Математическое моделирование разрушения костной ткани при динамическом нагружении

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 2

МЕХАНИКА

УДК 539.3

Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, А.Н. Ищенко, С.А. Афанасьева,

М.В. Хабибуллин, А.А. Югов, А.Л. Стуканов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ КОСТНОЙ ТКАНИ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ1

Предложены математические модели деформирования и разрушения биокомпозита - аналога плоских кортикальной и губчатой костей свода черепа, при высокоскоростном нагружении. Методом компьютерного моделирования исследованы процессы взаимодействия стальных компактных ударников цилиндрической и сферической формы с костной тканью при скорости удара 500 м/с.

Ключевые слова: математическое моделирование, биокомпозит, кость, разрушение, высокоскоростной удар.

В биомеханике и медицине большое внимание уделяется исследованию механизмов разрушения костных тканей при действии высокоскоростных осколков. Данные исследования существенно углубляют знания о раневой баллистике, определяют пути и направления для разработки новых видов диагностики и лечения патологических состояний, вызванных действием поражающих факторов современных видов оружия [1].

Одной из центральных задач, позволяющих вскрыть тонкие внутренние процессы, протекающие в костных тканях при ударно-волновом нагружении, является разработка средств математического моделирования.

Целью данной работы является создание математической модели и численной методики расчета высокоскоростного взаимодействия костной ткани черепа с металлическими осколками.

По данным [2] различные составляющие костной ткани имеют различные прочностные характеристики и различные механизмы разрушения при динамических нагрузках: от хрупкого до пластичного. Опыт последних исследований авторов данной работы позволяет обобщить имеющиеся данные для получения математической модели разрушения костной ткани.

В [3] предложена математическая модель, позволяющая рассчитывать в рамках механики сплошной среды напряженно-деформированное состояние и разрушения в твёрдых телах при взрывном и ударном нагружениях. Динамическое разрушение в рамках данной модели рассматривается как процесс роста и слияния микродефектов под действием образовывающихся в процессе нагружения напряжений. Локальным критерием как сдвигового, так и отрывного разрушения в

1 Работа выполнена при финансовой при финансовой поддержке гранта РФФИ № 10-01-00573а и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект №2.1.1/4147

хрупких материалах является предельная величина характерного размера трещин. В пластических материалах локальным критерием отрывного разрушения служит предельная величина относительного объема пор, а сдвигового - предельная величина интенсивности пластических деформаций.

Процесс разрушения кортикальной кости носит хрупкий характер [2] и сопровождается образованием микротрещин и незначительной пластической деформацией. Для моделирования динамического разрушения в этом случае используется феноменологический подход, когда критерии прочности выражаются в виде инвариантных связей критических значений макрохарактеристик процессов деформирования - напряжений и деформаций [4]. В [5] при анализе экспериментальных данных по нагружению плиты из мелкозернистого бетона металлическими ударниками при скоростях соударения 130-700 м/с этим способом получено удовлетворительное согласование экспериментальных данных с данными математического моделирования.

1. Математическая модель

Условным аналогом теменной, лобной и затылочной костей черепа можно считать биокомпозит, состоящий из трех слоев костной ткани равной толщины и слоя вещества мозга. Верхний и нижний слой костной ткани составляет кортикальная кость, внутренний слой - губчатое вещество.

Считается, что в процессе ударно-волнового нагружения поведение губчатой кости и мозга описывается в рамках модели пористой упругопластической среды, а разрушения в них носят вязкий характер.

Удельный объём пористой среды и представляется как сумма удельного объема матрицы ит и удельного объема пор ир. Пористость материала характеризуется относительным объемом пустот ^ = и/ир либо параметром а = и/ит, которые связаны зависимостью а = 1/(1 - £).

Система уравнений, которая описывает движение пористой упругой среды, имеет вид

ё | рё¥ = 0 , ё | рнёУ = | п -аёБ, ё | рЕёУ = | п -а • иёБ ,

Ж у Ж у 5 Ж ^ £

/ 2 2

е =----+ , «:« = —аг ,

2ц 3

где t - время; V - объем интегрирования; £ - его поверхность; п - единичный вектор внешней нормали; р - плотность; а = - pg + ж - тензор напряжений; ж -его девиатор; р - давление; g - метрический тензор; и - вектор скорости;

Е = е + и •и/2 - удельная полная энергия; е - удельная внутренняя энергия;

е = й - (й : g)g/3 - девиатор тензора скоростей деформаций; й = (Уи + Уиг )^2 -

тензор скоростей деформаций; ж7 = ж + 8• ш - ш •ж - производная девиатора тензора напряжений в смысле Яуманна - Нолла; аг = а£/ а, ц = ц0 (1 -§) х

х |^1 -(бр0с2 + 12ц0 )|Д9р0с2 + 8ц0 )^ - эффективные предел текучести и модуль

сдвига; ш = (иг -У и)2 - тензор вихря. Параметр X исключается с помощью

условия текучести; р0 с0 ц0, а£ - константы материала матрицы.

Систему уравнений (1) замыкают уравнение состояния костной ткани и уравнение кинетики роста пор.

Уравнение состояния костных тканей приведено в [6] и имеет вид

С02Р0(1 -У0П /2) П

1

Р = —

а

(1 £ )2 - + Р0 У0е

где п = 1 -Р0 и/а, То - коэффициент Грюнайзена,£0 - наклон ударной адиабаты.

Здесь костная ткань представляется трехкомпонентной смесью органических веществ, неорганических соединений и пустот, заполненных жидкостью. В качестве опорной кривой использовалась адиабата трёхкомпонентной смеси. Считается, что органические и неорганические соединения в кости находятся в равных долях.

Рост пор в пластически деформированном материале при действии растяги-

* ( а

вающих напряжений р < —- 1п I----------I описывается уравнением

а \а-1 у

Т0Р0е + Р0 )Ч + 1п (-?-1 = 0.

(1 - £0П)2 ^а-1 у

Локальным критерием отрывного разрушения является предельная величина от-

* а* -1

^ * '-/V* Л. ^

носительного объема пустот £ =---------. Если поврежденный трещинами материал

а*

подвергнуть воздействию сжимающих напряжений, то критерием фрагментирования является предельная величина интенсивности пластических деформаций

е* =^3Т2 -Т12 ,

где Т1 и Т2 - первый и второй инварианты тензора пластических деформаций.

Считается, что кортикальная кость при динамическом нагружении до выполнения критерия прочности описывается моделью линейно-упругого тела. В качестве условия прочности используется критерий [7]:

3.72 =[4/1 + В ]1 -

1 - 7 (7.л-3/2

2 I 3

где /, 72, 7з - первый инвариант тензора напряжений, второй и третий инварианты девиатора тензора напряжений соответственно;

3Т2

4 = И - Ир, В = Яс • Ир, С = ,

где Ис, Ир, Тсд - пределы прочности при одноосном сжатии, растяжении и чистом сдвиге.

После выполнения критериев прочности считается, что материал повреждён трещинами. Процесс фрагментирования повреждённого трещинами материала описывается в рамках модели пористой упруго-пластичной среды. Для повреждённого материала предел текучести зависит от давления и определяется по формуле

а = а . (атах - атт ) кр

_ т1п / \ 7

(атт -атах ) + кр

где атах, ат1п, к - константы материала.

Фрагментация повреждённого трещинами материала, подвергнутого действию растягивающих напряжений, происходит, когда относительный объём пустот достигает предельной величины 5*. Если повреждённый трещинами материал подвергнут действию сжимающих напряжений, то критерием фрагментирования является предельная величина интенсивности пластических деформаций е* .

При растяжении фрагментированный материал описывается как порошок, движение которого происходит в соответствии с уравнениями среды, лишённой напряжений. Пористость а в материале определяется из уравнения:

У е+с2 (1 —оУ2)П - О УО8+С0 2 - °.

I1 -

2. Результаты расчётов

Рассмотрено поведение двух видов биокомпозита при ударе компактными стальными ударниками цилиндрической и сферической форм диаметром 6 мм со скоростью 500 м/с. В первом варианте биокомпозит представляется в виде трехслойной пластины, состоящей из равных по толщине слоев: кортикальная кость -губчатая кость - кортикальная кость, общей толщиной 7 мм. Во втором варианте биокомпозит представляется в виде четырехслойной пластины: кортикальная кость - губчатая кость - кортикальная кость (биокомпозит первого типа, 7 мм) -вещество мозга (14 мм). Исследуются влияние формы ударника на характер разрушения костных тканей и формирование сквозного отверстия в них.

Параметры модели деформирования и разрушения костной ткани, полученные при статических испытаниях, согласно литературным источникам, представлены в таблице. Параметры критерия разрушения (2) должны быть определены в условиях динамического разрушения. В [8] приведено полученное в условиях ударного нагружения разрушающее напряжение при сжатии сс = 269,5 МПа. Расчёт проведен при ср = сс = 200 МПа, Тсд =115,6 МПа. Параметры разрушения губчатой ткани и мозга рассчитаны с учётом разрушающего напряжении 42,12 МПа [9].

Параметры модели

Параметр Кортикальная кость Губчатая кость Мозг Сталь

р0, г/см3 1,853 1,116 1,0 7,85

с0, см/мкс 0,28 0,115 0,154 0,457

^0 1,68 1,54 1,866 1,49

Т0 0,9477 1,0 1,0 2,0

й0, ГПа 3,79 0,68 0,048 82,0

ах, ГПа - 0,029 0,0055 0,6

Стт5 ГПа 0,005 - - -

СтаХ5 ГПа 0,115 - - -

к 0,82 - - -

ах, ГПа 0,003 0,02 0,0037 0,29

а0 1,0002 1,0002 1,00001 1,0006

е. 0,1 1,0 1,0 1,0

0,01 0,3 0,3 0,3

ар, ГПа 0,088 - 0,17 - - -

Сс, ГПа 0,1176 - 0,1568 - - -

Тсд, ГПа 0,0495 - 0,11564 - - -

Решение задачи проведено модифицированным для решения динамических задач методом конечных элементов, реализованным в пакете программ для ЭВМ [10].

На рис. 1 и 2 приведены результаты расчета взаимодействия стальных ударников одинакового диаметра цилиндрической и сферической форм с первым вариантом биокомпозита - трехслойной пластиной: кортикальная кость - губчатая кость - кортикальная кость.

б

Рис. 1. Проникание в трехслойную пластину цилиндрического (а) и сферического (б) ударника. Скорость удара 500 м/с, Г = 14 мкс

Level Р

Рис. 2. Изолинии давления в трехслойной пластине при ударе цилиндрическим (а) и сферическим (б) ударником. Скорость удара 500 м/с, Г = 8 мкс

Рассмотрим соударение биокомпозита с цилиндрическим ударником (рис. 1, а, рис. 2, а). При ударе торцевой поверхностью ударника в кортикальном слое образуется плоская ударная волна, за фронтом которой давление достигает величины

3,5 ГПа. Она распространяется в направлении удара со скоростью 3,55 км/с. Одновременно от свободных поверхностей ударника и пластины в глубь ударносжатого материала распространяются волны разгрузки. За фронтом ударной волны происходят процессы образования, роста и слияния микротрещин. Интенсивность пластической деформации в повреждённом трещинами материале значительно превышает пороговый уровень, поэтому материал в области под ударником находится во фрагментированном состоянии. В момент времени 0,65 мкс ударный фронт выходит на границу раздела пластин из кортикальной кости и губчатого вещества. Происходит его расщепление на проходящую в слой из губчатого вещества волну сжатия и отраженную в кортикальный слой волну разгрузки. Взаимодействие встречных волн разгрузки, распространяющихся от лицевой и тыльной поверхностей кортикального слоя, понижает уровень сжимаемых напряжений в фрагментированном материале до нуля.

Волны разгрузки, распространяющиеся в направлении удара от свободной лицевой поверхности кортикального слоя, достигнув поверхности раздела слоев, распространяются по ударно-сжатому материалу губчатого слоя, понижая в ней уровень сжимаемых напряжений. В сторону, противоположную направлению удара, по фрагментированному материалу кортикального слоя распространяется волна сжатия.

Ударный фронт в губчатом слое, достигнув поверхности раздела с кортикальным слоем, расщепляется на проходящую и отраженную волны сжатия. Поэтому в момент времени 2 мкс максимальные сжимающие напряжения в биокомпозите достигаются под ударником у поверхности раздела губчатого и кортикального слоев (р ~ 170 МПа). Ударник, движущийся по фрагментированному кортикальному слою, в момент времени 6 мкс, начинает непосредственно взаимодействовать с губчатым слоем. К моменту времени 8 мкс он внедрился в губчатый слой приблизительно на половину его толщины. На рис. 2, б приведены изолинии давления в биокомпозите и ударнике на данный момент времени.

Между ударником и поверхностью раздела губчатого и кортикального слоев пластин в результате неоднократного отражения волн сжатия от лицевой поверхности ударника и поверхности раздела материалов образовалась область сжимающих напряжений, в которой давление достигает величин от 239 МПа до 570 МПа. В кортикальном слое у поверхности раздела величина давления составляет от 74 МПа до 239 МПа.

От свободной тыльной поверхности биокомпозита в сторону, противоположную направлению удара, распространяется волна разгрузки. Началось образование «выпучины» в кортикальном слое. У тыльной поверхности биокомпозита образовалась область растягивающих напряжений (-250 МПа < р < -90 МПа). С течением времени эта область увеличивается в размерах и к 10 мкс она охватывает весь материал биокомпозита, расположенный между ударником и свободной тыльной поверхностью. Однако фрагментирование поврежденного трещинами материала кортикального слоя происходит по сдвиговому механизму, так как интенсивность пластических деформаций в нем достигает критических значений раньше, чем относительный объем пор достигнет критических величин. Выкро-шивание фрагментированного материала с тыльной стороны коритикального слоя приводит к образованию в биокомпозите сквозного отверстия. На рис. 1, б приведена картина пробития биокомпозита компактным цилиндрическим ударником в 14 мкс. Диаметр отверстия в первом кортикальном слое достигает 12,85 мм, в губчатом слое - 9,85 мм. Во втором кортикальном слое диаметр отверстия состав-

ляет 15,4 мм. Скорость цилиндрического ударника в этот момент времени равна 375 м/с, скорость сферического - 395 м/с.

На рис. 1, б и 2, б представлены результаты соударения биокомпозита со сферическим ударником.

В момент удара шар касается пластины лишь одной точкой. Поэтому уже на начальной стадии процесса соударения формируется сложное напряженно-деформированное состояние. В области под ударником при внедрении формируется волна сжатия. В момент времени 2 мкс под ударником давление достигает величины 213 МПа. Происходит фрагментирование повреждённого трещинами материала. К моменту времени 4 мкс материал кортикального слоя под ударником полностью разрушен. В последующие моменты времени начинается непосредственное взаимодействие ударника с губчатым слоем. В области между поверхностью шара и поверхностью раздела губчатого и кортикального слоя образуется область сжимающих напряжений, давление в которой изменяется от 32 МПа до 350 МПа. По мере внедрения шара в биокомпозит область сжимающих напряжений под ударником расширяется. К моменту времени 8 мкс шар внедрился в пластину из губчатой кости на 2/3 её толщины. Давление в области между поверхностью ударника и поверхностью раздела материала достигает величины от 227 до 332 МПа. В волне сжатия, распространяющейся по кортикальному слою в сторону тыльной поверхности давление равно 227 МПа. В этой области происходит процесс фрагментации повреждённого трещинами материала. Со стороны свободной поверхности в направлении, противоположном удару, распространяются волны разгрузки. Взаимодействия встречных волн разгрузки приводит к образованию вблизи свободной поверхности области растягивающих напряжений (р ~ -88 МПа), однако их уровень не достаточен для роста микродефектов. Фрагментирование материала протекает по сдвиговому механизму. При 14 мкс вы-крошивание фрагментированного материала с тыльной поверхности кортикального слоя привело к образованию сквозного отверстия раньше, чем ударник пробил биокомпозит. В лицевой и тыльной кортикальных пластинах диаметр отверстий одинаков и равен 10,25 мм, в пластине из губчатой кости - 7,4 мм. Скорость сферического ударника в этот момент времени равна 395 м/с.

При ударе торцом цилиндрического ударника диаметр отверстия в биокомпозите примерно на 20 % больше, чем при ударе сферическим элементом.

На рис. 3, 4 приведены результаты расчетов ударного взаимодействия цилиндрического и сферического ударников с биокомпозитом второго типа: кортикальная кость - губчатая кость - кортикальная кость - вещество мозга.

На начальной стадии процесс внедрения ударников в биокомпозит протекает аналогично рассмотренному выше. Различие в напряженно-деформированном состоянии биокомпозитов начинается с момента выхода волн сжатия во второй кортикальной пластине на поверхность раздела кортикальная кость - мозг. При выходе на тыльную свободную поверхность биокомпозита первого типа волны сжатия отражаются в ударно-сжатый материал в виде волн разгрузки. Во втором случае происходит расщепление волны на отраженную в кость волну разгрузки и проходящую в мозг волну сжатия. Эти процессы хорошо прослеживаются на рис. 4. При ударном взаимодействии биокомпозита второго типа с цилиндрическим ударником в момент времени 10 мкс в области между ударником и поверхностью раздела кортикальная пластина - мозг, материал, в отличие от рассмотренного выше взаимодействия с биокомпозитом первого типа, находится под действием сжимаемых напряжений. Произошло фрагментирование по сдвиговому механизму.

Рис. 4. Изолинии давления в четырехслойной пластине при ударе цилиндрическим (а) и сферическим (б) осколками. Скорость удара 500 м/с, Г = 8 мкс

За фронтом волны сжатия, распространяющейся по мозгу, давление достигает величины 312 МПа. Образование сквозного отверстия в костных тканях происходит гораздо позже, чем в предыдущем варианте, а именно, когда ударник непосредственно входит в контакт с мозгом. Волна сжатия, распространяющаяся по мозгу, достигнув свободной поверхности, отражается в виде волн разгрузки. Вблизи свободной поверхности в момент времени 20 мкс образуется области материала, в которой происходит рост пор под действием растягивающих напряжений (с;=0,078). Однако в последующие моменты времени процесса проникания ударника, наблюдается процесс затекания пор. На рис. 3 представлена картина разрушения костной ткани при 40 мкс. В кости образовалось отверстие, параметры которого совпадают с результатами расчета взаимодействия цилиндрического и сферического ударников с биокомпозитом первого типа. Однако скорости ударников в этот момент времени выравниваются и составляют 301 м/с.

Таким образом, при фиксированной скорости удара в 500 м/с на формирование отверстия в условном аналоге плоских костей черепа основное влияние оказывает форма ударника. Наличие слоя мозга не оказывает существенного влияния на процесс его формирования.

Разработаны математическая модель поведения биокомпозита - условного аналога тонкой костной ткани и прилегающей к ней ткани мозга при нагружении высокоскоростными осколками. Полученные результаты могут быть полезны при решении проблемы ударно-волнового остеопороза [11] путем получения данных о распространении ударной волны по костной ткани при огнестрельных ранениях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нанотехнологии в решении актуальных проблем военно-полевой хирургии / под ред. генерал-лейтенанта мед. службы В.В. Шаппо, проф. Р.С. Баширова, проф. А. А. Гайдаш. Томск: Изд-во ТГУ, 2007. 86 с.

2. Бергун П.И., Шукейло Ю.А. Биомеханика. СПб.: Политехника, 2000. 463 с.

3. Белов Н.Н., Югов Н. Т., Копаница Д.Г., Югов А.А. Динамика высокоскоростного удара и сопутствующие физические явления. Northampton; Томск: STT, 2005, 356 с.

4. Исаев А.Л., Велданов В.А. Разрушение бетонной плиты при пробитии её жестким ин-дентором // Динамическая прочность и твердостойкость конструкционных материалов: сб. статей. Киев: Изд-во Киевского высшего инженерного училища, 1988. С. 134 - 139.

5. Белов Н.Н., Югов Н.Т., Копаница Д.Г. и др. Разрушение железобетонных плит при высокоскоростном ударе // Вестник ТГАСУ. 2006. № 1. С. 5 - 10.

6. Ищенко А.Н., Белов Н.Н., Югов Н.Т. и др. Двухпараметрическое уравнение состояния тканей трубчатой кости // Современная баллистика и смежные вопросы механики: Материалы Всероссийской научной конференции. Томск: ТГУ, 2009. С. 221 - 223.

7. Гениев Г.А., Кисюк В.Н. К вопросу обобщения теории прочности бетона // Бетон и железобетон. 1965. № 2. С. 16 - 29.

8. КарловА.В., Шахов В.П. Системы внешней фиксации и регулярные механизмы оптимальной биомеханики. Томск: STT, 2001. 480 с.

9. Баум Ф.А., Орленко М.П., Станюкович К.П. и др. Физика взрыва. М: Наука, 1975. 704 с.

10. Югов Н.Т., Белов Н.Н., Югов А.А. Расчет адиабатических нестационарных течений в трехмерной постановке (РАНЕТ-3) // Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010611042. Москва. 2010.

11. Гайдаш А.А., Баширов Р.С., Полковов С.В. и др. Тонкая структура кости и разрушение костной ткани при импульсном нагружении (к проблеме ударно-волнового остеопоро-за) // Современная баллистика и смежные вопросы механики: Материалы Всероссийской научной конференции. Томск: ТГУ, 2009. С. 11 - 14.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

БЕЛОВ Николай Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: n.n.belov@mail.ru ЮГОВ Николай Тихонович - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: n.t.yugov@mail.ru ИЩЕНКО Александр Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор, заместитель директора по научной работе Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета.

АФАНАСЬЕВА Светлана Амед-Рызовна - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник отдельного структурного подразделения Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: s.a.afanasyeva@mail.ru

ХАБИБУЛЛИН Марат Варисович - доктор физико-математических наук, профессор Томского государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: n.n.belov@ mail.ru

ЮГОВ Алексей Александрович - кандидат технических наук, докторант кафедры металлических и деревянных конструкций Томского государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: yugalex@sibmail.com

СТУКАНОВ Анатолий Леонидович - кандидат технических наук, заведующий кафедрой инженерной графики Томского государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: yugalex@sibmail.com

Статья принята в печать 14.04.2010 г.