Каналирование ультрарелятивистских частиц в кристалле алмаза

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

DOI: 10.18721/JPM.11213 УДК 538.911; 539.1.03

КАНАЛИРОВАНИЕ уЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ В КРИСТАЛЛЕ АЛМАЗА

К.Б. Агапьев1, В.К. Иванов1, А.В. Король2, А.В. Соловьев2

1 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация;

2 Научно-исследовательский центр мезобионаносистем (MBN), Франкфурт-на-Майне, Германия

В работе представлены результаты численного моделирования процессов каналирования ультрарелятивистских электронов и позитронов с энергией 270 МэВ в кристаллах алмаза. С помощью пакета прикладных программ MBN Explorer были определены траектории заряженных частиц, падающих на кристалл длиной 20 мкм вдоль кристаллографической плоскости (110). Получены параметры каналирования и спектры излучения позитронов и электронов для случаев падения этих частиц на прямой и на периодически изогнутый кристаллы алмаза.

Ключевые слова: периодически искривленный кристалл алмаза; каналирование; ультрарелятивистская частица; излучение при каналировании

Ссылка при цитировании: Агапьев К.Б., Иванов В.К., Король А.В., Соловьев А.В. Каналирование ультрарелятивистских частиц в кристалле алмаза // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2018. Т. 11. № 2. С. 139 - 150. DOI: 10.18721/JPM.11213

CHANNELING OF uLTRARELATIVISTIC PARTICLES IN A DIAMOND CRYSTAL

K.B. Agapev1, V.K. Ivanov1, A.V. Korol2, A.V. Solov'yov2

1 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation;

2 MBN Research Center UG, Frankfurt am Main, Germany

The numerical simulation results on the channeling of ultrarelativistic electrons and positrons with the energy of 270 MeV in a diamond crystal are presented in the paper. Using the pack of applied codes MBN Explorer [1, 2], the trajectories of the charged particles have been determined for the particles' falling on the 20 ^m-length crystal, along (110) crystallographic plane. The channeling parameters and radiation spectra of electrons and positrons were obtained computationally for the cases of the charged particles' incidence on a straight diamond crystal and a periodically bent one.

Key words: periodically bent diamond crystal; channeling; ultrarelativistic particle; channeling radiation

Citation: K.B. Agapev, V.K. Ivanov, A.V. Korol, A.V. Solov'yov, Channeling of ultrarelativistic particles in a diamond crystal, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. 11 (2) (2018) 139 - 150. DOI: 10.18721/JPM.11213

Введение

Процессы взаимодействия заряженных частиц с веществом, в частности кристаллическим, уже многие годы исследуются экспериментаторами и теоретиками. Целью этих исследований является определение таких характеристик взаимодействия, как длина пробегов частиц в веществе, их энергетические потери, спектры излучений и другие [2].

В последние годы большое внимание уделяется процессам каналирования в кристаллах, когда заряженные частицы, попадая в потенциальный «канал», определяемый электростатическими силами, распространяются вдоль кристаллографических плоскостей или осей. Такие частицы, захваченные в канал прямого кристалла, могут пробегать значительные расстояния, превышающие среднюю длину пробега в аморфной мишени, вследствие значительно меньшей потери энергии на своем пути [3]. Для электронов канал пролегает вдоль рядов атомов или ионных цепочек кристалла, в то время как для позитронов он располагается в пространстве между рядами атомов. Стабильность движения частиц вдоль каналов определяется малым значением энергии поперечного движения, по сравнению с величиной электростатического барьера.

Будучи захваченной в канал, частица испытывает осцилляции в плоскости, поперечной направлению распространения частицы, что приводит к излучению при ее каналировании [4]. Это излучение определяется поперечной энергией канали-рующей частицы, и в зависимости от типа кристалла и его ориентации меняется его интенсивность. При этом осцилляционное излучение не когерентно и имеет широкий энергетический спектр [5 — 9].

Каналирование может также происходить в изогнутых кристаллах, которые часто используются для поворота пучков заряженных частиц, ускоренных до релятивистских энергий [10]. Перемещение частицы складывается из двух компонент: ее осцилляционное движение в канале и ее распространение вдоль средней линии искривленного канала. Стабильность по-

следней компоненты движения в таком искривленном канале достигается при дополнительном условии, а именно — радиус кривизны R должен значительно превышать критическую величину Яс, определяемую продольной энергией частицы [10]. Такое движение релятивистской частицы при ка-налировании в изогнутом канале приводит к дополнительному излучению синхро-тронного типа. Интенсивность и частота синхротронного излучения зависят от типа и энергии каналирующих частиц, а также от характеристик кристалла [11 — 18].

Исследование синхротронного излучения представляет несомненный интерес в связи с концепцией кристаллического ондулятора (см., например, работу [18] и ссылки в ней). Возможность каналирова-ния заряженных релятивистских частиц в периодически изогнутом кристалле (кристаллическом ондуляторе) может дать новый источник монохроматического излучения с энергией от сотен кэВ до нескольких МэВ.

В связи с идеей создания кристаллического ондулятора, в последние годы в ряде лабораторий проводятся эксперименты по измерению параметров каналирования и характеристик спектров излучения ультрарелятивистских позитронов [19 — 21] и электронов [22, 23] в прямых и изогнутых кристаллах кремния и алмаза. Теоретические работы по исследованию процессов каналирования в этих кристаллах проводятся с использованием недавно разработанного пакета прикладных программ MBN Explorer [1, 2]. Применимость этого пакета для описания процессов каналирования электронов и позитронов была проверена в расчетах для аморфного и кристаллического кремния [2, 24 — 26].

Поскольку в настоящее время проводятся эксперименты по измерению спектров излучения электронов в периодически изогнутом кристалле алмаза [27], представляет несомненный интерес теоретическая интерпретация экспериментальных результатов.

В связи с вышеизложенным, целью данной работы является теоретический анализ каналирования ультрарелятивистских элек-

тронов и позитронов с энергией 270 МэВ как в прямом, ориентированном вдоль кристаллографической плоскости (110) кристалле алмаза, так и в периодически изогнутом кристалле алмаза.

Моделирование процесса каналирова-ния электронов и позитронов в прямых, изогнутых и периодически изогнутых каналах выполнялось нами с помощью универсального пакета вычислительных программ MBN Explorer [1, 2].

Метод расчета в рамках пакета MBN Explorer

Трехмерное моделирование прохождения ультрарелятивистских частиц через кристаллическую среду осуществляется с помощью алгоритма молекулярной динамики, реализованного в пакете вычислительных программ MBN Explorer [2]. Характеристики движения высокоэнергетических частиц внутри кристалла были получены путем интегрирования релятивистских уравнений движения. При построении траектории частицы производилось пошаговое динамическое моделирование кристаллической среды [2].

Для описания движения ультрарелятивистских частиц применимо квазиклассическое приближение, и, поскольку квантовые поправки малы, можно ограничиться уравнениями классической релятивистской механики:

Р = qE

Здесь E(r) — внешнее электростатическое поле; q — заряд частицы, а p — ее релятивистский импульс, определяемый обычным выражением:

p = mY = myv,

где m, r, v — масса частицы, ее радиус-вектор и скорость, соответственно; у — релятивистский фактор,

Y

= (1 - v^c2)-1'2 >> 1

(с — скорость света).

При интегрировании уравнения (1) используются начальные условия для координат налетающей частицы и ее скорости: г о = г(0) и ^ = ^0).

В модуле MBN Explorer, связанном с каналированием, электростатическое поле вычисляется как

E( r) = -VU (r).

Здесь электростатический потенциал U(r) представляет собой сумму атомных по-

тенциалов Uat :

U(r) = ^Uat (Pj),

где p. = r — R. (R. — радиус-вектор j-го атома, p - координата в плоскости, перпендикулярной направлению движения).

Формально суммирование выполняется по всем атомам кристалла. Однако, если учитывать быстрое уменьшение Uat(p.) с расстоянием, то можно ввести предельное расстояние pmax, дальше которого вклад атомного потенциала Uat(p.) пренебрежимо мал. Поэтому для данной точки наблюдения r сумма может быть ограничена теми атомами, которые расположены внутри сферы радиуса pmax. Для поиска таких атомов используется алгоритм связанных ячеек, реализованный в MBN Explorer, который подразумевает разбиение кристалла на ячейки и рассмотрение только ближайших к частице атомов. Описанная схема используется для расчета силы qE, действующей на каждом шаге интегрирования.

Для моделирования движения частиц вдоль кристаллографической плоскости с индексами Миллера (к l m) используется следующая процедура [28]. Вводится си-муляционный бокс размерами Lx * Ly * Lz, внутри которого вводится кристаллическая решетка. Ось z ориентирована вдоль направления распространения пучка и параллельна плоскости (к l m), ось y направляется перпендикулярно этой плоскости. Радиус-векторы узлов решетки И.*0) (j = 1, 2, ..., N) генерируются в соответствии с типом ячейки Браве кристалла, при этом используются заранее определенные значения трансляционных векторов [18].

Когда узловые точки внутри симуляци-онного бокса определены, векторы положения атомных ядер генерируются с учетом их тепловых колебаний. Последние приводят к случайному смещению А. от узловых

положений; эти положения определяются нормальным распределением около среднеквадратичной амплитуды тепловых колебаний [29].

Интегрирование уравнений движения начинается при t = 0, когда частица «входит» в кристалл при значении координаты z = 0. Начальные координаты x0 и y0 выбираются в центральной части плоскости (xy), в пределах Ax = 2d, Ay = d (d — межплоскостное расстояние плоскостей (к l m)), случайным образом, с помощью генератора случайных чисел. Начальная скорость v0 частицы ориентирована вдоль оси z, т. е. она имеет компоненты v0 (0, 0, v0z).

Для моделирования распространения частицы через кристалл конечной толщины L в MBN Explorer используется так называемый динамический симуляционный бокс [2, 18] как новый тип граничных условий. Внутри этого бокса движется частица, взаимодействующая с атомами, лежащими внутри обрезающей сферы. Для оптимизации численной процедуры размеры бокса L, L , Lz выбираются в 3 — 5 раз больше, чем р . Как только расстояние l от частицы

г max г 1

до ближайшей грани становится близким к pmax (l « pmax), создается новый симуляцион-ный бокс того же размера с геометрическим центром, совпадающим (приблизительно) с положением частицы. Чтобы избежать скачков в изменении силы, действующей на частицу, положения атомов, расположенных на пересечении старого и нового симуляционных боксов, не изменяются. В остальной части нового бокса позиции атомных ядер генерируются по описанной выше схеме. Моделирование прерывается, когда z-координата частицы становится равной толщине кристалла L.

Аналогичный процесс выполняется при моделировании искривленных каналов в изогнутом кристалле.

Расчет траекторий электронов и позитронов

С помощью пакета программ MBN Explorer было произведено моделирование траекторий электронов и позитронов энергией 270 МэВ, падающих вдоль кристаллографических плоскостей (110) на кристаллы алмаза. Расчеты были выполнены для

прямого кристалла и периодически изогнутого по косинусу; длина кристаллов — 20 мкм. Амплитуда изогнутости кристалла составляла 2,5 А, длина периода изогнутости — 5 мкм. С помощью генератора случайных чисел было построено по 6 тыс. траекторий для электронов в прямом кристалле алмаза, ориентированном вдоль кристаллографической плоскости (110), и в периодически изогнутом кристалле. Столько же траекторий было получено для позитронов в тех же кристаллах. Траектории были проанализированы и усреднены для расчета параметров каналирования в кристалле.

В обычном кристалле алмаза мы имеем дело с прямыми каналами, обусловленными периодическим расположением его атомов. Ширина канала определяется межатомным расстоянием и составляет величину d = 1,26 А. Частицы, захваченные в прямые каналы с малой поперечной энергией, реже покидают такие каналы. В силу того, что кристалл короткий, позитроны чаще всего проходят по каналу через весь прямой кристалл, электроны же чаще сталкиваются с атомами решетки и вылетают из канала. Это связано с тем, что позитроны движутся между атомами кристалла, где их удерживает отталкивающее взаимодействие с ионами решетки. Электроны же движутся по траекториям, подобным винтовым линиям, в непосредственной близости от ядер, поэтому они существенно чаще сталкиваются с ними и вылетают из канала.

Траектории заряженных частиц при ка-налировании в изогнутых кристаллах становятся более сложными и разнообразными. В качестве примера на рис. 1 приведено несколько типичных траекторий электронов и позитронов в периодически изогнутых кристаллах алмаза. Тонкие сплошные линии на изображениях показывают границы каналов; по вертикальной оси откладывается расстояние у в плоскости, перпендикулярной направлению движения (расстояние измеряется в единицах межатомного расстояния с1). На этом рисунке можно увидеть основные особенности и характеристики движения частиц в кристалле: режимы каналирования, деканалирования,

реканалирования [18]. Под реканалирова-нием понимается процесс, когда частица, двигаясь вне канала, может испытывать столкновение и, вследствие этого, может быть захвачена каким-либо каналом.

На рис. 1, а представлена только одна траектория электрона, проходящая кристалл в одном канале. Такие траектории по статистике выглядят как исключение из общего числа траекторий. Остальные представленные траектории соответствуют более обычному движению электронов в режимах деканалирования и нерегулярного реканалирования на коротких участках различных каналов.

а)

Сравнение траекторий, представленных на рис. 1 а и Ь, показывает, что позитроны каналируют значительно лучше, чем электроны, причем такая картина наблюдается как для прямого, так и для изогнутого кристаллов. Лишь небольшая часть позитронов из тех, которые были изначально захвачены в канал, вылетает из него, большая же часть проходит сквозь весь кристалл через один канал. Поэтому интенсивность синхротрон-ного излучения в периодически изогнутом кристалле должна быть выше.

Отметим, что амплитуда колебаний позитронов внутри канала может быть различной, однако поперечные колебания

Penetration distance z, цш

b)

yld

5 10 15

Penetration distance z, цт

20

Рис. 1. Траектории электронов

В кристалле межатомное расстояние с1 = 1,26 А

являются практически изохронными, их период остается почти неизменным, что соответствует гармоническим колебаниям. Следовательно, все позитроны излучают энергию примерно на одной длине волны, и их пик каналирующего излучения оказывается более узким и интенсивным, в отличие от максимума интенсивности излучения для электронов.

Статистический анализ вычисленных траекторий позволил получить основные параметры, характеризующие каналирова-ние заряженных частиц (представлены в таблице).

Коэффициент захвата частиц А (ассер1апсе) представляет собой отношение числа частиц N , попавших в канал при

1 асс г

попадании в кристалл, к числу всех падающих частиц N„1

А = Nacc IN0 .

Приведенные в таблице значения относятся к коэффициенту захвата при падении частиц вдоль оси

Остальные параметры связаны со средними расстояниями или временами нахождения заряженных частиц в одном или не-

скольких каналах. Длина каналирования ЬИ определяется как среднее расстояние, которое частица прошла в канале за все время движения в кристалле. Длина реканалиро-вания ЬссИ — среднее расстояние, пройденное частицами в каналах в процессах река-налирования (попадание в новый канал в результате столкновения).

В таблице представлены еще два параметра, называемые длиной проникновения [1, 18]. Первый, обозначенный как Ьр1, определяет среднее расстояние, пройденное частицей, попавшей в первоначальный канал при входе в кристалл, то есть расстояние от входа до точки деканалирова-ния внутри кристалла. Вторая длина проникновения, Ьр2, определяется как среднее расстояние, пройденное частицей в одном канале, включая те каналы, в которые частица захватывается в результате реканали-рования.

В связи с тем, что кристалл достаточно короткий (20 мкм), позитроны, захваченные в канал, проходят практически весь кристалл в том же канале; они имеют большие длины проникновения, каналиро-вания и реканалирования, а также больший

Таблица

Параметры каналирования частиц в прямом и периодически изогнутом кристаллах алмаза

Параметр Обозначение Прямой кристалл Периодически изогнутый кристалл

Э П Э П

Коэффициент захвата частиц А 0,695 0,957 0,511 0,888

Длина каналирования Ь ,, мкм сИ 9,039 18,664 6,058 17,173

Длина реканалирования Ь ,, мкм гесп' 4,184 6,083 5,979 7,529

Длина проникновения Ь ,, мкм 5,431 19,068 4,303 18,819

Ь,, мкм р2 4,551 18,013 3,599 16,373

Обозначения: Э, П — электроны и позитроны соответственно.

Примечания. 1. Длина обоих кристаллов алмаза — 20 мкм. 2. Частицы обоих типов падают на кристаллы с энергией 270 МэВ вдоль кристаллографических плоскостей (110). 3. Прямой кристалл ориентирован вдоль кристаллографической плоскости (110).

коэффициент захвата А.

Электроны значительно чаще испытывают столкновения с ионами решетки, так как их траектории проходят в непосредственной близости от ионов, и, как результат, часто вылетают из канала.

Спектры излучения электронов и позитронов

Анализ полученных временных зависимостей координат г = г(0 и скоростей v = v(t) частиц позволяет получить спектральные характеристики излучения этих частиц.

Для вычисления спектрально-углового распределения излучаемой энергии d3Е / (й dш dО) (ю — частота излучаемого фотона, О — телесный угол), В.Н. Байер и В.М. Катков развили квазиклассическое приближение, детали которого можно найти в работе [30].

В рамках квазиклассического приближения спектральное распределение энергии, излученной ультрарелятивистской частицей в направлении п, определяется следующим выражением [30]:

d3 E

й d ш d О

"г

= а

2 2 q ш2

8п2

| dt11 dt2

1 +

^2

- 1

где а = с2/йс — постоянная тонкой структуры, q — заряд частицы в единицах элементарного заряда,

) = г - пг(^)/с.

Величины ш' и u учитывают радиационную отдачу:

ш ' = (1 + u)ш, ы =

йш

8 - Йш

Спектральное распределение излучаемой энергии dE / (й dш) получается путем численного интегрирования значений d3Е / (й dш dО) по заданным интервалам углов ф и 9. В приведенных ниже результатах мы ограничивались учетом фотонов, излученных в пределах апертуры 0,2 мрад. Иными словами, в спектрах излучения мы учитывали пучок фотонов, который лежит

в конусе с параметрами ср[0; 2п] и 0[О; 00 ].

Таким образом, мы получаем спектр излучения для каждой вычисленной траектории и усредняем по ансамблю этих траекторий.

На рис. 2, а представлены спектры излучения электронов в прямом и изогнутом кристаллах. Широкий максимум (кривая 1) при энергии больше 0,4 МэВ определяется вкладом в интенсивность излучения, связанного с осцилляциями электрона в плоскости, поперечной направлению движения частицы (СК). Уменьшение интенсивности этого максимума в периодически изогнутом кристалле (кривая 2) связано с большими потерями числа кана-лирующих электронов.

На рис. 2, Ь показаны спектры излучения позитронов в прямом и изогнутом кристаллах. Максимум СК (кривая 1) здесь более узкий и высокий ввиду того, что частота поперечных колебаний всех позитронов при распространении в канале примерно одинакова.

При каналировании в изогнутом кристалле, как видно из рис. 2, а и Ь (кривые 2), при энергии квантов порядка 130 кэВ наблюдается максимум интенсивности излучения, отсутствующий в прямом кристалле. Появление этого максимума связано с движением частицы в периодически изогнутом кристалле, когда заряженная частица движется вдоль средней линии изогнутого канала. Частота квантов излучения связана с периодом кривизны канала и продольной энергией заряженной частицы. Это излучение когерентно, имеет небольшую спектральную ширину и, поскольку оно аналогично излучению в ускорителях на свободных электронах и позитронах, проходящих через периодически ориентированное магнитное поле, оно носит название ондуляторного излучения. Поскольку в работе рассматриваются электроны и позитроны одинаковой энергии, то положение ондуляторного пика на спектрах излучения одинаково. Однако интенсивность излучения позитронов на порядок выше, чем для электронов, вследствие гармоничности колебаний и большей длины каналирования позитронов.

го

а)

dE/hd(o

MeV

b)

MeV

Рис. 2. Спектры излучения йЕДМю) электронов

Заключение

С помощью пакета прикладных программ MBN Explorer [1, 2] проведено численное моделирование траекторий ультрарелятивистских заряженных частиц в прямом и изогнутом кристаллах алмаза при падении электронов и позитронов вдоль кристаллографической плоскости (110). Координаты входа частиц в поперечной

плоскости выбирались с помощью генератора случайных чисел. Статистическая обработка полученных траекторий позволила определить параметры каналирования электронов и позитронов с энергией 270 МэВ в кристалле алмаза длиной 20 мкм. Показано, что позитроны имеют больший коэффициент захвата в канал и пробегают существенно большие расстояния в кристаллическом канале по сравнению с электронами.

Рассчитанный спектр излучения электронов и позитронов в квазиклассическом приближении при каналировании в периодически изогнутом кристалле состоит из двух основных областей. Высокоэнергетический максимум интенсивности связан с синхротронным излучением частиц при осцилляционном движении в канале; тот же максимум получен при каналировании в прямом кристалле. Низкоэнергетический максимум в области 130 кэВ появляется при движении частиц в периодически изогнутом канале и имеет ондуляторную природу. Это излучение когерентно и, несмотря на малое число периодов изогнутого кристалла (4 периода), имеет заметную интенсивность, что представляет интерес для возможного создания лазера

[17, 18, 31].

Полученные параметры каналирования и рассчитанные спектры излучения представляют интерес в связи с проводимыми в настоящее время экспериментами по ка-налированию электронов в прямых и изогнутых кристаллах в университете Майнца (Германия) [27].

Благодарности

Авторы работы выражают благодарность коллективу Суперкомпьютерного центра СКЦ «Политехнический» за предоставление вычислительных ресурсов для проведения расчетов и фонду Александра Гумбольдта (Германия) за частичную поддержку работы в рамках гранта, направленного на поддержку связей научных групп.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Solov'yov I.A., Yakubovich A.V., Nikolaev P.V., Volkovets I., Solov'yov A.V. MesoBioNano explorer — a universal program for multiscale computer simulations of complex molecular structure and dynamics // J. Comp. Chem. 2012. Vol. 33. No. 30. Pp. 2412-2439.

2. Sushko G.B., Bezchastnov V.G., Solov'yov I.A., Korol A.V., Greiner W., Solov'yov A.V. Simulation of ultrarelativistic electrons and positrons channeling in crystals with MBN explorer // J. Comp. Phys. 2013. Vol. 252. November 1. Pp. 404-418.

3. Lindhard J., Winther A., Dan K. Influence of crystal lattice on motion of energetic charged particles // Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd. 1965. Vol. 34. No. 14. Pp. 1-64.

4. Kumakhov M.A. On the theory of electromagnetic radiation of charged particles in a crystal // Phys. Lett. A. 1976. Vol. 57. No. 1. Pp. 17-18.

5. Andersen J.U., Bonderup E., Pantell R.H.

Channeling radiation // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1983. Vol. 33. Pp. 453 -504.

6. Bak J., Ellison J.A., Marsh B., Meyer F.E., ..., Suffert M. Channeling radiation from 2-55 GeV/c electrons and positrons: (I). Planar case // Nucl. Phys. B. 1985. Vol. 254. Pp. 491-527.

7. Bak J., Ellison J.A., Marsh B., Meyer F.E., ., Suffert M. Channeling radiation from 2 to 20 GeV/c electrons and positrons (II): Axial case // Nucl. Phys. B. 1988. Vol. 302. Pp. 525 - 558.

8. Базылев В.А., Жеваго Н.К. Генерация интенсивного электромагнитного излучения реля-

тивистскими частицами // Успехи физических наук. 1982. Т. 137. Вып. 4. С. 605-662.

9. Kumakhov M.A., Komarov F.F. Radiation from charged particles in solids. New York: AIP, 1989.

10. Tsyganov E.N. Estimates of cooling and bending processes for charged particles penetration through a monocrystal. Fermilab preprint TM-682, Fermilab, Batavia, 1976. Fermilab Preprint TM-684. Fermilab, Batavia, 1976.

11. Kaplin V.V., Vorobev S.A. On the electromagnetic radiation of channeled particles in a curved crystal // Phys. Lett. A. 1978. Vol. 67. No. 2. Pp. 135 - 137.

12. Bashmakov Yu.A. Radiation and spin separation of high-energy positrons channeled in bent crystals // Radiat. Effects and Defects in Solids. 1981. Vol. 56. No. 1-2. Pp. 55-60.

13. Taratin A.M., Vorobiev S.A. Quasisynchrotron radiation of high-energy positrons channeled in bent crystals // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 1989. Vol. 42. No. 1. Pp. 41-45.

14. Arutyunov V.A., Kudryashov N.A., Samsonov V.M., Strikhanov M.N. Radiation of ultrarelativistic charged particles in a bent crystal // Nucl. Phys. B. 1991. Vol. 363. Pp. 283 -300.

15. Таратин А.М. Каналирование частиц в изогнутом кристалле // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1998. Т. 29. Вып. 5. С. 1063-1118.

16. Korol A.V., Solov'yov A.V., Greiner W.

Cogerent radiation of an ultrarelativistic charged

particle channeling in a periodically bent crystal // J. Phys. G.: Nucl. Part. Phys. 1998. Vol. 24. No. 5. Pp. L45-L53.

17. Korol A.V., Solov'yov A.V., Greiner W. Photon emission by an ultrarelativistic particle channeling in a periodically bent crystal // Int. J. Mod. Phys. E. 1999. Vol. 8. No. 1. Pp. 49-100.

18. Korol A.V., Solov'yov A.V., Greiner W. Channeling and radiation in periodically bent crystals. 2nd ed. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2014.

19. Baranov V.T., Bellucci S., Biryukov V.M., Britvich G.I., ..., Zapolsky V.N. Prelimenary results on the study of radiation from positrons in a periodically deformed crystal // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 2006. Vol. 252. No. 1. Pp. 32-35.

20. Backe H., Krambrich D., Lauth W., Buonomo

B., Dabagov S.B., Mazzitelli G., Quintieri L., Lundsgaard H.J., Uggerhoj U.I., Azadegan B., Dizdar A., Wagner W. Future aspects of X-ray emission from crystal undulators at channeling // Nuovo Cimento.

C. 2011. Vol. 34. No. 4. Pp. 175-180.

21. Backe H., Kunz P., Lauth W., Rueda A. Planar channeling experiments with electrons at the 855 MeV Mainz Microtron MAMI // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 2008. Vol. 266. No. 17. Pp. 3835-3851.

22. Backe H., Krambrich D., Lauth W., Lundsgaard H.J., uggerhoj u.I. X-ray emission from a crystal undulator - Experimental results at channeling of electrons // Nuovo Cimento. C. 2011. Vol. 34. No. 4. Pp. 157-165.

23. Backe H., Krambrich D., Lauth W., Andersen K.K., Lundsgaard H.J., Uggerhoj U.I. Channeling and radiation of electrons in silicon single crystals and Si^Ge* crystalline undulators //J. Phys.: Conf. Series. 2013* Vol. 438. Conf. 1. P. 012017.

24. Sushko G.B., Korol A.V., Greiner W.,

Solov'yov A.V. Sub-GeV electron and positron channeling in straight, bent and periodically bent silicon crystals // J. Phys.: Conf. Series. 2013. Vol. 438. Conf. 1. P. 012018.

25. Полозков Р.Г., Иванов В.К., Сушко Г.Б., Король А.В., Соловьев А.В. Каналирование ультрарелятивистских позитронов в изогнутых кристаллах алмаза // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2015. № 2 (218). С. 167-178.

26. Korol A.V., Bezchastnov V.G., Sushko G.B, Solov'yov A.V. Simulation of channeling and radiation of 855 MeV electrons and positrons in a small-amplitude short-period bent crystal // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 2016. Vol. 387. Pp. 41-53.

27. Lauth W., Backe H., Barett R., et al.

Channeling experiments with electrons at the Mainz Microtron MAMI // 4th Intern. Conf. "Dynamics of Systems on the Nanoscale" (DySoN 2016). October 03 — 07, 2016. Bad Ems, Germany. Book of Abstracts, 2016. P. 63.

28. Molière G. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen I Einzelstrtuung am abgeschirmten Coulomb-Feld // Z. Naturforschg. A. 1947. Bd. 2a. S.133—145.

29. Gemmel D.S. Channeling and related effects in the motion of charged particles through crystals // Rev. Mod. Phys. 1974. Vol. 46. No. 1. Pp. 129—227.

30. Baier V.N., Katkov V.M., Strakhovenko V.M. Electromagnetic processes at high energies in oriented single crystals. Singapore: World Scientific, 1998.

31. Korol A.V., Solov'yov A.V., Greiner W.

Channeling of positrons through periodically bent crystals: on the feasibility of crystalline undulator and gamma-laser // Int. J. Mod. Phys. E. 2004. Vol. 13. No. 5. Pp. 867—916.

Статья поступила в редакцию 23.03.2018, принята к публикации 23.03.2018.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

АГАПЬЕВ Кирилл Борисович — студент Института физики, нанотехнологий и телекоммуникаций Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация.

195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 cyr96@mail.ru

ИВАНОВ Вадим Константинович — доктор физико-математических. наук, профессор Института физики, нанотехнологий и телекоммуникаций Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация.

195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 ivanov@physics.spbstu.ru

КОРОЛЬ Андрей Владимирович — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Научно-исследовательского центра мезобионаносистем (MBN), г. Франкфурт-на-Майне, Германия. 60438, Germany, Frankfurt am Main, Altenhoferallee, 3 korol@mbnexplorer.com

СОЛОВЬЕВ Андрей Владимирович — доктор физико-математических. наук, директор Научно-исследовательского центра мезобионаносистем (MBN), г. Франкфурт-на-Майне, Германия. 60438, Germany, Frankfurt am Main, Altenhoferallee, 3 solovyov@mbnresearch.com

REFERENCES

[1] I.A. Solov'yov, A.V. Yakubovich, P.V. Nikolaev, I. Volkovets, A.V. Solov'yov,

MesoBioNano explorer — a universal program for multiscale computer simulations of complex molecular structure and dynamics, J. Comp. Chem. 33 (30) (2012) 2412-2439.

[2] G.B. Sushko, V.G. Bezchastnov, I.A. Solov'yov, et al., Simulation of ultrarelativistic electrons and positrons channeling in crystals with MBN explorer, J. Comp. Phys. 252 (2013) (November 1) 404-418.

[3] J. Lindhard, A. Winther, K. Dan, Influence of crystal lattice on motion of energetic charged particles, Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd. 34 (14) (1965) 1-64.

[4] M.A. Kumakhov, On the theory of electromagnetic radiation of charged particles in a crystal, Phys. Lett. A. 57 (1) (1976) 17-18.

[5] J.U. Andersen, E. Bonderup, R.H. Pantell, Channeling radiation, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 33 (1983) 453-504.

[6] J. Bak, J.A. Ellison, B. Marsh, F.E. Meyer, ..., M. Suffert, Channeling radiation from 2-55 GeV/c electrons and positrons: (I). Planar case, Nucl. Phys. B. 254 (1985) 491-527.

[7] J. Bak, J.A. Ellison, B. Marsh, F.E. Meyer, ..., M. Suffert, Channeling radiation from 2 to 20 GeV/c electrons and positrons (II): Axial case, Nucl. Phys. B. 302 (1988) 525-558.

[8] V.A. Bazylev, N.K. Zhevago, Intense electromagnetic radiation from relativistic particles, Sov. Phys. Usp. 25 (8) (1982) 565-595.

[9] M.A. Kumakhov, F.F. Komarov, Radiation from charged particles in solids, AIP, New York, 1989.

[10] E.N. Tsyganov, Estimates of cooling and bending processes for charged particles penetration through a monocrystal, Fermilab preprint TM-682, Fermilab, Batavia, 1976. Fermilab Preprint TM-684. Fermilab, Batavia ,1976.

[11] V.V. Kaplin, S.A. Vorobev, On the electromagnetic radiation of channeled particles in a curved crystal, Phys. Lett. A. 67 (2) (1978) 135-137.

[12] Yu.A. Bashmakov, Radiation and spin

separation of high energy positrons channeled in bent crystals, Radiat. Effects and Defects in Solids. 56 (1-2) (1981) 55-60.

[13] A.M. Taratin, S.A. Vorobiev, Quasisynchrotron radiation of high-energy positrons channeled in bent crystals, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 42 (1) (1989) 41-45 .

[14] V.A. Arutyunov, N.A. Kudryashov, V.M. Samsonov, M.N. Strikhanov, Radiation of ultrarelativistic charged particles in a bent crystal, Nucl. Phys. B. 363 (1991) 283-300 .

[15] A.M. Taratin, Particle channeling in a bent crystal, Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei. 29 (5) (1998) 437-462 .

[16] A.V. Korol, A.V. Solov'yov, W. Greiner, Cogerent radiation of an ultrarelativistic charged particle channeling in a periodically bent crystal, J. Phys. G.: Nucl. Part. Phys. 1998. Vol. 24 (5) (1998) L45-L53.

[17] A.V. Korol, A.V. Solov'yov, W. Greiner,

Photon emission by an ultrarelativistic particle channeling in a periodically bent crystal, Int. J. Mod. Phys. E. 8 (1) (1999) 49-100.

[18] A.V. Korol, A.V. Solov'yov, W. Greiner, Channeling and radiation in periodically bent crystals, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2014.

[19] V.T. Baranov, S. Bellucci, V.M. Biryukov, G.I. Britvich., ..., V.N. Zapolsky, Prelimenary results on the study of radiation from positrons in a periodically deformed crystal, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 252 (1) (2006) 32-35.

[20] H. Backe, D. Krambrich, W. Lauth, et al., Future aspects of X-ray emission from crystal undulators at channeling, Nuovo Cimento. C. 34 (4) (2011) 175 -180.

[21] H. Backe, P. Kunz, W. Lauth, A. Rueda, Planar channeling experiments with electrons at the 855 MeV Mainz Microtron MAMI, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 266 (17) (2008) 3835-3851.

[22] H. Backe, D. Krambrich, W. Lauth, et al., X-ray emission from a crystal undulator -experimental results at channeling of electrons, Nuovo Cimento. C. 34 (4) (2011) 157-165.

[23] H. Backe, D. Krambrich, W. Lauth, et al.,

Channeling and radiation of electrons in silicon single crystals and Si1-xGe* crystalline undulators, J. Phys.: Conf. Series. 443*8 (21013) 012017.

[24] G.B. Sushko, A.V. Korol, W. Greiner, et al., Sub-GeV electron and positron channeling in straight, bent and periodically bent silicon crystals, J. Phys.: Conf. Series. 438 (2013) 012018.

[25] R.G. Polozkov, V.K. Ivanov, G.B. Sushko, et al., Channeling of ultrarelativistic positrons in bent diamond crystals, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. No. 2(218) (2015) 167-178.

[26] A.V. Korol, V.G. Bezchastnov, G.B. Sushko, A.V. Solov'yov, Simulation of channeling and radiation of 855 MeV electrons and positrons in a small-amplitude short-period bent crystal, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 387 (2016) 41-53.

[27] W. Lauth, H. Backe, R. Barett, et al., Channeling experiments with electrons at the Mainz

Received 23.03.2018, accepted 23.03.2018.

Microtron MAMI, In: 4th Intern. Conf. "Dynamics of Systems on the Nanoscale" (DySoN 2016), October 03—07, 2016, Bad Ems, Germany, Book of Abstracts, 2016, P. 63.

[28] G. Molière, Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen I Einzelstrtuung am abgeschirmten Coulomb-Feld, Z. Naturforschg. A 2 (1947) 133-145.

[29] D.S. Gemmel, Channeling and related effects in the motion of charged particles through crystals, Rev. Mod. Phys. 46 (1) (1974) 129-227.

[30] V.N. Baier, V.M. Katkov, V.M. Strakhovenko, Electromagnetic processes at high energies in oriente d single crystals, World Scientific, Singapore, 1998.

[31] A.V. Korol, A.V. Solov'yov, W. Greiner, Channeling of positrons through periodically bent crystals: on the feasibility of crystalline undulator and gamma-laser, Int. J. Mod. Phys. E. 13 (5) (2004) 867-916.

THE AuTHORS

AGAPEV Kirill B.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation

cyr96@mail.ru

IVANOV Vadim K.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation

ivanov@physics.spbstu.ru

KOROL Andrey V.

MBN Research Center UG

Altenhoferallee 3, 60438 Frankfurt am Main, Germany korol@mbnexplorer.com

SOLOV'YOV Andrey V.

MBN Research Center UG

Altenhoferallee 3, 60438 Frankfurt am Main, Germany solovyov@mbnresearch.com

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2018