К теории (концепции) разрушения "локальная плотность энергии деформации"

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 80-92

Механика =

УДК 539.422.22

К теории (концепции) разрушения «локальная плотность энергии деформации»

Ю. Н. Овчаренко

Аннотация. Предлагаются новые основы теории «локальная плотность энергии деформации», первоначально сформулированных в 1973-74 годах профессором G.C.Sih. Показано, что для задач mode I и mode II условия (гипотезы) хрупкого разрушения, предложенные G.C.Sih, противоречат основополагающему подходу в механике разрушения — чем выше интенсивность напряжений или подведенной упругой энергии у вершины трещины, тем большая возможность ее распространения. Предлагаемые новые условия разрушения следуют из отдельного и самостоятельного рассмотрения в полярной системе координат плотности энергии деформации нормальных напряжений и плотности энергии деформации касательных напряжений. Вышеуказанные противоречия снимаются. Под трещиной понимается прямолинейный разрез в сплошной среде твердого тела, способный распространяться под действием внешних воздействий. Поверхности трещины свободны от нагрузок.

Ключевые слова: плотность энергии деформации, mode I, mode II, направление распространения трещины, глобальный критерий разрушения, локальный критерий разрушения.

1. Введение (основные положения теории О.О.ВШ, их анализ). В

работах 1973-1974 годов О.С.БШ [1, 2 и др.] предложил модель разрушения, основанную на концепции локальной плотности энергии деформации. Указанная энергия деформации, накопленная в бесконечно малой области у вершины трещины, является функцией линейно-упругих напряжений и деформаций. В общем виде формулу для плотности энергии деформации можно записать как

Ш =2 {о+ £в + + тгв7Г0 + твх70 г + т2х Тгт ) • Далее рассматривается плоская задача в полярной системе координат:

Ш =2

или через напряжения и перемещения:

Ш=2

/иг +1 + т ( \ г г дв ) г \

диг (иг 1 див

--+ ав--1---

дг \ г

1 диг див г дв дг

ив г

)

Асимптотические напряжения и перемещения у вершины трещины могут быть записаны в виде [3]

1 1

3

аг = С1 г 2 - — ео8 - в + 5 ео8 - + С2г 2 - I 3 — в - 5 81п -

^ -1 1 ( 3 Л „ -1 3 ( 3 Л в4

ав = С1Г 2 ^(ео8 2 в + 3ео8^+ С2г 2 4 I- 81П 2 в - 81П 2

С2Г 2 1 ^3 81и 2в - 5 8т 2) Л , ^ 3 / .3 . в\

I + С2г 2 4 I - 81П 2 в - 81П 2 1 ,

Тгв = С1Г 1 4 ^1п 2в + 81п 2)+ С2г 1 4 ^3 ео8 2в + ео8 2) ,

2циг = С1 г2

+ С2Г -

2цив = С1г2

I- Л в 1 3 .

к--ео8---ео8 - в

2 2 2 2

+ С2Г2

+

II П • в 3 . 3Л

- к--81П--1--81П - в

1 2 2 2 2

,, 1А • в 1 . 3 Л

- к +--81П--1--81П - в

1 2 2 2 2

+

а 1^ в 3 3Л

- к +— ео8 —I— ео8 - в 1 2 2 2 2

Здесь С1 = Щ=, С2 = , где К/ и К// — коэффициенты интенсивности напряжений для нормального разрыва и поперечного сдвига. Для плоского напряженного состояния к = 1+ и к = 3 - 4v — для плоской деформации.

Модуль сдвига Ц = 2(1+^) ' где Е модуль упругости, V коэффициент Пуассона. Далее всегда будет идти речь о задаче плоской деформации.

При подстановке (1.2) в (1.1), получается известное по С.О.БШ выражение для асимптотической плотности энергии деформации:

Ш = -

где

а11

1 + V 4Е

a12 = 1[2 cos в — (k — 1)] sin в,

4E

a22

1 + V 4E

[k (1 — cos в) + (1 + 3 cos в) cos в] .

На рис. 1 показаны эпюры плотности энергии деформации W = 1 (arer + ав£в + тгвyгв) для задач mode I и mode II. Для нормального разрыва трещины (mode I), то есть когда C2 = 0,

W = C21 (1 + V) (1 + cos в) (k — cos в).

r 4E

Соответствующая эпюра при условных безразмерных величинах r = 1, E = 1, v = 0.25, C1 = 1 показана на рис. 1,а. При в = 0 плотность энергии W имеет экстремальный минимум.

Для поперечного сдвига трещины (mode II), когда C1 = 0,

W = C221 (14+V ) [k (1 — cos в) + (1 + 3cos в) cos в].

Соответствующая эпюра при тех же условных величинах для г, Е, V и С2 = 1 показана на рис. 1,б. При 9 = ±84° плотность Ш также имеет экстремальные минимумы.

а

б

Рис. 1. Эпюры плотности энергии деформации

W = 1 (ar er + ад eg + rrg jrg) для схем нагружения: а - mode I; б - mode II

Считается [4], когда энергия деформации W, накопившаяся в элементарном объеме материала на определенном расстоянии rc от вершины трещины в определенном направлении вс достигает критической величины Wc, начинается разрушение. Расстояние rc трактуется G.C.Sih как весьма малый радиус цилиндрической центральной зоны у вершины трещины, где материал нельзя считать сплошной средой. Например, для высокопрочной стали 4140 радиус rc фиксируется в пределах от 0,0165мм до 0,3416мм [5].

Дополнительно к теории G.C.Sih [4] требуется анализировать напряженное состояние, точнее знаки напряжений (рис. 2: а — mode I; б —

mode II). Дело в том, что энергетическая характеристика W не отслеживает, когда нормальные напряжения растягивающие, когда сжимающие, когда касательные напряжения действуют по часовой стрелке, когда — против. А это важно для правильной оценки самой возможности и направления разрушения. Примеры такого анализа будут далее представлены.

аб Рис. 2. Напряженное состояние у вершины линейной трещины для схем нагружения: а - mode I; б - mode II

Выражение (1.3) G.C.Sih выразил как

W = 1S

r

где S (0) = ацС2 + 2ai2CiC2 + a22C| определил как коэффициент плотности энергии деформации в направлении 0.

Условия (гипотезы) разрушения сформулированы G.C.Sih следующим образом:

1) трещина распространяется в направлении 0с, где коэффициент плотности энергии деформации S (0) имеет экстремальный минимум;

1) трещина начинает распространяться в направлении, определенном гипотезой 1, когда величина S (0) достигает своего критического значения Sc.

Или в математической форме: если = 0 9 qq^ > 0, то 0 = 0с и

S (0с) = Sc.

Коэффициент Sc для 0с вычисляется, исходя из apriori известных, суммарно действующих критических коэффициентов Cic и С2с (см. (1.6)). А последние, в свою очередь, определяются, исходя из экспериментально полученной разрушающей нагрузки образцов (стандартных или нестандартных). По теории G.C.Sih на завершающем этапе рассмотрения по формуле (1.6) определяется критическая локальная плотность энергии деформации Wc на расстоянии r = rc.

На рис. 3 показаны изолинии плотности энергии деформации W = = 2 (о>£г + £в + тгвYre) для задач mode I и mode II, которые понадобятся в дальнейшем.

а б

Рис. 3. Изолинии плотности энергии деформации W = 1 (ar£r + ад£д + тгд^гв) для схем нагружения: а - mode I; б - mode II

Рассмотрим нормальный разрыв трещины (mode I). На рис. 3,а по формуле (1.4) построены несколько изолиний плотности W при условных E = 1, Ci = 1, v = 0,25. На этом же рис. 3,а в точечном исполнении

изображена линия пересечения поверхности W (ж, y) c вертикальным относительно плоскости (ж, у) условным цилиндром произвольного радиуса r. Каждая точка линии пересечения связана с некоторым значением плотности энергии деформации W. В плоскости листа — это геометрическая окружность, в трехмерном пространстве (ж, у, W) — пространственная линия с экстремальным минимумом для W в направлении 9c = 0. Здесь, как известно, находится наиболее вероятное направление распространения трещины для mode I. Факт наличия экстремального минимума W вполне может быть использован как некий исходный ориентир для указания направления распространения трещины (для mode I). Что, по-видимому, и подвигло G.C.Sih сформулировать гипотезу 1.

Однако теоретического обоснования у вышеуказанной гипотезы 1 нет. Покажем. На рис. 1,а приведена эпюра асимптотической плотности W для mode I в зависимости от координаты r для вышеупомянутого критического направления 9с = 0. Она не самая большая по соответствующим ординатам величин W. Соответствующие ординаты — это полученные при одинаковых координатах r. Есть направления 9 с ординатами эпюр плотности энергии деформации W существенно большими, чем для 9с = 0 (некоторые такие эпюры показаны пунктиром). И по этим направлениям более логично ожидать распространение трещины. Последнее будет соответствовать основополагающему подходу в механике разрушения, который осуществляется при анализе асимптотического напряженного состояния у вершины трещины: чем выше интенсивность напряжений или плотность упругой энергии, тем опаснее ситуация в плане разрушения. То есть, в теории G.C.Sih налицо имеется противоречие. Критическим направлением для mode I все же является 9с = 0.

Рассмотрим аналогично (по теории G.C.Sih) поперечный сдвиг трещины (mode II). По формуле (1.5) на рис. 3,б построены изолинии плотности W при условных E = 1, C2 = 1, v = 0,25. На рис. 3,б в точечном исполнении изображена линия пересечения поверхности W (ж, у) c вертикальным условным цилиндром произвольного радиуса r. Каждая точка линии связана с некоторым значением плотности энергии деформации W. В плоскости листа — это геометрическая окружность, в трехмерном пространстве (ж, у, W) — пространственная линия с двумя одинаковыми экстремальными минимумами для W в направлениях 9 = ±80,4°. В развитие идеи о направлении распространения трещины в задаче mode I G.C.Sih, по-видимому, решил применить гипотезу 1 для оценки направления распространения трещины и для mode II. С уточнением знака напряжений ав теория G.C.Sih предсказывает направление 9 = -80,4° (а не 9 = -70, 5°, как считалось ранее [6, 7, 8]).

Теоретического обоснования у вышеуказанной гипотезы 1 нет и в случае mode II. Покажем. На рис. 1,б для mode II в зависимости от координаты r приведена эпюра асимптотической плотности энергии деформации W при 9 = ±80,4°. Эпюра построена по формуле (1.5). Из рис. 1,б следует,

что ординаты эпюры плотности Ш при в = ±80,4° имеют наименьшие значения по сравнению с соответствующими ординатами эпюр любых других направлений в (некоторые эпюры показаны пунктиром). И, следовательно, углы в = ±80, 4° никак не могут быть наиболее вероятными направлениями распространения трещины.

2. Постановка задачи, ее решение (как сделать теорию С.С.БШ корректной). Суть некорректности видится в том, что основатель теории объединил в одном рассмотрении то, что в теории трещин, по-видимому, нельзя объединять. А именно, энергию деформации нормальных напряжений и энергию деформации касательных напряжений (в полярной системе координат). Некорректная суперпозиция выглядит как Ш = Ша + Шт, где Ша = 1 (оу£г + ) — энергия деформации изменения элементарного объема при действии только нормальных напряжений оу и о в; Шт = 2 тгвтгв — энергия деформации изменения формы элементарного объема при действии только касательных напряжений тгв. Очевидно, разная физическая природа разрушений путем отрыва и сдвига в элементарном объеме у вершины трещины требует в энергетической трактовке явления их отдельного и независимого рассмотрения и Шт).

С учетом предложенного выше теория С.С.БШ принимает следующий вид. Вместо одного соотношения (1.3) рассматриваются два самостоятельных и независимых выражения энергетического оценивания напряженно-деформированного состояния у вершины трещины (2.1) и (2.2):

Ш = 1 [С?ац + С1С2Й12 + С222Й22]

где

а11

1 + V 16Е

в в 3 3

(8к — 7) есв2--2 есв - есв - в + осе2 - в

V / о ООО

2

2

а12

1 + V 16Е

[— (8к — 9) вт в + 4 вт 2в — 3 вт 3в] ,

а22 =

1 + V

16Е

в в 3 3

(8к — 7) вт2 - — 6 вт - вт - в + 9вт2 - в

2

2

Шт = -

1

г 16Е

С^ в1п 2 + в1п 3 в^ + С2 ^

в3 есв —+ 3 есв - в 22

Параметры а11, а12, а22 иные, чем в формуле (1.3) по теории С.С.БШ. Далее (2.1) и (2.2) представляется в виде:

Ш = - Ба (в);

г

2

Wt = 1 ST

где выражения для инвариантов So (0) и ST (0), характеризующих соответствующие асимптотические поля плотности энергии деформации, ясны из сравнения (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4). Далее эти инварианты будут называться коэффициентами интенсивности плотности энергии деформации для направления 0.

Предлагаемые новые условия разрушения:

1) трещина распространяется в направлении 0с, где коэффициенты интенсивности плотности энергии деформации So (0) или ST (0) максимальны;

2) начало распространения трещины происходит в направлении 0с , определенном условием 1, когда So (0), или ST (0) достигают своих критических значений Soc или STC .

Другими словами, трещина имеет два возможных варианта начального распространения — в направлении 0с , для которого So (0) максимален (среди всех прочих направлений) или в направлении 0с, для которого St (0) максимален (также среди всех прочих направлений). Критические значения коэффициентов Soc или STс для соответствующих 0с вычисляются, исходя из знания критических коэффициентов Cic и C2c (см. формулы (2.1)-(2.4)), а последние, в свою очередь, — из знания разрушающей нагрузки (как и по теории Sih G.C., требуется эксперимент со стандартными или нестандартными образцами). И последнее действие: по формулам (2.3) или (2.4) находится локальная критическая плотность энергии деформации Woc или WTc на расстоянии r = rc.

На рис. 4 по формулам (2.1) и (2.2) построены эпюры плотности энергии деформации Wo = 2 (arer + ав£в) и WT = 2 тгвyre для mode I при условных E = 1, Ci = 1, C2 = 0, v = 0,25. Конкретно, из рассмотрения рис. 4,а следует, что максимальная величина Wo находится на направлении 0 = = 0 и, следовательно, разрушение путем отрыва следует ожидать именно здесь, поскольку напряжения ar и ав — растягивающие (см. рис. 2,а). На рис. 4,а показано также, что эпюра асимптотических Wo в зависимости от r, для направления 0 = 0 является максимальной среди эпюр любых других направлений (некоторые показаны пунктиром) по соответствующим ординатам.

Примечание. Как соотносятся между собой произведения arer и ав£в в критерии Wo- = 2 (ar£r + ав£в) на степень своего участия в начальном разрушении и в направлении его? В рамках механики сплошной среды оба произведения вместе характеризуют суммарное накопление упругой энергии в элементарном объеме при растяжении (сжатии). При исследовании предпочтительного влияния каждой пары следует, по-видимому, опираться на следующие общепризнанные гипотезы [8]:

• трещина растет в направлении радиуса из вершины трещины;

• трещина растет в направлении, перпендикулярном к направлению наибольших растягивающих напряжений.

Из рис. 4,б следует, что максимальная величина WT находится на направлениях 9 = ±70, 5°, где наиболее вероятно ожидать разрушение путем сдвига. На рис. 4,б показано, что эпюра асимптотической WT в зависимости от r для направлений 9 = ±70, 5° является максимальной по сравнению с эпюрами WT любых других направлений (некоторые показаны пунктиром) по соответствующим ординатам. Можно предположить, что возможная начальная пластичность в зоне вершины трещины будет характеризоваться первыми дислокациями именно на направлениях 9 = ±70, 5°.

Какая энергия Wa или WT (то есть отрыв или сдвиг) для рассмотренной задачи mode I окажет решающее значение при разрушении, будет, очевидно, зависеть от физических и механических свойств материала.

На рис. 5 по формулам (2.1) и (2.2) построены эпюры плотности энергии деформации Wa = ^ (arer + ав£в) и WT = ^ тгвYre для mode II при условных E = 1, C1 = 0, C2 = 1, v = 0,25. Конкретно, из рассмотрения рис. 5,а следует, что максимальная величина Wa находится на направлениях 9 = ±180°. Здесь полностью доминируют напряжения аг (см. рис. 2,б) и, следовательно, формально разрушение путем отрыва следует ожидать перпендикулярно этим направлениям. На рис. 5,а показано, что эпюра асимптотических Wa в зависимости от r для направлений 9 = ±180° является максимальной по сравнению с эпюрами Wa любых других направлений по соответствующим ординатам. Но растягивающие напряжения аг действуют только на направлении 9 = -180°, следовательно, распространение трещины должно «пойти» по последнему направлению (точнее, перпендикулярно направлению 9 = -180°). Обращается внимание на направления 9 = ±70, 5°, где полностью доминируют напряжения ав (см. рис. 2,б). Обычно именно эти направления распространения трещины для mode II обсуждаются в научной литературе [6, 7, 8]. Но как видно из эпюры рис. 5,а энергия деформации

на направлениях 9 = ±180° существенно больше (по соответствующим ординатам), чем на направлениях 9 = ±70,5°. Следовательно, вариант с 9 = ±70,5° отпадает как маловероятный с точки зрения разрушения путем нормального отрыва. Этот вывод является новым для mode II. Еще одно замечание: направление распространения трещины 9 = -80, 4°, предсказанное по теории G.C.Sih для mode II, в новой интерпретации теории не является самым опасным (см. рис. 5,а).

аб Рис. 5. Эпюры плотности энергии деформации для схемы нагружения mode II: а - Wa = 2 (о>£г + £в); б - WT = 2rrgjrg

На рис. 5,б построены эпюры плотности энергии деформации WT для mode II при условных E = 1, C = 0, C2 = 1, v = 0,25. Из рис. 5,б следует, что максимальная величина WT находится на направлении 9 = 0 и, следовательно, разрушение путем сдвига следует ожидать именно здесь. Указанное направление выпало из теории G.C.Sih, хотя механика разрушения для mode II обычно связана с этим направлением. На рис. 5,б показано также, что эпюра асимптотических WT в зависимости от r для направления 9 = 0 является максимальной по отношению к эпюрам любых других направлений (по соответствующим ординатам). Это доказывает наибольшую опасность указанного направления для начального распространения трещины путем сдвига.

Какая локальная энергия Wa или WT (отрыв или сдвиг) для рассматриваемой задачи mode II окажет решающее значение при разрушении, будет, очевидно, зависеть от физических и механических свойств материала.

Заключение. В статье дан анализ сформулированных Sih G.C. условий (гипотез) разрушения теории «локальная плотность энергии деформации». Предложены новые условия разрушения. Отмечено, что локальный критерий энергии деформации не определяет, когда нормальные напряжения растягивающие, когда сжимающие, когда касательные напряжения действуют по часовой стрелке, когда — против. Для правильной оценки самой возможности, а также направления разрушения это важно знать. Поэтому параллельно с осуществлением оценок критериев Wa или

WT следует проводить анализ напряженного состояния в интересующих направлениях.

Согласно предлагаемым новым условиям разрушения трещина имеет два возможных варианта распространения — в направлении, для которого коэффициент интенсивности плотности энергии деформации Sa (9) максимален или в направлении, для которого коэффициент интенсивности плотности энергии деформации ST (9) максимален. Критические значения коэффициентов Sac или Stc вычисляются, исходя из знания критических коэффициентов интенсивности напряжений Cic или C2c, а последние в свою очередь — их знания разрушающей нагрузки соответствующих образцов. Коэффициенты Sac или Stc, как инварианты асимптотического поля плотности энергии деформации, могут играть самостоятельную роль глобальных критериев разрушения. Чтобы перейти от глобальных критериев Sac или STc к локальным SWac или WTc, необходимо знание rc — весьма малого радиуса цилиндрической центральной зоны у вершины трещины, где физическая сплошность твердой среды нарушена.

Существенным остается, что новый подход в теории «локальная плотность энергии деформации» применим для оценки разрушения тел с трещинами в задачах смешанного типа (mode I + mode II).

Примечание. Суперпозиция энергии растяжения-сжатия и энергии сдвига W = W<j + WT, представленная в статье, в тензорной форме выглядит как

W=2

аг 0 0

0

ав 0

0 0

az

£r 0 0

0 ев 0

0 0 £z

+

1 + 2

0 Tre Trz

Tre 0 Tze

Trz Tze 0

2 Yгв 0

2 Yrz 2 Yze

l

0

Yre

2 Yrz 2 Yze 0

Такое разбиение плотности энергии деформации Ш на два самостоятельных слагаемых Ша и Шт является основной идеей работы. Недостатки, присущие для Ш (которые указаны в статье), полностью отсутствуют для его слагаемых Ша и Шт. В этом их достоинство. Отсюда предлагаются независимые критерии Ба (0) и Бт(0).

Г.Плювинаж [4] указывает, что Теокарис в 1982 году предложил разделять плотность энергии деформации Ш на шаровую и девиаторную части:

W = W у + Wd = 2

ао 0 0 0 ао 0 0 0 ао

£о 0 0 0 £о 0 0 0 £о

+

1 + 2

сту — сто rre Trz

TrQ ctq — сто TZQ Trz TzQ CT z — СТо

£r — £о 2 YrQ 2 Trz

2 YrQ 2

— £о

2 YzQ £z — ^о

Yrz 2 YzQ

Это существенно отличается от суперпозиции в тензорной форме, представленной выше. В научной литературе [4] известна модификация S-критерия G.C.Sih, которая учитывает лишь энергию формоизменения (Sd-критерий), то есть второе слагаемое последнего выражения. Можно показать, что недостаток у Sd-критерия тот же самый, что и у S-критерия. А именно, он противоречит основополагающему подходу в механике хрупкого разрушения: чем выше интенсивность подведенной упругой энергии к вершине трещины, тем в более критическом состоянии зона у вершины будет находиться.

Список литературы

1. Sih G.C. A special theory of crack propagation. Mechanics of fracture. Vol. 1, edited by G.C.Sih, 1973. Noordhoff International Publishing, Leyden, The Netherlands. P. XXI-XLV.

2. Sih G.C. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems // International journal of Fracture. 1974. Vol. 10. No. 3. P. 305-321.

3. Овчаренко Ю.Н. Плотность энергии деформации в линейной механике разрушения применительно к V-образным вырезам // Известия ТулГУ. Серия Актуальные вопросы механики. 2006. Том 1. Вып. 2. С. 141-149.

4. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения: Пер. с франц. М.: Мир, 1993. 450 с.

5. Wong A.K. On the application of the strain energy density theory in predicting crack initiation and angle of growth // Eng. Fract. Mech. 1997. Vol. 27. No. 2. P. 157-170.

6. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. В кн.: Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 83-203.

7. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 256 с.

8. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел: курс лекций. СПб: Профессия, 2002. 320 с.

Овчаренко Юрий Николаевич (ovcharenkos@rambler.ru), к.т.н., доцент, кафедра сварки, литья и технологии конструкционных материалов, Тульский государственный университет.

To the theory (concept) of destruction «local density of energy

of deformation»

Yu. N. Ovcharenko

Abstract. New bases of the theory «local density of energy of deformation», originally formulated in 1973-74 professor G.C.Sih are offered. It is shown, that for problems mode I and mode II conditions (hypothesis) of fragile destruction offered G.C.Sih, contradict the basic approach in the mechanics of destruction — the above intensity of stresses or the brought elastic energy at top of a crack, the a greater opportunity of its distribution. Offered new conditions of destruction follow from separate and independent consideration in polar system of coordinates of density of energy of deformation of normal stresses and density of energy of deformation of tangents stresses. The above-stated contradictions are removed. The crack is understood as a rectilinear section in the continuous environment of the firm body, capable to extend as action of external influences. Surfaces of a crack are free from loadings.

Keywords: density of energy of deformation, mode I, mode II, a direction of distribution of a crack, global criterion of destruction, local criterion of destruction.

Ovcharenko Jury (ovcharenkos@rambler.ru), candidate of technical sciences, lecturer, department of welding, casting and construction materials technology, Tula State University.

Поступила 31.10.2014