Системное моделирование защитных действий на рынке долговых обязательств

© 2003 г. Я.Г. Бучаев

СИСТЕМНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩИТНЫХ ДЕЙСТВИЙ НА РЫНКЕ ДОЛГОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ

Последнее десятилетие отмечено многими инновациями на рынке ценных бумаг (секьюритизация, повышающая роль таких бумаг в кредитовании, появление акций с нестандартными свойствами и условиями, стриппированных облигаций, РЕПО-сделок, изощренных производных фондовых инструментов и свопов, торговли спрэдами и т.д.). Сейчас Россия осваивает то, что ранее не практиковалось или применялось в упрощенных формах (как трудовые акции и хозяйственные соглашения на какой-то срок).

Обусловлено это желанием нарастить прибыль от действий на фондовом рынке и обеспечить их безопасность. Отсюда разработка средств, повышающих, во-первых, эффективность рынка ценных бумаг (по нацеленности, стоимости и быстроте обеспечиваемого перетока сбережений), во-вторых, его универсальность (посильность предложения ликвидных ценных бумаг на все вкусы), а в-третьих, его устойчивость (способность компенсировать разнообразием форм фондовых инструментов и действий с ними свои расстройства из-за внешних возмущений, вызываемых внезапными для операторов посторонними событиями разного рода).

Эффективность и универсальность фондового рынка зависят от изменений его внешней среды [1, с. 59], но не напрямую, а как результат такой его гомеостатической реакции на них, которая органически ему присуща, подобно любой открытой саморегулируемой системе [2]. Проистекающий от этих изменений рост неопределенности итогов действий на рынке - признак недостатка у него и одной, и другой. Именно это подвигает к инновациям (на почве достижений активизируемого изнутри прогресса информационных технологий, математики, компьютеризации жизни).

Опытные инвесторы никогда не забывают о связанных с хеджированием вложений в облигации рисках. Действия с облигациями подвергаются им из-за ценовой волатильности этих активов, которая определяется купоном и сроком погашения, а оценивается дюрацией Маколея [3]. Уменьшить такие риски в индивидуальном порядке можно, комбинируя эти действия с фьючерсными или опционными позициями [4-7].

Облигационные фьючерсы заключаются на бирже, налагая на каждую сторону твердые обязательства по срокам и стоимости покупки (продажи) базового актива. Желающий осуществить (принять) его поставку до истечения срока действия такого контракта информирует биржу о готовности выполнить свои обязательства по нему, а ею выбирается лицо с противоположной позицией, которому сообщается о необходимости принять (поставить) соответствующие облигации.

Однако эти контракты обычно нацелены не на реальную поставку базового актива, а на страхование спотовых операций с ним от ценовых рисков посредством заключения фьючерсной сделки противоположной направленности и ее последующей ликвидации до даты истечения. При намерении поступить так инвестор должен занять оффсетную (зачетную) позицию (для продавца фьючерса это означает покупку, а для покупателя - продажу равного числа идентичных контрактов).

Базовыми активами таких фьючерсов, практикуемых в США, выступают казначейские дисконтные краткосрочные (Кбиллы) и купонные среднесрочные (Кноуты) или долгосрочные (Кбонды) облигации, а также - индекс цен первоклассных муниципальных облигаций [8, 1].

Фьючерс на Кбиллы имеет базовым активом 3-месячную облигацию номиналом 1 млн дол. В счет него может быть поставлена бумага такого рода, либо только что эмитированная, до погашения которой остается 13 недель, либо при том же условии из числа ранее выпущенных на более длительный срок. Котировочная цена такого контракта (Рі) определяется на индексной основе как Рі=100-Ус1100, а фактурная цена самого Кбилла по контракту (Рг) как Рґ = Б - Уаґ (1/360). где Б - цена фьючерсного контракта; I - количество дней, оставшихся до погашения облигации (обычно 91 день), вычитаемое в правой части - дисконт в денежном выражении. Тик Рі, т.е. ее минимальный сдвиг, для такого контракта - 0,01 - влечет коррекцию его доходности на 0,0001, что при I = 90 изменяет денежный дисконт, а следовательно, РГ на 25

ДОЛ.

Основой фьючерса на Кбонды может быть такая 20-летняя казначейская облигация с номиналом, кратным 100 тыс. дол., и купоном, дисконтируемым по доходности к погашению в 6 %, до погашения которой остается не менее 15 лет (если на облигацию имеется право отзыва, то она должна быть безот-зывна в течение этого срока от первого дня поставки). Тик цены данных фьючерсов 1/32 от 1 % (пункта), денежная стоимость которого при номинале 100 тыс. дол. равна 31,25 дол.

Биржа лимитирует отклонения фьючерсной цены текущего дня от котировочной предыдущего тремя-четырьмя с половиной пунктами на контракт. К поставке по нему допускаются обращающиеся на спотовом рынке облигации из специального списка. Он публикуется до начала торгового периода фьючерсами с определенной датой поставки вместе с действительными для этого периода факторами конверсии - коэффициентами приведения цен таких облигаций к сопоставимым условиям. Фактурная цена, которую покупатель должен заплатить продавцу при поставке Кбонда по фьючерсу, определяется как Рґ=(2Рс1к + рг, где О - размер контракта, Рс1 - цена поставки по нему, к -конверсионный фактор, рг - накопленные проценты.

Основа фьючерса на 10-летние Кноуты - гипотетическая 10-летняя 6%-я казначейская облигация номиналом 100 тыс. дол. По такому соглашению до-

пустима поставка нескольких выпусков с датами погашения не ранее 6,5 лет после ее первого месяца и такой же тик, как у контрактных цен Кбондов. По фьючерсам на 5-летние Кноуты может быть поставлен любой из торгуемых на последних аукционах, имеющий первоначальный срок действия не более пяти лет трех месяцев, до истечения которого по состоянию на первый рабочий день месяца поставки осталось не менее четырех лет двух месяцев. Тик цены - половина 1/32 пункта (15,625 дол. на контракт).

Теоретически цена фьючерсного контракта (Б) определяется как

Б=Р [1+Цг-с)],

где Р - спот цена облигации, г - ставка финансирования (кредитный процент), с - текущая доходность (купон, деленный на спот цену облигации), I - время в годах до дня поставки по фьючерсу. В зависимости от значения (г - с) как стоимости финансирования срочной позиции, теоретическая цена фьючерса может быть выше или ниже спот-цены, позволяя инвесторам извлекать арбитражную прибыль. Положительность (г - с) означает превышение текущих доходов над финансовыми затратами и продажу фьючерса с дисконтом (Р<Р), а отрицательность - обратную ситуацию и его продажу с премией (Р>Р).

Реальная фьючерсная цена отличается от теоретической. Причина тому -не учитываемые в (1): потоки, которые образуются купонными платежами и вариационной маржей; неэквивалентность ставок заимствования и кредитования; неопределенность объекта и момента поставки по контракту. В пределах публикуемого списка имеется право выбора такого объекта (опцион качества) и можно остановиться на облигации, которая с учетом ее чистой цены и накопленного процента обойдется дешевле всего. А поставить ее можно когда угодно в течение допустимого периода (временной опцион). Кроме того, поставщику доступен опцион дикой карты. Суть этого опциона в том, что поставщик наделен правом известить биржу о готовности выполнить свое обязательство не позднее 20.00, но на ней торговля самими облигациями заканчивается в 16.00, фьючерсами же на них в 15.15, а следовательно, можно при падении затем котировочной цены купить облигацию для поставки дешевле или отложить это на другой день (так что, покупателю до последнего момента неведомо, какая облигация и когда будет ему поставлена).

Верхнюю границу теоретической цены фьючерса без учета трансакционных издержек допустимо представить как Б = Р| 1+1 (гЬ - с)], а нижнюю - как Б = Р[1 + X (г1 - с)], где гЬ - ставка, по которой заем запрашивается, а г1 - та, по которой его предоставляют. Покупатель же облигации по контракту предпочитает в этих рамках цену, учитывающую преимущества поставщика от упомянутых опционов:

Р = Р[1 + Цг-с)]-2, г = Н + У + \¥, где Н - стоимость опциона качества, V- стоимость временного опциона, -стоимость опциона дикой карты.

Страхуясь посредством такого фьючерса от риска, инвестор обычно определяет сумму, в пределах которой готов терпеть убытки от непредвиденных сдвигов спотовых цен (допустим, 20 % в год). Методов точного приведения годового риска к риску на менее протяженных интервалах нет. Поэтому, выясняя его приемлемые размеры, опираются на статистику торгов соответствующими фьючерсами.

Если инвестор намеревается в будущем продать некоторые облигации (неважно - владеет ли уже ими или рассчитывает их получить), то во избежание излишнего риска он может хеджировать эту свою позицию продажей фьючерсного контракта на данные облигации, а если собирается в дальнейшем приобрести их, - его покупкой, с тем, чтобы в момент совершения намечаемой операции на спотовом рынке так же поступить на срочном и покрыть убытки от действий на одном прибылью, извлекаемой на другом. Выигрыши (потери) инвестора при этом характеризуются базисным риском, который связан с разницей между ценой-спот и фьючерсной ценой в такие моменты. Обычно он выше, когда хеджируется актив, для которого, как в случае с облигациями, не существует полного аналога фьючерса, и приходится пользоваться контрактом на родственный или приведенный актив. В отличие от прямого, это - кросс-хеджирование.

Цена сделки с облигациями при такой страховке (8) составит 8 = РС2 + (^ - ¥2) = РС1 + (РС2 - РСО + (^ - ¥& где РС | и РСг - цены-спот хеджируемых облигаций в моменты открытия и закрытия фьючерсной позиции; ?! и Р2 - фьючерсная цена в моменты, соответственно, заключения контракта и его закрытия. Общее число контрактов, которые необходимо открыть (]М) для хеджирования облигаций на сумму 8, определяется как

М=[8/

где Р - номинал фьючерса, СТО - цена облигации, самой дешевой для поставки по нему, К - фактор конверсии. Если К>1, то число фьючерсных позиций, открываемых для хеджирования спотовой, должно превышать ее размер, так как фьючерсная цена менее изменчива, чем спотовая, а иначе (К<1) - все наоборот. При страховании спотовой позиции по не самой дешевой облигации

М=[8/

Ка =

где О - дюрация Маколея, 8 - цена хеджируемой облигации, д - признак облигации, самой дешевой для поставки по контракту.

Допустим, инвестор намеревается на 1 млн дол. приобрести через три месяца самую дешевую облигацию ценой 110 % для поставки по фьючерсу на 6-процентный 20-летний Кбонд номиналом 100 тыс. дол. при коэффициенте конверсии 1,16. Опасаясь отпадения процентных ставок за это время, он определяет по (2), что необходимое для хеджирования будущей покупки число

контрактов округленно составит N = [1000000/ /(100000-1,1)] 1,16 =11. Если же он планирует купить для поставки по этому контракту не самую дешевую облигацию (с 8 = 115 % и Б = 14,8 против Бд = 12,2), то по (4) и (3) устанавливает, что Ка = (1,15-14,8)/ /(1,10-12,2)= 1,27 и N

[1000000/(100000-1,1)]-1,16-1,27 = 13,39, т.е. округленно 14 контрактов.

Избавление от ценовых рисков на рынке облигаций тем более успешно, чем ближе к минимуму время меяеду окончанием хеджа и поставкой по фьючерсу: желательно, чтобы тот завершался непосредственно перед ее месяцем. Вот почему инвестору важна высокая ликвидность используемого для страховки контракта, которая бы гарантировала возможность когда угодно закрыть срочную позицию, причем актуальность этого возрастает с истечением периода его действия.

Однако на рынке может сложиться ситуация, когда вовремя закрыть фьючерсную позицию не удается, а контрактные цены очень быстро растут (падают) и каждый день просрочки приносит новые потери, угрожая утратой всего вложенного капитала. Защититься от этого можно, купив фьючерс на одну облигацию и продав - на другую, что, хотя и уменьшает выигрыш при благоприятном изменении ценовой тенденции, ограничивает проигрыш в противном случае [9, 3, 6, 10]. Границы того и другого определяются размером спрэда доходностей облигаций, базовых для таких фьючерсов, которым также можно торговать. При открытии длинной или короткой позиции на зазор меяеду доходностями облигаций, имеющих разные сроки погашения, платится начальная маржа, а по итогам за день определяется вариационная: одна сторона сделки извлекает прибыль (покупатель, если спрэд растет, продавец - в противном случае), другая несет убытки (первый - в ситуации уменьшения, второй - увеличения спрэда).

Ограничивать риск, связанный с несвоевременным закрытием позиций по фьючерсам, способны и облигационные опционы на них, которые, будучи преимущественно американскими, наиболее ликвидны на фьючерсы по казначейским облигациям (существуют также опционы на спрэд). Подобный опцион колл дает право приобретшему его купить, а пут - продать другой стороне определенный облигационный фьючерс по конкретной цене исполнения в любое время до истечения срока действия договора. Премия за опцион - максимально-возможная потеря инвестора.

Поэтому к нему залоговые требования не предъявляются, а продавец опциона, принимающий на себя все риски, связанные с изменением позиции фьючерсного контракта, должен внести на счет биржи маржу, размером совпадающую с запрашиваемой по самим фьючерсам. Кроме того, на позицию продавца влияют фьючерсные цены и может возникнуть необходимость внесения им вариационной маржи по итогам перерасчета за торговый день.

Основой такого опциона в США выступает один фьючерс на Кбонд с определенным месяцем поставки и номиналом 100 тыс. дол. или кратным ему.

Цена опциона состоит из внутренней и временной стоимостей. Первой обладают только опционы с выигрышем. Эго - положительная разность между страйковой и текущей рыночной ценами базового актива. Вторая представляет собой сумму, на которую премия за опцион превышает его внутреннюю стоимость в глазах покупателя в связи с перспективой роста стоимости лежащих в основе этого контракта прав из-за изменений его рыночной доходности до срока истечения.

Тик этой цены - 1/64 пункта или 15,625 дол. на контракт. Биржа лимитирует суточные колебания цены фьючерсного опциона тремя пунктами выше или ниже его котировочной цены предыдущего дня. Страйковые цены устанавливаются с интервалом в два пункта. Сделки заключаются на март, июнь, сентябрь, декабрь и на ближайший месяц квартала, если тот не совпадает с каким-либо из них, а исполняются в текущий квартальный фьючерсный контракт (например, ноябрьский опцион - в декабрьскую фьючерсную позицию). Для опционов с выигрышем и без специальных указаний это делается автоматически. Торговля опционами прекращается за месяц до даты поставки по базовому фьючерсу (так, последний торговый день для декабрьских фьючерсных опционов на Кбонды - 17.11 того же года).

Аналогичны условия опционов, базовым активом которых выступает фьючерсный контракт Чикагской биржи на 10- или 5-летний Кноут, за исключением того, что их страйковые цены движутся в первом случае с интервалом в 3 пункта, а во втором - в один пункт.

Применительно к контрактам на процентные бумаги корректность модели теоретической цены опциона, предложенной Б леком и Шоулзом [6], сомнительна из-за несоответствия в данном случае некоторых ее предпосылок реальности. Это касается возможного превышения ценами Кбондов их максимальной стоимости и постоянства в течение жизни опциона краткосрочных процентных ставок, а также - изменения цены облигации, волатильность которой с приближением срока погашения уменьшается. Поэтому для определения цен таких опционов используется модифицированная модель Блека:

Рр = с1 г-|т "^.К-с12)-Рп

с12 = 1п

где Рс - цена коллопциона; Рр - цена путопциона; Р - форвардная цена базовой облигации (приравнивается к ее ожидаемой фьючерсной цене); 8 - страйковая цена; с - ценовая волатильность облигации (среднеквадратичное отклонение ежедневных изменений ее цены в расчетном году); г - безрисковая краткосрочная ставка финансирования; (Т - I) - время, оставшееся до даты исполнения опциона, в долях года; п(/) - стандартная функция нормального распределения.

Рассчитаем теоретическую цену майского фьючерсного опциона на Кбонд 11.04.02, имея в виду, что 8 = 96 дол., Р = 97 - 24 = 73,0 дол., г = 0,06, волатильность облигации - 10,21 %, т.е. с = 0,1021, до исполнения опциона (21.04.02) осталось 10 дней, а значит (Т - 1) = 10/365 = 0,027 года. Поэтому, согласно (7) и (8), с!а = 1,0790067, а с12 = 1,074562. Тогда п^) = 0,859717; п(с12) = 0,858725; п^) = 1 - п^) = 0,1402825; п(-с12) = = 1 - п(с12) = 0,141275 и из (5) следует, что Рс = 1,59714, а из (6) - что Рр = = 0,14997. Сравнение этих результатов с фактическими ценами опциона при тех же условиях показывает, что модель дает неплохое приближение к действительности, особенно если учесть непосредственную близость исполнения опциона к дате расчета.

Между Рс и Рр существует связь, которая при одинаковых страйковых ценах, сроках истечения и базовых активах колл и пут опционов выражается формулой пут-колл паритета:

Рр = Рс - Р + 8е

Для американских опционов из-за возможности их досрочного исполнения эта связь выглядит следующим образом:

Рр = Рс - Р + РУ

где РУ(8) и РУ(С) - текущие стоимости страйковой цены и купонных платежей. Согласно (9), в данном случае Рр = 0,3046, а значит, не исключено получение арбитражной прибыли. Формула пут-колл паритета позволяет сконструировать комбинированные позиции, которые по приносимой прибыли эквивалентны некой простой [6].

Происходящие изменения спотовых и фьючерсных цен базовых активов облигационных опционов влекут сдвиги и их цен, причем цены колл-опционов изменяются в том же направлении, а пут-опционов - в противоположном. Эго требует от инвесторов хеджировать свои позиции по опционам тоже, для чего можно прибегнуть к величинам Дс = АРС/АР, Др = = АРр/АР, каждая из которых показывает, в какой мере изменится цена опциона (соответственно, колл и пут) в течение короткого промежу тка времени при изменении цены базового актива на один пункт. Поскольку теоретически цена опциона не может увеличиваться или уменьшаться сильнее, чем стоимость базового актива, постольку 0 < Ас < 1,-1 < Ар < 0.

Стало быть, Ас и Ар указывают на количество, в котором должен быть куплен или продан базовый актив на каждую опционную позицию, чтобы наилучшим образом хеджировать движение цен опционов:

Дс = е

В рассматриваемом случае, согласно (11) и (12), Ас = 0,8583 или 85,83 %, а Ар = - 0,14005 или - 14,01 %. А значит, чтобы застраховать колл-опцион со страйком 96 от ценовых рисков, его держателю следует продать 86 фьючерсов на Кбонд (поскольку этот опцион подобен длинной позиции из 86 таких

контрактов), а чтобы хеджировать пут-опцион - купить 14 фьючерсов на Кбонд (ибо этот опцион подобен короткой позиции из 14 названных контрактов).

Однако так можно застраховаться только от небольших изменений цены базового актива. Для хеджирования более существенных сдвигов используется показатель у, характеризующий скорость, с которой относительно них изменяются Дс и Др:

ус = ур = |о2РС1|„|/(Р2о| = !Ы(с1,) С1 г|т 1Рол/т^-Т |.

N(4)= е(й2/2)/л/2^.

Чем значительнее у, тем весомей ценовой риск опциона, связанный с изменением рыночных условий, и все чаще необходим пересмотр страхующей его позиции ради нейтрализации Дс и Др. В примере, согласно этим выражениям, у = 0,137. Следовательно, при сдвиге цены облигационного фьючерсного контракта на один пункт Дс, как и Др, изменится в том же направлении на 0,137 единицы, что потребует адекватных корректив упомянутой позиции.

Скорость падения цены этого инструмента (в пунктах за день) по мере истечения срока его действия (0) при прочих равных условиях определяется из уравнения

0 = ДРс(р)/Д(Т-1),

причем высокое значение 0 свидетельствует о большом риске обесценения опциона с течением времени. В полностью раскрытом виде

0С = -гРе^-^й) + гёе^- п

В примере, согласно (13) и (14), 0С = 6,729 %, 0Р = 6,095 %. Значит, если текущая цена, скажем, коллопциона 1,597, то завтрашняя, вероятнее всего, (1 -0,06729)1,597= 1,5297.

Изменение волатильности базового актива опциона и на сами облигации, и фьючерсного так же отразится на его цене, В пунктах она при сдвиге той на один процент изменится следующим образом:

Ас = Ар = ДРс

Поскольку в примере, согласно (15), А=3,6097 %, постольку при увеличении волатильности облигационного фьючерса на 1 % коллопцион на него будет стоить 1,633, а при уменьшении - 1,561.

Цены таких инструментов изменяются и при колебаниях процента: в общем случае с ее ростом - уменьшаются соответственно уравнению Я1юС1|11 = -(Т - 1)Рс(р), а для облигационных фьючерсных опционов цена такого контракта на покупку увеличивается, контракта же на продажу - снижается. В примере Шюс = 0,04312, Шюр = -0,00405.

Эти показатели определяют требования к хеджированию опционных позиций по облигациям, их спрэдам или фьючерсным контрактам на них и позволяют изменять эти позиции так, чтобы застраховаться от риска, сопряженного с теми или иными возможными колебаниями цен.

Литература

1. Фондовые рынки США. М., 1992.

2. УемовА.И. Системный подход и общая теория систем. М., 1978.

3. Дефоссе Г. Фондовая биржа и фондовые операции. М., 1997.

4. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных фондовых инструментов. М., 1998.

5. Ковни Ш. де, ТаккиХ. Стратегия хеджирования. М., 1996.

6. Саркисян А.М. Производные фондовые инструменты. Хеджирование, спекуляция, арбитраж. М., 1998.

7. Финансовые фьючерсы / Сост. М.В. Кузнецов. М., 1993.

8. Рубцов Б.Б. Зарубежные фондовые рынки: инструменты, структура, механизм функционирования. М., 1996.

9. Гитман Л.Д., ДжонкМ.Д. Основы инвестирования. М., 1997.

10. Шарп У., Александер Г.Д., Бейли Д.В. Инвестиции. М.,1997.

Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации 11 июля 2003 г.