Диссипативные коэффициенты переноса кластеризующегося газа

УДК 536.71:544.012

Б.В. Егоров, Ю.Е. Маркачёв

Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского

Диссипативные коэффициенты переноса кластеризующегося газа

В настоящей работе исследуется влияние простейших кластеров — димеров воды на вязкость и теплопроводность водяного пара при умеренных давлениях (1-25 бар) и температурах (400-1100 К) в рамках квазихимической кластерной модели (КХКМ) газа.

Ключевые слова: молекулярные кластеры, диссипативные коэффициенты переноса, теплоёмкость газа.

При исследовании физических свойств сверхзвукового потока в рабочей части сверхзвуковой аэродинамической трубы [1] было обнаружено, что измеренные значения показателя преломления потока воздуха значительно отличаются от теоретически рассчитанных значений. Дальнейшее исследование свойств потока обнаружило источник расхождений — наличие в потоке гомогенных и гетерогенных кластеров молекул воды, кислорода и азота. Присутствие в потоке кластеров, обладающих кратной мономерам газа массой и повышенной теплоёмкостью, обусловленной наличием большого числа внутренних степеней свободы, с неизбежностью должно оказать влияние на диссипативные коэффициенты переноса кластеризующегося газа — его вязкость и теплопроводность. В настоящей работе исследуется влияние простейших кластеров — димеров воды на вязкость и теплопроводность водяного пара при умеренных давлениях (1-25 бар) и температурах (400-1100 К) в рамках квазихимической кластерной модели (КХКМ) газа [2].

I. Уравнение состояния газа в рамках квазихимической кластерной модели

Статистическая сумма газа Z, состоящего из совокупности мономеров и кластеров разного размера, рассматриваемых в данной работе как идеальный газ [2], позволяет найти статистический аналог свободной энергии Гельмгольца Г, что даёт возможность записать уравнение состоя-

ния газа в виде

Это уравнение оказывается уравнением состояния для смеси идеальных газов и подчиняется закону Дальтона — давление в газе равно сумме парциальных давлений мономеров и кластеров, распределение мольных долей которых вычисляется с использованием квазиравновесной функции распределения кластеров по размерам (по числу мономеров в кластере).

В простейшем случае, когда газ можно представить совокупностью только мономеров и димеров, уравнение состояния (1) записывается в виде

р = рЯоСЛ + Ь)Т,

где / = гл/^1 и / = с21(2^х) — мольномассовые доли мономеров и димеров газа соответственно, с1 и с2 — массовые доли мономеров и димеров соответственно, ^1 — молярная масса мономера. Учитывая закон сохранения массы, зная значение плотности по модели идеального газа, состоящего только из мономеров Рг, и измеренное в эксперименте значение плотности газа ре, из уравнения (2) легко получить предельно возможное значение массовой доли димера в газе:

с2 = 2

Выражение (3) позволяет оценить массовую долю димеров в газе, не прибегая к

сложным квантово-статистическим расчётам, если имеются в наличии экспериментальные значения плотности газа при заданных давлении и температуре, полученные с высокой степенью точности.

II. Коэффициент динамической вязкости паров воды в рамках квазихимической кластерной модели

В КХКМ газ представлен в виде смеси мономеров, димеров, тримеров и т. д. с числовой плотностью Ni,i = 1, 2, 3... На основании квантово-химических расчётов найдены мольные доли кластеров и диссипативные коэффициенты однокомпонентного газа в виде диссипативных коэффициентов для идеальной смеси кластеров. При этом использовались формулы для расчётов коэффициентов вязкости, теплопроводности как мономеров, так и кластеров, полученные в рамках классической теории Энскога-Чепмена по первому при-

ближению [3]. При вычислении коэффициента динамической вязкости мономеров использовалась интерполяционная формула для расчёта вязкости пара воды в приближении идеального газа, рекомендованная в справочнике [4]. Коэффициент динамической вязкости димеров рассчитывался по классической формуле твёрдых сфер с диаметром газокинетического сечения а = 4,963 • 10_1° м, полученным на основе квантово-химического расчёта структуры димера воды. В этом случае приведённый интеграл столкновения равен единице. Суммарный коэффициент вязкости для смеси вычислялся на основании формулы Уилки [5].

На рис. 1 приведены расчёты коэффициента динамической вязкости паров воды в зависимости от температуры при давлении 25 бар. В данном расчёте пары воды рассматривались в виде смеси мономеров и димеров воды. Кривая 1 (пунктир) — расчёт вязкости мономеров воды; кривая

2 — расчёт вязкости димеров воды; кривая

3 — расчёт вязкости паров воды по КХКМ;  — экспериментальные данные [4].

Т, К

Рис. 1. Зависимость коэффициента динамической вязкости паров воды от температуры при давлении 25 бар

III. Коэффициент теплопроводности паров воды в рамках квазихимической кластерной модели

На рис. 2 приведены расчёты коэффициента теплопроводности паров воды в зависимости от температуры при давлении 25 бар. В данном расчёте пары воды рассматривались в виде смеси мономеров и димеров воды. Кривая 1 (пунктир) — рас-

чёт коэффициента теплопроводности мономеров воды; кривая 2 — расчёт коэффи-

кривая 3 — расчёт коэффициента теплопроводности паров воды по КХКМ;  —

500

600

700

800

Т,к

900

1000

1100

Рис. 2. Зависимость коэффициента теплопроводности паров воды от температуры при давлении 25 бар

При вычислении коэффициента теплопроводности мономеров паров воды использовалась интерполяционная формула для расчёта коэффициента теплопроводности пара воды в приближении идеального газа, рекомендованная в справочнике [4]. Коэффициент теплопроводности газа, состоящего из димеров воды, рассчитывался по классической формуле твёрдых сфер с диаметром газокинетического сечения а = 4,963 • 10_1° м. Удельная теплоёмкость при постоянном объёме димеров воды рассчитывалась в приближении ангармонического осциллятора с конечным числом уровней. Суммарный коэффициент теплопроводности для смеси (мономеров и димеров, концентрация димеров рассчитывалась по упрощённой формуле) вычислялся на основании формулы Мей-сона-Саксены [5].

IV. Теплоёмкость газа в рамках квазихимической кластерной модели

На основании полученных ранее выражений для статистических сумм кластеров можно, используя их связь с термодинамическими функциями, получить зависимо-

сти теплоёмкостей кластеров произвольного размера:

а

V

дТ

д 1п Zn дТ

V

Отметим, что колебательная теплоёмкость при постоянном объёме слабосвязанного кластера для модели в ангармоническом приближении или в гармоническом, но с учётом конечного числа колебательных уровней, может превосходить для колебательных мод димера его классический предел. Этот очень важный факт обсуждался в работе [2]. Другой особенностью ангармонических осцилляторов с конечным числом колебательных уровней является стремление колебательной теплоёмкости димера к нулю с ростом температуры.

На рис. 3 приведены зависимости теплоёмкости при постоянном давлении паров воды от температуры при давлениях Р = 1, 10, 25 бар. Расчёты проведены в рамках КХКМ с использованием нормальных частот и энергии диссоциации димера, найденных в [2], в предположении, что пар можно описать смесью мономеров и димеров, концентрация которых рассчитывается по упрощённой формуле (3).

3D О О

1В00 -I---------1-----------1----------1----------1----------1----------1----------1----------

300 400 500 600 700 МО 900 1000 1100

Т,К

Рис. 3. Зависимость Ср паров воды от температуры для давлений Р = 1, 10, 25 бар

V. Выводы

Видно, что при низких температурах расхождение между расчётными и экспериментальными значениями теплоёмкости паров воды значительное, здесь необходимо принимать во внимание кластеры более высоких размеров с учётом функции распределения кластеров по размерам. Тем не менее даже в условиях такой упрощённой модели пара (идеальная смесь мономеров и димеров) в условиях самого высокого (из рассмотренного диапазона) давления 25 бар наблюдается неплохое соответствие рассчитанных и экспериментальных значений диссипативных коэффициентов вязкости и теплопроводности (рис. 1,2). Таким образом, представленная упрощённая методика расчёта диссипативных коэффициентов реального газа в рамках КХКМ оказывается полезной и заслуживающей дальнейшего развития.

Литература

1. Shirinzadeh B., Hillard M.E., Exton R.J. Condensation Effects on Rayleigh Scattering Measurements in a Supersonic Wind Tunnel // AIAA Journal. — 1991. — V. 29, N. 2. — P. 242-246.

2. Артюхин А.С., Егоров Б.В., Забабу-рин Е.А. [и др.]. Кинетика формирования ультралегкой фракции нейтральных и заряженных кластеров в газодинамических потоках летательного аппарата // Химическая физика. — 2004. — Т. 26. — С. 28-46.

3. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир, 1976.

4. Александров А.А., Григорьев Б.А. Таблицы теплофизических свойств воды и водяного пара. — М.: Изд. дом МЭИ, 2006.

5. Соколова И.А. Свойства молекулярного переноса в задачах теплообмена и газовой динамики // Обзор по теплофизическим свойствам веществ. — 1992. — № 2 (94).

Поступила в редакцию 11.02.2009.