Создание спиральной траектории инструмента с заданной высотой гребешка для инкрементальной формовки листового металла

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК004.925.8

СОЗДАНИЕ СПИРАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ ИНСТРУМЕНТА С ЗАДАННОЙ ВЫСОТОЙ ГРЕБЕШКА ДЛЯ ИНКРЕМЕНТАЛЬНОЙ ФОРМОВКИ ЛИСТОВОГО МЕТАЛЛА

CREATING A SPIRAL TRAJECTORY OF A TOOL WITH A LOADED HEIGHT FOR INCREMENTAL SHEET FORMING METAL

Т. В. Аюшеев, Р. Н. Булычев

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, г. Улан-Удэ, Россия

Аннотация. Предложен метод построения спиральной траектории движения инструмента с заданной высотой гребешка для инкрементальной формовки листового металла на оборудовании с ЧПУ. Данный метод основан на введении локальной полугеодезической системы координат на теоретической поверхности изделия. На основе построения однопараметрического множества сфер инструмента, касающейся геодезической линии между двумя краями теоретической поверхности, обсуждается метод расчета интервала спиральной траектории инструмента с заданной высотой гребешка. Рассматривается алгоритм генерации спиральной траектории инструмента для листовых деталей с одним и двумя краями. Изучение примера показывает, что предложенный метод может автоматически генерировать гладкую и непрерывную спиральную траекторию инструмента с заданной высотой гребешка и радиусом инструмента.

Ключевые слова: инкрементальная формовка, спиральная траектория инструмента, высота гребешка, полугеодезическая система координат.

В металлообрабатывающем производстве широкое применение находят многокоординатные роботы и станки с программным управлением. Применение такого оборудования открывает новые возможности их использования в обработке металлов давлением, в том числе в области локального деформирования тонкостенных заготовок способом инкрементальной формовки [1-3].

В настоящей работе рассматривается один из таких способов обработки для изготовления неосесимметрич-ных деталей из листовой заготовки (рис. 1).

T. V. Ayusheev, R. N. Bulychev

East Siberia State University of Technology and Management, Ulan-Ude, Russia

DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-249-255

I. Введение

5

4

3

Рис. 1. Схема инкрементальной формовки листовой заготовки: 1 - заготовка; 2 - формообразующий инструмент; 3 - станина; 4 - прижим; 5 - траектория движения формообразующего инструмента

Согласно данному способу, листовую заготовку 1 закрепляют по периферии на станине 3 станка с помощью прижима 4. Путем постепенного осевого внедрения заданному замкнутому контуру и под воздействием рабочей части сферической поверхности законцовки формирует поверхность постепенно из плоской заготовки до требуемой формы изделия. При движении формообразующего инструмента по замкнутому контуру образуется поверхность слоя в результате осаживания листовой заготовки. При этом получаемые промежуточные поверхности слоев плавно меняются свою конфигурацию от одной граничной поверхности до другой (рис. 2). Количество слоев зависит от требуемой точности получения теоретического контура изделия.

Рис. 2. Схематичное изображение поперечного разреза процесса инкрементального формования листовой заготовки: 1 - начальная конфигурация заготовки; 2 - формообразующий инструмент; 3 - прижим; 4 -станина;

5 - промежуточная конфигурация заготовки; 6 - конечная конфигурация заготовки

При расчете траектории движения формообразующего инструмента станка существуют два подхода: по замкнутому контуру и по спиральной линии. В первом подходе траектория движения формообразующего инструмента направлена по замкнутому контуру каждого слоя, вдоль одной из текущих координатных линий на поверхности (рис. 3а).

а б

Рис. 3. Траектория движения формообразующего инструмента при инкрементальном формовании:

а - по замкнутому контуру; б - по спирали

При таком подходе формообразующий инструмент оставляет заметный след на участке перехода от одного слоя до другого на поверхности, что снижает качество изготовления изделия. В некоторых случаях такой подход является неприемлемым. Во втором подходе траектория движения формообразующего инструмента направлена по спиральной линии на поверхности (рис. 3б). В этом случае траектория движения формообразующего инструмента получается непрерывной и дает гладкую поверхность. Для их математического описания используются текущие координатные линии, направленные в поперечном и продольном направлении, которые определяют каркас, разбивая поверхность на некоторую совокупность криволинейных четырехугольников -порций. Существенным недостатком этого метода является невозможность получения гладкой поверхности в том случае, когда противоположные границы порции имеют различные параметрические длины. В таких ситуациях данный метод описания дает поверхность с нежелательными плоскими областями или колебаниями. Чтобы этого избежать, необходимо провести предварительное преобразование исходного каркаса с целью получения равномерного разбиения. Это часто ведет к существенному возрастанию объема перерабатываемой информации.

В статье описывается новый метод построения уравнения траектории движения формообразующего инструмента для любой непрямоугольной области. Кривую можно строить по заданному каркасу, не преобразуя его и не размножая информации о нем.

II. Постановка задачи

В нашем случае известна форма поверхности моделируемого объекта. Построена необходимая сетка из продольных и поперечных кривых, определяющая каркас поверхности. Пусть на поверхности задана базовая кривая, относительно которой требуется построить локальную сеть полугеодезической системы координат. В этой системе координат однопараметрическое семейство геодезических должно быть направлено ортогонально к однопараметрическому семейству кривых, построенных вдоль базовой линии. Построенная ортогональная сеть будет служить основой для расчета траектории движения сферического формообразующего инструмента на заданном расстоянии от базовой линии. Необходимо построить траекторию движения формообразующего инструмента по замкнутому контуру и по спиральной линии на поверхности.

III. Теория

1. Построение кривой движения инструмента на поверхности

Уравнение поверхности представим в параметрическом виде

r = r

где параметры u и v изменяются в некоторой замкнутой области Q на плоскости координат u и v, а x, y, z -фиксированная в пространстве система декартовых координат, неподвижная относительно поверхности.

В качестве базовой кривой примем верхний край поверхности. Базовую кривую также представим в параметрическом виде:

r (t ) = r(u6 (t ), v6 (t ))={x(u6 (t ), v6 (t)), y(u6 (t), v6 (t)), z(u6 (t), v6 (t))}, где известные функции u6 (t), v6 (t) задают изменения параметров u и v на поверхности вдоль этой кривой:

u = иб (t), v = ve (t), *о ^ * ^ *k

Чтобы построить кривую движения сферического инструмента относительно базовой кривой, возьмем на этой кривой произвольную точку М. Проведем через нее на поверхности геодезическую линию перпендикулярно к базовой кривой. Пусть M является точкой пересечения геодезической линии с нижним краем поверхности. Обозначим 5 длину отрезка геодезической кривой MM (рис. 4). Если перемещать точку M = M(t) вдоль базовой кривой, меняя при этом длину отрезка MM перпендикулярно к базовой кривой, то

точка M = M(t,5(t)) также будет перемещаться на поверхности, описывая кривую, траекторию движения инструмента.

Рис. 4. Кривая движения инструмента относительно базовой кривой: 1 - поверхность листовой детали; 2 - базовая кривая; 3 - геодезическая линия; 4 - кривая движения инструмента

Таким образом, можно построить кривую движения сферического инструмента относительной базовой линии, состоящей из однопараметрического множества геодезических линий, образующих ортогональную сеть с базовой линией.

Чтобы получить произвольную точку кривой движения инструмента, рассмотрим произвольную точку М (х(иб (), Уб ()), у(иб (), Уб ()), 1{иб (), Уб ())) базовой кривой г = Гб ). Пусть s - параметр длины отрезка кривой вдоль геодезической, перпендикулярной базовой кривой, проходящей через точку М и откладываемой от этой точки, а и = иг (^), V = V г (5) - функции, задающие эту геодезическую на поверхности, которая имеет тогда следующее параметрическое уравнение:

Гг )= Г(иг (4 V ))-

Очевидно, что при 5 = 0 получается точка М, при 5 > 0 отрезок геодезической линии откладывается по одну сторону от кривой движения, а при 5 < 0 - по другую.

Уравнения геодезической линии на поверхности имеют вид [4]:

d 2иг ds2 -Г.( ' duг ч ^ . )2 - 2г;2 duг ds dvг ds -Г2 2( 'dvг ч ^

d \ ds2 = -Г 2 ( , ds )2 - 2Г22 duг ds dvг ds -Г2^( dvг , ds

Здесь через Г., обозначены символы Кристоффеля.

у

Геодезическая должна проходить через точку М и должна быть перпендикулярна базовой кривой, т.е.

Гг

^Гг (0) йГб (г)) = 0

V

ds

dt

Эти равенства фактически представляют собой начальные условия для системы дифференциальных уравнений (2). В явном виде эти условия имеют вид:

иг

и

duг

ds

= +-

дv' dt

dГб

dt

ГдГ dгJtУ

dvг (0) (ди' dt ,

ds

л1еО -12

dr¿t) dt

Найдя решение иг ^ (^) системы уравнений (2), удовлетворяющие начальным условиям (3), и подставив в него значение 5 = 5(), получим уравнение кривой движения инструмента, соответствующей этому 5^), а именно:

щ

г, (t,5(t )) = Г(и, (t,5(t)), V, (t,5(t))).

2

2

и

и

Таким образом, построенная кривая позволяет описать процесс движения сферического инструмента на поверхности листового материала как упорядоченной совокупности однонаправленных траекторий, где каждая траектория направлена вдоль известной кривой на расстоянии ) относительно заданной базовой кривой. Это дает возможность учитывать изменение дифференциальных характеристик деформирования листового металла по ширине между верхним и нижним краями поверхности и делает ширину важным параметром этого процесса.

2. Определение плотности траекторий движения инструмента

Используя уравнения (2) и (3), можно построить геодезические линии перпендикулярно базовой линии. Чтобы построить на основе этих линий траекторию движения инструмента (4), требуется определение значения параметра ), который отслеживает «контурное расстояние» между двумя траекториями движения инструмента на поверхности. Для этого необходимо вычислить плотность траекторий движения инструмента между верхним и нижним краями поверхности. Плотность траекторий влияет на качество получаемой формы детали. Анализ исследований показал, что высота гребешка является основным фактором, влияющим на чистоту поверхности получаемой детали [6]. Высота гребешка не должна превышать максимально допустимую высоту шероховатости при локальном деформировании листовой поверхности.

Прежде чем перейти к определению плотности траекторий движения инструмента, рассмотрим алгоритм вычисления длины отрезка геодезической линии между двумя точками касания верхушки сферической закон-цовки инструмента на этой линии при заданной высоте гребешка.

Пусть геодезическая линия | (з) на поверхности построена. Заданы начальная точка г0 касания верхушки

сферического инструмента на этой линии и высота гребешка h. Необходимо определить положение следующей точки ^ касания верхушки сферического инструмента и вычислить расстояние с/ между точками г0 и г,. (рис. 5).

Рис. 5. Определение длины d между точками г0 и г при заданной высоте гребешка h

сферическим инструментом

Так как верхушка сферического инструмента при движении касается геодезической линии, то центр сферы повторяет контур этой линии на расстоянии заданного радиуса сферы. Путь центра сферы будет совпадать с эквидистантой к данному контуру. Уравнение этой линии имеет вид:

где Г (з) = г(иг (4 V, (з)), п г (з) =

Гэ (з, Я) = | (4+ пг (5)Я,

дг(иг ), )) дг(иг ), (з)) ^

дг

дг

вектор главной нормали

к геодезической линии совпадает с вектором нормали к поверхности. Зная положение точки г0 = | (з0 ), каса-

х

ния верхушки сферического инструмента можно вычислить по формуле (1), центр сферы для этой точки, а именно Г = Г (^о, R • Множество точек, удаленных от геодезической линии на расстояние h, также определяем с помощью формулы (1). Положение точки rb пересечения сферы с центром ra и эквидистанты Гэ (s, h) можно вычислить, используя численный метод, например, метод Ньютона-Рафсона [5]. Аналогично определяется положение точки rc пересечения окружности с центром rb и эквидистанты гэ (s, R). Зная положение точки rc не трудно вычислить точку r касания сферы с центром rc с геодезической линией. Известные положения точек r0 и rj позволяют нам определить длину дуги d между двумя точками. Используя описанный алгоритм, можно вычислить количество точек на заданном интервале геодезической линии и расстояния между ними. Это дает возможность определить изменение плотности траекторий движения инструмента между верхним и нижним краями поверхности при заданных значениях высоты гребешка и радиуса. В частности, на данном участке

геодезической линии значение S(t) между двумя точками будет равно d.

Таким образом, можно будет контролировать максимальную высоту гребешка при расчете траектории движения инструмента с помощью параметра S(t). Высота гребешка h не будет превышать заданное значение,

если расстояние между двумя соседними траекториями всегда меньше, чем определенное значение S(t). Плотность, или число траекторий движения инструмента между верхним и нижним краями поверхности, может быть рассчитано с заданным максимальным расстоянием этих двух кривых.

IV. Результаты экспериментов

При выполнении вычислительного эксперимента рассматривалась листовая деталь, имеющая форму эллиптического конуса. Эллиптический конус имеет параметрическое задание в векторной форме:

r

где p - обобщенный полярный угол; p(z) = az + b - уравнение образующей линии поверхности; р - параметр, определяющий форму поперечного сечения поверхности, в нашем случае он равен 0,8. В частности, при р=1 получим круговой конус. В среде MathCAD была разработана подпрограмма для расчета траектории движения рабочего инструмента на поверхности эллиптического конуса. Результаты эксперимента показали корректность алгоритма построения траектории движения инструмента с использованием полугеодезической системы координат. На рис. 6 показана кривая движения инструмента при инкрементальном формовании. На участках более сильного изменения кривизны поверхности геодезическая линия в поперечном направлении от кривой движения инструмента существенно отклоняется от образующей линии поверхности. Этот факт влияет на длину линии в поперечном направлении. От длины этой линии зависит плотность построения траектории инструмента. На поверхности кругового конуса геодезическая линия совпадает с образующей линией поверхности. Данный алгоритм позволяет более точно строить траекторию движения инструмента по спиральной линии с заданной высотой гребешка на поверхности эллиптического конуса (рис. 7а).

Рис. 6. Расчет траектории движения инструмента с использованием полугеодезической системы координат на поверхности эллиптического конуса: 1 - кривая движения инструмента; 2 - геодезическая линия; 3 - образующая линия поверхности эллиптического цилиндра

По полученной траектории движения был получен эллиптический конус из листовой заготовки АМцМ толщиной 1 мм рис. 7б), потвердив работоспособность разработанного алгоритма.

б

Рис. 7. Результаты экспериментов: а - спиральная траектория движения рабочего инструмента на эллиптическом конусе; б - деталь, полученная по спиральной траектории

VI. Выводы и заключение

Предложенный метод построения спиральной траектории формообразующего инструмента при инкрементальной формовке листового материала позволит повысить качество поверхностей получаемых деталей, что существенно скажется на технико-экономических показателях данной технологии и привлекательности ее применения в единичном и мелкосерийном производстве.

Список литературы

1. Кривошеин В. А., Анцифиров А. А., Майстров Ю. В. Перспективы использования технологий инкрементальной формовки в современном производстве // Изв. высших учебных заведений. Машиностроение. 2014. № 11. C. 84-89.

2. Чумадин А. С., Батурин Д. А. Исследование процессов послойного деформирования листовых заготовок с использование фрезерного станка с ЧПУ // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2014. № 7. C. 29-32.

3. Чумадин А. С., Батурин Д. А. Новое в листовой штамповке // РИТМ Машиностроения. 2016. № 1. C. 20-22.

4. Голованов Н. Геометрическое моделирование. М.: Изд-во физико-математической литературы, 2002. 472 с.

5. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: пер. с англ. М.: Мир, 1982. 304 с.

6. Zhu H., Liu Z. , Fu J. Spiral tool-path generation with constant scallop height for sheet metal CNC incremental forming // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2011. Vol. 54, Issue 9-12. P. 911-919.