Автоматизация получения проективографических чертежей тел Джонсона

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 004.925.8

А.В. Иващенко, Т.М. Кондратьева*

НОУВПО «СФГА», *ФГБОУВПО «МГСУ»

АВТОМАТИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЕКТИВОГРАФИЧЕСКИХ ЧЕРТЕЖЕЙ ТЕЛ ДЖОНСОНА

Проведен анализ возможностей формообразования многогранных структур на базе автоматизированного построения проективографических чертежей (следовых эпюр), полученных на основе тел Джонсона. Проективографический метод дает возможность моделировать новые многогранные формы по следовым эпюрам выбранного за основу многогранника. Разработанная для этого компьютерная программа позволяет получать как следовые эпюры, так и многообразные наглядные изображения вновь создаваемых многогранных форм. В связи с очень большим количеством возможных вариантов решений предложено использовать сами следовые эпюры (исходя из степени их симметрии) в качестве инструмента оценки целесообразности использования того или иного тела Джонсона как основы для дальнейшего формообразования.

Ключевые слова: формообразование многогранников, тела Джонсона, проективографический метод, метод следовых эпюр, многоядерная структура, много-эпюрность, автоматизация.

Тела Джонсона представляют собой выпуклые многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники, при этом сам многогранник не принадлежит к множеству платоновых и архимедовых тел [1—6].

С точки зрения формообразования эти многогранники интересны тем, что на их основе можно получить различные многогранные формы проективогра-фическим способом [7, 8].

Проективографический подход основан на использовании чертежей специального вида — проективографических чертежей (следовых эпюр), которые позволяют смоделировать трехмерный объект, представляющий определенный интерес в геометрическом отношении [9—11].

Тела Джонсона могут иметь несколько видов проективографических чертежей. Например, у пятиугольной или у треугольной бипирамиды всего один вариант проективографического чертежа. Однако чем сложнее тело Джонсона и чем более выражено нарушение его симметрии, тем большее количество про-ективографических чертежей требуется для работы с формой. Для сложных тел Джонсона достаточно трудно оценить степень их многоэпюрности без привлечения компьютерных средств.

В настоящей статье рассматриваются основы автоматизированного построения проективографических чертежей. Используется один из вариантов программы, на основе которой по специальному описанию любого из тел Джонсона можно получить проективографические чертежи на всех необходимых для построения гранях [12].

© Иващенко А. В., Кондратьева Т.М., 2014

179

Программа написана на языке программирования DELPHI 7.0. В качестве вспомогательного средства использовался математический пакет Mathematica 8.0, с помощью которого получено описание тел Джонсона [13].

Для описания тел Джонсона применяется способ, традиционно используемый в геометрическом моделировании для описания любого многогранника [14]. Основная часть входного файла разделена на две части. Вначале указывается количество вершин и перечисляются координаты (x, y, z) для каждой вершины. Затем указывается количество граней в многограннике. Затем задаются грани последовательностью номеров вершин, входящих в грань. И, наконец, приводится список граней, для которых необходимо получить про-ективографические чертежи. Проективографические чертежи, определяемые той или иной гранью, можно увидеть на соответствующих закладках панели программы. Сравнивая между собой проективографические чертежи, можно сделать вывод об их соответствиях.

Приемы работы с многоэпюрными проективографическими системами рассмотрены в трудах Гамаюнова [9, 15] и Гольцевой [16], которые использовали их на примере проективографических чертежей архимедовых тел.

Путем сравнения проективографических чертежей проведем анализ возможностей формообразования на основе одного из тел Джонсона (рис. 1).

Рассмотрим пример четырехэпюрной системы плоскостей, порождаемой многогранником Джонсона — Pentagonal Orthobirotunda.

Рис. 1. Тело Джонсона — Pentagonal Orthobirotunda

Этот многогранник получен из архимедового тела (икосододекаэдра) посредством поворота верхней половины тела относительно нижней по экваториальной плоскости на 36°.

В отличие от двухэпюрной системы плоскостей икосододекаэдра это тело имеет четыре эпюры: 1) от «верхнего» и «нижнего» пятиугольников; 2) от остальных пятиугольников; 3) от десяти треугольников, примыкающих к верхнему и нижнему пятиугольникам; 4) от остальных десяти треугольников.

Приведенные на рис. 2 эпюры характеризуются разной степенью симметрии.

Проективографический подход при анализе многогранных форм, получаемых из тел Джонсона, дает эффективный инструмент оценки целесообразности использования того или иного многогранника в архитектурном и дизайнерском

проектировании. Например, тела Джонсона с высокой степенью симметрии, подобные рассмотренному выше, порождают эстетически привлекательные формы, в то время как многогранники с низкой степенью симметрии, как правило, менее пригодны для проектирования новых архитектурных форм.

Рис. 2. Эпюр, полученный: а — от «верхней» пятиугольной грани Pentagonal Orthobirotunda; б — «экваториальной» пятиугольной грани Pentagonal Orthobirotunda; в — треугольной грани 1-го рода Pentagonal Orthobirotunda; г — треугольной грани 2-го рода Pentagonal Orthobirotunda

Тем не менее, тела со слабой симметрией могут быть объединены в комплексы, организованные внешней симметрией, что также расширяет возможности формообразования на основе используемой компьютерной программы.

Библиографический список

1. Johnson N.W. Convex polyhedra with regular faces // Can. J. Math. 1966. Vol. 18. № 1. Pp. 169—200.

2. Гурин А.М. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями // Сибирские электронные математические известия. 2010. № 7. С. A.5—A.23. Режим доступа: http://semr.math.nsc.ru/v7/a5-23.pdf. Дата обращения: 29.11.2013.

3. ВеннинджерМ. Модели многогранников. М. : Мир, 1974. 236 с.

4. Dutch Steven. Polyhedra with Regular Polygon Faces // Johnson Polyhedra. Режим доступа: http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm. Дата обращения: 18.01.2014.

5. Залгаллер В.А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. cем. ЛОМИ. М. ; Л. : Наука, 1967. Т. 2. С. 5—221.

6. Sutton Daud. Platonic & Archimedean solids. The geometry of space. NY : Walker & Company, 2002. 64 p.

7. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографические чертежи многокомпонентных систем многогранников // Вестник МГСУ 2012. № 6. C. 155—160.

8. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографический анализ многогранников Джонсона // Вестник МГСУ 2013. № 5. C. 226—229.

9. Гамаюнов В.Н. Проективография. Геомерические основы художественного конструирования. М. : МГПИ, 1976. 25 с.

10. Калиничева М.М., Жердев Е.В., Новиков А.И. Научная школа эргодизайна ВНИИТЭ: предпосылки, истоки, тенденция становления: монография. М. : ВНИИТЭ; Оренбург : ИПК ГОУ ОГУ, 2009. 368 с.

11. Соболев Н.А. Общая теория изображений. М. : Архитектура-С, 2004. 672 с.

12. Иващенко А.В. Модели представления элементов системы проективографи-ческих эпюр и алгоритм их определения // Молодые голоса : сб. науч.-исслед. работ аспирантов и соискателей. М. : МГОПУ, 2000. Вып. 2. С. 12—19.

13. Никулин ЕА. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. СПб. : БХВ — Санкт-Петербург, 2003. 550 с.

14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М. : Наука, 1973. 832 с.

15. Гамаюнов В.Н., Филин Ю.Н. Проективография конфигурации Дезарга // Формообразование в строительстве и архитектуре : сб. научн. тр. МИСИ. М. : МИСИ, 1986. Разд. I «Проективография». С. 105—109.

16. ГольцеваР.И. Геометрия многогранных и-эпюрных систем // Формообразование в строительстве и архитектуре : сб. научн. тр. М. : МИСИ, 1986. С. 175—223.

Поступила в редакцию в апреле 2014 г.

Об авторах: Иващенко Андрей Викторович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры дизайна, Столичная финансово-гуманитарная академия (НОУ ВПО «СФГА»), 109088, г. Москва, ул. Шарикоподшипниковская, д. 15, ivashchenko_a@ inbox.ru;

Кондратьева Татьяна Михайловна — кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой начертательной геометрии и графики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: ИващенкоА.В., Кондратьева Т.М. Автоматизация получения про-ективографических чертежей тел Джонсона // Вестник МГСУ. 2014. № 6. С. 179—183.

A.V. Ivashchenko, T.M. Kondrat'eva

AUTOMATIC RECEIPT OF PROJECTIVE GEOMETRY DRAWINGS OF JOHNSON BODIES

The article analyzes the possibilities of polyhedral structures' formation basing on the automated construction of orthographic drawings (trace diagrams) derived from Johnson bodies. Projective Graphical method makes it possible to simulate the new multi-faceted forms with the help of the trace diagrams selected as a basis of a polyhedron. The computer program developed for this aim allows receiving both trace diagrams and diverse visual images of newly created polygonal shapes. Due to the large number of possible solutions it is proposed to use trace diagrams themselves (based on their degree of symmetry) as a tool to assess the feasibility of using this or that Johnson body as a basis for further shaping.

Key words: polyhedron shaping, Johnson body, projective geometry method, trace diagrams method, multi-core structure, multi diagrams, automation.

References

1. Johnson N.W. Convex Polyhedra with Regular Faces. Can. J. Math. 1966, vol. 18, no. 1, pp. 169—200. DOI: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1966-021-8.

2. Gurin A.M. Kistorii izucheniya vypuklykh mnogogrannikov s pravil'nymi granyami. Si-birskie elektronnye matematicheskie izvestiya [On the Studying History of Convex Polyhedra with Regular Faces]. 2010, no. 7, pp. A.5—A.23. Available at: http://semr.math.nsc.ru/v7/a5-23.pdf. Date of access: 29.11.13

3. Wenninger M. Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1974.

4. Dutch Steven. Polyhedra with Regular Polygon Faces. Johnson Polyhedra. Available at: http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm. Date of access: 18.01.2014.

5. Zalgaller V.A. Vypuklye mnogogranniki s pravil'nymi granyami [Convex Polyhedra with Regular faces]. Records of Scientific Workshop. LOMI, 2, Nauka Publ., Moscow-Leningrad, 1967.

6. Sutton Daud. Platonic & Archimedean Solids. The Geometry of Space. NY, Walker & Company, 2002, 64 p.

7. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskie chertezhi mnogokompo-nentnykh sistem mnogogrannikov [Shape Generation by Means of a New Method of Orthographic Representation ("Proektivografiya"): Drawings of Multi-Component Polyhedra]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 155—160.

8. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskiy analiz mnogogrannikov Dzhon-sona [Analysis of Johnson's Polyhedra Using Projective Geometry Techniques]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 226—229.

9. Gamayunov V.N. Proektivografiya [Projective Geometry]. Moscow, MGPI Publ., 1976,

25 p.

10. Kalinicheva M.M., Zherdyaev E.V., Novikov A.I. Nauchnaya shkola ergodizayna, VNI-ITE: predposylki, istoki, tendentsiya stanovleniya. Monografiya. [Scientific School of Energy Design, All-Russian Research Institute of Technical Aesthetics: Background, Origins, Establishment Tendency]. Moscow, VNIITE Publ., Orenburg, IPK GOU OGU Publ., 2009, 368 p.

11. Sobolev N.A. Obshchaya teoriya izobrazheniy [General Theory of Image] Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2004, pp. 489—491.

12. Ivashchenko A.V. Modeli predstavleniya elementov sistemy proektivograficheskikh epyur i algoritm ikh opredeleniya [Representation Models of the System Elements of Project Geometry Diagrams and their Definition Algorithm]. Molodye golosa: sbornik nauchno-issledovatel'skikh rabot aspirantov i soiskateley [Young Voices: Collection of Scientific Works of Postgraduate Students and Doctoral Candidates]. Moscow, MGOPU Publ., 2000, no. 2.

13. Nikulin E.A. Komp'yuternaya geometriya i algoritmy mashinnoy grafiki. [Geometry and Algorithms for Computer Graphics]. Saint Petersburg, BKhV-Peterburg Publ., 2003.

14. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike [Handbook of Mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1970.

15. Gamayunov V.N., Filin Yu.N. Proektivografiya konfiguratsii Dezarga [Projective Geometry of Desargues Configuration]. Formoobrazovanie v stroitel'stve i arkhitekture: sbornik nauchnykh trudov MISI [Shaping in Construction and Architecture: Collection of Scientific Works of Moscow Institute of Construction and Engineering]. Moscow, MISI Publ., 1986, Part I «Proektivografiya» [Projective Geometry], pp. 105—109.

16. Gol'tseva R.I. Geometriya mnogogrannykh n-epyurnykh sistem [Polyhedral Geometry of n-Curve Systems]. Formoobrazovanie v stroitel'stve i arkhitekture: sbornik nauchnykh trudov [Shaping in Construction and Architecture: Collection of Scientific Works]. Moscow, MISI Publ., 1986, pp. 175—223.

About the authors: Ivashchenko Andrey Viktorovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Metropolitan Academy of Finance and Humanities (SFGA);

15 Sharikopodshipnikovskaya str., Moscow, 109088, Russian Federation; ivashchenko_a@ inbox.ru;

Kondrat'eva Tat'yana Mikhaylovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Chair, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83.

For citation: Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Avtomatizatsiya polucheniya proektivograficheskikh chertezhey tel Dzhonsona [Automatic Receipt of Projective Geometry Drawings of Johnson Bodies]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 6, pp. 179—183.