Условия эквивалентности воздействий для несжимаемого материала

-\-

УДК 539.3

Э.К. Агаханов, Э.З. Батманов

УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ВОЗДЕЙСТВИЙ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА

Для твердого тела из несжимаемого материала, используя разрешающую систему уравнений механики деформируемого твердого тела, при действии вынужденных деформаций общего вида, объемных и поверхностных сил установлены условия эквивалентности, как для напряжений, так и для перемещений. Показано, что известные решения являются частными случаями установленных условий эквивалентности.

Ключевые слова. Несжимаемый материал, эквивалентность воздействий, напряжение.

При изготовлении различных конструкций и изделий или их элементов в инженерной практике широко используются несжимаемые материалы. Для оценки их прочности необходимо детально изучить напряженно - деформированное состояние, вызываемое действием различных нагрузок и воздействий.

При решении задач в механике деформируемого твердого тела, особенно при использовании экспериментальных методов, эффективно применяют условия эквивалентности воздействий. Поэтому установление условий эквивалентности воздействий для несжимаемого материала имеет фундаментальное значение в теории расчета конструкций и изделий или их элементов из несжимаемого материала.

Впервые в методе эквивалентности воздействий, предложенном С.П. Тимошенко [5], было показано, что при решении задач термоупругости вынужденные деформации, вызванные температурным полем, формально могут быть заменены объемными силами, входящими в уравнения равновесия в перемещениях, и поверхностными нагрузками, входящими в граничные условия в напряжениях. При этом перемещения и касательные напряжения в исходной и заменяющей задачах совпадают, а нормальные напряжения отличаются на некоторую известную величину. В дальнейшем теоретическое развитие данного метода предпринималось различными авторами, например, Н.Ф. Лебедевым [3] для несжимаемого материала.

Поскольку теоретические решения задач при различных воздействиях имеют сравнимую трудность, наибольшее применение метод эквивалентности воздействий нашел в экспериментальных исследованиях, главным образом, в поляризационно-оптическом методе. Полемизируя с существующим мнением, что современные численные методы позволяют решить практически любую задачу механики, необходимо отметить, что аналитические и экспериментальные методы по-прежнему являются актуальными, и именно комплекс методов ведут к развитию механики деформируемого твердого тела. В настоящее время одним из важнейших направлений развития механики деформируемого твердого тела является создания подходов, позволяющих органично сочетать колоссальные вычислительные возможности современных суперкомпьютеров с экспериментальными методами исследования материалов и конструкций.

Рассмотрим тело произвольной формы из несжимаемого материала, занимающее

пространственную область V , ограниченную замкнутой поверхностью Г — Ги + Га Пусть напряженно-деформированное состояние в теле вызвано действием вынужденных

деформаций С^, поверхностных сил ^ на участке границы Га ^ объемных сил ^ и смещением .// точек части границы Ги

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009. -\-

4]:

В рассматриваемом случае разрешающая система уравнений включает в себя [1, 2, уравнения равновесия:

3 01

•О 2ё<>

к

з&

х-^-А1 -2

дё 1 } д/

п

I

]

д£п 4

Щ

граничные условия:

//

2

)

2оЦ£] о О + /А Д1 <,т%<У ё]] <у

У ^ > у

ч

3 1]

б/г

¿и= Л С г

2 ^ 7 * на 1 а

и^У/гИ на Ги,

условие несжимаемости:

еСЪеС

Из (1) - (4) имеем следующее условие тождественного равенства перемещений

I

]

<Ц,- С и^у-С г +1

а/

д ->, з

от 2Еу.

_ С1 от '1

3 ^ < 2Л'<> 5/

-\-

Зависимость, связывающая напряжения с деформациями имеет вид [3]:

^<>2(7 <

БУ 6 у С

3 *

0<

Из (6) для несжимаемого материала при условии тождественного равенства перемещений имеем:

3

п

I

7

Ьг-^СО

X £

уО^З/

'г 5 л * ^

Для большей ясности соотношения (5) и (7) запишем один раз более подробно:

С£

XV С,

&

Ф - П

+

<3х ,. дх дт

Эу дг

АДг^

а

— АДг^г]

пх"

пу-

де

С

Эх ,. дх

3

п„

2Е<

дх

а£<> ^ О — I <В:

3

5

™х +

Т\ Г!

3

2 Е г

-ТхС

+

V

г

г

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009. 4

5 -4.3= ^Ч. о

Iеху

Пусть тензор вынужденных деформаций является шаровым, т. е.

О ^ <

8XX ^ 8уу ^^Г 822 % С . 8 XV ^ > ^х? ^ ^ > ^

Тогда

НУ о

С учетом (11) выражения (8) - (10) принимают вид:

X ^ ИЛИ л х -

дх

дх

ху ^ху

В случае упругого тела выражения (8) - (10) принимают вид:

ду

д£„Х

2£<

ху

дх

п =

дх

С^^О" О — I <3.

3

X ' £ху

3

+ - <

с.

3

х

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009.

-\-

В случае шарового тензора вынужденных деформаций выражения

совпадают с выражениями (12)-(14), полученными для неупругого тела.

В качестве примера рассмотрим аналитическое решение трехмерной задачи о вращающемся диске из несжимаемого материала методом эквивалентности воздействий. Круглый диск постоянной толщины из несжимаемого материала находится под действием объемных центробежных сил

Рх=рсо2х9 Ру=рсо1у ^=0,

где: Р - масса единицы объема,

Ю - угловая скорость диска. При решении трехмерной задачи о вращающемся диске в работе [5], сначала находят частное решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия и условиям совместности, а затем на него налагают решение в форме полинома пятой степени и подбирают постоянные в нем таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям задачи.

Напряжения и т£> в диске от объемных центробежных сил равны нулю

(плоское напряженное состояние), а напряжения ^ и ^в ^ - меняются по толщине

диска и являются функциями от Г и % .

Тогда, согласно эквивалентности воздействий, установленной в работе, в случае несжимаемости материала диска, имеем

а(П _ а({) _ р 2 2 2 '

Г2 Г2 Г2 '

¿Р=0<Р-Р,

где заменяющие поверхностные силы Р и вынужденные деформации % имеют

вид

Р =

2 2 рсо Г

2

2 2 рсо Г

4 Е

Для определения напряженного состояния диска, находящегося под действием заменяющих поверхностных сил, можно использовать функцию напряжений в форме полинома пятой степени [5]

<р = а5

-\-

Выражения для компонентов напряжений с учетом (4) имеют вид

<у7= ~а5

(80г2 - 24(Ь2 ^ Ъъ (г2 + 60z2 , сг^= -а5 ( 240г2 + 480г2 Ь5 - 75г2 а5 ( 60г2 + 240^2 Ь5 - 15г2 ,

«о.

гх

'= 480^/^-426^

хх

Определяя постоянные и таким образом, чтобы при — ¿С или V — С1 — О и при % — —С — Р, получаем

ст.

СрУ _

= рсо

СГ^ = рсо2

1 2 3 2

-Г--^

16 4

3 2 3 2

Г--z

16 4

Чтобы удовлетворить граничное условие на контуре диска для радиальных

напряжений , т.е. добиться выполнения условия

Г с \

/ <т(р)ск

2 2 = рсо а с

V с ^г—а

наложим на напряжения (24) однородное радиальное растяжение величиной

рсо

7

3 с2

а

16 4 3

Тогда полные напряжения от заменяющих поверхностных сил определятся формулами

ст

Ср)

рсо

2

= рсо -

— г2+-(с2-3^2) + —а2 16 4 16

16 4 16

Подставляя (20) и (25) в (19) получаем решение исходной задачи

<т<Г> = рсо^

<г<р = рсо2

7 2

-а

16

5 2,1^2 о 2ч -г ч--

16 4

Если в выражениях для напряжений, полученных в [5] принимать V = 0,5, то они совпадают с (26), что свидетельствует о достоверности полученного решения. Так как решение (26) получено с использованием только функции напряжений, то в случае несжимаемости материала диска эффективно использовать эквивалентность воздействий.

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009. -\-

Библиографический список

1. Арутюнян Н.Х., Некоторые вопросы теории ползучести, М., Гостехтеоретиздат, 1952.

2. Лавендел Э.Э., Расчет резинотехнических изделий, М., Машиностроение, 1976.

3. Лебедев Н.Ф., Об эквивалентности систем сил в механике деформируемых сред. Прикладная механика, 1977, № 2, с.63-68.

4. Ржаницын А.Р. Теория ползучести, М., Стройиздат, 1968.

5. Тимошенко С.П., Гудьер Дж., Теория упругости. М., Наука, 1975, 576 с.

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009.

-\-

E.K. Agakhanov, E.Z. Batmanov

The conditions of the equivalency of the influence upon the non - compressing materials.

The authors obtained the conditions of the equivalency for both the stress values and the strain ones for the solid state (the non-compressing materials) using the resolution system of the equations of the mechanics of deformable solid states under the influence of general forced deformations as well as of volume or surface forces.

It is also shown that the earlier solutions are the particular examples of the equivalency conditions obtained.

Keywords: Non - compressing materials, equivalency of the influence upon, stress.

Агаханов Элифхан Керимханович (р. 1964) Зав. кафедрой автомобильных дорог,

оснований и фундаментов Дагестанского государственного технического университета.

Доктор технических наук (2002). Профессор (2005). Окончил Московский

государственный строительный университет

Область научных интересов: Механика деформации твердого тела

Автор около 100 публикаций

Батманов Эдвард Загидинович (р. 1978) Ст.преподаватель, заместитель декана по учебной работе транспортного факультета Дагестанского государственного технического университета. Кандидат технических наук (2004). Окончил Дагестанский государственный университет (2000).

Область научных интересов: Эксплуатация автотранспорта Автор более 30 публикаций