Порождающие тройки инволюций линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел

Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 4, С. 59-62

УДК 512.544.2

ПОРОЖДАЮЩИЕ ТРОЙКИ ИНВОЛЮЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП РАЗМЕРНОСТИ 2 НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Я. Н. Нужин, И. А. Тимофеенко

Для групп ОЬ2 (X) и РОЬ2 (X) найдено минимальное число порождающих инволюций, произведение

которых равно 1. Установлено, что РОЬ2(Ж) порождается тремя инволюциями, две из которых

перестановочны, а ОЬ2(Ж) такими инволюциями не обладает.

Ключевые слова: кольцо целых чисел, линейная группа, порождающие тройки инволюций.

Пусть ОЬп(Ъ) — группа обратимых (п х п)-матриц над кольцом целых чисел Ъ, БЬп(Ъ) — ее подгруппа матриц с определителем, равным 1, РОЬп(Ъ) и РБЬп(Ъ) — соответственно их фактор-группы по подгруппам скалярных матриц.

В данной заметке для линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел рассматриваются следующие задачи.

A) Порождается ли данная группа О тремя инволюциями?

Б) Порождается ли данная группа О тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

B) Каково минимальное число порождающих инволюций п(О) группы О, произведение которых равно 1 ?

В группе БЬ2(Ъ) единственная инволюция, а группа РБЬ2(Ъ) является свободным произведением двух циклических групп порядка 2 и 3 [1]. Поэтому эти группы не порождаются никаким множеством инволюций и для них вопросы А), Б), В) закрыты.

Для группы О = РОЬ2(Ъ) получен положительный ответ на вопрос Б) и доказано, что п(О) = 5.

Для группы О = ОЬ2(Ъ) на вопрос А) получен положительный ответ, а на вопрос Б) — отрицательный, и доказано, что п(О) = 6.

Как обычно, через (к), к £ Ъ, I = ], будем обозначать трансвекции, т. е. матрицы Еп + кец, где Еп — единичная (п х п)-матрица, а е^ — матричные единицы. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [2, с. 107]).

Лемма 1.1. Группа БЬп(Ъ) порождается трансвекциями (1), I = ], 1,^ = 1, 2,п. В частности, группа БЬ2 (Ъ) порождается двумя матрицами

В действительности лемма 1.1 справедлива для любого евклидова кольца. Из леммы 1.1 легко следует

© 2009 Нужин Я. Н., Тимофеенко И. А.

1. Порождаемость тремя инволюциями

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 01-09-00-717.

Лемма 1.2. Группа ОЬп(Ъ) порождается трансвекциями ^(1), г = ], г,] = 1, 2,... п, и любой другой матрицей с определителем — 1.

Предложение 1.3. Группа ОЬ2 (Ъ) порождается тремя инволюциями

то по лемме 1.2 инволюции а, в, 7 порождают группу ОЬ2(Ъ). >

Конечно, группа РОЬ2 (Ъ) порождается образами инволюций а, в, 1 из предложения 1.3 при естественном гомоморфизме ОЬ2 (Ъ) ^ РОЬ2(Ъ), поэтому справедливо

Предложение 1.4. Группа РОЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями.

В группе БЬ2 (Ъ) всего лишь одна инволюция, поэтому справедливо

Предложение 1.5. Группа БЬ2(Ъ) не порождается никаким множеством инволюций.

В 1890 г. Р. Фрике и Ф. Клейн [1] доказали, что группа РБЬ2(Ъ) является свободным произведением групп порядка 2 и 3. В действительности, они установили равенство

Следовательно, справедливо

Предложение 1.6. Группа РБЬ2(Ъ) не порождается никаким множеством инволюций.

В следующем предложении для элементов группы РОІ2(Ж) используется матричная запись, при этом два элемента считаются равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу. Так как мультипликативная группа кольца Ъ имеет порядок 2, то это легко увидеть.

Предложение 2.1. Группа РОЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями

причем первые две из них перестановочны.

< Заметим, что инволюции а, в, 1 такие же, как и в предложении 1.3, поэтому они порождают РОЬ2(Ъ). Отличие лишь в том, что в группе РОЬ2(Ъ) инволюции а, в перестановочны, так как квадрат их произведения является скалярной матрицей. >

< Так как определитель матрицы а равен —1 (как, впрочем, и двух других) и

2. Порождаемость тремя инволюциями, две из которых перестановочны

Порождающие тройки инволюций линейных групп размерности 2

61

Лемма 2.2. Любая подгруппа М, порожденная тремя нецентральными инволюциями из группы ОІ2 (С) над полем комплексных чисел С, две из которых перестановочны, имеет следующую структуру:

М =

где

а2 = в2 = I2 = 52 = (ав )2 = ауа5 = в'Ув5 = 1.

Более того, группа М либо конечна, либо М = (-у, 5) X (а, в).

< Пусть три различные нецентральные инволюции а, в, 7 из группы ОЬ2(С) порождают подгруппу М, причем инволюции а, в перестановочны. С точностью до сопряжения в ОЬ2(С) можно считать, что

а

—1 0

0 1

в =

а Ь с 1

Так как инволюции а, в перестановочны, то

ав = ( -ас

—а Ь

с1

= ва.

Отсюда Ь = с = 0 и, следовательно, ай = —1, а так как инволюции а, в различны, то а = 1, Ь = —1. Таким образом,

10 01

в=

Пусть для некоторых а,Ь,с,1 Є С

7 =

а Ь

с1

Положим

б = ауа =

= вів-

а —Ь —с й

Тогда равенства (2) выполняются и любое слово из подгруппы М имеет один из следующих четырех видов:

аб .. . абє,

аб .. . абає,

баб .. . абє,

6а6 .. . абає,

где £ = 1, а, в, ав. Следовательно, выполняется и равенство (1) и, более того, подгруппа

нормальна в М. Покажем, что группа М либо конечна, либо М = (у, 5) X (а, в).

Любой элемент из подгруппы (у, 5) имеет вид (у5)к или (у5)к7.

Если (у5)к £ (а, в), то (у5)2к = 1 и, следовательно, группа М конечна.

Пусть (у5)к7 £ (а, в). Тогда (у5)к7 = а, в, ав или 1.

Если (у5)ку = а, то в силу тождества 5 = ауа получаем равенство (5у)к5 = а.

Отсюда (у5)2к+1 = 1 и, следовательно, группа М конечна. Случай (у5)к7 = в подобен.

Определитель матрицы (у5)к7 равен —1, поэтому матрица (у5)к7 не может совпадать с матрицами ав или 1, так как определитель последних двух равен 1. >

Предложение 2.3. Группа GL2(Z) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

< Ясно, что в любой порождающей тройке инволюций группы GL2(Z) не может быть центральной инволюции, поэтому в силу леммы 2.2 она не может порождаться тремя инволюциями, две из которых перестановочны. >

3. Порождающие мультиплеты инволюций

Для группы G через n(G) обозначим минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно 1. Ясно, что если G' — гомоморфный образ группы G, то n(G') ^ n(G). Доказательство следующей леммы является легким упражнением.

Лемма 3.1. Если n(G) =4, то в G найдется нетривиальная циклическая нормальная подгруппа.

Предложение 3.2. n(PGL2(Z)) = 5.

< В силу предложения 2.1 группа PGL2(Z) порождается некоторыми тремя инволюциями a, в, Y, первые две из которых перестановочны. Тогда, очевидно, она порождается и пятью инволюциями a, в, Y, Y, ва, произведение которых равно 1. Таким образом, n(PGL2(Z)) ^ 5. Для любого простого числа p существует гомоморфизм PGL2(Z) ^ PGL2(p) и при p ^ 5 в группе PGL2(p) нет нетривиальных циклических нормальных подгрупп, поэтому по лемме 3.1 n(PGL2(Z)) = 5. >

Предложение 3.3. n(GL2(Z)) = 6.

< В силу предложения 1.3 группа GL2(Z) порождается тремя инволюциями, поэтому n(GL2(Z)) < 6.

Предположим, что n(GL2(Z)) = 5 и а\,... ,a5j — порождающие инволюции, произведение которых равно 1. В группе GL2CZ) определитель любой нецентральной инволюции равен -1. Поэтому среди инволюций а\,... ,a5j найдется центральная инволюция (иначе получим равенство ( — 1)5 = 1). Но тогда n(PGL2(Z)) =4 и мы получаем противоречие с предложением 3.2. >

Литература

1. Fricke R., Klein F. Vorlesungen uber die theore der elliptischen modulfunktionen. Vol. 1.—Leipzig: Teubner, 1890.—764 p.; Vol. 2.—Leipzig: Teubner, 1892.—712 p.

2. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.—М.: Мир, 1975.—262 с.

Статья поступила 10 ноября 2009 г.

Нужин Яков Нифантьевич

Сибирский федеральный университет, профессор Россия, 660074, Красноярск, ул. Киренского 26 E-mail: nuzhin2008@rambler.ru

Тимофеенко Иван Алексеевич Сибирский федеральный университет Россия, 660074, Красноярск, ул. Киренского 26 E-mail: ivan.timofeenko@gmail.com