Применение расширенного фильтра Калмана для синхронизации хаотических систем

2008

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника

№ 133

УДК 621.581

ПРИМЕНЕНИЕ РАСШИРЕННОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ СИНХРОНИЗАЦИИ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Б.И. ШАХТАРИН, С.В. МИТИН

Синхронизированные хаотические системы могут использоваться для передачи информации в системах связи. Некоторые нелинейные, хаотические системы могут быть синхронизированы с помощью расширенного фильтра Калмана, который используется для прогнозирования ковариационной матрицы, применяемой для коррекции параметров хаотического приемника.

Динамический хаос (ДХ) - сложное непериодическое движение, порождаемое нелинейными системами. Такой тип движения может возникать в отсутствии внешнего шума и полностью определяется свойствами детерминированной динамической системы. В течение последних 40 лет, с момента открытия ДХ интерес к нему в научной среде не ослабевает. На протяжении этого времени это явление активно исследовалось различными научными группами.

Одним из перспективных направлений использования ДХ является применение его в коммуникационных технологиях. Он обладает рядом свойств, которые могут быть полезны при передаче и обработке информации. Например, использование ДХ дает возможность получения сложных колебаний с помощью простых по структуре устройств, при этом в одном устройстве можно реализовать большое количество различных хаотических мод; управления хаотическими режимами путем малых изменений параметров системы; увеличения скорости модуляции по отношению к модуляции регулярных сигналов за счет чувствительности хаотической системы к внешним возмущениям; повышения уровня конфиденциальности при передаче сообщений. Хаотические сигналы обладают большой информационной емкостью и дают возможность использовать разнообразные методы ввода информационного сигнала в хаотический.

Существует ряд подходов к передаче данных с использование хаотических сигналов в качестве носителей. В большинстве из них через канал передается комбинация хаотического и полезного сигналов. Как известно само иформационное содержание хаотических сигналов отлично от нуля. Это означает, что кроме пропускной способности канала, необходимой для передачи полезного сигнала, требуется дополнительная пропускная способность, определяемая количеством информации, содержащимся в хаотическом сигнале. Поэтому эффективность применения пропускной способности канала в случае использования хаотических сигналов в качестве носителей оказывается ниже, чем для регулярных сигналов. В этой связи было бы желательно формировать информационный сигнал таким образом, чтобы он по своей структуре был близок сигналу, генерируемому хаотической системой. Иначе говоря, необходимо управлять динамикой хаотической системы таким образом, чтобы производимый системой сигнал содержал в себе требуемую полезную информацию, и объем этой информации был равен объему самого хаотического сигнала. Еще одной задачей, в которой наличие информации в самом хаотическом сигнале играет важную роль, является задача синхронизации ведущей и ведомой систем. Дело в том, что один из факторов, препятствующих практическому применению хаотической синхронизации, заключается в ее высокой чувствительности к шумам и другим возмущающим воздействиям. В результате, одна из проблем, которая возникает при синхронизации - это необходимость постоянно передавать ведомой системе информацию о состоянии ведущей системы, что приводит к дополнительным нагрузкам, как на сами системы, так и на канал связи.

Синхронизация хаоса

Кэрролл и Пекора [1] первыми сообщили о синхронизации двух хаотических подсистем, управляемых общим сигналом от главной системы, с помощью линейной ошибки по состоянию в качестве управления. Эндо и Чуа экспериментально синхронизировали две системы с фазовой автоподстройкой частоты, управляемые главной системой ФАПЧ; а также представили результаты компьютерного моделирования, показавшие хорошее соответствие с результатами для замкнутых систем, используемых ими, что продемонстрировало обоснованность компьютерно-

го моделирования хаотических систем. Куомо разработал техники использования функций Ляпунова, производящие классы самосинхронизирующихся систем, которые могут демонстрировать как периодические траектории, так и хаос, хотя хаотическое поведение системы невозможно предсказать в процессе ее синтеза.

Можно предположить, что состояния хаотической системы могут быть оценены путем некоторого их измерения с помощью структуры расширенного фильтра Калмана (РФК) в качестве системы оценивания. Поскольку фильтр («приемник») содержит модель процесса, он может синхронизироваться с исходной системой («передатчиком») когда оценка сходится. Экспериментальные результаты по сравнению оценок состояний системы Лоренца с РФК с данными, полученными с самой системы, как качественный анализ ошибки, показали что РФК обоснованно согласуется с системой в широком диапазоне отношений сигнал/шум, с только одним набором настраиваемых параметров в формулировке фильтра.

Передача информации с помощью хаоса

Эндо и Чуа высказали идею о том, что если бы была возможной передача информации с помощью хаотической пары передатчик-приемник, она могла бы стать основой нового типа засекреченной связи. Поскольку алгоритм шифрования не предусмотрен, сообщение будет невозможно «взломать» обычными методами.

Символьные последовательности могут быть описаны присвоением единиц и нулей положительным и отрицательным пикам хаотической волны за период между пересечениями на поверхности Пуанкаре. Проводились эксперименты с двумя методами передачи: при первом методе сигнал добавлялся к выходу хаотического передатчика, после чего передавалась сумма двух волн. Сигнал восстанавливался в приемнике путем вычитания синхронизированной хаотической несущей из полученного сигнала. Во втором методе применялось варьирование параметра в передатчике, в результате чего происходили временные срывы синхронизации в приемнике. При возврате значения параметра синхронизация восстанавливалась. Таким образом, создавался двоичный поток битов синхронизации-десинхронизации для передачи сообщения, которое декодировалось путем измерения энергии сигнала ошибки.

Метод добавления сообщения к хаотической несущей очень чувствителен к соотношениям "сигнал/несущая" и "мощность сигнала/мощность шума", что затрудняло передачу сообщений с довольно низкой энергией для избежания обнаружения, но все же достаточно высокой для того, чтобы сигнал мог быть услышан на фоне шума. Второй метод синхронизации/десинхронизации для передачи бит предлагался неоднократно, но двоичная модуляция иногда может быть обнаружена другими методами. В частности, двоичная модуляция несущей частоты, вероятно, может быть дешифрована обычными спектральными методами; а применение спектральных окон к получаемому сигналу может позволить выявить сами биты путем анализа изменения энергетического спектра во времени.

Эксперименты с дискретно наведенным хаосом и приводят к необходимости сделать различие между «настоящим» хаосом и результатами моделирования, называя все результаты хаотической модуляции квазихаотическими по причине использования арифметики конечной точности.

Квазихаотическая система возникает из-за эффектов конечной точности в программном обеспечении, включая дискретизаторы и вычислительные ресурсы. Она обладает следующими характеристиками:

1. Отклик системы на нулевой вход для большинства начальных условий имеет широкий шумоподобный спектр с автокорреляцией, аналогичной белому гауссову шуму.

2. Вынужденная реакция системы на большинство входных воздействий имеет широкий шумоподобный спектр с автокорреляцией, аналогичной белому гауссову шуму.

3. Сигналы на входе и выходе системы в общем случае не коррелированны для большинства входных воздействий.

4. Реакция системы на одно и то же входное воздействие при различных начальных условиях в общем случае будет разной.

5. Две идентичные системы разойдутся при сколь угодно близких различных начальных условиях.

Синхронизация двух хаотических систем осуществима с помощью структуры расширенного фильтра Калмана. Однако связь на основе стратегии синхронизации-десинхронизации трудно реализуема, и очень чувствительна к шуму. Причиной этому является попытка фильтра Калмана вернуть синхронизацию после сдвига параметра в передатчике. Если параметр был изменен слишком сильно, траектория приемника сильно уходит, и фильтр не может восстановить синхронизацию после возврата значения параметра, что обусловливает меньшие сдвиги параметра. Эти сдвиги теперь настолько малы, что шум, меньший сигнала по мощности на 40 дБ, будет доминировать в сигнале ошибки, делая невозможным определение бита

В качестве альтернативы можно применить стратегию, когда сам параметр несет бит информации. Фильтр Калмана в приемнике расширяется для оценки текущего значения параметра, и уровень параметра кодируется как бит. Например, значение параметра 3,5 кодируется нулем, а значение 4,8 кодируется единицей. Эта стратегия обладает преимуществами невосприимчивости к шуму, поскольку отклонения модулируемого параметра могут быть очень велики по сравнению с шумом в канале.

Расширенный фильтр Калмана

Фильтр Калмана (рис. 1) частично адаптируем для оценки состояний нелинейных систем при определенных допущениях и при внесении некоторых изменений. Отсутствие матрицы преобразований не позволяет прогнозировать оценку и ковариацию, а нелинейные наблюдения делают невозможным непосредственное вычисление коэффициента усиления фильтра Калмана, а также корректирование оценки состояния по текущему измерению и параллельное корректирование ковариационной матрицы.

Рис.1. Блок-схема фильтра Калмана

Прогнозирование ковариационной матрицы можно осуществить с помощью уравнения Фоккера-Планка. Данное уравнение описывает эволюцию функции плотности распределения вероятностей р(Х (г), г) нелинейной системы во времени:

г)=-±-Х[р

дг 1=1 дХ, 21=15=1 дх, дХ1

где индексы { и} обозначают элементы вектора или матрицы.

Уравнение Фоккера-Планка может быть использовано для вывода выражений для прогнозирования среднего значения смешанного момента второго порядка нелинейной нестационарной функции плотности распределения вероятностей; хотя они и не прогнозируют смешанный момент второго порядка непосредственно. Выражения для среднего значения и смешанного момента второго порядка имеют вид:

т

где временная зависимость от фиктивной переменной отбрасывается для простоты, и основная функция плотности распределения вероятностей p(X (t), t) удовлетворяет уравнению Фок-кера-Планка, так как существуют все необходимые частные производные. Дифференцирование выражения для среднего значения по времени дает:

m

Примем, - элемент вектора ^. Непосредственно применяя уравнение Фоккера-Планка, по-

лучим:

т

-) ¿=1 2 _) !=i j=1 dgj

Отбросим аргументы функций и выразим первое слагаемое в правой части в виде суммы:

i" ' II X Pfl + X Pf2 + • " + X Pfn \dXX "'d^n •

J -Ц ЭХ Э# d%n )

После интегрирования каждого из п членов по частям, первое слагаемое в правой части уравнения (4) примет вид:

ЧpI’4 С

ЭХ

+1 p

Поскольку ----- - орт е = [0 0 • • • 1 - • 0 0]г, выражение для производной по времени от

среднего значения сводится к следующему:

т

Это объясняется тем, что вычисление второго слагаемого по процедуре, аналогичной для первого, дает [0].

2 г =1 -=1 ЭЬ1ЭЬ]

так как каждый орт ортогонален другим:

Э2# _ Э

Э

ЭХ

_Э_

ЭХ

к ] = [0] •

Э£Э£ ЭХ

Аналогично выводится и выражение для прогнозирования ковариационной матрицы

P = (E{f (X (t), t )XT (t)})- E{f (X (t) t )}mT (t)+

+

+ E{g (X (t), t Qt )gT (X (t), t)}

Здесь возникает принципиальная проблема. Математические ожидания в правых частях уравнений (7) и (10) для прогнозирования среднего значения и второго смешанного момента не могут быть определены без знания всей плотности распределения p(X (t), t) для любого момента времени. Хотя уравнения Фоккера-Планка позволили записать данные выражения, вычисление по уравнениям (7) и (10) требуют знания плотности, но эта информация практически никогда не доступна в реальных задачах.

Фаулер разработал прием для численной аппроксимации данной функции плотности распределения вероятностей как часть вывода оптимального управления для хаотических систем, основанный на численном интегрировании уравнения (7). Его методы сложны в применении,

когда порядок системы возрастает до двух, становятся громоздкими при третьем порядке, и практически неосуществимы для систем четвертого порядка и выше.

При линеаризации уравнений системы вблизи текущей оценки приводит к возможности-прогнозирования оценки и ковариационной матрицы ошибок непосредственно с помощью вычисления матрицы переходов для данной линейной системы. Когда эти приемы используются для произведения оценок в нелинейных системах, реализация называется расширенным фильтром Калмана (РФК).

Некоторые модели нелинейных систем могут демонстрировать хаотическое поведение, в частности, системы Дуффинга и Лоренца являются двумя широкоизвестными примерами.

Хаотические системы в целом являются гладкими, и обладают бесконечным множеством неустойчивых периодических орбит. Хаотические системы - это детерминированные системы, которые демонстрируют беспорядочно меняющееся поведение. Траектория хаотической системы остается в некотором открытом множестве, содержащем три или более точек равновесия. Это множество называется странным аттрактором; некоторые свойства аттрактора могут быть представлены наглядно на графиках фазовой плоскости; и некоторое поведение может быть предсказано по анализу показателей Ляпунова системы.

Хаотические системы обладают чувствительностью к начальным условиям. Если начальные условия для двух траекторий отличаются на любое 8>0, через некоторое время траектории всегда расходятся. Хаотические системы непредсказуемы; они получают информацию со временем в том смысле, что зашумленные наблюдения состояния в более поздние моменты времени содержат больше информации, чем зашумленные измерения, сделанные ранее, и экстраполированные на более поздние моменты времени.

РФК конструируется с использованием нелинейного варианта передатчика в качестве модели. Оценка состояния прогнозируется путем численного интегрирования, а линеаризованная модель системы используется для прогнозирования второго смешанного момента, вычислений коэффициента усиления фильтра и на шаге коррекции. Данная структура распараллеливает аппаратную реализацию с приемником, работающим в режиме реального времени, в то время как измерения обрабатываются по мере их поступления. Структура фильтра изображена на рис. 2.

Следует заметить, что в связи с конечной точностью вычислений, невозможно точно измерить состояние хаотической системы; данная ошибка измерения помогает определить ковариационную матрицу шумов измерения. Аналогично, поскольку состояния не известны строго, они не могут быть точно прогнозируемы во времени, а эта ошибка позволяет определить ковариационную матрицу шумов процесса. Шум процесса необходим для того, чтобы коэффициент

Синхронизация хаотических систем с помощью РФК

Расширенный фильтр Калмана

Рис. 2. Синхронизация с помощью РФК

усиленияфильтра Калмана не становился слишком мал в устойчивом состоянии, но не оправдывает требования в случае ошибок моделирования. Эти ошибки моделирования далее возрастают при использовании алгоритма численного интегрирования, который вызывает дополнительное несоответствие между процессами, моделируемыми в передатчике и приемнике. На рис. 3 и рис. 4 приведены результаты расчета ошибок оценивания состояния при синхронизации двух систем в отсутствие шума и при его наличии.

Другим критическим параметром является скорость коррекции фильтра; поскольку обе системы получают информацию, приемник разойдется с передатчиком в течение периода прогнозирования между коррекциями. Эта скорость расхождения не являет постоянной, поскольку траектория двигается около другой траектории.

В физическом смысле система подвергается изменению от неустойчивой системы до сла-бодемпфированного осциллятора и обратно несколько раз в течение некоторого интервала времени. Это происходит, поскольку траектория пересекает в обоих направлениях сепаратрисы различных точек равновесия, что позволяет объяснить сложную динамику, наблюдаемую в хаотических системах.

Ошибка оценивания состояния 1

Ошибка оценивания состояния 2

.05

-.05

-.5

Л - ПА

'Л/“

10

20 30

10

сигнал

I

ю

30

время, сек

20 30

время, сек

Ошибка оценивания Передаваемый

состояния 3

Рис. 3. Синхронизация двух систем в отсутствие шума

Рис. 4. Синхронизация двух систем в присутствии шума

Если интервал времени между измерениями короче интервала времени, необходимого для значительного расхождения оценок, РФК будет отслеживать передатчик при условии корректности модели и целесообразной настройки. Невозможно установить точные границы данного интервала времени, так как он одновременно зависит от динамики системы, длины машинного слова, метода интегрирования, шумов процесса и измерения, любых ошибок моделирования, которые могут присутствовать в приемнике; а также связан с наибольшим показателем Ляпунова.

Единственно надежный подход для определения длины периода прогнозирования в настоящее время - это последовательное моделирование со все меньшим размером шага и более строгой точностью интегрирования до тех пор, пока результаты двух разных моделирований не будут отличаться допустимо мало. Численное интегрирование хаотических систем является открытой областью исследований на данный момент.

Данный итеративный подход элементарен в использовании и надежен, поскольку он реализуем при современном развитии аппаратного и программного обеспечения. На рис. 5 приведены зависимости ошибок оценивания состояния при синхронизации рассогласованных систем.

Другое соображение связано с субоптимальностью коэффициента усиления фильтра Калмана. Поскольку ковариационная матрица прогнозируется с использованием линейной систе-

мы, она не точна, и как следствие, коэффициент усиления фильтра Калмана и последующая коррекция также не точны. Это может привести к расхождению фильтра через несколько итераций. Характер измерений может привести к потере наблюдаемости линеаризованной системой, что ведет к потере устойчивости ковариационной матрицы. В результате коэффициент усиления фильтра Калмана для ненаблюдаемых состояний становится равным нулю, фильтр прекращает корректирование этих состояний и уходит от истинного значения. Второй тип расхождения может произойти, если ковариационная матрица становится плохо обусловленной, и состояние, связанное с наименьшим ковариационным элементом, корректируется по очень большому, но неточному измерению. Коррекция принимается, поскольку связанная с ним ковариация мала, но это приводит к «уходу» других состояний. Третий тип расхождения порождается субоптимальным характером коэффициента усиления фильтра Калмана; если нелинейная система подвергается некоторым резким и немоделируемым изменениям, фильтр никогда не сможет в полной мере догнать основную нелинейную систему, и постепенно уходит от истинных значений состоянии.

Ошибка оценивания состояния 1

Ошибка оценивания состояния 2

.05

-.05

І -А Л Л Л лЛ Л -Л /V г

щгV у пг V ГУУ

20

30 0

время, с

Ошибка оценивания

-.5

Л .А Д Л А Г

\Л/V \ /УУ

Передаваемый

сигнал

10 20 30

время, с

Рис. 5. Сихронизация в рассогласованных системах

Расходимость фильтра, тем не менее, можно ликвидировать, вводя дополнительные измерения для восстановления истинных значений состояний. Матрица наблюдаемости для линеаризованной системы Дуффинга имеет вид:

1 0 а-рх\ 8

0 1 00 00

-8

У

0

а - рх1 + 82 - у8 уо

Она имеет полный ранг, т.к. столбцы всегда линейно независимы, если параметры у, 5, ю все не равны нулю. Благодаря этому исключается потеря наблюдаемости как источник расхождения.

Второй и третий типы расхождения могут быть исключены при использовании стратегии, называемой проверкой остатка, когда проверяется приемлемость коррекции в показателях соответствующих элементов ковариационной матрицы. Если ри - элемент на п -той диагональной

позиции ковариационной матрицы, для разрешения коррекции должен выполняться следующий критерий:

\[г

Для его выполнения требуется, чтобы / -й элемент остатка лежал в пределах п среднеквадратических отклонений от математического ожидания. Если проверка пройдена, коррекция разрешается. В противном случае коррекция отклоняется, и повторяется шаг прогнозирования. Поскольку ковариационная матрица всегда возрастает во время прогнозирования, когда учитывается шум процесса, в конечном итоге ковариационная матрица станет достаточно большой для принятия измерения, и фильтр снова продолжит слежение. Эта стратегия в общем случае обеспечивает более мягкое повторное вхождение в синхронизм нелинейной системы, чем вынужденный сброс фильтра в случае невыполнения проверки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in Chaotic Systems, Physical Review Letters, Volume 64, Number 8, 19 February 1990, pp.821-824.

2. Tang Y.S., Mees A.I., Chua L.O. Synchronization and Chaos, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol. CAS-30, No.9, September 1983.

3. Ефремова Е.В. Передача информации с помощью динамического хаоса. Генерация и разделение сигналов. Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. - М., 2003.

4. Аливер В.Ю. Применение расширенного фильтра Калмана для демодуляции хаотических колебаний: Дисс. канд. техн. наук. - М., 2005.

SYNCHRONIZATION IN CHAOTIC SYSTEMS USING THE EXTENDED KALMAN FILTER

Shakhtarin B.I., Mitin S.V.

Synchronized chaotic systems could be used for communication. Certain nonlinear, chaotic systems can be made to synchronize by using the extended Kalman filter for prediction of covariation matrix, which can be used for parameter's correction in chaotic receiver.

Сведения об авторах

Шахтарин Борис Ильич, 1933 г.р., окончил Ленинградскую военно-воздушную инженерную академию (1958), ЛГУ (1968), Заслуженный деятель науки и техники, лауреат Государственной премии, доктор технических наук, профессор кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор более 250 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов, фазовые системы синхронизации.

Митин Сергей Владимирович, 1975 г.р., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана (1998), старший преподаватель Академии ФСО России, автор 6 научных работ, область научных интересов - проблемы нелинейной динамики и хаоса, применение хаотических процессов в системах передачи информации и связи.