ТРИВИАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛУГРУПП И ПОЛУГРУППОВЫЕ C*-АЛГЕБРЫ

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 2 (2022). С. 70-82.

УДК 512.533.72, 517.986

ТРИВИАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛУГРУПП И ПОЛУГРУППОВЫЕ С*-АЛГЕБРЫ

Е.В. ЛИПАЧЕВА

Аннотация. Предметом исследования в статье являются приведенные полугрупповые С*-алгебры для полугрупп, обладающих свойством левого сокращения. Такая алгебра представляет собой очень естественный объект, так как она порождается изометрическими операторами сдвига, принадлежащими образу левого регулярного представления полугруппы с левым сокращением. Эти операторы действуют в гильбертовом пространстве всех квадратично суммируемых комплекснозначных функций, заданных на полугруппе. Изучается вопрос о функториальности инволютивных гомоморфизмов полугрупповых С*-алгебр, то есть вопрос о существовании канонического вложения полугрупповых С*-алгебр, индуцированного вложением соответствующих полугрупп. Для этого мы исследуем приведенные полугрупповые С*-алгебры, которые соответствуют полугруппам, участвующим в построении нормальных расширений полугрупп с помощью групп. При этом в статье рассматривается один из простейших классов расширений полугрупп, а именно, класс так называемых тривиальных расширений. Показывается, что если полугруппа L является тривиальным расширением полугруппы S с помощью группы G, то существует вложение приведенной полугрупповой С*-алгебры C*(S) в С*-алгебрv C*(L), индуцированное вложением S в L.

Также в работе вводится и изучается структура банахова С*(5)-модуля на подлежащем пространстве приведенной полугрупповой С*-алгебры C*(L). Для этого используется топологическая градуировка С *-алгебр ы C*(L) над групп ой G. В случае, когда полугруппа L является тривиальным расширением полугруппы S с помощью конечной группы, доказывается, что на подлежащем банаховом пространстве приведенной полугрупповой С*-адгебры C**(L) существует структура свободного банахова модуля над С*-алгеброй C*(S).

Для более полной характеризации рассматриваемых вопросов и выявления связей с полученными ранее результатами в статье приводятся примеры расширений полугрупп и редуцированных полугрупповых С*-алгебр.

Ключевые слова: полугруппа с сокращением, нормальное расширение полугруппы, тривиальное расширение полугруппы, приведенная полугрупповая С*-алгебра, вложение полугрупповой С*-алгебры, банахов модуль, свободный модуль.

Mathematics Subject Classification: 46Н25, 47L30, 20М15

Введение

Статья посвящена изучению нормальных расширений полугрупп с сокращением и соответствующих полугрупповых С*-алгебр.

Приведенные полугрупповые С*-алгебры - это операторные алгебры, порожденные левыми регулярными представлениями полугрупп с сокращением. Впервые такие алгебры

E.V. Lipacheva, Trivial extensions of semigroups and semigroup с*-algebras.

© Липачева Е.В. 2022.

Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета ("ПРИОРИТЕТ-2030").

Поступила 2 декабря 2021 г.

изучались в работах Кобуриа [1], [2] и Дугласа [3]. Они рассмотрели приведенные полугрупповые С*-алгебры для полугрупп, являющихся положительными конусами упорядоченных подгрупп в аддитивной группе всех вещественных чисел. Свое дальнейшее изучение эти алгебры получили в работах Мерфи [4], [5], Ники [6], Лаки и Рэйберна [7], Ли [8] и др.

Настоящая работа является продолжением исследований приведенных полугрупповых С*-адгебр, начатых в [9]- [13], При этом мы рассматривавм полугрупповые С*-алгебры, соответствующие полугруппам, участвующим в построении расширений полугрупп.

Теория расширений полугрупп играет важную роль при изучении структуры и характеристик полугрупп, в частности, их когомологий (см., например, [14]), В исследованиях по полугруппам рассматриваются различные виды расширений: идеальные расширения [15], шрайеровы [16], нормальные расширения [17], [18], В [19] изучалось действие функтора стоун-чеховской компактификации на нормальных расширениях полугрупп.

Данная статья нацелена на выявление связей между расширениями полугрупп и соответствующими полугрупповыми С*-алгебрами и дополняет исследования, проведенные в работах [20]- [22], В ней рассматривается один из простейших типов нормальных расширений, а именно, тривиальные расширения. Если Ь является тривиальным расширением Б с помощью конечной группы, то подлежащее пространство С*-адгебры С*(Ь) можно наделить структурой свободного банахова модуля над С*-адгеброй С* (Б), При доказательстве этого факта использовалась топологическая градуировка С*-адгебры С*(Ь), построение которой описано в [12], Напомним, что понятие топологически градуированной С*-алгебры было введено Экселем [23] с целью распространения понятий гармонического анализа на некоммутативный случай.

Статья состоит из введения и трех разделов, В разделе 1 приводятся необходимые сведения из теории расширений полугрупп, теории полугрупповых С*-алгебр и банаховых модулей. Раздел 2 посвящен вопросу о функториальноети морфизмов полу групповых С*-алгебр, который в общем виде был поднят в работе [8] и изучался в [22] применительно к приведенным полугрупповым С*-алгебрам, построенным по полугруппам, одна из которых является нормальным расширением другой, В разделе 3 на подлежащем пространстве С *-адгебр ы С*(Ь) вводится и исследуется структур а банахова С* (Б )-модуля при условии, что полугруппа Ь является тривиальным расширением Б с помощью группы,

1. Предварительные сведения

Пусть Б и Ь - дискретные полугруппы с левым сокращением, а С - группа с единицей е. Пусть имеется инъективный гомоморфизм полугрупп т : Б —> Ь и еюръективный полугрупповой гомоморфизм а : Ь —у С. Тройку (Ь, т, а) назовем нормальным расширением полугруппы Б с помощью группы С, если т(Б) является полным прообразом единицы группы С, т.е.

а~1(е) = г (Б).

Саму полугруппу Ь тоже будем называть расширением полугруппы Б с помощью группы С. Общие определения расширений полугрупп можно найти в [17], [24],

Пусть множество X такое, что X С Ь\т(Б) и XПа-1(д) = [хд} для любого д € С, д = е. Будем говорить, что расширение (Ь, т, а) полугруппы Б порождается множеством X, если каждый элемент у € Ь \ т(Б) единственным образом предетавляетея в виде у = т(а)хд для некоторых а € вид € С, В этом случае каждое подмножество а-1(д), д = е, имеет вид

о-1(д) = т(Б)хд := {т(а)хд | а € Б}.

Отметим, что расширения, обладающие порождающими множествами, являются шрай-еровыми расширениями (см, [14]),

Два расширения (Ь,т,о) и (Ь', т', о') полугруппы 5 с помощью группы С называются эквивалентными, если существует изоморфизм полугрупп ф : Ь —у Ь', делающий коммутативной диаграмму

Ь

5

Ь

Рассмотрим декартово произведение 5 х С полугруппы 5 и группы С. Оно является полугруппой с операцией умножения

где а,Ь Е Б, д^ Е С, Расширение вида (5 х С, т, о), где т(а) = (а, е) и о(а, д) = д для любых а е 5, д Е С, или любое, ему эквивалентное, называется тривиальным расширением полугруппы 5 с помощью группы С.

Напомним далее определение приведенной полу групповой С *-алгебры. Пусть Р - дискретная полугруппа с левым сокращением. Введем в рассмотрение гильбертово пространство па этой полугруппе. Это пространство есть пространство 12(Р) квадратично суммируемых комплекснозначных функций на Р. Обозначим через ер, р Е Р, функцию пространства 12( Р), определяемую формулой

. 1, если р = д:

ер(Я) := {г, /

0, если р = д.

где д Е Р. Тогда множество функций {ер | р Е Р} представляет собой ортонормированный базис гильбертова пространства 12( Р).

В алгебре всех ограниченных линейных операторов В(12(Р)) на пространстве 12(Р) рассмотрим С*-подадгебру С*(Р), порожденную множеством изометрий {Тр | р Е Р}, где Тр(ед) = ерд, р,д Е Р. Она называется приведенной полугрупповой С*-алгеброй. Еди-

Если Р = N - аддитивная полугруппа натуральных чисел, то приведенная полугрупповая С*-адгебра С* (Ж) называется алгеброй Теплица и обозначается символом Т.

Опишем плотную подалгебру в С*-алгебре С* (Р). Для каждого элемента р Е Р рассмотрим символы Т—1 апс1 Т^. Обозначим через Т(Р) свободную полугруппу слов, составленных из букв алфавита {Т-1,Т1 | р Е Р}, Полугруппа Т(Р) является инволютивной полугруппой. Произвольный элемент этой полугруппы - это слово (моном) вида

^ :=Т^...Щ,

где р = (р1,...,рк) - элемент ^-кратного декартова произведения Рхк := Р х ... х Р, %1,..., г к Е {-1,1} к Е N Число к в записи (1.2) назовем длиной монома.

Т

= Т — ЧТТ— 1

Каждый моном ^ определяет ограниченный линейный оператор па гильбертовом 2

гр 1__ГГ1 гг1—1__гр*

Тр : Тр, Тр : Тр,

и для любого монома Ур вида (1.2) положим

V? ^Т^...ТЦ.

Назовем Ур операторным мономом.

Конечные линейные комбинации операторов вида

т

А =

г=1

образуют плотную инволютивную подалгебру в С*-адгебре С*(Р), которую будем обозначать V (Р).

Далее мы напомним необходимые определения из книги [25], связанные с модулями. Под модулем мы будем понимать левый модуль.

Пусть А - унитальпая С*-алгебра, Модуль Ш над С*-адгеброй А называется банаховым А-модулем, если он является банаховым пространством с нормой, удовлетворяющей неравенству: ||А  М|| ^ ||А||||М||, где А € А, М € Ш.

Элемент М в банаховом А-модуле Ш называется циклическим, если выполняется равенство

Ш = А  М := {А  М | А € А}.

Банахов модуль, обладающий циклическим элементом, называется циклическим модулем.

Пусть Е - банахово пространство. На проективном тензорном произведении АЕ существует структура унитального левого банахова А-модуля, которая однозначно задается формулой

А  (В Х) = АВ Х, А, В € А, X € Е.

А

логически изоморфен модулю АЕ для некоторого банахова пространства Е.

Например, сама С*-адгебра А является свободным унитальным банаховым А-модулем. Также банахова прямая ^-сумма п копий модуля А является свободным банаховым А А

~ ^ А С

фА

2. Вложения полугрупповых С*-алгебр, индуцированные тривиальными

расширениями полугрупп

В этом параграфе мы дополним результаты, полученные в работе [22], о вложении полугрупповых С*-алгебр, соответствующих полугруппам, образующим нормальное расширение полугрупп.

Теорема 2.1. Пусть S - полугруппа с левым сокращением и (L,r,a) - тривиальное расширение полугруппы S с помощью группы G. Тогда, существует единственный изометрический ^-гомоморфизм р : C*(S) —> С*(L), такой, что p(Ta) = ТТ(a).

Доказательство. Поскольку (L, т, а) - тривиальное расширение, то с точностью до изоморфизма полугрупп, мы имеем равенство

L = S xG.

При этом т(а) = (а, е) и а(а, g) = д для любых а Е S, д Е G.

С*

ф : C*(S xG) C**(S) min C**(G) : T(at9) ^Ta  Ta.

Зададим отображение

в : C*r(S) C*r(S) min C*r(G) : А^ А 0 I.

Очевидно, 9 - инъективный *-гомоморфизм С*-алгебр, Тогда отображение

< :=ф-1 о в : C*

является инъективным *-гомоморфизмом. Осталось проверить, что <(Та) = Тт(а). Действительно, поскольку ф(Т(а,е)) = Та 01, то <(Та) = Т(а,е) = Тт(а).

Заметим, что теорема 2,1 может быть доказана и без использования леммы 2,16 из [8]. Это можно сделать таким же способом, которым доказывалась теорема 3,1 в [22],

Приведем набросок доказательства. Представим гильбертово пространство 1 2( S X G) в виде прямой суммы своих подпространств

l2(S x G) = фН9,

aec

где базисом подпространства Нд является множество {е(а,д) | а G S}. Каждое подпространство Нд инвариантно относительно любого оператора Т(а,е) и Т*ае), а G S, и относительно любого операторного монома вида

^____rpil rpi2 rpik

Ца,е) : = Та1,е)1(а2,е)...1(ак,е),

где а = (ах, ...,ак) G Sхк, е = (е,..., е) G Gxk, гх,..., гк G {-1,1} к G N.

Затем зададим отображение < равенствами <(Та) = Та>еЬ <(Т*) = Т*ае) и продолжим

его на операторные мономы Va вида (1.3):

<(% ) = V( а,ё) А

m

ai

i=l i=l

<(А) = ^ai<<(Yäi) = ^2aiV(äite).

Корректность такого продолжения показывается с помощью унитарных операторов

ид : 12(Б) —» Нд : е(

О-,я),

для любых а Е Б 9 Е С, Построенное отображение < есть унитальный *-гомоморфизм из алгебры V( Б) в С*-адгебру С*(Б х С).

Наконец, можно показать, что для любого А Е V(Б) справедливо равенство

<(А) = фидАи*д.

дес

< * <

до изометрического *-гомоморфизма на всю С*-адгебру С*г (Б).

Отметим, что если полугруппа Б содержит единицу е, то тривиальное расширение Ь обладает порождающим множеством. Действительно, как нетрудно проверить, порождающим множеством является

X = {(е, д) | дЕС].

Тогда существование изометрического *-гомоморфизма < : С* (Б) —> С* (Ь) следует из

Ь

Б С*

С* (Б) —у С* (Ь) существует.

Пример 2.1. Возьмем в качестве полугруппы Б аддитивную полугруппу натуральных чисел, N Пусть С - произвольная группа с единицей е. Тогда, декартово произведение N х С является полугруппой относительно умножения

где п,т € N 9, К € С. Расширение (К х С,т,а) полугруппы К, где т(п) = (п, е) и а(п, д) = д, не обладает порождающим множеством. Действительно, пусть такое множество X существует. Тогда, эл,ем,ент хд = (х, д) € X должен представляться, в виде (х, д) = т(п)(х, д) для, некоторого п € N Но тогда, (х, д) = (п + х, д), и, следовательно, п = 0. Получили противоречие. С другой стороны, по теорем,е 2.1 существует изометрический ^-гомоморфизм

у : С*(К) С*(К х С),

такой, что у(Тп) = Тт(п), где п € К.

3. Тривиальные расширения полугрупп и модули над полугрупповыми

С *-алгебрами

Пусть на протяжении всего параграфа (Ь,т,а) - тривиальное расширение полугруппы Б с помощью группы С. То есть с точностью до изоморфизма полугрупп, мы будем иметь ввиду равенство

Ь = Б хв.

Причем т(а) = (а, е) и а(а, д) = д для любых а € Б, д € С.

Для доказательства основного результата настоящего параграфа мы воспользуемся топологической градуировкой С *-адгебры С* (V) над групп ой С. Построение такой градуировки было обосновано и проведено в работе [12] для произвольной приведенной полугрупповой С*-алгебры при условии существования еюръективного полугруппового гомоморфизма из соответствующей полугруппы на группу С. Определения градуированной и топологически градуированной С*-алгебры содержатся в [23, §§16,2, 19,2], Далее мы приведем краткое описание конструкции, позволяющей получить топологическую градуировку С *-адгебры С* (V) над групп ой С.

Поскольку (Ь, т, а) является расширением полугруппы Б с помощью группы С, то мы имеем еюръективный полугрупповой гомоморфизм

а :Ь —>С.

Для полугруппы Ь рассмотрим свободную полугруппу Т(V) мономов вида (1.2), составленных из букв алфавита {Т-1,Т^ | х € Ь}\

У_ — Т г^-Т г2 Т гь

Ух : ±Х1±Х2 " Хк ,

где ж =(х1,...,хк) € Ьхк, %]_,..., гк € { — 1,1} к€ К.

Зададим отображение : Т(V) —> С формулой

Ц-) = а(х1)г^(х2)г2 ...а(хк)4.

Легко видеть, что отображение ind является инволютивным еюръективным гомоморфизмом полугрупп. Значение ind ( ) называется а-нндексом монома

В [12, лемма 1] было показано, что если два монома определяют один и тот же операторный моном, то их а-индексы совпадают, т.е. если Ух = Уд, то ind (Ух) = iпd(Vg), Поэтому величину ind ( Ух) € С также можно назвать а-нндексом онера торного монома У^.

Легко проверить, что множество мономов а-нндекса е образует инволютивную подполугруппу в полугруппе всех мономов Т(V).

Пусть Ае обозначает С*-подадгебру в С*-алгебре С*(Ь), порожденную множеством всех операторных мономов а-индекса е.

Пусть Ад обозначает банахово подпространство в С*-адгебре С**(Ь), являющееся замыканием линейной оболочки множества всех операторных мономов а-индекса д, д Е С.

Семейство подпространств [Ад | д Е С} образует топологическую С-градуировку приведенной полугрупповой С*-адгебры С*(Ь) [12, теорема 2]. Далее мы докажем одну техническую лемму

Лемма 3.1. Пусть Б - полугруппа с левым сокращением и С - группа с единицей е. Тогда, в С *-алгебре С* (Ь) для любых а\,...,ак Е Б и д\,..., дк Е С выполняется, равенство для, операторных мономов

грп гр1к-1 г^гк _ грп /'о

(а1,91)... (ак-1,9к-1) (ак,9к) _ (а1 ,е)". (ак-1,е) (ак ,д1к), V " >

где д _ д?...дк, ц,..., ^ Е {—1,1}, к Е N к > 2. Доказательство. Рассмотрим произвольный моном

(а1,д1)... (ак-1,дк-1) (ак ,9кГ

Пусть к _ 2. Тогда равенство (3,1) примет вид:

Грг ГрЭ _ Грг ГрЭ 9)

1(а,р)1(Ь,д) _ 1(а,е)1(Ь,(р^:) )з),

где а,Ь Е Б, р,д Е С, г,]Е{ — 1,1}, Докажем его. Для этого рассмотрим четыре случая,

1) Пусть г _ ] _ 1. Тогда

Г(а,-р)Г(Ь,д) _ г (аЬ,рд) _ г (а,е)Г (Ь,рд).

2) Пусть г _ ] _ —1. Тогда

ГТ1 * ГТ1* _ ГТ1* _ / ГТ1 ГТ1 \* _ ГТ1* ГТ1*

1(а,р)1(Ь,д) _ Г(Ьа,др) _ (Г (Ь,др)Г (а,е)) _ Т (а,е)Т (Ь,(р-1д-1)-1).

3) Пусть г _ — 1, ] _ 1. Вычислим Т*ар)Т(ь,д) па произвольном базисном векторе е (ф) Е 12(Б х С). Если Т*а>р)Т(Ь>д)е(с>Н) _ 0, то

Т*а,р)Т

для некоторого 1 Е Б, такого, что а! _ Ьс. Действительно, скалярное произведение

{Т*а,р)Т(Ь,д)^(с,К), е(й,р-1дК)) _ (Ъс,дК) ,Т(а,р)е(й,р-1 дК)) _ (Ъсф), е(а(1,дк)) _ 0

в том и только том случае, если а1 _ Ьс. С другой стороны, в этом случае

Т(*а,е)Т(Ь,р-1 д)Чф) _ е(4,р-1 дК).

Если такого 1 не существует, то

Т*а,р)Т(Ь,д)е(с,К) _ Т*а,е)Т(Ь,р-1 д)е(ф) _

Таким образом, мы имеем равенство операторов

**

Т (а,р)Т (ь,я) _ Т (а,е)Т (Ь,р-1 д).

4) Пусть г _ 1, ] _ —1. Снова вычислим Т(а,р)Т*Ьд) па произвольном базисном векторе е(ф) Е 12(Б х С). Если Т(а,р)Т*ь^е(ф) _ 0, то

Т

1 Е Б _ 1

Т(а,е)Т*Ь,др-1)е(Ф) _ е(а<1,(др-1)-1К) _ е(ай,рд-1к).

Если такого й не существует, то

Т(а,р)Т*ь,д)е(ф) = Т(а,е)Т*ь,др-1 )в(ф) = 0. Таким образом, мы имеем равенство

ГТ1 ГТ1* _ ГТ1 ГТ1* _ ГТ1 ГТ1*

Та,р) ТЬ,я) = Та,е)Т(Ь,дР-1) = Т(а,е)Т(Ь,(рд-1)-1).

Рассмотренные четыре случая полностью доказывают равенство (3,2), имеем равенство:

гргк — 1 гр^к __Т^к — З гргк — 1 гр^к /9

(0,1,91)... (ак—1,9к—1) (о, к ,0к) = (а1,е)... (ак—2,е) (ак—1,И1к—1) (ак ,дк), V ' >

где к = д] д2...дгк-—1- Применим формулу (3,2) к произведению Т*к—1 ) Получим

равенство

Т^—1 Т^ = гТ^к—1 Т'к = Т'1'к—1 Тргк /О ¿Л

(ак—1,Ь1к—1) (ак,9к) = (ак—1,е) (ак ,(Ьдкк ук) = (Ок—1,е) (а,к,д1кУ ^ ' '

где д = д%1 ...д%к—1 дгк- Учитывая равенства (3,3) и (3,4), получаем требуемое равенство (3,1),

" "

В следующей теореме мы увидим, что представляет собой С*-подадгебра Ае полугрупповой С*-адгебры С*(Ь).

Теорема 3.1. Пусть Б - полугруппа с левым сокращением и (Ь,т,а) - тривиальное расширение этой полугруппы с помощью группы С. Пуст ь Ае - С *-подалгебра, в С *-алгебре С*(Ь), порожденная операторными мономами а-индекса е, где е - единица группы С. Тогда имеет место изометрический изоморфизм С *-алгебр

С* (Б) = Ае.

Доказательство. Операторный моном в С*-алгебре С*(Ь) имеет вид

"/('а,д) := Т(а1,д1)Т(12,92)...Т(ак,9к),

где а = (а\,..., ак) € Бхк, д = (д \,..., дк) € Сх\ Ч,..., %к € { — 1,1} к € N. При этом а-индекс операторного монома вида (3,5) равен

1па

Из теоремы 2,1 получаем, что существует изометрический *-гомоморфизм

ф : С** (Б) С*(Ь) : Та ^ Т(а,е).

Тогда для любого операторного монома Т € С**(Б) вида (1.3) справедливо <ф(Уа) = Т(а,е), где а = (а\,..., ак) € Бхк, ё = (е,..., е) € Схк, к € N. Поскольку тё("(а,е)) = е, то (Б)) С Ае и, следовательно, мы можем рассмотреть коограничение ф на Ае:

</ :С*

которое является инъективным *-гомоморфизмом. Покажем, что сюръективно.

Из леммы 3,1 и формулы (3,6) вытекает, что если тё. ( У(а,д)) = е, то мы имеем равенство

Т(аа) =Т?1 Т2 )..Т.к ) =Т?1 Т2 )...Т(к ) =Тае\-

Это означает, что плотная подалгебра в С*-адгебре % совпадает с множеством всевозможных конечных линейных комбинаций

г=1

операторов вида Ца,е), где а = (а1,..., ак) € Бхк, ё = (е,..., е) € Схк, к € N. Отсюда следует еюръективноеть гомоморфизма

Таким образом, является изометрическим изоморфизмом С*-адгебр С* (Б) и Ае.

Зададим на подлежащем пространстве С *-адгебры С*(Ь) структуру банахова С*(Б)-модуля, определив операцию левого внешнего умножения следующим образом:

А •В = р0

где А е С* (Б), В е С*(Ь) и ^Р : С* (Б) —> % - изометрический изоморфизм (3.7) из теоремы 3.1. Далее будет показано, что если Ь является тривиальным расширением полугруппы Б с помощью конечной группы, то этот модуль является свободным. Но прежде нам понадобится одно вспомогательное утверждение.

Зафиксируем произвольный элемент а € Б, В С*-адгебре С* (Ь) для любого д € С рассмотрим операторы вида Уд := Т*ае)Та,д), Покажем, что Уд - унитарные операторы. Действительно, принимая во внимание лемму 3.1, получаем равенства:

V*" т/* _ ГТ1* ГГI ГГТ* ГГI _ гр* гр гр* Гр _ г

дуд = Т о,,е)Ч а>9)На,д)Ч о,,е) = Т( а,е)Н а,,е)Т( а,е)Ц а,дд-1) = 1,

Т/"*Т/" _ Т1* Т1 Т1* Т1 _ Т1* Т1 Т1* Т1 _ т

Уд уд = То,,д)Ча,е)Та,,е)Ча,д) = Та,е)Ча,е)Т(а,е)Ца,д-1 д) = ^

Лемма 3.2. Для, каждого д € С справедливо равенство

Ад = С*г (Б) • V,

т.е. пространство Ад является циклическим банаховым, С*(Б)-модулем, а эл,ем,ент Vg является, циклическим элементом, модуля Ад.

Доказательство. В силу равенства (3.8) и того, что : С* (Б) —> % - изометрический изоморфизм, для доказательства леммы достаточно доказать равенство

% = {АVg | А € Ае}.

А поскольку тё (Vg) = д и || = 1, то доказательство последнего равенства полностью повторяет доказательство леммы 5 из [12].

Теорема 3.2. Пусть Б - полугруппа, с левым, сокращением,, С - конечная, группа и (Ь, г, а) - тривиальное расширение полугруппы Б с помощью группы С. Тогда, существует топологический изоморфизм банаховых С* (Б) -модулей

с; (Ь) = фС*г (Б), 1

1 С

С *-алгебра С* (Ь) является, свободным банаховым, С* (Б)-модулем.

С

но в [12, теорема 4], подлежащее пространство С*-адгебры С*(Ь) представляется в виде конечной прямой суммы своих подпространств:

С*(Ь) = 0 %.

два

Это означает, что каждый элемент А € С*(Ь) единственным образом представляется в виде конечной суммы

А = , дес

ГДе Ад € Ад.

Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что существует изоморфизм С* (Б )-модулей

© А, = фС*(Б).

дес 1

Из леммы 3,2 вытекает, что С* (Б)-модуль Ад топологически изоморфен фактор-модулю С*(Б)/кпп{Уд} [25, предложение VI,2,3], где

кпп{Уд} := {А € С* (Б) | А -Уд = 0}

есть аннулятор элемента Поскольку Уд - унитарный элемент, то, как нетрудно проверить, Апп{Уд} = 0, Следовательно, мы имеем топологический изоморфизм банаховых С* (Б )-модулей

фд  С* (Б) Ад :А^А -Уд . Определим теперь линейное отображение

а

ф С* (Б) 0 Ад 1 дес

формулой

а(В) = £ф9 (Вд),

дес

где В =(Вд)дес €С*(Б).

1

а а

мости семейства подпространств {Ад }дес-а

\\а(В)\\ ^ £ \\ф9(Вд)|| ^ тах \\фд\\- £ \\Вд|| =тах \\фд||  \\В||ь

а

об обратном операторе, он имеет ограниченный обратный оператор

а~1

Ад ^ ^¡3С*(Б).

дес 1

Очевидно, а и а-1 - морфизмы левых С* (Б)-модулей. Следовательно, отображение а является топологическим изоморфизмом банаховых С* (Б)-модулей.

Таким образом, С*-алгебра С** (Ь) является свободным банаховым С** (Б)-модулем,

В работе [13] были описаны условия, при которых на подлежащем пространстве произвольной топологически градуированной полугрупповой С*-алгебры С*(Ь) имеется структура свободного банахова модуля над своей подалгеброй Ае. А именно, пусть X = {хд I д € С} - набор элементов в Ь, такой, что выполняется условие: X П а-1 (д) = {хд}. Пусть С - конечная группа и в полугруппе Ь существует множество X, такое, что каждый его элемент обратим в Ь. Тогда С*-адгебра С*(Ь) является свободным банаховым Ае-модулем [13, теорема 2],

Если в условиях теоремы 3,2 полугруппа S содержит единицу е, то в полугруппе L существует такое множество X, что каждый его элемент обратим:

X = {(е, д) IgeG}.

Тогда теорема 3,2 является следствием теоремы 3,1 и [13, теорема 2].

S

нам пример того, что утверждение, обратное к [13, теорема 2], неверно,

G

полугруппу натуральных чисел N и декартово произведение N xG с умножением, заданным, формулой (2.1). Тогда, С *-алгебра, C*(N x G) является свободным банаховым, .модулем, над алгеброй Теплица Т = С**(N), и мы имеем изоморфизм банаховых Т-модулей

C*(N xG) = 0 Г.

i

N x G

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L.A. Coburn. The С *-algebra generated by an isometry / / Bull. Amer. Math. Soc. 73:5, 722-726 (1967).

2. L.A. Coburn. The С *-algebra generated by an isometry II / / Trans. Amer. Math. Soc. 137, 211-217 (1969).

3. R.G. Douglas. On the С *-algebra of a one-parameter semigroup of isometries / / Acta Math. 128:3, 143-151 (1972).

4. G.J. Murphy. Ordered groups and Toeplitz algebras //J. Oper. Theory. 18:2, 303-326 (1987).

5. G.J. Murphy. Toeplitz operators and algebras // Math. Z. 208:3, 355-362 (1991).

6. A. Nica. С *-algebras generated by isometries and Wiener - Hopf operators / / J. Operator Theory. 27:1, 17-52 (1992).

7. M. Laca, I. Raeburn. Semigroup crossed products and the Toeplitz algebras of nonabelian groups // J. Funct. Anal. 139:2, 415-440 (1996).

8. X. Li Semigroup С *-algebras and amenability of semigroups // J. Functional Analysis. 262:10, 4302-4340 (2012).

9. S.A. Grigorvan, T.A. Grigorvan, E.V. Lipacheva, A. S. Sitdikov. С *-Algebra generated by the path semigroup }/ Lobachevskii J. of Math. 37:6, 740-748 (2016).

10. C.A. Григорян, Е.В. Липачева, А.С. Ситдиков. Сети градуированных С *-алгебр над частично упорядоченными множествами // Алгебра и анализ. 30:6, 1-19 (2018).

11. R.N. Gumerov, E.V. Lipacheva. Topological Grading of Semigroup С*-Algebras // Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences. 90:3, 44-55 (2020).

12. Е.В. Липачева. О градуированных полугрупповых С *-алгебрах и гильбертовых модулях // Труды МИАН им. В.А.Стеклова. 313, 131-142 (2021).

13. E.V. Lipacheva. A Semigroup С *-algebra which is a Free Banach Module // Lobachevskii J. of Math. 42:10, 2386-2391 (2021).

14. Б.В. Новиков. Когомологии полугрупп: обзор // Фундамент, и прикл. матем. 7:1, 1-18 (2001).

15. А.Н. Clifford. Extensions of semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 68:2, 165-173 (1950).

16. L. Redei. Die Verallgemeinerung der Schreierschen Erweiterungstheorie // Acta Sci. Math. Szeged. 14, 252-273 (1952).

17. Л.М. Глускин, И.Л. Перепелицын. Нормальные расширения полугрупп // Изв. вузов. Матем. 12, 46-54 (1972).

18. Л.М. Глускин. Нормальные расширения коммутативных полугрупп // Изв. вузов. Матем. 29:9, 14-22 (1985).

19. I.S. Berdnikov, R.N. Gumerov, E.V. Lipacheva. On the Stone-Cech Compactification Functor and the Normal Extensions of Monoids // Lobachevskii J. of Math. 42:10, 2295-2305 (2021).

20. S.A. Grigorvan, R.N. Gumerov, E.V. Lipacheva. On Extensions of Semigroups and Their Applications to Toeplitz Algebras // Lobachevskii J. of Math. 40:12, 2052-2061 (2019).

21. P.H. Гумеров. Нормальные расширения полугрупп и вложения полугрупповых С * -алгебр // Труды МФТИ. 12:1, 74-82 (2020).

22. Е.В. Липачева. Расширения полугрупп и морфизмы полугрупповых С * -алгебр / / Сиб. матем. ж. 62:1, 82-96 (2021).

23. R. Exel. Partial dynamical system,s, Fell bundles and applications // Math. Surv. Monogr. 224, Amer. Math. Soc., Providence, RI. (2017).

24. E.C. Ляпин. Полугруппы, M.: Физматгиз. 1960.

25. А.Я. Хелемский. Банаховы, и полинорм,ированные алгебры: общая теория, представления, гомологии, М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1989.

Екатерина Владимировна Липачева, кафедра Высшей математики,

Казанский государственный энергетический университет, ул. Красносельская, 51, 420066, г. Казань, Россия

Институт математики и механики им. 11.11. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, 35, 420008, г. Казань, Россия E-mail: elipacheva@gmail.com