Быстрые преобразования Фурье в гиперкомплексных алгебрах с мультипликативной группой ортов

— ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И УПРАВЛЕНИЕ /

УДК 621.3

БЫСТРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБРАХ

С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ГРУППОЙ ОРТОВ

К. Ю. Гагарин,

канд. техн. наук, докторант

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Представлены способы построения алгоритмов быстрого преобразования Фурье в гиперкомп-лексных алгебрах с мультипликативной группой мнимых ортов, являющихся расширениями поля

рациональных чисел.

In this paper we present a methods of fast Fourier transform algorithmic design in hypercomplex algebras with multiplicative groups of imaginary orts. These orts are an extension of rational quantities field.

Введение

В работе [1] был предложен способ построения гиперкомплексных систем на основе циклической мультипликативной группы, которую образуют мнимые орты. Таблица умножений мнимых ортов в таких системах задается правилами умножения элементов циклической мультипликативной группы.

Построенные таким образом гиперкомплексные системы следует рассматривать как обобщения поля комплексных чисел, где мнимая единица является образующим элементом мультипликативной циклической группы порядка четыре.

В работах [2, 3] были рассмотрены быстрые преобразования Фурье (БПФ) в гиперкомплексных системах с мультипликативной группой ортов, являющихся расширениями поля рациональных чисел. Там же была отмечена взаимосвязь гиперкомплексных БПФ с полиномиальными преобразованиями Нуссбаумера.

В настоящей публикации представлены результаты дальнейших исследований по синтезу быстрых гиперкомплексных преобразований Фурье.

Гиперкомплексные системы в расширениях поля рациональных чисел

В работе [4] показано, что всякая гиперкомплек-сная система задается таблицей умножения мнимых ортов. При этом заданные правила умножения ортов друг на друга определяют многие характерные свойства той или иной системы. Наиболее известной и часто используемой является четырехортовая алгебра кватернионов Гамильтона, таблица умножений для которой задана в виде

i j к

/ -1 к -j

j -к -1 i

к j -/ -1

Из таблицы следует некоммутативность операций умножения мнимых ортов: /у ф ji, ik ф ki, kj ф jk.

Характерной особенностью данной алгебры является то, что для всякого кватерниона

а =а0 + a1 i + a2j + a3k

его норма, определяемая в виде

\а\ = + а? + а§ + а|,

есть евклидова норма. Через данные нормы алгебра кватернионов Гамильтона обобщается с алгеброй поля комплексных чисел.

Для гиперкомплексных систем с четырьмя мнимыми ортами, образующими мультипликативную циклическую группу

G8 = {1,u /с,-1,-у, -/, -к},

где j - таблица умножения ортов может быть представлена в виде

i j к

i -1 к -j

j к i -1

к -j -1 -/

Следует заметить, что количество различных гиперкомплексных систем, построенных на основе

той или иной циклической мультипликативной группы ортов, не ограничено, и каждая такая система может рассматриваться либо как расширение поля рациональных чисел, либо как расширение поля вещественных чисел. В первом случае построенная таким образом гиперкомплексная система образует в расширении поля рациональных чисел также поле, поскольку в полиномиальном представлении данное расширение образовано по модулю неприводимого в поле рациональных чисел многочлена Цк)= хп+1. Основанием для создания таких гипер-комплексных систем служит возможность получения для них БПФ, подобных полю комплексных чисел, где, как известно, матрица дискретного преобразования Фурье (ДПФ) представлена через степени корней акы многочлена хы - 1, образующих циклическую мультипликативную группу порядка /V:

вд/ = {1, ад/, а$ 1|.

Аналогичным образом строятся матрицы ДПФ в полях Галуа, в том числе в простых полях Галуа.

Быстрые гиперкомплексные преобразования Фурье

по основанию два

Рассмотрим математические модели БГПФ по основанию два в у-ортовых гиперкомплексных системах, являющихся расширениями поля рациональных чисел, где задана циклическая мультипликативная группа

^2\/ = ;2> ••> /у-1> > _/1.

Тогда матрицу ГПФ можно записать в виде

где N = 2\ = 2П, <хн = I, т = О, N -1.

Для V = 4 в соответствии с таблицей умножения ортов имеем матрицу Я8:

1 1 1 1 1 1 1^1

У к -1 -У -/ -/с

/ -1 -/ 1 / -1 -/

к -/ У -1 -к / -У

-1 1 -1 1 -1 1 -1

-І -к -1 У -/ к

-і -1 / 1 -/ -1 і

Т <3 II -у -1 к / і)

Матрицу обратного ДПФ можно определить по аналогии с матрицей комплексного ДПФ, т. е. в виде транспонированной гиперкомплексно-сопряженной матрицы

(*?) = =

(Л 1 1 1 1 1 1

1 -к -/ -У -1 к / У

1 -/ -1 / 1 -/ -1 /

1 -у / -к У -/ к

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

1 к -/ -У -1 -Я / -У

1 / -1 -/ 1 / -1 -/

I1 ' / /с -1 -У -/ -/с /

В более общем случае матрицу обратного ГПФ можно записать в виде

где JN=^  - оператор кронекеровской

(прямой) суммы; 1М - матрица инверсной перестановки.

Выполнив в матрице Г8 четно-нечетные перестановки строк, можно получить матрично-блочную рекурсивную форму

Гя = /я

^4 ^4

РА -Р4Ц4

/т

где Г4 - матрица комплексного ДПФ Рд = |/

I, т = 0,3; /' = л/^1; Д* = сііад{1, у, /', /с}; матрица четно-нечетной перестановки.

В общем виде матрично-блочную рекурсивную форму для матрицы можно записать

Рд/ — іЛ

^N/2 ^N/2

Р|У/2^Л//2 -Г^/2°Л//2

где Од//2 - сііад{і, ¡ь /2,/д//2-і}-

На основе матрично-блочной рекурсивной формы (4) для матриц Гы и Г/^1 можно построить факторизованные формы, соответствующие быстрым алгоритмам. Например, для N = 2п, матрицу Рд, можно представить в факторизованной форме

х сііад

Гд, = Л/СІіад

*2

о2 -й>

1 1

1 -1

х... х

см Ы/2

°Л//2 -£>N¡2

где Од//2 = сНад{1, /, /2,..., /д//2—1}> ^2 = ^1ад{1, /}, ды — матрица двоично-инверсной перестановки.

Факторизованная форма (5) соответствует БПФ по основанию два с прореживанием по частоте. Посредством ее транспонирования легко получается БПФ с прореживанием по времени

ГЛ, = К, =

х сііад

1Ы/2 °Л//2

1Ы/2 ~&Ы/2

х... х

¡2 02

¡2

сііад

1 1

1 -1

Jм

'ы-

со

X 1*

О — т- О

см

О)

го

ъ

Векторный граф двумерного псевдогнездового алгоритма ГПФ

Заметим, что в матрично-факторизованных формах (4) и (5) блочная матрица

/л ІП

Оп -Оп

понированная форма

1п оп

1п -Оп

и ее транс-

при реализации

БПФ должны быть пpeдcíaвлeны соответственно со-

1п 0

0 Оп

>п 1п

1п -1п

'п ) Оп 0

и -’п) 1° Оп

множителями

Характерной особенностью алгоритмов гипер-комплексных БПФ (ГБПФ) является отсутствие в диагональных матрицах Ом нетривиальных весовых множителей, но при этом получаемые коэффициенты преобразования имеют гиперкомплексную (полиномиальную) форму. Учитывая то, что каждая мнимая единица представлена как ¡к = акы, где а.ы - корень многочлена хы/2 +1, можно легко выполнить переход от коэффициентов ГБПФ к коэффициентам комплексного БПФ (КБПФ). Данную взаимосвязь коэффициентов ГБПФ и КБПФ можно использовать для конвейеризации вычислений КБПФ в задачах спектрального анализа, фильтрации и сжатия цифровых сигналов. Для этого необходимо в одной фазе конвейера реализовать арифметические операции сложения-вычитания, соответствующие алгоритму ГБПФ, а во второй фазе реализовать арифметические операции (преимущественно умножения), связанные с переходом от коэффициентов ГБПФ к коэффициентам БПФ. Учитывая, что операций сложений-вычитаний много больше, чем умножений, каждую из фаз конвейера можно реализовать на элементной базе, быстродействие которой наиболее соответствует типу и количеству выполняемых арифметических операций.

В случае обработки вещественных или комплексных последовательностей отсчетов сигнала полученные коэффициенты гиперкомплексных БПФ будут сопряженно взаимосвязаны. Такие взаимосвязи хорошо известны для коэффициентов ДПФ в расширениях полей Галуа, где они определяются через корни минимальных многочленов.

Для рассматриваемых расширений поля рациональных чисел сопряженность гиперкомплексных коэффициентов определяется неприводимыми многочленами, являющимися делителями многочленах^ 1, где /V-длина преобразования. При этом по своей симметрии коэффициенты объединяются по мультипликативным подгруппам ортов. Например, для Л/= 2п симметричными являются: х(0), х(Л//2) - вещественные; х(к) - для четных к- симметрия по мнимым единицам, образующим всевозможные подгруппы в группе 6н = {у'2, ¡1 у^“1}; х(к) - для

нечетных к - симметрия по всем ортам {/1> ¡2' /N/2-1 }•

Заметим, что здесь под симметрией понимается наличие одинаковой вещественной части и одинаковых коэффициентов при мнимых единицах.

Примерно такими же соотношениями может быть представлена сопряженность коэффициентов двумерного гиперкомплексного преобразования

для двумерных вещественных входных данных. Отличие состоит в том, что соотношения сопряженности записываются различным образом для четных и нечетных строк и столбцов, а также для диагоналей матрицы коэффициентов.

Быстрые гиперкомплексные преобразования Фурье с длиной, факторизованной взаимно простыми числами

Поскольку длина ГПФ N связана с количеством мнимых ортов через порядок мультипликативной группы, которая задана ее образующим элементом ам, то первоначально необходимо рассмотреть такие гиперкомплексные системы, в которых количество мнимых единиц (с учетом знака) есть число либо простое, либо разложимое на взаимно-про-стые числа. Согласно результатом работы [5], всякую гиперкомплексную алгебру Л(у> можно задать в виде расширения поля рациональных чисел через круговой многочлен Сд/(х) 1x^-1 .

Пусть N = 5 и С5(х) =х4 + х3 + х2 + х+ 1. Тогда можно построить четырехортовую алгебру Д(4) с таблицей умножения ортов

*2 *3

i^ 12 *3

І?. 'з 1

'з -/3-/г-/1-1 1 'і

1 1 1 1 '

'1 І2 'з ¡А

;2 и '1 'з

>3 '1 и >2

и ’з '2 V

Матрица гиперкомплексного ДПФ имеет вид

где /4 = -/'з - ¡2 — /1 — 1 -

После перестановки строк и столбцов на основе соответствия у'-> <2 у >5, у = 1, 4 получим форму представления матрицы Г5 через циркулянт

Г5 =

На основе матрицы р5 может быть построен алгоритм БПФ через быструю четырехточечную свертку. Поскольку элементами матрицы р5 являются мнимые орты и единицы, то в алгоритмах таких БПФ отсутствует умножение на нетривиальные множители.

Рассмотрим теперь случай факторизации величины N взаимно-простыми множителями. Например, пусть N = 2-3 = 6. Выбирая С6(х) = х2 - х+1, имеем матрицу ГПФ

(Л 1 1 1 Г

1 /4 'з 'і 12

1 '3 '1 >2 'І А

1 '1 >2 и 'з

[і /2 и <3 ч

/ /-1 -1 / -1 - / 1 -1 1-1 - / / -1 1 - /' /-1 1 — / 1 -і

— і -1 /-1 і

1-і -/ -1 і -1

С целью получения БПФ с факторизацией N = = Л/,Л/2, (Мь Л/2) = 1, для N-1 ф Л/2, к матрице могут быть применены перестановки строк и столбцов на основе китайской теоремы об остатках, которые в нашем примере могут быть выражены следующими соответствиями, если принять А/1 = 2, Л/2 = 3:

О—>(0,0), 1 —>( 1,1), 2—»(0,2), 3—>(1,0), 4—>(0,1),

5—>(1,2).

После перестановок получим матрицу

Гб =

(л 1 1 1 1 1 х

1 -/' /-1 1 -/' і -1

1 І - 1 -/' 1 / -1 -/

1 1 1 1 -1 -1

1 -І / -1 1 і 1 - /

1 / - 1 -/ 1 1 - і і

V

Ґ1 1 1 ^

с _ 1 - -/ і-1

1 -1

°1 ('з 'з 1

1° Ь) ь №

Из формы (7) получим алгоритм ГБПФ длины Л/ = 6, который можно записать в матрично-блочном виде

Гб

Оз 0

0 Оз

10

(11) 0 /2 0

0 (11) 0 /2

0

Г1 11

І1 ч

где Оэ = сМад {1, 1/2, 1/2-/}.

Факторизованная форма (8) представляет гнездовой алгоритм БПФ в поле комплексных рациональных чисел, когда мнимая единица определяется из многочлена Цх) = х2 - х + 1.

В общем случае величина N может быть факторизована более чем двумя взаимно-простыми множителями. Для построения алгоритмов ГБПФ типа (8) необходимо воспользоваться известным выражением [5] для определения круговых многочленов

'трк ~

'тр\

СМ)

Таким образом, учитывая, что

Ср^) — ?Р~1 +^~2+...+1,

где р - простое число, с помощью выражения (9) легко определяются круговые многочлены для любых практически используемых значений величины N.

Быстрые алгоритмы многомерных ГПФ и сверток

По аналогии с комплексными БПФ для двумерных данных можно использовать построчно-столбцовый алгоритм

[Хм] = Гд, Ы гы, где [Хд/] и [хы] - матрицы соответственно коэффициентов преобразования и отсчетов исходного двумерного сигнала.

Для многомерных данных наиболее часто используются быстрые алгоритмы на основе кронеке-ровской факторизации, в форме которой может представлена матрица одномерного эквивалентного преобразования

= Г

[г]

где [г] - обозначение кронекеровской степени.

Подставляя в выражение (10) одну из факторизованных форм матрицы Гп, можно получить быстрый алгоритм многомерного ГПФ, в том числе псев-догнездовой алгоритм ГПФ, который имеет по сравнению с другими алгоритмами меньшее количество умножений на мнимые единицы. Заметим, что сокращение количества используемых мнимых единиц позволит упростить управление в вычислительном процессе.

В общем виде матрицу эквивалентно-одномерного ГПФ по основанию два и с прореживанием по частоте можно записать в виде

Ґ-1

О"

У=о

;

где Оп = Ь-і-

(/2у0О2У); 1(п = /2гу1

і2і І2і

І2і -І2і

(11;

і

= 1од2п - количество итераций в быстром алгоритме.

Например, для л = 8, t = 3 и г = 2 факторизованная форма принимает следующий вид:

64

где д(8 = /23

7

21 ‘

/п

-І-1

І2і і2і )

!2і -'ті )

Из графа, представленного на рисунке, следует, что для двумерного 8x8 ГПФ требуется 328 сложений-вычитаний и 46 умножений на мнимые единицы.

Рассмотрим, каким образом можно использовать алгоритмы БГПФ для вычисления двумерных сверток и корреляций.

Пусть заданы две матрицы цифровых отсчетов исходных сигналов [хы] и [/7^], свертки которых требуется вычислить. Обычный алгоритм вычисления циклической двумерной свертки можно задать через последовательностную модель

Л/-1 Ы-1

у(к, п) = У У х(т, I) Ь {к - т, п - /}.

т=0 1=0

Для получения быстрого алгоритма воспользуемся векторно-матричной формой представления сверток. Существует выражение для одномерных циклических сверток в виде

^Л/ - ^Л/ •

где - циклическая матрица (циркулянт), заданная последовательностью {/?,}; хы - вектор, соответствующий инвертированной во времени последовательности {х0, хы_ь хы_2, X,}; Ум - вектор, соответ-

ствующий последовательности значений свертки {уп}. Для любой матрицы-циркулянта существует выражение, связывающее его с ДПФ:

где Оы = сНад{о(0, с1ь ..., аы^}\ с1ы = сУ0, с1ь а2, ..., с1ы_и с/ы = Рд//т^. % - образующая строка матрицы

Выражения (12) и (13) можно использовать для вычисления двумерных циклических сверток, если каждую из исходных последовательностей представить эквивалентно-одномерной последовательностью, т. е. матрицам [хы] и [/7М] сопоставить соответственно векторы

V = х0> хл..........хы_,-

НМ2 = Но, нл.....ны_ь

гдеX;- /-я строка матрицы [Хд,]; Н,- /'-я строка матрицы [11 ы].

Тогда выражения (12) и (13) можно записать в следующем виде

5/у2 = ^Гд/1  Гд/1), О/у (Гд/  Рдг),

где Ьд/2 = с!1ад|^о, 0^1,Э/у2-1|; Э = Эо, Эт,Эл/2-1, а = (рм  Рд/)Н^2; 9^2 =>0. у!, •••, ^л/-1 -блоковыйвектор, соответствующий отчетам двумерной свертки; §д/2 - блоковый циркулянт с образующим вектором-строкой /7^2 ;

V = (Х0, Хдг_1, Хд/_2>Х-|) ; X, = ХоХдг_-|,х-| - /-я инвертированная вектор-строка матрицы [Хд,].

Заметим, что Бд, в выражении (12) и Б^2 в выражении (13) - левые циркулянты. Векторно-матричные формы (12) и (13) можно использовать для вычисления периодических корреляций, если добавить оператор £(•) осреднения. С учетом того, что циркулянты должны быть правыми, векторы Х'ы и Х^2 заменяются на Х'ы и Х^2, соответствующие неинвертированным последовательностям {х,} и {X,}, и матрица Ьы2 заменяется на сопряженную матрицу О^г.

Выводы

1. Предложенный способ построения гиперком-плексных алгебр с мультипликативной группой мнимых ортов позволил их обобщить с полем комплексных чисел через дискретное преобразование Фурье.

2. В алгебрах, являющихся расширением поля рациональных чисел, для преобразования Фурье существуют быстрые алгоритмы, аналогичные быстрым алгоритмам преобразования Фурье в поле комплексных чисел.

3. Быстрые преобразования Фурье в гиперкомп-лексных алгебрах с точки зрения реализации обладают рядом особенностей, которые могут быть использованы, например, для конвейеризации вычислений.

В заключение следует отметить, что опубликованные в данной работе результаты были получены при финансовой поддержке Минобразования РФ НИР-грант Т02-03.2-2731.

Литература

1. Гагарин Ю. И. Системы гиперкомплексных чисел с мультипликативной группой ортов // Труды СПбГТУ, серия ВТАРЭ. - № 464. - 1996. - С. 52-54.

2. Гагарин Ю. И., Гагарин К. Ю. Гиперкомплексныебыстрые преобразования Фурье в расширениях поля рациональных чисел //Труды СПбГТУ, серия ВТАРЭ. - № 472. -1998. - С. 77-80.

3. Гагарин К. Ю. Быстрые гиперкомплексные преобразования Фурье в расширениях поля рациональных чисел с длиной преобразования, факторизованной взаимнопростыми множителями // Труды СПбГТУ, серия ВТАРЭ. -№ 480. - 2000. - С. 89-92.

4. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. - М.: Наука, 1973. - 144 с.

5. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов / Под ред. Дж. Н. Макклеллан, Ч. Н. Рейдер. - М.: Радио и связь, 1984. - 264 с.