Напряженное состояние типа «Пограничный слой» -краевое кручение цилиндрической оболочки

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТИПА «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» -КРАЕВОЕ КРУЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

В.В. Фирсанов

Методом прямого асимптотического интегрирования трёхмерных уравнений теории упругости сформулирована краевая задача для определения НДС типа «по-гранслой», идентичного деформации кручения края в цилиндрической оболочке, и дано ее решение способом приведения к задаче Дирихле. В результате расчетов показан существенный вклад НДС краевого кручения в общее НДС пластинки, что очень важно при оценке прочности различных соединений тонкостенных элементов авиационных конструкций.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, трехмерные уравнения теории упругости, метод прямого асимптотического интегрирования, краевые задачи, основное напряженно-деформированное состояние, напряженные состояния типа «пограничный слой», быстро затухающее напряженное состояние кручения закрепленного края пластинки, задача Дирихле.

Как известно [1, 2], для создания приближенных методов расчета пластин и оболочек, учитывающих трехмерность напряженного состояния, последнее часто представляют в виде суммы внутреннего напряженного состояния и пограничного слоя. Под первым слагаемым подразумевается напряженное состояние, которое с известной степенью приближенности можно строить при помощи классической теории. В результате какого-либо уточнения последней появляется пограничный слой - самоуравновешенное напряженное состояние, затухающее на основании принципа Сен-Венана при удалении от края на расстояние, соизмеримое с толщиной пластинки или оболочки.

Одним из возможных путей построения математически обоснованной теории пластинок и оболочек, т. е. теории, позволяющей сколь угодно точно аппроксимировать решение трехмерной задачи теории упругости, является применение асимптотических методов, приводящих, в конечном итоге, к представлению решения в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра И*- относительной полутолщины пластинки и оболочки.

Применяя метод прямого асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости, А.Л. Гольденвейзер [1] свел задачу определения напряженного состояния изотропной цилиндрической оболочки постоянной толщины к построению трех итерационных процессов. Первый из них - основной итерационный процесс, начальное приближение эквивалентно классической теории,

144

определяет медленно затухающее или внутреннее напряженное состояние оболочки. Два других вспомогательных итерационных процесса определяют быстро затухающие при удалении от края напряженные состояния, эквивалентные напряженным состояниям краевого кручения и краевой плоской деформации. Они определяются решениями краевых задач, описываемыми гармоническим и бигармоническим уравнениями со специфическими граничными условиями. Решение этих краевых задач связано с математическими трудностями, не позволяющими применить эти результаты в практике инженерных расчетов.

В связи с этим в работах [2, 3] с помощью вариационно-асимптотического метода построена приближенная теория расчета НДС прямоугольных пластинок из композиционных материалов, круглых пластинок и круговой цилиндрической оболочки из изотропного материала постоянной и переменной толщины.

На основании расчетов тонких пластинок и оболочек установлено, что вблизи жестко защемленного края дополнительные напряжения краевой плоской деформации одного порядка с максимальными значениями наибольших напряжений основного НДС. Кроме того, существенное значение приобретают поперечные нормальные и касательные напряжения, что очень важно при оценке прочности авиационных конструкций из слоистых композиционных материалов.

С помощью этой теории разработан расчетный аппарат оценки прочности переходных зон конструкций, разностенных стыков, а также непрерывных соединений [4,5] (фланцевых, сварных) при наличии в них дефектов в виде начальных трещин. Однако в этой уточненной теории не учитывалось напряженное состояние краевого кручения типа «пограничный слой». В связи с этим в работе [6] методом асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости была сформулирована краевая задача для определения НДС прямоугольной пластинки идентичного краевому кручению. В результате расчетов показан существенный вклад этого напряженного состояния в общее НДС пластинки.

В данной работе ставится задача о дополнении приближенной трехмерной теории расчета НДС цилиндрических оболочек самоуравновешенным быстро затухающим НДС - кручением жестко защемленного края. Даны окончательная формулировка краевой задачи и ее решение способом приведения к задаче Дирихле.

Пусть цилиндрическая оболочка из изотропного материала нагружена поперечной распределенной нагрузкой д(г,в). Введем ортогональную систему координат гв1 (рис. 1) таким образом, чтобы оси г и в, лежащие в срединной плоскости оболочки, совпадали с главными направлениями упругости.

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка

Обозначив через Я, I, 2И радиус и толщину оболочки соответственно, отнесем ее к безразмерной системе координат (£,в,у), связанной с системой (г, в, 2) равенствами

г 2 Р ъ И 1 И

где р = г - Я.

Будем интегрировать систему дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости в цилиндрических координатах

да 1 Эт „ Эт а — а0

+

' гв

+

Эр Я Эв Эг

0;

Р

Эт

гв

1 Эа„ Эт

+ ^ + 2-* = 0; Эг р

Эр Я Эв Эт 1 Этд, Эа т

+

+ —^ + = 0; Эг р

Эр Я Эв

е ^ = а г— м(а в + а г); Эг

е

1 Эу w

--+ —

я Эв р Эи

а

т(а г + а г);

е -э^=а 2 —т(аг + ав

е

1 Эw Эу У Я Эв Эг гу Эу 1 Эи

2(1+м)т в;

е —+--

{ Эг Я Эв у

Эи ЭwЛ

Е--1--

Эр Эг

=2(1+т)тв2;

2(1 +М)т „

146

Для определенности будем полагать, что край пластинки £ = 0 жестко защемленный, а остальные края могут быть любыми и нагруженными краевыми внешними нагрузками типа распределенных перерезывающих сил или изгибающих моментов.

На плоскостях пластинки р = ±И должны выполняться граничные условия

° г = ± 2 ч

Кроме граничных условий (3), будем использовать соотношение

д&г Л I 7

—L = 0 при р = ±И, Эр

которое вытекает из (3) и третьего уравнения (2).

Пусть Р есть любое из напряжений или перемещений, которое будем задавать в виде

в = К. pQs,

где р - целое число, различное для разных напряжений и перемещений и 8=к,п,е. Следует отметить, что этими индексами обозначаются компоненты НДС, относящиеся к классической теории краевых плоской деформации и кручения соответственно. Кроме того, при окончательном определении указанных компонентов необходимо учитывать асимптотику каждого НДС, определяемого множителем И-р.

Если выбрать р в разложении

р = 1 для тг2, р = 0 для аг; р = 3 для м,

то можно показать [2], что соответствующее решение эквивалентно классической теории изгиба пластинок не только в смысле тождества дифференциальных уравнений, но и в смысле тождества граничных условий на боковых краях пластинки. Далее полагаем, что основное НДС пластинки, соответствующее классической теории, определено.

Обратимся к построению краевых задач, при помощи которых можно находить дополнительные по отношению к классической теории НДС, сколь угодно быстро затухающие при удалении от края £ = 0. Рассмотрим два типа граничных условий на краю £ = 0

и = 0, V = 0, м = 0

и = ^ твг = ° ^ = °

которые моделируют жестко защемленный край пластинки.

В работе [1] для граничных условий (6) доказано, что с точностью до величин порядка И* можно пренебречь краевым кручением, а для граничных условий (7) - краевой плоской деформацией. Тогда задача определения краевого напряженного состояния трактуется как задача суперпози-

ции трех состояний, одно из которых соответствует решению классической теории, другие - дополнительные, отвечают решению плоской деформации для граничных условий (6) и краевого кручения для граничных условий (7).

Применяя прием растяжения масштаба по толщине пластинки, а также в продольном направлении по формулам (1) принимаем в дальнейшем, что скорость изменения искомых величин по переменным (у,в,С) не слишком велика. Следует отметить, что в дальнейшем учитывается тот факт, что перемещения дополнительных НДС малы [1] в сравнении с перемещениями, отвечающими классической теории.

Пусть число р в разложении (4) принимает следующие значения: аг,ае,тГ2,а2 р = 2; тгв,твг р = 1 ы^  р = 1; V  р = 0.

Тогда для определения величин вп получим систему уравнений , соответствующую краевой плоской деформации. В работе [2] приведены основные соотношения и граничные условия для этой краевой задачи в прямоугольной пластинке из композиционного материала, а также пример расчета.

Пусть число р в разложении (4) принимает следующие значения:

(тге, те*)  р = 2 (аг, ае, тгс, а7)  р =1 /ОЛ

(ы, w) р = 0, V р = 1.

Тогда в соответствии с асимптотическим методом для определения величин Qс имеем систему дифференциальных уравнений

Эт£

Эт

ге

+-

= о,

Эу ЭС Е |У = 2(1 + т)т ге,

Е ЭС = 2(1 + ц)т&,

Эа г Эт

ге

Эу

Е д

Я Ну

Е Эы

—^г = а

+ -

Эт

Г2

= о,

Эт

Эт

Г2

Эе эс а г -т(ае +а 2

Я ЭС

7-т(а г + ае}

Эу

Е Эп_ я эе"

Е Эы

Я "Эу

+ -

е^ Эа 7

= о,

Эе ЭС

ае-т(а г +а ^),

Эw ч ч

) = 2(1+т)т

ЭС

г7

В системе уравнений (9) основной является система уравнений, из которой определяются (тгвс ,твсс, V). Она представляет собой систему дифференциальных уравнений задачи о кручении призматических стержней (с осью, проходящей вдоль оси в).

Построение этого решения сводится к интегрированию гармонического уравнения. Действительно, первые три уравнения системы

'вгс

д 2— дС2

' гвс

д 2— д—

--, Еу = 2(1 +

дудС с дС

где — - гармоническая функция переменных у,£, т.е. имеет место уравнение

Э 2- д 2-

Э- + д- = 0. (11) Эу2 дС2

Остальные уравнения из системы (9) будут также выполняться, если положить

д—

д 2-двду'

о

20

-2

-У20

О

Г0

0,

О

во

2

Еи0 = -2( 1 +

д —

Ewr

дудв

э— двдс

0.

0 ' дв' 0

Система уравнений (12) определяет компоненты НДС краевого кручения, имеющие порядок на единицу меньше, чем компоненты НДС в формуле (10). По этой причине ими в суммарном НДС пластинки будем пренебрегать.

Очевидно, что величины, определяемые выражениями (10), должны удовлетворять однородным граничным условиям (3), если потребовать, чтобы

д—

-— = 0 при у = ±1.

ду

Можно показать, что уравнение (11) имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (13), а также обладает свойством затухания

—=0 при £  ¥

и на жестко защемленном краю удовлетворяет второму из граничных условий (7), которое приводится к виду

Ток + Т0о = 0 при С =

Преобразуем граничное условие (15), учитывая выражение для тхук,

соответствующее классической теории, и первую из формул (10),принимая во внимание асимптотики (5), (8). Находим

Э 2—

Э^

Ек-

у

Э wk

С=0

(1 + ц)Я Э0Э£

С=0

Представим искомую функцию — в виде

— = т(0)у(у,С),

и подставляя ее в условие (16), окончательно находим

т

д 2у

ЭС

Ек 2 Э 2 wk

С=0

(1+т) я уЭ0ЭС

С=0

т(0) =

Ек 2 д 2 wk

(1+т)я д0д£

= у.

£=0

Э 2у

ЭС

С=0

Рассматриваемую краевую задачу приведем к решению задачи Дирихле для прямоугольника. Согласно [7] введем новые переменные

С' = у +1, у = С - 1/ш

Тогда граничные условия (13), (14) перепишутся в виде ду/дС' = 0 при С' = 2; С' = 0;

2к; дУ = С-1 при У' =- 1//2к

у = 0 при у = 1

Далее, применяя известную схему решения задачи [7], находим

У = I

п=1,3,5,... / р 'п

32/4 4 ехр (-'у + / р п ' ^

рп

I

|))С08

рп

2к»™* /2

или при переходе к старым переменным по формулам (20) имеем

у= I У 4 4 п=1,3,5,... / р п

ехр (- рп/2 С )со8 рп/2 (у + 1).

Подставляя эту функцию в аппроксимацию (17) и учитывая равенство (18), окончательно находим

у (у, 0, С) = -

Ек 2 д2 Wk

(1 + т Ж д0 дС

X

х I 3У4 4ехр

п=Л1,3,5,___/ р п

рп

С = 0

(у+1).

Определим дополнительные касательные напряжения краевого кручения, используя для этого соотношения (10) и выражение (21). Находим

оо

E

д2

'0 zc

V0c

wk

(1 + m) R Здд

E Э 2 wk

8

(i + m)R эеэс

2 2 о и =1,3,... n P

^ 8

(-

exp (- p И 2

22

Z=0 n=1,3,... n p

(-

exp (- pn 2

cos pn/ (g + 1),

sin pn/ (g + 1).

Касательное напряжение Tqzk основного напряженного состояния в цилиндрической оболочке

t

E

0zk

z

э wk

(1+m)r эеэс'

а его максимальное значение в заделке составляет

t т = -L0zk =

E

э 2 wk

(1+m)R эеэс

Z=o

Графики изменения искомых напряжений (22) по толщине оболочки на жестко защемленном краю^ = 0 в произвольном сечении 0 = const

показаны на рис. 2, где индекс «1» соответствует выражению T0zcltq^ ,

индекс «2» - te0cj0 , индекс «3» - tdzkjТ0± . При построении графиков в рядах выражений (22) удерживались только первые два слагаемых.

Рис. 2. Графики изменения касательных напряжений по толщине оболочки

Иллюстрации на рис. 2 показывают, что дополнительные касательные напряжения краевого кручения практически совпадают с основными касательными напряжениями оболочки при изгибе, соответствующими классической теории. Можно отметить, что дополнительные напряжения

151

типа «погранслой», определяемые в цилиндрической оболочке другими методами [8,9] решения задач трехмерной теории упругости, по величине и характеру затухания практически совпадают с результатами данной работы.

Расчеты НДС изгибаемой цилиндрической оболочки позволили установить, что дополнительные НДС краевого кручения вносят существенный вклад в общее НДС пластинки, например, максимальные касательные напряжения на жестко защемленном краю практически равны одноименным напряжениям кручения, соответствующим классической теории при изгибе пластинки.

Очевидно, такой высокий уровень напряжений необходимо учитывать в расчетах на прочность цилиндрических оболочек, особенно из слоистых композиционных материалов, например, при определении концентрации наномодификаторов в зонах повышенных напряжений, а также их различных соединений.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ № 17-08-00849/17).

Список литературы

1. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

2. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций / ИПРИМ РАН. 2002. Т. 8. №1. C. 28-64.

3.Фирсанов В.В. Погранслой и его влияние на прочность цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник МАИ. 2010. Т.17. №5. С. 212 - 218.

4. Фирсанов В.В., Серпичева Е.В. Прочность и трещиностойкость непрерывных соединений авиационных конструкций на основе некласси-ческойтеории оболочек // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып.11. Ч. 1. С. 267-279.

5. Фирсанов В.В. Математические модели уточненного расчета непрерывных авиационных соединений на прочность с учетом их податливости // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений / РУДН. 2015. №3.С. 58-68.

6. Фирсанов Вал.В. Напряжённое состояние типа «пограничный слой» - краевое кручение прямоугольной пластинки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений / РУДН. 2016. № 6.С. 44-51.

7. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз., 1962. 708 с.

8. Firsanov V.V., Doan T.N. Energy consistent theory of cylindrical hells//Journal of Machinery. Manufacture and Reliability. 2011. Vol.40. Issue 6. P. 543-548 (Scopus).

9. Firsanov V.V., Doan T.N. Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory // Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal / Begell House, INC. 2015. Vol. 6. Issue 2. P. 135-166 (Scopus).

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав.кафедрой №906, k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт

STRESS STATE OF TYPE "BOUNDARYLAYER"- BOUNDARY TORSIONOF

THE RECTANGULAR PLA T

V. V. Firsanov

Boundary value problem Formulated for determining the stress of state of type "boundary layer", an identical to torsion deformation of edgeis formulated, and its solution in a way bring to the Dirichlet 's problem is given.As a result of calculations the essential contribution of the boundary torsionstress-strain state to the general stress-strain state of a plate is shown, that is very important at an estimation of strength for various connections in thin-walled elements of aircraftstructures.

Key words: rectangular plate, three-dimensional elasticity theory equations, method of direct asymptotic integration, boundary value problems, the main stress-strain state, stress state "boundary layer".

Firsanov Valery Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head of chair 906, k906@mai.ru, Russia, Moscow,Moscow Aviation Institute