Расчет балочных перекрытий численно-аналитическим методом

Выпуск 1

ВОДНЫЕ ПУТИ, ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ И ПОРТЫ

УДК 519.6+626.4 А. В. Матросов,

канд. техн. наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет

РАСЧЕТ БАЛОЧНЫХ ПЕРЕКРЫТИЙ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

А NUMERICAL-ANALITIC ANALYSIS OF GRILLAGES

В статье представлен численно-аналитический метод расчета конструкций сложной конфигурации, работающих в условиях плоской задачи теории упругости, основанный на декомпозиции конструкции на прямоугольные области и использовании общего решения для прямоугольника, построенного на основе метода начальных функций. Этот подход применим также и к пространственным конструкциям, элементы которых работают в условиях плоской задачи теории упругости. На примере расчета балочных перекрытий показана применимость развиваемого подхода к расчету пространственных конструкций.

An algorithm for building a numerical-analytical solution for the problem of deformation of linearly-elastic anisotropic solid with irregular shape on basis of its decomposition on a set of simple rectangular elements and using a general solution for a rectangular area based on a method of initial functions is presented. This approach may be applied to three dimensional constructions all elements of which work as plane ones. Modeling of grillages has shown an applicability of the developed approach to an analysis of 3D constructions.

Ключевые слова: краевая задача, плоская задача теории упругости, метод начальных функций, конструкции сложной конфигурации, пространственная конструкция.

Key words: boundary problem, plane elastic problem, method of initial functions, irregular shape structures, 3D constructions.

1. Введение. В работах [1, с. 8-14; 2, с. 20-27] показано применение метода декомпозиции к расчету плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации: голова шлюза, балка на слоистом упругом основании. Однако этот подход применим также и к пространственным конструкциям, элементы которых работают в условиях плоской задачи теории упругости. На примере задачи расчета балочных перекрытий показана применимость развиваемого подхода к исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС) пространственных конструкций.

2. Общее решение для прямоугольной области. В работе [3, с. 55-56] разработан и

О реализован алгоритм построения общего решения в виде тригонометрических рядов для граничной задачи анизотропного линейноупругого прямоугольного в сечении тела с размерами (0, И) х (0, a) вдоль координат x и у соответственно, находящегося в условиях плоской деформации или обобщенного плос-

кого напряженного состояния. Общее решение строится на основе метода суперпозиции, предложенного Г. Ламе еще в 1851 г. [4]. Суть его заключается в том, что если имеются два решения, обладающие функциональным произволом для удовлетворения граничным условиям (ГУ) на альтернативных противоположных гранях прямоугольника, то сумма их даст общее решение для всего прямоугольника.

В качестве указанных решений в [3, с. 55-56] используются два решения, построенные методом начальных функций (МНФ). В первом начальные функции задаются на линии х = 0, а во втором — на линии у = 0, причем выбираются они в виде тригонометрических рядов.

Обозначим через

и0 = {«0 00> ^О00>(у)> "С 60} и

и0 = {й° (х), V0 (х), 5° (х), т° (*)} векторы начальных функций, заданных соответственно на линиях х = 0 и у = 0. Векторы

перемещений и напряжений

и = {м (х,у),у (х,у), ах (х,у), ау (х,у),\ (х,7)}

и

и = {м (х, у ),V (х, у), ах (х,у), ау (х, у), \ (х,;>)}

в соответствии с решением МНФ выражаются через векторы начальных функций следующим образом

и=ьи°,

С = ЁС°,

где ь = [^-] и £,= матрицы операторов МНФ с элементами вида

оо _ _ оо _

Ч = 1Л К Л) и Ц= (Аг,дху /,

(i = І, ..., 5, j = І, ..., 4) —

к=О

к=О Тк „ і к

в которых коэффициенты / и 1у зависят от упругих постоянных анизотропного тела и соответственно операторов дифференцирования ду по переменной у и дх по переменной х.

Начальные функции выберем в виде тригонометрических рядов

и.=£с<->,

/71=0

и, =1#,

п=О

в которых

и

н.

}

и

-Л:

и Ъ\п^ ( = 1, ..., 4) — произвольные числовые коэффициенты, а 5“ = э т(ат^).

с“=соз(а^ 5* = лг), снп= соэф,,*),

ат = ти/а, Ри = гт/к, т и п — любые целые неотрицательные числа.

В этом случае в соответствии с решениями МНФ (1) векторы перемещений и напряжений и и и будут получены в виде

и=£и(т),

V

и=£иЧ

п= О

где

тт(»») _ а Пт) а Т\т) a J{m) a j\m) а\

U Ьт,^2 т ’ 3 /я 5 4 т’ 5 Ст )

и(и)={зпЧА,ВД> Ди) Ди) 4},

а 4Ж) и Ди),

І,

5 — числовые степенные

ряды по переменным х и y соответственно:

ц-' =£<%

р=1

Р=1

оо 4

=ZZ44

А:-0 /?=1

ір Л ,

р=1

/?=1

*=0

ОО 4

=И>?%* /.

£=0 /7^1

В рядах Lip и Lip операторы дифференцирования дх и д^^ появляются в виде целых степеней. Их замена на числовые значения, представляющие целые степени am и Pn с соответствующими знаками, должна выполняться последовательным дифференцированием исходной тригонометрической функции, на которую оператор воздействует. Так, например, оператор д3у должен быть заменен на —а„, если функцией, на которую он воздействует, является функция sin(am^) (SV = amd2vc“ --а2д s“ --о^тса) и

v ' у т тут тут т т

на +а3т в случае его воздействия на cos (a,,,}') (д\с1 = ~aJ^vsm = = amsl). Аналогич-

у у т тут тут т т/

ное правило применяется и к оператору дифференцирования дх по переменной х, только функции, на которые он воздействует, суть sin(p„x) и cos( р„х).

Каждое из решений (3) позволяет решить задачу удовлетворения ГУ на альтернативных противоположных гранях прямоугольника: первое — на гранях х = 0 и х = h, тогда как второе — на гранях y = 0 и y = a. В соответствии с методом суперпозиции Ламе сумма двух этих решений

U = U+t

будет обладать достаточным функциональным произволом для удовлетворения ГУ на всех четырех гранях упругого анизотропного прямоугольника, являясь, таким образом, общим решением задачи для упругой анизотропной прямоугольной области. Неизвестные коэффициенты и (р = І, ..., 4, m,

n = 0, ..., да) решения находятся из условия удовлетворения ГУ, заданных на четырех гранях прямоугольника.

Выпуск 1

В

10]

3. Алгоритм расчета упругих систем сложной конфигурации. В [5, с. 70-84] предложен алгоритм расчета тел с сечением сложной конфигурации, находящихся в условиях плоской задачи теории упругости с использованием общего решения (4), в прямоугольной декартовой системе координат. Предполагается, что сечение тела представлено совокупностью соприкасающихся прямоугольников, причем каждая из четырех граней любого из них может либо принадлежать границе сечения всего тела, либо соприкасаться с гранью другого прямоугольника, полностью с ней совпадая. На гранях, принадлежащих границе сечения тела, могут быть заданы граничные условия одного из следующих видов:

1) ох и тху (на грани х = const);

2) oy и Txy (на грани y = const);

3) и и v (на грани х = const или y =

const);

4) ох и v (на грани х = const);

5) oy и и (на грани y = const);

6) Txy и и (на грани х = const);

7) тху и v (на грани y = const).

На гранях, соприкасающихся с гранями других прямоугольников, граничные условия могут обеспечивать непрерывность перемещений и напряжений при переходе из одного прямоугольника в другой через общую грань, а могут рассчитываться и из других условий сопряжения соприкасающихся граней прямоугольников, например, обеспечивая скольжение с трением или без него.

Прямоугольные области рассчитываемого тела с граничными условиями указанного типа будем называть простыми телами. Для каждого простого тела R. вводится локальная система координат Ох.у. с осями, параллельными соответствующим осям глобальной системы координат Оху, началом координат в одной из вершин прямоугольника так, чтобы он весь располагался в первой четверти введенной локальной системы координат.

Для простого тела Ri можно построить общее решение типа (4) с использованием тригонометрических рядов (2) с неизвестными коэффициентами для представления начальных функций

Вектор и,- = {и,,ст',&у, ^}, образованный из компонентов вектора перемещения и тензора напряжений в точках простого тела Я,, представлен суммой векторов

^ = {щ. V,, а*х,5^, % } и и, = % Щ, а‘у, % }

вида

00

u,=Z0S"),

т=0 _ оо ___

ц=Ео<”),

п= О

где

и^т) = i3m)sa‘ Дт)с*, ,Йт)^ ,Цт-са‘ \

і I 1»* т 5 2,i т ’ 3,1 т ’ Л,г т ’ 5,г т J,

= Шсн‘ ,5-?^, Дв)/ ,£">** ,Ди)сА' 1

і рі,1 п »"2,і п ’^3^ п >"4,i^n * п I,

Sm = sin (О*), С = COS (а‘тУі ) и s* =sin(p!„x;), С„А =cos(p^i),

р=1 - -

р=1 ду-±ат р=\ к=О

8у=±ат

Х* =

к=Ор=1 4

Уі

и; = и;+и.

Ъп) = уъ{п)1. . =уь(п)ут.к.

j,i L-t p,i jpt . .і L-t p,i £—i ip,i p=\ дха" p=1 k=0

^-0 /?-1

а и ьш (/ = I ..., 5, ^ 1 ..., 4) — опера-

торы МНФ для простого тела Я..

Построив решения типа (6) для всех простых тел Я вычисляют необходимые компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) на их гранях. Для удовлетворения граничным условиям полученные функции компонентов НДС раскладывают в ряды Фурье и строят систему бесконечных линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов с£™} и начальных функций, приравнивая соответствующие гармоники компонентов НДС.

4. Балочные перекрытия. Балочные перекрытия, представляющие собой систему пересекающихся балок, являются одной из «популярных» конструкций в строительстве и судостроении. Предлагаемый подход при-

Рис. 1. Расчетная схема (а) и разбиение на простые тела (б) двухбалочного перекрытия

меним и к таким сложным пространственным конструкциям в предположении работы всех ее элементов в условиях плоского напряженного состояния.

Сначала выполним расчет простой конструкции, состоящей из двух одинаковых изотропных балок, взаимно пересекающих друг друга в середине и жестко заделанных своими «свободными» краями (рис. 1, а). Размеры балок таковы: ЛВ = ЕЕ = 2а, ВС = ЕН = И, а

2Н і

1ЛБСВ

начены толщины балок.

ЕО,Н ГДе ЧЄрЄЗ (ЛБСО и ЧеОН обШ-

Для моделирования работы всей конструкции исходим из того, что к одной из балок, например ЛБСО, в ее центральной части с двух противоположных сторон присоединяются две перпендикулярно расположенные к ней балки, передающие на нее свою нагрузку через касательные напряжения, возникающие в области их соединения с первой балкой. Эти две балки получаются путем деления второй балки (ЕЕОН) на две части (рис. 1, б). Таким образом задача сводится к задаче о пластине со стойками, присоединяемыми с противоположных сторон.

б

а

Рис. 2. Безразмерные вертикальные перемещения иЕ/д0И

в горизонтальных сечениях балок

Выпуск 1

Граничные условия на верхних горизонтальных гранях всех четырех тел сх = д0, тху = 0 (^0 — интенсивность равномерно-распределенной нагрузки на балки), на нижних сх = 0, тху = 0, на «свободных» вертикальных гранях жесткая заделка и = 0, V = 0. В сечениях стыковки всех четырех про-

стых тел граничные условия следующие:

ІЛ

„ 1 3

и = -и ,

1 ш 1 МЫ

1 1 2 I

т — 1^,1

ху\ ш ху\ш

к[х

і ш ' 2

IЖ

= СТ* •

у I ж у I ж

ху\м'м' ху\м

у) (усло

вия

«непрерывности» перемещений и напряжений при переходе от первого тела к третьему с учетом взаимодействия со вторым и четвертым телами), и1 -и2\ , и11 = и4|

IЖ IЕН" I ж \е"Н"

и V2 , ,=0, V4 п „ = 0 (отсутствие перемеще-

IЕ Н IЕ Н

ний первого и третьего тел из своей плоскости на линии контакта со вторым и четвертым телами), где верхний индекс относится к номеру простого тела. Напомним, что в каждом простом теле компонент НДС вычисляется в локальной системе координат этого тела, которую можно видеть на рис. 1, б. Расчет выполнялся с удержанием 35 членов в тригонометрических рядах.

На рис. 2 представлены графики вертикальных перемещений и и нормальных напряжений сх в горизонтальных сечениях балок х = И(і - і)/4, а на рис. 3 — нормальные су и касательные т напряжения в вертикальных сечениях балок у = а(і - і)/4, где і — номер графика.

Анализ представленных графиков показывает, что характер изменения компонентов НДС совместно работающих двух одинаковых перекрестных балок с защемленными краями практически ничем не отличается от изгиба одной самостоятельной балки. Этот результат согласуется с расчетами этого же балочного перекрытия методами строительной механики [6] и с использованием 5-функций [7].

Рассмотрим теперь балочное перекрытие, состоящее из одной продольной балки, которую на расстоянии 1/3 от ее краев пересекают две другие балки (рис. 4, а). Гео-метрические размеры этого перекрытия следующие: ЛБ ЛБ

Е2М2 = М2^2, ЛМ1 = М1М2 = М2Б. Толщины всех трех балок одинаковы. По существу эта конструкция представляет собой две конструкции из двух взаимно пересекающихся балок. Разбиение на простые тела показано на рис. 4, б. Граничные условия на верхних и нижних го-

Л, Е1^1 = Е2^2 = а, Л = 3а/2,

Е1Н1 = Е2Н2 = И, а

2И, Е1М1 = М^р

-10

-5

В

ІІ>

10

—-—- " - “Г  Т7> "ь.

! %

19 /С \

2,8 \ V/ ' А 5 • / /\ і // ч

1 / 4,6

і а і // 1 // г /

А/У 7 /

/ / і / / * / і > і / J / / ' У! і С / І 4-

б

а

Рис. 3. Безразмерные нормальные су /д0 (а) и касательные сх /д0 (б) напряжения в вертикальных сечениях балок

Рис. 4. Расчетная схема (а) и разбиение на простые тела (б) трехбалочного перекрытия

ризонтальных гранях всех тел, а также на вертикальных «свободных» гранях тел 1, 2, 4-7 такие же, как и для случая двух взаимно пересекающихся балок. Условия контакта тел 1-4 и 3, 5-7 одинаковы и соответствуют контакту четырех тел для перекрытия из двух балок, конечно, с учетом номеров стыкуемых тел.

На рис. 5-7 представлены графики компонентов НДС во всех балках в горизонтальных х = И( - 1)/4 и вертикальных у = а( - 1)/4 сечениях балок, где . — номер графика.

В прогибе продольной балки (рис. 5, а) выделяются три участка (0, Л/3), (Л/3, 2Л/3), (2Л/3, Л). Это связано с тем, что в точках Л/3 и 2Л/3 балка взаимодействует с перекрестными балками, что приводит к некоторому уменьшению прогиба по сравнению со случаем одной балки.

Нормальные напряжения су (рис. 6), эквивалентные изгибающему моменту, достигают своего максимального значения в заделанных краях балок, как обычно и происходит при

б

а

Рис. 5. Безразмерные вертикальные перемещения иЕ/ц0И в горизонтальных сечениях продольной (а) и поперечных (б) балок

Выпуск 1

изгибе жестко заделанных балок под действием равномерно-распределенной нагрузки.

А вот характер касательных напряжений тху (рис. 7) в вертикальных сечениях отличается от изгиба одной самостоятельной балки. В местах пересечения балок наблюдаются скачки в значениях этих напряжений.

а

График 5 на рис. 7, а касательных напряжений в основной балке рассчитан в правом крайнем сечении простого тела 1, а график 5' — в левом крайнем сечении простого тела 3. Аналогичная история и с графиками 9' и 9, первый из которых рассчитывался в правом крайнем сечении простого тела 3, а второй — в левом

Рис. 6. Безразмерные нормальные напряжения су /qй в вертикальных сечениях продольной (а) и поперечных (б) балок

Рис. 7. Безразмерные касательные напряжения тху /q0 в вертикальных сечениях продольной (а) и поперечных (б) балок

200000

100000

-100000

200000J

о

а! 2 а

Рис. S. Перерезывающие силы в продольной (а) и поперечных (б) балках

крайнем сечении простого тела 6. Для перекрестных балок скачок наблюдается при переходе от простых тел 2 и 5 соответственно к простым телам 4 и 7 (кривые 5 и 5' на рис. 7, б). Подобные же скачки наблюдаются и в перерезывающих силах при расчете с помощью 5-функций (рис. 8) [7], а интеграл от касательного напряжения по области вертикального сечения балки как раз и соответствует перерезывающей силе в этом сечении.

5. Заключение. Полученные результаты расчета балочных перекрытий с различным числом пересекающихся балок по разработанному численно-аналитическому алгоритму вычисления перемещений и напряжений в конструкциях сложной конфигурации позволяют положительно судить о возможности применения предложенного подхода к анализу НДС пространственных конструкций.

б

а

Список литературы

1. Матросов А. В. Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом / А. В. Матросов // Журнал университета водных коммуникаций. — 2010. — Вып. 4 (8).

2. Матросов А. В. Численно-аналитический расчет балок-стенок на линейно-упругом основании / А. В. Матросов // Журнал университета водных коммуникаций. — 2011. — Вып. 2 (10).

3. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2007. — Вып. 2.

4. Lame G. Ьезоп sur la theorie mathemathique de l’elasticite des corps solids / G. Lame. — P.: Bachelier, 1852. — 335 p.

5. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2008. — Вып. 3.

6. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля / П. Ф. Папкович. — Л. : Судпромгиз, 1941. — Ч. 2: Сложный изгиб и устойчивость стержней. Изгиб и устойчивость пластин. — 960 с.

7. Голоскоков Д. П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры / Д. П. Голосковов. — СПб.: Изд-во А. Кардакова, 2006. — 271 с.

Выпуск 1