Нелинейное описание движения фронта реакции

УДК : 533.17

М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН

Нелинейное описание движения фронта реакции

Полная система гидродинамических уравнений, описывающих развитие гидродинамической неустойчивости фронта реакции, сведена к замкнутой системе поверхностных уравнений с использованием переменных Лагранжа, специальных интегралов движения и их аналогов. Показано, что завихренность играет ключевую роль в характере движения гидродинамических разрывов, придавая их уравнениям дифференциальный вид. В изоэнтропи-ческом приближении демонстрируется, как учесть вызванные этим движением звуковые колебания плотности жидкости.

Ключевые слова: фронт реакции, дефлаграция, гидродинамический разрыв, гидродинамическая неустойчивость, интегро-дифференциальные уравнения, гидродинамическое течение.

I. Введение

Большой научный интерес представляет поиск уравнения, описывающего химическое равновесие и движение фронта химической реакции [1]. Особое внимание уделяется присущей фронту реакции (например, пламени) гидродинамической неустойчивости Дарье-Ландау (ДЛ-неустойчиво-сти), вызванной тепловым расширением газа при экзотермическом процессе [1-8]. Действительно, газообразное топливо быстро натекает и сгорает в тонком слое газа, превращаясь вследствие сильного энерговыделения в газ с существенно большей температурой (и меньшей плотностью). Для типичных углеводородных пламен скачок плотности на фронте весьма велик: в = ри/рь = 5 —10 [1]. В результате дополнительный объём газа, порожденный тепловым расширением, толкает топливо по нормали к каждой локальной точке поверхности фронта реакции, способствуя его распространению. Понимание динамики распространения реакций позволило бы глубже понять механизм их развития и обнаружить новые эффекты и явления. Уравнение фронта экзотермической реакции (горения) получено лишь в приближении слабо искривленного фронта и / или малого теплового расширения в процессе реакции [8-11]. Прямое численное моделирование подобных процессов сильно затруднено вследствие разнообразия характерных химических и гидродинамических размеров, (10-2-10-3) мм и (0,1 -1) м соответственно [6, 12].

В данной работе, вытекающей из нашей предыдущей работы [13], полная система гидродинамических уравнений, описывающих развитие гидродинамической неустойчивости фронта реакции в двумерном / трёхмерном потоке, сведена к замкнутой системе поверхностных уравнений. Данная процедура проведена с использованием переменных Лагранжа, специальных интегралов движения и их аналогов. При этом показано, что завихренность играет ключевую роль в динами-

ке гидродинамических разрывов, придавая уравнениям дифференциальный вид. В изоэнтропиче-ском приближении демонстрируется, как учесть вызванные этим движением колебания плотности жидкости, позволяющие учесть влияние звука на развитие (или затухание) ДЛ-неустойчивости. Полученная система уравнений согласуется с ранее известными аналитическими решениями, полученными в частных случаях.

II. Неустойчивость Дарье—Ландау в 3Ю-потоке

II.1. Бесконечно тонкий фронт

Рассмотрим распространение бесконечно тонкого, слабо искривленного фронта реакции в трёхмерном (3D) потенциальном внешнем потоке (рис. 1). При этом u = Vf и = 0. Обозначим все величины впереди и позади фронта индексами «—» и «+» соответственно. Предположим, что газодинамика горения характеризуется пространственным масштабом R (это может быть радиус трубы, ширина двумерного канала, радиус сферической камеры сгорания и т.д.). Для удобства, аналогично работе [11], введём безразмерные величины: скорость u = v/Uf, координаты r = x/R и давление P = (П — nf )/pf Uf, где pf и nf — соответственно плотность и давление в топливе бесконечно далеко от фронта, а Uf — скорость пламени с плоским фронтом. Время t обезразмерим величиной R/Uf. Течение газа предполагается несжимаемым и невязким. Тогда гидродинамические уравнения принимают вид

du „ / „ u2

— - « х w + V i ÖP + —

0,

du

~m

= Vx [u x u], div u = 0,

где © = 1 в топливе и © = в = р_/р+ в сгоревшем газе. Граничные условия на поверхности фронта,

следующие из законов сохранения, будут выглядеть следующим образом [11]:

и+ — и_ = (в — 1)п,

Р+ — р_ = 1 — в, V = 1 - ип-,

где в — скачок плотности, п — внутренняя нормаль и V — проекция скорости фронта на отрицательное направление вектора п. Скорости ип_ = дф/дп = 1 — V и ит = дф/дт связаны между собой формулой Грина [14]:

2пф

=

_}_д

+ ф(Гд )п8

К — т\3 _

СБ Г).

Рис. 1. Распространение фронта реакции в ЗЮ-случае

Тогда из уравнений гидродинамики (1)--(3) и условий сшивки (4)-(6) следует, что для любой точки на фронте

Сф ~~Л

+ ип-+ - и;г_) + Р = 0,

2Ч т в1

[п х УР ],

где ш — завихренность сразу за фронтом реакции, и для простоты в данном разделе полная производная определена по формуле [15-17]:

с1 _ д д

Л дЬ дп

Пусть для определённости выполняются общие уравнения гидродинамики и химической кинетики. Пламя будет тонкой областью, где физические величины претерпевают значительные изменения. Перейдём взаимно однозначно к лагранжевым переменным (то,Ь) (то есть к разметке):

ст

~л

= и(т,Ь), т = т(то ,Ь), то = то(т,Ь), то\4=о = т.

Тогда согласно формуле (6) на границе области сгоревшего газа «+»:

Лг0 _ дгр удг0

Л дЬ дп

дгр дт

дгр дт

в

—(и

дгр дп

Рассмотрим также общее уравнение неразрывности:

др

——Ь и • Vр + р • с11у и = 0. дЬ ' '

Переходя в нём к переменным Лагранжа, находим [18]:

Ср Ль

то есть

V д(х,у,г) Ср

д

Ль + А

&А

Ль

дт

Р-А = р-—Грр(гр).

= 0,

Якобиан преобразования переменных (10) Д ~ в внутри фронта ограничен. Следовательно, в пределе 5 ^ 0, где 5 — толщина фронта, область пламени становится бесконечно тонкой и превращается в поверхность разрыва как в пространстве (т,Ь), так и пространстве переменных Лагранжа (то,Ь).

Завихренность (9), образующаяся за фронтом, зависит от кривизны фронта пламени и происходящих в нём внутренних процессов [2, 19]. Поэтому найти ее, не решая общих уравнений теории горения, крайне затруднительно. Однако можно в некотором смысле обойти эту проблему, направив время в обратную сторону. Мы знаем, что в 3D-случае уравнения Эйлера (1)-(3) допускают интегралы движения ш • У то = шо(то), см. приложение А. Тогда в системе координат (п,т\,т2), на границе области сгоревшего газа «+» должно выполняться соотношение

дто дто

--1- = ио(Гр),

дт\ дт2

так как из формулы (9) следует, что на фронте шп+ = 0, см. [13]. Исключая дхо/дп, дуо/дп и дхо/дп из уравнений (11) и (15), получаем

'/.г, Лу о (¡г о

<и М М

дхп оуо дгр

>)Т\ дт! дт\

дхр оу 0 дгр

дт2 дт2 дт2

+ в = 0.

Выразив из уравнения (16) то через ш\, ш2, которые в свою очередь зависят от давления на фронте согласно формуле (9), и подставив результат в (17), чтобы найти Р, получим в итоге замкнутую систему уравнений на поверхности фронта для определения потенциала ф и скорости пламени V (уравнения (8), (9), (16) и (17)).

и

т

и

т

т3 — т

ш = —

Физический смысл этой системы состоит в следующем. Пусть реакция (пламя) распространяется из некоторой точки зажигания. В некий момент времени «фотографируется» распределение завихренности за фронтом. Тогда с помощью уравнений (8), (9), (16), (17) можно описать всю эволюцию фронта реакции: от момента зажигания до момента фотографирования. В противном случае неизвестна была бы функция ^о(го) на поверхности фронта, поскольку он, захватывая все новые и новые частицы, удалялся бы от области, где она определена. Если в некоторый момент времени мы имеем ^о(го) = 0 во всей области сгоревшего газа, то из уравнения (16) следует, что ш(г,Ь) = 0 во все предыдущие моменты времени. Тогда скорость пламени V должна была бы определяться одновременно двумя разными условиями: с одной стороны, формулой Франкеля [10]:

V = 1 -

J-1)

2тг

1

dS¡

Í,

а с другой стороны, системой уравнений (8), (9). Это невыполнимо, и, следовательно, завихренность всегда должна образовываться за фронтом, за исключением тривиального случая в =1, что подтверждается прямыми численными экспериментами [6, 7, 20]. Этот простой пример показывает, что не все решения гидродинамических уравнений спереди и сзади фронта можно согласовать с условиями на границе, то есть не всякую задачу Коши можно здесь поставить.

Вместо перехода к переменным Лагранжа (го,£) (10), можно использовать более общее преобразование (А.5). Если же = 0, то принципиально ничего не изменится. Изменятся только формулы (11), где добавится слагаемое Л • .

11.2. Фронт конечной толщины

Происходящие внутри пламени процессы можно учесть, вводя малые поправки в граничные условия на поверхности фронта [19]:

и+ — и_ =

Р+ — Р_ = 1 — в + 5Б,

V = в — ип+ + ¿С,

где А, Б, С зависят от в, и_, Р_, кривизны фронта и внутренних параметров газа. В отличие от предыдущего случая здесь шп+ = ¿[V х А]п = 0 и порядка ¿.

Рассмотрим точку М(г,Ь) на поверхности пламени, движущуюся со скоростью —пУ + ит + Лит (рис. 1). Перейдём взаимно однозначно в области сгоревшего газа к переменным начального положения частиц газа и времени (го,£) по формуле

dr ~~dt

= u(r,t) + A(r,t)  u(r,t),

где r = r(ro,t) и ro = r0(r,t), ro|í=o = r, а A(r,t) выбрано следующим образом:

u(r,t)  VA(r,t) = 0 в области сгоревшего газа и

A(r,t)  ш.

n+

-в-SC

на границе сгоревшего газа. Из теории дифференциальных уравнений известно, что система (23), (24) имеет единственное решение. Из уравнения (24) всегда можно выразить Л(г,£) на поверхности фронта реакции. В системе координат (го,£) граница прореагировавшего газа не движется. Действительно, пусть до(го^) =0 — уравнение движения фронта реакции. Тогда скорость фронта равна

Vo+ = —

ffot IVoffol |Vg| IVoffol

gt +

(V + un+ + Au,

,Jn+)

0.

Аналогично уравнению (11), для точки М(г,Ь) на границе прореагировавшего газа имеем

¿го дго т^дго , / , Л ^ дго

~д7

- _ у—

dt dt dn

+ + 0,

где

d д т д д . Jt = dt-v7b + ^ + x^-lTr

— полная производная по времени для движущейся точки M(r,t) [15-17]. В приложении A показано, что и в этих переменных интегралы шVio и Д, где i = x, y, z, не зависят явно от времени, то есть Д = 1, ш  Vio = uo¿(ro), где uo(ro) — распределение завихренности в начальный момент времени. Исключая dxo/dn, dyo/dn, dzo/dn из формул

дг0 дт

d

d

1,

дг° , дг° , дг°

дт\ дт2

dn

получаем выражение

дг0 дт\

дгр дт2

uo

К уравнениям (8), (9) в этом случае добавляются поправки порядка S/R:

dp

~dt

+ (1+SC—SAn)i

-~\

0 - 1

ш+

[n x VP-] + S^(A,B,C),

где Шп+ = ¿[V х А]п.

Таким образом, система уравнений (26), (30)-(32) должна определять эволюцию фронта реакции. Ее преимущество состоит в том, что она реально описывает движение поверхности в терминах самой поверхности, а недостаток — что Л ~ 1/¿, то есть сильно зависит от конкретных свойств газовой смеси.

n

Предположим, что перед фронтом и за ним выполняется условие изоэнтропичности течения, а характерная скорость потока много меньше скорости звука. Тогда можно учесть сжимаемость газа, перейдя к новым переменным, при этом заменив уравнение (23) на

Хш  Vp + рш  VX = 0.

В этом случае вместо интегралов движения ш  Vio и Д следует использовать интегралы ш  Vio/p и рД (см. приложение A) и однозначную связь на поверхности фронта между давлением и плотностью P = Ps (р), определяемую уравнением состояния. Если перед фронтом s = const, то эта зависимость сразу следует из уравнения состояния топлива. За искривленным фронтом происходит неравномерное нагревание продуктов горения, но выполняется соотношение s = P(1 — I/O) + const (это следует из второго начала термодинамики и закона Гесса). Если данное выражение для энтропии подставить в уравнение состояния прореагировавшего газа P = P+ (p,s), то мы также получим однозначную связь между давлением и плотностью на границе пламени: P = P+(p), что и позволяет учесть образующиеся звуковые колебания. Выпишем уравнения для этого случая. C учётом изменения плотности формулы (28) и (29) примут вид

dro dro dro

UJn^T- + Wl—- + LV2~—

дт1 дт2

p

dn

po

д

p

шo

д(т\,т2,п) ро(то)'

Интересно отметить, что, исключая дхо/дп, дуо/дп и дго/дп из формул (34) и (35), также получим уравнение (30). При этом отношение плотностей р/ро(то) исчезнет. С условиями сшивки на фронте (19)--(21) надо теперь учитывать зависимость от температуры и плотности. Уравнения же движения фронта пламени остаются прежними: (26), (30)-(32). При этом незначительные звуковые изменения плотностей газа перед и за фронтом определяются по формулам Р = Р_з (р) и

Р = Р+(Р).

11.3. Влияние внешнего потока

Рассмотрим распространение бесконечно тонкого, слабо искривленного фронта реакции во внешнем вихревом течении газа (рис. 1). При этом рассмотрим точку М(х,у,г) на поверхности пламени, движущуюся со скоростью —пУ + ит. Из уравнений Эйлера (1)-(3) в областях «—» и «+» и условий сшивки (4)-(6) для этой точки следует

du\

~dT

d

dt

9 í

du2 d

dt

O1

(Ш1- —

dV

-(1-1/) — , (37) дт2

diú\_ du)2-

дт1

дт2

dujn dt

dui du2 дт1 дт2

в [duJí+ duJ2+

дт1 дт2 d

dt

O

дт1

dT2

.

Формула (9) для давления на фронте при этом обобщается следующим образом:

0ш+ — ш- = —(O — 1)[n x VP].

Предположим, что течение газа таково, что шп = 0. Чтобы замкнуть данную систему, необходимо ещё как минимум четыре независимых уравнения. Для этого перейдем взаимно однозначно в областях «—» и «+» соответственно к переменным начального положения частиц газа и времени (то,Ь) по формулам

dr ~dt

= u(r,t) + \±(r,t)  ш(r,t),

где r = r(ro,t) и ro = ro(r,t), ro|í=o = r, а X±(r,t) выбрано следующим образом:

ш(r,t)  VX± (r,t) = 0 в областях «—» и «+» соответственно,

X-(r,t)  Шп

на границе топлива и

А+

1

=O

на границе сгоревшего газа. Из теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка известно, что система уравнений (41)--(44) имеет единственное решение. Из уравнений (42)-(44) можно определить Х±(т,Ь) и дХ±(т,Ь)/дп на поверхности фронта реакции. Аналогично уравнению (25), в системе координат (41) границы исходного и прореагировавшего веществ неподвижны. Точке М(т,Ь) будут соответствовать две различные точки М_(то_ ,Ь) и М+(то+ ,Ь), движущиеся по внешней и внутренней стороне поверхности и совпадающие в начальный момент. Тогда из уравнений (41)-(44) их координаты описываются формулами

dr0± dt

dro± dr o±

--V —--h uT

dt

dn

dr0± дт

~ ( A±-T± • ^ J •

Полную производную в уравнении (45) определим для простоты по формуле

С д д д

л = т-уЖг + и^1Гт

O

= — ш

n

ш

n

Кроме того,

— ( дго± \ dt \ dn J

+и . —

д_ (дг0± \ _ уд2г0± |

dt I dn ) dn2

dui du2 дХ±

т;--Н т;--1—Ö—<un —

dTi дт2 dn

-Х±

дХ± dn

du;i± ^ да>2=|Л A ¿b'o± í _ dun± дт-i дто J J dn \ " 9ri

ui± - Х±

dr0± dn J дт\

+

dun± ,

--^--h

dT2

дХ± dw2± \ dr0±

H—-—+ А±-

dn

_ (Х±Шт± • .

дп J дто у т дтдп)

Аналогично предыдущему пункту, в переменных (41) интегралы ш  Vio и Д не зависят явно от времени, то есть Д = 1 и ш  Vio = шoi(ro). В системе координат (n,Ti,т2) на границе пламени имеем

d

1,

^о±

Oro+ dro+ dro±

--h --h —

dn от\ дт2

В результате получим замкнутую систему (36)-(39), (45), (47)-(49) для определения V. Требование un = 0 здесь существенно. Последнее замечание предыдущего пункта относительно учёта влияния температуры и плотности остаётся в силе и здесь.

III. Неустойчивость Дарье—Ландау в 2Ю-потоке. Адиабатическое приближение

В этом разделе, не ограничивая общности, мы рассмотрим распространение двумерного (2D) бесконечно тонкого, слабо искривленного фронта экзотермической реакции (пламени) в потенциальном внешнем потоке (рис. 2). При этом течение газа вне фронта снова предполагается несжимаемым и невязким, но допускается неравномерное адиабатическое нагревание прореагировавшего вещества. Тогда гидродинамические уравнения принимают вид [2]

ди „ / „ u2

ди г ,

— = V х [и х ujJ,

0,

div u = 0,

ös dt

+ u  Vs = 0,

где и — поле скоростей, ш — завихренность, © — безразмерная температура, причём в = 1 в топливе и © = в = р_/р+ в сгоревшем газе, а я — энтропия газа.

Рис. 2. Фронт реакции в 2Ю-случае

Граничные условия на поверхности фронта, следующие из законов сохранения, имеют вид (4)-(6) [11]. Скорости ип_ = др/дп =1 — V и ит = др/дт связаны между собой 2D-формулой Грина [14]:

dy

dn*

nV(r,t) = ln |rs - r\ -p(rs,t)n

¿1

Тогда из уравнений гидродинамики (50)--(53) и условий на фронте (4)--(6) следует, что для любой точки на поверхности фронта реакции

^+Un- + \{ul-ul_) + P = 0,

Q _ 1

U) =--— [n x VP]

в - 1 dP

— 'к-

Для простоты здесь, как и в разделе I.1, полная производная определена по формуле [15-17]

d _ д д dt dt dn Предположим, что перед фронтом энтропия = const. Из второго начала термодинамики и закона Гесса для любой точки на фронте также находим [2]

1Q

P + const.

Перейдём взаимно однозначно к лагранжевым переменным начального положения частиц газа и времени (го^) (то есть к разметке) (10). Аналогично разделу 1.1, в пределе бесконечно тонкого фронта область реакции является поверхностью разрыва как в пространстве (г^), так и пространстве переменных Лагранжа (го^).

Рассмотрим уравнения Эйлера (50)-(53) в области сгоревшего газа. Из уравнений (51) и (53) имеем в области за фронтом в пределе бесконечно тонкого фронта

ди ди ди du dt x дх y ду dt L

= 0 ^ u = ио

s

+

= 0 ^ в = во(жо,уо),

дв дв дв ¿в

дЬ х дх у ду Аь

где ш0(х0,у0) и в0(х0,у0) — начальное распределение завихренности и энтропии в области сгоревшего газа, а ¿/¿Ьь — производная по времени в переменных Лагранжа (10).

Из уравнений (10), (15), (58) и (59) для любой точки М(х0(х,у,Ь),у0(х,у,Ь)) на задней поверхности фронта, движущейся со скоростью -иУ (рис. 2), имеем

¿ш ~А ¿в ~А

дш0 ¿х0 дш0 ¿у0 дх0 А дв0 ¿х0 дх0 А

+

ду0 А

дв0 ¿уо ду0 А

с1х о дха 0

А д1 дп т дт п дп

дхо_ _ ддх0 т дт ди1 ду0

<1уа _ дуо _ у^Уо _ _и дуо _ , у\дУ°

А д1 дп т дт п дп

-и _ ддуо

т дт ди

д

дх0 ду0 дт ди

дх0 ду0 ди дт

1.

) _

д

Мы видим, что система (60)-(64) линейна относительно величин ¿х0/А, ¿у0/А, дх0/ди и ду0/ди. Исключая их из (60)-(64), находим

дшо дшо

дхо дуо

дзр дьо

дхо дуо

1 0

0 1

0 0

0 0 в 0

дуо ' дт

0 0 0

в

дхп дт

с1ш сИ (/б сИ

~итТ 1

0.

Фактически условие (65) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения ¿Р/А вдоль фронта, которое может быть решено аналитически. Приведём вид и решение этого уравнения. После подстановки (56) и (57) в выражение (65) находим уравнение для ¿Р /А:

дшо дшо

дхо дуо

дво дзр

дхо дуо

1 0

0 1

0 0

0 0 (0-1) д в дт

0 0 (е-1 в

в 0 —ит-

0 в —и,т-

дуо дхо 1

дт дт

йг

'¿М

дт

которое может быть представлено в виде

д (¿Р\ А, ,с1Р , д-тЫ )+Мт)-+В{т)=0,

где А и В определяются из (66). Аналитическое решение уравнения (67) имеет вид

дР

-А{Т)

ехр -

А(т')в,т' х

х С-

В(т') ехр(

А(т")ат")ат'

где постоянная С определяется из условия

где Ь — длина фронта реакции в некоторый момент времени. Производные ¿х0/А и ¿у0/А тогда уже могут определяться, например, по формулам

¿х0 ~~А

Д. Д '

Луо А

Д,

д

где

д =

дшо дш

_о

дуо дво

дхо

дэо _

дхп дуп

1 0

0 1

0 0

0 0

в 0

0 в

дх

<а

с1в (И

дшо дуо

дво

дуо 0 1

0 0

0 0

в 0

0 в

Ду

дшо дхо

дво

дхо 1 0

с1ш М (/б сИ

дхо

-V ^¿о п

«т 9т "

0 0 0 0 в0 в

Таким образом, зная Ш0(х0,у0) и в0(х0,у0), из уравнения (65) можно определить давление Р, а значит, пользуясь потенциальностью потока газа перед пламенем, из уравнений (54)-(56) можно также вычислить скорость фронта У во все предыдущие моменты времени.

Однако заметим, что о помощью данной системы уравнений возможно моделирование движения фронта пламени и в прямом направлении времени. Действительно, пусть в лагранжевых координатах на двух последовательных, близко расположенных слоях нам известны величины Ш0(х0,у0) и в0(х0,у0) (рис. 3). Тогда по формулам (66), (70) и (71) мы находим положение фронта реакции в следующий момент времени и распределение давления Р на нем. Зная давление, мы получим завихренность и энтропию по формулам (56) и (57) в этот момент на новом слое. На предыдущих слоях эти величины в переменных Лагранжа остаются неизменными, то есть мы тогда будем знать Ш0(х0,у0) и в0(х0,у0) на двух последовательных слоях и в следующий момент времени, и т.д.

т

т

0

0

т

Рис. 3. Распространение пламени в переменных Лагранжа

В пункте I.1 показывается, что не все решения гидродинамических уравнений спереди и сзади фронта пламени можно согласовать с условиями на границе, то есть не всякую задачу Коши можно здесь поставить. Это означает, что функции ^о(жо,уо) и so(xo,yo) не могут быть произвольными, в частности, нулевыми для сильно искривленного фронта. Предположительно, в них зашифрована информация о процессах, происходивших внутри и вне пламени до момента их фиксации. Если в этом смысле функции wo(xo,yo) и so(xo,yo) заданы корректно, то мы можем однозначно обратить во времени пламя вплоть до момента их зажигания.

Пусть в некоторый момент времени фронт пламени, распространяющийся в потенциальном внешнем потоке, приобрел цилиндрическую форму. При этом на его поверхности скорости un- = const, uT = др/дт = 0, а внутри фронта в момент фотографирования шo(xo,yo) = 0, но из-за особенности тепловыделения при химической реакции горения so(xo,yo) = const (рис. 4). Раскладывая определитель (66) по первой строке, находим, что вдоль фронта dP/dt = const. Если в момент фотографирования на поверхности фронта было P = Po = const, то P = const будет и во все предыдущие моменты времени. Тогда из уравнения (55) с учётом начальных данных у скорости u± вытекает, что также вдоль фронта будет dp/dt = const и р = const и в обратном направлении времени на поверхности пламени всегда будет un- = 1 — V = const, uT = др/дт = 0, то есть он будет двигаться цилиндрически. В формулах (70) в этом случае возникает особенность, то есть проследить проникновение частиц газа через фронт горения от момента зажигания до момента фотографирования мы не сможем. Как мы видим, это и не требуется. Если учесть конечную толщину фронта реакции с помощью поправок в условия сшивки (4)-(6), то мы можем наблюдать неустойчивость и этого цилиндрического фронта, например, благодаря тангенциальной теплопроводности внутри пламени.

Рис. 4. Цилиндрическое пламя в 2Ю-потоке

Отметим, что формально полученная система уравнений не сводится к ранее полученным в предположении потенциальности потоков перед и за фронтом реакции уравнениям Сивашинского [9] и Франкеля [10]. В случае, если wo(xo,yo) = 0, из уравнений (65) и (66) следует, что вдоль фронта dP /dt = const и P = const. Тогда движение фронта будет описываться системой (54), (55) c постоянным давлением, отличной от упомянутых выше уравнений. Это связано с тем, что за искривленной поверхностью фронта всегда образуется завихренность, но оба подхода в данном предельном случае её не учитывают.

IV. Заключение

В данной работе с помощью специального преобразования переменных в 3D-потоке мы свели полную систему гидродинамических уравнений по объёму к системе уравнений на поверхности. Эти уравнения могут значительно упростить численное моделирование фронта горения. Во-первых, они уменьшают размерность задачи на единицу. Во-вторых, самый малый масштаб, который можно разрешить при их моделировании, много больше толщины этого разрыва. Особенно это важно для неустойчивости Дарье-Ландау, где процессы, происходящие внутри пламени, крайне сложно моделировать на больших временных и пространственных масштабах [6, 8, 12]. В-третьих, они выведены в виде, независимом от выбора системы координат и могут быть применены в любых пространственных геометриях. В-четвертых, помимо скорости поверхности они позволяют определить, как меняются на разрыве все остальные параметры, характеризующие течение (такие, как u, P, ш, р, s и т.д.).

В данной работе мы выводим в гидродинамическом приближении соответствующие уравнения фронта реакции (пламени) и в 2D-потоке с минимальными ограничениями. Смысл исследования состоит в следующем: если в некоторый момент времени известно распределение завихренности в области за фронтом, то можно полностью проследить эволюцию этого фронта от момента зажига-

ния до произвольного момента времени. Это не означает, что мы определим законы образования этих величин в процессе эволюции, например, пламени. Однако отсюда можно получить важную информацию, касающуюся реальных процессов, происходящих внутри фронта реакции.

V. Приложение А. Интегралы движения

Рассмотрим уравнения идеальной несжимаемой жидкости в 3D-случае

ди г ,

—- = V х \и х lo , dt L J

div u = 0.

Рассмотрим также лагранжевы переменные (то есть разметку) (10). Умножим обе части уравнения (А.1) на Ух0. Тогда

дш

Уж0 • = Ужо • V х [г/, х ш] =

= — ё1у(Ух0 х [и х ш]) = — ё1у(и(ш • Ух0))+ + ё1у(ш(и •Ух0)) = —и Ух0) + ш • У(и•Ух0) =

= -и  • Уж0) - ш • V ^^^ .

При этом использовано свойство переменных Лагранжа:

дхо

~дГ

дхо дх

дхо

дхо дх

0.

Следовательно,

д d

— (и!  Vxn) + и  V(u>  Vxn) = — {íO  Vxn) =0 =4> дt dt

=>

и • Vxo = иох(хо,уо,хо),

где ¿/¿Ь — производная по времени в лагранже-вых переменных, и>0(х0,у0,20) — начальное распределение завихренности ш. Аналогично,

ш • Уу0 = ш0у(х0,у0^0), ш • Ух0 = ш0г(х0,у0,^).

Из уравнения неразрывности (А.2) следует [18]: и = 0

=>

± dA Д ' dt

f д

+

+

V д

= 0, то есть

d

1.

0,

Выражая и с помощью уравнения (A.3), получим также их(хо,уо,хо,Ь) = ио • Vox, иу(хо,уоХо,Ь) = иоУоу, uz(хо,уо,хо^) = ио • Vox [2]. Рассмотрим ещё общее уравнение неразрывности:

др

дЬ

+ и • Vр + р • div и = 0.

Переходя в нём к переменным Лагранжа, находим [18]:

(д (и

dp

dt д

y,z) d{x,Uy,z) д

д

0,

dp р dt А

dA

IF

р• Д = р•

d

ро

— интеграл движения. В случае, если р = const, но s = const (то есть существует однозначная связь между давлением и плотностью P = Ps (р)), соответствующими интегралами будут

ш • Ухо ш • Ууо ш • VZq

р

р

р

Такие же результаты можно получить, если вместо лагранжевых переменных использовать более общее преобразование переменных

dr

~dt

= и(г,Ь) + A(t) •и(г,Ь), r = г(го,t),

го = го(г,ь), го|(=о = r,

где A(t) — некоторая функция от t. Аналогичными рассуждениями можно установить, что в идеальной жидкости в этих переменных величины и • Vxo, и • Vyo, и • Vxo и якобиан этого преобразования Д не зависят явно от времени. Вместо A(t) можно взять А(х,у,х,Ь), так что и(х,у,х,Ъ) • VA^^x^) = 0, дабы выполнялось условие div^ + Аи) = 0. Выражая также и, получим: их(хо,уо,хо,Ь) = ио • Vox, иу(хо,уо,хо,Ь) = ио • VoУ, uz(хо,уо,хо,Ь) = ио • Vox. Аналогично, если р = const, но s = const (то есть опять же существует однозначная связь между давлением и плотностью P = Ps(р)), можно в формулах (A.5) взять А(х,у,х,Ь) так, что Аи • Vр + ри • VA = 0. Тогда для данной замены переменных соответствующими интегралами будут

• Vxo и • Vyo

р

р

Vzq

Р

рД.

Фактически здесь требуется пренебречь в формуле (А.1) только слагаемым VрXV Р/р2, которое учитывает сжимаемость жидкости. При сильно дозвуковом движении фронта реакции, типичном для дефлаграции, сжимаемость вещества обычно можно пренебречь, что делает вышеизложенный анализ строгим.

Литература

1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либро-вич В.Б., др. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980.

2. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Гидродинамика. Т. VI. — М.: Наука, 1986.

то есть

и

и

3. Williams F.A. Combustion Theory. — Benjamin, CA, 1985.

4. Law C.K. Combustion Physics. — Cambridge University press, NY, 2006.

5. Pelce P., Clavin P. Influence of hydrodynamics and diffusion upon the stability limits of laminar premixed flames // J. Fluid Mech. — 1982. — V. 124. — P. 219-242.

6. Bychkov V.V, Golberg S.M., Liberman M.A. [et al.]. Propagation of curved stationary flames in tubes // Phys. Rev. E. — 1996. — V. 54. -P. 3713-3726.

7. Kadowaki S. The influence of hydrodynamic instability on the structure of cellular flames // Phys. Fluids. — 1999. — V. 11. — P. 3426-3441.

8. Bychkov V.V. Nonlinear equation for a curved stationary flame and the flame velocity // Phys. Fluids. — 1998. — V. 10. — P. 2091-2114.

9. Sivashinsky G.I. Nonlinear analysis of hydrodynamics instability in laminar flames. Derivation of basic equations // Acta Astronaut. — 1977. — V. 4. — P. 1177-1215.

10. Frankel M. An equation of surface dynamics modeling flame fronts as density discontinuities in potential flows // Phys. Fluids. A. — 1990. — V. 2. — P. 1879-1886.

11. Bychkov V., Zaytsev M. and Akkerman V. Coordinate-Free Description of Corrugated Flames with Realistic Gas Expansion // Phys. Rev. E. — 2003. — V. 68.— P. 026312-026324.

12. Zaytsev M, Bychkov V. Effect of the Darrieus-Landau instability on turbulent flame velocity // Phys. Rev. E. — 2002. — V. 66. -P. 026310-026321.

13. Зайцев М.Л., Аккерман В.Б. К нелинейной теории движения поверхностей гидродинамических разрывов // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 135, №4. — С. 800-819.

14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — M.: Наука, 1966.

15. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

16. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. — М.: МФТИ, 1996.

17. О'хоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. — М.: Наука, 1965.

18. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1980.

19. Matalon M, Matkowsky B.J. Flames in fluids: their interaction and stability // Combust. Sci. Technol. — 1983. — V. 34, N. 2. — P. 295-316.

20. Travnikov O. Yu, Bychkov V. V., Liberman M.A. Influence of compressibility on propagation of curved flames // Phys. Fluids. — 1999. — V. 11, N. 9. — P. 2657-2666.

Поступила в редакцию 17.01.2010.