Исследование конечных упругопластических деформаций. Кинематика среды и определяющие соотношения

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 157, кн. 4 Физико-математические науки

2015

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Л.У. Султанов

Аннотация

Работа посвящена построению основных кинематических и определяющих соотношений, применяемых при разработке вычислительных методик исследования конечных упругопластических деформаций. Кинематика среды рассматривалась в рамках мультипликативного представления градиента полных деформаций. При выводе определяющих соотношений использованы теория течения и уравнение второго закона термодинамики. В результате получена зависимость скорости тензора напряжений от функции свободной энергии и функции текучести.

Ключевые слова: нелинейная упругость, конечные деформации, пластичность. * 1

Введение

При исследовании конечных упругопластических, вязкоупругих или вязкопластических деформаций все чаще авторами используется мультипликативное разложение градиента деформаций. При таком разложении существует несколько способов построения алгоритма исследования. Это связано прежде всего с выбором базиса, относительно которого исследуется процесс деформирования. В настоящей работе основные соотношения записаны относительно актуального (деформированного) состояния. Отметим, что в работах [1-4] построены вычислительные алгоритмы исследования трехмерных тел для гиперупругих материалов, в [5-8] -методики решения упругопластических задач при аддитивном разложении скоростей деформаций.

1. Кинематика

Будем считать, что исследуемая среда допускает конечные деформации и находится в упругопластическом состоянии, в качестве основной кинематической характеристики используется градиент деформаций [9, 10], при этом тензор градиента полных деформаций представляется в виде произведения градиента упругих и пластических деформаций:

F = Fe  Fp.

Подобное представление широко применяется при решении нелинейных задач механики деформируемых тел и считается достаточно строгим (математически точным). В качестве примера упомянем работы [11-15].

Использование разложения

158

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ 159

течения. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 1. Здесь представлены радиус-вектор материальной точки в недеформированном состоянии, которому соответствует объем Vo:

X Xi ei,

радиус-вектор той же материальной точки в актуальной конфигурации, которая соответствует объему V:

X Xi

радиус-вектор материальной точки в разгруженном состоянии:

z = ziei.

Использование этих параметров позволяет представить разложение (1) в виде

„ dxi dxi dzj dxi dz.

F =

dXk

dzj dXk dzj

dXm

F • F

± e ± p •

Для каждого состояния введем соответствующие тензоры мер деформации:

- правый тензор Коши-Грина

_ т^Т т? /-ч 17 Т ^ /-ч Т?Тт7.

— Г  .Г , Ce — F e  F e-> Cp — F p ' F p;

- левый тензор Коши -Грина

Т

B = FT F B = F T F B = F T F •

i-j — j. -I-, J-»e — ± e ± e *-*p — А p A pi

левый тензор Пиолы (мера деформации Альманси):

ту — 1 17 — Т 17 — 1

Т

правый тензор Пиолы:

C-1 = F-1 • F-T,

B—1 = F-71 e • F—1 B—1 = F— p F—1 V

C—1 = F—1 A e F—Т *- e 7 C—1 = F—1 • V F—Т V

Введенные тензоры связаны между собой различными соотношениями, приведем те из них, которые будут далее использоваться:

__ 17 /-ч— 1 17Т /-ч 17 Т /-ч 17

e — F  Cp  F 7 C — F p  Ce  F p.

160

Л.У. СУЛТАНОВ

В дальнейшем будем считать справедливой теорию пластического течения, которую традиционно описывают в терминах производных по времени. Поэтому введем основные тензоры, используемые при описании кинематики течения сплошной среды. Базовым является тензор пространственного градиента скорости, который записывается в виде

h = F F-1.

Симметричная часть этого тензора называется тензором деформации скорости

d=2 [h+h^ ],

кососимметрическая - тензором скорости поворота

*=2[h - hT ] •

Справедливы соотношения:

C = 2FT  d  F, 13 = h  B + B  hT,

d = -2F  C-1  FT, 13-1 = -B-1  h - hT  B-1.

В соответствии с разложением (1) вводим аналоги тензоров (2)-(4) для упругих и пластических скоростей деформаций he, de, *e, hp, dp, *p. Установим связи между введенными тензорами:

h

F • F + F • F

± e ± p i e p

[F-1  F-1] = he + Fe  hp  F-1,

F  C-1FT

-F  C-1  Cp  C-1  FT

Fi.' I? 1 "[7

e  F p  F p  F p

FT I.' I 17T

p  F p + F p  F p

. f-1 • F-T • FT • FT

p p p e

-Fe  hT  FT - Fe  hp  FT = -2Fe  dp  FT,

Be = F  C-1  FT + F  C-1  FT + F  C-1  FT = h  Be + Be  hT - 2Fe  dp  FT•

Если ввести обобщенную производную

Be = Be - h  Be - Be  hT,

то для нее справедливы представления

Be = F  C-1  FT = 2Fe  dp  FeT •

Прокомментируем полученные соотношения. Во-первых, следует определить принадлежность введенных тензоров к соответствующему базису. Здесь введены три базиса: базисы, построенные в исходном, актуальном и промежуточном состояниях. В исходной конфигурации определены тензоры C, Cp, C-1, C-1, C, Cp, C-1, которые являются инвариантными тензорами. В базисе актуаль-

-1 -1 v

ной конфигурации определены индиферентные тензоры B, B 1, Be, Be 1, Be, d и тензоры h, *, Be. В промежуточном (разгруженном) базисе определены тензоры Ce, Bp, hp. Во-вторых, операциями сложения-вычитания объединены тензоры, определенные в одном базисе. Это обстоятельство необходимо принимать во внимание и далее при формулировке соответствующих уравнений состояния. В-третьих,

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ 161

перевод из одного базиса в другой осуществляется путем соответствующего умножения слева и справа на тензоры градиента деформации F, Fe, Fp и градиента места FT, Fj, Fj и им обратные тензоры. В-четвертых, скорость пластических деформаций в исходной конфигурации определяет тензор Cp, в промежуточной - dp, v

в актуальной - Ве.

2. Определяющие соотношения

В качестве базового примем тензор истинных напряжений Коши - Эйлера X, который также называют гидродинамическим тензором напряжений. Этот тензор определен в актуальном базисе, он является тензором, индифферентным и сопряженным по мощности тензору деформации скорости (3). Таким образом, мощность внутренних сил определяется в виде

N = f X : d dV.

V

Для определения мощности в виде интеграла по работе в исходной конфигурации использу.тся два тензора: тензор напряжений Кирхгофа

г = J X

(J - относительное изменение объема) и второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа

S = JF-1  X  F-T = F-1  т  F-T.

В этом случае мощность определяется в виде

N = J 2 S : C dV0 = J т : d dV0.

Vo Vo

Физические соотношения получим из уравнения второго закона термодинамики для изотермического процесса. В соответствии с [11, 12] имеем неравенство

т : d - рой > 0,

где ро - исходная плотность, ф - свободная энергия. Принимается, что свободная энергия зависит лишь от упругих деформаций, поскольку пластическое деформирование приводит к расходу (диссипации) энергии. В качестве тензора упругих деформаций, компоненты которого являются аргументами свободной энергии, различные авторы выбирают либо Fe [13], либо Ce [11, 12], либо Ве [14, 15]. Известны и другие варианты (тензоры искажения, логарифмические меры деформаций, тензоры деформаций Коши-Грина и Альманси и др. [16-20]). В настоящей работе примем в качестве базового вариант

ф = ф (Be) ,

подставив который в (7) и используя выражение для обобщенной производной (5), получим

т - ро

„ дф дф Be  --Ь „„  Ве

дВе дВе

:d

р0

Ве

дф дф

дВе д Ве

Ве

дф v

: ш - Ро дВ : Ве > 0.

162

Л.У. СУЛТАНОВ

Отсюда имеем определяющее уравнение

т = 2роВе

дф

дВ. ’

уравнение симметрии

и диссипативное неравенство

В дф = дф В 6 дВе дВе 6

дф v

Ро дВ. : В °

В качестве условия пластического течения примем

Фр Шх) < °

где Фр - функция текучести, х - параметр упрочнения. Составим обобщенный функционал диссипации

рХ :

2 Vе ' В-1

+ Афр (X,х) < °.

Здесь использованы соотношения (6) и (9), с помощью которых градиент функцио-

дф

нала выражается через тензор напряжений X. Далее, в соответствии с рабо-

дВ.

тами [11, 12, 14, 15] запишем условие экстремума функционала (11) по возможным полям напряжений. В результате получим соотношение

_1v В-1 = 1 дфр

2 Ве  Ве = А дx .

Данное уравнение является аналогом уравнения ассоциированного закона пластического течения в теории малых упругопластических деформаций (теория течения). Здесь также имеется параметр /А, который определяет величину скорости деформации пластичности. Для получения линеаризированного определяющего соотношения продифференцируем по времени уравнение (9) и получим

Т = 2ро

В е

дф

дВ

+ Ве

д 2ф

дВедВе

: В

е

С учетом (6) запишем результат в виде двух слагаемых

Т = Те + Т-p,

где

Те = 2ро ^ [h  Ве + Ве  hT]  + Ве

д2 ф

д Ве дВе

: [h  Ве + В е  hT]j ,

v дф д2ф v

Тр = 2ро{ Ве ~т + В  L : Ве

д Ве

дВе дВе

В работе [21] показано, что зависимость вида (13) приводится к следующей:

Те = 4ро

В д 2ф В е дВе дВе Е

: d + h  т + т  h1 .

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ 163

Обобщенную производную Ве выразим из (12) через неизвестный параметр А и подставим в (14). В результате имеем

(т) = 4роЛе : d + hr + тhT - А4ро

дФр

дS

Be

дф

дВ

+ Be

д2ф дФ

д Вед Ве

жВ^,

где

Ле

д2ф

е дВедВе

Величину скорости пластических деформаций определяем из уравнения стационарности (согласованности), которое получается дифференцированием уравнения (6):

Ц : S - ЯА = 0,

ф тт дФр дх

где введена функция упрочнения H =

дх дА

Производная тензора S через тензор т выражается по формуле

S = 1 т - S [I : d],

Ве.

где используется известное кинематическое соотношение — = /id = I : d. Подставив (18) с учетом (15) в (17), получим уравнение для А:

' дФр

4рд| : Ле : d + др : [hS + ShT - S/id] - А4р

где

R

дР

дФ

д S

р дф

р • Ве • ^ + Ве

д 2ф

д Ве

дВедВе '

дР ^ R

дФр В

дР е

-А H = 0,

Из соотношения (19) определяем А в виде

д фр 1 1

А

H+4Pik: R

4рдф : Ле : d + ^ : [h • S + S • h^ - S/M]

S S

Далее для кратности обозначим

4рЛе : d + h • S + S • hT - S/1d = Се : h.

В результате линеаризованное соотношение для S структурно представляется как

S

Се : h - 4pR

дФр

дS

: Се : h

H + 4Р Ж : R

Полученное уравнение в скоростях можно считать уравнением в приращениях соответствующих величин. В частности, скорость изменения напряжений S следует отождествлять с приращением этих напряжений AS , а пространственный градиент скорости h считать тензором Ah^, при этом

Ah^

9Ayj

дУз

ei ej,

что структурно совпадает с (2). Отметим, что замена h на Ah^ и S на AS изменила физическую размерность соотношения (20). Время как физический параметр теперь отсутствует.

164

Л.У. СУЛТАНОВ

Заключение

В работе приведены основные кинематические и физические соотношения, используемые при моделировании конечных упругопластических деформаций. Кинематика среды рассматривалась с учетом мультипликативного представления полных градиентов деформаций на упругую и неупругую части. Вывод физических соотношений опирается на уравнение второго закона термодинамики с введением функции свободной энергии. Составлен обобщенный функционал на базе условия текучести, с использованием которого получен аналог уравнения ассоциированного закона пластического течения. В итоге построены определяющие соотношения для скоростей и приращений истинных напряжений Коши. Эти определяющие соотношения могут быть применены при построении вычислительных методик исследования нелинейных процессов деформирования.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 15-01-08733, 15-31-20602).

Summary

L.U. Sultanov. Analysis of Finite Elastoplastic Deformations. Kinematics and Constitutive Equations.

The main kinematic relations and constitutive equations, which are used for creating computational methods to investigate finite elastoplastic deformations are presented in the paper. The medium kinematics is considered along with the multiplicative concept of the full deformation gradient. The constitutive equations are deduced using the theory of flow and the second law of thermodynamics. As a result, a dependence of the stress tensor rate on the free energy function and the yield function is obtained.

Keywords: nonlinear elasticity, finite deformations, plasticity.

Литература

1. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Султанов Л.У. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. I. Кинематика и вариационные уравнения // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2008. - Т. 150, кн. 1. - С. 29-37.

2. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Султанов Л.У. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. II. Физические соотношения // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2008. - Т. 150, кн. 3. - С. 122-132.

3. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Султанов Л.У. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. III. Постановки задачи и алгоритмы решения // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2009. - Т. 151, кн. 3. - С. 108-120.

4. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Султанов Л.У. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. IV. Конечноэлементная реализация. Примеры решения задач // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2010. - Т. 152, кн. 3. -С. 115-126.

5. Голованов А.И., Султанов Л.У. Численное исследование больших упругопластических деформаций трехмерных тел // Прикл. механика. - 2005. - Т. 41, № 6. -С. 36-43.

6. Голованов А.И., Султанов Л.У. Исследование закритического упругопластического состояния трехмерных тел с учетом конечных деформаций // Изв. вузов. Авиац. техника. - 2008. - № 4. - С. 13-16.

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ 165

7. Давыдов Р.Л., Султанов Л.У. Численный алгоритм решения задачи о больших упругопластических деформациях МКЭ // Вестн. ПНИПУ. Механика. - 2013. - № 1. -C. 81-93.

8. Davydov R., Sultanov L. Numerical algorithm of solving the problem of large elastic-plastic deformation by FEM // Sixth International Conference on Nonlinear Mechanics (ICNM-VI). - USA: DEStech Publ., Inc., 2013 - P. 64-67.

9. Голованов А.И., Султанов Л.У. Математические модели вычислительной нелинейной механики деформируемых сред. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2009. - 464 c.

10. Голованов А.И., Султанов Л.У. Теоретические основы вычислительной нелинейной механики деформируемых сред. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2008. - 165 c.

11. Eidel B., Gruttmann F. Elastoplastic orthotropy at finite strains: multiplicative formulation and numerical implementation // Comput. Mater. Sci. - 2003. - V. 28, No 3-4. -P. 732-742.

12. Schroder J., Gruttmann F., Loblein J. A simple orthotropic finite elasto-plasticity model based on generalized stress-strain measures // Comput. Mech. - 2002. - V. 30, No 1. -P. 48-64.

13. Simo J.S. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition: Part I. Continuum formulation // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1988. - V. 66, No 2. - P. 199-219.

14. Miehe C. A theory of large-strain isotropic thermoplasticity based on metric transformation tensors // Arch. Appl. Mech. - 1995. - V. 66, No 1. - P. 45-64.

15. Basar Y., Itskov M. Constitutive model and finite element formulation for large strain elasto-plastic analysis of shell // Comput. Mech. - 1999. - V. 23, No 5. - P. 466-481.

16. Meyers A., Schievbe P., Bruhns O.T. Some comments on objective rates of symmetric Eulerian tensors with application to Eulerian strain rates // Acta Mech. - 2000. - V. 139, No 1. - P. 91-103.

17. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. A consistent finite elastoplasticity theory combining additive and multiplicative decomposition of the stretching and deformation gradient // Int. J. Plast. - 2000. - V. 16, No 2. - P. 143-177.

18. Asghari M., Naghdabadi R., Sohrabpour S. Stresses conjugate to the Jaumann rate of Eulerian strain measures // Acta. Mech. - 2007. - V. 190, No 1. - P. 45-56.

19. Lin R.C. Numerical study of consistency of rate constitutive equations with elasticity at finite deformation // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2002. - V. 55, No 9. - P. 1053-1077.

20. Shen L.-J. Constitutive relations for isotropic or kinematic hardening at finite elastic-plastic deformations // Int. J. Solids Struct. - 2006. - V. 43, No 18-19. - P. 5613-5627.

21. Eterovic A.L., Bathe K.-J. A hyperelastic-based large strain elasto-plastic constitutive formulation with combined isotropic-kinematic hardening using the logarithmic stress and strain measures // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1990. - V. 30, No 6. - P. 1099-1114.

Поступила в редакцию 04.08.15

Султанов Ленар Усманович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: Lenar.Sultanov@kpfu.ru