Построение состоятельной последовательности критериев при условии несогласованности мер

Д.К. Скачек

ПОСТРОЕНИЕ СОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КРИТЕРИЕВ ПРИ УСЛОВИИ НЕСОГЛАСОВАННОСТИ МЕР

Существование состоятельной последовательности критериев говорит о возможности выявления аномального поведения системы. Предполагаем, что состояние системы описывается конечномерным топологическим пространством, на каждом из элементов которого задана вероятностная мера. Цель данной работы - построить пример семейства вероятностных мер, не удовлетворяющих условиям согласованности, и таких, что можно построить состоятельную последовательность критериев для определения аномального поведения.

Ключевые слова: несогласованные меры, состоятельная последовательность критериев, проверка гипотез.

Вопрос о существовании состоятельной последовательности критериев возникает в задачах, описываемых конечными дискретными моделями, например в задачах, связанных с выявлением изменения параметров, определяющих поведение системы. Допустим, что нормальное поведение системы характеризуется некоторым вероятностным распределением. Отклонение поведения системы (аномальное поведение) описывается семейством распределений, но при других параметрах. В этом случае возникает задача выявления аномального поведения. Однако, чтобы делать какие-либо выводы из результатов наблюдения за поведением системы, необходимо знать возможности статистического инструментария по выявлению отклонений. Таким образом, возникает вопрос о существовании статистической процедуры, позволяющей обнаружить аномальное поведение. Существование состоятельной последовательности критериев характеризует возможность выявления отклонения системы от нормального поведения. С другой

© Скачек Д.К., 2010

стороны, их несуществование говорит о том, что может быть построен статистически невыявляемый скрытый канал.

Пусть X = {х1,., хт} - конечное множество, определяющее последовательность конечных множеств X,X2,.,X",. , которые являются множествами последовательностей длины п, п = 1,2,., с элементами из X. Считаем, что на каждом из множеств этой последовательности заданы вероятностные меры

ро,"(х1, .••х"X X е X, " = 1,2,. (О

Рв""

Введем пространство бесконечных последовательностей X~ = {х1,...,X"}, х, е X, п = 1,2,.

Пусть поведение системы описывается некоторой случайной величиной Е- Проверяется простая гипотеза Н0п : Р0п против

сложной альтернативы Н1,п : Рв п, вев.

Для задания критерия проверки гипотез Н0 п против Н1,п при уровне значимости ап необходимо определить критические множества Бп е А^п) такие, что Р0 п )<ап. Мощность данного критерия - это функция Wn (в) = Рв п (Бп) . Здесь А^п) -

и -алгебра всех цилиндрических подмножеств из Xn.

Пусть Тп,п = 1,2,. - последовательность статистических критериев для проверки гипотез Н0 п против альтернатив Н1,п с критическими множествами Яп. Последовательность Тп,п = 1,2,. называется состоятельной, если при п ^^ последовательность уровней значимости ап ^ 0 , а последовательность мощностей

Wn (в) ^ 1 для каждого параметра в ев1.

В случае, когда вероятностные меры (1), (2) удовлетворяют условиям согласованности2, по теореме Колмогорова вероятностные меры (1) определяют единственную меру Р0 на измеримом пространстве ,а), и для каждого ве в семейство конечномерных распределений (2) определяет единственную меру Рв на измери-

мом пространстве (Х~,А). На основе свойств некоторых множеств в тихоновских произведениях в бесконечномерном пространстве в работе Грушо и Тимониной3 доказаны теоремы о существовании состоятельных последовательностей критериев Tn,n = 1,2,... для проверки гипотез H0n против альтернатив H^n

при условии существования открытого покрытия носителя меры Р0.

Кроме того, в случае существования замкнутых покрытий носителей мер P0 и Рв определены условия, при которых возможно принятие решения на конечном шаге п. Несуществование состоятельной последовательности критериев в конечных вероятностных схемах является следствием выполнения некоторых простых достаточных условий , которым должны удовлетворять продолжения вероятностных мер в бесконечное произведение, порожденное исходным конечным пространством.

Приведенные результаты были получены для случая согласованных вероятностных мер (1), (2). В данной работе определяется семейство вероятностных мер, которое не является согласованным. В этом случае без каких-либо предположений топологического характера о структуре рассматриваемых измеримых пространств или о структуре семейства мер P,n теорема Колмогорова о продолжении мер в бесконечномерное измеримое пространство может быть неверна5. То есть нельзя утверждать, что существует вероятностная

мера на измеримом пространстве (х ~, А),где А - а -алгебра, порожденная всеми цилиндрическими множествами из X~ .

Пример

Рассмотрим простую вероятностную модель передачи последовательности сообщений от компьютерной системы KA к компьютерной системе KB через некоторый канал связи S. Будем считать, что поток сообщений однонаправленный. Кроме того, представим, что противник KA1 действует независимо в компьютерной системе KA и посылает скрытые сообщения через тот же канал связи своему напарнику KB1, который находится в системе KB. Сообщения принадлежат некоторому конечному множеству, а их выбор для передачи подчиняется сложному вероятностному закону, который мы не рассматриваем.

Пусть интервалы между сообщениями принимают значения 0 или 1. Тогда после получения (п+1)-го сообщения мы имеем последовательность ) длины п, состоящую из нулей и единиц. Предположим, что нормальное поведение системы характеризуется ситуацией, при которой количество единиц в рассматривае-

п

мой последовательности равно

2

, где [•] - целая часть числа.

Построим вероятностную меру Р0 п, заданную на измеримом пространстве (хп, А(Хп)), где Хп - множество последовательностей длины п с элементами {0, 1}:

Р0,п ) ='

77' ^ = М г=1

0.

Здесь М - количество последовательностей длины п, в которых

количество единиц равно

, то есть М = С["/2].

Покажем теперь, что это семейство мер является несогласованным. Пусть п = 2&, тогда М = Скк. При п = 2& +1 получаем М = Ск2к+1. Очевидно, что для любого номера п и любой последовательности из нулей и единиц длины п

(2к)! (2к +1)!

к !• к! к !• (к +1)!

то есть условие согласованности не выполняется.

Предположим, что аномальное поведение описывается семейством вероятностных мер

Рв,п (Щ'---'Яп ) ='

1 п

—'0*0;

Мв 1=1 0.

Здесь множество 0 = 0,1'.,

-1,

+ 1'.,п. Это семейство

вероятностных мер также является несогласованным для каждого в<=0. Проверяются гипотезы Н0п : Р0п против альтернатив

Ихп : Рв,п, вв0.

В построенном примере носители мер Р0п и Рвп не пересекаются, значит, существует состоятельная последовательность критериев для проверки гипотезы H0n: Р0п против альтернатив

Ии : Рв п, 0е06.

Заключение

Рассматривая задачу о существовании состоятельной последовательности критериев в последовательностях конечных вероятностных схем, мы отказались от согласованности мер, заданных на каждом из рассматриваемых п-мерных пространств, что привело нас к невыполнению условий существования вероятностной меры в пространстве бесконечных последовательностей. Была построена вероятностная модель с несогласованными мерами и показано, что при определенных условиях состоятельная последовательность критериев для выявления аномального поведения системы существует.

Примечания

Грушо А.А., Тимонина Е.Е. Некоторые связи между дискретными статистическими задачами и свойствами вероятностных мер на топологических пространствах // Дискретная математика. М., 2006. Т. 18. Вып. 4. C. 128-135. См.: Ширяев А.Н. Вероятность. М.: МЦНМО, 2004. См.: Грушо А.А., Тимонина Е.Е. Указ. соч.

Грушо АА, Грушо Н.А., Тимонина Е.Е. Теоремы о несуществовании состоятельных последовательностей критериев в некоторых дискретных задачах // Дискретная математика. М., 2008. Т. 20. Вып. 2. С. 26-31; Grusho A., Grebnev N, Ti-monina E. Covert channels invisibility theorem // MMM-ACNS 2007, CCIS 1. St. Petersburg, 2007. Springer. P. 187-196. См.: Ширяев А.Н. Указ. соч. См.: Грушо А.А., Тимонина Е.Е. Указ. соч.

1