О сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости

Вычислительные технологии

Том 9, № 1, 2004

О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*

Е. В. овчинникова Красноярский государственный технический университет, Россия

А. М. Франк

Институт вычислительного моделирования СО РАН,

Красноярск, Россия e-mail: frank@icm.krasn.ru

The first result on convergence for the particles method for incompressible fluid for the case of inner initial-boundary value problem for Navier — Stokes equations has been proven. The result is valid both in 2D and 3D, provided that the differential problem has a solution.

Введение

Метод частиц для несжимаемой жидкости как новый консервативный свободно-лагранжев метод был предложен около 10 лет назад [1]. Подробное его описание можно найти в [2]. Метод представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина, в котором конвективный перенос осуществляется с помощью материальных частиц. Такой подход имеет ряд очевидных принципиальных достоинств. В частности, материальная производная вычисляется в лагранжевых переменных, поэтому основная схема метода (без внешних и поверхностных сил) полностью консервативна и безусловно устойчива. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в естественных, т.е. эйлеровых, координатах. Использование частиц позволяет легко отслеживать границы раздела, причем произвольное изменение связности течения и границ не доставляет никаких дополнительных алгоритмических сложностей. Использование B-сплайнов в качестве базисных функций в методе Галеркина дает возможность проводить расчеты в областях с криволинейными и подвижными границами. Удачный выбор базисных функций часто позволяет получать хорошие результаты даже при очень грубом (с точки зрения традиционных конечно-разностных и конечно-элементных схем) пространственном разрешении. Примеры решенных двумерных и трехмерных задач для невязкой жидкости можно найти в [2]. Недавно метод был обобщен на случай вязких течений с поверхностным натяжением [3].

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант КЦФЕ для аспирантов А03-2.8-872.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.

Несмотря на определенные успехи в развитии метода и его применении к решению гидродинамических задач, вопрос о его сходимости оставался открытым. В настоящей статье доказана первая из таких теорем.

1. Постановка задачи

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы уравнений Навье — Сток-са:

щ + пкиХк - VДи = 0, ^у и = 0;

в области Qт = П х (0, Т). Здесь П — ограниченная область с кусочно-гладкой границей Б. Относительно а(х) предположим

а1у а = 0, а|5 = 0.

Мы будем иметь дело с обобщенным решением [4] задачи (1), (2). Обобщенное решение

3

задачи (1),(2) — это вектор-функция и(х, £), для которой интегралы / ^п4(х,£)йх рав-

П г=1

номерно ограничены при £ £ [0, Т], производные иХк, и4 существуют и квадратично суммируемы на Qт, а также выполнены условия

и = 0, и|5 = 0, и|4=о = а

и тождество

J (-uФt + VихФх - п^иФхк) (1х(И ^У иФ|4=т¿х - ! аФ|4=°йх = 0

п п

при любой Ф £ (Qт) П 3^т). Здесь пространство 3(П) = {и £ Ь2(П)| и = 0, и|5 = 0}. Скалярное произведение и норму в ¿2(П) будем обозначать ( , ) и || || соответственно. Под нормой производной будем понимать

\ 1/2

Схема метода частиц с обсуждением особенностей численной реализации подробно изложена в [2, 3]. Здесь мы приведем лишь основные уравнения для случая простейшей дискретизации первого порядка по времени. В качестве базисных функций возьмем в гильбертовом пространстве Ж22(П) П Н(П) фундаментальную систему функций {ак (х)}, ортонормированную в Ь2(П). Пусть Ут — пространство, представляющее собой линейную оболочку функций {ак(х)}т1. В начальный момент времени £ = 0 аппроксимируем объем П конечной системой материальных частиц ик с координатами = ) и массами тк = ), к = 1,... , N. Зададим начальное распределение скорости у°(х) из Ут, аппроксимирующее поле а(х). Обозначим через т шаг по времени, а через й — максимальный линейный размер частиц. Положим по определению ((а(хп), Ъ(хп))) =

N

тка(х"(ек)) • Ъ(х"(£к)), [[а(хп)]]2 = ((а(х"),а(х"))). Тогда на каждом временном шаге

к=1

новое поле скоростей из Ут находится из системы уравнений

уп+1

а(х"+1))) + V (К+Чх^1), а1х.(х"+1))) =0,

где I = 1,..., т, а частицы движутся в силу уравнения

х"+1(£к ) = х"(£к) + т ^(хп(£к)). 2. Априорные оценки

Сначала оценим норму поля скорости

т

уп(хп) = ^ Л"аг(х").

г=1

Умножим уравнения (6) на ЛЩ+1 и просуммируем I от 1 до т:

^п+1(хп+1) _ ^(х"),уга+1(хга+1^) + ит ((уп+1(хп+1),Уп+1(хга+1^ = 0. Используя тождество 2((а _ Ъ, а)) = [[а]]2 _ [[Ъ]]2 + [[а _ Ъ]]2, получим

[[уп+1(хп+1 )]]2 _ [^"(х")]]2 + [^"+1(х"+1) _ уга(хга)]]2 + 2ит[К+1(х"+1)]]2 = 0. Просуммировав по п от 0 до к _ 1, получим тождество

к1

к1

[[ук(хк)]]2 + ^ [[^(х*1) _ ^(х*)]]2 + 2*т£ [[^(х*1)]]2 = [[

2- "V0]]2

г=0

г=0

из которого, в частности, следует безусловная устойчивость схемы. Для доказательства сходимости нам понадобится оценка на якобиан |дх"/д£| преобразования лагранжевых переменных в эйлеровы, поскольку при дискретизации по времени он перестает быть равным 1. Обозначим З"+1 якобиан преобразования |дх"+1 /дх"|, З" — якобиан преобразования |дх"/д£|. Очевидно

З

дх" д хп дх"— 1 д х1

де д х"—1 дх"—2 де

Справедливо следующее утверждение: Лемма 1. Если

т 1-£<

1

Т£ <

1

Т <

1

4Т' ' " 32^2(т)[И]2' 12^(т)[И] й < (24 • е6Т^(т)'

а

где

3 т

р2(т) = V У^шах(а! )2(х), М = тах |аг(

4 ' ^ ^ хепу ^ 0<1<т 1

^=1 г=1 х€ п

а ^(П) — объем области П, то:

1) х" = хп(£) — взаимно-однозначное преобразование П на П, обратное преобразование £ = £(х") принадлежит классу С1;

2) |хп| < е6Т^(т) [[V0]] ;

3) М|2 < 2(1 + т2-£)т/тИх")]]2;

4)

5)

< 2(1 + Т" ) 7 ||У(х"

д V"

— < 2^(т) [[V0]];

2-£

Доказательство. (по индукции). Для п = 0 утверждения леммы очевидны, кроме п. 3 и 5. Приведенное ниже их доказательство по индукции верно (безусловно) и для п = 0. Пусть теперь п. 1-5 верны для п < к — 1, докажем их справедливость для п = к.

Для п. 1 достаточно показать, что х? = х?(х?-1) есть взаимно-однозначное отображение П на П. Сначала докажем "от противного", что х? = х?(х?-1) — это взаимнооднозначное отображение П на свою область значений П?.

Пусть Т < -;—чгг т1 и х?-1 = х?-1, а

* " 12^ (m)[[v0]] 1 ^ 2 '

х1-1 + т vfc-1(x^1) = х?-1 + ^^(х?-1),

|х?-1 — х2-1| = т^(х?-1) — vfc-1(xk-1)| <

< 6^(т)[И]т|х?-1 — х?-1| < 1 |х?-1 — х?-1| < |х?-1 — х?-1|.

Противоречие. Теперь покажем, что П С П. Пусть х?-1 € П. Обозначим расстояние от х?-1 до дП - 8. Поскольку vfc-1|дП = 0, то vfc-1(xkг-1) < 6^(т)[^0]]8. Тогда расстояние,

пройденное этой частицей за время т, меньше либо равно 6^(т)[^0]]т8 < ^8, следовательно, х1 € П для любого х?, что и требовалось доказать.

Далее, поскольку vfc-1|дП = 0, преобразование х? = х?(х?-1) переводит границу области П в себя, т.е. дП € П?. Осталось показать, что Ух € П \ дП уравнение

х = х + Т Vfc-1

разрешимо в П. Преобразуем уравнение (8) к виду

У = — ^-1

Обозначим 8 расстояние от х до дП. Нетрудно видеть, что при т < -:— ^

12^ (m)[[v0]]

отображает шар В(0, 8) в себя и является сжимающим отображением. Следовательно, по теореме о неподвижной точке уравнение (9) имеет единственную неподвижную точку в В(0,8). А следовательно, уравнение (8) имеет корень в П. Таким образом, П С П?. А значит, П? = П. Так как якобиан 1 всюду отличен от 0, по теореме об обратном отображении х?-1 = х?-1^?) принадлежит классу С1 в окрестности каждой точки из П.

Для п. 2 оценим |хк |. Тогда

хк = хк—1 + Т vk—1(хк—1).

Для п. 3 докажем, что

< (1 + 6^(т)[И]т)к < е6Т№

!М|2 < 2(1 + т2—£)Т/т[[v(xk)]]2.

Поскольку v принадлежит конечномерному пространству Ут, имеет место неравенство

где

N

а

кт

Ет^ Лга^

£\?=1\ ,=1 \^=1

1=1

1/2

1/2

т£

М^ХП \г=1

5>а*(хк(е)) йе _ е

/ т \ 2 N / т \ 2

где Ек = Д Е Лга^(хк(е)) йе _ Е т, £ Лга*(хк&)) .

П \г=1 / ,=1 \г=1 /

Т/т

По предположению индукции Зк < (1 + т2—£) , тогда

т „ / т \ 2 „ / т

ЕЛ.2 = / Е^(х) йх = / ]>>а*(хк(е)) З0кйе <

г=1

,г=1

л=1

< (1 + Т2-Г / (Е^х"(е))) йе

. г=1

и, следовательно,

ЕЛ2

$>а<(х*(е))) йе > г=1

л=1

Оценим сверху Ек:

N

Е

,=1

]>>а*

. г=1

. г=1

йе

N „ т

ЛгЛг[а*(хк(е)) (а1 (хк(е)) _ аг(хк&))) + а1 (хк&)) (а*(хк(е)) _ а*(хк&)))№

,=11 ^>1=1

<

т

2

1

2

т

2

2

т

т

м

0< Кт. 0< г<т. ?

, = 1

а (х) шах а,;

0<1<т 0<г<т

х£П г,1=1

т

< 6я(П)т шах |аг(х)| шах |а! ,(х)|  Л2 <

_ 0<г<т ' 4 /10<г<т Х 4 П ¿-^ г~

х£П хЕП 1=1

т

<

6 . е6^(т)[[у0]]тй^(П)М^(т) ^ Л2

г=1

Положив

й<

24  е6Т^(т)[П]т^,(П)М^(т):

получим

ЕЛ?

? I ^ г=1

<

ЕЛ.2

г=1

Теперь оценим снизу а

а=

Е А? = 1

¿=1

4 -2(1 + т2-£)т/Т'

^Л^х?(£)) й£ — Е

1/2

>

г=1

(

> т£

т

¿=1

ЕЛ.2

г=1

ЕЛ2

г=1

\

1/2

(1 + т 2-£ )т/т 2(1 + Т 2-£)т/Т 1

^(1 + Т 2-£)т/2Т'

Отсюда непосредственно следует (10). Для п. 4

д v2

дж,

Ел?

г=0

тт 2

г=0 г=0

Поскольку Т1 £ < то и

т

Для п. 5

дж,

<£ (Л?)2£ «)2 <|И|2^2(т) <

2-£АТ/т ГГ, ,0112

( т) 1 + Т

< 4^2(m)[[v0]]2.

< 2^2(т) (1 + т2-£)Т/т (х?)]]2 < 2^2(т) (1 + т2-£)Т/т [[ дv2 2

1п 2

v

дх?+1

д х?

ду? ду? 1 + т^ т- 1

дж1 дж2

ду? джз

Т

Т

д^2 дж1 ду?

джт

1 + т

ду? дж2

ду? ду? дж2 дж3

1 + т

ду? джз

т

1

2

т

т

2

2

т

1 + Р1 (дЖг) т2 + ^ (дХт) т3 < 1 + (24^2(т)[И]2т£ + 48Е3(т)[^0]]3т1+£) т2"£

Вместе с тем > 1 — (24Е2(т)Н]]2т£ + 48Е3(m)[[v0]]3т1+£) т2-£. Положив

Т£ < ———,гг и Т <

32Е2(т)[И]2 6Е (m)[[v0]]

получим

(24Е2(т)[И]2т£ + 48Е3(т)[И]3т1+£) < 1, и тем самым | ЦП+1 — 1| < т2-£.

Следствие 1. В условиях леммы 1 — 1| < 2Тт1-£. Доказательство. Докажем, что < 1 + 2Тт1-£.

< (1 + Т2-£)Т = (1 + Т2-£)Тт 1-£ < еТт 1-£ < 1 + 2Тт1-£.

Аналогично доказывается, что > 1 — 2Тт1-£.

При доказательстве сходимости численной схемы нам понадобится ряд неравенств, связывающих различные нормы функций из пространства Ут. Введем скалярное произведение в лагранжевых координатах ( , :

(а(хп), Ь(х»))с = / а(х"(£))Ь(хп(£))й£.

п

Соответственно, ||а||^ = (а, а)^.

Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то и Vv € в П справедливы

неравенства:

где Е(т), Е^т), М те же, что и в лемме 1.

Доказательство. Первые три неравенства очевидны. Четвертое — непосредственное следствие леммы 1. Пятое — доказывается так:

l|v||2 = / Ц>(хп)|2й£ > (1 — 2Тт1-£)  Нхга)|Ц > 1 |^(хга)|Ц.

3. Сходимость численной схемы.

Теорема 1. Пусть и(х,£) есть обобщенное решение задачи (1), (2) и функции а*(х) образуют базис в Н(П) и в Ь4(П), ортонормированный в Ь2(П). Если функции а* € С2(П) и нормы ||и«|| и ||иХ|| равномерно ограничены и, кроме того, функция и(х, £) такова, что ее ряд Фурье сходится в Н(П) равномерно по £ € [0,Т], то последовательность приближенных решений V сходится к и при т ^ 0, т ^ то, ^ ^ 0 и следующих ограничениях:

1

тГ(т) ^ 0, ттМ2Г\(т) ^ 0, тГ4(т) <

1024[И]4;

где

(т) + Г2(т)) • е6Т^(т)[^ ^ 0, ¿е-<"'НК11.тд№(т) < ,

3 т

Г ^НЕЕ^ а* )2(х),

М = тах 1а1 (х)|,

0<1<т хбП

т3

?(т) = Е Е )2(

г=1

а ^(П) — объем области П.

Доказательство. Легко видеть, что при выполнении условий теоремы выполнены также условия леммы 1 с е = 1/2.

Обозначим и(т)(х,£) отрезок ряда Фурье функции и(х,£) по системе {а*(х)}т=1:

тт

и(т)(х,£) = ^(и(х,£), аг)аг = ^ сг(£)а\ Для и(т) справедливы равенства

= 2^с

г=1 г=1

ди

' I V * ' Х& У ' V Хг ' х

м - Цт)и

где

1т = -V К - иХт), аХ^ + (и*и - и*т)и(т), <

Для дальнейших преобразований необходимо, чтобы в (14) скалярные произведения были теми же, что и в численной схеме, а именно дискретными. Перепишем уравнение (14) в следующем виде:

((^Т(хга+1,£га+1), а1 (х-1))) - ([4т)и(т)]Г+1), <) +

+v

где /Щ = /ш (*п+1),

/~т

д и(ш) д*

(х«+1,^п+1), а! (хп+1) ) —

д и

(х,*п+1), аг(х) ) +

д*

а

ди

п = ' ' ди (хп+1,*п+1), аг(хп+1) ) ) — (хп+1,Г+1), а!(хп+1) ) +

ш!

д*

д*

«

(иХШ) (хп+1,Г+1), < (хп+1))) — V (иХШ)(хп+1,*п+1), < (хп+1))£ .

Обозначим wn(x) = vn(x) — и(ш)(х,*п). Вычтем из (6) уравнение (15), результат умножим на Л"+1 — Сг(*п+1) и просуммируем по I от 1 до т. В итоге получим

wn+1

wn+1(xn+1

(хп+1))) + V (К+Чх^1),wn+1(,

.п+1

_ сп — Пп + Гп ш — ш — ш ш

где

ГШ =

и

Т

^п+1

/Щ получится, если в /Щ вместо а! взять wn+1. То же с СЩ и фЩ.

Используя тождество 2((а — Ь, а)) = [[а]]2 — [[Ь]]2 + [[а — Ь]]2, получим

Т — [КГ + [^ — ^ ]Г + 2vт [[wn+1]]2 — 2т/п — 2тСЩ — 2тдщ + 2ТГ

гп т"

?

Теперь мы покажем, что все члены в правой части последнего уравнения стремятся к нулю быстрее, чем т. Член мал, поскольку при достаточно больших т мала разница между функцией и отрезком ее ряда Фурье. Остаток СЩ мал, поскольку якобиан преобразования |дхп+1/д£| мало отличается от 1. Значение мало вследствие малости а г" мал, так как мала разность между точным и приближенным значениями материальной производной. Приведем соответствующие оценки.

Оценка /П приведена в [4]:

/3 2 \1/2

3 Г 1/2

£ / и^х

_^=0 У

3 г ^ (

г=0 £

и,- — и

(тК4

1/2

+

+6

г=0 ^

(и5т))4^х

1/2

У^ / (и - И(т))4¿х

У=0 П

1/2

1/2

<

< С1 II • 1|и(£га+1) - и(т)(£га+1)||я.

Используя неравенство Юнга при е

V

16 С1

получим

16С2

1 т I — 16 11 ^Х

VT

16 С12

< -г[К+1]]2 + т—1ИО - и(т)(Г+1)||Н.

V

Оценка Ст:

+

+2vт

Первое слагаемое

2т

2т

^и(т)(хп+1,£п+1), (1 - ^^^(х^1)) ^

<

< 4Тт3/21|и(т) (хга+1, £га+1) ||^ • |^п+1(хп+1)||? < < 16Тт3/21|и(т) 1) || • [К+1(хга+1)]] <

< 4[К+¥ + С2Т2т2||и(т)(£п+1 )||2.

Второе слагаемое

2vт

В итоге

2vт

(иХт^1,^1), (1 - ^^(х^1)) < 4vTт3/2||uХm)(xn+1,Г+1)||í • |К+1(хга+1 )||? < < ^Тт3/2||иХт)(Г+1)|| • [К+1 (хга+1)]] <

<

< X[К+1]]2 + CзvT2т2||иХт)(£п+1)||2.

Х 2

2т |ст|< 4[^п+1]]2 + ^ [К+1]]2 +

Оценка д

п: ш:

+2vт

и

+

Для а, Ь £ УЩ оценим разность:

N

£ / [ап(хп(£))Ьп(хп(£)) — ап(хп(£к))Ьп(хп(£к))] ¿£

к=1

N

Е

к=1

ап(хп(£)) [Ьп(хп(£)) — Ьп(хп(£к))] + Ьп(хп(£к)) [ап(хп(£)) — ап(хп(£к))] ¿£

<

<

г,У ' / г, У &

к=1

г,У г,а

Из (19) следует оценка первого слагаемого в выражении для ф

п ш

2т

и

+6тплах |и(Щ) |  ¡хП+^^МК+Чх^1)]] <

< 12^2т^(т)  е6Т^(ш)íív0]]^v/^(^У[[wn+1]]  ||и(ш)|| + +6т^(т)||и(ш)||  е6Т^ш)[[^^Л/МП)[К+1 (хп+1)]] < < 4[К+1]]2 + 288т^2(т)  е12№(ш)[[^2М^)  ||и(ш)||2+

<

^[^Ч]2 + 36т^2(т)  е12Т^(ш)[^° ||и(ш)||2.

Второе слагаемое

2vт

<

+ 18*г шах |и(Ш). |  [хП+^х/МЩНП+^х"")]] < < ^т^М^^Н  е6Т^(ш)[["0]1^Л/^(^)||иХш)(хп+1)||?+

е

п

е

е

+ ^тГ\(т)||и(т)|| • е6Т^(т)[[^л/МЩК+1(хп)]] <

< ]]2 + C5V2тF12(m) • е12Т^(т)^0"^(П) • ||иХт)||2

+

+^[К+1]]2 + C6VтF12(m) • е12Т^(т)[[^2МП)||и(т)||2.

Возвращаясь к От, получим

2т |от|< 3т [^+1]]2 + ^ [^п+1]]2 +

+С4тГ2(т) • е1г№(т)[[^^(П) • ||и(т)||2 + +C5V2тF12(m) • е12Т№(т)^2^(П) • ||иХт)||2 + +C6VтF12(т) • е12Т^(т)^2МП)||и(т)||2.

Оценка г

п :

т:

и(т)(хп+1,£п+1), wn+1(xn+1

-

и

т

^п+1

где

и(т)(хп+1 /«+1) _ и(т)(хп /П) , N

^^-^ и (х ) = и( (хп+1,*п+1) + vп(хп)иХ?т)(хп+1,£п+1

рт = П0,пт + vn(xn)n!'nm + vn(xn)vn(xn)n2:Гm;

п т,

3 ( ) 3 |п0'пт|2 = £ (п0,пт)2 < £ т ах (иСт)(х,

г=1 .сп

г=1

ЙТ < Е т1ах+1 (х,£)) ;

г=1 хбП

Таким образом,

|П2ПТ <£ тах №

г=1 .сп

хСП

+2т

<

2т

+

+2т +2т +2т

vn+1uХm), wn+1) ? - ^п+1иХт), wn+1

+ +

vn+1u(m), wn+1

к Хк 1

) +

+

п

т

т

а

2

3

3

2

+2т2 К (рЩ, wn+1)) | .

Первое слагаемое

2т

((^п(хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — (^п(хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)) < 6тптах ^П+Ч  |хП+1|Л |<и(ш)К+

<

+6т

¿л/МЛ)^1^1)]] <

< Т[[wn+1]]2 + С7Т^2(т)^2  е12Т^(ш)^0]][[vn]]2  ||и£ш)||2+

+ 4[^п+1]]2 + С8т (^М*\(т) + ^2(т))2  е12Т^(ш)[[^2^)[И]2  ||и(ш)||2 Второе слагаемое

^"

<

п

<

Третье слагаемое

2т

2т

<

< 4Тт3/2 щах |wn+1 (х)^ К+ЧЩ^х^Г^М <

П

41

Четвертое слагаемое 2т

= 2т

< т[[wn+1]]2 + СютМ2^2^1]]2  ||иХш)(*п+1)||2.

V п+1иХ?Ш), wn+1

) +

2т | (шП+1и(ш)(*п+1), wnfc+1) | < 2т||wn+1||

^п+1и(ШМ ¿х

г, к=0

1/2

<

е

е

е

е

< 64  3-3/2т  ||u(m)(tn+1||L4(n)  [[w^1]] + ^[[wn+1]]

Выбрав

33/8 • v3/4

получим

12т (<+1u(m)(r+1),wnfc+1)| < -т[[wn+1]]2 + Ct||u(m)(in+1||4L4(Q)[[wn+1]]  [[wn+1 ]] <

< VT [[wn+1]]2 + -T [[wn+1]]2 + C2||u(m)(tn+1||444(Q)T [[wn+1]]2.

VT

'x JJ LLW x JJ ^^ IIй' Ч1- 1144

Пятое слагаемое

|2T2((pm, wn+1))| < 2t2|((n°'ram, wn+1))| + +2T2|((vnnk'nm, wn+1))| + 2t 2|(vnv™n2;nm, wn+1)? |;

2t2|((n°'nm, wn+1))| < 6t3[[n°'nm]]2 + T[[wn+1]]2 <

6

< 6т3^)Е max (u^x,*)) + 6[[wn+1]]2, t€[in,in+11\ " /6 i=1 xen

2t2|((vnnk,nm,wn+1))|< 2T2

\

E max+. (4:k м)  [[vn]]  [[wn+1]] <

k>i=1 xen

< 6т3 £ max (u^ (x,t))2[[vn]]2 + 6[[wn+1 ]]2, te[tn,tn+1^ k / 6

k>i=1 xen

2т2|((«ПГ,wn+1))| <

x€0

3 2 _

E Klmx+,l «Xk <

i,j,fc=1 xen

< 6[[wn+1]]2 + 36т3т2М4 £ max («С™Xk (x, t)) [[vn]]4.

6 te[tn,tn+1^ XjXk /

i,j,fc=1 xen

xe n

Таким образом,

3 2

|2t2((p:,wn+1))| < 2[[wn+1]]2 + 6т3^) J] max («tW)) +

i=1 xen

3 2 3 2 +6т3V max (u(:) (x,t))[[vn]]2 + 36т3m2M4V max (x,t)) [[vn]]4.

^ te[t",t"+i| V H)ky V LL JJ te[t",t"+i| V lxixky V LL JJ

k>i=1 xen i,j,k=1 xen

3

3

Подставив полученные оценки в (17) и просуммировав по п от 0 до I — 1, получим г- / 5 \ г- 13

М]2 + £ [[wn+1 — wn]]2 < - + С2 тах ^

п=0 ^ [ ' п=0 ^=1

где

1-1 1 6С 2

= ^ Т^||и(*п+1) — и(ш)(*п+1)||Н,

п=0

I-1

я2 = С2Т 2Т ||и(ш)(*

п=0

г-1

Я3 = CзvT2Т^ ||иХш) (*

п=0

г-1

Д4 = С4^2(т)  е12№(ш)[[^]т||и(ш)(*п+1)||2

п=0

г-1

Я5 = С5V2^2(т)  е12№(ш)[[^2М^) £Т||иХш)(*п+1)||2

п=0

г-1

Д6 = С6^2(т)  е12№(ш)[[^2^) £т||и(ш)(*п+1)||2,

п=0

г-1

Яг7 = Сг^2(т)  е12№(ш)[[^2 £ Т[К]]2  ||иХш)(Г+^И2

п=0

г-1

Я8 = С^^М^(т) + ^2(т))2  е12Т^(ш)[[^2^) £ Т[^п]]2  ||и(ш)(*п+1)||2

п=0

г-1

= свт£ [[vn+1 — vn]]2 ||иХш)(*п+1)||2,

п=0

г-1

Я!0 = СютМ2Т2Т2 [[vn+1]]2  ||и£ш)(*п+1)||2

п=0

3 2

Я1п = 6Тт2МП) £ пах (и<Щ) (х,*)) ,

г=1 хЕП

3 ( ) 2 г-1

^ = 6Т2£ ^ц (и'Ш'к М)) £ Т[К']]2,

к,г=1 хЕп п=0

3 ( ) 2 г-1

Я13 = 36т2т2М4 V пах Ги(ш) (х,*)) V т[И]4.

13 ^ ге [4",4"+1 ] V ^ / ^

г,^,к=1 хЕП п=0

Следуя [4], обозначим через Рт оператор проектирования, ставящий в соответствие любой функции <^(х) отрезок ряда Фурье по системе ак (х) , а именно

т

= ^ (р, а*)а\

¿=1

Легко видеть, что Рт являются ограниченными операторами в пространствах Н(П) и ¿4(П). С другой стороны, они сходятся к единичному оператору на любом из элементов этих пространств. Поэтому в силу теоремы Банаха — Штейнгауза их нормы в обоих пространствах будут ограничены в совокупности: ||Рт||н(п) < С11 и ||Рт||ь4(п) < с12. Это дает для и(т)(х,£) оценки

3

Так как для обобщенного решения и(х, £) норма в Н и интегралы [ ^ и4(х,£)^х рав-

п ¿=1

номерно ограничены при £ £ [0, Т], из (22), (23) следует, что равномерно ограничены

3

п ¿=1 1

Теперь, отбросив второе и третье слагаемое левой части (21) и учитывая, что [^0]] = 0, получим неравенство, из которого известным образом (разностный аналог леммы Грону-олла) выводится оценка

12

М2 < С1з£ Я

.7 = 1

4

¿х.

с постоянной С13, зависящей лишь от Т. Остается показать, что ^ Я. ^ 0 при т ^ 0,

13 . =1

^ 0 и т ^ то.

Поскольку по условию теоремы при т ^ то и

равномерно по £ £ [0,Т],

1-1

Я = ^ т||и(Г+1) - и(т)(£г+1)||Н ^ 0, при т ^ то.

¿=0

Норма

и(т)(хг+1, £г+1) < ||и4(Г+1)||2, а ||и4|| ограничена константой, не зависящей от следовательно, Я2 ^ 0 при т ^ 0.

Согласно (22), ||и£т)(£га+1)||2 < С2||иж(£га+1)||2. Норма ||их|| равномерно ограничена, следовательно, Я3 ^ 0, при т ^ 0. Далее

Я4 ^ 0 при Г2(т)  е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я5 ^ 0 при Г2(т)  е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я6 ^ 0 при Г2(т)  е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0.

Поскольку [[vn]] < [[v0]], а ||uXm)(tra+1 )||, как уже было отмечено ранее, равномерно ограничена, Л7 ^ 0 при F2 (m)  e12TF(m)[[v°]]d2 ^ 0. Аналогично

R ^ 0 при (V™MFi(m) + F2(m))2  e12TF(m)[[v°]]d2 ^ 0. i-i

Как следует из (7), £ [[vn+1 - vn]]2 < [[v0]]2. А значит, R ^ 0 при т ^ 0.

n=0

Далее

R10 ^ 0 при ттМ2 ^ 0, R11 ^ 0 при т2mM2 ^ 0,

поскольку

max fu,(m)(x,i^ < mM2 max Hu^H2 < mM2 max ||uJ|2;

ie[0,T] V ш У '7 " ie[0,T]M 11 - ie[0,T] 11 11 '

хбП

R12 ^ 0 при т2 F2 (m) ^ 0, так как

max (V(m) (x,t))2 < F2(m) max ||u(m) ||2 < F2(m) max ||ut||2. te[0,T] V itxfc / " ie[0,T^M 1 11 _ V ie[0,T] 11 m

xÊfi

Аналогично R13 ^ 0 при т2m2M4F2(m) ^ 0.

Из вышеизложенного следует, что при выполнении условий теоремы все будут стремиться к нулю. Тем самым мы получим равномерное по t стремление к нулю нормы [[wn+1]], в силу леммы 2 стремление к нулю нормы ||wn+1||. Теорема доказана.

В заключение отметим, что сформулированные в теореме ограничения на шаг т представляются излишне жесткими. Практика численных расчетов показывает, что из соображений точности шаг т должен быть порядка 1/m. Пока такой результат получить не удается в силу отсутствия равномерной оценки на производные решений. Тем не менее мы надеемся в дальнейшем существенно ослабить достаточные условия сходимости, а также обобщить этот результат на случай неортогональных базисных функций, которые используются в реальных расчетах.

Список литературы

[1] Франк А.М., Огородников Е.И. Метод частиц для несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 958-962.

[2] Франк А.М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001.

[3] FRANK A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film // Europ. J. Mech. B/Fluids. 2003. Vol. 22. P. 445-471.

[4] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1961.

Поступила в редакцию 30 октября 2003 г., в переработанном виде —15 декабря 2003 г.