Динамическая теория резонансной дифракции рентгеновского излучения в геометрии Брэгга в совершенных кристаллах

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА УДК 548.732: 539.2

ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОЙ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ БРЭГГА В СОВЕРШЕННЫХ КРИСТАЛЛАХ

А. П. Орешко

Проведено точное решение задачи зеркального и дифракционного отражения рентгеновского излучения в условиях резонансной дифракции от идеального кристалла в геометрии Брэгга. Показана возможность эффекта аномального прохождения сквозь кристалл излучения с энергией, близкой к энергии К -края поглощения атомов.

Введение

Резонансная дифракция (РД) рентгеновского излучения (РИ) наблюдается при энергии падающего излучения, близкой к краю поглощения какого-либо элемента, входящего в состав кристалла, и является интенсивно развивающимся методом изучения свойств кристаллов [1, 2]. Более доступным метод РД стал при появлении источников синхротронного излучения, сочетающих большую яркость и высокую степень поляризации излучения с возможностью выбора нужной длины волны.

Так как вблизи краев поглощения величина коэффициента поглощения резко увеличивается и тем самым уменьшается глубина проникновения излучения в вещество, для интерпретации полученных экспериментальных данных по РД используется кинематическое приближение теории дифракции [3]. Однако ряд наблюдаемых в последнее время явлений не может быть удовлетворительно описан в рамках кинематической теории дифракции, что вызвало необходимость развития динамической теории РД.

Впервые попытка описания динамического рассеяния РИ в условиях РД предпринята в [4], где использовался подход, аналогичный методу Дарвина [5] для описания динамического рассеяния РИ, основанный на введении амплитуды рассеяния РИ резонансным атомом и рассмотрении процессов многократного рассеяния.

В настоящей работе развивается динамическая теория резонансной дифракции рентгеновского излучения в форме, основанной на решении уравнений Максвелла в среде с периодически меняющейся поляризуемостью [6].

1. Динамическая теория резонансной дифракции

Из микроскопических уравнений Максвелла в приближении линейной связи между индукцией

D{r, t) и напряженностью E(r, t) электрического поля в стационарной пространственно-однородной среде можно получить систему уравнений для Фурье-амплитуд поля в совершенном кристалле с учетом анизотропии, пространственной и временной дисперсии [7]:

1

xV*)

E{u),k) + \{{E{u),k),k),k)-

ni

+ ^2хН

А^О

где Е(ш,к) — Фурье-компоненты напряженности электрического поля в кристалле, ко — величина волнового вектора в вакууме. Величина ХгДш, к) называется диэлектрической поляризуемостью (ДП) среды, общие соотношения симметрии для тензора ДП рассмотрены в [3, 8]. Второй член выражения (1) учитывает непоперечность поля.

Решение уравнений (1) с привлечением граничных условий и является основной задачей динамической теории дифракции РИ.

В традиционной рентгеновской кристаллооптике расчет поляризуемости проводится обычно в приближении сильной связи [8], в котором не учитываются явления анизотропии и пространственной дисперсии, т.е. поляризуемости Хц считаются скалярами, а поля — поперечными. Однако вблизи краев поглощения явлением анизотропии пренебрегать нельзя.

Рассмотрим двухволновую дифракцию полей Е0 = Е(ш, Чо) и Ен = Е{ш, ф,), где и цк = = + Л — волновые векторы проходящей и дифрагированной волн в кристалле, и пренебрежем эффектами пространственной дисперсии, т. е. поля будем считать поперечными. Тогда для скалярных амплитуд проходящей Ео = е^Е^ и дифрагированной Е}1 = е'рЕ^Р волн следуют уравнения,

описывающие динамическую дифракцию первичного излучения:

бо^ - х0^ - ГМЛ? =

б^-хУ^-х^^О,

где (/ = 1,2) — единичные векторы а-

и 7г-поляризации проходящего и дифрагированного излучения (е]0 = — единичные векторы вдоль волновых векторов <7о,/? соответственно, а ¿о,А = [(Чо,11<Чо,н)/к2о\ - 1- В (2), (3) проводится суммирование по повторяющимся индексам /= 1,2,3. Схематичное пространственное расположение векторов е'0к и <7о,/? приведено на рис. 1. Из условия поперечности полей следует, что Е^=0.

Рис. 1. Схема расположения единичных векторов е'0к, волновых векторов проходящего <уо и дифрагированного (¡¡I излучения и вектора обратной решетки Л. (М/) — отражающая плоскость

Домножив выражения (2), (3) слева на е'0 и е'н (г = 1,2) и введя обозначения = (е'0,е'к) = = {1 (г = 1); сое20(г = 2)}, С(3) = Бт20, где в -угол между падающим излучением и отражающими плоскостями (М/), получим следующую основную систему уравнений динамической теории РД:

-(С^х^-С^х^ = 0, -(С«2)^2-С«3)^з)£«2) = 0,

= о,

- (С«2)),!, - с'3^,)^ - - с'3^,)^ -

+ {

Отличие системы уравнений (4) от хорошо известной основной системы динамической теории состоит в наличии недиагональных элементов тензора ДП х- Если предположить, что х скалярная

величина, то система (4) совпадает с традиционной основной системой динамической теории [6].

Система основных уравнений имеет нетривиальное решение только в случае равенства нулю детерминанта этой системы:

с1еМ = 0,

где А — матрица коэффициентов (4). Дисперсионное уравнение (5) позволяет с привлечением граничных условий для волновых векторов на границе раздела двух сред найти величины волновых векторов в кристалле.

В немагнитных кристаллах тензор ДП имеет вид XV = (Хо + х'о + ОСо')й/ + вызван потенци-

альным вкладом в диэлектрические свойства кристалла; х'о- Хо добавки, включающие в себя изотропную часть эффектов дисперсии и поглощения; а х\) вызван анизотропным резонансным вкладом [1,8, 9]:

х'рп = Х% + 'Х/тЖ -Ьп) + ¡ХрпКК + ¿„) +

+ хЧИтпКЬр + • • • -

где к и к' — волновые векторы соответственно падающей и рассеянной волн; Хр~1п и х]птр Ди~ поль-дипольный (ДД), диполь-квадрупольный (ДК) и квадруполь-квадрупольный вклады в резонансную часть ДП, а верхние индексы «б» и «а» отвечают симметричной и антисимметричной частям ДК-вклада.

Последовательное описание тензора ДП строится на основе квантово-механической теории, требует знания атомных и кристаллических волновых функций электронов [8-10] и выходит за рамки настоящей работы. Необходимо отметить, что компоненты тензора ДП вычисляются предварительно (вычисление тензора можно провести, например, при помощи программы РЭМЫЕБ [11]) и затем считаются постоянным в расчетах по динамической теории дифракции.

Перейдем к анализу дисперсионного уравнения (5). В силу непрерывности тангенциальных (вдоль поверхности) составляющих волновых векторов падающей на кристалл волны ¿о и проходящей волны в среде ^о- вектор ^о получает приращение только вдоль нормали к поверхности п (направленной в глубь среды) т.е. ^о = ^о + коеп, где е — так называемая аккомодация [6], подлежащая дальнейшему определению.

Таким образом, подставив тензор ДП в виде (6) в (5), получим, что дисперсионное уравнение является уравнением восьмой степени относительно величины аккомодации е и внутри кристалла может распространяться 8 проходящих и 8 дифрагированных волн. При этом в случае толстого кристалла следует выбирать только такие решения, для которых \U\Ej >0.

2. Геометрия Брэгга

Рассмотрим задачу о зеркальном и дифракционном отражении плоской монохроматической волны Eq exp(iéor) от идеального монокристалла в условиях РД. Решение задачи будем проводить в наиболее общем случае скользящей некомпланарной брэггов-ской дифракции [12, 13].

Излучение падает из вакуума под произвольным углом скольжения <ро по отношению к поверхности так, что одновременно имеет место дифракционное отражение от атомно-кристаллических плоскостей, составляющих угол ф по отношению к нормали п, направленной в глубь кристалла вдоль оси г.

Поле в вакууме над поверхностью кристалла (z ^ 0) состоит из трех волн:

(г) = А0 exp(ik0r) + Л5 exp(iésr) + Ah exp(ikhr),

где Ло, As и А^ — амплитуды падающей, зеркально отраженной и дифрагированной волн соответственно, |£0| = \ks\ = \Ы = ko, k0 = 2vr/A, kSz = koz Рентгеновская волна возбуждает в кристалле когерентную суперпозицию проходящей и дифрагированной волн

Еа

где £o,/i амплитуды, Ço./i волновые векторы проходящей и дифрагированной волн в кристалле. Амплитуды Eo,Eh в (8) удовлетворяют системе динамических уравнений (4), а величина е определяется из уравнения (5).

Анализ корней дисперсионного уравнения показывает, что в геометрии Брэгга только 4 корня удовлетворяют условию Im > 0, и в кристалле могут распространяться 4 проходящих и 4 дифрагированных волны.

Для определения амплитуд полей в (7), (8) нужно записать условия непрерывности тангенциальных компонент электрических и магнитных полей на границе кристалл-вакуум. В итоге получим систему уравнений

4 4

л;; +/г;^££•;, 7о {А$-А*) =

/=1 /=1

Al = J24jEaor =

/=1 /=1 4 4

/=1 /=1 4 4

Ai =^2RhjRofEoj' -7иг=ЕгЛ-лчГ£о/'

/=1 /=1

где верхний индекс а отвечает ст-компоненте, а ж — 7г-компоненте, 70 = k0z/k0, jh0 = (ko + h)Jk0. Если ipo — скользящий угол падения излучения

на кристалл, то 70 = sin ipo, 7/jo = 70 — фв, где фв = 2sini/'sm$fí — эффективный параметр угла наклона отражающих плоскостей (ф>0, hz < 0), а вв — угол Брэгга, который определяется из соотношения h = 2ko sin вв

Пусть (fh — угол выхода дифрагированного излучения в вакуум по отношению к поверхности, тогда z -проекция kf¡z = —&о7л> где 7/j = sin (iph > 0). Дифракционное отражение в область г < 0 (геометрия Брэгга) реализуется при таких углах скольжения ipo, что 70 < фв, т.е. 7/jo<0. Угол выхода ipfj при заданных углах ipo и ф определяется выражением [12] 7/j = (7^ + а)1 ^, где параметр а = 1 — (k0 + h)2/kq = 2A0s'm20B характеризует угловую отстройку падающего излучения от угла Брэгга, а условие а > —710 задает допустимые отклонения АО = в — &в от точного угла Брэгга.

В (9), (10) введены обозначения Го/ =7о + е/, Г/у = 7/10 + £/ (/ = 1 -4) и учтены связи между амплитудами дифрагированных и проходящих волн в кристалле: = Я* £* , £* = ЩЦ, Ц = ,

следующие из (4).

Решение системы (9), (10) для амплитуд зеркально отраженных и дифрагированных волн имеет вид

4

f-K ЛЖ '/ л0

/= 4

^ = — £(70

27o f

• Г,

о/

)ДЬ7(

уст ДО" '/ л0

7}М5

4

ла_ \ ' па ( та ла i тж Лж

лк — Щ \ i 0 + '/ Л0

/=1 4

л ж_ \ л пж паж i та л а

лк — Щ 0/ j л0

/= 1

грЖ л-К '/ л0

где введены следующие обозначения: Т\ =в416>)2 - О-, ] 042, Т? = - 270642/ Т\, П = 2Ъ052/Т1, Ц = 27О041 Пх, Ц = -27О051 Пх, Ох! = ЩЫ + ГМ)}/{Щ4Ы + Гм)}, о2/ = + Т^ЩЩ^Ы + Гм)},

Оз/ = (С?2/ - ¿луУ^гз - С?1з), 041 = + Г0/) - /?оТ(7о + Гоз)Оз/ --^|(70 + Г04){О1/-О1зОЗ/}, 05/ = (7о + Г0/) - (70 + Гоз)03/- -

- (7о + Г04){О,/ - 01303/}.

Соотношения (11)-(14) представляют собой точное решение задачи зеркального и дифракционного отражения РИ от идеального кристалла в геометрии Брэгга. Они справедливы для любых углов

(,Ро при 70 ^ 'фв и любых допустимых отклонений а ^ —(70 — Фв)2 от точного угла Брэгга и, как легко показать, в случае диагонального тензора ДП сводятся к полученным ранее соотношениям в нерезонансной теории [13].

3. Аномальное прохождение

Рассмотрим частный случай дифракционного отражения от совершенного монокристалла, обладающего кристаллической решеткой с кубической симметрией. В этом случае тензор ДП диагональный, а система уравнений (4) однородна относительно состояний поляризации. Для упрощения задачи учтем только главный ДД-вклад в резонансную часть ДП (6).

Таким образом, фурье-компоненты тензора ДП примут вид = + (¿,/=1,2,3),

где опущены верхние индексы «с1с1>> у элементов ха-а система уравнений динамической теории РД (4) — вид

(*> - - - - х;!'^ = о. - х"4'} - Х!\АХ) + (8„ - х0^ - Х^Р = 0.

-С™Х£Е™ = 0,

-

Пренебрегая квадратичными по величине е членами (не рассматриваем скользящие схемы дифракции) для корней £,• первого и второго уравнений (15), получим

£1,2 = [{г/°(7о + 7ао) + 7о«} ±

± {IV0(7о - 7АО) + 7о«]2 + ^707к0'ПНгГн}]/2} /4707/?0.

где г/0,±/? = х°'±к + Хп±Л • Видно, что если параметр

Д = г/°г/° - = 0- О7)

то при точном выполнении условия Брэгга (о = 0) корень ег обращается в нуль и одна из волн будет распространяться без поглощения. Ситуации, в которых для одного из корней 1теу = 0, будем называть случаями аномального прохождения. Ранее в [14] исследовался эффект аномального прохождения 7-квантов, резонансно взаимодействующих с ядрами в кристалле.

Возникает вопрос, возможна ли ситуация, при которой параметр Д (17) обращается в нуль или хотя бы достигает своего минимального значения. В качестве примера на рис. 2 приведены расчетные энергетические зависимости действительной и мнимой частей параметра Д для отражения Се(224) вблизи /(-края поглощения германия. Вычисления проводились при помощи программы РЭМЫЕБ [11] для кластера ¿е, состоящего из 100 атомов [15].

Д, 10 11 отн. ед.

" / " ' /

\ / \ /

0 20 40 60 Е= 11103 эВ

Рис. 2. Энергетическая зависимость действительной

Видно, что при энергии падающего излучения, примерно на 1 эВ меньшей энергии /(-края поглощения, параметр Д принимает свое минимальное значение. Таким образом, действительно можно говорить о том, что на левом краю К-края поглощения Ge возможно наблюдение эффекта аномального прохождения.

Амплитудный коэффициент дифракционного отражения в рассматриваемом случае определяется выражением = (2jo£ — г/°)/г/-А, и кривая дифракционного отражения (КДО) в РД, так же как и в нерезонансной, имеет вид пика с практически плоской вершиной в области углов Д0о — Aöß ^ А6 ^ Д0о + Aöß, где выражение под знаком квадратного корня в (16) отрицательно:

Д0о = — Re(Y°)(l + b)/2b sin 26п —

— Re

— смещение брэгговского максимума от угла &в в результате преломления РИ, а Абц = = R e({rihrrh}]/2)/b]/2 sin 2&в — полуширина КДО на половине высоты. Второе слагаемое в выражении (18) описывает дополнительное смещение брэгговского максимума за счет эффектов РД.

Таким образом, в настоящей работе построена динамическая теория резонансной дифракции рентгеновского излучения в совершенных кристаллах. Показано, что основные уравнения динамической теории дифракции являются частным случаем резонансной динамической теории. Показана возможность явления аномального прохождения сквозь кристалл излучения с энергией, близкой к энергии краев поглощения атомов.

Автор выражает глубокую благодарность М.А. Андреевой, В.А. Бушуеву и E.H. Овчинниковой за интерес к работе и плодотворные обсуждения

полученных результатов. Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 04-02-16866 и 05-02-16770).

Литература

1. Дмитриенко В.Е., Овчинникова E.H. // Кристаллография. 2003. 48, № 6. С. 59.

2. Hodeau J.L., Favre-Nicolin V., Bos S. et al. // Chem. Rev. 2001. 101. P. 1843.

3. Беляков B.Â., Дмитриенко B.E. // УФН. 1989. 158, № 4. С. 679.

4. Ведринский P.В., Козырев В.Э., Новакович A.A., Гончар A.A. // Исследовано в России. 2005. 129. С. 1311 (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/ 129.pdf).

5. Darwin C.G. // Phil. Mag. 1917. 19. P. 315, 675.

6. Пинскер З.Г. Рентгеновская кристаллооптика. М., 1982.

7. Агранович В.М., Гинзбург В. J1. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория эк-ситонов. М., 1979.

8. Колпаков A.B., Бушуев В.А., Кузьмин Р.Н. // УФН. 1978. 126, № 3. С. 479.

9. Blume М. Resonant anomalous X-Ray scattering / Eds. G. Materlik, C.J. Sparks, K. Fisher. Amsterdam, 1994. P. 495.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1992.

11. http://www-cristallo.polycnrs-gre.fr/ Themes_de_recherche/Simul/.

12. Александров П.А., Афанасьев A.M., Степанов С.А. 11 Кристаллография. 1984. 29, № 2. С. 197.

13. Бушуев B.Ä., Орешко АЛ. // ФТТ. 2001. 43, № 5. С. 906.

14. Афанасьев A.M., Каган Ю. // ЖЭТФ. 1973. 64, № 3. С. 1558.

15. Орешко А.П., Дмитриенко В.Е., Жоли Ив и др. // Изв. РАН. Сер. физ. 2004. 68, № 4. С. 578.

Поступила в редакцию 15.05.06