Влияние перекрестной связи на динамику кориолисового вибрационного гироскопа

УДК 531.383

ВЛИЯНИЕ ПЕРЕКРЕСТНОЙ СВЯЗИ НА ДИНАМИКУ

КОРИОЛИСОВОГО ВИБРАЦИОННОГО ГИРОСКОПА

В.В. Матвеев, В.В. Лихошерст

Анализируются характеристики кориолисова вибрационного гироскопа (КВГ) с учетом перекрестной связи в уравнении первичных колебаний, которую часто не учитывают при исследовании динамики КВГ. Показано, что такая перекрестная связь значительно сужает линейную зону характеристики КВГ без контура компенсации кориолисова ускорения. Предложен способ формирования выходного сигнала разомкнутого КВГ, позволяющий расширить линейную зону характеристики КВГ, экспериментально подтвержденный на волновом твердотельном гироскопе как классе КВГ. Приведена структурная схема КВГ для огибающих первичных и вторичных колебаний с учетом перекрестной связи, более точно отражающая характеристики КВГ в широком диапазоне угловых скоростей основания.

Ключевые слова: кориолисовый вибрационный гироскоп, перекрестная связь, нелинейность, волновой твердотельный гироскоп.

Введение. Кориолисовые вибрационные гироскопы (КВГ) - класс вибрационных гироскопов, которые в своей конструкции содержат материальный объект (резонатор), совершающий быстрые периодические движения, и чувствительный вследствие этого к вращению в инерциальном пространстве [1]. Носителем таких колебаний могут быть вибрирующие балки, камертоны, оболочки, пластины и т.п. [2]. К КВГ относят и так называемые волновые твердотельные гироскопы (ВТГ) с носителем быстрых периодических движений в виде осесимметричного упругого тела, в котором возбуждаются стоячие волны [1].

Анализ характеристик КВГ осуществляется на основе исследования уравнений движения резонатора в режимах возбуждения и чувствительности соответственно. Математическая модель КВГ приведена в многочисленной литературе, которая, как правило, сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих первичные (режим возбуждения) и вторичные (режим чувствительности) колебания, предложенные Д. Линчем (D. Lynch) [2 - 3], вытекающая из рассмотрения движения двумерного линейного осциллятора и с некоторой модификацией может быть представлена так:

11

л&1 + 2Xo\xi + («2 - W2)xi = f 0 sin vt + 2^iOx&2 + ^iWx2,

x2 + 2X«2x2 + («2 - W2)x2l = -2K2Wx1 - N2Wx1,

где x2 ; щ, с2- фазовые координаты и собственные частоты резонатора в режиме возбуждения и чувствительности соответственно; X - относительный коэффициент демпфирования; О - угловая скорость основания;

22

K1, K2 - коэффициенты кориолисовых сил (моментов); N1, N2 - коэффициенты углового ускорения; f0, n - амплитуда и частота, ускорения резонатора, придаваемая внешними силами (моментами).

В большинстве работ по теории КВГ [4 - 9], в том числе и в работах Линча (Lynch) [2, 3], утверждается: «... the open-loop CVG design parameters are such that x2 always remains small compared to x1 , we neglect the x2 terms in the xi equation ... in the analysis...» («параметры конструкции КВГ с разомкнутым контуром таковы, что xi всегда остается небольшим по сравнению с xi, поэтому при анализе мы пренебрегаем слагаемыми xi в уравнении xi...»).

Пренебрежение перекрестной связью 2 KiW x2 в первом уравнении системы (1) позволяет его решить независимо от второго при постоянной угловой скорости основания W, что значительно упрощает исследование динамики КВГ. Целью настоящей статьи является оценка влияния перекрестной связи 2K1Wx2 на основные характеристики КВГ и установление границ, допускающих пренебрежения ею.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований. Для анализа влияния перекрестной связи были проведены экспериментальные исследования волнового твердотельного гироскопа с металлическим резонатором как класса КВГ, совместного производства: Мичуринский завод «Прогресс» - «Тульский государственный университет» (рис. 1) с добротностью 30 000 и собственной частотой »5941 Гц, что соответствует постоянной времени Г»1,52 с.

Рис. 1. Волновой твердотельный гироскоп с металлическим резонатором - класс КВГ

На рис. 2 приведены экспериментальные графики зависимости амплитуд первичных (сигнал пучности) и вторичных (сигнал узла) колебаний КВГ (К = К2 » 0,4) от угловой скорости основания в резонансном режи-

23

ме, которые позволяют сделать вывод о недопустимости пренебрежения перекрестной связью 2К]Ох2 ибо в таком случае график на рис. 2, а был бы в виде прямой линии в широком диапазоне угловых скоростей.

о 20 40 60 80 100 о 20 40 60 80 100

П,°/с П,°/с

а б

Рис. 2. Зависимость амплитуд первичных и вторичных колебаний КВГ с металлическим цилиндрическим резонатором от угловой

скорости основания

На рис. 2 приведены также теоретические зависимости амплитуд установившихся первичных и вторичных колебаний, полученных на основе частных решений системы уравнений (1) в резонансном режиме с учетом упомянутой выше перекрестной связи:

уст _ Т/0 уст _ Т К2/0 О

Х10 " „ ^^ Х20 _ 2п л rл2,

2п(1 + пО2) 2п 1 + пО2

где Т _ 2Q / V - постоянная времени резонатора (Q _ 1/(2^) - добротность), п _ К1К2Т2 - коэффициент нелинейности, введенный авторами, характеризующий нелинейную зависимость амплитуд колебаний от угловой скорости основания.

Аналитические соотношения (2) дают высокую сходимость с результатами экспериментов с ВТГ. Правомерен вопрос о влиянии перекрестной связи на другие типы КВГ. Так, например, для одномассового КВГ ЬЬ-типа Кх _ К2 _ 1, поэтому п _ Т2 ; для одноколечного КВГ ЛЛ-типа соотношение моментов инерции таково, что Кх » 0,5 , К2 »1, следовательно, п _ 0,5Т2. На рис. 3 приведены графики функции /(О) _О/(1 + пО2) для трех типов КВГ: одномассового КВГ ЬЬ-типа, одноколечного ЛЛ-типа и КВГ на основе ВТГ с коэффициентом Брайна К = 0,4. Если допустить нелинейность выходного сигнала КВГ без контура компенсации в 1 %, контролируемого по амплитуде вторичных колебаний, то диапазон измерения одномассового ЬЬ-типа составит всего 3,6 °/с, одноколечного КВГ

ЛЛ-типа - 5 °/с, КВГ на основе ВТГ - 9 °/с, при постоянной времени Т = 1,5 с. Максимум амплитуды вторичных колебаний достигается при угловой скорости Отах = 1/4п . Для ВТГ это соотношение может быть записано так:

О = 1 = у

Отах = тК ~ 2QK '

Если параметры резонатора ВТГ таковы, что собственная частота V = 6 кГц, добротность Q = 3104, коэффициент Брайна К = 0,4, то максимум амплитуды вторичных колебаний (сигнала узла) будет достигаться при угловой скорости основания 90 °/с, что свидетельствует из анализа рис. 2, б.

О 10 20 30 40 50

П,°/с

Рис. 3. Графики функции /

Таким образом, если рассматривать КВГ без контура компенсации кориолисового ускорения и в качестве информативного параметра использовать амплитуду вторичных колебаний, то в этом случае КВГ будет обладать чрезвычайно малым линейным диапазоном (до 10 °/с).

Для преодоления этого ограничения при работе КВГ без контура компенсации предложено формировать сигнал об измеряемой угловой скорости как отношение амплитуды вторичных колебаний к амплитуде первичных:

хуст / х{™ = ТК2О,

которое линейно зависит от угловой скорости основания, что подтверждается результатами экспериментов с ВТГ (рис. 4). Кроме того, тезис о том, что х2 всегда остается небольшим по сравнению с х1, является спорным, так как из формулы (4) следует равенство амплитуд первичных и вторич-

г ~ уст уст ~ гл гл

ных колебаний х20 = х^ при угловой скорости О = Отах, определяемой из соотношения (3).

40 60 80 100

Рис. 4. Экспериментальная зависимость отношения амплитуд вторичных колебаний к первичным КВГ с металлическим цилиндрическим резонатором от угловой скорости

Интересно заметить, что соотношение (4) соответствует случаю, когда информация об угловой скорости основания формируется по амплитуде вторичных колебаний, а перекрестная обратная связь отсутствует.

Структурная схема КВГ по огибающим колебаний резонатора. В работах [4 -5] впервые в отечественной литературе были получены передаточные функции по огибающим выходного сигнала КВГ, что позволяет проводить анализ и синтез КВГ без учета высокочастотной несущей колебаний резонатора. Показано [4 - 7], что огибающая выходного сигнала КВГ с резонансной настройкой достаточно точно описывается передаточной функцией апериодического звена первого порядка:

К2

*2С*)

Т

х2

2К2Ох^) 2пТ +1)

Учитывая тот факт, что операции дифференцирования сигнала для огибающей соответствует умножению на частоту V, структурную схему КВГ для случая резонансной настройки по огибающим с учетом перекрестной связи можно представить в виде, представленной на рис. 5.

Структурная схема на рис. 5 соответствует случаю постоянной угловой скорости основания и резонансной настройке по контуру первичных и вторичных колебаний. Ветвь аЬ позволяет объяснить нелинейную зависимость амплитуд первичных и вторичных колебаний от угловой скорости основания, которая ранее не учитывалась в публикациях при анализе КВГ по огибающим. Структурная схема на рис. 5 позволяет выполнять синтез контура компенсации кориолисова ускорения путем выбора вида и параметров корректирующего звена Жр .

Передаточная функция по выходному сигналу КВГ с пропорционально-интегральным (ПИ) регулятором, наиболее часто используемому в контуре компенсации, имеет вид

Кош (*) =

х

оШ

/оК2Т2к,

*) (Т* + 1)[2п* (Т* +1) + Тк, (Тр* +1)] + 2ипО

где Тр = кр / к, - постоянная времени; кр, к, - коэффициенты передачи пропорциональной и интегральной частей ПИ-регулятора.

Рис. 5. Структурная схема КВГ для огибающих первичных и вторичных колебаний резонатора

Форма передаточной функции (6) теоретически обосновывает применение ПИ-регулятора в контуре компенсации, позволяющего устранить нелинейную зависимость выходного сигнала КВГ от угловой скорости основания в установившемся режиме, ввиду того, что сомножителем коэффициента нелинейности п является оператор Лапласа Из анализа передаточной функции (6) также следует, что предлагаемый некоторыми авторами пропорциональный регулятор не решит проблему нелинейности.

Авторами показано, что при синтезе КВГ с точки зрения качества переходной характеристики КВГ целесообразно принимать Тр » Т, что

подтверждено экспериментально на ВТГ с металлическим резонатором. В этом случае передаточная функция КВГ с обратной связью может быть приближенно представлена в виде

х.

ош(

(*) /0К2Т

Тс* +1

2

где Tc = 2v / Tki - постоянная времени КВГ с контуром компенсации ко-

риолисова ускорения.

По передаточной функции (7) могут быть получены оценки времени переходного процесса и полосы пропускания КВГ с контуром компенсации кориолисова ускорения.

Заключение. Теоретически обоснована и экспериментально подтверждена методическая нелинейная зависимость амплитуд первичных и вторичных колебаний резонатора КВГ в зависимости от угловой скорости основания. Теоретически доказана и экспериментально подтверждена линейность отношения амплитуд вторичных и первичных колебаний в условиях резонансной настройки резонатора при работе КВГ с разомкнутым контуром. Разработана структурная схема КВГ для огибающих первичных и вторичных колебаний, позволяющая анализировать КВГ без высокочастотной несущей колебаний резонатора с учетом перекрестной связи. Такая структура позволяет обосновать применение ПИ-регулятора в контуре компенсации кориолисова ускорения.

Список литературы

1. Сборник научно-нормативной терминологии. Гироскопия. Терминология. Москва. Институт проблем передачи информации РАН. 1994. Вып. 118. 38 с.

2. Lynch, D.D. Coriolis vibratory gyroscope. IEEE standard specification format guide and test procedure for Coriolis vibratory gyros // IEEE std.1431 annex B. P. 56 - 66.

3. Lynch D. Vibratory gyro analysis by the method of averaging // Proceedings of the 2nd St. Petersburg conference on gyroscopic technology and navigation, St. Petersburg. P. 26 - 34.

4. Микромехаиические гироскопы: конструкции, характеристики, технологии, пути развития / Л. А. Северов, В.К. Пономарев, А.И. Панферов А.В. Сорокин, С.Л. Кучерков, В.В. Лучинин, А.В. Корляков // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т. 41. № 1 - 2. С. 57 - 73.

5. Информационные характеристики микромеханических гироскопов на основе кремниевой технологии микроэлектромеханических систем / Л.А. Северов, С.К. Золотарев, Н.А. Овчинникова, А.И. Панферов, В.К. Пономарев // Приборостроение. 2011. №8.

6. Информационные характеристики микромеханического вибрационного гироскопа / С.Г. Кучерков, Л.П. Несенюк, Ю.В. Шадрин, А.И. Панферов, В.К. Пономарев, Л. А. Северов // Гироскопия и навигация, 2002. №2. С. 12 - 18.

7. Кучерков С.Г. Использование интегрирующих свойств вибрационного микромеханического гироскопа с резонансной настройкой для построения датчика угловой скорости компенсационного типа // Гироскопия и навигация. 2002. №2. С.12-18.

8. Acar C., Shkel A. MEMS Vibratory Gyroscopes -Structural Approaches to Improve Robustness. Springer. 2008. 256 p.

9. Вавилов В.Д., Тимошенков С.П., Тимошенков А.С. Микросистемные датчики физических величин: монография. М.: ТЕХНОСФЕРА, 2018. 550 с.

Матвеев Валерий Владимирович, канд. техн. наук, доцент, matweew. valery@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Лихошерст Владимир Владимирович, канд. техн. наук, доцент, lvv Olainbox. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE EFFECT OF CROSS-CUTTING CONNECTION ON THE DYNAMICS OF A CORIOLIS VIBRATORY GYROSCOPE

V. V. Matveev, V. V. Likhosherst

The characteristics of the Coriolis vibratory gyroscope (CVG) are analyzed taking into account the cross coupling in the equation of the primary oscillations, which is often not taken into account when analyzing the dynamics of the CVG. It is shown that the cross-coupling significantly narrows the linear zone of the characteristics of CVG without the Coriolis acceleration compensation circuit. A method is proposed for generating the output signal of an open CVG, which makes it possible to expand the linear zone of the characteristics of the CVG, experimentally confirmed on a wave solid-state gyroscope, as a class of CVG. A block diagram of the CVG for the envelopes of the primary and secondary oscillations, taking into account the cross-link, which more accurately reflects the CVG characteristics.

Key words: coriolis vibratory gyroscope, cross feedback, wave solid-state gyroscope.

Matveev Valery Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, matweew. valeryayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Likhosherst Vladimir Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, lvv_0l@inhox. ru, Russia, Tula, Tula State University