Моделирование листостебельных материалов с помощью теории графов

Моделирование листостебельных материалов с помощью теории графов

И. А. Маяцкая, И. А. Краснобаев В настоящее время уделяется большое внимание вопросам математического моделирования растительных объектов. Растительные материалы представляют собой объекты сложной геометрической формы и построение моделей этих объектов очень трудный процесс. Рассмотрим построение моделей обобщенных листостебельных структур с помощью теории графов с использованием ориентированных графов с непустым множеством источников и непустым множеством стоков. Необходимо выбрать обобщенную аналитическую модель для описания архитектоники данного растительного объекта. Листостебельные растения представляют собой растительные объекты с различной скелетной структурой. На рис. 1 представлены обобщенные модели с различными типами ветвления.

Рис. 1. Модели листостебельных структур в виде графов с различными типами ветвления

Для описания этих моделей используются сети. Данный объект можно представить в матричной форме, при этом строятся матрицы ребер и узлов. Проанализировав структуру этих матриц можно отметить, что они являются почто квазидиагональными матрицами. В недиагональных блоках матрицы ребер все элементы равны нулю, а блоки имеют похожую структуру, что нельзя сказать о структуре матрицы узлов (рис. 2).

Для моноподиального несимметричного и дихотомического типов ветвления в области нулевых матриц встречаются ненулевые вектора и ненулевые матицы размером 4x2 и 2x4. Характерные особенности в матрице ребер: для каждого типа ветвления в состав матрицы входят ненулевые матрицы с характерным расположением элементов:

(0 1 1 ^

а).для симподиального типа ветвления матрица а =

;б).для дихотомического типа

ветвления матрица по диагонали В1 =

диагонали расположены матрицы В2 =

(0 1 У

и в

V 1 0 У

(1 1 0 0'

V 0 0 1 1,

и в области нулевых элементов симметрично

и

В3 =

(1 1

0

0

0 ^ 0 1 1

в). моноподиального

симметричного типа ветвления матрица

С1 =

1 0 11 11

11

г). моноподиального несимметрич-

ного типа ветвления матрица с 2 =

( 0 10 0 ^ 10 11 0 10 1 0 110

а).

в).

^ узлы а Ь с а е %41 б) ^ узлы а Ь с а е я'

а 0 1 0 0 0 0 а 0 1 0 0 0 0

Ь 1 0 1 1 0 0 Ь 1 0 1 1 0 0

с 0 1 0 0 0 0 с 0 1 0 0 1 1

а 0 1 0 0 1 1 а 0 1 0 0 0 0

е 0 0 0 1 0 0 е 0 0 1 0 0 0

ч % 0 0 0 1 0 0 V ч % 0 0 1 0 0 0 V

' узлы а Ь с а е % ^ г) узлы а Ь с а е г'

а 0 1 0 0 0 0 а 0 1 0 0 0 0

Ь 1 0 1 1 1 0 Ь 1 0 0 1 0 0

с 0 1 0 0 0 0 с 0 0 0 0 0 0

а 0 1 0 0 0 0 а 0 1 0 0 0 1

е 0 1 0 0 0 1 е 0 0 0 0 0 0

ч % 0 0 0 0 1 0 > ч % 0 0 0 1 0 0 V

Рис. 2 . Матрицы узлов для листостебельных структур в виде графов с различными типами ветвления

Рис. 3. Модель развития листостебельного растения (1 - начало роста; 2 - росток; 3 - появление первых листочков;

4 - дальнейшее развитие листочков; 5-развитие ветвей;6 - дальнейшее развитие ветвей; ...; п -

происходит увядание растения)

Рассмотренные модели листостебельных материалов позволяют создать математические модели технологического процесса в виде графа и идентификации растительных объектов.

Радиальное изображение графа используется для описания математической модели развития растительного объекта. В качестве вершины размещаемой в центре берется один из уровней развития растения (рис.3). Из вершины выходят ребра, которые характеризуют направления ветвей. Рассмотрим 5 уровень развития растительного объекта.

Вершина 5 является начальной вершиной ребра, а каждая из точек 5і ( і=1,.. ,,п) бу-

дет конечной вершиной ребра. Расстояние между вершинами 5 и 5і будет длиной ребра и является самым коротким путем между этими вершинами. Диаметром графа будет наибольшее расстояние между вершинами 5 и наиболее удаленной вершиной.

На уровнях 5,6,.. растительный объект имеет наибольшую массу и ветви имеют максимальные значения длины. Если найти диаметр графа, то можно построить окружности с радиусами, кратными числам, которые характеризуют массу растения. Если длина і-го ребра попадает в границы построенных окружностей и большее количество ребер определяет зону с наибольшей растительной массой.

Для компьютерной реализации обобщенной математической модели развития растительного объекта лучше использовать модель в виде ориентированного дерева.

Рассмотрим модель в виде ориентированного дерева. Развитие растения идет от вершины 1 к вершине т и а, Ь, с, а, е, /, к ... являются ребрами. На каждом этапе развития происходит разветвление на п направлений с вершинами у'1,...,/ п, гдеу=1,...,т. Из каждой у вершины выходят ребра с различной длиной аі, Ьі, сі, аі, еі, А, кі, где і=1,., п. Модель можно представить в матричной форме согласно числу уровней и направлений. Ребра представлены буквами и числами. Буква соответствует уровню развития, цифра - направлению развития. Узлы представлены цифрами соответствующим образом. Так как учитываем направление роста растения, то матрицы узлов и ребер будут следующего вида:

^ уровни 1 2 3 4 . . т л

1 А Ві О О . . О

2 О 4 В 2 О .. . О

3 О О Аз Вз . . О

4 О О О А 4 . . О

. Вт-1

ч т О О О О .. . А1)

матрицы А] , В и О равны:

и

ґ уровни а Ь с й . . 5 1

а Аі Ві О О. . О

Ь О А2 В2 О. . О

с О О Аз Вз . . О

й О О О А4 . . О

. Вт-1

V 5 О О О О. . А1

А =

' 0 1 1 1 1 . . 1 > (1 0 0 0 0 . . 0 > ' 0 0 0 0 0 . . 0л

0 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 . . 0

0 0 0 0 0 .. . 0 0 0 0 0 0 .. . 0 0 0 0 0 0. . 0

0 0 0 0 0 .. . 0 В = 0 0 0 0 0 .. . 0 О = 0 0 0 0 0. . 0

0 0 0 0 0 .. . 0 0 0 0 0 0 .. . 0 0 0 0 0 0. . 0

V 0 0 0 0 0 .. . 0 > V 0 0 0 0 0 .. . 0; V 0 0 0 0 0. . 0,

В матрице ребер и узлов использованы следующие обозначения. Например, узел 1 (1 = 1,..,,т) связан с узлами _]1,.. .,_]п, то ставим 1, если нет - то 0. В матрице ребер 1 означает, что ребра отходят от линии уровней, в противном случае - нет. Для каждого ребра задаем его длину, которая характеризует верви растения. Если длина векторов а, Ь, с, ё, е, /, к в линии уровней увеличивается, то происходит рост растительного объекта..

Возможности теории графов позволяют построить модели растений со сложной геометрией. Они позволяют более гибко размещать элементы скелетной структуры растений и обходиться без пересечения. Долгое время в различных технологических процессах переработки сельскохозяйственной продукции для описания растительных объектов использовались упрощенные модели, без учета реальной формы. Для повышения эффективности данных процессов необходимо совершенствование рабочих органов, введение новых конструктивных решений и использование компьютерной техники. Именно такие перспективы открывает математическое моделирование растительных материалов.

Дальнейшее развитие целесообразно вести в следующих направлениях: разработка конкретных технологических процессов. создание программного обеспечения моделирования сложных процессов, в которых участвуют растительные объекты.

Литература:

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Мир, 1982.

2. Раздорский В.Ф. Архитектоника растений. - М.: Советская наука, 1955.

3. Математическое моделирование./ Дж. Эндрюс, Р. Мак - Лоун. - М.: Мир, 1979.

4. Владимирский Б.М., Горстко А. Б., Ерусалимский Я. М. Математика. Общий курс. -СПб.: Лань, 2002.