О некоторых математических моделях механической системы «Трубопровод - датчик давления»

БИБЖОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Исследование прохождения ударных импульсов по стержневой системе с участками разного волнового сопротивления / О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников, В. Э. Еремьянц, А. Ф. Лисовский, В. К. Манжосов // Физико-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. - 1973. - №6. С. 66-68.

2. Алпеева, В. А. Возбуждение и преобразование волн деформаций в ударных системах машин для испытаний изделий: дисс... канд. техн. наук / В. А. Алпеева. - Фрунзе : ФПИ, 1990. - 281 с.

3. Горбунов, В. Ф. Результаты лабораторных испытаний передачи энергии удара по ставу штанг малого диаметра / В. Ф. Горбунов, А. Г. Цуканов, Л. А. Саруев, Г. М. Кашкаров // Изв. вузов. Горн, журнал. - 1969. - №10. - С. 63 - 65.

4. Манжосов, В. К. Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границе стержневой системы / В.* К. Манжосов // Механика и процессы управления. - Ульяновск :

УлГТУ, 1996.-С. 13 - 29.

5. Манжосов, В. К. Отражение и прохождение 'продольной волны деформации на границе сопряжённых стержней / В. К. Манжосов // Вестник УлГТУ. - 1999. - №1. - С. 70 - 78.

6. Саруев, Л. А. Передача энергии по ставу штанг при продольном импульсном воздействии / Л. А. Саруев, А. П. Слистин, А. И. Авдеева. - Томск, 1995. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.95, №3164-В95.

7. Слистин, А. П. Расчёт параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням: автореф. дисс... канд. техн. наук / А. П. Слистин. - Томск, 1990. - 18 с.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических паук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика » Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах\ преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

Новикова Ирина Александровна, старший преподаватель кафедры «Измерительно-вычислительные комплексы» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи в области преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНЖОВ, Е. П. СЕМЁНОВА

О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ «ТРУБОПРОВОД - ДАТЧИК ДАВЛЕНИЯ»

<

Предложены математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления», в которых для описания движения рабочей среды в трубопроводе применяется линейная теория, а для исследования динамики упругого элемента датчика - как линейная, так и нелинейные теории Дано решение аэрогидродинамической части задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного. Получено уравнение, связывающее между собой давление рабочей среды на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания двигателя) и деформацию упругого элемента датчика, расположенного на другом конце трубопровода.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, датчик давления, трубопровод, упругая пластина, деформация, динамика.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), гос. контракт №П1122.

Пусть на одном конце трубопровода (в сечении х = д:0) задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом расположен датчик,

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П., 2010

предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного элемента упругую пластину АВ (рис. 1).

У

А

_ В

Рис. 1. Схема механической системы

а) Линейная модель. В линейной постановке, соответствующей малым прогибам упругого элемента и малым возмущениям потенциала скорости рабочей среды, математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями:

Ру(хМ=09 хе (0,*0);

<Ру(х>Уо>0 = 0, хе(1,х0);

фх{1,У,0 = 0, уе(у0,Н); <py(x9Ht0 = 0, хе(0,я)и(6,/);

(py(x,H,t) = w(x,t), х g (a,b);

P.-p(p,(x0,y,t) = P(y,t), ye(0,yQ); L{w) = Mw + Dw^ + Mt^ + <5^ + /?vi> + yw = Л - pep, (x,H,l) - P0 (x,f), x e (a, b).

Здесь x, у - декартовы координаты; t - время; G - многоугольник OA^B^CDE', <p(x,y,t) - потенциал скорости рабочей среды (идеального несжимаемого газа или жидкости); w(x,t) - прогиб упругого элемента (пластины); Р. - давление рабочей среды в состоянии покоя; P(y,i) - закон изменения давления на входе в трубопровод; р - плотность,рабочей среды; М, D - погонная масса и из-

гибная жёсткость пластины; N - сжимающее (растягивающее) пластину усилие; 5 - коэффициент внутреннего демпфирования; /?, у - коэффициенты демпфирования и жёсткости основания;

P0(x,t) - распределённая внешняя нагрузка, действующая на пластину; нижние индексы х, у, t

%

означают частные производные по у, t, точка - частную производную по /.

Чтобы исключить из правой части уравнения (9) неизвестную функцию <р, введём в области G

комплексный потенциал W

- (6) следует, что ломаные АОЕ и BCD являются линиями тока, поэтому

y

где С(0 - произвольная функция времени t. Если (х,у)еАВ, то, интегрируя условие Коши-Римана

у/х = -<р , получим

X

1//(х, Я, 0 = - J (pydx + С(0, X е [а, Ь],

или, учитывая (7),

А

ц/(х, Н,0 = - 1)с1х + С(0 , л: е [а, Ь]

а

На линии тока ВСО

X

1//(х,У,1) = С, (/) = 1//(Ь, #,/) = - + С(/).

с/

Возьмём в Шварца [1]

качестве канонической области нижнюю полуплоскость. Интеграл Кристоффеля-

г = г(С) = С01

со - о{п - схк - о

с! С + /Я ,

(С0>о,

т-С .

>0 при ^Е

конформно отображает нижнюю полуплоскость 1ш^<0 на шестиугольник ОЛ^ВхСОЕ со следующим соответствием точек: /Я <-> 0, / + /#<-»1, / + /у0<->я?, х0 + /у0 о л, х0^->к, 0 <-> оо (рис. 2). Формула (13) содержит четыре параметра С0, т, п, к, которые определяются размерами ,г0, у01 /,

Я многоугольника С.

В полуплоскости 1т < 0 рассмотрим функцию

р

/

ч

л р

\

у,

/

Рис. 2. Плоскость комплексной переменной £

На границе полуплоскости (£ = 1т<^ = 0) эта функция согласно (8), (10), (11), (12) удовлетворяет ус-

теориям

т л д^ л А л. 4 ж

Р Р

1ш Ж, = С'(/) - ^ =

0, ^е (-со, а) и (А,+оо),

где у(£/) = <

а

о

а

Найдём функции и >>(£). Дифференцируя (13) и полагая в полученной формуле ^ = £6 [0,1] (при этом г = х + № , х е [0, /]), будем иметь

с!х

=с

/72 — ^

О

£

Отсюда, с учётом того, что ;с(0) = 0, получим

*(£) = C0 jj

/72-5

ds, Ç e [0,1].

5

Концы интервала (а, /? ) определяются из условий: = а, х(р) = Ь . Далее, полагая в формуле

dz_

dÇ

-С,

m-С

- Ç)

Ç - Ç е {п, к), z = x0+iy , находим

dy_

dÇ

= -С,

Ç -m

Учитывая, что y(ri) = у0 , отсюда получаем

Ж) = Уо~Со )

s -m

ds, £ g (/7,к).

Таким образом, для аналитической в нижней полуплоскости функции с граничными усло-

виями (14), (15) имеем смешанную краевую задачу. Решение этой задачи, ограниченное в точках Ç = п, Ç = к , даётся формулой [2]

'к

p

m

JIPR(T)(T-0 J

v

dz

\

¿R

/

где - ^/(¿Г - - к), причём рассматривается та ветвь корня, которая положительна при

Ç = £ > к . Отсюда

/7 К

(к Î

P{y{z),t)dz

п

\

i pj(r - пХк - т)(т - О > J(n - тХк - т)(т - О

-J-

v(j,t)dT

\

/

Перейдём в (19) к пределу при (при этом г -> х + /Я, хе(а,Ь)). Применяя формулу

Сохоцкого и отделяя вещественные части, получим

\

¿/г "г с1т

(pl(x,H,t) =----

Р 71

/

J"

ДЯг),/)

г J

\

¡Рт](т-п)(к-т) т-Ç ]J{n-z){k-z) т-Ç

/

Подставляя (20) в уравнение колебаний (9), представим его в виде

m=£ЕМЕШ.

п

(к J

P(y(z),l)dz

п

-4

v(z,/)dr

\

>J

/

-Р0

где £ = <;(*) - функция, обратная к функции (17), функции у(т) и v(г,/) определяются формулами (18) и (16) соответственно. Уравнение (21) связывает давление Р(у,/) на входе в трубопровод и прогиб (деформацию) и>(х,/) упругого элемента датчика.

Входящие в (21) постоянные С0, т, п, к связаны с параметрами х0, у0, I, Н области течения С . Формулы связи находятся с помощью формулы соответствия (13). Согласно (13) имеем

z( 1) - z(0) = С0 {.

m-Ç

01«i-cx*-o -о

#

Так как z(0) = /Я, z( 1) = / + /Я, то, интегрируя по отрезку [0,1], получим

î

/=сЛ.

m - s

ds.

0 , 5(1-5)(/7-

Аналогично, учитывая, что г(т) = I + (у0, и интегрируя по отрезку [1,/я], будем иметь

т-£ ...,.„„ С,

z(/n) = / + i>0=z(l) + C0 J.

^/-Wtf + ^J.

/77 - Л'

ds

Отсюда

m

Уо

= я-сЛ.

m-s

s

ds .

Ещё одну формулу связи получим, интегрируя в (13) гто отрезку [т,п]:

п

z(ri) = х0 + />0 = z{m) + С0 J.

772 - £

п

т

С(1 -СХп-СХк-О

——d£ = I + iy0 + C0 J.

S - 771

т

s{s-\)

ds . т. с

/I

'О

s — tu

s(s-\)(п - s)(k - s) Наконец, интегрируя по отрезку [«,£], получим

ds

К

z{k) = = z(h) + С0 J

777

—^ = х0 + />0 + --—-—--Ж.

-О I i\s

Отсюда

Уо=С0\.

s - т

ds.

\s-n\k-s)

Задавая произвольные значения С0, т , я, к (С0 > 0, к > п> т>\), по формулам (22) - (25) можно найти соответствующие значения х0, у0, I, Н .

б) Нелинейные модели. Постановка задачи (1) - (9) соответствует линейной теории аэрогидроуп-ругости, когда движение жидкости (газа), а также динамика деформируемого тела описываются линейными уравнениями. Можно предложить также «смешанные» математические модели, в которых часть уравнений, описывающих динамику упругого элемента, являются нелинейными. Одна из таких моделей определяется уравнениями (1) - (8), при этом уравнение (9) заменяется следующим

п

/

Dw

v

i\2

1 +

1/2

\ fb + Nw" - dw"

\

/

y\ + (w')2dx + a-b

\ О

+ Mw + Sw"" - aiv" + f(x, /, w, w) = P{qj), x e (a,b),

/

где P{(p) - аэрогидродинамическое давление; f(x,t,w,w) - заданная функция, характеризующая

внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства основания («постели»); а - коэффициент, учитывающий инерцию вращения сечений; штрих обозначает частную производную по .v, точка - частную производную по t.

Вторая модель также предполагает использование уравнений линейной теории (1) - (8), при этом уравнение (9) заменяется системой двух уравнений.

-EF

u' + -(w')2

+ Mü + 8,и + g(x,t, и, й, м>, w) = О

и

-EF

w

\

u' + -(w')2 2

\

/

+

Г

Dw

\

V

+ MÜ + о„и'"" - edi" + Nw" -

/

/

-Ow'

\

'J\ + (W)2dx + a-b

+ /(*, t, и, w, w, w) = P{(p), X g (а, b),

/

где и(х,1), ^(х,/) - продольная и поперечная деформации упругого элемента; Р{(р) - аэрогидродинамическое давление; g(xJ,u>u,w,w), - заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства подкрепляющих элементов; Е - модуль упругости; Р - площадь поперечного сечения; б., 30 - коэффициенты продольного и поперечного

внутреннего демпфирования.

Часть нелинейных математических моделей связана с заменой [l + (w')2] и [l + (w')2]

на

I-fdtf

и

1 + -(w')2

соответственно, а также с заменой этих выражений единицей

Различные модификации моделей возникают также при выборе формы записи интеграла Лагран-жа-Коши, согласно которому давление Р{ф) определяется по одной из формул

Р(<Р)=Р.-Р

1

2

ср,

2

Р(<р) = Р.-р

1 ,

Р{<р) = Р.-р<р,(х,Н, 0

Линейное уравнение (21), связывающее давление Р(у,1) в камере сгорания двигателя и деформацию и>(х,0 упругого элемента датчика, получено при использовании третьей из этих формул, соответствующей линейной теории. В случае применения первой и второй формул уравнение связи между Р(у,0 и >фг,0 будет нелинейным относительно \\>(х,1). В частности, если использовать вторую

/

формулу, то в правую часть уравнения (21) добавится слагаемое

1

рм?'

\

\

У

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

2. Гахов, Ф. В. Краевые задачи / Ф. В. Гахов. - М. : Наука, 1977. - 640 с.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области аэрогидроупругости, аэрогидромеханики, устойчивости систем с распределёнными параметрами, математического моделирования.

Решетников Юрий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Автор монографии и статей по теории функций комплексного переменного, аэрогидроупругости, устойчивости.

Семёнова Елизавета Петровна, аспирант кафедры волновой и газовой динамики МГУ, автор статей по аэрогидроупругости, устойчивости.

ч

*