Механизм формирования мультистабильности в генераторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью

ФИЗИКА, РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

УДК 537.86

В.В. Астахов, М.И. Балакин

МЕХАНИЗМ ФОРМИРОВАНИЯ МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТИ В ГЕНЕРАТОРЕ

ВАН ДЕР ПОЛЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Для генератора с запаздывающей обратной связью проведено исследование механизма формирования мультистабильности. Установлено, что развитая мультистабильность формируется в результате последовательности двух видов бифуркаций - суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа и субкритической бифуркации Неймарка-Сакера. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. Устойчивость они приобретают после ряда субкритических бифуркаций Неймар-ка-Сакера.

Системы с запаздыванием, автоколебания, бифуркации, мультистабильность

V.V. Astakhov, M.I. Balakin

MULTISTABILITY FORMATION MECHANISM IN VAN DER POL GENERATOR

WITH TIME-DELAYED FEEDBACK

Multistability formation mechanism in van der Pol generator with time-delayed feedback is studied. It is established that the developed multistability is formed through a sequence of two types of bifurcations - supercritical Andronov-Hopf bifurcation and sub-critical Neimark-Sacker bifurcation. In the phase space the fixed point repeatedly undergoes supercritical Andronov-Hopf bifurcation as a result of controlling parameters variation which leads to the increase in a number of saddle cycles. The limit cycle stability is acquired after a number of subcritical Neimark-Sacker bifurcations.

Time-delayed systems, self-oscillations, bifurcations, multistability

Генератор ван дер Поля с запаздывающей обратной связью является одной из базовых моделей теории нелинейных колебаний [1]. Исследованию и описанию осциллятора ван дер Поля с задержкой посвящено большое количество статей и монографий [2-4]. Хорошо известно, что в автоколебательных системах с запаздыванием мультистабильность является типичным явлением [5]. Уже при небольшой надкритичности по параметру возбуждения в фазовом пространстве может наблюдаться большое число сосуществующих устойчивых предельных циклов. Однако вопрос о бифуркационном механизме формирования мультистабильности в таких системах остается открытым. В данной работе проведено исследование механизма формирования мультистабильности на примере генератора ван дер Поля с запаздывающей обратной связью. Установлено, что развитая мультистабильность формируется в результате двух видов бифуркаций - суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа и субкритической бифуркации Неймарка-Сакера. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, а после каждой последующей - седловой предельный цикл с двумерным, четырехмерным, шестимерным, восьмимерным и т.д. неустойчивыми многообразиями. Устойчивость они приобретают, соответственно, после одной, двух, четырех, шести и т.д. субкрити-ческих бифуркаций Неймарка-Сакера.

24

Г енератор ван дер Поля с запаздыванием будем рассматривать в виде

х(т) = у(т),

у

где Х(т), у(т) - динамические переменные, та - время запаздывания, Л - параметр диссипации, Є -

параметр подкачки. Состояние равновесия системы определяется из условия равенства нулю производных динамических переменных (х = 0, у = 0), кроме того, неизменность состояния равновесия во

времени приводит к равенству х(т) = х(т - та), у (т) = у (т -тл). В результате получаем, что в фазовом пространстве бесконечной размерности существует единственная неподвижная точка в начале координат.

Для исследования условия устойчивости состояния равновесия, используя стандартные методы [1], запишем характеристическое уравнение

р2 + [Л-Є~рт* ]р +1 = 0,

из которого, применяя метод Б-разбиений [6], несложно получить систему уравнений

Є

X2 +

о

1 .1 -а>\ кп

—атщ (——) +—, со Лео а

которая определяет в пространстве параметров границы областей возбуждения автоколебаний.

В случае Тл = 0 существует одна область возбуждения автоколебаний (к = 0) с частотой О = 1, граница которой определяется соотношением £ = А. При введении задержки тл > 0, из уравнений (3) следует, что возбуждение автоколебаний на частоте ю= 1 происходит на линии £ = А при (к = 0,Та = 0),(к = 1,ТЛ = п),(к = 2, та = 2п) и т.д. При пересечении указанных бифуркационных точек происходит мягкое рождение устойчивых предельных циклов с одинаковыми периодами Т = 2п. Фиксируя коэффициент диссипации А = 3 и меняя в уравнениях (3) ю от - от от +от, получим семейство линий, отвечающих различным к, при пересечении которых неподвижная точка Р претерпевает бифуркации.

На рис. 1 на плоскости параметров (£ — Тл) построены линии бифуркационных значений для различных к (к = 0,2,4,6), которые обозначены 11ак, 12л, 13ак ,.1^, соответственно. Линии, построенные

методом Б-разбиения, полностью совпадают с бифуркационными линиями, полученными с помощью пакета программ ББЕ-В1РТООЬ [7]. Кроме линий бифуркационных значений для неподвижной точки Р, на рис. 1 построены бифуркационные линии Гш предельных циклов С1 (I = 1,2,3,4), ограничивающие области их устойчивости.

Рис. 1. Линии бифуркационных значений неподвижной точки и предельных циклов. А = 3

Каждая из бифуркационных линий 1'ак имеет точку минимума, которой опирается на прямую £ = X . Граница мягкого возбуждения автоколебаний состоит из отрезков аЬ, Ьс, сй, йв, принадлежащих бифуркационным линиям 11л, /2, /3, /4, соответственно. На этих отрезках действительные части

старшей пары комплексно сопряженных собственных значений неподвижной точки Р переходят через ноль от отрицательных значений к положительным. Состояние равновесия из устойчивого фокуса превращается в седло-фокус и в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл, отвечающий квазигармоническим автоколебаниям, радиус которого растет пропорционально корню из надкритичности. Происходит суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа. Период автоколебаний Т вблизи порога возбуждения существенным образом зависит от времени задержки в кольце обратной связи. На рис. 2 представлен график зависимости Т от тй . Период определялся по мнимой части собственных значений неподвижной точки вдоль бифуркационных линий и проверялся по временным реализациям вблизи порога возбуждения автоколебаний. Наиболее сильная зависимость Т от тй наблюдается на участке аЬ . Период увеличивается примерно в 3 раза - от « 6.28 до ~ 19.4. С увеличением времени задержки при переходе через точку Ь период автоколебаний резко уменьшается до значения ~ 2.64, после чего на участке Ьс плавно нарастает до ~ 9.13. Из рис. 2 видно, что с ростом времени задержки на каждом из участков границы мягкого возбуждения автоколебаний происходит плавное увеличение периода, и его резкое уменьшение при переходе через крайние точки отрезков: при пересечении точек Ь, с, й, в . По мере увеличения Тй , разность между максимальным и минимальным значениями уменьшается, минимальные и максимальные значения приближаются к Т = 2п .

Рис. 2. Зависимость периода колебаний вблизи порога возбуждения от времени запаздывания

В отличие от осциллятора ван дер Поля, где неподвижная точка претерпевает только одну бифуркацию рождения цикла, в генераторе с запаздывающей обратной связью может наблюдаться целая серия бифуркаций Андронова-Хопфа, что ведет к формированию развитой мультистабильности.

Проследим за бифуркациями неподвижной точки Р в зависимости от Тй при £ = 3.5 . На рис. 3 представлена бифуркационная диаграмма для неподвижной точки Р и предельных циклов С1, С2, С3, С4 . В интервале между Ь и Ь^, в фазовом пространстве имеется устойчивая неподвижная т. Р. С уменьшением тй при пересечении Ь\ действительные части старшей пары собственных значений переходят через ноль из отрицательной области в положительную. Точка Р становится седловой, в ее окрестности рождается устойчивый предельный цикл С1, радиус которого растет пропорционально корню из надкритичности. Происходит суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа. При дальнейшем уменьшении тй до нуля никаких бифуркаций не происходит. С ростом тй

при пересечении Ь12 т. Р претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, в ее окрестности рождается устойчивый предельный цикл С2 . Седловая т. Р с двумерным неустойчивым многообразием при пересечении Ь13 демонстрирует еще одну бифуркацию Андронова-Хопфа, еще одна пара комплексно сопряженных собственных значений переходит через ноль. Точка Р превращается в седло с четырехмерным неустойчивым многообразием, а в ее окрестности рождается седловой

цикл С3 с двумерным неустойчивым многообразием. При пересечении Ь появляется еще один сед-ловой цикл (С4) с четырехмерным неустойчивым многообразием. Структура фазового пространства существенно усложняется, в окрестности неподвижной точки рождаются новые и новые седловые предельные циклы. При движении по плоскости управляющих параметров каждый из них в результате определенных бифуркаций может стать устойчивым. Например, седловой цикл С3 выше Ь рождается с двумерным неустойчивым многообразием. При пересечении точки Ь^З он претерпевает субкритическую бифуркацию Неймарка-Сакера и становится устойчивым. Седловой цикл С4 за точкой Ь4 имеет четырехмерное неустойчивое многообразие. С увеличением параметра Тл он приобретает устойчивость после двух субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера. Выше точки Ь^ он превращается в седловой цикл с двухмерным неустойчивым многообразием и при пересечении точки Ь34 становится устойчивым.

Рождение устойчивых сосуществующих предельных циклов в фазовом пространстве системы происходит и при уменьшении времени задержки тл в цепи обратной связи. На плоскости управляющих параметров (рис. 1) со стороны больших задержек рождение С2 из неподвижной точки происходит на правой ветви линии суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа /2к. По мере уменьшения та этот цикл становится устойчивым при пересечении бифуркационной линии /П . Однако, прежде чем стать устойчивым, при движении по параметрам между линиями /^ и /П он претерпевает целый каскад бифуркаций. Они представлены точками на диаграмме рис. 3. При Ь6 из неподвижной точки рождается седловой предельный цикл с 8-мерным неустойчивым многообразием. За точкой Ь52 после субкритической бифуркации Неймарка-Сакера он превращается в седловой цикл с 6мерным неустойчивым многообразием, затем с 4-мерным и 2-мерным в результате таких же бифуркаций в точках Ь4 и Ь32. Цикл С2 становится устойчивым только после четвертой бифуркации в точки Ь22. Цикл С3, который также рождается из т. Р, приобретает устойчивость через последовательность из восьми субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера, а цикл С4 - через последовательность из двенадцати бифуркаций.

1.5

0.5

Г т "ХГ— ( № \ Ы — Ч ь* Vм \ь- 4

— /*>• Г \ Ь| \Ы ь{ \ь? V*», \Ы \^2 \ы \ь?з \ \ь?4

Ы\Ь1 :• 1 1 \ Ь1 1 1 >,3: ьг ы \ />3 \ \ 10 \/*4 1 \ 15 1 :|°11 1 1 °1в:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма для неподвижной точки Р и предельных циклов С1,С2,С3,С4

в зависимости от параметра Тл

Итак, в данной работе для генератора ван дер Поля с запаздывающей обратной связью проведено исследование механизма формирования мультистабильности. Установлено, что развитая мультистабильность формируется в результате последовательности двух видов бифуркаций - суперкрити-ческой бифуркации Андронова-Хопфа и субкритической бифуркации Неймарка-Сакера. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов.

После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, а после каждой последующей -седловой предельный цикл с двумерным, четырехмерным, шестимерным, восьмимерным и т.д. неустойчивыми многообразиями. Устойчивость они приобретают, соответственно, после одной, двух, четырех, шести и т.д. субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера. Границы бассейнов притяжения сосуществующих устойчивых предельных циклов формируются семейством вложенных седловых двумерных торов, окружающих устойчивые предельные циклы.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-02-01298-а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубаник. М.: Наука, 1969. 287 с.

2. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью /

С.П. Кузнецов // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т.25, № 12. С. 1410-1428.

3. Wirkus S.A. Dynamics of two coupled van der Pol oscillators with delay coupling / S.A. Wirkus, R.H. Rand // Proceedings of ASME Design Engineering Technical, New York, 1997. Am.Soc.Mech.Eng.

4. Рыскин Н.М. Сложная динамика простой модели распределенной автоколебательной системы с запаздыванием / Н.М. Рыскин, А.М. Шигаев // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 7.

5. Yanchuk S. Delay and periodicity / S. Yanchuk, P. Perlikowski // Phys. Rev. E. 2009. V. 79.

6. Неймарк Ю.И. D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем) / Ю.И. Неймарк // Прикладная математика и механика. 1949. Т. 13. Вып. 4.

7. Engelborghs K. Numerical bifurcation analysis of delay differential equations using DDE-BIFTOOL / K. Engelborghs, T. Luzyanina, D. Roose. ACM Trans. Math. Softw. 2002. 28 (1). P. 1-21.

Астахов Владимир Владимирович -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Радиотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Балакин Максим Игоревич -

аспирант кафедры «Радиотехника»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Vladimir V. Astakhov -

Dr. Sc., Professor,

Head: Department of Radio Engineering, Gagarin Saratov State Technical University

Maksim I. Balakin -

Postgraduate,

Department of Radio Engineering,

Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 25.06.12, принята к опубликованию 06.09.12