Моделирование времени жизни ипотечного кредита

Прикладная эконометрика, 2016, т. 41, с. 123-143. Applied Econometrics, 2016, v. 41, pp. 123-143.

Е. В. Румянцева, К. К. Фурманов1

Моделирование времени жизни ипотечного кредита

Рассматриваются вопросы моделирования рисков досрочного погашения и дефолта на базе статистики российского агентства ипотечного жилищного кредитования. На региональных данных об ипотечном рынке апробируются различные подходы к оценке рисков в зависимости от характеристик, свойственных определенной группе кредитов, а также от времени жизни кредита с момента выдачи. Особое внимание уделяется проблеме выбора наилучшей модели времени жизни кредита.

ключевые слова: рыночный риск; кредитный риск; ипотечное кредитование; модели времени жизни.

JEL classification: C41; G21.

1. Введение

Одним из важных направлений деятельности любой кредитной организации, банка или ипотечного агентства, является моделирование денежных потоков по портфелю (или пулу) ипотечных кредитов. Такое моделирование предполагает учет специфических рисков, присущих ипотечному кредиту.

Ипотечный кредит подвержен двум типам рисков «недожития» — досрочного погашения (рыночный риск) и дефолта (кредитный риск).

Риск досрочного погашения может быть обусловлен чисто естественными факторами: изменением платежеспособности заемщика, миграцией населения из одного региона в другой и пр. Кроме того, на принятие заемщиком решения о досрочном погашении могут влиять рыночные колебания, например, резкое падение процентных ставок в сегменте аналогичных кредитов на рынке ипотечного кредитования. В англоязычной финансовой литературе в таком случае говорят, что реализуется «the refinancing incentive» — стимул рефинансирования (перекредитования).

Дефолт по закладной присваивается в случае, когда заемщик не совершает обязательные ежемесячные платежи по кредиту в течение определенного срока, определяемого регламентом банка-кредитора. Риск дефолта может быть связан с утратой заемщиком платежеспособности вследствие потери работы, болезни, миграции в другие регионы и т. д., а также может вызываться чисто рыночными факторами, например, обесценением объекта недвижимости, находящегося под залогом.

1 Румянцева Екатерина Владимировна — ОАО «Агентство по ипотечному жилищному кредитованию», Москва; Evrumyantseva.2006@yandex.ru.

Фурманов Кирилл Константинович — НИУ ВШЭ, Москва; furmach@rbcmail.ru.

Риски досрочного погашения и дефолта меняют динамику плановой амортизации основного долга ипотечного кредита, поскольку сокращают его срок и в обоих случаях ведут к прямым потерям кредитора.

В данной статье на основе региональных данных по портфелю кредитов крупного российского ипотечного агентства производится моделирование функций риска досрочного погашения и дефолта по ипотечному кредиту в зависимости от факторов, свойственных определенной группе кредитов, и от времени жизни кредита с момента выдачи. Методологическую основу исследования составляет анализ дожития (survival analysis): регрессионные модели времени жизни и системы уравнений, средства измерения качества подгонки и прогнозных качеств моделей времени жизни. Оцененные функции риска являются базой для построения денежных потоков по ипотечному портфелю кредитной организации.

Рассмотренный в статье комплексный подход к описанию влияния характеристик кредитного дела на риски досрочного погашения и дефолта на всем временном горизонте жизни кредита является малоизученным на российской статистике направлением. Настоящее исследование предоставляет некоторые возможности для решения подобного типа задач, возникающих при описании рисков денежных потоков в ипотечном кредитовании. Потребность в моделях такого рода определяется также необходимостью оценки естественных опционов на досрочное погашение и дефолт, скрытых в ипотечном кредите. Их оценка является важной составляющей для расчета справедливой надбавки (к стоимости фондирования) за соответствующий риск в структуре процентной ставки по кредиту.

2. Обзор литературы

Работы по данной теме в основном посвящены исследованию факторов, влияющих на риски досрочного погашения и дефолта. Как правило, авторы используют для этих целей классические регрессионные модели и модели времени жизни.

Например, в работе (Asay et al., 1987) для объяснения доли досрочно предоплаченного долга строится простейшая регрессионная модель, использующая один единственный фактор — спред (разницу ставок) между рыночной ставкой и собственной кредитной ставкой (договорной ставкой).

В (Chinloy, 1991) для объяснения месячной доли досрочно предоплаченного долга за период с января 1986 г. по май 1989 г. по пулу MBS — ценных бумаг, обеспеченных закладными (mortgage-backed securities) — используются три фактора: средняя рыночная ставка по вновь выданным закладным с фиксированной ставкой, собственная кредитная ставка, возраст кредита (эффект старения кредита, seasoning). По результатам оценивания соответствующей регрессионной модели автор пришел к выводу, что возраст кредита практически не оказывает никакого влияния на целевое событие.

В модифицированной модели Goldman Sachs, получившей развитие в работе (Scott, Roll, 1989), для объяснения годовой доли досрочного погашения (conditional prepayment rate, CPR) авторами рассматриваются четыре важных экономических фактора.

1. Стимул рефинансирования, который реализуется, если на рынке возникают предложения кредитов с похожими характеристиками, но более низкой ставкой (по отношению к собственной кредитной ставке).

2. Возраст кредита (эффект старения, seasoning).

3. Сезонность. Данный фактор призван уловить возможности увеличения рефинанси- § рования и, как следствие, досрочного погашения в определенные месяцы года. §

4. Эффект выгорания (burnout) пула кредитов. Данный эффект возникает из-за неравномерной реакции заемщиков на изменение ставки рефинансирования. Некоторые заемщи- ü< ки совершают досрочное погашение, если ставки рефинансирования ниже их собственной ^ ставки по кредиту, а другие ждут, пока ставки упадут еще сильнее. Есть заемщики, никогда ™ не совершающие досрочное погашение вне зависимости от ситуации на рынке. Таким об- Ü разом, по мере старения кредита заемщики, которые быстрее реагируют на рыночную си- ^ туацию, покидают пул — происходит «выгорание» пула. <о

Функцию CPR авторы конструируют в виде произведения вышеперечисленных четы- щ рех факторов.

В работе (Schwartz, Torous, 1989) для оценки влияния различных объясняющих переменных на ставки досрочного погашения в период с января 1978 г. по ноябрь 1987 г. по пулу однородных 30-летних кредитов Ginnie Mae строится модель пропорциональных рисков. Авторы исследуют влияние фактора старения кредита на целевое событие, а также воздействие факторов сезонности и лагированных ставок рефинансирования с помощью лог-логистической регрессии. В результате оценивания модели наиболее значимым оказывается коэффициент при переменной, характеризующий влияние издержек рефинансирования на принятие заемщиком решения о досрочном погашении.

К идее оценивания факторов, влияющих на интенсивность осуществления досрочного погашения, с помощью модели пропорциональных рисков обращались Green, Shoven (1986). В своем исследовании авторы доказывают, что одной из важнейших детерминант досрочного погашения является соотношение между договорной кредитной ставкой и рыночной ставкой.

В части исследования факторов, влияющих на риск наступления дефолта по кредиту, можно выделить следующие работы.

В статье (Demyanyk, Hemert, 2011) авторы пытались разобраться в причинах кризиса рынка закладных класса subprimе, разразившегося в 2007 году в США. Кризис характеризовался высокой долей закладных класса subprime с датой выпуска 2006-2007 гг., которые входили в дефолт или процедуру обращения взыскания всего спустя несколько месяцев после даты выпуска. Для ответа на поставленный вопрос авторы исследовали портфель секьюритизи-рованных закладных с датой выдачи в диапазоне с 2001 по 2007 г., с высокой вероятностью подверженных риску наступления дефолта (кредиты класса subprime). Для оценки риска наступления дефолта применялся дискретный аналог модели пропорциональных рисков.

Для объяснения целевого события авторы использовали показатели, описывающие параметры самого кредита и заемщика, например, скоринговый балл FICO, показатель LTV (отношение суммы заемных средств к стоимости жилья), кредитную ставку и др., а также макроэкономические показатели, характеризующие переоценку стоимости жилья с момента выдачи кредита до момента исследования, изменение уровня безработицы с момента выдачи до момента исследования, медианный уровень дохода домохозяйств, приписанных к одному почтовому индексу.

В результате оценивания все регрессоры оказываются статистически значимыми, причем наибольшую объясняющую силу демонстрируют четыре показателя: скоринговый балл FICO, индекс LTV, кредитная ставка и рыночный фактор, характеризующий переоценку стоимости жилья.

В (Stepanova, Thomas, 2001) рассматривается модель поведенческого скоринга (behavioural scoring), являющегося информацией по клиенту, которую получает кредитор ежемесячно с момента выдачи кредита заемщику: о ежемесячном уменьшении долга, частоте и количестве просроченных платежей и т. д. Поведенческий скоринг дополняет первичную информацию о клиенте, собранную кредитором на этапе выдачи кредита — так называемый аппликационный скоринг (application scoring), содержащий сведения о параметрах кредита и заемщика. Простейшие модели поведенческого скоринга, основанные на логистической регрессии, пытаясь ответить на вопрос, наступит ли дефолт по кредиту через 6 или 12 месяцев жизни кредита, не учитывают информацию о том, сколько месяцев уже прожила закладная. Таким образом, при прогнозировании дефолта закладные всех возрастов оценивают единообразно. Авторы данной работы для объяснения времени до наступления дефолта по кредиту развивают технику, основанную на оценке моделей пропорциональных рисков Кокса, используя совместно с аппликационным скорингом информацию о поведенческом скорин-ге клиента. Построенная PHAB-скоринговая модель (proportional hazard analysis behavioural scoring model) не уступает по качеству подгонки обычной логистической регрессии и дает особенно хорошие оценки риска после двух лет жизни кредита.

Работы, посвященные ипотеке в России, носят в основном описательный характер: (Задонский, 2015; Tumanov, Zhelezova, 2014), либо посвящены моделированию на агрегированном уровне: (Полтерович, Старков, 2007; Столбов, 2011). Оцениванию кредитного риска на индивидуальном уровне посвящены работы (Лозинская, Ожегов, 2014; Карминский, Лозинская, 2015), в которых вероятность дефолта увязывается с характеристиками ипотечного кредита и заемщика с помощью моделей бинарного выбора, точнее — систем из двух уравнений для бинарных объясняемых величин (Heckman probit model). В обеих работах в центре внимания оказывается факт дефолта и процесс отбора (одобрения заявки на кредит), но не время наступления моделируемых событий.

В настоящей статье делается акцент именно на времени наступления событий (дефолта или досрочного погашения). Модель времени жизни кредита позволяет получить оценки вероятности наступления события за любой интересующий срок, в то время как по модели бинарного выбора оценить распределение времени жизни можно только при очень жестких предпосылках: например, предположив, что риск дефолта не меняется в течение периода жизни кредита. Вопросы отбора при этом остаются нетронутыми, речь идет только об уже одобренных кредитах.

3. Методология исследования и данные

В настоящей работе риски досрочного погашения и дефолта исследуются с помощью статистических методов анализа дожития, учитывающих наличие цензурирования: для некоторых кредитов целевое событие (досрочное погашение или дефолт) не наступает за время наблюдения, поэтому для таких кредитов неизвестно точное время жизни. Для описания распределения времени до наступления целевого события в моделях длительности состояния используются некоторые базовые функции: дожития, риска и интегрального риска.

Пусть время до наступления целевого события описывается неотрицательной случайной величиной T с функцией плотности f(t). Тогда распределение этой случайной величины можно задать двумя способами, используя:

а) функцию дожития, описывающую вероятность того, что целевое событие не насту- |

пило к моменту времени t: g

ю ¡i

S(t) = Р(Г > t) = { f (x)dx; *

б) функцию риска: t ü<

Отдельный интерес представляет интегральная (кумулятивная) функция риска:

t

Н ^) = | ^ x)dx.

)=|imP(t<T£i±MTii)=m. |

At-0 At S (t ) I

*

Oti uj

3.1. Модели функций риска

Для моделирования целевых функций риска в статье реализуются следующие подходы:

1) одномерный анализ;

2) модели с объясняющими переменными (наблюдаемая разнородность);

3) модели с ненаблюдаемой разнородностью.

При одномерном анализе предполагается, что исследуемые функции зависят только от времени жизни кредита. Этот метод быстрой оценки пулов ипотечных кредитов удобен тем, что позволяет получить экспресс-оценку того, насколько быстро истощается ипотечный портфель вследствие досрочного погашения или дефолта. Одномерный анализ базируется на непараметрических способах анализа цензурированных данных: оценках Каплана-Мей-ера для функции дожития (Kaplan, Meier, 1958) и Нельсона-Алена для интегральной функции риска (Nelson, 1972; Aalen, 1978).

Второй подход предполагает зависимость целевых функций от времени жизни кредита и от объясняющих переменных — характеристик кредита. В рамках данного подхода для моделирования связи функций риска с объясняющими переменными в статье используются следующие модели с наблюдаемой разнородностью (т. е. разнородностью, описываемой объясняющими переменными).

Модель пропорциональных рисков основана на предположении, что объясняющие переменные x мультипликативно влияют на функцию риска:

h(t | x) = h0(t)exp(x'ß),

где h0(t) — опорная функция риска, отражающая распределение длительностей в случае отсутствия влияния регрессоров, ß — вектор оцениваемых коэффициентов.

В зависимости от того, какие предположения делаются относительно базового риска h0(t), обычно выделяют три типа моделей пропорциональных рисков:

• параметрическую, если предполагается определенная функциональная форма для опорного риска (как правило, используются функции, соответствующие распределениям Вей-булла, Гомперца или экспоненциальному);

• гибкую параметрическую, если делаются довольно слабые предположения относительно формы опорного риска (например, риск описывается кусочно-постоянной функцией);

• непараметрическую, когда регрессионные коэффициенты оцениваются без какой-либо спецификации функции опорного риска (классическая регрессия Кокса).

В настоящей статье при моделировании целевых функций апробируются модели первого и третьего типов. Модели второго типа не используются, поскольку примененные спецификации и так дают приемлемое качество подгонки, не требующее улучшения.

Модель ускоренного времени предполагает, что регрессоры мультипликативно связаны с масштабом времени, так что:

S (t|x) = S0(t exp( x'ß)), где S0(t) — опорная функция дожития.

Модель ускоренного времени удобна тем, что для нее существует представление в форме обычной линейной регрессии — lnT = x'ß + v, где T — объясняемое время жизни, а распределение случайной ошибки связано с опорной функцией дожития следующим образом: Fv (t) = S0(exp(—t)). Выбор функциональной формы опорного распределения приводит к различным моделям ускоренного времени: логнормальная, лог-логистическая, обобщенная гамма-регрессия и др. Часто знак «минус» перед логарифмом времени жизни опускается, при этом меняют знак и коэффициенты. Так, например, представляет результаты оценивания программа Stata, и в приложении к настоящей статье оценки приведены именно в таком виде.

Третий подход (модели с ненаблюдаемой разнородностью) позволяет учесть разнородность, не описываемую объясняющими переменными. В статье апробируются два класса таких моделей.

Модели со случайным эффектом (frailty models). Для учета ненаблюдаемых факторов вводится дополнительная случайная величина, призванная учесть те отличия между объектами (кредитами), которые не могут быть учтены объясняющими переменными. Как правило, предполагается мультипликативный характер связи риска с ненаблюдаемым эффектом h(t | x, a) = h(t | x) • a, где ненаблюдаемый эффект a имеет гамма-распределение с единичным математическим ожиданием и дисперсией в, подлежащей оцениванию.

Модели разделенной совокупности (split population models, иногда используется термин mover-stayer models). Популярность этим моделям дала работа (Schmidt, Witte, 1987), их особенность — предположение о наличии двух латентных классов в совокупности моделируемых объектов. Первый класс (иногда называемый mover — «кочевые»2) состоит из объектов, для которых может наступить завершение состояния. Второй класс (stayer — «оседлые») включает те объекты, для которых гарантированно не будет завершения (досрочного погашения / дефолта).

Пусть доля «кочевых» в общей совокупности составляет d, а распределение времени жизни для кредитов этого класса описывается функцией дожития Sm(t). Для класса «оседлых» вероятность дожития до любого времени будет равна единице, так что функция дожития для общей совокупности выглядит так:

S (t) = d- Sm (t) + 1 — d.

Связь с объясняющими переменными в модели mover-stayer задается двумя уравнениями.

Первое уравнение описывает длительность состояния в классе mover и может быть задано любой параметрической спецификацией.

2 Английские названия классов взяты из (Yamaguchi, 1998), а русские — из (Коровкин, 2001).

Второе уравнение — классифицирующее. Оно описывает принадлежность к тому или §

иному классу и может задаваться любой моделью бинарного выбора. В настоящей работе §

а

используется логит-модель

ехр( г 'а) ьс

d( z) =

1 + exp

D =

E[signY -Y, )sign(Yt - Y, )]

P

Коэффициент принимает значения от -1 до 1, значение 1 говорит об идеальной согласованности прогнозов и настоящих значений с точки зрения рангов. При оценивании коэффициента по реальным данным математическое ожидание оценивается как среднее, а вероятность — как доля.

Привлекательность величины D заключается в возможности применения к цензуриро-ванным данным без предпосылок о виде распределения времени жизни. Применению коэффициента D Сомерса к оценке прогнозной силы моделей времени жизни посвящена работа (Newson, 2010).

где г — вектор объясняющих переменных для классифицирующего уравнения, а — вектор | соответствующих коэффициентов. ^

ад щ

3.2. Проверка спецификации модели и выбор наилучшей

Для проверки правильности спецификации подогнанной модели в статье используются остатки Кокса-Снелла. Они представляют собой значения оцененной, согласно диагностируемой модели, интегральной функции риска в каждом наблюдении, и при правильной спецификации имеют распределение, близкое к показательному с параметром 1 = 1 (Рат-никова, Фурманов, 2014). График интегрального риска для остатков Кокса-Снелла должен быть похож на прямую линию — биссектрису угла, образуемого осями координат.

Для целей исследования выборка случайным образом разбивается на две части: обучающую и тестовую. На первом шаге производится оценка основных моделей по обучающей выборке, для выбора лучшей среди них модели применяется анализ остатков Кокса-Снелла для проверки правильности спецификации подогнанной модели и критерий Акаике для сравнения параметрических моделей. На втором шаге производится валидация качества моделей, признанных лучшими на первом шаге. Для этой цели используется тестовая часть выборки. Валидация качества моделей проводится с помощью:

а) визуального анализа на основании остатков Кокса-Снелла (по графику функции оцененного интегрального риска для остатков исследуемых моделей оценивается степень близости фактического распределения к прогнозируемому);

б) формального анализа на основании коэффициента D Сомерса.

Пусть Yi — настоящее время жизни кредита 1 до наступления интересующего события, а Yi — модельный прогноз. Коэффициент Сомерса основан на сопоставлении всех возможных пар наблюдений / и

3.3. Данные

Исследование производится на основании региональных данных по ипотечному портфелю крупной российской кредитной организации. Изучается срез данных на отчетную дату 1 января 2014 г. по всем кредитам, выданным с момента начала деятельности организации в 2001 г. до отчетной даты. Этот срез включает более 280 тыс. закладных. Данные цензури-рованы, т. к. не по каждому кредиту наступает завершение состояния.

Время жизни кредита до наступления дефолта и время до досрочного погашения моделируются отдельно. Если по какому-либо кредиту произошло досрочное погашение, соответствующее наблюдение считается цензурированным при моделировании дефолта, и наоборот.

Под событием «досрочное погашение» (полное досрочное погашение) понимается событие, произошедшее ранее планового срока, при котором кредит гасится полностью и происходит его выбытие из ипотечного портфеля. Событие «дефолт по закладной» наступает, если заемщик не совершает обязательные ежемесячные платежи по кредиту не менее трех месяцев.

Для описания риска досрочного погашения и дефолта с помощью регрессионных моделей используются объясняющие переменные, характеризующие портрет основного заемщика (на которого оформлен кредитный договор), а также факторы, описывающие параметры кредита и предмета ипотеки, находящегося под залогом. Для описания портрета основного заемщика отобраны следующие факторы: пол, возраст, семейный статус основного заемщика, уровень образования, вид занятости. В анализе используются следующие параметры кредита: кредитная ставка, срок кредита, общее число созаемщиков (включая основного заемщика), а также распространенные в различных ипотечных исследованиях показатели LTV (loan-to-value) и PTI (payment-to-income). Первый характеризует долю заемных средств в стоимости жилья, второй — долю ежемесячного платежа в совокупном доходе созаемщиков, т. е. долговую нагрузку. Для описания жилого помещения, находящегося под залогом (предмета ипотеки), используются следующие переменные: регион предмета ипотеки, тип жилья, количество комнат, соотношение жилой площади и общей площади. Также для анализа сконструирован показатель, характеризующий в простейшем смысле переплату за жилье. Он определяется как отношение совокупных денежных выплат за весь срок кредита (плановый срок по графику) к стоимости предмета ипотеки, т. е. равен отношению произведения аннуитета на срок кредита (на момент выдачи) к стоимости предмета ипотеки. Данный показатель отражает психологическую готовность заемщика выполнять свои кредитные обязательства.

В статье используются значения факторов на момент выдачи кредита. Отбор факторов для исследования, а также определение границ значений для факторов производились исходя из экономической целесообразности, а также на основании анализа близости прогнозируемого и фактического распределений интегральной функции риска для остатков Кокса-Снелла. Все переменные в моделях — бинарные. Их описание содержится в табл. П1 Приложения.

4. результаты

4.1. Моделирование риска наступления досрочного погашения

В одномерном случае получены оценки функции дожития (рис. 1а) и интегральной функции риска (рис. 1б) в зависимости от времени жизни кредита.

а) б)

Рис. 1. Оценки: а) функции дожития; б) интегральной функции риска

Оцененная функция дожития демонстрирует, что благодаря досрочному погашению ипотечный портфель довольно быстро истощается: до 11 лет доживает около 20% портфеля. Интегральная функция риска растет возрастающим темпом, так что видна положительная временная зависимость: среди кредитов, уже проживших продолжительное время, вероятность наступления досрочного погашения выше, чем среди недавно выданных кредитов.

При моделировании функции риска досрочного погашения в зависимости от объясняющих переменных на обучающей части данных апробировались следующие модели: непараметрическая регрессия Кокса, а также, ввиду положительной временной зависимости графика оценки опорного интегрального риска, параметрические модели Вейбулла и Гом-перца. Кроме того, к данным подгонялась модель обобщенной гамма-регрессии — наиболее гибкая из стандартных параметрических спецификаций. Сравнение параметрических моделей на основании значения критерия Акаике подтверждает результаты визуального теста: на обучающей выборке гамма-регрессия приближает данные точнее, чем модели Вейбулла и Гомперца. Визуальный анализ правильности спецификации подогнанной модели с помощью остатков Кокса-Снелла выявил, что наилучшее качество подгонки к данным обеспечивают регрессия Кокса и гамма-регрессия (см. рис. 2).

со

Si

3 &

е

Я

QQ Ф

Î ai ai

а) б)

Рис. 2. Оценки интегрального риска для остатков на обучающей выборке: а) в модели Кокса; б) в гамма-регрессии

На рисунке по горизонтальной оси откладываются остатки Кокса-Снелла, а по вертикали — оценки интегрального риска для остатков диагностируемых моделей, рассчитанные на обучающей выборке. При верной спецификации не должно быть систематического рас-

хождения между остатками и соответствующими значениями интегрального риска — график должен выстраиваться вдоль биссектрисы угла, образуемого осями координат.

На тестовой части выборки лучшие модели сравниваются с точки зрения качества прогнозирования. Согласно визуальному анализу с помощью остатков Кокса-Снелла, на тестовой части данных гамма-регрессия демонстрирует большую близость прогнозируемого распределения к фактическому по сравнению с регрессией Кокса (см. рис. 3):

а) б)

Рис. 3. Оценки интегрального риска для остатков на тестовой выборке: а) в модели Кокса; б) в гамма-регрессии

Формальный анализ на основании коэффициента Сомерса показывает, что гамма-регрессия дает лучший прогноз на тестовой выборке, хотя разница очень незначительна (в третьем знаке после запятой). Данный вывод согласуется с результатами визуального теста (см. рис. 3). «Плохой» график остатков для модели Кокса свидетельствует, видимо, о переподгонке — за счет непараметрической спецификации риска достигается точное описание обучающей выборки, которое не может быть распространено за ее пределы.

В таблице П2 Приложения приводятся оценки параметров моделей гамма-регрессии и регрессии Кокса для исследования риска наступления досрочного погашения.

В результате оценивания были выявлены факторы, оказывающие значительный эффект на риск наступления досрочного погашения. Срок кредита в наибольшей степени связан с этим риском. С ростом срока кредита уменьшается риск досрочного погашения при прочих равных условиях.

Показатель РТ1 также оказывается одним из ключевых факторов при исследовании досрочного погашения. Выявленное направление связи регрессора с целевой функцией — ожидаемое и правильное. С увеличением значения показателя РТ1 (т. е. с увеличением долговой нагрузки) при прочих равных характеристиках заемщик менее интенсивно осуществляет досрочное погашение. Данный фактор характеризует платежеспособность заемщика на момент выдачи кредита. Изменение платежеспособности заемщика естественным образом влияет на принятие заемщиком решения о совершении досрочного погашения.

Число комнат — еще один существенный фактор. У кредитов на однокомнатное жилье риск досрочного погашения выше, чем у кредитов на двухкомнатное жилье. Наличие высшего образования или ученой степени у заемщика также увеличивает риск досрочного погашения по сравнению с заемщиками, имеющими начальное или среднее образование.

Не слишком значительным оказалось влияние кредитной ставки на интенсивность досрочного погашения. Вероятно, для исследования влияния ставки лучше использовать другой показатель — стимул рефинансирования СЖ, равный отношению собственной кредит-

ной ставки С к рыночной ставке R (ставке рефинансирования) по кредитам с аналогичными характеристиками. В американских исследованиях соотношение между С и R является одним из важнейших детерминант досрочного погашения, причем интересен весь ряд значений с момента выдачи кредита. Учет изменчивых во времени переменных ведет к усложнению задачи и в настоящей работе не проводится.

На рисунке 4 проиллюстрирована связь функции дожития с фактором РТ1 на примере гамма-регрессии. При построении графика остальные объясняющие переменные были приравнены к нулю.

m

0

6

СО со ш

1

Щ LU

Рис. 4. Оценка функции дожития при различных значениях РТ1

Среди кредитов, проживших одинаковое время с момента выдачи, самая низкая вероятность дожития у кредитов со значением показателя РТ1, не превосходящим 20%, т. е. у заемщиков с минимальной долговой нагрузкой.

4.2. Моделирование риска наступления дефолта

В одномерном случае можно получить оценки функции дожития (рис. 5а) и интегральной функции риска (рис. 5б) в зависимости от времени жизни кредита.

а) б)

Рис. 5. Оценки: а) функции дожития; б) интегральной функции риска

Дефолт наступает для небольшого количества кредитов, а после отметки в 2000 дней дефолтов почти не наблюдается, поэтому функция дожития практически не убывает. Интегральная функция риска свидетельствует об отрицательной временной зависимости: доля дефолтов со старением кредитного портфеля падает.

Моделирование связи функции риска с объясняющими переменными с помощью моделей пропорциональных рисков (Кокса, Вейбулла, Гомперца) выявило, что все они неприемлемы для целей исследования. В результате проверки правильности спецификации апробированных моделей на основании графического анализа остатков Кокса-Снелла (по обучающей выборке) ни одну из них нельзя было считать корректной. Поэтому под данные подгонялись разные модели ускоренного времени: логнормальной, лог-логистической и гамма-регрессии. Анализ остатков Кокса-Снелла оцененных моделей на обучающей части данных показал, что гамма-регрессия наиболее точно приближает данные по сравнению с остальными спецификациями. Ей же соответствует и минимальное значение критерия Акаике AIC.

Поскольку гипотеза о пропорциональности рисков в модели не подтвердилась, на обучающей части данных были оценены два класса моделей, позволяющих учесть выявленную разнородность данных.

Во-первых, строились разные модели с ненаблюдаемым эффектом, имеющим гамма-распределение, в том числе регрессия Гомперца и логнормальная регрессия. Наиболее точную подгонку к данным с точки зрения анализа остатков продемонстрировала логнормальная регрессия с ненаблюдаемым эффектом (далее — модель Lognormal-F). Ей же соответствует и минимальное значение критерия Акаике.

Во-вторых, оценивались модели разделенной совокупности, в которых длительность состояния в классе «mover» описывается логнормальным распределением или гамма-распределением, а вероятность принадлежности к этому классу, т. е. вероятность принадлежности к классу кредитов, по которым наступает дефолт — логит-моделью. Выбор указанных опорных распределений в уравнении длительности обусловлен тем, что в простых моделях данные спецификации показали приемлемое качество подгонки.

Оценивались две модели с латентными классами, в которых длительность состояния в классе «mover» описывается логнормальным распределением. Первая модель (Lognormal-SP) соответствует случаю, когда логит-часть представляет собой регрессию на константу без объясняющих переменных. Во второй модели (Lognormal-SP+) в логит-часть добавляется объясняющий фактор realtyhouse — индикатор того, что жилье под залогом — дом или та-унхаус. В случае, когда длительность состояния в классе «mover» описывается гамма-распределением, аналогично оценивались модели Gamma-SP и Gamma-SP+.

Анализ остатков Кокса-Снелла оцененных моделей на обучающей выборке не выявил существенных ошибок спецификации в моделях mover-stayer. Наилучшую подгонку обеспечивают спецификации Gamma-SP, Gamma-SP+ и Lognormal-SP+.

На рисунке 6 приводятся иллюстрации проверки правильности спецификации подогнанной регрессии с помощью остатков Кокса-Снелла на обучающей выборке для моделей, признанных лучшими в каждом классе исследованных моделей:

На графиках по горизонтальной оси откладываются остатки Кокса-Снелла, а по вертикали — оценки интегрального риска для остатков диагностируемых моделей. По рисункам видно, что наиболее точно данные приближают модели, учитывающие выявленную разнородность в данных — Lognormal-F и Gamma-SP.

Рис. 6. Правильность спецификации разных моделей на обучающей выборке: а) Gamma; б) Lognormal-F; в) Gamma-SP

Критерий Акаике также отдает явное преимущество моделям разделенной совокупности при сравнении с остальными использованными моделями (см. табл. 1).

Таблица 1. Значения критерия Акаике для моделей с наилучшим качеством подгонки

Модель AIC

Lognormal-F 256512.8

Gamma 256537.3

Lognormal-SP 256529.4

Lognormal-SP+ 256301.1

Gamma-SP 256507.8

Gamma-SP+ 256302.9

Модели, признанные лучшими в каждом классе оцененных на обучающей выборке моделей, сравниваются по прогнозной силе на тестовой выборке с помощью графического анализа остатков Кокса-Снелла.

Все модели демонстрируют приемлемую близость фактического и прогнозируемого распределений. Однако наиболее точно на тестовой выборке данные приближает Gamma-SP, а также модели Gamma-SP+ и Lognormal-SP+.

Если сравнить между собой гамма-регрессию и логнормальную регрессию с ненаблюдаемым эффектом с помощью коэффициента Сомерса, то модель логнормальной регрессии чуть точнее прогнозирует на тестовой выборке. Этот вывод согласуется с результатами визуального анализа остатков, рассчитанных на тестовой части данных.

В таблице П3 Приложения приводятся оценки параметров гамма-регрессии Gamma, логнормальной регрессии с ненаблюдаемым эффектом Lognormal-F и модели гамма-регрессии с дополнительным логит-уравнением Gamma-SP.

В результате оценивания были выявлены факторы, оказывающие значительный эффект на риск наступления дефолта. Тип занятости основного заемщика, а также показатель LTV, характеризующий долю заемных средств в стоимости жилья, в наибольшей степени связаны с данным типом риска. Выявленные направления связи ожидаемы и не противоречат здравому смыслу. Если основной заемщик является госслужащим или военнослужащим, то при прочих равных условиях дефолт наступает позже по сравнению с заемщиками, не имеющими стабильного заработка. По мере увеличения коэффициента LTV (при прочих равных условиях) время до наступления дефолта сокращается.

Тип жилья также оказывает существенное влияние на риск наступления дефолта по кредиту. Момент дефолта в группе кредитов с предметом ипотеки «дом или таунхаус» наступает быстрее, чем в группе кредитов с предметом ипотеки «комната» (при прочих равных условиях). Этот вывод не противоречит статистике. Согласно периодическому мониторингу ипотечного портфеля в части просроченной задолженности, в просрочку чаще всего входят кредиты с предметом ипотеки «дом или таунхаус».

Также стоит отметить существенное влияние на момент наступления дефолта наличие высшего образования у основного заемщика, а также число комнат в предмете ипотеки. Наличие высшего образование у заемщика замедляет момент наступления дефолта по сравнению с категорией заемщиков, имеющих только среднее образование. По мере увеличения числа комнат в жилом помещении время до дефолта сокращается.

5. Заключение

В настоящей работе получены оценки функций риска досрочного погашения и дефолта в зависимости от времени жизни кредита и специфических факторов, свойственных определенной группе кредитов. Данные оценки могут быть использованы для моделирования денежных потоков по пулу ипотечных кредитов.

Исследование базируется на статистике компании, имеющей широкую диверсифициро-ванность на региональном уровне. Поэтому выводы, полученные в работе, будут полезными для участников рынка ипотечного кредитования.

С методической точки зрения можно выделить два важных результата работы.

Во-первых, расчет остатков Кокса-Снелла для тестовой части выборки — важное дополнение к известной практике сравнения прогнозной силы моделей по коэффициентам корреляции Харрелла и Сомерса. В настоящей работе именно анализ остатков позволяет выбрать лучшую модель досрочного погашения (т. к. две конкурирующие модели обеспечивают одинаковую корреляцию прогнозных и действительных значений). Такое применение остатков Кокса-Снелла на практике не распространено — встроенные команды использованной версии Stata даже не позволяют рассчитать остатки вне обучающей выборки. Возможно, это является новшеством настоящего исследования.

Во-вторых, при моделировании риска дефолта использование моделей разделенной совокупности позволяет заметно улучшить качество подгонки по сравнению с обычными моделями, состоящими из одного регрессионного уравнения.

Эти результаты также представляются важными для тех, кто заинтересован в получении точных прогнозных моделей риска.

Благодарности. Авторы выражают благодарность Н. А. Фоминой за помощь в исследовании.

Список литературы

Задонский Г. (2015). Ипотека в РФ. Экономическое развитие России, 3, 67-69.

Карминский А. М., Лозинская А. М. (2015). Оценка кредитного риска при ипотечном жилищном кредитовании. В кн.: XVАпрельская международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества: в 4-х книгах, отв. ред. Е. Г. Ясин. Книга 1, 353-366.

Коровкин А. Г. (2001). Динамика занятости и рынка труда: вопросы макроэкономического ана- щ

лиза и прогнозирования. М.: МАКС Пресс. |

§

Лозинская А. М., Ожегов Е. М. (2014). Оценка кредитного риска при ипотечном жилищном кредитовании. Прикладная эконометрика, 35 (3), 3-17. ^

Полтерович В. М., Старков О. Ю. (2007). Стратегия формирования ипотечного рынка в России. Экономика и математические методы, 43 (4), 3-22. §

Ратникова Т. А., Фурманов К. К. (2014). Анализ панельных данных и данных о длительности со- £ стояний. Издательский дом Высшей школы экономики.

Столбов М. И. (2011). Кризис на российском рынке ипотеки сквозь призму теории финансового  акселератора. Проблемы прогнозирования, 4, 66-77.

Aalen O. O. (1978). Nonparametric inference for a family of counting processes. Annals of Statistics, 6 (4), 701-726.

Asay M., Guillaume F. H., Mattu R. K. (1987). Duration and convexity of mortgage backed securities: Some hedging implications from a prepayment linked present value model. In: Mortgage Backed securities, edited by F. Fabozzi. Chicago: Probus Publishing. 103-125.

Chinloy P. (1991). The option structure of a mortgage contract. Journal of Housing Research, 2 (1), 21-38.

Demyanyk Y., Hemert O. V. (2011). Understanding the subprime mortgage crisis. The Review of Financial Studies, 24 (6), 1848-1880.

Green J. R., Shoven J. B. (1986). The effects of interest rates on mortgage payments. Journal of Money, Credit and Banking, 18 (1), 41-59.

Kaplan E. L., Meier P. (1958). Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of American Statistical Association, 53 (282), 457-481.

Nelson W. (1972). Theory and applications of hazard plotting for censored failure data. Technometrics, 14 (4), 945-966.

Newson R. B. (2010). Comparing the predictive powers of survival models using Harrell's C or Somers' D. The Stata Journal, 10 (3), 339-358.

Scott F. R., Roll R. (1989). Prepayments on fixed-rate mortgage-backed securities. Journal of Portfolio Management, 15 (3), 73-82.

Schmidt P., Witte A. D. (1987). Predicting criminal recidivism using «split population» survival time models. NBER Working Paper No. 2445.

Schwartz E. S., Torous W. N. (1989). Prepayment and the valuation of mortgage backed securities. Journal of Finance, 44 (2), 375-392.

Stepanova M., Thomas L. C. (2001). PHAB Scores: Proportional hazards analysis behavioural scores. The Journal of the Operational Research Society, 52 (9), 1007-1016.

Tumanov A., Zhelezova E. (2014). Developments of Russian mortgage and housing markets. NPB Working Paper No. 182, 151-178.

Yamaguchi K. (1998). Mover-stayer models for analyzing event nonoccurrence and event timing with time-dependent covariates: an application to an analysis of remarriage. Social Methodology, 28 (1), 327-361.

Поступила в редакцию 02.02.2016; принята в печать 12.03.2016.

Приложение

Таблица П1. Переменные, используемые в исследовании. Знак «+» указывает на вхождение переменной в соответствующую модель, знак «-» на ее отсутствие

Название переменных Определение Модель Модель

досрочного дефолта

погашения

Портрет основного заемщика

Возраст до 30 лет Возраст более 40 лет Пол

Семейное положение

Высшее образование

Среднее специальное образование

Наемный работник

Госслужба / военная служба

1, если возраст основного заемщика до 30 лет, 0 — иначе

1, если возраст основного заемщика более 40 лет, 0 — иначе

1, если пол основного заемщика женский, 0 — мужской

1, если основной заемщик женат/замужем, 0 — иначе

1, если основной заемщик имеет высшее образование или ученую степень, 0 — иначе 1, если основной заемщик имеет незаконченное высшее или среднее специальное образование, 0 — иначе

1, если основной заемщик является наемным работником, 0 — иначе 1, если основной заемщик является госслужащим или военным, 0 — иначе

+ +

+ +

Параметры кредита

Ставка менее 11.5% Ставка не менее 14.5% Срок кредита до 5 лет Срок кредита до 10 лет

1, если годовая кредитная ставка меньше 11.5%, 0 — иначе

1, если годовая кредитная ставка не менее 14.5% 0 — иначе

1, если срок кредита не более 60 месяцев, 0 — иначе

1, если срок кредита не более 120 месяцев, 0 — иначе

Срок кредита не менее 15 лет 1, если срок кредита не менее 180 месяцев,

0 — иначе

Число заемщиков = 1

1, если в кредитном договоре только один заемщик, 0 — иначе

Число заемщиков не менее 3 1, если в кредитном договоре не менее трех

созаемщиков, включая основного заемщика, 0 — иначе

PTI не более 20%

PTI более 35% LTV не более 50%

LTV более 70%

1, если коэффициент РТ1 не превосходит 20%, 0 — иначе

1, если коэффициент РТ1 более 35%, 0 — иначе 1, если коэффициент ЦТУ не превосходит 50%, 0 — иначе

1, если коэффициент ЦТУ более 70%, 0 — иначе

+ +

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Окончание табл. П1

Название переменных Определение Модель досрочного погашения Модель дефолта

Коэффициент переплаты 1, если выражение (Аннуитет^Срок кредита) / + +

за жилье не более 1 Стоимость предмета ипотеки не более 1, 0 — иначе

Коэффициент переплаты 1, если выражение (Аннуитет^Срок кредита) / + +

за жилье не менее 1.82 Стоимость предмета ипотеки не менее 1.82, 0 — иначе

Параметры предмета ипотеки

Развитый регион 1, если предмет ипотеки в развитом регионе*, 0 — иначе + +

Недостаточно развитый регион 1, если предмет ипотеки в недостаточно + +

развитом регионе**, 0 — иначе

Квартира 1, если предмет ипотеки — квартира, 0 — иначе - +

Дом/таунхаус 1, если предмет ипотеки — дом или таунхаус, 0 — иначе + +

Число комнат = 1 1, если количество комнат в предмете ипотеки равно 1, 0 — иначе + +

Число комнат не менее 3 1, если количество комнат в предмете ипотеки не менее 3, 0 — иначе + +

Соотношение жилой и общей 1, если отношение жилой площади к общей + -

площади не более 0.49 площади в предмете ипотеки не превосходит 0.49, 0 — иначе

Соотношение жилой и общей 1, если отношение жилой площади к общей + -

площади не менее 0.7 площади в предмете ипотеки не менее 0.7, 0 — иначе

Примечание. * — йзр-10 регионов согласно рейтингу социально-экономического положения субъектов РФ по итогам 2013 года рейтингового Агентства «РИА Рейтинг», ** — последние 10 мест в этом рейтинге.

Таблица П2. Оценки коэффициентов в моделях риска наступления досрочного погашения

Переменные Регрессия Кокса Гамма-регрессия

Коэффициент переплаты за жилье не более 1 0.141*** -0.085***

Коэффициент переплаты за жилье не менее 1.82 0.041*** -0.027***

Высшее образование 0.225*** -0.136***

Среднее специальное образование 0.038* -0.021*

Наемный работник 0.176*** -0.104***

Госслужба/военная служба 0.187*** -0.106***

Ставка менее 11.5% —0 157*** 0.099***

2016, 41 ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА / APPLIED ECONOMETRiCS

Окончание табл. П2

Переменные Регрессия Кокса Гамма-регрессия

Ставка не менее 14.5% 0.167*** -0.102***

PTI не более 20% 0.335*** -0.229***

PTI более 35% -0.137*** 0.087***

Соотношение жилой и общей площади не более 0.49 -0.049*** 0.028***

Соотношение жилой и общей площади не менее 0.7 -0.037** 0.024**

Развитый регион 0.015 -0.008

Недостаточно развитый регион -0.127*** 0.077***

Возраст до 30 лет 0.175*** -0.096***

Возраст более 40 лет 0.065*** -0.039***

Пол -0.083*** 0.052***

Семейное положение 0.025** -0.014*

Число заемщиков = 1 0.141*** -0.094***

Число заемщиков не менее 3 -0.094*** 0.060***

Дом/таунхаус -0.083*** 0.050***

Число комнат = 1 0.296*** -0.178***

Число комнат не менее 3 -0.052*** 0.026***

LTV не более 50% 0.097*** -0.068***

LTV более 70% -0.148*** 0.093***

Срок кредита до 5 лет 0.928*** -0.537***

Срок кредита не менее 15 лет -0.236*** 0.140***

_cons 7.928***

Параметры опорного распределения:

ln

cons -0.390***

kappa

cons 0.636***

Примечание. *, **, *** — коэффициент значимости на уровне 5,1 и 0.1% соответственно. В скобках под оценками коэффициентов — стандартные ошибки.

Таблица П3. Оценки коэффициентов в моделях риска наступления дефолта: Gamma, Lognormal-F и Gamma-SP

Переменные Гамма-регрессия Логнормальная Гамма-регрессия

регрессия с дополнительным

с ненаблюдаемым логит-уравнением

эффектом

duration:

Коэффициент переплаты за жилье не более 1 0.204*** 0.216*** 0.210***

Коэффициент переплаты за жилье не менее 1.82 -0.336*** -0.329*** -0.335***

Высшее образование 0.602*** 0 594*** 0.598***

Среднее специальное образование 0.056 0.055 0.053

Наемный работник 0.468*** 0.475*** 0.471***

Госслужба/военная служба 0.994*** 1.030*** 1.011***

PTI не более 20% 0.167*** 0.160*** 0.163***

PTI более 35% -0.122*** -0.120*** -0.120***

Развитый регион 0.032 0.042 0.037

Недостаточно развитый регион -0.233** -0.234** -0.222**

Возраст до 30 лет 0.084*** 0.082*** 0.083***

Возраст более 40 лет -0.084** -0.078** -0.082**

Пол -0.051* -0.049* -0.051*

Семейное положение 0.397*** 0.391*** 0.393***

Число заемщиков = 1 -0.275*** -0.271*** -0.274***

Число заемщиков не менее 3 0.232*** 0.229*** 0.231***

Квартира 0.373*** 0.394*** 0.384***

Дом/таунхаус -0.821*** -0.683*** -0.735***

Число комнат = 1 0.550*** 0.555*** 0.554***

Число комнат не менее 3 -0.496*** -0.492*** -0.495***

LTV не более 50% 0.619*** 0.635*** 0.627***

LTV более 70% -0.908*** -0.890*** -0.900***

Срок кредита до 10 лет 0.343*** 0.366*** 0.354***

0

Si S s

e

s

QQ Ф

1 Щ

lu

Окончание табл. П3

Переменные Гамма-регрессия Логнормальная регрессия с ненаблюдаемым эффектом Гамма-регрессия с дополнительным логит-уравнением

Срок кредита не менее 15 лет -0.076

cons 9.373*** 8.858*** 8.239***

logit:

_cons 0.01

Параметры опорного распределения:

ln (sigma) cons 1.125*** 0.557*** 0.666***

kappa _cons -1 104***

ln

Примечание. *, **, *** — коэффициент значимости на уровне 5,1 и 0.1% соответственно. В скобках под оценками коэффициентов — стандартные ошибки.

Rumyantseva E., Furmanov K. Modeling mortgage survival. Applied Econometrics, 2016, 41, pp. 123-143.

Ekaterina Rumyantseva

Agency for Housing Mortgage Lending, Moscow, Russian Federation; Evrumyantseva.2006@yandex.ru Kirill Furmanov

National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation; furmach@rbcmail.ru

Modeling mortgage survival

Paper is devoted to modeling risks of mortgage default and prepayment using data from large Russian mortgage agency. Various techniques of survival analysis are applied to estimate corresponding hazard functions and their relation to loan characteristics. Along with traditional, one-equation regression models, split population approach is used. Special attention is paid to model selection issues. Keywords: market risk; credit risk; mortgage; survival models. JEL classification: C41; G21.

References

Zadonsky G. (2015). Mortgage. Russian Economic Development [Ekonomicheskoe Razvitie Rossii], 3, 67-69 (in Russian).

Karminsky A. M., Lozinskaja A. M. (2015). Ocenka kreditnogo riska pri ipotechnom zhilishhnom kredi-tovanii. In: XV Aprel'skaja mezhdunarodnaja nauchnaja konferencija po problemam razvitija jekonomiki i obshhestva. red. E. G. Jasin. Vol. 1, 353-366 (in Russian).

Korovkin A. G. (2001). Dinamika zanjatosti i rynka truda: voprosy makrojekonomicheskogo analiza 0

i prognozirovanija. M.: MAKS Press (in Russian). |

§

Lozinskaya A. M., Ozhegov E. M. (2014). Estimation of mortgage lending credit risk. Applied Econo- ^ metrics, 35 (3), 3-17 (in Russian). ^

Polterovich V M., Starkov O. Yu. (2007). A strategy for building mortgage market in Russia. Economics and Mathematical Methods [Ekonomika i matematicheskie metody], 43 (4), 3-22 (in Russian). 8

Ratnikova T. A., Furmanov K. K. (2014). Analiz panel'nyh dannyh i dannyh o dlitel'nosti sostojanij. -g NRU HSE (in Russian).

Stolbov M. I. (2011). Crisis in the Russian mortgage market through the lens of financial accelerator <o theory. Studies on Russian Economic Development, 4, 66-77 (in Russian).

Aalen O. O. (1978). Nonparametric inference for a family of counting processes. Annals of Statistics, 6 (4), 701-726.

Asay M., Guillaume F. H., Mattu R. K. (1987). Duration and convexity of mortgage backed securities: some hedging implications from a prepayment linked present value model. In: Mortgage Backed securities, edited by F. Fabozzi. Chicago: Probus Publishing. 103-125.

Chinloy P. (1991). The option structure of a mortgage contract. Journal of Housing Research, 2 (1), 21-38.

Demyanyk Y., Hemert O. V. (2011). Understanding the subprime mortgage crisis. The Review of Financial Studies, 24 (6), 1848-1880.

Green J. R., Shoven J. B. (1986). The effects of interest rates on mortgage payments. Journal of Money, Credit and Banking, 18 (1), 41-59.

Kaplan E. L., Meier P. (1958). Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of American Statistical Association, 53 (282), 457-481.

Nelson W. (1972). Theory and applications of hazard plotting for censored failure data. Technometrics, 14 (4), 945-966.

Newson R. B. (2010) Comparing the predictive powers of survival models using Harrell's C or Somers' D. The Stata Journal, 10 (3), 339-358.

Scott F. R., Roll R. (1989). Prepayments on fixed-rate mortgage-backed securities. Journal of Portfolio Management, 15 (3), 73-82.

Schmidt P., Witte A. D. (1987). Predicting criminal recidivism using «split population» survival time models. NBER Working Paper No. 2445.

Schwartz E. S., Torous W. N. (1989). Prepayment and the valuation of mortgage backed securities. Journal of Finance, 44 (2), 375-392.

Stepanova M., Thomas L. C. (2001). PHAB Scores: Proportional hazards analysis behavioural scores. The Journal of the Operational Research Society. 52 (9), 1007-1016.

Tumanov A., Zhelezova E. (2014). Developments of Russian mortgage and housing markets. NPB Working Paper No. 182, 151-178.

Yamaguchi K. (1998). Mover-stayer models for analyzing event nonoccurrence and event timing with time-dependent covariates: an application to an analysis of remarriage. Social Methodology, 28 (1), 327-361.

Received 02.02.2016; accepted 12.03.2016.