Преподавание математики вмосковском физико−техническом институте

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 378

Григорян Т.А., Липачева Е.В.

ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В МОСКОВСКОМ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ

В статье описывается легендарная система математического образования в Московском физико-техническом институте. Описываются двухуровневое математическое образование, трехступенчатый контроль знаний студентов и особенности балльно-рейтинговой системы на кафедре Высшей математики в МФТИ.

Ключевые слова: математическое образование, текущий, промежуточный и итоговый контроль знаний студентов, балльно-рейтинговая система.

Введение

Национальный исследовательский университет Московский физико-технический институт (МФТИ) является лидером в области образования и одним из крупнейших научно-исследовательских центров России. МФТИ готовит высококвалифицированных специалистов по современным направлениям науки и техники. Приоритетными направлениями развития МФТИ являются: физика и технологии наноструктур, наносистем, наноматериалов и нанобиофизики; информационные, телекоммуникационные технологии, суперкомпьютеры, прикладное математическое моделирование; физика и технологии приборов, систем и устройств на новых физических принципах.

МФТИ был образован на базе физико-технического факультета Московского государственного университета в 1951 году. За более чем 60-летнюю историю в нем сложился уникальный творческий коллектив, который постоянно пополняется молодыми талантливыми преподавателями. Профессорско-преподавательский состав МФТИ насчитывает более 1500 человек. Только академиков и членов -корреспондентов Российской академии наук здесь более ста человек.

В МФТИ преподавали великие ученые С.И.Вавилов, П.Л.Капица, Н.Н.Семенов, Л.Д.Ландау, И.В.Курчатов, С.П.Королев, Г.С.Ландсберг, М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыш, А.И.Алиханов, А.А.Абрикосов, В.Л.Гинзбург и многие другие.

Легендарная система образования в Физтехе сложилась еще в 50-х годах и поддерживается до сих пор. С учетом времени сформулирована новая, но не идущая вразрез с основополагающими принципами Физтеха, концепция: готовить ребят на базе наукоемких организаций как государственных, так и коммерческих. Перечислим основные принципы системы обучения в МФТИ [1]: тщательный отбор наиболее одаренной и склонной к творческой работе молодежи; непосредственное участие в обучении ведущих научных работников, тесный контакт с ними в их творческой обстановке; индивидуальный подход к каждому студенту с целью развития его творческих задатков; воспитание студентов с первых же шагов в атмосфере технических исследований и творчества в лучших научных лабораториях страны. Система подготовки в МФТИ позволяет выпускникам адаптироваться в любых жизненных ситуациях.

В последние годы Физтех находится на верхней строчке рейтингов по баллам ЕГЭ как по физике, так и по математике, принятых на первый курс на бюджет. Средний балл ЕГЭ (в расчете на один предмет): 2010 г. - 86,7 балла; 2011 г. - 90,0 баллов. По итогам приема 2011 года МФТИ стал бесспорным лидером по среднему баллу ЕГЭ.

МФТИ готовит специалистов по направлениям: «Прикладная математика и физика», «Прикладная математика и информатика», «Системы управления движением и навигация», «Наукоемкие технологии и экономика инноваций», «Биотехнология», «Системный анализ и управление».

Одной из особенностей системы образования в физтехе является широкая и глубокая математическая подготовка на протяжении трех с половиной лет обучения. Методика преподавания оптимально сочетает университетский стиль с направленностью на практическое применение математических методов исследования [1].

Кафедра Высшей математики МФТИ

Кафедра насчитывает более ста преподавателей. На кафедре высшей математики в разные годы работали академики АН СССР и

РАН Никольский С.М., Белоцерковский О.М., Болибрух А.А., Ве-куа И.Н., Владимиров В.С., Дородницын А.А., Лаврентьев М. А., Лу-панов О.Б., Мищенко Е.Ф., Моисеев Н.Н., Овсянников Л.В., Олейник О.А., Петровский И.Г., Соболев С.Л.; члены-корреспонденты АН СССР и РАН Делоне Б.Н., Бесов О.В., Гущин В.А., Кудрявцев Л.Д., Жижченко А.Б., Коробейников В.П., Кузнецов Н.В., Поспелов И.Г., Яблонский С.В.

Сегодня кафедрой высшей математики заведует профессор, заслуженный работник высшей школы Евгений Сергеевич Половинкин. В разные годы кафедрой заведовали такие ученые, как член-корреспондент АН СССР Делоне Борис Николаевич, академик Сергей Михайлович Никольский, член-корреспондент АН СССР Лев Дмитриевич Кудрявцев, член-корреспондент Российской академии образования Геннадий Николаевич Яковлев.

Опыт чтения лекций и ведения семинарских занятий легли в основу учебников и учебных пособий, созданных преподавателями кафедры. Это учебники по математическому анализу (Кудрявцев Л.Д., Никольский С.М., Бесов О.В., Иванов Г.Е., Тер-Крикоров А.М., Ша-бунин М.И., Яковлев Г.Н.), по аналитической геометрии (Беклемишев Д.В., Чехлов В.И., Умнов А.Е.), по теории функций комплексного переменного (Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Ша-бунин М.И., Половинкин Е.С.), по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Федорюк М.В., Романко В.К.), по уравнениям математической физики (Владимиров В.С., Михайлов В.П., Уро-ев В.М.). Эти учебники и учебные пособия широко используют во многих университетах и технических вузах с расширенным курсом математики.

Кафедра ведет большую работу по совершенствованию математического образования в стране. Членами Научно-методического совета по математике Минобрнауки являются Никольский С.М., Кудрявцев Л.Д., Половинкин Е.С., Шабунин М.И.

В учебном плане математике отводится около 1000 часов. Основные математические дисциплины, читаемые кафедрой Высшей математики МФТИ: математический анализ (два года); аналитическая геометрия и линейная алгебра (год); дифференциальные уравнения (год); уравнения математической физики (год или семестр); теория

функций комплексного переменного (семестр); теория вероятностей (семестр).

Перечисленные дисциплины читаются на всех факультетах. На некоторых факультетах читаются дополнительные математические курсы: стохастические процессы (год или семестр); функциональный анализ (год или семестр); выпуклый анализ (семестр); алгебра и геометрия (год); теория групп (семестр); математическая статистика (семестр); дифференциальная геометрия (семестр).

Помимо обязательных курсов студент обязан в год сдать не менее двух годовых или четырех семестровых курсов по выбору по математике и (или) физике. Хотя кафедра не является выпускающей у студента, тем не менее, есть возможность перейти на индивидуальный план и по окончании обучения поступить в аспирантуру на кафедру высшей математики. Тематика курсов по выбору определяется тематикой научных исследований на кафедре: тензорный анализ и риманова геометрия; теория обобщенных функций, асимптотические методы в применении к решению дифференциальных уравнений; элементы теории графов и приложения; финансовые инструменты; математика перспективных физических теорий (квантовая физика).

Система математического образования в МФТИ

Контроль за учебной работой студентов в МФТИ осуществляется в несколько этапов. Текущий контроль проводится в течение семестра. По основным математическим дисциплинам студенты сдают по графику три задания для самостоятельной работы (домашние задания). После каждой сдачи домашних заданий проводится контрольная работа (три в семестре). Для студентов первого курса в середине семестра проводится коллоквиум по математическому анализу. К приему коллоквиума привлекаются все преподаватели кафедры.

Промежуточный контроль осуществляется во время зачетно -экзаменационной сессии. Требования, предъявляемые студентам на экзаменах, одинаковые на всех потоках. Это обеспечивается систематическим обсуждением их на заседаниях кафедры. На кафедре разработано «Положение о порядке сдачи заданий, зачетов и экзаменов на кафедре высшей математики», которое выложено на сайте [2]. Там с ним может ознакомиться любой желающий. Качество лекций и семинаров контролируется заведующим кафедрой и его заместителями

путем посещения занятий, результаты которых обсуждаются и анализируются на заседаниях кафедры.

Экзамены кроме традиционной устной формы имеют по ряду дисциплин (по математическому анализу, дифференциальным уравнениям, уравнениям математической физики) дополнительную письменную форму, предшествующую устному экзамену и состоящую в выполнении экзаменационной контрольной работы. Каждая письменная экзаменационная работа проводится в один день одновременно для всего курса за несколько дней до устного экзамена. Студентам предлагаются одинаковые для всех потоков десять задач (в четырех вариантах). Каждая задача имеет определенный вес. На основании набранных весовых баллов выставляется оценка за письменный экзамен. В МФТИ действует десятибалльная система оценки как для письменного экзамена, так и для устного. В таблице 1 приведен перевод десятибалльной оценки в традиционную пятибалльную.

Таблица 1. Перевод 10-балльной оценки в 5-балльную

Оценка по десятибалльной шкале Оценка по пятибалльной шкале

10 9 8 5

7 6 5 4

4 3 3(удовлетворительно

2 1 2

На основании результата письменного экзамена устанавливается верхняя грань оценки, на которую студент может претендовать на устном экзамене. В редких случаях при очень хорошем ответе студента на билет и на дополнительные вопросы на устном экзамене преподаватель имеет право поставить студенту оценку на один балл выше (по десятибалльной шкале), чем была им получена на письменном экзамене.

Последний итоговый контроль знаний студент проходит в конце третьего курса при сдаче государственного квалификационного экзамена по математике в бакалавриате МФТИ. Этот экзамен также про-

водится в письменной и устной форме. На письменном государственном экзамене студент получает 20 задач более легких, чем задачи из экзаменационных контрольных работ. После письменного государственного экзамена проходит устный государственный экзамен, на котором студент не может получить итоговую оценку выше, чем была поставлена за письменную экзаменационную работу.

С помощью письменных экзаменационных работ обеспечивается надежная проверка умения студентов решать типовые задачи, а также проверка качества выработанных навыков решения математических задач. Кроме того, письменная работа ставит всех студентов всех потоков в одинаковые условия и способствует повышению объективности при оценке знаний студентов.

Балльно-рейтинговая система на кафедре высшей математики в МФТИ действует с 2011 года и имеет свои особенности. В течение семестра по результатам посещений лекций и семинаров, сдачи домашних заданий и написания контрольных работ студент может набрать до 30 баллов. На экзамене студент может заработать до 70 баллов. Экзаменационная оценка по десятибалльной шкале на экзамене переводится в баллы БРС по формуле:

(баллы БРС) = (экзамен. оценка) • 7.

Затем к ним прибавляются баллы, набранные в семестре, и полученная сумма баллов БРС снова переводится в итоговую экзаменационную оценку по схеме, приведенной в таблице 2.

Отметим, что системы добора баллов на кафедре нет, к экзамену допускаются все студенты, независимо от того, сколько баллов было набрано в течение семестра. Несданные в срок студентами домашние задания не досдаются и контрольные, пропущенные без уважительной причины, не пишутся и не переписываются. Таким образом, студент, имеющий низкие семестровые баллы и сдавший экзамен, например, на пять, получает итоговую экзаменационную оценку не выше четверки по пятибалльной шкале.

Таблица 2. Перевод баллов БРС в экзаменационные оценки

Баллы БРС

Итоговая экзаменационная оценка

Оценка по пяти-балльной шкале

93-100 10

86-92 9 отлично

79-85 8

72-78 7

65-71 6 хорошо

58-64 5

51-57 4

44-50 3 удовлетворительно

31-43 2

0-30 1 неудовлетворительно

Баллы в семестре начисляются следующим образом: за посещение всех лекций студент получает от 0 до 3 баллов, за посещение всех семинаров - также от 0 до 3 баллов. За сдачу одного домашнего задания - от 0 до 3 баллов. За выполнение аудиторной контрольной работы - от 0 до 5 баллов. Таким образом, получается схема, представленная в таблице 3.

Таблица 3. Балльная оценка различных видов учебной работы

Вид работы Сумма баллов

Посещение лекций 0 - 3

Посещение семинаров 0 - 3

Задание №1 0 - 3

Задание №2 0 - 3

Задание №3 0 - 3

Контрольная работа №1 0 - 5

Контрольная работа №2 0 - 5

Контрольная работа №3 0 - 5

Экзамен 0 - 70

Итого 0 - 100

По отдельным дисциплинам количество заданий и контрольных работ в семестре может быть меньше (по две) или больше (по четыре). Баллы за эти виды работ начисляются так, что в сумме получается 24, как и в таблице 3.

В МФТИ действует двухуровневое математическое образование. Каждый студент вправе выбрать для себя базовый или повышенный уровень изучения математики. При этом ему не надо выбирать базовый или повышенный уровень в начале семестра, так как все лекции

во всех потоках читаются по повышенному уровню. Просто некоторые вопросы не выносятся на экзамен по базовому уровню.

Условием получения возможности сдачи экзамена по повышенному уровню является сдача по данному уровню всех заданий семестра по соответствующему предмету. Каждое домашнее задание и каждая контрольная работа в семестре содержит задачи как со звездочкой, так и без звездочки. Если во всех трех домашних заданиях и во всех трех контрольных работах студент решил все задачи как со звездочкой, так и без нее, то он имеет право сдавать экзамен по повышенному уровню, что подтверждается преподавателем в ведомости в графе «уровень курса». Окончательный выбор, по какому уровню сдавать экзамен (по базовому или по повышенному) студент делает непосредственно придя на экзамен, где лежат две стопки билетов, соответствующих базовому и повышенному уровню. Сделав выбор в ту или другую сторону, студент уже не может поменять свое решение.

Для повышенного и базового уровней установлены различные диапазоны баллов при простановке оценок за письменную работу. Отметим, что и по повышенному, и по базовому уровню студент может получить максимальную оценку (10 баллов). Выбор базового или повышенного уровня будет влиять лишь на общий рейтинг студента при закрытии курса. Только по повышенному уровню возможна сдача досрочного экзамена. Преподаватель может рекомендовать обучаемого им студента к досрочной сдаче лишь при условии, что студент сдал все задания по повышенному уровню.

На кафедре высшей математики разработана программа, являющаяся средством для активного и глубокого изучения теоретических основ математического анализа. Это программа ТеорМат [2].

В отличие от любого традиционного учебника, который предполагает чтение (пассивное изучение), программа ТеорМат предполагает самостоятельное доказательство теорем и самостоятельное решение теоретических задач (активное изучение). Для этого программа создает среду, удобную для доказательства теорем и следит за корректностью доказательства.

Язык ТеорМат близок к общепринятой форме записи математических выражений. В частности, элементами языка являются кванторы, символы математических операций, математические понятия «сходимость», «ограниченность» и т.п. Например, теорема о пределе

суммы двух последовательностей на языке ТеорМат записывается в следующем виде:

У{а_п}, {Ь_п},А, В; Нш(п -> оо, а_п) = А

и

Перед началом доказательства компьютер, исходя из формулировки доказываемого утверждения, выполняя автоматические преобразования, формирует поле доказательства. Например, в начале доказательства теоремы о пределе суммы двух последовательностей поле доказательства будет иметь вид, показанный на рис.1.

1

Действия Методы Назад Действия_компыотера Сохранигь_протокол Справка Выход

Данные объекты Данные условия

_| J J _| а(последовательность Ь(последовательность Л (вещественное число) В (вещественное число; і_ 1_ ¡т(п-*х>. а_п)=А ¡т(п-*х>. Ь_п)= В

Иск эмые объекты [Доказываемые условия

_| ¡т(п-*». а_п+Ь_п)=А+В

Рис.1. Поле доказательства теоремы о пределе суммы двух последовательностей

В ходе доказательства компьютер следит за корректностью и выполняет тривиальные автоматические преобразования, облегчающие процесс доказательства. Если доказаны все условия раздела «Доказываемые условия» или получено противоречие, то доказательство считается успешно завершенным. Протокол доказательства можно сохранить в файл, по которому компьютер может воспроизвести доказательство в демонстрационном режиме.

Программа ТеорМат не предусматривает жесткого сценария доказательства, любое корректное доказательство приемлемо. Поэтому

Теорема о пределе суммы двух последовательностей.

изучение математического анализа с помощью указанной программы носит творческий характер. Программа ТеорМат имеет обширную базу доказанных математических утверждений, содержащую все основные теоремы и многие теоретические задачи, изучаемые в МФТИ в темах «предел последовательности», «предел и непрерывность функции».

Заключение

Кафедра Высшей математики последней в МФТИ ввела балльно-рейтинговую систему. Естественно заложенная в основу физте-ховского образования система претерпела значительные изменения в последние годы, но главное ее содержание удалось сохранить. В МФТИ и сейчас действуют основные принципы «системы Физтеха», перечисленные во введении статьи, которые впервые были сформулированы еще в 1946 г. лауреатом Нобелевской премии, академиком Петром Леонидовичем Капицей.

Сейчас МФТИ является одним из ведущих университетов в областях, связанных с физикой, математикой и информатикой. Поэтому математические предметы занимают основное место в образовательной программе, на математическую подготовку отводится большое количество часов. Следует также отметить, что традиционно в МФТИ поступают ребята, имеющие очень высокий балл ЕГЭ. В этих отношениях не стоит сравнивать математическую подготовку в МФТИ и КГЭУ, но, тем не менее, есть принципы и методы, которые можно с успехом использовать и на кафедре Высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

Источники

1. Национальный исследовательский университет. Московский физико-технический институт. Буклет: десять причин учиться у нас. Изд-во газеты МФТИ «За науку».

2. www.math.mipt.ru

References

1. Nacional'ny'y issledovatel'skiy universitet. Moskovskiy fiziko-tehnicheskiy institut. Buklet: desyat' prichin uchit'sya u nas. Izd-vo gazety' MFTI «Za nauku».

2. www.math.mipt.ru

Зарегистрирована 05.12.2012.