Гидроупругость виброопоры с трехслойной круглой пластиной с несжимаемым заполнителем при наличии противодавления

УДК 533.6.013.42

В.С. Попов, А.В. Христофорова ГИДРОУПРУГОСТЬ ВИБРООПОРЫ С ТРЕХСЛОЙНОЙ КРУГЛОЙ

ПЛАСТИНОЙ

С НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ

Исследована задача гидроупругости применительно к гидродинамической виброопоре с непроницаемыми круглыми стенками, расположенными концентрически. Определено распределение давления в слое жидкости, находящейся в зазоре между абсолютно твердым вибратором и упругим статором (круглой трехслойной пластиной с несжимаемым заполнителем). Найдены амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики рассматриваемой виброопоры, вычислены ее резонансные частоты.

V.S. Popov, A.V. Hristoforova VIBROSUPPORT HYDROELASTICITY WITH A ROUND THREE-LAYER PLATE WITH UNCOMPRESSIBLE FILLER IN THE PRESENCE OF OPPOSITE PRESSURE

The article solves the problem of hydro elasticity applied to the hydrodynamic vibration support with impenetrable walls, which are arranged concentrically. The distribution of the pressure in the liquid layer in the clearance between the solid vibrator and the elastic stator round three layer plate possessing uncompressible filler) are defined. The amplitude frequency characteristics and phase frequency characteristics of the given vibration support are found; also its resonance frequencies are calculated.

В современной технике широко используются виброзащитные системы на базе различных гидродинамических виброопор (демпферов). При этом виброопоры должны сочетать в себе незначительные габаритно-весовые и высокие демпфирующие характеристики, а также обеспечивать достаточную жесткость и прочность конструкции. В связи с этим представляется перспективным использование в конструкции виброопор трехслойных упругих элементов.

В данной работе исследуется гидродинамическая реакция тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости, сдавливаемого непроницаемыми круглыми стенками, расположенными концентрически применительно к гидродинамической виброопоре. Рассматривается распределение давления и силовых динамических характеристик слоя жидкости при вынужденных течениях вдоль зазора между статором и вибратором. Вибратор представляет собой твердую плоскость круглой формы, совершающую гармонические колебания, а статор представляет собой круглую упругую трехслойную пластину с жестким заполнителем с защемленным краем. При этом считается, что в окружающем вибратор и статор слое жидкости действует гармонически изменяющееся по времени противодавление.

1. Рассмотрим сдавливание тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в виброопоре, условно представленной на рис. 1. Слой жидкости находится между двумя непроницаемыми стенками (плоскостями) виброопоры, имеющими круглую форму и расположенными концентрически. При этом в жидкости, как в сдавливаемом слое, так и вне его, поддерживается давление р0 + р^ш^, имеющее постоянную и гармоническую по времени составляющие (противодавление). Абсолютно твердая стенка круглой формы I (вибратор) совершает гармонические колебания с частотой ш в вертикальном направлении относительно стенки II (статора). Статор представляет собой трехслойную упругую круглую пластину с толщинами h1 и h2 упругих несущих слоев 1 и 2 соответственно и 2с жесткого заполнителя 3, с жесткой заделкой по контуру. Радиус вибратора I и статора II равен R, они расположены концентрически. Через центры статора и вибратора проходит ось Oz цилиндрической системы координат (r, ф, z), начало которой расположено в срединной плоскости заполнителя. В силу осевой симметрии задачи все параметры не зависят от полярного угла ф. Ширина зазора h между статором и вибратором значительно меньше их радиуса R >> h.

Закон движения вибратора имеет вид:

z = h

где h0 - среднее значение h; zm - амплитуда колебаний стенки I в вертикальном направлении; ш - частота колебаний стенки I; t - время; f&t) - закон движения.

Между статором II и вибратором I находится вязкая несжимаемая жидкость, динамика которой описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности в безразмерных переменных [1, 2]:

Re

дUl ( дUl дUl

—5 + Л| U5—L + Uc—1 , дт і 5 д5 Z дС JJ

=----+

+ у21 AU5 - -

д5 дГ2 ' і ~5 52

у2 Re

дUZ ( дU, дUZ

—^ + Л| Ut—^ + Uc—-

дт і 5 д5 Z дГ

дР

дС

(д 2UZ

"де2"

• + у2 AU(

дU^

л д2 A =—- +

1 д h0 zm

, у = — << 1, л =

5

Z =

R

R

h

т = ш t, Re =

J

h02 ш v

5 + - U 5 +------

5 5 a;

Z _

= 0,

5 =

R

ur = z m Ш hU5 , uz = zm ШUZ , p = p0 + P1(T) +

PV zm Ш

P.

‘0 "0 ^ V

Здесь г, z - цилиндрические координаты; ur, щ - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; р0 - постоянный уровень давления;

р\(т) =р\т 8Іп(т+фр) -гармоническая составляющая уровня давления

(противодавление); р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости

жидкости; у, А, Яе - параметры, характеризующие задачу.

Для краевых условий системы (1.2) учитывается, что скорость жидкости на

вибраторе и статоре совпадает со скоростями этих стенок [2]:

U5 = 0, Ur =

5 Z dт

при Z = 1 + л f (т),

ТТ um дU wm дW r 'iwm

U5 = у—m------, UZ = —m------при Z = Л—^W,

zm дт zm дт zm

Рис. 1

r

где радиальное перемещение координатной плоскости и прогиб пластины представлены в форме и = ити(£,т), ы = wmW(^,т).

Условия свободного истечения жидкости в радиальном направлении и ограниченности давления в центре принимают вид:

дР

Р = 0 !бе £ = 1, £,------> 0 !бе 0.

д£

Для тонких внешних несущих слоев пластины 1 и 2 толщиной к^к2 принимаются гипотезы Кирхгофа, для жесткого заполнителя толщиной к3=2 с, воспринимающего нагрузку в тангенциальном направлении, справедлива гипотеза о прямолинейности и несжимаемости деформированной нормали. На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев, так что относительный сдвиг в заполнителе 9 обращается в ноль на контуре (9 = 0 при £, = 1) [3]. Кроме того, заполнитель считаем легким, то есть пренебрегаем его работой в тангенциальном направлении. Уравнения динамики статора - круглой пластины (трехслойная пластина с жестким легким заполнителем) без учета обжатия и инерции вращения нормали в слоях имеют вид [3]:

Ь21 а и + а2 9 - а3 | = -Ргг, Ь21 а2 и + а4 9 - а5 | = 0,

V дг у V дгу

/ ды А д 2

Ь3 V аз и + а5 9-а6 — )-М 0 ~д^2~ = -Pzz ,

здесь напряжения на статоре со стороны слоя жидкости имеют вид при £ = ^—т W :

z,.„

Р =PV Zm И

К у

при этом очевидно, что Р^ >> Р^.

Кроме того, обозначены: рк - плотность материала; Ок, Кк - модули сдвиговой и

3

объемной деформации, к = 1, 2, 3 - номер слоя; К+к = Кк + -4Ок .

При этом введены обозначения:

а1 = К К1+ + к2 К + + 2сК3+, а2 = с(к1К1+ - к2 К + ),

а3 = К Vс + 2К1+ - к2 ^с + -2К2^К+, а4 = с2 ^к К + К2 К + + -2сК3+

а5 = с ^к Vс + 2 к ^ К1 + к2 Vс + ^ к2 У К2+ + -3 с 2 К3+

а6 = к V с2 + с^ + 2 к12 1 К1+ + к2 Г с2 + ск2 + -3 к22 А К + + -3 с3 К3+;

Ь.( «) = |-

дг

1 д

г дг

д 2 % 1 - %.

дг2 г дг г2 ’

Т г \ 1 д г г / м д3 % 2 д2 % 1 д% 1

Ь3(%) = д [гЬ2(%)]=^т+—дт —2^+_т%; г дг дг г дг2 г дг г

М0 =(р1 к1 + Р2 к2 +р32с) .

Краевые условия жесткого защемления:

и = 9 = ы = 0 1'бе г = ^ .

дг

Кроме того, ставятся условия ограниченности при г = 0.

2. Для тонкого слоя жидкости у<<1. В нулевом приближении по у уравнения динамики жидкости (1.2) и соответствующие граничные условия (1.3) упрощаются, так как в них можно положить у = 0.

Далее предполагаем, что перемещения вибратора I значительно меньше ширины зазора между статором I и вибратором II, но одного порядка с прогибом ч. Следовательно, X = о(1), гт1чт = 0(1). Тогда рассматривая асимптотическое разложение по малому параметру

X

р = р0 + хр +..., и^ = и^0 + ли^ +..., ис = иС0 +ли0 +...

в нулевом приближении по X, получим задачу механики жидкости в виде уравнений:

dZ

= 0, Re-

dU

І0

dR d2U

дт

+

І0

dU

dU

—+-U0 +---

5 5 dZ

Zo

= 0

с граничными условиями

1 ч дЖ

и = 0, и^0 = 1 при С = 1,и,0 = 0, иС0 =--д- при С = 0, ат ?т дт

дР

Р0 = 0 при £ = 1, = 0 при £ = 0.

д£

При этом напряжения со стороны слоя жидкости на статоре принимают вид:

P=

pVz- Q dU;o

, Pzz = -p0 - ^1 (т) -

Z=o

PV zm Q ho У2

P

Z=o

Очевидно, что Ргг >> Ргг и касательным напряжением Ргг можно пренебречь, полагая его равным нулю в уравнениях (1.5) с принятой точностью по у.

Решение задачи динамики жидкости (2.1), (2.2) при гармоническом законе движения вибратора имеет вид:

Po =1 (52- -1)( 2є2аЦ- +12уf l + 1

0 4 I dT2 dTj zm І

d 2W

ті S 2є2 а^3

5 0 І дт2

+12 у

dW

дт

dr

dS,.

Здесь введены обозначения [2]: є(и)=VRe/2, a(Q) =

Гі2 + r22

1r

Y(Q) = --^(q) 2

б

2

ri + r2

4 r = r3 + r4 '2

є

r3 =-sh є(и)/(Л є (q)+cos є (q)), r4 = sin є(и)/(Л є(и)+cos є(и)).

Очевидно, что а—1,2, у—1 при є—0 для сильно вязкой жидкости и малых частотах Q, и а—1, у——є/б при є—го, для маловязкой жидкости и больших частотах Q.

3. Учитывая краевые условия (1.7), решение уравнения (1.5) динамики статора представим в виде [3]:

Jo

U = UmU = b1 д- , 0 = b2 д- , W = WmW = І Rm

dr dr m=0

J0

I0

Здесь Ъ1 = (а3 а4 - а2 а5)/(а а4 - а^); Ъ2 = (а1 а5 -а2 а3^(а1 а4 -а^); /о - функция

Бесселя нулевого порядка первого рода; 10 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; рт - корень трансцендентного уравнения (т = 0, 1, 2, ...),

Л(Рт)//о(Рт) = -Л(Рт)/Л(Рт); -Л(Рт), Л(Рт) - функции Бесселя первого порядка (т = 0, 1, 2, .). Первые пятнадцать корней рт вычислены и приведены в [3, табл. 5.1].

Подставляя (3.1) в формулу (2.4), получим для Р22:

Pzz = -p0 - р1(т) -

PV zm Q 1

ho У 2 4

(і2 -1)[ 2є2 а^ +12у

dT

dT

—

p VQ “ 1 -------І------x

h0 У2 m=0pm

J0

I0

2 d2Ri. dR1m'

2 є2 а—^ +12 у—L

дт2

дт

x

Уравнения динамики статора (1.5) с учетом (2.3) (Ртг = 0), (3.1), (3.2) принимают вид одного уравнения для ч:

- І-^тR.

41

m=0 DR

Jo

I o

- Mo Q2 І

d2 R. і dт2

J0

Io

pQ

h0 « 1 f d2 R1m 12 у dRl

І — У2 .Top2

а-

+ -

m V d т 2 є2 dT

J0

X {Jo (pmS) + Тф) Io (p mi) - 2 Jo Ф. ) j = Po + Pi (т) + Здесь 1D = a6 - a3 b1 - a5 b2.

p ho q2 zm 1

У2 4

а Of + І?! L

d т2 2є2 Ot

Умножим обе части уравнения (3.3) на i

J0 (pmi) -

J0

Io

10

проинтегрируем от 0 до 1. В результате получим:

- M 0 о2 d2

d2 R1m p h0 q2 1

0 m d t2

• +

У2 p2

4 Jo

p

m 1 m 2

J1

а d2 R1m + 12у OR-

—

p4m

m

dr4 d. R. (T) = [ + Pi (T)] + ^ Q2 z.

pm

У

p2

m

dt2 2 є2 d т

df + 12у dL

d t2 2 є2 d т

а

и

где dm=l;

Jo

* 0

dS = J0 (p m ).

Частное решение, соответствующее постоянному уровню отсчета давления p0, имеет

вид:

Ri- =- DR4 p

2 Ji

0 p.d.

и w = - DR4 p0 І

2 Jl

m=0 P. dJ.

J0

10

mm

DR

R1m +

41

2 p h0 q2

M0 Q2 -^-0-:—

У

4Jo

my 1 m

/2 p3

mm

p

а

d R1m p h0 2

1 0 Q2

d t2 У2

4 Jo

m / 1 m >

i2 p3

mm

Jl

pm .

12 у dRim = 2Ji

2є2 d т

2

mm

pmd

У

m i2 p2 mm

f o2

а

L V

d2L 1 +12 у( Of

d t2 j 2є2 V dx

Обозначим:

q m =

pm4

m

R4 D

; M m = -

p h0

4m

У

Jo

dm2 pm2 pm

m m m

p

а; 2 К. = ^Mm;

2 є2 а

2m

_ Pho Ja(Pm) a. 2 K _ 12Y

M|” _-v" Klm _ ^

т m • m

и получим уравнение для определения Щ/” (т) :

12 у V

Mі- =-рт~ M-

h02 а

Q.Ri" +[m o + M. ]о2 °^Rf- + 2 К.о dRl = - Pi(T)+

d т

d т

ampm

+ M1mzm Q'

d L + 2 K-.z. о Of.

1m m

/2 im m /

d т2 ат

Полагая закон движения вибратора гармоническим, то есть

f(т) _ sin т , h _ h0 + Zmf (т),

Щ1 _ A cos т + B sin т,

получим из (3.7):

x

m

X

X

m

2

4

А =

+

+ Ръ

2 Кт 2>т Щ [от -(Мо + Мт )ш2 ]+ Мт ^т 2 2 ^ Щ

[от-(мо + Мт к ]2+4кт ш2

2Лфт )

^трт

[о т-(м о + Мт к2 ]2+4 кт ш2

Ри

2К1тгт Щ 2Кт Щ- М1т 2т щ2 ^ - (Мо + Мт )щ2 ]

[от -(м о + Мт к2 ]2+4 кт ш2

2 ’1

^трт

[о т-(м о + Мт к2 ]2+4 кт ш2

и, следовательно:

л1М1т Щ4 + 4К12т Щ2 ^т ^П

^1т (Т) =

Р1т 8ІП

л/[от-(Мо + м„ )12 + 4 К

22 2 ш2

d,

тР т л/ї

[-(Мо + м„ )ш2 Г + 4 к; ш2-

ф1 = -аг^

2 кт ш

т

от - (мп + мт)ш2

т \ о тУ

ф2 = -аг^§

2 к1тш

12 у

М1тш2 2 в2а

или

^1т (Т) = А(ш) ^т 8ІП (Т + ф1 + ф2 ) - 2) А1(ш) р1т 8ІП(Т + ф р + ф1) ,

^Рт

где амплитудные частотные характеристики опоры определяются формулой:

А(ш) =

мт ш4+4 к; ш2

А1(ш) =

К [о;-(мо + м„)ш2]2 + 4к 1

22

ш

т/Ю-(М о + Мт )ш212 + 4 к"

При этом А(о) = о, ііш А(ш) = 1 и А1(о) = 1, ііш А1 (ш) = о , следовательно:

2 ’1

о2р d2

т т т

ро +

о"р1т Іп

+

М,2т ш4 + 4к2 ш2

1т_________________1т

V [о;-(Мо + М; )ш2 ]2 + 4 к

22 2 ш2

V-;,-(м о + М; )ш2 ]2 + 4 к

гт біп

22

ш

4. Найденное решение позволяет провести исследование резонансных частот колебаний виброопоры и предложить подходы для разработки высокоэффективных виброзащитных гидродинамических опор. Например, анализ амплитудной частотной характеристики виброопоры позволяет сделать вывод, что уменьшение среднего значения толщины слоя жидкости к0 и увеличение вязкости V приводят к подавлению резонансных колебаний статора, так как увеличивается сопротивление течению жидкости в тонком зазоре.

Проведем расчет резонансных колебаний основной моды при т = 0. При параметрах [2, 3]: к0/2Я = 0,09; И112К = 0,02; с/2Я = 0,09; И212К = 0,04; Я = 1 м;

р = 1,84-1о3 кг/м2;

р1 = р2 = 2,7-1о3 кг/м3;

р3 = 2,15-1о3 кг/м3;

V = 2,5-Ю-4 м2/с;

01 = От = 2,67- Юш Па; О3 = 9-Ю7 Па; к1 = к; = 8-1о1() Па, к = 4,7-1о9 Па. При этом в ходе расчетов осуществлялся переход к опоре с однослойным статором из того же материала, что и несущие слои, той же толщины, что и у опоры с трехслойным статором.

Результаты расчетов амплитудных частотных характеристик (АЧХ) А1(ш) и А(ш) представлены на рис. 2-3. При этом на рис. 3 представлена безразмерная характеристика

т=о

Д(ш), которая представляет собой отношение характеристики ^(ш) к ее значению при нулевой частоте ^1(0) (т.е. отношение амплитуд вынужденных колебаний статора к его прогибу при 0 = 0).

О 2000 4000 6000 8000 10000

Рис. 2 Рис. 3

Расчет резонансных колебаний трехслойного статора по АЧХ (3.10) дает одну резонансную частоту ш1 = 543,61 рад/с, при этом ^(ш1) = 537,32. Расчет резонансных колебаний данного статора по АЧХ (3.11) дает - ш1 = 543,61 рад/с и Д(ю^ = 377,83 (здесь учтено, что ^1(0) = 0,15-10-8 м/Па).

Переходя к однослойному статору из такого же материала, что и несущие слои, такой же толщины, что и трехслойный, получим резонансную частоту ш2 = 6164,27 рад/с, при этом А(ш2) = 1802,62 и Д(ш2) = 1265,20 (в расчетах учтено, что А1(0) = 0,12-10-10 м/Па).

Проведенные расчеты показывают, что в виброопоре с трехслойным статором, в указанной постановке, наблюдается одна резонансная частота, как и при использовании однослойного статора. При этом можно выделить АЧХ (3.10), соответствующую закону перемещения вибратора, и АЧХ (3.11), соответствующую противодавлению в рабочей жидкости. Резонансные частоты обеих характеристик совпадают. Это указывает на то, что резонансные частоты фактически определятся параметрами колебательной системы «статор-слой жидкости».

Коэффициенты динамичности виброопор с однослойным статором оказываются большими, чем у виброопор с трехслойным статором. При этом наблюдается значительный сдвиг резонансной частоты в высокочастотную область. Расчеты также показали, что при использовании в виброопоре жидкости с меньшей плотностью и вязкостью резонансные частоты незначительно возрастают, а коэффициенты динамичности растут очень сильно. Таким образом, в рассматриваемых виброопорах наиболее выгодным является использование трехслойной пластины с несжимаемым заполнителем и жидкости с высокой вязкостью, что приводит к облегчению конструкции и эффективному демпфированию резонансных колебаний.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МД-234.2007.8

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003.

840 с.

2. Могилевич Л. И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. 156 с.

3. Старовойтов Э.И. Локальные и импульсные нагружения трехслойных элементов конструкций / Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая, Д.В. Леоненко. Гомель: БелГУТ, 2003. 367 с.

Попов Виктор Сергеевич -

доктор технических наук,

профессор кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета

Христофорова Алевтина Владимировна -

аспирант кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение»

Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 06.06.07, принята к опубликованию 05.09.07