О связи диагонализации и знакоопределенности пучка двух квадратичных форм

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

лиц (Е) приведены средние значения весовых коэффициентов.

Аналогичные расчеты были проведены и по другим показателям (табл. 5-7).

Таблица 5 Сравнение методов усреднения, показатель Y1

Факторы

Y1.1 Y1.2 Y1.3 Y1.4 Y1.5 Y1.6

Эср 0,398 0,105 0,204 0,055 0,050 0,188

ЭУсР 0,388 0,108 0,209 0,055 0,051 0,188

Е 0,393 0,107 0,206 0,055 0,051 0,188

Весовые коэффициенты (Е) в табл. 4-7 рекомендуются для определения показателей (координат) (1) или (2) для усовершенствованной модели Мак-Кинси.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Факторы

X2.1 X2.2 X2.3 X2.4 X2.5 X2.6

Эср 0,267 0,103 0,137 0,382 0,046 0,065

ЭУсР 0,260 0,109 0,138 0,379 0,047 0,067

Е 0,263 0,106 0,137 0,381 0,046 0,066

Факторы

Y2.1 Y2.2 Y2.3 Y2.4 Y2.5 Y2.6

Эср 0,306 0,033 0,192 0,066 0,327 0,075

Эуср 0,303 0,033 0,188 0,071 0,329 0,075

Е 0,305 0,033 0,190 0,069 0,328 0,075

1. Федеральная целевая программа «Пожарная безопасность в Российской Федерации на период до 2012 года» : утв. постановлением Правительства Российской Федерации от

Таблица 6 29.12.2007 г. № 972.

2. Краковский Ю.М., Деренских В.И. Методика ранжирования проблемных территорий, использующая систему статистического учета пожаров // Пожарная безопасность. - 2008. -№ 1.- С. 117-124.

3. Могильников А.А. Процедура выбора проблемных территорий по статистическим данным учета пожаров. // Вестник ф-та сервиса и рекламы. Иркутск : Изд-во Иркутского госуни-ерситета. - 2010 - вып. 9. - С. 102-114.

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М. : Радио и связь, 1993. - 320 с.

Таблица 7

УДК 531.36 Новиков Михаил Алексееви ч,

к.ф.-м.н., с.н.с., Учреждение Российской академии наук Институт динамики систем и теории управления

СО РАН, тел.: (3952) 45-30-96, e-mail: nma@icc.ru

О СВЯЗИ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ И ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ ПУЧКА ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

M.A. Novickov

ON THE RELATIONSHIP BETWEEN THE DIAGONALIZATION AND THE SIGNDEFINITENESS OF THE PENCIL OF TWO QUADRATIC FORMS

Аннотация. В статье установлено соответствие необходимых условий знакоопределенности пучка двух квадратичных форм с необходимыми и достаточными условиями диагонализации матриц, соответствующих этим формам. Исследован вопрос достаточных условий знакоопределенности связки двух квадратичных форм и их условной знакоопределенности.

Ключевые слова: связка квадратичных форм, знакоопределенность, знакопеременность, знакопостоянство.

Abstract. The paper defines the relationship between the necessary conditions of signdefiniteness of the pencil of two quadratic forms with necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrices, corresponding to these forms. The issues related to both the sufficient conditions of signdefiniteness for

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

the pencil of two quadratic forms and to their conventional signdefiniteness have been investigated.

Keywords: the pencil of quadratic form, sign-defmiteness, sign-variability, sign-constancy.

Введение

Существенной характеристикой доказательства теоремы Финслера [1] является приведение к диагональному виду двух матриц квадратичных форм. В частности, диагонализация двух симметрических матриц достаточно подробно описана в [2-7], и в статье [8] имеются необходимые и достаточные условия одновременной диагонализации двух матриц квадратичных форм. Анализ существования и построение линейного диагонализи-рующего преобразования проводится по характеристическому уравнению

f (а) = det (B-Л A) = 0.

делена, например х'А х. Более позднее описание этого случая приводится в работе [6].

Другая возможность одновременной диаго-нализации [1] возникает для знакопеременных квадратичных форм X Ах и X В х , но знакоопре-деленной связке форм К (а, х) при некоторых вещественных значениях а. Искомое конгруэнтное преобразование в обоих случаях [6, 7] осуществляется главной матрицей линейного преобразования, построенной на собственных векторах матрицы ВА(—4. В первом случае допускается вырожденность матрицы В, во втором - обеих матриц.

Покажем, что для случая П.А. Кузьмина и случая одной знакоопределенной формы диагона-лизации симметрических матриц существует прямая связь. Наряду с (1) будем рассматривать характеристическое уравнение

В зависимости от структуры корней уравнения (1) можно сделать заключение о возможности диагонализации исходных матриц А и В .

Знакоопределенность пучка квадратичных

форм

К (а, х) = х' М (а) х, где М(а) = В — а А, опирается на теорию Сильвестра, Якоби [6, 7] главных миноров матрицы М (а). Значительно легче эта задача решается после приведения матриц А и В к диагональным. Поэтому для широкого применения теоремы Финслера с квадратичными формами следует подробнее изучить взаимосвязь диагонализации двух симметрических матриц вещественным конгруэнтным преобразованием и возможности получить знакоопределенность пучка построенных на них квадратичных форм. Кроме того, в процессе их решения возникают общие вопросы, потому что на корнях уравнения (1) матрица М(Л) вырождается.

В статье предстоит провести сравнительный анализ известных случаев диагонализации двух симметрических матриц; сопоставить условия их выполнения с условиями возможности знакоопределенности пучка квадратичных форм К (а, х);

составить общую схему исследования знакоопределенности связки двух квадратичных форм с целью развития методов и общности анализа.

1. Исследование связки матриц двух квадратичных форм

Как известно [6, 7], самым общим из всех линейных вещественных диагонализирующих преобразований является конгруэнтное. К нему относятся только два известных случая. В первом, простейшем случае регулярного пучка матриц (В — Л А) одна из квадратичных форм знакоопре-

p(j) = det (A - juM) = 0.

При значении а = Л наибольший из определителей Сильвестра [6] матрицы К (а, х) обращается в нуль. Поэтому для знакоопределенности К(сг, х) не допустимо <т = Л (/ = 1,2,..., п). Подставляя в (1) выражение А = (В — М) / а, получим /(Л) = [В (а —Л) + ЛМ)] = 0.

Легко видеть, что корни характеристических уравнений (1) и (1.1) связаны зависимостью

Л

и =1—.

Л — а

Из а Ф Л следуют все конечные значения /. Так как форма х' М(а) х знакоопределена, то пучок матриц (А — /М) регулярный, и согласно [6] всегда существует линейное неособое преобразование, приводящее одновременно В и М к диагональным В = Т'ВТ, М = ТМ Т. Отсюда окончательно следует и диагональность матрицы А = (В — М)/а.

Таким образом, справедлива установленная в [1], хотя явно и не сформулированная

Теорема 1 (П.А. Кузьмина о диагонализа-ции двух симметрических матриц).

Если при некоторых вещественных значениях а можно получить знакоопределенную связку

квадратичных форм х' (В — аА) х, то матрицы А и В одновременно приводятся к диагональным одним линейным вещественным неособым конгруэнтным преобразованием.

Эта теорема в [1] непосредственно доказана в предположении detA ф 0, йв1В ф 0, и дан алгоритм конструктивного определения числа а.

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

Предложенный здесь подход не накладывает ограничений на спектры матриц А и В и выражает одно из свойств теоремы П.А. Кузьмина [1] о связи знакоопределенности связки двух форм с приводимостью к диагональным соответствующих им симметрических матриц.

Исходя из изложенного следует, что случай П.А. Кузьмина (при знакоопределенной связке К(ст, х)) диагонализации двух матриц является более общим по сравнению со случаем только знакоопределенной формы х'А х.

Очевидно, вопрос приведения матриц А и В к диагональным шире знакоопределенности связки квадратичных форм, построенных на этих матрицах. Действительно, не все диагонализуемые матрицы могут составить знакоопределенную связку форм К (ст, х) (например, уравнение гиперболы может получиться в результате пересечения двух гиперболоидов). Тем не менее, при знакоопределенной связке К(ст, х) матрицы А и В одновременно всегда диагонализуемы. Поэтому уместно поставить вопрос о формулировании условий, выражающих незнакопределенность связки двух квадратичных форм.

Теорема 2. Достаточными условиями зна-копеременности связки квадратичных форм К(ст, х) при любых вещественных ст является одновременная неприводимость матриц А и В к диагональным.

Доказательство. Для доказательства следует показать знакопеременность квадратичной формы К (ст, х) при всех действительных ст, если нарушается хотя бы одно из необходимых и достаточных условий теоремы об одновременной диагонализации [8] матриц А и В. Согласно ее нарушение может быть, если:

1) среди корней уравнения (1) найдется хотя бы одна пара комплексно-сопряженных;

2) некоторым кратным вещественным корням /(Л) = 0 соответствуют непростые элементарные делители.

Проведем исследование каждого случая.

1) Комплексные корни характеристического уравнения.

Пусть в уравнении (1) имеются комплексные корни Л = с + ¡й, Л = с — ¡й, где с, й — вещественные, г - мнимая единица (г2 = — 1), остальные корни будем допускать действительными. Согласно [9], линейным неособым преобразованием можно исходные матрицы привести к блочному виду и выделить соответствующие блоки

А„=2

Г1 0 Л 0 — 1

В„=2

с й Л й — с

Выделим часть слагаемых связки квадратичных форм от двух переменных

Ко (ст, у) = (с — ст) у2 + 2й уу — (с — ст) у2 , содержащих у1, у2 . Анализ К0(ст, у) проведем с применением теоремы Якоби [6], где главные миноры матрицы К0 (ст, у) будут такими:

1, Д = с — ст, Д = — (с — ст)2 — й2. Легко видеть, что независимо от знака Д в составленном ряду имеется одна смена знака. Используя для знакоопределенности необходимое требование сохранения знаков главных миноров, заключаем, что в данном случае знакопеременность К0 (ст, у) при любых вещественных ст .

Можно показать, что при существовании нескольких комплексных как простых, так и непростых решений уравнения (1) пучок форм К (ст, х) также является знакопеременным.

2. Кратный вещественный корень характеристического уравнения с непростыми элементарными делителями.

Пусть уравнение (1), в частности, содержит действительный корень Л = а кратности 2к. В

общем случае вещественным линейным неособым преобразованием в матрицах А и В можно выделить блоки порядков 2к , и далее соответствующие блоки неособым линейным вещественным конгруэнтным преобразованием привести к взаимно упрощенным [9]:

/п

А«

Е 0 > , В* = ^

1 0 Ек V 1 /0

л

(—аЕк + /0), где квадратная матрица порядка к имеет вид

Г000 ... 0 1Л 0 0

10 =

0

10

0 10 ... 0 0

1 0 0 ... 0 0

Ч У

По теореме Якоби [6] для знакопеременно-сти К (ст, х) достаточно, чтобы значение сигнатуры М (ст) было строго меньше порядка матрицы М (ст), т. е. существовала хотя бы одна смена знака в ряду главных миноров. Для этого достаточно выполнения одного из условий:

1) <0(для хотя бы одного из значений

] = 1,2,..., к)-

2) JJJJ+2< 0 (1 <_/'<& — 2);

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

3) (\<]<(к-]-\)/2).

Анализ знакопеременности формы K(а, х) более наглядно проводится с использованием теории инноров [10]. В качестве 3 введем в рассмотрение минор первого порядка Мш = a — а, 32 -минор второго порядка, составленный из k -й и ^ +1)-й строк и столбцов матрицы М(а) .

Для матриц А*, В* введенной конструкции получим сразу

3 2 = det

\

= — (а — а)2 —1<0.

аи (а + ЛР) = а22 (а + ЛгР) = е\,

апп (а + ЛпР) = е1

будет совместна, т. е. будет иметь вещественные нетривиальные решения относительно а, Р .

При п >2 система (2.1) переопределена, поэтому следует найти условия ее совместности подходящим выбором параметров е1,е2,- ,е„  Выделяя в (2.1) какие-либо три строки с номерами р, д, г, составим условие их совместности

Так как 32 <0, то уже при перемене знаков главных миноров по теореме Якоби [6] квадратичная форма К (а, х) знакопеременна.

Отсюда следует, что и в этом случае неприводимости матриц к диагональным связка матриц К (а, х) всегда знакопеременна для любых действительных значений а . Таким образом, теорема 2 доказана.

Следовательно, необходимые и достаточные условия диагонализации двух симметрических матриц совпадают с необходимыми условиями знакоопределенности связки квадратичных форм, построенных на этих матрицах.

2. О достаточных условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм

Пусть задана знакоопределенная связка квадратичных форм К (а, х). Тогда по теореме 1 существует линейное вещественное конгруэнтное преобразование Т , приводящее одновременно А и В к диагональным:

А1 = Т АТ = diag[аи, а22,...,апп], Вг =Т' ВТ = diag[bll,b22,...,bnn], где Ьп = ап А (/ = 1,2,..., я); А - корни уравнения (1).

Введем в рассмотрение симметричную связку квадратичных форм

Кх(а,Р,у) = у' (а А + рВ) у. Отличие ее от К (а, х) состоит в том, что соответствующим выбором знака Р можно К (а,Р, У) получить положительно опреде-ленной. В общем случае предполагаем вначале матрицу А неособой, и дальнейшее исследование лучше излагать в терминах корней уравнения (1).

Очевидно, для положительной определенности Кх{а,Р,у) необходимо подобрать вещественные, отличные от нуля значения е1,е2,...,еп, при которых система

(

Дх =

а рр Лрарр Лда дд

•дд

'р

,2

'д

,2

г

= 0.

/

е\

д

а гг Л^ а е ^

Раскрывая определитель и сократив последнее выражение на число (а а агг) , получим

А2

где 3 = (Лг ~Лд )/арр , 52=(Лр ~Л )/адд , ^Ъ=(Лд —Лр )/ат .

Даже три строки системы (2.1) позволяют получить некоторые вполне определенные заключения. При анализе формы (2.2) могут предоставиться следующие различные случаи:

1) форма Д2(ер,е ,ег) знакопеременна по трем

переменным;

2) форма Д2(ер,е ,ег) знакопеременна по двум переменным;

3) форма Д2 (ер ,е ,ег) знакоопределена;

4) форма Д (ер ,е ,ег) знакопостоянна;

5) форма Д(ер,е ,ег) тождественно обращается в нуль.

В дальнейшем понадобится разделение корней характеристического уравнения (1) на две группы: к первой (обозначаемой Л(+)) отнесем все корни Л = Ъ^ / а^, для которых а > 0 (в количестве щ, так что 0 < п < п); ко второй (обозначаемой Л(—) отнесем все корни Лj = Ъ / а^, для которых а <0 (в количестве п2 = п — п).

В случае знакопеременной формы Д (ер ,е ,ег) всегда существуют вещественные

решения относительно е ,е ,ег. При этом не происходит нарушений достаточных условий знакоопределенности связки форм К (а, Р, У) . К этому

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

случаю относятся все корни А , А , Аг одной группы. Действительно, при упорядочивании их по возрастанию А < А < Аг, величины числителей

^, £2, £3 принимают вполне определенные значения +, —, + ; т. е. происходит чередование знаков. Здесь для корней одной группы принимает значение, противоположное по знаку ^ и £3.

Форма Д2 (е ,е ,ег) может быть знакопеременной и в смешанных группах, когда крайние по величине корни А и Аг относятся к разным группам. Тогда получается ^ £3 <0, что достаточно

для знакопеременности (2.2).

Второй случай вырожденной знакопеременной формы Д2 (е ,е ) также не нарушает достаточных условий положительной определенности К1 (а, 3, у) . Ему соответствует кратный корень А = А = А. В этом случае =0, а числители ^ и >52 имеют противоположные значения. Поэтому для исследуемого случая ^ ^ <0 необходимо выполнение (а а )>0; т. е. кратные корни

должны относиться к одной группе.

Третий случай при знакоопределенной форме Д2 (е ,е? ) может быть только в смешанных

группах корней. Действительно, для упорядоченных корней А < А < Аг знаки числителей выражений £[, £2, чередуются. Поэтому для значений ^, , ^з одного знака также необходимо чередование знаков величин а , а , агг, т. е. (арр аяя) < 0; (арр агг) > 0. Следовательно, здесь

крайние по величине корни одной группы перемежаются корнем другой группы.

Введем обозначение а = — ^3, тогда соответствующие слагаемые ^ у? связки К (а, 3, у) будут иметь значения ^ = ай 3 (А — а) . В пучке К (а,3, У) выделим часть слагаемых с переменными ур, уч, уг:

К2 (Ур, Уд, Уг ) = йр У2р + У? + ¿г у? •

Чтобы не проводить анализ знаков аи, 3, (А — а) при г = р, д, г потребуем для положительной определенности й >0.

Вычисляя й й = а а В2

р г рр гг ' V р у V г '

для одной группы корней (а агг > 0), получим необходимое (А — а) (А — а) > 0 , что сводится к

одной из ситуаций: а < А или а > Аг. Так как А е (А; А), то в любой из этих ситуаций знак (А — а) совпадает с знаком (А — а) и (А — а) . Тогда значение (й й ) имеет знак выражения (а а ), которое здесь отрицательно. Последнее приводит к знакопеременности К (у ,у , у ), и ее уже нельзя изменить никаким подбором значения а. В этом случае форма К (а, 3, У) получается знакопеременной.

Следовательно, в этом случае нарушаются необходимые условия знакоопределенности К1 (а, 3, У) . Не проводя дальнейшего анализа индексов р, д, г, можно сразу сделать определенное заключение о невозможности получения зна-коопределенной и даже знакопостоянной связки К (а, 3, У) при любых вещественных а, 3

Четвертый случай знакопостоянной формы Д (е ,е ,е ) возможен только в случае одного

кратного корня А = А = А0. Здесь получается £3 =0, а требование ^ ^ >0 приводит к неравенству (атащ)<0 . Ввиду разных знаков арр, адд соответствующая форма

К2(Ур , Уд , Уг ) = (А0 —а) 3 (аррУ1 + адд У^ +

+ (Аг —а)3агг у2 не является знакоопределенной. При значениях а = А она может быть и не только знакопеременной. Чтобы не проводить анализ знака 3 , введем в рассмотрение величину

Т = аи (А — а).

Исключая тождественное обращение в нуль, рассмотрим для определенных а, (А — а) знаки выражений Т (в количестве, не большем (п — 2)). Если при этом какие-либо Т, Т имеют разные знаки, то в К (а,3, У) имеются составляющие слагаемые 3 (Т У? + Ту?) , явно доставляющие знакопеременность.

Если при этом не происходит смены знака выражений Т при всех возможных к (исключая тождественный нуль), то форма К1(а, 3, У) знакопостоянна.

Пятый случай тождественного обращения в нуль формы Д2 (е , е , ег) соответствует трехкратному корню А = А = А = А, где форма К? (у„, у„, Уг) примет вид

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

j^{1,2r..,n}

' 2 = max ^,

j^{1,2,..,n}

N(+)= mm N2+)= max

!£{1,2,..., П} !£{1,2,..., П}

Пусть значению N( ) соответствует индекс

K2( УР, Уч, Уг ) =

= (Л ß (app УP + % У22 + arr Уг)  При соответствующем подборе ß ее можно сделать положительно определенной только в случае равных знаков a , a , a^. . Последнее можно выразить условием существования для системы

a - La =0; a - La =0

pp 1 qq ' pp 2 rr v s

только положительных решений L, L. Отметим, что такое условие соответствует принадлежности корней Л , Л , Л одной группе.

Хотя бы одно отрицательное решение в системе (2.3) сразу исключает знакоопределенность K (а, ß, У) . Смена одного из индексов p, q, r сводится к рассмотрению предыдущего случая в количестве, не превосходящем (n — 3).

Из анализа рассмотренных случаев может быть сформулировано

Утверждение 1. Если при каких-либо индексах p, q, r для знакопеременных квадратичных

форм У A У и У B У с диагональными матрицами A (det A ф 0) и B форма Д(s,s,sr) удовлетворяет хотя бы одному из условий:

1) форма Д2 (sp ,s ,sr ) знакоопределена;

2) форма Д (sp ,sr ) знакопостоянна или тождественно обращается в нуль при кратном корне и для остальных индексов меняет знак Tk, то связка форм K (а, ß, У) знакопеременна при любых вещественных а, ß.

Утверждение 2. Связка квадратичных форм K (а, ß, У) для знакопеременных квадратичных форм У A У и У B У с диагональными матрицами A (det A ф 0) и B только тогда положительно определена, когда при всех возможных индексах p, q, r выполняется одно из условий:

1) форма Д (sp ,sr ) знакопеременна (по двум или трем переменным);

2) при тождественном обращении в нуль формы Д(sp,s ,sr) система (2.3) выполняется только

при положительных L, L.

Далее введем обозначения:

Nt}= mm Л(—\ n2-}= max

также соответствует индекс . Полагая

р = д = Л, в качестве г будем рассматривать

индексы, соответствующие группе корней Л

выполняется свойство «разделенности» корней Л > (или Л < Ы^).

Если при этом все корни группы Л(+) удовлетворяют условиям утверждения 2, то возможны две ситуации:

1. Л(+)> Ы2\ 2.Лр< .

Это приводит к соответствующим условиям: 1. > 2. < . Первое соответствует положительной определенности К (а, у), при этом ае I =(}) . Второе соответствует отрицательной определенности К (а, у), при этом ае 12 =(};Ы^) . Полученное изложено в [1] (хотя явно и не сформулировано).

Теорема 3 (П.А. Кузьмина о знакоопределенности связки форм).

Для знакоопределенности связки квадратичных форм К (а, у) двух знакопеременных форм

у А у и у В у необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

1) } > (при соответствующем а е I);

2) } < (при соответствующем а е 12) . Теорема 3 решает вопрос о возможности получения знакоопределенной связки форм К (а, у) и дает конструктивный способ определения допустимых для этого значений а .

Применяя изложенный подход, рассмотрим дальше вырожденные диагональные матрицы А и В . В общем случае, включая нулевые и бесконечные корни уравнения (1), будем решать систему

аиа + ЪпР = е

a2 2а + b22 ß = s\,

а а + Ъ В = е2.

пп ппг п

Для исследования условий знакоопределенности связки (2.1 ) также составим определитель

и „2Л

Д (s , s ,s ) =

2 У pi^qi^r-'

aü a.

b b.

4k

b

kk

Равенство корней A = Л. здесь будет выра-

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

жаться: айЬ# ~ аЬ =0, и коэффициенты формы

V,(s ,s ,s

2 V Р q r

ü jj jj "

Д2(s ,s ,sr) принимают значения

; ^2 аггЪрр а ррЪгг;

^3 = аррЪЧЧ - аЧЧЪрр . Условие К = ^, (аи ) > 0 может и не существовать в вырожденной матрице А . Его можно дополнить условием (Ъи Ъ^) > 0

или симметричным, которое состоит в существовании только положительного решения для Ь системы

\ап- Ьа]} =0,

К- ЬЪп =0-

В этих терминах формулируется Утверждение 2'. Связка квадратичных форм К (а,/, У) для знакопеременных квадратичных форм у А у и у В у с диагональными матрицами А (det А ф 0), В только тогда положительно определена, когда при всех возможных индексах р, q, г выполняется одно из условий:

1) форма Д2 (е ,е ,ег) знакопеременна (по

двум или трем переменным);

2) при тождественном обращении в нуль

формы Д (е ,е ,е ) система

\арр - Ь1 aqq = 0 Ърр - Ь1 Ъqq = 0, \арр - Ь2 агг = 0, Ърр - Ь2 Ъгг = 0

выполняется только при положительных Ь, Ь2.

Для форм трех переменных вопрос о пучке форм решается сразу. В первом и втором случаях связка форм К (а, /, У) положительно определена, в третьем случае - знакопеременна, в четвертом и пятом случаях кратных корней из разных групп (ввиду знакопеременности форм у А у, у'В у) связка К1(а, /, у) знакопостоянна.

Особо предстоит рассмотреть случай двух переменных, где анализ определенной системы

1ап (a + \ß) = s2: [а22 (а + Aß) = s2 упрощается. Если значение D3 = a

3 11 22 22 11

а0

* 0,

то решение системы (2.1 ) всегда существует и единственно. При =0 допускаются кратные корни уравнения (1), что означает ац / Ъп = а22 / Ъ22 = Ь . Решений (2.1 ) здесь может быть бесчисленное множество при условии Д3 = Ь е? - е? = 0. Так как формы у А у, у' В у знакопеременны, то (ап а22)<0; (ЪиЪ22)<0, от-

куда следует L <0 . Тогда уравнение D3 =0 при S ^ 0, s2^ 0 не имеет вещественных решений, что соответствует невозможности знакоопределенности Kx(a,ß,y).

Следовательно, справедливо

Утверждение 3. Связка двух квадратичных форм K (a,ß,У) для двух диагональных матриц A и B от двух переменных положительно определена только в единственном случае

afin - ^bi ^ 0.

Отметим, что в условии утверждения важное значение имеет не знак Д3, а только его отличие от нуля.

Исходя из изложенного можно составить общую схему исследования возможности построения знакоопределенной связки двух квадратичных форм K(а, y) . Она состоит из трех этапов:

1) провести анализ уравнения (1) (при комплексных или вещественных с непростыми элементарными делителями корнях следует невозможность такой связки форм);

2) составить главную матрицу преобразования T и привести к диагональным

A = TAT; в = T BT;

3) выполнить «разделенность корней» (при этом если имеется 1Х или /2, то знакоопределенность K (а, y) существует).

Этот способ пригоден для квадратичных форм любой размерности.

3. Об условной знакоопределенности двух квадратичных форм

Теорема Финслера для квадратичных форм [1] отождествляет знакоопределенность связки двух форм K(а,x) = V2(x) -aV1(x) с знакоопределенностью формы V (x) на равной нулю V (x) (полагая знакопеременными V (x) = x Ax;

V (x) = xBx).

Пусть квадратичные формы Vx (x) и V2 (x) одновременно приведены к полным квадратам, при этом полагаем V1(x) = ^" 8Х x2, где S1= ± 1. Пусть корень А(je {1,2,..., и}) имеет кратность k: Ä/ = А. | =... = А k_j. При исключении переменной x из V (x) = 0 и подстановке в форму

V (x) получается также квадратичная форма V2j{x) от переменных хх, х2,..., х х к,..., хп. Если при этом А. не совпадает ни с одной из гра-

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

ниц Zj или /2, то квадратичная форма F2. (x) знакопеременна, иначе - знакопостоянна. В последнем случае V ( x) = 0 имеет единственное решение хх=хп= ...= x; I = Л'; /. =... = хп = 0 . Выражая из уравнения V2/ ( x ) = 0 :

S xj + xj+l +... + X+k_1

S x2

1<i<j, j+k<i<n

получим S = 0, откуда следует дополнительно x;. = х;. I =... = л'; /. I = 0 . Тем самым доказано, что при значениях X , совпадающих с одной из границ интервалов Z или /2 для связки форм K(a, x), форма V (x) в действительности знако-определена.

Для произвольных, не приведенных к полным квадратам форм V (x), V (x) исключение любой переменной x из V (x) на V (x) = 0 сводится к результанту [11] двух полиномов ReSj(V1, V2) = V2j(x). В общем случае получается форма четвертого порядка от (n _1) переменной (независимо от кратности X. ). Если последнее выражение V2j (x) , в частности, факторизуется, то

дальнейший анализ значительно упрощается.

Пример 1. Пусть даны квадратичные формы

(x) 4x"2 8x^2 6x^x3 x2 4x2x3 2x~2 ;

(x) 4x2 4x^ x2 18x^3 r2x2 6x2x3

В результате исключения переменной x из

V ( x) = 0 и подстановки в V ( x) получится Vj(x) = _(x + 3x3)2 (11 x\_32 x2x3 + x2). Так как форма (11 x^32 x2x3 + знакопеременна, то и

Vi ( x ) знакопеременна. Аналогично

V (x) = _ (4x + 30_ 5x2)(44x2 _ 118 xx + 29x\) знакопеременна как произведение двух квадратичных форм. Также знакопеременна

V23(x) = (36x2 _ 90x,x2 _ 5x2) (4x2 _ 38 xx + 29x\). Здесь исключение любой переменной приводит к одному результату.

Для этого примера характеристическое уравнение имеет корни X = _3,X =1, X =2. Соответствующие собственные векторы такие: e = (1,5,3) ; e2 = (2,3,_1) ; e3 = (3,1,2) . Главная матрица преобразования T = {e1,e2,e3} приводит

V (x), V (x) к полным квадратам V(y) = 49(y2_ y2 + y3);

У2{у) = 49 (—3 у2— у2 + 2 у2).

Здесь корень отрицательной группы Л(— = 1 перемежает корни положительной группы Л'+) = — 3; Л+} =2, откуда следует невозможность получения знакоопределенной связки К (а, у) .

Пример 2. Пусть даны квадратичные формы ^^ (х) 2х! + 2х^х^ 2хх + х2 + 2х2х3 + хз;

V (х) = 6 х2 + 8хх + 4х1х3 + 6 х2 —20х2х3.

Исключение переменной х1 из V (х) = 0 и подстановка в V (х) дает выражение V!(х) = (10 х\ + 2 х2х3 + 5 х^)2 >0. Аналогично

V,(х) = (10х2 —18 хх +13 х23)2>0,

V*(х) = (5 х2 —8 хх +13 х\)2 > 0.

Следовательно, связка форм

К (а, х) = V (х) — а V (х) знакоопределена.

При использовании аппарата квадратичных форм характеристическое уравнение будет иметь корни Л = Л =2, Л =4. Частное преобразование (ввиду кратности корня) Т = (е1, е2, е3} , где е1 = (5,1,4)'; е2 = (1,3,—.2); е3 = (1,3,5)', приводит

V (х),У2 (х) к полным квадратам:

Ц(у) = 49 (2 у2 + 2 у2— у2);

у) = 196( у2 + у2— у2). Здесь = 4; =2 и существует интервал /2 = (2; 4), определяющий область отрицательной определенности К (а, у) .

В этих примерах вопрос условной знакоопределенности удачно демонстрирует исключение переменных.

Учитывая то обстоятельство, что знакоопределенность формы четного (выше второго) порядка сводится к знакоопределенности квадратичной формы повышенной размерности с соответствующим (более одного) числом дополнительных условий в виде равных нулю квадратичных форм [12], дальнейшее исследование значительно усложняется.

Пример 3. Пусть даны квадратичные формы:

V (х) = — 5х2 — 8 2хх + 8хх — 2ххх4 + 3х2 +

— 3х2

V(х) = — 36х2 — 64 2х^х2 + 58хх — 28х1х4 —14х2 + +46хх — 36х2х4 — 23х2 + 26х3х4 — 8х2. Исключение переменной х из V (х) = 0 и подстановка в V (х) дает выражение

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

V21 (x) = 21596x22 + x3 (-17272x + 9072x4) +

+x22 (4996x32 - 4192x3x4 + 4848x2) + x (-628x33 +

+ 592x32x - 1552x3x2 + 2688x3) + 29x34 - 24x33x4 +

+132x32x2 - 528^x3 + 512x\.

Вопрос о знакоопределенности здесь не очевиден. Для матриц

A = 52 V / 5xi 5xj, B = 5 2 V / 5xi dxj характеристическое уравнение det (B -А A) = = (А + 2)(А - 4)(А - 5)2 = 0 содержит все вещественные корни. Соответствующие собственные векторы e =(2,1,4,1)'; e2 =(1,0,2,1)';

e3 =(3,1,5 + a, a); e4 =(3,1,5 + b, b) формируют главную матрицу преобразования T = [el, e2, e3, e4 } . Равенство нулю внедиагональ-ного члена матрицы TAT приводит к требованию ab = -1. Полагая a = -1; b = 1, получим

Vx(y) = у2 + У2 - 2У32 -2y42);

V2(y) = -2у2 + 4у2 -10У32 -10у2). Здесь ) = 5;(+) = 4 и существует интервал /2 = (4; 5), определяющий область отрицательной определенности K(а, y) .

Очевидно, исключение любых переменных одинаково выражает свойство знакоопределенности (или знакопеременности) V (x) на V (x) = 0. Результатом исключения какой-либо переменной в типичной ситуации для квадратичных форм

V (x), V (x) является форма четвертой степени от (n -1) переменной. В связи с этим уместна задача: по заданной форме 4-го порядка от n переменных

V (x) восстановить две квадратичные формы

V (x), V (x) от (n +1) переменной, чтобы выполнялось равенство Resn+l (V ;V) = V . Для этого будет составлена система нелинейных уравнений с общим количеством р для P2 неизвестных, которыми здесь являются коэффициенты квадратичных форм V(x), V2(x). Число коэффициентов формы порядка m от l переменных исчисляется формулой

Cm+,-1 = (m +1 -1)!/m! (l -1)!.

Следовательно, р = n (n +1) (n + 2) (n + 3) / 24; P2 = (n +1) (n + 2). Система недоопределена при n <4 и переопределена при n > 4 . Для произвольной формы V (x) система не всегда совместна. Поэтому наиболее предпочтителен способ диаго-нализации квадратичных форм с последующим

определением интервалов f или /2 по диагональным элементам квадратичных форм.

Заключение

Классификация простейших знакопеременных квадратичных форм позволяет проводить исследование знакоопределенности связок этих форм.

Для вопроса диагонализации двух симметрических матриц линейным вещественным конгруэнтным преобразованием установлена общность условий теоремы П.А. Кузьмина по отношению к случаю регулярного пучка матриц с одной знакоопределенной квадратичной формой.

Установлено, что необходимые и достаточные условия диагонализации двух симметрических матриц совпадают с необходимыми условиями знакоопределенности связки квадратичных форм, построенных на этих матрицах.

Для пучка двух квадратичных форм условия существования его знакоопределенности непосредственно связаны с условиями диагонализации матриц этих квадратичных форм.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. - М. : Наука, 1973. - 206 с.

2. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. - М. : Наука, 1966. - 555 с.

3. Берже М. Геометрия. - Т. 2. - М. : Мир, 1984. -366 с.

4. Klingenberg Wilhelm. Paare symmetrischen und alternierenden Formen zweiten Grades // Abhandl. Math. Sem. (Hamburg). - 1955. - № 19. - P. 78-93.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М. : Наука, 1976. - 351 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М. : Наука, 1967. -576 с.

7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М. : Мир, 1989. - 655 с.

8. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм // Оптимизация, управление, интеллект. - 2000. - № 5, Ч. 1. - С. 150-156.

9. Новиков М.А. О приведении матриц квадратичных форм к взаимно упрощенным // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2010. - № 2 (26). - С. 181-187.

10. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. - М. : Наука, 1979. - 299 с

11. Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра. В 2 т. М. ; Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1937. - Т. 2. - 210 с.

12. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Материалы XIV Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2008. - С. 134-141.