Треугольник Паскаля и p-ЛАТИНСКИЕ матрицы

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ И p-ЛАТИНСКИЕ МАТРИЦЫ

В.В. Карачик1

Исследуются свойства специального класса матриц, возникающих при изучении распределения биномиальных коэффициентов по модулю простого числа. Получены формулы распределения элементов в строке треугольника Паскаля по модулю простого числа.

Ключевые слова: треугольник Паскаля, латинские матрицы, биномиальные коэффициенты.

1. Введение

Одним из эффективных методов вычисления строк треугольника Паскаля по модулю простого числа p является сведение этой задачи к решению определенной системы линейных рекуррентных уравнений. Этот подход был успешно применен Б.А. Бондаренко [1] при исследовании распределения биномиальных коэффициентов mod p для некоторых значений p и только для определенных строк треугольника Паскаля. Однако некоторые характерные свойства матриц полученных систем рекуррентных уравнений были отмечены и они привели к идее введения понятия p -латинской матрицы. Б.А. Бондаренко применял p -латинские матрицы и при исследовании других арифметических треугольников, отличных от треугольника Паскаля [2]. В данной статье получены новые свойства p -латинских матриц и на их основе исследован треугольник Паскаля по модулю простого числа p . Используя представление p -латинских матриц в удобном базисе (13) получено распределение элементов треугольника Паскаля mod p для произвольной строки (15). Подробно исследован случай p = 7. Некоторые результаты по свойствам p -латинских матриц были получены автором в [3] и [4].

2. p - латинские матрицы

Приведем определение p -латинской матрицы, как оно дано в [1] и [5].

Определение 1. Квадратная матрица порядка n называется латинским квадратом порядка n [5], если ее элементы принимают значения 1,...,n таким образом, что каждое число встречается только один раз в каждом столбце и каждой строке.

Определение 2. Латинский квадрат порядка n называется p -латинским квадратом порядка n , если ни одна диагональ матрицы за исключением главной и побочной диагоналей (i + j = n +1) не имеет равных элементов.

Определение 3. p -латинский квадрат порядка n называется нормализованным p -латинским квадратом порядка n, если его первая строка имеет вид (1,2,.,n) и главная диагональ записана в форме (1,1,..., 1).

Построим такие квадраты для любого простого p . Введем матрицу вида P = (j / i). j=f~p— порядка p — 1, элементы которой будем считать из поля Zp .

p = 7 (1/1 матрица P 2/1 3/1 имеет вид 4/1 5/1 6/1 > (1 2 3 4 5 6'

1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 4 1 5 2 6 3

1/3 2/3 3/3 4/2 5/3 6/3 5 3 1 6 4 2

1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 2 4 6 1 3 5

1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 3 6 2 5 1 4

v1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 j v 6 5 4 3 2 1 j

1 Карачик Валерий Валентинович - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и динамических систем, Южно-Уральский государственный университет.

Теорема 1. Если р простое, то матрица Р является нормализованным р -латинским квадратом порядка р — 1.

Доказательство. Очевидно, что элементы матрицы Р, находящиеся в одном столбце или в одной строке различны и принадлежат мультипликативной группе поля Ър . Значит, матрица Р

является латинским квадратом. Пусть у /i - элемент некоторой диагонали, параллельной главной, тогда любой другой элемент этой диагонали имеет вид (у + 5)/^ + 5). Предположим, что один из этих элементов равен данному. Тогда = is и значит у = i и рассматриваемый элемент должен находиться на главной диагонали. Аналогичная ситуация обстоит и с побочной диагональю: у/i = (у + 5)/^ — 5) ^ —у = i ^ у + i = р и значит элемент у/i лежит на побочной диагонали. В соответствии с определением 2 матрица Р является р -латинским квадратом. Поскольку первая строка Р имеет вид (1,2,.,п), главная диагональ записана в форме (1,1,...,1), то Р - нормализованный р -латинский квадрат.

Определение 4. Матрицы вида

N.

=к, )„ ср-1 є с'( р'-‘)=р}

называются р -латинскими матрицами порядка р — 1.

Пример 2. Пусть р = 7 . В соответствии с примером 1 следующая матрица принадлежит М7

С С

СП С&

С? С(:

V С6

СС

СС

Лемма 1. Если С, В е Nр , то СВ е Nр и СВ = ВС .

Доказательство. Действительно, если С = (е1 у) и В = (Ь;- у), то верны равенства

(р—1 Л (р—1 Л

СВ =

ЕСк/ІЬІ/к

к=1

М. і=1. р-1

Е СА і / г

«=і

М. і=1' р-1

где все операции над индексами производятся в Ър . Поэтому если обозначить ак = Е р-/

тогда будем иметь СВ = ( а, / і ) --- и, следовательно, СВ є N р . Более того, аналогичные рас' ’і. І=1' р-1

суждения дают

( р-1

ВС -

5С( І / і)/5

V 5=1

'і' і=1' р-1

=( аі'  ),.і=і^-

где использовалось равенство ак = Е р= Ск / . Следовательно. СВ = ВС . Лемма доказана.

Ниже мы докажем и другие свойства матриц из Nр .

Обозначим через А(1) треугольник Паскаля по модулю простого р и пусть С(п. т) - его

произвольный элемент. Обозначим также через А конечный треугольник. содержащий только

первые 5 строк треугольника А(1). Рассмотрим другой бесконечный треугольник А(к) = кА(1). элементы которого Ск (п. т) определяются равенствами Ск (п. т) = кС(п. m)(mod р). и обозначим

через А5к) конечный треугольник. содержащий только первые 5 строк треугольника А(к). Очевидно. что А[к) = кА^1^.

С

С

С

С

С

С

2

3

4

5

6

С

С

4

3

С

С

С

С

С

С

5

3

1

6

4

2

С

С

С

С

С

С

2

4

6

1

3

5

С

С

2

5

С

С

5

4

Определение 5. Конечный треугольник с 5т строками, возникающий из треугольника ) заменой его элементов Ск (п, I) треугольниками ЛС (п,г)) и заполнением пустых мест нулями обозначим через Л^к) * Лт .

Пример 3. Для р = 5 треугольники Л и Л3к> имеют вид

1

1 1 1 2 1 :

13 3 1

а41) =

1 2

А(1) = 11. А(2) = 2 2

1 2 1

2 4 2

3

А33) = 3 3 . 3 1 3

Поэтому мы получаем

а41)* А3 =А41) °

А31) а31) а31)

а31) а32) а31)

а31) а33) а33) а31)

1

1 1 1 2 1 10 0 1 110 11

12 112 1 1 0 0 2 0 0 1

1 1 0 2 2 0 1 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1

1003003001 1 1 0 3 3 0 3 3 0 1 1

121313313121

Для того. чтобы подсчитать число единиц. например. в 11-й строке треугольника А4^ * А3. надо найти строку треугольника А41). состоящего из треугольников А3к) . в которую входит 11-я строка. т.е. вычислить число [(11 —1)/3] +1 = 4 . В 4-ю строку треугольника А41) входят только треугольники а31) и А33) по два раза. Затем надо взять строку треугольников А3к). в которую входит 11-я строка. т.е. строку с номером 11 — 3 [(11 —1)/3] = 2 и вычислить число единиц в каждом из треугольников вида А3к). входящих во 2-ю строку. Сложить произведение числа единиц в

А3к) на количество чисел равных к в треугольнике А41). т.е. на число треугольников А?" > в А»>. Имеем 2 • 2 + 2 • 0 = 4 .

Докажем важное фрактальное свойство треугольника Паскаля.

Теорема 2. Для любых п. т є N и любого к = 1. р — 1 верно равенство А^) * АрП = А(к)п .

Доказательство. Пусть т > 1. поскольку при т = 1 теорема очевидна. Рассмотрим треугольник А(к )п . каждая строка которого с номером і + 1 строится по строке с номером і по правилу

тр

сі+ = сі + сі+^ р) . где І - номер элемента в строке

рп рп

(они строятся по тому же правилу). у которых левая сторона левого и правая сторона правого треугольников совпадают с соответствующими сторонами треугольника А(к )п . а элементы внут-

тр

ренних сторон станут соседними только в строке i = 2 pn —1 и поэтому в строке i = 2 pn элемент с номером j = pn будет равен 2k . Кроме этого, элементы, стоящие на местах с номерами j = 0 и j = 2pn в строке i = 2pn будут равны k , остальные же элементы этой строки нулевые, как элементы последних строк треугольников A(kn) . Далее, элементы, находящиеся в строках с номерами

pn

pn < i < 2pn между правой стороной левого треугольника Ak и левой стороной правого тре-

pn

угольника - нулевые, исходя из правила построения строк в A(k)n . Воспользуемся методом ин-

mp

дукции. Пусть в строке с номером i = spn, s = 2,..., m элементы с номерами мест не кратными pn нулевые. Рассмотрим элементы, стоящие в этой строке на местах j = tpn и j = (t +1)pn . Пусть они равны r1 и r2. Очевидно, что элементы правой стороны треугольника A^'1r) с вершиной в

элементе с координатами i = spn, j = tp" и левой стороны треугольника A<'r2) с вершиной в эле-

p

менте с координатами i = spn и j =

«породит» треугольник A(ri+r2(modp)), т.е. из треугольников A^l? и A<'r2) возникает треугольник

p p p

A

p

A

pn pn r r

A

pn 1 2

Кроме этого, элементы треугольника A(k)n, находящиеся между соседними сторонами тре-

mp

угольников A(r? и A(rn) будут также нулевыми в соответствии с правилом построения строк в

pn pn

A(k)n. Аналогичные рассуждения верны для всех t = 0,1,.,s — 1. Итак, строка i = sp" порождает

mp

строку i = (s +1)p" в соответствии с правилом построения строк в треугольнике Паскаля. Если

теперь в строке i = spn отбросить элементы, стоящие на местах, номера которых не кратны pn

(они нулевые), то мы получим строку треугольника Amk) с номером i = s . Поскольку s произвольно и при s = 1,2 утверждение теоремы справедливо, то оно справедливо и при любом s . Утверждаемое доказано.

Доказанная теорема позволяет свести исследование треугольника A(1) к исследованию тре-

\ХК p

угольников A(k) для k = 1, p — 1. Детали будут даны в теореме 3.

Пусть для простоты изложения п е N0 = N и {0}, т.е. первую строку треугольника Л(к) будем

(к р

считать нулевой строкой и то же самое для треугольников A(k).

Определение 6. Матрицей Вк при 0 < к < р — 1 назовем такую квадратную матрицу порядка р — 1. элемент Ьі і которой является числом элементов. равных І в к -й строке треугольника

Ар-1. Очевидно. что В0 = diag(1'—.1) ° Е .

Обозначим через gS,k)(п. р) число элементов. равных 5 (1 < 5 < р — 1) по модулю р в п -й

строке треугольника А(к).

Теорема 3. Если п = (аг. —.а0)р является р -арным представлением числа п. то

Доказательство. Используя теорему 2. запишем равенство

Л(1)+1 =Л«* Л ,, р р р

которое означает, что п -я строка треугольника Л(1)+1 находится в аг -й строке треугольника

р

Л(Р, состоящего из треугольников Л(к), к = 1,р — 1 (см. пример 3). Если ввести обозначение

р р

П(к) ° (а г—к,...,а0)р , то из определения матриц Вк вытекает следующее векторное равенство:

,(р—1)(

= В„

V gSҐ (п. р). Продолжая этот процесс. получаем равенство

( gS1)(n' р) 1

gs

тс р—1)/

= Ва Ва ••• В

аг аг а

g

vgr (п. р),

Так как п(г) = а0 и gSk)(а0.р) = (В^ ) . то мы получаем

" gS1)(n' р) 1

•Ва1 (Ва0 ) =(ВагВаг — ВЩ Ва0 ) .

V gs

= Ва гВаг

откуда сразу следует равенство (1). Здесь (Вк) обозначает 5 -й столбец матрицы Вк .

Используя терему 3 мы можем свести вычисление gS (п, р) для 5 = 1, р — 1 к нахождению произведения матриц Вк .

Теорема 4. Для к = 0,р — 1 верно включение Вк е Nр , т.е. матрицы Вк р -латинские. Доказательство. Пусть Ь1(к),...,Ьр— элементы первой строки матрицы Вк . Докажем равен-

ство

Вг

= №) —'

\ Рі'і /і.і=1.р—1

где матрица (р. .). . ,——г = Р определена выше. Мы можем определить операцию сложения тре-

fJ I, .=1,р 1

угольников Л(рк ) как операцию сложения между элементами этих треугольников, стоящих на одинаковых местах по модулю р , т.е.

Л(ю+Л(к2) = к1Л + к2Л = (к! + к2)(шса р)Л =Лрк1 +к2), где сложение в верхнем индексе треугольника производится в Ър . Например, верно равенство

Е А?} =Ар5).

к=1

Г

для 5 = 1, р — 1. Если обозначить элементы матрицы Бк через Ь(У , то, используя (3) и определе-

ние 6 матрицы Бк, можем записать Ь^У = Ь^ для каждого 5 = 1, р — 1. Таким образом, Ьг(У = Ь( уи значит, вспоминая определение матрицы Р, убеждаемся в верности (2).

Пусть п( обозначает число элементов, равных / в р -арном представлении числа п = (аг,...,а0)р . В силу (1) с помощью следствия 1 можем записать

( р—1 ^

g)K >, p) = П Bn .

V i=1 Jk ,s

Матрица B0 = E здесь опущена. Теперь, чтобы вычислить значение gS,k)(n, p), нам нужно исследовать дополнительные свойства матриц из Np .

3. Свойства матриц из N p

Ясно, что Np является подпространством в пространстве квадратных матриц порядка p — 1.

Кроме этого,

Лемма 2. dim Np = p — 1 и

p—1

Be Np = XbkIk ,

k=1

где Ik e N p и Ik = (Ski ,)-----Здесь d j - символ Кронеккера и все операции над индексами

У \ >J / i, j =1, p—1 >J

производятся в Z p .

Доказательство. Действительно, в силу определения 4 элемент bk матрицы B, стоящий в первой строке на k -м месте, будет стоять в i -й строке на месте с номером j, определяемом из

равенства k = j / i (mod p) ^ j = ki (mod p) . Поэтому

p —1 p —1

_ ' ' ~bk

b e n p ^ b=X bk (dki, j); =1—j=X bkIk. k=1 k=1

Нетрудно видеть, что I1 = E .

Лемма 3. Матрицы Ik при k = 1, p — 1 обладают свойством IkIm = Im, где km приведено по mod p .

Доказательство. В самом деле,

( p—1 ^

Edk.,sdms, j

IkIm =

'i, j=1, p—1

V s=1 Ji

и, следовательно, элемент матрицы IkIm с индексами i и j не равен нулю, если существует такое s e Zp , что ki = s (mod p) и ms = j (mod p). Значит j = kmi (mod p) и поэтому

IkIm ( dkmi, j ) . . \ 7 Ikm .

\ ’J //, j =1, p—1

Определение 7. Пусть v - корень уравнения xp—1 = 1 в поле Zp такой, что для каждого

k = 1,p — 2 верно неравенство vk Ф1 (примитивный корень). Тогда обозначим Jk =(Iv)k . Ясно,

что Jp—1 =( Iv)p—1 = E .

Пусть B e Np . Если обозначить Ck = b^k , то равенство (5) перепишется в виде

p—1

B = £ CkJk .

k=1

Лемма 4. Пусть т - собственное число матрицы Б е Nр . Тогда существует Л - корень уравнения 2Р~1 = 1 в С такой, что верно равенство

р—1

т = I сЛ,

к=1

где коэффициенты Ск определяются из (6). Кроме того, числа вида (7) где Л - произвольный корень уравнения 2Р~1 = 1 являются собственными числами матрицы Б .

Доказательство. Пусть а - некоторый вектор из Ср—1 и

р-]I

Лк-ка

к=1

Тогда верно равенство

b = Ir4a.

p —1 p —1

Jsb = Iі JsJka = Iі Js+k(mod(p—1))a =i b

k=1 k=1

для любого 5 = 1, р — 1. Поэтому, используя (6), запишем

р —1 р —1

БЬ = I с—Ь = I СкЛкЬ =тЬ , к=1 к=1

т.е. т - собственный вектор матрицы Б. Остается доказать, что формула (7) задает все собственные значения матрицы Б . Мы завершим это доказательство после леммы 9.

Следствие. Матрицы Тк, а значит и матрицы 1к являются невырожденными матрицами и

det 1к = det Jk = 1 для к = 1, р —1.

Доказательство. В силу леммы 4 числа т = 1, где 1 - некоторый корень уравнения гр-1 = 1 в С, и только они являются собственными числами матрицы Jk, к = 1, р — 1. Если Яі, і = 1, р — 1 все корни уравнения гр—1 = 1, то

det Jk =п лк=т,

i =1

где jl = 1  1p—1. Используя равенство Xp=1k = 0 (modp) мы получаем ji = 1 и значит det Jk = 1

для k = 1, p — 1. Это означает, что и det Ik = 1.

Лемма 5. Матрицы Ik, а значит и матрицы Jk ортогональны и Jk обладают свойством JkJm = Jk+m , где сумма k + m приведена по mod(p — 1).

Доказательство. Докажем, что IkI* = E , где (at j) =(а л), и черта означает комплексное сопряжение. Это немедленно следует из равенства

4 =(dkj,, )г. j =1^ = )г. j=1^ =(d/k,j )г.;=1^ = Ivk ,

поскольку по лемме 3 IkI1/k = I1 = E . Далее Jk'Jm = (4 )k (4 )m = (Iv )k+m = Jk+m(mod(p—

1))

и значит

поскольку Jp—1 = E, то Jk Jm = E ^ k + m = p — 1 ^ m = p — k — 1 и значит для k = 1, p — 2

Jk"1 = Jk = Jp—k—l.

Лемма 6. Пусть матрица Б принадлежит Nр и записана в виде (6), тогда

* р—2- -

Б = I ср—к—к + cP—(-p—( . к=1

* *

Доказательство. Используя (8) и равенство - 1 = Е = Е = .Т., мы немедленно получаем

р—2_ _ р—2_ _ р—2_ _

В = Е Ск1к + Ср—\,7р—1 = Е сісір—к—! + Ср—\.]р—Х = Е Ср—к—і^к + ср—1'^р—і.

к=1 к=1 к=1

Введем еще один класс матриц при г = 1, р — 1 в виде

к=

Здесь, как и раньше Лг - один из корней уравнения гр—1 = 1 в С. Ясно, что матрицы принадлежат N как линейные комбинации матриц из N и Ф 0 . Пусть Л - примитивный корень

уравнения 2Р~1 = 1 в С, т.е. при к = 1,р — 2 имеем Лк Ф1. Поэтому в формуле (9) можно считать,

что Л1 = Л . Поскольку Л~к =Лк, то (9) можно переписать в виде

1 р—1— к 1 р—1-

« = — II Тк =-----------71Лк-к .

1 к= р—1 к=

р—1 к

Теорема 5. Следующие равенства

^ = 8и Д.

справедливы для г, у = 1, р — 1.

Доказательство. Рассмотрим левую часть (10). Если положить Т0 =( 1п)° = Е, то

і = —1—- Е !р=о Лі кік и с учетом Д Д = Лі—к , после некоторых преобразований будем иметь

1 (р—2 / 2( р—2) р—2 Л

і лі 2 л-* +1 л і, і л—к

V'

I=0 к=0 I=р—1 к=1—р+2 у

откуда, заменяя I — р +1  I во второй внешней сумме, с учетом равенства Тк = Тк+р—1 получим

1 ( р—2 I р—3 р—2 ^

- 2 ' (р — 1)2

іЛ/^ і Л-к + і л; і Л-к

V'=0 к=0 '=0 к='+1 У

и значит, после объединения внутренних сумм будем иметь

1 р—2 , р—2

««У =г~^ £ Л- £ л—У .

( р — 1) /=0 к=0

Исследуем полученное равенство. Используя равенство Лг—. = Лг /Лу-, где Лг фЛ. , т.е. г Ф у получаем

р—22 к Л—р — 1

1—к _ г-у

і д—к =-^—=0. 7 ; 2—1 1

к=0 лі—; — 1

Следовательно (10) верно при г Ф у . Далее, при г = у имеем Л . = Л = 1 и значит

ЕЛ-={ °’1 у ф 7,

к=0 у Iр-1 г = -

откуда получим Б2 = Б. Доказательство завершено.

Обозначим матрицу, транспонированную к матрице А, через А = (а.,) ---.

\ -Ь //, у=(, р —1

Лемма 7. Матрицы « при г = 1,р — 1 эрмитовы, т.е. Б* = Б и при г = 1,р — 2 « = Б —1.

Доказательство. Действительно, для г = 1, р — 1 с учетом того, что Л = Лр—г—1 =Л;- , и равенства (8) запишем

1 р—1 1 р—1

«* = 1 х-1 о к г* _ 1 х-1 о к-

р ^ Е« = ^ Е1к—р+ ір—к—1 = V

р 1 к=1 р 1 к=1

Л,р—к—1і

р-к-1

Аналогично, можно получить

1 р—1 , * 1 р—1

« = -Ц- ич* = -1

р—1 к= __________р_— 1 к=

Теорема 6. Для к = 1, р — 1 справедливы равенства

р-1

-к = I л. б. /=1

р-1 1 р-1

і ич = -Ь е-

1 к=1 р 1 к=1

Лр—і—1ік = —і—1 .

обратные к (9).

Доказательство. Используя определение (9) матриц Б,, равенства (11) и делая некоторые преобразования, получим

р—1 р—1( 1 р—1 Л р—1( 1 р—2 Л р—1

іДкД = і р—гіДк—] і- = і р—гіі і- = і

і=1 і=1 V ^ 1 і=1 У і =1 V Р 1 і=0 У і =1

р-1

= Тад» і.

У = V ^ " г =1 у У =1 V ^ " =0 у У =1

Что и утверждалось.

В дополнение к лемме 7 следует отметить, что матрица Бр—1 состоит из одних чисел р—^ на

всех местах и значит = Б^ . Это следует из следующих равенств:

1

р—1

1

р—1

Ь =-

1

р-1

р-1

кі, І

к=1

1

/і, ]=1, р —1

1 (1)і, ] =1, р—1 ,

если у^СТ^ что і ^ dki(modр),] = 1 для всех і , ] = 1, Г — 1. Лемма 8. Пусть В є Nр , тогда верно равенство

р-1

В = і М-,

і=1

где т - некоторые собственные числа матрицы Б .

Доказательство. Действительно из формул (6) и (7) и теоремы 6 следует представление

р—1 р—1 р—1 р—1

б=Е с—=Е Б. Е СкЛ/к=Е тБ,

к=1

і=1 к =1

і=1

р-1

где т = і с кЛк . Рассмотрим вектор вида Ьі = Да . Для него по теореме 5 выводим

к=1

ДЪ, = ДДа = Да = Ъ, і = = 0, (і ф і).

II II І І 7 11 11 і/ /

Поэтому

р-1

въъ = і т]Д]Ьі =М,

-=1

т.е. т - собственное число матрицы В, а Ъ і - собственный вектор, отвечающий ему.

Ясно, что матрицы Д,..., Др—1 линейно независимы поскольку из равенства а1Д1 +... + ар—1 Др—1 = 0 после умножения на Д по теореме 5 вытекает, что аіДі = 0 ^ щ = 0 . Значит, по лемме 2 Д1,... Др—1 базис в N . Используя этот базис, мы можем легко выписать произведение матриц из Nр .

Теорема 7. Пусть т(і),"-,трі——1 - собственные числа матриц Ві из теоремы 3. Если положим

р-1

У,

=П(т‘,!>)'

і=1

то справедливы равенства

( р—1 Л

т(к) _

іуД

& (п р) =

V і=1 ук,«

Доказательство. Нетрудно видеть, что, используя (13) и теорему 5, мы можем получить

2 2 2 р—1 п

в2 =(т»д +...+,^1) =(т1») д + • +(щ“) Др—1 ^вп = IЩ)Ч.

]=1

Поэтому, равенство (4) преобразуется в (15) и доказательство завершено.

Заметим, что из равенства (1) следует, что У, = щ(аг).

Лемма 9. Любой собственный вектор Ъ матрицы В є Nр , отвечающий собственному значению т, может быть записан в виде

Ъ = I І ,

(Пт,=т

где сі є Ср—1 и суммирование ведется по таким ], что щ, = т .

Доказательство. Пусть Ьі - собственный вектор матрицы В є Nр , отвечающий собственному значению т. Действуя матрицей Д на равенство ВЬІ = црі, используя (13) из леммы 8 и теорему 5, получим Щ^ДЪ = МДцЬі . Если здесь т Ф Щ, то ДА = 0 . Теперь, используя равенство Е = Д +----+ Др—1, которое следует из леммы 8, при В = Е (щі = 1) получаем представление (16):

Ъ = ЕЪ, = (Д + ••• + Др—1)Ьі = I(])] .

Далее рассмотрим некоторый вектор с є Ср—1. В силу представления (13) имеем ВДіс = щДіс и значит вектор Діс - собственный вектор В, отвечающий собственному числу щ , т.е. правая часть (16) при любых с, є Ср—1 - собственный вектор, отвечающий щі .

Продолжение доказательства леммы 4. Возьмем с є Ср—1 такое, что "к, Дкс Ф 0. Это возможно, например, для с = (1,0,... ,0). Выше мы видели, что вектор ск = Дкс - собственный вектор матрицы В є Nр , отвечающий собственному числу [1к, определяемому из (7) при Л = Лк . По выбору с он ненулевой. Докажем, что вектора ск Ф 0 при к = 1,р — 1 линейно независимы. Действительно, если числа 81,...5р—1 є С не все равные нулю и такие, что д1с1 +------+ др—1с р—1 = 0, то

действуя на это равенство матрицей Д., получаем д^к = 0 и значит дк = 0 . Противоречие. Значит вектора ск Ф 0 при к = 1, р — 1 образуют базис в Ср—1. Если щ Ф 0 - некоторое собственное число матрицы В є Nр , а с - собственный вектор, то

с = д1с1 + + др—1ср—1 ^ щс = д1Щ1с1 + + др—1Щр—1ср—1 ^ с = д1 щщ с1 + + др—1 щ ср—1

и в силу единственности разложения с по базису при дк Ф 0 имеем щ = щк. Наконец, если "к, Щк Ф 0, то матрица В є Nр не может иметь собственное число щ = 0, поскольку из формулы выше в этом случае следует, что Вс = 0 ^ с = 0.

Лемма 10. Если щі Ф 0 для і = 1, р — 1 (см. (7)), то матрица В є N имеет обратную, записываемую в виде

р—1

В—1 = £ Щі—1Ді . і=1

Доказательство. Согласно лемме 8, теореме 5 и равенству Е = Д +----+ Др—1, имеем

р —1 р —1 р —1 р —1

ВIЩ—Д = IЩДIЩ—Д = IД = Е .

і=1 і=1 і=1 і=1

Лемма доказана.

Теперь мы можем применить полученные свойства матриц из Np к вычислению gf ^(n, p) для p = 7 . Следует отметить, что в [6] эта проблема была рассмотрена для p = 3 и p = 5 . Прежде чем сделать это докажем еще одно интересное свойство биномиальных коэффициентов, вытекающее из теоремы 2.

Теорема 8. [Люка] Пусть n > m > 0 целые. Если n = (ar,...,a0)p и m = (br,...,b0)p являются p -арным представлением чисел n и m , то верно равенство

Cm = CX -^(modp),

где следует считать, что C = 0 при j > i.

Доказательство. Используя теорему 2, запишем равенство

Д(1) =Д(1) =Д(1)* Д

pr+1 ^p - Ap Аpr ,

которое означает, что n -я строка треугольника Д(1))+1 находится в ar -й строке треугольника Д(р , состоящего из треугольников Д(^, k = 1, p — 1, а элемент с номером m в этой строке нахо-у p дится на br -м месте в строке с номером ar треугольника Д(^) (см. пример 3). Нумерация строк начинается тоже с нуля. Таким образом, элемент в n -й строке, на m -м месте треугольника Д(1)+1 , обозначим его (n, m), должен быть в треугольнике вида Cbr (mod p) • Д(1) и находиться там

p ar p

в строке с номером n(1) = (ar—1,...,a0)p на месте с номером m(1) = (br—1,...,b0)p . Если окажется, что ar—1 < br—1, то элемент (n, m) попадет в пространство между соседними треугольниками вида Д(к), составляющими Д(1, которое заполнено нулями. Таким образом получим,

pr

(n, m) е Cbr -Cbr—k+1 (mod p) • Д(1)—k+j и находится там в n(k) -й строке на m(k) -м месте, где

ar ar—k+1 pr—k+1

n(k) ° (ar—k,...,a0)p (это будет при ar—i >br—i), либо (n,m) попадет в пространство, заполненное нулями, и значит C% = 0(mod p). Отсюда при k = r с учетом того, что элемент треугольника Д в a0 -й строке на b0 -м месте равен C^ (mod p), получим доказываемую формулу.

Пример 4. Вычислим Cl38(mod7). Нетрудно подсчитать, что 68 = 72 + 2 • 7 + 5 = (125)7 . Значит, по теореме 8 имеем C68 = C10C20C5 = 10 = 3(mod7).

4. Вычисление gS,k )

Чтобы вычислить gS,kk)(n,7), в соответствии с теоремой 7, необходимо исследовать треугольники ДТ^для k = 1,6 . Треугольник Д71) имеет вид

1

1 1

1 2 1

13 3 1

1 4 6 4 1

1 5 3 3 5 1 16 16 16 1

Если мы умножим каждый элемент треугольника Д71 на k в Z7, то мы получим Д^^^. Например треугольник д73) имеет вид

з

з з

3 6 3

3 2 2 3

3 5 4 5 3

3 12 2 13

3 4 3 4 3 4 3

Теперь нам необходимо найти матрицы Бк для к = 0,6 . Возьмем, например, 4-ю строку треугольников , которая дает нам матрицу В4 (нумерация начинается с нуля). 4-я строка треугольника а71) имеет вид (1,4,6,4,1). Поскольку числа 1 и 4 встречаются дважды, а число 6 встречается один раз, то первая строка матрицы В4 имеет вид (2,0,0,2,0,1). Если мы хотим подсчитать 3-ю строку матрицы Б4 , то надо взять 4-ю строку треугольника А(73) , которая дает нам

желаемый результат (0,0,2,1,2,0). Таким образо м, мы можем подсчитать все матрицы Бк при

к = 0,6. Чтобы записать наши вычисления воспользуемся матрицами •к, к = 1,6. Найдем матри-

цу ". В нашем случае V = 3 потому, что для всякого к = 1,5 верно неравенство 3к Ф 1

(см. определение 7). Поэтому

' 0 0 1 0 0 0 ^

0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0

• = !3 =

0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0

V 0 0 0 1 0 0)

Теперь мы можем записать:

Б0 = ^6,

Б = 2 Л,

В2 = "2 + 2 • ,

Б3 = 2 "Л + 2 • ,

Б6 =3 "3+4•6

Используя обозначения теоремы 7, формулы (7) и (17), для каждого к = 1,6 найдем:

т=2, т2)=д+2, т=21+2, т4)=13+214+2,

Мк5) = 2 (Дк +15 +1), Мк6) = 31к + 4.

Предположим, что число к = 1,6 содержится в записи числа (п)7 всего щ раз. Тогда, согласно (14) имеем ок =(т(к> )П •••(ткб)) 6 и значит, учитывая что 1к = ехр(ікр/3) (здесь і2 =-1), будем иметь (о1 вычислено подробно):

' ’ .л/3ЛП2

О = 2п

2-----+ і —

2 2

(2 +1 + іл/3)П3 (2 -1 -1 - іл/3)П4 (1 + ^^л/3 +1 - і>/3 + 2)П5 х

(-3 + 4)Пб = 2П1-П2 (3 + і,/!)П2 П3 (-і л/3)П4 4П5,

о2 = 2п1-п2 (3 - іТ3)П2 (1 + іл/3)П3 (2 + л/э )П4 (21, + 214 + 2)п5 7П6,

о6 = 2п13п24п35п46п57п6,

(Г3 = (_1)"5 2П1+П53П2+«4 (2Лз + 2)«3, (Т4 = а2, &5 =(

где черта означает комплексное сопряжение. Здесь, как нетрудно видеть, 2Л2 + 214 + 2 = 0 и

2Д + 2 = 0 . Если, например п5 Ф 0, т.е. в записи числа (п)7 есть хотя бы одна пятерка, то <г2 = 0 .

Чтобы воспользоваться формулой (15) из теоремы 7 нам нужны матрицы 8к (к = 1,6). В соответствии с (9') матрицы Д и Б2 имеют вид:

' 1 12 11 12 11 -п ' 1 12 12 12 12 1 '

1 1 11 12 -1 11 12 1 12 12 1 12

1 1 1 1 -1 12 12 , «2 = ^ 12 12 1 1 12 12

6 1 12 -1 1 11 11 26 12 12 1 1 12 12

-1 12 11 1 12 12 1 12 12 1 12

V-1 11 12 11 12 1 V1 12 12 12 12 1 )

Далее, если обозначить к -ю строку матрицы «3 через («3 )к, тогда будем иметь

(«3 )1 =( «3 )2 =-( «3 )3 =( «3 )4 =-( «3 )5 =-( «3 )6 = ^(1-1.-1.1.-1.-1).

Кроме этого из леммы 7 вытекает, что «4 = «2 , «5 = «1 , «6 = 1 / 6(1)і ^.=—. Теперь из (15), учитывая (18), легко получаем:

^1(1)(п,7) = 1/6 (2Яе(а1 +о2) + о3 +о6),

^21}(«,7) = 1/6 (2Яе(14а1 +І202) + о3 +о6), g3(1)(n,7) = 1/6 (2Яе(15а1 + 14о2) -о3 +о6),

^41}(п,7) = 1/6 (2Яе(12о1 +14о2) + о3 +о6), g5ї)(n,7) = 1/6 (2Яе(До1 +12о2)-о3 +о6), g6ї)(n,7) = 1/6 (2Яе(-о + 02) -03 + 06),

Полученные равенства справедливы только если п3 = п5 = 0 , поскольку 212 + 214 + 2 = 0 и 213 + 2 = 0 . Если п3 Ф 0 и п5 = 0, то в (19) надо считать о3 = 0 . Если п3 = 0 и п5 Ф 0, то в (19) надо считать, что 02 = 0 . Наконец, если п3 Ф 0 и п5 Ф 0, то 02 = 03 = 0 . Во всех других случаях, кроме указанных выше, надо пользоваться формулами (18).

5. Заключение

Отметим три простых свойства чисел gS,k^(п, р). Рассмотрим две строки треугольника Паскаля с номерами (п)р и (т)р . Первое, если числа (п)р и (т)р содержат в их записи одно и то

же число цифр 1,2,.,р-1 исключая 0, то gf )(п,р) = gS,k)(т,р) для всех 5 и к . Это так, поскольку в (4) Б0 = Е. Второе, если число (п)р содержит цифру 1 на I штук больше, чем число

(т)р , то gf )(п, р) = 21 gS,k)(т, р) для всех 5 и к . Это так, поскольку в (4) Б1 = 2Е для любого р . Третье, если число (п) р в своей записи содержит только цифры 0 и р -1 , то строка треугольника Паскаля с номером (п)р не содержит чисел 2,.,р - 2, т.е. gS1)(n,р) = 0 при 5 = 2,.,р - 2. Это так, поскольку в формуле (4) будет присутствовать только степень матрицы Бр-1 , которая является суммой диагональной матрицы и косодиагональной матрицы:

2

2

Поскольку Е = Е, то степень матрицы Бр-1 обладает такой же структурой, а значит

(Бкр-1) = 0 при 5 = 2,.,р - 2. Для доказательства (20) рассмотрим последнюю строку тре' '1,5

угольника А(р1-1. Нетрудно получить равенство (к + 1)Ср- = (р - к - 1)Скр-1, из которого следует,

что (к +1) (Ср^ + ЄІр_1) = 0(шо<і р) ^ Ср- + С^_1 = 0(mod р). Так как С°р-1 = 1, то С^_1 = р -1 и значит С2р-1 = 1 и т.д. В последней строке треугольника Ар^ идет чередование чисел 1 и р -1, причем единиц на одну больше. В последней строке треугольника Ар- будут только числа

pp +1 2

2 1 = 2 и 2 • (р — 1) = р — 2 и значит на втором месте во второй строке Вр—1 будет —-—, а в пред-Р — 1

последней строке —-— и т.д. Формула (20) доказана.

Литература

1. Bondarenko, B.A. Generalized Pascal Triangles and Pyramids: Their Fractals, Graphs and Applications / B.A. Bondarenko; пер. с рус.; под ред. RX. Bollinger. - Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, 1993.

2. Karachik, V.V. Distribution of Eulerian and Stirling numbers mod m in arithmetical triangles / V.V. Karachik, B.A. Bondarenko // Вопросы вычислительной и прикладной математики. - 1996. -Issue 102. - P. 133-140.

3. Karachik, V.V. P-latin matrices and Pascal's triangle modulo a prime / V.V. Karachik // The Fibonacci Quarterly. - 1996. - Vol. 34, № 4. - P. 362-372.

4. Карачик, В.В. Свойства ноpмализованных p -латинских матpиц / В.В. Карачик // Узбекский журнал «Проблемы информатики и энергетики». - 1992. - № 5-6. - C. 9-14.

5. Denes, J. Latin Squares and Their Applications / J. Denes, A.D. Keedwell. - Budapest: Akad. Kiado, 1974. - 547 p.

6. Hexel, E. Counting Residues Modulo a Prime in Pascal's Triangle / E. Hexel, H. Sachs // Indian J. Math. - 1978. - Vol. 20, № 2. - P. 91-105.

Поступила в редакцию 17 апреля 2012 г.

PASCAL’S TRIANGLE AND p -LATIN MATRICES

V.V. Karachik

Properties of a special class of matrices arising in the analysis of binominal coefficients distribution in terms of a prime number modulus are considered. Formulae of elements distribution in the row of Pascal’s triangle in terms of a prime number modulus are obtained.

Keywords: Pascal’s triangle, latin matrices, binominal coefficient.

References

1. Bondarenko B.A. Generalized Pascal Triangles and Pyramids: Their Fractals, Graphs and Applications. Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, 1993.

2. Karachik V.V., Bondarenko B.A. Distribution of Eulerian and Stirling numbers mod m in arithmetical triangles. Vopposy vychislitel'noi i ppikladnoi matematiki. 1996. Issue 102. pp. 133-140. (in Russ.).

3. Karachik V.V. P-latin matrices and Pascal's triangle modulo a prime. The Fibonacci Quarterly. 1996. Vol. 34, no. 4. pp. 362-372.

4. Karachik V.V. Svoistva nopmalizovannykh p -latinskikh matpits (Properties of Standardized p-Latin Matrices). Uzbekskii zhurnal «Problemy informatiki i energetiki». 1992. no. 5-6. pp. 9-14. (in Russ).

5. Denes J., Keedwell A.D. Latin Squares and Their Applications. Budapest: Akad. Kiado, 1974. 547 p.

6. Hexel E., Sachs H. Counting Residues Modulo a Prime in Pascal's Triangle. Indian J. Math. 1978. Vol. 20, no. 2. pp. 91-105.

1 Karachik Valeriy Valentinovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Head of Differential equations and Dynamical Systems Department, South Ural State University.