КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА РЕГУЛЯРНО-ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ ИЗ ПРОФИЛЬНЫХ ТРУБ (ГНУТОСВАРНЫХ ПРОФИЛЕЙ)
CANTILEVER BEAM OF REGULARLY VARIABLE HEIGHT FROM SHAPED TUBES (BENT-WELDED SECTIONS)

Предлагаемое техническое решение относится к области строительства, а также сфере машиностроения, и может быть востребовано применительно к металлическим конструкциям балочного типа. В частности, ими могут быть консольные балки покрытий и перекрытий, промышленных этажерок, мостов и эстакад, грузовых стрел и подъемников, стеллажей и других балочных систем зданий (сооружений) или машин (механизмов).
Известен способ изготовления облегченных металлических конструкций М.Б. Каминского, в котором зигзагообразную линию реза вертикальной стенки балки (в том числе и консольной) располагают под углом к продольной оси, а затем поворачивают одну из частей балки на 180° [Каминский М.Б. Способ изготовления облегченных металлических конструкций М.Б. Каминского. - Авторское свидетельство №548402, 28.02.1977, бюл. №8]. Основным недостатком подобного технического решения является ограниченная боковая жесткость балки в случае протяженного вылета консоли.
Известным решением является также способ изготовления стальной опоры регулярного переменного по высоте сечения из двух секций, формируемых образовавшимися частями квадратной трубы, резанной косо по каждой стороне в виде равнополочных уголков [Кузнецов И.Л., Сабитов Л.С. Способ изготовления стальной опоры регулярного переменного сечения. - Авторское свидетельство №2495213, 10.10.2013, бюл. №28]. Такое решение можно рассмотреть в качестве аналога, однако его целесообразно доработать для увеличения жесткости в силовой плоскости несущей конструкции балочного типа.
Необходимую и достаточную жесткость в силовой плоскости имеет консольная балка равного сопротивления переменного сечения прямоугольной формы, высота которого на консоли и в заделке имеет определенные соотношения с высотой сечения, найденной по наибольшему (максимальному) изгибающему моменту [Стравинскас С.С. Консольная балка. - Авторское свидетельство №1596034. - 30.09.1990, бюл. 36]. Приведенное решение наиболее приближено к предлагаемому техническому решению, что позволяет принять его за прототип, который для металлических конструкций нуждается в некоторой доработке. Если сплошные сечения прямоугольной формы весьма эффективны для железобетонных или деревянных конструкций [Карамышева А.А., Языев Б.М., Чепуренко А.С., Языева С.Б. Оптимизация геометрических параметров двухскатной балки прямоугольного сечения. - Инженерный вестник Дона, 2015, №3 (ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3138)], то в стальных балках более рациональны фасонные и тонкостенные профили.
Техническим результатом предлагаемого решения является уменьшение расхода конструкционного материала (стали), снижение уровня концентрации напряжений, повышение эффективности тонкостенных профилей.
Указанный технический результат достигается тем, что в консольных балках регулярно-переменной высоты из профильных труб (гнутосварных профилей) в одном варианте сечение балки на консоли имеет форму круглого кольца и в заделке - плоскоовальную форму высотой, равной 3,064 диаметра кольца, а в другом варианте сечение балки на консоли имеет форму квадрата и в заделке - форму прямоугольника высотой, равной 3,0 размера квадрата.
Предлагаемые консольные балки регулярно-переменной высоты из профильных труб (гнутосварных профилей) обладают вполне универсальным техническим решением, с реализацией которого возможно их применение не только внутри зданий, но и в открытых строениях таких, как эстакады и мосты, промышленные этажерки, грузовые стрелы, корабельные мачты, антенные сооружения, опоры линий электропередач, стеллажи и другие несущие системы балочного типа.
Сравнивая предлагаемое техническое решение с его аналогом, не трудно заметить, что один замкнутый гнутосварной профиль прямоугольного сечения гораздо проще распустить на два швеллера, или одну плоскоовальную профильную трубу на два U-образных профиля, чем на четыре уголка. Не менее очевидно, что сплошное сечение прямоугольной формы из прототипа в металлических конструкциях, включая стальные балки, по эффективности и рациональности значительно уступают профильным трубам (гнутосварным профилям). При этом тонкостенность и замкнутая форма поперечного сечения способствует уменьшению расхода конструкционного материала (стали) и росту коррозийной стойкости, а круглые очертания профиля приводят к снижению уровня концентрации напряжений. Дополнительное повышение эффективности тонкостенных профилей обеспечивает также то, что регулярно-переменная высота консольных балок вполне соответствует форме эпюр изгибающих моментов от сосредоточенной и распределенной нагрузки.
Предлагаемое техническое решение поясняется графическими материалами, где на
фиг. 1 изображена аксонометрия консольной балки регулярно-переменной высоты из плоскоовальной профильной трубы;
фиг. 2 - аксонометрия консольной балки регулярно-переменной высоты из прямоугольной профильной трубы;
фиг. 3 показана расчетная схема поперечного сечения плоскоовальной профильной трубы;
фиг. 4 - расчетная схема поперечного сечения прямоугольной профильной трубы;
фиг. 5 приведены графики изменения моментов сопротивления сечения плоскоовальной профильной трубы, а также моментов сопротивления сечения с постоянным напряжением (равным расчетному сопротивлению материала) при сосредоточенной и распределенной нагрузке в зависимости от соотношения между высотой сечения и его шириной;
фиг. 6 - графики изменения моментов сопротивления сечения прямоугольной профильной трубы, а также моментов сопротивления сечения с постоянным напряжением (равным расчетному сопротивлению материала) при сосредоточенной и распределенной нагрузке в зависимости от соотношения между высотой сечения и его шириной;
фиг. 7 представлена схема примера формообразования консольной балки регулярно-переменной высоты из прямоугольной профильной трубы;
фиг. 8 - схема примера формообразования консольной балки регулярно-переменной высоты из плоскоовальной профильной трубы.
От нагрузки, сосредоточенной на консоли, эпюра изгибающих моментов имеет прямолинейное очертание с максимальным значением в заделке и нулевым на консоли [Справочник по сопротивлению материалов / Отв. ред. Писаренко Г.С. - Киев: Наукова думка, 1988. - С. 117]:
z
M=-Fz;
z
M=0 при z=0;
z
max
где M - изгибающий момент в рассматриваемом сечении консольной балки; z - координата рассматриваемого сечения,  F - нагрузка, сосредоточенная на консоли;  - длина вылета консольной балки; M - наибольший (максимальный) изгибающий момент в заделке.
Очевидно, что прямолинейным будет и график (эпюра) требуемых моментов сопротивления сечения консольной балки:
xF
y
где W - требуемый момент сопротивления рассматриваемого сечения от сосредоточенной нагрузки; R - расчетное сопротивление материала консольной балки (стали).
От нагрузки, распределенной по всей протяженности консольной балки, эпюра изгибающих моментов имеет параболическое вогнутое очертание с максимальным значением в заделке и нулевым на консоли [Справочник по сопротивлению материалов / Отв. ред. Писаренко Г.С. - Киев: Наукова думка, 1988. - С. 118]:
z
2
M=-qz/2;
z
M=0 при z=0;
где q - интенсивность нагрузки, распределенной равномерно по всей длине вылета консольной балки.
Таким же криволинейным будет и график (эпюра) требуемых моментов сопротивления сечения консольной балки:
xq
W=0 при z=0;
xq
где W - требуемый момент сопротивления рассматриваемого сечения от распределенной нагрузки.
Обоим графикам (эпюрам) вполне соответствует консольная балка равного сопротивления регулярно-переменной высоты из профильной трубы (гнутосварного профиля), сечение которой на консоли имеет форму круглого кольца, а в заделке - плоскоовальную форму высотой, равной 3,064 диаметра кольца. При таком соотношении высоты и ширины плоскоовальная труба имеет максимальный момент сопротивления сечения [Марутян А.С. Новый способ перепрофилирования круглых труб и расчет его оптимальных параметров для балочных конструкций. - Строительная механика и расчет сооружений, 2018, №1. - С. 66-72]:
o
A=tU(2/n+1,14);
xo
3
2
3
I=tU(0,0740286+0,785(1/n-0,363)+(1/n-1)/6);
xo
2
2
W=tU(0,3333333/n+0,57/n+0,0216012n-0,13982);
xo
2
W=0,7851145tU при V/U=1;
xo
2
W=1,0421807tU при V/U=1,2=1/0,8333333;
xo
2
W=1,3269426tU при V/U=1,4=1/0,71428857;
xo
2
W=1,6390138tU при V/U=1,6=1/0,6250;
xo
2
W=1,9781808tU при V/U=1,8=1/0,5555555;
xo
2
W=2,3443139tU при V/U=2,0=1/0,50;
xo
2
W=2,7373322tU при V/U=2,2=1/0,4545454;
xo
2
W=3,1571809tU при V/U=2,4=1/0,4166666;
xo
2
W=3,6038223tU при V/U=2,6=1/0,3846153;
xo
2
W=4,0772285tU при V/U=2,8=1/0,3571428;
xo
2
W=4,5773803tU при V/U=3,0=1/0,3333333;
xo
2
W=4,7431359tU при V/U=3,064=1/0,3264,
где t - толщина профильной трубы; U - ширина профильной трубы по средней линии ее тонкостенного сечения; n - отношение ширины к высоте профильной трубы по средней линии ее сечения, n=U/V; V - высота профильной трубы по средней линии ее сечения.
2
3
Прямоугольный гнутосварной профиль компактнее плоскоовальной трубы, если они спрофилированы из одинаковых листовых заготовок (штрипсов), поэтому в консольных балках равного сопротивления регулярно-переменной высоты он может оказаться не менее рациональным и эффективным. Его сечение можно считать составным из четырех прямоугольных участков: двух горизонтальных граней (полок) и двух вертикальных граней (стенок). Расчетные выкладки при этом допустимо выполнять по средней линии тонкостенного сечения без учета численных величин, содержащих значения толщины, возведенной во вторую и третью степень (t, t), а также без учета угловых закруглений [Марутян А.С. Оптимизация конструкций из трубчатых (гнутосварных) профилей квадратных (прямоугольных) и ромбических сечений. - Строительная механика и расчет сооружений, 2016, №1. - С. 30-38].
При вычислении осевых моментов инерции сечения прямоугольной трубы можно воспользоваться правилом параллельного переноса осей и после соответствующих преобразований получить расчетные формулы в следующем виде:
x
3
2
I=tU(0,1666666/n+0,5)/n;
y
3
I=tU(0,1666666+0,5/n),
где значение большей стороны, коей является высота стенки, V заменено его соотношением с меньшей стороной, коей является ширина полки, U, то есть V=U/n, а t - толщина прямоугольной трубы.
Площадь поперечного сечения тонкостенного прямоугольного профиля допустимо рассчитать по длине средней линии:
A=2tU(1+1/n).
Моменты сопротивления сечения:
x
x
2
W=2I/V=tU(0,3333333/n+1)/n;
y
y
2
W=2I/U=tU(0,3333333+1/n)/n.
Если для продолжения расчетных выкладок в качестве исходных данных принять площадь сечения A=const и толщину t=const штрипса (листовой заготовки), то параметры сечения можно переписать в следующем виде:
U=(A/t)(0,5/(1+1/n));
V=(A/t)(0,5/(1+n));
x
3
2
2
3
I=(A/t)(0,0208333/n+0,0625)/(n(1+1/n));
y
3
2
3
I=(A/t)(0,0208333+0,0625/n)/(1+1/n);
x
2
2
W=(A/t)(0,0833333/n+0,25)/(n(1+1/n));
y
2
2
W=(A/t)(0,0833333/n+0,25)/(1+1/n).
x
x
Чтобы найти экстремальное значение момента сопротивления сечения W его формулу необходимо продифференцировать по переменной n и, приравняв к нулю производную (dW/dn=0), получить уравнение второй степени
2
n+0,6666666n-0,3333333=0
с корнями
1
2
n=-0,9999999; n=0,3333333.
Из этих корней практический интерес представляет второй, значение которого можно округлить до
n=0,3333333≈1/3.
xF
xq
Таким образом, полученным графикам (эпюрам) W и W соответствует консольная балка равного сопротивления регулярно-переменной высоты из прямоугольной профильной трубы (гнутосварного профиля), сечение которой на консоли имеет форму квадрата, а в заделке - форму прямоугольника высотой, равной 3,0 размера квадрата:
xq
2
W=tU(0,3333333/n+1)/n;
xq
2
W=1,3333333tU при V/U=1;
xq
2
W=1,680tU при V/U=1,2=1/0,8333333;
xq
2
W=2,0533333tU при V/U=1,4=1/0,71428857;
xq
2
W=2,4533333tU при V/U=1,6=1/0,6250;
xq
2
W=2,880tU при V/U=1,8=1/0,5555555;
xq
2
W=3,3333333tU при V/U=2,0=1/0,50;
xq
2
W=3,8133333tU при V/U=2,2=1/0,4545454;
xq
2
W=4,320tU при V/U=2,4=1/0,4166666;
xq
2
W=4,8503333tU при V/U=2,6=1/0,3846153;
xq
2
W=5,4133333tU при V/U=2,8=1/0,3571428;
xq
2
W=6,0tU при V/U=3,0=1/0,3333333.
2
4
3
x
x
Пример формообразования консольной балки регулярно-переменной высоты из прямоугольной профильной трубы можно представить на основе замкнутого гнутосварного профиля сечением 160×80×4 мм по ТУ 67-2287-80 (A=18,56 см, I=623,5 см, W=77,9 см) [Металлические конструкции. В 3 т. Т. 1. Общая часть. (Справочник проектировщика) / Под ред. В.В. Кузнецова (ЦНИИпроектстальконструкция им. Н.П. Мельникова) - М.: изд-во АСВ, 1998. - С. 135]:
n=U/V=(80-4)/(160-4)=76/156=0,4871794=1/2,0526315;
2
A=2tU(1+1/n)=2×0,4×7,6(1+1/0,4871794)=18,559999≈18,56 см;
x
3
W=623,002/(16,0/2)=77,87525≈77,872 см.
Двойным косым резом этот профиль можно распустить на два швеллера, развернуть полученные швеллеры относительно друг друга на 180° и наложить двойные валики сварных швов, скомпоновав консольную балку регулярно-переменной высоты с квадратным сечение 80×80×4 мм на консоли и прямоугольным сечением 240×80×4 мм в заделке:
n=1;
2
A=2×0,4×7,6(1+1/1)=12,16 см;
x
3
2
4
I=0,4×7,6(0,1666666/1+0,5)/1=117,01025 см;
x
3
W=117,01025/(8,0/2)=29,265062≈29,265 см;
n=(80-4)/(240-4)=76/236=0,3220338=1/3,1052631;
2
A=2×0,4×7,6(1+1/0,3220338)=24,96 см;
x
3
2
4
I=0,4×7,6(0,1666666/0,3220338+0,5)/0,3220338=1722,8638 см;
x
3
W=1722,8638/(24,0/2)=143,57198≈143,572 см.
y
2
Если консольную балку приведенной компоновки изготовить из малоуглеродистой стали класса С235 (R=2300 кгс/см), то ее несущей способности вполне хватит на протяженность  м с нагрузкой F=8 кН на консоли:
max
max
max
x
где σ - нормальное напряжение от максимального момента, σ=M/W.
max
На консоли действует максимальная поперечная сила Q=8 кН, поэтому прочность квадратного сечения необходимо проверить по формуле Журавского:
max
s
max
x
x
s
s
τ/R=QS/(ItR)=800×17,328/(117,01025×0,8×1350)=0,1097<1,
max
max
x
x
s
s
s
s
3
2
где τ - касательное напряжение от максимальной поперечной силы, Q=F; S - статический момент сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси, S=2×0,4×3,8×1,9+0,4×7,6×3,8=17,328 см; t - толщина сдвигаемой стенки, t=2×0,4=0,8 см; R - расчетное сопротивление стали срезу, для стали класса С235 R=1350 кгс/см.
Остается проверить прогиб на консоли, для чего можно применить формулу консольной балки переменного сечения прямоугольной формы [Справочник по сопротивлению материалов / Фесик С.П. - Киев: Будiвельник, 1982. - С. 144]:
2
ƒ
где Е - модуль упругости конструкционного материала, для стали E=2100000 кгс/см; b и h - соответственно ширина и высота сечения балки на консоли.
Приведенное (условное) значение ширины сечения на консоли можно определить, приняв в качестве расчетной предпосылки равенство между моментом инерции профильной трубы и моментом инерции прямоугольного сечения:
ƒ
x
3
3
b=12I/h=12×1722,8638/24=1,4955414≈1,496 см.
Как видно, консольная балка регулярно-переменной высоты из гнутосварного профиля прямоугольного сечения обладает необходимым и достаточным запасом несущей способности, поэтому практический интерес представляет ее сравнение с аналогичной балкой из плоскоовальной профильной трубы.
Для более корректного сравнения исходный гнутосварной профиль прямоугольный формы сечением 160×80×4 мм необходимо условно перепрофилировать в плоскоовальную трубу:
n=1,5/3,064=0,4895561=1/2,0426666;
o
U=A/(t(2/n+1,14)=(18,56/(0,4(2/0,4895561+1,14))=8,8798158 см;
V=8,8798158/0,4895561=18,138505 см;
x
x
3
W=2I/(V+t)=2×693,9256/(18,138505+0,4)=74,863167 см.
Условно перепрофилированная труба имеет плоскоовальное сечение размерами
18,138505+0,4=18,538505≈185,4 мм;
8,8798158+0,4=9,2798158≈92,8 мм,
то есть ее размеры возросли в 185,4/160=1,1588 и 92,8/80=1,160 раза, момент инерции увеличился в 693,9256/623,5=1,113 раза, а момент сопротивления уменьшился в 77,9/74,863167=1,0406 раза.
Двойным косым резом условно перепрофилированную таким образом трубу с плоскоовальным сечением 185,4×92,8×4 мм можно распустить на два U-образных профиля, развернуть полученные профили относительно друг друга на 180° и наложить двойные валики сварных швов, скомпоновав консольную балку регулярно-переменной высоты с круглым сечение 92,8×4 мм на консоли и плоскоовальным сечением 278×92,8×4 мм в заделке:
n=1;
U=92,8-4=88,8 мм;
2
A=0,4×8,88(2/1+1,14)=11,15328 см;
x
3
W=109,95166/(9,28/2)=23,696478 см;
n=(92,8-4)/(278-4)=88,8/274=0,3240875=1/3,0855855;
2
A=0,4×8,88(2/0,3240875+1,14)=25,969286≈25,97 см;
x
3
W=2074,0032/(278,0/2)=149,20886≈149,209 см.
Если консольную балку приведенной компоновки изготовить из малоуглеродистой стали класса С235, то ее несущей способности хватит на протяженность  м с нагрузкой F=8 кН на консоли с большим запасом:
max
s
max
x
x
s
s
τ/R=QS/(ItR)=800×15,7723/(109,95166×0,8×1350)=0,1063<1,
x
где S - статический момент сдвигаемой части сечения в виде круглого полукольца относительно нейтральной оси [Марутян А.С., Абовян А.Г. Расчет оптимальных параметров плоскоовальных труб для ферменных конструкций. - Строительная механика, 2017, №4. - С. 18],
x
3
S=1,57×0,4×8,88×0,3185×8,88=15,772299≈15,7723 см.
Проверка прогиба на консоли имеет следующий вид
где приведенное (условное) значение ширины сечения на консоли составляет
ƒ
x
3
3
b=12I/h=12×2074,0032/27,8=1,1583939≈1,158 см.
Как видно, ресурс несущей способности консольной балки регулярно-переменной высоты из одной и той же листовой заготовки (штрипса) с переходом от прямоугольного замкнутого гнутосварного профиля к плоскоовальной профильной трубе по максимальному нормальному напряжению возрос в 0,7268/0,6993=1,03933 раза, по максимальному касательному напряжению - 0,1097/0,1063=1,03198 раза, а по максимальному прогибу - 3,98/3,31=1,2024 раза.
Таким образом, подводя некоторые итоги, можно прийти к основному выводу, что предлагаемые консольные балки регулярно-переменной высоты из профильных труб (гнутосварных профилей) достаточно эффективны, рациональны и перспективны для применения в составе несущих конструкций зданий (сооружений) или машин (механизмов).