Нелинейные помехозащищенные дифференциаторы

нализ и синтез систем управления

УДК 681.518.22

НЕЛИНЕЙНЫЕ . . ДИФФЕРЕНЦИАТОРЫ

С.В. Гуляев, А.М. Шубладзе, С.И. Кузнецов, А.В. Кротов, В.Р. Ольшванг, В.А. Малахов

Предложен способ получения оценки производной гауссовского стационарного сигнала, близкой к оптимальной в среднеквадратическом смысле, когда спектральные плотности полезного сигнала и помехи известны с точностью до уровня. Рассмотрена его реализация с помощью специальным образом организованных нелинейных динамических систем. Дано сравнение с известными способами.

Ключевые слова: дифференцирование, адаптация, оптимальность, гауссовский шум.

ВВЕДЕНИЕ

Спектральная плотность полезного сигнала x

Одна из задач, возникающих при синтезе современных высокоэффективных систем управления динамическими объектами, заключается в получении информации о фазовом состоянии этих объектов. Ее решение может быть достигнуто путем разработки устройств, позволяющих получать близкую к оптимальной информацию о производной выходного сигнала объекта как в отсутствии, так и при наличии помех.

При решении подобных задач под оптимальностью часто понимают минимум среднеквадратической ошибки дифференцирования. Достаточно полно такая задача решена в теории винеровс-кой фильтрации, когда полезный сигнал и помеха представляют собой гауссовские сигналы с известными дробно-рациональными спектральными плотностями. Оптимальное решение в этом случае представляет собой линейный оператор с дробно-рациональной передаточной функцией.

Согласно этой теории передаточная функция дифференциатора стремится к идеальному оператору дифференцирования, когда уровень спектральной плотности помехи стремится к нулю. В том случае, когда спектральная плотность помехи неограниченно возрастает, значительно превышая спектральную плотность полезного сигнала, модуль передаточной функции оптимального дифференциатора на всех частотах стремится к нулю.

Формально высказанное утверждение выглядит следующим образом. Пусть наблюдаемый сигнал имеет вид

г

где *(?) — полезный стационарный гауссовский сигнал, ф(?) — стационарная гауссовская помеха, некоррелированная с сигналом *(?).

(m — p

Q

£ bj«2j + 1

/т «) = -j=i-

£ aj«2j + 1 j = і

где т < п, т — р > 0, т, р, п, Ъ. и а. — известные параметры, Q > 0 — неизвестный параметр. Спектральная плотность помехи ф

2l

/ (R, «) = —

2l

£ cl« l + І

l = і

где й < п, е, й, й и е} — известные параметры, Я >0 — неизвестный параметр.

Как следует из работ [1, 2], в этом случае для спектров (2) и (3) передаточная функция оптимального в среднеквадратическом смысле дифференциатора

W°-«(im) = 2^

дада ~№t

Гe"mtdt Г

J J V *

где q — порядок дифференцирования оптимального фильтра, функции у(/ю) и у*(/ю) находятся из уравнения

у(/ю)у*(/ю) = у(/ю)у(—/ю) =

= /» + /,(«) = /(«) или из уравнения [2],

V

e

—да

26

CONTROL SCIENCES № 3 • 2010

13217325

где И — дробно-рациональная функция введенных в выражениях (2) и (3) параметров, а сама передаточная функция (4) с учетом выражений (5), (6) преобразуется к виду

= і = 0

£ к.(О/Я)(р/

£ к.(О/Я)(р) + (р)п

1 = 0

где р = /ю, q — порядок дифференцирования, п — порядок полинома в знаменателе спектральной

плотности (2) полезного сигнала, к . и к . — коэф-

"У 31

фициенты полиномов числителя и знаменателя. Из формулы (7) следует, что параметры полиномов в передаточной функции оптимального дифференциатора являются функциями отношения О/Я, поэтому каждому значению отношения О/Я в постановке (1)—(3) соответствует своя передаточная функция (7).

Из той же теории оптимальной фильтрации следует, что среднеквадратическая ошибка дифференцирования любого дифференциатора с передаточной функцией ^(р) при р = /ю определяется выражением

где

да

ст°Д =

да

- !^од

— среднеквадратическая ошибка дифференцирования q-й производной оптимального винеровско-го дифференциатора.

Таким образом, при линейном способе дифференцирования произвольным линейным дифференциатором среднеквадратическая ошибка может быть только больше ошибки (9) и настолько, насколько больше несовпадение спектральных плотностей их операторов. Далее на основе этого утверждения будет предложен способ синтеза нелинейного дифференциатора, оценивающего первую производную сигнала в постановке (1)—(3), эквивалентная передаточная функция которого при различных значениях отношения О/Я близка к передаточным функциям совокупности оптимальных при тех же значениях О/Я дифференциаторов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Решается практически важная задача близкого к оптимальному в среднеквадратическом смысле дифференцирования гауссовского сигнала со спектральной плотностью полезного сигнала

О

да ь) =

наблюдаемого на фоне гауссовской аддитивной помехи со спектральной плотностью вида

/р

Выражения (10) и (11) представляют собой частный случай выражений (2)—(3), поэтому все сделанные во Введении утверждения остаются справедливы и для спектров (10), (11).

Требуется синтезировать нелинейное дифференцирующее устройство, эквивалентная линеаризованная передаточная функция которого при любом значении О/Я была бы близка к передаточной функции оптимального дифференциатора (7), рассчитанного для того же значения О/Я.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Воспользуемся приведенной в работе [2] связью между параметрами спектральных плотностей (10), (11) и передаточной функцией (7) оптимального в среднеквадратическом смысле дифференциатора. Эта передаточная функция в рассматриваемой задаче имеет вид

W0,Л

В рассматриваемом частном случае (10), (11) отсюда следует справедливость сделанных ранее утверждений, что порядок передаточной функции оптимального дифференциатора определяется порядком полинома в знаменателе спектральной плотности (10), а ее коэффициенты являются функцией отношения О/Я.

Приблизим передаточную функцию (12) близкой к ней передаточной функцией вида

+

Д(О/Я, Ь) = Мл/О/Я + 2 - л/2)]/[л/О/

Я + 2

+ 1 - 72 +/ю

зависящей от отношения оценок уровня спектра

полезного сигнала О и уровня спектра помехи Я.

На рис. 1 изображена структурная схема нелинейного помехозащищенного дифференциатора,

где * (?) — оценка полезной низкочастотной составляющей дифференцируемого сигнала, ф (?) — оценка высокочастотной помехи, эквивалентная передаточная функция которого определяется выражением (13).

Оценка О уровня спектра сигнала производится с помощью линейного низкочастотного фильтра

^н.ф(Р) =

к

н.ф

;, а оценка Я уровня спектра

2

да

известного [3] релейного дифференциатора с эквивалентной передаточной функцией

Жд.р(О/Я, /ю) =

где = 10 4, кр = 2/л/ЛЯ, к = 16, к = 0,01, и среднеквадратическая ошибка Стдл (О/Я) линейного

_3

дифференциатора, оптимального при О/Я = 10 , с передаточной функцией

0,628 /ю

/ ю кр

Жд.л(О/Я, /Ь) =

3,16 + 7,6/ ю -

ю

Из приведенных зависимостей видно, что среднеквадратическая ошибка дифференцирования (16) нелинейного дифференциатора лишь незначительно больше среднеквадратической ошибки (17) оптимального при любых значениях О/Я

Рис. 1. Схема нелинейного помехозащищенного дифференциатора

помехи — линейным высокочастотным фильтром,

^В ф(р) = ---кв'фр—- . Оценки ° и Я удовлетво-

( Тн.фр + 1 )2 ряют уравнениям

7°

Т&Я

где Т — достаточно большая постоянная времени.

С помощью оценок (14), (15), передаточной функции (12) оптимального при любом О/Я > 0 дифференциатора и эквивалентной передаточной

функции Жн д(°/Я, /ю) (13) нелинейного дифференциатора определим в соответствии с формулами (8) и (9) при q = 1 среднеквадратические ошибки дифференцирования

°н.д = °0.Д(О/Я) + 2Л |!^н.д(О/Я, /ю) -

- ^°.д

V1 + ю

О

да

а°.д (О/Я) = 2- ||/ь|2-

2 _О_ _

4

да * + Ь

- ! ^о д

V1 + ю )

На рис. 2—4 приведены зависимости

-да

2

а

Рис. 2. Оценки дисперсий при высоком уровне сигнала

Рис. 3. Оценки дисперсий при среднем уровне сигнала

28

СОЫТВОЬ БСІЕМСЕБ № 3 • 2010

Рис. 4. Оценки дисперсий при низком уровне сигнала

дифференциатора и существенно меньше среднеквадратических ошибок релейного и линейного дифференциаторов. Реализация нелинейного дифференциатора по приведенной на рис. 1 схеме сопоставима по сложности с реализацией релейных [3] и линейных дифференциаторов с постоянными коэффициентами [4].

ведены значения ошибки при малой и большой постоянной времени 7ф фильтра.

Представленные результаты естественным образом подтверждают сделанные теоретические выводы о том, что нелинейные дифференциаторы во всех рассмотренных случаях лучше малоинерционных линейных дифференциаторов и значительно лучше инерционных линейных и релейных дифференциаторов. Другими словами, предложенное нелинейное дифференцирующее устройство обладает высокими адаптивными возможностями при дифференцировании сигналов с изменяющимися в широких диапазонах параметрами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что методы теории оптимальной фильтрации дают возможность на базе функциональных степенных элементов, множителей и линейных динамических фильтров синтезировать помехозащищенные, обладающие большими адаптивными возможностями и просто реализуемые дифференцирующие устройства, близкие по среднеквадратическим ошибкам к подстраиваемым оптимальным дифференциаторам. Таким образом, рассмотренный способ дифференцирования по своим возможностям качественно превышает возможности других известных и широко применяемых на практике способов дифференцирования.

3. ПРИМЕР

ЛИТЕРАТУРА

Сравним качественные показатели результатов дифференцирования нелинейным, линейным и релейным дифференциаторами, полученные с помощью моделирования в системе «МаИаЪ».

Дифференцировался сигнал вида z(t) = Л ът2кИ( + + ф(0, где Л&т2кВ — дифференцируемый полезный сигнал, ф(0 — гауссовская экспоненциально коррелированная помеха. Было выполнено 16 экспериментов, половина из них — без помехи (дисперсия помехи а 2 = 0),

остальные — с помехой (а2 = 0,1). Во всех экспериментах частота полезного сигнала И = 0,0016 Гц.

Результаты приведены в таблице, где аН д, ар д и

а2 д — среднеквадратические ошибки дифференцирования соответственно нелинейным, релейным и линейным дифференциатором. Для последнего из них при-

Дисперсии ошибок

A 2 стф 2 °н.д д <n d 2 СТ( T=3 С)л,д 2 °( T=30 с)л.д

0,1 0 2,87-10-6 1,55^10—5 4,0^10-6 4,1-10-4

0,3 0 1,45-10-5 4,3^10—1 3,94-10—5 3,7-10-3

О,1 О,1 4 1 О ,3 8, 2,8^10—3 5,8^10—3 1,4-10-3

О,3 0,1 СО 1 О ,7 2, 4,93^10—2 9,4-10—3 4,6-10-3

1. Адаптивное в среднеквадратическом смысле дифференцирование // Управление большими системами / С.В. Гуляев,

A.М. Шубладзе, В.А. Малахов и др. — 2G1G. — № 3. — С. 75—88.

2. Теория систем с переменной структурой / С.В. Емельянов,

B.И. Уткин, В.А. Таран и др. — М.: Наука, 197G.

3. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1955.

4. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. — М.: Физматгиз, 1967.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.С. Манделем.

Гуляев Сергей Викторович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

(495) 334-88-81, И svgul@inbox.ru,

Шубладзе Александр Михайлович — д-р техн. наук, зав. лабораторией, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

(495) 334-88-81, И shub@ipu.ru,

Кузнецов Сергей Иванович — ген. директор,

Государственный научно-исследовательский институт теплоэнергетического приборостроения, г. Москва,

(495) 615-21-9G, www.niiteplopribor.ru,

Кротов Александр Васильевич — нач. управления,

ОАО «Газавтоматика», г. Москва,

(499) 58G-41-22, И alex_k@gazauto.gazprom.ru,

Ольшванг Владимир Рафаилович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, (495) 334-88-81, Малахов Валерий Александрович — канд. физ.-мат. наук., ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, (495) 334-88-81.

2