Моделирование поля постоянного магнита

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 13, №4,2011 УДК 621.31

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА

© 2011 Е.М.Булыжёв, Е.Н.Меньшов, Г.А Джавахия

Ульяновский государственный технический университет ЗАО «Булыжев. Промышленные экосистемы», г. Ульяновск

Поступила в редакцию 16.04.2010

Предложена математическая модель распределения скалярного магнитного потенциала, создаваемого в окружающем пространстве цилиндрическим или кольцевым постоянным магнитом. Ключевые слова: магнитный сепаратор, эквивалентный соленоид, намагниченность, скалярный магнитный потенциал, напряженность магнитного поля, телесный угол, распределение поля.

Работа магнитного сепаратора основана на силовом притяжении постоянными магнитами взвешенных в жидкой среде ферромагнитных частиц. В высокопроизводительных магнитных сепараторах применяются магниты цилиндрической или кольцевой формы, поэтому в однородной среде задача имеет аналитическое решение. В [1] однородное приближение использовалось для оценки режимов магнитных сепараторов на основе представления решения уравнения Пуассона для скалярного магнитного потенциала в виде конечных рядов. Такое решение правомерно лишь в идеальной рабочей точке характеристики размагничивания (в эквипотенциальном приближении при напряженности размагничивающего поля Н=0), а постоянные интегрирования не имеют явной связи с параметрами магнита, поэтому оно не подходит для задач оптимизации сепараторов.

В [2] описывается метод эквивалентного соленоида, который основан на возможности рассмотрения постоянного магнита как однослойного соленоида, имеющего очень тонкую обмотку, по которой протекает намагничивающий ток i. Линейная плотность поверхностного тока, приходящаяся на единицу длины соленоида, выбирается равной величине намагниченности магнита [3]

W = M,

где W - число витков в обмотке соленоида, l -длина соленоида, равная длине магнита. Следует заметить, что только внешнее поле эквивалентного соленоида эквивалентно полю магнита, внутри же они разные как по направлению, так

и по величине [4].__

Булыжёв Евгений Михайлович, доктор технических наук, профессор. Тел.: (8422) 44-42-45.

Меньшов Евгений Николаевич, кандидат технических наук, доцент. E-mail: raynd2@rambler.ru. Джавахия Георгий Анатольевич, аспирант кафедры «Технология машиностроения». E-mail: geo.d@mail.ru.

В общем случае для материала магнетика намагниченность М сильно зависит от напряженности поля размагничивании Н = - Нр. Однако для магнитных закритических материалов М(Н) выражается формулой

M (H ) =

Br

№онсв

которая описывает слабую зависимость М от Н [2]. В частности, для М-Ре-В - материала при изменении Н от Н = 0 до Н = - НСВ относительное различие М (Н) составляет небольшую величину

м(Нсв ) _ ^0Нсв

Mr

Br

< 1,2,

1 г

где Мг = М(0). По этой причине значение остаточной намагниченности М, определяемое пересечением характеристики размагничивания материала с характеристикой формы, практически не зависит от формы магнита. Однако, тело магнита произвольной формы намагничивается неравномерно [5], за исключением сфероидальной формы. Но в силу слабого характера зависимости М от поля размагничивания (Н = - Нр) для магнитов из закритических материалов, этой неоднородностью можно пренебречь и для расчетов можно использовать приближенное значение М &М .

г

На основе закона Био-Савара в [6] проведен расчет напряженности поля соленоида (его аксиальной Нги радиальной Нгсоставляющих). Однако, в данной методике содержится дефект, суть которого состоит в том, что напряженность поля как для одиночного контура, определенная в [3,5] через векторный потенциал, так и для однослойной обмотки, определяемая в [6], выражаются через эллиптические интегралы 1-го и 3-го рода. По этой причине данная методика приводит к сингулярности - значения поля в некоторых особенных точках, лежащих на поверхнос-

ти соленоида, расходятся. В [7] показано, особенные точки появляются как следствие принятых математических допущений о бесконечно малой толщине токового слоя. А так как потенциал является своего рода первообразной функцией для напряженности поля, то в нем сингулярности могут пропадать.

В [6] приводится, также, строгий расчет напряженности поля постоянного магнита в произвольной точке (как внутри магнита, так и вне магнита). При этом постоянный магнит цилиндрической или кольцевой формы моделируется разноименными фиктивными магнитными зарядами, сосредоточенными на его противоположных торцевых поверхностях. Поверхностная плотность заряда равна 8м = ± М. Полученные математические выражения поля свободны от дефектов сингулярности, но более сложны, так как представляют собой двойные интегралы.

Нами предлагается строгая и несложная математическая модель скалярного магнитного потенциала цилиндрического магнита диаметром 2а, длиной I.

В [4-5] изложена методика, выражающая скалярный магнитный потенциал _]М, создаваемый контуром с током I, через телесный угол ^ под которым виден этот контур

ф м = с,

где С - постоянная величина, так как потенциал определен с точностью до постоянной величины.

Представляя магнит в виде эквивалентного соленоида, предварительно разбивая его на элементарные контура и выделяя некоторый элементарный контур с элементарным током

dl = !fdz' = Mrdz',

запишем формулу потенциала элементарного контура

dфм = ~ Mrdz 'Q(z'). 4 п

Сначала определяем телесный угол, под которым виден элементарный контур из точки Р, совмещенной с началом координат (рис.1, а), предварительно разбивая его на элементарные телесные углы (Ш, под которыми видны элементы площади (БК контура. В полярной системе координат величина

Каждый элементарный телесный угол определяется формулой [8]

dQ =

dS,

сф

R'

где (5сф - площадь элемента сферы радиуса Я. Из рис. 1, б следует то, что (5ф = (БКсо$в-, Я=(22+ Г' 2 ),/2; со$в = г'/Ъ. (8) Подставляя (8) в (6) и далее в (7), имеем

dQ =

z'r'dr'dy

3

(z'2 + r '2 ) 2

Полный телесный угол будет выражаться двукратным интегралом

z'r'dr'd\\

q=JJ-

Sk (z'2 + r '2 ) 3

Вычисление интеграла (10) проводим по методике [7]. На рис. 2 представлена геометрия границ областей интегрирования телесного угла для двух случаев, когда проекция 0' начала координат 0 на плоскость контура лежит вне контура (и а) или внутри контура (г/ а) .

Для случая, когда п а

\мак ГВ г ' d Г ' 0 = ^ |d\¡-- =

у гн (z '2 + r ' 2)2

мин Н V /

¥

' мак

= 2 z' j

0

22 z + rB

dy.

Для случая, когда rja

rd r

2 n rB

Q = z j dyj'- 3

0 0 (z2 +r2)2

= 2n- 2z j

dy.

Здесь: гн = гн(У) и гв = rB(Y) радиус-векторы точек входа внутрь контура и выхода из контура луча y = const. Эти радиус-векторы определяются из уравнения окружности, которое в полярных координатах принимает вид

r'2-2rr'cosY+ r2- a2=0, из которого следует:

гв = r cosT+

sinY = a/r.

мак ' 4 7

Магнитный потенциал эквивалентного соленоида длиной l в точке Р с координатами 2 и r (рис. 3) складывается из потенциалов (5) элементарных контуров

I+Z] Mr l+zl

Ф м = IФ м + с = "

4п

zl zl Для случая, когда п а, подставляя (11) в (15) и меняя местами порядок интегрирования

1

1

п

1

М,

Щмак 1+

Ф = ~2п I М

0

z - z

z - z

№2+г2 V 2+Г,2

dz' + С =

дим к классической формуле напряженности осевого магнитного поля [2-3] катушки

М I [V

0

(^ -z)2 + Гв2 -д/(Zl -z)2 + Гн2 dщ+ С.

Здесь г1 - координата нижней торцевой поверхности магнита, С - постоянная величина.

Для случая, когда г/а, подставляя (11) в (15) и меняя местами порядок интегрирования

\ИЛ =

щ 21

2-z

2+z

М I М г • 1+/1

Ф =—-к 0 I

z - z

V

П 2 Z + Гв

dz' + С =

-/ и- z)2 + Г,2

С.

Такой результат свидетельствует о правомерности полученной модели поля.

Семейство зависимостей для соленоида с геометрическими размерами а = / = 10м, характеризующее распределение магнитного потенциала в аксиальном направлении по формулам (16)-(17) на разных расстояниях тк от оси симметрии, представлено на рис. 4; постоянная С = 0. На графике пунктирным линиям соответствуют двум распределениям магнитного потенциала на поверхности соленоида (г = а). В частности, зависимость 124 соответствует пути интегрирования примыкающего к поверхности внутри соленоида; зависимость 135 - примыкающего к поверхности вне соленоида. Различие этих двух зависимостей обусловлено тем, что путь интегрирования 124 пересекает контур с током величиной М(г+//2), что приводит к отличию потенциалов в каждой текущей точке на величину частичной МДС ¥(г) = М(г+1/2). За пределами обмотки (в точках 2 И0) рассматриваемые зависимости описываются соответствующими участками 46 и 57, потенциалы, в каждой точке которых отстоят друг от друга на одинаковую величину, равную полной МДС соленоида ¥ = М1. Такой характер зависимостей магнитного потенциала может приниматься во внимание при разработке маг-

Поместив начало координат в середине соле- нитной схемы замещения постоянного магнита. ноида (^ = -//2) и подставляя (1) в (18), прихо- Таким образом, получена математическая

Определим осевую напряженность магнитного поля соленоида на основе выражения (17):

Н =

дФм

дz

М п

2п о

I + z1 - z

- z)2 + Гв2

Мг 2

I + z1 - z

л/( z1 - z )2 + а2

V

Рис. 1. К расчету телесного угла: а - под которым виден контур с элементом тока Лц б - под которым виден элемент площади контура

+

Рис. 2. К расчету границ областей интегрирования телесного угла: а - для случая, когда проекция 0' точки наблюдения Р на плоскость контура лежит вне контура; б - для случая, когда проекция 0' точки наблюдения Р на плоскость контура лежит внутри контура

(7

¿¿г'

0

Рис. 3. К расчету скалярного магнитного потенциала эквивалентного соленоида

модель для скалярного магнитного потенциала цилиндрического магнита, состоящая из двух выражений (16)-(17), описывающих распределение потенциала в произвольной точке внешней области магнита. При этом расчет в общем случае сводится к задаче интегрирования по одной переменной и не представляет серьезных трудностей. Данная модель содержит в себе в явной форме параметры постоянного магнита,

удобной для анализа поля и может быть положена для анализа внешнего поля магнитов в однородной среде.

Расчет скалярного магнитного потенциала кольцевого магнита проводится тоже по выражениям (16)-(17). Только в этом случае нужно использовать принцип наложения, для определения результирующего поля двух эквивалентных соленоидов с равными, но с противоположными направлениями токов [2].

uO oil "-¡J -2'J -li; 'j 10 20 iS Ф; iO 63

?.. М

Рис. 4. Семейство зависимостей распределения скалярного магнитного потенциала

эквивалентного соленоида

Исследования выполнены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2010 годы)» на2009год,регистрационный номер 2.1.2/4506.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Булыжев Е.М., Худобин Л.В. Ресурсосберегающее применение смазочно-охлаждающих жидкостей при металлообработке. М.: Машиностроение, 2004.352 с.

2. Постоянные магниты: Справочник/ Альтман А.Б., Герберг А.Н., Гладышев П.А. и др.; Под ред. Ю.М.

Пятина. М.: Энергия, 1980.- 488 с.

3. Бессонов Л А. Теоретические основы электротехники: Электромагнитное поле. М: Высш. школа, 1978. 231 с.

4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.-616 с.

5. Нейман Л.Р., Димирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Л: Энергоиздат, 1981. Том 2. 415 с.

6. Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ/ М.Г Александрова, А.Н. Белянина, В. Брюкер и др.: Под. ред. Л.В. Данилова и Е.С. Филиппова. М.: Радио и связь, 1983.- 344 с.

7. Сечнев А.Я. Расчет напряженности поля прямым методом. Л.: Энергоатомиздат, 1984. 112 с.

8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1967. Том 2. 655 с

MODELING OF THE FIELD PERMANENT MAGNET

© 2011 E.M. Bulyzhev, E.N. Menshov, G.A. Dzhavakhiya

Ulyanovsk State Technical University Closed Joint Stock Company "Bulyzhev. Industrial Ecosystems", Ulyanovsk

A mathematical model of the distribution of the scalar magnetic potential created in the surrounding cylindrical or annular permanent magnet.

Keywords: magnetic separator, equivalent solenoid, the magnetization, the scalar magnetic potential, magnetic field strength, solid angle, the field distribution.

Evgeny Bulyzhev, Doctor of Technics, Professor. Тел.: (8422) 44-42-45.

Evgeny Menshov, Candidate of Technics, Associate Professor. E-mail: raynd2@rambler.ru.

Georgy Dzhavakhiya, Graduate Student at the Engineering Technology Department. E-mail: geo.d@mail.ru.