Развитие инструментария когнитивного моделирования для исследования сложных систем

Развитие инструментария когнитивного моделирования для исследования сложных систем

Л. А. Гинис Введение

В последнее десятилетие ученые рассматривают проблему разработки методологии моделирования и исследования функционирования сложных систем с учетом развития новых информационных технологий. К классу таких систем, можно отнести социально-экономические системы (СЭС), геополитические и геоинформационные системы, автоматизированные производственные комплексы и т.д. При моделировании таких систем важнейшей проблемой является знание количественных и качественных закономерностей, присущих данным системам. Одной из важнейших особенностей слабоструктурированных систем является то, что их модель может быть построена только на основании дополнительной информации, получаемой от человека, участвующего в решении проблемы. При этом исчезает почва для построения беспристрастных объективных моделей. Непонимание этого обстоятельства явилось причиной неудач в применении многих "объективных" математических моделей. Классические методы прикладной математики не всегда пригодны для моделирования сложных систем, сегодня популярным становится использовать комплексы, например: теорию нечетких игр, нечеткие множества и логику, знаковые модели в рамках иерархических систем.

Теоретическая часть На наш взгляд именно предлагаемый в данной статье подход позволит построить модель, которая объединит подсистемы различных показателей как по объекту исследования, так и по своей природе и позволит строить прогноз развития системы, как количественный, так и качественный.

Выбирая базовый аппарат для построения модели сложной системы, на примере СЭС, мы остановились на когнитивном подходе. Опишем семейство нечетких познавательных моделей, кратко их охарактеризуем и проанализируем.

Традиционное понятие когнитивной модели - Cognitive Maps (CM) введено и развивалось в виде знаковых ориентированных графов в работах Р. Аксельрода [1], прикладной характер подробно изложен в известном труде Робертса [2], в котором особое внимание уделяется описанию импульсных процессов для прогнозирования развития ситуаций по орграфу. Однако применять такие модели в сложных системах затруднительно в связи с требованием соответствия используемой информации теоремам об устойчивости.

Следующим шагом в развитии явились результаты научных изысканий Бартоломея Коско. Была исследована взаимосвязь нечеткой логики и теории нейронных сетей и доказана основополагающая FAT-теорема (Fuzzy Approximation Theorem), подтвердившая полноту нечеткой логики [3]. В своей знаменитой теореме Коско доказал, что любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на «нечеткой логике».

И наконец, в 80-х годах XX в. увидели свет изобретенные Б. Коско Fuzzy Cognitive Maps (FCMs) - нечеткие когнитивные карты (или модели), на которых базируется большинство современных систем динамического моделирования, в которых причинные связи (связи взаимовлияния), отражают «силу» влияния одного концепта на другой, и могут принимать значения из диапазона от 0 до 1, либо от -1 до +1. В настоящее время FCMs -это теоретическая основа описания поведения любых сложных систем в сфере: финансовые и политические анализы и прогнозы; социальные, биологические и экологические задачи; принятие стратегических решений на основе когнитивных карт и на нечетких моделях в четкой и нечеткой обстановке; ситуационное моделирование мировой политики и т.д.

На сегодняшний день семейство FCMs расширилось, опишем его, выделив основные классы.

Нечеткие когнитивные карты В. Силова [4], в них отношения между концептами рассматриваются как элементы нечеткой матрицы смежности для графа. А проблема обработки отрицательных влияний решается за счет удвоения мощности множества концептов и раздельной обработки положительных и отрицательных влияний.

Нечеткие продукционные когнитивные карты (Rules Based Fuzzy Cognitive Maps, RBFCMs) - это FCMs, основанные на правилах [5], для описания влияний между концептами используются нечеткие продукционные правила.

Обобщенные нечеткие продукционные когнитивные карты (Generalized Rules Based Fuzzy Cognitive Maps, BFCMs) [6], обобщают свойства нечетких продукционных когнитивных карт и реализуют расширенные возможности по анализу и моделированию сложных систем.

Нечеткие реляционные когнитивные карты (Relational Fuzzy Cognitive Maps, RFCMs) и FRM - Fuzzy Relational Maps [7], обеспечивают гибкость построения и анализа нечетких моделей слабоформализуемых систем и проблем за счет реляционного представления нечетких соотношений влияния между концептами.

Нейтрософские реляционные карты (NRMs - Neutrosophic Relational Maps) [8] в их основе которых лежит идея тройственности. Нейтрософской логика характеризует каждое логическое утверждение в SD-нейтрософском пространстве, где каждое измерение пространства представляет соответственно истину (T), ложь (F) и неопределенность (I) рассматриваемого утверждения, а T, F, I соответственно являются стандартными или нестандартными вещественными подмножествами ]_ 0,1+[.

Динамические когнитивные сети (DCNs) [9] используют аппарат дифференциальных уравнений для описания модели.

Более подробный анализ и развитие DCNs в сторону нечетких нейронных сетей проведен в [10], где авторами предложена классификация способов интеграции нечетких и нейронных сетей.

FCMs, основанные на нечетких реляционных уравнениях описываются в [11], в частности предлагается решение задачи подстройки весов FCMs с помощью параллельной реализации генетического алгоритма обучения модели когнитивной карты, основанной на нейронной модели.

Когнитивные карты (СМ), нечеткие когнитивные карты (FCMs), и динамические когнитивные сети (DCNs) являются комплексным инструментарием, позволяющим моделировать познание людей и строить машинные выводы. FCMs расширяют СМ, а динамические в свою очередь, расширяют FCMs. Недостатком DCNs является высокая сложность, а CMs/FCMs не достаточно адекватно отображают объект исследования. В работе [12] описывается упрощенная распределенная вычислительная сеть (sDCN), которая расширяет возможность моделирования FCMs/CM, при этом сохраняя относительную простоту. В статье доказывается, что существует теоретическая эквивалентность среди моделей в семье когнитивных карт СМ, FCMs, и sDCNs. Например, каждому sDCN, может соответствовать FCMs или СМ, и наоборот; точно так же каждая FCMs может быть представлена СМ, и наоборот. Т.о. СМ, FCMs, и sDCNs - это семейство познавательных моделей, которое отличается от многих расширенных моделей. Известен конструктивный подход к преобразованию одной модели CM в другие модели семейства.

Описание инструментария

Подчеркивая плюсы и минусы вышеописанных моделей, мы остановились на идее, заложенной в FCMs Б. Коско, но предлагаем развитие аппарата построения когнитивных карт в виде нечетких ориентированных графов 1-го и 2-го рода.

Нечеткие модели оперируют такими понятиями, как нечеткая переменная, нечеткое множество, лингвистическая переменная. Как известно

нечетким множеством А на множестве Х называется совокупность пар вида А = {(х,^А(х))| х е X}, где /лА - функция принадлежности, принимающая значения в интервале [0, 1], т.е. цА : X ^ [0,1]. Когда Х непрерывно, то

нечеткое множество А может быть кратко описано как А = Г цА (х)/ х. В

случае дискретного Х, нечеткое множество А представляется как

п

А = ^Ма(х,-)/х .

/ = 1

Введем понятие, БСМб -это нечеткий ориентированный граф (орграф) первого и/или второго рода. Нечетким ориентированным графом первого рода называется и через О = (X,и) обозначается пара множеств, у которого X = {х-}, I е I = {1, 2, ...,п} - четкое множество вершин (или концептов), а

и = {< ци < х1, хк > / < х1, хк >>} - это нечеткое множество ребер (или дуг), где

< х, х^ > е X , а ]ии< х, х^ > - это степень принадлежности

ориентированного ребра < х., х^ > нечеткому множеству ориентированных ребер и . Нечетким ориентированным графом второго рода называется граф О = (X, и) , где X - множество вершин (или концептов) является нечетким множеством в некотором универсальном множестве А, т.е. X = {< }лх(х)/х >},х е А, X = п, и - нечеткое множество ориентированных

ребер (или дуг) определяется как и = {< ци < х1, хк > / < х1, хк >>},

< х., х^ > е X2, где X - носитель нечеткого множества X [13].

Отметим, что нечеткий ориентированный граф 2-го рода при необходимости можно однозначно преобразовать в нечеткий ориентированный граф 1 -го рода , как и наоборот, в последнем случае мы получим бесконечно много нечетких графов второго рода, что не оптимально.

Нечеткий орграф первого рода удобно задавать в виде Сг = (X,Г), где X = {хг.}, I еI = {1, 2, ...,п}, а Г - нечеткое многозначное отображение

множества вершин X в себя, т.е. Г: X ^ X, задаваемое в виде системы нечетких образов элементов х е X при этом отображении, т.е. Г(х1) = {< лг (х-)/ х- >}, х- е Г(х1), здесь Г(х1) - четкое множество образов вершины х. е X.

Нечеткий ориентированный путь из вершины в вершину хт есть Ь(х1,хт) и это направленная последовательность нечетких дуг, ведущая из вершины XI в вершину хт, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги:

Ь(х^,хт) =< Аи < ХА^ > / < ХА^ >>,< Аи < Xj,xk > / < х^хк >>,.. ...,<Аи < х^хт > / < х!,хт >> .

(1).

Для пути Ь(х1,хт) определим его конъюнктивную прочность следующим образом: А&С^(х^хт)) = Аи < xi,xj > [14].

<х« ,х,0>еГ

В приведенных выше выражениях операции конъюнкции - & и дизъюнкции - V могут интерпретироваться в различных нечетких базисах, в дальнейшем будем под этими операциями подразумевать операции минимума и максимума соответственно.

Путем с минимальной прочностью (х^хт) будем называть

ориентированный нечеткий путь между вершинами х{ и хт, для которого величина минимальна. Естественно, что аналогичные

определения могут быть даны с использованием выражений А (Ь(х^хт)),

Ах (Ь(х1,хт)) и для нахождения путей с максимальной прочностью.

Из вышеизложенного и предметных областей, которые представляются нечеткими ориентированными графами 1-го и 2-го рода, ясно, что при определении путей и их прочностей возможны самые различные комбинации нечетких операций и их интерпретаций в различных нечетких базисах.

Предлагается в дальнейшем использовать минимаксный базис и конъюнктивную прочность пути, которую будем обозначать л(Ь(х^хт)).

Моделирование на графовой модели проводится шагами, которые называют импульсами или элементарными возмущениями. Суть этого процесса заключается в следующем: одной из вершин задается возмущение, которое влечет за собой изменение показателей на всех остальных вершинах по цепочке, причем усиливаясь или затухая. Значения в вершинах будут меняться через каждый шаг имитации t. Подробно этот подход с иллюстративным примером изложен в [15].

Обозначая вершины орграфа совокупностью и], и2, ип, введем обозначения: V (исх ) = (^ (исх ), у2 (исх ),...,уп (исх )) - вектор исходных

значений вершин; Р(0) = (р^0), р2(0),...,рп (0)) - вектор начальных

импульсов; V(?) = (^(?),у2(?),...,уи(?)) - вектор значений вершин в момент

времени t, тогда: ^ (? +1) = ^г(?) + ^ а (и-иг) р- (?) , где а(и-, иг) - вес дуги

из вершины ц в вершину иг-, принимающий значения -1, 0 или +1; р() -изменение в вершине и в момент времени t. Для модели СМ известна следующая формула развития импульсного процесса: V(t) = V(исх) + (I + А + А2 + А3 + А4 +...+А )ТР(0).

Для модели FCMs данный подход не работоспособен в виду природы нечеткого графа. Предлагается следующая интерпретация импульсного моделирования, вместо четких весов а(и-, иг) вводим в формулу нечеткий

путь ,хт), описанный моделью (1), тогда:

V

Применение инструментария для решения задач

На сегодняшний день сложился стандартный перечень задач когнитивного моделирования, некоторые из них решены предложенным подходом.

В [14] описаны следующие задачи: анализ путей и циклов; определение путей и их прочности между концептами БСМб; анализ связности и сложности системы; определение степени связности графа.

В работе [13] адаптирован метод анализа нечеткой базы и антибазы к решению задачи установления похожести (аналогии) социальноэкономических систем, моделируемых различными нечеткими графами.В работе [16] предложен подход, использующий нечеткие множества для моделирования силы управляющего воздействия при разных типах связей между предшествующей и последующей целями функционирования на различных слоях БСМб.

Как известно выбор управленческого решения в сложной системе с помощью метода анализа иерархий всегда сопровождается неопределенностью, которая в свою очередь может быть выражена в следующем виде:

1) точечные оценки с функциями распределения вероятностей,

2) интервальные оценки без вероятностного распределения,

3) нечеткие оценки в виде нечетких чисел

Один из видов нечеткости в графах как раз и предполагает, что вес над дугой определяется функцией принадлежности. Но в этом случае мы имеем, хоть и множество значений с достаточно большой степенью детализации, но все же единственное число, что возвращает нас к четким СМ. Поэтому в качестве веса над дугой и более того, степени значимости вершины предлагается использовать нечеткие интервалы.

Для поиска решений в нечеткой иерархической системе управления, где отдельные вершины представлены нечеткими интервалами с границами на разных шкалах, неприменим подход, основывающийся на определении степени нечеткого равенства нечетких чисел. Поэтому предлагается применять подход, основанный на сравнении нечетких интервалов.

В [17] описывается применение аппарата нечеткой логики и нечетких множеств. Предложен способ нахождения переходов между эталонными

ситуациями в многоуровневых сложных системах, основанный на сравнении нечетких интервалов, подробно изложен алгоритм сравнения нечетких множеств на единичном интервале.

В работе [18] используются нечеткие динамические графы для решения задачи нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической системе. Особое внимание уделяется учету нечеткого характера основных параметров системы.

В [19] предлагается использование нечетких графов для моделирования и анализа функционирования сложных систем. Рассматриваются вопросы анализа сложной системы как нахождение живучести нечеткого ориентированного графа в случае, когда под живучестью понимается степень его сильной связности.

Заключение

С учетом современных тенденций, рассматривая любую сложную систему необходимо учитывать то, что главным действующим лицом ее является человек, поэтому неточность и субъективность в этой системе присутствует по природе. Вот почему, выбран нечеткий подход в виде FCMs, построенных как нечеткий орграф 1-го рода, к моделированию поведения динамических систем. С помощью предложенной модели (2) возможно построение прогнозных сценариев развития сложной системы, с учетом реакции на внешние воздействия.

Литература:

1. Axelrod Robert M. Structure of decision: The Cognitive Maps of Political Elites [Text] / R. Axelrod - Princeton, NJ, Princeton University Press, 1976, 404 p.

2. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложением к социальным, биологическим и экологическим задачам [Текст] / Ф.С. Робертс

- М.: Наука, 1986. - 496 с.

3. Kosko B. Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic [Text] / B. Kosko // Hyperion, Disney Books 1993, - 336 p.

4. Силов В.Б. Принятие стратегических решений в нечеткой обстановке [Текст] / В.Б. Силов - М.: ИНПРО-РЕС, 1995. - 228 с.

5. Carvalho J.P. Rule-based fuzzy cognitive maps and fuzzy cognitive maps - a comparative study [Text] // In Proceedings of the 18th international conference of the North American fuzzy information, 1999, by NAFIPS, p.115 - 119.

6. Федулов А.С., Борисов В.В. Обобщенные нечеткие когнитивные карты [Текст] // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. - 2004. - № 4. - С. 321.

7. Федулов А.С. Нечеткие реляционные когнитивные карты [Текст] // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2005. - № 1. - С. 120-133.

8. Смарандаке Ф. Сущность нейтрософии [Текст] / Ф. Смарандаке -США, Аризона: HEXIS Publishers, 2006. - 34 с.

9. Y. Miao, ChunYan Miao, XueHong Tao, ZhiQi Shen, ZhiQiang Liu. Transformation of cognitive maps [Text] // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Volume 18 Issue 1, February 2010 p.114-124.

10. Борисов В.В., Федулов А.С. Способы интеграции нейронных и нечетких сетей [Текст] // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. - 2007.

- № 1. - С. 5-11.

11. Аверкин А.Н., Паринов А.А. Параллельная реализация генетического алгоритма обучения нечетких когнитивных карт [Текст] // Труды 13-ой национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2012: Труды конференции. Т.2.- Белгород: Изд-во БГТУ, 2012. С.323-329.

12. Y. Miao, ChunYan Miao, XueHong Tao, ZhiQi Shen, ZhiQiang Liu. Transformation of cognitive maps [Text] // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Volume 18 Issue 1, February 2010 p.114-124.

13. Боженюк А.В., Гинис Л.А. Об использовании нечетких баз и антибаз при анализе нечетких когнитивных карт [Текст] - Украина, Донецк, ИПИИ «Наука i освгга», 2004. - №4 - С. 276-285.

14. Боженюк А.В., Гинис Л.А. О нахождении нечетких путей и компонент сильной связности между слоями иерархических познавательных карт [Текст]. - Донецк, ИПИИ, «Наука i освгга», 2005г. - №3 - С. 336-347.

15. Горелова Г.В., Рябцев В.Н. Когнитивный подход к исследованию геополитических процессов в мировых регионах и когнитивное моделирование их развития (на примере Черноморско-Каспийского региона) [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона». - 2012. № 4-2 (Том 23) - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1407 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

16. Vovk S.P., Ginis LA. Modelling and forecasting of transitions between levels of hierarchies in Difficult formalized systems [Text] // European Researcher. - 2012, - Vol. (20), - №5-1, - с.541-545.

17. Вовк С.П., Гинис Л.А. Моделирование переходов между эталонными ситуациями в сложных системах в условиях неопределенности [Текст] // Известия ЮФУ. Технические науки. - Таганрог: Изд-во ТИ ЮФУ, 2013. №2 (139). - 260 с. С. 116-122.

1S. Боженюк А.В., Герасименко Е.М. Разработка алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона». - 2013. № 1 (Том 24).. - Режим доступа:

http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/15S3 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

19. Боженюк А.В., Гинис Л.А. Применение нечетких моделей для анализа сложных систем [Текст] // Системы управления и информационные технологии. - Москва - Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2013. № 1.1(51). -С.122-12б.