“перекрестные” фазовые переходы в сегнетоэлектрических антиферромагнетиках

УДК 537.61

"ПЕРЕКРЕСТНЫЕ" ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ

А. К. Звездин

Рассмотрены новые магнитоэлектрические эффекты в одноосных магнитных сегнетоэлектриках: а) фазовый переход типа спин-флоп, индуцированный электрическим полем, б) переключение электрической поляризации магнитным полем, при электрическом и магнитном полях, ориентированных вдоль с-оси кристалла, т.е. вдоль спонтанной электрической поляризации или против нее. Предсказывается эффект индуцированной магнитным полем переориентации электрической поляризации между диагоналями куба в мультиферроике кубической симметрии. Приведены оценки величин электрического поля, индуцирующиего спин-флоп - переход, и магнитного поля, переориентирующего электрическую поляризацию, в зависимости от электрических и магнитных параметров материала.

В работе [1] рассмотрены магнитные фазовые переходы в магнитном сегнетоэлек-трике (мультиферроике) между спин-модулированной (несоразмерной) фазой 1С и однородными антиферромагнитными фазами НБ, индуцированные внешним электрическим полем. Такие переходы для краткости можно назвать "перекрестными", т.к. в них магнитное превращение происходит под влиянием электрического поля. Наоборот, переходы в электрической подсистеме могут быть индуттированьт магнитным полем. Причиной или механизмом "перекрестных" фазовых переходов является магнитоэлектрическое взаимодействие. Фазовые переходы типа 1С — НБ характерны для сегнето-электрического антиферромагнетика В1Ре0г, в котором в нулевых внешних полях, т.е.

при Я = О, Е — О магнитная структура является пространственно модулированной [2, 3]. Легирование ВгРеОз лантаном или другими редкоземельными ионами приводит к однородной магнитной структуре [4]. Такое же превращение реализуется в тонких эпи-таксиальных пленках ВгРеОз, выращенных на различно ориентированных подложках [5, 6]. Поэтому представляется практически важным исследовать возможность индуцирования перекрестных фазовых переходов между однородными фазами. Простейшими и характерными перекрестными фазовыми переходами для обсуждаемых материалов являются: а) спин-флоп в магнитной подсистеме, который в данном случае индуцируется электрическим полем, б) переключение электрической поляризации магнитным полем. Именно эти переходы теоретически изучаются в данной работе при ограничивающем условии, что внешние электрические и магнитные поля направлены вдоль оси с, т.е. вдоль спонтанной электрической поляризации или против нее.

Данная тематика привлекает к себе большое внимание [6], особенно в контексте спинтроники, т.к. в последние годы были обнаружены новые магнитоэлектрические материалы, в частности, на основе В1РеОз с гигантским магнитоэлектрическим эффектом (3 В/смЭ) при комнатной температуре [6-8].

Также как ив [1,9], рассмотрим одноосный сегнетоэлектрический антиферромагнетик, плотность термодинамического потенциала которого представим в виде:

Н1Р) = -Ц-

т" —*

где п — у - единичный вектор, направленный вдоль вектора антиферромагнетизма /; Рг, Р± - компоненты вектора электрической поляризации; г\\с - оси кристалла; Е - внешнее электрическое поле. Предполагается, что а\ < 0, а^ > 0, 3. > О1. £а(п) - энергия

магнитной анизотропии, конкретный вид которой будет определен ниже, хх - попереч-

—*

ная магнитная восприимчивость, Hej} - эффективное магнитное поле, действующее на спины антиферромагнитной подсистемы. Оно определяется следующим образом:

Не}} = Н + Нте,

1В теории сегнетоэлектриков принято раскладывать термодинамический потенциал (неполный) по

степеням абстрактного параметра порядка г], который обладает определенными трансформационными свойствами относительно преобразований группы симметрии кристалла (см., например, [14]). В рассматриваемом случае предполагается, что он преобразуется как полярный вектор, это позволяет нам использовать для наглядности вектор электрической поляризации в качестве параметра порядка.

где Н - внешнее магнитное поле, Нте = —dVme/dM - "магнитоэлектрическое" по-

—*

ле, Vme - энергия магнитоэлектрического взаимодействия, М - намагниченность антиферромагнитной подсистемы. Первое слагаемое в (1) представляет собой магнитную энергию антиферромагнетика, которая учитывает сильную анизотропию его магнитной восприимчивости. В данном случае пренебрегается продольной восприимчивостью Хц по сравнению с поперечной х±, что хорошо выполняется при Т « Tjy. Во всяком случае, при необходимости нетрудно учесть хц в рамках рассматриваемой схемы (см. подробнее Приложение В в [9]).

Рассмотрим более подробно "магнитоэлектрическое" поле Нте. В общем случае оно может быть представлено как [10, 11]

HL = CijkljPk,

где Pk - компоненты вектора электрической поляризации, c,j¿ - компоненты магнитоэлектрического тензора третьего ранга. Для BiFeO3 формулу (3) можно конкретизи-

—* —*

ровать, используя трансформационные свойства векторов /, Р и г в группе ЛЗс (см. подробнее [9]), откуда следует:

Я* е = с2(1хРу - РХ1У). При с2 = с3 = с4 = с, с\ = 0 формула (4) принимает вид [9]

Нте = с[Г,Р],

который соответствует кубической кристаллографической симметрии (классы 432, 43т, тЗт, а также 0000, оооот). В этом случае магнитоэлектрический тензор третьего ранга Cijk пропорционален тензору Леви-Чевитта Для краткости будем называть это приближение анапольным или тороидным, т.к. вектор I в этом случае обладает свойством анапольного (тороидного) момента. Далее будем использовать Нте в виде (5). Для материалов, кристаллическая структура которых несильно отличается от кубической, имеются дополнительные аргументы в пользу такого приближения. В частности, в BiFeOs кристаллическая структура действительно незначительно отличается от кубической (углы ее ромбоэдрической ячейки отличаются от прямого меньше, чем на 1%).

Поэтому естественно использовать для BiFeO3 формулу (5) для Нте в низшем приближении по деформациям, отличающим структуру ВгРеОз от кубической. Анапольное приближение важно и с методической точки зрения - чтобы выяснить движущую роль магнитоэлектрического взаимодействия в интересующих нас "перекрестных" фазовых переходах лучше отвлечься от деталей и сложностей его конкретики (4). Энергию анизотропии в (1) Еа{п) представим в виде:

Еа = -Кг cos2 9 + К2 cos4 9,

где в - угол между вектором п и осью с; К\ и К2 - константы анизотропии. Предположим также, что ось с является легкой осью для спинов, т.е. К\ > 0. Итак, формулы (1), (2), (5), (6) полностью определяют термодинамический потенциал системы Т(9, Р), необходимый для анализа "перекрестных" фазовых переходов.

Прежде чем переходить к исследованию конкретных эффектов, приведем формулу (1) для термодинамического потенциала в более удобных обозначениях:

Г

-»

где в, (f - полярный и азимутальный углы вектора п (или /) в системе координат, где полярная ось совпадает с осью с; угол ср отсчитывается от оси в базисной плоскости, которая выбирается произвольно или совпадает с одной из легких осей в базисной плоскости, если анизотропия в ней учитывается:

y Н2 М2

EeJ} = -Кг cos2 0 К2 cos4 в -)---— cos2 а + -—

2 2хх

El" = Й[ТР\,

+ + О0)

где а - угол между Hal; Ms = х±сРз ~ спонтанная намагниченность антиферромагнитной подрешетки, возникающая под влиянием магнитоэлектрического взаимодействия;

—*

Ps - спонтанная электрическая поляризация; Е = (Е± cos ф, Е± sin ф,Ег).

—* —*

Рассмотрим спин-флоп спинов в электрическом поле Е = (0,0, Ez) и при Н — 0. —*

Минимизируя (7) по Р, получим Р = (0,0, Pz), где Рг определяется уравнением

РЛ" 1 + Xxc2nl + a2P2z) = Ег.

Это уравнение описывает гистерезисную зависимость PZ(E) (в пренебрежении зароды шеобразованием). Из уравнения (11) следует, в частности, что электрическая поляра зация Pz зависит от ориентации вектора п. Мы в дальнейшем будем пренебрегать этим малым эффектом, т.е. вторым слагаемым в левой части (11) (он второго порядка по магнитоэлектрическому взаимодействию и в BiFeO3 составляет величину 1% [9]). В линейном по Ez приближении

PZ = PS + /с,, EZ1

где кц = 2|аТг Подставляя Pz в (7), получим:

/ Л/Г2 \ 2

Т = ЕеА}} + const = - i Кг - cos2 в + К2 cos4 в,

где PZ(E) определяется формулой (11) или (12).

В зависимости от знака К2 возможны два сценария поведения вектора п (или угла в) при возрастании электрического поля Е.

К2 < 0. В этом случае имеет место фазовый переход 1-го рода, описываемый следующей формулой:

[ 0(ТГ), Pi < Р] = 0 — ) 2 " W /14\

1 £ Р2 > р2 _ p2 2xjKi 1111

I 2' Гг ^ Г\ — rs М? •

Фазовый переход 1-го рода (spin-flop) реализуется при

P; = Ps{^{Kl-K2)y.

Ширина гистерезиса перехода определяется уравнением

Pi ~ Р\ =

или

А р = p2lxx \К21

Уравнения (14-16) совместно с (11) определяют spin-flop фазовый переход при К2 < 0.

К2 > 0. В этом случае имеет место непрерывная переориентация спинов от легкой оси к базисной плоскости с ростом электрического поля:

9 =

ООО, p¡ < P¡ =

к Mi Р\

arceos 1 ^ * , P¡ < Р] < P¡,

§, P¡ > Pi = Pf^-Кг.

Если переход начинается из точки 9 = 7г, то зависимость 9{PZ) в промежуточной (угло-

(К, М] РЛ

вой) фазе определяется уравнением 9 = п — arccos —----— — I.

2 Pg J

Уравнение (17) показывает, что spin-flop переход в случае К2 > 0 реализуется как последовательность двух фазовых переходов 2-го рода в точках Р2 = Р3 и Pz = Pi, между которыми возникает угловая фаза.

Оценим величину электрического поля Е3/, индуцирующего spin-flop переход. Из (15) и (11) следует

Еа} = - 1),

где

к = ^

Пусть х « 5  10"5, Ms « 3emu/см3, Кг + К2 ~ 10& erg/см3, Р3 = 0.06К/м2, к и 102 (эти параметры характерны для BiFeOz [7, 8]), тогда k ~ 1.1 и Esf я» 3 • 106 В/м.

При спин-флоп переходе, индуцированном магнитным полем, возникает скачок намагниченности ДМ, что является причиной возникновения своеобразной доменной структуры - промежуточного состояния в узком диапазоне полей вблизи точки перехода. Такое же промежуточное состояние возникает в сверхпроводниках 1-го рода (обсуждение этого вопроса в контексте магнитных фазовых переходов см., например, в [12]). Это состояние возникает из необходимости "сшить" непрерывным образом внешнее магнитное поле и внутреннее поле, действующее на спины и отличающееся от внешнего за счет эффектов размагничивания. В обсуждаемой в данной работе ситуации, когда spin-flop индуцируется электрическим полем, необходимость возникновения промежуточного состояния не возникает.

Из формулы (8) следует, что магнитное поле сильно влияет на эффективную константу анизотропии, поэтому возникают интересные возможности наблюдать spin-flop

—* —* —* —♦

при наличии в кристалле и Н и Е, при Н\\Е\\с.

Интересные эффекты и возможности для управления ориентацией вектора антифер-ромагнетизма I электрическим полем возникают в случае, когда / и Е ориентированы в базисной плоскости, но этот вопрос выходит за рамки данной статьи.

Перейдем к вопросу о возможности переключения электрической поляризации рассматриваемого сегнетомагнетика магнитным полем. Пусть для определенности Н||х, тогда в уравнении (8) следует положить cos а = sin 9 cos в. Уравнения для нахождения экстремумов потенциала (7) имеют вид:

. „о. MsHsmOsmifi , .

PAPl - Л2) = р-

rsa2

sin 20

у I Н2

Л sin2 0 sin 2у> = 0.

2

В уравнении (21), как и раньше в (11), опущена малая анизотропная добавка к о^, пропорциональная с2. Для упрощения формул положим К2 — 0, тогда устойчивые решения уравнений (20-22) имеют вид:

7Г 37Г „

* " 2 И Т; (23>

0=

я. < о.

При К\ > 0 магнитное поле, согласно (19) и (23), не влияет на электрическую поляризацию. При К^ < 0 уравнение для Рг(Н) имеет вид

Р*

Точки переключения IIс между устойчивыми ветвями гистерезиснок кривои Рг(I,! ) (2о) определяются совместным решением уравнения (25) и

3Р1 - Р2 = 0,

которое соответствует обращению в 0 второй производной потенциала (8) по Рг. Решая (25) и (26), получим

Н -

Нс - ^М/

Уравнение гистерезиса (25) и поле переключения (27) получены в предположении, что процесс переполяризации является пространственно однородным. В реальных условиях поля переключения определяются процессами зародышеобразования, поэтому наблюдаемая петля гистерезиса обычно уже идеализированной - "однородной". Для оценки магнитного поля переключения Нс можно воспользоваться известными экспериментальными данными о величине электрического поля переключения Ес. Уравнение (11), определяющее петлю гистерезиса Рг(Ег), перепишем в виде

ад* - Р?) = ~ = 2*||ЕгР1

«2

Сравнивая (25) и (28) и используя (26), получим простую формулу, связывающую #с и Ес:

М3НС = ЕСР3.

Естественно предположить, что это соотношение, имеющее весьма прозрачный физический смысл, сохраняется и для более общих условий процесса переключения электрической поляризации.

Подходящим материалом для исследования эффекта переключения электрической поляризации магнитным полем представляется сегнетомагнетик ТЬхВ1оа-хЬа0^ЕеОз, в котором недавно [13] обнаружены очень узкие петли гистерезиса Р3(Е) с шириной порядка 50 В/см. Подставляя это значение в (29), получим Нс ~ 10'3 Э. В качестве М3 здесь бралось значение намагниченности для ВгЕеОз, т.к. в приведенном выше рассмотрении редкоземельные ионы не учитывались. Можно ожидать, что под влиянием редкоземельных ионов величина Нс будет еще меньше, т.к. они за счет обменного ЯЕ — Ее взаимодействия усиливают действие внешнего поля на ионы железа. Конечно, этот вопрос заслуживает более тщательного анализа. Подобная же оценка Нс для НгР г Оз дает для Нс величину порядка 106 Э, что обусловлено значительно больши *; чем в ТЬхВ{0.9-хЕа0ЛЕеОз, значением величины Ес ~ 2.5 • 106 В/м [5]. Почему значения Ес так сильно различаются в этих довольно близких по химическому составу и структуре материалах - вопрос открытый.

Интересно проявляется рассмотренный выше эффект переключения в мультифер-

роике кубической симметрии. Пусть, для определенности, вектор спонтанной электри-

—♦

ческой поляризации направлен вдоль одной из диагоналей куба, например, Ря||[111]. Направим магнитное поле также вдоль этой оси. В относительно слабых полях со-стояние Ря||Я||[111] является устойчивым. Однако с ростом поля энергетически более выгодным становится иное состояние, в котором Р3 переориентируется от [111] к другим

диагоналям куба, при этом антиферромагнитный вектор, оставаясь перпендикулярным —* —*

Р,, ориентируется вдоль диагонали грани, т.е. исходное состояние Ря||[111] разбивается на 6 доменов:

Р. |[111], n [110],

Ps |[ill], n [no],

Ps 1 [111], n [101],

Ps ¡[Hi], n [101],

Ps |[Ill], n [Oil],

Ps 1(111], n [011].

Механизм этого превращения следует непосредственно из формулы (1) для термодинамического потенциала, которую можно представить в следующем виде:

где

Eel

ai,Q2 - параметры материала.

В достаточно сильном магнитном поле энергия Ед в (30), являющаяся величиной 4-го порядка малости по спин-орбитальному взаимодействию, может быть опущена2 по сравнению со слагаемыми типа ~ {Рп)2 и (Нп)2. Сравним энергии состояний Р\\Н и состояний А,:

V, Н2 М2 Р2 тт = --+ агРЦ 3 + а2р?/27,

ПМ) = -^f- - ^^ + агр?/3 + а2р?/27 - л/2/3НМ3.

Выигрыш в энергии

АЕ = ГЩ)-Г

обеспечивает определенную ранее переориентацию электрической поляризации в достаточно сильном магнитном поле. Величина критического поля такой переориентации Н'с определяется главным образом величиной "электрического" барьера для переориентации вектора Р3 между диагоналями куба. Практически критическое поле Н'с может быть оценено как

К =

Зл/2 Р3Е'С 2 М3

где Е'с - критическое поле подобной же переориентации [111] — А,-, но индуцированной электрическим полем.

Работа поддержана проектами РФФИ-БФФИ (04-02-81046), INTAS (03-51-4943) и Интеграция (Б-0056).

ЛИТЕРАТУРА

[1] 3 в е з д и н А.К. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 3, 3 (2005).

[2] Sosnowska I., Peterlin-Neumaier Т., Steichele Е. J. Phys. С, Solid State Phys., 15, 4835 (1982).

2Это приближение не является существенным и необходимым по сути дела, но сильно облегчает анализ.

[3] S о s п о w s к a I. and Z v е z d i n A. J. Magnetism and Magnetic Materials, 167, 140 (1995).

[4] M у p а ш e в В. А., Раков Д. H., Дубенко И. С., 3 вез дин А. К., Ионов В. М. Кристаллография, 35, 912 (1990); Murashov V. А., Rakov D. N., Ekonomov N. A., Zvezdin А. К., Dubenko D. N. Solid State Physics (Leningrad), 32, no 7, 2156 (1990).

[5] К i m u г а Т., Goto Т., S h i n t a n i H., et al. Nature (London), 426, 55 (2003).

[6] W a n g J., Zheng H., N a g a r a j a n V., et al. Science, 299, 1719 (2003); Cheng J., R u e t t e В., Dong S., et al. J. Appl. Phys. (Submitted); Naigang Wang, Cheng J., Pyatakov A. et al. J. Appl. Phys. (Submitted).

[7] Z v e z d i n A. K., Pyatakov A. P. Physics-Uspekhi, 47, no 4, 8 (2004).

[8] К a d о m t s e v a A. M., Zvezdin A. K., Popov Yu. F., et al. JETP Letters, 79, no 11, 571 (2004).

[9] 3 в e з д и н А. К. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 3 (2004).

[10] Туров Е. А., Колчанов А. В., Меньшенин В. В. и др. Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков, М., 2001.

[11] Туров Е. А. УФН, 164(3), 325 (1994).

[12] Белов К. П., Звездин А. К., Кадомцева A.M., Левитин

Р. 3. Ориентационные фазовые переходы в редкоземельных магнетиках, М., 1979.

[13] Р а 1 k а г V. R., К u n d а 1 i у a D. С., Malik S. К. and Bhattacharaya S. cond-mat/0406041.

[14] С тру ков Б. А., Леванюк А. Г1. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах, М., Наука, 1995.

Институт общей физики

им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 7 сентября 2004 г.