Математическая модель распространения лазерного излучения в двухуровневой среде с насыщением поглощения и дисперсии

УДК 535.345.1

И.Л. Пластун

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛАЗЕРНОГО

ИЗЛУЧЕНИЯ

В ДВУХУРОВНЕВОЙ СРЕДЕ С НАСЫЩЕНИЕМ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ

Предложена пространственно-временная численная модель для расчета распространения лазерного излучения, модулированного по частоте, в двухуровневой нелинейно-оптической среде с насыщением поглощения и дисперсии. Используемый численный метод основан на разложении поля по поперечной координате по модам Гаусса - Лагерра.

В качестве исследуемых параметров рассмотрены зависимости выходной интенсивности пучка от времени и частоты при условиях, когда период модуляции сравним с атомными временами релаксации.

Численный метод, резонансное самовоздействие, распространение лазерного сигнала, частотная зависимость, модуляция, нестационарная оптическая нутация.

I.L. Plastun

NUMERICAL SIMULATION OF CW LASER EMISSION TRANSMISSION IN TWO-LEVEL AMBIENCE SATURABLE ABSORBER AND DISPERSION

The numerical model of the periodical modulated CW laser emission transmission through a two-level ambience saturable absorber and dispersion is presented in the article. Within the framework of the scalar paraxial optics the investigated system is described by the set of normalized Maxwell-Bloch equations. To solve the equations we use second-order scheme based on the decomposition of the transverse field pattern in terms of Gauss - Laguerre modes described in this paper.

Numerical method, resonance self-action, laser transmission, frequency dependence, modulation, transitional optical nutation.

При распространении лазерного излучения в двухуровневых средах (например, в парах щелочных металлов) в условиях резонанса под действием мощного лазерного излучения среда начинает изменять свои оптические характеристики, что проявляется как насыщение поглощения и дисперсии (насыщение показателя преломления, или нелинейная рефракция). Эти эффекты вызывают наведенную дифракцию лазерного пучка, которая, в свою очередь, приводит к появлению резонансной самофокусировки при нулевой отстройке частоты поля от частоты перехода. В этом случае оптическая сила линзы, наведенной насыщением, равна нулю (см., например, [1, 2]). Было показано, что резонансное самовоздействие пучка вызывает асимметрию спектра пропускания интенсивности и полной мощности пучка. Все эти эффекты рассматривались в протяженных лазерных пучках. С точки зрения теории, вполне естественно описывать отклик среды на основе нелинейной восприимчивости. Очевидно, что тот же самый подход можно использовать для описания временных зависимостей поля, так как они достаточно медленны и сравнимы с атомными временами релаксации. Более быстрые

изменения поля вызывают случайный кратковременный отклик среды и, таким образом, случайную самофокусировку и эффекты наведенной апертуры. Пространственновременные численные модели достаточно удовлетворительно описывают проявления самофокусировки при распространении коротких импульсов (см., например, [3]). Экспериментальные проявления нестационарной резонансной самофокусировки частотно-модулированных лазерных пучков наблюдались в спектроскопии насыщения [4].

В наших предыдущих работах [5, 6] были представлены результаты численного моделирования резонансного самовоздействия периодически модулированных лазерных пучков в средах с насыщением поглощения и дисперсии. В настоящей работе более детально описываются численная модель и метод решения основной системы уравнений.

Модель в рамках скалярной параксиальной оптики основывается на прямом численном решении уравнений Блоха (2), (3), описывающих отклик среды, совместно с уравнением Максвелла (1), включающим собственный поперечный лапласиан, описывающим пространственно-временную эволюцию распространяющегося поля:

,/Ж 1 дЕ\

дг с дг)

2)| ^ + -^| + у;е - V2р2Е = ер,

дБ = -у[В -1 + i

др = -

^ 2 д2 1 д „

где g - единичная длина поглощения; =—- +-------поперечный лапласиан; у, Г -

дг г дг

скорости релаксации заселенности и поляризации, соответственно; Б(г,р,ф,г) - разность заселённостей, нормированная на её величину в отсутствие насыщения;

Е(г, р, ф, г), Р(г, р, ф, г) - медленно меняющиеся амплитуды электрического поля и

поляризации, соответственно; А - отстройка несущей частоты от частоты атомного перехода; V - параметр, учитывающий волноводные свойства среды (если это необходимо). Единица амплитуды поля соответствует уровню насыщения Б = 0,5. Продольная координата 2 измеряется в единицах дифракционной длины, поперечная координата г нормирована на характерный радиус пучка а.

Уравнения (1)-(3) решались при начальных условиях:

Е (г = 0, р, ф, г) = Е0 (р, ф, г); Е (г, р, ф, г = 0) = 0; Б( г, р, ф, г = 0) = 1; Р( г, р, ф, г = 0) = 0.

В рассматриваемых примерах лазерный пучок на входе модулировался по частоте и анализировались локальный отклик среды и выходное поле. Изучение проявлений самовоздействия в этом случае усложнялось тем, что изменения выходной интенсивности из-за эффектов самовоздействия были слишком малы на фоне задаваемой модуляции.

Из-за особенностей представления поперечного профиля пучка в виде суперпозиции гауссовых мод модель недостаточно точно описывает поведение аксиальнонесимметричных пучков, поэтому для упрощения рассматривались пучки, симметричные относительно оси распространения, что соответствует большинству физических экспериментальных задач по распространению лазерных сигналов. Для решения уравнений (1)-(3) нами была использована неявная разностная схема второго порядка, основанная на разложении поля по поперечной координате по модам Гаусса - Лагерра [3]. Эти моды были взяты как собственные моды пустого линейного волновода при V ^ 0, в противном случае модовый параметр связывался с параметром исходного пучка. Координаты дискретной четырёхмерной решётки (гк, рг-, фу, гп) представлены следующим образом: гп = пк/с, гк = кк - координаты по времени и по продольной координате, соответственно; рг- - )-й радиальный узел, принятый равным нулю у моды Гаусса -

2п і

Лагерра высшего порядка, і = 0, ..., Ь, ф . =------------------]-й азимутальный узел, і = 0, ..., 2М.

1 2М +1

Каждая мода Гаусса - Лагерра определяется двумя числами - номером радиального узла I = 0, ., Ь и топологическим зарядом вихря (или номером азимутального узла) т = -М, ., М.Обозначим дискретные расчётные функции, описывающие распространяющееся поле, поляризацию и разность заселённостей среды как

Еп,кЦ Е^к-, pi, фі, tn), Рп,кЦ P(zk, рЬ фі, tn), Оп,к,іі D(Zk, рі^ фу, ^пХ а Cn,k,l,m, Рп,к,1,т —

зависящие от і и і коэффициенты моды Гаусса - Лагерра для поля и поляризации, соответственно.

Таким образом, численный алгоритм может быть представлен в следующем виде:

Еп,к,і,і ^ Сп,к,1 ,т ;

Рп,к,і,і ^ ^п,к,1 ,т ;

с - с с + с ^ ^

• п+1,к+1,1 ,т п,к ,1 ,т і п+1,к+1,1 ,т п,к ,1 ,т . ^ п, к +1,1, т п,к ,1 ,т

і-----------ъ----------=Кт--------------2-----------+*------------4---------’

Сп+1,к,1 ,т ^ Еп+1,к,і,у ;

О + О ( Р + Р У

, о ь. ,• V -т- ь. ,• V _* і п+2,к,і,і ^ ^ п,к,і,і

О - О

п+2,к,і, і п,к,і, і

с-------------------------- = —у

2й

п+2,к,і, і п,к,і, і

-1 - 21т

2

п+1,к ,і, і

V

Р — Р Р + ^ Р О + О

п+2,к,і, і п,к,і, і п+2,к,і, і п,к,і, і п+2,к,і, і п,к,і, і

—^^ = -(г+іА)—^^ - ^Еп+1,к,г,і—^——;

2к 2 2

Рп+2,к,),у ^ Рп+2,к,1 ,т ;

г - г с + с ^ ^

п+2,к+1,1 ,т п+1,к,1,т _ г п+ 2,к+1,1,т п+1,к,1 ,т , g п+2,к+1,1 ,т п+ 2,к,1 ,т .

' к “ ,т 2 +!? 4 ’

Сп+2,к,1, т ^ Еп + 2,к,), ] .

Шаги (4) и (5) представляют собой прямое преобразование Гаусса - Лагерра, в результате которого получаем модовое представление для поля и поляризации, соответственно. Шаги (7), (9) и (11) - обратное преобразование Гаусса - Лагерра, после которого мы получаем истинные значения Е и Р.

Шаг (8) представляет собой решение системы двух линейных дифференциальных уравнений для действительной величины Бп+2,к,у и комплексной величины Рп+2,к,у. Длина распространения берётся конечной гтах = Кк. Таким образом, в памяти одновременно сохраняются четыре массива, каждый из которых имеет размерность (£+1)(2М+1)К. Данная расчётная схема имеет второй порядок по к. Устойчивость схемы в режиме распространения непрерывного лазерного излучения проверялась на основе примеров, решаемых аналитически, и путём сравнения с результатами, полученными на основе других численных методов. Отметим, что равенства (6) и (10) являются подобными, что очень важно для устойчивости метода. Выбор в пользу данной расчётной схемы был обусловлен тем фактом, что в методе расщепления, традиционно использующемся в подобных задачах, достаточно часто проявляются высокочастотные осцилляции нефизической природы, что свидетельствует о неустойчивости этого метода для подобных задач.

В настоящей работе мы рассматриваем пучки, изначально модулированные по частоте. Распространяясь в резонансной поглощающей среде, пучок постепенно приобретает модуляцию интенсивности, которая вызывается обычной разницей поглощения на различных частотах. Этот эффект является не нелинейным, а спонтанным, он может возникать даже при низких интенсивностях и низких частотах модуляции. Необходимо отметить, что в этом случае не учитываются линзовые свойства среды, поскольку они возникают благодаря насыщению, а не частотно-зависимой рефракции. Нами исследовалось влияние насыщения поглощения и рефракции на процесс

4

преобразования фазовой модуляции на входе в среду в амплитудную модуляцию на выходе. Частота модуляции была взята достаточно низкой для того, чтобы рассматривать насыщение как адиабатическое следование временным изменениям частоты. Более яркие проявления наведенной линзы наблюдались в режиме среднего насыщения. В этом режиме частота модуляции изменялась до тех пор, пока не станут проявляться спонтанные эффекты самовоздействия. При этом наблюдались сдвиг фазы модуляции и уменьшение амплитуды, вызванные инертностью отклика среды. В приводимых примерах продемонстрированы эффективность и устойчивость выбранной численной модели.

В данных исследованиях мы ограничились случаем изначально гауссова пучка. Частота пучка на входе в среду гармонически модулируется по времени, ю = ю0+ ю1 sin Qt, где ю0 - несущая лазерная частота; ю1 - амплитуда модуляции частоты; Q - частота модуляции.

Принимая во внимание то, что мгновенная частота поля является производной по времени от фазы, можно записать комплексную амплитуду входного поля в виде:

Начальный радиус пучка а во всех рассматриваемых случаях был взят равным 1. Мы предполагаем, что центральная несущая частота ш0 равна частоте атомного перехода, таким образом, А = 0 в (3). В этом случае частота модулированного поля осциллирует симметрично по отношению к точной величине резонанса. Время и частота нормированы на времена релаксации. Для упрощения были взяты у = Г = 1. Амплитуда частотной модуляции ш1 = 1, т.е. отстройка частоты поля от резонанса составляет одну полуширину линии. В этом случае можно предположить наличие существенной амплитудной модуляции выходной интенсивности из-за постоянного изменения поглощения.

Исследуемыми параметрами являются интенсивность пучка на выходе из среды І(і,г,ї,т) и размер пятна ^(і), определяемый как второй момент поперечного распределения нормированной интенсивности:

Рассматривались различные типы модуляции: слабый (низкочастотный: й = 0,25п) и средний (й = 0,5п). В режиме слабой модуляции спонтанные эффекты отклика среды пренебрежимо малы.

Длина распространения составляла шесть дифракционных длин пучка: 2 = гтах = 6, что является достаточным для наблюдения изменений в поведении лазерного сигнала. Линейное поглощение во всех рассматриваемых случаях принималось равным g = 1, и, таким образом, интенсивность на выходе из среды оказывалась небольшой из-за поглощения и дифракционного расплывания.

Рассматривались режимы слабого насыщения (вызываемого полем невысокой интенсивности (Е0 = 0,1)), когда эффекты резонансного самовоздействия пучка не возникают, среднего насыщения (Е0 = 3), когда начинается проявление эффектов резонансного самовоздействия, и сильного насыщения (Е0 = 10), когда эффекты резонансного самовоздействия весьма значительны.

Для удобства величина интенсивности в каждой точке графика на рис. 1 умножалась на специальный нормировочный множитель таким образом, чтобы разместить её на одном графике с размером пятна. В линейном режиме (рис. 1 а, Е0 = 0,1) модуляция выходной интенсивности близка к гармонической, её частота равна удвоенной частоте модуляции. Это следует из того факта, что симметричные сдвиги лазерной частоты в обе стороны от резонанса вызывают одинаковые изменения линейного поглощения. Размер пятна в этом случае не зависит от частотной модуляции, так как отсутствует наведенная линза.

В режиме насыщения (рис. 1 б, Е0 = 5) полупериоды модуляции становятся неравными, так как наведенная линза является положительной при частоте выше атомного перехода и отрицательной при частоте ниже перехода. Таким образом, увеличение интенсивности из-за слабого поглощения на частоте ниже резонанса сглаживается дефокусировкой. Прослеживается явная зависимость изменений интенсивности и поведения размера пятна.

В фокусирующей области пики интенсивности становятся больше. Размер пятна демонстрирует увеличение после спада в центре каждой фокусирующей области.

Поскольку при анализе отклика среды одной из основных характеристик является спектр пропускания, то возникает необходимость более подробного анализа частотных зависимостей интенсивности прошедшего лазерного сигнала.

Моделирование распространения частотно-модулированного пучка через двухуровневую среду с насыщением поглощения и дисперсии продемонстрировало ряд особенностей нестационарного самовоздействия пучка, зависящих от частоты модуляции и, в частности, приводящих к заметной асимметрии спектра насыщенного поглощения. С другой стороны, известно, что при быстром прохождении частоты лазера через резонанс с атомным переходом даже в линейном случае возникают переходные оптические процессы, подобные осцилляции свободной поляризации, или оптической нутации [7].

Проанализируем одновременное проявление и взаимное влияние резонансного самовоздействия лазерного пучка и нестационарных когерентных эффектов при периодическом сканировании частоты пучка вблизи атомного резонанса, для чего будем исследовать зависимость выходной интенсивности пучка от частоты лазера, модулируемой по гармоническому закону.

В случае слабого поля, когда изменения заселённостей пренебрежимо малы (рис. 2 а), демонстрируется зависимость выходной интенсивности от частоты лазера при Ео = 0,1, & = 0,5, ю1 = 2 с коррекцией времени распространения от входа до выхода из среды. Был рассмотрен один период стационарных осцилляций, возникающих после исходного переходного процесса, таким образом, частота лазера сканировалась вдоль атомного резонанса вперёд и назад. Было замечено, что провал интенсивности симметрично сдвигается в зависимости от направления сканирования частоты таким образом, что кривая зависимости за полный период напоминает петлю гистерезиса. Этот эффект представляет собой проявление нестационарного отклика среды, который постепенно исчезает по мере приближения частоты модуляции О к нулю.

а

б

Рис. 1. Временные зависимости выходной интенсивности и размера пятна при низкой частоте модуляции О = 0,25: а - отсутствие насыщения: Б0 = 0,1; б - среднее насыщение: Е0 = 5; в - сильное насыщение: Е0 = 20

в

Влияние насыщения проиллюстрировано на рис. 2 б, г, где Е0 = 3, Q = 0,5. Причиной асимметрии является резонансная самофокусировка, вызванная наведенной линзой, меняющей свой знак в момент прохождения резонанса. Асимметрия усиливается с увеличением частоты лазера, кроме того, присутствует эффект гистерезиса. Проявления запаздывающего отклика среды достаточно хорошо можно отследить также по зависимости выходной интенсивности от времени (рис. 1), но частотные зависимости дают более ясное представление об эффекте.

Дальнейшее увеличение частоты модуляции приводит, в основном, к уменьшению выходной амплитуды модуляции, которая является проявлением инерционного поведения среды. На высоких частотах амплитуда осцилляций выходной интенсивности становится пренебрежимо мала и среда, таким образом, играет роль инерционного сглаживающего элемента, поведение которого определяется некоторым не зависящим от времени эффективным полем.

При увеличении амплитуды частотной модуляции характер взаимодействия пучка со средой меняется: большую часть времени частота света далека от резонанса, и лишь на короткое время при прохождении резонанса взаимодействие велико. В таких условиях начинает проявляться процесс, подобный нестационарной оптической нутации [7], когда быстрое изменение частоты лазерного излучения приводит к тому, что коэффициент пропускания возбужденной среды начинает приближаться к стационарному значению, проходя этап затухающих колебаний, а эти колебания, в свою очередь, вызывают затухающие осцилляции интенсивности выходного сигнала (рис. 3).

1x100

1.4-

0.7.

I ' I * I  ' '

-2 0 2 -1 0 1

Рис. 2. Зависимость интенсивности на выходе из среды I от частоты лазера ы при отсутствии насыщения Е0 = 0,1, О = 0,5

а б

Рис. 3. Интенсивность на оси пучка I (а) и размер пятна w (б) в условиях проявления нестационарной оптической нутации: Е0 = 3, О = 0,5, амплитуда модуляции ы1 = 10

Причина возникновения осцилляций заключается в том, что при быстром изменении частоты воздействующего на среду лазерного поля область резонанса, соответствующая максимальному воздействию, проходится очень быстро, и в силу инертности среды, энергия, запасенная в системе, начинает излучаться, вызывая затухающие колебания поляризации, и, как следствие - колебания интенсивности самого лазерного пучка. При следующем проходе через резонанс ситуация повторяется.

Необходимо отметить, что данный эффект одинаково сильно проявляется как в случае протяжённой среды, так и в случае оптически тонкого слоя, что закономерно объясняется природой этого явления, в основе которого лежит нестационарный отклик среды на воздействующее поле.

в

г

Таким образом, была разработана численная модель, адекватно описывающая распространение лазерного излучения с частотной или фазовой модуляцией в нелинейнооптической двухуровневой среде с насыщением поглощения и дисперсии в условиях резонансного самовоздействия, когда проявляются эффекты наведенной линзы и диафрагмы.

Изменения модуляционных параметров распространяющегося сигнала приводят к проявлению нестационарной оптической нутации, являющейся следствием инерционности среды.

С учётом этих эффектов можно корректировать распространение лазерного сигнала при оптическом зондировании различных сред, увеличивать длину проникновения излучения при распространении сигнала в оптической связи и получать дополнительную информацию о свойствах среды на основе спектров пропускания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Observation of continuous-wave on-resonance «self-focusing» / K. Tai, H.M. Gibbs, M.C. Rushford, N. Peyghambaryan //Optics Letters. 1984. Vol. 9. № 6. Р. 243-245.

2. Self-focused light propagation in fully saturable medium: experiment / M.L. Dowell, R.C. Hart, A. Gallagher, J. Cooper // Physics Review Application. 1996. Vol. 53. № 3. Р. 1775-1781.

3. Numerical studies of beam and pulse propagation in lasers and nonlinear media: transverse pattern dynamics and nonparaxial effects / L.A. Melnikov, V.L. Derbv, I.V. Veshneva, A.I. Konukhov // Computers Mathematics Application. 1997. Vol. 34. № 7/8. P. 881-909.

4. Динамическая самофокусировка гауссова светового пучка при насыщении неоднородно-уширенной линии поглощения / Е.Н. Базаров, Г. А. Герасимов, В.П. Губин и др. // Квантовая электроника. 1990. Т. 17. № 2. C. 207-210.

5. Пластун И.Л. Численное моделирование резонансного самовоздействия лазерного сигнала, модулированного по частоте / И. Л. Пластун, В. Л. Дербов, А.В. Трофимов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2008. № 3(35). Вып. 2. C. 11-18.

6. Transient Phenomena and Time-Dependent Resonance Self-Action in Phase-Modulated Laser Beams / V.L. Derbov, I.L. Plastun, V.V. Serov, A.V. Trofimov // Proceedings of 9th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON 2007). Rome, Italy, 2007. Vol. 1. P. 212-216.

7. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики / И.Р. Шен. М.: Наука, 1989. 560 с.

Пластун Инна Львовна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета

Plastun Inna Lvovna -

Associate Professor of the Department of «Software and Automated Systems» of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 11.12.09, принята к опубликованию 30.06.10