О случайных структурах

ГРАНУЛОМЕТРИЯ

УДК 519.21

А.В. Бирюков

О СЛУЧАЙНЫХ СТРУКТУРАХ

Большой класс случайных структур образуют дисперсные системы, состоящие из частиц различных размеров и форм. Их исследование составляет предмет аналитической гранулометрии, синтезирующей методы интегральной геометрии и геометрических вероятностей.

При случайном выборе частицы ее диаметр Х, площадь поверхности £ и объем V являются независимыми случайными величинами с непрерывными распределениями. Пусть /(х) -плотность распределения диаметра частиц, Мк -начальные моменты, равные интегралу от произведения хк /(х) в границах от 0 до х. Тогда отношение

Мк

=

М.

представляет собой функцию гранулометрического состава, значение которой равно содержанию фракции (-х) по характеристике, пропорциональной К-й степени диаметра частицы.

В частности, при К=3 эта функция дает описание гранулометрического состава по суммарному объему частиц. Нетрудно заметить, что при фиксированной верхней границе интегрирования с увеличением показателя степени у диаметра значение функции гранулометрического состава убывает.

Меры сферичности частиц, определяемые отношениями 5Ух2 и У/х3 , в силу экстремальных свойств шара имеют симметричные распределения с центром рассеяния соответственно п/2 и п/12 . Отсюда с учетом независимости

распределений получаем среднюю площадь поверхности частицы п/2-М2 и средний объем п/12-М3 . При этом удельная (на единицу объема) площадь поверхности частиц дисперсной системы, играющая важную роль в процессе дробления, составляет 6 М2/М3 .

Для получения эмпирических распределений и последующего построения аппроксимационных вероятностных моделей необходимо иметь репрезентативную выборку. Однако это чаще всего оказывается невозможным, поскольку измерениям бывают доступны лишь частицы на поверхности дисперсной системы, представленной укладкой частиц в некоторой трехмерной области. Это обстоятельство приводит к необходимости установления взаимосвязи между характеристиками всей дисперсной системы и множества

частиц на ее поверхности.

Обозначим через А множество всех частиц укладки, а через В - множество частиц на поверхности укладки. Пусть g(x) и Ык - плотность и моменты распределения диаметра частиц из множества В. Ввиду перекрытия одних частиц другими выборка из множества В дает заниженное содержание мелочи и, следовательно, завышенное содержание крупных частиц. Поэтому существует такое значение диаметра х0, для которого /х)<«(х) при х>х0 и/х)^(х) при х<х0.

Этому условию отвечает соотношение

/(х) = х1 g(х). Его интегрирование с учетом

х

свойства плотности распределения дает значение х = м = 1 . Отсюда искомая взаимосвязь:

0 1

/(х) = «М , м, = Нк-1

хИ

N

В частности, по измерениям на поверхности укладки частиц имеем значение удельной площади поверхности частиц всей дисперсной системы, равное 6 N^N2 .

Исследование дисперсных систем часто проводят с помощью анализа фотопланограмм. При этом источником ошибок здесь является несовпадение размера самой частицы с размером ее случайной проекции на фотопланограмме. Поскольку фотопланограмма содержит проекции частиц из множества В, то задача состоит в оценивании моментов N по измерениям на фотопланограмме.

В силу известного соотношения Коши площадь поверхности частицы приближенно равна учетверенной площади ее проекции. Переходя в этом соотношении к средним

7 8

значениям, получим N = 4Р или N =— Р,

2 2 2 7

где Р - средняя площадь проекции.

Для продуктов дробления геоматериалов типичным распределением диаметра частиц является экспоненциальный закон с плотностью

Кх) = Мі ехР

V М1У

и моментами Мк=К!М 1. В этом случае для частиц из множества В имеем

Гранулометрия

7

^1 ехр

Я (х) =  и, следовательно,

М і

N =

(к +1)!.

N -

Таким образом

Р_ 3л

1/2

3

-р

1/2

т.е. по измерениям площадей проекций частиц на фотопланограмме имеет оценку параметра распределения диаметра частиц всей трехмерной укладки.

Другая интегрально-геометрическая задача заключается в восстановлении геометрических характеристик частиц по их сечениям случайной плоскостью. С такой задачей связано исследование дисперсной системы, погруженной в твердую непрозрачную среду (как, например, при анализе петрографических шлифов).

Для частиц произвольной формы этот вопрос является открытым. Вместе с тем для сферических частиц получены точные соотношения между моментами Мк и моментами распределения диаметра сечения Бк. В частности,

М1 =7, М 2 = Р1

что совпадает соотношениями

3Д л Б-1

с полученными

выше

N

N-1

для частиц из множества А и В. Это обстоятельство подтверждает правомерность исполь-

зования полученной формулы м =

N.-1 N-1

при

анализе случайных сечений дисперсной системы. Отметим существенное преимущество этой формулы: она получена для частиц со случайной вариацией формы.

Имея картину сечений дисперсной системы, можно также получить оценку плотности укладки частиц. Пусть И(г) и Л(г) - соответственно число частиц в единичном кубе с диаметром из интервала (1; 1) и число сечений в единичном квадрате с диаметром из того же интервала. Тогда функцию И(г) можно найти интегрированием

- 2

л

Я'

(и2 - г2)1/2

по параметру и в границах г от 0 до 1. При этом, если г2 - плотность укладки сечений, то,

например, для аппроксимации Я

г2

получим соотношение г = —.

1 3

С каждой дисперсной системой связано случайное множество точек. Если число точек в области с единичной мерой есть случайная величина со средним значением X, то это среднее значение называется плотностью множества. В том случае, когда вероятность встретить в

X" ехр

единичной области п точек равна

и!

множество называется пуассоновским.

Пусть с каждой частицей дисперсной системы каким-либо образом связана точка, которую назовем центром частицы (центр тяжести, центр вписанного шара и т.д.), и пусть X - плотность полученного точечного множества. Обозначим через Е объем области, занимаемой дисперсной системой, а через Ж - суммарный объем всех

/ 7

частиц. Тогда число частиц равно Ж/ —М3 и,

12 3

х 12Ж й

следовательно, X =---------- или при известной

7М 3 Е

Ж . 127-

плотности укладки г = — получим X =---------------.

Е лМ3

Поскольку для экспоненциального распределения 2Г

М3=6М31, то X =---------.

лМ 13

Аналогичным путем можно получить плотность центров крупных частиц с диаметром х>х0: Х(х0) = [1-¥0(х0)]. Здесь ¥0(х0) - содержание фракции (+х0) по числу частиц. Для пуассоновского множества центров вероятность того, что в области с объемом О нет крупных

частиц, равна ехр

-^( х0) О

Дисперсными системами с плотной упаковкой частиц (г = 1) являются случайные разбиения области пуассоновским множеством плоскостей, т.е. таких плоскостей, для которых

соответствующее множество точек

параметрического пространства является

пуассоновская с некоторой плотностью X. Здесь параметр X равен среднему числу плоскостей, пересекающих линейный отрезок единичной длины и произвольной ориентации.

Таким образом некоторая область пространства разбивается на выпуклые

многогранники. Пусть С0, С1, С2 - среднее число вершин, ребер и граней многогранника, а Ь, Б, V -средние значения его суммарной длины ребер, площади поверхности и объема. Тогда С0 = 8, С1 = 12, С2 = 6,

24 „ 6

і = 12, х=.

У =-

X лХ1 л£

Если т - число многогранников, а т0, т1, т2 - их суммарное число вершин, ребер и граней, то Шо = т, т1 = т2 = 3 т. Сравнивая суммарную длину ребер с их количеством, находим, что средняя

длина ребер равна 1 /X .

Из суммарного объема многогранников 6т

лЛ

находим плотность множества вершин, равную

лЛ Д й

. Для вершин, лежащих на каждой плоскости

6

разбиения, имеем значение

яяя

12

Рассмотрим теперь другой класс случайных структур, подставленный случайными графами А

2

то у случайного графа с данной

вероятностью смежности среднее число ребер

составляет

n

4

Характеристикой алгоритмической сложности случайного графа служит его энтропия,

определяемая следующим образом. Рассмотрим у случайного графа все его подграфы третьего порядка (рис.1), число которых составляет п(п-1)(т-2)/6. Среди них неизоморфными являются цикл, цепь из двух звеньев, ребро и вершина, три попарно несмежных вершины

о

,0

,0

о

о----О О--------0 0 0 0 0

Рис./1

Если относительные частоты (оценки вероятностей) каждого из приведенных подграфов равны P1, P2, P3, P4, то энтропию данного распределения

H = P1 log2 P1 + P2 log2 P2 + P3 log 2 P3 + P4 log. P4

2

назовем энтропией случайного графа. Очевидно, что H=1 имеет графы с равномерным

распределением P1= P2= P3= =P4=1/4.

Пусть имеется случайный граф A(6, 7) с числом ребер, составляющим половину числа ребер соответствующего полного графа.

Количество таких графов равно 24. Вычисление их энтропии дает следующие результаты:

0,96 0,92 0,92 0,92 0,91 0,90 0,90 0,90

0,89 0,84 0,84 0,84 0,80 0,80 0,80 0,80

0,80 0,72 0,70 0,70 0,69 0,68 0,58 0,36

Первые и последние три графа из этой серии представлены на рис.2.

Полученная выборка из 24 значений энтропии имеет среднее 0,80, стандарт 0,132 и размах 0,6.

Отношение размаха к стандарту, равное 4,54, принадлежит критическому интервалу

при проверке выборки на нормальность. Следовательно, полученные значения энтропии можно считать принадлежащими нормально распределенной генеральной совокупности.

о

О-

V

Рис.2

Класс планарных графов порождают случайные разбиения плоскости на выпуклые

многоугольники. Рассмотрим, в частности,

упаковку плоскости правильными треугольниками. В этом случае степени всех вершин графа равны 6. Для области, содержащей п вершин,

Р =- 12 - 54

P. =

P3 =

18(n - 8) , P4=1-(P 1 + P2+ P3).

Например, для п= 20, 50, 100, 500, имеем: рг 0,03 0,00 0,00 0,00

р2 0,16 0,02 0,01 0,00

р3 0,63 0,32 0,17 0,04

Р4 0,18 0,66 0,82 0,96

Н 0,72 0,55 0,36 0,11

Аналогичная картина соответствует разбиению плоскости на квадратные ячейки. Здесь степень каждой вершины графа равна 4. При этом

P1=0,

P2 =

72

P3 =

12

Р4=1-(Р2+Р3). Для тех же значений п получим:

Р2 0,21 0,03 0,01 0,00

Р3 0,42 0,21 0,11 0,02

Р4 0,37 0,76 0,88 0,98

Н 0,76 0,47 0,29 0,08

В обоих случаях асимптотическое поведение энтропии одинаково: при стремлении числа

вершин графа к бесконечности его энтропия стремится к нулю. Это свойство энтропии сохраняется при разбиениях пространства любой размерности, поскольку число ребер графа

пропорционально числу его вершин. Так,

например, в трехмерном случае для кубической решетки и соответствующего графа А

Рі=0, Р =. 18

P3 =

18

’ P4 = 1 -

Автор статьи

Бирюков Альберт Петрович -докт.техн.наук, проф.,зав.каф.

высшей математики