Эквалайзер на основе алгоритма Калмана

УДК 6213911 Д. П. ЗАБИРОВ

Омский НИИ приборостроения Омский государственный технический университет

ЭКВАЛАЙЗЕР НА ОСНОВЕ

АЛГОРИТМА КАЛМАНА________________________________________

Предложен оцениватель на основе фильтра Калмана, отличительной чертой которого является применимость для оценивания в последовательном и параллельном модемах, а также единая процедура оценивания импульсной (передаточной) характеристики канала связи с рассеянием и сигнала, прошедшего через этот канал.

Для передачи данных с высокой скоростью через каналы с рассеянием может использоваться последовательный либо параллельный (OFDM) модем. Первый обладает более низким пик-фактором и высокой устойчивостью к нелинейным искажениям, второй по сравнению с первым позволяет использовать более простые схемы приема сигнала при сравнимой помехоустойчивости.

Проблема оценивания (коррекции/выравнивания) является ключевой при когерентном приеме сигнала таких модемов, так как классический поэлементный оптимальный прием [1] приводит к значительным потерям в помехоустойчивости и неустранимой вероятности ошибки из-за межсимвольной интерференции в последовательных модемах и из-за флюктуации комплексного коэффициента передачи в параллельных (OFDM).

Данная проблема для последовательных модемов может быть решена при помощи переборных алгоритмов, таких, как алгоритм Кловского-Николаева (АКН) [2, 3], алгоритм максимума правдоподобия с последовательным оцениванием (МППО) [4] и алгоритм Витерби (АВ) [5].

С ростом относительной памяти канала и/или основания сигнального созвездия переборные алгоритмы требуют значительных вычислительных затрат и с практической точки зрения становятся непривлекательными. Поэтому в инженерной практике получило распространение семейство методов, основанных на критерии минимума среднеквадратической ошибки (СКО). В отличие от экспоненциального роста сложности переборных алгоритмов, вычислительная сложность данных методов имеет полиномиальную зависимость от памяти канала и не зависит от основания КАМ символа.

К семейству оценивателей, основанных на критерии минимума СКО, относятся алгоритм Data Directed Equalization (DDE) [6, 7], разработанный фирмой Harris для последовательного модема, метод наименьших квадратов (фильтр Винера) [8], рекуррентный метод наименьших квадратов (РМНК) [4] и фильтр Калмана [4, 9, 10]. Данные подходы привлекательны не только низкой вычислительной сложностью процедуры оценивания КАМ символов, но и возможностью их использования для оценивания импульсной (передаточной) характеристики канала связи, при этом уровень помехоустойчивости остается на достаточно высоком уровне как в последовательных, так и в параллельных модемах.

Рассмотрим случай, когда через многолучевый замирающий канал связи с динамической импульсной

характеристикой h(t,т ) с интервалом T передаются комплексные КАМ символы xk е S .

Для последовательного модема общепринятой моделью сигнала является трансверсальный фильтр с комплексными отводами [4]

I=L-1

Ук =Z xk -A i + nk ,

I=0

где hkl = h(t-kT, т IT) - импульсная характеристика в дискретном времени, к - индекс времени, а индекс I = 0, L -1 имеет физический смысл дискретной задержки.

Для параллельного (OFDM) модема модель канала в частотной области можно представить отдельно для каждой частотно-временной ячейки (к, I):

Ук,1 ~ Чк.1 ' Хк,1 + пк,1 ' 12)

где вектор Нк =FFT{[hk 0 hk l ...hkJJ j является мгновенной передаточной характеристикой канала связи, I = 0, L -1 — индекс, который в отличие от (1) имеет физический смысл частотного подканала.

Динамику отдельного элемента импульсной и передаточной характеристик можно представить как авторегрессионный процесс p-ого порядка

hk,I = aihk,I-1 + a2hk,1-2 + ••• + aphk,I-p + b1Uk,I ,

Hk,I = aiHk,I-1 + a2Hk,I-2 + ••• + apHk,I-p + b1Uk,I

соответственно, где u k , l - комплексный белый гауссовский шум.

Работа предлагаемого оценивателя основана на представлении канала связи с рассеянием в виде динамической системы в пространстве состояний [11]. Согласно этому представлению канал связи имеет вход Хк , выход Ук и внутреннее состояние Sk .

Динамическая

система

Sk

Рис. 1. Канал связи с рассеянием в виде динамической системы в пространстве состояний

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1

Для последовательного модема состояние системы будет определяться в момент времени к значениями линии задержки $к = [хкхк_, ... хк-Ь +1]т. Тогда (1) можно представить в пространстве состояний системой уравнений

Sk =

" 0 0 • • 0' ' 1"

1 0 • • 0 0

0 1 • • 0 ' sL + 0

_ 0 0 • • 0 _ _ 0 _

y к =

— ,0 hk ,1

Хк

hk,L-1 ]' Sk + nk •

" 0 0 ••• 0' " 1 1 ••• 1"

0 0 ••• 0 0 0 ••• 0

sx — sk — ' sh +

0 0 ••• 0 0 0 ••• 0

yk— a’ CTO 0 Hk ,1 ••• Hk ,L -1 ])• sx + nk

sh —

Ук —

1 1 L a2 IL h 1 1

' Sk-1 +

_ Il 0 LxL _ _ 0 LxL _

J LxL X к

h ,

Sk + n

к

h

sk —

yk—

1 1 L a2 IL h 1 1 L 1

' Sk-1 +

_ Il 0 LxL _ _ 0 LxL _

' uk ,

’LxL

0l

diag

xk = [хкд хк1... хк1-1]— вектор состояния и детерминированный вектор данных.

Независимо от типа модема и от того, оценивается ли импульсная/передаточная характеристика канала связи или сигнал, прошедший через соответствующий канал, уравнения (5)-(8) можно записать в более общей и короткой форме

skx — A' sk— + B' xk, Ук — C'sX + nk,

Уравнение (2) для параллельного модема можно представить следующим образом:

хк,

где Хк , Ук , Пк - входной, выходной векторы и вектор шума соответственно, имеющие размерность [Lx1], sX = [xk0 xkI ... xkl1]T— вектор состояния. Причем уравнение состояния для OFDM сигнала существует формально, так как благодаря циклическому расширению связи между символами нет.

Заметим, что такие системы рассматривают матрицу наблюдения как детерминированную (то есть определенную заранее), что на самом деле неверно, так как на приемном конце передаточная характеристика неизвестна и подлежит оцениванию. Для организации процесса оценивания импульсной характеристики представим (3) без потери общности как авторегрессионный процесс второго порядка (р = 2) в пространстве состояний

где ^ = [Нк0 Нк1... Нк-, Нк_10 Нк_и ... xk = [Хк X ... х ] — вектор состояния и вектор данных для последовательного модема соответственно.

Аналогично можно представить динамику передаточной характеристики (4) для параллельного модема

где в общем случае

Як ^ М х 1] - вектор состояния, ук ^ [М х 1] - вектор наблюдения,

А ^ М х N - переходная матрица,

В ^ [К х N - матрица управления,

С ^ [М х N1 - матрица наблюдения, хк- шум процесса, пк - шум наблюдения,

М - размерность входного процесса,

N - размерность состояния,

К - размерность выходного процесса.

Первое уравнение по физическому смыслу описывает изменение состояния системы во времени, то есть зависимость текущего состояния Як от неизвестного входа системы хк и предыдущего состояния Як1 через переходную матрицу А. Второе уравнение описывает наблюдение текущего состояния системы Як через матрицу наблюдения С с точностью до аддитивного шума пк, то есть связывает состояние системы с ее выходом.

Как видно, представление в пространстве состояний при помощи уравнений состояния и наблюдения может быть использовано для представления как процесса прохождения сигнала последовательного/параллельного модема через канал связи с рассеянием, так и динамики характеристик этих каналов (рис. 2). Отличие заключается лишь в определении отдельных матриц и векторов.

Принципиально любая система, представленная в пространстве состояний (в том числе и четыре представленные выше), может быть оценена алгоритмом Калмана [12, 13], состоящего из трех шагов:

первый (априорный) шаг:

*к = А • -VI + В • хк,

Рк = А • Рк • Ат + В • Вт,

второй шаг (вектор Калмана):

Кк = Рк • ст/

Рк = Р-Кк • с• Рк,

третий (апостериорный) шаг:

где

= [Нк,0 нк:1

тт тт тт

Hk,L-1 Пк-1,0 Пк-1,1

Hk.i,L.iV.

ek — У к - C' sk

sk — sk + Kk ' ek •

Отличительной чертой алгоритма Калмана по сравнению, например, с МНК или фильтром Винера является более высокая точность оценки динамических систем, таких, как КВ канал связи. При использовании МНК, как и прочих блочных алгоритмов, необходима аппроксимация в виде квазистационарного канала, что, естественно, снижает точность оценивания особенно в каналах с быстрыми замираниями.

u

к

h

S

156

k

Ні

Последовательный модем

Параллельный модем

1=1-1 у к = Е Хк -А ,і+пк 1=0 У к 1 = нк 1 • Хк 1 + Пк ,1

Ак ,1 = а1Ак ,1-1 + а1Ак,1 -2 + ... + арАк,1-р + Ь1ик, Нк,1 = а1Н к,1-1 + а2Н к,1-2 + ...+ арНк ,1-р + Ь1Ык ,1

Эк _ А  5к-1 + В  Хк Ук = С  ^ + пк

Рис. 2. Представление динамики импульсной/передаточной характеристики канала связи и сигналов, прошедших через этот канал

Дополнительно необходимо заметить, что в случае уравнений (5) и (6) в качестве матрицы (вектора) наблюдения выступают импульсная и передаточная характеристики соответственно. В уравнении (7) и (8) характеристики канала связи меняются местами с передаваемыми данными, то есть данные выступают как детерминированная передаточная характеристика динамической системы. Такой подход справедлив в том случае, когда передаются поочередно зондирующие элементы и элементы, несущие полезную информацию, то есть оцениватель (эквалайзер) имеет два отдельных состояния: оценка импульсной (передаточной) характеристики канала связи и оценка сигнала, прошедшего через этот канал. В случае передачи зондирующей последовательности для оценивания характеристики канала применимы модели (7) и (8), а в случае передачи полезных данных для их оценивания применимы модели (5) и (6).

Однако взаимное расположение информационных и зондирующих элементов может быть произвольным, а оценивание сквозной характеристики канала связи и сигнала более точным, если оценивать их в единой процедуре. Для этого объединим состояния систем (5) и (7), а также (6) и (8) в один составной вектор

Гк,!-1 Лк,0 Лк,1 1

X " хк "

л = лк =

_в* _ _ Лк-1 _

X хк

л = Нк =

__ Нк-1 _

_...^к, 1-1 Лк-1,0 Лк-1,1 ... Лк-1,Ь-1

Хк,0 Хк,1 ... Хк,Ь-1 Нк,0 Нк,1 ... ...Нк,Ь-1 Нк-1,0 Нк-1,1 ... Нк-1,1-1

матрица из формулы (5), ах и #2 - коэффициенты обратной связи, рассчитываемые по формуле, например, для эллиптического фильтра:

а1 = 2• ехр(-£• ю)-008^0-д/1 -£2 ) а2 = ехр(- 2 -£-ю),

где б) = 2 7ГТ/В - относительная скорость замираний (частота среза эллиптического фильтра), £, - скорость перехода между полосой пропускания и полосой задержания фильтра (например, £ = 0.4), Т - длительность символа [с], - оценка скорости замираний

[Гц]. В общем случае тип и порядок фильтров может быть произвольным — это компромисс между сложностью оценивателя и адекватностью модели. Кроме того, помимо коэффициентов обратной связи могут быть использованы и коэффициенты прямой связи, что опять же позволит увеличит адекватность модели за счет повышения вычислительной сложности реализации оценивателя.

Теперь уравнения состояния и наблюдения для последовательного модема можно записать в расширенной форме:

Эк = А  Эк + В  Хк,

(10) ґ I ' Л ґ 01х1 л

У к = 0ЬхЬ  Эк Ь1ІІ  Эк

V _0ЬхЬ _ ) V _0ЬхЬ _ )

+ Пк.

соответственно.

Векторам состояния соответствуют матрицы перехода состояния для последовательного и параллельного модемов:

" F °1х1 01х1 Хк

А = 0ЬхЬ а1^1 сч <3 Эк = А

_01х1 ь 01х1 _ _Ак-1

01х1 0ЬхЬ 0ЬхЬ _ ъ..

А = °1х1 а1^1 а211 Эк = Нк

_°1х1 ь 01х1 _ Н _

Аналогичны уравнения состояния и наблюдения для параллельного модема:

Эк = А  Эк + В  Хк,

ґ °1х1 л ґ л

Ук = ^  * к 0ЬхЬ  * к

V _ ) V °хЬ _ )

где I^ - единичная матрица размером Ь X ь, о^ -нулевая матрица размером Ь X Ь , Р - сдвиговая

+ Пк.

Уравнения наблюдения (11) и (12) демонстрируют явную нелинейность процесса наблюдения. Нелинейные процессы также можно оценивать фильтром Калмана, но в его расширенной форме [14]:

первый (априорный) шаг:

Эк = А  Эк + В  Хк,

ви =

Т

*к =

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1

Pk - A • Pk • AJ + B • BJ

второй шаг (вектор Калмана):

K - Pt •ACT/

P = P - K AC • P

rk r rk,

третий (апостериорный) шаг:

- Ук -ACk s k,

s,

- s k + Kk

где матрица ACk - якобиан, содержащий частные производные нелинейной векторной функции наблюдения в уравнениях (11) и (12), методику вывода которых можно найти в [14]. В отличие от обычного фильтра Калмана данную матрицу необходимо обновлять на каждом шаге оценивания k .

Оценивание и слежение за изменением динамической импульсной (передаточной) характеристики происходит благодаря зондирующим элементам, вкрапляемым в сигнал на передающей стороне, и использованию их значений в оценивателе на приемной стороне. Введение значений зондирующих элементов происходит через мягкий вход в виде матожидания и дисперсии КАМ символа. Дисперсия для зондирующего элемента равна нулю, так как его значение на приемной стороне известно достоверно. В общем случае, когда происходит турбовыравнивание, через мягкий вход эквалайзера поступают значения мато-жидания и дисперсии, полученные на предыдущей итерации. Описание такого оценивателя выходит за рамки данной работы.

Важно понимать, что эквалайзер должен располагать статистикой сквозных характеристик канала для их адекватного оценивания. Имеются в виду типичный профиль многолучевости и корреляционная функция отдельного замирающего луча (частотного подканала для OFDM модема). В случае отсутствия таковых можно использовать универсальные и в то же время грубые корреляционные функции, которые применимы при любых состояниях канала связи.

Подход, предложенный в данной работе, состоит в использовании расширенного алгоритма Калмана для оценивания сквозной динамической характеристики канала связи с рассеянием и сигнала, прошедшего через этот канал. Универсальность оценивателя позволяет эффективно оценивать сигналы последовательного и параллельного модемов. Для этого достаточно сформулировать общую модель динамической системы с памятью и векторным входом/выходом в пространстве состояний.

Ранее последовательный и параллельный модемы рассматривались как взаимоисключающие подходы к передаче данных в канале связи с рассеянием. С точки зрения предложенного эквалайзера данные подходы являются частными случаями общего подхода. Так, последовательный модем представляется как динамическая система с памятью L, а размерность входных/выходных векторов динамической системы вырождается в скаляр. В случае параллельного модема размерность входных/выходных векторов равна N и уже память динамической системы вырождается в нуль.

Предложенный эквалайзер применен в OFDM модеме «Южный ветер» [15]. Данный модем благодаря работе оценивателя показал более высокую помехоустойчивость по сравнению с зарубежным аналогом — последовательным модемом, основанным на методе DDE. Выигрыш по мощности составляет 4 дБ в условиях «плохого» канала по ITU-R F.520 (разность хода лучей 2 мс, скорость замираний 1 Гц). В дальнейших публикациях будут приведены результаты испытаний оценивателя в составе последовательного модема.

Библиографический список

1. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М. : Гос. энергетическое изд-во, 1956. — 147 с.

2. Кловский Д.Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1982. — 304 с.

3. Николаев Б.И. Последовательная передача дискретных сообщений по непрерывным каналам с памятью. — М. : Радио и связь, 1988. — 264 с.

4. Прокис Дж. Цифровая связь : пер. с англ. ; под ред. Д.Д. Кловского. — М. : Радио и связь, 2000. — 800 с.

5. G. David Forney Jr. Maximum-Likelihood Sequence Estimation of Digital Sequences in the Presence of Intersymbol Interference // IEEE Trans. Info. Theory, 1972, vol. IT-18, pp. 363-378.

6. Patent 4 365 338 US. Technique for High Rate Digital Over a Dynamic Dispersive Channel / D.D. McRae, G.C. Clark. — Dec. 21, 1982.

7. MilitaryAgency for Standardization (MAS), Standardization Agreement, STANAG 4285: Characteristics of 1200/2400/3600 Bits per Seconds Single Tone Modulators/Demodulators for HF Radio Links, Feb. 1989.

8. Wiener N.L., The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series, John Wiley & Sons, Inc., New York, N.Y., 1949.

9. R. E. Lawrence and H. Kaufman. The Kalman Filter for the Equalization of a Digital Communications Channel // IEEE Trans. Communication Technology. — 1971, vol. COM-19, pp. 1137-1141.

10. Карташевский В.Г. Демодуляция в канале с памятью на основе фильтра Калмана // Радиотехника, 1994 — № 3.

11. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления : пер. с англ. под ред. Я.З. Цыпкина. — М. : Наука, 1985. — 295 с.

12. B. D. O. Anderson and J. B. Moore, Optimal Filtering. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1979.

13. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси : пер. с нем. — М .: Наука, 1982. — 200 с.

14. Балакришнан А. Теория фильтрации Калмана : пер. с англ. — М. : Мир, 1988.— 168 с.

15. Забиров Д.П., Лавор А.Н. Параллельный OFDM модем для передачи данных в КВ диапазоне // Сборник докладов XIII Международной НТК «Радиолокация, навигация и связь» / Воронежский НИИ связи. — Воронеж, 2007. — Т. 2. — С. 1183-1186.

ЗАБИРОВ Дмитрий Павлович, старший научный сотрудник Омского НИИ приборостроения, старший преподаватель кафедры «Средства связи и информационная безопасность» ОмГТУ, аспирант.

Дата поступления статьи в редакцию: 21.04.2008 г.

© Забиров Д.П.

e

k