О задачах минимизации взаимных неплатежей предприятий

Математическое моделирование

С.А.Мусорин

аспирант ДВГАЭУ

О ЗАДАЧАХ МИНИМИЗАЦИИ ВЗАИМНЫХ НЕПЛАТЕЖЕЙ ПРЕДПРИЯТИЙ

Рассматриваются существующие формулировки и методы решения задач, позволяющих минимизировать неплатежи в платежных системах; анализируются достоинства и недостатки различных подходов с точки зрения практической реализуемости. Предлагаются изменения в формулировке и способе решения задачи целесообразного кредитования, позволяющие учесть при получении оптимального решения большее количество факторов.

Проблема неплатежей оказывает большое влияние на функционирование экономических субъектов, поэтому закономерен интерес к ее исследованию, построению моделей и созданию алгоритмов, позволяющих минимизировать влияние неплатежей. Формулировке и решению задач, связанных со снижением суммарной задолженности в платежной системе, было посвящено много работ, включая [1-6, 8]. В [1] приводится классификация использовавшихся подходов и предлагаются две формулировки задачи - задача о перераспределении долгов предприятий (ЗПДП) и задача целесообразного кредитования (ЗЦК).

Для математической записи условий этих задач введем следующие обозначения.

Рассматривается множество предприятий N = {1, п}; на множестве Е = {(i, j)|i 1 < i, j < п} (или на некотором его подмножестве А) могут быть заданы функции d(e), с(е), а(е), равные для е = (i, j), соответственно, долгу, цене единичной задолженности и максимально допустимой величине задолженности предприятия i предприятию j. Естественно предположить, что d(e) > 0, а(е) > 0.

Под дивергенцией произвольной функции w, определенной на множестве Е, в вершине х е N, понимается величина divw(x), вычисляемая по формул^:

ueA

где A(x), B(x) - множества дуг в графе {N; Е}, выходящих из вершины х и входящих в нее, соответственно.

Сумму значений произвольной функции w по дугам, соединяющим непересекающиеся множества X и Y, будем обозначать соответствующей заглавной буквой:

W(X,Y) = £w(i,j).

С учетом введенных обозначений ЗПДП можно записать следующим образом.

На множестве Е заданы d(e), с(е), а(е).

Требуется найти такое перераспределение долгов f(e), которое минимизирует функцию

3>

ееЕ

при условии совпадения дивергенции функции f с дивергенцией искомой функции d, т.е.

Vx е N, di\'i{x) = divd

и выполнении ограничений на задолженности, т.е.

Ve е Е, 0 < f

ЗЦК имеет следующую формулировку.

На множестве А задана функция d(J = d(e). Кроме того, известна суммарная величина выделяемых для проведения мероприятия кредитных ресурсов Q.

Найти систему выплат flj5 кредитования q, предприятий и "чистых" возвратов долгов p¡, минимизирующую сумму оставшихся долгов

Zqj+Z

j=l (i,j)eA

при следующих условиях:

• сумма использованного кредитного ресурса не превышает лимита предоставляемого ресурса, т.е.

VjeN,¿qj<Q,qj>0;

j=i

• выплата предприятия 1 предприятию ] не превышает величины его долга, т.е.

У

• сумма средств, поступающих предприятию в виде кредита и выплат от других предприятий, равна сумме средств, оставляемых на "свободном" счете предприятия, и выплат его кредиторам, т.е.

У1еК,Р

Сформулированные таким образом задачи легко строятся на основе данных о платежной системе, эффективно решаются и предоставляют легко интерпретируемые результаты. Однако дальнейшее рассмотрение этих задач позволяет сделать несколько интересных выводов и получить формулировку, более адекватно отвечающую современным экономическим реалиям и предоставляющую дополнительные возможности.

Сформулированные в [1] задачи, в отличие от некоторых более ранних работ, являются линейными, т.е. могут решаться средствами линейного программирования. Сам по себе такой подход эффективен, поскольку вычислительная сложность снижается по сравнению с задачами нелинейного программирования. В то же время решение ЗПДП, ЗЦК непосредственно общими методами ЛП привело бы к построению задачи ЛП очень большой размерности, поэтому в качестве способа решения выбрано сведение к задаче о циркуляции минимальной стоимости (ЗЦМС), которая решается более эффективными методами.

При исследовании вопроса построения алгоритма решения все же представляется целесообразным разделить ЗПДП и ЗЦК и рассмотреть каждую из них отдельно, подобрав наиболее эффективный способ решения.

В качестве возможных способов решения будем рассматривать сведение к транспортной задаче (ТЗ), задаче о максимальном потоке минимальной стоимости (ЗМПМС), задаче о циркуляции минимальной стоимости (ЗЦМС). Транспортная задача является разновидностью задачи ЛП, построение которой возможно при условии, что исходная задача ЛП отвечает определенным требованиям, т.е. представима в следующем виде:

п т

минимизировать г - ^^с^х^

;=1 ¡=1

при ограничениях

¿х1]<а1Д = 1,2,...т,

&

=

1=1

хц>0,У1,П7].

Существует класс задач ЛП, которые эффективно решаются посредством построения ТЗ (при этом размерность задачи значительно уменьшается, вычислительная сложность резко снижается). В то же время транспортная задача является разновидностью задачи о максимальном потоке минимальной стоимости по сети, опять-таки частным ее случаем. Как и в общей задаче о максимальном потоке минимальной стоимости, в

транспортной задаче заданы цены единичных потоков по ребрам сети, требуется найти поток, обладающий минимальной стоимостью. Общая задача сформулирована в [6] следующим образом:

минимизировать ^c

(iJ)GE

при ограничениях

f

f

f

0<f

где S - множество источников, T - множество стоков, R - множество промежуточных узлов сети.

Особенностью, которая выделяет транспортную задачу в отдельный класс и позволяет решать ее с меньшими затратами усилий по сравнению с общей задачей о максимальном потоке минимальной стоимости, является отсутствие в ТЗ возможности явного введения ограничений на минимальную и максимальную величину потока по каждому ребру Неявно минимальная величина потока по ребру устанавливается равной О, максимальная не ограничивается; при этом ограничение (16) преобразуется в (11). Соответственно, класс задач о максимальном потоке минимальной стоимости, для которых это условие выполнимо, сводим к ТЗ.

В свою очередь ЗМПМС является частным случаем задачи о циркуляции минимальной стоимости. ЗЦМС формулируется следующим образом:

минимизировать ^c

. ееЕ

при ограничениях

f

/

Поток f, удовлетворяющий (18), называется циркуляцией; циркуляция, минимизирующая (17), называется циркуляцией минимальной стоимости. ЗЦМС может быть получена, в частности, как обобщение задачи о максимальном потоке минимальной стоимости из s в t путем добавления в множество дуг новой дуги (t, s): c(t, s) = 0, l(t, s) = a(t, s) = v, где v - величина потока. Из [6] следует, что ЗЦМС сводима к ЗМПМС, если ее решение начинается с допустимой циркуляции, т.е. с той, для которой выполняется (19).

Возвращаясь к рассмотрению ЗПДГ1 и ЗЦК, можно заметить, что способ сведения ЗПДП к ЗЦМС, предложенный в [1], позволяет построить ЗЦМС с допустимой начальной циркуляцией (в которой все потоки равны нулю). Таким образом, ЗПДП сводима не только к ЗЦМС, но и к ЗМПМС. Кроме того, при сведении ЗПДП к ЗЦМС ограничения на максимальную величину потока по каждому ребру, соответствующему задолженностям внутри платежной системы, во многих практических приложениях не используются (т.к. из постановки задачи не следует какого-

либо способа их выбора) В этом случае ограничения на величину потока устанавливаются следующим образом: минимальный поток (задолженность) равен нулю, максимальный не ограничен. Это соответствует неявным ограничениям на потоки по каждому ребру в транспортной задаче, т.е. ЗПДП (по крайней мере, во многих случаях) сводима к ТЗ. В самом деле, положив а; равным сальдо ¿-го дебитора системы, ^ - сальдо .¡-го кредитора системы, су - стоимости единичных задолженностей 1 -го дебитора ^му кредитору, можно построить таблицу ТЗ, решение которой даст решение исходной ЗПДП.

В [1] рассматриваются и критикуются подходы, основанные на использовании решения транспортной задачи для получения решения задачи перераспределения долгов. Необходимо отметить, что эта критика справедлива - но именно применительно к рассмотренным в [1] положениям. [В них не ставилось цели оптимизации с весовыми коэффициента- I/ ми, и потому предлагаемая процедура решения не учитывает единичных цен задолженностей. Полученный при такой постановке задачи алгоритм решения эквивалентен нахождению начального допустимого решения ТЗ (например, методом северо-западного угла). Такое допустимое решение является, с точки зрения критикуемого подхода, оптимальным. Естественно, если в задаче (сформулированной как ЗПДП) были указаны цены единичных задолженностей, полученное таким методом решение, в общем случае, оптимальным не является. Но в то же время, если ЗПДП сводится к ТЗ, а затем ТЗ решается, в результате чего получается не просто допустимое, но оптимальное решение ТЗ, основание для такой критики исчезает.

Таким образом, ЗПДП сводима к ЗМПМС и, во многих случаях, к ТЗ. Решение полученных таким преобразованием задач позволяет, при меньшей вычислительной сложности, получить оптимальное решение исходной ЗПДП. Естественно, при этом следует помнить о накладываемых ТЗ ограничениях на класс решаемых задач - в частности, о невозможности напрямую управлять величинами отдельных потоков. Но в существующей формулировке ЗПДП это и не требуется, хотя, возможно, вскоре появится близкий по содержанию класс задач, для решения которых необходимо использование таких возможностей.

Переходя к рассмотрению ЗЦК, можно сразу заметить, что она не сводима к ТЗ: при сведении ЗЦК к ЗЦМС для каждой задолженности устанавливается максимально допустимый размер, что нельзя учесть при формировании условий ТЗ. Помимо этого, способ сведения ЗЦК к ЗЦМС не гарантирует того, что начальная циркуляция, отвечающая условиям полученной ЗЦМС, будет являться допустимой. Таким образом, ЗЦК в общем случае должна решаться сведением к ЗЦМС и ее непосредственным решением. Способ сведения ЗЦК к ЗЦМС предлагается в [1].

Рассматривается расширенный граф О = (У, и), где V - N и 1} - множество вершин (в, X рассматриваются в [1] как фиктивные); и = Е и (б, в) и (Т, г) ^ (^ б) - множество дуг, для которых:

-1,иеЕ с

0,иб(т,гМм),

/(и) = О, Уи е и, с!(и),и е Е

0,ие(8,8)и(Т,1)и(1,8).

При помощи (22) обеспечивается выполнение (5), (6); поскольку в ЗЦМС осуществляется минимизация целевой функции, при помощи (20) циркуляция изменяется таким образом, чтобы повысить эффект использования технического кредита (минимизировать используемые ресурсы и максимизировать величину задолженности, устраняемую каждой выделяемой единицей кредитных ресурсов). Это достигается за счет знака с(и): при прохождении потока по ребрам с положительным значением с(и), соответствующим выделению кредитных ресурсов, значение целевой функции ухудшается; при прохождении по ребрам, соответствующим задолженностям в платежной системе, где знак с(и) отрицательный^- улучшается. Этот общий принцип в дальнейшем будет использован при изменении формулировки ЗЦК и построении нового класса задач.

Практическая реализуемость, подкрепленность законодательной базой и широкий спектр экономических последствий реализации схемы решения, предлагаемой в той или иной формулировке задачи, связанной с преодолением влияния неплатежей, - в конечном итоге именно это определяет, какой способ борьбы с неплатежами будет применен, какая модель использована.

В соответствии с алгоритмом решения ЗПДП предприятия системы разбиваются на три категории: кредиторы, дебиторы и субъекты с нулевым сальдо. Кредиторами системы являются те предприятия, чья суммарная задолженность предприятиям системы ниже, чем суммарная задолженность системы самим кредиторам. Предприятия с нулевым сальдо должны другим столько же, сколько и другие предприятия системы должны им. Дебиторы находятся в долгу у системы, их задолженность другим предприятиям превышает совокупную задолженность других предприятий перед самими дебиторами.

В результате перераспределения снижаются суммы кредиторской и дебиторской задолженностей предприятий системы так, что у дебиторов системы остается только кредиторская задолженность (т.е. их задолженность перед предприятиями системы), у предприятий с нулевым сальдо суммы дебиторской и кредиторской задолженностей полностью погашают друг друга; у кредиторов системы остается только дебиторская задолженность (задолженность системы перед ними).

Более всего выигрывают предприятия с нулевым (или близким к нулевому) сальдо: перераспределение долгов позволяет им "расчистить" свой баланс, сосредоточиться на своей хозяйственной деятельности, а не на обслуживании задолженности и работе с дебиторами. В несколько худшем положении оказываются ярко выраженные дебиторы: хотя и на них пере-

распределение оказывает схожее позитивное воздействие, они все же остаются должны предприятиям системы - и необходимость обслуживать этот долг, изыскивать средства для его погашения не отпадает.

В наихудшем положении оказываются кредиторы системы. В счет погашения своей дебиторской задолженности в результате перераспределения они, вероятнее всего, получат менее ликвидные активы. Так, по крайней мере по отношению к предприятиям системы, ярко выраженные дебиторы менее платежеспособны, и ликвидность их задолженности (как актива) ниже, чем в среднем по системе. В реальных ситуациях перераспределения долгов, как правило, эта проблема решается при помощи установления цены дебиторской задолженности третьих лиц, по которой право требования этой задолженности уступается дебитором кредитору. Такая цена, в зависимости от ликвидности, может быть в большей или меньшей степени ниже номинальной величины передаваемого права требования. В существующей модели (ЗПДП) такая возможность не учитывается: считается, что уступка права требования задолженности производится всегда по номиналу, т.е. в неявной форме полагается, что задолженность предприятий с сальдо, близким к нулевому (пусть даже и с большими объемами дебиторской и кредиторской задолженности), по своей ликвидности не отличается от задолженности предприятий - ярко выраженных дебиторов. По мере того как рассматриваемая платежная система становится все большей, предприятия, которые в ней являются должниками, очевидно, оказываются во все худшем финансовом положении; если предположить, что система замкнута и все хозяйственные связи, влекущие за собой возникновение задолженн хти, возникают внутри нее, предприятия - должники с ярко выраженным отрицательным сальдо, очевидно, являются первыми кандидатами в категорию неплатежеспособных (банкротов), и их задолженность гораздо менее ликвидна, чем дебиторская задолженность среднего предприятия в системе. Учет ликвидности долгов при формировании исходных данных задачи затруднен и, кроме того, не позволяет при ее решении добиться цели снижения суммарной задолженности. По этой причине, а также в связи с недостаточной законодательной подкрепленностью как исходного варианта реализации ЗПДП, так и варианта перераспределения с учетом ликвидности, широкого распространения эти мероприятия не получили. Перераспределения на основе ЗПДП носили "внутрифирменный" характер, позволяя оптимизировать финансовые потоки между предприятиями в единой корпорации или в других случаях, когда степень их доверия друг к другу чрезвычайно высока. Именно такой опыт приводится в [1].

Решение ЗЦК, как уже говорилось, должно осуществляться через непосредственное решение ЗЦМС (которую в общем случае не удается преобразовать в ЗМПМС). Различие в формулировке ЗЦМС и ЗМПМС связано с существованием в ЗЦМС обратного потока (из X в б). Естественно предположить, что, поскольку именно существование этого потока позволяет построить алгоритм решения и решить ЗЦК (иначе говоря, он непременно должен существовать для алгоритмизируемости и разрешимости задачи), то этот поток должен обладать экономическим смыслом, выразимым в терминах ЗЦК. В то же время в экономической трактовке

ЗЦК, приводимой в [1], интерпретация обратного потока (из г в в) отсутствует.

На самом деле этот поток обладает экономическим смыслом: заинтересованная в проведении мероприятий организация в кредитует систему на величину технического кредита (2, распределяемого между дебиторами Э].. ,зп. В соответствии с условиями задачи сумма технического кредита проходит через платежную систему и попадает к кредиторам ^...С. При этом величина задолженности в системе снижается, цо крайней мере, на р. Но в расширенной платежной сети задолженность лишь перераспределяется: в 1...8Пстановятся должниками в, э становится кредитором системы, а ^.. извлекают выгоду из мероприятия, получив от системы полностью или частично свою дебиторскую задолженность, тем самым являясь выигравшей в результате проведения мероприятий стороной. В такой ситуации в вправе ожидать экономического или иного эффекта (отдачи) от выигравшей стороны (Ъ.-Лщ). Этот вопрос (экономический смысл потока от ^...^к г и затем к в) не оговорен в постановке ЗЦК, равно как и перспективы развития платежных отношений в и вь.^п, что делает перспективу реализации этого мероприятия сомнительной.

В свете всего рассмотренного выше представляется целесообразным сформулировать еще один класс задач, которые можно назвать задачами реструктуризации задолженности (ЗРЗ). Принципы построения, решения и применения результатов решения для этих задач схожи с ЗЦК, однако имеется ряд существенных отличий как в способе сведения к ЗЦМС, так и в интерпретации элементов задачи и даже в алгоритме решения ЗЦМС. Изменим целевую функцию ЗЦК на

где Х| > 0 имеет значение цены кредитного ресурса, выделяемого _]-му дебитору системы; уч > 0 - приоритет погашения задолженности 1-го дебитора >му кредитору.

Соответственно, при построении ЗЦМС цены единичных потоков по ребрам графа примут вид:

-уу,и =

0,ие(Т,1)и(М).

При этом выполняется общее правило перехода к ЗЦМС: с(и) отрицательно внутри платежной системы, где увеличение потока соответствует улучшению целевой функции и положительно на ребрах, соответствующих выделению кредитного ресурса (увеличению потока по которым соответствует ухудшение целевой функции). *

Формула (23) совместно с (5)-(7) образует измененную формулировку ЗЦК, которую можно назвать задачей реструктуризации задолженности. Изменения связаны со следующими моментами:

1. В рассмотрение вводится инициатор процесса (например, бюджет). Инициатор осуществляет техническое кредитование платежной системы, рассчитывая получить экономический или иной эффект от снижения совокупной задолженности в ней или от получения благоприятного для себя распределения долгов.

2. Цены единичных потоков по ребрам задачи выбираются, исходя из постановки задачи инициатором. При этом знак цен, как правило, не изменяется по сравнению с ЗЦК, но их величины, вообще говоря, принимают отличные от ±1 значения.

3. Оптимальная (с точки зрения инициатора) величина технического кредита определяется итеративно путем изменения С! и сравнения результатов решения полученных (при прочих равных условиях) задач. В результате решения задачи, таким образом, получается оптимальное значение технического кредита С!*, (£* = на некоторой итерации, и матрица платежей, описывающая распределение этого кредита в системе.

Простейший вариант построения и решения ЗРЗ предполагает построение последовательности задач для 1 = 1...П, различающихся между собой лишь величиной С! = где СЬ = СЬ + 1*(С|П - СЬ)/п. Остальные условия всех этих задач совпадают; последовательно решая их (осуществляя итерацию по величине технического кредита), можно построить таблицу, например, соответствия между суммами выделяемого кредита и относительной или предельной величиной погашенных долгов.

К сожалению, алгоритм решения получаемой ЗЦМС не гарантирует какой-либо последовательности в эффективности использования выделяемых кредитных средств (поскольку начальное ребро в графе для построения циркуляции и изменения потока выбирается произвольно, нельзя гарантировать, что на более ранних итерациях по С! значение целевой функции будет улучшаться в большей мере, чем на более поздних); поэтому, даже располагая критерием желаемой эффективности мероприятия (например, требованием, чтобы отношение суммы погашенных долгов к сумме использованного кредита было не меньше некоторой заданной величины), придется выполнить решение всех задач и определить оптимальную величину С! по полученной таблице; затем для выбранного можно выписать решение конкретной задачи.

Количество вычислений, необходимых для решения задачи, можно сократить за счет следующего соображения.

Рассмотрим решение двух задач, различающихся только величиной С|: С! = С^; С! = В случае решения этих задач при помощи одного алгоритма, определяющего выбор начальных дуг при изменении циркуляции, решение задач будет идти одинаковым образом, до тех пор, пока кредит С|, не будет использован полностью. Поэтому, имея полную информацию о решении задачи 1, включая описание последнего изменяемого в этом решении потока, можно построить по нему решение задачи 1 + 1, увеличив С! до С|1+1 и продолжив решение с того потока, на котором закончилось решение задачи г. Таким образом, полностью решается только задача с номером 1; все последующие задачи получаются из предыдущих путем выделения дополнительных кредитных ресурсов (увели-

чения (}) и указания начальных условий решения (решение продолжается с того же потока, на котором оно закончилось в предыдущей задаче).

Цены единичных задолженностей внутри системы принимают отличные от ±1 значения, в остальном построение и решение задачи аналогично ЗЦК. В этом случае (24) совместно с (21), (22) образует систему правил, по которой ЗРЗ преобразуется в ЗЦМС, служащую для нахождения решения исходной задачи. Значения конкретных цен задолженностей определяются на основе цели, сформулированной инициатором процесса, и степени важности каждой конкретной задолженности при достижении этой цели. Присвоив ребрам сети, соответствующим выделению кредитных ресурсов, сравнительно большие положительные значения, а ребрам, соответствующим распределению этих ресурсов в системе и погашению задолженностей между предприятиями - сравнительно малые по модулю отрицательные значения, можно добиться того, что после решения задачи "достойными устранения" окажутся только часть задолженностей в платежной системе, наиболее существенных с точки зрения сделанной постановки задачи.

Положительной особенностью этого способа формулировки задачи является то, что при минимальных изменениях в алгоритме решения задачи (они касаются только способа сведения к ЗЦМС) мы получаем возможность указания приоритетов при решении задачи. Поскольку применение рассматриваемого метода на практике сопряжено с выделением кредитных ресурсов, закономерно, что их владелец - инициатор процесса - вправе ожидать не абстрактного снижения совокупной задолженности в платежной системе, а вполне конкретного, желательного для себя перераспределения задолженностей - например, приоритетного погашения задолженности перед определенными участниками системы (в их роли могут выступать предприятия, находящиеся в сфере интересов инициатора, или бюджеты различных уровней, если в качестве инициатора выступает государство). Цель инициатора может быть и в принципе иной, например, скупка обязательств определенного участника (или участников) платежной системы для приобретения механизма воздействия на них - и, при наличии данных о задолженности внутри системы, такая цель также может быть решена при помощи задач данного класса.

Отрицательной стороной является сложность построения задачи и определения степени важности каждой задолженности для достижения цели инициатора. Так, при выделении средств из бюджета простейший подход заключается в указании цены кредитных ресурсов, равной единице, а цены задолженности в системе - на основании ставки налогообложения (доля налоговых платежей в единице перечисляемых предприятию средств, очевидно, будет находиться в диапазоне от 0 до 1; умножив данное число на -1 для учета "желательности" этих платежей для бюджета, получим приближенную оценку целесообразности погашения задолженности системы перед этим предприятием с точки зрения бюджета). Более сложный подход может учитывать производственные взаимосвязи между предприятиями различных отраслей, социальный эффект от оплаты или неоплаты выполнения заказов каждым предприятием и т.д. Таким образом, "центр тяжести" в сложности решения задачи смещается с решения

ЗЦМС на определение критериев оптимальности и построение экономически обоснованных условий исходной задачи что, вообще говоря, правильно. При этом удается сократить вычислительную сложность итеративного определения оптимальной величины технического кредита, устраняя необходимость нескольких полных повторений решения исходной задачи (представленной как ЗЦК).

Литература

1. Гимади Э.Х., Глебов Н.И., Залюбовский В.В. О некоторых задачах погашения взаимных долгов предприятий // Дискретный анализ и исследование операций. 1997. Сер. 2, том 4, № 1. С. 30-39.

2. Калиткин H.H. Оптимальный взаимозачет долгов предприятий // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, № 1. С. 11-21.

3. Калиткин H.H. Задача зачета взаимных долгов предприятий // Докл. РАН. 1995. Т. 343. № 1, С. 12-14.

4. Калиткин H.H., Кузьмина JI.B. О зачете взаимных долгов предприятий // Мат. моделирование. 1995. Т. 7. № 4, С. 64-72

5. Калиткин H.H., Михайлов А.П. Идеальное решение задачи зачета взаимных долгов //Мат. моделирование. 1995. Т. 7, №6. С. 111-117.

6. Форд ДР., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1986.

7. Taxa Х.А. Введение в исследование операций. М.: Вильяме, 2001.

8. Цициашвили Г.Ш. Решение задачи о погашении взаимных долгов // Далъневост. мат. сб. 1995. № 1. С. 126-131.