Двухточечная задача Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в локально выпуклом пространстве

УДК 517.55

Двухточечная задача Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в локально выпуклом пространстве

Н. А. Аксёнов

Орловский государственный университет ул. Комсомольская, д.95, г. Орёл, 302026, Россия

В работе описывается метод, позволяющий находить решение задачи Дирихле для дифференциально-операторных уравнений второго порядка в произвольном локально выпуклом пространстве.

Ключевые слова: задача Дирихле, дифференциально-операторное уравнение, локально выпуклое пространство, порядок оператора, тип оператора.

1. Введение

Особое место в теории краевых задач занимает задача Дирихле. Будучи подробно изученной для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, эта задача продолжает вызывать большой интерес. Во многом это обусловлено как дальнейшим развитием самой математики, так и различных её приложений к физике, механике и другим дисциплинам. При этом становится всё более очевидным тот факт, что исследование многочисленных краевых задач (в частности, задачи Дирихле) для дифференциальных, интегро-дифференциальных, разностных и других видов уравнений может быть сведено к решению краевых задач для дифференциально-операторных уравнений в абстрактных пространствах.

За последние несколько десятилетий рассмотрению задачи Дирихле в абстрактном (в основном, банаховом) пространстве посвящено достаточное количество научных работ (например, [1-8]). Как правило, исследование задач для дифференциально-операторных уравнений (в том числе вопросов, связанных с их корректностью) проводится с помощью теории полугрупп [9,10].

Однако ненормируемость многих функциональных пространств подталкивает к изучению краевых задач в произвольном локально выпуклом пространстве. В пользу подобных исследований свидетельствует и то, что публикации по этой проблематике практически отсутствуют в русскоязычной литературе.

Для исследования поставленной ниже задачи Дирихле мы будем применять характеристики линейного оператора (порядок и тип), а также фиксированного вектора относительно линейного оператора, введённые В.П. Громовым [11,12] и получившие дальнейшее развитие в работах С.Н. Мишина [13-15].

2. Постановка задачи. Теорема существования и единственности решения

Пусть Н — счётно-полное локально выпуклое пространство с топологией, определяемой мультинормой {||  ||р}, р Е V и пусть А : Н ^ Н — линейный непрерывный оператор. Обозначим (Л) = П И(А1), где Б(А1) — область

определения оператора А1, I > 0. Всюду далее предполагается, что ^оо(А) = 0.

Рассмотрим уравнение

и"

Статья поступила в редакцию 18 июня 2009 г.

для которого поставлена двухточечная задача Дирихле: найти вектор-функцию и(1) (см. [16]), удовлетворяющую уравнению (1) и граничным условиям

и

Множество

М = {х е Б^(А) : Рр(х) < 0, Ур, при Рр(х) = 0 ар(х) <л2/\Ь-а\2, Ур}

будем называть множеством исходных данных задачи (1)—(2). Здесь Рр(х) и ар(х) — соответственно операторный р-порядок вектора х и операторный р-тип вектора х относительно оператора А [11-13].

Замечание. Если Зр0 : РРо (х) = 0, то можно считать, что Рр(х) = 0, Ур.

Действительно, в монографии [13] приведена теорема: Пусть оператор А имеет р-порядки /Зр и порядок р. Если для некоторого р0 е V, РРо = Ь ^ Р, то можно выбрать такую мультинорму в Н, эквивалентную исходной, что Ь ^ Рр ^ Р, Ур. В [13] также отмечено, что эта теорема справедлива применительно и к операторным порядкам фиксированного вектора. Учитывая, что х е М, имеем Рр(х) ^ 0, Ур. Поэтому, если Зро : РРо (х) =0, то в силу сказанного выше можно считать, что Рр(х) = 0, Ур.

Теорема 1. Ух1,х2 е М двухточечная .задача Дирихле (1)-(2) имеет единственное решение. Оно является целой вектор-функцией и(Ь) со значениями в Н и задаётся формулой

3

в которой

и

¿=1

и^) = £ А^ -а)2",

п=0 ж

п,т=0 4 7

и т = 1 ^ Ст

из

где ст — коэффициенты ряда ^ ст£т, \£\ < л2/\Ь-а\2, определяемые равенства-

т,=0

ми

2(-1)т(22т-1 - 1)( Ь — а)2т

со = 1, ст =

(2т)!

Вт — числа Бернулли.

Лемма 1. Пусть Рр(х^) < 0, Ур, ] = 1, 2. Тогда ряды (4)-(6) сходятся абсолютно по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости и определяют целые вектор-функции щ(£), г = 1,3.

Доказательство. Оценим общие члены степенных рядов (4)-(6) по топологии пространства Н. Из определения операторного р-порядка вектора относительно оператора вытекает оценка [13]

Ур, Уе > 0, ЗСр

Используя эту оценку и формулу Стирлинга

п

_ / п\п е

\ = у/2кп[~) е , 0 < в < 1,

для общего члена ряда (4) приходим к оценке: Ур, Уе > 0, Уп

Ап

(2п) !

<

^

2п

(РР( х1)+е-2)п

Из условия Рр(х\) < 0, Ур и произвольности £ > 0 следует, в силу (10) и аналога формулы Коши-Адамара [16]

г„ =-— , г = М г

11ш уЦХпЦр (Р) '

где г — радиус сходимости ряда ^ хп1п, определяющего вектор-функцию / (Ь),

п=0

что степенной ряд (4) сходится абсолютно по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости и определяет целую вектор-функцию щ (£). Согласно (8)-(9), для общего члена ряда (5) имеем: Ур, Уе > 0, Уп

1

(2п + 1) !

£ стАт+п

т=0 „2п ж

<

1

£ стАт+п

т=0

<

<

(2)^\п2п ж

4 пп2п ^

т,=0

с С(Р2)(е)е

Р 4п^2п

1ст1

т=0

= Ср2\е)е2п грр

п 2 п

4пп

п

е)п + ^ Р

(2)и\а2 п ж

п 2 п

4 пП

1ст1

т=1

Так как ст — коэффициенты ряда, сходящегося в круге |£| < к2/\Ь — а|2, то Ут истинно неравенство

/\h-al 2 \т М <м[ 1 2 1 + еЛ , £1 > 0, 0 <М = еопв^

Поскольку Рр(х2) < 0, Ур, из произвольности £ > 0 следует, что Рр(х2) + е < 0, Ур, значит, верно неравенство: (т + п)(Рр(х2)+£)(т+п) ^ п(Рр(х2)+е)пт(рР(х2)+е)т. Полученное неравенство и (13) преобразуют оценку (12) к виду: Ур, Уе1 > 0, Уп

£

ш=0

стАт+п

(2п + 1)!

<

2

\ т=1 ^ ' /

Очевидно, что числовой ряд с положительными членами, стоящий в правой части (14), сходится по признаку Коши. Обозначив его сумму через Я1(р,е,е1), неравенство (14) перепишем так: Ур, Уе1 > 0, Уп

Е

ш=0

СтАт+п

(2п + 1)!

<С

р

р

р

р

р

Оценка (15) и формула (11) приводят к утверждению леммы для ряда (5). Для общего члена ряда (6) имеем в силу (8)-(9): Ур, У £ > 0, Уп

2 к

ж ст

т,,к=0

<

^^ Ст

<

2п

т,,к=0 \2к

<

4 Пп2

ж ж \h-ri №

Е \ С™\ Е ^щг\\ Ат+п+к (х1)\\* <

<

т=0 к=0

С(3)(е) р2п ж Ж \Ь а 2к

Е ы Е ^^От т+п+к)Мх1)+)(»++*) =

т=0 к=0 ( )!

+

С(3)(е) „2п ж

= Е \с™\

ш=0

С (3)(е) р2п ж ж а 12к

Е Ы£

т=0 к=1 ( )!

Учитывая, что Рр(х1) < 0, Ур, а е > 0 — произвольно, аналогично предыдущему случаю, для ряда (16) имеем: Ур, Уе 1 > 0, Уп

С (3)(^)р 2п ж

Е\(т + п)(МХ1)+^) <

т=0

< С^3)

ж / .2

где в2(р,£, £1) — сумма ряда X] ( 1 + еИ т(13р(х1)+£)т.

т=1 ^ '

Кроме того, из условия Рр(х{) < 0, Ур и произвольности е > 0 вытекает справедливость неравенства

(т + п + к)(Рр(х1)+е)(т+п+к) ^ (т + п)(^р(х1)+е)(т+п)к(^р(х1)+е)к,

которое в сочетании с (18) приводит для ряда (17) к оценке: Ур, Уе 1 > 0, Уп

С(3)(^)р2п ж ж 1г. а\2к

Е ^ Е \1ЩГ(т + п + к)^(х1)+^+к) <

Ст \ ш=0 к=1

(3Ьа-\ю2п Ж

С(3)(е) р2п ж ж \Ь а №

т=0

к=1

(2 к)!

< С

\2; к=1 (2к)!

Нетрудно показать, что числовой ряд

•Ж \Ь- а\2к

к=1

к(Рр(х1)+е)к

р

р

мажорируется сходящимся в силу признака Коши числовым рядом

^ \Ь — а\2ке2к ^^рр(х1)+е-2)к. к=1 4

Пусть Б1(р,е) — сумма ряда (20). Тогда из (18)-(19) следует, что Ур, Уе1 > 0, Уп

ст{Ъ — а)2к + п+к, ) ^

< С

т,к=0

<

Из (21) и (11) вытекает абсолютная сходимость степенного ряда (6) по топологии пространства Н УЬ Е. С. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть ) = 0, ар(х^) < п2/\Ь — а\2, Ур, ] = 1,2. Тогда ряды (4)-(6) сходятся абсолютно по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости и определяют целые вектор-функции щ(£), г = 1, 3.

Доказательство. Пусть выполняются условия леммы. В этом случае для оценки общих членов рядов (4)—(6) воспользуемся приведённым в [13] неравенством Ур, Уе > 0, 3Ср(е,х), Уп : \\Ап(ж)||р < Ср(е,х)(ар(х) + £)пп^р(х)п, принимающим при Рр(х) = 0, Ур вид

Ур, Уе > 0, 3Ср

Аналогично лемме 1, для общего члена ряда (4) в силу (22) имеем оценку

Ап

/ р \ 2п

< С(р4)(£)[-) К(1) + £)пп-2п, УР, У£ > 0, Уп,

из которой, с учётом (11), следует абсолютная сходимость ряда (4) по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости.

Применяя оценку (22) к общему члену ряда (5), имеем: Ур, Уе > 0, Уп

1

(2п + 1)! ^

Е стАт+п

т=0

<

р

1

2 п

Л5),

Е стАт+п

т=0

<

р

\пп2п О

< ^ £ \ст\-\\А-+п(х2)\\р < Ср (£)(а4п(;2)+ £)пв Е ЫК(^) + в)™.

4 пп2

т=0 т=0

Из оценки (13) для коэффициентов ст следует, что числовой ряд

Е \°т\(ар(Х2) + ¿У

т=0

мажорируется суммой бесконечно убывающей (в силу произвольности в > 0, £1 > 0 и условия ар(х2) < п2/\Ь — а\2, Ур) геометрической прогрессии

ОО / £

т=0 х

\Ь — а\2

к2

+ еИ (ар(х2) + е)т =

1

1 —

р

т

Пусть Я2(р, £) — сумма ряда (23). Тогда Ур, Уп

1

(2п + 1)! ^

£ стАт+п

т=0

< Ср\е)32(р, е)(ар(х2) + е)пе2п

4Пп2п ' ^ '

Оценка (25) и формула (11) устанавливают абсолютную сходимость ряда (5) по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости.

Наконец, из (22) для общего члена ряда (6) имеем: Ур, Уе > 0,Уп

^^ Ст

^

т,к=0

<

^^ ^ а) ^ Ат+п+к

т,к=0

<

< ъ' Е ыыхо+.г Е ¡ур ых1)+С)

4 пп2п

(2к)! ^

т,=0

В силу условия ар(х1) < п/\Ь — а\2, Ур, ряд, стоящий в (26), мажорируется рядом (24), в котором следует заменить х2 на х1. Обозначая через Я3(р, е) сумму ряда (23), в котором х2 заменено на х1, перепишем (26) следующим образом: Ур, Уп

Ст

^

ш,к=0

<

< с^ |Ь — а\^ар(х1) + е^

сР6)(£)Бз(р, £)(ар(х1 ) + £)пе2п

4 п п2 п

Из (11) и (27) вытекает справедливость утверждения леммы для ряда (6). Лемма доказана.

Доказательство (теоремы 1). Известно [17,18], что единственное решение задачи Коши и"(1) = Аи(1), и(0) = у1, и'(0) = у2, у1, у2 € О^(А), имеет вид

и(г) = £

Ап

1) ,2п + у^ Ап(У2) ,2п+1

(2 п)! + ^(2п + 1)! .

Легко убедиться, что задача Коши с начальными условиями и(а) = у1, и'(а) = у2 будет иметь единственное решение

и(1) = У (г — а)2п + ^ ,л2п+1

^ (2п)!

п=0 4 '

(2п + 1)!

п=0 4 '

(г — а)2

Как отмечено в [17,18], вектор-функция (28) является целой при Рр() < 2, Ур, % = 1, 2. Очевидно, в нашем случае это условие выполнено (так как векторы у1, у2 € М). Поэтому значение функции и(1) определено в любой точке комплексной плоскости. Используя (2) и (28), приходим к уравнению относительно у2 (легко видеть, что у1 = х1):

^

п=0 (2п +1)!

п=0 4 '

Ап( У 2)=х2 — У

2 п

п=0

(2 п)!

-Ап(х1).

р

р

р

к

р

Поскольку а = Ь, уравнение (29) представимо в виде:

<р

где

О

р

п=1

Л =

Лп = — ,

*=ь—та —±

а Е — тождественный оператор.

О

Оператор р(А) имеет характеристическую функцию р(£) = 1 — ^ Лп£п, схо-

п=1

дящуюся для Лп из (32) на всей комплексной плоскости. Согласно [13], если функция р(£) является аналитической в окрестности нуля, то функция ф(£) =

О

( Р(С))-1 = п также является аналитической в окрестности нуля. В этом

п=0

случае уравнение (30) имеет единственное решение [13]

О

У2 = Е ^

п=0

Очевидно,

-Ь

О

п

р(6 = 1 — У] ЛпС =

поэтому

п

п=1

(6 — а)^

»«>= Ы^^

Пользуясь разложением [19]

1 -1+5:г1—1)Вт,2т-1, 0 <м<„,

т —' I Угп И

-Ьж х ^ (2т)!

" =1

получаем представление функции (35) степенным рядом

= = £ С"Г, К\ <^2/\6 —а|2,

-Ь((& — а)^) ^

"=0

коэффициенты ст которого определяются равенствами (7). Подставляя (33) в (34), находим у2 :

1 О 1 О ^ (Ь-п)2к

У = гЪ Г — ^ £ ^"^¡г-^'"^)

"=0 т,к=0 у '

Учитывая ^ = ж1 и (37) в (28), приходим к равенствам (3)-(6). В силу доказанных выше лемм 1-2 степенные ряды (4)-(6) сходятся абсолютно и равномерно по топологии пространства Н на всех компактах комплексной плоскости, а потому допускают почленное дифференцирование по переменной £ любое

число раз. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция задаваемая равенствами (3)—(6), удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (2).

Единственность решения задачи является следствием его голоморфности. Теорема доказана.

3. Теорема устойчивости

Теорема 2. Пусть оператор А имеет порядок 0 < 0, при 0 = 0 его тип а < п2/\Ь — а\2. Тогда решение задачи (1)-(2) непрерывно зависит от краевых значений х^, ] = 1, 2, то есть является устойчивым.

Доказательство. Пусть условия теоремы имеют место. Из определений порядка и типа оператора [11-13] следуют неравенства 0р ^ 0, ар ^ а, Ур, где /Зр — р-порядок оператора А, а ар — р-тип оператора А. Рассмотрим два случая.

1. Если 0 < 0, то из оценки [13] Ур, Уе > 0, 3Ср(е), 3 д(р, е), Ух е Н, Уп : ||Ап(х)||р < Срп(^р+£">п\\х\\ч, в круге \Ь — а\ < г,г < ж, для общих членов рядов (4)-(6), аналогично доказательству лемм 1-2, соответственно имеем: 1) для ряда (4): Ур, Уе > 0, Уп, У хх е Н

тах

^-а\<г

Ап

(2 п)!

2п

<СР7)(е)(-\ п™

р \ 2 п

е\ „ ( ¡3V+е-2)п

2

г2п. Ч1 .

2) для ряда (5): Ур, Уе i > 0, Уп, УХ2 Е Н

тах 1г-а1<г

^ СтАт+П(х2) и г,\2п+1

\

т=0 4 '

<

<C¡8)(e)(1 + MS3(p,e, si))(|)^ п^+^ХЬг2^1, (39) где S3(p ,£, е1) — сумма ряда

'1Ъ-а\2

^ ílb-al2 \

т=1 ^ '

(Рр +е)т.

3) для ряда (6): Ур, Уе 1 > 0, Уп, Ух1 Е Н

тах 1г-а1<г

g ст(Ь _ а)2кАк+т+п(х{) ^_а)2п+1

ш,к=0

(2 п + 1)!(2 к)!

<

< С(9)(е)(1 + Si(p, е))(1 + MS3(p, е, £i)) (0 2п п(^+е-2)п\\х11|

„2 п+1

где 53(р,£, ех) — сумма ряда (40), а в4(р, е) — сумма ряда ^ 1 ^^ к(13р+£)к.

к=1

2. Если 0 = 0, то в силу замечания и определения порядка оператора можно считать, что /Зр = 0, Ур. Применяя оценку [13]

Ур, Уе > 0, 3Ср(е), 3 ф, е), Ух е Н, Уп : \\Ап (х)||р < Ср(ар + е)пп^рп\х\<1

к общим членам рядов (4)-(6) при ар < п2/\Ь — а\2, Ур, в круге \^ — а\ < г, г < ж, соответственно получаем:

р

р

р

Ч

1) для ряда (4): Ур, Уе > 0, Уп, Ух\ е Н

max

lt-al<r

An(xi\t _ а)2п

(2 п)!

/ р \ 2п

< С(р10)(e)(1) К + е)пп-2п"~- 11 -2п-

2) для ряда (5): Ур, Уп, Ух2 е Н £

max

lt-al<r

т=0

СтАт+П(х2) ,, \2п+1

~12ПТТ)Г

<

<

C¡,n\e)S5(p, е)(ар + е)пе2п

4 пп2п

\\х2\\чг2п+\

где S5(p, е) — сумма ряда

£ |cml(ap + e)m;

m=0

3) для ряда (6): Ур, Уп, У х1 е Н

max

lt-al<r

g cm(b _ а)2кАк+т+п(х\) ^_а)2п+1

т,к=0

(2 п + 1)!(2 к)!

<

< ch (|6 _ а1^/ар + е) где S5(p, е) — сумма ряда (44).

cP12)(e)S5(p, е)(ар + е)пе

4 пп2п

п 2 п

г2п+1,

Из оценок (38)-(39), (41)-(43) и (45) следует, что в условиях теоремы ряды (4)-(6) сходятся абсолютно и равномерно по топологии пространства Н и непрерывно зависят от краевых значений х, j = 1, 2. Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение теорем 1-2.

Пример 1. В пространстве Н = Н (C) всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах найдём решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

d2u d2u п .лп.

W +=0,

удовлетворяющее условиям: х1 = u(0) = cos , х2 = u(1) = sin .

Для оператора А = _ по индукции легко установить равенства Ап (cosz) = cos z, A^sinz) = sin z. Решение рассматриваемой задачи представляется, в силу теоремы 1, рядами

= ^ An(cosZ) ,2п + ^ CmAm+rl(sinZ) ,2п+1

(t) = (2 п)! г + ^ — г

п=0

п,т=0

(2 п + 1)!

_ ¿ c-Ak+m+:(cos^t™=cos,

п,т,к=0

(2п +1)!(2 к)!

ch t+sin zsht ^^ cm_cos z ch 1 sh t ^^

= cos zcht +

zsht > cm_cosz

m,=0

sin sh ch 1

C™.

m,=0

sh 1 sh 1

--— coszsh t,

р

р

р

4

х

поскольку при а = 0, 6=1, £ = 1 из (36) следует, что Y1 °т = 1/ sh 1. Используя

т,= 0

определение р-порядка и р-типа вектора относительно оператора [13]

pjx) = üm ln \\АП

п^х П ln П п^-х V

нетрудно показать, что Рр(х1) = Рр(х2) = 0, ар(х{) = ар(х2) = 1 < к2, т.е. вектор-функция (47) является целой.

Пример 2. Пусть Н = [1,1] — пространство целых функций, порядок роста которых р ^ 1, а при порядке р = 1 тип а ^ 1. Топология на [1,1] определяется

системой норм \\F(z)\\E = sup i max|F(z)le-(1+eV 1 , VF(z) e [1,1], Ve > 0. Пусть

r>0 (.N^ J

А = dj — оператор дифференцирования. Найдём решение задачи Дирихле для уравнения (1) с условиями х1 = и(0) = sin z, х2 = u(—i) = ez. По теореме 1 решение задачи имеет вид

An(sin¿^2^. с^Ат+п(ez^2п+1

„m-V A (sin^)t2n + i V CmA с )t2

и() — П= (2n)l + ^^ (2n + 1)! *

n= 0 4 y п,ш=0 4 y

_. ^ cm(-1)kAk+m+n(sinz) 2п+1 - 0 (2- + 1)!(2fc)! '

По индукции легко установить, что (sinz)( п) — sin(z + жп/2), поэтому

х

sin u

. . v-^sin( z + zn) 2п ez sh t

n= 0

k

n,m,k=0

-* ? .(¿ПТ^Г^ {' + f<* + » + '») ¡2n+1 •

где коэффициенты ст определяются равенствами (7).

В [13] доказано, что F G [р,а] : 0 < p(F) < р, p(F) = р < 1, имеет операторные е-порядки и е-типы относительно оператора дифференцирования dz

ß- (f. d-) = ^ß (f. ) .

( d \ 1 -p(F) i / d \ aJF, — j = e-^n-(p(F )a(F)) ^ = a\F, — j ,

где p(F) и a(F) — соответственно порядок и тип целой скалярной функции F.

Поскольку p(sinz) = р(ez) = 1, ^(sinz) = а(ez) = 1, имеем ße(sin,<;) = ß£(ez) = 0, а также ae(sin,<;) = as(ez) = 1 < к2. Следовательно, (49) — целая вектор-функция.

Отметим также (см. [13]), что оператор дифференцирования dz : [p, &] ^ [p,a] имеет порядок ß = (p — 1)/p и тип а = e-1(aep)1/p, p ^ 1. Тогда в нашем случае ß = 0, а = 1 < к2, т.е. по теореме 2 решение задачи устойчиво.

Пример 3. Пусть Н = Н(|z| < 2) — пространство всех функций, аналитических в круге Izl < 2 с топологией равномерной сходимости на компактах:

IIf(z)IIp = max|f(z)l, р < 2. Пусть А = zE — оператор умножения. Построим реше-|z|<p

ние задачи Дирихле для уравнения (1) с условиями х\ = u(i) = z,x2 = u(i + 2) = ez.

Обращаясь к теореме 1, получаем решение задачи

«*) = £ —°>2" + 2 £ таг«— о™

п=0 п,ш=0

1 22 к к

1 ^Г^ с™-2 *_( , _ .)2п+1

Обращаясь к равенству (36) при а = 2, Ь = г + 2, приходим к следующему представлению функции и(1) :

и

Нетрудно проверить, что решение (50) удовлетворяет уравнению и заданным условиям. Полученное решение является целым по переменной £ (/Зр(х) = Рр(ег) = 0, ар(х) = ар(ег) = р < 2 < п2/4) и принадлежит по переменной г пространству

Н(И < 2).

Пример 4. Рассмотрим в пространстве Н = Н(С) всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах задачу Дирихле для интегро-дифференциального уравнения

г

/2 ¿-2

ег - и

1

с условиями

2 о 2

х1 = и

Применяя теорему 1 и учитывая, что методом математической индукции для

интегрального оператора А/(г) = / ег * /(0^ нетрудно установить равенства

1

Ап(ег2-2) = ег2-2 (г — Рп, Ап(ег*) = ег2 ^, Уп > 1, п! п!

приходим к следующему представлению решения задачи (51)—(52):

ОО , -, / , оо

2-2 ^ (г — 1)п(1 — 2г)2п 2 ~ ^(г — 1Т+п(1 — 2г)2п+1 + () п!(2п)! п^=0 (2п +1)!(т + п)! +

+ . р г2-2 V

При этом найденная вектор-функция (53) является целой, поскольку Рр(х{) =

Рр (х2) = —1.

4. Заключение

Отметим, что рассмотренный выше операторный метод обладает высокой степенью общности, так как позволяет исследовать задачи Дирихле для различных (как традиционных, так и не относящихся к ним) типов уравнений в общем виде. Кроме того, пространство, в котором действует оператор А, в нашем методе

имеет довольно широкую свободу выбора. Но вместе с тем следует отметить, что, несмотря на столь большую степень общности, предлагаемый метод имеет некоторое ограничение. Дело в том, что выполнение условий теоремы 1 гарантирует, что решение задачи (1)—(2) — целая вектор функция. В остальных ситуациях вопрос о характере решения и его существовании пока остаётся открытым.

Литература

1. Валицкий Ю. Н. Четырёхточечная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Функц. анализ и его прил. — 1981. — Т. 15, № 4. — С. 69-70.

2. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. — М.: Физматлит, 1995. — 176 с.

3. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 с.

4. Князюк А. В. Задача Дирихле для дифференциальных уравнений второго порядка с операторными коэффициентами // Укр. мат. журн. — 1985. — Т. 37, № 3. — С. 256-260.

5. Мельникова И. В. Связь между задачами Дирихле и Коши // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, № 2. — С. 311-316.

6. Мельникова И. В., Кудрявцев А. Г. О корректности задачи Дирихле для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Изв. вузов. Математика. — 1986. — № 8. — С. 46-52.

7. Филинков А. И. Регуляризация некорректной задачи Дирихле методом краевых задач с комплексным параметром. — Урал. ун-т. - Свердловск, 1989. — 7 с. — Деп. в ВИНИТИ, №1224-89.

8. Шишатский С. П. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве в гиперболическом случае // Математические проблемы геофизики. — 1969. — Вып. 1. — С. 103-124.

9. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

10. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962. — 829 с.

11. Громов В. П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. Сер. матем. — 1986. — Т. 228, № 1. — С. 27-31.

12. Громов В. П. Порядок и тип оператора и целые векторнозначные функции // Ученые записки ОГУ. — 1999. — Вып. 1. — С. 6-23.

13. Громов В. П., Мишин С. Н., Панюшкин С. В. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. — Орел: ОГУ, 2009. — 430 с.

14. Мишин С. Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. Сер. матем. — 2001. — Т. 381, № 3. — С. 309-312.

15. Мишин С. Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение: Дисс. ... к. ф.-м. н.: 01.01.01: Кандидатская диссертация / Орел. — 2002. — 116 С..

16. Хой Ле Хай. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. — Ростов-на-Дону: РГУ, 1981. — 54 с.

17. Громов В. П. Операторный метод решения линейных уравнений // Ученые записки ОГУ. — 2002. — Вып. 3. — С. 4-36.

18. Громов В. П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // ДАН РФ. Сер. матем. — 2004. — Т. 394, № 3. — С. 305-307.

19. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике: для инженеров и уч-ся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

UDC 517.55

Two-Points Dirichlet Problem for the Second Order Differential-Operator Equation in Locally Convex Space

N. A. Aksyonov

Orel State University 95, Komsomolskaya str., 302026, Orel, Russia

This paper gives an account of method, that allows to find a solution of the Dirichlet problem for the second order differential-operator equations in arbitrary locally convex space.

Key words and phrases: Dirichlet problem, differential-operator equation, locally convex space, operator order, operator type.