О методике обучения решению задач ЕГЭ с социально-экономическим содержанием

УДК 51+512.3

О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЕГЭ С СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМ

СОДЕРЖАНИЕМ

Монгуш А.С., Танова О.М.

Тувинский государственный университет, Кызыл

ABOUT THE TEACHING METHODS OF DOING UNIFIED STATE EXAM TASKS WITH SOCIO-ECONOMIC CONTENT

Mongush A.S., Tanova O.M.

Tuvan state university, Kyzyl

В статье рассматриваются вопросы методики обучения учащихся умению решать задачи с социально-экономическим содержанием в качестве подготовки к ЕГЭ по математике. Особенное внимание в статье уделено задачам, связанным с различными финансовыми операциями.

Ключевые слова: ЕГЭ, задачи с социально-экономическим содержанием, проценты, сложные проценты, методика решения задач, этапы решения задачи, математическое моделирование.

The article describes the teaching methods of the training of students how to solve problems with social and economic content in preparation for the exam in mathematics. Particular attention in the article is paid to problems related to various financial transactions.

Key words: exam, the problems with socio-economic content, percent, compound interest, methods of problem solving, steps of problem solving, mathematics modeling.

Одной из особенностей вариантов ЕГЭ по математике в 2015 году является включение задачи № 19 (в 2016 году - задание № 17), представляющего собой практико-ориентированную задачу. Эта задача направлена на применение методов математики при решении содержательных задач. У учащихся при этом проверяется умение выполнять действия с целыми числами, действий со степенями с натуральным показателем, знаний и умений обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» процентами.

Использование задач на проценты раньше также практиковалось в проведении итоговой аттестации. Их достаточно часто включали в варианты как школьных выпускных экзаменов, так и вступительных экзаменов в различные вузы страны. И вот по истечении примерно пятнадцати лет задачи на проценты вновь входят в состав заданий ЕГЭ по математике.

Умение решать задачи на проценты имеет большое практическое значение, поскольку понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Анализ итогов единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике в Республике Тыва за 2015 год показал, что с заданием № 1 справились 72% из 1877 сдававших, а задание № 19 никто полностью не решил [1]. Одной из причин того, что 28 % выпускников школ республики не справились с задачей №1, является недостаточное понимание учащимися смысла текстовых задач вследствие проблемы языкового барьера у испытуемых. А причиной невыполнения задачи № 19 также можно назвать незнание учащихся математической модели решения задач с социально-экономическим содержанием и необходимых для этого формул по вычислению процентного изменения величины, процентов и соотношений между величинами.

Еще одной причиной «плохих» показателей по решению задач № 1 и № 19 ЕГЭ в 2015 году, на наш взгляд, является то, что в школьном курсе математики отводится недостаточно времени. Это сказывается на уровне умения учащимися решать задачи на проценты к завершению учебы в школе. Об этом свидетельствует факт, что студенты 1 курса испытывают трудности при решении задач на проценты, особенно это касается вопросов, связанных с инфляцией, ценообразованием, банковскими вкладами и кредитами. Поэтому, учитывая тесную связь задач на проценты с повседневной жизнью, необходимо систематически их использовать на занятиях.

Тувинский государственный университет

При рассмотрении задач с социально-экономическим содержанием во время подготовки выпускников к ЕГЭ по математике профильного уровня перед учителями целесообразно поставить методическую задачу - обучить учащихся использованию «математического моделирования» при решении практических задач. Необходимо учащимся подчеркнуть, что процесс решения задачи представляет собой такую систему преобразований условий задачи, при которых достигается требуемое искомое.

Известно, что при решении задачи возникает необходимость четкого выделения основных этапов (структуры) ее решения. Так, Пойа Д. [2],. Колягин Ю.М [3] выделяют четыре этапа процесса решения задачи:

1. Изучение условия и цели задачи.

2. Поиск плана решения задачи (составление плана).

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка правильности решения задачи, поиски других решений, систематизация знаний и опыта.

При обучении учащихся решению задач с социально-экономическим содержанием нужно сформировать у них умения устанавливать соответствие между словесной и аналитической формами представления зависимостей. Одна из основных причин ошибок учащихся при решении задач заключается в отсутствии этого умения. Необходимо обращать внимание учеников на возможную неадекватность перевода словесной формулировки на язык математических символов. Она состоит в отвлечении от некоторых существенных свойств описываемых величин для упрощения решения. Например, при составлении уравнения по условию задачи учащиеся иногда не учитывают, что значения скорости неотрицательны, а также количества корней уравнения, не удовлетворяющих условию задач. При построении же модели задачи эти условия будут учтены, следовательно, подобные ошибки практически не будут допускаться.

По своей природе математика дает возможность строить модели для многих объектов, явлений и процессов, рассматриваемых в различных отраслях знаний, науки и техники, когда посредством одного или нескольких уравнений и формул выражают зависимость между различными факторами этих явлений, процессов или объектов. Полученные уравнения или системы уравнений и формулы называют математическими моделями.

Мы будем понимать под математической моделью приближенное описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке некоторой математической теории (с помощью уравнений, неравенств, их систем, функций, векторов и т.п.) [4].

Метод математического моделирования содержит следующие этапы:

1) построение математической модели объекта (явления, процесса);

2) исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики;

3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.

При этом должны соблюдаться следующие требования:

1) модель должна адекватно отражать наиболее существенные свойства объекта, отвлекаясь от его несущественных свойств;

2) модель должна иметь определенную область применимости, обусловленную принятыми при ее построении допущениями;

3) модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте [5].

После того, как математическая модель построена, возможны два случая:

а) полученная конкретная модель принадлежит к уже изученному в математике классу моделей, и тогда математическая задача решается уже известными методами;

б) эта модель не укладывается ни в одну из известных схем (классов) моделей, разработанных в математике, и тогда возникает внутриматематическая проблема исследования

нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.

В данной статье рассмотрим примеры задач с социально-экономическим содержанием и основные методы их решения. Но прежде напомним теоретический материал и рассмотрим основные виды задач на проценты.

Процентом называется одна сотая часть числа, или дробь 0,01. Для обозначения процента используется знак %. Алгебраически вычисление 1 процента от числа Ь записывается:

1

а% = — * Ь.

100

Есть два правила, позволяющие выразить число в процентах, а проценты - в дробях.

1. Чтобы выразить число в процентах, достаточно это число умножить на 100 и поставить знак «%».

2. Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, достаточно число процентов разделить на 100 и убрать знак «%».

Существуют три вида основных задач на проценты [6].

1. Нахождение процента от числа.

2. Нахождение числа по его процентам.

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Задача первого вида решается по правилу: чтобы найти процент от числа, нужно: 1) найти 1 процент от числа, разделив это число на 100; 2) умножить полученное значение на число процентов.

Пример 1. Асфальтировано 30% дороги от города до села. Сколько километров асфальтировано, если расстояние от города до села 150км?

Решение. Сначала найдем 1% от числа 150: 150:100=1,5.

Затем найдем 30%: 1,5 30=45.

Ответ: 30% от 150км составляет 45км.

Решение задачи можно записать одним выражением: 150:100 30=45.

Задачи второго вида решается по правилу: чтобы найти число по его процентам, нужно: 1) найти, сколько приходится на 1 процент; 2) умножить полученное значение на 100.

Пример 2. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? [7]

Решение. Повышение на 16% означает, что 3480 рублей составляет 116% от первоначальной цены. Значит, на 1% приходится: 3480:116=30.

Затем найдем первоначальную цену: 30 * 100 = 3000 (рублей).

Ответ: 3000 рублей.

Задача третьего вида решается по правилу: чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученное частное умножить на 100 и приписать знак процента %.

Пример 3. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение. Сначала найдем, на сколько рублей снизилась цена футболки: 800-680=120 рублей. Затем найдем, сколько % составляет 120 рублей от 800.

120:800=0,15.

Полученное значение умножим на 100 и припишем знак %.

Ответ: 15%.

Анализ содержания задач № 1 контрольно-измерительных материалов ЕГЭ позволил выделить задачи по изменению цен:

1) задачи на нахождение новой цены 5 некоторого товара после повышения первоначальной цены на а% решаются по формуле 5 = (1 + а * 0.01);

Тувинский государственный университет

2) задачи на нахождение новой цены 5 некоторого товара после понижения первоначальной цены 50 на а% решаются по формуле 5 = (1-а* 0.01);

3) задачи, где цена товара сначала повышается на а%, затем понижается на Ь%. Тогда новое значение цены находится по формуле: 5 = 50 (1 + а * 0.01) * (1 — Ь* 0.01);

4) задачи, где цена сначала понижается на а%, затем повышается на Ь%. Формула по которой решаются такие задачи: 5 = (1 - а * 0.01) * (1 + Ь * 0.01);

5) задачи, где цена товара повышается п раз на а%, тогда новая цена. Решаются по формуле: 5 = 50 (1 + а * 0.01)"

6) задачи на определение цены после понижения цены п раз на Ь%, которые решаются по формуле 5 = 50 (1-й * 0.01)п.

Перечисленные формулы лежат в основе решения задач с социально-экономическим содержанием.

Среди задач с социально-экономическим содержанием важное место занимают так называемые «банковские задачи», так как при ее решении можно столкнуться с различными банковскими операциями (вкладами, ссудами).

Анализ показывает, что такие задачи вызывают у учащихся большие трудности. Это объясняется тем, что в учебниках по математике не рассматриваются такие понятия, как простые и сложные проценты, и не вводятся формулы их вычисления. Предполагается, что учащиеся должны решать эти задачи, опираясь не на формулы, а на понимание понятия процента и умения решать основные три вида задач на проценты.

Банковские задачи можно классифицировать на следующие типы:

Таблица

№ Годы выплаты Сумма кредита (долга) Транш (выплата) Проценты

N S X а

N Б1+1= Б1*Ь-Х х 5Ьп(Ь—1) Х= Ь=1+0,01*а

1 тип ? + + +

2 тип + + ? +

3 тип + ? + +

4 тип + + + ?

5 тип Сравнение S X

Y

Y

В таблице 5^- сумма кредита, сумма долга в следующем периоде, а- проценты, под которые выдан кредит (процент начисления вклада), Ь - коэффициент, на который умножается остаток долга при вычислении долга на следующий период, Х, Y - сумма выплачиваемый в один период, N - количество выплат (периодов), ? - неизвестная величина. Классификация данных произведена по искомым величинам.

При решении следующего примера использовалось математическое моделирование.

Пример. Крестьянское (фермерское) хозяйство «Белек» (КФК «Белек») хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка - 12 % годовых. На какое минимальное количество лет КФК «Белек» может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение:

1 этап. Строим математическую модель задачи и вводим ограничения.

Данная задача относится к 1 типу банковских задач, т.е. необходимо найти, за сколько периодов (N) кредит будет выплачен полностью.

N>0, N принадлежит множеству натуральных чисел, Х<350 000 рублей, а = 10%, b=1+0,01*a=1,1, Si=1 500 000 рублей, а далее сумма долга начисляется по формуле Si+1= Si * b -X.

2 этап. Исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи с помощью формул.

В конце первого года долг составит: 1500000*1,1 - 350000 =1300000

В конце второго года долг составит: 1300000*1,1 - 350000 = 1080000

В конце третьего года долг составит: 1080000*1,1 - 350000 = 838000

В конце четвертого года долг составит: 838000*1,1 - 350000 = 571800

В конце пятого года долг составит: 571800*1,1 - 350000 = 278980

В конце шестого года долг составит: 278900*1,1 =306878

Эта сумма менее 350000 руб.

3 этап. Интерпретация полученного решения.

Итак, кредит будет погашен за 6 лет.

Ответ: кредит будет погашен за 6 лет.

Рациональное включение экономического материала в текст задачи возможно при изучении практически любой темы школьного курса математики. Даже если учащимся неизвестно точное значение того или иного экономического понятия, они понимают его на житейском (бытовом) уровне. В процессе решения соответствующей задачи смысл экономического понятия уточняется.

Рассмотрим методику решения задач с социально-экономическим содержанием на уроках математики в национальных школах Республики Тыва.

Говоря об особенностях мышления, восприятия детей коренных национальностей республики Тыва, следует отметить их некоторую замкнутость, неразговорчивость, склонность к созерцательности, что сказывается на развитии речи вообще и русской речи, в частности. Так как преподавание ведется не на родном языке, у учеников недостаточно развито умение проводить рассуждения, а это, в свою очередь, отрицательно влияет на успешность обучения математике. Поэтому актуальной задачей является использование методов обучения, включающих школьников в общение, формирующих у них умение ясно выражать свои мысли, планировать свою деятельность по решению задач, формулировать задачи по предложенным данным. Наиболее подходящим, по нашему мнению, является метод «сократовской беседы» (или катехизический, вопросно-ответный метод), при котором учащиеся приходят к отысканию истины, отвечая на наводящие вопросы учителя [8].

Продемонстрируем применение этого метода на примере решения III типа «банковской задачи».

Пример. 31 декабря 2014 года Арат взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга. Арат переводит в банк каждый раз сумму начисленных процентов и 2928200 рублей. Какую сумму взял Арат в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?.

При обучении решению подобных задач с использованием метода «сократовской беседы» учитель может заранее подготовить наводящие вопросы следующего характера, которых можно превратить в последовательность системы микрозадач:

- Что такое кредит?

- Как вы понимаете фразу «Под 10 % годовых?».

Тувинский государственный университет

- Какую сумму составит первая выплата кредита? Из чего состоит данная выплата?

- Известна ли сумма кредита?

- Вся ли сумма кредита возвращается через 1 год?

- Какую формулу надо использовать для нахождения остатка долга?

- Через сколько лет долг полностью «закроется»?

- Какую сумму составит остаток долга через 2 (3, 4) года?

- Сколько составляет сумма кредита?

- Как найти общую сумму возвращенных денег?

Также можно составить такие вопросы, отвечая на которых учащийся приходит к выводу, как зависит сумма переплаты от сроков выплаты. Например,

- Как вы думаете, если возвращать кредит через год, какую сумму необходимо заплатить

банку?

Для закрепления учащимся можно предложить составить аналогичную задачу и решить ее. Опыт показывает, что учащиеся с большим интересом решают такие задачи, с удовольствием составляют их самостоятельно.

Таким образом, считаем, что предлагаемая нами в данной статье методика обучения решению задач является эффективным способом обучения решению задач с социально-экономическим содержанием при подготовке выпускников к ЕГЭ по математике профильного уровня.

Библиографический список:

1. Троякова, Г. А. Анализ ЕГЭ по математике по тувинскому региону. выпуск 8. Учебное пособие для учителей и школьников. - Кызыл: РИО ТувГУ, 2015.-118 с.

2. Пойя, Д. Как решать задачу: Пособие для учителей/ перевод с англ.; под ред.Ю.М. Гайдука. - М.:Учпедгиз,1961.

- 207 с.

3. Колягин, Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы: Автореф.дис. ... д-ра пед.наук. -М., 1977. - 57 с.]

4. Монгуш, А. С. Использование прикладных задач с национально-региональным содержанием как фактор повышения качества математических знаний учащихся 5-9 классов (на примере Республики Тыва) : Дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 : Новосибирск, 2002. - 151 с.

5. Епишева, О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. Курс лекций: учебное пособие для студентов физ.-мат.спец.пед.ин-тов. - Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997. - 191 с.

6. Монгуш, А. С., Танова, О. М. Решаем задачи на проценты: Пособие для учащихся 5-6 классов общеобразовательных учебных заведений. - Кызыл: РИО ТувГУ, 2015. - 48 с.

7. Образовательный портал: http://reshuege.ru

8. Монгуш, А. С. Использование системы экономико-прикладных задач с региональным содержанием. Городской алгебраический семинар: Сборник научных и методических материалов 2012-2013 гг. Выпуск V. - Кызыл: Изд-во «Аныяк», 2013 - 119 с.

Bibliograficheskij spisok:

1. Troyakova, G. A. Analiz EGE po matematike po tuvinskomu regionu. Vypusk 8. uchebnoe posobie dlya uchitelej i Shkolnikov. - Kyzyl: RIO Tuvgu, 2015.-118 s.

2. Pojya, D. Kak reshat zadachu: Posobie dlya uchitelej/ perevod s angl.; pod red.Yu.M. Gajduka. - M.:Uchpedgiz,1961. -

207 s.

3. Kolyagin, YU. M. Matematicheskie zadachi kak sredstvo obucheniya i razvitiya uchaschikhsya srednej shkoly: Avtoref.dis. ... d-ra ped.nauk. -M., 1977. - 57 s.]

4. Mongush, A. S. Ispolzovanie prikladnykh zadach s natsionalno-regionalnym soderzhaniem kak faktor povysheniya kachestva matematicheskikh znanij uchaschikhsya 5-9 klassov (na primere Respubliki Tyva) : Dis. ... kand. ped. nauk : 13.00.02 : Novosibirsk, 2002. - 151 c.

5. Episheva, O. B. Obschaya metodika prepodavaniya matematiki v srednej shkole. Kurs lektsij: uchebnoe posobie dlya studentov fiz.-mat.spets.ped.in-tov. - Tobolsk: izd-vo TGPI im. D.I. Mendeleeva, 1997. - 191 s.

6. Mongush, A. S., Tanova, O. M. Reshaem zadachi na protsenty: Posobie dlya uchaschikhsya 5-6 klassov obscheobrazovatelnykh uchebnykh zavedenij. - Kyzyl: RIO Tuvgu, 2015. - 48 s.

7. Obrazovatelnyj portal: http://reshuege.ru.

8. Mongush, A. S. Ispolzovanie sistemy ekonomiko-prikladnykh zadach s regionalnym soderzhaniem. Gorodskoj algebraicheskij seminar: Sbornik nauchnykh i metodicheskikh materialov 2012-2013 gg. Vypusk V. - Kyzyl: Izd-vo "Anyyak", 2013 -119 s.

Монгуш Айлана Севеновна - доцент кафедры алгебры и геометрии ТувГУ, E-mail: ailseven@mail.ru

Танова Оксана Монгушовна - старший преподаватель кафедры алгебры и геометрии ТувГУ, E-mail: tanova-oksana@mail.ru

Mongush Ailana - associate professor of algebra and geometry of Tuvan state university, E-mail: ailseven@mail.ru

Tanova Oksana - Senior Lecturer, Department of Algebra and Geometry, Tuvan state university; E-mail, tanova-oksana@mail.ru

УДК 51(07)+371.26

РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРОБЛЕМЫ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ В РЕСПУБЛИКЕ ТЫВА

Троякова Г.А.

Тувинский государственный университет, Кызыл

THE RESULTS AND THE PROBLEMS OF THE UNIFIED STATE EXAM ON THE MATHEMATICS OF THE RELEVANT LEVEL IN THE REPUBLIC OF TUVA

Troyakova G.A.

Tuvan state university, Kyzyl

В данной статье рассматриваются вопросы организации работы учителей математики, работающих в старших классах в направлении повышения качества обучения на основе результатов ЕГЭ по математике в 2015 году. Наша основная задача - обозначить основные проблемы в обучении учащихся математике и наметить программу их решения.

Ключевые слова: математика, единый государственный экзамен (ЕГЭ), результаты ЕГЭ, обучение математике, качество обучения.

This article discusses the organization of mathematics teachers working in high school to improve the quality of education based on the results of the exam in mathematics in 2015. Our main objective - to designate the main problems in training of pupils in mathematics and to plan the program of their decision.

Key words: mathematics, ediny state exam (Unified State Examination), results of Unified State Examination, training in mathematics, quality of training.

Многолетний опыт работы в региональной предметной комиссии по математике дает возможность выявления погрешностей в знаниях выпускников по математике, обозначить предупреждающие и корректирующие действия на основе анализа результатов ЕГЭ. В 2015 году впервые экзамен по математике разделен на базовый и профильный уровни. В силу того, что все предшествующие годы имел место профильный уровень экзамена, мы сосредоточим основное внимание на математике профильного уровня. Выпускники самостоятельно выбирают экзамен профильного уровня, и мы в праве ожидать при сохранившейся по отношению к 2014 году шкале оценивания и содержании КИМов, лучшие результаты в 2015 году.

Экзамен по математике в форме ЕГЭ в 2015 году по республике Тыва сдавали 1877 человек. При этом заявленный минимум в 6 задач преодолели 63,8% участников экзамена по результатам на 4 июня. Стоит подчеркнуть об изменении минимального балла по профильной