Исследование точностных характеристик схемы слежения за фазой навигационного приемника при наличии априорной информации о частоте принимаемого сигнала

УДК 621.396

СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

Б.И. ШАХТАРИН, Д.В. БУРЛЯЕВ

В работе проводится сравнительный анализ основных классических и параметрических методов оценки энергетического спектра.

Ключевые слова: спектральный анализ, периодограмма, методы спектрального оценивания.

В настоящее время существует большое количество алгоритмов и групп алгоритмов, которые так или иначе решают основную задачу спектрального анализа - оценивание спектральной плотности мощности (СПМ), с тем, чтобы по полученному результату судить о характере обрабатываемого сигнала. Основной вклад сделан такими исследователями, как: Голд Б. (Gold B.), Рабинер Л. (Rabiner L.R.), Бартлетт M. (Bartlett M.S.). Однако каждый из алгоритмов имеет свою область приложения. Например, градиентные адаптивные авторегрессионные методы не могут быть применены к обработке данных с быстро меняющимся во времени спектром. Классические методы имеют широкую область применения, но проигрывают авторегрессионным и методам, основанным на собственных значениях, по качеству оценивания. Но в реальном масштабе времени использование последних затруднено из-за вычислительной сложности.

Более того, применение каждого из методов обычно требует выбора значений параметров (выбор окна данных и корреляционного окна в классических методах, порядка модели в авторегрессионном алгоритме и алгоритме линейного предсказания) и правильный выбор требует экспериментальных результатов с каждым классом алгоритмов.

Критериями качества оценки СПМ в общем случае являются смещение этой оценки и ее дисперсия. Однако аналитическое определение этих величин наталкивается на определенные математические трудности.

Классические методы спектрального анализа

Оценки спектральной плотности мощности, основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых по исходным данным сначала формируются корреляционные оценки, получили название коррелограммных методов спектрального оценивания.

При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится принимать множество компромиссных решений, чтобы по конечному количеству отсчетов данных получать статистически устойчивые спектральные оценки с максимально возможным разрешением. К этим компромиссным решениям относятся, в частности, выбор таких функций окна для взвешивания данных и корреляционных функций и таких параметров усреднения во временной и в частотной областях, которые позволяют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков, выполнению эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения. Устойчивые результаты (малые спектральные флуктуации) и хорошая точность (малое смещение относительно истинных спектральных значений на всех частотах) достижимы только тогда, когда произведение TB, где Т - полный интервал записи данных, а B - эффективное разрешение по частоте, значительно превышает единицу. Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случае гауссовских процессов, для которых подробно теоретически изучены статистические характеристики классических спектральных оценок. Однако выбор конкретного метода спектрального оценивания в случае негауссовских процессов зачастую обосновывается только

экспериментальными данными. Да и выбор функции окна очень часто основывается на данных экспериментальных, а нетеоретических исследований.

Классические методы спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумов в предположении о стационарности. Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Недостатком всех методов спектрального анализа являются искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна.

Характеристики периодограммы: При увеличении длительности реализации

периодограмма должна сходиться к СПМ процесса Бх. Однако следует соблюдать осторожность в вопросе сходимости периодограммы к СПМ Бх. Поскольку оценка ^ - функция случайных переменных, то сходимость необходимо рассматривать в статистическом смысле, а именно, исследовать среднеквадратическую сходимость периодограммы. Следует заметить, что среднее значение периодограммы является сверткой СПМ Бх с частотным образом окна Бартлетта или интегральным преобразованием СПМ с ядром Фейера. Поэтому периодограмма является смещенной оценкой. В дополнение к смещению периодограммы сглаживание, вносимое окном Бартлетта, ограничивает способность периодограммы различать близко расположенные узкополосные составляющие спектра х(п) (разрешающая способность).

Модифицированные периодограммы: Вместо применения прямоугольного окна к данным х(п) возможно использование и других окон реализации. Степень сглаживания при этом определяется в периодограмме окном реализации. Хотя прямоугольное окно имеет узкий главный лепесток по сравнению с другими окнами и поэтому вносит наименьшее спектральное сглаживание, оно имеет большие боковые лепестки, которые могут привести к маскированию слабых узкополосных составляющих, упомянутых ранее (рис. 1).

Таблица 1

Характеристики некоторых наиболее часто используемых окон*

Окно Уровень боковых лепестков, дБ Ширина полосы по уровню -3 дБ, (Аю)3сЮ Асимптотическая скорость спадания БК, дБ/октава

Прямоугольное -13 0.89(2р N) -6

Бартлетта (треугольное) -27 1.28(2р N) -12

Ханна -32 1.44(2р N) -18

Хэмминга -43 1.30(2р N) -6

Блэкмана -58 1.68(2р N) -

Модифицированная периодограмма не является состоятельной оценкой СПМ, и окно данных не дает никаких преимуществ с точки зрения снижения дисперсии. Однако окно обеспечивает взаимосвязь между спектральным разрешением (ширина главного лепестка) и спектральным маскированием (за счет амплитуд боковых лепестков). Исходя из визуального сравнения полученных графиков, очевидно, что использование модифицированного периодограммного метода более предпочтительно для заданного сигнала.

Метод Бартлетта: усреднение периодограммы. Этот метод, в отличие от простой или модифицированной периодограммы, дает асимптотически состоятельную оценку ЭС. Оценка Бартлетта §Б является асимптотически несмещенной оценкой. Так как последовательности х;(и) обычно коррелированны между собой, снижение дисперсии не будет большим. Для заданного

* Предполагается, что каждое из окон имеет длину N

N метод Бартлетта позволяет обменивать снижение в спектральном разрешении на снижение дисперсии.

Periodogram Power Spectral Density Estimate

N

I ш

о с ф

5 о Q_

Frequency

Рис. 1. Периодограмма с использованием окна Хемминга: линия - модифицированный периодограммный метод; точки - обычный периодограммный метод

Метод Уэлча: усреднение модифицированной периодограммы. Уэлч предложил две модификации к методу Бартлетта. Первая из них заключалась в том, чтобы брать последовательности x;(n), которые перекрываются по времени, а второй основан на применении окна данных w(n) к каждой из последовательностей, получая тем самым набор модифицированных периодограмм, подлежащих усреднению. Метод Уэлча дает асимптотически несмещенную оценку СПМ. Однако разрешение зависит от выбора окна реализации. Как и в случае модифицированной периодограммы, разрешение определяется как ширина полосы окна по уровню - 3 дБ. С другой стороны, вычисление дисперсии при перекрытии последовательностей намного усложняется тем, что периодограммы в этом случае нельзя считать некоррелированными (рис. 2).

Periodogram Power Spectral Density Estimate

I

ш

Frequency

Рис. 2. Оценка по методу Уэлча, прямоугольное окно

Welch Power Spectral Density Estimate

Рис. 3. Оценка по методу Уэлча, окно Хемминга

Burg Power Spectral Density Estimate

Frequency

Рис. 4. Метод Берга - модель 14 порядка

Вывод: исходя из визуального сравнения полученных графиков, можно заметить, что для исходного сигнала предпочтительнее использовать метод Уэлча (рис. 3) или модель Берга 28 порядка, в связи с тем, что модели Берга, у которых порядок ниже, не дают должного разрешения (рис. 4-5).

Метод Блэкмена-Тьюки: сглаживание периодограммы. Методы Бартлетта и Уэлча разработаны с целью снижения дисперсии периодограммы за счет усреднения обычных и модифицированных периодограмм соответственно. Другим способом улучшения качества оценки ЭС является сглаживание периодограммы, или метод Блэкмена-Тьюки. Оценка Блэкмена-Тьюки сглаживает периодограмму путем свертывания с преобразованием Фурье от запаздывающего окна. В данном методе наблюдается взаимозависимость между смещением и дисперсией. Для малого смещения половина протяженности запаздывающего окна М, которое применено к оценке корреляционной функции (КФ), должно быть велико, чтобы минимизировать ширину главного лепестка W, в то же время М должно быть мало, чтобы

минимизировать дисперсию. Как правило, необходимо, чтобы М имело максимальное значение, равное N/5, где К- объем любой конечной выборки данных.

Burg Power Spectral Density Estimate

Frequency

Рис. 5. Модель Берга 28 порядка

Сравнение характеристик. Сравнить характеристики каждого непараметрического (периодограммного) метода можно по двум критериям:

1. Мера надежности оценки.

2. Качество оценки.

Из табл. 2, очевидно, что каждый метод имеет приблизительно одно и тоже качество оценки, обратно пропорциональное длине последовательности данных N. Поэтому, несмотря на то, что каждый метод отличается по разрешению и дисперсии, общая характеристика ограничена количеством доступных данных.

Таблица 2

Сравнение характеристик методов

а Аш М

Периодограмма 1 0.89— N 0.89 — N

Бартлетт 1 K 0.89 — N 0.89 — N

Уэлч (для перекрытия 50% и окна Бартлетта) 9 1 8 K 1.28 — L 0.72 — N

Блэкмен-Т ью ки 2 M 3 N 0.64 — M 0.43 — N

Параметрические методы спектрального анализа

Одна из причин применения параметрических моделей случайных процессов и построения на их основе методов получения оценок СПМ обусловлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами. Еще одна важная причина - более высокое спектральное разрешение. Несмотря на то, что разрешение оценки СПМ можно значительно улучшить

параметрическим методом, важно помнить, что пока используемая модель неадекватна анализируемому процессу, могут быть получены неточные или ошибочные оценки.

Авторегрессионная оценка спектра. Авторегрессионный процесс х(п) может быть представлен как выходной сигнал чисто полюсного фильтра, на вход которого поступает белый шум с единичной дисперсией. Точность оценки будет зависеть от того, насколько точно могут быть оценены параметры модели и, что более важно, является ли авторегрессионная модель совместимой с тем способом, которым генерируются данные. Модель требует, чтобы для процесса была найдена чисто полюсная модель.

Рассмотрим методы АР-моделирования и некоторые свойства этих методов применительно к оценке спектра.

Метод автокорреляции. Вследствие того, что метод автокорреляции при оценке корреляционной последовательности применяет к данным прямоугольное окно, данные в действительности экстраполируются нулями. Поэтому метод автокорреляции чаще всего производит оценку с более низким разрешением, по сравнению с подходами, при которых к данным окна не применяются, такими, как метод ковариации и метод Берга. По этой причине для коротких записей данных метод автокорреляции, как правило, не используется.

При использовании метода автокорреляции можно наблюдать такой эффект, как расщепление спектральных линий (рис. 6). Этот эффект заключается в расщеплении одного спектрального пика на два раздельных отчетливых пика.

Frequency

Рис. 6. Оценка спектра методом автокорреляции

Метод ковариации. В отличие от линейных уравнений для автокорреляционной модели здесь корреляционная матрица не является тёплицевой. Однако преимуществом метода ковариации над методом автокорреляции является то, что формирование оценок автокорреляции не требует применения к данным окна. Поэтому для коротких записей данный метод ковариации чаще всего производит оценку спектра с более высоким разрешением, чем может обеспечить в этом случае метод автокорреляции. Если же длина записи увеличивается и становится большой по сравнению с порядком модели (N>>p), эффект окна данных становится малым и разницей между этими двумя подходами можно пренебречь.

Исходя из вида полученных графиков оценки СПМ методом ковариации (рис. 7) и автокорреляции, можно сделать следующий вывод: если длина записи увеличивается и становится большой, по сравнению с порядком модели эффект окна данных становится малым и разницей между этими двумя подходами можно пренебречь. Действительно, два графика не отличаются друг от друга.

Covariance Power Spectral Density Estimate

Frequency

Рис. 7. Оценка спектра методом ковариации

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. - М.: Радио и связь, 2004. - Т.2.

2. Шахтарин Б.И., Ковригин В.А. Методы спектрального оценивания случайных процессов. - М.: Гелиос АРВ, 2005.

COMPARISON OF METHODS FOR ASSESSING THE ENERGY SPECTRUM

Shahtarin B.I., Burlyayev D.V.

The comparative analysis of the major classical and parametric estimate energy spectrum methods was done.

Key words: spectral analysis, period diagram, spectral estimation methods.

Сведения об авторах

Шахтарин Борис Ильич, 1933 г.р., окончил Ленинградскую военно-воздушную академию им. Можайского (1958) и ЛГУ (1968), профессор, доктор технических наук, профессор кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, лауреат государственной премии СССР, заслуженный деятель науки и техники, автор более 250 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов.

Бурляев Дмитрий Викторович, 1988 г.р., студент кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, область научных интересов - системы фазовой синхронизации.