Использование алгоритма дифференциальной эволюции для решения одного класса задач оптимального портфельного инвестирования

S. Zachary, I. Ziedins. Oxford, Clarendon Press, 1996, Ch. 16, pp. 267-280.

7. Vinod B., Altiok T. Approximating unreliable queueing networks under the assumption of exponentiality. J. Opl. Res. Soc., 1986. vol. 37, no. 3, pp. 309-316.

8. Dijk N. M. van. Bounds and error bounds for queueing networks. Annals of Operations Research, 1998, vol. 79, pp. 295-319.

9. Thomas N., Thornley D., Zatschler H. Approximate solution of a class of queueing networks with breakdowns. Proc. of 17-th European Simulation Multiconference. Nottingham, UK, SCS Publishers, 2003.

10. Bambos N., Michailidis G. Queueing networks of ran-

dom link topology : stationary dynamics of maximal throughput schedules. Queueing Systems, 2005, vol. 50, pp. 5-52.

11. Tassiulas L. Scheduling and performance limits of networks with constantly changing topology. IEEE Transactions on Information Theory, 1997, vol. 43, no. 3, pp. 1067-1073.

12. Mitrophanov Yu. I. Sintez setej massovogo obsluzhivanija [Synthesis of queueing networks]. Saratov, Sarat. Univ. Press, 1995, 184 p. (in Russian).

13. Tananko I. E. A method for optimization of routing matrices for open queueing networks. Automatic Control and Computer Sciences, 2002, vol. 36, no. 4, pp. 39-46.

УДК 519.85, 519.712

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЬНОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ

А. А. Хомченко1, Н. П. Гришина2, К. Лукас3, С. П. Сидоров4

1 Аспирант кафедры математической экономики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, aahomchenko@gmail.com

2Кандидат экономических наук, зам. руководителя Института рисков, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, riskinstitute@sgu.ru

3Профессор, Брунельский университет, Лондон, Великобритания, cormac.lucas@brunel.ac.uk

4Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической экономики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, sidorovsp@info.sgu.ru

В настоящей работе рассматривается метаэвристический подход с использованием алгоритма дифференциальной эволюции для нахождения эффективной границы при решении задачи портфельной оптимизации для инвестора с невогнутой функцией полезности, отражающей несимметричное отношение инвестора к потерям и убыткам.

Ключевые слова: эвристический поиск, оптимальное портфельное инвестирование, теория перспектив. ВВЕДЕНИЕ

Задача оптимального портфельного инвестирования может быть сформулирована как задача нахождения

х е Б := | х =

максимизирующего математическое ожидание значения функции полезности:

'reR

u(r(x))dP(x) ^ max,

xeD

г(х) есть доходность портфеля х, Р(х) есть распределение доходности портфеля х.

Обычно предполагается, что предпочтения инвесторов описываются квадратичной или степенной функцией полезности и, а доходности активов — нормальным распределением. Но так как, ни характеристики распределений доходностей активов, ни предпочтения лиц, принимающих решения, не соответствуют предположениям классической теории Марковица, то возникают разногласия по поводу того, что такое оптимальное решение. Теория поведенческих финансов приблизилась к определению более реалистичной модели предпочтения и выбора, а это неизбежно приводит к добавлению новых ограничений и рассмотрению задач невыпуклой оптимизации.

( Хомченко А. А., Гришина Н. П., Лукас К., Сидоров С. П., 2013

Примером такого подхода является теория перспектив D. Kahneman и A. Tversky [1]. В статье [1] содержится ряд примеров и демонстраций, показывающих, что в условиях лабораторных экспериментов инвесторы и игроки систематически нарушают предсказания теории ожидаемой полезности. Более того, они предложили новую теорию — теорию перспектив, которая смогла объяснить поведение людей при принятии решений в условиях риска в тех экспериментах, в которых традиционная теория ожидаемой полезности потерпела неудачу. Они обнаружили, что при принятии инвестиционных решений инвесторы асимметрично относятся к потерям и выигрышам, а именно переоценивают либо вероятность, либо величину потерь.

Учет поведенческих аспектов отношения инвестора к потерям приводит к рассмотрению задачи

>re R

uPT

xeD

где w есть некоторая весовая функция, трансформирующая исходное распределение вероятностей, и

/ч i(r - ro)QS r > ro ,оч

I A(r0 — r)e, r < r0

r0 — заданный уровень доходности, а, в, A — положительные константы, характеризующие отношение инвестора к потерям.

Отметим, что задача (2), (3) не является выпуклой, а функция ирт не дифференцируема в точке r0. Более того, если ввести ограничение на число активов в портфеле, задача будет иметь неполиномиальную сложность, а стандартные методы нелинейной оптимизации не могут гарантировать нахождения ее решения за приемлемое время.

1. АЛГОРИТМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ

В данном разделе представлено описание алгоритма дифференциальной эволюции, предназначенного для решения задачи (2) с ограничением на доходность портфеля. Обозначим: n — количество активов в портфеле, xi — доля i-го актива в портфеле, T — количество временных промежутков, rti — доходность актива i в момент t, pt — вероятность сценария t. Задача, которую мы рассматриваем, состоит в нахождении x = (xi,..., xn) е Rn, максимизирующего

T in A

G

t=i \i=i J

при ограничениях

n

Ex = i,

i=i

1 T n

^EE rti xi = T t=1i=1

Kxi > 0, i = 1,..., n.

Числа nt рассчитываются на основе значений pt [2].

Недавнее дополнение к классу эволюционный эвристики является метод дифференциальной эволюции, предложенный R. Storn и K. Price [3,4].

В нашей работе мы используем алгоритм дифференциальной эволюции для решения задачи (4), (5). Дифференциальная эволюция основана на эволюционном принципе и природном развитии поколений. В ходе дифференциальной эволюции создаются поколения из решений, которые постоянно модифицируются в соответствии с эволюционными принципами, при этом с ростом числа поколений решения сходятся в некоторую точку пространства решений, которая является глобальным оптиму-

По историческим данным, на базе которых выполняется алгоритм, вычисляются наибольшее и наименьшее возможные значения ожидаемой доходности. Полученный отрезок разбивается на S равных промежутков [Erk, Erk+1], k = 1,..., S.

На каждом из отрезков [Erk , Erk+1 ], k = 1, ...,S, поиск производится следующим образом: создается популяция P из векторов vi, i = 1,..., N, где N — количество особей в исходной популяции.

Под векторами уг е Б понимаются точки п-мерного пространства, в котором определена целевая функция С(х), которую требуется максимизировать. На каждой итерации алгоритм генерирует новое поколение векторов (популяцию) случайным образом, комбинируя векторы из предыдущего поколения. Для каждого вектора уг из предыдущего поколения выбирается три различных случайных вектора Уа, уъ, ус среди векторов предыдущего поколения, не совпадающих с Уг, и генерируется вектор уг следующим образом:

У%,3 = Уа,з + + Zl)(uъ,j - Ус,] + ),

где Уц, Уа,], Уъ,], ус,з — 3-е компоненты векторов Уг, Уа, Уъ, ус соответственно, ^ — положительная действительная константа из интервала [0, 2], управляющая усилением влияния разности (щ,з — ус,з + ) на результирующий вектор, z1 и z2 или равны нулю с малыми вероятностями (например, 0.0001 и 0.0002 соответственно), или являются нормально распределенными случайными величинами с математическим ожиданием, равным нулю, и малым стандартным отклонением (например, 0.02). Параметры Zl и z2 есть необязательные параметры алгоритма дифференциальной эволюции, они необходимы для внесения «шума» в вычисление результирующего вектора, что помогает избежать попадания в локальные экстремумы.

Для выполнения оценки Уг и уг преобразуем их в Хг и хг соответственно следующим образом: все отрицательные значения исходных векторов заменяем на ноль, а каждый положительный элемент делим на сумму элементов. Таким образом, условие (1) будет выполнено. Вектор Уг заменяет уг и переходит в новое поколение, если выполняются следующие условия:

в(Хг) > в(Хг ); в(Хг ) € [Етк ,Етк +1].

Описанные стадии метода дифференциальной эволюции повторяются по достижении заданного числа итераций К. Получившаяся в результате популяция содержит векторы, из которых необходимо выбрать «лучший», то есть с наибольшим значением целевой функции, вектор Уг, и соответствующий ему искомый вектор долей активов в портфеле, для которого будет достигаться максимум целевой функции.

Псевдокод алгоритма максимизации функции полезности с помощью алгоритма дифференциальной эволюции приведен ниже.

Инициализация популяции Р из векторов Vi, г = ;

цикл из К итераций

для каждого vi, г = , из матрицы Р

выбираем 3 случайных вектора Va= vi для каждого компонента 3 вектора vi

с вероятностью п\ : } ^ N

если и[з} <п

то ^3} ^ Vi 3}

иначе } = Va[j} +

для каждой строки ур, р = 1,...^, новой матрицы Р производим нормализацию ур ^ хр, Vp ^ хр

если С

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

В вычислительном эксперименте использовались реальные данные об акциях 86 компаний за 291 промежуток времени, для расчета эффективных портфелей применялся пакет прикладных программ Matlab. Численность популяции была установлена равной N = 80, а число итераций алгоритма — К = 1500, число разбиений отрезка Б = 30. Для улучшения производительности алгоритма, если на некотором отрезке [Етк,Етк+1 ] за 750 итераций не происходит изменения поколения, то итерации прекращаются, и происходит финальная оценка. Рисунок визуализирует различные характеристики

90

Научный отдел

эффективных (с точки зрения теории перспектив) портфелей, с коэффициентом неприятия потерь Л = 3 и ожидаемым уровнем доходности инвестора ,ш0 = 1.004.

1.008

«

s *

О

«

s *

О

1.007 1.006 1.005 1.004 1.003 1.002

0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 Волатильность

Коэффициент асимметрии

3.4 3.6 3.8 Куртозис

0

0.012

0.014 0.016 0.018 Волатильность

0.02

Эффективные портфели с точки зрения теории перспектив

В заключение отметим, что эвристические методы становятся все более популярными по сравнению с альтернативными традиционными методами оптимизации. Наличие недетерминированных элементов дает возможность легче преодолевать локальные минимумы. Кроме того перезапуск алгоритма не обязательно приводит к одному и тому же результату, если поиск сходится к локальному оптимуму в первый раз, то при другом запуске может определиться другой оптимум — в идеале глобальный. Все эти качества дают возможность использовать эвристические методы для широкого класса задач.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00175).

Библиографический список

1. Kahneman D., Tversky A. Prospect theory : an analysis of decision under risk// Econometrica. 1979. Vol. 47. P. 263-291.

2. Tversky A., Kahneman D. Advances in prospect theory : cumulative representation of uncertainty // J. of Risk and Uncertainty. 1992. Vol. 5(4). P. 297-323.

3. Storn R., Price K. Differential evolution — a simple and efficient adaptive scheme or global optimization over continuous spaces // J. of Global Optimization. 1997. Vol. 11. P. 341-359.

4. Price K., Storn R. M, Lampinen J. A. Differential evolution : a practical approach to global optimization. Berlin : Springer, 2005.

1

1

1

1

1

1

1

Differential Evolution Algorithm for Solving the Portfolio Optimization Problem

A. A. Homchenko1, N. P. Grishina1, C. Lucas2, S. P. Sidorov1

1 Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, aahomchenko@gmail.com, riskinstitute@sgu.ru, sidorovsp@info.sgu.ru

2Brunei University, Kingston Lane, Uxbridge, London, United Kingdom, UB8 3PH, cormac.lucas@brunel.ac.uk

In the paper we develop metaheuristic method based on differential evolution for finding efficient frontier in solving the portfolio optimisation problem for investor with non concave utility function which reflects asymmetric investor attitude to losses and gains.

Key words: heuristic search, portfolio optimization problem, prospect theory.