О спектре операторов одномерной кривизны левоинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли

УДК 514.764.2

О спектре операторов одномерной кривизны левоинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли*

П.Н. Клепиков, С.В. Клепикова, О.П. Хромова

Алтайский государственный университет

On the Spectrum of One-Dimensional Curvature operators on Three-Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Lorentzian Metrics

P.N. Klepikov, S.V. Klepikova, O.P. Khromova

Altai State University

Одной из важных проблем римановой геометрии является задача об установлении связей между топологией и кривизной риманова многообразия. В однородном случае хорошо известны результаты Дж. Милнора, В.Н. Берестовского, Е.Д. Родионова, В.В. Славского о связи между кривизной Риччи, одномерной кривизной и топологией однородного риманова пространства.

Кривизны левоинвариантных римановых метрик на группах Ли исследовались Дж. Милнором, а именно в случае 3-мерных групп Ли с левоин-вариантной римановой метрикой им были найдены возможные сигнатуры оператора Риччи. Позднее О. Ковальский, С. Никшевич решили задачу о предписанных значениях оператора Риччи на 3-мерных метрических группах Ли, а также 3-мерных римановых локально-однородных пространствах. Д.Н. Оскорбиным, Е.Д. Родионовым, О.П. Хромовой получены аналогичные результаты для оператора одномерной кривизны, а также для оператора секционной кривизны.

В случае левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли ситуация представляется менее очевидной. В данной работе решена задача о предписанных значениях оператора одномерной кривизны. Также определены возможные сигнатуры формы одномерной кривизны на 3-мерных группах Ли с левоинвариантной ло-ренцевой метрикой.

Ключевые слова: алгебры Ли, группы Ли, ле-воинвариантные лоренцевы метрики, операторы кривизны, спектр.

БМ 10.14258/izvasu(2016)1-21

The problem of the establishing of connections between topology and curvature of a Riemannian manifold is one of the important problems of Riemannian geometry. J. Milnor, V.N. Berestovskii, E.D. Rodionov, V.V. Slavskii studies on the connection among the Ricci curvature, one-dimensional curvature and topology of the homogeneous Riemannian space are well known in the homogeneous case .

The curvatures of left-invariant Riemannian metrics on Lie groups were studied by J. Milnor. Namely, possible signatures of the Ricci operator were found in the case of three-dimensional Lie groups with a left-invariant Riemannian metric. Futher, O. Kowalski and S. Nikcevic found three-dimensional metric Lie groups and three-dimensional Riemannian locally homogeneous spaces with prescribed values of the Ricci operator. Similar results were obtained by D.N. Oskorbin, E.D. Rodionov, O.P. Khromova for the one-dimensional curvature operator and the sectional curvature operator.

The situation is less clear in the case of left-invariant Lorentzian metrics on Lie groups. In this paper, we consider the problem of the prescribed values for the operator of one-dimensional curvature. Besides, we define the possible signatures of the form of one-dimensional curvature on three-dimensional Lie groups with a left-invariant Lorenzian metric.

Key words: Lie algebras, Lie groups, left-invariant

Lorentzian metrics, curvature operators, spectrum.

* Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ (грант НШ—2263.2014.1), Правительства РФ (госконтракт № 14.В25.31.0029), Минобрнауки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» (код проекта: 1148).

1. Введение, постановка задачи. Важную информацию о строении риманова многообразия дает изучение спектров операторов кривизны и, в частности, их сигнатур. В этом направлении известны работы таких математиков, как

Дж. Милнора, Дж. Кальварузо, О. Ковальского, С. Никшевича, Ю.Г. Никонорова, Е.Д. Родионова, В.В. Славского и др. Так, в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой возможные сигнатуры спектра оператора Риччи определены Дж. Милнором [1]. Возможные сигнатуры оператора Риччи четырехмерных групп Ли с левоинвариантной ри-мановой метрикой указаны Ю.Г. Никоноровым и А.Г. Кремлевым [2,3].

Более сложная ситуация складывается в ло-ренцевом случае, где операторы кривизны Риччи и одномерной кривизны могут иметь как действительные, так и комплексные значения (см. подробнее [4]). Поэтому задача об исследовании сигнатур корректна лишь для соответствующих квадратичных форм.

Другим актуальным направлением в исследовании операторов кривизны являются задачи о восстановлении (псевдо)риманова многообразия по предписанному спектру оператора кривизны. О. Ковальский и С. Никшевич определили рима-новы локально-однородные пространства с предписанными значениями спектра оператора Рич-чи [5]. В случае левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли известна работа Дж. Кальварузо, О. Ковальского [4], в которой исследуется задача о существовании группы Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой и заданными значениями спектра оператора Риччи.

Что касается истории исследований кривизны левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли, то более подробная информация содержится в [6-12].

Основная цель данной работы — изучить вопрос о предписанных значениях оператора одномерной кривизны на трехмерных метрических группах Ли, исследовать сигнатуры формы одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с ле-воинвариантной лоренцевой метрикой.

2. Основные определения и обозначения. Пусть (О, д) — п-мерная группа Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой д, {0, [•.•]} — соответствующая алгебра Ли. Пусть V — связность Леви-Чивита.

При исследовании (псевдо)римановых многообразий важную роль играет тензор одномерной кривизны, определяемый формулой

А

1

п- 2

вд

2

А(Х,У ) = д(А(Х ),У),

где д — метрический тензор (псевдо)риманова многообразия.

Также определим квадратичную форму оператора одномерной кривизны с помощью равенства

А(Х) = А(Х, X).

Ввиду того, что проблема определения спектра оператора А и сигнатур формы А левоинвариант-ных лоренцевых метрик на заданной группе Ли является локальной, то естественно переформулировать ее в терминах метрических алгебр Ли. Именно, определить возможный спектр оператора А и возможные сигнатуры формы А для всевозможных скалярных произведений на заданной алгебре Ли.

Далее приведем математическую модель, позволяющую вычислять компоненты матриц А и А как функции структурных констант ск и метрического тензора д^- (подробнее см. [6,9,14]):

С-гуё г1'1- I'/-/./, ^ ' '"'у/' '"-/А / I г1, /'/) ,

^ = 1,,к дк,

йгДО = с|, ГяМ — Г?к Ггя,4 + Г|кГ

¿¿'1 як,4 1 ¿к1 ¿я,4 Гк = ^¿¿М д^ , в = Г ¿к дгк,

- ¿к1 ,

A¿

п2

sg¿j

Аг

, Aj — Агкд

2

kj

Он представляет собой целую часть от деления тензора кривизны на метрический тензор относительно произведения Кулкарни-Номидзу (см. [13]). С помощью тензора одномерной кривизны определим оператор одномерной кривизны А по правилу

Пусть теперь О — трехмерная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой. Определим структурные константы и удобный для вычисления базис в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой (см. [4,

9, 14, 15]).

Теорема 1. Пусть О — трехмерная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой д и алгеброй Ли 0, тогда в 0 существует базис, в котором матрицы С и д имеют один из видов, приведенных в таблице 1.

Доказательство теоремы 1 приведено в [9,14].

Замечание. Существуют ровно шесть неизоморфных трехмерных алгебр Ли и соответствующих им типов унимодулярных трехмерных групп Ли (см. [1]). Все они приведены в таблице 2 вместе с условиями на структурные константы, при которых алгебра Ли имеет данный тип. Если в таблице 2 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли, и столбца, соответствующему типу, стоит знак «-» значит, что для данной алгебры Ли невозможен соответствующий тип базиса.

3. Предписанные значения оператора одномерной кривизны А. Данный раздел посвящен доказательству нескольких теорем о пред-

1

Г

Г

Таблица 1

Структурные константы и метрический тензор в удобных для вычислений базисах

трехмерных алгебр Ли

Случай С 9 Ограничения

Алгебра Ли унимодулярна

А1 с12 = Л3, С31 = с32 = 922 = 933 = ~911 = 1

А2 с13 = С21 = 1, с12 = 1 - Л2, С§1 = 1 + Л2, 4з = Л1 311 = 922 = -933 = 1

АЗ с12 = С31 = с23 = с23 = 1) С21 = С31 = с23 = ^ 311 = 922 = -933 = 1

А4 с12 = Л3, «И = с23 = А С31 = с32 = « 922 = 933 = -911 = 1 /3^0

Алгебра Ли неунимодулярна

А с}3 = Лету», с§1 = С23 = А соэ С23 = ¡л эт 311 — 922 — —дзз — 1 ср ф ттк, к (Е х + и ф о, А > 0, м > 0

В С31 ^ с31 — в, с23 — р, с23 — </ 922 = -913 = -931 = 1 чф*

С1 С31 = с13 = с23 = -Р' с23 = Я 311 = 933 = -922 = 1 ч + «

С2 12 2 1 с13 — с23 — С31 — г) с23 — Р 311 = 933 = —922 = 1

Таблица 2

Трехмерные унимодулярные алгебры Ли

Алг. Ли Ограничения на структурные константы

А1 А2 АЗ А4

зи( 2) Ах < 0, А2,А3 > 0 - - -

в/(2,К) Ах, Аг > 0, Аз < 0 или Ах, Аз < 0, Аз > 0 или Ах, Аз, Аз > 0 Аь А2 / 0 А / 0 Аз ф0

е(2) Ах < 0, А2 > 0, Аз = 0 или Ах < 0, А2 = 0, А3 > 0 или Ах = 0, Аг, Аз > 0 - - -

е(1,1) Ах, Аз >0, Аз = 0 или Ах, Аз > 0, Аз = 0 или Ах = 0, А2 > 0, Аз < 0 Ах = 0, Аз ф 0 или Ах ф 0, Аз = 0 А = 0 Аз = 0

Н Ах < 0, Аг, Аз = 0 или Ах = Аз = 0, Аз > 0 или Ах, Аз =0, Аз > 0 Ах, Аз = 0 - -

К3 Ах, Аг, Аз = 0 - - -

писанных значениях оператора одномерной кривизны А.

Теорема 2. Трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, допускающая базис типа А4, и оператором одномерной кривизны А существует в том и только в том случае, если либо матрица оператора А диагонализируема и собственные значения удовлетворяют условию аз = —3а1 = —3а2 < 0, либо А имеет комплексно сопряженные собственные значения а^ = 7Щ = х ¡у и действительное собственное значение аз, причем аз + х < 0.

Доказательство. Из (1) следует, что матрица оператора одномерной кривизны в базисе типа А4 имеет следующие собственные значения:

1 13

а,1=Щ= --Аза + -/З2 + -А\ + г/3(2а - А3),

2 2 8

3 п2 ^ л 2 1 л

а3 = --/? - -А3 + -А3а,

Введем обозначения:

1 13

х= --Х3а + -/32 + -Х2, у = /3(2« - Аз),

2

2

8

тогда ах = а2 = х + гу. Пусть Аз = 2а, тогда

а3 = —^/З2 - ^а2 < 0, х = ^а2 + ^/З2 >0, у = 0,

а значит ах = а2 — действительные числа, аз + 3ах = 0 и система имеет следующее решение:

1 2

а = ±-у/-9/32-6а3, А3 = ±-^-Э/З2 - 6а3,

22 У/32 > --а3 > 0.

Пусть Аз ф 2а, а значит /3 = 2а-\3 Ф 0 и

аз + х = —

У2

1

тогда

{2а - Аз)2 " 4^ <

-А3 ± _,

2 V —^з — 4аз — 4х

где г — мнимая единица.

Аз = ±2

|«з + Зж| у7—(аз + х) л/у2 + (а3 + Зж)2

а

Нетрудно проверить, что условие Л^ + 4аз+ +4x < 0 выполняется при данном Л3.

Теорема 3. Трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, допускающая базис типа B, и оператором одномерной кривизны A существует в том и только в том случае, если A имеет два действительных собственных значения ai кратности 1 и a2 кратности 2, причем каждому соответствует одномерное собственное подпространство и выполняется <з,2 = — §ai ^ 0.

Доказательство. Из (1) следует, что матрица оператора A в случае B имеет следующую жорда-нову форму:

А--

•_5s2 8Л 0

0

0

8Л 0

0 1

¿s2 8Л

а значит, ее собственные значения равны

ai

5 2 — s < 0, 8 '

a2

3 2

— s > 0.

8 ^

Остальные случаи рассматриваются подобным образом.

4. Сигнатуры формы одномерной кривизны А. Изучение свойств тензора одномерной кривизны представляет интерес в понимании геометрического и топологического строения однородного (псевдо)риманова многообразия. Поэтому естественно пытаться отыскать общие свойства тензора одномерной кривизны. Один из вариантов — исследовать сигнатуры соответствующей формы одномерной кривизны однородного (псев-до)риманова многообразия.

Под сигнатурой квадратичной формы В, действующей на п-мерном евклидовом пространстве, будем понимать упорядоченный набор ^п(т1), sgn(т2),..., sgn(тn)), где п < Т2 < ... < ^ тп — собственные значения матрицы формы В, и sgn(ж) означает знак (вещественного) числа х.

Для упрощения изложения занумеруем все возможные сигнатуры для трехмерного случая так, как это указано в таблице 3.

Таблица 3

Возможные сигнатуры формы одномерной кривизны на трехмерных группах Ли

№ Сигнатура № Сигнатура

1

2

3

4

5

Теорема 4. Пусть G — трехмерная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, g —

метрическая алгебра Ли группы О, в — произвольная сигнатура из таблицы 3. Тогда в реализуется в качестве сигнатуры формы А для некоторого лоренцева скалярного произведения на 0 в том и только в том случае, если в таблице 4 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли 0, и столбца, соответствующего сигнатуре в, находится знак «+».

Таблица 4 Возможные сигнатуры формы А левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли

№ сигнатуры

Алгебра Ли 123456789 10

Алгебра Ли унимодулярна

A1

A2

A3

A4

t

s/

з

s1

e

sl

s1

+

+

+

+

+

+

+

+

e(l, 1) -- + - + +--

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Алгебра Ли неунимодулярна

A

+

B

C1

C2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Приведем доказательство теоремы 4 для случаев А2 и С1, остальные случаи рассматриваются аналогично.

Главные значения формы А в базисе типа А2 из таблицы 1 теоремы 1 имеют вид

5 2 1 a 1 — — -Ai + -А1А2,

a2,3

Л1-2Л2± 1

8

± ^Л?(ЗЛ1 - 4А2)2 + 64(Ai - 2А2)2.

Таким образом, определение сигнатуры формы А трехмерной унимодулярной алгебры Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой сводится к нахождению всевозможных знаков главных значений 01, 02, аз в зависимости от знаков структурных констант А1, А2.

Пусть А1 = А2 = 0, то есть алгебра Ли есть алгебра Л., тогда форма А тривиальна. Значит,

h

h

Таблица 5

Наборы структурных констант алгебры Ли в/(2, М) в случае А2 и соответствующие

им сигнатуры формы А

№ сигнатура А1 А2

2 1 3 4

3 (",",+) 1 1

5 (-,0,+) 1 5 4

6 (-,+,+) 1 2

Таблица 6

Наборы структурных констант алгебры Ли С2 и соответствующие им сигнатуры формы А

№ сигнатура г р Ч

1 (- - -) 0 0 1

2 0 1 1 2

3 (",",+) 0 1 \/3 2

4 (-,0,0) 1 3 1 \/3 3

5 (-,0,+) -3 1 -у/Ъ

6 (-,+,+) -2 1 2

8 (0,0,+) 1 2 1 \/3 4

9 (0,+,+) 1 1 10 11^ л 20 1

10 (+,+,+) -1 2 1

единственно возможной сигнатурой является сигнатура 7.

Пусть алгебра Ли есть алгебра е(1,1), то есть либо А1 = 0, А2 = 0, и главные значения формы А имеют вид

а1

0, а2,з = -2А2 ± 2|Аз|;

либо А1 = 0, А2 = 0, и главные значения формы А имеют вид

°\2

а1 = -оА1'

02,3 = А1

А1

Отсюда явным образом следует, что в случае алгебры Ли е(1, 1) реализуются только сигнатуры 3, 4, 8.

Пусть А1 = 0, А2 = 0, то есть алгебра Ли есть алгебра в/(2, М). В таблице 5 приведены значения параметров А1 , А2 , при которых реализуются возможные сигнатуры формы А. Докажем, что остальные сигнатуры не реализуются.

Пусть Ах = |А2, тогда главные значения формы А имеют вид

01

9 2'

02,3

22 --Л2 ±-|Л2|,

а значит, в этом случае реализуются только сигнатуры 2, 5.

Пусть далее Ах ^ |А2. Тогда

а2а3 = -—А2(ЗАХ -4А2)2 <0, 64

а значит, сигнатуры 1, 4, 7-10 не реализуются.

Главные значения формы А в базисе типа С2 из таблицы 1 теоремы 1 имеют вид

3 , ,2 1 2 «1 = %{Р + Г) ~ ^ >

1

«2,3 = -г

- V ± -у/н,

2 8 '

где Н = р4+4р3г+ 72р2^2 + 6р2г2 + 144рд2г+4рг3+ + 1694 + 72^2г2 + г4.

В таблице 6 приведены значения параметров г, р, д, при которых реализуются возможные сигнатуры формы А. Докажем, что оставшаяся сигнатура 7 не реализуется.

Пусть реализуется сигнатура 7. Тогда 01 = = а2 = аз = 0, а значит 0 = а2 + аз = г2 — р2, что, с учетом р + г = 0 дает р = г. Тогда

0 = а2 = ^уУ + 18р2</2+(/4,

что невозможно, так как д = 0. Следовательно, сигнатура 7 не реализуется.

Заключение. В результате проведенных исследований были даны ответы на часть нерешенных проблем теории операторов кривизны на метрических группах Ли малой размерности:

2

1. Найдены необходимые и достаточные условия существования трехмерной метрической группы Ли с предписанными значениями спектра оператора одномерной кривизны.

2. Доказана классификационная теорема о сигнатурах спектра формы одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвари-антной лоренцевой метрикой.

Библиографический список

1. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. — 1976. — V. 21.

2. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных рима-новых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Матем. труды. —

2008. — Т. 11 (2).

3. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных рима-новых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Матем. труды. —

2009. — Т. 12(1).

4. Calvaruso G., Kowalski O. On the Ricci operator of locally homogeneous Lorentzian 3-mani-folds // Cent. Eur. J. Math. — 2009. — V. 7(1).

5. Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-mani-folds // Geom. Dedicata. — 1996. — №1.

6. Воронов Д.С., Гладунова О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. —

2010. — №1/2.

7. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрико-ва Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на 3-мерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля // Вестник АлтГПУ. — 2004. — №4-3.

8. Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. Геометрия однородных римановых многообразий // Современная математика и ее приложения. — 2006. — Т. 37.

9. Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора кривизны Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренце-вой метрикой // Известия Алтйского гос. ун-та. — 2015. — №1/2.

10. Пастухова С.В., Хромова О.П. О предписанных значениях спектров операторов тензоров Риччи и одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске — 2015 : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.

11. Calvaruso G. Pseudo-Riemannian 3-mani-folds with prescribed distinct constant Ricci eigenvalues // Diff. Geom. Appl. — 2008. — V. 26.

12. Kowalski O. Nonhomogeneous Rieman-nian 3-manifolds with distinct constant Ricci eigenvalues // Nagoya Math. J. — 1993. — V. 132.

13. Бессе А. Многообразия Эйнштейна : в 2 т. / пер. с англ. — М., 1990.

14. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибри-кова Л.Н. Локально конформно однородные псевдоримановы пространства // Матем. труды. — 2006. — Т. 9(1).

15. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. — 2007. — V. 57.