Численное моделирование акустического излучения двумерной каверны в дозвуковом потоке

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 1

УДК 532.592:534-13

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ КАВЕРНЫ В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

А. Д. САВЕЛЬЕВ

Проведено численное моделирование обтекания двумерных плоских каверн турбулентным потоком вязкого газа в диапазоне изменения числа Маха от 0.1 до 0.6 и при отношении их протяженности к глубине от 1 до 4. Рассмотрена общая газодинамическая картина возникающего пульсационного течения и получены характеристики акустического излучения.

Ключевые слова: численное моделирование, компактные разностные схемы, дозвуковое обтекание каверн, вихреобразование, акустическое излучение.

ВВЕДЕНИЕ

Нестационарное пульсирующее течение, возникающее при обтекании каверн на плоской поверхности параллельным ей набегающим потоком, интересно как с точки зрения возникающих аэродинамических нагрузок, так и сильного звукового излучения. Несмотря на относительную геометрическую простоту, здесь имеет место довольно сложное течение, включающее турбулентные сдвиговые слои, вихреобразование, возвратно-циркуляционную зону и акустические волны. Причинами возникновения пульсационного течения в каверне являются неустойчивость сдвигового слоя и волны давления, распространяющиеся вверх по потоку от ее задней стенки. Подобные механизмы осцилляций потока и звукового излучения характерны для многих аэродинамических течений [1]. Важно присутствие в них как сдвиговых слоев, так и твердых или газодинамических препятствий, способствующих распространению возмущений вверх по потоку. Такие эффекты, как звуковое излучение от каверн, «8сгеесЬ»-излучение сверхзвуковых газовых струй и пульсации потока при его взаимодействии с твердой поверхностью имеют общую природу [2, 3].

Актуальность для практики задачи нестационарного обтекания каверн вызвала появление большого количества экспериментальных исследований данной проблемы ([4—8] и др.). Развитие вычислительной техники предоставило новые возможности для проведения эффективных исследований во многих областях аэродинамики. Примеры более или менее успешного численного моделирования обтекания выемок и каверн на до- и сверхзвуковых режимах течения можно найти в [9—12]. Основным результатом исследований здесь выступают распределения осредненных скорости и давления в каверне, а также частоты пульсаций давления (числа Струхаля = /ШУ"1, где / — частота возникающих осцилляций, Ь — длина каверны и их — скорость набегающего потока). Вместе с тем, на основе решения уравнений Навье — Стокса возможно получение не только аэродинамических характеристик пульсирующего отрывного течения, но и акустического поля в окрестности обтекаемого объекта. Моделирование в рамках единого расчета вязкого течения в окрестности выемки и распространение звуко-

САВЕЛЬЕВ Александр Дмитриевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ВЦ РАН

вых волн в практически невязкой области течения вынуждает использовать низкодисперсные ма-лодиссипативные разностные схемы [13 —15], построенные на аппроксимациях высокого порядка. Для дозвуковых течений большое внимание необходимо уделять также постановке «неотражающих» условий на внешних границах области расчета. Кроме того, численные исследования акустических полей требуют использования весьма подробных расчетных сеток и малого шага по времени, что приводит к существенному увеличению необходимого машинного времени. Несмотря на значительные вычислительные трудности, данное направление исследований, получившее название вычислительная аэроакустика (Computation Aero Acoustics — CAA), успешно развивается.

На первом этапе численных исследований каверн рассматривалось их сверхзвуковое обтекание в рамках решения осредненных по Рейнольдсу нестационарных двумерных уравнений Навье — Стокса (RANS), дополненных моделью турбулентной вязкости [9, 10]. Данные турбулентные модели разрабатывались как модели стенки и следа, поэтому требуют дальнейшего развития для моделирования течений с отрывом пограничного слоя. Чувствительность результатов к уровню турбулентной вязкости показана в [11]. По этой причине многие расчеты проводятся для ламинарных сверхзвуковых [16] или дозвуковых режимов течения [3, 17]. Для моделирования трехмерных течений газа, как правило, используется менее затратный в плане описания добавочной вихревой вязкости подход, получивший название моделирования больших вихрей (Large Eddy Simulation — LES) [18—20].

Целью настоящей работы является проведение серии расчетов обтекания каверны на дозвуковом турбулентном режиме течения в достаточно широком диапазоне изменения ее размеров и чисел Маха набегающего потока и получения информации как по динамике волн давления и вихревых структур, так и по возникающему при этом звуковому излучению. Использование компактных схем восьмого порядка аппроксимации по пространственным переменным должно способствовать подробному описанию деталей течения. При большом количестве работ по данной тематике систематические расчеты турбулентного обтекания каверн в рассматриваемых диапазонах изменения числа Маха набегающего потока и геометрических размеров автору не известны. Несмотря на несовершенство существующих моделей турбулентности, в расчетах используется подход, основанный на решении осредненных по Рейнольдсу нестационарных уравнений Навье — Стокса. Этому есть несколько аргументов. Во-первых, в течении присутствуют турбулентный сдвиговый слой и перемешивание внутри полости, что необходимо подробно моделировать. Течение носит нестационарный характер и требует использования не локальных моделей турбулентности, а уравнений переноса турбулентных параметров. Во-вторых, необходимо предсказывать параметры пограничного слоя на внешней поверхности. Кроме того, шаг пространственной сетки у стенки так мал по сравнению с характерными размерами обтекаемой полости, что возможно применение не только явных, но и неявных схем интегрирования уравнений по времени. Данный подход позволяет моделировать многие двумерные течения, однако он является пока экономически невыгодным для расчетов трехмерных задач.

Моделирование дозвуковых течений включает в себя отработку ряда специфичных аспектов. Прежде всего, это постановка «дозвуковых» граничных условий, не позволяющих возмущениям, исходящим из области расчета, возвращаться обратно. Это непосредственно связано с расстоянием от твердых поверхностей до внешних границ и размерами сеточных узлов у этих границ. Кроме того, необходимо определение времени установления в каверне регулярного пуль-сационного течения (или количества периодов колебаний при его установлении). Важным моментом моделирования является оптимальное размещение точек периодического замера необходимой информации.

Несовершенство существующих моделей турбулентности требует при проведении расчетов постоянного контроля уровня реализуемых параметров турбулентности. В то же время, малая толщина пограничного слоя и достаточно широкий диапазон изменения числа М набегающего потока позволяют делать общие выводы о тенденциях развития «невязкого» течения и звуковом излучении. Следует отметить, что моделирование с разрешением турбулентного пограничного слоя является довольно затратным. Типичный расчет с использованием одного процессора компьютера занимает порядка месяца.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Задача решается в двумерной (плоской) постановке путем численного интегрирования ос-редненных по Рейнольдсу двумерных уравнений Навье — Стокса, дополненных уравнениями модели турбулентности на основе модели Ментера переноса сдвиговых напряжений [21]. Обез-размеренные по параметрам набегающего потока и характерному линейному размеру уравнения имеют вид:

Iр + (риз) ='0 (ри)+^Г (рии  + си) = 0,

д,

дх,-

та (ре (+и сз- ч> )=0,

дх

|(рд )+дх-(- * )=т

(О > —-р\ 2 р

VI

I (и^ - ^)=4 (-

стш2 рд дя ^ ! ру

V 5хг- бхг- 2

' О в 2

у--р V

р

V и

Здесь а и х]3 — время и декартовы координаты; р, и^, е = у 1И + 0.5и2 — плотность, компоненты вектора скорости и полная энергия; И — энтальпия; у — отношение удельных теплоемко-стей; переменные д и V получены из кинетической энергии турбулентности к и турбулентной

псевдочастоты ю: д = к12 и v = ю1/2.

Составляющие тензора напряжений Сту, тепловой поток и потоки турбулентных величин представляются следующим образом:

^ =53 VР + \Рк) - 2(И + Иа) ^ ^- 3(ик5и )),

Re-1 (г-1 + | Рг,"1 ))И, SIJ = 0.5

[ ди1 ди ^ —- + —-

дх , дх 1

V  1

* = Re-1 А

дх1

_д_

дх1

дх1

где S1J — компоненты тензора скоростей деформации. Здесь р — давление; | и — коэффициенты молекулярной и турбулентной вязкостей; Pr = 0.72 и Рг, = 0.9 — молекулярное и турбулентное числа Прандтля; Re — число Рейнольдса. Система дополняется уравнением состояния

р = у-1 (у- Ор^

зависимостью коэффициента молекулярной вязкости от энтальпии по формуле Сазерленда [22] и уравнением для расчета коэффициента турбулентной вязкости

И, = *е Ж, .

р V

и

Используемые выше константы и функции выглядят следующим образом:

К. = тах

Н-

1; О А

ар' у

= 1апЬ

тах

Цу = °.5

( ди, ди у

дх , дх,

V  1

( 2д ; 500ц ^ С„у2й' Яе ру2й2

V I

С = 0.09, а1 = 0.31.

Ц = 2Цу ,

Для турбулентной модели, подобно [21], используются две серии констант. Переход от констант внутреннего слоя к константам внешнего осуществляется с помощью функции перемеши-

вания

где

ф = К1ф1 +11 )ф2, ф = К, , P, У),

= 1апЬ

тт

(

тах

500ц

Сиу2ё' Яе ру2й2

V I

(

СБ,

4 Л

СБЫ> = тах

8ст»2Р<? дЧ ^ . 10-20

^^ V дх, дх,

Наборы констант для внутреннего 1 и внешнего 2 решений имеют значения: ск1 = 0.85, сю1 = 0.5, р1 = 0.075, у1 = 0.533, 2 = 10, = 0.856, р2 = 0.0828, у 2 = 0.44.

Постановка задачи и схема течения представлена на рис. 1. На поверхности ВО располагается прямоугольная выемка СБЕК длиной Ь и глубиной Н. Набегающий поток параллелен оси х. Центр системы координат (х, у) располагается в точке С на передней кромке каверны. В процессе решения на твердой поверхности формируется турбулентный пограничный слой 1. Над каверной, где изначально задаются нулевые значения скорости, образуется сдвиговый слой 2,

Рис. 1. Схема расчета:

1 — пограничный слой; 2 — сдвиговый слой; 3 — возвратно-циркуляционное течение; 4 — растекание потока на задней кромке; 5 — звуковые волны; 6 — размещение точек непрерывного контроля давления

а внутри нее возникает возвратно-циркуляционное течение 3. Из-за неустойчивости сдвигового слоя и повышения давления у задней кромки каверны К, ведущего к вытеканию из нее газа наружу, а затем к снижению давления и затеканию его вовнутрь 4, возникает система волн давления, распространяющихся вверх по потоку 5. Их интенсивность зависит от линейных размеров каверны, числа М набегающего потока и параметров сдвигового слоя. Помимо периодического отслеживания параметров течения во всех узлах расчетного поля осуществляется замер давления в отдельных его точках с частотой, необходимой для корректного описания колебаний давления. Данные точки располагаются на поверхности пластины до передней кромки выемки, за ее задней кромкой, в слое смешения, на донышке каверны и в поле течения на расстоянии 2Н от пластины. На рис. 1 они отмечены цифрой 6.

На твердой поверхности ВСБЕКО задаются условия прилипания для скорости, температура

293 К, нулевые значения скорости турбулентности а = к1'2 и V = ю12 в соответствии с рекомендациями [21]. На линии АВ ставятся условия симметрии течения. На внешних границах используются дозвуковые граничные условия на основе характеристических соотношений. На линии AQ задаются полные давление и температура 293 К, угол вектора скорости а = 0, а также выполняется условие на основе выходящей наружу характеристики. Кроме того, на ней фиксируются исходные значения турбулентных параметров набегающего потока. На двух других границах применяются условия с использованием выходящих характеристик и экстраполяции наружу значений параметров течения путем задания равенства нулю их третьих производных в соответствующем пространственном направлении.

За характерный линейный размер задачи принимается глубина выемки Н. Число Рейнольд-

са, посчитанное с учетом данного параметра, имеет величину 106. Толщина пограничного слоя у передней кромки каверны при этом составляет 0.05—0.06Н при расстоянии от кромки пластины до передней угловой кромки выемки 3Н. Скорость турбулентности а на входной границе равна одной тысячной от скорости набегающего потока, а уровень турбулентной вязкости ц№ в 10 раз меньше значения ламинарной вязкости ц^. Диапазон изменения числа М набегающего потока в расчетах составляет 0.1—0.6. Отношение длины каверны Ь к ее глубине Н принимает значения от 1 до 4 с шагом 1. В расчетах используется сетка типа «Н» с максимальным количеством 391 х 171 узлов. Кромки каверны затуплены (радиус затупления 1.25% Н). Расстояние от входной границы до каверны 12Н, от задней кромки до выходной границы — 8Н и от пластины до верхней границы — 15Н. Минимальный размер пространственного шага сетки равняется

Аут;п = 5 -10-5 Н, что обеспечивает попадание ближайших к поверхности узлов в ламинарный подслой. Максимальный размер Аутах = 0.4Н у внешних границ способствует тому, что выходящие волны не отражаются обратно в область расчета.

Аппроксимация конвективных членов уравнений осуществляется на основе составных компактных схем [23, 24], имеющих общий вид:

{ ч л

(2к )+(_1У% А

/'= АР +

2т

V ~2т у

/

2к

где к, т = 1,2,3... — коэффициенты при порядке центральной А(2к) и повторной А2т разностей; 5 = ±1 — параметр, учитывающий направление потока; с2т — константа; к — шаг сетки. Первая компонента формулы и есть разностная аппроксимация производной, а вторая представляет собой добавку диффузного типа, задающую ориентацию разности, благодаря чему возможно проведение устойчивого счета. В качестве первой компоненты используется компактная разность восьмого порядка

а(8) =

^ 2А2 А2 ^ 1 + —2 + — 7 70

5А2 --2 IА1,

42 1 1

здесь А1 и А2 — известные операторы центральной и второй разностей:

¿1 = Т - Т_ъ

Л2 = Т_1 _ 2То + Тъ

где Т — оператор сдвига. Стабилизирующая добавка представляет собой линейную комбинацию десятой разности Л10 (80%) и разности Л10(18) (20%) из [24], обладающей более благоприятными диссипативными свойствами в диапазоне средних волн. Для представления вязких членов

используются формулы компактных разности ' и интерполяции I

К8).

81Л 2 183Л

2 \

476 76160

4 1755(Т1

12 _ Т_1/2 ) + 367 (Т3/2 _ Т_3/2

)

2856Л

I (8) =

А

4

2

. Лг. 128

1 7 (Т/2 + Т_12 )+ Т3

3/2 + Т_3/2

16

а сам оператор имеет вид

5(8)т/21 (8)ц5(8) . Таким образо

м, исходные уравнения аппроксимиру-

ются разностями восьмого порядка.

Основные методические вопросы, касающиеся моделирования обтекания каверн сверхзвуковым турбулентным потоком вязкого газа (построение разностных сеток, сходимости, получения нестационарных характеристик и т. д.), были исследованы в [25]. При проведении расчетов дозвуковых течений необходимо повышенное внимание уделять контролю влияния границ области расчета. В данном случае используются сетки с большим количеством узлов и более удаленными внешними границами при тех же соотношениях Ь и Н по сравнению с использовавшимися в [25]. Так, если для сверхзвукового случая поперек потока в [25] располагалось 111 сеточных узлов, то в данных расчетах — 171, если при сверхзвуковом обтекании расстояние от левой границы до пластины в [25] было 2Н, то в данных расчетах — 9Н. Интегрирование по времени осуществляется неявной схемой второго порядка на основе итерационного метода Гаусса — Зей-

деля. Шаг по времени составляет Л = 2Лу|тН|1 Ц"1, где П^ — скорость набегающего потока. При этом тестовые расчеты показали, что полученные результаты совпадают с данными на основе явного метода Рунге — Кутта четвертого порядка с шагом по времени 0.05Л/1.

Проверка влияния сеток с разным количеством узлов и положением внешних границ на расчетный уровень акустического излучения проводилась для случая = 0.28 и Ь = 2.8Н. При этом использовались сетки, представленные во взаимном сравнении на рис. 2, а. Первая содержит 413 х 191 расчетный узел и имеет размеры от х' = -18.3 до 13.6 вдоль оси х и у' = 22 вдоль у.

Здесь х' = хН-1 и у' = уН_1. Вторая имеет типичные для данного соотношения Ь и Н количество

Рис. 2. Разностные сетки для тестовых расчетов (а) и спектры пульсаций давления, полученные на данных сетках

в центре сдвигового слоя над каверной (б):

1 — 413 х 191; 2 — 371 х 171; 5 — 307 х 141

1 6)

т в . -

в

Рис. 3. Поле модуля градиента плотности (а) и шлирен-фотография течения (б) из [5] в области слоя смешения

узлов сетки 371 х 171 и положение внешних границ по оси х от х' = -12 до ЬН-1 + 8, а по оси у до у ' = 15. Третья сетка при том же положении границ, что и вторая, содержит меньшее количество узлов, 307 х 141. Полученные на данных сетках уровни звукового давления в центре сдвигового слоя над каверной представлены на рис. 2, б. Положение и амплитуды пиковых значений давления на всех трех сетках достаточно хорошо согласуются между собой (координаты точек для разных сеток совпадают лишь с точностью до размера расстояния между узлами). Тем не менее, количество узлов третьей сетки было признано недостаточным для описания турбулентных слоев, и дальнейшие расчеты выполнялись на сетках, подобных второй.

Для тестирования численной методики проводилось сравнение полученных с ее помощью результатов и экспериментальных данных [26]. При этом в эксперименте и расчетах совпадали числа Маха, Рейнольдса и отношение длины каверны к ее глубине. Ширина каверны в [26] составляла половину ее длины, в расчетах она считается бесконечной. На рис. 3, а представлено

поле модуля градиента плотности, полученное в расчете при М= 0.4, числе Яе = 1.5 -106 (по длине каверны) и соотношении длины каверны к ее глубине 2. Видна структура вихрей сдвигового слоя, зона образования нового вихря у передней кромки и область присоединения потока к задней кромке. Шлирен-фотография структуры потока из [26] для той же области течения приведена на рис. 3, б. Амплитуда колебаний слоя смешения и длина волны в расчете и эксперименте согласуются между собой.

Осредненные по времени энергетические спектры осциллирующего течения в каверне часто выглядят как ряд пиков, имеющих на общем фоне более высокую интенсивность. Они являются отражением колебаний потока, природа которых, как уже отмечалось, связана с неустойчивостью слоя смешения и волнами сжатия, идущими от задней стенки. На практике для оценки частоты пульсаций используется модифицированная формула Росситера [27]:

Л =

А

и„

т - а

М1 1

^М2

-12

1

к

Здесь / — частота колебаний; т — номер моды; к — отношение скоростей течения в слое смешения и набегающем потоке; а а = 0.25 — коэффициент, отвечающий за влияние границ каверны. В данном случае значение коэффициента к, согласно [26], полагается равным 0.66.

При числе М = 0.6 и числе Яе = 3.75 -105, посчитанном по глубине каверны, максимальная по амплитуде гармоника (номер моды 2) в эксперименте соответствует числу = 0.8523, в расчете — 0.793, согласно Росситеру — 0.8355. Следующая за ней по амплитуде гармоника с номером моды 1 в эксперименте имеет число = 0.3807, в расчете — 0.357 и 0.358 по эмпирической

формуле [5]. При числах М = 0.4 и Яе = 7.5 • 105 максимальная по амплитуде гармоника с номером 3 соответствует значению числа = 1.429, в расчете — 1.473 и по формуле Росситера — 1.4406. В эксперименте следующей по амплитуде является 1-я гармоника, а в расчетах 6-я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕЧЕНИЯ

Рассмотрим, что происходит к каверне при ее обтекании дозвуковым турбулентным потоком вязкого газа. На рис. 4, а представлено мгновенное поле значений относительного давления

к

0.05

0048

о.04в

0 044

0.042

0.04

0.038

003«

0.03л

0032

003

о.ога

0036 0.024

оогг

ооз

0.01 г

0016

0.014

0.012

0.01

Рис. 4. Поля относительного давления р' (а) и кинетической энергии турбулентности к (б):

1, 2, 3 — зоны повышенного давления; 4, 5, 6 — зоны низкого давления; 7, 8, 9,10 — участки генерации турбулентной энергии

Р' = Р/Рх, полученное при Мм = 0.2 и Ь' = Ь/И = 4. Соответствующее ему распределение кинетической энергии турбулентности приведено на рис. 4, б. На рис. 4, а внутри каверны можно наблюдать систему волн давления. Одна зона повышенного давления, отмеченная цифрой 3, формируется у задней стенки каверны. Другая зона 1 приближается к передней стенке. Между ними две зоны пониженного давления 4 и 5, разделенные двигающейся вверх по потоку волной сжатия 2. Сразу за каверной наблюдается зона пониженного давления, вызванная расширением газа при преодолении им задней кромки.

Зоны пониженного давления 4 и 5 соответствуют вихревым структурам, образовавшимся в сдвиговом слое (области 7 и 8, см. рис. 4, б). При этом происходит генерация кинетической энергии турбулентности, которая нарастает при движении вихря в сторону задней кромки. Картина течения, приведенная на рис. 4, соответствует моменту времени, когда волна сжатия 3 дошла до задней стенки каверны и следом приближается зона разрежения 5, соответствующая положению вихревой структуры 8. Предыдущий вихрь при взаимодействии с задней кромкой каверны распадается на два, один из которых, отмеченный цифрой 9, поворачивает внутрь каверны, а другой (10) вытекает наружу. На рис. 4, б также видны следы предыдущих вихрей, движущихся внутри полости по направлению к ее передней стенке.

На рис. 5 для двух последующих моментов времени представлены поля относительного избыточного давления Ар ' = р' - р'т, где р'т — среднее по времени относительное давление

(рис. 5, а, в) и модуля завихренности = |ду/дх - ди/оу| (рис. 5, б, г) для случая = 0.4 и Ь' = 2.

Здесь также имеют место две зоны пониженного давления, указывающие положение вихрей в слое смешения. Рис. 5, а, б соответствует моменту времени, когда волна сжатия, следующая от задней стенки, преодолевает переднюю кромку каверны и начинает распространяться навстречу набегающему потоку уже вне ее. При этом у задней стенки присутствует зона повышен-

102

1 018

1 010

1014

1012

1 01

1 003

1 006

— 1 004

— 1 002

— 1

— 0093

— 0093

и 0094

- 0992

099

0398 0956

—

— 0964

— 0962

— 098

Рис. 5. Поля относительного избыточного давления Ар' (а, в) и модуля завихренности (б, г) для двух последовательных моментов времени

ного давления, а за ней участок разрежения. Максимальные значения завихренности наблюдаются в сдвиговом слое за передней кромкой и на задней кромке каверны, где происходит растекание набегающего потока внутрь каверны и во внешнее течение.

На рис. 5, б, г приведен момент периодического течения, когда следующая за волной сжатия зона пониженного давления оказывается у передней стенки каверны. При этом у передней кромки происходит зарождение нового вихря в сдвиговом слое, а ближайший из находящихся в слое смешения вихрей достигает задней кромки каверны. И передняя, и задняя грани выемки оказываются одновременно в областях низкого давления. За задней кромкой, напротив, давление выше среднего, что является проявлением взаимодействия вихревой структуры, накопившей при движении в сдвиговом слое значительную энергию, с твердой поверхностью (см. рис. 5, г).

Гармонические колебания течения, возникающие внутри каверны при ее дозвуковом обтекании, приводят к осцилляциям параметров потока во всем расчетном поле. Их интенсивность зависит от положения точки замера, геометрических размеров полости и значения числа М набегающего потока. Зависимости изменения по времени (' = Ни^-} относительного давления р' от числа М^ у передней кромки каверны (х' = 0, у' = 0) при V = 1 приведены на рис. 6. С ростом

значения числа М амплитуда колебаний давления увеличивается, хотя их период меняется незначительно. Кроме того, течение становится сложнее.

Напротив, удлинение каверны приводит к росту периода колебаний. На рис. 7 для точки пространства, расположенной на пластине перед обтекаемой полостью (х ' = -2, у' = 0), представлены зависимости от времени относительного давления для разных значений V ', полученные при = 0.3. При этом амплитуда колебаний даже несколько снижается. На приведенных рисунках показано поведение давления уже установившегося пульсационного течения. При задании в начальном поле давления невозмущенного потока его колебания растут до достижения ими определенной величины за время, составляющее 15—20 периодов. Амплитуда и частота осцил-

ляций не зависят от начальных данных и определяются числом М набегающего потока и геометрией полости.

Рис. 6. Изменение по времени относительного давления р' при разных значениях числа М 1 — 0.1; 2 — 0.3; 5 — 0.4; 4 — 0.6

Рис. 7. Изменение по времени относительного давления р при разных значениях параметра V' :

1 — 1; 2 — 2; 5 — 3; 4 — 4

Осцилляции давления в каверне сопровождаются колебаниями линии тока, разделяющей течение внутри каверны и во внешнем поле. С ростом числа М данные колебания усиливаются, что приводит к значительному смещению точки присоединения вдоль задней стенки каверны. На рис. 8 представлены поля относительного избыточного давления Ар ' и линии тока в виде линий равных значений функции тока у = ^риёу - руёх в моменты времени, когда точка присоединения Я находится в ближайшем положении по отношению к дну каверны (а) и на наибольшем удалении от нее (б). Приведенные результаты получены при = 0.6 и V ' = 4. Следует заметить, что в момент времени, когда положение точки присоединения находится максимально близко к дну полости (а), у задней стенки уже сформировалась зона высокого давления, а за

кромкой — низкого. Теперь создавшийся перепад давления отодвигает разделяющую линию тока вверх, пока картина течения не сменится на «противоположную» (б).

Рис. 8. Поля относительного избыточного давления Ар' и линии тока в окрестности задней кромки каверны:

а, б — крайние положения точки присоединения Я

С/Ц

-0.002

Ь_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_>

0 5 10

Рис. 9. Распределение местного коэффициента трения с у вдоль твердой поверхности при минимальном (1) и максимальном (2) удалении точки присоединения от

нижней поверхности

Максимальные колебания давления наблюдаются у задней кромки каверны. Они сопровождаются волнообразными выбросами газа из полости, распространяющимися далее вниз по потоку вдоль горизонтальной поверхности. На рис. 9 представлено распределение местного коэффициента трения с у вдоль твердой поверхности, полученное при Мм = 0.2 и V = 2 при двух крайних

положениях точки присоединения разделительной линии тока к задней поверхности каверны. Параметр S' представляет собой расстояние вдоль пластины и стенок каверны, отнесенное к глубине Н. Передняя кромка пластины имеет значение S' = -3, левая кромка каверны — ноль, для дна диапазон изменения параметра составляет от 1 до 3, а все, что больше 4, относится к горизонтальной поверхности за каверной. Волнообразное распределение су за задней кромкой отражает процесс периодического вытекания газа из полости.

АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ КАВЕРНОЙ

Рис. 10. Поле относительного избыточного давления Ар' при Мш = 0.4:

а — V' = 1; б — 3

Обтекание каверны дозвуковым потоком вызывает генерацию акустического излучения, которое распространяется в окружающем пространстве. Характеристики данного излучения зависят от режима течения и геометрии каверны. На рис. 10 представлены поля мгновенных значений относительного избыточного давления Ар', полученные при числе М набегающего потока 0.4 и двух значениях длины каверны V'. Видно, что увеличение длины каверны приводит к росту длины волны колебания давления. Кроме того, течение становится более сложным, перепады давления растут. На рис. 10, а видно, что исходящие от каверны волны можно условно разделить на две группы. Первая распространяется от левой кромки каверны и генерируется волнами давления, идущими внутри каверны, при их столкновениях с ее передней кромкой. Вторая исходит от задней кромки и вызвана взаимодействием с ней вихревой структуры сдвигового слоя. При увеличении протяженности каверны и, соответственно, длины волны излучения (рис. 10, б) это становится менее заметно.

Характерные для проведенных расчетов спектры акустического давления в зависимости от значения числа Струхаля для разных точек расчетного поля представлены на рис. 11. Они соответствуют значениям М = 0.2 и V ' = 2. Величина амплитуды нестационарного давления определена для условий, соответствующих нормальному атмосферному давлению, и представлена в децибелах (дБ). Пики на графиках соответствуют частотам гармоник основного колебания, кратных частоте первой гармоники. Видно, что частота осцилляций в разных точках расчетного поля одинакова, а амплитуда может быть больше или меньше в зависимости от положения точки в пространстве.

о 5 эь

Рис. 11. Спектры звукового давления при Мш = 0.2 и V' = 2:

1 — перед каверной

Рис. 12. Спектры звукового давления в точке над каверной при М ш = 0.3:

1 — V' = 2; 2 — V' = 4

Рис. 13. Частоты акустических колебаний газа в каверне в зависимости

от Мт

Спектры нестационарного давления, полученные при Мм = 0.3 и двух значениях протяженности каверны для точек, расположенных над центром каверны при у' = 2, представлены на рис. 12. Можно видеть, что с удлинением каверны частота основных колебаний снижается, а их амплитуда растет.

На рис. 13 представлены частоты акустических колебаний газа у передней кромки каверны в зависимости от значения числа М набегающего потока. Цифры соответствуют номерам мод колебаний. Сплошные линии— теоретические значения числа Струхаля, полученные по модифицированной формуле Росситера [27]. Символами отмечены расчетные значения частот колебаний при различных значениях соотношения длины и глубины каверны, достаточно хорошо согласующиеся с теорией.

Ниже в таблицах представлены уровни звукового давления для первых шести гармоник, полученные при разных значениях числа М набегающего потока и протяженности каверны. Амплитуда колебаний представлена в децибелах, т — номер гармоники. Таблицы соответствуют точкам расчетного поля, находящимся перед каверной (точка 7] на рис. 1, за ней 7 и в центре сдвигового слоя 73).

Приведенные в таблицах данные показывают, что с ростом числа М набегающего потока амплитуда колебаний давления в поле течения, если судить по значениям для отдельных мод, как правило, увеличивается. Так, при V ' = 1 и М^ = 0.1 (см. табл. 1) она может составлять 117 дБ, а при Мм = 0.6 уже 132.5 дБ. В случае V ' = 1 увеличение числа М от 0.1 до 0.6 приводит к росту интенсивности излучения от 108 до 155 дБ. Это связано с ростом энергии волн давления, двигающихся внутри каверны от ее задней стенки навстречу основному потоку, и интенсивности сдвигового слоя. Увеличение протяженности каверны также вызывает рост колебаний давления. Так, для Мм = 0.3 при V ' = 1 интенсивность излучения составляет 137 дБ, а при V ' = 4 — 146.4. К этому эффекту приводит развитие вихревых образований в слое смешения. Взаимодействие вихревых и волновых структур формирует общее нестационарное течение, количественные характеристики которого определяются исходными условиями обтекания каверны: числами Маха и Рейнольдса, соотношением ее глубины и протяженности, состоянием пограничного слоя.

Таблица 1

Уровни акустического давления в точке с координатами х' = -2, у' = 2

V т Мш

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 1 70.21 105.73 98.32 99.89 99.80 129.68

2 64.56 121.8 96.75 105.08 105.47 108.048

5 117.13 108.16 106.91 145.79 99.62 126.35

4 61.8 81.58 136.8 117.07 141.7 132.46

5 56.8 95.16 100.9 104.624 99.9 99.56

6 92.59 84.11 95.65 131.84 88.38 100.45

2 1 82.68 98.87 116.5 122.35 126.45 131.15

2 82.6 133.5 140.96 131.35 124.33 138.2

5 118.5 97.85 108 145.91 145.55 129.7

4 77.35 121.44 128.74 119.88 114.34 145.8

5 65.88 82.94 100.27 119.66 112.24 115.85

6 93.95 104.42 114.03 126.85 123.94 125.66

5 1 89.09 108.79 109.56 132.52 142.61 158.38

2 101.06 132.6 141.54 149.66 155.06 154.89

5 104.9 105.69 116.25 131.8 140.08 142.2

4 88.79 120.9 129.3 128.86 133.3 124.25

5 85.92 105.27 106.7 113.5 130.23 124.5

6 84.8 114.07 111.4 110.97 124.2 127.07

4 1 92.44 113.53 124.3 133.79 144.21 154.66

2 108.52 131.98 146.39 146.86 154.79 152.61

5 102.7 114.42 118.32 138.14 137.5 148.2

4 89.68 114.2 125.26 130.8 134.93 128.16

5 91.95 107.62 105.04 122.92 118.1 123.76

6 93.94 103.55 115.39 116.02 115.17 118.88

Таблица 2

Уровни акустического давления в точке с координатами х' = Ь' + 2, у' = 2

V т Мш

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 1 75.26 90.37 97.67 98.45 104.08 129.68

2 72.06 126.12 98.35 95.71 100.97 103.78

3 108.3 120.6 105.34 138.59 96.73 134.38

Продолжение табл. 2

Mш

V т

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

4 72.7 104.8 134.2 110.16 140.2 132.46

5 71.37 76.84 94.82 88.46 96.09 101.67

6 101.02 87.72 87.8 111.87 87.25 112.07

2 1 85.43 97.36 107.31 119.56 118.05 122.63

2 77.02 131.06 140.9 130.25 119.49 138.2

3 111.16 96.07 106.1 134.14 144.05 114.14

4 83.63 121.1 128.59 119.76 110.2 145.8

5 73.19 85.29 103.15 109.7 108.4 108.94

6 106.8 109.43 107.38 120.85 129.52 121.51

3 1 90.1 108.1 112.16 126.41 133.74 158.38

2 102.4 128.5 139 144.37 146.97 154.89

3 109.28 110.68 109.34 109.26 134.24 128.8

4 83.17 120.9 120.22 130.94 133.18 120.69

5 76.23 100.06 105.79 113.43 117.03 119.28

6 92.85 96.41 113.94 112.85 115.66 119.1

4 1 93.99 104.55 118.89 126.57 129.53 154.66

2 100 119.4 125.1 142.93 138.78 152.61

3 114.88 102.9 111.63 121.46 128.65 141.59

4 89.2 103.16 119.8 129.22 137.96 138.3

5 74.82 89.91 106.86 122.72 125.86 128.66

6 86.94 92.34 117.05 115.93 122.49 125.73

Таблица 3

Уровни акустического давления в точке с координатами х' = Г/2, у' = 0

V т Mш

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 1 77.87 96.68 111.08 111.48 108.34 143.66

2 79.66 140.87 114.88 95.71 112.9 139.16

3 134.7 132.57 152.1 158.92 125.01 146.69

4 75 119 120.74 138.66 162.17 162.33

5 117.13 111.42 114.23 147.36 117.77 125.71

6 118.3 91.12 125.11 150.12 119.45 135.34

2 1 89.34 109.62 123.78 124.81 122.12 131.07

2 99.11 148.2 153.68 146.19 135.58 150.36

3 132.38 125.2 157.88 154.44 155.95 130.28

4 97.9 135.4 141.97 138.66 132.56 165.5

5 87.8 103.79 130.87 144.51 134.17 133.41

6 116.2 122.85 130.02 150.98 150.73 142.95

3 1 98.16 116.45 131.97 143.36 148.19 143.42

2 116.67 149.8 162.49 168.62 172.47 168.88

3 120.54 123 135.94 148.45 158.84 150.22

4 100.95 140.9 150.86 157.96 162.38 159.2

5 104.28 123.86 127.08 140.6 151.54 145

6 105 134.46 139.88 144.63 137.91 140.43

4 1 106.28 122.52 137.52 147.2 148.7 152.35

2 107.4 155.6 163.55 162.7 170.3 168.42

3 119.7 124.5 137.2 144.45 159.44 171.04

4 103.51 140.75 151.11 152.6 161.17 158.76

5 105.36 126.53 131.1 146.86 148.94 142.12

6 105.34 127 136.43 140.81 146.06 143.25

Рис. 14. Поле относительного избыточного давления Ар ' при Mш = 0.6 и V' = 4:

1 — вихри сдвигового слоя; 2 — волны, прошедшие переднюю кромку каверны; 3 — волны после взаимодействия с вихревыми образованиями

180 178 178 174 172 170 168 188 184 162 180 158 156 154 152 150 146 146 144 142 140

Рис. 15. Поле максимальной оценки звукового давления при Мш = 0.6 и V = 4

Представленные в таблицах уровни акустического излучения позволяют видеть, какая из представленных мод пульсаций давления обладает наибольшей амплитудой при заданных значениях параметров V ' и М. Для разных точек расчетного поля номер этой моды, как правило, один и тот же. При других значениях числа М набегающего потока или протяженности каверны максимальной по амплитуде может становиться другая мода. Данный эффект отмечен в [26] и является проявлением сложного характера взаимодействия вихревых структур и волн давления.

Усложнение формируемой каверной волновой структуры при увеличении скорости внешнего течения показано на рис. 14. Здесь представлено поле мгновенных значений относительного избыточного давления Ар', полученное при М^ = 0.6 и V ' = 2. Изолинии имеют те же уровни, что и на рис. 10. Обращает на себя внимание распространяющаяся навстречу набегающему потоку за основной волной дополнительная волновая структура. Полученная картина течения подоб-

на полям изолиний давления, полученным в [17, 20] для значения M= 0.7. Анализ динамики течения показывает, что в формировании группы волн 3 участвуют вихревые структуры 1, образующиеся в сдвиговом слое. Двигаясь в направлении задней кромки, они взаимодействуют с отраженными от задней стенки волнами давления и деформируют их. Проявление данного эффекта при относительно высоких дозвуковых значениях скорости связано с ростом интенсивности вихрей при увеличении числа М набегающего потока.

Максимальную оценку звукового давления можно получить путем определения на установившемся пульсационном режиме течения минимального и максимального значений давления, и затем амплитуды изменения давления, во всех точках области расчета. Поле максимально возможных колебаний давления, полученное при = 0.6 и L' = 4, приведено на рис. 15. Единицы представления результатов — децибелы. Наиболее сильное звуковое давление наблюдается в сдвиговом слое и у задней стенки каверны. Во внешнем поле его уровень значительно меньше. У каверны он составляет ~ 160 дБ и снижается с удалением от нее. Значительные уровни звукового давления наблюдаются над каверной и перед ней. За каверной они существенно ниже.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведены расчеты обтекания плоской двумерной каверны дозвуковым турбулентным потоком вязкого газа при изменениях числа М от 0.1 до 0.6 и отношения длины каверны к ее глубине от 1 до 4. Полученные результаты позволяют проследить как развитие общей картины течения, так и возникающего при этом звукового излучения. Расчетные значения частот колебаний согласуются с теоретическими данными на основе формулы Росситера. Получены количественные характеристики акустического излучения в виде частот и амплитуд основных мод колебаний. Показана роль взаимодействия вихревых структур сдвигового слоя и отраженных от задней поверхности волн давления на общую картину формируемого звукового поля.

Автор выражает признательность М. В. Липавскому за полезные обсуждения методов обработки расчетных данных.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 12-01-00456.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rockwell D. Oscillations of impinging shear layers // AIAA J. 1983. V. 21. N 5, p. 645—664.

2. T a m C. K. W., Block P. J. W. On the tones and pressure oscillations induced by flow over rectangular cavities // J. of Fluid Mech. 1978. V. 89. P. 2, p. 373—399.

3. Lee D.-J., Heo D. N., Lee I. C., Kim J. W. CAA applications for the feedback mechanism in cavity and jet // International Congress on Acoustics ICA. 2004, p. 1307—1310.

4. K a r a m c h e t i K. Acoustic radiation from two-dimensional rectangular cutouts in aerodynamic surfaces // NACA techn. Note 3487. 1955, 33 p.

5. Rossiter J. E. Wing-tunnel experiments on the over rectangular cavities at subsonic and transonic speeds // Aeronaut. research concil. Reports and mem. 1964. N 3438. 46 p.

6. Gharib M., Roshko A. The effect of flow oscillations on cavity drag // J. of Fluid Mech. 1987. V. 177, p. 501—530.

7. Zhang X. Compressible cavity flow oscillation due to shear layer instabilities and pressure feedback // AIAA J. 1995. V. 33, N 8, p. 1404—1411.

8. Heller H., D e l f s J. Cavity pressure oscillations: the generation mechanism visualized // J. of Sound and Vibration. 1996. V. 196, p. 248—252.

9. Хэнки В. Л., Шенг Дж. С. Расчет пульсаций давления в открытой полости // Ракетная техника и космонавтика. 1980. Т. 8, № 8, с. 38—46.

10. Ризетта Д. П. Численный расчет сверхзвукового обтекания трехмерной выемки // Аэрокосмическая техника. 1989. № 7, с. 55—64.

11. Tam C.-J., Orkwis P. D., Di simile P. J. Computation of Baldwin-Lomax turbulence models for two-dimensional open cavity computation // AIAA J. 1995. V. 34, N 3, p. 629—631.

12. Larcheveque L., Sagaut P., Le T.-H., Comte P. Large-eddy simulation of compressible in a three dimensional open cavity at high Reynolds number // J. of Fluid Mech. 2004. V. 516, p. 265—301.

13. L e l e S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution // J. of Computer Phys. 1992. V. 102, p. 16—42.

14. Kim J. W., Lee D. J. Optimized compact finite difference schemes with maximum resolution // AIAA J. 1995. V. 23. N 5, p. 887—893.

15. Толстых А. И. Мультиоператорные схемы произвольного порядка, использующие нецентрированные компактные аппроксимации // Докл. РАН. 1999. Т. 366, № 3, с. 319—322.

16. Rona A. Self-excited supersonic cavity flow instabilities as aerodynamic noise sources // Intern. J. of Aeroacous. 2006. V. 5. N 4, p. 335—360.

17. Gloerfelt X., Bailly C., Juve D. Direct computation of noise radiated by a subsonic cavity flow and application of integral methods // J. of Sound and Vibration. 2003. V. 266, p. 119—146.

18. Marsden O., Gloerfelt X., Bailly C. Direct noise computation of adaptive control applied to a cavity flow // Computer Rendus Mecanique. 2003. V. 331, p. 423—429.

19. Larcheveque L., Sagaut P., Mary I., Labbe O. Large-eddy simulation of a compressible flow past a deep cavity // Physics of Fluids. 2003. V. 15. N 1, p. 193—210.

20. Gloerfelt X., Bogey C., Bailly C. LES of the noise radiated by a flow over a rectangular cavity // Int. workshop on «LES for Acoustics». 2002. DLR Gottingen. Germany. 12 p.

21. Menter F. R. Zonal two equation k-ю turbulence models for aerodynamic flows // AIAA Paper 93-2906. 1993. 21 p.

22. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987, 840 с.

23. Савельев А. Д. Составные компактные схемы высокого порядка для моделирования течений вязкого газа // ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. № 8, с. 1389—1403.

24. Савельев А. Д. Применение разностных операторов высокого порядка при численном моделировании задач аэродинамики // Математическое моделирование. 2012. T. 24. № 4, с. 80—94.

25. Савельев А. Д. Численное обтекание протяженных выемок сверхзвуковым потоком // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII. № 3, с. 60 —72.

26. Kegerise M. A., Spina E. F., Garg S., Cattafesta L. N. Mode-switching and nonlinear effects in compressible flow over a cavity // Physics of Fluids. 2004. V. 16, N 3, p. 677—687.

27. Heller H. H., Holmes D. G., Covert E. E. Flow-induced pressure oscillations in shadow cavities // AFFDL-TR-70-104. 1970, 148 p.

Рукопись поступила 5/X 2012 г.