Прочностной анализ дисперсно-наполненных полимерных систем на мезоуровне

Прочностной анализ дисперсно-наполненных полимерных

систем на мезоуровне

Б.А. Люкшин, П.А. Люкшин

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Представлены результаты численного анализа наполненных полимерных композиций с позиций механики деформируемого твердого тела. Такие материалы, представляющие собой многоуровневые системы структурных элементов, анализируются на трех последовательных масштабных уровнях. Эти уровни соответственно ассоциируются: 1) с представительным объемом материала в виде полимерной матрицы с рядом относительно жестких включений; 2) с масштабом полимерной прослойки между соседними включениями; 3) с размерами межфазного слоя на границе «матрица - включение». Численная реализация математических моделей основана на методе конечных элементов в сочетании с процедурой последовательных нагружений. Исследованы характеристики представительного объема наполненной полимерной системы в зависимости от свойств и характера взаимодействия матрицы и наполнителя, степени наполнения композиции, геометрических характеристик включений. Показано, что модификация свойств матрицы за счет внесения в нее серии дефектов позволяет увеличить деформируемость композиции в целом без разрушении материала. Исследовано влияние наличия межфазного слоя и его свойств на параметры напряженно-деформированного состояния в окрестности включения.

1. Введение

Все известные и используемые материалы, в том числе конструкционные, обладают естественной и/или искусственно организованной внутренней структурой. Отдельные структурные элементы (фазы) материала сами по себе имеют сложное строение (субструктуру), и процесс такой детализации можно продолжать вплоть до микроуровня, обычно отождествляемого с атомномолекулярным строением материала.

В этом смысле подавляющее большинство полимерных материалов не является исключением. Они дают, как правило, яркие примеры многоуровневых систем структурных элементов различной природы и размеров. Если за основную единицу полимерной системы принять ее молекулу (макромолекулу), то из них составляются такие надмолекулярные структуры, как глобулы и пачки, фибриллы и дендриты, кристаллиты и т.д. [1].

Применительно к металлам и металлическим композитам Иванов В.Н. в работе [2] сформулировал следующее утверждение: «...адекватная методика сквозного машинного моделирования процесса деформирования-разрушения ... должна использовать в качестве основы физическую механику деформируемого твердого тела, объединяющую идеи и методы физики пластичности и прочности и механики деформируемого

твердого тела. Эта методика должна охватывать все характерные масштабы процесса деформирования-разрушения кристаллической решетки, т.е. быть многоуровневой».

В работах Панина В.Е. с сотрудниками [3-6] предложена и развивается концепция структурных уровней деформации твердых тел. В соответствии с ней традиционный еще до недавнего времени путь «прямого перехода от микромасштабного уровня к макромасштабному» рассматривается как тупиковый. Центральная идея формулируется в виде утверждения: «деформируемое твердое тело является . многоуровневой иерархически самоорганизующейся системой, в которой микро-, мезо- и макроуровни органически взаимосвязаны» [6].

В цитированных работах речь идет преимущественно о металлах и их сплавах. Тем не менее эти утверждения обладают известной общностью и, очевидно, применимы к любым материалам с внутренней структурой, в том числе к полимерам и композициям на их основе.

Ниже анализируется напряженно-деформированное состояние, строятся поля перемещений, деформаций и напряжений в мезообъеме дисперсно-наполненной полимерной композиции в трех последовательных масш-

© Люкшин Б.А., Люкшин П.А., 1999

табах и соответственно мезоуровнях. На первом мезо-уровне анализу подвергается представительный объем в виде матрицы с рядом включений. Второй мезоуро-вень ассоциируется с размерами прослоек полимерной матрицы между включениями. Наконец, третий из анализируемых ниже мезоуровней отвечает размерам меж-фазного слоя на границе «матрица - включение». Такой подход можно трактовать как исследование процесса деформирования материала с последовательной его детализацией, т.е. как один из вариантов многоуровневой методики моделирования процесса деформирования-разрушения, о которой идет речь в [2].

2. Анализ представительного (мезо)объема

На первом мезоуровне анализу подвергается представительный объем материала в целом — как матрица с рядом включений. По карте образца, где отражаются геометрия включений и степень наполненности композиции, по свойствам фаз и условиям их взаимодействия оцениваются макрохарактеристики материала. Под «представительным объемом» для материалов с периодической структурой естественно понимать ячейку периодичности. Из анализа составляющих ее элементов получаются макрохарактеристики материала в целом. Для материалов нерегулярного строения по смыслу самого вводимого понятия «представительный объем» он должен быть достаточно большим, чтобы получаемые при его анализе упругие и прочностные характеристики можно было трактовать как параметры материала в целом — на уровне лабораторного образца, детали, элемента конструкции и т.д. Но это означает, что в расчетной области необходимо учесть наличие в матрице достаточно большого числа включений. Сам представительный объем можно определить как область минимальных размеров, увеличение которой уже не приводит к заметному изменению ее свойств. Попутно можно заметить, что размер представительного объема связан с ограничениями на отклонение получаемых из его анализа характеристик от «асимптотических» значений, отвечающих области неограниченных размеров.

Поскольку при расчете предполагается использование численных методов, в частности метода конечных элементов [7], большое количество включений в матрице значительно усложняет процедуру построения и реализации вычислительного алгоритма. Относительно просто дело обстоит в случае, когда на границах раздела фаз осуществляются условия идеального контакта, т.е. равенства соответствующих векторов перемещений и напряжений. Тогда расчет можно вести на единой сетке, узлы которой располагаются по границам раздела фаз. При учете возможности отслоения матрицы от включений, наличия и образования трещин в матрице или включениях вычислительные трудности резко возрастают. По некоторым оценкам, добавление

каждой внутренней границы (контактной поверхности) с условиями взаимодействия, отличающимися от идеального контакта, с точки зрения усложнения вычислительного алгоритма эквивалентно повышению размерности задачи. Поэтому в литературе встречается и ниже используется следующий подход. Анализу подвергается расчетная область, содержащая относительно небольшое число включений. Для реального материала нерегулярного строения проводится серия расчетов, когда содержимое расчетной области определяется случайным образом, например наложением ее контура, как правило прямоугольного, на карту образца. Очевидно, что с увеличением размеров контура отклонение от асимптотических значений, отвечающих области неограниченных размеров, будет убывать. Чем меньше размеры областей, тем больше будет разброс макрохарактеристик, получаемых на основе их анализа, и тем длиннее должна быть серия расчетов. Предельные варианты при уменьшении размеров контура дадут значения характеристик матрицы или включения — они и определяют максимально возможный разброс получаемых макропараметров для всей серии расчетов такого рода.

Этот путь является предпочтительным не только с вычислительной точки зрения. При моделировании и анализе механического поведения мезообъема при внешних термосиловых воздействиях наибольший интерес представляют собой именно детальные распределения перемещений, деформаций и напряжений. В структурно-неоднородных материалах соответствующие поля характеризуются значительной изменяемостью (градиентами), а детально отследить эти изменения можно только с помощью достаточно подробной конечно-разностной или конечно-элементной сетки. «Дискретизация области, заполненной композитом, имеет существенные особенности. Дело в том, что для определения микронапряжений необходимо провести это разбиение таким образом, чтобы вычислительная ячейка была много меньше ячейки периодичности» [8]. Ниже рассматриваются композиции с нерегулярной структурой, тем не менее в целом это утверждение справедливо и в этом случае, если иметь в виду сопоставление размеров вычислительной ячейки с минимальными размерами областей, занимаемых каждой из фаз. Небольшие размеры анализируемой области с малым числом включений позволяют проводить расчеты на сетках, удовлетворяющих сформулированному выше требованию.

Примеры расчетов на первом мезоуровне приведены на рис. 1, 2 для случаев одноосного растяжения и чистого сдвига мезообъема. Матрица представляет собой эластомер типа каучук, наполнителем служат жесткие частицы, модуль упругости которых на 2-3 порядка больше, чем у матрицы. В материалах с такой разницей свойств структурных составляющих эффект локали-

Ь\ЛЛЛ/\ЛЛЛЛЛЛЛЛ

шххххшш

Рис. 1. Конфигурация расчетной области и конечно-элементной сетки в исходном (а) и конечном (б) состояниях при одноосном растяжении; поверхность уровня (в) и изолинии (г) смещений V в направлении растяжения; поверхность уровня (д) и изолинии (е) деформаций растяжения е 22

Рис. 2. Конфигурация расчетной области и конечно-элементной сетки в исходном (а) и конечном (б) состояниях при чистом сдвиге; поверхность уровня (в) и изолинии (г) смещений V ; поверхность уровня (д) и изолинии (е) деформаций сдвига е12

зации деформаций выражен особенно ярко. Так, в исходном состоянии конечно-элементная сетка нанесена в виде правильных треугольников на расчетную область, рис. 1, а. В деформированном состоянии внутри жестких включений элементы сетки не меняют свои форму и размеры, а элементы, принадлежащие матрице, заметно деформируются. В случае одноосного растяжения треугольные элементы вытягиваются в направлении растяжения образца, рис. 1, б. Перемещения показаны поверхностью и изолиниями, характеризующими их

распределение, рис. 1, в, г. Влияние жестких включений выражено вполне отчетливо. На рис. 1, д, е, приведены такие же иллюстрации распределения деформаций.

Эффекты локализации деформаций в матрице ярко проявляются и при сдвиговой деформации мезообъема. На рис. 2, а, б, приведены конфигурации конечно-элементной сетки в исходном и деформированном состояниях. Жесткие включения в полимерной матрице движутся поступательно и вращаются. Матрица в разных зонах расчетной области испытывает значительные де-

формации, что непосредственно видно по искажениям сетки. Здесь и ранее перемещения узлов сетки показаны в том же масштабе, что и расстояния между узлами сетки. Распределения перемещений внутри мезообъема показаны на рис. 2, в поверхностью, на рис. 2, г — изолиниями уровня. На рис. 2, д, е такие же зависимости приведены для сдвиговых деформаций.

3. Анализ полимерной матрицы

Средний уровень деформации мезобъема, определяемый отношением смещения его границы к соответствующему начальному размеру, составляет проценты и десятки процентов. В то же время деформации матрицы (в виде прослоек между жесткими включениями) составляют величины соответственно в десятки и сотни процентов. Таким образом, если для по-ликристаллических материалов — металлов и их сплавов — экспериментальное обнаружение эффекта локализации деформаций требует применения специальных методов, то для наполненных полимерных композиций, особенно с крупными частицами-включениями, такие эффекты можно наблюдать практически визуально.

Математическая модель и вычислительный алгоритм, позволяющие исследовать деформации такого уровня, основаны на методе последовательного пошагового нагружения (теории приращений) [9]. Путь деформирования рассматривается как последовательность равновесных состояний. Предполагается, что два смежных состояния близки друг к другу настолько, что справедлива линеаризация определяющих соотношений по отношению к приращению переменных состояния. Если связь между деформациями и напряжениями нелинейна, на каждом шаге — при переходе от текущего состояния к последующему — возникает погрешность как невязка системы уравнений равновесия для всего ансамбля элементов. Эта погрешность либо включается в нагрузку на следующем шаге, либо ее величина используется как критерий выхода из итерационной процедуры. При проведении итераций в последнем случае внешняя нагрузка фиксируется, а дополнительной служит сама эта невязка.

Приведенные результаты получены с использованием описанного подхода. Они иллюстрируют тот факт, что в рассматриваемой дисперсно-наполненной композиции практически вся деформация происходит за счет деформирования матрицы. По этой причине детальный анализ параметров напряженно-деформированного состояния матрицы становится особенно важным.

Для проведения такого анализа размер расчетной области уменьшается настолько, что в нее попадает только матрица, а наличие движущихся при деформировании материала включений отражается постановкой условий на границах области. В определенном

в

Рис. 3. Осцилляции растягивающих напряжений в окрестности вершин трещин при одноосном растяжении

смысле можно говорить о постановке задач на втором мезоуровне в более мелком масштабе, когда во внимание могут приниматься и более мелкие образования в материале. Возникает возможность как учета структуры самой матрицы, так и наличия в ней каких-либо дефектов. Последние могут играть двоякую роль — как концентраторов напряжений, так и своего рода элементов, повышающих деформируемость матрицы [10]. В последнем случае смещение границы мезообъема приводит к раскрытию трещины. При определенной концентрации, размерах и ориентации этих трещин относительно направления приложения внешней нагрузки всплески напряжений в вершинах трещин могут быть меньше уровня напряжений в мезообъеме материала без дефектов. При этом имеется в виду, что уровень нагружения матрицы во всех случаях определяется

Рис. 4. Осцилляции сдвиговых напряжений в расчетной области при чистом сдвиге, случай трех трещин

Рис. 5. Осцилляции сдвиговых напряжений в расчетной области при чистом сдвиге, случай пяти трещин

смещением границы расчетной области. В матрице без дефектов постоянная деформация возникает как реакция на смещение границы. При наличии трещин смещение границы частично компенсируется их раскрытием, и лишь остальная часть смещения определяет развитие деформаций.

Поскольку максимальные значения напряжений достигаются в окрестности вершины (устья) трещины, эффективность способа повышения деформируемости матрицы (и материала в целом) можно оценить, сравнивая эти напряжения с постоянными напряжениями, возникающими в мезообъеме без дефектов. Увеличение числа и размеров трещин, например ориентированных перпендикулярно к направлению растяжения, приводит к уменьшению уровня напряжений во всем мезообъеме, в том числе и в вершинах трещин. На рис. 3 приведены

результаты анализа для случая пяти трещин в расчетной области [11]. В качестве нормирующего напряжения а 2 принят уровень постоянных растягивающих напряжений в мезообъеме без дефектов. Как видно из рис. 3, а даже максимальные напряжения в окрестности вершин трещин а2 практически вдвое меньше а2 (этому значению отвечает единица на оси ординат). На рис. 3, б показаны изолинии напряжений а2 в расчетной области, на рис. 3, в — конфигурация конечно-элементной сетки в момент прекращения роста нагрузки (смещения границы) и максимального раскрытия трещин.

На рис. 4 для случая трех трещин приведены результаты расчета сдвиговых напряжений а12, возникающих в расчетной области при чистом сдвиге. Нормировка проводится по величине постоянного напряжения а12, возникающего в расчетной области без трещин при

чистом сдвиге. Как видно из приведенных результатов, раскрытия трещин в этом случае не происходит (рис. 4, в), но за счет взаимного скольжения берегов трещин друг относительно друга сдвиговые напряжения становятся существенно неоднородными. Аналогичные результаты приведены на рис. 5 для случая пяти трещин в области. В этом случае максимальные расчетные значения сдвиговых напряжений в окрестности вершин трещин практически не превосходят значения ст^2 •

Таким образом, внесение серии мезотрещин в матрицу может заметно уменьшить уровень напряжений в ней при растяжении и не увеличивает их при нагружении сдвигом. Сравнения проводятся с величинами соответствующих напряжений в матрице без дефектов при тех же уровнях нагружения, определяемых смещениями части границы расчетной области и приводящих к растяжению или сдвигу.

В соответствии с методом конечных элементов проводится осреднение всех расчетных величин по конечно-элементным ячейкам. При больших градиентах параметров напряженно-деформированного состояния такое осреднение может привести к значительным погрешностям. Как видно по характеру изолиний (рис. 35, б), градиенты параметров напряженно-деформированного состояния максимальны в окрестностях вершин трещин, и здесь следует ожидать наибольших ошибок в расчетах методом конечных элементов. В то же время при достижении напряжениями предела текучести в окрестности вершин трещин образуются так называемые пластические шарниры, приводящие к известному выравниванию параметров в локальной области — и аналогия с осреднением величин по конечно-элементной ячейке очевидна. Уменьшением размеров элементов или введением так называемых сингулярных элементов можно добиться более детальной картины распределения параметров напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины, но в качественном плане и сами результаты, и сделанные на их основе выводы не изменятся.

4. Влияние межфазных слоев на деформации и напряжения в окрестности включения

Приведенными выше результатами расчетов — на первом и втором мезоуровнях — описываются процессы локализации деформаций в матрице и способы их изменения в последней. В то же время ясно, что «макромеханические свойства таких композитов тесно связаны с природой взаимодействия компонентов, т.е. с микросвойствами, их проявлением, сказывающимися в первую очередь на свойствах межфазных границ гетерогенной среды» [12]. Как отмечается в цитируемой работе, при изучении межфазных взаимодействий с позиций механики используются в основном два допущения: «1) адгезия между компонентами либо полная,

либо отсутствует; 2) существуют не межфазные слои, а только резкие границы между различными материалами». В то же время с физико-химической точки зрения необходимо существуют «между матрицей и наполнителем ... протяженные в пространстве образования с переменными механическими свойствами», получившие название межфазных слоев.

Влияние наличия и свойств межфазных слоев на параметры напряженно-деформированного состояния полимерного композита в окрестности включения исследовано в работе авторов [13] для случая одноосного растяжения материала. В частности, отмечено, что при таком нагружении наиболее «выгодным» в смысле минимальных всплесков напряжений является такое изменение свойств межфазного слоя, при котором упругие характеристики меняются по его толщине по линейному закону, возрастая от значений, соответствующих параметрам в матрице, до параметров включения.

Примеры распределения перемещений в окрестности включения приведены на рис. 6 для одноосного растяжения при отсутствии межфазного слоя, т.е. когда характеристики материала на границе раздела фаз меняются скачком, а на границе раздела «матрица - включение» выполняется условие идеального контакта. Видно, что в относительно жестком включении (отношение модуля упругости матрицы к модулю заполнителя принимается в расчете равным 100) перемещения постоянны по величине, т.е включение смещается при деформировании мезообъема как жесткое тело. Сгущение изолиний перемещений в окрестности включения показывает, что здесь, в матрице, реализуются наибольшие деформации (эффект локализации деформаций).

Соответствующие распределения деформаций и поля напряжений приведены на рис. 7. Отчетливо видны осцилляции деформаций и напряжений в окрестности включения, т.е. включение играет роль концентратора напряжений.

Как уже отмечалось, в наполненных полимерных системах на границе «матрица - включение» возникает межфазный слой с отличными от свойств матрицы и включений упругими и прочностными характеристиками. Наличие этого слоя меняет картину распределения перемещений, деформаций и напряжений в материале. Расчеты были проведены для случая одноосного растяжения, когда межфазный слой ослаблен по сравнению с материалом матрицы. На рис. 8 приведены поля перемещений в окрестности включения, и в этом случае эффект локализации проявляется более ярко, чем при отсутствии переходной зоны. Это утверждение подтверждается и результатами, приведенными на рис. 9, где показаны распределения деформаций и напряжений. В работе авторов [13] для случая одноосного растяжения материала показано, что введение слоя, более жесткого, чем материал матрицы, приводит к уменьшению осцилляций напряжений и деформаций.

О х/а 1

б

О х/а 1

г

Рис. 6. Поверхность уровня перемещений V (а) и изолинии их распределения (б); поверхность уровня перемещений и (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой отсутствует, одноосное растяжение

х/а 1

б

г

Рис. 7. Поверхность уровня деформаций е 22 (а) и изолинии их распределения (б) в расчетной области; поверхность уровня напряжений а 22 (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой отсутствует, одноосное растяжение

Рис. 8. Поверхность уровня перемещений V (а) и изолинии их распределения (б); поверхность уровня перемещений и (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой ослаблен, одноосное растяжение

Рис. 9. Поверхность уровня деформаций е22 (а) и изолинии их распределения (б) в расчетной области; поверхность уровня напряжений а 22 (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой ослаблен, одноосное растяжение

О

в

1

у/Ь

О

Рис. 10. Поверхность уровня перемещений V (а) и изолинии их распределения (б); поверхность уровня перемещений и (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой отсутствует, чистый сдвиг

г

г

Рис. 11. Поверхность уровня деформаций е^ (а) и изолинии их распределения (б) в расчетной области; поверхность уровня напряжений а 12 (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой отсутствует, чистый сдвиг

Рис. 12. Поверхность уровня перемещений V (а) и изолинии их распределения (б); поверхность уровня перемещений и (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой ослаблен, чистый сдвиг

Рис. 13. Поверхность уровня деформаций е^ (а) и изолинии их распределения (б) в расчетной области; поверхность уровня напряжений а 12 (в) и изолинии их распределения (г); межфазный слой ослаблен, чистый сдвиг

Результаты исследований влияния свойств межфаз-ного слоя на параметры напряженно-деформированного состояния материала при сдвиге показаны на рис. 10 в виде полей перемещений, на рис. 11 — сдвиговых деформаций и напряжений при отсутствии переходного слоя. Для ослабленного переходного слоя аналогичные результаты приведены на рис. 12 в виде полей перемещений, на рис. 13 — деформаций и напряжений сдвига. В последнем случае выражены две зоны локализации деформаций и перемещений — на границе «матрица -межфазный слой» и на границе «межфазный слой -включение». Как и при растяжении, ослабление межфаз-ного слоя приводит к увеличению амплитуд осцилляции деформаций и напряжений.

5. Заключение

На практике разработка новых наполненных полимерных материалов проводится химиками-технологами с использованием специальных технологических приемов. Так, изменение свойств межфазных слоев реализуется путем обработки наполнителя специальными веществами, изменяющими адгезию включений к матрице (так называемыми аппретами). Изменение свойств полимерной матрицы за счет внесения в нее дефектов делается путем ее газонасыщения. В целом свойства материала изменяются за счет варьирования степени наполнения порошками, их дисперсности, формы и т.д. Каждый из этих технологических приемов может быть описан приведенными моделями и их математической реализацией, и один из путей повышения эффективности технологии создания новых материалов заключается в сочетании математического и физического эксперимента. Математическое моделирование поведения полимерных систем имеет тоже свои особенности, что связано с необходимостью решения задач с различными по геометрии границами раздела фаз, учетом больших деформаций — в матрице их значения могут достигать сотен процентов. Такое моделирование позволяет прогнозировать изменение макросвойств материала при варьировании параметров структуры материала и характера их взаимодействия на разных масштабных и структурных уровнях. Ряд соответствующих моделей применительно к дисперсно-наполненным полимерам и

приведен в настоящей работе. Таким образом, компьютерное моделирование полимерных дисперсно-наполненных материалов на различных структурных уровнях тесно связано с технологическим и конструкторским проектированием и является неотъемлемым этапом создания конструкций из композиционных материалов.

Литература

1. Уржумцев Ю.С., Филатов И.С. Физика и механика полимеров. -Якутск: Изд-во ун-та, 1989. - 172 с.

2. Иванов В.Н. Синергетическая дислокационная теория деформирования-разрушения металлов и металлических композиционных материалов и сквозная многоуровневая методика ее численной реализации на ЭВМ. II. Общие принципы построения сквозной многоуровневой методики численной реализации // Структурномеханическое исследование композиционных материалов и конструкций. - Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1984. - С. 74-85.

3. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.

4. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., ДаниловВ.И. и др. Структурные уровни

пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990.- 255 с.

5. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995.- 297 с. и 320 с.

6. Панин В.Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел // Изв. вузов. Физика. - 1998. - Т. 41. - № 1.- С. 734.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.- 541 с.

8. Победря В.Е. Принципы вычислительной механики композитов// Механика композитных материалов. - 1996. - Т. 32. - №6.-

С. 720-746.

9. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир, 1987. - 542 с.

10. А.С. 9704833 Российской Федерации, МКИ3 F 02 К 9/08 / Са-кович Г.В., Марьяш В.И., Анисимов И.И., Десятых В.И., Семенов Г.С., Константинов В.В. Способ защиты ракетного двигателя твердого топлива со скрепленным с корпусом зарядом. - Опубл. в Б.И., 1997.

11. Анисимов И.И., ДесятыхВ.И., Люкшин Б.А., Люкшин П.А. Формирование характеристик полимерных систем на мезоуровне // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т.4.-

№ 4. - С. 74-92.

12. Яновский Ю.Г., Образцов И.Ф. Некоторые аспекты компьютерного моделирования структуры и микромеханических свойств перспективных полимерных композиционных материалов // Физическая мезомеханика. - 1998. - Т. 1.- № 1. - С. 135-142.

13. Люкшин Б.А., Люкшин П.А. Влияние свойств межфазного слоя на напряженно-деформированное состояние полимерного композита в окрестности включения // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т.4.- № 2. - С. 56-68.