О ВЛОЖЕНИЯХ В КЛАССЕ ЧАСТИЧНО КОММУТАТИВНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

Вестник Омского университета. 2023. №5 (28). С. 71-75

УДК 512.54 DOI 10.24147/1812-3996.2023.5.71-75

О ВЛОЖЕНИЯХ В КЛАССЕ ЧАСТИЧНО КОММУТАТИВНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

В.А. Романьков

д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: romankov48@mail.ru

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия

Аннотация. В работе представлены три алгоритма. Первый алгоритм определяет возможность вложения свободной нильпотентной группы в данную частично коммутативную нильпотентную группу той же ступени нильпотентности. Второй алгоритм выясняет возможность вложения одной частично коммутативной нильпотентной группы ступени два в другую. Третий алгоритм определяет возможность вложения произвольной частично коммутативной нильпотентной группы в свободную нильпотентную группу той же ступени нильпотентности. Показано, как осуществляются эти вложения. Статья носит характер обзора. Результаты приведены без доказательств. Полный текст, описывающий первый из приведенных алгоритмов, опубликован в [1].

Ключевые слова: частично коммутативная группа, нильпотентная группа, вложение.

К 85-летию дорогого учителя Владимира Никаноровича Ремесленникова Введение

В комбинаторной теории групп рассматривается несколько классов, определение которых связано со структурой простых графов. Среди них выделяется класс частично коммутативных групп. Эти группы имеют приложения в компьютерных науках. Для них известно много результатов топологического и алгебраического характера, составляющих богатую теорию этих групп. Среди них присутствуют как результаты, описывающие структуру этих групп и их свойства, так и результаты алгоритмического характера. См. по этому поводу обзорные статьи [2], [3].

Дадим определения. Пусть Г = (X; Е) обозначает простой граф с множеством вершин X = {х\,... ,хп} и множеством ребер Е С X х X. Частично коммутативная группа Р(Г) определяется следующим заданием через порождающие элементы и определяющие соотношения:

F(Г) = (X : ху = ух, [х,у}Е Е).

В последние годы стали рассматриваться частично коммутативные группы многообразий. Пусть V - многообразие групп. Частично коммутативная группа мно-

гообразия V относительно графа Г = (X; Е) определяется заданием через порождающие элементы и определяющие соотношения в многообразии V, как

^

Наибольшее внимание уделяется многообразиям N (к Е М) всех нильпотентных групп ступени не больше чем к и многообразию всех метабелевых групп А2.

В своей работе [4] Е.И. Тимошенко дал нетривиальное описание нормальных форм элементов частично коммутативных нильпотентных групп. В этой работе построены мальцевские базы указанных групп, используемые в доказательствах результатов данной статьи.

1. Предварительные результаты

В [5] А.И. Мальцев доказал, что множество элементов [д^ Е 2] порождает в свободной нильпотентной группе ранга г ступени к свободную нильпотентную подгруппу той же ступени к, для которой оно является множеством свободных порождающих тогда и только тогда, когда образы этих элементов линейно независимы в абелизации (факторе по коммутанту) МГук /Х'г к. Он также ввел понятие мальцев-ской базы произвольной конечно порожденной нильпотентной группы С без кручения.

В такой группе С существует центральный нормальный ряд с бесконечными циклическими факторами

С = Сх >02 > > а+1 = 1.

Упорядоченный набор элементов а» Е С» таких, что С» = %р(а», ^+1), г = 1,..., з, называется мальцевской базой группы С, соответствующей ряду (3). Произвольный элемент д Е С однозначно представляется в виде

д = П С Е

»=1

где множители расположены в указанном порядке. Показатели степеней а» называются мальцевскими координатами элемента д относительно базы а.

Известно (см., например, [6] или [7]), что факторы верхнего центрального ряда нильпотентной группы без кручения также не имеют кручения. В этом случае центральный ряд с бесконечными циклическими факторами можно выбрать как уплотнение верхнего центрального ряда, взяв в качестве мальцевской базы прообразы базисных элементов факторов как свободных абелевых групп конечного ранга.

В качестве мальцевской базы свободной нильпотентной группы с базой У = [ух,... ,уг] берутся базисные коммутаторы, которые определяются следующим образом.

• Базисные коммутаторы веса 1 - это в точности порождающие элементы с естественным порядком:

ух <У2 < ... <уг.

Вестник Омского университета. 2023. №5

73

• Базисные коммутаторы весар - это элементы [и, ь], где и и V - базисные коммутаторы веса д и ¿, соответственно, где д + Ь = р и и > V. При этом, если и = [щ,щ] для базисных коммутаторов щ и и2, то и2 < V. Коммутаторы большего веса имеют больший порядок, коммутаторы одного веса упорядочены произвольным образом.

• Базисные коммутаторы определяются до веса к включительно.

Предположим, что в конечно порожденной нильпотентной группе без кручения С факторы нижнего центрального ряда также не имеют кручения, следовательно, являются свободными абелевыми группами конечного ранга. Зафиксировав в каждом факторе базу свободной абелевой группы, мы собираем мальцевскую базу группы С как объединение прообразов элементов этих баз. В качестве прообразов берем произведения коммутаторов соответствующего веса. Таким образом, элементы мальцевской базы разбиваются на непересекающиеся подмножества в соответствии с их весами. Такие мальцевские базы будем называть соответствующими уплотнению нижнего центрального ряда. В частности, такими являются базы составленные из базисных коммутаторов групп вида Мг,к описанные выше.

Известно, что частично коммутативные группы многообразия Шк не имеют кручения. Более того, факторы нижних центральных рядов этих групп также не имеют кручения, то есть являются свободными абелевыми группами (см. [4]).

Это позволяет дать описание мальцевской базы произвольной частично коммутативной нильпотентной группы Р(Г, Шк), являющейся уплотнением нижнего центрального ряда. Описание этих баз дано в работе [4]. Оно конструктивное, для любого элемента д, записанного через порождающие элементы группы, эффективно находится запись вида (4).

Лемма 1. Пусть С - конечно порожденная нильпотентная группа без кручения, порожденная элементами уг,... ,уг, а = (аг,... ,а3) - еемальцевская база. Пусть Н - нильпотентная группа с выделенным набором элементов д\,... ,дг такая, что отображение у г м- д^, % = 1,... ,г, определяет гомоморфизм ф группы С в группу Н. Тогда ф является вложением в том и только том случае, если набор элементов ф(а) = (ф(а\),..., ф(а3)) составляетмальцевскую базу образа ф(С).

Следствие 1. Пусть N - одно из многообразий Ш , Хг,к -свободная группа в этом многообразии ранга г с базой у = [у\,..., уг}. , а = (аг,... ,а3) -мальцевская база этой группы. Пусть Н - группа из рассматриваемого многообразия Шк и а = {д\,... ,9г} - набор ее порождающих элементов. Тогда С изоморфна группе Н относительно гомоморфизма ф, определяемого отображением Уí м д^, г = 1,... ,г в том и только том случае, если ф(а) = (ф(аг),..., ф(а3)) составляет мальцевскую базу образа ф(С).

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть Г = (X; Е) - граф и Р = Р(Г; Шк) - частично коммутативная нильпотентная группа. Пусть а = {дг,... ,дг} - конечное множество порож-

дающих элементов ее подгруппы G. Тогда существует алгоритм, который определяет, является ли G свободной группой данного многообразия N с базой д.

Теорема 2. Пусть F = F(Г; N) - частично коммутативная нильпотентная группа. Тогда существует алгоритм, определяющий возможность вложения любой свободной группы G многообразия N в группу F.

Теорема 3. Существует алгоритм, определяющий возможность вложения конечно порожденной частично коммутативной нильпотентной группы F(А; N) произвольной ступени к относительно графа А ненулевого радиуса в свободную нильпотентную группу Nr,k.

Благодарности

Исследования поддержаны Российским научным фондом, проект 22-21-00745.

Литература

1. Романьков В.А. Вложение свободных нильпотентных (метабелевых) групп в частично коммутативные нильпотентные (метабелевы) группы // Математические заметки. 2023. Т. 114. №5. С. 773-779.

2. Charney R. An introduction to right-angled Artin groups // Geom Dedicata. 2007. V. 125. P. 141-158

3. A. J Duncan A.J., Remeslennikov V.N, and Treier A.V. A survey of Free Partially Commutative Groups // Journal of Physics: Conference Serie. 2020. V. 1441 P. 012136.

4. Timoshenko E.I. Mal'tsev bases for partially commutative nilpotent groups // Int. J. Algebra Comput. 2022. V. 32. P. 1-9.

5. Мальцев А.И.. Два замечания о нильпотентных группах // Математический сборник. 1955. Т. 37. С. 567-572.

6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука. 1972. 240 с.

7. Hall Ph. Nilpotent Groups: Notes of Lectures Given at the Canadian Mathematical Congress Summer Seminar, University of Alberta, 12-30 August, 1957. Queen Mary College. London. 1969.

Вестник Омского университета. 2023. №5

75

ON EMBEDDINGS IN THE CLASS OF PARTIALLY COMMUTATIVE NILPOTENT

GROUPS

V.A. Roman'kov

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: romankov@mail.ru

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. The paper presents three algorithms. The first algorithm determines the possibility of embedding a free nilpotent group in a given partially commutative nilpotent group of the same nilpotency class. The second algorithm determines the possibility of embedding one partially commutative nilpotent group of class two into another. The third algorithm determines the possibility of embedding an arbitrary partially commutative nilpotent group in a free nilpotent group of the same nilpotency class. It is shown how these embeddings are made. The results are presented without proofs. The paper is in the nature of a review. The full text describing the first of the above algorithms has been accepted for publication and will be published in [1].

Keywords: partially commutative group, nilpotent group, embedding.

Дата поступления в редакцию: 05.06.2023