Vibration analysis of single-walled carbon nanotubes embedded in a polymer matrix under magnetic field considering the surface effect based on nonlocal strain gradient elasticity theory

УДК 539.3

Анализ колебаний одностенных углеродных нанотрубок в полимерной матрице под действием магнитного поля с учетом поверхностного эффекта на основе нелокальной градиентной теории упругости

N. Moulay1, M. Liani1, F. Bourada1'2, A. Tounsi1,3,4, M.H. Ghazwani5

1 Университет Сиди-Бель-Аббеса, Сиди-Бель-Аббес, 22000, Алжир 2 Университет Тисемсильта, Бен Хамуда, 38004, Алжир 3 Университет Енсе, Сеул, 03722, Корея 4 Университет нефти и полезных ископаемых им. короля Фахда, Дахран, 31261, Саудовская Аравия 5 Университет Джизана, Джизан, 45124, Саудовская Аравия

Поведение однослойных углеродных нанотрубок (ОУНТ) в упругой среде под действием продольной компоненты магнитного поля вызывает большой интерес, обусловленный их применением в на-ноэлектромагнитомеханических системах. В работе на основе нелокальной градиентной теории упругости второго порядка выполнен анализ колебаний ОУНТ в полимерной матрице. Получено характеристическое уравнение движения ОУНТ в полимерной матрице под действием продольной компоненты магнитного поля с учетом поверхностного эффекта. Описана зависимость собственной частоты ОУНТ от изменения хирального угла и диаметра нанотрубки. Исследовано влияние различных параметров на колебания ОУНТ, таких как продольная компонента магнитного поля, поверхностный эффект, индекс и угол хиральности, хиральность ОУНТ, число мод колебаний, аспектное отношение (отношение длины к диаметру), а также нелокальный параметр и параметр масштаба длины материала. Полученные численные результаты могут быть использованы при изучении поведения ОУНТ в наноэлектромеханических устройствах.

Ключевые слова: нелокальная теория градиента деформации второго порядка, однослойные углеродные нанотрубки, анализ колебаний, поверхностный эффект, хиральность ОУНТ DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_1_95

Vibration analysis of single-walled carbon nanotubes embedded in a polymer matrix under magnetic field considering the surface effect based on nonlocal strain gradient elasticity theory

N. Moulay1, M. Liani1, F. Bourada2,3, A. Tounsi2,4,5, and M.H. Ghazwani6

1 Faculty of Exact Sciences, Physics Department, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 2 Material and Hydrology Laboratory, Faculty of Technology, Civil Engineering Department, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 3 Department of Sciences and Technology, Tissemsilt University, Ben Hamouda, 38004, Algeria 4 Yonsei Frontier Laboratory, Yonsei University, Seoul, 03722, Korea 5 Department of Civil and Environmental Engineering, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Eastern Province, 31261, Saudi Arabia 6 Faculty of Engineering, Department of Mechanical Engineering, Jazan University, Jazan, 45124, Saudia Arabia

Single-walled carbon nanotubes (SWCNTs) in an elastic medium under a longitudinal magnetic field have piqued the interest of researchers as elements utilized in nanoelectro-magneto-mechanical systems (NEMMS). This work presents the vibration analysis of embedded SWCNTs using the nonlocal second-order strain gradient elasticity theory. Considering the surface effect, the characteristic equation of motion for a SWCNT embedded in a polymer matrix under a longitudinal magnetic field is formulated and derived. The dependence of the distinct natural frequency of SWCNTs on the nanotube chiral angle and diameter is clarified. The effects of various parameters on the vibration characteristics of SWCNTs are examined and discussed, including the longitudinal magnetic field, surface effect, chiral index, chiral angle, chirality of SWCNTs, vibrational mode number, aspect ratio (length-to-diameter ratio), nonlocal and material length scale parameters. The numerical findings of this work might be helpful in the study and implementation of embedded SWCNTs as NEMMS devices.

Keywords: nonlocal second-order strain gradient theory, single-walled carbon nanotubes, vibration analysis, surface effect, chirality of SWCNTs

© Moulay N., Liani M., Bourada F., Tounsi A., Ghazwani M.H., 2023

1. Введение

Углеродные нанотрубки (УНТ) были открыты в 1991 г. [1] и вызвали большой интерес, особенно в области нанотехнологий, благодаря исключительным механическим, электрическим, магнитным и другим физическим и химическим свойствам. Нанотрубки имеют широкие перспективы применения в наноэлектронике, нанопере-ключателях, системах хранения жидкостей, солнечных батареях, для космических лифтов, нано-сенсоров, медицинских инструментов, в наноэлек-тромеханических системах и наноинструментах [2, 3]. Как правило, механические свойства и поведение УНТ, включая модуль Юнга, модуль сдвига, изгиб и вибрационный отклик, исследуются экспериментально. Ввиду сложности контроля параметров на наноуровне экспериментальное исследование механических свойств УНТ на наноуровне крайне затруднено. Это обуславливает применение теоретических методов для изучения наноматериалов. В основном применяются либо методы атомистического моделирования (молекулярно-динамическое моделирование [4], теория функционала плотности [5]), либо методы механики сплошной среды [6]. Для описания материалов на наномасштабном уровне широко используются подходы нелокальной механики сплошной среды, такие как теория моментных напряжений, нелокальная теория градиентной упругости и нелокальная теория упругости. Однако данные методы эффективны при изучении лишь ограниченного числа физических явлений и процессов на наноуровне [7]. Это связано в основном с тем, что молекулярно-динамическое моделирование ограничено возможностями вычислительных систем и требует больших вычислительных затрат при изучении наноструктур с большим количеством атомов или молекул. В отличие от классической локальной теории упругости, где напряжение в точке зависит от деформации только в данной точке, в нелокальной теории упругости Эрингена [8] напряжение в определенной точке среды зависит от деформаций во всех ее точках. В работах по исследованию механического поведения УНТ нелокальная теория упругости применяется для изучения термомеханических свойств [9], статического изгиба [10], потери устойчивости [11], распространения волн [12] и колебаний [13]. В [14] на основе нелокальной модели балки Тимошенко и теории Эрингена исследованы свободные колебания ОУНТ при тепловом воздействии. Рассмотрено влияние параметров

малого масштаба, хиральности трубок, числа колебательных мод, аспектного отношения и изменения температуры на характеристики тепловых колебаний ОУНТ. В [15] в рамках нелокальной модели балки Эйлера-Бернулли изучено влияние индекса и угла хиральности на свободные колебания ОУНТ. Авторами [16] исследованы статический изгиб, потеря устойчивости и собственные частоты колебаний УНТ с использованием нелокальных теорий сплошных балок и различных граничных условий. Установлено, что в результате влияния нелокальных факторов происходит увеличение прогиба при одновременном снижении критической продольной нагрузки и собственных частот. Колебания вязкоупругой ОУНТ на вязко-упругом основании при различных граничных условиях изучены в работе [17] с помощью нелокальной модели балки Эйлера-Бернулли, общей модели Максвелла и модели вязкоупругого основания Кельвина. При этом оценка комплексных собственных частот ОУНТ проводилась с помощью амплитудно-частотной функции с произвольными граничными условиями. В [18] на основе балочной модели Тимошенко проанализированы колебания двустенных углеродных нанотру-бок (ДУНТ) с учетом магнитного поля и тепловых воздействий. В [19] при исследовании колебаний ОУНТ в упругой среде в рамках нелокальной теории упругости изучено влияние граничных условий. Авторами [20] рассмотрено влияние неоднородности структуры, нелокального параметра, отношения длины к высоте, а также граничных условий на потерю устойчивости неоднородной нанобалки с экспоненциально изменяющейся жесткостью. Исследование проводилось с использованием метода дифференциальных квадратур на основе четырех различных балочных теорий: Эйлера-Бернулли, Тимошенко, Редди и Левинсона. Для изучения потери устойчивости и колебаний балки на основании типа Винклера-Пастернака под действием осевой компоненты магнитного поля предложена модифицированная теория сдвиговой деформации первого порядка с одной переменной [21]. Для исследования продольного изгиба УНТ на основаниях Винклера, Пастернака и Керра в условиях теплового и магнитного воздействия разработана модель цилиндрической оболочки с использованием ван-дер-ваальсового взаимодействия, нелокальной теории упругости Эрингена и теории тонких цилиндрических оболочек [22]. На основе теорий Эринге-на, Эйлера-Бернулли и уравнения ван дер Вааль-

са исследовано совместное воздействие температуры, магнитного поля, начального геометрического дефекта, нелокального параметра, граничных условий и количества стенок на нелинейные нелокальные колебания УНТ на основании Винк-лера-Пастернака [23]. Свободные крутильные колебания УНТ, помещенных в вязкоупругую среду, рассмотрены в рамках нелокальной теории упругости Эрингена [24]. Колебательное поведение начально деформированных ОУНТ изучено с помощью нелокальной модели оболочек при различных граничных условиях [25]. В 1965 г. Р.Д. Миндлин предложил теорию градиента деформации, включив третий градиент перемещений в функцию плотности энергии деформации [26, 27]. Поверхностное натяжение может возникать в изотропных линейно-упругих твердых телах, для которых функция плотности энергии деформации зависит от бесконечно малой деформации и ее градиентов. Используя предположение о том, что наноразмерные материалы следует моделировать как атомы с механизмами деформации более высокого порядка, а не просто как совокупность точек, градиент деформации можно обобщить путем введения в классические уравнения упругости дополнительных членов градиента деформации более высокого порядка [28]. В ряде работ говорится об ограничениях использования нелокальной теории упругости и теории градиента деформации для определения жесткости УНТ, зависящей от размера [29]. В связи с этим была разработана нелокальная теория градиента деформации, которая учитывает механизмы уменьшения и увеличения жесткости при моделировании и анализе наноструктур. В [30] для описания распространения волн в нанобалках предложена нелокальная теория градиента деформации высшего порядка, в которой в классическую нелокальную теорию упругости на основе принципов термодинамики и вариационных подходов введен градиент деформации первого порядка для двух фундаментальных моделей с зависимостью от размера. Другими словами, установлена связь между внутренней структурой и внешней геометрией наноматериала, что позволило объединить нелокальную теорию упругости и теорию градиента деформации в единую модель. Показано, что в отличие от широко используемой нелокальной модели напряженного состояния нелокальная теория градиента деформации высшего порядка точно описывает эффект увеличения жесткости в широком диапазоне длин волн благодаря нали-

чию нелокальных градиентов деформации. Результаты, полученные с использованием нелокальной теории градиента деформации, хорошо согласуются с результатами молекулярно-дина-мического моделирования. В [31] предложена нелокальная градиентная теория упругости второго порядка, в которой функция накопленной энергии нелокальной теории градиента первого порядка содержит градиент второго порядка. Разработанная теория применена для оценки резкого увеличения и снижения жесткости УНТ. Нелокальная теория градиента деформации используется во многих исследованиях, например при анализе колебаний изогнутых оболочечных УНТ [32], размерно-зависимых нанобалок [33], а также размерно-зависимых нелинейных балок [34]. В работе [35] на основе теории градиента деформации Миндлина изучены свободные колебания при продольно-поперечном вращении функционально-градиентных микро- и нанобалок после потери устойчивости. В [36] с использованием нелинейной теории градиента деформации и молекуляр-но-динамического моделирования проведен анализ колебаний оболочечных нанотрубок. В [37] нелокальные теории градиента деформации и инерции используются для исследования влияния нанопотока и наноструктуры на колебания ОУНТ при транспорте жидкости через нее. На основе градиентной теории упругости проведен анализ колебаний при транспорте жидкости через нано-трубки [38]. В рамках нелокальной теории градиента деформации исследованы нелинейные колебания и устойчивость функционально-градиентных нанотрубок при транспорте жидкости в упругой среде [39], а также размерно-зависимые нелинейные амплитудно-частотные характеристики вяз-коупругих нанотрубок при движении жидкости через них [40]. В работе [41] представлены результаты анализа свободных колебаний ОУНТ, полученные с использованием молекулярно-ди-намического моделирования и балочных моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко в рамках классической и градиентных теориях упругости в напряжениях, деформациях, градиентах деформации и инерции. Проведено сравнение значений собственных частот, рассчитанных на основе различных теорий упругости и численного моделирования, и показано их хорошее соответствие.

В ряде работ указывается на важную роль поверхностного эффекта при определении механических свойств микро- и наноструктурных элементов, таких как нанопроволоки [42], УНТ [43],

нанопластины [44] и нанооболочки [45]. Это связано с тем, что микро- и наноструктурные элементы характеризуют большие значения отношения поверхности к объему. На основе нелокальной теории градиента деформации исследовано влияние поверхностных эффектов на распространение волн в вязкоупругих ОУНТ под действием магнитного поля [46]. На основе модели слоистой балки изучена роль поверхностного эффекта на частоту и отношения амплитуд некоаксиальных колебаний многостенных углеродных нанотрубок (МУНТ) в матрице при различных начальных напряжениях с использованием ван-дер-ваальсова взаимодействия между двумя трубками [47]. Влияние поверхностной энергии на свободные колебания функционально-градиентных нанотрубок при транспорте жидкости рассмотрено на основе модели балки с размерной зависимостью высшего порядка в сочетании с нелокальным напряжением [48]. В рамках нелокальной теории пластин исследовано влияние нелокальных и поверхностных эффектов на напряжения потери устойчивости круглых листов графена при изменении температуры в условиях равномерного радиального сжатия [49]. С помощью нелокальной теории градиента деформации и теории поверхностной упругости Гертина-Мердока построена модель размерно-зависимой функционально-градиентной цилиндрической оболочки [45]. Изучено влияние нелокальных параметров, параметра масштаба длины материала, показателя степени закона распределения свойств материала по толщине, отношений радиуса к толщине и длины к радиусу, а также поверхностных эффектов на отношение частот функционально-градиентных цилиндрических нанооболочек при граничных условиях вида «свободная опора - свободная опора», «свободная опора - жесткая заделка» и «жесткая заделка - жесткая заделка». На основе нелокальной теории упругости в сочетании с балочной теорией Тимошенко исследовано влияние поверхностных эффектов на продольный изгиб и колебания нанопроволок [50]. Нелокальная теория упругости и модель Эйлера-Бернулли использованы для оценки влияния упругости поверхности и остаточного поверхностного натяжения на колебания микробалок [51]. Методом Рэлея-Ритца исследовано влияние поверхности на осевую потерю устойчивости нанобалки [52]. На основе нелокальной теории градиента деформации исследовано влияние размера, включая нелокальный эффект, параметры градиента деформации и поверхност-

ный эффект, на частотное поведение и устойчивость нанотрубок с нанопотоком [53]. В [54] представлен анализ влияния поверхности на собственную частоту нанотрубок на основе нелокальной теории балки Тимошенко. В [55] изучено влияние модуля упругости поверхности и остаточного поверхностного напряжения на свободные колебания ДУНТ. Теории сдвиговой деформации первого порядка и поверхностной упругости Гертина-Мердока использованы при описании влияния остаточного поверхностного напряжения, плотности и модуля упругости поверхности на свободные колебания нанооболочек [56]. Авторы [56] исследуют колебания ОУНТ в полимерной матрице под действием магнитного поля на упругом основании Винклера-Пастернака. Структура моделируется с использованием нелокальной теории градиента деформации второго порядка и классической модели балки Эйлера-Бернулли.

Настоящее исследование проведено с учетом поверхностного эффекта. Изучено влияние изменения угла хиральности и собственной частоты на колебательные свойства углеродных нанотру-бок. Представлен детальный анализ влияния продольной компоненты магнитного поля, поверхности, нелокального параметра, параметра масштаба длины материала, числа колебательных мод, отношения длины к диаметру, хиральности ОУНТ и индекса хиральности на частоту колебаний ОУНТ.

2. Математическая модель и постановка задачи

2.1. Геометрия и модуль Юнга ОУНТ

Одностенная углеродная нанотрубка представляет собой лист графена, свернутый в бесшовный цилиндр. Вектор хиральности Си определяется как [57]

С = аг

2'

где аь а2 — единичные векторы двумерной решетки, образованной листами графена.

Угол между вектором хиральности и осью зигзагообразной нанотрубки (п, 0) определяется как угол хиральности 0, который задается выражениями [58]

( . ... Л

9 = агссо8

2п + т

2^п

-пт -

(

9 = а!гат

т

-т2 / Л

2\Тп

-пт

-т2 /

f

0 = arctan

л/3;

m

2n + m

где п, т — целые числа.

Длина единичного вектора а определяется как а = ^3ас_с, где ас-с — равновесная длина кова-лентной углерод-углеродной связи С-С, обычно принимаемая равной 0.1421 нм [59].

Соотношение между длиной окружности на-нотрубки, ее диаметром и целыми числами (п, т) имеет вид

-nm + m

, Lc л/

d = — ^ d = a

n + nm + m

% %

В соответствии с индексами хиральности (п, т) и углом хиральности 0 углеродные нанотрубки разделяют на зигзагообразные (т = 0, 0 = 0°), зубчатые (п = т, 0 = 30°) и хиральные (п Ф т, 0° < 0 < 30°).

Упругие характеристики УНТ, включая модуль Юнга, являются предметом многочисленных экспериментальных исследований. Первое экспериментальное измерение модуля Юнга было проведено методом просвечивающей электронной микроскопии [60] и полученное значение составило 1.8 ТПа. Молекулярно-динамический расчет модуля Юнга ОУНТ показал средние значения 935.805 ± 0.618, 935.287 ± 2.887 и 918.309 ± 10.392 ГПа для кресельных, зигзагообразных и хиральных ОУНТ соответственно [61]. Методом конечных элементов проводили оценку коэффициента упругости зубчатых и зигзагообразных УНТ с индексами хиральности п [62]. Методом эквивалентной балки измеряли жесткость на растяжение и изгиб ОУНТ и модуль Юнга нанотру-бок различной длины и диаметра с разными углами и индексами хиральности [63]. Согласно [63, 64], квазилинейные зависимости между жесткостью на растяжение ЕА, жесткостью на изгиб Е1 и диаметром В зубчатых, зигзагообразных и хи-ральных ОУНТ задаются выражениями

ЕА = а

Е1 = Р

где а, в и В0 — подгоночные параметры; Е — модуль Юнга.

Выразим площадь поперечного сечения эквивалентного полого цилиндра и момент инерции с помощью полого цилиндрического профиля для эквивалентной балки (аналог нанотрубки) следующим образом:

A = -4[(D + h) - (D -h)2] = nDh,

I = — [(D + h)4 - (D - h)4] 64

%D3t

1 +

D

где Н — толщина УНТ.

Используя уравнения (5)-(8), выразим диаметр нанотрубки В:

Е1 = Е V64[(В + Н)4 _ (В _Н)4]

ЕА ~ Е V4[(В + Н)2 _ (В _Н)2]

ч 2"

= ID 2

D =

1 +

EI_ EA

- h2

Модуль Юнга ОУНТ рассчитаем с помощью уравнений

ЕА = а

%Dh

или

%hyj 8 EI/

e=-=- 4 4

I V64[(D + h)4 - (D - h)4]

На рис. 1 показаны значения жесткости на растяжение ЕА и изгиб Е1 (без учета и с учетом упругости поверхности) в зависимости от (В - В0) и (В - В0)3 соответственно для ОУНТ с индексами хиральности (п, 5), где п е [5, 6,..., 40].

2.2. Нелокальная теория градиента деформации

Согласно нелокальной теории градиента деформации второго порядка [30], определяющее соотношение для тензора полных напряжений t имеет вид

_ * _ **

I = о-V-о +УУ:о ,

где о = {агу} — классический тензор напряжений (работа, сопряженная с обычным тензором деформации г); о = {оу>} — градиент тензора напряжений первого порядка (работа, сопряженная с тензором градиента деформации первого порядка Ve); о = {о^} — градиент тензора напряжений второго порядка (работа, сопряженная с тензором градиента деформации второго порядка VVE), определяемые как

о = |а0^, x', е0а)С: е'&¥',

10 15 20 25 30 (£>-£>0^нм^

Рис. 1. Изменение жесткости на растяжение ЕА в зависимости от

о* = 12 /а^х, х', е1а)С: Ув^К',

V

где С = [сум] — тензор модулей упругости классической изотропной теории упругости; I — параметр масштаба длины градиента деформации; е0а, е\а и е2а — нелокальные параметры, обусловленные полем напряжений градиента деформации высшего порядка. В общем случае е0 (е! или е2) является постоянной величиной для соответствующего материала; а — характерная внутренняя длина, например длина связи С-С, параметр решетки или межзеренное расстояние; а0(х, х', е0а), а1(х, х', е\а) и а2(х, х', е2а) — нелокальные функции ядра. Следует отметить, что функция градиента первого порядка а^х, х', е^), функция градиента второго порядка а2(х, х', е2а) и параметр масштаба длины градиента деформации I отсутствуют в нелокальной модели упругости Эрин-гена. Предположим, что нелокальные функции а0(х, х', е0а), а2(х, х', е2а) удовлетворяют условию теории Эрингена. В соответствии с атомистической теорией динамики решетки и экспериментальными данными по дисперсии фононов напряжение в точке х рассматривается как функциональная деформация в нелокальной теории упругости Эрингена [8]. В случае пренебрежения влиянием напряжений в других точках имеем классическую, или локальную теорию упругости.

Функция энергии деформации балочной модели Эйлера-Бернулли в рамках нелокальной теории градиента деформации второго порядка описывается уравнением

V = У2

+ I ^

+14 Еа2

где Е — модуль Юнга. Напряжение Сто;, напряжение первого порядка ст , напряжение второго

**

порядка ст и полное напряжение х определяются как

ь

ст хх = | Еа0

0

/хх = 12 ь Еа1

** 74

= I41 Еа2

0

1 * 12** х =ст _.ЁСТхх +_1СТхх

dх dх2

где «*х — деформация; В хх, х = ^ хх/^ и 8 хх, хх =

d2s хх/dх2 — градиенты деформации первого и второго порядка соответственно; ь — длина на-нотрубки.

Преобразуем нелокальные интегральные определяющие уравнения (13)-(15) в нелокальные дифференциальные уравнения вида

[1 _ (^а)2 V2] стхх = Ев хх,

[1 _

[1 _

Применяя линейный нелокальный дифференциальный оператор, имеем

ь = 1 _

Для / = 0, 1, 2 преобразование выражения (24) приводит к следующей дифференциальной форме:

[1 _ (е0 а)2 V 2][1 _ (еха)2 V 2][1 _ (е2 а)2 V 2]^

= Е[1 _ (еха)2 V 2][1 _ (е2 а)2 V2] 8 „

_ Е12[1 _ (е0а)2 V 2][1 _ (е2 а)2 V 28 хх

+ Е14[1 _

где V2 = д2/дх2 и V4 = д4/дх4 определяются как одномерный дифференциальный оператор.

Согласно [31], уравнение (25) можно упростить следующим образом:

[1 _

Принимая е0 = е1 = е2 = е, сохраним члены порядка О(У2) и O(V4). Далее на основе общего определяющего уравнения (26) получим основные уравнения для ОУНТ в полимерной матрице с учетом поверхностного эффекта под действием магнитного поля.

2.3. Уравнения Максвелла

Обозначим плотность тока J, возмущающий вектор ^ вектор напряженности электрического поля e и вектор смещения U и запишем уравнения Максвелла [65]

J = Vxh,

V дh Vxe = _ц—,

V•h = 0,

(ди H

e = _л| —xH

\ д1

h = Vx(U xH). Здесь V — оператор Гамильтона:

д г д к д

V = — ¡+—к+—к,

дх ду дг

где (i, к, 1к) — единичные векторы; п — проницаемость магнитного поля. Для упрощения примем, что на углеродные нанотрубки действует вектор продольной компоненты магнитного поля. Вектор смещения определяется как U = (и, V, w), тогда h = Vx(U xH) 5wЛ-

= _Н

ду

д^ ^ дw ~ Нх — ] + Нх— 1к,

л ^ л -л 7

дх дх

(

J = Vxh =Нх

д 2v

д2 w ^

дхдг дхду

_ Нх

(д ^

д 2 ^

д ^ ^

дудг дх2 дг2

Нх

д V д V

2

д w

дх2 ду2 дудг

к.

Сила Лоренца 1", вызванная продольной компонентой магнитного поля, определяется выражением

Г = /хк + /ук + /Ь = x Н)

= ц

0i +Н

( ^2

д V д V д w

дх ду дудг

Н2

д w д w

2

д w

дх2 ду2 дудг

Следовательно, компоненты силы Лоренца вдоль направлений х, у и г равны

/х = 0,

/у = ЧН

/г =ЦН2

(д\ а^у

ду 2"

д2 w + д 2w + дх2 ду2 дудг

кдх 2 ( Я2.

^

дудг

я2 Л д w

В настоящей работе при анализе колебаний ОУНТ рассматривалось только постоянное аксиальное магнитное поле в направлении х. Поэтому уравнение для силы Лоренца в направлении х можно записать в виде

д(х, ^) = цАН

2 д w(х, 0

дх

2

где п — проницаемость магнитного поля; Нх — компонента вектора магнитного поля в направлении х.

2.4. Модель ОУНТ в полимерной матрице

Рассмотрим ОУНТ длиной к в упругой среде (основание Пастернака с коэффициентами упругости К№ и жесткости на сдвиг К^) под действием продольной компоненты магнитного поля с напряженностью Нх вдоль направления х, как показано на рис. 2. Будем считать, что между УНТ и упругой средой образуются химические связи. Модель основания Пастернака, содержащая сдвиговый слой и слой Винклера (систему линейных пружин), описывает упругую матрицу. Зависимость между силой, действующей со стороны упругой матрицы, и деформацией w основания Пастернака выразим в виде [66]

/ч ^ ^ д^

Р( х ) = _К № + К*Ь—Т =

дх

Рис. 2. Схема одностенной углеродной нанотрубки в полимерной матрице типа Пастернака, состоящей из сдвигового слоя с жесткостью К8Ь и слоя Винклера с жесткостью К^ под действием продольной компоненты магнитного поля

где KW — коэффициент упругой жесткости; Кл — коэффициент жесткости сдвигового слоя основания Пастернака. Единственным отличием модели Винклера является нулевое значение коэффициента К8Ь = 0 в уравнении (33).

2.5. Модель ОУНТ с учетом поверхностного эффекта

Динамическое поведение наноструктур суще -ственно зависит от влияния поверхности, а именно упругости поверхности и остаточных поверхностных напряжений. Последние действуют как распределенная поперечная нагрузка, а упругость поверхности увеличивает жесткость на изгиб. Уравнение изгибной жесткости в зависимости от упругости поверхности запишем в виде [67]

(Е1 )в = £ Е^ + И)3.

При учете влияния упругости поверхности уравнение эффективной жесткости ОУНТ на изгиб Е1 преобразуется следующим образом [67]:

Е1 ^ (Е1 )ей- переходит в

8

где Е8 — модуль Юнга поверхности; И — эффективная толщина ОУНТ; d — диаметр ОУНТ.

Обобщенное уравнение Юнга-Лапласа предполагает, что распределенная поперечная нагрузка вызвана остаточными поверхностными напряжениями, которые можно выразить как

д 2 w

д 2 w

#( я) = 2т^0 + di)—2- = 2т^ + И) 2 дх дх

где т — остаточное поверхностное натяжение.

2.6. Определяющее уравнение движения

Используя модель балки Эйлера-Бернулли, представим поля продольных и поперечных перемещений в виде

и(х, у, 2, t) = и0 _ 2 , дх '

w(х, у, 2, t) = w(х, t), где w — поперечное смещение точки (х, 0) на срединной плоскости балки (2 = 0). Выражения для ненулевой компоненты геометрически нелинейного тензора деформации ехх и изгибающего момента М в модели Эйлера-Бернулли имеют вид [68]

ди ди =-=--2

д 2 w

=_ 2-

д2 w

дх2

^ дх дх дх2

М = 1А^ХМ

где w — поперечное смещение; 2 — расстояние от срединной плоскости по высоте. Умножая (26) на jAydA и интегрируя результат по поверхности

А, получим:

| у^х М _ (еа )2 v2 \ у^х М

А А

12х-,2 . 14х-,4-

= Е(1 _I V2 +1 V4)/увххdA.

А

Подстановка (38) в нелокальное определяющее соотношение (40) приводит к

\ 2tххdA _ (е0а)2 V2 \ ^

= _Е (1 _ I V 2 +1V 4) / 2 2dA

• М _

дх2 :

, Ч2 д2М М=^а)2—- _ Е

дх

->4 Л

1_ ^ + к дх2 дх4,

дх2

где момент инерции

М =\AZtx2dA,

д 2М л2г ,, д ^ —г = V21 гХхх6А = | г—2х дх А А дх

¿А,

I = 2аА.

А

С учетом влияния упругости поверхности Е1 -Е1 + QsEs уравнение (41) примет вид

М =

(

д 2М дх2

1 _ /2 + / ч дх2 дх4,

_

,4 Л ^2

д ^

дх2

Используя модель балки Эйлера-Бернулли, запишем общее уравнение для поперечных колебаний упругой балки под действием внешних сил:

дР д^

_рА^2 + Е (х) = 0

дх

а2

д 2 w

дР

^ — = рА 2 дх Ы2

_ Е (х),

дР дх

д 2М дх2

д 2М , д2 w —Г = рА—-дх2 дt

р=дМ=0

дх

2 _ Е(х),

где Р — сдвигающая сила; М — изгибающий момент; х — продольная координата; р — массовая плотность материала; А — площадь поперечного сечения балки; Е(х) — дополнительные внешние силы. Внешние силы Е(х) являются суммой силы р(х), действующей со стороны упругой матрицы на единицу площади, силы Лоренца /(х), вызванной действием продольной компоненты магнитного поля, и распределенной поперечной силы 5(х), вызванной влиянием поверхностного натяжения:

Е

Подстановка (45) в (44) приводит к следующему уравнению:

д 2М д^

= рА—у _ / (х) _ р( х) + 5( х).

дх2 дГ

Подставляя (46) в (42), получим:

М = ^а)2

д 2w

рА—— _ /

дt2

(

_

,4 Л ^2

1 _ I +1 4Л

к дх2 дх4 ,

д2 w

дх

2

Вторая производная этого уравнения записывается как

д 2М

дх2

=

рА

д^ д2

д^дх2 дх2

_

_ —7 /

дх

1 _ 1+1 ^

ч дх2 дх4 ,

дх 2 д 4 w

дх

4

Подставляя (48) в (46), имеем:

д 2w о

рА—г _ / (х) _ р (х) + 5 (х) = (е0а) дt2

рА

д V д2

дt2дx2 дх2

/

дх

(

_

(

1 _ I

2 д2 , ,4 д'

дх2

- +14

дх2

4 Лд4 w

дх

1 _ 12 ^ +141

дх 4

у

4 Лд4 w

дх

дх4

V /

( я4„. Д2 -2

дх

4 _(е0а)2

д 4w д 2 д 2 д 2

рА „ ^ 2 У

дt 2дх2 дх2 дх2 дх2

дt2

= 0

^

1 _ 12 ^ +1 ^

4 Лд4w

дх2

дх4 д 2

дх 4

2 д № 2 ~

_

дt дх дх

+

дх2

дх2

д ^

+ рА—у _/(х) _ р(х) + 5(х) = 0

дt2

(

^

44

1 _ 12^т+14 Л

ч дх2 дх4,

д 4 ^

/ л л д4^ . ,2 д2 _ (е°а) рА +(е0а) д?

(

ЦАН

дх 4

2 о^ Л

х я„.2

дх2

( )2 д2 (е0а) д?

(

д 2w Л

_к№ w + 2 дх

ж

x

и

. ,2 д2 ТТ д^ . д2w лтт2 д2w

_(е0а) ТГ— + РА"дТ^ _^АЯх "дх^

дх2 8 дх2

(

д2 w Л

_ KW W +

дх2

И.

8 дх2

= 0.

Упрощая предыдущее уравнение, получим:

( - д 2 (Е1 + аЕ8) . . 2 .. 4 ^ ^^ дх2 дх4 дх4

1 _ /2 Хг + ¡4 д

4 Лд4w

2 2 д4w 2 д^ 2

+ ПАЯх2 (е0а)2 -т _ ^А^2 _ ^ М)2 дх4 дх2

д2w 2 д4w 2 д4w

х — + К8Ь(е0а) —т _ И8(е0а) "гт

дх2

дх

^ V д2 w

К w w _ 2

дх

дх4

-И.

д 2 w

2 д w _рА(е0а + РА

дt 2дх 2

8 дх2

дt2

= 0.

Используя преобразование Фурье, преобразуем уравнение (50) в области определения частот [69]:

И

w(х, t) = X w(х)еп

п=1

где i — мнимая единица; W — амплитуда отклонения балки; юп — угловая частота п-й точки дискретизации; И — частота Найквиста.

Подставляя (51) в (50), получим уравнение дисперсии волны

И

X

п=1

(

Э4 Л

1 _ / 2+ / ч сх2 сх4 ,

д 4 w

дх4

2 2 д4w 2 д2w 2 д2w

ЦАИ1 е а)2 — _ ЦАИ1 — _ Kw (е0 а)2

дх дх дх

^ / ч2 д w тт , ч2 д w + К8Ь(е0а)^—г _ И8(е0а)2

дх4

дх'

„ _ „ д^ 4 Кww _ К8^ТГ

+И

д 2 W

2 2 д W 2_

8 _ 2 +РА(е0а) юпТ"Т_РА^

дх 2

дх2

= 0.

Данное уравнение запишем в виде обыкновенного дифференциального уравнения с одной переменной х:

(

1 _ /2 ^ + /4 Л

ч сх2 дх4 ,

О а4 —

д 4 ^

дх4

+ ПАИх2 (е0а)2 1* _ лАИ,2 ^ _ ^ (е0а)2 ^

дх4

дх2

дх2

д 2 W

2 д4w 2 д4w ^

+ К8Ь(е0а) —4-_И8(е0а) ^гг + КWw_

дх дх дх

+ И8—- + рА

дх 2 дх 2

Подстановка w(х, t) = Ж81п(Ах) в (53) приводит к

+ цШ^)2 пх) + ПАИ2 Ап^ш^х)

+ Кw (е0а )2 А п^т ^х) + ^ (е0а)2 ^т (А пх) _ И8 (е0а)2 А 4Й8п ^х) + ^Жяп ^х) + ^ АпЖ81п(А пх) _ И%А2„Шп(А пх) _ рА(е0а)2 ю2А 2Ж81п(Ах) _рАю2Ж81п(А пх) = 0

^ (Е1 + 68Е8)(1 _ /2Ап + /4*п)А4

+ ПАИх2(е0а )2 А п + пАИ2А п + Kw(eoа)2 *2

+ ^^а)2 А4 _ ^(^а)2 Ап + ^ + ^Ап

_ И8Ап _ рА(е0а)2ю2А2 _ рАю2 = 0, (54) где А=Ип/Ь — волновое число. После упрощения имеем

рА

3. Численные результаты и обсуждение

Чтобы показать влияние различных параметров на продольные колебания одностенных углеродных нанотрубок, были проведены численные расчеты с использованием полученных выражений. В расчетах поведения ОУНТ использовались следующие параметры: эффективная толщина УНТ 0.34 нм [14], плотность р = 2.3 г/см3 [14], магнитная проницаемость п = 4п • 10-7 [70], поверхностное натяжение за счет остаточных напряжений т = 0.31 Н/м и модуль Юнга поверхности Е8 = 35.5 Н/м для ОУНТ с никелевым покрытием [71]. Значения параметров упругой матрицы,

такие как модуль Винклера Kw = 10 Н/м [72] и модуль сдвига К8Ь = 1.13 Н/м, взяты из работы [73]. Модуль Юнга зубчатых, зигзагообразных и хиральных ОУНТ прямо пропорционален диаметру нанотрубки и рассчитывается на основе уравнений (10), (11). Подгоночные параметры имеют следующие значения [63]: а = 143.48 нН/нм, в = 143.48 нН/нм, Б0 = 2.8 • 10-7 нм. Для калибровки нелокального параметра крайне важным является выбор значения параметра масштаба длины материала е0 (е! или е2). Экспериментальное определение параметра масштаба длины для УНТ не про-

водилось, однако методом численного моделирования были получены допустимые значения нелокального параметра: 0 нм < e0a < 2 нм [74, 75]. Указанный диапазон значений использован в настоящей работе при анализе влияния нелокальных эффектов на поведение ОУНТ. Калибровка малых масштабов длины l, применяемая в градиентных моделях сплошной среды, играет важную роль в прогнозе поведения нанотрубок. Согласно результатам [46], фазовые скорости распространения волны в зубчатой ОУНТ (10, 10), рассчитанные на основе нелокальной теории градиента деформации при ea = 0.8 нм и l = 0.175 нм, показали хорошее соответствие с результатами численного моделирования. В [41] для калибровки малых масштабов длины вычисляли отношение lm/l (отношение масштаба длины градиента инерции к масштабу длины градиента деформации), равное 40 и 8 для балочной модели Эйлера-Бернул-ли и Тимошенко соответственно. Данные значения находили путем сравнения собственных частот, полученных с помощью нелокальных моделей сплошной среды и численного моделирования. Поэтому в настоящей работе для описания поведения ОУНТ в рамках нелокальных моделей градиента деформации высшего порядка используется диапазон малых масштабов длины 0.1 нм < l < 1.2 нм.

Для изучения влияния нелокальных эффектов на колебания ОУНТ, предсказанных на основе различных теорий упругости, проанализируем влияние поверхности, угла хиральности, индексов хиральности (n, m), масштаба длины градиента деформации, нелокального параметра, числа колебательных мод, аспектного отношения ОУНТ, характеристик основания Пастернака и продольной компоненты магнитного поля. Соотношение значений собственных частот Wlhsgt, рассчитанных на основе локальной теории упругости, и значений частот wNHSGT, полученных с использованием нелокальной теории градиента деформации, будем учитывать как

X N

LHSGT

Рисунок 3 иллюстрирует изменение собственной частоты в зависимости от угла хиральности 9 ОУНТ, определенной с учетом и без учета влияния поверхности в моделях на основе локальной теории упругости (LET), нелокальной теории упругости (NET), а также нелокальных теорий градиента деформации первого (NFSGT) и второго порядка (NSSGT). В расчетах использовались

следующие значения параметров: параметр масштаба длины градиента деформации I = 1.2 нм, нелокальный параметр еа = 0.5 нм, число колебательных мод N = 6, отношение длины к диаметру Ыс1 = 20, модуль сдвига полимерной матрицы Кл = 1.3 Н/м, модуль Винклера Kw = 107 Н/м и продольная компонента магнитного поля Нх = 108 А/м. Из рисунка видно, что значения частот, полученные с помощью теории градиента второго порядка, для всех значений индексов хиральности (п, 5) при п е [5,6,..., 40] во всем диапазоне углов хиральности от 5.81753° до 30° превышают значения, полученные на основе теории первого порядка, локальной и нелокальной теорий. Это свидетельствует о том, что влияние масштаба длины градиента деформации в моделях теорий градиента первого и второго порядка приводит к усилению нелокальных эффектов. Например, при постоянном значении угла хиральности 9 = 30° значение частоты, рассчитанное по модели градиента второго порядка, более чем на 41.88 и 160 % превышает значения, рассчитанные на основе теории первого порядка и нелокальной теории. Значение частоты, рассчитанное с помощью модели первого порядка, на -46.66 % больше по сравнению со значением нелокальной теории, что указывает на отсутствие влияния масштаба длины градиента деформации в нелокальной модели упругости Эрингена. Следует отметить, что разница между значениями частот в разных теориях

Рис. 3. Изменение собственной частоты в зависимости от угла хиральности 9 ОУНТ с учетом и без учета поверхности в моделях на основе локальной теории упругости

Рис. 4. Зависимость собственной частоты ю^зот от угла хиральности 0 ОУНТ с учетом и без учета влияния поверхности для различных значений масштабного параметра и индексов хиральности

упругости незначительна при малых углах хиральности 0 и возрастает при больших. Следовательно, нелокальные эффекты усиливаются в модели градиента второго порядка с учетом поверхности для больших углов хиральности и меньшего диаметра d УНТ. Высокие значения частот, полученные в модели второго порядка, подтверждают ее применимость для расчетов резкого увеличения жесткости УНТ. Кроме того, частота колебаний ОУНТ с учетом влияния поверхности в различных теориях упругости выше, чем без учета влияния поверхности. В [34] с использованием локальной и нелокальной теорий градиента деформации, а также нелокальной теории упругости был проведен частотный анализ колебаний ДУНТ в магнитном поле. Сравнение значений собственных частот, полученных с использованием трех теорий, показало, что частоты в нелокальной теории градиента деформации больше, чем в нелокальной теории упругости, и ниже, чем в локальной теории градиента.

Влияние наномасштабного параметра на колебания ОУНТ в рамках теории градиента деформации второго порядка можно проследить на графике изменения частоты в зависимости от угла хиральности 0 для различных значений параметра масштаба длины градиента деформации / (рис. 4). Из рисунка видно, что частота значительно увеличивается с ростом значений /. С другой стороны, при малых значениях угла хиральности 0 влияние данного параметра на частоту незначительно. Для ОУНТ с большим углом хиральности (0 = 30°) частота существенно зависит от масштаба длины градиента деформации. Можно сделать

вывод, что нелокальные эффекты при больших углах хиральности и малом диаметре ОУНТ определяются значением параметра масштаба длины градиента деформации. Из рисунка также следует, что частота ОУНТ в моделях с учетом влияния поверхности при различных значениях / всегда больше, чем без учета поверхности. Высокие значения частот в нелокальной теории градиента второго порядка с более высоким значением масштабного параметра / подтверждают, что УНТ оказывает влияние на повышение жесткости. Согласно работе [34], эффект резкого увеличения жесткости проявляется при увеличении параметра масштаба длины. Установлено, что нанобалка демонстрирует снижение жесткости, если параметр масштаба длины меньше нелокального параметра, и повышенную жесткость, если масштабный параметр превышает нелокальный параметр.

Влияние магнитного поля на колебания ОУНТ показано на рис. 5, где представлен график зависимости собственной частоты от угла хиральнос-ти ОУНТ с учетом влияния поверхности, построенный на основе нелокальной теории градиента деформации второго порядка для различных значений продольной компоненты магнитного поля.

Ввиду отсутствия литературных данных результаты расчетов представлены для пяти значений продольной компоненты магнитного поля в диапазоне (0.1^2.0) • 109 А/м. Из рис. 5 видно, что продольная компонента магнитного поля существенно влияет на собственную частоту, которая увеличивается с ростом значений угла хиральнос-ти и продольной компоненты магнитного поля. Однако при очень малом значении угла хираль-

Рис. 5. Зависимость собственной частоты юм880т от угла хиральности 0 ОУНТ с учетом влияния поверхности при различных значениях продольной компоненты магнитного поля для индексов хиральности

6° 10° 14° 18° 22° 26е Рис. 6. Зависимость собственной частоты ю^зот от угла хиральности 9 ОУНТ с учетом и без учета влияния поверхности для двух значений продольного маг-

нитного поля Нх = 0.1 онлайн-версии)

109 и 2.0 • 109 А/м (цветной в

ности продольная компонента магнитного поля не влияет на собственную частоту. Из этого следует, что под действием магнитного поля нелокальные эффекты усиливаются. Согласно результатам [18] о влиянии теплового и магнитного полей на колебания ОУНТ, собственная частота увеличивается по мере роста продольной компоненты магнитного поля в случае высокой моды колебаний. Частотный анализ ДУНТ в магнитном поле в рамках нелокальной теории упругости [70] выявил, что продольная компонента магнитного поля увеличивает собственную частоту ДУНТ.

На рис. 6 показано изменение собственной частоты, рассчитанной на основе теории градиента второго порядка, в зависимости от угла хи-

Рис. 8. Зависимость отношения частот хи от угла хиральности 9 ОУНТ, полученная на основе нелокальной теории градиента деформации второго порядка с учетом влияния поверхности, для различных значений отношения Ь/С и индексов хиральности

ральности для двух значений Нх = 0.1 • 10 и 2.0 х 109 А/м с учетом и без учета поверхности. Как видно, влиянием поверхности на собственную частоту можно пренебречь при малом угле хи-ральности ОУНТ. Однако в случае больших значений угла 9 влияние поверхности на собственную частоту значительно. Из сравнения результатов на рис. 5 и 6 видно, что собственная частота более чувствительна к влиянию величины продольной компоненты магнитного поля, чем к влиянию поверхности.

На рис. 7 представлены графики изменения отношения частот хИ (отношение частоты Юш8оТ в

Рис. 7. Зависимость отношения частот хи от угла хи-ральности 9 ОУНТ, полученная на основе нелокальной теории градиента деформации второго порядка с учетом влияния поверхности, для разных значений числа мод колебаний N и индексов хиральности

Рис. 9. Зависимость отношения частот хи от угла хи-ральности 9 ОУНТ, полученная на основе нелокальной теории градиента деформации второго порядка с учетом влияния поверхности, для различных значений нелокального параметра еа и индексов хирально-сти

Таблица 1. Отношения частот Хи для различных значений индекса хиральности (и, 5), п е [5, 6,..., 40] и нелокального параметра еа

Индекс хиральности

Без учета упругости поверхности Е1, нН/нм2 С учетом упругости поверхности

0.5 1.5 2.0 0.5 1.5 2.0

(5, 5) 0.68755 30° 46.63399 61.75135 0.83263 0.47838 0.39904 0.82958 0.46488 0.38125

(6, 5) 0.75735 26.9955° 62.32649 80.73836 0.85592 0.51030 0.42586 0.85337 0.49838 0.40993

(7, 5) 0.82887 24.5036° 81.70532 103.95721 0.87539 0.54104 0.45229 0.87325 0.53048 0.43799

(8, 5) 0.90171 22.4109° 105.19503 131.87168 0.89165 0.57036 0.47815 0.88984 0.56097 0.46528

(9, 5) 0.97558 20.633° 133.22207 164.94821 0.90526 0.59815 0.50332 0.90371 0.58976 0.49168

(10, 5) 1.05025 19.1066° 166.21410 203.65495 0.91668 0.62431 0.52768 0.91534 0.61679 0.51711

(11, 5) 1.12557 17.7837° 204.59964 248.46128 0.92631 0.64884 0.55116 0.92515 0.64206 0.54151

(12, 5) 1.20141 16.6272° 248.80782 299.83740 0.93448 0.67175 0.57368 0.93346 0.66560 0.56484

(13, 5) 1.27768 15.6084° 299.26810 358.25401 0.94144 0.69309 0.59521 0.94054 0.68749 0.58709

(14, 5) 1.35432 14.7047° 356.41039 424.18244 0.94742 0.71291 0.61574 0.94662 0.70779 0.60825

(15, 5) 1.43125 13.8979° 420.66452 498.09397 0.95257 0.73129 0.63527 0.95185 0.72660 0.62833

(16, 5) 1.50844 13.1736° 492.46084 580.46055 0.95703 0.74832 0.65379 0.95639 0.74400 0.64735

(17, 5) 1.58584 12.5198° 572.22948 671.75385 0.96093 0.76409 0.67134 0.96034 0.76009 0.66534

(18, 5) 1.66343 11.927° 660.40087 772.44599 0.96434 0.77867 0.68794 0.96381 0.77497 0.68233

(19, 5) 1.74119 11.3871° 757.40563 883.00928 0.96734 0.79217 0.70363 0.96685 0.78873 0.69837

(20, 5) 1.81908 10.8934° 863.67403 1003.91567 0.96999 0.80466 0.71844 0.96954 0.80145 0.71349

(21, 5) 1.8971 10.4403° 979.63677 1135.63761 0.97234 0.81621 0.73240 0.97193 0.81321 0.72775

(22, 5) 1.97523 10.0229° 1105.72443 1278.64743 0.97444 0.82692 0.74557 0.97406 0.82410 0.74118

(23, 5) 2.05346 9.6374° 1242.36762 1433.41747 0.97632 0.83683 0.75798 0.97597 0.83418 0.75383

(24, 5) 2.13177 9.28018° 1389.99688 1600.42005 0.97801 0.84603 0.76968 0.97768 0.84353 0.76574

(25, 5) 2.21016 8.94828° 1549.04319 1780.12796 0.97953 0.85456 0.78070 0.97922 0.85220 0.77696

(26, 5) 2.28862 8.63912° 1719.93686 1973.01325 0.98090 0.86248 0.79108 0.98061 0.86025 0.78752

(27, 5) 2.36714 8.35047° 1903.10871 2179.54856 0.98214 0.86984 0.80086 0.98187 0.86773 0.79747

(28, 5) 2.44572 8.08036° 2098.98943 2400.20636 0.98328 0.87669 0.81008 0.98302 0.87468 0.80684

(29, 5) 2.52435 7.82707° 2308.01014 2635.45962 0.98431 0.88307 0.81877 0.98406 0.88116 0.81568

(30, 5) 2.60302 7.58909° 2530.60081 2885.78004 0.98525 0.88902 0.82697 0.98502 0.88720 0.82401

(31, 5) 2.68174 7.36507° 2767.19296 3151.64104 0.98611 0.89457 0.83470 0.98590 0.89283 0.83186

(32, 5) 2.76049 7.15384° 3018.21679 3433.51457 0.98691 0.89976 0.84200 0.98670 0.89809 0.83928

(33, 5) 2.83928 6.95432° 3284.10309 3731.87323 0.98764 0.90460 0.84889 0.98744 0.90301 0.84627

(34, 5) 2.91811 6.76558° 3565.28283 4047.18984 0.98831 0.90914 0.85540 0.98812 0.90761 0.85288

(35, 5) 2.99696 6.58678° 3862.18705 4379.93730 0.98893 0.91339 0.86156 0.98875 0.91192 0.85913

(36, 5) 3.07584 6.41714° 4175.24579 4730.58737 0.98951 0.91738 0.86737 0.98934 0.91597 0.86503

(37, 5) 3.15475 6.25598° 4504.89009 5099.61296 0.99004 0.92112 0.87288 0.98988 0.91976 0.87062

(38, 5) 3.23368 6.10269° 4851.55058 5487.48651 0.99054 0.92464 0.87809 0.99038 0.92333 0.87591

(39, 5) 3.31263 5.95671° 5215.65847 5894.68108 0.99100 0.92795 0.88303 0.99085 0.92668 0.88092

(40, 5) 3.3916 5.81753° 5597.64425 6321.66899 0.99143 0.93107 0.88771 0.99129 0.92980 0.88567

нелокальной теории градиента деформации второго порядка к частоте Юьззат в локальной теории градиента деформации второго порядка) в зависимости от угла хиральности 0 для различных мод колебаний N с учетом влияния поверхности. При построении зависимостей использовались следующие значения: параметр масштаба длины градиента деформации I = 0.3 нм, нелокальный параметр еа = 0.5 нм, отношение длины к диаметру Ь/й=20, модуль сдвига полимерной матрицы К^ = 1.3 Н/м, модуль Винклера К№ = 107 Н/м, продольная компонента магнитного поля Нх = 108 А/м. Из рисунка видно, что отношение частот хи меньше единицы для всех значений индекса хиральности ОУНТ. Значение хи уменьшается с увеличением

числа колебательных мод и растет с увеличением угла хиральности 0, аналогично результатам, представленным в [15].

Графики зависимости отношения хи от угла 0 УНТ, построенные на основе нелокальной теории градиента деформации второго порядка с учетом влияния поверхности, для различных значений отношения Ь/й приведены на рис. 8. Видно, что для длинных ОУНТ (Ь/й=40) отношение частот приближается к единице, особенно при малых значениях угла 0 и больших значениях диаметра нанотрубки. Для коротких ОУНТ (Ь/й = 5) отношения частот меньше единицы, особенно при больших значениях угла 0 и малых значениях диаметра й. Величина Хи постепенно уменьшается

с увеличением аспектного отношения и растет по мере увеличения угла хиральности и уменьшения диаметра нанотрубки. Этим объясняется большая кривизна ОУНТ с меньшим диаметром С, которая приводит к более значительному искажению связей С-С.

На рис. 9 показана зависимость величин хи и 9, полученных на основе нелокальной теории градиента второго порядка с учетом влияния поверхности, для различных значений нелокального параметра еа. Как и в предыдущем случае, отношение частот хи меньше единицы для разных значений еа. Видна зависимость отношения хи от параметра еа. Также следует отметить, что по мере увеличения нелокального параметра отношение частот уменьшается при больших углах хиральности 9. Однако при очень малых значениях угла 9 нелокальные эффекты мало влияют на отношение частот. Среднее расстояние между атомами уменьшается с ростом параметра еа (в результате усиления межатомного взаимодействия), приводя к увеличению нелокальных эффектов.

Значения отношения хи при различных диаметрах и углах хиральности ОУНТ, полученные на основе нелокальной теории градиента второго порядка без учета и с учетом влияния поверхности, для различных значений нелокального параметра, показаны в табл. 1. Приведенные данные указывают на увеличение отношения хи по мере увеличения диаметра ОУНТ и уменьшения угла хиральности. Следовательно, величина хи меньше подвержена влиянию нелокального эффекта. Кроме того, при различных значениях нелокального параметра отношение частот хи ОУНТ больше в случае учета влияния поверхности, чем без него. Результаты проведенного исследования являются новыми и могут быть использованы для дальнейшего изучения наноустройств, работа которых зависит от характеристик колебаний ОУНТ в полимерной матрице.

4. Заключение

В работе с использованием нелокальной теории градиента деформации второго порядка исследовано влияние угла хиральности на колебания ОУНТ в полимерной матрице под действием магнитного поля. На основе полученных результатов сделаны следующие выводы.

Собственная частота колебаний ОУНТ зависит от хиральности нанотрубки, числа мод колебаний, аспектного отношения, нелокального пара-

метра, масштаба длины материала, продольной компоненты магнитного поля, влияния поверхности, а также угла и индекса хиральности.

Значения собственной частоты, полученные с помощью нелокальной теории градиента второго порядка для всех индексов хиральности (n, 5) при n е [5, 6,..., 40] и значений угла хиральности от 5.81753° до 30.0°, превышают частоты, полученные на основе нелокальной теории упругости и нелокальной теории градиента деформации первого порядка.

Собственная частота увеличивается по мере увеличения угла хиральности, а также с увеличением параметра масштаба длины материала, продольной компоненты магнитного поля и поверхностного эффекта.

Увеличение угла хиральности приводит к уменьшению отношения частот xn ОУНТ. Этот эффект наиболее выражен при уменьшении отношения длины к диаметру нанотрубки и увеличении нелокального параметра и числа мод колебаний.

Полученные результаты свидетельствуют, что предлагаемая модель проста и эффективна при рассмотрении задач о динамическом поведении одностенных углеродных нанотрубок в полимерной матрице под действием магнитного поля с учетом влияния поверхности и нелокальных эффектов.

Литература

1. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. - 1991. - V. 354. - P. 56-58. - https://doi.org/10. 1038/354056a0

2. Robertson J. Realistic applications of CNTs // Materials Today. - 2004. - V. 7. - P. 46-52. - https://doi.org/10. 1016/S1369-7021(04)00448-1

3. Eltaher M.A., Almalki T.A., Almitani K.H., Ahmed K.I.E., Abdraboh A.M. Modal participation of fixed-fixed singlewalled carbon nanotube with vacancies // Int. J. Adv. Struct. Eng. - 2019. - V. 11. - P. 151-163. - https://doi. org/10.1007/s40091-019-0222-8

4. Lin-Hui Y.E., Liu B-G., Wang D-S. Ab initio molecular dynamics study on small carbon nanotubes // Chin. Phys. Lett. - 2001. - V. 18. - No. 11. - P. 1496-1499. - https:// doi.org/10.1088/0256-307X/18/11/323

5. Sanchez-Porta, D., Artacho E., Soler J.M., Rubio A., Or-dejo P. Ab initio structural, elastic, and vibrational properties of carbon nanotubes // Phys. Rev. B. - 1999. -V. 59. - No. 19. - P. 12678-12688. - https://doi.org/10. 1103/PhysRevB.59.12678

6. Wang Q. Wave propagation in carbon nanotubes via nonlocal continuum mechanics // J. Appl. Phys. - 2005. -V. 98. - No. 12. - P. 124301. - https://doi.org/10.1063/1. 2141648

7. Natsuki T., Lei X.W., Ni Q.Q., Endo M. Free vibration characteristics of double-walled carbon nanotubes embedded in an elastic medium // Phys. Lett. A. - 2010. -V. 374. - No. 26. - P. 2670-2674. - https://doi.org/10. 1016/j.physleta.2010.04.040

8. Eringen A.C. Nonlocal polar elastic continua // Int. J. Eng. Sci. - 1972. - V. 10. - No. 1. - P. 1-16. - https:// doi.org/10.1016/0020-7225(72)90070-5

9. Guoxin C., Xi C., Kysar W. Thermal vibration and apparent thermal contraction of single-walled carbon nanotubes // J. Mech. Phys. Solids. - 2006. - V. 54. - No. 6. - P. 2061236. - https://doi.org/10.1016/j.jmps.2005.12.003

10. Wong E.W., Sheehan P.E., Lieber C.M. Nanobeam mechanics: Elasticity, strength, and toughness of nanorods and nanotubes // Science. - 1997. - V. 277. - No. 5334. - P. 19711975. - https://doi.org/10.1126/science.277.5334.1971

11. Falvo M.R., Clary G.J., Taylor R.M., Chi V., Brooks F.P., Washburn S. Bending and buckling of carbon nanotubes under large strain // Nature. - 1997. - V. 389. - P. 582584. - https://doi.org/10.1038/39282

12. Heireche H., Tounsi A., Benzair A., Mechab I. Sound wave propagation in single-walled carbon nanotubes with initial axial stress // J. Appl. Phys. - 2008. - V. 104. -No. 1. - P. 014301. - https://doi.org/10.1063/E2949274

13. Tounsi A., Benguediab S., Adda Bedia E.A., Semmah A., Zidour M. Nonlocal effects on thermal buckling properties of double-walled carbon nanotubes // Adv. Nano Res. - 2013. - V. 1. - No. 1. - P. 1-11. - https://doi.org/ 10.12989/anr.2013.1.1.001

14. Liani M., Moulay N., Bourada F., Addou F.Y., Bourada M., Tounsi A., Hussain M. A nonlocal integral Timo-shenko beam model for free vibration analysis of SWCNTs under thermal environment // Adv. Mater. Res. - 2022. - V. 11. - No. 1. - P. 1-22. - https://doi.org/ 10.12989/amr.2022.11.1.001

15. Moulay N., Liani M., Al-Douri Y., Bensaid D., Berra-hal M. Effect of chiral angle and chiral index on the vibration of single-walled carbon nanotubes using nonlocal Euler-Bernoulli beam mode // Comput. Condens. Matter. - 2022. - V. 30. - Article e00655. - P. 1-10. -https://doi.org/10.1016Zj.cocom.2022.e00655

16. Reddy J.N., Pang S.D. Nonlocal continuum theories of beams for the analysis of carbon nanotubes // J. Appl. Phys. - 2008. - V. 103. - P. 023511. - https://doi.org/ 10.1063/1.2833431

17. Zhang D-P., Lei Y-J., Wang C-Y., Shen Z-B. Vibration analysis of viscoelastic single-walled carbon nanotubes resting on a viscoelastic foundation // J. Mech. Sci. Tech-nol. - 2016. - V. 31. - P. 87-98. - https://doi.org/10. 1007/s12206-016-1007-7

18. Ponnusamy P., Amuthalakshm A. Influence of thermal and magnetic field on vibration of double walled carbon nanotubes using nonlocal Timoshenko beam theory // Progr. Mater. Sci. - 2015. - V. 10. - P. 243-253. -https://doi.org/10.10167j.mspro.2015.06.047

19. Belmahi S., Zidour M., Meradjah M., Bensattalah T., Dihaj A. Analysis of boundary conditions effects on vibration of nanobeam in a polymeric matrix // Struct. Eng. Mech. - 2018. - V. 67. - No. 5. - P. 517-525. - https:// doi.org/10.12989/SEM.2018.67.5.517

20. Chakraverty S., Laxmi B. Buckling analysis of nano-beams with exponentially varying stiffness by differential quadrature method // Chin. Physics B. - 2017. - V. 26. -No. 7. - P. 074602. - https://doi.org/10.1088/1674-1056/ 26/7/074602

21. Jena S.K., Chakraverty S., Malikan M. Vibration and buckling characteristics of nonlocal beam placed in a magnetic field embedded in Winkler-Pasternak elastic foundation using a new refined beam theory: An analytical approach // Eur. Phys. J. Plus. - 2020. - V. 135. -No. 2. - P. 164. - https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-020-00176-3

22. Timesli A. A cylindrical shell model for nonlocal buckling behavior of CNTs embedded in an elastic foundation under the simultaneous effects of magnetic field, temperature change, and number of walls // Adv. Nano Res. -2021. - V. 11. - No. 6. - P. 581-593. - https://doi.org/10. 12989/anr.2021.11.6.581

23. Sobamowo M.G., Akanmu J.O., Adeleye O.A., Akingba-de S.A., Yinusa A.A. Coupled effects of magnetic field, number of walls, geometric imperfection, temperature change, and boundary conditions on nonlocal nonlinear vibration of carbon nanotubes resting on elastic foundations // Forces Mech. - 2021. -V. 3. - No. 2021. -P. 100010. - https://doi.org/10.1016/j.finmec.2021.100010

24. ArdaM., Aydogdu M. Analysis of Free torsional vibration in carbon nanotubes embedded in a viscoelastic medium // Adv. Sci. Technol. Res. J. - 2015. - V. 9. - No. 26. -P. 28-33. - https://doi.org/10.12913/22998624/2361

25. Arash B., Ansari R. Evaluation of nonlocal parameter in the vibrations of single-walled carbon nanotubes with initial strain // Physica. E. - 2010. - V. 42. - No. 8. - P. 20582064. - https://doi.org/10.1016/j.physe.2010.03.028

26. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. Analys. - 1964. - V. 16. - No. 1. - P. 5178. - https://doi.org/10.1007/BF00248490

27. Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity // Int. J. Solids Struct. - 1965. -V. 1. - No. 4. - P. 417-438. - https://doi.org/10.1016/ 0020-7683(65)90006-5

28. Li L., Hu Y., Li X. Longitudinal vibration of size-dependent rods via nonlocal strain gradient theory // Int. J. Mech. Sci. - 2016. - V. 115-116. - P. 135-144. - https:// doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2016.06.011

29. Eltaher M.A., Hammed M.A., Sadoun A.M., Mansour A. Mechanical analysis of higher order gradient nanobeams // Appl. Math. Comput. - 2014. - V. 229. - P. 260-272. -https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.12.076

30. Lim C.W., Zhang G., Reddy J.N. A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation // J. Mech. Phys. Solids. - 2015. -V. 78. - P. 298-313. - https://doi.org/10.1016/j.jmps 2015.02.001

31. Li Ch., Guo H., Tian X. Nonlocal second-order strain gradient elasticity model and its application in wave propagation in carbon nanotubes // Microsystem Technol. -2019. - V. 25. - P. 2215-2227. - https://doi.org/10.1007/ s00542-018-4085-x

32. Zare J., Shateri A., Beni Y.T., Ahmadi A. Vibration analysis of shell-like curved carbon nanotubes using nonlocal

strain gradient theory // Math. Meth. Appl. Sci. - 2020. -P. 1-25. - https://doi.org/10.1002/mma.6599

33. Li L., Hu Y. Buckling analysis of size-dependent nonlinear beams based on a nonlocal strain gradient theory // Int. J. Eng. Sci. - 2015. - V. 97. - P. 84-94. - https:// doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.08.013

34. Lu L., Guo X., Zhao J. Size-dependent vibration analysis of nanobeams based on the nonlocal strain gradient theory // Int. J. Eng. Sci. - 2017. - V. 116. - P. 12-24. -https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2017.03.006

35. Ansari R., Gholami R., Faghih Shojaei M., Mohamma-di V., Darabi M.A. Coupled longitudinal-transverse-rotational free vibration of post-buckled functionally graded first-order shear deformable micro- and nanobeams based on the Mindlin's strain gradient theory // Appl. Math. Model. - 2016. - V. 40. - No. 23-24. - P. 9872-9891. -https://doi.org/10.1016Zj.apm.2016.06.0422016

36. Mehralian F., Beni Y.T., Zeverdejani M.K. Nonlocal strain gradient theory calibration using molecular dynamics simulation based on small scale vibration of nano-tubes // Physica. B. Condens. Matter. - 2017. - V. 514. -P. 61-69. - https://doi.org/10.1016/j.physb.2017.03.030

37. Oveissi S., Eftekhari S.A., Toghraie D. Longitudinal vibration and instabilities of carbonnanotubes conveying fluid considering size effects of nanoflow and nanostruc-ture // Physica. E. Low-Dimens. Syst. Nanostruct. -2016. - V. 83. - P. 164-173. - https://doi.org/10.1016/ j.physe.2016.05.010

38. Wang L. Vibration analysis of nanotubes conveying fluid based on gradient elasticity theory // J. Vibr. Control. -2012. - V. 18. - No. 2. - P. 313-320. - https://doi.org/ 10.1177/2F1077546311403957

39. Dang V.H., Sedighi H.M., Civalek O., Abouelregal A.E. Nonlinear vibration and stability of FG nanotubes conveying fluid via nonlocal strain gradient theory // Struct. Eng. Mech. - 2021. - V. 78. - No. 1. - P. 103-116. -https://doi.org/10.12989/sem.2021.78.L103

40. Farajpour A., Farokhi H., Ghayesh M.H., Hussain S. Nonlinear mechanics of nanotubes conveying fluid // Int. J. Eng. Sci. - 2018. - V. 133. - P. 132-143. - https://doi. org/10.1016/j.ijengsci.2018.08.009

41. Ansari R., Gholami R., Rouhi H. Vibration analysis of single-walled carbon nanotubes using different gradient elasticity theories // Composites. B. - 2012. - V. 43. -No. 8. - P. 2985-2989. - https://doi.org/10.1016/j. compositesb.2012.05.049

42. Gheshlaghi B., Hasheminejad S.M. Size dependent surface dissipation in thick nanowires // Appl. Phys. Lett. -2012. - V. 100. - P. 263112. - https://doi.org/10.1063/ 1.4732090

43. Farshi B., Assadi A., Alinia-Ziazi A. Frequency analysis of nanotubes with consideration of surface effects // Appl. Phys. Lett. - 2010. - V. 96. - P. 093105. - https://doi.org/ 10.1063/1.3332579

44. Assadi A., Farshi B. Size dependent stability analysis of circular ultrathin films in elastic medium with consideration of surface energies // Physica. E. Low-Dimens. Syst. Nanostruct. - 2011. - V. 43. - No. 5. - P. 1111-1117. -https://doi.org/10.1016/j.physe.2011.01.011

45. Lu L., Zhu L., Guo X., Zhao J., Liu G. A nonlocal strain gradient shell model incorporating surface effects for vibration analysis of functionally graded cylindrical nano-shells // Appl. Math. Mech. (Engl. Ed.). - 2019. -V. 40. - No. 12. - P. 1695-1722. - https://doi.org/10. 1007/s10483-019-2549-7

46. Li L., Hu Y.J., Ling L. Wave propagation in viscoelastic single-walled carbon nanotubes with surface effect under magnetic field based on nonlocal strain gradient theory // Phy-sica. E. Low-Dimens. Syst. Nanostruct. - 2016. - V. 75. -P. 118-124. - https://doi.org/10.1016/j.physe.2015.09.028

47. Chen X., Fang C.Q., Wang X. The influence of surface effect on vibration behaviors of carbon nanotubes under initial stress // Physica. E. - 2017. - V. 85. - P. 47-55. -https://doi.org/10.1016/j.physe.2016.08.011

48. Jin Q., Ren Y., Jiang H., Li L. A higher-order size-dependent beam model for nonlinear mechanics of fluid-conveying FG nanotubes incorporating surface energy // Compos. Struct. - 2021. - V. 269. - P. 114022. - https:// doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.114022

49. Farajpour A., Dehghany M., AShahid R. Surface and nonlocal effects on the axisymmetric buckling of circular graphene sheets in thermal environment // Composites. B. - 2013. - V. 50. - P. 333-343. - https://doi.org/10. 1016/j. compositesb.2013.02.026

50. Wang G.F., FengX.Q. Timoshenko beam model for buckling and vibration of nanowires with surface effects // J. Phys. D. Appl. Phys. - 2009. - V. 42. - No. 15. - P. 155411. https://doi.org/10.1088/0022-3727/42/15/155411

51. Wang G.F., Feng X.Q. Effects of surface elasticity and residual surface tension on the natural frequency of micro-beams // J. Appl. Phys. - 2007. - V. 90. - P. 231904. -https://doi.org/10.1063/L2746950

52. Lee H.L., Chang W.J. Surface effects on axial buckling of non-uniform nanowires using nonlocal elasticity theory // Micro Nano Lett. (IET). - 2011. - V. 6. - No. 1. - P. 1921. - https://doi.org/10.1049/mnl.2010.0191

53. Atashafrooz M., Bahaadini R., Sheibani H.R. Nonlocal, strain gradient and surface effects onvibration and instability of nanotubes conveying nanoflow // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2020. - V. 27. - No. 7. - P. 586-598. -https://doi.org/10.1080/15376494.2018.1487611

54. Lee H.-L., Chang W.-J. Surface effects on frequency analysis of nanotubes using nonlocal Timoshenko beam theory // J. Appl. Phys. - 2010. - V. 108. - No. 9. -P. 093503. - https://doi.org/10.1063/L3503853

55. Lei X.W., Natsuki T., Shi J.X., Ni Q.Q. Surface effects on the vibrational frequency of double-walled carbon nano-tubes using the nonlocal Timoshenko beam model // Composites. B. Eng. - 2012. - V. 43. - No. 1. - P. 6469. - https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2011.04.032

56. Rouhi H., Ansari R., Darvizeh M. Size-dependent free vibration analysis of nanoshells based on the surface stress elasticity // Appl. Math. Model. - 2016. - V. 40. -No. 4. - P. 3128-3140. - https://doi.org/10.1016/j.apm. 2015.09.094

57. Vajtai R. Springer Handbook of Nanomaterials. - Berlin: Springer, 2013. - https://doi.org/10.1007/978-3-642-20595-8

58. Dresselhaus M.S., Lin Y.M., Rabin O., Jorio A., Souza Filho A.G., PimentaM.A., Saito R., Samsonidze G., Dres-

selhaus G. Nanowires and nanotubes // Mater. Sci. Eng. C. - 2003. - V. 23. - No. 1-2. - P. 129-140. - https:// doi.org/10.1016/S0928-4931(02)00240-0

59. Wildoer J., Venema L., Rinzler A., Smalley R., Dekker C. Electronic structure of atomically resolved carbon nano-tubes // Nature. - 1998. - V. 391. - P. 59-62. - https:// doi.org/10.1038/34139

60. Treacy M.M.J., Ebbesen T.W., Gibson J.M. Exceptionally high Young's modulus observed for individual carbon na-notubes // Nature. - 1996. - V. 381. - P. 678-680. -https://doi.org/10.1038/381678a0

61. Bao W.X., Zhu C.C., Cui W.Z. Simulation of Young's modulus of single-walled carbon nanotubes by molecular dynamics Show affiliations // Physica. B. Condens. Matter. - 2004. - V. 352. - No. 1-4. - P. 156-163. - https:// doi.org/10.1016/j.physb.2004.07.005

62. Papanikos P., Nikolopoulos D.D., Tserpes K.I. Equivalent beams for carbon nanotubes // Comput. Mater. Sci. -2008. - V. 43. - No. 2. - P. 345-352. - https://doi.org/ 10.1016/j.commatsci.2007.12.010

63. Sakharova N.A., Pereira A.F.G., Antunes J.M., Brett C.M.A., Fernandes J.V. Mechanical characterization of single-walled carbon nanotubes: Numerical simulation study // Composites. B. - 2015. - V. 75. - P. 73-85. -https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2015.01.014

64. Pereira A.F.G., Fernandes J.V., Antunes J.M., Sakharo-va N.A. Shear modulus and Poisson's ratio of single-walled carbon nanotubes: Numerical evaluation // Phys. Status Solid. - 2016. - V. 253. - No. 2. - P. 366-376. -https://doi.org/10.1002/pssb.201552320

65. Kraus J.D. Electromagnetics. - USA: McGrawHill, Inc., 1984.

66. Soltani P., Farshidianfar A. Periodic solution for nonlinear vibration of a fluid-conveying carbon nanotube, based on the nonlocal continuum theory by energy balance method // Appl. Math. Model. - 2012. - V. 36. -No. 8. - P. 3712-3724. - https://doi.org/10.1016/j.apm. 2011.11.002

67. Wang G.-F., Feng X.-Q. Surface effects on buckling of nanowires under uniaxial compression // Appl. Phys. Lett. - 2009. - V. 94. - No. 14. - P. 141913. - https://doi. org/10.1063/1.3117505

68. Wildoer J., Venema L., Rinzler A., Smalley R., Dekker C. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes // Nature. - 1998. - V. 391. - P. 59-62. - https:// doi.org/10.1038/34139

69. Doyle J.F. Wave Propagation in Structures. - New York: Springer-Verlag Inc., 1997. - https://doi.org/10.1007/ 978-3-030-59679-8

70. Murmu T., McCarthy M.A., Adhikari S. Vibration response of double-walled carbon nanotubes subjected to an externally applied longitudinal magnetic field: A nonlocal elasticity approach // J. Sound Vibr. - 2012. -V. 331. - No. 23. - P. 5069-5086. - https://doi.org/10. 1016/j.jsv.2012.06.005

71. Wang L.F., Hu H.Y. Flexural wave propagation in singlewalled carbon nanotubes // Phys. Rev. B. - 2005. -V. 71. - P. 195412. - https://doi.org/10.1103/PhysRevB. 71.195412

72. Ansari R., Ramezannezhad H. Nonlocal Timoshenko beam model for the large-amplitude vibrations of embedded multiwalled carbon nanotubes including thermal effects // Physica. E. - 2011. - V. 43. - No. 6. - P. 11711178. - https://doi.org/10.1016/j.physe.2011.01.024

73. Narendar S., Gopalakrishnan S. Nonlocal continuum mechanics based ultrasonic flexural wave dispersion characteristics of a monolayer grapheme embedded in polymer matrix // Composites. B. - 2012. - V. 43. - No. 8. -P. 3096-3103. - https://doi.org/10.1016/j.compositesb. 2012.04.058

74. Wang Q., Wang C.M. The constitutive relation and small scale parameter of nonlocal continuum mechanics for modelling carbon nanotubes // Nanotechnology. - 2007. -V. 18. - P. 075702. - https://doi.org/10.1088/0957-4484/ 18/7/075702

75. Ansari R., Rouhi H., Sahmani S. Calibration of the analytical nonlocal shell model for vibrations of double-walled carbon nanotubes with arbitrary boundary conditions using molecular dynamics // Int. J. Mech. Sci. - 2011. -V. 53. - P. 786-792. - https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci. 2011.06.010

Поступила в редакцию 28.08.2022 г., после доработки 15.10.2022 г., принята к публикации 17.10.2022 г.

Сведения об авторах

Noureddine Moulay, Dr., University of Sidi Bel Abbes, Algeria, n_moulay@hotmail.com Mohamed Liani, Researcher, University of Sidi Bel Abbes, Algeria, MohLia@gmail.com Fouad Bourada, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Tissemsilt University, Algeria, bouradafouad@yahoo.fr

Abdelouahed Tounsi, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria; Yonsei University, Korea; Jazan University, Saudia Arabia, tou_abdel@yahoo.com

Mofareh Hassan Ghazwani, Prof., Jazan University, Saudia Arabia, ghazwani@jazanu.edu.sa, GhazwaniMHSA@yahoo.fr