Необходимые условия экстремума в векторных квазидифференцируемых экстремальных задачах

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 3, С. 3-10

УДК 517.98

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ВЕКТОРНЫХ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

Е. К. Басаева

При помощи векторной теоремы о биполяре получены необходимые условия экстремума в век-торннозначной квазидифференцируемой задаче с ограничениями типа неравенства при выполнении ослабленного условия квазирегулярности.

Ключевые слова: квазидифференциал, квазидифференцируемый оператор, квазидифференци-руемые экстремальные задачи.

Статья посвящена уточнению необходимых условий экстремума для многоцелевых квазидифференцируемых экстремальных задач и является продолжением работ [1—3]. В первом параграфе приведены необходимые для дальнейшего изложения сведения о квазидифференциале и квазидифференцируемых экстремальных задачах. Второй параграф посвящен векторной теореме о биполяре. В третьем параграфе с использованием векторной теоремы о биполяре выводятся необходимые условия экстремума в векторной квазидифференцируемой задаче с ограничениями типа неравенства при выполнении слабого условия регулярности.

В статье использованы терминология и обозначения из [8].

1. Квазидифференцируемые экстремальные задачи

1.1. Пусть X — действительное векторное пространство, а E — произвольное K-пространство и E* := E U {+<^}. Оператор f : X ^ E* называют квазидифференциру-емым в точке Жо, если он дифференцируем по направлениям в этой точке и его производная по направлениям — квазилинейный оператор (т. е. представима в виде разности двух сублинейных операторов):

f'(x0)h = p(h) — q(h) = sup Th — sup T'h (Vh G X).

T edp T '€dq

Таким образом, в силу двойственности Минковского, квазилинейному оператору f '(жо) = p — q, можно поставить в соответствие упорядоченную пару опорных множеств (dp, dq). Заметим, что представление f'(xо) в виде разности двух сублинейных операторов не единственно (достаточно прибавить к p и q любой сублинейный оператор). Пары (dp, dq) и (dpi, dqi) назовем эквивалентными, если по ним восстанавливается один и тот же квазилинейный оператор, т. е.

f'(x0)h = sup Th — sup T'h = sup Th — sup T'h (Vh G X).

T €dp T'edq T €dp' T '€dq'

© 2008 Басаева Е. К.

Класс эквивалентных пар опорных множеств [dp, dq] называют квазидифференциалом f в точке Жо и обозначают символом D f (жо). При этом опорные множества dp и dq принято называть соответственно субдифференциалом и супердифференциалом функции f в точке Жо и обозначать df (жо) и df (жо). Итак,

Df (жо) := [dp, dq] := [df (жо),^ (жо)].

1.2. Рассмотрим векторную программу (C, f), т. е. многоцелевую экстремальную задачу

ж Є C, f (ж) ^ inf,

где C С X — некоторое множество, а f : X ^ E* — отображение, предполагаемое в дальнейшем квазидифференцируемым в нужной точке из core(dom(f)). Здесь dom(f) := {ж Є X : f (ж) < то} означает эффективную область оператора f, а core(M) — алгебраическую внутренность множества M.

Точки ж Є C называют допустимыми точками задачи (C, f). Допустимая точка жо — идеальный локальный оптимум в программе (C, f), если существует множество U С X такое, что 0 Є core(U) и

f (жо) = inf{f (ж) : ж Є C П (жо + U)}.

Следующая теорема дает необходимые условия экстремума в безусловной квазидиф-ференцируемой задаче, т. е. при C = X, ср. [2].

Теорема [8, теорема 6.5.1 (1)]. Пусть отображение f : X ^ E* квазидифференци-руемов точке жо Є core(dom(f)). Если жо —идеальный локальный оптимум в безусловной задаче f (ж) ^ inf, то df (жо) С df (жо) или, что то же самое, Df (жо) ^ 0.

1.3. Пусть X — векторное пространство, E и F — некоторые K-пространства, f : X ^ E и g : X ^ F*. Рассмотрим векторную программу вида (C, f), где C := {ж Є X : д(ж) ^ 0}, причем отображения f и g квазидифференцируемы в нужной точке. Эту программу мы будем обозначать символом (g, f).

(1) Условие квазирегулярности. Векторную программу (д, f) называют квазирегу-лярной в точке жо Є core(dom(g)), если выполнены условия:

(a) существуют сублинейный оператор Магарам r : F ^ E и поглощающее множество U С X такие, что для любого ж Є жо + U выполняется nxf(жо) ^ nxf(ж), где пх : = [(r о g^))-] — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о g^))-;

(b) для любых оператора Т Є dr(g^)) и ненулевого проектора п Є P(E) выполняется пТ о dg^) П пТ о dg^) = 0.

(2) Теорема [8, 6.5.5]. Если допустимая точка жо Є core(domf) есть идеальный локальный оптимум квазирегулярной квазидифференцируемой задачи (g, f), то для любых s Є df (жо) и S Є dg^) существуют положительный ортоморфизм а Є Orth+(E) и оператор Y Є L+ (F, E) такие, что совместна система условий

ker а = {0}, y о g^) = 0,

0 Є a(df (жо) - s) + y о (^(жо) - S).

1.4. Условие квазирегулярности 1.3(2) можно ослабить. А именно, потребовать, чтобы выполнялось лишь условие 1.3 (2а). В этом случае необходимые условия экстремума на проекторе р, где р := [(r оg^))-] — проектор на компоненту порожденную элементом (г о g^))-, будут иметь вид

0 Є p(df (жо) - s).

А необходимые условия экстремума на проекторе рЛ будут принципиально иными: для любых в £ д/

0 £ р^(д/(ж0) — в) + рЛ е1т1хеопеЕ(д^(ж0) — 5),

где со означает выпуклую оболочку, mix — множество всех перемешиваний относительно P(E), cl — замыкание относительно поточечной о-сходимости,

Этот факт установлен ниже (см. § 3) с использованием векторной теоремы о биполяре.

В некоторых вопросах выпуклого анализа важную роль играет векторнозначная двойственность, представляющая собой пару векторных пространств с фиксированным билинейным оператором, принимающим свои значения из пространства Канторовича. Одним из центральных результатов возникающей при этом теории является теорема о биполяре (см, например, [?]).

2.1. Рассмотрим некоторое К-пространство Е и вещественные векторные пространства X и У. Пусть задан билинейный оператор (-|-) из X х У в Е .С этим оператором связаны бра-отображение (-| : X ^ ¿(У, Е) и кет-отображение |-) : У ^ ¿(X, Е), определяемые следующими формулами:

где £(и, V) — как обычно, множество всех линейных операторов из и в V. Нетрудно видеть, что бра-отображение и кет-отображение являются линейными операторами.

Двойственностью над Б или Е-значной двойственностью называют тройку (X, К, (-|-)), если соответствующие бра-отображение (-| и кет-отображение |-) инъектив-ны. В этой ситуации говорят также, что X и У приведены в векторную двойственность оператором (-|-). Часто этот оператор называют каноническим билинейным оператором двойственности, а саму двойственность обозначают X ^ У. Будем считать, что рассматриваемая двойственность отделима. Двойственность (У,X, (•|-)/), где (у|ж) := (ж|у) (ж £ X, у £ У), отождествляют с X ^ У.

Подмножество А С У называется слабо ограниченным, если для любого ж £ X множество |(ж|у) : у £ А} порядково ограничено в Е.

2.2. Пусть (у^)^6= — некоторое семейство в У, а (п^)^6з — разбиение единицы в булевой алгебре порядковых проекторов Р(Е). Элемент у £ У называют перемешиванием семейства (у^) относительно (п^), если п^(ж|у — у^) = 0 для всех ж £ X и £ £ 2. Нетрудно показать, что перемешивание единственно. Перемешивание семейства (у^) относительно (п^) обозначается символом т1х(п^у^) := т1х^е=(п^у^). Множество всех перемешиваний т1х(п^у^), где (у^) С С, называется циклической оболочкой С и обозначается символом т1х(С). Если т1х(С) = С, то С принято называть циклическим.

Множество С С X называется разложимым, если для любого проектора п £ Р

conee(M) := KTi о Si : Ті : F ^ E, T ^ 0, Si : X ^ F, Si Є M, n Є N

2. Векторная теорема о биполяре

(ж| : у ^ (ж|у) (ж Є X, у Є Y),

|у) : ж ^ (ж|у) (ж Є X, у Є Y),

и п^(ж|у) = 0 для всех у £ У, т. е. ж = т1х{пж,п^0}. Таким образом, множество С С X будет разложимым, если существует перемешивание т1х(п*у*) £ С для каждого конечного семейства (у*) С С и для любого конечного разбиения единицы (п*) £ Р(Е). Если же существуют перемешивания т1х(п*у*) £ С для любых слабо ограниченных семейств (у*) С С относительно произвольных разбиений единицы (п*) £ Р(Е), то говорят, что С дизъюнктно полно. Двойственность X ^ У называют разложимой (дизъюнктно полной ) по У, если У есть разложимое (дизъюнктно полное) множество.

2.3. Пусть А — подкольцо кольца ОгЛ(Е). Если на У можно определить структуру модуля над А так, что каноническая билинейная форма (-|-) становится А-однородной по второй переменной, то говорят, что двойственность X ^ У допускает структуру А-модуля по У или что У допускает согласованную модульную структуру над А.

Если двойственность X ^ У над Е разложима по У, то она допускает согласованную модульную структуру по У над кольцом конечнозначных разложений единицы в булевой алгебре Р(Е). В частности, равенство у = т1х*6з п*у* имеет место в том и только в том случае, если

(ж|у) = ^2(ж|п*у*) (ж £ X).

£65

2.4. Приведем пример векторнозначной двойственности, допускающей согласованную модульную структуру.

Пусть X — векторное пространство, Е — К-пространство и пусть ¿(X, Е) ^ X — двойственность над Е. Канонический билинейный оператор определим формулой

(Т|ж) := Тж (Т £ ¿(X, Е), ж £ X).

Очевидно, что двойственность ¿(X, Е) ^ X дизъюнктно полна по ¿(X, Е).

Рассмотрим пространство Ш := ¿(¿(X, Е),Е) и определим вложение ж ^ ж пространства X в Ш по формуле:

ж: ¿(X, Е) ^ Е, ж(Т) := Тж (Т £ ¿(^Е), ж £ X).

Будем писать Ш Э X, так как указанное вложение является инъективным. Как видно, Ш является модулем над А := Ог1;Ь(Е), следовательно, двойственность ¿(X, Е) ^ Ш допускает согласованную модульную структуру над А. Обозначим через X модуль натянутый на X с операциями, индуцированными из Ш. Тогда двойственность ¿(X, Е) ^ X также имеет согласованную модульную структуру по X над А и дизъюнктно полна по ¿(X, Е).

2.5. Введем теперь полярные множества относительно векторной двойственности. Пусть Е — некоторое К-пространство с единицей 1 и X ^ У — произвольная Е-значная двойственность. Полярой С° множества С С X называют множество, определяемое формулой:

С° := {у £ У : (ж|у) ^ 1, ж £ С}.

Множество С°° := (С°)° называют биполярой С. Для всякого подмножества С С X поляра С° является слабо замкнутым циклическим коническим отрезком. Напомним, что коническим отрезком, называют выпуклое множество, содержащее нуль. Если К — конус, то поляра К° вычисляется по формуле

К° := {у £ У : (ж|у) ^ 0, ж £ К}.

2.6. Теорема о биполяре ([6]). Пусть X ^ У — это Е-значная двойственность, дизъюнктно полная по X и допускающая согласованную модульную структуру по У над кольцом ОгШ(Е). Биполяра произвольного множества С С X совпадает со слабым замыканием циклической оболочки множества со(С и {0}). Символически:

С00 = сі(шіх(со(С и {0}))),

где сі — операция слабого замыкания.

3. Основной результат

3.1. Пусть Е еще одно пространство Канторовича, і : X ^ Е* и Ь : X ^ Е* — квазилинейные операторы. Рассмотрим квазилинейную экстремальную задачу (Ь,і):

і(Л) ^ т£, Ь(Л) ^ 0.

3.2. Теорема. Для квазилинейной задачи (Ь, і) следующие утверждения равносильны:

(1) 0 — решение задачи (Ь, і);

(2) (V« Є дІ)(У5 Є дЬ) 0 Є (ді — з) + сітіхсопе(дЬ — 5).

< В силу квазилинейности і и Ь существуют сублинейные операторы р, д, Р и Q такие, что і(Л) = р(Л) — д(Л) и Ь(Л) = Р(Л) — Q(h). Заметим, что нуль будет решением задачи (Ь, і) тогда и только тогда, когда (^ Є X) из Ь(Л) ^ 0 следует і(Л) ^ 1(0) = 0. Или, что то же самое

р(Л) — д(Л) ^ 0 (М Є С),

где С := {Л : Р(Л) — Q(h) ^ 0}.

Для 5 Є дQ обозначим через Cs := {Л : Р(Л) — 5(Л) ^ 0} и заметим, что С = Cs, а Cs = (сопе(дР — 5))°, где сопе(М) — коническая оболочка множества М. В этих обозначениях необходимые условия примут вид

(V« Є дд)(^ Є дQ) р(Л) — «(Л) ^ 0, Л Є ^,

где Cs — выпуклый конус. Обозначим через 5(Cs) Е-значный индикаторный оператор множества Cs, тогда

(V« Є дд)^5 Є дQ) р(Л) — в(Л) + 5(Cs)(Л) ^ 0, Л Є X.

Воспользовавшись двойственностью Минковского, получаем

(V« Є дд)(У5 Є дQ) 0 Є др — з + д5^) = др — з + С°,

где д^(С,5) := С° := {Т : Тж ^ 0 Vж Є Cs} — поляра конуса Cs.

Так как Е-значная двойственность Ь^, Е) ^ X Э X, дизъюнктно полна по Ь^, Е) и имеет согласованную модульную структуру по X над кольцом ОгЛ(Е) (см. 2.4), то для множества П, где П := {Т : Т Є П}, П := сопе(дР — 5) С Ь(X, Е) и Ти := ^¿=і а*Тж* при и = ^¿=1 а*Ж*, выполнены все условия векторной теоремы о биполяре 2.6. Далее, заметив, что слабая замкнутость П в X равносильна поточечной замкнутости П в X, получаем

CS = (сопе(дР — 5))°° = сітіхсопе(дР — 5) = сітіхсопе(дЬ — 5). >

3.3. Пусть f : X ^ E* и g : X ^ F* — квазидифференцируемые в нужной точке операторы. Рассмотрим квазидифференцируемую векторную программу (g, f), т. е. экстремальную задачу

f (ж) ^ inf, g(x) ^ 0.

(1) Условие слабой квазирегулярности. Квазидифференцируемую векторную программу (g, f) назовем слабо п-квазирегулярной в точке жо, где п-порядковой проектор в E, если существуют возрастающий сублинейный оператор r : F ^ E и поглощающее множество U С X такие, что выполняются условия

(a) r(en) I 0 для любой последовательности (en) С F, en | 0;

(b) для любого ж £ жо + U выполняется неравенство nxf (жо) ^ nxf (ж), где пх : = [(r о g(ж))-] — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о g^))-;

(c) п ^ [г о g^0)].

Условие слабой квазирегулярности выполняется, если, например, существует такой возрастающий о-непрерывный сублинейный оператор r : F ^ E, что для любого ж £ X из g^) ^ 0 следует r о g^) ^ 0.

3.4. Теорема. Если допустимая точка жо есть идеальный локальный оптимум в слабо п-квазирегулярной квазидифференцируемой (в точке жо) векторной программе (g, f), то для любых s £ df (жо) и S £ dg^) будет

0 £ (df (жо) — s) + пй clmixconeE(д$(жо) — S).

< Положим f := f — f (жо) и g : = r о g, где отображение r удовлетворяет условию 3.3(1). Введем штраф

Р := /V g .

Как видно, допустимая точка жо будет идеальным локальным оптимумом в векторной программе (g, f) тогда и только тогда, когда эта точка локально оптимальна в безусловной задаче р(ж) ^ inf. В силу квазидфференцирумости производной по направлениям композиции и максимума отображение р дифференцируемо по направлениям. Поэтому если жо — идеальный оптимум задачи (g, f), то согласно доказательству теоремы 6.5.1 из [8]

р'(жо)Л, ^ 0 (h £ X).

Воспользовавшись формулой вычисления производной по направлениям максимума из (см. [8, 6.3.5]), получаем

(жо)Л, = \J (df'(жо)Л, + вд'(жо)h) (h £ X),

где

Г2(жо; f,g ) = {(а, в) £ Orth+(E) : а + в = Ie, af(жо) + вКжо) = 0}. Включение (а, в ) £ Г2(жо; f , g ) означает, что

0 = р(жо) = af (жо) + вд(жо) = вд(жо).

Следовательно, имеет место представление

Г2(жо; f, g) = {(а, в) £ Orth+(E) : a + в = Ie, eg^) = 0}.

Пусть р — проектор на компоненту, порожденную элементом д(жо) (т. е. рд(жо) < 0, а р^д(жо) = 0). Используя найденное представление для Г2(жо; / , д ), находим, что Г2(жо; р/,рд) = {(р, 0)} и

Г2(жо;р/р^д ) = {(рйа,р^в ) : (а, в) £ ОгЛ+(Е), а + в = }•

Таким образом, привлекая [8, 2.1.5 (3)], заключаем

р^(жо)Л, = р^ \/ (а//(жо)Л + вд/(жо)Л) =

= рй(//(жо)Л V ^(жо)^) = р//(жо)Л V р^д/(жо)Л,

р^/(жо)Л = р//(жо)Л (Л £ X).

В силу квазидифференцируемости д существуют сублинейные операторы Р и Q такие, что д/(жо)Л = Р(Л) — Q(h). А согласно [8, 6.3.2], условию (а) слабой квазирегулярности и формуле [8, 6.3.3] для вычисления производной по направлениям композиции квази-дифференцируемых операторов, имеем д/(жо)Л = г/(д(жо)) о д/(жо)Л.

Заметим, что 0 — есть решение безусловной задачи

ф(Л) := р^(жо)Л, = рй//(жо)Л V р^д/(жо)Л ^ т£, Л £ X, т. е. ф(Л) ^ 0 для любого Л £ X или, что то же самое

(У5 £ дQ) р/(жо)Л V р^г/(д(жо)) о (Р(Л) — 5(Л)) ^ 0, Л £ X.

Таким образом, 0 — решение квазилинейной векторной программы (1,£):

1(Л) := р^//(жо)(Л) ^ т£,

¿(Л) := р^г/(д(жо)) о (Р(Л) — ЗД) < 0

для любого 5 £ дQ = дд(жо). Отсюда, применяя теорему 3.2, и подставляя вместо I и Т их значения, на проекторе рй получаем

0 £ р^

Т €дг

С р^(д/(жо) — в) + рй е1т1хеопеЕ(дд(жо) — 5),

так как

еопе (^) д(Т о (Р — 5)) С е1т1хеопеЕ(дР — 5).

Т €дг

Последнее включение имеет место в силу теоремы о внутренней характеризации субдифференциалов, см. [8, теорема 2.4.12].

Далее, для проектора р при любом в £ д/(жо) будет

0 £ р(д/(жо) — в).

Осталось сложить два вхождения, содержащие р и рй, и необходимые условия примут

вид _ _

0 £ (д/(жо) — в) + рйе1т1хеопеЕ(дд(жо) — 5).

Отсюда следует требуемое, так как п ^ р. >

Литература

1. Басаева Е. К. Квазидифференциалы в К-пространствах // Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, вып. 3.—С. 14-30.

2. Басаева Е. К. Необходимые условия экстремума в векторных квазидифференцируемых программах // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, вып. 1.—С. 13-25.

3. Басаева Е. К. Кусраев А. Г. О квазидифференциале композиции // Владикавк. мат. журн.— 2003.—Т. 5, вып. 4.—С. 10-25.

4. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление.—М.: Наука, 1990.—432 с.

5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.—752 с.

6. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.

7. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

8. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциальное исчисление: теория и приложения.—М.: Наука, 2007.-560 с.

Статья поступила 20 июля 2008 г.

Басаева Елена Казбековна Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН 362027, Владикавказ, РОССИЯ E-mail: helen@smath.ru