Моделирование устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных преобразований разностных схем

Раздел IV. Информатика

С.Г. Буланов

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ МАТРИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1. Введение

Анализ устойчивости по Ляпунову необходимо выполнять при решении задач механики, физики, гидродинамики, теории автоматического регулирования, при управлении технологическими процессами, моделировании управления движением робота, в задачах аэрокосмической навигации, в ряде других областей науки, техники и технологии.

Известные методы во многих случаях сводят анализ устойчивости решений нелинейных систем общего вида к анализу устойчивости линейных систем. Анализ устойчивости последних детально разработан теоретически, однако сохраняет существенные математические и вычислительные сложности. Например, проверка критерия Рауса-Гурвица требует построения специальной матрицы с размерностью исходной системы и вычисления в ней всех главных диагональных миноров. При большой размерности матрицы эта операция доступна лишь при использовании компьютера, однако в этом случае возникает проблема вычислительной устойчивости. Существенной трудностью является сведение анализа устойчивости к случаю линейной системы с матрицей постоянных коэффициентов. С другой стороны, анализ устойчивости линейных систем с переменной матрицей коэффициентов выполняется математическими методами, моделирование сводится к графическому отображению решения. На этой основе актуальна разработка компьютерных средств анализа устойчивости линейных систем с переменной и постоянной матрицей коэффициентов.

Ниже предлагается подход к решению задачи анализа устойчивости, основанный на разностном решении системы линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ). Метод формирует мультипликативного вида условия устойчивости в матричной форме, их компьютерное моделирование влечет однозначное определение характера устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости систем ЛДУ.

2. Предлагаемый метод

Рассматривается задача Коши для системы ЛДУ

у (0 = У,,

где У — уп - искомая вектор-функция независимой переменной /: А (/ ) - матрица

коэффициентов, пхп. Её элементы - функции одной независимой переменной; У ((,,) = У,, -

а,к\

заданный начальный вектор. Используется каноническая норма матрицы \\А = шах / и согласованная с ней норма вектора || У || = шах }',. |.

\<к<п

Предполагается, что для (1) выполнены все условия существования и единственности решения на , оо . Эти же условия предполагаются выполненными для каждого элемента множества возмущённых решений У = У (/). соответствующих возмущённому начальному вектору У (/п) — Уц. по крайней мере для некоторого д > 0 и любых У0, таких что

Y -Y Y0 Y0

<ô.

Требуется исследовать решение задачи (1) на устойчивость в смысле Ляпунова. Исследование проводится для множества Я всех решений задачи (1) при ограничениях (2):

R:{t0<t«x>; Y(t),Y(t):

Y -Y 10 10

<

S}.

Кроме того, предполагается, что для (1) выполнены следующие ограничения.

1) Каждый элемент матрицы А (/) представляет собой функцию, которая определена, не-

прерывна и дифференцируема по t на полуоси [п

.

2) Матрица A (t ) равномерно ограничена на полуоси по норме: I A(t) I < с , с = const для Vie |0, оо

3) Ц^СО+^СОЦХЦДОЦ^С^Ц^СО+^СОЦХЦПО

< q, q = const

для V/ е со ^ при всех У (!), У {/). принадлежащих Я из (3).

В данных предположениях построение матричных мультипликативных условий устойчивости выполняется следующим образом. Метод Эйлера, приближённого решения системы (1) записывается в виде

YM=(E + hA(tI))YI,i = ОД,....

При любом t = const, te J0, со t, h и /'

всегда предполагаются связанными сле-

дующими соотношениями:

t = t1+l,h=t-^,i = ОД,.... / +1

Для возмущённого решения системы

?м=(Е + кАЦЖ,1 = ОД,...,

где У (/,,) = У,]. Уп из (2), У (I) не выводит из множества Я . в частности. У (!) удовлетворяет (3).

Соответствующие (4), (6) точные решения представляются в форме метода Эйлера с остаточным членом на каждом шаге:

где , - векторы остаточных членов.

Для разности между точным значением возмущенного и невозмущенного решения имеет место равенство

Гм-Гм=(Е + кАЦ))&-Г,) + <2Е,,тдеея(=ё( -бг,||еяг||<с1/22.

Таким образом, величина возмущения на текущем шаге выражается через величину возмущения на предыдущем шаге. Разворачивая это выражение по реккурентности, получим выражение для возмущения на текущем шаге через возмущение начальных данных

ы о

г г-к

™ Li=YdYl<<E + hA<<ti-l))QEы+QEi

к=1 1=О

Справедлива лемма [1].

Лемма 1. В рассматриваемых условиях имеет место соотношение =0(к), в частности,

Нш Е = 0.

/г—>0

Предельный переход в равенстве (7) при V ^ из (5) влечет

00 .

Таким образом, величина возмущения при любом t пропорциональна бесконечному матричному произведению. Отсюда вытекает

Теорема 1. Для того чтобы решение задачи (1) было устойчиво, необходимо и достаточно выполнение неравенства

<с1= сош1

для е , оо . Решение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено (9) и, кроме того, при ^ —> оо выполняется соотношение

НшП

Мультипликативная форма выражений под знаком предела в левой части предоставляет возможность запрограммировать вычисление этих выражений в виде цикла по числу матричных сомножителей. Это влечет возможность компьютерного анализа устойчивости по характеру значений нормы текущего произведения матриц из левой части условий.

Если матрица А в (1) не зависит от времени то условия (9), (10), соответственно, примут

вид:

Шп ГТ

1—^ОП -А- -А-

<С, С = сомЬ Шп Шп П(£+ АЛ) = б.

г —> сю г—>со

В этом частном случае предложенные условия устойчивости отличаются тем, что не требуют информации о характеристическом многочлене матрицы и о его корнях.

Аналогичные условия устойчивости строятся на основе методов Эйлера-Коши и Рунге-

Кутта.

Метод Эйлера-Коши разностного решения системы (1) имеет вид к

Отсюда, по аналогии с (7),

1 = о

1 = 0

о

1 = 0

1=0

1=0

ы о

~ h ~

1 '-k h — I

k=iе=о 2

При дополнительных ограничениях, оговоренных в [2], показано, что QE_Ki = О (h ) и

2 , -*

Rt =0{h ) . Отсюда lim Rt — О . Условия устойчивости и асимптотической устойчивости ре-

А-» О

шения задачи (1) на основе метода Эйлера-Коши, соответственно, примут вид

]mYl(E + -(A(t^) + A(t^+h)(E + hA(t^m

>-**> 1 = О

< с2 = const

для

-.-U- h

< = 0 ^

при ? —> СО .

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка разностного решения задачи (1) представляется равенством [2]

к 6

где

НИ ИИ

Ри=АЪ),Р„=А«1+-ХЕ + -Ри),Р31=А«1+1)(Е + 1р21),

Р4,=А(Т,+к)(Е + кР3,).

Разность между возмущённым и невозмущённым решением системы (1) преобразуется к соотношению

~ ' к ~ УМ~Г1+1=\[(Е + -(/>,., + 2 Р21_е +2Р31_е + Р41_е) ) (70 - 70) + Д ,

1 = 0 о

где

h

На этой основе условия устойчивости и асимптотической устойчивости решения задачи (1) примут вид:

1 h

Ш1\

1 = 0 О

< с3 = const

для

и

0

ш = 1£ = 0

' h

+ +2 P2i_t +2P3l_t +P4l_t)) £ = 0 О

при ? —> СО .

Использование данных условий обеспечивает более высокую достоверность анализа устойчивости в силу улучшения оценки погрешности от отбрасывания остаточных членов.

Условия отличаются очевидной программной реализуемостью в виде цикла умножения матриц.

В [3] исследуется достоверность предложенных условий устойчивости при замене предель-

ных значений в (9), (10) на конечное значение /. Пусть Pi — Л' + h А (/,_, )). Доказано, что

1 = о

при любом выборе Т = const, Ге |, ос __ на промежутке J0, Т имеет место равномерная

сходимость

Рг(Г0-70) ZZtSn Р i (70 - 70 ), W е \0,T~_

при / —> со. Кроме того, для Уе > 0 найдётся /0 = / п ( /, У,,, £ ), такое что

Р - lim Р.

< s \/t е |0, Т л V/>/0.

На основании этих утверждений делается вывод, что замена бесконечного произведения из левой части предложенных условий устойчивости на достаточно большое конечное число сомножителей частичного произведения позволяет сохранить достоверность условий.

Кроме того, в [3] исследуется зависимость условий устойчивости от погрешности приближенного решения. Это необходимо, поскольку в конструкцию сомножителей мультипликативных условий устойчивости в неявной форме входят разностные приближения. Для этой цели разность между приближенными значениями возмущённого и невозмущённого решений задачи (1), полученными на основе метода Эйлера, записывается в виде

YeYEi+1=U(E + hA(t,_,))(Y0- Y0) .

fc 0

Точное значение разности между возмущённым и невозмущённым решением представляет равенство

(Y+1-Y+i)-( Y.+1- Y,J (h).

Разность между значением возмущения и его разностным приближением на основе метода Эйлера имеет порядок О (к) . Это трактуется как обоснование возможности достоверно выполнять программное моделирование предложенных условий устойчивости в случае реализации на основе метода Эйлера.

Для методов Эйлера - Коши и Рунге - Кутта имеют место аналогичные оценки соответственно более высокого порядка:

(Y+i-Y+i)-( W*-Yr-KI+i ) =O (h4).

о

Поэтому для программного моделирования предложенных условий целесообразно использование методов высшего порядка.

В дополнение к анализу влияния разностных схем на условия устойчивости в [4] исследовалось влияние устойчивости на накопление погрешности метода Эйлера. Доказано [4], что в условиях устойчивости погрешность метода Эйлера растёт не более чем линейно по длине промежутка с коэффициентом линейности, не зависящим от длины промежутка.

Независимость коэффициента линейности от длины промежутка отличает оценку от известных аналогов. Это отличие обусловлено учетом условий устойчивости по Ляпунову при получении разностных оценок.

Совокупность представленных оценок обосновывает корректность программного моделирования условий устойчивости на основе разностных схем приближенного решения систем ЛДУ.

3. Вычислительный эксперимент

Базовая программа единообразно реализует циклические операции условий, при этом бесконечное произведение из левой части условий приближённо реализуется в форме частичного произведения с помощью разностных схем [1]. Результатом ее работы является вывод нормы матрицы значения частичного произведения на текущем шаге. Согласно предложенным условиям устойчивости неограниченный рост нормы означает неустойчивость, её ограниченность соответствует устойчивости, её убывание к нулю характеризует асимптотическую устойчивость (рис. 1).

На основе численного эксперимента установлены границы числовых параметров, при которых сохраняется достоверность программного моделирования устойчивости по предложенным условиям. В частности, было установлено, что модель с диапазоном промежутка от |), 100 до [) 10000 _ разностного решения системы ЛДУ и при длине шага от | И =10 - до | к =10 1

достоверно выявляет характер устойчивости произвольной системы данного класса по предложенным условиям.

В случае установления таких границ в качестве параметров программы модель достигает инвариантности относительно вида правой части системы, величины шага, длины промежутка интегрирования и разностных схем приближённого решения системы.

В случае систем ЛДУ с постоянной матрицей коэффициентов работа программы ускоряется: процесс умножения матриц сводится к возведению в квадрат текущего значения частичного произведения. При этом достигается экспоненциальное ускорение по сравнению со случаем переменной матрицы коэффициентов. Кроме того, очевидна возможность дополнительного ускорения за счет естественного параллелизма матричных операций [5].

4. Заключение

Основное значение предложенного метода заключается в возможности непрерывного мониторинга устойчивости в режиме реального времени непосредственно в момент функционирования системы автоматического регулирования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Программные критерии устойчивости решения задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе разностных схем численного интегрирования // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Спец. вып. «Математическое моделирование и компьютерные технологии». 2004. С. 75-80.

2. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Итерационные критерии устойчивости решений задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений на основе разностных приближений по методам Эйлера-Коши и Рунге-Кутта / ТГПИ, Таганрог, 2004. 41 с. Деп. в ВИНИТИ 13.01.04, № 48 - В2004.

3. Буланов С.Г. Разработка и исследование методов программного моделирования устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем: Автореф. дис. ... канд. тех. наук. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. 20 с.

4. Буланов С.Г. Погрешность метода Эйлера в условиях устойчивости // Математические модели физических процессов: Сб. науч. тр. 11-й междунар. конф. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2005. Т. 1. С. 221-225.

5. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Матричные мультипликативные схемы анализа устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений // ММА-2006: Сб. науч. тр. междунар. науч.-тех. конф. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2006. Т. 1. С. 310-313.

М.И. Васин

РАЗРАБОТКА КОМПЬЮТЕРНОЙ ТЕСТОВОЙ СИСТЕМЫ

К концептуальным вопросам информатизации сферы образования целесообразно отнести вопрос создания системы компьютерного тестирования, позволяющей активно влиять на образовательный процесс, проводить планомерный поиск и подготовку высококвалифицированных специалистов, способствовать эффективному усвоению учебного материала, и используемой, с одной стороны, преподавателем для промежуточного и итогового контроля знаний и, с другой стороны, обучаемым для самооценки уровня своей подготовленности в процессе самостоятельной работы.

В свете сказанного выше, одной из первостепенных задач информатизации образовательного процесса стала организация и сопровождение автоматизированного тестирующего комплекса, как вспомогательного средства контроля знаний. Тестирующий комплекс за счет своей универсальности может быть реализован с небольшими затратами и представляет собой автоматизированную поддержку самостоятельной работы учащихся и студентов, позволяющую проводить контроль и самоконтроль уровня усвоения материала, выступать в роли тренажера при подготовке к проверочным работам, и даже в частности к экзаменам.

Нами была предпринята попытка создания авторской компьютерной тестовой системы (СТ8), которая учитывала бы достоинства известных практикуемых в России тестовых систем, избегая их недостатков. Для этого был произведен анализ их основных плюсов и минусов.

В настоящее время существует немало компьютеризованных систем тестирования, в том числе и в области измерения уровня знаний, умений и навыков. Тем не менее, задачу не следует считать полностью решенной. Например, наиболее совершенная из широко распространенных система АСТ-тест (разработана в НИИ образовательных технологий МЭСИ, авторы В.И. Васильев, Т.Н. Тягунова, Н.Г. Малышев, С.А. Тягунов) занимает одну из первых позиций среди программ подобного рода. К сожалению, при её многочисленных достоинствах недостатки данной системы делают актуальной разработку новой системы тестирования.

Согласно Т.П. Никитиной [1] к недостаткам можно отнести, в первую очередь, трудности при ответе на вопросы по первой форме (задания открытого типа по стандартной классификации тестовых заданий).