Расчет торможения двумерного сверхзвукового потока невязкого газа в канале и возможность реализации такого течения

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VI 1975

№ 2

УДК 533.6.011.5

РАСЧЕТ ТОРМОЖЕНИЯ ДВУМЕРНОГО СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА НЕВЯЗКОГО ГАЗА В КАНАЛЕ И ВОЗМОЖНОСТЬ РЕАЛИЗАЦИИ ТАКОГО ТЕЧЕНИЯ

В. А. Виноградов, Н. Н. Захаров, М. Я- Иванов

Представлены результаты расчетов сверхзвуковых течений невязкого и нетеплопроводного газа в плоских и осесимметричных каналах при наличии в потоке косых скачков уплотнения и центрированных волн разрежения. Решение системы уравнений газодинамики, описывающей двумерное течение, получено с помощью конечноразностного метода сквозного счета, предложенного в работах [1,-2]. Рассмотрены особенности взаимодействия косого скачка уплотнения с центрированной волной разрежения, которые приводят к существенным градиентам параметров на стенках канала. Приведены примеры расчета распространения потока с н^изэнтропическим начальным распределением параметров.

Основываясь на невязкой модели, можно получить некоторые важные характеристики сверхзвукового потока в канале воздухозаборника, в частности, удается предсказать ожидаемые градиенты параметров, необходимых для изучения отрыва пограничного слоя и т. п.

Для интегрирования системы уравнений, описывающей двумерные сверхзвуковые течения идеального газа, развиты достаточно надежные и точные численные схемы. Одним из наиболее широко используемых методов расчета является метод характеристик. Наряду с прямым методом характеристик [3], применяемым для вычисления гладких (безударных) течений, развит также и обратный (сеточно-характеристический) метод [4], который допускает наличие в потоке скачков уплотнения незначительной интенсивности.

Отметим также недавно опубликованный в работе [5] метод с автоматическим выделением разрывов, примененный к расчету сверхзвукового течения в сужающемся канале.

Большое число различных газодинамических задач, связанных с исследованием двумерных и пространственных сверхзвуковых течений, решено с использованием схем сквозного счета, предложенных в работах [1, 2, 6]. Подобные схемы оказываются особенно удобными и эффективными для расчета разрывных течений, содержащих сложные конфигурации интерферирующих ударных волн.

В настоящей работе изучение торможения сверхзвукового двумерного потока невязкого и нетеплопроводного газа в канале проведено с помощью метода [1, 2]. Помимо режимов течения с равномерным набегающим потоком рассмотрены случаи, когда величина энтропии в начальном сечении не является постоянной и анализируется возможность расчета подобных течений. Исследованы некоторые особенности течения в начальном участке канала, где наблюдается отражение и взаимодействие скачков уплотнения и волн разрежения. Значение структуры потока в этой области необходимо для исследования возможностей

улучшения характеристик воздухозаборника (в частности, для рациональной организации управления пограничным слоем).

1. Рассматривается стационарный плоский или осесимметричный поток невязкого и нетеплопроводного газа с постоянными теплоемкостями в канале заданной формы. Оси х и у прямоугольной системы координат выберем в плоскости течения, как показано на фиг. 1. Рассчитываемая область течения ограничена нижней границей _у___(лг), являющейся образующей центрального тела, и

верхней границей у+ (х), представляющей сначала головную ударную волну (двойная линия на фиг. 1) до сечения входа в канал (х = хш) воздухозаборника

и затем верхнюю образующую канала (обечайку). Пусть во всей исследуемой области и, в частности, в плоскости начальных данных (х = л:0) полная энтальпия потока постоянна и течение „х — сверхзвуковое^, т. е. проекция вектора скорости потока на ось х больше местной скорости звука а.

Уравнения неразрывности и движения записываются в виде интегральных законов сохранения [1]:

У+ У+ У+

— [

(1х Л

айу =

у_

(1.1>

где ч = 0 и 1 для плоского и осесимметричного случаев, а векторы-столбцы а,. 6 и / определяются равенствами

, 1

рг> '

. г

раг> / \р + р^2

/=-

(1.2>

здесь р, р, и и V безразмерные значения давления, плотности и проекций вектора скорости q на оси хну, отнесенные к р*92 , р, и (/, соответственно, причем индексом обозначены критические значения параметров. Линейные размеры х и у отнесены к высоте входа канала при х — хвх.

Система (1.1) при сделанных предположениях замыкается уравнением Бернулли в виде

2% р х + 1

------ --- + О2 = ---------- ,

т. — 1 р К. 1

где х— показатель адиабаты. Все результаты, представленные в настоящей работе, получены для значения х = 1,4.

' Любой отрезок х — хс, принадлежащий рассчитываемой области, разбивается на N „элементарных” отрезков одинаковой длины Лу~[у^_ (хс)— у_(л:с)]/М Точки разбиения этого отрезка соединяются прямолинейными „продольными* отрезками с аналогичными точками разбиения в соседнем сечении х = хс -\- Их. Ин-

(1.3>

тегральные законы (1.1), примененные к каждой получающейся в результате такого разбиения ячейке (см. фиг. 1), приводят к конечноразностным соотношениям [1], которые связывают значения параметров на следующем слое х = хс4-hx с известными значениями на предыдущем слое х = хс и на „продольных” границах.

Для нахождения параметров на „продольных" границах ячеек рассчитывается плоская автомодельная задача о взаимодействии двух полубесконечных равномерных сверхзвуковых потоков [1]. При этом определяются все разрывы данной автомодельной задачи. Решение автомодельной задачи на границе у = = у+ (х), когда она является головной ударной волной, позволяет определить ее наклон и координату границы у+ (х) на последующем слое. Такое выделение головного скачка не требует усложнения вычислительного алгоритма.

В сечении х = л:вх, которое соответствует входу канала, проводится пересчет параметров с помощью линейной интерполяции. Все N рассчетных ячеек при х > лгвх располагаются в канале, а внешнее обтекание обечайки не рассчитывается. В случае, когда головная ударная волна проходит внутрь канала, в сечении х = хвх выше ударной волны задается невозмущенный набегающий поток.

Параметры потока в начальном сечении задаются либо постоянными (в плоском случае) и равными параметрам за косым скачком, отвечающим заданному углу наклона образующей центрального тела, либо близкими к коническому потоку (в осесимметричном случае).

При этом в процессе расчета обтекания прямолинейного начального участка центрального тела неточно заданные параметры возмущенного потока в сечении х = х0 при достаточном удалении от сечения х = х0 отвечают правильному решению. Отмеченное обстоятельство позволяет задавать параметры в сечении х = х0 достаточно произвольно и уточнять их методом установления по координате х (если начальный участок образующей центрального тела прямолинеен).

Все необходимые расчетные формулы и соотношения, а также процесс вычисления, нумерация ячеек и т. п. представлены в работе [1].

2. Приведем некоторые результаты методических расчетов сверхзвуковых течений. Рассмотрим течение на входе плоского воздухозаборника (см. фиг. 1),. образующая центрального тела которого составлена из трех прямолинейных отрезков, наклоненных к оси х под углами 10°, 25° и 0. Значение числа М набегающего потока Мн =10, угол наклона вектора скорости набегающего потока к оси х принимал значения а = 0 и +5°. Поле начальных данных и размер возмущенной области в начальном сечении при х = х0 задавались из точного решения,, отвечающего равномерному потоку за косым скачком уплотнения. Скачок распространяется от точки с координатами х = 0 и_у = 0. При точном задании начальных данных расчет обтекания первого прямолинейного участка центрального тела сохраняет постоянные распределения параметров потока за головной ударной волной, а также ее угол наклона. От точки излома контура распространяется второй (внутренний) скачок уплотнения, который в процессе расчета представляется областью резких градиентов параметров потока, занимающей 4 — 6 ячеек расчетной сетки [1]. На фиг. 1 приведено сравнение положения головной ударной волны в плоскости течения, полученной в результате расчета с N= 15 ячеек (точки), с точным решением (линии). Сплошные, пунктирные и штрих-пунктирные линии, а также значки ф, 0, О соответствуют значениям а = 0, — 5° и 5°. Ошибка в определении положения ударной волны не превышает 1%. Отметим, что при — 6 и а = 0 ударная волна приходит в начальную точку обечайки.

Следующие результаты относятся к распространению неизэнтропического потока в плоском канале, когда его нижняя стенка в начальном сечении претерпевает излом на положительный или отрицательный угол в 5°. Изменение энтропийной функции р/рх в начальном сечении при х = 0 предполагалось кусочнопостоянным и состоящим из двух частей. Статическое давление при х = 0 принималось постоянным. Значение остальных параметров в этом сечении определялось с помощью заданного распределения pjр* и интеграла Бернулли (предполагается, что полная энтальпия при х = 0 постоянна). За характерные параметры р* и я* при обезразмеривании выбираются критические плотность и скорость звука набегающего потока у нижней стенки канала.

Рассмотрим распространение в канале потока со ступенчатым изменением энтропии, отвечающим изменению числа М при х = 0 от М = 10 у нижней стенки до М = 8,5 у верхней стенки при у = 0,5. В случае обтекания выпуклого угла поток разгоняется в центрированной волне разрежения, причем энтропия вдоль линий тока должна сохраняться. На фиг. 2 показано изменение величины pjр* в зависимости от функции тока ф в различных сечениях канала х = const при N = 60. Энтропийный скачок на сравнительно больших удалениях от начального

iea

сечения (х>6) размазывается на 8—12 ячеек. Увеличение функции р/рх при ф<0,1 связано с погрешностями расчета обтекания угловой точки. Эта погрешность возникает из-за заниженного значения плотности на 10 — 15% за угловой точкой четырех—шести ячейках расчетной сетки, примыкающих к нижней стенке.

При положительном изломе нижней стенки на 5° энтропийный скачок проходит через косые скачки уплотнения. Изменение pjрх в зависимости от ф Для этого случая показано на фиг. 2, б. Энтропийный скачок, многократно взаимодействующий с ударными волнами, размазывается на 12 — 20 ячеек. При ф ~ 0,85 (х = 6 и 10) рост энтропийной функции обусловлен отраженными от верхней стенки канала скачками, которые распространяются с увеличением х к нижней стенке. В четырех-пяти ячейках, примыкающих к нижней стенке (ф<0,1), ошибка, связанная с изломом контура, равна 6 — 8%.

Известно, что при взаимодействии волны разрежения или ударной волны с тангенциальным разрывом возникают вторичные, отраженные от тангенциального разрыва возмущения, показанные на схемах фиг. 2 штриховыми линиями. Однако в рассчитанных случаях интенсивность указанных вторичных возмущений весьма мала и практически не влияет на картину течения.

Точность расчета распространения потока в таком канале с линейным законом изменения энтропии на 100% в начальном сечении лежит в пределах 2% почти во всей области течения. Наличие угловых точек приводит к отмеченному выше увеличению погрешностей в окрестности нижней

стенки канала.

Фиг. 2 Фиг. 3

3. Течение в начальном участке канала во многом определяется взаимодействием отраженного от обечайки скачка уплотнения с центрированной волной разрежения, возникающей при повороте потока около угловой точки. Перепад давления на отраженном скачке обычно приводит к отрыву пограничного слоя на центральном теле в окрестности повторного отражения. Для получения устойчивого и безотрывного течения, а также обеспечения запуска воздухозаборника площадь горла канала увеличивают, так что отраженный скачок попадает на нижнюю стенку канала за угловой точкой. Взаимодействие отраженного скачка с центрированной волной разрежения приводит к тому, что поток подходит к поверхности центрального тела в точке повторного отражения скачка под некоторым углом. Вследствие этого перепад давления р2/р1 —р в системе падающий — отраженный скачок существенно возрастает по сравнению с тем случаем,

когда отраженный от обечайки скачок попадает в угловую точку центрального тела. Обозначим через р° = (p^lpj)0 перепад давления для скачка, приходящего в точку А. На фиг. 3, а показано увеличение перепада на скачке в зависимости от угла поворота а потока и угла наклона р верхней стенки к оси х, когда значение числа М в начальном сечении равно 5 и N — 20. Кривые 1 и 2 на фиг. 3„6 соответствуют р° и plp°. Анализ результатов расчета показывает, что для воздухозаборников с суммарным углом а=15°^-25° перепад давления на нижней стенке из-за взаимодействия скачка уплотнения с центрированной волной разрежения и последующего разворота потока у стенки возрастает в 6 — 12 раз. Такие перепады давления р = 10 ч-200 (фиг. 3, а) вызывают отрыв пограничного слоя на центральном теле и в реальном газе рассмотренная схема течения не реализуется. Отрывная зона меняет картину невязкого течения в канале. Для иллюстрации невязкой картины взаимодействия на фиг. 4 в плоскости течения приведены линии постоянства давления через одинаковый интервал Д/?=0,73-10“3.

Для случаев течения с нерегулярным отражением косого скачка уплотнения от центрального тела, когда образуются местные зоны с дозвуковыми скоростями, расчет использованным методом может быть проведен только до точки отражения. Однако, если область дозвуковых скоростей достаточно мала, то удается провести расчет при малом числе N, когда осредненный по каждой расчетной ячейке поток остается сверхзвуковым.

Вычисления проведены на ЭЦВМ „М-220“ и один вариант расчета с числом точек порядка 20 требует около 10 минут машинного времени.

Авторы признательны Крайко А. Н. за полезные обсуждения результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов М. Я., Крайко А. Н., Михайлов Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. Журн. вычислит, матем. и матем. физ., т. 12, № 2, г1972.

2. И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. Журн. вычислит. матем. и матем. физ., т. 12, № 3, 1972.

3. Кацкова О. Н., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д., Шулишнина Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М., ВЦ АН СССР, 1961.

4. Косарев В. И., Магомедов К. М. Дивергентная разностная схема для расчета сверхзвуковых установившихся течений сложной структуры. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 13, № 4, 1973.

5. Берлянд А. Т., Фрост В. А. Метод расчета плоских сверхзвуковых течений с автоматическим выделением разрывов и ступенчатой аппроксимацией волн разрежения. Численные методы в механике сплошной среды, т. 3, № 3, 1972.

6. К u 11 е г P., Lomax М. Shock-capturing finite-difference approach to supersonic flows. J. Spacecraft and Rockets, vol. 8, N 12, 1971.

Рукопись поступила 12/V 1974 г.