Аппроксимация модели управления оптимальной периодичностью контроля скрытых отказов

Полетаев В.П., Богданов Д.А. АППРОКСИМАЦИЯ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬЮ КОНТРОЛЯ СКРЫТЫХ ОТКАЗОВ

Проблема интегрированной логистической поддержки различных изделий машиностроения в настоящее время приобретает все большую актуальность в связи с ужесточающейся конкуренцией производителей и их стремлением к лидерству. Одной из наиболее важных задач в рамках указанной проблемы является рациональная организация процессов технического обслуживания и ремонта изделия, направленная на сокращение или минимизацию затрат на их проведение.

Особую остроту вопросы технического обслуживания имеют для устройств, у которых возможно появление скрытых отказов, обнаруживаемых только при специальной проверке состояния. Например, точность показаний любых средств измерения может быть оценена лишь при проведении периодической поверки, включающей наряду с другими процедурами контроль скрытых отказов. Ниже представлена методика и алгоритм управления периодичностью профилактики отмеченных выше объектов, базирующийся на расчетных зависимостях, аппроксимирующих точную модель, что позволяет легко решить рассматриваемую задачу с использованием ограниченного набора исходных данных.

Интегрированная логистическая поддержка ориентирована на сокращение и оптимизацию затрат на постпроизводственных стадиях жизненного цикла, поэтому для большинства изделий гражданского назначения в качестве критерия длительности интервала между плановыми обслуживаниями целесообразно использовать показатель, отражающий экономичность эксплуатации.

Таким показателем являются средние удельные затраты, приходящиеся на единицу времени работы, под которыми будем понимать отношение суммарных потерь, связанных с работой со скрытым отказом, проведением профилактического обслуживания и выполнением ремонта в случае обнаружения отказа, к продолжительности работоспособного состояния. В работе [1] показано, что удельные затраты можно записать как т

С* =-^-------------т---------------------,

I Рм ( Х)Лх

О

где с - потери за единицу времени, проведенного в состоянии скрытого отказа; с - потери за единицу времени при проведении восстановительных работ, выполняемых после обнаружения скрытого отказа; с - потери за единицу времени при проведении периодического обслуживания; т - длительность интервала между обслуживаниями; ¥м (т) - функция распределения времени работы без скрытых

отказов; Рм Т) = 1 - ¥„ (т) - вероятность работы без скрытых отказов (функция надежности); £ - среднее время, затраченное на плановое обслуживание; £ - средняя длительность обслуживания, включа-

ющего проверку состояния и последующее восстановление работоспособности.

Очевидно, что частота проведения проверок работоспособности непосредственно сказывается на значении показателя (1), а оптимальный интервал между обслуживаниями будет соответствовать минимуму средних удельных затрат.

Исследование функции (1) на экстремум, результаты которого изложены в работе [2], подтверждают его существование и свидетельствуют о том, что данный экстремум будет минимумом. Там же показано, что после дифференцирования (1) и проведения промежуточных преобразований приходим к уравнению, решение которого дает оптимальную длительность интервала между профилактическими обслуживаниями т0, соответствующую минимуму средних удельных затрат т

I рм (х№,

Спп£пп _0 I 1 - - С" I Ст

/) +------------------2-I-2-+ Р)-1 ,

с I — с I Р

ап ап пп пп м'- '

где / (V) - значение функции плотности распределения вероятности Рм (?) на момент времени т .

Минимальные средние удельные затраты при этом можно найти по формуле

С = Сп —

уд.мин т-. , ч V ап ап пп пп' т-» ч п *

у Рм

Возможен и вариант определения т0 с использованием уравнения (1) по положению минимума С д ,

определив их зависимость от т . Очевидно, что при использовании любого из отмеченных способов

нахождения т0 решение зависит от вида /м(т), которая определяет и вид функции надежности Рм (т) *

Оценка закона распределения времени работы без скрытых отказов возможна на базе исходной статистической информации, полученной либо в результате испытаний, либо в процессе подконтрольной эксплуатации.

Результаты оценки вида закона распределения времени безотказной работы, полученные при использовании статистических данных о надежности приборов контроля линейных размеров, эксплуатируемых в условиях подшипникового производства, показывают [3], что исходя из характера построенных гистограмм времени безотказной работы, такой вид функции /м (т) могут иметь несколько известных распределений - гамма распределение, распределение Рэлея, распределение Вейбулла, нормальное распределение.

2

Сравнение опытных и теоретических распределений по критерию Пирсона % приводит к неоднозначному результату, так как все указанные выше распределения можно принять для описания наблюдаемых на практике распределений, поскольку во всех случаях вероятность соответствия выше минимально допустимого уровня 0,1.

Таким образом, главным фактором объективности решения вопроса о величине т0 становится проблема адекватной оценки вида закона распределения времени работы без скрытых отказов. Следует также отметить сложность решения уравнения (2), обусловленную отсутствием аналитического вида функции надежности Рм(т) для некоторых из возможных распределений.

В реальных ситуациях, часто достаточно сложно отдать предпочтение тому или иному закону распределения времени безотказной работы, не опасаясь совершить субъективную ошибку. Очевидно, что наиболее точный результат может быть получен только на основе первичной статистической информации о надежности, характеризующей поведение функции надежности Рм (т) и входящей как в уравнение (1), так и в уравнение (2) по которым можно вычислить оптимальное значение периодичности обслуживания то *

В работе [3] приведены результаты исследования поведения функции надежности для тех типов распределения, которые указаны выше. Построенные графики показывают, что зависимость функции надежности от времени достаточно уверенно можно рассматривать как линейную, описываемую формулой

Рм

где к - коэффициент, характеризующий поведение функции Рм(т) *

Для удобства дальнейших преобразований обозначим в формуле (1) спп£пп =& , ст£ап — спп£пп = р , тогда формула (1) будет иметь вид

сп j F

т

jРм (x)dx

Сд =—--------------------------------------------т-

j рм (

О

Используя выражение(4), уравнение (5) можем записать как

ктт

П уч

с —____________1

суд -

+ а + ркт

ктт т------

т

Для нахождения оптимальной длительности периодичности обслуживания по критерию минимума С д найдем производную

(суд)'- ; “X

кТ

Раскроем скобки и приравняем числитель к 0, что в результате дает квадратное уравнение вида

спкт2 + рктт + 2акт-Та — О .

Решая квадратное уравнение, после несложных преобразований получим выражение в явном виде, позволяющее легко вычислить оптимальную периодичность профилактики скрытых отказов, минимизирующую средние удельные затраты

—а + da2 + Та

то —----- ----ТЩТ---------- <6)

с п +рк

Следует отметить, что если к«1, то справедливо допущение а 1-а

то “Т 1 ск

Подставив вместо а ранее принятое обозначение, окончательно получим аппроксимирующую формулу

ск

из которой следует, что значения т0 по существу определяются только величиной отношения спг£пп / сп и коэффициентом к , который может быть найден на основе статистического материала методом наименьших квадратов.

Таким образом, получена аппроксимирующая модель управления оптимальной периодичностью обслуживания объектов с целью обнаружения скрытых отказов. Полученные материалы использованы при разработке программного модуля автоматизации расчета.

Литература

1* Полетаев, В.П. Планирование оптимальных межповерочных интервалов рабочих средств измерений в условиях массового производства / В.П. Полетаев // Метрология. - 1977*-№10. - С.27-33*

2* Полетаев, В.П. Оптимизация управления периодичностью обслуживания технических систем по минимуму средних удельных затрат / В.П. Полетаев, Д.А. Богданов // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта: материалы 8-й международной конференции (2008 г., г. Москва).- М., 2008*- С.90-91*

3* Полетаев, В.П., Моделирование и расчет периодичности профилактического обслуживания технических систем по эмпирической функции надежности / В.П. Полетаев, Д.А. Богданов // Конструкции из композиционных материалов* - 2007*- № 4. - С.58-64*