Учет мелководья в математической модели судна с целью оценки его влияния на маневренные характеристики

Учет мелководья в математической модели судна с целью оценки его влияния на маневренные характеристики

Г.И. Мартюк1, Ю.И. Юдин2, А.Ю. Юдин2

1 ОАО Мурманское морское пароходство

2 Судоводительский факультет МГТУ, кафедра судовождения

Аннотация. Для моделирования движения судна при выполнении сложных маневров в реальных условиях плавания в математическую модель судна требуется ввести параметры, определяющие влияние внешних факторов, одним из которых является мелководье. В статье определяется способ математического описания влияния мелководья на маневренные характеристики судна.

Abstract. The mathematical model of the ship's movement while carrying out the complex manouvring under real sailing conditions needs some parameters taking into account the influence of the external factors, namely shallow waters. The method of mathematical description of the shallow waters' influence on the ship manouvring characteristics has been given in the paper.

1. Введение

Глубина акватории, где выполняется швартовная операция, зачастую бывает недостаточной, чтобы отсутствовало влияние мелководья как на инерционно-тормозные, так и на маневренные характеристики судна.

Влияние мелководья возникает обычно тогда, когда глубина становится менее четырех осадок судна. Для приближенной оценки глубины акватории, при которой практически не сказывается влияние мелководья на сопротивление движению судна, можно использовать следующую эмпирическую формулу (Костюков, 1966):

H/d > 4,0 + 3,0Fr/

Здесь H - глубина акватории, d - осадка судна, и - его скорость, g - ускорение свободного падения, Frd -число Фруда по осадке.

2. Влияние мелководья на составляющие общего сопротивления

Способы учета влияния мелководья на инерционно-тормозные и маневренные характеристики судна в основном базируются на гипотезе О. Шлихтинга (Schlichting, 1934), согласно которой скорость судна на глубокой воде ит отличается от скорости в условиях мелководья Он на величину суммарной потери скорости Au, состоящую из двух компонентов: Аиу = f(a>M0'5/H) - потеря скорости из-за увеличения вязкостной составляющей сопротивления (здесь а>м - площадь погруженной части мидель-шпангоута); Auw = f(FrH) - потеря скорости из-за увеличения волновой составляющей сопротивления, FrH - число Фруда по глубине.

Как известно, общее сопротивление движению судна представляет собой сумму двух вязкостных составляющих (сопротивление трения и сопротивление формы) и одной волновой (волновое сопротивление). Соотношение между указанными составляющими общего сопротивления на разных скоростях движения судна различно (Справочник..., 1985) (см. рис. 1).

Поскольку маневрирование танкера во время швартовки происходит на малых скоростях, то нас в большей степени должно интересовать влияние мелководья на вязкостные составляющие сопротивления. При этом влияние мелководья на волновую составляющую также небезынтересно с точки зрения ее влияния на инерционно-тормозные характеристики при переходе судна с больших скоростей на малые и обратно в условиях мелководья.

%

Рис. 1. Соотношение основных составляющих общего 80

сопротивления для судна (пунктирная линия) 6Q

и его модели (сплошная линия). I - вязкостное сопротивление, 40

II - волновое сопротивление 20

0.1 0.15 0.2 0.25 Fr,

Вязкостная составляющая сопротивления движению судна является трудноопределимой, и в настоящее время практически отсутствует общепринятая расчетная схема, позволяющая с желаемой точностью определить величину двух вязкостных составляющих общего сопротивления движению судна. Следовательно, при малых скоростях движения судна, характерных для большинства маневров, включая швартовную операцию, возможность достаточно точно определить (рассчитать) степень влияния мелководья на инерционно-тормозные характеристики судна отсутствует.

Тем не менее, в результате проведения ряда модельных и натурных экспериментов установлено, что на мелководье при отношениях глубины к осадке H/d = 2,0 -г- 1,5 вязкостное сопротивление судов возрастает примерно на 10-15 % по сравнению с его величиной при движении судна на глубокой воде. Предпринимались определенные попытки разработать более-менее точный способ расчетного определения изменения вязкостных составляющих сопротивления. В частности, Войткунским Я.И. (1988) предложен метод, основанный на теории пограничного слоя.

В основу метода положена гипотеза о том, что распределение давления, необходимое для расчета трехмерного пограничного слоя, даже без учета влияния на него волнообразования, определить значительно труднее, чем в случае глубокой воды, так как приходится рассчитывать обтекание дублированного корпуса, расположенного между параллельными твердыми стенками. Исходя из этого, расчеты пограничного слоя позволили установить возможность применения для вычисления вязкостного сопротивления на мелководье зависимость

Cv = 2Rvl

где CV - коэффициент вязкостного сопротивления, RV -вязкостное сопротивление, р - массовая плотность воды, Q - площадь смоченной поверхности, СРо - коэффициент сопротивления эквивалентной пластины, rj - переводной коэффициент, кф = rj- 1 - формфактор. Он учитывает сопротивление формы тела

кф = kvp + кр.

Формула (2) выражает аффинную зависимость вязкостного сопротивления хорошо обтекаемого тела и сопротивления трения эквивалентной пластины. Коэффициенты сопротивления формы CVP и трения СР таких тел определяются через составляющие их формфакторы

Cvp = Cp^vp; Ср = Ср0

Значения кф существенно зависят от геометрических характеристик тел, в том числе их относительной толщины, а также от того, плоский это профиль или тело вращения. На рис. 2 представлены расчетные значения (Войткунский, 1988) кф и кР тел вращения.

3. Анализ расчетных способов определения сопротивления в условиях мелководья

A.A. Костюков в своей монографии (1966) для приближенной оценки увеличения сопротивления движению судна на мелководье при докритических скоростях (и^, = (0,8 -г- 0,85)(gH)0,5) предлагает использовать диаграмму Кемпфа, общий вид которой представлен на рис. 3.

На диаграмме, построенной на основе опытных данных, нанесены кривые зависимости коэффициента а дополнительного сопротивления от влияния мелководья в зависимости от H/d и условного коэффициента кн(Н)0,5. При этом сопротивление на мелководье определяется по формуле:

где R - сопротивление на глубокой воде.

Рис. 3. Диаграмма для определения коэффициента дополнительного сопротивления а при различных значениях кн = 1,6 -г- 2,9

Rm = (1 + a)R,

H/d 1 9i/H 2.2т/Н 2.5^Н 2.9-,[H

К-к

Рис. 5. График для определения

коэффициента увеличения скорости

т, , ^ ,, обтекания судов на мелководье

Рис. 4. Семейство кривых приводных коэффициентов '

Большое внимание влиянию мелководья на ходовые характеристики судна уделил в своих работах Г.Е. Павленко. Так, например, в работе (Павленко, 1956) изложены основные принципы количественной оценки влияния мелководья на сопротивление движению судна. Полагая, что скорость встречного потока при движении судна на мелководье зависит только от соотношений геометрических размеров судна и фарватера, Г.Е. Павленко построил кривую, выражающую зависимость отношения (ит-ин)/ин от безразмерной геометрической характеристики (а>м)0'5/Н (см. рис. 4). Используя указанную зависимость и выполнив необходимые вычисления, Шлихтинг (БсИНсЫ1щ, 1934) представил свои числовые данные в форме, предназначенной для практических расчетов. На рис. 4 семейство кривых Ки дает значение относительного уменьшения Ки = в функции от чисел Егн = / (§Н)0,5 и (йм)0,5/Н, а

пересекающая их кривая Ку - относительное изменение координаты Ку = АЯу/Яу в функции числа ¥тн, причем изменение сопротивления АЯу отнесено не к полному, а к сопротивлению трения Яу. Таким образом, для каждой точки глубоководной кривой с координатами и Я может быть найдена соответствующая точка мелководной кривой с координатами Он = от- Аи и Ян = Я - ДЯ, где: Аи = Киит и АЯ = КуЯу.

Величину волновой составляющей общего сопротивления движению судна на мелководье можно определить, воспользовавшись формулой Н.Е. Жуковского:

+Ь/2

Я№ = [2^дН2^Гн2/(^Гн2- 1)0,5]\{су/ск)2ёх,

-1/2 0,5

где Ггн - относительная скорость по глубине (Ггн = и/(§н) , ); у = У(х) - уравнение ватерлинии.

Учитывая, что увеличение сопротивления движению судна на мелководье происходит преимущественно за счет роста волнового сопротивления, данную зависимость можно использовать как основную при оценке влияния мелководья на инерционно-тормозные характеристики судна.

В отдельных работах рассматривается возможность использования расчетных зависимостей, позволяющих определить величину полного сопротивления движению судна на мелководье, так, например, Вагановым Г.И. и др. (1986) предложена следующая зависимость:

Я =

Здесь ^ - коэффициент сопротивления трения, - надбавка на шероховатость, £0 - коэффициент остаточного сопротивления, V - объемное водоизмещение, и0 - скорость обтекания судна сжатым потоком, причем и0 = Ь0и, где Ь0 - коэффициент, учитывающий влияние изменения скорости потока, обтекающего судно, который можно определить, используя график зависимости Ь0 = Дн/ё; ¥тн), представленный на рис. 5. Аналитически указанная зависимость может быть представлена в виде:

н/ё = 1,25: Ь0 = 1,002 + 0,031^>н + 0,38^>н2; н/ё = 1,5: Ь0 = 0,997 + 0,028^>н + 0,314^тн2; н/ё = 2: Ь0 = 0,999 - 7,351- 10-3^>н + 0,262^>н2;

н/ё = 3 н/ё = 4 н/ё = 5 н/ё = 6

Ь0 = 1,005 - 0,057^>н + 0,229^тн2; Ь0 = 1,004 - 0,069^>н + 0,201^тн2; Ь0 = 0,995 - 0,064^>н + 0,153^тн2; Ь0 = 0,995 - 0,064^тн + 0,159^>н2.

Сопротивление движению судна на мелководье можно также оценить, используя формулу А.Б. Карпова (Ваганов, Карпов, 1965):

Я = 0,5[

Здесь 0\ = о/а\, иг = и/а2. Коэффициенты а\ и а2 находят по графикам рис. 6, 7. Коэффициент вычисляют для скорости иь а - Для скорости о1. Формула пригодна для докритических скоростей. Аналитическое представление а.\ и а2 как функций от н/ё и ¥тн, полученное в настоящей работе, выглядит следующим образом:

«1

значения коэффициентов k1 - k4, входящих в формулу, представлены в табл. 1 и 2 для а.\ и а2, соответственно, причем вверху расположены цифровые значения коэффициентов k при FrH меньше условного среднего значения FrHcp, значения которого приведены в последнем столбце таблиц, внизу - при FrH > FrHcp.

Таблица 1

Hid k1 k2 k3 k4 FrHcV

1,5 -0,45 1,204 1,298 1,154 0,689

-1,069 1,499 0,98 1,862

2,0 -0,419 1,188 1,314 1,166 0,706

-0,921 1,501 0,975 1,748

3,0 -0,452 1,072 1,410 1,188 0,747

-0,494 1,591 0,822 1,31

4,0 -0,723 0,78 1,59 1,179 0,742

-0,439 1,56 0,867 1,311

5,0 -0,512 0,817 1,57 1,163 0,763

-0,433 1,499 0,957 1,364

Таблица 2

Hid k\ k2 k3 k4 FrHcp

1,5 -1,074 1,045 1,472 1,282 0,829

-0,566 1,249 1,254 0,980

2,0 -1,586 0,826 1,641 1,279 1,038

-0,499 1,405 1,081 0,913

2,5 -1,112 0,913 1,562 1,283 0,995

-0,407 1,405 1,081 0,959

3,0 -0,746 1,032 1,458 1,294 0,985

-0,324 1,392 1,096 0,994

4,0 -1,476 0,692 1,685 1,248 0,898

-0,291 1,437 1,044 1,008

Рис. 6. График для определения коэффициента а\

2 4 6 8 10 12 V, уз

Рис. 7. График для определения коэффициента а2

Рис. 8. Зависимость сопротивления движению судна Я(у) на глубокой воде и на мелководье (Н = 12 м):

1 - сопротивление на глубокой воде,

2 - расчет по диаграмме Кемпфа,

3 - расчет по способу Карпова,

4 - расчет по способу Ваганова,

5 - расчет по способу Павленко,

6 - результаты натурных экспериментов.

Используя представленные в данном параграфе зависимости, проведем расчет сопротивления движению танкера на различных скоростях, а полученные результаты отразим графически в виде зависимости К = /(и) (см. рис. 8). Здесь же представлена аналогичная кривая, полученная по результатам нескольких натурных экспериментов (эксперименты выполнялись на двух танкерах "Саратов" и "Усинск" как в грузу, так и в балласте), выполненных в условиях мелководья с вариацией соотношения ИШ в пределах от 1,3 до 4,0.

Сравнительный анализ кривых К = /(и), рассчитанных для танкера "Саратов" в грузу, позволяет сделать вывод о том, что ни один из рассмотренных расчетных методов не позволяет получить результат, совпадающий с данными натурного эксперимента. Однако если ограничиться погрешностью 10 % отклонения от результатов натурного эксперимента, то наиболее приемлемым способом расчета следует признать расчет по методу Павленко.

Оценку изменения сопротивления движению судна на мелководье можно сделать по величине изменения скорости, как было отмечено в начале параграфа. В частности, Лекенби (ЬасквпЬу, 1963) предложил следующую полуэмпирическую формулу для определения потери скорости при движении судна на мелководье

Аи= ии(0,1242(А/#2 - 0,05) + 1 - [Ш(§И/ии2)]0,5},

при а>м1Н > 0,05.

Однако судоводителя, выполняющего швартовную операцию в условиях мелководья, потеря скорости интересует в гораздо меньшей степени, чем тормозные характеристики, в частности, представленные в виде разгонной и тормозной зависимости и(0, учитывающей влияние мелководья. Используя (10), нами получена формула, позволяющая редуцировать зависимость и(0, определенную во время ходовых испытаний на глубокой воде в зависимость ид(0, характеризующую разгон (торможение) при движении в условиях мелководья. В дальнейшем полученной зависимостью Цн(/) можно воспользоваться для определения влияния мелководья на тормозной путь и время торможения.

Итак, редукционная формула будет выглядеть следующим образом:

ии(и) = и[1 - и(иШи) - 1 + ИДеЬИДсИ)3]0,5}], .2

где введено условное обозначение Ии= gИ/v , а условная функция /(и), представленная в выражении (11), определяется зависимостью:

/и) = [ШИ]0,5- 0,1242(м/#2- 0,05) - 1,0.

В качестве примера использования редукционной формулы (11) воспользуемся аппроксимационной кривой разгона танкера "Саратов", полученной по результатам ходовых испытаний на глубокой воде

ц(1') = -0,058 + 0,036/ - 0,00003807^.

Введя ее в редукционную формулу, получим кривую изменения скорости разгона на мелководье, как показано на рис. 9.

Можно редуцировать изменение скорости разгона (торможения) "ручным" способом с помощью предлагаемого графического шаблона. Для этого кривая редукции скорости за счет влияния мелководья строится в координатах и и Он с равными масштабами по осям. На этом же графике строится биссектриса 1-го координатного угла, на которой и = и»

V, уз 1 ------- 7 \ I

-8 1 2,

-6 -

-4 -

-2 /у ' » 100 200 г 300 1 1 400 1

Рис. 9. Редукция скорости разгона танкера на глубокой воде.

1 - скорость разгона на глубокой воде в балласте;

2 - скорость разгона на мелководье в балласте

Рис. 10. Схема учета мелководья при редукции скорости на глубокой воде

Особенно удобно сделать шаблон на кальке или на ином прозрачном материале. Если имеются построенные разгонные (тормозные) характеристики скорости, то масштаб шаблона следует выбрать равным масштабу скорости этих характеристик. Накладывая прозрачный шаблон на график скоростных характеристик, редуцируем скорость по схеме, показанной на рис. 10.

4. Способы учета влияния мелководья на гидродинамические силы и моменты

Малая глубина района, где выполняется швартовная операция, приводит к изменению присоединенных масс корпуса судна, а конкретно, к их увеличению вследствие обусловленного ограничением потока увеличения местных скоростей обтекания корпуса. Это влияние тем значительнее, чем меньше относительная глубина района - отношение осадки судна ё к глубине Н.

Существует несколько способов оценки влияния мелководья на присоединенные массы судна, так, например, в работе А.Д. Гофмана (1971) предлагается для судов, имеющих различную полноту корпуса (рис. 11, Су = 0,52; Су = 0,8) учитывать данное влияние в виде следующих зависимостей:

А-иН = к11Н; ^22ш = ^22шх к22Н; ^ббш = ^ббшх кббН ,

где Яцш, Я22ш, Лбш, Лцд, Л-22н, Лбн - присоединенные массы и момент инерции судна при движении на глубокой воде и мелководье, соответственно. Учитывая значение коэффициента полноты водоизмещения танкера (Су = 0,778 (в балласте); Су = 0,777 (в грузу)), можно вполне определенно использовать кривые (2) для расчета значений коэффициентов присоединенных масс. При этом погрешность будет минимальной, так как разброс значений между кривыми (1) и (2) небольшой. Для использования рассматриваемых зависимостей в математической модели судна представим их в аналитическом виде, аппроксимируя графики зависимостей кцН, к22Н, кббН = /(ё/Н), представленные на рис. 11, будем иметь:

кцН = 1,004 - 0,275(ёН) + 2,798(ё/Н)2; к22я= 0,998 + 0,403(ё/Н) - 1,58б(ё/Н)2 + 5,487(ё/Н)3; (15) кббН = 0,997 + 0,358(ё/Н) + 0,814(ё/Н)2 + 2,27(ё/Н)3.

В.Г. Павленко предлагает использовать несколько иные зависимости, которые базируются на экспериментальных данных, полученных О. Гримом, так, например, для поперечной присоединенной массы:

Я22(Н/ё) = /(Н/ё)Х22,

где /Н/ё) - коэффициент увеличения присоединенной массы воды на мелководье, полученный Гримом экспериментальным путем. Этот коэффициент определяется с учетом следующей зависимости:

/

Его можно использовать и для определения значений Ли(Н/ё), Л№(Н/ё).

Экспериментально установлено, что уменьшение глубины акватории существенно влияет на гидродинамические характеристики судна, что отражается на его управляемости, которая заметно меняется с увеличением числа Фруда по глубине ¥гН и становится практически неопределенной при ¥тН = 1,0 (Басин, 19б7).

Влияние глубины воды на гидродинамические характеристики судна связано, прежде всего, с изменением характера волнообразования на свободной поверхности жидкости и с непосредственным влиянием стеснения обтекающего потока на характер обтекания. Волнообразование на мелководье проявляется более интенсивно и в более сложной форме, чем на глубокой воде. Если судно движется прямым курсом, то при 0 < ¥тН < 0,б картина волнообразования сравнительно мало отличается от волнообразования на глубокой воде. Поскольку маневрирование танкера при выполнении швартовной операции осуществляется в этом диапазоне скоростей, при решении задач управляемости судна влиянием волнообразования можно пренебречь. Правомочность такого решения подтверждается экспериментальными исследованиями В.И. Когана (Большаков, 1959), согласно которым возрастание коэффициентов поперечной гидродинамической силы и момента наблюдается при ¥гН > 0,б.

Возрастание коэффициентов вязкостных гидродинамических сил и их момента в математической модели судна может быть представлено коэффициентами, относящимися к их линейным компонентам, которые преимущественно возрастают вследствие увеличения на мелководье эффективного удлинения судна как крыла малого удлинения и полноты эпюры поперечной нагрузки на корпусе.

--^66Н-|

¿(и н':

-- Г-1-1-

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ё/Н Рис. 11. Влияние мелководья на присоединенные массы судна: 1: Су = 0,52; 2: Су = 0,8

< /

! \

1 [

" г---- -1- -1-1

С

1,2-........

0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 С1/Н

Рис. 12. Коэффициенты влияния мелководья на позиционные составляющие силы и моменты

о.э 0,8 -1

к

0;2

0:5 0;&

' к; :

"о!? ФН\

ч

Рис. 13. Коэффициенты влияния мелководья на демпфирующие составляющие силы и моменты

(7=0.94

00 0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 14. Коэффициенты влияния мелководья на позиционные составляющие поперечной силы на корпусе

0.0 0.1 0,2 0.3 0.4 05 0.6 д/Н Рис. 15. Коэффициенты влияния мелководья на позиционную составляющую момента на корпусе

Рис. 16. Коэффициенты влияния мелководья на демпфирующую составляющую момента на корпусе

Применительно к транспортным судам в доволновых режимах движения (¥гн < 0,6) изменение гидродинамических сил и момента находят с помощью коэффициентов

к р = Г Р/С Р- к  = Г /Г

^У ^уви 1 г ^У ^У^ 1

км= Гмрн

мр„

д

кмш = Гм

Ю/СМ

значения которых могут быть определены, в частности, графически с помощью графиков, полученных В.И. Коганом (см. рис. 12, 13).

Представляет интерес определение указанных коэффициентов для судов с большой полнотой обводов корпуса, к которым, например, относятся танкеры. В этом случае влияние мелководья на гидродинамические характеристики может быть определено с помощью графиков (Гофман, 1971), представленных на рис. 14, 15, 16.

При этом коэффициент ку0) имеет постоянное значение равное 1,0. Для дальнейшего использования указанных зависимостей в моделировании швартовных операций при разработке безопасных способов маневрирования получены аппроксимационные формулы: - для транспортного судна

к/= 0,921 + 0,742(й?/Н) + 2,179(^/Н)2 + 4,594(й?/Н)3; к/= 0,399 + 4,753(й?/Н) - 11,858(^/Н)2+ 16,861(^/Н)3 к/= 0,953 + 0,694(й?/Н) - 2,667(^/Н)2+ 2,240(^/Н)3; кта= 0,997 + 0,054(^/Н) - 0,164(^/Н)2+ 0,816(^/Н)3,

- для судов с большой полнотой корпуса

kyß = 0,985 + 0,236 &/ = 1,013 - 0,183(d/H) + 3,011(d/H)2+ 0,562(d/H)3;

kyp = 0,985 + 0,236(d/H) - 0,811(d/H)2+ 2,667(d/H)3;

y

rß

y

kj = 0,923 + 1,246(d/H) - 0,504(d/H)2+ 5,936(d/H)3; 0,94

kj = 1,01 + 0,404

kj = 0,99 + 0,423(d/H) + 1,418(d/H)2+ 3,141(d/H)3; 0,96

ктю = 0,992 + 0,26^/Я) - 0,117^/Я)2 + 1,256^/Я)3; B/d = 3,5 ктю = 1,009 + 0,184^/Я) + 0,726^/Я)2 + 0,642(d/H)3; B/d = 4,0 ктю = 1,033 + 0,182^/Я) + 1,245^/Я)2 + 0,473(d/H)3. B/d = 4,5

Учет влияния мелководья при движении судна со скоростью, превышающей ее доволновые значения (Р>я > 0,6), и особенно, при приближении FrH к 1,0, становится более сложным, трудно поддающимся описанию, т.к. изменение структуры потоков, обтекающих корпус судна, в настоящее время теоретически недостаточно изучено, но, учитывая значения чисел Fr и FrH для танкера (табл. 3), можно сказать, что доволновой участок покрывает практически все возможные режимы движения танкера. Следовательно, значений коэффициентов кД кут; км; ку^2; кмт достаточно для исследования влияния мелководья на управляемость судна при любых реально возможных вариантах движения.

Таблица 3

V м/с (УЗ) Fr FrH

В балласте В грузу Н = 10 м Н = 20 м Н = 30 м Н = 40 м Н = 50 м

1 (1,95) 0,028 0,026 0,101 0,071 0,059 0,051 0,045

3 (5,84) 0,083 0,079 0,303 0,214 0,176 0,152 0,136

5 (9,73) 0,139 0,132 0,505 0,357 0,294 0,253 0,227

7 (13,62) 0,194 0,184 0,707 0,500 0,412 0,354 0,318

8 (15,56) 0,222 0,211 0,808 0,571 0,471 0,404 0,364

5. Заключение

Результатом представленных в данной работе исследований является математическое описание процессов, определяющих характер силового воздействия на корпус судна при его движении в условиях мелководья. Разработанные аналитические зависимости могут быть использованы в математической модели судна для моделирования сложных маневров в указанных условиях.

Литература

Lackenby H. The effect of shallow water on ship speed. The Shipbuilder and Marine Enginebuilder, September, p.13-19, 1963.

Schlichting O. Shiffswiderstand auf Beschraukter Wassertiefe. Widerstand von Seeschiffen auf flachen Wasser. Jahrbuch STG, Bd.35, S.127-148, 1934.

Басин A.M. Ходкость и управляемость судов. М., Транспорт, c.255, 1967.

Большаков В.П. К теории управляемости корабля. Тр. ВМАКВ им. акад. А.Н. Крылова, Bbin.XIX, с.3-19, 1959.

Ваганов А.М., Карпов А.Б. Общее устройство судов. Л., Судостроение, 1965.

Ваганов Г.И., Воронин В.Ф., Шанчурова В.К. Тяга судов (методика и примеры выполнения судовых тяговых расчетов): Учебное пособие для вузов. М., Транспорт, с.199, 1986.

Войткунский Я.И. Сопротивление движению судов: Учебник. Л., Судостроение, c.288, 1988.

Гофман А.Д. Теория и расчет поворотливости судов внутреннего плавания. Л., Судостроение, 1971.

Костюков A.A. Сопротивление воды движению судов. Л., Судостроение, 448 c., 1966.

Павленко Г.Е. Сопротивление движению судов. М., Морской транспорт, 508 c., 1956.

Справочник по теории корабля: Гидромеханика. Сопротивление движению судов. Судовые движители. В 3-х т. Под ред. Я.И. Войткунского. Л., Судостроение, т.1, с.768, 1985.