Модель для описания статической рекристаллизации по механизму миграции участков исходной большеугловой границы

УДК 539.3

Модель для описания статической рекристаллизации по механизму миграции участков исходной большеугловой границы

П.В. Трусов, Н.С. Кондратьев, А.Ю. Янц

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Управление процессами неупругого деформирования поликристаллов с целью формирования требуемыж рабочих характеристик готовых изделий невозможно без анализа эволюции структуры материала на различныж масштабныж уровнях. Актуальной задачей является создание физически обоснованньж математических моделей для описания эволюции внутренней структуры материала, поскольку последняя определяет его свойства. Для решения этой проблемы эффективным представляется многоуровневый подход к описанию термомеханической обработки кристаллических материалов, где в явном виде рассматриваются носители и физические механизмы протекающих процессов. Термомеханическое воздействие позволяет управлять дефектной и зеренной (субзеренной) структурой материала в широких пределах, обеспечивая получение требуемых макрохарактеристик. В работе исследована субзеренная (зеренная) структура, формирующаяся в результате статической рекристаллизации, реализуемой по механизму движения исходных участков большеугловой границы. Моделирование проводится в два этапа. На первом рассматривается пластическое деформирование кристаллического материала при комнатной температуре, на втором — выдержка при заданной повышенной температуре, приводящей к рекристаллизации. Оба этапа моделируются в рамках единого многоуровневого подхода. Рассматривается постановка задачи моделирования статической рекристаллизации, описывается алгоритм ее численной реализации. Приводятся результаты моделирования для бикристалла, в котором каждое зерно представляется множеством элементов более низкого масштабного уровня — субзерен. Рекристаллизация приводит к глубоким изменениям геометрии субзеренной структуры: меняются средний размер субзерен и их форма. Рекристаллизованные субзерна имеют более вытянутую форму по сравнению с исходными. В процессе рекристаллизации происходит замена дефектных зерен менее дефектными, что приводит к уменьшению запасенной в материале энергии. Разработанная модель позволяет качественно описать процесс высвобождения запасенной энергии. В численныж экспериментах установлено существование критического значения пластической деформации, до достижения которого при заданной температуре выдержки рекристаллизация не происходит.

Ключевые слова: статическая рекристаллизация, физические теории пластичности, зеренная/субзеренная структура DOI 10.24411/1683-805X-2019-12002

A model for static recrystallization occurring through strain-induced

boundary migration

P.V. Trusov, N.S. Kondratyev, and A.Y. Yanz

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

Control over the inelastic deformation of polycrystals with the aim of achieving required performance characteristics of finished products is impossible without an analysis of the structural evolution of the material at different scale levels. A major task in this respect is to develop physically sound mathematical models for describing the evolution of the internal structure because the latter determines the material properties. An effective tool for solving the above problem is a multilevel approach (crystal plasticity) to the description of the thermomechanical processing of crystalline materials, in which carriers and physical mechanisms of processes are considered explicitly. Thermomechanical processing allows a good control over the defect and grain/subgrain structure of the material to achieve desired macrocharacteristics. This paper explores the subgrain/grain structure evolution during static recrystallization that occurs through strain-induced boundary migration. Modeling is carried out in two stages. The first stage considers the plastic deformation of a crystalline material at room temperature. The second stage examines the process of aging at a given elevated temperature which leads to recrystalli-zation. Both stages are modeled within a unified multilevel approach. The problem of modeling static recrystallization is formulated, and an algorithm for its numerical implementation is described. The modeling results are presented for a bicrystal in which each grain is represented by a set of lower-scale elements, or subgrains. Recrystallization causes profound changes in the subgrain structure geometry. The average size of subgrains and their shape change. Recrystallized subgrains have a more elongated shape compared to the original ones. During recrystallization more defective grains are replaced with less defective grains, and as a result the energy stored in the material decreases. The developed model qualitatively describes the release of stored energy. Numerical experiments revealed a critical plastic strain value below which recrystallization does not occur.

Keywords: static recrystallization, crystal plasticity, grain/subgrain structure

© Трусов П.В., Кондратьев Н.С., Янц А.Ю., 2019

1. Введение

Существующие экспериментальные данные свидетельствуют о зависимости физико-механических свойств поликристаллов и эксплуатационных характеристик изделий из них от текущего состояния дефектной и зеренной структуры [1-5]. Вследствие этого одной из актуальных проблем механики деформируемого твердого тела является задача создания подходов и методов исследования эволюции структуры материала на различных масштабных уровнях, в первую очередь, на базе математического моделирования. Одним из наиболее эффективных является многоуровневый подход к описанию неупругого деформирования и физических процессов, сопровождающих это деформирование [610]. В рамках данного подхода существует принципиальная возможность учета взаимовлияния текущего состояния дефектной структуры и прикладываемых к материалу механических и температурных воздействий.

Основными структурными характеристиками поликристаллов являются средний размер зерна и плотность дислокаций. Влияние этих параметров на пластическое деформирование широко обсуждается в литературе [1115]. Неупругие деформации при низких и умеренных температурах приводят к существенному увеличению плотности дислокаций и упрочнению материала. При локальном превышении плотности дислокаций одного знака реализуется процесс фрагментации и образуются субзерна [16]. При продолжающихся пластических деформациях возможен переход субзерна в отдельное зерно. Размер зерна влияет не только на предел текучести (в соответствии с законом Холла-Петча), но также может приводить к изменению механизмов упрочнения [17]. Термическая обработка, часто осуществляемая после пластического деформирования, значительно видоизменяет структуру материала. В результате повышенной температуры в материале реализуются процессы возврата, полигонизации, коалесценции субзерен, рекристаллизации, фазовых переходов [18, 19]. Моделирование каждого процесса с позиции физики в рамках многоуровневого подхода является трудоемкой задачей, поскольку каждый процесс существенно видоизменяет дефектную и зеренную (субзеренную) структуру.

В работе рассматриваются основные этапы построения модели и результаты ее применения для исследования эволюции субзеренной (зеренной) структуры материала в результате статической рекристаллизации, которая происходит после предварительной пластической деформации на десятки процентов и последующего нагрева. В этом случае для многих поликристаллов наблюдается рекристаллизация, участки исходных фасеток большеугловых границ, состоящие из границ субзерен, начинают перемещаться [20, 21]. Движущей силой этого процесса является разность запасенной в ходе пластической деформации энергии в соседних субзер-

нах, имеющих общую большеугловую границу. Перемещение межзеренной границы, в результате которой поглощаются более дефектные зерна, ведет к уменьшению свободной энергии системы. Увеличение площади границы и соответствующей межзеренной энергии менее дефектного зерна препятствует ее перемещению.

2. Описание модели статической рекристаллизации

Рассматривается задача исследования статической рекристаллизации поликристаллического образца (представительного макрообъема) с использованием разработанной математической модели. На первом этапе моделируется предварительная пластическая деформация на несколько десятков процентов, на втором анализируется процесс рекристаллизации при изотермической выдержке материала при повышенной температуре (характерный диапазон температур составляет 0.40.6 гомологической температуры). Моделирование неупругого деформирования осуществляется с использованием многоуровневого подхода, применяется модификация двухуровневой статистической модели неупругого деформирования [22]. Ознакомиться с моделями для описания неупругого деформирования и алгоритмами их численной реализации можно в работах [6, 23, 24]. В разработанной модели в рассмотрение вводятся два масштабных уровня: мезоуровень I, соответствующий отдельному зерну поликристалла, и мезоуровень II, соответствующий субзерну рассматриваемого зерна. Другими словами, каждое зерно полагается состоящим из набора субзерен. На выбранных масштабных уровнях переменные модели, описывающие состояние рассматриваемого структурного элемента (напряжения, деформации и внутренние переменные), полагаются однородными. Для решения механической задачи холодного пластического деформирования с верхнего масштабного уровня на нижний передаются кинематические воздействия, полагается справедливой гипотеза Фойг-та — равенство градиентов деформации на уровне зерен F и субзерен £ С нижнего уровня на верхний возвращается ряд осредненных переменных модели — напряжения и запасенная энергия. При решении задачи рекристаллизации (выдержки при заданной температуре) полагается, что температура одинакова для всего представительного объема как для отдельных зерен в, так и субзерен 6. На уровне субзерен рассматривается процесс рекристаллизации, определяется новая геометрия субзеренной структуры вследствие миграции подвижных участков межзеренных границ. На уровень зерен передается изменение геометрии субзерен и осреднен-ная по объему субзерен величина запасенной энергии. Задача отделения зародыша рекристаллизации от его «родительского» зерна в отдельное (новое) зерно в данной работе не исследуется.

Используемая модификация статистической модели позволяет вводить в рассмотрение размеры и форму зерен и субзерен, а также задавать (предписывать) соседние элементы для моделирования их взаимодействия. Вследствие статистического характера модели существует возможность рассмотрения формы зерен (субзерен) без наложения условия сплошности заполнения этими элементами физического пространства. Полагается, что форма рассматриваемых структурных элементов (зерен и субзерен) с необходимой для решаемой задачи степенью точности может быть представлена произвольными параллелепипедами, которые определяются своими ребрами L, и 1г- соответственно ^ — номер ребра). Номера зерен и субзерен здесь и далее опускаются, если явно не оговаривается обратное. Для упрощения полагается, что в отсчетной конфигурации такие параллелепипеды являются прямоугольными, в пространстве ориентация этих параллелепипедов задается случайным образом по равномерному закону. Вследствие пластической деформации параллелепипеды становятся произвольными, а при рекристаллизации изменяются и длины их ребер. На основе экспериментальных данных определяется средний (характерный) размер зерен Rc и субзерен гс. По этим данным оценивается среднее число субзерен в объеме зерна N = = [^с/гс)3], где [ ] — целая часть числа. Для рассматриваемого зерна генерируется выборка из N субзерен. Длины 1г- определяются с использованием экспериментальных данных по закону распределения характерного размера субзерен, объем каждого субзерна вычисляется как V = (1) X12) • 13. Аналогично на основе экспериментальных данных определяются длины двух ребер Li для каждого зерна. Третье ребро этого зерна устанавливается из условия равенства объема зерна V = (Ь1X Ь 2 )• Ь3 и суммарного объема ранее определенных субзерен. По известным ребрам зерен Ьi и субзерен 1, определяются единичные нормали фасеток границ зерен N и субзерен п,:

N+2 =

Ь X и

+1

П-+2 =

Г X1

+1

С1,

а также площади граней зерен Si и субзерен si:

Si+2 = \Ь- Х Ьг+1, Si+2 = I1- Х 1г+1. В этих соотношениях индекс i определен по модулю 3. В результате однородной (на рассматриваемом масштабном уровне) упругопластической деформации из отсчетной в актуальную конфигурацию ребра параллелепипедов субзерен и зерен преобразуются как материальные отрезки:

1г- = f • 1,, Ь- = F • Ц.

Площади фасеток границ субзерен и зерен, а также нормали к ним в отсчетной (si, , п, , N,) и актуальной (5г-, З), , п 1, NN 1) конфигурациях связаны между собой согласно известным соотношениям механики сплошных

сред [25]:

^ = (п- • f-1 • f-т • п-)-1/2, ПП- = (п,- • f -1 • f-Т • п- )-1/2 fт • п-, З = (^ • F-1 • F-Т • N )-1/2, IV,- = (^ • F-1 • F-Т • N)-1/2FТ • N. В представительном объеме поликристалла для каждой фасетки N идентифицируются зерна, которые полагаются соседними. После этого формируется приграничный слой субзерен для всех фасеток зерен. Для этого по количеству N субзерен в зерне оценивается число субзерен, приходящихся на одну фасетку: N = [ N2/3 ]. Из имеющегося набора граничащие субзерна выбираются случайным образом и приписываются к данной фасетке. Далее устанавливается фасетка субзерна, которая полагается частью большеугловой фасетки границы зерна (рис. 1). Нормаль к такой фасетке субзерна п-составляет наименьший угол с нормалью фасетки зерна N. Таким образом, на уровне субзерен формируется ступенчатая фасетка границы зерна, которая на уровне зерна аппроксимируется плоским участком (рис. 1). При температурном воздействии субзерна из приграничного слоя являются потенциальными зародышами рекристаллизации, миграция границ которых начинается с участков большеугловой границы п-. Для рассматриваемого механизма рекристаллизации граничащими с субзернами соседнего зерна считаются только указанные фасетки субзерен с нормалями п-, которые имеют возможность для миграции. Прорастание фасетки п-зародыша рекристаллизации ведет к выделению новых плоских участков большеугловой границы, которые в данном исследовании для упрощения полагаются совпадающими с исходными фасетками зародышей рекристаллизации.

Рис. 1. Схема к формированию приграничного слоя субзерен (зародышей рекристаллизации) около фасетки большеугловой границы (отмечена толстой линией); стрелками отмечены нормали фасетки зерна и фасеток субзерен, которые полагаются принадлежащими участку большеугловой границы

В моделях статистического типа элементы одного масштабного уровня физически разделяются за счет различной взаимной ориентации кристаллической решетки по отношению друг к другу. Описание эволюции поворотов решетки в процессе пластической деформации, а также проблема разложения движения на квазитвердое и деформационное являются актуальной задачей нелинейной механики деформируемого твердого тела и мезомеханики [26-28]. В используемой физической модели неупругого деформирования явным образом рассматривается основной механизм неупругого деформирования — движение краевых дислокаций по наиплотнейшим плоскостям кристалла. Различная ориентация зерен (субзерен) по отношению к осям на-гружения обусловливает активацию (согласно критерию Шмида) различных систем скольжения. Это приводит к различной плотности дислокаций на системах скольжения и, соответственно, к разной величине запасенной на дефектах энергии. Для определения скорости изменения плотности (на единицу объема) запасенной энергии ¿8( используется соотношение

¿а = ао: dp = а-Р к: dp,

о Р

где о = р / р к — тензор напряжений Коши рассматриваемого кристаллита; р (р) — плотность материала в отсчетной (текущей) конфигурации; к — тензор напряжений Кирхгоффа, величина а характеризует долю пластической работы, запасаемой в теле. Энергия ¿8( в результате температурных воздействий может высвобождаться за счет процессов возврата и рекристаллизации. Первый из отмеченных процессов в рамках данной работы не рассматривается. Уменьшение в^ за счет рекристаллизации в объеме поликристалла происходит за счет поглощения дефектных зерен менее дефектными.

В работе рассматривается механизм рекристаллизации, основанный на движении участков исходных большеугловых границ, обусловленном предшествующей пластической деформацией и последующим нагревом [21]. Для описания этого процесса на уровне отдельных субзерен применяется критерий, предложенный Бейли и Хиршем [20], согласно которому уменьшение локальной объемной энергии за счет устранения дефектов должно быть больше увеличения зерногра-ничной энергии в результате увеличения площади границы при ее перемещении:

/ = ¿dst - ¿ф^/^ >

где Д — увеличение площади границы при изменении объема кристаллита (субзерна) на величину Дv в результате рекристаллизации; в^ — разность удельных (на единицу объема) запасенных энергий в соседних кристаллитах; вф — удельная (на единицу площади) энергия фасетки межзеренной границы. Следует обратить внимание, что соотношение (5) для движущей си-

27

лы рекристаллизации не допускает предельного перехода при стремлении размера зародыша рекристаллизации к бесконечно малому значению. Соотношение получено путем обобщения эмпирических данных, согласно которым характерный размер зародыша рекристаллизации по данному механизму составляет порядка микрометра [18-20].

Скорость миграции высокоугловых границ зерен для поликристаллических материалов без примесей определяется соотношением [29]

V = т/ >

где т — параметр мобильности границ зерен;/— движущая сила миграции границы. Параметр т зависит явным образом от температуры в форме закона Арре-ниуса, а также от наличия дефектов (зернограничных ступенек), влияющих на подвижность границы:

т = т0Рехр^-^,

где 6 — абсолютная температура; К — универсальная газовая постоянная; q — энергия активации процесса миграции межзеренной границы; т0 — предэкспонента в соотношении (7), имеющая смысл мобильности границ зерен при нулевой энергии активации q; в — параметр модели, который определяет подвижность границы за счет наличия в ней зернограничных ступенек:

Р = Ро + й-ЕДЪ,

i=1

где ДЬ(г) — единичный вектор Бюргерса дислокации ориентационного несоответствия г-й системы скольжения [30]; п — единичная нормаль фасетки границы; в0 — параметр, характеризующий начальное (до пластической деформации) количество зернограничных ступенек; N — число систем скольжения, выходящих на рассматриваемую фасетку границы.

Удельная энергия межзеренной границы е^ зависит от взаимной ориентации субзерен соседних зерен, ориентации фасетки границ субзерен по отношению к кристаллографической системе координат, типа решетки. Способ определения е^, основанный на модификации модели решетки совпадающих узлов, изложен в [31]. В общем случае у разных фасеток большеугловой границы различная межзеренная энергия. Это означает, что во втором слагаемом правой части соотношения для критерия рекристаллизации (5) необходимо проводить суммирование по всем участкам (фасеткам) границы растущего субзерна. Знак суммы и индекс фасетки границы в соотношении (5) опущен. На рис. 2 показана схема миграции границы по одной фасетке с нормалью п1, при этом увеличиваются площади фасеток с нормалями п2 и п3, последняя на рис. 2 не изображена и направлена перпендикулярно плоскости чертежа. Низкие значения межзеренной энергии вф фасеток п2 и п3 будут способствовать преимущественному перемещению фасетки п1, высокие, наоборот, замедлять. От-

11

-П1

Рис. 2. Схема к процессу миграции фасетки границы с нормалью п1

личие межзеренной энергии е^ различных фасеток п, является одной из причин анизотропии скорости миграции фасеток границ рекристаллизованного субзерна, особенно на начальной стадии этого процесса.

3. Алгоритм численной реализации модели рекристаллизации

Для решения поставленной задачи описания рекристаллизации необходимо ввести дополнительные гипотезы о взаимодействии зародыша рекристаллизации (субзерна из приграничного слоя зерна) с его окружением. В разрабатываемой модели рекристаллизации полагается, что одна фасетка рекристаллизованного субзерна может прорастать одновременно в несколько более дефектных субзерен соседнего зерна. С точки зрения модели это означает, что для каждой фасетки зародыша рекристаллизации определяется совокупность субзерен соседнего зерна, которые полагаются «прилегающими» к этой фасетке растущего субзерна (рис. 3). Вычисляются осредненные по этим субзернам величины, необходимые для реализации модели рекристаллизации, — запасенная энергия е8( и межзеренная энергии е^. В случае если для какой-либо фасетки зародыша рекристаллизации не выполняется критерий (5), то ранее предписанные субзерна соседнего зерна становятся «свободными» и могут быть поглощены другими растущими субзернами. Число субзерен соседнего зерна, приходящихся на мигрирующую границу, зависит от площади растущей фасетки, но ограничено числом субзерен в соседнем зерне. В начальный момент рекристаллизации только исходная большеугловая фасетка каждого зародыша рекристаллизации будет иметь возможность для роста. По мере ее прорастания в объем соседнего зерна появятся и будут определены другие фасетки зародыша рекристаллизации, не являющиеся участком исходной большеугловой границы. Для упрощения полагается, что такие фасетки совпадают с фа-

сетками зародыша рекристаллизации и определяются ребрами зародыша рекристаллизации 1 j. В случае увеличения площади фасетки границы растущего субзерна соответственно увеличивается число «прилегающих» субзерен соседнего (более дефектного) зерна. Это приводит к тому, что постепенно уменьшается число «свободных» поглощаемых субзерен, не приписанных ни к одной из фасеток. В конечном итоге возможность рекристаллизации за счет субзерен поглощаемого зерна исчерпывается; таким образом неявно моделируется процесс столкновения растущих рекристаллизованных субзерен между собой. Если отсутствуют соседние более дефектные зерна, то процесс останавливается. Устанавливается «очередность» поглощения прилагающих к растущей фасетке субзерен. После поглощения объема одного из субзерен на его место ставится «свободное» субзерно.

Одной из основных особенностей, которую должна позволять описывать разрабатываемая модель рекристаллизации, является эволюция геометрии субзеренной (зеренной) структуры. В работе предложен способ описания изменения геометрии как растущих, так и поглощаемых субзерен. Как отмечено выше, для зерен определяются соседние зерна, выделяются границы, по которым они контактируют. Предполагается, что фасетка границы зерна может мигрировать только в направлении своей нормали. На уровне отдельных субзерен с использованием модели рекристаллизации на каждом временном шаге вычисляется суммарный поглощенный субзернами рекристаллизованный объем dVr Этот объем должен быть «отнят» у поглощаемого зерна и добавлен к растущему. Ниже приведено соотношение для скорости изменения длины г'-го ребра зерна V1 при мигра-

ции фасетки границы по направлению NN 1 =

Рис. 3. Схема к формированию приграничной области растущего зерна из субзерен поглощаемых зерен

где Ух = — скорость изменения объема зерна за

счет рекристаллизации; Ц — единичный вектор в направлении ребра Ьг. Соотношение (9) выражает собой равенство скоростей изменения объемов зерна и составляющих его субзерен в каждый момент времени.

После моделирования первого этапа пластического деформирования известными являются следующие величины:

1) Ьг, 1г- — тройки векторов, являющиеся ребрами параллелепипедов, которые описывают форму зерен и субзерен соответственно. Также известны все величины, определяемые на их основе: единичные векторы в направлении ребер субзерен 1" и зерен Ц, площади фасеток границ субзерен ¡г = |1г+1 х 1г+2| и зерен ^^ = = |ь г+1 х Ь г+2|, объемы субзерен V = 11 • (12 х 13) и зерен V = Ц • (Ь2 хЬ3), нормали к фасеткам субзерен п г =

= 1г+1х 1г+2 / |1г+1 х 1г+21 и зерен -г" = Ь¿+1 х Ьг-+2 / |Ь м х

х ^ г+21;

2) вst — запасенная на дефектах энергия в каждом субзерне;

3) в — параметр, характеризующий подвижность фасетки границы;

4) о — тензор ориентации кристаллографической системы координат каждого субзерна относительно лабораторной системы координат.

Для каждого зародыша рекристаллизации определяются субзерна соседнего зерна, согласно способу, описанному выше. Вычисляется локальное значение разности запасенной энергии е^ и межзеренной энергии е^ каждой фасетки зародыша рекристаллизации, осред-ненное по соответствующим характеристикам предполагаемых соседних субзерен. Далее весь промежуток времени t ^ ], в течение которого происходит выдержка материала при заданной температуре 6, разбивается на промежутки Дt. Следует обратить внимание, что в начале расчетов с использованием изложенной модели рекристаллизации необходимо определить значение скорости миграции фасетки зародыша рекристаллизации ст — с целью определения величин Л и Дv, входящих в соотношение для движущей силы рекристаллизации (5). В качестве этой скорости используется максимальная возможная скорость миграции рассматриваемой фасетки в предположении, что межзеренная энергия не влияет на сопротивление для перемещения границы: "ит = те^. Далее используется итерационная процедура для уточнения скорости. Ниже приведено описание пошаговой процедуры для моделирования процесса рекристаллизации в течение времени выдержки при заданной температуре.

I. Начало цикла по времени для температурного воздействия.

II. Начало цикла по зернам.

III. Начало цикла по фасеткам зерен.

IV. Начало цикла по зародышам рекристаллизации.

V. Начало цикла по фасеткам границ приграничного слоя субзерен.

1. На первом шаге по времени проверяется, является ли фасетка зародыша рекристаллизации частью исходной большеугловой границы. В случае если это не так, то осуществляется переход к следующей фасетке.

2. Определяется разность запасенной энергии между рассматриваемыми соседними субзернами и зародышем рекристаллизации для анализируемой фасетки. В случае отрицательного значения этой величины осуществляется переход к следующей фасетке рассматриваемого зародыша рекристаллизации.

3. Определяется мобильность рассматриваемой фасетки границы зародыша рекристаллизации:

т = т0Рехр| ——

Я9

Начало итерационной процедуры для определения скорости миграции рассматриваемой фасетки границы: 4. Делается пробный («фиктивный») шаг по перемещению границы. На j-м временном шаге в момент времени tj + Дt определяется максимально возможная скорость миграции рассматриваемой фасетки, в предположении, что межзеренная энергия равна нулю:

vm = те,

5. За шаг времени Дt определяется средняя скорость удлинения ребра параллелепипеда, которое изменяется при миграции по рассматриваемой фасетке (см. рис. 2):

1. = 1й

IV.. • )П

-, г = 1,3.

6. Вычисляется положение ребра в момент времени

-л , г = 1,3.

tj + Дt:

1г+ Д = 1г) + %- ^

1 г г

7. Определяются значения изменения площади Л? рекристаллизованного зерна и его объема Ду за шаг времени Дt в результате миграции рассматриваемой фасетки границы.

8. Вычисляется движущая сила, действующая на рассматриваемую фасетку границы:

/ = еы - евьДу.

9. Уточняется значение скорости миграции границы:

^т = /т

10. Производится повторение шагов 5-9 с уточненной скоростью миграции "ит и последующим выходом из итерационной процедуры при выполнении условия, что разность значений уточненной скорости на различных итерациях меньше предписанного малого значения е.

Конец итерационной процедуры (пп. 4-10).

11. Для каждой фасетки границы растущего субзерна определяется изменение площади границы Л$г с учетом миграции всех фасеток границ субзерна за все время процесса температурной обработки:

Д?г = 5 + Дt) - 5 (0). В случае если эта величина превосходит некоторое пороговое значение 5СГ, то полагается, что рассматриваемая фасетка контактирует еще с одним субзерном соседнего зерна (если свободное субзерно имеется в наличии). Вычисляются локальные характеристики вф и е^, осредненные по новому набору соседних зерен.

Конец цикла V по фасеткам границ субзерен приграничного слоя.

12. Определяется количество подвижных фасеток границ субзерен. Если таковых нет, то зародыш является неактивным и все ранее предписанные субзерна соседнего зерна становятся свободными и могут быть поглощены активными субзернами.

13. Вычисляется объем рекристаллизованного субзерна V и площадь его границы 5 с учетом миграции всех его фасеток.

14. Определяется объем рекристаллизованной части растущего субзерна Дуг (без учета зародыша рекристаллизации) за все время процесса температурной обработки: Дуг = V(tj + Дt) - V(0). В случае если этот объем становится большим или равным объему соседнего субзерна, то поглощаемое субзерно исключается из рассмотрения. Его место занимает свободное соседнее субзерно, если оно имеется в наличии. Вычисляются локальные характеристики вф и е81, осредненные по новому набору соседних субзерен. В случае если все прилегающие субзерна исключены из рассмотрения, то процесс перемещения рассматриваемой фасетки прекращается.

Конец цикла IV по зародышам рекристаллизации.

15. Вычисляется суммарный объем, поглощенный растущими субзернами:

ДУг =Е Д^( *),

*

где суммирование ведется по числу растущих субзерен.

16. Вычисляется скорость роста (или уменьшения) ребра зерна, обусловленного ростом по рассматриваемой большеугловой границе (фасетке зерна):

V =, / . . Ц •

17. Для момента времени tj + Дt вычисляется положение ребра зерна, которое соответствует рассматриваемой мигрирующей фасетке:

Ь-(tj + Дt) = Ь-(tj) + Ц Дt,  = 1,3.

Конец цикла III по фасеткам зерен.

18. Вычисляется текущее значение объема зерна V.

19. Определяется значение запасенной энергии Е81 на уровне зерна:

Ей = Х4 ¿/г.

=1

Конец цикла II по зернам.

Конец цикла I по времени температурного нагру-жения.

4. Результаты расчетов

С использованием многоуровневой модели неупругого деформирования рассмотрено одноосное растяжение бикристалла меди на величину деформации до 30 % в направлении оси Ох1 лабораторной системы координат Ох1х2х3. На рис. 4 показана диаграмма одноосного растяжения для каждого из двух рассматриваемых кристаллитов (зерен). Каждое зерно содержало 1000 субзерен, кристаллографическая ориентация субзерен в от-счетной конфигурации задавалась следующим образом: равномерно по сфере генерировалось положение осей ротации, угол поворота выбирался случайным образом по равномерному закону из промежутка от 0° до 5°.

Накопление пластической деформации приводит к увеличению текущего предела текучести, зависящего главным образом от увеличения плотности дислокаций в кристаллах. Это, в свою очередь, означает увеличение в кристаллах запасенной на дефектной структуре энергии е81. Данная характеристика является одной из важнейших с точки зрения управления процессом рекристаллизации. В модели неупругого деформирования значение е81 в каждом субзерне определяется параметром а (доля запасаемой на дефектах энергии). Как отмечается в работах [32, 33], величина а в общем случае является функционалом процесса деформирования, кроме того, зависит от материальных характеристик. Ее идентификация является трудоемким процессом, но в первом приближении а можно считать постоянной величиной в пределах от 0 до 0.2 [34, 35]. В расчетах параметр а принимался равным 0.15. На рис. 5 показаны гистограммы распределения запасенных энергий субзерен для каждого из зерен по отдельности в момент окончания пластической деформации. Для первого зерна (рис. 5, а) максимальное значение составило 6.5589 МДж/м3, минимальное — 5.3450 МДж/м3, среднее — 6.1204 МДж/м3. Для второго зерна (рис. 5, б) максимальное значение — 7.7855 МДж/м3, минимальное — 7.7383 МДж/м3, среднее — 7.7739 МДж/м3.

Следует обратить внимание на то, что гистограммы распределения запасенных энергий в разных зернах имеют различный вид и характеристики распределения.

КМПа -

500-1-1-1-1-1-1-г-

0 5 10 15 20 25 еш%

Рис. 4. Диаграмма одноосного растяжения отдельных зерен в бикристалле меди

5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 МДж/м3

Ш

7.75 7.76 7.77 7.78 МДж/м3 Рис. 5. Гистограммы распределения запасенной энергии в первом (а) и втором зерне (б) в момент окончания пластического деформирования

Это связано с активацией различных систем скольжения в разных зернах как следствие отличающейся ориентации зерен и субзерен. На прямой полюсной фигуре для

субзерен первого зерна в актуальной конфигурации характерно «рассеивание» проекций кристаллографических направлений (рис. 6, в) по сравнению с исходными проекциями направлений субзерен (рис. 6, а). Для субзерен второго зерна, наоборот, наблюдается «сжатие» проекций на стереографической плоскости (рис. 6, б и г).

Следующей важной характеристикой, определяющей скорость роста рекристаллизованных зерен, является текущая геометрия зародышей рекристаллизации (субзерен). При проведении расчетов полагалось, что начальный средний размер субзерен г8Ь составляет 1 мкм [20]. Была принята гипотеза о равномерном законе распределения длин ребер субзерен в пределах от 1.1 до 2.1 мкм. На рис. 7, а показана гистограмма распределения длин ребер для рассматриваемого бикрис-талла. Для данной реализации максимальное значение составило 2.10 мкм, минимальное — 1.13 мкм, среднее — 1.62 мкм. Для определения размера субзерна г8Ь каждому сгенерированному субзерну в форме параллелепипеда в соответствие ставился эквивалентный по объему субзерна шар радиуса гвЪ = ^3/ (4л) к,ь. Гистограмма распределения параметра г8Ь показана на рис. 7, б и имеет вид нормального закона распределения, что согласуется с центральной предельной теоремой теории вероятности. Получены следующие харак-

-1.0

-1.0

-1.0

( ш / \

1 1

1.0

1.0

Рис. 6. Полюсная фигура направлений (111) для субзерен в первом (а, в) и втором зерне (б, г) в момент окончания деформирования относительно лабораторной системы координат. Проецирование осуществлялось относительно оси Ox1

0.15 [ Н

lllllllli.

1.2 1.4 1.6 1.8 S

Рис. 7. Статистические геометрические характеристики субзерен в рассматриваемом бикристалле: распределение длин ребер зерен в отсчетной конфигурации

теристики распределения для данной реализации: максимальное значение — 1.27 мкм, минимальное — 0.72 мкм, среднее — 0.99 мкм. На рис. 7, в показана гистограмма коэффициента S, характеризующего вы-тянутость субзерен: 5 = max |Lг| / min |Lг|. Для рас-

'=1,2,3 '=1,2,3

сматриваемой реализации S имеет максимальное значение равное 1.85, минимальное — 1.01, среднее — 1.37.

С использованием результатов моделирования неупругого деформирования был проведен численный эксперимент для исследования поведения полученного образца при изотермической выдержке при температуре 450 °С. Полагалось, что приграничный слой большеугловой границы состоит из 100 субзерен, вы-

бранных случайным образом. Для численной реализации модели необходимо определить параметры модели рекристаллизации. Среднее значение зернограничной энергии меди принято равным 0.5 Дж/м2 [20]. При определении значения зернограничной энергии учтена раз-ориентация соседних субзерен [31]. Параметр q энергии активации движения межзеренной границы принимался равным 121 • 103 Дж/моль [36]. Значение параметра мобильности т0 границ зерен оценивалось из натурных экспериментов по скорости миграции большеугловых границ и принято равным 1.5 • 10-6 с • м2/кг. Численный эксперимент по рекристаллизации был проведен для одной и той же выборки субзерен рассматриваемого бикристалла при различных значениях степени предварительной деформации. Изменения субзеренной структуры в результате рекристаллизации сведены в таблице, где использованы следующие обозначения: еи — интенсивность предварительной деформации, Жгес — число активных зародышей рекристаллизации, ¿гес — время, за которое поглощается более 97 % объема более дефектного зерна, dmid ^тах) — средний (максимальный) размер рекристаллизованных субзерен, 8^ (8т^) — среднее (максимальное) значение коэффициента вытянутости субзерен. Увеличение предварительной деформации ведет к росту числа зародышей рекристаллизации и повышению скорости рекристаллизации. При степени деформации меньшей 20 % критерий рекристаллизации не выполняется ни для одного из потенциальных зародышей, т.е. модель описывает существование критической степени деформации для начала процесса рекристаллизации. Увеличение числа активных зародышей рекристаллизации приводит к их «конкуренции» за поглощаемые субзерна, что выражается в уменьшении среднего размера субзерен и среднего значения вытянутости субзерен. При этом следует обратить внимание на неоднородность по числу поглощаемых субзерен рекристаллизованными субзернами. Например, при еи = 30 % существуют рекристаллизо-ванные субзерна, поглотившие несколько субзерен соседнего зерна, а наиболее активное субзерно поглотило 97 субзерен. Это приводит к немонотонному характеру изменения ряда параметров субзеренной структуры (например dmid и 8т^) по интенсивности предварительной деформации еи. В целом можно наблюдать увеличение размера и коэффициента вытянутости рекристал-

Таблица

Изменение субзеренной структуры в результате рекристаллизации при различных степенях предварительной пластической деформации

eu, % N rec ^rec, с dm¿л, мкм dmax, мкм Smid С max

20 2 5700 5.85 10.02 1.99 2.39

25 18 1900 2.92 6.21 1.85 2.84

30 31 1200 3.01 4.54 1.73 2.64

Рис. 8. Эволюция средней скорости рекристаллизации

Esb МДж/м3

Л \L 3

6"

5- 2

4- Itllllt................Ill Hill ...........„ 1 * t  » 1  11

3 1000 3000 5000 t , с

лизованных субзерен по сравнению с исходной субзе-ренной структурой.

На рис. 8, а приведена зависимость от времени процесса скорости миграции, осредненной по всем фасеткам активных субзерен, при различных значениях степени предварительной деформации. В начальный период рекристаллизации движению большеугловой границы препятствует увеличение межзеренной энергии за счет увеличения площади границы. Постепенно при увеличении объема растущего субзерна это влияние согласно соотношению Бейли-Хирша становится менее значимым и в конечном итоге нивелируется. На рис. 8, а это отражается в увеличении значения средней скорости миграции. Если рекристаллизованным субзернам позволить неограниченно поглощать соседние субзерна, то средняя скорость рекристаллизации достигнет стационарного значения, определяемого разностью энергий соседних зерен. Последующее падение скорости рекристаллизации (рис. 8, а) обусловлено ограниченностью числа поглощаемых субзерен — наиболее «быстрые» субзерна останавливают свой рост после поглощения соседних субзерен.

Следует обратить внимание на эволюцию запасенной энергии в процессе рекристаллизации (рис. 8, б), осредненной по объему рассматриваемых субзерен. Можно выделить три стадии высвобождения запасенной энергии Ез1 в зависимости от скорости изменения этой величины. На первой стадии (инкубационный период) высвобождение запасенной энергии происходит относительно медленно. Это особенно отчетливо видно для случая предварительной деформации, равной 20 %. На второй стадии скорость становится практически постоянной и на третьей стадии происходит снижение скорости, связанное с исчерпанием количества поглощаемых субзерен. Последнюю стадию можно интерпретировать как столкновение растущих (рекристаллизован-ных) субзерен.

5. Заключение

Результатом пластической деформации при низких и умеренных температурах является глубокая пере-

стройка дефектной и зеренной (субзеренной) структуры. Не менее существенные изменения происходят при температурных воздействиях на деформированные кристаллиты. Задача моделирования эволюции материальной структуры является нетривиальной и комплексной, требующей учета взаимного влияния множества факторов. В работе с помощью разработанной модели процесса рекристаллизации рассматривается влияние предварительной пластической деформации на состояние дефектной и субзеренной структуры. С использованием модификации физической модели неупругого деформирования определяется запасенная в кристаллах энергия на дефектной структуре, эволюция ориентации субзерен. Показано влияние степени предварительной деформации на скорость рекристаллизации, повышение величины деформации увеличивает число зародышей рекристаллизации и скорость этого процесса. Приведенные в работе результаты расчетов качественно удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, при этом модель описывает ряд экспериментально наблюдаемых особенностей процесса. К числу последних относится существование критической для начала рекристаллизации степени предшествующей деформации, инкубационный период процесса рекристаллизации, ярко выраженная вытянутость субзерен, испытавших рекристаллизацию. Одной из актуальных задач для дальнейших исследований является проблема моделирования влияния процесса фрагментации при пластической деформации на состояние субзеренной структуры, а также ее последующие изменения при нагреве, которые происходят до начала процесса рекристаллизации. К числу последних относится коалесценция субзерен, полигонизация, а также возврат.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 17-19-01292).

Литература

1. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -

1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.

2. Doherty R.D., Hughes D.A., Humphreys F.J., Jonas J.J., Jensen D.J.,

Kassner M.E., Rollett A.D. Current issues in recrystallization: A review // Mater. Sci. Eng. A. - 1997. - V. 238. - No. 2. - P. 219-274.

3. Gutierrez-Urrutia I., Zaefferer S., Raabe D. Electron channeling contrast imaging of twins and dislocations in twinning-induced plasticity steels under controlled diffraction conditions in a scanning electron microscope // Scripta Mater. - 2009. - V 61. - No. 7. - P. 737-740.

4. Song R., Ponge D., Raabe D., Speer J.G., Matlock D.K. Overview of processing, microstructure and mechanical properties of ultrafine grained bcc steels // Mater. Sci. Eng. A. - 2006. - V. 441. - No. 1-2. -P. 1-17.

5. Valiev R.Z. Structure and mechanical properties of ultrafine-grained metals // Mater. Sci. Eng. A. - 1997. - V. 234. - P. 59-66.

6. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 33-56.

7. Anand L., Gurtin M.E., Reddy B.D. The stored energy of cold work, thermal annealing, and other thermodynamic issues in single crystal plasticity at small length scales // Int. J. Plasticity. - 2015. - V. 64. -С. 1-25.

8. Popova E., Staraselski Y., Brahme A., Mishra R.K., Inal K. Coupled crystal plasticity—Probabilistic cellular automata approach to model dynamic recrystallization in magnesium alloys // Int. J. Plasticity. -2015. - V. 66. - P. 85-102.

9. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Mater. - 2010. - V. 58. -No. 4. - P. 1152-1211.

10. Uchic M.D., Dimiduk D.M., Florando J.N., Nix W.D. Sample dimensions influence strength and crystal plasticity // Science. - 2004. -V. 305. - No. 5686. - P. 986-989.

11. Козлов Э.В., Жданов А.Н., Конева Н.А. Механизмы деформации и механические свойства наноматериалов // Физ. мезомех. -2007. - Т. 10. - № 3. - C. 95-103.

12. Fan H., Aubry S., Arsenlis A., El-Awady J.A. Grain size effects on dislocation and twinning mediated plasticity in magnesium // Scripta Mater. - 2016. - V. 112. - P. 50-53.

13. Kim H.S., Estrin Y., Bush M.B. Plastic deformation behaviour of finegrained materials // Acta Mater. - 2000. - V. 48. - No. 2. - P. 493-504.

14. Ma A., Roters F., Raabe D. A dislocation density based constitutive model for crystal plasticity FEM including geometrically necessary dislocations // Acta Mater. - 2006. - V. 54. - No. 8. - P. 2169-2179.

15. ParkI.J., Lee S.M., Jeon H.H., Lee Y.K. The advantage of grain refinement in the hydrogen embrittlement of Fe-18Mn-0.6C twinning-in-duced plasticity steel // Corrosion Sci. - 2015. - V. 93. - P. 63-69.

16. Козлов Э.В., Тришкина Л.И., Попова Н.А., Конева Н.А. Место дислокационной физики в многоуровневом подходе к пластической деформации // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 95110.

17. Козлов Э.В., Конева Н.А., Попова Н.А. Зеренная структура, геометрически необходимые дислокации и частицы вторых фаз в поликристаллах микро- и мезоуровня // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12.-№ 4. - С. 93-106.

18. Горелик С.С., Добаткин С.В., Капуткина Л.М. Рекристаллизация металлов и сплавов. - М.: МИСиС, 2005. - 433 c.

19. Rollett A., Humphreys F.J., Rohrer G.S., Hatherly M. Recrystallization and Related Annealing Phenomena. - Oxford: Elsevier, 2004. -574 p.

20. Bailey J.E., Hirsch P.B. The recrystallization process in some poly-crystalline metals // Proc. Roy. Soc. Lond. A. Math. Phys. Eng. Sci. -1962. - V. 267. - No. 1328. - P. 11-30.

21. Beck P.A., Sperry P.R. Strain induced grain boundary migration in high purity aluminum // J. Appl. Phys. - 1950. - V. 21. - No. 2. -P. 150-152.

22. Трусов П.В., КондратьевН.С. Двухуровневая упруговязкопласти-ческая модель: применение к анализу эволюции зеренной структуры при статической рекристаллизации // Физ. мезомех. - 2018. -Т. 21. - № 2. - С. 21-32. - doi 10.24411/1683-805X-2018-12003.

23. НечаеваЕ.С., ТрусовП.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. -2011. - Т. 4. - № 1. - С. 74-89.

24. Швейкин А.И., Шарифуллина Э.Р., Трусов П.В., Пушков Д.А. Об оценке чувствительности статистических многоуровневых моделей поликристаллических металлов к возмущениям параметров // Вычислительная механика сплошных сред. - 2018. - Т. 11. -№2. - С. 214-231.

25. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопласти-ческие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

26. Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкоплас-тичности кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 3. -С. 25-38. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00061.

27. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физ. мезо-мех. - 2016. - Т. 19. - № 2. - С. 47-65. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00052.

28. Швейкин А.И. Многоуровневые модели поликристаллических металлов: сопоставление определяющих соотношений для кристаллитов // Проблемы прочности и пластичности. - 2017. - Т. 79. -№ 4. - С. 385-397.

29. Burke J.E., Turnbull D. Recrystallization and grain growth // Progr. Met. Phys. - 1952. - V. 3. - P. 220-244.

30. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ Механика. - 2012. -№ 3. - С. 78-97.

31. Kondratev N.S., Trusov P. V. Calculation of the intergranular energy in two-level physical models for describing thermomechanical processing of polycrystals with account for discontinuous dynamic re-crystallization // Nanomech. Sci. Technol. Int. J. - 2016. - V. 7. -No. 2. - P. 107-122.

32. Mason J.J., Rosakis A.J., Ravichandran G. On the strain and strain rate dependence of the fraction of plastic work converted to heat: An experimental study using high speed infrared detectors and the Kolsky bar // Mech. Mater. - 1994. - V. 17. - No. 2-3. - P. 135-145.

33. Rosakis P., Rosakis A. J., Ravichandran G., Hodowany J. A thermodynamic internal variable model for the partition of plastic work into heat and stored energy in metals // J. Mech. Phys. Solids. - 2000. -V. 48. - No. 3. - P. 581-607.

34. Oliferuk W., Maj M., Raniecki B. Experimental analysis of energy storage rate components during tensile deformation of polycrystals // Mater. Sci. Eng. A. - 2004. - V. 374. - No. 1-2. - P. 77-81.

35. Simo J.C., Miehe C. Associative coupled thermoplasticity at finite strains: Formulation, numerical analysis and implementation // Com-put. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1992. - V. 98. - No. 1. - P. 41-104.

36. Haessner F., Hofmann S. Migration of High Angle Grain Boundaries // Recrystallization of Metallic Materials. - 1978. - P. 63-95.

Поступила в редакцию 13.11.2018 г., после доработки 28.11.2018 г, принята к публикации 15.12.2018 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Кондратьев Никита Сергеевич, к.ф.-м.н., снс ПНИПУ, kondratevns@gmail.com Янц Антон Юрьевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, maximus5.59@gmail.com