Исследование обтекания тела газодисперсным потоком с большой массовой долей твердых частиц

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 4

УДК 532.525.6 532.529.5

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА ГАЗОДИСПЕРСНЫМ ПОТОКОМ С БОЛЬШОЙ МАССОВОЙ ДОЛЕЙ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ

Г. В. МОЛЛЕСОН, А. Л. СТАСЕНКО

Исследовано взаимодействие монодисперсной сверхзвуковой струи, истекающей из сопла, с осесимметричным телом при больших значениях массовой доли частиц. Рассмотрено несколько вариантов радиального распределения концентрации частиц на входе в сопло. Изучено влияние на газотермодинамику потока начальных значений массовой доли частиц, их материала и размера.

Ключевые слова: газодинамическое ускорение микрочастиц, коэффициенты восстановления компонент скорости, сжатый слой, вращение отраженных частиц, хаотизированные частицы и их диффузия, плотности потоков массы, импульса и энергии фаз.

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной статьи является развитие и применение физико-математической модели, а также соответствующего численного алгоритма [1, 2] для исследования обтекания тела двухфазным потоком при различной концентрации частиц, в том числе и при больших значениях их массовой доли (однако все еще пренебрежимо малом относительном объеме) в газодисперсной смеси.

В наземных аэродинамических экспериментах [3, 4] массовая доля частиц достигала 30%, а их размер изменялся от долей микрона до ~150 мкм. Специфика таких потоков состоит в том, что частицы могут не успеть прийти в тепловое и скоростное равновесие с несущим газом. Поэтому при теоретической обработке результатов опытов необходимо рассматривать эволюцию двухфазной среды, начиная от камеры смешения: течение смеси в сопле и в потоке между срезом сопла и обтекаемым телом. Сам процесс смешения, имеющий целью равномерно «засеять» газ частицами — сложное газодинамическое явление, требующее отдельного рассмотрения. Кроме того, взаимодействие двухфазной струи с обтекаемым телом может описываться параметрами, немонотонно зависящими от концентрации частиц в несущем газе (например, вследствие большого количества отраженных от тела частиц, образующих у его поверхности экранирующее облако).

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МОНОДИСПЕРСНОГО ПОТОКА

Система уравнений газотермодинамики несущей среды (индекс 1), ускоряемых ею частиц (индекс 2), отраженных от твердого тела (индекс 3) и хаотизированных (индекс И) час-

МОЛЛЕСОН Галина Васильевна

кандидат технических наук,

доцент, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

СТАСЕНКО Альберт Леонидович

доктор технических наук,

профессор, главный научный сотрудник ЦАГИ

тиц состоит из нескольких блоков.

Уравнения для плотностей потоков исследуемых фаз:

5р

о, +У(Р.'У') = Р Ур'),

] = 1, 2, 3, к; Р1 = 0, Б1 = БС = Бз = 0, Бк Ф 0. Уравнения импульсов фаз:

дрхУ

д,

+ ех •У(р1ы1У1) + ег •У(р1У1У1) = -Ур1 Р],

]=2

др У] ,,

Ру  + ех У(р]п]У]) + ег У(р]У]У]) = Ру +р5о11Уу, (] = 2, 3),

д,

дРк Ук

д,

+ е х -У(р кПк У к) + е г -У(р^ Ук) = -Урк + Рк-Р С2°11 У2 - р С°"Уз + Ук^Ур к).

Уравнения момента импульса отраженных частиц:

дРзз

д,

+ У(РзШзУз) = Оз +р3°11з.

Уравнения энергии фаз:

дР1е1 + д,

Р1(е +—)у р1

= -Е Q] +Р 2°11 (ее-к) +Р С°11(ез-к),

]=2

дР]е] = П , РсоИ

д,

дРкек д,

^У/) = 6] + РС е^, (] = 2,3),

= 2к-Р 2°11ес-Р 3°11ез +екУ( ЪкУрк).

Рк (ек +— )Ук

Рк

Полные удельные энергии фаз суть

е] = и] + К] :

где и], К — удельные внутренняя и кинетическая энергии фаз. Здесь использованы стандартные обозначения: Р], У/ (му, уу) — плотности фаз и векторы скорости (с их компонентами); ех, ег — орты цилиндрической системы координат х, г; р] — давление (] = 1, к); Б] — коэффициент диффузии. Остальные обозначения пояснены ниже.

Алгебраические выражения в правых частях этих уравнений, описывающие механическое и тепловое взаимодействие фаз, имеют вид:

изменение плотностей частиц за счет столкновений (точка над Р] означает производную по времени):

р 2 =ур

Рс

СРзу -Уз|+Рк (|Ук -Ус|2 + Ук2)1/2

Р с°11 =урРЗ-а

СР2|У2 -Уз| + Рк (|Ук -Уз|2 + Ук2)1/2

лс°11 _ /Лс°11 , ЛсоПу Р к =-(Р 2 + Р 3 );

объемные плотности сил взаимодействия частиц с газом:

Рс =р сгс, Рз = Рз ^ + 8/3СМз р1 р (Ш1 - из) х (У1 - У3)], Р к = р к fк,

а

(^ — вектор ускорения, Ю] — угловая скорость);

плотность момента сил, тормозящего вращение частицы:

^э Р1Р3 Ь -э) , %» = 1 + ^л/^ёГ, Ка= 0.005;

2П

плотности межфазного теплообмена:

Q2 = Р2(Ч 2 +У 2 '^2 X

8 В

23 =Р3{^ 3 +У 3 '3 + - СМ3 Р 1Р[(1 -3) х (У[ - У3)]У3 +СЮ3 - а^[К -3) ^^ (9) 3 П

ОиИ = Ри (Чи +У И ).

Силовое взаимодействие и теплообмен отдельной частицы с газом описываются выражениями для ускорения ^ и плотности потока энергии чр

= V СП] |У1 - Vу | (У1 - V^), (] = 2, 3, И),

СВ] =

24 4.4 С V. 5Г^ Ск 1+-

V ] ]

М

4 >

1+м4

] /

% и, % и =

X Ш

ч, = у-

] 0 ; (ТЬ - Т] ), 0 ; =

1+—]—

Ш ° X ]

] ] /

, ] = 2,3,И ,

Ш0] = 2 + 0.5Яе°-55 Рг033 , Ш] = /Т Ш0] /(1 + 3.42(М] /Яе] )(Ш0] /Рг)).

Здесь Си] и Ки] — коэффициент сопротивления и число Нуссельта ]-фазы, нижний

индекс «0» соответствует отсутствию «обдува» частицы несущим газом, верхний — материалу частиц. Далее,

/т =

1 Т%+1 - Т^1

С+1 (т -тТ

] , Тъ = Т1(1 -п) + П^[1 + 0.5(к- 1)М2], с = 1 в Гт .

Числа Маха и Рейнольдса частицы имеют вид:

М ] =

У1 - У]

Яе ] = 2ар1

|Ух - У] ^М] < 1, Т = Т1 ц(Т-) , [м] > 1, Т = Т°

где Т° = 4Т1[1 + 0.5(к- 1)М2][кМ2 -0.5(к- 1)]М-2(к +1) 2 — температура торможения за прямым скачком при сверхзвуковом обтекании частицы; |у - У] = [(и - и] )2 + (V - V] )2]1/2 — модуль скорости частицы относительно несущего газа. Далее,

А В Р1 а2 - ю 3 ъ ъ

С + —, Яе т = -—I-1-А = 2я—, В = 16п - 6гс—,

Ю л/Яею Яе» » Ц1 1 + ъ 1 + ъ

к—1

Ъ =

Яе»

4п

Сы =

1 к + 1

4 к

4 к

(к + 1)2

(эти символы пояснены ниже).

2

а

в = 3 , Y = 3 ~рт ~, V = — безразмерные параметры приведенной системы;

8 ри 2 п

Xi =

Pr

X =

2 p0 Ri

ЫП)

CpP*U *

X0 =

x°

— безразмерные коэффициенты теплообмена, при

этом индекс «*» соответствует параметрам несущей среды в критическом сечении сопла. Модель турбулентности для двухфазной смеси имеет вид:

до к 2 к3/2

+ У

где Т1— тензор вязких напряжений;

2

П k = Z Р j fj •

j=2,3,h 5

— объемная плотность генерации турбулентности частицами,

i , \

(pj = min(/f, l,), lt = 2a

1

1

Z Re

yp

4 =

1

,1/3

- 2a,

Re yP =

2api |Vi - Vj

м1+2 z в у )

Sd =

2в^

^КГГ

A =

0.09k

D h =-

Dt

1 +

Dk = Dm + Dt

= 2 a2p0

Th = 9 MW +1/ 6 Reh/2),

0.09k,

V1+Th/ Tt

P y =pj, k = 1

2

Ph = 3 Ph ,

(j = 2,3, h).

Поясним структуру принятой физико-математической модели. Уравнения (1) описывают пространственно-временную эволюцию массовой плотности всех компонентов смеси с учетом массообмена за счет столкновений (верхний индекс «coll»). Dh —коэффициент диффузии хаоти-зированных частиц. Частицы всех фракций имеют один и тот же размер «2 = «3 = ah = a и постоянную массу m = 4na3р0/3 . Здесь и далее а — радиус частиц, рco11— скорость изменения

плотности j-фракции за счет столкновений с частицами других фракций.

В системе уравнений для импульсов фаз (2) учтены их силовое взаимодействие в результате отличия средних скоростей (слагаемые Ру зависят от Vi - Vj), обмен импульсами вследствие массообмена фракций при столкновениях, а также градиент давления и унос импульса хаотизи-рованных частиц вследствие их диффузии.

Момент импульса отраженных частиц в (3) изменяется как за счет взаимодействия с газом (первое слагаемое ), так и вследствие уменьшения их количества в результате столкновений

(р 3011 < 0 в (6)). Отметим, что вектор угловой скорости отраженных частиц имеет только азимутальную компоненту, «3 = (0,0, Ю3). Угловые скорости хаотизированных частиц ориентированы во всех направлениях. В случае идеального хаоса предполагалось равномерное распределение

энергии по степеням свободы, так что

2™2

a* ю

h

(это позволяет просто удвоить энергию хаоса

2 5

поступательных пульсаций скорости). Средняя локальная завихренность несущего газа Ш1 ~ Ух у полагается пренебрежимо малой.

Уравнения, описывающие эволюцию объемной плотности энергии фаз и фракций частиц (4),

т

t

включают теплообмен за счет температурной неравновесности (Т1 - Т] Ф 0), их массообмен при

столкновениях, а также вследствие диффузии энергии вместе с диффузией массы (последнее слагаемое).

Определения полных удельных энергий фаз и фракций приведено в уравнениях (5). Энергию турбулентностных пульсаций можно было бы добавить к удельной внутренней энергии, как это сделано, например, в [5]; однако, как показали расчеты, эта энергия на порядки меньше полной энтальпии осредненного движения, что позволяет рассматривать ее отдельно.

Частота столкновений частиц различных фракций, входящих в (6), зависит не только от разности их средних скоростей, но и от пульсаций скорости хаотизированной фракции V' .

В выражениях (7) для объемной плотности межфазного взаимодействия учтена сила Магнуса. На основе экспериментов для коэффициента силы Магнуса См3 предложено следующее интерполяционное выражение [6] (при движении частицы в континуальной среде):

СМ3 =

3

8ую

3 ?

0.45 +(2ую-0.45)ехр(-0.075у°4Яе307)], 2ую >0.45,

2ую < 0.45,

куда входит не только число Рейнольдса Яе3 относительного движения частицы (11), но и а |ю1 - ю 3|

у» = --! — отношение относительных экваториальной и поступательной скоростей час-

I 1 31

тицы. Видно, что при сравнительно «медленном» вращении (2у» < 0.45) экспериментальная интерполяция дает классическое значение 3/4 [7].

Формула (8) для тормозящего момента сил содержит поправочный множитель [8], описывающий влияние поступательного движения (через число Рейнольдса Яе3) на вращение частицы.

Соотношение (9) описывает как межфазный теплообмен (слагаемое ч), так и тепловыделение за счет «трения» между газом и частицей в поступательном и вращательном движениях.

Формулы (10) — (13) суммируют имеющиеся теоретические и экспериментальные данные по взаимодействию отдельной шаровой частицы с несущим газом. Оценки показывают, что коэффициент сопротивления Си и число Нуссельта зависят от критериев Рейнольдса и Маха,

которые в исследуемых течениях изменяются в широких пределах. Из результатов многочисленных исследований этих зависимостей выбраны данные работ [8 — 12]. В частности, слагаемое Сн, входящее в Си , обобщает ньютоновский коэффициент сопротивления (равный 0.42 для воздуха) на случай любого газа для больших чисел Рейнольдса; к — отношение теплоемкостей.

Отметим здесь лишь некоторые особенности принятых зависимостей. Первые два сомножителя в определении С и. (10) — «стандартный коэффициент сопротивления» [9], с поправкой

на случай сверхзвукового обтекания, интерполированный в настоящей работе функцией от целой степени числа Маха частицы. Поправочный множитель % и (10) описывает влияние вращательного движения на силу сопротивления [8]; множитель 0] (11) учитывает значительное отличие

среднеобъемной температуры частицы данной фракции от температуры газа (здесь п — коэффициент восстановления); коэффициент С»3 момента силы торможения, полученный в [13], здесь представлен в виде упрощенной интерполяционной зависимости от «вращательного» числа Яе »3 ; число определено согласно [10]; /т — поправочный коэффициент на степенную зависимость вязкости несущего газа от температуры восстановления Тъ (показатель степени %).

Искомые функции в приведенной системе уравнений обезразмерены следующим образом: все геометрические размеры (включая размеры обтекаемого тела) отнесены к радиусу критического сечения сопла г*; компоненты вектора линейной скорости — к скорости звука а* (при

отсутствии частиц); угловые скорости — к а* / г*; массовые плотности — к р*; давления — к р*а*2; температуры — к а* /^; коэффициенты кинематической вязкости и диффузии — к г*а* ; удельные энергии — к а*; скорость диссипации турбулентности — к а* / г*.

Учитываемое в данной работе парное столкновение частиц — сложный макроскопический процесс, описание которого входит в систему уравнений смеси в качестве одного из «элементарных» актов. Прежде всего, искривление траекторий вследствие обтекания обеих частиц газом — явление, осложненное возможностью вращения одной или обеих сближающихся частиц. В результате максимальное прицельное расстояние Ь и соответствующая площадь пЬ2 могут отличаться от «геометрических» значений 2а и 4па2 (которые реализовались бы в вакууме). Все детали этого сложного процесса учтены коэффициентом у, который используется в данной работе в качестве подгоночного параметра. Предполагается, что этот коэффициент подлежит дальнейшему уточнению путем сравнения с данными эксперимента или более точных теорий.

Описание турбулентной вязкости выделено в отдельный блок (14) — (16). В модифицированной к-в модели турбулентности (14) дифференциальное уравнение для скорости диссипации 81 заменено алгебраическим выражением (согласно [14]), в которое входит гибридная характерная длина , зависящая как от характерного расстояния между частицами , так и от интегральной длины турбулентности (подробнее см. в [5]). Отметим, что в определение этой длины входит коррекция А. Эйнштейна для вязкости несущей среды, учитывающая объемную долю частиц всех фракций Ру (у = 2,3, к ).

В предпоследнем слагаемом уравнения для удельной плотности к1 турбулентных пульсаций учтена дилатационная диссипация е^ энергии (эффект сжимаемости), согласно [15]. Наконец, последнее слагаемое п к описывает влияние частиц на турбулентность несущего газа, порождаемую скоростным проскальзыванием фаз (отличием их локальных осредненных поступательных у - Vу и угловых Ш1 - ш3 скоростей). Отметим, что сила Магнуса не вошла в выражение

для пк , так как ее вектор перпендикулярен разности скоростей у - Уз.

Молекулярная вязкость считается степенной функцией температуры. Суммарная кинематическая вязкость V к = Dk согласно стандартной к-в модели зависит как от молекулярной вязкости V т = , так и от турбулентной вязкости V( = . Значения удельной кинетической энергии к1 турбулентных пульсаций и скорости ее диссипации позволяют определить характерные времена т ( пульсаций газа и т к — пульсаций частиц [16 — 19].

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ С ОБТЕКАЕМЫМ ТЕЛОМ

Описание сложного процесса столкновения частиц с поверхностью тела и друг с другом относится к физике контактных взаимодействий. В нелинейных задачах газодинамики результат взаимодействия частицы с поверхностью выступает в роли граничных условий. В настоящей работе из многочисленных режимов этого взаимодействия рассмотрен режим с отскоком частиц, который можно описать в терминах коэффициентов восстановления.

Для коэффициентов восстановления компонент скорости частицы ап, аТ < 1, приняты выражения, приведенные в [1, 2, 20, 21]. Отметим, что в [22] развита стохастическая модель столкновения частицы со случайно шероховатой поверхностью и дано сравнение с экспериментом. Получено, что при малых углах падения значение ап может превосходить единицу; при больших углах падения аТ зависит от шероховатости. Более поздние эксперименты [23] подтвердили этот факт для случая заранее созданной шероховатой поверхности с периодическими бороздками; однако во всех остальных экспериментах без такой специальной подготовки были измерены

ап, ат <1.

МОДЕЛЬ СОУДАРЕНИЯ ЧАСТИЦЫ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Взаимодействие шаровой частицы с твердым телом характеризуется большим набором режимов — от прилипания (адгезии) при малых скоростях соударения до разрушения частицы и/или тела — при больших. Обширный теоретический и экспериментальный материал по этой проблеме можно найти, например, в [24, 25]. В настоящей работе рассмотрен режим взаимодействия, при котором формируется каустика (огибающая траекторий) отразившихся вращающихся частиц. Нормальная компонента скорости соударения в этом режиме заключена между значениями, соответствующими адгезионному пределу и пределу полностью неупругого соударения: у2п < у2п < у2и. Эти предельные значения зависят от физических свойств материалов сталкивающихся тел (плотностей pj, модулей Юнга Е и сдвига Gj, или коэффициентов Пуассона ц), пределов текучести о], плотностей поверхностной энергии ] где индекс ] = 2 относится к падающим частицам, а п — к телу).

Коэффициенты восстановления компонент скорости поступательного движения частиц в функции от указанных свойств вещества предложено описывать простыми эвристическими выражениями [20, 21]. Что касается угловой скорости микрочастиц, которую затруднительно определить экспериментально, то соответствующий коэффициент связывается теоретически с силой тангенциального взаимодействия, например, [5].

Используемые здесь соотношения для коэффициента восстановления нормальной и тангенциальной компонент скорости частицы ап (в 2) и ат (в 2) в функции угла скольжения в 2 (в градусах) и свойств материалов частиц и обтекаемого тела имеют вид:

1 - ап

1 - ап (П

=8Ш(Р2):

1 - ат

1 - а™11

Р2.

30°

1/3^90°-в2 > 60°

2/3

где

а™" = ах (30°) =

с

с + 0.5

с = -

V™ =

3 о)

1/2

^ =/сус f ,

V ^ у

с ]=

(о) = (о-1 + 0-1)-1

Р]

cf =

, (] = 2, п).

Здесь с ] и с] — продольная и поперечная скорости звука в материалах сталкивающихся

частиц между собой и с телом. Окончательно компоненты линейной скорости Vзn, Vзx частицы и угловой скорости ее вращения после столкновения с массивным телом определяются в виде:

v3n = -апу2п, = ат V

пу 2т "2т ""т" 2т >

а33 = <

-v2x (ат - 1), Р2 <в*

'т

- V2xат,

в2/ >в*

с

с

2

где критический угол в* является корнем уравнения ат (в*) = -5-.

Заметим, что приведенные выше соотношения соответствуют случаю незакрученной падающей частицы (ю2 = 0), который и реализовался во всех упомянутых экспериментальных исследованиях. Адгезией частиц, имеющей место лишь при малых скоростях столкновения (<1 м/с), в данной работе пренебрегалось.

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

то* ри' зщ

ЛИ'

ср го

Одним из перспективных математических методов является метод крупных частиц [26]. Это сквозной метод, что обеспечивает возможность исследовать одновременно как дозвуковые, так и локальные сверхзвуковые зоны течения в струях и соплах. Метод основывается на идее расщепления исходной системы уравнений по физическим процессам. Он опирается на дивергентные формы разностных уравнений, энергетическое равенство для полной энергии; при этом используются три этапа вычислительного цикла. Полагается, что каждый шаг по времени состоит из эйлерова, лагранжева и заключительного этапа. На эйлеровом этапе определяются параметры газа и частиц только в самой ячейке. На лагранжевом этапе исследуются потоки газа и частиц через границы ячеек. Заключительный этап суммирует результаты предыдущих этапов. Динамика несущей среды и частиц описывается нестационарными уравнениями Эйлера. Для получения стационарного решения используется метод установления по времени.

— ных потоков с малой концентрацией частиц доста-

>ный этапы вычислительного цикла к общему алго-1мах течения, в которых формируется поток хаоти-вление, необходимо использовать все этапы вычис-юда особенно целесообразно в дисперсных потоках гсских явлений. Граничные условия для двухфазно-эаницах традиционны. Граничные условия при отскоке частиц от тела описаны выше.

При обтекании тел с криволинейной образующей могут возникать пристеночные отрывные течения, которые можно исследовать по данной программе, а также при помощи хорошо развитых к настоящему времени алгоритмов [27].

ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Исследовалось течение в сопле, радиус критического сечения которого г* = 5 мм, при

давлении и температуре торможения ро = 2 МПа, Т0 = 290 К. Форма образующей сопла приведена на рис. 1, радиус выходного сечения га = 2.7 г*. На расстоянии га от среза сопла располагалось обтекаемое тело — торец медного цилиндра радиусом г„ = га. Рассмотрено осе-симметричное течение газа, содержащего монодисперсные частицы при относительной массовой доле частиц е = р20/р10, (р20 и р10 — начальные значения плотности частиц и несущего газа, соответственно). Значения е и радиуса частиц а изменялись в широких пределах: е = 0.25 ^ 3; а = 6 ^ 150 мкм. Материал частиц:

кварц (8Ю2) или медь (Си). Предполагалось, что

теплофизические

Рис. 1. Поля чисел М несущего газа в сопле с частицами. Влияние начального профиля массовой плотности частиц на входе в сопло: а, б, в — варианты 1, 2, 3 соответственно

свойства частиц остаются постоянными во всем течении. Принятые физико-механические свойства тел даны в таблице [28]:

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Формирование структуры двухфазной среды в камере смешения в поле тяготения и при наличии тангенциального вдува [4] — сложный и пока не исследованный экспериментаторами процесс. Поэтому предварительно был выполнен численный расчет влияния нескольких вариантов начального радиального распределения плотности частиц, входящих в сопло, на параметры потоков в системе сопло — обтекаемое тело:

1. Равномерное распределение плотности частиц по радиусу 0 < г < г00.

2. Параболическое распределение по всему сечению 0 < г < г0.

3. Параболическое распределение по части входного сечения 0 < г < 0.75г0.

При этом полный расход частиц принимался постоянным. Скорость и температура газа и частиц на входе в сопло принимались равновесными.

На рис. 1, 2 приведены распределения значений числа М и массовой плотности частиц в объеме сопла для указанных выше трех вариантов начального распределения частиц SiO2 радиусом 6 мкм с массовой долей е = 1 на входе в дозвуковую часть сопла. При переходе от варианта 1 к варианту 3 радиальный разлет частиц в диффузорной части сопла уменьшается, что приводит к росту концентрации частиц. Для первых двух вариантов формируются два максимума плотности. Для третьего варианта неравномерный радиальный профиль плотности частиц на срезе сопла монотонно сглаживается. Кроме того, во всех трех режимах течения в сопле существует пристеночная область чистого газа (что фиксируется почти прямыми линиями числа М).

Отметим, что в случае крутого наклона

образующей конфузорной части сопла (с полууглом раствора более 15 — 20°) возможно пересечение траекторий частиц с осью потока. В этом случае концентрация частиц может сильно возрасти, а их скорость — стать неоднозначной. Подобная проблема фокусировки частиц рассмотрена, например в [29]. В этом случае столкновения частиц друг с другом должны привести к возникновению области хао-тизации и диффузии частиц из этой области — явлениям, которые, в принципе, можно исследовать в рамках идеологии настоящей работы. Однако проведенный анализ показал, что если в начальном сечении сопла число М несущей среды порядка 0.1, то плотный газ увлекает частицы и пересечение их траекторий не происходит.

Распределение параметров двухфазного потока между срезом сопла и обтекаемым телом представлено на рис. 3 (аналогично рис. 1, 2). Изолинии числа М1 иллюстрируют значительное влияние начального профиля плотности частиц. При переходе от варианта 1 к варианту 3 скачок уплотнения удаляется от тела по оси симметрии и изменяет свою форму.

Изолинии распределения суммы плотностей падающих, отраженных и хаотизирован-ных частиц указывают области максимальной плотности у тела. Максимальное значение суммарной плотности частиц у тела фиксируется в области точки торможения во всех трех

р2 = согв!:, кг/м

'р сопла

г

Р£ = сог^, кг/м3

2 х

Рис. 3. Поля чисел М1 и суммарной плотности частиц при взаимодействии с обтекаемым телом: а, б, в — варианты 1, 2, 3 соответственно

г

г

вариантах начального профиля. Неравномерность профиля суммарной плотности на срезе сопла при первом варианте формирует дополнительный периферийный максимум плотности частиц на обтекаемом теле.

Таким образом, полная схема течения получается объединением рис. 1 и 2 с рис. 3 и 5. Отметим, что срез сопла на рис. 1 и 2 соответствует координате х = 0 на рис 3, а и 5 а, б. На рис 3, б масштаб в осевом направлении увеличен, чтобы показать область максимальной плотности частиц.

Существенным параметром, определяющим влияние частиц на характеристики потоков, является массовая доля частиц на входе в сопло е0. На рис. 4 представлено радиальное распределение на срезе сопла числа М для газа в присутствии частиц, плотности несущего газа и плотности частиц 8Ю2 радиусом 6 мкм в зависимости от е0 при равномерном начальном профиле плотности частиц на входе в сопло (вариант 1). Показано, что при изменении величины е от 0.25 до 3 течение в сопле существенно замедляется: число М уменьшается от 2.6 до 1.2 на оси симметрии (рис. 4, а). С ростом е0 роль потока частиц, уплотнившегося у стенки сопла в области критиче-

м

а)

О

1

1 1

Е° = 0.25 / /л

0.5 —^ / / л

- 1 /р^у/ -

1.5

23

1 1

2 Г 3

30

р2,кг/м

2 г 3

2 г з

б) в) Рис. 4. Радиальное распределение на срезе сопла: а — числа М; б — плотности несущего газа; в — плотности частиц в зависимости от их начальной доли е0 (начальный

профиль концентрации частиц — вариант 1)

М = сог^

а)

б)

в)

х

рЕ = сот!:, кг/м

2x3

Рис. 5. Поля чисел Маха и суммарной массовой плотности всех частиц при взаимодействии с обтекаемым телом. Радиус частиц меди: а — а = 6 мкм; б — а = 100 мкм; в — а = 150 мкм

х

ского сечения, возрастает, что и порождает на срезе сопла второй максимум плотности частиц, рис. 4, в (сравним с рис. 2, а).

Дальнейший рост s0 привел бы к невозможности реализовать сверхзвуковое течение, что вывело бы его из класса рассматриваемых течений. В этом смысле значение s0 ~ 3 можно считать близким к предельному при рассмотренном наборе входных данных.

Далее приведены результаты для случая частиц меди (Cu), более плотных и инерционных, чем частицы кварца (SiO2) того же размера. На рис. 5 даны картины пространственного распределения значений числа Mi и суммарной плотности частиц меди (Си) трех радиусов при начальной массовой загрузке частиц s0 = 1. Видно, что с увеличением радиуса частиц скачок уплотнения несколько смещается к обтекаемому телу. Поля суммарной плотности обнаруживают ярко выраженный отскок в сторону сопла отразившихся от тела крупных частиц (радиусом 100 и 150 мкм, рис. 5, б, в), в то время как мелкие частицы (а = 6 мкм, рис. 5, а) уносятся в радиальном направлении вдоль торца. Характерно и то, что эти частицы выходят за пределы сжатого слоя и формируют область повышенной концентрации частиц (каустику), что видно из сравнения полей чисел М1 и суммарной плотности.

Аналогичные данные для частиц SÍO2 показали, что область повышенной концентрации частиц вне сжатого слоя имеет место лишь при их радиусе 150 мкм.

Видно, что облако хаотизированных частиц, прижатое к обтекаемому телу, имеет сильно отличающиеся друг от друга осевой и радиальный масштабы. Это может приводить к анизотропии его кинетических характеристик, связанных с отношением длины пробега частицы между столкновениями к соответствующему масштабу. Аналогичное явление наблюдается, например, при расширении потока газа в вакуум, когда функцию распределения молекул по скорости можно описывать при помощи «продольной» и «поперечной» температур [30] или концепции анизотропной длины пробега [31].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложена физико-математическая модель для исследования обтекания твердого тела монодисперсным потоком с большой массовой долей частиц. Показано, что радиальное распределение концентрации частиц на входе в сопло заметно влияет на пространственное распределение массы частиц около обтекаемого тела и форму скачка уплотнения. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании различных физических процессов, происходящих при обтекании тел потоком, содержащим примесь твердых частиц (например, теплового режима и эрозии тела, электрооптических явлений, экранировании обтекаемого тела облаком хаотизирован-ных частиц, процесса переноса зондирующего излучения).

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты 13-01-00766, 11-08-00603, а также ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 — 2013 гг.» (Гос. Контракт 14.740.11.1072).

ЛИТЕРАТУРА

1. Моллесон Г. В., Стасенко А. Л. Обтекание твердого тела горячей сверхзвуковой газодисперсной струей с учетом вращения отраженных частиц // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 2, с. 53 — 67.

2. Моллесон Г. В., Стасенко А. Л. Диффузионная модель обтекания твердого тела монодисперсной струей с большим содержанием частиц // Материалы XXIV научно-технической конференции по аэродинамике. — Изд. ЦАГИ. 2013, с. 186.

3. Василевский Э. Б., Осипцов А. Н., Чирихин А. В., Яковлева Л. В. Теплообмен на лобовой поверхности затупленного тела в высокоскоростном потоке, содержащем малоинерционные частицы // ИФЖ. 2001. Т. 74, № 6, с. 34 — 42.

4. Кудин О. К., Нестеров Ю. Н., Токарев О. Д., Флаксман Я. Ш., Яковлева Л. В. Теплообмен высокотемпературной струи запыленного газа с преградой // XXII Юбилейный семинар «Струйные, отрывные и нестационарные течения». Тезисы докл. — С-Пб.: Изд. С-ПбГУ. 2010, с. 80.

5. Volkov A. N., Tsirkunov Yu. V., Oesterle' B. Numerical simulation of a supersonic gas — solid flow over a blunt body: The role of inter-particle collisions and two-way coupling effects // Intern. J. Multiphase Flow. 2005. V. 31, р. 1244 — 1275.

6. Oesterle ' B., Bui Dinh T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers // Experiments in Fluids. 1998. V. 25, р. 16 — 22.

7. Rubinow S. I., Keller J. B. The transverse force on spinning sphere moving in a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1961. V. 11, р. 447 — 459.

8. Lukerchenko N. Basset history force for the particle — particle collision / Материалы VIII Междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2010). — М.: Изд. МАИ — ПРИНТ (МАИ). 2010, 618 с. (с. 82 — 83).

9. Carlson D. J., Hoglund R. F. Particle drag and heat transfer in rocket nozzles // AIAA J.1964. V. 2, N 11, р. 1980 — 1984.

10. K a v a n a u L. L. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in subsonic flow // Trans. ASME. 1955. V. 77, N 5, р. 613 — 617.

11. Henderson C. B. Drag coefficients of spheres in continuum and rarefied flows // AIAA J. 1976. V. 14, N. 6, р. 707 — 708.

12. Гринац Э. С., Стасенко А. Л. Интерполяционная модель динамики и теплообмена шаровой частицы в несущем газе при произвольных значениях числа Кнудсена // Труды ЦАГИ. 2008, вып. 2676, с. 3 — 14.

13. Dennis S. C. R., Singh S. N., Ingham D. B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1980. V. 101. Part 2, р. 257 — 279.

14. C r o w e C. T. On models for turbulence modulation in fluid-particle flows // Intern. J. Multiphase Flow. 2000. V. 26, р. 719 — 727.

15. Sarkar S., Balakrishnan L. Application of a Reynolds-stress turbulence model to the compressible shear layer // ICASE Repot 90-18. NASA CR 182002.1990.

16. Медников Е. Т. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. — М.: Наука,

1981, 174 с.

17. L o ng we 11 J. P., We i s s M. A. Mixing and distribution of liquids in high — velocity air streams // Ind. and Eng. Chem. 1953. V. 45, N. 3, р. 667 — 677.

18. Friedlander S. K. Behavior of suspended particles in a turbulent fluid // AIChE J. 1957. V. 3, N 3, р. 381 — 385.

19. Theofanous T., Sullivan J. Turbulence in two-phase flows //J. Fluid. Mech.

1982. V. 116, р. 343 — 362.

20. Ким О. В, Стасенко А. Л. Коэффициент восстановления микрочастиц при ударе о поверхность: теория и эксперимент / Труды 51-й Научной конференции МФТИ. — М. — Долгопрудный: Изд. МФТИ. 2008.Ч. VI, с. 175 — 177.

21. Стасенко А. Л. Коэффициенты восстановления скорости частицы при отражении от поверхности твердого тела // ИФЖ. 2007. Т. 80, № 5, с. 38 — 44.

22. Деревич И. В. Вероятностная модель столкновения частиц с шероховатой поверхностью // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5, с. 239 — 244.

23. Лашков В. А., Матвеев С. К. Изменение шероховатости поверхности под воздействием облака частиц // Вестник С-Пб ун-та. Сер. 1. 2009, вып. 1, с. 76 — 82.

24. Лашков В. А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность // ИФЖ. 1991. T. 60, № 2, с. 197 — 203.

25. Вараксин А. Л. Столкновения в потоках газа с твердыми частицами. — М.: Физматлит, 2008, 310 с.

26. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. — М.: Наука, 1982, 392 c.

27. Башкин В. А., Егоров И. В. Численное моделирование динамики вязкого совершенного газа. — М.: Физматлит, 2012, 372 с.

28. Физические величины / Справочник под ред. Е. З. Мейлихова. — М.: Энергоатом-издат, 1991, 1232 с.

29. Осипцов А. Н. Исследование зон непрерывного роста концентрации частиц в дисперсных потоках // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 3, с. 46 — 52.

30. E d w а r d s R. H., Cheng H. K. Steady expansion of a gas into a vacuum // AIAA J. 1966. V. 4, N. 3, р. 558 — 561.

31. Стасенко А. Л. Переход сплошной среды в разреженную в случае степенной зависимости вязкости от температуры. Сферический источник // Ученые записки ЦАГИ. 1971. Т. 2, № 2, с. 90 — 93.

Рукопись поступила 5/IV 2013 г.