Интервальные прогнозы по параметрическим моделям жизненного цикла продукта

Проблемы экономики и менеджмента

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

УДК 330

Е.В. Семёнычев

канд. экон. наук, доцент, кафедра менеджмента, АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления»

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ПРОГНОЗЫ ПО ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТА

Аннотация. Статья посвящена проблеме построения интервальных прогнозов по нелинейным моделям динамики и предложены три варианта ее решения.

Ключевые слова: модели жизненного цикла продукта, доверительный интервал.

E.V. Semenychev, Cand. Sc. Economics, Assoc. Prof., Head of the Management Department of the Samara Academy of state and municipal management

THE INTERVAL FORECASTS FOR PARAMETRIC MODELS OF PRODUCT LIFE CYCLE

Abstract. The article is devoted to the construction of interval forecasts for the nonlinear model of the dynamics and offered three options for its solutions.

Keywords: models of the product life cycle, the confidence interval.

Точечный прогноз в экономике обладает существенно более низкой практической ценностью, в отличие от интервального, который задает определенный диапазон возможных значений моделируемого показателя с определенной степенью вероятности.

К сожалению, в настоящее время не существует математически корректного аппарата для определения ширины доверительного интервала для нелинейных функций сложной знакопеременной динамики (логистических функций, экспоненциальных функций, экспоненциальных полиномов, дробно-рациональных функций и других и их комбинаций), которыми могут быть описаны жизненные циклы продукта (ЖЦП) [3].

Проблема определения доверительных интервалов для таких функций является предметом отдельного научного исследования, а в рамках настоящей статьи обозначим лишь возможные варианты получения интервальных прогнозов для моделей ЖЦП:

1 способ. Для построения интервального прогноза по найденной модели можно воспользоваться следующим приемом, широко применяемым в планировании экономических показателей. Речь идет о разработке нескольких вариантов (сценариев) развития процесса - «пессимистического», «оптимистического» и «наиболее реального». Считая, что найденная модель наиболее адекватна реальному процессу, мы имеем аналитическое выражение, аппроксимирующее реальные значения с определенной (наименьшей) погрешностью. Можно предположить, что найденная таким образом модель

yi = f (i) является «наиболее реальной», и обозначить модельные значения, получен-

№ 1 (17) - 2013

73

Проблемы экономики и менеджмента

ные по этой модели, у° .

Если из соответствующих значений временного ряда реальных наблюдений y вычесть модельные значения у°, то полученные значения отклонений можно разделить на два множества: положительные и отрицательные отклонения.

Далее искусственно формируем два временных ряда:

- первый состоит из значений реальных наблюдений у( с «+» отклонениями £+ от найденной модели, а те значения, которые имеют «-» отклонения , искусственно заменяем в этих наблюдениях модельными значениями у° ;

- второй состоит из значений реальных наблюдений yt с «-» отклонениями

от найденной модели, а те значения, которые имеют «+» отклонения , искусственно заменяем в этих наблюдениях модельными значениями у° .

Используя значения первого искусственного временного ряда, определяем параметры идентичной по типу модели ЖЦП и получаем аналитическое выражение для так называемой оптимистичной модели у+ = f (i) . И наоборот, используя значения второго искусственного временного ряда, определяем параметры идентичной по типу модели ЖЦП и получаем аналитическое выражение для так называемой пессимистичной модели у- = f (i).

Таким образом, мы получим три идентичных по типу модели (рис. 1), определяющих некоторый диапазон реальных значений моделируемого ЖЦП. Интервальный прогноз (точнее, диапазон возможных значений) прогнозируемого показателя в момент времени i получается путем подставления значения i в оптимистичную и пессимистичную модели.

Очевидно, что чем «точнее» будет базовая «наиболее реальная» модель у( = f (i) (т.е. чем меньше диапазон случайных отклонений ), тем меньше ширина этого диапазона.

Очевидно, что для нелинейных моделей ЖЦП ширина интервала при таком способе его определения зависит от значения уровня временного ряда и может существенно варьироваться на временном интервале ЖЦП.

Отметим, что предложенный способ прост и применим к любым моделям ЖЦП. С его помощью возможно нахождение интервальных оценок моделируемого показателя, но таким способом невозможно получить характерную для классического понятия интервальных оценок зависимость ширины интервала от вероятности попадания в него оценок прогнозируемой величины.

2 способ. В [1] предложены выражения для расчета доверительных интервалов на базе ^-статистики для линейных (одномерных и многомерных) регрессий, а также трендов, описываемых квадратичной и кубической параболами. Также в [1] приведены

74

№ 1 (17) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

выражения для определения доверительных интервалов экспоненты, логарифмической параболы, модифицированной экспоненты, которые, однако, являются несимметричными относительно уравнения тренда (точечного прогноза) из-за используемого логарифмического преобразования исходной модели тренда.

Рисунок 1 - Иллюстрация возможности построения интервальных оценок

модели ЖЦП

В [1] приведены выражения для модели Хольта-Уинтерса с аддитивной и мультипликативной сезонностью, но отмечается, что доверительный интервал для всех моделей зависим от типа вхождения в модель сезонной и стохастической компоненты (аддитивного или мультипликативного).

Существенным недостатком для корректного использования ^-статистики для определения доверительных интервалов ЖЦП является использование коротких выборок для построения моделей ЖЦП, которые только и имеются в наличии у исследователя в большинстве случаев. При этом отсутствуют выражения для доверительных интервалов для сложных нелинейных функций, описывающих кривые ЖЦП.

3 способ. Интервальные оценки для аналитического выражения ЖЦП можно построить с помощью относительно простого метода «квантильной регрессии» [2], который позволяет осуществлять прогнозирование рядов динамики с различными значениями квантилей.

Медианная регрессия с квантилем «1/2» оценивает параметры моделей, исходя из минимума суммы модулей невязок, а сглаживание с квантилями «1/10» и «9/10» определяет границы риска или (по сути) доверительный интервал значений параметров и сглаженных значений определяемой переменной модели и прогноза. Таким образом, квантильная регрессия выступает как численное решение (при отсутствии аналитических решений) задачи определения параметров модели и их доверительных интервалов.

Отдельно отметим, что в настоящее время отсутствуют общепринятые методики построения доверительных интервалов для тренд-сезонных процессов, т. е. если мы

№ 1 (17) - 2013

75

Проблемы экономики и менеджмента

предполагаем модель ЖЦП с сезонной компонентой, то интервальные оценки тем или иным из указанных способов мы сможем получить только для трендовой компоненты, а учет сезонности для целей оперативного прогнозирования придется проводить отдельно. Это приведет к расширению доверительного интервала прогноза минимум на величину амплитуды сезонной компоненты для стратегического прогнозирования (уровень насыщения в ЖЦП и т.п.), а для целей оперативного прогнозирования (прогноз продаж в конкретный момент времени) корректно определить доверительный интервал не представляется возможным.

Таким образом, в статье обозначены проблемы построения доверительных интервалов для прогнозирования нелинейной динамики типа ЖЦП и предложены варианты их решения.

Список литературы:

1. Шелобаева И. С. Моделирование интервальных оценок при прогнозировании тренд-сезонных экономических процессов: дис. ... канд. экон. наук. М.: Заоч. финансово-экон. ин-т, 2003.

2. Koenker G. Regression Quantiles / Koenker G., Bassett Jr. // Econometrica. 1978. Vol. 46, № 1 (January).

3. Семенычев Е.В. Эконометрическое моделирование жизненного цикла продукта: монография. Самара: САГМУ, 2012. 148 с.

List of references:

1. Shelobaeva I. Simulation interval estimates in predicting seasonal trend of economic processes: Dis. ... candidate. econ. science. M. Correspondence Financial and Economic Institute, 2003.

2. Koenker G. Regression Quantiles / Koenker G., Bassett Jr. // Econometrica. 1978. Vol. 46, № 1 (January).

3. Semenychev E. Econometric modeling of the product life cycle: monograph. Samara: SAGMU, 2012. 148 p.

76

№ 1 (17) - 2013