НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ ОХРАННОГО МОНИТОРИНГА

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ ОХРАННОГО МОНИТОРИНГА

Зайцев А.В., Канушкин С.В.*

ключевые слова: мониторинг, робототехнические комплексы, дистанционно пилотируемые летательные аппараты, беспилотный летательный аппарат, управление, стабилизация, нелинейность, насыщение, переменная структура, синтез, многокритериальность, неустойчивый предельный цикл, регулятор, устойчивость, фазовая траектория, маневр.

Аннотация.

Цель работы: Обеспечение устойчивости углового движения нелинейной системы стабилизации дистанционно пилотируемого летательного аппарата при увеличенных возмущениях в ходе совершения маневра.

Метод: комплексный теоретико-прикладной синтез на основе методов оптимального управления, в классе систем с переменной структурой, реализующих многокритериальное управление.

Результаты: разработан релейно-линейный алгоритм стабилизации, который обеспечивает устойчивость движения при начальных условиях на 34 % больше, по сравнению с традиционным линейным алгоритмом, что очень важно для возможности совершения дистанционно пилотируемым летательным аппаратом маневра.

Показана возможность использования неустойчивых предельных циклов для оценки области притяжения нелинейных систем управления беспилотными летательными аппаратами.

Сделан вывод о необходимости и целесообразности использования релейно-линейного управления, которое подтверждает свою предпочтительность, имея площадь неустойчивого предельного цикла почти на треть больше.

DOI: 10.21681/1994-1404-2020-2-41-53 Введение

В системе правоохранительных органов робототехнические комплексы (РТК) используются, главным образом, для разведки, наблюдения, рекогносцировки, мониторинга площадных охраняемых объектов [7 - 9].

Робототехнические комплексы (РТК) представляют собой многосвязные многомерные нелинейные динамические объекты. Для создания высокоэффективных систем управления объектами РТК, включая летательные аппараты (ЛА), следует применять методы синтеза, позволяющие в полной мере учесть их особенности, а также обеспечить надежное функционирование синтезируемых робототехнических систем во всей допустимой области изменения фазовых координат.

В современных РТК могут быть использованы два существенно отличающихся друг от друга подхода планирования траекторий движения ЛА. Совещательное планирование перемещений, в котором маршруты и траектории рассчитываются в явном виде на основе глобальных сведений, и реактивное планирование движений, которое использует поведенческие методы для формирования отклика на локальную информацию, получаемую от датчиков. В общем случае совещательное планирование перемещений полезно, когда окружающая среда известна априорно, но в случае среды с высокой степенью динамичности может потребоваться большой объем вычислений. Реактивное планирование перемещений, с другой стороны, хорошо подходит для динамических сред, особенно для исключения столкновений, когда информация неполная и неопределенная, но объекту не хватает способности задавать и вести схему перемещений [18].

* Зайцев Александр Владимирович, доктор технических наук, профессор, профессор Военной академии имени Петра Великого, Российская Федерация, г. Москва. E-mail: ug253@mail.ru

канушкин Сергей Владимирович, кандидат технических наук, доцент, доцент Военной академии имени Петра Великого, Российская Федерация, г. Москва. E-mail: kan.cer59@yandex.ru

Рис. 1. Структурная схема системы управления полетом ДПЛА с помощью видеосистемы

В некоторых случаях акцент делается на методе совещательного планирования, которое представляется эффективным для малых ЛА. В совещательных подходах траектории ЛА планируются в явном виде. Недостатком совещательных подходов является то, что они сильно зависят от моделей, используемых для описания состояния окружающего мира и движения. К сожалению, точное моделирование динамики атмосферы и ЛА невозможно. В целях компенсации этой неотъемлемой неопределенности алгоритмы планирования маршрута должны регулярно запускаться во внешнем контуре обратной связи. Поэтому важно, чтобы алгоритмы планирования были эффективны в вычислительном плане. Для сокращения требуемых расчетов используют простые навигационные модели низкого порядка для ЛА и модели с постоянным ветром для атмосферы.

При условии, что возмущения ветра варьируются и часто непредсказуемы, прокладка траектории может оказаться проблематичной в условиях, отличных от безветрия. Вместо прокладывания траектории делается акцент на выдерживание заданной траектории, при этом цель - всегда быть на траектории, а не в определенной точке в определенное время. При выдерживании заданной траектории снимается проблема зависимости от времени.

В дистанционно пилотируемых летательных аппаратах (ДПЛА) целесообразно реализовывать совещательное планирование перемещений. Почти все области использования ДПЛА требуют использования бортовой оптоэлектронной или инфракрасной видеокамеры [15, 16]. Типичной задачей камеры является обеспечение конечного пользователя визуальной информацией. Поскольку грузоподъемность ДПЛА огра-

ничена, имеет смысл использовать видеокамеру также для навигации, наведения и управления полетом, для чего требуется применение эффективных и быстрых алгоритмов распознавания и сопровождения [3, 4]. При этом планировщик маршрута, может быть представлен блоком наведения с помощью видеосистемы (рис. 1).

В случае ДПЛА скорость ветра часто находится в диапазоне от 20 до 60% воздушной скорости. Важно понять, что ветер оказывает на ДПЛА значительно большее воздействие, чем на крупные традиционные ЛА, воздушная скорость которых обычно намного больше, чем скорость ветра [2].

При наличии постоянного ветра в окружающей среде ЛА необходимо будет парировать снос, чтобы следовать земной проекции траектории, которая не совпадает с направлением ветра. Угол сноса определяется как разность между курсом и направлением полета (путевым углом). Углы Эйлера: угол крена (вращения), тангажа и рыскания (курсовой) определяются относительно системы координат транспортного средства1. Поскольку эйлеровы углы заданы относительно инерциальных систем координат, нельзя сказать, что угловые скорости просто являются производными по времени углов положения в пространстве.

Боковые аэродинамические силы и моменты сил вызывают поступательное движение в боковом направлении, а также вращательные движения в направлении крена и отклонения от курса (рыскания), что приводит к изменениям направления траектории полета ДПЛА. Аэродинамика бокового движения в значительной сте-

1 См., например: Системы управления летательными аппаратами. Учебник. / Под общ. ред. Г.Н. Лебедева.- М.: Изд-во МАИ, 2007.-756с. ISBN 978-5-7035-1853-3

пени подвержена влиянию угла бокового скольжения, скорости крена, скорости рыскания, отклонению элерона и отклонению руля направления [1, 17, 18].

Автопилот является системой, используемой для управления полетом без помощи пилота. Для ДПЛА автопилот является системой полного управления ЛА во время всех фаз полета. Тогда как некоторые функции управления полетом могут находиться на наземной станции управления, автопилотная часть системы управления МБЛА находится на борту. Основной целью автопилота является управление положением в инерциальной системе и ориентацией в пространстве ДПЛА. Для большинства представляющих интерес маневров, совершаемых в полете, автопилоты, разработанные на основе предположения о динамике развязанных движений, дают хорошие результаты.

Современные системы стабилизации, как и все реальные технические системы не линейны. Динамические свойства нелинейных систем зависят от величины внешних воздействий и от величины начальных отклонений от значений соответствующих состоянию покоя, поэтому оценивают устойчивость того или иного движения, а не устойчивость нелинейной системы в целом [11 - 14].

При дистанционном пилотировании появилась необходимость совершать маневры, достаточные для отработки сигнала управления, без потери устойчивости ДПЛА. В таких условиях традиционные методы управления оказываются ограниченными в применении, так как не обеспечивается требуемое качество. В статье рассмотрены особенности и возможности применения систем с переменной структурой.

На реальные характеристики контура управления часто накладываются ограничения, связанные с насыщением. Тот факт, что элероны имеют физические ограничения на отклонение, предполагает, что скорость крена ЛА будет ограничена.

По мере усложнения задачи стабилизации все большая роль отводится нелинейности. Кроме того, выясняется, что без нелинейной обратной связи не может быть хорошей стабилизации и именно нелинейная обратная связь наделяет систему управления способностью демонстрировать «нужное» поведение в сложных и постоянно изменяющихся внешних и внутренних условиях. Оказывается, что с некоторого уровня сложности задачи «хороший» регулятор обязательно будет нелинейным. Известно, что в нелинейном мире нет регулярных путей и универсальных методов, характерных для локальных теорий, так как специфика нелинейности часто играет решающую роль.

В нелинейных робастных системах малая чувствительность к различным вариациям математической модели объекта управления обеспечивается за счет дополнительного введения в алгоритм управления специальной статической нелинейной обратной связи. При этом даже для линейных объектов управления закон управления оказывается нелинейным. Свойство статических нелинейных законов управления улучшать качество замкнутых систем или обеспечивать нулевую

чувствительность к параметрическим или сигнальным возмущениям было установлено достаточно давно.

Целенаправленное использование нелинейностей в управлении позволяет запускать в оборот принципиально новые, «несиловые» механизмы подавления факторов неопределенности. Это, в частности, приемы, базирующиеся на использовании положительной обратной связи и неустойчивых движений и позволяющие системе «саморазгоняться» до тех пор, пока не создадутся условия для подавления помех и факторов неопределенности.

Можно различать статические и динамические нелинейности. Статические нелинейности - это нелинейности статических характеристик. Они могут быть непрерывными или релейными. Простейшими нелинейными элементами являются статические (безынерционные) нелинейности. У них выходная величина зависит только от входной величины, причем эта зависимость строго однозначна.

Динамические нелинейности - это нелинейности, связанные с дифференциальными уравнениями динамики звена. Если входные и выходные переменные и их производные входят в дифференциальное уравнение в виде произведений, частных или степеней, то уравнение является нелинейным.

Любая система или объект по мере возрастания величины воздействий на них становятся нелинейными. Однако в ограниченных пределах изменения переменных величин динамические процессы реальных элементов с достаточной точностью представляются линейными или линеаризованными уравнениями.

Поведение нелинейных систем значительно отличается от поведения линейных. Особенности нелинейных систем по сравнению с линейными2:

1) динамические свойства нелинейных систем зависят от величины внешних воздействий и от величины начальных отклонений от состояния покоя, поэтому оценивают устойчивость того или иного движения, а не устойчивость нелинейной системы в целом;

2) в нелинейных системах могут возникать автоколебания - устойчивые собственные периодические движения с постоянной амплитудой и частотой, что принципиально невозможно в линейных системах;

3) к нелинейным системам неприменим принцип суперпозиции - реакция системы на сумму воздействий не равна сумме ее реакций на каждое воздействие;

4) к нелинейным системам неприменимы преобразования Лапласа и Фурье, так как эти преобразования является линейными;

5) к нелинейным системам неприменимо свойство коммутативности, т.е. в системе нельзя менять местами между собой нелинейные элементы, а также нелинейные и линейные элементы;

2 Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник. В 5 тт. Т. 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 616 с. ISBN 5-7038-2194-0.

6) при затухающих колебаниях переходного процесса в нелинейных системах происходит изменение периода колебаний;

7) так как не существует общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений то, как правило, исследования нелинейных систем носят качественный характер.

Нелинейности в системах управления могут быть естественно присущими реальной системе и часто вредными: влияние их в этом случае надо стремиться уменьшить. Но могут быть и специально вводимые нелинейности для придания системе желаемых свойств. Введение специальных нелинейностей приводит к различным нелинейным законам управления, которые обладают более богатыми возможностями по сравнению с линейными.

Все реальные технические системы нелинейны. Нелинейные системы управления ДПЛА - это системы, один или несколько элементов которых описываются нелинейными уравнениями или имеют нелинейные статические характеристики. Система управления содержит нелинейности типа зоны нечувствительности и ограничения (насыщения) скоростной характеристики рулевого привода. Эти нелинейности являются не только наиболее типичными для систем управления, но и постоянно присутствующими. Действительно, зона нечувствительности определяется некоторым перекрытием золотника рулевого привода, которое технически является необходимым. Насыщение характеризует ограничение мощности рулевого привода и присутствует в любом реально существующем приводе.

Характеристика элемента с ограничением выходной координаты (зоной насыщения) описывается выражением:

8 =

• sign(8) пРи к • 7 пРи

7 > 7.

17 < 72, ё = Щ

5 =

при при

7 > 7

7 < 7,

- к • 7 при 7 <-7г , к = а .

Таким образом, фазовое пространство системы - это такое пространство, декартовыми координатами каждой точки которого являются величины, определяющие мгновенное состояние системы. Фазовый портрет системы представляет собой семейство фазовых траекторий, полученных для различных начальных условий. Следовательно, состояние системы в каждый момент времени в фазовом пространстве определяется некоторой изображающей точкой, координатами которой являются значения регулируемой величины и ее производных для этого же момента времени.

£

-ь -Ь [е 1

_ / о Ь Ь -с

Характеристика звена с зоной нечувствительности и линейными участками имеет следующую зависимость выходной координаты от входного сигнала:

к • 7

0

Нелинейные звенья, изображенные на рис. 2, имеют зоны нечувствительности 7Х и насыщение 72. Нелинейности типа ограничения играют существенную роль при исследовании нелинейной динамики движения ДПЛА.

Метод фазового пространства (фазовой плоскости) является наиболее совершенным аппаратом исследования нелинейных систем, который позволяет получить полную картину возможного поведения системы для различных начальных условий и возмущающих воздействий. Метод применим для исследования систем с нелинейными элементами с любыми характеристиками.

Рис. 2. Нелинейная статическая характеристика рулевого привода ДПЛА

Фазовый портрет системы позволяет получить следующую информацию о динамике процесса регулирования:

- для заданных начальных условий можно точно вычислить переходный процесс в системе;

- можно сделать вывод об устойчивости движения системы;

- можно определить возможные режимы работы системы.

Построение фазовых траекторий значительно облегчается, если учитывать их следующие общие свойства:

1. В верхних квадрантах фазовой плоскости изображающая точка движется всегда слева направо, а в нижних - справа налево. Это объясняется тем, что при положительной скорости переменная только возрастает, а при отрицательной переменная убывает.

2. Затухающему (устойчивому) переходному процессу соответствует фазовая траектория, сходящаяся к началу координат или отрезку покоя.

3. Неустойчивому процессу соответствует фазовая траектория, удаляющаяся от начала координат.

4. Периодическому процессу соответствует замкнутая фазовая траектория, называемая предельным циклом.

5. Предельный цикл может быть устойчивым или неустойчивым. Если все соседние фазовые траектории стягиваются к предельному циклу, то он является устойчивым и соответствует автоколебаниям. Изолированную замкнутую фазовую траекторию

называют предельным циклом. Предельные циклы об-

тах

ладают такой особенностью - все соседние траектории или «наматываются» на предельные циклы, или «сматываются» с них. Неустойчивый предельный цикл обладает свойством, что соседние траектории как с внутренней, так и с наружной стороны «сматываются» с этого предельного цикла. Это означает, что если изображающая точка окажется на предельном цикле, то в исследуемой системе возникнут периодические колебания. Однако достаточно будет малейшего толчка - или в виде внешнего воздействия, или за счет вариаций параметров системы, как периодические колебания нарушаются, и система перейдет в другое состояние. Поэтому такого рода устойчивые колебания в реальной системе практически невозможны.

Если изображающая точка на фазовой плоскости находится внутри неустойчивого предельного цикла, то фазовые траектории системы будут стремиться к началу координат, значит, по отношению к таким начальным состояниям движение системы считается устойчивым. В результате различных возмущений изображающая точка может оказаться вне неустойчивого предельного цикла, тогда исходящая из этой точки фазовая траектория будет уходить в бесконечность, и по отношению к такому возмущению движение системы неустойчиво. Внутри неустойчивого предельного цикла фазовые траектории будут «сматываться» с него и «наматываться» на начало координат. Снаружи фазовые траектории будут «разматываться» с предельного цикла, и по любой фазовой траектории изображающая точка будет уходить в бесконечность. Достаточно очень малого возмущения, чтобы изображающая точка сошла с предельного цикла и более уже не возвратилась на него, при этом перемещаясь по соответствующей траектории либо к началу координат, либо в бесконечность. Незатухающие колебания в такой системе реально не наблюдаются, а роль предельного цикла состоит лишь в ограничении области действия аттрактора [11].

Практически, неустойчивый предельный цикл ограничивает область начальных условий, в пределах которой движение системы устойчиво. Здесь важно заметить, что динамические процессы нелинейных систем существенно зависят от начальных условий.

Характеристики неустойчивого предельного цикла определяются, прежде всего, динамическими особенностями объекта управления, мощностью рулевого привода и во многом зависят от структуры и параметров алгоритмов управления.

Методы стабилизации бокового движения ДПЛА состоят из синтеза нескольких контуров пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) управления [18].

Классическое ПИД-управление является довольно примитивной и упрощенной реализацией управления по ошибке на основе обратной связи. ПИД-управление широко применяется даже когда о динамике объекта информация минимальна или совсем отсутствует.

Но, несмотря на очевидную простоту и легкость настройки ПИД-управления, стоит отметить его фундаментальные ограничения, которые возникают при

появлении большого количества требований к возможностям системы управления. Для большей определенности выделим четыре основные проблемы, адресованные к ПИД-структуре:

1. Задающее воздействие часто задается как единичная функция, что не соответствует большинству реальных динамических систем, так как подается для определения выходного сигнала, поэтому управляющий сигнал делает резкий скачок.

2. ПИД-управление часто реализуется с малым коэффициентом передачи дифференцирующего звена из-за чувствительности к шуму.

3. Сумма трех составляющих, в силу своей простоты, не может осуществить лучший закон управления, основанный на предыдущей ошибке и ее изменении.

4. Потенциальная проблема при непосредственном использовании ПИД-контроллеров состоит в интегральном насыщении. Когда невязка большая и сохраняется продолжительный период времени, то сигнал интегратора может стать большим или перейти в состояние насыщения. Большой сигнал интегратора может привести к появлению постоянной составляющей управления, что приведет к насыщению, которое заставит «толкнуть» систему с максимальным усилием в направление, необходимое для корректировки невязки. Сигнал интегратора будет продолжать насыщаться, пока невязка не изменит знак, при этом управляющий сигнал может не выйти из насыщения до тех пор, пока не пройдет некоторое время после изменения знака невязки, что может вызвать избыточный отклик на ступенчатое воздействие и потенциально дестабилизировать систему. Насыщение интегратора может дестабилизировать контуры управления автопилота.

Для того, чтобы избавиться от этих проблем при управлении, рассмотрим системы с переменной структурой. Решение задачи управления техническими системами и технологическими процессами связано с построением сложных математических моделей, что обусловлено многочисленными взаимосвязями различных подсистем. Необходимость учета этих взаимосвязей приводит к созданию динамических систем, аналитическое исследование которых весьма затруднительно. К системам, в которых важную роль играют изменяющиеся во времени взаимосвязи образующих их подсистем, можно отнести движущиеся объекты с переменным количеством компонентов.

Система, которая оптимальна по какому-либо одному критерию, часто не имеет оптимальных характеристик по-другому. А также многие системы работают в нескольких режимах, например, отработки больших скачкообразных воздействий и слежения за медленно изменяющимися входными сигналами. Один из способов решения данной задачи - создание системы переменной структуры (СПС)3, для которую можно обеспе-

3 См., например: Романов О. В., Вятков Н. М., Канушкин С. В., Лаптев В. В. Теория автоматического управления: Учебное пособие. - Серпухов: Филиал ВА им. Петра Великого, 2018. - 159 с.

чить субоптимальность по нескольким показателям. Под СПС следует понимать систему, которая содержит несколько законов управления, переключающихся в процессе функционирования и, тем самым, обеспечивающих более высокие показатели качества работы системы. Также можно дать другое определение, система, в которой путем переключений изменяются связи между элементами в зависимости от ее состояния. В зависимости от того, какие координаты системы и внешние воздействия доступны для измерения, переключение может происходить по величине ошибки, выходной координате исполнительного устройства, задающего или возмущающего воздействия.

Можно добавить, что в условиях стабилизируемо-сти методами СПС отсутствуют ограничения на скорость изменения параметров объекта, тогда как для линейных систем такие ограничения имеются.

Управление, формируемое в данной системе отлично от релейного в плане того, что амплитуда разрыва на протяжении всего процесса не остаётся постоянной, а изменяется в зависимости от значения модуля ошибки. Подтверждены хорошее быстродействие системы управления, обеспечение минимальной динамической ошибки и времени запаздывания при отработке гармонических воздействий различной амплитуды. Схема системы автоматического управления переменной структуры отличается простотой и высоким качеством работы.

Вид траектории, по которой осуществляется переход системы из одного состояния в другое, позволяет судить о динамических свойствах системы (время переходного процесса, перерегулирования, колебательность, точность и др.). Синтез методом фазового пространства предполагает выбор такого управления, которое обеспечивает этот переход по желаемым траекториям. Большие дополнительные возможности улучшения процессов регулирования дает нелинейное управление работой объекта путем изменения структуры управляющего устройства в зависимости от размеров и знаков входных величин, поступающих в управляющее устройство от измерительного устройства. При этом могут использоваться комбинации линейных законов регулирования (их достоинства, обходя недостатки).

Под системами с переменной структурой (СПС) будем понимать системы, в которых связи между функциональными элементами меняются тем или иным образом в зависимости от состояния системы. В таких системах управляющее устройство содержит функциональные элементы, которые перестраиваются на реализацию конкретного логического алгоритма из заданного класса. Способ, который может быть положен в основу построения СПС, целесообразно использовать в случае, если фазовое пространство для каждой из фиксированных неустойчивых структур не содержит гиперплоскостей с устойчивыми вырожденными движениями. За счет «сшивания» в определенной последовательности участков неустойчивых траекторий уда-

ется в итоге получить устойчивое движение для любых начальных условий.

Наиболее плодотворной идеей синтеза СПС оказалась идея создания искусственных вырожденных движений. Сущность этого подхода заключается в следующем: в фазовом пространстве X задается некоторая гиперплоскость S, движение в которой обладает желаемыми свойствами, причем траектории, лежащие в S, не принадлежат ни одной из имеющихся структур. Последовательность изменения структур должна быть выбрана такой, чтобы изображающая точка всегда попадала на эту гиперплоскость, а затем двигалась по ней. Тогда с момента попадания в системе будет существовать искусственное вырожденное движение, которое можно наделить рядом полезных свойств, не присущих каждой из фиксированных структур.

Рассмотрим нелинейную динамику системы управления беспилотным летательным аппаратом (БПЛА) как движение управляемого объекта в п-мерном фазовом пространстве углового движения переменной х=(х!,..., хп), описываемое системой дифференциальных уравнений

х = /

где/ = /... ,/,), и= (щ.....щ).

Будем полагать, что в каждый фиксированный момент времени t вектор состояния х принадлежит заданной области О п-мерного фазового пространства системы (1), а вектор управления и принадлежит г-мерной области управления О.

Кусочно-непрерывную функцию и((), заданную на отрезке Ю< <Г, называют допустимым управлением в О относительно точки х(1<), если при подстановке в (1) функции решение этой системы с начальным условием и0 определено и находится в О при t0< 1<Т.

Допустимое относительно х0 управление и(() при to<. ( <Т переводит базовую точку из положения х0 в область Б, если х{Т)&. В частности, Сможет представлять собой начало координат фазового пространства. Процесс перемещения фазовой точки из положения х0 в область называют переходным процессом, который на фазовой плоскости представляет собой фазовую траекторию.

Если задан критерий качества переходного процесса

Лх0, и) = £ Р

где Бд - граница области 5.

В этом случае задача построения алгоритма управления, оптимального по критерию (2) - есть задача построения управления и0 (О- допустимого относительно € С и такого, что функционал (2) достигает абсолютного минимума.

Функция в критерии качества (2) характе-

ризует переходный процесс в системе (1).Так, принимают (х, и ) = 1, когда требуется обеспечить минимум времени переходного процесса;Р(х,и) =м2, когда минимизируют работу, затрачиваемую в течение переходного процесса, т.е. расход топлива на управление.

Кусочно-гладкой функцией Л(х) задают цену конечного состояния х(Т) е £0. Обычно выбирают алгоритм управления, оптимальный по критерию (2), требуя непоерывности Р(х,и) и дР(х,и)/дх^ для всех х Е С и и е Г2 .

Однако в практике построения систем управления ЛА встречаются задачи, в которых функция Р (х, и) в (2) может быть разрывной. Так, например, требуют, чтобы Р(л",?/) = 1 вдали от начала координат и Р(х,и) = и2 в некоторой окрестности точки х = (0,...,0) В этом случае необходимо минимизировать сумму, в которую с соответствующими коэффициентами входят время движения изображающей точки из положения до границы области ¿^и работа,

затраченная на перемещение изображающей точки с границы С^в начало координат.

Системы управления, оптимальные по критерию качества (2) с разрывной функцией Р(х, и), называют системами с переменным критерием оптимальности.

Часто к алгоритмам управления в системах управления ЛА предъявляют особые требования: \и\ < ит и |й| < \й\т.

В окрестности положения равновесия, т.е. в некоторой окрестности Сг точки х = (0....,0), алгоритм управления должен обеспечить устойчивый переходный процесс в системе при X Е С^

Критерием качества переходного процесса выбирают некоторую величину, которая зависит от фазовой траектории изображающей точки и энергии управляющего воздействия, поскольку для большинства систем управления энергетические запасы ограничены.

Таким образом, участок фазового пространства, на котором выполняется условие: \и\ < ит и |й| < \й\т, определяет управляемость системы управления движением ДПЛА и для ее обеспечения алгоритм управления должен иметь структуру, минимизирующую функционал вида:

<

КХ,

J = jldt.

Для точек X £ G0 критерием качества выбирают время движения изображающей точки до границы области Gj, т.е. F(X, и) = 0 для X £ G0 .

Таким образом, алгоритмом управления, оптимальным для X £ Gj, будет такой алгоритм, при котором изображающая точка за минимальное время попадёт на границу области Gj T(X) = min (t0 -t\ )•

lul —um

Алгоритмом управления, оптимальным по быстродействию для линейной системы, является релейный алгоритм, который можно построить как на основании принципа максимума с условиями трансверсальности на границе G\, так и принципа динамического программирования.

Задача синтеза управления, оптимального по квадратичному критерию решена [11 - 14]. В результате найден оптимальный закон управления и00 - линейный относительно фазовых координат

где К - строка | \к\ |.

Однако, такой простой вид оптимальный закон управления имеет только в области линейности Е (X" е Е, тогда | и°(Х) \<ит при t0 < t<оо).

Решить задачу синтеза оптимального закона управления в зоне насыщения весьма сложно даже для простых систем второго порядка4. Однако в нашем случае можно избежать трудностей связанных с построением непрерывного продолжения функции в зону насыщения, если выбрать область Gx целиком лежащей в зоне линейности.

При релейном управлении возможно использовать линию переключения, оптимальную по быстродействию, для попадания в начало координат и изменить алгоритм управления с релейного на линейный на прямоугольнике на фазовой плоскости: \хг\< х±*, |х2|<ж2*.

Переходный процесс в системе с таким релейно-линейным алгоритмом управления будет всегда протекать с перерегулированием. Изображающая точка при релейном алгоритме движется к началу координат вдоль фазовой траектории, проходящей через начало координат при и = ±1^, а в линейной области |ii| < Uj^, т.е. произойдет перерегулирование. Если строить релейно-линейный алгоритм управления предложенным методом, то линия переключения для релейного алгоритма будет существенно зависеть от свойств системы в линейной зоне.

Переходный процесс в системе (1) при релейно-ли-нейном законе управления будет протекать следующим образом: в начальный момент времени t0 при X0 £ Gx на вход системы подаётся релейный закон управления, при котором изображающая точка за минимальное время попадает на поверхность переключения. На поверхности происходит изменение алгоритма управления с релейного на линейный, и изображающая точка движется далее к началу координат.

Предлагается релейно-линейный алгоритм управления, в котором на фазовой плоскости формируется область, которая соответствует математическому уравнению эллипса. Значения коэффициентов уравнения выбираются таким образом, чтобы эллипс на фазовой плоскости был меньше неустойчивого предельного цикла, вызванного ограничением мощности рулевого привода. Задаются зоны действия линейного и релейного управления таким образом, чтобы релейное управление оказалось вне эллипса на фазовой плоскости, а линейное управление внутри эллипса [5, 6, 10].

Релейно-линейный алгоритм управления работает по следующему принципу:

4 Методы современного классической теории автоматического управления. Учебник. В 5 тт. Т. 5. Методы современной теории автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова - М.: МГТУ им. Баумана, 2004. - 784 с. ISBN 5-7038-2193-2.

Рис. 3. Фазовый портрет релейно-линейного управления на фазовой плоскости

формируется математическое уравнение эллипса

ÜL.

a2

Ь2

+ j— = 1, подбирая коэффициенты a и Ь таким

образом, чтобы эллипс на фазовой плоскости был меньше неустойчивого предельного цикла, в противном случае система окажется неустойчивой; формируется линейное управление

Щ = К—— + К—;

формируется релейное управление

иб = ит*7:п( к——+к—);

задается зона нечувствительности линейного и релейного управления таким образом, чтобы релейное управление оказалось вне эллипса на

фазовой плоскости: —— + — -1 > 0, а линейное

а2 Ь- 2

— — Л г,

управление внутри эллипса —— +—- -1 < 0.

а Ь

Таким образом, пока изображающая точка движется вне эллипса (внутри неустойчивого предельного цикла), работает релейное управление. При прохождении изображающей точки через эллипс, автомат стабилизации переключает управление с релейного на линейное, тем самым увеличивается быстродействие системы при сохранении границ устойчивости.

Фазовый портрет релейно-линейного управления на фазовой плоскости, поясняющий принцип работы алгоритма представлен на рис. 3. То есть пока изображающая точка движется вне эллипса управления (внутри неустойчивого предельного цикла), работает релейное управление. При переходе изображающей точки (фазовой траектории) в эллипс, автомат стабилизации переключает управление с релейного на линейное. Таким образом, увеличивается быстродействие системы при сохранении показателей устойчивости и качества управления [18].

Рис. 4. Схема моделирования динамики нелинейной системы управления беспилотным летательным аппаратом

Изменение во времени параметров ДПЛА принципиально не меняет принципа управления. Проведенное имитационное моделирование5 в среде MATLAB

5 Методы инженерного синтеза сложных систем управления: аналитический аппарат, алгоритмы приложения в технике. Часть II. Вы-

числительно-аналитический эксперимент: аппарат матричных операторов и вычислительные технологии / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егу-

пова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 416 с. ISBN: 978-5-7038-3451-0.

Simulink динамики канала стабилизации ЛА с линейным и релейно-линейным управлением подтверждает предпочтительность последнего.

Схема исследования включает в себя: модель динамики углового движения ДПЛА по углу рыскания, интегрирующий рулевой привод с жесткой обратной связью и нелинейностью типа «зона ограничения» скоростной характеристики рулевого привода, объект

управления, линейный и релейно-линейный алгоритм управления.

На рис. 4 видно, что система стабилизации содержит нелинейности типа зоны нечувствительности и ограничения (насыщения) скоростной характеристики рулевого привода. Эти нелинейности являются не только наиболее типичными для систем стабилизации, но и постоянно

присутствующими. Насыщение характеризует ограничение мощности рулевого привода и присутствует в любом реально существующем приводе. Нелинейность скоростной характеристики рулевого привода типа «зона насыщения» приводит к возникновению неустойчивого предельного цикла. Для всех начальных условий вне данного цикла угловое движение ДПЛА будет неустойчивым [7].

Рис. 5. Графики переходного процесса угла рыскания

На рис. 5 можно выделить участки, на которых скорость отклонения управляющих органов выходит на «зону насыщения» скоростной характеристики рулевого привода.

Линейно-релейное управление и функция переключения представлены на рис. 6.

Возможность использования неустойчивых предельных циклов для оценки области устойчивости нелинейных систем управления беспилотными летательными аппаратами показана на рис. 7.

Рис. 6. Графики переходного процесса линейного управляющего сигнала

Рис. 7. Графики переходного процесса, соответствующие неустойчивому предельному циклу угла рыскания (непрерывная линия), угла отклонения управляющих органов (тире), скорости отклонения

управляющих органов

Практически, неустойчивый предельный цикл определяет область начальных условий, в пределах которой движение системы устойчиво (рис. 8). Здесь важно заметить, что динамические процессы нелинейных систем существенно зависят от начальных условий [7].

Проведенное моделирование в среде MATLAB Simulink динамики канала стабилизации БПЛА с линейным и релейно-линейным управлением подтверждает предпочтительность последнего, у которого неустойчивый предельный цикл почти на треть больше [7].

Совершение маневра моделировалось путем задания начальных условий по углу рыскания. В ходе вычислительного эксперимента при прочих одинаковых условиях получены:

- неустойчивый предельный цикл на фазовой плоскости при линейном управлении (начальные условия ^о=0,27235 рад.);

- неустойчивый предельный цикл на фазовой плоскости при релейно-линейном управлении

Рис. 10. Неустойчивый предельный цикл на фазовой плоскости при релейно-линейном управлении

Результаты исследования нелинейной системы управления БПЛА с линейным и релейно-линейным алгоритмами управления в среде Matlab Simulink, соответственно, представлены на рис. 9, 10.

Таким образом, релейно-линейное управление обеспечивает устойчивость движения при начальных условиях на 34 % больше, что очень важно для возможности совершения ДПЛА маневра.

Автопилот ДПЛА с традиционным алгоритмом угловой стабилизации, состоящий из нескольких контуров ПИД-управления является довольно примитивной и упрощенной реализацией управления по ошибке на основе обратной связи. Но, несмотря на очевидную простоту и легкость настройки ПИД-управления, стоит отметить его фундаментальные ограничения, которые возникают при появлении большого количества требований к возможностям нелинейной системы управления.

Обоснованы необходимость и целесообразность использования СПС для синтеза алгоритма стабилизации, позволяющего обеспечить устойчивость движения при увеличенных возмущениях в ходе совершения маневра ДПЛА. Анализ особенностей управления в системах переменной структуры позволил сделать вывод о целесообразности их применения. Показано, что алгоритмы переменной структуры отличается простотой и высоким качеством работы, могут быть доведены до инженерного уровня и успешно использованы при создании систем стабилизации ДПЛА.

Анализ основных нелинейностей систем стабилизации ДПЛА показал, что необходим обязательный учет нелинейности типа «зона ограничения» (насыщения) скоростной характеристики рулевого привода при решении задачи в ходе совершения маневра.

Показана возможность использования неустойчивых предельных циклов для оценки области устойчивости нелинейных систем управления БПЛА. Характе-

и и

71 11 ¡1 41 | и 11 II и

Рис. 8. Неустойчивый предельный цикл на фазовой плоскости при линейном управлении

г'<«а

м II 3 . О

41

<1 11 11 1, 1 ,1 11 |> <1

Рис. 9. Неустойчивый предельный цикл на фазовой плоскости при линейном управлении

ристики неустойчивого предельного цикла определяются, прежде всего, динамическими особенностями объекта управления, мощностью рулевого привода и во многом зависят от структуры и параметров алгоритмов управления.

Проведен многокритериальный синтез алгоритма стабилизации ДПЛА и обоснована его релейно-линей-ная структура.

В ходе вычислительного эксперимента подтверждена эффективность полученного релейно-линейного алгоритма, который обеспечивает устойчивость движения при начальных условиях на 34 % больше по сравнению с традиционным линейным алгоритмом, что очень важно для возможности совершения ДПЛА маневра. Релейно-линейное управление подтверждает свою предпочтительность, имея площадь неустойчивого предельного цикла почти на треть больше.

Рецензент: Тютюнник Вячеслав Михайлович, доктор технических наук, профессор, академик РАЕН, Президент Международного информационного Нобелевского центра, г. Тамбов.

Литература

1. Афанасьев П. П. Основы устройства, проектирования, конструирования и производства летательных аппаратов (дистанционно-пилотируемые летательные аппараты). М.: Изд-во МАИ, 2006. 528 с. ISBN 978-5-7035-1626-3

2. Биард Р. У., Маклэйн Т. У. Малые беспилотные летательные аппараты: теория и практика. М.: Техносфера, 2015. 312 c. ISBN 978-5-94836-393-6

3. Гаврилов Д.А. Нейросетевой алгоритм автоматического обнаружения и сопровождения объекта интереса в видеосигнале // Труды 16-й Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2018 (24 - 27 сентября 2018 г.) / ФИЦ «ИУ» РАН. В 2-х т. Т. 2. М.: ИТАР-ТАСС, 2018. С. 188 - 195.

4. Гаврилов Д.А., Павлов А.В. Поточная аппаратная реализация алгоритма SURF // Известия высших учебных заведений. Электроника. 2018. Т. 23. № 5. С. 502 - 511.

5. Зайцев А. В., Канушкин С. В. Многокритериальное управление робототехническими системами // Труды XVIII Всеросс. науч. конф. «Нейрокомпьютеры и их применение» М: МГППУ, 2020. С. 291 - 292. ISBN 978-5-94051-214-1

6. Зайцев А. В., Канушкин С. В. Особенности управления нелинейными робототехническими системами // Труды XVIII Всеросс. науч. конф. «Нейрокомпьютеры и их применение» М: МГППУ, 2020 . С. 338 - 339. ISBN 978-594051-214-1

7. Канушкин С. В. Правовые аспекты реализации функциональных возможностей интеллектуальных роботов в работе правоохранительных органов // Правовая информатика. 2018. № 2. С. 23 - 38. D0I:10.21681/1994-1404-2018-2-23-38

8. Канушкин С. В. Синергетический подход в управлении группой беспилотных летательных аппаратов интеллектуальной системы охранного мониторинга // Правовая информатика. 2018. № 3. С. 25 - 37. D0I:10.21681/1994-1404-2018-3-25-37

9. Канушкин С. В. Управление робототехническими системами охранного мониторинга в условиях неопределенности // Правовая информатика. 2019. № 2. С. 40 - 48. DOI: 10.21681/1994-1404-2019-2-40-48

10. Канушкин С. В., Зайцев А. В. Особенности оптимизации нелинейных систем управления летательными аппаратами // Труды 38-й Всеросс. научч.-техн. конф. Часть 4 // Филиал ВА им. Петра Великого в г. Серпухове. Серпухов: ФВА, 2019. С. 214 - 217. ISBN 978-5-91954-201-8

11. Колесников А. А. Современная прикладная теория управления. Часть III. Новые классы регуляторов технических систем. -Таганрог: ТРТУ, 2000. 656 с. ISBN 5-8327-0045-7

12. Ловцов Д. А. Информационная теория эргасистем: Тезаурус. М.: Наука, 2005. 248 c. ISBN 5-02-033779-Х

13. Ловцов Д. А. Системный анализ. Часть. 1. Теоретические основы. М.: РГУП, 2018. 224 с. ISBN 978-5-93916- 701-7

14. Ловцов Д.А. Информационная теория эргасистем: основные положения // Правовая информатика. 2019. № 3. С. 4 - 20. DOI: 10.21681/1994-1404-2019-3-04-20

15. Ловцов Д. А., Гаврилов Д. А. Моделирование оптико-электронных систем дистанционно пилотируемых аппаратов: Монография. М.: «Технолоджи-3000», 2019. 164 с. ISBN 978-5-94472-036-8

16. Ловцов Д. А., Гаврилов Д. А. Эффективная автоматизированная оптико-электронная система аэрокосмического мониторинга // Правовая информатика. 2019. № 2. С. 29 - 35. DOI: 10.21681/1994-1404-2019-2-29-35

17. Моисеев В. С. Основы теории эффективного применения беспилотных летательных аппаратов. Казань: РИЦ «Школа», 2015. 444 с. ISBN 978-5-9905685-4-9

18. Патент на полезную модель № 194542 РФ. Система угловой стабилизации / Канушкин С. В., Зайцев А. В., Волков А. В., Шишкин К. В., Сачук А. П., Барыкин Д. А. Подчалимов И. В., Ягодин А. С., Самотягин П. И. (РФ). № 2019116757; Заяв. 30.05.2019.

NONLINEAR DYNAMICS OF OBJECTS CONTROL SYSTEMS FOR SECURITY MONITORING ROBOTIC SYSTEMS

Alexander Zaitsev, Dr.Sc. (Technology), Professor at the Peter the Great Military Academy of Strategic Rocket Forces, Moscow, Russian Federation. E-mail: ug253@mail.ru

Sergey Kanushkin, Ph.D. (Technology), Associate Professor at the Peter the Great Military Academy of Strategic Rocket Forces, Moscow, Russian Federation. E-mail: kan.cer59@yandex.ru

Keywords: monitoring, robotic systems, remotely piloted aircraft, unmanned aerial vehicle, control, stabilization, non-linearity, saturation, variable structure, synthesis, multi-criteria, unstable limit cycle, controller, stability, phase trajectory, maneuver.

Abstract.

The purpose of this work: is to ensure the stability of angular motion of a nonlinear stabilization system for remotely piloted aircraft under increased perturbations during the maneuver.

Method: complex theoretical and applied synthesis based on optimal control methods in a class of systems with variable structure that implement multi-criteria control.

Results: a relay-linear stabilization algorithm is developed which provides stability of movement under initial conditions by 34 % more than the traditional linear algorithm, which is very important for the possibility of performing a remotely piloted aircraft maneuver.

The possibility of using unstable limit cycles to estimate the area of attraction of nonlinear control systems for unmanned aerial vehicles is shown.

The conclusion is made about the necessity and expediency of using relay-linear control, which confirms its preference, having an area of unstable limit cycle almost a third larger.

References

1. Afanas'ev P. P. Osnovy' ustroi'stva, proektirovaniia, konstruirovaniia i proizvodstva letatel'ny'kh apparatov (distant-cionno-pilotiruemy'e letatel'ny'e apparaty'). M.: Izd-vo MAI, 2006. 528 s. ISBN 978-5-7035-1626-3

2. Biard R. U., MacleTn T. U. Maly'e bespilotny'e letatel'ny'e apparaty': teoriia i praktika. M.: Tekhnosfera, 2015. 312 c. ISBN 978-5-94836-393-6

3. Gavrilov D.A. Nei'rosetevoi' algoritm avtomaticheskogo obnaruzheniia i soprovozhdeniia ob''ekta interesa v videosignale // Trudy' 16-i' NatcionaPnoP konferentcii po iskusstvennomu intellektu s mezhdunarodny'm uchastiem KII-2018 (24 - 27 sentiabria 2018 g.) / FITC «IU» RAN. V 2-kh t. T. 2. M.: ITAR-TASS, 2018. S. 188 - 195.

4. Gavrilov D.A., Pavlov A.V. Potochnaia apparatnaia realizatciia algoritma SURF // Izvestiia vy'sshikh uchebny'kh zave-denii'. E'lektronika. 2018. T. 23. № 5. S. 502 - 511.

5. Zai'tcev A. V., Kanushkin S. V. Mnogokriterial'noe upravlenie robototekhnicheskimi sistemami // Trudy' XVIII Vseross. nauch. konf. «Nei'rokomp'iutery' i ikh primenenie» M: MGPPU, 2020. S. 291 - 292. ISBN 978-5-94051-214-1

6. Zai'tcev A. V., Kanushkin S. V. Osobennosti upravleniia nelinei'ny'mi robototekhnicheskimi sistemami // Trudy' XVIII Vseross. nauch. konf. «Nei'rokomp'iutery' i ikh primenenie» M: MGPPU, 2020 . S. 338 - 339. ISBN 978-5-94051-214-1

7. Kanushkin S. V. Pravovy'e aspekty' realizatcii funktcional'ny'kh vozmozhnostei' intellektual'ny'kh robotov v rabote pravookhranitel'ny'kh organov // Pravovaia informa-tika. 2018. № 2. S. 23 - 38. D0I:10.21681/1994-1404-2018-2-23-38

8. Kanushkin S. V. Sinergeticheskii' podhod v upravlenii gruppoi' bespilotny'kh letatel'ny'kh apparatov intellektual'noi' sistemy' okhrannogo monitoringa // Pravovaia informatika. 2018. № 3. S. 25 - 37. D0I:10.21681/1994-1404-2018-3-25-37

9. Kanushkin S. V. Upravlenie robototekhnicheskimi sistemami okhrannogo moni-toringa v usloviiakh neopredelen-nosti // Pravovaia informatika. 2019. № 2. S. 40 - 48. DOI: 10.21681/1994-1404-2019-2-40-48

10. Kanushkin S. V., Zai'tcev A. V. Osobennosti optimizatcii nelinei'ny'kh sistem upravleniia letatel'ny'mi apparatami // Trudy' 38-i' Vseross. nauchch.-tekhn. konf. Chast' 4 // Filial VA im. Petra Velikogo v g. Serpuhove. Serpuhov: FVA, 2019. S. 214 - 217. ISBN 978-5-91954-201-8

11. Kolesnikov A. A. Sovremennaia pricladnaia teoriia upravleniia. Chast' III. Novy'e classy' reguliatorov tekhnicheskikh sistem. -Taganrog: TRTU, 2000. 656 s. ISBN 5-8327-0045-7

12. Lovtcov D. A. Informatcionnaia teoriia e'rgasistem: Tezaurus. M.: Nauka, 2005. 248 c. ISBN 5-02-033779-X

13. Lovtcov D. A. Sistemny'i' analiz. Chast'. 1. Teoreticheskie osnovy'. M.: RGUP, 2018. 224 s. ISBN 978-5-93916- 701-7

14. Lovtcov D.A. Informatcionnaia teoriia e'rgasistem: osnovny'e polozheniia // Pravovaia informatika. 2019. № 3. S. 4 - 20. DOI: 10.216S1/1994-1404-2019-3-04-20

15. Lovtcov D. A., Gavrilov D. A. Modelirovanie optiko-e'lektronny'kh sistem distantcionno pilotiruemy'kh apparatov: Monografiia. M.: «Tekhnolodzhi-3000», 2019. 1б4 s. ISBN 97S-S-94472-036-S

16. Lovtcov D. A., Gavrilov D. A. E'ffektivnaia avtomatizirovannaia optiko-e'lektronnaia sistema ae'rokosmicheskogo monitoringa // Pravovaia informatika. 2019. № 2. S. 29 - 3S. DOI: 10.216S1/1994-1404-2019-2-29-3S

17. Moiseev V. S. Osnovy' teorii e'ffektivnogo primeneniia bespilotny'kh letatel'ny'kh apparatov. Kazan': RITC «Shkola», 201S. 444 s. ISBN 97S-S-990S6SS-4-9

1S. Patent na poleznuiu model' № 194S42 RF. Sistema uglovoi' stabilizatcii / Kanushkin S. V., Zai'tcev A. V., Volkov A. V., Shishkin K. V., Sachuk A. P., Bary'kin D. A. Podchalimov I. V., Iagodin A. S., Samotiagin P. I. (RF). № 20191167S7; Zaiav. 30.0S.2019.