Оптимизированное борновское приближение для оценки электромагнитного поля дифракции на диэлектрике

Оптимизированное борновское приближение для оценки электромагнитного поля дифракции на диэлектрике

С.П. Куликов, кафедра «Прикладная математика» МГТУМИРЭА (Москва), доцент, Е-mail:kspЩisL т;

Н.Ю. Сотникова, кафедра «Прикладная математика» МГТУ МИРЭА (Москва), аспирант, Е-mail: natalikurs@mail. т

Предложена и апробирована оценка электромагнитного поля дифракции на локально-неоднородном диэлектрике, основанная на использовании первого члена оптимального ряда простой итерации для решения двумерного и трехмерного векторного сингулярного интегрального уравнения электромагнитного рассеяния. Оценка эффективна благодаря установленным аналитически и численно свойствам квазистатического и резонансного спектра интегрального оператора. Разработаны алгоритмы определения оптимального параметра в различных случаях однородного и неоднородного диэлектрического тела. Численно исследованы конкретные задачи дифракции в квазистатическом и ближнем резонансном, а также смешанном по различным координатам диапазонах длин волн, в том числе имеющих строгое решение. Проведена сравнительная оценка обычного и оптимизированного приближения, показана область эффективного применения последнего.

Введение

Задачи численного решения двумерного (2D) и трехмерного (3D) рассеяния и поглощения стационарных электромагнитных волн рэлеев-ского и резонансного диапазонов на локально-неоднородном диэлектрическом теле определяют одно из важных направлений исследований современной вычислительной электродинамики. Такое электромагнитное рассеяние описывает в общем случае интегральный оператор (ИО) уравнения второго рода относительно вектора амплитуды электрического поля [1], который проявляет различные свойства в зависимости от размерности задачи и поляризации поля. Так, в 2D случае E-поляризации (скалярная задача) ИО является Фредгольмовым, вполне непрерывным (компактным) оператором, который имеет дискретный спектр с единственной возможной точкой накопления собственный чисел. В работе [2] для решения операторного уравнения второго рода рассмотрен стационарный метод оптимальной простой итерации

(МОПИ) и явно определен оптимальный параметр МОПИ для практически важных случаев области локализации комплексного спектра ИО. В векторных случаях стационарной задачи рассеяния электромагнитных волн (2D случай Н-поляризации поля и общий 3D векторный случай) ИО задачи является сингулярным, а спектр оператора перехода Т имеет непрерывную и дискретную составляющие [1]. Интегральное уравнение (ИУ) в этих случаях для полного Е , падающего Е(тс) плюс рассеянного Е(яса(;) = ТЕ , поля имеет вид

Е = Е

ТЕ( р) = у(е( р) - 1)Е( р) + к21 (е(д) - 1)E(q);G(r)dq + ру.\ ((e(q) - 1)E(q), ^гаа) р-асЮ(г)сЧ

° е е

Здесь Е(1Пс) - начальное (падающее) поле в отсутствие тела, р.у. -сингулярный интеграл в смысле главного значения, коэффициент V

1

во внеинтегральном члене имеет значение у = 3 в 3D векторном 1

случае и у = ^ в 2D векторном случае. Функция Грина в 3D случае ехр

есть G (г) =---, в 2D случае - функция Ханкеля второго

4 яг

рода нулевого порядка G(г) = -¡Но( )(г) , где г = 1р - д1 - расстояние между точкой истока Ч = (хУ') и точкой наблюдения р = (х, У) . Зависимость от времени гармонического поля имеет вид ехр(ш(:). Относительная диэлектрическая проницаемость е(ч) = еа (д)/ео в области неоднородности е - комплекснозначная

функция координат q, а е0 и к0- соответственно диэлектрическая проницаемость и волновое число свободного пространства. Среда немагнитная Ц =1.

В векторных случаях ИУ дискретизируется методом конечных сумм и приводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно 2N и 3N неизвестных значений электрического поля в узлах расчетной сетки. Благодаря особенности ядра сингулярного ИО выделяется внеинтегральный член ИУ. Оставшаяся часть уравнения содержит вполне непрерывный ИО, а также ИО в смысле главного зна-

чения. Значение N может быть весьма велико для задач резонансной и ближнее резонансной области длин волн, а также в смешанной, рэлеев-ско-резонансной по разным координатам области. Поэтому для численного решения полученной СЛАУ эффективны итерационные методы [1,2].

Борновское приближение и спектр оператора

В данной работе для оценки приближенного линеаризованного решения (1) исследуется точность и область применения первого приближения МОПИ, которое существенно использует информацию о спектре ИО T:

Е(1) = . Е(0) + , (2) 1 _ К 1 _ к

Здесь Е(1) - значение поля на 1 -ой итерации, начиная с начального приближения Е(0), к - комплексный параметр, оптимальное значение для которого зависит от области локализации спектра ИО перехода Т в

(1). В случае к = 0 приближение (2) известно как борновское приближение, которое с хорошей точностью дает решение (1) для малых отклонений диэлектрической проницаемости от проницаемости вакуума

|е_ 1«1.

Спектр ИО

1 - е

к = —т~

Для неоднородной среды без затухания формула для ОП такая же -(3), но при этом е - максимальное значение по среде.

В случае однородной среды с потерями отрезок непрерывного спектра комплексный - [0, 1 - е] и ОП определяется с помощью формул [2]

с=К=4+«*%<4)

Здесь с - середина комплексного отрезка (так как рассматривается диэлектрик с потерями 1^(е) < 0, то К-е(с) < 0 , 1ш(с) > 0 и область расположения непрерывного спектра - вторая четверть комплексной плоскости), К - радиус окружности проведенной через концы отрезка и точку сингулярности - точку 1, к - оптимальный параметр МОПИ.

При этом, так как точка 0 есть вершина отрезка локализации спектра, то спектральный радиус ИО перехода в методе оптимальной простой итерации для однородной среды как с потерями, так и без них, равен [2]

1 к

Р =

1 -к

<1

Для неоднородной среды с затуханием значение оптимального параметра определяется специальными алгоритмами [3]. В случае, если комплексная диэлектрическая проницаемость среды принимает два различных значения е1 е2 , то непрерывный спектр лежит на двух сторонах треугольника [0, 1 -ех] и [0, 1 -е2] , а также, быть может во внутренности этого треугольника. Если проводимость принимает три различных значения, то на сторонах и во внутренности четырехугольника с вершиной в точке 0 и т.д. В квазистатическом, рэлеевском диапазоне длин волн существенным является только непрерывный спектр. В ближней резонансной и резонансной области длин волн появляется дискретный спектр, точки накопления которого лежат на непрерывном спектре. Дискретный спектр в резонансной области может существенно выходить за пределы выпуклой оболочки непрерывного спектра, тем самым изменяя значение ОП для сходимости МОПИ. Так, для среды без затухания он может заполнять некоторую значимую область в нижней полуплоскости и определять мнимую составляющую ОП.

Численные исследования

На рис.1,а приведена область сходимости р < 1 обычного метода последовательных приближений для решения (1) на комплексной плоскости диэлектрической проницаемости однородного рассеивающего

тела £ = К-е(£) _ 1 • 1т(£) (рассматриваются реальные диссипативные

среды с ) > 0 , 1т(£) > 0) в рэлеевской области длин волн. В

этой области максимальное по модулю собственной значение оператора

Т, то есть его спектральный радиус р = |1_ £ . Область сходимости

ограничена полукругом радиуса 1 вокруг точки 1 (диэлектрическая проницаемость вакуума). Область достаточно быстрой сходимости по

критерию р < 0 6 есть соответственно полукруг радиуса 0.5. На рис.1, б, в показана область сходимости МОПИ с оптимальным параметром (4) и спектральным радиусом (5). Область сходимости распространяется уже на всю четвертьплоскость реальных сред, при этом сходимость исчезает при приближении к точке £ = 0 и на бесконечности. Область быстрой сходимости по уровню рО < 0.6 значительно шире и по вещественной оси доходит до £ = 4, а для диэлектрика с потерями, например, до значения £ =2 — 2/

ад-

'¿У

а).

б). в).

Рис.1. а).область сходимости без ОП; б)., в). область сходимости МОПИ

Область быстрой сходимости МОПИ, отраженная на рис.1, в имеет место в квазистатической области длин волн, однако она сохраняется и в переходной ближнее-резонансной области, когда появляющийся в этой области дискретный спектр укладывается в круг оптимальной сходимости с центром в точке к и радиуса к . Покажем это на конкрект-ных примерах сингулярного оператора T из (1).

Рассмотрим сначала квазистатическое и ближне-резонансное 2D рассеяние плоской волны Н - поляризации на круглом однородном диэлектрическом цилиндре, для которого существует строгое решение методом собственных функций [4]. На рис.2 представлен непрерывный спектр ИО Т на комплексной плоскости в случае диэлектрической проницаемости цилиндрае = 3 и диаметра цилиндра а = °Л-Л, где

Л - длина волны в свободном пространстве. В этом квазистатическом случае существенен только непрерывный спектр в виде отрезка

[0, 1-е], который и отображается на рис.2,а. «Крестиком» обозначен оптимальный параметр ОП к, также выделена «квадратиком» точка сингулярности 1 (если спектр ИО Т включает эту точку, то оператор задачи А = I - Т сингулярен). На рис.2,б представлена диаграмма направленности (ДН) в дальней зоне [1] (по сути это нормированный на

максимальное значение модуль поля |Е| в дальней зоне), подсчитанная для точного решения

при к = 0) и оптимизированного борновского приближения (штрих пунктирная линия, здесь сливается со сплошной, (2) при к из (3)). ДН нормирована к максимальному значению и представлена в зоне углов от

0 (направление распространения падающей плоской волны) до Л (угол обратного отражения). В зоне отрицательных углов ДН симметрична представленной. Погрешность ДН борновского приближения (БП) составляет 9%, погрешность ДН оптимизированного борновского приближения (ОБП) - 0.1%. Для поля в области рассеивающего тела, то есть в области цилиндра, получаем значение относительной невязки

АТТ 1?

АЕ Е для БП - 0.9, а для ОБП - 0.03. Отношение характеристик

для БП и ОБП примерно одинаковое, в ДН и в области тела, в дальнейшем будем придерживаться характеристики поля в дальней зоне.

На рис.3 приведено решение аналогичной задачи, но для среды с потерями £ = 3 _ 2. Погрешность БП по диаграмме составила здесь 4%, ОБП - 0.5%. Погрешность ОБП возросла, так как добавление к диэлектрической проницаемости мнимой части ухудшает квазистатическую сходимость МОПИ (см. рис. 1,в). ОП определяется здесь по формулам (4).

Увеличение размеров диэлектрического цилиндра приводит к появлению заметного дискретного спектра, который может ухудшать сходимость МОПИ с квазистатическим ОП. На рис. 4 представлен спектр и

ДН для случая £ = 3 и d = 0 2 • Я. Заметно появление элементов дискретного спектра, а также накопление собственных чисел возле точки 0, которое уже не входит в квазистатическую оптимальную окружность. Поэтому погрешность ОБП здесь возросла до 2%, погрешность же БП -

9%. Для среды с потерями £ = 3 _ 2 для такого же тела в этой ближне-резонансной области погрешность БП возрастает, а погрешность ОБП наоборот убывает (рис. 5,б), соответственно они здесь 21% и 0.8%. Таким образом, преимущество ОБП в ближне-резонансной области для тела с потерями значительно. Это можно объяснить тем, что при повороте спектра-отрезка дискретный спектр отдаляется от точки сингулярности.

\

0.5

О 0 12 3

а). б).

Рис.3. а). непрерывный спектр для £ = 3 _ 2 ; б). ДН в дальней зоне

1

с

-2

0 1 2 3

а). б).

Рис.4. а). непрерывный и дискретный спектр для £ = 3, б). ДН в дальней зоне

0.5

О 1

а). б).

Рис.5. а). непрерывный и дискретный спектр для £ = 3 _ 2, б). ДН в дальней зоне

Для цилиндра большего размера дискретный спектр становится существенным и выходит за границу квазистатического оптимального круга. Так, на рис.6 рассматривается задача рассеяния на цилиндре с диаметром в треть длины волны d = Я / 3. На рис. 6,а диэлектрик без

потерь £ = 2 . Собственные числа выходят за границу квазистатического оптимального круга в сторону точки сингулярности. Поэтому здесь БП и ОБП показывают примерно одинаковую погрешность в 5%. Лучший результат для ОБП может быть только, если учесть значение второго дискретного собственного числа и сместить значение ОП по перпендикуляру на 0.5/, как показано на рис. 6, а. Тогда погрешность ОБП станет 2%. Однако это знание спектра не является априорным и выходит за рамки инженерной оценки. Для диэлектрика с потерями (рис.6,б) все же и здесь ОБП лучше и правильно показывает поведение поля, особенно в зоне обратных углов (рис.6,в). Здесь погрешность БП 14%, а ОБП - 5%.

Ж

а). б). в).

Рис.6. а). непрерывный и дискретный спектр для £ = 2 и d = Я / 3; б). спектр для диэлектрика с потерями £ = 2 — /; в). ДН в

случае

£ = 2 - /

Во всех случаях круглого однородного цилиндра сравнение решений проводилось со строгим решением. Подсчитывалось также решение на основе ИУ и МОПИ. Точность приближенного решения с помощью решения ИУ по сравнению со строгим решением и везде была выше,

чем графическая точность (~ 10 3). Заметим еще, что для тел с одинаковым заполнением диэлектриком по координатам, типа круглого или квадратного цилиндра, лучшее значение ОБП в дальней зоне дает

начальной приближение Е(0) = Е(тс), которое и использовалось в вычислениях. Для тел же с различным заполнением по координатам, типа тонкой оболочки, которая будет рассматриваться ниже, лучшее значе-

ние для ОБП в дальней зоне при Е

(0) _

Е'

1 -К

Проиллюстрируем поведение непрерывного спектра для неоднородной среды. На рис. 7,а представлен квазистатический спектр для неоднородного цилиндра радиуса R = Я / 20, у которого проницаемость £1 = 3 - 7 при о < г < R /2 и £2 = 2 - 27 при R /2 < г < R . Непрерывный спектр находится на сторонах треугольника и внутри его. ОП для треугольника строится на основе ОП для отрезка. Алгоритм следующий. ОП для треугольника - это ОП для одной из сторон треугольника, если в «оптимальную» окружность для стороны входит третья вершина треугольника и это центр описанной окружности в противном случае. На рис.7,б спектр для случая цилиндра с тремя значени-

ями проницаемости :

£1 = 3 - '

при

0 <г <R/2 £2 = 2-27

при

R/2 < г < 2 R/3 и £1 = 3 - 27 при 2R/3 < г < R. Для поиска ОП в случае четырехугольника используется алгоритм поиска ОП для треугольника: если в оптимальную окружность для треугольника входит четвертая вершина, то центр этой окружности - ОП для четырехугольника. На рис.7,в цилиндр с изменяющейся по следующему закону проницаемостью:

Здесь £1 = 3 -7, £2 = 2-27, d1 = R/2, d2 = 2R/3. Также, как и в случае 7,а непрерывный спектр находится на соответствующих сторонах треугольника и внутри его. Во всех случаях непрерывный спектр находится внутри выпуклой оболочки многоугольника, вершинами которого являются значения 1 - £ и точка 0 .

1

1

1

а). б). в).

Рис. 7. а). непрерывный квазистатический спектр для неоднородного цилиндра с £1 = 3 — 1 и £ 2 = 2 — 2/; б). спектр для неоднородного цилиндра с

г1 = 3 — ¡>е2 = 2 — 2/и£3 = 3 — 2/;

в). Спектр для неоднородного цилиндра с непрерывным законом изменения £

Хорошие результаты ОБП показывает для тел, у которых размер по одной из координат резонансный, а по другой - рэлеевский. Например, для тонких неоднородных диэлектрических оболочек. Это имеет практическое приложение, так как тонкими неоднородными оболочками являются диэлектрические обтекатели антенн в условиях погодных осадков. Так, на рис.8,а представлен спектр тонкой и однородной резонансной оболочки с £ = 2 . Радиус оболочки 2 • Я, толщина Я / 60 .

Оболочка занимает сектор углов / 3 — ф — Л / 3 в направлении распространения плоской волны. На рис.8,б симметричная ДН. Ошибка БП достаточно значительная - 35%, ошибка же ОБП всего 1% и ДН ОБП сливается с ДН полного решения, полученного на основе ИУ и МОПИ. На рис.9,а представлен спектр этой же оболочки с дополнительным

несимметричным слоем снега и льда в области углов 0 — ф — л/3 с

проницаемостью £ = 2 — 1 и толщиной Я / 30 . Заметен также дискретный спектр, который выходит за выпуклую оболочку непрерывного спектра, однако он находится внутри оптимальной окружности и не сказывается на МОПИ. ДН существенно искажен, заметно уширение главного лепестка и отклонение его в сторону неоднородности. Ошибка БП - 26%, ошибка ОБП - 4%, заметно несущественное отклонение ДН ОБП от ДН полного решения.

а). б).

Рис.8. а). непрерывный и дискретный спектр для тонкой однородной резонансной оболочки с £ = 2; б). ДН в дальней зоне

а). б).

Рис.9. а). непрерывный и дискретный спектр для тонкой резонансной неоднородной и несимметричной оболочки с £ = 2 и £ = 2 _ I;

б). ДН в дальней зоне

Выводы

Проведены численные исследования применимости оптимизированного борновского приближения для оценки поля в векторных 2D и 3D задачах рассеяния электромагнитных волн на диэлектрическом теле. Показана высокая эффективность этого метода как в рэлеевском, так и в ближнее-резонансном диапазонах длин волн, а также в смешанном рэ-леевско-резонансном по разным координатам диапазоне. Эта эффективность достигнута благодаря установленным аналитически и численно свойствам спектра сингулярного интегрального оператора. Так в рэле-евском, ближнем резонансном и смешанном, рэлеевско-резонансном диапазонах установлены явные формулы и алгоритмы для оптимального параметра сходимости метода оптимальной простой итерации. На этой основе для инженерной оценки рассеянного поля без решения интегрального уравнения предложена формула первого приближения, которая значительно расширяет область применимости обычного борнов-

ского приближения. Проведенные численные исследования показали хорошую сравнительную точность оптимизированного борновского приближения для достаточно больших значений диэлектрической проницаемости, как для среды с потерями, так и без них.

Литература

1. Самохин А.Б. Объемные интегральные уравнения: методы и алгоритмы. М.: МИРЭА, 2011.

2. Куликов С.П., Самохин А.Б. Численное решение интегрального уравнения электромагнитного рассеяния: от Ш скалярного до 3D векторного случая // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15. №10. С.32-48.

3. Воронина Н.Ю., Куликов С.П. Использование алгоритмов поиска оптимального значения комплексного параметра модифицированного метода простой итерации для численного решения интегрального уравнения рассеяния. Сборник трудов 57 научно-технической конференции МИРЭА.-Ч.2.-М. :МИРЭА, 2008, с. 60-66.

4. В.В.Никольский. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978.