Влияние радиуса скругления вершины индентора на напряженно-деформированное состояние при внедрении индентора в упругопластический материал

УДК 620.178.15

Влияние радиуса скруглеиия вершины индентора на напряженно-деформированное состояние при внедрении индентора в упругопластический материал

С.В. Смирнов, Е.О. Экземплярова

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург, 620219, Россия

Выполнено конечно-элементное моделирование внедрения в упругопластический материал конического индентора с углом при вершине 140.6°, эквивалентного индентору Берковича. Проверка адекватности моделирования проведена путем сопоставления с экспериментальными данными по внедрению конического индентора в образцы из стали с 0.1 % С. Рассмотрено влияние радиуса скругления индентора на напряженно-деформированное состояние и диаграмму вдавливания. Установлено, что влияние радиуса скругления у вершины индентора на диаграммы вдавливания следует учитывать при глубине вдавливания индентора менее 250 нм. Влияние радиуса скругления на обобщенные характеристики напряженно-деформированного состояния сказывается в локальной области у вершины индентора. Размеры области составляют около 40 нм в глубину и 25 нм в радиальном направлении и практически не зависят от глубины внедрения индентора.

Ключевые слова: наноиндентирование, конечно-элементное моделирование, напряженно-деформированное состояние, диаграмма вдавливания, влияние радиуса скругления вершины индентора

Effect of the indenter tip radius on the stress-strain state of elastoplastic materials

S.V. Smirnov and E.O. Ekzemplyarova

Institute of Machine Science UrB RAS, Ekaterinburg, 620219, Russia

The indentation of an elastoplastic material with a conical indenter equivalent in 140.6° vertex angle to the Berkovich indenter was modeled by the finite-element method. The adequacy of the model was checked by comparing the simulation results with experimental data on indentation of 0.1% carbon steel specimens with a conical indenter. Consideration was given to the effect of the indenter tip radius on the stress-strain state and indentation curve of the material. It is found that the indenter tip radius has an impact on the indentation curve at an indentation depth of less than 250 nm and affects the generalized stress-strain characteristics in a local region at the indenter tip. The depth and radial dimension of the region depend almost not at all on the indentation depth and are -40 nm and 25 nm, respectively.

Keywords: nanoindentation, finite-element modeling, stress-strain state, indentation curve, effect of the indenter tip radius

1. Введение

Метод индентирования в настоящее время является практически единственным методом исследования упругопластических свойств материалов на всех масштабных уровнях ниже макроскопического. Этот метод инструментально реализован на атомно-силовых микроскопах, нанотвердомерах и микротвердомерах с возможностью записи диаграмм вдавливания. В литературе описана возможность определения различных количественных прочностных характеристик материала (мо-

дуль Юнга, твердость, предел текучести, коэффициенты в функциональной зависимости сопротивления деформации) путем обработки по различным методикам экспериментальных диаграмм вдавливания [1-6]. В отличие от методов испытания на растяжение и сжатие, которые обычно используются для определения механических свойств, при внедрении индентора сразу же возникает сугубо неоднородное напряженно-деформированное состояние. Поэтому при обработке экспериментальных данных используют те или иные упроще-

© Смирнов С.В., Экземплярова Е.О., 2009

ния, например о постоянстве нормальных напряжений на контактной поверхности [7, 8] или средних деформаций в отпечатке [9, 10]. Более предпочтительным является использования методов численного математического моделирования, основанных на интегрировании системы дифференциальных уравнений механики деформированного тела с учетом граничных условий и упругопластических свойств испытуемого материала [5, 11-13]. Использование математического моделирования позволяет изучить влияние отдельных факторов на результаты экспериментов и сделать их обработку более достоверной. Так, например, в реальных условиях вершина любого индентора не идеально остра, а всегда имеет некоторый радиус закругления. Учет этого становится особенно важным при испытаниях на атомносиловых микроскопах и нанотвердомерах, когда глубина внедрения составляет десятки нанометров. Геометрическое отклонение формы реальной вершины от идеально острой вершины индентора ведет к неправильной оценке площади контакта и таким образом может привести к ошибкам при вычислении модуля упругости и твердости [14]. Следовательно, является актуальным проведение анализа влияния несовершенства формы острия индентора на получаемые результаты. В нанотвердомерах при индентировании и царапании в основном применяют трехгранные пирамидальные инден-торы Берковича, поскольку технология их изготовления путем скалывания алмаза по кристаллографическим плоскостям обеспечивает наиболее совершенную по остроте вершину с радиусом скругления 50-100 нм и менее.

Целью данной работы было изучение с использованием конечно-элементного моделирования влияния радиуса скругления вершины индентора на диаграммы вдавливания индентора в упругопластический материал и напряженно-деформированное состояние материала при индентировании.

2. Постановка задачи

Моделирование внедрения индентора в упругопластический материал было выполнено с применением программного комплекса ANSYS. Проведение трехмерного компьютерного моделирования внедрения инден-тора Берковича в материал методом конечных элементов является весьма затратным по времени расчета, поэтому в данной работе индентор рассматривали в виде конуса с углом при вершине 140.6°, эквивалентного индентору Берковича [14], что позволило решать задачу в осесимметричной постановке. Для построения конечно-элементной сетки был выбран двухмерный элемент объемного напряженно-деформированного состояния PLANE183 с восемью узлами, который может использоваться для моделирования осесимметричного деформированного состояния [15]. Геометрические размеры

>

^ ^ ^

Рис. 1. Конечно-элементная модель. Треугольники показывают ограничение по перемещению вдоль осей X

моделируемого образца выбирались такими, чтобы пластическая деформация не достигала боковых границ образца. Граничные условия задавали в перемещениях: для узлов сетки, расположенных на оси симметрии, разрешалось только перемещение иу, все узлы нижней грани закреплены (рис. 1). Для осуществления контакта индентора с материалом задавали контактную пару «ин-дентор - тело», считая контактирующими элементами верхнюю грань тела и боковую поверхность индентора. Использовали контактные элементы TARGE169, СОМГА172. На поверхности контакта принимали закон трения Амонтона-Кулона. Поставленную задачу решали с применением процедуры Ньютона-Рафсона и фронтального прямого решателя. Разбиение конечноэлементной сетки — равномерное с областью сгущения под индентором. Рассматривались большие деформации.

Материал, в который осуществляется внедрение индентора, упругопластический. Чисто упругая деформация имеет место только в начале процесса индентиро-вания и подчиняется закону Гука. В пластическом состоянии материал подчиняется условию текучести Ми-зеса в виде степенной функции

а8 = ае*

где ст8 — напряжение текучести Мизеса; е — полная деформация по Мизесу; а и Ь — эмпирические коэффициенты. В исходном состоянии в материале отсутствуют внутренние напряжения.

3. Результаты исследования и их обсуждение

Для проверки адекватности конечно-элементного моделирования были проведены тестовые эксперименты по внедрению конического индентора из твердого сплава ВК-5 с углом при вершине 140.6° в цилиндри-

Таблица 1

Характеристические размеры скругления вершины индентора

Рис. 2. Экспериментальная () и расчетная (Д) диаграммы вдавливания

ческие образцы. Образцы были изготовлены из отожженной стали с 0.1 % С, диаметр и высота образцов — 20 мм, торцевые поверхности подвергнуты шлифовке и полированию. Испытания проводили на сервогидрав-лической испытательной машине 1шйоп 8801. При выборе тестовых экспериментов для проверки адекватности моделирования исходили из того, что при проведении испытаний на микроуровне и ниже возникают принципиальные сложности, связанные с невозможностью изготовления образцов для проведения стандартных механических испытаний на растяжение и сжатие, необходимых для корректного определения функции (1), от точности которой зависят результаты моделирования. Кроме того, имеют место неконтролируемые отклонения из-за локальной неоднородности состава и структуры материала, остаточных искажений приповерхностных и поверхностных слоев, возникших при механической обработке и неполностью удаленных при травлении и др. Поэтому в качестве тестовых экспериментов были использованы макроскопические испытания. Было произведено 25 вдавливаний на глубину 0.8 мм. Для измерения усилия деформирования использовали датчик с погрешностью измерения не более 0.05 кН, а величины внедрения индентора — навесной

Я, нм а, нм 1, нм

50 24 6

100 48 12

экстензометр. По усредненным результатам экспериментов была построена диаграмма вдавливания (рис. 2).

Так как образцы для исследований были изготовлены из тех же заготовок, что и образцы, использованные нами при проведении исследований [16], то значения коэффициентов а = 637.4 МПа и Ь = 0.186 в зависимости (1), модуля Юнга Е = 206 ГПа и коэффициента Пуассона V = 0.34 были взяты из упомянутой выше работы. Индентор из сплава ВК5 рассматривали как линейно упругое тело с модулем Юнга 650 ГПа и коэффициентом Пуассона 0.3. Граничные условия задавали такими же, как было описано выше.

Среднее отличие экспериментальных и расчетных диаграмм вдавливания, приведенных на рис. 2, составляет 5.6 %, что подтверждает адекватность построенной конечно-элементной модели.

С целью изучения влияния формы вершины индентора на напряженно-деформированное состояние были поставлены задачи по внедрению конического инденто-ра с разными радиусами скругления. Для определенности свойства модельного материала были взяты такими же. Упругие свойства алмазного индентора (модуль Юнга Е = 1140 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0.07) были взяты из работы [8]. Радиусы скругления при вершине инденторов составляли 100 и 50 нм, для сравнения рассматривали также внедрение острого конического индентора (без радиуса скругления). Характеристические размеры скругленной вершины (рис. 3 и табл. 1) рассчитывались по формулам, приведенным в работе

[5]:

I = Я —,

tg 0

а = у/ 2Я1 -12,

где 0 — полуугол при вершине конического индентора, в данном случае 0 = 70.3°; Я — радиус скругления.

0,05

0.04

0.03

-8— -41 -й

150

300 И, нм

450

Рис. 3. К определению характеристических размеров скругления индентора

Рис. 4. Изменение коэффициента с в зависимости

О 0.5 1.0 1.5 є

О 0.5 1.0 1.5 є

40 /, нм

Рис. 5. Распределение эквивалентной пластической деформации е вдоль оси симметрии 0 У

Исследовали влияние радиуса скругления R на диаграмму вдавливания индентора и обобщенные характеристики напряженно-деформированного состояния — показатель напряженного состояния к (коэффициент жесткости напряженного состояния) и эквивалентную пластическую деформацию є. Показатель к рассчитывали как отношение гидростатического давления а к интенсивности касательных напряжений Т = а8/у[3 [17]. Значения к < 0 свидетельствуют о преобладании сжимающих напряжений, к > 0 — растягивающих, к =

= 0 соответствует напряженному состоянию чистого сдвига.

В качестве характеристики диаграмм вдавливания использовали числовой коэффициент с в квадратичной зависимости

Р = ^2,

где Р — усилие вдавливания; h — глубина внедрения.

Аппроксимацию (4) в литературе часто называют законом Кика и считают универсальной для описания диаграмм вдавливания острых конических инденторов

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 к

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 к

Рис. 6. Распределение показателя напряженного состояния к вдоль оси симметрии 0У

Таблица 2

Величина эквивалентной пластической деформации у вершины индентора в зависимости от радиуса скругления и глубины внедрения

Т"——Я, нм п, нм Острый 50 100

50 0.77 0.65 0.40

100 1.02 0.86 0.57

200 1.32 1.13 0.78

500 1.81 1.58 1.15

в пластичный изотропный материал [18]. В этом случае диаграмма вдавливания представляет прямую линию в координатах Р - П и не зависит от глубины вдавливания.

По данным компьютерного моделирования были построены диаграммы вдавливания с указанными выше радиусами скругления вершины инденторов для глубин вдавливания от 25 до 500 нм. На рис. 4 показано влияние радиуса скругления Я на коэффициент с. Видно, что при вдавливании инденторов со скругленной вершиной величина с оказывается существенно переменной по мере вдавливания, особенно в области небольших глубин вдавливания. Так, например, при глубине вдавливания 25 нм значение коэффициента с для индентора с радиусом скругления 50 нм превосходит значения с для острого индентора на 20%, а для индентора с Я = 100 нм отличие составляет уже 45 %. По мере увеличения глубины вдавливания доля поверхности испытуемого материала, контактирующего с закругленной вершиной ин-дентора, уменьшается, что вызывает снижение влияния радиуса скругления на зависимость Р(П). При глубине вдавливания 300 нм и более отличие уже не превышает 1.6 % для Я = 50 нм и 4 % для Я = 100 нм. Таким образом, результаты моделирования позволяют считать, что при внедрении индентора более чем на 250 нм радиус скругления вершины индентора оказывает незначительное влияние на диаграмму вдавливания и при интерпретации результатов экспериментов можно не учитывать реальную форму вершины индентора.

О влиянии радиуса скругления на характеристики напряженно-деформированного состояния можно судить по рис. 5 и 6, а также по табл. 2 и 3, где представ-

Таблица 3

Величина показателя напряженного состояния у вершины индентора в зависимости от радиуса скругления индентора и глубины внедрения

Я, нм п, нм Острый 50 100

50 -2.51 -2.75 -3.03

100 -2.72 -2.81 -2.99

200 -2.91 -2.82 -3.03

500 -3.08 -3.16 -3.34

лено распределение к и е строили вдоль оси симметрии 0У и в радиальном направлении 0Х на поверхности материала.

Анализ результатов моделирования позволил выявить, что область, в которой значимо проявляется влияние радиуса скругления вершины индентора на показатель напряженного состояния и эквивалентную пластическую деформацию, локализована вблизи вершины индентора. Размеры области составляют около 40 нм в глубину и 25 нм в радиальном направлении и практически не зависят от глубины внедрения индентора (рис. 5 и 6). Для инденторов со скругленной вершиной величина е внутри этой области несколько ниже, а гидростатическое давление выше, чем на ее границе, что характерно для так называемых зон затрудненной деформации, возникающих при наличии сил трения в зоне контакта деформируемого металла со штампом. С увеличением глубины вдавливания эквивалентная деформация е вблизи вершины индентора возрастает, но при одинаковой глубине вдавливания величина е меньше у индентора с большим радиусом скругления (табл. 2). Гидростатическое давление вблизи контактной поверхности с индентором возрастает (показатель к уменьшается) при увеличении радиуса скругления вершины и глубины вдавливания индентора (табл. 3). В работе [2] также отмечено, что у вершины индентора имеется область повышенного гидростатического давления (гидростатического ядра).

4. Выводы

Влияние радиуса скругления у вершины индентора Берковича на диаграммы вдавливания целесообразно учитывать при глубине вдавливания менее 250 нм, на обобщенных характеристиках напряженно-деформированного состояния (эквивалентная деформация е, показатель напряженного состояния к) оно сказывается в локальной области у вершины индентора. Размеры области составляют около 40 нм в глубину и 25 нм в радиальном направлении и практически не зависят от глубины внедрения индентора.

Исследования выполнены в рамках работ по Программе фундаментальных исследований № 13 ОЭММПУ РАН и гранту РФФИ № 09-08-01091.

Литература

1. Булычев С.И., Алехин В.П. Метод кинетической твердости и микро-

твердости в испытаниях вдавливанием индентором // Заводская лаборатория. - 1987. - № 11. - С. 76-79.

2. Федосов С.А., Пешек Л. Определение механических свойств материалов микроиндентированием: Современные зарубежные методики. - М.: Физический факультет МГУ, 2004. - 100 с.

3. Булыгчев С.И., Алехин В.П., Шоршоров М.Х., Терновский А.П., Шныгрев Г.Д. Определения модуля Юнга по диаграмме вдавли-

вания индентора // Заводская лаборатория. - 1975. - Т. 41. - М 9.-С. 11З7-1140.

4. Бyлычeв CM., Aлexuн B-П. Испытание непрерывным вдавливанием

индентора. - M.: Mашнностроенне, 1990. - 224 с.

5. Dao M., Chollacoop N., Van Vliet K.J., Venkatesh T.A., Suresh S. Computational modeling of the forward and reverse problems in instrumented sharp indentation // Acta Mater. - 2001. - V 49. - No. 19. -P. З899-З918.

6. Bucaille J.L., Stauss S., Felder E., Michler J. Determination of plastic properties of metals by instrumented indentation using different sharp indenters // Acta Mater. - 200З. - V. 51. - No. б. - P. 1ббЗ-1б78.

7. Бyлычeв C-И. Соотношение между восстановленной и невосстанов-

ленной твердостью при испытании наноиндентированием // ЖТФ. - 1999. - Т. б9. - Вып. 7. - С. 42-48.

8. Oliver W.C., Pharr G.M. An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load-displacement sensing indentation experiments // Mater. Res. - 1992. - V. 7. - No. б. - P. 15б4— 158З

9. Bacaycкac C.C., Жuдoнuc B.Ю. Диаграмма твердости и ее примене-

ние для определения характеристики прочности металлов // Заводская лаборатория. - 19б2. - М 5. - С. б05-б08.

10. Caвuцкuй Ф.C., Baндышeв Б.A., Якymoвuч M.B. Распределение наклепа вокруг конического отпечатка // Заводская лаборатория. -1948. - М 12. - С. 147б-1479.

11. Cмupнoв C.B., Cмupнoв B.K., Coлoшeнкo A.H., Швeйкuн BM. Определение коэффициентов в функциональной зависимости со-

противления деформации по результатам вдавливания конического индентора // Mеталлы. - 1998. - М б. - С. 91-94.

12. Koнoвaлoв ДЛ., Cмupнoв C.B., Koнoвaлoв A.B. Определение кривых деформационного упрочнения металлов по результатам вдавливания конических инденторов // Дефектоскопия. - 2008. -М 12. - С. 55-бЗ.

13. БaкupoвM..Б., ЗaйцeвM.A., ФpoлoвИ.B. Mатематическое моделирование процесса вдавливания сферы в упругопластическое полупространство // Заводская лаборатория. - 2001. - Т. б7. - М 1. -С. З7-47.

14. Pelletier H., Krier J., Cornet A., Mille P. Limits of using bilinear stress-strain curve for finite element modeling of nanoindentation response on bulk materials // Thin Solid Films. - 2000. - V. З79. -No. 1-2. - Р. 147-155.

15. Бacoв K.A. ANSYS: Справочник пользователя. - M.: ДMK Пресс, 2005. - б40 с.

16. Cмupнoв C.B., Cмupнoв B.K., Coлoшeнкo A.H., Швeйкuн BM. Определение сопротивления деформации по результатам внедрения конического индентора // Кузнечно-штамповочное производство. - 2000. - М 8. - С. З-б.

17. Koлмoгopoв BM. Mеханика обработки металлов давлением. - M.: Mеталлyргия, 198б. - С. б88.

19. Chollacoop N., Dao M., Suresh S. Depth-sensing instrumented indentation with dual sharp indenters // Acta Mater. - 200З. - V. 51. -No. 1З. - P. З71З-З729.

Поступила в редакцию 01.04.2009 г., после переработки 08.0б.2009 г.

Сведения об авторах

Смирнов Сергей Витальевич, д.т.н., зав. лаб. ИМАШ УрО РАН, svs@imach.uran.ru Экземплярова Евгения Олеговна, мнс ИМАШ УрО РАН, evgeniya@imach.uran.ru