Численное решение напряжённо-деформированного состояния пластин методом граничных уравнений

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №9-10_

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624.042

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, О.А.Ходжибоев, А.А.Ходжибоев*

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИН МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан, Таджикский технический университет им. академика М.С.Осими

Разработан алгоритм численного решения плоской задачи теории упругости на основе метода граничных уравнений. Алгоритм реализован на примере пластины, загруженной по краям. Предполагается, что в пределах каждого граничного элемента значения искомых перемещений и напряжений постоянны.

Ключевые слова: пластина - напряжённо-деформированное состояние - метод граничных уравнений - разбивка на граничные элементы - распределённая нагрузка - внутренняя задача - численное решение - граничные интегральные уравнения.

Решается плоская задача теории упругости о распределении нормальных, тангенциальных и касательных напряжений от действия различных нагрузок, приложенных на контур пластины. Математическая модель, алгоритм и программы расчёта напряжённо-деформированного состояния (НДС) рассматриваемой задачи составлены на основе метода граничных уравнений (МГУ). Программа написана на алгоритмическом языке ФОРТРАН.

Актуальными являются вопросы определения НДС пластин, находящихся под действием распределённых и сосредоточенных сил, приложенных по краю пластины. Элементы зданий, такие как диафрагмы жёсткости, плоские элементы несущих стен, панели и плиты перекрытия находятся в условиях плоского напряжённого состояния (ПНС). Элементы плотин, дамб, подземных протяжённых сооружений находятся в условиях плоской деформации (ПД).

Математическая модель данной задачи включает в себя граничные интегральные уравнения, систему разрешающих уравнений и соответствующие коэффициенты при искомых перемещениях.

Алгоритм численного решения внутренних задач. Рассмотрим конечное тело с соответствующими граничными условиями, находящееся под воздействием статических или динамических сил. Область V + 0 занятая телом, соответствующая внутренним задачам, может быть односвязной, многосвязной, однородной или неоднородной

Адрес для корреспонденции: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович. Республика Таджикистан, 734042, г. Душанбе, пр. академиков Раджабовых, 10, Таджикский технический университет. E-mail: hojiboev@mail.ru

Рис.1. Внутренняя задача: а - односвязная, б - двухсвязная, в - неоднородная.

Для решения внутренней задачи применяется граничное интегральное уравнение [1], которое с учётом граничных условий записывается в виде

сЩ] (£0 +1 ХЩ(х, 1)ёО(х) - { х)р(х,0^о(х) =

V

где  = (рис.1).

С целью численного решения поверхность тела разбиваем на ряд элементов, на которых перемещения и усилия задаются в форме кусочно-постоянных функций между узловыми точками элементов. Уравнение (1) записывается в дискретной форме для каждой точки I границы , и вычисляются интегралы по каждому граничному элементу ; .

Дискретная форма для уравнения (1) при разбивке границ на N граничных элементов, в пределах которых искомые величины постоянны, в матричном варианте принимает вид

A11 A12 A13 Б11 Б12 B13

А1 A22 A3 Б21 Б22 B23

A31 A32 A33 Б31 B32 B33

Щ

— р

- Рг

- Р

Вп В°п Б13

R й° fí°

21 П22 23

R Н R

31 32 "33

р; р;

р;

к

Ai Аз Аз Ai А2 Аз Ai А2 Аз

01 Q_2

03

здесь (i, j = 1,2,3) A - прямоугольная матрица размера n + щ, где n — общее число элементов, на которые разбивается контур Q = fi0 + Q , щ — число элементов на границе Qj, Б^ — прямоугольная матрица размера п + п0, где п0 — число элементов на границе Q0 , В°. - прямоугольная матрица размера n + щ, K — прямоугольная матрица размера n х m, где m — число ячеек, на которые разбивается объём тела V . Векторы неизвестных перемещений Щ i = 1,2 и напряжений р имеют соответственно пх и п() элементов. Векторы заданных напряжений I] и объёмных сил имеют пх и т элементов соответственно. Например, если границу Q0 разбить на 4 постоянных элемента (рис.2), Q - на 5, V - на 10, то n0 = 4, щ = 5, n = n0 + щ = 9, m = 10 и система уравнений (2) будет иметь порядок 27.

> —

7

¿234 Рис. 2. Дискретизация.

Введём обозначения для коэффициентов блочных матриц в (2), которые выражаются интегралами в пределах ] — го граничного элемента при фиксированном узле г:

< = I К О", , Ьк = | К а , < = | Щ*

г,] = 1,2,..., N, к, * = 1,2,3, г = 1,2,..., ^, ] = 1,2,...,М,

где N — число граничных элементов, М — число ячеек, Щ* (г, ]) и Р* (г, ]) — перемещения и напряжения, возникающие в точке ] в * — м направлении от сосредоточенной нагрузки, действующей в к — м направлении и приложенной в точке г. Тогда матрицы , Бь и в общем виде представляются так:

А^ = [< ], Бь = [Ьк ], = [< ],

где количество строк и столбцов зависит от схемы разбивки краевой задачи. Общая структура матричного уравнения (2) в зависимости от граничных условий может изменяться. Например, если в качестве внутренней задачи рассмотреть односвязное или многосвязное тело под действием уравновешенных поверхностных сил, то система уравнений представляется в виде

А11 А12 А13 К' " Б11 Б12 Б13 Р ' " А1 А2 А3" 01

А21 А22 А23 < К2 > = Б21 Б22 Б23 < Р2  + ^21 Аз А3 < 02 •

А31 А32 А33 _ К. _ Б31 Б32 Б33 _ Р3 _ А1 А2 Аз _ Яг,

в которой неизвестными являются только векторы перемещения на поверхности тела. Блочные матрицы в (5) формируются на основе (4) с учётом (3).

Таким образом, систему разрешающих граничных уравнений можно представить в общем виде

[ А]{Х} = {Б},

где структура блочной матрицы коэффициентов [А] зависит от постановки задач. В случае первой основной задачи [3], [4], где требуется найти упругое равновесие тела, если заданы внешние напряжения, действующие на поверхности тела, то матрица [А] представляется как блочная матрица в левой части (5). В случае второй основной задачи, когда требуется найти упругое равновесие тела,

если заданы смещения точек поверхности, тогда матрица [А] представляется как блочная матрица [В] в правой части (5). В случае смешанной граничной задачи, когда заданы смещения на одной части поверхности, на остальной же - внешние напряжения, то матрица [А] будет иметь смешанную структуру, например, как в (2). Указанные постановки в равной степени относятся как к статическим задачам, так и к динамическим. Существенным различием динамической задачи является то, что к граничным условиям присоединяются еще и начальные условия, согласно которым на поверхности  тела задаются смещения и скорости точек тела в момент времени .

Во всех перечисленных случаях считается, что объёмные силы заданы во всех точках тела и во все моменты времени, начиная с ¿0 . Предполагается, что в момент времени ¿0 тело находится в состоянии равновесия, то есть при отсутствии деформаций.

Вектор неизвестных {X} в (6) для первой основной задачи содержит только компоненты перемещения, для второй основной задачи - компоненты напряжений и для смешанной краевой задачи - компоненты перемещения и напряжения. Вектор свободных членов {В} состоит из суммы двух векторов, один из которых формируется по заданным на границе напряжениям или перемещениям, а второй - из обобщенных объёмных сил. Обобщенные объёмные силы включают в себя инерционные силы, соответствующие предыдущему моменту времени.

Из решения системы уравнений (6) определяются перемещения и напряжения на поверхности

тела.

Для определения деформаций можно также использовать методы численного дифференцирования. После определения вектора перемещений по (2),(5),(6), применив необходимую аппроксимацию, можно выразить деформации через узловые перемещения в рассматриваемой области V + . Например, если для аппроксимации воспользоваться параболическим сплайном с носителем [£ _!] (рис. 3), то первая производная в узлах ; — 1, ; и ; +1 соответственно равна:

{ лтл/Л

дЖ

= (—3Ж;—1 + 4Ж, — Ж1+х)/2к,

1+Ь

/ 7—1

{ сЩ}

= (—Ж,—1 + Ж,+1)/2к,

( дЖ Л

= (Ж — 4Ж, + 3Ж )/2к

; 1+1

которые совпадают с разностными формулами, полученными при разложении искомой функции в ряд Тейлора с учётом двух членов разложения и с порядком погрешности остаточного члена 0(к2), где к — шаг сетки.

Рис. 3. Аппроксимация первой производной перемещения параболическим сплайном.

Затем в соответствии с законом Гука [2] определяем тензор напряжений

^ (£ 0 = 0 + Щм (£ 0, 1,] = 1,2,3,

где ¡л = О , Щ = 2vG / (1 — 2у) , О — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона.

Таким образом, разработан алгоритм численного решения внутренних задач для конечного тела с соответствующими граничными условиями под воздействием статических или динамических сил. Для аппроксимации деформаций через узловые перемещения используются параболические сплайны.

В качестве примера рассмотрим распределение напряжений и перемещений на контуре пластины, загруженной по краям (рис.4).

Граничные условия. На защемлённом контуре (М1-М2) перемещения равны нулю, определяются напряжения. На свободном контуре (М2-М5) заданы напряжения, определяются перемещения.

С учётом граничных условий и согласно принятой разбивке (рис. 4) системы разрешающих уравнений (1), (2), (5), (6) в алгебраическом виде принимают вид

]=М 5—1 ]=М 5—1 ]=М 2—1 ]=М 2—1 ] =М 5—1 ]=М 5—1

у а и + У Ьу — У еР — У аР = V еР0 + У а Р0,

1] ] 1] ] 1] X] Щ у] 1] X] Чу у

]=М 2+1 ]=М 2+1 ]=1 ]=1 ]=М 2+1 ]=М 2+1

] =М 5—1

У

] =М 2+1

С Vй] +

]=М 5—1 ] =М 2—1

V —

] =М 2+1 ]=1

] =М 2—1

У ] 1

]=М 5—1

У ] — у / Ур] — У ]]= У /]р: + У ]

]=М 2+1

]=М 5—1

}0

'У]

]=М 2+1

Рис.4. Пластина, загруженная по краям.

Проверка сходимости результатов. Проверку сходимости результатов проводим на примере пластины, загруженной по левому торцу (М4-М5) горизонтальной равномерно распределённой нагрузкой (рис.4). Значения тангенциальных напряжений в точках К] и К2 при различных разбиениях приведены в таблице. Стороны пластины разбиты на одинаковые равные по длине граничные элементы (10,14,18 и 22 элементов соответственно).

Таблица

Проверки сходимости тангенциальных напряжений

№ п/п Количество элементов К1 К2

1 10,10,10,10 0.2562 -0.3123

2 14,14,14,14 0.2597 -0.3176

3 18,18,18,18 0.2628 -0.3212

4 22,22,22,22 0.2646 -0.3234

Таким образом, разработан алгоритм численного решения внутренних задач для конечного тела с соответствующими граничными условиями под воздействием статических или динамических сил. Для аппроксимации деформаций через узловые перемещения используются параболические сплайны.

Поступило 28.03.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000, 282 с.

2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975, 872 с.

3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966, 707 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968, 511 с.

Ч,.Н.Низомов, О.АДочибоев, А.АДочибоев*

ХАЛЛИ АДАДИИ ХОЛАТИ ШИДДАТНОКЙ - ДЕФОРМАТСИОНИИ ПЛАСТИНАХО БО УСУЛИ МУОДИЛАХОИ КАНОРЙ

Институти геология, сохтмони ба заминчунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишго%и техникии Тоцикистон ба номи академик М.С.Осими

Алгоритми халли ададии масъалаи хамвори назарияи чандирй дар асоси усули муодилахои канорй тартиб дода шудааст. Алгоритм дар мисоли пластинаи дар канорхояш боргузорий кардашуда рохандозй карда шудааст. Дар худуди хар як элементи канорй доимй будани к,иматх,ои ёфташавандаи чойивазкуних,о ва шиддатх,о пешбинй шудааст.

Калима^ои калиди: пластина - уолати шиддатнокй-деформатсионй - усули муодилауои канорй -тацсимкунй - элементной канорй - бори тацсимшуда - масъалаи дохилй - уалли ададй -муодилауои интегралии канорй.

J.N.Nizomov, O.A.Hojiboev, A.A.Hojiboev* NUMERICAL DECISION OF MODE OF DEFORMATION OF PLATE BY BOUNDARY EQUATION METHOD

Institute of geology, earthquake engineering and seismology,

Academy of sciences of the Republic of Tajikistan, Tajik technical University named after academician M.S.Osimi The algorithm of numerical decision of plane problem of theory of elasticity by boundary element method is developed. The algorithm is implemented in the example of a plate loaded at the edges. It is assumed that within each boundary element values of the unknown displacements and stresses are constant. Key words: plate - deflected mode - boundary equation method - layout - boundary elements - distributed load - inner problem - numerical decision - boundary integral approach.