О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

УДК 517.95

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ И НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЗВЕЗДНЫХ ОБЛАСТЯХ Т. В. Капицына

Аннотация. Устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка в звездной области с боковой границей, принадлежащей классу X > 0, вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа Ь2.

Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Рисса и Литтлвуда и Пэли, в которых даются критерии предельных значений в Ьр, р > 1, аналитических в единичном круге функций. Эта тематика для равномерно эллиптических уравнений развивалась в работах В. П. Михайлова и А. К. Гущина. Как было показано И. М. Петрушко, условие гладкости границы (дQ € С2) можно ослабить. При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах А. К. Гущина. При этом все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса и Литтлвуда — Пэли.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.100.20551

Ключевые слова: вырождающиеся параболические уравнения, функциональные пространства, первая смешанная задача, граничные и начальные значения решений, априорные оценки.

Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Трикоми [1], М. В. Келдыша [2], А. В. Бицадзе [3], С. А. Терсенова [4], И. М. Петрушко [5] и др. Дальнейшее развитие рассматриваемой в данной работе тематики для равномерно эллиптических уравнений

© 2018 Капицына Т. В.

получило в работах [6-8]. Условие гладкости границы (dQ £ С2) можно ослабить (см. [9]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах [10-12]. При этом, как показано в [12], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [13] и Литтлвуда — Пэли [14,15].

Пусть область Q, граница которой принадлежит классу С1+л, 0 < А < 1, строго звездная относительно некоторой точки. Не умаляя общности, можно считать, что начало координат содержится в Q и область Q строго звездна относительно начала координат. Для краткости такую область будем называть просто звездной. В этом случае границу dQ области Q можно задать уравнением

где F(ж) — положительная однородная функция нулевой степени:

dQ = {|ж| = F (ж)}. Область Q при этом задается неравенством

Q = {|ж| < F(ж)}. Обозначим через Q^, 0 <5 < ¿о, подобласть области Q: Q* = {|ж| < (1 - 5)F(ж)},

с границей dQ* = {|ж| = (1 — ¿)F(ж)} и наряду с расстоянием г(ж) = min |ж — y|,

yeOQ

ж £ Q, будем рассматривать расстояние

( \ л И

удовлетворяющее для всех ж £ Q неравенствам

Y— 1г

с постоянной Y2 > 0.

Решение задачи Аи = -1, х € (, и|дд = 0 будем обозначать через р(х). Как известно [13], функция р(х) принадлежит С 1+А(0 и существует такая постоянная 71 > 0, что для всех х € ( выполняются неравенства

7—1г1(х) < р(х) < г1(х).

Обозначим через (т цилиндр Q х (0, Т). Рассмотрим в (т уравнение

д п п

Ьи= — ~ +^аг

¿,^ = 1 ¿=1

с вещественными коэффициентами а^, ai, а, принадлежащими C1(Q ).

Уравнение (1) будем предполагать параболическим в QT, т. е. для любой точки x G Qs, S G (0, <5o], и для любых t G [0,T] существует ys > 0, ys ^ 0 при S ^ +0, такая, что для всех £ = (£1;..., £n) G R

n

Ф(х,£^)= Ç (x,t)£i£j > Ys|£|2. i,j=1

Для (xo,t) G dQ x (0,T) квадратичная форма вырождается, т. е.

n

Ф(хо, t) = av(xo,t)£i£j > 0.

i,j=1

Однако будем предполагать, что существует такая постоянная y0 > 0, что для всех

n

Y0 < aij(xo,tMv, < (Y0)-1, i,j=1

где v(xo) — вектор внешней по отношению к Q единичной нормали к поверхности dQ в точке xo.

Будем предполагать, что правая часть уравнения (1) f (x, t) принадлежит

L2(QT ,r2).

Определение 1. Функцию u

-щг + aljUXinXj ajUXin +

ij=1 i=1

dxdt =

Q

J fndxdt.

Будем говорить, что функция ш(х, £) финитна по х в (т, если существует область С, строго лежащая в (, такая, что ш(х,£) = 0 вне С .

Предположим, что функция и(х,£), определенная в (т, является обобщенным решением уравнения (1) из ^21,0с((т). Тогда в силу ограничений на коэффициенты уравнения (1) для любой функции ш(х, £) € ^г21((т), финитной по х,

для любого ¡3 £ (0, ¿о) и для любого Т' £ ,Т) в имеет место равенство /и(ж,ТТ') ^ -/ и(ж,в)п(ж,в) ¿ж

+

в Я

-ищ + а^их,Пх3- + ^ а^и^,П + аип ¿^'=1 ¿=1

= у j

в Я

Так как уравнение (1) параболическое в , справедлива следующая

Лемма 1. Пусть и(ж,£) — обобщенное решение из ) уравнения

(1), правая часть которого /(ж, £) принадлежит Ь2(^т,г2). Тогда для любых 6, ¡3 £ (0, ¿о) и для любого Т' £ Т) справедливо равенство

! и2

т' п т' п

+ ¡1 ^ aljuXiuXjp ¿хЛ - J /Е^

Ь3=1

в Я* т'

т' п т' п

\JJj2 // Й {а^рХг)хи2 (1,Х(И

в ЯП« г>^'=1 в Я« г>^'=1

в Я* т'

2 J J —и2 <1х<И + J ! аи2р —- | ¿жсЙ

в Я* г=1 х в Я*

т'

/ир

в Я*

Пусть Т' € (|,Т) и ¿,/3 е (0, ¿о]. Обозначим

Мй,в (и) = тах

J ! и2 (Ы£ + !

¿ж

т' п

Щ/з(и) = J J а^и^и^р ЛхМ + J и2(х,Т')р

в пг г.^'=1 пг

¿ж.

в Я* Я*

Аналогично леммам 2-5 из [5] с учетом того, что р = 2, легко доказываются следующие леммы.

Лемма 2. Пусть и(ж,£) — обобщенное решение из ^21,0с(^т) уравнения (1), правая часть которого /(ж, £) € Ь2(^т, г2). Тогда для любых в € (0, ¿о) и

1

2

для любого Т' £ справедливы оценки

MSe (u) < Ci

lL2

+

в Qi

рШ

1—у dxdt + N¿,0

T

N5,e(u)+ J J

u p

1- 5

dxdt < C2

в Q!

+ M5,e

lL2

+

f, QS p

1-\

II N,0 (u

11/2

+

T'

L/3 Qi

1-A'

1/2

Лемма 3. Пусть и(х,£) — обобщенное решение из ^21,Ос((т) уравнения (1). Тогда для любого е > 0 найдется такое 52, зависящее от е, что

т'

в Qi/Qi2

1-A

7 dxdt < е

т'

L2(QT ) + (U) +

в Qi2

рШ

1-A

- dxdt

Лемма 4. Пусть и(х,4) — обобщенное решение из ^21,Ос((т) уравнения (1), правая часть которого /(х, £) € Ь2((т, г2). Тогда для любых 5, в € (0, ¿о) и для любого Т' £ справедлива оценка

т'

+ 11 п2р ¿хМ<С3[\\/\\12(цТ)+Ъ,р(и)].

в

Лемма 5. Пусть и(х,4) — обобщенное решение из ^2ос((т ) уравнения (1), правая часть котор ого / (х, £) € Ь2((т, г2). Тогда для любых 5, в € (0, ¿о) и для любого Т' £ Т) справедлива оценка

т'

(u)+ У У

up

1 - 5

в Qi

< C4 [||f y^2(QT) + ||u|L2(aQi x (в,Т') + |u(x,e )|L2(Qi )] •

Для любой функции u(x, t) G W21,0c(QT) функция M^ (u) непрерывна по 5 G (0,5o/2). Будем говорить, что функция u(x,t) принадлежит классу H2, если

sup (u) < те.

5е

2

u

2

2

x

u

2

2

u

2

2

u

u

x

Теорема 1. Для того чтобы обобщенное из ^г21,°с(^т) решение и(ж,£) уравнения (1) принадлежало классу Н2, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло неравенству

т' п

J ! ау иЖз-г(ж) + J и2(ж,Т')г(ж) ¿ж < то. в Я г'у=1 Я

Доказательство. Необходимость следует из леммы 5, а достаточность — из леммы 4.

Будем говорить, что функция и(ж, £) € ^21,0°с (^т) принимает граничное значение

и1дЯх

в смысле Ь2, если

lim I I [u

в^+о в

Будем также говорить, что принадлежащая W2j°c(QT) функция и(ж, t) удовлетворяет начальному условию

u|t=o = ио

в смысле L2 с весом г(ж), если

lim / [и

ä^+о,J в^+о Qi

Определение 2. Принадлежащая W21¡0c(QT) функция и(ж,4) называется обобщенным из W2j°c(QT) решением первой смешанной задачи (1), (5), (7) с f (ж, t) £ L2(QT, r2), если она удовлетворяет интегральному тождеству (2) для всех финитных в QT функций п(ж^) £ W2(QT) и удовлетворяет граничному и начальному условиям (5), (7) в смысле равенств (6), (8).

Теорема 2. При любых ^ £ L2(dQ х (0,T)), ио(ж) £ L2(Q,r) и любой f (ж, t) £ L2(QT, r2) первая смешанная задача (1), (5), (7) имеет обобщенное решение из W2;Oc(QT). Это решение единственное и для него справедлива оценка

2 loc V

T

/и

и2(ж,Т)г(ж) ¿ж

о Q l'j=1 Q lj=1

+ ОМ^^хф.Т)) + IkMIlL^r)]

IIIUIIr_ х(о T)) + Ци(ж,0)|'2

5е

T

+ J J U2(ж, t)r(ж) dcdt < C(llf 11L2(QT,r2) + IMILoQx^T)) + IKIlL2(Q,r)) . (9) о Q

Доказательство. Докажем вначале справедливость для обобщенного из

(дт) решения (1), (5), (7) оценки (9). Пусть и(ж, £) — обобщенное из ) решение задачи (1), (5), (7). В си-

лу (6), (8) имеем

т т

Ит / / и2 = / / и2

и

5^+0

о я

Ит / и2(ж, ( -- \ йх = I и2р(а

\1 - 5/ 1

Я

и2(х, 6)р I --- ) ¿Х = I и2р(х) <1X,

следовательно, функция и(ж,£) принадлежит классу Н2 и в силу теоремы 1

п '

для любого Т' € (I",?1] функция ^ р(ж) интегрируема по . На

¿,¿=1

основании теоремы Лебега при 5 ^ +0

т' п т' п

ацих^х1р ^^¡-^Ц^ ^ У У ^ ацих^х1р{х) г1хгМ. 5 Я£ ¿'¿ = 1 о Я ¿'¿=1

Аналогично

т' т'

и2р -—> У У и2р{х) йх<И при 5 —> +0,

5 Я! 0 Я

т' т'

и2 [ ¡' и2

-:-гт йх<И -:-Г7 С1,ХСИ При (5 —> +0.

<5 Я£ о <э

Следовательно, можно перейти к пределу при 5 ^ +0 в неравенствах лемм 2, 3. В результате получим неравенство

т' п т'

йг^-иХз-р

о Я ¿'¿=1 0 Я

< с(II/НыяТ,г2) + 11^У12(аЯх(0,т)) + 1Ы1£2(Я,г)), из которого следует оценка (9).

Перейдем к доказательству существования решения. Возьмем произвольные функции ^ е ^(дф х (0, Т)), из(ж) е ¿2(Ф,г) и /(ж, £) е ¿2(фт,г2).

Пусть {^т} — некоторая последовательность функций из С2(д^ х [0,Т]), сходящаяся в х (0,Т)) к функции ^(ж, £):

У^т - ^|Ь2

и пусть {ит} — некоторая последовательность функций из С1^), сходящаяся в Ь2(^,г) к функции и0(ж):

||ит - и0|ь2(я,г) ^ 0 при 5 ^ +0.

Пусть, кроме того, {/п} — некоторая последовательность функций из С1 ((т), сходящаяся в Ь2((т,г2) к функции /(х,£):

/ - /Нь2

Обозначим через ит(х,£) решение из ) задачи

1 п п

щ--А и - ^ + +аи = ¡т(х,Ь),

= 1 ¿=1

и|90х(0,т) = ^т, И^=0 = Ит.

Для ит(х, ¿) справедлива оценка

— J |Уит|2г(ж) ¿хсИ + J а^итх^тх.г(х) ¿,х<И + J \ит\2г(х) ¿хсИ 0Т 0Т г'^=1 0Т

+ Д+0 М<5 (ит) < С [У/тУь2(дт ,г2) + || У ^ (90 х (0,т)) + НИЗтН^.г)] ,

из которой следует неравенство (9). Стало быть, последовательность {ит} сходится к некоторой функции и(х, £) в гильбертовом пространстве В с нормой

J иХз-г

г'^'=1 дт

+ тах I / / Ы2 ¿всП + / Ы2р [-- ] ¿ж

5е[0,5о]\У У У \1 - 5/ ,

^ 90?.

и тем самым, для любой ( С ( и для любого 5 € (0, 5о) последовательность {ит} сходится к функции и(х,£) в Ж^С х (5, Т')). Таким образом, функция и(х, ¿) является обобщенным решением уравнения (1) из ^г21,°с((т).

Покажем теперь, что и(х,£) удовлетворяет граничным условиям (5), (7) в смысле равенств (6), (8). Так как для любого 5 € (0, 50) т'

|и((1 — 5)х, £) — ^(х, £)|2 ^^ т'

|И((1 - 5)х, - Ит((1 - 5)х, £)|2 ^

5 90 т'

+ !! |Ит((1 - 5)х,4) - ^т (х, £)|2 5 90

т'

5 90

0

из неравенства (12) следует равенство (6).

Аналогично показывается, что функция и(ж, г) стремится к начальной функции «а (ж) в смысле равенства (8). Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Если обобщенное решение уравнения (1) из ^г21,°С(^т) принадлежит классу Н2, то оно имеет предел в ¿2 на границе д^ х (0, Т) и имеет предел при г ^ 0 в ¿2 с весом г (ж), т. е. существуют такие функции ^(ж, г) е Ь2(д^ х (0,Т)) и щ(ж) е Ь2(^,г), что выполняются равенства (6), (8).

Доказательство. Из принадлежности функции и(ж, г) классу Н2 следует, что множество

т'

^(5) = / / «2 ^

5

ограничено постоянной, не зависящей от 6 £ (0, 4^-].

Обозначив

1, г е (5,Т'),

n(t) = I 0, t £ (0,Д

получим, что множество

т'

M2(^) = J J u2((1 - ¿)x,t)n(t) dsdt

0 9Q

ограничено постоянной, не зависящей от <5 £ (0, . Следовательно, множество {и((1 — S)x,t)\/f](t)} ограничено в пространстве L2{dQ х (0, Т")) и тем самым слабо компактно, т. е. существуют такие функция ^ £ L2(dQ х (0,T')) и последовательность /г = 1, 2,..., 0 < Sk < 4^-, Sk 0, к —> оо, что

т'

lim / /

0 9Q

для всех g(x, t) £ L2(dQ х (0,T')). Справедлива

Лемма 6. Пусть u(x,t) — обобщенное из W21,0c(QT) решение уравнения (1) с f (ж, t) £ L2(Qt, r2), принадлежащее классу H2. Тогда существуют такие (функция ^(x,t) £ L2(dQ х (0,T')) и последовательность ¿k, k = 1, 2,..., ¿k £ (0, Sk^0,n^oo, что

т'

lim / /

k—^^ J J Sk dQ

С

Рассмотрим функцию

т'

^ и((1 - 5 )х, 5 90

непрерывную на (0, 4^], где д{х,1) € Ь2(дС} х (0,Т")).

Лемма 7. Пусть и(х, £) — обобщенное из Ж21,0с((т) решение уравнения (1), принадлежащее классу Н2. Тогда функция С(5) непрерывна на отрезке

[°,50Ь приэтом Дт0 С(5) = (^,д)Ь2(90х(0,т')).

Доказательство. В силу произвольности д(х,£) € Ь2(д(х(0,Т')) и неравенств |Ур| > 7 > 0 непрерывность С(5) будет установлена, если докажем непрерывность по 5 на [0, 50] функции

т' п

5 90 г'^=1

для любой функции д(х,£) € Ь2(д( х (0,Т')).

В силу ограниченности функции М(5) непрерывность на (0, 4^] функции С1(5) можно установить не для каждой функции из Ь2(д( х (0,Т')), а лишь для любой функции из некоторого всюду плотного в Ь2(д( х (0, Т')) множества. В качестве такого множества возьмем множество М1(д(х (0, Т')) всех заданных на д( х (0,Т') функций д(х, £), являющихся следами на д( х (0,Т') функции

д1(х,4) € ^2'1((т), 51|90х(0,т') = д 5^=0 = 0.

Итак, пусть д(х,£) € М1(д( х (0, Т')). Возьмем произвольное 5 € (0, 50] и подставим в интегральное тождество (2) в качестве функции п(х,£) функцию <71, равную р(у^) в области и нулю вне этой области:

J и(х,Т')д1(х,Т')р ¿х- ! и(х,5)д1(х,5)р

¿х

01

т'

+ J ! ~ир ди{х,г)йх<И

в 01

+ // (},Х(],1 + J ! ^ aljuXipXj дгбхМ

5 0г г'^'=1 5 0г г'^'=1

т' п т'

+ 11 —+ J ! аидхр -¿жсЙ

5 0г ¿=1 5 0г

т'

х

5 01

/ШР ( ) йх<и.

Так как т'

5 Я! "'¿=1

т' п т' п

[

5 Я! ¿¿^ х 5 Я! ¿¿^ х

т' п т' п

= -/ / Й ^ " // Й

aljf-^^-ug1dsdt - j у У^ и {а^д^р^ ^ ^

отсюда

(?].($) = J и{х,Т')д-\_{х, Т')р —¿х — J и{х,8)д-\_{х, 8)р -¿ж

Я! Я!

т' т' п

J ! ЩнР + J J а^и^г91Х]Р

5 Я! 5 Я! ¿'¿=1

т' п

5 Я! ¿¿^ Х

т' п т'

J ! ^2а%их^1Р ! J аи91Р ^хМ

5 Я! ¿=1 5 Я'

!

т'

ж

5 Я!

Так как каждый интеграл в правой части равенства (15) есть непрерывная по 5 е [0, 50] функция, С1(5) есть непрерывная функция по 5 е [0, 50], а вместе с ней и функция С(5) есть непрерывная функция на отрезке [0, 50] и

Дт0 С(5) = (^,д)Ь2(9Ях(0,т')).

Лемма 5 доказана.

Рассмотрим для произвольной функции и е ^21|°С(^т), принадлежащей классу Н2, функцию

0>{8) = J и2(х, 8)р Лх

Так как sup ¿F(ö) < те, получаем ограниченность в L2(Q,p) множества

5е(0,5о]

где

л S РШ,

£(ж,ö) = < с

I 0, x е Q\QÄ

*'

и, следовательно, компактность этого множества. Таким образом, как и в предыдущем случае, аналогично доказываются следующие леммы.

Лемма 8. Пусть u(x, t) —обобщенноеиз W21,0c(QT) решение уравнения (1), принадлежащее классу H2. Тогда существуют такие функция щ(х) £ L2(Q, р) и числовая последовательность Sn, n =1, 2,..., 0 < ¿n < ¿о, ¿n I 0 при n ^ те, что

lim [ [u

V у Р(т^Г) / и-*.,

V

для любой «(ж) €

Лемма 9. Пусть и(ж, £) —обобщенноеиз ) решение уравнения (1),

принадлежащее классу Н2. Тогда существуют такие функция щ

и числовая последовательность ¿п, п =1, 2,..., 0 < ¿п < ¿о, ¿п I 0 при п ^ те,

lim / (u(x,Sn) — uo(x))v(x)p \ --— ) ¿ж = 0.

n ^J V1 - ön /

Qf

Лемма 10. Пусть и(ж, £) — обобщенное из ^21,0С(^Т) решение уравнения (1), принадлежащее классу Н2. Тогда функция

5) = ! и

где «(ж) — произвольная функция из р), непрерывна на [0, ¿о], при этом

имеет предел, равный (ио(ж), «(х))^2(д р.

Перейдем к доказательству теоремы 3.

Возьмем произвольно а € (0,1), 5 € (0, ¿о] и возьмем в равенстве (5) в качестве п(ж,£) функцию, равную

й = и ^ах, --^—^ + (1 - а)^ ^р ~ 5

в Ql х (0,Т') и нулю в х (0,Т'). Функция и, очевидно, принадлежит

^211°°С ). В результате получим

J и(х, Т')й(х, Т')р -¿х — ! и(х, 6)й(х, 5)р —¿х

;

т'

+ J ! —ир —- ) щ(х, I) йхЛЬ 5 Я!

т' п т' п

+ //Е агзих^р ^ Х ^ йхМ + J J ^ Х ^ ¿Х(И

5 Я! ¿'¿=1 5 Я! ¿'¿=1

т' п т'

+ II сци^йр ( --- | ¿хМ+ / / аийр ( -—г1хгМ

5 Я! ¿=1 5 Я

!

т'

/йр

5 Я!

Так как т'

5 Я! ¿'¿ = 1

У^ а^и^йр^ Ахйг

т' т'

пп

У^ иирХз )х ¿ж^г— / / У^ ихирХз ¿ж^г

5 Я! ¿'¿=1 5 Я! ¿'¿=1

т' п т' . п

PxiPxi

ш

У^ {а^рх^)х иййх(И = — / / У^ а^-^г^-иййзЛЬ

5 Я! ¿'¿ = 1 5 9Я! ¿'¿ = 1

т' „ т'

/ Ь п п I С

— * * У^ их ирхз ¿ж^г — У^ рХз )х ии ¿ж^г,

5 Я! ¿'¿=1 5 Я! ¿'¿=1

то

и(ж, Т')й(х, Т')р -¿х — J и(х, 6)й(х, 8)р —

Я!

т' т' п

J ! -щир ^^¡-т^ ¿хМ+ I I У,

+ J J ~Щир ^ ^ у ¿ЖбЙ+ + j j аг]их^Х1Р ^ ^^ 5 Я! 5 Я! ¿'¿=1

т' т'

п Р Р [ ¡' п

У^ а^- ^ гшйвсИ — I I У^ а^йх^рх_ с1хсИ

5 9Я! ¿'¿ = 1 5 Я! ¿'¿ = 1

!! т' п т' п

J J ^2 {а'1]Рх^хий(],Х(],1+ J ! ^сциХ1йр ^ ^ ¿хМ

5 Я! ¿'¿=1 5 я! ¿=1

т' т'

II ат—<0 ЛхМ = J ! ¡йр —йх<И.

5 02 5

Из принадлежности обобщенного решения и(ж,£) уравнения (1) классу Н2 и теоремы 1 немедленно следует, что для любого 5 (Е (0, 4^]

т'

Г и2 , ,

-^ ахги < оо.

о о

Стало быть, в равенстве (19) можно перейти к пределу при 5 ^ 0. В результате получим

т'

Iи(ж,т >(ж'т ')р(ж) - /иои(ж,0)р(ж) 41-^р(ж) ^

0 0 о о

т' п т' п

о о о 90

йу--/ / (йурХз )х ии

о 0 о 0

ир(ж) ¿ж^- / / (ар(ж))х.

о 0 1-1 о 0 1-1

т' т'

+//аиир

о 0 5 02

Так как и является решением уравнения

а Т> - (1 - а)М* ~ \ аЖ'-т>- ^ ~ аЧ иХг

^ / / Т' - (1 - а) , Л

+ I а% I аж,-—-4 + (1 - а) I г^

2 / Т' -

умножая на ир(у^), получаем

т' т' п

_ (1 _ а) 11йгир ("пЬ) 11 Й (а^йХ1)хир 5 02 5 02 г'^'=1

а2

т' „ т'

+ а ! J ^^ сцй^ир -¿хсИ+а2 ! J аийр —йхеИ

5 Я! ¿=1 5 Я

т'

а2 / /ир ( --- ) с1хсИ.

5 Я!

Так как т'

{а^йХ1)хир ( ^ ¿х<М

5 Я! ^

т' п т' п

у^ ( а^й^ир { ^ Х ) ) ¿хЛ- / У ( ^ Ж | йхсИ

ь5 я! ¿¿^ - Хз 5 я! ¿'¿=1

т' п

J ! щ и^ Рхз и^ыг

5 Я! ¿'¿ = 1

т' п

J ! у; ацй^иХ1р ^ Ж ^^ ¿хМ + ! J ацй^рх^влйь,

5 Я!

т'

/' —- у ахм+ I I ОуйХ;|о1г

5 Я! ¿'¿ = 1 5 Я! ¿'¿ = 1

то

т'

а2т'-а-а) / 1йгир (т^1 ^

5 Я!

т

п

ж

/ / / Q'ij'ttJXi'ttJXj г \ ^ ^

5 Я! ¿'¿=1 7 55 Я! ¿'¿=1

т' „ п

ж

+ ау j ^^а^й^ир --у ¿хсИ

5 Я! ¿=1

т' т'

+ а2 J ! аийр —¿хсИ = а2 J J /ир —- ) г1хгМ.

5 Я! 5 Я!

Перейдем к пределу при 5 ^ 0 в (21): ' т' т' п

а2—-—-т / / щир(х) с1хсИ+ / / ^^ р(ж) ¿ж^г

0 Я 0 Я ¿'¿=1

т' т'

Яп Л л п

а^-их ирХз ¿ж^г + а / / ир(ж) ¿ж^г

0 я ¿'¿=1 0 Я ¿=1

т' т'

22

+ а J J сшйр

о 0 о 0

Сложив равенства (20) и (22), получим

/ и(ж,Т')й(ж,Т')р(ж) ¿ж - / иой(ж, 0)р(ж) ¿ж

т'

- Т'(1 + а) [ Г . , , ,

+ (1-а)—---- / / щир(х)йхМ

Т' - (1 - а) } }

1 -Г'

(аг,- + аг,- и.р(ж) I I > а.

т' п т' п

+ 11 '^2{aij+aij)uXiйX:¡p(x)dxdt-J ^ ^2 alj^^^-(pйdsdt о 0 г'3=1 о 90 г'з=1

т' п т' п

+ J J (йг^' - )«. ирхз- + J ! (Щз р. )х.

о 0 г'з=1 о 0 г'з=1

т' п т' п

+ J ! (ааг - аг)и.ир(ж) --J J (агр)х.

о 0 ¿=1 о 0 ¿=1

т' т' т'

+ J ! (а + а2а)ийрйжй£ = J ^ /йрйжй£ + а2 ^ J /ирйжй£. (23) о 0 о 0 5 02

Прежде всего отметим, что из равенства (22) имеем

т'

Ит / / й4ир(ж) = 0.

и }

о0

Поэтому в равенстве (23) можно перейти к пределу при а ^ 1:

т'

/ ^Т йж - / йж+2 //¿1 а„ ... «

0 0 о 0

т' п т' п

Р. Р

о 90 г'з=1 о 0 г'з=1

т' т'

+ 2J ! аи2рйжй£ =2 J ^ /ирйжй£,

о 0 о 0

из которого следует утверждение теоремы 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947.

2. Келдыш М. В. Некоторые случаи вырождения уравнений эллиптического типа на границе области || Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, № ???. С. 181-183.

3. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1959.

4. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: Новосиб. гос. университет, 1973.

б. Петрушко И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений || Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. C. 489- 521.

6. Михайлов В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1976. Т. 101, № 2. С. 163-188.

7. Михайлов В. П. О существовании предельных значений бигармонической функции на границе области // Докл. АН. 2004. Т. 395, № 4. С. 452-454.

8. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений || Мат. сб. 1979. Т. 108, № 1. С. 3-21.

9. Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей || Мат. сб. 1983. Т. 120, № 4. С. 569-588.

10. Петрушко И. М. О существовании граничных значений для решений вырождающихся уравнений эллиптического типа || Мат. сб. 1999. Т. 190, № 7. C. 41-72.

11. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения || Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 787-810.

12. Гущин А. К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка || Мат. сб. 1997. Т. 189, № 7. С. 53-90.

13. Riesz F. Über die Randwerteeiner analyschen Funktion || Math. Z. 1923. Bd 18. S. 87-95.

14. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. II || Proc. Lond. Math. Soc. II Ser. 1936. V. 42. P. 52-89.

15. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. III 11 Proc. Lond. Math. Soc. II Ser. 1937. V. 43. P. 105-126.

Поступила в редакцию 17 августа 201S г. После доработки 25 октября 201S г. Принята к публикации 13 ноября 201S г.

Капицына Татьяна Владимировна

Московский энергетический институт (технический университет), ул. Красноказарменная, 14, Москва 111250 kapitsynatv@mpei.ru

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

UDC 517.95

ON EXISTENCE OF BOUNDARY AND INITIAL VALUES FOR DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS IN STELLAR DOMAINS T. V. Kapitsyna

Abstract: We establish the necessary and sufficient conditions for the solution of the second-order parabolic equation in a stellar domain with a lateral boundary in the class A > 0, degenerate on the boundary of the domain, to have an average limit on the lateral surface of the cylindrical domain and the limit in the mean on its lower base. Also, we study the unique solvability of the first mixed problem for such equations in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of the type L2.

The closest to the questions under consideration are the theorems of Riesz and Littlewood and Paley, in which criteria are given for the limit values in Lp, p > 1, of functions analytic in the unit disk.

Further development of this topic for uniformly elliptic equations was obtained in the works V. P. Mikhailov and A. K. Gushchin. The boundary smoothness condition (dQ € C2) can be weakened, as was shown by I. M. Petrushko. Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criteria for the existence of a boundary value were established in by A. K. Gushchin. In this case, all directions of the acceptance of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal, the solution has the property similar to the property of continuity with respect to the set of variables.

In the case of degeneracy of the equation on the boundary of the domain, when the directions are not equal, the situation is more complicated. In this case, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. When the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are different from zero (Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is well-posed and the properties of such degenerate equations are very close to the properties of uniformly elliptic equations. In particular, in this situation analogues of the Riesz and Littlewood—Paley theorems are valid.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.100.20551

Keywords: degenerate parabolic equation, function space, first mixed problem, boundary and initial values of solutions, a priori estimate.

REFERENCES

1. Tricomi F., On Linear Equations of Mixed Type [in Russian], Gostekhizdat, Moscow (1947).

2. Keldysh M. V., "Some cases of the degeneracy of equations of elliptic type at the boundary of a domain," Dokl. Acad. Nauk SSSR, 77, 11-14 (1951).

3. Bitsadze A. V., Equations of Mixed Type [in Russian], Izd-vo Akad. Nauk SSSR, Moscow (1959).

4. Tersenov S. A., Introduction to the Theory of Equations Degenerate at the Boundary, Novosib. Gos. Univ., Novosibirsk (1973).

© 2018 T. V. Kapitsyna

5. Petrushko I. M., "On boundary and initial conditions in Lp, p > 1, of solutions of parabolic equations," Math. USSR, Sb., 53, 489-522 (1984).

6. Mikhailov V. P., "On the boundary values of solutions of elliptic equations in domains with a smooth boundary [in Russian]," Mat. Sb., N. Ser., 101, 163-188 (1976).

7. Mikhailov V. P., "On the existence of limit values of a biharmonic function on the boundary of a domain," Dokl. Math., 69, No. 2, 228-230 (2004).

8. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On boundary values of solutions in Lp, p > 1, of elliptic equations," Math. USSR, Sb., 36, 1-19 (1980).

9. Petrushko I. M., "On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations in domains with a Lyapunov boundary," Math. USSR, Sb., 48, 565-585 (1984).

10. Petrushko I. M., "Existence of boundary values for solutions of degenerate elliptic equations," Sb. Math., 190, No. 7, 973-1004 (1999).

11. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On the existence of boundary values of solutions of an elliptic equation," Math. USSR, Sb., 73, No. 1, 171-194 (1992).

12. Gushchin A. K., "Some properties of the solutions of the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation," Sb. Math., 189, No. 7, 1009-1045 (1998).

13. Riesz F., "Uber die Randwerte einer analytischen Funktion," Math. Z., 18, 87-95 (1923).

14. Littlewood J. and Paley R., "Theorems on Fourier series and power series. II," Proc. Lond. Math. Soc., II Ser., 42, 52-89 (1936).

15. Littlewood J. and Paley R., "Theorems on Fourier series and power series. III," Proc. Lond. Math. Soc., II Ser., 43, 105-126 (1937).

SSubmitted August 17, 2018 Revised October 25, 2018 Accepted November 13, 2018

Tatiana V. Kapitsyna Moscow Power Engineering Institute, 14 Krasnokazarmennaya Street, Moscow 111250 Russia kapitsynatv@mpei.ru