Тензор мезонапряжений в поликристаллах с кубической симметрией решетки

Тензор мезонапряжений в поликристаллах с кубической симметрией решетки

Е.А. Митюшов, С.А. Берестова

Уральский государственный технический университет, Екатеринбург, 620002, Россия

С использованием понятия собственных упругих состояний как разложений тензоров напряжений и деформаций по ортонорми-рованному базису в шестимерном пространстве симметричных тензоров предложен аналитический метод определения средних по объему зерна значений компонент тензора напряжений в квазиизотропном поликристалле с кубической симметрией структуры. Получены соотношения, устанавливающие связь средних по объему зерна компонент тензора напряжений с компонентами тензора макронапряжений и упругими характеристиками кристаллитов. Решена задача об определении мезонапряжений в квазиизотропном поликристалле при произвольном виде макроскопического нагружения. В качестве иллюстрации получена зависимость компонент тензора мезонапряжений при произвольном положении внешней растягивающей силы.

1. Введение

Одной из нерешенных проблем физической мезо-механики поликристаллов является задача определения полей напряжений на мезоуровне при произвольном макроскопическом нагружении. Имеющиеся частные случаи [1, 2] получены либо численными методами, либо громоздкими методами статистического металловедения, затрудняющими их использование в различных приложениях. Представляет интерес получение простых аналитических соотношений, устанавливающих связь средних по объему зерна компонент тензора напряжений с компонентами тензора макронапряжений и упругими характеристиками кристаллитов.

2. Модель квазиизотропного поликристалла

В качестве модели однофазного поликристалла рассмотрим неоднородную на мезоуровне среду с ячейками полиэдрической формы. Каждой ячейке припишем одинаковые упругие свойства кристалла кубической симметрии, при этом ориентация кристаллографических осей в каждой ячейке различна, а в модели квазиизотропного поликристалла их распределение в пространстве равновероятно. При любом напряженном состоянии макрообъема, даже одноосном, зерна в поликрис-

талле, вследствие анизотропии их упругих свойств, находятся в условиях сложного напряженного состояния. В рамках рассматриваемой модели упругие свойства квазиизотропного поликристалла характеризуются двумя эффективными упругими характеристиками, а соответствующие свойства зерен — тремя константами кубического кристалла.

3. Определяющие соотношения

Напряжения в зерне, отнесенные к кристаллографическим осям, найдем из решения Дж. Эшелби [3] о деформации анизотропного сферического включения, помещенного в однородную изотропную матрицу из материала с эффективными упругими характеристиками:

е = {і + N [(с*)-1 с -1]}е) .

Здесь е — тензор однородной деформации сферического включения; — тензор макродеформаций; с — тензор кубической симметрии модулей упругости кристаллита; с* — изотропный тензор эффективных модулей упругости поликристалла; I — единичный тензор четвертого ранга; N — изотропный тензор Эшелби, определяемый выражением:

© Митюшов Е.А., Берестова С.А., 2002

ЛТ 1 *

Nijkl = ~с

рдкі

I

д2Gpi

РТ-

дх:дхч

] ч

РРХ

дх,- дхч

і ч

dv,

где Gpi (х, х') — тензор Грина однородной бесконечной среды с эффективными свойствами, и0 — область, занятая включением.

Поскольку средние по объему поликристалла и по объему включения тензоры напряжений и деформаций связаны обобщенным законом Гука, то

=

{і+N [с -1]}1 ^ ,

а = с {і + N [с -1]}*(а) ,

где s* — изотропный тензор эффективных коэффициентов податливости поликристалла.

4. Тензор мезонапряжений в поликристалле

Равенство (1) полностью определяет тензор мезонапряжений в поликристалле. Однако непосредственное его применение в расчетах затруднено в силу тензорного характера входящих сюда величин. Для явного представления компонент тензора мезонапряжений воспользуемся предложенным Я. Рыхлевским [4, 5], ортогональным разложением тензоров второго и четвертого ранга. В шестимерном пространстве симметричных тензоров напряжений-деформаций существует такой ортонормированный базис ю , ю , ..., ю :

тК .шЬ =тк =8кь =

0, К ФЬ,

1, К = Ь,

что тензоры мезо- и макронапряжений в этом базисе представимы в виде:

а = а1ю1 + а2юп + к + а6юУІ,

(а = (а^ ю1 + (а^ ю11 + к + (а6) ш'

Для тензоров четвертого ранга, входящих в равенство (1), справедливы следующие спектральные разложения:

I = ю1 Ф ю1 + ю11 Ф ю11 + к + юУІ Ф юУІ, с =А1юІ ФюІ + А2ю11 ФюП + к + А6юУІ ФюУІ, s* = (А,*)-1 юІ Ф юІ + (А*2)-1юп Ф юп + к +

І * \-1 е .VI ^ е .УІ

+ (Аб) ю Фю ,

N = ^юІ Ф юІ + N2юп Ф юII + к + ^юУІ Ф юУІ. Здесь

(юК ФюК )Цтп =юКюК„.

С учетом симметрии рассматриваемых тензоров независимые коэффициенты (истинные модули упругости по определению Я. Рыхлевского), определяющие упругие свойства анизотропного включения и квазиизотроп-ного поликристалла, выражаются через традиционные матричные обозначения соотношениями:

А1 = с11 + 2с12 = 3К,

Х2 = Хз = сц - с12,

Х 4 = Х5 = Х6 = 2с44,

X* = еп + 2с12 = 3К,

Л* Л* Л* Л* Л* * * /-Ч*

Х2 =Х3 =Х4 =Х5 =Х6 = с11 - с12 = 2с44.

Здесь К — объемный модуль или модуль всестороннего сжатия.

Независимые коэффициенты тензора Эшелби определяются коэффициентом Пуассона изотропной матрицы [6] или в рамках рассматриваемой модели поликристалла его эффективными свойствами:

N1 =

А1

А1 + 4А*2

N 2 = к = N6 =

2(А1 + 6А*2) 5(А1 + 4А*2).

Элементы тензорного базиса ю (К = І, II, ..., VI), с учетом кубической симметрии зерен и квазиизотропности поликристалла, зададим в виде:

юІ = 1

43

^1 0 0Л 0 1 0 0 0 1

юІІ = 1 юІІ =

л/6

10

01

0 0 - 2

V У

ІІІ 1 юІІІ =

42

1

\

юУ =

42

0 0

-1 0

0 0

0 1 ^

0 0

0 0 У

юІУ 1

ю =

42

000 0 0 1 0 1 0

УІ юУІ =

42

0 1 0 100

000

V У

Непосредственной проверкой с помощью соотношения (2) нетрудно убедиться, что они образуют ортонор-мированный базис в пространстве симметричных тензоров второго ранга. Элементы этого базиса соответствуют одному напряженному состоянию всестороннего сжатия (растяжения) и пяти напряженным состояниям чистого сдвига. Таким образом, любое напряженно-деформированное состояние анизотропного тела кубической симметрии и изотропного тела может быть полу-

чено как наложение всестороннего сжатия или растяжения и пяти сдвигов (собственные упругие состояния).

С помощью предложенных разложений и с использованием условия ортогональности (2) равенство (1) путем несложных преобразований может быть представлено в виде:

а = а1юІ Фю^а + а2юп Фюп(а) + ... +

+ а6юУІ ФюУІ(а •

Коэффициенты в разложении тензора мезонапря-жений квазиизотропного поликристалла определяются выражениями:

ai — 1,

a2 = аз — -

5А 2

а4 — а5 — а6 —

2А 2

2А 4

Эффективные значения упругих характеристик ква-зиизотропных поликристаллов можно определить из решения Александрова [7], согласно которому модуль сдвига определяется формулой:

с44 = с44 а~2/5,

А = 2с44(с11 - с12) 1 =^^

X* - X25 X3/5

/^2 — л 2 /^4 .

Параметр Л характеризует степень анизотропии металла. К слабо анизотропным металлам относятся молибден, алюминий, к сильно анизотропным — свинец, золото, медь, серебро. В случае, когда показатель анизотропии монокристалла равен единице, он изотропен в отношении упругих свойств. Примером такого металла является вольфрам.

Скалярные сомножители ак (к = 1, 2, ..., 6) в разложении (3) с учетом условия ортогональности для элементов тензорного базиса определяются выражениями

1

а, =— ((ап) + (СТ22) + (азз)),

а 2 —

аз —

46

аз

42

((ап) + (а22 ) - 2(азз)),

(Ю-(а 22 ) ),

а5 —42а5^аз^ ,

аб —42аб( а1^.

Этими соотношениями с учетом разложения (3) и явного вида элементов тензорного базиса (4) полностью решается задача об определении мезонапряжений в ква-зиизотропном поликристалле при произвольном виде макроскопического нагружения.

5. Компоненты тензора мезонапряжений при произвольном положении внешней растягивающей силы

В качестве иллюстрации рассмотрим зависимость компонент тензора мезонапряжений при изменении положения внешней растягивающей силыp по отношению к кристаллографическим осям зафиксированного кристаллита. Пусть 0 — угол между осью растяжения и кристаллографическим направлением [001], ф—угол между проекцией растягивающей силы на плоскость (001) и кристаллографическим направлением [100].

Компоненты тензора макронапряжений в кристаллографических осях зафиксированного кристаллита:

(стп) = Рcos2Ф sin20,

(а22) = p sin2ф sin20,

(стзз) = Р cos2 0,

(а2з) = p sin ф sin 0 cos 0,

(а31) = p cos ф sin 0 cos 0,

(а12) = p sin фcosфsin20.

Соответствующие выражения для компонент тензора мезонапряжений имеют вид:

стп = — p + — p(1 - 3cos2 0) + — p cos2ф sin2 0,

3 6 2

а 22 = — p + —— p(1 - 3cos2 0) -—p cos2ф sin2 0,

22 3 6 2

азз—з p - p(1 - Scos2 0),

а2з — -2 p sin ф sin 20,

аіз — -2 p cos ф sin20,

а4 — 42а4^а2^ ,

а4 2

а12 — — p БІп2ф sin 0 или через индексы Миллера оси растяжения:

Ü2 - 2h2 + k2 + l2 тp h2 + k2 +12

1 a2 h 2 - 2k2 + l2

a22 = _ P---P—22-----2“

22 3 3 h2 + k2 + l2

1

Ü33 = 3 p-

Ü2 h2 + k2 - 2l2 Tp h2 + k2 +12

ü23 = OtP-I-

kl

h2 + k2 + l2

lh

a13 = a4p~~2 , 2 ,2

h + k +1

hk

"12 = a4 PV+k^f

Литература

1. Ашихмин B.H., Трусов П.В. Статистические параметры распределе-

ния упругих мезонапряжений в поликристаллах с кубической решеткой // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 69-75.

2. Вайнштейн А.А. Взаимосвязь микро- и макронапряжений в металлах // Проблемы прочности. - 1994. - № 4. - С. 75-83.

3. ЭшелбиДж. Континуальная теория дислокаций. - М.: ПЛ., 1963. -

400 с.

4. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. - 1984. - Т. 48. - Вып. 3. -С. 420-435.

5. Рыгхлевский Я. Разложение упругой энергии и критерии предельности // Успехи механики. - 1984. - Т. 7. - № 3. - С. 38-40.

6. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

7. Александров К.С. Средние значения тензорных величин // ДАН СССР. - 1965. - Т. 164. - № 4. - С. 800-804.