Методика агрегирования обратных кинетических задач с применением параллельного индексного метода глобальной оптимизации

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 541.186, 518.517

М. В. Тихонова, В. В. Рябов, И. М. Губайдуллин

МЕТОДИКА АГРЕГИРОВАНИЯ ОБРАТНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ИНДЕКСНОГО МЕТОДА ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Данная статья продолжает цикл работ по исследованию химической реакции каталитического карбоалюминирования олефинов с использованием параллельного индексного метода глобальной оптимизации. В предыдущей работе [1] был рассмотрен классический способ идентификации математической модели реакции по отдельности для каждой из рассматриваемых температур, который не позволил определить некоторые кинетические параметры. В рамках данного исследования предлагается новая методика построения агрегированной обратной кинетической задачи, которая позволяет сохранять размерность общей задачи постоянной, независимо от количества экспериментов, и учитывать зависимости кинетических параметров от температуры. Обратная кинетическая задач; глобальная оптимизация; индексный метод; параллельные вычисления

ВВЕДЕНИЕ

При изучении механизмов сложных химических реакций металлокомплексного катализа возникают проблемы как физико-химические, так и математические. Физико-химические проблемы сводятся к трудности или невозможности измерения характеристик промежуточных соединений, что может инициировать неоднозначность параметров построенной математической модели: кинетических констант скоростей, энергий активаций и частот столкновения реагирующих молекул. Таким образом, возникает задача идентификации математической модели, которая в общем случае является задачей глобальной оптимизации и подразумевает циклическое решение множества прямых задач - систем обыкновенных нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений - для подбора оптимального набора параметров.

Для изучения механизмов реакций металлокомплексного катализа, исследуемых в Институте нефтехимии и катализа (ИНК) РАН г. Уфы, и определения их кинетических параметров было предложено использовать параллельный индексный метод глобальной оптимизации, разрабатываемый в ННГУ им. Лобачевского [1].

При отдельной идентификации математической модели для различных температур, при которых проводится натурный эксперимент, возникает проблема выбора диапазонов изменений искомых кинетических констант (область поиска глобального оптимума) и проблема учета структурных связей между соответствующи-

Контактная информация: vig@cnit.rb.ru

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант

12-07-00324.

ми обратными задачами химической кинетики. Для одной и той же реакции при разных температурах, согласно закону Аррениуса [2], константы скоростей элементарных стадий растут с ростом температуры. Один из возможных способов учета таких связей - построение агрегированной обратной кинетической задачи.

РЕАКЦИЯ

КАРБОАЛЮМИНИРОВАНИЯ

ОЛЕФИНОВ

Реакция каталитического карбоалюминиро-вания олефинов получила применение в лабораторной практике ИНК РАН как эффективный способ построения новых Ме-С (метил-углерод), Е1:-С (этил-углерод) и С-С (углерод-углерод) связей [3].

Для исследования Ме-С типа связи в ИНК РАН г. Уфы были предложены две вероятные схемы механизмов реакции в присутствии различных катализаторов Ь22гС12, где в качестве лиганда Ь выступают Ср = С5Н5 (табл. 1, схема 1) и СрМе5 = (С5Н5)Ме5 (табл. 1, схема 2).

В качестве А выступают вещества, приведённые в табл. 2.

В лабораторных условиях реакция каталитического карбоалюминирования олефинов проводилась в присутствии катализаторов Ь22гС12 (Ь = Ср, СрМе5) при трех температурах (15 °С, 22 °С и 30 °С) и начальных концентрациях (мольные доли):

х1 = 0,009, х2 = 0,541, х6 = 0,450.

В ходе эксперимента наблюдались концентрации пяти веществ (А6, А8, А13, А16, А18) и выдавались их процентные соотношения.

Таблица 1

Схемы реакции карбоалюминирования олефинов

Схема 1 в присутствии катализатора Cp2ZrC1 Схема 2 в присутствии катализатора (CpMe5)2ZrC1

1 кі Аі + А2 Аз w1 = к1х1х2 — к-1х3 кі Аі + А2 А3 ^і = кіхіх2 — к-іх3

2 к-1 к2 А2 + А3 А4 + А5 w2 = к2х2х3 — к-2х4х5 к-1 к2 Аз + А6 ^ А19 W2 = кіхх

3 к-2 кз А4 + А6 —' А7 w3 = к3х4х6 кз А2 + А19 А3 + А8 Wз = кххід

4 к4 А2 + А7 —— А4 + А8 w4 = к4х2х7 к4 А19 Аі + А8 w4 = к4хі9

5 к5 А7 —— А13 + А14 ^5 = к5х7 к5 Аі9 ^ Аі3 + А20 w5 = к5хі9

6 к6 А6 + А14 — А15 ^6 = квК6 хі4 к6 А6 + А20 ^ А2і W 6 = квХвК20

7 к7 А6 + Аі5 — Аі4 + Аі8 ^7 = к7 х6 хі5 к7 А6 + А2і ^ Аі8 + А20 W7 = к7х6Г2і

8 к8 А2 + Аі5 — Аі4 + Аі6 ^8 = к8х2хі5 к8 А2і ^ Аі + Аі6 W8 = кцК2і

9 кд А2 + А2і ^ А3 + Аі6 w9 = к9х2х2і

Таблица 2

Список веществ схем реакций карбоалюминирования олефинов

А1 = Ь^гС12, Ь = Ср, СрМе5 А2 = А1Ме3 А3 = L2ZrC1MeC1A1Me2 А4 = L2ZrMeC1A1Me3 А5 = C1A1Me2 А6 =

А7 = CЫ2CЫMeRL2ZrC1A1Me3 А8 = CЫ2CЫMeRA1Me2 А9 = C2H6 А10 = L2Zr(C1)CЫ2CЫ2A1Me2 А11 = L2Zr(C1)CH2CH2(R)CH2CHA1Me2

А12 = MeA1CЫ2CЫ2CЫRCЫ2 А13 = Ы2CCMeR А14 = L2ZrHC1A1Me3 А15 = L2ZrCЫ2CЫ2(R)C1A1Me3 А16 = Me2A1CЫ2CЫ2R А17 = L2ZrCЫ2CЫRCЫ2CЫ2RC1A1Me3 А18 = Ы2CCRCЫ2CЫ2R А19 = L2ZrCЫ2CЫMeRC1C1A1Me2 А20 = L2ZrЫC1C1A1Me2 А21 = L2ZrCH2CH2RC1C1A1Me2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Прямая кинетическая задача представляет систему уравнений химической кинетики - систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (ОНДУ) для изотермической нестационарной модели без изменения объема реакционной смеси в закрытой системе на основе закона действующих масс [2].

Правые части полиномиального типа зависят от параметров - констант скоростей элементарных стадий, входящих в механизм сложной химической реакции.

Обратная задача состоит в определении этих параметров на основе экспериментальных дан-

ных о концентрациях участвующих в реакции веществ - переменных исходной системы [1].

1 РпМ

ф(>,)=т-4/ min, т

Рк=11=1 /=1

у=(к1,к-1)’

где к;, к_1 - приведенные константы скоростей прямой и обратной элементарной стадии, 1/ч, соответственно (к/, к_1 > 0); хрш - расчетные значения процентных соотношений концентраций наблюдаемых веществ, получаемые в результате решения прямой кинетической задачи на наборе

э

констант у; х ш - экспериментально полученные значения процентных соотношений концентраций наблюдаемых веществ; Н - количество на-

блюдаемых веществ; п - количество точек эксперимента; Р - количество экспериментов.

Поскольку выходные данные модели хрш зависят нелинейно от значений констант к1, к-1, задача (1) является в общем случае задачей многоэкстремальной оптимизации.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ БАРЬЕРОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СТАДИЙ

Энергию активации и частоту столкновений реагирующих в элементарной стадии молекул вычисляют по результатам измерения влияния температуры на константу скорости реакции. В нешироких интервалах умеренных температур, в которых обычно производятся кинетические измерения, энергия активации не зависит от температуры.

Зависимость константы скорости стадии химической реакции к от температуры Т определяется уравнением Аррениуса:

, А  в~Еа

к = -

,

Я  Т

где к - приведенная константа скорости элементарной стадии, 1/ч; Еа - энергия активации, Дж/моль, Я - универсальная газовая постоянная, Дж/(моль • К); А - частота столкновений реагирующих молекул, размерность совпадает с к; Т -температура, К.

Если экспериментальные данные представить в координатах Iпк = Д1/Т), тангенс угла наклона полученной прямой линии окажется равным -Еа/Я:

— Е 1

1п

Из параметров а = -Еа / Я и Ь = 1п(А) прямой (3) рассчитываются энергии активации Еа и фактор частоты стадии А.

По существующим методикам [4] эта прямая зависимость строится методом наименьших квадратов по имеющимся при различных температурах константам скоростей элементарных стадий, которые находятся путем раздельного решения обратных кинетических задач.

ПОСТРОЕНИЕ АГРЕГИРОВАННОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Если учет структурных связей осуществлять внутри вычислительной системы путем непосредственного объединения обратных кинетических задач, соответствующих различным температурам, в одну, это влечет за собой увеличение размерности многоэкстремальной задачи

в Р раз, где Р - количество экспериментов при различных температурах. Общая размерность задачи равна РЫ, где N - суммарное количество констант скоростей элементарных стадий, прямых и обратных, размерность одной обратной кинетической задачи для одной температуры.

Во избежание этого в рамках данной работы глобальный минимум предлагается искать не по константам скоростей, а по параметрам Еа и 1п(А) прямой зависимости (3). Фактор частоты А для простых молекул имеет величину порядка 1013-1015, для сложных - значительно меньшую [2]. Эмпирические значения энергии активации Еа для различных реакций лежат в пределах 0-100,15 ккал/моль, для реакций металлокомплексного катализа в пределах 2-40 ккал/моль.

В результате для конкретной реакции, не зависимо от количества температур, при которых проводился натурный эксперимент, размерность многоэкстремальной задачи будет оставаться постоянной и равной 2N. Таким образом, семейство отдельных обратных задач (1) преобразуется к одной агрегированной обратной задаче вида:

1 Р П М

ф( у)=-р XXX

Р к=і і = і І=і

хкіі\

у = (У/ , У/ + N I У! = Еа] ,

У/ + N = 1п(А/ ), 3 = 1N.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Алгоритмы, развиваемые нижегородской научной школой многоэкстремальной оптимизации, предполагают следующую постановку задачи1:

Ф =ф(у ) =тт{ф(у): уеБ},

Б ={уеЯК: а, £ у, £ Ь„ 1 £ 1 £ N},

где целевая функция Ф(у) удовлетворяет условию Липшица с соответствующей константой Ь, а именно

I Ф

Используя кривые типа развертки Пеано у(х), однозначно отображающие отрезок [0, 1] на единичный ^мерный гиперкуб, линейно приводимый к гиперпараллелепипеду Б, исход-

і Здесь применяются общепринятые обозначения для задач многоэкстремальной оптимизации. Следует помнить, что в приложении к задачам химической кинетики роль вектора у играет вектор параметров Ец, 1п

3

ную задачу можно редуцировать к следующей одномерной задаче:

ф

Рассматриваемая схема редукции размерности сопоставляет многомерной задаче с липши-цевой минимизируемой функцией одномерную задачу, в которой целевая функция удовлетворяет равномерному условию Гельдера (см. [5]), т. е.

|фЫх')) — фЫх"))! £ кх — х"Г, х', х"е [0, 1],

где N есть размерность исходной многомерной задачи, а коэффициент К связан с константой Липшица Ь исходной задачи соотношением:

К £ 4ь4ы .

Различные варианты индексного алгоритма для решения одномерных задач и соответствующая теория сходимости представлены в работах [6, 7].

Параллельная версия индексного метода основана на построении множественных отображений Пеано, получаемых путем сдвига или вращения гиперкубов друг относительно друга (сдвиговые и вращаемые разв!ртки), что позволяет заодно и улучшать сходимость алгоритма за счет более точной адаптивной оценки неизвестной константы Гельдера К в процессе вычислений. Целым рядом преимуществ обладает схема построения вращаемых разверток, предложенная в работе [8] и позволяющая использовать до N N - 1) + 1 вычислительных ядер.

СМЕШАННАЯ СТРАТЕГИЯ С ЛОКАЛЬНОЙ АДАПТАЦИЕЙ

Локально-адаптивный алгоритм является модификацией индексного метода глобального поиска, состоящей в том, что, начиная с некоторого шага, при выборе точек итераций используется дополнительная информация: текущие оценки плотности вероятности для расположения точки искомого оптимума. Оценки плотности определяются по значениям функционалов задачи, вычисленных в точках выполненных итераций. Таким образом, плотность переоценивается после каждой итерации, причем максимумы плотности соответствуют окрестностям точек текущих оптимальных значений. Подробно решающие правила локально-адаптивного метода приведены в [9]. Существенным параметром этого метода является целое число 0 < < а < 30, влияющее на характер сходимости.

При а =0 поиск носит глобальный характер, при а = з0 - локальный.

Смешанный алгоритм является модификацией индексного метода глобального поиска, состоящей в том, что, начиная с некоторого шага итерации, определяемые правилами индексного метода, чередуются с итерациями, определяемыми правилами локально-адаптивного алгоритма. Частота чередования является параметром метода.

СМЕШАННАЯ СТРАТЕГИЯ С ЛОКАЛЬНЫМ УТОЧНЕНИЕМ РЕКОРДОВ

Поскольку поиск глобального оптимума занимает длительное время, значительный интерес представляет также оценка локального оптимума, в области притяжения которого найден последний рекорд. Для получения такой оценки можно использовать один из методов локального спуска. В рамках данной работы использованы два метода. Покоординатный спуск с численной оценкой градиента, опробованный ранее в работе [і], оказался слишком затратным для овражных функций, к которым относится и целевая функция (4) в силу жесткости системы ОНДУ. Одним из самых эффективных методов для минимизации такого рода функций является метод Хука-Дживса [і0]. Он относится к прямым методам (или методам нулевого порядка), т. е. использует в ходе работы только значения целевой функции, не требуя ее дифференцируемости. Это хорошо согласуется с требованием липшицевости целевой функции в задаче (5).

глобальный

Рис. 1. Операционные характеристики алгоритмов со смешанными локально-глобальными стратегиями

В дополнение к этому, точки траектории спуска могут быть отображены, используя кривую Пеано, на одномерный отрезок и использованы для адаптивной оценки константы Гельде-ра К, которая используется в глобальном алгоритме в ходе решения задачи (5). Это также должно положительно сказываться на сходимости глобального поиска. Таким образом, локальный спуск и алгоритм построения глобального покрытия области поиска используют поисковую информацию, полученную друг у друга.

СРАВНЕНИЕ СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ

В ходе исследований выявлено, что для овражной функции, каковой зачастую является целевая функция (4), покоординатный спуск с численной оценкой градиента работает неприемлемо длительное время: более недели, производя более 300-400 тысяч испытаний (по времени - более месяца) до выхода по точности.

В то же время метод Хука-Дживса позволяет достичь локального оптимума не более, чем за 7-8 тысяч испытаний при точности е = 0,001, и не более 2 тысяч - при е = 0,01.

Для более полного подтверждения эффективности локально-глобальной стратегии

с уточнением методом Хука-Дживса использован аппарат построения операционных характеристик, предложенный В. А. Гришагиным [10]. Операционная характеристика метода - это кривая, показывающая зависимость числа решенных задач (ось ординат) из определенного класса от числа испытаний (ось абсцисс). На рис. 1 приводятся операционные характеристики глобального алгоритма и двух смешанных стратегий, построенные на классе из 100 многоэкстремальных функций Гришагина [10]. Точность решения задачи равна 0,01 по каждой координате, равно как и точность в условии останова метода Хука-Дживса. Обе стратегии показывают сопоставимые результаты даже на функциях, не являющихся овражными.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

По экспериментальным данным проведен ряд вычислительных экспериментов, в результате которых найдены кинетические параметры элементарных стадий предложенных схем реакции карбоалюминирования олефинов для исследования Ме-С связи. Поскольку данные натурных экспериментов содержат погрешности,

достичь значений функционала ^, достаточно близких к нулю, часто не удаeтся (рис. 2).

о

Время, ч

♦ А6. Эксперимент

А А8. Эксперимент

А6. Расчет 1 А8. Расчет

Рис. 2. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных наблюдаемых веществ А6 и А8

На рис. 2 представлено сопоставление расчетных и экспериментальных данных о концентрациях некоторых наблюдаемых веществ реакции карбоалюминирования олефинов, катализируемой (СрМе5)22гС12, при 15 °С.

ТГ

со

5

5

Э

н

и

£

и

13

з0

25

20

і5

і0

5

0

і2

і0

8

6

4

2

0

-2

-4

8

8

Ч

Д

Н

£

&

и

'ІЗ'

0,00з2 0,00зз 0,00з4 0,00з5

1/Т, 1/ч

• Стадия з Стадия 4

Стадия і

Стадия 6

Рис. 3. Зависимости 1п

Характерное время получения численных оценок глобального оптимума, приведенных в работе, для одной реакции параллельным индексным методом при запуске на 90-150 вычислительных ядрах составляет около 16-20 часов.

Предварительные оценки кинетических параметров к,, Еа и А для схем 1 и 2 реакции кар-боалюминирования в присутствии катализаторов Ь22гС12 (Ь = Ср и СрМе5) приведены в табл. 3 и 4 соответственно. Оптимальные зна-

чения функционала ^ на этих наборах точек рассчитаны для агрегированных задач. Для стадий 3, 4 схемы 1 и стадий 1, 6 схемы 2 также получены прямые зависимости 1п(к) = ЛИТ) (рис. 3) и рассчитаны кинетические параметры, которые ранее [1] не удавалось рассчитать.

Применение смешанной стратегии с локальным уточнением методом Хука-Дживса даже в последовательном случае позволяет получать хорошие оценки глобального оптимума функции (4) менее, чем за неделю (7-10 тысяч испытаний), хотя глобальный алгоритм продолжает свою работу гораздо дольше фактически для того, чтобы убедиться в том, что найденный оптимум действительно является глобальным.

При этом локальное уточнение запускалось 3-4 раза (на самом деле локальных оптимумов может быть гораздо больше, чем 3-4). Этот факт подтверждает многоэкстремальность целевой функции ^ и оправданность применения методов именно глобальной оптимизации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение методики агрегирования обратной задачи для оценки кинетических параметров в случае, когда натурный эксперимент проводится при различных температурах, позволяет осуществлять учет структурных связей между задачами, поскольку константы скоростей элементарных стадий рассчитываются непосредственно из уравнения Аррениуса.

Т аблица 3

Кинетические параметры элементарных стадий схемы 1 реакции карбоалюминирования олефинов

в присутствии катализатора Cp2ZrCl2

№ стадии к\, 1/ч Еа, ккал/моль А, 1/ч

15 °С 22 °С 30 °С

1 прямая 1.91Е - 02 3,30Е - 02 5,96Е - 02 13,06 1,72Е + 08

2 прямая 3.40Е + 02 4,94Е + 02 7,41Е + 02 8,97 2,33Е + 09

3 прямая 1,78Е + 03 2,51Е + 03 3,65Е + 03 8,27 3,57Е + 09

4 прямая 1,88Е + 10 3,14Е + 10 5,48Е + 10 12,33 4,69Е + 19

5 прямая 4,28Е + 06 5,54Е + 06 7,33Е + 06 6,18 2,20Е + 11

6 прямая 7,43Е + 05 8,37Е + 05 9,53Е + 05 2,86 1,11Е + 08

7 прямая 5,49Е + 07 6,06Е + 07 6,75Е + 07 2,38 3,57Е + 09

8 прямая 5,91Е + 03 7,40Е + 03 9,46Е + 03 5,42 7,99Е + 07

1 обратная 3,20Е + 01 4,32Е + 01 6,00Е + 01 7,21 9,94Е + 06

2 обратная 2,60Е + 07 3,06Е + 07 3,65Е + 07 3,94 2,63Е + 10

ф = 2,766

Таблица 4

Кинетические параметры элементарных стадий схемы 2 реакции карбоалюминирования олефинов

в присутствии катализатора (CpMe5)2ZrCl2

№ стадии к\, 1/ч Еа, ккал/моль А, 1/ч

15 °С 22 °С 3 О ° О

1 прямая 3,09Е + 04 3,86Е + 04 4,92Е + 04 5,36 3,78Е + 08

2 прямая 3,04Е + 01 4,60Е + 01 7,21Е + 01 9,94 1,14Е + 09

3 прямая 6,50Е + 04 7,70Е + 04 9,25Е + 04 4,05 7,99Е + 07

4 прямая 2,34Е - 02 5,88Е - 02 1,60Е - 01 22,14 1,75Е + 15

5 прямая 2,88Е + 03 3,44Е + 03 4,17Е + 03 4,28 5,27Е + 06

6 прямая 7,04Е - 02 1,16Е - 01 1,98Е - 01 11,88 7,99Е + 07

7 прямая 6,38Е + 05 10,08Е + 05 16,57Е + 05 10,98 1,49Е + 14

8 прямая 6,88Е + 07 7,48Е + 07 8,19Е + 07 2,00 2,30Е + 09

9 прямая 3,85Е + 00 5,75Е + 00 8,88Е + 00 9,60 7,99Е + 07

1 обратная 1,01Е + 04 1,23Е + 04 1,51Е + 04 4,66 3,60Е + 07

ф = 1,831

Хотя при последовательном решении отдельных обратных задач для каждой температуры [1] для реакции карбоалюминирования оле-финов в присутствии катализаторов (CpMe5)2ZrCl2 значение целевой функции было меньше и составляло ф = 1,15, а для Cp2ZrCl2 -ф = 1,96, для некоторых элементарных стадий энергии активации получить не удавалось, поскольку они попадали в отрицательные области.

Кроме того, вычисление значений энергий активаций также происходило с определенной погрешностью, накладываемой методом наименьших квадратов.

Таким образом, несмотря на увеличение времени получения оценки глобального оптимума, построение агрегированных задач дает заведомо адекватные с физической точки зрения результаты.

Применение новой локально-глобальной стратегии позволяет учесть овражность целевой функции, дает возможность взаимного использования поисковой информации в глобальном и локальном алгоритмах. Эффективность такой стратегии показана также и на классе тестовых функций Гришагина.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Губайдуллин И. М., Рябов В. В., Тихонова М. В. Применение индексного метода глобальной оптимизации при решении обратных задач химической кинетики // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т.12. С. 137-145.

2. Царева З. М., Орлова Е. И. Теоретические основы химической технологии. К.: Вища шк. Головное издательство, 1986. 35 с.

3. On study of chemoselectivity of reaction of tri-alkylalanes with alkenes, catalyzed with Zr n-complexes / L. V. Parfenova [et al.] // J. Organomet. Chem. 2009. V. 694, №. 23. P. 3725-3731.

4. Спивак С. И., Губайдуллин И. М., Займам Е. В. Обратные задачи химической кинетики: учеб. пособие. Уфа: Изд-е Башкирск. ун-та, 2003. 37 с.

5. Стронгин Р. Г. Параллельная многоэкстремальная оптимизация с использованием множества разверток // Вычислительная математика и математическая физика. 1991. Т. 31, № 8. С. 1173-1185.

6. Стронгин Р. Г. Поиск глобального оптимума. М.: Знание, 1990.

7. Strongin R. G., Sergeyev Ya. D. Global optimization with non-convex constraints. Sequential and parallel algorithms. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.

8. Баркалов К. А., Рябов В. В., Сидоров С. В.

Параллельные вычисления в задачах многоэкстремальной оптимизации. // Вестник ННГУ. 2009. № 6. С. 171-177.

9. Баркалов К. А. Ускорение сходимости в задачах условной глобальной оптимизации. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородск. гос. ун-та, 2005.

10. Городецкий С. Ю., Гришагин В. А. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация. Н.-Новгород: Изд-во Нижегородск. гос. ун-та. 2007. С. 406-407.

ОБ АВТОРАХ

Тихонова Маргарита Владимировна, асп. Ин-та нефтехимии и катализа РАН. Дипл. магистр по при-кладн. математике и информатике (БашГУ, 2011).

Рябов Василий Владимирович, мл. науч. сотр., асп. ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Дипл. магистр по прикладн. математике (ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2007).

Губайдуллин Ирек Марсович, доц. каф. прикладн. информатики и числ. методов БашГУ. Канд. физ.-мат. наук (1996).