Временная зависимость скорости свободного падения парашютиста

УДК 797.5:531.355

ВРЕМЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПАРАШЮТИСТА

В.В. Лобанов

Рассмотрена задача о свободном падении тела в воздухе применительно к затяжному прыжку парашютиста. Получена формула скорости свободного падения как функции времени. Предложен метод контурного прямоугольника для оценки пути парашютиста при свободном падении. Для конкретного практического случая приведены временные графические зависимости для скорости, ускорения и силы сопротивления воздуха при свободном падении парашютиста.

Ключевые слова: свободное падение, парашютист, скорость, контурный прямоугольник, двойные секущие, путь.

Разработка программы выступления парашютиста в соревновательном цикле начинается с идеомоторной подготовки тренера и спортсмена на земле, мысленно они прокручивают ее выполнение в воздухе в процессе прыжка: отделение от самолета, выполнение акробатических фигур в свободном падении, раскрытие купола и приземление. Все эти действия происходят во времени при снижении с изменяющейся какое-то время скоростью и различной силой сопротивления воздуха, поэтому парашютисту еще до начала выполнения тренировочных прыжков было бы целесообразно теоретически оценить и оптимизировать время разгона и запас высоты при выполнении фигур.

Свободное падение при парашютном прыжке является основой многих видов современного парашютного спорта. Задача зависимости скорости свободного падения парашютиста от времени сводится к задаче о движении тела в среде с сопротивлением, в данном случае о свободном падении тела в воздухе. Ее решение в виде рабочей расчетной формулы позволит оптимизировать момент начала и, возможно, последовательность выполнения в свободном падении акробатических фигур.

Будем рассматривать падение тела вдоль вертикальной оси с начальной нулевой составляющей скорости, считая при этом ускорение свободного падения, давление, температуру и плотность воздуха величинами постоянными. На рис. 1 показаны силы, действующие на свободно падающее тело.

я

/\

о

\/

а

хф * P=mg

Рис. 1. Свободное падение тела в воздухе: R- вектор силы сопротивления воздуха; а - вектор ускорения тела; g - вектор ускорения свободного падения; Р - вектор силы тяжести; т - масса тела; х - направление оси ох

По второму закону динамики

та = Р + Я

В проекциях на ось ох

та = Р — И,

где И = 0,5схрБу2 [1].

В этой формуле сх - коэффициент сопротивления, зависящий от формы падающего тела; р - плотность воздуха; 5 - площадь поперечного сечения тела, перпендикулярная оси ох(мидель); V - скорость падения тела.

Тогда с учетом Р = 'т^

Обозначим

йм _

аь = ^ р

2 2 Р

ъ =

и (3) принимает вид

сх р5'

I1У

& = £ Т1

После разделения переменных и интегрирования [2] получаем выражение

1

— 1п 2 Ь

Ь + V

Ь — V

= —г + с,

ъ

где С - произвольная постоянная.

Найдем ее значение: при £=0 начальная скорость тела равна нулю, отсюда С = 0. Теперь выражение (4) преобразуется к виду

1п

Ь + V

Ь — V

После потенцирования приходим к формуле

V = Ь

ехр — 1

ехр

т

+1

Очевидно, что при t=0 скорость у=0, а при ^да скорость у^Ъ=упр . Предельную скорость падения упр находим из условия Р = И

= (2тЕ\1/2

V

пр

\Cxps)

Таким образом, окончательная формула для скорости тела при свободном падении в воздухе, как функции времени имеет вид:

V = V,

пр

ехр

\Упр )

ехр

\Упр )

+1

Чтобы изобразить график данной функции, рассмотрим конкретную практическую задачу: затяжной прыжок парашютиста общей массой вместе с парашютом, т. = 100 кг. В свободном падении с высоты примерно 2000 м он летит плашмя лицом вниз с разведенными руками с коэффициентом сопротивления сх = 0,30 [3]. Мидель 5 = 0,80 м . Плотность воздуха при давлении 740 мм рт. ст. и температуре +15 0С, рассчитанная из известного уравнения Клапейрона - Менделеева [4], составляет р=1,20 кг/м . Постоянство давления, температуры и плотности воздуха в данном случае не является грубым приближением.

Предельная скорость свободного падения, полученная по формуле (5), составляет упр =82,5 м/с. Тогда график зависимости полученный с помощью формулы (6), имеет вид, представленный на рис. 2. Видно, что с увеличением времени скорость свободного падения асимптотически приближается к ее предельному значению и уже через 22 с составляет от него 99 %, или 81,7 м/с. По истечении этого времени, близком к времени разгона, парашютист снижается уже с постоянной скоростью, равной предельной.

V, м/с

Рис. 2. Зависимость скорости свободного падения парашютиста

от времени

Путь, который пролетел бы парашютист за время, когда его скорость стала V = 81,7 м/с, можно оценить с помощью изображенного на рис. 2 графика по предлагаемому нами методу двойных секущих контурного прямоугольника. Вертикальная сторона контурного прямоугольника в выбранном масштабе равна скорости падения, а горизонтальная - времени достижения этой скорости. Площадь такого прямоугольника численно равна пути парашютиста, если бы он падал с постоянной скоростью V. Секущие проводятся параллельно осям ординат и абсцисс с разумным шагом в несколько миллиметров, и по ним определяются расстояния в миллиметрах до графика снизу и справа, а также длины соответствующих сторон прямоугольника по каждой из секущей. Для нахождения пути берется сумма длин всех секущих под графиком, относится к общей сумме длин секущих контурного прямоугольника и умножается на путь, который пролетел бы парашютист, падая с постоянной скоростью V. В нашем случае путь парашютиста, который он пролетел в свободном падении за 22 с, составляет L=1350 м. Подобным образом можно рассчитать путь и за любое меньшее время. Погрешность при оценке пути, найденная предложенным методом по калибровочному графику стандартной линейной зависимости, не превышает 5=±3 %. Путь же при снижении с постоянной предельной скоростью свободного падения рассчитывается по обычным законам механики.

Построим зависимость ускорения «а» от времени при свободном падении парашютиста. Для этого проведем графическое дифференцирование ДуШ кривой, изображенной на рис. 2. Интервал времени Дt примем равным 1 с, а соответственное изменение скорости за

это время будет Дт\ Данная зависимость показана на рис. 3. Видно, что ускорение уменьшается от значения а = g в начальный момент прыжка и асимптотически стремится к нулю с увеличением времени, то есть с приближением скорости свободного падения в воздухе к значению предельной скорости.

а, м/с2 12 10 8 6 4 2 0

г, с

Рис. 3. Зависимость ускорения от времени при свободном падении

парашютиста

Зная как изменяется со временем ускорение при свободном падении, с использованием формулы (1) легко построить график временной зависимости силы сопротивления воздуха R, что может помочь скорректировать последовательность выполнения акробатических фигур в воздухе. Вид графика представлен на рис. 4, где сила сопротивления измеряется в ньютонах, а время падения - в секундах.

Д,Н

1200

1000 800 600 400 200

0 -г-т-т-,

0 10 20 30

1-е

Рис. 4. Зависимость силы сопротивления воздуха от времени при свободном падении парашютиста

С увеличением времени значение силы сопротивления стремится к предельному Япр, определяемому по формуле

Япр = 0,5 схрБу2р = mg.

Таким образом, полученная формула (6) временной зависимости скорости свободного падения тела в воздухе может быть применима для оценки и оптимизации времени разгона до выполнения акробатических фигур при парашютном прыжке. Предложенный для оценки пройденного при падении с изменяющейся скоростью пути метод двойных секущих контурного прямоугольника поможет рассчитать запас высоты, никогда не бывающий лишним. Зависимости ускорения парашютиста и силы сопротивления воздуха от времени также могут быть использованы в тренировочном цикле парашютистов для разработки соревновательных программ.

Список литературы

1. Воздушно-десантная подготовка / под ред. И.И. Лисова. М.: Воениздат, 1977. 223 с.

2. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. 228 с.

3. Шайкин В.И. Концентрация внимания. Глеб Евгеньевич Котельников: новые материалы и исследования. Рязань: РВВДКУ, 2012. 157 с.

4. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа, 1987.

360 с.

Лобанов Вячеслав Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доц., зав. научно-методическим центром, Lobanov-46@yandex. ru, Россия, Екатеринбург, Уральский государственный военно-исторический музей

TIME DEPENDENCE OF THE SPEED OF FREE FALL PARACHUTIST

V. V. Lobanov

The problem about a free falling body in the air with regard to prolonged jump of the parachutist is considered. The formula of speed offree fall as a function of time is received. The method of a planimetric rectangle for assessment of a way of the parachutist in case offree fall is offered.For a specific practical case graphical dependences for speed, accelerations and forces of resistance of air are given in case offree fall of the parachutist.

Key words: body, free fall, parachutist, speed, planimetric rectangle, double secants,

way.

LobanovVyacheslavVladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, head the scientific and methodical center, Lobanov-46@yandex. ru, Russia, Ekaterinburg, Ural State Military and Historical Museum