Восстановление формы спектрального контура с использованием дискретного вейвлет-анализа

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФОРМЫ СПЕКТРАЛЬНОГО КОНТУРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНОГО ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА

М.Э. Сибгатуллин

В работе рассматривается задача выделения из шума спектральной линии Си I 330.79 нмс помощью дискретного вейвлет-анализа. Показано, что для спектральных контуров эффективным способом разделения полезной составляющей сигнала и шума является анализ спектра мощности вейвлет-преобразования.

1. Введение

Одной из актуальных задач в прикладной спектроскопии является изучение свойств оптически плотной плазмы. Большой интерес представляют спектральные линии атомов меди в ультрафиолетовой области. В работе мы рассматриваем спектральную линию Си I 330.79 нм (4Р'2Г0 - 4й'4О ). Данная линия является уширенной, что может происходить как за счет штарковского уширения, так и за счет автоионизации атомов меди, приводящей к аномально большому естественному уширению [1]. Наличие случайного шума, обусловленного как природой исследуемого объекта, так и регистрирующим устройством, не позволяет восстановить форму спектральной линии и, следовательно, оценить важные физические характеристики - интенсивность, полуширину, положение максимума, энергию спектрального контура.

Для решения задачи удаления шума мы предлагаем использовать вейвлет-анализ. Существует множество подходов к денойзингу сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании [2, 3]. Однако недостатком предлагаемых схем является применение их к сигналам, искаженным белым гауссовым шумом, в то время как в спектроскопическом эксперименте шум зачастую имеет фрактальную структуру [4]. В данной работе для разделения полезной составляющей сигнала и шума мы анализируем спектр мощности вейвлет-преобразования сигнала, используя предположение о низкочастотной структуре сигнала.

2. Теория

2.1. Вейвлет-преобразование

2

Любой сигнал /(1) е Ь (Я) может быть представлена как [2]

ДО = Ха Лк§J,k

кеЪ ]кеЪ

где первый член представляет собой аппроксимацию на масштабе Л, а второй - детали на масштабе Л и всех более мелких масштабах. Вейвлет-коэффициенты аппроксимации а] к и вейвлет-коэффициенты деталей ё ] к образуют дискретное вейвлет-преоб-

2

разование сигнала /(1) е Ь (Я).

Между коэффициентами аппроксимации и деталей на разных масштабах существует связь при разложении

а]к = XК-2ка]-\п, = X%п-2ка]-1,п ,

пеЪ пеЪ и реконструкции,

а]-1,к = X(^к-2па],п + §к-2пё) , (3) пеЪ

где * обозначает комплексное сопряжение. Коэффициенты Ип и gn определяют вид базисного вейвлета.

При обработке экспериментальных данных доступны только дискретные значения /. В таком случае при выполнении вейвлет-преобразования по формулам (2) непосредственно используются величины /(^) из доступного набора данных в виде коэффициентов а о £ . Пирамидальный алгоритм обеспечивает полную реконструкцию сигнала, а коэффициенты ао,£ по сути представляют собой локальные средние значения

сигнала, взвешенные со скейлинг-функцией. Такое задание начальных коэффициентов оказывается практически точным при выборе скейлинг-функции, приводящей к койф-летам [5]. В данной работе мы используем койфлет пятого порядка.

2.2. Модель сигнала

На рис. 1 показан экспериментальный контур Си I 330.79 нм.

80 г

330.2

330.4

330.6

330.8

331

331.2

331.4

Длина волны

Рис. 1. Экспериментальный контур Си I 330.79 нм

Относительный уровень шума максимален в центральной части контура и минимален на крыльях. При расчетах использовалась следующая модель представления экспериментального сигнала:

/ =Ф

где ф - чистый сигнал, X - шум, ^ - относительный уровень шума. В качестве неискаженного шумом модельного сигнала ф мы будем использовать контур Лоренца: 8 ь 1

Р(п) =

р (п-по)2 +8Ь'

Н -

где Р(п) - нормированная по площади на единицу форма контура, 8 - полуширина контура, п о - частота центра линии. Фрактальный шум определяется как [4]

1

* .....^

где Н - показатель Херста, X g - белый гауссовский шум, х^) - фрактальное броуновское движение.

т^ = ^ = В[ х(1)] = В 2Щ(1)],

2.3. Денойзинг

Одним из способов получения полезной составляющей из искаженного шумом экспериментального сигнала является выполнение процедуры денойзинга (удаления

шума). Вейвлет-преобразование позволяет рассматривать сигнал на различных масштабах. При этом происходит разделение полезной составляющей сигнала и шума. Не учитывая при обратном преобразовании масштабы, содержащие шум, можно осуществить реконструкцию сигнала. При денойзинге на основе вейвлет-анализа необходимо определить масштабы, содержащие шум. Неверный выбор данного параметра может привести либо к недостаточной степени удаления шума, либо к существенному искажению полезного сигнала.

3. Выбор масштаба

Мы предлагаем для разделения полезного сигнала и шума использовать спектр мощности вейвлет-преобразования:

Ра (/) = 1 а

/,к

Эта величина характеризует распределение энергии по масштабам. Эффективность методики исследовалась в модельном эксперименте. В качестве модельного сигнала использовался дисперсионный контур (5). Длина выборки 500 точек. Искажение сигнала шумом проводилось по схеме (4). Шум фрактальный, показатель Херста изменялся от Н = 0.1 до Н = 0.9.

Спектральные линии характеризуются низкочастотной структурой, и вследствие

того, что частота обратно пропорциональна масштабу V ~ 1, вклад сигнала в спектр

а

мощности будет увеличиваться при росте а .

На рис. 2 приведен спектр мощности дисперсионного контура, искаженного фрактальным шумом ^=0.5. Отчетливо виден минимум на масштабе а =6. Мы предлагаем использовать масштаб, на котором спектр мощности достигает минимума, в качестве границы, разделяющей вклады полезного сигнала и шума.

6 8

Масштаб

Рис. 2. Спектр мощности контура Лоренца, искаженного фрактальным шумом

Схема удаления шума в этом случае будет выглядеть следующим образом. Выполняем вейвлет-преобразование экспериментального сигнала (2), по (7) вычисляем спектр мощности, после чего находим граничный масштаб:

}гр = Ра

Далее осуществляем обратное вейвлет-преобразование (3) с к = 0, / = 1...]гр .

В таблице приведены зависимости среднеквадратичного отклонения а 2 от показателя Херста Н и относительного уровня ц шума, искажающего модельный сигнал.

\ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

ц,%\

5 0.0013 0.0019 0.0031 0.0057 0.0112 0.0218 0.0402 0.0450 0.0570

10 0.0014 0.0031 0.0059 0.0111 0.0223 0.0314 0.0764 0.0904 0.1080

15 0.0016 0.0045 0.0087 0.0166 0.0553 0.0605 0.1207 0.1471 0.1710

20 0.0017 0.0059 0.0115 0.0221 0.0605 0.0687 0.1609 0.1862 0.2141

25 0.0019 0.0073 0.0144 0.0276 0.0665 0.0780 0.2011 0.2452 0.2652

30 0.0021 0.0087 0.0173 0.0331 0.0732 0.0880 0.2413 0.2843 0.3143

35 0.0023 0.0101 0.0201 0.0386 0.0805 0.0986 0.2815 0.3233 0.3683

40 0.0025 0.0115 0.0230 0.0557 0.0881 0.1095 0.3217 0.3766 0.4201

45 0.0027 0.0483 0.0259 0.0577 0.0959 0.1207 0.3620 0.4217 0.4720

50 0.0030 0.0483 0.0287 0.0597 0.1040 0.1321 0.4022 0.4669 0.5239

Таблица. Зависимость а от Н для относительного уровня шума ц

Ухудшение результатов обработки с ростом показателя Херста связано с тем, что происходит перекрывание спектров мощности сигнала и шума.

На рис. 3 приведен результат обработки модельного сигнала. Показатель Херста и относительный уровень шума равны соответственно Н = 0.7 и ц = 20%. Видно хорошее восстановление формы контура.

-6 -4 -2 0 2 4 6

Длина волны

Рис. 3. Удаление шума в модельном сигнале (1); (2) - истинный сигнал; (3) - восстановленный сигнал

4. Эксперимент

В данной работе рассматривается спектральная линия атомов меди ^ I 330.79 нм

(4р'2р0 _ 4^'4о), приходящаяся на ультрафиолетовую область спектра. Исследование формы спектральных линий атомов меди в ультрафиолетовой области спектра представляет интерес с точки зрения оценки параметров штарковского уширения [6]. Спектр регистрировался для изучения профилей спектральных линий атомов меди при

18 3

высокой электронной концентрации пе »10 см" и температуре плазмы Т »20000 К, с использованием капиллярного источника света в воздухе [6]. Излучение от участка

плазмы импульсного разряда в воздухе с парами атомов меди, находящегося примерно на расстоянии 0.5 мм от среза примыкающего к аноду из меди капилляра, регистрировалось одновременно с помощью двух дифракционных спектрографов ДФС-8 и ДФС-452. На спектрографе ДФС-8 (обратная линейная дисперсия Ь =0.3 нм/мм) регистрировался участок спектра, содержащий резонансные линии атомов меди Си I 324.75 нм и Си I 327.39 нм. На спектрографе ДФС-452 (Ь =0.764 нм/мм) регистрировалась водородная линия На для определения электронной концентрации пе. Полученные на спектрографе ДФС-8 результаты позволяли зарегистрировать спектр излучения импульсного капиллярного разряда в диапазоне длин 300-350 нм.

Практически все наблюдаемые достаточно интенсивные спектральные линии в диапазоне длин волн 300-350 нм (общее их число более 30) могут быть уверенно отождествлены как спектральные линии нейтральных атомов меди. Наблюдаемые линии можно разбить по ширине на две резко отличающиеся группы. Линия Си I 330.79 нм относится к группе широких линий и является наиболее интенсивной из этой группы.

Здесь надо иметь в виду, что линия Си I 330.79 нм, как и другие широкие линии, имеет высоколежащие верхние и нижние энергетические уровни, причем верхний уровень лежит выше уровня энергии ионизации атома меди из основного состояния. Поэтому с верхних уровней широких линий с большой вероятностью может происходить автоионизация атомов меди [1], которая, будучи причиной уширения, приводит к аномально большому естественному уширению. Есть основания полагать, что автоионизация является основной причиной уширения зарегистрированных широких спектральных линий нейтральных атомов меди.

На рис. 4 приведен экспериментальный профиль после выполнения процедуры денойзинга по описанной выше схеме.

Рис. 4. Экспериментальный контур Си I 330.79 нм (4Р,2Р0 - ) (1),

восстановленный контур

Наблюдается восстановление формы контура. После процедуры удаления шума стало возможно определить следующие параметры экспериментального контура: интенсивность I = 61.04 [отн.ед.], полуширина 5 =0.16 [нм], положение центра линии V 0 =330.79 [нм].

Заключение

В работе рассмотрена задача восстановления формы спектрального контура, искаженного фрактальным шумом. Показано, что спектр мощности вейвлет-

преобразования сигнала является эффективным инструментом при разделении полезной составляющей сигнала и шумом. При обработке спектральных контуров в качестве критерия разделения полезного сигнала и шума использовался минимум спектра мощности. Анализ эффективности проводился на модельном сигнале - контуре Лоренца. Была проведена обработка и получены параметры экспериментального контура спектральной линии атомов меди Cu I 330.79 нм (4P'2F0 - 4d'4G ).

Литература

1. Фриш С.Е. Оптические спектры атомов. М.: ГИФМЛ, 1963. 642 с.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

3. Bacchelli S., Papi S. Filtered wavelet thresholding methods. // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2004. P. 39-52.

4. Салахов M.X., Харинцев C.C. Математическая обработка и интерпретация спектроскопического эксперимента. Казань, 2001. 238 с.

5. Дремин ИМ., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование. // УФН, 2001. Т. 171. №5. С. 465-501.

6. Галимуллин Д.З., Ильин Г.Г., Сарандаев Е.В. Исследование спектра излучения нейтральных атомов меди в диапазоне длин волн 300-350 нм в условиях импульсного капиллярного разряда в воздухе. / Сборник статей «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия». Казань, 2004. С. 121-126.