СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
METHOD FOR DETERMINATION OF COMPOSITE MATERIAL PROPERTIES

Изобретение относится к области измерения, в частности определения механических свойств материалов, и может быть использовано для определения упругих постоянных композиционных материалов неразрушающим способом.
Композиционные материалы обладают высокими прочностными свойствами, характеризуемыми, в частности, отношениями модуля к весу и напряжений к весу, обладают отличными усталостными характеристиками и хорошими коррозионными свойствами. Эти несомненные достоинства композиционных материалов способствовали их широкому внедрению в аэрокосмической промышленности. Поэтому понимание механического поведения композиционных материалов, при нагружении, является основой для применения их в качестве конструкционных материалов. Знание физических постоянных конструкционных материалов, таких как модуль упругости Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона v, всегда представляло интерес для инженеров-механиков. С появлением композиционных материалов и последующим их широким применением в промышленности эта проблема стала еще более актуальной и поэтому определенные экспериментальным путем физические постоянные композиционных материалов представляют большую практическую ценность.
x
y
xy
xy
yx
Хотя композиционные материалы анизотропны по своей природе, во многих случаях их свойства предполагаются однородными с точки зрения макромеханики и в расчет принимаются усредненные механические свойства, что приводит к неэффективному применению композиционных материалов. Для описания линейной связи между напряжениями и деформациями однонаправленного армированного композиционного материала при плоском напряженном состоянии необходимо иметь пять упругих постоянных: Е, Е, G v, v.
Известен способ определения механических свойств композиционных материалов по ГОСТ 25.602-80 [1], заключающийся в кратковременном испытании образцов из композиционного материала на сжатие с постоянной скоростью деформирования, при котором определяют:
<mrow><msubsup><mi>σ</mi><mi>в</mi><mi>с</mi></msubsup></mrow>
• предел прочности при сжатии
(напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца), МПа;
c
• модуль упругости при сжатии E - отношение напряжения к соответствующей относительной деформации, при сжатии образца в пределах начального линейного участка диаграммы деформирования, МПа;
c
• коэффициент Пуассона v - отношение поперечного относительного удлинения к продольному относительному укорочению образца, при сжатии в пределах начального линейного участка диаграммы деформирования.
Указанный стандарт распространяется на полимерные композиционные материалы, армированные непрерывными высокомодульными углеродными, борными, органическими и другими волокнами, структура которых симметрична относительно их срединной плоскости. Недостаток данного способа заключается в невозможности определения механических свойств композиционных материалов, армированных в поперечном направлении. Кроме того, данный способ обеспечивает определение характеристик материала только при одном виде нагружения - сжатии.
Для композиционных материалов изотропных в поперечном направлении, при описании линейной связи между напряжениями и деформациями, необходимо определить пять упругих постоянных. Обычно они определяются из вибрационных испытаний, результаты которых (формы и частоты колебаний) служат исходными данными, необходимыми для расчетного определения упругих постоянных с помощью метода конечных элементов (МКЭ).
Типичная методика заключается в возбуждении колебаний образца композиционного материала, как правило, по первому тону, измерении собственной частоты и подстановке ее значения в частотное уравнение, которое связывает собственную резонансную частоту с размерами, массой и упругой постоянной материала. Решая частотное уравнение, определяют упругую постоянную. Обычно образцы имеют простую геометрическую форму в виде балочек и стержней, которые используются для определения упругих постоянных, таких как модуль Юнга Е (модуль упругости), модуль сдвига G (модуль упругости второго рода) и коэффициент Пуассона v. Таким образом, для определения упругих постоянных всегда необходимо выполнить два условия. Первое, из эксперимента получить резонансную частоту образца материала. Второе, подставить частоту в теоретическую формулу и вычислить упругую постоянную. Эта процедура прописана в материалах ASTM standard E1875-00e1 [2], когда возбуждение колебаний осуществляется синусоидальным сигналом, и в материалах ASTM standard E1876-01 [3], когда возбуждение колебаний осуществляется ударным способом.
Стандарты [2, 3] относятся к прямым методам, когда проводится единственное испытание на образцах простой геометрической формы, такой как балочка или стержень, и с использованием известной формулы для каждого конкретного случая вычисляется модуль упругости или коэффициент Пуассона. Их трудно применить к более сложным образцам в виде прямоугольных пластин, поскольку собственные частоты колебаний пластин зависят от нескольких упругих постоянных, для определения которых необходимо знать не только собственные частоты, но и формы колебаний. Для изотропных круглых пластин со свободными краями можно применить методики, предложенные в указанных стандартах [2, 3], но они неприемлемы для пластин из ортотропных материалов.
Известны также способы определения модуля упругости посредством возбуждения колебаний образца для ячеистых керамических материалов [4], гетерогенных огнеупорных и углеродных материалов [5], слоистых композитных материалов [6], а также многослойных композиционных покрытий [7]. Указанные методы также не обеспечивают точного определения упругих характеристик ортотропных материалов.
Поскольку решение уравнений движения для прямоугольных пластин нельзя получить в аналитическом виде, то приходиться прибегать к численным методам. В литературе имеется множество примеров применения разнообразных математических моделей, методик, совмещающих теоретические и экспериментальные данные для определения упругих постоянных [8].
x
y
xy
xy
Наиболее близким к предлагаемому техническому решению является способ определения четырех упругих постоянных композитного материала путем резонансных испытаний прямоугольной пластины со свободными краями [9]. Применив метод Рица, авторы получили частотное уравнение с четырьмя упругими постоянными. Если известно точное значение частоты со колебаний и четыре упругие постоянные Е, Е, G и v,то при подстановке их в уравнение получится тождество, т.е. правая часть уравнения будет равна левой. Поэтому для определения четырех упругих постоянных необходимо определить собственные частоты четырех форм колебаний пластины и составить систему из четырех уравнений, в каждое из которых следует подставить численное значение экспериментально определенной частоты ω и индексы m и n, соответствующие форме колебаний, которая возбудилась на этой частоте.
x
y
xy
xy
Указанный способ заключается в следующем. Из композиционного материала, механические характеристики которого необходимо определить, изготавливают образец в виде тонкой пластины. Подвешивают пластину таким образом, чтобы обеспечить возможность возбуждения свободных колебаний. Ударным методом возбуждают колебания испытуемой пластины. Определяют резонансные частоты колебаний пластины. Значения указанных резонансных частот подставляют в систему уравнений (математическую модель) и определяют четыре упругие постоянные Е, Е, G и v.
x
y
z
xy
xz
yz
xy
xz
yz
Недостаток указанного способа заключается в невозможности определения девяти упругих постоянных, в полной мере характеризующих механические свойства ортотропного композиционного материала, а именно Е, Е, Е, v, v, v, G, G, G. Следовательно, указанный способ не может обеспечить точное определение механических свойств ортотропного композиционного конструкционного материала.
Задачей настоящего изобретения является повышение точности измерения механических свойств ортотропного композиционного конструкционного материала путем определения девяти упругих постоянных образца последнего динамическим способом. Дополнительной задачей изобретения является сокращение количества времени, необходимого для измерения характеристик образца композитного материала.
Техническим результатом является создание способа определения механических свойств ортотропного композиционного материала посредством возбуждения колебаний последнего.
x
y
xy
xz
yz
Поставленная задача решается тем, что в способе определения характеристик композиционного материала, при котором возбуждают колебания образца композиционного материала, выполненного в виде прямоугольной пластины, регистрируют частоты собственных колебаний пластины, на основании которых с использованием математической модели пластины определяют характеристики композиционного материала, согласно изобретению, при регистрации частот собственных колебаний пластины экспериментально получают соответствующие им картины форм колебаний пластины. Полученные картины форм колебаний и соответствующие им частоты собственных колебаний пластины разделяют на три группы, к первой из которых относят формы колебаний пластины с узловыми линиями, параллельными меньшей стороне прямоугольной пластины, ко второй группе - формы колебаний с узловыми линиями, параллельными большей стороне пластины, и к третьей - с узловыми линиями, параллельными обеим сторонам пластины. При этом характеристики композиционного материала определяют путем перебора значений модуля упругости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона, подставляя их в математическую модель пластины и сравнивая каждый раз вычисленную частоту колебаний для каждой формы колебаний с частотами и формами колебаний, полученными экспериментально, причем по частотам и формам колебаний, отнесенным к первой группе, определяют модуль упругости с индексом оси, параллельной большей стороне - Е, по частотам и формам колебаний второй группы определяют модуль упругости с индексом оси, параллельной меньшей стороне - Е, по частотам и формам третьей группы - модули сдвига G, G, G.
Указанные существенные признаки способа обеспечивают решение поставленной задачи с достижением заявленного технического результата, так как:
- экспериментальное получение картин форм колебаний пластины при регистрации частот ее собственных колебаний обеспечивает выявление форм колебаний характерных для данного композиционного материала, что влияет на точность определения (измерения) механических свойств ортотропного композиционного конструкционного материала;
- разделение экспериментально полученных форм колебаний и соответствующих им частот собственных колебаний пластины на три группы, к первой из которых относят формы колебаний пластины с узловыми линиями, параллельными меньшей стороне прямоугольной пластины, ко второй группе - формы колебаний с узловыми линиями, параллельными большей стороне пластины, и к третьей - с узловыми линиями, параллельными обеим сторонам пластины, обеспечивает распределение экспериментально полученных картин форм колебаний пластины по группам, характеризующим отдельные составляющие механических свойств композиционного материала, в частности модуля упругости Е, модуля сдвига G и коэффициента Пуассона v, сортировку экспериментально полученных форм колебаний и соответствующих им частот собственных колебаний пластины, что необходимо в последующем для более точного определения девяти упругих постоянных образца.
x
y
xy
xz
yz
-определение характеристик композиционного материала путем перебора значений модуля упругости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона с подстановкой их в математическую модель пластины и сравнением каждый раз вычисленной частоты колебаний для каждой формы колебаний с частотами и формами колебаний, полученными экспериментально, и определение по частотам и формам колебаний, отнесенным к первой группе модуля упругости с индексом оси, параллельной большей стороне - Е, по частотам и формам колебаний второй группы - модуля упругости с индексом оси, параллельной меньшей стороне - Е, по частотам и формам третьей группы - модуля сдвига G, G, G уменьшает вероятность ошибки при определении конкретных характеристик и обеспечивает, тем самым, повышение точности измерения механических свойств ортотропного композиционного конструкционного материала, а также сокращает количество времени, необходимого для измерения характеристик данного образца композитного материала.
В частном случае реализации заявленного способа для повышения точности измерения механических свойств ортотропного композиционного конструкционного материала за счет уменьшения вероятности ошибки определения девяти упругих постоянных образца композиционного материала, при переборе значений модуля упругости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона и подстановке их в математическую модель пластины, сначала осуществляют перебор значений модуля упругости, затем модуля сдвига и на заключительном этапе - коэффициента Пуассона.
В другом частном случае реализации заявленного способа повышение точности измерения достигают тем, что перебор значений модуля упругости, модуля сдвига и коэффициентов Пуассона завершают в момент расчетного выявления всех экспериментально полученных форм и частот колебаний пластины. Расчетное выявление всех экспериментально полученных форм и частот колебаний пластины обеспечивает максимально точное измерение характеристик композиционного материала, поскольку отражает все возможные модели механического поведения данного образца композиционного материала при его нагружении.
Для частного случая реализации заявленного способа, который обеспечивает сокращение количества времени, необходимого для измерения характеристик образца композитного материала, перебор значений модуля упругости, модуля сдвига и коэффициентов Пуассона завершают при достижении достаточной точности совпадения экспериментально полученных и вычисленных форм и частот колебаний пластины.
Заявленный способ определения механических свойств ортотропного композиционного материала посредством возбуждения колебаний последнего поясняется последующим подробным описанием со ссылками на иллюстративные материалы, где на
фиг.1 показаны экспериментально определенные формы колебаний ортотропной пластины 200×101×4 мм со свободными краями с первыми (низкими) частотами собственных колебаний (ЧСК);
фиг.2 - экспериментально определенные формы колебаний той же ортотропной пластины с последующими (более высокими) частотами собственных колебаний (ЧСК);
фиг.3 - схемы узловых линий форм и частот колебаний пластины, показанных на фиг.1 и 2, которые отнесены к первой и второй группам;
фиг.4 - схемы узловых линий форм и частот колебаний пластины, показанных на фиг.1 и 2, которые отнесены к третьей группе;
фиг.5 - сводная таблица, отражающая последовательность определения характеристик композиционного материала.
x
y
z
xy
xz
yz
xy
xz
yz
Перед пояснением существа заявленного способа отметим, что в модальном анализе имеются общепринятые способы расчета методом конечных элементов (МКЭ) форм и частот колебаний изотропных и ортотропных прямоугольных пластин с различными граничными условиями. Обычно выбирают пластину со свободными краями, для того чтобы свести к минимуму ошибки при вычислении собственных частот. Для ортотропных пластин помимо размеров и удельного веса входными параметрами являются девять упругих постоянных: Е, Е, Е, v, v,v, G, G, G.
Рассмотрим реализацию заявленного способа на примере образца ортотропного композиционного конструкционного материала, выполненного в виде пластины с размерами 200×101×4 мм и известным значением удельного веса.
Для определения форм и частот собственных колебаний (ЧСК) пластины ее закрепляют, оставляя свободными края пластины. Закрепление может быть осуществлено методом подвешивания, например, по схеме, приведенной в источнике [9]. После закрепления пластины ударным или иным методом возбуждают свободные колебания пластины и определяют формы и частоты ее собственных колебаний. Экспериментально определенные формы и частоты собственных колебаний пластины с размерами 200×101×4 мм показаны на фиг.1 и 2. Полученные картины форм колебаний сортируют по расположению узловых линий относительно большей и меньшей сторон пластины, отбирая в первую группу картины с узловыми линиями, параллельными меньшей стороне, во вторую группу - картины с узловыми линиями, параллельными большей стороне и в третью группу - картины с узловыми линиями, пересекающимися под прямым углом (см. фиг.3 и 4). Каждой картине формы колебаний соответствует своя частота собственных колебаний. Цифры под схемами означают наличие узловых линий, параллельных короткой и длинной сторонам пластины, и значение ЧСК. Например, цифры (2+0 678) под верхней левой картиной на фиг.3 означают, что данная схема описывает картину формы колебаний с двумя узловыми линиями, параллельными меньшей (короткой) стороне пластины, узловые линии, параллельные большей (длинной) стороне пластины, отсутствуют, а ЧСК=678 Гц.
x
y
z
xy
xz
yz
xy
xz
yz
x
z
xy
xz
yz
xy
xz
yz
Определение упругих постоянных прямоугольной ортотропной пластины производится путем численного моделирования поведения испытуемой пластины на компьютере. Созданная модель позволяет вычислять резонансные частоты и формы колебаний пластины, если известны ее размеры, масса и упругие постоянные. В созданную для испытуемой прямоугольной ортотропной пластины математическую модель в качестве исходных данных подставляем методом перебора девять упругих постоянных: Е, Е, E, v, v, v, G, G, G. Вычисления начинают с определения величины Е, которое производится на основании данных форм и частот колебаний, отнесенных к первой группе. Далее определяют величину Е, которую вычисляют на основании данных форм и частот колебаний, отнесенных ко второй группе. Затем методом перебора вычисляют значение E. Далее переходят к определению значений модуля сдвига G, G, G, которые вычисляют на основании данных форм и частот колебаний, отнесенных к третьей группе. На заключительном этапе переходят к определению значений коэффициента Пуассона v, v, v.
Основной принцип метода заключается в сравнении вычисленных частот для известных форм колебаний с частотами, полученными экспериментально, при этом упругие постоянные рассматриваются как неизвестные. Вычисления частот начинают с подстановки пробных значений упругих постоянных в числовую модель, при этом полученные значения частот сравниваются с экспериментальными. Затем осуществляется корректировка упругих постоянных и вычисляется новый ряд частот и т.д. Перебор значений осуществляется до тех пор, пока разность значений вычисленных и экспериментальных частот не достигнет минимума, определяемого тем или иным критерием.
Проблема идентификации упругих постоянных может быть рассмотрена как проблема оптимизации, когда минимизируется расхождение между экспериментально полученными частотами реального образца и частотами, полученными из математической модели, основанной на подстановке в нее предполагаемых значений упругих постоянных для математической модели образца, т.е. минимизируется функция:
<mrow><mi>F</mi><mrow><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><mrow><msup><mrow><mo>{</mo><mfrac><mrow><msub><menclose notation="horizontalstrike"><mo>∫</mo></menclose><mi>e</mi></msub><mo>−</mo><msub><menclose notation="horizontalstrike"><mo>∫</mo></menclose><mi>t</mi></msub></mrow><mrow><msub><menclose notation="horizontalstrike"><mo>∫</mo></menclose><mi>t</mi></msub></mrow></mfrac><mo>}</mo></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mstyle></mrow>
e
t
где F является целевой функцией упругих постоянных, число которых может быть равно 4, 5 или больше. Собственные частоты, полученные экспериментальным путем, обозначаются через ƒ, а полученные методом конечных элементов - ƒ. В целевой функции используется n экспериментальных частот.
Для оптимизации целевой функции могут быть использованы различные методы - от метода наименьших квадратов до генетических алгоритмов [10]. Подход к решению задачи оптимизации целевой функции в этих случаях не является оптимальным, поскольку он носит статистический, а не физический характер, когда решается уравнение движения исследуемой пластины. Поэтому важна не минимальная разность между теоретическими и экспериментально найденными частотами, а максимально возможное число форм колебаний пластины в широком диапазоне частот, выявленное при подстановке упругих постоянных в дифференциальное уравнение колебаний пластины. Критерием окончания расчетов будет являться момент, когда количество форм колебаний и их вид, определенных расчетным путем, совпадет с найденными экспериментально в широком диапазоне частот, т.е. с каждым шагом вычислений последовательно увеличивается количество расчетно обнаруженных частот и форм колебаний.
x
y
z
xy
xz
yz
xy
xz
yz
Пример последовательности расчетных итераций приведен в таблице на фиг.5. В указанной таблице в графе ″Упругие постоянные″ для каждого варианта расчета в первом столбце располагаются модули Е, Е, Е во втором столбце - коэффициенты Пуассона v, v, v; в третьем столбце - модули сдвига G, G, G.
1
эксп
2
эксп
Предварительные значения модулей Е считаются найденными, когда они попадают в вилку, образованную вычисленными частотами ω,<ω<ω, где ω- значение частоты, определенное экспериментально для форм колебаний группы 1 и группы 2.
Аналогичным образом поочередно определяются три модуля сдвига G. В последнюю очередь производится вычисление коэффициента Пуассона.
Процесс вычислений считается законченным, когда расчетным путем будут определены формы колебаний всех частот, найденных экспериментально.
x
y
z
xy
xz
yz
xy
xz
yz
Реализация заявленного способа обеспечивает повышение точности определения характеристик композиционного материала, поскольку позволяет определить девять упругих постоянных: Е, Е, Е, v, v,v, G, G, G. В связи с этим понимание механического поведения композиционных материалов при нагружении является более полным, а расчетное проектирование и расчет напряженного состояния деталей, изготовляемых из композиционных материалов, будет более точным.
Источники информации
1. ГОСТ 25.602-80 «Методы механических испытаний композиционных материалов с полимерной матрицей (композитов)».
2. ASTM Standard El875-00e1, Standard test method for dynamic Young′s modulus, and Poisson′s ratio by sonic resonance, Book of Standards, Volume 03.01.
3. ASTM Standard El876-01, Standard test method for dynamic Young′s modulus, shear modulus, and Poisson′s ratio by impulse excitation of vibration, Book of Standards, Volume 03.
4. Патент США №7802478, НКИ 73/579, 2010.
5. Заявка США №20070157698, НКИ 73/12.01, 2007.
6. Патент США №6535076, НКИ 73/597, 2003.
7. Патент РФ №2220412, МКИ G01N 3/00, 2003.
8. Recent progress in identification methods for the elastic characterization of materials. Leonardo Pagnota, International Journal of Mechanics, Issue 4, Volume 2, 2008, 129-140.
9. Патент США №5533399, НКИ 73/579, 1996.
10. Elastic constants of composite materials by an inverse determination method based on a hybrid genetic algorithm. S.F. Hwang, J. C. Wu, Evgeny Barkanovs, Rimantas Belevicius, Journal of Mechanics, vol.26, No. 3, September 2010.