Применение нейроподобных сетей для решения задачи термоупругости

УДК 004.032.26

ПРИМЕНЕНИЕ НЕЙРОПОДОБНЫХ СЕТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

В. И. Горбаченко, С. Н. Катков

APPLICATION OF NEURAL NETWORKS FOR SOLVING THE PROBLEM OF THERMOELASTICITY

V. I. Gorbachenko, S. N. Katkov

Аннотация. Актуальность и цели. Задачи термоупругости представляют собой важный класс краевых задач математической физики, возникающей во многих областях. Решение задач термоупругости является довольно трудоемкой задачей и требует совместного решения задач теплопроводности и упругости. Для решения задач термоупругости является весьма актуальным применение клеточных нейронных сетей, эффективных для решения разностных аналогов дифференциальных уравнений в частных производных. Цель работы - анализ и исследование алгоритмов решения задачи термоупругости, реализуемых на клеточных нейронных сетях. Материалы и методы. Рассмотрены задачи, описывающие плоское напряженное состояние пластины, стационарные термоупругие напряжения в изгибаемых пластинах и плоскую стационарную деформацию. Решение перечисленных задач сведено к решению задачи теплопроводности для пластин и к решению бигармонического уравнения, в котором в качестве искомой величины выступает или прогиб, или функция напряжений Эйри. Предложено решение задачи теплопроводности на клеточной нейронной сети. Предложена нейросетевая организация модифицированного метода последовательной верхней релаксации, приведена структура нейронной сети, реализующей данный метод. Для решения бигармонического уравнения на клеточных нейронных сетях предложен новый метод аддитивной коррекции - метод приближенной факторизации. Результаты. Исследование предложенных алгоритмов проведено на разработанном авторами программном имитаторе нейронной сети. Решение серии из шести методических задач, относящихся к различным типам термоупругого состояния пластины и отличающихся граничными условиями, подтвердило результаты теоретических исследований и показало преимущество предложенного метода. Выводы. Результаты моделирования подтвердили результаты теоретических исследований и показали преимущество предложенного метода приближенной факторизации по сравнению с известными алгоритмами обучения.

Ключевые слова: клеточные нейронные сети, дифференциальные уравнения в частных производных, задача термоупругости.

Abstract. Background. We consider the formulation and algorithms for solving the problem of thermoelasticity implemented on two-dimensional cellular neural network. Materials and methods. Concider problems describing plane stress plate, stationary thermoe-lastic stress in bent plates and flat stationary deformation. Solution of these problems is reduced to the solution of heat conduction problem for the plates and to the solution of the biharmonic equation in which the unknown quantity as advocates or deflection or Airy stress function. Offers a solution to the problem of heat conduction cellular neural network. Describes the neural organization of the modified method of successive over-relaxation, is the structure of a neural network that implements the method. For solutions of the bi-harmonic equation on cellular neural networks is proposed a special variant of the additive correction - the method of approximate factorization. Results. The study was carried out of

the proposed algorithms in software simulator of neural network. Solution of a series of six methodological problems relating to different types of state thermoelastic plate confirmed the correctness and efficiency of the developed algorithms. Conclusions. The simulation results confirmed the results of theoretical research and the advantages of the proposed method of approximate factorization for comparison with known learning algorithms

Key words: cellular neural networks, partial differential equations, thermo-elasticity problem.

Введение

Задачи термоупругости представляют собой важный класс краевых задач математической физики, возникающей во многих областях [1-5]. Решение данных задач является довольно трудоемким и требует совместного решения задач теплопроводности и упругости. Для решения задач термоупругости перспективным является применение клеточных нейронных сетей, эффективных для решения разностных аналогов дифференциальных уравнений в частных производных [6-7].

Целью настоящей работы является разработка алгоритмов решения задач термоупругости на клеточных нейронных сетях. Рассматриваются три класса двумерных несвязанных задач термоупругости:

- плоское стационарное напряженное состояние пластины;

- стационарные температурные напряжения в изгибаемых пластинах;

- плоская стационарная деформация.

Прежде всего, рассмотрим постановки плоских задач термоупругости, позволяющие реализовывать их решение на клеточных нейронных сетях.

Постановка и нейросетевая реализация задач термоупругости

Рассмотрим постановку задач термоупругости, описывающих плоское напряженное состояние тонкой односвязной пластины под действием неравномерного стационарного температурного поля T (х, y) [1, 6]. Срединная поверхность пластины расположена в плоскости X07 , а поверхности z = ±l/2 свободны от внешних сил (l - толщина пластины). Будем рассматривать несвязанную задачу. Температурное поле пластины при отсутствии внутренних источников тепла описывается уравнением

V2T = 0

с известными граничными условиями I—III рода.

Решение исходной задачи в напряжениях ах, аy, аxy , определяемых

через функцию Эйри F [1,6] и связанных с нею формулами

d2F д2 F д2 F

ах = э/, ау = эХ2", аху = "эХдУ,

позволяет свести вторую ее составляющую к бигармоническому уравнению, эффективно решаемому с помощью нейроподобных сетей [3, 4, 6].

Тогда уравнение плоского напряженного состояния пластины имеет вид [1]:

у2У2^ = -атЕУ2Т,

иначе

Э4^ Эх4

+ 2-

Э 4 ^

Эх2Эу2 Эу

.Э4 р Е

• + —- = -а,. Е

( Э 2Т Э2Т

"ЭХ2 ."ЭУ2

где ат - коэффициент линейного теплового расширения; Е - модуль Юнга.

Граничные условия для (4) задаются в виде значений функции Эри ^ и ее нормальной производной Э^/Эп на граничном контуре пластины.

Для численного решения несвязанной задачи плоского термоупругого напряженного состояния пластины необходимо решить уравнение температурного поля (1) с соответствующими граничными условиями и затем перейти к решению уравнения (3), используя полученные численные значения вместо оператора правой части. После нахождения численных значений функции Эри ^ можно определить деформации с учетом (2) как [1]:

е х =

Е(х -Ц°у ) + атТ

е у = ЕЕ (ух ) + атТ

е =

ху

1 + Ц -1

Е Ц

ху

~Е (х + ау ) + аТТ

е' = -Е (( + ^

где Ц - коэффициент Пуассона.

Подобно решению задачи плоского напряженного состояния решается также задача плоской деформации [4].

Оба варианта задачи термоупругости могут быть сведены к решению задачи теплопроводности для пластины и решению бигармонического уравнения, в котором в качестве искомой величины выступает или прогиб, или функция Эйри.

Решение задачи теплопроводности в итоге сводится к решению системы алгебраических разностных уравнений [4]

AT = F,

где A - матрица системы разностных уравнений; T - вектор температур; F - вектор правой части.

Такую задачу несложно решить на аналоговых или цифровых нейропо-добных сетях. При использовании аналоговых сетей возможно применение метода прямой аналогии, если сеть обеспечивает требуемую точность, и методов обучения сети, в частности метода аддитивной коррекции, если требуется высокая точность решения. При использовании цифровых нейроподоб-ных сетей следует использовать нейросетевую реализацию одного из итерационных методов. Здесь целесообразно применить нейросетевую реализацию

модифицированного метода последовательной верхней релаксации (MSOR). Приведенное далее описание соответствует обозначению векторов T = X.

Нейросетевую реализацию модифицированного метода последовательной верхней релаксации (MSOR) [6] построим на основе реализации, которая использует традиционное разбиение узловых точек разностной сетки на два непересекающихся множества расположенных в шахматном порядке «красных» (R - red) и «черных» (B - black) узлов. Особенностью реализации является предобусловливание решаемой системы разностных уравнений с помощью диагональной матрицы D-1, где D-1 = diag{ au }, т.е. деление каждого уравнения исходной системы на диагональный элемент, и последовательное применение метода Ричардсона [5, 6] к множествам красных и черных узлов. Вычисление невязки в красных узлах производится по соотношениям

RR]= DRFr - DR>ARX

где Я^^ - вектор невязки в «красных» узлах; - диагональная матрица, составленная из диагональных элементов строк матрицы А, соответствующих «красным» узлам; - вектор правой части для «красных» узлов; Ак - матрица, описывающая связи между «красными» и «черными» узлами. Новое приближение решения в «красных» узлах строится по формуле

x(k+1) _ x(k) + m r

Ri, j ~ R i, j r UJRR

где юд - коэффициент релаксации в «красных» узлах. В матричной форме (7) имеет вид

X R+1) = X R ) + »R R R)

Аналогично ведутся расчеты в «черных» узлах. Структура нейропо-добной сети, реализующей М80Я, представлена на рис. 1 [6].

Рис. 1. Структура нейроподобной сети

Построение всех слоев сети аналогично построению соответствующих слоев сети, реализующей метод Ричардсона [6]. Слои 1 и 2 вычисляют невяз-

ку и приближение решения в «красных» узлах. Аналогично слои 3 и 4 производят вычисления для «черных» узлов. Устройство сравнения из норм невязки для «красных» и «черных» узлов находит наибольшее

R

К, в 1

г>

где R К' - невязка в «красных» узлах; R В - невязка в «черных» узлах.

Одна итерация реализуется за четыре такта работы сети. Но можно последовательно использовать один слой, содержащий к тому же в 2 раза меньше нейронов, чем сеть в методе Ричардсона. Принципиально возможно

вычисление в каждой итерации коэффициента релаксации ю(к), причем вычисление ю(к) целесообразно реализовать в виде отдельного (не нейросетево-го) блока.

Конечно-разностная аппроксимация бигармонического уравнения позволяет получить систему алгебраических разностных уравнений [4]:

AW = P,

где A - матрица системы разностных уравнений; W - вектор прогибов; P - вектор правой части.

Для решения разностного аналога бигармонического уравнения можно использовать метод прямой аналогии и аналоговую клеточную нейроподоб-ную сеть с непрерывным представлением времени, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений и имеющую линейную функцию активации [6]. Стационарное состояние такой сети соответствует решению системы разностных уравнений, аппроксимирующей бигармоническое уравнение. Решение бигармонического уравнения методом прямой аналогии потребует использования сложного тринадцатиточечного шаблона сети и включения инверторов в восемь связей шаблона.

Для решения бигармонического уравнения на аналоговых нейроподоб-ных сетях целесообразно использовать метод аддитивной коррекции [5, 6]. Использование метода аддитивной коррекции позволяет не только повысить точность решения, но и упростить структуру связей нейроподобной сети. Если не учитывать масштабирование, то каждая итерация метода аддитивной коррекции строится по следующей схеме. Исходя из (9) и к-го приближения

решения W(k) рассчитывается невязка

R(к )= P - AW(k).

Если условия окончания итерационного процесса, например

R

/11

Г < £,

не выполняются, то на аналоговой клеточной нейроподобной сети формируется вектор поправки к решению ДW

ДW(k+1)= Б-Ъ(к), где Б - матрица фактически решаемой на сети системы уравнений [6].

При этом используется клеточная сеть с простейшей топологией связей: каждая клетка соединена связями с одинаковыми весами с четырьмя ближайшими соседями по координатам х и у. Матрица В представляет собой разностный аналог уравнения Лапласа при различных граничных условиях и является положительно определенной. Для формирования поправки к решению возможно использование резистивной моделирующей сети. В цифровом компьютере вычислительного комплекса формируется новое приближенное решение

^ к+1) = ^ к) + к+1) .

Затем вычисляется невязка (10) и т.д., пока не выполнится условие (11).

Специально для решения бигармонического уравнения на аналоговых и цифровых клеточных нейроподобных сетях, а также на цифровых компьютерах традиционной архитектуры предлагается вариант метода аддитивной коррекции - метод приближенной факторизации [3, 6], основанный на представлении матрицы В в факторизованном виде

В = ВХВ2 = А .

Факторизованное представление (12) можно обеспечить следующим образом. Процесс решения строится как итерационный процесс. На «нечетных» итерациях (к = 1, 3, 5, ...) на нейронной сети формируется первый вектор поправки

дW1(k+1) = В-1К(к) = ВГ1 (р - AW(k)).

В «четных» итерациях (к = 2, 4,...) на сети формируется второй вектор поправок

дw2 к+1) = В-1Д^( к+1) = В-1В-1 (р - AW(к)), используемый для уточнения решения

W( к+1)= w (к )+ДW2( к+1)= (е -(В1В2 )-1 А) W( к) + (В1В2) р,

где Е - единичная матрица.

В простейшем случае В1 = В2 = Вг0 и матрица Вг0 является разностным аналогом уравнения Лапласа с нулевыми граничными условиями первого рода. При этом ненулевые недиагональные элементы матрицы Вг 0 равны

|й1,| = 1, 1 Ф ] . Непосредственным умножением матриц Вг0 можно убедиться, что в случае свободного опирания пластины по всему контуру Вг 0Вг 0 = А, т.е. каждая строка матрицы Вг 0Вг 0 совпадает с разностным уравнением для соответствующего узла разностной сетки. При отсутствии погрешностей сети решение может быть получено за две итерации. Итерационный процесс служит лишь для устранения влияния погрешностей элементов нейронной сети. Такой вывод согласуется с известным положением механики [2], и в данном случае бигармоническое уравнение может быть представлено в виде двух уравнений Пуассона с нулевыми граничными условиями первого рода.

При других граничных условиях можно добиться лишь приближенного равенства, и требуется итерационный процесс. Для бигармонических уравнений в случае жесткого защемления краев пластин и пластин со свободными краями совпадают строки матриц Бг 0Бг 0 и А, соответствующие внутренним узлам сеточной области. Строки матриц, соответствующие предконтурным узловым точкам, т.е. точкам, отстоящим от контура не более чем на шаг разностной сетки, не совпадают, что не гарантирует сходимости процесса. Условие сходимости итерационного процесса применительно к алгоритму аддитивной коррекции решения бигармонического уравнения можно записать в виде

2

Непосредственным перемножением матриц Бх и В2 можно убедиться, что наибольшая близость матриц БХБ2 и А достигается, если матрица Бх строится без дополнительного диагонального преобладания при = 1, 1 Ф ], а для матрицы Б2 при = 1, 1 Ф ] дополнительное диагональное преобладание обеспечивается только в предконтурных узловых точках в случае жесткого защемления края пластины. При этом не следует задавать дополнительное диагональное преобладание в предконтурных узлах вдоль свободного от закрепления края пластины.

Перспективной представляется цифровая реализация метода приближенной факторизации, разработанного для аналоговых нейроподобных сетей. Для пластин, свободно опертых по всему контуру, реализация сводится к двукратному решению уравнения Пуассона на цифровой сети. Для других способов закрепления возможно формальное воспроизведение на цифровой сети метода приближенной факторизации с теми же матрицами Б1 и Б2 , что и в случае аналоговой сети. Но такой подход потребует довольно много итераций. Предлагается следующая цифровая реализация метода приближенной факторизации:

1. Рассчитывается по (10) невязка R(k).

2. Проверяется условие окончания итерационного процесса. Если условие выполняется, то процесс завершается, иначе выполняется следующий шаг.

3. Выполняется несколько итераций решения системы

Б^! = R

4. Выполняется несколько итераций решения системы

Б2 ДW2 =Д^.

5. Формируется новое приближение решения

W

где х - итерационный параметр.

6. Переход на пункт 1.

Матрицы В1 и В2 в (14) и (15) берутся теми же, что и в аналоговой реализации метода приближенной факторизации [6]. Для решения систем (14) и (15) целесообразно выбрать нейросетевую реализацию модифицированного метода последовательной релаксации (см. рис. 1), причем здесь имеют место соотношения обозначений для векторов X = W, Е = Р.

Исследование нейросетевых алгоритмов

Исследование предложенных алгоритмов проводилось на программном имитаторе нейроподобной сети.

Моделирующие программы были оформлены в виде комплекса программ, предназначенного для имитации аналоговой нейроподобной сети при решении двумерных стационарных задач термоупругости .

Для исследования разработанных алгоритмов была решена серия из шести методических задач, относящихся к различным типам и отличающихся граничными условиями.

Задачи решались для квадратной пластины с размерами по осям X и У в шагах сетки Ых = Ыу = 10 . Для всех задач шаг сетки к = 1. Толщина пластины I = 1,0. Были выбраны следующие характеристики материала пластины: коэффициент линейного теплового расширения аТ = 1,19 -10-5 1/ град; модуль Юнга Е = 2,06 -1011 Н/м2; коэффициент Пуассона ц = 0,3, коэффициент теплообмена (теплоотдачи) а = 45 Вт/м2град; коэффициент теплопроводности А = 45 Вт/м • град.

Задача 1.1 представляет собой задачу плоского стационарного напряженного состояния. Задача решалась в квадрате ЛБСО с граничными условиями задачи теплопроводности: на стороне ЛБ температура Т = 100 °С,

на стороне СО Т = 0 °С, на остальной границе ЭТ/Эп = 0 . Задача теплопроводности решалась методом прямой аналогии, при этом относительная норма невязки получилась равной е = 4,2585•Ю-4 . Задача теории упругости решалась при нулевых значениях функции Эри и нормальной производной Е = ЭЕ/Эп = 0 . При таких условиях решение бигармонического уравнения является нулевым, а деформации представляют собой линейные функции температуры.

Задача 1.2 также представляет собой задачу плоского стационарного напряженного состояния. Постановка тепловой части задачи 1.2 не отличается от постановки тепловой части задачи 1.1, но для решения использован метод аддитивной коррекции. За две итерации достигнута относительная норма невязки е = 2,4773 • 10-7. При этом критерием окончания итераций было условие для относительной нормы невязки е<10-4, на первой итерации получена относительная норма невязки е = 4,2600•Ю-4 . Такая высокая скорость сходимости объясняется тем, что итерационный процесс необходим только для компенсации погрешностей аналоговой аппаратуры сети. При решении задачи теории упругости на сторонах ЛБ и СО задавались условия Е = 0, ЭЕ/Эп = 100 , на остальной границе - условия Е = ЭЕ/Эп = 0 . Решение

бигармонического уравнения задачи 1.2 проводилось методами аддитивной коррекции и приближенной факторизации с различными значениями относительной нормы невязки.

Эксперименты подтвердили преимущества метода приближенной факторизации, причем преимущество метода увеличивается с ростом точности решения.

В задаче 2.1 рассматривалось стационарное температурное напряжение в изгибаемых пластинах. На верхней плоскости пластины бралась температура T = 100 °C, на нижней T = 0 °C . Задача теплопроводности решалась методом прямой аналогии (достигнута относительная норма невязки е = 1,4419 -10"3). Для бигармонического уравнения было принято свободное опирание по всему контуру пластины. Бигармоническое уравнение решалось методом приближенной факторизации. За одну итерацию достигнута относительная норма невязки е = 1,2301-10"3. Такая точность объясняется тем, что в случае свободного опирания приближенная факторизация переходит в точную.

Тепловая часть задачи 2.2 не отличается от задачи 2.1. В задаче теории упругости на сторонах AB и AD задавалось жесткое защемление, а на сторонах BC и CD - свободное опирание. Решение бигармонического уравнения методом приближенной факторизации с диагональным преобладанием в четных итерациях во всех узловых точках до относительной невязки е = 10"2 потребовало 22 итераций, что говорит о том, что наличие условий жесткого защемления существенно усложняет задачу.

Стационарное температурное напряжение в изгибаемых пластинах рассматривалось также в задаче 2.3. В отличие от предыдущих задач пластина имеет более сложную форму граничного контура. В задаче теплопроводности на участке границы FED задано условие T = 100 °C, на остальной границе T = 0 °C . В задаче теории упругости на участке границы FED задано

жесткое защемление, а на остальной границе - свободное опирание. Решение бигармонического уравнения методом приближенной факторизации потребовало 12 итераций. Уменьшение числа итераций по сравнению с задачей 2.2 можно объяснить тем, что в задаче 2.3 на меньшей части границы заданы условия жесткого защемления.

Задача 3.1 представляет собой задачу плоской стационарной деформации. Конфигурация пластины и граничные условия задачи теплопроводности те же, что и в задаче 2.3. Уравнение теплопроводности решалось методом прямой аналогии (достигнута относительная норма невязки е = 2,8042 -10"3). Результаты решения тепловых задач 2.3 и 3.1, естественно, не совпадают, так как различаются постановки задач. Задача теории упругости решалась при F = dF/дп = 0 .

Заключение

Таким образом, результаты решения методических задач подтвердили корректность и эффективность разработанных алгоритмов.

Список литературы

1. Новацкий, В. Вопросы термоупругости / В. Новацкий. - М. : Изд-во АН СССР, 1962. - 364 с.

2. Угодчиков, А. Г. Решение краевых задач теории упругости на цифровых и аналоговых машинах / А. Г. Угодчиков, М. И. Длугач, А. Е. Степанов. - М. : Высшая школа, 1970. - 528 с.

3. Горбаченко, В. И. Комплекс программ решения задач термоупругости / В. И. Гор-баченко, С. Н. Катков // Вопросы радиоэлектроники. Серия ЭВТ. - 1992. -Вып. 12. - С. 45-51.

4. Горбаченко, В. И. Нейросетевые методы решения задач термоупругости / В. И. Горбаченко, С. Н. Катков // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. -2001. - № 3. - С. 31-37.

5. Горбаченко, В. И. Решение систем разностных уравнений на цифровых нейронных сетях / В. И. Горбаченко // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. -2001. - № 3. - С. 38-49.

6. Горбаченко, В. И. Нейрокомпьютеры в решении краевых задач теории поля / В. И. Горбаченко. - М. : Радиотехника, 2003. - 336 с.

7. Горбаченко, В. И. Организация решения дифференциальных уравнений в частных производных на клеточных нейронных сетях / В. И. Горбаченко, С. Н. Катков // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2014. -№ 3 (11). - С. 105-112 (на англ. яз.).

Горбаченко Владимир Иванович доктор технических наук, профессор, кафедра компьютерных технологий, Пензенский государственный университет E-mail: gorvi@mail.ru

Катков Сергей Николаевич старший преподаватель, Пензенский государственный университет E-mail: senika2012@yandex.ru

Gorbachenko Vladimir Ivanovich doctor of technical sciences, professor, sub-department of computer technology, Penza State University

Katkov Sergej Nikolaevich senior lecturer, Penza State University

УДК 004.032.26 Горбаченко, В. И.

Применение нейроподобных сетей для решения задачи термоупругости /

В. И. Горбаченко, С. Н. Катков // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2015. - № 2 (14). - С. 167-176.