Математическая модель контактного взаимодействия гибкой спицы рефлектора

Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»

УДК 539.3

А. Н. Кожевников Научные руководители - Д. А. Красноруцкий, В. Е. Левин Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГИБКОЙ СПИЦЫ РЕФЛЕКТОРА

Иногда возникает необходимость создавать принципиально новую конструкцию. Для ее анализа удобно использовать уже известную математическую модель, но эту модель необходимо адаптировать для возможности проведения требуемых расчетов. Для такой модификации зачастую приходится вносить коррективы в уже разработанные алгоритмы и дополнять их. В данной работе в исходную модель были введены силы контактного взаимодействия, которые позволяют устранить самопересечения витков стержня друг с другом.

При создании новых типов сложных конструкций практически в любых областях техники на этапе проектирования широко используются математические модели для анализа как принципиальной возможности создания, так и оптимизации параметров создаваемой конструкции. Для моделирования механики специальных объектов, один линейных размер которых значительно больше двух других, зачастую хорошо подходит математическая модель тонкого стержня. В данной работе рассмотрена простейшая модель контактного взаимодействия осевой линии стержня, адаптируемого для моделирования динамики гибкой спицы крупногабаритного трансформируемого рефлектора.

Исходная модель стержня [1] не предусматривает «перехлестов» осевой линии. В процессе нелинейного динамического деформирования упругого стержня [2], такая ситуация возможна и в некоторых задачах её не избежать. Контактные усилия реальных объектов обусловлены деформацией материалов контактирующих объектов. В зависимости от силы и скорости контактного взаимодействия, а также свойств материалов деформации могут быть как упругие, так и пластические. Пластические деформации поглощают кинетическую энергию взаимодействующих тел, при этом материал в зоне контакта упрочняется, либо разрушается. Простейшая модель контактного взаимодействия должна учитывать только упругие деформа-

ции, при которых возникающая сила контактного взаимодействия пропорциональна некоторому расстоянию проникновения тел друг в друга, и если возникающие контактные усилия превышают некоторый максимум (предел пропорциональности), тогда возникают необратимые пластические деформации и такая модель непригодна для анализа.

На первый взгляд может показаться, что это тривиальная задача - добавить в математическую модель стержня силы воздействия одной части осевой линии на другую часть. На самом деле эта задача обладает рядом тонкостей, которые не сразу очевидны и их необходимо учитывать при выборе приемлемой расчетной схемы из числа возможных.

При составлении алгоритма расчета контактных усилий необходимо проследить, чтобы возникающие усилия на одной части автоматически компенсировались равными по модулю и противоположными по направлению усилиями другой контактирующей части, то есть чтобы соблюдался третий закон Ньютона.

На данной работе разработана и протестирована модель плоского контактного упругого взаимодействия осевой линии стержня, то есть она может взаимодействовать сама с собой, только если находится в плоскости.

На рисунке представлена принципиальная схема учета контактного взаимодействия.

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки

Предлагается следующий алгоритм:

1. Вычисляя правую часть системы дифференциальных уравнений движения [2, 3] для некоторого участка конечной длины (после дискретизации задачи по длине стержня), на рисунке обозначаемого точкой (узел) производим расчет расстояний от текущего узла до всех остальных линейных участков и выбираем наименьшее, так как один узел может находиться на расстоянии проникновения с несколькими линейными участками.

2. Контакту соответствует сила

где Ак - максимальное расстояние контакта, ^тах -максимальная величина контактных усилий (после которого появляется пластичность)/; А - вектор перпендикуляра, опущенного из узла на линейный участок.

3. Определяем аналогичные усилия как показаны на рисунке пришедшие от прилежащих к узлу линейных участков (на которые воздействую другие узлы).

4. Суммируем все контактные усилия и добавляем их к вектору внешних распределенных усилий, действующих на текущий узел (элемент стержня). Конец алгоритма.

Таким образом, в каждой точке стержня удается получить силу, действующую на элемент конечной длины, при этом не нарушается третий закон Ньютона. При контакте, часть осевой линии приближается к

другой части осевой линии стержня на столько, чтобы обеспечить равновесие при заданном, по сути, модуле упругости материала стержня.

Представленный алгоритм контактного взаимодействия моделирует абсолютно упругий контакт, однако, используемый дифференциальный подход определения нелинейной динамики тонкого криволинейного стержня [2; 3] позволяет ввести дополнительные силы, чтобы моделировать динамическое контактное воздействие.

Библиографические ссылки

1. Левин В. Е., Пустовой Н. В. Механика деформирования криволинейных стержней: монография. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2008. 208 с.

2. Красноруцкий Д. А., Левин В. Е., Пустовой Н. В. Нелинейные колебания упругих стержней // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте : сб. науч. тр. Междунар. науч.-практ. конф. Т. 8. Физика и математика. Химия. Одесса: Черноморье, 2011. С. 50-55

3. Пустовой Н. В. Применение геометрически нелинейных уравнений стержня к расчету статики и динамики тросов. Ч. 1 / Н. В. Пустовой, В. Е. Левин, Д. А. Красноруцкий // Научный вестник НГТУ, 2012. № 1 (46). С. 83-92.

© Кожевников А. Н., 2013

УДК 629.7

А. А. Козырева Научный руководитель - А. В. Лопатин Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМПОЗИТНОГО БАКА ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Рассматривается задача конечно-элементного моделирования композитного бака высокого давления эллиптической формы. Приведена методика моделирования композитного бака и определения его напряженно-деформированного состояния. Выполнено сравнение полученных результатов с результатами эксперимента.

В настоящее время в космической промышленности широко применяются конструкции, изготовленные из композитных материалов [1-3]. Для анализа напряженно-деформированного состояния таких конструкций используется метод конечных элементов.

В работе рассматривается задача конечно-элементного моделирования композитного бака высокого давления эллиптической формы, изготовленного методом непрерывной намотки и нагруженного внутренним давлением. Бак состоит из титанового лейнера и нескольких слоев композиционного материала, образующих стенку переменной толщины. Бак крепится к цилиндрическому сетчатому корпусу космического аппарата с помощью системы ребер, изготовленных методом непрерывной намотки

Исходными данными, необходимыми для анализа, являются геометрические параметры бака, свойства используемых материалов и расчетное давление. Ми-

нимальная толщина семи слоев композита на экваторе равна 3,4 мм и изменяется обратно пропорционально радиусу. Учитывая симметричность конструкции, была создана ее конечно-элементная модель, вид которой показан на рис. 2. Патрубок в полюсной части для упрощения расчета имитировался жесткой стальной пластиной. Влияние ребер соединительного отсека на напряженно-деформированное состояние бака принимается пренебрежимо малым.

Моделирование бака осуществлялось в следующей последовательности:

1. По вычисленным координатам строились средние линии титанового лейнера и композитного слоя, а также средняя линия стальной пластины.

2. Поворотом вокруг центра симметрии образованы средние плоскости титанового и композитного слоев оболочки и стальной пластины.