О моделировании поведения маятника в потоке среды

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 307-309

УДК 539.36

О МОДЕЛИРОВАНИИ ПОВЕДЕНИЯ МАЯТНИКА В ПОТОКЕ СРЕДЫ © 2011 г. Ю.Д. Селюцкий, П.Р. Андронов

НИИ механики Московского госуниверситета seliutski@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Проведено сравнение результатов моделирования поведения аэродинамического маятника с помощью модифицированного метода дискретных вихрей (ММДВ) и с помощью феноменологических моделей (квази-статического подхода и модели присоединенного осциллятора).

Показано, что для вынужденных гармонических колебаний маятника и для его свободных колебаний результаты, даваемые моделью присоединенного осциллятора, соответствуют данным ММДВ в достаточно широком диапазоне параметров движения, и область применимости этой модели существенно шире, чем квазистатического подхода.

Исследована устойчивость положения равновесия «по потоку» в зависимости от параметров системы. Установлено, в частности, что при увеличении момента инерции маятника это положение равновесия теряет устойчивость, даже если точка крепления маятника находится «перед» центром давления.

Ключевые слова: колебания, устойчивость, сопротивляющаяся среда, аэродинамический маятник.

Положение равновесия «по потоку» и его устойчивость

Разработка феноменологических моделей нестационарного взаимодействия твердого тела с потоком среды, которые, с одной стороны, содержали бы относительно небольшое число параметров и позволяли проводить эффективный параметрический анализ, а с другой стороны, давали достаточно адекватное описание поведения рассматриваемых объектов, является весьма актуальной задачей для разных областей науки (например, ветроэнергетики). Исследования такого рода ведутся разными группами ученых [1, 2] как в России, так и за рубежом.

Постановка натурных экспериментов по изучению нестационарного взаимодействия тела с потоком среды сопряжена с большими техническими трудностями. Поэтому представляется полезным провести сравнение различных феноменологических подходов к моделированию динамики данного процесса с результатами численного гидродинамического эксперимента, при котором силы со стороны среды рассчитываются на основе решения уравнений гидродинамики [3]. Такая информация впоследствии будет полезна, в частности для идентификации параметров феноменологических моделей и разработки сценариев целенаправленных натурных экспериментов.

Рассмотрим аэродинамический маятник, помещенный в поток среды, имеющий на бесконеч-

ности постоянную скорость V. Пусть маятник состоит из невесомой державки и крыла с симметричным профилем (рис. 1). Введем систему координат Ох1у1, связанную с маятником, центр которой находится в центре вращения, а ось абсцисс проходит через носик профиля (и центр давления). Абсциссу носика в этой системе координат обозначим через I.

Рис. 1

Рассматриваемая система имеет очевидное положение равновесия «по потоку».

В настоящей работе для задачи об аэродинамическом маятнике сравниваются квазистатичес-кая модель [4] и модель присоединенного осциллятора [1] (в рамках которой внутренняя динамика потока среды моделируется с помощью присоединенного осциллятора с массой т, коэффициентами жесткости и демпфирования к и к, прикрепленного к крылу в статическом центре давления), а в качестве гидродинамического аналога используется двумерный расчет численным методом дискретных вихрей [5]. Для упрощения записи выберем систему единиц измерения так,

чтобы V = 1, Ь = 1, pS/2 = 1 (где Ь - длина хорды профиля, S - площадь крыла, р - плотность среды).

Условие асимптотической устойчивости положения равновесия по потоку в рамках квази-статической модели имеет вид: I > -I0 , 10 - расстояние от носика до центра давления.

Критерии асимптотической устойчивости этого положения равновесия в соответствии с моделью присоединенного осциллятора имеют более сложный вид. В частности, в случае большого момента инерции маятника необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости имеет вид: I > I* = С/к -10.

Отметим, что в рамках модели присоединенного осциллятора положение равновесия по потоку для тяжелого крыла будет неустойчивым даже в случае, когда ось вращения расположена перед центром давления (но достаточно близко к нему). Таким образом, условия асимптотической устойчивости в рамках этой модели более жесткие, чем в квазистатической модели.

Результаты численного моделирования

Пусть маятник находится в положении равновесия «по потоку». Для исследования переходных процессов приложим к середине хорды постоянную силу, перпендикулярную скорости набегающего потока. Тогда возникнет переходный процесс выхода в новое положение равновесия, определяемое равенством аэродинамического момента и момента вынуждающей силы.

Расчеты проводились для двух профилей (ЫЛСЛ 0009 и КЛСЛ 0012) при разных значениях длины державки и плотности р0 материала крыла. Некоторые результаты численного моделирования для профиля КЛСЛ 0012 и длины державки

I = 1 приведены на рис. 2, 3 (рис. 2 соответствует случаю р0 = 100, рис. 3 - случаю р0 = 1000). Кривые 1 изображают зависимость угла поворота маятника от времени, полученную с помощью ММДВ, кривые 2 - результаты расчетов по модели присоединенного осциллятора, а кривые 3 -зависимость, полученную в рамках квазистати-ческого подхода. Во всех расчетах были приняты следующие значения параметров осциллятора: т = 1.6, к = 3, к = 8. Эти значения были определены по результатам моделирования гармонических колебаний маятника (0 = 0^т Ш).

Видно, что результаты расчетов по ММДВ и по модели присоединенного осциллятора находятся в качественном согласии. Более того, в достаточно широком диапазоне значений параметров

имеет место количественное согласие результатов. В то же время данные, полученные с помощью квазистатического подхода, заметно отличаются. Это может свидетельствовать о том, что для описания данного класса движений квазиста-тический подход в его традиционной форме неприменим.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 09-01-00340, 11-08-00444).

Список литературы

1. Самсонов В.А., Селюцкий Ю.Д. О колебаниях пластины в потоке сопротивляющейся среды // Изв. РАН. МТТ. 2004. №4. С. 24-31.

2. Храбров А.Н. Математическое моделирование влияние схода вихрей на нестационарные аэродинамические характеристики профиля при его произвольном движении // Уч. зап. ЦАГИ. 2002. Т. XXXIII, №3-4. С. 3-17.

3. Андронов П.Р., Гувернюк С.В, Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. М.: МГУ, 2006. 184 с.

4. Локшин Б.Я., Самсонов В.А. Об одной эвристической модели аэродинамического маятника // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, №3. С. 1047-1061.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. 256 с.

ON THE SIMULATION OF THE BEHAVIOR OF AN AERODYNAMIC PENDULUM Yu.D. Selyutskiy, PR. Andronov

Results of simulating the behavior of an aerodynamic pendulum obtained with the modified discrete vortices method (MDVM) and with phenomenological models (quasi-steady approach and attached oscillator model) are compared.

It is shown that for forced harmonic oscillations of the pendulum and for its free oscillations, results obtained using the attached oscillator model qualitatively agree with MDVM data, and the applicability domain of this model is larger than that of the quasi-steady approach.

Stability of the "along the flow" equilibrium is studied depending on system parameters. It is determined, in particular, that this equilibrium loses its stability when the moment of inertia of the pendulum increases, even if the rotation point is upstream from the center of pressure.

Keywords: oscillations, stability, resisting medium, aerodynamic pendulum.