О реализации массивного супермультиплета суперспина 5/2 в трехмерном пространстве

Литература

1. Шило А. Е. Физико-химическое воздействие фаз при создании и работе инструмента из алмаза и кубического нитрида бора. Физико-химия формирования абразивсодержащих материалов инструментального назначения. Сборник научных тр. Киев, 1988. С. 4-9.

2. Климов М. Д., Коняев Ю. С. 605719 (СССР). Способ изготовления алмазоносного инструмента / Опубл. в Б. И., 1978. № 17.

3. Хайдаров К., КлимовМ. Д., Сулайманов Дж. А. и др. Изготовление и эффективность использования алмазного инструмента из поликристаллов в камнеобработке. Деп. В ВИНИТИ 30.11.88. № 8732В88.

4. Бугаков В. И., Коняев Ю. С. Высокоэффективный алмазный инструмент, изготовленный по оригинальной технологии с применением высоких давлений и температур, новых связок и алмазных материалов // Сверхтвердые материалы, 2001. № 6. С. 54-63.

5. Получение свойства СТМ и перспективные технологии их применение. Сб. научн. тр. // АН УССР. Институт сверхтвердых материалов. Киев, 1990. С. 148.

О реализации массивного супермультиплета суперспина 5/2 в трехмерном пространстве Пермякова М. Ю.1, Снегирев Т. В.2

'Пермякова Мария Юрьевна /Permyakova Mariya Yurevna — аспирант;

2Снегирев Тимофей Владимирович /Snegirev ТШо/еу Vladimirovich — кандидат физико-математических наук,

научный сотрудник, кафедра теоретической физики, Томский государственный педагогический университет, г. Томск

Аннотация: в работе рассмотрена лагранжева реализация массивного супермультиплета суперспина 5/2 в трехмерном плоском пространстве. Данное построение основано на калибровочно-инвариантной форме описания массивных полей.

Ключевые слова: лагранжиан, супермультиплет, калибровочная инвариантность.

В современной теоретической физике огромную роль играют те или иные симметрии. При этом говорят, что теория обладает симметрией, если она остается инвариантной относительно некоторых преобразований. Например, теория электромагнитного взаимодействия обладает калибровочной симметрией и(1), теория гравитации обладает симметрией общекоординатных преобразований.

Одной из пока гипотетических, но эстетически красивых симметрий является суперсимметрия. Это симметрия между бозонами и фермионами. Введение суперсимметрии позволяет решить острые внутренние проблемы многих физических моделей в теории поля. Любая симметрия в теории поля объединяет поля в некоторые мультиплеты. В случае суперсимметрии - это супермультиплеты. В зависимости от того, какой тип суперсимметрии рассматривается состав и количество полей в супермультиплетах изменяется существенным образом. Важно то, что, поскольку суперсимметрия смешивает бозонные и фермионные поля между собой, число фермионных и бозонных степеней свободы в любом супермультиплете должно быть одинаковым, а в массивном супермультиплете мы должны только один массовый параметр.

Сама проблема классификации супермультиплетов является чисто математической задачей и связана с изучением суперсимметричных расширений группы Пуанкаре или (А^. Эта задача главным образом зависит от размерности пространства и свойств спиноров. Например, в этой работе рассматривается массивный супермультиплет со старшим спином 3 с минимальной суперсимметрией. Такой супермультиплет будет содержать одно бозонное массивное поле со спином 3, а также два массивных фермионных поля со спином 5/2 каждый.

Другая проблема состоит в том, чтобы построить физическую реализацию конкретного супермультиплета в терминах динамических уравнений (функции лагранжа) для нужных полей и их суперпреобразованиях между собой. В этой работе мы не обсуждаем мощный инструмент суперпространства и суперполей. Мы только отметим, что в целом суперполевая формулировка теории высших спинов является открытой. Мы работает в явной компонентной форме, то есть рассматриваем всю систему полей, входящих в супермультиплет. В этом случае надо заботиться о суперсимметрии отдельно. В компонентной форме построение супермультиплетов для безмассовых и массивных полей высших спинов кардинально отличается.

Для безмассовых супермультиплетов ( В, F ) несложно найти реализацию, следуя общей схеме

8B-FZ, 8F~dBZ

где £ - параметр суперпреобразований. То есть бозонное поле преобразуется через фермионное поле, а фермионное поле - через первую производную бозонного. Это основная причина почему суперсимметричные теории безмассовых полей высших спинов развиты достаточно хорошо. Однако аналогичное построение для массивных супермультиплетов выглядит намного сложнее. Причина этого в том, что при сдвиге от безмассовой теории к массивной требуется ввести очень сложную поправку с высшими производными к суперпреобразованиям. При этом чем больший спин входит в массивный супермультиплет, тем больше производных будет в суперпреобразованиях без всякой очевидной схемы.

В четырехмерном пространстве достаточно простая реализация массивных супермультиплетов высших спинов (о безмассовых полях высших спинах см. [1]) была предложена Зиновьевым [2]. Она основывается на возможности использовать калибровочно-инвариантную форму описания массивных полей. Именно в калибровочно-инвариантной формулировке массивное поле спина s = 3 может быть описано как система безмассовых полей со спинами , связанных симметриями штюкелберга.

Замечательное свойство такой формулировке в том, что мы имеем корректный безмассовый предел. В безмассовом пределе массивный спин 3 распадается на набор безмассовых:

т=о

л3 —» А3+А2+А1+А0

Если применить такое разложение к каждому члену в массивном супермультиплете, то в результате все безмассовые поля прекрасно объединяются в набор безмассовых супермультиплетов. Для массивного супермультиплета c суперспином 2 имеем

(в- F: -с) == t (:: В'Н'Й

здесь F - фермионные поля, В, В' - бозонные поля противоположных четностей. Таким образом, основную идею можно сформулировать так - обобщить калибровочно-инвариантное описание массивных полей высших спинов на случай массивных супермультиплетов. То есть можно стартовать с набора известных безмассовых супермультиплетов, проссумировать соответствующие теории и деформировать их массовыми членами.

Важно, что не требуются никакие поправки к суперпреобразованиям с высшими производными. Следуя этой общей идее, мы исследуем массивный супермультиплет суперспина 2 в трехмерном пространстве в лагранжевой формулировке (о массивных поля высших спинов в трехмерном пространстве см. [3]).

Для достижения нашей цели, сформулируем следующие задачи:

1) Построить лагранжеву реализацию безмассовых супермультиплеты высших спинов в плоском трехмерном пространстве. Найти соответствующие глобальные суперпреобразования;

2) Найти подходящее разложение массивного супермультиплета на безмассовые;

3) Используя такое разложение, построить лагранжеву реализацию массивных супермультиплетов.

Реализация массивного супермультиплета

Для описания полей мы будем использовать "frame-like" формализм [1, 4, 5]. "Frame-like" формулировка высших спинов является обобщением тетрадной формулировки гравитации в терминах тетрадного поля и лоренцевской связности. Технически данный подход является формализмом первого порядка и использует язык дифференциальных форм. Так безмассовое поле спина s описывается парой 1-форм (iia( 2s ~ 2\fа (2 s_ 2 )) , а безмассовое поле спина s+1/2 описывается 1-формой . Переходя к вопросу построения супермультиплетов, мы сперва должны рассмотреть безмассовый случай. Безмассовые супермультиплеты будут служить кирпичиками при реализации массивного случая. Наиболее общий безмассовый супермультиплет (и наиболее важный в дальнейшем) выглядит

к + 1/2\ /ф«(25+1)\

к = /«

к - 1/2/ yxpa(2s-l)у

Соответствующие глобальные суперпреобразования выглядят 5fa(2 s) = ia^^s-l)^ + i(2fc + 5фа(25+1) = s)^ 54,«(2s-l) = 2kakf<2s~1^^

где далее используется следующая нормировка супералгебры

2 kal + (2k + 1 = 2

При построении массивного супермультиплета нам необходимо найти подходящее разложение на безмассовые. Используя тот факт, что массивные поля описываются набором безмассовых [6], для супермультиплета такое разложение будет иметь вид

Данное разложение служит основой при построении лагранжиана и отыскания глобальных суперпреобразований.

Таким образом, в этой работе мы показали, как достаточно просто и прямолинейно может быть реализован массивный супермультиплет со старшим спином 3 в трехмерном пространстве. Основывается данное построение на идее калибровочно-инвариантного описания массивных полей.

Данная работа была выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-6453.2015.2.

Литература

1. Vasiliev M. A. Higher-spin gauge theories in four, three and two dimensions // International Journal of Modern Physics D., 1996. № 05. P. 763-797.

2. Zinoviev Yu. M. Massive Spin-2 Supermultiplets // arXiv:hep-th/0206209.

3. Buchbinder I. L., Snegirev T. V., Zinoviev Yu. M. Gauge invariant lagrangian formulation of massive higher spin fields in AdS_3 space // Physics Letters. B., 2012. № 716. P. 243-248.

4. Campoleoni A., Fredenhagen S., Pfenninger S., Theisen S. Asymptotic symmetries of three-dimensional gravity coupled to higher-spin fields // Journal of High Energy Physics, 2010. № 11 (007). P. 1-36.

5. Vasiliev M. A. Free massless fields of arbitrary spin in the de Sitter space and initial data for a higher spin superalgebra // Fortschritte der Physik, 1987. № 35 (11). P. 741-770.

6. Пермякова М. Ю., Снегирев Т. В. Реперная формулировка массивного поля со спином 5/2 в трехмерном пространстве // Наука, техника и образование, 2015. № 5 (11). P. 8-12.

Занимательные сведения о некоторых кривых Закирова М. Ф.

Закирова Миляуша Фаридовна / Zakirova Milyausha Faridovna—учитель математики, Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Лицей № 121, г. Казань

Аннотация: данная статья направлена на формирование представления о кривых линиях. Анализируются свойства эллипса, параболы, гиперболы, циклоиды. Ключевые слова: эллипс, парабола, гипербола, циклоида.

Если внимательно присмотреться к окружающим нас предметам, легко заметить, что далеко не все они могут быть изображены на чертеже с помощью только прямых линий. Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Кривую линию называют плоской, если все точки кривой лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. Наглядной моделью плоской линии может служить окружность, пространственной линии - пружина. Из всего многообразия кривых линий наибольший интерес представляют линии, которые могут быть выражены алгебраическим уравнением. Их называют алгебраическими. Множество кривых линий различают также по способу их выполнения. Циркульной называют кривую, которую можно построить с помощью циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и т.д. Кривые, которые нельзя провести с помощью циркуля, называются лекальными.

Эллипс. С кривой эллипс можно встретиться на каждом шагу. Если наклонить немного стакан с водой, то поверхность воды примет форму эллипса. Свет, падающий от электролампы с коническим абажуром на наклонную доску, образует на ней светлое пятно в виде эллипса. Из этого следует, что при пересечении цилиндра или конуса наклонной плоскостью в сечении получается эллипс. Как можно построить такую кривую? Возьмите лист бумаги, две булавки, нитку и карандаш. Закрепив концы нити булавками, натяните ее кончиком карандаша и ведите им по бумаге, не ослабляя натяжения нити (рис. 1). Сначала проведите верхнюю часть кривой, а затем нижнюю. На бумаге получится изображение эллипса. Точки В и С называются фокусами эллипса, отрезок ДЕ - большой осью, а отрезок МЫ - малой осью эллипса [1, с. 130]. В какой бы точке эллипса ни находилось острие карандаша, сумма расстояний от нее до фокусов остается постоянной и равной длине нити, или, как