ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СХЕМАТИЗАЦИИ ПРИ ОБУЧЕНИИ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Ма тем а тика. Механика. Информатика.

Выпуск 4 (37). 2020

УДК 37.022 В01: 10.34130/1992-2752 2020 4 74

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СХЕМАТИЗАЦИИ ПРИ ОБУЧЕНИИ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ

Н. И. Попов, Е. В. Яковлева

Цель настоящей статьи заключается в выделении и обобщении особенностей использования метода схематизации при обучении математике. Данный метод рассматривается как средство развития мышления и математических способностей обучающихся. Исследование основано на анализе научных и методических трудов отечественных и зарубежных ученых по теории деятельности, педагогике, а также на авторских разработках по применению метода схематизации в обучении математике. Предложена схематическая модель для обучения школьников и студентов решению математических задач. Методические подходы, разработанные в процессе исследования, могут быть использованы при обучении математике на разных уровнях образования. Описанный в работе метод можно успешно применять при изучении различных естественно-научных дисциплин.

Ключевые слова: метод схематизации, обучение математике, этапы решения математических задач, схематическая модель.

Введение. В настоящее время в трудах ученых обсуждаются различные вызовы и риски, возникающие перед участниками образовательного процесса в высшей и средней школах. Глобализация, техно-логизация и использование массовых сетевых коммуникаций в образовательной сфере, кроме положительных моментов, как отмечено в [1], приводят к ослаблению или отсутствию ряда существенных для развития мышления функций:

- системного восприятия и использования информации для последующего анализа, выявления структурных связей в содержании представленной информации;

© Попов Н. И., Яковлева Е. В., 2020.

- осознания индивидуумом целевой, структурно-содержательной частей информации при ее восприятии и использовании;

- устного счета, способствующего развитию памяти и аналитических способностей.

Отрицательные факторы проявляются в неспособности обучающегося осмыслить большой объем неструктурированных знаний, второстепенных фактов. Исследователями системы образования используются различные подходы для разрешения такой проблемной ситуации, в частности, в учебном процессе применяется метод схематизации.

Обзор литературы. Исследования российских и зарубежных ученых в контексте использования метода схематизации в процессе обучения отражают разные аспекты рассматриваемой проблемы, В данной статье под схемой будем понимать знаковую форму представления и отображения содержания мышления. Основной функцией схематизации в образовании, по мнению психологов, является формирование развитого сознания. Существенный вклад в развитие теории схематизации в России внесли исследователи Московского методологического кружка, основателем которого является Г, И, Щедровицкий, В различных источниках по психологии и педагогике использование схематизации для развития мышления обучаемых отражено в работах Ж, Пиаже и Б, Инельдера, Г, И, Щедровицкого, А, И, Зинченко, О, С, Анисимова, В, М, Розина, И, Б, Мрдуляша, В методике обучения математике аналогичные подходы рассматривались, в частности, в работах В, А, Кру-тецкого [2], В, А, Далингера [3], И, И, Попова [4],

В статье [5] отражена эффективность применения электронных образовательных ресурсов в контексте комбинированного обучения (blended learning), а также выделены проблемы представления обучающимся учебной информации в формах, соответствующих их когнитивным способностям, В качестве основы для разработки новых образовательных ресурсов предлагается система опорных конспектов В, Ф, Шаталова, позволяющая схематично представить учебную информацию, зафиксировать наиболее важные моменты и выделить причинно-следственные связи. Аналогичные проблемы, связанные с изменением подходов к обучению в «цифровую эпоху», раскрыты в работе М, А, Чошанова [6], Технологические изменения, по его мнению, требуют переосмысления дидактики, перехода от традиционного преподавания к инженерии учения к проектированию и согласованию цели, содержания и оценочных средств с учетом новых реалий.

Метод схематизации можно использовать для формирования «вычислительного мышления». Приемы его формирования, изменение с

учетом динамики обновления информационных технологий и расширения области задач раскрыты Е, К, Хеннером [7], С точки зрения автора, целенаправленное развитие такого мышления в связи с его значимостью как метапредметного результата обучения должно стать одной из задач российского образования.

Эффективность обучения в высшей и средней школах мы рассматриваем также и с учетом современных исследований в нейробиологии и психологии, В частности, зарубежные ученые активно изучают проблемы взаимосвязи схем, новых знаний и памяти [8], А, Н, Дахин в статье [9] описал решение математических задач в таких условиях, когда у обучаемых возникает несогласованность между постановкой проблемы и имеющимися знаниями. Автор обосновывает необходимость когнитивной активности обучающихся в указанной ситуации на примере рассмотрения механизмов (ассимиляции и аккомодации) построения схем, предложенных Ж, Пиаже, Ассимиляция предполагает четкое, без изменений, использование обучаемым построенной схемы, а аккомодация предполагает ее творческое преобразование при изменении ситуации, что позволяет учесть особенности новой алгебраической задачи,

В статье [10] авторами обсуждаются вопросы эффективного обучения математике с учетом последних достижений в нейробиологии. Реализованный учеными подход для развития математического мышления основан на использовании в образовательном процессе визуальных, числовых, вербальных и других форм представления информации для развития связей между соответствующими участками головного мозга человека,

В работах [11; 12] представлены модели технологий обучения решению математических задач, в том числе с использованием схематизированных изображений. По мнению авторов статьи [13], в настоящее время при обучении математике серьезное внимание уделяется значимости вопроса «как учить?», а не «почему?», кроме того, делается акцент на представлении учебного материала различными способами.

Авторы статьи [14] экспериментально доказали, что развитие пространственного мышления обучаемых улучшает способности решения математических задач в реальном мире, кроме того, в старшем школьном возрасте - способности решения визуальных и пространственных математических задач, В [15] описаны результаты экспериментальных исследований, связанных с анализом влияния различных видов представленных формулировок текстовых математических задач на успеваемость обучающихся. По мнению авторов, недостаточно изучено качественное влияние на обучаемых замены словесного предъявления фор-

мулировки задачи на более наглядное, В работе продемонстрированы примеры педагогических измерительных материалов, позволяющих достичь эффекта в обучении при изменении традиционного предъявления содержания математических задач,

И, К, Берникова [16] предложила использовать схемы в методике обучения математике как средства организации мышления обучающихся, В статье [17] представлены результаты педагогического эксперимента по изучению одной из фундаментальных способностей для развития математического мышления - перевода обучающимися вербальной математической информации в графическую.

Исследователи, раскрывая когнитивно-визуальный подход при обучении математике, сочетают иллюстративную и познавательную функции используемых наглядных образов, что способствует переходу от обучающей функции наглядности к развивающей. При этом многими педагогами понятие когнитивной графики используется как совокупность форм и способов визуального представления условий задания, что помогает обучаемым либо сразу найти решение задачи, либо задать направление для его нахождения.

Цель данной статьи - выявить особенности использования метода схематизации для развития мышления школьников и студентов при обучении математике, В рамках достижения указанной цели в работе решены следующие задачи:

- отражена важная роль схематизации в дидактике и методике обучения математике;

- выделены особенности использования метода схематизации при обучении студентов и школьников математике, при этом делается акцент на трех взаимосвязанных друг с другом составляющих обучения - понимании, запоминании и воспроизведении;

- предложена схематическая модель для обучения школьников и студентов решению математических задач;

- в качестве иллюстрации комплексного использования функций мнемонических схем приведен пример опорного конспекта для реализации решения системы линейных уравнений методом Гаусса,

Результаты исследований. Способность найти необходимую информацию, осмысленно ее обработать, выделить главное, подчеркнуть взаимосвязи - важные умения современного специалиста. Необходимость формирования эффективных умений и навыков обучаемых на разных уровнях образования, использование при этом моделей, знаково-символических средств представления информации подтверждается анализом действующих федеральных государственных обра-

зоватсльпых стандартов от уровня начального образования до высшего в контексте развития навыков схематизации для решения учебных и практических задач.

Поясним, как метод схематизации можно использовать в обучении, сделав акцепт па трех взаимосвязанных процессах: понимании, запоминании и воспроизведении. Выделяя связующие звенья «средство», «материал» и «результат», проиллюстрируем связь рассматриваемых процессов со схематизированными изображениями:

- па этапе понимания схематизированные изображения являются результатом работы обучаемого с текстом;

- в процессе запоминания схематизированные изображения становятся средством запоминания (используются различные мнемотехники);

- па этапе воспроизведения схематизированные изображения применяются в качестве материала для воспроизведения.

Вместе с тем использование схематизированных изображений при обучении должно учитывать изучаемый материал, который необходимо усвоить. Педагоги предостерегают от применения метода схематизации при изучении новой учебной темы в тех случаях, когда па понимание схемы необходимо больше времени, чем на понимание текста,

В методике обучения математике схематизированные изображения как средства запоминания изучаемого материала используются в виде специальных мнемонических схем, в частности опорных конспектов, блок-схем, карточек-инструкций. Они не только являются средством запоминания, но и выполняют другие значимые функции (см, рис.1).

Рис. 1. Роль мнемонических схем при обучении математике

Под «знаниевыми фокусами» в данном случае авторы понимают основные формулы (уравнения, свойства, соотношения, признаки), важные для понимания и запоминания обучаемыми и являющиеся основой для проектирования схем. Примером комплексного использования

функций мнемонических схем являются опорные конспекты для решения системы линейных уравнений методом Гаусса (см, рис, 2),

ШАГ 1. Приведение снстемы линейных уравнений к матричному виду

аих1 + + "* + "1лзсп = / "п а'12

... + ... + .. + ... = ...

МАТРИЦА СИСТЕМЫ

а1± н1=

РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА СИСТЕМЬ.

а21х1 + "22^2 + 1 — ^2

я

а

Ш М 2. Прямой ход метола Гаусса

Элементарные ¡меобразовпнпя:

1. Перестановка местами любых двух строк матрицы.

2. Умножение элементов любой строки матрицы на число, не равноенулю.

3. Прибавление к элементам любой сгфоки матрицы соответствующих элементов другой строки.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

| МАТРИЦА СИСТЕМЫ \ ' ТРЕУГОЛЬНОГО ИЛИ 1 ¡СТУПЕНЧАТОГО ВИДА!

а'12  а1п 1 1 /аи - " - «п. ЬД 1а 11 Я12 - п1»

Я 22   "2П ь'2] о ~ й22 ... ... - ИЛИ 1 61 £¡22  °2п

а'т2 ъ'тУ V» 0 ьт) V о 0 .. "о"

/ 0

\ О О | гп=п ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ

а±и ьд /а1±_ а1г п1„

... | ... ... -_-.-- ... (

ьт/ \ 0 0 . 0 "

/п11 а12 а22

, 0 а21 ... а2п

\ о о ... и

с/

БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИИ

С«0 НЕТ РЕШЕНИИ

ШАГЗ. Обратный ход метода Гаусса

-агг- В /1*7 -+ДГ„1„= Ь,

- ъЛ

" I - 1 ) < '

0 - * * в*« кг

Рис. 2. Схема метода Гаусса для решения системы линейных уравнений

При организации преподавателем запоминания материала в процессе обучения математике все-таки следует учитывать, что основной целью является возможность воспроизведения и применения изученного в последующей деятельности обучаемых. Многими исследователями подтверждено, что сложно запомнить неподготовленный материал, а

3

структурированный и представленный в виде схемы запоминается легче, в частности, в качестве примера можно привести систему обучения с использованием опорных сигналов В, Ф, Шаталова, Для лучшего запоминания важно учитывать не только содержание, но и принцип структурирования и схематизации учебного материала. Преподаватели отмечают, что студенты, получающие первое высшее образование, часто не имеют навыков конспектирования и формированию такого умения приходится уделять некоторое время на учебных занятиях, обращая внимание обучаемых на важные элементы конспектов, включая схематизированные изображения разных видов, иные способы сокращения текстовой информации. Очевидно, что каждый способ чтения обеспечивает разный уровень понимания учебного материала, который задается и проверяется преподавателем. Метод исследующего чтения с использованием схематизированных изображений, разработанный О, С, Аниси-мовым [18], применяется для анализа сложных теоретических текстов. Указанный метод, использующий схематизированные изображения содержания отрывка текста, основан на логике последовательной конкретизации и позволяет схематизировать сложные теоретические тексты, анализировать основные понятия, применяемые его автором, В методике обучения математике описанный подход может быть использован как при составлении конспекта по рассматриваемой теме для понимания, запоминания и воспроизведения материала, так и при выполнении конкретных заданий, В дальнейшем покажем, как можно адаптировать описанный метод к процессу выполнения математических заданий.

Методика решения задач впервые в достаточно общем виде была разработана Д. Пойа [19], Методические приемы, используемые при обучении решению математических задач, представлены в работах Ю, М, Колягина [20], А, Г, Мордковича [21], Г, И, Саранцева [22], В, А, Далппгерн [3], К, И, Нешкова [23] и других ученых, В частности, в исследовании [11] разработана модель обучающей технологии по решению текстовых алгебраических задач и подробно описаны этапы выполнения заданий.

Мы предлагаем «другим взглядом» проанализировать ситуацию, связанную с обучением школьников и студентов. Применяя метод исследующего чтения с использованием схематизированных изображений и опираясь на ключевые моменты этапов решения текстовых алгебраических задач [11], можно спроектировать гибкую схематическую модель для обучения школьников и студентов решению математических задач (рис, 3),

Кратко охарактеризуем этапы решения задач, представленные в схе-

Рис. 3. Схематическая модель для обучения школьников и студентов решению математических задач

матической модели па рис. 3:

1. Первичный анализ текста задачи. Выделение условий (данных и отношений между ними) и требований в задаче.

2. Краткая запись текста задачи.

3. Составление рисунков и схем по данным задачи. Рисунки и схемы, в определенной мере, позволяют наглядно проиллюстрировать содержание задачи, поэтому целесообразно выполнить схему в виде простой модели, выявляющей скрытые зависимости между рассматриваемыми величинами.

4. Сопоставление условий и требований в задаче для дальнейшего выявления основного соотношения, непосредственно связанного с решением, как правило, в виде функциональной зависимости. При этом выясняется, достаточно ли информации для ответа на вопрос задачи, пет ли среди них противоречивых или лишних данных.

5. Актуализация теоретической и практической основы для выполнения рассматриваемого задания.

6, Выяснение стратегии решения задачи,

7, Аналитико-еинтетичеекий поиск метода решения задачи, завершающийся составлением уравнения или неравенства (уравнений или неравенств),

8, Осуществление плана решения задачи,

9, Выполнение проверки соответствия полученного решения (ответа) вопросу задачи. Запись ответа,

В предложенной модели допускается как исключение одного из этапов решения задачи, так и дополнение ее при необходимости новыми, в зависимости от условий и требований задания. Она удобна тем, что имеет циклический вид, вращая «колесо» схематической модели (рис, 3), обучаемый может переходить от одного этапа решения задачи к другому, При использовании иного способа выполнения задания или получения неправильного ответа «колесо» модели может быть «прокручено» еще раз. Применение указанного подхода для решения математической задачи предполагает наличие таких возможностей, как «взгляд назад», а также важный «взгляд вперед» [22], когда мыслительные действия направлены на развитие задачи. Такие методические приемы могут быть использованы педагогом для выделения главной идеи и ключевых моментов в процессе выполнения задания, выявления и закрепления использованных подходов, выяснения недостатков метода решения задачи и поиска другого, более рационального, а также для проведения полного анализа решения.

Заключение. Требования о формировании у обучающихся умений и навыков составления моделей, схем, рисунков выделены в ФГОС разных уровней образования. Следует отметить, что преподаватели-предметники с разных позиций рассматривают использование метода схематизации в учебном процессе. Построение схем, как операция работы с реальностью, в системе общего и среднего образования все-таки играет вспомогательную роль и обычно используется как мнемотехника для запоминания структурированного материала или как элемент конспектирования, а не как методика или технология развития мышления, Вместе с тем теория схематизации в настоящее время эффективно используется разработчиками при подготовке управленческих команд для разных отраслей экономики, В сфере профессиональной подготовки специалистов использование указанной теории будет эффективным при изучении математических и иных дисциплин или модулей программ высшего образования, в том числе направленных на исследовательскую и проектную деятельность обучающихся.

По мнению авторов, использование схематической модели (рис, 3) в

образовательном процессе будет способствовать не только усвоению алгоритма решения математических задач, адаптации и воспроизведению предложенной модели в необходимых случаях для выполнения различных практических заданий, но и оценке рациональности получаемых решений. Такой методический подход, в целом, будет способствовать более эффективному обучению школьников и студентов решению математических задач и закреплению знаний обучаемых [24; 25],

Метод схематизации, раскрытый в данной статье в контексте методики обучения математике, в своей профессиональной деятельности могут также успешно использовать преподаватели физики, химии, биологии в высшей и средней школах.

Список литературы

1, Роберт И. В. Дидактика эпохи цифровых информационных технологий // Профессиональное образование. Столица. 2019. Жв 3. С. 16-26.

2, Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников, М,: Издательство «Институт практической психологии», 1998, 416 с,

3, Далингер В. А. Теоретические основы когнитивно-визуального подхода к обучению математике : монография, Омск: Изд-во ОмГПУ, 2006. 144 с.

4, Попов Н. И. Методика обучения тригонометрии на основе когнитивно-визуального подхода // Сибирский педагогический журнал. 2008. № 11. С. 34~42.

5, Христочевская А. С., Христочевский С. А. Когнитивиза-ция - следующий этап информатизации образования // Информатика и образование. 2018. Жв 9. С. 5-11.

6, Tchoshanov М. A. Digital age didactics: from teaching to engineering of learning (Part 1) // Информатика и образование. 2018. № 9. С. 53-62.

7, Хеннер Е. К. Вычислительное мышление // Образование и наука. 2016. № 2. С. 8-33.

8, Van Kesteren М. Т. R., Rijpkema М., Ruiter D. J., Fernandez G. Consolidation Differentially Modulates Schema Effects on Memory for Items and Associations // PLOS ONE. 2013. Vol. 8. Issue 2.

9, Дахин A. H. Когнитивная гармония математики // Народное образование. 2017. № 6-7. С. 81-88.

10, Anderson R. К., Boaler J., Dieckmann J. Achieving Elusive Teacher Change through Challenging Myths about Learning: A Blended Approach // Education Sciences. 2018. Vol. 8. Issue 3: 98.

11, Попов H. И. Теоретико-методологические основы обучения решению текстовых алгебраических задач // Образование и наука. Известия Уральского отделения, Российской академии образования. 2009. № 3 (60). С. 88-96.

12, Попов Н. И. Об эффективности использования модели обучающей технологии по тригонометрии при обучении студентов-математиков // Образование и наука. 2013. Жа 9. С. 138-153.

13, Bacabac М. A. A., Lomibao L. S. 4S Learning Cycle on Students' Mathematics Comprehension // American Journal of Educational Research. 2020. Vol. 8. Issue 3. Pp. 182-186.

14, Burte H., Gardony A. L., Hutton A., Taylor H. A.

Think3d!: Improving mathematics learning through embodied spatial training // Cognitive Research: Principles and Implications. 2017. Vol. 2. Issue 1.

15, Hoogland К., Pepin В., Koning J., Bakker A., Gravemeijer

K. Word problems versus image-rich problems: an analysis of effects of task characteristics on students' performance on contextual mathematics problems // Research in Mathematics Education. 2018. Vol. 20. Issue 1. Pp. 37-52.

16, Берникова И. К. Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике // Вестник Ом,ГУ. 2015. Жв 1 (75). С. 23-27.

17, Rahmawati D., Purwantoa, Subanji, Hidayanto E., Anwar

R. B. Process of Mathematical Representation Translation from Verbal into Graphic / / International Electronic Journal of Mathematics Education. 2017. Vol. 12, Issue 3. Pp. 367-381.

18. Злотников И. В. Психологическое и психофизическое обеспечение процесса обучения студентов : методические рекомендации, Рига: Изд-во РПИ, 1988. 36 с.

19. Пойа Д. Как решать задачу / под ред. Ю. М, Гайдука. М,, 1959. 208 с.

20. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. М,: Просвещение, 1977. Ч. 1. ИЗ с.

21. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики : учеб.-метод, пособие. М,: Оникс, 2007. 334 с.

22. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. М,, 2005. 254 с.

23. Нешков К. И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. 1971. Жв 3. С. ^-7.

24. Попов Н. И., Яковлева Е. В. Актуальные проблемы обучения математике иностранных студентов в вузе // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Педагогика. 2019. № 3. С. 144-153.

25. Марасанов А. Н. Система задач по тригонометрии в обучении математике учащихся средних общеобразовательных учреждений: дис. .. .канд. пед. наук. Саранск. 2012. 180 с.

Summary

Popov N. I., Yakovleva E. V. Use of the schematization method in teaching students and pupils in math

The publication objective is to highlight and generalize the features of using the schematization method in teaching mathematics as a means of developing thinking and mathematical abilities of learners. The research is based on analyzing scientific and methodical works of Russian and foreign scientists on both activity theory, pedagogy, and author's researches on applying the schematization method in teaching mathematics. The article proposes a schematic model to teach pupils and students solve mathematical problems. The methodological approaches developed in the research can be used in teaching mathematics at different levels of education. We believe that the method described in this paper can be successfully applied in studying natural sciences.

Keywords: a method of sehematization; teaching mathematics; stages of mathematical problems solving; schematic model.

References

1, Robert I. V. Didaktika epokhi tsifrovvkh informatsionnvkh tekhno-logiv (Didactics of the digital information technology era), Profes-sionaVnoye obrazovaniye. Stolitsa, 2019, no 3, pp. 16-26,

2, Krutetskiy V. A. Psikhologiya matematicheskikh sposohnostey shkoV-nikov (Psychology of mathematical abilities of schoolchildren), M,: Institut prakticheskov psikhologii, 1998, 416 p.

3, Dalinger V. A. Teoreticheskiye osnovy kognitivno-vizuaVnogo pod-khoda k obucheniyu matematike: monografiya (Theoretical foundations of the cognitive-visual approach to teaching mathematics: monograph), Omsk: Izd-vo OmGPU, 2006, 144 p.

4, Popov N. I. Metodika obucheniva trigonometrii na osnove kognitivno-vizual'nogo podhoda (Methods of teaching trigonometry on the basis of cognitive-visual approach), Sibirskiy pedagogicheskiy zhurnal, 2008, no 11, pp. 34-42,

5, Christochevskaya A. S., Christochevsky S. A. Kognitivizatsiva -sleduvushchiv etap informatizatsii obrazovaniva (Cognitivization -the next stage of informatization of education), Informatika i obrazovaniye., 2018, no 9, pp. 5-11,

6, Tchoshanov M. A. Digital age didactics: from teaching to engineering of learning (Part 1), Informatika i obrazovaniye, 2018, no 9, pp. 53-62,

7, Khenner E. K. Vychislitel'nove mvshlenive (Computational thinking), Obrazovanie i nauka, 2016, no 2, pp. 18-33,

8, Van Kesteren M. T. R., Rijpkema M., Ruiter D. J., Fernandez G. Consolidation Differentially Modulates Schema Effects on Memory for Items and Associations, PLOS ONE, 2013, Vol, 8, Issue 2,

9, Dakhin A. N. Kognitivnava garmoniva matematiki (Cognitive harmony of mathematics), Narodnoye obrazovaniye, no 6-7, 2017, pp. 81-88.

10, Anderson R. K., Boaler J., Dieckmann J. Achieving Elusive Teacher Change through Challenging Myths about Learning: A Blended Approach, Education Sciences, 2018, Vol, 8, Issue 3: 98,

11, Popov N. I. Teoretiko—metodologicheskive osnovv obucheniva reshe-nivu tekstovvkh algebraicheskikh zadach (Theoretical and methodological foundations of teaching to solve text-based algebraic problems), Obrazovaniye i nauka. Izvestiya UraVskogo otdeleniya Rossiyskoy akademii obrazovaniya, 2009; no 3(60), pp. 88-96,

12, Popov N. I. Ob effektivnosti ispol'zovaniva modeli obuchavushchev tekhnologii po trigonometrii pri obuchenii studentov-matematikov (Education of students-mathematicians: the effectiveness of implementation of the educational technology when teaching trigonometry), Obrazovaniye i nauka, 2013, no 9, pp. 138-153,

13, Bacabac M. A. A., Lomibao L. S. 4S Learning Cycle on Students' Mathematics Comprehension, American Journal of Educational Research, 2020, Vol, 8, Issue 3, pp. 182-186,

14, Burte H., Gardony A. L., Hutton A., Taylor H. A. Think3d!: Improving mathematics learning through embodied spatial training, Cognitive Research: Principles and Implications, 2017, Vol, 2, Issue 1,

15, Hoogland K., Pepin B., Koning J., Bakker A., Grave-meijer K. Word problems versus image-rich problems: an analysis of effects of task characteristics on students' performance on contextual mathematics problems, Research in Mathematics Education, 2018, Vol, 20, Issue 1, pp. 37-52,

16, Bernikova I. K. Skhemv kak sredstva organizatsii myshleniva v protsesse obucheniva matematike (Schemes as means of organizing thinking in the process of teaching mathematics), Vestnik OmGU, 2015, no 1(75), pp. 23-27.

17, Rahmawati D., Purwantoa, Subanji, Hidayanto E., Anwar

R. B. Process of Mathematical Representation Translation from Verbal into Graphic, International Electronic Journal of Mathematics Education, 2017, Vol. 12, Issue 3, pp. 367-381.

18, Zlotnikov I. V. Psikhologicheskoye i psikhofizicheskoye obespecheniye protsessa obucheniya studentov: metodicheskiye rekomendatsii (Psv-

etiological and psychophysical support of the student learning process: guidelines), Riga: Izdatel'stvo RPI, 1988, 36 p.

19, Poya D. Kak reshat' zadachu / Pod red. YU. M. Gayduka (How to solve a problem / Ed, Yu, M, Gaiduk), M,, 1959, 208 p.

20, Kolyagin U. M. Zadachi v obuchenii matematike (Problems in teaching mathematics), M: Prosvesehenie, 1977, Ch, 1,113 p.

21, Mordkovich A. G. Besedy s uchitelyami matematiki: ucheb.-metod. Po-sobiye (Conversations with teachers of mathematics: textbook-method, allowance), M,: Oniks, 2007, 334 p.

22, Sarantsev G. I. Uprazhneniya v obuchenii matematike (Exercises in teaching mathematics), M,, 2005, 254 p.

23, Neshkov K. I., Semushin A. D. Funkcii zadach v obuchenii (Task functions in training), Matematika v -shkole, 1971, no 3, pp. 4-7,

24, Popov N. I., Yakovleva E. V. Aktual'nyve problemv obueheniva matematike inostrannvkh studentov v vuze (Topical issues of teaching mathematics to international students at a university), Ve-stnik Mos-kovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta, Series: Pedagogika, 2019, no 3, pp. 144-153.

25, Marasanov A.N. Sistema zadach po trigonometrii v obuchenii matematike uchaschihsya -srednih obscheobrazovatelnih uchrejdenii (System of problems in trigonometry in teaching mathematics to students of secondary educational institutions): diss. ... kand. ped. nauk,, Saransk, 2012, 180 p.

Для цитирования: Попов H, П., Яковлева Е, В, Использование метода схематизации при обучении студентов и школьников математике // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 4 (37). С. 74~87. ВОР. 10.34130/1992-2752_2020_4_ 74.

For citation: Popov N.I., Yakovleva E.V. Use of the schematization method in teaching students and pupils in math, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2020, 4 (37), pp. 74-87. DOI: 10.34130/1992-2752_2020_4_74.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 05.12.2020