Конечно-элементное моделирование пьезоэлектрического устройства накопления энергии цилиндрической конструкции

Конечно-элементное моделирование пьезоэлектрического устройства накопления энергии цилиндрической конструкции

Ле Ван Зыонг ГТУ им. Ле Куи Дона, г. Ханой, Вьетнам.

Аннотация: В работе рассматривается моделирование пьезоэлектрического генератора (ПЭГ), который является элементом устройства накопления энергии. ПЭГ представляет собой цилиндрическую форму с прикрепленной к нему инерционной массой. Корпус устройства совершает вертикальные гармонические колебания с заданной амплитудой и частотой. С помощью разработанных моделей, прямыми расчетами в конечно-элементных (КЭ) пакетах ANSYS и ACELAN, исследуются зависимости собственных частот и выходного напряжения от геометрических размеров, сочетания материалов. Численно исследованы два случая колебания на резонансной частоте и колебания в низкочастотной области на частоте значительно меньшей частоты первого резонанса. Кроме того, в этой работе исследуется упрощенные модели учета инерционной массы.

Ключевые слова: КЭ, накопление энергии, оптимизация, резонансная частота, цилиндрическая конструкция, пьезоэлектрический генератор (ПЭГ).

Введение

Накопления энергии предназначены для получения энергии из среды, окружающей систему, и преобразования ее в полезную электрическую энергию для питания каких-либо полезных устройств. Концепция накопления энергии движется вперед к разработке устройств с автономным питанием, которые не требуют замены элементов питания. Распространнеными типами этих устройств являются солнечные панели, использующие световую энергию, электромагнитные преобразователи механической энергии и др. Альтернативным источником энергии являются пьезоэлектрические устройства накопления энергии, которые позволяют собирать энергию от маломощных источников в окружающей среде, например, вибрация от качающихся мостов, движущихся механизмов и т.д. В

последнее время устройства накопления энергии, в частности пьезоэлектрические, широко изучаются, например в [1-10].

В последние были изучены многие источники энергии окружающей среды для применения в пьезоэлектрическом накоплении энергии. В работе [1] изучены расширение и сжатие грудной клетки при дыхании в качестве средства для получения энергии. В работе [2] исследована возможность использования повседневных действий человека для выработки энергии. В работе [3] изучено использование захвата энергии во время ходьбы. В работе [4] разработан пьезоэлектрический ремешок для рюкзака, преобразующий циклические нагружения в электрическую энергию с мощностью ~ 65 мВт. В работе [5] разработан механически усиленный многослойный пьезоэлектрик, который также может быть встроен в рюкзак для получения энергии. В работе [6] встроен многослойный пьезоэлектрик в коленный имплантат и охарактеризовали энергию, доступную для мониторинга при ношении этого протеза. В работе [7] изучено применение пьезоэлектрических полимеров для накопления энергии из воздушных и водных потоков. В работе [8] исследование тонкой биморфной пьезопластины проводится в рамках приближенной теории на основе уравнений Тимошенко. В работе [9] исследуется вопрос оптимизации конструкции изгибного ПЭГ в зависимости от условий крепления. Одним из средств улучшения характеристик ПЭГ является использование пьезокомпозиционных материалов, так в работе [10] представлены результаты вычислительных экспериментов по определению характеристик пористой пьезокерамики по методологии, включающей метод эффективных модулей.

В настоящей работе изучается ПЭГ, имеющий стековую конструкцию, где активный элемент состоит из одного или нескольких пьезоэлектрических слоев, схема и фотография такого устройства на стенде низкочастотных колебаний (разработано Рожковым Е.В.) представлены на рис. 1.

Рис. 1. - Схема ПЭГ стековой конфигурации.

Проектирование высокотехнологичных ПЭГ связаны с оптимизацией геометрии и выбора материалов элементов конструкции. Эта оптимизация невозможна без построения адекватных моделей: аналитических при учете одномерных движений, КЭ, когда вид внешних воздействий носит более сложный характер, упрощенных, когда деформацией отдельных элементов можно пренебречь. В работе изучается влияние отношения высот hm, hp (рис.

1 а) при различных отношениях плотностей пьезокерамики и инерционной массы, а также сравниваются модели в которых учитывается и не учитывается деформация инерционной массы. Моделирование проводится в КЭ пакетах ANSYS и ACELAN.

1. Континуальные постановки задач акустоэлектроупругости

Стековое пьезоэлектрическое устройство накопления энергии (рис. 1) представляет собой составное упругое и электроупругое тело, которое совершает малые колебания в подвижной системе координат. Прямолинейное вертикальное движение этой системы задается законом у(г), в соответствии с которыми движется основание устройства. В этих условия достаточно адекватной математической моделью функционирования

устройства является начально-краевая задача линейной теории электроупругости [11].

Рассмотрим некоторый пьезопреобразователь О, представленный набором областей О. = Орк; к = 1,2,..., Ыр; у = к со свойствами

пьезоэлектрических материалов и набором областей О. = Оет; т = 1,2,..., Ые;

у = Ир + т со свойствами упругих материалов. Будем считать, что физико-

механические процессы, происходящие в средах Орк и Оет, можно адекватно

описать в рамках теорий пьезоэлектричества (электроупругости) и упругости. Для пьезоэлектрических сред О. = Орк предположим, что выполняются

следующие полевые уравнения и определяющие соотношения:

рркм + асур]и-V-о = Т}.; V-Б = 0,

о = с*--

£ = ^и + VuT)/2 ; Е =

где р(х) - плотность материала; и(х, г) - вектор-функция перемещений; о -тензор механических напряжений; { - вектор плотности массовых сил; Б -трехмерный вектор индукции электрического поля; с* - тензор четвертого

ранга упругих модулей, измеренных при постоянном электрическом поле; е .

- тензор пьезомодулей третьего ранга; г - тензор деформаций; Е -трехмерный вектор напряженности электрического поля; ср(х, г) - функция электрического потенциала; э* - тензор второго ранга диэлектрических проницаемостей, измеренных при постоянной деформации; а.,в.,дл -

неотрицательные коэффициенты демпфирования [11], а остальные обозначения стандартны для теории электроупругости, за исключением дополнительного индекса указывающего на принадлежность к среде О.

с номером..

Для сред О= Оет с чисто упругими свойствами будем учитывать

только механические поля, для которых примем аналогичные (1) - (3) полевые уравнения и определяющие соотношения в пренебрежении электрическими полями и эффектами пьезоэлектрической связности.

К уравнениям (1) - (3) добавляются механические и электрические граничные условия, а также начальные условия в случае нестационарной задачи, среди которых отметим условие на электроде 5е связанным с электрической цепью устройства накопления энергии.

где I - ток в цепи, который в случае свободного электрода равен нулю. В работе рассматриваются случаи подключения к электрической цепи с активным сопротивлением.

2. Численное моделирование

2.1. Осесимметричная модель

Рассмотрим цилиндрическую структуру ПЭГ, составленную из пьезоэлемента в форме короткого цилиндра и одного переходных упругих слоев такого же радиуса. Пьезоэлемент состоит из пьезокерамики Р7Т-4, поляризованной по толщине; материалы инерционного элемента -алюминий, сталь, и латунь ЛС59. Значения электроупругих модулей керамики Р7Т-4 приведены в таб. 1 и характеристики конструкционных материалов: алюминий, сталь, и латунь ЛС59 приведены в таб. 2.

Таблица 1

Материальные константы пьезокерамики Р7Т-4:

сЕ сЕ С11 С12 (ГПа) (ГПа) СЕ 13 (ГПа) СЕ 33 (ГПа) СЕ 44 (ГПа) е31 (Кл/м2) е33 (Кл/м2) е15 (Кл/м2) 8и / 80 833 / 80

139 77,8 74,3 115 30,6 -5,2 15,1 12,7 730 635

а0 = 8,85 х10 12 Ф/м; плотность р = 7,5 х103 кг/м3; ( = 100 - добротность.

Таблица 2

Характеристики конструкционных материалов

Алюминий Латунь ЛС59 Сталь

Плотность, рх103 (кг/м3) 2,7 8,8 7,8

Модуль Юнга, E х1010 (Па) 6,8 10,5 21

Коэффициент Пуассона, v 0.36 0,17 0,3

Размеры устройства представлены на рис. 1а. Полная высота, состоящего из изоляторов, пьезоэлектрического и инерционного элементов, фиксирована и равна 7,5 мм.

В этой модели задано вертикальное перемещение смещение пластины y(t) в месте закрепления. Внешние вибрационные гармонические воздействия имеют вид:

У = Уе-

где y0 = 0,1 мм - амплитуда колебаний, f - частота колебания в Гц.

Геометрия исследуемого устройства (рис. 1), внешней воздейсвие и условия закрепления осесимметричны, поэтому в дальнейшем вместо трехмерной задачи рассматривается осесимметричная. В пакетах ANSYS и ACELAN построены КЭ модели рассматриваемых устройств с использованием осесимметричных конечных элементов PLANE 13 и PLANE42.

2.2. Результаты численных расчетов

В настоящей работе изучается влияние размерных параметров устройства hm (или hp), и материала инерционного элемента на эффективную

работу устройства, т.е. исследования заключается в том, что при каких значениях hm (или hp) напряжение V - достигает максимума.

При колебании на первой резонансной частоте. В работе рассматривается зависимости значения первой резонансной частоты f и

амплитудные значения электрического потенциала V на свободном электроде пьезоэлемента при колебании на первых резонансных частотах от материала и высоты высоты пьезоэлемента Н . Полученные зависимости

представлены на рис. 2 (расчеты проводились в АКБУБ).

Рис. 2. - а) - первая резонансная частота; б) - электрической потенциал;

1 - алюминий; 2 - сталь; 3 - латунь ЛС59.

Как можно видеть из рис. 2а, значения первой резонансной частоты при материале инерционного элемента - сталь выше частот для инерционного элемента из латуни ЛС59, но ниже частот для инерционного элемента из алюминия. Результаты представленные на рис. 2 б показывают, что значения выходного напряжения возрастают с ростом высоты пьезоэлемента Нр.

При колебании на нерезонансной частоте. Важной областью внешнего воздействия является низкочастотный диапазон 1-10 Гц для движения человека и 1 - 100 Гц для движения машины [12]. Таким образом, далее исследуется вопрос работы устройства на частоте значительно меньшей частоты первого резонанса, / = 100 Гц (расчеты проводились в АКБУБ). Полученные зависимости значения выходного напряжения на

свободном электроде пьезоэлемента V от высоты пьезоэлемента Ир и

материала инерционного элемента (алюминий, сталь, латунь ЛС59) представлены на рис. 3.

Рис. 3. - 1 - алюминий; 2 - сталь; 3 - латунь ЛС59.

Как можно видеть из рис. 3, значения выходного напряжения при материале инерционного элемента - сталь выше выходного напряжения для инерционного элемента из алюминия, но ниже для инерционного элемента из латуни ЛС59. Из рис. 3 видно, что значения высоты Ир, на котором значение

напряжения является максимумом, зависит от значения плотности инерционных материалов.

Результаты, представленные на рис. 2 и рис. 3 позволяют выбрать высоты пьезоэлемента и материал инерционного элемента в зависимости от частоты вынужденных колебаний для эффективной работы устройства. 2.3. Упрощенная модель учета инерционной массы.

В Осесимметричной и плоской постановке рассматривается вопрос адекватности упрощенной КЭ модели, когда предполагается пренебрежение деформацией инерционного элемента. При этом механическое граничное условие на верхней поверхности пьезоэлемента имеет вид, учитывающий эту инерционную массу

сг = Ma\uz + Уо)/S, тzX = 0 при z = h

где М - инерционная масса (латунь ЛС59), о - круговая частота колебаний, £ - площадь верхнего участка пьезоэлемента, к которому должна быть прикреплена инерционная масса.

Рис. 4. - Зависимость электрического потенциала от высоты hp

Так на рис. 4 представлены зависимости электрического потенциала на верхнем свободном электроде для частоты вынужденных колебаний 100 Гц (расчеты проводились в ACELAN и ANS YS). В зависимости от высоты инерционного слоя. Сплошная кривая со светлыми кружочками соответствует КЭ модели с двумя слоями (расчеты проводились в ACELAN и ANSYS), штриховая линия с крестиками соответствует модели с пьезокерамическим слоем (расчеты проводились в ACELAN) и граничными условиями (6).

На рис. 5 представлены компоненты напряженно деформированного и электрического состояния пьезоэлемента при hp = 6,5 мм, при этом слева

изображены распределения для пьезоэлемента с учетом инерционной массы в КЭ модели, а справа для модели с граничными условиями (6).

N

а) - Деформированное состояние области двух моделей.

б) Распределение горизонтального смещения.

в) Распределение вертикального смещения.

г) Распределение электрического потенциала.

Д) Распределение механического напряжения сти.

л) Распределение вертикальной компоненты вектора электрической

индукции.

Сравнение результатов расчетов по этим двум моделям показывает достаточно хорошее их совпадение, особенно в той части, где относительная высота инерционной массы не велика.

ВЫВОДЫ

В работе рассматривается КЭ модель в пакете АКБУБ устройства накопления энергии на основе цилиндрической конструкции для кинематического возбуждения колебаний. Активным элементом устройства накопления энергии является пьезоэлектрическая керамика. В работе исследована эффективность устройства накопления энергии при колебании на первой резонансной частоте и в низкочастотной области на частоте значительно меньшей частоты первого резонанса в зависимости от его геометрических характеристик и материалов инерционного элемента в условиях некоторых ограничений на размеры устройства. Проведенные в работе расчеты позволяют выбрать рациональные размеры элементов и материалы инерционного элемента для достижения наибольшей эффективности устройства с заданной частотой собственных колебаний, которая в реальных условиях может определяться внешним воздействием.

Кроме того, в работе показывает границы пременимости упрощенной модели учета инерционной массы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hasler E., Stein L., Harbauer G. Implantable physiological power supply with PVDF film. Ferroelectrics. 1984. - V. 60. - № 1. - pp.277-282.

2. Starner T. Human-powered wearable computing. IBM systems Journal. 1996. - V. 35. - № 3.4. - pp.618-629.

3. Kymissis J., Kendall C., Paradiso J., Gershenfeld N. Parasitic power harvesting in shoes: IEEE, 1998. - pp.132-139.

4. Granstrom J., Feenstra J., Sodano H.A., Farinholt K. Energy harvesting from a backpack instrumented with piezoelectric shoulder straps. Smart Materials and Structures. 2007. - V. 16. - № 5. - p.1810.

5. Feenstra J., Granstrom J., Sodano H. Energy harvesting through a backpack employing a mechanically amplified piezoelectric stack. Mechanical Systems and Signal Processing. 2008. - V. 22. - № 3. - pp.721-734.

6. Platt S.R., Farritor S., Garvin K., Haider H. The use of piezoelectric ceramics for electric power generation within orthopedic implants. Mechatronics, IEEE/ASME Transactions on. 2005. - V. 10. - № 4. - pp.455-461.

7. Taylor G.W., Burns J.R., Kammann S.A., Powers W.B., Welsh T.R. The energy harvesting eel: a small subsurface ocean/river power generator. Oceanic Engineering, IEEE Journal of. 2001. - V. 26. - № 4. - pp.539-547.

8. Шляхин Д. А. Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости // Инженерный вестник Дона, 2013, №1, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1516.

9. Мартыненко А.В. Исследование параметров осесимметричного изгибного пьезоэлектрического преобразователя при различных граничных

условиях // Инженерный вестник Дона, 2010, №3, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2010/206.

10. Наседкин А.В., Шевцова М.С. Сравнительный анализ результатов моделирования пористой пьезокерамики методами эффективных модулей и конечных элементов с экспериментальными данными // Инженерный вестник Дона, 2013, №2, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1615.

11. Белоконь А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // Прикладная математика и механика, 2002. - №.3. - С.491-501.

12. Kulah H., Najafi K. Energy scavenging from low-frequency vibrations by using frequency up-conversion for wireless sensor applications. Sensors Journal, IEEE. - 2008. - V. 8. - № 3. - pp.261-268.

References

1. Hasler E., Stein L., Harbauer G. Implantable physiological power supply with PVDF film. Ferroelectrics. 1984. V. 60. № 1. pp.277-282.

2. Starner T. Human-powered wearable computing. IBM systems Journal. 1996. V. 35. № 3.4. pp.618-629.

3. Kymissis J., Kendall C., Paradiso J., Gershenfeld N. Parasitic power harvesting in shoes: IEEE, 1998. pp.132-139.

4. Granstrom J., Feenstra J., Sodano H.A., Farinholt K. Energy harvesting from a backpack instrumented with piezoelectric shoulder straps. Smart Materials and Structures. 2007. V. 16. № 5. p.1810.

5. Feenstra J., Granstrom J., Sodano H. Energy harvesting through a backpack employing a mechanically amplified piezoelectric stack. Mechanical Systems and Signal Processing. 2008. V. 22. № 3. pp.721-734.

6. Platt S.R., Farritor S., Garvin K., Haider H. The use of piezoelectric ceramics for electric power generation within orthopedic implants. Mechatronics, IEEE/ASME Transactions on. 2005. V. 10. № 4. pp.455-461.

7. Taylor G.W., Burns J.R., Kammann S.A., Powers W.B., Welsh T.R. The energy harvesting eel: a small subsurface ocean/river power generator. Oceanic Engineering, IEEE Journal of. 2001. V. 26. № 4. pp.539-547.

8. Shljahin D. A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1516.

9. Martynenko A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2010, №3, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2010/206.

10. Nasedkin A.V., Shevcova M.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1615.

11. Belokon' A.V., Nasedkin A.V., Solov'ev A.N. Prikladnaja matematika i mehanika, 2002. №.3. pp.491-501.

12. Kulah H., Najafi K. Energy scavenging from low-frequency vibrations by using frequency up-conversion for wireless sensor applications. Sensors Journal, IEEE. 2008. V. 8. № 3. pp. 261-268.