Определение допустимых диапазонов длины шага четырехногого внутритрубного робота

УДК 621.865

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСТИМЫХ ДИАПАЗОНОВ ДЛИНЫ ШАГА ЧЕТЫРЕХНОГОГО ВНУТРИТРУБНОГО РОБОТА

С.И. Савин, Л.Ю. Ворочаева, А.В. Мальчиков

В работе решена задача определения допустимых диапазонов длины шага ногой четырехногого внутритрубного робота, движущегося в плоских трубах, для случая, когда одна пара ног взаимодействует со стенками внутренней поверхности трубы, а другая пара ног осуществляет шаг. Установлено влияние на значения диапазонов длины шага параметров самого робота, параметров, характеризующих расположение трубы в пространстве, а также параметров взаимодействия контактных элементов ног робота с поверхностью трубы.

Ключевые слова: внутритрубный шагающий робот, контактные точки, длина шага, диапазон допустимых значений.

Введение

Шагающие внутритрубные роботы могут перемещаться в плоских и пространственно-изогнутых трубопроводах, являющихся примером особенно сложной опорной поверхности, что было показано в [1-3]. Предложенные в этих работах методы генерации походки роботов основаны на использовании геометрического представления трубопровода, позволяющего проецировать его внутреннюю поверхность на так называемую карту высот, строить последовательности шагов на карте высот, а затем использовать обратное преобразование для получения последовательности шагов на внутренней поверхности трубы. Эти методы позволяют автоматизировать задачу поиска точек контакта с опорной поверхностью, сохраняя возможность управлять направлением и длиной шагов робота.

Задача выбора допустимых диапазонов длины шага внутритрубного робота в настоящее время еще не решена и остается актуальной. Сложность такой задачи заключается в том, что она является многокритериальной, т.е. зависит от большого числа параметров, обусловленных как конструкцией робота, в том числе его геометрией и кинематикой, генерируемой походкой, так и конфигурацией и расположением в пространстве трубопровода, кривизной его внутренней поверхности, а также от сочетания и комбинации значений этих параметров.

Помимо этого при определении допустимых диапазонов длины шага необходимо в каждый момент движения устройства решать задачу сохранения им статического равновесия. Под сохранением равновесия в данном случае понимается, что робот может осуществлять движение без незапланированной потери контакта с внутренней поверхностью трубопровода и без проскальзывания контактных элементов. Понятие «равновесие» здесь употребляется по аналогии с тем, как этот термин используется в робото-

206

технике шагающих машин, где незапланированные проскальзывание или потеря контакта с опорной поверхностью ассоциируются с потерей равновесия (или «вертикальной устойчивости») и падением [4-8].

Здесь рассмотрим задачу выбора допустимых диапазонов длины шага четырехногого робота для случая, когда контакт с противоположными стенками трубы осуществляется одной парой ног (передней или задней), а другая пара при этом совершает шаг.

Описание внутритрубного робота

В качестве расчетной схемы шагающего внутритрубного робота, перемещающегося внутри плоских труб, будем рассматривать показанную на рис. 1, а и являющуюся одной из наиболее распространенных. Положим, что исследуемый робот состоит из четырех ног /=1-4, каждая из которых образована двумя звеньями Е/Б/ и О/К/, и корпуса 5, имеющего форму прямоугольника с центром масс в точке С. Каждое звено ноги будем считать стержнем с центром масс, совпадающим с центром симметрии. Все звенья робота соединены между собой активными вращательными шарнирами Е/ и Б/. Ноги периодически контактируют с внутренней поверхностью трубы 6 при помощи контактных элементов К/.

а б

Рис. 1. Конструктивная и расчетная схемы: а -конструктивная схема внутритрубного робота: 1 - 4 -ноги; 5 - корпус; 6 -труба; б -Расчетная схема робота, контактирующего с внутренней поверхностью трубы в двух точках

В данной работе ограничимся рассмотрением таких походок робота, при которых одна пара ног (передняя или задняя) совершает шаг, а вторая пара ног при этом контактирует со стенками трубы, т.е. точки контакта принадлежат противоположным стенкам трубы.

207

Математическая модель движения робота

Перейдем к описанию математической модели движения робота, для этого рассмотрим расчетную схему, показанную на рис. 1, б. Данная схема представлена для случая, когда контакт со стенками 1 и 2 внутренней поверхности трубы осуществляется передней парой ног (в контактных точках К1 и К2), а задняя пара ног реализует шаг. Для упрощения восприятия схемы сам робот на ней не показан.

Для описания движения робота введена абсолютная система координат Оху, расположенная таким образом, что одна из стенок трубы параллельна одной из ее осей. На рис. 1, б стенка трубы 2 параллельна оси Ох. Отметим, что данная система координат может быть произвольным образом ориентирована относительно гравитационного поля, направление которого показано вектором силы тяжести fQ робота. В точках контакта ног робота со стенками трубы введены локальные системы координат таким образом, что пг- и тI представляют собой нормальный и тангенциальный векторы к опорной поверхности (стенке трубы) в точке контакта К. Будем рассматривать случай, когда стенки трубы не параллельны друг другу, тогда ее расширение определяется углом фк, являющимся углом между векторами т1 и т2 .

Относительное взаимное расположение точек контакта К1 и К2 задается параметрами хк и И. Первый из них представляет собой расстояние, определяемое как длина проекции вектора ГК1К2 , проведённого между К1 и К2, на вектор т2:

хК = ГК1К2 • т 2.

А второй является локальным диаметром трубы и определяется как расстояние от точки К до прямой с направляющим вектором т2.

Радиус-вектор центра масс робота можно записать следующим образом:

гс =

хС УС

где хс, Ус - координаты точки С в проекциях на оси Ох и Оу.

При определении допустимых диапазонов длины шага ноги робота важно знать не абсолютные координаты контактных точек, а их относительное положение. В связи с этим соответствующие радиус-векторы запишем в виде:

" хк' "0"

ГК1 = _ 0 _ , ГК 2 = И_

Вектор f-G можно представить следующим образом:

208

fG =

fGx fGy

где , fGy - проекции вектора силы тяжести на координатные оси.

Пусть контактное взаимодействие ног робота с внутренней поверхностью трубы описывается силами сухого трения Кулона 1тр/ с коэффициентами трения т и записывается как

^тр1 = Х1ТЬ ^тр2 = Х2т2 , где Х1, Х2 - скалярные параметры.

Также будем считать, что нормальные реакции fн/ в точках К1 и К2, описываемые формулами

1н1 = У1ПЬ 1н2 = У2П2, где У1, У2 - скалярные параметры, не могут превышать некоторого наибольшего значения ^тах. Тогда условия статического равновесия робота можно записать следующим образом:

1 н1 +1 тр 2 +1 н2 + = 0, [гСК1]х (1тр1 + 1н1) + [гСК 2]х (1тр 2 + 2) = 0, ' т1н/ < 1тр/ < т11н/,

fmp1 + fHl + fmp 2 + fH

1,2,

max;

i = 1,2,

где rcKi - вектор, проведенный от точки C к точке Ki; [ ]х- представление вектора в виде кососимметрической матрицы, такой что [а]хb = а х b .

Для определения допустимых диапазонов длины шага ногой робота необходимо установить, сохраняет ли робот в каждом заданном положении статическое равновесие, т.е. необходимо проверить справедливость условий (1).

Для этого сформулируем следующую задачу квадратичного программирования:

• • • 2 2 2 2 minimize Х1 + У1 + Х2 + У2

subject to: Х1Т1 + У1П1 + Х2 т 2 + У2П 2 + fG = 0, [rCK1 ]х (Х1т1 + У1П1) + [rCK 2]х (Х2 т 2 + У2П 2) = 0 yi £ Nmax, i =1,2 - Уг £ 0, Х1 -mгУг £ 0

Ху

mгУг £ 0.

Если задача (2) имеет решение, то условия (1) могут быть выполнены. Для решения задачи (2) можно использовать численные методы, описанные, например, в [9-11].

Определение допустимых диапазонов длины шага робота В качестве параметров, оказывающих влияние на диапазоны допустимых значений длины шага робота, будем рассматривать следующие: h - локальный диаметр трубы, m - коэффициент сухого трения между контактным элементом ноги робота и поверхностью трубы, фк - угол расширения трубы, Nmax - наибольшее значение нормальной реакции в точке контакта ноги робота с поверхностью трубы, fGx, fGy - проекции вектора

силы тяжести робота на оси абсолютной системы координат, xC , yC - координаты центра масс робота. Следует отметить, что характер влияния каждого из рассмотренных параметров зависит от значения прочих. Введем обозначение:

k = h Фк fGx fGy xC yC m Nmax J. Также для диапазона допустимых значений xk , заданного как "xk е [xk min xk max], введем обозначение

Lx = xK max - xK min,

где Lx - длина диапазона.

Рассмотрим подход, позволяющий провести анализ чувствительности Lx по отношению к значению параметров k . Для этого зафиксируем значение одного из компонентов вектора k, например kj. Оставшиеся 7

компонентов вектора будем принимать равными псевдослучайным числам, получаемым с использованием последовательности Соболя (также известной как ЛПт последовательность) [12]. При построении последовательностей учитываются диапазоны, характерные для каждого из компонентов вектора k . Обозначим сконструированный таким образом вектор k как

k p, где p - номер элемента в последовательности Соболя.

Таким образом, можем задать последовательность чисел p = 1, m, где ш - число элементов последовательности. Этой последовательности

соответствует множество Р^ = {кр : р е 1, ш}. Для каждого элемента данного множества к р можно вычислить соответствующее ему значение Ьх, решая задачу (2) для различных величин хк. Обозначим найденное таким образом значение Ьх, соответствующее выбранному кр, как Ьр. Тогда

можем найти среднее для всех Ьр, соответствующих множеству Р^ :

210

1 т

Ьтеап ^ ^Р

1 т 1 1 'п р _1

При выборе достаточно большого значения т величина Ьтеап зависит только от значения ^^ . Зависимость Ьтеап от ^^ иллюстрирует чувствительность к данному параметру.

Продемонстрируем этот подход на примере параметра к . Остальные параметры изменялись в диапазонах фк е[—к/3 к/3], /вх е[—100 100] Н, /Су е [—100 0] Н, хс е [— 1 1] м, ус е [0 к],

)2 103

т _ 50. Полученная зависимость показана на рис. 2, а.

те [0.1 1] и ^тах е [102 103] Н. Для нахождения ^^ использовалось

а

б

о.з 0.6 0.4 0.2

0

г теап „ -^ЛГтах^ м

тттп Ь , М . ФК

-

200 400 600 800 10

0.6 0.4 0.2

1- \ - - -

\

N Н

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Я>А'' РаД

в

г

Рис. 2. Зависимости: а —Ь™™ (к); б —Ьтеап (т); в —Ь^т?^^тах) ;

г—Ф ™ (Ф к) 211

Рис. 2, а демонстрирует, что имеет место близкая к линейной зависимость между параметром h и величиной диапазона допустимых значений хк. Это означает, что в трубах большего диаметра робот сможет совершать большие шаги. Аналогичным образом построены остальные зависимости.

На рис. 2, б показана зависимость ЁЦean от ц, параметр h в этом и всех последующих экспериментах изменялся в диапазоне h е[0.1 2] м.

Данная зависимость сходна с той, что была получена в предшествующем эксперименте, и также демонстрирует линейный характер. Можно сделать вывод, что увеличение коэффициента трения между внутренней поверхностью трубопровода и контактными элементами позволяет совершать шаги большей длины.

Показанная на рис. 2, в зависимость Lmfan от Nmax в отличие от

f > n max max

предыдущих экспериментов демонстрирует «насыщение». Величина

LNmL монотонно увеличивается с ростом Nmax, но при Nmax > 300 Н

этот рост становится достаточно медленным. Данная зависимость может быть использована при выборе приводов при проектировании такого рода роботов. Заметим, что этот параметр не меняется на протяжении всего времени работы робота и заранее известен для конкретного экземпляра робота, что позволяет использовать его точное значение в алгоритмах выбора длины шага.

Представленная на рис. 2, г зависимость LLjK^n от jк демонстри-

Twean f

рует пик величины LjK для труб постоянного диаметра и значительное

уменьшение этого значения для труб с меняющимся диаметром. Диапазон

изменения Lв данном случае существенный и составляет 0.6 м. Это

означает, что при перемещении по участкам трубопровода, где диаметр трубы претерпевает изменения, следует уменьшать длину шага. Эта рекомендация может быть использована независимо от прочих результатов, представленных в этой работе.

На рис. 3 представлена серия результатов влияния проекций силы тяжести робота и расположения его центра масс на диапазоны длины шага.

Зависимость Lwean от xq, показанная на рис. 3, а, имеет параболическую

форму. Заметим, что длина шага увеличивается при удалении центра масс робота (увеличении xq ) в положительном или в отрицательном направлении. При этом изменения LWean находятся в диапазоне 0.15 м, что намного

ниже изменений этого параметра, зафиксированных в предшествующих

экспериментах. Это указывает на то, что параметр хс оказывает существенно меньшее влияние на величину диапазона допустимых значений хк, чем ^тах, т или И .

а

0.75

0.7

ттеап ,, L , М

Ус -

0.6

ттеап ,, Lf . М

JGv

0.7

0.68-

0.66-

0.64

Ус= м б

в

fcy> Н г

1

jf

*

_ _

0 0.2 0.4 0.6 0 .8 1

f

00 -80 -60 -40 -2 0 0

Рис. 3. Зависимости: а -Ьтеап (хс); б -Ь™™ (ус); в -Ьт™п (/Сх);

xC

г -Lmean

fGy Gy

В отличие от предшествующего эксперимента зависимость Ь

mean

УС

от ус (рис. 3, б) близка к линейной. Но так же, как и ранее, изменения

Ьу находятся в диапазоне 0.15 м. Это указывает на то, что и параметр

Ус оказывает относительно небольшое влияние на размер диапазона допустимых значений хк.

Рис. 3 в показывает, что наибольшая длина шага возможна в случае, когда робот движется в горизонтальных трубопроводах (т.е. при /ох = 0

Н). Изменения ьп1еап находятся в диапазоне 0.2 м, что немного больше,

У Ох

чем для зависимостей, связанных с параметрами хс и ус . Рис. 3, г иллюстрирует, что величина диапазона допустимых значений слабо зависит

от - величина ¿"1еап изменяется в диапазоне 0.04 м. Экспериментальные исследования

В этом разделе рассмотрим исследования, проведенные с использованием опытного образца шагающего внутритрубного робота (рис. 4). Целью эксперимента было установление диапазона допустимых значений для робота в заданной конфигурации.

а б

Рис. 4. Опытный образец робота: а -удерживающий равновесие, используя переднюю пару ног; б -удерживающий равновесие, используя переднюю нижнюю и заднюю верхнюю ноги; 1 - имитация стенки трубы; 2 - контактный элемент робота; 3 - звено робота

Экспериментальные исследования проводились в имитаторе трубопровода диаметром 214 мм, макет робота обладал массой 0.2 кг. Величина ^тах для опытного образца оценивается как 4Н. В ходе эксперимента удалось установить, что диапазон допустимых значений для опытного образца составил [-0.062 0.064] м. На рис. 5 показано, как данный диапазон соотносится с результатами моделирования. Горизонтальными линиями показаны допустимые диапазоны для заданного значения коэффициента трения (отложен по вертикали). Закрашенная область представляет собой диапазон , найденный экспериментально.

Данные, представленные на рис. 5, указывают на то, что коэффициент трения между опорной поверхностью и роботом составлял 0.6.

214

1

0.8

0.6

0.4

0.2 0

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

хк

Рис. 5. Зависимость диапазонов допустимых значений хк от коэффициента трения

Заключение

В статье представлены результаты исследования реализации такой походки четырехногого внутритрубного шагающего робота, при которой одна его пара ног (передняя или задняя) контактируют с внутренней поверхностью трубы, а другая пара ног совершает шаг, с точки зрения определения допустимых диапазонов длины шага. Разработана математическая модель движения устройства, записаны условия сохранения роботом статического равновесия в каждый момент перемещения, для проверки выполнения которых сформулирована задача квадратичного программирования.

Установлено влияние на значения диапазонов длины шага трех категорий параметров: 1) конструктивных и геометрических параметров робота (расположение его центра масс), 2) параметров, описывающих геометрию трубопровода и его расположение в пространстве (локальный диаметр трубы, угол расширения трубы, расположение трубы относительно гравитационного поля), 3) параметров, характеризующих контактное взаимодействие опорных элементов ног робота с внутренней поверхностью трубы (коэффициент трения, наибольшее значение нормальной реакции).

Представлены результаты экспериментальных исследований на опытном образце робота в имитаторе трубопровода, установлен диапазон допустимых значений длины шага робота в заданной конфигурации, проведено сравнение этих данных с теоретическими исследованиями.

Работа выполнена в рамках Гранта Президента Российской Федерации МК-2577.2017.8, договор №14.156.17.2577-МК.

215

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

Список литературы

1. Savin S., Vorochaeva L. Pace pattern generation for an pipeline robot // Proc. Intern. Conf. IEEE Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM). 16-19 May. 2017. St. Petersburg, Russia. P. 1-6.

2. Savin S., Vorochaeva, L. Footstep planning for a six-legged in-pipe robot moving in spatially curved pipes // Proc. Intern. Siberian Conf. IEEE Control and Communications (SIBCON). 29-30 June. 2017. Astana, Kazakhstan. P. 1-6.

3. Savin S., Jatsun S., Vorochaeva, L. 2017. Trajectory generation for a walking in-pipe robot moving through spatially curved pipes // MATEC Web of Conf. 12th Intern. Scientific-Technical Conf. on Electromechanics and Robotics "Zavalishin's Readings" - 2017. 18-22 April. 2017. St. Petersburg, Russia. Vol. 113. P. 1-5.

4. Яцун С.Ф., Савин С.И., Яцун А.С., Турлапов Р.Н. Адаптивная система управления экзоскелета, осуществляющего вертикализацию человека // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия Техника и технологии. 2015. №. 3. С. 30.

5. Vukobratovic M., Borovac B. Zero-moment point—thirty five years of its life // Intern. J. of humanoid robotics. 2004. Vol. 1. № 1. P. 157-173.

6. Ott C., Roa M.A., Hirzinger G. Posture and balance control for biped robots based on contact force optimization // Proc. IEEE-RAS Intern. Conf. Humanoid Robots (Humanoids). 26-28 Oct. 2011. Bled, Slovenia. P. 26-33.

7. Яцун С.Ф., Савин С.И., Емельянова О.В., Яцун А.С., Турлапов Р.Н. Экзоскелеты: анализ конструкций, принципы создания, основы моделирования. Курск: Университетская книга, 2015. 179 с.

8. Jatsun S., Savin S., Yatsun A., Postolnyi A. Control system parameter optimization for lower limb exoskeleton with integrated elastic elements // I Proc. 19th Intern. Conf. CLAWAR 2016. 12-14 September. 2016. London, UK. P. 797-805.

9. Boyd S., Vandenberghe L., Convex optimization. Vandenberghe: Cambridge university press, 2004. 730 p.

10. Grant M., Boyd S., Ye Y. CVX: Matlab software for disciplined convex programming. 2008. [Электронный ресурс] URL: http: //stanford.edu/-boyd/cvx. (дата обращения: 10.06.2018).

11. Mattingley J., Boyd S. CVXGEN: A code generator for embedded convex optimization // Optimization and Engineering. 2012. Vol. 13. № 1. Р. 1-27.

12. Соболь И. М. Равномерно распределенные последовательности с дополнительным свойством равномерности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1976. Т. 16. №. 5. С. 1332-1337.

Савин Сергей Игоревич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, savinswsu@mail. ru, Россия, Курск, Юго-Западный государственный университет,

216

Ворочаева Людмила Юрьевна, канд. техн. наук, доцент, mila180888@yandex. ru, Россия, Курск, Юго-Западный государственный университет,

Мальчиков Андрей Васильевич, канд. техн. наук, доцент, zveroknnp@,gmail. com, Россия, Курск, Юго-Западный государственный университет

ON DETERMINING THE ALLOWED STEP LENGTHS RANGE FOR A FOUR-LEGGED INPIPE ROBOT

S.I. Savin, L.Yu. Vorochaeva, A.V. Malchikov

In the paper, the problem of determining the allowed range of step lengths for a four-legged in-pipe robot was considered. The case when the robot remain in contact with the inner surface of the pipe using only two of its legs is studied. The influence of structural parameters of the robot as well as the parameters of the pipe on the allowed step length ranges was studied. These parameters include the geometry of the pipe, friction, orientation of the pipe, the capabilities of the robot's motors.

Key words: in-pipe walking robot, contact elements, step length, range of step

lengths.

Savin Sergey Igorevich, candidate of technical sciences, senior researcher, savinswsu@mail.ru, Russia, Kursk, Southwest State University,

Vorochaeva Lyudmila Yurievna, candidate of technical sciences, docent, mila180888@yandex. ru, Russia, Kursk, Southwest State University,

Malchikov Andrey Vasilievich, candidate of technical sciences, docent, zver-oknnp@,gmail.com, Russia, Kursk, South-West State University