О функциональных и структурных отличиях понятий обратной и обращенной задачи

6. Шадриков, В.Д. От индивида к индивидуальности: введение в психологию. — М., 2009.

7. Ерофеева, А.В. Педагогический диалог в вузе: теория, позиции, практика / А.В. Ерофеева, Е.И. Перфильева: монография. — Н. Новгород, 2012.

Bibliography

1. Erofeeva, A.V. Razvitie ehmocionaljnogo intellekta studentov v processe izucheniya inostrannogo yazihka v nelingvisticheskom vuze // Tez. dokl. vseros. nauchno-metod. konf. — N. Novgorod, 2011.

2. Roberts, R.D. Ehmocionaljnihyj intellekt: problemih teorii, izmereniya i primeneniya na praktike / R.D. Roberts, Dzh. Mehttjyus, M. Zayjdner, D.V. Lyusin // Zhurn. Vihssheyj Shkolih Ehkonomiki. — 2004. — T. 1. — № 4.

3. Iljin, E.P. Motivaciya i motivih. — SPb., 2000.

4. Goulman, D. Ehmocionaljnoe liderstvo: iskusstvo upravleniya lyudjmi na osnove ehmocionaljnogo intellekta. — M., 2005.

5. Bratchenko, S.L. Mezhlichnostnihyj dialog i ego osnovnihe atributih // Psikhologiya s chelovecheskim licom: gumanisticheskaya perspektiva v postsovetskoyj psikhologii / pod red. D.A. Leontjeva, V.G. Thur. — M., 1997.

6. Shadrikov, V.D. Ot individa k individualjnosti: vvedenie v psikhologiyu. — M., 2009.

7. Erofeeva, A.V. Pedagogicheskiyj dialog v vuze: teoriya, pozicii, praktika / A.V. Erofeeva, E.I. Perfiljeva: monografiya. — N. Novgorod, 2012.

Статья поступила в редакцию 13.10.12

УДК 510

Zaykin M.I., Abramova O.M. ABOUT FUNCTIONAL AND STRUCTURAL DIFFERENCES CONCEPTS OF THE RETURN AND TURNED TASK. In article various approaches to disclosure in scientific and pedagogical literature of a definition a «return» task are analyzed. The essence and interrelation between the return and turned tasks is revealed when training to mathematics. Their didactic value in mathematical education, development of creative abilities and flexibility of thinking of pupils reveals.

Key words: a direct task, the return task, the turned task, address process, an obrashchyonnost measure, flexibility of thinking.

М.И. Зайкин, д-р пед. наук, проф., зав. каф. математики, теории и методики обучения математике Арзамасского гос. педагогического института им. А.П. Гайдара, г. Арзамас, E-mail: mzaykin@yandex.ru; О.М. Абрамова, аспирант Арзамасского гос. педагогического института им. А.П. Гайдара, г. Арзамас, E-mail: olesia144@mail.ru

ПОНЯТИЙ ОБРАТНОЙ И ОБРАЩЕННОЙ ЗАДАЧИ*

В статье анализируются различные подходы к раскрытию в научно-педагогической литературе дефиниции «обратная» задача. Выявлена сущность и взаимосвязь между обратными и обращёнными задачами при обучении математике. Раскрывается их дидактическая ценность в математическом образовании, развитии творческих способностей и гибкости мышления учащихся.

Ключевые слова: прямая задача, обратная задача, обращённая задача, процесс обращения, мера обращённости, гибкость мышления.

В контексте деятельностного подхода к обучению математике существенно возрастает роль задач, их значение в достижении дидактических, развивающих и воспитательных целей на различных этапах усвоения математических знаний, формирования умений и навыков. Многие исследователи (Г.В. Дорофеев, Е.С. Канин, В.А. Крутецкий, В.М. Финкельштейн, Л.М. Фридман, А.Я. Цукарь, П.М. Эрдниев и др.) справедливо отмечают продуктивную ценность работы с уже решённой задачей, и в частности, составления и решения задачи, обратной исходной.

Анализ методической литературы по математике показывает, что, формирование представлений об обратной задаче происходило в контексте теоретического осмысления видового многообразия математических утверждений (теорем).

Ещё в позапрошлом столетии А.Н. Острогорский определял обратную теорему следующим образом: «...если, имея теоре-

му, составим другую, в которой условия первой станут заключением, а заключение первой её условием, то такая теорема называется обратной» [1, с. 44].

Такое же понимание обратной теоремы можно найти в книге И.С. Градштейна «Прямая и обратная теоремы», вышедшей в середине прошлого столетия: «теоремой, обратной данной, называется такая теорема, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы» [2, с. 26].

В руководствах по методике преподавания математики следуют этому же пониманию. Так, В.В. Репьев, раскрывая виды простых теорем, характеризует их:

- прямая теорема: «Если А, то В» или «Из А следует В», где через А обозначено единственное условие, а через В - единственное заключение теоремы.

Схематично структуру прямой теоремы можно представить:

—;

- обратная теорема: «Если В, то А» или «Из В следует А» и схематично:

- противоположная теорема/ «Если не А, то не В» или «Из не А следует не В» и схематично:

СП—<

- противоположная обратной теорема: «Если не В, то не А» или «Из не В следует не А» и схематично:

В—-(а

11101021

Автор напоминает, что верность прямой теоремы влечёт за собой верность обратной противоположной, и наоборот, а верность обратной теоремы влечёт за собой верность противоположной, и наоборот.

Он подчеркивает, что дидактическая ценность верности прямой и обратной теорем заключается в том, что они позволяют выделять свойство, которое принадлежит только лишь рассматриваемому объекту (фигуре, отношению) и не может принадлежать другому объекту (фигуре, отношению). При изучении геометрических объектов очень важно знать не только их свойства, но и какое из этих свойств можно принять за его признак, вполне определяющий данный объект. Эти признаки геометрических объектов выделяются с помощью обратных теорем и называют их характеристическими. Они дают возможность одни определения понятий заменять другими определениями, равносильными первым. Подобная замена определений очень часто осуществляется при доказательствах, поиске решения задачи. Подмена одного определения другим считается важным правилом доказательства, своеобразной эвристикой при решении задачи [3, с. 82-86].

У'

У

а)

Несколько иначе, чем в методике геометрии, раскрывается ценность прямых и обратных задач в методике алгебры и арифметики. Это наиболее четко впервые выразил еще в середине прошлого столетия автор теории укрупнения дидактических единиц П.М. Эрдниев [4; 5; 6]. Призывая к временномму сближению постановки и решения прямых и обратных задач, он считает, что такая работа, во-первых, способствует лучшему пониманию структуры математической задачи; во-вторых, обеспечивает более глубокое осознание тех взаимосвязей и отношений, которые свойственны задачной ситуации; в-третьих, позволяет приобщать школьников к творческой деятельности (любую сконструированную обратную задачу можно считать «продуктом творчества учащихся») [7, с. 29].

Автор видит ценность решения прямых и обратных задач ещё и в том, что в процессе такой деятельности происходит переключение с прямого хода мысли на обратный, а это, по его мнению, способствует развитию мышления обучаемых [7, с. 31].

Разделяя данное мнение, добавим, что при этом получает развитие такое фундаментальное умственное качество как гибкость мышления. В условиях развивающей образовательной парадигмы современной школы данное обстоятельство представляется особенно важным.

Необходимо отметить, что помимо названных функциональных отличий изучения прямых и обратных теорем в геометрической подготовке школьников и решения прямых и обратных задач при изучении алгебры и арифметики можно обнаружить также и их существенные отличия в структурном плане.

Получение обратных теорем, как уже говорилось выше, рекомендуется осуществлять путём переставления местами условия и заключения прямых теорем, а получение обратных задач предлагается осуществлять приёмом обращения. Так, П.М. Эрдниев пишет, что «работу над задачей нецелесообразно завершать получением ответа к ней; надо приёмом обращения составлять и решать в сравнении с исходной (прямой) задачей новую, обратную задачу, извлекая тем самым дополнительную информацию, заключающуюся в связях между величинами решенной задачи» [5, с. 35].

Суть приёма обращения задачи в его понимании заключается в том, что «в условие исходной задачи вводится её ответ, а некоторые числа из условия переводятся в разряд искомых» [5, с. 35].

Несколько точнее, но по сути также, выражается и Л.М. Фридман, когда полагает, что: «обратной задачей называется задача, в которой одним из требований является какое-то известное условие прямой задачи, а это условие заменяется ответом прямой задачи...» [8, с.139].

Аналогичного мнения на трактовку термина «обратная» задача придерживаются В.А. Крутецкий, В.М. Финкельштейн, А.Я. Цукарь и другие исследователи.

Как видим, авторы призывают при сохранении сюжета в прямой задаче лишь часть искомых перемещать в состав условия, а один или несколько элементов условия делать искомым. В таком понимании перестановка местами условия и заключения исходной задачи не может быть осуществлена в принципе.

Вместе с тем, приведёнными соображениями инициируется процесс обращения задачи, в результате которого получаются новые задачи, порождённые исходной и лишь в какой-то мере обратные ей.

Развивая эту мысль, обозначим за у совокупность условий (У) задачи, а за ^ совокупность её требований (Г). Будем последовательно извле кать из условия прямой задачи часть и даже

в)

все данные, и включать их в её требование, а из него соответственно переводить несколько или все найденные искомые в её условие.

Если одно данное из условия (у) прямой задачи переводится в искомые и одно найденное значение - в условие, то процесс обращения задачи схематично можно представить так (рис. 1а). Если же, таковых будет взято больше, к примеру, у, у2, и

tз, то схематичное представление процесса обращения задачи будет несколько иным (рис. 1б). Действуя таким образом, можно перебрать все различные комбинации из элементов условия и требования прямой задачи, включая и тот самый случай, когда вся совокупность I перейдет в условие (У), а вся совокупность у перейдет в требование (Г) (рис. 1 в). В последнем случае, если задача будет иметь смысл, получим задачу обратную исходной в том значении, в котором понимали выше упомянутые авторы обратную теорему.

Очевидно, мера обращённости исходной задачи в приведённой цепочке случаев а), б), в) последовательно нарастает. Она достигает своего максимума в последнем случае в), когда получается задача обратная исходной.

Естественно возникает вопрос, как же называть задачи, полученные в результате не полного, а частичного обращения элементов условия и заключения исходной задачи? Отвечая на этот вопрос, заметим, что в модельном представлении процесса обращения задачи не трудно увидеть своеобразный оборот (обращение) элементов условия и требования прямой задачи. А потому, логично было бы их называть обращёными, а не обратными, как называют их многие авторы.

Отметим, что термин «обращённая задача» встречается в методической литературе по математике. Именно так называет задачи, получаемые приёмом обращения Е.С. Канин: «имеются в виду задачи, полученные из исходной, в которых часть данных исходной задачи принимается за искомые, а некоторые искомые считаются данными» [9, с. 11].

Имеется и еще одна, более расширительная, трактовка обращённой задачи, она принадлежит И.Е. Дразнину. Он справедливо полагает, что «не стоит заканчивать работу над задачей с получением ответа или с завершением доказательства, а «поиграть» с ней подольше, рассмотрев обратную задачу, противоположную, расширенную, т.е. обогащённую каким-то дополнительным условием или, наоборот, обобщённую - такую, из

б)

Рис. 1. Модельное представление процесса обращения задачи

которой какое-либо условие удалено. Все такие дополнительные задачи часто называют обращёнными, поскольку они не совсем оригинальны, а придуманы (превращены, обращены) на основе каких-то других задач» [10, с. 52].

С таким пониманием обращённой задачи нельзя согласиться, ведь им охватывается весьма широкой класс задач, полученных из данной в результате того или иного её видоизменения. Исследователи уже неоднократно отмечали и разводили задачи, получаемые путем изменения того или иного вида, к примеру, различают задачи-обобщения, задачи-обращения, задачи-аналогии и др.[11, с. 172].

Библиографический список

Наконец, заметим, что введение меры обращения исходной задачи позволит ранжировать обращённые задачи по степени перехода с прямого на обратный ход мысли в рассуждениях при их решении, что представляется важным при проектировании методик развития гибкости мышления учащихся при обучении математике.

* Статья подготовлена по результатам научных исследований в рамках Федерального задания Минобрнауки России, проект И120216131020 «Структурно-семантический и функциональный анализ задачных конструкций, используемых в обучении математике».

1. Острогорский, А.Н. Материалы по методике геометрии. - СПб., 1884.

2. Градштейн, И.С. Прямая и обратная теоремы. - Л., 1950.

3. Репьев, В.В. Общая методика преподавания математики. - М., 1958.

4. Эрдниев, П.М. О роли прямых и обратных связей при обучении математике // Вопросы психологии - 1962. - № 6.

5. Эрдниев, П.М. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике / П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. - М., 1986.

6. Эрдниев, П.М. Обратная задача в курсе арифметики // Начальная школа. - 1960. - № 4.

7. Эрдниев, П.М. Методика упражнений по математике. - М., 1970.

8. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. - М., 2009.

9. Канин, Е.С. Развитие темы задачи // Математика в школе. - 1991. - № 3.

10. Дразнин, И.Е. Обращение условий планиметрических задач // Математика в школе. - 2001. - № 8.

11. Педагогические технологии математического творчества: сб. статей участников международной научно-практической конференции / под общ. редакцией М.И. Зайкина. - Арзамас, 2011.

Bibliography

1. Ostrogorskiyj, A.N. Materialih po metodike geometrii. - SPb., 1884.

2. Gradshteyjn, I.S. Pryamaya i obratnaya teoremih. - L., 1950.

3. Repjev, V.V. Obthaya metodika prepodavaniya matematiki. - M., 1958.

4. Ehrdniev, P.M. O roli pryamihkh i obratnihkh svyazeyj pri obuchenii matematike // Voprosih psikhologii - 1962. - № 6.

5. Ehrdniev, P.M. Ukrupnenie didakticheskikh edinic v obuchenii matematike / P.M. Ehrdniev, B.P. Ehrdniev. - M., 1986.

6. Ehrdniev, P.M. Obratnaya zadacha v kurse arifmetiki // Nachaljnaya shkola. - 1960. - № 4.

7. Ehrdniev, P.M. Metodika uprazhneniyj po matematike. - M., 1970.

8. Fridman, L.M. Teoreticheskie osnovih metodiki obucheniya matematike. - M., 2009.

9. Kanin, E.S. Razvitie temih zadachi // Matematika v shkole. - 1991. - № 3.

10. Draznin, I.E. Obrathenie usloviyj planimetricheskikh zadach // Matematika v shkole. - 2001. - № 8.

11. Pedagogicheskie tekhnologii matematicheskogo tvorchestva: sb. stateyj uchastnikov mezhdunarodnoyj nauchno-prakticheskoyj konferencii / pod obth. redakcieyj M.I. Zayjkina. - Arzamas, 2011.

Статья поступила в редакцию 18.10.12

УДК 37

Zyryanova A.V. DEVELOPMENT OF STUDENT'S READINESS OF COLLEGE CULTURE AND ARTS TO THE ORGANIZATIONAL AND MANAGERIAL ACTIVITIES. The paper presents the modern aspects of the preparation of specialists in the field of culture, within the concept of cultural education. A model of college readiness culture and arts, the future managers of social and cultural activities to the organizational and managerial activities is describing in this article. Also considered the features of the organizational and management activity of specialists in the sphere of culture.

Key words: readiness for organizational and management activities, cultural education, professional development of college culture and the arts, social and cultural activities, culture, management, management of culture.

А.В. Зырянова, преп. Вятского колледжа культуры, г. Киров, E-mail: info@vyatkult.ru

РАЗВИТИЕ ГОТОВНОСТИ СТУДЕНТОВ КОЛЛЕДЖЕЙ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ К ОРГАНИЗАЦИОННО-УПРАВЛЕНЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В УСЛОВИЯХ ФГОС НОВОГО ПОКОЛЕНИЯ

В статье представлены современные аспекты подготовки специалистов сферы культуры, в рамках концепции культурологического образования. Описывается модель развития готовности студентов колледжей культуры и искусств, будущих менеджеров социально-культурной деятельности к организационно-управленческой деятельности. Рассматриваются особенности организационно-управленческой деятельности специалистов сферы культуры.

Ключевые слова: готовность к организационно-управленческой деятельности, культурологическое образование, профессиональное развитие студентов колледжей культуры и искусств, социально-культурная деятельность, культура, управление, менеджмент в сфере культуры.

На современном этапе развития социально-культурная деятельность характеризуется расширением номенклатуры специальностей и специализаций в отрасли, соединяющей в себе художественное, творческое, управленческое, организаторское, духовно-нравственное начала. В сфере управления культурой появляются новые специальности: музыкальный продюсер; ме-

неджер социально-культурных проектов; продюсер культурно-до-суговых программ; арт-менеджер; технолог социально-культурной деятельности.

Современный специалист сферы культуры должен владеть знаниями в области экономики, управления, менеджмента, маркетинга, педагогики, психологии.