Разработка новых моделей цветовосприятия зрительной системой человека

7. Салахутдинов, Р.З. Системы нечеткого вывода, основанные на аддитивных генераторах [Текст]/Р.З. Салахутдинов, И.П. Зиновьев//Исслед. по информатике. -2007.-Вып. 10.-Казань: Отечество. С. 57-67.

8. Зиновьев, И.П. Усовершенствование системы нечеткого вывода Такаги-Сугено [Текст]/И.П. Зиновьев, И.В. Аникин//Вестник Казанского ГТУ им. А.Н. Туполева.-2009.-№°3.-С. 84-88.

9. Салахутдинов, Р.З. Об одном подходе к построению обобщенных нечетких контроллеров [Текст]/

Р.З. Салахутдинов, И.П. Зиновьев//Системный анализ в проектировании и управлении: Тр. XI Междунар. науч.-практ. конф.-СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2007.-С. 40-43.

10. Зиновьев, И.П. Извлечение знаний в модели Такаги-Сугено с нечеткой правой частью [Текст]/ И.П. Зиновьев, И.В. Аникин//Междунар. конф. по мягким вычислениями и измерениям: Сб. докл.-СПб.: Изд-во СПБГЭТУ «ЛЭТИ», 2009.-Т. 1.-С. 177-179.

УДК 535.646

Г.Ф. Малыхина, И.А. Со

РАЗРАБОТКА НОВЫХ МОДЕЛЕЙ ЦВЕТОВОСПРИЯТИЯ ЗРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ ЧЕЛОВЕКА

В цифровом телевидении актуальна задача оценки искажений цветопередачи, возникающих в результате сжатия телевизионных изображений. Необходимы критерии, по которым можно оценить ошибку цветопередачи. Цвет - воспринимаемое человеком ощущение светового потока, поэтому оценка искажений цветности должна основываться на цветовосприятии зрительной системы человека. Цветовые различия обычно выражают в порогах цветоразличения, которые были экспериментально получены рядом авторов (Мак Адам, Браун, Г.Вышецки, Г.Филдер, Стайлс) [1-4], и в целом их результаты согласуются между собой. Однако фундаментальными и наиболее точными считаются данные Мак Адама [1]. Им было измерено 25 так называемых пороговых эллипсов цветоразличения. В пороговом эллипсе границу эллипса составляют цвета, различающиеся на один порог от цвета, соответствующего центру эллипса.

Эллипсы представлены на цветовом графике МКО 1931 (ху) (рис. 1). Для наглядности представления эллипсы увеличены в 10 раз. Форма эллипсов позволяет судить о степени равноконтрастно-сти цветового пространства. В равноконтрастном пространстве расстояние между точками, обозначающими цвета, соответствует величине их различия. Следовательно, в равноконтрастном цветовом пространстве пороговые эллипсы цве-торазличения представляют собой окружности

одинакового радиуса. Разброс формы и размера эллипсов на рис. 1 свидетельствует о неравнокон-трастности пространства ху и, вследствие этого, о невозможности использовать в качестве метрики цветовых различий декартово расстояние в этом пространстве между точками, соответствующими определенным цветам. Задаче нахождения равно-контрастного пространства посвящено множество исследований, в результате которых были

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 1. Эллипсы Мак Адама, нанесенные на график МКО 1931 г . Треугольник основных цветов в телевидении

предложены пространства Джадда, Мак Адама, Шредингера, Г. Вышецки и др. [4, 5]. Переход из пространства ху в предложенные этими авторами пространства производится по формулам преобразования цветовых координат.

Доказано, что никаким линейным и даже нелинейным преобразованием цветовых координат невозможно добиться превращения эллипсов цве-торазличения в окружности одинакового радиуса [4]. «Чтобы получить идеальные окружности, необходимо использовать не плоскость, а искривленную поверхность. Эта поверхность напоминает смятую фетровую шляпу с выпуклостью посередине, гофрированную по краям, неровную и кривую на остальных участках» [4].

Существующие наиболее точные формулы преобразования цветовых координат пространства ху в цветовые координаты равноконтрастно-го пространства достаточно сложны для некоторых практических применений с ограничениями по времени обработки цветовой информации, например, для использования в измерительных приборах цветовых искажений в цифровом телевидении при условии, что вычисление должно производиться в реальном масштабе времени.

В данной статье предложена математическая модель зрительной системы человека в части цве-товосприятия, которая может использоваться в методах оценки цветовых различий при их реализации в измерительных приборах. Модель решает задачу нахождения эллипса цветоразличения для любой точки цветового пространства. На рис. 1 видна некоторая закономерность изменения раз-

мера и угла поворота эллипсов. Это позволяет допустить возможность применения методов интерполяции и/или аппроксимации к исходным данным Мак Адама.

Каждый эллипс однозначно характеризуется тремя параметрами: величиной большой полуоси эллипса R1, величиной малой полуоси эллипса R2, углом Q между большой полуосью эллипса и осью х.

Суть создания модели зрительной системы заключается в построении трех поверхностей путем интерполяции и/или аппроксимации каждого параметра эллипсов цветоразличения Мак Адама.

Задача построения поверхностей была решена следующими методами.

1. Интерполяционными:

методом изгиба тонкой пластинки, или Thin Plate Spline (TPS), который является частным случаем метода интерполяции с помощью радиальных базисных функций (РБФ);

методом Шепарда, известным как Inverse Distance Weighted(IDW);

й-сплайновой интерполяцией.

2. Аппроксимационными:

й-сплайновой аппроксимацией;

бикубической аппроксимацией.

Методы интерполяции и аппроксимации. Метод изгиба тонкой пластинки (TPS) относится к методам интерполяции с помощью радиальных базисных функций. В методе TPS в качестве базисных функций выступают c.r2lnr2, где r2 = (х - х.)2 + (у - у.)2, х, у. - полюса интерполяции (исходные точки);с. - числовые коэффициенты.

Рис. 2. Интерполяционная поверхность параметра R1

Рис. 3. Интерполяционная поверхность параметра R2

Рис. 4. Интерполяционная поверхность параметра Q

На рис. 2-4 изображены интерполяционные поверхности, построенные методом TPS, для параметров R1, R2, Q. Точками обозначены исходные экспериментальные данные Мак Адама [1].

Метод Шепарда (IDW) основан на предположении, что на значение интерполяционной поверхности в каждой определенной точке в большей степени влияют близлежащие исходные точки и в меньшей степени - удаленные исходные точки. Интерполяция производится по формуле

n

S (x, y) = ^ wifi , где n - количество исходных

¿=1

точек; f - значения в исходных точках; w. - весовые функции, определяемые выражением:

W: =

!/

bk-xt+b-j.Y)

;=1

В-сплайновая поверхность строится на основе одномерных интерполяций В-сплайнами, представляющими собой неортогональные базисные функции с конечным носителем, т. е. базисные функции, отличные от нуля лишь на некотором интервале.

Одномерная интерполяционная зависимость выражается суммой базисных функций В к, умноженных на коэффициенты с.. В , /'-я базисная функция, интерполирующая исходные точки

х1 < ... < хп , порядка к на последовательности узлов t ..., t при условии, что базисные функции В.к(х) Ф 0 для всехопределяется рекуррентным выражением:

tj+k-1 ~

+

tj+k ~ Х tj+k -

Bj+\,k-l(x)-

Полюса интерполяции (X,}J=1 n и узлы „+к должны удовлетворять неравенствам t. < x. < t+k , в которых равенство допускается лишь для крайних узлов. Уравнение й-сплайновой поверхности, построенной в нашем случае по неравномерной прямоугольной сетке исходных точек с координатами x1 < ... < xn и y1 < ... < ym, двадцать пять из которых являются данными Мак Адама, а остальные взяты из интерполяции методом TPS, следующее:

n m

s

i=1 J

В работе использовались й-сплайны третьего порядка.

В случае аппроксимации B-сплайновой поверхностью, одномерные й-сплайны были построены по ограниченному набору точек для упрощения конечной формулы поверхности. При

построении аппроксимирующеи поверхности использовался набор исходных точек 10х10 из полного набора 25х25.

При бикубической аппроксимации уравнение

3 3

поверхности ищется в виде £ (х, у) =

1=0 .=0

где коэффициенты а.. находятся из системы шестнадцати уравнений, составленных с учетом значений в исходных шестнадцати точках.

Оценка адекватности методов интерполяции и аппроксимации. Погрешность интерполяционных методов производилась методом группового учета аргументов [6]. После исключения по одной исходной точке производилось построение интерполяционной поверхности для оставшихся двадцати четырех точек и рассчитывалась погрешность в исключенной точке. В табл. 1 представлены характеристики относительных погрешностей в исключенных точках.

Следует обратить внимание на две особенности й-сплайновой поверхности. Во-первых, ее значения за пределами прямоугольной области определения равны нулю, т. е. й-сплайновая поверхность не позволяет произвести экстраполяцию исходных значений. Погрешность при исключении крайней точки, равна —1. Во-вторых, й-сплайновая поверхность построена на большем

Таблица 1

Оценка погрешности интерполяций методом группового учета аргументов

R1 Метод изгиба тонкой пластинки

Для всех точек Без учета крайних точек

Среднее 0,03 0,03 -0,16 0,0002

Среднеквадратическое отклонение 0,24 0,29 0,41 0,015

R2

Среднее 0,06 0,02 -0,15 0,01

Среднеквадратическое отклонение 0,39 0,29 0,41 0,03

Q

Среднее 0,03 0,06 -0,16 0,005

Среднеквадратическое отклонение 0,16 0,34 0,41 0,02

Таблица 2

Оценка погрешностей аппроксимаций

т Аппроксимация В-сплайнами (10x10) Бикубическая аппроксимация

Среднее -0,01 -0,03

Среднеквадратическое отклонение 0,06 0,19

Максимум по модулю 0,10 0,46

Д2

Среднее -0,003 -0,05

Среднеквадратическое отклонение 0,05 0,21

Максимум по модулю 0,10 0,54

<2

Среднее -0,01 -0,02

Среднеквадратическое отклонение 0,05 0,18

Максимум по модулю 0,09 0,50

наборе точек прямоугольной сетки (помимо исходных точек Мак Адама используются интерполированные значения, полученные методом TPS), и при исключении одной точки соседние с ней точки прямоугольной сетки уменьшают погрешность в исключенной точке. Поэтому малые значения погрешностей для точек, не являющихся крайними, при использовании метода группового учета аргументов для В-сплайновой интерполяционной поверхности, не являются показательными.

Оценка адекватности аппроксимаций произведена по относительным погрешностям в исходных точках (табл. 2).

Для оценки адекватности интерполяционных и аппроксимационных формул по величине рассчитанных погрешностей необходимо сравнить их с методической погрешностью. Методическая погрешность оценивалась по экспериментальным данным, полученным в исходных точках Мак Адама разными авторами (P.G. Nutting (PGN), W.S. Stiles (WSS), Friele-MacAdam-Chickering (FMC)), относительно данных Мак Адама [3].

Так как погрешности интерполяций в исключенных точках (см. табл. 1) и погрешности

аппроксимаций в исходных точках (см. табл. 2) меньше методической погрешности (табл. 3), предложенные модели являются адекватными. Любая из полученных интерполяционных или аппроксимационных моделей цветовосприятия зрительной системы может применяться для решения практических задач измерения цветовых искажений в зависимости от требований точности и простоты реализации.

Очевидно, что интерполяционные модели являются наиболее точными, т. к. имеют нулевую погрешность в исходных точках. Однако для реализации новых методов измерения цветовых искажений на основе модели цветовосприятия в контрольно-измерительной аппаратуре цифрового телевидения могут потребоваться более простые формулы с меньшим количеством вычислений.

Просто реализуемой аппаратно и одновременно достаточно точной моделью является аппроксимация В-сплайнами, представляющая собой произведение полиномов второй степени по направлениям х и у на каждом прямоугольном участке, образуемом сеткой исходных точек 10 х 10. Максимальная погрешность В-сплайновой ап-

4

Таблица 3

Относительные методические погрешности

R\ PGN WSS FMC

Среднее -0,49 0,93 -0,47

Среднеквадратическое отклонение 0,50 1,05 0,48

R2

Среднее -0,51 1,55 -0,48

Среднеквадратическое отклонение 0,52 1,83 0,50

Q

Среднее 0,01 0,16 0,09

Среднеквадратическое отклонение 0,18 0,38 0,34

проксимации не превышает 10 %. Недостатком В-сплайновых поверхностей является их ограниченная область определения, задаваемая сеткой исходных точек, вне которой поверхность резко падает в ноль. Лишь небольшая часть треугольника основных цветов (см. рис.1), используемого в телевидении, выходит за пределы области определения поверхности. Более того, вероятность насыщенных красных цветов, соответствующих этой части треугольника, достаточно мала. Это позволяет снизить требования к точности экстраполяции, поэтому значения в этой части треугольника можно экстраполировать различными

способами: принять равными константе, аппроксимировать участком плоскости, использовать значения, полученные другим методом (например, TPS или IDW), и т. д.

Поверхность определяется следующими В-сплайнами третьего порядка на последовательности узлов по осям x и y соответственно:

tx = [0,131 0,131 0,131 0,155 0,1735 0,246 0,3245 0,367 0,4325 0,501 0,596 0,596 0,596];

ty = [0,057 0,057 0,057 0,1775 0,26 0,2835 0,292 0,3115 0,3365 0,4355 0,68 0,68 0,68].

Коэффициенты из выражения (1) следующие:

j =

0,0014 0,0016 0,0021 0,0033 0,0050

0,0027 0,0030 0,0037 0,0049 0,0061

0,0038 0,0050 0,0040 0,0052 0,0044 0,0056

0,0060 0,0078

0,0064 0,0081

0,0060 0,0067

0,0051 0,0055

0,0046 0,0049

0,0057 0,0050 0,0050 0,0045 0,0054 0,0044 0,0048

0,0064

0,0053 0,0055 0,0058 0,0065

0,0040 0,0036 0,0052 0,0051 0,0051 0,0053

0,0056 0,0058 0,0061 0,0066 0,0034 0,0049 0,0055

0,0060 0,0071 0,0062 0,0073

0,0064 0,0068 0,0030 0,0048

0,0076 0,0080 0,0082 0,0063

0,0059 0,0067

0,0060 0,0062 0,0064 0,0062 0,0057 0,0047 0,0047 0,0046 0,0046 0,0043 0,0050 0,0050 0,0050 0,0050 0,0050

0,0079 0,0079 0,0084 0,0096 0,0112 0,0108 0,0092 0,0088 0,0087

0,0190 0,0190 0,0189 0,0184 0,0173 0,0163 0,0155 0,0147 0,0139

0,0084 0,0137

В результате проведенной работы получены аппроксимации наиболее достоверных экспери-эллипсы цветоразличения в каждой точке цвето- ментальных данных Мак Адама [1]. вого пространства ху методами интерполяции и Можно сделать следующие выводы:

погрешность предложенных моделей цветовос-приятия не превышает методической погрешности, рассчитанной по данным других исследователей;

методы оценки искажений целесообразно строить на основе модели цветовосприятия зрительной системы человека;

по итогам сопоставления погрешностей различных моделей и простоты их аппаратной реализации сделано заключение о целесообразности использования В-сплайновой аппроксимации в контрольно-измерительном оборудовании цифрового телевидения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. MacAdam, D.L. Visual Sensitivies to Color Differences in Daylight [TeKCT]/D.L. MacAdam//J. Opt. Soc. Am.-May 1942.-Vol. 32.-№ 5.

2. Stiles, W. A modified Helmholtz line element in brightness-colour space [TeKCT]/W. Stiles//Proc. Phys. Soc. London.-1946. -Vol.58. -P.41.

3. Wyszecki, G. New color-matching ellipses [TeKCT]/G. Wyszecki, G. Fielder//J. Opt. Soc. Am.-1971. -Vol.61, -P1135.

4. Джадд, Д. Цвет в науке и технике[Текст]/Д. Джадд, Г. Вышецки.-М.: Мир, 1978.

5. Ложкин, Л.Д. Анализ и разработка систем объективной колориметрии в цветном телевидении: дис. ... канд. техн. наук [Текст]/Л.Д. Ложкин.-Самара, 2009.

6. Васильев, А.Н Нейросетевое моделирование. Принципы. Алгоритмы. Приложения [Текст]/А.Н. Васильев, Д.А. Тархов.-СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009.-528 с.

УДК 624.07;69.07;51-74

В.В. Белов, Ю.Я. Болдырев, Д.В. Климшин, А.С. Шанина

СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ

Металл, как материал для возведения сооружений, используется человечеством уже давно. Соответственно, методики расчета и проектирования металлических конструкций достаточно развиты и имеют давнюю историю [2].

Современный расчет подобных сооружений наиболее часто производится в пространственной постановке на основе так называемых балочных моделей (моделей, в которых элементы конструкции моделируются стержневыми элементами). Проектировщик разрабатывает расчетную модель, производит сбор нагрузок, определяет закрепления и проводит расчет, в результате которого программная система подбирает для каждого элемента конструкции наихудшее сочетание нагрузок и определяет коэффициент использования материала. Данный процесс существенно автоматизирован и не представляет особой сложности для проектировщика [1].

Несмотря на это, существует ряд ограничений и допущений, существенно влияющих на ход проектирования металлических конструкций. В

частности, в строительной механике узел металлической конструкции можно спроектировать либо жестким (передача всех усилий), либо шарнирным (передаются только силы). Данная градация оправдана для большинства металлических сооружений и связана со стремлением построить конструкцию с максимальным разумным запасом. При этом надо понимать, что любой реальный узел металлической конструкции (рис. 1) обладает некоей конечной жесткостью во всех направлениях, что не учитывается в моделях современного проектирования.

Кроме того, пространственная балочная модель конструкции учитывает все стержни, сходящимися в идеальную точку. В реальной конструкции в этой точке располагается узел, иногда достаточно массивный, чтобы оказывать влияние на соседние элементы (см. рис. 1).

Само понятие металлической конструкции включает не только конструктивную форму, но и технологию изготовления, расчет и проектирование узлов, а также способы монтажа. Данные