Математическая модель для анализа электромагнитных процессов в реактивных индукторных машинах с сильным взаимным влиянием фаз

УДК 621.313.39

Математическая модель для анализа электромагнитных процессов в реактивных индукторных машинах с сильным взаимным влиянием фаз*

Н. В. Гребенников

Ростовский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 344038, Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2

Для цитирования: Гребенников Н. В. Математическая модель для анализа электромагнитных процессов в реактивных индукторных машинах с сильным взаимным влиянием фаз // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб.: ПГУПС, 2019. - Т. 16, вып. 2. - С. 315-321. 001: 10.20295/1815-588Х-2019-2-315-321

Аннотация

Цель: Совершенствование реактивных индукторных машин с сильным взаимным электромагнитным влиянием фаз с помощью развития математического моделирования происходящих в них процессов. Методы: При разработке математической модели реактивной индукторной машины использовались методы теории электрических цепей и теории электромагнетизма. Результаты: Произведено математическое описание электромагнитных процессов в реактивных индукторных машинах с учетом взаимного влияния фаз. В созданной модели принято допущение, при котором учитывается влияние только соседних фаз. Расчет зависимости потокосцепления фазы предложено осуществлять в функции четырех переменных (фазного тока, фазных токов соседних фаз и углового положения ротора), что позволяет сократить объем подготовки исходных данных для моделирования. Проведено аналитическое описание электромагнитного момента для такого типа машин с учетом эффекта взаимного влияния фаз. Практическая значимость: Предлагаемый подход позволяет найти компромисс между точностью и быстродействием подготовки модели для моделирования динамических режимов работы электропривода с реактивными индукторными машинами данного класса.

Ключевые слова: Реактивная индукторная машина, взаимная индуктивность, математическая модель, электропривод.

Введение

Реактивные индукторные машины (РИМ) представляют собой высокоэффективный тип электромеханического преобразователя энергии и находят применение в промышленности и на транспорте. Их преимуществами являются простота конструкции, низкая себестоимость, высокая надежность и значительная эффективность преобразования энергии в широком

диапазоне скоростей и мощностей [1, 2]. В настоящее время РИМ используются в тяговом приводе электромобилей, в авиационной промышленности и на железнодорожном транспорте [3-6]. К известным недостаткам РИМ относятся повышенные пульсации электромагнитного момента, вызывающие вибрацию и акустический шум. Снижение пульсаций момента - одна из главных тем исследователей в области РИМ, предлагаются различные под-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 18-79-00130).

ходы, которые включают оптимизацию формы зубцовой зоны магнитной системы и разработку новых алгоритмов управления. Простым и общепринятым способом снижения пульсаций момента является повышение числа фаз машины, что стало возможным вследствие развития силовой электроники. Увеличение фаз РИМ обеспечивает большее перекрытие в работе фаз машины, что ведет к значительному взаимодействию между фазами. Многие исследователи отмечают, что одновременная работа фаз (работа с перекрытием фаз) РИМ оказывает положительный эффект [7-11], в результате чего мощность машины вырастает на 5-15 %. Это связано с тем, что энергия, запасенная в магнитном поле отключаемой фазы, передается следующей фазе двигателя и используется для форсированного нарастания тока.

Чем больше число фаз, тем лучше условия для замыкания магнитного потока через соседние фазы [12]. Для питания шестифазной РИМ возможно применять трехфазный инвертор с полным мостом, что позволит снизить пульсации электромагнитного момента, без увеличения стоимости силового преобразователя [12]. Для шестифазной РИМ были изучены альтернативные типы соединения обмоток и предложена симметричная схема обмоток, в соответствии с которой обмотки фазы нетрадиционно связаны противоположными полярностями, что приводит к значительному фазовому взаимодействию [13].

В настоящей статье описана шестифазная конфигурация РИМ, число зубцов на статоре - 12, а на роторе - 10, с сильным магнитным влиянием между фазами. Катушки одной фазы РИМ соединены встречно в магнитном отношении, в этом случае магнитный поток полностью замыкается через соседние фазы (рисунок). Данный класс машин представляет собой электрические машины, как правило, с четным числом фаз. В работе [14] приведено описание магнитной системы подобного типа РИМ, а также рассмотрена схема замещения магнитной системы.

Для построения алгоритмов управления и исследования электромагнитных процессов в ре-

активных индукторных машинах с сильным взаимным электромагнитным влиянием фаз удобно использовать методы математического и компьютерного моделирования. Наиболее распространенным пакетом программ для проведения моделирования электрических цепей и систем управления является МАГЪАВ^тиИпк [15].

В данной статье разработана математическая модель для реактивных индукторных машин с сильным взаимным электромагнитным влиянием фаз.

Математическая модель

Наилучшую точность моделирования электромагнитных процессов, происходящих в РИМ, будет иметь подход, при котором учитываются токи во всех фазах. Тогда уравнение электрической цепи для одной фазы РИМ будет иметь вид

и _ Я - + Ж\

' Ж

где и - напряжение, приложенное к фазе; Я -сопротивление фазы; - - ток фазы; \(-Л, -В, ¡С, р, ¡Е, 1Р, 0) - потокосцепление фазы (функция семи переменных).

Вращательное движение ротора РИМ описывают уравнения движения

Ж ю

J-

dt

= Te

d fl

— =  Nr -180/tc. dt R

В (2) и (3) ю - частота вращения ротора, Те -электромагнитный момент РИМ, Т - внешний момент сопротивления, В - коэффициент трения, J - приведенный момент инерции ротора, 0 - угловое положение ротора относительно статора, эл. град., N - число зубцов ротора.

Для решения уравнения (1) необходимо получить методом конечных элементов (например, с использованием пакета FEMM

Магнитная система шестифазной РИМ

[16]) зависимость потокосцепления фазы в функции семи переменных у(гл, 1В, 1С, 1В, ¡Е, 1Р, 0) . Если принять, что для каждой переменной достаточно произвести расчет по 10 ее значениям, то для формирования 7Б-массива (10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10) потребуется произвести 10 000 000 расчетов. При оптимизации модели для электромагнитного анализа в пакете FEMM и осуществления расчетов с помощью скрипта для автоматизации процесса и сохранения данных можно добиться, чтобы время одного расчета было равно примерно 1 с. Тогда общее время электромагнитного расчета для подготовки начальных данных для моделирования составит 2778 ч = 115 сут., что, по нашему мнению, не удовлетворительно. Таким образом, подход с учетом всех фазных токов практически не осуществим и требует разработки других подходов для моделирования электромагнитных процессов в описываемом типе РИМ с учетом взаимного влияния фаз.

Проведенный электромагнитный анализ показал, что в рассматриваемой РИМ имеет-

ся существенное взаимное влияние между соседними фазами. Область двигательного или генераторного режима составляет 180 эл. град., а значит, одновременно в номинальном режиме будут работать не более трех фаз машины.

Таким образом, можно принять допущение, что учитывается влияние только от соседних фаз, а влиянием других фаз можно пренебречь. С учетом этого уравнение электрической цепи для одной фазы РИМ примет вид

ип = К • ^ + аУ" (/-1,,+1,0) , (4) Л

здесь и, п - напряжение и номер этой фазы соответственно; К - сопротивление фазы; Iп - ток данной фазы; уп , Iп, /П+1, 0) - по-токосцепление фазы с учетом токов, протекающих в соседних фазах (функция четырех переменных).

Полное потокосцепление фазы может быть определено как сумма собственного по-токосцепления и взаимных потокосцеплений от соседних фаз:

\ п = \ (п-1)п пп (п+1)^

что также можно выразить через индуктивности:

\п = М(п-1)п • -п-1 + Ьп • -п + Мп+1)п • -п+1 ,

где М - взаимная индуктивность между фазами; Ь - индуктивность фазы.

Так как все фазы РИМ состоят из одинаковых катушек, то можно считать, что активное сопротивление у всех фаз будет одинаковым.

Таким образом, для решения уравнения (4) данной машины необходимо получить методом конечных элементов зависимость потокосцепления фазы в функции четырех

переменных \п = У

потребуется произвести 10 000 расчетов. Общее время электромагнитного расчета для подготовки начальных данных для моделирования составит 2,8 ч, что является вполне достижимым. Предлагаемый подход позволяет сократить время подготовки исходных данных для моделирования в 1000 раз.

Электромагнитный момент в зависимости от фазных токов и положения ротора может быть выражен через коэнергию. В изучаемом случае дифференциал коэнергии ЖЖс равен

dWc (in-i. 'n . 'n+i. fl) =

= ¥n-ldin-l + ¥ndin + ¥n+ldin+l + Ted fl.

4) интегрируем по гп-1, угол поворота 0, г и г , постоянны.

п+1

На первом этапе интегрирования интеграл момента равен нулю; так как при нулевых токах фазы (гп-1 = 0, гп = 0, гп+1 = 0 ) электромагнитный момент не создается, то на последующих этапах тоже, ибо угол поворота 0 постоянен.

После интегрирования получаем выражение коэнергии рассматриваемой машины, когда одновременно работают три фазы:

1п , гп +1, 0) =

0 п+1

= | Те (0,0,0, К)ЖК + | \п+1(0,0, ^,0)ЖК +

0 0

+ | \п (0, К, -п+1, 0)ЖК + 0

гп-1

+ I \п-1(К гп , г'n+1, 0)ЖК =

0

гп+1 гп

= 0 + I Ьп+1^ЖК + | (Ь£ + М(

п+1) пгп+1)Ж К +

0

+ J (Ln+ M(n_X)nin )dÇ = 0

1 T '2 l

2 Ln-l'n-1 + 2

f i i

'(n+l)n n n+l

* Ln-l'n-l + „ Ln'n + „ Ln+lin+l +

+ M. , n.ii +, + M„-i)n'n-l in .

l '2

~ Ln+l'n+l + 2

(n-l)n'n-l'n.

Коэнергия для предлагаемой машины может быть найдена путем интегрирования (5) по контуру. Путь интегрирования выбираем следующим образом:

1) интегрируем по углу поворота 0 при нулевых значениях тока во всех фазах (г = 0,

г'п = 0 г'п+1 =0);

2) интегрируем по г , поддерживая равным нулю токи в двух других фазах (г = 0, гп = 0 ), а угол поворота 0 постоянным;

3) интегрируем по гп, поддерживая равным нулю ток в фазе п - 1 (гп-1 = 0), угол поворота 0 и г , постоянны;

п+1

здесь К - переменная интегрирования. В (6) она принимает следующие значения 0, г , гп, -п-1 по порядку для интегралов.

Тогда для вычисления момента выводим окончательное выражение

T =

dWc

ае

'n-1 ''n .'n+l

1 dLn-l,-2 , 1 dLn' 2 + 1 dLn+l,-2

2 00

-C-i +

2 ae " 2 ae

ln+1 +

. dM(n+l)n '' | dM(n-l)n ' ' + 'n'n+l + ™ 'n-l'n.

ae

ae

Таким образом, момент РИМ с учетом взаимного электромагнитного влияния фаз

можно выразить через фазные токи и угол поворота ротора. Эффект взаимного влияния выражается в наличии двух последних слагаемых в (7).

Другим подходом является определение электромагнитного момента на этапе расчета потокосцепления фазы в функции четырех переменных.

Данный метод фактически не несет в себе дополнительных затрат времени, так как при расчете потокосцепления фазы методом конечных элементов возможно вычислить вращающий момент совместно с расчетом потокосцепления фазы. В результате можно сформировать зависимость электромагнитного момента фазы в функции четырех переменных: Те = f (in , in, in+1,6).

Заключение

В настоящей статье рассмотрена математическая модель РИМ с учетом взаимного электромагнитного влияния фаз. Выражение для определения электромагнитного момента наглядно показывает положительный эффект от наличия сильной взаимной индуктивности между фазами РИМ. Эта особенность требует исследования и новых подходов к выбору параметров управления и их оптимизации. Разрабатываемые алгоритмы должны учитывать фазные токи соседних фаз. Предлагаемая математическая модель позволяет найти компромисс между точностью и быстродействием подготовки модели для моделирования динамических режимов работы электропривода с реактивными индукторными машинами.

Библиографический список

1. Кузнецов В. А. Вентильно-индукторные двигатели / В. А. Кузнецов, В. А. Кузьмичев. - М. : Изд-во МЭИ, 2003. - 68 с.

2. Miller T. G. E. Switched reluctance motors and their control / T. G. E. Miller. - Oxford : Magna

Physics Publishing and Clarendon Press, 1993. -512 p.

3. Киреев А. В. Электромеханическая трансмиссия с реактивными индукторными электрическими машинами / А. В. Киреев, Н. В. Гребенников // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом : сб. статей Междунар. науч.-практич. конференции. - Уфа : АЭТЕРНА, 2016. - С. 33-37.

4. Киреев А. В. Испытания макета электромеханической трансмиссии с реактивными индукторными электрическими машинами / А. В. Кире-ев, Н. В. Гребенников // Новые задачи технических наук и пути их решения : сб. статей Междунар. науч.-практич. конференции. - Уфа : АЭТЕРНА, 2016. - С. 77-80.

5. Индукторный электропривод для электроподвижного состава // Электровозостроение / под ред. В. Г. Наймушина. - Новочеркасск : ОАО «ВЭлНИИ», 2002. - № 44. - 336 с.

6. Ворон О. А. Подвагонный вентильно-индук-торный генератор / О. А. Ворон, Н. В. Гребенников, А. А. Зарифьян, А. Д. Петрушин // Вестн. Всерос. науч.-исслед. и проект.-конструкт. ин-та электровозостроения. - 2009. - № 1. - С. 132-143.

7. Fleury A. Experimental measurement and analysis of the self and mutual inductances in two different switched reluctance machines / A. Fleury, A. W. F. V. Silveira, M. F. Rissatti, V. B. V. Nadler, L. S. Borges, A. R. Pedroza, R. Rocha, J. I. Olivei-ra // International Conference on Renewable Energies and Power Quality (ICREPQ'10), Granada (Spain). -2010. - P. 1202-1207.

8. Feyzi R. M. Direct torque control of 5-phase 10/8 switched reluctance motor by using fuzzy method / R. M. Feyzi, Y. Ebrahimi, M. Zeinali // International Journal of Engineering and Technology. -2009. - N 3 (1). - P. 205-214.

9. Alrifai M. Nonlinear speed control of switched reluctance motor drives taking into account mutual inductance / M. Alrifai, M. Zribi, R. Krishnan, M. Rayan // Hindawi Publishing Corporation Journal of Control Science and Engineering Volume. - 2008. -P. 1-11.

10. Bae Han-Kyung. Control of switched reluctance motors considering mutual inductance : Dis. for the degree of Doctor of Philosophy / Han-Kyung

Bae. - Blacksburg, Virginia : Virginia Polytechnic Institute, 2000. - 140 p.

11. Liu Y. Improved torque performance of switched reluctance machines by reducing the mutual saturation effect / Y. Liu // IEEE Transactions on Energy Conversion. -2004. - N 2 (19). - P. 251-257.

12. Гребенников Н. В. Влияние изменения числа фаз подвагонного вентильно-индукторного генератора на его эксплуатационные характеристики при неизменной конфигурации статора / Н. В. Гребенников // Изв. высш. учеб. заведений. Электромеханика (ЮРГТУ (НПИ)). - 2011. -№ 2. - С. 17-21.

13. Widmer J. D. Winding configurations for a six phase switched reluctance machine / J. D. Widmer, R. Martin, C. M. Spargo, B. C. Mecrow, T. Ce-lik // XXth International Conference on Electrical Machines (ICEM). - 2012. - P. 532-538.

14. Grebennikov N. Equivalent magnetic circuit for Switched Reluctance Motor with Strong Mutual Coupling between phases / N. Grebennikov, T. Talakhadze, A. Kashuba // 2019 26th International Workshop on Electric Drives : Improvement in Efficiency of Electric Drives (IWED). - Moscow, Russia. - 2019. - P. 1-5.

15. Mathworks // URL : www.mathworks.com (дата обращения : 21.04.2019).

16. Finite Element Method Magnetics // URL : www.femm.info (дата обращения : 21.04.2019).

Дата поступления: 22.04.2019 Решение о публикации: 26.04.2019

Контактная информация:

ГРЕБЕННИКОВ Николай Вячеславович - канд. техн. наук, доцент, grebennikovnv@mail.ru

Mathematical model for the analysis of electromagnetic processes in switched reluctance machines with strong mutual influence of phases*

N. V. Grebennikov

Rostov State Transport University, 2, Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya sq., Rostov-on-Don, 344038, Russian Federation

For citation: Grebennikov N. V. Mathematical model for the analysis of electromagnetic processes in switched reluctance machines with strong mutual influence of phases. Proceedings of Petersburg Transport University, 2019, vol. 16, iss. 2, pp. 315-321 (In Russian) DOI: 10.20295/1815-588X-2019-2-315-321

Summary

Objective: To improve switched reluctance machines with strong mutual electromagnetic influence of phases through the development of mathematical modeling of the processes occurring in them. Methods: The methods of electric circuit theory and electromagnetic theory were used while developing a mathematical model of a switched reluctance machine. Results: A mathematical description of electromagnetic processes in switched reluctance machines was produced, taking into account mutual influence of phases. In the developed model, an assumption was made on the influence of neighboring phases only. It was proposed to calculate the dependence of the flux linkage of the phase as a function of four variables (phase current, phase currents of adjacent phases and the angular position of the rotor). An analytical description of the electromagnetic moment for this type of machines was made, taking into account the effect of mutual influence of the phases. Practical importance: The proposed approach makes it possible to find a compromise between accuracy and speed of model preparation for modeling dynamic operating modes of an electric drive with switched reluctance machines of the given class.

Keywords: Switched reluctance machine, mutual inductance, analytical model, electric drive.

* The study was conducted under the sponsorship from the Russian Science Found (grant N 18-79-00130).

References

1. Kuznetsov V. A. & Kuzmichev V. A. Ventilno-induktorniye dvigately [Switched reluctance motor]. Moscow, MEI Publ., 2003, 68 p.

2. Miller T. G. E. Switched reluctance motors and their control. Oxford, Magna Physics Publishing and Clarendon Press, 1993, 512 p.

3. Kireev A. V. & Grebennikov N. V. Elektrome-khanicheskaya transmissiya s reaktivnymy induktor-nymy elektricheskimy mashinamy [Electromechanical transmission with switched reluctance electric machines]. Aktualniyeproblem tekhnicheskikh nauk v Rossii i za rubezhom. Sb. statey Mezhdunar. nauch.-praktich. konferentsii [Topical issues of technical sciences in Russia and abroad. Collection of articles of the International scientific and practical conference]. Ufa, AETERNA Publ., 2016, pp. 33-37.

4. Kireev A. V. & Grebennikov N. V. Ispytaniya maketa elektromekhanicheskoy transmissii s reak-tivnymy induktornymy elektricheskimy mashinamy [Tests of the model of electromechanical transmission with switched reluctance electric machines]. Noviye zadachy tekhnicheskykh nauk i puty ikh resheniya. Sb. statey Mezhdunar. nauch.-praktich. konferentsii [New problems of the technical sciences and ways to solve them. Collection of articles of International scientific and practical conference]. Ufa, AETERNA Publ., 2016, pp. 77-80.

5. Induktorniy elektroprivod dlya elektropodvizh-nogo sostava [Switched reluctance electric drive for electric rolling stock]. Elektrovozostroeniye [Electric Locomotive Industry]. Pod red. V. G. Naimyshina. Novocherkassk, OAO "VElNII" Publ., 2002, no. 44, 336 p.

6. Voron O.A., Grebennikov N. V., Zarifyan A.A. & Petrushin A. D. Podvagonniy ventilno-induktorniy generator [Undercar switched reluctance generator]. Vest-nik Vseros. nauch.-issled. iproekt.-konstrukt. instituta elektrovozostroeniya [Bulletin of All-Russian Scientific Research and Design Institute of Electric Locomotive Building], 2009, no. 1, pp. 132-143.

7. Fleury A., Silveira A. W. F. V., Rissatti M. F., Nadler V. B. V., Borges L. S., Pedroza A. R., Rocha R. & Oliveira J. I. Experimental measurement and analysis of the self and mutual inductances in two different switched reluctance machines. International conference on Renewable Energies and Power Quality (ICREPQ'10), Granada (Spain), 2010, pp. 1202-1207.

8. Feyzi R. M., Ebrahimi Y. & Zeinali M. Direct torque control of 5-phase 10/8 switched reluctance motor by using fuzzy method. International Journal of Engineering and Technology, 2009, no. 3 (1), pp. 205-214.

9. Alrifai M., Zribi M., Krishnan R. & Rayan M. Nonlinear speed control of switched reluctance motor drives taking into account mutual inductance. Hindawi Publishing Corporation Journal of Control Science and Engineering Volume, 2008, pp. 1-11.

10. Han-Kyung Bae. Control of switched reluctance motors considering mutual inductance. Dis. for the degree of Doctor of Philosophy. Blacksburg, Virginia, Virginia Polytechnic Institute Publ., 2000, 140 p.

11. Liu Y. Improved torque performance of switched reluctance machines by reducing the mutual saturation effect. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2004, no. 2 (19), pp. 251-257.

12. Grebennikov N. V. Vliyaniye izmeneniya chisla faz podvagonnogo ventilno-induktornogo generator na ego ekspluatatsionniye kharakteristiky pry neizmennoy konfiguratsii statora [Influence of the change in the number of phases of under-carriage switched reluctance generator on its performance characteristics with the stator configuration unchanged]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Elektromekhanika [Proceedings of higher educational institutions. Electromechanics\. YuRGTU

13. Widmer J. D., Martin R., Spargo C. M., Me-crow B. C. & Celik T. Winding configurations for a six phase switched reluctance machine. XXth International conference on Electrical Machines (ICEM), 2012, pp. 532-538.

14. Grebennikov N., Talakhadze T. & Kashuba A. Equivalent magnetic circuit for Switched Reluctance Motor with Strong Mutual Coupling between phases. 2019 The 26th International Workshop on Electric Drives: Improvement in Efficiency of Electric Drives (IWED). Moscow, Russia, 2019, pp. 1-5.

15. Mathworks. Available at: www.mathworks. com (accessed: 21.04.2019).

16. Finite Element Method Magnetics. Available at: www.femm.info (accessed: 21.04.2019).

Received: April 22, 2019 Accepted: April 26, 2019

Author's information:

Nikolay V. GREBENNIKOV - PhD in Engineering, Associate Professor, grebennikovnv@mail.ru