Об асимптотике сложности универсального клеточного контактного многополюсника

УДК 519.95

С. А. Ложкин, Т. Н. Евдокимова

ОБ АСИМПТОТИКЕ СЛОЖНОСТИ УНИВЕРСАЛЬНОГО КЛЕТОЧНОГО КОНТАКТНОГО МНОГОПОЛЮСНИКА

Введение. Широко известны такие модели вычисления дискретных функций, как схемы из функциональных элементов и контактные схемы. Их сложность (число функциональных элементов и контактов) исследовалась во многих работах. Однако в ряде случаев необходимо учитывать то, что реальные схемы располагаются в пространстве, их элементы и соединения занимают определенный объем, имеют конкретные геометрические размеры. В частности, при реализации дискретных функций интегральными схемами одним из важнейших параметров схемы является ее площадь.

В [1] была предложена математическая модель схем из функциональных элементов, размещенных на плоскости, в которой критерием сложности схемы являлась занимаемая ею площадь. В этой работе был установлен порядок, а в работе [2] доказано существование асимптотики для функции Шеннона, т.е. для сложности самой сложной функции от га булевых переменных. В [3] приведен пример одного класса клеточных схем из функциональных элементов, для площади которых удалось указать асимптотику функции Шеннона в явном виде. В работах [4, 5, 6] найдены точные по порядку значения сложности реализации некоторых конкретных булевых функций и систем булевых функций, а в [7] — асимптотика сложности реализации некоторых систем булевых функций как в модели [1], так и в более общей модели.

В работах [8, 9] рассмотрены две модели вложения в прямоугольную решетку контактных схем, причем в первой из этих моделей отсутствуют проводники, по которым передаются управляющие воздействия (значения переменных) к каждому контакту схемы, а во второй модели эти проводники составляют отдельный слой схемы. В [8] установлено асимптотическое поведение функции Шеннона в первой из указанных моделей, а в [9] получены совпадающие по порядку нижняя и верхняя оценки для функции Шеннона во второй модели.

В настоящей работе так же, как и в работах [10, 11], рассмотрена модель вложения контактных схем в прямоугольную решетку, которая близка к модели клеточных схем из функциональных элементов и, по нашему мнению, наиболее удобна для теоретических исследований. В данной модели проводники, по которым передаются управляющие воздействия к каждому контакту схемы и осуществляются соединения контактов, представлены обычными [1, 2] коммутационными элементами. Для этой модели в [10] получены асимптотически совпадающие верхняя и нижняя оценки вида ^п2п для сложности реализации системы всех элементарных конъюнкций ранга га от га булевых переменных, а в [11] — асимптотически совпадающие верхняя и нижняя оценки вида \п22 для сложности реализации системы всех функций от га булевых переменных. Настоящая работа содержит полное изложение результатов [11].

1. Основные понятия и формулировка результатов. Будем изучать схемы над базисом, в котором каждый элемент имеет форму единичного квадрата, а его полюса расположены на серединах сторон этого квадрата, пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, начиная с левой вертикальной стороны по часовой стрелке. Базис состоит из клеточных замыкающего и размыкающего контактов (см. рис. 1, а) и неориентированных коммутационных элементов: "изолятора", "проводника", элемента "поворота", а также элементов, реализующих "ветвление" и "пересечение" (см. рис. 1, б). В дальнейшем для удобства описания будем называть размыкающий (замыкающий) контакт 0-контактом (соответственно 1-контактом).

Полюса 1 и 3 (2 и 4) клеточного а-контакта, а Е {0,1}, называются его проводящими (соответственно управляющими) полюсами, причем если на один из его управляющих полюсов поступает булева переменная (БП) ж», то она передается на другой управляющий полюс, а проводимость между проводящими полюсами имеет место тогда и только тогда, когда Х{ = а. Коммутационные элементы базиса являются обычными [1, 2] проводящими элементами, причем в "изоляторе" любые соединения

Рис. 1. Базис ККС: клеточные контакты

отсутствуют, а остальные элементы соединяют между собой полюса следующим образом: полюса 1, 2 и 3 — в случае элемента "ветвление"; полюса 1 и 3 — элемента "проводник"; полюса 1 и 2 — элемента "поворот"; полюса 1 и 3, а также полюса 2 и 4 — в случае элемента "пересечение".

Рассмотрим класс клеточных контактных схем (ККС), где каждая схема представляет собой плоскую ограниченную односвязную, составленную из единичных квадратов область, в любую клетку которой вложен один из элементов базиса, повернутый, возможно, на угол, кратный у. Предполагается, что совокупность клеточных контактов и соединяющих их коммутационных элементов ККС представляет собой обычную контактную схему (КС) (см. [12, 13]) с несколькими входами и несколькими выходами, контактами которой управляют входные БП. При этом те входы ККС, на которые подаются входные БП, будем считать ее управляющими входами, а полюса, связанные с входами и выходами соответствующей КС, — проводящими полюсами ККС. Предполагается также, что проводящие (управляющие) полюса ККС выбираются среди проводящих (соответственно управляющих) полюсов клеточных контактов или полюсов коммутационных элементов, лежащих на границе схемы. При этом считается, что управляющие полюса любого клеточного контакта соединяются цепочкой, проходящей через коммутационные элементы и управляющие полюса клеточных контактов, с некоторым управляющим входом схемы, который не может быть соединен указанным способом с другим управляющим входом, с проводящим полюсом какого-либо контакта или с каким-либо проводящим полюсом схемы. Заметим, что любую контактную схему мы можем "вложить" в некоторую ККС указанным способом.

Напомним (см. [12, 13, 14]), что функция проводимости между вершинами и, V КС Е от БП х\,... ,хп представляет собой дизъюнкцию тех элементарных конъюнкций (ЭК) от этих БП, которые соответствуют проводящим цепям КС, идущим из и в V, а любая КС реализует функции, являющиеся функциями проводимости между одним из входных и одним из выходных полюсов. Определим функционирование ККС с то' (проводящими) входами и то" (проводящими) выходами как функционирование соответствующей КС с разделенными полюсами, т.е. как матрицу Р = Р(х 1,.. . ,ж„) с то' строками и то" столбцами, в которой на пересечении г-й строки и ^'-го столбца расположена функция проводимости от ¿-го входа к ^'-му выходу, то". Понятие подсхемы для ККС

вводится так же, как и для соответствующей ей КС (см. [13]).

Высотой (длиной, площадью) ККС Е назовем высоту (соответственно длину, площадь) минимального по включению содержащего ее прямоугольника рассматриваемой решетки и обозначим эту величину через /г(Е) (соответственно А(Е) и £(Е)). Заметим, что любую ККС можно "растянуть", т.е. заполнить необходимыми коммутационными элементами, до прямоугольника. Поэтому в дальнейшем, по умолчанию, мы будем считать, что схема вложена в прямоугольную решетку, содержит один проводящий вход, помеченный 1, и то выходов, а для лучшего восприятия на рисунках клеточному контакту будем приписывать х"', где Х{ — БП, управляющая этим контактом, а а{ определяет тип контакта. Сложностью Ь(Р) системы функций алгебры логики Р называется минимальная сложность реализующих ее ККС с одним входом.

Будем называть схему, реализующую систему Р2(п), состоящую из всех функций алгебры логики от п входных БП^ниверсальным контактным многополюсником порядка п. Далее будет доказано, что сложность Ь(Р2(п)), т.е. сложность минимального универсального клеточного контактного мно-

1 г\971

гополюсника порядка п, асимптотически равна ^п2 .

2. Нижняя оценка сложности универсального клеточного контактного многополюсника порядка п.

Лемма 1. Для сложности Ь(Р2(п)) имеет место асимптотическое неравенство1

Ц?2(п))У \п2*\

Доказательство. Рассмотрим минимальную по площади ККС Е, реализующую систему Р2(п), которая имеет высоту /г и длину А, А ^ /г. Разобьем эту схему вертикальной линией деления, содержащей не более одного горизонтального смещения длины 1, на две подсхемы. Не ограничивая общности рассуждений, предположим, что в левой подсхеме Е' оказалось к управляющих входов х\,..., Хк-, а в правой подсхеме Е" — (п — к) управляющих входов х^+1, • • •, хп. Будем говорить, что управляющие БП Х1,...,Х/С ..., хп) доступны в левой подсхеме Е' (соответственно в правой

подсхеме Е"). Кроме того, будем считать, что управляющая БП ж», входной полюс которой расположен в правой (левой) подсхеме, доступна в левой (правой) подсхеме, если значение этой БП передается из одной части схемы в другую через линию деления.

Предположим, что из левой в правую часть схемы передается г управляющих входов, а из правой части схемы в левую — у управляющих входов. Тогда в левой части доступно к' = {к+у) управляющих БП, а в правой части — к" = (п — к + г) управляющих БП.

Будем считать, что все клетки ККС Е пронумерованы числами 1,...,£(Е) так, что номер 1 имеет клетка, расположенная в левом верхнем углу Е, а номера любых двух соседних по горизонтали (вертикали) клеток отличаются на к (соответственно 1). При такой нумерации подсхема Е' состоит из клеток с номерами 1,..., а подсхема Е" — из клеток с номерами + 1,..., Ь(Е). Выберем число так, что

\к'-к"\<:1.

Действительно, при увеличении на 1 число к' либо остается таким же, либо увеличивается на 1, в то время как число к" либо остается таким же, либо уменьшается на 1. Следовательно, искомую линию деления можно найти, положив сначала = 1, а затем последовательно увеличивая его на 1 до тех пор, пока не будет выполнено (1).

Рассмотрим теперь одну из подсхем Е', Е" и оценим число различных функций, реализованных в ней. Предположим, что на линии деления находится £ проводящих полюсов подсхем, т.е. из правой (левой) подсхемы в левую (соответственно правую) через линию деления передается £ функций, реализованных в правой (соответственно левой) подсхеме. Для удобства в дальнейшем полюса подсхем, находящиеся на линии деления, будем называть "дополнительными полюсами". Таким образом, каждая из подсхем Е', Е" имеет £ дополнительных входов, являющихся одновременно дополнительными выходами, а одна из них содержит вход 1. Заметим, что функция, реализуемая на произвольном выходе схемы Е, однозначно определяется функциями проводимости между следующими парами полюсов ее подсхем Е', Е":

1) между входами подсхемы, содержащей данный выход, — их число не больше чем £ + 1, — и этим выходом;

2) между входом 1 и дополнительными полюсами содержащей его подсхемы, число которых не больше чем £]

3) между любой неупорядоченной парой дополнительных полюсов в каждой подсхеме, причем число таких пар равно и, очевидно, не больше чем д2 — 2£ — 2, где д = тах{£, 4}.

Если вход 1 находится в подсхеме Е', то число функций, реализованных в этой подсхеме, не больше

чем

2^+1)2*' 212к' 2'-^-2к' < ^2Ч22к' 2Ч22к"

^ 2

а число различных функций, реализованных в подсхеме Е", не больше чем

212к" 2£2к" 2^^2к' 2^^2к" < ^2д22к" 2д22к'

^ 2

Аналогичные оценки справедливы и в том случае, когда вход 1 находится в подсхеме Е".

Запись ф(п) ^ ф(п) обозначает, что функция ф(п) асимптотически больше или равна функции ф(п), т.е. для любого е > 0 найдется N = ЛГ(е) такое, что при любом п ^ N выполнено ф(п) ^ (1 — £)ф(п).

Таким образом, число различных функций, реализуемых в схеме Е, не превосходит

2Ч2

а поскольку Е реализует все функции алгебры логики от га БП, то

22™ < 2<12(2к" +2к') Логарифмируя2 это неравенство, получаем, что

2" <С q2(2k' + 2*").

Так как

\к'-к"\^1 и к' + к" = п + у + г<^п + к-1, то для г = тах{к', к"} выполняются неравенства

д2 (2Г + 2Г) ^2" и 2Г • 2Г ^ 2н+п~1+1,

из которых следует, что

ч2л/2н+п-1+1 ^ 2".

Из (2), в свою очередь, вытекает, что

к ^ га - 9.

Действительно, в противном случае в силу

^2П-9 + п-1+1 у ^2^+4-1+1 у 22"

и, следовательно, мы приходим к неравенству

д4 > 21+8,

которое противоречит выбору q = тах{£, 4}.

Заметим, что минимум произведения А/г при ограничениях

о п

А^/г^га-9^0, 2(А + И) ^ га + 22

достигается тогда, когда

1г = п- 9, А = -(22" - га) + 9,

и, таким образом,

Ь(Р2(п)) = £(Е) ^ (п - 9) (^(22" - + э) Ь .

Лемма доказана.

3. Верхняя оценка сложности универсального контактного многополюсника порядка га.

Лемма 2. Для сложности Ь(Р2(п)) имеет место асимптотическое неравенство

.-7 ... X о п

ты) ± -п22.

Доказательство. Построим ККС Е, являющуюся универсальным контактным многополюс-

1 9п

ником порядка га, сложность которой асимптотически не превышает -^п2 .

Положим В = {0,1}, выберем параметр к, 0 < к < га, и в соответствии с [14] построим разбиение Д& единичного 2,с-мерного куба В2 на 22 ~к попарно непересекающихся единичных сфер. Заметим, что в этом разбиении для любой так называемой основной сферы, т. е. сферы с центром (0, «2, • • •, с^ь), имеется дополнительная к ней сфера с центром (1, «2,..., с^ь), которая, очевидно, содержит центр соответствующей основной сферы и наоборот.

2 В настоящей работе все логарифмы берутся по основанию 2.

Каждой функции ..., хп) сопоставим набор единичного куба В2 от БП (у1,у2,   -,У2п), ко-

торый является столбцом ее значений. Выделим в этом кубе группы наборов следующим образом:

1) ДЛЯ любых фиксированных значений У2к+1 = + У2к+2 = $2к+2 1 • • • > У2п = $2™ булев подкуб В2 размерности 2к от остальных БП (уг,у2,   -,У2к) разобьем на непересекающиеся единичные сферы

) ^2 ) • • • ) — к

указанным выше способом Д& так, что сферы с номерами 2j — 1 и 2], ] = 1,..., 22 ~к~1) являются основной и дополнительной к ней сферами Д& соответственно;

2) для каждого г, г = 1,...,22 ~к, объединим в одну группу сферы Ф- 2к+1' ' 2 где набор (52к + 1,52к+2, • • .,¿2») пробегает все значения булева куба В2 ~2 от БП (у2к

_|_1, У2к + 2) • • • > У2п ] !

3) в каждой группе Gi, г = 1,...,22 ~к, упорядочим сферы так, чтобы двоичные "номера" + ь ^2к+2ч • • • 1 ^2™) двух соседних сфер отличались друг от друга лишь в одной позиции (при помощи кода Грея [15], например) и пусть Ф- — сфера с номером где 1 ^ £ ^ 22 ~2 , при указанной нумерации.

Построим схему Е как объединение подсхем ] = 1,...,22 ~к~г, где ККС Е^ реализует все функции, столбцы значений которых представляют собой наборы из групп С2]~\ и G2j Схема Е^, в свою очередь, является объединением подсхем Е^-, £ = 1,..., 22 ~2 , где ККС Е^- реализует наборы сфер $2.7-1 и ^2]- Рис- ^ показан общий вид схемы Т!^ и ее подсхем Е^-, £ = 1,..., 22 ~2 , а на рис. 3 и 4 — структура подсхем схемы Е^- и связь между ними.

Подсхема £ = 1,...,22 ~2 _1 (см. рис. 3), реализует сам набор у = (0, 72,..., 72*, ¿2* + 1> • • • ... , ¿2™) — центр сферы , — и состоит из 3 частей. Первая часть отвечает за реализацию набора

7 и в случае (¿2*+1, • • •, $2™) = (00 .. .0) строится на основе совершенной ДНФ соответствующей функции. При этом каждая ее конъюнкция ж^&.-.&ж^™ реализуется вертикальной цепочкой длины п из указанных контактов, а начальные (конечные) вершины всех таких цепей соединены горизонтальным проводником, присоединенным к единице (соответственно к выходной вершине данной схемы). Таким образом, в рассматриваемом случае высота первой части схемы равна п + 2, а длина не больше 2к - 1.

Если же набор (¿2* + 1, • • •, $2™) отличен от набора (00 .. .0), то на соответствующий вход подсхемы 5] (см. рис. 3) подается функция — центр сферы Ф^"^. В соответствии со свойствами выбранной нумерации набор 7 отличается от набора т) — набора функции — только в одном разряде — разряде, соответствующем набору значений БП х\ = а\,..., хп = ап. В том случае, когда набор т) имеет на одну единицу больше (меньше), чем набор 7, достаточно организовать реализацию конъюнкции вида

= у*"1

(соответственно дизъюнкции вида V х"1 &.. которую будем называть переходом типа 0

(соответственно типа 1). На рис. 3 изображена подсхема для перехода типа 0, а для перехода типа 1 данная подсхема отличается от предыдущей схемы лишь в своей первой части, где добавляется недостающая единица.

Напомним, что наборы сфер , Ф^- отличаются от их центров только в одном разряде, номер

которого не больше 2к. При этом значения БП х\ = /З1, ..., = соответствующие данному

разряду, одинаковы для всех наборов сферы. Поэтому во второй (соответственно третьей) частях подсхемы 5] мы реализуем необходимые вспомогательные функции — конъюнкцию вида .. и конъюнкцию функции центра сферы (соответственно Ф^) с дизъюнкцией вида х^1 V.. N.

Каждая из подсхем Щ или £ = 1,...,22 ~2 -1, реализующая наборы сферы или Ф^'-и строится аналогично, за исключением того, что в подсхеме не реализуется набор, соответствующий центру сферы Ф^'-и так как он реализуется в подсхеме Рассмотрим строение этих подсхем на примере одной из них. Подсхему можно представить в виде 2к блоков РГ1 расположенных друг под другом со смещением каждого следующего блока на 1 вправо по сравнению с предыдущим (см. рис. 4, а). В блоке Рг реализуется набор значений, соответствующий функции сферы с но"

Рис. 2. Общий вид схемы

мером г. Этот набор отличается от набора центра сферы в одном разряде, поэтому в блоке Рг задается один из переходов: переход типа 1 показан на рис. 4, б, а переход типа 0 — на рис. 4, в.

На этом построение схемы Е закончено. Оценим ее площадь и выберем значение к таким, чтобы выполнялись соотношения: 1) А(5]) > А(5]) и Х(Щ) > А(5]);

Рис. 3. Подсхема

2) ЦЩ) = о(п) и ЦЩ) = о(п).

Так как длина А(Рг) равна к + 4 для перехода типа 0 и равна 6 для перехода типа 1, то длина А(5]) (А(5])) не превосходит 2к + к + 4 (2* - 1 + /г + 4), а длина А(5]) равна (га - к) + 2(га - к + 2) для перехода типа 0 и равна 1 + 2(га — /г + 2) для перехода типа 1. Потребуем, чтобы выполнялось неравенство

2* + к + 4 ^ 3(га- к) +4.

Рис. 4. Подсхема общий вид

Поскольку высота /г(5]) равна (кА)(2к — 1), высота /г(5]) равна (к4)2^, то наложим ограничение

(к + 4)2к = о(п).

Исходя из указанных требований выберем значение параметра к следующим образом:

к =

— log п + log log п + log 3

Тогда длина А(Е) равна 22 + к + 1, где слагаемое (к + 1) добавляется за счет разветвления входов управляющих БП и входа 1, а высота равна

/¿(Е) = М5|) + М5|) + КБ)) = {к + А)2к + {к + 4)(2* - 1) + (п - к + 4 + к + 4),

Т. 6.

^ = (22™_1)(га — к + 4 + 2{к + 4)2^). Подставляем выбранное значение к и получаем, что

Следствие. Справедлива оценка: L(P2{n)) ~ |-га22

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кравцов С. С. О реализации функций алгебры логики в одном классе схем из функциональных и коммутационных элементов // Проблемы кибернетики. 1967. Вып. 19. С. 285-292.

2. Альбрехт А. О схемах из клеточных элементов / / Проблемы кибернетики. 1978. Вып. 33. С. 209214.

3. Грибок C.B. Об одном базисе схем из клеточных элементов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1999. № 4. С. 36-39.

4. Шкаликова H.A. О сложности реализации некоторых функций клеточными схемами // Сб. работ по матем. киберн. Вып. 1. М.: ВЦ АН СССР, 1976. С. 102-115.

5. Шкаликова H.A. О реализации булевых функций схемами из клеточных элементов // Математические вопросы кибернетики. 1989. № 2. С.177-197.

6. Hromkovic J., Lozkin S.A., Rybko A.I., Sapozenko A.A., Skalikova N.A. Lower bounds on the area complexity of Boolean circuits // Theoretical Computer Science. 1992. 97. P. 285-300.

7. Ложкин С. А., Пашковский A.M. О сложности реализации некоторых систем функций алгебры логики клеточными и планарными схемами // Проблемы теорет. киберн. Тез. докл. IX Всесоюз. конф. 1990. Ч. I. 1991. С. 28.

8. 3 ад о р ож н ю к О. А. О контактных схемах из клеточных элементов // Матем. вопросы киберн. 1996. № 6. С. 257-280.

9. Задорожнюк O.A., Рыбко А.И. Об одной модели плоских контактных схем // Дискретная математика. 1995. Вып. 4. № 7. С. 40-50.

10. Грибок C.B. Об асимптотике сложности контактного клеточного дешифратора // Вестн. Ниже-гор. гос. ун-та. Матем. моделир. и оптим. управление. 2000. Вып. 1. № 22. С. 68-72.

11. Ложкин С. А., Никитина Т.Н. Об асимптотике сложности универсального клеточного контактного многополюсника // Мат-лы XIII Междунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики". Ч. II. М.: Изд-во центра прикл. иссл. при мех.-матем. ф-те МГУ, 2002. С. 114.

12. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

13. Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.

14. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.

15. Потемкин И. С. Функциональные узлы цифровой автоматики. М.: Энергоатомиздат, 1988.

Поступила в редакцию 15.05.05