Выполнимость графовых формул на частично коммутативных нильпотентных группах

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 42-45.

УДК 512.54.05 А.В. Трейер

ВЫПОЛНИМОСТЬ ГРАФОВЫХ ФОРМУЛ НА ЧАСТИЧНО КОММУТАТИВНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ

По графам T и Г строится система полиномиальных уравнений SR (T, Г) над кольцом R, разрешимость которой равносильна выполнимости формулы 0(T) на группе Gr . В случае если R - поле комплексных чисел, то c помощью техники базисов Гребнера можно выяснить за конечное число шагов, разрешима система SR (T, Г) или нет.

Ключевые слова: частично коммутативные группы, нильпотентные группы, универсальная эквивалентность, базисы Гребнера.

Введение

Пусть Г - простой конечный граф (без петель и кратных ребер), Gr -частично коммутативная двуступенно нильпотентная R -группа, построенная по графу Г, где R - биномиальное евклидово кольцо.

По простому конечному графу T с множеством вершин V(T) = {yy,} и множеством рёбер E(T) с{(y,.,yj)|y,.,yj eF(T)} в групповой сигнатуре определим экзистенциальную формулу ^>(T) следующим образом:

ф

(y,, y j )eE (T) (y, yj )iE(T) i*j i=1,...,t

Далее в работе будем называть формулы вида (1) графовыми формулами.

В работе [1] автор совместно с А.А. Мищенко показал, что проблема универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных .R-групп алгоритмически разрешима. Доказательство этого факта можно разделить на две части. В первой части доказывается, что проблема универсальной эквивалентности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных R-групп сводится к исследованию выполнимости графовых формул на этих группах.

Теорема [1]. Пусть GT и GTi - частично коммутативные двуступенно нильпотентные R -группы, где R - биномиальное евклидово кольцо. Тогда группы G^ и G^ универсально эквивалентны тогда и только

тогда, когда они не различимы формулами ф(Г1) и ф(Г2) .

Во второй части доказательства приводится алгоритм, который дает ответ на вопрос, выполняется ли графовая формула ф(^ на частично коммутативной двуступенно нильпотентной группе GT для произвольных графов Г и T . Суть предложенного алгоритма состоит в следующем: по графам Г и T строится такой граф Г", для которого верно, что формула ф(Г) выполняется на группе GT тогда и только тогда, когда граф T' является полным подграфом графа Г", где граф T' получен из графа T с помощью операции полного сжатия первого рода графа T . Определение операции полного сжатия первого рода дано в статье [1].

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 14-01-00068а.

©А.В. Трейер, 2014

Отметим, что построение графов Г" и Т' не зависит от биномиального евклидова кольца R, поэтому верно следующее утверждение.

Утверждение. ЕЫпюлнимосшъ графовых (формул на частично коммутативных двуступенно нилъпошеншнъх Я -группах не зависит ош выбора биномиального евклидова кольца Я .

Также этот факт следует из работ [2; 3].

В настоящей статье предлагается другой алгоритм для решения вопроса выполнимости графовых формул. Кратко опишем подход, используемый в новом алгоритме. По графовой формуле ф(Т) и R-группе Ог строится конечная система полиномиальных уравнений специального вида (Т, Г) над

биномиальным евклидовым кольцом Я , которая имеет решение тогда и только тогда, когда формула ф(Т) выполняется на Я -группе Ог . В случае если Я - алгебраически замкнутое поле, например поле комплексных чисел С, то разрешимость системы уравнений над таким полем можно установить алгоритмически с помощью техники базисов Гребнера. Подробнее о базисах Гребнера см. в книге [4]. По утверждению, выполнимость графовой формулы на С-группе ОГ равносильна выполнимости этой формулы на произвольной R-группе ОГ, поэтому описанный алгоритм дает ответ на вопрос о выполнимости графовых формул для произвольных частично коммутативных двусту-пенно нильпотентных Я -групп.

Ю.В. Матиясевич показал [5], что для конечных систем полиномиальных (диофан-товых) уравнений над целыми числами вопрос о разрешимости этих систем алгоритмически неразрешим в общем случае. Для конечных систем полиномиальных уравнений над рациональными числами в настоящее время неизвестно, существует ли критерий разрешимости таких систем. Но для систем полиномиальных уравнений специального вида 8Я (Т, Г) , где Я - это кольцо целых чисел или поле рациональных чисел, мы можем воспользоваться критерием выполнимости для системы уравнений 8С (Т, Г) .

Достаточно подробные определения частично коммутативных групп, биномиальных колец, графовых формул и другие необходимые сведения о частично коммутативных двуступенно нильпотентных группах, а также результаты об универсальной эквивалентности этих групп можно найти в статье [1].

Построение системы уравнений специального вида над полем комплексных чисел

Пусть Ог - частично коммутативная двуступенно нильпотентная С-группа с

множеством порождающих элементов X = (х1,...,хп} , где С - поле комплексных чисел. Известно, что поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым полем. Пусть Т - произвольный конечный граф с множеством вершин (у1,.,у1} и ф(Т) -графовая формула, построенная по графу Т . В этой части статьи мы построим систему полиномиальных уравнений специального вида 8С (Г, Т) над полем С такую, что она будет иметь решение тогда и только тогда, когда формула ф(Т) выполняется на группе Ог .

Итак, пусть графовая формула ф(Т) выполняется на группе Ог на элементах

§1,- • •, §1 •

&=п

х/ -С,

]=1

где а, е С и с1 е Ог' = [СГ,Ог], 1 = 1,...,11. Так как группа Ог двуступенно нильпо-тентная, то элемент С принадлежит центру группы Ог и не влияет на коммутируемость элемента § 1 с другими элементами группы.

Исходя из аксиом определения двусту-пенно нильпотентной Я -группы (аксиомы можно найти в [1]), коммутатор элементов

§1 и §, равен:

[§п §] ] = П [хк, Х1]

[Хк,Х1 ]*1

Л<1

Ак1

где А« =алал -аа

' а"-]к

а

а

а к

.

к аМ

Разобьем формулу ф(Т) на три конъюнкта:

Л [7,., ] = 1,

Л

[ 7,, 7, ] Ф 1,

Л7

Ф 7 ; Л

Л

7; Ф 1.

1 Ф] 1=1,---,1

Для каждого конъюнкта формулы мы составим подсистему полиномиальных уравнений, разрешимость которой будет равносильна истинности этой части формулы ф(Т) .

В конъюнкте (3.1) задается условие коммутируемости элементов в группе Ог .

Так как формула ф(Т) выполняется на элементах §1,...,§, группы Ог , то для всех 1 и j таких, что (у1,у,) е Е(Т) , имеем, что [ §1, §,] = 1. По формуле (2) коммутатор [§1,§,] = 1 тогда и только тогда, когда для всех к и 1 таких, что [хк, х1 ] Ф1 в группе Ог ,

44

А.В. Трейер

выполнено Д. = 0. Следовательно, для конъюнкта (3.1) мы имеем следующий набор уравнений:

ал а,

а

к а., такие,

1

= 0,

что

(у,., у,.) е Е (Т),

где 1, .ь к, (Хк, х,) й Е(Г).

Во второй части формулы ф(Т) задается условие некоммутируемости элементов в группе ОГ . Пусть (у 1, у. ) й Е(Т) , тогда

[§1, §. ] Ф 1. По формуле (2) получаем, что миноры Дк, не должны все быть равны нулю одновременно для всех к и 1 таких, что [хк, х, ] Ф1 . Поскольку Я является полем комплексных чисел, то условие выше может быть представлено как существование ненулевой

линейной комбинации I м>к =

миноров формулы (2). Таким образом, для конъюнкта (3.2) получаем следующие уравнения над полем С:

ак а,,

I

а

'.к

а

= 5..

где 1 и j такие, что (у,, у. ) й Е (Т).

Осталось учесть условие, что Ф 0, для всех (у,, у. ) й Е(Т). Это условие можно задать уравнением

П = 1

Объединив систему уравнений (4) с уравнением (5), мы получим набор уравнений, соответствующий блоку (3.2).

В конъюнкте (3.3) выражены условия нетривиальности элементов и условия того, что элементы попарно не равны между собой. Мы повторим прием, связанный с линейной комбинацией, который был использован при построении уравнений для конъюнкта (3.2). Существование ненулевой лип

нейной комбинации ы1 = I г. а. равносиль-

.=1

но тому, что элемент § 1 Ф1, где 1=1,..., 1;, а существование ненулевой линейной комби-

п

нации вида V,, =1 -(а. -а.) эквивалентно

.=1

условию §1 Ф §, для всех ,, , = 1,..., t,i Ф . . Выпишем уравнения для блока (3.3):

I

.=1

г.. -а.. = и .,

У У •'

где , = 1,...,Пи1  / = 1,

I й . • (а )=V,

.=1

г

где ,,, = 1,...,г,, ФI, П V ае = 1.

,,,=1,,ф/

Объединив полученные уравнения для блоков (3.1)-(3.3) в одну систему, мы получим искомую систему специального вида Зс (Т, Г) , разрешимость которой равносильна выполнимости формулы ф(Т) на С-группе Ог .

Так как поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым, то, используя аппарат базисов Гребнера, за конечное число шагов можно выяснить, является ли система 8с(Т,Г) разрешимой. Подробнее о базисах Гребнера можно узнать в [4].

Критерий выполнимости для систем уравнений специального вида над Z и р

В этой части статьи мы построим системы полиномиальных уравнений 8Я (Т, Г) над Ы для случаев, когда Ы - это кольцо целых чисел или поле рациональных чисел. Проблема разрешимости для конечных систем полиномиальных уравнений над целыми числами алгоритмически неразрешима [5], но, по утверждению, можно воспользоваться критерием разрешимости для системы уравнений Бс (Т, Г) .

Итак, пусть Я = Q, составим систему

уравнений ^ (Т, Г) , разрешимость которой

будет равносильна выполнимости формулы ф(Т) на р-группе Ог .

Для коньюнкта (3.1) формулы ф(Т) имеем следующее множество уравнений:

а

а

а

а

= 0,

".к

где ^ ^ к, 1 такие, что (у,, у.) е Е(Т),

(Хк, х,) й Е(Г).

Уравнения для блока (3.1) составлены аналогично случаю уравнений над полем комплексных чисел.

Для коньюнкта (3.2) мы можем воспользоваться таким же блоком уравнений, как и для поля комплексных чисел, но можно упростить уравнения для случая поля р, уменьшив количество переменных. На самом деле, пусть (у,, у ) й Е(Т) , тогда

[§1, §. ] Ф1. По формуле (2) получаем, что миноры Дк не должны все быть равны нулю одновременно для к и 1 таких, что [хк, х, ] Ф1 . Это условие можно выразить следующими выражениями: г. = I Д.2 Ф 0, где

(у I, у. ) й Е(Т) . Учитывая, что г. Ф 0 , выпишем окончательный вид системы уравнений для блока (3.2):

a а = t..

ajk aji и

п Ч -z =1.

I

где (у,., у, ) € Е(Т) ,

Для конъюнкта (3.3) уравнения выглядят следующим образом:

г

I а2 = ,1 =1...,г, п« =1

3=1,-,п 1=1

п г

I(а]-а1])2 = VI,1,1 =1...,М Ф 1, П УИе =1.

]=1 1,1=1,1*1

Объединив построенные подсистемы, мы получим систему (Т, Г) .

Рассмотрим случай Я = X. Составим систему уравнений (Т, Г) , разрешимость которой будет равносильна выполнимости формулы ф(Т) на Z-группе Ог .

Для коньюнкта (3.1) формулы ф(Т) имеем следующее множество уравнений, эти уравнения записываются аналогично случаю поля рациональных чисел: ак а,

aß а

= 0.

где ^ ^ к, 1 такие, что (у1, у,) е Е(Т), (хк, х) € Е(Г).

Конъюнкт (3.2). Пусть (у, у ) € Е(Т) , тогда [§1, §, ] Ф1. По формуле (2) получаем, что

миноры Д3 не должны все быть равны нулю одновременно для к и 1 таких, что [хк, х1 ] Ф1 . Это условие можно выразить следующими выражениями:

Ш] = I Дк,2 > 0,

где (у,, у] ) € Е(Т) .

По теореме Лагранжа, любое целое неотрицательное число Ш ] может быть выражено как сумма квадратов четырех целых чисел, поэтому получаем следующий набор уравнений:

I

а

а

jk

а

а

= (a 2 +i

j

» 2 + с2 + d 2 +1).

j j j

где (y,. yj ) € E(T) .

Наконец, для конъюнкта (3.3), аналогично конъюнкту (3.2), с помощью теоремы Лагранжа составляются следующие уравнения:

I а = (e,2 + f2 + h2 + p2 +1).

j=i

где i = 1..... k.

Iа-a.)2 = (ß2 + S] +vV +1),

j=1

где i.l = 1...t.i фl.

По утверждению и по построению систем специального вида, системы SQ (T. Г) и

SZ (T. Г) разрешимы тогда и только тогда, когда SC (T. Г) разрешима. Критерий разрешимости для системы SC (T. Г) был представлен в предыдущей части статьи.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Мищенко А. А., Трейер А. В. Алгоритмическая разрешимость проблемы универсальной эквивалентности частично коммутативных нильпотентных групп // Алгебра и логика. 2013. Т. 52. № 2. С. 219-235.

[2] Мищенко А. А., Трейер А. В. О выполнимости графовых формул на частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и теория моделей 8 : сб. тр. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. С. 48-59.

[3] Мищенко А. А., Трейер А. В. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Сибирские электронные математические известия. 2007. № 4. С. 460-481.

[4] Аржанцев И. В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М. : МЦНМО, 2003.

[5] Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. М. : Наука, 1993.