О связи метода параметрических представлений с методами Голузина и Куфарева

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 2

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

И.А. Александров

О СВЯЗИ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ С МЕТОДАМИ ГОЛУЗИНА И КУФАРЕВА

Указывается способ получения вариационной формулы Голузина и вариационной формулы Куфарева, основанный на вариации управляющей функции в уравнении Лёвнера.

Ключевые слова: уравнение Лёвнера, вариационные формулы Голузина и Куфарева.

Анонсированный в 1954 г. П.П. Куфаревым [1] метод, объединяющий метод параметрических представлений и метод внутренних вариаций в теории конформных отображений, был развит и получил широкое применение в большом числе работ, выполненных в томской школе теории функций комплексного переменного П.П. Куфаревым, И.А. Александровым, А.И. Александровым, В.А. Андреевым, М.А. Арендарчук, В.В. Барановой, Л.М. Бер, Н.В. Гениной, В.Я. Гутлян-ским, В.И. Каном, Т.В. Касаткиной, Г.Я.Кесельманом, Л.С. Копаневой, С.А. Ко-паневым, М.Р. Куваевым, В.П. Мандиком, Ю.А. Мартыновым, В.А. Назаровой, М.Н. Никульшиной, Р.С. Поломошновой, В.И. Поповым, Г.А. Поповой, А.Е. Прохоровой, М.И. Редьковым, Г.Д. Садритдиновой, В.В. Соболевым, А.С. Сорокиным, Л.В. Спорышевой, П.И. Сижуком, А.Н. Сыркашевым, А.Э. Фалес, Б.Г. Цветковым, В.В. Черниковым, В.В. Щепетевым и другими.

П.П. Куфарев взял за исходную формулу Г.М. Голузина [2] и искусно применил её к отображениям круга на плоскость с укорачивающимся разрезом, т.е. к левнеровским областям. Применение полученной Куфаревым формулы к экстремальным задачам позволило характеризовать экстремальные отображения для большого числа функционалов не одним, как делалось ранее, а двумя дополняющими друг друга уравнениями и во многих случаях довести исследование экстремальной задачи до полного решения.

В этой статье дадим вывод вариационной формулы Куфарева иным способом, оставаясь строго в рамках метода параметрических представлений. В статье [3] аналогичным способом была получена вариационная формула Г олузина. Она используется в данной работе с кратким повторением её вывода.

Пусть функция f (х) = г + с2 г2 + ... е 5 отображает круг Ег = (г е С :| г | < 1} на область А0, полученную из •№ -плоскости проведением жорданового кусочногладкого разреза С0, начинающегося в конечной точке плоскости, не проходящего через точку w = 0 и оканчивающегося в бесконечности. Пусть = ф (т), 0 < т < да, - параметрическое уравнение кривой С0. Область Dт получается присоединением

к D0 дуги {w: w= ф(г), 0 < t < т} и отображается при конечном т функцией g = F(w, т), F(0, т) = 0, F'w (0, т) > 0, на круг Е^. Такое отображение единственно. Изменяя надлежащим образом параметризацию кривой С0, можно добиться того, что F 'w (0, т) = е-т. Будем считать параметризацию С0 выбранной сразу же в соответствии с этим условием.

Образуем функцию д(т, z) = F( f (z), т). Она отображает круг Ez на круг Е^ с разрезом по жордановой кусочно-гладкой кривой, не проходящей через нуль. Очевидно, g(0, z) = z, z єЕг.

Пусть w = Y(z, т) - функция, обратная к F(w ,т) при фиксированном т. Легко видеть, что ¥(z, 0) = f (z), ¥(0, т) = 0, ¥ 'z (0,т) = eT.

Существует кусочно-гладкая функция р(т), 0 < т < да, |р(т)| = 1, - её называют управляющей, - такая, что д(т, z) является решением уравнения Лёвнера [4]

f = , q

d t ц (t)-q

и lim eT q (t, z) = f (z).

Кроме того, lim q (t, z) = 0 , каково бы ни было р(т) в уравнении (1).

Пусть ^і(т), ?2(т), 0 < т < да, - вещественные непрерывные функции, | д1(т)| < e-TM, |д2(т)| < M, M > 0. Управляющей функции

И(т, X) = ^ J(1 + Xqx (т))т^ elXqi(т),

X - вещественное число, |X|M < 1, соответствует решение д(т, z; X) уравнения Лёв-нера

Т = z в Ez.

d т ц (т; A)-q

Функция д(т, z; X) однолистно и конформно отображает Ег в единичный круг и

lim g

А,——0

равномерно внутри Ez, так как р(т; X) ^ р(т) при X ^ 0.

Заменим в уравнении (2) переменную т на t по формуле t = ф(т), где

Т

ф (т) = J[T + Xq(т)]т.

0

Поскольку в дальнейшем нас будет интересовать только линейная относительно X часть разложения д(т, z; X) = g(t, z)[1 + XФ(t, z) + o(X)], то достаточно ограничиться при замене т на t записью уравнения для д(т, z; X) в виде

d q U (t) ¿Xqi (t) +q

f=-[-*

В результате выполнения простых операций с использованием разложений в ряд Тейлора по степеням X находим для Ф(г, г), Ф(0, г) = 0, уравнение

і Ф 2цс ц + с 2 щс

----=--------С2_ф + Г—1 а, +_ ^

і

(ц-с )2

Его решение дается формулой

ц-с

(ц-сУ

-42 •

Ф((,2) = ’г) IР(т,2)с1 т,

?((’ 2) 0

где Р

^

Таким образом, формула

[И(т)-?(Т2)]

?*

0

показывает как изменится решение д(г, г) уравнения Левнера при замене в нем управляющей функции р(т) на р(Х). Функция ^(г, г) равномерно по г ограничена внутри Е2.

Дальнейшие построения связаны с конкретным выбором ^(т) и д2(т).

Пусть

Чх (т) = ан2-^

2 + АН!

-1

2

?2 (т) = — 21

АН1 И+! + АН2

Н-?1 ц-?-1

где А - постоянная, = <;(/, гі), ^ ^), Н = , г - точка из Е\{0}.

Тогда

ц + д 2цд , И + ?і 2цд

ц-д (ц-ді)2 И-?1 (ц-д)2

ц+д 2цд-1 , ц + д 2цд

ц-д

Для двух различных решений и, V уравнения Левнера, как легко проверить, имеет место формула

ц + и 2цл>

ц —и (ц —"V )2 І Т V и-V У и — V І т

позволяющая представить Р(т, г) в виде

V

V У

Дт, г) =

А і 2 і т

£ н1 д + ді

А і 2 і т

и, следовательно, записать формулу (4) в виде

С* (г, г) = с(г, г)+Х-

А

нНї+. - 2<с_

С-Сі £-£1.

нгс^ - £5;

С-Сі £-£1

>+Х 2 (г ,г).

Умножим обе части полученной формулы на е‘ и перейдем к пределу при г ^ да. В результате имеем

f (£) - Т (£1) -Г’

£1 J

в2 (£.)- в(£)-----------==

£ - £.

-Х 2 N (£),

где

б(£) = , в(£1) = Иш И1.

/

Производная / (0) дается формулой

/: (0)=і-хМ [е2 ^) -1]~ е2 (г,) -1

А

-X 2 N (0)к

Функция / * (2) = / (2)//,' (0) нормирована условиями: /*(0) = 0, f *' (0) = 1 и представляет собой вариационную формулу в рассматриваемом подклассе класса 5. Она легко распространяется на класс 5 и известна как вариационная формула Голузина в классе 5.

Пользуясь вариационной формулой Голузина

/

АЄ2

/

А

А

----К(£, £1)----------К

/(£) - /(£1) 2 " 2

( 1 ^ £,=

0(Х),

где

К (£, д) = ЄС£) £+^ +1,

£-д

представим отображение ^(г, т) круга Ег на некоторую близкую к Вт область В, в виде

У*

АН2 (д,т)----У(г,т) -—Кх (г,д,т)-—К(г,-,т

У ’у(г,т)-У(д,т) 2 п ,ъ’ ’ 2 ^ д

+о(Х),

где

Н (г, т) = , К (г, д, т) = н (2, т) 2+д +1,

^ (2, т) г-д

д - фиксированная точка в Ег и А - постоянная.

Функция ^*(^, т) = ^*(^(^, т), т), ^*(0, т) = 0 , отображает область Вт на В* ; вместе с тем функция т) отображает В0 на область В0 , близкую к В0. Раз-

ложение ^*(и', т) по степеням X имеет вид

w (w, т) = w + kw

AH2 (to, т)—------(F(w,t), g, т) -| F(w, т),1, т

w-o 2 2 ^ g

-o(k),

где ю = f (д). Заменим в этой формуле w на /(г). Получим функцию /* (г) = w* (/(2), т), однолистно и конформно отображающую круг Ег на область

*

В0 . Легко найти, что

f* (z) = f (z) + f (z) Здесь

AH 2

f () f() - (z’g’ t) - f ^ ’ t

f (z) - f (g) 2 2 ^ g

-o

К (z, g, t) = Ki ((f (z), x), g, т) = H (z, ц f (z) ’T )+ g +1,

F {f (z ) x)-g

H (z, x) =

F {f (z).x) f(z) Fw(z,x)'

Формула (5) дана Куфаревым. В ней участвует функция F(w,t), являющаяся присоединенной функцией для fz) и удовлетворяющая уравнению Лёвнера

dF = _ f И (т) + F, f (w,0) = f-1 (w).

d т и (т) _ F

Это обстоятельство позволяет во многих вариационных задачах получить два уравнения для функции, присоединенной к экстремальной функции относительно большого числа функционалов, встречающихся в задачах геометрической теории функций комплексного переменного.

ЛИТЕРАТУРА

1. Куфарев П.П. Об одном свойстве экстремальных областей задачи коэффициентов // ДАН СССР. 1954. Т. 97. С. 391 - 393.

2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

3. Александров А.И., Александров И.А. Вариационная формула Голузина для левнеровских отображений круга // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 5 - 10.

4. Левнер (Löwner K). Untersuchungen über schlichte konforme Abbildung der Einheitskreises. J. Math. Ann. 1923. 89. P. 103 - 121.

Статья принята в печать 05.05. 2008 г.