Стабилизация положения равновесия платформы Стюарта с тремя степенями свободы

УДК 531.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

СТАБИЛИЗАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛАТФОРМЫ СТЮАРТА С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

С. М. Зуев

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, sergeiy@pochtamt.ru

1. Введение. Платформа Стюарта [1] в различных конструктивных исполени-ях имеет широкое применение в машиностроении. Подобные платформы включают в свою конструкцию роботы-манипуляторы, 1-координатные роботы, манипуляторы 3Б принтеров, универсальные материалообрабатывающие центры. Платформа Стюарта также используется для создания динамических стендов, конструируемых ведущими авиастроительными компаниями. К платформе стенда крепится кабина самолета, и пилот органами управления самолетом путем изменения длин стержней приводит стенд в движение. При этом у летчика создается полная иллюзия реального перемещения в пространстве вместе с самолетом. Стенды применяются для обучения пилотов, в том числе для обучения правильному поведению в экстремальных ситуациях, для отработки посадки самолета в конкретных аэропортах мира, для поддержания хорошей летной формы.

Платформе Стюарта посвящены многочисленные научные работы, исследующие кинематику и динамику системы. В статье [2] изучается динамика платформы с общим видом уравнений связей. В работе [3] выведены уравнения всех поверхностей для множества достижимых положений платформы. Работа [4] представляет решение прямой и обратной задач кинематики, в ней изучена динамика платформы с учетом трения в шарнирах, а также рассмотрена модель с учетом динамического воздействия штоков.

В статье [5] изучается вопрос устойчивости положения равновесия конструкции в двумерном пространстве. Задача актуальна для проектирования механизма позиционирования активных поверхностей зеркал радиотелескопов. Первые телескопы такого типа работают на Гавайских островах и строятся в Мексике.

Данная статья расширяет решение задачи устойчивости, полученное в статье [5], для трехмерного простраства. Изучается особенная конструкция платформы Стюарта с тремя степенями свободы. В работе проводится линеаризация уравнений динамики для изучения устойчивости положения равновесия платформы. Выводятся параметры управляющих сил, которые обеспечивают устойчивость положения равновесия.

2. Описание кинематики. Рассмотрим кинематику платформы, опирающейся на три стержня регулируемой длины.

Подвижная платформа моделируется плоской пластиной в форме правильного треугольника. Движение платформы управляется тремя стержнями А^В^ (г = 1,3), соединенными сферическими шарнирами с подвижной платформой в точках В^ и цилиндрическими шарнирами с основанием в точках А^. Положение и ориентация подвижной платформы регулируется за счет целенаправленного изменения длин стерж-

© С. М. Зуев, 2013

Рис. 1. Общая схема платформы.

ней, на которые она опирается, и соответствующего изменения углов их наклона к основанию. Точки В; (г = 1,3) образуют правильный треугольник, вокруг которого может быть описана окружность радиуса Дь, точки А; (г = 1,3) в основании также образуют правильный треугольник, вписанный в окружность с радиусом Ка и имеющей центр в точке О'. Ось а ^ цилиндрического шарнира в каждой точке Л{ лежит в плоскости основания и На ^ ±О'Л^.

Введем неподвижную декартовую систему координат О'хуг и систему координат О£пС, скрепленную с подвижной платформой. При этом точки Л^ в неподвижной системе будут иметь координаты

Л-, =

Л2 = -

%/ЗДа До

2

2

,0

Лз = (0,Да, 0).

Координаты точки Вд в подвижной системе координат О£пС имеют вид

В =

2

Н ь

Т'

0), о), В3 = (0,ДЬ,0).

Радиусы-векторы точек Л^ и в неподвижной системе координат будем рассматривать как столбцы

а

уа га

хь Уь

г1

г = 1,3.

Если точка определяется вектором ри в подвижной системе координат, то в неподвижной она будет задаваться вектором

= г0 + К .

Здесь г0 есть радиус-вектор точки О — начала подвижной системы координат, К -

ь

г

г

ь

а

матрица поворота подвижной системы координат относительно неподвижной:

K-1 = KT, det K = 1,

C2 C3 -C2S3 S2

K = I C1S3 + C3S2Si S3C1 - S2S3S1 -C2S1

si S3 - C1S2C3 C1S2 S3 + C1S3 C2C1 J

cj=cos-0j, sj=sin-0j, г = 1,3.

С помощью (2) можно найти радиус-векторы ггь точек Bi крепления каждого стержня к верхней платформы. Тогда длины стержней вычисляются по формулам

h = \J

Для удобства последующих записей введем в рассмотрение единичные векторы ei, направленные вдоль каждого из стержней от Ai к Bi:

ег =

п

Положение платформы однозначно задается вектором qT = (xo, yo, zo, Ф1, Ф2, фз) с шестью координатами, описывающими положение и ориентацию платформы относительно неподвижного основания, причем xo,yo,zo —декартовы координаты точки O в неподвижной системе координат O'xyz, а ф\, Ф2, фз —соответственно углы крена, тангажа и рыскания.

3. Уравнения динамики платформы с тремя стержнями. Пусть центр масс находится в центре треугольника, стержни предполагаются невесомыми. Выберем q в качестве обобщенных координат и запишем уравнения Лагранжа второго рода.

Пусть Vo — скорость точки O. Тогда

з

V2 = x 2 + y/2 + z2 = £ q2.

i=i

Обозначим через J, г = 1,3, главные центральные моменты инерции подвижной платформы. Пусть — составляющие вектора мгновенной угловой скорости. Тогда

cos ф2 cos ф1 sin ф1 0 ш = I — cos ф2 sin ф1 sin ф1 0 .

sin ф2 0 1

Теперь выражение для кинетической энергии можно представить в виде

™ = ^ + (8,

i=1

Заметим, что для задания положения платформы число координат вектора q избыточно. В точках Bi штоки соединяются с нижней платформой с помощью цилиндрических шарниров таким образом, что всегда проекция на плоскость O'xy каждой

из точек Лi лежит на прямой O'Bi (см. рис. 2.) Чтобы выявить зависимость между координатами, введем уравнения связей, соответствующие кинематике платформы:

1 2 хх

= у1 = ^=, 4 = 0.

Рис. 2. Основание платформы.

Возьмем в качестве независимых координату дз центра подвижной платформы по оси О'г и углы поворота д4, д5 относительно осей О'х и О'у. Остальные координаты выразим через независимые:

91 42 96

Еь сов д5 эт д4 эт д5

сов д4 соэ д5 + 1 ' 2 2 2 Еь эт д5 — соэ2 д5 эт д4

2 соэ д4 соэ д5 + 1 ' / эт д4 эт д5

\ эт д4 + эт д5

= — arctan

Здесь —п/2 < д4 < п/2, —п/2 < д5 < п/2.

Переобозначим выбранные независимые координаты р1 = дз, р2 = д4, Рз = д5 и возьмем их в качестве новых обобщенных координат, однозначно задающих положение платформы. Тогда система уравнений Лагранжа имеет вид

а /дТ

^ удр^у др

дТ

= <5.;,, г = 1,3,

где Qi — обобщенные силы.

Уравнения (10) позволяют выразить вектор д через вектор р:

ч = д(р).

Подставив (12) в (8), найдем выражение для кинетической энергии через обобщенные координаты р и обобщенные скорости р.

Для составления выражений обобщенных сил выпишем силы и радиус-векторы точек их приложения в проекциях на оси неподвижной системы координат. На платформу действуют сила тяжести Fo, приложенная к точке О с радиус-вектором и направленная вдоль оси О'г, а также три силы ТГ^ (¿ = 1,3), приложенные к точкам Вг (г = 1,3) с радиус-векторами и направленные вдоль векторов е^. С помощью формул (12) и (5) мы можем найти выражения для ег через обобщенные координаты р. В результате получим

Я

Составим выражение элементарной работы

з 3 3 г / \

6А = Fo

г=1 г=1 ¿=1 р

Обозначим через ГХ, Гу, Г^ компоненты вектора и найдем обобщенные силы, равные коэффициентам при независимых приращениях 6рг:

Напомним, что индекс ] =0 используется для обозначения координат центра подвижной платформы и силы тяжести. Заметим, что с помощью (13) ГХ, Гу, Г* выражаются через обощенные координаты^ и внешние управляющие силы = 1,3, которые могут быть заданы как функции времени или как функции обобщенных координат рг, или как каждая функция только «своей» длины 1г, которая также в конечном счете зависит от обобщенных координат.

Подставляя (15) в уравнения Лагранжа (11), получим систему дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат.

Наоборот, при заданном программном движении, т. е. при задании рг = рг(£) как функций от времени из (11) можем найти управляющие силы ^ (г = 1,3) тоже как функции времени.

4. Стабилизация равновесия горизонтального положения платформы.

Пусть в системе реализуется стационарный режим

Р1 = Н, Р2 = рз = 0.

Из уравнений Лагранжа (11) определим стационарные значения сил Г*, обеспечивающих это состояние равновесия:

= -Къу + 1г\ г = ТД

3р

Для исследования поведения системы в окрестности положения (16) введем малые приращения координат, а также дополнительные малые управляющие силы ДГг:

р1 = Н + Др1,

р2 =Др2,

р3 = Др3,

Fi = F* + AFi, г =1,3.

Введем безразмерные управляющие силы:

ДР;

р *

% = 1,3.

Тогда из уравнений Лагранжа (11) получим уравнения первого приближения, которые запишем в матричном виде:

р = Нр + Си.

Матрицы Н и С — постоянные матрицы размера 3 х 3, и = (м1,м2,из)т. Если положить в (20) щ = 0 для г = 1,3, то получим систему

р = Нр,

для которой можно показать, что ее решение будет неустойчиво. Для этого достаточно записать матрицу Н:

/

Н

Л(в2 + Л2) 0

0

0

\

V

0

МдКь

0

МдКь

2 /172

где з2 = (Еа — Еь)2.

Из вида матрицы Н следует, что колебания по обобщенным координатам «развязываются», и тривиальное решение экспоненциально неустойчиво. Это означает, что для обеспечения реализации стационарного положения (16) платформы необходимо дополнительное управляющее воздействие.

Запишем систему в форме Коши:

к = Лк + Ви,

(Р1, Р1, Р2, Р2, Рз, Рз)Т,

Л=

к(в2 + к2) 0

МдПъ{з2Па+Ъ2{Па- Пъ)) 2h.Ii

0

/

В=

0 0 0

9 9 9

3 3 3

0 0 0

МдНь МдНь МдПь

67х 671 37х

0 0 0

МдНь МдНь 0

00 00 1 0 00

МдПь

2Ыз(в2 + /12) \

(22) 0\

0 0 1

V 2^(3)72

и =

0

0

0

0

2

Управление будем строить в виде линейных обратных связей:

и = К z,

где К = кц (3,6) — постоянная матрица, подлежащая определению. Будем выбирать коэффициенты матрицы обратной связи таким образом, чтобы у нас система разбилась на три независимых подсистемы, каждую из которых исследуем на устойчивость. Подставляя (23) в (22), получим замкнутую систему

Z = (А + В К ^ = С z,

где матрица С имеет вид

С=

0 1 0 0 0 0 \

С1,1 С1,2 С1,3 С1,4 С1,5 С1,6

0 0 0 1 0 0

С2,1 С2,2 С2,3 С2,4 С2,5 С2,6

0 0 0 0 0 1

С3,1 С3,2 С3,3 С3,4 С3,5 С3,6 /

Разобъем систему на три независимые системы, приравняв нулю следующие коэффициенты о^- (чтобы в результате матрица С стала блочно-диагональной):

С1,3 = С1,4 = С1,5 = С1,6 = 0,

С2,1 = С2,2 = С2,5 = С2,6 = 0, С3,1 = С3,2

С

С3,3 = С3,4 = 0,

С1 0 0 \

0 С2 0 1 ,

0 0 С3

где все матрицы к = 1,3, имеют размерность 2x2.

Рассмотрим (25) как систему 12-ти алгебраических уравнений относительно 18-ти неизвестных к^. Возьмем в качестве независимых 6 коэффициентов г = 1, 6; остальные коэффициенты матрицы К выразим через них с помощью системы (25).

Таким образом, (24) расщепляется на три подсистемы. Рассмотрим их характеристические уравнения:

<\е1

Для устойчивости решения необходимо и достаточно [6], чтобы действительные части корней характеристических уравнений были бы отрицательны, а для этого нужно чтобы все коэффициенты для каждого из получившихся характеристических уравнений были бы одного знака, так как все уравнения есть уравнения второй степени.

Характеристические уравнения имеют вид

Л2 + ¿ц Л + ¿2г = 0,

1, 3,

следовательно, для устойчивости требуется положительность всех коэффициентов ¿ц

И (¿2г, ¿=1,3.

В результате мы получаем следующие ограничения на коэффициенты , обеспечивающие ассимптотическую устойчивость тривиального решения системы (24):

к1,1 < -

Н(в2 + Л2)' < 0,

52Да + Н2

2

з >

> 0,

5 > —

6 > 0.

2Н

{з2Еа + Ь2

Таким образом, найдены параметры управления с обратной связью, обеспечивающие ассимптотическую устойчивость в случае малых отклонений от стационарного положения.

Приведем числовой пример. Зададим параметры платформы:

М = 200 (кг), Еа = 3 (м), Еь = 2 (м), Н = 2 (м).

Тогда

1т >и

МЕ2

200 (кг м2), >

= 400 (кгм2), р*

731.194 (н),

А =

01 0.981 0 00

0

0 6.867 0

0 0 0 1

\

0 0 00 6.867

0 0 0 \

3.27 3, 27 3.27

0 0 0

-3, 27 -3.27 -6.54

0 0 0

V -5.664 5.664 0

В =

Согласно полученным ограничениям (27) получим следующие требования для коэффициентов матрицы обратных связей:

к1Д < -0.1, к1;2 < 0, к1;3 > 0.35, км > 0, к1;5 > 0.606, к1;6 > 0.

Пусть

к1,1 = -1, к1,2 = -1, к1,з = 1, к1,4 = 1, ^1,5 = 1, &1,б = 1,

Тогда характеристические уравнения (26) будут иметь корни с отрицательными действительными частями. Для первого уравнения Л2 + 3Л + 0.826 = 0, отвечающего за колебания центра масс, корни будут равны (-0.307, -2.69). Для второго и третьего уравнений

Л2 +6Л +1.19 = 0,

2

5'

4

4

Л2 + 3.464А + 0.416 = 0,

отвечающих за колебания платформы около ее центра масс, корни будут равны (-0.205, -5.79) и (-0.125, -3.34) соответственно.

Таким образом были вычислены параметры обратной связи, при которой горизонтальное положение равновесия платформы будет устойчивым. Заметим, что выбранные коэффициенты матрицы обратных связей являются лишь одним из возможных наборов коэффициентов, обеспечивающих устойчивость.

Литература

1. Stewart D. A platform with six degrees of freedom // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Vol. 180, N 15. London, 1965. P. 371-385.

2. Ершов Б. А., Трифоненко Б. В. Движение твердого тела при действии управляющих связей // Вестн. Ленингр. ун-та. 1985. №8. С. 52-56.

3. Adkins F.A., Haug E.J. Operational envelope of a spatial Stewart platform // Trans. ASME. J. Mech. Des. 1997. Vol.31, N368. P.330-332.

4. Harib K., Srinivasan K. Kinematic and dynamic analysis of Stewart platform-based machine tool structures // Robotica. Vol.21, N05. 2003. P. 541-554.

5. Александров В. В., Локшин Б. Я., Л. Гомес Е. Л., Салазар И. Х. Стабилизация управляемой платформы при наличии ветровых возмущений // Фундамент. и прикл. матем. 2005. Т. 11. Вып. 7. C. 97-115.

6. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 276 с.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.

ХРОНИКА

9 октября 2013 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступил кандидат физ.-мат. наук, доцент А.С.Кулешов (МГУ им. М.В.Ломоносова) с докладом на тему «Об управляемости в одной задаче А. Ю. Ишлинского (к 100-летию со дня рождения)».

Краткое содержание доклада:

В 1965 году А. Ю. Ишлинский привёл пример неголономной механической системы малой размерности, которая не является системой Чаплыгина. Рассматриваемая система состоит из трёх одинаковых шероховатых однородных цилиндров, два из которых катаются без проскальзывания по неподвижной шероховатой плоскости, а третий — катается по первым двум цилиндрам, также без проскальзывания. В докладе рассматриваются вопросы управляемости данной системы. При помощи теоремы Чжоу—Рашевского доказана полная управляемость системы Ишлинского. Отмечено, что доказательство полной управляемости представляет собой довольно сложную и трудоёмкую задачу.