Напряженно-деформированное состояние продольно подкрепленных цилиндрических оболочек на основе неклассической теории

New acceptance procedures, sampling and a method of definition of a hydrogen indicator of production are approved. The method of a direct potentsiometriya (ionometriya) has executed definition of fluoride and a hydrogen indicator in samples of toothpastes. By results of a research and comparison to rated values functional suitability of new requirements of metrological support is confirmed.

Key words: metrological support, method of definition of a hydrogen indicator, io-nometriya, mass fraction offluoride, toothpastes.

Murav 'eva Irina Valentinovna, candidate of technical science, docent, iravm@bk.ru, National University of Science and Technology MISiS,

Blagoveshchenskiy Dmitriy Ivanovich, candidate of technical science, iravm@bk.ru, Russia, Tula, Federal budgetary institution «The State regional center of standardization, metrology and tests in Tula region»

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОДОЛЬНО ПОДКРЕПЛЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

В.В. Фирсанов, В. А. Хиеу, Ч.Н. Доан

Уравнения состояния оболочек описываются соотношениями трехмерной теории упругости. Перемещения оболочек разлагаются по нормальной к поверхности оболочки координате в полиномы более высокой степени по отношению к классической теории типа Кирхгофа-Лява. С помощью принципа Лагранжа получены уравнения равновесия оболочек и соответствующие краевые условия. На основании преобразования Лапласа получена аналитическая система уравнений, при этом сокращение числа произвольных постоянных позволяет упростить краевую задачу. Дан пример расчета при различных видах нагрузок и краевых условий.

Ключевые слова: подкрепленная оболочка; неклассическая теория; вариационный принцип Лагранжа; преобразование Лапласа; краевая задача.

Основные уравнения оболочек, усиленных продольными ребрами под действием осесимметричных нагрузок. Ребристая оболочка рассматривается как система, состоящая из собственно оболочки (обшивки) и жестко с ней соединенных продольных ребер. Полагается, что ребра укреплены на внешней поверхности обшивки, размещены на равных расстояниях и имеют одинаковые геометрические и механические характеристики. Система координат (x, y, z) для обшивки выбрана так, что оси x, y совпадают с линиями главных кривизн срединной поверхности обшивки, ось z направлена по наружной нормали к этой поверхности. Система координат (x, Y, Z) для ребер выбрана так, что оси x, Y совпадают с главными направлениями срединной поверхности, а ось Z направлена по наружной нормали к этой поверхности (рис. 1), при этом Z = z - (h + H), где h и H - полутолщины обшивки и ребер.

R

»»жшжж

7

2Н

Чг

х

Рис. 1. Оболочка, усиленная продольными ребрами

Рассматривается круговая замкнутая ребристая оболочка длиной Ь, нагруженная внутренним осесимметричным давлением цг (рис. 1), при этом перемещения обшивки и ребер по направлению у (У) равны нулю, остальные перемещения, деформации и напряжения зависят только от х и г

Для удовлетворения условия энергетической согласованности [1, 2,

3, 4], перемещения обшивки представляются в следующем виде:

г 2

и(х, г) = м0(х) + и^х) • г + и2(х) • —, w(x, г) = ^о(х) + ^(х) • г. (1) Перемещения ребер определяются выражениями

ир

На поверхности контакта между ребрами и обшивкой их компоненты перемещений одинаковы, поэтому условия сочленения ребер и обшивки принимают вид [5]:

и

Поставив (1) и (2) в (3), находим

2

И

и00 (х) = ио(х) + и1(х) • И + и2(х) • — + (х) • Н, w0(х) = Wо(х) + Wl • И. (4) Из соотношений (2) и (4) получим выражения для перемещений ре-

бер

И 2

ир (х, 2) = ио(х) + «1( х) • И + и 2(х) + ир (х) • Н + ир (х) • 2,

wp

В триортогональной криволинейной системе координат формулы «деформации - смещения» обшивки имеют вид [6]:

е х =

1 Эи

1 ЭН

1 1 ЭН1

1 V +--1 w;

Н1 Эх Н1Н2 Эу Н1 Эу

е У =

1 Эv

1

ЭН2 1 ЭН2 Эw

. - и +--- w; е _ =—;

Н1 Эу Н1Н2 Эх Н2 Эг г Эг

2

о

L

У xy

1 дu 1 дv 1

--+----

H2 Эу H1 Эх H1H2

У хг

ЭН1 ЭН2

Эу

и +

Эх

УУ2

1 Эw Эи 1 ЭН

--+----1 и;

Н1 Эх Эг Н1 Эг

1 Эw Эи 1 ЭН 2

+----2 V,

Н2 Эу Эг Н2 Эг 1

где Н = 1, Н2 = 1 + гг, Н3 = 1, г = —, Я - радиус оболочки.

Я

Подставляя разложения (1) в (6), с учетом равенства V = 0, находим деформации обшивки

е х =

duo йи

+

1

2

г +

йи2 г йх йх йх 2 .2/

еу = ^о + г(-^о + м\)г + г (то - Wl)г

•г +

dw{

Э^ Л йи1

^ = ^" = w1, Уху = 0,Ууг = 0, Ухг = и1 + и2г + ~Т *

Эг 7 7 йх йх

0

Геометрические соотношения для ребер записываются как

еР = Эир/Эх, еР =Эvp/дУ, УРу = ЭиР/ЭУ + Эvp/Эх,

Ург = ЭиР/Э2 + Эwp/дх, ур2 = Эvp/Э2 + Эwp/дУ, еР =ЭWР/ЭZ.

Подставляя (5) в (8), с учетом равенства vp = 0, находим деформации ребер

еР = йио + ь йи1

йх йх

ттйиР 1 2 йи2 йир + Н—[— + - Н2—2 + —[— Z, йх 2 йх йх

е Р =е Р =уРу =уР2 = 0, у р2 = ир + Н

+

0

йх йх

Физические уравнения трехмерной теории упругости для обшивки из изотропного материала имеют вид

Ох = 41ех + 42еу + А13ег, Оу = А21ех + А22еу + А23ег,

Тху = А44Уху, Ог = А31ех + А32еу + А33ег, Тхг = А55Ухг, Туг = А66Ууг,

где коэффициенты Ау (/ = 1, 6, у = 1, 6) представляют собой упругие постоянные материала обшивки. Напряжения ребер определяются формулами, аналогичными (10).

Дифференциальные уравнения равновесия и естественные граничные условия для ребристой цилиндрической оболочки находим на основе вариационного принципа Лагранжа

ЪЕ = Ъи + ЪиР-ЪА = 0,

44

V

2

где и, ир, А соответственно потенциальная энергия обшивки, ребер и работа внешних сил, которые определяются формулами

и = - № хе х уе у г е г + Ххг Ухг + х уг Ууг + х ху Уху )(1 + гг ,

ир = - да

2 ур

орх ерх + О-ру еру+ ор2 ерг +

Г^р.

+ Хрху • Урху + Хрхг • Урхг + Xруг • УРуг

А = Ц Чг (wо — Иwl) • (1 — гИ)dxdy . £

Подставляя (7), (9), (1о) в (12), получим

dxdУdZ,

и = лЯ $

N.

duо dx

+ Мх1 ^ + Мх2 ^ + гNyWо +(гМу + д ^

du

dx

dx

+

/-» »г /-» dw0 dw1

+ ОЛ + Мхги2 + ^ —0 + М 1

dx

хг

dx

dx,

Ь

ир = кЬ $ о

dur

du1p

dx

dx

2 dx

dx

dx,

+ Мхр^ + бри! + + бхгИ~г1

СъА* СъА* СъА*

Ь

А = 2Р $ [рг оWо — рг^1 ]±С . 0

В выражениях (13) введены обобщенные усилия, определяемые следующими формулами:

И И

Nx = $ Ох-(1 + г • г) dг; Мх1 = $ Ох-(1 + г^г)• г dг; —И

—И

М

х-

И о • (1 + г • г )• г - И И

= $ 2 — dг ; Ny = $ Оydг; д = $ Ог -(1+г-г^г;

—И — И —И

И И

бхг = $ х хг-(1 + г^г) ^ Мхг = $ Ххг '(1 + г^г г ^ —И —И

Н Н Н

NP = $ оPdZ; Мр = $ ор^ ; др = $ тPгdZ; —Н —Н —Н

рг 0 = Чг (1 — гИ ); рг1 = Чг (1 — гИ)И .

На основании выражений (12), (13), (14) равенство (11) можно представить как

РЯОхгЪщ + пЯИхгЪи2 + кЬдрЪи[ + (тМу - 2пЯрг0 ^ +

(\ тС

пШх + кЬМР) и0 1

йЪи

йх

Н2

тЯМ х2 + кЬ — МР

йх

\

йЪи2

йх

+ (рЯМхг + кЬНо

йЪир

х

dЪwl йх

+ кь(мрн + МР + ^ + кЬОР

йх йх

йх = 0

Интегрируя по частям последнее выражение, находим

тЯ—7х + кЬ х

йх

йх

Ъи0 +

тЯОхг - тЯ

йМх1 ,,, йМ Р

йх

кЬН-

йх

Ъи1 +

+

йМх2 Н2 йЫР тЯМхг - тЯ-— - кЬ х

йх

2 йх

Ъи2

+ кЬ

/Ор - -МР.р

Охг н 7 7

йх йх

Ъир +

тЫу - 2тЯрг0 - тЯ - кЬ йОхрг

+

тМу + тЯОг + 2тЯрг1 - тЯ

йМ

хг

йх

кЬН

йх

йх

Ъwг

йОРг

йх

Ьw1

йх +

+

(кШх + кЬМР )ьи0 + (тЯМх1 + кЬНМР )ь

щ +

Н2 Р тЯМх 2 + кЬ—МР

Ъи2

+ Ж

(м рн + МР }>иР + (тЯОхг + кЬОР2 Ц) + (тЯМхг + кЬНОРг )&

х=Ь

= 0.

х=0

В силу независимости и произвольности вариаций перемещений, из равенства (15) получим систему уравнений равновесия

тЯ—х + кЬ—— = 0,

йх

тЯОхг -тЯ

йх

йх

-кЬН-

йМ х1 ,,, йМР

йх

0,

тЯМхг -тЯ

йМ

х2

Н2 йМР

йх

кЬ

х _

2 йх

= 0,

——М = о,

7 7

ил ил

к#у — 2кЯрг0 — кЯ-^ — кЬ= 0,

кМу +кЯбг + 2кЯрг1 — кЯ—Мх^ — кЬИ-^^- = 0,

—х —х

и граничные условия на краях (х = 0 и х = Ь):

и0 = и0 Г либо кШх + kЬNр = 0,

и1 = и1 Г либо кЯМ х1 + kЬИN р = 0,

и 2 = и 2 Г либо кЯМх2 + кЬИ- NP = 0,

Г

ир = и1р либо ^Н + Мр = 0,

Wо = WоГ либо кЯбхг + кЬб^г = 0 , W1 = w1 Г либо кЯМ хг + кЬИб рг = о . Подставляя (14) в (16), находим систему уравнений

К12^ и0 + К12*-- и1 + К12*-- и2 + К12 ир + К11 А w0 +

ио ах2 0 и1 ах2 1 и- х ир ах2 1 ^ ах 0

+ КW1l-d Wl = 0;

ах

К22 -0--и0 + К20 • и1 + К22 и1 + К20 • и2 + К22-0--и2 +

ио ах2 0 и1 1 и ах2 1 и— 2 и— ах2 2 т-^22 а2 р „21 а „21 а _

+ К22—- ир1 + К21 — w0 + К21— w1 = 0; ир ах2 1 Wо^ 0 ^Ох 1 '

К32 ^и0 + К30 • и 1 + К32 и 1 + К30 • и2 + К 32 ^и 2 +

ио ах2 0 и1 1 и1 Ох2 1 и— 2 и— ах2 2 „32 а р „31 а „31 а _

+ К32 —- ир + К31 — w0 + К31— w1 = 0; ир ох21 ^Ох 0 wl ах 1

К42-^и0 + К 42+ К42—— и2 + К40 -ир + К42 -^ир + ио ох2 0 и1 ох2 1 и— ох2 - ир 1 и,р ох2 1

„41 О „41 О „ + К —w0 + К —w1 = 0; ^ Ох 0 wl Ох 1

47

d 51 d 51 d 51 d p 50

K —u0 + K —u1 + K —u2 + K —щ + K -w0 +

uo dx 0 ui dx 1 u2 dx 2 up dx 1 wo 0

d2 d2 + K52 ar w0 + K50 • Wi + K52 w + K5 -ö. = 0; w0 dx20 W1 1 W1 dx2

K6ldu0 + K61 Au1 + K61 — u2 + K61 Aup + K60 • w0 +

u0 dx 0 u1 dx 1 u2 dx 2 u1p dx 1 w0 0 d2 d2

+ K62arw0 + K60-w1 + K62arw + K6 ö = 0. w0 dx20 w1 1 w1 dx2 ö.

Здесь коэффициенты K с верхними и нижними индексами обозначают постоянные величины, зависящие от геометрических параметров и упругих постоянных изотропного материала обшивки и ребер. Ввиду громоздкости соответствующих им выражений, они не приводятся.

Решение краевой задачи ребристых оболочек с помощью преобразования Лапласа. Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (18) используем операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа. Обозначим изображения искомых перемещений

uo, u^ u2, wo , w^ up через Uo, Ui, U2, Wo , Wi , Up. Тогда изображения их производных можно представить в виде

2

duL « p-U - Сц 0, ^ « p2-Ui - p • Сц 0 - Cm, i = 0,1,2 dx dx2

du 1 p d u <-) л

« p-Uf -C210, -^ « p2 •U1p -p• C210 -C211,

dx dx

dw j d2 w i

~T« p-Wj -C3j0, -j « p2-Wj -p• C3j0 -C3j1, j = 0,1,

^ dx

где постоянные определяются формулами

Cü0 = ui (0), C11 = ^ (0), i = 0,1,2, C210 = uf (0),

dx

C211 =

Подставляя изображения (19) в систему уравнений (18), получим алгебраическую систему уравнений

< p 2U0 + <p 2U1 + K12 p 2U2 + K1pp 2U1p + < pW0 + Kw1 pW1 =

= K12 (pC100+C101) + K12 (pC110+Cm) + K12 (pC120+C121) +

+ k1^ (pC210+C211) + KwiC300 + K]w1C310; щ 0

К22р2и0 + К20 • и1 + К22р2и1 + К20 • и2 + к22р2и2 + к22 р2ир1 + и0 и1 и1 и2 и2 и(

+^0 рщ+к™ р^1 = ки202 (РС100+С101)+кщ2 (рсП0+сш)+

+ К22°(рС120 +С121) + КЩр2 (рС210 +С211) + Кт20С300 + К^1С310;

к32р2и0 + К30 • и1 + К32р2и1 + К30 • и2 + К32р2и2 + К32 р2иР + и0 и1 и1 и2 и2 ир 1

+кW0 рЩ+кW1 рЖ1 = кЩ02 (РС100 + С101)+к32 (РС110 + С111)+

+ Ки32(рС120 +С121) + КЩр (рС210 +С211) + К^3>0С300 + ^1С310;

К42р2и0 + К42р2и1 + к42р2и2 + к40 •и1р + К42р2и1Р + к41 рЩ0 +

и0^ 0 и1у 1 и2^ 2 ир 1 ир 1 ^ 0

+<1рЩ1 = Ки402(рСШ0 + СШ1) + Ки42(рСП0 + Сш)+

+ КЩ2 (рС120 +С121) + к4Р (рС210 + С211) + KW0 С300 + KW1с310;

к51 ри0+< ри1+ки51 ри 2+к,5рРи1Р+кW0 • Щ0+к:,2 р 2щ0+

+ KW0 Щ + К%РЩ = Ки5о1С100 + Ки51С110 + К,51С120 + Ки51 С210 + + Ку5_2(рС300 + С301)+ Ку5_2(рС310 +С311)-к5 • Ог;

<1 рио+< ри1+< ри 2++<о • що+< р 2що+

+ KW0 • Щ1 + <Р2Щ1 = <1С100 + К61С110 + Ки61С120 + к61рС210 +

+ <2(рС300+С301)+ К,62(рС310+С311)-К6Ъ • Ог, где Ог - изображение нагрузки дг.

С учетом выражений (20), граничные условия (17) при х = 0 принимают вид:

для жестко защемленного края:

Сцо = 0,I = о, 1,2, С210 = 0, С3уо = 0, у = 0,1;

для шарнирно опертого края: Сцо = о, I = 0,1,2, С210 = 0, С3 у о = 0, у = 0,1,

для свободного края: постоянные

С111, С211 С3уl, 1 = 0 1, 2, У = 0,1 49

выражаются через Сцо, С210, С3уо, I = 0,1,2, у = 0,1. Ввиду громоздкости

этих выражений, здесь они не приводятся.

Отсюда видно что граничные условия при х = 0 выполняются автоматически, следовательно, вдвое сокращается число постоянных при решения задачи. Решая полученную алгебраическую систему уравнений находим изображения перемещений. Переходя от полученных изображений к оригиналам получим перемещения, в выражениях которых содержатся остальные постоянные, которые определяются из граничных условий при х = Ь .

Пример расчета. В качестве примера расчета рассматривается замкнутая ребристая цилиндрическая оболочка со следующими параметрами: радиус обшивки Я= 0,5(м); длина оболочки Ь=10Я=5(м); толщина обшивки 2Н = Я/50; коэффициент Пуассона ¡л= 0,3; число ребер к=6.

На рис. 2 - 5 представлены результаты расчета оболочки при различных вариантах граничных условий и нагружения

Чг = °0 • х и Чг = °0 • №

гп • т хЛ

Ь

, где Оо = сот1, п = 5

200

иЕ

Оо 100

пЕ

т о -100

-200

-300

1 защемлен-свободен 1

N С

N \ \ \

V

\

\

1----- — 1г|

Рис. 2. Графики перемещений оболочки при действии линейно

распределенной нагрузки

Рис. 3. Графики перемещений оболочки при действии синусоидальной

нагрузки

а

800

600-

400

200

1 вблшн края |

80С и"

40С _\ |

4.990 51

| защемлен-защемлен]

** 1 1

- - ** 1

? 1 \ 1

---С7--<Т

Рис. 4. Графики нормальных напряжений в оболочке при действии линейно распределенной нагрузки

а

<2п

болнзн края 1—1-

30 20

4.990

1 ; I защемлен-защемлен! \ '

Рис. 5. Графики нормальных напряжений в оболочке при действии синусоидальной нагрузки

Выводы

1. На основе разложения компонентов перемещений в полиномиальные ряды по толщине на один порядок выше по отношению к классической теории построен вариант уточненной теории расчета ребристых цилиндрических оболочек. С позиции трехмерной задачи теории упругости с помощью вариационного принципа Лагранжа построены уравнение равновесия и граничные условия.

2. Построен аналитический метод расчета ребристых цилиндрических оболочек с помощью операционного метода, основанного на преобразование Лапласа

3. На основе результатов расчета ребристой цилиндрической оболочки показано, что вблизи жестко защемленного края поперечные нормальные напряжения о г, которыми в классической теории типа Кирхгофа - Лява пренебрегают, составляют около 42% от максимального значения основного изгибного ох .

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 17-08-00849а).

51

Список литературы

1. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Изв. АН. МТТ. 1990. № 6. С. 139-146.

2. Фирсанов В.В., Доан Ч.Н. Энергетически согласованная теория цилиндрических оболочек // Проблемы машиностроения и надежности машин / РАН. 2011. №6. С. 49-54.

3. Фирсанов В. В., Доан Ч. Н. Энергетически согласованный подход к исследованию упругих оболочек произвольной геометрии // Вестник МАИ. 2011. Т. 18. № 1. С. 194 - 207.

4. Фирсанов В. В., Доан Ч. Н. Исследование статики и свободных колебаний цилиндрических оболочек на основе неклассической теории // Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. Т. 20. № 1. С.104 - 123.

5. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Методы расчета оболочек. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова Думка, 1980. Т. 2. 368 с.

6. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой №906, k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Во Ань Хиеу, асп., anhhieu1512@gmail.com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Чан Нгок Доан, канд. техн. наук, зав. кафедрой, ngocdoanmai@gmail. com, Вьетнам, Ханой, Государственный технический университет им. Ле Куи Дона

STRESSED-DEFORMED STATE OF LONGITUDINALLY STIFFENED CYLINDRICAL SHELLS BASED ON THE NON-CLASSICAL THEORY

V. V. Firsanov, V.A. Hieu, Tr.N. Doan

This paper presents a method to solve the boundary problem of cylindrical shells reinforced by longitudinal ribs on the basis of the non-classical theory. The state equations of the shells are derived through the three-dimensional relations of the elasticity theory. The displacements of the shells are decomposed along the coordinate normal to the shell surfaces into high-order polynomials with respect to the Kirchhoff-Love classical theory. Using the Lagrange principle, the equilibrium equations and the corresponding boundary conditions are obtained. The analytical equation system is derived through the Laplace transform, and hence, the number of arbitrary constants is reduced for the sake of simplifying the boundary problem. The paper shows the solution to the problem with various types of load and boundary condition.

Key words: stiffened shells, non-classical theory, variational principle, Laplace transform, boundary value problems.

Firsanov Valery Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head of department 906, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Vo Anh Hieu, postgraduate, anhhieu1512@,gmail. com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Tran Ngoc Doan, candidate of technical sciences, head of department, ngocdoan-mai@,gmail. com, Vietnam, Ha Noi, Le Quy Don Technical University

УДК 658.562

ПРОВЕДЕНИЕ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА РАБОТ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ

ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ЛАБОРАТОРИИ НА ОБОРОННОМ

ПРЕДПРИЯТИИ

А. А. Токарева, И.В. Литвинова

В статье представлен анализ весомости показателей определяющих качество работ на примере центральной измерительной лаборатории.

Ключевые слова: качество, диаграмма Исикаве, весовые коэффициенты, коэффициент конкордации.

РРГП

Важнейшим условием успешного развития экономики на дняшний день является производство конкурентоспособной продукции. Основой конкурентоспособности является качество. Опросы потребителей показывают, что среди всех показателей конкурентоспособности (цена, сроки поставки, сервис и др.) качество на 70 % определяет решение о выборе продукции. Современная мировая экономическая ситуация обусловила бурное развитие систем, методов и инструментов менеджмента качества. Их использование позволяет систематизировать работы в области повышения качества, поставить их на научную основу и повысить их эффективность. Они дают возможность объективно оценить пожелания потребителей, преобразовать их в требования к продукции, установить возможности производства, найти слабые места, препятствующие достижению требуемого качества, правильно выбрать корректирующие и предупреждающие действия, оценить удовлетворенность потребителей и других участников данного производства и наметить пути его развития.

53