Математические основы инновационно-циклической теории экономического развития Кондратьева - Шумпетера

А. АКАЕВ,

доктор технических наук, профессор, иностранный член РАН, главный научный сотрудник Института математических исследований сложных систем

МГУ им. М.В. Ломоносова

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИННОВАЦИОННО-ЦИКЛИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ КОНДРАТЬЕВА - ШУМПЕТЕРА

Рассматривается инновационно-циклическая теория экономического развития Кондратьева-Шумпетера. Излагается математическая модель долговременного макроэкономического роста, учитывающая влияние циклических колебаний, а также методика её компьютерной реализации. Показаны механизмы встраивания в модель параметров экономических циклов Кондратьева, Кузнеца и Жюгляра. Проведена верификация модели на примере экономического развития США на протяжении пятого цикла Кондратьева (1982 - 2010 гг.). Дан прогноз экономического развития США на шестой длинной волне Кондратьева до 2050 г.

Ключевые слова: мировой экономический кризис; кризисная рецессия; инновационная теория экономического развития Шумпетера; большие циклы Кондратьева; инновационно-циклическая теория; дифференциальные уравнения экономического роста; нелинейный акселератор; бифуркация; устойчивость экономической системы; прогнозирование долговременного экономического развития.

Инновационно-циклическая теория экономического развития

Кризис мировой экономики, начавшийся в 2008 г. и вызванный проблемами, возникшими в финансовом секторе США, привел к замедлению во многих развитых и развивающихся экономиках мира. Американская экономика вступила в фазу длительной нестабильности и испытала глубокую рецессию. Сохраняется реальная угроза новой волны экономического спада. Сложившаяся ситуация предвещает новые кризисы и длительную депрессию в мировой экономике в предстоящем десятилетии.

Все это в очередной раз напомнило политикам, экономистам и бизнесменам о неравномерном, циклическом характере развития рыночной экономики и необходимости принимать энергичные меры по выявлению нового поколения базисных технологий и внедрению различных инноваций на их основе, чтобы максимально безболезненно преодолеть предстоящие кризисы и депрессию. В этой связи многие исследователи1 обратили взоры к грядущему большому циклу Кондратьева, подъем которого состоится, вероятнее всего, в 2020 - 2040 гг. и уже делают прогнозы относительно его параметров и ключевых базовых технологий.

Еще в 1912 г. великий экономист ХХ столетия Йозеф Шумпетер указывал, что главной движущей силой экономического развития являются научно-технические инновации. Он писал2, что когда какая-либо инновация внедряется в экономику, имеет место так называемый «вихрь созидательного разрушения», подрывающий равновесие прежней экономической системы, вызывающий уход старых технологий, отживших организационных структур и появление новых отраслей, новых институциональных возможностей, в результате чего возникает небывалый динамизм экономического развития. Инновации все больше выступают в роли локомотива экономического

1 См., например: Глазьев С.Ю. Стратегия опережающего развития России в условиях глобального кризиса. М: Экономика, 2010; Клинов В.Г. Прогнозирование долгосрочных тенденций в развитии мирового хозяйства. М.: Магистр; ИНФРА-М, 2010.

2 Шумпетер Й. Теория экономического развития. М: Прогресс, 1982.

развития, определяя его эффективность и рост производительности труда. Инновации как процесс поддерживаются инвестициями и соответствующими институтами, без чего не действует механизм их реализации. Инвестиции без инноваций бессмысленны и порой даже вредны, поскольку означают вложение средств в воспроизводство устаревших товаров, продукции и технологий.

Научно-технический прогресс в целом, и особенно инновационный процесс, как ныне общепризнано, развивается неравномерно во времени, ему присуща цикличность. Следствием этого являются цикличные колебания экономической деятельности. В центре внимания исследователей в ХХ столетии находились длинноволновые колебания, открытые выдающимся русским экономистом Николаем Кондратьевым3. Изучая в 1920-х годах закономерности происходящих в мировой экономике явлений, он обнаружил длинные циклы экономической конъюнктуры примерно полувековой длительности, которые получили название «больших циклов Кондратьева». Он всесторонне обосновал закономерную связь «повышательных» стадий этих циклов с волнами технических изобретений и их практического использования в виде инноваций.

Й. Шумпетер развил учение Н. Кондратьева о больших циклах конъюнктуры и разработал инновационную теорию длинных волн, интегрировав ее в общую инновационную теорию экономического развития4. Циклическое движение выпуска Шумпетер считает формой отклонения от равновесия, к которому всегда стремится экономическая система. Спонтанные сгустки нововведений вызывают радикальные изменения в экономике, которые уводят ее от изначальной равновесной траектории. Система уже никогда не возвращается к прежнему равновесному состоянию. Новый цикл начинается в период очередной депрессии на новом уровне равновесия. Смена уровней равновесия, по Шумпетеру, и определяет долговременную траекторию экономического развития, в ходе которого экономическая система находится в динамическом равновесии. Поскольку теория больших циклов Кондратьева играет ключевую роль в инновационной теории экономического развития Шумпетера, а также учитывая, что сам Шумпетер полагал ее краеугольным элементом собственной теории, последнюю справедливо будет именовать в дальнейшем «инновационно-циклической теорией экономического развития Кондратьева-Шумпетера».

Совсем недавно М. Хироока5 доказал на основе обработки и анализа большого массива эмпирических данных существование тесной корреляции нововведений и больших циклов Кондратьева и впервые подтвердил, что диффузия нововведений строго синхронизируется с повышательной волной Кондратьевского цикла и достигает своего созревания в области наивысшего пика цикла, как показано на рис.1.

3 Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. М: Экономика, 2002.

4 Schumpeter J.A. Business Cycles. New York: McGraw-Hill, 1939.

5 Hirooka M. Innovative Dynamism and Economic Growth. A Nonlinear Perspective. Cheltenham, UK*Northampton, MA, USA: Edward Elgar, 2006.

Инфратраектории

. 4-й цикл Кондратьева . 5-й цикл Кондратьева .

I________I_______I________I________I________I________I_______I________I

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Рис. 1. Диффузия инноваций вдоль подъемов циклов экономической активности Кондратьева

Причем различные базисные инновации благодаря действию механизма самоорганизации формируют целый кластер и появляются группой на стадии депрессии. Это явление установил Герхард Меншь6 и назвал его «триггерным эффектом депрессии». Иначе говоря, депрессия заставляет предприятия искать возможности для выживания, а инновационный процесс может их предоставить, т.е. депрессия запускает процесс внедрения инноваций. Кластеры базисных технологий приводят к возникновению новых отраслей и в, свою очередь, запускают очередной большой цикл Кондратьева. Благодаря синергетическому эффекту взаимодействия инноваций внутри кластера они вызывают мощный кумулятивный рост экономики, вследствие чего и являются основным двигателем экономического развития.

Отдельные инновации распространяются за пределы одного цикла Кондратьева к следующему циклу (рис.1), способствуя появлению новых инфраструктур и сетей, формируя более длинную траекторию развития, которую М. Хирооока назвал инфратраекторией (например, компьютеры, авиастроение, биотехнологии и др.). Указанные инновации называются магистральными (стволовыми); они сначала распространяются, создавая новые рынки, но затем их потенциал расширяется, чтобы образовать новую инфраструктуру в экономике. Инфратраектории также образуют четко определенный кластер, причем каждый такой кластер имеет стержневую магистральную инновацию. Например, в текущем пятом Кондратьевском цикле в этом качестве выступают компьютерные технологии.

Исходя из новой инновационной парадигмы, установленной М. Хироока, зная текущие инфратраектории, которые определяются магистральными инновациями предыдущего цикла Кондратьева, а также траектории базисных инноваций текущего цикла Кондратьева, мы сможем построить прогнозную траекторию динамики инновационноэкономического развития, как это показано графически на рис. 2. Это достигается путем сложения суммарной добавленной стоимости, генерируемой базисными инновациями в текущем цикле Кондратьева, а также добавленной стоимости, создаваемой институциональными изменениями и явлением восстановления, обусловленными инфратраекториями. Траектория движения ВВП имеет характерный ступенчатый вид, причем, как утверждал Й. Шумпетер, каждая ступень описывается лучше всего логистической кривой, являющейся следствием изменения экономической конъюнктуры в соответствии с фазами большого цикла Кондратьева. На рис. 1 представлен период

6 Mensch G. Stalemate in Technology-Innovative Overcame the Depression. New York: Ballinger Publishing Company, 1979.

времени, охватывающий четвертый (IV) и пятый (V) кондратьевские циклы. Надежное прогнозирование может быть распространено, как минимум, до 2040 г., т.е. - верхнего пика шестого (VI) цикла Кондратьева.

Рис. 2. Графическая схема построения траектории движения общего выпуска У (ВВП):

1-циклы Кондратьева; 2-траектории диффузии инновационных продуктов на рынки; 3-инфратраектории.

Описанный выше процесс инновационно-циклического развития рыночной экономики удалось формализовать и разработать компактную математическую макромодель для описания и прогнозирования долгосрочного экономического развития, которая изложена в нашей совместной работе7 с проф. М. Хироока. Модель описывает трендовую траекторию развития ВВП и не может выявить влияние циклических колебаний, которые и ответственны за кризисные рецессии.

В 1980-е годы, после очередного мирового экономического кризиса, исследованию теории и практическим приложениям больших циклов Кондратьева было уделено повышенное внимание, и появилось огромное число работ на эту тему, в том числе по разработке математических моделей. Однако математические модели той поры были направлены на качественный анализ циклических колебаний, на определение их ключевых параметров - продолжительности цикла, характерных точек и т.д. Одна из первых математических моделей длинной волны Кондратьева была предложена в работе8 С.М. Меньшикова и Л.А. Клименко. Она представляла собой систему дифференциальных уравнений первого порядка с запаздываниями. Модель, естественно, генерирует колебания, подобные колебаниям экономической конъюнктуры в циклах Кондратьева. Она также позволяет весьма приближенно оценить продолжительность цикла и поворотные точки длинных волн. С.В. Дубовский разработал более совершенную модель9, в которой циклическое развитие встроено в модель экономического роста. В этой модели динамика ВВП описывается дифференциальным уравнением, полученным из неоклассической модели роста Солоу, и дополнена инвестиционной моделью, соответствующей технологическим циклам, генерирующим циклы Кондратьева. Модель Дубовского также позволяет проводить качественный анализ решения дифференциального уравнения и более точно определять периоды длинных волн,

7 Акаев А.А., Хироока М. Об одной математической модели для долгосрочного прогнозирования динамики инновационно-экономического развития // Доклады РАН. 2009. № 6. Т. 425. С. 727-732.

8 Меньшиков С.М., Клименко Л.А. Длинные волны в экономике // Процессы глобального развития: моделирование и анализ. М: ВНИИСИ, 1984. Вып. 3. С.55-68.

9 Дубовский С.В. Объект моделирования - цикл Кондратьева // Математическое моделирование. 1995.№ 7/6. С. 65-74.

соответствующих большим циклам Кондратьева, а также характерные точки, связанные с подъемами и спадами цикла Кондратьева.

В настоящей работе мы предлагаем математическую модель, описывающую механизм инновационно-циклического экономического развития Кондратьева-мпетера, которая, помимо качественного анализа влияния циклических колебаний на долгосрочный рост, позволяет описать и рассчитать непосредственно реальную траекторию движения ВВП. Модель основана на общем нелинейном дифференциальном уравнении макроэкономический динамики, описывающем совместное взаимодействие долгосрочного тренда и циклических колебаний. Результаты моделирования позволяют в явной форме получить продолжительность циклов и указать на моменты кризисной рецессии в экономике.

Математическая модель долговременного макроэкономического роста, учитывающая влияние циклических колебаний В работе10 автором было получено общее дифференциальное уравнение макроэкономической динамики, описывающее совместное взаимодействие долгосрочного экономического роста и циклических колебаний деловой активности в свободной рыночной экономике:

ау

’ си

„ -М Х + к — А(1 — я)—--------------------------кХк

с1х 7 дЕ

1 *

к — 5 < — 5 ------

"ЭК

+ ЛЯ-51ц-к^\к—-КЛЯ-5~^-Ь— = Л — + кЛА. ^ Л J дК "7г дЬ с11

Здесь УЦ) - текущий объем выпуска продукции (текущий уровень ВВП); Г = Р(К, Ь) - уровень выпуска, соответствующего траектории долгосрочного роста; К -

капитал ; Ь - труд ; X - скорость реакции запаздывания предложения от спроса; к -скорость реакции запаздывания фактических индуцированных капиталовложений от решения об инвестициях; э - коэффициент сбережений; V - мощность акселератора; л - коэффициент выбытия капитала; а, Ъ, к - постоянные коэффициенты в уравнении

дУ дТ - « 7

Эйлера для производственной функции аК-------------------1-ЪЬ---— Ь¥',у*—у —-

дК дК I*

модифицированный параметр Оукена (у) Ур - национальный доход при полной

занятости; А - независимые от дохода (У) расходы как на капиталовложения, так и на

потребление.

Уравнение (1) включает в себя нелинейный акселератор инвестиций, равный

4 ( с/¥ У

—к/1 V— (при ^ = 1), который обеспечивает поддержание в данной экономической

3 \ )

системе незатухающих циклических колебаний. Экономическая система с нелинейным акселератором является классической автоколебательной системой, в которой роль механизма положительной обратной связи играет нелинейный акселератор, а в качестве коэффициента усиления служит мощность акселератора О. Если коэффициент усиления V достаточно велик (V > 1,05), то в системе возникает самоподдерживающийся колебательный процесс, характеристики которого определяются внутренними (структурными) параметрами системы11. Таким образом, в точке V =1,05 в системе

10 Акаев А.А. Вывод общего уравнения макроэкономической динамики, описывающего совместное взаимодействие долгосрочного роста и деловых циклов. Доклады РАН. 2007. № 4. Т. 417. С. 439-441.

11 Акаев А.А. Влияние деловых циклов на долговременный экономический рост. Доклады РАН. № 1.Т. 421. 2008. С. 1-5.

происходит бифуркация рождения цикла. При выводе уравнения (1) была также учтена циклическая безработица, которая возникает в периоды спадов, что позволяет рассматривать реальную экономику с неполной занятостью. Как известно, колебания уровня безработицы связаны с колебаниями фактического выпуска, согласно закону А. Оукена.

В общем уравнении макроэкономической динамики (1) присутствуют две переменные, характеризующие выпуск продукции: быстроменяющейся переменной У(0, которая содержит в себе циклические колебания у=У— У, и медленноменяющейся У (0, представляющей трендовую кривую долгосрочного роста. Для получения приближенных решений подобных нелинейных уравнений имеется весьма эффективный асимптотический метод, называемый методом усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского (метод КБМ), который позволяет прежде всего разделить быстрые и медленные движения12. Действительно, можно сначала провести усреднение быстро меняющейся переменной у(Ь)=У — У и получить усеченное описание системы, учитывающее только ее осредненную эволюцию, представляющую долговременный тренд, описываемый У а) Для того, чтобы практически реализовать данную схему разделения быстрых и медленных движений, необходимо прежде всего выделить трендовую составляющую в правой части уравнения (1), представляя независимые (автономные) инвестиции А(0 в виде А{^) — А(^) + (р*(Г>, гдеА(^) - трендовая составляющая (например, А(1) = А^ег*{1), а (р* - квазипериодическая функция, колеблющаяся вокруг трендовой составляющей. Следовательно, правая часть уравнения

(1) примет вид:

.ЛА .АА ,-т йф* ,

-----ь кА) — -----ь кА ч---------ь кф )

сЬ Л Л

Первая часть этого выражения определяет медленные долгосрочные движения решения уравнения (1), т.е. трендовую кривую, а вторая - определяет циклические колебания вокруг долгосрочной трендовой кривой.

Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее циклические колебания

деловой активности вок

\2“

руг трендовой кривой роста, имеет вид1

с12у

<*2

4 . з(Ф ао —Яки — 3 I <*

1_£Гь-2|.

,4<Р

где сг0 =

Л + к- Лку- /1(1 - s)—

. Г.

О)0 =Лк\

у = У-У; >>1 =0; ^

У (И

= 0;

Р - эластичность выпуска по труду; у - параметр Оукена; г - норма процента. Для качественного анализа примем следующие типичные численные значения параметров:

Я = А,к = 1,5 = 0,25,7 = 0,1, Я = -,у = 2,5.

3

Мощность V акселератора является основным управляющим параметром и оказывает существенное влияние на динамику исследуемой системы. Поэтому мы будем менять его в определенных пределах.

Дифференциальное уравнение, описывающее траекторию экономического роста,

имеет вид:

— <7,

с1У

(7 ] —

йК

0 л<+6)° ¥ - М— +кА) +8)1—- Р\(1) г (4) ш а/ а!

(=0

12 Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974; Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова Думка, 1971.

13 Акаев А.А. Указ. соч.

где СГо = /I + к — Хку,

со02

- (НУ

АзкЛ 0) = 0, — сії

= 0.

Линейное дифференциальное уравнение (4) с постоянными коэффициентами может быть проинтегрировано в аналитической форме. Для нелинейного дифференциального уравнения (3), в случае слабой нелинейности акселератора (при небольших значениях мощности акселератора) можно также получить приближенное решение в явной аналитической форме с помощью метода усреднения КБМ. Эти случаи подробно рассмотрены в работе14.

В работе15 дан качественный анализ решений дифференциальных уравнений (3) и (4), описывающих циклические колебания деловой активности и экономический рост, исследована устойчивость системы, рассчитана точка бифуркации ( щ — 1,05), где система теряет устойчивость и становится восприимчивой к структурным изменениям и инновациям. Показано, что следствием бифуркации является возникновение в системе самоподдерживаемых незатухающих автоколебаний. Именно в условиях неравновесия происходит смена уровней равновесия, что вызывает возрастающий экономический рост. Все это в наглядной форме представлено на фазовом портрете (рис. 3), характеризующем взаимное влияние деловых циклов и экономического роста.

Состояния равновесия экономической системы Рис. 3. Фазовый портрет, характеризующий зону устойчивости динамической экономической системы

В общем случае, когда коэффициенты дифференциальных уравнений (3) и (4) переменные (медленно меняющиеся), а нелинейность акселератора существенна и также

14 Акаев А.А. Вывод общего уравнения макроэкономической динамики с нелинейным акселератором и анализ его решений / Труды научного семинара «Время, хаос и математические проблемы», МГУ им. М.В. Ломоносова, Вып. 4. М: КДУ, 2009. С. 183-202.

15 Акаев А.А. Качественный анализ влияния деловых циклов на экономический рост // Экономика и математические методы. № 3. Т. 45. 2009. С. 78-137.

изменяется во времени, тогда для решения указанных уравнений необходимо воспользоваться численными методами и осуществлять компьютерное моделирование. При этом крайне важно задаться подходящей функциональной зависимостью мощности акселератора во времени. Выше было отмечено, что мощность акселератора является управляющим параметром и оказывает решающее влияние на динамику экономической системы, на формирование траектории долгосрочного экономического роста. Поскольку мощность акселератора пропорциональна предпринимательской активности, а последняя определяется экономической конъюнктурой, в первом приближении можно полагать, что она меняется медленно, по синусоиде, синхронно с большим циклом Кондратьева, т.е.:

у = у0 -^^п¥

Так как продолжительность четвертого и пятого циклов Кондратьева составила

2

примерно 36 лет (1945 - 1982 гг. и 1983 - 2018 гг.), то можно принять у/ = —

(Тк = 11П~35 лет). Диапазон практического изменения мощности акселератора 0<1/<2 (см. рис. 3), поэтому целесообразно, чтобы Уд > 0,8.

В работе16 представлены результаты компьютерного моделирования макроэкономической динамики путем численного решения дифференциальных уравнений, описывающих трендовую траекторию экономического развития (4) и циклические колебания (3), с последующей суперпозицией полученных решений. Исследована устойчивость экономической системы. Результаты компьютерного моделирования представлены на рис. 4. Как видно из данных рисунка, при определенных значениях параметров (и0 =1, ц =1,05) происходит потеря устойчивости системы, экономика испытывает кризис, впадая в глубокую рецессию, что подтверждает результаты качественного анализа решений. Важно отметить, что потеря устойчивости связана с трендовой кривой, но не с циклическими колебаниями. Это соответствует утверждению И. Шумпетера о том, что равновесная траектория ступенчата, но остаток после ее вычитания описывается волной. Графики движения ВВП, представленные на рис. 4 говорят о том, что искомая математическая модель вполне адекватно описывает реальный процесс экономического развития. Для более детального изучения поведения экономической системы на этом участке требуется описать экзогенный импульс случайной природы, вызвавший кризисную рецессию, и решать уже соответствующее (3) стохастическое дифференциальное уравнение. Следствием этого станет хаотическое состояние экономической системы, аттракторы которого и определят наиболее вероятные траектории экономического развития.

16 Акаев А.А., Галилеев М.М., Михайлушкин А.И. Компьютерный анализ модели долгосрочной экономической динамики /Проекты и риски будущего. М: КРАСАНД, 2011. С. 130-137.

Рис. 4. Численные решения уравнений макроэкономической

Динамики:

а) тренд и циклические колебания представлены линиями средней толщины; б) движение выпуска дано толстыми линиями

Верификация уравнения макроэкономической динамики и долгосрочное прогнозирование на примере США

Ниже представлены результаты компьютерного моделирования макроэкономической динамики США путем численного решения дифференциальных уравнений, описывающих трендовую траекторию экономического развития (4) и циклические колебания (3), с последующей суперпозицией полученных решений. Проводится верификация математической модели (1) - (4) на примере экономического развития США в период пятого кондратьевского цикла с 1983 по 2010 г. Затем модель используется для прогнозирования экономического развития США до 2050 г. в соответствии с инновационной стратегией развития.

Прежде всего необходимо определить правые части уравнений (3) и (4). Они определяются путем задания функционального выражения для основного производственного капитала:

к = к(1) + ф(1) =-------ко(1 + к\)----,

1 + к\ ехр [0

+ Ч\

. * . Ог) . **

SІn

Ч\

Здесь первое слагаемое описывает трендовую траекторию движения производственного капитала, которая выражается логистической функцией, а второе -циклические колебания, описывающие циклы Жюгляра (д , со1) и Кузнеца (, со^).

Зная К() ,можно определить функцию движения производственных инвестиций (капиталовложений) по известной формуле инвестиций:

. сНС сНС — (1(р' ,

А- — + 1К-—~ + /Ж + —— + Цф ,

ш т т

где // - норма выбытия основного капитала.

Используя соотношения (5) и (6), получаем функциональные выражения для правых

частей уравнений (4) и (3):

FXt) = XK0(l + K) exp^J[tJto)rA ^exp|(t-T0)3

Iz + ae-i-^-s)!^!# kfi1 ^ exp\e{t-T0)~^-\^

l + ^exp|6»(f-ro)J" H^^expfG{t-T0)^ f

+

F2

. 9l .

9 9 *

-a>i sina>i (t — Tq ) —

2 #9 **

-a>2—sina)2(t-TQ ) + се/л

9l

Ql

sina>\

. 9l .

Следующим этапом является калибровка модели движения основного производственного капитала (5). Модель содержит 6 параметров: к1,в,qi,0)l ,q2, а>2. Начальное значение основного капитала K соответствует фактическому объему капитала в 1983 г., (Т0) - начальном году пятого кондратьевского цикла (1982 - 2018 гг.), который мы находим в национальных счетах ООН (United Nations database). Максимальное значение основного капитала, соответствующее фактическому объему капитала в 2008 г., можно определить на уровне 0,9 Km (Km - величина насыщения).

Отсюда получаем K2oos= 0,9 KJ\ + к]). Следовательно,

к

0,9Кп

1. Остальные

параметры (6,д1,со1,д2/0)2) определяются следующим образом. Сначала находим параметр в, управляющий трендовой составляющей:

т7 / \ К (1 + к ) /г,".

К{ 0 =---------- , 1--------•

1 + ^ехр {в(1-То)_

Поскольку Ко и к{ уже известны и взяты из базы данных, то параметр О легко находится методом наименьших квадратов с использованием всей имеющейся выборки фактических значений в заданном промежутке времени (1983 - 2010 гг.).

Для определения параметров д1,со1,(]2/со2/ управляющих колебательными отклонениями от тренда в модели движения основного капитала (5), необходимо воспользоваться уравнением инвестиций (6), которое с учетом конкретной модели движения капитала (5) примет вид:

К0(\ + кг) \ кхвехр \в(г

А =

\ + кг exp \0

Ч2

COj cos сох(t - Т0 ) +

Q1 У ЛГТ** I

+ a)2—COS 0)2

4i

+ Ml

sinca/t-T0 ) ~—sinco2(t-T0 ) 4i

Фактические значения автономных инвестиций (А) имеются в тех же базах данных ООН (United Nations database). Важно то, что именно в автономных инвестициях более выпукло проявляются колебательные отклонения от трендовой составляющей, и поэтому уравнение (10) служит наилучшим способом нахождения параметров qi, а>1 ,q2, а>2.

В уравнении (10) появляется норма выбытия основного капитала JJ., которая со временем растет благодаря постоянному развитию технического прогресса, причем она может быть аппроксимирована линейной зависимостью:

М = Мо+ мХ*-То)-

Постоянные jUo и [Л1 легко находятся методом наименьших квадратов с использованием выборки фактических значений jLl за период 1983 - 2010 гг., которая также содержится в национальных счетах ООН (United Nations database). Для экономики

США мы установили, что /Л =0,033 и цх= 1,1 -10 4, т.е. примерно 3,3% выбытия основного капитала ежегодно.

Определяя параметры аппроксимирующих функций (5) и (10) для основного производственного капитала К(1) и автономных производственных инвестиций А(?) методом наименьших квадратов с использованием выборки имеющихся в базах данных фактических значений капитала и автономных инвестиций за период с 1983 по 2010 г., мы получили следующие результаты:

*

^ =0,075; (0\ =0,66; Т\ =9,5 лет; То = 1998 г.;

д2 =0,225; СО2 =0,28; Т2 = 22,4 года; Т0 =2002 г.

Ко= 10,77 трлн. долл.; к\ = 3,5; 0 =0,09; Тд= 1982 г.

Отсюда следует, что в экономике США в указанный период имели место циклы Жюгляра продолжительностью 9,5 лет и циклы Кузнеца продолжительностью 22,4 года, причём амплитуда циклов Кузнеца в 3 раза превышала амплитуду циклов Жюгляра. Видно также, что спад предыдущего цикла Жюгляра пришелся на 1998 г., когда случился кризис, который затем был усилен в 2001 г. на спаде цикла Кузнеца (2002 г.). Спад последнего цикла Жюгляра пришелся на 2007 г. (1998 + 9,5), когда начался предвестник глобального кризиса.

Таким образом, имея конкретные значения всех параметров, можно рассчитать правые части (7) и (8) дифференциальных уравнений (3) и (4) и приступить к их численному решению. Причем структурные параметры экономической системы Я и к могут быть определены как калибровочные параметры. Мы нашли, что наилучшее приближение суммарного решения дифференциальных уравнений (3) и (4) к фактическим данным ВВП США за рассматриваемый период с 1982 по 2010 г. обеспечивает следующая пара значений искомых параметров: X =1,4 и к =1,3. Мы также нашли среднее значение нормы сбережений в указанный период я =0, 184.

На рис. 5 представлены результаты компьютерного моделирования макроэкономической динамики путем численного решения дифференциальных уравнений, описывающих трендовую траекторию экономического развития (4) и циклические колебания (3), при заданных значениях параметров (12), с последующей суперпозицией полученных решений. Сравнение фактической траектории движения ВВП США в период с 1983 по 2010 г. с расчетной, полученной по предлагаемой математической модели и представленной на рис. 5, показывает хорошее совпадение. Максимальное отклонение не превышает 7%. Крайне важно то обстоятельство, что модель едва, но все же улавливает и отражает кризисные рецессии 1990 - 1991гг. и 2000 -2001гг., как это видно из рассмотрения данных рис.5. Следовательно, математическая модель, учитывающая влияние циклических колебаний на формирование долговременной траектории экономического роста, дает удовлетворительные результаты.

1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Рис. 5. Приближение ВВП суммой решений дифференциальных уравнений:

при Л =1,4 и к =1,3 (укрупненный масштаб), пунктирная линия — тренд, сплошная — сумма решений

В заключение используем модель для прогнозирования динамики развития экономики США на период, соответствующий продолжительности грядущего шестого кондратьевского цикла (2010-2050 гг.). Параметры модели довольно стабильны в долговременном периоде, и поэтому их численные значения (12), полученные в процессе калибровки модели в период с 1983 по 2010 г., можно использовать в процессе прогнозирования. Поэтому достаточно определиться начальным и конечным объемами основного производственного капитала Ко и К() (1 + кл). В год оживления (2018 г.) в начале повышательной волны шестого кондратьевского цикла K практически совпадает с объемом в предкризисный год, т.е. К =К . Для определения конечного объема

основного производственного капитала воспользуемся следующими соображениями, вытекающими из анализа тенденций долговременного экономического развития.

K /

В долговременном периоде наблюдается стабильная капиталоемкость (к/у), что

также выражается эмпирическим законом Калдора17:К = cKY (ск = const). М. Фридман в свое время показал, что в долговременном плане постоянное потребление прямо пропорционально перманентному доходу18: С = С У. Следовательно, К ~ С. Это значит, что если известен ожидаемый рост потребления, то легко определить и требуемый рост объема основного производственного капитала.

Р. Холл утверждает, что если ожидания потребителей рациональны, то потребление с течением времени следует траектории случайного блуждания19. Это значит, что выход величины потребления (С) за пределы области ("' < Зсггу/1 маловероятен (<гс-

среднеквадратическое отклонение C). Это следует из свойств гауссовских случайных блужданий, именуемых винеровским процессом20. Таким образом, можно полагать, что

17 Kaldor N. Capital Accumulation and Economic Growth / The Theory of Economic Growth. New York: St. Martin's Press, 1961. P.177--222.

18 Сакс Дж., Ларрен Ф. Макроэкономика. Глобальный подход. М: Изд-во «Дело», 1989.

19 Hall R.E. Stohastic Implications of the Life Cycle - Permanent Income Hypothesis: Theory and Evidence// Journal of Political Economy. 1978. Vol. 86. April. Р. 971--987.

20 Артамонов Н.В. Теория случайных процессов. М: МГИМО-Университет, 2008.

= Зстс — Т0 . Эта формула справедлива для 1п 1п(7' — Тц) > 0, откуда вытекает, что Т ~То >е. Поэтому можно принять (С1)0=3асл/3). Тогда для оценки роста потребления в период времени Т — Т0 можно предложить следующую простую

с '

формулу:

т-т

Следовательно

K

т-т

{С )0 V 3

V шах / 0

(14) Подставив Т =2050 г. и Т0 =2010 г. в формулу

К V 3

0

(14) получаем: = 3,6АГ . Поскольку Ктах = К,/\ + кл), отсюда следует, что =2,6.

Траектория движения ВВП США до 2050 г., рассчитанного по модели (4) и (3), представлена на рис. 6. Видно, что траектория движения ВВП довольно хорошо описывает изменения экономической конъюнктуры в соответствии с развитием большого цикла Кондратьева, включая резкое ухудшение конъюнктуры, приводящее к кризисной рецессии. Большие циклические кризисы, сопровождаемые депрессиями, видны особенно отчетливо. Глубина кризиса зависит от величины которая в какой-то мере

отражает спекулятивную активность, тогда как vn- это нормальная

предпринимательская активность, направленная на созидательную деятельность, на производство потребительских благ. Прогноз также показывает, что к 2050 г. объем ВВП США достигнет примерно 36 трлн. долл. в ценах 2000 г., что практически совпадает с прогнозом, полученным исследователями крупнейшей американской компании Pricewaterhouse Coopers21.

Рис. 6. Прогноз динамики ВВП США до 2050 г.

Таким образом, разработанная математическая модель долговременного

экономического роста, учитывающая влияние циклических колебаний на формирование траектории роста, позволяет значительно лучше описать реальную макроэкономическую динамику как в качественном, так и количественном отношениях. Крайне важно, что модель является адекватной математической основой инновационно-циклической теории экономического развития Кондратьева-Шумпетера. А это дает возможность изучать реальное поступательно-циклическое развитие экономической системы путем математического моделирования.

21 Клинов В.Г. Указ. соч. С. 104.