Моделирование двухслойных течений с учетом испарения на границераздела на основе точных решений

УДК 536.25

О.Н. Гончарова, Е.В. Резанова

Моделирование двухслойных течений с учетом испарения на границе раздела на основе точных решений. Часть 2

O.N. Goncharova, Е. V. Rezanova

Modeling of the Two-layer Flows by Evaporation on the Basis of the Exact Solutions. Part 2

Двухслойные течения жидкости и газа изучаются с учетом испарения на границе раздела. Построены точные решения стационарной задачи. При этом на твердых непроницаемых границах выполняются условия прилипания, задано линейное относительно продольной координаты распределение температуры и условие для концентрации пара на верхней границе. На термокапиллярной границе раздела, предполагаемой недеформи-руемой, выполняются кинематическое и динамическое условия, условия непрерывности скорости и температуры, условие теплопереноса с учетом диффузионного потока пара, а также соотношения для баланса массы и концентрации насыщенного пара. Представлены примеры профилей скорости.

Ключевые слова: конвекция в жидкости, термокапиллярная граница раздела, испарение с границы раздела, условия на границе раздела, точные решения.

БО! 10.14258^3811(2013)1.2-03

Two-layer flows with evaporation at interface are studied. Exact solutions of a stationary problem are constructed. At fixed boundaries the no-slip conditions, temperature, a condition for vapor concentration on the upper fixed boundary are given. Following conditions are fulfilled at thermocapillary non-deformable interface: kinematic and dynamic conditions, continuity of velocity and temperature, condition for heat transfer at interface, mass balance relation and a relation for saturated vapor concentration. Examples of velocity profiles are presented.

Key words: convection in a fluid, thermocapillary interface, evaporation through the interface, interface conditions, exact solutions.

Введение. Исследованию различных аспектов двухслойных течений жидкостей, в том числе жидкости и газа, посвящено много работ. Необходимость предсказания поведения жидкостей в условиях гравитационных полей различной интенсивности [1,2] привела к изучению процессов конвекции, тепло- и массопереноса в двухслойных системах в случае, когда данные процессы сопровождаются испарением с границы раздела. В работах [3, 4] построены примеры точных решений задачи о двухслойном течении жидкости и газа в полной постановке. При этом испарение явно не учитывается, но моделируется с помощью подходящих условий для температуры на границе раз-

Работа выполнена в рамках проекта №7.3975.2011 (поддержан Министерством образования и науки РФ) и программы стратегического развития ФГБОУ ВПО "Алтайский государственный университет" на 2012—2016 годы "Развитие Алтайского государственного университета в целях модернизации экономики и социальной сферы Алтайского края и регионов Сибири мероприятие "Конкурс грантов" (№2013.312.1.66).

дела [3,4]. Построенные в цитированных работах решения могут быть названы обобщением известного решения о конвекции в горизонтальном слое со свободной границей [5]. Задача о стационарной конвекции в двухслойной бинарной системе с испарением с учетом влияния концентрационных и температурных эффектов на процесс изучается в [6]. Но граница раздела в [6] не предполагалась термокапиллярной свободной границей.

Разработке математических моделей конвекции, тепло- и массопереноса посвящены монографии [7, 8]. В них представлены постановки задач о гравитационной тепловой конвекции в системе двух несмешивающихся жидкостей, термодиффузионном движении и результаты исследований вопросов о конвективной неустойчивости системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела. Отметим, что вопросу формулировки условий на границе раздела уделяется особое внимание в [1,2,9-13]. В [14] предложен обзор результатов о

построении обобщений решений Бириха для задач двухслойных течений несмешивающихся жидкостей, также при наличии концентрационных эффектов.

В настоящей работе изучается стационарная конвекция жидкости и газа (смеси газа и пара) на основе точных решений системы уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска [15]. Поскольку верхний слой представляет собой смесь газа и пара жидкости, следует рассмотреть также процесс диффузии газа с учетом эффекта Дюфура.

1. Точные решения задачи о двухслойных течениях с испарением. Пусть введены следующие обозначения: и, V — проекции вектора скорости на оси Ох и Оу декартовой системы координат; у' — модифицированное давление (отклонение от гидростатического давления), р' = р — РШ,  х; у — давление; Т — температура; С — концентрация пара в верхнем слое; р — плотность; V — коэффициент кинематической вязкости; х — коэффициент температуропроводности; В — коэффициент диффузии пара; /3 — коэффициент теплового расширения; 7 — концентрационный коэффициент плотности; коэффициент 6 характеризует эффект Дюфура. Пусть система координат выбрана таким образом, что вектор силы тяжести направлен противоположно оси Оу. На рисунке 1 изображена система двух бесконечных горизонтальных слоев вязких несжимаемых жидкостей с твердыми верхней и нижней границами у = 1г, у = — 1 и границей раздела у = 0.

Рис. 1. Геометрия области течения

В рассматриваемой задаче процессы динамики и переноса тепла в нижнем слое изучаются с помощью уравнений Обербека-Буссинеска [7]. Процессы динамики, теплопереноса и диффузии пара (как пассивной примеси) в верхнем слое описываются также уравнениями Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска и уравнением диффузии [7,15].

Следующие соотношения определяют скорость жидкости в нижнем слое, ее температуру и давление [15]:

_ д а I 1^4 , л У3\ , У2 , , (л\

и1 — —РДа2ХТ + А — ) + С^ — + С2У + Сз,

1/1 24 о 2

у'\ = РгЫ—Р^Ау + Оотг) + с1)х + 1ГА'7+

2 о

у7 у6 у5 у4 у3 у2 ~

+ А'б + — А’5 + — А’4 Ч—— А^з + — А^2 + — А’ 1 + у А’о + с3. 7 о 5 4 6 2

Т1 =

42 24г/1Х1

у , дА 1

Н----{---------

30 2Аи\х\ 2

6^1X1 У4 г с\А

}+

V° г Я А , , Сл ак у4 г с-\ А соак

20 6г/!Х1 2x1 о 1212x1 XI

у3 с2А с3ак , у2 с3А

------1------} + т;--------1- У с4 + с5-

6 XI XI 2 XI

Продольная скорость, давление, температура и концентрация пара в верхнем слое представляют собой следующие зависимости:

3 4

и2 = -{^-(/32А + -уЬ1) + ^-(/?2 02 +-уЬ2)}+ (4) V2 о 24

у2

+С1— + с2у + с3,

2 2

Р2^2 (— {р2 {Ау + а\ ) + 7(611/ + Ъ2 )}с! )ж+ у2 I I

Р 2

, у8т , у7т , у6т , уЪт , у4т , у3т ,

+ 7Г«7 + ^“«'6 + тг«5 + —К4 Н—;г«'з + “гк2 + 8 7 6 5 4 3

у2 — —

+ ^~к1 + ука + с4,

Т2 = (А + а\у)х +

У

У

720

дА

1008

Ь2 д/32а% Б[ 1у2

да\

1Х2^2 тМ,

1У2

{/32а% + 762)—

1X2^2

61 ,<7/-32о^

002

4X2^2

(/32-4 + 761) —

5,762 N + 51761))

и2

- Ь\, д/32А

г/2 ' £> 1/2

190, — (^А + ^ + ^к.-бС-^С-------------------+-

120 1X2^2 3X2^2 и ^2

97ь1 ч , ь2Л , У4 Г 0^С1 <?^4с2 61

—> + в-Н + й + -Нс'п+

у3

62

6

ЬХ2^2

з(Ас2 + о^сз) 61 62,

------------------Й(с2— + с3 —,

Х2^2 и V

У1

" 2

З^сз 61

---------дез —

I Х2^2 -0-1

+ ус4 + с5,

С = (61 + Ъ2у)х +

У

У

720

У5

120

1008

3762

Ъ2 д/32а% + дф2 .

г/2

г/2

61 ^д/?2«2

-П г/2 ‘ щ ' ‘ ип г/2

&1 ,3/?2^4 3761 62 1 у4

+м

Г- &1 - -

ТСз д + СбУ + с?-

61 ^ 6о

С1-------|-2с9 —

У_ " 6

_ 61 _ 62

С2Д

При этом полагается, что г’,, = 0 (г = 1,2). Здесь = _р! + рду, у2 = у2 + рду, а коэффициенты А’о, •••, А*7, А’о, •••, А*7, имеют вид:

А'7 = ТА'6 = ш^1)2-^-0^’ 1008 ^1X1 144 г/1Х1

^3 = 77

кв = -^-дРіМ—[ЗіА+ ^),

120 V іхі Хі

кі = ^9Р^1 (сіА + 2с2аІ),

^(сіА + сзаЦ *2 = ±^<*Д 6 Хі 2 хі

к1=др1/31с4, к0 = др1і31с5,

Г _ Р29

1008

^2[-^2-(^2а;

Х2^2

_М(Ф2<4_

V2

9^2 Ь2 ,д(32а?2

------)] +7Т7І-----------

г/2 Т> г/2

іЬ2)-9іЬ2-

V 2

/гй =

Р29

720

/32[-^-(/?2аІ+7Ь2)-

Х2^2

4X2^2

(/324 + 7бі)-

Ьі #/32а|

-й(с(—

Т> г/2

9іЬ2 Ь2 д/32А

У2 ] ВК у2

дф2 | ^ #/?2А г/2 Т> г/2

97^1

^2

5П^і

))] + )]

2. Пусть на твердых границах температура распределена линейно относительно продольной координаты:

Т\\у=-\ = А\х-\-•& , Т21 у=11 = А2х +$+.

Полагая А, Д = А + а2( — 1), А2 = А + а2к заданными константами, находим а2, а2. Заданные параметры и $+ определяют поперечный перепад температуры.

3. Условие для концентрации пара в газовой среде используют в двух вариантах. В первом полагаем, что поток концентрации на верхней границе равен нулю:

д С,

ду

0.

Второй вариант состоит в предположении, что концентрация пара на верхней границе равна нулю [6]:

С\у=н = 0.

4. На границе раздела сред выполняются условия непрерывности скорости и температуры:

мі(0) — м2(0), Ті 1^=0 — Т2\у=о.

Т Р29

=------

120

І32[-^^{І32А + фі) + да<2Сі

Х2^2

3X2^2

^Ьі др2А дфг Ъ2

+ ^) + в3с1)]+

Ьі (д(32А дфг Ъ2  +7+ —) + 7^3сі]

и 2 ^2 ^2 и 2

г Р2д

кл = ----------

24

о іЗАСі дАс2 Ьі Ъ2

Р2 [------------------------------------+ 77-<ЧС177 + 2с2 — )]+

Х2^2 2х2г/2 О 1)

. Ь і Ъп.

+7(с1-^ + 2с2 —,

к3 = ^ в

д

-З(с2^+с3^)} +

Х2^2

Ь і ъ2

+7(с2-------Ь с3 —,

д Д Т»Л

к2 =

Р2д

о ,дАсз Ъг _Ъг

Р2 [----ос3— +7с3 —

Х2^2 О VI

к\ = Р2д[@2С4 + 7сб], к0 = р2д[/32с5 + 7С7].

Все неизвестные константы (так называемые константы интегрирования) будут определены с помощью граничных условий задачи.

2. Граничные условия на твердых границах и на границе раздела.

1. На верхней у = к и нижней у = — 1 твердых непроницаемых границах должны быть выполнены условия прилипания:

и2(]г) = 0, и\{ — 1) = 0.

5. Распределение температуры также удовлетворяет условию теплопереноса, учитывающего эффект Дюфура:

5Т1 912 А ЭС\ ХМ <Л1\

К1^7-----«2^7-----0К2 — \у=0 =-лм0.

ду ду ду

Здесь А — теплота испарения; Мо — масса жидкости, испаряющейся с единицы площади поверхности в единицу времени; К\ и к2 — коэффициенты теплопроводности.

6. Уравнение баланса масс на границе раздела имеет следующий вид:

дС ду

Мо — —Вр2-^-\у=о-

7. Концентрация насыщенного пара находится с помощью уравнения Клапейрона-Клаузиуса:

А р

С\у=о = С*ехр

ІНТ2

т,

2\у=0

Здесь С„_ — концентрация насыщения пара при Т2 = 0; р — молекулярный вес испаряющейся жидкости; Д — газовая постоянная; То - температура, принятая за начало отсчета (например, 20 °С’) [6]. Для не слишком больших значений Т2 может быть использовано линеаризованное уравнение:

А р

С|у=0 —С*[1+єТ2|у=0], є

КТ2'

8. Кроме вышеперечисленных условий на границе раздела двух сред должны выполняться кинематическое и динамическое условия. Кинематическое условие выполняется автоматически, исходя из вида функции скорости (см.: [15]). Проекция динамического условия

на касательный вектор записывается следующим образом:

О. т

Р\У\и\у = Р2^2'и2у + аТ-^Г:

где ат — температурный коэффициент поверхностного натяжения а. Пусть имеет место линейная зависимость поверхностного натяжения от температуры (а = а о + а т{Т — То). 3 случае нормального термокапиллярного эффекта имеем ат < 0.

9. Так как рассматривается случай недеформи-руемой границы, то будем использовать условие замкнутости потока (см.: [6,7]):

/0 г-Н

и\

С помощью заданных условий (8)—(17) определяются константы С1, со, сз, с4, С5, сГ, сГ, <57, сз, С4, С5, Мо для нахождения профилей скорости и температуры для обеих сред и концентрации пара в газе (формулы (1), (4), (3), (6), (7)).

3. Примеры двухслойных течений. В работе проводятся исследования течения бензина, сопровождаемого потоком воздуха, содержащего пары бензина [6]. Пусть высота нижнего слоя 1 см, а верхнего — /? см. Значения основных параметров задачи в данном случае таковы: р\ = 0.73 (г/см3) — плотность жидкости, ро = 1.35 • 10~3 (г/см3) — плотность газа, 1У\ = 7  10~3 (см2/сек) — коэффициент кинематической вязкости жидкости, щ = 0.135 (см2/сек) — коэффициент кинематической вязкости газа, !3\ = 1.06 • 10~3 (К-1) — ко-

эффициент теплового расширения жидкости, ро = 3.66 • 10~3

— коэффициент теплопроводности жидкости, к*2 = 0.622-10~4

— температурный коэффициент поверхностного натяжения, О = 0.092 (см2/сек) — коэффициент диффузии пара в верхнем слое.

На рисунках 2 (д = 981 см/сек2) и 5 {д = 9.81 см/сек2) представлены профили скоростей течений бензина и воздуха при различных значениях продольного градиента А\ температуры, заданной на нижней твердой границе (при у = — 1). Для концентрации паров бензина на верхней границе у = 1г используется условие (11) (поглощение пара). Этому условию соответствует задание градиента температуры А = 0 (см. (3), (6)).

Аналогично может быть рассмотрена система «жидкость — газ», где роль испаряющейся жидкости играет этанол, а газ, под действием которого происходит испарение, — азот [10]. Тогда будут

и

Рис. 2. Случай граничного условия (11) для концентрации пара. Профили скоростей в системе «бензин— воздух» при различных значениях продольного градиента температуры Ах, заданного при у = — 1. Здесь /? = 1, д = 981

иМ

Рис. 3. Случай граничного условия (11) для концентрации пара. Профили скоростей в системе «этанол— азот» при различных значениях продольного градиента температуры Ах, заданного при у = — 1. Здесь /? = 0.5, д = 981

использоваться следующие значения параметров: р\ = 0.79 (г/см3) — плотность жидкости, р2 = 1.2 • 10~3 (г/см3) — плотность газа, щ = 0.015 (см2/сек) — коэффициент кинематической вязкости жидкости, V2 = 0.15 (см2/сек) — коэффициент кинематической вязкости газа, /?1 = 1.08 • 10~3 (К-1) — коэффициент теплового расширения жидкости, р2 = 3.67 • 10~3 (К-1) — коэффи-

иМ

Рис. 4. Случай граничного условия (10) для концентрации пара. Профили скоростей в системе «бензин— воздух» при при различных значениях продольного градиента температуры А. Здесь /? = 0.5, А і = 4-Ю-3, д = 981

Ш

Рис. 6. Случай граничного условия (11) для концентрации пара. Профили скоростей в системе «этанол— азот» при различных значениях продольного градиента температуры Ах, заданного при у = — 1. Здесь /? = 0.5, д = 9.81

т

Рис. 5. Случай граничного условия (11) для концентрации пара. Профили скоростей в системе «бензин— воздух» при различных значениях продольного градиента температуры Аі, заданного при у = — 1. Здесь /? = 1, д = 9.81

и

Рис. 7. Случай граничного условия (10) для концентрации пара. Профили скоростей в системе «бензин— воздух» при различных значениях продольного градиента температуры А. Здесь /? = 0.5, Аі = 4 • 10~3, д = 9.81

циент теплового расширения газа, 7 = —0.62 — концентрационный коэффициент плотности, є =

0.01

- коэффициент теплопроводности жидкости, ат = —0.08 (дин/(см-К)) - температурный коэф-

фициент поверхностного натяжения, В = 0.135 (см2/сек) - коэффициент диффузии пара.

Рисунки 3 (д = 981 см/сек2) и 6 (д = 9.81 см/сек2) иллюстрируют профили скоростей течений этанола и азота при различных значениях продольного градиента температуры А\ в условиях нормальной и слабой гравитации, соответственно. Концентрация паров этанола на границе у = 1г в этом случае удовлетворяет условию (11).

На рисунках 4 (д = 981 см/сек2) и 7 (д = 9.81 см/сек2) представлены профили скоростей двухслойных течений бензина и воздуха при различных значениях продольного градиента температуры А в случае равенства нулю потока пара на верхней границе у = к вместо условия (11).

Заключение. Точные решения, построенные для уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска, описывают стационарные двухслойные течения жидкости и газа с учетом испарения жидкости на недеформируемой термокапиллярной границе раздела. При этом на твердых непроницаемых границах выполнены условия прилипания, задано линейное относительно продольной координаты распределение темпера-

туры. Исследования проведены в случае, когда на твердой границе слоя, заполненного газом, предполагается выполнение одного из двух условий: равенство нулю потока пара или поглощение пара границей. На границе раздела выполняются кинематическое и динамическое условия, условия непрерывности скорости и температуры, а также условие теплопереноса, баланса массы и соотношение, определяющее концентрацию насыщенного пара. Постановка задачи дополнена условиями замкнутости потоков. Примеры двумерных течений представлены в виде профилей скорости для систем «жидкость-газ» вида «бензин-воздух» и «этанол-азот» в условиях нормальной и слабой гравитации.

Библиографический список

1. Iorio С.S., Goncharova O.N., Kabov О.А. Study of evaporative convection in an open cavity under shear stress flow // Microgravity Sci. Technol.

- 2009. - №21(1).

2. Iorio C.S., Goncharova O.N., Kabov O.A. Heat and mass transfer control by evaporative thermal pattering of thin liquid layers // Computational Thermal Sci. — 2011. — №3(4).

3. Гончарова O.H., Кабов O.A. Гравитационно-термокапиллярная конвекция жидкости в горизонтальном слое при спутном потоке газа // Доклады FAH. — 2009. — Т. 426, №2.

4. Goncharova O.N., Kabov O.A. Mathematical and numerical modeling of convection in a horizontal layer under co-current gas flow // Int. Journal of Heat and Mass Transfer. — 2010. — Vol. 53.

5. Бирих P. В О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. — 1966. - №3.

6. Шлиомис М.П., Якушин В.И. Конвекция в двухслойной бинарной системе с испарением / / Гидродинамика. — 1972. — №4.

7. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Современные математические модели конвекции. — М., 2008.

8. Andreev V.K., Gaponenko Yu.A., Goncharova O.N., Pukhnachov V.V. Mathematical models of convection (de Gruyter Studies in Mathematical Physics. — Berlin; Boston, 2012.

9. Гончарова O.H. Математическая модель формирования сферических оболочек в условиях кратковременной невесомости // Динамика сплошной среды. — 1987. — №82.

10. Гончарова О.Н. Моделирование течений в условиях тепло- и массопереноса на границе // Известия АлтГУ. - 2012. - №1/2(73).

11. Margerit J., Colinet P., Lebon G., Iorio C.S., Legros J.C. Interfacial nonequilibrium and Benard-Marangoni instability of a liquid-vapor system // Phys. Rev. - 2003. - Vol. E 68.

12. Кузнецов В.В. Условия переноса теп-

ла и массы на границе раздела «жидкость—газ» при диффузионном испарении // Journal of

Siberian Federal. Mathematics and Physics. — 2010.

- Vol. 3(2).

13. Братухин Ю.К., Макаров С.О. Конвекция в двухслойной бинарной системе с испарением // Термо- и концентрационно-капиллярные эффекты в сложных системах/ — Екатеринбург, 2003.

14. Андреев В.К., Бекежанова В.Б. Устойчивость неизотермических жидкостей. — Красноярск, 2010.

15. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Моделирование двухслойных течений с учетом испарения на границе раздела на основе точных решений. Часть 1 // Известия АлтГУ. — 2013. — №1/1 (77).