О рёберной интервальной Д-раскраске

В [1] обсуждалась следующая задача: для данного связного графа G найти цепь с минимальным возможным числом ребер p(G), фактор-графом которой является граф G.

Теорема 2. Пусть G — связный граф. Тогда p(G) = m + l — k, где m — количество ребер графа G; l — количество ребер в минимальном цепном паросочетании на множестве нечётных вершин графа G; k — максимальная из длин цепей в таких паро-сочетаниях.

Подробное изложение представленных результатов можно найти в [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Карманова Е. О. О конгруэнциях цепей // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 96-100.

2. Карманова Е. О. Конгруэнции цепей: некоторые комбинаторные свойства // Прикладная дискретная математика. 2012. №2(12). С. 86-89.

УДК 519.17

О РЁБЕРНОЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ Д-РАСКРАСКЕ1

А. М. Магомедов

Входные данные к расписанию обработки устройств — заданий множества X — в системе устройств-процессоров Y представлены двудольным графом G = (X, Y, E), где ребро (x,y) присутствует в множестве E тогда и только тогда, когда процессору у запланирована операция над заданием х.

Расписание работы устройств будем называть непрерывным, если каждое устройство работает без простоев с момента его включения до выключения.

Пусть n — число вершин, Д — наибольшая степень вершины графа G (Д служит нижней границей для длин непрерывных расписаний). Известно, что задача о существовании непрерывного расписания NP-полна (как и задача о существовании непрерывного расписания длины Д); в ряде источников она формулируется как задача об интервальной рёберной раскраске [1,2].

Двудольные графы G = (X, Y, E) с небольшими значениями Д и n, не допускающие интервальной раскраски, были построены следующими авторами: С. В. Севастьяновым (Д = 21, n = 28), M. Malafiejcki (Д = 15, n = 19), A. Hertz (Д =14, n = 23), D. de Werra (Д = 14, n = 21), P. Erdos (Д =13, n = 27). Отметим, что ни один из этих графов не является бирегулярным.

Построен пример (6, 3)-бирегулярного графа с n = 33, не обладающего интервальной рёберной раскраской в 6 цветов (в [3] доказана NP-полнота задачи об интервальной раскрашиваемости (6, 3)-бирегулярного графа шестью цветами).

Теорема 1. Задача об интервальной рёберной раскраске Д цветами остается NP-полной и для двудольных мультиграфов G = (X, Y, E) с |Х| = 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Асратян А. С., Камалян Р. Р. Интервальные раскраски рёбер мультиграфа // Прикладная математика. 1987. Вып. 5. Ереван: Изд-во Ереван. ун-та. С. 25-34.

2. Севастьянов С. В. Об интервальной раскрашиваемости рёбер двудольного графа // Методы дискретного анализа. 1990. Т. 50. С. 61-72.

3. Asratian A. S. and Casselgren C. J. Some results on interval edge colorings of (a, ß)-biregular

bipartite graphs. Linköping, Sweden: Linköpingsuniversitet, 2006.

УДК 519.1

СХЕМА ВЫДЕЛЕНИЯ ПАРОСОЧЕТАНИЙ1

Т. А. Магомедов

В [1, с. 165] приведены следующие достаточные условия существования в двудольном графе G = (X, Y, E) полного паросочетания множества X с множеством Y :

min dox ^ max doy.

xex yev y w

Необходимые и достаточные условия сформулированы в известной теореме Холла [1, с. 164].

Теорема 1. Для существования в двудольном графе G = (X, Y, E) полного паро-сочетания множества X с множеством Y достаточно выполнение условий

V(x, y) Є E (dox ^ doy), которые в дальнейшем будем называть «условиями доминирования».

Определение 1. Пусть граф G = (X, Y, E) удовлетворяет условиям доминирования. Если после удаления из E некоторого паросочетания условия доминирования выполняются, то данное удаление назовём сохраняющим.

Определение 2. Разбиение множества рёбер E графа G = (X, Y, E) на последовательность A, B, C,... из A паросочетаний называется непрерывным, если любое ребро, инцидентное вершине x Є X, включено в одно из первых dox паросочетаний данной последовательности.

Теорема 2. Пусть граф Gi = (Xi,Yi,Ei) удовлетворяет условиям доминирования; Gi = (X1,Yj,Ei) —граф, полученный удалением из графа Gi-1 = (X1, Y—1, Ei-1) минимального паросочетания Mi-1, насыщающего все вершины наибольшей степени в Gi-1, i = 2,... , A. Тогда

1) каждое из этих удалений является сохраняющим;

2) Мд = Ea является полным паросочетанием множества X1 с множеством Y1 в G1 ;

3) последовательность Мд,...,М1 представляет непрерывное разбиение множества E1 на A паросочетаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.

УДК 519.17

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА ОСТОВНОГО ДЕРЕВА МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА НА ПРЕДФРАКТАЛЬНОМ ГРАФЕ

Л. И. Сенникова А., А. Кочкаров

В работе предлагается описание параллельного алгоритма R поиска остовного дерева минимального веса (ОДМВ) [1] на предфрактальном графе [2, 3].