К 50-летию выхода в свет книги В. А. Фока «Теория пространства, времени и тяготения»

2005 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 4• Вып. 4

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

УДК 530.12:531.51

Ю. В. Новожилов, В. Ю. Новожилов, В. А. Франке

К 50-ЛЕТИЮ ВЫХОДА В СВЕТ КНИГИ В. А. ФОКА «ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВА, ВРЕМЕНИ И ТЯГОТЕНИЯ»

В 1955 г. вышла в свет книга Владимира Александровича Фока «Теория пространства, времени и тяготения» [1], второе дополненное издание которой появилось в 1961 г. [2]. Она подвела итог многолетней работы В. А. Фока и его учеников в области теории гравитации [3-71 Результаты этой работы составляют выдающийся вклад в науку и полностью сохраняют свце значение в настоящее время.

Главная часть книги В. А. Фока посвящена приближенному решению уравнений Эйнштейна для гравитационного поля. Но предварительно он тщательно излагает частную теорию относительности и основы теории гравитации. Так, в рамках частной теории относительности показано, как из исходных предположений следует линейность преобразований, связывающих инерциальные системы отсчета. Выяснено также, что система заряженных частиц в электромагнитном поле может быть описана в первом приближении по обратным степеням квадрата скорости света с помощью лагранжиана, зависящего от координат частиц и их скоростей, но не содержащего полевых функций.

Излагая основы теории гравитации Эйнштейна, В. А. Фок подчеркивает, что имеется существенное различие между частным принципом относительности, который отражает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета при отсутствии полей тяготения, и требованием общековариантности уравнений теории гравитации, т. е. независимости формы данных уравнений от выбора координатной системы. Основная причина этого различия состоит в том, что в рамках частной теории относительности каждая инерциальная система отсчета может быть жестко связана с некоторым базисным телом, в то время, как в теории тяготения применяются произвольные координаты, которые в общем случае нельзя однозначно связать с каким-либо физическим телом. Частный принцип относительности можно сформулировать в терминах соответственных явлений: каждому явлению в одной инерциальной системе отсчета соответствует некоторое явление в другой системе отсчета, которое протекает там точно так же, как первое явление в исходной системе. Такая формулировка принципа относительности, принадлежащая Галилею, позволяет проверить этот принцип экспериментально еще до построения какой-либо теории. То обстоятельство, что рассматриваемые инерциальные системы отсчета связаны с физическими базисными телами, дает возможность зафиксировать эти системы до проведения опытов. В. А. Фок подчеркивает, что обобщение такой формулировки принципа относительности на случай произвольных систем координат в теории гравитации и постановка опытов только-что упомянутого типа для проверки этого обобщения невозможны. Действительно, пусть в двух системах координат описываются наборы явлений, протекающих строго одинаково, и пусть данные системы не связаны с разными базисными физическими телами. Тогда невозможно узнать, имеем ли мы дело с разными системами координат и различными наборами явлений или с одной и той же системой координат и одним и тем же набором явлений, рассмотренным дважды. Попытка сформулировать принцип относительности в терминах

© Ю. В. Новожилов, В. Ю. Новожилов, В. А. Франке, 2005

соответственных явлений ведет в этом случае к бессодержательному утверждению. Это согласуется с результатом дискуссии Эйнштейна и Кречмана [8,9] (см. также [10]), в ходе которой было отмечено, что всякая теория может быть записана в общековариантной форме, если не накладывать на нее никаких иных ограничений. Однако, как выяснилось тогда же, требование общековариантности становится сильным ограничением, если оно сочетается с условием локальности динамических уравнений, согласно которому уравнения должны быть дифференциальными, а не интегродифференциальными. Это в точности совпадает с положением вещей в калибровочных теориях поля в плоском пространстве, когда роль общековариантности играет калибровочная инвариантность.

Таким образом, в отличие от специального принципа относительности, имеющего физический смысл независимо от конкретной теории, требование общековариантности, т. е. общий принцип относительности согласно обычной терминологии, оказывается содержательным только в рамках теории, основанной на локальных уравнениях движения. В. А. Фок подчеркивает данное различие в своей книге. Мы подробно остановились на этом вопросе, так как по нему все еще можно встретить разные мнения.

Обращаясь к приближенному решению уравнений теории гравитации Эйнштейна, В. А. Фок ограничивается случаем «островного» расположения масс. т. е. такой ситуацией, когда все массы, порождающие гравитационное поле, заключены в конечном объеме, а пространство-время на трехмерной бесконечности становится плоским и допускает там введение лоренцевой системы координат. Предполагается, что размеры всех тел много больше их гравитационных радиусов, а расстояния между телами много больше их размеров. Считается, что скорости тел много меньше скорости света. Из-за большого расстояния между звездами в галактиках и между галактиками в пространстве такая постановка задачи соответствует множеству конкретных случаев, представляющих интерес. Задача другого типа рассматривается только в двух параграфах из 96, составляющих книгу, в связи с открытой космологической моделью Фридмана.

Одна из глав книги посвящена выводу уравнений движения системы тел из уравнений Эйнштейна в описанной ситуации. Слева в этих уравнениях стоит тензор Эйнштейна, построенный из метрики и ее производных, а справа - тензор энергии-импульса, характеризующий вещество, которому предшествует коэффициент, содержащий в знаменателе квадрат скорости света. Ковариантная производная от тензора Эйнштейна тождественно равна нулю. Поэтому из уравнений Эйнштейна следует, что ковариантная производная от тензора энергии-импульса также равна нулю. Соответствующее равенство представляет собой четыре уравнения относительно функций, описывающих вещество. Но они содержат также метрику, которая входит в тензор энергии-импульса. Таким образом, уравнения движения для вещества могут быть выведены из уравнений Эйнштейна. Однако вывод и решение этих уравнений должны осуществляться одновременно с решением уравнений Эйнштейна, которые определяют метрику. Для островного расположения масс при сделанных предположениях данная задача может решаться методами теории возмущений по обратным степеням квадрата скорости света (точнее по безразмерным отношениям, содержащим этот квадрат в знаменателе). Подставив в правую часть уравнений Эйнштейна метрику в данном приближении, можно найти путем их решения метрику в следующем приближении. Такой метод и применяется в книге.

Чтобы обеспечить однозначность решения уравнений Эйнштейна в случае островного расположения масс, В. А. Фок вводит гармоническое дополнительное координатное условие, упрощающее существенно форму уравнений, и применяет его на протяжении всей книги. Он показывает, что при соответствующих граничных условиях на трехмерной бесконечности в рамках принятой теории возмущений гармоническое условие фиксирует координатную систему с точностью до преобразований, принадлежащих неоднородной группе Лоренца. Это позволяет определить выражения для полного импульса и момента импульса рассматриваемой системы. Выясняется также, что при гармонических дополнительных условиях характеристики уравнений Эйнштейна совпадают с поверхностями, состоящими из световых лучей. Тем самым вопросы причинности в теории гравитации решаются естественным образом. Как подчер-

кивает В. А. Фок, эти факты говорят о том, что в случае островного расположения масс гармонические координаты представляют собой привилегированную систему координат.

В. А. Фок выводит уравнения движения системы тел сначала в первом (ньютоновом), а затем во втором приближении. Это сделано для тел конечных размеров. Образующее их вещество рассматривается как сжимаемая идеальная жидкость. Получены уравнения, описывающие поступательное движение таких тел и отмечено, что аналогичным путем можно учесть также их вращение. Выведенные уравнения содержат лишь переменные, характеризующие расположение и движение тел в гармонических координатах, и не включают в себя полевые функции в качестве искомых величин. Показано также, что эти уравнения вытекают из соответствующего вариационного принципа.

Одновременно с В. А. Фоком и независимо от него уравнения движения для системы материальных точек в теории гравитации были выведены Эйнштейном, Инфельдом и Гофманом [11], которые рассматривали такие точки как сингулярности пространства-времени и применяли иные методы. В отличие от этих методов, подход В. А. Фока позволяет учесть влияние внутренней структуры тел на их движение, причем такой подход дает возможность увеличивать порядок приближения, который ограничивается лишь ростом сложности вычислений.

Кроме вывода уравнений движения дая системы тел, В. А. Фок при аналогичных предположениях получает выражения для компонент метрического тензора (потенциалов тяготения) как на умеренно больших расстояниях, где еще применима теория возмущений по обратным степеням квадрата скорости света, так и на предельно больших расстояниях (в волновой зоне), где такая теория возмущений неприменима. Тем самым описано излучение гравитационных волн системой тел, движущихся в ограниченной области пространства.

В настоящее время результаты, полученные В. А. Фоком, находят все более широкое применение. Это связано прежде всего с успехами в области астрономических наблюдений, которые осуществляются с помощью новейшей космической техники. Современные средства позволяют наблюдать далекие объекты, гравитационное поле которых настолько сильно, что не может быть удовлетворительно описано теорией Ньютона. Применение уравнений Эйнштейна становится неизбежным. В частности, в ближайшие несколько лет следует ожидать обнаружения гравитационных волн. Методы расчета, разработанные В. А. Фоком, необходимы для теоретического описания этих эффектов.

Книга В. А. Фока еще долгое время будет играть важную роль в развитии теории гравитации.

Summary

Novoz'nilov Yu. V., Novozhiîov V. Yu., Franke V. A. On the fiftieth anniversary of the publication of V. A. Fock's book "The theory of space, time and gravitation".

The important role of the book of V. A. Fock "The theory of space, time and gravitation" published in the year 1955 is indicated. The main results contained in the book are shortly described.

Литература

1. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.,1955. 2. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. Изд. 2-е, доп. М., 1961. 3. Фок В. А. // Журн. экспер. и теор. физики. 1939. Т. 9. С. 375-410. 4. Фок В. А. // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. С. 28-30. 5. Петрова Н. М. // Журн. экспер. и теор. физики. 1949. Т. 19. С. 989-999. 6. Фихтенголъц И. Г. // Журн. эксп. и теор. физики. 1950. Т. 20. С. 233-242. 7. Кашкарев В. П. // Журн. эксп. и теор. физики. 1954. Т. 27. С. 563-570. 8. Kretschmann Е. // Ann. d. Phys. 1917. Bd 53. S. 575. 9. Einstein A. // Ann. d. Phys. 1918. Bd 55. S. 241. 10. Паули В. Теория относительности / Пер. с нем. В. Л. Гинзбурга и М. Л. Левина. М.; Л., 1947. 11. Einstein A., Inf eld, L., Hoffman В. // Ann. of Mathem. 1938. Vol. 39. P. 65.

Статья поступила в редакцию 16 июня 2005 г.