Трещина продольного сдвига, частично проникающая в упругое круговое включение с покрытием

тельный модуль оценки погрешности решений трехмерных задач линейной теории упругости. Методика была применена к приближенным решениям, вычисленным в пакете AN SYS 12.0. При сравнении со стандартным индикатором погрешности ANSYS также следует учесть тот факт, что предлагаемые в рамках функционального подхода методы могут быть обобщены на случай нелинейных задач и задач, в которых нарушается требование соответствия точному решению конечномерной задачи. В этих ситуациях стандартный индикатор пакета недоступен.

При помощи разработанной серии численных экспериментов различной направленности модуль оценки погрешности был протестирован

СПИСОК J

ffirth, R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques furth.— Chichester, Stuttgart: John Wiley & Sons, B.G. Teubner, 1996,- 127 p.

2. Ainsworth, M. A posteriori error estimation in finite element analysis [Text] / M. Ainsworth, J.T. Oden.— New York: John Wiley & Sons, 2000,- 240 p.

3. Babuska, I. The finite element method and its reliability [Text] / I. Babuska, T. Strouboulis.— New York: The Clarendon Press Oxford University Press, 2001,-802 p.

maki, P. Reliable methods for computer simulation. Error control and a posteriori

maki, S.I. Repin. — Studies in Mathematics and its Applications 33.-Amsterdam: Elsevier, 2004.— 305 p.

5. Ladeveze, P. Mastering calculations in linear and nonlinear mechanics [Text] / P. Ladeveze, J.-P. Pelle.— Mechanical Engineering Series.—New York: Springer, 2005.-413 p.

на задачах, анализ которых приводит к решению систем до 0,5 млн. уравнений. При этом решение системы, связанной с исходной задачей, на мелкой сетке, необходимое нам для оценки эффективности метода, потребовало существенных вычислительных затрат, поскольку число уравнений доходило до 2 млн.

Результаты подтвердили высокую эффективность предлагаемых методик расчета апостериорных оценок функционального типа, по крайней мере, в области их обоснованного применения.

Исследование выполнено при поддержке Правительства Санкт-Петербурга в рамках конкурса грантов 2010 года для молодых ученых и молодых кандидатов наук (диплом ПСП N910699).

6. Repin, S.I. A posteriori estimates for partial differential equations [Text]: Radon Series on Computational and Applied Mathematics 4 / S.I. Repin.— Berlin: de Gruyter, 2008.— 316 p.

7. Muzalevsky, A.V. On two-sided error estimates for approximate solutions of problems in the linear theory of elasticity [Text] / A.V. Muzalevsky, S.I. Repin // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling.— 2003.— Vol. 18, № 1.— P. 65-85.

8. Zienkiewicz, O. C. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis [Text] /O.C. Zienkiewicz, J.Z. Zhu // Internat. J. Numer. Methods Engrg.— 1987,— Vol. 24,— № 2,- P. 337-357.

9. Frolov, M.E. Functional a posteriori error estimates for certain models of plates and beams [Text] / M.E. Frolov // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling.— 2010,-Vol. 25,-№2,-P. 117-129.

УДК 539.3

В.В. Тихомиров

ТРЕЩИНА ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА, ЧАСТИЧНО ПРОНИКАЮЩАЯ В УПРУГОЕ КРУГОВОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ С ПОКРЫТИЕМ

Проблема взаимодействия трещин с включениями различной формы в рамках линейной механики разрушения привлекала и привлекает

внимание многих исследователей. С одной стороны, интерес к ней вызывается потребностями механики неоднородных сред

и механики композиционных материалов, поскольку рассмотрение упругих полей на микромеханическом уровне дает понимание процессов, происходящих в гетерогенных структурах, и позволяет прогнозировать сопротивление подобных сред появлению и развитию трещин. С другой стороны, включение может интерпретироваться как особая зона материала достаточно малых размеров вокруг вершины трещины — зона пред-разрушения или зона поврежденности. С этой точки зрения появляется возможность моделирования процесса разрушения путем придания этой зоне неких эффективных свойств. При этом структура и свойства самого включения играют исключительно важную роль.

По-видимому, первой работой рассматриваемого направления является статья [1], в которой исследовалось взаимодействие радиальной трещины конечной длины с круговым включением методом комплексных потенциалов Колосова — Мусхелишвили. Аналогичная задача рассматривалась методом дислокаций Аткинсо-ном [2] и была сведена к сингулярному интегральному уравнению относительно плотности краевых дислокаций, распределенных по длине разреза. Решение в замкнутой форме для той же постановки задачи было получено в статье [3]. В работе [4] методом суперпозиции совместно с дислокационным подходом (для вспомогательной задачи) построено решение в случае трещины произвольной ориентации. Влияние кругового включения на напряженное состояние в вершинах двух радиальных трещин, расположенных симметричным образом, изучено в работе [5] с помощью комплексных потенциалов. П.С. Стейф [6] получил приближенное аналитическое решение в случае полубесконечной трещины продольного сдвига, внедрившейся вплоть до центра неоднородного включения круговой формы. На основе этого решения показано, что осреднение модуля сдвига включения приводит к значительной погрешности при определении коэффициента интенсивности напряжений (КИН). Криволинейные трещины (круговая и параболическая), расположенные в однородной матрице и взаимодействующие с круговым включением, рассматривались в работе [7]. Точное решение в случае антиплоской задачи для трещины конечной длины, частично проникающей в круговое включение, с помощью процедуры конформного отображения и аппарата ана-

литических функций построено в статье [8]. Внешняя сдвиговая нагрузка в этом случае принималась однородной и приложенной на бесконечности.

Асимптотика сингулярного поля напряжений в вершинах разреза, упирающихся в упругие круговые зерна, получена Н.Ф. Морозовым [9]. При этом показано, что возникающая особенность в вершинах разреза имеет степенной характер, но ее показатель отличен от классического значения, равного 1/2.

В работе [ 10] с использованием теории эквивалентного включения Эшелби в рамках плоской задачи получены выражения для КИН первой и второй моды в случае прямолинейной трещины конечной длины, частично внедрившейся во включение произвольной формы.

Кроме аналитических подходов к исследованию проблемы привлекались и численные методы. Так например, в работе [11] для исследования композиции А1-81С с включением круговой и квадратной формы использовался метод конечных элементов. Авторы статьи [12] для анализа проблемы применяли метод граничных элементов; с помощью этого метода и критерия максимального главного напряжения они определили направление квазистатического роста трещины.

Количество решенных задач в случае, когда у включения имеется промежуточный слой, значительно меньше. В работах [13,14] для трещин конечной длины, находящихся вне или внутри включения, проблема сведена к решению сингулярных интегральных уравнений относительно распределения плотности дислокаций на линии разреза. Скорость освобождающейся энергии в вершине внешней (по отношению к включению) трещины в рамках плоской задачи методом граничных элементов рассматривалась в статье [15].

В данной работе методом, отличным от подходов, указанных в приведенном кратком обзоре, рассматривается взаимодействие полубесконечной трещины продольного сдвига с круговым включением как с покрытием, так и при его отсутствии.

Решение вспомогательной задачи

Сначала рассмотрим простую вспомогательную антиплоскую задачу для полубесконечной трещины, находящейся в неограниченной одно-

родной и изотропной среде, и получим ряд полезных соотношений. Будем считать, что берега трещины нагружены самоуравновешенными сосредоточенными силами Т0 расположенными на расстоянии г0 от ее вершины. Как известно, в этом случае задача сводится к решению двумерного уравнения Лапласа относительно перемещения и>0(г, 9), где г и ф — полярные координаты, при граничных условиях

*0

(5(г) - дельта-функция), а касательные напряжения определяются формулами

ди>

Решение задачи строится с помощью интегрального преобразования Меллина и имеет вид

2яц

г + гп + 2Л/ГГП БШ у Г+Га -¿\!ГГа вШу

тфг0

0,ф)='

(г0 + г)С08ф

я г2 + г02 + 2гг0 сое ф V г

цы и включения будем считать постоянными и равными (д0 и (д |, соответственно. Так же как и во вспомогательной задаче, к берегам трещины приложены самоуравновешенные сосредоточенные силы величины Т0 на расстоянии г0 от ее вершины (рис. 1, а). В предположении идеального контакта на границе раздела фаз, т. е. непрерывности перемещений и напряжений, вследствие наличия симметрии задача сводится к решению дифференциального уравнения для неоднородной среды:

д_

дг

г дмЛ 15 ц— I +

ч

г ц 5н'Л г 5ф

+ц ^=0

д

дг ) г дф при граничных условиях

и</%0) = 0, тф2(г,тс) = Г05(г-г0);

И>(/] - 0, ф) = ЦТ, + 0, ф),

хгг(г\ _0>ф) = тге(Ч + 0>ф)'

где (д = |д(г) — модуль сдвига композиции, причем ц(г) = (_1| для 0 <г< гх и ц(г) = ц0для гх<г< 8.

Для решения задачи воспользуемся обобщенным интегральным преобразованием Меллина (преобразованием через дефект) [16]:

да

]¥{р,у) = |^(г)и>(г, у)гр~1с1г\

тге0(г,ф) =

ф

то 0 2

Я Г2 + Г02 +2щ СОБф V Г

0<г<да, 0<ф<я.

Определим коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины формулой

А'щ = ИтТ2да-т фг(г, 0);

г^О

тогда будем иметь выражение

Т

1 кг

кт -\1—То-

Взаимодействие полубесконечной трещины с упругим включением

Рассмотрим неограниченную упругую среду, находящуюся в состоянии антиплоской деформации и содержащую полубесконечную трещину, проникающую в упругое круговое включение до его центра. Модули сдвига матри-

^(г)и>(г, ф) = —— \№(р,г)г Рёр, 2т £

где Ь — контур интегрирования.

В результате интегрирования по частям слагаемых в уравнении (6) и использования условий (7) идеального контакта материалов приходим к следующей неоднородной краевой задаче:

1¥\р, ф) + р2Щр,ф) =

9

ределяющая распределение перемещений на границе раздела фаз.

Согласно работе [16] решение задачи (8) может быть представлено в форме

8111 рф

рсонрк где функция Грина имеет вид

С(ф, 9)=-

1

соер{я — 9)зш ру ф <9;

рсоирп [сов^я — ф)8трв, ф>9.

Отсюда, используя обратное преобразование Меллина, получаем соотношение

|д(г)и>(г,ф) =

п

= а0(г,ф) + (щ - щ0) Ш(Г, ф, 0) (9) о

Здесь ю0(г, ф) — решение и>0(г, ф) вспомогательной задачи, домноженное на (д;

^(9) = ^,, 9);

/,(г,Ф,9) = адХ1(г,Ф,9);

Я,(г) = (г, -г)^г/(2л);

. 9 с08(9 + ф)/2 Х\(г,ф, 9) = -=-г—----

гх + Г -2Г]ГС08

соз(9-ф)/2

/]2 + г2 -2г,гсо8

Таким образом, согласно выражению (9) перемещения в рассматриваемой задаче представляются в виде суммы перемещений соответствующей задачи для однородной среды и добавки (интегральное слагаемое), обусловленной наличием включения. Подчеркнем, что левая и правая части в (9) являются разрывными функциями вследствие разрыва модуля упругости на границе раздела материалов.

Переходя в соотношении (9) к пределу при г—^ г, — 0, сучетом формул (10) находим распределение перемещений на границе матрица — включение:

-ю01 (ф); ю01(ф) = ю0(г,,ф).

N + N0

В результате подстановки полученной функции в формулу (9) будем иметь при г < г{:

^,(г)и<г,ф) = ю0(г,ф) +

+ ,

(И+^о) о

Отсюда на основе представлений (2) находятся касательные напряжения на продолжении

—

т„(г,0) =

\4 ) А ( ''1 N А \

У

4 Тп

Рис. 1. Геометрия рассматриваемых систем трещина — включение: а — без покрытия, б — с покрытием;

/— матрица, 2— включение, 3— покрытие, 4— трещина

ПХП

А + БШ 9/2

япе/2</е

где

0 А-$т 9/2 Л = 0,5(р + 1/р) (р = ),

_1_ у/?

Вычисляя интеграл и учитывая определение (5), получаем выражение для нормированного коэффициента интенсивности напряжений (КИН) в вершине трещины как функцию параметра М, характеризующего соотношение упругих модулей материалов, и безразмерного расстояния р:

1-М, р >1;

К

ш

[1 -мр\ р <1,

где А ||| — КИН для трещины в однородной сре-

де, определяемый формулой (5).

Биупругий параметр М при 0 < < да изменяется от — 1 до 1. Для включения, более жесткого по сравнению с матрицей, 0 < М < 1, а для

мягкого включения —1 < М < 0. Случаю М— 0 соответствует гомогенная среда.

Предельные ситуации, когда М ^ +1 отвечают абсолютно твердому включению и отверстию, соответственно. Согласно монографии [17], например, для керамического материала А1203/81С (окись алюминия/карбид кремния) М = 0,1749, а для композиции сталь/алюминий — биупругий параметр М— —0,4386.

Из формулы (12) вытекает, что в случае жесткого включения, когда > ц0 и, следовательно, 0 < М < 1, величина КИ Н снижается и распространение трещины тормозится. Мягкое включение, у которого ц0 > ц,, а — 1 < М < 0, напротив, приводит к возрастанию КИН и способствует распространению трещины. При этом, если точка приложения сосредоточенных сил расположена вне включения (р > 1, а г0 > г,), то нормированный КИН остается постоянным. Если же эта

р

КИ Н является линейной функцией полярного радиуса.

Построенное фундаментальное решение для нормированного КИН позволяет получить путем интегрирования решение для произвольной самоуравновешенной нагрузкиДг), приложенной на берегах трещины.

С целью определения зон возможного нарушения идеальности контакта материалов (проскальзывания материалов) рассмотрим распределение касательных напряжений на границе раздела при г— гх. С помощью формул (2), (3), (10) и (11) получаем выражение

т„(г„ ф) = тге0(/Ьф)-

4л ^ о А-япе/2

Производим вычисление сингулярного интеграла, входящего в (13), с использованием значения квадратуры [18]:

|-—-= 0;

д СОБб -СОБф

тогда окончательно будем иметь формулу

т„(г,, ф) + М)т,.20(/], ф), (14) где верхний знак соответствует значениям г0 > а нижний — г0 < гх.

Отсюда вытекает, что контактные напряжения (14) пропорциональны напряжениям в од-

нородной среде хф). Максимум касательных напряжений на интерфейсной границе имеет место, когда ф = я. При этом следует отметить, что в случае жесткого включения (0 < М < 1) точечная нагрузка, приложенная в пределах матрицы, уменьшает напряжения на интерфейсе, а приложенная внутри включения приводит к увеличению этих напряжений по сравнению с гомогенной средой. Для мягкого включения — ситуация противоположная.

Взаимодействие полубесконечной трещины с включением, имеющим покрытие

Рассмотрим теперь взаимодействие трещины моды III с включением, имеющим интерфейсный слой (покрытие), модуль сдвига которого ц2 (рис. 1, б). Нагружение трещины считаем таким же, как и в рассмотренных задачах. В данном случае трехфазной композиции имеется две межфазных границы, на которых контакт материалов предполагается идеальным, а упругие модули и, следовательно, производные перемещений по радиальной координате терпят разрывы.

Действуем по той же схеме, что и в задаче для включения без покрытия, но вводим в рассмотрение две неизвестные функции wk{Q) = w{rk, 9) (к = 1, 2), которые определяют распределение перемещений на границах раздела; тогда придем к соотношению, аналогичному (9): r)w(r, ф) =

п

= ю0(г,ф) + (^ - ) Jw, (0)/, (г, ф, 0) d0 +

0

п

+

о

в котором функции при к — 2 получаются по формулам (10) с помощью замены г{ на г2.

Переходим в соотношении (15) к пределам при г ^ гк—0; тогда неизвестные перемещения можно представить в виде

1

Wi(W =-oi (ф) +

N + N

+ е ew)rfe;

2п ^ + м-2 о

J

W2(W =-«02 (ф)-

n2 + no

£

2л +ц0

^

где

ю0„(Ф) = Ю0О-„,ф) (я = 1,2), Г = (Г2-П)/(Чю);

ф СОф + ф)/2---СОЗ^-^ .

Г + 8Ш2 (9 + ф)/2 е2 +8Ш2 (9-ф)/2

Параметр е характеризует относительную толщину покрытия.

Вводя в рассмотрение две безразмерные функции

Ю1(ф)= ' ^(ф); «2(ф) = ' ^2(Ф),

2Та

2Та

из(16)и(17) получаем два отдельных интегральных уравнения Фредгольма второго рода с одинаковым симметричным ядром относительно перемещений на интерфейсных границах:

л

юи

где

{п = 1,2),

_ гм0 V

1\(ф) = щп(ф + |ф

2л 0

г2(ф)=щ2(ф) - ^]шо1(0)£(е, ф^е, л

а) N

0,75 -0,70 0,65 0,60 -0,55 -0,50 -0,45 -0,40 0,35 0,30

б)

N

2,0 -

1,5

I

10

' Нч

-г-

14

К,1

Рис. 2. Зависимости нормализованного КИН от приведенного модуля сдвига покрытия для жесткого (а) и мягкого (б) ядер включения: цо/ц, = 0,25 (а) и 10 (б);

в = 0,20 (/) и 0,75 (2). Пунктирная прямая соответствует КИН ддя включения без покрытия

Юои(ф) = Юои(ф)/7о>

о

Нормированный коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины выражается через решения уравнений (18) и имеет вид

Заметим, что в соотношения (18), (19) входят только отношения упругих модулей. Для изучения влияния модуля сдвига ц2 промежуточного слоя на КИ Н фиксировалось отношение упругих модулей матрицы ц0 и ядра включения ць а модуль ц2 подвергался варьированию. Зависимости нормализованного КИН (19) для покрытий конечной толщины от параметра относительной жесткости пары матрица — покрытие ц0/Мг приведены на рис. 2 для жесткого (ц0/М1 = 0,25) и мягкого (Мо/М = Ю)п0 сравнению с матрицей

ядра включения. Для сравнения на этих рисунках указаны величины КИН для двухфазных композиций, когда покрытия отсутствуют. Представленные кривые даны для двух значений параметра относительной толщины интерфейсного слоя: е = 0,20 и 0,75 при сосредоточенных нагрузках, приложенных вне включения (г0/г1 = 2).

На кривых можно выделить три участка. В случае жесткого ядра включения (см. рис. 2, а), когда 0 < ц0/М2 < М0/М1 < 1 модуль сдвига промежуточного слоя больше чем у ядра, наличие покрытия снижает эффект шиллинга. Данный эффект усиливается при М0/М1 < М0/М2< 1- Жесткость интерфейсного слоя при этом меньше жесткости ядра включения, но больше жесткости матрицы. Следует отметить, что этот эффект усиливается с возрастанием относительной толщины покрытия. В интервале 1 < ц0/ц2 < когда покрытие имеет самый малый в композиции модуль сдвига, эффект уменьшения КИН снижается по сравнению с двухфазной системой — системой без покрытия. Аналогичные выводы в отношении усиления или ослабления усиливающего эффекта можно сделать и в случае мягкого по сравнению с матрицей ядра включения (см. рис. 2, б).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tamate, O. The effect of a circular inclusion on the stresses around a line crack in a sheet under tension |Text| / O. Tamate// Int. J. Fracture Mech.— 1968.— Vol. 4,- № 3,- P. 257-266.

2. Atkinson, C. The interaction between a crack and an inclusion |Text| / C. Atkinson // Int. J. Eng. Sci.— 1972,- Vol. 10,- № 2,- P. 127-136.

3. Bhargava, R.R. A misfitting elastic inclusion in an infinite plane containing a crack |Text| / R.R. Bhargava // J. of Elast.- 1977,- Vol. 7,- № 2,- P. 201211.

4. Erdogan, F. Interaction between a circular inclusion and arbitrary oriented crack [Text] / F. Erdogan, G.D. Gupta, M. Ratwani // Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech.- 1974,- Vol. 41,- № 4,- P. 10071013.

5. Hsu, Y.C. Interaction between a circular inclusion and two symmetrically placed collinear cracks. |Text| / Y.C. Hsu, V. Shivakumar // Int. J. Fracture— 1976,- Vol. 12,- № 4,- P. 619-630.

6. Steif, P.S. A semi-infinite crack partially penetrating a circular inclusion. |Text| / P.S. Steif // Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech.- 1987,- Vol. 54,-N° 1,- P. 87-92.

7. Cheeseman, B.A. The interaction of a curved crack with a circular elastic inclusion [Text] / B.A. Cheeseman, M.H. Santare // int. J. Fracture.— 2000,- Vol. 103,- № 2,- P. 259-277.

8. Wang, X. Closed-form solutions for a mode 111 radial matrix crack penetrating a circular inho-mo-geneity |Text| / X. Wang, E. Pan, W.J. Feng // Appl. Math. Modelling- 2008,- Vol. 32,- P. 2925-2935.

9. Морозов, Н.Ф. Математические вопросы теории трещин |Текст] / Н.Ф. Морозов,— М.: Наука, 1984,- 256 с.

10. Li, Z. The stress intensity factors for a short crack partially penetrating an inclusion of arbitrary shape |Text| / Z. Li, L. Yong, S. Li, J. Sun // Int. J. Fracture.- 2007,- Vol. 148,- № 3,- P. 243-250.

11. Upetzky, P. Crack-particle interaction in two-phase composites. Part 1: Particle shape effects [Text] / P. Lipetzky, S. Schmauder//lnt. J. Fracture— 1994.— Vol. 65.-'№ 3,- P. 345-358.

12. Williams, R.C. SGBEM analysis of crack-particle(s) interaction due to elastic constants mismatch |Text| / R.C. Williams, A.V. Phan, H.V. Tippur |et al.| // Eng. Fract. Mech.- 2007,- Vol. 74,- № 2,-P. 314-331.

13. Xu, Y.L. Stress intensity factors for a crack encircled by an annular inclusion in an infinite plane |Text| / Y.L. Xu, E Delale// Int. J. Fracture- 1993.— Vol. 59,- № 1,- P. 1-22.

14. Xiao, Z.M. Stress intensity factor for a Griffith crack interacting with a coated inclusion |Text| / Z.M. Xiao, B.J. Chen// Int. J. Fracture- 2001,- Vol. 108.— № 2,- P. 193-205.

15. Knight, M.G. A study of the interaction between a propagating crack and an uncoated/coated inclusion using BE technique [Text] / M.G. Knight, L.C. Wrobel, J.L. Henshall, L.A. De Lacerda // Int.

J. Fracture- 2002,- Vol. 114,- № 1,- P. 47-61.

16. Попов, Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений |Текст] / Г.Я. Попов,— М.: Наука, 1982,- 344 с.

17. Ванин, Г.А. Микромеханика композиционных материалов [Текст] / Г.А. Ванин,— Киев: Наук, думка, 1985,— 304 с.

18. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст]: справочник / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик,— М.: Наука, 1971,- 1108 с.