Способ и устройство для демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников при продольных колебаниях его подвеса
METHOD AND DEVICE FOR DEMONSTRATION AND INVESTIGATION OF MOVEMENT OF THE ENSEMBLE OF MATHEMATICAL PENDULUMS AT THE LONGITUDINAL OSCILLATIONS OF ITS SUSPENSION

Изобретение относится к учебным пособиям по физике и может быть использовано в учебном процессе для наглядной демонстрации опытов по изучению нелинейных колебательных движений и по исследованию зависимости порога устойчивости перевернутого маятника от частоты колебаний его опоры и от длины подвеса маятника, а также для демонстрации эффекта параметрического резонанса.
Жесткий маятник, подвес которого совершает принудительные колебания в вертикальном направлении, в зависимости от частоты и амплитуды вынужденных колебаний точки подвеса, может совершать большое число разнообразных видов движения. Некоторые движения этой простой механической системы оказываются неожиданно сложными. Поведение такого маятника интенсивно изучается. Он вызывает неослабевающий интерес не только как пробный камень новых методов исследования нелинейных систем, но и потому, что дифференциальное уравнение маятника часто встречается в самых разных проблемах современной физики. Механические аналоги различных физических систем допускают непосредственную визуализацию движения, что очень полезно для понимания поведения сложных систем.
Известно техническое решение [H.J.T. Smith, J.A. Blackburn, ((Experimental study of an inverted pendulum», American Journal of Physics, 60, 909 (1992)], обеспечивающее демонстрацию перевёрнутого маятника Капицы. Колебания опоры математического маятника производятся с частотой, обеспечивающей устойчивое положение равновесия маятника в перевернутом положении. Недостатками данного устройства являются:
- жесткая связь опоры маятника с грузом математического маятника, что мешает наглядности эксперимента и приводит к неточности определения параметров колебаний;
- при воздействии вибрации опорной точки, необходимой для обеспечения устойчивости в перевернутом положении, в стержне возникает переменное напряжение, больше чем в  раз превосходящее по величине напряжение, вызванное силой тяжести груза на конце стержня, где L - длина стержня маятника, а - амплитуда колебаний подвеса. Такая сила вызовет продольный изгиб в стержне, который вблизи резонансных частот создаст поперечные колебания стержня с амплитудой, переходящей за допустимые пределы. Это приведёт к нарушению устойчивости перевёрнутого маятника. [П.Л. Капица. Маятник с вибрирующим подвесом. Успехи физических наук, 44, 7-20 (1951)];
- не демонстрируется зависимость устойчивого положения равновесия в верхней точке от длины подвеса маятника.
Известен прибор [М.М. Michaelis. Stroboscopic study of the inverted pendulum. American Journal of Physics 53, 1079 (1985)], демонстрирующий движение перевернутого маятника. Демонстрация перевёрнутого маятника выполняется путём замены лезвия электролобзика на две связанные между собой алюминиевые пластины - короткую и длинную. Короткая одним концом устанавливается жестко в паз лезвия, а длинная крепится ко второму концу короткой так, чтобы она могла свободно вращаться относительно их общей горизонтальной оси, она и выполняет роль маятника Капицы длиной L (длина длинной пластины). Недостатками данного устройства являются:
- меньшая наглядность физического маятника по сравнению с математическим;
- в данной демонстрации не видна зависимость устойчивости маятника от значения частоты;
- крепеж маятника и возникающие напряжения в пластинах вносят ошибки в параметры колебаний;
- не демонстрируется зависимость устойчивого положения равновесия в верхней точке от длины подвеса маятника.
Известно также [HARVARD UNIVERSITY, Harvard Natural Sciences Lectures Demonstrations, - https://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/inverted-pendulum»] устройство того же назначения. В Гарвардском университете для демонстрации нелинейных колебаний используют физический маятник в виде однородной полосы, жестко закрепленной перпендикулярно наружной поверхности внешнего кольца подшипниковой опоры, выполненной с возможностью вращения подшипниковой опоры вокруг оси вертикально вибрирующей опоры маятника с изменением положения полосы от вертикального верхнего до вертикального нижнего. Вибрацию опоры маятника в вертикальном положении осуществляют с помощью электролобзика. Сначала поднимают маятник и включают вибрацию высокой частоты. Показывают устойчивость перевёрнутого маятника путём нажатия на него рукой. Потом осуществляют вибрацию на низкой частоте, при этом амплитуда колебаний резко увеличивается и при приложении небольшой силы маятник уходит из бассейна устойчивости перевернутого положения.
Недостатками указанного устройства являются:
- использование физического маятника, что менее наглядно, чем математический маятник;
- жесткая связь маятника с опорой снижает точность определения параметров колебаний маятника;
- не показана зависимость устойчивого равновесия от частоты колебаний опорной точки;
- не демонстрируется зависимость устойчивого положения равновесия в верхней точке от длины подвеса маятника.
Целью настоящего изобретения являлась разработка способов демонстрации и исследования движения математического маятника при продольных колебаниях его подвеса и устройства для их осуществления, которые позволяли бы наглядно изучать процессы нелинейного колебательного движения ансамбля математических маятников при его различном положении в пространстве.
При разработке изобретения была поставлена техническая задача создания устройства, реализующего движение грузов ансамбля математических маятников под действием силы тяжести при отсутствии жесткой связи грузов с подвесом при различном положении подвесов в пространстве; обеспечивающего возможность наблюдения изменения амплитуды и частоты нелинейного колебательного движения груза при изменении частоты продольных колебаний его подвеса; обеспечивающего визуальную фиксацию изменения движения груза, при котором исчезает устойчивость его положения равновесия в верхней точке с последующим уходом к положению устойчивого равновесия груза в нижней точке; обеспечивающего фиксацию величины амплитуды его колебаний, а также возможность демонстрации зависимости устойчивого равновесия в верхнем положении маятника от длины подвеса.
Ожидаемым техническим результатом являлась возможность наблюдения нелинейных колебаний груза математического маятника в зависимости от частоты продольных колебаний его подвеса и длины этого подвеса с определением частоты, соответствующей порогу устойчивости колебаний маятника и явлению параметрического резонанса.
1
2
N
n
n
n
0
n
0
Поставленная задача была решена разработкой устройства для демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников при продольных колебаниях его подвеса, содержащего N маятников в виде грузов с подвесами, соединенными с источником продольных механических колебаний ансамбля. Подвесы в форме тороидов разного радиуса R>R>…>R, где R - длина подвеса n-го маятника, R = r + r, n=1, 2…N, r - внутренний радиус n-го тороида, r - радиус каждого шарика. Каждый тороид расположен внутри тороида большего диаметра в одной плоскости с ним и имеет один общий центр. Каждый тороид выполнен вращением образующей окружности вокруг оси тороида, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её, в виде полого кольца из твердого тонкостенного оптически прозрачного материала, имеющего в паре с металлическим материалом низкий коэффициент трения. Груз каждого из тороидов выполнен в виде металлического шарика, помещенного во внутреннюю полость, указанного полого кольца тороида и свободно перемещающегося в кольце. Все тороиды жестко закреплены между собой по горизонтальному диаметру. Две опоры жестко закреплены на наружной поверхности двух диаметрально противолежащих участках тороида максимального диаметра и имеют оси поворота опор, соосные между собой в горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения тороидов, и обеспечивающие возможность поворота тороидов на осях указанных опор на угол 360°. Источник механических колебаний, соединенный с указанными опорами, имеет возможность обеспечивать возвратно-поступательное движение опор в вертикальной плоскости вверх-вниз при ориентации тороидов в вертикальной плоскости.
На основании предложенного устройства разработан способ демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников при продольных колебаниях его подвесов, при этом грузы на подвесах совершают механические колебания. Обеспечивают вынужденные механические колебания подвесов с грузами в вертикальной плоскости с различной частотой, при этом сначала грузы занимают положение устойчивого равновесия в нижней точке кольца тороида. Частоту колебаний подвеса затем увеличивают до достижения значения, при котором происходят два цикла модуляции на протяжении одного периода собственных колебаний маятника с максимальной длиной подвеса, при этом происходит резкое увеличение амплитуды колебаний груза в кольце наибольшего диаметра, что свидетельствует о наступлении параметрического резонанса маятника, что означает выход этого маятника из состояния параметрического резонанса. При дальнейшем увеличении частоты колебаний подвеса в состояние параметрического резонанса входит следующий по длине подвеса маятник и так до маятника с минимальной длиной подвеса.
При выборе длины подвеса одного из маятников, равной четырем длинам подвеса другого (при этом собственная частота короткого маятника равна удвоенной частоте длинного), параметрический резонанс маятника с наибольшей длиной подвеса будет сопровождаться всплеском амплитуды колебаний короткого маятника, так как в нем возникнет высший параметрический резонанс.
При достижении частоты продольных колебаний тороида Ω, определяемой по формуле
, где:
2
g - ускорение свободного падения, м/сек;
1
1
n
0
n
0
R - заданная длина виртуального подвеса тороида максимального радиуса, м, равная радиусу движения груза внутри кольца тороида относительно центра тороида: R= r +r, где r - внутренний радиус кольца тороида максимального радиуса, м, r - радиус груза, м;
А - заданная амплитуда продольных колебаний тороида в вертикальной плоскости, м,
1
1
2
1
и при этом величина  является расчетной для заданных размеров тороида, груза и заданных величин амплитуды колебаний тороида. Поддерживают частоту механических колебаний, обеспечивающую устойчивое колебание всех N грузов во всех тороидах вокруг верхней точки устойчивого равновесия. Плавно уменьшая частоту колебаний генератора механических колебаний, фиксируем частоту, при которой выполняется условие . При выполнении этого условия нарушается положение устойчивого равновесия в верхней точке тороида максимального радиуса R. При этом для шарика в тороиде радиусом R остается только нижнее положение устойчивого равновесия, а в тороидах меньшего радиуса шарики остаются в положениях верхнего устойчивого равновесия. При дальнейшем уменьшении частоты колебаний достигается частота, при которой выполняется условие . При этом у шарика в тороиде радиусом R остается только нижнее положение устойчивого равновесия, так же как и у шарика в тороиде радиуса R, а в тороидах меньшего радиуса шарики находятся в положении верхнего устойчивого равновесия. При дальнейшем уменьшении частоты колебаний опоры шарики последовательно перейдут в положения нижнего устойчивого равновесия.
На всех этапах изменения частоты колебания подвеса по кольцевой угловой шкале ансамбля тороидов фиксируют угол отклонения груза от положения его устойчивого равновесия в верхней и в нижней точках кольца тороида для определения амплитуды соответствующих колебаний.
Сущность изобретения поясняется чертежом Фиг. 1, на котором представлено устройство для изучения колебательного движения.
В дальнейшем изобретение поясняется примерами осуществления способа демонстрации и исследования параметров движения ансамбля математических маятников при продольных колебаниях его подвеса согласно изобретению, реализованного в устройстве для демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников в условиях земного тяготения при продольных колебаниях его подвеса, которое поясняется прилагаемым чертежом Фиг. 1, на котором представлен вид спереди схемы устройства согласно изобретению. При этом приведенные примеры осуществления способа согласно изобретению и устройства согласно изобретению не являются исчерпывающими, не выходят за рамки формулы изобретения и не ограничивают возможности реализации изобретения.
1
2
N
n
0
n
0
.
Устройство для демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников при продольных колебаниях его подвеса, содержащее ансамбль маятников в виде грузов с подвесами, соединенными с источником продольных механических колебаний ансамбля содержит ансамбль подвесов в форме тороидов 1, 2, 3 и т. д. разного радиуса R>R>…>R, где Rn - длина подвеса n-го тороида, Rn = r + r, n=1, 2…N, r - внутренний радиусы n-го тороида, r - радиус груза, выполненного в форме шара. Каждый тороид расположен внутри тороида большего диаметра в одной плоскости с ним и все тороиды имеют один общий центр. Каждый тороид выполнен вращением образующей окружности вокруг оси тороида, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её, в виде полого кольца из твердого тонкостенного оптически прозрачного материала, имеющего в паре с металлическим материалом низкий коэффициент трения. Груз каждого из тороидов выполнен в виде металлического шара 4, 5, 6 и т.д., помещенного во внутреннюю полость, указанного полого кольца тороида и свободно перемещающегося в кольце. Все тороиды жестко закреплены между собой по горизонтальному диаметру 7. Две опоры, жестко закрепленные на наружной поверхности 8 двух диаметрально противолежащих участках тороида максимального диаметра и имеющие оси поворота опор 9, соосные между собой в горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения тороидов при вертикальном положении колец тороидов, и обеспечивающие возможность поворота тороидов на осях указанных опор на угол 360° Опоры 9, соединенные стержнями 10 с источником механических колебаний 11, который обеспечивает возможность возвратно-поступательное движение опор в вертикальной плоскости вверх-вниз при ориентации ансамбля тороидов в вертикальной плоскости. При этом кольца всех тороидов на их наружной поверхности снабжены кольцевой угловой шкалой, предназначенной для визуальной фиксации положения груза внутри кольца при механических колебаниях тороида.
Таким образом, устройство согласно изобретению для демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников в условиях земного тяготения при продольных колебаниях его подвеса представляло собой устройство для воплощения классической нелинейной системы колебаний математического маятника в традиционном и перевернутом положениях, являющееся альтернативой конструкции маятника Капицы и позволяющее наглядно демонстрировать эффект параметрического резонанса и экспериментально исследовать параметры устойчивости маятника в перевернутом положении по критерию его устойчивости и определить зависимость устойчивого положения равновесия от длины подвеса.
Согласно изобретению, способ демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников в условиях земного тяготения при продольных колебаниях его подвеса был реализован с помощью описанного выше устройства, согласно изобретению, в условиях наблюдения визуально различимого положения грузов 4, 5, 6 и т.д. во внутренних полостях тороидов 1, 2, 3 и т. д. и при этом тороиды 1, 2, 3 и т. д., содержащие размещенные в них грузы 4, 5, 6 и т.д. и установленный в опорах 8 и 9 в вертикальном положении, подвергали воздействию механических колебаний в вертикальной плоскости с различной частотой и амплитудой с использованием генератора механических колебаний 11 и производят описанные ниже манипуляции:
1
- обеспечивают вынужденные механические колебания подвесов 1, 2, 3 и т.д. с грузами 4, 5, 6 и т.д. в вертикальной плоскости с различной частотой, приводящей сначала все грузы в положение его устойчивого равновесия в нижней точке кольца тороида, а затем частоту колебаний увеличивают до достижения частоты, при которой происходит резкое увеличение амплитуды колебаний груза 4 в кольце большего диаметра, что свидетельствует о наступлении параметрического резонанса маятника с максимальной длиной подвеса R, и последующее падение величины амплитуды груза, что свидетельствует о выходе маятника из состояния параметрического резонанса;
2
- обеспечивают дальнейшее увеличение частоты колебаний подвесов 1, 2, 3 и т.д. с использованием 11 до величины, приводящей в состояние параметрического резонанса второй по длине подвеса R маятник;
n
- обеспечивают дальнейшее увеличение частоты колебаний подвеса до величин, обеспечивающих последовательное осуществление параметрического резонанса и выхода из него для всех маятников вплоть до маятника с минимальной длиной подвеса R;
- при достижении частоты продольных колебаний тороида Ω, определяемой по формуле
, где:
2
g - ускорение свободного падения, м/сек;
1
1
1
0
1
0
R - заданная длина виртуального подвеса тороида максимального радиуса, м, равная радиусу движения груза внутри кольца тороида относительно центра тороида: R= r + r, где r - внутренний радиус кольца тороида максимального радиуса, м, r - радиус груза, м;
А - заданная амплитуда продольных колебаний тороида в вертикальной плоскости, м,
и при этом величина  является расчетной для заданных размеров тороида, груза и заданных величин амплитуды колебаний тороида, и поддерживают частоту механических колебаний, обеспечивающую устойчивое колебание всех N грузов во всех тороидах вокруг верхней точки устойчивого равновесия;
- плавно уменьшают частоту механических колебаний до величины
1
, при которой шар в тороиде радиусом R переходит в колебательное движение относительно нижнего положения устойчивого равновесия, а в тороидах меньшего радиуса остаются в положении верхнего устойчивого равновесия;
2
1
- при дальнейшем уменьшении частоты колебаний достигается частота, при которой выполняется условие  шарик в тороиде радиусом R переходит в колебательное движение относительно нижнего положения устойчивого равновесия, так же как и шарик в тороиде радиуса R, а в тороидах меньшего радиуса - в положение верхнего устойчивого равновесия;
- при дальнейшем уменьшении частоты колебаний опоры шарики последовательно перейдут в колебания относительно нижнего устойчивого равновесия;
- осуществляют дальнейшее уменьшение частоты, при которой сохраняется устойчивое положение равновесия маятника в нижнем положении;
- и при этом по кольцевым угловым шкалам тороидов фиксируют угол отклонения груза от положения его устойчивого равновесия в верхней и в нижней точках колец тороидов с определением амплитуды их колебаний.
При длине подвеса одного из маятников, равного четырем длинам подвеса другого маятника, обеспечивают такую частоту, при которой параметрический резонанс происходит, по меньшей мере, у двух маятников.
После проведения демонстрации нелинейных колебаний ансамбля математических маятников в его различных положениях и получения результатов фиксации значений частоты и амплитуды колебаний груза маятника при заданных значениях частоты и амплитуды колебаний его подвеса было признано целесообразным сопоставить эти результаты с теоретическими выкладками о параметрах движения ансамбля математических маятников и условий устойчивого равновесия в перевернутом положении. В настоящем изобретении предложен способ и устройство для демонстрации и исследования движения ансамбля математических маятников, представляющее собой воплощение классической нелинейной системы колебаний математического маятника в традиционном и перевернутом положениях, являющееся альтернативой конструкции маятника Капицы и позволяющее наглядно демонстрировать эффект параметрического резонанса и экспериментально исследовать параметры устойчивости маятников в верхнем положении по критерию устойчивости. Хорошо известно, что в простейшем случае критерий устойчивого равновесия в верхнем положении выражается в виде неравенства, в которое входят длина математического маятника - L, частота вертикальных вибраций точки подвеса - Ω, амплитуда вибраций - А и, наконец, ускорение свободного падения - g, а именно,
n
2
2
2
Наш вариант классической нелинейной системы позволит непосредственно наблюдать, как изменение частоты Ω при постоянной амплитуде А нарушает критерий (1), лишая маятник устойчивого «перевернутого» положения равновесия. Рассмотрим ансамбль тонкостенных гладких изнутри тороидальных трубок, по которым может без трения скользить тяжелый шарик. Пусть диаметр шарика чуть меньше внутреннего диаметра трубки и одновременно много меньше всех средних радиусов тороидов R, n=1, 2, 3…N. В исходном состоянии ансамбль тороидов строго вертикален. Введем прямоугольную систему координат OXYZ, ее начало совпадает с центром ансамбля тороидов, ось ОХ направлена вертикально вниз, ось OY горизонтальна и направлена направо, а ось OZ - горизонтальна и направлена на нас. Тогда положение каждого из шариков, находящихся внутри тороидов, будет характеризоваться двумя его координатами x(t) и y(t), которые при неподвижном центре тороида связаны соотношением X + Y = R.
Пусть плоскость расположения ансамбля тороидов совпадает с вертикальной плоскостью OXY, а ее центр движется по вертикали по закону X(t) = AcosΩt. Положение каждого шарика относительно трубки будем характеризовать углом поворота θ(t) радиуса трубки, проведенного из ее центра в точку мгновенного нахождения шарика относительно вертикальной оси OX. Координаты каждого шарика относительно неподвижной системы координат получим тогда в виде
где n=1, 2, 3…N
В дальнейших выкладках будем обозначать Rn как R.
Уравнение движения каждого шарика запишем относительно неинерциальной системы отсчета, связанной с вертикально колеблющейся с большой частотой трубкой. Тогда помимо сил давления со стороны стенок трубки, направленных в центр трубки, и вертикально направленной силы тяжести на него «будет действовать» еще и сила инерции, направленная вертикально и равная
где m - масса шарика.
Уравнение моментов, записанное относительно оси, связанной с центром трубки и параллельной оси OZ, получим в виде
2
или после сокращения левой и правой частей уравнения (3) на mR
Решение нелинейного уравнения (3а), являющегося обобщением уравнения математического маятника, будем искать, следуя подходу Капицы. Поскольку уравнение (3а) - уравнение Матье - не имеет точного решения в общепринятом смысле, получим его приближенное решение, руководствуясь характерными физическими особенностями системы и ограничениями, наложенными на ее движение. Первое важное ограничение движения состоит в том, что по условию задачи выполняется неравенство , поэтому впоследствии ограничимся в уравнении лишь главными вкладами по этому отношению. Кроме того, будем искать общее решение системы (3а) в виде суперпозиции двух независимых, характеризуемых принципиально различными масштабами временных изменений движений, - «быстрого», определяемого большой частоте Ω вибраций-колебаний центра трубки, и «медленного», на фоне которого и происходит «быстрое», но существенно меньшей амплитуды.
С учетом сказанного решение уравнения (3а) представим в виде
,
где  - «медленная» и α(t) - «быстрая» составляющие общего движения системы.
Тогда, очевидно,
Представим далее величину α (t) в виде
Тогда в рамках используемого приближения
т.е. «быстрые» колебания малой амплитуды происходят на фоне временной квазистатичности «медленной» величины  (вклад которой в θ(t) является определяющим).
Очевидно,
.
Учитывая малость отношения  используем известные разложения
и
где в том же приближении мы произвели замену аргументов  на .
Таким образом, ограничиваясь основным (линейным) поприближением, получим
Уравнение (3а) преобразуем к виду
Используя уравнения (3а), (5) и (6), получим
Усредняя, наконец, выражение в квадратной скобке по периоду быстрых колебаний-вибраций, получим дифференциальное уравнение для «медленной» составляющей общего движения
Если теперь определить стандартным образом эффективную потенциальную энергию , отвечающую величине , при помощи соотношения
,
то эффективная потенциальная энергия  (зависящая от  часть) примет вид
Дифференцируя эффективную потенциальную энергию  по , получим три равновесных положения системы  и  (отсчитываемой по или против часовой стрелки)
, , .
Очевидно, третье соотношение имеет смысл тогда, когда задающие движение системы параметры удовлетворяют неравенству
Дифференцируя функцию  дважды по величине
получим, что решение  устойчиво всегда, решение  будет устойчивым только при выполнении неравенства (7), решение  всегда неустойчиво.
Таким образом, при выполнении условия (7) реализуется устойчивое равновесие перевёрнутого маятника.
Тем самым, в настоящем изобретении предложена конструкция маятника, являющаяся альтернативной конструкции общепринятого маятника Капицы. Данная конструкция обладает несомненным преимуществом перед классической конструкцией, так как не имеет жесткого крепления груза маятника и точки подвеса, что исключает появление неконтролируемых напряжений изгиба, существенно влияющих на характер движения маятника, что особенно существенно при больших частотах колебаний подвеса