Хаос и скейлинг магистральной трещины

УДК 539.374.1, 422.2

Хаос и скейлинг магистральной трещины

А.М. Авдеенко

Московский институт стали и сплавов (Технологический университет), Москва, 119934, Россия

Предложены модель возникновения и параметризация хаотического режима развития профиля поверхности магистральной трещины. Параметры хаоса позволяют прогнозировать прочностные свойства структуры и могут быть использованы при построении содержательной теории разрушения.

Ключевые слова: разрушение, скейлинг, хаос

Chaos and scaling of the main crack

A.M. Avdeenko

Moscow Institute of Steel and Alloys (State Technological University), Moscow, 119934, Russia

We propose a generation model for the main crack surface profile and parameterization of the chaotic regime of crack development. Chaos parameters allow predicting strength properties and can be used for the informal theory of fracture.

Keywords: fracture, scaling, chaos

1. Введение

Содержательная теория прочности требует предсказания условий и энергетических параметров разрушения по структуре, диаграмме деформации, напряженному состоянию. Несмотря на определенные успехи, достигнутые в этом направлении, создание теории далеко от завершения: процесс реализуется в сильно нелинейной и неоднородной среде с расходимостями флуктуаций полей деформации [1-3] и вырождением размерности — от почти изотропного зарождения микротрещин на дефектах структуры до вырожденного (d - 1 ^мерного, анизотропного распространения магистральной трещины.

Информативность экспериментальных исследований механизмов разрушения неочевидна: при анализе зарождения и развития локальных повреждений in situ, например методом акустической эмиссии, теряется пластическое раскрытие трещины, кроме того, результаты сильно зависят от алгоритма обработки сигнала, ориентации трещины, селекции реверберации и т.д.

При исследовании процесса разрушения post factum (тот или иной вариант статистического анализа поверх-

ности трещины) возникает принципиальная проблема: разрушение зарождается на дефектах структуры (порах, частицах второй фазы и т.д.) и развивается через практически изотропные мезокластеры, вырождаясь в магистральную трещину.

«Плохих» мест (областей зарождения) мало, основная доля поверхности излома — след магистральной трещины, которая распространяется с существенной перегрузкой перед фронтом со слабой структурной чувствительностью; статистика поверхности существенно «зашумлена» эффектами, не имеющими отношения к проблемам: структура - условия разрушения, структура - энергоемкость и т.д. Потому эффективность стандартных методов, основанных на статистическом анализе поверхности изломов (особенно на мезоуровне), сомнительна.

2. Модель магистральной трещины

В двумерном пространстве рассмотрим нагружаемое упругопластическое тело с трещиной, имеющей траекторию (хп, уп). Внешнее поле реализует одноосное растяжение а22 = а, атп = 0 (т, п Ф 2). Пусть зона

© Авдеенко А.М., 2008

пластического течения мала по сравнению с характерными размерами тела. Трещина, в среднем, реализует либо острый надрез, либо узкую полость, так что можно пренебречь энергией удаленного слоя с увеличением раскрытия трещины. Вне пластической зоны, т.е. на расстояниях все еще малых по сравнению со средними характерными размерами, напряжение определяется главным образом сингулярностями упругого решения. В рамках концепции Баренблата-Дагдейла [4] положим, что в пластической зоне действует сила сцепления с особенностями, компенсирующими особенности упругого решения. Отсюда непосредственно следует, что внутри пластической зоны вблизи вершины трещины симметрия поля напряжений совпадает с симметрией поля в упругом случае. Под симметрией поля в данном контексте понимается зависимость компонент поля напряжений от направления в локальной системе координат, связанной с поверхностью трещины (рис. 1).

Допущение о зигзагообразном движении трещины [5] требует дополнительного обоснования. Возможны две трактовки этого предположения. Во-первых, в реальном эксперименте наблюдаются лишь дискретные отсчеты профиля трещины. Степень дискретности определена экспериментальными возможностями — точностью определения координат, независимостью отсчетов и т.д. Задача исследователя — на основании ограниченной информации сделать заключение о механизме разрушения.

Другое обоснование допущения о зигзагообразном движении основано на том факте, что в действительности разрушение — движение двумерного многообразия (трещины) в трехмерном пространстве. Поверхность трещины — поле, заданное над двумерным пространством, уравнения эволюции поля нелинейны; в основе нелинейности — самодействие трещины (в простейшем случае трещина не движется назад из-за самоэкрани-рования) и нелинейность среды распространения, в частности, нелинейность зависимости напряжение-деформация.

Рис. 1. Эволюция магистральной трещины: (хп, уп) — координаты вершины п, ап, ап+1,— ориентации звеньев, заштрихована пластическая зона, пунктиром указано направление последующего шага трещины. Одноосное растяжение вдоль оси у

Наконец, в пользу зигзагообразного движения трещины в мезомасштабе свидетельствуют соображения, высказанные академиком В.Е. Паниным [б], о наследовании мезотрещиной неоднородностей полей внутренних напряжений.

Пусть критерий локального разрушения — возникновения (n + 1)-го звена — соответствует некоторой комбинации максимального растягивающего и касательного напряжений, т.е. шаг будет осуществляться в направлении в n = ЭД(а „) +(1 -£)в 2(а n)-

Величина £, в дальнейшем называемая параметром мезовязкости, изменяется в интервале О < £ < 1, угол в1 (а n) соответствует максимальному касательному напряжению, в2 (а n) — нормальному перед фронтом звена, ориентированного под углом аn во внешнем поле (рис. 1).

Если касательное напряжение в локальной системе a rp = kJ(24t )(cos2 а sin в-

- cos а sin а - 3 cos(e -1)) cos(e/2),

то угол в1(аn) определяется из условия ЭаГр/Эв = О и соответственно в2(а n) — из условия a rp = О.

Первое соотношение дает кубическое уравнение относительно tgв^2, решение которого, соответствующее максимальной по абсолютному значению величине касательного напряжения, может быть представлено в тригонометрической форме:

2

в1(аn ) = -2arctg

Зtgа

x cos

arccos((1 + 9tg2аn )(1 + ^Stg2аn) 32) + n

-1

Соответствующее решение для в2(аn) имеет вид:

в 2 (а n) = -arctg

^аn

1 - tg аn

Из геометрических соображений непосредственно следует связь между предшествующей и последующей ориентациями звеньев ломаной, аппроксимирующей магистральную трещину:

а

n+1

= f (аn , 4)>

где f (ап, £) = ^Р](ап ) + (1 2(ап ).

Без ограничения общности положим, что трещина распространяется в направлении [0,^), для всех п справедливо |а п| < тс/ 2.

Зависимость в1(ап) монотонно возрастает в интервалах [—п/2,0) и(0, П2] и испытывает скачок 4аг^(1/л/2) при а п = 0:

Нт Р1(ап) = ±0,

а—— ± л/ 2

lim р1(ап) = ±(—2агс1§(1/л/2)).

а—±0

x

Рис. 2. Логистическое отображение, связывающее последовательные звенья ломаной, аппроксимирующей магистральную трещину. £ = 0.75

Зависимость в2 (ап) непрерывно и монотонно убывает в интервале [—П2, П2],

Нш Р,(ап) = ±(—2аг^(1/л/2)),

а—±П/ 2

Нш в1(ап) = 0.

а—± 0

Характерный вид зависимости представлен на рис. 2.

Пусть а к — г‘-я неподвижная точка ^-кратного отображения; /к(а, £) = /(/.../(а,£)) — решение уравнения ак = /к(ак, £). Цикл кратности k устойчив, если мультипликатор

Lк (£) = П

I =1

У

ёа,

<1,

и неустойчив в противном случае. При любом £ > 0 отображение (1) разрывно в а = 0, двукратный цикл а п+2 = f (f (а п, £)) имеет неподвижную точку а12 =

: У2

п+2

—а

22

или а22 = у(а,2, £).

Этот цикл устойчив, если |ёУ(а12, £)/ёа12| < 1, что совместно с (1) дает систему

2а12 + £р1 (а12) + (1 — £)Р 2 (а12) = 0,

£в/

где символ ' означает дифференцирование по а.

Рис. 3. Зависимость амплитуды цикла периода 2 от параметра мезо-вязкости в области его устойчивости £ < £1

Численное решение (2) позволяет получить зависимость амплитуды угла двукратного цикла от параметра мезовязкости £ в области его устойчивости. Соответствующие результаты представлены на рис. 3.

Критическое значение параметра £ = £1 = 0.487.... При £>£1 двукратный цикл теряет устойчивость — возникают циклы высших порядков.

Пусть х+ > 0 — малое отклонение от неподвижной точки а12, в результате однократного отображения эта точка переходит в малую окрестность х+ неподвижной точки а 22 и при повторном отображении превращается в точку х— > 0 вблизи а12. Тогда

у

ёа

12

1 ё2 у 2 /

---------2- х + + ...= х+,

2

2 ёа

у

ёа

22

12

1 ё2 у /2

_^_х+2 + ...=

2 ёа

22

Отсюда х± = А(£) хт + В(£) х| +..., где

а(£) =—-У У;

ёа12 ёа 22

в ©=^

2 ёа

22

ё2У ёа

22

ёа1

2

2

Ограничимся отклонениями ^ (х±), тогда непосредственно из соотношения (3) получаем:

= — 1 + А

х± =

в

= —

2В

Переход между точками х+ ^ х— окрестности а12 (а22) — цикл порядка 4. Поскольку А < 0, то условие существования цикла (действительности х±) А с (—^, 1], его мультипликатор

Ь, (£) = | А(£) + 2 В (£) х +|| А(£) + 2 В (£) х— | или, учитывая соотношение (4),

Ь,(£) = — А2 (£) + 2 А(£) + 4.

Граница устойчивости цикла 4:

ь,(£)=1

или

А(£ 2) = 1 — Тб =

У(а, £2) ёа

2

отсюда £ 2 = 0.561....

Аналогично исследуются условия существования и устойчивость циклов высших порядков.

Для оценки критической мезовязкости £с, ведущей к хаотическому поведению системы (1), воспользуемся моделью Фейгенбаума [7], в соответствии с которой гра-

х + +

+

х+ + х

ница хаоса соответствует потере устойчивости всех четных циклов.

Пусть цикл порядка 2п потерял устойчивость при Ап (£), тогда возникший цикл порядка 2п+1 неустойчив, если А„+,(£) = — а1 (£) + 2 Ап (£) + 4.

Неподвижная точка этого соотношения — решение уравнения Ас (£) = — Ас2 (£) + 2 Ас (£) + 4 — равна Ас = = (—1 + д/17")/2. Отсюда критическая мезовязкость хао-тизации системы

4/*(а> £/л/17 — 1

или £с = 0.587....

ёа V 2

При £>£с отображение (1) реализует хаотическую траекторию, внутри области |ап \ <ашах(£) все точки неустойчивы, отсутствуют периодические и квази-периодические траектории, иными словами, область |ап| <ашах (£) — странный аттрактор динамической системы (1).

Объем странного аттрактора—величина а шах (£) — параметризуется мезовязкостью £. Фазовые траектории заполняют странный аттрактор всюду плотно — возможен переход к статистическому описанию системы.

Учитывая определение (1), имеем выражения для среднего модуля угла наклона звеньев магистральной трещины и его дисперсии:

(а):

1

а

шах

0

:£аг^(1/Т2),

(а2 )=-

1

а

~шах л .

[ а2ёа = — £2агс^2 (1/л/2). 3

0 3

Для т-кратного цикла при £ > £с малый интервал ёа превращается в величину ёат. Естественно отождествить величину Ьт (£) = ёат / ёа с парной корреляционной функцией флуктуаций углов R2(rm ) = Ьт (£),

— хп = 1. Вблизи £с для т >>1

где

= 2 т

хп+1

Ьт (£) = (—Ас )т = (—Ас )1пГ,т11п2> отсюда Я2 (Гт ) : где d—корреляционная размерность флуктуаций углов в прямом пространстве.

В реальных экспериментах степенные асимптотики для вязких сред £ ~ 1 не наблюдаются, однако параметры (а) и (а2) могут быть непосредственно измерены и, используя их, можно сделать заключение о параметрах мезовязкости разрушения и его механизме.

3. Эксперимент

Экспериментальная проверка полученных результатов осуществлялась путем исследования статистических характеристик поверхности магистральной трещины стандартных ударных образцов из стали 45 (нормализация при 850 °С). Испытания проводились в интервале температур от 77 до 298 К.

Съемка рельефа осуществлялась на дне макрохруп-кого квадрата вдоль трех линий в направлении распространения магистральной трещины методом сканирую-

Рис. 4. Мезовязкость рельефа поверхности магистральной трещины в зависимости от температуры испытания, сталь 45, нормализация при 850 °С

щей лазерной профилометрии с минимальным шагом А шп = 10 мкм (точность измерения рельефа по трем координатам ±2.5 мкм).

Поскольку фундаментальный масштаб заранее неизвестен, вычисляли средний модуль угла профиля и его дисперсию с различными шагами сглаживания

АшШ2* и = 0, 1, 9).

Пространственный масштаб, соответствующий максимуму дисперсии, считали фундаментальным (область странного аттрактора) и, используя соотношения (5), усреднением по трем линиям определяли параметр ме-зовязкости в зависимости от температуры испытания. Соответствующие результаты приведены на рис. 4.

Рост температуры испытания от 77 до 298 К сопровождается значимым увеличением параметра £ от 0.65 до 0.85.

Соответствующие углы (фундаментальный масштаб ~ 20 мкм) увеличиваются от 22°-23 ° при 77 К до 31°-33° при 298 К, причем во всех случаях система находится в области странного аттрактора. Минимальное (в точке £0 = 0.587...) и максимальное (в точке £ = 1) значение среднего модуля угла согласно (5) составляет 20.7 ° и 35.3° соответственно.

Иными словами, предложенный алгоритм чувствителен к реальным процессам перехода от вязкого (более энергоемкого) к хрупкому (менее энергоемкому) разрушению и может быть использован при построении адекватной теории прочности.

Модель не дает ответа на вопрос, каким образом можно оценить энергетические параметры разрушения, например 7-интеграл и т.д., а лишь указывает направления анализа статистик изломов в мезомасштабах, а именно, необходимость и возможность параметризации хаотических колебаний профиля магистральной трещины.

4. Выводы

Предложена простейшая модель эволюции магистральной трещины в зависимости от локального меха-

низма разрушения. Определены условия существования и границы различных, в частности хаотических, режимов развития системы.

Введено понятие мезовязкости системы — величины, определяющей режим эволюции системы и параметры странного аттрактора, соответствующего магистральной трещине. Уровень мезовязкости может быть оценен из статистических характеристик рельефа поверхности разрушения.

Литература

1. Штремелъ М.А. Нелокальные взаимодействия многих трещин // ФММ. - 2001. - Т. 91. - № 3. - С. 9-16.

2. Авдеенко А.М. Неустойчивость пластической деформации и разру-

шение. Диаграмма деформации неоднородных сред // ПМТФ. -2000. - Т. 41. - № 6. - С. 41-46.

3. Avdeenko A.M., Kuzko E.I. Instability of plastic deformation as selforganizing fractal // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 61. - P. 064103-1064103-6.

4. Разрушение. Математические основы теории разрушения / Под ред. А.Ю. Ишлинского. - М.: Мир, 1975. - 763 с.

5. Авдеенко А.М., Кудря А.В., Сухова В.А. Асимптотики неплоской трещины // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 2. - С. 43-47.

6. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. Т. 1 / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -298 с.

7. Мун Ф. Хаотические колебания. - М.: Мир, 1990. - 312 с.

Поступила в редакцию 21.12.2006 г., окончательный вариант — 19.06.2008 г.

Сведения об авторе

Авдеенко Алексей Михайлович, д.ф.-м.н., профессор кафедры металловедения и физики прочности Московского института стали и сплавов, aleksei-avdeenko@mail.ru