О некоторых трудностях, возникающих при решении геометрических задач

Ярославский педагогический вестник. 2000. № 1

бя есть цель и ты идешь к ней, наслаждаясь каждым днем. И второе: ты настолько счастлив, что тебе хочется такого же счастья друзьям и врагам, всем, кто тебя окружает. Я считаю последнее - настоящим счастьем.»

Наша работа по формированию комму-никативно-деятельностной личности лицеиста на основе текста еще не закончена, однако результат, к которому мы пришли после 1 года обучения, говорит о многом: учащиеся стали умело создавать устные и письменные высказывания на уроках литературы и русского языка.

Следует подчеркнуть, ЧТО они проявляют неподдельный интерес к учебному материалу, а это повлекло более осознанное восприятие ими получаемой информации. Совершеннее стали письменные и устные речевые опыты лицеистов. И, самое главное: учащиеся утвердились в мысли об ответственности за качество произнесенного слова.

В.Ф. Чаплыгин

О некоторых трудностях, возникающих при решении геометрических задач

Анализ результатов приемных экзаменов в университет, опыт работы со школьниками, слушателями подготовительных отделений, студентами-математиками, готовящими себя к педагогической деятельности, дает основайия сделать вывод о том, что при решении текстовых задач учащиеся испытывают значительно больше трудностей, чем при решении уравнений и неравенств. Это отчасти объясняется тем, что для решения уравнений, неравенств или их систем можно использовать некоторый набор известных алгоритмов и приемов, так как сама задача уже формализована, математизирована, а для текстовой задачи математическую модель учащийся должен составить самостоятельно, поэтому задачи,- в том числе геометрические, о которых пойдет речь, требуют существенно больших логических усилий. Мы коснемся здесь, в основном, задач на вычисление.

Решение более или менее серьезной задачи требует, во-первых, тщательного ее анализа. Учащийся должен ясно осознать, что же ему известно, как связаны между собой данные ве-

личины, какие следствия из них можно получить, что необходимо найти в задаче и что требуется для этого знать. Анализ при этом может носить не только однонаправленный характер (от данных величин к искомым или наоборот), но и встречный, когда движение совершается в двух противоположных направлениях.

Трудным моментом является выбор метода, который приведет к решению задачи наикратчайшим путем. Он, как правило, неоднозначен, и почти каждая задача допускает не одно решение (имеется в виду не результат, а процесс). Рассуждения, используемые для решения, могут быть чисто геометрическими или позаимствованными из алгебры или тригонометрии. К сожалению, приходится констатировать слабые знания учащимися простейших утверждений, фактов, формул. Они затрудняются в измерении углов, связанных с окружностью (вписанных, центральных, составленных хордой и касательной, образованных хордами, пересекающимися внутри окружности, или секущими, исходящими из одной точки вне окружности), не знают свойств касательных и секущих, вписанных и описанных многоугольников, теорем синусов и косинусов, связь значений тригонометрических функций с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Хорошо известно, что немаловажную роль в решении геометрических задач имеет чертеж. Если он выполнен верно, то поможет в правильном выборе решения, если ошибочен - то может привести на ложный путь. Говоря об этом, мы не призываем к тому, чтобы включать в курс школьной геометрии как можно больше теорем (на все случаи жизни), а предлагаем создавать комплексы задач, сгруппированных по принципу общих идей или методов решения. Решая задачу, следует обращать внимание учащихся на моменты, помогающие правильно выбрать способ решения, прививать вкус к таким задачам, вселять веру в их творческие возможности, развивать логические способности и интуицию.

Приведем примеры задач, которые нам представляются интересными. Первые три задачи используют подобие.

Задача 1. Прямоугольный треугольник ABC с катетами АС= 3, ВС-2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А. Найти площадь квадрата.

d

В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник АС О подобен треугольнику СБЕ =>

Рис.1

Пусть AD=x, тогда

СЕ ВС

АР АС

1

DC= — x. 3

=> СЕ = -3

Так как

1 01 АЕ?+ВС1=АС2, то х2+-х2=9, х2=—. Таким

9 10

образом, площадь квадрата равна .

Задача 2. На сторонах ВС и СВ квадрата АВСБ выбраны соответственно точки Е и Fтaк,

что

CF 2 = — и К

точка пересечения от-

Рис.2

Пе-

по-

лучим

КЕ

резков BF и АЕ. Найти отношение КЕ:АК

Из подобия треугольников (рис.2) АКБ, ВКЕ и ABE следует ВЕ _ КЕ _ ВК _ 2

АВ ~ ВК ~~ АК ~ 5 ремножив равенства

2 ВК _ 2

ВК~ 5 И АК~ 5

ЛАГ 25 '

Эту задачу можно решить с помощью гомотетии или теоремы Фалеса, но, на наш взгляд, предложенное решение предпочтительнее.

Задача 3. Диаметр окружности с центром О лежит на стороне AD четырехугольника ABCD, при этом AO=OD. Три остальные стороны АВ, ВС и CD касаются этой окружности. Найти AD, если АВ =а и CD=b.

Пусть в треугольнике ABO (рис.3) ZBAO=a, ZABO=¡5, ZBOA=y и, следовательно, a+P+y=u. Так как ВО - биссектриса угла СБА, то ZC50=p.

Отсюда получаем

Если Р и - точки касания, то

МР0=£Ф<20 (они прямоугольные, 0Р=0<2,

АО=ОП) => ZgZЮ=Z.PЛO=a. Сумма углов

четырехугольника АВСВ равна 2к, поэтому

¿С=2тс-2а-2р.

А так как СО - биссектриса, то

обРазом= треугольники АО В и

3 АО С£>

ОСО подобны и -=-

АВ ОБ

равенства АООО=АВСО=аЬ =>

АО=ОИ= ~1аЬ яАО=2^аЬ .

А в следующих двух задачах учащиеся должны вспомнить свойства вписанных и описанных четырехугольников.

Задача 4. На стороне ВС параллелограмма АВСП выбрана такая точка Е, что

-^-=2. Известно,

Е ЕС Вк--,-чС что трапеция А ЕС О

обладает следующими свойствами:

1) в нее можно вписать окружность; рис 4 2) около нее

можно описать ок

ружность. Найти величину угла В АО. В силу свойств, которыми обладает трапеция АЕСВ (рис.4), она равнобокая (АЕ=Си) и 2АЕ=ЕС+АИ,

Пусть ВС=Ъа, тогда ВЕ=2а, ЕС=а => 2АЕ=ЕС+АЕ>=Аа => СП=АЕ=2а. Таким образом, АВЕА - равносторонний =>

¿АВС=-60° => ¿ВА1>=Ш°.

Далеко не все учащиеся могут доказать, почему трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобокой.

Задача 5.Сумма углов при основаниии 4 л

ВС трапеции АВСИ равна . Найти величине СО АЛ ВС 1Л

ну-н--, если известно, что--+-=10

СИ АВ ВС АИ

и в трапецию АВСИ можно вписать окружность.

Пусть СЩАВ (рис.5), тогда СЕ=АВ и в

я

силу условия задачи следует, что ZJ:7CZ)= — . По теореме косинусов

ГО^С^С^^ССОсоэ — =>

3

Ярославский педагогический вестник. 2000. N9 1

Рис.5

(АР-ВС)2=АВ2+С

р2-авср.

Так как в трапецию АВСР можно вписать окружность, то АР+ВС=АВ+ СР =>

Разделив равенство (1) на равенство (2), получим

АР2 -2АР-ВС + ВС2 _

АР2 +2АР-ВС + ВС2 ~

АВ2 +СР2 -АВСР

~ АВ2 +2АВ-СР + СР2 Разделив далее числитель и знаменатель левой дроби на произведение АРВС, а правой части - на АВСР, получим

АР ВС

ВС АР

АР . ВС

----- +2 +-

ВС АР

1

АВ CP

CP + АВ

АВ . CP

--+ 2 +--

CP АВ

АВ CP

Откуда, положив -+-=t и учиты-

3 CP АВ

= 10, имеем t=l.

х + у х + у

2Ьу _ Ь

тельно, ML=MB-LB=b-

х+у х+у

Таким образом, приходим к системе 'Ь

= а,

х + у

-:-+у2=4Ь2

Ъ2{х2 -2ху +у2)

х2 +2 ху + у2 X2 + У2 = 4Ь2

-а

b2(4b2

-2 ху)

4 b^iy 2 ху Решая это уравнение

относительно ху, находим

)

а

с _1 _b2(b ¿ЛЛВС--ХУ--"7,2

2 а + b

Следует обратить вни-Рис.6 мание учащихся на то, что из

полученной системы уравнений искать значения переменных х и у совершенно излишне.

Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, проведенная к нему высота - 12 см. Вершины треугольника служат центрами кругов, каждый из которых касается двух других внешним образом. Найти радиусы кругов, которые касаются трех указанных кругов внешним и внутренним образом.

Пусть Е, Г, Р,К,Н- точки касания, радиус окружности с центром в точке 0\ равен г, а с центром в точке 02 - В (рис.7). Так как ¿0=5, АВ=13, то 8, 50,=8+г, АОг=5+г, Оф=4~г.

Из прямоугольного треугольника АО!)

(5+г)2=25+(4-Г)2,

18г=1б,

АР ВС

вая, что--1--

ВС АР

В этой задаче при неудачном выборе решения оно может оказаться очень громоздким.

Весьма поучительно, на наш взгляд, решение следующей задачи.

Задача 6. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена биссектриса CL и медиана СМ. Найти площадь треугольника ABC, если LM=a, CM=b.

Пусть АС=х и ВС=у , где х>у (рис.6), тогда х2+у2=4Ь2, и по свойству биссектрисы

LB у

B02=R- 8, 0,Р= 12-(i?-8)=20-i?, 02А =R-5, и, следовательно, из прямоугольного треугольника А 02Р имеем

(Д-5)2=(20-Л)2+25 => R-

= 13-

1

40

3 3

Здесь следует напомнить учащимся, что прямая, проходящая через центры двух касающихся окружностей, проходит через точку их касания,

и, следова-

Рис.7

В заключение приведем одну задачу на доказательство, которая требует от учащихся достаточно высокой логической культуры.

Задача 8. Докажите, что треугольник является равнобедренным в том и только в том случае, когда равны биссектрисы двух внутренних углов.

Если в треугольнике ABC (рис.6) АВ=ВС, то углы А и С равны и равны треугольники ВАЕ

и BCD, так как ZB -общий и ZBAE=-=ZBCD, следовательно, AE=CD. Докажем справедливость обратного утверждения. Пусть биссектрисы АЕ и CD углов А и С треугольника ABC равны. Докажем, что

ZA-ZC. =>

- ABACsinA- - ABAEsin — + - AEACsin — 2 2 2 2 2

=> 2ABACcos — ~{AB+AC)AE =>

2AB-AC cos-

_2_

AB + AC

Разделив числитель и знаменатель дроби на произведение ABAC и обозначив

АВ=с, АС=Ь, ВС=а, получим

о А 2-cos -

АЕ - ——--, аналогично, биссектриса

+ _

Ъ с

С

2-cos—

CD - ——. Если допустить, что ZA*Z.C, Ъ а

А С

например, ZA<Z.C, то cos — >cos — и а<с =>

— >— AE>CD, получили противоречие. а с

Приведенные в статье задачи предлагались на вступительных экзаменах в различных вузах России, в том числе и в Ярославском госуниверситете.

Литература

1. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз,

1961.207 с.

2. Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Ярославль, 1997. 323с.

3. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Задачи вступительных экзаменов по математике. Ярославль, 1991. 140с.

4. Чаплыгин В.Ф. Чаплыгина Н.Б. Задачи вступительных экзаменов по алгебре и геометрии. Ярославль, 1999. 112с.

5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под ред. А. И. Прилепко. М.: Высшая школа, 1989. 271с.

6. Зафиевский A.B.. Вступительные экзамены по математике в 1998 году. Ярославль, 1999. 36с.

7. Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабунин М.Н. Задачи по элементарной математике. М.: Физматгиз, 1960. 463с.

В. В. Секацкий, Г. И. Худякова

Элементы теории матричных игр в курсе математики

Теория игр - это раздел математики, изучающий математические модели принятия оптимальных решений в условиях неопределенности.

Истоки ее можно найти еще в работах Б.Паскаля. В 1921 году Э.Борель изучал матричные игры. Начало современной теории игр относят к 1928 году, когда была опубликована работа Дж. Неймана «К теории стратегических игр». Помимо разнообразных связей внутри математики, теория игр получила многообразные приложения в других отраслях знаний, особенно в военном деле и капиталистической экономике. При переходе к рынку в нашей стране элементы теории игр стали в обязательном порядке входить в учебные планы подготовки специалистов финансово-экономического профиля.

Несмотря на обширную научную литературу по теории игр, доступные учебные пособия для студентов (курсантов) экономических вузов явно редки.

В данной работе авторы пытаются в какой-то мере восполнить этот пробел, главным образом рассчитывая на внимание преподавателей и курсантов ЯВВФЭУ и студентов естественно-научных специальностей педвузов.

Для простоты мы не будем использовать

В

Рис.8

Smbc~S&bae+Saeac