СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ГИБКИХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛИТ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ. ЧАСТЬ 2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

https://doi.org/10.21122/2227-1031-2022-21-4-290-296 УДК 624.072.21.7

Совершенствование методики расчета гибких ортотропных плит на упругом основании

Часть 2. Результаты расчета Канд. техн. наук, доц. О. В. Козунова4

^Белорусский национальный технический университет

© Белорусский национальный технический университет, 2022 Belarusian National Technical University, 2022

Реферат. Предлагаемая статья является продолжением представленной ранее публикации автора в развитие теории и методики расчета гибких ортотропных железобетонных плит на упругом основании с учетом физической нелинейности материала плит. В статье приводятся численные результаты упругого и нелинейного расчетов изолированной прямоугольной ортотропной плиты на упругом основании (под действием внешней статической нагрузки с учетом собственного веса железобетонной плиты), моделируемом упругим однородным изотропным слоем, жестко соединенным с недеформируемым основанием. В расчете исследуемой конструкции учитывалось изменение ее жесткости в момент трещинообразования и дальнейшего активного раскрытия трещин. Расчет гибкой ортотропной плиты на упругом основании в нелинейной постановке выполнялся итерационным путем методом Б. Н. Жемочкина. Для определения коэффициентов канонических уравнений и свободных членов был использован смешанный метод строительной механики. На первой итерации железобетонная плита рассчитывалась как линейно-упругая, однородная и ортотропная, на последующих - как линейно-упругая, неоднородная и ортотропная на каждом участке Жемочкина. Прогибы плиты с защемленной нормалью в основной системе смешанного метода от действия сосредоточенной силы определялись методом Ритца при представлении прогибов в виде степенного полинома в новом оригинальном выражении, которое автор предложил впервые в части 1 статьи. Алгоритм решения реализован при помощи компьютерной программы Wolfram Mathematica 11.3. Приведены численные и графические результаты упругого и нелинейного расчетов осадок дорожной железобетонной плиты, контактных напряжений и эпюры изгибающих моментов в плите. Ключевые слова: гибкая ортотропная железобетонная плита, метод Жемочкина, упругий слой, нелинейный расчет, зависимость «жесткость - кривизна», метод Ритца, трещинообразование, дорожная железобетонная плита, осадки, контактные напряжения, изгибающие моменты

Для цитирования: Козунова, О. В. Совершенствование методики расчета гибких ортотропных плит на упругом основании. Часть 2: Результаты расчета / О. В. Козунова // Наука и техника. 2022. Т. 21, № 4. С. 290-296. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2022-21-4-290-296

Improvement of Calculation Technique for Flexible Orthotropic Plates on Elastic Base

Part 2. Calculation Results O. V. Kozunova1)

^Belarusian National Technical University

Abstract. The proposed paper is a continuation of the author's theoretical work presented earlier in the development of the theory and methodology for calculating flexible orthotropic reinforced concrete plates on an elastic foundation, taking into account the physical nonlinearity of the plate material. The paper presents numerical results of elastic and nonlinear calculations of an isolated rectangular orthotropic plate on an elastic foundation, modeled by an elastic homogeneous isotropic layer

Адрес для переписки

Козунова Оксана Васильевна

Белорусский национальный технический университет

просп. Независимости, 65,

220013, г. Минск, Республика Беларусь

Тел.: +375 17 293-93-04

kоzunova@gmail. com

Address for correspondence

Kozunova Oksana V.

Belarusian National Technical University

65, Nezavisimosty Ave.,

220013, Minsk, Republic of Belarus

Tel.: +375 17 293-93-04

kozunova@gmail.com

Наука

итехника. Т. 21, № 4

rigidly connected to a non-deformable foundation under the action of an external static load, taking into account the own weight of the reinforced concrete plate. The change in its stiffness at the time of cracking and further active opening of cracks has been taken into account in the calculation of the structure under study. The nonlinear calculation of the studied structure takes into account the change in its rigidity at the time of cracking and further active crack opening. The calculation of a flexible orthotropic plate on an elastic foundation in a nonlinear formulation is performed iteratively by the method of B. N. Zhemochkin. A mixed method of structural mechanics has been used to determine the coefficients of canonical equations and free terms. At the first iteration, the reinforced concrete plate is calculated as linearly elastic, homogeneous, and orthotopic; at the subsequent ones - as linearly elastic, inhomogeneous, and orthotopic at each Zhemochkin site. Camber plates with a clamped normal in the primary system of mixed method due to the action of a concentrated force are determined by the Ritz method when the deflections were represented as a power polynomial in a new original expression that has been proposed for the first time in the Part 1 of the paper. The solution algorithm has been implemented using the Wolfram Ma-thematica 11.3 computer program. Numerical and graphical results of elastic and non-linear calculations of sediment concrete road plate, contact stresses and bending moment diagrams on the plate are presented in the paper.

Keywords: flexible orthotopic reinforced concrete plate, Zhemochkin's method, elastic layer, nonlinear calculation, "stiffness - curvature" dependence, Ritz method, cracking, reinforced concrete road plate, settlements, contact stresses, bending moments

For citation: Kozunova O. V.

Общая постановка задач расчета ортотропных плит на упругом основании и алгоритм их расчета с учетом трещинообразования

В предлагаемой статье, являющейся продолжением представленной ранее публикации автора [1] в развитие теории и методики расчета гибких ортотропных плит на упругом основании с учетом физической нелинейности материала плит, рассматривается прямоугольная железобетонная плита под действием статической поверхностной нагрузки ([1], рис. 4). При моделировании основание заменялось упругим изотропным слоем, соединенным жестко с несжимаемым слоем. Принимались следующие гипотезы и допущения:

- в контактной зоне отсутствуют касательные напряжения;

- для гибкой плиты справедливы гипотезы технической теории изгиба [2].

Расчет прямоугольной ортотропной плиты автор предлагает вести смешанным методом строительной механики [3] с использованием способа Б. Н. Жемочкина [4], приняв за неизвестные силы в вертикальных связях Жемочки-на, а также два угловых и линейное перемещения введенного защемления нормали в центре плиты. Для описания контакта плиты с упругим основанием после того, как плита разбивается на одинаковые прямоугольные участки размерами АххАу, в центре каждого участка размещается вертикальная связь. Считается, что усилие в связи вызывает равномерное распределе-

ние контактных напряжений при определении перемещений центра участка.

Для сформулированной в [1] задачи в нелинейной постановке, т. е. с учетом трещинообра-зования в железобетонной плите со слабо выраженной ортотропией, предлагается итерационный алгоритм способа Б. Н. Жемочкина с использованием зависимости «жесткость -кривизна» [5]. На первой итерации плита рассчитывается как линейно-упругая, ортотропная и однородная [1], на последующих - как линейно-упругая, ортотропная и неоднородная на каждом участке Жемочкина. Вертикальные перемещения поверхности упругого слоя от сосредоточенной силы Р определены из соотношения, приведенного в статье С. В. Босако-ва [6], и представлены в теоретической части данной публикации. Прогибы плиты с защемленной нормалью в основной системе смешанного метода от действия сосредоточенной силы ([1], рис. 5) определены методом Рит-ца [7] при представлении прогибов в виде степенного полинома в новом оригинальном выражении, которое впервые предложено в [1].

Функционал полной энергии гибкой железобетонной пластинки с защемленной нормалью определен как квадратичная функция коэффициентов [1], что позволяет из системы линейных алгебраических уравнений найти эти коэффициенты и таким образом вычислить прогибы плиты с защемленной нормалью. Так формируется система уравнений способа Жемочкина на каждой итерации.

Наука

итехника. Т. 21, № 4

Последовательность нелинейного расчета

в соответствии с требованиями

нормативных документов

Значения нелинейных жесткостей железобетонных элементов следует устанавливать в зависимости от стадии расчета, требований к расчету и характера напряженно-деформированного состояния элемента. На первой стадии расчета конструктивной системы, характеризуемой тем, что армирование железобетонных элементов неизвестно, нелинейную работу элементов рекомендуется учитывать путем понижения их жесткостей с помощью условных обобщенных коэффициентов ([8], п. 6.2.5). На последующих стадиях расчета конструктивной системы, когда известно армирование железобетонных элементов, в расчет следует вводить уточненные значения жесткостей элементов, определяемые с учетом армирования, образования трещин и развития неупругих деформаций в бетоне и арматуре согласно указаниям действующих нормативов по проектированию железобетонных конструкций ([9], главы 5.3, 5.4, п. 5.5.3).

В [10] моделирование железобетонной плиты в линейной постановке выполняется для решения задач, характеризующих работу материала такой несущей конструкции до достижения предела упругости (величина напряжений, при которых не возникает остаточных деформаций), а также в качестве первой стадии расчета с целью получения данных для дальнейшего нелинейного расчета. Неупругую работу (физическую нелинейность) рекомендуется учитывать косвенно с помощью пониженных значений модуля упругости материалов в соответствии с СП 52-103-2007 [8]. Модуль упругости для конечного элемента (КЭ) плит принимается пониженным с коэффициентом 0,3 (0,2), учитывающим ползучесть бетона и наличие трещин. Следует отметить, что в модуле упругости при построении точки 3 (рис. 1) на диаграммах «момент - кривизна», «жесткость -кривизна» по В. И. Соломину [5] для элемента прямоугольного сечения из бетона класса С20/25 (В25) использовался понижающий коэффициент 0,3, точки 4 - 0,2, что отражено на рис. 1.

А/, кН-м

Ми 160

Мсгс 120

0 Х1Х2 2 b

6 8 Хз 10 X • 103, м-1 с

B, МПа-м4

B, МПа-м'

150 100 50

0 1

2

1 ч

3 3

150 100 50

1

\

2 -•

3

0 80 160 М, кН-м 0 2 4 6 8 10 X • 103, м-1

Рис. 1. Зависимости кривизны элемента балки

Fig. 1. Dependences of curvature of beam element

Построение диаграммы «жесткость - кривизна» для плиты и ее упругий расчет

При нахождении переменной (секущей) жесткости плиты для участка Жемочкина на каждой итерации используется зависимость «жесткость - кривизна» (рис. 2) в направлениях Х, Y. Зависимость «жесткость - кривизна», согласно [5], построена по изложенной выше методике, отраженной в [8-10], с использованием приведенной цилиндрической жесткости плиты по направлению осей ортотропии.

800

Х1 Х2 , р Р Х3 Х4

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 Х-103, м-1

Рис. 2. Зависимость «жесткость - кривизна» по [5] Fig. 2. Dependence "stiffness - curvature" according to [5]

Упругий расчет выполняли для дорожной железобетонной плиты размерами 4x3x0,14 м из тяжелого бетона класса C20/25 с упругими характеристиками: модуль деформации бетона Еб = 29,05 МПа, коэффициент Пуассона v6 = 0,17. Плита находилась на упругом изо-

Наука

итехника. Т. 21, № 4

а

4

тропном слое мощностью (толщиной) H = 7 м, жестко соединенном с недеформируемым основанием. Параметры упругого слоя: Eo = 20 кПа, Vo = 0,33. Внешняя нагрузка от колеса Q = 65 кН распределялась по площади 0,4x0,4 м и была приложена в центре плиты. В расчете учитывался собственный вес плиты q = 3,5 кН/м2.

Начальная цилиндрическая жесткость орто-тропной плиты:

- в плоскости YOZ

м0) = в(0) = ы(0) = а:0!!! =

12

_ 29,05-106 • 0,143 _ 12(1 - 0,172) - в плоскости XOZ

_ 6840,46 кН • м;

D0 _ ß(o) _ J _ 1,15J _ _ 1,15 • 6840,46 _ 7866,56 кН • м.

Начальная жесткость кручения гибкой плиты, формула которой приведена в [1], после вычислений получается

V + V

D(0) _ x у

0,17 + 0,17

^6840,46 • 7866,56 _

= 1247,05 кН • м.

Для анализа параметров напряженно-деформированного состояния по формуле из [11] определяли показатель гибкости изолированной плиты конечных размеров a и Ь

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 3. Эпюры осадок, м, дорожной железобетонной плиты

Fig. 3. Diagrams of precipitation, m, of road reinforced concrete slab

ß_

nE0 а

(1 - v0 ) EJ 6'

где Е0, v0 - упругие параметры изотропного слоя; E/б - цилиндрическая жесткость плиты.

После подстановки параметров плиты и упругого основания в (1) получили следующее значение показателя гибкости, которое свидетельствует о том, что в данной задаче рассчитываются именно гибкие плиты:

ß_

3,14-20-106 -1,53 (1 -0,332) 6840,46-103

-_ 34,789.

На рис. 3, 4 в изолиниях для демонстративности построены: эпюры осадок дорожной железобетонной плиты по методике расчета ортотропных плит, приведенной выше, и контактных напряжений в зоне взаимодействия плиты с упругим основанием, моделируемым упругим изотропным слоем. Наибольшие значения получены в центре тяжести плиты, где приложена сосредоточенная сила от колеса машины: осадки плиты wmax = 0,0012558 м; контактные напряжения Pmax = 10,38 кПа.

На рис. 5, 6 построены эпюры изгибающих моментов My, Mx (упругий расчет) в изолиниях, которые симметричны относительно осей изгиба и в полной мере подтверждают наличие геометрической ортотропии в дорожных плитах.

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 4. Эпюры контактных напряжений, кПа

Fig. 4. Diagrams of contact voltages, kPa

Наука

итехника. Т. 21, № 4

2

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 5. Эпюры изгибающих моментов My, кН, железобетонной плиты

Fig. 5. Diagrams of bending moments My, kN, of reinforced concrete slab

Нелинейный расчет

На рис. 7, 8 приведены результаты нелинейного расчета (3-я итерация): эпюры осадок дорожной железобетонной плиты и контактных напряжений. Наибольшие значения при упругом расчете получены в центре тяжести плиты, где приложена сосредоточенная сила от колеса машины: осадки плиты wmax = = 0,0012582 м; контактные напряжения Pmax = = 10,43 кПа.

На рис. 9, 10 построены эпюры изгибающих моментов My, Mx (3-я итерация) в изолиниях,

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 7. Эпюры осадок, м, дорожной железобетонной плиты

Fig. 7. Diagrams of precipitation, m, of road reinforced concrete slab

Рис. 6. Эпюры изгибающих моментов Mx, кН, железобетонной плиты

Fig. 6. Diagrams of bending moments Mx, kN, of reinforced concrete slab

которые почти симметричны относительно осей изгиба.

Сопоставление результатов упругого и нелинейного расчетов (3-я итерация) проводилось для осадок ортотропной плиты и контактных напряжений в зоне взаимодействия плиты с упругим основанием. На рис. 11 показано графическое сравнение эпюр осадок железобетонной плиты между упругим и нелинейным решением (3-я итерация), которое свидетельствует о практически полном совпадении результатов при незначительном их увеличении с учетом переменной кривизны и жесткости.

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 8. Эпюры контактных напряжений, кПа

Fig. 8. Diagrams of contact voltages, kPa

294

Наука

итехника. Т. 21, № 4

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 9. Эпюры изгибающих моментов железобетонной плиты My, кН

Fig. 9. Diagrams of bending moments of reinforced concrete slab My, kN

Осадки плиты, м

Ч -1 0 -0 ,5 0,00095 -0,00100 -0,00105 -0,00110 -0,00115 -0,00120 0, 5 x, м 1 0

V -0,00125

Рис. 11. Осадки дорожной железобетонной плиты: красный цвет - упругое решение; синий цвет - 3-я итерация

Fig. 11. Precipitation of road reinforced concrete slab: red color - elastic solution; blue color - 3rd iteration

Контактное напряжение, кПа

-10 -0 5 -6 -8 -10 -12 -14 0,5 x, м 1 , 0

-16

-18 -20

Рис. 12. Контактные напряжения: красный цвет - упругое решение; зеленый цвет - 3-я итерация

Fig. 12. Contact stresses: red color - elastic solution; green color - 3rd iteration

Рис. 10. Эпюры моментов железобетонной плиты Mx, кН

Fig. 10. Diagrams of moments of reinforced concrete slab Mx, kN

На рис. 12 приведено графическое сравнение эпюр контактных напряжений в зоне взаимодействия между упругим и нелинейным решением (3-я итерация), которое свидетельствует о практически полном совпадении результатов в центре плиты и небольшом (до 3 %) расхождении к краям плиты при учете переменной кривизны и жесткости.

ВЫВОДЫ

1. Предложена в теоретическом развитии и апробирована численно методика нелинейного итерационного расчета методом Б. Н. Жемоч-кина железобетонной (гибкой) ортотропной плиты на упругом основании, моделируемом упругим слоем конечной толщины. В отличие от традиционных подходов в нелинейных расчетах, основанных на применении зависимости «момент - кривизна», автор статьи использовала зависимость «жесткость - кривизна», что сокращает объем вычислений. Исследования проводились в компьютерной программе Wolfram Mathematica 11.3. Впервые предложено представление прогибов плиты с защемленной нормалью в основной системе смешанного метода от действия сосредоточенной силы определять методом Ритца в виде степенного полинома в новом оригинальном выражении.

2. Проведенный анализ показал, что учитывать нелинейные свойства железобетона через

Наука

итехника. Т. 21, № 4

переменную кривизну гибкой плиты в каждом направлении возможно, и такой учет целесообразен и существен в зоне активного трещи-нообразования при больших остаточных деформациях (например, при увеличении эксплуатационной нагрузки на дорожные или фундаментные плиты на порядок), а также при моделировании упругого основания с учетом его податливости и слоистости (через комбинированные модели, например вместо однородных). Таким образом, изучаемая отрасль исследований нелинейных задач требует дальнейшей разработки в плане как формирования общей методики решения данного вида задач, так и создания численных методов расчета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Козунова, О. В. Совершенствование методики расчета гибких ортотропных плит на упругом основании. Часть 1: Теория расчета / О. В. Козунова // Наука и техника. 2022. Т. 21, № 3. С. 211-221. https://doi.org/10. 21122/2227-1031-2022-21-3-211-221.

2. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. 2-е изд., испр. М.: Высш. шк., 2002. 400 с.

3. Ржаницын, Р. А. Строительная механика / Р. А. Ржа-ницын. М.: Высш. шк., 1991. 439 с.

4. Жемочкин, Б. Н. Практические методы расчетов фундаментных балок и плит на упругом основании / Б. Н. Жемочкин, А. П. Синицын. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Госстройиздат, 1962. 240 с.

5. Соломин, В. И. Методы расчета и оптимальное проектирование железобетонных фундаментных конструкций / В. И. Соломин, С. Б. Шматков. М.: Стройиздат, 1986. 208 с.

6. Босаков, С. В. Статические расчеты плит на упругом основании / С. В. Босаков. Минск: БНТУ, 2002. 128 с.

7. Босаков, С. В. Метод Ритца в контактных задачах теории упругости / С. В. Босаков. Брест: БрГТУ, 2006. 107 с.

8. Свод правил по проектированию и строительству. Железобетонные монолитные конструкции зданий: СП 52-103-2007. М.: НИЦ «Строительство» - НИИЖБ им. А. А. Гвоздева, 2007. 22 с.

9. Свод правил. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения: СП 63.13330.2018. М.: НИЦ «Строительство» - НИИЖБ им. А. А. Гвоздева, 2018. 168 с.

10. Методическое пособие. Плоские безбалочные железобетонные перекрытия. Правила проектирования. М.: НИЦ «Строительство» - НИИЖБ им. А. А. Гвоздева, 2017. 158 с.

11. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Ма-

ликова, В. И. Соломин. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1984. 680 с.

Поступила 21.12.2021 Подписана в печать 28.02.2022 Опубликована онлайн 29.07.2022

REFERENCES

1. Kozunova O. V. (2022) Improvement of Calculation Technique for Flexible Orthotropic Plates on Elastic Base. Part 1: Calculation Theory. Nauka i Tekhnika = Science & Technique, 21 (3), 211-221. https://doi.org/10.21122/2227-1031 -2022-21-3-211 -221 (in Russian).

2. Alexandrov A. V., Potapov V. D. (2002) Fundamentals of the Theory of Elasticity and Plasticity. 2nd еd. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 400 (in Russian).

3. Rzhanitsyn R. A. (1991) Structural Mechanics. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 439 (in Russian).

4. Zhemochkin B. N., Sinitsyn A. P. (1962) Practical Methods for Calculating Foundation Beams and Slabs on an Elastic Foundation. 2nd еd. Moscow, Gosstroiizdat Publ. 240 (in Russian).

5. Solomin V. I., Shmatkov S. B. (1986) Calculation Methods and Optimal Design of Reinforced Concrete Foundation Structures. Moscow, Gosstroiizdat Publ. 208 (in Russian).

6. Bosakov S. V. (2002) Static Calculations of Slabs on an Elastic Foundation. Minsk, Belarusian National Technical University. 128 (in Russian).

7. Bosakov S. V. (2006) The Ritz Method in Contact Problems of Elasticity Theory. Brest, Brest State Technical University. 107 (in Russian).

8. SP [Construction Rules 52-103-2007]. Code of Practice for Design and Construction. Reinforced Concrete Monolithic Structures of Buildings. Moscow, Research and Development Center "Construction" - Scientific Research, Design and Technological Institute of Concrete and Reinforced Concrete named after A. A. Gvozdev, 2007. 22 (in Russian).

9. SP [Construction Rules] 63.13330.2018. Code of Practice. Concrete and Reinforced Concrete Structures. Basic Provisions. Moscow, Research and Development Center "Construction" - Scientific Research, Design and Technological Institute of Concrete and Reinforced Concrete named after A. A. Gvozdev, 2018. 168 (in Russian).

10. Guidance Manual. Flat Beamless Reinforced Concrete Floors. Design Rules. Moscow, Research and Development Center "Construction" - Scientific Research, Design and Technological Institute of Concrete and Reinforced Concrete named after A. A. Gvozdev, 2017. 158 (in Russian).

11. Gorbunov-Posadov M. I., Malikova T. A., Solomin V. I. (1984) Calculation of Structures on an Elastic Foundation. 3rd еd. Moscow, Stroiizdat Publ. 680 (in Russian).

Received: 21.12.2021 Accepted: 28.02.2022 Published online: 29.07.2022

Наука

итехника. Т. 21, № 4