Роль задач в развитии математических способностей

УДК 371.3

Л В. Антонова

Роль задач в развитии математических способностей

В статье рассматривается методика обучения решению задач, способствующая математических способностей старшеклассников.

Ключевые слова: математические способности, обобщение, задачи.

развитию

L. V Antonova

The role of problems in development of mathematical ability

The article deals with the methods of solving mathematical problems, which contributes the development of mathematical ability of senior pupils.

Key words: mathematical ability, generalization, problems.

Основная роль в старших классах отводится математическим задачам.

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Математические задачи являются эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии математических способностей учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Именно поэтому для решения задач отводится половина учебного времени на уроках математики. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в развитии математических способностей учащихся.Обязательным условием правильной организации учебной деятельности является постановка перед школьниками учебной задачи. До знакомства с задачей у учащихся должны быть сформированы логические приемы мышления, сформированы непосредственно математические понятия и отношения, которые будут использоваться при решении задач[1]. Главная базисная математическая способность - это способность мыслить логикоматематическими структурами, схемами логико-математических отношений[1]. Поэтому необходимо добиваться, чтобы учащиеся помнили, прежде всего, инвариантные системы отношений и связей между элементами самих задач и инвариантные логико-математические схемы их закономерных последовательных переструктурирований в процессах решения задач или доказательства. Большинство авторов учебников развивающего обучения предлагают рассматривать процесс решения задач с точки зрения моделирования:

Для того чтобы ученик умел решать задачи, он должен сначала научиться создавать математическую модель, выбирая необходимые для решения величины из их множества и осуществляя вариативный поиск данных, недостающих для решения задачи. Найдя решения полученной математической задачи, ученик должен их проанализировать, сравнить и выбрать наиболее оптимальные. Чтобы ученик мог создавать такие модели, учитель должен разработать тематически ориентированные эвристические таблицы[5]:

1. Запишите кратко задачу: еще раз убедитесь в том, что никакое условие и требование задачи не оказалось забытым.

2. Обдумайте план решения задачи. Подумайте над тем, с чего начать решение, какую величину можно найти вначале. Затем попытайтесь рассуждать таким образом: допустим, что эту величину нашли, каким образом ею можно воспользоваться дальше?

3. Решение до конца не просматривается. Как быть? Возможно, для решения задачи требуется дополнительное исследование:

а) Все ли условия задачи использовали при ее решении?

б) Какие понятия используются в задаче? Как они определяются? Какие теоремы, связанные с ними, вам известны? и т.п.

Также для дидактического управления поиском решения задач можно пользоваться приводимой в [5] таблицей эвристических правил (табл.1).

Таблица 1

___________________________Таблица эвристических данных (в кратком виде)____________________

1.

Понять предложенную задачу

2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, то рассмотреть промежуточные задачи

3. Реализовать найденную идею решения

4. Решение проверить и оценить критически

1

Что гласит задача?

Что дано?

Что нужно найти?

Определено ли

неизвестное данными задачи?

Нельзя ли

сформулировать задачу иначе?

Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением?

Или с задачей, решающейся проще? Решающейся сразу?

Все ли данные задачи были использованы?

2

Сформулировать отношение (или

отношения) между неизвестными и данными. Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к искомым неизвестным. Преобразовать данные элементы. Попытаться получить новые элементы, более близкие к искомым неизвестным. Решить только часть задачи. Удовлетворить только части условий: насколько неопределенным окажется тогда неизвестное? Обобщить. Рассмотреть частные случаи. Применить аналогию.

Испытывать правильность каждого шага,принимая лишь то, что «усматривается с

полной

ясностью или выводится с полной достоверно стью»

(Декарт).

Правдоподобен ли результат? Почему? Нельзя ли сделать

проверку? Нет ли другого пути,

ведущего к

полученному результату? Более прямого пути? Какие результаты можно получить?

3

4

Согласно В.И. Крупичу учебная задача является основным структурным компонентом учебной деятельности. Ее цель - развитие ученика, овладение им обобщенными отношениями в математики, усвоение и овладение им новыми способами действий [2]. В основе определения понятия «учебная задача» лежит обобщенная цель деятельности, при которой возникает учебная проблема. Разрешая ее, учащиеся овладевают соответствующими знаниями и умениями. В.И. Крупич, рассматривая учебное задание с позиций методики обучения, говорит, что оно есть синтез предметной задачи и учебных целей. Таким образом, обучение и развитие ученика происходят только в процессе целенаправленной учебной деятельности. Это положение составляет основу деятельностного подхода к профильному обучению. Он предполагает такую организацию деятельности учащихся в процессе обучения, при которой создаются условия для эффективного усвоения учащимися знаний и способов деятельности, для развития их математических способностей.

Учебная задача, с решения которой только и начинает развертываться полноценная учебная деятельность, вынуждает ученика искать общий способ решения всех задач подобного типа соответственно. Для того чтобы решить эти задачи, необходима глубокая работа с исходной учебной информацией, строящаяся на основе ее анализа, установления взаимосвязи внутреннего и внешнего, сущности и явления, исходного и производного. Постановка и решение учебных задач требуют такого информационного материала, с которым учащиеся могут производить соответствующие преобразования, выполнять предметное или мысленное экспериментирование. Сейчас все большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы профильного обучения. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.

1. Составление учащимися задач. Одним из главных условий и результатов профильного обучения является превращение школьников в субъект деятельности. Для того чтобы школьник стал по настоящему субъектом учебной деятельности, он должен активно участвовать в создании учебной информации - информация должна рождаться у него на глазах.

При составлении учащимися задач принципиально нового типа возникает необходимость выяснения требований к условию задач (количество данных, непротиворечивость их и независимость) и ознакомления учащихся с некоторыми дополнительными сведениями. Приобщение учащихся к самостоятельному составлению задач - один из эффективных путей развития математических способностей. Составление задач состоит из трех этапов: установочно-

подготовительного, основного и оценочного. На первом этапе учащиеся должны знать структуру задач, их классификацию по содержанию, методам решения, типам. На втором этапе учащиеся анализируют банк имеющихся задач по теме, составляют задачи по аналогии, обобщают, видоизменяют и т.д., выделяя требования к условиям задач по конкретной теме (непротиворечивость, полнота, независимость); выявляют основные понятия темы и структурные связи: а) внутренние по теме; б) внешние с другими темами. В результате получают новые задачи с неизвестными для них методами решения. На третьем этапе учащиеся определяют возможные направления дальнейшего генерирования задач. Необходимо добиваться, чтобы большинство учащихся после составления и решения задач помнили типовые признаки задач, схемы рассуждений, основные линии рассуждений, логические схемы. Самостоятельное и творческое изучение математики является необходимой предпосылкой развития математических способностей к подлинно творческой математической деятельности

- самостоятельной постановке проблем и нахождению новых путей и методов их решения. Составление задач вызывает определенные трудности, поэтому сначала можно предложить задачи с не сформулированным вопросом [1]. В задачах этой серии ни прямо, ни косвенно не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Эта серия направлена на развитие некоторых особенностей умственного восприятия школьниками математической задачи. Смысл серии заключается в том, что она позволяет выяснить, как воспринимает математическую задачу учащийся -видит ли он в ней лишь совокупность разрозненных и несвязанных данных. Например: Две окружности радиусами R и г пересекаются, расстояние между центрами равно d (можно найти площадь общей части, длину общей касательной и т.д.).

2. Решение задач разными способами. Математики делят задачи на простые и составные (сложные). Простой называют задачу, которая решается при помощи одного действия, а под составной понимают задачу, в решении которой используют два или более действий. Составную задачу можно разложить на простые подзадачи. Разложение составной задачи на простые не всегда однозначно. Это означает, что задачи можно решать различными способами. При решении задачи несколькими способами раскрываются возможности различных способов рассуждений, взаимосвязь и общность понятий. Кроме поиска оптимального решения происходит эффективный самоконтроль и проверка. В итоге с помощью конкретных задач вскрываются общие методы и происходят обобщения. Эти задачи направлены на исследование особенностей переключения от одной мыслительной операции к другой. Выясняется, в частности, насколько ученик способен переключаться с одного способа решения задачи на другой способ решения этой же задачи.

Рассмотрим решение известной геометрической задачи несколькими способами, которую можно предложить на уроках обобщения.

Задача: Доказать, что сумма расстояний от любой точки М основания [АВ] равнобедренного треугольника АВС до прямых (АС), (СВ), содержащих его боковые стороны, есть величина постоянная. 1 способ(метод площадей).

SABC =1 ch = const. По свойству площадей SABC = S1 + S2 = 1 AC  KM +1CB  MN, где S1 и S2

- площади ЛАСМ и ЛВСМ соответственно (рис 1). Так как ЛАСВ - равнобедренный, то АС=СВ.

1 2S

Тогда SACB =— b(KM + MN), а отсюда получаем, что KM + MN = -j- = const.

2 способ (метод координат). Пусть Н(0,0), В(1,0), А(-1,0), C(0,h), М(х,0) (рис 2). Уравнение

- hx + h

r

прямой СВ: -hx-y+h=0. Тогда расстояние от точки М до прямой СВ равно

1 yjh2 +1

Уравнение прямой АС: hx-y+h=0. Тогда расстояние от точки М до прямой АС равно

hx+h 2h

Pi = I „ . Pi + Pi = . = const.

Vh2 +1

Vh2 +1

Рис 3.

Рис 4.

3 способ

KM MN

(рис 3). Из подобия следует, что -----------------=------, отсюда KM=ÁM-sina,MN=MB-sina;

AM MB

KM+MN=sina(AM+MB)=AB-sina=c-sina=c-sina.=const.

MK AK

4 способ (теорема синусов).Применим теорему синусов в ААКМ: -------------=--------, откуда

sin a sin Ь

MN BN

получаем MK sin b - AK sin a = 0 (рис 4).Аналогично для ААКМ: --------=--------, откуда получаем:

sin a sin b

MN sin b — BN sin a = 0

Просуммируем полученные

(AK + BN) sin a

равенства:

(MK+MN)sin b - (AK + BN) sin a = 0 MK + MN

sin b

Из прямоугольного треугольника АКМ: ВЫ=МВ-^1пв. Из прямоугольного треугольника МЫВ: АК=АМ• 8шр. ТогдаМК+МЫ=(МВ +АМ) 8ІпР=с=соп8І.

При решении задачи разными способами ученик учится подходить к одной проблеме с разных сторон, находить оптимальное ее решение, в результате он овладевает общими методами решения.

Таким образом, развивается основная компонента математических способностей - способность обобщать математический материал, вычленять главное.

3.Решение нестандартных, исследовательских задач.

Математические задачи можно классифицировать по уровням трудности: алгоритмический, алгоритмическо-поисковый и исследовательский.

Первый уровень - алгоритмический. Группа А. Признаки данной задачи:

- решение задач требует знания теоретического материала одного или нескольких разделов учебного предмета;

- все данные, необходимые для ее решения, заданы условием, либо недостающие данные могут быть найдены;

- задача имеет единственное решение;

- правильное применение общего алгоритма гарантирует успешное решение.

Второй уровень - алгоритмическо-поисковый. Группа В. Признаки данной задачи:

- решение задачи требует знания теоретического материала нескольких разделов или нескольких учебных предметов;

- часть данных необходимо найти в других источниках;

- задача может иметь несколько решений, либо необходимо сделать оценку;

- алгоритм решения задачи может быть неизвестен тому, кто ее решает.

Третий уровень - исследовательский. Группа С. Признаки данной задачи:

- решение задачи может требовать определения дополнительных данных, либо определить необходимые данные, выяснить, что дано, что неизвестно, что необходимо найти;

- задача может иметь несколько решений, либо необходимо сделать оценку;

- задача не алгоритмируется, ее решение требует использования эвристических средств.

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения. Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение. Н.В. Метельский видит основную причину в неудовлетворительной постановке задач в обучении математике. Он пишет: "Проблема постановки задач в процессе обучения математике до сих пор не нашла удовлетворительного решения (ни в нашей стране, ни за рубежом) ни с точки зрения

содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения, ни с точки зрения числа

обязательных или необязательных задач или представления их в виде целостной системы" [3].

Необходимо проводить заключительный анализ, установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, ведь это главные аспекты решения задач.

Способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления, как об этом пишет в своей книге академик Колмогоров.

Рассмотрим задачи, которые можно предложить в 10-11 классах:

1. Доказать, что функция/гс СО = соз(л С0Е *)> Л'£ [—1,1],

совпадает с некоторым многочленом степени п, п £ {0} и /V.

Проанализировав условие данной нестандартной задачи, а именно, что, число п принадлежит множеству целых чисел, учащиеся проводят доказательство методом математической индукции и делают вывод, в каких случаях можно применять этот метод.

2. В многогранник с п гранями можно вписать сферу. Докажите, что сумма косинусов его двугранных углов не превосходят п/2.

Проанализировав условие этой достаточно сложной и нестандартной задачи, а именно, что речь идет о сумме косинусов двугранных углов многогранника, в который вписана сфера, учащиеся приходят к выводу, что задачу лучше решить векторным методом, правильно уловить смысл вопроса.

Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке приобретается с трудом. Поэтому необходимо добиваться, чтобы учащиеся помнили прежде всего инвариантные системы

отношений и связей между элементами самих задач, то есть необходимо развивать способность мыслить логико-математическими структурами, схемами логико-математических отношений.

4. Общий метод решения задач. По мнению Л. Фридмана, одной из основных задач в обучении математике функций является функция формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических задач. Учащиеся же в настоящее время не получают никаких специальных знаний, на базе которых возможно такое формирование. Более того, в настоящее время эти общие умения формируются чисто стихийно, а не в результате целенаправленного, систематического обучения. Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа математических задач [4].

В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, все равно учащиеся встретятся с новыми видами задач. Поэтому школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.

Например, как надо решать иррациональное неравенство \ зс 2 - З.с + 2 > х — 1,5 (1 )?

Проанализировав неравенство, учащиеся приходят к выводу, что неравенство можно записать в общем виде, которое равносильно совокупности систем:

5. Решение неопределенных и переопределенных задач.

Среди предлагаемых учащимся задач представлены задачи разных классификаций: по их назначению - тренировочные и развивающие, по наличию алгоритма решения - стандартные и нестандартные, по характеру требования - доказательные, вычислительные и конструктивные. Есть и другие классификации, находящие то или иное отражение в школьных учебниках. Но одна из классификаций почти не находит отражения в действующих учебниках за редкими исключениями. Речь идет о классификации по характеру условия задачи - определенные, неопределенные и переопределенные. Постоянно необходимо задавать учащимся вопросы: «Все ли возможные случаи рассмотрены?», «Достаточно ли данных для решения задачи?», «Сколько решений имеет задача?» и т. п.

Естественно, задачи, предлагаемые под этими рубриками, соответствуют поставленному вопросу, т.е. имеют несколько вариантов реализации условия, несколько возможных путей решения, и количество данных в условии не обязательно является необходимым и достаточным для получения ответа.

Однако многие известные педагоги-исследователи считают использование таких задач полезным и необходимым.

Например, М. Крутецкий в своей книге "Психология математических способностей школьников" приводит следующую классификацию:

1. Задачи с несформированным условием - задачи, в которых имеются все данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.

2. Задачи с избыточным условием - задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения задачи данные.

3. Задачи с неполным составом условия - задачи, в которых отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.

4. Задачи с противоречивым условием - задачи, содержащие в условии противоречие между данными [1, с. 124-150].

В. А. Крутецкий использовал задачи различных типов, среди которых были и приведенные в этой классификации в качестве тестовых заданий для выявления психологических аспектов математических способностей школьников.

По результатам этого исследования получилось, что сильные ученики справляются с задачами указанных типов практически самостоятельно, быстро, без помощи испытателя. Ученики средних способностей также неплохо справляются с подобными заданиями, однако для их решения им

(2), где

требуется больше времени и иногда наводящий вопрос, наталкивающий на решение. Слабые ученики практически не могли самостоятельно провести решение этих задач, не видели связи между объектами задачи и даже с подсказкой испытателя не могли справиться с заданием.

Следует отметить, что именно с указанными типами задач исследователи связывали наибольшие надежды.

В книге Д. Пойа "Как решать задачу" приводится похожая классификация, отличающаяся лишь тем, что в ней отсутствуют задачи с несформированным составом условия. Более того в своей таблице, направленной в помощь решателю, он первыми пунктами поставил вопросы: Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво?

У Н. Метельского встречается такая классификация задач. Между условием задачи (А) и ее требованием (Х) может быть различное соотношение, определяющее число решений. Основные функции задач в обучении выполняют определенные задачи, однако известную пользу, по мнению Н. Метельского, приносит учащимся знакомство с неопределенными и переопределенными задачами

[3].

Задачи из рассматриваемой классификации полезны тем, что они не обладают алгоритмичностью решения, они активизируют умственную деятельность учащихся, заставляют их искать нестандартные подходы к решению задач, а также допускают как несколько способов решения, так и несколько решений вообще.

Как пишет М. Буловацкий, школьник, как правило, игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по мнению М. Буловацкого, серьезным недостатком математического образования школьников. Итак, многие педагоги-исследователи указывают на целесообразность использования в обучении задач с «аномальными» условиями.

6. Актуализация знаний как составная часть поиска решения задачи. Важным этапом поиска решения задач является актуализация соответствующих теоретических сведений. Какие теоретические сведения выбрать? Как ими воспользоваться? Как лучше всего выполнить рисунок к задаче? Эти вопросы вызывают определенные трудности у учащихся, особенно в начале новой темы. Учащимся необходима определенная помощь. В какой форме эта помощь может быть оказана? Можно предложить следующий подход обучения учащихся актуализации знаний. При выполнении самостоятельных и контрольных работ не следует ограничивать доступ учащихся к справочным материалам. Проверяться должна не память, а понимание и умение решать задачи. Такая установка положительно влияет на обучение учащихся актуализации знаний, приобретению эвристических навыков решения задач. При выполнении самостоятельных и контрольных работ учащиеся могут пользоваться самостоятельно составленным глоссарием, где приводятся теоретические справки, общие типы задач, основные идеи, логико-математические схемы, таблицы эвристических правил.

Литература

1. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М., 1968.

2. Крупич В.И., Епишева О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учеб. деятельности: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990.

3. Метельский Н .В. Дидактика математики. Общая методика и ее проблемы. - Минск: Изд-во БГУ, 1982.

4. Фридман Л.М. Как обучать решению задач?// Педаг. вестник. - 1993. - №7. - С.2-3.

5. Пойа Д. Как решать задачу. - М.: ГУПИ МП РСФСР,1961.

Антонова Лариса Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Бурятский государственный университет. Antonova Larisa Vasilievna, candidate of physical and mathematical sciences, Buryat State University.

670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, тел: 219757.