К обоснованию динамических параметров рабочего органа культиватора со стойкой в виде гибкого трубчатого элемента

К обоснованию динамических параметров рабочего органа культиватора со стойкой в виде гибкого трубчатого элемента

Н.Н. Устинов, к.т.н., А.С. Мартыненко, аспирант, Т.Г. Кол-макова, ст. преподаватель, ФГБОУ ВО ГАУ Северного Зауралья

В настоящее время при совершенствовании технологий возделывания сельскохозяйственных культур значительное внимание уделяется обработке почвы — наиболее энергоёмкой технологической операции. Это обусловлено главным образом тем, что использование почвообрабатывающих машин, обеспечивающих качество обработки почвы при минимальных энергетических затратах, является залогом обеспечения высокой урожайности сельскохозяйственных культур. Одним из направлений совершенствования почвообрабатывающих машин является применение активных рабочих органов, использующих эффект вибрационного, импульсного воздействия на обрабатываемый пласт почвы для снижения тягового сопротивления. Вместе с тем перспективным направлением, на наш взгляд, является применение гидроимпульсных приводов для обеспечения колебаний упругих рабочих органов почвообрабатывающих машин, где в качестве силового элемента используется гибкий трубчатый элемент, С-образная полая трубка с некруглым поперечным сечением [1, 2].

Конструкция рабочего органа культиватора с использованием в качестве силового элемента пружины Бурдона представлена на рисунке 1. При подаче пульсирующего давления во внутреннюю полость стойки 2 рабочей жидкости через штуцер 3 поперечное сечение пружины деформируется, в результате этого рыхлительная лапа 1 совершает колебательные движения с параметрами, которые зависят от подаваемого давления. Регулируя параметры давления, можно задавать частоту и амплитуду колебаний рабочего органа, что позволит снизить тяговое сопротивление при работе на различных типах почв.

Для проектирования рабочих органов предложенного типа необходима математическая модель, описывающая взаимодействие рабочего органа с почвой, которая позволит решить задачу оптимизации геометрических параметров рабочего органа и режимов его работы с учётом внешних факторов.

Материал и методы исследования. Стойка рабочего органа культиватора представляет собой пружину Бурбона, С-образную трубку, поперечное сечение которой имеет, например, плоскоовальную форму. Один конец пружины защемлён, как показано на рисунке 1, а на свободном конце крепится рыхли-тельная стрельчатая лапа массой m. Во внутреннюю полость трубки подаётся пульсирующее давление р(t). Кроме того, на трубку могут действовать внеш-

няя распределенная нагрузка и сосредоточенные силы, приложенные к свободному концу.

Рассматриваем трубку как стержень, при этом полагаем, что длина трубки Ь значительно превосходит размеры поперечного сечения.

Уравнения движения стойки получим, используя уравнение равновесия Новожилова [3] и принцип Даламбера [4]:

, ,d u du dN 1 dM

Ys)—- = -U. — +----+ qT,

n'dt2 dt dS R dS Чт

t \o u au N

vis)—- = -U — +---

n'dt2 n dt R

В данных уравнениях

d2 w

dS2

-+q„

N = D f^ + W l dt R

, M = H

1 du dS2 ~ R dS

Граничные условия в точке S =0 имеют вид:

Q = -d-M .

ds

u(0,t) = 0, w(0,t) = 0, |W ds

= 0.

В точке S=Ь граничные условия имеют вид:

N (I, х) = /х (х,...), д (I, х) = /п (х,...), М (I, х) = /я (х,...), (4) Начальные условия имеют вид:

du

u(s,0) = u0(s), — dt

dw

w(s,0) = —

= 0,

= 0,

где и(л,?), — перемещение оси стойки, м;

N(5,?), 0(5,?) — осевая и перерезывающая силы, Н;

М(5,?) — изгибающий момент, Нм;

Б=ЕА — осевая жесткость, Н;

Е — модуль упругости, Па;

А — площадь поперечного сечения, м2;

Н= Е1 — изгибная жесткость, Н-м2;

/ — момент инерции поперечного сечения,

Н-м2;

у(л) — погонная плотность стойки, кг/м;

— коэффициенты сопротивления (дем-фирования);

дх, — распределенная нагрузка;

/„, /м — силы и момент, приложенные к свободному концу стойки.

Действие внутреннего давления р приводит к возникновению изгибающего момента, и свободный конец стойки вместе с рыхлительной лапой перемещается. Будем считать, что величина изгибающего момента пропорциональна величине давления р. В этом случае величина момента может быть определена из известных решений, например с использованием полубезмоментной

2

2

s=0

t=0

, аш

аш =-ds =

ds

рА-

аш1 (5) аз

а^,

здесь

рА-

аш.

аз

= У (5) — погонная масса едини-

у (з) = рА + ш18(з - Ь).

Введём безразмерную координату х=д/1, тогда:

= = 1

Эз дх дл / дх Запишем уравнения (1) в безразмерной форме:

( = ди 1 дК 1_дМ

1[х'дё э7+1 эХ " К/IX'

, ,д2и ди N 1 д2М

^= э7+Л -12~дХг+

где у(з) = рА - ш18(х -1.

,г В (ди / N = —I -+ — г

/ [ дх К

-г

М = Я

Э 2г / ди дх2 К дх

2 = -1 дМ

/ дх •

Граничные условия в точке х =0 примут вид:

и(0, /) = 0, г(0, /) = 0, — дх

= 0.

Рис. - Расчётная схема рабочего органа культиватора: 1 - рыхлительная лапа; 2 - стойка; 3 - штуцер

теории оболочек [5]. Тогда задача определения перемещения рыхлительной лапы на стойке под действием давления сводится к задаче перемещения рыхлительной лапы на стойке под действием момента, приложенного к её свободному концу. Таким образом, внутреннее давление р учитывается в уравнениях движения (1) в виде изгибающего момента /М.

м

Действие равнодействующих сил сопротивления почвы учитывается в уравнениях (1) посредством функций /П. Функции могут зависеть от ?, и, н', ди дг

, , свойств почвы, других факторов и в д/ дt

общем случае могут быть нелинейными. Поэтому, несмотря на то что уравнения движения линейны, вся задача является нелинейной.

Положительные направления перемещений нагрузок показаны на рисунке.

Определим погонную плотность стойки у(я). Полагаем, что стойка изготовлена из материала, плотность которого р. Определим массу стойки на отрезке от 0 до S:

ш (з) = рАз + ш1 (з).

Если длина отрезка а ^ 0, то в пределе получим ступенчатую обобщённую функцию ^(д—я0).

Найдём массу элемента стойки длиной йд:

Граничные условия в точке х = 1 примут вид:

N(1,/) = /(/,...), 2(1,/) = /„(/,...),

М

Начальные условия будут иметь вид:

ди

и( х,0) = и0( х), — д/

дг

х,0) = w0(x), — д/

= 0,

= 0.

Подставим выражение (8) в систему (7), получим:

, ч д2и ди В д (ди / ^

у(х) Э/^=_Цт э7+12 ЭХ [эх+К"'-

' К/3 Эх

д2г / ди дх2 К дх

, ч д2и ди В (ди / ^

у(х ^- э7+К [эх+

я

' /4 дх2

2

д2г / ди дх2 К дх

Граничные (9), (10) и начальные условия (11) не изменятся.

Для решения применим метод Галёркина [6], в результате получим систему:

к О ( я ^ к

|фф,)и>-Ц,Х(ф,Ф;)и;+1ТI1 + -КГ7: У(Ф>;)-

цы длины.

В пределе, при а ^ 0, получим:

= а- ) = ш1§(з - з0),

аз аз

где 5 — функция Дирака [6].

Итак, если масса расположена на конце стойки д0=Ь, имеем:

_ /2 я2в

-вУ [(л)-я(у>;)),+(^-К К«+1

к в к я

= -Ц-

в к - в У

/2 £

К-

К^' • /в + [ - У'; (1) ] + | УА

Здесь] = 1, ... к.

Уравнения (13) описывают движение рабочего органа с учётом действия сил /п и момента /м, приложенных к концу стойки, распределённых

/=0

нагрузок, q, qn которые приложены к поверхности стойки. В общем случае эти уравнения нелинейны.

Используя уравнения (13), можно получить уравнения для определения собственных частот рабочего органа. Для решения данной задачи полагаем, что все внешние силы отсутствуют. В этом случае имеем:

Цт = Ц п = Чт = Чп = /т = fn = fu = О-Далее полагаем, что рабочий орган совершает гармонические колебания с частотой ю. В этом случае перемещения меняются с течением времени по закону:

ui(t) = ai sin(rot), wi(t) = bi sin(rot), i = 1, ...k.. Подставив эти функции в уравнение (13), получим:

D í H ^ k -(ТФУФi)ajM2sinfflt = -—I 1 + —D ф;) sin fflt-

-—X

Rl ^

)-Jd (( ^

R D J . . b, sin fflt,

— к h

- — x 1

i2

Rt ((V j)-—( >j

l2— b, sin fflí.

a sin fflt -

В результате получили однородную систему линейных алгебраических уравнений порядка 2к относительно неизвестных a„ Ь. Для того чтобы система имела ненулевое решение, определитель матрицы этой системы должен равняться нулю:

а

где a =—

1 l2

1 +

a

А =

a

H ч

R2 D J

= 0,

,, j = 1,... к D

a2 = — 21 Rl

H

l2 D

D

a = — 12 Rl

(V Ф j) -1—

a = -

—

7

12 H

, V j) j)

R2 l D

В данном случае 8/ = 1, если i=j, и 8/ = 0 , если i ф j.

Для определения собственных частот нужно найти такие значения ю, при которых определитель равен нулю.

Результаты исследования. Для проверки адекватности математической модели уравнения (14) решены для случая определения собственной частоты рабочего органа культиватора со стойкой в виде гибкого трубчатого элемента, изготовленной из стали 12ХН10Т. Стойка (рис.) имеет радиус центральной оси R = 332 мм, размер большой полуоси

плоскоовального сечения 70 мм, размер малой полуоси — 30 мм, толщину стенки h=4,8 мм. Масса рыхлительной лапы m=8,05 кг.

В результате решения системы (14) с использованием системы MATLAB получено значение ю = 96,08 Рад/с (12 Гц), удовлетворяющее условию (15). Полученное значение собственной частоты колебаний рабочего органа удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными, полученными в работе [7], где частота собственных колебаний рабочего органа составляет 10 Гц. Несколько завышенное значение собственной частоты колебаний рабочего органа, полученное при теоретических расчётах, связано, на наш взгляд, с точностью определения погонной плотности стойки у (s).

Вместе с тем необходимо отметить, что полученная математическая модель с достаточной для практики точностью позволяет определить режимы вынужденных колебаний рабочего органа без резонанса: в дорезонансном режиме с частотой 8—9 Гц и зарезонансном режиме 15 Гц. Выводы.

1. Полученная математическая модель рабочего органа культиватора со стойкой в виде гибкого трубчатого элемента позволяет оценить динамику рабочего органа с учётом внутреннего давления и силовых факторов, действующих при работе со стороны почвы.

2. Проверка адекватности полученной модели показала возможность использования её для определения динамических параметров рабочего органа культиватора.

3. Установлено, что полученная математическая модель с достаточной для практики точностью позволяет определить режимы вынужденных колебаний рабочего органа без резонанса: в дорезонансном режиме с частотой 8—9 Гц и зарезонансном режиме 15 Гц.

Литература

1. Устинов Н.Н. Рабочий орган культиватора // Сельский механизатор. 2015. № 12. С. 30-31.

2. Устинов Н.Н., Маратканов А.А., Смолин Н.И. Математическая модель активного рабочего органа культиватора со стойкой в виде гибкого трубчатого элемента // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 1. [Электронный ресурс]. URL: http://www.science-education.ru/121-17908 (дата обращения: 18.03.2015).

3. Новожилов В.В. Теория упругости. Ленинград: Судпромгиз, 1958. 371 с.

4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

5. Устинов Н.Н. Расчёт и проектирование тонкостенных манометрических трубчатых пружин с переменной по периметру сечения толщиной стенки: дисс. ... канд. техн. наук: 20.04.04 / Тюменский государственный университет. Тюмень, 2004. 155 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.: Недра, 1974. 832 с.

7. Маратканов А.А. Обоснование параметров рабочего органа культиватора со стойкой в виде гибкого трубчатого элемента: дисс. ... канд. техн. наук: 05.20.01. Барнаул, 2015. 140 с.

2

a

2

2