Уточненная математическая модель работы вспучивающейся огнезащиты на минеральной основе

ОГНЕЗАЩИТА

Младший научный сотрудник

ЗАО "Теплоогнезащита"

А. С. Мельников

Д-р техн. наук, профессор, заместитель генерального директора ЗАО "Теплоогнезащита"

В. Л. Страхов

УДК 614.841.411

УТОЧНЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОТЫ ВСПУЧИВАЮЩЕЙСЯ ОГНЕЗАЩИТЫ НА МИНЕРАЛЬНОЙ ОСНОВЕ

Представлена математическая модель функционирования вспучивающейся огнезащиты на минеральной основе, свободная от упрощающих допущений, использованных при разработке ее предыдущего варианта. Удовлетворительное согласование результатов расчета с экспериментальными данными свидетельствует о достаточной достоверности и точности разработанной модели. Применение на практике уточненной математической модели позволяет получить экономию средств при проектировании и выполнении огнезащиты на объектах.

В книге [1], а также в вышедших позднее статьях В. Л. Страхова, А. Н. Гаращенко и В. П. Руд-зинского [2-7 и др.] представлена разработанная ими ранее математическая модель функционирования водосодержащей огнезащиты на минеральной основе, отличающейся особо сложным поведением при огневом воздействии.

Модель построена с использованием следующих упрощающих допущений:

1) отсутствует перенос массы жидкой воды в слое пористой огнезащиты (при этом не используется дифференциальное уравнение переноса массы воды);

2) в зоне конденсации, расположенной внутри пористого подповерхностного слоя огнезащиты, пар находится в состоянии насыщения;

3) не учитывается накопление газообразных продуктов разложения (пара) в расширяющихся при вспучивании порах прогретого слоя огнезащиты (при этом не используется дифференциальное уравнение переноса массы пара и не рассчитывается нестационарное поле давления пара в порах подповерхностного слоя огнезащиты);

4) параметры кинетики термического разложения (дегидратации) огнезащитных материалов не зависят от скорости нагрева (при этом используется интегральная аппроксимация степени завершенности этого процесса, не учитывающая в явной форме его многоста-дийность);

5) процесс вспучивания протекает в квазистационарном режиме, его параметры не зави-

сят от скорости нагрева и определяются непосредственно из эксперимента. Проведенные авторами данной статьи теоретические и экспериментальные исследования позволили уточнить упомянутую выше математическую модель, отказавшись от использования перечисленных выше допущений.

Разработанная уточненная математическая модель тепломассопереноса в слое водосодержащей огнезащиты включает в себя следующие дифференциальные уравнения:

1. Дифференциальное уравнение сохранения энергии, учитывающее поглощение или выделение теплоты на различных стадиях процесса термического разложения (дегидратации) материала огнезащиты при конденсации и последующем испарении влаги, соответствующее изменение теплофизи-ческих характеристик материала, а также влияние на температурное поле переноса массы жидких и газообразных продуктов разложения:

дТ

(1 "Ф) Р' с' — = — —

дТ

р д£ дх ^ дх

' сч> т*> дТ " ± с.

дх

\ядТ.

дх

2. Дифференциальное уравнение переноса массы жидкой воды внутри пористого проницаемого материала огнезащиты:

д^ д( д^ Р 0 57 = дх 1Р 0 ^ & |± ^

3. Дифференциальное уравнение переноса массы газообразных продуктов термического разложения:

др

дг дх

др

=—\Х I + Я + Я

дх I дх

др

дх

4. Систему обыкновенных дифференциальных уравнений для описания процесса термического разложения материала огнезащиты (вариант двух-

стадийного процесса):

ф,

йг

П 1

- -ц мк\;

Фя йг

- Кпмкх -ц:к2;

йг

- К 2Ц тпк 2;

Фг йг

- (1 - К1) ц Пмк 1 + (1 - К 2) ц тк 2.

5. Обыкновенное дифференциальное уравнение для определения зависимости от времени относительной деформации вспучивания:

йг

- кагг йг 11 дг

Записанные дифференциальные уравнения решаются при следующих краевых условиях.

Для дифференциального уравнения сохранения энергии:

• начальное условие:

- о = То;

• граничное условие на обогреваемой поверхности огнезащиты:

дх

-а г

граничное условие на границах между слоями из различных материалов:

яД

дх

х - хь + О

-лдТ

дх

х - хь - О

граничное условие на необогреваемой поверхности объекта огнезащиты:

дх

-а е

х - хх - О

Для дифференциального уравнения сохранения массы жидкой воды: • начальное условие:

и \ г - о - ио>

где ио — массовая доля адсорбированной влаги в исходном материале;

условие на обогреваемой поверхности:

ди дх

- О;

С - хи 0

• условие на защищаемой поверхности:

ди

дх х - хь - о

- о.

Для дифференциального уравнения сохранения массы пара: • начальное условие:

где р,

еа

Р \ г - о - Реа - Р о - о

равновесное давление пара;

граничное условие на обогреваемой поверхности огнезащиты:

р \ х - хи - о - р/;

граничное условие на непроницаемой поверхности объекта огнезащиты:

др дх

- о.

- хь - о

Начальные условия для обыкновенных дифференциальных уравнений системы (4)-(7):

ц м \ t- о - 1; ц п \ t - о - о;

ц к \ г - о - ц г \ г - о - о.

Начальное условие для обыкновенного дифференциального уравнения (8):

;у\г - о - о.

В записанных выше уравнениях с краевыми условиями приняты следующие обозначения: ф — пористость, объемная доля соответствующего компонента в смеси; р — плотность; ро — начальная плотность; ца — массовая доля а-компонента в рассматриваемом элементарном объеме разлагающегося материала, ца = рафа /ро; рф — парциальная плотность компонента; ср — теплоемкость; Т — температура; г — время; х — поперечная координата; — эффективная (суммарная) теплопроводность материала, учитывающая лучистый перенос теплоты; т—вектор массовой скорости; Q, Я — суммарный тепловой эффект и объемная скорость газовыделения при пиролизе (дегидратации) соответственно; г, Яс — тепловой эффект и объемная скорость поглощения массы при конденсации пара соответственно; и — массовое содержание воды; Ви — коэффициент диффузии жидкой воды; Ст — емкость материала по отношению к газам пироли-

за;р — давление; Хт — коэффициент массопровод-ности пористого проницаемого материала (коэффициент молярного переноса пиролизного газа в пористой среде); Кв — коэффициент диффузии пара; к1, к2 — константы скорости соответствующих стадий процесса пиролиза; К1, К2 — предельные массовые доли конденсированного остатка на соответствующих стадиях процесса; п, т — порядок реакции; еу — объемная деформация вспучивания; к — коэффициент вспучивания; оц — нормальные напряжения, действующие в каркасе вспучивающегося покрытия; х — степень завершенности процесса пиролиза; п — нормаль к поверхности; а — коэффициент конвективного теплообмена; А — приведенная степень черноты газовой среды и поверхности. Индексы:' — каркас пористого материала; " — газ, заполняющий поры; м — исходный материал; п — промежуточный продукт пиролиза; к — конечный продукт пиролиза; г — газы пиролиза; w — вода, обогреваемая поверхность; х — необо-греваемая поверхность; / — газовая среда пожара; Ь — граница между различными материалами; е — газовая среда, омывающая необогреваемую поверхность.

Необходимо отметить, что дифференциальные уравнения переноса массы жидкой воды и пара (2) и (3) аналогичны соответствующим уравнениям публикации [8], примененным в этой работе для слоя бетона. Вместе с тем, в отличие от упомянутой статьи, авторами учтено влияние массопереноса на температурное поле (второе и третье слагаемые в уравнении (1)). Кроме того, предлагаемая модель включает замыкающие соотношения к указанным уравнениям для теплофизических характеристик, которые, в частности, учитывают переменное по толщине слоя и во времени содержание воды в порах материала.

Замыкающие соотношения к записанным выше уравнениям с краевыми условиями. Для определения зависимости теплофизических характеристик материала от температуры и содержания жидкой воды, пористости, объемной мощности источников массы газов пиролиза используются соотношения работ [1-7].

Объемная скорость испарения - конденсации пара в пористом подповерхностном слое огнезащиты определяется из соотношения [8]:

Яс = фуЦред - р)/РоЯуТ,

газовая постоянная пара.

где Яу

Равновесное давление пара рассчитывается по уравнению Ргепке1-Иа18еу [8]:

где

1п( Р е^ Р & ) = -

давление насыщения.

Емкость пористого тела по отношению к пиро-лизному газу определяется из соотношения:

Ф М"

С = т ЯТ

где М — молекулярная масса пиролизного газа; Я — универсальная газовая постоянная. Коэффициент молярного переноса пиролизного газа в пористой среде вычисляется следующим образом:

^ т =фк/V,

где к — коэффициент газопроницаемости пористого подповерхностного слоя огнезащиты; V — кинематическая вязкость пиролизного газа (пара).

Константы скорости процесса пиролиза (дегидратации) определяются в соответствии с законом Аррениуса из соотношений:

к 1 = А1 ехР [- яТ"1;

к2 = А2 ехр| -ят

где А1, А2, Е1, Е2 — предъэкспоненты и энергии активации соответствующих стадий процесса. Степень завершенности процесса пиролиза выражается через текущее значение массовой доли газов пиролиза с помощью соотношения вида:

Ц г

х( г) =

2 - К

где К — массовая доля конденсированного остатка,

К = К1 + К2.

Для численного решения сформулированной системы дифференциальных уравнений в частных производных использован метод конечных разностей. Конечно-разностные аналоги дифференциальных уравнений построены по неявной четырехточечной схеме. Полученная в результате этого система алгебраических уравнений решена методом прогонки с использованием итераций на каждом временном слое. Необходимость организации итерационного процесса обусловлена существенной нелинейностью задачи (в частности, сильным влиянием температуры на переносные свойства пористого подповерхностного слоя огнезащиты).

Приведенная выше постановка краевой задачи тепломассопереноса в слое водосодержащей огнезащиты в частности позволила при разработке и численной реализации алгоритма расчета отказаться от введения линии растекания пара, а также границ раздела зон дегидратации, конденсации и насыщенного водой слоя [1-7]. При этом не потребовалось использовать довольно сложные логические процедуры определения мгновенного положения указанных подвижных фронтов, что существенно

упростило алгоритм расчета и улучшило сходимость численного решения задачи.

Результаты экспериментальных исследований комплекса теплофизических, термохимических и термомеханических характеристик огнезащитных материалов, необходимых для проведения численных расчетов с использованием разработанной математической модели, изложены в публикациях [1-7].

Значения переносных характеристик пористого подповерхностного слоя огнезащиты принимали по данным работы [8]. С использованием этих данных были проведены численные расчеты температурных полей в стальной пластине со слоем водосо-держащего покрытия ТОЗ В-1 различной толщины применительно к условиям испытаний на установке конвективного нагрева. При расчетах определялось также перемещение обогреваемой поверхности огнезащиты вследствие вспучивания.

Расчеты проводились при следующих значениях характеристик материала (здесь использованы термины и обозначения работы [1]):

Начальная плотность, кг/м3...................1200

Параметр контактного термического

сопротивления Мк.............................0,5

Параметр лучистого теплопереноса

в порах 0,Вт/(м-К4).......................1,610-10

Массовая доля неразлагающегося

наполнителя в материале .......................0,8

Состав, плотность и теплопроводность минеральной основы материала приведены в табл. 1 и 2. Для расчета температурной зависимости его теплопроводности использовалась формула вида:

с(Т) = 1059 + 0,168Т - 0,265 • 10 8/Т2 .

Значения параметров аппроксимации кинетики дегидратации материала, полученные методом термогравиметрии, представлены в табл. 3, а замеренный с помощью калориметра суммарный тепловой эффект этого процесса составляет

Переносные характеристики пористого слоя огнезащиты и параметры влаги и пара (см. форму-

Таблица 1. Состав и плотность минеральной основы материала напыляемого покрытия ТОЗ-В1

Содержание компонентов

Компоненты в составе материала Плотность,

массовая доля объемная доля кг/м3

СаО 0,04 0,034 3100

81О2 0,47 0,588 2100

0,37 0,083 3300

Л12Оз 0,12 0,295 3800

Материал мине- 2629

ральной основы

лы (2), (3), (21) — (24)) имеют следующие значения (размерности даны в системе СИ):

- коэффициент диффузии жидкой воды

= 5,56 • 10-10 ехр (19,2^);

— коэффициент диффузии пара Кв = 10-8;

- коэффициент газопроницаемости к = 510-6;

- параметр объемной скорости конденсации жидкости у = 3,6104;

- газовая постоянная пара = 463;

- параметр равновесного давления пара С, = 0,1892;

- показатель степени в формуле (22) п = 2,01;

- теплоемкость пара 2500 Дж/(кг К);

— теплопроводность пара

X = -5,55 -10-3 + 0,0419 • 10-3Т. В расчетах использовались следующие параметры теплового режима и теплообмена при испытаниях образцов исследуемого материала:

а) на установке конвективного нагрева:

— температура газовой среды

Ту = 1200 - 1180/(?/2 + 1), где г — время, с;

— коэффициент конвективной теплоотдачи от газовой среды к поверхности огнезащиты су =29;

— коэффициент конвективной теплоотдачи от необогреваемой поверхности ае = 20;

- приведенная степень черноты газовой среды и обогреваемой поверхности Ау = 0,1;

— приведенная степень черноты необогревае-мой поверхности и ограждающих поверхностей Ае = 0,6;

б) на установке лучистого нагрева:

- плотность падающего лучистого теплового потока 50000 Вт/м2;

Таблица 2. Теплопроводность минеральной основы материала напыляемого покрытия ТОЗ-В1

Компоненты Теплопроводность, Вт/(м-К), при температуре, °С

20 200 400 800 1200

СаО 13,86 11,37 9,13 6,27 5,59

8Ю2 1,02 1,32 1,74 2,82 4,20

48,01 25,2 15,0 7,69 5,99

Л12О3 38,60 19,80 11,80 6,29 5,45

Материал минеральной основы 4,77 4,26 4,08 4,16 4,81

Таблица 3. Кинетические параметры процесса дегидратации материала ТОЗ-В1*

А1, 1/с А2, 1/с Е1, Дж/моль Е2, Дж/моль п т

1,08104 1,0104 49,3-103 71,0103 3 2,5

* Размерности параметров даны в системе СИ.

а

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

Время, с

в

---,-,- 0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Время, с

Рис. 1. Зависимость от времени температуры обогреваемой поверхности (1 ) и стальной подложки (2 ), а также толщины образца (3 ) огнезащитного покрытия ТОЗ-В1 при исходном значении этой толщины: а — 2,3 мм; б — 3,3 мм; в — 5,9 мм; **** — эксперимент (на установке лучистого нагрева); -расчет

б

4

Й Я

3

л

ю о са

а

200 250 Время, с

10

9

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 Время, с

й Я

3

р

о

са

а а

200

400

600 800 Время, с

1000

19

17

18 16 15

14 м 13 м, 12 &

9 Ю 9 О

8 7 6 5 4 3 2 1 0

I

а &

1200

а

7

5

3

2

0

б

8

7

6

5

4

3

2

в

0

Рис. 2. Зависимость от времени температуры пламени (1), стально й подложки (2) и о бо греваемо й по верхности (3) о гне-защитно го по крытия ТОЗ-В1, а также толщины покрытия (4) при исходно м значении это й толщины: а — 2,2 мм; б — 3,4 мм; в — 6,0 мм; **** — эксперимент (на устано вке ко нвективно го нагрева);-расчет

1100-

1000

900

800

О 700-

Й 600 \ 4 \/ \ \

^ 5001 4002 300- О Н 200-

V \ - \

0- \ 9

Температурное поле

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Температурное поле

1100 1000 900 800 О 700

О

« 600 ^ 500 & 400

л 300

о

Н 200 100 0

6 / 1 1-< 1 / \ / \ / \ 1 б

/ \ 1 / \ Г \ 4

\ \ \ \ 7 ! Л \ \ !

\\ у, 5 \\Г \

---------

__8

^ г

10 15 20 25 30 Температурное поле

35

40

0,70 0,65 0,60 £

0,55 3 0,50 £

0,45 £ 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

10 15 20 25 30 Толщина образца, мм

35

0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

И

40

Рис. 3. Распределение по толщине образца: температуры — кривая 4; теплопроводности разлагающегося при нагреве материала огнезащиты — кривая 5; деформации вспучивания — кривая 6; содержания воды в порах — кривая 7; массовой скорости движения пара — кривая 8; объемной скорости испарения - конденсации воды — кривая 9. Распределения даны для следующих моментов времени от начала нагрева: а — 1,5 мин; б — 4 мин; в — 15 мин

- коэффициент конвективной теплоотдачи от обогреваемой поверхности к воздуху температурой 20°С а^ =10;

- коэффициент конвективной теплоотдачи от необогреваемой поверхности 20;

- приведенная степень черноты необогревае-мой поверхности и ограждающих поверхностей Ае = 0,6.

Типичные результаты расчетов, проведенных применительно к условиям испытаний образцов огнезащиты из исследуемого материала, нанесенных на стальные пластины толщиной 3 мм, представлены на рис. 1 и 2. Необходимо отметить, что испытания были осуществлены на двух установках, принципиально отличающихся условиями нагрева испытываемых образцов (лучистый и конвективный нагрев), а также для различных толщин испытываемых образцов огнезащиты.

Можно отметить, что несмотря на существенное различие параметров теплового воздействия на образец и большую разницу в исходных толщинах исследуемого покрытия, согласование расчетных и экспериментальных данных удовлетворительное.

На рис. 3 дано расчетное распределение по толщине испытываемого образца основных параметров, характеризующих сложное поведение рассматриваемой огнезащиты при огневом воздействии.

Можно видеть, как по мере прогрева слоя огнезащиты качественно изменяется картина распределения указанных параметров по его толщине. Зона конденсации пара (выделения воды) по мере прогрева смещается по направлению к непроницаемой поверхности стальной подложки и приблизительно на 15-й мин от начала огневого воздействия исчезает. Линия растекания пара, проходящая через точку пересечения кривой скорости его движения с нулевой линией, также смещается к необогреваемой поверхности. Зона вспучивания, находящаяся в пределах зоны дегидратации, смещается от обогреваемой поверхности к необогреваемой. Причем ввиду большой скорости прогрева в начальный период величина вспучивания покрытия у поверхности относительно невелика (образуется "корка").

Таким образом, сопоставление результатов численных расчетов с экспериментальными данными показало их удовлетворительное согласование между собой, что свидетельствует о достаточной достоверности и точности разработанной математической модели. Модель позволяет учесть новые физические эффекты, возникающие при работе огнезащитного покрытия.

Применение на практике разработанной уточненной математической модели функционирования водосодержащей огнезащиты позволяет получить экономию средств при проектировании и выполнении огнезащиты на объектах.

3

0

5

0

5

ЛИТЕРАТУРА

1. Страхов В. Л., Кругов А. М., Давыдкин Н. Ф. Огнезащита строительных конструкций / Под ред. Ю. А. Кошмарова. — М.: Информационно-издательский центр "ТИМР", 2000 — 433 с.

2. Страхов В. Л., Гаращенко А. Н, Рудзинский В. П. Математическое моделирование процесса работы теплоогнезащиты из водосодержащих материалов // Вопросы оборонной техники. — Сер. 15. — 1998. — Вып. 2(119). — С. 6-12.

3. Страхов В. Л., Гаращенко А. Н., Рудзинский В. П., Кузнецов Г. В. Разработка, численная реализация и апробирование математических моделей работы теплоогнезащиты с учетом процессов термического разложения, испарения - конденсации и вспучивания - усадки // Вопросы оборонной техники. — Сер. 15. — 1999. — Вып. 1(122). — С. 17-21.

4. Озеров Н. А., Страхов В. Л., Гаращенко А. Н., Рудзинский В. П. Влияние влаги, содержащейся в теплоизоляции и клеевых составах, на огнезащитные свойства противопожарных судовых конструкций // Сборник Морского регистра судоходства. — 1999. — Вып. 23. — С. 234-239.

5. Страхов В. Л., Гаращенко А. Н., Кузнецов Г. В., Рудзинский В. П. Высокотемпературныйтеп-ломассоперенос в слое влагосодержащего огнезащитного материала // Теплофизика высоких температур. — 2000. — Т. 38, № 6. — С. 958-962.

6. Страхов В. Л., Гаращенко А. Н., Кузнецов Г. В., Рудзинский В. П. Процессы тепломассообмена в водосодержащих материалах при пожаре // Математическое моделирование. — 2000. — Т. 12, № 6. — С. 22-26.

7. Страхов В. Л, Гаращенко А. Н., Рудзинский В. П., Олейник В. А. Математическое моделирование работы водосодержащих вспучивающихся огнезащитных покрытий // Пожаровзрыво-безопасность. — 2003. — Т. 12,№ 1. — С. 39-46.

8. Kazunori Harada, Toshio Terai. Numerical Simulation of Fire Resistance Test of a Concrete Slab // Fire Safety Science: Proceedings of Second International Symposium. — New York, Washington, Philadelphia, London, 1989. — P. 707-717.

Поступила в редакцию 04.06.07.