Математическое моделирование режимов движения частицы в конвейерах

УДК 62-237

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В КОНВЕЙЕРАХ

О.О. Барышникова, З.М. Борискина, А.А. Шубин

Рассмотрены режимы движения материальной точки по вибрирующей наклонной поверхности, характерные для качающихся вибрационных конвейеров. Разработана математическая модель режимов движения, учитывающая как воздействие инерционных сил и сил тяжести, так и аэродинамических сил. Изложенный алгоритм определения параметров движения материальной точки позволяет анализировать его особенности, выявлять оптимальные параметры движения.

Ключевые слова: качающиеся конвейеры, качающиеся вибрационные конвейеры, безотрывное движение точки, виброперемещение, гармонические колебания, сила трения, аэродинамические силы.

Машины и аппараты с вибрирующими рабочими поверхностями, к которым относятся качающиеся конвейеры, широко распространены в промышленности [1], [2]. Рассматривая движение частицы на качающемся конвейере при действии дополнительного силового поля, можно отметить, что для частиц различных параметров возможны три различных вида движения, которые характеризуют качающиеся конвейеры.

Движение с подбрасыванием характерно для инерционного качающегося конвейера, безотрывное движение характерное для вибрационного конвейера. В первом случае частица отрывается от вибрирующей плоскости, а во втором остается на ней.

В работе [3] проведен анализ параметров движения частицы для инерционного качающегося конвейера. Определен путь, скорость движения частицы. В настоящей работе рассмотрен вибрационный конвейер, т. е. безотрывное транспортирование груза при действии дополнительного силового поля.

Для вычисления ряда практических величин, необходимо выяснить характер установившегося режима движения частиц при заданных значениях основных параметров. Установившийся режим характеризуется моментами перехода от одного этапа движения к другому. О характере возможных установившихся движений частицы можно получить, разбив ось времени на два ряда интервалов [4].

Для качающегося вибрационного конвейера особый интерес представляет режим движения вибропневматического сепаратора без учета сил сопротивления среды. Рассматривается плоскость, наклоненная к горизонту под углом a, совершающая прямолинейные гармонические колебания, в направлении, образующем угол ß с плоскостью [5, 6].

Безотрывное перемещение частицы по поверхностности определяется из условия [3]:

g cos a- K

sin wt <--г-— = Zq,

Aw sin p

K = 3C—Vy. K = 3CXV}

K— =-, Kx =-,

' 4prd 4prd

где pr - плотность частицы, Cx и C— - коэффициенты аэродинамического

сопротивления.

Условие (1) выполняется при zq > 1.

В дифференциальных уравнениях движение частицы по наклонной вибрационной поверхности в качающемся конвейере имеет вид для безотрывного движения частицы:

x = Aw cos В sin wt - g sin a- Kx -

2 X (2) - f (g cos a- Aw sin p sin wt - K—) • signX

Уравнение (2) нелинейно относительно, поэтому процесс выбора транспортирования рассмотрим в интервалах движения частицы вперед X > 0 и назад X < 0.

Учитывая, что силы трения F = fiN и с учетом N(t) [3, 7], при

движении вперед X > 0 уравнение примет следующий вид:

2 2 Aw cos p sin wt+- g sin a-KX = f1

После преобразований определяем sin wt+

g sin a + f1g cos a-fKy + Kx

sin wt+ =-2--= z+

Aw2(cos p + f sin p) ,

где wt+ - фаза движения плоскости, в которой возможно начало относительного скольжения частиц вперед. Принимаем коэффициент трения покоя f равным коэффициенту трения скольжения f, что не приводит к серьезным погрешностям. Получим:

g sin(a + p) - (Kytgr- Kx) cos p

sin wt+ =--—--= z +

Aw2 cos

Последнее выражение (3) можно записать в следующем виде

о g sin(a + p) - (Kytgp — Kx )cos p

Aw2 = -—-- y -—--,

cos(P-p)sin wt+

Анализируя выражение (4), можно отметить, что существует такое значение скорости Vx, при котором частица будет двигаться даже без вибрации. Такое критическое значение скорости определяется:

249

с _ ~[gsin

V 3pcrcosp

Анализируя уравнение (5) с учетом условия отрыва частицы с неподвижного решета, можно отметить, что выражение имеет всегда отрицательный знак с физической точки зрения соответствует отрицательному вектору скорости Vx передвижения частицы вверх по поверхности. Превышение этой скорости по абсолютной величине вызвало бы скольжение частиц вверх с неподвижного решета. Значительный интерес представляют

области режимов движения при Vx > Vx+ или с учетом (5).

_gsin

cosp

Выражение (6) соответствует отсутствию скольжения без вибрации. Аналогично определим соответственно фазу движения плоскости, в которой возможно начало относительного скольжения частицы назад и критическое значение скорости Vx_ при котором частицы будут скользить вниз

по вибрирующему желобу даже без вибрации.

Фазовые углы, в которых находившаяся без движения частица начнет двигаться вперед или назад, определим из

g sin(a ± р) - (Kvtgp - Кхх2) cos р

Ш+ = arcsin--—--,

Асо cos

Как видно из выражения (7), движение частиц зависит от параметров сложного силового поля, так как эти параметры входят в выражения для коэффициентов Кх и Ку [3,5]. Проведем предварительный анализ характерных режимов, моментов перехода от одного этапа движения к другому с учетом дополнительно силового поля. Рассмотрим режим движения качающегося вибрационного конвейера, когда нормальная реакция [6] будет положительной N > О.

Внутри интервала фазовых углов, отвечающих этому условию, будет интервалом первого рода. Внутри этого интервала возможны три различные виды движения:

а) скольжение вперед:

sin Ш > z+,

б) скольжение назад:

к

sign

в) относительно покоя

2-<р+р)

sm cor < z+ 250

sign

§ -

Соответственно этим видам движения разобьем интервал на три подинтервала 1+, 1 -, 10 [6].

Анализ выражений (8, 9, 10) показывает, что параметры дополнительных сил оказывают существенное влияние на величину z+ и следовательно на условия существующих подинтервалов 1+, 1-, 1о.

На основании анализа установившихся параметров качающегося конвейера можно сделать вывод о существовании прямой связи между параметрами дополнительных сил Fx и Fy и характером движения частиц в

качающихся конвейерах. Следовательно, при определенном сочетании этих параметров возможно движение частиц вперед, при другом сочетании - назад.

Из (8-10) видно, что на скольжение частиц существенно влияют параметры Fx и Fy плотность частиц, так как Kx и Ky входят в выражения

коэффициентов для z+ и z-.

Наиболее существенное влияние на режим движения частиц в этом конвейере оказывает горизонтальное составляющая скорости воздушного потока Vx. С увеличением Vx увеличивается z+ и может оказаться больше единицы. В таком случае движение частицы вперед практически прекращается. Коэффициент z- при нулевых параметрах Fx и Fy как правило

больше единицы, что свидетельствует об отсутствии движения назад. По мере возрастания Fx коэффициент уменьшается и может стать меньше единицы, при этом частица начинает движение назад.

Увеличение вертикальной составляющей способствует более позднему прекращению движения вперед и более раннему скольжению назад.

Каждый из интервалов I с режимом скольжения можно разбить на два подинтервала. Каждый из промежутков времени, когда попавшая на вибрирующую плоскость частица мгновенно начинает скользить вперед,

называют 11+ . Каждый из промежутков времени, когда остановившаяся

частица мгновенно скользит назад, обозначают . Через обозначают

промежутки времени, в каждый момент которых остановившаяся частица будет находиться в состоянии относительного покоя в течение некоторого

времени, как правило, до момента перехода к интервалу 11+ или 11- . По-динтервал 1i+ может быть определен с помощью sin wt+ следующим образом: sin w> z+. Следовательно для подинтервалов [6]:

S (Z1- - sin wt) > 0,

p ^

где S1 = sign

2 -

Неравенства, которые удовлетворяют моментам времени t , принадлежащие подинтервалам 110 , имеют следующий вид:

sin wt < z+ , Oi (zi - sin wt) < 0 .

Границы интервалов и подинтервалов находят из следующих соображений:

8о = arcsin zo; 5i+ = arcsin zi+;

fp- arcsin zi- при Oi = i di- = \

[arcsin zi- при Oi =-i

Здесь под arcsin z подразумевается главное значение функции, лежащий в p p

пределах

2'2

Разбиение оси времени на интервалы и подинтервалы

позволяет произвести анализ возможных видов установившихся режимов.

Учитывая необходимость транспортирования тяжелых частиц вверх по наклонной плоскости, примем следующие дополнительные ограничения:

1) угол наклона плоскости меньше угла трения а < р;

р

2) сумма углов а + Ь < —

Уравнение (4) может быть приведено к виду:

а) - гк , fK

2 _

x = ^w sin wt(cos b± f sin p) - g(sin a ± f cos a) - [Kx + fKy ]

Л 2 • cos(p±p) gsin(a±p) ^ , ^ /114

x = ^w2 sin wt-VK -----\LL-Kx ± Kytgp .

cos p cos p *

Здесь и далее верхние знаки соответствуют движению вперед x > 0, а нижние скольжению назад.

* *

Интегрируя уравнение (11) при начальных условиях t = t , x = x ,

*

x = 0, получим выражение скорости скольжения x < 0.

sin

x = -g—--— (t -1 ) - ^w(cos wt - cos wt ) • VK

cos р cos р

* * *

- Kx

Координата частицы:

gsin(a±p)/ *ч . *4cos(B + р) *, *ч x = --ь-\LL (t - t ) - A(sin wt - sin wt )-——^ + x (t -1 ) +

cosр cosр

. cos(b±p) *. *, Kx . *42 , Ky / *42 /юч

+ Aw—cos wt

cosр 2 2

Выражения (12,13) определяют движение частицы в одном направлении до её остановки, когда этап скольжения сменяется промежутком покоя или скольжения в обратном направлении. Для удобства анализа уравнение (11) запишем в виде:

a >¡<

X = X--

w

a = Aw2 cos

cos р

Величина этого коэффициента всегда положительна с учетом ограничений, накладываемых на a, b, р .

d = _gsm

cos р y

Знак этого коэффициента меняется в зависимости от направления скольжения и параметров сложного силового поля. Так, например, при движении вперед x > 0 возможны случаи, когда d = 0,d < 0,d > 0

Сравнивая правую часть (16) с условием (6) можно отметить, что первому случаю соответствует критическое значение скорости

d = 0, Vx = Vx+ , второй случай - движение без вибрации d > 0, Vx < V^ и

устойчивое безотрывное движение соответствует d > 0, Vx > V^.

Таким образом, в интересующей нас области параметров сложного силового поля коэффициент d при движении вперед всегда отрицательный.

Проводя аналогичный анализ для движения назад, получим:

d = 0, Vx = Vxc-; d > 0, Vx < Vxc-; d < 0, Vx > Vxc-

Устойчивому режиму соответствует второй случай, а знак коэффициента d при движении назад положителен.

**

Существование моментов времени t , при которых происходит остановка частицы, может быть доказано следующим образом. При движе-

*

нии вперед x > 0, a > 0, выражение (14) первые 2 члена отрицательны, третий положителен.

Так как при безотрывном вибротранспортировании Ky < g (при больших значениях Vy будет наблюдаться отрыв частицы от вибрирующей плоскости), то коэффициент d < 0, второй член выражения (14) периодическая функция, принимающая как положительное, так и отрица-

*

тельное значение. При бесконечно большом промежутке времени (t -1 ) скорость будет отрицательной. Если начальная скорость отрицательна, коэффициенты уравнения d > 0, a > 0, учитывая периодический характер

*

второго члена выражения (14), отметим, что при большом t -1 величина x станет положительной.

Проведенный анализ показывает, что какова бы ни была начальная

*

скорость x при достаточно больших значениях (t -1 ) 4 величина x изменяет свой знак на противоположный. Поэтому в силу непрерывности

**

функций x(t) непременно существует такой момент времени (t -1), в котором скорость частицы обращается в нуль. Следовательно, можно считать, что начальная скорость равна нулю. Остановка будет длительной, если этап скольжения сменяется промежутком покоя, или мгновенной, если

затем следует скольжение в противоположном направлении. В этом случае

*

момент перехода t = t определится из выражения (12) путем приравнивая его к нулю:

^^ ^ • / i \ coswt - coswt -gsin(a±p) , _7

-**-*-= --\Q_ kx cosp + ky cosptgp ,

t -1 ^w cos (b + p) '

Умножим и разделим на w правую часть. С учётом принятых обозначений уравнение (17) принимает вид:

cos wt = cos wt -w(t -1 ) • z± Обозначим фазы, соответствующие началу скольжения вперед и на-

e*

o+ = wt+

зад: *

o- = wt-

**

ф+ = wt+

- фазовые углы моментов начала движения; - фа-

Ф_ = wt-зовые углы моментов остановок. Тогда

cos ф± = cos 8± - sin 8±

Решение уравнения (18), определяющего момент остановки, приве-

*

дены в [6] при различных 8± и 8±.

Особенностью рассматриваемого случая является то, что в выражения для z± входят дополнительные силовые факторы Fx и Fy .

При безотрывном вибротранспортировании частицы возможны различные установившиеся режимы движения [6].

При решении прикладных задач вибрационного перемещения наибольший практический интерес представляет итоговое перемещение частицы по поверхности.

Перемещение частицы за этап скольжения по плоскости, когда конечным моментом этапа является момент остановки частицы, получаем из выражения (13), которое с учетом принятых обозначений имеет вид:

5.

+

А соб

соб р

2±

эр Л

(Ф±~8± У 2

эр ЭР

А соб(Р + р) соб р

р(5±,5±),

Алгебраическая сумма перемещения за один период равна:

5 = 5 + - 5 _ =

А соб

соб р А соб

2.

(Ф+-5+ У

+'

2

Эр эр ур

соб р

(Ф--8- У 2

Эр эр ур

А соб(Р ± р) соб р

Ж5±, 5±),

Формула (19) может быть заменена в виде двух соотношений:

5.

+

5 -

А соб

соб р А соб(Р + р) соб р

р (, 5+);

р (2-, 5_),

где р (2±, 5±) - периодическая функция, определяющая безразмерную величину перемещения за этап скольжения. Необходимо учитывать, что в выражении г± входят параметры дополнительных сил Рх и р .

Как показывают проведенные исследования, увеличение горизонтальной составляющей воздушного потока, а, следовательно, ¥х, влечёт за собой уменьшение перемещения при скольжении вперед и увеличение абсолютной величины перемещения назад. Увеличение вертикальной составляющей скорости вызывает при неизменных прочих параметрах увеличение перемещения частицы вперед и назад.

Величина угла вибрации плоскости Ь оказывает слабое влияние на

перемещение, которое определяется величиной угла (Ь + р). Максимальное

р

перемещение за этап скольжения наблюдается при Ь + р

Угол наклона плоскости а уменьшает перемещения при скольжении вперед и сдвигает зону скольжения назад, в области меньших значений.

Список литературы

1. Анцев В.Ю., Иноземцев А.Н., Пасько Н.И. Вероятностно-статистический анализ процесса испытания автоматических технологических машин. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 247-254.

2. Прогрессивные машиностроительные технологии: Коллективная монография / Афонин А.Н. [и др.]; под редакцией А.В. Киричека. Сер. Машиностроение: технологии, оборудование, кадры. Т. 1. Новые технологии высокоточной механической обработки деталей сложной формы на станках с параллельной кинематикой. М., 2012. 334 с.

3. Шубин А.А., Борискина З.М., Барышникова О.О. Математическое моделирование перемещений в качающихся конвейерах. Известия Тульского государственного университета. Технические науки, Вып. 7. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. С. 128-136.

4. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Изд-во Наука, 1964. 412 с.

5. Борискина З.М., Плахова Е.А. Перемещение частиц в качающихся вибрационных конвейерах с учетом дополнительного силового поля XVIII Московская международная межвузовская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные, путевые машины и робототехни-ческие комплексы». М.: МАДИ, 2014. С.91-93.

6. Шубин А. А., Борискина З.М., Барышникова О.О. Вибрационное перемещение в качающихся инерционных конвейерах. Труды МГТУ им. Баумана №603. Математическое моделирование сложных технических систем. М. изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. С. 77-79.

7. Бауков И.А., Борискина З.М. Анализ режимов движения качающихся вибрационных конвейеров. Материалы всероссийской научно-технической конференции Наукоемкие технологии в приборостроении и машиностроении и развитие инновационной деятельности в ВУЗе. Т. 3. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. С. 34-38.

Барышникова Ольга Олеговна, канд. техн. наук, доц., anzev@yandex.ru, Россия, Москва, Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана,

Борискина Зягря Михайловна, канд. техн. наук, доц., anzev a yandex.ru, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана,

Шубин Александр Анатольевич, канд. техн. наук, заведующий кафедрой, anzev@yandex. ru, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана

MA THEMA TICAL MODELING OF MO TION OF PARTICLES IN CONVEYORS O.O. Baryshnikova, Z.M. Boriskina, A.A. Shubin

The motion of a material particle on a vibrating inclined surface, which is characteristic for an oscillating vibratory conveyors. The mathematical model of modes of motion, taking into account the influence of inertial and gravity forces and aerodynamic forces. The algorithm of definition of parameters of motion of a material point allows you to replay and analyze its characteristics, to identify the optimal parameters of the movement.

Key words: oscillating conveyors, vibrating oscillating conveyors, continuous motion of the point, vibration displacement, harmonic oscillations, friction force, aerodynamic force.

Baryshnikova Olga Olegovna, candidate of technical science, docent, Russia, Moscow, Moscow State Technical University AD Bauman,

Boriskina Zjagrja Mihajlovna, candidate of technical science, docent, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of Moscow State Technical University AD Bauman,

Shubin Aleksandr Anatol'evich, candidate of technical science, head of chair, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of Moscow State Technical University AD Bauman

УДК 621.2.082.18

ПРОТИВОИЗНОСНЫЕ СВОЙСТВА КОНСИСТЕНТНОГО

СМАЗОЧНОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С НАПОЛНИТЕЛЕМ ИЗ ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ СЛОИСТОГО МОДИФИКАТОРА ТРЕНИЯ

В.В. Медведева, А. Д. Бреки, Н.А. Крылов, Ю.А. Фадин, С.Е. Александров, Д.А. Провоторов, А.Е. Гвоздев, Н.Е. Стариков

В работе представлены результаты исследования влияния размера и концентрации частиц природного слоистого модификатора трения серпентинита, полученных по многоступенчатой технологии помола, магнитной сепарации и флотации, на противоизносные свойства консистентного смазочного материала литол-24. Обнаружено возникновение локальных плёнок в результате взаимодействия активных компонентов серпентинита с поверхностью трения в местах схватывания второго рода.

Ключевые слова: пластичная смазка, серпентинит, дисперсные частицы, антифрикционные добавки, трение, износ, смазка.

В настоящее время проводятся исследования с целью повышения качества пластичных смазочных материалов за счёт расширения диапазонов температурного, нагрузочного и скоростного применения и

257