О вкладе А. Г. Кусраева в субдифференциальное исчисление и булевозначный анализ (к его 60-летию)

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 90-97

О ВКЛАДЕ А. Г. КУСРАЕВА В СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И БУЛЕВОЗНАЧНЫЙ АНАЛИЗ

14 февраля 2013 г. исполнилось 60 лет Анатолию — —— Георгиевичу Кусраеву — выдающемуся ученому и организатору науки.

А. Г. Кусраев принадлежит к научной школе академика Л. В. Канторовича и внес основополагающий вклад в некоторые пограничные разделы функционального анализа и оптимизации. Широкий резонанс и мировое признание получили исследования А. Г. Кусраева по векторной двойственности, субдифференциальному исчислению, теории мажорируемых операторов и другим актуальным разделам порядкового анализа. А. Г. Ку-сраев — один из мировых лидеров в области применения методов математической логики к задачам анализа. Используя технику булевозначных моделей, он дал характеристики новых классов банаховых пространств и операторных алгебр, построил новые мощные версии векторного интегрирования, доказал реализационные теоремы нового типа, связанные с эффектами цикличности структуры идемпотентов. Первоклассные результаты получены А. Г. Кусраевым в сфере оптимизации, где его техника общего положения дала возможность существенно дополнить признаки оптимальности в экстремальных задачах.

А. Г. Кусраев внес достойный вклад в развитие науки на Северном Кавказе. Он является основателем и бессменным директором Южного математического института РАН и Правительства Республики Северная Осетия-Алания, организатором и бессменным председателем Владикавказского научного центра, создателем и бессменным главным редактором научных журналов «Вестник ВНЦ» и «Владикавказский математический журнал». А. Г. Кусраев удостоен званий «Заслуженный деятель науки РСО-А», «Заслуженный деятель науки РФ», награжден «Орденом Дружбы» и «Орденом Дружбы Республики Южная Осетия». Благодаря личным усилиям А. Г. Кусраева наука юга России получила новые возможности для своего плодотворного развития.

А. Г. Кусраеву принадлежат многочисленные фундаментальные результаты в ряде разделов функционального анализа. Им опубликовано более 270 научных и публицистических трудов, в том числе 24 монографии и 16 учебных пособий. В этой заметке мы остановимся на обсуждении вклада А. Г. Кусраева в выпуклый и булевозначный анализ.

Одним из центральных понятий современного субдифференциального исчисления стало введенное А. Г. Кусраевым отношение общего положения. Конусы А и В в топологическом векторном пространстве X находятся в общем положении, если разность Х0 := А — В является дополняемым подпространством X, причем А и В образуют несплющенную пару в Хо, т. е. и П А — и П В — окрестность нуля в Xо для любой окрестности нуля и в Х0.

«Несимметричный» случай (А = В) был включен в рассмотрение по принципиальным соображениям. Ключевую роль здесь играет следующее технологическое наблюдение: конусы А, В С X находятся в общем положении тогда и только тогда, когда в X2 в общем положении находятся конусы А х В и {(ж, ж) : ж £ X}. Теперь ясно, как понятие общего положения может быть распространено на любой конечный набор конусов: А1,..., Ап С X находятся в общем положении, если в Xп в общем положении находятся конусы А1 х    х Ап и {(ж,... , ж) : ж £ X}. В результате сопутствующие понятия и факты выпуклого анализа (например, формулы субдифференцирования) распространяются с пар объектов на их произвольные конечные наборы.

Еще одним важным наблюдением служит тот факт, что выпуклые конусы находятся в общем положении тогда и только тогда, когда тем же свойством обладают их преобразования Хермандера Н(А) := и^о(^А х {¿}). Это обстоятельство позволяет расширить понятие общего положения на произвольные выпуклые множества А, В С X, объявив их находящимися в общем положении, если в общем положении находятся конусы Н(А), Н(В) С X х Ж.

Использование отношения общего положения приводит к многочисленным новым результатам уже в скалярном случае — хотя бы потому, что условие общего положения оказывается способным заменить традиционное для приложений выпуклого анализа более сильное условие Слейтера и даже вытекающее из него условие внутренней точки: если пересечение выпуклых множеств А и В содержит точку, внутреннюю для А или В, то множества А и В находятся в общем положении.

Пусть Е — топологическое пространство Канторовича с нормальным положительным конусом Е + (например, пространство Ьр или любое другое идеальное банахово пространство), Р: X ^ Е и {+^} — сублинейный оператор, ёош Р := Р-1 (Е). В рассматриваемой ситуации возникает неизбежная задача об изучении топологического субдифференциала

дсР := дР П &(X, Е),

где дР = {Т £ ¿(X, Е) : (Vж £ X) Тж ^ Рж} — алгебраический субдифференциал Р, ¿(X, Е) (X, Е)) — пространство всех линейных (непрерывных) операторов из X в Е.

Если ёош Р = X и оператор Р непрерывен в нуле, то дсР = дР. Таким образом, техника вычисления алгебраических субдифференциалов автоматически обслуживает топологический случай для всюду определенных непрерывных сублинейных операторов. Если же ёош Р = X, то равенство дсР = дР нельзя гарантировать даже при условии непрерывности Р на ёош Р. Вместе с тем для приложений необходимы формулы субдифференцирования в топологической постановке. Каждая из таких формул по существу представляет собой тонкую форму теоремы существования, в которой при разумных дополнительных топологических ограничениях гарантируется наличие одного или нескольких непрерывных операторов с предписанными алгебраическими свойствами. Развитый А. Г. Кусраевым метод общего положения дает регулярный способ получения таких теорем существования из алгебраической техники субдифференцирования.

В основе метода общего положения лежит формула

ПЕ (А П В) = ПЕ (А) + ПЕ (В),

где пЕ(С) = {Т £ &(X, Е) : (V ж £ С) Тж ^ 0}, А и В — конусы в X, находящиеся в общем положении. Иными словами, если Т £ &(X, Е) и Т ^ 0 на А П В, то существуют такие операторы Тд,Тв £ &(X, Е), что Т = Та + Тв, причем Та ^ 0 на А, Тв ^ 0 на В. Технически метод общего положения состоит в последовательном использовании формулы пе(А П В) = пе(А) + пе(В) и вспомогательного представления

пе (Ф(С)) = {Т £ &(X, Е) : Т о Ф £ пе(С)}, где С — конус в топологическом векторном пространстве У и Ф £ & (У, X).

Пусть Р, ф: X ^ Е и {+<^} — сублинейные операторы. Применение метода общего положения к конусам {(ж, е, ж, /) : ж £ X, е, / £ Е} и ер1(Р) х ер1(ф) в (X х Е)2, где ер1(Р) := {(ж, е) £ X х Е : Рж ^ е} — надграфик Р, дает важнейшую для приложений топологическую версию формулы Моро — Рокафеллара

дс (Р + ф) = дс Р + дс ф,

согласно которой для любого оператора Т £ & (X, Е), удовлетворяющего неравенству Т ^ Р + ф на X, существуют такие операторы ТР , Тд £ & (X, Е), что Т = ТР + Т<д, Тр ^ Р и Тд ^ ф на X. Прямым следствием формулы Моро — Рокафеллара является теорема о сэндвиче: если —Р ^ ф на X, то существует такой оператор Т £ &(X, Е), что —Р ^ Т ^ ф на X. Из теоремы о сэндвиче вытекает теорема Мазура — Орлича.

Аналогичные приемы, основанные на методе общего положения, приводят к разнообразным формулам субдифференциального исчисления, справедливым в наиболее широкой из когда-либо рассматриваемых постановок. В число важнейших результатов, установленных А. Г. Кусраевым, входят формулы субдифференцирования конволюций и композиций, а также весьма плодотворное правило линеаризации. Введенное и исследованное А. Г. Кусраевым понятие сублинейного оператора Магарам послужило ключом к решению задачи дезинтегрирования, унифицирующего разнообразные факты теории пространств Канторовича, в основе которых лежит теорема Радона — Никодима.

Эти и другие результаты, полученные А. Г. Кусраевым, оказываются не только более общими, но и более сильными, чем их многочисленные частные случаи и модификации, разбросанные в литературе по выпуклому анализу. Начав свою профессиональную деятельность с изучения векторно-значных субдифференциалов Кларка (в кандидатской диссертации), А. Г. Кусраев установил ряд фундаментальных результатов в области векторной двойственности и приложений функционального анализа к задачам оптимизации и математического моделирования. В его работах субдифференциальное исчисление получило нетривиальное распространение на негладкие операторы, был развит общий метод анализа нелинейных операторов, получены формулы для двойственного описания выпуклых операторов при замене переменной и для вычисления локальных выпуклых аппроксимаций для невыпуклых негладких операторов, в качестве приложения выведены необходимые условия экстремума для нового класса оптимизационных задач, существенно расширены достижения техники, основанной на признаках оптимальности в экстремальных задачах.

Значительный цикл работ А. Г. Кусраева связан с приложениями идей алгебры и логики к задачам функционального анализа. Развитый им метод исследования алгебраических систем основан на их реализации внутри булевозначных моделей теории множеств.

Булевозначный универсум У(в>, построенный в 1960-х годах в работах Д. Скотта и Р. Соловея, представляет собой класс, зависящий от параметра В, который в рамках теории ZFC для любой полной булевой алгебры В является моделью ZFC относительно особым образом определяемых В-значных оценок истинности [р] формул р теоретико-множественной сигнатуры {=, £}. Эти оценки сначала вводятся для атомарных формул (ж = у и ж £ у), а затем рекурсивно распространяются на произвольные формулы в соответствии с правилами

[р V ф1 = [р 1 Vв[ф 1, [р Л Ф1 = [р]Лв [ф], [-р] = -в [р], [(3 ж) р] = 8прв { [р]: ж £ У(в)}, [(Vж) р] = Ыв {[р] : ж £ Ув>}.

Пусть ^>(ж) — формула теоретико-множественной сигнатуры, х = Ж1,..., хп. В контексте х £ V говорят, что ^>(х) истинно в V или внутри выполняется ^>(х), и пишут V N ^>(х), если |^(х)] = 1в. Класс служит (булевозначной) моделью ZFC в том смысле, что для любой теоремы ^>(х) теории ZFC утверждение V(в) N (Vх) ^>(х) также является теоремой ZFC. Этот факт называют принципом переноса.

Благодаря принципу переноса записи |^(х)] и V N ^>(х) обретают смысл не только для формул ^ сигнатуры теории множеств {=, £}, но и для формул, содержащих вхождения любых определяемых в ZFC предикатных и функциональных символов. Кроме того, в синтаксисе [  ] и V N (  ) допускается неформальное употребление «внешних» термов. Так, в контексте /: X ^ V, х1;х2 £ X, Ь £ В запись [/(х1) = /(х2)] = Ь служит удобным сокращением формулы (3 у1;у2)(у1 = /(х1) Л у2 = /(х2) Л [у1 = у2] = Ь).

Элемент и £ V называют подъемом предиката р: X ^ В, где X — подмножество V, если для всех у £ V

[у £ и] = эирв{р(х) Лв [у = х] : х £ X}.

Подъем предиката р: X ^ {1в} называется подъемом множества X и обозначается символом XВ булевозначном универсуме V существуют подъемы любых предикатов и любой элемент V является подъемом какого-либо предиката. Этот факт называют принципом подъема. Кроме того, V удовлетворяет принципу максимума: для любой формулы ^>(х,у) в ZFC доказуема формула

(Vу £ V)(3хо £ V) |^(хо,у)] = [(3 х) <^(х,у)].

В силу принципов переноса и максимума для любого определяемого в ZFC терма т(х) в ZFC доказуемо (Vх £ Vй)(3! у £ Vй) Vй N (у = т(х)). Такой элемент у £ Vй, служащий значением терма т(х) внутри V, условимся обозначать символом [т(х)].

Для любого элемента X £ V класс {х £ V : V N (х £ X)} является множеством, которое называют спуском X и обозначают символом X|. Если X, У, /,р £ V(в) таковы, что Vй N (/: Xп ^ К, р С Xп), то спуски /|: X|п ^ У|, р| С X|п определяются формулами

/ |(х1 ,...,хп) = [/ (х1,...,хп)], (х1 ,...,хп) £ р| ^ Vй N ((х1 ,...,хп) £ р).

Пусть Е — конечная сигнатура, снабженная интерпретацией [-]х. Предположим, что X £ V, [в]х £ V для всех символов в £ Е и внутри V истинно утверждение «(X, [-]х) — алгебраическая система сигнатуры Е». Рассмотрим интерпретацию [-]х, полагая [в]х := [в]хI для всех символов в £ Е. Алгебраическая система (X|, ) называется спуском системы X (точнее, очисткой спуска) и по традиции обозначается тем же символом X|. При этом

для всех х1,... ,хп £ X|, где ^(х1,... , хп) — произвольная формула сигнатуры Е.

Каноническое вложение X ^ XЛ класса всех множеств V в универсум V определяется следующей рекурсией по принадлежности: XЛ := {хЛ : х £ X}|. Пусть (X, [-]х) — алгебраическая система конечной сигнатуры Е. Определим интерпретацию [-]хл сигнатуры Е, полагая

[/]хл := {[ (хЛ,...,хЛ, [/]х (х1 ,...,хп)Л)] :х1 ,...,хп £ X} Т,

[р]хл := {[(хЛ,...,хЛ)] : (х1 ,...,хп) £ [р]х}Т

для n-местных функциональных и предикатных символов f,p £ X. Тогда (XЛ, [-]хл) является внутри V(B) алгебраической системой сигнатуры X, которую называют каноническим образом или стандартным именем системы X и обозначают XЛ. При этом

X N ,...,ж„) ^ V

для всех ж1,..., xn £ X, где ^(ж1,..., xn) — произвольная формула сигнатуры X.

В основе развитого А. Г. Кусраевым метода булевозначных реализаций лежит конструкция погружения алгебраической системы в булевозначный универсум. Эта конструкция применима к системам (X, [-]х) конечной сигнатуры X, для которых существует «естественный» способ определения булевозначной оценки истинности [p(x 1,..., xn)]X формул вида p(x1,... ,xn), где p — предикатный символ сигнатуры X. Например, если X — пространство Канторовича и B — булева алгебра порядковых проекторов в X, то X можно превратить в B-значную алгебраическую систему сигнатуры {=, +}, полагая

[x = y]X := sup {b £ B : bx = by}, [x ^ y]X := sup {b £ B : bx ^ by}.

Модификация подъема B-значных предикатов позволяет определить такую интерпретацию [-]хл, что (XЛ, [*]хл) внутри V(B) является алгебраической системой сигнатуры X, на которой отношение ~ := [=]х оказывается конгруэнцией. Осуществляемая внутри V(B) факторизация XЛ/~ называется погружением X в булевозначный универсум (или булевозначной реализацией системы X) и обозначается (X~, [-]х~) или X~. При этом отображение x £ X ^ x~ £ Xгде x~ := )], изоморфно вкладывает систе-

му X в X ~ | и

X N p

для всех x1,..., xn £ X, где ^(x1,..., xn) — произвольная формула сигнатуры X.

Пусть N, Z, Q, R — классические системы натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел сигнатуры {=, +, •}, причем R определяется как множество де-декиндовых сечений Q. Тогда внутри V(B) системы NЛ, ZЛ, совпадают с N, Z, Q, а ЖЛ является подполем R. В частности, V(B) N (аЛ £ R) для всех а £ R.

Следующий факт, установленный в начале 1970-х годов Е. И. Гордоном, является исторически первым результатом о булевозначной реализации.

(1) Спуск X := [RЩ представляет собой расширенное пространство Канторовича с R-модульным умножением ax := [a^], которое является коммутативной упорядоченной алгеброй относительно умножения xy := [xy]. При этом [1] служит порядковой и мультипликативной единицей, xy = 0 ^ x ± y и имеется такой изоморфизм b ^ (b) из B на булеву алгебру порядковых проекторов X, что [x = y] = sup {b £ B : (b)x = (b)y}, [x ^ y] = sup {b £ B : (b)x ^ (b)y} для x, y £ X.

(2) Всякое ненулевое расширенное пространство Канторовича X линейно и порядково изоморфно спуску [R] j из V(B), где B — булева алгебра порядковых проекторов X.

Теорема Гордона придает четкую формулировку выдвинутому Л. В. Канторовичем эвристическому принципу переноса, согласно которому элементы порядково полной векторной решетки суть обобщенные числа.

Булевозначная реализация расширенных пространств Канторовича позволяет установить тесную связь между утверждениями и конструкциями, связанными с такими

пространствами, и аналогичными утверждениями о вещественных числах и числовыми конструкциями. Например, если X = [R]j и A С X, то ограниченность A сверху (снизу) в X равносильна утверждению V(B) N (Aj ограничено сверху (снизу) в R), supX A = [supRAj] и infX A = [infR Aj]. Если для последовательности к: N ^ X положить к\ := {[(пЛ, к(п))] : n € N}j, то V(B) N (к\ — последовательность в R) и

lim к(п) = x порядково в X тогда и только тогда, когда V(B) N ( lim кЦп) = x в R).

Поскольку всякая архимедова векторная решетка порядково плотно вкладывается в подходящее расширенное пространство Канторовича, булевозначная реализация предоставляет принципиальную возможность интерпретировать векторные решетки как решетки чисел. Развив соответствующий инструментарий, А. Г. Кусраев показал, что векторные решетки допускают представление в виде подпространств R над RЛ внутри V(B).

Следующим естественным объектом булевозначной реализации служит решеточно нормированное пространство — вещественное векторное пространство, снабженное нормой, принимающей значения в какой-либо векторной решетке.

Итак, пусть X — векторное пространство над R, E — векторная решетка. Отображение |-|: X ^ E именуют векторной (E-значной) нормой, если

для всех x,y € X и а € R. Векторную норму 1 называют d-разложимой, если для любых x € X и e1, e2 € E + из |x| = e1 + e2 и e1 ± e2 следует существование таких xi,x2 € X, что x = x1 + x2, |x11 = e1 и |x21 = e2. Пару (X, 1) назовем решеточно нормированным (E-нормированным) пространством, если 1: X ^ E — d-разложимая векторная норма на X, причем {|x| : x € X= {0}. (Последнее требование не является обременительным, поскольку достигается заменой E компонентой {|x| : x € X}^.) Вместо (X, 1) обычно пишут X, а символ векторной нормы снабжают уточняющим индексом: |X.

Линейной изометрией между E-нормированным пространством X и F-нормированным пространством Y называется такая пара (i, j), что i: X ^ Y — линейная биекция, j: E ^ F — линейный и порядковый изоморфизм и |i(x)|Y = j(|x|X) для всех x € X.

Говорят, что сеть (xa) С X сходится к x € X и пишут xa ^ x или lim если |xa — x| ^ 0 в E. Решеточно нормированное пространство X называют полным, если для любой сети (xa) С X из порядковой сходимости |xa — x^ | ^ 0 в E следует xa ^ x для некоторого элемента x € X. (В последнем случае E оказывается пространством Канторовича.) Полное решеточно нормированное пространство также именуют пространством Банаха — Канторовича. Для простоты мы ограничимся случаем, когда E является расширенным пространством Канторовича.

А. Г. Кусраеву принадлежит следующий факт о булевозначной реализации пространств Банаха — Канторовича.

(1) Пусть V(B) N (X — ненулевое банахово пространство с нормой ||-||X), X := Xj, E := [R]j, |-|X := ||-||Xj. Тогда (X, |-|X) — полное E-нормированное пространство с R -модульным умножением ax := [a^]. Кроме того, X является модулем над E относительно умножения ex := [ex], причем (a[1])x = ax и |ex|X = |e| |x |X для любых e € E, x € X, а € R. Пространство (X, |X) называется спуском банахова пространства X.

(2) Всякое ненулевое полное E-нормированное пространство X линейно изометрично спуску некоторого банахова пространства X € V(B), где B — булева алгебра порядковых проекторов E. Такое банахово пространство X внутри V(B) единственно с точностью до линейной изометрии. Его называют булевозначной реализацией X.

Доказательство утверждения (2) основано на описанной выше технике погружения. А именно, в рамках не нарушающего общность предположения Е = [Ж] | искомое банахово пространство внутри У(в> возникает в виде X := X~, где X~ — булевозначная реализация системы (X, [•]х) сигнатуры {=, +} с интерпретацией [ж = у]х := [|ж — у|х = 0] , а подъемы

{[(аЛ ,ж~, (аж)~)] : а £ Ж, ж £ X }|, {[(ж~, |ж |)] : ж £ X}!

служат умножением : ЖЛ х X ^ X (по непрерывности продолжаемым на Ж х X) и нормой ||'||х : X ^ Ж.

Поскольку каждое решеточно нормированное пространство плотно вкладывается в подходящее полное Е-нормированное пространство, где Е — расширенное пространство Канторовича, решеточно нормированные пространства допускают представление в виде нормированных пространств над ЖЛ внутри У(в>.

Разработанный А. Г. Кусраевым метод булевозначных реализаций оказывается чрезвычайно плодотворным, позволяя сводить исследование сложных алгебраических системы к рассмотрению их простых аналогов в булевозначном универсуме. Так, решеточно упорядоченные полные решеточно нормированные пространства с монотонной нормой (называемые решетками Банаха — Канторовича) допускают булевозначное представление в виде банаховых решеток, реализацией модулей Капланского — Гильберта служат гильбертовы пространства, а произвольные А^ *-алгебры в результате булевозначного погружения «теряют» нетривиальный центр, становясь А^*-факторами.

С помощью метода погружения удается реализовать пространство линейных ограниченных операторов, действующих в пространствах Банаха — Канторовича, в виде спуска пространства ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах. Важно отметить, что пространство операторов Т: X ^ Е с абстрактной нормой в результате булевозначной реализации становится пространством линейных ограниченных функционалов, а операторы Магарам (положительные порядково непрерывные операторы, действующие в пространствах Канторовича и сохраняющие порядковые интервалы) превращаются в положительные непрерывные функционалы. Эти фундаментальные факты, установленные А. Г. Кусраевым, придают строгую форму методологическому тезису Л. В. Канторовича, который, инициируя изучение порядково полных векторных решеток в своей основополагающей работе 1935 г., писал: «Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одного общего класса (операции, значения которых принадлежат такому пространству) как линейные функционалы».

Применение методов булевозначного анализа приводит, в том числе, к разнообразным функциональным представлениям широкого класса алгебраических систем и действующих в них операторов. На этом пути удается обнаружить принципиально новые реализационные теоремы. А. Г. Кусраевым введены и детально исследованы циклические банаховы пространства, создан метод циклической компактности. Построенный аппарат применен не только к функциональным пространствам, пространствам Банаха — Канторовича и банаховым алгебрам, но и к положительным, регулярным и сублинейным векторно-значным операторам и векторным мерам. С помощью описанного подхода был решен ряд таких трудных и актуальных задач теории операторов и выпуклого анализа, как внутреннее описание субдифференциалов (совместно с С. С. Кутателадзе), построение абстрактного дезинтегрирования в пространствах Канторовича, а также доказательство операторных вариантов теоремы Радона — Никодима.

А. Г. Кусраеву принадлежат многочисленные фундаментальные результаты в области порядкового анализа. Им построена теория мажорируемых операторов в реше-

точно нормированных пространствах, дана изометрическая характеризация пространств со смешанной нормой и пространств Лебега — Бохнера, найдены критерии интегральной, псевдоинтегральной и мультипликативной представимости мажорируемых операторов, получена функциональная реализация решеточно нормированных пространств посредством банаховых расслоений, установлены новые результаты о продолжении и разложении мажорируемых операторов и векторных мер, найдено новое решение проблемы Викстеда об описании векторных решеток, гарантирующих ограниченность любого действующего в них нерасширяющего оператора.

Недавние работы А. Г. Кусраева посвящены изучению инъективных банаховых решеток — полных нормированных решеток X, допускающих положительное продолжение Т: У ^ X с сохранением нормы для любого положительного линейного оператора То: У0 ^ X, определенного на замкнутой подрешетке У0 С У какой-либо банаховой решетки У. Итогом предпринятого А. Г. Кусраевым исследования стало полное описание класса таких решеток X. Ключом к решению этой задачи вновь послужил метод булевозначной реализации. Оказалось, что спуск любого АХ-пространства является инъ-ективной банаховой решеткой и — наоборот — каждая инъективная банахова решетка представляет собой спуск АХ-пространства из У(в>, где В — булева алгебра М-проекторов в X. В результате тонкого анализа булевозначных кардиналов А. Г. Кусраевым была найдена полная система инвариантов, определяющих инъективную банахову решетку с точностью до порядковой изометрии, а также получено представление инъ-ективных банаховых решеток в виде прямой суммы банаховых решеток непрерывных вектор-функций со значениями в пространствах Лебега суммируемых функций.

Постоянные научные связи соединяют А. Г. Кусраева с Институтом математики им. С. Л. Соболева СО РАН и Новосибирским государственным университетом, где он прошел путь от студента до ведущего сотрудника и профессора. Коллеги и друзья Анатолия Георгиевича сердечно поздравляют его с юбилеем, желают ему успехов на всех направлениях его многогранной деятельности и надеются на новые добрые встречи и совместные дела.

С. К. Водопьянов, Е. И. Гордон, А. Е. Гутман, А. В. Коптев, С. С. Кутателадзе, С. А. Малюгин, Ю. Г. Решетняк