Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового концентратора

УДК 620.172.2

МЕТОД РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В ЗОНЕ УГЛОВОГО КОНЦЕНТРАТОРА

© 2006 А.Н. Шацкий, Я.Ю. Григорьев, О.В. Патлина Институт Машиноведения и Металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре

В статье на примере задач об одноосном растяжении цилиндрических и плоских образцов с угловыми вырезами рассматривается подход к определению пластических деформаций в окрестности вершины углового выреза.

На примере задач об одноосном растяжении цилиндрических и плоских образцов с угловыми вырезами рассматривается подход к определению пластических дефор -маций в окрестности вершины углового выреза. При расчете тело образца предполагается составным: материал в целом упругопластический, но в малой области в окрестности особой точки - вершины выреза материал считается жесткопластическим, что позволяет реализовать численно-

аналитический подход к определению полей деформаций.

При пластическом течении в окрестности угловой точки деформации и напряжения распределены крайне неоднородно. Для поля напряжений и деформаций угловая точка является особой, то есть предельные значения тензоров по различным направлениям не совпадают.

Определение поля деформаций численными методами приводит к значительным математическим трудностям, так как операция определения тензора деформаций включает в себя операцию дифференцирования перемещений по пространственным переменным.

Рассмотрим окрестность вершины углового выреза, где материал является идеальным жесткопластическим. Эту область будем представлять как суперэлемент (рис. 1). Жесткопластическая область состоит из прямоугольных треугольников ЛВС,

АВ’С’ и ЕЛЕ, в которых реализуется однородное напряженное состояние, и двух вееров линий скольжения ВЛЕ и В’ЛЕ’. Границы выреза АС и АС’ предполагаются прямолинейными и свободными от напряжений, поэтому в ЛВС и АВ’С’ первое главное напряжение а— равно 2к и направлено вдоль свободных поверхностей.

Рис.1. Окрестност ь вершины углового выреза

Граничные условия на СВЕЕ’ВС’ определяются согласно [1]. Обозначим за в угол наклона касательной к а- линии скольжения, отсчитываемый в кратчайшем направлении от оси х. Гидростатическое

давление р =- — (с

(а + а + а ) и тензор на-

3 \ хх уу и ) г

пряжении ац опр еделяются

р - к sm

к cos

0

а ]=

виде:

р + к sm(2в) 0

0

0

р = к + 2к|в +-2р

на ВС: в =-—,

9

О 2р ҐЇ р

на ВЕ:---------< в < —

9 4

на ЕО: в=7' Р = к (Р+»'

а = кр,а = к

хх УУ

Пластическое течение предполагается симметричным относительно оси Ох, поэтому напряжения на противоположной границе совпадают с (1).

Жесткопластический анализ позволяет рассчитать предельные поля тензоров деформаций в окрестности точки А.

В качестве меры деформации выберем

тензор

Альманси E..: E =—(d - x0 x0 ).

J J л\ J k,t k,j !

2

Определение деформаций связано с интегрированием системы уравнений, связывающих тензор деформаций E . и тензор

скоростей деформаций еу:

DE dE..

j - — + EV. + E.,V,. =e ,

k k, j jk k, j

Dt

где e

V. . + V..

IJ______

2

V

скор ость пер емеще-

ний, х., х. - лагранжевы и эйлеровы коср-

d д д

динаты, — = —+ ¥к .

dt дt дхк

Данная система уравнений при предельном переходе в поле линий скольжения жесткопластического суперэлемента, при плоской деформации сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [2]:

^а  / + g • С08(2(в-у)) = ^ da

а+г е - -2 1 со э(2( в - у))=^

2gdlaf - fe - "2') sin

f

=

dv

da

+u

где e =

(Eli + E22) V(En - E22 )2 + 4Et22

% g =-

22 в,у - углы наклона первого (алгебраически наибольшего) главного направления тензоров Е..,е..; а - угол наклона а-линии к оси х1; и, V - проекции скоростей перемещений на а,р - направления;

т = а I + Ъ] - вектор скорости возможных изменений положения вершины углового выреза. Поле скоростей внутри жесткопластической области определяется соотношениями Гейрингер [1]: du-vdв = 0 (а-линия) dv + udв = 0 (р-линия).

Задача о растяжении полосы с угловым вырезом.

Решение задачи состоит из четырех этапов.

Рис.2. Заданные растягивающие перемещения

На первом применяется численный комплекс MSC.Marc 2005.

Полоса с V-образным вырезом находится в условиях плоской деформации. На верхней и нижней гранях полосы заданы растягивающие перемещения U вдоль оси Y, соответственно вверх и вниз (рис. 2). Материал полосы предполагается упрочняющимся упругопластическим. Пластическое состояние определяется по критерию Мизеса.

Определим параметры полосы.

Длина 1=300 мм, ширина b=150 мм, угол выреза 26=10°, глубина выреза h=30 мм. Материал полосы: упрочняющийся упругопластический алюминий (Е=10000

Н/мм2, v=0.33, упругопластические свойства задавались дискретным заданием точек на

Рис.3. Распределение нормальных скоростей

кривой а-г, предел текучести оТ=18.225

Н/мм2, постоянная текучести к = а=). При-

л/3

кладываемые нагрузки: перемещения по оси ОУ и = 6 мм.

При прямом применении пакета MSCMarc 2005 к решению задачи при вышеуказанных условиях возникает проблема сходимости вычислительных процессов.

Для преодоления этой трудности в окрестности вершины выреза вводится рас-смотр енны й су пер элеме нт.

Алгоритм расчета

На первом этапе определяется размер жесткопластической области. За характеризующий размер жесткопластической области принимается радиус веера характеристик Я. Размер области выбирается из соображений минимальности Я при непревышении предела текучести. Я зависит от величины растягивающей нагрузки, а также от материала, из которого сделана полоса.

Для реализации в MSCMarc 2005 жесткопластическая область исключается. Действие отброшенной области на полосу заменяется напряжениями, приложенными вдоль всей жесткопластической границы.

Граничные условия определяются соотношениями (1).

Результатом первого этапа является распределение нормальных скоростей (рис. 3), полученное на границе жесткопластической области.

В ходе исследования рассматривались различные материалы, нагрузки и радиусы жесткопластической области. Было установлено, что при больших нагрузках граничные

условия, приложенные к суперэлементу, не влияют на распределение напряжений и перемещений в окрестности жесткопластической области. Напряжения отличаются на десятые доли процента, а перемещения - на процент. Также было замечено, что во избежание больших погрешностей, радиус R жесткопластической области должен быть соизмерим с растягивающими перемещениями U.

На втором этапе по распределению скоростей на границе суперэлемента определяется поле скоростей внутри жесткопластической области.

При определении поля скоростей в области AEE’ предполагается линейное распределение скоростей и, v соответственно, на линиях AE, AE’ (рис. 4). В этом случае это распределение полностью определяется скоростями перемещений в точках E, E. Из симметрии пластического течения относительно оси Ох при q = ~ следует, что в точке

E их = иу. В этом случае предельные компоненты скорости движения частиц материала в точке А со стороны области AEE’

иу

определяется в виде и = v = —г=. распреде-

V2

ление скоростей v на линии а определяет

Э^ ^ „ Эv

величину —. Найденные величины и и — Эа Эа

определяют коэффициент f системы уравнений (3) при заданном векторе m = a i + bj.

На третьем этапе определяются возможные поля распределений тензора деформаций в окрестности точки А, путем интегрирования системы (3) при возможных скоростях m. Действительное движение точки А находится из условия: inf sup E1 , где sup E1 - наибольшее значение

m SA SA

первого алгебраически наибольшего главного значения тензора EtJ в окрестности точки А.

Возможна другая эквивалентная фор -мулировка этого условия [3]: inf sup W , где W - удельная диссипация

m SA

энер гии.

Рис.4. Линейное распределение скоростей

На четвертом этапе по найденному значению т определяется новое положение точки А на заданном шаге времени.

На этом этапе возможны два варианта пластического течения [4]:

1) при максимально возможных деформациях материала.

2) при допустимых деформациях материала, определяемых характеристикой

Е*.

Данный подход реализует алгоритм, предложенный в работе [4].

Список литературы

1. Быковцев Г.И., Ивлев Д. Д. Теория пластично сти. Владив осток: Даль нау ка,

1998.529 с.

2. Хромов А.И. Деформации и разрушения жесткопластических тел. // Владивосток: Дальнаука, 1996.

3. Хромов А.И., Козлова О.В. разрушение жесткопластических тел. Константы разру-шения// Владивосток: Дальнаука, 2005.

4. Хромов А.И., Буханько А.А., Степанов С.Л. Концентраторы деформаций// ДАН, 2006, № 1.

CALCULATION METHOD OF LIMITING PLASTIC STRAINS IN THE ANGULAR

CONCENTRATOR ZONE

© 2006 A.N. Shatskij, Y.U. Grigoriev, O.V. Patlina

The approach to determination of plastic strains near tip of angular notch is considered by the example of problems of the uniaxial a stretching of cylindrical and flat samples with angular notches. At calculation we propose, that the sample body is compound: the material is elastic-plastic as a whole, but we propose that the material is rigid-plastic in small area near critical point (the tip of the notch). This assumption allows realizing the numerical-analytical approach to determination of strain fields.