Эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 72-75.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко

ЭФФЕКТЫ СТАРЕНИЯ И НАРУШЕНИЯ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОЙ ТЕОРЕМЫ В НЕРАВНОВЕСНОМ КРИТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА ПРИ ЭВОЛЮЦИИ ИЗ НАЧАЛЬНОГО НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ

Представлена методика и результаты численного описания методом Монте-Карло особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной модели Изинга при исследовании ее эволюции из начального низкотемпературного ссостояния. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционных функций и динамической восприимчивости были выявлены эффекты старения, характеризующиеся замедлением релаксации системы с ростом времени ожидания, и нарушение флук-туационно-диссипативной теоремы.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, модель Изинга, эффекты старения.

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы, как стекла: ди-польные, металлические и спиновые [2]. Однако данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода [3], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации.

Эффекты старения проявляются на неравновесном этапе эволюции системы. Они выражаются в существовании двухвременных зависимостей таких функций, как корреляционная функция и функция отклика, зависящих от времени ожидания ^ и времени наблюдения 1 - 1те. Время ожидания характеризует время, прошедшее с момента приготовления образца до начала измерения его характеристик. В течении 1 ^ << хге1,

где тге1 - время релаксации системы, во временном поведении системы проявляется влияние начальных состояний системы и эффектов старения, характеризующихся замедлением релаксационных процессов с увеличением «возраста» образца 1те.

Ещё одним проявлением медленной динамики является нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) [3; 4], которая связывает функцию отклика системы на внешнее возмущение Щ1:, 1те) и корреляционную функцию С(1:, ^):

где Х(1,1те) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). ФДТ утверждает, что в равновесном состоянии Х(1 > ^ >> хге1) = 1.

кТ Зі,

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, 2014

Предельное значение

X = lim lim X

і* ——^ і—— ^

может быть использовано в качестве универсальной характеристики неравновесного поведения систем с медленной динамикой.

Корреляционная функция и функция отклика в неравновесном состоянии имеют следующую скейлинговую зависимость:

С

R

t

vtw у

vtw У

Показатели а и 0 связанны с критическими индексами рассматриваемой системы:

а = (2-ц-z)/г , 0 = 0'-2-1(2-ц-2 .

Функция отклика 1ш) спиновой сис-

темы на внешнее магнитное поле, приложенное к системе в момент времени , определяется соотношением (1 > 1ш):

1 г ^ 8 < 5(х,г) >.

^

V* 8И

Однако линейная функция отклика, соответствующая данному определению, не может быть непосредственно измерена экспериментально или получена методами компьютерного моделирования. Более удобной величиной является интегральная характе-

ристика - динамическая восприимчивость:

X(t,tw) = І dt'R(t, t').

В данной работе проведены исследования эффектов старения в неравновесном критическом поведении трёхмерной модели Изинга при эволюции ее из начального упорядоченного состояния. Гамильтониан модели задаётся выражением:

Н = -3 X 35,,

<',, >

где суммирование проводится по ближайшим соседям, 5 = ±1. Динамика системы моделировалась с помощью метода Монте-Карло посредством алгоритма тепловой бани. Осуществлялось вычисление намагниченности:

и автокорреляционной функции 0(1, 1ш):

С

где треугольные скобки означают статистическое усреднение по прогонкам.

Вычисление х(1, 1ш) проводилось в отсутствие магнитного поля. На временах, превышающих время ожидания (1 > 1ш), вос-

приимчивость рассчитывалась по формуле

[5]:

1

х

¡=1

где функция А£у (г*) вычисляется в процессе моделирования с момента времени 1 = 0 до

1 = tw:

АЗ

г=0

В данном выражении 1(б) - индекс спина, выбранного в момент времени X,

И* (г) = 3 X 5^. (г) , где суммирование осу-

Л ¡-.=1

ществляется по ближайшим спинам.

Моделирование системы проводилось на кубической решётке спинов с линейным размером Ь = 64 и соответствующей критической температуре Тс = 4,5108. Формировалось низкотемпературное (при Т = 0) начальное состояние системы со значением намагниченности, равным единице, которое для исследуемого (при Т = Тс) критического режима являлось существенно неравновесным. Поведение автокорреляционной функции исследовалось на временах до 1000 шагов Монте-Карло на спин (МСЭ/в) для времён ожидания = 15, 25, 50 и 75 МСЭ/в.

На рис. 1 приведены графики временной зависимости автокорреляционной функции в двойном логарифмическом масштабе для различных времён ожидания.

М„, МСБ/э

Рис. 1. Временная зависимость автокорреляционной функции для времен ожидания и = 15 (1), 25 (2), 50 (3), 75 (4) МСв/э

Ренормгрупповой анализ поведения автокорреляционной функции предсказывает её скейлинговую двухвременную зависимость в виде [4]:

С

Для её проверки была построена зависимость (при d = 3) г* ~(1+п)/ с (г, г*) от 1/1^^, показанная на рис. 2 и демонстрирующая

«коллапс» полученных данных для различных ^ на одной универсальной кривой.

t

w

74

В. В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко

Скейлинговая функция Кс на временах Ь >> 1^т>> 1 имеет зависимость Ес ~ (г / г*) ф . На этом участке показатель ф связан с критическими индексами р, б, V и z соотношением ф = 1 + в(8 + 2)/ IV .

Рис. 2. Временная зависимость /*(1+п)/2 С (г, г*) от { / ^ для № = 15, 25, 50, 75

Найденное из анализа полученных данных значение показателя равно ф = 2,76 ± 0,05 , что в пределах погрешности согласуется с предсказываемым теорией значением ф = 2,72 для z = 2,041 (8) [6]. На основе вычисленных временных зависимостей для восприимчивости х(Х, tw) и автокорреляционной функции С(1, tw) можно определить флуктуационно-диссипативное отношение (2), выразив Тх(^ tw) как функцию С^^) и представив её в виде некоторой кривой. Тогда из асимптотической кривизны этой кривой можно выделить значение:

X ”

с^о ¿С

Получая X(г*) для различных времён ожидания tw и осуществляя экстраполяцию X(г* ^ го) , определяем искомое предельное флуктуационно-диссипативное отношение X.

Для tw = 15, 25 и 50 МСЭ/б значения ФДО определялись на временах наблюдения порядка времени ожидания. Для tw = 15 и 25 МСЭ/б также были найдены значения ФДО для интервалов, много больших времени ожидания. Из полученных для этих двух

Хда

вычислено итоговое значение предельного ФДО, которое оказалось равным

X= 0,77±0,06 .

В таблице приведены значения X" (г*) для различных tw и интервалов аппроксимации.

Значение ФДО X' для различных интервалов аппроксимации и значений времени ожидания

X" Интервал, МОБ/э

(1 — tw) ~ tw

15 0,86(9) [15..25]

25 0,82(6) [16..26]

50 0,81(0) [19..29]

—— оо 0,78 ± 0,04 -

(1 — tw) >> tw

15 0,87(0) [15..60]

25 0,82(7) [23..75]

—— оо 0,76 ± 0,05 -

На рис. 3 представлены зависимости X(1/ і*) и их экстраполяция для ^ ю.

8 ,7 ><

0,04

1/1*

0,8 -

^ : 0,76

¿І 0,7 -

0,6

1/к

б

Рис. 3. Получение ФДО путём экстраполяции ^ ю для интервалов аппроксимации

Проведем сравнение полученного значения флуктуационно- диссипативного отношения с результатами других работ. Так, работе [5] в рамках ренормгруппового подхода вычислено предельное ФДО в первом порядке по є = 4 - d для ^мерной модели Изинга:

4

X “=--

5

( П'І -тг-2 Л

/3 п

600 100

є + О (є),

откуда X= 0,75 при d = 2 и X= 0,78 при d = 3.

В заключение сделаем основные выводы проведённого исследования. Как было пока-

а

зано, при анализе поведения автокорреляционной функции в критической точке в трехмерной модели Изинга проявляются эффекты старения, а именно: с увеличением времени ожидания релаксация системы замедляется.

Численно доказано нарушение ФДТ в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга при эволюциии ее из начального низкотемпературного состояния. Вычислено значение предельного ФДО как универсальной характеристики неравновесности системы:

X ” = 0,77 ± 0,06, которое находится в хорошем согласии с предсказаниями ренормгруппового описания и демонстрирует отличие от X “ = 1, характерного для равновесного состояния системы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J. P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. P. 184.

[2] Bouchaud J.P., Gugliandolo L.F., Kurchan J., Mezard M. Out of equilibrium dynamics in spin glasses and other glassy systems // Spin Glasses and Random Fields / ed. by A.P. Young. Singapore: World Scientific. 1998. Vol. 12.

[3] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.

[4] Calabrese P., Gambassi A. Aging and fluctuation-dissipation ratio for the diluted Ising Model // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 066101.

[5] Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. P. 06016.

[6] Jaster A., Mainville J., Schulke L., Zheng B. Short-time Critical Dynamics of the 3-Dimensional Ising Model // J. Phys. A. 1999. Vol. 6. P. 7.