Дальнее поле волны Рэлея для упругой цилиндрической оболочки при действии торцевой нагрузки

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №4(54).

УДК 539.3

197

ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ТОРЦЕВОЙ НАГРУЗКИ

© 2006 В.А. Ковалев^ О.В. Таранов2

Изучаются особенности распространения нестационарных волн в упругой цилиндрической оболочке при ударных торцевых воздействиях нормального типа. Асимптотическим методом построены уравнения для нахождения решения в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея при нормальном торцевом воздействии.

1. Постановка задачи

Динамические процессы в тонкостенных телах характеризуются показателями динамичности и изменяемости напряженно-деформируемых состояний (НДС). В нестационарных задачах эти показатели неоднородны по координате и времени, что определяет возможность выделения областей применимости различных приближенных теорий. Согласно классификации У.К.Нигула [1] выделяется три типа ударных торцевых воздействий, проводящих к различным типам нестационарного НДС. Применение асимптотических методов позволило в [2-4] расчленить нестационарное НДС в случаях продольных воздействий тангенциального ЬТ и для изгибающего ЬМ типов на составляющие с различными показателями изменяемости и динамичности. Предложенный в этих работах подход к изучению нестационарных волн, основанный на выделении пакетов волн, инициированных торцами и стенками, предполагает анализ поведения решений с ростом времени. Корректность такой схемы расчленения обеспечивается необходимой точностью описания составляющих и наличием областей их согласования.

В работах [5, 6] сформулирована асимптотическая модель, ориентированная на выделение решения в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея как в классической задаче Лэмба для упругого полупро-

1 Ковалев Владимир Александрович (kovalev@migm.ru) кафедра математических и информационных основ управления Московского городского университета управления Правительства Москвы, 107045, Россия, г. Москва, ул. Сретенка, 28.

2Таранов Олег Викторович (mgupi@mail.ru) кафедра теоретической механики Московского государственного университета приборостроения и информатики, 107475, Россия, г. Москва, ул. Стромынка, 20.

странства, так и в задаче для бесконечной упругой полуполосы. В работах [7, 8] для оболочек вращения предложена принципиально новая схема расчленения нестационарного НДС при торцевом воздействии нормального типа NW на составляющие с различными показателями изменяемости. Указанная схема основанна на качественно новых свойствах поведения нестационарных волн в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея. Здесь появляется квазифронт в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея, причем гиперболические уравнения теории типа Тимошенко ошибочно воспринимают этот квазифронт как фронт новой особой сдвиговой волны.

В данной работе основное внимание уделено исследованию особенности поведения решения в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея при ударно приложенных торцевых нагрузках, моделируемых во времени функцией Хевисайда.

Рассмотрим трехмерную осесимметричную задачу теории упругости для полубесконечной цилиндрической оболочки (см. рис. 1) при ударной торцевой нагрузке нормального типа в форме

д и3 ,

= 1Н(0, и у = 0. 1.1

д х

Примем, что лицевые поверхности г = Я ± к свободны от напряжений, а начальные условия при г = 0 однородны:

Озз = Охз = °,

д и*

м,- = —1 = 0,

д г

В уравнениях (1.1)—(1.3) х, г — осевая и радиальная координаты; г — время; Оц, О33, Охз — нормальные и касательные напряжения; к — полутолщи-на оболочки; Я — радиус срединной поверхности цилиндра; их, из —перемещения в направлении осей х, г; I — амплитуда нагрузки; Н(г) — единичная функция Хевисайда.

Уравнения движения упругого цилиндра имеют вид: *13

дохз двзз 1 д2из

„ + —7— + - (-022 + °33) - р-ТТ - О,

дх дг г д?2

дои доіз 1 д2иі

т— + -^— + - 013-----------------т- = О,

д х дг г <9г2

Е /д иі V д из V из

°п = ______о Т- + 7Т- +

2(1 + v)к2 \ д х 1 - V д г 1 - V г/’

Е /д и1 V д из V из

он = _ , ч „ ^+

2(1 + v)к2 \ д х 1 - V д г 1 - V г/

Е / V д и] V д из и з\ .

°22 = тТЇ------------Ї--------------я— + ~\------------я— + — ’

2(1 + v)к2 \ 1 - V д х 1 - V д г г/

Е І V д и1 д из V из

Озз = —--------------ї--------------^— + -т— +

2(1 + v)к2 \ 1 - V д х д г 1 - V г Е 1ди\ <9 Из

13 2(1 + V) \ д г дх

о (1-у)Е Е

Здесь С\ = Л---------------, С2 = Л----------скорости волн расширения и

V (1 - 2у)(1 + у)р V 2(1 + у)р

сдвига; к = —; Е, V, р — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность С1

материала оболочки.

Уравнения движения в перемещениях можно записать в виде:

_2<92иі і д2и\ і 1 д2щ 2р(1+у) д2и\ і 1 дщ і 1 1 дщ п

К _ _ Н- “І- “I- — и.

дх2 дг2 1 - 2v дхдг Е д?2 г дг 1 - 2v г дх

1 д2и\ д2щ _2д2щ 2р(1+у)<92из к~2 дщ к~2 дщ

1 - 2v дхдг дх2 дг2 Е дї2 г дг г2 дх

Перейдем к безразмерным координатам с помощью соотношений

х , г - Я ?с2 .

*=»• с = — т = Т' (1-7>

Тогда уравнения движения и уравнения закона Гука примут вид

_2 д2и\ д2и\ 1 <92из <92иі

<91;2 д "С,2 1 - 2у <9 5т2

П д и1 1 п д из

+ -——-—^^- = 0,

1 + д£, 1 - 2v 1 + д ^

1 д и1 д из _9 д2из д2из

+ —^ + к —----------------— +

1 - 2v д Ід £ д ?2 д^2 дт2

-2 п дУз _2 п2 д из

_|_1£ _!_____________ -|^ __________!_________________— М

1 + г|^ <9^ (1 + г|^)2 дЬ, ’

Е

Оц =

д ы\

+

V д ыз

П

2(1 + v)к2h \ д £ 1 - V д £ 1 - V 1 +

Озз -

О13 -

п

Е I V дщ дщ V

2(1 + у)к21г \ 1 - V <9§ + д%, + 1 — V 1 + г|&,

ыз

ыз

Е

2(1 + v)h

(дщ дщ\

h

Здесь г| = ——малый параметр тонкостенности оболочки.

Из уравнений (1.8)—(1.9), пренебрегая величинами порядка 0(п2), получаем

_2д2Ы1 д2Ы1

к ------ +------ +

1 д2ыз

п д ыз

д £2 д ^2 1 - 2v д £д£

1 д2ых д2ыз _9 д2ыз

------------+ —- + к ——

- - д{2

1 - 2v д £д I д £2

д2ых д ых

----- “I- Т|-- “I-

дх2 дX, 1 - 2г| д §

д2ыз 2 дыз

^+К 1'К=°’

- 0,

Е

О11 -

Озз -

/ дщ

V д ыз V

+ ---------Ци3

2(1 + v)к2h \ д £ 1 - V д £ 1 - V

Е

V ды1 дыз V

+ + -------ци3

О1з -

2(1 + v)к2h \ 1 - V д £ д £ 1 - V

Е (дщ д из 2(1 + у)Н \ дХ д"%

V

2. Погранслой в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея

Анализ уравнений (1.10) показывает, что искомое НДС в окрестности условного фронта волн Рэлея, строящееся с показателями изменяемости и динамичности, равными единице, относится к классу коротковолновых [3, 4] и является симметричным или антисимметричным относительно срединной поверхности с асимптотической погрешностью О(п). Можно записать в общем случае

Ок1 - Е [а°к1 + по^) , ыт - Я п

где индексом ”0” обозначена основная составляющая НДС (симметричная или антисимметричная относительно срединной поверхности), а индексом ”1” обозначена второстепенная составляющая (соответственно, антисимметричная или симметричная). Тогда уравнения (1.10) для основной составляющей будут переписаны в виде, совпадающем с уравнениями для плоского слоя:

Л2ы 1 / —2 о2 а2\ д? dЫ3

д£ dы\ _2 ^2 ы з

Т^1гГ + к

01|=_______Е______+

2(1 + у)к2/г \ дЦ, \-vdt, ’

Е / V дых V д ыз

°22 = —-------т^т ;---------+

(д2 - д?) ы з - 0,

о1:'1 = о^ = 0, о1:-1 = ——--------------------Я(т - §).

11 зз 1з -

2(1 + v)к2h \ 1 - V д£ 1 - V д£ /’

Е (ди\ дщ °13 2(1 + у)й \ <9^ + <9£

Как и в случае полуполосы [6], выделим частное решение уравнений (2.2), удовлетворяющее только торцевым граничным условиям (1.1). Обозначим это решение верхним индексом ”0”:

ы(°} - 0, ыз0) - - 1(т - £)Я(х - £),

и <2-3>

2(1 +Y)Л‘

Решение (2.3), построенное с малой асимптотической погрешностью О(п), представляет собой поперечную волну, распространяющуюся вдоль оси цилиндрической оболочки в плоскостях, проходящих через эту ось. Построенное таким образом решение, совпадающее с аналогичным решением для полуполосы [6], не удовлетворяет граничным условиям (1.2) на лицевых поверхностях.

2.1. Построение эквивалентной задачи

Представим решение рассматриваемой задачи в виде следующей суммы:

НДС - НДС(0) + НДС(1),

где для решения с верхним индексом ”1” на торце и лицевых поверхностях ставятся следующие граничные условия при £ - 0 и £, - ±1:

= о, и'!’ = О,

На рис. 2 показаны нагружения на лицевые поверхности и схема деформирования оболочки в этой задаче.

Его анализ показывает, что деформированное торцевое сечение остается прямолинейным и перпендикулярным к оси цилиндра. Следовательно,

а)

б)

Рис. 2. Схема нагружения и деформирования полубесконечной цилиндрической оболочки: схема нагружения на лицевые поверхности

если взять бесконечную цилиндрическую оболочку с симметричным нагружением, показанным на рис. 3, а, то деформирование каждой из ее симметричных частей эквивалентно деформированию рассматриваемой полубеско-нечной оболочки. Поэтому можно перейти к исследованию эквивалентной задачи для бесконечной оболочки, представленной на рис. 3.

2.2. Решение краевой задачи с помощью символьного метода А.И. Лурье

Перепишем уравнения (2.2) для составляющей с индексом ”1”, предварительно введя операторные обозначения

^

(д| - ^2) и з = о,

я)

Рис. 3. Эквивалентная схема нагружения и деформирования бесконечной цилиндрической оболочки: схема нагружения на лицевые поверхности

Оіі =

Озз =

Оіз =

Е

V duз

2(1 + v)к2h \ 1 - V d X

Е

duз

+

2(1 + v)к2h \ d X 1 - V

Е

2(1 + v)h

V

Применим символический метод А.И. Лурье [8, 5, 6]. Тогда точные выражения для перемещений ы1, ыз и напряжений Озз, 01з удовлетворяющих уравнениям (2.7), (2.8), записываются в виде:

и1 = <9|Є-(1-і;)аБ1 + д|Є-(1+і;)аБ2 + в е“(1-^)вБз - в е-(1+^)вВ4,

из = ае-(1-^)аВ1 - ае-(1+^)аБ2 - д| е-(1-^)вБз - д| е-(1+^)вВ4,

033 = л Е лЛУ2е~(1~'°аВі + У2e-(1+'QaD2-(i + v)h

-дІв e-(l-Z)eD3 + дІв e-(l+Z)eD4),

E

-(д£сиГ(1Ч)а0і - d|cuT(1+DaD2+

O13 =

(i + v)h

+Y2e-(1-Z)вD3 + y2 е-(1+і;)вD4),

где а = к д2 - 5|, |3 = <92 - <9^, у = “ ^£> А' 0 = 1,2,3,4) — постоянные

интегрирования, определяемые из условий на лицевых поверхностях (2.5).

Подставляя найденное решение (2.9) в граничные условия (2.5) при £, - ±1, получаем следующую систему алгебраических уравнений для D^•:

у201 + у2е-2а02 - д£|3 0з + д£|3 е-2вВ4 - 0, д£а 01 - д£а е-2а02 + у20з + у2е-2в04 - -5, у2е-2а01 + у202 - д£|3 е-2в0з + д£|3 04 - 0, д£а е-2а01 - д£а 02 + у2е-2вБз + у204 - -5,

1

S=

2-/Я(т-£), £>0, -і/Я(т-£), £<0.

Для упрощения вычислений пренебрежем в граничных условиях (2.10) членами с множителем e-2a. Это соответствует, в конечном итоге, пренебрежению в асимптотике для первого корня уравнения Рэлея-Лэмба при X

членом с множителем exp (-2^ - K2kRxj по сравнению лем exp (-2 ^1 - k2%j . Здесь

R с членом с множите-

B=2

kR к2kR 4kR

cr — скорость поверхностных волн известного трансцендентного уравнения

2

к - — 1

1 -к\ ' 1 - к2к\ 2-к\\ ’ R ~ С2 < ’

рэлея. Коэффициент kR является корнем

(2 - к^)2 - 4 ^1 - &2 ^Г^2 - 0.

Тогда граничные условия (2.10) могут быть преобразованы к виду:

(у4 + д£а|3)0з + (у4 - д£а|3)е“2в04 - -у25,

у201 - д£|3 0з - д£|3 е-2в04, у202 - д£|3 е-2в0з - д£|3 04.

Рассмотрим большие значения времени, когда т » 1 (т.е. когда фронты

волн проходят расстояние, много большее толщины цилиндра): т - 0(Т),

Г » 1. Введем малый параметр е = —, масштабированные переменные у, То и соответственно новые операторы dy, дТ0:

£о - kRТ0 ^ ^ я д я д /ОЮА

У =----------, Zo = еС, То = ет, ду = —, <9То = —.

е dy дт0

Отбрасывая асимптотически второстепенные члены, приходим к следующим двум уравнениям для D3, D4 и двум выражениям, определяющим Di, D2 через D3, D4:

2е dydXoD3 - 2Bd2 ехр (-2i Jl - к\ dy) D4 = --—-5,

_________ 1 ~kR/2

-2Вду ехр (-2i Jl -к\ ду\ D3 + 2EdydXoD4 = ——S,

' ' 1 kR / 2

(1 - k^/2)dyDi = -i yjl - k\ dyD3 + i yjl - kR dy exp (~2i yjl - kRdy^j D4,

(1 - k2R/2)dyD2 = ~i ^1 - k2R dy exp ^-2i ^1 - k2Rd^ D3 + i ^1 - k2R dyD4.

Запишем асимптотическое представление выражений для перемещений и напряжений:

ui = dy exp (-(1 - Z)ia dy) D1 + dy exp (-(1 + Z)ia dy) D2+

+ibdy exp (-(1 - Z)ibdv) D3 - ibdy exp (-(1 + Z)ib D4

/ „ N / . \

U2 = iady exp (-(1 - Z)ia dy) - iady exp (-(1 + Z)ia dy) D2-

- dy exp (-(1 - Z)ib dy) D3 - dy exp (-(1 + Z)ib dy) D4,

°33 = . N7 [-(l -4/2)5yexp(-(l “Z)гя5у) Di-

(i + v)h

(i - kR/2) дУ;exp (-(i + Z)iaдy) D2-

- іЬд2 exp (-(i - Z)ibд^ D3 + г'Ьд°; exp (-(i + Z)ibд^ D4],

E

°13 = (1 + V)fr IexP (“(I “ dy^Di - iad2 exp (-(1 + Z)ia dy) D2-

- i- kR /2) д°: exp (-(1- Z)ibд^Dз + (i-kR/2) д°: exp (-(i+Z)гbдy)D^,

e a = yj 1 - K2kR, b = yj 1 -Вернемся в соотношениях (2.13) к исходным операторам

В

(<9Т2 - 4^) D3 + 2В^ ехр (-2г JTTfc2 D4 = ** S,

\ / і kg/z

2Bd\ ехр (-2і Jl -k\ di) D3 + -3- (<92 - ф j) A = f2 5,

V R 1 kR12

-г ^1 - k2&!<9|Di = д (_^?D3 + й| exp ^-2z ^ 1 - &2d| j D4 j,

-i ^1 -K2k2RdiD2 = i exp ^-2z ^1 - £2<% J D3 + d|D4).

Введем объемный и сдвиговой потенциалы Ламе ф и ¥ , разделяя их на части, где индексом ”1” будем обозначать отрицательное по X направление распространения возмущений, индексом ”2”—положительное:

ф = ф1 + ф2, ¥ = ¥1 + ¥2.

Здесь под ф;, ¥(' (і = 1,2) будем понимать следующие выражения:

ф1 = ехрі ¥1 = ехр

^-(1 - ХУ ф - к2^|^ь ф2 = ехр^—(1 + Х)і у] 1 - к2к2кду|б2, ^-(1 - ХУ -^1 _ Щ^д||/>з, \|/2 = ехр ^-(1 + ХУ у] 1 _

Эти потенциальные функции определяются эллиптическими уравнениями

СК

1~Л

С

1

+

д х2 дг2

= о,

СК

1~Л

С

2

2^ д2¥і д2¥і

дх2 дг2

= о,

при следующих граничных условиях:

д2уі 2<92¥і д<92¥2

— —"—— + 2,к&Н

кКВ

ді2

дх2

дх2 1 - кК/2

. 5 при г = к,

2

2кКВ К дх2

д2¥1 , д2¥2 ,.2 д2¥2

ді2

к2

Л-С

кКВ

д х2

1 - к\/2

дфі _ 1 /д¥і _ 0^2 дг \-к2/2\дх дх

дф2 _ 1 /д¥і _ <3¥г

дг 1 - к2 /2 \ дх

дх

при г = h,

при г = -h.

Перемещения и напряжения выражаются через потенциальные по формулам:

_ дфі_ дфг <9¥і_ ^¥2

111 дх + дх + дг + дг ’

Е

Озз =

О1з =

1 + V Е 1 + V

2

1-^

к

дфі д(р2 дуі ду2

112 дг + дг дх дх ’

д2фі 5 фг\ <92¥і ^2¥г

функции

д х2 д х2 д хдг д хдг

д фі 5 фг

дхдг дхдг

1 -

к

2 Ч

^ ¥і д2¥г <9х2 <9х2

2

Заключение

Приведем основные выводы изложенного выше подхода для цилиндрической оболочки:

1) Исследование НДС в окрестности условного фронта волн Рэлея для полубесконечной упругой оболочки с малой асимптотической погрешностью 0(п) сводится к изучению приближенных уравнений, форма которых совпадает с соответствующими уравнениям, полученными в работе [6] для полубесконечной упругой полосы.

2) Возмущения в дальнем поле волны Рэлея распространяются с конечной скоростью cr и описываются одномерными волновыми уравнениями (2.18).

3) Затухание возмущений по глубине от каждой из лицевых поверхностей, описывается двумерными эллиптическими уравнениями (2.17).

4) Влияние торцевых условий на решение определяется эквивалентной поверхностной нагрузкой S, имеющей волновой характер и распространяющейся со скоростью сдвиговой волны.

Литература

[1] Nigul, U.K. Regions of effective application of the methods of threedimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates / U.K. Nigul // Int. J. Solid and Structures. - 1969. — V. 5. — P. 607—627.

[2] Коссович, Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек / Л.Ю. Коссович. — Саратов: Из-во СГУ, 1986. — 176 с.

[3] Dynamics of thin walled elastic bodies / J.D.Kaplunov [et al.]. — Academic Press, 1998. — 226 p.

[4] Коссович, Л.Ю. Асимптотический анализ нестационарных упругих волн в тонких оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях / Л.Ю. Коссович, Ю.Д. Каплунов // Изв. Саратовского университета. — 2001. — Т. 1. — Вып. 2. — С. 111—131.

[5] Каплунов, Ю.Д. Асимптотическая модель для вычисления дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости / Ю.Д. Каплунов, Л.Ю. Коссович // ДАН РАН. — 2004. — Т. 395. — №4. — C. 482—484.

[6] Ковалев, В.А. Дальнее поле волны Рэлея в случае упругой полупо-лосы при действии торцевой нагрузки / В.А. Ковалев, Л.Ю. Коссович, О.В. Таранов // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. — 2002. — №5. — С. 89—96.

[7] Ковалев, В.А. Расчленение нестационарного НДС цилиндрических оболочек при ударных торцевых воздействиях нормального типа / В.А. Ковалев, О.В. Таранов //V Российская конф. с международным участием ’’Смешанные задачи механики деформ. тела”. Материалы конференции. — Саратов: Изд. СГУ, 2005. — С. 191—193.

[8] Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. — М.: Гостехиздат, 1955. — 491 с.

Поступила в редакцию 28//V/2007;

в окончательном варианте — 28//V/2007.

FAR FIELD OF THE RAYLEIGH WAVE FOR ELASTIC CYLINDRICAL SHELL UNDER END LOADING

© 2007 V.A. Kovalev3 O.V. Taranov4

In the paper specific features of propagation of non-stationary waves in an elastic cylindrical shell generated by shock end load of a normal type are studied. The equations for finding the solution in a vicinity of conditional front of the surface Rayleigh waves generated by the normal shock load are constructed by the aid of asymptotic method.

Paper received 28//V/2007. Paper accepted 28/IV/2007.

3Kovalev Vladimir Alexandrovitch (kovalev@migm.ru), Dept. of Mathematical and Informational Grounds of Management, Moscow Municipal University of Management of Moscow Government, Moscow, 107045, Russia.

4Taranov Oleg Victorovitch, Dept. of Theoretical Mechanics, Moscow State Industry and Informatics University, Moscow, 107475, Russia