Определение эффективного коэффициента электрического сопротивления материалов с микровключениями гетерогенным многомасштабным методом конечных элементов

УДК 004.942::[552.121:537.8]

Определение эффективного коэффициента электрического сопротивления материалов с микровключениями гетерогенным многомасштабным методом конечных элементов

М.И. Эпов1, Э.П. Шурина2'3, А.Ю. Кутищева23

1 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 630090, Россия

2 Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, 630073, Россия

3 Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В работе рассматривается численный метод определения эффективного удельного электрического сопротивления гетерогенных сред на постоянном токе. Для решения прямой задачи моделирования электрического поля используется гетерогенный многомасштабный метод конечных элементов. Проведенные вычислительные эксперименты на разработанном программном комплексе показали, что даже малые концентрации включений определяют эффективное сопротивление среды. Изменение локализации, ориентации и геометрической формы включений относительно направления течения тока также приводит к существенному изменению эффективных свойств среды.

Ключевые слова: эффективное удельное электрическое сопротивление, гетерогенный многомасштабный метод конечных элементов, гетерогенные среды

Computation of effective resistivity in materials with microinclusions by a heterogeneous multiscale finite element method

M.I. Epov1, E.P. Shurina2,3, and A.Yu. Kutischeva2,3

1 Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090, Russia 2 Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, 630073, Russia

3 Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

In this paper, we propose a numerical method to obtain an effective electrical resistivity of heterogeneous media under the influence of a direct current. The heterogeneous multiscale finite element method is used to solve the direct problem of modeling an electrostatic field. The computational experiments using the developed software complex showed that even the small inclusion concentrations define the effective resistance of the media. In addition, the change of the inclusion orientation and the inclusion position also leads to a significant change of the effective properties of the media.

Keywords: effective resistivity, heterogeneous multiscale finite element method, heterogeneous media

1. Введение

Гетерогенные среды обладают устойчивыми физическими характеристиками, которые могут значительно отличаться от свойств их отдельных фрагментов [1, 2]. Обычно предполагается, что гетерогенная среда состоит из однородной матрицы, в которой расположены включения, имеющие иные характеристики. Кроме того, многие гетерогенные среды являются многомасштабными относительно размеров включений (геометрическая многомасштабность) или их физических свойств (физическая многомасштабность). Процесс получения эффективных характеристик, позволяющих рассматривать среду как однородную, называют гомогенизацией [3].

© Эпов М.И., Шурина Э.П., Кутищева А.Ю., 2016

Исследование эффективных свойств многомасштабных материалов в лабораторных условиях является трудоемким и дорогостоящим, т.к. необходимо создание многочисленных образцов. Поэтому активно развиваются различные аналитические [3-6] и численные методы [1, 7], позволяющие рассчитать эффективные характеристики для материалов с заданной структурой. Аналитические оценки основаны на специальных асимптотических способах усреднения дифференциальных операторов для идеализированных структур (например, периодические или почти периодические двухкомпо-нентные среды с включениями определенной формы). Такие методы достаточно просты для применения и на

сегодняшний день широко применяются для анализа методов усреднения.

Одной из наиболее известных аналитических оценок эффективного удельного электрического сопротивления является приближение Максвелла [6], основанное на предположении о том, что концентрация включений достаточно мала и можно пренебречь их взаимодействием. При этом часто предполагается, что включения распределены не во всем объеме, а сосредоточены в небольших подобластях. Такие предположения позволяют решать задачу о распределении электрических полей и токов в среде на основе решения для одиночного включения [6]. Однако удельное эффективное сопротивление среды в приближении Максвелла можно получить только для включений определенной и простой формы (эллипсоид, цилиндр, сфера).

Так как известные аналитические приближения позволяют получить эффективные характеристики только для определенных типов включений в матрице, то на сегодняшний день проблеме численной гомогенизации сложных сред (в том числе теории перколяции [8-10]) уделяется большое внимание. Однако в большинстве публикаций авторы ограничиваются рассмотрением сред с включениями простой формы (например сферы, эллипсоиды, параллелепипеды и т.д.).

Вычислительный эксперимент по нахождению удельного эффективного электрического сопротивления в среде с микровключениями можно разделить на несколько основных этапов:

1. Решение прямой задачи о нахождении электрического поля в области с заданными краевыми условиями.

2. Нахождение распределения напряженности электрического поля Е и плотности тока J.

3. Вычисление эффективной характеристики по найденным распределениям Е и J на основании закона Ома в дифференциальной форме (предполагается, что среда электрически неполяризуема).

Наиболее ресурсоемким является этап 1, что связано со сложной многомасштабной структурой области моделирования. Поэтому для моделирования протекания постоянного тока в гетерогенной среде требуются специальные методы, позволяющие учитывать как ее мелкомасштабные особенности, так и свойства гетерогенной среды в целом. Причем необходимо точно отражать в решении не только геометрические, но и физические особенности рассматриваемых процессов.

Классическим методом для решения таких задач является метод конечных элементов [11]. Однако при большом числе включений с размером значительно меньшим размеров всей области моделирования получаемое число конечных элементов не позволяет решать подобные задачи даже на современных суперкомпьютерах. В связи с этим развиваются различные многомасштабные методы, позволяющие разделить макро- и мик-

ромасштабы, что дает возможность одновременно повысить эффективность решения задачи, упростить макромодель и увеличить точность учета микромасштабных особенностей рассматриваемой среды.

Первым подходом в этом направлении считается метод конечных суперэлементов, предложенный в 1974 г. [12-14]. Он основан на разбиении всей области моделирования на специальные конечные носители (суперэлементы), которые позволяют разделить масштабы исходной задачи (например макроуровень матрицы и микроуровень включений). Одним из ограничений метода является то, что при дроблении области на суперэлементы необходимо, чтобы включения были сосредоточены строго внутри этих элементов, т.е. на границах решение должно быть гладким. На каждом из таких суперэлементов определяются специальные функции формы, которые являются решением серии дополнительных подзадач. Решение во всей области строится как оболочка таких функций формы. Метод конечных суперэлементов используется для решения трехмерных задач электромагнетизма [15, 16], упругости [17] и др.

В 1983 г. был предложен обобщенный метод конечных элементов [18] для решения одномерных задач с быстро осциллирующими коэффициентами. Метод основан на построении конечно-элементного подпространства приближенных функций с использованием локальных данных о решении. Основным отличием от классического метода конечных элементов является то, что вся область моделирования разбивается на «открытые» макроэлементы (т.е. элементы расположены с наложением друг на друга).

Многомасштабный метод конечных элементов был предложен в 1997 г. [19] и является обобщением уже имеющихся многомасштабных методов. Основной идеей является, аналогично методу конечных суперэлементов, разделение масштабов решения путем введения разбиения на макроэлементы (суперэлементы — в соответствии с терминологией [12-14]). Далее на каждом из «грубых» элементов решаются подзадачи для нахождения многомасштабных функций формы, правильная «сшивка» которых по границам суперэлементов дает верное приближение к решению во всей области. Вопросу вычисления функций формы по границам макроэлементов посвящены работы [19, 20]. В [19] для прямоугольного разбиения предлагаются линейные и осциллирующие краевые условия. При использовании линейных краевых условий на границах макроэлементов необходимо выполнение условий гладкости решения (аналогично методу конечных суперэлементов). Осциллирующие условия (решение дополнительных задач по границам) позволяют решать задачи с непрерывными масштабами включений. Для преодоления возможных осцилляций по границам макроэлементов

в [21, 22] предлагается при построении локальных многомасштабных функций формы рассматривать область, превышающую текущий макроэлемент (т.е. используется идея обобщенного метода конечных элементов [18] об «открытых» элементах). Другой наиболее известной модификацией классического многомасштабного метода является виртуальный многомасштабный метод конечных элементов, где предлагается в качестве конечных носителей (макроэлементов) использовать элементы свободной формы (полиэдры), что позволяет получать решение в областях со сложной геометрией.

Гетерогенный многомасштабный метод впервые был рассмотрен в работах [23, 24] и представляет собой общую идеологию для построения алгоритмов по решению многомасштабных задач. В гетерогенном многомасштабном методе можно выделить два основных этапа: выбор макроскопического решателя и оценивание недостающих макроскопических данных. Большинство публикаций носит теоретический характер и рассматривает гетерогенный метод с точки зрения оценок сходимости [25-27] или в двумерной постановке [28, 29].

При выборе в качестве макроскопического решателя метода конечных элементов [11] в симметричной вариационной постановке в форме Галеркина получается гетерогенный многомасштабный метод конечных элементов [30]. В этом случае в качестве недостающих макроскопических данных выступает эффективная матрица жесткости. Для ее нахождения вычисляются оценки многомасштабных функций формы в подобластях макроэлементов. Если размер подобласти выбрать равным соответствующему макроэлементу и выполнить условия согласования мелкомасштабных конечно-элементных сеток по границам макроэлементов, то получается классический многомасштабный метод конечных элементов. Таким образом гетерогенный метод реализует наиболее общий подход.

2. Математическая модель

Рассмотрим задачу о распределении скалярного потенциала и(В) в области

й = (хе R31 (хе Ц) V (хе й0)} с контрастными микровключениями различной геометрии (рис. 1) под действием постоянного тока.

Математической моделью рассматриваемого процесса является однородное уравнение эллиптического типа с краевыми условиями первого и второго рода:

-V-

где р — удельное электрическое сопротивление (Ом - м).

В соответствии с обозначениями рис. 1, на границах Г1 и Гз (верхняя и нижняя грани) задано неоднородное краевое условие Дирихле, соответствующее заданию разности потенциалов; на границах Г2 (боковые грани) задано условие непротекания тока (однородное

Рис. 1. Область моделирования, краевые условия

условие Неймана):

= 0, и |Г1 = 0, и |Гз = 1,

Г2

Эп

где п — внешняя нормаль к границе Г 2.

3. Гетерогенный метод конечных элементов

Гетерогенный многомасштабный метод конечных элементов [23] основан на специальной иерархии моделей: многомасштабная структура решения отражается в неполиномиальных функциях формы, которые содержат основную многомасштабную информацию и связаны через глобальную формулировку, обеспечивающую верное приближение к решению.

Реализация гетерогенного многомасштабного метода конечных элементов состоит из двух основных этапов:

1. Формирование специального многомасштабного базиса, т.е. решение задачи на микроуровне.

2. Построение общей вариационной формулировки с использованием многомасштабных базисных функций.

Гетерогенный метод близок к многомасштабному методу конечных элементов [19]. Однако если в классическом многомасштабном методе неполиномиальные многомасштабные базисные функции строятся явно, то в гетерогенном методе строятся только их оценки.

3.1. Многомасштабная вариационная постановка

Введем следующие гильбертовы пространства:

Н 1

Н.

Тогда для эллиптической краевой задачи (1), (2) вариационная постановка примет вид:

Найти и е Н^(П) + и0(ЭП) такую, что Уге Н0(П) выполняется

}р-1

п

3.2. Многомасштабные функции формы

Пусть = (К} — разбиение области П на тетраэдры (макроэлементы). Определим на каждом элементе К неполиномиальные функции формы фК, i = 1,4 и точки численного интегрирования {х1}. Особенность гетерогенного многомасштабного метода заключается в том, что решение задачи (1), (2) сводится к решению задачи аппроксимации функции фК (х1). Данную проблему можно решить с использованием оригинальной микромасштабной модели в малой области вокруг узла квадратуры х1, таким образом не требуется нахождение многомасштабной функции формы во всем макроэлементе К, тогда как в классическом многомасштабном методе конечных элементов необходимо строить многомасштабную функцию формы на всем макроэлементе, а также обеспечивать согласованность мелких сеток соседних макроэлементов (рис. 2).

Пусть I(х1) — тетраэдр (рис. 3), I(х1) с К. В каждой подобласти I (х1) построим симплициальное разбиение 3 1 = (Т}, учитывающее все мелкие особенности среды.

Для вычисления фК (х1) необходимо решить однородное краевое эллиптическое уравнение в области

I (х1):

Шу((рЕ (х))-1^ фК) = 0 на I(х1),

ФКI.

1Э/

где определяется из геометрических особенностей области моделирования.

Чаще всего выделяют линейные и осциллирующие краевые условия [1, 19]. В первом случае в качестве выбирается простая линейная на границе дI(х1) функция (например, можно взять стандартную базисную функцию первого порядка, определенную на элементе К е ). Однако если решение не является гладким на границе области I (х1) (т.е. включения пересекают границу), то использование линейных краевых условий не позволяет получить верное решение. Поэтому более предпочтительным является именно второй способ, который заключается в решении на каждой из границ дI(х1) дополнительной однородной эллиптической краевой задачи для определения функции , что позволяет учесть поведение решения на границе макроэлементов:

-Шу

^К |г = ^К ,

где — базисная функция первого порядка, определенная на макроэлементе К , или решение задачи (7) на Г.

Очевидно, что использование линейных краевых условий оправдано лишь в том случае, когда включение не пересекает границу макроэлемента, в иных случаях необходимо использовать осциллирующие краевые условия, т.к. они позволяют более точно учесть неоднородность.

В двумерном случае для построения многомасштабной функции формы необходимо решение дополнительной задачи по каждому из ребер макроэлемента. Для трехмерной задачи определение краевых условий для эллиптического уравнения (1) в общем случае состоит из двух этапов:

1. Решение одномерной задачи (7) на каждом из ребер макроэлемента.

2. Решение двумерной задачи (7) на каждой грани. В качестве краевых условий (функции ) будут выступать решения, полученные на предыдущем этапе.

Включения

Рис. 2. Сечение многомасштабной функции формы, проходящее через включения: многомасштабный метод конечных элементов

Включение П

Рис. 3. Структура (в сечении) макроэлемента К

Локальные многомасштабные функции формы фК (х/) должны обладать следующими свойствами: точно учитывать внутреннюю структуру макроэлемента из разбиения ^; обеспечивать гладкость глобальных базисных функций на «грубой» сетке на границах конечных элементов К е^и. Проблема точности решается путем правильного выбора микроразбиения 3К/. Требуемая гладкость глобальных функций обеспечивается выбором специальных краевых условий при решении задачи (6). Причем правильный выбор краевых условий позволяет существенно улучшить многомасштабный метод как с точки зрения точности решения, так и требований к памяти и процессорному времени.

3.3. Многомасштабная дискретная вариационная постановка

Введем конечномерные подпространства пространства Vй с V, состоящие из непрерывных неполиномиальных функций, определенных на конечном носителе (конечном элементе) К е^и:

Vй

где N — число степеней свободы разбиения ^И (так как используются только элементы первого порядка, то число степеней свободы равно числу узлов разбиения ф, — неполиномиальная многомасштабная функция формы, определенная на К е .

Будем искать решение дискретной задачи в виде разложения по базису {ф, }:

8,И V1

и = 2 и ф,

I=1

где и, — коэффициенты разложения решения и8 'И.

Тогда многомасштабная дискретная вариационная постановка в форме Галеркина для эллиптической краевой задачи (1), (2) примет вид:

Найти и8 е Vй (П) + и0(ЭП) такую, что VVй е Vй (П) выполняется

п

Подставим (9) в (10), получим систему линейных алгебраических уравнений

2

I=1

I (р8 (х))-1УфК (х) Уфу (х)(К

к

и =

у = 1, N.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде:

^1оЬа1и = Ь ^оЬа1.

Компоненты матрицы А^оЪа1 на тетраэдральной сетке = (К} имеют вид

4'оЬа1 = 21

КК

X е К.

Воспользуемся формулами численного интегрирования [31] для вычисления правой части соотношения (13):

41оЬа1 =21К |

К /

х е К,

где {х1} и (ш/} — квадратурные точки и веса соответственно; |К — объем элемента К. Необходимо отметить, что для гетерогенного метода конечных элементов целесообразно использовать для численного интегрирования квадратуры Гаусса. Это необходимо для построения подобласти I(х/) с К, содержащей точку х/.

На рис. 4 представлена иерархическая структура гетерогенного многомасштабного метода конечных элементов в соответствии с вышеизложенной дискретной вариационной постановкой.

Глобальные многомасштабные функции формы фг, / = 1, ТУ

Склейка по степеням свободы, ассоциированным с узлами грубой сетки

Многомасштабные функции формы фг, / = 1, ТУ, определенные на К е ^

Классический метод конечных элементов

Базисные функции первого порядка С-,/ = определенные на Т 6

Точки интегрирования XI

Рис. 4. Структура гетерогенного многомасштабного метода конечных элементов

Таблица 1

Сравнение результатов вычислений, аналитических оценок и лабораторных измерений эффективного удельного электрического сопротивления

Способ ре(г, Ом - м Относительная погрешность, %

Лабораторные измерения 2.77 -

Приближение Максвелла 2.84 2.3

Приближение Бруггемана 2.82 1.6

Приближение когерентного 2.80 1.2

потенциала

Численное моделирование 2.79 0.7

4. Вычисление эффективного удельного электрического сопротивления

Рассмотрено несколько способов расчета эффективного удельного электрического сопротивления по вычисленному распределению скалярного потенциала. В результате сравнительных расчетов установлено, что все алгоритмы дают одинаковый численный результат. Далее для расчета эффективного удельного электрического сопротивления будем использовать следующее соотношение:

I 2 .

4.1. Сравнение с лабораторным экспериментом

Измерения эффективного удельного электрического сопротивления проводились на образцах из спрессованного кварцевого песка, пропитанного раствором КаС (табл. 1). Включения были представлены стальными дробинками (диаметр 2 мм). Размеры образца 15 х 15 х х 40 мм. Включения расположены равномерно по сетке 3 х 3 х 8 (всего 72 шарика). Удельное электрическое сопротивление включений р1 = 1.4-10-7 Ом - м. Удельное

электрическое сопротивление кварцевой матрицы, пропитанной электролитом, р0 = 3.13 Ом-м. Приведенные результаты близки между собой. Вместе с тем численное моделирование дает значение эффективного удельного электрического сопротивления наиболее близкое к измеренному в лабораторных условиях.

4.2. Влияние формы включений на эффективное удельное электрическое сопротивление

4.2.1. Равномерное (фиксированное) распределение включений в образце

Для исследования влияния формы и ориентации включений в материале на эффективное удельное электрическое сопротивление рассмотрим кубические образцы 90 х 90 х 90 мм (рис. 5). Во всех образцах включения расположены равномерно в 3 слоя по 9 одинаковых пластин в каждом. Пластины имеют равные размеры: 1 х 5 х 20 мм. В третьем и четвертом образцах пластины изогнуты пополам под углом 90° (рис. 5, в, г). Удельное электрическое сопротивление матрицы р0 = 1 Ом - м. Удельное электрическое сопротивление включений р1 е {103 Ом-м, 10-3 Ом-м}.

В табл. 2 приведены значения эффективного удельного электрического сопротивления для всех образцов. Исследования показали, что наибольшее влияние на эффективное удельное электрическое сопротивление оказывают проводящие вертикальные пластины в относительно слабо проводящей среде. Эффективные удельные электрические сопротивления образцов с изогнутыми пластинами различаются слабо, и их значения расположены между значениями эффективных удельных электрических сопротивлений образцов с вертикальными и горизонтальными пластинами.

4.2.2. Хаотическое (случайное) распределение включений в образце

Рассмотрим цилиндрические образцы с диаметром 100 мм и высотой 200 мм. Включения в виде пластин 1 х 5 х (20-40) мм распределены в образце случайно по равномерному закону (рис. 6). Удельное электрическое сопротивление матрицы р0 = 1 Ом - м. Удельное элект-

Ре =

< и ^

и

Рис. 5. Области моделирования: вертикальные

Таблица 2

Эффективное удельное электрическое сопротивление гетерогенных образцов. Удельное электрическое сопротивление матрицы р0 = 1 Ом - м

Конфигурация Сопротивление включений р1, Ом - м

10-3 103

Вертикальные пластины 0.350 1.002

Горизонтальные пластины 0.995 1.042

Изогнутые пластины 0.789 1.028

Случайно ориентированные изогнутые пластины 0.836 1.016

рическое сопротивление включений р1 е {103Ом-м, 10-3 Ом -м}. Результаты вычислительных экспериментов представлены на рис. 7, 8.

Случайно расположенные пластины без изгибов оказывают влияние аналогичное структурированным включениям (табл. 2), т.е. наибольшее влияние на эффективное удельное электрическое сопротивление оказывают проводящие пластины, ориентированные вдоль течения электрического тока. Среда со случайно-направлен-

ными неоднородностями характеризуется эффективными удельными электрическими сопротивлениями, располагающимися между значениями эффективного удельного электрического сопротивления в предельных ситуациях (сред с вертикально и горизонтально ориентированными пластинами). Зависимость эффективного удельного электрического сопротивления от конфигурации среды с изогнутыми пластинами имеет более сложный характер.

4.3. Влияние набора удельных электрических сопротивлений включений на эффективное удельное электрическое сопротивление

Рассмотрим образцы цилиндрической формы (диаметр 100 мм, высота 200 мм). Включения представлены случайно ориентированными пластинами (1 х5х 20 мм). Удельное электрическое сопротивление матрицы р 0 = = 1 Ом-м.

4.3.1. Смесь включений с различными удельными электрическими сопротивлениями

Пластины в образце распределены по равномерному закону. Суммарная концентрация включений 1.4%.

»г-

I г*

Рис. 6. Цилиндр с включениями: вертикальные

, вертикальные изогнутые

1 2 Объемная концентрация включений, %

0.0 0.5 1.0

Объемная концентрация включений, %

Рис. 7. Зависимость удельного эффективного электрического сопротивления от концентрации непроводящих включений: плоские

0 1 2 Объемная концентрация включений, %

5 1.0

Объемная концентрация включений, %

Рис. 8. Зависимость удельного эффективного электрического сопротивления от концентрации проводящих включений: плоские (а) и изогнутые пластины (б). 1 — горизонтальные, 2 — хаотические, 3 — вертикальные пластины

Удельное электрическое сопротивление включений р1 = 10-3 Ом-м (слабо проводящие) и р 2 = 10-8 Ом-м (сильно проводящие). Под относительной концентрацией сильно проводящих включений будем понимать отношение концентрации сильно проводящих к концентрации слабо проводящих включений.

Из рис. 9 видно, что при малых концентрациях изменение соотношения сильно/слабо проводящих включений оказывает незначительное влияние на эффективное удельное электрическое сопротивление.

Рис. 9. Влияние смеси включений с разным удельным электрическим сопротивлением на эффективное удельное электрическое сопротивление

Рис. 10. Области моделирования: равномерное

4.3.2. Влияние закона распределения включений на эффективное удельное электрическое сопротивление

Пластины в образцах расположены в соответствии с равномерным (рис. 10, а) или нормальным распределением (рис. 10, б). Удельное электрическое сопротивление включений р1 = 10-3 Ом-м.

Для каждого закона распределения производилось по 5 реализаций. Разница между вычисленными значениями эффективного удельного электрического сопротивления для образцов с проводящими включениями, распределенными по равномерному и нормальному законам, достигает 15 % (рис. 11).

4.3.3. Влияние сложных видов распределения включений в образце на эффективное удельное электрическое сопротивление

Выше были рассмотрены распределения включений, описываемые наиболее простыми законами (равномер-

О

£ 0-Г

2 к

х а

й Й

£ в

<и о

О Он

X х

И о

К о

Ё о 0 2Н

(и §

Ф о ^ Й

0.0

Нормальное

\ \ \ \ распределение

-о- Равномерное

\ \ \ V \  распределение

\

1 2 Концентрация включений,'

Рис. 11. Зависимость эффективного удельного электрического сопротивления от закона распределения включений

Рис. 12. Области моделирования: а — включения равномерно распределены во всем объеме

ным и нормальным). Однако горные породы обладают значительно более сложной структурой. Так, например, в осадочных породах пирит (FeS2) [32] часто представлен в виде включений различной формы, сконцентрированных в выделенных объемах (рис. 12, б). Также необходимо отметить среды, в которых происходит осаживание включений (например вязкие среды), т.е. в таких образцах можно выделить несколько слоев с различной концентрацией включений (рис. 12, в).

Для оценки влияния включений, сконцентрированных в подобластях (рис. 12), рассмотрим образцы кубической формы (сторона 100 мм). Включения представлены случайно ориентированными пластинами (1 х5 х х20 мм). Удельное электрическое сопротивление матрицы р0 = 3.33 Ом-м, удельное электрическое сопротивление включений р1 = 10-3 Ом-м.

Из рис. 13 видно, что с ростом концентрации увеличивается расхождение значения эффективного удельного электрического сопротивления, полученного для равномерного распределения (тип I), и значений эффективных удельных электрических сопротивлений для сложных конфигураций (тип II, III). Так, при концентрации включений в ~1 % расхождение составляет 40 %

Концентрация включений, %

Рис. 13. Зависимость эффективного удельного электрического сопротивления от распределения включений в образце

(для слоистых образцов) и 200 % (для образцов с включениями, сосредоточенными в малом объеме).

5. Заключение

Разработаны и программно реализованы алгоритмы на базе гетерогенного многомасштабного метода конечных элементов для моделирования электрического трехмерного поля в многомасштабных непериодических средах. Результаты вычислительного и лабораторного экспериментов различаются не более чем на 1 % (табл. 1), что позволяет сделать заключение об эффективности и точности разработанных алгоритмов. Программно реализованные алгоритмы, являющиеся модификацией гетерогенного многомасштабного метода конечных элементов, могут применяться при моделировании таких физических процессов, как тепломассопере-нос, электромагнетизм, деформация твердых тел.

Выполнены расчеты эффективного удельного электрического сопротивления образцов с различной внутренней структурой: варьировались геометрические характеристики включений, контрастность электрофизических свойств системы «матрица-включения», законы распределения включений, их локализация. Электрофизические и геометрические свойства образцов определяют эффективное удельное электрическое сопротивление даже при малых концентрациях включений, что не позволяет в ряде случаев упрощать трехмерный объект, заменяя его двумерным или осесимметричным образцом, заменять геометрическую форму включений примитивами (сферы, параллелепипеды и т.д.), произвольную локализацию — периодическими структурами. В большей степени это проявляется для случая размещения проводящих включений в непроводящей (слабо-проводящей) матрице.

Благодарности

Образцы из кварцевого песка, пропитанного раствором №С, со стальными включениями были изготовлены В.А. Полубояровым (ИХТТМ СО РАН, интеграционный проект № 98 СО РАН). Результаты лабо-

раторного эксперимента с образцами из кварцевого песка, пропитанного раствором NaC, со стальными включениями предоставлены сотрудником ИНГГ СО РАН Н.А. Голиковым.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ офи-м № 13-05-12031.

Литература

1. Эпов М.И., Шурина Э.П., АртемьевМ.К. Численная гомогенизация

электрических характеристик сред с контрастными мелкомасштабными включениями // Докл. РАН. - 2012. - Т. 442. - № 1.-С. 118-120.

2. Durmaz S. A Numerical Study on the Effective Thermal Conductivity of Composite Materials. - I.: Dokuz Eylul University, 2004. - 240 p.

3. Жиков B.B., Козлов С.М. Усреднение и перколяция // УМН. -1988. - Т. 43. - № 4. - С. 169-170.

4. Жиков B.B., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Физматлит, 1993. - 463 с.

5. Sihvola A. Electromagnetic Mixing Formulas and Applications. -London: Institution of Electrical Engineers, 1999. - 296 p.

6. Снарский А.А., БезсудновИ.В., СеврюковB.A. Процессы переноса в макроскопически неупорядоченных средах: От теории среднего поля к перколяции. - М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 299 с.

7. Shurina E.P., Epov M.I., Shtabel N.V., Mikhaylova E.I. The сalcula-tion of the effective tensor coefficient of the medium for the objects with microinclusions // Engineering. - 2014. - V. 6. - No. 3. - P. 101112.

8. Shi F., Wang S., Forest M., Mucha P. Percolation-induced exponential scaling in the large current tails of random resistor networks // Multi-scale Model. Simul. - 2013. - V. 11. - No. 4. - P. 1298-1310.

9. Hautot S., Tarits P. Effective electrical conductivity of 3-D heterogenous porous media // Geophys. Res. Lett. - 2002. - V. 29. - No. 14. -P. 14-1-14-4.

10. Pringle D.J., Miner J.E., Eicken H., Golden K.M. Pore space percolation in sea ice single crystals // J. Geophys. Res.: Oceans. - 2009. -V. 114. - No. C12. - P. 2156-2202.

11. Bondeson A., Rylander T., Ingelstrom P. Computational Electromagnetics. - Berlin: Springer, 2000. - 231 p.

12. Стаховская Л.Г., Федоренко Р.П. Об одной специальной разностной схеме // Численные методы МСС. - 1974. - Т. 5. - № 1. -С. 149-163.

13. Стаховская Л.Г., Федоренко Р.П. Об одном варианте метода конечных элементов // ЖВМиМФ. - 1979. - Т. 19. - № 4. - С. 950960.

14. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. - М.: МФТИ, 1994. - 528 с.

15. Геча B.Я., Захаренко А.Б. Применение метода конечных суперэлементов для рассчета электромагнитного поля магнитоэлектри-

ческой машины // Вопросы электромеханики. - 2008. - Т. 107. -С. 19-23.

16. Бородай B.Э., Галанин М.П., Лазарева С.А. Применение метода конечных суперэлементов для расчета распределений электрического потенциала и плотности тока в проводящих объектах. - М., 2008. - 25 с. / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша № 17.

17. Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов для решения трехмерных задач теории упругости. Численное исследование. - М., 2006. - 29 с. / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша № 044.

18. Babuska I., Banerjee U., Osborn J.E. Generalized finite element methods — Main ideas, results and perspective // Int. J. Comput. Meth. - 2004. - V. 1. - No. 1. - P. 67-103.

19. Hou T., Wu X.-H. A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous media // J. Comput. Phys. - 1997. - No. 134. - P. 169-189.

20. Hou T., Wu X.-H., Cai Z. Convergence of a multiscale finite element method for elliptic problems with rapidly oscillating coefficients // Math. Comput. - 1999. - No. 68. - P. 913-943.

21. Efendiev Y., Galvis J., Hou T. Generalized multiscale finite element methods // J. Comput. Phys. - 2013. - No. 251. - P. 116-135.

22. Efendiev Y., Galvis J., Li G., Presho M. Generalized multiscale finite element methods // Nonlinear Elliptic Equations. Commun. Comput. Phys. - 2014. - No. 15. - P. 733-755.

23. E W., Engquist B. The heterogeneous multiscale methods // Comm. Math. Sci. - 2003. - V. 1. - No. 1. - P. 87-132.

24. E W., Ming P., Zhang P. Analysis of the heterogeneous multiscale method for elliptic homogenization problems // J. Am. Math. Soc. -2003. - No. 8. - P. 121-156.

25. Du R., Ming P. Convergence of the heterogeneous multiscale finite element method for elliptic problem with nonsmooth microstructures // Multiscale Model. Simul. - 2010. - V. 8. - No. 5. - P. 1770-1783.

26. Abdulle A. On a priori error analysis of fully discrete heterogeneous multiscale FEM // Multiscale Model. Simul. - 2005. - V. 4. - P. 447459.

27. Abdulle A., Vilmart G. Analysis of the finite element heterogeneous multiscale method for quasilinear elliptic homogenization problems // Math. Comput. - 2014. - V. 83. - No. 286. - P. 513-536.

28. Abdulle A., Vilmart G. Coupling heterogeneous multiscale FEM with Runge-Kutta methods for parabolic homogenization problems: A fully discrete space-time analysis // Math. Mod. Meth. Appl. Sci. - 2012. -V. 22. - No. 6. - P. 1250002/1-1250002/40.

29. Abdulle A. The finite element heterogeneous multiscale method: A computational strategy for multiscale PDEs // GAKUTO Int. Ser. Math. Sci. Appl. - 2009. - V. 31. - P. 135-184.

30. Abdulle A., Schwab C. Heterogeneous multiscale FEM for diffusion problem on rough surfaces // SIAM Multiscale Model. Simul. - 2005. -V. 3. - No. 1. - P. 18-19.

31. Бахвалов Н.С., Лапин A.B, Чижонков E.B. Численные методы в задачах и упражнениях. - М.: Высшая школа, 2000. - 190 с.

32. Бетехтин А.Г. Курс минералогии: Учебное пособие. - М.: КДУ, 2007. - 721 с.

Поступила в редакцию 18.09.2015 г.

Сведения об авторах

Эпов Михаил Иванович, д.т.н., акад. РАН, зав. каф. НГУ, EpovMI@ipgg.sbras.ru Шурина Элла Петровна, д.т.н., проф. НГТУ, гнс ИНГГ СО РАН, ShurinaEP@ipgg.sbras.ru Кутищева Анастасия Юрьевна, асп. НГТУ, мнс ИНГГ СО РАН, Kutischeva.Anastasia@yandex.ru