Об обратимости одного класса вырождающихся дифференциальных операторов в лебеговом пространстве

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.918

М.Г.Гадоев, Ф.С.Исхоков

ОБ ОБРАТИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЛЕБЕГОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Институт математики имени АДжураева АН Республики Таджикистан

В работе строится правый регуляризатор для одного класса дифференциальных операторов с частными производными не дивергентного вида в произвольной (ограниченной или неограниченной) области О п-мерного евклидова пространства с нестепенным вырождением на границе области и на его основе доказывается существование обратного оператора в пространстве Lp(О).

Ключевые слова: дифференциальный оператор с частными производными - нестепенное вырождение - правый регуляризатор - обратный оператор - разбиение единицы.

1. Одним из основных моментов в исследовании разделимости дифференциальных операторов (см., например, [1-7] и имеющуюся в них библиографию) является построение правого регуляри-затора и доказательство обратимости исследуемого оператора. Большая часть работ по разделимости дифференциальных операторов посвящена исследованию обыкновенных дифференциальных операторов. Случай вырождающихся операторов с частными производными высокого порядка исследовался, в основном, в работах [3-7]. В этих работах сначала задается область О, в которой рассматривается дифференциальный оператор, и затем в этой области определяются функции, которые характери-зируют вырождения коэффициентов дифференциального оператора. В отличие от этого, в настоящей работе область О и функции, которые характеризируют вырождения коэффициентов дифференциального оператора, задаются в паре друг с другом и предполагается выполнение «условия погружения», введённое П.И.Лизоркиным в [8]. При этом дифференцируемость функций, с помощью которых определяется вырождение исследуемого оператора, не требуется.

2. Пусть О - произвольное открытое множество в п -мерном евклидовом пространстве и

пусть

П(0) = = (*!, *2, ..хп ) е Яп : \ху | ./ = 1, и }

- единичный куб с центром в начале координат.

Для любой точки £ = (£1з ••з и любого вектора I = (/,, /2, ..1п ) с положи-

тельными компонентами определим параллелепипед П равенством

Адрес для корреспонденции: Исхоков Фаридун Сулаймонович. 734063, Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: fariduniskhokov@mail.ru

^ Х\ Х2 ^2 Хп ^

V ¿1

=п

1П у

Пусть ^ (х) (] = 1, п ) - определённые в О положительные функции. Положим

где £ >0 и §(£) = (£), (£), (£) ) •

Далее в работе предполагается, что множество О и функции ^ (х) (] = 1, п ) связаны следующим условием: существует число £0 > 0 такое, что для всех параллелепипед П .. ,, (¿г) содержится в О . Это условие является аналогом условия погружения, рассмотренного в работе [8]. В [8] также рассмотрены примеры областей О и положительных функций (х) (у = 1, п ), удовлетворяющих условию погружения.

Отметим, что вырождающиеся эллиптические операторы дивергентного вида в случае, когда

область О и функции ^ (х) (у = 1, п ), характеризирующие вырождение коэффициентов исследуемого оператора, удовлетворяют сформулированным выше условиям, ранее изучались в работах [9-11]. В этих работах, в основном, исследовалась разрешимость вариационной задачи Дирихле в Ь2 (О) и изучались свойства её решения. В отличие от этого здесь мы исследуем эллиптические операторы высокого порядка не дивергентного вида и занимаемся построением соответствующих обратных операторов в пространствах Ь (О) ,1 < р < . 3. Рассмотрим дифференциальное выражение

L (х, Dx )=£ a* (x)D (x е Q),

k <2r

где к = ,к2,• • •,кп) - мультииндекс, |к\ = кх + к2 Н-----1-кп - длина мультииндекса,

D =

(л я ХЧл я Y2 (\ д \

1А

v i dxi ,

1А

V i дх2 J

v/ dxnJ

и i - мнимая единица.

Символом , где т - положительное число, обозначим класс символов

L (x5)= Z а(x)sk (х е Q>5 е R ) >

Ikl <2r

с измеримыми коэффициентами, удовлетворяющими следующим условиям:

k

(I) тГ \Ь (х, в0;

хеО,веД„1 4

(II) |ак(х)/' | < х8-к1' (х)8гк> (х)    8пк» (х) |Ь (х, для всех х е О, в е Яп, к = к + к , к ^ 0, |к| < 2г;

(Ш) Т\(а* (х)" ак(У)) вк\ < т Ь (х, в)|

I а,,

для всех в е Яп и всех х, у е О таких, что |х; — у < е28 (х), / = 1, п, е е (0,е0). Теорема 1. Пусть существует число Л > 0 такое, что

Л" < ^^ <Л, / = 1,2,...,п,

8/

для всех у е О и всех х е Пе , и пусть при некотором К > 0 выполняется неравенство

^ а

к <2г

для всех х е О, я £ Кп . Тогда найдётся число т0 = т0 (п, г, К) > 0, 1 < р < +оо, такое, что если т е (0,т0) и Ь(х,в) е , то замыкание Ь(р) оператора Ь = Ь (•, О), О (Ь) = С0 ( О), в про-

странстве Ьр (О) существует и является непрерывно-обратимым оператором.

Наметим схему доказательства теоремы 1. С помощью леммы 1 из [10] строится последовательность неотрицательных функций , ... из класса С^ (О) таких, что:

,2

1) !К(х) - 1 (х е О);

т

т=1

2) покрытие ^ирр щт } области О имеет конечную кратность Л(п, Л), где Л - константа из условия (2) ;

3) для любого мультииндекса к существует конечное число Мк > 0 такое, что

(х)8? (х)-^» (х)(х е О);

4) для всех х,у е эирру/т,т = 1,2,3, • • • выполняются неравенства

Iх/ " У;| <е'8/ (х), 7 = 1 п;

5) для любой функции / е Ь(О) справедливо соотношение

^¡Хт (х)I(х)dx ^ 0,N ^

т=Ы о

где Хт( x) - характеристическая функция множества .

В каждом множестве вирр у/т.от = 1,2,3, • • •, фиксируем точки |л'</""/'), Щ < 2г} и положим

Ьт ( 5 )=£ ( х( ^ V ( * 6 К ).

Щ <2г

В пространстве Ь (О) (1 < р < +;) вводим оператор

р = Тутфтщт, ъ (р ) = с;( о) ,

т=1

где = 1,2,3, •••) - псевдодифференциальный оператор в с символом Ф/н (л) = Л/н' (л). Сим-

волом обозначим замыкания этого оператора в пространстве Ь^ (О), 1 < р < +;.

Далее, обобщая на наш случай технику, разработанную в работе [4] при доказательстве теорем разделимости дифференциальных операторов, доказывается, что

ЬРи =

где Т ограниченный в Ь (О) оператор, ||-|| - норма которого не превосходит 1/2.

Используя представление (3) доказывается, что оператор Ь = Ь (•, Ъ), Ъ (Ь) = С; (О) в пространстве Ь (О) имеет замыкание и существует достаточно малое число г0 > 0 такое, что если и т 6 (0, т0), то замыкание Ь(р) оператора Ь = Ь (•,Ъ), Ъ(Ь) = С0 (О), в пространстве Ь (О) является непрерывно обратимым оператором и при этом

)=р р) (Е+а),

где 2 - непрерывный в Ь (О) оператор, - норма которого не превосходит единицу.

4. Вводим некоторые функциональные пространства, норма которых задается с помощью дифференциального выражения (1). Через ^ ь (О), 1 < р <+;, обозначим пространство функций

и(х) 6 Ь (О), для которых обобщённые функции ак (х) ЪЩи (х), Щ < 2г принадлежат пространству Ь (О) и конечна следующая норма

[ О Щ<2г О ]

0

Символом Жр;Ь(О) обозначим пополнения класса С; (О) по норме (4).

Теорема 2. Пусть 1 < p < выполнены все условия теоремы 1 и пусть т0 - такое же число, как в этой теореме. Тогда если ге(0,г0) и L(x,s) е то D^L(p^ = Wp;l(Q) и для

всех функций u(x) е D (L^ ) выполняются неравенства

(Q)|| <Mi\L(•;D)u;Lp (Q)|| <M21\U,Wpl (Q)||,

где положительные числа Mx, M2 зависят только от n, p, r, K и нижней грани функции

\L(x,s)(x е Q;s е Rn).

Более того, если выполняется условие

D[ak (x) е LXJoc (Q) (|/| < к < 2r),

0

то Wp.L (Q) = Wp;L(Q), то есть множество C^ (Q) плотно в пространстве Wp.L (Q).

Поступило 02.04.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Everitt W.N., Giertz M. Inequalities and separation for Schrodinger-type operators in L2(Rn). - Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A, 1977, v. 79, pp. 257-265.

2. Brown R.C., Hinton D.B. Two separation criteria for second order ordinary or partial differential operators - Mathematica Bohemica, 1999, v. 124, № 2-3, pp. 273-292.

3. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости эллиптических уравнений в Rn. - Тр. МИАН СССР, 1983, т. 161, с. 195-217.

4. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения. - Тр. МИАН СССР, 1984, т. 170, с. 37-76.

5. Бойматов К.Х. Сильно вырождающиеся эллиптические дифференциальные операторы класса Трибеля. - Известия вузов. Математика, 1988, № 8, с. 39-47.

6. Бойматов К.Х. Коэрцитивные свойства сильно вырождающихся эллиптических уравнений. - ДАН России, 1993, т. 330, №4, с.409-414.

7. Zayed E.M.E., Mohamed A.S., Atia H.A. Inequalities and separation for the Laplace-Beltrami differential operator in Hilbert spaces. - Journal of Mathematical analysis and Application, 2007, v. 336, рр. 8192.

8. Лизоркин П.И. Оценки смешанных и промежуточных производных в весовых L^-нормах. - Тр. МИАН СССР, 1980, т. 156, с. 130-142.

9. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением. - ДАН России, 2001, т. 378, № 3, c. 306-309.

10. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением. - Дифференциальные уравнения, 2003, т.39, № 11, с. 1536-1542.

11. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением. - Докл.РАН, 2012, т. 443, №3, c. 286-289.

М.Г.Гадоев, Ф.С.Исхоков

ОИДИ БАРГАРДОНИДА ШАВАНДАГИИ ЯК СИНФИ ОПЕРАТОРНОМ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ БО ^ОСИЛА^ОИ ХУСУСЙ ДАР ФАЗОИ ЛЕБЕГ

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола барои як синфи операторной дифференсиалй бо хосилахои хусусии шакли гайри дивергентй, ки дар сохаи дилхохи (махдуд ё гайримахдуд) Q -и фазои n — ченакаи евклидй додашуда, дар сархади соха таназзулёбии гайри дарачагй доранд, регуляризатори та-рафи рост сохташуда, дар асоси он мавчудияти оператори баръакс исбот карда шудааст. Калима^ои калиди: оператори дифференсиалй бо уосилауои хусусй - таназзулёбии гайри дарацагй - регуляризатори тарафи рост - оператори баръакс - тацсимкунии во^ид.

M.G.Gadoev, F.S.Iskhokov ABOUT IVERTIBILITY OF A CLASS OF DIFFERENTIAL OPERATORS

IN LEBESQUE SPACE

A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

A right-hand regularizing operator is constructed for a class of partial differential operators in nondivergent form in arbitrary (bounded or unbounded) domain Q in «-dimensional Euclidian space with nonpower degeneracy on the boundary and on its base an existence of inverse operator in space Lp(Q) is proved. Key words: partial differential operator - right-hand regularizing operator - inverse operator - partition of the unit.