка

8=max\y3m

где y^ft) - вынужденная составляющая управляемой переменной системы; уэт^) - желаемый закон изменения управляемой переменной системы.

Так как для следящих систем уэт(t) равно задающему воздействию g(t), то ошибка по задающему воздействию:

8g = max |g

говорит об отклонении или рассогласовании системы управления с обратной связью.

Ошибки систем автоматического управления классифицируют в зависимости от вида воздействий - ошибки по задающему g(t) и возмущающему воздействию f(t). Определение ошибок различаются тем, что в при возмущении f(t) в формуле

(5) Уэт(0=0:

8f = max| у eblHf

t>tp

где уеын() - вынужденная составляющая выходной величины, а Sf(t) - отклонение системы, обусловленные действием только возмущения f(t).

Формулы (5-7) определяют структурную ошибку системы, так как они определяются структурой системы.

Точность систем управления определяется ошибками, с которыми они воспроизводят задающие воздействия и подавляют влияние возмущений. При создании систем управления стремятся обеспечить как можно меньшую ошибку при хорошем переходном процессе.

Эффективным способом уменьшения ошибок является придание системам автоматического управления свойства инвариантности [1,2]. Цель управления определяется группой показателей, объединенных в функционал (целевую функцию). Целевая функция дополняется аналитической моделью оптимизируемой системы с непрерывным или дискретным [4] временем. В адаптивных системах управления с определением целевой функции связывают локальные и глобальные критерии эффективности функционирования.

Задачи оптимизации системы автоматического управления в рамках описания в пространствах состояний для непрерывного динамического объекта имеет вид:

хвых

а

где ^ - символ оператора; а - вектор постоянных параметров, подлежащий идентификации; хвх - вектор входных параметров; хеы1х - вектор выходных параметров; 1[х<хах)ыа1 - целевой функционал. На переменные в формуле (8) влияют ограничения вида неравенств.

Задачи оптимизации систем автоматического управления определены классом систем: стабилизация, слежение, терминальное управление, управляемая операция. Для оптимизации во всех четырех классах задач теории автоматического управления применяют классический целевой функционал в виде функционала Больца [5]:

I = УЗ[х

'1

где УЗ - заданная скалярная функция конечного состояния, Ь - заданная скалярная функция векторов состояний и управления, а также времени; и(') - функция управления; х(0) - функцией вектора состояний.

Известны следующие виды целевых функционалов, применяемые в теории автоматического управления [2]:

♦ критерий точности непрерывного слежения:

где у(1;) - выходная величина; узад - заданное значение выходной величины;

Н - заданная матрица;

♦ функционал с аддитивной функцией затрат на управление:

'2 '2

I = У3 [х

'1 '1

где УЗ, дЗ, иЗ - заданная функции;

♦ функционал с аддитивной квадратичной функцией затрат на управление

'2 '2

I = у3 [ х

'1 '1

где к - заданная невырожденная матрица (функция вектора состояний х(©));

♦ квадратичный функционал (функционал Летова-Калмана):

'2 '2

I = 0,5хТ

'1 '1

Т акже применяются функционал обобщенной работы с аддитивными степенными функциями затрат на управление и с квадратичными функциями затрат на управление, квадратичный функционал обобщенной работы.

Применение перечисленных критериев оптимальности возможно при априорном задании аналитических моделей объектов управления, что является существенным ограничением при управлении в условиях неполноты данных.

Рассмотрим формализацию критерия адаптивных стохастических систем управления в условиях неполноты данных.

При решении задач адаптивного управления в условиях неполноты данных отсутствуют сведения о модели объекта управления, поэтому нельзя применять критерии (1)-(7) и целевые функционалы (9)-(13) для оценки эффективности функционирования. Однако получать сведения о достижении поставленной цели управления необходимо, поэтому для адаптивных стохастических систем управления в качестве целевых функционалов используют математические ожидания функционалов.

Если ввести р(х,и,') двумерную плотность безусловного распределения вероятностей векторов состояния и управления от времени, то при решении стохастических задач оптимизации целевой функционал представляет собой безусловное математическое ожидание:

где М - символ математического ожидания.

Если состояние объекта управления в течение рассматриваемого интервала времени определять, как х=к(х) + п('), где к - известная функция вектора состояний, т)('} - шум наблюдения, и ввести р(х,и,'/2) - условную плотность распределения вероятности при наблюдении величины, то при решении стохастических задач оптимизации целевой функционал представляет собой условное математическое ожидание:

где МУ - символ условного математического ожидания.

Оценка достижения поставленной цели управления с применением функционалов (14) и (15) требует идентификации распределений р(х,и,') и р(х,и,'/2), что представляет собой сложную задачу, так как гипотезы о виде распределений р(х,и,') и р(х,и,'/2) должны быть обоснованы, а параметры этих распределений идентифицированы. Это является существенным ограничением для применения данного подхода.

Для формализации критерия адаптивных стохастических систем управления в условиях неполноты данных применим следующий подход. Цель управления формулируется в терминах математического ожидания заданного функционала качества управления. Так как адаптивная система управления является системой с обратной связью, то для каждого момента времени присутствует оценка х(') со-

I = м [I ] = 11 [ х, и ] р (х, и, ©) ахаи

I у = М у [ I ] = 11[ х, и] р( х, и, і / 2)ёхёи

вершенного управления y(t-1) как оценка изменения выходного параметра e(t) объекта управления. Параметры x(t), y(t) и e(t) являются случайными величинами.

Изменение выходного параметра e(t) (t=0, 1, 2, 3,...) объекта управления в терминах теории игр будем рассматривать, как выигрыш или проигрыш за совершенное управление (действие в терминах теории игр). В целом, для стохастических систем при случайном выборе управления в рамках выбранной стратегии функционал для оценки качества будем рассматривать как математическое ожидание достигаемого результата управления. Тогда задача оптимального управления сводится к задаче максимизации выигрыша за совершенные управления при выбранном виде критерия, как функционала качества. Функционал качества зависит от времени t, является измеримым и имеет вид:

где x=(xt, Xt-1, ..., X3, X2, Xi), yt-1=(yt-i, yt, У2, yi, Уо), т.е для t=1 pi=p(xi,yo), для t=2

P2=p(X2,Xi,yi,yo), для t=3 P3 = P(X3,X2,Xi,y2,yi,yo) и т.д.

Математическое ожидание функционала определяется по формуле [6]:

Eppt+l = W(yt) = J p(xj,x2,...,xt+1,Уо,У1;...,yt)p(dxt+Jx1>x2,-5xt,

X

yo,yhy2,-,yt)p

и рассматривается как выигрыш W(yt) = W(yo,yi,y2,.,yt) от совершенных управлений в тактах времени 0, 1, 2, ., t. В терминах теории игр значение функционала pt называют выигрышем в момент t, а Ept - средним выигрышем при выбранной стратегии управления объектом в условиях неполноты данных.

Если в каждом такте времени t принято стохастическое правило Ft, в соответствии с которым выбирается управление yt, то можно говорить, что задана программная случайная стратегия <7={Fo,Fi,F2,...,FtJ. Математическое ожидание Ept функционала pt=p(xi,x2,...,xt,yo,yi,..,yt_i) в этом случае является стохастической функцией предшествующих управлений и имеет вид [6]:

ЕР = Wa(t) = J p(xPr^.^xt;yo^..^yt-1)M(dx11yo)F(dyo)x

X xYl

XpdX2/Xi,yo)F(dyi/Xi,yo)pdX3/X2,Xi,yi,yo)F(dy2/X2,Xi,yi,yo)x. ..

XjU

Корректность с математических позиций задания функционалов вида (17) и (18) требует, чтобы вид функционала как цели управления должен быть необры-вающимся, т.е. требуется неограниченное продолжение управления объектом. В более общей постановке задачи будем считать, что задано множество 2={а} стратегий управления и в каждый такт t выбирается стратегия a(t). Пусть за такты управления 0,1,2,. ,t выбрано а стратегий. Наибольшее значение математического ожидания функционала p(t) определится по формуле:

W = sup wxo,

Gtе2

где W() - математическое ожидание функционала при выбранной стратегии управления а

При асимптотическом значении t^x математического ожидания функционала p(t) представляет собой максимальный предельный средний выигрыш адаптивной системы управления

Щ = ііш Щ (і).

і

Известна формулировка цели управления в сильном смысле [6] как поиск стратегии а, которая позволит обеспечить выполнение неравенства для произвольного отклонения £>0:

Если величина 8 произвольная, то целью является асимптотическая оптимальность, которую формально определяют в виде пределов:

Согласно формальному определению критерия адаптивных стохастических систем управления в условиях неполноты данных задача адаптивного управления состоит в поиске стратегии, которая обеспечит при всех значениях тактов >0 выполнение неравенства:

Поиск стратегии (или совокупности стратегий) управления для адаптивных стохастических систем в условиях неполноты данных осуществляется эвристическим путем, т. е. для выбранных моделей систем управления разрабатываются и исследуются алгоритмы поиска управления, обеспечивающих выполнение условий (21)-(26) [7].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. - 4-е изд., перераб. и доп. - СПб.: Профессия, 2003.

2. Красовский А.А. и др. Современная прикладная теория управления: Оптимизационный подход в теории управления / Под ред. А.А.Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч.1. - 400 с.

3. Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. - 2-е изд. перераб. -М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература, 2004. - 252 с.

4. Стейц В. Метод пространства состояний теории дискретных линейных систем управления. - М.: Наука, 1985.

5. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. - М.: Наука, 1966.

6. Срагович В.Г. Теория адаптивных систем. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

7. Финаев В.И., Мажди Наср Аллах. Адаптивные автоматные системы управления. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008. - 151 с.

у-1

или фиксированного отклонения 8 (говорят о цели 8-оптимальности):

или

Щ^^) > Щ(і) -8, 8 > 0,

либо неравенства

Ща(і) > Щ-8.

Белоглазов Денис Александрович Бублей Сергей Евгеньевич

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: fin_val_iv@tsure.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371773.

Beloglazov Denis Aleksandrovich Bubley Sergey Evgen’evich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: fin_val_iv@tsure.ru.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371773.

УДК 004.932.2

Е.А. Вершовский МЕТОД КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА КЛАСТЕРИЗАЦИИ МУЛЬТИСПЕКТРАЛЬНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

Рассматривается задача сравнения результатов кластеризации мультиспектраль-ных изображений. Предлагается разработанный автором для её решения метод контроля качества кластеризации. Приведены результаты сравнения метода контроля качества кластеризации с известным методом матрицы ошибок. Рассматривается применение этой задачи на практике.

Данные дистанционного зондирования; матрица ошибок; матрица соответствия; метод контроля; качество кластеризации.

E.A. Vershovsky

QUALITY CONTROL METHOD FOR REMOTE SENSING DATA CLUSTERING

Problem is considered about remote sensing data clustering results comparing. It is offered designed by author for her decisions method to clustering quality control. The broughted results of the comparison of the clustering quality control method with well known error matrix method. It is considered using of this problem in practice.

Remote sensing data; error matrix; accuracy matrix; clustering quality; control method.

При проведении автоматического контроля качества кластеризации мультис-пектрального снимка возникает ряд сложностей. На сегодняшний день для задачи кластеризации мультиспектральных данных не существует, так называемых, «бенчмарок» - общепризнанных тестовых наборов данных и заданий, с помощью которых можно оценить процент правильности кластеризации того или иного используемого алгоритма [1]. Под правильностью, в данном случае, понимается общий процент совпадения всех точек каждого кластера всем заранее известным точкам соответствующего класса поверхности, полученным методом полевых исследований или натурных наблюдений. В качестве примера бенчмарки для общей задачи кластеризации можно упомянуть Fisher's Iris data set [2,3]. Однако бенчмарки для общей задачи кластеризации не могут использоваться для оценки качества кластеризации мультиспектральных данных.

І9І