Экспресс-оценка склонности сложных динамических систем к вырождению

УДК 517/519:62.50:681.306

ЭКСПРЕСС-ОЦЕНКА СКЛОННОСТИ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ К ВЫРОЖДЕНИЮ

Н.А. Дударенко, М.В. Полякова, А.В. Ушаков

Рассмотрена проблема экспресс-оценки склонности к системному вырождению сложных динамических систем. Предложен алгоритм оценки функционала вырождения с помощью робастных вычислительных процедур. Выдвинутые положения проиллюстрированы примером.

Ключевые слова: экспресс-оценка, функционал вырождения, сложная система, критериальная матрица, робастная вычислительная процедура.

ВВЕДЕНИЕ

Сложная техническая система (СТС) типа «многомерный вход—многомерный выход» (МВМВ) реализует линейный (локально линейный) оператор, отображающий «пространство намерений» в «пространство осуществляемых реализаций». Математически вырождение линейного оператора означает сокращение размерности его образа [1, 2], т. е. уменьшение ранга этого оператора. Вырождение линейного оператора, реализуемого СТС типа МВМВ, переносится на систему, и далее в таком смысле понимается термин «вырождение сложной системы».

Ранг оператора, который в пользовательской среде заменяется на матрицу оператора, зависящую от базиса представления, является целочисленной характеристикой и изменяется скачкообразно при плавном изменении параметров элементов матрицы оператора. В этой связи возникает потребность в таком инструментарии, который позволил бы непрерывно оценивать появляющуюся в системе тенденцию к возможному ее вырождению. Этот инструментарий строится на использовании сингулярного разложения [1, 2] критериальных матриц, в основном применительно к отношению «вход—выход» СТС типа МВМВ, позволяющего конструировать функционалы вырождения, с помощью которых можно оценить склонность системы к вырождению.

При исследовании вырождения СТС можно выделить три возможных версии его проявления:

функциональное вырождение, физическое вырождение и системное вырождение [3, 4].

Первая версия предполагает, что СТС типа МВМВ оказывается вырожденной функционально в силу технологической необходимости функционирования ее агрегатных компонентов как единого целого. Наиболее наглядными примерами служат технологические процессы обработки материальных потоков, состоящие в формировании и подаче ленточного материала в листопрокатном производстве, в производстве бумаги и тканей, в организации заготовительных процессов в составе «бесскладовых» технологических производств, процессы динамической юстировки многокомпонентных оптических и радиооптических систем в режиме рабочей эксплуатации и т. д. [4]. Примерами технологических процессов по обслуживанию потоков могут служить процессы движения строем подвижных технических средств, управляемых антропокомпонентами-операторами

Вторая версия проявления вырождения предполагает сохранение способности нормального функционирования технологического оборудования МВМВ-системы в условиях, когда его функционирование физически приостанавливается. Это может произойти при отключении технологического оборудования от энергосистемы (по причинам экономического или техногенного характера), по причинам иссякания экзогенного потока заявок в силу утраты интереса потребительской среды к продукции, производимой данным поколением

технологического оборудования. Причиной тому могут быть факторы, сопровождающиеся физическим выпадением некоторого важного компонента из функционального состава МВМВ-системы.

Третья версия проявления вырождения, названная системной, порождается системными факторами, характеризующимися организационными причинами, состоящими в возможности неправильного распределения заявок по входам, в возможности неправильного согласования динамики потоков заявок с динамикой сепаратных каналов. Система может вырождаться по причине структурной и параметрической природы, когда в системе возникают нежелательные межканальные связи или если эти связи являются структурными компонентами, но коэффициенты передачи этих связей назначены неудачно, когда неудачно сформированы полосы пропускания сепаратных каналов, а в случае, если природа системы дискретная, неудачно назначены и распределены по каналам интервалы дискретности и т. д. [3].

Применяемый авторами инструментарий контроля вырождения СТС основан на использовании возможностей аппарата функционалов вырождения, позволяющего дать численную оценку близости сложной МВМВ -системы к вырождению, сопровождающегося частичной или полной потерей ее работоспособности.

Технология контроля системного вырождения СТС сформировалась как двухфазный процесс. В первой фазе конструируются критериальные матрицы, чаще всего применительно к отношению «вход—выход» при различных способах задания «динамических намерений». Во второй фазе конструируются функционалы вырождения как инструмент численной оценки вырождения.

В работе основное внимание сосредоточено на вычислительных проблемах экспресс-оценки системной версии проявления вырождения сложной МВМВ-системы с помощью аппарата функционалов вырождения.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Поставим задачу конструирования критериальных матриц для случая конечномерного задания «динамических намерений». Пусть сложная динамическая МВМВ -система задана векторно-матричным описанием

х (?) = Fx(t) + Gg(t); *(0) = х(?)|, = 0, у(?) = Сх(?),

где х, g и у — векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно: х е Я ”, g, у е Ят, Е, О и С — матрицы, размерности которых согла-

сованы с размерностями векторов х, g и у так, что Е е Я”х”О, СТ е ЯтХ”.

Непрерывная динамическая МВМВ-система, представленная в виде (1), предназначена для обработки входных заявок g(t), моделируемых векторной выходной переменной автономной системы

г (?) = ВД, г(0) = г(% = 0, g(t) = ад, (2) именуемой источником конечномерного задающе-

п/ п 7)/^/

го воздействия, в котором г е Я, Е е Я , Р е Я — соответственно векторы, согласованные по размерностям матрицы источника задающего воздействия, который выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы его выход

g(?) = Рг(?),

где г(?) = е г(0), на множестве начальных состояний г(0) адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы. Для целей дальнейших исследований воспользуемся следующими утверждениями.

Утверждение 1. Если матрицы описаний (1) и (2) связаны матричным уравнением Сильвестра

ТЕ - FT = GP,

то решение системы (1) может быть представлено в форме

х(?) = ерх(0) + (ТеЕ

ерТ )г(0),

у(?) = Сх(?) = Серх(0) + С(ТеЕ

ерТ)г(0). ♦

Доказательство утверждения 1 можно найти в работе [5].

Если в движении по выходу у(?) выделить все компоненты: свободное усв(?) и вынужденное ув(?), переходное уп(?) и установившееся уу(?) движения, то по этим компонентам можно сформировать четыре линейные алгебраические задачи (ЛАЗ), параметризованные непрерывным временем ? и имеющие представления:

Усв( ?) = СеРх( 0) = ^св( ?)х( 0),

Ув (?) = С(ТеЕ - еРТ) г( 0) = N (?) г( 0), Уп (?) = -СеріТг( 0) = N (?) г( 0),

Уу (?) = СТеЕ‘г( 0) = ^( ?)г( 0).

Вид каждой критериальной матрицы из банка (5) определяется следующими факторами: модель МВМВ -системы (1), вид конечномерного задающего воздействия, определяемого парой матриц (Е, Р), и решение матричного уравнения Сильвестра (4) в виде матрицы Т. Конкретный выбор кри-

териальной матрицы из банка (5) определяется предметом исследования.

Поставим задачу конструирования функционалов вырождения критериальных матриц банка ЛАЗ (5), полученных применительно к сложной динамической МВМВ-системе (1) путем приведенных векторно-матричных преобразований.

Для придания результатам большей общности запишем ЛАЗ в форме

п

где Щм?) — т х т критериальная матрица параметризована переменной м; м принимает смысл непрерывного времени ?, когда ЛАЗ (6) параметризована непрерывным временем, и смысл дискретного времени к, выраженного в числе интервалов дискретности длительности А?, когда ЛАЗ (6) параметризована дискретным временем; п(м), х(м) — т-мерные векторы, причем х(м) может принимать смысл х(0).

Для экспресс-оценки склонности к системному вырождению исследуем сложную динамическую систему в алгебраической постановке вида (6) с критериальной матрицей N с помощью аппарата функционалов вырождения /^ [4].

Аппарат функционалов вырождения /^ строится на спектре ст {Щ} сингулярных чисел [1, 2] а,

7 = 1, т, критериальной матрицы Щ, так что они задаются с помощью соотношения

/иу = а>1; у = т ь

СТа(Щ) = {а = |ц]/2| : Ь- : - ЩТЩ = 0;

7 = 1, т}.

Функционалы вырождения (7) обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Функционалы вырождения /Пу критериальной матрицы N удовлетворяют неравенствам 0 < /дДЩ) < 1, V = 1, т .

Свойство 2. Функционалы вырождения /Пу критериальной матрицы N не зависят от умножения этой матрицы на скаляр а, в общем случае параметризованный некоторым параметром у, так что а = а (у), что представимо в форме /дДа(у)Щ) =

= /п^(Щ) = /ы v = ^ .

Свойство 3. Функционалы вырождения /^ критериальной матрицы N не зависят от умножения критериальной матрицы слева или справа на ортогональную матрицу [1, 2].

Свойство 4. Глобальный функционал вырождения /((Щ является обратным числу обусловленности С^):

/^) = С-1^).

Свойство 5. Глобальные функционалы вырождения /д матриц N и N 1 совпадают, т. е. /д^) =

= /в^-1). ♦

В завершение рассмотрения свойств функционалов вырождения отметим важное алгебраическое свойство глобального функционала вырождения /((N), которое оформим в виде утверждения.

Утверждение 2. Величина /в1, обратная глобальному функционалу /в вырождения, — число обусловленности С(Ж) выступает в качестве коэффициента усиления относительных погрешностей задания 8Ы и 8х матрицы N и вектора х ЛАЗ (8) в задаче оценки относительной погрешности 8к решения ЛАЗ в форме

5к < /в {^^ + 8Х + Vх) =

= + 8х + 8^5х). ♦

Доказательство можно найти в работах [2, 6, 7].

У алгебраического свойства глобального функционала вырождения /

при /^^ = 0,01, то оценка 8 к = /-1 (N^8^ + 8х + + 8^8х) относительной ошибки 8к решения ЛАЗ

составит величину 8 к = 1 (100 %).

Из полученных выражений для функционалов вырождения нетрудно видеть, что они количественно зависят от вида критериальной матрицы, которая конструируется на основе свойств динамических МВМВ -систем, вида входных заявок и сформулированной задачи исследования: параметризованной временем в случае, когда интерес представляют временные показатели процесса вырождения, или не параметризованной, когда интерес представляет проблема правильного распределения заявок по каналам системы. Далее задача решается в предположении, что критериальная матрица задана и параметр м = ? фиксирован.

Выделим задачу, в которой не требуется исследование тонкой природы процесса вырождения, а достаточно сформировать экспресс-оценку склонности сложной МВМВ-системы к системному вырождению. Для этого достаточно воспользоваться глобальным функционалом вырождения /G(N), определяемого выражением (8). Если его значение зафиксировано на уровне /G(N) ^ 0,01, то разра-

ботчик должен насторожиться, если же его значение существенно меньше указанного, то следует запретить эксплуатацию системы.

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЭКСПРЕСС-ОЦЕНКИ ВЫРОЖДЕНИЯ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ

Вычислительные проблемы экспресс-оценки склонности сложной динамической МВМВ -системы к вырождению связаны с представлением глобального функционала в форме (8). В силу свойства 4 глобальный функционал вырождения /G(N) обратен числу обусловленности матрицы N определяемому [1, 2] выражением

с(н) = т • цм

Для нахождения числа обусловленности требуется обращение матрицы и может быть использована любая матричная норма. Обращение матрицы, в случае близости критериальной матрицы к вырождению, может представлять собой сложную вычислительную проблему. Поэтому робастные вычислительные процедуры в целях экспресс-оценки склонности сложных динамических систем к вырождению на первом этапе сосредоточены на возможности исключения процедуры обращения матрицы при расчетах. Полезно воспользоваться следующим утверждением.

Утверждение 3. Обратная матрица N 1 может быть представлена конечным степенным рядом по положительным степеням матрицы N в форме

т-1 = ап1

'тп -1 + £ атп -1 -1 ,

і = 1

где а , а,, і = 1, п, — коэффициенты характеристи-

п і

ческого полинома

Б(Х) = ёе1;(Х1 — N =

= Хп + а,Хп 1 + а2Хп 2 + ... + ап А + ап.

1 2 п — 1 п

Доказательство строится на использовании теоремы Гамильтона—Кэли [1], в соответствии с которой квадратная матрица обнуляет свой характеристический полином, т. е.

дт) = ёе1(1/ — И)1Х = м = т + а1тп — 1 +

+ а2тп — 2 + ... + а т + а I = 0,

2 п — 1 п ?\/

где 0 — п х п нулевая матрица.

Умножим матричный полином (11) на матрицу N 1, в результате получим выражение

т-п — 1 + а.М'1 — 2) + ... + а ,! + а ^1 = 0,

1 — 1

разрешаемое относительно матрицы N 1 в форме соотношения

ап^1 = —

( п-1

Ып -1 + £ аN -1 -

приводимого к виду (10). ♦

Примечание. Если матрица N обладает минимальным аннулирующим многочленом у(Х) [1], степень пч которого меньше степени п характеристического полинома ^(Х), то он позволяет упростить вычисление обратной матрицы N 1 в виде матричного полинома по положительным степеням матрицы меньшим числом членов в силу выполнения неравенства п^ < п. ♦

Представление обратной матрицы N 1 в форме (10) порождает дополнительную проблему, связанную с вычислением коэффициентов аі характеристического полинома матрицы N которая особенно остро встает в случае ее высокой размерности. Эта проблема удачно решается с помощью алгоритма Фаддеева—Леверье [1] разложения резольвенты матрицы. Воспользуемся следующим утверждением.

Утверждение 4. Резольвента (XI — N 1 матрицы N представима разложением по положительным целым степеням скалярной переменной X с матричны-

ми п х п коэффициентами Ні, і = 0, п - 1 вида

(XI — И)—1 = (Хп + а1хп — 1 + ... + ап — 1Х + ап)-1 х х (Хп — 1Н0 + Хп — 2Н1 + ... + Нп — 1),

в котором элементы И1 и а1 + 1, I = 0, п - 1 вычисляются с помощью рекуррентной процедуры Фаддее-ва—Леверье

Но = I,

Н1 = ЫН0 + а11,

Нк = Шк — 1 + а*1,

а1 = —Ц-^Н,), а2 = —Ц^Н^А

ак + 1 =

к = 0, п - 1. ♦

Доказательство утверждения 4 можно найти в работе [1].

Нетрудно видеть, что рекуррентная процедура Фаддеева—Леверье (12) в части, описывающей процесс формирования коэффициентов характеристического уравнения матрицы N, позволяет воспользоваться выражением (10) для формирования матрицы N 1.

Обозначим еще одну вычислительную проблему. Строго говоря, глобальный функционал вы-

рождения JG(N) обладает свойством 4 только тогда, когда в выражении для числа обусловленности (9) используется спектральная норма |Ю)||2, т. е.

= ’ ’

Известно, что спектральная норма матрицы достаточно трудно вычисляется [8]. Для ее вычисления обычно прибегают к сингулярному разложению матрицы с помощью SVD-процедуры [9, 10], обладающей своими вычислительными трудностями.

Поставим задачу перехода от точного значения функционала вырождения в форме (11) к его оценке, которая строится на оценках спектральных норм матриц N и N—1. Для спектральной нормы ^||2 произвольной квадратной матрицы N справедлива оценка [2]

где

и

— соответственно столбцовая и строчная нормы матрицы N [8], определяемые как максимум суммы абсолютных значений элементов соответственно по столбцам и строкам матрицы N. Выражение (14) позволяет ввести в рассмотрение

IIN И2 =

и аналогичную оценку

= т-1т-1ц„)1/2.

С помощью оценок (15) и (16) можно ввести в

рассмотрение оценку /в {Ж} глобального функционала /в{Щ, задаваемой в силу формулы (13) выражением

л л л -1 1 їв{m} = (|ту|^ ||2)-1.

Робастная вычислительная процедура примел -1

нительно к оценке || N ||2 в силу выражения (10) принимает вид

N

п - 1)

+ £ а

і = 1

п - 1 - і)

Nп -1).

і = 1

N п -1 -{)

1/2

Соотношения (10), (12), (16)—(18) позволяют сформировать алгоритм формирования оценки глобального функционала вырождения, который опирается на робастные вычислительные процедуры в задаче экспресс-оценки склонности сложных динамических систем к вырождению.

3. АЛГОРИТМ ЭКСПРЕСС-ОЦЕНКИ

Алгоритм экспресс-оценки склонности сложной динамической системы к вырождению с помощью робастных вычислительных процедур состоит в следующем.

1. Сформировать (или получить от заказчика) критериальную матрицу N на основе векторноматричного описания сложной динамической системы вида (1), аналитического представления (2), (3) механизма формирования «динамических намерений» и их распределения по сепаратным входам системы.

2. Вычислить коэффициенты характеристического полинома матрицы N с помощью рекуррентной процедуры Фаддеева—Леверье (12).

3. Представить матрицу N-1 в виде конечного ряда по положительным степеням матрицы N в форме (10), используя коэффициенты ее характеристического полинома, вычисленные в п. 2.

4. Вычислить столбцовые и строчные нормы матриц N и N 1 в соответствии с определением [10].

5. Вычислить оценки спектральных норм || N ||2

л -1

6. Вычислить значение оценки /в {^ (17) глобального функционала вырождения.

7. Передать полученное значение оценки /в {^} системному аналитику на предмет экспресс-оценки склонности сложной динамической системы к вырождению.

Пример. Проиллюстрируем разработанный алгоритм.

1. Сформируем (получим от заказчика на исследование) критериальную матрицу

N =

33 -160 175 270

9 175 -750 200

1 270 200 -11000

70800 63850 18000 1900

2. Вычислим коэффициенты характеристического полинома матрицы N с помощью алгоритма Фаддеева—Леверье: а1 = —2308;

= -420864811625; а4 = 838609761624995.

а2 = 167140340; а3 =

2

1

а

п

1

X

а

п

да

3. Вычислим матрицу N 1 с помощью формулы (10), используя результаты п. 2:

0,0067 0,00187 0,0002 0,000011

-0,00695 -0,0016 -0,0002 0,0000034

-0,0016 -0,0017 -0,00007 0,00000096

-0,0002 -0,00007 -0,0001 0,0000001

4. Вычислим столбцовые и строчные нормы мат— 1. II \Л| — 1Г\ОЛ Ъ N Л7ІІ — 1 II Л7 1II —

риц N и N

= 0,0142, \№ \ = 0,0088.

5. Вычислим оценки спектральных норм \\N \\2 и

л — 1 л С ^ _1

\^ \2 \\JVW2 = 1,0464-105; \^ \\2 = 0,0116.

6. Вычислим значение оценки (17): J (N1 = 0,008

7. Передать полученное значение оценки JG (N1 глобального функционала JG(N} вырождения системному аналитику на предмет экспресс-оценки склонности сложной динамической системы к вырождению, дав рекомендацию на приостановку эксплуатации сложной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Оболочка МаНаЪ любых версий, которая стала рабочим инструментом исследователя динамических систем, с ростом размерности последних, обнаруживает свои вычислительные слабости [11]. Это заметно проявляется, начиная с размерности выше шестой, при осуществлении матричных преобразований, особенно при решении матричных уравнений [8]. В таких случаях исследователю приходится составлять авторские программы. Авторы надеются, что материалы, предлагаемые вниманию читателей статьи, могут оказаться полезными при решении задач оценки склонности динамической системы к вырождению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

2. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления / Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 548 с.

3. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Проблема вырождения производственной динамической системы, порождаемой фактором усталости ее антропокомпонентов // Изв. вузов. Приборостроение. — 2009. — Т. 52. — № 11. — С. 62—67.

4. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Достаточные алгебраические условия обобщенной синхронизируемости многоканальных динамических объектов // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2009. —№ 5. — С. 17—20.

5. Ушаков А.В. Модальные оценки качества процессов в линейных многомерных системах при внешних конечномерных воздействиях // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 11. — С. 72—82.

6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 584 с.

7. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение / Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 264 с.

8. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений / Под ред. Д.К. Фаддеева. — М.: Наука, 1984. — 192 с.

9. Ланкастер П. Теория матриц / Пер. с англ. — М.: Наука, 1984. — 464 с.

10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 280 с.

11. Чертков К.Г., Петров Ю.П. Ошибки, обнаружившиеся в пакете МАТЬАБ // Тр. второй всерос. конф. «Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАБ» / ИПУ РАН, 2004. — М., 2004. — С. 318—324.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.Н. Афанасьевым.

Дударенко Наталия Александровна — канд. техн. наук, доцент, И dudarenko@yandex.ru,

Полякова Майя Вячеславовна — аспирантка, И 12noch@mail.ru;

Ушаков Анатолий Владимирович — д-р техн. наук, профессор, И Ushakov-AVG@yandex.ru,

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики, в (812) 595-41-28.

VII Всероссийская школа-конференция

молодых ученых

Управление

большими системами

Пермь, 27 - 29 мая 2010 г.

Школа-конференция организована Институтом проблем управления РАН, Министерством образования и науки Пермского края, Пермским государственным техническим университетом и другими ведущими в области теории управления и ее приложений научными и образовательными учреждениями.

Основные направления работы конференции:

• общая теория управления;

• управление сложными технологическими процессами и производствами;

• управление социальными и экономическими системами;

• информационные технологии в управлении.

Приглашаются к участию молодые ученые (студенты и аспиранты, кандидаты наук в возрасте до 35 лет, доктора наук — в возрасте до 40 лет). Наряду с выступлениями молодых ученых планируется цикл лекций ведущих специалистов по теории управления и применению информационных технологий в управлении большими системами. Возможно заочное участие.

УРЬ: http://UBS2010.pstu.ru, И ck@pstu.ru, в/В 8-342-219-80-29.