Двумерные уединенные ударно- волновые структуры в пластинах с неравновесными де фектами

УДК 539.211: 621.3

ДВУМЕРНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ПЛАСТИНАХ С НЕРАВНОВЕСНЫМИ

ДЕФЕКТАМИ

Ф. X. Мирзаде, Л. А. Шелепин

Выведены двумерные уравнения движения физически и геометрически нелинейно-упругой пластины с учетом взаимодействия полей деформации и концентрации неравновесных лазерно-индуцированных точечных дефектов. Полученные уравнения методом возмущений редуцируются к нелинейному эволюционному уравнению Кадомцева-Петвиашвили-Бюргерса для продольной компоненты деформации. Приведено точное решение этого уравнения, описывающее распространение двумерных уединенных волн. Рассматриваются условия, когда формируются ударно-волновые структуры деформации пластины.

Одним из важных направлений исследований в нелинейной волновой динамике является изучение процессов генерации и распространения нелинейных волн деформаций в конденсированных средах при интенсивных внешних воздействиях (лазерное и электронно-лучевое воздействия, высокоскоростное нагружение и т.д.) [1 - 7]. Существование этих волн обычно связывается с наличием баланса двух конкурирующих процессов: расплывания из-за дисперсии среды и опрокидывания нарастающего фронта волны из-за нелинейности упругой системы. Дисперсия может быть обусловлена как геометрическими размерами системы (конечностью периода решетки [8] или толщиной образца [6]), так и ее молекулярной структурой [3], неоднородностями среды. В качестве нелинейности рассматриваются нелинейные связи между деформациями и градиентами смещений (геометрическая нелинейность), деформациями и напряжениями (физическая нелинейность).

Значительную роль в динамике нелинейных волн деформаций могут играть неравно весные атомные точечные дефекты (ТД) (вакансии и междоузельные атомы) - элементарные дефекты кристаллического строения, генерирующиеся в процессе воздействия интенсивных внешних потоков энергий на конденсированные системы. Большая концен трация ТД в среде приводит к возникновению значительных внутренних механических (концентрационных) напряжений. Эти напряжения возникают вследствие искажений (деформации) решетки вблизи дефектов, связанных с разрывом атомных связей. Гене рирующиеся ТД могут диффундировать по кристаллу, рекомбинировать на неоднород ностях в объеме (или выйти на поверхность) и друг с другом (взаимная рекомбинация). Возникающие при этом неоднородные распределения концентрации ТД создают силы, пропорциональные их градиентам, дополнительно деформирующие решетку.

Наличие в среде неравновесных ТД с большой концентрацией и их взаимосвязь с полями деформаций могут оказаться существенными для эволюции нелинейных упругих возмущений в конденсированных средах и приводить к новым физическим эффектам [9]. Так, обусловленные дефектами физические нелинейности могут приводить к появлению релаксационных вкладов в решеточные параметры (как в линейные, так и нелинейные модули упругости). Наличие в среде дефектов с конечной скоростью релаксации может вызывать появление диссипативных и дисперсионных слагаемых, отсутствующих в обычных уравнениях для упругих нелинейных волн.

Распространение уединенных волн деформаций в пластинах без учета их взаимодействия с полями дефектов структуры обсуждалось в [5-7]. В работах [10 - 16; рассматривались модели эволюции одномерных нелинейных продольных волн деформаций в средах с учетом взаимодействия с неравновесными ТД. Было проанализировано влияние деформационно-активированных процессов диффузии, генерации и рекомби нации дефектов на характер распространения слабонелинейных возмущений упругой деформации, на их дисперсионные и диссипативные свойства.

Данная работа посвящена исследованию распространения двумерных (2М) волн деформаций в нелинейно-упругой пластине, находящейся под воздействием внешних потоков энергии, генерирующих ТД. Исходя из принципа Гамильтона, выведена си стема управляющих уравнений для описания эволюции компонент вектора поля смещений с учетом его взаимодействия с подсистемой дефектов за счет деформационного потенциала. Далее полученные уравнения движения методом асимптотических разло жений сводятся к обобщенному нелинейному эволюционному уравнению Кадомцева Петвиашвили-Бюргерса (КПБ), для которого определяется точное решение, описы-

вающее распространение продольных 2М уединенных волн деформаций. Исследуются условия формирования структур в виде ударно-волновых фронтов поля деформации в пластине.

Уравнения движения пластины с неравновесными дефектами. Рассматривается бесконечная изотропная пластина, занимающая область — оо < х < ос, — ос < у < оо, —к < г < /г, в координатах (х,у,г). Пусть в ней под воздействием внешних потоков энергий (например, лазерного излучения) генерируются ТД с объемной концентрацией п^\х,у,г,{)(] = V - для вакансий, ] — I - для междоузельных атомов). Обозначим через и соответственно, функцию источника ТД типа ] и скорость их рекомби нации на центрах. Введем систему лагранжевых декартовых координат Х(х,у,г), так что срединная плоскость пластины описывается уравнением г = 0, а боковые поверхности - уравнениями г — При симметричных по толщине колебаниях пластины и невысоких частотах (иИс^1 < 2, ш - циклическая частота, 2Л - толщина пластины, с* -скорость сдвиговой волны) компоненты (и1,и2, из) вектора смещений й точек пластины могут быть представлены в виде [5]:

где и(х,у, ¿) и и(ж,г/, <) - функции, характеризующие перемещения в срединной плоскости по осям х и у, и;(х,?/,£) - перемещения по оси г.

Компоненты тензора деформаций и^ имеют вид [5, 17, 18]: Иц = их + 1/2(и2 + у2х + г2уо2х), и12 = 1/2(иа + ьх + ихиу + ьхуу + г2и)хи)у), щ3 = 1/2г2шх + 1/2гююх, и22 = уу + 1/2{и2у + + 22у)2у), и2з = \f2zwy + \j2zwwy, и33 = к0ии + 1/2го2, где к0 = ж2/12 -поправочный коэффициент [19].

Для получения уравнений движения пластины воспользуемся принципом Гамильтона, согласно которому искомые уравнения получаются из условия экстремума функционала (5):

где Ь - плотность Лагранжиана единицы объема, Ь = — и, и - плотность потенциальной энергии деформации в пластине, задаваемая как функция компонент тензора деформаций и концентрации ТД:

¿2 л

оо оо

¿1 — И — оо — оо

IV - плотность кинетической энергии: XV — р/2[(ди/д1)2 + (еЬ/<9<)2 + г2(дьи/д1)2\, А, р линейные модули упругости, г^, ^з _ нелинейные модули упругости третьего порядка, р - плотность; - деформационный потенциал. В (2) ие[аз — плотность энергии упругого континуума, [/^ - плотность энергии дефектно-деформационного взаимодействия.

Тензор упругих напряжений пластины с учетом генерации ТД запишем в виде

где сгцс, Щк ~ соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; 6цс символы Кронекера; 0(и2к) включает в себя нелинейные члены, описывающие отклонения от закона Гука. Последнее слагаемое в (3) учитывает концентрационное напряжение, обусловленное генерацией неравновесных дефектов.

Согласно термофлуктуационному механизму образования ТД, скорость их генерации на узлах кристаллической решетки определяется температурой среды и упругими напряжениями, и поэтому может изменяться под влиянием распространяющихся возмущений упругой деформации. Поле деформации в упругой волне воздействует на характеристики самих ТД. При распространении деформации в областях растяжения и сжатия изменяется энергия образования дефектов. В линейном по деформации прибли жении перенормированную энергию образования дефектов можно представить в виде: Е^р = д — (Еу^ - энергия образования дефектов типа ] в недеформированном

кристалле, - деформационный потенциал). Одновременно с уменьшением энергии образования дефектов, при возникновении деформации решетки происходит и уменьшение энергии миграции дефектов = Е^0 — дЦ^ии (еЩ - энергия миграции в отсутствие деформации, = К - модуль всестороннего сжатия, - ди-латационный параметр, характеризующий деформацию решетки при образовании в ней одного ТД типа ], причем для ] = V — < 0, для ]= I — > 0), что приводит к возрастанию коэффициента диффузии дефектов. Модуляции энергий обра зования и миграции приводят к соответствующим модуляциям функции источника (д^1) и скорости рекомбинации ТД (г^),

агк = \uu6ik + 2цщк + 0{и*к) - д^п^Ч,

Ч{3) = ¿3) + яЩи,,, г

(<7о^ и Гц"7' - значения функции источника и скорости рекомбинации в отсутствие деформации; индекс "и/;" означает производную по пц) и как следствие, к их пространствен ному перераспределению [9].

Примем, что основными процессами, контролирующими поведение во времени концентрации ТД являются их термофлуктуационная генерация на узлах решетки и реком бинация на центрах различной природы. Тогда для слабых неоднородных возмущений концентрации = п^ — Пд\ <С \ где п^ = д0т^ - стационарное однородное распределение ТД, можно записать следующее уравнение:

¥ =

где первые два слагаемых в правой части учитывают деформационно-индуцированные процессы генерации и рекомбинации ТД, г^] = г^/квТ (кв - постоянная Больцма-на, Т - температура), третье слагаемое - уменьшение концентрации дефектов за счет их ухода на свободную поверхность пластины или рекомбинации на внутренних неод-нородностях (кластерах, границах зерен, примесях и т.д.) в отсутствие деформации Скорость рекомбинации дефектов гд7' связана со временем их релаксации т]~'1 формулой: г^ = 1 /т]^ = D^^J2lSZips + 4/Л2), где - коэффициент диффузии дефекта типа 1 в отсутствие деформации, р3 - плотность центров рекомбинации; ^ характеризует эффективность поглощения дефектов типа ] центром типа й. Согласно термо-флуктуационному механизму генерации ТД, для д^ имеем: Ящ] = ¡киТ), д0 =

ехр[—Е$/квТ\ (ш0 - частота колебаний атомов, N0 - концентрация узлов решетки).

В дальнейшем ограничимся системой с одним типом ТД и положим в (2) - (5), п[3\х,у,г) = П\(х, у, ¿), т(лз) = тл, = Пт и т. д.

Решение неоднородного дифференциального уравнения (5) с учетом граничного условия ГС1(±оо,£) = 0, имеет вид

Щ(Х,У,2Г,

О — (Яиц гиц По) / ¿(иц(()ехр ( — | • —оо

Из (6) следует, что концентрация дефектов в данный момент времени складывается из числа дефектов, появившихся на узлах решетки в предыдущие моменты времени с

учетом экспоненциального уменьшения их числа за счет рекомбинации. После подста новки (6), уравнение состояния упругой среды запишем в виде

I

= Аии81к + 2цщк{ь) + 0(и]к) - 6{кЬ0 I Л>п(С) ехр

С -

где 60 = <7одт{д<1 ~ дт)/квТ.

После вычисления вариаций тензора деформаций (¿и,^) и компонент вектора смеще ний (8щ), затем компонент тензора напряжений («г,*) из уравнения состояния (7) и подстановки найденных выражений в функционал (1), из последнего в силу произвольности вариаций после интегрирования по переменной 2 получаем систему интегродиффе-ренциальных уравнений движения пластины с генерацией неравновесных дефектов. Для и компоненты вектора смещения имеем уравнение:

д2и

Р^-Т = (А + 2 р)ихх + (А + р)иху + ру-уу + Хк0юх + (ЗА + 6р + + 6г/2 + %Уз)ихихх+ ох*

2

ухУхх + ~Ь2и}хи)хх + (и2у)х

О

+ ^Н2и)х1ихх + хии)х + к0(ихю)х + к0иуую

О

+{иуих)х + 2 ихи

+ А + И

¿а г*

+ —Л и)уи)ху + (ууих)х+

О

д 112 . -^{ихиу + -Л юхюу + ихух)+

(щ+2^) — их(ьу + к0ы) + ~(иу + к0ю ) +

+ (^2 + (и2у + ь2х + \h\wl + и^)) + 2-^[иу(их + иу + к0и])\| +

{д 1 д д ('иуьх)х + —[их(их -\-Vy-\- Аг0го)]| + ^ко—^и)) - 2ь>3к0—(ухи])+

д д + (ихх + иуу)11 + (1 + их)—(1г) + иу—(/а),

а для ю компоненты:

рК2 д2ъи (. 3 \ 1 ,2, .

— = -Ак0{их + ьу) - (А + 2р)к0и) ^к0 + -и)^ + -рИ (гихх +

+ 1-К\\ + 2р)

д д ^К«*) + з^К«»)

9 / ч д , .

+

+ -я/г2

д д д 2 2 —-{Юуиу + гиуух) + — \WxUy + шхьх) + 2 — (1М)х) - 2—{ююу) -хи -ю ох оу ох оу

ко (и2х + и2у + у2х + у2у + \ь2(уо2х + и;2)) + 2уо(их + Уу) + + Зи2 + 4г/3) к2ю2-

-

¿¿Щи* + Уу) + 1-к0(и2х + У2у) + ^Д2 + ^2-^[ъих(их + Уу + ¿0и>)] +

д 1 А;

+2—[шх(их + уу + А;0ги)] > - + ~ ко(и>1 + и;2) - 2и2кйиуух-

-У\ихуу - (к0 + ю)11 + — (шх/2) + —(юу12),

где введены следующие обозначения:

л *

11(х,у) = -КЬ0(2К)~Х ! ¿г I е-Т0^иИ(т)с1т,

—Л —оо Л 4

12(х,у) =-КЬо(2К)~х ! г2й2 I е-Го(<-т)и„(г)Л7

-Л —оо

(индексы в системе уравнений (8) и (9) определяют производные по соответствующим пространственным переменным).

Уравнение для у можно получить, заменяя в (8) и на у, у на и и х на у, у на х. Уравнения (8) и (9) без интегральных слагаемых совпадают с полученными в работе [5].

Вывод эволюционного уравнения продольной компоненты деформации. Рассмотрим распространение продольных длинных волн малой, но конечной амплитуды, вводя малый параметр, характеризующий нелинейность волнового процесса: е = а(и\ + 6г^2 8г/з + ЗА + 6/х)/Л(А + 2р.) <С 1, где а - амплитуда колебаний, Л - длина волны.

Заменим внутренние интегральные операторы в (10) дифференциальными, разлагая функцию иц(т), в ряд Тейлора по степеням (£ — т), сохраняя в полученном разложении первые два слагаемых, что справедливо для времен I Гд1- В результате получим:

- j + ( / и -к Г° /]

\

- J ицг2(1г + ~ ъИ / "м^2 —Л \— и.

Учтем эти выражения в (10) и (11) и исследуем полученные уравнения асимптотическим методом. Перейдем в полученных уравнениях к новым безразмерным переменным

. и . V . ги х с г-у х

и = -, у =-,ги = = г/ = у/е-, Х = е-. 11)

а а п Л Л А Л

Выбор переменных в виде (11) учитывает различие масштабов изменения параметров волны вдоль осей х и у. Физически это означает, что благодаря нелинейности и дисперсии, возмущения, распространяясь со скоростью с вдоль оси ж, медленно эволюционируют в продольном (х) и поперечном (у) направлениях.

Представим неизвестные функции асимптотическими разложениями по малому параметру б, опуская штрихи при соответствующих безразмерных переменных:

и

= и0 + еиг + ..., V = у/е

Обезразмеренные уравнения (8) и (9), кроме б, содержат еще два малых параметра: б! = /12(А + р)/ЗЛ2(А + 2р) — О(е), б2 = Ьос/г^А = О(е), где е\ характеризует дисперсию, обусловленную движениями, нормальными к серединной плоскости пластины, а е2 учитывает взаимодействие поля деформации с подсистемой дефектов.

Подставим разложения (12) в безразмерные уравнения пластины. Тогда, в нулевом порядке по малому параметру е, получим систему уравнений:

рс2и0££ =

Хиос + СХ + 2/*)&0и>0 =

Из (14) находим следующую связь между продольной и нормальной составляющими деформации

= /И о ^ = Л

к0{ X + 2 р)

После подстановки (15) в (13) для скорости продольной волны имеем: с = ^(А + 2р - А2/(А + 2р))/р.

Для членов со степенями е и б1/2 получим систему трех уравнений

2

+ + 3^2д£(2"0^ — ^о^о«) = -А£0и;1е + рс2щ^ - (А + 2р)щц,

/>с2«1К =

с2Л2 - /¿/г2 1 -

Р12бЛа^ = -М0(и0х + «!„) + - 2^ + + + 6г/2 + 8г/3)]е

рК2 3

-

+ 21У0"о^) - Хк0(иц + к0шх) - 2рк2шг + ^^^(к0и0^ -

Интегрируя уравнение (17) по переменной £ и используя (15), получаем связь между сдвиговыми деформациями в волне: иц = С учетом этого соотношения, а также (15), уравнение (18) после его дифференцирования по запишем в виде:

ХкоЩх + &о(А + = ---~ №0и0(х - Ак0и0т1^-

3 А + 2р

- [АА:2

2рЬ0ск ( 2А \

1 + т . „ и0Ш-

Зг^Ле \ Х + 2р,

Приравнивая правую часть уравнения (16) к левой части уравнения (19), предварительно умноженной на величину —Х/к0(Х + 2/0, и вводя обозначение и0£ = 5, получаем следующее нелинейное эволюционное уравнение для волны продольной деформации (5):

л

—

где

_ 3(А + 2/0 + / - А[А^/ + А(А + 2/0 - (А + щк0 + 2к0у2)(Х - 2р)\

к0е

А2/г2//

о2 = ———г-:—-г-—, »3 =

ЗеЛ2А:2

ь 4/х(А + /х) 4 А2 + 8А// + 8 р1

(/ = 1>\ + 6и2 + 8^з). Как видно из выражений для коэффициентов уравнения (20), обусловлен геометрической и физической нелинейностью упругой среды, Ь2 и Ь3 характеризуют дисперсию и диссипацию, связанную, соответственно, толщиной пластины и взаимодействием поля деформации с подсистемой неравновесных дефектов.

Уравнение (20) носит название уравнения КПБ и отличается от аналогичного уравнения, полученного в [5], как выражением для коэффициентов, так и по форме (наличием слагаемого Ь2з^). Последнее оказывает существенное влияние на поведение продольной волны деформации.

Решение эволюционного уравнения и его анализ. Уравнение (20) допускает решение в виде локализованных 2М волновых структур. Следуя [20], представим точное решение этого уравнения в виде

3 = 30Р~1 + 31,

где - неизвестные функции независимых переменных.

Подстановка выражения (21) в уравнение КПБ дает:

где функция удовлетворяет уравнению (20) и связана с Р следующим образом:

* = + 36А§ - + Ц - ^ -

Подставляя Р = 1 + к2г] — их) в (21), приходим к точному решению уравнения

КПБ:

. = -^¡Щ^х) + ,.«> + ^ + !*ь

где и> и кх определяются соотношениями ш = 6ЬЦ125Ь1 ± 5Ь2к%/Ь3, кх = ±¿3/562, а. к2 -произвольный параметр. Представим (24) в виде:

где ¿х = -12Ь2кЦЬи ¿2 = 6Ых/бЬа, <13 = \2Ъ2кЦЪх + %Ь3кх/ЪЬх.

Рассмотрим ситуацию, когда 60/г0 < I. Запишем неравенства: Ь\ > О, 62 > О, 63 < 0 (&о < 0), ш < 0 и представим коэффициенты (1\, (12, <1з в виде:

1262 . , 662 1861 "1 = пг! . > "2 = ±——, <*з =

256162 25бх 62 256162

Очевидно, что ¿1 < 0, с/3 > 0, а с?2 имеет знак Если выбрать знак "+", то с учетом 63 < 0 (60 < 0) и к\ < 0, решение (24) можно представить в виде:

где ¿з = 1861/256162. Отсюда получаем: а(—оо) = \2Ь\/2ЬЬ\Ь\, ¿(оо) = 0.

Решение 5(О) имеет максимум в точке О = ©сг, и этот максимум равен: 5та1 = З61/46162. Величина Осг находится из условия = 0, или Ш [(|&1|£ + |А;2|т/ — |и>т|)/2] = -1/4.

Из проведенного анализа следует, что при определенных условиях решение уравнения (20) будет иметь вид ударной волны с монотонным профилем. Очевидно, что возбуждаемая ударная волна будет волной растяжения (й > 0).

Исследован процесс распространения волн деформаций в физически и геометрически нелинейной упругой пластине, находящейся под воздействием внешних потоков энергий, генерирующих ТД кристаллической структуры. Взаимодействие поля деформации в упругой волне с подсистемой неравновесных дефектов происходит по прямому механизму - посредством уменьшения энергий активации образования (или рекомбинации) дефектов за счет деформационного потенциала. Получена система нелинейных уравнений 2М движения упругой пластины с учетом взаимодействия с неравновесными дефектами. Асимптотическим методом данная система уравнений редуцируется к эволюционному уравнению для продольной компоненты поля деформации. Полученное нелинейное уравнение содержит диссипативное слагаемое с третьей производной от деформации, обусловленное дефектно-деформационным взаимодействием. Оно является 2М обобщением известных уравнений Кортевега де Вриза и Бюргерса. Найденное точное ударно-волновое решение эволюционного уравнения описывает как волны растяжения, так и волны сжатия. Существование и условия возникновения таких нелинейных волн определяется диссипативными процессами, обусловленными генерацией (рекомбинацией) дефектов, дисперсией среды, а также упругими свойствами решетки и подсистемы дефектов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Энгельбрехт Ю. К., Н и г у л У. К. Нелинейные волны деформации, М., Наука, 1981.

[2] Е р о ф е е в В. И., К л ю е в а Н. В. Акустич. журн., 48, N 6, 725 (2002).

[3] Porubov А. V. Amplification of nonlinear strain waves in solids. Word Scientific, Singapore, 2003.

[4] A p ш и h о в Г. А., Землянухин А. И., Могилевич JI. А. Акустич. журн., 46, N 1, 45 (2000).

[5] П о т а п о в А. И., С о л д а т о в И. Н. Акустич. журн., 30, N 6, 819 (1984).

[6] Р о г u b о V А. V., М a u g i n G. A., and Mareev V. V. Int. J. Non-linear Mech., 39, N 8, 1359 (2004).

[7] ДрейденГ. В., ПорубовА. В., Самсонов А. М., Семенова И. В. Письма в ЖТФ, 22, вып. 21, 42 (1996).

[8] К о с е в и ч А. М. Основы механики кристаллической решетки. М., Наука, 1972.

[9] Мирзаде Ф. X., П а н ч е н к о В. Я., Ш е л е п и н Л. А. УФН, 166, N 1, 3 (1996).

[10] Мирзаде Ф. X. Поверхность, N 9, 90 (2006); N 8, 48 (2006); N 11, 25 (2006).

[11] М i г z a d е F. Kh. J. Appl. Phys., 97, N 8, 084911 (2005).

[12] M i r z a d e F. Kh. Phys. Stat. Sol., 242 (b), N 15, 3099 (2005).

[13] M i r z a d e F. Kh. Physica, В 368, N 4, 231 (2005).

[14] M i r z a d e F. Kh. Physica, В 371, N 1, 163 (2006).

[15] Мирзаде Ф. X. Физ. техн. полупров., 40, N 3, 262 (2006).

[16] Mirzade F. Kh. Phys. Stat. Sol., 243(b), N 14, 4056 (2006).

[17] Потапов А. И. Нелинейные волны деформации в пластинах и стержнях, Горький, ГГУ, 1985.

[18] Ostrovsky L. A. and Potapov A. I. Modulated Waves. Theory and Applications. The John Hopkins Univ. Press, Baltimore-London, 1999.

[19] Григолюк Э. И., Селезов И. Т. В кн.: Итоги науки и техники. Сер.: Механика твердых тел, 5, М., ВИНИТИ, 1973.

[20] Кудряшов Н. А. Прикладная математика и механика, 52, вып. 3, 465 (1988).

Поступила в редакцию 20 октября 2006 г.