О погрешности алгоритма синтеза сложных ЧМ сигналов

УДК 621.391.24

С. Л. Дмитриев

О ПОГРЕШНОСТИ АЛГОРИТМА СИНТЕЗА СЛОЖНЫХ ЧМ СИГНАЛОВ

При синтезе локационных сигналов по автокорреляционной функции (АКФ) получают сигнал, предназначенный для измерения дальности до неподвижных или двигающихся с малой скоростью объектов.

Как известно [1], основные требования к зондирующим сигналам заключаются: в прямоугольности огибающей подводимого к передатчику сигнала -из соображений максимума к.п.д.; ширина главного лепестка или области сильной корреляции АКФ должна быть меньше или равна заданной разрешающей способности по времени; однозначность измерения дальности и уменьшение вероятности ложной тревоги определяют максимально допустимый уровень боковых лепестков (УБЛ) АКФ в области слабой корреляции.

Рассмотрим случай синтеза сложных локационных сигналов с прямоугольной огибающей и, в общем случае, нелинейной внутриимпульсной частотной модуляцией (НЧМ). Полагаем, что задана АКФ искомого сигнала -прототип, совпадающая с функцией взаимной неопределенности (ФВН) в сечении

^доп. = о.

В качестве критерия синтеза применяем критерий равномерного приближения, а точнее его частный случай - минимаксный критерий. Согласно ему необходимо минимизировать максимальное значение модуля АКФ искомого сигнала в области слабой корреляции. В практических расчетах это означает минимизацию максимума уровня боковых лепестков (МУБЛ) АКФ или ФВН.

При использовании различных аналитических методов [1] получения таких сигналов возникают некоторые трудности. Они часто связаны с трудоемкостью вычислений, взятием интегралов от модулей функций и с тем, что полученные сигналы имеют ВФН, значительно отличающуюся от прототипа. Это проявляется в значительной степени при синтезе малобазовых сложных сигналов с базой 5...50.

Предлагаемый метод является модификацией известного метода, основанного на принципе стационарной фазы [1]. Он позволяет получать более предсказуемый результат, а также дает возможность целенаправленного изменения параметров прототипа ВФН для получения, в результате синтеза, сигналов с требуемыми, или максимально приближенными к искомым, параметрами.

Согласно принципу стационарной фазы квадрат модуля спектра узкополосного сигнала, имеющего прямоугольную огибающую с амплитудой А0, обратно-пропорционален скорости изменения мгновенной частоты и прямопропорционален производной дисперсионной характеристики (второй производной ФЧХ спектра сигнала по частоте). Время и частота в упомянутых соотношениях функционально связаны, причем связь эта находится из уравнения точки стационарной фазы [1]. Но, как известно, это асимптотическое приближение, т.е. точность соотношений растет с ростом базы сигнала В. При их использовании в

традиционных методах не учитываются "краевые" эффекты, возникающие тогда, когда точка стационарной фазы приближается к краям отрезка интегрирования. Поэтому в результате синтеза при малых базах, АКФ получаемого сигнала значительно отличается от прототипа. Сами сигналы приобретают паразитную амплитудную модуляцию, что не позволяет использовать их по указанным выше причинам.

Известна модификация этого метода [2], которая в сочетании с описываемым алгоритмом отличается улучшенной методологией получения результата, меньшей трудоемкостью и большей вероятностью достижения успеха. Вначале находится квадрат модуля спектра сигнала по заданной корреляционной функции В0 (г) или ее аппроксимации

X

14

0

затем находится ФЧХ спектра сигнала в соответствии с принципом стационарной фазы

и и2

2жЛ0)

0 0

Таким образом определяется комплексный спектр синтезируемого сигнала

*&о

Выполняя обратное преобразование Фурье, находим искомый сигнал как функцию времени

х

1 г

) = 2~ ] *&)

2п

-X

Взаимная функция неопределенности для полученного сигнала определяется [1] выражением

X

, О) = 2Е

-о) *

-X

где Е - полная энергия сигнала; О - доплеровский сдвиг частоты принимаемого сигнала.

Изложенный метод послужил основой алгоритма синтеза НЧМ сигналов с заданными свойствами ВФН. Для реализации описываемого ниже алгоритма применяются численные методы, как наиболее эффективные и позволяющие автоматизировать вычисления, и как единственно возможные при синтезе сигналов по корреляционным функциям, для которых не вычисляются в элементарных функциях интегралы в выражениях (1) - (5).

Целью расчета является синтез комплексной огибающей сигнала

А

с единичной амплитудой (А0 = 1), длительностью Т и девиацией частоты Г, причем

.&(*) = А(() ехр(и0*) .

Сигнал представляется N равноотстоящими отсчетами. Число отсчетов выбирается с запасом, т.е. несколько большим, чем достаточно по теореме Котельникова, и для ЧМ сигналов

где К > 2 - коэффициент дискретизации;

Суть алгоритма заключается в следующем.

1. Задается прототип ВФН при доплеровской расстройке частоты 0=0, который совпадает с АКФ синтезируемого сигнала при его согласованной фильтрации. Для контроля получаемого результата вводятся или определяются по прототипу характерные параметры АКФ (МУБЛ, ширина главного лепестка, максимальная допустимая доплеровская расстройка), а также диапазон их допустимых отклонений. Прототип можно задать как аналитически, что удобно для оперативного изменения его параметров, так и в виде массива отсчетов, что может быть следствием либо ручного ввода вида кривой в графическом редакторе с последующей оцифровкой, либо импортом отсчетов извне при расчете прототипа в другом приложении, например, из-за сложности вычислений. Важно отметить, что для упрощения операций синтез ведется по комплексной огибающей. Так как АКФ -функция симметричная, то достаточно определить ее на интервале отсчетов 1... N/2, что соответствует интервалу времени Т. Значения отсчетов N/2+1... N получаются зеркальным дополнением.

2. Вычисляется квадрат модуля спектра будущего сигнала согласно формуле (1) с использованием прямого БПФ для дискретизированной АКФ. Так как может не существовать сигнала с заданной прототипом АКФ, то получаемый энергетический спектр может иметь отрицательные значения [3]. Для предупреждения о том, что вероятность успеха синтеза мала, необходимо выполнить процедуру оценки физической реализуемости заданного прототипа. Она должна вычислять долю спектральной плотности мощности имеющей отрицательное значение. Чем больше эта величина, тем меньше вероятность получения сигнала с желаемой АКФ. По этой причине для полученного массива необходимо выполнить операции вычисления модуля реальной части всех отсчетов. Результат есть N отсчетов квадрата модуля спектра сигнала, причем отсчеты N/2+1 ... N есть также зеркальная копия отсчетов 1

3. Находится ФЧХ НЧМ сигнала, согласно (2), двойным численным интегрированием квадрата модуля спектра на интервале 1 ... N/2 любым из известных способов, например, методом трапеций или сплайнов. А затем полученные отсчеты зеркально дополняются до N.

4. Результаты двух предыдущих пунктов дают возможность по выражению (3) получить комплексный спектр искомой огибающей £>(и).

5. Обратное БПФ в соответствии с (4) дает временную функцию комплексной огибающей А (*).

... N/2.

6. В результате синтеза отсчеты огибающей А (і) имеют паразитную

амплитудную модуляцию и относительно плавный спад амплитуды к нулю за пределами длительности импульса. Для приведения полученной огибающей к прямоугольному виду необходимо выполнить операции усечения и нормировки. В процессе усечения приравниваются нулю значения отсчетов огибающей, которые меньше некоторого задаваемого уровня нормировки А^юш, например, половины амплитуды сигнала. Нормировка приводит амплитуды оставшихся, ненулевых отсчетов к единице, не изменяя закона угловой модуляции #

Синтез на этом не заканчивается, так как необходимо проверить вид ВФН полученного сигнала. Эта процедура выполняется в последующих пунктах.

синтезированного сигнала.

8. АКФ синтезированного сигнала, в общем случае, вычисляется из выражения (5) при О = 0. Для полученной функции находится МУБЛ и ширина главного лепестка. При необходимости оценивается поведение ФВН сигнала для различных доплеровских сдвигов частоты. Однозначно результат синтеза предсказать достаточно сложно из-за наличия в алгоритме синтеза нелинейных операций (усечение и нормализация). Если сравнение с заданными параметрами не дает желаемого результата, то следует изменить вид функции-прототипа и повторить синтез.

Алгоритм реализован программно в среде для математических вычислений МАТЬАВ_4.2, которая позволяет использовать максимум ресурсов вычислительной машины. Например, скорость расчета требуемых 9 массивов по 32000 отсчетов, половина массивов при этом комплексная, составило около 9 минут. Аналогичный расчет для 4000 отсчетов составил 8 секунд. Сквозное преобразование прототипа АКФ в алгоритме без выполнения операций усечения и нормировки дает точность его воспроизведения по всем УБЛ не хуже 12 значащих цифр в размерностях децибел. Источником значительных погрешностей получаемой АКФ являются операции усечения и нормировки. Синтез тестового ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей показал, что при базе 100 и К = 10 точность УБЛ по сравнению с прототипом составила 0.02дБ, или не хуже 3 значащих цифр. Допустимыми отклонениями для УБЛ считается [1] интервал 0.5... 1 дБ. Погрешность синтеза существенно возрастает с уменьшением базы сигнала. Коэффициент дискретизации Ка следует выбирать не менее 10.

Успех алгоритма во многом определяется выбором функции-прототипа, т.е. заданием начального приближения. Алгоритм дает хорошие результаты, если в качестве прототипов применяются АКФ сигналов взвешенные финитными во

агеїаи

7. Выполняем прямое БПФ для А (*) и тем самым находим спектр

времени оптимальными огибающими (окнами) Хэмминга, Блэкмана, Кайзера-Бесселя и различными аппроксимациями вытянутых сфероидальных функций [4].

1. Вакман Д.Е., Седлецкий Р.М. Вопросы синтеза радиолокационных сигналов. М.: Сов.радио,1973.

2. Обработка сигналов в локационных системах исследования неоднородных сред: Межвузовский сборник.- Свердловск: изд.УПИ им.С.М.Кирова, 1987.

3. Варакин Л.Е. Теория сложных сигналов, М.: Сов. радио, 1970.

4. Виленчик Л.С. Вычисление вытянутых волновых сфероидальных функций. // Радиотехника, №3, 1989.