ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДИКИ Г.А. ГЕНИЕВА, Н.С. ЧАУСОВА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER УДК 625.7

DOI: 10.22227/1997-0935.2022.4.454-462

Применение методики Г.А. Гениева, Н.С. Чаусова для исследования устойчивости пологих оболочек

Александр Георгиевич Колесников, Иван Андреевич Спасских

Юго-Западный государственный университет (ЮЗГУ); г. Курск, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Рассмотрено исследование устойчивости пологих оболочек на основе методики, изложенной в трудах Г.А. Гениева, Н.С. Чаусова. Проанализированы работы авторов, работающих над вопросами определения напряженно-деформированного состояния (НДС) данного вида конструкций, с указанием актуальных тенденций и недостатков применяемых методик.

Материалы и методы. В основу положена фундаментальная работа Г.А. Гениева, Н.С. Чаусова. В ней дается определение потери устойчивости I и II рода и обосновывается применение системы уравнений для описания НДС конструкции. Представленная система уравнений для пологих оболочек постоянной и переменной толщины и формы срединной поверхности решается с помощью метода Бубнова - Галеркина. Аппроксимирующие функции напряжений и перемещений дают возможность варьировать вид опирания конструкции.

Результаты. Реализация методики Г.А. Гениева, Н.С. Чаусова с использованием аппроксимирующих функций В.З. Власова позволила провести исследование влияния различных параметров на величину критической нагрузки для конструкций в виде пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности их работы. Приведены конкретные значения параметров конструкции, повышающие устойчивость II рода при постоянных исходных данных. Выводы. Проведенный анализ устойчивости пологих оболочек позволил выявить закономерности изменения величины критической нагрузки при варьировании различных геометрических характеристик. Эти результаты могут быть N {у использованы при проектировании реальных конструкций. При этом методика дает возможность ставить задачи

о о сч сч

О § КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пологая оболочка, устойчивость, переменная толщина, напряженно-деформированное со-

j? $ стояние, пространственные конструкции

00 N Благодарности. Авторы выражают благодарность профессору Леониду Юлиановичу Ступишину за многолетнюю

m помощь и поддержку в работе над исследованием конструкций в виде пологих оболочек.

Е

S з ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Колесников А.Г., Спасских И.А. Применение методики Г.А. Гениева, Н.С. Чаусова для ис-

|2 О следования устойчивости пологих оболочек // Вестник МГСУ. 2022. Т. 17. Вып. 4. С. 454-462. DOI: 10.22227/1997-

0935.2022.4.454-462

Ф О)

О % ---- "t^

<л

(Л

оптимизации таких конструкций с ограничениями на значение их объема (веса) или минимизировать его за счет взаимоувязанного изменения геометрических характеристик при сохранении несущей способности.

Автор, ответственный за переписку: Александр Георгиевич Колесников, ag-kolesnikov@mail.ru.

2 p Application of the G.A. Geniev, N.S. Chausova method for stability

of shallow shells investigation

Alexander G. Kolesnikov, Ivan A. Spasskikh

.g o Southwest State University (SWSU); Kursk, Russian Federation cl ° -

£ ° ABSTRACT

Я Ц

о

<л

(Л

s -Ж

Ï С

Introduction. The work is devoted to the stability of shallow shells investigation, based on the G.A. Geniev, N.S. Chausov

en ° methodology. An analysis is given of the works of the authors working on the issues of determining the stress-strain state

? ^ ofthis structure type. Current trends and shortcomings ofthe methods used are indicated.

Materials and methods. The analysis of stability is based on the G.A. Geniev, N.S. Chausov fundamental work. It defines the first and second kind stability lost and substantiates the use of an equations system to describe the stress-strain state of a structure. The equations system for shallow shells with constant and variable thickness and shape of the middle surface ^ 2 is solved using the Bubnov - Galerkin method. The approximating functions of stresses and displacements make it possible

(/) to vary the type of structure support.

g J5 Results. Implementation of the G.A. Geniev and N.S. Chausov methodology with V.Z. Vlasov approximating functions made

*  it possible to investigation the influence of various parameters on the critical load. The geometric nonlinearity of the work

of structures was taken into account. Specific values of the design parameters are given, which increase the second kind ^ — stability with constant initial data.

0 $ Conclusions. The analysis of the shallow shells stability made it possible to reveal the regularities in the change in the value

U >

of the critical load when varying various geometric characteristics. The presented results can be used in the design of real

© А.Г. Колесников, И.А. Спасских, 2022 Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial

structures. At the same time, it is possible to set the tasks of optimizing such structures with restrictions on the value of their volume (weight) or minimizing it due to the interconnected change in geometric characteristics while maintaining the bearing capacity.

KEYWORDS: shallow shell, stability, variable thickness, stress-strain state, spatial structures

Acknowledgements: The authors are grateful to professor Leonid Yulianovich Stupishin for many years help and support in the shallow shells investigation.

FOR CITATION: Kolesnikov A.G., Spasskikh I.A. Application of the G.A. Geniev, N.S. Chausova method for stability of shallow shells investigation. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2022; 17(4):454-462. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.4.454-462 (rus.).

Corresponding author: Alexander G. Kolesnikov, ag-kolesnikov@mail.ru.

ВВЕДЕНИЕ

Изучению конструкций в виде пологих оболочек сегодня уделяется значительное внимание в мире. Проводятся исследования устойчивости [1-4], прочности и колебаний конструкций, в том числе в нелинейной постановке [5-7], при учете специфики работы материала [8-10] и влияния дефектов [8, 11, 12]. Интересны публикации, в которых анализируется поведение слоистых [13-16] и ортотропных [9, 17] пологих оболочек, данные результаты могут быть использованы для моделирования железобетонных и армоцементных конструкций.

Однако перед проектировщиками зачастую стоят задачи не только расчета конструкций, но и исследования влияния различных параметров на напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции, поэтому разработка методов их анализа является важной задачей. В настоящее время большинство таких конструкций рассчитываются и изучаются при помощи программного обеспечения, основанного на методе конечных элементов. Это удобно для инженерного проектирования. Но в случае нелинейных задач можно получить результаты, точность которых трудно оценить. Решение сильно зависит от типа и числа конечных элементов.

Значительный вклад в развитие аналитических методов расчета конструкций в виде пологих оболочек внес Г.А. Гениев. В своих работах он вместе с соавторами привел основные уравнения, дал понятие потери устойчивости и заложил основу для дальнейших исследований [18].

Современные программные комплексы позволяют использовать методики Г.А. Гениева для решения сложных задач определения НДС оболочек с переменной формой срединной поверхности и тол-

щины. Дальнейшая разработка численных методов расчета и анализа тонкостенных конструкций, работающих в нелинейной стадии деформирования, остается актуальной задачей.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

В своей фундаментальной работе Г.А. Гениев, Н.С. Чаусов представляют основные уравнения пологих оболочек [18]. Также здесь приводятся характеристика, физический смысл потери устойчивости I и II рода. Под потерей устойчивости I рода понимается мгновенный переход от безмоментного (или близкого к нему) состояния к моментному (рис. 1, а). Происходит выпучивание оболочки. При этом к моменту потери устойчивости I рода в геометрической форме оболочки могут произойти значительные изменения в основном за счет упругого обжатия. Для учета этих изменений необходимо применение данных нелинейной теории, что возможно с помощью современных программных комплексов. При потере устойчивости II рода отмечается явление так называемого «хлопка» — выворачивания оболочки. Прогиб в центре оболочки мгновенно увеличится на существенную величину (рис. 1, Ь). Именно потеря устойчивости II рода вызывает наибольший интерес в практике проектирования подобных конструкций.

Потеря устойчивости II рода выражается условием:

¿Ре,

dw(

= 0,

где — прогиб в центре оболочки.

Согласно труду [18] коэффициент интенсивности верхней критической нагрузки может быть вычислен по формуле:

< п

tT

iH

О Г s 2

0 w

t CO

1 z y i

J CD

U

r i

n °

» 3

0 Ш

01

о n

p

rc.

AA.

27 C2

2 - 3C,C,)3/2 + C2

C2 9CC

CO CO

n NJ Ш 0

•)

ii

7

где

С1 = 2Eh

С3 = D-

т 2

J 3

JlJ 4

С2 = 3E- 3J2

JlJ 4

+ Eh

T 2

J 2 J J

J1J 4

D =

Eh3

12(1 -v2)'

где Е, V — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки; И — толщина конструкции.

Коэффициенты J1-J4 могут быть найдены из дифференциальных уравнений пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане [18, 19]:

. ОН

т

s

s У с о <D Ж

, ,

2 2 О О 10 10 10 10

До нагружения Before loading

After buckling

До нагружения

After stability loss

Перед моментом потери устойчивости Before the moment of stability loss

b

Рис. 1. Потеря устойчивости оболочки: а — I рода; b — II рода Fig. 1. Loss of shell stability: a — type I; b — type II

СЧ СЧ СЧ СЧ

о о

сч сч

К (V U 3 > (Л

с и ОН N

ii <D dj

о ё

(Л

w

г

El

О (Я №

1 n n д2w д2w

Eh ^ y dx2 х dy2 ху дхду дх2 ду2

д2w д2w д2w +

f -2, ^

дхду

DV2V2w -

д2 ф ду2

К +

д2 w дх2

д2 ф дх2

д2 w

ky + iyw

+ 2

д 2ф

дхду

к | д2w ху дхду

= 0,

- Z = 0,

где ф — функция усилий; w — функция прогиба;

Q(x, y) = Aw (x, y), w(x, y) = Bw(x, y).

д2 F дх2 ,

д2 F

ду2

- кривизна срединной поверх-

т= ности оболочки; k

д2 F

ху

дхду

кручение срединной

<л ел

Е о

CL ° ^ с

ю о

S g

о ЕЕ

а> ^

поверхности оболочки; F = F(x, у) — уравнение срединной поверхности оболочки при начальном нагру-жении.

Г.А. Гениев, Н.С. Чаусов предложили в своей работе [18] решать систему дифференциальных уравнений пологой оболочки методом Бубнова - Галер-кина. Аппроксимирующие функции напряжений и перемещений примем в виде:

Для исследования устойчивости пологой оболочки II рода выберем функцию W(x, у) таким образом, чтобы удовлетворялись условия для общего случая — упругой заделки по краям оболочки в отношении поворотов. Для этого применим балочные функции В.З. Власова [20].

w(x y) = Z^y. Тогда коэффициенты J - J4 примут вид:

a b

J1 = J J (v2V2w)йхйу,

a b

' 2 = JJ

д2F д2w д2F д2w - д2F д2w

-a-b v ду дх2 дх2 ду2 дхду дхду

-a-b

wdxdy,

a b

J3 = J J (Aw')wdxdy,

-a-b a b

J4 = J J Zwdxdy.

-a-b

Используя приведенный Г. А. Гениевым, Н.С. Чаусовым пример [18], можно проверить алгоритм решения для днища стального резервуара, укрепленного по контуру опорным кольцом с учетом представления системы уравнений (3) в полярных координатах. Расхождение в расчетах составило ме-

а

С. 454-462

нее пяти процентов. Подтверждение корректности работы методики дало возможность проводить дальнейшие исследования влияния различных параметров на потерю устойчивости пологих оболочек.

Срединную поверхность пологих оболочек можно задать как поверхность переноса и описать уравнением вида

F(х, y) = f

( х)"+в( У

+1

В значительной мере величину критической нагрузки можно корректировать распределением толщины вдоль образующей.

Изменение толщины оболочки вдоль образующей можно задать в системе (3), используя функцию вида:

h(х, y) = h0

где/ — стрела подъема в центре оболочки; а = - /К

/о

в = —параметры, характеризующие форму обо/о

лочки; /ъ / — стрелы подъема опорных арок оболочки; а, Ь — размеры в плане; 4 — параметр формы срединной поверхности оболочки, изменяющийся в пределах от 0,5 до 2,0.

Выражение для определения критической нагрузки (1) позволяет проводить исследование различных геометрических параметров на потерю устойчивости II рода. Например, в своей работе Г.А. Гениев, Н.С. Чаусов показали влияние на величину критической нагрузки параметра/0/И для сферической оболочки. Для более полного анализа целесообразно исследовать влияние и других геометрических параметров, что даст возможность проектировать конструкции более рациональной формы.

1 + k\-

,2П

1 + k\ -

,2П

где п — параметр формы изменения толщины оболочки; к — параметр, отвечающий за соотношение толщины оболочки на краю и в центре (при к < 0 толщина оболочки выпуклая, к > 0 — толщина оболочки вогнутая, к = 0 — толщина оболочки постоянна вдоль образующей); И0 — толщина оболочки в центре (рис. 2).

Представленные уравнения в полной мере позволяют описать процесс потери устойчивости II рода для пологих оболочек на прямоугольном плане с учетом геометрической нелинейности работы материала. При этом конструкция может иметь различные геометрические размеры, форму образующей, типы опирания и распределение толщины вдоль образующей.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализация методики Г.А. Гениева, Н.С. Чаусо-ва с применением аппроксимирующих функций

< п

tT

iH

О Г s 2

h = 0,75 h = 0,5

h = 0,5

b

Рис. 2. Распределение толщины вдоль образующей оболочки при: а — толщине в центре меньше, чем на краю; b — толщине в центре больше, чем на краю

Fig. 2. The distribution of thickness along the shell generatrix: a — the thickness in the center is less than at the edge; b — the thickness in the center is greater than at the edge

о

t со

l z

y i

J CD

u i

r i n

» 3 о

n

CO CO

n

a 0

^ 66 r 66

t (

• )

ii

7

. DO

s у

с о

<D Ж

, ,

2 2

О О

2 2

2 2

а

В .З. Власова и представление данных в безразмерном виде позволили провести исследование влияния различных параметров на величину критической нагрузки для конструкций в виде пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности ее работы.

На рис. 3, а приведена зависимость значения критической нагрузки, определяемой выражением (1) для пологой оболочки на квадратном плане от параметра формы 4 и отношения//И. Параметр 4 входит

в выражение (10) и определяет форму срединной поверхности оболочки. Например, при 4 = 0,5 — форма срединной поверхности коническая, а при 4 = 1,0 — сферическая. Значения параметров /0 и И принимались в рамках теории пологих тонких оболочек.

На рис. 3, Ь представлено влияние на потерю устойчивости конструкции рассматриваемого типа параметра формы 4 и отношения//а, принятого в рамках теории пологих оболочек.

22 22

о о

22

к ш

U 3

> (Л

с и to I»

Рис. 3. Исследование влияния различных параметров на величину критической нагрузки для пологой оболочки постоянной толщины

Fig. 3. Influence of various parameters on the value of the critical load for a shallow shell of constant thickness investigation

,_ £ Рис. 4. Исследование влияния различных параметров на величину критической нагрузки для пологой оболочки О (0

Ф m переменной толщины ВО >

Fig. 4. Influence of various parameters on the value of the critical load for a shallow shell of variable thickness investigation

С. 454-462

Графики показывают значительное возрастание значения критической нагрузки при увеличении отношения стрелы подъема в центре к размеру в плане и отношению стрелы подъема к толщине конструкции. Однако не следует использовать предельные значения отношения стрелы подъема к меньшему размеру в плане, так как при таких значениях определяющим может выступать потеря прочности конструкции [19, 21]. При этом оба графика демонстрируют влияние значения коэффициента формы конструкции на величину критической нагрузки. Оптимальное значение параметра 4 меняется в зависимости от других геометрических характеристик, но неизменно остается в пределах от 0,7 до 0,8. Эти значения находятся между формой, описываемой цепной функцией, и сферической формой образующей.

На рис. 4 приведено исследование влияния распределения толщины вдоль образующей пологой оболочки на потерю устойчивости. Рассматривается форма изменения распределения толщины вдоль образующей при различных значениях соотношения толщины в центре и на краю конструкции. На рис. 4, а показаны зависимости для оболочки,

толщина которой в центре меньше, чем на краю, на рис. 4, Ь — толщина оболочки в центре больше, чем на краю (см. рис. 2).

Графики на рис. 4 демонстрируют различное влияние формы изменения толщины оболочки при разных соотношениях толщины конструкции в центре и на краю.

В случае, когда толщина пологой оболочки в центре меньше, чем на краю (рис. 4, а), максимальное значение критической нагрузки достигается при значении параметра п в пределах от 0,6 до 0,7 (близко к форме, описываемой цепной функцией).

Если толщина оболочки на краю меньше, чем в центре (рис. 4, Ь), значение критической нагрузки возрастает с увеличением значения параметра п. Но при значении параметра п от 0,55 до 0,65 устойчивость конструкции минимальна.

На графиках рис. 4 видно, что существуют такие сочетания параметров k и п, при которых значение критической нагрузки одинаково. Например, при k = 0,20, п = 0,73 и k = 0,25, п = 1,12 при одинаковой толщине конструкции в центре.

Объем пологой оболочки можно определить выражением:

V = J ih(х. y)Jl+[

дF

дх

^F(х. у)Л2 ду

dxdy.

Зная объем конструкции и используя данные графиков на рис. 3 и 4, можно решать практические задачи снижения веса и материалоемкости конструкции при сохранении несущей способности [22]. При этом возможно отталкиваться от исходных данных для проектирования (размеров в плане или стрелы подъема), затем с помощью графиков (рис. 3) определить оптимальную толщину конструкции в центре и скорректировать ее распределение вдоль образующей (рис. 4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

В результате проведенного анализа устойчивости пологих оболочек с помощью методики, разработанной Г. А. Гениевым, Н.С. Чаусовым, получены показатели, позволяющие исследовать влияние раз-

личных геометрических параметров на величину критической нагрузки. Предложенные графики дают возможность отыскать близкие к оптимальным значения стрелы подъема, толщины в центре, формы образующей и распределение толщины вдоль образующей, отталкиваясь от исходных размеров в плане. Представление данных в безразмерном виде делает результаты анализа удобными для реального проектирования и дальнейших исследований. Использование в качестве аппроксимирующих балочных функций В .З. Власова позволило моделировать различные опирания конструкции. Приведенные конкретные величины взаимного отношения геометрических параметров конструкции могут быть применены для реального проектирования конструкций в виде пологих оболочек.

< п

tT

iH О Г

0 сл

t CO

1 z У 1

J to

U -

r i

n °

С 3

0 СЛ

01

о n

CO CO

n NJ

с ¡6

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Христофоров Е.Н., Сакович Н.Е., Никитин А.М., Шилин А.С. Устойчивость конической оболочки при равномерном внешнем давлении // Конструирование, использование и надежность машин сельскохозяйственного назначения. 2021. № 1 (20). С. 320-324.

2. Павлыш В.Н., Сторожев С.В., Номбре С.Б. Исследование нечетких моделей устойчивости и резонансных колебаний, замкнутых сферических и эл-

липсоидальных оболочек // Журнал теоретической и прикладной механики. 2020. № 3. С. 32-42.

3. Shahmohammadi M.A., Mirfatah S.M., Sale-hipour H., Azhari M., Civalek O. Free vibration and stability of hybrid nanocomposite-reinforced shallow toroidal shells using an extended closed-form formula based on the Galerkin method // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2021. Pp. 1-17. DOI: 10.1080/15376494.2021.1952665

• )

ii

7

. DO

T

s

s У с о <D Ж

, ,

О О 10 10 10 10

сч N сч N

0 о

N N

¡É 01 U 3 > (Л

с и со N

Sí

1 ?

<U О)

о ё

(Л

ел

Е о

CL ° ^ с

ю о

S !

о ЕЕ

feo

О) ^ т- ^

W W

2 3

Е!

О (Я

4. Antufiev B.A., Dobryanskiy V.N., Egoro-va O.V., Thu Kyaw A. Stability of a shallow cylindrical shell under a moving load // Journal of the Balkan Tribo-logical Association. 2021. Vol. 27. Issue 1. Pp. 115-124.

5. Babaei H., Jabbari M., Eslami M.R. The effect of porosity on elastic stability of toroidal shell segments made of saturated porous functionally graded materials // Journal of Pressure Vessel Technology. 2021. Vol. 143. Issue 3. DOI: 10.1115/1.4048418

6. Iarriccio G., Pellicano F. Nonlinear dynamics and stability of shallow spherical caps under pressure loading // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2021. Vol. 16. Issue 2. DOI: 10.1115/1.4049080

7. Iarriccio G., Pellicano F. Nonlinear dynamics and stability of pressure-loaded shallow spherical caps // Volume 7B: Dynamics, Vibration, and Control. 2020. DOI: 10.1115/IMECE2020-24100

8. Zhao W., Zhang J., Zhang W., Yuan X. Internal resonance characteristics of hyperelastic thin-walled cylindrical shells composed of Mooney-Rivlin materials // Thin-Walled Structures. 2021. Vol. 163. P. 107754. DOI: 10.1016/j.tws.2021.107754

9. ВильдеМ.В., Мыльцина О.А., Григорьев С.А., Белосточный Г.Н. Статическая термоустойчивость пологой геометрически нерегулярной оболочки из ортотропного термочувствительного материала // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020. Т. 24. № 4. С. 769-779. DOI: 10.14498/ VSGTU1784

10. Адегова Л.А., Бобрышева М.В., Щербинина А.Е. Исследование потери устойчивости цилиндрической оболочки, выполненной из композиционного материала // Вестник Сибирского государственного автомобильно-дорожного университета. 2021. Т. 18. № 3 (79). С. 342-350. DOI: 10.26518/2071-72962021-18-3-342-350

11. Rodrigues L., Silva F.M.A., Gongalves P.B. Effect of geometric imperfections and circumferential symmetry on the internal resonances of cylindrical shells // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2022. Vol. 139. P. 103875. DOI: 10.1016/j. ijnonlinmec.2021.103875

12. Storozhuk E.A. Stress-strain state and stability of a flexible circular cylindrical shell with transverse shear strains // International Applied Mechanics. 2021. Vol. 57. Issue 5. Pp. 554-567. DOI: 10.1007/s10778-021-01106-1

13. Huang S., Qiao P. A new semi-analytical method for nonlinear stability analysis of stiffened

laminated composite doubly-curved shallow shells // Composite Structures. 2020. Vol. 251. P. 112526. DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112526

14. Kazemi M.E., Kouchakzadeh M.A., Sha-kouri M. Stability analysis of generally laminated conical shells with variable thickness under axial compression // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2020. Vol. 27. Issue 16. Pp. 1373-1386. DOI: 10.1080/15376494.2018.1511016

15. Aleshina O.O., Ivanov V.N., Cajamarca-Zuniga D. Stress state analysis of an equal slope shell under uniformly distributed tangential load by different methods // Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2021. Vol. 17. Issue 1. Pp. 51-62. DOI: 10.22363/1815-5235-2021-17-1-51-62

16. StupishinL., KolesnikovA., NikitinK. Variable form forming investigation for flexible shallow shells on circular base // Asian Journal of Civil Engineering. 2017. Vol. 18. Issue 2. Pp. 163-171.

17. Бакулин В.Н., Недбай А.Я., Шепелева И.О. Динамическая устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки кусочно-постоянной толщины при действии внешнего пульсирующего давления // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2019. № 2. С. 19-25.

18. Гениев Г.А., Чаусов Н.С. Некоторые вопросы нелинейной теории устойчивости пологих металлических оболочек. М. : Государственное издательство по строительству и архитектуре, 1954. 52 с.

19. Ступишин Л.Ю., Колесников А.Г. Восстановление несущей способности и эксплуатационных характеристик геометрически нелинейных пологих оболочек на прямоугольном плане // Промышленное и гражданское строительство. 2014. № 2. С. 51-53.

20. Власов В.З. Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости // Известия академии наук СССР. Отдел технических наук. 1946. № 2. Т. X.

21. Ступишин Л.Ю., Колесников А.Г., Соломат-ников И.В. Исследование оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек по критерию максимума значений низших частот малых свободных колебаний // Известия Юго-Западного государственного университета. 2011. № 5-2 (38). С. 313316.

22. Stupishin L.Y., Kolesnikov A.G., Nikitin K.E. Optimal design of flexible shallow shells on elastic foundation // Journal of Applied Engineering Science. 2017. Vol. 15. Issue 3. Pp. 345-349. DOI: 10.5937/ jaes15-14654

Поступила в редакцию 30 марта 2022 г. Принята в доработанном виде 7 апреля 2022 г. Одобрена для публикации 7 апреля 2022 г.

Об авторах: Александр Георгиевич Колесников — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры уникальных зданий и сооружений; Юго-Западный государственный университет (ЮЗГУ); 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, д. 94; РИНЦ ГО: 513025; ag-kolesnikov@mail.ru;

, С. 454-462

для исследования устойчивости пологих оболочек

Иван Андреевич Спасских — студент; Юго-Западный государственный университет (ЮЗГУ); 305040, г Курск, ул. 50 лет Октября, д. 94; spasskyhivan_su-01@mail.ru.

Вклад авторов: авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

REFERENCES

1. Hristoforov E.N., Sakovich N.E., Nikitin A.M., Shilin A.S. Stability of a conical shell under uniform external pressure. Design, use and reliability of agricultural machines. 2021; 1(20):320-324. (rus.).

2. Pavlysh V.N., Storozhev S.V., Nombre S.B. Fuzzy models of stability and resonant vibrations, closed spherical and ellipsoidal shells investigations. Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 2020; 3:32-42. (rus.).

3. Shahmohammadi M.A., Mirfatah S.M., Sale-hipour H., Azhari M., Civalek O. Free vibration and stability of hybrid nanocomposite-reinforced shallow toroidal shells using an extended closed-form formula based on the Galerkin method. Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2021; 1-17. DOI: 10.1080/15376494.2021.1952665

4. Antufiev B.A., Dobryanskiy V.N., Egoro-va O.V., Thu Kyaw A. Stability of a shallow cylindrical shell under a moving load. Journal of the Balkan Tribo-logicalAssociation. 2021; 27(1):115-124.

5. Babaei H., Jabbari M., Eslami M.R. The effect of porosity on elastic stability of toroidal shell segments made of saturated porous functionally graded materials. Journal of Pressure Vessel Technology. 2021; 143(3). DOI: 10.1115/1.4048418

6. Iarriccio G., Pellicano F. Nonlinear dynamics and stability of shallow spherical caps under pressure loading. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2021; 16(2). DOI: 10.1115/1.4049080

7. Iarriccio G., Pellicano F. Nonlinear dynamics and stability of pressure-loaded shallow spherical caps. Volume 7B: Dynamics, Vibration, and Control. 2020. DOI: 10.1115/IMECE2020-24100

8. Zhao W., Zhang J., Zhang W., Yuan X. Internal resonance characteristics of hyperelastic thin-walled cylindrical shells composed of Mooney-Rivlin materials. Thin-Walled Structures. 2021; 163:107754. DOI: 10.1016/j.tws.2021.107754

9. Wilde M.V., Myltcina O.A., Grigoriev S.A., Belostochny G.N. Static thermal stability of a shallow geometrically irregular shell made of orthotropic temperature-sensitive material. Bulletin of the Samara State Technical University, Series Physical and Mathematical Sciences. 2020; 24(4):769-779. DOI: 10.14498/ VSGTU1784 (rus.).

10. Adegova L.A., Bobrysheva M.V., Scherbi-nina A.E. Study of stability loss of cylindrical shell made of composite material. The Russian Automobile

and Highway Industry Journal. 2021; 18 (3):342-350. DOI: 10.26518/2071-7296-2021-18-3-342-350 (rus.).

11. Rodrigues L., Silva F.M.A., Gongalves P.B. Effect of geometric imperfections and circumferential symmetry on the internal resonances of cylindrical shells. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2022; 139:103875. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2021.103875

12. Storozhuk E.A. Stress-strain state and stability of a flexible circular cylindrical shell with transverse shear strains. International Applied Mechanics. 2021; 57(5):554-567. DOI: 10.1007/s10778-021-01106-1

13. Huang S., Qiao P. A new semi-analytical method for nonlinear stability analysis of stiffened laminated composite doubly-curved shallow shells. Composite Structures. 2020; 251:112526. DOI: 10.1016/j.comp-struct.2020.112526 S

14. Kazemi M.E., Kouchakzadeh M.A., Shakouri M.

3 i

Stability analysis of generally laminated conical shells with k s

variable thickness under axial compression. Mechanics of S —

O

Advanced Materials and Structures. 2020; 27(16):1373- « c

1386. DOI: 10.1080/15376494.2018.1511016 f y

15. Aleshina O.O., Ivanov V.N., Cajamarca- O S Zuniga D. Stress state analysis of an equal slope shell h N under uniformly distributed tangential load by dif- J § ferent methods. Structural Mechanics of Enginee- ° — ring Constructions and Buildings. 2021; 17(1):51-62. a § DOI: 10.22363/1815-5235-2021-17-1-51-62 n (

16. Stupishin L., Kolesnikov A., Nikitin K. Vari- q i able form forming investigation for flexible shallow § f shells on circular base. Asian Journal of Civil Enginee- u S ring. 2017; 18(2):163-171. O f

17. Bakulin V.N., Nedbaj A.YA., Shepeleva I.O. a g Dynamic stability of an orthotopic cylindrical shell of f 6 piecewise constant thickness under the action of external C g pulsating pressure. News of Higher Educational Institu- t ( tions. Aviation Technology. 2019; 2:19-25. (rus.). t l

18. Geniev G.A., Chausov N.S. Some questions of f e the nonlinear theory of stability of shallow metal shells. ^ • Moscow, State Publishing House for Construction and U o Architecture, 1954; 52. (rus.). 3 1

19. Stupishin L.U., Kolesnikov A.G. Restoration of 1 : bearing capacity and operational characteristics of geo- : n metrically non-linear shallow shells on rectangular plan. S n Industrial and Civil Engineering. 2014; 2:51-53. (rus.). c 0

20. Vlasov V.Z. Some problems of strength of 44 materials, structural mechanics and theory of elasticity. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, 2 2 Department of Technical Sciences. 1946; X(2). (rus.). 10 10

21. Stupishin L.Yu., Kolesnikov A.G., Solomat-nikov I.V. Geometric nonlinear shallow shells optimum forms examination for maximum lowest frequencies of small free oscillations. Proceedings of the Soutwest State University. 2011; 5-2(38):313-316. (rus.).

Received March 30, 2022.

Adopted in revised form on April 7, 2022.

Approved for publication on April 7, 2022.

22. Stupishin L.Y., Kolesnikov A.G., Nikitin K.E. Optimal design of flexible shallow shells on elastic foundation. Journal of Applied Engineering Science. 2017; 15(3):345-349. DOI: 10.5937/jaes15-14654

B i o n o t e s : Alexander G. Kolesnikov — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Unique Buildings and Structures; Southwest State University (SWSU); 94 50 let Oktyabrya st., Kursk, 305040, Russian Federation; ID RISC: 513025; ag-kolesnikov@mail.ru;

Ivan A. Spasskikh — student; Southwest State University (SWSU); 94 50 let Oktyabrya st., Kursk, 305040, Russian Federation; spasskyhivan_su-01@mail.ru.

Contribution of the authors: the authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication. The authors declare no conflict of interest.

N N N N

0 О N N

* 01 U 3

> (Л

с и U N

si

1 ?

<D <D

О %

(Л (Л

E о

DL ° ^ с Ю °

S g

о ЕЕ

fee

СП ^ т- ^

<л

(Л

S2 =3

Si

О (Я