Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины

УДК 539.3

ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ИЗГИБНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ ТОЛСТОЙ КРУГЛОЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ

© 2012 Д.А. Шляхин1

Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи теории электроупругости жестко закрепленной сплошной круглой пье-зокерамической пластины. Расчетные соотношения получены методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Численные результаты позволяют проанализировать влияние толщины пластины на частотный спектр собственных колебаний, определить напряженно-деформированное состояние исследуемого элемента, а также потенциал и напряженность индуцируемого электрического поля.

Ключевые слова: вынужденные осесимметричные колебания, толстая пьезо-керамическая пластина, задача электроупругости.

Введение

Широкое использование в современном приборостроении в качестве основных рабочих элементов толстых круглых пьезокерамических пластин предъявляет дополнительные требования к точности их расчета. Задача существенно усложняется при исследовании напряженно-деформированного состояния конструкций в случае динамического воздействия, а также при учете связанности механических и электрических полей напряжений. В связи с этим можно отметить достаточно ограниченный круг работ, выполненных для тел конечных размеров в рамках трехмерной теории электроупругости. Причем большинство этих исследований посвящено определению собственных колебаний [1—4]. Результаты, справедливые для пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра конечной длины, для установившегося режима вынужденных колебаний получены в [2]. Использование базисных функций позволило понизить размерность и свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в дальнейшем решается численным методом.

В исследованиях [5; 6] методом конечных интегральных преобразований построены замкнутые решения нестационарных осесимметричных задач для короткого анизотропного пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала при смешанных краевых условиях на его торцах. Существенным пред-

хШляхин Дмитрий Аверкиевич (d-612-mit2009@yandex.ru), кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

ставляется то, что построенные алгоритмы справедливы для произвольного динамического воздействия.

В настоящей работе исследуется нестационарная осесимметричная задача теории электроупругости для круглой толстой пластины с аксиальной поляризацией материала и жестким закреплением ее цилиндрической поверхности. В отличие от традиционно используемых краевых условий в заделке, записываемых в перемещениях, рассматриваются смешанные краевые условия, что позволяет получить достаточно простые расчетные соотношения.

1. Постановка задачи

Пусть круглая сплошная пьезокерамическая пластина, занимающая в цилиндрической системе координат (г*,в,х*) область П: {0 ^ г* ^ Ь, 0 ^ в ^ 2п, 0 ^ х* ^ к}, представляет линейно-упругое анизотропное тело. Рассматривается случай, когда цилиндрические неэлектродированные (г* = Ь) поверхности элемента жестко закреплены, а на его торцевую плоскость (х* = к) действует осесимметричная динамическая нагрузка (нормальные напряжения) д* (г* ,Ь).

Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах прямого пье-зоэффекта, когда механическое воздействие трансформируется в электрический сигнал, который фиксируется путем подключения эквипотенциальных электроди-рованных торцевых плоскостей к измерительному прибору.

В общем случае дифференциальные уравнения осесимметричного движения и электростатики однородной упругой анизотропной среды в цилиндрической системе координат записываются в виде:

д2и *

дат1 дг*

да,

+

да,

дг,

тг + агг - авв

Р-

дЬ2

0,

дг

+

даг

дх* г*

Р

дОт Бт дБг дг* г* дх*

д2Ш * = 0.

Уравнения состояния анизотропного пьезокерамического тела с аксиальной поляризацией материала определяются следующими равенствами [7]:

С-

11

авв = С

12

ди * + С12 и * + С13 дШ'

дг* г* дх*

ди * + С11 и * + С13 дШ'

дг г* дх

- ез1^г

- езЕ

^ (ди * и *\ ^ дШ *

М дг* + г;) + С33^ - еззЕ ,а

\ ^ дШ* (дШ* ди*\

) + Сззд~ -еззЕг,атг = СЧ+ дх*)

(ди* и * ) дШ

V дг* г* ) )

- е1бЕт

'ди* и*

Ог = еззЕг + ез1 ( —--1--) + езз ,

дг* г* дх*

(дШ * ди *

От = епЕт + е15 ( —--+

Е = д^* Е = д Ег = -, Ет = -.

дх* дг*

V дг*

В соотношениях (1.1), (1.2) Ь — время; а^^ (г*,х*,Ь), и * (г* ,х*,Ь), Ш* (г*,х*,Ь) — соответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора перемещений (з,к = г,в,х); От (г*,х*,Ь), Ог (г*,х*,Ь),

4=

а

0

*

а

*

а

Ет (т*,г*,г),Ех (т*,г*,Ь),ф* (т*,г*,Ь) — компоненты векторов индукции, напряженности и потенциал электрического поля; р,Ста,ета — объемная плотность, модули упругости, а также пьезомодули анизотропного электроупругого материала (т, в = 1, 5); ец, £33 — диэлектрические проницаемости материала.

В результате подстановки (1.2) в (1.1) получаем систему дифференциальных уравнений и граничные условия рассматриваемой задачи теории электроупругости для установившегося режима вынужденных колебаний в безразмерной форме:

щи +

С55 д2и , (С13 + С55) д2Ш 1 (ез1 + в15) д2ф

+

+

С5V22W + У^ + ^У^ф + + А2Ш = 0,

С1

С11 дг2 С11 дтдг е33

С33 д2Ш , (С13 + С55^ди , е^,

е33

+ А2 и = 0,

^ У21

е33 2

С11 дг2 ' С11 ' дг

^ + ^ + (е31 + е'5) У £ - СЦ£11 у2ф -

2 дг2 е33 дг 2 2

е33

дтдг

д^ф дг2

Сц£зз д2ф дг2

е33

при

т = 0, 1

Б

т\т=1

Ш (0, г) < ж, и (0, г) < ж,

С11 £ 11 дф , Ц15 ( Ш + ) =

ф

е2 е33

дт

+ ез^ дт + д^) ,

при

и (1,г) г = 0,Ь

0, Ш (1, г) = 0;

С1, и + С33 дШ + дф

а**\*=^ = С1уи+сИ^+дг =9

С13^тт С33 дШ дф

г=0 = Т^3 Уи + + ^=0,

С11 С11 дг дг

С55 (Ш + ди) + Ц15 дф =0дф

+

С11 дт дг е33 дт дт

0.

В равенствах

+ 1 д___1 у 2 = — + 1 — V = — + 1

' г дт т2 ' 2 дт2 ' т дт ' дт ' т '

Соотношения (1.3)—(1.5) представляют математическую формулировку рассматриваемой краевой задачи электроупругости.

А 2 = в2Ь2р

• А Си

д*(т) я2

СГ

V?

д! +

дт2 +

а

а

2. Построение общего решения

Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований Хан-келя по координате т. Для этого равенства (1.3)—(1.5) приводятся к стандартной форме, позволяющей провести данную процедуру разделения переменных. Принимая во внимание линейность данных соотношений и теорему о суперпозиции решений, функции и, Ш, ф представляются в виде следующих разложений:

и (т, г) = /1 (т) д (т) + и (т, г), Ш (т, г) = /2 (т) К (г) + т (т, г), (2.1) ф (т, г) = /3 (т) К (г) + х (т, г) .

Кроме того, последнее условие (1.4) заменяется на равенство

= С7

Здесь К (х) = К * (х)/Сц, К * (х) - касательные напряжения, приложенные к цилиндрической поверхности пластины и определяемые в процессе решения задачи из условия отсутствия вертикальных перемещений при г =1. При этом функция К (х) должна удовлетворять зависимости

/ К (х) ¿х = - д (г) гвгг, 30 30

которая является условием уравновешенности пластины при действии осесиммет-ричной нагрузки.

В результате подстановки (2.1) в (1.3)—(1.5), (2.2), при учете соотношений

¿¡2 (г) = ¿¡з (г) =0

¿¡2 (г) _ Сце 11 ¿¡з (г) е15езз

¡1 (1) = ¡1 (0) = 0,

¿г |т=1 С55 £ц + е\

¿г

= 1 С55 £ц + е?5'

15 |т=1 55 11 15

получаем новую краевую задачу относительно функций и (г,х), ад (г,х), х (г,х). Дифференциальные уравнения (1.3) и граничные условия (1.5) становятся неоднородными с правыми частями — ^з, N1 —N6, а (1.4), с учетом (2.2), при г = 1 принимают вид

дх

ди

и (1,х)=0, дг |т=1

В преобразованных равенствах

Г1 = - (У2 + X2) [¡1 (г) д (г)] -

= -^з = -

С55 2 е15 2 2

С2-V2¡2 (г) + ^V2¡з (г) + X ¡2 (г) Си езз

С11 ¿г езз

К (х) -

¿г

СН¡2 (г) + ¡з (г) С11

-V2¡2

езз 2 2 2

езз

К (х) -

¡2

езз

¿К

¿х ¿2К (х) ¿х2 , ¿2К (х) ¿х2 ,

С1з,

N1 (г,Ь) = д (г) [¡1 (г) д (г)] -

С11

С;¡2

¿К

N2 (г, 0) = - ^ V [¡1 (г) д (г)] -С11

¡2

С11

¿х г=ь ¿К

¿х г=0

N (г, Ь), N4 (г, 0)} = - С55 ¿¡¿Т {К (Ь), К (0)} ,

{N5 (г, Ь), N6 (г, 0)} = - ¡р. {К (Ь), К (0)} .

¿г

К краевой задаче относительно и (г,х), ад (г,х), х (г, х) применяем преобразование Ханкеля с конечными пределами по переменной г, используя следующие трансформанты

ин ип,х)= и

0

{™н (Зи,х) ,фн (Зи,х)} = {и (г,х) ,х (г,х)} г.10 (и) ¿г

0

и формулы обращения

.(г,х) = 2^

-Л *0

WH

Jo (jnr), X (r,z) = 2^2

Фн

Jo (jnr).

= 0 J0

В равенствах (2.6), (2.7) jn корни такого трансцендентного уравнения

Ji

В пространстве изображений получаем следующую краевую задачу:

.2 , C55 £пн (C13 + C55) . dwH (e3i + ei5) . ¿фн , .2 „ /п п,

-JnuH + -р;--J72---я-Эп—---;-jn^r + X UH = Fih,

C11 dz2

Ci

C55 . 2 .

CiijnWH + Cii dz2

+

Cii

dz )j

jn

e33

dz

C33 d2WH , (Ci3 + C55) . duH ei5 ,2 d2фн 2

"--Jn фH + ' Л

ei5 э2w__ , d2WH , (e3i + ei5) э ¿Uh , Cii£ii ,n^^ - Cii£33 d2фн

e33 e33

dz2

--jnWH + , 2

e33 dz2

+

jn J e33 dz

dz e33 +

dz2

+ X WH = F2H,

33

z = 0,L C3 jnUH + C33 dWH + ¿Фн = {NiH (jn, L), N2H (jn, 0)} , Cii Cii dz dz

= F3H;

С7 (^ - ]птн) = (Зи, Ь), Щн (Зи, 0)} ,

-Зифы = {N5^ (Зи, Ь), М6н (Зи, 0)} ,

где {^1я, ^н, ^н, N5н, N6я} = ¡0 N3, N4, N5, ОД т^ Зт) Лт,

№н, ^3н, ^н, N2H} = / {^2,^3, N1, N2} тЗо (Зит) Лт.

0

При исследовании (2.9), (2.10) необходимо рассмотреть два случая: п = 0 и п = 0.

Когда п = 0, формируется следующая задача относительно тн (Зо,г), фн (З0,г):

¿2wH . 2 77*

—^т + Р wh = fH ,

Фн = [wh + K (z) I

C11£33 l J0

при z = 0, L

C11£33

C33 ¿Wh + dфн

f2 (r) -

Cii£33

f3

e33

rdr

;

N*h

C11 dz dz C11 dz dz

где FH = (C33£33 + e233)-1 (Ci^F^ + e233F*H), Р2 = X2f4,

C11 £33 r 'Л

f4

C33£33 + e33'

{ n1h , N2 H, F2 H, F3H }

f {N1, N2, F2, F3} rdr

0

Общий интеграл равенства (2.11), с учетом (2.4), (2.13), имеет вид

wh (j0, z) = D10 cos (pz) + D20 sin (pz) + p-1 FH (£) sinp (z - £) d£,

0

где D10 = [p sin (pL)] 1 [D20p cos (pL) - f 4 q (r) rdr + ¡^ FH (£) cosp (L - £) d£+

+

dK (z) dz \z=L ,

f2 (r) rdr

D20 = p 1

_1 dK (z

dz z=0

f2 (r) rdr.

2

1

1

0

0

При n = 0 система уравнений (2.9) приводится к следующему разрешающему уравнению относительно wh :

d6WH dAwH d?wH , ,

dz6 + kin dz4 + k2n dz2 + k3nWH = fh,

„ L _ Q8nQl0n+Q8n

где kin — a j

a7nai0n + a8n (a2na7n — a4na9n) + a2na6na9n , a6nai0n + a2na6na8n

k2n = -, k3n = -,

aiin aiin

л2 .2 C55 e3i + ei5 . e3i + ei5 .

ain = л — 3n, a2n = ^---JnS3n, a3n —--jn«in,

Cii e33 e33

C13 + C55 . ез1 + e15 . ,2 / C55 ei5 \ 2

a4n =--^-Jn--JnS2n, a5n = -Jul^i--1--s2n + А ,

C11 e33 \C11 e33 /

С33 e15 ,2 C13 + C55 . e15 ,2

a6n = 7;---Jns1n + s2n, a7n = S1n, agn = -^-Jn--Jns3n,

C11 e33 C11 e33

a9n = s3rn a10n = a1na9n - a2naOrn a11n = a9n (a2naOn - a3na9n) ,

S1n = -S4n (e-3&33£33 + 1) , S2n = S4ne-32 J (e15e33 + С55633) - А2СИ£33]

e3

2 e33

S3n = -S4nJne33 [£33 (C13 + C55) + e33 (e31 + e15)], S4n = -

Jnc11 (£ue33 - £33e15)'

771 a9n ( d2 W a2n p dF1H\ -1 ~ FH = --:- I a9n d~2 + a8n II I-F2H--I + a11nF2H,

1 9 n 7 Q 1 ""On I I — 2H 7

a10na11n V dz2 ) \ a9n dz

p „ , e31 + e15 . f dF3H , Сц£33 dF2H\ F1H = F1H +--Jn«4n -j--1--2--;- ,

e33 V dz e§3 dz J

p = s (e15 ^ 2 d2\ (F + C11£33 F F

F2H = s4n -Jn--TT F3H +--2-F2H + F2H

e33 n dz2

33

Левая часть дифференциального уравнения (2.15) допускает факторизацию на коммутативные дифференциальные сомножители

где k5n = k1n — k4n, k6n = k3nk4n1 , k4n — действительный корень алгебраического уравнения 3-й степени:

k3n — k1nk4n + k2n k4n — k3n = 0-

Для установившегося режима вынужденных колебаний, как правило, выполняется следующее соотношение коэффициентов k4n < 0 и kgn < 4kön. В этом случае общий интеграл дифференциального уравнения (2.16) имеет вид:

wh = D1n ex^v/-k4n^ + D2n exp

+ Ü4n sin (ßriz)] + exp (-Xnz) [Ü5n cos (ßnz) + Den sin (ßriz)] +

Здесь det ||Втя|| — определитель Вронского, составленный для частных решений однородного уравнения (2.16) (ш = 1, 6, в = 1, б), det ||Ст,з (г, £)|| — определитель, полученный из det ||.Вт8|| путем замены каждый раз в-го столбца на столбец элементов ||00 000 1||Ти умноженный на соответствующее частное решение

(2.17), Хп = 1 2 (к6п)1/2 - к5п" ', вп = [ЦП + х2п]"

. ... . ___ 1/2 в = [ к5п I х2 11/2

Выражения для ин,Фн, полученные в результате приведения (2.9) к (2.15), имеют вид:

Фн

-1 ( ¿5тн ^тн \

ин (Зп, г) = а1п I в5п 5 + вбп + в7птн + ^4н I ,

где = Ан — а2па101п а)2" — ^п^Цт), в7п = -а2а5па10п — a4n, в5п =

= а2па101п (а3па9п — а2па7п) , в6п = а2па101п (а4па9п — а2па6п) — а3п•

Подстановка (2.17), (2.18) в краевые условия (2.10) позволяет определить постоянные интегрирования — .

3. Расчетные соотношения

Для определения функции /1 (г) — /3 (г), входящих в представления (2.1), воспользуемся следующими дифференциальными уравнениями:

/

В результате решения (3.1), при учете (2.4), имеем

Г2 г /2 (Г) 2 (Осей + е25)^ /3 (г) 2(С55^5ц3^ е^)^

Применяя к трансформантам (2.6) формулы обращения (2.7), получаем с учетом (2.1) следующие разложения для и (г, г), Ш (г, г), ф (г, г):

и

п=1 ^0

Ш (г, г) = /2 (г) К (г) + 2тн (30, г) + 2 £ тн ^ ^ (Зпг),

п=1 -]0

ф (г, г) = /3 (г) К (г) + 2фн (30, г) + 2 £ Фн 3 I) Jo (Зпг) •

п=1 ^0

Заключительным этапом данного исследования является определение функции К ( ), которую для упрощения расчета можно представить в виде следующего многочлена

т

К

к = 1

В результате подстановки (3.3) во второе равенство (3.2) и приравнивания нулю вертикальные перемещения Ш (1, г) в ш — 1 точках по высоте цилиндра, с учетом (2.3), формируется система неоднородных алгебраических уравнений относительно постоянных А1 — Ат. Ее решение позволяет определить функцию К (г).

Разложения (3.2) удовлетворяют исходным дифференциальным уравнениям (1.3), граничным условиям (1.4), (1.5) (последнее условие (1.5) с заданной точностью) и являются замкнутым решением рассматриваемой краевой задачи электроупругости.

Для определения спектра частот собственных колебаний пластины wnk (n = 1, ж; к = 1, ж) необходимо исследовать однородные дифференциальные уравнения и условия (2.9), (2.10) с учетом замены Л на \nk. Причем для определения высокочастотной части спектра, когда к4п > 0, k|n > 4к6п, следует рассмотреть дополнительно к (2.17), следующий случай:

Wh = Din cos^^kTnz) + Ü2n sin (v^z) + exp (XnZ) [D3n cos (ßnz) +

+ DAn sin (ßnz)] + exp (-XnZ) [D5n cos (ßnz) + D6n sin (ßnz)] .

Частота собственных колебаний wnk определяется равенством

Амплитудное значение разности потенциалов между эквипотенциальными элек-тродированными поверхностями пластины определяется по формуле

V* = ф

4. Численный анализ результатов

В качестве примера рассматривается пластина, выполненная из пьезокерамики состава ЦТС-19 [7].

Для учета влияния связанности электрических и механических полей напряжения на динамическую реакцию упругой системы было также построено аналогичное решение задачи теории упругости [8].

В таблице приведены собственные значения А^ свободных осесимметричных колебаний элемента, изготовленного из пьезокерамики и обычного керамического материала, имеющего аналогичные упругие характеристики. Расчеты выполнялись для различных значений относительной толщины Ь. Анализ результатов подтверждает известный факт [2], что связанность механических и электрических полей напряжения приводит к "ужесточению" системы и, следовательно, более высокому спектру собственных значений Апь. Однако данное свойство оказывает влияние в основном на первые частоты колебаний. Высокочастотная часть спектра при этом изменяется незначительно (см. таблицу).

Таблица

Л\и Теория электроупругости Теория упругости

L=0,1 L=0,2 L=0,4 L=1 L=0,1 L=0,2 L=0,4 L=1

к = 1 0,389 0,726 1,199 1,764 0,349 0,648 1,057 1,500

к = 2 3,229 3,206 3,109 2,381 3,228 3,206 3,104 2,237

к = 3 15,147 8,131 4,945 3,283 15,140 8,119 4,928 3,203

На рис. 1, 2 приведены графики изменения касательных напряжений агх (т = 4) по высоте пластины (Ь = 0,4), справедливые соответственно для задач

теорий электроупругости и упругости. Расчеты выполнялись при действии равномерно распределенной гармонической нагрузки интенсивностью до с частотой вынужденных колебаний в = 0,5Ац. Цифрами 1-4 обозначены результаты для г = 1; 0, 75; 0, 5; 0, 25.

сГ2(г,г)/д0

1 7

/ г— ~~ / ^ -. ^

.......г 4 "  .

О 0,05 ОД 0,15 02 0,25 03 0,35 0,4

Рис. 1. Изменение касательных напряжений атг по высоте пьезокерамической пластины при Ь = 0,4, в = 0, 5ЛП: 1 - г = 1; 2 - г = 0, 75; 3 - г = 0, 5; 4 - г = 0, 25

Рис. 2. Изменение касательных напряжений атг по высоте керамической пластины при Ь = 0,4, в = 0, 5ЛП: 1 - г = 1; 2 - г = 0, 75; 3 - г = 0, 5; 4 - г = 0, 25

Следует обратить внимание, что в работе [9] при исследовании напряженно-деформированного состояния круглых изотропных пластин для лучшего схождения бесконечных рядов нарушалось условие парности касательных напряжений в угловых точках (г = 1, г = 0, к), справедливое для симметричной теории упругости. Аналогичный подход используется также при вычислении функции К (г) (рис. 1, 2 — кривые 1). В результате существенного уменьшения численных значений \г-о ь, входящих в краевые условия (2.10), полученное решение становится устойчивым.

Кроме того, анализ рис. 1, 2 показывает, что учет связанности полей напряжения приводит к существенному изменению характера данного усилия в жесткой заделке.

Графики изменения вертикальной компоненты вектора перемещений Ш (г, г) по координате г пьезокерамического и керамического элементов (Ь =1, в = 0,1) отражают рис. 3, 4. Цифрами 1-3 обозначены кривые, соответствующие сечениям г = Ь, у, 0. Следует отметить, что связанность электрических и механических полей напряжения оказывает заметное влияние на деформированное состояние рассматриваемых пластин как в качественном, так и количественном отношении. В пьезокерамическом элементе наблюдается уменьшение перемещений с более равномерным сжатием по высоте сечения.

Рис. 3. Зависимость вертикальной компоненты вектора перемещений пьезокерамической пластины от радиальной координаты при Ь = 1, в = 0,1:

1 - г = Ь; 2 - г = Ь; 3 - г = 0

Рис. 4 Зависимость вертикальной компоненты вектора перемещений керамической

ь.

2 ;

пластины от радиальной координаты при Ь = 1, в = 0,1: 1 — г = Ь; 2 — г = ь; 3 — г = 0

На рис. 5 показаны графики, характеризующие зависимость разности потенциалов V* от частоты вынужденных колебаний в для пластин различной толщины. Цифрами 1-3 соответственно обозначены результаты, справедливые для параметра Ь = 1; 0, 6; 0,4. Следует отметить, что для толстых пластин увеличение частоты вынужденных колебаний приводит к уменьшению V*. Однако при Ь = 0, 4 наблюдается противоположная картина. Дальнейшее снижение Ь приводит к резкому уменьшению разности потенциала, что объясняется небольшой степенью сжатия тонких пластин по толщине.

е/£п

0,5

Рис. 5. Зависимость разности потенциалов между торцевыми электродированными поверхностями от частоты вынужденных колебаний: 1 — Ь = 1 (Ац = 0, 9); 2 — Ь = 0, 6 (Ац = 0, 75); 3 — Ь = 0,4 (Ап = 0, 6);

Предложенная методика позволяет исследовать установившийся режим вынужденных колебаний пьезокерамических пластин при произвольных граничных условиях на их торцах.

Литература

[1] Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Улитко Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Киев: Наук. думка, 1989. 279 с.

[2] Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук. думка, 1990. 228 с.

[3] Hussein M., Heyliger P.R. Discrete layer Analysis of Axisymmetric Vibrations of Laminated Piezoelectric Cylinders // J. of Sound and Vibration. 1996. № 192. Is. 5. P. 995-1013.

[4] Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Лоза И.А. Об одном подходе к исследованию колебаний полых пьезокерамических цилиндров конечной длины // Доклады НАН Украины. 2009. № 6. С. 61-66.

[5] Сеницкий Ю.Э. Динамическая задача электроупругости для неоднородного цилиндра // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 116-122.

[6] Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией // ПМиТФ. 2009. Т. 50. № 1. С. 12-21.

[7] Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

[8] Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 8(89). С. 142-152.

[9] Пространственные задачи теории упругости и пластичности / под ред. А.Н. Гузя. Киев: Наук. думка, 1985. Т. 3. 280 с.

Поступила в редакцию 20/I/2012; в окончательном варианте — 2/ VII/2012.

BuHywdeHHue ocecuMMempuHHue u3su6Hue Ko.e6aHUM

135

COMPELLED AXYSIMMETRIC FLEXURAL FLUCTUATIONS OF THICK ROUND RIGID PIEZOCERAMIC PLATE

© 2012 D.A. Shlyakhin2

New closed solution of axisymmetric nonstationary problem of the theory of electroelasticity for thick round piezoceramic plate with rigid of its external radial surface is constructed. Calculated relations are obtained by method of expansion in eigen vector functions in the form of structural algorithm of finite transformations. Numerical results allow to define the natural-vibration frequency, the stress-strain state of the testing element, and also the potential and intensity of the induced electric field.

Key words: compelled axisymmetric fluctuations, thick piezoceramic plate, problem of electroelasticity.

Paper received 20/I/2012. Paper accepted 2/VII/2012.

2Shlyakhin Dmitriy Averkievich (d-612-mit2009@yandex.ru), the Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russian Federation.