Конструктивные описания n-последовательносвязных графов

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 48-57

УДК 519.863

КОНСТРУКТИВНЫЕ ОПИСАНИЯ п-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСВЯЗНЫХ ГРАФОВ

Р. Э. Шангин

Вводится класс п-последовательносвязных графов, рассматриваются области их применения. Приводятся основные характеристики и свойства графов рассматриваемого класса. Определяются отношения класса п-последовательносвязных графов к классам совершенных, триангулированных, полных и расщепляемых графов.

Ключевые слова: п-последовательносвязный граф, древовидная ширина, триангулированный граф, динамическое программирование, задача Вебера, квадратичная задача о назначениях.

Введение

Данная статья посвящена конструктивным описаниям п-последовательносвязных графов. В статье даются конструктивные определения п-последовательносвязного графа, а также некоторых его частных случаев: п-последовательносвязной цепи, п-последо-вательносвязного цикла и п-последовательносвязного дерева. Приводятся основные характеристики рассматриваемых частных случаев п-последовательносвязного графа, такие как число ребер, размер максимальной клики, хроматическое и цикломатическое число и др. Приводится ряд теорем и следствий, справедливых для графов рассматриваемого класса.

Практическая значимость п-последовательносвязных графов обусловлена рядом причин. Во-первых: структура многих производственно-технологических процессов в топливно-энергетическом, металлургическом, машиностроительном и других комплексах представляет собой п-последовательносвязный граф. Например, в работе [4] предложен точный квазиполиномиальный алгоритм для решения задачи Вебера для неориентированной п-последовательносвязной цепи и конечного дискретного множества мест размещения. Также в работе [5] предложен последовательный детерминированный алгоритм, находящий точное решение задачи Вебера для п-последовательносвязного цикла и конечного множества мест размещения. Во-вторых: структура п-сложной цепи Маркова представляет собой п-последовательносвязную цепь, вследствие чего возможно использование п-последовательносвязных цепей в построении эффективных алгоритмов для решения задач выбора оптимального поведения в системах, описываемых управляемыми марковскими процессами, когда цепь Маркова является п-сложной. В-третьих — древовидная ширина [1] некоторых частных случаев п-последовательносвязного графа равна п +1, вследствие чего представляется перспективным использование некоторых частных случаев п-последовательносвязного графа в построении эффективных приближенных

© 2013 Шангин Р. Э.

квазиполиномиальных алгоритмов, использующих идею динамического программирования, для решения ряда ЖР-трудных задач, в частности задачи Вебера в дискретной постановке [2, 6, 9] и квадратичной задачи о назначениях [3].

Некоторые результаты, представленные в настоящей работе, были анонсированы в тезисах XIII Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике [5].

1. Определение и свойства n-последовательносвязной цепи

С целью сохранения целостности изложения вначале определим класс n-последова-тельносвязных цепей. Пусть G = (J, E) — неориентированный граф без петель и кратных ребер с множеством вершин J и множеством ребер E. Пусть N(j) — множество вершин графа G = (J, E), смежных с вершиной j. Пусть ^>(G) — плотность графа G. Далее будем предполагать, что на множестве вершин J введена нумерация и каждая вершина отождествлена с присвоенным ей номером.

Определение 1. Связный граф G = (J, E) называется п-последовательносвязной цепью (n-sequentially connected chain), если на множестве его вершин можно задать такую нумерацию, что для любой вершины графа G с номером j, имеет место равенство

N (j) = {(j - n),..., (j - 1), (j + 1),..., (j + n)} n{ 1, 2, 3,..., |J |} : n = p(G) - 1.

На рис. 1 для различных n представлены n-последовательносвязные цепи, т. е. 1-последовательносвязная цепь представляет собой простую цепь, так как для любых j верно неравенство |N(j)| ^ 2. Заметим, что каждая вершина такой цепи связана не более чем с одной предшествующей вершиной, где под предшествующей вершиной понимается вершина с меньшим номером. В 2-, 3-последовательносвязной цепи каждая вершина связана не более чем с двумя (тремя) предшествующими вершинами соответственно. Имеет место следующее конструктивное определение n-последовательносвязной цепи.

а) Ь) с)

Рис. 1. Неориентированные n-последовательносвязные цепи: a) 1-последовательносвязная цепь; b) 2-последовательносвязная цепь; c) 3-последовательносвязная цепь.

Определение 2. Связный неориентированный граф О называется п-последова-тельносвязной цепью, если его построение возможно осуществить рекурсивно по правилам: полный граф из п + 1 вершин есть п-последовательносвязная цепь О; п-последо-вательносвязная цепь с I + 1 вершинами получается из п-последовательносвязной цепи О с I вершинами путем добавления в нее новой вершины с номером I + 1 и п ребер таким образом, чтобы новая вершина стала смежной со всеми вершинами, номера которых принадлежат множеству {(г + 1) — п, (г + 2) — п,..., г}.

Приведем характеристики п-последовательносвязной цепи О = (Е), непосредственно следующие из определений 1-2.

1. Число ребер графа О равно:

п 2 / / + 1

2. Размер максимальной клики графа О равен п + 1, причем, если граф О отличен от полного, то в нем существует | /1 — п таких максимальных клик.

3. Если граф О отличен от полного, то он имеет 2 симплициальные вершины, в противном случае число симплициальных вершин равно п + 1.

4. Число вершинной связности графа О равно п, т. е. любая п-последовательно-связ-ная цепь является п-связным графом.

5. Хроматическое число графа О равно п + 1.

6. Цикломатическое число А(О) графа О равно:

Л(С) = П • (и - - И +1 = (и - £ -1) • (п -1).

Рассмотрим некоторые свойства п-последовательносвязной цепи О = (/ Е). Теорема 1. В п-последовательносвязной цепи О = (/ Е) ни один из порожденных подграфов не является простым циклом длины I ^ 4.

< В пронумерованной п-последовательносвязной цепи О = (/ Е) рассмотрим две цепи = ) и ¿2 = (/¿2,ЕИ), номера вершин которых принадлежат множествам N¿1 и N¿2 соответственно, причем

N¿1 = {3,3 + къ,? + к1 + к2 ,...,3 + ^ кД, ^ ¿=1 ^

где 3 € {1, 2,... , |1} и для любых i = 1, 2,... , т целые числа ki € {1, 2,... , п}, при том что 3 + £¡=1 к ^ |/Ь1|;

N¿2 = {3",3" — Ль," — Л1 — ^2,... ,3" — ¿ Л*, Д,

где 3" = 3 + ^¡=1 ki и для любых 4 = 1, 2,..., т целые числа Л* € {1, 2,..., п}, при том, что 3" — Л > 3. Пусть Ь = и ¿2 — простой цикл длины т + т + 1 ^ 4.

Пусть некоторая вершина цепи Ь2 с номером — Л*, где ш £ {1, 2, ...,т},

находится «между» вершинами цепи ¿1 с номерами 3 + ^Р=1 ki и 3 + ^Р+1 ki, где р £ {1, 2,... , m} и ^ 2. Очевидно, что

р го р+1

3 + £ ki < 3" — Л < 3 +1] ki.

¿=1 *=1 i=1

Для такой вершины цепи ¿2 с номером 3" — Л найдется хотя бы одно ребро

(хорда) (3 + ЕР=1 ^,3" — £ГО=1 Л*) £ Е либо (," — ЕГО=1 Л,3 + ЕР+1 ki) € Е, которое не принадлежит множествам ребер цепей ¿1 и ¿2, так как цикл Ь = ¿1 и¿2 по определению простой и

(V 3 €{1, 2,..., /1}) N (3) С {(3 — п),..., (3 — 1), (з + 1),..., (3 + п)},

и для любых i € {1, 2,... , т} и £ € {1, 2,..., т} справедливо неравенство 1 ^ ki, Л* ^ п. Исходя из этого, в графе О ни один из порожденных подграфов не является простым циклом длины I ^ 4. >

Использованные в доказательстве теоремы 1 простые цепи ¿1 и ¿2, а так же хорды, соединяющие несмежные вершины простого цикла L в 3-последовательносвязной цепи, представлены на рис. 2.

Рис. 2. Простые цепи Ь1 и Ь2 в 3-последовательносвязной цепи.

Исходя из теоремы 1, п-последовательносвязная цепь при любых значениях параметра п является триангулированным (хордальным) графом и представляет собой частный случай к-дерева. Понятия хордального графа и к-дерева приведены, например, в работах [7-8] и [1] соответственно. Несмотря на справедливость теоремы 1, имеют место следующие свойства п-последовательносвязной цепи.

Теорема 2. В п-последовательносвязной цепи О = (/ Е) при п > 2 с количеством вершин |/1 ^ 2п+1 существует порожденный подграф, являющийся циклом длины I ^ 4.

< Для доказательства теоремы 2 необходимо и достаточно найти в графе О такой цикл Ь длины I ^ 4, для которого в графе О не существует ребра, соединяющего две несмежные вершины цикла Ь.

Пусть Ь = (/ь, Еь) : |Еь| ^ 4 — цикл в графе О, номера вершин которого принадлежат множеству причем

Nь = {з, з + п, з + 2п,..., з + кп, з + кп -1, з + (к - 1)п, з + (к - 1)п - 1, з + (к - 2)п,..., з |,

при условии, что целое число к = 2, 3,..., при том, что з + кп ^ /ь|.

Очевидно, что для любой вершины I £ /ь не существует таких ребер (I, т) £ Е : т £ /ь, которые бы не принадлежали множеству ребер Еь цикла Ь, так как известно, что для любых з £ {1, 2,..., | /1} множество N(з) С {(з - п),..., (з - 1), (з + 1),..., (з + п)}. >

Использованный в доказательстве теоремы 2 цикл Ь в п-последовательносвязной цепи при п = 3,4 представлен на рис. 3.

Рис. 3. Цикл Ь: б) в 3-последовательносвязной цепи; Ь) в 4-последовательносвязной цепи.

Теорема 3. В любой п-последовательносвязной цепи О = (/ Е) при п ^ 4 существует порожденный подграф, являющийся циклом длины I ^ 4.

< Положим, что А = (/а, Еа) — подграф п-последовательносвязной цепи О = (/ Е) при п ^ 4, индуцированный кликой размера к + 1, где 4 ^ к ^ п : к(тоё 2) = 2.

Так как степени всех вершин такой клики /а четны, то подграф А является эйлеровым графом, а значит найдется такой цикл Ь, который включает в себя все вершины и ребра порожденного графа А £ О, т. е. Ь = А.

Исходя из этого, в графе О всегда существует порожденный подграф Ь, являющийся циклом длины I ^ 4. >

Несмотря на справедливость теорем 2 и 3, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. В п-последовательносвязной цепи О = (/ Е) при п = 2 ни один из порожденных подграфов не является циклом длины I ^ 4.

< Пусть Ь = (/ь,Еь) : |Еь| ^ 4 — цикл в графе О, где /ь = {з, ¿1 ,¿2,... ,з} : з £ /

Рассмотрим два случая цикла первый случай — вершина ^ есть вершина с номером 3 + 1, второй случай — вершина ^ есть вершина с номером 3 + 2.

Рассмотрим первый вариант первого случая цикла ¿, когда

/ = {3,3 + М2,... Л,3',3 + 1,3 — 1Л+4,3'} : 3' € {3 + 2,3 + 3}.

В данном варианте при любых 3' € {3 + 2,3 + 3} в графе О имеется ребро (3,3 + 2) € Е, соединяющее две несмежные вершины цикла L (рис. 4, а—Ь), так как вершина с номером 3 + 2 при любых 3 содержится в цикле L и цикл заканчивается в вершине с номером 3. В дальнейшем такое ребро будем называть хордой.

Во втором варианте первого случая цикла L вершина ^ = 3 + 2. Здесь, в свою очередь, возможны два случая: первый, когда ^ = 3 + 3 — с хордой (3 + 1,3 + 2) € Е, так как для любых € {3 + 3,3 + 4} ребро (3 + 1,3 + 2) € Е не принадлежит циклу L (рис. 4, с), второй, когда ^ = 3 + 2 и iз € {3 + 3,3 + 4} — с хордой (3 + 1,3 + 3) € Е, так как при ^ = 3 + 3 вершина = 3 + 4, а при ^ = 3 + 4 вершина = 3 + 3 и во всех случаях ребро (3 + 1,3 + 3) € Е не принадлежит циклу L (рис. 4, d-e).

7-1 7 7+1 7+2 7+3 7-1 7 7+1 У+З 7"1 7

Рис. 4. Первый вариант построения цикла Ь в 2-последовательносвязной цепи.

Рассмотрим первый вариант второго случая цикла ¿, когда

/ь = {3,3 + 2^2,...,ir,3 + 3,3 + 1,3'Л+4,...,^,3'} : 3' € {3,3 — 1}.

В данном варианте при 3' = 3 — 1 в графе О содержатся две хорды (3, 3 + 1) € Е и (3 + 1,3 + 2) € Е (рис. 5, а), а при 3' = 3 — хорда (3 + 1,3 + 2) € Е (рис. 5, Ь). Во втором варианте второго случая цикла ¿, когда

= {3,3 + 2^2,...Л,3 + 2,3 + 1,3'Л+4,...,^3'} : 3' € {3,3 — 1},

при 3' = 3 — 1 в графе О содержится хорда (3, 3 + 1) € Е (рис. 5, с), а при 3' = 3, когда i2 € {3 + 3,3 + 4} — хорда (3 + 1,3 + 3) € Е (рис. 5, d-e).

7-1 7 3+1 0+2 1+3 7-1 Л .¡ + 1 3+2 7+3 ¡"1 3 3+2 3+3

Рис. 5. Второй вариант построения цикла Ь в 2-последовательносвязной цепи.

Так как цикл L во всех возможных случаях содержит хорду, то в n-последователь-носвязной цепи G = (J, E) при n = 2 ни один из порожденных подграфов не является циклом длины l ^ 4. >

Так как согласно теореме 1 любая n-последовательносвязная цепь является триангулированным графом, свойства n-последовательносвязной цепи повторяют свойства хор-дального графа. В частности, справедливы:

Свойство 1. Любая n-последовательносвязная цепь является совершенным графом.

Свойство 2. Любое разделяющее множество вершин n-последовательносвязной цепи, минимальное относительно включения, есть клика.

Свойство 3. Если n-последовательносвязная цепь отлична от полного графа, то в ней имеется две симплициальные вершины.

Свойство 4. Каждая часть n-последовательносвязной цепи относительно разделяющего множества вершин, являющегося кликой — совершенный граф.

Свойство 5. Любая n-последовательносвязная цепь является графом клик, причем древовидная ширина n-последовательносвязной цепи равна n + 1.

2. Конструктивное определение n-последовательносвязного графа

Определим операцию кликовой склейки вершин графа. Пусть M — граф, компонентами связности которого являются n-последовательносвязные цепи, причем число компонент связности равно l. Пусть K (n) = {Ai} — подмножество множества всех клик графа M, имеющих размер n. Пусть Ф = {Ф9 : 1 ^ q < |K(n)|} — семейство непересекающихся подмножеств множества K (n), представляющее собой разбиение множества K (n).

Каждой вершине с номером j, принадлежащей клике Ai 6 K(n), присвоим индекс k = 1, 2,... , n такой, что

(V j = 1, 2, 3,...) k = j - j*Ai + 1 : j*Ai = min{j}.

Построим связный граф M * путем отождествления вершин клик Ai 6 K (n) с равными индексами, принадлежащих одному элементу Ф^ семейства Ф. Будем говорить, что построенный граф M* получается путем кликовой склейки вершин графа M по множеству клик K (n).

Определение 3. Связный граф M*, полученный из графа M, представляющего собой конечное множество непересекающихся n-последовательносвязных цепей, путем кликовой склейки вершин графа M по множеству клик K (n) 6 M, называется n-последовательносвязным графом (n-sequentially connected graph).

На рис. 6 представлены примеры построения n-последовательносвязных графов.

Рис. 6. Примеры построения n-последовательносвязных графов.

Под литерой а изображен вариант построения 2-последовательносвязного графа, путем кликовой склейки вершин несвязного графа, представляющего собой 5 непересекающихся 2-последовательносвязных цепей. Под литерой Ь представлен пример построения 2-последовательносвязного графа, с помощью операции кликовой склейки вершин единственной 2-последовательносвязной цепи.

3. Определение и свойства n-последовательносвязного цикла

Дадим конструктивное определение n-последовательносвязного цикла.

Определение 4. Связный граф G = (J,E), где |J| ^ n + 1, построенный путем кликовой склейки вершин единственной n-последовательносвязной цепи по множеству клик K(n) = {Ai, А}, где Ai — клика, номера вершин которой принадлежат множеству {1, 2,... , n}, а А2 — клика с номерами вершин из множества {| J| — n + 1,..., | J|}, называется n-иоследовательносвязным циклом (n-sequentially connected cycle).

Для полноты понимания специфики свойств n-последовательносвязного цикла, приведем следующее его определение.

Определение 5. Связный граф G = (J, E) называется n-иоследовательносвязным циклом, если на множестве его вершин можно задать такую нумерацию, что для любой вершины графа G с номером j справедливо равенство

N(j) = |(j — n) mod | J|,... , (j — 1) mod | J|, (j + 1) mod | J|,..., (j + n) mod | J| j :

n = p(G) — 1.

На рис. 7 для различных n представлены n-последовательносвязные циклы, а так же примеры их построения.

Рис. 7. Неориентированные n-последовательносвязные циклы: a) 1-последовательносвязный цикл; b) 2-последовательносвязный цикл.

Таким образом, 1-последовательносвязный цикл представляет собой обыкновенный циклический граф, так как для любых j справедливо равенство |N(j)| = 2, при том, что каждая вершина j такого графа связана ровно с одной предшествующей вершиной, имеющей номер (j — 1) mod | JВ 2-последовательносвязной цепи каждая вершина j связана ровно с двумя предшествующими вершинами, имеющими номера (j — 1) mod | J| и (j — 2) mod | J|.

Приведем характеристики п-последовательносвязного цикла О = (3,Е), непосредственно следующие из определений 4-5.

1. Число ребер графа О равно |Е| = п  131.

2. Размер максимальной клики графа О равен п + 1.

3. Если граф О отличен от полного, то в нем не существует симплициальных вершин, в противном случае в графе О количество симплициальных вершин равно п + 1.

Очевидно, что п-последовательносвязный цикл не является хордальным графом. Так как п-последовательносвязный цикл образован путем кликовой склейки вершин п-после-довательносвязной цепи, то справедливы следствия, вытекающие из теорем 1-4.

Следствие 1. В графе О', полученном удалением из п-последовательносвязного цикла О некоторой его клики размера п, ни один из порожденных подграфов не является простым циклом длины I ^ 4.

Следствие 2. В графе О', полученном удалением из п-последовательносвязного цикла О = (3,Е) : 1 ^ 3п + 1 при п > 2 некоторой его клики размера п, существует порожденный подграф, являющийся циклом длины I ^ 4.

Следствие 3. В графе О', полученном удалением из п-последовательносвязного цикла О при п = 2 некоторой его клики размера п, ни один из порожденных подграфов не является циклом длины I ^ 4.

4. Определение и свойства п-последовательносвязного дерева

Дадим конструктивное определение п-последовательносвязного дерева.

Определение 6. Связный граф М* = (3*,Е*), с множеством вершин 3* и множеством ребер Е*, построенный путем такой кликовой склейки вершин графа М по множеству клик К (п), что справедливо равенство

называется п-последовательносвязным деревом (n-sequentially connected tree).

На рис. 8 для различных п представлены n-последовательносвязные деревья, а так же примеры их построения.

Рис. 8. Неориентированные n-последовательносвязные деревья.

На рис. 8 под литерой а изображен вариант построения 1-последовательносвязно-го дерева, путем кликовой склейки вершин несвязного графа, представляющего собой объединение пяти непересекающихся 1-последовательносвязных цепей. Отметим, что 1-последовательносвязное дерево представляет собой связный ациклический граф, т. е. обыкновенное дерево. Под литерой Ь представлен пример построения 2-последо-вательносвязного дерева, путем кликовой склейки вершин несвязного графа, представляющего собой объединение пяти непересекающихся 2-последовательносвязных цепей.

Имеет место следующее определение п-последовательносвязного дерева.

Определение 7. Связный неориентированный граф называется п-последователь-носвязным деревом, если его построение возможно осуществить рекурсивно по правилам: полный граф из п + 1 вершин есть п-последовательносвязное дерево; п-последова-тельносвязное дерево с I + 1 вершинами получается из п-последовательносвязного дерева с I вершинами путем добавления в него вершины ] и п ребер таким образом, чтобы ] стала смежной со всеми вершинами некоторой клики размера п.

Из определений 2 и 7 следует, что п-последовательносвязное дерево, также как и п-последовательносвязная цепь являются к-деревьями. Приведем характеристики п-последовательносвязного дерева О = Е).

1. Число ребер графа О равно:

2. Размер максимальной клики графа О равен п + 1.

3. Хроматическое число графа О равно п + 1.

Справедливы

Следствие 4. В п-последовательносвязном дереве ни один из порожденных подграфов не является простым циклом длины I ^ 4.

Следствие 5. В п-последовательносвязном дереве при п ^ 4 существует порожденный подграф, являющийся циклом длины I ^ 4.

Следствие 6. В п-последовательносвязном дереве при п = 2 ни один из порожденных подграфов не является циклом длины I ^ 4.

Отметим, что справедливость данных следствий, вытекает из особенностей построения п-последовательносвязного дерева и теорем 1-4.

1. Быкова В. В. Вычислительные аспекты древовидной ширины графа // Прикладная дискретная математика.—2011.—№ 3(13).—С. 65-79.

2. Панюков А. В., Пельцвергер Б. Ф., Шафир А. Ю. Оптимальное размещение точек ветвления транспортной сети на цифровой модели местности // Автоматика и телемеханика.—1990.—№ 9.—

3. Сергеев С. И. Квадратичная задача о назначениях I // Автоматика и телемеханика.—1999.—№ 8.—

4. Шангин Р. Э. Детерминированный алгоритм для решения задачи Вебера для n-последователь-носвязной цепи // XIII Всероссийская конф. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 15-17 октября 2012 г.).—URL: http://conf.nsc.ru/ym2012/ru/ reportview/137128.pdf (дата обращения 15.10.2012).

5. Шангин Р. Э. Квазиполиномиальный алгоритм для решения задачи Вебера для n-последователь-носвязного цикла // Обозрение прикладной и промышленной математики.—2012.—Т. 19, вып. 4.—

Литература

С. 153-162.

С. 127-147.

С. 601-603.

6. Шангин Р. Э. Исследование эффективности приближенных алгоритмов решения одного частного случая задачи Вебера // Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО.—2012.—№ 1.— С. 163-169.

7. Dirac G. A. On rigid circuit graphs // Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Universität Ham-burg.—1961.—Vol. 25.—P. 71-76.

8. McKee T. A. On the chordality of a graph // J. of Graph Theory.—1993.—Vol. 17.—P. 221-232.

9. Panyukov A. V., Pelzwerge B. V. Polynomial algorithms to finite veber problem for a tree network // J. of Comp. and Appl. Math.—1991.—Vol. 35.—P. 291-296.

Статья поступила 10 декабря 2012 г.

ШАНГИН РОМАН ЭДУАРДОВИЧ Южно-Уральский государственный университет,

аспирант кафедры экономико-математических методов и статистики РОССИЯ, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76 E-mail: shanginre@gmail.com

CONSTRUCTIVE DESCRIPTIONS OF n-SEQUENTIALLY CONNECTED GRAPHS

Shangin R. E.

The class of nonoriented n-sequentially connected graphs is introduced and some applications are considered. The main characteristics and properties of n-sequentially connected chains are given. The relations of the class of n-sequentially connected chains to perfect, triangulated, composite and splittable classes of graphs are determined.

Key words: n-sequentially connected graph, treewidth of a graph, triangulated graph, dynamic programming, Weber problem, quadratic assignment problem.