Трещина с взаимодействием берегов: нелинейные кривые деформирования связей и сходимость численного решения

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 96-108 Механика

УДК 539.3

Трещина с взаимодействием берегов: нелинейные кривые деформирования связей и сходимость численного решения *

М. Н. Перельмутер

Аннотация. Рассматривается модель трещины с концевой областью, размер которой сравним с длиной трещины. Полагается, что взаимодействие между берегами трещины в концевой области осуществляется посредством связей с нелинейным законом деформирования; кривые деформирования связей состоят из двух частей: участка упругого деформирования и участка с нелинейной деформацией связей; концевая область является частью трещины. Рассмотрена методика численного решения системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений для определения напряжений в связях. Представлены результаты численных экспериментов по исследованию скорости сходимости итерационного процесса численного решения.

Ключевые слова: трещины, концевая область, нелинейные законы деформирования, интегро-дифференциальные уравнения, численное решение.

Введение

Связи между берегами трещины в адгезионных соединениях и композиционных материалах, образованные слоем адгезива или подкрепляющими волокнами, сдерживают развитие разрушения. Этот эффект усиливается при возрастании размера части трещины, занятой связями (далее — концевой области трещины). Если длина концевой области трещины не является малой по сравнению с размером трещины, то приближенные методы оценки трещиностойкости, основанные на рассмотрении трещины с малой концевой областью, неприменимы. В таких случаях необходимо прямое моделирование напряженного состояния в концевой области трещины с учетом деформационных характеристик связей.

Одна из возможностей моделирования напряженного состояния в концевой области трещины состоит в рассмотрении ее как части

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-08-01243-а).

(продолжения) трещины и в явном приложении к поверхностям трещины в концевой области сил сцепления, сдерживающих ее раскрытие. Различные варианты такой модели трещины использовались для анализа хрупкого и упругопластического разрушения однородных тел в предположении, что напряжения в вершине трещины ограничены, что эквивалентно равенству нулю коэффициента интенсивности напряжений [1—3]. Если процессы деформирования и разрушения в концевой области трещины включают в себя несколько физических механизмов, как, например, адгезионных соединениях или в композиционных материалах, то в таких случаях более эффективным является использование модели концевой области с сингулярностью напряжений в вершине трещины. Такие модели (по терминологии работы [4] это модели трещины с «мостиковыми» связями в концевой области (bridged crack)) были рассмотрены для трещин в однородных материалах [4-5] и развиты для трещин с концевой областью на границе раздела материалов с различными физико-механическими свойствами в [6-8].

Моделирование трещиностойкости адгезионных соединений и композиционных материалов на основе модели концевой области трещины состоит из трех основных этапов: 1) получения закона деформирования связей между берегами трещины; 2) определения напряженного состояния в концевой области трещины; 3) анализа предельного равновесия трещины с учетом возможности продвижения вершины трещины и края концевой области при действии внешних нагрузок и усилий, возникающих в связях.

Расчет напряженного состояния в концевой области трещины со связями является важнейшим этапом моделирования. При размере концевой области трещины сравнимом с длиной трещины и нелинейном законе деформирования связей напряженное состояние в концевой области может быть определено только численно. Для прямолинейной трещины на границе раздела двух полуплоскостей из различных материалов задача сводится к численному решению системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

Система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений

Система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (СНИДУ) для определения напряжений в концевой области прямолинейной трещины на границе раздела полуплоскостей из различных материалов при действии растягивающей внешней нагрузки сто, полученная в рамках модели мостиковых связей в концевой области трещины [7, 9], имеет вид

1

/

Gij(s,t)fj(t)dt = Zi(s,CTo) (i,j = 1,2),

1-d/l

где I — полу-длина трещины, й — длина концевой области трещины, 1 — р ^ в ^ 1, р = й/1 — безразмерная длина концевой области, параметр £ зависит от начальной жесткости связей к в и жестокостей материалов полуплоскостей

£=

Кв I 2п

+ 1 + к2 + 1

КВ =

Ев

н

линейный

Здесь Ев — начальный модуль упругости связей, Н размер, пропорциональный толщине зоны неоднородности на участке соединения материалов, й1;2 = 3 — 4^1;2

и 2 (У<0), (см. рис. 1), а = ^(У + (2 — модуль вектора усилий в связях.

Неизвестные функции /1,2 (в) в уравнении (1) связаны с нормальными (у (в) и касательными (х (в) усилиями в концевой области трещины следующим образом [6, 7]

/1(в) — Щв) =

1

^2 к1 + ^1

1 — в 1 + в

г в

в =— 1п^~2’"1 ' ^1, Г = —1. 2п ^1К2 + ^2

Выражения для функций Ту(в, а), (в, а), Су (в, £), ^(в, а0) приведены

в [7]. Отметим, что ядро Су (в,£) является сингулярным, а функции Ту (в, а), (в, а) зависят также от податливости связей. После решения уравнения

(1) усилия в связях определяются из соотношения (3).

! <30 и !

М-1, V! л— Л -ъ г , V «~Л -+ X

0 0

Ц2, \’2

Со

Рис. 1. Трещина на границе раздела материалов со связями между

берегами

1. Методика численного решения

Уравнения (1) представляют собой систему нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядрами типа Коши и могут быть решены только численно. Для их решения используем коллокационную схему с кусочно-квадратичной аппроксимацией неизвестных функций.

Для дискретизации уравнения (1) разместим на промежутке [(1 — р), 1], содержащем связи в концевой области трещины, М = 2У + 1 узловых точек с координатами:

8т = 1 — р + Н

На промежутке 1 — р ^ в ^ 1 каждые последовательные три узла с номерами 2к — 1, 2к, 2к + 1 (к = 1, 2...У) рассматриваем как одномерный квадратичный изопараметрический конечный элемент (число элементов на промежутке N) с параметрическими координатами в пределах элемента

(1£1 < 1) С(в) = — 1 +(в — в2к-1)/Н.

Неизвестные функции fj (в) аппроксимируем разложением по кусочно-непрерывным квадратичным полиномам. Производные функций fj (в) на элементах представим также с учетом разложения по кусочно-квадратичным полиномам. При такой аппроксимации производные функций fj (в) не являются непрерывными на стыках квадратичных элементов. Будем полагать, что производные функций fj(в) в узлах на стыках элементов определяются полусуммой значений в соседних узлах, образующих стык элементов.

Обходя последовательно узловые точки т = 1,2...М и выполняя интегрирование на элементах с учетом сингулярного поведения подынтегральной функции в (1) (методика интегрирования описана в [6, 7]) получаем из уравнения (1) систему нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) размерности 2М х 2М для определения неизвестных узловых значений функции /^ (вт):

[А]{/} = },

где [А] — матрица коэффициентов СНАУ, {/} — вектор узловых

неизвестных, (^} — вектор правой части СНАУ.

Перед решением в СНАУ (5) выполняется учет граничных условий задачи: полагаем /1>2 (в)|5=1 = 0, что соответствует нулевому раскрытию в вершине трещины, иу,х (1) = 0. Учет граничных условий выполняется путем модификации последних двух строк матрицы [А] и соответствующих элементов вектора правой части (^}. Для решения нелинейной системы

(5) используем итерационную схему, аналогичную методу переменных параметров упругости.

2. Алгоритм решения при нелинейном законе деформирования связей

Для решения системы интегро-дифференциальных уравнений (1) при нелинейном законе деформирования связей можно использовать методы решения задач механики сплошных сред при наличии физической нелинейности [10]. Решение задачи в этом случае выполняется по итерационной схеме, в рамках которой путем последовательных приближений достигается выполнение выбранного критерия сходимости. Отметим два основных варианта метода последовательных приближений: метод дополнительных нагрузок (методы начальных напряжений или начальных деформаций, в зависимости от постановки задачи) и метод переменных параметров упругости (метод касательной жесткости). Преимущество метода дополнительных нагрузок состоит в том, что при итерационном решении задачи матрица СНАУ сохраняется и на каждой итерации изменяется только вектор правой части СНАУ. При решении системы (5) этот подход неприменим, так как правая часть СНАУ (1) не является вектором нагрузки. В данном случае эффективным оказывается метод переменных параметров упругости (МППУ) [11], реализованный в форме метода касательной податливости. Первый шаг итерационного процесса состоит в решении уравнения (1) для линейно-упругих связей. Последующие итерации выполняются в том случае, если на части концевой области трещины и(х) > ит, где ит — значение раскрытия трещины, при котором происходит переход от линейного к нелинейному закону деформирования связей. На каждой такой итерации выполняется решение

уравнение (1) для квазиупругих связей, описываемых уравнением вида

. . и(в) (и(в) \ . .

—

Св

где и(в) = ^иу(в) + иХ(в) — раскрытие трещины, —(в) = ^(2 (в) + (2(в) —

модуль вектора усилий в связях, Св (в) — эффективная податливость связей;

их (в), иу (в) и (х (в), (у (в) — проекции раскрытия трещины и вектора

усилий в связях, соответственно, на оси X, У прямоугольной системы координат; ^ (.) безразмерная функция, определяющая нелинейную часть кривой деформирования связей, ^ (.) = 1 при и(х) ^ ит.

Эффективная податливость связей Св (в) является переменной вдоль концевой области трещины и зависит от величины модуля вектора усилий в связях, полученного на предыдущем шаге решения. Вычисление эффективной податливости выполняется подобно определению секущего модуля в методе переменных параметров упругости. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда усилия в связях, полученные на двух последовательных итерациях, мало отличаются друг от друга.

На каждой итерации с номером г ^ 1 выполняются следующие вычисления: 1) расчет узловых значений усилий в связях (см. (3)); 2) расчет

г (*Ь

узловых значений проекций раскрытия трещины на оси координат {их }, {иу^}, модулей векторов раскрытия трещины {и(г)} и усилий в связях {—(г)}; 3) при выполнении условия перехода в область нелинейной зависимости вида

(6) в каждой узловой точке выполняется расчет нового вектора усилий в связях {—(г)}, определяемого нелинейным законом деформирования связей. Окончание итерационного процесса выполняется при условии

—

тах < 5 ДПг) = 1------------- ,

—и

где -П , —и — узловые значения модуля вектора усилий в связях,

полученные на двух последовательных итерациях, 5 — параметр сходимости, устанавливаемый при расчете. При программной реализации алгоритма принимается, что 5 = 10-5.

3. Анализ сходимости численного решения

Рассмотрим результаты расчетов параметров сходимости численного решения для трещины длины 21 = 10-3 м на границе раздела полуплоскостей из различных материалов (соединение металла (модуль упругости Е = 135 ГПа) и полимера (модуль упругости Е2 = 25 ГПа), коэффициенты Пуассона материалов V! = ^2 = 0.35) с двумя концевыми областями одинакового размера, заполненными связями, с нелинейной диаграммой деформирования

(начальный модуль упругости связей Ев = Е2). Распределения усилий (х,у вдоль концевой области трещины определяются из решения СНИДУ (1), причем для связей с нелинейной диаграммой деформирования решение зависит не только от параметра относительной жесткости связей е (см.

(2)), но и вида кривой деформирования связей. Во многих практически важных случаях кривую деформирования связей можно представить в форме билинейной зависимости [7, 9]

( и(в)/св, 0 ^ и(в) ^ ит,

—

СЕ

и1 * ) 1 I -1

п —— + х — 1

' и™ / \ и,™

где св — начальная податливость связей, исг — предельная вытяжка связи, при которой происходит ее разрыв. Параметры п и х в (8), определяющие сходимость численного решения СНИДУ, имеют вид

П = —, X = —,

ит -т

где -т — максимальное упругое напряжение в связях, соответствующее раскрытию трещины ит, —сг — напряжения в связи перед разрывом.

Представленные ниже результаты получены в предположении, что начальная податливость связей определяется выражением

I Н

св =Со Ев ’ Со = 7’

где Со — относительная податливость связей. Значение раскрытия трещины, при котором происходит изменение закона деформирования связей, принималось равным ит = 10-7 м. Билинейные зависимости вида (8) для нескольких значений относительной податливости связей (ит = 10-7 м, П = 2 и х = 0.5) представлены на рис. 2. Отметим, что сходимость МППУ является достаточно быстрой (5-20 итераций в зависимости от принятого параметра сходимости 5) для кривых упругопластического деформирования материалов для которых 1 ^ х < П

Ниже приведены некоторые численные результаты анализа сходимости итерационного решения СНАУ

0.5  10-3 м 9

Св = а12ГТ09ш =2  10-“ м'МПа

Максимальное упругое напряжение в связях при выбранных параметрах закона деформирования связей составляет

ит

—т = — = 10-7 м/2  10-15 м  Па-1 = 50 МПа.

Св

В процессе расчетов варьировались величина внешней нагрузки ао и параметры билинейной кривой деформирования (9) п, X-

В рамках принятой модели, размер части концевой области трещины, в которой связи деформируются по нелинейному закону, зависит от начальной податливости связей. Если начальная податливость постоянна вдоль концевой области, то упругие напряжения в связях максимальны на краю концевой области [6, 7]. Зависимость упругих напряжений на краю концевой области от размера концевой области трещины для указанных выше параметров материалов и связей приведена на рис. 3. Напряжения на крайней связи достигают наибольшей величины (а/ао) ~ 4.74 при относительном размере концевой области ((!/£) ~ 0.16. Соответственно, область нелинейного деформирования возникает, если внешняя нагрузка а0 > (ат/4.74). При ат = 50 МПа получаем а0 & 11 МПа.

Рис. 3. Напряжения на краю концевой области. Упругое решение

Рассмотрим деформирование связей в концевой области для х = 1 (асг = ат) и п = 7.5 в выражении (8). Зависимость числа итерации до достижения сходимости от размера концевой области трещины при различных уровнях внешней нагрузки приведена на рис. 4. При увеличении внешней нагрузки максимальное число итераций наблюдается при большем размере концевой области, хотя параметры кривой деформирования не изменяются. Это связано с тем, что при относительно малых (по сравнению с ат) внешних нагрузках заметное нелинейное деформирование связей реализуется при малых размерах концевой области, где наибольшая концентрация напряжений (см. рис. 3). При возрастании внешней нагрузки диапазон концевых областей трещины, для которых возможно нелинейное деформирование, заметно увеличивается. Большему размеру концевой области соответствует большая зона нелинейного деформирования, и,

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 %

Рис. 4. Зависимость числа итераций от длины концевой области

соответственно, большее число итераций до достижения сходимости. При внешней нагрузке 11 МПа^ сто ^ 40 МПа итерационный процесс сходится при любом размере концевой области, причем число итераций, за которое достигается сходимость итерационного процесса решения, увеличивается пропорционально величине внешней нагрузки. При увеличении внешней нагрузки (сто > 40 МПа) и сохранении параметров кривой деформирования (п = 7.5, х = 1) имеется диапазон значений концевых областей, в которых решение нелинейной задачи отсутствует, ввиду того, что перемещения на краю концевой области превышают величину ucr еще до достижения сходимости итерационного процесса. Например, для сто = 50 МПа при 0.12 ^ d/l ^ 0.73 итерационный процесс решения нелинейной задачи не сходится. Окончание итерационного процесса выполняется ввиду того, что раскрытие трещины на краю концевой области превышает величину ucr. В рамках механической модели это соответствует нарушению в указанном диапазоне концевых областей состояния предельного равновесия и развитию трещины с разрывом связей в концевой области [8].

Следующая серия расчетов выполнена для х = 0, 0.1, 0.5 и п = 4. При таких параметрах кривой деформирования уровень нагрузки, при которой отсутствует сходимость решения, снижается, и при определенной внешней нагрузке может возникнуть численная неустойчивость решения. Зависимость параметра сходимости решения от номера итерации при внешней нагрузке ст0 = 25.5 MPa и (d/l) = 0.1 приведена на рис. 6.

При заданной нагрузке и х = 0.1, 0.5 итерационный процесс является сходящимся, а при х = 0 (стсг = 0) итерационный процесс расходится и возникает неустойчивость решения (см. рис. 7). Математически это выражается в плохой обусловленности матрицы [A] в (5) (ввиду того,

о=25.5 МПа

1)х=0.0 2) х=0.1 3) х= 0.5

3 \ ч^2

10 Номер итерации

Рис. 6. Зависимость погрешности решения от номера итерации, п = 4

что эффективные податливости связей значительно возрастают при неизменном векторе правой части системы) и возникновении неустойчивости решения для тех диапазонов концевых областей, для которых невозможно статическое равновесие.

Зависимости числа итераций до достижения сходимости от параметра х при ст0 = 25 MPa и (d/l) = 0.1 и изменении параметра п приведены на рис. 8. Число итераций до достижения сходимости решения достигает минимума (1 итерация) при условии х = п (см. (9)), что соответствует

упругой деформации связей. Как при 0 ^ X < П, так и при х ^ П, число итераций существенно зависит от величины асг.

0=25.5 МПа ^ = 0.1 С

А\ А \/|

V \ У V

0 25 50 75

Номер итерации

Рис. 7. Численная неустойчивость решения при х = 0

20

=г

го

О-

Ф15

о

с

о

Л о

1  \ 1  / /

Л / Г|=4 / / г)—5.5 / / 11=7.5 /

V / У ± = 0Л £

ьУ/

\/  ' \к 1

10

15

у=и /ст

^ сг т

Рис. 8. Зависимость числа итераций от параметра кривой деформирования х, = 25 МПа

При каждом значении параметра п расчет выполнялся до достижения предельного значения х, при котором решение сходится для заданного размера концевой области. Отметим, что физически ситуация X > П

(увеличение модуля упругости связей) возможна при изменении свойств связей в процессе нагружения под воздействием внешних физических полей.

Заключение

В работе представлена методика численного решения СНИДУ при наличии в концевой области трещины связей с нелинейной диаграммой деформирования. Для решения СНИДУ использована итерационная схема, аналогичная методу переменных параметров упругости. Представлены результаты численных экспериментов по исследованию скорости сходимости итерационного процесса решения СНИДУ в зависимости от параметров, характеризующих кривую деформирования связей.

Модель трещины на границе раздела материалов со связями между берегами позволяет исследовать основные закономерности распределения усилий в связях при различных законах их деформирования, проводить анализ предельного равновесия трещины с учетом кинематического и энергетического условий разрушения [9]. Модель может быть использована на различных масштабах разрушения и дает возможность с единых позиций рассматривать процесс разрушения адгезионных соединений и композитов, включая стадии зарождения дефекта, формирования и роста трещины на нано- , микро- и макро-уровнях.

Список литературы

1. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 23. Вып. 3. С. 434-444; Вып. 4. С. 706-721; Вып. 5. С. 893-900.

2. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. 1959. Т. 5. № 4. С. 391-401.

3. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. 1960. V. 8. № 2. P. 100-104.

4. Cox B.N., Marshall D.B. Concepts for bridged cracks in fracture and fatigue // Acta metal. mater. 1994. V. 42. № 2. P. 341-363.

5. Греков М.А., Морозов Н.Ф. О равновесных трещинах в композитах, армированных однонаправленными волокнами // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 6. С. 1054-1066.

6. Goldstein R.V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at an interface crack // Int. J. Fract. 1999. V. 99. № 1-2. P. 53-79.

7. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. C. 94-112.

8. Перельмутер М.Н. Критерий роста трещин со связями в концевой области // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 1. С. 152-171.

9. Перельмутер М.Н. Трещина на границе раздела материалов c нелинейными связями в концевой области // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 1. С. 152-173.

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

11. Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 2. С. 113-119.

Перельмутер Михаил Натанович (perelm@ipmnet.ru), к.т.н., ст. научн. сотр., Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва.

Cracks with surfaces interaction: nonlinear bonds deformation law and numerical solution convergence

M. N. Perelmuter

Abstract. The model of a crack with a bridged zone which size can be comparable to the whole length of a crack is considered. It is assumed that interaction between crack surfaces in the bridged zone is carried out by means of bonds with non-linear deformation law; bonds deformation curves include two parts: the section of elastic deformation of bonds and the section with non-linear deformation law of bonds; the bridged zone is a part of a crack. The numerical solution algorithm of non-linear system of singular integral-differential equations is considered. Results of numerical analysis of iterative solution convergence rate are presented.

Keywords: crack, bridged zone, nonlinear deformation law, integral-differential equations, numerical solution.

Perelmuter Mikhail (perelm@ipmnet.ru), candidate of technical sciences, senior research scientist, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of RAS, Moscow.

Поступила 13.05.2013