Модели систем массового обслуживания

С.Б. Мальков

МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В задачах управления распределения потоков электроэнергии между потребителями применяются модели систем массового обслуживания, позволяющие определять коэффициент использования энергетического оборудования.

Стохастические процессы приема, передачи и обработки сообщений в энергосистемах требуют анализа возможных задержек в процессе решения задач. Аппроксимация с применением моделей систем массового обслуживания (СМО) позволяет применить методы теории массового обслуживания (СМО) для решения данной использования энергетического оборудования.

При моделировании функционирования энергетических объектов можно применить следующие модели [1].

Модель 1. Если во время обслуживания требования поступает требование высшего приоритета, то обслуживание прерывается и начинается обслуживание поступившего требования. По освобождению системы от требования более высокого приоритета, чем требование с прерванным обслуживанием, последнее дообслуживается в оставшееся время.

Модель 2. То же, но прерванное требование "теряется".

Модель 3. То же, но прерванное обслуживание требования возобновляется заново.

Модель 4. Если требование начинает обслуживаться, то оно обслуживается до конца, несмотря на поступление требований более высокого приоритета.

По виду приоритета будем подразделять энергообъекты на системы с абсолютными и системы с относительными приоритетами. В системах с абсолютными приоритетами при поступлении сообщений высшего приоритета оно либо немедленно принимается к передаче, независимо от того, осуществлялись или нет операция с сообщением низшего приоритета, т.е. происходит прерывание операции с сообщением низшего приоритета, которая возобновляется по окончании операции с сообщением высшего приоритета в той точке, в которой произошло прерывание, либо ожидает конца операции с ранее поступившим сообщением. В этом случае вероятностный процесс описывается так же, как в выше рассмотренных моделях 1 и 4.

В системах с относительными приоритетами при поступлении сообщений высшего приоритета во время операции с сообщением потока низшего приоритета, сообщение высшего приоритета принимается к операции только после окончания обработки всех находящихся в системе сообщений низших приоритетов, т.е. прерывания операций не происходит. Подобная модель в теории массового обслуживания не рассматривалась.

Сообщения одного приоритета в системах с приоритетной обработкой сообщений становятся в очередь на передачу и обработку, если система занята.

Например, сообщения телесигнализации имеют приоритет по отношению к сообщеням

Заслуживает внимания рассмотрение энергообъектов, как моделей СМО с целью получения описания функций задержек обработки сообщений в виде формульных зависимостей, удобных для инженерной практики.

Рассмотрим время задержки сообщений в системах при циркулярной обработке.

Рассматривается вероятностный процесс функционирования многоканальной СМО, в которой осуществляется передача и обработка сообщений последовательными одноэлементными сигналами с циклической синхронизацией.

Операции с сообщениями осуществляются следующим образом. Сообщение, поступившее в систему от одного из источников сообщений (абонентского пункта), примется к передаче сразу в том случае, если в этот момент времени имеется разрешающий сигнал от распределительного (управляющего) устройства. Назовем это событие свободным состоянием системы. Время задержки сообщений, поступивших позже рассматриваемого момента, не больше или равно длительности цикла операций. За один цикл операций передаются все поступившие сообщения, а время цикла операций не зависит от числа поступивших сообщений. Таким образом, дисциплина операций не отличается от дисциплины обслуживания в рассмотренной модели СМО с групповым обслуживанием требований.

Загрузка системы может быть выражена через вероятность занятого

состояния и определится формулой p(t) = 1 — e , где a(t) -

интенсивность потока сообщений; J3j - среднестатистическая длительность операции по передаче и обработке сообщения.

Пусть время цикла операций определяется произвольным распределением В(х) случайных, независящих друг от друга и от потока сообщений, положительных и равнораспределенных величин {xn}, время прихода сообщений по каждому каналу определяется распределением величин {tn}, где

0 < ^ причем моменты {tn} распределены по закону Пуассона. В

общем случае, процесс Пуассона стационарный, однако, при некоторых допущениях исследуется также нестационарный пуассоновский процесс.

При подобном допущении возможно исследование следующих распределений:

а) каково распределение времени задержки W(t,x) сообщения, которое может прийти в систему в момент времени t,

б) каково распределение времени задержки W(xn) n-го поступившего сообщения.

Рассматривается стохастический пуассоновский процесс с момента t>0 с плотностью распределения a(t), где a(t) - действительная неотрицательная функция параметра t. B(x) = P(xn < x) - распределение продолжительностей

времени передач. Полагается, что B(x) определено так же, как и a(t), В(0)=0.

Пусть P[w(t) < x] = W(t,x) есть вероятность того, что сообщение, поступившее в момент t, имеет время задержки меньшее либо равное X, и P[w(tn — 0) = x] = W(t,x) - есть вероятность пого, что время задержки n-го сообщения, прибывшего в момент tn, самое большее равно х. Для этих условий определяются распределения W(t,x) и Wn(x), а также исследуются условия существования предельных распределений lim W(t,x),

Пт Жп (х) доказывается, что при общих условиях эти предельные

распределения существуют и согласуются друг с другом.

Функции Ж^,х) независимой случайной величины w(t) удовлетворяет следующее дифференциальное уравнение

= [I-Р«)] ^ -«П-Щ, ,0)[1 - В

от дх А

где производная в правой части справедлива при х>0, а в левой при х>0.

Распределение Ж^,х) имеет скачок в нуле на величину Ш(1,0) и при х>0 является непрерывной для всех t.

Преобразование Лапласа-Стилтьеса уравнения (1) имеет вид

Ф(1, s) = е°,[1~р(и)] и -1е“ш[1-р(и)]Ж(и, 0) х

0

р

А

при граничных условиях Ж(0,^=1 для всех х, Ж^, ао)=1 для всех t.

Предел распределения при р<1 МтЖ(г,х) = Ж(х) существует, не

зависит от первоначального распределения д(х) и определяется равенствами

Ж*

ах А

Если Пта(г) = а, р<1, Пт Ж(,, х) = Ж (х) существует и не зависит

,^ад , ^ад

от Ж((х), то Ж(х) однозначно определяется преобразованием Лапласа -Стилтьеса

Ф

А1^

х

Определено, что при В(х) = 1 - е А‘ функция распределения времени

х

задержки имеет вид Ж(х) = 1 - ре А , при постоянной длительности передач

р Г х, 0 < х < А;

Ж(х) = 1 -р + рДх), где /(х) =^ "

А I0, х >Рг

Рассмотрим определение времени задержки в системах с абсолютными приоритетами (модель 1). Пусть время передач сообщений к-го приоритета определяется произвольным распределением Бк(х) случайных величин {хпк}, которые являются равнораспределенными, взаимонезависимыми, положительными переменными. Время прихода сообщений к-го приоритета определится распределением величин Акп}, 0<1к1<1к2<---<1к„, причем ^кп} определено законом Пуассона для каждого к. Процесс Пуассона полагается стационарным.

X

Рассматриваемый процесс можно представить процессом марковского типа при тех же условиях, что и для процесса с циркулярной передачей, если расширить понятие пространства состояний и характеризовать процесс единственным состоянием - действительным числом, непрерывной переменной, временем задержки сообщения, поступившего в рассматриваемый момент.

Рассматривается стохастический пуассоновский процесс в момент t>0 с плотностями распределений каждого потока сообщений k -го приоритета, где а^) - действительная и неотрицательная функция параметра t.

Определим распределение времени задержки Ж^,х) сообщения ^го приоритета, приходящего в момент t, Ж^х) - распределение времени задержки П-го сообщения k-ГO приоритета, которое может прийти в момент tkn

Обозначим через Wk(t) продолжительность времени задержки сообщения k-го приоритета прибывшего в момент t. Пусть Pk[Wk(t)<X] = Wk(t,x) и Pk[Wk(t-0)<X] = Wkn(t,x). Исследуем также условия, при которых существуют предельные распределения Пт Жк(1,х) , ЫтЖкп(х), покажем, что при общих

условиях эти предельные распределения существуют и согласуются друг с другом.

Если t=0 и система свободна от сообщений любого из приоритетов, то Wk(0)=0, если при t=0 система свободна от сообщений 1,2,..,] приоритетов, но

имеются сообщения]+1 приоритета, то Wk(0)=0 для k=1,2,..,j. Если ^п} обозначают последовательности моментов прибытия и длительностей передач сообщений k-го приоритета соответственно, то Wk(t) совершает скачок хп в моменты tkn, где / - номер приоритета сообщения, прибывшего в

рассматриваемый момент, В интервале tkn - tk(n-l) Wk(t) изменяется с угловым коэффициентом, равным 1 для всех потоков сообщений с приоритетами большими, либо равными 1. Если система в момент t=0 занята передачей сообщения ^го приоритета, то Wk(0)=Wko для всех потоков сообщений с приоритетами большими либо равными k. Таким образом, Wk(0)=Wko, k=k,k+1,k+2,... и если tkn<t<tk(n+l), tko-0, то

у, а) = \ ™к

10, Щ(1Ы) > 1 - 1п(к = к,к +1,...),

при t=tkn для систем с прерываниями передач

к

™к

/ = 1

Для систем без прерывания передач

к

™к

1 = 1

где Т/(^ - время, оставшееся до конца передачи сообщения младшего приоритета, при поступлении сообщения старшего приоритета.

Уравнения (5) и (6) определяют величину Wk(t) в момент t, что окончательно определяет поведение всей функции.

Рассмотрим определение функции распределения времени задержки сообщений.

Поведение Ж^,х) для каждого k описывается интегрально-дифференциальным уравнением, определение которого сформулировано в [2].

Функциям Ж^,х) независимой случайной величины Wk(t) удовлетворяют следующие интегродифференциальные уравнения для каждого к-го приоритета

-±а,«Ж«,х) +

и1 их !=!

к х

+Еаг

1=1 0

где производные в правой части справедливы при х>0, а в левой - при х>0. Распределения Ш^,х) имеют скачок в нуле на величину Ш^,0) для каждого Wk(t) ^го приоритета и при х>0 являются непрерывными для всех t. При

условии ж^0,х), для х>0 равенства (7) имеют аналогичные выражения

Решение Wk(t,x) в преобразованиях Лапласа-Стилтьеса определяется утверждением 2.2 и позволяет получить характеристическую функцию распределений Ш^,х) для каждого k.

Если распределениям Ш^,х) удовлетворяют интегро-дифференциальные уравнения (7), то преобразование Лапласа-Стилтьеса для решения этих уравнений имеет вид

1 -81е“/

— nst~ f

k *

где f(x) = '£aj(x)~'£aj(x)fij(s); a(t) =\ai(u)du, при граничных

i=l 0

условиях Wk(0,x)=1 для всех х, Wk(t,x>)=1 для всех t и каждого к.

Для стационарного режима определим значение Wk(0), а также limWk(t,x) = Wk(x). Условие стационарности (условие ненасыщения

к

системы): I aiPn < 1. Тогда определение Wk(0) и Wk(x) производится

i=1

следующим образом.

ад

Если Р1к = \xdBk(x), lima(t) = ак, limрк= рк , ак -

0

к

положительная постоянная, то при условии ^ аР < 1

i=1

limWk(t,x) = Wk(x) существуют для каждого к и не зависят от первоначальных распределений Wko(x) и определяются равенствами:

к

К(0)=і-£р„

І=1

к

Если Ьр} >0, то пределы распределений для всех сообщений

приоритетов больших либо равных к ПтЖк( 1,х) = 0.

ґ

Характеристическая функция Фk(s) распределения Ж(х) определится с

помощью преобразований Лапласа-Стилтьеса:

к

Порядок проведения операций с сообщениями, обладающими относительными приоритетами, отличается от порядка в системах с абсолютными приоритетами в том, что сообщение высшего приоритета, заставшее систему занятой обработкой сообщений низшего приоритета, задерживается на время, оставшееся до конца операций обработки всех находящихся в системе сообщений этого низшего приоритета, а также сообщений низших приоритетов, поступивших за время передачи предыдущих.

Пусть время передачи сообщений к-го приоритета определяется произвольным распределением Вк(х) случайных величин {хкп}, которые определены так же, как и для систем с абсолютными приоритетами, т.е. являются равнораспределенными, положительными переменными.

Рассматривается стохастический пуассоновский процесс с плотностями распределений (%() для >0, где ) - действительная и неотрицательная функция для каждого потока к-го приоритета. Пусть {tкn} описывается как время прихода п-го сообщения потока к-го приоритета, причем 0<4к1<4к2<~---, и определены законом Пуассона для каждого к.

При аналогичных допущениях, как и для систем с абсолютными приоритетами, рассматриваемый процесс является Марковским, если его характеризовать действительным числом, непрерывной переменной, временем задержки сообщения, поступившего в рассматриваемый момент. Тогда система с относительными р приоритетами описывается р интегродифференциальными уравнениями, причем каждое из них определяет распределение задержки сообщений потока к-го приоритета.

Если Wk(t) - продолжительность времени задержки сообщения к-го приоритета, то Рк[^()<Х] = Жк^,х) распределение времени задержки сообщения к-го приоритета, приходящего в момент t, Рк^к^-0)<Х] = Жк^,х) распределение времени задержки п-го сообщения потока к-го приоритета, которое может прийти в момент tkn.

Фк

І=1

к

™к(Х) =

Исследуются условия существования предельных распределений ИтЩ(Х,х), Ит^ы(^,х), показывается, что при обоих условиях эти

Х ^да Х ^да

предельные распределения существуют и согласуются друг с другом.

Если система свободна от сообщений любого из приоритетов, то м^) в момент 1кп совершает скачок для потоков сообщений младших приоритетов по прибытию сообщений старших приоритетов на величину I хт , где 1 -

г

приоритета прибывшего сообщения. Для сообщений потоков старших приоритетов по прибытию сообщений младших приоритетов,

увеличивается на величину, равную времени передачи сообщений, которые приняты в этот момент в передаче. В интервалах к - хк(п-1) изменяется с угловым коэффициентом, равным -1.

Таким образом, Мк(0)=Мко, к=к,к+1,к+2, ...,р и если 1кп«1к.(п+1), 1ког

0, то

^(Хкп) - (Х - Хкп)’™ (Хкп )> Х - Хкп,

1°’ ™ (Хкп )^ Х - Хкп’

при 1=1кп ^ (Хы ) = ^ (Хкп - °) + 1 Хп + £(Х), где £(X) - время, оставшееся

г

до конца передачи сообщений младших приоритетов, при поступлении сообщения старшего приоритета.

Поведение Жк(х,х) описывается интегрально-дифференциальным уравнением

дЖ.

д! = дх -1а>(Х№к(Х,х) +

к х

+1а,

г=1 °

Преобразования Лапласа-Стилтьеса для решения уравнений (11) имеют вид

Х

1 - s | е~ “+/(и)Шк(и,0^и

Фк^^) = е*Х-1

°

к р

При условии стационарности 1^1^. , определим пределы

г=1 !=1

распределений ПтЖк(Х,х) = Жк(х).

Х

ад

Если /31к = I хйБх(х), Пт ак (I) = ак, Пт рк= рк, то пределы

0

к р

распределений при Е^а'ЕД < 0 существуют и независимо от

г=1 1=1

первоначальных распределений Жко(х) для каждого к однозначно определяются

к р

равенствами Жко (х) = 1 ~Еа> Е@1] •

1=1 ]=1

к р

Если УаУ Д > 1, то пределы распределений ИтШк(1,х) = 0.

1=1 3=1

Характеристическая функция Фk(s) распределения Жк(х) определится:

к р 1 ~Еа ЕД

і-Е-[1 -Ш(*)]

>=1 8 г-1

Математические модели для определения времени задержки при обработке сообщений (команд, сигналов) на энергообъектах практически полезны, т.к. обработка статистического материала по потокам сообщений на энергетических предприятиях позволяет сделать вывод о загрузке энергетического оборудования и оптимальном распределении потоков энергии на объектах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гнеденко БВ и др. Приоритетные системы обслуживания. -М.: Изд-во МГУ, 1973.

2. Финаев ВИ^, Зяблов РЛ^ Оценка алгоритмов функционирования систем управления по времени задержки сообщений//Сб. “Синтез алгоритмов сложных систем”. Вып. -Таганрог: ТРТУ, 1974

Е.Ю. Косенко, А.В. Пушнин, С.В. Тицкий

МОДЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Одним из главных требований наряду с другими, предъявляемыми к автоматизированным системам управления (АСУ) энергетическими объектами, является ее надежность. Возможность высоких материальных потерь в результате отказов АСУ энергетическими объектами заставляют всячески стремиться к повышению надежности [1,2,3].

На начальном этапе проектирования в графической форме формируется структурная схема разрабатываемой АСУ энергетическими объектами, в виде