О некоторых классах сетей, заданных на регулярной гиперповерхности проективного пространства

УДК 514.75

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ СЕТЕЙ, ЗАДАННЫХ НА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

SOME CLASSES OF THE NETWORKS ON A REGULAR HYPERSURFACE OF PROJECTIVE SPACE

Н. В. Кондратьева N. V. Kondratyeva

ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В настоящей работе изучается двойственная геометрия сопряженных сетей Sn-1, заданных на регулярной гиперповерхности Vn-1 n-мерного проективного пространства Pn . В частности, рассмотрены сопряженные сети, являющиеся чебышевскими первого и второго рода одновременно, а также голономная сопряженная сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофо-кальными гиперплоскостями.

Abstract. This paper deals with dual geometry of conjugate networks S n-1 on a regular hypersurface of n-dimensional projective space Pn . In particular, conjugate Chebyshev networks of the first and second type simultaneously, as well as a holonomic conjugate network with the coincided pseudo-focuses and pseudo-focal hyperplanes, are described.

Ключевые слова: гиперповерхность, сеть, нормализация, псевдофокус, псевдофокальная гиперплоскость, двойственность.

Keywords: hypersurface, network, normalization, pseudo-focus, pseudo-focal hyperplane, duality.

Актуальность исследуемой проблемы. Следует заметить, что практически все исследования по теории сетей проведены без привлечения теории двойственности. Исключение составляют работы А. И. Чахтаури по двумерным сетям и некоторые работы А. В. Столярова - по многомерным. В начальной стадии находятся исследования двойственной геометрии аналогов сетей на неголономных подмногообразиях, погруженных в пространства проективной структуры. Все это говорит об актуальности темы исследования.

Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом внешних форм Э. Картана [5], методом нормализации А. П. Нордена [3], методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].

Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми, актуальными и достоверными, они были доложены на I Международной научнопрактической конференции «Наука и современность - 2010».

На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:

I, К, Ь = 0, п; і, ], к, 1, 5, ґ = 1, п -1.

1. Отнесем гиперповерхность Уп_х п-мерного проективного пространства Рп к точечному реперу первого порядка Я = [Л1}, т. е. вершину А0 репера совместим с текущей точкой гиперповерхности и вершины Л расположим в касательной гиперплоскости. Бесконечно малые перемещения этого репера определяются уравнениями:

<яЛ0 = «0Л0 + о^Лі,

йАг =«Ло +«кЛк + «Ап,

dA = < A + ХПА + wX,

где формы К удовлетворяют структурным уравнениям пространства [5]

DXf =W л К, W = 0.

Дифференциальное уравнение гиперповерхности Vn-1 в выбранном репере имеет

вид:

К = 0.

Продолжая уравнение (3), имеем

w =AnlkW, Lik] = 0;

продолжая последние уравнения, получим

dKk + К*

где функции Lnkl симметричны по любой паре нижних индексов.

Предположим, что гиперповерхность Vn-1 с Pn является регулярной, т. е. тензор Лпш невырожден: Л = \K‘ik | ^ 0 , следовательно, можно рассматривать обращенный тензор

A ik

Л n , компоненты которого определяются соотношениями

К Kk =K лпк1 =d

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

dK„ -К

Функция Л есть относительный инвариант второго порядка:

dlnЛ +

С регулярной гиперповерхностью Vn-1 с Pn ассоциируются два проективных пространства Pn (Vn-1) и Pn (Vn-1) с общей базой Vn-1 [4], двойственные относительно инво-

лютивного преобразования I: X  Щк структурных форм по закону

тгп ^,п п. —i -тт0 n Л l ,J

W0 = W0 = 0, W0 = W0, W0 = W0--------X,

n + 1

tt0 ^,0 — n ,,n Л; — i kil r,0

Wn = Wn , Wn = -----7X , = -KnWl ,

n + 1

щп = , щ = КА, щ =щ+^КК« _ % ;

заметим, что согласно [4] инволютивность преобразования I означает, что I ° I_1.

Формы ЩК служат формами инфинитезимального перемещения тангенциального репера {£}: ё%1 = ЦК£К , где

Хо = п+Ул[Ао А.. .А"-1 ]Х" = "Ш ^А"А.. .А"-1 ]

„-1

1 п-1

х = ^ ^ [Ао А1...Ак_1 АЛ+1...Лп_1 ]

Относительно тангенциального репера (10) образ Уп-1, двойственный Уп-1, определяется уравнением, аналогичным (3):

Щп = 0.

В четвертой дифференциальной окрестности точки А0 е Уп-1 с Рп определяется поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик [4]

Кпшхгхк + хгхп + 8П

п + 1

где

^ =-Г-,*к(Лік _^+7

п _ 1 ^ п +1

функции Лік входят в дифференциальные уравнения

ёЛ_Л« + ЛА +

Предположим, что гиперповерхность Уп-1 с Рп нормализована [3] полями квазитензоров у'п, у0:

ёУп _« +пкп«к +«п = УпА ,

У +к>0° -П0«к +«0 =У0«0.

Следуя [4], можно доказать, что нормализация одной из регулярной гиперповерхностей Уп-1 с Рп и Уп-1 с Рп равносильна нормализации другой; при этом компоненты

полей оснащающих объектов {у, у0}, У, У°} связаны соотношениями

У =-ЛУ0,Уі0 =ЛпУп;

ёуп-уп«пп +УЩ +«п =пм у =-Лу0;

ё у0 + у0«00 _ у«] + «0 = у0 «0, у0 = Лп1Уп];

при этом индуцируются две двойственные [4] аффинные связности V, V без кручения, которые определяются системами форм {00, в'к } 00, 01} соответственно:

в0 = w0 ,qk = Wk _ v>: _ Sk (wo0 _ vi°w0)+ v>0,

eo=eo, ві=ek +vim+Sk Vw: _Vs4)+

Vat +SkVW 'W

+л: (л:іь _ v0 л:і Wo+(лпуП _ v0 Wo.

n /k ,

Формы (17) удовлетворяют структурным уравнениям Картана-Лаптева [2]:

Dw0 = К а 01, D0j = в* а 01 +1 R'X а А,

_ _ _ _ 2i

Dw0 = А а0 , D0j =0j а0 + ^ Цк1 а w0.

Тензоры кривизны R’kst, Rist соответствующих пространств аффинной связности

An-1,n-1 и Ап-1,п-1 имеют вид:

RL = 2(^k0[sd -Пп[sKik|t] -V‘nKK\SK\l\t] -

-VkVdj-v^ ]dk +vly:Knk[sS't]),

Rkst = 2(KkVn[sSt] -Kl[sv\n\t -Knvl[sKt]k -Лnvl v[sKt]k -

1 1

-Knlkvyn Kj[ S-v^Si ЛП ]k).

Аналитические условия параллельного перенесения допустимого [3] направления AqM , где M = 1 (y° A0 + Ai), в аффинных связностях V и V вдоль кривой

l с Vn-1 (к = ms0, К = 0) записываются соответственно в виде

dl + l0'k =W1

dl +101 =

2. Пусть на гиперповерхности Vn-1 задана сеть Sn-1 . Касательные к линиям сети в

точке A0 примем за ребра ДД репера R = {AI}, в силу чего в уравнениях (1) формы

1с • 7

W , i Ф k становятся главными:

X = aX0, i Ф k .

Продолжая уравнения (23), имеем

dal + ah К0 + X -X - К)- S\K + ЛпК = aX, i Ф k ,

где

a

iit = 4 + X aisas _ Z aipapt, i * k,

s*t p*i,k

~k i[lt]

amt] = 0, i * k.

Из соотношений (9), (23) следует

Щ = аЩО, г Ф к ;

соотношения (27) представляют собой уравнения «тангенциальной сети» Еп-1 с Уп-1, двойственной исходной £п-1 с Уп-1, где, в частности, имеем:

ак = ак +лк:л:а, г Ф к.

Согласно (17), (21)-(23), (28) условия параллельного перенесения направления А0А{ касательной к г-ой линии сети £п-1 с Уп-1 вдоль ее линии Щ0 в аффинных связностях V и V имеют соответственно вид:

ак -укп лп +У0д! = 0, к Ф г,

ак + ЛкЛп,а + ЗкЛпуп - Лкп ЛХ = 0, к Ф г.

Если на гиперповерхности Уп-1 с Рп задано поле инвариантных нормалей первого

рода у'п, то точки Кгк (г Ф к) на касательных А0Аг к линиям сети £п-1 с Уп-1 с Рп , определяемые по формуле

Кк =

являются инвариантными (дРк = Кк). Эти точки В. Т. Базылевым [1] названы псевдофокусами касательных к линиям сети.

Точка К = " х 77’к

1~:^к

п - 2 кФг

называется гармоническим полюсом [6] точки А0 относительно псевдофокусов Кгк ; (п - 2) -мерная плоскость К ] называется гармонической плоскостью сети £п-1 или, согласно терминологии А. П. Нордена [3], ее гармонической гиперпрямой.

Приведем построение образов Г]к, двойственных Кк и определяемых сетью £п-1 с Уп-1 с Рп . Если на гиперповерхности Уп-1 с Рп задано поле инвариантных нормалей второго рода, определяемое полем квазитензора У 0 , то для тангенциальной сети

Еп-1 с Уп-1 с Рп каждую из инвариантных гиперплоскостей Г]к пучка X п Х0 , определяемую по формуле

Л ={Л’Х -акX+х, к Фг, _

назовем псевдофокальной; в силу соотношений (161), (28), Лпк = -Лпк (см. (9)) последние выражения примут вид:

Г иперплоскость

Л =

л=-Ц хл

п - 2 кФг

назовем гармоническим полюсом второго рода сети £п-1 с Уп-1, а прямую пересечения гармонических полюсов второго рода - гармонической прямой сети.

3. Рассмотрим сеть £п-1 с Уп-1, сопряженную относительно поля асимптотического

тензора второго порядка Лпа : Лпк = 0, г Ф к; из дифференциальных уравнений (5) для

компонента Лпк = 0, г Ф к с использованием (23) находим

Лпш =-

Согласно (31), (33), (35) псевдофокусы и псевдофокальные гиперплоскости сопряженной сети Еп-1 с Уп-1 не зависят от нормализации гиперповерхности и определяются формулами

Кк =-аккА0 + А,, г Ф к,

лк =ЛккЛпиаккХ0 +Хг, г Ф к ;

следовательно, поля ее гармонических гиперпрямых К] и прямых [л] определяются

соответственно полями квазитензоров

ч0 = —-2 Еак, йч0+ч,

п - 2 кФг

Ч'п =-“ЧЕЛ“"»,+ ч\,{а:-а;)+а>„ = чК .

п - 2 кФг

Если соотношения (29) или (30) справедливы при I = г для любого г (для любых г ФI), то сеть Еп-1 с Уп-1 с Рп называется геодезической (чебышевской) соответственно первого или второго рода относительно данной нормализации гиперповерхности Уп-1 .

Для сети Еп-1 с Уп-1, сопряженной относительно поля тензора Л, в силу (29), (30), (35) условием ее геодезичности первого или второго рода является выполнение соотношений соответственно

ак-УкпЛпн = 0, г Ф к,

У0 + ак = 0, г Ф к .

Аналогично рассматриваемая сеть является чебышевской первого или второго рода тогда и только тогда, когда справедливы соотношения соответственно:

ак +У0Зк = 0, г Ф к,г,

акЛкк-УЗк = 0, г Ф к,г.

Из равенств (40), (41) с учетом выражений псевдофокусов Кгк (см. (36)) и псевдо-фокальных гиперплоскостей лк (см. (37)) для сопряженной сети Еп-1 с Уп-1 с Рп следует Теорема 1. Сопряженная сеть на регулярной гиперповерхности Уп-1 с Рп является

сетью с совпавшими псевдофокусами Кгк (псевдофокальными гиперплоскостями Г]к) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых (гармонических прямых) данная сеть является геодезической второго (первого) рода.

Замечание. Согласно (42), (43), к классу сетей Еп-1 с Уп-1 с совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями) принадлежит сопряженная чебышевская сеть первого (второго) рода.

Пусть регулярная гиперповерхность Уп-1 с Рп , п > 3, несущая сопряженную сеть Еп-1 с Уп-1, являющуюся чебышевской первого и второго родов одновременно, нормализована полями гармонических гиперпрямых и прямых сети. В репере а, ° К (чг0 = 0), [А Ап ]°Ы (чп = 0) тензор кривизны Ягы (см. (19)) аффинной связности V имеет вид:

К* = Ч0З - Ч0З - ч'тЛк+чгтЛк = 0.

Так как в выбранном репере имеют место равенства Л” = ч0 = ч'п]- = 0, , Ф у , то компоненты тензора кривизны (44) имеют строение

Я'ш = 0, к, I, г - дадгйа ёшаёпй ;

Замыкая уравнение со] = 0, і Ф у (аУ = а]и = аг]1 = 0, все индексы различны), находим

Последние равенства вместе с (45) доказывают, что связность V - плоская, т. е. пространство аффинной связности Ап-1,п-1 вырождается (локально) в аффинное пространство Ап-1 . Доказана

Теорема 2. Внутренняя геометрия пространства аффинной связности Ап-1п-1 без кручения, индуцируемого нормализацией регулярной гиперповерхности Уп-1 с Рп , п > 3 полями гармонических гиперпрямых и прямых сопряженной сети Еп-1 с Уп-1, являющейся чебышевской первого и второго родов одновременно, есть аффинная (локально).

Следствие. В условиях теоремы 2 внутренняя геометрия двойственного пространства аффинной связности без кручения Ап-1 п-1, п > 3 также является аффинной (локально).

4. Рассмотрим голономную сопряженную сеть Еп-1 с Уп-1 с Рп с совпавшими псевдофокусами Кгк и псевдофокальными гиперплоскостями 1]к. Известно [1], что критерием голономности сети (т. е. вполне интегрируемости любого из уравнений а0к = 0) является

Согласно теореме 1 рассматриваемая сеть является геодезической первого и второго рода относительно полей ее гармонических прямых и гиперпрямых, т. е. справедливы равенства (40), (41).

Из соотношений (41) доказывается, что

Аналогичным образом доказывается (исходя из равенств (40)), что в случае рассматриваемой сети Еп-1 с Уп-1 с Рп при п > 3 справедливо

К-ья = 0 їде ёрайд і, к, 5; Кгш = 0, і, к Ф ґ; Я’ш = д°к + д’пі А"кк, і Ф к, и і іад поггёдгааг ёу.

а^] = 0, к Ф і,I.

Из выражений (19), (20) получим

где , Яг тензоры Риччи двойственных аффинных связностей V и V.

Таким образом, в силу (47)-(49) справедлива

Теорема 3. Если гиперповерхность Vn-1 с Pn, n > 3, несущая голономную сопряженную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофокальными гиперплоскостями, нормализована полями гармонических прямых и гиперпрямых сети, то индуцируемые двойственные аффинные связности V и V являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова.

Резюме. Установлено, что сопряженная сеть на регулярной гиперповерхности является сетью с совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых (гармонических прямых) данная сеть является геодезической второго (первого) рода.

Доказано, что если гиперповерхность, несущая голономную сопряженную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофокальными гиперплоскостями, нормализована полями гармонических прямых и гиперпрямых сети, то индуцируемые двойственные аффинные связности являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Базылев, В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Математика. - 1966. - № 2. - С. 9-19.

2. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

4. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. - 290 с.

5. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

6. Casanova, G. La notion de pole harmonique / G. Casanova // Rev. math. spec. - 1955. - № 6. - Р. 437-440.