Оптимизация поглощенной дозы радиации при перелётах на геостационарную орбиту с малой тягой

УДК 629.78.086: 517.977.5: 550.388.2

А. Е. Старченко

РКК «Энергия» им. С. П. Королёва Московский физико-технический институт

Оптимизация поглощенной дозы радиации при перелетах на геостационарную орбиту с малой

тягой

При перелётах космических аппаратов с низких орбит на геостационарную с использованием только двигателей малой тяги возникает проблема поглощения бортовыми системами большой дозы космической радиации. Космическая радиация негативно влияет на бортовые системы и может приводить даже к выходу из строя всего космического аппарата. В работе предложен способ снижения дозы радиации, поглощённой космическим аппаратом при перелёте с низкой круговой орбиты на геостационарную, за счёт изменения формы траектории довыведения. Удалось снизить дозу радиации на 20-30% при увеличении времени перелёта не более чем на 1-6% относительно оптимальной по быстродействию траектории.

Ключевые слова: космический аппарат, орбитальные перелёты, геостационарная орбита, двигатели малой тяги, космическая радиация, радиационные пояса Земли.

A. E. Starchenko

S. P. Korolev rocket and space corporation «Energia» Moscow Institute of Physics and Technology

Absorbed space radiation dose optimization of a low-thrust geostationary orbit transfer

The problem of a large absorbed space radiation dose arises during a low-thrust spacecraft orbit transfer from low Earth orbit to geostationary orbit. Space radiation can have negative effects on onboard systems or even can cause a fail of the whole spacecraft. In this paper, we propose a method of space radiation dose decrease absorbed during spacecraft orbit transfer from low Earth orbit to geostationary orbit. The main idea of the method is to vary the shape of the orbit insertion trajectory to find less harmful ways to the final orbit. We managed to find trajectories with dose decreased by 20-30% and transfer time increased only by 1-6% with respect to the time-optimal insertion trajectory.

Key words: spacecraft, orbit transfers, geostationary orbit, low-thrust propulsion, space radiation, Van Allen radiation belts.

1. Введение

При разработке многоразового межорбитального транспортного аппарата (МТА) с двигательной установкой малой тяги возникает проблема получения этим аппаратом больших доз космической радиации при длительных перелётах внутри радиационных поясов Земли [1], например между низкими круговыми орбитами и геостационарной. Если МТА использует ядерную электрореактивную двигательную установку (ЭРДУ), то накопление большой дозы приводит к деградации и отказам бортовой электроники, а также накоплению статического заряда на корпусе аппарата. Большой накопленный статический заряд при разряде в плазму собственной атмосферы МТА может также вывести из строя как электронные компоненты аппарата, так и весь аппарат в целом. Если же МТА использует солнечную ЭРДУ, то к указанным выше проблемам добавляется проблема деградации

по мере накопления дозы полупроводниковых элементов солнечных батарей, что приводит к снижению выдаваемой электрической мощности, а следовательно, и к снижению эффективности перелёта аппарата, увеличивая при этом время перелёта МТА.

Помимо проектов многоразового межорбитального транспортного аппарата проблема больших поглощенных доз радиации возникает при маневре довыведения космических аппаратов (КА) с высокоэлиптической геопереходной орбиты (ГПО) на геостационарную орбиту (ГСО) с использованием только электрореактивных двигателей. Этот вариант до-выведения в настоящее время является перспективным, поскольку позволяет доставить на ГСО большую массу полезной нагрузки, чем традиционное довыведение двигателями большой тяги.

На сегодняшний день все известные методы защиты от космической радиации можно условно разделить на две основные группы: пассивные и активные. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Методы пассивной защиты, состоящие в утолщении радиационной защиты, подборе материалов, перекомпоновке космического аппарата, требуют увеличения массы корпуса КА, что приводит к снижению массы полезной нагрузки. А методы активной защиты сильно усложняют конструкцию космического аппарата, снижая тем самым его надёжность. Кроме того, некоторые методы активной защиты требуют больших затрат электроэнергии и используют сильные магнитные поля [2], которые могут негативно влиять на работу бортовой электроники. Таким образом, существующие методы защиты от космической радиации не являются достаточно эффективными, чтобы решить указанные выше проблемы больших доз радиации. Проблема поглощения больших доз радиации является актуальной и требует решения.

В данной работе представлен ещё один способ снижения дозы радиации, полученной при перелёте космического аппарата с низкой круговой орбиты на геостационарную орбиту с помощью двигателей малой тяги. Данный способ связан со специальным выбором траектории КА или, говоря точнее, с поиском траектории с минимальной дозой радиации. Существенная часть накопленной дозы является дозой радиации, полученной при пересечении радиационных поясов Земли (РПЗ), неравномерно распределенных в околоземном пространстве. Поэтому наряду с традиционными методами снижения поглощенной дозы радиации имеет смысл рассмотреть задачу о поиске траектории пересечения РПЗ с минимальной поглощенной дозой радиации.

Следует также отметить, что известен ряд работ [3-6] по решению подобной задачи, но, как правило, в этих работах либо достигается меньшая эффективность снижения дозы, либо снижение дозы не является основной целью работы.

2. Постановка задачи

Пусть на космический аппарат действует только сила притяжения Земли и сила тяги электрореактивной двигательной установки (ЭРДУ). Потенциал притяжения Земли будем считать центральным ньютоновским, а тягу и скорость истечения ЭРДУ - постоянными. Также считаем, что на возможную ориентацию вектора тяги не наложено никаких ограничений, и выдавать импульс ЭРДУ может в любом направлении. При этом соответствующие развороты КА будут считаться мгновенными и не требующими затрат рабочего тела. Наконец, примем, что на космическом аппарате установлен дозиметр, измеряющий дозу радиации только от потоков заряженных частиц радиационных поясов Земли.

Пусть задана начальная низкая круговая орбита высотой 400 км ^ Ло ^ 1000 км и некоторым наклонением го > 0. Целевой орбитой КА будет геостационарная орбита (ГСО) высотой Л,/ = 35 793 км с нулевыми эксцентриситетом и наклонением г^ = 0. Угловое положение КА на начальной и конечной орбитах в данной работе не имеют значения, так как используются осреднённые за виток уравнения движения КА. Для каждых конкретных значений Ло и го найдём такую траекторию перелёта, чтобы бортовой дозиметр космического аппарата за время от начала перелёта с начальной орбиты до целевой показал наименьшее значение поглощенной дозы радиации.

В качестве проектных параметров рассматриваемого КА будем использовать следующие значения: масса КА на начальной орбите Мо = 40 797 кг, суммарная тяга и удельный импульс ЭРДУ Ттах = 27,929 Н и 1зр = 71 000 м/с соответственно. Таким образом, наименьшее ускорение КА при включенной двигательной установке равно ~ 6,85  10-4 м/с2.

3. Уравнения движения

Для простоты в данной работе рассматриваются только перелёты с малыми эксцентриситетами промежуточных орбит, то есть околокруговые перелёты. По этой причине радиальную составляющую тяги можно положить равной нулю, и тогда для задания направления тяги необходимо задать лишь один угол - угол ф между плоскостью оскулиру-ющей орбиты и направлением вектора тяги ЭРДУ. В качестве закона управления углом ф был выбран релейный закон управления:

ф = фо sign(cos и),

где фо € (—7г; 7г] - амплитуда отклонений вектора тяги при релейном управлении, и -текущий аргумент широты. Причина такого выбора состоит в простоте этого закона и его близости к локально-оптимальной программе управления [7]. Как и в задаче оптимального быстродействия, в задаче с минимальной дозой выключение ЭРДУ неоптимально, поэтому далее считается, что двигательная установка всегда включена. В этих предположениях осреднённые уравнения движения КА согласно [7] будут иметь вид

/ о3

-=2У - «* ъ,

М 2 Га . , ч

-Г = ~\~sin'ф о,

ат куц

где а - текущая большая полуось орбиты, г - текущее наклонение орбиты, ц - гравитационный параметр, и в качестве времени взята фактически затраченная характеристическая скорость т = — 1зр 1п — /"д^р Ь^, ^ - время от начала перелёта.

4. Целевой функционал

Целевой функционал дозы в данной работе имеет вид

т/

т,

D

где N^ (т, i) - мощность дозы как функция текущего радиуса орбиты г = а и наклонения г. Численно этот функционал равен дозе радиации, полученной КА за время от ¿о = 0

до t f = ^0 Isp — е при изменении большой полуоси по закону а = а (г), а наклоне-

ния - по закону г = г(т).

Функция N^ (т, г) рассчитывается численно из существующих моделей радиационных поясов Земли. Построение функции мощности дозы производилось с помощью системы SPENVIS (The European Space Agency Space Environment Information System, http://www.spenvis.oma.be/), доступ к которой осуществляется через веб-сайт. По причине того, что функцию N^(т, г) в данной работе приходится вызывать тысячи раз, и через ручной веб-интерфейс это может занять очень долгое время, в данной работе была построена аппроксимационная модель мощности дозы на основе массива данных, полученных из SPENVIS.

Для построения аппроксимационной модели мощности дозы была выбран набор из 16 х 25 = 400 невозмущенных кеплеровых орбит, на которых считалась доза за 2 суток

о

(чтобы КА на орбитах с наибольшим периодом - ГСО - успел совершить более одного витка). При этом чувствительный элемент, в котором БРЕУУШ рассчитывала дозу, состоял из кремния и находился на гипотетическом КА за алюминиевой однородной пластиной толщиной 4 мм. Предполагалось, что поток заряженных частиц падает на чувствительный элемент только сквозь пластину. Далее полученные дозы радиации делились на 2 х 24 х 3600 с = 172 800 с, и получалась средняя мощность дозы на выбранных орбитах. Указанный выше набор орбит состоял только из круговых орбит с неравномерно изменяющимися большой полуосью и наклонением. Принцип выбора конкретных больших полуосей и наклонений орбит можно выразить очень коротко: расчётных точек больше там, где быстрее изменяется средняя мощность дозы.

Далее при расчёте функции Жд (г, г) в нужной точке средняя мощность дозы аппроксимировалась сглаживающими базисными сплайнами 4-го порядка [8] с помощью функции МЛТЬЛБ 8рар8. Таким образом, была получена функция расчета средней мощности дозы Жд(г, г), доступная офлайн и работающая без ручного вмешательства в среде МЛТЬЛБ. Полученная трёхмерная поверхность Жд = Жд (г, г) изображена на рис. 1, где белыми крестами показаны расчетные точки БРЕКУШ.

Также в данной работе понадобилось вычисление частных производных Жд (г, г) по радиусу и наклонению в произвольной точке. Эти производные вычислялись аналитическим дифференцированием полученных сплайнов для Жд (г, г) с помощью функции 1пёег в среде МЛТЬЛБ.

радиус х107, м

Рис. 1. Зависимость средней мощности дозы РПЗ Уд от радиуса и наклонения орбиты в построенной аппроксимационной модели. Белыми крестами отмечены расчетные точки ВГКМУТВ

5. Оптимальное управление

Для получения оптимального в смысле функционала дозы (3) управления системой (1) - (2) в данной работе применяется принцип максимума Понтрягина. Функция

Понтрягина для данной системы будет иметь вид

Л Мо -7г-

2 Га

Н = -N0 (а, Г)—— е + 2Аа4/ — еов фо + А,-*/ - вт фо

Т,

К \ /Л

где Ха и А, - сопряженные переменные к большой полуоси и наклонению соответственно. Оптимальное управление ^о,ор находится из необходимых условий оптимальности и имеет явный вид:

а\а

фо,орь = signЛ¿  агееов |

Тогда сопряженные уравнения имеют вид

+ ^

(1\п

дИв Мо

(I-т дг Ттах Л1 = Шв Мо -(1т дг Т,

р - Ха 3,/- еовфо - А,

к^/аЦ

вт фо,

Полную систему уравнений (1) - (2), (5) - (6) с управлением (4) далее для краткости будем называть системой уравнений оптимального движения.

6. Краевая задача

Для удовлетворения всех условий принципа максимума необходимо решить краевую задачу для системы уравнений оптимального движения со следующими краевыми условиями:

а(0) = го, г(0) = го,

а(т1) = г/, г(у) = 0, Норь(т}) = 0,

где Tf - свободно, а Нор^(т) - гамильтониан, то есть функция Понтрягина на оптимальной траектории. Неизвестными параметрами краевой задачи являются начальные значения сопряженных переменных и время перелёта:

= [А,,о Аа,о ту]

т

где z - вектор неизвестных параметров. Для удовлетворения краевых условий (7) и нахождения z решим следующую систему нелинейных уравнений:

7 (a(Tf) - г1 У

Къ)

. Hopt(Tf) ,

Аг,о < 0, Аа,о > 0, 0,

где a(тf), i(тf) и Hopt(тf) - функции от z, равные большой полуоси, наклонению и гамильтониану на правом конце соответственно, полученные в результате интегрирования системы уравнений оптимального движения с начальными условиями (7) - (8), начальными значениями сопряженных переменных Аа,о, А,,о и временем интегрирования Tf. Условия на начальные значения сопряженных уравнений в (11) соответствуют повышению большой полуоси и снижению наклонения. Множитель 7 ~ ^ введён для обеспечения одного порядка величин невязок в векторе Е и улучшению точности сходимости численных методов.

3

т

z

0

7. Метод решения краевой задачи

Для решения нелинейной системы уравнений (10) в данной работе применялся алгоритм мультистарта, многократно использующий метод Левенберга-Марквардта [9,10], который в свою очередь многократно интегрировал систему уравнений оптимального движения для расчёта невязок на правом конце. Будем далее иметь в виду под запуском метода Левенберга-Марквардта запуск функции МЛТЬЛБ ^попИп с параметрами, выбирающими данный метод, и начальной точкой с некоторым значением zo. После срабатывания хотя бы одного из критериев останова будем считать, что функция ^попНп записывает решение в некий вектор z*. При численном интегрировании уравнений оптимального движения использовался многошаговый метод Адамса-Башфорта-Мультона переменного порядка [11] и его реализация в среде МЛТЬЛБ в виде функции оёе113.

Во избежание путаницы далее для операции присвоения одной величине значения другой величины будем ставить двоеточие перед знаком равенства. Итак, используемый алгоритм мультистарта состоит из следующих шагов:

1) решить задачу оптимального быстродействия: задать функцию мощности дозы Мд := 1, начальную точку zo := z0 и запустить алгоритм Левенберга-Марквардта,

2) построить вокруг полученного решения z* параллелепипед, внутри которого выбрать случайно к точек Zj, ] = 1.. .к, присвоить г := 1, присвоить Мд сплайновую функцию мощности дозы, описанную в разделе «Целевой функционал»,

3) повторить к раз следующие шаги:

• задать z0 := Zi,

• запустить алгоритм Левенберга-Марквардта,

• запомнить точку z*, присвоить г := г + 1.

В данной работе использовалось значение к = 100, но если решения с достаточно малыми невязками на правом конце не получалось, то алгоритм перезапускался. То есть реально значение к может превосходить 100. Начальное приближение z0 зависит от начальных условий перелёта, в том числе и от начального наклонения о. Поэтому приближение выбиралось отдельно для каждого тестового случая с различными начальными условиями (см. раздел «Численные результаты»). Следует добавить, что подобрать это начальное приближение для конкретных начальных условий достаточно просто, поскольку область притяжения решения с малыми невязками в задаче оптимального быстродействия очень большая.

8. Численные результаты

Прежде чем применять описанную в предыдущем разделе методику к модели мощности дозы радиационных поясов Земли, был проведен ряд верификационных тестов, связанных как с проверкой самих уравнений движения, так и с откликом системы на функцию мощности дозы. Всё численное моделирование, проведённое в данной работе, было полностью выполнено в среде МЛТЬЛБ И2011Ъ (7.13.0.564) 32-Ы1 (-№т32). Также стоит отметить, что во всей работе использовались безразмерные единицы. В качестве единицы длины использовалась величина радиуса начальной орбиты го. Единица времени неявно задавалась уравнением ц = 1. Наконец, единицей массы была принята начальная масса КА Мо.

Для проверки правильности используемой реализации уравнений движения и формализма принципа максимума проведен тест на решение задачи оптимального быстродействия. Результаты сравнивались с решением из работы [7]. В этой работе были приведены результаты оптимизации перелёта с релейным управлением для следующих краевых условий: го = 6771 км (Ло = 400км), го = 51,6°, Г/ = 42164км, if = 0 (ГСО). Программы управления фо = фо(т) оказались практически совпадающими. Зависимости радиуса от

характеристической скорости г = г(т) в обеих работах имеют немонотонный участок («заброс», ниже по тексту его будет можно увидеть на пунктирных линиях рис. 2-4 и 7). Наклонение = ( ) изменяется монотонно в обоих случаях. Конечная характеристическая скорость Tf в указанной работе составляет 7,805 км/с, тогда как полученное в тесте значение равно 7,822км/с (отличие на 0,2%).

5 45 4 35 3 2.5 2 15 1

радиус, х107 м

Рис. 2. Тест с модельной функцией мощности дозы N^,1- Пунктирная линия - траектория с минимальным временем, сплошные линии - различные решения задачи на минимум дозы

ж

/ иг

/ — ! / /

х /

/

радиус, х10г м

Рис. 3. Тест с модельной функцией мощности дозы N^,2- Пунктирная линия - траектория с минимальным временем, сплошные линии - различные решения задачи на минимум дозы

Для проверки правильности реакции системы на форму функции мощности дозы были проведены тесты, в них выбирались в качестве N0 некоторые модельные функции, для которых заранее будет известно, в какую область должны притягиваться результирующие траектории. В качестве таких модельных функций выбраны следующие:

г) = 1 — ехр

Мв,2(г, г) = 1 — ехр

/г - 30\

г - 2,15  10 2,5 • 106

N0-

1 - ехр

/г - 1,75  107\ V 2,5  106 )

Каждая из этих функций - константа, равная единице, за исключением «долин» различной конфигурации, где мощность дозы снижается до нуля. Функция N0,1 имеет «долину» при наклонении 30°, N0,2 - при радиусе 21 500 км, а функция N^,3 имеет пересечение двух «долин» по наклонению и радиусу при наклонении 20° и радиусе 17 500 км. Траектория с минимальной дозой должна иметь тенденцию - как можно большую часть времени перелёта находиться в «долине», а не на «равнине». Высота и наклонение начальной орбиты в трёх этих тестах были одинаковы и равны Ьо = 800 км, го = 51,6° соответственно. Целевая орбита - ГСО. Некоторые полученные траектории представлены на рис. 2-4 в осях «наклонение-радиус», цветом обозначена мощность дозы. На этих рисунках траектория с минимальным временем представлена пунктирной линией, а различные решения задачи на минимум дозы - сплошными линиями. Результаты тестов совпадают с ожиданиями.

Рис. 4. Тест с модельной функцией мощности дозы Пунктирная линия - траектория

с минимальным временем, сплошные линии - различные решения задачи на минимум дозы

2

2

2

После проведения всех тестов методика решения задачи о траекториях с минимальной дозой радиации была применена к аппроксимационной модели мощности дозы радиационных поясов Земли. Было выбрано 7 начальных орбит с одинаковой высотой Ьо = 800 км и различными наклонениями: 5°, 15°, 28,5°, 42°, 51,6°, 63,2° и 78°. Для каждого из этих перелётов подобран вектор начальных приближений вектора неизвестных парамет-

ров в задаче минимального времени. Для начального наклонения го = 5° он был ра-

т т

вен z0 = [—1 0,5 1] , для остальных наклонений - z0 = [—1 1 1] . Далее для каждого из перелётов применялся алгоритм мультистарта, описанный в разделе «Метод решения краевой задачи». Затем из полученных траекторий выбирались траектории с малыми невязками на правом конце. Некоторые из отобранных траекторий представлены на рис. 5-8 в осях «наклонение-радиус», цветом обозначена мощность дозы. На этих рисунках видно, что траектории имеют две тенденции, проявляющиеся по мере снижения дозы. Первая тенденция - траектории стремятся «облететь» области высокой мощности дозы, то есть радиационные пояса Земли, пролетев как можно дольше в областях малой мощности дозы. Вторая тенденция - если область высокой мощности дозы (радиационный пояс) не удаётся «облететь», то траектории стараются не менять наклонение внутри области высокой мощности дозы, то есть пересекают радиационные пояса «по нормали» к ним (в осях «наклонение-радиус»). Последняя тенденция хорошо согласуется с механикой космического полёта, откуда известно, что манёвр изменения наклонения орбиты гораздо более затратный по характеристической скорости, а следовательно, более долгий, чем манёвр увеличения большой полуоси орбиты. Поэтому действительно кажется более выгодным (в смысле поглощенной дозы радиации) пересекать радиационные пояса Земли, только лишь «быстро» увеличивая большую полуось внутри них, а затем вне поясов «медленно» изменять наклонение орбиты.

45 4 35 3 25 2 1.5 1

радиус, х107 м

Рис. 5. Траектории перелёта с минимальной дозой. Начальная орбита: ho = 800 км, io =5°, конечная - ГСО

Также величины доз поглощенной радиации и времена перелётов на ГСО для отобранных траекторий с минимальной дозой и минимальным временем были отложены в осях «доза-время» для различных начальных наклонений. Результат представлен на рис. 9. На данном рисунке видно, что все полученные траектории с минимальной дозой доминируют по Парето над траекториями с минимальными временем. Это говорит о возможной большей привлекательности траекторий довыведения с минимальной дозой по сравнению с оптимальными по быстродействию траекториями. Стоит отметить, что это утверждение может перестать быть справедливым при добавлении в задачу многокритериальной оптимизации помимо дозы и времени перелёта других критериев качества.

¡Мощность ДОЗЫ 1М0

Минимальное время, О = 4771 рад, I = 92.7 суток Минимальная доза, Р = 3852 рад (-19.3%), ( = 93.9 суток (+1.28%) I Минимальная доза, О = 3470 рад (-27.3%), I = 96.6 суток (+4.19%) I Минимальная доза, Р = 3313 рад (-30.6%), ( - 98.6 суток (+6.35%) |

В

НП Ш11

ВМШШШ ШИ1 II III

III

радиус, х10 м

Рис. 6. Траектории перелёта с минимальной дозой. Начальная орбита: ко = 800 км, г о = 28,5° конечная - ГСО

^^ Мощность дозы

Минимальное время, И = 3536.3 рад, 1 = 122.2 суток Минимальная доза, О = 2831.5 рад

Минимальная доза, Р = 2384.3 рад

Рис. 7. Траектории перелёта с минимальной дозой. Начальная орбита: ко = 800 км, г о = 51,6°, конечная - ГСО

Рис. 8. Траектории перелёта с минимальной дозой. Начальная орбита: ho = 800 км, io конечная - ГСО

63,2°

♦ ♦ • * 1 1 • Минимальное время * Минимальная доза

• ♦ * \ • •

\ * ♦ * * • •

\ ♦ \ 1 ♦ •

t • • * • * ; •

* * 1 •

* • ч • •

70 ВО 90 100 110 120 130 НО 150 160

Время перелёта, сутки

Рис. 9. Результаты оптимизации траекторий довыведения на ГСО в осях «доза-время»

9. Заключение

В данной работе рассмотрена постановка задачи об оптимизации дозы радиации, поглощенной космическим аппаратом при перелёте с низкой круговой орбиты на геостационарную. Также в работе предложен метод решения данной задачи на основе алгоритма мультистарта и метода Левенберга-Марквардта. С помощью предложенного метода решения поставленной задачи удалось снизить поглощенную в ходе перелёта дозу на 20-30% при увеличении времени манёвра всего на 1-6%. Кроме этого, оказалось, что все полученные в задаче оптимизации дозы траектории доминируют по Парето над траекториями оптимального быстродействия, если рассматривать задачу оптимизации перелёта на геостационарную орбиту с двумя критериями качества - поглощенная доза и время перелёта. Последний факт делает полученные в работе траектории с минимальной дозой привлекательными для рассмотрения при проектировании траекторий довыведения реальных космических аппаратов.

Автор выражает благодарность В.Г. Петухову за ценные комментарии, сделанные им

при обсуждении данной статьи.

Литература

1. Kosmann W.J. A Solar Electric Propulsion Lunar Exploration Architecture Evaluation // IAC-06, C4.4.02. 2006.

2. Панасюк М.И. Странники Вселенной или эхо Большого взрыва. Фрязино: «Век2», 2005.

3. Dutta A, Choueiri E. Minimizing Radiation Fluence during Time-Constrained Electric Orbit-Raising // 23rd International Symposium On Space Flight Dynamics. 2012.

4. Dutta A., Libraro P. [et al.]. Minimum-Fuel Electric Orbit-Raising of Telecommunication Satellites Subject to Time and Radiation Damage Constraints // 2014 American Control Conference (ACC). 2014.

5. Jehn R. Radiation Optimum Solar-Electric-Propulsion Transfer From GTO to GEO // 24rd International Symposium On Space Flight Dynamics. 2014.

6. Петрухина К.В., Салмин В.В. Оптимизация баллистических схем перелетов между некомпланарными орбитами с помощью комбинации двигателей большой и малой тяги // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Т. 12, № 4. С. 186-201.

7. Салмин В.В. Оптимизация космических перелётов с малой тягой. М.: Машиностроение, 1987.

8. Reinsch С. Smoothing by Spline Functions // Numer. Math. 1967. V. 10. P. 177-183.

9. Levenberg K. A Method for the Solution of Certain Problems in Least Squares // Quart. Appl. Math. 1944. V. 2. P. 164-168.

10. Marquardt D. An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters // SIAM J. Appl. Math. 1963. V. 11. P. 431-441.

11. Shampine L.F., Gordon M.K. Computer Solution of Ordinary Differential Equations: the Initial Value Problem. San Francisco: W.H. Freeman, 1975.

References

1. Kosmann W.J. A Solar Electric Propulsion Lunar Exploration Architecture Evaluation. IAC-06, C4.4.02. 2006.

2. Panasyuk M.I. Wanderers in Universe or Echo of the Big Bang. Fryazino: «Vek2», 2005. (in Russian).

3. Dutta A., Choueiri E. Minimizing Radiation Fluence during Time-Constrained Electric Orbit-Raising. 23rd International Symposium On Space Flight Dynamics. 2012.

4. Dutta A, Libraro P. et al. Minimum-Fuel Electric Orbit-Raising of Telecommunication Satellites Subject to Time and Radiation Damage Constraints. 2014 American Control Conference (ACC). 2014.

5. Jehn R. Radiation Optimum Solar-Electric-Propulsion Transfer From GTO to GEO. 24Rd International Symposium On Space Flight Dynamics. 2014.

6. Petrukhina K.V., Salmin V.V. Hybrid Low-thrust and High-thrust Non-coplanar Orbit Transfer Scheme Optimization. Izvestiya Samarskogo nauchnogo centra Rossiyskoy akademii nauk. 2010. V . 12, N 4. P. 186-201. (in Russian).

7. Salmin V. V. Low-thrust Orbit Transfers Optimization. M.: Mashinostroenie, 1987. (in Russian).

8. Reinsch G. Smoothing by Spline Functions. Numer. Math. 1967. V. 10. P. 177-183.

9. Levenberg K. A Method for the Solution of Certain Problems in Least Squares. Quart. Appl. Math. 1944. V. 2. P. 164-168.

10. Marquardt D. An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters. SIAM J. Appl. Math. 1963. V. 11. P. 431-441.

11. Shampine L.F., Gordon M.K. Computer Solution of Ordinary Differential Equations: the Initial Value Problem. San Francisco: W.H. Freeman, 1975.

Поступила в редакцию 27.11.2015.