Вейвлеты как инструмент повышения эксплуатационной надежности объектов водного транспорта

СУДОСТРОЕНИЕ, СУДОРЕМОНТ И ЭКСПЛУАТАЦИЯ ФЛОТА

DOI: 10.24143/2073-1574-2017-4-7-15 УДК 629.08

Д. В. Дмитриенко

ВЕЙВЛЕТЫ КАК ИНСТРУМЕНТ ПОВЫШЕНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Для создания новых способов обработки информации, контроля и мониторинга рабочего состояния технических систем и технологических комплексов объектов водного транспорта требуются инструменты, на базе которых возможны кардинально новые решения. Такими возможностями обладает математический аппарат вейвлетов. Вейвлет-анализ, в отличие от традиционно используемых базисов обработки сигналов, дает возможность анализировать рабочие режимы объектов, представленные частотно-временными структурами нестационарных сигналов при наличии помех. Это позволяет провести качественное сопоставление способов обработки измеряемых сигналов в различных базисах и считать вейвлеты наиболее перспективным инструментом в исследовании процессов многомодовой динамики объектов водного транспорта с ритмическими режимами, удалениями частот друг от друга, с использованием терминов мгновенных амплитуд, частот и фаз колебаний. Возможность определения узкополосных «всплесков» сигналов, предваряющих обычно появление неисправностей в работе ДВС и других динамических конструкций, позволяет с помощью вейвлетов предупреждать развитие нестандартных ситуаций, повышая надежность и безопасность работы на водном транспорте.

Ключевые слова: базис, декомпозиция, сжатие сигналов, вейвлеты, скейлинг-функции, водный транспорт, надежность, аппроксимация, детализация.

Введение

Эксплуатация водного транспорта, повышение эффективности его развития, обеспечение безопасности и эксплуатационной надежности технологических объектов и систем требуют анализа и мониторинга изменяющихся во времени условий работы объектов, учета переменных нагрузок, контроля технического состояния управляемых систем по сигналам, поступающим с датчиков информации и информационных измерительных комплексов. Сигналы представляются, как правило, в форме наблюдаемых рядов измерений контролируемых параметров и отображаются во временной области, т. е. являются функциями времени. В современных технических системах, используемых на объектах водного транспорта, требуется исследовать временные ряды высокой степени сложности, содержащие информацию о состоянии различной природы изображений, неоднородных полей, спутниковых каналов связи, интегрированных систем управления судном и пр.

Периодические сигналы сложной формы, в которых содержатся высокочастотные составляющие и шум, принято обрабатывать с помощью анализаторов гармоник в базисе Фурье [1]. При появлении в сигналах кратковременных «всплесков» с небольшой энергией импульсов, являющихся признаками зарождения либо развития неисправностей в работе отдельных механизмов и свидетельствующих о повышении вероятности возникновения нестандартных эксплуатационных ситуаций, обнаружить их с помощью анализаторов гармоник и рядов Фурье практически невозможно [2]. Это означает, что для принятия превентивных мер по исключению нестандарт-

ных режимов базис Фурье просто непригоден. Примером может служить аппроксимация прямоугольного импульса рядами Фурье, когда меандр не исчезает даже при числе гармоник, превышающем несколько сотен. В то же время датчики информации, исполненные на современных электронных элементах и имеющие частотный спектр, близкий к идеальному усилителю, воспроизводят измеряемый сигнал практически без искажений. Эти качества следует использовать для оперативного вмешательства в технологический процесс и устранения аварийной ситуации. Очевидно, требуется применять средства диагностики и мониторинга, обладающие такими качествами [3, 4]. Поскольку необходимо кардинальное решение проблемы анализа нестационарных сигналов, требуется переход к использованию функций с новым базисом, адекватным решаемым задачам [5]. В этой связи наиболее перспективными для практического использования представляются методы и алгоритмы с применением вейвлетов и вейвлет-технологий.

По существу, вейвлеты - это новые математические объекты. Их применение обеспечивает точное воспроизведение любого сигнала [6]. Вейвлеты представляют собой особый класс функций, содержащий короткие волновые пакеты с локализацией по оси независимой переменной. Функции допускают сжатие или растяжение сигналов и обладают свойствами сдвига по оси времени. Вейвлет-технологии построены на особых базисных функциях. Принято считать, что базисные функции по локализации в частотной и временной областях занимают промежуточное положение между функцией Дирака и синусоидальной функцией. Вейвлет является новым математическим аппаратом, анализирующим, наряду с низкочастотными сигналами, появляющиеся «всплески», «короткие волны», «выбросы», а также представленные для обработки сигналы нестационарных процессов, содержащие шум [7].

Анализ публикаций по вейвлетам в отечественной и зарубежной литературе показывает, что вейвлет-технологии позволяют на качественно новом уровне исследовать диагностические процессы в сложных динамических системах, анализировать видеосигналы, обрабатывать массивы изображений, реставрировать их, что свидетельствует о больших перспективах применения вейвлет-анализа как математического аппарата, предназначенного для обработки данных [8, 9].

Известен ряд успешно выполненных технических решений с применением вейвлетов. К ним относятся анализ временных рядов и прогнозирование землетрясений, геомагнитных процессов, получение информации о прогнозах погоды, наводнениях, цунами и даже прогнозирование «обвалов» в финансовой сфере [10, 11]. В медицине вейвлеты применяются для анализа томограмм и оценки состояния сердечно-сосудистой системы, в математике и физике - для анализа специальных функций и сигналов, моделирования турбулентности и смешения фракций [12, 13].

Вейвлет-технологии на водном транспорте целесообразно использовать для исследования турбулентных потоков при управлении затворами галерей на шлюзах, вихревых русловых потоков, при изучении действующих на судно гидродинамических сил и моментов. Технологии пригодны для обработки индикаторных диаграмм, исследования процессов сгорания топлива, диагностики технического состояния топливной аппаратуры и пр. С помощью вейвлет-анализа можно моделировать процессы топливоподготовки, охлаждения судовых главных и вспомогательных двигателей, исследовать различные микроструктуры. Можно использовать вейвлет-анализ как инструмент повышения эксплуатационной надежности технических систем и энергетических комплексов. Вейвлеты могут применяться для анализа технического состояния корпуса и корпусных конструкций судна при выполнении погрузочно-разгрузочных работ, на волнении, при работе во льдах, что обеспечит повышение уровня безопасности эксплуатации судов.

Применение вейвлетов для анализа вибрационных процессов на судах, изучения резонансных явлений в распределенных нелинейных динамических системах, совершенствования моделей крутильных колебаний, исследования хаотических и стохастических режимов может обеспечить существенный вклад в развитие комплексной теории водного транспорта.

Компоненты вейвлетов

Вейвлеты, являющиеся функциями, генерируемыми в виде коротких волн (всплесков) с нулевым интегральным значением, пригодны к выполнению операций сдвига, растяжения и сжатия сигналов, что позволяет различать характеристики процессов на варьируемых интервалах и анализировать их в различных рабочих точках. На практике применяются как непрерывные, так и дискретные преобразования вейвлетов [14].

Вейвлет-преобразование ^{ДО} функции ДО заключается в ее разложении по базису, сконструированному из семейства функций уаЬ (t) :

ад

Г {/

Семейство уab (t) функций нормировано на множестве |a|

1-1/2 I t - Ь

-1/2

УаЬ (t ) = |a|^ V^ t~0b ) •

Семейство получено из материнского вейвлета у(t) путем введения масштабных преобразований и параллельных переносов с помощью чисел а и Ь, называемых параметрами масштаба и сдвига соответственно.

Непрерывное вейвлет-преобразование связано с использованием двух функций, обладающих свойствами интегрируемости и непрерывности по всей оси времени t. Вейвлет-функция у( t) с нулевым интегральным значением определяет «детали» сигнала и, следовательно, порождает коэффициенты детализации. Масштабирующая скейлинг-функция ф^), интеграл которой во временной области равен единице, предназначена для аппроксимации сигнала при грубом приближении. Функция порождает (генерирует) численные значения соответствующих коэффициентов.

Заметим, что ширина вейвлета задается параметром а. Параметр Ь соответствует его положению. Свойства эти можно объединить и реализовать преобразование с помощью одной функции (2).

Если функция характеризуется в области действительных чисел конечным значением интеграла

J f 2(t )dt,

то, подобно преобразованию Фурье, эту функцию с помощью прямого непрерывного вейвлет-преобразования можно разложить на компоненты. Коэффициенты в процессе прямого преобразования рассчитываются в ограниченной области по формуле W (a, Ь) = J f (t ) • lai 1/2 • у \ -—Ь

R У a

Аналитические зависимости (1) и (2) применяются для вейвлет-анализа в инструментарии Wavelet Toolbox, а также для работы в других вычислительных средах. Видно, что с помощью прямого вейвлет-преобразования выполняется обработка по допустимым сдвигам и растяжениям (сжатиям) сигнала f(t). Связанное с вычислением интегралов прямое непрерывное вейвлет-преобразование обладает информационной избыточностью, что связано с большими затратами машинного времени при выполнении вычислений. Это преобразование применяется для визуализации вычислительных процессов и построения спектрограмм. Выделение флуктуаций, содержащихся в составе сигнала ft), производится с помощью вейвлет-коэффициентов, обеспечивающих «сдвиг» сигнала. Флуктуации сигнала ft) в анализируемой области обычно вызваны локальными изменениями. Важнейшим продуктом вейвлет-анализа сигналов являются вейвлет-спектрогаммы, которые дополняют обычные спектрограммы, получаемые с помощью оконного преобразования Фурье. Чем четче представлена анализируемая особенность сигнала, тем ярче она выделена на спектрограмме. Это свойство вейвлет-спектрограмм, связанное с оценкой качества f(t), может использоваться для диагностики и мониторинга технологического процесса. Спектрограммы, базирующиеся на вейвлет-технологиях, отчетливо отражают такие особенности сигнала, как изменение знаков производных, частоты сигналов, появление небольших разрывов, прохождение через точки перегибов, возникновение отдельных импульсов, вызванных ступенчатыми изменениями нагрузки, неравномерностью подачи топлива и т. п. С появлением каждой особенности сигнала должен связываться конкретный диагностируемый параметр, поэтому требуется определенный навык в работе со спектрограммами.

R

Спектр вейвлета в частотной области напоминает всплеск, максимальная амплитуда которого располагается на частоте ю0 Эта частота считается средней круговой частотой вейвлета. Частотное представление вейвлетов имеет много общего с оконным преобразованием Фурье. По аналогии с использованием окон можно выделить локальный сигнал из функции путем выбора соответствующих вейвлетов. Высоким частотам будут соответствовать малые значения параметра а. Они отвечают быстрым процессам изменения b0 во временной области. Большие значения а характерны для низких частот, которым во временной области соответствуют медленно протекающие процессы.

С помощью формулы, реализующей обратное непрерывное вейвлет-преобразование, выполняются реконструкции сигнала во временной области. Формулу можно представить несколькими способами, которые выбираются в зависимости от областей существования сигнала. Практический интерес представляют аналитические зависимости, применяемые в конкретных программных и инструментальных средах.

Для выполнения обратного вейвлет-преобразования по формуле разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, напоминающие операции, выполняемые с помощью быстрого преобразования Фурье.

Масштабирующая функция ф^), свойства которой рассмотрены выше, должна быть ортогональной относительно операции сдвига. Функция x(t) представляется суммой ее «грубой» части и «детализирующей» составляющей. Декомпозиция такой функции производится с помощью вейвлетов, которые создаются на базе пространств сигналов. Такие вложенные подпространства различаются по изменению масштаба аргумента (независимой переменной).

Вейвлет-базис может создаваться с использованием различных базисных функций. Предположим, что каждая функция yik в базисе { yik } образована растяжением (y(t) ^ у(2?)) и переносом (y(t) ^ у(? + а)) функции-прототипа у . Если функция-прототип у образует так называемый «родительный» вейвлет, то уравнение

m-1

ф

к=0

также образует вейвлет, содержащий m ненулевых коэффициентов Ск (m - порядок вейвлета). При этом свойства масштабирующей функции в уравнении (3) характеризуют коэффициенты Ск. Вейвлет-функцию можно представить в виде

i

V

k=2_m

Для конструирования конкретного вейвлета необходимо решить уравнения (3) и (4) с учетом m и значений коэффициентов Ск .

Общий подход к конструированию вейвлетов определяется с помощью приведенных выше соотношений (1)-(4). Однако для обеспечения задаваемого уровня декомпозиции в процессе решения конкретной задачи необходимо выбирать вейвлеты с таким базисом, для которого известны аппроксимирующие и детализирующие компоненты с последующим их разделением и уточнением методом итераций. Вейвлеты классифицируются по виду и особенностям образующей функции. В инструментарии Wavelet Toolbox среды MATLAB приведен перечень базовых типов вейвлетов, носящих имена разработавших их ученых. На практике наиболее часто из этого перечня применяются вейвлеты Добеши, Хаара, Шеннона, Мейера. При работе с зашумленными сигналами используются на практике вейвлет-фильтр Койфлетса, вейвлеты Симлента и Морле. При работе с функцией плотности вероятности Гаусса также применяются гауссиан, мексиканская шляпа, частотный В-сплайновый вейвлет и др.

Из перечня ключевых вейвлетов отметим вейвлет Добеши. Вейвлет сконструирован в 1987 г. и назван именем Ингрид Добеши, предложившей ортонормированный базис, являющийся основным и наиболее широко применяемым в современных вейвлет-технологиях.

Ингрид Добеши использовала функцию ф0(0 = фm (t) для образования вейвлетов 4-го и 6-го порядков и получила, с учетом свойства ортогональности, рекуррентные соотношения для оценки коэффициентов аппроксимации и детализации.

Практическое применение вейвлетов

В настоящее время создан класс вейвлетов, применимых для решения задач аппроксимации, диагностики и прогнозирования. Целевая направленность определяет область их практических приложений. В отличие от вейвлетов Добеши, их конструирование для пользователей, работающих в области прикладных наук, представляет процесс, требующий определенных навыков и знаний технологий вейвлет-преобразований.

Вошедшие в пакет Wavelet Toolbox вейвлеты можно успешно использовать для одномерного анализа сигналов и, в частности, выполнять вейвлет-обработку измерений напряжения судовой сети на различных режимах, анализировать изменения рабочего давления в цилиндре дизеля, решать другие эксплуатационные задачи. Вейвлеты содержат наборы коэффициентов различных уровней: аппроксимирующих коэффициентов R - для грубого представления сигналов - и детализирующих коэффициентов D, предназначенных для декомпозиции сигналов, что упрощает реализацию вейвлет-технологий. Во многих ситуациях эти коэффициенты применяются для высокоточного восстановления нестационарных сигналов с реализацией операций компрессии и оценкой энергии, накопленной в вейвлет-коэффициентах, представляемых временными функциями.

Рассмотрим пример выполнения вейвлет-преобразования индикаторной диаграммы давления в цилиндре дизеля на основе вейвлет-функций пакета Wavelet Toolbox.

В среде MATLAB для улучшения приближения к анализируемому сигналу принят ниспадающий порядок следования коэффициентов. Чем меньше номера коэффициентов, тем точнее реконструированный сигнал приближается к оригиналу [3].

Экспериментальные данные представлены в матричной форме (матрицей размерности 73 х 2). В первом столбце содержится угол поворота коленчатого вала (в градусах). Во втором столбце представлено давление в цилиндре дизеля (бар), соответствующее углу поворота. Аппроксимация характеристик на рабочем цикле выполнена с применением сплайна с шагом дискретности 0,5°. Анализируется сигнал, состоящий из пяти циклов с суммарным углом ф/ = - 160 / 0,5 / 1640 градусов. Сформированный вектор, содержащий исходные данные изменения давления Р в цилиндре размерности (1 х 3601), разложен по схеме Sm1 = A1 + D1 (А1 - аппроксимирующая и D1 - детализирующая составляющие первого уровня аппроксимации) на вейвлет-компоненты. При разложении применялся вейвлет db 1 из группы вейвлетов Добеши:

S = P;

[cA1, cD1] = dwt(S,' dbV).

С помощью оператора dwt выполнен расчет вектора аппроксимирующих коэффициентов сА1 и, соответственно, вектора cD1 детализирующих коэффициентов.

Обратное одноуровневое дискретное вейвлет-преобразование давления S выполнено с применением оператора idwt. На рис. 1, а приведены экспериментальная характеристика и характеристика вейвлет-модели

Sm1 = idwt(cA1, cD1, 'db1', 1, l_s),

практически совпадающая с экспериментальной кривой.

Трехступенчатая аппроксимация по схеме

Sm3 = A3+D1+D2+D3

привела к максимальной ошибке

Err = max(abs(s - Sm3)) = 4,9738  10-14.

а

to о

80 60 40 20

Original

1 1 1 1 1 1 lili Uppel- bound! signal 1 1 1 1

I .....ц ....... ----/ - i ^^^^^^ Ii I I

—- i i i—- i J X у ^ н- 1 4--f 1 ^ J '4 i-

-200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

fi, degrees

б

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 fi, degrees

Рис. 1. Вейвлет-аппроксимация эксперимента

Такая ошибка не может быть получена обнаружена с помощью других методов обработки аппроксимируемой характеристики. На всех уровнях были получены графики коэффициентов вейвлет-анализа давления в цилиндре дизеля. Для трехуровневого разложения рассчитаны коэффициенты, представленные на рис. 2.

Рис. 2. Оценка аппроксимирующего коэффициента (Л3) и детализирующих коэффициентов трех уровней D1, D2 и D3

Теперь рассмотрим режим диагностирования. При этом модельную характеристику используем как верхнюю границу диагностируемого рабочего режима дизеля.

Задача диагностирования состоит в определении отклонения исходной характеристики от эталона. Практически мы используем метод диагностирования в пространстве сигналов. Введем в характеристику «дефект» путем наложения на эталон Р аддитивного сигнала, содержащего шум. Этот сигнал сгенерируем функцией равномерного распределения, содержащейся в среде МА^АВ. Выберем масштаб:

У = (Ь - а)/+ а.

В уравнении Ь - верхняя граница сигнала, коэффициент а - его нижняя граница, /- стандартный сигнал, равномерно распределенный на заданном интервале.

На рис. 1, б на небольшом интервале выделена помеха. Критерий диагностирования - максимум абсолютного значения вектора ошибки. Заметим, что ошибку в диагностируемом параметре можно обнаружить даже в том случае, если диагностируемый вектор размерности (1 х 3601) будет содержать помеху всего лишь в одном элементе (при одном измерении). Путем записи

[errdiag, I] = тах(£^) можно получить координату выделенного элемента errdiag по оси абсцисс.

Выводы

Рассматривая вейвлеты и технологии их обработки как современный инструмент повышения эксплуатационной надежности, основанный на цифровых технологиях, следует иметь в виду, что с помощью вейвлетов можно успешно обрабатывать большие объемы информации на качественно новом уровне. Это позволяет создавать системы контроля, диагностики и автоматизации технических средств с использованием новых технологий, реализованных в новом, более совершенном базисе обработки сигналов.

Инструментальные характеристики и технологические возможности вейвлетов, безусловно, раскрыты еще не полностью. Положительные примеры практического применения вейвлет-технологий подтверждают их перспективность. Вейвлет-технологии сегодня представляют собой научное направление с новыми способами и алгоритмами исследований процессов обработки сигналов и изображений, турбулентных потоков, восстановления сигналов с использованием операции свертки, моделирования различных по энергетическому спектру сигналов, проходящих через нелинейные среды и пр. Вместе с тем применение вейвлетов не подразумевает замены существующих и проверенных временем традиционных средств обработки сигналов вейвле-тами и соответствующими технологиями. Вейвлеты являются мощным инструментом, дополняющим существующие методы анализа, расширяющим границы исследований путем количественных оценок процессов на компьютерных моделях.

Поскольку вейвлет-преобразования являются инструментом кратномасштабного анализа, позволяют выявлять эффект долговременной эволюции технологических процессов, обладают хорошей частотно-временной адаптацией к исследуемым процессам и имеют целый ряд других уникальных свойств, они являются самыми перспективными технологиями анализа данных, базирующимися на строгом математическом фундаменте с глубоким научным обоснованием и практическими приложениями. К ним должно быть привлечено внимание широкого круга специалистов, занимающихся обработкой сигналов в информационных системах и системах управления на водном транспорте, а также в других предметных и смежных областях.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в МАТЬАВ. М.: ДМК Пресс, 2014. 628 с.

2. Валеев С. Г., Вершилкина Е. А. Применение непрерывного вейвлета при обработке дискретной информации // Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем: тр. Пятой Всерос. науч.-практ. конф. (с участием стран СНГ), посвящ. 50-летию Ульян. гос. техн. ун-та (19-20 июня 2007 г.). Ульяновск: УлГТУ, 2007. С. 4-6.

3. Алексеев К. А. Модели и алгоритмы вейвлет-обработки сигналов датчиков с применением лифтин-га. Теоретические основы лифтинга // Датчики и системы. 2002. № 1. С. 3-9.

4. Алексеев К. А. Модели и алгоритмы вейвлет-обработки сигналов датчиков с применением лифтин-га. Численное моделирование // Датчики и системы. 2002. № 2. C. 2-5.

5. Гусев B. А., Короновский А. А., Храмов А. Е. Применение адаптивных вейвлетных базисов к анализу нелинейных систем с хаотической динамикой // Письма в журнал технической физики. 2003. Т. 29. № 18. С. 61.

6. Захарова Т. В., Шестаков О. В. Вейвлет-анализ и его приложения: учебн. пособ. М.: ИНФРА-М, 2011. 157 с.

7. Boggess А., Narcowich F. J. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. New York: John Wiley & Sons, 2009. 294 p.

8. Percival D. B., Walden A. T. Wavelet Methods for Time Series Analysis. Cambridge University Press, 2000. 612 р.

9. Zhang S. L., Wang T. M. Feature analysis of protein structure by using discrete Fourier transform and continuous wavelet transform // Journal of Mathematical Chemistry. 2009. Vol. 46. No. 2. P. 562-568.

10. Бондарев В. И., Крылатков С. М. Основы обработки и интерпретации данных сейсморазведки. Екатеринбург: Изд-во УГГГА, 2001. 193 с.

11. Кричевский М. Л. Временные ряды в менеджменте: моногр. Ч. 2. М.: РУСАЙНС, 2016. 232 с.

12. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 672 с.

13. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 272 с.

14. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: ТОЛОН-Р, 2002. 448 с.

Статья поступила в редакцию 05.06.2017

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Дмитриенко Дмитрий Владимирович - Россия, 198035, Санкт-Петербург; Государственный университет морского и речного транспорта им. адмирала С. О. Макарова; канд. экон. наук; доцент кафедры электротехники и автоматики; kaf_electricautomatic@gumrf.ru.

D. V. Dmitrienko

WAVELETS AS A TOOL FOR IMPROVING OPERATIONAL RELIABILITY OF WATER TRANSPORT FACILITIES

Abstract. To create new ways of information processing, control and monitoring of technical systems and technological complexes of water transport facilities, there are required tools, which can bring about radically new solutions. The mathematical apparatus of the wavelet provides such opportunity. The article shows that wavelet analysis, in contrast to the commonly used bases of signal processing, allows to analyze working modes of the objects presented by the frequency -time structures of non-stationary signals in the presence of interference. This helps to carry out qualitative comparison of the methods of processing the measured signals in different bases and to consider the wavelets the most promising tool in the study of the processes of multimodal dynamics of water transport facilities with rhythmic modes, removing frequencies from each other, using terms of instantaneous amplitudes, frequencies and phases of oscillations. The ability to define narrow-band "bursts" of signals, which usually precedes the occurrence of malfunctions in work of the internal combustion engine and other dynamic designs, allows to prevent emergencies by using wavelets and improving reliability and safety on water transport operation.

Key words: basis, decomposition, compression of signals, wavelets, scaling functions, water transport, reliability, approximation, detailing.

REFERENCES

1. Smolentsev N. K. Osnovy teorii veivletov. Veivlety v MATLAB [Fundamentals of the theory of wavelets. Wavelets in MATLAB]. Moscow, DMK Press, 2014. 628 p.

2. Valeev S. G., Vershilkina E. A. Primenenie nepreryvnogo veivleta pri obrabotke diskretnoi informatsii [Using a continuous wavelet in processing discrete data]. Sovremennyeproblemy sozdaniia i ekspluatatsii radio-tekhnicheskikh sistem: trudy Piatoi Vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii (s uchastiem stran SNG), posviashchennoi 50-letiiu Ul'ianovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta (19-20 iiunia 2007 g.). Ulyanovsk, UlGTU, 2007. Pp. 4-6.

3. Alekseev K. A. Modeli i algoritmy veivlet-obrabotki signalov datchikov s primeneniem liftinga. Teoret-icheskie osnovy liftinga [Models and algorithms of wavelet-processing of sensor signals using lifting. Theoretical backgrounds of lifting]. Datchiki i sistemy, 2002, no. 1, pp. 3-9.

4. Alekseev K. A. Modeli i algoritmy veivlet-obrabotki signalov datchikov s primeneniem liftinga. Chislen-noe modelirovanie [Models and algorithms of wavelet-processing of sensor signals using lifting. Numerical modelling]. Datchiki i sistemy, 2002, no. 2, pp. 2-5.

5. Gusev B. A., Koronovskii A. A., Khramov A. E. Primenenie adaptivnykh veivletnykh bazisov k analizu nelineinykh sistem s khaoticheskoi dinamikoi [Application of adaptive wavelet bases in the analysis of non-linear systems with chaotic dynamics]. Pis'ma v zhurnal tekhnicheskoifiziki, 2003, vol. 29, no. 18, p. 61.

6. Zakharova T. V., Shestakov O. V. Veivlet-analiz i ego prilozheniia: uchebnoe posobie [Wavelet-analysis and its applications: teaching aid]. Moscow, INFRA-M Publ., 2011. 157 p.

7. Boggess A., Narcowich F. J. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. New York, John Wiley & Sons, 2009. 294 p.

8. Percival D. B., Walden A. T. Wavelet Methods for Time Series Analysis. Cambridge University Press, 2000. 612 p.

9. Zhang S. L., Wang T. M. Feature analysis of protein structure by using discrete Fourier transform and continuous wavelet transform. Journal of Mathematical Chemistry, 2009, vol. 46, no. 2, pp. 562-568.

10. Bondarev V. I., Krylatkov S. M. Osnovy obrabotki i interpretatsii dannykh seismorazvedki [The basics of data processing and interpreting in prospecting seismology]. Ekaterinburg, Izd-vo UGGGA, 2001. 193 p.

11. Krichevskii M. L. Vremennye riady v menedzhmente: monografiia. Chast' 2 [Time series in management: monograph. Part II]. Moscow, RUSAINS Publ., 2016. 232 p.

12. Malla S. Veivlety v obrabotke signalov [Wavelets in signal processing]. Moscow, Mir Publ., 2005. 672 p.

13. Stolnits E., DeRouz T., Salezin D. Veivlety v komp'iuternoi grafike [Wavelets in computer graphics]. Izhevsk, NITs «Reguliarnaia i khaoticheskaia dinamika», 2002. 272 p.

14. D'iakonov V. P. Veivlety. Ot teorii k praktike [From theory to practice]. Moscow, COLON-R Publ., 2002. 448 p.

The article submitted to the editors 05.06.2017

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Dmitrienko Dmitry Vladimirovich - Russia, 198035, Saint-Petersburg; Admiral

Makarov State University of Maritime and Inland Shipping; Candidate of Economics;

Assistant Professor of Department of Electrical Engineering and Automation; kaf_electricautomatic@gumrf.ru.