Объемная плотность энергии деформации в хаотически армированных полимерных композитах с антифрикционными дисперсными добавками

УДК 539.3:621.891,678.5

Объемная плотность энергии деформации в хаотически армированных полимерных композитах с антифрикционными дисперсными добавками

В.И. Колесников, В.В. Бардушкин1, А.П. Сычев2, В.Б. Яковлев1

Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, 344038, Россия 1 Национальный исследовательский университет «МИЭТ», Москва, 124498, Россия 2 Южный научный центр РАН, Ростов-на-Дону, 344006, Россия

В работе решается задача численного моделирования объемной плотности энергии деформации в композитах на эпоксифе-нольной основе, хаотически армированных короткими полиимидными волокнами, с антифрикционными дисперсными добавками политетрафторэтилена. При построении математической модели используется понятие оператора концентрации напряжений (тензора четвертого ранга), связывающего средние (внешние) по неоднородному материалу напряжения с их локальными значениями в пределах отдельного элемента неоднородности. Моделирование опирается на обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей, используемое при решении стохастического дифференциального уравнения равновесия упругой среды. Указанное приближение позволяет получить явное выражение для оператора концентрации напряжений в композитном материале, с помощью которого возможен анализ распределения значений объемной плотности энергии деформации в зависимости от состава, структуры и процентного содержания (как по объему, так и по массе) элементов неоднородности, а также вида и величины прикладываемой нагрузки. Исследованы зависимости значений рассматриваемой энергетической характеристики от вида внешнего механического воздействия и концентрации изотропных компонентов модельных композитов. Установлено, что увеличение концентрации полиимидных волокон (при фиксированной концентрации включений политетрафторэтилена) приводит к снижению и сближению друг к другу значений объемной плотности энергии деформации в компонентах всех типов вне зависимости от вида внешней нагрузки. При этом характер указанных зависимостей нелинеен. Показано, что в модельных композитах изменение массовой доли дисперсных включений политетрафторэтилена не оказывает существенного влияния на значения локальной энергии в компонентах всех типов при любом из рассматриваемых в работе видов внешней нагрузки.

Ключевые слова: объемная плотность энергии деформации, матричные композиты, включения, оператор концентрации напряжений, моделирование

Bulk strain energy density in randomly reinforced polymer composites with antifriction dispersed additives

V.I. Kolesnikov, V.V. Bardushkin1, A.P. Sychev2, and V.B. Yakovlev1

Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, 344038, Russia 1 National Research University of Electronic Technology MIET, Moscow, 124498, Russia 2 Southern Scientific Center RAS, Rostov-on-Don, 344006, Russia

Bulk strain energy density was numerically simulated for epoxy-phenol-based composites randomly reinforced with short polyimide fibers, with antifriction dispersed polytetrafluoroethylene (PTFE) additives. A mathematical model was constructed using the notion of a stress concentration operator (fourth-rank tensor) that relates volume averaged, or external, stresses within a heterogeneous material with their local values within an individual heterogeneity. The simulation was based on a generalized singular approximation of random field theory used to solve a stochastic differential equation of equilibrium of an elastic medium. This approximation yields an explicit expression for stress concentration in a composite material. The explicit expression allows one to analyze the distribution of bulk strain energy density depending on the composition, structure, volume and mass fraction of heterogeneities, and on the type and value of applied load. We studied how the considered energy characteristic depends on the type of external mechanical loading and concentration of isotropic components in the model composites. It is shown that with the increasing concentration of polyimide fibers at a fixed concentration of PTFE inclusions, the bulk strain energy density values of all components decrease and approach each other independently of the type of external loading. The form of these dependences is nonlinear. A change in the mass fraction of dispersed PTFE inclusions in the model composites exerts little effect on local energy values of all components under any of the considered applied external loads.

Keywords: bulk strain energy density, matrix composites, inclusions, stress concentration operator, simulation

© Колесников В.И., Бардушкин В.В., Сычев А.П., Яковлев В.Б., 2015

1. Введение

Композиты на полимерной основе анти- и фрикционного назначения находят широкое применение в узлах трения и сопряжения машин и механизмов. При их проектировании необходим подбор состава, структуры и концентрации компонентов. Целью подобных исследований должна являться оптимизация физико-механических характеристик материалов, при этом должно учитываться действие различных эксплуатационных факторов. В частности, композиты должны обладать высокой износостойкостью, механической прочностью при сжатии и сдвиге, хорошими демпфирующими свойствами и т.д. Для разработки трибокомпозитов проводится множество экспериментальных исследований, требующих больших затрат временных , материальных и финансовых ресурсов. При этом нет уверенности в оптимальности получаемого решения. Поэтому, не умаляя важности экспериментальных методов исследований, необходимо отметить, что все большее значение приобретают теоретические методы анализа, прогнозирования и расчета физико-механических (в частности упругих) свойств подобных композитных материалов [1, 2].

Исследования показывают, что в узлах трения (особенно тяжелонагруженных) использование двухкомпо-нентных композитных материалов ограничено ввиду их малой удельной прочности и несущей способности. Для таких узлов целесообразно создавать многокомпонентные композиты, синтезируя анти- или фрикционные наполнители материала с конструкционными составляющими [1, 2]. При теоретическом анализе напряженно-деформированного состояния трибокомпозитов встает проблема прогнозирования не только их эффективных (эксплуатационных) [2-6], но и локальных (внутренних) упругих свойств [2, 4, 7-10]. Адекватное моделирование локальных упругих характеристик позволяет уже на стадии проектирования материалов делать прогнозы о поведении элементов неоднородности при нагрузках (особенно экстремальных), давать рекомендации по подбору состава компонентов, их концентрации и т.п. [2, 11-14].

2. Постановка задачи

Объемная плотность энергии деформации является одной из важнейших локальных упругих характеристик неоднородных сред [2, 12-14]:

Е

где г — радиус-вектор случайной точки среды; е. (г), о. (г) (', j = 1, 2, 3) — компоненты соответственно тензоров деформаций е и напряжений о, произведение которых понимается как свертка по соответствующим индексам.

Прогнозирование значений указанной энергетической характеристики в отдельном элементе неоднородности в зависимости от состава, структуры, геометрической формы и концентрации компонентов, а также вида и величины механического (или температурного) воздействия, позволяет учитывать перераспределение Е(г) в неоднородной среде. Это может быть важным при решении многих задач в таких областях знания, как трибоматериаловедение, микро- и наноэлектроника, геофизика и др. К этим задачам можно отнести, например, решение проблемы текстурообразования в поликристаллических средах [13] или прогнозирование температуры плавления металлических нитевидных нано-кристаллов, заключенных в тугоплавкую матрицу пористого анодного оксида алюминия [14].

Воспользовавшись обобщенным законом Гука

еу

где (г) (', j, к, I = 1, 2, 3) — компоненты тензора податливости ^(г), соотношение (1) можно записать следующим образом:

Е

Для анализа распределения значений объемной плотности энергии Е(г) необходимо установление связи между напряжениями о. (г) в каждом элементе неоднородности и средним (внешним) напряжением <он (г)), приложенным ко всему композиту (угловые скобки здесь и далее определяют процедуру статистического усреднения, которая при выполнении гипотезы эргодичности совпадает с усреднением по объему [2-5]). Подобную связь можно установить с помощью безразмерного оператора концентрации напряжений Ко (г) (тензора четвертого ранга) [2, 4, 7-11]:

о.

Тогда, учитывая (3), выражение (2) можно переписать следующим образом:

Е

Для проведения корректного анализа локальной концентрации напряжений Ко (г) в композите, позволяющего учитывать взаимодействие элементов неоднородности, состав, структуру материала, форму и концентрацию включений, необходимо решать уравнения равновесия упругой неоднородной среды. Однако в общем случае получить соотношение для численных расчетов оператора концентрации напряжений Ко (г) не удается. Поэтому для его вычисления используются различные приближения. Одним из таких приближений, учитывающих перечисленные выше факторы, является обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей [3]. В его рамках используется только сингулярная составляющая тензора Грина уравнений равновесия, зависящая лишь от дельта-функции Дирака, а также

вводится однородное тело сравнения, материальные константы которого входят в окончательное выражение для вычисления Kс (r). Физический смысл обобщенного сингулярного приближения заключается в предположении однородности полей напряжений и деформаций в пределах элемента неоднородности. В этом случае выражение для Kс (r) имеет следующий вид (индексы опущены) [2, 7, 8, 11]:

Kс (r) = c(r)(I - g (r)c' (r))-1 х

x<c

где c(r) — тензор модулей упругости; двумя штрихами обозначена разность между соответствующими параметрами неоднородной среды и однородного тела сравнения, характеристики которого обозначаются далее верхним индексом с: c"(r) = c(r) - cc; g(r) — интеграл от сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия, являющийся тензором четвертого ранга. Для вычисления компонент gjkl тензора g(r) необходимо вначале осуществить расчеты компонент aiklj тензора четвертого ранга A, а затем в aiklj по двум парам индексов (i, j и k, l) провести операцию симметризации [3]. Компоненты aikjj тензора A вычисляются с помощью следующего соотношения: 1 г -1

aikij =-4л-1 nknjta

где dQ = sin6d6d9 — элемент телесного угла в сфери-

-1

ческой системе координат; til — элементы матрицы, обратной матрице T с элементами tü = c'¡ldjnknj, а nk и nj (k,j = 1, 2, 3) — компоненты вектора внешней нормали к поверхности включения. Для эллипсоидальных включений с главными полуосями l1, l2 и l3 компоненты вектора нормали определяются соотношениями

n1 = —sin 6 cos ф, n2 = —sin 6 sin ф, n3 = —cos 6.

l1 l2 l3

Анализ соотношения (5) показывает, что при оценке локального напряженно-деформированного состояния неоднородной среды при помощи оператора концентрации напряжений исключается информация о виде внешнего механического воздействия, т.к. Kс (r) зависит только от материальных параметров среды и структуры материала.

3. Построение модели и проведение расчетов

Далее в работе рассматриваются композиты с включениями двух типов. К первому типу относятся дисперсные включения политетрафторэтилена, равномерно распределенные в пространстве композита и выполняющие антифрикционную роль. Ко второму типу относятся рубленые короткие высокотермо-огнестойкие поли-имидные волокна, полученные из нити марки АРИМИД (ТУ 2272-034-17277875-2003, изготовитель — ООО «ЛИРСОТ», г. Мытищи), хаотически распределенные

в пространстве композита и выполняющие функцию его упрочнения. В качестве матрицы (компонент третьего типа) рассматривается эпоксифенольный состав на основе эпоксидной диановой смолы, отверждаемой мало-фенольной фенолформальдегидной смолой новолачно-го типа (с содержанием фенола менее 0.5 %) в отношении 60 : 40 масс. ч. (изготовитель — ЗАО «ЭНПЦ Эпи-тал», г. Москва). Физико-механические свойства компонентов приведены в табл. 1 (Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, р — плотность).

При построении модели прогнозирования значений объемной плотности энергии деформации Е(г) будем основываться на представлении структуры рассматриваемых материалов в виде статистически однородных матричных композитов. Армирование композитов производится включениями в виде сфер одинакового радиуса R и в виде равных друг другу вытянутых эллипсоидов вращения (/1, 12 и/3 — полуоси этих эллипсоидов, большая из которых имеет длину Ь). При этом эллипсоиды ориентированы своей большей полуосью в пространстве композита (относительно лабораторной системы координат) в семи различных направлениях, а именно, параллельно координатным осям х, у и г (три направления) и параллельно прямым, образующим равные углы со всеми координатными осями (четыре направления). Кроме того, будем считать, что модельные композиты состоят из изотропных компонентов с объемными концентрациями v1, v2 и Vз, где индекс 1 относится к политетрафторэтилену, 2 — к полиимидным волокнам АРИМИД, 3 — к связующему эпоксифеноль-ному составу.

В случае выполнения условия эргодичности можно использовать усреднение по объему (для каждого компонента композита) [2-5]. Тогда операция усреднения по всему объему материала для некоторой случайной величины а(г) сводится к суммированию:

< а

где V, — объемная концентрация компонента у-го типа; а, (г) — соответствующая указанному компоненту случайная величина; ^ V, = 1. С учетом (7) соотношение (5) для оператора концентрации напряжений в компоненте композита у-го типа (у = 1, 2, 3), используемого

Таблица 1

Физико-механические свойства компонентов композитов [1, 15, 16]

Тип компонента Материал компонента E, ГПа V Р. г/см3

1 Политетрафторэтилен 0.15 0.33 2.20

2 АРИМИД 120.00 0.36 1.45

3 Эпоксифенольный состав 3.70 0.42 1.25

300

80

60-

П40-\ 20-1

——-- б

2

W?2 = 50%

5 4

\\ 3

\ X

1

5 10

т\, %

15

Рис. 1. Зависимости Е(г) от процентной концентрации компонентов при внешнем воздействии о11 = 1, о22 = о33 = 0 (МПа): 1 — политетрафторэтилен; 2 — АРИМИД (ориентация волокон вдоль оси х); 3 — АРИМИД (ориентация волокон вдоль осей у и z); 4 — АРИМИД (ориентация волокон вдоль направлений, образующих равные углы с осями x, у и z); 5 — эпоксифенольный состав

для расчетов значений Е(г) по формуле (4), примет следующий вид (здесь учтено, что включения могут иметь разную форму):

КО = с* [I - я* (с* - сс)]-1 х

х{хЧФ -gi

где с* и с° — тензоры модулей упругости я-го компонента композита и однородного тела сравнения соответственно; я* — тензор £-(г) я-го компонента композита, вычисляемый по соотношению (6). При этом я1 соответствует сферическим включениям (/1 = 12 = = /3 = R = 1), я2 — эллипсоидальным включениям (волокнам), ориентированным относительно осей координат вдоль указанных выше семи направлений, с главной полуосью L = 50 и остальными полуосями, равными 1, Я3 — связующему (при вычислении я3 положим /1 = = /2 = /3 = 1). Будем считать также, что объемные содержания эллипсоидальных включений в каждом из семи указанных направлений одинаковы и равны р2/7.

Для проведения модельных расчетов при операциях над тензорами использовалась матричная форма записи [3]. При этом ненулевые элементы с. (', j = 1, ..., 6) симметрической матрицы тензора модулей упругости с для изотропного материала выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V следующим образом:

= = = Е

с11 = с22 = с33 = (1 ^)(1 -2 V/

= = = Е

с44 = с55 = с66 = 2(1 + ^

= = = Е V

с12 = с23 = с13 = (1 ^)(1 - 2у)'

Кроме того, в (4) для получения элементов (j = = 1, ..., 6) матрицы я тензора податливости, необходимо воспользоваться тем, что * = с-1 [3].

При вычислении упругих характеристик однородного тела сравнения использовался метод самосогласования [2, 3, 5]. С этой целью в работе была организована итерационная процедура, в которой в качестве

тъ %

Рис. 2. Зависимости Е(г) от процентной концентрации компонентов при внешнем воздействии о11 = о22 = 1/2, о33 = 0 (МПа): 1 — политетрафторэтилен; 2 — АРИМИД (ориентация волокон вдоль осей х и у); 3 — АРИМИД (ориентация волокон вдоль оси z); 4 — АРИМИД (ориентация волокон вдоль направлений, образующих равные углы с осями х, у и z); 5 — эпоксифенольный состав

2.0

Л г-

% 1.5 «

1.0 0.5 0.0

3 6

т2 = 50 %

1

10

15

mi, %

Рис. 3. Зависимости E(r) от процентной концентрации компонентов при внешнем воздействии а11 = а22 = а33 = 1/3 (МПа): 1 политетрафторэтилен; 2 — АРИМИД (все направления ориентации волокон); 3 — эпоксифенольный состав

параметров сс тела сравнения брались значения тензора модулей упругости (в матричной форме записи), полученные на предыдущем шаге итерации. В качестве начальных значений параметров тела сравнения брались упругие характеристики, полученные в приближении Хилла, т.е. среднего арифметического значений, полученных в приближениях Ройсса и Фойгта [3]:

^ = ЕV(с,)-1]Л су =£v,с,.

Выход из итерационной процедуры осуществлялся, когда максимальная разница между модулями сс составляла менее 0.01.

Используя соотношение (4) с учетом (8), были проведены модельные расчеты зависимости объемной плотности энергии деформации Е(г) от концентрации включений и вида приложенного внешнего воздействия для композитов со значениями модулей упругости, приведенными в табл. 1. При этом внешнее воздействие (а) (МПа) описывалось матрицей

а11 0 0

<а} = 0 а 22 0

0 0 а33

Были рассмотрены три частных случая напряжений (а): одноосное (а11 = 1, а22 = а33 = 0), двухосное (а11 =

22

: 1/2,

J33

: 0), трехосное (а1

22

33

: 1/3).

На практике принято использовать не объемные концентрации элементов неоднородности, а их концентрации по массе (в процентах). Процентная концентрация по массе т, у-го компонента связана с объемными концентрациями V, и плотностями р, компонентов композита с помощью формулы

V Р,

ms =

S Р s

•100,%.

Поэтому результаты всех модельных расчетов Е(г) приведены далее относительно процентной концентрации элементов неоднородности по массе.

Плотность энергии E(r) имеет различные значения в отдельном элементе неоднородности каждого типа. Поэтому на рис. 1-3 представлены расчетные кривые, описывающие зависимости E(r) от концентрации изотропных компонентов в отдельном элементе неоднородности 1-го типа (политетрафторэтилен), 2-го типа (АРИМИД в каждом из семи различных направлений ориентации волокон) и 3-го типа (эпоксифенольный состав).

4. Заключение

На основании проведенных исследований и численных модельных расчетов можно сделать следующие выводы.

Объемная плотность энергии деформации E(r) существенным образом зависит от ориентации волокон АРИМИД и от вида внешнего механического воздействия. При этом для каждого из видов внешнего механического воздействия имеются ориентации волокон, для которых плотность энергии E(r) совпадает.

В частности, при внешнем одноосном механическом воздействии вдоль направления любой из осей лабораторной системы координат (например оси x) одинаковые значения плотности энергии наблюдаются, во-первых, в волокнах, ориентированных перпендикулярно к направлению внешнего воздействия, и, во-вторых, в волокнах, ориентированных вдоль направлений, образующих равные углы с осями x,y и z. Наибольшее значение E(r) достигается в волокнах, расположенных параллельно направлению нагружения (рис. 1).

При двухосном внешнем напряжении (например в плоскости xy) одинаковые значения плотности энергии наблюдаются, во-первых, в волокнах, ориентированных параллельно плоскости xy, и, во-вторых, в волокнах, ориентированных вдоль направлений, образующих равные углы с осями x, y и z. При этом значения E(r) в волокнах, расположенных параллельно оси z, незначительно отличаются от величин E(r) в волокнах, ориентированных вдоль осей x и y (рис. 2).

При трехосном внешнем воздействии значения Е(г) в волокнах одинаковы для всех направлений ориентации. Кроме того, значение объемной плотности энергии деформации в связующем эпоксифенольном составе превышает значения Е(г) во включениях АРИМИД и политетрафторэтилена (рис. 3).

Отметим, что сказанное выше согласуется с априорными представлениями о том, как должно происходить перераспределение Е(г) в отдельных элементах неоднородности, и может служить косвенным подтверждением адекватности построенной модели.

Увеличение концентрации волокон АРИМИД (при фиксированной концентрации включений политетрафторэтилена) приводит к снижению значений объемной плотности энергии деформации Е(г) в компонентах всех типов. При этом характер зависимости нелинеен. Кроме того, значения Е(г) и во включениях, и в матрице имеют тенденцию к сближению. Это показывает, что увеличение в допустимых пределах концентрации волокон приводит к большей совместимости компонентов композита и, как следствие, к улучшению эксплуатационных характеристик изделий, использующих подобные материалы в узлах трения (особенно тяжело-нагруженных).

Увеличение процентного содержания включений политетрафторэтилена в важном для практики диапазоне изменения концентрации данного антифрикционного компонента (при фиксированной концентрации волокон АРИМИД) приводит к незначительной вариации значений объемной плотности энергии деформации в элементах неоднородности всех типов. Следовательно, увеличение процентного содержания политетрафторэтилена не приводит к значительным изменениям упруго-прочностных показателей рассматриваемых композитных материалов. Поэтому необходимо проведение дополнительных исследований по оптимизации содержания политетрафторэтилена с целью улучшения трибохарактеристик композитов без существенного снижения их упруго-прочностных показателей.

Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-29-00116).

Литература

1. МашковЮ.К., ОвчарЗ.Н., БайбарацкаяМ.Ю., МамаевО.А. Полимерные композиционные материалы в триботехнике. - М.: Недра, 2004. - 261 с.

2. Колесников В.И., Бардушкин В.В., Яковлев В.Б., Сычев А.П., Колес-

ников И.В. Микромеханика поликристаллов и композитов (напряженно-деформированное состояние и разрушение). - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУПС, 2012. - 288 с.

3. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.:

Наука, 1977. - 399 с.

4. Buryachenko V.A. Micromechanics of Heterogeneous Materials. - Ber-

lin: Springer-Verlag, 2007. - 686 p.

5. ПаньковА.А. Методы самосогласования механики композитов. -Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. - 253 с.

6. Анисимов И.И., Бочкарева С.А., Десятых В.И., Люкшин Б.А., Люк-

шин П.А., Матолыгина М.Ю., Смолянинова М.В. Эффективные деформационно-прочностные характеристики полимерной композиции с дисперсными включениями разных размеров // Физ. мезо-мех. - 2006. - Т.9. - № 2. - С. 11-15.

7. Бардушкин В.В., Яковлев В.Б. Характеристики локального напряженно-деформированного состояния в статистически однородных матричных композитах // Деформация и разрушение материалов. -2005. - № 9. - С. 38-42.

8. КолесниковВ.И., БардушкинВ.В., СычевА.П., ЯковлевВ.Б. Влияние микроструктуры на локальные значения напряжений и деформаций в волокнистом композите // Вестник машиностроения. -2005. - № 8. - С. 35-38.

9. Победря Б.Е., Горбачев В.И. Концентрация напряжений и деформа-

ций в композитах // Механика композитных материалов. - 1984. -№ 2. - С. 207-214.

10. Маслов Б.П. Концентрация напряжений в изотропной матрице, армированной анизотропными включениями // Прикладная механика. - 1987. - Т. 23. - № 10. - С. 73-79.

11. Yakovlev V.B. Local stress-strain conditions of textured polycrystals under high pressure // High Pressure Res. - 2000. - V. 17. - P. 375383.

12. Бардушкин В.В., Колесников И.В., Лапицкий А.В., Сычев А.П., Яковлев В.Б. Объемная плотность энергии деформации в волокнистых композитах на основе связующих с высоким содержанием эпоксидных групп // Вестник машиностроения. - 2012. - № 10. -C. 28-32.

13. Колесников В.И., Чекасина И.И., БардушкинВ.В., СычевА.П., Яковлев В.Б. Энергетический подход при моделировании формирования текстуры в поликристаллах под влиянием внешних напряжений // Вестник Южного научного центра РАН. - 2008. - Т.4. -№ 3. - С. 3-8.

14. Shilyaeva Yu.I., Bardushkin V.V., Gavrilov S.A., Silibin M.V., Yakovlev V.B., BorgardtN.I., VolkovR.L., SmirnovD.I., ZheludkevichM.L. Melting temperature of metal polycrystalline nanowires electrochemi-cally deposited into the pores of anodic aluminum oxide // Phys. Chem. Chem. Phys. - 2014. - V 16. - No. 36. - P. 19394-19401.

15. ЛапицкийВ.А., КрицукА.А. Физико-механические свойства эпоксидных полимеров и стеклопластиков. - Киев: Наукова думка, 1986. - 92 с.

16. Зеленский Э.С., Куперман А.М., Горбаткина Ю.А., Иванова-Мум-жиева В.Г., Берлин А.А. Армированные пластики — современные конструкционные материалы // Российский химический журнал. -2001. - Т. XLV. - № 2. - С. 56-74.

Поступила в редакцию 05.05.2015 г.

Сведения об авторах

Колесников Владимир Иванович, д.т.н., проф., акад. РАН, президент РГУПС, kvi@rgups.ru Бардушкин Владимир Валентинович, д.ф.-м.н., доц., проф. МИЭТ, bardushkin@mail.ru Сычев Александр Павлович, к.ф.-м.н., доц., зав. лаб. ЮНЦ РАН, alekc_sap@mail.ru Яковлев Виктор Борисович, д.ф.-м.н., проф., декан МИЭТ, yakovlev@miee.ru