Хаотические колебания замкнутых цилиндрических оболочек и панелей. Часть I

УДК 539.3, 534.1

А.В. Крысько, В.А. Крысько, Н.Е. Савельева ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК И ПАНЕЛЕЙ.

Часть I

Охарактеризованы исследования по нелинейной динамике оболочек, выполненные на кафедре «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета за последние 10 лет. В первой части описаны исследования геометрически нелинейных задач замкнутых цилиндрических оболочек. Во второй части - исследования нелинейных задач цилиндрических панелей и сферических оболочек. Эти результаты являются новыми и получены в почти точном решении (методом Бубно-ва-Галеркина в высших приближениях). Исследования иностранных ученых выполнены в данном направлении с малым числом степеней свободы, что является не вполне корректным и на это обращено особое внимание в настоящей работе.

A.V. Krysko, V.A. Krysko, N.E. Saveleva CHAOTIC VIBRATIONS OF CLOSED CYLINDRICAL SHELLS AND PLATES. Part I

These studies have been performed during the last 10 years at the Department of Higher Mathematics of Saratov State Technical University. In the 1st part of present work we consider in more detail geometrically nonlinear problems of closed cylindrical shells, analysis of methods of nonlinear forms of vibrations of shells. In the 2nd part of present work we consider in more detail nonlinear problems of cylindrical panels and spherical shells. The aim of the present work is to study nonlinear dynamics of shells. These results are new and obtained in almost exact decision (the Bubnov-Galerkin’s method in the maximum approach). The mentioned below work of the foreign scientists are executed with small number of degrees of freedom that are not quite correct and therefore special attention will be addressed.

Введение

Проблемы нелинейной динамики круговых цилиндрических оболочек в настоящий момент являются чрезвычайно актуальными, так как такие конструкции находят широкое применение в космосе (ракеты и средства транспортного запуска). В таких механических системах вес является главной проблемой, и он должен быть настолько низким, насколько это возможно, а предел прочности должен быть настолько высоким, насколько это возможно. Особенно усилились исследования оболочечных систем после случая с шаттлом «Челлен-джер» [1]. Для таких систем форма колебаний представляет специфический интерес в динамическом поведении оболочек, так как осевые и изгибающие напряжения зависят от первых и вторых производных формы колебаний. Поэтому необходимы точные методы анализа нелинейных форм колебаний оболочек с большой амплитудой. Все это требует детального их изучения. Как известно, в линейной теории колебаний собственные частоты и формы колебаний не зависят от амплитуды колебаний. В нелинейной теории колебаний это не так и величина амплитуды колебаний существенно влияет на частоты и формы колебаний.

Первый обширный обзор исследований по данному направлению был сделан в 1974 году Эвенсеном [36]. Он охватывает исследования с 1955 по 1971 гг., некоторые результаты по данному направлению приводятся в монографии Лейсса [45], в которой содержаться ссылки на 500 источников по линейной теории круговых цилиндрических оболочек. Обзор работ с 1978 по 1983 гг. по нелинейной теории, включающий 17 ссылок, приведен Лейсса [45]. Более поздние исследования по теории замкнутых цилиндрических оболочек приведены в обзоре Amabili и др. [2-8].

При изучении нелинейных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек возникают новые неожиданные явления, новые в том смысле, что при изучении линейных колебаний

о них даже невозможно было подозревать. Среди этих явлений следует отметить:

1. Зависимость амплитуды от формы колебаний [26-29,54];

2. Явление скачка [35,53];

3. Внутренний резонанс [38,49];

4. Возникновение суб- или супергармонических колебаний [50];

5. Возникновение хаотических колебаний [51,57,60];

6. Существование бифуркационных точек [39,58,59].

Эти 6 признаков будут изучены ниже. В настоящей работе мы остановимся на исследованиях по нелинейной динамике оболочек, выполненных на кафедре «Высшая математи-

ка» Саратовского государственного технического университета за последние 10 лет, но предпочтение отдается исследованиям геометрически нелинейных задачах замкнутых цилиндрических оболочек.

Эти результаты являются новыми и получены с большим числом степеней свободы (методом Бубнова - Галеркина в высших приближениях), причем число степеней свободы было выбрано таким, что последующее его увеличение не привносило в решение изменений. Проведенные ранее исследования [1,6,10,34] выполнены с малым числом степеней свободы, что является не вполне корректным и на это будет обращено особое внимание ниже.

Здесь мы приведем некоторые результаты, полученные авторами данного исследования по изучению хаотических колебаний.

На кафедре «Высшая математика» изучению диссипативных колебаний оболочечных конструкций начали уделять серьезное внимание с 1992 года. За этот период было выполнено большое количество работ по изучению сложных колебаний прямоугольных в плане пластин и сферических оболочек, конических оболочек, сферических оболочек на круглом плане, секториальных пластин и оболочек, а также замкнутых цилиндрических оболочек и бесконечно длинных пластин и оболочек - фактически рассмотрен весь спектр элементов конструкций летательных аппаратов. Некоторые печатные работы приведены в списке литературы настоящего обзора [40,44,63,70-83,93-95,100,103]. Особое внимание при этом уделялось точности получаемых результатов. Исследования проводились методом конечных разностей по пространственным координатам с аппроксимацией 0(к2), 0(к4), 0(к6), методом Ритца в высших приближениях и Бубнова - Г алеркина, также в высших приближениях, и методом Рунге - Кутта 4-го порядка точности по времени. Это связано с возможностью получения истинности хаоса, в отличие от модели Лоренца, когда низшие приближения обнаруживают хаос, а увеличение аппроксимации приводит к его исчезновению. Кроме того, к известным четырем сценариям (сценарий Ландау [98], сценарий Помо - Манневиля [47], сценарий Фейгенбаума [37], сценарий Рюэля - Такенса [52]) перехода гармонических колебаний к хаотическим удалось добавить еще несколько. Наряду с использованием быстрого преобразования Фурье исследования проводились с помощью вейвлет-анализа, что позволяло анализировать изменение частот во времени. Устойчивость движения анализировалась с помощью метода Ляпунова. Это позволило выявить в сложных колебаниях оболочечных систем такие новые явления как «гипер-хаос» и «гипер-гипер-хаос».

Впервые рассмотрен вопрос об управлении хаотическими колебаниями с помощью некоторых дополнительных воздействий как продольного, так и поперечного типа, что позволило перевести хаотические колебания в гармонические или в хаотические, но с другими свойствами.

Данная работа будет структурирована следующим образом. В первой части будут рассмотрены динамические задачи теории цилиндрических оболочек при полосовом нагружении, выделены некоторые из полученных новых сценариев перехода колебаний оболочки в хаос. В §1 введены основные уравнения, краевые и начальные условия для замкнутой цилиндрической оболочки. §2 посвящен выбору аппроксимации решения и описанию метода исследования. §3 будет посвящен вопросу сходимости метода Бубнова - Галеркина. В §4 рассмотрим сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек. Часть 2 будет посвящена изучению сложного поведения цилиндрических панелей и сферических оболочек.

§ 1. Основные уравнения и предположения

Цилиндрическую оболочку, поперечное сечение которой очерчено по окружности, называют круговой цилиндрической оболочкой и если ее поперечное сечение представляет полную окружность, то она называется замкнутой, если часть окружности - то открытой.

Замкнутая круговая цилиндрическая оболочка как трехмерная область П в данной системе координат определяется П = {х, у,г I (х, у) е [0;Ь]х[0;2п],-к < г < к} (рис. 1.1). Выберем координатные линии х и у таким образом, чтобы они совпадали с линиями кривизны срединной поверхности. Координату г будем отсчитывать по нормали к поверхности, считая г положительным по направлению к центру кривизны поверхности (имеется в виду оболочка положительной или нулевой гауссовской кривизны). В нелинейной теории пологих оболочек исходными уравнениями для расчета оболочек примем нелинейные уравнения Власова - Муштари - Донелла [99], записанные в безразмерном виде:

Рис. 1.1. Замкнутая круговая цилиндрическая оболочка

12(1 )Iх дх'+х э7+2айу)-ку а? ~К "ик'Г)-

д2 V д2 V д2 V дж

+ру

1 д4Г ,2 д4Г 0 д4Г , д2V , д2V 1 . „

+ х2-^ + 2-^^ + ку—іг + к^—г + - Цм>, V) = 0.

X2 дх4 ду4 дх2 ду2 у дх2 х ду2 2

д2V д2Г д2V д2Г д2V д2Г

------------+-------------2---------------

дх2 ду2 ду2 дх2 дх ду дх ду

где Д^,Г) = 2 2 + 2 2 -2_ _ , , , V, Г - функция прогиба и функция усилии

2 2 2 2

соответственно; ^ - коэффициент Пуассона; ку = —, кх = 0 - кривизны оболочки по х и у.

Яу

Поперечное внешнее давление, приложенное к оболочке, будем задавать в виде 4( х, у, ї) = д08Іп(ю,/), где до и ю0 - амплитуда и частота гармонического возбуждения. Система (1.1) приведена к безразмерному виду с использованием следующих безразмерных параметров (черточка над безразмерными величинами для простоты опущена):

V = Ш, V, = Ш0, Г = Ек2 Г , ї = ї0 ї, є = є / т, т = , х = Ш, у = Яу ,

к

ку = ку • к/Я2 (кх = 0), Я = 4" • ЕкАІЬ2Я2, Рх = р 'к/ ^ , Ру = ру • Vя2, м = ку2, Х = Ь/Я ,

где Ь и Я=Яу - длина и радиус оболочки. Здесь ї - время; є - коэффициент сопротивления среды, в которои происходит движение оболочки; Рх(у,ї), Ру (х,ї) - продольная нагрузка; д(х, у,ї) - поперечная нагрузка.

К системе (1.1) следует присоединить граничные условия:

Подвижно защемленная заделка по торцам:

д^ дГ

V = 0; — = 0; Г = 0; — = 0 при х = 0;1 дх дх

д^ дГ

V = g

ду ду

Подвижно защемленная оболочка по торцам с присутствием на торцах гибких ребер:

дw д2 Е

= 0; Е = 0; —

дх дх2

w = 0; — = 0; Е = 0; у—^ = 0 при х = 0;1

дм дЕ

w = g

ду ду

Шарнирное опирание по торцам:

д2 м „ ^ „ дЕ

м

дх2 ’дх

м = 0; у—^ = 0; Е = 0; — = 0 при х = 0;1

дм дЕ

м = g

ду ду

Шарнирное опирание по торцам с присутствием на торцах гибких ребер:

д2 м д2 Е

д^=0; Е=0; ^

м = 0; = 0; Е = 0; —— = 0 при х = 0;1

д2 м д2 Е

м = g

ду 2 ду 2

Следует также присоединить начальные условия:

дм дг

м(х у) 1г=0 =^1(x, У),

2 г=0

Для решения системы (1.1)-(1.6) используется метод Бубнова - Галеркина в представлении Фурье. Методы Бубнова - Г алеркина к настоящему времени были применены при решении многочисленных задач механики конструкций, динамики сооружений, гидромеханики, теории гидромеханической устойчивости, магнитной гидродинамики, теории тепло- и массообмена, акустики, теории распространения микроволн, теории переноса нейронов и т.п. С помощью представлений Бубнова - Г алеркина были проведены исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Происхождение метода Бубнова - Г алеркина обычно связывают с именем выдающегося русского ученого Ивана Григорьевича Бубнова (1872-1919) [64].

О динамических критериях потери устойчивости пологих оболочек

В задачах динамики при действии на конструкцию переменной во времени нагрузки чрезвычайно важным является вопрос о динамическом критерии потери устойчивости. Кратко остановимся на некоторых критериях динамической устойчивости, предложенных различными авторами. А.С. Вольмир [65] в качестве динамического критерия принимает быстрый рост прогиба при незначительном увеличении нагрузки или появление точки перегиба дд чдм2

А.С. Шио, Т.Т. Сунг, Д.С. Рот в задачах динамики [56] показывают, что нагрузка, при которой начинается обратный процесс изменения времени, необходимого для достижения первого максимума в зависимости «нагрузка - время», считается критической.

Б.Я. Кантор [69], рассчитывая методом Ритца в высших приближениях осесимметричные сферические оболочки, в качестве динамического критерия принимает, что оболочка

графика д1(м) | уу = 0 |.

прохлопывает, если прогиб в центре достигает значения, большего относительной высоты

- - /

оболочки К = 2/ , где / =--------безразмерная высота подъема оболочки над планом.

Н

В работе В. А. Крысько [71] делается анализ устойчивости оболочек и отмечается, что при потере устойчивости оболочки происходит смена знака усилия в срединной поверхности с отрицательного (сжатия) на положительный (растяжение). Обзор работ по динамическим критериям потери устойчивости дается в работе [62].

В работе [67] вводится критерий, согласно которому критическая динамическая нагрузка определяется из условия, что в новое положение равновесия система приходит с нулевой скоростью. Аналогичный подход использован в работе [55]. Суть данного критерия состоит в следующем. В начале нагружения силы инерции препятствуют внешней нагрузке, затем, пройдя через ноль и сменив знак, они начинают сопутствовать внешней нагрузке. При этом ускорение также меняет знак на противоположный. Значит, в некоторый момент времени скорость оболочки становится равной нулю, а затем происходит резкое возрастание прогиба. Момент обращения скорости оболочки в ноль принимается за критический.

В работе [96] предлагается в качестве критерия потери устойчивости такой момент времени, когда деформации упругого тела являются неустойчивыми, то есть такой момент г0, когда упругому телу можно дать такое возмущение, при котором поле перемещения изменяется без изменения скорости и ускорения.

В некоторых работах предложен подход к задаче определения динамической потери устойчивости, связанный с приведением динамической задачи к квазистатической. Согласно этому подходу докритические усилия в срединной поверхности оболочки определяются с учетом сил инерции из динамических соотношений, в то время как сам процесс выпучивания рассматривается со статических позиций. Такая техника «замораживания во времени» обычно используется в практике для сложных конструкций.

Некоторые авторы в качестве динамического критерия потери устойчивости принимают момент появления пластических деформаций оболочечной конструкции.

В работе [46] для арок показано, что процесс прощелкивания арки характеризуется двумя различными механизмами: «прямым» и «непрямым», или «связанным» прощелкива-нием. В первом случае прощелкивание системы происходит, когда неустойчивое состояние равновесия сопровождается по симметричной форме, несимметричные формы оказываются неустойчивыми. Во втором случае потеря устойчивости происходит при сложном взаимодействии симметричной и несимметричной форм системы, т.е. система теряет устойчивость по несимметричной форме. Значит, характер потери устойчивости по симметричной и несимметричной формам совершенно разный и, следовательно, должно существовать два динамических критерия потери устойчивости.

§ 2. Метод исследования - метод Бубнова - Г алеркина в представлении Фурье

Как отмечалось выше, мы будем использовать в настоящей работе метод Бубнова-Галеркина в представлении Фурье в высших приближениях [66]. Рассмотрим более подробно аппроксимацию решения, принятую в этих работах, и схему применения метода. Функции м и Е, являющиеся решениями, приближенно аппроксимируем аналитическим выражением, содержащим конечное число произвольных параметров, и представляем в виде произведения двух функций, зависящих от времени и от координат.

N1 N 2 Щ N2

м = 11А

г=0 у =0 г =0 у=0

Координатные системы {фу (х, у), щ (х, у)} выберем так, чтобы функции фу (х, у),щ (х, у) были для V/, у линейно независимы, непрерывны вместе со своими част-

ными производными до четвертого порядка включительно в области П, и чтобы фу (х, у),Уу (х, у) удовлетворяли одному из соответствующих краевых условий, кроме того,

требуется, чтобы фу (х, у), у у (х, у) обладали свойством полноты. Коэффициенты Ау (г) и Ву (г) являются искомыми функциями времени. Для удобства обозначим левые части уравнений системы (1.1) Ф1 и Ф2 соответственно:

Ф1(ж, Г,

д2 ж д2 Г

дх2 , дх2

,...) + М  д(х, у,і) = 0, Ф2(м,Г,

д2 ж д2 Г

дх2 , дх2

...) = 0.

Применяя процедуру Бубнова - Галеркина к (2.2), получим:

1 % х2 У2

Я Ф1фга (х, у) йхйу +11Ыд(х, у, г) фга (х, у) йхйу = 0,

0 0 х1 у1

1 %

ЦФ2уга(х, у)йхйу = 0, г = 0,1,...,я = 0,1,...^2.

00

С учетом (2.3) уравнения (2.2) запишутся

ЕЕ АX у +Х ВуСу + X ^ + Мдаг, + X АX виА,у.Ига +

гя у Ш у (у у Ш

+х

)

й2 Д йД 1 +є- 1

йі

2

йі

] = 0,

^ Д/С2,уга + ^ Ві) ^ ^і/кіга + ^ Д) ^ Дгн^2Щп ] 0'

Гі І] [*

Здесь знак ^[*] перед каждым уравнением системы (2.4) указывает, что под данным

ГБ

уравнением понимается система ГБ такого вида уравнений, а интегралы процедуры Бубнова - Г алеркина имеют вид:

і %

Ні]кігі = Ц

1

0 0

12

А. дЧ дч +х2 +2 эф^ д 2Фы

X2 дх2 дх2 ду2 ду2 дх ду дх дх

і %

Сі^=Л

д2^ д >„

- к- К 1

у дх2 х ^-2

ду2

і %

Фгійхйу, С) = Л

к. ді+к.3 гФ»

у дх2 х ^-2

ду2

Фга йхйу,

¥га йхйу,

і %г і і % 1

А,уига = Л [-^(Ф).¥кі)]Фга йхйу , ^2,Цк1п = Л-L(Фy>Фкі)¥Г,йхйу-

0 0 0 0 2

ЦкігБ

і %

Л

0 0

1 дЧ д^+х дії д¥м+2 д>м

ду2 ду2 дх ду дх дх

X2 дх2 дх2

¥га йхйу,

1 % х2 у2 1 %

°ц™ = Л[- Фії Ф™ ]йхйу , йгі = 114( х у.і) Ф™ йхйу, ^]-га = 11

0 0 х у 0 0

д Ч

Ру

дх

дЧ

ду2

Фга йхйу.

Интегралы (2.5), за исключением, быть может, Qrs, если поперечная нагрузка приложена не ко всей поверхности оболочки, вычисляются по всей срединной поверхности оболочки. Здесь (х1,х2) и (у1,у2) - координаты приложения поперечной нагрузки. После применения процедуры Бубнова - Галеркина получена система дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно функций Ау(г) и Ву(г), записанная в матричной форме:

0 0

С( А + є А) + НА + '№А + СіВ + Бі АВ = О д(і),

С2 А + РВ + Б2 АА = 0.

где С = рцгі]

А = 1 А\\, в =

, Сі = ц,

Ы, о = Ы.

С = С

2 і)г 11

Б1 = Мі/кіге , Б

2 і)кІг |

W = \ж

і]Гі I

Р

Далее второе уравнение системы (2.6) разрешается относительно неизвестного коэффициента В и решается методом обратной матрицы на каждом шаге по времени (2.7):

В = [- Р-1Б2А - Р-1С2 ] А .

Умножая на С-1 первое уравнение системы (2.6) и обозначая А = И, придем к задаче Коши для нелинейной системы уравнений первого порядка (2.8):

Й = -є И - [с-1С1 + С-1Б1 А]-В - С-1Н А - С-^А + д(і) С-10

Проведенное преобразование возможно, т.к. обратные матрицы С 1 и Р 1 существуют, если координатные функции линейно независимы. Далее систему (2.8) объединяем с начальными условиями (1.6) и полученную задачу Коши решаем методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.

Рассмотрим шарнирно опертую по криволинейному кругу замкнутую цилиндрическую оболочку. Для этого представим Фу, уу из (2.1) в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, удовлетворяющих краевым условиям (1.5):

Щ N1 N1 ы2

ж = Е Е А]

і=1)=0 і=1 )=0

Интегралы процедуры Бубнова - Г алеркина вычисляются по формулам:

I

1 Г = ‘Ып( гпх) йх = С08( ГЖх'] - С08( ГПх2) , 12 , = Їс05( ту) йу = 8ІП( ™у 2) ~ ^ ^

, х ГП , у іП

І3іг = 18Іп(ілх) 8Іп(гПх) йх

—, І = Г, 2

0, і Ф г,

1

2п

4,

I Є08( ]Лу)Є08(іПу) йу

2п, ] = і = 0, п, ) = і Ф 0, 0, ,) Ф і,

15ікг = 18Іп(іпх) 8Іп(гпх) 8Іп(кпх) йх =•

4п

С08

+

а,

а.

а.

а

1111

+--1-1---

аі а2 аз а4

а

а

, V = 1,2,3,

а, Ф 0; аv = 0;

2п

16, ІЬ = I С08( іу) С08(іу) 8Іп(іу) йу =0

І7ікг = I С08(іпх) С08(кпх) 8Іп(гпх) йх =

4п

С08

а

а

а

а

1111 -1-1-1-------

аі а2 а3 а4 J

а

а

, V = 1,2,3,

а, Ф 0; а, = 0;

2

1

0

0

0

1

2п

18,ІЬ = 18Іп(Іу)8Іп(Іу)С08(іу) йу =

8Іп

-------------1------------1---------------------------Г

в!

8Іп

в, '

в2

в3

1111

+------1-

в1 в2 в3 в4 ]

0, — « 0

в, .

, , = 1,2,3,4,

в, = 0;

Здесь:

а1 = і + к - г, а2 = к + г - і, а3 = г + і - к, а4 = і + к + г,

Рі = ] + 1 - ^ в2 = 1 + Б - І, в3 = Б + 1 - l, в4 = ] +1 + ^

Далее введем обозначения

І

Є,га ~ І1гІ, ІР,ГІ = ^Рх (і) + Г2Ру (і))ПІ3,ігІ4,1і , ІАВ,ГІ = (і^х + Г% )ПІ3,ігІ4,1

2К + Г2ку )П^ 4,1,=

ІїкІгз =П [(і 1 + 1 к ')І5ікгІ611, 2(/ІкІ7ікгІ8і] , ^ І3,ігІ4,1, ,

4

Г

Т1,

П2

цы

12

— + 2г У + Х2і4

І І Т™

І3,ігІ 4,1, , 12,і1кі

Г

Х^

-!— + 2г 2 і2 + Х2 і4

П21 І

П І3,ігІ4,1* .

Тогда с учетом выписанных интегралов итоговая система уравнений (1.1) запишется в

виде:

ЕіЕЕ

ю І і кі

ґ Л2

Т1,ЩАіі + ІАВВгі + ІРАі,' + Ід^(і) + Аі1 Вкі Iiіklгs +

1

и

= 0,

ЕіЕЕ

Т™ В + І А +_______________________А А І

12, іікІВіі АВаг8 2 ‘і Акі іікіг

= 0

4

0

4

§ 3. Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов для случая цилиндрической оболочки установлена в работах [84-86]. Кратко остановимся на некоторых результатах.

Изложенный выше алгоритм Бубнова-Г алеркина позволяет решать широкий класс задач как статических, так и динамических. Решение статических задач возможно с помощью метода установления, впервые примененного для оболочек В.И. Феодосьевым [101].

Решая задачу Коши при є=єкр для ряда значений параметра поперечной постоянной во

О 1 2 3 4 5

Рис. 3.1. Зависимость критических нагрузок от ширины полосы давления

времени нагрузки, мы получим для }, что позволит построить зависимости q(w) и исследовать напряженно-деформированное состояние конструкции. Воспользуемся этим подходом для замкнутых цилиндрических оболочек с Х=2 и сравним результаты с решениями, полученными для статических задач Н.И. Ободан [61]. Рассмотрим случай приложения поперечного внешнего давления, распределенного в пределах полосы с центральным углом ф0. С этой целью построена зависимость дШг от ширины

полосы давления дШг (ф0) при М=1, N2=13 в (2.9) (рис. 3.1).

Здесь дкг = qkr|qkr, где ~кг - классическое критическое значение в случае равномерного внешнего давления, которое вычисляется по формуле Мизеса - Папковича. Для получения УкГ(Фо) следует построить для Уф0 е [0;2п] множество }, по которым определяется

критическая нагрузка qкr. Изучим зависимость критических нагрузок от ширины полосы давления ф0. Зависимость qkr (ф0) носит немонотонный, колебательный характер. При увеличении ф0 от нуля следует серия максимумов и минимумов, начиная с ф0~4,0, критические нагрузки колеблются на уровне qkr ~ 0.75.

Чтобы убедиться в достоверности полученных результатов, воспользуемся данными, приведенными в [61]. Зависимость, полученная методом установления в настоящей работе, изображена сплошной линией, а зависимость, полученная в [61] - штриховой линией. Сопоставляя два графика (которые представлены на рис. 3.2), получаем практически полное совпадение результатов с решениями, приведенными в [61], что позволяет судить о достоверности результатов, полученных вышеописанным методом.

Сходимость метода Бубнова - Галеркина для нестационарной задачи

Исследование сходимости метода Бубнова - Галеркина в представлении Фурье проводилось в работах [87,88,90,92] для случая замкнутой цилиндрической оболочки, в работе [23] - для случая цилиндрической панели и в работе [84] - для сферической панели. Сходимость метода Бубнова - Галеркина анализировалась в зависимости от числа N2 в ряде (2.9) для цилиндрической оболочки при ширине полосы давления ф0=6.0 рад=343° для q0=0,32947, ар=2,3. Следуя идее А. Пуанкаре о том, что лучше изучать все многообразие орбит, чем следить за какой-то конкретной, мы построили карту типа колебаний для управляющих параметров ^0, юр} для Ь=Х/Я=2. Предварительно исследовался вопрос о сходимости решения при увеличении количества разбиений области ^0, ар} (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

N*N=200 х 200

N*N=350 х 350 Гармонические колебанйя_на~а)ь^^ИТЩ Бифуркации Двухчастотные колебания | | Хаотические колебания

N*N=500 х 500

У словные обозначения для типа колебаний в таблице остаются прежними по мере изложения материала статьи. Расчеты показали, что практическая сходимость достигается для N*N>350x350. Такие карты позволяют изучить все многообразие поведения оболочки. Идентификация типа колебаний цилиндрической оболочки при построения карты ^0, ар} для каждого сигнала w(t) проводилась с помощью анализа спектра мощности Б(ю) и ляпуновских показателей. В дальнейшем карта ^0, ар} разбивалась на 350x350 частей.

Проанализируем карты динамических режимов ^0, ар}, построенные в различных приближениях. На рис. 3.2 приведены 6 таких карт (условные обозначения см. в табл. 3.1).

Так как построение карт основано на анализе спектров мощности и ляпуновских показателей, то эти карты достаточно полно иллюстрируют процесс сходимости спектра мощности и характера колебаний по приближениям.

Таким образом, получаем, что при малых значениях N 2 при одних и тех же значениях амплитуды вынуждающей силы наблюдаем гармонические колебания, зоны хаоса отсутствуют на всех изучаемых частотах (N2=9,10). Далее, с увеличением параметра N2, происходит появление обширных зон, как бифуркаций, так и хаотических колебаний, при этом наибольшие области хаоса присутствуют при ар<а0 (N2=11). Окончательно получаем сходящийся процесс при ^>13, что подтверждается и вышеописанными исследованиями, т.е. здесь наблюдается сходимость метода при N2=13 и характера колебаний.

Здесь следует заметить, что в рассматриваемом классе задач увеличение числа степеней свободы приводит не к упрощению характера колебаний, как в модели Лоренца, а к серьезному их усложнению. В работе [90] решена задача истинности хаоса в зависимости от числа мод в (2.9). Получено, что при увеличении числа членов ряда (2.9) колебания механической системы могут перейти от гармонических в хаотические при одних и тех же значениях управляющих параметров q0 и ар, но не наоборот.

г) N2=12 д) N>=13 е) N,=14

Рис. 3.2. Карты динамических режимов в зависимости от числа приближений Ы2 в

Проанализируем вклад каждого из коэффициентов А у в разложении (2.9) в окончательный результат. Первый индекс принят равным 1, так как в данном случае рассматривается случай приложения полосовой нагрузки на оболочку, в этом случае по продольной координате нагрузка прикладывается ко всей поверхности оболочки и в аппроксимации решения по продольной координате достаточно взять один член ряда. Зафиксируем q0=0,1, к3=112,5, Я=2, ф0=ф2-ф1=6,0 и рассмотрим зависимости АхД/) для N2=13. На рис. 3.3 представлены зависимости А\(). Анализ зависимостей А\() показывает, что при данном значении N2=13 основной вклад в общую картину колебаний вносят средние коэффициенты разложения. Также 42

следует заметить, что характер зависимостей АхД/) для каждого ] различен не только по амплитуде колебаний, но и по частоте.

а) у=0..7 б) _/=8.. 13

Рис. 3.3. Зависимости А1(і) при N2=13

На рис. 3.4 представлены зависимости тах(Ау^0)) для некоторых значений у'=0, 2, 4,

7, 9, 11, 13. При изменении амплитуды нагрузки вклад каждого из коэффициентов в картину колебаний меняется. Так, при малых значениях q0 основной вклад составляют первые коэффициенты в аппроксимации решения, при увеличении амплитуды нагрузки q0 основной вклад составляют уже средние коэффициенты разложения. По мере изменения амплитуды q0 вклад каждого из коэффициентов меняется. Получаем, что старшие коэффициенты вносят существенный вклад в общую картину колебаний системы, т.е. увеличение значения N2 приводит к существенным уточнениям результатов, и отбрасывание старших коэффициентов в ряде (2.9) приводит к ошибке аппроксимации и, следовательно, к изменению характера динамики системы.

20

15

10

° 0 0.4 0.3

Рис. 3.4. Зависимости тах(А1у(д0)) при N^13

Для анализа поведения оболочки рассмотрим поведение функции усилий для замкнутых цилиндрических оболочек в случае неравномерного внешнего давления. Из теории гибких оболочек известно, что усилия в срединной поверхности определяются следующим об-

э2^ , э2^

разом: ** = 3/ • = 3^-

Рис. 3.5. Зависимости

Исследуем зависимости (^,тах^0) и (^,тах^0). Указанные характеристики приведены на рис. 3.5 (по основной оси), а также приведена зависимость ^тах^0) (по вспомогательной оси). Легко заметить, что зависимость (^,тах^0) хорошо согласуется с графиком ^тах^0). Резкому увеличению прогиба при малом изменении нагрузки зависимости ^тах^0) (жесткая потеря устойчивости) соответствует резкое увеличение ^,тах.

Приведем зависимость прогиба и усилий от времени. На рис 3.6 представлены такие зависимости ^^) (рис. 3.6,а) и (^^) (рис. 3.6,б) в интервале времени [20;27]. Можно заметить, что графики (^,тах^0) и ^тах^0) имеют схожий характер поведения и являются зеркалами друг друга. Максимумам функции прогиба соответствуют максимумы функции ^,тах. Функция N^(0 подобна w(t) и имеет тот же период, что и функция прогиба w(t). Спектры мощности для N3,(0 и w(t) также одинаковы (одночастотные колебания на частоте возбуждения ар), т.е. говорить о характере поведения системы (цилиндрической оболочки) можно, анализируя как поведение функции прогиба, так и усилия. Результаты аналогичны.

-5

-Э,сШ 1 ' |ГР "

1 1 я

б) ш

Рис. 3.6. Зависимости (№,0, (N^0 и спектры мощности

Смене знака функции Ыу соответствует хлопок оболочки, так знаку «минус» функции Ыу соответствует сжатие оболочки по окружной координате (отрицательное значение прогиба), а знаку «+» соответствуют, наоборот, положительные прогибы и расширение оболочки. Смена знака сопровождается хлопком. Смена знака происходит через промежуточное положение, когда прогибы оболочки малы и в случае перехода «плюс» ^ «минус» происходит «дрожание» оболочки около нулевого круга (рис. 3.6, точка 6).

Таблица 3.2

А

х=0,5 уе [0;2п]

4

6

w

хе [0;1] уе [0;2п]

п

Ыу

х=0,5 уе [0;2п]

Ыу

хе [0;1] уе [0;2п]

п

1

2

3

5

Чтобы проследить знак усилия и влияние смены этого знака на формы изгиба оболочки, рассмотрим значение усилия и функции прогиба во всех точках по окружной координате при фиксированном значении х=0,5 и в разные фиксированные значения времени, и сопоставим полученные данные (табл. 3.2). Тонкой линией приведены, так же как и далее, сечения в недеформированном состоянии, а жирной - ее деформированное состояние в некоторый момент времени. Во второй и четвертой строках таблицы приведены объемные изменения цилиндрической оболочки и усилия соответственно при 0<х<1; 0<у<2п. Идеально ровный цилиндр соответствует недеформированному состоянию. Моментам времени /=1, 2, ..., 6 из табл. 3.2 соответствуют точки 1, 2, ..., 6 графиков 3.7, а и 3.7, б. Получаем, что тем областям цилиндрической оболочки, где имеются локальные вмятины, соответствуют области выпучивания функции усилий, и наоборот. Если функция усилий имеет знак «минус», то в центральной точке окружности А (х=0,5; у=п) прогибы отрицательные, т.е. оболочка сжимается, аналогично для знака «плюс» - оболочка расширяется, прогибы положительные.

§ 4. Анализ сложных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек

Анализу сложных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек кругового сечения конечной длины посвящены работы [55-61]. В этих работах исследуются колебания цилиндрической оболочки под действием полосовой и равномерно распределенной знакопеременной периодической нагрузки ) = д0 8т(ю0?), где д0 и Юо - амплитуда и частота гармонического возбуждения и сценарии перехода данной механической системы в хаос при различных углах раствора полосы нагружения и геометрических параметров оболочки.

В настоящее время известно несколько таких сценариев перехода колебаний пространственных конструкций в виде балок, пластин и оболочек в пространственно-временной хаос. Это сценарий Ландау [98], сценарий Фейгенбаума [37], сценарий Рюэля - Такенса -Ньюхауза [52], сценарий Помо - Манневиля [47].

Авторами настоящей работы были выявлены новые сценарии перехода в хаос колебаний оболочки при действии полосовой нагрузки по полосе ф0=343°, ф0=180° и ф0=90° [55,57,58,64]. Установлено, что сценарий существенно зависит от ширины полосы давления. Для получения сценария перехода в хаос при действии внешней периодической нагрузки исследованы следующие основные характеристики: зависимость мшах(д0), сигнал w (0.5,0.0; t), фазовый портрет м>^'), спектр мощности £(ю), сечение Пуанкаре (м>(, +т), где Т - период

вынуждающей силы, в зависимости от граничных значений д0.

В работе [88] выявлено несколько особенностей. Система переходит в состояние хаоса через последовательность удвоение + утроение периода и наоборот, т.е. для распределенных систем в виде замкнутых цилиндрических оболочек присутствует увеличение периода с четным и нечетным его числом. Наблюдалась перемежаемость хаос - хаос - хаос. Жесткая потеря устойчивости сопровождалась появлением независимой частоты в спектре мощности или возникновением бифуркаций удвоения и утроения периода. В работе [43] были обнаружены небольшие зоны в областях хаоса, где работает сценарий Фейгенбаума (переход в хаос через каскад удвоений). Теоретическое значение вычисляется по следующей формуле: д — д

с1п =—----= 4.66916224...... Обнаружена последовательность из 4 бифуркаций удвоения,

д0, п +1 — д0, п

поэтому возможно получить константу Фейгенбаума с высокой точностью, совпадающую с известным теоретическим значением на 99,98% (табл. 4.1).

Таблица 4.1

п 1 2 3 4

Яо,п 0.49906371389 0.49980112 0.499962922 0.499997579

С1п 4.55766531564 4.66853210413

В работе [90] выявлен новый сценарий перехода пространственных колебаний механической системы от гармонических в хаотические через две независимые частоты и их линейные комбинации. Также обнаружены небольшие зоны в множестве управляющих параметров {д0, Юр}, где переход в хаос осуществляется по сценарию Фейгенбаума. В табл. 4.2 приведены 6 найденных в работе бифуркаций для цилиндрической оболочки и получено значение константы Фейгенбаума. При этом полученное значение расходится с известным теоретическим значением на 0.14%.

Таблица 4.2

п 1 2 3 4 5 6

Ф,п 0.3182705 0.45605 0.5663 0.58527 0.589 0.5898

С1п 1.249701 5.811808... 5.085791... 4.6625.

При исследовании хаотических колебаний в данной работе [86] не строились диаграммы бифуркаций, как это обычно делается при исследовании функций в случае широкого класса двузначных отображений интервала в себя, а строилась шкала бифуркаций, которая зависит от {д0, Юр} при фиксированном значении Юр.

В [97] разработан еще один новый сценарий перехода колебаний оболочки в состояние хаоса, который основан на известном сценарии Фейгенбаума и сценарии Рюэля - Такен-са - Ньюхауза, этот новый модифицированный сценарий в работе [91] назван сценарием Рю-эля - Такенса - Фейгенбаума. Выявлена последовательность из 4 бифуркаций удвоения периода. Вычислена константа Фейгенбаума. При малых значениях амплитуды нагрузки наблюдаем двухчастотные колебания на двух независимых частотах Юх и Юр. Движение не

синхронизированное, т.е. —р = — = 6.0483877 - иррационально. Далее, все четыре бифурка-

Ю1 п

ции Хопфа возникают вместе с независимой частотой колебаний Юь

В [89] исследовались сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при действии знакопеременного давления, приложенного по полосе шириной ф0=п/2. Система при ширине полосы давления ф0=п/2 переходит в состояние хаоса через последовательность независимых частот, их линейных комбинаций и первой бифуркации Хопфа. Это приводит к явлению потери устойчивости оболочки.

Работа [68] является также обобщением предыдущих работ, в ней проведено сравнение полученных новых сценариев при приложении поперечной нагрузки по полосам ф0=343°, ф0=180°, ф0=90° и по двум полосам, каждая шириной фш=ф02=90°, описанных в работах [88-90]. Для определения тех значений ф0, при которых цилиндрическая оболочка менее всего подвержена хаотическим колебаниям, строились зависимости длины зоны хаоса от параметра ф0-£(ф0) при равенстве остальных условий, и анализировалась эта зависимость совместно с критическими нагрузками дь-(ф0) для каждого ф0. Длина зон хаоса вычислялась с использованием шкалы характера колебаний для каждого конкретного значения ф0. На рис. 4.1 и 4.2 приведены эти графики.

Рис. 4.1. Зависимость £

Рис. 4.2. Зависимость дЦфо)

Зависимость £(ф0) носит немонотонный, колебательный характер. При движении по параметру ф0 наблюдаем минимум хаоса при фш=ф02=90°. Замечено, что при ф0=180° и при делении полосы на две равные полосы, длина зоны хаоса меняется не существенно, тем не менее, двухполосное приложение внешнего давления является более предпочтительным. Максимум длины зоны хаоса наблюдается при ширине полосы давления в ф0=3430°. Сопоставляя зависимости £(ф0) и дь-(ф0), получено, что чем больше длина зоны хаоса в шкале колебаний, тем меньше критическая нагрузка.

Следует построить для изученных значений ширины полосы давления ф0 карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров {д0, Юр} (рис. 4.3). Эти карты позволяют изучить все многообразие поведения оболочки. Получаем, что характер колебаний существенно зависит от угла загружения. При малых значениях ф0 суммарная площадь зоны хаоса достаточно велика и состоит из двух подобластей, соответствующих значениям частоты ЮР<Ю0 и ЮР<Ю0. При увеличении зоны загружения оболочки получаем уменьшение площади области хаоса и смещение на низкие и средние частоты.

13 19.5 26 32.5 13 19.5 26 32.5 13 19.5 26 32.5 Я,

а) фо=90° б) ф0=180° в) фо=343°

Рис. 4.3. Карты динамических режимов для цилиндрической оболочки при Я=2

При большой площади внешнего давления области хаоса рассредоточены по всей карте, но большая часть сосредоточена при Юр<Ю0, при этом суммарная площадь зон хаоса существенно велика, также значительны области бифуркаций Андронова - Хопфа, которые сосредоточены при Юр>Ю0. Подробно сценарии перехода в хаос колебаний цилиндрической оболочки в зависимости от ширины полосы давления ф0 описаны в работах [88-90].

Таким образом, управляя шириной полосы внешнего давления, можно влиять на характер колебаний цилиндрической оболочки и переводить колебания указанной механической системы из хаотических в регулярные, или хаотические, но с другими свойствами (эволюция хаос - гипер-хаос - гипер-гипер-хаос).

В работах [87,90] проанализирована эволюция странного аттрактора с изменением управляющих параметров (амплитуды д0 и частоты Юр вынуждающей силы). В вышеописанных сценариях были выявлены два возможных пути развития: эволюция с сохранением первоначальной топологической структуры или резкие (бифуркационные) изменения этой структуры. Первому варианту соответствует возникновение (разрушение) бифуркаций Хоп-фа, утроения (упятирения) периода колебаний системы. Резкие (бифуркационные) скачки сопровождаются появлением независимой частоты колебаний или, наоборот, связаны с исчезновением второй частоты и новой перестройкой системы - переходом на одночастотные колебания.

В работе [86] при исследовании перехода в хаос замкнутых цилиндрических оболочек при действии знакопеременного внешнего давления, приложенного по полосе ф0=180°, выделяется ряд особенностей, характерных для такого типа систем при динамическом нагружении. Система переходит в состояние хаоса через последовательность удвоение + утроение периода и наоборот, то есть для распределенных систем в виде замкнутых цилиндрических оболочек при неоднородном поперечном периодическом воздействии присутствует увеличение периода с четным и нечетным его числом (табл. 4.3). В таблице представлены такие характеристики колебаний, как сигнал w(t), фазовый портрет w(w/), спектр мощности £(ю), сечение Пуанкаре wt(wt+т), модальный портрет м(муу) и формы волнообразования цилиндриче-

ской оболочки в пространстве в различные значения времени для явления 9-кратного увеличения периода колебаний.

Все характеристики колебаний находятся в соответствии друг с другом. Так, при возникновении в спектре явления 9-кратного увеличения периода колебаний в сечении Пуанкаре возникает 9 точек, а в модальном портрете наблюдаем 9-кратные предельные циклы. Заметим, что явление 9-кратного увеличения периода подтверждается теоремой А.Н. Шарков-ского [102]: Пусть I - конечный или бесконечный интервал в пространстве Я. Предположим, что отображение /: 1^1 непрерывно. Если существует точка /0 периода п, то существует точка / периода к для У к е X, причем к>п из следующего списка (называемого упорядочением Шарковского):

3, 5, 7, 9,

2 • 3, 2 • 5, 2 • 7, 2 • 9,

3 2 22 • 5, 22 • 7, 22 • 9,

3, СП 2 23 • 5, 23 • 7, 23 • 3,

Таблица 4.3

Сигнал ЦО

Фазовый портрет

ш

Спектр мощности

ад

Сечение Пуанкаре

Модальный портрет

Ш{Шуу)

В спектральной области после перехода механической системы к хаосу и появления движений мелких масштабов форма спектра мощности принимает вид, характерный для процессов с каскадом энергии вверх по спектру.

Также в этой работе [86] выявлен новый критерий жесткой потери устойчивости оболочки: жесткая потеря устойчивости сопровождается появлением независимой частоты в спектре мощности или возникновением бифуркаций удвоения и утроения периода.

Далее перейдем к рассмотрению влияния геометрических размеров оболочки на сложные колебания замкнутой цилиндрической оболочки при фиксированной ширине полосы давления ф0=6.0 рад=343°. Выберем несколько значений параметра Я: 0.5, 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7,

8. Для каждого из них будут построены следующие характеристики: сигнал х0;у0), фазовый портрет м(м'), спектр мощности £(ю), сечение Пуанкаре м^м{+т), где Т - период коле-

49

баний вынуждающей силы в центральной точке оболочки (х0,у0)=(0,5;п). Вместе с тем исследуются зависимость мшах(д0) при фиксированном значении частоты вынуждающей силы ю_р=ю0 (Ио - частота собственных линейных колебаний) и шкала характера колебаний. Для исследования пространственных колебаний изучались формы волнообразования цилиндрической оболочки при 0<х<1; 0<у<2п и формы поперечного сечения х=0,5; 0<у<2п.

Изучение зависимостей мшах(д0) для каждого X позволяет установить зоны жесткой потери устойчивости и тем самым выявить критерий динамической потери устойчивости для оболочек указанного типа. С помощью шкал характера колебаний оболочки можно проследить процесс перехода колебаний от гармонических в хаотические и определить сценарии. На рис. 4.4,4.5 представлены такие зависимости. Условные обозначения приведены на рис. 4.5.

Рис. 4.4. Зависимость 1лтах(д0) и шкала характера колебаний для Х=1

Рис. 4.5. Зависимости 1лтах(д0) и шкалы характера колебаний для контрольных значений X

Для всех параметров X можно выделить некоторые общие свойства. Так, жесткая потеря устойчивости обязательно сопровождается сменой характера колебаний, «дрожанию» графиков ^тах(^о) соответствуют зоны хаоса на шкалах колебаний, при увеличении д0 от 0 следует большая зона гармонических колебаний, которой на графике мтах(д0) соответствует плавный рост прогибов.

Для определения тех значений X, при которых цилиндрическая оболочка менее всего подвержена хаотическим колебаниям, построим зависимости длины зоны хаоса от параметра X при равенстве остальных условий и рассмотрим эту зависимость вместе с критическими нагрузками для каждого X. Длина зон хаоса вычисляется с использованием шкалы характера колебаний для каждого конкретного значения X. На рис. 4.6 и 4.7 приведены эти графики. Зависимости qkг(X) и £^) носят немонотонный колебательный характер. При движении по параметру X от 0 в зависимости £^) следует два локальных минимума и два локальных максимума, в зависимости qkг(X) - один локальный минимум и один локальный максимум. После X>4 наблюдаем монотонно убывающую зависимость в что соответствует монотонно

возрастающему участку на графике qkг(X). Таким образом, получаем, что для длинных оболочек ^>4) при увеличении критической нагрузки зона хаоса уменьшается, т.е. чем меньше критическая нагрузка для оболочки, тем больше площадь хаотических колебаний. Для коротких и средних оболочек зависимости (X) и £^) не монотонны.

Рис. 4.6. Зависимость ^ Рис. 4.7. Зависимость дкД)

Следовательно, динамические критические нагрузки существенно зависят от относительной длины оболочки и различны для коротких ^<4) и длинных ^>4) оболочек. Следовательно, одним из возможных способов управления колебаниями механической системы и увеличения величины динамической критической нагрузки может служить изменение ее геометрических размеров при равенстве остальных условий.

Анализируя все вышесказанное, приходим к выводу о том, что жесткая потеря устойчивости сопровождается возникновением первой бифуркации Хопфа и переходом на колебания на частоте ю0/2. Т.е., механизм перехода через точку потери устойчивости одинаков. Исключение составляют лишь два случая: X=1 - при жесткой потере устойчивости колебания переходят от гармонических одночастотных к квазипериодическим двухчастотным колебаниям; X=6 - наоборот, происходит переход от двухчастотных колебаний к хаотическим колебаниям на частоте возбуждения.

Следовательно, сценарии перехода от гармонических колебаний в хаотические существенно зависят от относительной длины оболочки и различны для коротких ^<4) и длинных ^>4) оболочек. На рис. 4.8 представлены карты характера колебаний {д0, кр} в зависимости от управляющих параметров {д0, Юр} для различных значений длины оболочки X при ф0=6. Анализ этих карт еще раз подтверждает утверждение о том, что тип колебаний суще-

ственно зависит от длины цилиндрической оболочки. Следовательно, одним из возможных способов управления колебаниями механической системы может служить изменение ее линейных размеров при равенстве остальных условий.

13 19.5 26 32.5 Ир 13 19.5 26 32.5 13 19.5 26 32.5

г) Х=5 д) Х=6 е) 1=7

Рис. 4.8. Карты динамических режимов для цилиндрической оболочки при ф0=6

Важным вопросом в изучении динамики цилиндрических оболочек является вопрос о выявлении их колебаний в зависимости от различных случаев нагружения. Этот вопрос рассматривался в работах [87,90], где изучались три различные случая нагружения замкнутой цилиндрической оболочки поперечным внешним давлением:

1. д=д0, £=0 - импульс бесконечной продолжительности во времени, внешнее давление не зависит от времени £ и отсутствует диссипация системы;

2. д=д0, £=£кг - статическая задача;

3. д=д0 8т(юр£), £=9 - знакопеременная нагрузка, Юр - собственная частота линейных колебаний.

Исследована зависимость критических нагрузок для цилиндрической оболочки от типа приложенного внешнего давления (рис. 4.9). Сравнивая полученные результаты, можно заметить, что в случае приложения внешнего давления, не зависящего от времени, явление динамической потери устойчивости происходит приблизительно при одной амплитуде давления. Но в случае действия импульса бесконечной продолжительности во времени, после потери устойчивости оболочка находится в состоянии «хлопок - выхлоп», т.е. следует серия явлений потерь устойчивости. В случае статической задачи максимальные прогибы оболочки после потери устойчивости начинают равномерно убывать. Глобальная потеря устойчивости в случае знакопеременного давления происходит при большей амплитуде, и далее следует еще одна потеря устойчивости, после чего колебания стабилизируются, а затем переходят в состояние хаоса.

Рис. 4.9. Зависимости 1лтах(д0) для трех типов нагрузок

Таким образом, получено, что при определении критических нагрузок для задач статики и действия импульса бесконечной продолжительности во времени, значения этих нагрузок при различных значениях параметра X практически совпадают и существенно отличаются от критических нагрузок в случае действия поперечного внешнего давления, изменяющегося по гармоническому закону. Это утверждение справедливо для различных значений ширины полосы приложенного давления.

В сложных колебаниях замкнутых цилиндрических оболочек чрезвычайно важным вопросом является вопрос управления колебаниями таких конструкций. Этому вопросу посвящена работа [91], где предложен способ управления хаосом путем преобразования хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами, с помощью малых целенаправленных продольных знакопеременных периодических воздействий ру (х, £) = р0(х)8т(юр£), а также действия внешней поперечной нагрузки в противофазе.

Установлено, что приложение продольной нагрузки приводит к смене типа колебаний механической системы, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим (или к возникновению бифуркаций Андронова - Хопфа), так и наоборот, т.е. гармонических колебаний к хаосу (рис. 4.10).

I ИМИ!  I

I4 I  II II I I

Рис. 4.10. Зависимости wmax(g0) и шкалы характера колебаний

Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можем получить хаотические колебания при других. Во втором случае получено снижение критических нагрузок для механической системы и уменьшение закритического прогиба. Также удалось снизить области хаотических колебаний, переведя их в гармонические.

В работе представлено действие продольной знакопеременной нагрузки на множестве частот колебаний |<в0 -ю0/2; ы0 +ю0/2}. (рис. 4.11, а, б). Для этого построены карты характера колебаний для множества управляющих параметров |д0, кр}.

а) б)

Рис. 4.11. Карты динамических режимов для цилиндрической оболочки с Я=5 при ф0=343°: а) действие поперечной нагрузки д=д0 в1п(ЮрО; б) совместное действие поперечной нагрузки 9(0=00 вт(юР0 и продольной нагрузки 0^0=10 вт(ЮрО

Очевидно, что дополнительное параметрическое воздействие приводит к существенным изменениям в общей картине колебаний. Так, удалось существенно уменьшить области хаотических колебаний на низких частотах, а также на высоких частотах. Возросли зоны гармонических колебаний, особенно на высоких частотах. При этом увеличилась амплитуда поперечной нагрузки д0, при которой возникает первое появление хаотических колебаний с д0=0,18 до д0=0,3. Однако существуют точки карты, которые находились в зоне гармонических колебаний до дополнительного приложения продольной нагрузки, которые перешли в

область хаотических колебаний после приложения продольного давления.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что приложение продольной нагрузки совместно с поперечным внешним давлением приводит к смене типа колебаний механической системы на всех изученных частотах, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим, так и наоборот, т.е. от гармонических колебаний к хаосу. Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можем получить хаотические колебания при других.

В работе [89] изучаются статические и динамические задачи теории цилиндрических

оболочек при поперечном неравномерном нагружении. Задачи исследуются двумя методами: аналитически (в рядах) и методом Бубнова - Г алеркина в высших приближениях. Показано хорошее совпадение результатов, полученных обоими методами для линейных стационарных задач, это позволяет утверждать, что результаты, полученные с помощью метода Бубнова - Галеркина, обладают высокой точностью, что дает возможность распространить метод Бубнова - Галеркина на решение более сложного класса математических задач, описывающих динамические нелинейные механические системы. На рис. 4.12 приведены зависимости

w ( ) W ~ “ -qR/ ( У) (аналитическое решение) и W ( у) (численное решение), где w и q - безразмерные

/Е q

прогиб и нагрузка. Были также сопоставлены численное решение, полученное с помощью метода Бубнова - Галеркина в высших приближениях, и аналитическое решение для некоторых контрольных углов загружения, и вычислены относительные погрешности результатов. Таким образом, максимальная погрешность составила 8%. Исходя из данных, приведенных на рис. 4.12, можно заключить, что результаты численного эксперимента практически совпадают с аналитическим решением, что позволяет судить о достоверности полученных данных. Относительная погрешность складывается из погрешности численных методов (метод обратной матрицы, метод Рунге - Кутта, метод установления) и погрешности вычислений. Для геометрически нелинейных задач статики и динамики решения получены методом Бубнова -Галеркина в высших приближениях. Анализ примеров полного нелинейного расчета задач статики указывает на значительное расхождение полученных результатов с соответствующими данными, полученными на линейной модели. Выполнение нелинейного расчета позволяет существенно уточнить поведение конструкций при внешнем давлении и рассчитать критическое внешнее давление для данного типа механических систем.

При исследовании динамических нелинейных систем переход через точку динамической потери устойчивости сопровождается сменой характера колебаний. Таким образом, критическая точка характеризует не только быстрое изменение (рост) прогибов при малом изменении внешней нагрузки, но также и качественное изменение поведения системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Amabili M. Non-linear vibrations of simply supported circular cylindrical shells coupled to quiescent fluid / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Fluids and Structures. 1998. № 12. P. 883-918.

2. Amabili M. Addendum to «Non-linear vibrations of simply supported circular cylindrical shells coupled to quiescent fluid» / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Fluids and Structures. 1998. № 13. P. 785-788.

3. Amabili M. Non-linear dynamic and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part I: stability / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Sound and Vibration. 1999. № 225. P. 655-699.

4. Amabili M. Non-linear dynamic and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part II: large-amplitude vibration without flow / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Sound and Vibration. 1999. № 228. P. 1103-1124.

5. Amabili M. Non-linear dynamic and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part III: truncation effect without flow and experiments / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Sound and Vibration. 2000. № 237. P. 523-556.

6/ Amabili M. Non-linear dynamic and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part IV: large-amplitude vibration with flow / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Sound and Vibration. 2000. № 237. P. 617-640.

7/ Amabili M. Non-linear vibrations and multiple resonances of fluid-filled, circular shells. Part 1: equations of motion and numerical results / M. Amabili, F. Pellicano, A.F. Vakakis // Journal of Vibration and Acoustics. 2000. № 122. P. 346-354.

8. Amabili M. Non-linear vibrations and multiple resonances of fluid-filled, circular shells. Part 2: perturbation analysis / M. Amabili, F. Pellicano, A.F. Vakakis // Journal of Vibration and Acoustics. 2000. № 122. P. 355-364.

9. Arnold V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics / V.I. Arnold // New York: Springer-Verlag. 1978. 421 p.

10. Awrejcewicz J. Analysis of complex parametric vibrations of plates and Shells using Bubnov-Galerkin approach / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko // Archive of Applied Mechanics. 2003. № 72. P. 495-503.

11. Awrejcewicz J. Spatial-temporal chaos an solutions exhibited by von Karman model / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.V. Krysko // Int. J. Bifurcation Chaos. 2002. Vol. 12, № 7. P. 1445-1513.

12. Awrejcewicz J. Neoclassical Thermoelastic Problems in Nonlinear Dynamics of shells. Application of the Bubnov-Galerkin and Finite Difference Numerical Methods / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko // Berlin, New-York, London, Paris, Tokyo. Springer-Verlag, 2003. 430 p.

13. Awrejcewicz J. Nonlinear coupled problems in dynamics of shells / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko // Int. Journal of Engineering Science. 2003. № 41. P. 583-607.

14. Awrejcewicz J. Solutions and haos exhibited by flexible plates sinusoidally excited Nonlinear Dynamics. Chaos / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.V. Krysko // Control and Their Applications to Engineering Sciences. Brazil. San-Paulo, 2000. Vol. 5. P. 258-267.

15. Awrejcewicz J. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko // Nonlinear Dynamics. 2001. № 24. P.373-398.

16. Awrejcewicz J. Complex Parametric Vibration of Flexile Rectangular Plates / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.V. Krysko // Mecanica. 2004. № 39. P.221-224.

17. Awrejcewicz J. Regular and chaotic behavior of flexible plates / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.V. Krysko // Third International Conference on Thin-Walled Structures: Advances and developments. London, 2001. P. 349-356.

18. Awrejcewicz J. Solution exhibited by the Von Karman equations / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.V. Krysko // Proceedings of the Seventh PAN American Congress of Applied Mechanics. Chile. 2002. Vol. 9. P. 653-659.

19. Awrejcewicz J. Spatial - Temporal Chaos and Solutions Exhibited by von Karman Model / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.V. Krysko // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2002. Vol. 12. № 7. P. 1465-1513.

20. Awrejcewicz J. Symmetric and non-symmetric oscillations and bifurcations of periodically excited plates with non-homogeneous boundary conditions / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko,

A.V. Krysko // Fouth International Colloquium of Computation of Shell & Spatial Structures. Cha-nia-Crete. Greece, 2000. P. 1-9.

21. Awrejcewicz J. Bifurcations of a Thin Plate-Strip Excited Transversally and Axially / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, G.G. Narkaitis // Nonlinear Dynamics. Kluwer Academic Publisher. 2003. № 32. Р.187-209.

22. Awrejcewicz J. Vibration analysis of the plates and shells of moderate thickness / Awrejcewicz, V.A. Krysko // J. Techn. Phys. 1999. № 3. P. 277-305.

23. Awrejcewicz J. Parametic vibrations of flexible cylindrical shells /J.Awrejcewicz, V.A.Krysko, N.E. Saveleva // III International symposium Trends in Continuum Physics: International Conference / Posnan. Poland, 2004. P. 234-242.

24. Awrejcewicz J. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.F. Vakakis. Berlin, New-York, London, Paris, Tokyo. Springer-Verlag, 2004. 356 p.

25. Azrar L. Semi-analytical and Asymptotic-numerical Methods for Non-linear Vibrations. Applications to large amplitude vibrations of beams and plates / L. Azrar. Ph.D. Thesis, Ecole Mo-hammadia d'Ingenieurs Rabat, Morocco, 1999. 192 p.

26. Bbennouna M. K. Non-linear Dynamic Behaviour of a Clamped-clamped Beam with Consideration of Fatigue Life / M. K. Bbennouna. Ph.D. Thesis, University of Southampton, England, 1982. 184 p.

27. Benamar R. Memoire de Certificat Pr'eparatoir a la Recherche. Comportement dynamique nonlineaire des plaques minces rectangulaires encastrees aux grandes amplitudes / R. Benamar // Ecole Mohammadia d'lngenieurs, Rabat: Morocco, 1986. P. 913-934.

28. Benamar R. Non-linear Dynamic Behavior of Fully Clamped Beams and Rectangular Isotropic and Laminated Plates / R. Benamar. Ph.D. Thesis, University of Southampton, England, 1990. 254 p.

29. Benamar R. The effects of large vibration amplitudes on the mode shapes and natural frequencies of thin elastic structures. Part I: simply supported and clamped-clamped beams / R. Benamar, M.M. Bennouna, R.G. White // Journal of Sound and Vibration. 1991. № 149. P. 179195.

30. Benamar R. The effects of large vibration amplitudes on the mode shapes and natural frequencies of thin elastic structures. Part II: fully clamped rectangular isotropic plates / R. Be-namar, M.M. Bennouna, R.G. White // Journal of Sound and Vibration. 1993. № 164. P. 295-316.

31. Benamar R. The effects of large vibration amplitudes on the mode shapes and natural frequencies of thin elastic structures. Part III: fully clamped rectangular isotropic plates - measurements of the mode shape amplitude dependence and the spatial distribution of harmonic distortion / R. Benamar, M.M. Bennouna, R.G. White // Journal of Sound and Vibration. 1994. № 175. P. 377-395.

32. Bennouna M.M. The effects of large vibration amplitudes on the fundamental mode shape of a clamped-clamped uniform beam / M.M. Bennouna, R.G. White // Journal of Sound and Vibration. 1984. № 96. P. 309-331.

33. Chen J.C. Non-linear vibration of cylindrical shells / J.C. Chen, C.D. Вabcock // American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1975. № 13. P. 868-876.

34. Chiricov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems /

B.V. Chiricov // Physics Reports. 1979. № 52. P. 263-379.

35. Clarkson B.L. Review of sonic technology / B.L. Clarkson // NASA Contractor Report 4587, Langley Research Centre, Hampton, 1994. P. 46-78.

36. Evensen D.A. Non-linear vibrations of circular cylindrical shells / D.A. Evensen, Y.C Fung, E.E. Sechler // Thin Walled Structures: Theory, Experiment and Design. Englewood Cliffs. Prentice-Hall, 1974. P. 133-155.

37. Feigenbaum M.J. Quantitative Universally for a Class of Nonlinear Transformation / M.J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19. № 1. P. 25-52.

38. Han W. Geometrical non-linear vibration analysis of thin, rectangular plates using the hierarchical finite element method: the fundamental mode of isotropic plates / W. Han, M. Petyt // Computers and Structures. 1997. № 63. P. 295-308.

39. Ibrahim R.A. Structural modal multifurcation with internal resonance. I-Deterministic approach. II-Stochastic approach / R.A. Ibrahim, A.A. Afaneh, B.H. Lee // Journal of Vibration and Acoustics. 1993. № 115. P. 182-201.

40. Krysko V.A. Stochastic vibrations of flexible flat axisymmetric shells exposed inhomo-geneous loading / V.A. Krysko, I.V. Kravtsova // Dynamical of System - Theory and Applications: International Conference. Lodz. Poland, 2003. P. 189-197.

41. Krysko V.A. On the solution of a coupled thermomechanical problem for non-homogeneous Timoshenko-type shells / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, V.M. Bruk // J. Math. Appl. 2003. № 273. P. 409-416.

42. Krysko V.A. Bifurcations of Thin Plate-Strip Excited Transversally and Axially / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, G.G. Narkaitis // Nonlinear Dynamics. 2003. № 32. P. 87-209.

43. Krysko V.A. Ruelle - Takens - Feigenbaum’s Scenario and Counting of Feigenbaum’s constant / V.A. Krysko, N.E. Saveleva // Dynamics of system - theory and applications: International Conference. Lodz. Poland, 2003. P. 243-253.

44. Krysko V.A. Complicated vibrations spherical and conical variable thickness shells / V.A. Krysko, T.V. Tschekaturova // Dynamics of system - theory and applications: International Conference. Lodz. Poland, 2003. Р. 585-603.

45. Leissa A. W. Vibration of Shells / A.W. Leissa // NASA SP-2SS, Reprinted 1993, by the Acoustical Society of America. 1973. P. 201-218.

46. Lock M.H. Snapping of a Shallow Sinusoidal Arch under a Step Pressure Load / M.H. Lock // AIAA Journal. 1966. Vol. 4. № 7. P. 379-428.

47. Manneville P. Physica / P. Manneville, Y. Pomeau. 1980. Vol. 1D. P. 219-228.

48. Moussaoui F. The effect of large vibration amplitudes on the mode shapes and natural frequencies of thin elastic shells, coupled transverse-circumferential mode shapes of an isotropic circular cylindrical shells / F. Moussaoui, R. Behamar // Second International Conference on Applied Mathematics and Engineering Sciences. London, 1998. P. 872-883.

49. Moussaoui F. The effect of large vibration amplitudes on the mode shapes and natural frequencies of thin elastic shells. Part I: coupled transverse-circumferential mode shapes of isotropic circular cylindrical shells of infinite length / F. Moussaoui, R. Behamar, R.G. White // Journal of Sound and Vibration. 2000. № 232. P. 917-943.

50. Nayfeh A.H. Non-linear Oscillations / A.H. Nayfeh, DT. Моок // New York: John Wiley & Sons, 1979. 621 p.

51. Non-linear analysis of the space shuttle super-lightweight LO2 tank. Part II: behaviour under 3g end-of-flight loads / M.P. Nemeth, R.D. Young, T.J. Collins, J.H. Starnes // Proceedings of the Structures, Structural Dynamics and Material Conference. 1998. P. 345 - 368.

52. Ruelle D. On the Nature of Turbulence / D. Ruelle, F. Takens // Comp. Math. Phys. 1971. Vol. 20. № 2. P. 167-192.

53. Sathyamoorthy M. Large amplitude vibrations of certain deformable bodies. Part I: disc, membranes and rings / M. Sathyamoorthy, K.A. Pandalai // Journal of the Aeronautical Society of India. 1972. № 24. P. 409-414.

54. Sathyamoorthy M. Large amplitude vibrations of certain deformable bodies. Part II: plates and shells / M.Sathyamoorthy, K.A. Pandalai // Journal of the Aeronautical Society of India. 2001. № 25. P. 1-10.

55. Sathyamoorthy M. Non-linear vibrations of plates - a review / M. Sathyamoorthy, K.A. Pandalai // Shock Vibration Digest. 1983. № 15. P. 3-16.

56. Shian A.C. Dynamic Buckling of conical shells with Imperfection / A.C. Shian, T.T. Soong, D.S. Roth // AIAA Journal, 1974. Vol. 12. № 6. P. 24-30.

57. Thomson J.M.T. Non-linearity and Chaos in Engineering Dynamics / J.M. Thomson,

S.R. Bishop // Centre for Non-linear Dynamics, University College London. John Wiley & Sons, 1994. P. 1112-1176.

58. White R.G. Effects of non-linearity due to large deflections in the resonance testing of structures / R.G. White // Journal of Sound and Vibration. 1971. № 16. P. 255-267.

59. White R.G. Developments in the acoustic fatigue design process for composite aircraft structures / R.G. White // Composite Structures. 1990. № 16. P. 171-192.

60. Wolfe H.F. An Experimental Investigation of Non-linear Behavior of Beams and Plate Excited to High Levels of Dynamics Response / H. F. Wolfe. Ph.D. Thesis, University of Southampton, England, 1995. 201 p.

61. Андреев Л.В. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации / Л.В. Андреев, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедев. М.: Наука, 1988. 208 с.

62. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодических движений / Н.Н. Баутин, Л.П. Шильников // Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1984. С. 143-147.

63. Бахтиева Л.У. Исследование устойчивости тонких оболочек и пластин при динамических нагрузках: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Л.У. Бахтиева. Казань, 1981. 16 с.

64. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля / И.Г. Бубнов. СПб.: Издание Морского министерства, 1912. 330 с.

65. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир. М.: Физматгиз, 1963.

880 с.

66. Г алеркин Б.Г. Метод решения уравнений в представлении Фурье в высших приближениях / Б.Г. Галеркин // Вестник инженеров. 1915. № 19. С. 897-908.

67. Даревский В.М. Устойчивость оболочек при динамической нагрузке / В.М. Дарев-ский // Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1970. С. 68-79.

68. Десятова А.С. Компьютерное моделирование стохастических колебаний балок, сферических, секториальных и цилиндрических оболочек / А.С. Десятова, И.В. Кравцова, Н.Е. Савельева // Федеральная итоговая научно-техническая конференция творческой молодежи по естественным, техническим и гуманитарным наукам. М.: МИЭМ, 2003. С. 10-11.

69. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек / Б.Я. Кантор. Киев: Наукова думка, 1971. 136 с.

70. Киреева О.Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: дис. ... канд. физ.-мат. наук / О.Н. Киреева. М., 2002. 121 с.

71. Крысько А.В. Математическое моделирование нелинейных распределенных систем в виде пластинчатых конструкций: дис. ... докт. физ.-мат. наук / А.В. Крысько. М., 2003. 347 с.

72. Крысько А.В. О нелинейных параметрических колебаниях гибких пологих оболочек и пластин / А.В. Крысько // Прикладная механика. Киев. 2003. Т. 39. № 9. С. 25 - 37.

73. Крысько А.В. Динамика цилиндрических панелей при действии продольных знакопеременных нагрузок (консервативные и диссипативные системы) / А.В. Крысько,

С. А. Мицкевич, Ю.В. Чеботаревский // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000. С. 219-227.

74. Крысько В.А. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок / В.А.Крысько, С.А.Комаров, Н.В. Егурнов // Прикладная механика. 1996. Т. 32. № 9. С. 80-87.

75. Крысько В.А. Стохастические колебания сферических осесимметричных оболочек (метод Ритца) / В.А.Крысько, Т.В. Щекатурова // Нелинейные колебания механических и биологических систем: труды Междунар. конф. / Саратов: СГТУ, 2003. С. 49-62.

76. Крысько В.А. Стохастические колебания конических оболочек переменной толщины / В.А. Крысько, Т.В. Щекатурова // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 5. С. 3-13.

77. Крысько В.А. Пространственно-временной хаос в балках, пластинках и оболочках / В.А. Крысько, А.В.Крысько, Ю.В. Чеботаревский // VIII Всерос. съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С. 369-370.

78. Крысько В.А. Сложные симметричные колебания и бифуркации пластинок при действии продольных знакопеременных нагрузок / В.А. Крысько, Т.А. Вахлаева,

А.В. Крысько // Вестник Н.-Новгородского государственного университета. Механика. 2000. Вып. 2. С. 153-160.

79. Крысько В.А. Метод флуктуационного анализа с исключённым трендом (ЭБА) в теории нелинейных колебаний осесимметричных конических оболочек / В.А. Крысько, Н.П. Ерофеев, Т.В. Щекатурова // Нелинейные колебания механических и биологических систем: Труды Междунар. конф. Саратов: СГТУ, 2003. С.173-185.

80. Крысько В.А. Динамика и статика гибких секториальных пологих оболочек /

В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2004. № 2. С. 27-36.

81. Крысько В.А. Динамика и статика гибких осесимметричных оболочек при действии распределенной знакопеременной нагрузки в зависимости от величины параметра пологости и краевых условий / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 12. С. 3-9.

82. Крысько В.А. Мягкая и жесткая потеря устойчивости гибких осесимметричных сферических оболочек при знакопеременной нагрузке / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XIII межвуз. науч. конф. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2003. С. 100 - 103.

83. Крысько В.А. Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирноподвижных по контуру сферических оболочек / В.А. Крысько, И.В. Кравцова // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. С. 11-20.

84. Крысько В.А. Хаотические колебания гибких прямоугольных в плане оболочек. Часть 1. Метод Бубнова - Галеркина в высших приближениях / В.А. Крысько, И.В. Кравцова, Н.Е. Савельева // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 8. С. 2-8.

85. Крысько В.А., Крысько А.В. Проблемы бифуркаций и жесткой потери устойчивости нелинейной теории пластин / В.А. Крысько, А.В. Крысько // Механика оболочек и пластин в XXI веке. Саратов: СГТУ, 1999. С. 50-67.

86. Крысько В.А. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном знакопеременном внешнем давлении / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Нелинейные колебания механических и биологических систем: труды Междунар. конф. Саратов: СГТУ, 2003. С. 45-57.

87. Крысько В.А. Об оптимальном нагружении замкнутых цилиндрических оболочек при нагружении знакопеременным внешним давлением / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: материалы VI Междунар. науч. конф. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2004. С. 132-133.

88. Крысько В.А. Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном неравномерном знакопеременном внешнем давлении / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 7. С. 3-14.

89. Крысько В.А. Статика и динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неоднородном нагружении / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: материалы VI Междунар. науч. конф. / СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2004. С. 134-135.

90. Крысько В.А. Стохастическая динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2003. № 1. С. 10-25.

91. Крысько В.А., Савельева Н.Е. Управление пространственно временным хаосом в цилиндрических оболочках / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2004. № 4. С. 10-19.

92. Крысько В.А. Устойчивость замкнутых цилиндрических оболочек при неравномерном внешнем давлении / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева // Известия вузов. Строительство. 2005. № 4. С. 34-44.

93. Крысько В.А. Колебания конических осесимметричных оболочек переменной толщины / В.А. Крысько, Т.В. Щекатурова // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: материалы VI Междунар. науч. конф. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2004. С. 222-233.

94. Крысько В.А. Сценарии перехода к хаосу осесимметричных оболочек при конечных прогибах / В.А. Крысько, Т.В. Щекатурова // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XII межвуз. конф. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2002. С. 104-107.

95. Крысько В.А. Хаотические колебания конических оболочек / В.А. Крысько, Т.В. Щекатурова // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 153-163.

96. Кузнецов Е.Б. О действии динамических нагрузок на некоторые системы с про-щелкиванием / Е.Б.Кузнецов, Н.А. Кулаков, В.И. Шалашилин // Избранные проблемы прикладной механики. М.: Наука, 1974. 261 с.

97. Куцемако А.Н. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек при действии поперечной равномерной знакопеременной нагрузки / А.Н. Куцемако, Н.Е. Савельева // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XIII межвуз. науч. конф. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2003. С. 109-112.

98. Ландау Д. Докл. АН СССР / Д. Ландау. 1944. Т. 7. С. 203-217.

99. Муштари Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Г алимов // Казань: Таткнигиздат, 1957. 432 с.

100. Салий Е.В. Математическое моделирование динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей: дис....канд. физ.-мат. наук / Е.В. Салий. М., 2001. 117 с.

101. Феодосьев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем / В.И. Феодосьев // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, № 2. С. 265-275.

102. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения в себя / А.Н. Шарковский // Уральский математический журнал. 1964. Т. 16. № 1. С. 61-71.

103. Щекатурова Т.В. Исследования осесимметричных на круглом плане гибких пластинок при действии знакопеременной нагрузки / Т.В. Щекатурова // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XIII межвуз. конф. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2003. С. 169-171.

Крысько Антон Вадимович -

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» Саратовского государственного технического университета

Крысько Вадим Анатольевич -

доктор технических наук, Соросовский профессор,

Заслуженный деятель науки и техники РСФСР, заведующий кафедрой «Высшая математика»

Саратовского государственного технического университета

Савельева Наталья Евгеньевна -

аспирант кафедры «Высшая математика»

Саратовского государственного технического университета