Нелокальная реакционно-диффузионная динамика формирования крестообразных двумерных диссипативных структур

тов конструкции кабеля позволит выдвинуть научно-обоснованные требования к характеристикам кабельных изделий с целью повышения их долговечности.

Заключение

Предложен способ оценки силового взаимодействия элементов кабельных конструкций и на его

основе оценки усталости гибких кабелей при их циклическом изгибе.

Представлен способ определения силы и коэффициента трения элементов в готовом изделии и схема его реализации. Для автоматизации испытаний предложено устройство для оценки параметров силового взаимодействия элементов конструкции кабеля.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соханев Б.В., Исмаилов Г.М., Мусалимов В.М. Оценка сдвигов элементов конструкции гибкого кабеля // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2007. - № 6. -С. 2б-29.

2. Kelly A. Interface effects and the work of fracture of a fibrous composite // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1970. - V. 319. - P. 95-116.

3. Шиянов В.Д. Методика и устройства ускоренной оценки долговечности гибких кабелей: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. -Томск, 1987. - 160 с.

4. Крагельский И.В., Щедров В.С. Развитие науки о трении. -М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 235 с.

5. Способ определения силы трения и коэффициента трения: пат. 2408869 Рос. Федерация. № 2009139603/28; заявл. 26.10.2009; опубл. 10.01.2011, Бюл. № 1. - б с.: ил.

6. Устройство для испытания материалов на растяжение: пат. 2392604 Рос. Федерация. № 2009120951/28; заявл. 02.06.2009; опубл. 20.06.2010, Бюл. № 17. - 8 с.: ил.

7. Датчик-преобразователь перемещений: пат. 87251 Рос. Федерация. № 2009122837/22; заявл. 15.06.2009; опубл. 27.09.2009, Бюл. № 27. - 7 с.: ил.

8. Мусалимов В.М. и др. Идентификация динамики процесса циклического изнашивания // Фундаментальные и прикладные проблемы теории точности процессов, машин, приборов и систем: Матер. VI Междунар. науч. школы. - СПб.: ИПМаш РАН, 2003. - С. 52-59.

Поступила 05.05.2010г.

УДК 577.3.01;577.38

НЕЛОКАЛЬНАЯ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННАЯ ДИНАМИКА ФОРМИРОВАНИЯ КРЕСТООБРАЗНЫХ ДВУМЕРНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР

А.В. Борисов, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов

Томский политехнический университет Томский государственный университет E-mail: trifonov@tpu.ru

Численными методами получены двумерные крестообразные диссипативные структуры, описываемые реакционно-диффузионным уравнением Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова снелокальным взаимодействием и начальным распределением, локализованным в окрестности четырех центров. Исследовано изменение формы структуры в зависимости от расположения центров локализации и параметров уравнения.

Ключевые слова:

Реакция-диффузия, нелокальные взаимодействия, популяционная динамика, модель Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова, диссипативные структуры. Key words:

Reaction-diffusion, nonlocal interactions, population dynamics, the Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov model, dissipative structures.

Введение

Физические, химические, биологические системы, в которых в ходе эволюции спонтанно возникают пространственные и временные структуры, служат примерами проявления процессов самоорганизации в нелинейных системах далеких от равновесия [1]. Процессы самоорганизации в различных системах подчиняются некоторым общим закономерностям, выявлению которых способствует анализ сравнительно простых систем.

Хорошо известно, что подобные структуры, называемые диссипативными структурами (ДС), образуются в реакционно-диффузионных (РД) системах, состоящих из двух или нескольких взаимодействующих компонент [2]. В [3, 4] показано, что процесс формирования ДС может возникать и в однокомпонентной РД системе с нелокальным взаимодействием на примере обобщенной одномерной модели Фишера-Колмогорова-Петров-ского-Пискунова (ФКПП). Уравнение ФКПП

описывает динамику плотности популяции микроорганизмов с учетом процессов воспроизводства популяционной плотности, конкурентных потерь и пространственной диффузии [5, 6]. В обобщенной модели ФКПП, рассмотренной в [3, 4, 7], локальные конкурентные потери заменены нелокальным выражением, в котором ядро интегрального оператора (функция влияния) учитывает воздействие окружения на особь в некоторой выделенной точке области, занимаемой популяцией.

В [8-10] обнаружено формирование двумерных ДС, порожденных одним и двумя центрами локализации начального распределения популяцион-ной плотности, в рамках обобщенной двумерной модели ФКПП с нелокальным взаимодействием для определенной области значений параметров. Как показано в этих работах, формирование дисси-пативных структур происходит исключительно благодаря нелокальному взаимодействию в системе.

В данной работе построены численные решения двумерного обобщенного квадратично нелинейного уравнения ФКПП с нелокальной функцией конкурентных потерь для начальных распределений плотности, локализованных в окрестности четырех симметрично расположенных точек (центров локализации). Показано, что в ходе эволюции формируются крестообразные ДС, геометрические свойства которых зависят от расположения центров локализации и параметров уравнения. Отметим, что структуры подобного вида получались вдвухком-понентных РД моделях с локальным взаимодействием за счет кросс-диффузионных процессов [11]. Полученные в работе результаты указывают на определяющую роль нелокального взаимодействия в процессе формирования крестообразных структур в однокомпонентной РД модели.

Двумерное уравнение Фишера-Колмогорова-

Петровского-Пискунова с нелокальным

взаимодействием

В соответствии с [8-10] запишем двумерное уравнение ФКПП с нелокальными конкурентными потерями в виде

ды (х, у, г) дг

= Б

( д 2ы (х, у, г) + д2ы (х, у, г)Л

дх2

ду2

+а(х, у, г)ы(х, у, г) - кы(х, у, г) х

к2

Здесь и(х,у,/) - кинетическая переменная (массовая плотность популяции или число особей данного вида, приходящаяся на единицу площади) -зависит от времени / и пространственных координат х,у точек двумерного пространства Я2. Коэффициент диффузии Б выбирается постоянным; производство популяционной плотности и(х,у,0 характеризуется темпом роста а(х,уД квадратичные по плотности конкурентные потери описываются интегралом в выражении (1) с функцией

влияния Ь(х,у,хъуъ1). В популяционной динамике функция влияния моделирует конкуренцию за ресурс; процессы метаболизма и лизиса; таксис микроорганизмов; к - параметр нелинейности. В общем случае а(х,у,() и Ь(х,у,хьуь0 полагаются зависящими от пространственных координат (х,у,х1,у1) и времени ¡, что позволяет учитывать пространственную неоднородность и нестационарность условий протекания РД процессов. Будем также считать величины, входящие в уравнение (1), безразмерными.

Численные решения уравнения (1) строятся для функции влияния Ь(х,у,хьу,) гауссова вида

Ь (х, у, х„ у„ г) =

1

2па' и функции

-ехр

1

12а2: 0,

Ь (х, у, х1, у1, г) = д/(х - х,)2+(у - у1)2 <>/3а,

4

постоянной (и равной 1/(12 а2) в круге радиуса V-а с центром в точке (х:,у:). Параметр а2 характеризует эффективный размер области нелокального взаимодействия. В случае (2) точка (х1,у1) отвечает максимуму функции Ь.

Для уравнения (1) с функцией влияния (2) в одномерном случае численные решения, полученные в [4], показали, что локализованное в окрестности некоторой точки начальное распределение распространяется вдоль оси х в обе стороны от центра локализации с образованием серии локальных максимумов. В двумерном случае при определенном выборе параметров модели (коэффициентов уравнения, функции влияния, начальных и граничных условий) данная модель описывает формирование пространственно неоднородной диссипатив-ной популяционной структуры [8-10]. В [9, 10] рассмотрена двумерная динамика начального распределения с двумя центрами локализации в случае, когда Ь(х,у,х1,у1,/) имеет вид гауссовой функции (2), а также с нелокальным взаимодействием конечного радиуса (3) для начальных условий с одним и двумя центрами локализации. Характер динамики зависит от выбора параметров уравнения и начальных условий. Рассмотрены процессы образования и взаимодействия расширяющихся колец от каждого из двух центров локализации, а также формирование диссипативных структур.

Начальное распределение с четырьмя точками (х;0,у;0), /=1,...,4, локализации (точками локальных максимумов) зададим в виде

ы (х, у, 0) = Ыо( х, у) =

/

2па

-Ь ехР

0 "=1

2Л

2а 2

где/и а0 - постоянные.

Численные решения уравнения (1) с начальным условием (4) строились с помощью программного пакета COM SOL Multiphysics, использующего метод конечных элементов [12], и явной и неявных разностных схем, аналогичных тем, которые применяются при решении уравнения теплопроводности [13].

Численные решения для четырех центров

локализации начального распределения

Численные моделирование уравнения (1) проводилось в области, ограниченной окружностью радиуса R, x2+f<R\ на временном отрезке [0,Г0], причем Го выбрано таким образом, что вкладом от границ расчетной области можно пренебречь. Для удобства сравнения результатов, полученных для функций (2) и (3), параметры ,0=0,001, /=0,00025л:, о"0=0,035 в уравнении (1) ив начальном условии (4) выбраны одинаковыми. Для функции b вида (2) расчеты проводились при о=0,42; к=0,44, а для функции b вида (3) - при о=0,15; к=7,4. В случае расположения центров локализации начальной плотности u(x,y,0) в вершинах квадрата, находящихся на осях x и у с центром в начале координат (рис. 1, 2), параметр a=0,5, а в случае расположения центров в вершинах параллелограмма (рис. 3, 4) параметр a=2.

На рис. 1 показана эволюция начального распределения (4) (рис. 1, а) при расположении центров локализации в вершинах квадрата по оси x и по оси y(X/0=(-1)!,3,2, ую=(-1)!,3,2, где /=1,2). При таком расположении центров расстояние между ними достаточно велико, чтобы можно было в начальный момент времени рассматривать эволюцию от каждого

центра локализации независимо от остальных. Функция влияния задавалась в виде (2).

Как известно из [4, 8], в процессе эволюции из начального распределения с одним центром локализации за некоторое характерное время ¡=т, названное временем релаксации и зависящие от параметров /и а0(х=т(/,а0)), начальные распределения с различными значениями / и а0 трансформируются к распределению й(х,у)=и(х,у,т), слабо зависящему от / и <т0, а динамика функции и(х,у,0 характеризуется образованием кольцеобразных областей. Из рис. 1, б, видно, что взаимодействие локализованных кольцеобразных структур приводит к их деформации. Результатом является крестообразная структура (рис. 1, в), состоящая из четырех областей, форма которых имеет вид лепестков. Внутри каждого лепестка значения функции и(х,у,0 значительно меньше, чем на внешней его части. Отметим, что расстояние между лепестками нелинейным образом зависит от значения параметра < (чем меньше < , тем меньше это расстояние).

На рис. 2 показан результат численного моделирования с теми же значениями параметров, как и на рис. 1, но функция влияния задавалась в виде (3).

Начальное распределение (рис. 2, а) преобразуется аналогично распределению, рис. 1, а, к виду, показанному на рис. 1, б. Последующая эволюция приводит к образованию на лепестках крестообразной структуры локальных максимумов (рис. 2, в). При дальнейшем протекании процесса происходит образование диссипативной структуры, состоящей из локальных максимумов (этот процесс подробно описан в работах [8-10]).

6 4 2 хо -2 -4 -6 • • • • а u • 6 0,09 4 2 0,06 х0 -2 0,03 _4 0 -6 б ❖ 1 u N 0.08 х0 0.04 "2 -4 0 "6 ф в ❖ • u 10,12 0,08 0,04 0

-6 -4 -2 0 2 4 у 6 -6 -4 -2 0 2 4 У 6 -6 -4-2 0 2 у 4 6

Рис. 1. Эволюция начального распределения вида (4) с четырьмя центрами локализации и функцией х=(-1)-3,2, ую=Н)3,2, где ¡=1,2 и £ а) 0; б) 10; в) 14 влияния (2) при

6 4 2 хо -2 -4 -6 • • • • а i [ i 6 10,09 4 0,06 х0 0,03 * 0 -6 б ❖ u • ' 6 0,03 2 0,02 х0 -2 0,01 _4 0 -6 о ' ❖ 1 • 0,03 0,02 0,01 о

-6 -4 -2 0 2 4 у 6 -6 -4 -2 0 2 4 У 6 -6 -4-2 0 2 У 4 6

Рис.2. Эволюция начального распределения вида (4) с четырьмя центрами локализации и функцией Хо=(-)-3,2, у0=(-)3,2, где ¡=1,2 и £ а) 0; б) 10; в) 14 влияния (3) при

На рис. 3 показана эволюция начального распределения (4) (рис. 3, а) при расположении центров локализации по оси х от начала координат на расстоянии х/0=(-1У, а по оси у - на расстоянии у/0=(-1у-2, где /=1,2. В данном случае расстояние между центрами локализации не достаточно для того, чтобы в начальный момент времени их можно было рассматривать как невзаимодействующие. Согласно [10, 11], время, в течение которого можно пренебречь взаимодействием между областями, локализованными в окрестности каждого из центров начального распределения, меньше времени релаксации т. Поэтому максимумы должны либо двигаться навстречу друг другу и объединяться, либо удаляться друг от друга в противоположные стороны [9, 10].

Из рис. 3, б, видно, что окрестности максимумов локализации начального распределения, расположенные на оси х, удаляются друг от друга и трансформируются в форму лепестков. Полученная картина аналогична представленной на рис. 1, б. Максимумы, расположенные на оси у, также удаляются друг от друга. Дальнейшая эволюция приводит к структуре, показанной на рис. 3, в. Приведенное на рис. 3, в, распределение подобно показанному на рис. 1, в. В обоих случаях распределение плотности и(х,у,0 представляет собой симметрично расположенные лепестки с выраженной внешней границей, что определяется расположением начальных максимумов и выбором значения параметра а в ур. (1). Чем больше значение параметра а, тем более контрастна эта граница.

Отметим, что для получения одинаковых распределений в случаях, показанных на рис. 1, в и

3, в, необходимо, чтобы процесс деформации происходил медленнее, чем процесс движения максимумов.

На рис. 4 приведены результаты численного моделирования с теми же значениями параметров, что и для расчетов, показанных на рис. 3 для функции влияния вида (3).

Движение максимумов начального распределения (рис. 4, а) происходит аналогично эволюции распределения, показанного на рис. 3, а трансформация начального распределения - в соответствии с процессами, описанными в работах [8-10] (рис. 4, б). Результирующая картина (рис. 4, в) имеет вид, аналогичный тому, который получается в работах [9, 10] для начальных распределений с одним, двумя и тремя центрами локализации.

Заключение

Представленные выше результаты приводят к выводу о том, что в нелокальной модели ФКПП наблюдается формирование крестообразных структур, ранее получавшихся в других моделях [11]. Геометрические свойства получающихся структур зависят от конфигурации начального распределения, вида функции влияния и параметров уравнения.

Дополнительно проведенные расчеты показывают, что лепестковые структуры являются промежуточным этапом эволюции рассматриваемой РД системы. В дальнейшем на лепестках образуются локальные максимумы, между которыми значения функции и убывают практически до нуля. Величины максимумов стремятся к некоторому постоянному значению при возрастании времени,

6 4 2 ХО -2 -4 -6

♦

6 4 2

0,06 х0 -2 -4 -6

и

10,09 0,06

-6 -4 -2 0 2 4 6

7

0,03

о

V

б

-6 -4 -2 0 2 4 6

7

0,5 4

0,4 2

0,3 Х0

0,2 -2

0,1 -4

0 -6

и

-6 -4 -2 0 2 4 6

7

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 о

Рис. 3. Эволюция начального распределения вида (4) с четырьмя центрами локализации и функцией влияния (2) при х0=(-1) , Ую=Н)'-2, где ¡=1,2 и V а) 0; б) 4; в) 8

6 4 2 Х0 -2 -4 -6

а

♦

-6 -4 -2 0 2 4 6

7

и 6

0,09 4 2

0,06 х0 0,03 ^

о -6

и 1

б

и

-6 -4 -2 0 2 4

7

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 о

6 4 2 Х0 -2 -4 -6

в

• •

к §

1

-6 -4 -2 0 2 4

7

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 о

Рис. 4. Эволюция начального распределения вида (4) с четырьмя центрами локализации и функцией влияния (3) при х0=(-1), у0=(-1)'2, где ¡=1,2 и V а) 0; б) 4; в) 8

1

в

а

а распределение плотности u(x,y,t) при t^w стремится к некоторому стационарному состоянию, которое в теории распределенных нелинейных систем трактуется как диссипативная структура [2].

Определяющим механизмом формирования ДС является нелокальное взаимодействие в системе. Известные примеры формирования пространственно неоднородных структур получались в РД моделях, состоящих из локально взаимодействующих компонент с положительной и отрицательной обратной связью. В простейшем случае

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979. - 512 с.

2. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах: Введение в теорию диссипативных структур. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. - 256 с.

3. Fuentes M.A., Kuperman M.N., Kenkre V.M. Nonlocal interaction effects on pattern formation in population dynamics // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V. 91. - P. 158104-1-158104-4.

4. Борисов А.В., Резаев Р.О., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Численное моделирование одномерной популяционной динамики с нелокальным взаимодействием // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 315. - № 2. -С. 24-28.

5. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Annual Eugenics. - 1937. - V. 7. - P. 255-369.

6. Колмогоров А.Н., Петровский Н.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и механика. - 1937. -Т. 1. - №6. - С. 1-16.

7. Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Одномерное уравнение Фишера-Колмогорова с нелокальной нелинейностью в квазиклассическом приближении // Известия вузов. Физика. -2009. - Т. 52. - №9. - С. 14-23.

РД система может состоять из активатора и ингибитора с различными пространственно-временными параметрами (например, [1, 2]).

Таким образом, получение диссипативной структуры в нелокальной ФКПП модели дает пример формирования ДС в однокомпонентных РД системах с нелокальным взаимодействием.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке АВЦПМинистерства образования и науки РФ № 2.1.1/12999; ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» по контрактам № 02.740.11.0238; П691; П789.

8. Борисов А.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Формирование диссипативной структуры в двумерной популяционной динамике с нелокальным взаимодействием // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 316. - № 2. -С. 50-53.

9. Борисов А.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Двумерная динамика распределений с одним и двумя центрами локализации в нелокальной реакционно-диффузионной модели // Известия Томского политехнического университета. - 2010. -Т. 316. - №2. - С. 54 -58.

10. Борисов А. В., Трифонов А. Ю., Шаповалов А. В. Численное моделирование популяционной 2D-динамики с нелокальным взаимодействием // Компьютерные исследования и моделирование. - 2010. - Т. 2. - № 1. - С. 33-40.

11. Цыганов М.А., Бикташев В.Н., Бриндли Дж., Холден А.В., Иваницкий Г Р. Волны в кросс-диффузионных системах - особый класс нелинейных волн // Успехи физических наук. -2007. - Т. 177. - №3. - С. 275-300.

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 318 с.

13. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. -616 с.

Поступила 03.12.2010 г.