Исследование динамики нелинейной приборной системы в условиях кинематических периодических возмущений

1

нелинейные колебания

и параметрическая идентификация _механических систем

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПРИБОРНОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

С.Е. Иванов, Г.И. Мельников

Рассматривается математическая модель нелинейной приборной системы. Она имеет вид системы дифференциальных уравнений шестого порядка с периодическими параметрами и содержит нелинейные полиномиальные члены до четвертой степени. Предполагается отсутствие в системе внешних и внутренних резонансов. Применяется метод многочленных преобразований с целью упрощения вида динамических уравнений и выделения существенных констант, определяющих качество движения нелинейной системы.

Метод многочленных преобразований [1] является общим методом исследования нелинейных виброзащитных систем и других периодически нестационарных голономных систем с конечным числом степеней свободы. В результате применения метода многочленных преобразований получаем преобразованную автономную систему с точностью, принятой при выводе динамических уравнений. Полученную систему можно рассматривать как исходную систему, но записанную в новых фазовых переменных с допустимой точностью. Метод многочленных преобразований обеспечивает минимизацию количества постоянных параметров в системе дифференциальных уравнений. Преобразованная система содержит значительно меньшее количество ненулевых коэффициентов, чем исходная. Сокращение количества ненулевых коэффициентов существенно упрощает исследование сложной нелинейной системы. С помощью преобразованных систем упрощается задача исследования переходных и установившихся процессов исходных систем.

Рассмотрим математическую модель нелинейной виброзащитной системы с тремя степенями свободы, с правыми частями в виде многочленов до четвертой степени относительно фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Дифференциальные уравнения движения рассматриваемой виброзащитной системы имеют вид:

4 4

Aq+Bq+Cq = Ygu cos«1 sin

N=1 M=2

где q = [, q2, q3 ] - вектор обобщенных координат системы, A, B, C - матрицы, третьего порядка, / = (//), v = (vjv2v3v4v5v6v7vs) - векторные индексы,

/ = / +/2, H = vi + v2 + ••• + V, gM = [g\,g/ghv=[h\,h2v,h\] -столбцы.

Предполагается, что характеристическое уравнение Det [АЛ2 + BA + C ]= 0 имеет три пары комплексно сопряженных корней Л8 ,Л8 с малыми отрицательными вещественными частями. Положим также, что компоненты вектора нелинейных частей |gS/ <s, |hSv <s малы.

Приведем алгоритм метода многочленных преобразований.

Введем комплексно-сопряженные переменные q0 = exp(«t) и q0 = exp(-«t), Л = i« , тогда можно записать

cos

Систему (1) можно представить в виде системы восьми дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши с фазовым вектором

Х = [ЧоЧоЧ1Ч2Ч3ЧЧ2&3 ]

X = РХ + Я

где постоянная квадратная блочная матрица восьмого порядка имеет вид

0

' Ж 0 0 " " 0 "

Р - 0 0 I , я = 0 , Ж =

0

л-1н - Л~С - А-1 В л-а

н = [0[о -/£01) 0.5(^10 + /^01)],

а = X

+

"=2

X (-/ )'20.5*+"2 КЧ + Чо)п(Чо - ЧоУ2 ч3 ч! ч! ч! ч? Ч:"8

1 42 43

V 1=2

Линейным неособым преобразованием вида

У = ВХ

линейная часть системы (3) приводится к диагональному виду:

У = ЛУ + Я

Х-1у , где Л = Ша^,^,...,^,^].

Затем выполняется преобразование, содержащее многочлены четвертой степени включительно:

уя = + Xа1 ЪV,

I V 1=2

где ау - неизвестные коэффициенты преобразования.

Введенные комплексно-сопряженные переменные не преобразовываются = (£ = 1,2) .

Результатом многочленного преобразования является автономная система:

= + Х ч1 2 1, (£ = 3,...,8),

где ч1 - искомые коэффициенты преобразованной системы.

Особые значения векторного индекса при фиксированном £ находятся как целочисленные неотрицательные решения двух уравнений [1,2]:

ХА 1к -А * 0, X П = 2,3,4.

к=1 к=1

Постоянные ч£ приравниваем к нулю при неособых значениях индексов; при таких значениях вычисляют постоянные а£. И, наоборот, при особых значениях индексов коэффициенты а£ полагают равными нулю и вычисляют ч£ .

В нерезонансном случае, когда собственные частоты колебаний системы и частота вибрации не совпадают и не кратны, находим следующие особые индексы: при ч3 : V = (00100011), V = (00101100), V = (00210000), V = (11100000),

при ч5 : V = (00001011), V = (00002100), V = (00111000), V = (11001000), при ч1 : V = (00000021), V = (00001110), V = (00110010), V = (11000010). В преобразованной системе (1) сделаем замену переменных:

25 = РЕР( 1тА5 +в8)),+1 = р3Ехр(¡^ 1шА5+1 -в8)),£ = 3,5,1; ^ -Ехр(±Иа) (9) В результате получаем дифференциальное уравнение:

=2

Ps = )Ps + ), = Р- М^ 5 = 3,5,7

Л *

¥з = ЕчМ рМ+МРМ+МРУГ8Ехр

М=2

В нерезонансном случае экспонента не входит в систему (10), т.к. её степень равна нулю. Стационарные решения можно найти, приравнивая к нулю правые части системы (10).

Получив решение преобразованной системы (10) и подставив его в формулы замены переменных (9), найдем вектор 2 . Вектор У выражается через вектор Z по формулам многочленной замены (6). Решение системы (1), вектор X, выражается через вектор У по формулам замены, обратной линейной: X = В.

Получим алгоритмические формулы для расчета коэффициентов преобразования и преобразованной системы.

Запишем систему

у- + Л- Е аМ zм + Я-

1М=2

Продифференцируем формулу многочленных преобразований (6), учитывая равенство (7) получим:

у- = Л828 + ЕчМ^ + Е

М=2 М=2 к=1 М=2 к=3 ||=2

Из формул (11) и (12) получим равенство:

ЕчМ^ + Е

М=2 М=2 к=1 М=2 к=3 ||=2

Приравнивая в (13) коэффициенты при одинаковых степенях Z, получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов преобразования и преобразованной системы.

Для записи суммы по векторному индексу в программе использовано представление суммы в следующем виде:

4 4 ¿8 '7 '6 '5 '4 '3 '2

Е Рм1М2М3М4,У5МбМ7М8 = ЕЕЕЕЕЕ ЕЕ р ,'2 '1,'3 '2,'4 '3,'5 '4,'б '5,'7 'б,'8 '7 ^ '

|М=2 '8 = 217 = 0 '6 = 015 = 0 '4 = 0 г3 = 0 '2 = 0 '1 = 0

На базе символьных преобразований многочленов была разработана программа для исследования методом многочленных преобразований нелинейных виброзащитных систем с тремя степенями свободы вида (1) и выполнены расчеты при заданных числовых значениях констант [3].

Рассмотрим виброзащитную систему с тремя степенями свободы с нелинейными правыми частями в виде многочлена третей степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами [4]. Система виброзащиты состоит из объекта виброзащиты массой т1 установленного на две платформы, находящиеся одна под другой, с массами т2 и т3, нижняя из которых закреплена на вибрирующем основании. Предполагается, что упругие элементы системы имеют вид полинома третей степени кх + 1х2 + рх3,

демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику сх + ёх3. Внешнее гармоническое возмущение воздействует на основание [5]. Для получения уравнений движения виброзащитной системы используем уравнения Лагранжа.

Система уравнений движения виброзащитной системы имеет вид:

mlxl + Cj(Xj - x2) + Xj - x2)3 + Xj - x2) + /j(Xj - x2)2 + P1(x1 - x2)3 = 0, m2x2 + C1(x2 - xj) + d1(x2 - xj)3 + k1(x2 - xj) - l1(x2 - xj)2 + Pl(x2 - xj)3 +

C2

m2x3 + C2(x3 - x2) + d2(x3 - x2)3 + k2(x3 - x2) - l2(x3 - x2)2 + Pl(.x3 - x2)3 +

С(x3 - f) + d3(x3 - f )3 + *3(x3 - f) + /3(x3 - f )2 + P3(x3 - f )3 = 0 где xj, x2, x3 - абсолютные перемещения по отношению к положению равновесия системы. На основание действуют вертикальные колебания:

f

Введем относительное перемещение:

xi = xi - f, x2 = x2 - f, x3 = x3 - f .

Запишем уравнения движения (15) в новых переменных:

mj~j + CJ(~J - ~2) + dJ(~J - ~2)3 + kJ(~J - ~2) + /1(~1 - ~2)2 + Pj(~j - ~2)3 =-mjfÍ m2x2 + C1(~2 - ~1) + d1(~2 - ~1)3 + k1(~2 - ~1) - A(X2 - ~1)2 + Pj(~2 - ^ +

C2

m2x3 + C2(X3 - X2) + d2(X3 - X2) + k2(X3 - X2 ) - l2 (X3 - X2 ) + P2 (X3 - X2 ) +

C3X3 + d3X3 + k3X3 + l3 X3 + P3X3 =-m3&

f

Выполним многочленное преобразование системы (18) согласно схеме. Запишем систему уравнений в матричной форме:

X = RX + P, где X = [exp

Здесь P - нелинейный вектор системы. В результате линейной замены переменных

Y = AX (21) получим систему с линейной диагональной матрицей вида

Y = AY + P.

Выполним многочленную замену переменных:

ys = + X€VSZv ,

I v 1=2

C точностью до членов четвертого порядка получаем автономную дифференциальную систему:

¿3 —

Решение системы записывается в виде: ¿3,4 = Р01 exp(t Re(^3 + q3

100000 ) ± Щ1 +1 Im(A + q3u

100000 ))),

¿5,6 = P02 exp(t Re(A5 + q1 1001000) ± i(^02 + t Im(A5 + q11001000

))),

¿7,8 = P03 eXP(t Re(A7 + q71000010) ± K&03 + t Im(A7 + q71000010)))-

Рассмотрим виброзащитную систему (18) при следующих числовых значениях параметров:

m1 — 1.13, с1 — 0.23, d1 — 0.01, к1 — 1.23, l1 — 0.04, p1 — 0.02, m2 — 3.17, с2 — 0.61, d2 — 0.03, к2 — 3.13, l2 — 0.13, p2 — 0.06, m3 — 8.71, c3 — 1.73, d3 — 0.09, к3 — 9.11, l3 — 0.37, p3 — 0.17 На систему действует внешнее возмущение: с — 2,a — 0.5 .

В этом случае коэффициенты преобразованной системы (24) имеют следующие значения:

ЧШ00000 =-0.086 + 0.011/, 4^00,000 =-0.154 + 0.012/, ч^ю =-0.044 + 0.001/ Решение системы (24) принимает вид 23,4 = Р01 ехр(-0.297Г ±/(6>01 +1.480^)),

^ = Р02 ехр(-0.273^ ± 1(002 + 1.130*)),

г7,8 = р03 ехр(-0.083Г ± /(003 + 0.635Г)).

Решение системы, определяющее установившееся движение имеет вид х1 = -0.035соб(2Г) - 0.470б1п(2^ ),

х2 = -0.113соБ(2Г) - 0.526вт(2Г),

х3 = -0.261соб(2Г ) - 0.612вт(2Г).

Установившейся режим колебаний системы происходит с частотой внешней силы. В результате применения метода многочленных преобразований получено в аналитическом виде решение для приборной механической системы, установленной на вибрирующей платформе посредством амортизаторов с нелинейными характеристиками полиномиального типа, в случае отсутствия внешних и внутренних резонансов [6, 7]. Разработан пакет программ для исследования методом многочленных преобразований нелинейных задач виброзащиты приборных систем. Получены алгоритмические формулы метода многочленных преобразований, удобные для составления программ с использованием символьных вычислений. Определены существенные динамические константы виброзащитной системы, характеризующие переходные процессы и установившиеся режимы колебаний. Полученные результаты проконтролированы численным решением методом Рунге-Кутта. Метод многочленных преобразований позволяет получить достаточно подробные качественные и количественные характеристики вынужденных колебаний систем, исследовать установившиеся режимы колебаний, а также изучать переходные процессы.

Литература

1. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л: Маш., 1975. 198 с.

2. Мельников Г.И. К теории нелинейных колебаний. // Вестник ЛГУ.1964., №1. Вып.1. С.88-98

3. Иванов С.Е. О реализации численно-аналитического метода многочленных преобразований на компьютере. // Современные технологии: Труды молодых ученых ИТМО / Под ред. проф. С.А. Козлова. СПб: СПб ГИТМО(ТУ), 2001. С. 138-141.

4. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти т., т.6, под ред. К.В. Фролова М.: Маш., 1995.. 456 с.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М: Наука, 1981. 568 с.

6. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. М: Маш,1992.-376 с.

7. Фурман Ф. А., Фролов К. В. Прикладная теория виброзащитных систем. М: Маш.,1980. 317 с.