Условие появления пластических деформаций при закритическом сжатии цилиндров

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 164-168 ^ Механика

V. 1К 539.3

Условие появления пластических деформаций при закритическом сжатии цилиндров *

Д. В. Христич

Аннотация. Проводится анализ изгиба без обжатия изотропного сплошного цилиндра под действием продольной силы. При описании деформаций учитывается геометрическая нелинейность. Получено соотношение, определяющее границы пластической области в осевом сечении цилиндра при продолжении нагружения после потери устойчивости.

Ключевые слова: изгиб, сплошной цилиндр, пластические деформации, устойчивость.

В технологическом процессе электроэрозионного микроформообразования используются электроды-инструменты, представляющие собой сплошные цилиндры, у которых длина значительно больше диаметра. При получении длинных узких отверстий электроды-инструменты могут терять устойчивость, что предусмотрено технологическим процессом. При этом пластические деформации являются недопустимыми. В связи с этим целью работы является определение условий, при которых в закритически сжатом цилиндре возникнут пластические деформации.

Рассматривается изотропный сплошной круговой цилиндр постоянного сечения диаметра <1 и длины 1о, моделирующий проволочный электрод-инструмент для электроэрозионного микроформообразования.

Концы цилиндра закреплены так, что его поперечные сечения на торцах не перемещаются перпендикулярно оси цилиндра и не поворачиваются. При этом закрепление одного конца допускает возможность его перемещения вдоль оси.

Цилиндр нагружен сжимающей вертикальной нагрузкой У = /*•>- равномерно распределенной по верхнему торцу. Боковая поверхность не нагружена. Процесс деформирования цилиндра считается квазистатическим, поэтому силы инерции не учитываются.

* Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (проект НК-14П(6)).

В силу симметрии цилиндра относительно срединной ПЛОСКОСТИ Х3 — О вектор перемещений точек цилиндра имеет вид

и

U\e\ + U2e2-

При описании поля перемещений точек срединной плоскости используется обобщенная гипотеза Кирхгофа-Лява [1], согласно которой материальные волокна Э1 dx1 и Э2 dx2 в точках срединной линии xi = 0 остаются перпендикулярными. При этом материальные волокна Х2 = const остаются прямыми в процессе деформации (рисунок). Такая гипотеза позволяет выразить поле перемещений точек срединной ПЛОСКОСТИ В виде функции ОТ координаты Х2, исключив xi. Изгиб цилиндра рассматривается без учета его обжатия, то есть предполагается, что длина срединной линии не изменяется.

Схема деформирования цилиндра

Ранее в работах [2, 3] была выполнена математическая постановка задачи об изгибе изотропного сплошного кругового цилиндра, и на основе принципа возможных перемещений Лагранжа было получено вариационное условие равновесия цилиндра в виде

2

- 1

а,

S

1

Е

1 - XI

d(p dx 2

d(p

xi [ xi —-1 ) S——dSdx2 —

dx 2 ) dx 2

JJ F\ ^<5 J sin ip{x2)dx2 — x\ sin (p5(p s

F2 J COS ip{x2)dx2 — Xl COS (p5(fi

+

dS,

где і*!, F2 — компоненты вектора распределенной внешней нагрузки і*7, Е — модуль Юнга; Б — площадь поперечного сечения цилиндра; <р — угол поворота поперечного сечения цилиндра.

Рассматриваемой схеме нагружения цилиндра с зажатыми торцами соответствуют граничные условия

Х2 = 0 : «1 = 0, (р = 0, «2 = 0; . .

*2 = к  «1 = 0, <р = 0, /-2 = — У.

Кинематическим граничным условиям удовлетворяет зависимость угла (р поворота поперечного сечения цилиндра от продольной координаты Х2 в виде

¥>

к

Подстановка функции (4) в вариационное уравнение (2) позволяет найти зависимость амплитуды А угла поворота поперечного сечения цилиндра от суммарной внешней нагрузки Р = і*1 Б на торце цилиндра:

^ ^ °\/ ЗЕтг5(16 + ШР$' ^

Из этого соотношения можно выразить внешнюю нагрузку Р на торце цилиндра через амплитуду А угла поворота поперечного сечения цилиндра:

ЕпЧ*(ЗпЧ* + 8

16/4(8 -А2) '

По известной величине А и зависимости (4) можно определить ненулевые компоненты [2, 3] тензора деформаций Коши и энергетического тензора напряжений, связанного с тензором деформаций тензорно-линейным неогу-ковским уравнением состояния изотропного упругого тела:

Е

Т22 = Ее 22 = 7Г

&Ч> V

Х1 ГІХ2 )

пгп (7Г2Х? о 2 27ГХ2 7ГХ1 27ГХ2 \ ,_ч

= 2Е I —сое —--------------—А сон —-— I .

\ Щ к к к )

При использовании электрода-инструмента в технологическом процессе микроформообразования необходимо, чтобы рассматриваемый цилиндрический инструмент деформировался только упруго, то есть чтобы напряжения в нем по абсолютной величине были меньше предела текучести: < <гу.

Исследование функции двух переменных Т22(х1,Х2) (7) в области — | ^ XI ^ 0 ^ Х2 ^ к, занимаемой осевым сечением цилиндра, показывает, что

функция (5) достигает своего наибольшего значения в точках с координатами А\{— ?[;0), ^2 (— |;^о), ^3 Первые две точки являются угловыми

точками с левой стороны осевого сечения изгибаемого цилиндра (см. рисунок), третья точка находится на середине длины с правой стороны осевого сечения. Значение напряжения в этих точках

Приравнивая это значение пределу текучести ау, получим квадратное уравнение для определения соответствующей величины амплитуды угла поворота поперечного сечения цилиндра:

7Г

2сР .о тгй

А2+ '—А - ^ = 0.

2120 10 Е

Корни этого уравнения всегда действительные. Положительный корень, соответствующий выбранному направлению изгиба цилиндра,

А>=^{г+2^-

Подставляя это значение амплитуды в выражение внешней нагрузки (6), получим предельно допустимое значение внешней силы, при превышении которого в цилиндре начинаются пластические деформации:

Р. = Р

2(7

~Ё

у

Дальнейшее исследование функции 722(х1,Х2) (7), описывающей распределение напряжений в осевом сечении цилиндра, позволяет найти условие, определяющее положение границы пластической области, возникающей в осевом сечении цилиндра при увеличении внешней силы свыше (8). Это условие

имеет вид _________

7ГХ1 2-7ГХ2 1 / Г 2

- А сое = — ( 1 — Л/1 +

¿о /о 2 \ V Е

Подставляя в это условие выражение А(Р) (5), получим

2тгх2 1 / Г 2стТ\ /3£тг5й6 + 32Р/1 , .

Х1СО,1— = ^{1-Г + -^)]1 ШРЧ-ЕМ-

Соотношение (9) связывает координаты точек в области — | ^ хх ^

0 ^ х2 ^ к, занимаемой осевым сечением цилиндра, в которых при заданной осевой силе Р начинаются пластические деформации. Это соотношение позволяет проследить за развитием пластической области в цилиндре при закритическом нагружении. Для этого нужно, последовательно (по шагам) увеличивая значение силы Р, определять границы пластической области.

Список литературы

1. Маркин A.A., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.

2. Христич Д.В., Комолова Е.Д., Екатериничев А.Л. Определение напряженно-деформированного состояния в изгибаемых телах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2007. Вып. 1. С. 98-111.

3. Христич Д. В. Определение напряженно-деформированного состояния в симметричных упругих телах при изгибе // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2007. Вып. 3. С. 198-204.

Поступило 11.10.2009

Христич Дмитрий Викторович (dmitro@tula.net), к. ф.-м. н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Condition of plastic deformations appearance at aftercritical cylinders compression

D. V. Khristich

Abstract. An analysis of isotropic solid cylinder bending without squeeze under longitudunal force action is carried out. At deformation description a geometric nonlinearity is taken into account. A relation defining plastic domain bounds in the axial cross-section of the cylinder at loading, which continues after loss of stability, is obtained.

Keywords: bending, solid cylinder, plastic deformations, stability.

Khristich Dmitry (dmitro@tula.net), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.