Устойчивость прямоугольных пластин за пределом упругости с учетом сжимаемости материала

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ 6

УДК 629.7.015.023.2

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА

А. А. Белоус, В. А. Белоус

В статье дан один из вариантов решения задачи устойчивости пластины за пределом упругости с учетом сжимаемости материала. Полученные зависимости между вариациями напряжений и деформаций могут быть использованы и для решения других, более сложных задач устойчивости пластин и оболочек.

1. Введение. Общая теория устойчивости пластин за пределом упругости, разработанная А. А. Ильюшиным [1], была использована ее автором и рядом других для решения задач устойчивости пластин с простейшими граничными условиями. Эти решения, однако, не охватывают многие практически важные случаи нагружения и граничные условия на краях пластины, с которыми приходится иметь дело при оценке несущей способности крыльев малого удлинения по условиям устойчивости панелей. Обычно при решении задач устойчивости пластин за пределом упругости пренебрегают сжимаемостью материалов, полагая коэффициент Пуассона равным 0,5. Это нарушает непрерывность решения при переходе через предел пропорциональности. Предлагаемое здесь решение учитывает сжимаемость материала, а потому является непрерывным во всем диапазоне деформирования. На этой основе получены новые соотношения между приращениями напряжений и деформаций, которые нами использованы при составлении дифференциальных уравнений, определяющих критическое состояние равновесия пластин при простом нагружении и пластин из нелинейно упругого материала.

Устойчивости прямоугольных пластин за пределом упругости посвящена глава X монографии [2], в которой изложены современные теории устойчивости пластин в упруго-пластической области и указаны первоисточники.

2. Зависимости между напряжениями и деформациями пластин. Уровень напряженности пластины характеризуется величиной интенсивности напряжений

где о*, зу и хху — компоненты плоского напряженного состояния пластины.

При простом нагружении пластины все компоненты напряженного состояния возрастают пропорционально, а потому отношения

сохраняются постоянными в процессе нагружения вплоть до момента выпучивания.

Величины компонентов напряжений <зх, оу и т определяются из расчета напряжений конструкции, в состав которой входит рассматриваемая пластина. Следовательно, отношения (2) считаются известными при решении задач устойчивости.

Соотношения между компонентами напряжений и деформаций для первоначального изотропного материала могут быть представлены выражениями:

В каждом из этих выражений первый член представляет упругую, а второй—чисто пластическую деформацию.

Для определения пластического модуля £пл, вошедшего в (3), обратимся к диаграмме интенсивности а.--е/м представленной на фиг. 1, из которой следует:

Фиг. 1

'X

.. 2(1+ Уу) 3

1ху £ ^ху ~г £пл ~ху-

Отсюда получаем:

1

I

Епл Ес Е

Подставляя (4) в (3), после преобразований получим:

Т

2

ху-

где

Ес = о,/ег —

секущий модуль, определяемый по диаграмме интенсивности (см. фиг. 1) как тангенс угла наклона секущей ОЫ к оси Ог,, и

1

коэффициент Пуассона.

Секущий модуль Ес и коэффициент Пуассона V являются постоянными величинами в области упругого деформирования:

ЕС = Е

При 0[ пц»

и переменными — в области упруго-пластического деформирования пластины.

При возрастании интенсивности напряжений ог сверх зпц секущий модуль уменьшается, оставаясь в пределах E^Ecÿ>0, а коэффициент Пуассона возрастает от v = vy до своего предельного значения v = 0,5.

Разрешая (5) относительно напряжений, получим выражения:

°*=rËV(e* +

°г = гЁ^(Еу + ™х),

Ес

Т*у 2

аналогичные соотношениям обобщенного закона Гука для плоского напряженного состояния.

Подставим (8) в (1), тогда после преобразований будем иметь:

Зг — Ес

где

£,- = 1TV VVl (е* + г1) + ь е*ву + “г

*,2 • 1.ХУ ’

-1+ТГ

v 2 v

(iJT^jT- v2= (i_v)2

- 1.

(10)*

Формулу (10) можно также получить из формулы, приведенной в [3]:

/20+v) V

ПРИ Izx — Tzy = 0 И ег=- , ~ (е^ + еу).

При одноосном растяжении, например, вдоль оси Ох, имеем су —0, хху — 0, ау = — чех и т^у^О; по формулам (1) и (10) получим я1=<зх и £,=5^.. Следовательно, диаграмма интенсивности (см. фиг. 1) в точности совпадает с диаграммой ах— ех, получаемой из испытаний образцов на растяжение.

3. Вариации напряженного состояния. В процессе нагружения интенсивность напряжений может достигнуть своего критического значения, при котором становится возможной новая, слегка искривленная форма равновесия пластины, характерная появлением дополнительных нормальных и касательных напряжений, обусловленных изгибом пластины. Эти дополнительные напряжения можно получить как первые вариации выражений (8).

Варьируя (6), (7) и (8) по деформациям гх, еу, уху и учитывая

касательный модуль, после исключения из полученных вариаций деформаций ах, £у) уху и е1 при помощи (5), (6) и (8) получим:

Вошедщую в (13) вариацию 8ег исключим, заменив ее выражением

или, выполняя обозначенные здесь операции над (10), получим

Подставим в (13) выражение 8е/ из (14) и введем обозначения

где

,___(^¡_

к— Ж

0Х^ ~ 2

8с-= гтгЬ; {[<2 -V -(1 ^2^г]+

+ [

Тогда после преобразований выражения (13) представим в виде:

^х = (11 + 0'2 Ч + 613 8Т*у)>

У — 1 _ V*

(021 £у + 28 81гу)>

8^=.

(31 Ъвх + 632 8у + &33 Ь1ху)>

где

А 1

П — 1 4

6] 2 == ^21 г== ^

4(1 - V!») V з Л Ек

МЗ — и31

''22

1 -

4(1 4- у) 1

с ?

Е ) лх*ху>

4 Ек N I)

4(1 - м2) V — Ег) ^

25 ” 32 '

•У,, 5,

4(1 + V) “У “-«гг

9(1 -у) Л _ ¿V

4(1 + у) V Е

XV

= ЕГ

В пределах упругих деформаций, когда бг<°пц, Ек _ .

выражения (16) превращаются в обычные (8).

Для несжимаемого пластического материала, у которого N=0,5, выражения (16) превращаются в известные зависимости между приращениями напряжений и деформаций, полученными для случая активного нагружения, при котором §о,>0.

4. Уравнения равновесия. Вычислим изгибающие моменты Мх, Му и крутящий момент Мху в сечениях пластины, возникающие при ее выпучивании. Напряжения в слое пластины, отстоящем на расстоянии г от средней плоскости, могут быть вычислены по формулам (16). Полагая в этих формулах

д2 пи * 0 _ д2 да оч

« 8Т*у —2г дхду

и учитывая, что

Мх — J Ъчхг

после вычисления интегралов в пределах от г = — 8/2 до 2 = 8/2 получим:

+2*,.-££)

Л=-0.

дх2

Мг„--------Ц;(031 +

•ху

где

£>с =

I ^ ™ _1_ 9 й д‘2'т 32 ду2 38 д-сду

£с&3

12

цилиндрическая жесткость пластины. Эта жесткость является так же, как и секущий модуль Ес и коэффициент Пуассона, функцией интенсивности напряжений а,, 8 — толщина пластины.

Для пластины, нагруженной нормальными сжимающими Ату=яуЬг Атх — ахЬ и касательными Ыху = 1хуЬ усилиями, действующими в ее срединной плоскости (фиг. 2), должны выполняться дифференци-

Л'у

ишшшш

X

А/х.

<р~~~| 1 1 А/Ху ♦ —

1 * *

т а. . ^

г-

тмншмпп

д/у

Фиг. 2

альные условия равновесия. Эти условия, как известно, сводятся к одному уравнению:

д2мх

дх2

+ 2

д2М

ху

дхду

I д2Му д2 да

+ 'Ну2 * ~ У ~дуЗ '

-2Л1

д2 да *У дхду

= 0.

Подставляя сюда выражения (20) и учитывая (2) и (17), после преобразований получим дифференциальное уравнение равновесия пластины, находящейся в критическом состоянии:

А- 6

д4 да ~дх*

20 д-т -43 /-) у*

где

'I

дх2ду2 (д3 №

= 1 —

д1 да ! ду* д2  ~дур "

2'Ь

4 1 дх3 ду

дхду

"Ь 5; 0,

+

4

4

£с

4

1

1

£к_

£с

"лу-

Уравнение (22) охватывает задачи устойчивости прямоугольных пластин из линейного и нелинейного упругого материала и пластин из упруго-пластического сжимаемого материала при активном нагружении. Этим уравнением мы воспользуемся для решения ряда задач устойчивости пластин, отличающихся как граничными условиями, так и условиями нагружения.

5. Устойчивость пластин, сжатых в одном и в двух направлениях. В этом случае нагружения пластин дифференциальное

уравнение (22) упрощается, так как исчезают все члены, содержащие напряжения сдвига 1ХУ. В силу этого вместо (22) будем иметь

А• в

сН да дх4

+ 2 03

<Э4 Ц) дх2 д^2

: удя2

Уравнение (24) может быть решено точно только в случае пластин, у которых два противоположных края шарнирно оперты. Во всех других случаях решение этого уравнения можно получить только приближенно, используя метод Бубнова — Галеркина, основанием которого является начало возможных перемещений

Ь а

/ЖС

д4 т , 0 0 дьцо 1^ + 203

дх2 ду3

+

д4 но 2 ду1

о о

Последний член в (25) А0 выражает возможную работу изгибающих моментов и перерезывающих сил, приложенных к контуру пластины. Величина А0 обращается в нуль в том случае, когда функция прогиба И1)(х,у) удовлетворяет геометрическим и статическим условиям на контуре пластины.

Для пластин, у которых поперечные края х = 0 и х = а шарнирно оперты, прогиб пластины зададим приближенно выражением:

чю (х, у) = АУ (т)) вШ

тих

где т — число полуволн в направлении оси Ох, а — длина пластины, У(т\) — функция распределения прогибов в поперечном направлении пластины; т;=_у/&; Ь — ширина пластины.

Аналитическое выражение функций У (г/), удовлетворяющее граничным условиям на продольных краях, приведено в табл. 1.

Таблица 1

Случай Край у = 0 Край у = Ь УМ “1 «2

1 шарнирно оперт шарнирно оперт БШ ЯГ] 1 1

2 шарнирно оперт защемлен 1 — 3 г? + 2 Т)4 1,1519 2.451

3 защемлен защемлен Гр — 2 Т|3 -г Т-4 1,2159 5,174

Подставляя в (25) выражение прогиба из (26) и 8=8ЛУ (т^вт—— ,

после вычисления интегралов получим уравнение, из которого находим выражение для критической силы:

тЬ \2

Т)

+ 2 (*1 03 + <

_а_\2

тЬ I

1 +'К

а \2 тЪ

8—Ученые записки № 6.

113

где

К" (т,) К(т|) ¿т; / К" (г,) к (г,) аи

1 о 1 о

ц2 1 > а2 — х* 1

/ >"2 (і)*] / У*(і)*,

о о

Числовые значения коэффициентов а! и а2, полученные в результате вычислений интегралов в (28), приведены в табл. 1. Введя обозначение

/ ,

1 + Ь \ИГь)

критическое усилие представим в обычном виде:

Л'кр = К^-С-

Соответствующее этому усилию критическое напряжение будет:

Зхкр =/С—2-

Полученное выражение для коэффициента устойчивости является точным для пластины с шарнирно опертыми краями (случай 1, табл. 1) и приближенным для пластин с другими условиями закрепления продольных краев (случаи 2 и 3, табл. 1). Степень точности формулы (29) достаточна для практических целей.

Как следует из формулы (29), коэффициент устойчивости К, входящий в (30) и (31), является функцией отношения а/тЬ, отношения напряжений <Ь = ау/ех, условий закреплений продольных краев пластины и величины критического напряжения, от которого зависят коэффициенты 0(, 02 и 03.

Минимальное значение коэффициента устойчивости

^Гпнп = 2

получается из (29) при

X = — <*! 01 ф/

Соответствующая минимальному значению коэффициента устойчивости длина полуволны определяется по формуле

3 - / •

Из (34) следует, что длина полуволны будет конечной при Х^>0. При X = 0 длина полуволны становится равной оо.

На длину полуволны оказывает наибольшее влияние параметр $ = оу/сх. Значение этого параметра, при котором длина полуволны будет конечной, определяется неравенством

♦ <йй-

«2 ^2

При знаке равенства в (35) длина полуволны будет бесконечной, и в этом случае для вычисления коэффициентов устойчивости следует пользоваться выражением (29). Для шарнирно опер-

114

той пластины, теряющей устойчивость в упругой области, неравенство (35) превращается в ф<Л/2.

Как следует из изложенного, вычисление критического напряжения в пластинах из нелинейно-упругого материала сложнее, чем из материала линейно-упругого. Усложнение заключается в том, что в правую часть формулы (31) в неявном виде входит искомое

Кт'п.

6

Ч

1

0'-

200 300 б МН!м1

Фиг. 3

критическое напряжение. Эту трудность можно обойти, если (31) представить в виде:

Ь __~\/~ £с гс2 Кт\п /‘ЭКЧ

Ь ~У скр 12

Эта формула удобна для построения зависимости между отношением Ь/Ь и критическим напряжением акр. Полученные выраже-

ния для критического усилия (29) и напряжения (30) являются точными для пластины с шарнирно опертыми краями и приближенными для пластин с другими условиями опирания на продольных краях (случаи 2 и 3, табл. 1).

6. Пластины, сжатые в одном направлении. Критическое напряжение о^кр для этого нагружения пластин получается из (29) и (31) как частный случай при ф = 0 (фиг. 3). Полагая в (29) Ф = 0> получим для коэффициента устойчивости выражение:

*='».

Минимальное значение этого коэффициента

Ктт = 2

получается из (37) при длине полуволны:

Коэффициенты устойчивости и отношения а)Ь (где а и Ь — длины сторон пластины), при которых возможно выпучивание пластины по т- и т, + 1-полуволнам, определяются формулами:

/ т т + 1 \ ,—_——_

К — ( т 1 + ~т ) У а2 1 2 “Ь 2 И! 03,

-г--Ут

Наибольшее отклонение коэффициента устойчивости от Кт\п получается при т= 1; с ростом т коэффициент устойчивости стремится К Кт\а.

7. Устойчивость полок уголка. Полки уголка теряют устойчивость как пластины, три края которых шарнирно оперты и один продольный край свободен. Форма изгиба такой пластины при выпучивании с достаточной точностью может быть аппроксимирована уравнением

чю = А Тэт .

Так как это выражение не удовлетворяет статическим условиям на продольных краях пластины при У = 0 и у = Ь, то при вычислении критического напряжения методом Бубнова — Галер-кина следует удержать в уравнении (25) и члены, учитывающие работу сил, приложенных к контуру пластины, а именно:

Ж'

I А: 011 ТЕ? + мх Щ 8чюйхЛу + | а 621 8 (2 )|у=4 ах -

* О

а

-|А (621 + 4 63з) 8гф=* йх = 0.

0

Подставляя сюда выражение прогиба из (42), после вычисления интегралов получим уравнение, из которого найдем:

\2

N —

кр —

712 Ог

Здесь

1

тЬ

+

12

4

(43>

Критическое напряжение полок уголка при любых отношениях Ь/а получается меньшим при т—\. Из (43) имеем

\2

°кр -----К

12

где

/С=1

11

V).

(45>

(46>

коэффициент устойчивости.

Пример. В качестве примера рассмотрена прямоугольная пластина с шарнирно опертыми краями, сжатая в двух направлениях усилиями Ых и ЛГ„, изготовленная из материала Д16Тч, имею-

м Н

щего следующие характеристики: модуль упругости Е = 7,3-Ю4 116

мН

напряжение предела пропорциональности опц = 210 —г, условного

м Н

предела текучести о0,2 = 300 -р-. По диаграмме интенсивности

01 — полученной из испытаний на сжатие коротких образцов, определены секущий Ес и касательный Ек модули.

В табл. 2 приведены значения ЕК = ЕК1Е и Ес = ЕС/Е в функции напряжений О;, там же даны и значения коэффициента Пуассона V, вычисленные по формуле (7).

Таблица 2

мН °> — М2 £к Ес 1-1*- Ес V 1 — ^

210 1 1 0 0,3 0,91

220 0,800 0,980 0,1837 0,304 0,9076

240 0,575 0,960 0,4010 0,308 0,9051

260 0,415 0,890 0,5337 0,322 0,8963

280 0,295 0,790 0,6266 0,342 0,8830

300 0,205 0,680 0,6985 0,364 0,8675

320 0,133 0,550 0,7582 0,390 0,8479

340 0,080 0,420 0,8095 0,416 0,8269

360 0,042 0,300 0,860 0,440 0,8064

380 0,016 0,190 0,9158 0,462 0,7866

400 0,0056 0,096 0,9417 0,481 0,7688

Пользуясь данными табл. 2, по формулам (15) вычислены величины 8у, 8ху и по формулам (23) —величины 0Ъ 02, 03, после чего по формулам (32) и (33) при а.х — а2 — \ определены минимальные значения коэффициентов устойчивости /Стт (фиг. 3). По формуле (36) вычислены критические значения (Ь/Ь)кр для ряда значений ф=ЛуЛ^. Результаты вычислений представлены на фиг. 4, где по оси ординат отложены величины критических напряжений. Пользуясь кривыми

на фиг. 4, можно по данным ф и акр определить Ь/8 и, наоборот, по данным <ь и Ь/Ь определить критическое напряжение.

На фиг. 5 даны зависимости Ь/Ь от отношения сторон а/Ь полки уголка из Д16Тч, вычисленные по формулам (44) — (46) при различных окр = 210 -5- 400 мН/м2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. I. Упруго-пластические деформации. М., ОГИЗ, 1948.

2. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М., .Наука“, 1967.

3. Безухов Н. И. Введение в теорию упругости и пластичности. М., Стройиздат, 1950.

4. Г р и г о л ю к Э. И. Об учете сжимается материала при определении критических нагрузок. Изв. АН СССР, ОТН, № 5, 1958.

Рукопись поступила 10/11 1977 г.