Теоретико-групповые методы формирования шкал коррекции пространственных искажений изображений в томографии

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ШКАЛ КОРРЕКЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ИСКАЖЕНИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ТОМОГРАФИИ Н.Д. Скалецкая

Основной целью работы является определение параметров групповых преобразований, отражающих изменение положения исследуемого объекта в пространстве относительно эталонного, а также теоретическое обоснование методики коррекции пространственных искажений изображений объектов в томографии.

Введение

Разные томографические изображения одного и того же объекта могут существенно отличаться друг от друга. Причинами этих отличий являются искажения, связанные с техническими погрешностями системы получения и передачи изображения, яркостные искажения, а также пространственные искажения, связанные с изменением положения в пространстве исследуемого объекта.

Процесс обработки изображений объектов включает в себя формирование в устройстве регистрации некоторого внутреннего представления изображения, например, формирование в памяти компьютера матрицы значений яркости элементов изображения, и передачу этой информации системе обработки.

В математической форме процесс формирования изображения можно описать как ото-

3 2 3 2

бражение пространства Я в Я , т.е. Г : Я ^ Я [4]. Сцена может быть задана в про-

3

странстве Я как функция ^(в, р, 9), тогда изображение есть результат отображения / (X, у) = Г[^(в, р, 9)],

23 где х, у - координаты пространства Я , в, р, 9 - координаты пространства Я , Г - отображение. Значение функции /(х, у) принято называть яркостью изображения в точке (х, у) плоской декартовой системы координат.

В силу того, что в процесс получения изображения на практике всегда вносятся искажения, в систему обработки поступает искаженное изображение /' (х' , у' ) = А[ / (х, у)], где А - оператор, описывающий искажения, вносимые в изображение / (х, у), которое можно назвать эталонным. Таким образом, задача устранения искажений сводится к нахождению

обратного оператора А 1 и применению его к искаженному изображению.

Все искажения можно условно разделить на пространственные, описываемые оператором А1, и яркостные, описываемые оператором А2 [2]. Тогда

А = 4 • А2,

причем порядок следования операторов определяется спецификой процесса получения изображения, так как оператор А2 в общем случае зависит от координат ( х, у) .

Под пространственными искажениями можно понимать некоторые отклонения при

3 2

отображении точек пространства Я в Я , когда результат проецирования точки (в, р, 9) в

Я (х , у ) не совпадает с точкой (х, у) = Г (в, р, 9) ; под яркостными искажениями - некоторые отклонения при отображении сцены при отсутствии пространственных искажений, когда результат проецирования /' (х', у') отличается от /(х, у) при х = х ', у = у '.

Особенностью коррекции пространственных искажений является необходимость оп-

л -1

ределения оператора А1 , связывающего координаты точек эталонного и искаженного изображений и не зависящего от функции яркости, т.е. X' = А^X), где X' = (х', у'), X = (х, у) - векторы координат точек соответственно искаженного и эталонного изображе-

ний. Предполагается /'(х',у') = /(х,у), что и позволяет провести коррекцию пространственных искажений.

Постановка задачи

Задачу определения положения исследуемого объекта в пространстве можно сформулировать следующим образом [5]. Известны начальное (эталонное) положение объекта в трехмерном пространстве, его изображение в этом положении и изображение объекта после изменения его положения в пространстве. Требуется определить параметры, описывающие изменение положения объекта относительно эталонного.

Движение тела в пространстве можно описать шестью параметрами: х0, у0, 20 - смещение некоторой точки О тела соответственно по осям X, У, Ъ неподвижной системы координат; а, в, у - углы поворота тела вокруг осей подвижной системы координат Х0, У0, Ъ0, связанной с началом координат точкой О [1]. В матричной форме изменение положения точки тела можно представить как

X ' = ¿з(у) Л2(р) ^(а) X + X 0, Т г Г Г Г Т

где X = (х, у, г) , X = (х , у , г ) - вектора-столбцы координат некоторой точки тела соответственно до и после изменения положения в пространстве, X0 = (Х0, У0, г0 ) - вектор-столбец смещения точки О,

(1 0 0 ^ (Со^(р) 0 Яи(Р) ^

А1 (а) =

Аз (у) =

0 Со^

, ¿2 0) =

0

- Яи

1 0

0

Со^

(Cos(y) - 5ш(у) 0

Л

5ш(у) 0

Cos(Y) 0

1

- матрицы поворота соответственно вокруг осей Х0, У0,

Ъ0. При параллельном проецировании координаты (х", у") точки изображения совпадают с координатами (х', у') соответствующей точки тела.

При центральном проецировании выполняется соотношение

х! = Х У=У

I г''/ г''

гдеI - фокусное расстояние устройства получения изображения.

Определенный интерес представляет зависимость параметров группового преобразования от значений углов поворота вокруг осей X, У, Ъ. По известным значениям вектора Х0, углам а, в, у, фокусному расстоянию I и координатам характерных точек на эталонном изображении объекта можно определить параметры группового преобразования.

Методы исследования и полученные результаты

Ввиду того, что пространственные искажения изображений меняются плавно, они могут быть описаны некоторыми непрерывными групповыми преобразованиями. В качестве эффективного математического аппарата при решении задач обработки изображений исследуемых объектов, полученных с помощью магнитно-резонансных, позитронно-эмиссионных и рентгеновских компьютерных томографов, используются группы Ли [6].

Подвергнув искаженное изображение преобразованию элементом gl 1, можно обеспечить «сближение» искаженного и эталонных изображений. Продолжая процесс последовательной нейтрализации подгрупп, можно либо полностью устранить искажения (определить параметры положения объекта), либо упростить задачу и свести ее к известному решению. В качестве первых шагов обычно выбираются некоторые характеристики изобра-

0

жения, такие, например, как центр формы или центр функции яркости фигуры, ее площадь и т.п. Последующие шаги обеспечиваются использованием характерных (так называемых «реперных») точек на изображении.

На рис.1 представлены МРТ-снимки фантома (шесть шприцев, заполненных водой и жестко скрепленных между собой), полученные на МР-томографе GE Signa Infinity 1.5 T.

Выберем на эталонном и искаженном изображениях реперные точки (наименее искаженные точки на соответствующих изображениях) и относительно них найдем параметры группового преобразования [6]. Предположим, что искаженное изображение фантома явилось следствием вращения исследуемого объекта относительно одной или нескольких координатных осей. Попробуем выявить зависимость параметров группового преобразования от углов поворота образца относительно осей вращения.

Рис. 1. Эталонное и искаженное изображения фантома. Т, и, V, Т', и', V - реперные точки

Погрешность определения координат точек А = ±1 пикс. = ±0.6 мм. Так как наше изображение было предварительно центрировано, то точка О совпадает с осями X, У, Ъ неподвижной системы координат, т.е. Xo = 0.

Координаты характерных точек Т , и , V известны [3]. Углы поворота возьмем равными 0°, 30°, 60°, 90°.

Уравнения изменения положения точки тела в нашем случае имеют следующий вид:

• XX = А1 (а) X - изменение положения точки тела относительно оси X;

• XY = А2 (в)X - изменение положения точки тела относительно оси У;

• X'xY = А2 (в) А1 (а) X - изменение положения точки тела относительно осей X, У;

• X'xYZ = А3 (у) А2(в) А1(а) X - изменение положения точки тела относительно осей X,

У, Ъ.

При расчете аффинных преобразований будут использоваться формула аффинной группы без сдвига: Г х ' = «1 х + «2 у [у ' = «3 х + «4 у'

где х, у, х', у' - исходные и преобразованные аффинной группой координаты точки изображения, «1, к а 4, ¿1, ¿2 - параметры аффинной группы; и формула проективной группы: ' «1 х + «2 у «5 х + «6 у +1

<

' «3х+«4у

«5 х + «6 у +1

где х, у, х', у' - исходные и преобразованные проективной группой координаты точки изображения, «1, к «6, ¿1, ¿2 - параметры проективной группы [5].

Пределы изменения и постоянные значения параметров в зависимости от вида проецирования и сочетания осей вращения приведены на рис. 2 и 3.

Рис. 2. Зависимость параметров группового преобразования от угла поворота объекта: преобразование изображения аффинной группой

- а2 а3

1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4

- а5 —— а6

а2 а3

оси ХУ

1,2

0,8

0,6

0

0,4

0,2

0

0,2

а4

а5

а6

а4

Рис. 3. Зависимость параметров группового преобразования от угла поворота объекта: преобразование изображения проективной группой

Заключение

Таким образом, смещение исследуемого объекта и, как следствие, его изображения по осям X и Y определяет параметры Ъ1 и Ъ2, смещение по оси Z при параллельном проецировании вообще не влияет на изменение параметров группы, а при центральном проецировании определяет степень масштабных преобразований.

Из анализа рис. 2 и рис. 3 видно, что при отсутствии смещения и масштабного преобразования значения параметров aj,...,a4 меняются в пределах -1,...,1, а значения a5,a6 не превышают 0.01.

Анализ групп преобразований и возможных изменений их параметров позволяет выделить следующие подходы к решению задачи коррекции пространственных искажений: разложение полной группы преобразования на подгруппы и их последовательная компенсация; нахождение параметров полной группы преобразований по координатам характерных (ре-перных) точек на изображении исследуемого объекта.

Пространственные искажения изображения, вызываемые погрешностями в работе системы получения и передачи изображения, в общем случае являются суммой некоторой нелинейной и случайной составляющих. В результате коррекции изображения эти искажения в той или иной степени компенсируются. Величину оставшегося после коррекции пространственного искажения можно считать одним из критериев качества коррекции.

Литература

1. Ерош И. Л. Элементы теории дискретных групп: Учебное пособие. СПб.: СПбГУАП, 1998. 40 с.

2. Иванов В. А., Марусина М.Я. Применение теории групп при решении задач реализации измерительных преобразований // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 43, № 6. С. 3639.

3. Марусина М.Я., Скалецкая Н.Д., Казначеева А.О. Коррекция пространственных искажений в томографии // Научное приборостроение. 2005. Т. 15. № 3. С. 77-82.

4. Смирнов А.Я. Цифровая обработка изображений. Л.: ГОИ, 1987. 50 с.

5. Файн В. С. Опознавание изображений: Основы непрерывно-групповой теории и ее применение. М.: Наука, 1970. 296 с.

6. Чеботарев И.Г. Теория групп Ли. М.: ГИТТЛ, 1940. 396 с.