О комонотонных рисках в договорах перестрахования с двумя уровнями удержаний

Ю.Д. Григорьев, Ле Динь Шон

О КОМОНОТОННЫХ РИСКАХ В ДОГОВОРАХ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ С ДВУМЯ УРОВНЯМИ УДЕРЖАНИЙ

Рассматриваются вычислительные аспекты оптимизации эксцедентного двухуровневого договора перестрахования. Для экспоненциального распределения размеров страховых требований исследовано отношение порядка стоп лосс в моделях индивидуального и колективного риска.

Выбор соответствующего договора перестрахования -очень старая и фундаментальная проблема в теории и практике страхования. Она начала активно обсуждаться в 60-е годы прошлого столетия. В пионерской работе [1] было показано, что если X - страхуемый риск, g(X) - риск цедента, 0 < g(X) < X, то при фиксированной перестраховочной премии наименьшая дисперсия риска gX) достигается при эксцедентном договоре перестрахования типа стоп лосс. Этим объясняется большое внимание, уделяемое договорам этого типа, как в теории, так и на практике.

На практике задача перестрахования обычно выглядит следующим образом: задаваясь видом перестраховочного контракта, оптимизируют его параметры по некоторому критерию. Эти критерии могут быть самыми разными. В последние годы интерес исследователей сместился здесь в сторону квантильных критериев типа value-at-risk (VaR) и conditional value-at-risk (CVaR) [2 - 5].

Целью статьи является построение эксцедентных двухуровневых договоров стоп лосс, оптимальных по некоторым критериям, включая VaR. Статья организована следующим образом. В п. 1 приводится постановка задачи, вводятся необходимые понятия и определения. В п. 2 формулируется KNST-условие для эксцедентного двухуровневого договора, на основе которого строятся все последующие рассуждения. В п. 3 рассматривается задача оптимизации эксцедентного двухуровневого договора в модели индивидуального риска. В п. 4 рассматривается задача численной оптимизации эксцедентного договора в марковской модели коллективного риска по критерию VaR.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть X > 0 - неотрицательная случайная величина со средним цX , дисперсией <j2x е (0, да) и функцией распределения FX (x) = P{X < x} . В результате перестрахования риск X расщепляется на две комо-нотонные составляющие

Y = g (X), Z = h(X), где h(X) = X - g(X), 0 < Y < X (P - п.н.). Универсальным способом задания комонотонных рисков в задачах типа стоп лосс является их определение с помощью лейеров [6], т.е. преобразований вида

W+е

Из определения (1) следует, что лейер IM M+Q (•) является неубывающей функцией. Если

0 = L0 < L1 < ... < Lm < Lm+1 = ,

то лейеры Yi = XL

а двухуровневый ( m = 2 ) - рисками

Y = XO,M + XM+Q,x> , Z = X

M, М+Q

В договоре перестрахования (3) для ответственности перестраховщика устанавливается верхняя граница M + Q, что часто встречается в практике страхования (рис. 1).

i = 1,2,...,m, определяют рас-

щепление риска на два комонотонных слагаемых Y и Z, с помощью которых можно задавать многоуровневые контракты стоп лосс. В частности, одноуровневый (m = 1) контракт определяется рисками

Y = Xoм , г = Xм ,

Рис. 1. Риски: а - страховщика У = Х0м + Хм+Q да ; б - перестраховщика 1 = Хм м+Q

Как объект, интересный для исследования, двухуровневый стоп лосс отмечается в работе [1].

Между рисками У и 1, в зависимости от вида их функций распределений Е (х) и ^ (х), могут быть установлены различные отношения порядка. Это позволяет сравнивать возникающие при перестраховании рисковые ситуации между собой и определять, какая из них является более приемлемой для любой из сторон. Введем необходимые определения.

Риск 1 не превосходит риск У в смысле стохастического доминирования (обозначение 1 <й У), если для всех х е [0, да) ЕУ (х) < Е2 (х). Риск 1 не превосходит риск У в смысле отношения опасности (обозначение 1 <й У), если < МУ и существует точка 1 е [0, да) такая, что

Е2

Обозначим

да да

пX

Риск Z не превосходит риск Y в смысле отношения порядка стоп лосс

%Z

Задача, рассматриваемая в данной статье, состоит в следующем: исследовать отношение порядка <sl для рисков страховщика и перестраховщика в эксцедентных двухуровневых договорах страхования при их оптимизации по критериям максимума вероятности неразорения, минимума суммы дисперсий рисков и минимума VaR при экспоненциальных страховых выплатах. В основу решения поставленной задачи положены KNST-условие многократного пересечения функций распределения рисков и методы оптимизации риска, основанные на разработанном авторами специальном численном методе решения интегрального уравнения Крамера для вероятности неразорения в модели Крамера Лундберга.

2. KNST-УСЛОВИЕ ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВОГО ДОГОВОРА СТОП ЛОСС

Условие (4) называется условием однократного пересечения функций распределения Fy (x) и FZ (x).

Его обобщением является знаменитое KNST-условие многократного пересечения (Kramer, Novikoff, Stoyan, Teylor), позволяющее для любого договора перестрахования определять, положение какой стороны более предпочтительно в смысле отношения <sl. Приведем это условие в формулировке [2].

Теорема (KNST-условие многократного пересечения). Пусть S - множество случайных величин Y, Z с конечными средними |my , |mz , функциями распределения Fy (x), FZ (x) и стоп лосс преобразованиями nY (x), nZ (x). Предположим, что функции распределения пересекаются в n > 1 точках t1 < t2 <... < tn . Отношение Z <sl Y для Y, Z е S выполняется тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

Случай 1. Первое изменение знака разности Fy (x) - FZ (x) в точке t1 происходит с минуса на плюс (- +), число точек пересечения четно, n = 2m , и выполняются неравенства

nZ

Случай 2. Первое изменение знака разности Fy (x) -FZ (x) в точке t1 происходит с плюса на минус (+ -), число точек пересечения нечетно, n = 2m +1, и выполняются неравенства

Mz < My , %

Пусть риски Y и Z определены согласно (3). Их функции распределения FY (X) и FZ=h(X) приведены на рис. 2. Возможные варианты KNST-условия в двухуровневом контракте стоп лосс представлены в таблице:

KNST-условие Q < M Q > M

Случай 1 n = 0 t1 = M, t2 = Q

Случай 2 Не возникает вообще

Рис. 2. Функция распределения риска: а - страховщика; б - перестраховщика

Из таблицы и рис. 2 видим, что в случае 1 при Q < М для всех х выполняется неравенство

Еу (х) < Е1 (х), т.е. 1 <й У. Поскольку отношения порядка <й, <й и <к1 связывает отношение импликации [7]

1 У ^ 1 <а У ^ 1 <51 У,

то отсюда получаем, что 1 <к1 У. Таким образом, наиболее интересным для исследования является случай Q > М . Выполняется ли К№Т-условие при Q > М в оптимальных эксцедентных двухуровневых

договорах, в общем случае неясно.

Основной результат, который используется в последующем изложении - это следствия 1 и 2 К№Т-условия для эксцедентного двухуровневого договора стоп лосс.

Следствие 1. (КЫБТ-условие для двухуровневого договора). Пусть выполнены следующие условия:

1) расщепление риска X = У +1 осуществляется согласно (3);

2) меры риска (5) удовлетворяют неравенству

п1 (М) < пУ (М).

Тогда 1 <к1 У .

Следствие 2. (Экспоненциальные выплаты). Пусть выполнены следующие условия:

1) X ~ехр(1), т.е. Ех (х) = 1 - е“х.

2) Q -М < ^2 = 0,6931.

Тогда 1 <к1 У .

Следствие 2 тривиально, поскольку для двухуровневого договора

, М+Q — п1(М) =| 2М ЕХ (х^х ,

I» да _

Пу

и, следовательно, п1 (М) = eQ-М, пУ (М) = е—М+^ .

Таким образом, перестраховщик, желая выполнить условие 1 <31 У, должен стремиться к заключению таких договоров перестрахования, при которых параметры М и Q двухуровневого договора удовлетворяли бы некоторым достаточным условиям типа Q - М < ^2 . Например, для распределения Парето

с функцией распределения Ех (х) = 1 - (1 + х)-а, х > 0, а > 1 соответствующее условие имеет вид

Q - М < (1 + 2М)(ал/2 -1).

3. МОДЕЛЬ ИНДИВИДУАЛЬНОГО РИСКА

Предположим, что компания заключает N однотипных договоров страхования. Соответствующие каждому договору риски X, / = 1,...,N , в совокупности независимы и описываются риском Х со средним МХ , дисперсией стХ е (0, да) и функцией распределения Ех (х). Премия за каждый договор равна с = (1 + 9)их , где 9> 0 - относительная нагрузка безопасности.

Обозначим Е£ (х) = Р{£ < х}, где

£ = Х1 + Х2 +.

N

Х

и ее можно оптимизировать, максимизируя

^ (Сх -Их )/

ст2 = Б У , ст1 = Б1 .

Тогда

СУ М-У

£ /9)Иу - (I /9- 1)иX

ст

У

М1 = а М1

ст1 ст

У

Следовательно, если

а) Фу (М, Q) =

(I / 9)иу - (I / 9- 1)их

стУ

М,Q •

б) ф1 (М, Q) = — ^ тах

то У <х{ 1. Этого следовало ожидать, так как при варианте (а) интересы перестраховщика полностью игнорируются.

Рис. 3. Оптимальный эксцедентный договор,

ФУ (М, Q) ^ тах

Вероятность неразорения компании Wx = Е8 ^) в рамках гауссовской аппроксимации может быть записана как

^ф{ 4NСx^X

стх .

В отсутствие перестрахования такая возможность связана только с увеличением числа договоров N и стоимости договоров С .

Пусть а (I >9) - относительная нагрузка безопасности перестраховщика. Обозначим

М-у = МУ , М-1 = М1, су = (1 + 9)М-х — (1 + а)М-1,

С1 = (1 + а) М1 :

М ,Q

Случай (б). Поскольку

ИтМ^+0,2^+0 Ф1 (М, Q) = +да , то политика перестраховщика в данном случае состоит в отказе от принятия риска, связанного с перестрахованием. На интуитивном уровне это воспринимается как естественная реакция, так как до перестрахования риск перестраховщика 1 = 0 - вырожденная в точке х = 0 случайная величина. Следовательно, Е1 (х) = I (х > 0), 1 <31 У, а значит, и 1 <з1 У .

Полученный результат показывает, что для заключения договора перестрахования следует рассматривать критерии оптимальности, отличные от максимизации вероятности неразорения каждой из сторон в отдельности. Одним из таких критериев является сумма дисперсий - критерий, рассматривавшийся в [1]:

ф(М, Q) = стУ +ст1 ^ тш

М,Q •

Обозначим

М М+Q

А =| Ех (х)Сх, В = | Ех (х)Сх,

С = | Ех (х)Сх.

М+Q

М,Q >

стУ

то договор (а) оптимален в смысле вероятности нера-зорения для страховщика, а договор (б) - для перестраховщика.

Случай (а). Результаты численной оптимизации представлены на рис. 3. Так, для £, / 9 = 2 получаем

М* = 2,149, Q* = 20,000. Поскольку Q* — М* >^2,

Предложение 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) риск X = У +1 расщепляется на комонотонные составляющие вида (3);

2) риск X имеет конечную дисперсию, стХ < да . Тогда уровни М > 0 и Q > 0, минимизирующие

ф(М, Q), определяются из системы уравнений

(1 — Ех (М)) (В — А - С + М) = В - С,

Доказательство. Утверждение (12) получаем прямой оптимизацией ф(М, Q).

Следствие. Пусть X ~ехр

ст

У

Решая систему (13), получаем

M * = 1,0176, Q* = 1,5936.

Система (13) и ее решение имеют следующие особенности:

а) первое уравнение не зависит от М, т.е. оптимальные удержания M* и Q* допускают раздельное оценивание;

б) ширина удержания Q* = 1.5936 совпадает с оптимальным удержанием M * в одноуровневом контракте (2);

в) г <! Y , поскольку О* - М* = 0,5760 < 0,6931.

Таким образом, данный договор с точки зрения

порядка стоп лосс оказывается более выгодным перестраховщику. Этот результат может быть получен и прямым вычислением функций %

(рис. 4):

% (х) = шах{е~х - е~м (1 - е~О), е—х+О)},

% (х) = шах{е~м (е~х - е~О), 0} .

(х)5Яг(х) М=Ш 76,3=1.5936

М*)і

=0 іЙ

0.0 -0.1 -02 -03 - 05 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 0 -1 1 -л п . Л ^ 1р (О ^ СО О) О

Рис. 4. Функции пг(х) и пг(х) для оптимального в смысле (10) эксцедентного договора

4. МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА

Рассмотрим модель коллективного риска, согласно которой уровень капитала страховой компании моделируется процессом Крамера - Лундберга

г

Здесь х - начальный капитал компании; с - скорость поступления премий; X, - размер возмещаемых требований выплат; N (,) - пуассоновский процесс с параметром X.

Определим время разорения страховой компании как случайную величину Т = шД/ > 0 :2 (,) < 0}. Если

Бир0<и,, 2 (и) > 0 для всех , > 0 ,

то Т = го. Положим

Т(х) = Р{Т <го 2 (0) = х}

- вероятность разорения страховой компании. Тогда вероятность неразорения можно записать как

W(х) = 1 -Т(х) = Р{зир0,и<» [X(и) - си] < х}. (15) Обозначим X(,) = Хк,<,(,)X,. Рисковая ситуация

Цм,2 =< х, см,2 , хм,2 (*) >,

обусловленная двухуровневым договором перестрахования эксцедентного типа, зависит от параметров М и 2 . Будем называть ситуцию 0.м 2 допустимой,

если Wм 2 (х) > 1 - е или Тм 2 (х) <6 , где 6 е (0,1) -

максимально возможное значение вероятности разорения.

Чтобы найти оптимальную стратегию перестрахования в классе допустимых рисковых ситуаций, рассмотрим критерий ее оптимизации в форме квантиль-ной функции УаК1-е (X). Пусть

8м ,2 ^, ^) = ™Р0 <и <го [Xм,2 (и) ^м,2 (и)] .

Тогда Wм 2 (х) = Р^м 2 (X, $) < х} - вероятность не-разорения, зависящая от параметров м и 2 , и

УаКХ-е

- естественный квантильный критерий оптимизации договора перестрахования с позиции страховщика. Функционал (16) - это альтернативный способ формулировки задачи минимизации начального капитала х за счет выбора м и 2 при условии Wм 2 (х) > 1 - е .

Этот функционал хорошо известен в теории риска и часто используется в портфельном анализе [5, 7]. В данном случае мы будем рассматривать задачу К^-е(м, 2) ^ тшм>0,2>м .

В 1926 г. Крамер показал (см., например, [8, 9]), что для процесса (14) при выполнении условия чистой прибыли с - Х^ > 0 и равенства Fх (0) = 0 вероятность неразорения W(х) удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра второго рода с ядром типа свертки

W

0

где К(х) = 1 -Fх(х) и W(0) = 1 -Х^ /с > 0. В общем случае существование и единственность решения уравнения (17) зависят от условий, накладываемых на ядро К(х). В частности, для этого достаточно, чтобы в случае отсутствия перестрахования функция распределения Fх (х) была непрерывной.

При эксцедентном договоре перестрахования функция распределения FY (х) разрывна (см. рис. 2). Однако существование и единственность решения уравнения (17) сохраняются и в данном случае, так как функция двух переменных К (х, 5) = К (х - 5, 0) ограничена по абсолютной величине в треугольной области а < х, 5 < И , х > 5 и имеет лишь конечное число точек разрыва с одной и той же абсциссой х, тождественно равна нулю при х < 5, а свободный член - непрерывная функция [10].

Пусть X1 = Y + 2 , где риски Y и 2 снова определяются согласно (3). Предположим также, что

а) с = (1 + 9) Х^ - скорость поступления премий страховщику до перестрахования;

б) ^ = с -с2 - скорость поступления премий

страховщику после перестрахования, т.е.

^ = Х[(1 + 9)( А + С) - (1-9) В], где А, В и С определены в (12);

Wм,2 (х) = V|м [1 - Fх (х - *Жм,2 (5)ds + /2 (х) :

2м

0 где /2(х) = м [1 - Fх (х - 5 - 2)^,2 (5) ds +

в) с2 = (1 + |)Хц2 - скорость поступления премий Поскольку правая часть /1(х) определена на шаге 1,

перестраховщику. то, решая данное уравнение, находим

Заменим теперь в интегральном уравнении

скорость с на с^ функцию распределения FY - на FY ^тт „ „ „ ’

Шаг 3. Пусть 2м < х < 3м. Аналогично преды-

и w(0) - на wм,2(0) = 1-ХМ^ / ^ •> где Мг = А + С. дущему, согласно (19), можем записать

Тогда уравнение (17) примет вид

Wм,2

где V =Х / CY .

В отличие от случая с непрерывным ядром, интегрирование этого уравнения можно осуществить только с помощью специального алгоритма, так как в зависимости от величины интервала интегрирования Л х-м1

ядро уравнения (18) выглядит по-разному. Будем раз- Решая это уравнение, полагаем wM)2 (х) = Wм 2 (х) и

личать случаи х < м и х > м . ^ м2 м’2

Случай х < м . Поскольку 5 е [0, х], х - 5 < м , то т д. Таким образом, доказано

Предложение 2. Пусть

Км ,2

^ * wMk)2 (х) = V] К (х - s)WMk)2 + /к-1( х).

Случай х > м. Разобьем интеграл м >2 3( к-1)м м 2 ^к IV/.

0

+V^ Хмм [1 - Fх (х - 5 - 2)^м2)2 (5) ds +

+V12Мм [1 - Fх (х - *Ж_(2)2 (5)ds + /0 .

х-м

Гм,2 (х) = ^,2'

|0Км 2 (х- ^м 2 (s)ds (к - 1)м < х < км ,к = 1,2,...,

0 где

на два: Цкмл (х - s)WM,2 = и К(х) =1 - {^ (х) + 1(х - м)[^ (х + 0 - Ъ (х)]}

= 10х-м Км ,2 (х - 5Щм ,2 (s)ds + /к (х) = ^ и1 (!м1)м [1 - Р'х (х - 5 + 2)]^м,2 (5) ^ +

|0 -м ,2'~ ^,=1}а-1)м

I* х Г х-М

+1 х-м Км,2 (х - 5)^м,2 . +V|(к-1)м [1 - ^ (х - 5 + 2)]^,е (5)^ +

км ] х -м

/• км

+V1 м [1 - Fх (х - я)^ (5)ds + /0 .

•> х-м

I х -м м 2 4 7 м 2 7 * ** (к-1)м

В первом интеграле имеем 5 е [0, х -м]. Следовательно, х - 5 > м . Таким образом,

Км2 (х - 5) = 1 - Fх (х - 5 + 2). Тогда решение Wм,2 (х) уравнения (18) определяется

Во втором интеграле 5 е [х -м, х], т.е. х - 5 < м . последовательностью решений уравнения (19) и может быть записано в виде

Следовательно,

к(х- 5) = 1 - Fх (х- 5). Wм,2 (х) = wMk,)2(х)1 {(к - 1)м < х < км),

Таким образом, уравнение

WM2 (х) = V] х [1 - Fх (х - 5Шм2 (5)ds + Следствие 1 Решение wм,2 (х) непрерывно в

•* х-м

точке х = м , т.е.

с х -м

+V10 [1 - ^ (х - 5 + 2)]^,2 (5)^ +^,2 (0) . (19) №м)2 (м) = wM2,)2 (м).

Реализадия алгоритма решения уравнения (19) до- Следствие 2. Пусть Fх (х) = 1 - е~ц, цх = ц-1.

пускает рекуррентное использование полученных ра- Тогда

нее значений функции Wм 2 (х). Приведем его крат- 9 ^) -цм

кое описание. /0 = wм ,2(0) = 1-ХМг/ ^ =

(1+9) -(1+§)(1 -е~ц2) е-цм

Шаг 1. Пусть 0 < х < м. Решаем уравнение (18) с ядром Км 2 (х) = 1 - Fх (х) и свободным членом V = Х =_Ц__________

wм,2 (0) = 1 - Х^ /cY . Полагаем ^ (1 + 9) - (1 + ^)(1 - е_^2)е~т

/0 = Wм,2(0) , ^^)2(х) = Wм,2(х) . ^2(х) = ^[ц-vе(V-Ц)X]

Шаг 2. Пусть м < х < 2м . Разбиваем первый ин- ,,, м/ V „ ,,

W(2) (х) = 0 [1 (1 - е-м2)е^мм

теграл в (19) на интегралы по промежуткам м,2У ' м -^ м -VV >

[х - м, м] и [м, х] и полагаем

Ц -V Ц -V

Г х -^[1 - (VX - VM )(1 - е-ц2)е-ум ]е-(м-у)х

Wм,2 (х) = V | м [1 - Fх (х - s)]Wм,2 (5) ds +^(х), ц V ^ ц -V"' * 1

м • х-м

и т.д. Непосредственной проверкой убеждаемся, что

Г х-м (1) XX./

где АС) = VJ0 [1 -(х-5+О)]Ш, + я,м„2(м) = wMj) (М) )м].

,2 ,2 ц -V

+V 1 ^ [1 - Fх (х - 5)] W^)2 (5) ds + /0. Рассмотрим частные случаи решения для экспо-

х-м

ненциального распределения потерь.

Случай 1. м > 0, 2 > 0 (отказ от перестрахования). Получаем

% = Х(1 + 9)ц-1, ци = ц-1, V = ——, /0 = -9-,

^ " 1 + 9 0 1 + 9

отсюда

wM)o(х) = wMk,)o(х) = 1 - (1+ 9)-1 е-9^(1+9), к > 2,

что совпадает с классическим решением для марковской модели [8].

Случай 2. 0 < м <го, 2 =+го (одноуровневый контракт). Обозначим к = 1/(1 + 9- (1 + 0е“^), /0 = к (9-§е“^), V = к ц . В этом случае

^5)го (х) =^Чц - vе(v-м) х ]

ц - V

Wm’L (*) = —[1 -

- цМ -I

ц-V ц-V

-[1 - e-vM (vx - vM + -i^)]e(v^) x ц-v ц-v

foV

о о о о о о о

Рис. 5. VaR0 95

Случай 3. М = 0, 0 <Q <i - (реверс случая 2). Обозначим

k = 1/(1 + 0- (1 + ^е-це), /о = £[0Ч(1 - e^Q)],

V = kц , l = ve^Q .

В этом случае при v > 0 и /0 > 0 получаем

Wo q (x) = ve-це }е-ц(x-s)Wq (s)ds+/0 = ц-1е-(ц-1)x).

Q 0 Q ц-1

Одноуровневые эксцедентные модели перестрахования (случаи 1 и 2) исследованы с помощью предложенного алгоритма в [11].

На рис. 5 представлены два численных решения задачи

VaR1-s(М, Q) ^ minM >0,q>m при ц = 1,0, 0 = 0,6 и | = 0,8, 0,9. В обоих случаях Q -М* > log2 , т.е. снова, как и в модели индивидуального риска, имеем Y <sl Z .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные для модели эксцедентного перестрахования численные исследования отношения порядка <sl показывают, что при оптимизации позиции страховщика по какому-либо из критериев, в том числе по критерию VaR, выполняется отношение порядка Y <sl Z . Это свойство тем более важно, что в этом случае риски Y и Z упорядочены и в смысле квантилей, а именно

VaRа (Y) < VaRа (Z) для всех а е (0,1).

На самом деле имеет место еще более сильное утверждение [2]

Y <sl Z » VaRа (Y) < VaRа (Z), Va е (0,1), которым и объясняется важность рассмотренного в работе отношения <sl.

Аналогичное свойство

Y <sl Z » CVaRа (Y) < CVaRа (Z), Va е (0,1) имеет место и для меры риска

CVaR а (Y) = ^VaRp (Y )d p ,

которая также может быть исследована с помощью представленного в работе алгоритма решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

.ЛИТЕРАТУРА

1. Borch K. On Attempt to Determine the Optimum Amount of Stop Loss Reinsurance // Transactions of the XVIth International Congress Actuaries. 1960. V. 2. P. 597 - 610.

2. Hurlimann W. On Stop-Loss order and the Distorsion Pricing Principle // ASTIN Bulletin. 1998. V. 28. No. 1. P. 119 - 134.

3. Hurlimann W. Analytical boundsfor two value-at-risk functionals // ASTIN Bulletin. 2002. V. 32. No. 2. P. 235 - 265.

4. Roka/ellarR.T., UruasevS. Conditional value-at-risk for general loss distribution // Journal Banking and Finance. 2002. No. 26. P. 1443 - 1471.

5. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А. Сравнение критериев VaR и CVaR // Автоматика и телемеханика. 2003. № 7. С. 153 - 164.

6. Wang S.S. Premium calculation by transforming the layer premium density // ASTIN Bulletin. 1996. V. 26. No.1. P. 71 - 92.

7. Новоселов А.А. Математическое моделирование финансовых рисков. Теория измерения. Новосибирск: Наука, 2001. 102 с.

8. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. 264 с.

9. Buhlman H. Mathematical Models in Risk Theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. B. 72. Second Printed. Berlin; Heidelberg; New York: Springer Verlag, 1996. 210 p.

10. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1966. 176 с.

11. Grigoriev Yu.D., Le Dinh Son. Numerical optimization of value-at risk functional for stop loss reinsurance in the Cramer-Lundberg risk model. // Proceedings of the Sixth International Scientific School MA SR, St-Petersburg, Russia, June 28 - July 1, 2005 (to appear).

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 18 мая 2005 г.