Эти разные интегралы

ПЕДАГОГИКА ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

УДК 51?

А.А.Бокк ЭТИ РАЗНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Понятия производной, первообразной и определенного интеграла излагаются в школьном курсе математики, причем определенный интеграл вводится как предел интегральных сумм (Мордке-вич А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11кл.), как приращение первообразной (Амилов Ш.А. и др.) или с рассмотрением его свойств и приложений в учебных заведениях с углубленным изучением математики (Виленкин Н.Я.и др.).

Однако студент технического вуза должен владеть основными понятиями дифференциального и интегрального исчисления в большем объеме и, особенно, с практической, вычислительной стороны. Межпредметные связи, интересы других дисциплин требуют от студента уже в первых семестрах определенных навыков в вычислении интегралов и дифференцировании функций нескольких переменных.

В курсе математики основные идеи, факты, понятия необходимо напоминать неоднократно, развивая и обобщая их. Конкретные задачи естествознания или техники выступают первотолчком к введению их математических представлений (понятий). Появляясь сначала на интуитивном уровне, эти понятия получают затем строгие определения, уточняются их свойства и возможные приложения. Следующий этап, если позволяет время, - возможные обобщения и краткий обзор эволюции данного понятия.

Задача восстановления функции по ее производной упоминается уже в теме «Производная». В курсе высшей математики студент встречается с доброй дюжиной интегралов: по отрезку, двойной или по плоской области, три типа криволинейных, три типа поверхностных, два рода несобственных, кратные, Римана, Лебега, Стильтьеса.

Полагаю, что следует начать с определенного интеграла как приращения первообразной1.

Определение 1. Пусть функция £ непрерывна на [а,Ь] и ^ - ее первообразная. Число

1 Преимущество такого введения понятия об интеграле отстаивал акад. А.Н.Колмогоров в ряде методических статей 60-70-х годов (см. также учебники : «Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа, 10 кл. » изд. 1979 и 1991 г.).

J = F(b) - F(a) = f f(x)dx

называется интегралом от функции / по отрезку [<а,Ь].

Такое введение определенного интеграла легко запоминается. Просто доказать все свойства интеграла, нетрудно придать физический смысл интегралу как перемещению прямолинейно движущейся точки за время от ґа=а до ґк=Ь со скоростью у=/(ґ) или геометрический - как площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной прямыми х=а, х=Ь, у=0 и графиком функции у=/(х)».

Формула Ньютона-Лейбница (1), являясь определением, в доказательстве не нуждается. Легко выводятся на ее основе и популярные квадратурные формулы прямоугольников и трапеций.

Из оценки неубывающей на [хк, хк+1] функции Дхк)<<(х)< Дхк+1) после интегрирования по [хк,

п-1

хк+1] и суммирования

к=0

следуют неравенства

п-1 п-1 хк+1

^ /(хк) 'Ахк | = '1 =

k=0

k=0

xk

n-1

= f f(t)dt <T f(xh+\) 'Axk •

a k=0

Переход к пределу при max Axk ^0 (n^ c) для непрерывной на [a,b] функции f даст n-1 n-1 xk+1

lim T f(xk) •Axk < lim T f f(t)dt = J =

n^-c J

Axk k=0

k=0 n-1

xk

= [ £(г)<И < Им V £(хк +!) -Ахк . а Ахк к=0

Второе определение интеграла (предел интегральных сумм) возникает вполне естественно для неубывающей и непрерывной на [а,Ь] функции £ имеющей первообразную.

Определение 2. Интегралом от функции f по отрезку [a,b] называют предел интегральных

n-1

сумм (Sn = T f(ck) •Axk , Ck£ [a,b] ) - число k=0

n-1

J = lim T f

max Axk ^0 k=o

если этот предел не зависит от способа разбиения n-1

[a,b] на части ([a,b] = U [xk,xk+1 ] ) и от вы-

k=0

бора cke[a,b] .

Подчеркнем, что второе определение более общее, чем первое. Оно не требует от функции f существования первообразной, допускает рас-

пространение на случай, когда область D интегрирования не только отрезок оси Ox. Но первое определение предпочтительнее: определенный

интеграл чаще всего вычисляют именно как приращение первообразной.

Для сопоставления благодарна задача нахождения площади криволинейной трапеции (под-

графика непрерывной функции f(x)>0).

С одной стороны, приращение площади S(x)-S(a) подграфика функции f , исходя из неравенств min f(x*)<AS/Ax <maxf(x*) при x*e[x, x+Ax], дает равенство dS/dx=f(x) при предельном переходе Ax^0, то есть S(x)-S(a) действительно первообразная для f и b b S = S(b) - S(a) = f S' (x)dx = f f (x)dx.

aa С другой стороны, для площади S как общего предела последовательности {Sn+} «объемлю-

щих» и последовательности {Sn-} «объемлемых» ступенчатых фигур (рисунок, заштрихована площадь d4) имеем

n-1 n-1

Sn- = T (minf) x Axk < T f(ck) •Axk < k=0 Axk k=0

n-1 +

< T (maxf) x Axk = S+ k=0 Axk

(здесь ck - произвольная точка интервала [xk, , xk+Axk]). Разность n-1

S = lim Sn = lim Sn

i* _ dn

n-1 k=0

S

-T f(ck)Axk

k=0

max f - min f

1 Axk Sn Sn

стремится к нулю при max Axk ^0 (n^ c). Это напомнит и определение площади

п^ю п^ю Таким образом, для дифференцируемой функции ^ (f=F’), если £ непрерывна на [а,Ь], определения 1 и 2 дают одно и то же число /.

Геометрический смысл интеграла

b

f f{ x}dx, f(x)>0

как площади S подграфика функции или его механический смысл как массы т отрезка [а,Ь] с переменной плотностью р=£(х) >0 ссохраняются и для кратных интегралов, криволинейных и поверхностных интегралов I рода, несобственных интегралов.

Различные виды интегралов сводятся к единому определению интеграла как предела интегральных сумм.

Определение 3. Пусть функция £: Б^Я1 задана на области Б пространства X. Разобьем Б на конечное число непересекающихся подобла-п -1

стей Бк (Б = и Бк ) той же размерности, что и Б к = 0

меры т(Бк). Возьмем произвольные точки Мк в областях Бк и построим интегральную сумму и-1

$и =2 £(Мк ) • т(Бк) .

и=0

Предел интегральных сумм 8п при

d = maxd(Dк ) ^ 0 к

^ (Бк) - диаметр области Бк) - число

п-1

/ = Им V £

Л V п

d ^0

n=0

при условии его независимости от способа разбиения Б на подобласти и выбора точек Мк называется интегралом от функции £ по области Б

/ = ^ £(М )dm .

Определение 3, повторяя и обобщая определе-

ние 2, требует уточнения слов «область», «пространство», «размерность», «диаметр области», «мера» и, разумеется, сложнее определения 1.

Легко видеть, что все разновидности интегралов сводятся к единому определению 3.

1. При х=Я1, Б=[а,Ь] оно дает

Ь

| £(x)dx.

а

2. При х=Я2, Б - ограниченной замкнутой области размерности 2 получаем двойной интеграл

£(х,у)dxdy.

3. При х=Яи, Б - ограниченной замкнутой области размерности п получаем и-мерный интеграл

| £ (М )<Лт .

4. Несобственный интеграл 1-го рода (интеграл по неограниченному промежутку [а,ю), (-ю, Ь] или (-ю,ю) ) определится как предел «собственного» интеграла, например

Ь ю

1т I £(х)dx =1 £(х)dx .

Ь—ю *

аа

5. Несобственный интеграл 11-го рода (интеграл от неограниченной в точке х=а (х=Ь или х=с, а<с<Ь) функции £ определится как предел «собственного» интеграла, например

Ь

1т I £(х)dx .

£——0

а+£

Несобственные интегралы возникают, когда область Б интегрирования неограниченна или (и) содержит особые точки бесконечного разрыва подинтегральной функции, мера которых равна нулю (размерность множества точек разрыва должна быть ниже размерности области Б). Вводится последовательность расширяющихся, без особых точек, ограниченных подобластей Бк области Б так, что Б1с Б2с ... и Б = ИтБк . Если

к

для любой такой подобласти

I £(М)Лт = /к

и 1т/к = /, а число / не зависит ни от способа

к

построения последовательности Бк, ни от выбора точек Мк еБк , то оно и будет несобственным интегралом

| £(М)dm.

6. Криволинейный интеграл 1-го типа по гладкой дуге (АВ) простой линии (Ь)2 отвечает определению 3, если Б - дуга (АВ), плоская или пространственная. Дуга (АВ) разбивается на и под-дуг точками А0, А1, . ..Ди, лежащими на ней, и в интегральной сумме 8и дуги (Ак,Ак+1) заменяются длинами их хорд | АкАк+1 |

и-1 _______

$и = V £(Мк )АкАк+1, к=0

Mk^(Ak,Ak+1), \АкАк+1 \—0, а предел значений Sn называется криволинейным интегралом

I £(м)\7т\,

здесь dr - вектор - элемент касательной к дуге (АВ) в ее точке М. Конечно, должна соблюдаться независимость предела от способа разбиения дуги на поддуги и выбора точек.

7. Криволинейный интеграл 11-го типа

I а(М )\dr\

сводится к криволинейному интегралу 1-го типа, если в последнем взять

£(М ) = а(М ) • dr / \dr\ .

Физический смысл этого интеграла - работа по перемещению точки единичной массы силой а по направленной дуге (АВ).

8. Криволинейный интеграл Ш-го типа

I а

имеет смысл суммарного момента силы а при перемещении точки М по направленной дуге (АВ).

Если ввести вектор £(М) = а(М) • dr/\dr\ с проекциями £1(М), £2(М), £3(М) (здесь напри-

мер £1(М) = и•рох£(М)), то каждая проекция вектора - интеграла / = I а(М) х dr на соответ-

ствующую ось сведется к вычислению интеграла 1-го типа.

9. Если Х=Р3, Б - ограниченная замкнутая

2 Дуга (АВ) называется гладкой, если ее вектор касательной т 0 = dr / \dr\ поворачивается непрерывно

от точки к точке.

Линию называют простой, если она составлена из конечного числа гладких дуг таких, что каждая дуга имеет с любой прямой, параллельной оси Ох или Оу, пересечение не более, чем в одной точке, либо по целому отрезку (для пространственной дуги вместо прямых берутся плоскости, параллельные координатным осям.

простая поверхность п, то определение 3 приводит к поверхностному интегралу 1-го типа

I £(М)-\^\

где dS - вектор - элемент касательной плоскости к поверхности п в ее точке М с направлением нормали ио = dS / \dS\, а | dS | - площадь кусочка этой плоскости.

Физический смысл такого интеграла - масса поверхности пс переменной плотностью р = £(М) >0.

Поверхностный интеграл 11-го типа

I а(М ) • \ dS |

сводится к интегралу 1-го типа, если принять в

нем £(М ) = а(М )•dS /\dS\. Физический смысл

- количество жидкости (газа), протекающего за единицу времени со скоростью а через поверхность - поток векторного поля (а, п). Поверхностный интеграл 111-го типа

I а(М ) х dS

сводится к сумме трех интегралов первого типа (аналогично криволинейному). Поверхностный интеграл 111-го типа по границе дБ тела Б называется вращением поля (а, дБ).

10. Интеграл Лебега / = ^ f(M)dm опреде-

ляется через предел интегральных сумм и-1

Sn =2£(Мк)т(Бк), к=0

где множество Бк - прообраз промежутка [ук,ук+1) оси Оу при отображении области Б функцией £:

Б—Я1. Область £ значений функции £ разбиваем точками ук на и непересекающихся промежутков

и — 1 1

(£ С и [Ук,Ук +1) , Бк=£ ^Ук+Л к=0

и -1

Бк с и Бк ), к=0

точка МкеБк выбирается в Бк произвольно , т(Бк) -мера множества Бк пространства Х. Предел значений Sn при тах\ук+1-ук\—0 и наиболь-

Поверхность называется простой, если она составлена из кусков (Ап) гладких поверхностей таких, что каждый из них любая прямая, параллельная одной из координатных осей, «пронзает не более чем в одной точке. Поверхность считается гладкой, если орт нормали к ней поворачивается от точки к точке непрерывно.

шем из диаметров ё(Бк)—0) не должен зависеть

ни от способа разбиения £ на промежутки [ук,ук+1), ни от выбора точекМкеБк.

Всякая интегрируемая по Риману функция £ интегрируема и по Лебегу, обратное верно не все-гда4. Суммируемые по Лебегу функции образуют нормируемые пространства ЬР(Б) с нормой ( Л1 /Р

I\£(М)\Р dm

Для почти всех встречающихся на практике функций интеграл Римана и интеграл Лебега совпадают.

11. Если Ф - неубывающая функция и мера

промежутка [а,Ь) на оси Ох есть

т([а,Ь)) = Пт Ф(х) -Ф(а) ,

х—Ь,х<Ь

определение 3 приводит к интегралу Стильтьеса5 Ь

dФ.

Если при этом Ф дифференцируема, то Ф=Ф'(х)ёх и ,обозначая Ф'(х)= (р(х), получим интеграл с весом р

ЬЬ £(х)^Ф = (Я)I £(х) • р(x)dx .

Разумеется, приведенное выше лишь схема сведения разновидностей интеграла к единому определению, но и она дает возможность с единой точки зрения трактовать различные типы интегралов, встречающихся в курсе математики технических вузов.

Заметим, кстати, что интегральная сумма

Лебег Ф.-Л. (1875-1941) - французский математик, создатель современной теории мера и интеграла.

Риман Г.-Ф. (1826-1866) -немецкий математик, дал, в частности, необходимые и достаточные условия интегрируемости функции (поРима-ну).

Функция Дирихле

1, если х - рациональное число и(х)= { „

0, если х - иррациональное число

не интегрируема по Риману. Ее интеграл по Лебе-

1

гу (Ь^! d(x)•dx = 0, ибо мера множества рацио-

0

нальных чисел равна нулю.

5 Стильтьес Т.-И. (1856-1894) - нидерландский математик, в частности, он пришел к обобщению интеграла, названного его именем.

п-1

$п =2 /

к=0

есть интеграл от ступенчатой функции, постоянной на каждой подобласти Бк. Интегрируемую функцию £ можно представить пределом ступенчатых функций ри(М)=£(Мк) на области Бик, так

что = {М:\£(М) — рn(M)\<£n} , £и—0 при п—ю; для каждого и свое разбиение Б на сумму

I-1

непересекающихся подобластей Б = ^ Б

к=0

І-1

Sl =2 £(Мк ) • т(Бк ) = к=0

= \ри(М )dm — Г £ (М )dm.

^ и,1 ——ю •*

Класс интегрируемых функций получается замыканием множества всех ступенчатых функций. Отметим основные свойства интеграла:

1) линейность

I [£1(М) + а- £ 2(М^т =

= Ifl(M)dm +а I£2(M)dm;

2) аддитивность

I f

Б1пБ2=0,

3) монотонность6: из неравенства £(М)<ё(М) на области Б следует

I £(М )dm < I %(М )dm ;

4) 11 • dm = т(Б) ;

5) теореме существования: для всякой непрерывной на компакте Б функции £ существует интеграл / = I £(М)dm .

В силу единства определения 3 достаточно доказать эти свойства для одной разновидности интеграла.

Свойство 1 говорит, что интеграл есть линейный функционал 1(£) над классом интегрируе-

6 Свойство монотонности равносильно свойству неотрицательности интеграла: из ДМ)>0

следует

I £(М)ё.т > 0 .

мых функций.

Свойства 2 и 3 определяют интеграл как аддитивную функцию над алгеброй измеримых множеств, а при £>0 служит мерой множества Б.

Каждая величина Т, если она одновременно линейный функционал и аддитивная функция множеств Т=£(£,Б), «рядится в платье интеграла».

Можно вообще определить интеграл абстрактно как линейный функционал на классе Е функций, одновременно являющийся аддитивной функцией множеств на алгебре измеримых множеств 7.

Если Т(£,АБ) ~ £(М) •т(АБ) и при этом АТ=ёТ+0(\т(АБ)\), то величина Т выражается

интегралом I£(М)dm = Т(£,Б) .

Не в этом ли скрыта возможность многочисленных приложений интеграла? Именно интегралом выразятся длина, площадь, объем, масса (это все меры), статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты силы, поток, циркуляция и вращение векторного поля.

В векторном анализе не только поток П = Ца

вращение В = - // а

рактеристики поля, такие как градиент

# ЯММ

ха-

(grad / )(М) = Ііт

d(D )^0

ЩЫт

расходимость (div а)(М) = Ііт

вихрь (гвґ а)(М) = Ііт

d(D )^0 Щит

- фах Ж

d(D )^0 Щит

(область Б

Компакт - ограниченное замкнутое множество, из всякого покрытия которого открытыми

множествами Gа, Е = и Са можно извлечь ко-

а

нечное покрытие Е = и Са . Алгебра множеств

а = 1

- система множеств, содержащая вместе с мною

жествами {Ак} их объединение и Ак , пересече-

к = 1

ю

ние I Ак и дополнение Ак=Х-Ак. к=1

п

стягивается в точку М - диаметр d(D)^0; д -граница).

Конечно, координатное представление этих характеристик проще и чаще употребляемо:

, , і д/ д/ -г д/ grad f =i & + j ay + kH-

div a =

д(ax) + д(ay) + K0i1

дx

Єу

дz

rot a =

i

д

дx

a

x

j

д

ду

a

y

k

д

ді

az

но интегральное представление обладает не только большей общностьюЬ отсутствием требования дифференцируемости, но и очевидным физическим смыслом.

Формулы Ньютона-Лейбница, Грина-Стокса, Остроградского-Гаусса8 связывают интеграл от дифференцируемой формы по многообразию с интегралом по ориентированному краю этого многообразия:

Ь

I £(х^х = Е(Ь) - Е(а), Е'(х) = £(х) ;

rot a - dS = | a - dr ;

Iffdiv a- dm = ||a -dS ;

III

rot a dm = -

x dS .

Векторная форма записи этих формул удобнее для запоминания и содержательнее скалярнокоординатной.

С этими формулами связан вопрос о независимости интеграла от пути интегрирования, вопрос о потенциальности поля ^ а х dr = 0 по

любой замкнутой линии (Ь) в векторном поле

Гаусс К.-Ф. (1777-1855) - великий немецкий математик, заложил основы теории потенциала, опубликовал упомянутую выше формулу.

Грин Д.(1797-1841)- английский математик и физик, в 1828г. получил известную формулу Грина.

Остроградский М.В. (1801-1861) - русский математик, в1829 г. установил упомяную формулу и ряд ее обобщений.

Стокс Д.-Г. (1819-1903) - английский математик и физик, опубликовал формулу Стокса в 1854 г.

(a,D) и соленоидальности поля a • dS = 0 на

любой замкнутой поверхности (п) векторного поля. Приведенные формулы и произвольность границы (dD) дадут эти условия в виде

rot а = 0, div( а) = 0 соответственно в точке М

поля (a,D) .

Здесь напрашивается переход к уравнениям Лапласа div(grad U)=0 и Пуассона div(grad U)=-4 пр, к задачам Дирихле и Неймана теории поля9.

С помощью формулы Остроградского-Гаусса выводится уравнение неразрывности течения

жидкости -тр + div( ра) = 0 и уравнение тепло-

проводности срд^- = div

работают при выводе уравнений Максвелла10 электромагнитного поля, без них невозможна и теория потенциала.

Автор статьи:

Бокк

Артур Андреевич - канд. физ.-мат.наук, доц. каф. высшей математики Тюменского нефтегазового

университета

Лаплас П.-С. (1749-1827) -французский астроном, математик, физик.

Пуассон С.-Л. - французский математик и механик.

Дирихле П.-Г.-Л.(1805-1859) - немецкий математик, создатель аналитической теории чисел и автор важных работ по теории функций.

Нейман К.-Г. - (1832-1925) - немецкий математик, исследовал вторую краевую задачу.(не путать с Джоном фон-Нейманом - создателем теории автоматов -отцом ЭВМ).

10 Максвелл Д.-К. (1831-1879) - английский физик и математик, выразил законы электромагнитного поля в виде системы четырех дифференциальных уравнений (уравнения Максвелла).

126

А.А.Бокк