Модели выгоднейшего изменения толщины тонких цилиндров при осевом сжатии

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 539.3, 51-72

Э.В. Антоненко, Т.Э. Шульга

МОДЕЛИ ВЫГОДНЕЙШЕГО ИЗМЕНЕНИЯ ТОЛЩИНЫ ТОНКИХ ЦИЛИНДРОВ

ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

Исследуется потеря устойчивости при осевом сжатии цилиндрических оболочек с переменной толщиной. Рассмотрен ряд законов изменения толщины вдоль оси оболочки. Сравниваются осевые критические силы оболочек с постоянной и переменной толщиной при одинаковом весе и габаритах оболочек. Показана весовая выгодность применения оболочек с переменной толщиной. Предложен метод определения оптимального закона изменения толщины. Рекомендован закон изменения толщины повышающей эффективность оболочек при осевом сжатии.

Математическое моделирование, цилиндрическая оболочка, устойчивость, теория оболочек, осевые критические силы, осевое сжатие, эффективность (весовая) оболочек, геометрически неоднородные оболочки

E.V. Antonenko, T.E. Shulga

MODELS OF THE MOST BENEFICIAL THICKNESS VARIATION FOR THIN-WALLED CYLINDERS UNDER AXIAL COMPRESSION

The paper is dedicated to stability loss in the cylinder shells having variable thickness, and the laws of thickness variation along the shell axis. A comparison is made of the axial shell forces characterized for constant or variable thickness under similar weight and dimension of shells. The study showed advantages of shells with variable thickness resulting from their weight. We proposed a new method for defining optimal standards of thicskness variation. The authors defined the law of thickness variation, which improves efficiency of shells under the axial compression.

Mathematical modeling, cylindrical shell, stability, theory of shells, buckling force, axial compression, shell efficiency, non-uniform shells

Проблеме устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии посвящены сотни публикаций, например [1-5], однако среди них мало работ с расчетом оболочек переменной толщины [6-10].

Первые попытки отыскания оптимальной формы сжатых осевыми силами колонн принадлежат Ж.Л. Лагранжу [7, 11-13]. Для отыскания максимальной осевой критической силы N* при минимальном объеме материала V он ввел величину N*/V, назвав ее эффективностью. До настоящего времени решение такой задачи в общем виде отсутствует.

Снижение материалоемкости, характеризующееся отношением критической силы к массе конструкции является актуальным не только для авио- и ракетостроения. Результаты расчета стержней и оболочек переменного сечения нашли отражение в справочной литературе, например [14]. Однако рекомендации по выборы эффективной формы (по терминологии Лагранжа) стержней и цилиндрических оболочек, как совокупности бесконечно большого количества стержней - образующих, обнаружить не удалось.

Применительно к тонкостенным цилиндрам задача сводится к отысканию осевых критических сил оболочек с переменной толщиной 8(х) вдоль продольной оси х - геометрически неодно-

родных оболочек. Эффективность таких оболочек будем оценивать отношением осевых критических усилий N* к ее массе М. Для геометрически неоднородных оболочек следует рассматривать осевые погонные критические усилия N* = ст(х)5(х), а не критические напряжения ст*, как принято в теории оболочек. Такой подход использовался в работах [4, 6, 8, 15]. В этом случае эффективность представляет собой удельную критическую нагрузку, которую несет единица массы оболочки N* = N*/М.

Рассмотрим эффективности оболочек с переменной толщиной и сравним их с эффективностью оболочек постоянной толщины при условии, что массы и габариты оболочек (длины и радиусы) одинаковы. В этом случае эффективность неоднородной оболочки удобно оценивать величиной отношения удельной критической нагрузки неоднородной N* и однородной оболочки N*o.

w* ,1Ч

^ =

При эффективности ^ > 1 оболочка с переменной толщиной будет «выгоднее» гладкой оболочки такой же массы, если несущая способность определяется критической силой пропорциональной N*.

Вычислительный эксперимент позволяет найти эффективность оболочек при разных законах изменения толщины 5(х), сделать выводы и дать рекомендации о рациональном законе изменения толщины и параметрах этих законов дающих максимальную эффективность.

Ниже рассматривается равномерное осевое сжатие тонкостенной круговой цилиндрической оболочки при потере устойчивости по осесимметричной форме. Ось оболочки остается прямолинейной, а поверхность ее получает осесимметричные деформации И(х). Каждое поперечное сечение остается круговым, образующие изгибаются. Число полуволн вдоль образующих - т. Такая форма потери устойчивости наиболее вероятна для сравнительно коротких цилиндров при быстром нарастании осевой силы. Например, для отсеков ракет в момент старта при пушечном запуске двигателя, при разделении ступеней и др.

Расчет осевых критических усилий ведется с использованием условия безразличного равновесия в точке бифуркации, то есть в малом, что позволяет использовать зависимости линейной теории оболочек. Эти условия, в соответствии с принципом виртуальных перемещений, эквивалентны условию минимума потенциальной энергии (минимума функционала), позволяют получить дифференциальное уравнение потери устойчивости из уравнения Эйлера-Лагранжа вариационной задачи [3,6].

и''''

где И(х) - функция прогиба - радиальные перемещения, штрихами обозначены производные по осевой координате x, $ = $[12(1 — '2)]-1, E- модуль упругости, ' - коэффициент Пуассона, R - радиус срединной поверхности.

Из уравнения (2) следует, что величины осевых критических усилий зависят от вида функ-ций5(х) и ее двух первых производных при заданных граничных условиях.

В частном случае оболочки с постоянной толщиной 5(х) = S = const (для геометрически однородной оболочки) из (2) получим известное дифференциальное уравнение задачи устойчивости при N* = ст*5:

И''''

Яо2 ЯК2о2

При шарнирном закреплении краев оболочки из (3) следует классическое выражение верхнего критического напряжения

ст* = i И -

Поиск собственного значения N* из дифференциального уравнения (2) связан со значительными математическими трудностями. Для оценки величины критических усилий более эффективным оказывается прямой метод состоящий в равенстве работы внешних сил (критических усилий) на осевых перемещениях и энергии деформации оболочки в деформированном состоянии, соответствующем безразличному равновесию оболочки.

Прямой метод [6] дает:

N = И J0'g3

* /0У'

где l - длина оболочки.

Закон изменения толщины оболочки представим в виде

<5

где 5о- толщина оболочки в сечении x=0. При ?(х) = 1 имеем однородную оболочку толщиной ¿>о.

При использовании зависимости (5) кроме задания функции изменения толщины (6) необходимо задавать функции прогиба в зависимости от граничных условий.

Для случаев шарнирного закрепления краев оболочки на абсолютно жестких в своих плоскостях шпангоутах, при защемлении образующей и ее консольном закреплении можно использовать соответственно функции:

Шш

Зависимость (5) для оболочек с постоянной толщиной дает тот же результат, который следует из решения дифференциального уравнения (3). Ниже будем использовать прямой метод и зависимость (5).

При шарнирном закреплении краев оболочки толщиной 50 из (5) имеем

Е50[—) 11 + ЕЯ-26о^Т) 12

•I г1

Ь1;

mnx

Г1 2mnx Г 2_______

I1 = I2 = I sin2—;—dx; I3 = I cos2—-—dx.

1 2 Jo O 3 Jo O

Это соотношение перепишем в виде

2 _2

N*=E503

Константы Ф1 и Ф* можно вычислить для оболочек переменной толщины, т.к. в выражения интегралов I1, 12 и I3, войдет функции ?(x), определяющие закон изменения толщины (6). Число полуволн m находится из условия минимума N,:

dN mN\2 E Ф2

= 0; (-J = 2

P$

T

Подставляя последнее выражение в (8) получим

N, = КЪ4ф)Ф~2; N,0 = 4Ф6ЦТ'

что совпадает с точным решением.

При защемлении краев оболочки толщиной 5оимеем N,03. Для оболочки толщиной S(x) получим:

N, = N,034)~2; N,03 = J3N,o .

Сравнительные расчеты авторов для i-x граничных условий при осесимметричной форме потери устойчивости дают зависимости аналогичные (9) и (10):

N,=YN,oO Г = 4ФФ~2 ,

где учет переменности толщины отражается интегральными константами Фг и Ф2, формирующими эффективность оболочки по сравнению с оболочкой толщиной So. При этом эффективность оболочек оценивается величиной Ц = Y.

При расчетах массы однородной оболочки, равной массе неоднородной, введем понятие эквивалентной толщины Sэ:

М = 2nRS3l\ Sэ = S0ß; ß = 7 ?

Параметр ß показывает на сколько эквивалентная толщина больше толщины S0. Формула Эффективности оболочки (1) в этом случае принимает вид

Ц=~Э=]".

Ряд законов изменения толщины и соответствующие им характеристики приведены в таблице. Результаты вычислительного эксперимента при шарнирном закреплении краев оболочки отражены на рис. 1-5.

Законы изменения толщины 2 и 3 (см. таблицу) соответствуют оболочке, состоящей из двух и трех участков с постоянными толщинами (рис. 1-2). Для оболочки из трех участков диапазон 1 = 0 — 1 на этих рисунках следует заменить на диапазон 1 = 0 — 0,5.

Алгоритм расчета представленных зависимостей для 2-5 законов изменения толщины (см. таблицу) можно представить следующим образом.

Для оболочек со ступенчато изменяющейся толщиной формула (5) принимает вид

N = [E(h + I2) + ER~2(I3 + I4)]/I5 ; I)= S 'sfWiW11

Jo

(.x)]2dx ;

г

2

Р2 = [ 5|(х)[^//(х)]2Тх; /3 = | Ч

-'о

/4 = | 52(Х)[^(Х)]2ТХ; /5 = | 1[^/(х)]2Тх,

-'о

(Х)[^(Х)]2ТХ ;

га

что дает

л. = $53 (7)2 Ф) + $«"25о

где интегральные константы Ф, и Ф2приведены в таблице.

Для оболочек со ступенчато изменяющейся толщиной формула (5) принимает вид _ -'1

N = [$(/) + /2) + $Я"2(/з + /4)]//5; /) "

о

г г1

- г'а

= [$(/) + /2) + $К"2(/з + /4)]//5 ; /) = | 55(Х)[^/7(Х)]2ТХ ;

/2 = | 5!(Х)[^я(Х)]2ТХ; /3 = | Ч(Х)[^(Х)]2ТХ ; г1 о

/4 = | 52(Х)[^(Х)]2ТХ; /5 = | 1[^/(Х)]2ТХ, г1 о

что дает

,2 /„,„ч-2

N. = $55 (7) Ф) + $К-25о Ф2,

где интегральные константы Ф) и Ф2 приведены в таблице.

Законы изменения толщины оболочек

Таблица

№ Закона изменения толщины ?(Х) 5э Р= 5Т Ф), Ф2

1 1 1 Ф) = 1, Ф2 = 1

2 1, 0 < Х < 1ъ 5, < х < г, - 52 _ 5о = 5), 5 = 5), °=т Г+ (1 — Г= г)/г Ф) = Г(1 — 53) + 53, Ф2 = Г(1 — 5) + 5

3 1, 0 < х < 1ъ 5, гх < х < г — гХ1 1, г — г! < х < г 2Г(1 — 5) + 5, Т= г)/г Ф) = 2Г(1 — 53) + 53, Ф2 = 2Г(1 — 5) + 5

4 1 + а sin— 2 1 +-а N Л , 6 3 2 4 3 Ф, = 1 + —а + -а2 + —а3, ! N 2 3N 2 Ф2 = 1 + -а 2 N

5 . 2 ^ 1 + а sin2 — 1 1 + 2а 3 9,5, = 1 + 7 а + 8 +16 1 Ф2 = 1 +^а

6 2ах 1 1+~Г' 0 <Х <2 / А г 1+2а(1—2<х<г 1 + 0.515а Ф, о 1 + 1.546а + 1.077а2 + 0.2846а3, Ф2о1 + 0.515а

7 _ гсх _ га: 1 — 0.493азт3 —+ 1.493азт5 — 1 + 0.298а Ф, о 1 + 0.893а + 0.666а2 + 0.184а3, Ф2 о 1 + 0.298а

Рис. 1. Коэффициент пропорциональности критических погонных усилий оболочек с толщиной,

изменяющейся ступенчато

Рис. 2. Эффективность оболочки с толщиной, изменяющейся ступенчато Для оболочек со ступенчато изменяющейся толщиной формула (5) принимает вид

- Л

N = [$Е(11 + 12) + ЕЯ~2(13 + 1А)]/1_ ; 11=1 8^(х)[Ш11(х)]2йх ;

I I

12 = [ 823(х)[Шп(х)]2Тх; 13 = [ 151(х)[Ш{х)]2Тх ; н1 -'о

-г ги

= [ 82(х)[Ш(х)]2Тх; 15= [1[Ш1(

-'о

1А = [ 82(х)[№(х)]2Тх; 15= [ [Ш1(х)]2Тх,

что дает

N. = $81

где интегральные константы Ф1 и Ф2приведены в таблице.

/ вк\2

Далее, минимизируя N. по , получаем выражение, аналогичные

у = 4Ф1Ф2 , N«1=433==^.

Величина N«1 соответствует критическим усилиям оболочки с постоянной толщиной 81. Зависимость величины у = Ц от параметров оболочки представлена на рис. 1.

Аналогичные результаты получаются для симметрично ступенчатой оболочки - третий закон изменения толщины в таблице.

Для оболочек, толщины которых меняются по синусоиде (законы 4 и 5 в таблице) выражение М будет содержать семь интегралов. В этих случаях удается получить выражения аналогичные (8), (14) со своими константами Фг и Ф2 и найти зависимости определяемые формулой (9) для осевых критических усилий.

Шестой закон линейного изменения толщины, обозначенный на рис. 3-4 8(х) = Ип(а, х), потребовал для получения обозримых результатов замены линейной функции отрезком ряда степеней синусов с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа пятой степени. Для такой оболочки не удастся представить выражение М в каноническом виде (8) и найти число полуволн из

/ шп\ 2

дифференцирования выражения М по автомодельной переменной (— 1 .

Закон изменения толщины 6 в таблице симметричен относительно середины длины 2 и поэтому можно провести замену переменных:

х = ^а^ту.

п

7.00 / у

6.00 г

5.0 5

4.00 'У.у* /

З.ОО У ф т / о II

2.06 у /

1.00

О.ОО

Рис. 3. Коэффициент пропорциональности критических погонных усилий для оболочек с непрерывными законами изменения толщины

1.35 /

1.30 5(х ) = орт_ (а, х) /

1.25 /5(> ) б,(!'а и

1.20 щ Х

1.15

1.10 / / ^ 5(>

т 105 5(х)=£ М+аппЩ

—>

а

Рис. 4. Эффективность для оболочек с непрерывными законами изменения толщины

Подставим в (15) закон изменения толщины в виде

Znx V-1 —i V-1

ansinn— = u ansinn(— arcsiny) = U anyn,

Тогда

5

Приблизив (16) интерполяционным многочленом Лагранжа пятой степени, получим 5(y) * 1 + 0,794ay - 1,640ay2 + 5,892ay3 - 8,371ay4 + 4,326ay_.

Считая погрешности аппроксимации не превышающие 2,5% от толщины оболочки, получим приближенные значения Фг и Ф2.

Из результатов, представленных на рисунках 3 и 4, следует, что оболочка с линейно изменяющейся толщиной, выгоднее оболочки с толщиной, изменяющейся по синусоиде.

Рассмотрим законы изменения толщины по синусоидам в более высоких степенях

5

Из выражения для удается подсчитать интегралы и представить их в каноническом виде (8). При выполнении условия когда число полуволн т > 2 получаем

j0smny[Wfc(x)]2dx * (CB)2fc_2 J0ísin2(Cp)dx, { = 0;2.

Программа поиска оптимального закона изменения толщины среди функций (17) при n = 5 на Maple при помощи встроенной функции Maximize позволила получить

?

График изменения толщины оболочки по ее длине приведен на рисунке 5. Параметры эффективности оболочек при таком изменении толщины отражены в таблице (закон 7) и на рис. 3 и 4.

Рис. 5. Изменение толщины для оптимальной1 функции

Выводы и рекомендации. При осесимметричной форме потери устойчивости критические усилия при защемленных краях в —3 раз выше, чем при шарнирном закреплении.

Эквивалентные по массе оболочки с постоянной толщиной менее эффективны оболочек с переменной толщиной. Для оболочек со ступенчатым изменением толщины критические усилия увеличиваются примерно на 30% в случае когда участок большей толщины составляет около 20% длины.

Для оболочек, толщина которых меняется по выпуклой и вогнутой синусоиде, ?(х) = 1 + а-гп — , увеличение эффективности составляет примерно 8% (при а>0, а<0). Более эффективными

являются оболочки с линейно изменяющейся толщиной.

Наиболее эффективными являются оболочки, толщина которых меняется по закону 5(х) = ор£5(а, х). Они эффективнее однородных оболочек примерно на 20%.

Заметим, что результаты, полученные прямым методом, следует считать приближенными. Но они качественно отражают выгодность применения оболочек с переменной толщиной и могут быть полезными на этапе проектирования оболочечных конструкций.

1 Оптимальность понимаемся с условиями множества ограничений, накладываемых на функцию, как физических, так и алгоритмических

ЛИТЕРАТУРА

1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.:Наука. 1974. 640с.

2. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.:Наука, 1995. 308с.

3. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение 1966. 508 с.

4. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991. 336с.

5. Мочалин А. А. Устойчивость неоднородной цилиндрической оболочки от неравномерной радиальной нагрузки // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. Т. 2. № 1 (70). С. 28-31.

6. Антоненко Э.В., Шульга Т.Э. Осевые критические нагрузки цилиндрических оболочек переменной толщины // Доклады академии военных наук. Академия военных наук (Поволжское отделение). 2008. № 2 (31). C. 86-92.

7. Сайранян А.П. Новые решения задачи Лагранжа // Доклады РАН. 1995. т. 342, № 2. С. 182-184.

8. Kanno Y., Ohsaki M. Necessary and sufficient conditions for global optimality of eigenvalue optimization problems. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2001. V.22. pp.248-252.

9. Крысько В.А., Кузнецова Э.С., Жигалов М.В., Шагивалеев К.Ф. Динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек при действии полосовой знакопеременной нагрузки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2011. №2. C. 42-48.

10. V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, N.E. Saveleya. Stability, bifurcation and chaos of closed flexible cylindrical shells // International Yournal of Mechanical Sciences, 2008. 50(2). pp. 247-274.

11. Egorov Y.U. On the Lagrange problem about the strongest column. Rapport Interne 02 - 16, 2002. Universite Paul Sabatier. Toulouse III. p. 1-7.

12. Timoshenko S.P. History of Strength of Materials. New York: McGraw - Hill. 1953.130 p.

13. Николаи Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн / Труды по механике. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1955. С. 9-44.

14. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в трех томах, т. 3. М.: Машиностроение, 1968. 568 с.

15. Антоненко Э.В. Выбор оптимальных параметров вафельных конструкций из условий минимума веса // Изв. вузов: Авиационная техника. 1972. № 1. С. 30-34.

Антоненко Эрик Васильевич -

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Математического и компьютерного моделирования» Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Шульга Татьяна Эриковна -

доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Прикладная информатика и программная инженерия» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Еrik V. Antonenko -

Ph.D., Professor

Department of Mathematical and Computer Modeling

Chernyshevsky State University

Tatyana E. Shulga -

Ph.D., Associate Professor

Department of Applied informatics and Software

Engineering,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 17.09.14, принята к опубликованию 21.12.14