Об одном уравнении соболевского типа на графе

УДК 517.9

ОБ ОДНОМ УРАВНЕНИИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА ГРАФЕ

А. А. Замышляева

ON A SOBOLEV TYPE EQUATION DEFINED ON THE GRAPH

A.A. Zamyshlyaeva

Изучается начально-краевая задача для уравнения Буссинеска -Лява, определенного на графе. Проводится редукция к абстрактной задаче Коши для уравнения соболевского типа второго порядка. Получена теорема о фазовом пространстве исходного уравнения.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое

пространство, M,N-функции, дифференциальные уравнения на графах

The author considers the initial-boundary value problem for the Boussi-nesqe - Love equation which is defined on graph by reducing it to the Cauchy problem for the Sobolev type equation of the second order. The author obtains a theorem on the phase space of such equation.

Keywords: Sobolev type equations, phase space, M,N-functions, differential equations defined on graphs

Введение

В последнее время теория графов привлекает все более пристальное внимание специалистов различных областей знания. Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. За последние годы тематика теории графов стала еще более разнообразной. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. Здесь можно отметить работы S. Kosugu, С. Cattaneo, G. Medolla,

A.G. Setti, F. Barra. Независимо от этих авторов и впервые в России краевыми и начальнокраевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю.В. Покорный [1] со своими учениками. Ими изучены качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, функция Грина, дифференциальные неравенства, разработана теория эллиптических уравнений на ветвящихся многообразиях.

Г.А. Свиридюк [2] рассмотрел начально-краевую задачу для полулинейного уравнения соболевского типа первого порядка на графе, эти результаты были развиты в работе [3]. Данная работа посвящена изучению уравнения Буссинеска - Лява [4]

описывающего продольные колебания упругого стержня, где параметры А, А', А" £ М, а >

0, /3 > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу задачи. Пусть G = G(V; £) - конечный связный ориентированный

граф, где V = {^} - множество вершин, а £ = {Е^} - множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину > 0 и толщину й3 > 0. На графе (? рассмотрим уравнения

\ujtt - Щххи = хяЛ - Х'и^) + Р{и]ХХ - А"и3) для всех х Е

Для уравнений (0.2) в каждой вершине V* зададим краевые условия

^ ' ^и]Х

В,-еВ“

и8{0,<) = «7

которые являются аналогами законов Кирхгоффа. Здесь через Еа^ (Уг) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Условие (0.3) означает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.4) - что решение в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф (2 состоит из единственной нециклической дуги, условие (0.4) исчезает, а условие (0.3) превращается в однородное условие Неймана.

Поток пропорционален ширине дуги и градиенту решения. Однако не это является главной причиной введения в рассмотрение ширины дуги. Оказывается, конечномерное уравнение (0.1), заданное в трубчатой области, можно свести к одномерному (0.2), где х

- натуральный параметр дуги Ej. Поэтому задачу (0.2) - (0.4) можно рассматривать как задачу Неймана для уравнения (0.1), заданного на области, являющейся объединением конечного множества трубчатых областей с диаметром <1Г Если дополнить (0.3), (0.4) начальным условием

щ

то мы получим задачу Коши - Неймана для уравнения (0.1). Отметим, что данная задача

ранее не рассматривалась даже в случае, когда граф С? состоит из единственной дуги.

1. Редукция к абстрактной задаче

Проведем редукцию задачи (0.3) - (0.5) для уравнений (0.2) к задаче Коши

«

для линейного уравнения соболевского типа второго порядка

Аи" = Вщ' + В0и.

Через Ьз(О) обозначим множество

Ы&) = {9 = (91,92,-,93,-)  93 6 1я(0,1д)}.

Множество -^(С?) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(9, Л) = 2 Лз Ще£ о

Через Ы обозначим множество и = {м = («1, г/2, •••, ...) : и3 е И/21(0,13) и выполнено

условие (0.4)}. Множество Ы является банаховым пространством с нормой

Ы\и = А3 [(и%(х) +и](х))(1х.

[ д3(х)к3{х)(1х.

В силу теорем вложения Соболева пространство И^О, (?) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит 1Л корректно определено, плотно и компактно вложено В 1/2((3)- Отождествим 1*2(0) со своим сопряженным, и через Т обозначим сопряженное относительно двойственности (, •) пространство к и. Очевидно, Т - банахово пространство, причем вложение 1А в Т компактно.

где а > 0,и,у ЕЫ, зададим оператор, определенный на пространстве Ы. Поскольку

при всех и,ь Е и и некоторых Ск > 0, к = 1,2,3, то линейный оператор В : 14 -*• Т непрерывен и инъективен. Кроме того, из первой оценки (1.3) вытекает сюръективность сопряженного оператора В* : Т* -» Ы*. В силу рефлексивности пространства Ы и самосопряженности оператора В получаем, что оператор В Е £(Ы]Т) биективен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора В-1 Є С(Т\1Л). Поскольку вложение Ы в Т компактно, то оператор В~1 € С(Т) является компактным. Значит, спектр оператора В вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Теперь фиксируем

а, /3 > 0 и А, А', А" Є I и построим операторы

Из сказанного следует

Теорема 1. Операторы А,В\,Во Е £(Ы;Т), причем спектр а (А) оператора А вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо.

Итак, редукция задачи (0.2) - (0.5) к задаче (1.1) - (1.2) закончена.

2. Морфология фазового пространства

Из теоремы 1 вытекает, что оператор А - фредгольмов. Обозначим через пучок операторов (Во, В\).

Лемма 1. Пусть параметры а, А, А', А" 6 К \ {0}, исключая случай, когда 0 € а(А) и А = А' = А". Тогда пучок операторов В полиномиально А-ограничен, причем оо является устранимой особой точкой А-резольвенты пучка [5].

Доказательство. (1) Пусть 0 0 &(А), тогда существует оператор А-1 € С(Т\Ы), причем операторы А~1В1,А~1Во Е С.(Ы) по построению. Утверждение леммы очевидно.

Пусть 0 Е о (А). Тогда любой вектор у? Е кегЛ \ {0} имеет вид

Формулой

|(£>«,и)| < СіІНІиІМІм

в силу неравенства Коши - Буняковского и

С2\\и\\1 < \(Ви,у)\ < С3\\ь\\1

А = (А - а)І + В, Ві = а((а - А')/ + В), В0 = 0((а - \")1 + В).

где кегЛ = врап{у?о> • ••, 1Рі}1 I = сІіткегА Так как оператор А, в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2 [6], достаточно показать отсутствие В-присоединенных векторов у любого вектора <р Є кег А \ {0}.

(іі) Пусть А ф А'. Тогда

і і

Вцр = Вг(£ ак(рк) = а(А - А') ^ акщ 0 ітА. к=1 к=1

Значит, ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов.

(ні) Если 0 Є а(А) и А = А', но А Ф А", то

і і

Во<р = В0(^ ак¥>к) = 0(А _ Х") 53 ак(рк & ітА

/г=1 А:=1

Следовательно, и в этом случае ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов высоты 1.

Замечание 1. Как нетрудно видеть, в случае 0 Є сг(А) и А = А' = А" пучок операторов не будет полиномиально Л-ограничен.

/<

Замечание 2. В случаях (1) и (ш) имеет место выполнение условия

7

где 7 = {|^| = г > а}, а - константа из определения полиномиальной ^-ограниченности. Это условие является необходимым и достаточным при построении фазового пространства. В случае

' (М2Л - цВх - ВоГ'й» ф 0,

/<

7

поэтому он исключается из дальнейших рассмотрений.

Определение 1. Множество V называется фазовым пространством уравнения (1.2), если

(i) любое решение и = u(t) уравнения (1.2) лежит в V, т.е. u(t) € V при всех t G R. (И) для любых щ, и\ G V существует единственное решение задачи (1.1), (1.2).

Пусть {Afc} — собственные значения оператора -D, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности, а {фк\ ~ соответствующие им ортонормированные в смысле L^iG) функции. Построим проекторы [5]

Г /, 0 #а(АУ,

Р~\1~ Е \-,<Рк)ч>к, 0 G а (А);

К А*,=А—а

( I, 0 ёа(А)-,

Q-S I- Е {,(Рк)<Рк^ 0 € а(А),

v Afc=A—а

определенные на пространствах U и Т соответственно, и семейство М, iV-функций уравнения

M(t) = ~ J(ц2А - цВх - Во)~1(цА - B^e^dfj, =

7

_ ^ / /4(^ ~ (а + ^к)) + ос(Х' — (а + Хк)) \г /л|(А — (а + Хк)) + а(А' — (а + А&)) „р

^ [

х (•,¥>*)№

ЛГ(£) = [ Ы2А — 11В1 — Въ^^АецЫц =

2тгг У

7

е^‘ - е**»1 . .

=5:

здесь оА(В) = {/^’2 : А; е М}, а /х^’2 - корни уравнения

(А — (а + А й))//2 + а:^ — (а + А &))£* + — (а + А&)) = О,

а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что А = о + А&. Отсюда справедлива

Теорема 2. Пусть а, А, А', А" £ 1\ {0} и (г) 0 0 ст(Л). Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является все пространство 1А, т. е. для любых щ,щ € Ы существует единственное решение и 6 С2(Ш;Ы) задачи (1.1), (1.2), которое имеет вид и(£) = М(£)ио + Щ$и 1.

(И) 0 € (т(А) и А = А', но А Ф А". Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является подпространство Ы1 = {и е Ы : (и,(рк) = 0, при Хк = А — а}, т.е. для любых щ,щ € Ы1 существует единственное решение и € С2(К; И1) задачи (1.1), (1.2), которое имеет вид и(£) = М(Ь)ио + Ыфщ.

Литература

1. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск, 2002. -С. 221 - 225.

3. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк,

В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 11. - С. 47 - 52.

4. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.

5. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислит, технологии - 2003.

- Т. 8, № 4. - С. 45 - 54.

6. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.А. Замышляева

- Челябинск, 2003.

Кафедра уравнений математической физики,

Южно-Уральский государственный университет alzam@math.susu.ac.ru

Поступила в редакцию 8 сентября 2008 г.