Влияние пластинчатых свойств тонкостенных стержней, смоделированных системой связанных пластин, на частоты и формы собственных колебаний

вестник 3/2014

УДК 624.04

С.В. Серёгин

ФГБОУ ВПО «КнАГТУ»

ВЛИЯНИЕ ПЛАСТИНЧАТЫХ СВОЙСТВ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ, СМОДЕЛИРОВАННЫХ СИСТЕМОЙ СВЯЗАННЫХ

ПЛАСТИН, НА ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Методом конечных элементов изучаются крутильные колебания тонкостенных стержней, смоделированных системой связанных пластин при различных геометрических характеристиках. Исследованы границы применимости стержневой теории В.З. Власова. Показано, что балочная идеализация может привести к погрешностям в динамических расчетах.

Ключевые слова: стержень, система связанных пластин, крутильные колебания, пластинчатые свойства, гибкость элементов, инерция полок, неравнополоч-ный двутавр.

Тонкостенные стержни широко применяются в строительстве и других отраслях техники. В конструкциях мостов, подкрановых балках, газодобывающих сооружениях, возведенных в водной среде, и других строениях, работающих в сложных условиях, встречаются случаи, когда ширина полок профиля больше высоты его стенки. Используемая в настоящее время стержневая аппроксимация тонкостенных стержней В.З. Власова при определении динамических характеристик основана на ряде допущений, которые не позволяют учесть его пластинчатые свойства. В настоящей работе выявлены случаи, ког -да пренебрежения, в частности, силами инерции, возникающими в стенке и полках профиля и допущения о недеформируемости в плоскости поперечного сечения профиля, могут привести к погрешностям при определении частот и форм собственных крутильных колебаний [1—16].

1. Экспериментальное моделирование крутильных колебаний осесимметрич-ного стержня методом конечные элементов (МКЭ). Исследуется двутавр, смоделированный системой связанных пластин со следующими геометрическими и механическими характеристиками: b/h = 0,5...1,75; h/ô = 60...120; l/h = 15, где b — ширина полки; h — высота стенки; S — толщина стенки и полки; l — длина стержня; E = 2 • 1011 Н/м2 — модуль Юнга; р = 7800 кг/м3 — массовая плотность.

Рис. 1 демонстрирует частоты и формы собственных крутильных колебаний тонкостенного стержня при b/h = 0,5 (первого и второго тонов), смоделированного системой пластин, при граничных условиях реализующих шарнирное закрепление его торцов.

На рис. 2 приведена безразмерная частота Q = Шмкэ , где юМКЭ — соб-

В

ственная частота, найденная МКЭ; шВ — частота по теоретической формуле В. З. Власова.

РЛнп ИМг1 PnLnn 3<Щ

Рис. 1. Частоты и формы крутильных колебаний при шарнирном закреплении по торцам

М

d

3

О*

ИЛ ВД» I 1-2Е, и- 135

ш

— • • Иу^т и ¡;ттп> --П|||{ь1Л м^ппи

~-1риич1(1Н1 ~-- ^г-ис-ч В ] ^

Рис. 2. Собственная частота

Видно, что при оценке низшей частоты формула В.З. Власова справедлива в случаях Ъ/Н < 1 и удовлетворительна в случае Ъ/Н = 1,25 (погрешность составляет порядка 4 %). В остальных случаях допущения балочной теории становятся существенными.

На рис. 3 представлено изменение безразмерной собственной крутильной частоты 0.п в зависимости от толщины полок двутавра. Сплошной линией, по-прежнему, обозначено решение по формуле В.З. Власова, штриховой линией — Ъ/Н = 0,5, точками обозначено Ъ/Н = 0,75, штрих-пунктирной линией — Ъ/Н = 1, а пунктирной линией с двумя точками — Ъ/Н = 1,25. В случаях, когда Ъ/Н < 0,75, уменьшение толщины профиля ведет к согласованию значений частот, вычисленных МКЭ и по формуле В.З. Власова. Когда же Ъ/Н > 0,75, наблюдается обратный эффект.

ВЕСТНИК

3/2014

•йЛЩЙИЛ

Рис. 3. Собственная частота

По-видимому, при некоторых отношениях Ъ/к (в нашем случае Ъ/к < 0,75), т.е. когда ширина полок не велика относительно высоты стенки, увеличение толщины профиля приводит к увеличению инерции его полок, вследствие чего рассогласование значений с решением В.З. Власова увеличивается. В случаях, когда Ъ/к велико (Ъ/к > 0,75) уменьшение толщины полок и стенки двутавра приводит к большей гибкости ее элементов. В последнем случае допущения балочной теории становятся весьма значительными (см. рис. 3).

Необходимо также отметить, что с увеличением ширины полок появляются формы, при которых колеблются отдельные элементы стержня, точки которых при движении остаются практически параллельны вертикальной оси стержня. В данном случае преимущественно крутильные колебания полок двутавра относительно его стенки (рис. 4). Такие формы колебаний, могут приводить к движению и другие элементы пространственной конструкции стержня (стенки двутавра). Данный эффект выявлен на более высоких частотах. Так, например, при отношении Ъ/к = 1, Ь = 10 м и 5 = 0,5 см (А = 0,00895 м2, / = 0,000617 м4, 1у = 0,00018 м4, 1кр = 7,47917 10 5 м6) получим следующие формы и соответствующие им частоты колебаний (таблица).

Частоты и формы колебаний

Частоты по формуле В.З. Власова, Гц Форма колебания Частоты, найденные МКЭ, Гц Форма колебания

8,01 Преимущественно изгибная 10,95 Преимущественно изгибная

11,34 Преимущественно крутильная 10,98 Преимущественно крутильная

14,82 Преимущественно изгибная 15,32 Колебания полок

31, 87 Преимущественно изгибная 15,39 Колебания полок

44, 92 Преимущественно крутильная 16,29 Колебания полок

Рис. 4 демонстрирует формы преимущественно крутильных колебаний полок двутавра, смоделированного системой связанных пластин.

Рис. 4. Собственные частоты и формы колебаний

Сопоставив расчетные данные с теоретическим решением В.З. Власова [2], видим (см. табл.), что увеличение Ъ/Н, а также уменьшение толщины профиля приводит к рассогласованию результатов. Причем учет пластинчатых свойств стержня значительно сгущает частотный спектр и может привести к более сложным (неоднозначным) формам колебаний.

Экспериментальное моделирование крутильных колебаний неравнополоч-ного двутавра МКЭ. Рассмотрим тот же стержень, что и в предыдущем разделе, ограничившись следующими размерами: Ъ1/Н = 0,5, Н/& = 60, 1/Н = 15, только уже примем, что верхняя и нижняя полки имеют разную ширину. Результаты расчетов приведены на графике (рис. 5).

>

Л-'

v % J* .. ч ' . — -»

° 1 1,5 ! *

Щ

™ гт гкдар.<>4стн .-..-..г Втадочклйм

'I- I |Л>1ЪР 444.^1.1 -——ГпжннВ 1.е,1К':щ

Рис. 5. Собственная частота: Ъ1 и Ъ2 (варьируемый размер) — ширина верхней и нижней полок двутавра соответственно; П = Ю"КЭ — безразмерная частота

График демонстрирует влияние пластинчатых свойств в случае, когда ширина полок различна. Видим, когда Ъ2/Ъ1 = 1 значения частот сопоставимы с теоретической формулой В.З. Власова. С последующим увеличением

В

вестник 3/2014

ширины нижней полки низшая частота то увеличивается, то уменьшается по отношению к значениям В.З. Власова. Неожиданный результат получен при b2/b1 = 1,75. В этом случае частота снова совпадает с решением В.З. Власова. По-видимому, это численное совпадение.

Выводы. Моделирование стержня системой связанных пластин отображает реальные динамические характеристики и позволяет учесть пластинчатые свойства стержней, которые не учитывает балочная теория В.З. Власова. Однако переход от одноосной системы к пространственной конструкции при соответствующих геометрических параметрах стержня значительно сгущает частотный спектр и может привести к более сложным (неоднозначным) формам колебаний.

Пластинчатые свойства в тонкостенных осесимметричных двутаврах необходимо учитывать в случаях, когда b/h < 1, h/d < 60, и во всех случаях, когда b/h > 1.

Теоретическая формула В.З. Власова для случая осесимметричного двутавра выдает удовлетворительные результаты при b/h < 1 и h/d = 60... 120. В этих геометрических диапазонах с уменьшением толщины профиля теоретические и практические (МКЭ) значения частот сближаются. В других случаях, когда b/h > 1, уменьшение толщины профиля ведет к рассогласованию теоретических значений с экспериментальными данными.

Учет пластинчатых свойств стержней обязателен в случае неравнополоч-ного двутавра, когда отношения ширины полок b2/ b1 > 1.

Библиографический список

1. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М. : Физматгиз, 1959. 568 с.

2. Тимошенко С.П. Теория колебаний в инженерном деле. Л. ; М. : Гос. технико-теорет. изд-во, 1932. 345 с.

3. Корбут Б.А., Лазарева Г.В. (Куча Г.В.) О динамической теории тонкостенных криволинейных стержней // Прикладная механика. 1982. Т. XXIII. № 5. С. 98—104.

4. Бейлин Е.А., Лазарева Г.В. (Куча Г.В.) Определение частот свободных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных криволинейных стержней с учетом деформации вращения сечений. Л. : Ленингр. инж.-строит. инст., 1985. 13 с.

5. Тарануха Н.А. Математическое и экспериментальное моделирование колебаний стержневых судовых конструкций с учетом сопротивления внешней среды различной плотности // Ученные записки КнАГТУ Комсомольск-на-Амуре : КнАГТУ 2010. Т. 1. № 4. С. 81—91.

6. Математическое моделирование безмоментной стержневой системы при больших перемещениях / Н.А. Тарануха, К.В. Жеребко, А.Н. Петрова, М.Р. Петров // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2003. № 3. С. 12—18.

7. Влияние геометрических характеристик сечений на значения частот свободных изгибных колебаний тонкостенных стержней / А. А. Гаврилов, Л.И. Кудина, Г.В. Куча, Н.А. Морозов // Вестник ОГУ 2011. № 5. С. 146—150.

8. Arpaci A., Bozdag S.E., Sunbuloglu E. Triply coupled vibrations of thin-walled open cross-section beams including rotary inertia effects // J. Sound Vibr. 2003, vol. 260, pp. 889—900.

9. Li J., Shen R., Hua H., Jin X. Coupled bending and torsional vibration of axially loaded thin-walled Timoshenko beams // Int. J. Mech. Sciences. 2004, vol. 46, pp. 299—320.

10. Prokic A. On fivefold coupled vibrations of Timoshenko thin-walled beams // Engineering Structures. 2006, vol. 28, pp. 54—62.

11. SenjanovicI., CatipovicI., Tomasevic S. Coupled flexural and torsional vibrations of ship-like girders // Thin-Walled Structures. 2007, vol. 45, pp. 1002—1021.

12. Kim J.S., Wang K.W. Vibration analysis of composite beams with end effects via the formal asymptotic method // Journal of Vibration and Acoustics. 2010, vol. 132, pp. 041003: 1—8.

13. Senjanovic I., Tomasevic S., Vladimir N., Tomic M., Malenica S. Application of an advanced beam theory to ship hydroelastic analysis // Proceedings of international workshop on advanced ship design for pollution prevention. Taylor & Francis, London. 2010, pp. 31—42.

14. Senjanovic I., Tomasevic S., Vladimir N. An advanced theory of thin-walled girders with application to ship vibrations // Marine Structures. 2009, vol. 22, no. 3, pp. 387—437.

15. Senjanovic I., Grubisic R. Coupled horizontal and torsional vibration of a ship hull with large hatch openings // Computers & Structures. 1991, vol. 41, no. 2, pp. 213—226.

16. Pavazza R. Torsion of thin-walled beams of open cross-sections with influence of shear // International Journal of Mechanical Sciences. 2005, vol. 47, no. 7, pp. 1099—1122.

Поступила в редакцию в январе 2014 г.

Об авторе: Серёгин Сергей Валерьевич — аспирант кафедры строительства и архитектуры, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «КнАГТУ»), 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Ленина, д. 27, (4217) 24-11-41, Seregin-komsHome@yandex.ru.

Для цитирования: Серёгин С.В. Влияние пластинчатых свойств тонкостенных стержней, смоделированных системой связанных пластин, на частоты и формы собственных колебаний // Вестник МГСУ 2014. № 3. С. 92—98.

S.V. Seregin

ON THE INFLUENCE OF PLATE PROPERTIES OF THIN-WALLED BEAMS, MODELED BY THE SYSTEM OF RELATED PLATES, ON THE NATURAL FREQUENCIES

AND MODE SHAPES

Thin-walled rods are widely used in construction and other industries. In the design of bridges, crane beams, gas-producing constructions there are cases when flange width is greater than the height profile of its wall. The currently used V.Z. Vlasov's beam approximation in the process of determining the dynamic characteristics, is based on a set of assumptions, which do not allow to take into account the plate properties of thin-walled rods. In this paper the torsional vibrations of thin-walled beams modeled by a system of related plates with different geometrical characteristics are studied using finite element method. Also the case of an asymmetrical I-beam is studied. It was revealed that the transition from the uniaxial system to spatial structure with appropriate geometric parameters of the rod significantly thickens the frequency spectrum and can lead to more complex (mixed) modes of vibration. The author identified the cases when neglect of in-ertial forces in the wall and flanges and the assumption of non-deformability in the plane of the profile cross-section can lead to errors in determining the frequencies and modes of torsional vibrations. The application limits of the Vlasov's theory are investigated and practical recommendations are given.

Key words: thin-walled beams, modeled system related plates, torsional vibrations I-beam, plate properties, flexibility elements inertia shelves.

References

1. Vlasov V.Z. Tonkostennye uprugie sterzhni [Thin-walled Elastic Rods]. Moscow, Fiz-matgiz Publ., 1959, 568 p.

2. Timoshenko S.P. Teoriya kolebaniy v inzhenernom dele [Theory of Oscillations in Engineering]. Leningrad-Moscow, Gosudarstvennoe tekhniko-teoreticheskoe izdatel'stvo Publ., 1932, 345 p.

3. Korbut B.A., Lazareva G.V. (Kucha G.V.) O dinamicheskoy teorii tonkostennykh krivo-lineynykh sterzhney [On the Dynamical Theory of Thin-walled Curved Bars]. Prikladnaya me-khanika [Applied Mechanics]. 1982, vol. XXIII, no. 5, pp. 98—104.

ВЕСТНИК o/ofVI/l

МГСУ_3/2014

4. Beylin E.A., Lazareva G.V. (Kucha G.V.) Opredelenie chastot svobodnyh izgibno-krutil'nykh kolebaniy tonkostennykh krivolineynykh sterzhney s uchetom deformatsii vrash-cheniya secheniy [Determination of the Frequencies of Free Flexural-torsional Vibrations of Thin-walled Curved Bars Taking into Account the Deformation of Sections Rotation]. Leningrad, Leningradskiy inzhenerno-stroitel'nyy institut Publ.,1985, 13 p.

5. Taranukha N.A. Matematicheskoe i eksperimental'noe modelirovanie kolebaniy ster-zhnevykh sudovykh konstruktsiy s uchetom soprotivleniya vneshney sredy razlichnoy plot-nosti [Mathematical and Experimental Modeling of Ship Bar Systems Oscillations with Account for the Resistance of the Media of Different Densities]. Uchennye zapiski KnAGTU [Scientific Notes of Komsomolsk on Amur State Technical University]. Komsomolsk on Amur, KnAGTU Publ., 2010, vol. 1, no. 4, pp. 81—91.

6. Taranuha N.A., Zherebko K.V., Petrova A.N., Petrov M.R. Matematicheskoe modelirovanie bezmomentnoy sterzhnevoy sistemy pri bol'shikh peremeshcheniyakh [Mathematical Modeling of a Membrane Core System in Case of Substantial Displacements]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 2003, no. 3, pp.12—18.

7. Gavrilov A.A., Kudina L.I., Kucha G.V., Morozov N.A. Vliyanie geometricheskikh kharakteristik secheniy na znacheniya chastot svobodnykh izgibnykh kolebaniy tonkosten-nykh sterrzhney [The Influence of the Cross Sections Geometric Characteristics on the Frequencies of Free Flexural Vibrations of Thin-walled Beams]. Vestnik OGU [Proceedings of Orenburg State University]. 2011, no. 5, pp. 146—150.

8. Arpaci A., Bozdag S. E., Sunbuloglu E. Triply Coupled Vibrations of Thin-walled Open Cross-section Beams Including Rotary Inertia Effects. Journal of Sound and Vibration. 2003, vol. 260, no. 5, pp. 889—900. DOI: 10.1016/S0022-460X(02)00935-5.

9. Li J., Shen R., Hua H., Jin X. Coupled Bending and Torsional Vibration of Axially Loaded Thin-walled Timoshenko Beams. International Journal of Mechanical Sciences. 2004, vol. 46, no. 2, pp. 299—320. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2004.02.009.

10. Prokic A. On Fivefold Coupled Vibrations of Timoshenko Thin-walled Beams. Engineering Structures. 2006, vol. 28, no. 1, pp. 54—62. DOI: 10.1016/j.engstruct.2005.07.002.

11. Senjanovic I., Catipovic I., Tomasevic S. Coupled Flexural and Torsional Vibrations of Ship-like Girders. Thin-Walled Structures. 2007, vol. 45, no. 12, pp. 1002-1021. DOI: 10.1016/j.tws.2007.07.013.

12. Kim J.S., Wang K.W. Vibration Analysis of Composite Beams with End Effects via the Formal Asymptotic Method. Journal of Vibration and Acoustics. 2010, vol. 132 (4), 041003, pp. 1—8. DOI: 10.1115/1.4000972.

13. Senjanovic I., Tomasevic S., Vladimir N., Tomic M., Malenica S. Application of an Advanced Beam Theory to Ship Hydroelastic Analysis. Proceedings of International Workshop on Advanced Ship Design for Pollution Prevention. Taylor & Francis, London, 2010, pp. 31—42. DOI: 10.1201/b10565-6.

14. Senjanovic I., Tomasevic S., Vladimir N. An Advanced Theory of Thin-walled Girders with Application to Ship Vibrations. Marine Structures. 2009, vol. 22, no. 3, pp. 387—437. DOI: 10.1016/j.marstruc.2009.03.004.

15. Senjanovic I., Grubisic R. Coupled Horizontal and Torsional Vibration of a Ship Hull with Large Hatch Openings. Computers & Structures. 1991, vol. 41, no. 2, pp. 213—226. DOI: 10.1016/0045-7949(91)90425-L.

16. Pavazza R. Torsion of Thin-walled Beams of Open Cross-sections with Influence of Shear. International Journal of Mechanical Sciences. 2005, vol. 47, no. 7, pp. 1099—1122. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2005.02.007.

About the author: Seregin Sergey Valer'evich — postgraduate student, Department of Construction and Architecture, Komsomolsk on Amur State Technical University (KnAGTU), 27 Lenina st, Komsomolsk on Amur, 681013, Russian Federation; (4217) 24-1141, seregin-komsHome@yandex.ru.

For citation: Seregin S.V. Vliyanie plastinchatykh svoystv tonkostennykh sterzhney, smodelirovannykh sistemoy svyazannykh plastin, na chastoty i formy sobstvennykh kolebaniy [On the Influence of Plate Properties of Thin-Walled Beams, Modeled by the System of Related Plates, on the Natural Frequencies and Mode Shapes]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 3, pp. 92—98.