Обучение геометрии будущих бакалавров - учителей математики с использованием систем динамической геометрии

ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ БУДУЩИХ БАКАЛАВРОВ -УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

TEACHING GEOMETRY ТО FUTURE BACHELORS -TEACHERS OF MATHEMATICS USING THE SYSTEMS OF DYNAMIC GEOMETRY

В.Р. Майер

Обучение геометрии, бакалавриат, система динамической геометрии, Живая геометрия, СеоБеЬга, компьютер как инструмент познания. В статье обсуждается реализация концепции [Майер, Семина, 2014] компьютерной поддержки курса геометрии в вузах, готовящих бакалавров - будущих учителей математики (далее - авторская концепция). Показано, как, используя системы динамической геометрии в качестве одного из основных средств поддержки курса геометрии, можно эффективно реализовать все дидактические принципы, заявленные в концепции.

V.R. Mayer

Teaching geometry, Bachelor's programme, the system of dynamic geometry, The Geometer's Sketchpad, GeoGebra, computer as a tool of knowledge. The article discusses the implementation of the concept [Mayer, Semina, 2014] of computer support of the course of geometry in universities, which trains bachelors - future teachers of mathematics. It is shown how it is possible to implement all didactic principles, declared in the concept, effectively using the systems of dynamic geometry as one of the basic supporting means of the course of geometry.

Известно, что геометрия развивает логическое мышление и пространственное воображение, способствует формированию исследовательских и творческих умений, поэтому она была и продолжает оставаться одним из важнейших школьных курсов. В последнее время отмечается снижение интереса у учащихся старших классов к этой дисциплине. Об этом можно судить, в частности, по достаточно высокому проценту выпускников школ, не только не решивших ни одной задачи по геометрии из части С (ЕГЭ), но и вообще не приступавших к их решению. Знания по геометрии у большинства красноярских абитуриентов, поступающих на педагогические и инженерные направления обучения, находятся ниже уровня, позволяющего обучать тем дисциплинам, для понимания которых требуется знание элементарной геометрии.

В монографии [Майер, Семина, 2014] аргументированно обосновывается, что в условиях

массовой информатизации общества и перехода современного российского высшего педагогического образования от «специалитета» к «бакалавриату» реализация авторской концепции обучения геометрии в педвузе, базирующейся на использовании информационных технологий (ИТ), представляет собой эффективный способ повышения качества геометрической подготовки бакалавров - будущих учителей математики. Актуальность этой концепции обусловлена переходом школы на государственные образовательные стандарты нового поколения, содержанием которых предусмотрены обязательная компьютерная поддержка предметного обучения, а также формирование готовности учащихся к использованию возможностей ИТ при решении математических задач.

Отметим, что на широкое использование в образовании систем динамической геометрии (СДГ) ориентируют и Профессиональный стан-

дарт педагога (утвержден Министерством труда и социальной защиты РФ от 18.10.2013), и Концепция развития математического образования в России (утверждена Правительством РФ 24.12.2013).

Дидактические постулаты, положенные в основу авторской концепции, исчерпываются следующими шестью принципами: адекватности (использование ИТ при обучении геометрии должно быть адекватным их использованию в геометрической науке), визуализации (использование ИТ при обучении геометрии должно быть ориентировано на визуальные возможности компьютера), использования ИТ в качестве инструментов познания (при обучении геометрии средствами ИТ приоритет должен отдаваться инструментам познания), самостоятельности в использовании ИТ (при обучении геометрии средствами ИТ особое внимание должно уделяться самостоятельной разработке программных продуктов), ориентации на школу (при обучении геометрии средствами ИТ необходимо рассматривать вопросы применения компьютера в школьном курсе геометрии), систематичности использования ИТ (использование ИТ при обучении геометрии должно носить непрерывный, систематический характер).

Появившиеся в 2004 году в российском образовательном ИТ-пространстве СДГ «Живая геометрия» (русскоязычная версия «The Geometer»s Sketchpad»), «GeoGebra», «1С: Математический конструктор» и другие позволили не только качественно разнообразить программные средства, используемые при обучении геометрии в педагогическом вузе, но и усилить действие большинства перечисленных выше принципов, расширив сферу их влияния с вузовской геометрии на школьную геометрию.

Цель настоящей статьи - показать, что применение систем динамической геометрии при обучении геометрии бакалавров - будущих учителей математики позволяет в полной мере реализовать все перечисленные выше принципы авторской концепции.

1. Принцип адекватности. Системы динамической геометрии располагают больши-

ми возможностями для реализации принципа адекватности, в первую очередь в процессе проведения исследований в области элементарной геометрии, содержание и теоретические основы которой рассматриваются в вузовском курсе геометрии. С позиции истории математики изучением свойств геометрических фигур занимались как отдельные ученые, так и целые математические школы на различных этапах становления и развития геометрии как науки. Студент всегда может поставить себя на место античного исследователя и попытаться понять, каким образом его персонажу удалось подметить ту или иную геометрическую закономерность, допустим, связанную со взаимным расположением объектов. С большой долей вероятности у него возникнет предположение о том, что гипотеза о наличии закономерности не могла не появиться без многократного построения геометрических конфигураций, с помощью которых было подмечено, что изменение независимых объектов не влияет на взаимное расположение исследуемых. На построение каждой такой конфигурации «вручную» уходит достаточно много времени и сил. Если привлечь к этому этапу математического исследования (этапу «выдвижения гипотез») конструктивные, динамические, вычислительные и анимационные возможности СДГ, то это позволит интенсифицировать проведение математических исследований.

В статье [Шабанова, Котова, 2014] отмечается, что СДГ обладают богатыми возможностями не только на этапе «выдвижения гипотез», но и на этапах «постановки задачи», «предварительной проверки гипотез», «контроля аналитических преобразований», «контроля дедуктивных рассуждений в ходе доказательств». Ясно, что исследования в области современной математики имеют более мощную, чем СДГ, программную и техническую поддержку. Применение же СДГ при проведении исследований в области элементарной геометрии представляет собой в определенном смысле учебно-исследовательскую модель использования систем компьютерной алгебры и суперкомпью-

<С

ч

с m

о

ь

к Щ

w m н о

Рч <

о ^ о о

о я

2S

W

н S о

Рч

W

0

1

к %

о

W V S

ь

1-4

<с п

W

с

"61"

S

X

Н U

м

терных технологий при проведении исследований в области фундаментальной и прикладной математики. Лично участвуя в реализации такой модели, студенты имеют возможность прочувствовать, какую роль в современной математической деятельности играют информационные технологии. Все это позволяет сделать вывод о том, что использование СДГ при обучении геометрии способствует реализации принципа адекватности.

2. Принцип визуализации. Обсудим визуальные возможности систем динамической геометрии. Как известно, при переходе от школьной геометрии к вузовской, в которой преобладают алгебраические, векторные и аналитические средства исследования, возникает проблема визуализации геометрических объектов и их свойств. Для того чтобы противодействовать средствами ИТ процессу формализации геометрии и устранению из нее наглядности, достаточно несколько изменить характер использования компьютера: не ограничиваться его огромными вычислительными возможностями, а стараться связывать их с процессом визуализации геометрических объектов и абстракций.

Основная концепция разработчиков практически всех систем динамической геометрии связана с идеей максимально наглядного представления геометрических понятий, причем не только фигур, но и абстракций, таких, например, как преобразования множеств. Известные СДГ «Живая геометрия» и «беобеЬга» в части качества визуализации не уступают многим системам компьютерной алгебры и графики, а некоторые из них - превосходят.

Так, например, СДГ «беобеЬга» имеет прекрасные визуальные возможности, которые позволяют студенту наблюдать не только изображения точки, отрезка, прямой или окружности в динамике, но и видеть в специальном окне «алгебра» соответствующие им координаты или уравнения. Эта визуальная возможность СДГ особенно полезна для тех студентов, у которых есть проблемы с пониманием реальных связей между аналитическими конструкциями и их наглядно-образным выражением.

СДГ «Живая геометрия» имеет в своем распоряжении комплект команд, позволяющий студенту не только строить образ любой фигуры под действием того или иного движения или подобия, но и наблюдать в режиме реального времени за изменениями фигуры в процессе перехода ее из состояния «прообраза» в состояние «образа». Отметим так же, что «Живая геометрия» предоставляет возможность пользователю самостоятельно задавать многие другие преобразования плоскости, не содержащиеся в соответствующем меню команд, например инверсию или гомологию.

Итак, использование систем динамической геометрии при обучении студентов геометрии весьма органично и естественно способствует реализации принципа визуализации авторской концепции.

3. Принцип использования ИТ в качестве инструмента познания. Один из важнейших принципов авторской концепции - принцип использования ИТ в качестве инструмента познания. Д.Х. Джонассен [Джонассен, 1996] со своими коллегами к инструментам познания относит простые и универсальные программные средства, созданные для организации и облегчения процесса познания, которые, во-первых, не ограничивают пользователя в его действиях и намерениях, и, во-вторых, манипуляции пользователя минимально контролируются системой, естественно ею воспроизводятся и интерпретируются в конечные результаты обучения.

Системы динамической геометрии, без всякого сомнения, относятся к инструментам познания, поскольку представляют собой активную среду, а не программу с жесткой структурой следования по ней обучающегося. Работая в такой программной среде, студент самостоятельно наполняет ее теми моделями объектов и понятий, которые необходимы ему для его образовательных или исследовательских целей, анализирует и изучает их свойства.

Обучение с использованием системы динамической геометрии представляет собой в некотором смысле интеллектуальное партнерство компьютера и студента, в результате ко-

торого СДГ способствует развитию мыслительных способностей студента, увеличению объема его знаний в области геометрии, повышению качества геометрической подготовки, формированию исследовательских компетенций. С другой стороны, происходят качественные изменения и у самого программного средства, поскольку студент, продвигаясь с помощью СДГ по выбранной образовательной траектории, имеет возможность добавлять в программное средство дополнительные опции, команды, инструменты и объекты, расширяя тем самым обучающие и исследовательские возможности компьютера.

Все это позволяет сделать вывод о том, что применение СДГ при обучении геометрии в полной мере обеспечивает реализацию принципа использования ИТ в качестве инструмента познания.

Принцип самостоятельности в использовании ИТ. Включение этого принципа в авторскую концепцию связано с особенностями математической деятельности специалистов в области преподавания точных дисциплин вообще и учителей математики в частности. Получение ими новых знаний не ориентировано на применение готовых рецептов типа: «в этой ситуации поступай так-то», «в этом случае применяй такую-то формулу». Изучаемый объект связывается ими с уже изученным материалом дедуктивными рассуждениями, вычислениями, дополнительными построениями и т. п.

В отличие от некоторых традиционных обучающих программных средств, системы динамической геометрии не содержат никаких готовых методик или сценариев обучения, отсутствуют в них и специальные «кнопки», после нажатия на которые автоматически появляются либо готовые решения геометрических задач любой сложности с готовыми динамическими чертежами, либо готовые геометрические объекты с подробным описанием их свойств и признаков. Единственное, что есть у студента, - это встроенные в систему виртуальные циркуль и линейка, все остальное должно создаваться им самостоятельно: геометрические фигуры, математические мультфильмы, презентации и т. д.

Самостоятельно может быть создана и любая «кнопка», с помощью которой на рабочем поле может появиться решение любой олимпи-адной задачи по геометрии. Но перед этим задачу необходимо решить, подключая к этому процессу собственный интеллект и некоторые вспомогательные возможности СДГ: конструктивные, динамические, метрические и визуальные.

Самостоятельно может быть создан и инструмент любой сложности, например «треугольник и вписанная окружность». Однако для его создания студент должен не только знать, каким образом с помощью циркуля и линейки можно построить центр и радиус такой окружности, но и уметь эти построения выполнять. Если у него есть сомнения по поводу того, что представляет собой множество точек плоскости, равноудаленных от сторон угла, он может воспользоваться командой «геометрическое место точек». Однако перед этим ему опять необходимо будет самостоятельно выполнить определенные построения циркулем и линейкой.

Таким образом, применение СДГ при обучении геометрии в полной мере обеспечивает реализацию принципа самостоятельности в использовании ИТ.

Принцип ориентации на школу. Этот принцип особенно актуален при подготовке студентов - будущих учителей математики. Как уже отмечалось выше, целый ряд государственных документов ориентирует учителей математики на использование в своей профессиональной деятельности ИТ.

Если вести речь об уроках геометрии, то наиболее оптимальными программными средствами, которые можно эффективно использовать на уроках геометрии, являются системы динамической геометрии. Причем если для обучения планиметрии вполне можно ограничиться СДГ «Живая геометрия», то свойства стереометрических фигур удобно изучать, используя 30-версию среды «беобеЬга».

Отметим, что современные школьники, являясь представителями цифрового поколения, вполне готовы к тому, чтобы на уроках геометрии, наряду с традиционными учебниками, рабочи-

<С £

С т

о

ь

к ^

м т н о

Рч

о ^ о о

О Й

3

м н к о

Рч

м

0

1

к

а

«

о м

V

к

ь

1-4

<с «

м с

X

н и

щ м

ми тетрадями, карандашом, линейкой и циркулем, достойное место занял и компьютер. Чтобы подготовить бакалавра - будущего учителя математики к обучению школьников геометрии с использованием СДГ, одних усилий преподавателей кафедр, обеспечивающих чтение дисциплин информационного цикла, явно недостаточно. Необходимо, чтобы обучение вузовскому курсу геометрии реализовывалось в соответствии с принципом «ориентации на школу» авторской концепции, который требует, чтобы в процессе применения ИТ в курсе геометрии педвуза рассматривались вопросы использования компьютера в школьном курсе геометрии. Для этого, в свою очередь, необходимо, чтобы цели, методы и формы, а главное, содержание и средства обучения геометрии в педвузе были построены в строгом соответствии с концепцией профессионально-педагогической направленности обучения. По этой причине вузовский курс геометрии в КГПУ им. В.П. Астафьева был максимально насыщен вопросами элементарной геометрии, а в качестве основного средства его компьютерного сопровождения были выбраны системы динамической геометрии «Живая геометрия» и «беобеЬга».

Принцип систематичности использования ИТ. В основе включения этого принципа в авторскую концепцию лежит понимание того, что эпизодическое применение ИТ, их использование лишь в некоторых разделах вузовского курса геометрии, в основном связанных с методом координат и векторным методом, не позволяет в должной мере подготовить учителя математики к использованию ИТ в школьном курсе геометрии, где эти разделы представлены весьма слабо.

В этом смысле системы динамической геометрии являются универсальными средствами. Они органично и достаточно эффективно используются во всех шести модулях курса геометрии в КГПУ им. В.П. Астафьева: геометрии на плоскости, методе координат, геометрии в пространстве, геометрических преобразованиях, проективной геометрии [Майер, Крум, 2014], основаниях геометрии, а также при изучении дисциплины «Элементарная геометрия» (седьмой семестр).

Возможности СДГ ограничивают ее применение лишь в некоторых темах второго (метод координат) и шестого (основания геометрии) модулей. Обучение координатным и векторным методам исследования фигур поддерживается не только системами динамической геометрии, но и с помощью программирования на языках высокого уровня (ОВаБк). Если при обосновании евклидовой и проективной геометрии СДГ выглядят весьма органично и убедительно, то при рассмотрении неевклидовых пространств в меньшей степени удается поддержать с помощью СДГ соответствующие теоретические выкладки, в большей степени - построение моделей.

Итак, применение СДГ при обучении геометрии достаточно полно обеспечивает реализацию принципа систематичности использования ИТ.

Все это позволяет сделать вывод о том, что применение систем динамической геометрии при обучении геометрии бакалавров - будущих учителей математики в полной мере способствует реализации всех принципов концепции компьютерной поддержки курса геометрии.

Библиографический список

1. Джонассен Д.Х. Компьютеры как инструменты познания // Информатика и образование. 1996. № 4. С. 116-131.

2. Майер В.Р., Семина Е.А. Информационные технологии в обучении геометрии бакалавров - будущих учителей математики: монография / Краснояр. гос. пед. ун-т им. В.П. Астафьева. Красноярск, 2014. 516 с.

3. Майер В.Р., Крум Е.В. Информационные технологии в обучении проективной геометрии будущих учителей математики // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2014. № 1 (73). С. 92-95.

4. Шабанова М.В., Котова С.Н. Экспериментально-теоретический разрыв и способы его преодоления при обучении математике с использованием систем динамической геометрии // Материалы II Международной научной конференции «Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и вузе». М.: ФГБОУ ВПО МПГУ, 2014. С. 190-196.