Редукция размерности состояний при анализе управляемости и наблюдаемости линейных моделей энергосистем

8. Butenkov S., Krivsha V. Classification using Fuzzy Geometric Features, In Proc. IEEE International Conf. On Artificial Intelligence Systems “ICAIS 2002”, Divnomorskoe, Russia, 5-10 September, 2002, Computer Press, Los Alamos, CA, USA, P. 89-91.

9. Klein F. Elementarmathematik vom Hoheren Standpunkte Aus Erster Band, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1924.

10. Karkischenko A., Butenkov S., Itenberg I., Krivsha V. Compact Presentation of the Graphic Information in the Systems of the Image Processing and Transmission, In Proc.of 3rd International Conf. “Digital Signal Processing and its Applications”, Moscow, November 2000, P.64-66.

11. Feller W. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Wiley & Sons, 1960.

РЕДУКЦИЯ РАЗМЕРНОСТИ СОСТОЯНИЙ ПРИ АНАЛИЗЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭНЕРГОСИСТЕМ

Показано, что анализ управляемости и наблюдаемости линейной модели стационарной энергосистемы путем редукции сводится к анализу управляемости и наблюдаемости линейных систем с существенно меньшей размерностью пространства состояний. Предельным случаем редукции являются скалярные системы.

Ключевые слова: энергосистема, стационарная модель,

состояние, управляемость, наблюдаемость, тесты Попова-Белевича-Хотиса, собственные значения, редукция.

Рассмотрим линейную стационарную модель энергосистемы

где x(t) е Xn - вектор состояния; u (t) eUr - вектор управления;

y(t) е Ym - вектор выхода; rank B = r , rank C = m .

Известными (модальными) критериями управляемости и

наблюдаемости

необходимо и достаточно, чтобы

М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко

x(t) = Ax(t) + Bu (t), y (t) = Cx(t),

УЛєЛ: rank ——— = n .

VA є Л: rank [ A - AIn | B] = n,

J A-AIn 1

Заметим, что условие У Л е Л может быть заменено на УЛ е eig

- множество собственных значений матрицы А.

В практических задачах анализа управляемости и наблюдаемости больших линейных моделей энергосистем [2 - 4] зачастую встречаются ситуации, когда размерность векторов управления и выхода сопоставима с размерностью пространства состояний, т.е. г « п, т « п . В этом случае стандартные тесты на управляемость системы (1) представляют собой высокоразмерные плохо обусловленные задачи.

Сходные трудности возникают в моделях, где некоторые элементы представлены неопределенными параметрами (т.н. параметризованные системы).

В статье [5] на основе ленточных критериев управляемости и наблюдаемости линейной стационарной системы описаны вычислительные процедуры в виде рекурсивных тестов, позволяющие понижать размеры анализируемых матриц. Между тем анализ свойств управляемости и наблюдаемости - многогранное и, наверное, неисчерпаемое явление.

Целью данной работы является построение цепочки преобразований (редукций), альтернативных описанным в [5], которые позволили бы выносить суждение об управляемости и наблюдаемости энергосистемы (1) на основе изучения управляемости и наблюдаемости систем существенно меньшей размерности состояний.

Редукция размерности состояний при анализе управляемости.

Известно, что любую числовую матрицу В е Вп к виду [6; 7]

I.

ранга г можно привести

О

(п-г )х

путем невырожденного преобразования Т вида

' В +'

т

и

где В+ - псевдообратная по Муру-Пенроузу матрица [8], Ь0 -

максимальное решение однородного уравнения [9; 10]

ЬпВ = О( х .

О (п-г)хг

Используя (4), осуществим преобразование матрицы [А - Л1п I В] по

типу

Т [А - Л1п | В] =

В+

и

[А-Л1п\В ].

Раскрывая правую часть (5), получим

L

[A -Л1,\Б ] = при этом в силу невырожденности матрицы

nk [A - Я1п | B] = rank

B'( A -Лі,) i,

L (-ЛI,) 0( n-r )xr

rank

B *( A -Лі, ) і,

L (-Лі, ) О(n-r)xr

Как следует из структуры (6), подматрица

[ B +(A -Л1„ )| Ir

при любых Я имеет ранг Г. Поэтому для выполнения условия

необходимо и достаточно, чтобы ранг подматрицы L0

удовлетворял требованию

УЯеЛ: rank L (A -Я1п ) = п - r .

Введем в рассмотрение невырожденную матрицу

T =[L |В],

как видно, удовлетворяющую уравнению

LT = L[ L+ Ib] = [ I \00 . ] .

0 1 [ 0 i ] [ п-r ! (n-r)xr ]

Осуществим далее невырожденное преобразование подматрицы L0 (A -Я1п) по типу

Lo

Раскроем правую часть (7):

L

При этом, как и в предыдущем случае (6),

rank L0

Сравнивая правые части из (2) и (9), приходим к справедливости следующего утверждения.

Утверждение 1. Система (1) управляема, если и только если выполняются эквивалентные условия:

A. управляема система

Xj

где x1 (t) e Xn-r - вектор состояния; u1 (t) eUr - вектор управления;

B.

У Я e eig

где eig (L0 AL0) - множество собственных значений матрицы L0 AL+.

Как видно, в результате проведенных преобразований произошла редукция размерности пространства состояний с n до величины n -r. Более того, если

rank L0 AB = n - r < r , то (10) является управляемой независимо от вида и свойств матрицы

LAL.

Отметим также, что в общем случае очевидным является соотношение

eig (LAL+ ) t eig(A) .

Введем новые обозначения:

A1 = L0AL+, B1 = L0AB, n-r = nx, rank L0AB = r1.

С учетом (12) условие управляемости системы (11) примет вид

VX е Л

Далее нам понадобятся максимальные решения следующих матричных уравнений

LiBi = °( Bi Ri = 0«

«1 -r )r

ХВ ^ = 1Л

относительно матриц Ьх, , Я1, JR. Отметим, что уравнения

разрешимы для любой ненулевой матрицы над Л, при этом существуют (неединственные) невырожденные блочные матрицы [6]

rpL _____

T1 =

JL

i

L

TR = [ JiR I Ri ].

Как следует из (14), преобразование вида

^L D rpR

T1LB1T1R

с учетом (15) приводит к тождеству

T1LB1T1R =

JL_

L

Bi [ JR I R„ ]:

і 0

I rix

0

Применяя данное преобразование к матрице A1 -XIn | B1J , с

учетом (16) получим

JL

L

[ Ai-Mi, И][ JiR і Ri

Анализ (17) показывает, что в данном случае справедлива цепочка ранговых условий:

JL

L (4-яі„; ) Li (а, -л,; 0(ni-ri) xri I 0(ni-ri) x(r-ri) I

mnk

JL

Li [A, Л RR L1 A —Ліі )r 0

= mnk

+ mnk

JL (A-лі, JRJ (A-лі, )j L (a,-лі,, )jR\l, (a,-лі,, )r,

о

г,х

( n,-г,) хг,

о

=

= г, + mnk

ь,

= г, + га,к Ц ( ( - ЛІПі) [ ) | Я, ] =

= г , + га,к Ь, (( - АІ, ).

Как видно, структура матрицы Ь1 (Л1 — АІ^ ) из

Ошибка! Источник ссылки не найден. в точности соответствует структуре матрицы Ь (А — АІ, ) из (8). Это позволяет нам сформулировать еще одно утверждение.

Утверждение 2. Системы (1), (10) управляемы, если и только если выполняются эквивалентные условия:

А. управляема система

Х2 0) = Ь1Л1Ь+ Х2 0) + АЛДи2 0) ,

где х2(ї) є X"1 -Гі - вектор состояния; и2(ї) єиГ1 - вектор управления;

- максимальное решение уравнения

LI Rl, = 0

П,-Г, )Г,

B.

УАє eig

где еі§ (Л1Ь+) - множество собственных значений матрицы Ь1 ЛЬ.

Продолжая рассуждения по индукции, приходим к следующему утверждению, справедливость которого нами фактически доказана. Утверждение 3. Система (1) управляема, если и только если управляемо множество систем

хг

где х1 (^) е Хп-г - вектор состояния \-й системы; и ^) е иг - вектор управления \-й системы; п = п1_1 - г1-1г г = гапЛ Ц-;4-1^--1; Ц-1 > ! -

максимальные решения соответственно уравнений

L. ,Я , = 0( ^

l—I l—I

L R = 0,

(A-I- гі-і )гі-і

А = А , ^0 = В , По = П, г0 = г .

Из утверждения 3 вытекает легко доказываемое следствие.

Следствие 1. Система (1), где п > 1, и(ї) є и1 - скаляр, управляема, если и только если управляема скалярная система

*п-1

т.е. в (24) скаляр Ьп-1Ап-1Кь ^ 0 .

В качестве числового примера рассмотрим две простейшие модели (1) с матрицами

A =

A =

О і 1 О

О 1 О і

і 2 I з

О О і

О 1 і О

і 2 ! ^

B =

B =

Первая из данных систем - управляема, а вторая - нет.

В результате преобразований, выполненных по утверждению З, приходим к двум скалярным системам

Х2 = U2

Х2 = Х2

Система (27) соответствует редукции состояния (25), а система (28) -(26). Очевидно, что (27) - управляема, а (28) - не управляема. Это и требовалось показать.

Редукция размерности состояний при анализе наблюдаемости. Для решения задачи редукции размерности состояния при анализе

наблюдаемости системы (1) воспользуемся преобразованиями матрицы (3) , дуализированными к выполненным в предыдущем разделе

преобразованиям матрицы (2). В результате придем к утверждению. Утверждение 4. Система (1) наблюдаема, если и только если

наблюдаемо множество систем

Хі(t) = R,+—і 4-і Ri—і x(tX

--------

y(t) = LRi—1 Ai—iRi—i x(t X 1 =1 n—m

где хі (t) є Xni —i - вектор состояния i-й системы; yі (t) є Ym - вектор выхода i-й системы; n = n і — m m = rank LR A R і; R. 1, LR -

’ і і—і і—і ’ i Rj—і і—і і—і і—1 R—1

максимальные решения соответственно уравнений

L. R і = О ( Г

і—і і—і m—і х(«і—і—m—і Г

Lr R і = О ( ч

Ri—і і—і Щ—і'ЛПі—^Щ—і)

L0 = C , A0 = A , n0 = n, m0 = m.

Следствие 2. Система (1), где п > 1, у(ї) є У1 - скаляр, наблюдаема, если и только если наблюдаема скалярная система

Хп-1(І ) = Щп-2 Ап-2 Щп-2 Хп-1(І ),

Уп-1(І) = ^Я„_2 Ап-2 Щп-2 Хп-1( ),

т.е. в (32) скаляр Ьк ^ Ап-2Яп -2 * 0 .

На основе данного утверждения осуществим анализ наблюдаемости следующей параметризованной модели, описывающей поведение энергосистемы [11]:

А =

-ом-1 0 -М-1 0 0 М- 0 0

0 -О2М-1 М-1 0 0 0 0 М-1

Т 112 -Т12 0 0 0 0 0 0

- Е Т- 0 0 -Т-1 82 0 0 0 0

0 - ЕТ 1 2 82 0 0 -Г1 82 0 0 0

0 0 0 Т-1 г1 0 -Т-1 г1 0 0

0 0 0 0 Т-1 12 0 -Т- 12 0

0 0 0 0 -20-1 0 2 (-1 + Т-1) -20-1

С =

1 0 0\0\0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1\0\0 0 0 0

= [3 ! 03х5 ] •

В данном случае вектор состояния х( е X включает: х1(^), х2(/) -отклонение частоты тока первой и второй станций, соответственно; х3(^) -отклонение электрической мощности; х4(1;), х5(^), х8(^) - сигналы регулирующих устройств станций; х6(^), х7(^) - отклонение механической мощности первой и второй станций, соответственно.

Определим решения однородных уравнений (30), (31) для I = 1. Сначала рассмотрим уравнение

сщ = 03^5

с матрицей С (34). Получим

о

3x5

І,

Подставим матрицу (36) в уравнение (31):

^Я0^0 = 03х5

и решим его относительно матрицы Ьк . Будем иметь

Ч = [ ] =с •

Из (36) также следует, что

Д+ = Дт = [0„3 \1, ] •

Теперь можно свести анализ наблюдаемости (33), (34) наблюдаемости системы

Х1(*) = Д Щ х1(*X

уЛ* ) = 4„ АКо х1(*X

где

Д АД = А =

-Г1 §2 0 0 0 0

0 -г1 §2 0 0 0

~Т~Г- 11 0 ~-Т~г 11 1 1 о | 1 1 1 1 1 г 1 1 <г> \ 1 1

0 1 *2 0 1 12 0

0 -2Б--1 0 2 (+т: ) -2Б-1

0 0 м-1 0 0

ъе0аД = С1 = 0 0 0 0 м-1

0 0 0 0 0

Осуществляя далее аналогичные преобразования для г = 2 анализу наблюдаемости системы

Х2(*) = Д А1К1 х2(* X

У 2 (*) = ЬК1 А1К1 Х2(*X

где

Д =

" 1 0 1 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1

0 0 0

. к+= КТ, ^ =

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1

К АД = А2 =

-г1 0 0

§2

0 -Т 0

§2

0 Т-1 12 -Т-1 12

и

(39) к анализу

(42) , придем к

LRlA1R1 = C2 =

1 1 0 0 "

1

0 і -2D-1 ! 2 2 D т T-)

Итак, анализ наблюдаемости системы с матрицами (33), (34) и х(^) е X8, у(^) е У3 сведен к анализу наблюдаемости системы с

матрицами (45), (46) и х2(^) е X3, У2(0 е У2.

Если осуществить еще одну редукцию, то получим систему

где

R- =

2D-1

2 D-1 T T-)

x3(t) = R2T A2 R2 x3(t), y3 (t) = LR2 A2R2 x3 (t),

R+T=-

2D-

- D-1 т T-)

2D-1

2D-

2 D-1 T T-)

R+ A2R2 = A3 є A1 Ф 0,

Lr A2R2 = C3 є C Ф 0 .

Как видно, система (47) с параметрами (49) всегда наблюдаема, поэтому в силу утверждения 4 система (1) с матрицами (33), (34) также является наблюдаемой.

Заключение. В работе доказаны утверждения, согласно которым анализ управляемости и наблюдаемости исходной модели энергосистемы путем редукции может быть сведен к анализу управляемости и наблюдаемости систем с существенно меньшей размерностью пространства состояний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и

управление. - М.: Наука, 2002.

2. Баринов В.А., Совалов С.А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления. - М.: Энергоатомиздат. 1990.

3. Гуссейнов Ф.Г. Упрощение расчетных схем электрических систем. - М.: Энергия, 1978.

4. Kundur P. Power system stability and control. McGraw-Hill, Inc. 1994.

5. Зыбин Е.Ю., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Рекурсивные тесты на управляемость и наблюдаемость линейных систем // АиТ.- № 12.- 2005.

1

и

6. Зыбин Е.Ю., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Минимальная параметризация решений линейных матричных уравнений // Современные методы управления многосвязными системами /Под ред. А.А. Красовского. М.: Энергоатомиздат, 2003. - Вып. 2 С. 191 - 202.

7. Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // АиТ.- № 12.- 2005.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1987.

9. Уонем М. Линейные многомерные системы управления: геометрический подход.- М.: Наука, 1980.

10. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1981.

11. Christensen G.S., El-Hawary M.E., Soliman S.A. Optimal Control Applications Electric Power Systems. Plenum Press. N.Y. and London. 1987.

М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко

СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ЭНЕРГОСИСТЕМАМИ С ЧАСТИЧНЫМ АГРЕГИРОВАНИЕМ

Решается задача оптимизации управления линейной дискретной моделью энергосистемы с частичным агрегированием. Приводятся оригинальные аналитические формы решения дискретного алгебраического уравнения Ляпунова, максимизация, функция Лагранжа.

Ключевые слова: энергосистема, частичное агрегирование, дискретная модель, управление, целевая функция, оптимизация, дискретное уравнение Ляпунова.

Будем предполагать, что многомерная энергосистема, имеющая стационарные во времени сосредоточенные параметры, разделена на две подсистемы. Первая подсистема является управляемой, в то время как вторая полагается устойчивой.

Рассмотрим эту систему в матричной записи

1 + t X4 1 л 1 X (t) 1

X ( + 1) 1 л 1 X2 (t) + 1

У (t) = iCi 0

xi w

Uj (t),

Здесь х(1)е Хп, х1(1)<^ X"1, х2(1)е X"2 - векторы состояний

подсистем, u1(t) &ит - вектор управления первой подсистемой, у(1)^. У - выходной вектор первой подсистемы, t = 0,1,... - моменты времени, Л^,Би,С1 - постоянные матрицы подходящей размерности.

Кроме того, предположим, что п1 << п2, матрица Л22 - устойчивая и тройка матриц