Математическое моделирование связанных колебаний, локализованных на двух дислокациях в пьезоэлектрике

УДК 517.9: 538.9

С.Г. Гестрин, Е.В. Щукина МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЯЗАННЫХ КОЛЕБАНИЙ, ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НА ДВУХ ДИСЛОКАЦИЯХ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКЕ

Построена математическая модель взаимодействия звуковых волн, локализованных на двух дислокациях в пьезоэлектрическом кристалле. Найдены частоты нормальных колебаний системы. Получены приближенные выражения для энергии волн, локализованных на каждой из дислокаций, при слабой связи между ними. Показано, что энергия колебаний попеременно перекачивается от одной дислокации к другой и обратно.

Пьезоэлектрический кристалл, дислокация, независимые осцилляторы, локализованные колебания

S.G. Gestrin, E.V. Schukina MATHEMATICAL MODELING OF COUPLED OSCILLATIONS LOCALIZED AT TWO DISLOCATIONS IN THE PIEZOELECTRIC

The article presents a mathematical model referring the interaction between sound waves localized in two dislocations of the piezoelectric crystal. The frequencies for the normal vibrations of the system have been found, and an approximate expression was deducedfor the wave energy localized on each of the dislocations with a weak coupling between them. It is shown that vibration energy is transferred alternately from one deployment to another, and back again.

Piezoelectric crystal, dislocation, independent oscillators, localized oscillations

Известно, что система, состоящая из двух связанных гармонических осцилляторов, при переходе к нормальным координатам может быть представлена как два независимых консервативных осциллятора с частотами (01 и w2 [1]. При слабой связи между осцилляторами, когда частоты нормальных колебаний почти совпадают w1 » w2 » w0, движение каждой из частиц представляет собой колебание с частотой w0, на которое накладываются биения с малой частотой W = w2 — W1 [1].

В работе впервые исследована система, состоящая из двух параллельных дислокаций, находящихся в пьезоэлектрическом кристалле, на которых локализованы звуковые волны. Показано, что общее решение дифференциального уравнения, описывающего волновые возмущения в такой системе, может быть представлено в виде суммы двух решений. Одно из них соответствует синфазным, а другое - противофазным колебаниям, происходящим с различными частотами W1 и w2. Найдены частоты таких колебаний. Показано, что при слабой связи между колебаниями энергию системы можно приближенно представить как сумму энергий волн, локализованных на каждой дислокации по отдельности. При этом их энергия периодически изменяется, попеременно перекачиваясь от одной дислокации к другой и обратно с частотой W << w0. Заметим, что локализованные на дислокациях

колебания существуют в кристаллах, имеющих различную физическую природу. Так, ранее в ряде работ [2-5] было указано на возможность локализации на дислокациях плазменных волн, полярито-нов, экситонов Френкеля, спиновых волн. В силу сходства между дифференциальными уравнениями, описывающими локализованные волны различных видов, результаты, полученные ниже, могут быть распространены также и на них.

Ниже рассмотрены продольные волны в пьезоэлектрическом кристалле, относящемся к классу C4v (тетрагональная система), локализованные на дислокациях, ориентированных вдоль оси C4 .

Выбираем систему координат с осью z по оси C4 и осями x и y , перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии. Уравнение, описывающее малые колебания

uz (x, y, z, t) = uz0 (x, y, k, t)expikz в кристалле, содержащем две дислокации:

Э2 Э2

„ +------Г |uz0 — uz0

Э*2 Эу 2 1 z0 z0

1

— а20 к21 — Хо. у )Мг о ^ Х° д к ,0|

Здесь иг. — вектор деформации, р0- плотность среды, а0 — постоянная решетки,

= —a^k2 Х- dl x +—- |d(y)uz01----------,0,k,0 | —

1=1 +

2ppop2 ~ _ о , 4pp02

---------, 1 =1 +-------------

Є2 Є2

Ло ° Лгггг и Л ° Лхх компоненты тензора напряжений Лгк1т ; £ = Є = Є и£ = £ - компоненты тензора диэлектрической проницаемости £ік ; Д0 ° Д2 22, и Д2 ° Рхоа = Ду ^ — компоненты тензора Д и , характеризующего пьезоэлектрический эффект:

Аі = А0і + £ІкЕк — 4рДІ,кІПкІ,

где А — компоненты вектора электрической индукции, Еі — компоненты вектора напряженности электрического поля. Выражения, содержащие дельта-функции б(х + х0/2)<5(у) и <5(х — х0/2)<5(у) в правой части (1), описывают возмущение, создаваемое в кристалле дислокациями, хо — расстояние между дислокациями. В дальнейшем будем предполагать, что х, существенно превосходит расстояние г, от дислокации, на котором амплитуда локализованных колебаний убывает в е раз.

Решение уравнения (1) будем искать в виде суммы симметричной и антисимметричной части:

где

,

и,0 А(x, У, к, г 1 С2 (К к 2 К • ехр(— ).

Воспользуемся далее интегральным представлением дельта-функции

( Г V Л Л

Kxl x ± у | + КуУ

d2k = —-i— fcos(sp)cos| kx — |dP+ (2p)2 J і x 2

+ —At f sin Kp si

Подставляя далее (4)-(7) в (i), находим

sinl kx~° Id2k

f V~i,2 (p k)P

(

008

d P + f C,2 (k, k) І-k2 — 1 О

Po

V.

008

d K =

= a02 k2 g

±u„l — x°,0,k,o| + uz01 y,0,k,0

j-f cos1 •* і sin1

(p^osp^^y

{тф )sin(pxx^2) ,

d P

Определяя из (8) С~12 (к, к) и подставляя полученные выражения в (5) и (6), получим

, , a02 k у ,

. (x, У, k, t) = 2~ (uzi0 + uz20

(2p) 1

)J;

2

K2 +^~° k2 — ф wi2 1 ,~i ^

x,

cos

У

')J:

sinl K

2

, , ч a0k2y ,

u z 0 A (x, У, ^ t )=^„ 42~ (uzi0 — z 20 М/ ~

(2p)1 |r2 +^i° k 2 —PP w;

і 1 1

где uzi0 ° uz0(— x0/2,0,k,0), uz20 ° uz0(x^2,0,k,0). Из (4), (9) и (i0) имеем

-sin

2

x

0

u

и.„|м Хм, к, Г ] = ак-1~ 2 ) (2р)1

(иг10 + и220 )["

СОБ21 к-0- \С2 К

,

±(игю — иг-0 )[-

—/Щ1

Из (11) при Г = 0 находим

а-к2 у

(и210 + иг20 )[

2| - 0 с2 К

2

к2 + ^ к2 — 4 й2

±(

\ ± \иг10 и20

1

1 1

Сложим, а затем вычтем друг из друга соотношения (12):

х

0 Я;

б1п2| к 0 Ь2

с К

к2 + 1 к2 — 4 й22 1 1 -

1 =

1 =

2а02 к2 у (2р)21 •

-а-к2 у (2р)2/11 •

соб2 | Кх^°

К + 4—0 к2 — 4 2

с К=-

к2у г 1 + соб

(2р)21

-С К,

к2 + ^ к2 — 4 2

к2 + 4—> к2 — 4 й-

-С-К = - а02к1 — СОБ

(2р)21

к2 +4 к2 —4 й22 1 1 2

-С К.

11 11

Соотношения (13) и (14) представляют собой дисперсионные уравнения для синфазных возмущений с частотой й и противофазных возмущений с частотой й2. Воспользуемся далее методом стационарной фазы

соб

кК0 СОБ(к

К2 + ^ к 2 — 4 йй22

Ск„

к- +1 к2 — 4 й1-

Х0 0 ( 2 —2 1 7 2 4 2

0 | К- + К0 + к — 0 й-

I У 0 1 1 0

Ск„

81П

0 0 2 2

0 К3 + к-2 ехр

41

V а0- к -У)

ехр

р б1п

2 К0 Х0

ехр

( 2Д ^

Ча0 к 2Т;

ехр

( 2Д ^

V а0- к V)

2р1

а0 к 2у

Vй 0Л /)

В (15) верхние бесконечные пределы интегрирования по Кх и Ку заменены на К0 ~ 1/х0 и к0 ~ 1/а0 соответственно. То обстоятельство, что пределы интегрирования определяются лишь по порядку величины и имеют характер параметров «обрезания», связано с тем, что взаимодействие между локализованными на дислокациях колебаниями осуществляется за счет длинноволновых возмущений с Кхх0 < 1, а также с модельным предположением о 8 — образном характере возмущения, создаваемом дислокацией в кристалле (1). При вычислении интеграла (15) частоты С012 были приближенно заменены на частоту (й0 локализованных колебаний, имеющих место при наличии в кристалле лишь одной дислокации

2 10 7 2 1 2

й0 » —- к-----------------L г0 ехр

р0 р0

.2 ,

4р1

V а0к-У)

2,2 '

а также предполагалось выполнение условия к-ехр(— 4ж^/а-к2у)>>к02. Из данного неравенства для

характерных значений параметров кристалла: р0 = 5г/см3, 10 = 6 1012дин/см2, 1 = 1012дин/см2,

у = 5 -1012 дин/см2, а0 = 5 10 8см, к = 1,26 • 107 см 1 находим х0 > 24а0, также из (16) й »1,38 1013Гц ;

2

2

е

а

0

2

Подставляя далее (15) в (13) и (14), находим

1 = о

а0 к V эт

4р— к2 + —0 ,2 Ро Щ2 2р11 Ко хо

к +—к —(Щ 9 — — ’2

ехр

( 21 Л

V а02 к V

Выполняя интегрирование в (17), определим частоты синфазных и противофазных колебаний:

Р0

Р0

V “0

а0к V

ехр

V

± 251п(к0 х0) ехр

К0 Х0

( 2л— ^

Vа0к2Г

/у

Частотные интервалы, отделяющие локализованные колебания от спектра объемных колебаний при х0 = 50а0, составляют Дщ »11 109 Гц и Дщ2 » 2 109 Гц .

В случае слабой связи между колебаниями, локализованными на дислокациях, частоты нормальных колебаний почти совпадают:

1 — 2 щ2 - щ =--------------к0 ехр

Щ0 р0

^ 4л— А

а1к V

V и0

э1пЬ

,8Ш

ехр

2л—

V а0к 2Гуу

„0

Отсюда Щ2 -Щ »9 109Гц . Из (11) с учетом (13) и (14) получим

+ х0 0 к t \ = ^ + Мг20 е~‘Щ' ± ^ Мг20 е“‘“2'

или

ц0| + Х°,0, к,' I =

± Ье

гщ'+гЬ

где а = |(игШ + и 2 20 V2 а = аги((мгю + иг20 )/2), Ь = \(uzlо - uz2о V2 Р = а^((игю - иг20 )/2).

При слабой связи между локализованными на дислокациях волнами, когда частоты синфазных и противофазных колебаний почти совпадают:

х

и^01 ,0, k,'

= ае~‘Щ'+‘а

Ь -г—?+г

1 ±Ье Щ

Решение для каждой из дислокаций представляет собой колебания с частотой Щ0, на которые накладываются биения с малой частотой О = —2/Щ0 . Глубина модуляции зависит от отношения амплитуд нормальных колебаний Ь / а .

Вычислим далее энергию колебаний, локализованных на каждой из дислокаций, приходящуюся на единицу ее длины. Поскольку энергия системы есть сумма энергий синфазных и противофазных нормальных колебаний, представить ее как сумму энергий колебаний, локализованных на каждой из дислокаций по отдельности, можно лишь приближенно и только при слабой связи между ними. Будем предполагать, что дислокация окружена дислокационной трубкой, радиус которой г0 » 3 ^ 5а0. Предположим вначале для простоты, что внутри трубки колебания происходят с одной и той же амплитудой, а за ее пределами они вообще отсутствуют, тогда

Е 1,2 полн

1

= -р02Р0и;0| + ^Т,0,к,' I+ -Р-02—0к Ч„| +-Т,0,к,'

2 и / I 2 ' ' ' У 2 ^ V 2

Первое слагаемое в (23) представляет собой кинетическую энергию, а второе - энергию упругих деформаций и электрического поля.

При комплексной записи решений (21) в ходе вычисления энергии следует использовать лишь вещественную часть выражений (21) в виде ц0(+ х„/2,0,к,') Яец0(+ х„/2,0,к,'):

’0

Е1,2полн (') » Р0Щ0 (а2 + Ь2 )±Р02Р0“02аЬсоэ(О' + а-0).

2

Заметим, что более точный расчет энергии колебаний, локализованных вблизи дислокации, должен учитывать убывание амплитуды с удалением от оси дислокации. Расчеты показывают, что

К0 х0

и

2

2

2

а

+ x° + x, y, k, t

2—

-a!k2 7

л

K 0 (zp)ae

—iW)t+ia

b —i—t+i

1 ±be w a

>Z°

ЛЛ k2 — p0-w2,

л л

где К0 (хР)- функция Макдональда нулевого порядка, р' — расстояние до дислокации, В этом случае

Ецполн(t)»2 Po I uz20dS + 1 л k 21 uz2odS,

где uz0 определяется из (25). Из (26) и (25) находим

£1,2ИОЛЯ(0 » Г1 Ро1(а2 + ь2)±Ро^о2аЬсов(^? + «-Д)!т-1тГ(а£)4АжГКо2(хр)рф. (27) V2 / (2ж) Л 0

Вычислим приближенно интеграл в (27), используя приближенные выражения для функции

Макдональда К0(х)»— 1п(х/2) при малых х << 1 и К0(х)» -^ж/2хехр(— х) больших х >> 1 значениях аргумента

IK0 (ZP)PdP = z IK0 (x)xdx » Z1 0 Z 0 z

Подставляя (28) в (27), окончательно получим

z2

2

— ln— I xdx + —Ie 2xdx

2

0,943

: z2 ‘

E,

f-2pow0 (a2 + b2 )±pow0abcos(Wt + a — Й

(a0k)4 0,943 g2

(2—)2

л

exp

f 4—1 ^

V ao2 k2 7,

Таким образом, энергия колебаний, локализованных на каждой из дислокаций, медленно периодически изменяется, перекачиваясь от одной дислокации к другой и обратно с частотой W << w0. При a = b в некоторые моменты времени вся энергия концентрируется попеременно вблизи одной или другой дислокации. В общем случае, когда а Ф b , происходит частичный обмен энергией. Заметим, что обмен энергией между дислокациями происходит при сколь угодно малой связи между колебаниями. Так, с увеличением расстояния х0 между дислокациями W  0, что приводит лишь к замедлению передачи энергии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Косевич А.М. Введение в нелинейную физическую механику / А.М. Косевич, А.С. Ковалев. Киев: Наукова Думка, 1989. 299 с.

2. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных кристаллах / С.Г. Гестрин // Изв. вузов. Физика. 1996. №10. С. 45-50.

3. Гестрин С.Г. Винтовые колебания, локализованные на заряженных дислокациях в полупроводниковых кристаллах / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.В. Щукина // Известия вузов. Физика. 2006. № 10. С. 66-69.

4. Гестрин С.Г. Локализация экситонов Френкеля на дислокациях / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Изв. вузов. Физика. 2005. № 7. С. 23-25.

5. Гестрин С.Г. Спиновые волны, локализованные на дислокациях в ферродиэлектриках / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Известия вузов. Физика. 2011. № 11. С. 3-9.

Гестрин Сергей Геннадьевич - Sergey G. Gestrin -

доктор физико-математических наук, профессор Dr. Sc., Professor

кафедры «Физика» Саратовского государствен- Department of Physics

ного технического университета имени Гагари- Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

на Ю.А.

Щукина Елена Вячеславовна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика» Саратовского государствен-

Elena V. Schukina-

Ph. D., Associate Professor Department of Physics

ного технического университета имени Гагари- Yuri Gagarin State Technical University of Saratov на Ю.А.

Статья поступила в редакцию 17.08.13, принята к опубликованию 15.09.13

І

u

2

I

0