Характеризация коммутативных матричных подалгебр максимальной длины над произвольным полем

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

53

2. Esarey E, Sprangle P., Krall J., Ting A. Overview of plasma-based accelerator concept // IEEE Trans. Plasma Sci. 1996. 24. 252-288.

3. Chizhonkov E.V., Gorbunov L.M. Calculation of a 3D axial symmetric nonlinear wakefield // Rus. J. Numer. Anal. and Math. Modelling. 2007. 22, N 6. 531-541.

Поступила в редакцию 28.04.2008

УДК 512.643

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КОММУТАТИВНЫХ МАТРИЧНЫХ ПОДАЛГЕБР МАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛЕМ

О. В. Маркова 1

В работе получена характеризация коммутативных подалгебр длины n — 1 в алгебре матриц порядка n над произвольными полями в терминах порождающих элементов.

Ключевые слова: длины алгебр, коммутативные матричные алгебры, циклические матрицы.

A characterization of commutative subalgebras of length n — 1 in the full matrix algebra of order n over an arbitrary field is obtained in terms of generating elements.

Key words: lengths of algebras, commutative matrix algebras, nonderogatory matrices.

В работе Паза [1] установлено, что длина любой коммутативной подалгебры алгебры матриц порядка n над полем комплексных чисел C не больше n — 1. В [2] показано, что эта оценка справедлива для произвольного поля. Кроме того, в случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым, охарактеризован класс подалгебр, для которых эта оценка достигается. В данной работе получена аналогичная характеризация для подалгебр над произвольными полями.

Пусть F — произвольное поле. Пусть даны конечномерная ассоциативная F-алгебра A с единицей 1д и конечная система порождающих этой алгебры S.

Обозначение 1. Обозначим через Li(S) линейную оболочку слов от элементов S длины, не превосходящей i. При этом 1д считаем словом длины 0 и заметим, что Lo(S) = F.

Приведем определения длины данной системы порождающих и длины всей алгебры (см., напри-меP, [3]).

Определение 1. Длиной конечной системы порождающих S для конечномерной алгебры A называется наименьшее неотрицательное целое число k, такое, что Lk (S) = A. Далее будем обозначать ее l(S).

Определение 2. Длиной алгебры A называется l(A) = max^ l(S), где максимум берется по всем конечным системам порождающих этой алгебры.

Пусть Mn(F) обозначает алгебру матриц порядка n над полем F, E — единичную матрицу.

Также нам потребуется следующий специальный класс матриц.

Определение 3. Пусть F — произвольное поле. Матрица C Е Mn(F) называется циклической, если

dimiF«E, C, C2,..., Cn-1)) = n.

Для длины коммутативных матричных подалгебр справедлива следующая верхняя оценка.

Теорема 1 [2, теорема 6.1]. Пусть F — произвольное поле и A — коммутативная подалгебра в Mn(F). Тогда l(A) < n — 1.

Следующая лемма показывает точность оценки в теореме 1.

Лемма 1 [4, лемма 7.7]. Пусть F — произвольное поле и A — коммутативная подалгебра в Mn(F). Если существует циклическая матрица A eA, то A является подалгеброй, порожденной матрицей A, и l(A) = n — 1.

1 Маркова Ольга Викторовна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ov_markova@mail.ru.

54

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

В случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым, в [2] было получено, что других коммутативных подалгебр максимальной длины нет.

Теорема 2 [2, теорема 7.9]. Пусть F — алгебраически замкнутое поле. Коммутативная подалгебра A в Mn(F) имеет максимальную длину тогда и только тогда, когда она порождена циклической матрицей.

Покажем, что в случае произвольного поля максимум длины коммутативных матричных подалгебр также достигается на подалгебрах, порожденных циклическими матрицами, и только на них.

Предложение 1 [2, предложение 5.1]. Пусть F — произвольное поле, через F обозначим алгебраическое замыкание поля F. Пусть A — конечномерная ассоциативная F-алгебра с единицей. Определим алгебру Af следующим образом,: Af = (Af F)f, т.е. в F-алгебре Bf = Af F зададим умножение на элементы F по следующему правилу: для a £ Bf, f £ F их произведение есть f  a = (1  f)  a. Тогда

l(A) < l(Af).

Лемма 2. Пусть F — произвольное поле и пусть A — подалгебра в Mn(F) размерности dim A = n. Тогда l(A) = n — 1 тогда и только тогда, когда алгебра A порождена циклической матрицей. Как следствие в этом случае подалгебра A коммутативна. Доказательство. Достаточность следует из леммы 1.

При n = 1 алгебра Mi(F) = F и dim Mi(F) = 1. Если dim A = 1, то также A = F, значит, A содержит единицу поля, которая является циклическим элементом.

Рассмотрим случай n ^ 2. Пусть l(A) = n — 1. Рассмотрим систему порождающих S для A длины n — 1. Предположим, что dim Ci(S) ^ 3. Тогда

n-2

dim Cn-2 (S) =dim Co(S ) + ^](d im Ck (S) — dim Ck-i(S)) =

k=1

n- 2 n- 2

= dim Ci(S) + J^(dim Ck (S) — dim Ck-1(S)) ^ dim Ci(S) + 1 = dim Ci(S )+n — 3 ^ n = dim A,

k=2 k=2

откуда Cn-2(S) = A и l(S) ^ n — 2. Противоречие.

Если dimCi(S) = 1, то dimC0(S) = dimCi(S) и l(S) = 0 < n — 1.

Следовательно, dim Ci(S) = 2, т.е. существует матрица A £ S, такая, что Ci(S) = (E,A). Тогда по определению длины

dim A = n = dim Cn-i(S) = dim(E, A, A2,..., An-:L).

Следовательно, матрица А циклическая и алгебра А порождена матрицей А.

Теорема 3. Пусть F — произвольное поле. Коммутативная подалгебра A в Mn(F) имеет максимальную длину тогда и только тогда, когда она порождена циклической матрицей. Доказательство. Достаточность следует из леммы 1.

Пусть l(A) = n — 1. Пусть F обозначает алгебраическое замыкание поля F. Рассмотрим подалгебру Af = A F, определенную в предложении 1. Алгебра Af Q Mn(F) и является коммутативной. Также по предложению 1 имеем l(A) ^ l(Af). Тогда по теореме 1

n — 1 = l(A) < l(Af) < n — 1,

т.е. l(Af) = n — 1. Тогда, согласно теореме 2, подалгебра Af порождена циклической матрицей. Следовательно, dimf Af = n.

По построению dimf A = dimf Af, т.е. dimf A = n. Следовательно, по лемме 2 алгебра A порождена циклической матрицей.

Следствие. Пусть F — произвольное поле. Если коммутативная подалгебра A в Mn(F) имеет длину n — 1, то она является максимальной по включению.

Доказательство. По теореме 3 если l(A) = n — 1, то A порождена циклической матрицей. Тогда из теоремы Герштенхабера [5, теорема 1] следует, что A — максимальная по включению коммутативная подалгебра.

Пользуясь случаем, автор приносит особую благодарность научному руководителю А. Э. Гутерману за внимание к работе и полезные обсуждения.

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2009. №5

55

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Paz A. An application of the Cayley-Hamilton theorem to matrix polynomials in several variables // Linear and Multilinear Algebra. 1984. 15. 161-170.

2. Guterman A.E., Markova O.V. Commutative matrix subalgebras and length function // Linear Algebra and Appl. 2009. 430. 1790-1805.

3. Pappacena C.J. An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra //J. Algebra. 1997. 197. 535-545.

4. Маркова О.В. Вычисление длин матричных подалгебр специального вида // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, вып. 4. 165-197.

5. Wadsworth A. The algebra generated by two commuting matrices // Linear and Multilinear Algebra. 1990. 27. 159-162.

Поступила в редакцию 19.05.2008

УДК 519.95

О СЛОЖНОСТИ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ ДЛЯ ОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

В. М. Краснов1

Рассматриваются k-самокорректирующиеся схемы из функциональных элементов в базисе {xi&x2, x}. Предполагается, что константные неисправности на выходах элементов однотипные. Инверторы предполагаются надежными. Вес каждого инвертора равен 1. Конъюнкторы могут быть надежными и ненадежными. Каждый надежный конъюнктор реализует конъюнкцию двух переменных и имеет вес p > k + 2. Каждый ненадежный конъюнктор в исправном состоянии реализует конъюнкцию, а в неисправном — булеву константу S (S Е {0,1}). Вес каждого ненадежного конъюнктора равен 1. Установлено, что сложность реализации такими схемами монотонных пороговых симметрических функций fn(xi,..., xn) = Y XiXj, n = 3,4,..., асимптотически равна (k + 3)n.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, сложность схемы, булевы функции.

k-Self-correcting schemes of functional elements in the basis {xi&x2,x} are considered. It is assumed that constant faults on outputs of functional elements are of the same type. Inverter are supposed to be reliable in service. The weight of each inverter is equal to 1. Conjunctors can be reliable in service, or not reliable. Each reliable conjunctor implements a conjunction of two variables and has a weight p > k + 2. Each unreliable conjunctor implements a conjunction in its correct state and implements a boolean constant S (S Е {0,1}) otherwise. Each unreliable conjunctor has the weight 1. It is stated that the complexity of realization of monotone threshold symmetric functions fn(xi ,...,xn) = V

x• i x• j , n^b — 3, 4,... by such schemes asymptotically

equals (k + 3)n.

Key words: schemes of the functional elements, complexity of implementation, Boolean functions.

Введение. Будем рассматривать схемы из функциональных элементов в базисе В = {&, — } [1], которые построены из надежных и ненадежных элементов. Предполагается, что все инверторы базиса надежны, а среди конъюнкторов есть как надежные элементы, так и ненадежные. Вес инвертора равен 1. Каждый надежный конъюнктор имеет вес р (р > 0) и реализует конъюнкцию двух переменных. Каждый ненадежный конъюнктор в исправном состоянии реализует конъюнкцию, а в неисправном состоянии — булеву константу 5 (5 Е {0,1}). Вес каждого ненадежного элемента равен 1.

1 Краснов Виктор Михайлович — студ. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vmkrasnoff@ya.ru.