Математическое моделирование предельных деформаций плоских конструкций, армированных вдоль криволинейных траекторий

где m°i, u02 - известные функции, задающие кинематические условия на граничном контуре Гм; у2 -функции, обратные к функциям, определяющим контур Гм.

Детерминантным методом установлено, что система (5) является системой эллиптического типа и при задании краевых условий имеет одно решение.

В работе строится численный алгоритм для определения предельных деформаций эксцентрического кольца, армированного вдоль семейств координатных линий биполярной системы координат. Изучается уровень предельных нагрузок для различных вариантов структурных параметров (углов армирования, начальной интенсивности армирования, материалов связующего и армирующих волокон, величины эксцентриситета кольца).

Библиографические ссылки

1. Nemirovsky Yu. V. On the elastic-plastic behaviour of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. No 12. P. 898-903.

2. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск : СФУ, 2010. 136 с.

3. Федорова Н. А. Моделирование деформирования плоских конструкций со сложными криволинейными структурами армирования // Вестник СибГАУ. 2011. Вып. 3(36). С. 92-98.

References

1. Yu. V. Nemirovsky. On the elastic-plastic behaviour of the reinforced layer . Int. J. Mech. Sci., 1970. No 12, pp. 898-903.

2. Nemirovskij Ju. V., Fedorova N. A. Matematicheskoe modelirovanie ploskih konstrukcij iz armirovannyh voloknistyh materialov. Krasnojarsk : SFU, 2010. 136 s.

3. Fedorova N. A. Modelirovanie deformirovanija ploskih konstrukcij so slozhnymi krivolinejnymi strukturami armirovanija // Vestnik Sib. gos. ajerokosmich. un-ta. 2011. Vyp. 3(36). S. 92-98.

© Федорова Н. А., Панкрац Д. А., 2013

УДК 539.3+539.4

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ, АРМИРОВАННЫХ ВДОЛЬ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Н. А. Федорова

Сибирский федеральный университет Россия, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26. E-mail: ran@akadem.ru

На основе структурной модели в рамках плоской неоднородной линейной задачи упругости решена задача рационального армирования криволинейными волокнами. Изучено влияние структурных параметров на предельное нагружение конструкции.

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории.

MATHEMATICAL MODELLING FOR EXTREME DEFORMATIONS OF PLANAR CONSTRUCTIONS REINFORCED WITH CURVILINEAR TRAJECTORIES

N. A. Feodorova

Siberian Federal University 26, Kirenskiy str., Krasnoyarsk, 660074, Russia. E-mail: ran@akadem.ru

The problem of curvilinear fibers rational reinforcement is solved by reference to the structural model within the heterogeneous liner elasticity problem. The effect of structural parameters for a construction limit stressing is studied.

Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories.

Предлагается армирование конструкции по криволинейным траекториям проводить на основе трех подходов: по сетке координатных линий ортогональной системы координат, определяемой заданным конформным отображением [1; 2]; по изогональным

траекториям, построенным к данным кривым [3]; по спиралевидным траекториям в осесимметрической постановке задачи [4].

В настоящей работе в качестве примера армированной конструкции рассматривается растяжение

Прикладная математика и механика

трехслойного диска под действием центробежной силы в полярной системе координат (г, 6). В диске учитываются усилия Ыг, Ы6, Ыг6 как сумма усилий в изотропном слое (Ыг1, Ы61, #г61) и армированном слое (Ыг2,Ы62,#г62), рассматриваются окружные и радиальные перемещения.

Пусть диск насажен на вал радиуса г0, внешний

контур диска г1. С диском жестко соединены лопатки, наружный контур лопаток г2. Диск и лопатки вращаются внутри кожуха турбинного аппарата радиуса

^ гз > г2 > г1 > Г,.

Сформулируем уравнения равновесия конструкции в усилиях Ыг, Ы6, Ыг6:

Соотношение Коши имеет вид

ёЫг N - N

= Ф

Г6+ 2^ = Ф 2.

ёг г 1' ёг г

В (1) усилия записываются как суммы усилий в слоях:

Ыг = ЫГ1 + Ыг 2; #6 = #61 + Ы62; ЫГ6= ЫГ61 + #г62.

Массовые силы Ф1, Ф 2 вычисляются по формулам

^ ^ 2 ^ V ё ю

Ф1 = Фгю г, Ф2 = т —г, где ю - угловая скорость.

Ж

В настоящей работе считаем, что угловая скорость ю не зависит от времени, Ф2 = 0 (установившийся режим). Находим Фг =Фг1 +Фг2. Вводим обозначения

Фг1 = т1 Фг2 = mVй2, т* = тV + mV, т^, mV -удельные массы защитных (изотропных) и армированного слоев, Н1, Н2 - толщины защитных и армированного слоя, Н1 + Н2 << г1, т совпадает с плотностью материала р01. Для армированного т семействами волокон слоя выполняется

т = р02

к к

где введены обозначения р02 - плотность материала связующего армированного слоя; рк - плотность материала к -го семейства армирующих волокон; юк - интенсивность армирования к -м семейством волокон.

Исходя из введенных выше предположений, связь между усилиями и напряжениями стг, ст6, стг6 в рассматриваемых слоях примет вид:

#г1 = ^г1h1, 2 = СТг2К #61 ^И^

#62 =СТ62К #г61 = CTг61h1, #г62 =СТг62К

где к1 (г), (г) - заданные толщины защитного слоя и армированного слоя как функции радиуса. Ввиду жесткого соединения слоев деформирование в слоях диска происходит совместно:

иг = иг1 = иг2 ; ^ = им = и62 .

иг

86 = 861 = 862 =

8г = 8г1 = 8г 2 =

ёг

= = =

ёи 6 и 6

ёг г

Сформулированная задача (1) является статически неопределенной, необходимо привлечь связь напряжений с деформациями.

Для армированного слоя диска связь между напряжениями и деформациями с криволинейными траекториями армирования установлена на основе структурной модели в виде [4]

СТг 2 = а11£г + а12 86 + а13 8г6 ,

СТ62 = а21ег + а22 86 + а238г6,

СТг62 = а31£ г + а32 86 + а338г6

Полученные в [4] коэффициенты а^

учитывают все структурные характеристики материалов связующего и армирующих волокон: число семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокон, интенсивность и тригонометрические функции углов армирования, входные данные технологического процесса.

Для построения замкнутой системы разрешающих уравнений сформулируем задачу в перемещениях иг ,и6. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенную относительно производных от радиального и окружного перемещений, моделирующую растяжение трехслойного диска под действием центробежной силы:

4

ё 2и„

ёг2

ёи6

- + Бг

ё 2и 6

ёг2

+ ^

ёиг

ёг

+ д —6+ЕЕ1иг + г1и6 = Фг

А2

ёг

ё 2и,

+ А

ёг

ёи

2 + Б2"

ё 2и 6

ёг

2 + С2"

ёи„

ёг

ёг

+ЕЕ2иг+г2и 6=Ф6.

Коэффициенты в (3) находим как функции радиуса после задания углов армирования, определения ин-тенсивностей армирования и начальных условий технологического процесса. К системе (3) присоединим краевые условия: а) на внутреннем контуре г = г0

предполагаем, что диск жестко закреплен, смещения отсутствуют; б) на внешнем контуре заданы усилия

N(г1) = К^2, Ыг6(г1) = К^2, где К1,К2- экспериментально определяемые значения.

При проектировании диска необходимо установить предельную угловую скорость вращения. Будем рассматривать диски различных структур: спиралевидные, радиально-окружные, «спицы велоколеса» и их комбинации [4].

Для численного решения обезразмеренная система сводится к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка, затем строится разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и краевые условия со вторым поряд-

ком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей решается методом ортогональной прогонки. В работе численные результаты получены для дисков постоянной толщины.

Наиболее важной рабочей характеристикой турбинного диска, определяющей его несущую способность, является максимальная допустимая угловая скорость вращения. Исследовано влияние структуры армирования на данный параметр.

В таблице приведены предельные скорости вращения диска для трех типов структур армирования керамическими волокнами. Первая структура - траекториями армирования являются семейства спиралей Архимеда и логарифмических спиралей (Л+Ь), вторая структура - семейство спиралей Архимеда и «спицы велоколеса» (Л+У), третья структура - семейство логарифмических спиралей и «спицы велоколеса» (Ь+У).

Зависимость предельных значений числа оборотов в минуту п от структуры армирования

Структура армирования n

Однородный титановый диск 10 000

Армированный титановый диск, структура (Л+Ь) 18 500

Армированный титановый диск, структура (Л+У) 19 000

Армированный титановый диск, структура (Ь+У) 18 500

Из таблицы видно, что может быть достигнуто существенное увеличение предельной скорости вращения армированного диска газовой турбины за счет выбора структуры армирования.

Библиографические ссылки

1. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск : СФУ, 2010. 136 с.

2. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Армирование плоских конструкций по криволинейным траекториям // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Самара, 2010. Вып. 5(21). С. 96-104.

3. Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2011. Т. 4, № 3. С. 400-405.

4. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Самара. 2013. Вып. 1(30). С. 233-245.

References

1. Yu. V. Nemirovsiy, N. A. Feodorova. Mathematical modeling of flat structures made of reinforced fiber materials. Krasnoyarsk : Sib. Fed. Univ., 2010. 136 pp.

2. Yu. V Nemirovsiy, N. A. Feodorova, Reinforcement of Planer Structures along Ortogonal Curvilinear Trajectories // Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010, no 5 (21). Pp. 96-104.

3. N. A. Feodorova. Modeling for reinforced with isogonal trajectories ring-shaped lamels in polar coordinate system . J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2011. Vol. 4, no. 3. Pp. 400-405.

4. Yu. V Nemirovsiy, N. A. Feodorova Study of curvilinear reinforcement rational structures in polar coordinate system // Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2013, no 1 (30). Pp. 233-244.

© Федорова Н. А., 2013

УДК 519.651

ОЦЕНКА РАЗРЫВОВ И АНОМАЛЬНЫХ ВЫБРОСОВ В ФИНАЛЬНЫХ ОРБИТАХ ОБРАБАТЫВАЮЩИХ ЦЕНТРОВ IGS

С. П. Царев, С. А. Лобанов

Сибирский федеральный университет Россия, 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26. E-mail: sptsarev@mail.ru

Исследуется наличие разрывов и аномальных выбросов в финальных орбитах спутников GPS, предоставляемых IGS (International GNSS Service). Как показывают результаты расчетов за период 27.12.2009 г. -01.01.2011 г., в соответствующих файлах в формате SP3 присутствуют около 25 аномальных разрывов (величиной до 100 м).

Ключевые слова: GPS (Global Positioning System), орбиты, точность.