Системный подход к проблеме интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании

СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ ИНТЕГРАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО И ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДОВ В СРЕДНЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

Л.С. Капкаева, доцент кафедры методики преподавания математики МГПИ им. М.Е. Евсевъева

Статья посвящена актуальной проблеме среднего математического образования — интеграции школьных курсов алгебры и геометрии. Указанная проблема решается путем интеграции алгебраического и геометрического методов. Для изучения этого сложного феномена используется одна из форм системного анализа. В статье описывается методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов», характеризуются ее компоненты и связи между ними. Определяются функции данной системы в среднем математическом образовании.

The article is devoted to the problem of integrating the school courses of algebra and geometry. To study this complicated phenomenon we use one of the forms of the system analysis. The article describes a system of methods called «Integration of the algebraic and geometric methods», its components and their relations. It defines the functions of the system in education of mathematics in secondary schools.

В настоящее время в связи с приоритетом развивающей функции обучения и сокращением количества часов на изучение школьных дисциплин, в том числе и на математику, очень остро стоит проблема интеграции математических курсов и тем самым интенсификации обучения. Создать фузионистский курс алгебры и геометрии — основных математических дисциплин — очень трудно и даже невозможно, так как алгебра строится на ана-литико-алгоритмической основе, а геометрия — на образно-синтетической, и в таком курсе нельзя обеспечить последовательное и непрерывное прохождение учебного материала каждого из них. В то же время, учитывая, что основным видом деятельности учащихся на уроках математики является решение задач, можно интеграцию алгебры и геометрии осуществлять по линии их методов: алгебраического и геометрического.

Алгебраический метод (как метод элементарной алгебры) заключается в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми по определенным правилам производятся преобразования. Его называют еще методом буквенных вы-числений1. Геометрический метод характеризуют как «метод, идущий от наглядных представлений»2.

История математики свидетельствует о том, что оба метода, алгебраический и геометрический, развивались в тесной взаимосвязи. Именно эта взаимосвязь и

должна находить отражение в школьном курсе математики, показывая учащимся процесс становления математического знания, делая их реальными участниками математических «открытий». Не случайно в современной дидактике обучение трактуется как «специально организованная познавательная деятельность.. .»3 или как «общение, в процессе которого происходит управляемое познание.»4. С этих позиций усиливается взаимосвязь методов обучения с методами науки, которую представляет данный учебный предмет. Все более востребованными становятся методы, ориентированные на обучение познавательной деятельности. Именно таковыми являются специальные методы обучения математике. Они представляют собой адаптированные для обучения основные методы познания, применяемые в самой науке математике. К ним относятся, например, метод математического моделирования, аксиоматический и рассматриваемые нами алгебраический и геометрический методы. Раскроем их содержание и объемы.

Известно, что понятие «метод» в теории научного познания имеет две стороны: субъективную, связанную с деятельностью по применению метода, и объективную, обращенную к его гносеологической природе. В таком случае метод выступает, с одной стороны, как способ деятельности, а с другой — как система знаний, на которой он основан5.

© Л.С. Капкаева, 2004

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

В данном контексте алгебраический метод в обучении — это способ познавательной деятельности учащихся, основанный на системе алгебраических знаний. Объем данного понятия составляют следующие методы: 1) тождественных преобразований; 2) уравнений и неравенств; 3) функциональный; 4) векторный; 5) координатный.

Геометрический метод в обучении — это способ познавательной деятельности учащихся, основанный на системе геометрических знаний и на геометрических (наглядныгх) представлениях. Объем данного понятия составляют следующие методы (ограничимся планиметрией): 1) длин; 2) треугольников; 3) параллельных прямых; 4) соотношений между сторонами и углами треугольника; 5) четырехугольников; 6) площадей; 7) подобия треугольников; 8) тригонометрический; 9) окружностей; 10) геометрических преобразований; 11) графический. Основанием классификации алгебраических и геометрических методов служит соответствующая система знаний.

Любой метод состоит из приемов. Прием следует рассматривать как способ выполнения метода. Так, например, алгебраический метод уравнений и неравенств включает в себя следующие приемы: а) основанный на составлении и решении линейного уравнения или неравенства (кратко назовем его «прием линейного уравнения или неравенства»); б) квадратного уравнения или неравенства; в) рационального уравнения или неравенства; г) системы двух линейных уравнений с двумя переменными и др. Геометрический метод треугольников складывается из приемов, основанных на использовании первого, второго, третьего признаков равенства треугольников, теоремы о сумме углов треугольника, свойств равнобедренного треугольника и др.

Под интеграцией алгебраического и геометрического методов будем понимать процесс сочетания или связи (слияния) данных методов (приемов), осуществляемый учеником (самостоятельно или под руководством учителя) путем перевода учебной информации с алгебраического языка на геометричес-

кий или с геометрического языка на алгебраический и обратно.

Для изучения сложного феномена «интеграция алгебраического и геометрического методов» используем системный анализ, суть которого заключается в системном представлении этого явления, выделении его компонентов и связей между ними.

В исследованиях используют различные формы системного анализа, основанные на разных пониманиях системы. В некоторых из них система определяется как множество элементов, на котором реализовано данное отношение с фиксированными на нем свойствами6.

Наряду с названной трактовкой понятия системы используется и другая, согласно которой система есть «совокупность объектов, взаимодействие которых вызывает появление новых интегративных качеств, не свойственных отдельно взятым образующим систему компонентам. .Система активно воздействует на свои компоненты, преобразуя их соответственно собственной природе. Чтобы всесторонне познать систему, нужно изучить прежде всего ее внутреннее строение, то есть установить, из каких компонентов она образована, каковы ее структура и функции, а также силы, факторы, обеспечивающие ее целостность, относительную самостоятельность»7. Применим эту форму системного анализа для изучения методики интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании.

В качестве предмета методики, как указывает Г.И. Саранцев, должна выступать идеализация ее объекта, его мысленное представление в сознании исследователя. Такой идеализацией, моделью исследуемого объекта является методическая система, содержащая наиболее важные его компоненты8. В нашем случае объект — это интеграция алгебраического и геометрического методов, а предмет — методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов».

«Методическая система, адекватная исследуемому феномену, содержит структуру, содержание этого феномена,

№ 1, 2004

цели, средства, методы и формы его фун-кционирования»9. В соответствии с этим компонентами методической системы «Интеграция алгебраического и геометрического методов» являются цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, а также личность (человеческий индивид как носитель сознания, как существо, способное к трудовой и познавательной деятельности).

Охарактеризуем каждый компонент названной системы.

Цели интеграции алгебраического и геометрического методов. В философской литературе категория «цель» трактуется как предвосхищение в сознании результата деятельности, на достижение которого направлены действия.

Цели интеграции алгебраического и геометрического методов делятся на три группы: образовательные, воспитательные и развивающие.

Образовательныге цели включают: 1) усвоение системы математических знаний, умений и навыков; 2) формирование умений осуществлять моделирование в различных математических ситуациях (при решении уравнений, неравенств и их систем, текстовых задач, при доказательстве теорем и решении геометрических задач); 3) обобщение и систематизацию знаний, которые связаны с данными методами.

К воспитательныгм целям относятся:

1) формирование научного мировоззрения: благодаря интеграции алгебраического и геометрического методов появляется возможность, с одной стороны, показать проникновение математики в другие науки, в практику; с другой — формировать понимание единства математики и ее методов, выделить то общее, что объединяет все методы математики (единый подход в применении, этапы применения методов), а через них продемонстрировать единство составляющих школьного предмета математики: алгебры и геометрии; 2) воспитание математической культуры, рациональности умственной деятельности учащихся; 3) эстетическое воспитание школьников: интеграция алгебраического и геометричес-

кого методов позволяет сравнивать методы решения одной и той же задачи, выбирать наиболее рациональный из них, иногда получать оригинальные, красивые решения задач.

Развивающие цели включают: 1) развитие творческого мышления учащихся, компонентами которого, по мнению психологов, методистов и математиков, являются динамичность, системность умственной деятельности, воображение, интуиция и т.д.; 2) развитие математических способностей учащихся, структуру которых составляют: алгоритмические, или вычислительные, способности, геометрические и логические способности;

3) гармоничное развитие полушарий головного мозга обучаемого.

Содержание интеграции алгебраического и геометрического методов. Содержанием интеграции являются алгебраический и геометрический методы, рассматриваемые в обучении математике как способы познавательной деятельности учащихся, основанные соответственно на системе алгебраических и геометрических знаний.

Одна из основных целей обучения математическим методам (и вообще обучения математике в средней школе) состоит в показе возможностей использования математики для решения практических задач и реализации этих возможностей на производстве, в научной работе, в быту. Самым существенным компонентом процесса решения практических задач методами математики является математическое моделирование. Поэтому достижение указанной цели должно быть обязательно связано с формированием у учащихся умений строить и исследовать математические модели.

Метод математического моделирования считается одним из самых эффективных методов математического познания действительности. Он находит свое отражение в методах математики. Алгебраический и геометрический методы являются конкретизацией метода математического моделирования.

Процесс математического моделирования, как известно, проходит в три этапа: 1) формализация (построение мате-

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

матической модели задачи); 2) решение задачи внутри модели; 3) интерпретация полученного математического решения. В традиционном обучении математике все три этапа моделирования присутствовали в основном только при решении текстовых (сюжетных) задач. В остальных случаях (решение уравнений, неравенств и их систем, геометрических задач) первый и третий этапы часто отсутствовали, так как алгебраическая задача решалась только алгебраическими средствами, а геометрическая — геометрическими. Это не позволяло формировать у учащихся умения осуществлять перевод задачи на математический язык и интерпретацию полученного результата.

Интеграция методов при решении различных задач помогает ликвидировать указанный пробел: учащиеся учатся переводу алгебраической (геометрической) задачи на геометрический (алгебраический) язык, затем решают ее на этом языке и осуществляют перевод полученного результата обратно на алгебраический (геометрический) язык. Таким образом, все этапы математического моделирования оказываются реализованными.

Способы интеграции. Опираясь на историю интегративных процессов в школьном образовании XIX — XX вв.10, мы выделили два способа интеграции алгебраического и геометрического методов: сочетание и связь.

Термин «сочетание» образован от слова «сочетать» — сделать существующим вместе, одно наряду с другим в каком-нибудь единстве, согласовании. Сочетание алгебраического и геометрического методов в словесно-символическом выражении можно записать так: интеграция = алгебраический метод + геометрический метод. Складывать можно только то, что раздельно. Алгебраический и геометрический методы соединяются здесь механически и продолжают существовать обособленно друг от друга. Такой процесс мы называем параллельным или одновременным (т.е. выполненным на одном уроке) решением задачи двумя методами. Сочетание — это простейший вид соединения.

Термин «связь» понимается как отношение взаимной зависимости, обусловленности, общности между данными методами или их приемами. Логическое соотношение алгебраического и геометрического методов в этом случае определяется выражением: интеграция суть единство алгебраического и геометрического методов. Это единство обладает уже не механическим (в отличие от первого способа интеграции), а органическим характером — каждая часть вживлена в целое. Примером может служить графико-геометрический метод решения текстовой задачи или метод решения сложной стереометрической задачи, включающий как алгебраические, так и геометрические приемы, возможно, с неоднократным чередованием их в процессе решения.

Формы интеграции. Формы и ступени интеграции могут быть разными. Исходя из классификации, которую дал А.Д. Урсул11, мы выделили следующие формы интеграции алгебраического и геометрического методов:

1) совокупность алгебраических и геометрических методов решения одной и той же задачи (начальная форма синтеза);

2) упорядоченность, когда в данном множестве методов появляется отношение порядка между отдельными методами, которое дает дополнительный объединительный признак для входящих в множество объединяющихся методов. При этом учащимся дается задание решить задачу разными методами и указывается порядок их применения;

3) организация, когда в объединении методов появляются связи. В этом случае мы получаем алгебраический метод решения геометрической задачи или геометрический метод решения алгебраической задачи. Нарастание связей ведет к новой качественной форме интеграции, которая называется системой;

4) система — хорошо организованное (органическое) множество, образующее целостное единство алгебраических и геометрических методов (или их приемов). Система выступает наиболее со-

№ 1, 2004

вершенной формой синтеза объединяемых компонентов. Метод решения задачи, например, может включать в себя в качестве составных частей приемы разных методов: алгебраических и геометрических.

Средства интеграции. К средствам интеграции алгебраического и геометрического методов относятся понятия, теоремы и их доказательства, задачи. Остановимся на некоторых из них подробнее.

1) Понятия. При формировании понятий алгебраический и геометрический методы будем понимать иногда в широком смысле слова, как всякое употребление буквенно-символической записи и соответственно геометрической наглядности.

Для реализации интеграции алгебраического и геометрического методов при формировании алгебраических понятий учитель должен знать алгебраическую (буквенно-символическую) запись данного понятия (алгебраическую модель понятия) и его трактовки на естественном и геометрическом языках. В ходе обучения перед учащимися одновременно раскрываются все сущностные характеристики алгебраического понятия (рис. 1). На этапе применения понятия предлагаются задачи как алгебраического, так и геометрического типа. Методы решения подобных задач (алгебраический и геометрический) также сочетаются.

Запись понятия на алгебраическом (буквенно-символическом) языке

Трактовка понятия

Алгебраическое

понятие

на естественном языке

на геометрическом языке

Р и с. 1. Схема, отражающая процесс раскрытия перед учащимися сущностных характеристик алгебраического понятия

При формировании геометрических понятий на основе интеграции алгебраического и геометрического методов учитель должен знать геометрический образ понятия и его символическую запись, а также трактовки понятия на естественном и алгебраическом (в том числе векторном, координатном) языках. При этом первенство принадлежит геометрическому методу, идущему от наглядных представлений. В ходе обучения перед учащимися одновременно раскрываются все сущностные характеристики геометрического понятия (рис. 2). На этапе применения понятия учащиеся решают задачи как геометрическим методом, так и алгебраическим.

2) Задачи. Они служат основным средством интеграции алгебраического и геометрического методов, поэтому особые требования предъявляются к их содержанию, методам решения и структурированию. Задачи, направленные на интеграцию названных методов, целесообразно группировать в блоки. Блок задач — это совокупность задач, объединенных общей целью. При отборе задач в блоки необходимо придерживаться следующих принципов.

А. В блок могут входить как алгебраические, так и геометрические задачи.

Б. Задачи, входящие в блок, должны решаться разными методами (алгебраическими и геометрическими) или одним

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

методом, включающим как алгебраические, так и геометрические приемы.

В. Решения задач, входящих в блок, должны интегрировать одинаковые методы. Например, блок могут составить задачи, решения которых интегрируют метод подобия треугольников и метод уравнений и неравенств или метод треуголь-

ников и векторный метод и т.д. При этом методов решения (или их приемов в одном методе) может быть и более двух.

Г. Способ интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач в блоке должен быть один и тот же (сочетание методов или их связь в одном методе).

Р и с. 2. Схема, отражающая процесс раскрытия перед учащимися сущностных характеристик геометрического понятия

С помощью блоков задач можно проводить интегрированные уроки алгебры и геометрии, сокращая при этом количество часов, отводимых на изучение данных дисциплин, и показывая учащимся единство математики и ее методов.

Личность. Одним из главных компонентов методической системы «Интеграция алгебраического и геометрического методов» выступает личность ученика как носителя сознания. Согласно принципу антропоцентризма ученик занимает центральное положение в образовательной системе, а его сознание является важнейшим фактором интеграции образования. Ученик становится не только смысловым (тем, ради чего), но и организационным центром образования (субъектом учения) при условии, что он интегрирует в сознании разное знание. Интеграция разного знания сознанием приводит к появлению нового знания. Таким образом, важнейшим показателем антропоцентрированного, развивающего

образования является способность ученика генерировать новое знание.

В данном контексте интеграция алгебраического и геометрического методов решения задач приводит к качественно новым знаниям, недоступным вне единого подхода, и одновременно к гармоничному развитию левого и правого полушарий головного мозга, с активностью которых связаны соответственно логиковербальный (или аналитический) и пространственно-образный (или геометрический) типы мышления.

Все описанные компоненты методической системы взаимосвязаны (рис. 3). Лидирующим среди них являются цели интеграции алгебраического и геометрического методов. Центральным звеном в этой цепи выступает личность.

Если традиционная (эмпирическая) педагогика представляет интеграцию главным образом как соединение учебного содержания, то на уровне теоретического исследования сущность интегра-

№ 1, 2004

ции раскрывается во взаимопроникновении знания и сознания. Где нет сознания, там нет и интеграции (принцип антропоцентризма).

На методическую систему «Интеграция алгебраического и геометрического методов», ее компоненты оказывает влияние ряд факторов, совокупность которых называют внешней средой. Ее составляющими являются цели математического образования; функции обучения матема-

тике; гуманизация и гуманитаризация математического образования; предмет математики, ее место в науке, жизни, производстве; структура процессов формирования понятий, изучения теорем, решения задач. К внешней среде относятся также результаты исследований интеграционных процессов в математике, новые исследования в области истории математики, в логике, психологии, педагогике, физиологии и других науках.

Цели

интеграции алгебраического и геометрического методов

Содержание

интеграции алгебраического и геометрического методов

Личность

Способы

интеграции алгебраического и геометрического методов

/ Формы \ / Средства \

интеграции интеграции

1 алгебраического 1 | алгебраического |

1 и геометрического Г Н и геометрического 1

методов методов

Р и с. 3. Методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов»

Исследуемая методическая система является подмножеством основной методической системы «Обучение математике» и тесно связана с ней. Интеграционная направленность методической системы «Обучение математике» проявляется в ином структурировании содержания обучения, в широком использовании специальных (частных) методов обучения,

к которым относятся метод математического моделирования, алгебраический и геометрический методы. При интегрированном обучении математике еще больше возрастает роль задач. Они группируются в специальные блоки, объединяющие, интегрирующие разные алгебраические и геометрические методы. Интеграция алгебраического и геометричес-

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

кого методов ведет к интенсификации обучения математике, усиливает ее развивающую функцию. Она изменяет и формы обучения. Основной формой становится интегрированный урок.

Интеграция алгебраического и геометрического методов в обучении математике служит средством формирования математических понятий, одновременно с этим она выступает как средство формирования целостных математических знаний и овладения научным методом познания — методом моделирования. Большую роль интеграция методов играет в формировании математических способностей и активизации познавательной деятельности учащихся.

Наряду с названными исследуемая система выполняет и ряд функций, которые относятся к методической системе «Обучение математике».

Итак, построенную нами методическую систему «Интеграция алгебраического и геометрического методов» характеризуют следующие основные признаки (принципы) системного подхода:

1) принцип целостности, выражающий принципиальную несводимость данной системы к сумме ее частей;

2) принцип иерархичности, который состоит в том, что каждый элемент системы рассматривается как система (подсистема данной системы), а сама исследуемая система представляет собой лишь одну из подсистем более широкой системы «Обучение математике»;

3) принцип структурности, который предполагает исследование многогранных сложных связей между элементами

системы, а также между элементами подсистем этих систем, что позволит правильно, осознанно, целенаправленно проектировать весь процесс интеграции алгебраического и геометрического методов;

4) принцип непрерывности, заключающийся в том, что системный подход и его принципы должны учитываться на всех ступенях интеграции алгебраического и геометрического методов: при анализе теоретической модели, написании программ и учебников, разработке проекта изучения учебной темы, при конструировании урока и т.д.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 См.: Математика, ее содержание, методы и значение. М., 1956. Т. 1. С. 249.

2 Александров А.Д. Геометрия // БСЭ. 3-е изд. Т. 6. М., 1971. С. 313.

3 Шиянов Е.Н., Котова И.Б. Развитие личности в обучении: Учеб. пособие для студ. пед. вузов. М., 2000. С. 16.

4 Педагогика: Учеб. пособие для студ. пед. вузов и пед. колледжей / Под ред. П.И. Пидкасис-того. М., 1996. С. 119.

5 См.: Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. М., 1981. С. 155.

6 См., например: Уемов А.И. Системы и системные исследования // Проблемы методологии системного исследования. М., 1970. С. 80.

7 Афанасьев В.Г. О системном подходе в социальном познании // Вопр. философии. 1973. № 6. С. 99—101.

8 См.: Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск, 2001. С. 28.

9 Там же. С. 30.

10 См.: Капкаева Л.С. Из истории интеграции отечественного школьного математического образования // ИО. 2002. № 2/3. С. 156—162.

11 См.: Урсул А.Д. Философия и интегративно-общенаучные процессы. М., 1981.

Поступила 29.01.04.

РЕАЛИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА В ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОМПЬЮТЕРНЫХ И ИНТЕРНЕТ-ТЕХНОЛОГИЙ

А.Т. Лялькина, доцент кафедры педагогики МГУ им. Н.П. Огарева

Изложена разработанная и апробированная автором система многоаспектного использования компьютерных и Интернет-технологий. Продемонстрированы примеры применения компьютеров в качестве эффективного средства реализации деятельностного подхода при обучении математики в школе и подготовке учителя в университете.

© А.Т. Лялькина, 2004