Пример неоднозначности разложения трёхмерного геометрического объекта

Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 3. С. 265-275.

УДК 515.162.3 Б01: 10.24411/2500-0101-2019-14302

ПРИМЕР НЕОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ТРЁХМЕРНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

С. В. Матвеев

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия matveev@csu.ru

В 1942 г. М. Х. А. Ньюман сформулировал и доказал несложную лемму, которая оказалась весьма полезной в различных областях математики, в частности, в алгебре и теории базисов Грёбнера — Ширшова. Позднее её стали называть леммой о диаманте, поскольку её ключевая конструкция графически изображается в виде ромба (символа диаманта). В 2005 г. автор настоящей статьи предложил новый вариант этой леммы, предназначенный для решения геометрических проблем и доказал теоремы существования и единственности примарных разложений различных геометрических объектов: трёхмерных многообразий, узлов в утолщённых поверхностях, заузленных графов, заузленных тета-кривых в трёхмерных многообразиях. Оказалось, что все геометрические объекты упомянутых типов допускают примарные разложения, но в ряде случаев (например, для орбифолдов) единственности разложения нет. В настоящей статье приводится этот новый вариант леммы, схематично даётся алгоритм её применения, предлагается теорема, которая использует для доказательства лемму о диаманте, и контрпример, показывающий невозможность опустить одно из условий теоремы.

Ключевые слова: трёхмерное многообразие, узел, заузленный граф, лемма о диаманте, примарные 'разложения геометрических объектов.

Введение

В 1942 г. М. Х. А. Ньюман сформулировал и доказал несложную лемму [1], которая оказалась весьма полезной в различных областях математики, в частности, в теории базисов Грёбнера — Ширшова [2-5]. Позднее её стали называть леммой о диаманте, поскольку её ключевая конструкция графически изображается в виде ромба (символа диаманта). Мы предлагаем новый вариант этой леммы, весьма удобный и эффективный при решении геометрических проблем. Настоящая статья приводит новый вариант леммы, схематично даётся алгоритм её применения, предлагается теорема, которая использует для доказательства лемму о диаманте, и контрпример, показывающий невозможность опустить одно из условий теоремы.

1. Лемма о диаманте

Пусть Г — ориентированный граф. Множества его вершин и рёбер будем обозначать У(Г) и Е(Г). Ориентированным путём в Г будем называть произвольную

Работа выполнена при финансовой поддержке Лаборатории топологии и динамики Новосибирского государственного университета (грант правительства РФ № 14.Y26.31.0025).

последовательность {Л\ А2, А2 А3,... }, которая составлена из его рёбер так, что начало каждого следующего ребра совпадает с концом предыдущего.

Определение 1. Будем говорить, что вершина В £ У(Г) является корнем вершины А £ У(Г), если

1) существует ориентированный путь по рёбрам графа Г из вершины А в вершину В;

2) вершина В является стоком, т. е. исходящих из неё рёбер нет.

Никаких условий на граф Г не накладывается. Он может быть бесконечным, валентности вершин тоже могут быть бесконечными. Из рис. 1 видно, что вершина графа может не иметь корней, иметь один корень или несколько корней.

А В

Рис. 1. Вершина А имеет два корня С и Б, вершина В — только один. Все остальные вершины корней не имеют, кроме вершин С, Б, которые совпадают со своими корнями

Вопрос: при каких условиях на граф Г каждая его вершина имеет ровно один корень?

Мы сформулируем два свойства. Первое называется свойством конечности путей и обозначается (FP) (от слов «Finite Paths»).

(FP): Любой ориентированный путь по рёбрам графа Г обрывается.

Другими словами, Г не должен иметь ориентированных циклов и бесконечных ориентированных путей. Из справедливости свойства (FP) сразу следует, что любая вершина A Е ¥(Г) имеет хотя бы один корень.

Обозначим через E(2) (Г) множество всех пар рёбер графа Г, имеющих вид (AB1, AB2), т.е. пар рёбер с общим началом. Сформулируем второе свойство, которое обозначается (MF) (от слов «Mediator Function»).

(MF): Существует отображение ^: E(2) (Г) с N U {0}, которое называется функцией-посредником и обладает следующими свойствами:

(MF1) Если ^l(AB 1,— B2) = 0, то найдётся вершина C Е У(Г), в которую можно проложить ориентированные пути по рёбрам как из вершины B1, так и из вершины B2.

(MF2) Если ^(AB1, AB2) > 0, то найдётся такое ребро AC, что ^(АЙг,aC) < ^(AC, AB2) при i = 1, 2 (рис. 2).

Следующая лемма справедлива для произвольного графа. Она похожа на знаменитую лемму о диаманте (Diamond Lemma) М. Х. А. Ньюмана [1], но намного лучше неё приспособлена к решению геометрических задач.

А А

:

♦ »

** т

• •

с с

Рис. 2. Функция-посредник

Лемма 1. (О диаманте). Если ориентированный граф Г обладает свойствами (РР) и (МР), то корень любой его вершины существует и единственен.

Для доказательства сформулируем несколько определений и лемму.

Определение 2. 1. Вершину назовём регулярной, если она имеет только один корень.

2. Вершину назовём сингулярной в противном случае.

3. Ребро назовём регулярным, когда регулярен его конец.

4. Ребро назовём сингулярным в противном случае.

Лемма 2. Пусть ориентированный граф Г обладает свойством (РР) и содержит сингулярную вершину. Тогда найдётся сингулярная вершина А, из которой исходят только регулярные рёбра.

Действительно, если бы из каждой сингулярной вершины исходило сингулярное ребро, то любой путь с сингулярным концом можно было бы неограниченно продолжать добавлением новых сингулярных рёбер. Это противоречит свойству

(РР).

Теперь докажем лемму о диаманте.

Доказательство. Существование корня гарантируется свойством (РР). Идея доказательства единственности проста. Рассуждая от противного, допустим, что граф Г содержит сингулярную вершину. Тогда по лемме найдётся сингулярная вершина А, из которой исходят только регулярные рёбра.

Выберем два ребра АВ1 ,АВ2 так, чтобы вершины В1 и В2 имели различные корни и число ¡10 = д(АВ1, АБ2) было минимально возможным среди всех чисел д(АХ 1, АХ2), где вершины Х1 ,Х2 тоже имеют различные корни. Заметим, что из регулярности вершин В1, В2 и различности их корней следует, что В1 = В2.

Рассмотрим два случая: = 0 и > 0. В первом случае любой корень вершины С, существующей по свойству (МР1), служит общим корнем вершин В1, В2. Поскольку они регулярны, то других корней они не имеют, а это противоречит выбору вершин В1, В2.

Во втором случае мы получаем противоречие между свойством (МР2) и выбором рёбер АВ^АВ2. Покажем это. Поскольку вершины В^В2 и С (конец существующего по этому свойству ребра А (С) регулярны, то каждая из них имеет ровно один корень. Корни вершин В1; В2 различны, поэтому хотя бы один из них (пусть корень вершины В1) отличен от корня вершины С. Так как ^(АЁч, жС) < ^о, то это противоречит минимальности числа

Доказательства результатов с применением леммы о диаманте проводятся по одной и той же схеме. Пусть О — некоторый класс интересующих нас объектов. Как правило, эти объекты являются компактными связными трёхмерными многообразиями или парами вида (М, С), где М — компактное связное многообразие и О — компактный одномерный полиэдр внутри него. Сначала строится граф Г, вершинами которого являются неупорядоченные конечные наборы объектов из класса О. Переходя к несвязному объединению всех объектов, входящих в данную вершину, можно рассматривать эту вершину как одно не обязательно связное многообразие или как одну не обязательно связную пару.

Рёбра графа задаются с помощью нетривиальных редукций. Каждая редукция представляет собой перестройку какого-нибудь объекта х £ О, входящего в данную вершину А. Первый шаг состоит в разрезании этого объекта по лежащей в нём поверхности Б, потом выполняются различне склеивания. Поэтому эта редукция сопоставляет объекту х один или два объекта из О, в зависимости от того, является ли поверхность Б разбивающей. Разумеется, набор рассматриваемых редукций зависит от существа задачи. Редукции объектов определяют редукции вершин графа и тем самым его рёбра. Вершины А, В графа Г соединены ребром тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же объектов за исключением того, что один объект вершины А, к которому собственно и применяется редукция, заменяется на результат её применения, то есть на новый объект или новую пару объектов. Одно и то же ребро может отвечать различным редукциям. Оно полностью определяется начальным и конечным наборами объектов, а как именно выполняется редукция, значения не имеет. Таким образом, кратных рёбер в графе Г нет.

Доказательство свойства (РР) обычно не вызывает затруднений и зависит от конкретной задачи. Напротив, участвующая в формулировке свойства (МР) функция-посредник во всех случаях строится одинаково. Её значение ^(АВ1, АВ2) на двух рёбрах определяется как минимальное число #(Б1 П Б2) компонент связности в пересечении поверхностей Б1,Б2 С А, которые задают рёбра АВ1,АВ2, а минимум берётся по всем парам таких поверхностей. Разумеется, здесь предполагается, что поверхности находятся в общем положении. Если ^(АВ1, АВ2) = 0, т. е. если эти рёбра можно задать непересекающимися поверхностями, то каждая из них выживает при редукции по другой. Отсюда следует, что вершина, получающаяся в результате применения обеих редукций, не зависит от того, какая из них выполняется первой, какая — второй. Поэтому её можно взять в качестве вершины С, участвующей в формулировке свойства (МР1).

Пусть ^

> 0. Заметим, что тогда вершины В1, В2 различны, так как в противном случае рёбра АВ1, АВ2 можно было бы задать параллельными копиями одной и той же поверхности и получить ^(АВ1, АВ2) = 0. Для доказательства свойства (МР2) достаточно установить, что для любых двух поверхностей Б1,Б2 С А, задающих рёбра АВ1,АВ2, найдётся такая задающая ребро поверхность Б С А,

что #(Sj П S) < #(Si П S2) при i = 1, 2. Такую поверхность S будем называть поверхностью-посредником. Замечательный факт состоит в том, что для нахождения поверхности-посредника работает стандартная техника устранения пересечений поверхностей, которая давно применяется в маломерной топологии и поэтому хорошо развита. Разумеется, приёмы построения посредника зависят от существа задачи. Тем не менее описанная универсальная схема позволяет во всех случаях либо добиться желаемого результата, т. е. доказать единственность корня любой вершины, либо точно выделить основное препятствие.

2. Разложения заузленных графов в многообразиях

Под заузленным графом мы понимаем пару (M, G), где M — компактное трёхмерное многообразие и G — произвольный конечный граф (компактный одномерный полиэдр) в IntM. Два заузленных графа эквивалентны, если они гомеоморфны как пары. Нам понадобится понятие несжимаемости сферы в (M, G), которое учитывает наличие графа. Оно отличается от общепринятого определения несжимаемой сферы в многообразии без графа, когда требуется, чтобы она не ограничивала шар.

Определение 3. Двумерная сфера S С (M, G) называется сжимаемой, если найдётся такой диск D С M, что D П S = dD, D П G = 0, и каждый из дисков, ограниченных окружностью dD в S, пересекает G. В противном случае сфера S называется несжимаемой.

По аналогии со сферическими редукциями трёхмерных многообразий определим четыре типа сферических редукций заузленных графов.

Определение 4. Пусть несжимаемая сфера S в (M, G) находится в общем положении к G и множество X = S П G состоит из k точек, где 0 < k < 3 (такие сферы будем называть допустимыми). Тогда сферическая редукция пары (M, G) по S состоит в разрезании (M, G) вдоль S и взятии конусов (Con S±, Con X±) над копиями (S±,X±) пары (S,X), появившимися при разрезании. Получившаяся при этом пара будет обозначаться (MS, GS).

Оказывается, большинство основных понятий и фактов теории сферических редукций в абсолютной ситуации (когда G = 0) переносятся на заузленные графы. Сферические редукции удобно разбить на два класса, в зависимости от того, является сфера S разбивающей или нет. Если редукция по разбивающей сфере S применяется к паре (M, G) и многообразие M связно, то в результате получаются две пары (M1,G1), (M2,G2). В этом случае говорят, что пара (M, G) является связной суммой (M1, G1)#(M2, G2) пар (M1,G1), (M2, G2). Таким образом, есть четыре различные операции связного суммирования, которые можно описать так. Сначала для каждого i = 1, 2 вырежем из пары (M¿,G¿) тривиальную пару (Vi, V П G) ~ (Con S2, ConX), где множество X С S2 состоит из k < 3 точек. Затем склеим получившиеся многообразия по такому гомеоморфизму h: 5V1 ^ dV2, что h(5V1 П G) = dV2 П G. Как и в случае пустого графа, операция связного суммирования многозначна. Редукция по сфере S С (M, G) и обратная ей операция связного суммирования называются тривиальными, если S ограничивает в M тривиальную пару вида (Con S2, Con X). Если пара (M, G) допускает только тривиальные редукции, то она называется неприводимой.

Рис. 3. Редукции по сжимаемым сферам могут привести к разложениям типа (М,Ко) = (М,Ко)#(Б3,£), где узел (Б3,£) нетривиален

Рис. 4. Редукции пары (Б3, С) по сферам Б, Б', пересекающим граф соответственно в 2 и 4 точках, дают различные примарные

слагаемые

Здесь уместно объяснить, зачем мы требуем несжимаемости сферы Б и чем вызвано ограничение на число точек к в Б П С. Дело в том, что если разрешать редукции по сжимаемым сферам или допускать к > 4, то нет никаких шансов получить существование и единственность разбиения заузленного графа на неприводимые или примарные части. Соответствующие примеры показаны на рис. 3 и 4. На рис. 3 изображены узлы К0 = Б1 х {*} и К в Б1 х Б2, которые задают соответствующие узлы в М = Б1 х Б2 Э Б1 х Б2. Пересечение сферы Б с подходящей сферой = {*} х Б2 С М является окружностью, которая делит на два диска. Один из этих дисков является сжимающим для сферы Б. Он помогает построить изотопию между узлом К0 и узлом К С М, который получается из узла К0 локальным завязыванием трилистника £ и поэтому представим в виде связной суммы (М, К0)#(Б3, £). Такое отщепление нетривиальных слагаемых можно было бы продолжать до бесконечности. Рис. 4 показывает, что если допустить к = 4, то единственности разложения нет.

2.1. Корни заузленных графов

Теорема 1. Пусть (М, С) — заузленный граф. Будем применять к нему нетривиальные сферические редукции до тех пор, пока это возможно. Тогда этот процесс заведомо конечен. Получившийся в результате набор неприводимых заузленных графов определён однозначно с точностью до добавления или удаления тривиальных пар типа настройки (двойного конуса) над парой (Б2, X), где множество

X С S2 состоит из к < 3 точек.

Для доказательства мы ограничимся описанием необходимых дополнительных аргументов.

Построим граф Г. Каждая его вершина является конечным набором заузленных графов, то есть пар вида (Mj, Gj), где Mj — связное трёхмерное многообразие и Gj — граф внутри него. Эквивалентным образом вершину можно понимать и как пару (M, G), подразумевая, что многообразие M и граф G в нём могут быть несвязными. Вершины, отличающиеся на добавление или удаление тривиальных пар, считаются одинаковыми. Вершины A, B G V(r) соединены ориентированным ребром тогда и только тогда, когда вершина B получается из вершины A применением нетривиальной редукции по сфере S, лежащей в какой-нибудь паре (Mj, Gj) С A.

Достаточно доказать, что для любой вершины графа Г её корень существует и единственен (это утверждение является переформулировкой теоремы 1). Справедливость нужного для этого свойства (FP) вытекает из следующего обобщения леммы Кнезера, доказанного в лемме 6 работы [6] с помощью модификации метода нормальных поверхностей, когда рассматривается такая триангуляция многообразия M, что граф G С M состоит из её рёбер.

Лемма 3. Для любой пары (M, G) найдётся такое число C, что любая последовательность применяемых к ней нетривиальных сферических редукций имеет, длину не более чем C.

Проверка свойства (MF) практически совпадает с его проверкой в абсолютном случае, когда рассматриваются многообразия без графов. Для устранения пересечений сфер Si,S2, задающих рёбра ABi,AB2, применяется тот же самый приём перестройки по окружности C С S1 П S2, ограничивающей в S1 самый внутренний диск D. Если D П G = 0, то из несжимаемости сферы S2 следует, что одна из получающихся при перестройке сфер S', S" (пусть сфера S') не пересекает граф G. Отсюда следует, что либо она, либо сфера S'' может быть взята в качестве сферы-посредника.

Теперь допустим, что все самые внутренние диски на S1 и S2 пересекаются с графом G. Поскольку самых внутренних дисков на сфере по крайней мере два, а число точек в пересечении каждой сферы с графом не превосходит трёх, то найдётся самый внутренний диск D С S1 , пересекающий граф в одной точке. Тогда одна из сфер S', S'', получающихся при перестройке сферы S2 по D, пересекается с графом G в двух, а вторая — в двух или трёх точках. Как и в предыдущем случае, хотя бы одна из них обязана быть нетривиальной и поэтому может быть взята в качестве сферы-посредника. Этих аргументов достаточно для доказательства теоремы 1.

Отметим, что знаменитая теорема Х. Шуберта [7] о том, что любой нетривиальный узел в S3 однозначно представим в виде связной суммы примарных узлов, является прямым следствием теоремы 1. Действительно, достаточно применить эту теорему к случаю, когда многообразие является 3-сферой, а граф — узлом в ней. Разумеется, вместо 3-сферы можно взять произвольное трёхмерное многообразие без неразбивающих сфер и получить другой частный случай теоремы 1.

Теорема 2. Пусть K — нетривиальный (т.е. не ограничивающий диска) узел в многообразии M, не содержащем неразбивающих сфер. Тогда пару (M, K) можно представить в виде связной суммы (M, K) = (M, K0)#(S3, K1)#(S3, K2)# ... #(S3,Ks), все слагаемые которой примарны и определены однозначно с точностью до порядка и гомеоморфизма пар.

^3

ъ

Рис. 5. Две разбивающие сферы в многообразии

Число ^ примарных локальных узлов К, г > 0, будем называть числом Шуберта узла (М, К).

Для глобальных узлов (т. е. узлов в произвольных, не обязательно неприводимых, трёхмерных многообразиях) существование и единственность корня следует из замечательной теоремы К. Мияцаки [8], в которой выяснено, когда глобальный узел допускает различные примарные разложения. Аналогичные результаты можно получить и для зацеплений в трёхмерных многообразиях, а также для других графов, например, тета-кривых. См. работу [9], где в случае отсутствия неразбива-ющих сфер удалось не только доказать однозначную определённость сомножителей данной тета-кривой, но и учесть их порядок и тем самым полностью описать структуру полугруппы тета-кривых.

2.2. Контрпримеры к теореме о примарных разложениях заузленных графов

Имеется существенное различие между сферическими корнями многообразий и их примарными разложениями. В первом случае разрешается выполнять редукции по всем сферам, во втором — только по разбивающим. Аналогичное (и даже более существенное) различие наблюдается и в случае дисковых редукций. Тем не менее в обоих случаях теоремы о примарных разложениях (когда разрешается делать редукции только по разбивающим сферам или соответственно дискам) верны. Оказывается, для заузленных графов это не так: существуют заузленные графы, имеющие по нескольку различных примарных разложений. Мы построим такой граф С в многообразии М = 51 х 52#51 х 52, что пара (М, С) допускает два различных разложения на неприводимые слагаемые.

Рассмотрим в сфере 53 шесть таких двумерных сфер р, Qi, 1 < г < 3, что выполнены следующие условия.

1. Пересечение р П Qj состоит из одной окружности в случае, когда (г, ^) = (1, 3), (3,1), (2, 2), (3, 3), и пусто для всех других пар (г, ]).

2. Сферы р и р лежат по разные стороны сферы Р3, а сферы Q1 и Q2 — по разные стороны сферы Q3. См. рис. 5 слева.

Соединим теперь сферу Р3 со сферами р, р тонкими трубками. Полученную новую сферу обозначим Р. Аналогично, соединение сферы Q3 трубками со сферами Q1, Q2 даёт новую сферу Q. Пересечение сфер Р, Q состоит из четырёх окружностей, разбивающих каждую из них на кольцо, три диска и диск с двумя дырками. Выберем шары X, X', У, У' С 53 \ (Р и Q) так, чтобы шары X, X' лежали по одну сторону от сферы Р и по одну сторону от сферы Q, а У, У' — по другую сторону от этих сфер, см. рис. 5, справа.

Рис. 6. Заузленный граф О в трёхмерной сфере с двумя ручками, допускающий два различных разложения на примарные слагаемые: по 2-сфере Р и по 2-сфере ^

Рис.7. Примарные слагаемые (Б1 х Б2 ,ОР) и (Б1 х Б2, О'Р) пары (М,О), полученные редукцией по сфере Р

Вырежем эти шары из сферы Б3 и приклеим к получившемуся многообразию две трёхмерные ручки Нх, Ну ~ Б2 х I так, чтобы они соединяли сферу дХ со сферой дХ' и сферу дУ со сферой дУ'. Получится трёхмерное многообразие М « (Б1 х Б2)#(Б1 х Б2) со сферами Р, Q внутри него.

Теперь опишем заузленный граф С С М, все вершины которого имеют валентность 3. Две из них лежат в Нх, четыре — в Ну, а четыре оставшиеся — в Б3. Рёбра внутри ручек служат для того, чтобы отличать эти ручки друг от друга. Граф С пересекает все шесть дисковых компонент разности (Р и Q) \ (Р П Q), каждую в одной точке, см. рис. 6.

Теперь выполним редукцию заузленного графа (М, С) по сфере Р. Получим два заузленных графа СР, СР в двух экземплярах многообразия Б1 х Б2 (см. рис. 7), где Р-, Р+ обозначают две копии сферы Р, которые получились в результате разрезания многообразия М по ней.

Любая разбивающая сфера в Б1 х Б2 ограничивает шар. Поэтому нетрудно доказать, что оба заузленных графа примарны. Заметим, что граф СР имеет восемь вершин (четыре из них лежат в Ну), а граф СР имеет четыре вершины (две

в Hx). Аналогично, редукция пары (M, G) по сфере Q даёт также два заузлен-ных графа Gq,GQ С S1 х S2. Внешне эти графы похожи на графы Gp,G'p, но отличаются от них числами вершин (по шесть в каждом). Поэтому разложения (M, G) = (S1 х S2,Gp)#(S1 х S2, G'P) и (M,G) = (S1 х S2,Gq)#(S 1 х S2,GQ) различны.

Здесь уместно отметить, что все 4 примарных заузленных графа Gp, Gp, Gq, GQ являются приводимыми. Например, пара (S1 х S2,Gp) допускает нетривиальную редукцию по неразбивающей сфере ÖY, которая пересекает Gp в двух точках. После применения всех возможных нетривиальных редукций к парам (S1 х S2, Gp), (S1 х S2,Gp) получим набор неприводимых заузленных графов в S3, который (в полном соответствии с теоремой 1) совпадает с аналогичным набором для пар (S1 х S2,Gq), (S1 х S2,GQ).

Список литературы

1. Newman, M. H. A. On theories with a combinatorial definition of "equivalence" / M.H.A.Newman // Annals of Mathematics. — 1943. — Vol. 43. — P. 223-243.

2. Ширшов, А. И. Некоторые алгоритмические вопросы для алгебр Ли / А. И. Ширшов // Сиб. мат. журн. — 1962. — Т. 3, № 2. — С. 292-296.

3. Бокуть, Л. А. Вложения в простые ассоциативные алгебры / Л. А. Бокуть // Алгебра и логика. — 1976. — Т. 15, № 2. — C. 117-142.

4. Bergman, G. M. The diamond lemma for ring theory / G. M. Bergman // Advances in Mathematics. — 1978. — Vol. 29. — P. 178-218.

5. Becker, T. Grobner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra / T. Becker, V. Weispfenning. — New York : Springer-Verlag, 1998. — 576 p.

6. Kneser, H. Geschlossene Flachen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten / H. Kneser // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1929. — Vol. 28. — P. 248-260.

7. Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten / H. Schubert // S. B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. — 1949. — Vol. 3. — P. 57-104.

8. Miyazaki, K. Conjugation and prime decomposition of knots in closed, oriented 3-manifolds / K. Miyazaki // Transactions of the American Mathematical Society. — 1989. — Vol. 313. — P. 785-804.

9. Matveev, S. A semigroup of theta-curves in 3-manifolds / S. Matveev, V. Turaev // Moscow Mathematical Journal. — 2011. — Vol. 4. — P. 1-10.

Поступила в 'редакцию 08.07.2019 После переработки 12.09.2019

Сведения об авторе

Матвеев Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН, заведующий кафедрой компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, г. Челябинск, Россия; главный научный сотрудник лаборатории топологии и динамики, Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск, Россия; e-mail: matveev@csu.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 3. P. 265-275.

DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14302

AN EXAMPLE OF THE DECOMPOSITION NON-UNIQUENESS FOR A 3-DIMENSIONAL GEOMETRIC OBJECT

S.V. Matveev

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russia matveev@csu.ru

In 1942, M.H.A. Newman formulated and proved a simple lemma that has been very useful in various areas of mathematics in particular in algebra and Grobner — Shirshov bases theory. It was later called Diamond Lemma, since its key design is graphically depicted as a rhombus (diamond symbol). In 2005, I proposed a new version of this lemma, designed to solve geometric problems, and proved existence and uniqueness theorems for primary decompositions of various geometric objects: 3-dimensional manifolds, knots in thickened surfaces, knotted graphs, knotted theta curves in 3-dimensional manifolds. It turned out that all geometric objects of the mentioned types allow primary decomposition, but in some cases (for example, for orbifolds) uniqueness decomposition is absent. This article presents this new version of the lemma and an algorithm for its application. I propose a theorem that uses Diamond Lemma to prove it, and a counterexample showing the impossibility of omitting one of the conditions of the theorem.

Keywords: 3-dimensional manifold, knot, knotted graph, Diamond Lemma, prime decompositions of geometric objects.

References

1. Newman M.H.A. On theories with a combinatorial definition of "equivalence". Annals of Mathematics, 1943, vol. 43, pp. 223-243.

2. Shirshov A.I. Some algorithmic issues for Lie algebras [Nekotorye algoritmicheskiye voprosy dlya algebr Li]. Sibirskiy Matematicheskiy Zhurnal [Siberian Mathematical Journal], 1962, vol. 3, no. 2, pp. 292-296. (In Russ.).

3. Bokut'L.A. Embeddings into simple associative algebras. Algebra and Logic, 1976, vol. 15, iss. 2, pp. 73-90.

4. Bergman G.M. The diamond lemma for ring theory. Advances in Mathematics, 1978, vol. 29, pp. 178-218.

5. Becker T., Weispfenning V. Grobner bases: a computational approach to commutative algebra. New York, Springer-Verlag, 1998. 576 p.

6. Kneser H. Geschlossene Flachen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1929, vol. 28, pp. 248-260.

7. Schubert H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S. B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl., 1949, vol. 3, pp. 57-104.

8. MiyazakiK. Conjugation and prime decomposition of knots in closed, oriented 3-manifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 1989, vol. 313, pp. 785804.

9. Matveev S., TuraevV. A semigroup of theta-curves in 3-manifolds. Moscow Mathematical Journal, 2011, vol. 4, pp. 1-10.

Accepted article received 08.07.2019 Corrections received 12.09.2019

The work is supported by the Laboratory of Topology and Dynamics of Novosibirsk State University (grant of the Government of the Russian Federation No. 14.Y26.31.0025).