Структурная эквивалентность математических бильярдов

УДК 531.01

СТРУКТУРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ БИЛЬЯРДОВ

Л. В. Буторина1, Е. И. Кугушев2

Показывается, что в предположении гладкости и строгой выпуклости границ математические бильярды структурно-эквивалентны тогда и только тогда, когда их области действия геометрически подобны, а отображение эквивалентности границ является отображением подобия.

Ключевые слова: математические бильярды, эквивалентность.

It is shown, that under the assumption on the smoothness and strong convexity of boundaries, the mathematical billiards are structurally equivalent if and only if their regions are geometrically similar and the equivalence mapping of the boundaries is a similarity mapping.

Key words: mathematical billiards, equivalence.

Бильярд Биркгофа (или математический бильярд [1, 2]) на плоскости определяется своей областью действия B, в которой двигается бильярдная точка в отсутствие внешних сил. Будем считать, что B выпукла, ограничена и ее граница Г = Г(В) является образом при достаточно гладком отображении окружности на плоскость. Определим орбитальное отображение ц : Г х Г ^ Г так, что бильярдный "шар" попадает в точку рз = n(pi,'2), отразившись от точки pi, а затем от точки '2.

Будем говорить, что два бильярда Bi и В2 структурно-эквивалентны, если существует взаимно однозначное отображение л : Г ^ Г2 границы первого бильярда на границу второго, при котором точки удара траекторий бильярда Bi переходят в точки удара траекторий бильярда В2. Это означает, что орбитальное отображение первого бильярда преобразуется в орбитальное отображение второго: ¡(Vi(pi,Р2)) = V2(p('pi),л('Р2)) для любых pi,p2 £ Г1. Отображение л будем называть отображением эквивалентности бильярдов.

Бильярды с геометрически подобными областями являются структурно-эквивалентными, поэтому можно рассматривать только бильярды, у которых длина границы области действия равна единице.

Возьмем два структурно-эквивалентных бильярда Bi и B2 с границами Г^ Г2 и отображением эквивалентности ¡. Выберем любую точку ро £ Г и введем на границах бильярдов натуральные параметры si и S2, отсчитывая их соответственно от точек ро и qo = ¡('Ро). Направление обхода кривой Г выберем таким, чтобы область действия бильярда оставалась слева. Направление обхода кривой Г2 индуцируем при помощи отображения эквивалентности ¡, которое будем описывать как отображение натуральных параметров: S2 = ¡(si).

Верно следующее

Утверждение 1. Пусть области действия бильярдов Bi и B2 выпуклы, ограничены и имеют границы гладкости класса C5, причем кривизны граничных кривых всюду положительны, а их производные почти всюду отличны от нуля. Если бильярды структурно-эквивалентны и отображение эквивалентности ¡(s) имеет класс гладкости C4, то бильярдные области геометрически подобны и ¡(s) = s.

Доказательство. Рассмотрим сначала некий бильярд B. Обозначим через k(s) кривизну его граничной кривой Г. Для любой точки pp(s) £ Г обозначим через р' = т единичный касательный вектор и через n(s) — вектор главной нормали. Используя формулы Френе т' = kn, n' = —кт, для плоской кривой получим

г kn ç2 (k'n — к2т) ç3 ((к'' — k3)n — Зкк'т) ç4 p(s + S) = p(s) +tô + — ô2 + ±---J- S3 + ^--J- ô4 +

{{k'" — 6k2k')n + (fc4 — Akk" — 3(fc/)2)r) 5 5

120 1 h 1 ' где штрихом обозначены производные по натуральному параметру s.

1 Буторина Людмила Вячеславовна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

lowenzahnwein@gmail.com.

Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та

МГУ, e-mail: kugushev@keldysh.ru.

Для любой точки 'р(во) границы введем на бильярдной плоскости систему координат (х, у) с началом в этой точке. Ось Ох направим по касательной т, а ось Оу — по нормали п. Тогда для р(в + 5) = (х(5),у(5)) из (1) имеем

к2 кк' 6 8

Заметим, что

к к' (к" — кг) (к'" — 6к2к') у{5) = 1 ¿2 Л. ¿3 {к к) 4 (к-5 5

уу ' 2 6 24 120

Поэтому

х(5) 5 V 6 8

у{5) к к' 2 ,

Пусть п — бильярдное отображение. Для малой величины и > 0 рассмотрим двухзвенный участок бильярдной траектории, идущий из точки во — и в точку во и после отражения попадающий в точку в = п(во — и, во). Для фиксированного во обозначим у(и) = п(во — и, во) — во. Таким образом, и — это длина дуги границы от точки первого удара (во — и) до точки второго удара во, а у (и) — длина дуги границы Г от точки второго удара до точки третьего удара (во + у).

Обозначим через ф- и ф+ углы между отрезками бильярдной траектории и осью Ох при подходе к точке удара во и отходе от нее. Полагая 5 = —и и учитывая, что х

у(—и) ки к'и2 (к'' + к3) 3 (6к''' + 29к2к') 4 . 4ч

- -1Ы = т —в" + Чг^' - 720 " + »

При 5 = у получим из

+ у(у) ку к'у2 (к'' + к3) 3 (6к''' + 29к2к') 4 . 4ч

tgLp+ = ^- = — +-+ ^-+ ^-- у о

х(у) 2 6 24 720

Если к(во) > 0, то у(и) — гладкая функция. Разложим ее в ряд Тейлора по и до членов четвертого порядка: у(и) = ао + а1 и + ... + а4и4 + о(и4). Подставим это соотношение в равенство tg ф- = tg ф+, используя (3) и (4). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и, найдем значения коэффициентов а^:

1 к' 2 4 (к'\2 3 (кк' к"' 4 (к'\3 к'к'Л 4 , 4.

^ = Г+эЫ м +^Т80-т"9Ы +0{и)-

Перейдем теперь собственно к доказательству утверждения. Будем обозначать через в1 и в2 натуральные параметры на граничных кривых Г1 и Г2 соответственно. Отображение эквивалентности ц связывает между собой их значения в соответствующих точках: в2 = Ц-(в1). Обозначим через к1 (в) и к2(в) кривизны граничных кривых Г1 и Г2 соответственно.

Рассмотрим, как и выше, двухзвенные участки бильярдных траекторий на первом бильярде В1. Длины дуг границы Г1, разделяющих точки ударов, обозначим и1 и Уl. Таким образом, траектория из точки в1 — и1 идет в точку в1, а затем — в точку в1 + У1. При отображении эквивалентности ей будет соответствовать двухзвенный участок траектории бильярда В2, который из точки ц(в1 — щ) идет в точку в2 = ц(в1), а затем — в точку ц(в1 + у).

Обозначим через и2 = в2 — ц(в1 — щ) и у2 = ^(в1 + у1) — в2 длины соответствующих дуг на границе Г2. Раскладывая правые части этих соотношений в ряды Тейлора по и1 и у1, получим

и2 = ц'{в1)и1-^^и21 +... + о{и\), у2 = цХв^Уг + ^^ у\ + ... + о

В соответствии с (5) зависимость у2(щ) можно представить в виде ряда по степеням и2. Подставив в эту зависимость выражение щ и у2 из (6), получим равенство, содержащее ряд по у1 в левой части и ряд по и1 — в правой. Подставив в него выражение у1(и1) в виде ряда по степеням и1 в соответствии с (5), получим равенство двух рядов по и1:

ц'щ " (у + Ц (Ю2) и\ + ... + о(и\) = ц'щ + (у - ^ + • • • + °(И!)>

где значения кривизны и ее производных берутся в точке = ¡(я). Члены при П\ и из в этом соотношении сокращаются. Приравнивая члены при и\, получим

2к'2(p(s{)) . ,, 2

3к2

Приравнивая члены при u4, получим

¡(4) =

кгк[ 2 к'('

15

5кг

3

з \h 1

2

2kj_

Ък2

16 "з

"-'Й'+

2 к' к"

к2 к2

к2

(Ю

Л4

Для любого Л > 0 рассмотрим бильярд Б\, полученный из бильярда Б\ однородным сжатием его области действия в Л раз. Параметризуем границу Б\ натуральным параметром вд = Л-181. Бильярды Б\ и Б2 структурно-эквивалентны с отображением эквивалентности

¡\(s\) = K^s\).

Кривизны к\ и кг границ бильярдов Б\ и Бг связаны соотношением

k\(sx) = h(\sx).

Выпишем соотношение (8) для отображения эквивалентности бильярдов Б\ и В2 и подставим в него (9) и (10). Это равносильно тому, что в (8) проведена подстановка

¡(n) - Лпл,

кП -

Л(п+г)къ

n

0,1, 2,

Полученное таким образом соотношение будет иметь вид полиномиального по Л соотношения с постоянными коэффициентами

М4 + ЬзЛ3 + ... + bo = 0, верного для любого положительного Л. Значит, b4 = Ьз = ... = bo = 0. Замечаем, что

b3 = |V//' = 0.

3к2

Пользуясь тем, что почти всюду к2 > 0, к2 = 0, получаем, что почти всюду ¡'¡л" = 0. Из (7) следует, что ¡л" = 0 при ¡л' = 0. Поэтому почти всюду ¡л" = 0, и из непрерывности правой части (7) вытекает, что ¡л" = 0 всюду. Значит, ¡'(si) = const. Вспоминая, что длины границ бильярдов Бг и B2 одинаковы, получаем, что ¡'(si) = 1, т.е. отображение эквивалентности бильярдов Бг и B2 имеет вид s2 = si. Из (7) получаем кг/кг = к2/к2, откуда находим, что кг(s) = Ак2(s), где A — некоторая константа. Кривизна плоской кривой равна скорости вращения касательной к ней. При обходе границы касательная совершает полный оборот, поэтому

г г

У кг(s) ds = j к2(,з) ds = 2п

о о

(длины границ области бильярдов равны единице). Отсюда следует, что А = 1, т.е. ^(в) = к2(в). Это означает, что области действия бильярдов Б1 и Б2 геометрически подобны, что и завершает доказательство утверждения.

В заключение отметим, что для бильярдов, области которых не являются гладкими и строго выпуклыми, утверждение 1, вообще говоря, неверно: так, например, бильярды в двух произвольных прямоугольниках эквивалентны. Эквивалентность устанавливается линейным сжатием вдоль какой-либо пары параллельных сторон.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 08-01-00681, 07-01-00663 и 09-08-00925).

2

3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.: Мир, 1987.

2. Козлов В.В., Трещав Д.В. Бильярды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

Поступила в редакцию 30.11.2007

УДК 533.6.01

СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ С. В. Гувернюк1, А. Ф. Зубков2, К. М. Пичхадзе3, В. С. Финченко4, А. И. Швец5

Приведены результаты экспериментальных исследований в аэродинамической трубе при числе Маха M = 1,78 модели затупленного тела малого удлинения. Изучено влияние угла атаки на коэффициенты сопротивления, подъемной силы, на статическую устойчивость и положение центра давления модели.

Ключевые слова: сверхзвуковое течение, тела малого удлинения, статическая устойчивость, центр давления.

The results of experimental studies conducted in an aerodynamic tube at the Mach number M = 1,78 for a model of a blunt-shaped body of small elongation are given. The effect of the attack angle on the coefficients of drag and lifts, the static stability, and the pressure center position is discussed.

Key words: supersonic flow, body of small elongation, static stability, center of pressure.

1. Введение. Конфигурации современных космических аппаратов для баллистического входа в атмосферы планет имеют форму затупленных тел малого удлинения, которая обеспечивает аэродинамическое торможение и рассеивание энергии в окружающее пространство. В России выполнено много теоретических и экспериментальных исследований по обтеканию затупленных тел, например экспериментально определены аэродинамические характеристики сегментальных тел и затупленных конусов [1, 2], изучены общие задачи о взаимодействии неравномерных сверхзвуковых потоков с затупленными телами [3], выполнены расчеты радиационных тепловых потоков у космических аппаратов при их полете в атмосфере Венеры [4]. В США в последние годы увеличивается число публикаций по механике космических полетов, например экспериментально исследованы мягкое устройство для точной посадки на Марс [5], надувная система для посадки зонда Beagle 2 на Марс [6].

В настоящее время в НИЦ им. Г.Н. Бабакина [4] проводятся исследования по применению перспективных спускаемых аппаратов с надувными тормозными устройствами для доставки полезных грузов с орбит на поверхности планет. В статье представлены некоторые результаты экспериментальных исследований сверхзвукового обтекания модели малой марсианской станции (ММС) при числе Маха M = 1,78.

2. Объект и условия проведения экспериментов. Эксперименты проводились в сверхзвуковой аэродинамической трубе А-8 НИИ механики МГУ [7]. Форма исследуемой модели ММС, определяемая конструкцией надувного спускаемого аппарата, представляла собой осесимметричное затупленное

1 Гувернюк Сергей Владимирович — канд. физ.-мат. наук, зав. лаб. 107, зам. директора НИИ механики МГУ, e-mail: guv@imec.msu.ru.

2 Зубков Александр Федорович — ст. науч. сотр. лаб. 107 НИИ механики МГУ, e-mail: zubkov107@imec.msu.ru.

3 Пичхадзе Константин Михайлович — доктор техн. наук, первый зам. ген. дир. НПО им. С.А. Лавочкина, e-mail: kmp@migmail.ru.

4 Финченко Валерий Семенович — доктор техн. наук, вед. науч. сотр. НПО им. С.А. Лавочкина, e-mail: finval@migmail.ru.

5 Швец Александр Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: shvets@imec.msu.ru.