Применение теории подобия при проектировании РДТТ

УДК 620.178.32

С.С. Нешев, В.Ф. Молчанов

ОАО «Научно-исследовательский институт полимерных материалов», г. Пермь

А.Ф. Сальников

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РДТТ

«Разработаны критерии подобия (безразмерные комбинации параметров, характеризующих процесс) ракетных двигателей на твердом топливе (РДТТ) в части протекания внутрикамер-ных процессов для применения в первую очередь для подтверждения параметрической надежности двигателя. В предложенных критериях использованы только основные факторы, которые определяют работу двигателя. Множество всех остальных эффектов, влияющих на работоспособность РДТТ, будет определять разброс величин этих критериев от их математического ожидания. Поэтому учет этих факторов производится тоже, но не через значение математического ожидания, а через величину дисперсии соответствующего критерия. Можно уточнить модель путем ввода дополнительных критериев или построения критериальных зависимостей, но это приведет к громоздкости модели и должно решаться только после длительного использования приведенных критериев. Применение предложенных критериев подобия позволит определять параметрическую надежность РДТТ как при проектировании изделия, так и при его отработке, причем отдельно на различных ее этапах. Предложен алгоритм определения параметрической надежности для отрабатываемого двигателя с использованием результатов испытаний двигателя-аналога. Кроме того, показано, что для учета того, что все параметры ВБХ связаны между собой стохастическими зависимостями, при определении параметрической надежности необходимо применение многомерных распределений. Наличие информации об испытаниях аналогичных конструкций дает возможность конструктору принимать более эффективные решения и получать более качественную конструкцию и заряда, и двигателя твердого топлива. Кроме того, применение теории подобия позволит сократить количество необходимых для подтверждения параметрической надежности огневых стендовых испытаний двигателя.

Ключевые слова: ракетный двигатель, заряд, теория подобия, критерии подобия, внут-рибаллистические характеристики, надежность, многомерные распределения, проектирование, двигатель-аналог, огневые стендовые испытания.

S.S. Neshev, V.F. Molchanov

Research Institute of Polymeric Materials OJSC, Perm

A.F. Salnikov

Perm National Research Polytechnic University

USING THE SIMILARITY THEORY FOR SOLID ROCKET MOTORS DESIGN

Similarity criterions (dimensionless combinations of the parameters characterizing process) for confirmation of parametrical reliability of the solid propellant rocket motor has been developed. In the offered criteria only major factors which define operation of the engine are used. All other effects influencing on operability of solid propellant rocket motor, define variances of these criteria. Therefore they are accounted through dispersion of the corresponding criterion. It is possible to specify model by input of additional criteria or creation of criterion dependences, but it will result to complication of model which can be solved after long application of the given criteria. Application of the offered criteria of similarity will allow to define parametrical reliability of the solid propellant rocket motor separately both at the stage of designing, and at its testing. Algorithm of determination of motor parametrical reliability by results of motor analog tests is offered. Besides, it is shown that for the accounting of that all internal ballistic parameters are connected among themselves by stochastic dependences the multidimensional distributions is necessary for determination of parametrical reliability. Availability of information on tests of similar designs gives the chance to the designer to make more effective decisions and to produce better design both solid grain and solid propellant motor. In addition the application of similarity theory will allow reducing numbers of reliability tests.

Keywords: rocket motor, grain, similarity theory, similarity criterions, internal ballistic properties, reliability, multidimensional distributions, designing, engine-analog, firing stand tests.

В настоящее время имеется огромный опыт разработки ракетных двигателей на твердом топливе (РДТТ) массой от нескольких десятков граммов до нескольких десятков тонн, давление в камере сгорания от 2 до 70 МПа, время работы от сотых долей до сотен секунд. При проектировании и отработке новых конструкций РДТТ необходимо использовать этот опыт, который недостаточно широко применяется в настоящее время. Из-за этого большое количество априорной информации не учитывается при разработке, а следовательно, требуется гораздо большее количество опытов, что ведет к существенному удорожанию и увеличению сроков отработки. До сих пор не решен вопрос объединения результатов испытания изделия-аналога и разрабатываемого двигателя. Для достижения поставленных целей можно применить теорию подобия.

Впервые полезность применения теории подобия для разработки РДТТ отмечена в работе [1], в которой рассматривалось только гео-

метрическое подобие двигателей. В настоящей работе изложена попытка разработки критериев подобия РДТТ в части протекания внут-рикамерных процессов для использования, в первую очередь, для подтверждения параметрической надежности двигателя. Известно, что при экспериментальном определении достаточно часто получаются очень низкие значения надежности, не соответствующие проектным оценкам. Это происходит по причине малого количества огневых стендовых испытаний и, как следствие, большой неопределенности оценки. Использование результатов испытаний изделий-аналогов позволит снизить эту неопределенность и приблизить оценку параметрической надежности РДТТ к реальности.

Рассмотрим уравнения процессов, общих для всех РДТТ [2, 3]:

1. Уравнения процесса газообразования

de , ч

— = и О X 0)

ш

и

^ = -т«

где е  толщина сгоревшего свода; р(^)  зависимость давления в камере сгорания от времени, полученная в результате стендового испытания РДТТ; п({)  скорость горения топлива; / [р(0]  функция, определяющая закон скорости горения; О  вес топлива; у  удельный вес топлива; £(е)  поверхность горения.

2. Уравнение процесса истечения газов через сопло

= -р

ш

где Гк  площадь критического сечения сопла; Р  теоретический

удельный импульс давления.

3. Уравнение тяги

Щ) = СКр

где К(р)  тяга двигателя, полученная в результате стендового испытания; ¥л  площадь выходного сечения сопла; рн  наружное (атмосферное) давление; Ся  коэффициент тяги.

Преобразуем систему уравнений (1)-(5) так, чтобы она описывала связи не между функциями, а между средними по времени величинами.

После интегрирования уравнений (1), (2), (4) и (5) со следующими условиями: при / = 0 е = 0, О = ю; при / = ^ е = ек, О = 0, получим

и =

ек и/к,

1 *к -\1 [ р

' = рЧрк/ P,

СЯрРи - рнРа ,

где ^  полное время работы двигателя; ек  полная толщина горящего

1 1к 1 1к 1 1к 1 ек

свода заряда; и = —|и(/)ё/; р = —|р(/)ё/; Я = — |Я(/)ё/; £ = —|£(е)ёе.

1к 0 1к 0 1к 0 ек 0

При интегрировании уравнения (4) принято допущение о стационарности процесса истечения. Поскольку Одв = О + Ок + у, (Ок  вес корпуса РДТТ; у  вес газа в камере сгорания, у << О + Ок), то ёОдв / 6/ ~ ~ ёО/ё/.

Следствием уравнений (8) и (9) является уравнение Бори

у5% =

к

и по определению

О=-, /к

/,= Я/к,

= Я = Я/к

1 О ш

где О  средний расход; /  суммарный импульс тяги; /1  единичный импульс тяги. Уравнения (11) и (12) не являются уравнениями, определяющими процесс.

Для того чтобы доказать подобие внутрибаллистических процессов в двух в общем случае раз нык РДТТ, согласно работе [4] необходимо:

1. Определить параметры, характеризующие процесс.

2. Определить безразмер ные комбинации параметров (критерии подобия).

Приближенное равенство критериев подобия для двух РДТТ доказывает подобие процессов.

Урав не ния (6)-(10) содержат следующие размер ные параметры: вк, tk, и, ш, Як, р, в, Я. Параметры Яа и рн не входят в этот список, так как урав не ние (10) можно представить в виде

— г р Я ^

Я = РкрСК - р~^,

I р-к)

р Я —

где величи на СЯ - _И а безразмер на. Произведе ние у£ при помощи

р-к

урав нения (8) можно выразить через ю и вк, поэтому величины у и £ не входят в список определяющих параметров.

Из перечисленных параметров можно составить следующие критерии подобия:

р Я

1) безразмер ное давле ние П1 = —;

юв

ив

2) безразмер ное время П 2 = —;

вк

Я

3) безразмер ная тяга П 3 = —— ;

р-к

и

4) безразмер ная скорость горе ния П 4 = —-;

вк

в

5) безразмер ная толщина свода заряда П5 = —^.

УЯк

Все другие безразмерные комбинации из списка параметров можно выразить через критерии П1 ПП5, например к в = П4/ П2,

Я / ш = П3П1П2/П4 и т.д.

Общее количество независимых переменных будет равно 8 (вк, ^, и, ю, Як, р, в, Я ), количество независимых размерностей  3 (сила, время, линейный размер). Применяя л-теорему [4], определяем количество требуемых критериев для подобия внутрикамерных процессов  5. Равенство всех этих критериев для двух двигателей будет означать их подобие. Проверку равенства необходимо проводить с помощью вероятностных оценок, т.е. необходимо проверить принадлежность одним генеральным совокупностям как математических ожиданий, так и дисперсий. Проще это сделать путем проверки принадлежности одним генеральным совокупностям коэффициентов вариации внутрибаллисти-ческих характеристик двигателя, т.е. подобие их распределений. Равенство перечисленных выше критериев подобия должно привести к равенству следующих критериев, которые являются коэффициентами вариации основных внутрибаллистических характеристик:

П = о„ П7 = & = Оя. П8 =^ = о,.

Р Я Т

Необходимо отметить, что работа двигателя на твердом топливе описывается достаточно сложными зависимостями и гораздо большим числом параметров, чем то количество, которое использовано в настоящей статье. В предложенных критериях использованы только основные факторы, которые определяют работу двигателя. Множество всех остальных эффектов, влияющих на работоспособность РДТТ, будет определять разброс величин этих критериев от их математического ожидания. Поэтому учет этих факторов будет производиться тоже, но не через значение математического ожидания, а через величину дисперсии соответствующего критерия. Можно уточнить модель путем ввода дополнительных критериев или построения критериальных зависимостей, но это приведет к громоздкости модели и должно решаться только после длительного применения приведенных критериев.

Для определения принадлежности к одной генеральной совокупности коэффициентов вариации надо знать параметры их распределений. Для этого используем теорию функций случайных величин [5, 6, 7]. Математическое ожидание коэффициента вариации и можно определить из формулы

М (х ) = и + -

д2 и /_ч д2 и / ч

—-Дх) + —-До) дх2 У ’ до2 ^

Считая распределение среднего значения и дисперсии коэффициента вариации приближенно нормальными, можно записать [8]

_2 _2

В (х) =-----, Б (о) = —;-----Г.

И 2

Тогда

М (и) =

и +

1 +

и2

п

Величина дисперсии коэффициента вариации будет определяться по формуле

Д (и) = и2

і и2

2(п -1) п

Ги2 > 1 2

1п)

Принадлежность к одной совокупности математического ожидания и дисперсии коэффициентов вариации будет означать подобие характеристик, дающих описание внутрикамерных процессов, в статистическом смысле.

Определение параметрической надежности для отрабатываемого двигателя с использованием результатов испытаний двигателя-аналога можно проводить в следующем порядке:

1. Определение по результатам огневых стендовых испытаний отрабатываемого двигателя методом регрессионного анализа зависимости какого-либо параметра ВБХ от температуры. Вероятное значение его будет равно

х = х

в хт (т-Т),

где х  среднее значение параметра ВБХ; вхТ  коэффициент уравнения регрессии; Т  среднее значение температуры заряда.

2. Раскладываем дисперсию параметра ВБХ на составляющие:

„2 _ о2 _2

°х в хТ °Т

Б02 = Дт

Б

0

где БТ  дисперсия фактора температуры, которая определяет вклад от изменения температуры заряда в общую дисперсию параметра ВБХ; £02  остаточная дисперсия уравнения регрессии.

3. Определение дисперсии случайных отклонений параметра ВБХ производится суммированием дисперсий случайных отклонений отрабатываемого изделия и двигателя аналога:

Здесь возможно грубое приближение на основе равенства х « #, что означает независимость дисперсии случайных отклонений от температуры заряда:

гДе /, /а  числа степеней свободы выборочных значений случайных отклонений отрабатываемого изделия (/ = п - 2) и изделия аналога

4. Определение дисперсии параметра ВБХ а^ = ВТ + £20 с числом степеней свободы / = / + /а. Здесь возможны следующие варианты:

а) вероятность выполнения параметра в условиях ОСИ:

б) вероятность выполнения параметра в условиях эксплуатации:

где Тэ, а2тэ  среднее значение и дисперсия температуры в климатическом районе эксплуатации;

в) вероятность выполнения параметра при фиксированной температуре:

Зная математическое ожидание и дисперсию параметра ВБХ, рассчитывают вероятность его выполнения. Параметрическую надеж-

4, = у/БІ/ + [х + Рхт (Т - Т)]2 и/.

{Т = па - -

М(х) = х , Дт = в2хТи2т , Т = Т;

М (х) = х + в хт (Т~ - Т), Д =в 2

2 ^ 2 'хТ°ГЭ,

М (х) = х + рхт (ТФ - т), Дт = 0 , т = ТФ.

ность можно определять как произведение найденных вероятностей, считая их независимыми. На самом деле все параметры ВБХ связаны между собой стохастическими зависимостями [9]. Для учета этого фактора необходимо применение многомерных распределений, что повысит его точность [10].

На основании проведенной работы можно сделать вывод, что применение предложенных критериев подобия внутрикамерных процессов, протекающих при работе РДТТ, позволит сократить количество необходимых огневых стендовых испытаний двигателя за счет использования информации об испытаниях аналогичных конструкций.

Библиографический список

1. Ракетные двигатели / М. Баррер, А. Жомотт, Б.Ф. Вебек, Ж. Ванденкеркхове.  М.: Оборонгиз, 1962.  799 с.

2. Соркин Р.Е. Газотермодинамика ракетных двигателей на твердом топливе.  М.: Наука, 1967.  368 с.

3. Орлов Б.В., Мазинг Г.Ю. Термодинамические и баллистические основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе.  М.: Машиностроение, 1979.  392 с.

4. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.  М.: Наука, 1967.  428 с.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.  М.: Высшая школа, 1999.  576 с.

6. Жуков Б.П. Проектирование РДТТ. Топлива, заряды. Надежность элементов РДТТ на этапах проектирования, отработки и серийного производства. Ч. 6, 7.  М.: Машиностроение, 1982.  302 с.

7. Волков Е.И., Судаков Р.С., Сырицын Т.А. Основы теории надежности ракетных двигателей. - М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

8. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. - М.: Наука, 1968. - 288 с.

9. Евграшин Ю.Б. Основы теории надежности РДТТ.  Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. П196 с.

10. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.  М.: Высшая школа, 2000. 480 с.

References

1. Barrer M., Zhomott A., Vebek B.F., Vandenkerkkhove Zh. Raket-nye dvigateli [Rocket engines]. Moscow: Oborongiz, 1962, 799 p.

2. Sorkin R.E. Gazotermodinamika raketnykh dvigateley na tverdom toplive [Gasthermodynamics of solid propellant rocket motors]. Moscow: Nauka, 1967, 368 p.

3. Orlov B.V., Masing G.Y. Termodinamicheskie i ballisticheskie os-novy proektirovanija raketnyh dvigatelej na tverdom toplive [Thermodynamic and internal ballistics fundamentals of solid propellant rocket motors designing]. Moscow: Mashinostroenie, 1979, 392 p.

4. Sedov L.I. Metody podobiya i razmernosti v mekhanike [Similarity methods and dimensions in mechanics]. Moscow: Nauka, 1967, 428 p.

5. Venttsel E.S. Teoriya veroyatnostey [Probability theory]. Moscow: Vysshaya shkola, 1999, 576 p.

6. Zhukov B.P. Proektirovanie RDTT. Topliva, zaryady. Nadezhnost elementov RDTT na etapakh proektirovaniya, otrabotki i seriynogo proiz-vodstva. Ch. 6, 7 [Designing of SPRM. Propellants and solid grains. Reliability of SPRM units on stages of designing, of tests and of serial production. Vol. 6, 7]. Moscow: Mashinostroenie, 1982, 302 p.

7. Volkov E.I., Sudakov R.S., Syritsyn T.A. Osnovy teorii nadezhnosti raketnykh dvigateley [The theoretical principles of reliability of rocket motors]. Moscow: Mashinostroenie, 1974, 400 p.

8. Pustylnik E.I. Statisticheskie metody analiza i obrabotki na-blyudeniy [Statistical methods of the analysis and reduction of observations]. Moscow: Nauka, 1968, 288 p.

9. Evgrashin Yu.B. Osnovy teorii nadezhnosti RDTT [The theoretical principles of reliability of solid propellant rocket motors]. Perm: Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2007, 196 p.

10. Venttsel E.S., Ovcharov L.A. Teoriya veroyatnostey i ee inzhen-ernye prilozheniya [Probability theory and its engineering applications]. Moscow: Vysshaya shkola, 2000, 480 p.

Об авторах

Нешев Сергей Сергеевич (Пермь, Россия)  инженер, ОАО СНа-учно-исследовательский институт полимерных материалов (614113, Пермь, ул. Чистопольская, 16, e-mail: neshef@mail.ru).

Молчанов Владимир Федорович (Пермь, Россия)  кандидат технических наук, начальник отдела, ОАО «Научно-исследовательский институт полимерных материалов» (614113, Пермь, ул. Чистопольская, 16, e-mail: niipm@pi.ccl.ru).

Сальников Алексей Федорович (Пермь, Россия)  доктор технических наук, профессор кафедры «Ракетно-космическая техника и энергетические установки» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, e-mail: afsal@pstu.ru).

About the authors

Neshev Sergey Sergeevich (Perm, Russian Federation)  Engineer, Research Institute of Polymeric Materials OJSC (16, Chistopolskaya st., Perm, 614113, Russian Federation, e-mail: neshef@mail.ru).

Molchanov Vladimir Fedorovich (Perm, Russian Federation)  Ph. D. in Technical Sciences, Head of Department, Research Institute of Polymeric Materials OJSC (16, Chistopolskaya st., Perm, 614113, Russian Federation, e-mail: niipm@pi.ccl.ru).

Salnikov Aleksey Fedorovich (Perm, Russian Federation)  Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Rocketry and Power Plants, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: afsal@pstu.ru).

Получено 3.09.2012