Оптимизация неоднородной толстостенной сферической оболочки, находящейся в температурном поле

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 624.04

В.И. Андреев, С.В. Булушев

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ОПТИМИЗАЦИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Рассмотрена центрально-симметричная задача теории упругости неоднородных тел для толстостенной сферы, нагруженной внешним давлением и находящейся в стационарном температурном поле. Суть задачи заключается в определении такой зависимости модуля упругости от радиуса, при которой напряженное состояние сферы будет заданным. Рассмотрены две теории прочности: теория максимальных нормальных напряжений и теория максимальных касательных напряжений. Показано, что в соответствии с первой теорией в неоднородной оболочке максимальные напряжения в 1,35 раза меньше, чем в соответствующей однородной. Для теории максимальных касательных напряжений уменьшение напряжений равно 2,5 раза. Таким образом, введение искусственной неоднородности приводит к оптимизации оболочек, что позволяет уменьшить их толщину или соответственно увеличить нагрузки.

Ключевые слова: теория упругости, температурные напряжения, обратная задача, эквивалентное напряжение, теории прочности, неоднородная оболочка.

Способ оптимизации толстостенных оболочек за счет изменения модуля упругости материала описан в [1, 2]. В этих работах на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел для различных теорий прочности определены зависимости модуля упругости от радиуса в цилиндрических и сферических оболочках, нагруженных внутренним и внешним давлениями. Суть обратной задачи состоит в отыскании таких зависимостей деформационных характеристик материала конструкции от координат, при которых состояние конструкции будет заданным [2—5]. В результате решения обратных задач построены модели неоднородных толстостенных оболочек, в которых эквивалентное напряжение, соответствующее той или иной теории прочности, постоянно во всем объеме конструкции. На рис. 1 на примере первой теории прочности качественно показано изменение эпюры напряжений с0 в оболочке, нагруженной внутренним давлением, при переходе от однородного к неоднородному материалу.

а б в Рис. 1. Напряжения в толстостенной цилиндрической оболочке:-------однородный материал; --неоднородный материал

40

© Андреев В. И., Булушев С В., 2012

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

VESTNIK

JVIGSU

Как можно заметить из рис. 1, в, эпюра с0 в неоднородном цилиндре как бы выравнивается, приближаясь к постоянному значению, что соответствует, согласно первой теории прочности, условию с0 = const. При этом из условия равновесия

27 = 0 ^

21oqcIt = |pa sin8 • а с

следует, что площадь под эпюрой с0 должна оставаться постоянной (рис. 2).

При переходе к решению задач об оптимизации оболочек, находящихся в температурном поле, возникает одна особенность, на которой следует остановиться. При отсутствии силовых нагрузок и наличии только температурного поля правая часть равенства (1) равна нулю, т.е. эпюра с0 должна быть самоуравновешенной (рис. 3).

Рис. 2. К условию равновесия половины цилиндра

Рис. 3. Характер эпюры а0 в нагретом цилиндре при условии Та > Тъ

При выравнивании эпюры с0 за счет уменьшения E вблизи внутреннего контура оболочки в предельном состоянии напряжения с0 будут тождественно равны нулю, что возможно также лишь при E = 0, а это противоречит постановке рассматриваемой задачи. Поэтому задача оптимизации толстостенной оболочки при температурных нагрузках возможна лишь при одновременном действии силовых нагрузок (внутреннее, внешнее давления). Подобные решения для цилиндрических оболочек рассмотрены в [6, 7].

В настоящей статье рассмотрены две обратные задачи теории упругости неоднородных тел для толстостенной сферической оболочки при условии центральной симметрии. В основу решения обратной задачи поставлены условия постоянства эквивалентного напряжения, соответствующего первой (максимальных нормальных напряжений) и третьей (максимальных касательных напряжений) теорий прочности. Такие оболочки называются равнонапряженными (equal-stress shells) [2].

В центрально-симметричной задаче имеет место так называемая одномерная неоднородность, когда механические характеристики E и v зависят от одной переменной, в данном случае — радиуса. Далее ограничимся случаем, когда коэффициент Пуассона v = const, E = E(r).

Основные соотношения. В [5] приведено разрешающее уравнение относительно напряжения cr для центрально-симметричной задачи для радиально неоднородного тела:

о"г+ф

где

4 E' 2(1 - 2v) E'

ф(г) =----, V(r) =-------,

r E r (1 -v) E

f (r) = -

2Ee'„

г

Здесь штрих означает дифференцирование по радиусу, а ев — вынужденные (в данном случае температурные) деформации, которые вычисляются по формуле

е в = аТГ

где аТ — коэффициент линейного температурного расширения.

Подставляя (3) и (4) в (2), приходим к уравнению

(4 E'V, 2(1 - 2v) E' 2EaTT'

a r +1---а r----ar =--.

r ^r E) r r

Стационарное температурное поле в сфере, на внутренней границе которой поддерживается температура T, а на внешней — Tb, описывается формулой

T

а - b ^ r )

где a и - соответственно внутренний и внешний радиусы сферы. Граничные условия для функции cr имеют вид

r = а ar =-Ра i r = b, ar =-Pb,

где ра и pb соответственно внутреннее и внешнее давления, действующие на оболочку.

Первая теория прочности. Исходя из теории прочности максимальных нормальных напряжений, определим зависимость E = E(r), при которой напряженное состояние будет удовлетворять условию cmax = с0 = const, что соответствует модели равно-напряженной сферы [2].

Подставляя с0 = с0 = const в уравнение равновесия

^+2 о,

dr r

получим

ст г = 2 Яй-Ел.

г

Решением этого дифференциального уравнения будет функция

А

ог = — + а0,

г 2

где А — некоторая константа.

Положим а = 1 м, Ь = 2 м, ра = 0, рь = 100 МПа. Тогда из условий (7) можно определить константы А и с0:

400 2 400

А =-МПа • м2, ст 0 =--МПа.

3 0 3

Подставляя функцию напряжений (10) в уравнение (4), после некоторых преобразований получаем дифференциальное уравнение для определения функции Е(г):

Е'__А_Е +_-_Е 2 = 0

г [ А(1 - к) - кст0г 2 ] А(1 - к) - кст0г 2

где

В = атТ0аЬ , к = .

(1 - v)(a - Ь) 1 -V

Уравнение (10) представляет собой уравнение Бернулли [8, 9], решая которое для коэффициента Пуассона V = 0,2 и соответственно к = 0,75, получаем искомую зависимость Е(г):

Е =_2 Ай 2^г 4_

(3В • аг^((г)+ 2САй )( + йг2 )2 - 3Вл/й ( + йг 2 ^

r

где

а = -з^°.

А

Константу С можно определить из двух различных граничных условий для Е:

1: г = а, Е = Е0; 2: г = Ь, Е = Е0

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

VESTNIK

JVIGSU

На рис. 4 приведены соответствующие двум указанным вариантам графики зависимости Е(г).

Для проверки результатов было проведено решение прямой задачи, определяемой уравнением (4), путем прямой подстановки в него зависимости (12). На рис. 5 приведены эпюры напряжений сг и ае, вычисленные при следующих исходных данных: Е0 = 2-104 МПа; Т= 100 °С; ат =1-10-5 1/°С. Как и следовало ожидать, результаты вычисления напряжений оказались для обоих вариантов одинаковыми.

Рис. 4. Зависимость модуля упругости в

сфере:--неоднородный материал;----—

однородный материал

Рис. 5. Распределение нормальных

напряжений вдоль радиуса сферы:--

неоднородный материал; - - - - — однородный материал

Для проверки правильности результатов проведем статическую проверку [5], заключающуюся в равновесии половины сферы под действием напряжений се и внешних нагрузок, действующих на сферу. Данная проверка заключается в выполнении

равенства

b

2njae (r) rdr = -nb 2pb.

Вычисления показали, что левая часть данного равенства равна -1256,6 МПам2, а правая равна -1256,64 МПам2, что говорит о правильности расчетов.

Стоит отметить, что в равнонапряженной неоднородной сфере напряжение c0max = с0 = -133,3 МПа, в то время как в однородной сфере c0max = с0 = -180 МПа. Таким образом, наибольшие напряжения в неоднородной сфере в 1,35 раз меньше, чем в аналогичной однородной. В этом заключается один из способов оптимизации рассматриваемой оболочки.

Третья теория прочности. Исходя из теории прочности максимальных касательных напряжений, определим зависимость E(r), при которой напряженное состояние удовлетворяет условию Tmax = (с0-сг)/2 = const.

Подставляя с0 - cr = с0 = const в уравнение равновесия (8), получим

0

ст'г = 2г

Решением этого дифференциального уравнения будет функция ст г = 2ст + А.

Из граничных условий (7) можно определить константы А и с0: А = 0, ст„=- 72,3 МПа.

ВЕСТНИК

МГСУ.

12/2012

Подставляя функцию напряжений (17) в разрешающее уравнение (4), после некоторых преобразований получаем дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции E(r):

E'—р

3

1 + 2k ln

E--

B

Oq r

1 + 2kln

E2 = 0,

где B и k определяются по формулам (12).

Уравнение (18) также представляет собой уравнение Бернулли, решая которое для заданного коэффициента Пуассона V = 0,2, получаем искомую зависимость E(r):

2 + 31пГ - 1

Е =-^-Д^-.

ro0

10B + 6B lnl - 1 + Cro

>0

Константу С можно определить из граничных условий (14).

На рис. 6 представлены соответствующие двум указанным вариантам графики зависимости E(r).

Для исходных данных, рассмотренных в двух обратных задачах, во втором случае требуется значительно большее изменение модуля упругости для первых граничных условий — более чем в 8 раз.

На рис. 7 приведены эпюры напряжений ог и ае, а на рис. 8 приведены эпюры максимальных касательных напряжений ттах = (с^с^/2. Результаты вычисления напряжений также оказались для обоих вариантов одинаковыми.

Рис. 6. Зависимость модуля упругости в

сфере:--неоднородный материал;----—

однородный материал

Рис. 7. Распределение нормальных

напряжений вдоль радиуса сферы:--

неоднородный материал; - - - - — однородный материал

Статическая проверка (15) также показала схожие результаты.

Стоит отметить, что в равнонапряженной неоднородной сфере максимальные касательные напряжения Tmax = -36,07 МПа, в то время как в однородной сфере Tmax = -90 МПа. Таким образом, наибольшие касательные напряжения в неоднородной сфере примерно в 2,5 раза меньше, чем в аналогичной однородной.

Выводы. Полученные решения обратных задач позволяют построить модели равнонапряженной толстостенной сферической оболочки. Такие конструкции будут равнопрочными (equal-strength), если при изменении модуля упругости за счет модификации состава материала его прочностные свойства остаются постоянными. Как правило, деформационные и прочностные свойства изменяются одновременно, но в разной степени. Методы построения моделей равнопрочных оболочек описаны в [1, 10].

г

г

г

a

a

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕ5ТЫ1К

_мвви

Рис. 8. Распределение максимальных касательных

напряжений вдоль радиуса сферы:--неоднородный

материал;-----однородный материал

Библиографический список

1. Андреев В.И., Потехин И.А. Оптимизация по прочности толстостенных оболочек : монография. М. : МГСУ, 2011. 86 с.

2. Andreev V.I. The method of optimization of thick-walled shells based on solving inverse problems of the theory of elasticity of inhomogeneous bodies. Computer Aided Optimum Design in Engineering XII. WITpress. 2012. Pp. 189—201.

3. Лехницкий С.Г. Радиальное распределение напряжений в клине и полуплоскости с переменным модулем упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. XXVI. Вып. 1. С. 146—151.

4. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М. : МГУ, 1976. 368 с.

5. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел : монография. М. : Изд-во АСВ, 2002. 208 с.

6. Андреев В.И., Минаева А. С. Построение на основе первой теории прочности модели рав-нонапряженного цилиндра, подверженного силовым и температурным нагрузкам // Приволжский научный журнал. 2011. № 4. С. 34—39.

7. Андреев В.И., Минаева А.С. Моделирование равнонапряженного цилиндра, подверженного силовым и температурным нагрузкам // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2011. Volume 7, Issue 1, рр. 71—75.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1976. 576 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М. : Наука, 1986. 544 с.

10. Андреев В.И., Потехин И.А. Равнопрочные и равнонапряженные конструкции. Модели и реальность // XVIII Russian-Slovak-Polish Seminar "Theoretical Foundation of Civil Engineering". Proceedings. Архангельск 01.07 - 05.07.2009. Warszawa, 2009, pp. 57—62.

Поступила в редакцию в октябре 2012 г.

Об авторах: Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, член-корреспондент РААСН, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-57-42, asv@mgsu.ru;

Булушев Сергей Валерьевич — магистрант, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, sergey.bulushev@gmail.com.

Для цитирования: Андреев В.И., Булушев С.В. Оптимизация неоднородной толстостенной сферической оболочки, находящейся в температурном поле // Вестник МГСУ 2012. № 12. С. 40—46.

BECTHMK 12/2012

MI"CY_12/2012

V.I. Andreev, S.V. Bulushev

OPTIMIZATION OF INHOMOGENEOUS THICK-WALLED SPHERICAL SHELL IN THE TEMPERATURE FIELD

The authors consider the central symmetric problem of the theory of elasticity of inhomoge-neous bodies for thick-walled spheres exposed to the external pressure in a stationary temperature field. The essence of the inverse problem lies in the identification of such dependence of the elastic modulus on the radius whereby the stress state of the sphere is the same as the pre-set one.

Maximal stresses in thick-walled shells exposed to internal or external pressures occur in the proximity to the internal contour. Thus, destruction in this area is initiated upon the achievement of the limit state, while the rest of the shell is underused. The essence of the problem solved in the paper is the following. The problems are solved using the simultaneous exposure to forces and temperature loads.The two theories of strength are considered at once: a maximum normal stress theory and a maximum shear stress theory. It is proven that according to the first theory maximum stresses in an in-homogeneous shell are 1.35 times smaller than those in the homogeneous shell. The stress reduction rate equals to 2.5, if the maximum shear stress theory is employed. Thus, the introduction of artificial inhomogeneity leads to the optimization of shells by reducing their thickness or increasing loads.

Key words: theory of elasticity, thermal stresses, inverse problem, equivalent stress, strength theory, inhomogeneous shell.

References

1. Andreev V.I., Potekhin I.A. Optimizatsiya po prochnosti tolstostennykh obolochek [Optimization of Strength of Thick-walled Shells]. Moscow, MGSU Publ., 2011, 86 p.

2. Andreev V.I. The Method of Optimization of Thick-walled Shells Based on Solving Inverse Problems of the Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies. Computer Aided Optimum Design in Engineering XII. WITpress Publ., 2012, pp. 189—201.

3. Lekhnitskiy S.G. Radial'noe raspredelenie napryazheniy v kline i poluploskosti s peremennym modulem uprugosti [Radial Distribution of Stresses in the Wedge and in the Half-plane with a Variable Modulus of Elasticity]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1962, vol. XXVI, no. 1, pp. 146—151.

4. Lomakin V.A. Teoriya uprugosti neodnorodnykh tel [Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies]. Moscow, MGU Publ., 1976, 368 p.

5. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Some Problems and Methods of Mechanics of Heterogeneous Bodies]. Moscow, ASV Publ., 2002, 208 p.

6. Andreev V.I., Minaeva A.S. Postroenie na osnove pervoy teorii prochnosti modeli ravnonapry-azhennogo tsilindra, podverzhennogo silovym i temperaturnym nagruzkam [The Inverse Problem for an Inhomogeneous Thick-walled Cylinder Exposed to Power and Thermal Loads]. Privolzhskiy nauchnyy zhurnal [Volga Scientific Journal]. 2011, no. 4, pp. 34—39.

7. Andreev V.I., Minaeva A.S. Modelirovanie ravnonapryazhennogo tsilindra, podverzhennogo silovym i temperaturnym nagruzkam [Simulation of a Stress-ration Cylinder Exposed to Forces and Thermal Loads]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Vol. 7, no. 1, 2011, рр. 71—75.

8. Kamke E. Spravochnikpo obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 576 p.

9. Bronshteyn I.N., Semendyaev K.A. Spravochnik po matematike dlya inzhenerovi uchashchikh-sya vtuzov [Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Technical Colleges]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 544 p.

10. Andreev V.I., Potekhin I.A. Ravnoprochnye i ravnonapryazhennye konstruktsii. Modeli i real'nost' [Full Constant Stress Structures. Models and Reality]. XVIII Russian-Slovak-Polish Seminar "Theoretical Foundation of Civil Engineering". Arkhangel'sk 01.07 - 05.07.2009. Warszawa, 2009. Proceedings, pp. 57—62.

About the authors: Andreev Vladimir Igorevich — Corresponding Member, Russian Academy of Architecture and Construction Sciences (RAACS), Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaro-slavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; asv@mgsu.ru; +7 (499) 183-57-42;

Bulushev Sergey Valer'evich — master student, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; sergey.bulushev@gmail.com.

For citation: Andreev V.I., Bulushev S.V. Optimizatsiya neodnorodnoy tolstostennoy sfericheskoy obolochki, nakhodyashcheysya v temperaturnom pole [Optimization of Inhomogeneous Thick-walled Spherical Shell in the Temperature Field]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 12, pp. 40—46.