Математическая модель для прогнозирования прочностных свойств дорожных материалов

Вестник технологического университета. 2017. Т. 20, №12 УДК 502.174.1:625.8

Г. Г. Ягафарова, А. Х. Сафаров, Е. Г. Ильина МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ

ДОРОЖНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Ключевые слова: дорожныематериалы, терефталевая кислота, проппант, цеолит.

Предложена рецептура экологически безопасных дорожных материалов на основе битума с добавлением отхода производства терефталевой кислоты (ОПТК), а также отработанного проппанта и цеолита -крупнотоннажных отходов нефтегазовой отрасли. Дорожные материалы обладают высокими прочностными характеристиками, а также повышенными коэффициентами морозо- и водостойкости. На основе полученной рецептуры дорожных материалов разработана математическая модель для прогнозирования свойств асфальтобетонной смеси при изменении соотношений входящих компонентов, а также температуры производства.

Keywords: road materials, terephthalic acid, proppant, zeolite.

The proposed formulation of environmentally friendly road materials based on bitumen with the addition of waste production of terephthalic acid (OPTK), as well as the waste ofproppant and zeolite - tonnage waste of the oil and gas industry. Road materials have high strength characteristics, as well as elevated ratios of frost and water resistance. On the basis of the formulation of road materials developed a mathematical model to predict the properties of asphalt mix when you change the ratio of incoming components and temperature ofproduction.

Нефтехимическая и нефтегазовая

промышленности являются источниками образования и накопления различных отходов производства. Наибольшее негативное воздействие на природную среду оказывают крупнотоннажные нефтесодержащие отходы, такие как нефтяные шламы, отработанный проппант, а также отходы, образующиеся в процессах подготовки нефти и газа к транспорту. В основном их подвергают сложной технологической обработке или сжиганию с последующим захоронением на специальных полигонах, но некоторые виды отходов посвоим механическим и физико-химическим свойствам вполне могли бы выступать в качестве сырья для дальнейшего производства.

Например, на одном из крупнейших нефтехимических предприятий России по производству терефталевой кислоты и полиэтилентерефталата (ПЭТФ) ОАО «Полиэф» в процессе очистки сточных вод образуются значительное количество обезвоженных осадков.

Таблица 1 - Компоненты дорожной смеси

Данные отходы содержат в основном терефталевую кислоту с примесью других органических кислот и могут быть использованы как полимерный компонент модифицированных битумов при производстве дорожных асфальтобетонов.

Установлено, что дорожные материалы на основе битума с добавлением в качестве полимерной добавки полиэтилентерефталата или отходов терефталевой кислоты обладают высокими прочностными характеристиками, а также повышенными коэффициентами морозо- и водостойкости, просты в приготовлении и экологически безопасны [1, 2].

Целью данной работы являлось прогнозирование прочностных свойств дорожных смесей на основе битума с добавлением отхода производства терефталевой кислоты (ОПТК), а также отработанного проппанта и цеолита -крупнотоннажных отходов нефтегазовой отрасли.

В исследованиях дорожную смесь получали из следующих компонентов, указанных в таблице 1.

Компонент дорожной смеси Свойства

Битум марки БНД 60/90 (ГОСТ 22245-90) Смесь гетероорганических соединений и углеводородов, не выкипающая при температурах перегонки нефти

Отходы производства терефталевой кислоты (ОПТК) Мелкодисперсный порошок с содержанием ТФК

Отработанные цеолиты - отходы при тонкой очистки газов от сероводорода и сераорганических соединений [3] Сложные алюмосиликаты, содержащие в своем составе оксиды щелочных и щелочноземельных металлов

Отработанный проппант - отход нефтедобывающей промышленности для повышения нефтеотдачи скважин с применением технологии гидроразрыва пласта Гранулированный алюмосиликатный порошок с размером гранул от 0,2 до 2 мм, получаемый путем выскотемпературного обжига специального фракционированного глинозема

Из указанных в таблице 1 компонентов получали - битум предварительно смешивали с ОПТК и

дорожную смесь по следующей схеме: нагревали до 150°С;

- приготавливали минеральный наполнитель, смешивая проппант и цеолит, и нагревали до 175°С;

- жидкая смесь битума с ОПТК добавлялась в минеральный наполнитель;

- перемешивание смеси осуществлялось механическим способом в смесителе при температуре 140-160°С;

- из полученной смеси под давлением 40 МПа изготавливалось несколько образцов в форме цилиндра с диаметром основания 71,4 мм и высотой

73 мм;

- сравнительный анализ полученных образцов проводили по показателю предела прочности при сжатии.

Итак, при исследовании прочностных свойств дорожной смеси от ее состава было принято:

- выходной параметр у - предел прочности цилиндрических образцов дорожной смеси на сжатие;

- первый входной параметр 11- соотношение содержания цеолита к проппанту;

- второй входной параметр 12 - соотношение содержания ОПТК к битуму;

- третий входной параметр I.- соотношение содержания органического наполнителя (битум + ОПТК) к минеральному наполнителю (проппант + цеолит);

- влияние на прочностные свойства дорожных смесей оказывает температура, поэтому четвертым

Таблица 2 - Матрица планирования для ПФЭ - 24 в

входным параметром была взята температура образца (?)дорожной смеси.

Таким образом, уравнение, описывающее прочностные свойства дорожных смесей на основе битума, ОПТК, проппанта и цеолитов, может быть представлено в общем виде

У=/(11, 12, I;, 14),

где предварительными исследованиями (или литературными данными) было установлено, что пределы варьирования каждого входного параметра I, следующие:

- 11 (цеолит/проппант) - от 0,6 до 1,5 % масс.;

- 12 (ОПТК/битум) - от 0,01 до 0,04 % масс.;

- 13 (органическое вяжущее/минеральный наполнитель) - от 0,05 до 0,1% масс.;

- 14 (температура образца) - от 0 до 50 °С.

Для описания функции использовали уравнение регрессии, ограничившись для упрощения задачи линейной зависимостью с учетом эффектов взаимодействия. Для этого эксперимент проводили по методу планирования экспериментов как полный факторный эксперимент (ПФЭ) 2к(оптимальный двухуровневый план 2к), где к - число факторов, число входных параметров.

В соответствии с ПФЭ 24 готовили 16 образцов. Матрица планирования ПФЭ 24 для описания прочностных свойств дорожных смесей на основе битума, ОПТК, проппанта и цеолита представлена в таблице 2.

зальных единицах

№ опыта Значения факторов Выход

Zl, %масс Z2, %масс Zз, %масс Z4, °С у1, МПа у2, МПа у3, МПа У = У1+У2+У3 з ' МПа

1 0,60 0,01 0,05 0 10,90 10,70 11,30 10,97

2 1,50 0,01 0,05 0 8,79 8,97 9,24 9,00

3 0,60 0,04 0,05 0 11,70 11,20 11,40 11,43

4 1,50 0,04 0,05 0 9,34 9,63 9,16 9,38

5 0,60 0,01 0,10 0 13,90 14,20 14,60 14,23

6 1,50 0,01 0,10 0 12,00 11,40 11,70 11,70

7 0,60 0,04 0,10 0 14,80 15,20 14,50 14,83

8 1,50 0,04 0,10 0 11,90 12,10 12,50 12,17

9 0,60 0,01 0,05 50 3,38 3,22 3,28 3,29

10 1,50 0,01 0,05 50 2,69 2,77 2,64 2,70

11 0,60 0,04 0,05 50 3,52 3,35 3,42 3,43

12 1,50 0,04 0,05 50 2,75 2,80 2,89 2,81

13 0,60 0,01 0,10 50 4,26 4,18 4,39 4,28

14 1,50 0,01 0,10 50 3,43 3,50 3,60 3,51

15 0,60 0,04 0,10 50 4,44 4,35 4,57 4,45

16 1,50 0,04 0,10 50 3,75 3,64 3,57 3,65

После проведения эксперимента по плану ПФЭ -24 (табл. 2) провели расчет коэффициентов уравнения регрессии и проведению регрессионного анализа.

За основу уравнения регрессии примем:

^7'и ^/и

= Ь0Х0 + ^ + ^

7 = 1 7 = 1,и=7 + 1,

7 Фи

+ >

7 = 1,и=7 + 1 1=и+1,

7 = 1,и=7 + 1 1=и+1 т=1 + 1

или k - число входных параметров;

у г-пах, г-П1П - максимальное и минимальное

значение у-го входного параметра;

х0 - фиктивный входной параметр со значением всегда равным +1.

Следующим шагом являлся перевод матрицы плана 24 в кодированную форму, которая представлена в таблице 3.

Следующим шагом работы с кодированной матрицей плана 24 (табл. 3) являлась проверка ее свойств, представленных в таблице 4.

j _ го входного параметра;

j = 1X1

Таблица 3 - Матрица планирования для ПФЭ - 24 в безразмерной системе координат

№ Xo X1 X2 X3 X4 X1X2 X1X3 X1X4 X2X3 X2X4 X3X4 X1X2X3 XjX3X4 XjX2X4 X2X3X4 X1X2X3X4 у,МПа

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 10,97

2 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 9,00

3 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 11,43

4 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 9,38

5 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 14,23

6 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 11,70

7 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 14,83

8 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 12,17

9 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 3,29

10 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 2,70

11 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 3,43

12 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 2,81

13 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 4,28

14 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 3,51

15 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 4,45

16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3,65

Таблица 4 - Свойства кодированной матрицы плана 24

Свойство Формула Проверка выполнения

Первое свойство N '<^xuiXji = 0, и Ф j,u,j = 0,1, ...Д ¿=1 Выполнено

Второе свойство N ^ Xji = 0,j = 1,2,..., k,j Ф 0 i=i Выполнено

Третье свойство N ^xfj = N ,j = 0,1,., k i=i Выполнено

= b0x0 + b1x1 + Ь2х 2 + Ьэхэ + b4x4 + Ь5х1х2 + bftX-^x з + bjx^x4 + Ь$х 2х3 + bgx2x4 + Ь-^QX 3X4 + b11x1x2x3 + b12x1x2x4 + b13x1x3x4 + b14x2x3x4

где b0 - b15 - коэффициенты уравнения регрессии; xj, x2, x3, x4 - входной параметр в кодированной форме, получаемый по формулам:

Z- — Z0 r =fl_

Xi= Azj '

7max + 7min

0 i 1 Zj =----средний уровень j _ го входного

параметра;

7max _ 7min

Azj =----интервал варьирования

Далее рассчитали численные значения коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. Для этого сформировали функцию из условия:

Ф

IV

=1

1=1

[Ь0х01 + Ъ1х11 + Ь2х21 + +Ь3х31 + Ь4х41 + Ь5(х1х2)1 + Ь6(х1х3)£ + Ь7 (х1х4)1 + +Ь8(х2х3)1 + Ь9(х2х4)1 + Ь±о(х3х4) + Ь11(х1х2х3)1 + +Ь12 (х1х2х4)1

+ ^13(х1х3х4)1 + ^14(Х2Х3Х4)1 + +^15(х1х2х3х4)1]}

= т(п

где N - число опытов;

У1 - среднее опытное значение выходного параметра у, измеренное в /-ом опыте;

х0/, хц, х2/, ..., (х1,х2,х3х4) -значения входных параметров в /-ом опыте; Уь =

= Ь0х01 + Ь1х11 + Ь2х21 + Ь3х31 + Ъ4х41 + Ь5(х1х2)1 + Ь6(х1х3)1 + Ъ7(х1х4)1 + Ъв(х2х3)1 + Ь9(х2х4)1

+ ^10(Х3Х4)1 + Ьц(х1х2х3)1 + ^12(х1х2х4)1 + ^13(Х1Х3Х4)1 + Ь14(Х2Х3Х4)1 + ^15(Х1Х2Х3Х4)1

- значение выходного параметра у, вычисленное по уравнению регрессии при значениях выходных параметров в /-ом опыте.

Минимум функции метода наименьших квадратов Ф (Ь0, Ъь Ь2, Ь3, Ь4, Ь5,..., Ь15) находилось решением системы линейных уравнений:

дФ дЬ0 дФ

ЗЬ1 дФ дЬ~2 дФ

дЪ,

= 0 = 0 =0

=0

Выполнение свойств кодированной матрицы плана 24, указанных в таблице 4, позволяет данную систему линейных уравнений решить по формуле

Т,?=1 хцУ1 N '

; = о,1,...,м -1

Ъ =

где ху - соответствует определенному у-ому столбцу кодированной матрицы плана 24, например,

Д/* Л/* Д/* Л/* Д/* Л/* Д/* Л/* Д/* Л/*

0 — — Лр Л2 — '^"2' 3 —— — Л^ Л^

= (Х1Х2),Х6 = (Х1Х3),

х7 = (Х1Х4), х8 = (х2, х3), х9 = (Х2Х4),Х10 = (х3х4)' Х11 = (х1х2х3)'

Х12 = (х1х3х4)'х13 = (х1х2х4)'х14 = (х2х3х4)' Х15 = (Х1Х2Х3Х4).

Результаты расчета численных значений коэффициентов уравнения регрессии представлены в таблице 5.

Таблица 5 - Рассчитанные по методу наименьших квадратов коэффициенты уравнения регрессии

Входной параметр к £Т я к к 1Т * * й й * * 1

Коэффициент уравнения регрессии Символ Ь0 Ъ1 Ъ2 Ъ3 Ъ4 Ь5 Ьб Ь" Ь8 Ь9 Ью Ь11 Ь12 Ь13 Ь14 Ь15

Численное значение КО о" о ко о КО ко о" 00 00 сл о" <о О, о ю О, О СП о 00 <о 00 О, о СП ко О СП о <о О КО <о О <о С5 о С5 С5 гч о О, о"

Далее проводился регрессионный анализ, первым этапом которого была оценка качества проведенных опытов через определение однородности дисперсий.

Алгоритм определения однородности дисперсий представлен на рисунке 1.

Как следует из таблицы 2 число параллельных исследований в каждом /-ом опыте было одинаково и равно трем (т=3).

Расчет выборочных дисперсий 5г2 показал, что наихудшими опытами стали 5-ый и 7-й, т.к. 5| = 5| = 0,12333.

О 12333

Таким образом, С™„г = --= 0,16306.

г > тах 0,75637

Для нахождения табулированного критерия Кохрена Gp(f1,f2) определились с руровнем значимости, /=т-1 и ^=Щт-1), в нашем эксперименте приняли р=0,95, /=3-1=2 и /¡=16(3-1)=32, тогда Gp(fl,f2)=0,20 [4].

Сравнение Gp(f1,f2)=0,20 с Gmax=0,163 однозначно позволяет сделать вывод, что выборочные дисперсии однородны и рассчитать дисперсию

воспроизводимости $1оспр = = 0,04727 с

числом степеней свободы равной f=16(3-1)=32.

Рис. 1 - Блок - схема расчета критерия Кохрена

После расчета дисперсии воспроизводимости Б];оспр была выполнена оценка значимости 16 коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:

'' V

где Ь] -у-ый коэффициент уравнения регрессии;

^, Бь. - критерий Стьюдента и среднекавдратичное отклонение у-го коэффициента уравнения регрессии соответственно.

Опираясь на то, что для полного факторного эксперимента 2к «...коэффициенты уравнения регрессии некоррелированы между собой. Значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента. Исключение из уравнения регрессии незначимого коэффициента не скажется на значения остальных коэффициентов. .»все

коэффициенты уравнения определяются с одинаковой точностью:

Бъ. =

N

£2

^воспр

N

Если ^ больше табулированного ^ф для выбранного уровня значимости р и числа степеней свободы ф, то коэффициенты Ь значимо отличается от нуля ...» [4]

Для нашего

исследования

= 0,054, ) = 0,Ы-1,1

В1 16

Табулированное значение критерия Стьюдента для уравнения значимости ^=0,95 и числа степеней свободы ф=32 составит 2,04 [4].

Расчет критерия Стьюдента для у-го коэффициента уравнения регрессии и оценку его значимости представленав таблице 6.

Вестник технологического университета. 2017. Т. 20, №12 Таблица 6 - Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Номер коэффициента уравнения регрессии о II т 2 II 3 II 4 II ко II II 7 II 8 II 9 II 0 2 3 4 5

Коэффициент уравнения регрессии ко ю о СП г- ко ко 8 8 9, 9 9 0, 7 10, ю 9 0, 3 0 4, 0 8 4 8 0, 3 5, 3 0 0, 5 0, 0 10, 0 10, 2 0 о

г- ,0 1 ,0 ,0 ,4 1 ,0 1 ,0 1 ,0 ,0 ,0 1 ,0 1 ,0 1 ,0 ,0 ,0 1 ,0

Критерий Стьюдента для /-го коэффициента уравнения регрессии 141,02 13,89 2,87 18,30 75,90 0,32 7 7, 7,46 0,34 5 5, 9,84 0,06 0,95 0,19 0,18 0,04

Оценка значимости /-го коэффициента уравнения регрессии значим значим значим значим значим незначим незначим значим незначим незначим значим незначим незначим незначим незначим незначим

По результатам расчета представленными в таблице 6, коэффициенты уравнения регрессии Ь5, Ь6, Ь8, Ьд, Ь11, Ь12, Ь13, Ь14, Ь15 оказались незначимыми и были исключены из уравнения регрессии.

Далее осуществили перевод уравнения регрессии из кодированной формы в натурную:

у - 7,615 - 0,750хх + 0,155х2 + 0,988х3 - 4,099х4 +0,403ххх4 — 0,531х3х4, — 1,05

XI =

0,45

0,025

х9 =

0,015

0,075

Хо =

Хд -

0,025

г4 — 25

25

После решения данной системы уравнение регрессии приобретает вид:

у -

- 9,593 — 2,567гх + 10,333г2 + 60,770г3 — 0,138г4 + 0,036г^4 — 0,850г324

Последним действием регрессионного анализа была проверка адекватности полученного уравнения регрессии по критерию Фишера.

Алгоритм проверки адекватности уравнения регрессии представлен на рисунке 2.

Сначала определили табулированное значение критерия Фишера Fp(f1;f2) при уровне значимости р=0,05 и числе степени свободы /=16-1=15 и /=16-7=9. Он составил F0¡05(15;д)=3,006 [5].

Расчет остаточной дисперсии представлен в таблице 7.

Сравнение рассчитанного критерия Фишера F=0,7404 с табулированным Fpf1,fz)=3,006 показывает адекватность разработанного уравнения регрессии.

Рис. 2 - Блок схема алгоритма проверки адекватности уравнения регрессии по критерию Фишера

Таким образом, для прогнозирования прочностных свойств дорожной смеси на основе битума, отходов производства терефталевой кислоты и отходов нефтегазовой отрасли, таких как отработанные цеолиты и проппант можно использовать уравнение:

У =

ти тп (тб + т,

- 9,593 — 2,567 —и + 10,333— + 60,770' б

тп тб

ти (тб + т,

0,036—2и — 0,850 Г б

тп + тц

+ Ь

тп

\Шп + т.,

— 0,138

где ти, тп, тб, то - масса цеолита, проппанта, битума и отхода производства терефталевой кислоты

соответственно, кг; t - температура, °С; у - предел прочности на сжатие, МПа.

Предлагаемое уравнение дает адекватные результаты в области

0,6 < 1,5 % масс,

то

0,01 < — < 0,04 % масс, тб

fm6 + тЛ

0,05 < I-6-о I < 0,1 % масс,

тп + тц)

0<t< 500С.

п

Таблица 7 - Расчет критерия Фишера для уравнения регрессии у = 9,593 — 2, ЪЫгг + 10,333г2 + 60,770г3 — 0,138г4 + 0,036г1г4 — 0,850г324

N Zl Z2 Z3 Z4 У У (у - У)2 Расчеты

1 0,6 0,01 0,05 0 10,97 11,19 0,0520 Число значимых коэффициентов уравнения регрессии составило 1=7 Число опытов в эксперименте N=16 Тогда 502ст = ^= 0,0350 Дисперсия воспроизводимости составила Б^сп = 0,04727 Тогда критерий Фишера будет равен „ = 0,0350 =

2 1,5 0,01 0,05 0 9,00 8,88 0,0134

3 0,6 0,04 0,05 0 11,43 11,50 0,0051

4 1,5 0,04 0,05 0 9,38 9,19 0,0333

5 0,6 0,01 0,10 0 14,23 14,23 0,0000

6 1,5 0,01 0,10 0 11,70 11,92 0,0497

7 0,6 0,04 0,10 0 14,83 14,54 0,0842

8 1,5 0,04 0,10 0 12,17 12,23 0,0042

9 0,6 0,01 0,05 50 3,29 3,25 0,0019 0,04727

10 1,5 0,01 0,05 50 2,70 2,56 0,0198

11 0,6 0,04 0,05 50 3,43 3,56 0,0168

12 1,5 0,04 0,05 50 2,81 2,87 0,0031

13 0,6 0,01 0,10 50 4,28 4,16 0,0129

14 1,5 0,01 0,10 50 3,51 3,47 0,0014

15 0,6 0,04 0,10 50 4,45 4,47 0,0004

16 1,5 0,04 0,10 50 3,65 3,78 0,0168

N 2 = 0,3150 i=i

Литература

1. Патент РФ № 2458092 (2012).

2. Г.Г.Ягафарова, В.М.Латыпов, А.В.Московец, Л.Р.Акчурина, А.Х.Сафаров, И.Р.Ягафаров, Известия Самарского научного центра Российской академии наук, 14, 5 (3), 871 - 873 (2012).

3. С.П.Жданов, С.С.Хвощев, Н.Н. Самулевич, Синтетические цеолиты, Химия, М.: 1981.

4. В.В. Кафаров, Методы кибернетики в химии и химической технологии,Химия, М, 1971. 496 с.

5. Р.А. Доннелли-мл, Статистика, М.:АСТ Астрель, 2007. -367 с.

© Г. Г. Ягафарова - д.т.н., профессор, зав. кафедрой прикладной экологии, Уфимский государственный нефтяной технический университет, kafedra_ecologia@mail.ru; А. Х. Сафаров - к.т.н., доцент кафедры прикладной экологии, Уфимский государственный нефтяной технический университет; Е. Г. Ильина-к.т.н., доцент кафедры нефтехимии и химической технологии, Уфимский государственный нефтяной технический университет.

© G. G. Yagafarova- Ph.D, Professor, Director of Applied Ecology Department, Ufa State Petroleum Technological University, kafedra_ecologia@mail.ru; A. Kh. Safarov - Ph.D., Assistant Professor of Applied Ecology Department, Ufa State Petroleum Technological University; E.G. Ilyina - Ph.D. in Technical Sciences, Professor of the Department of Petrochemistry and Chemical Technology, Ufa State Petroleum Technological University.