Проблема определения предельной продолжительности урегулирования при оценке резервов произошедших, но незаявленных убытков

Проблема определения предельной продолжительности урегулирования при оценке резервов произошедших, но незаявленных убытков*

Determining Maximum Duration of Insurance Settlement Claims: Estimating the Reserves Incurred but Not Reported (IBNR) Value

> <

УДК 368.02

Сихов Мирбулат Бахытжанович

исполняющий обязанности профессора Казахского национального университета им. аль-Фараби (г Алматы), доктор физико-математических наук, доцент 050038, Республика Казахстан, г Алматы, пр. аль-Фараби, д. 71

Sikhov Mirbulat Bahytzhanovich

al-Farabi Kazakh National University al'-Farabi Ave 71, Almaty, 050038, Republic of Kazakhstan

Пак Евгения Николаевна

стажер-исследователь Казахского национального университета им. аль-Фараби

050038, Республика Казахстан, г. Алматы, пр. аль-Фараби, д. 71

Pak Evgeniya Nikolaevna

al-Farabi Kazakh National University

al'-Farabi Ave 71, Almaty, 050038, Republic of Kazakhstan

Статья посвящена важной проблеме оценки резервов произошедших, но незаявленных убытков — выбору предельной продолжительности урегулирования. Неправильный выбор данного параметра сильно искажает оценки резерва. Подобное искажение не только вызывает технические сложности, но и ухудшает финансовую устойчивость страховой организации. В статье предлагается разделить процесс оценки на два этапа: сначала провести оценку для типичного периода стандартным методом, а потом рассчитать поправку, связанную с возможными нарушениями типичного периода. Тогда основной алгоритм оценивания игнорирует небольшой «хвост» последовательности развития убытков, а соответствующие дополнительные поправки позволяют его учесть.

The article covers the challenges associated with determining the maximum duration of insurance settlement claims; the latter are often limited by the reserves incurred but not reported (IBNR). At this stage, the paper adds that the incorrect IBNR selection would greatly distort the estimated settlement provision. This distortion, the study says, would not only cause technical problems; it would affect the insurance company's financial stability. Subsequently, the document refocuses on the insurance-tied evaluation process that is divided into two stages: assessing a typical period by the standard method; and calculating the corrections related to possible 'violations'

* Статья написана в рамках научного исследования по гранту «Экономико-математическое моделирование системы оценки страховых рисков» Министерства образования и науки Республики Казахстан.

Кудрявцев Андрей Алексеевич

доцент Санкт-Петербургского государственного университета, доктор экономических наук 191123, Санкт-Петербург, ул. Чайковского,

д. 62

Kudryavtsev Andrey Alekseevich

St. Petersburg State University

Chaykovskogo Str. 62, St. Petersburg, 191123, Russian Federation

of that period. Finally, the commentary unveils the main settlement-estimation algorithm, ignoring the sequential losses' 'tail' (claims made prior to policy's expiration or cancellation) and instead taking into account the consequential policy clauses.

Ключевые слова: оценка РПНУ, предельная продолжительность урегулирования, коэффициенты урегулирования убытков, модель Мака, аппроксимация

Keywords: IBNR estimate, maximum duration of settlement, claims' coefficients settlement, approximation, Maka model

Введение

Принятие во многих странах мира новой концепции финансового надзора и регулирования обуславливает необходимость обоснования связанных с ней страховых операций. Технико-экономическое обоснование параметров страховых договоров (премии, резервы и т. п.) и анализ финансовой устойчивости страховых операций в целом базируются на необходимости прогнозирования размера ущерба (страховых выплат). Результатом прогнозирования являются важные, с точки зрения принятия управленческих решений, характеристики распределения случайной величины будущего ущерба или подходящие меры страхового риска. Постановка новых задач управления и надзора на страховых рынках, связанных, в частности, с внедрением новой системы Европейского союза Solvency II, лишь расширяет сферу применения экономико-математических актуарных моделей, усиливая потребность в разработке соответствующего инструментария. Одним из условий его создания является более тесная увязка технико-экономических и финансовых аспектов построения актуарных моделей, что предъявляет более высокие требования к точности прогнозирования и к степени учета зависимостей.

Одной из ключевых проблем управления страховой организацией является оценка страховых резервов. Последние, с одной стороны, должны быть тесно связаны со страховым риском и с оценкой будущих выплат.

Типичная структура треугольника развития убытков

> <

Период наступления убытков

0 1 n — 1 n

0 S

1 S

n - 1 S

n S

С другой стороны, они являются важными элементами финансовой отчетности, влияя на финансовую устойчивость. Поэтому изучение особенностей определения размеров резервов является не чисто технической проблемой, а играет ключевую роль в научном обосновании управленческих решений в данной области.

Для компании, занимающейся иными, чем страхование жизни, видами страхования, речь идет прежде всего о резервах произошедших, но незаявленных убытков (РПНУ). Но при теоретическом построении и практическом использовании соответствующих методов необходимо решить ряд проблем [1]. Одной из них является выбор предельной продолжительности урегулирования. Эта величина играет важную роль при оценивании резервов, так что ошибки при ее выборе влияют на величину РПНУ, а значит, и на финансовую устойчивость страховой организации.

Мы предлагаем метод решения данной проблемы, заключающийся в том, что наряду с выбором типичного значения предельной продолжительности урегулирования на основе прошлой статистики по страховому портфелю для использования стандартных алгоритмов оценки признается необходимость внесения дополнительных поправок, связанных с возможным нарушением данной величины по отдельным договорам. Также предложен метод определения подобных поправок.

Основные идеи оценки РПНУ

Практически все методы оценки РПНУ базируются на предположении о наличии закономерности развития убытков (страховых выплат). Для этого данные об оплаченных на отчетную дату убытках группируются по периодам наступления этих убытков и нарастающим итогом по периодам оплаты (развития) убытков (см. табл. 1) [Там же].

В табл.1 величина n представляет собой максимальную (предельную) продолжительность урегулирования убытков. Предполагается, что она одинакова для всех групп, выделенных по периодам их наступления.

Таким образом, формируется так называемый треугольник развития убытков, так что соответствующие методы часто называют методами треугольника (run off triangles). Задача состоит в оценке будущих выплат, которые должны присутствовать в «недостающем» нижнем треугольнике. Именно они являются основой оценки РПНУ как прогноза будущих страховых выплат по соответствующим страховым случаям.

Иными словами, задача оценки РПНУ сводится, с технической точки зрения, к изучению закономерностей изменения данных по строкам и использованию соответствующих закономерностей для прогноза значений в последнем столбце. Фактически методы определения размера РПНУ отличаются различными

способами описания и оценки подобной закономерности на основе разных наборов предпосылок.

Чаще всего указанная закономерность описывается так называемыми коэффициентами развития убытков:

п-к -1

X в

g (k) =

Ё S

i=0

= 0,1,..., n-1,

используемыми для прогнозирования [2]. В силу того, что данные об оплаченных убытках представлены нарастающим итогом, значения коэффициентов g(к) больше 1.

Возможны и другие подходы, например, параметрическое описание рассматриваемой закономерности. В частности, последовательность коэффициентов g(k) иногда описывается формулой:

g(k) = 1 + ae

bk

(1

где а > 0, Ь < 0.

Если говорить более точно, то РПНУ представляет собой сумму значений

Ri = S(i,n)- S((,n - i) = = S (i, n - i/ÎQ g(k)- 1

\k=n-i

i = 0, 1, ..., n,

где в(,п) — оценка из последнего столбца, так что совокупный резерв равен

я = .

¡=1

В силу того, что Я — статистическая оценка, встает вопрос о ее точности, которая характеризуется, в частности, величиной среднеквадратической ошибки.

Согласно формуле Мака [3] величина среднеквадратической ошибки совокупного резерва Я при условии, что известны значения из верхнего треугольника

в(0, 0), ..., в(0, п), ..., в(п, 0), определяется как:

МвЕ(Я) = Я[Я|в(0, 0),..., в(0, п),..., в(п, 0)] + + (Я - Е[Я|в(0, 0),..., в(0, п),..., в(п, 0)])2 =

=Ё

i=1

n-1 a2 /g2

MSE

\j=i+1

k=n-i

Ё S

i=0

m=0

где

П-k-1

<k = X S

s

S ((, k) = 0, ..., n — 2;

6%-i = min{p4-21on-з, оП^ оП-3}

1

MSE(Ri)= S2 (i,n) X

n-1 ¿2

k=n-i

f2

S

X S

j=0 ,

Выбор предельной продолжительности урегулирования

Предельная продолжительность урегулирования n играет ключевую роль в методах оценки РПНУ и определения точности последних. В частности, при изменении n значение среднеквадратической ошибки искажается.

Тем не менее на основе прошлой статистики достаточно сложно определить данное значение, так как в будущем всегда возможно неожиданное затягивание процесса принятия решения о страховых выплатах в связи с различными обстоятельствами (исключительная сложность страхового случая, требующая дополнительной экспертизы и сбора документов, судебные разбирательства и т. п.). Более того, продолжительность урегулирования страховых случаев, очевидно, не является чисто техническим параметром, а представляет собой важный аспект управления страховой организацией.

В Российской Федерации принято завышать данный параметр, так что несколько последних значений g(k), как правило, равны 1. К сожалению, это приводит и к техническим ошибкам (искажение оценок), и к управленческим сложностям, так как ориентирует сотрудников страховых компаний на затягивание процесса принятия решений. Кроме того, такой подход противоречит мировому опыту. В частности, на развитых страховых рынках принято строить прогнозы на основе «наилучших оценок» (best estimates), что означает особое внимание к точности используемых статистических оценок.

Отсюда возникает вопрос о выборе предельной продолжительности урегулирования и оценке связанных с ним поправок. Решение может состоять в том, чтобы выбирать в качестве n значения, типичные с точки зрения прошлой статистики, но вносить поправки, обусловленные возможным нарушением указанных сроков,

которые могут происходить с небольшой вероятностью. Фактически речь идет о том, чтобы разделить процесс оценки на два этапа: сначала провести оценку для типичного периода стандартным методом, а потом рассчитать поправку, связанную с возможными нарушениями типичного периода. Тогда основной алгоритм оценивания игнорирует небольшой «хвост» последовательности развития убытков, а соответствующие дополнительные поправки позволяют его учесть.

Мы предлагаем следующий алгоритм оценки поправок для «хвоста» последовательности развития убытков, которые необходимо рассчитывать дополнительно к оценкам по стандартному методу (например, методу цепной лестницы).

Допустим, что для значений k > n коэффициенты развития убытков g(k) уменьшаются экспоненциально, т. е. в соответствии с равенством (1). Логарифмируя обе части этого равенства, получим ln(g(k) - 1) = lna + bk.

С помощью линейной регрессии по значениям g(k), k = 0, 1, ..., n - 1, находим коэффициенты и b.

Далее рассчитываем коэффициенты развития убытков g(k) для каждого k > n по формуле (1). Для учета очень продолжительных случаев целесообразно рассмотреть несколько десятков периодов (например, 50).

Определяем ожидаемые окончательные накопленные убытки с учетом «хвоста» как Si = S(i, п)Пg(k), i = 0, 1, ..., n. k>n

Резервы убытков для каждого периода их возникновения с учетом «хвоста» определяются следующим образом: Ri = Si - S(i, n - i), i_= 0, 1, ..., n.

Совокупный резерв убытков R с учетом «хвоста» представляет собой сумму резервов убытков с учетом фактора хвоста по всем периодам, т. е.

R = X Ri

Данные для практического примера

Год

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 58 046 127 970 478 598 1 027 692 1 360 489 1 607 310 1 819 179 1 906 852 1 950 105

1 24 492 141 767 984 288 2 142 656 2 961 978 3 483 940 3 904 808 4 215 760

2 32 848 274 682 1 522 637 3 203 427 4 445 927 5 058 781 5 342 585

3 21 439 529 826 2 200 301 5 000 019 6 460 112 6 853 904

4 40 397 763 394 2 920 745 4 989 572 5 448 563

5 90 748 951 994 4 210 640 5 406 482

6 62 096 868 480 1 954 797

7 24 983 284 441

8 18 121

Среднеквадратическая ошибка новой оценки определяется как

ЫБЕ (И) = ^ЫБЕ (И).

R

Пример практических расчетов

В табл.2 приведены данные для оценки резерва РПНУ на основе реальных данных одной из крупных страховых организаций Казахстана по одному из видов страхования с длительными сроками урегулирования. Суммы указаны в тенге. Расчеты будут проводиться по модели Мака с учетом предложенных поправок.

Таблица 2

i=1

Коэффициенты развития убытков и их характеристики

Показатель Накопленные оплаченные убытки по периодам

0 1 2 3 4 5 6 7

g(l) 11,10425 3,90147 1,76743 1,26362 1,11659 1,09031 1,06963 1,02268

¿l 1 787 477 786 374 392 352 58 602 12 751 5966 1225 252

ol/g2 (l) 14 496 51 662 125 600 36 701 10 227 5019 1071 241

сг

> Таблица 4

^ Оценки РПНУ

Год Окончательные накопленные убытки Резервы произошедших, но незаявленных убытков

без учета «хвоста», S(i, n) с учетом «хвоста», Si без учета «хвоста», Ri с учетом «хвоста», Ri

0 1 950 105 1 978 229 - 28 124

1 4 311 386 4 373 563 95 626 157 803

2 5 844 200 5 928 483 501 615 585 898

3 8 174 482 8 292 371 1 320 578 1 438 467

4 7 255 984 7 360 627 1 807 421 1 912 064

5 9 097 990 9 229 198 3 691 508 3 822 716

6 5 814 005 5 897 853 3 859 208 3 943 056

7 3 300 607 3 348 208 3 016 166 3 063 767

8 2 334 926 2 368 600 2 316 805 2 350 479

Итого 48 083 686 48 777 131 16 608 928 17 302 373

Согласно представленным ранее формулам получим коэффициенты развития убытков и их характеристики, необходимые для дальнейших расчетов (табл. 3).

Используя предположение об экспоненциальном уменьшении факторов развития убытков в соответствии с формулой (1), с помощью линейной регрессии по значениям g(k) находим коэффициенты а = 5,4981 и Ь = -0,8164. Эти коэффициенты значимы, а регрессионное уравнение в целом статистически достоверно.

Далее рассчитываем коэффициенты развития убытков g(k) для каждого & > 8 по формуле (1) и находим поправку к оценке предельного ущерба:

£ g (&)= 1,0144.

&>8

Иными словами, учет «хвоста» урегулирования увеличивает оценку окончательных накопленных убытков (совокупных размеров страховых выплат) примерно на 1,45% по сравнению с базовой методикой. В силу того, что уже урегулированные убытки не изменяются, влияние на размер РПНУ будет еще сильнее.

Результаты расчета РПНУ с учетом поправок на наличие страховых случаев с очень продолжительными периодами урегулирования по предложенной методике показаны в табл. 4.

В соответствии с предложенной методикой учет возможных страховых случаев с очень длительными сроками урегулирования повышает РПНУ на 4,2%.

Заключение

Оценка РПНУ порождает ряд технических проблем, влияющих на обоснованность процесса принятия управленческих решений в страховой организации и на ее финансовую устойчивость. Одна из них заключается в выборе предельной продолжительности урегулирования убытков (признания и организации страховых выплат).

На практике эта проблема часто игнорируется, что может привести к искажениям в оценках. Принятый в России метод выбора не является наилучшим с точки зрения точности получаемой оценки.

Мы предлагаем разделить процесс оценки на два этапа: сначала провести оценку для типичного периода стандартным методом, а потом рассчитать поправку, связанную с возможными нарушениями типичного периода. Тогда основной алгоритм оценивания игнорирует небольшой «хвост» последовательности развития убытков, а соответствующие дополнительные поправки позволяют его учесть.

Предложенный метод оценки подобных поправок достаточно прост и основан на параметрической аппроксимации «хвоста» развития убытков. Он позволяет найти подходящий компромисс между простотой и точностью оценки.

Все теоретические выводы подтверждаются расчетами, проведенными на основе реальных данных.

Литература

1. Wuthrich M., Merz M. Stochastic claims reserving methods in insurance. Chichester, UK: Wiley, 2008. 424 p.

2. Benedickt V. Estimating incurred claims // ASTIN Bulletin. 1969. Vol. 5, N. 2. P. 210-212.

3. Mack T. Distribution-free calculation of the standard error of chain-ladder reserve estimates // ASTIN bulletin. 1993. Vol. 23, N. 2. P. 213-225.

References

1. Wuthrich M. V., Merz M. Stochastic claims reserving methods in insurance. Chichester, Wiley Publ., 2008. 424 p. (The Wiley Finance Series).

2. Benedickt V. Estimating incurred claims. ASTIN Bulletin, 1969, vol. 5, no. 2, pp. 210-212.

3. Mack T. Distribution-free calculation of the standard error of chain-ladder reserve estimates. ASTIN bulletin, 1993, vol. 23, no. 2, pp. 213-225.