Обобщенный алгоритм расчета конструкций на высокоскоростной удар

УДК 531

А.С. Авершьев, А.А. Локтев

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ НА ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР

Исследован высокоскоростной удар сферического бойка и мишени, рассмотрены различные этапы нагружения и разгрузки, деформирования мишени, распространения в ней нестационарных волновых поверхностей. Особенностью решения данной задачи является то, что для моделирования процесса соударения и дальнейшего деформирования используются не только уравнения механики деформируемых твердых тел, но и уравнения механики жидкостей и газов. Материал мишени моделируется с помощью идеального «пластического газа». Результаты моделирования и теоретических расчетов сравниваются с экспериментальными данными, в качестве основных конечных характеристик динамического взаимодействия определялась глубина кратера, ее соотношение с диаметром ударника, давление и деформации в мишени под контактной областью.

Ключевые слова: высокоскоростной удар, кратер, ударная волна, ударная адиабата, динамические характеристики.

Задачи о высокоскоростном взаимодействии твердых тел и отдельных частиц впервые появились в астрономии при исследовании кратеров на поверхности различных космических объектов. Именно астрономы предложили математическую модель для расчета ударов метеоритов, основанную на теории несжимаемой среды, обладающей некоторым значением предела текучести.

Развитие авиационной, космической и военной техники, которая стала способна развивать большие скорости или подвергаться воздействию высокоскоростных частиц в космосе, предопределило новый виток научного интереса к фундаментальным и прикладным аспектам проблемы динамического контакта с высокими скоростями. Характерной особенностью таких задач является достаточно сложное получение экспериментальных данных, которое связано не только с необходимостью детектировать происходящие процессы и изменяющиеся величины на очень малых временных интервалах, как в случае с обычным ударом, но и разгоном ударника до высоких скоростей в условиях лаборатории.

В общем случае задачу динамического взаимодействия ударника с мишенью можно представить как целый класс задач, имеющих различную постановку и методы решения в зависимости от начальной скорости соударения:

при малых начальных скоростях соударения задача, как правило, исследуется методами теории упругости [1—5];

умеренных скоростях соударения рассматривается режим пластического деформирования материала мишени и ударника [6—8];

высоких скоростях соударения учитывается сжимаемость идеальной среды [9—11]; сверхвысоких скоростях необходимо дополнительно учитывать парообразование, испарение, ионизацию, излучение и переизлучение.

Для моделирования процесса высокоскоростного нормального контакта и последующего кратерообразования при начальных скоростях ударного воздействия от 5 до 8 км/с предлагается использовать уравнения газовой динамики. Эти уравнения предполагают, что материал мишени в окрестности области контакта при высоких скоростях удара моделируется идеально пластической средой, плотность которой при нагружении меняется по определенному закону, а при разгрузке остается посто-

янной, при этом касательные напряжения не учитываются [12]. Задача кратерообра-зования в мишени решается с учетом конечности деформации материала мишени и с привлечением вычислительных возможностей современных ЭВМ, определяются размеры кратера, величины деформаций и давления в различных точках мишени.

Рассмотрена плоская преграда толщиной к, по одной из граней которой под прямым углом ударяет сферическое тело (рис. 1). В мишени после ударного воздействия образовывается кратер и начинает распространяться сферическая ударная волна.

Алюминиевый сплав АМг-6 "

' V0 = 5...8 км/с

. Ударная волна

V \ \

Кратер

. V / Л/

Рис. 1. Схема ударного воздействия сферического тела и пластинки

В рассматриваемой задаче не учитываются отраженные волны, т.е. фактически преграда заменяется полуслоем, что возможно, учитывая скоротечность процесса соударения и локального деформирования мишени в виде кратера. Воздействие ударника, летящего в преграду с большой скоростью, в момент столкновения заменяется на эквивалентную сферическую область (каверну) с высоким давлением, расположенную на глубине a от грани соударения. Задача распространения ударной волны и границы поверхности локальных деформаций решается как одномерно-сферическая.

Согласно рассматриваемой модели пластической среды материал на фронте ударной волны г = Щ) мгновенно нагружается, а за ним в области возмущения 1 (рис. 2) происходит жесткая необратимая разгрузка среды, в которой объемная деформация среды e зависит только от координаты r и не зависит от времени t, т.е. 8 = s*(r). В этом случае величина и характер изменения деформации 8*(r) в области 1 заранее неизвестны и определяются из решения задачи.

В сферической системе координат в одномерном случае можно записать уравнение движения среды и уравнение не-

разрывности в следующем виде д2 u (л u ^2 дР

р0 и? П1+r ) * '

Рис. 2. Образование области возмущения

1 д , чз

--( r + u ) =

3 drv ' р

О r2,

где г — радиальная координата; и — перемещение; Р — давление; р — плотность материала мишени; t — время, отсчитываемое с момента соприкосновения тел.

Начальные значения параметров соударения на контактной поверхности в момент t = 0 определяются формулами:

Л 2

£ нач = 1

P =

нач

• 2

PC ^нач

U

D нач = -

где 8 — деформация мишени, индекс 0 обозначает параметры до начала контакта.

Давление на расширяющейся полости (каверне) будет изменяться по политропическому закону

Pq(0 - P>Q/ ^(О)3-

где К — показатель политропы (для рассматриваемого случая К = 1,4).

Под действием нагрузки в виде соотношения (4), определяющего ударные диаграммы Р ~ е нагружения, в материале мишени при ф > 0 распространяется интенсивная ударная волна г = Я(ф) совместно с расширяющейся полостью г = Я (ф). Поскольку скорость распространения волны намного превышает скорость расширения полости, в материале появляется возмущенная область 1 (см. рис. 2), необходимо определить параметры волны возмущенной области и расширяющейся полости.

В рамках модели пластической среды в качестве граничных условий можно рассматривать уравнение состояния среды в области разгрузки 1

8 = 1- —0 = 8*

р

Экспериментальные кривые объемного сжатия сред, представляемые зависимостью между давлением Р и объемной деформацией е, аппроксимируются полиномом четвертой степени относительно е:

P* = a1е*

u

при r = R(t),

Р(г, 0 = Р0({) = Р„ ОоК. (0) при Г=Г0,

где Я (г) = йЯ(г)/йг — скорость распространения ударной волны; а. (I = 1, 4) — экспериментально определяемые постоянные коэффициенты, звездочкой обозначаются параметры среды, относящиеся к фронту волны.

Подставляя выражение (5) в уравнение (2) и интегрируя по г при выполнении условий, говорящих о том, что на фронте волны г = Я(ф) перемещение и(Я(Ф), ф) = 0, определим выражение для и(г, ф). Затем полученное выражение подставляем в уравнение (1), которое интегрируем по г, и после некоторых преобразований можно записать:

dR (t) dt

ajg*

R

2 f

+ 2R4(t)R2(t)[e*(t)]2 xJ r1 |R3(t)-3 J [l-e*(r)]R2(t)R(t)dtl dr

f

R

! f

2R(t)R2(t)e*(t) J r2 jR3(t)-3 J [l-e*(r)]R2(t)R(t)dt I dr

f

R2

e*

de*

R

f

J r2 jR3(t)-3 J [l-e*(r)]R2(t)R(t)dtI dr

f

0

В случае использования модели пластической среды [12] в мишени за фронтом ударной волны r = R(t) в области 1 (см. рис. 2) происходит упругая необратимая разгрузка и возмущение в ней распространяется со скоростью упругой волны. В этом случае все параметры среды в области разгрузки 1, в т.ч. объемная деформация 8, зависят от координаты r и времени t. Согласно принятой адиабате P ~ 8 в качестве уравнения состояния среды в области 1, взамен уравнения (5), имеем

P

где P*, 8* — значения давления и деформации среды к моменту начала разгрузки (рис. 3).

Из системы уравнений (1)—(5) с учетом (9) после некоторых преобразований получим уравнение относительно 8(r, t) в следующем виде:

Рис. 3. Ударная адиабата пластической среды

s

= e*(t ) — 2 4

r2 Jr3(t) — 3 J [1 — s(r, t)] r2dr

R

x<|s*(t ) R 2(t ) R (t ) + | r2 drl dr + Xr

r2 Jr3(t) — 3 J [1 — s(r, t)] r2drl

2s* (t ) R (t ) R 2(t ) + |s*(t ) + R (t ) |rD j R 2(t ) ^ +

R

ds

dt

R 2(t ) R (t )-

д2s

dt2

r2 dr

dr.

Далее рассматривается задача об отражении сферической волны от нижней, свободной от напряжения, границы плоской преграды из АМг-6. Решение строится в рамках той же модели пластической среды [12] с использованием представленной на рис. 2 ударной адиабаты, которая обеспечивает постоянную скорость распространения волны разгрузки с, отраженной от свободной поверхности мишени, с модулем Юнга Е.

Схема распространения волн в мишени изображена на рис. 4. Анализируя ее, отметим, что задача о распространении сферической пластической волны в материале преграды в области 1 решена и результаты решения этой задачи перед фронтом отраженной волны разгрузки АВ (рис. 4) являются исходными данными для получения решения соответствующей краевой задачи в области 2 между фронтом отраженной волны АВ и границей сферического слоя г = к, t > ta. В области 2 происходит разгружение материала мишени и снижение интенсивности давления, а уравнение состояния среды подчиняется линейному закону разгрузки.

В области 2 происходит упругая разгрузка среды, которую можно описать уравнениями

Рис. 4. Схема распространения волн по толщине мишени

д2и2 _ дР

Ро 1ФГ '

Р(г, Ф) _ Р*(г) + Ер (е(г,Ф) -е*(г)).

В сферическом случае при е(г, Ф) > 0 имеем зависимости

с)и2 и2 ч 5м2

+ _ -е(г,Ф), в„ .

дг г дг

Подставляя соотношения (11) и (12) в уравнения (13), получим

д u

dt

-2 = с2

2 Lp

д u2 + 2 Г du2 u2 | + Q

дг r V дr r ) р0с

д

Q(r) = -дГ[P'(r)-Рос^В*(г)], Cp = J Epjр0 .

Используя формулу Даламбера для решения одномерного волнового уравнения (14), получим

Г(Г -С-Ф) + Ф ' (Г + С-Ф) ¥(г -С-Ф) + Ф(Г + С-Ф) г г ,

М2(г, Ф) _-------^-----2 I Q(г^г +

PoCp r0 =h

J Q(r)r3dr,

РоСРГ2 Го_И

где Ф — неизвестные функции.

Краевая задача в области 2 имеет следующие граничные условия:

- и,2 _ -Ср (егг1 -8гг2 ) при Г - И = -Ср(Ф - ^

Р(г, Ф) = 0 при г = И, Ф > Ф0.

Далее приведено решение этой задачи:

Т(х) = expi[(h + Cpto) + x]l j c, cos ^L.In[(h + Cpto) + x]

( ¡J

—.n [(h + С p ^)+x]

n

1 8

н 1 Qw

2 (h + c pto)-e'

2с„

ln

cexp

d',

Ф

3/2

i jL ^-.n

rjL л

—.n

+2 (h+cp 'o)2

P

E„

-в

Йф (') = 2 Ф' (h + cp'0) [(h + cp'0) - cp'] - Ф (h + cp'0) +

h+c p'0 )-cp'

+[(h+cp '0)-c p'] 3

Q( z)dz +

3Р0C 2

Q

2 [(h+cp '0)- cp']

J Я. A 3 u'1 ди1

v cp дr

Sr =( h+c„<0 )-c„'

r

+ c2 Sin

h2 - с 2 ¿0

2Т7(2к)1/2 ' 2л/7(2к)1/2

л/7 ^ ( г~ ^ —!п(2к) -siп ( Г У — 1п(2к) -в*(к)1

1 2 у 1 2 У _ ЕР _

cos

12 у 12 у

Р

е*

дщ дг

(к + с р ¿0

+ с¿о

Результаты теоретических исследований, проведенных в данной работе, были сопоставлены с экспериментальными данными [13], полученными на многоцелевой баллистической установке при соударении частиц с преградой при скоростях до 7,01 км/с (рис. 5). В качестве уравнения состояния среды для материала АМг-6 с начальной удельной плотностью р0 = 264 кг*с2/м4 использованы экспериментально полученные в области высоких давлений (порядка 105МПа) зависимости (6) [14]. При этом ударная адиабата алюминия в виде зависимости имеет следующие значения коэффициентов:

а 3 = 0, а 4 = 2,38 • 10.

а = 7,33 • 105

а 2 = 1,19 • 106

В ходе расчетов коэффициент политропы «пластического газа» К был принят равным 1,4 [9].

Основные результаты сравнения приведены на рис. 6 и 7. Изменение параметра подобия hкр/dcф в зависимости от скорости удара частиц V происходит по нелинейному закону вдоль вогнутой кривой (рис. 7).

Н

-2- = 1,8235

Я сф

0,472

Сопоставляя кривую (27) с аналогичной экспериментальной

Рис. 5. Снимок мишени после эксперимента

Н

= 1,9333(У°/С° )°

<* сф

которая получена на основании аппроксимации результатов, видно, что расчетные данные находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными, а их разница в интервале изменения начальной скорости частиц 0,2 < У0/С0 < 1,3 составляет в среднем 10 %.

Анализ численных результатов определения глубины кратера в зависимости от скорости удара У0 частицы диаметром й = 12,7 мм и массой ^сф=2,8 г показывает, что глубина кратера ккр в мишени при скорости удара У0 = 2000...6000 м/с изменяется от 12 до 23 мм, а граница пластической зоны мишени Я — 90... 170 мм. Результаты те-

оретических исследований зависимости отношения размера кратера к размеру бьющей частицы (рис. 7) также находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными результатами измерений. На рис. 8 представлены численные результаты расчетов на ЭВМ для слоя мишени толщиной г = h = 80 мм, скорости удара частиц V = 8 км/с с диаметрами ёсф = 8,33 мм.

йкр, мм

i

чет имент

ф экспер

2,5

1,5

0,5

^кр/^сф ♦ V-

♦ У

+ эксперимент расчет

0 2000 4000 6000 8000 у0, м/с

Рис. 6. Глубина кратера в зависимости от скорости удара, диаметр частиц ёсф = 12,7 мм

0,5

1,5

Vo/co

Рис. 7. Соотношения h /d , от безраз-

кр сф г

мерной скорости удара d^ = 8,33; 9,53; 12,7 мм

2

5

0

0

0

05 1 80Е-05 t с 1,00E-05 1,20Е-05 1,40E-05 1,60E-05 1,80E-05 t, C

a б

Рис. 8. Зависимость давления (а) и деформаций (б) от времени для слоя толщиной h = 80 мм в сечениях 60 мм (кривая 1), 65 мм (2), 70 мм (3), 75 мм (4), 80 мм (5), в атм для скорости удара 8 км/с, диаметр частицы d = 8,33 мм

Из приведенных графических зависимостей видно, что исследуемая мишень при воздействии высокоскоростной частицы на фронте падающей сферической волны интенсивно и резко нагружается, а за ней в областях 1 и 2 в сопровождении отраженной от свободной нижней границы слоя волны происходит заметное разгружение. При этом интенсивность отраженной сферической волны, по сравнению с интенсивностью падающей волны, получается несколько ослабленной.

Результаты этих комплексных экспериментально-теоретических исследований могут быть полезными при разработке расчетно-обоснованных способов защиты космических аппаратов от воздействия осколков космического мусора и метеороид-ных частиц, а также для защиты зданий, сооружений и объектов инфраструктуры от высокоскоростного воздействия боеприпасов, использующих кинетическую энергию, а не энергию химической реакции.

Библиографический список

1. Мамадалиев Н., Могинов Р.Г. О распространении и взаимодействии упруго-пластических волн при ударе о жесткую преграду // Современные проблемы механики многофазных сред и распространение волн в сплошной сфере : тр. конф. Ташкент, 1999. С. 83—86.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1979. 560 с.

3. Локтев А.А. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропной пластинки // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11. № 4. С. 478—492.

4. Локтев А.А. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. В. 4. С. 652—658.

8 000

5 000

4 000

2 000

ВЕСТНИК 7/2Q12

5. Филиппов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1971. № 6. С. 102—109.

6. Веклич Н.А. О распространении и взаимодействии упруго-пластических волн в стержне при ударе о преграду // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 4. С.182—185.

7. Кильчевский Н.А. Теория соударения твердых тел. Киев : Наукова думка, 1969. 246 с.

8. Локтев А.А. Упругопластическая модель взаимодействия цилиндрического ударника и пластинки // Письма в журнал технической физики. 2007. Т. 33. В. 16, С. 72—77.

9. Schonberg W.P., Williamsen J.E. RCS-based ballistic limit curves for non-spherical projectiles impacting dual-wall spacecraft systems // International Journal of Impact Engineering. 2006. V. 33. P. 763—770.

10. Fujii K., Yasuda E., Akatsu T., Tanabe YA. Effect of characteristics of materials on fracture behavior and modeling using graphite-related materials with a high-velocity steel sphere // International Journal of Impact Engineering. 2003. V. 28. P. 985—999.

11. Малама Ю.Г. Численное моделирование высокоскоростного удара по полубесконечной мишени. Препринт № 495 ИКИ АН СССР, М., 1979. 36 с.

12. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев Н.А. Вопросы динамики грунтов. М. : Изд-во МГУ, 1964. 239 с.

13. Исследование процесса кратерообразования при высокоскоростном воздействии алюминиевой частицы на массивную преграду из сплава АМг-6 / А.С. Скалкин, Г.Н. Сунцов, А.Г. Шоколов, Ю.В. Яхлаков // Космонавтика и ракетостроение. 2011. № 1(62). С. 65—73.

14. Сапожников А.Т., Миронова Е.Е., Шахова Л.Н. Уравнение состояния алюминия с описанием плавления, испарения и ионизации // VIII Забабахинские научные чтения. Челябинск, 2005. С. 1—12.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Авершьев Анатолий Сергеевич — магистрант Института фундаментального образования, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, fullbass-@mail.ru;

Локтев Алексей Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-01, aaloktev@yandex.ru.

Для цитирования: АвершьевА.С., ЛоктевА.А. Обобщенный алгоритм расчета конструкций на высокоскоростной удар // Вестник МГСУ 2012. № 7. С. 51—59.

A.S. Aversh'ev, A.A. Loktev

RESPONSE OF STRUCTURES TO HIGH VELOCITY IMPACTS: A GENERALIZED ALGORITHM

In this paper, a high velocity impact produced by a spherical striker and a target are considered; different stages of loading and unloading, target deformations and propagation of non-stationary wave surfaces within the target are analyzed. The problem of the strike modeling and subsequent deformations is solved by using not only the equations of mechanics of deformable rigid bodies, but also fluid mechanics equations. The target material is simulated by means of an ideal "plastic gas". Modeling results and theoretical calculations are compared to the experimental results. The crater depth, its correlation with the striker diameter, values of the pressure and deformations of the target underneath the contact area are determined as the main characteristics of dynamic interaction.

Key words: high velocity impact, crater, shock wave, shock adiabat, dynamic characteristics.

References

1. Mamadaliev N., Moginov R.G. O rasprostranenii i vzaimodeystvii uprugo-plasticheskikh voln pri udare o zhestkuyu pregradu [About the Diffusion and Interaction of Elasto-plastic Waves in the Event of an Impact into a Rigid Target]. Sovremennye problemy mekhaniki mnogofaznykh sred i rasprostranenie voln v sploshnoy sfere [Modern Problems of Mechanics of Multiphase Media and Propagation of Waves in the Continuous Media], a Conference. Collected works. Tashkent, 1999, pp. 83—86.

2. Timoshenko S.P., Gud'er Dzh. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 560 p.

3. Loktev A.A. Udarnoe vzaimodeystevie tverdogo tela i uprugoy ortotropnoy plastinki [Impact-Driven Interaction of a Rigid Body and an Elastic Orthotropic Plate]. Mekhanika kompozitsionnykh materialovi kon-struktsiy [Mechanics of Composite Materials and Structures]. 2005, vol. 11, no. 4, pp. 478—492.

4. Loktev A.A. Dinamicheskiy kontakt udarnika i uprugoy ortotropnoy plastinki pri nalichii rasprostran-yayushchikhsya termouprugikh voln [Dynamic Contact between a Striker and an Orthotropic Plate in the Presence of Propagating Thermo-elastic Waves]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2008, vol. 72, no. 4, pp. 652—658.

5. Filippov A.P. Poperechnyy uprugiy udar tyazhelym telom po krugloy plite [Lateral Elastic Impact Produced by a Heavy Body onto a Circular Plate]. Izv. AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela. [Bulletin of Academy of Sciences of the USSR. Rigid Body Mechanics]. 1971, no. 6, pp. 102—109.

6. Veklich N.A. O rasprostranenii i vzaimodeystviy uprugo-plasticheskikh voln v sterzhne pri udare o pregradu [About the Propagation and Interaction of Elasto-Plastic Waves in a Rod Under the Impact against an Obstacle]. Izv. AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela. [Bulletin of Academy of Sciences of the USSR. Rigid Body Mechanics]. 1970, no. 4, pp. 182—185.

7. Kil'chevskiy N.A. Teoriya soudareniya tverdykh tel [Theory of Collision of Rigid Bodies]. Kiev, Nau-kova Dumka Publ., 1969, 246 p.

8. Loktev A.A. Uprugoplasticheskaya model' vzaimodeystviya tsilindricheskogo udarnika i plastinki [Elasto-plastic Model of Interaction of a Cylinder-shaped Striker and a Plate]. Pis'ma vzhurnal tekhnicheskoy fiziki [Letters to the Journal of Applied Physics]. 2007, vol. 33, no. 16, pp. 72—77.

9. Schonberg W.P., Williamsen J.E. RCS-based Ballistic Limit Curves for Non-Spherical Projectiles Impacting Dual-Wall Spacecraft Systems. International Journal of Impact Engineering. 2006, vol. 33, pp. 763—770.

10. Fujii K., Yasuda E., Akatsu T., Tanabe YA. Effect of Characteristics of Materials on Fracture Behavior and Modeling Using Graphite-Related Materials with a High-Velocity Steel Sphere. International Journal of Impact Engineering. 2003, vol. 28, pp. 985—999.

11. Malama Yu.G. Chislennoe modelirovanie vysokoskorostnogo udara po polubeskonechnoy misheni [Numerical Modeling of a High-velocity Impact onto a Semi-Infinite Target]. Preprint no. 495 IKI AN SSSR [Institute of Airspace Research of the Academy of Sciences of the USSR]. Moscow, 1979, 36 p.

12. Rakhmatulin Kh.A., Sagomonyan A.Ya., Alekseev N.A. Voprosy dinamiki gruntov [Soil Dynamics Issues]. Moscow, Moscow State University Publ., 1964, 239 p.

13. Skalkin A.S., Suntsov G.N., Shokolov A.G., Yakhlakov Yu.V. Issledovanie protsessa krateroobra-zovaniya pri vysokoskorostnom vozdeystvii alyuminievoy chastitsy na massivnuyu pregradu iz splava AMg-6 [Research of the Process of Crater Formation against a High Velocity Impact Produced by an Aluminium Particle onto a Big Obstace Made of AMg-6 Alloy]. Kosmonavtika i raketostroenie [Cosmonautics and Rocket Engineering]. 2011, no. 1(62), pp. 65—73.

14. Sapozhnikov A.T., Mironova E.E., Shakhova L.N. Uravnenie sostoyaniya alyuminiya s opisaniem plavleniya, ispareniya iionizatsii [Aluminium State Equation with a Description of Smelting, Evaporation and Ionization]. 8th Session of Zababakhinskie Scientific Readings. Chelyabinsk, 2005, pp. 1—12.

About the authors: Aversh'ev Anatoliy Sergeevich — master student, Institute of Fundamental Education, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; fullbass-@mail.ru;

Loktev Alexey Alexeevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; aaloktev@yandex.ru.

For citation: Aversh'ev A.S., Loktev A.A. Obobshchennyy algoritm rascheta konstruktsiy na vyso-koskorostnoy udar [Response of Structures to High Velocity Impacts: a Generalized Algorithm]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 51—59.