Динамика модели самолета в аэродинамической трубе с подвижностью по крену и рысканию

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVI 1995 № 3-4

УДК 533.6.071.082.013.2

ДИНАМИКА МОДЕЛИ САМОЛЕТА В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ С ПОДВИЖНОСТЬЮ ПО КРЕНУ И РЫСКАНИЮ

М. Г. Гоман, С. П. Усольцев, А. Н. Храброе

Исследуется устойчивость движения модели самолета на двухстепенном угловом шарнире, обеспечивающем подвижность модели по крену и рысканию в аэродинамической, трубе. С использованием уравнений Лагранжа и линейного представления' аэродинамических коэффициентов проведено исследование возможных равновесных состояний модели и анализ их локальной устойчивости. Показано, что в случае наличия аэродинамической несбалансированности по тангажу возможна апериодическая или колебательная потеря. устойчивости бокового движения. Тип потери устойчивости зависит от соотношения установочного и балансировочного значений угла атаки, а также характеристик статической устойчивости по тангажу и крену модели. Приведены переходные процессы параметров бокового движения модели, полученные в эксперименте и подтверждающие результаты проведенного анализа.

Одним из эффективных методов исследования нестационарных аэродинамических характеристик, а также непосредственно особенностей устойчивости и управляемости является использование в аэродинамических трубах (АДТ) установок, обеспечивающих свободное возмущенное движение модели самолета. При этом модель может быть подвижной как по угловым степеням свободы, так и по поступательным, а также оборудована дистанционной системой управления отклонением ее аэродинамических органов. Число степеней свободы у модели самолета определяется сложностью конструкции поддерживающего устройства установки. Поэтому в зависимости от характеристик установки методика эксперимента может быть различной.

При ограничении числа степеней свободы модели характер ее возмущенного движения и особенности устойчивости отличаются от условий свободного движения. Тем не менее даже ограниченная подвижность модели позволяет эффективно изучать как динамические особенности, так и аэродинамические характеристики модели самолета посредством привлечения математических методов идентификации.

Развитие экспериментальных установок с подвижными моделями в

значительной степени связано с исследованиями нестационарных аэродинамических характеристик на больших углах атаки. Используются они для описания аэродинамических характеристик в условиях развития отрывного обтекания.

В настоящее время широко используются одностепенные экспериментальные установки, обеспечивающие свободные и управляемые движения модели по крену [6]. Их использование позволило получить много новых данных об особенностях автоколебательного режима движения самолета на больших углах атаки, получившего в англоязычной литературе название «wing rock». Тем не менее сложность проблемы требует продолжения и развития подобных исследований.

Наличие только одной степени свободы по крену существенно искажает кинематику модели на больших углах атаки, что может привести к изменению характера аэродинамических нагрузок, зависящих от предыстории движения. Поэтому для более адекватного исследования нестационарных и нелинейных аэродинамических характеристик на больших углах атаки естественно сделать шаг в направлении увеличения подвижности модели, в частности, дополнительно освободить модель по рысканию.

С целью разработки оптимальной методики эксперимента с моделью самолета, подвижной как по крену, так и по рысканию, были проведены исследования динамики и особенностей устойчивости модели самолета в этом случае [5]. В настоящей статье приведены основные результаты как теоретического, так и экспериментального исследования.

ван внутри модели. Шарниры оснащены тензометрическими датчиками измерения углов поворота. Изменения параметров бокового движения по времени, регистрируемые с помощью тензодатчиков, накапливались на магнитном носителе ПЭВМ типа IBM PC/AT, а затем после фильтрации и сглаживания использовались для вычисления углов атаки и скольжения, а также угловых скоростей и ускорений.

Ранее экспериментальная установка ДУТ-1 использовалась для определения нестационарных и вращательных производных аэродинамических коэффициентов при колебаниях только с одной степенью свободы: по крену или по рысканию. Для этого использовались специ-

Рис. 1. Схема установки ДУТ -1

Схема установки ДУТ-1, на которой проводились экспериментальные исследования, приведена на рисі. 1. Эта установка обладает двумя шарнирами, обеспечивающими подвижность модели как по крену, так и по рысканию. Шарнир по рысканию вынесен на вертикальную стойку, поддерживающую модель, а шарнир по крену вмонтиро-

альные загрузочные пружины, позволяющие как реализовать колебательные движения при отсутствии набегающего потока, так и изменить частоту колебаний при наличии набегающего потока.

1. Уравнения движения модели при наличии подвижности по крену и рысканию. Для математического описания движения модели самолета воспользуемся уравнениями Лагранжа [4]. Углы поворота модели в шарнирах крена и рыскания у, у могут быть приняты в качестве обобщенных координат, а их производные у, у в качестве обобщенных скоростей.

Кинетическая энергия движущейся модели выражается через обобщенные координаты и скорости следующим образом:

гф

/«), где <3 •?- II сое у

ЇХ ХУ 0

/ = -ЇХУ /у 0

0 0

так, что

Т = ~2^х У ~ ^^хгЧ'У со8У + 008 У + /г у 8ІП у).

Уравнения Лагранжа

й дТ дТ Ш дці Зц/ й дТ дТ _ 0 Л ду ду у

приводят к следующим уравнениям движения:

.2,

ЇХУ ~ їхгуьжу + № ~ віпусову = Мх + Мтм + Мпрг +Мву,

Х¥ У сову + (/у сов у + 12 ^ у)У + ^ХУ У 8ІПУ --2(/у -І2 )уу віп у сову = Му сову + М2 віпу + + Мпт + Мвц1.

Проекции обобщенных моментов Оц и 0у определяются аэродинамическим воздействием Мх, Му, М2, трением в шарнирах Мтр], Мтрц, действием пружин Мпрг,Мирц1 и возможным смещением центра масс относительно осей вращения Мд^, Мд^. Для вычисления

аэродинамических моментов необходимы соотношения, связывающие значения углов атаки и скольжения, а также их производные с обобщенными координатами и скоростями у, у, у, у.

Углы атаки и скольжения выражаются через проекции на связанные оси координат ОХ.К2” вектора скорости набегающего потока :

ИЗ

которые, в свою очередь, выражаются следующим образом через углы поворота шарниров у, ці и угол установки вертикальной державки а0, определяющий угол атаки модели при нулевых отклонениях шарниров у = 0, ці = 0:

Скорости изменения углов атаки и скольжения определяются через проекции вектора угловой скорости на скоростные оси координат

где а>х = у, соу = ц) сое у, <вг =-фзту. При совместном изменении углов курса у и крена у возможна реализация конического движения модели, когда значения углов атаки и скольжения остаются постоянными. Это обстоятельство, как будет показано ниже, при сбалансированности моментов по тангажу приводит к неединственному равновесному положению модели с различными значениями угла крена, но постоянными значениями угла атаки и скольжения , в частности с а = а0, р = 0. При этом модель может находиться в безразличном положении равновесия, все время оказываясь на конической поверхности.

Проекции аэродинамического момента на связанные оси координат М%, Му, Мг будем представлять традиционно с использованием аэродинамических производных ( при необходимости могут быть учтены также и нелинейные члены) :

, = ^совусовао,

Уу = Г(-со8у8Іпа0 + віл у віл ц/сов ад), = У(віїї у БІЙ (Хд + сову вігі у СОвао).

охпгпг,-

ала^а

совр • а = а>г совр - віп Р(сох сова - віл а), (3 = х віпа + со у сова,

Мх = тхдБ1, Му = ШуЦБІ, М% - тгдБЬа,

где

где 5Э, 5Н, ф — отклонения соответственно элеронов, руля направления и горизонтального оперения.

При качественном исследовании условий устойчивости ниже будут рассматриваться случаи, когда модель самолета статически устойчива по тангажу /и“(а) < 0 или статически неустойчива /и“(а) > 0.

Моменты трения в шарнирах и полностью устранить

не представляется возможным, поэтому при математическом моделировании и оценке аэродинамического демпфирования эти моменты необходимо учитывать. Трение в шарнирах включает составляющие сухого и вязкого трения, поэтому

^•ФТ =-fciTsignY -*2Yy, мтрц, = -fciv signvj/ - к2ц1 у.

В шарнире крена возникает момент, ограничивающий подвижность по третьей угловой степени свободы модели. Величина этого момента влияет на величину коэффициента сухого трения .

При идентификации аэродинамических характеристик желательно знать моменты инерции модели — JX,JY, Jxy • Для их оценки могут использоваться переходные процессы движения модели при загрузке ее пружинами при освобождении как одной, так и двух степеней свободы. Знание жесткостей пружин, а также геометрических характеристик их закрепления позволяет вычислить моменты от пружин, возникающие при отклонении модели (см. рис. 1):

^Пр? = ~2&пр cosy,

J .

^прч» = кцр /2sinv)y cos v|/.

Колебательность движения модели без потока возникает также и вследствие смещения ее центра масс относительно осей шарниров (Ут>хт)и возникновения моментов, обусловленных силой тяжести :

MGy = (- sin у cosao + cosy sin vy sin ад) • Ут G,

MG¥ = - sin v)/ sin ад • xj • G + sin у cos vj/ sin aq -y-f • G.

2. Анализ устойчивости возмущенного движения модели. Характер возмущенного движения и особенности устойчивости модели зависят от степени ее подвижности. Ограничивающие связи, возникающие из-за фиксации шарниров по части степеней свободы, приводят к искажению кинематики возмущенного движения. Это, в свою очередь, накладывает отпечаток на анализ и интерпретацию получаемых результатов. Поэтому в каждом конкретном случае необходим специальный анализ особенностей динамики.

Движение по крену. Рассмотрим устойчивость модели на установке с одной степенью свободы по крену и возможные особенности возникновения одностепенных автоколебаний модели, которые широко исследуются в последние годы в связи с проблемой «wing rock» [6].

Уравнения движения (2), (3) для такого случая существенно упрощаются, поскольку происходит вращение относительно фиксированной оси:

JX У ~ МХаэр > Р >  х ) ^Gy>

cosy sin ар_________

sin а =

ycos2 ад + cos2 у sin2 sin |3 = sin у sin а0,

“х = У-

Зависимость коэффициента аэродинамического момента крена тх от кинематических параметров может быть представлена следующим образом:

тх =/пР(а)р + /и“| к(а)шх + pJ + ка^х,

—3

где (а) = /я“* (а) + sina0 — величина, измеренная методом выЛ 15 • К Л Л

нужденных колебаний.

При наличии одной степени свободы по крену в силу существующих кинематических связей (10) коэффициент момента крена зависит фактически только от угла крена и его производной у, у.

Одним из возможных механизмов возникновения автоколебаний модели может служить локальная потеря устойчивости положения равновесия по типу бифуркации Андронова — Хопфа [1]. Знак производной аэродинамического момента крена /я“| к(а) определляет условие

колебательной устойчивости движения модели. Если /и“* к(а) < 0 и /и^<0, то система (10) обладает устойчивой парой комплексно-сопряженных корней. Если к(а) > 0 и п?х < 0, то возникает колебательная неустойчивость движения, приводящая к нарастанию амплитуды колебаний по крену.

На рис. 2 приведен пример расчета собственных чисел характеристического уравнения линеаризованной системы (10) для у = 0 при различных значениях угла атаки. При установке продольной оси модели ПОД нулевым углом К потоку ОС0 = 0 имеется один нулевой корень из-за нейтральности по крену (вырожденный случай конического движения).

При увеличении угла атаки за счет поперечной устойчивости

Пх I7TL Г

\ > i. - 3

ч \ ‘X •

I L ' I - \ ..... ..J

-1

\-0,5

*3*

-з

-ч-

0,5 Re

Рис. 2. Корни линеаризованной системы

пРх < 0 и кинематического взаимодействия sin (3 = sin у sin а0 действительные корни сходятся и возникает комплексно-сопряженная пара корней, мнимая часть которых возрастает по мере роста модуля .

На угле атаки а = 22° возникает неустойчивость колебательного движения — собственные числа переходят в правую полуплоскость. Причиной потери устойчивости в данном случае является смена знака

аэродинамической производной я^вк’ Т- е’ потеРя аэродинамического демпфирования.

В результате потери устойчивости равновесного состояния (у = 0) происходит нарастание амплитуды колебаний, завершающееся возникновением автоколебательного режима. Установление автоколебаний может происходить по схеме уравнения Ван-дер-Поля, которая рассматривалась во многих работах [6]. При этом восстановление демпфирующих свойств по крену может объясняться, в частности, нелинейной зависимостью момента крена от угла скольжения и угловой скорости крена (11) [6].

Возможен также иной механизм установления автоколебаний на одностепенной установке, определяемый кинематической связью между углом атаки и крена: при а0 > 0 угол атаки по мере роста угла крена может уменьшиться до значений, при которых восстанавливается аэродинамическое демпфирование (/я“* < 0). Это обстоятельство также

может привести к балансу раскачивающих и демпфирующих аэродинамических моментов. Как легко видеть, в этом случае также возникают автоколебания по схеме Ван-дер-Поля даже при отсутствии нелинейных членов в представлении (11), пропорциональных третьей степени угла скольжения и угловой скорости.

Таким образом, из рассмотренного примера видно, что использование одностепенных установок для изучения динамики и определения аэродинамических характеристик может привести к неоднозначным выводам при решении обратной задачи динамики — идентификации аэродинамических характеристик.

Движение по крену и рысканию. При освобождении двух степеней свободы по крену и рысканию характер возмущенного бокового движения модели приобретает дополнительные черты свободного движения, но все же еще существенно отличается от возмущенного движения, например, на трехстепенном шарнире. Причиной этого, как будет показано ниже, может служить возможная несбалансированность модели по тангажу и воздействие шарнирного момента тангажа на боковое движение.

Проведем анализ устойчивости равновесного режима при освобождении двух степеней свободы по крену и рысканию. Будем полагать, что равновесное положение определяется следующими значениями параметров модели:уе = ре = ах = соу = 0 и возмущенное движение происходит с малыми отклонениями от этого положения: y,v|/,p«l. В этом случае кинематические соотношения (5) упрощаются:

а и 0, а * ад,

Р » у віпад + усовад, р » у віпад + усовад, о>х  У, Юу « у|/,

и уравнения возмущенного бокового движения могут быть записаны в форме, близкой к традиционному виду уравнений бокового движения [2, 3]:

р = Ш* віл ад + СОу СОвад,

= Щр + (М“* + Щ вІП (Хд)со^ + (Л/“У + Щ СОвад)в>у +

+М? 5Э + М°Х"5Н,

<Ьу = р + (Л/“* + М*) 8іпад)юл: + (Му + МР сое (Хд)сйу +

где

+М^5э + Му5н8н-Мг,у,

У = юх>

мР=^-

1 7/ ’

^<0/ /я“7'^/2 . .

/у * /у

Из уравнений видно, что на характер возмущенного бокового движения может оказывать влияние величина несбалансированности модели по тангажу. Если модель сбалансирована по тангажу, т. е. М7<г =0, то влияние угла крена на движение по курсу в линейном приближении отсутствует. Важным фактором, как будет показано ниже, является знак величины М^, который определяется соотношением между установочным углом а0 и балансировочным углом атаки аб, который соответствует данному отклонению стабилизатора ср, и характером статической устойчивости модели самолета, т. е. знаком величины /я“.

Характеристическое уравнение системы

Д(/>) = сЫ

р - він ад -сое ад 0

-щ Р-К в.к -ИГ* хв.к 0

-Л/р -ма* р-Щ1* -мг

У у в.к г ув.к

0 -1 0 р

= 0,

где индекс (в.к) отмечает величины, полученные в эксперименте методом вынужденных колебаний, может быть представлено следующим образом:

РІР + ^кр)(Р2 +2& + «>1) - + Щ совао) = О,

хв.к*

где Хкр,£,,(йо — параметры, характеризующие собственные числа бокового возмущенного движения системы (13) при выполнении условия сбалансированности модели по тангажу :

М,т = 0, (а0 = аб).

В этом случае модель в силу закрепленности центра масс (АД'ц.м = ДХц.м = 0) имеет нулевой (спиральный) корень, устойчивый корень крена >4 = Хкр и комплексно-сопряженную пару

= -% ± Ьо^1 - (см. рис. 3, а).

^2,3 =

1т

> Е °>0

* 1Яе

X

. 1т X 1т.

1 ' Ле

а)Мх-0 е)Мг„М*~0

*)мя,м^о

Рис. 3. Влияние несбалансированности модели по тангажу на устойчивость симметричного равновесного положения

При появлении малой несбалансированности по тангажу Мг„ * 0 корни характеристического уравнения будут изменяться. Важную роль в условии устойчивости играет поведение нулевого корня, который, в предположении о его малости, может быть оценен с помощью приближенного соотношения

Ро

. Мг-*Ч сое ад

2 ,

0 кр

Из соотношения (15) видно, при каких условиях нулевой корень перемещается в правую или левую полуплоскость. Если М£ < 0, т. е. у модели имеется запас поперечной устойчивости, то апериодическая неустойчивость (р0 > 0) возникает, если М1*< 0, т. е. при а0 > аб в

случае статической устойчивости /и“ < 0, и а0 < аб — в случае статической неустойчивости по тангажу /и“ > 0. На рис. 3, б, в приведены примеры поведения корней характеристического уравнения в случаях

несбалансированности по тангажу Мг„. Если обеспечивается апериодическая устойчивость (/?0 < 0), то происходит уменьшение демпфирования колебательной формы бокового движения — комплексносопряженная пара корней движется к мнимой оси. В принципе возможна ситуация апериодической потери устойчивости колебательной формы движения (см. рис.З, в).

На рис. 4 приведены корневые годографы для устойчивого по тангажу самолета при а0 = 10° (аб = а0 при ср0 = -7,14°) для различных значений скорости потока V = 30, 40, 50 м/с при изменении отклонения стабилизатора ср > ср0 и жесткости пружин в канале курса Лц, = 0 и 200 кГ/м.

Рис. 4. Возникновение колебательной неустойчивости при различных загрузках пружинами и скоростях потока

В первом случае при несбалансированности, соответствующей отклонению стабилизатора ср = 2,2° или отклонению от балансировочного значения (Дф « 9°)(независимо от величины скорости потока наступает потеря устойчивости колебательной формы бокового движения (/я“ < 0, пР < 0) (см. рис. 4, а). При этом из двух устойчивых действи-

Ч. л

тельных корней возникает новая комплексно-сопряженная пара корней.

При наличии пружины по рысканию условия потери устойчивости изменяются. Выход корней на мнимую ось происходит при меньшей несбалансированности при значениях ф, зависящих от скорости потока ( см. рис. 4, б). Поэтому увеличение жесткости пружин и уменьшение скорости потока могут привести к потери устойчивости колебательной формы движения. Для иллюстрации на рис. 5 приведены области устойчивости в плоскости параметров ф и к при различных значениях скорости потока V = 30, 40, 50 м/с.

Искусственное создание пониженного запаса устойчивости колебательной формы движения с помощью выбора параметров ф, к и V может служить эффективным средством увеличения продолжительности переходных процессов, что повышает точность идентификации аэродинамических характеристик.

Апериодическая потеря устойчивости равновесного режима при выходе действительного корня в правую полуплоскость при > 0

сопровождается ветвлением решений в нелинейной системе (2). Равновесное решение с нулевыми значениями параметров у = р = \|/ = 0, а=ос0 становится апериодически неустойчивым, но появляются два устойчивых равновесных состояния с ненулевыми значениями углов крена у и рыскания у, при этом угол скольжения в несимметричных равновесных состояниях по-прежнему остается равным нулю (р = 0), а угол атаки при всех значениях отклонения стабилизатора равен балансировочному значению а = аб.

Ветвление решений возникает при ср * -14°, и при ср < -14° появляется симметричная пара устойчивых режимов с |у|*0. На рис. 6 приведены изменения параметров модели после ветвления решений у (ср), ч/(ср), <х(ср), р(ф) (для у, V)/ показана одна ветвь).

У>Ф>а>Р

60°

30°------

Рис. 6. Ветвление стационарного решения при ф = Фб

Ветвление равновесных решений происходит при всякой смене знака свободного члена характеристического уравнения (14) ~ .

Поэтому ветвления появляются и при таких значениях а0 = а,, при которых в условиях несбалансированности Мг* * 0 происходит изменение знака поперечной устойчивости Л/^(а*) (рис. 7). Таким образом,

в интервале, где равновесный режим с нулевыми параметрами у, ц/ неустойчив, имеются четыре устойчивых режима с ненулевыми значениями параметров. Одна пара (1, 2) лежит на ветвях, родившихся в точке балансировки Мг* = 0, угол атаки на них равен балансировочному а = аб, а угол скольжения равен нулю. Вторая пара (3, 4) лежит на ветвях, родившихся в точке а0 = а,, где обнуляется поперечная устой-

Рис. 5. Области устойчивости при различных скоростях потока

чивость Л/Р(а„) = 0. На этих ветвях значения угла атаки постоянны и равны а = а,, а угол скольжения определяется условием сбалансированности в канале курса (Мщ = 0).

Все приведенные выше примеры и анализ устойчивости были получены для случая аэродинамически устойчивой по тангажу модели

< 0.

Эти результаты могут быть применены и для случая аэродинамически неустойчивой модели (/и“ >0). Количество равновесных режимов

не изменится, но поменяется характер их устойчивости. Так, например, нулевое положение равновесия у = у = Р = 0 будет устойчиво только при а, < ар < аб. Ответвляющиеся несимметричные равновесные положения модели (см., например, 1, 2, 3, 4 на рис. 7) будут также апериодически неустойчивы. Сепаратрисные поверхности, проходящие

Рис. 7. Бифуркации стационарного решения при ао = аб и ПРИ “0 = а»

через эти неустойчивые седловые решения, формируют границы устойчивости равновесного положения с у = у = р = 0 при а* < а0 < аб.

Загрузка модели пружинами влияет на область устойчивости равновесного режима. На рис. 8 приведены примеры изменения несимметричных седловых положений равновесия при подключении пружи-

Рис. 8. Влияние загрузки пружинами на несимметричные седловые положения равновесия

ны по рысканию (к^ = 50 кГ/м) и крену (ку = 20 кГ/м). Более эффективна в смысле расширения области устойчивости загрузка пружиной по рысканию.

3. Краткий обзор экспериментальных результатов. Испытания проведены в аэродинамической трубе Т-1 филиала ЦДГИ. Экспериментальные исследования изолированного движения по крену подтвердили качественные особенности, описанные в п.1. В частности, наблюдалось уменьшение демпфирования колебаний по крену с ростом угла атаки. На больших углах атаки демпфирование в малом практически отсутствует, поэтому там наблюдаются автоколебания небольшой амплитуды 70 = 5-7°.

Для двух степеней свободы эксперимент подтвердил ограниченность области устойчивости для модели с /и“ > 0 (рис. 9) : при малых

начальных отклонениях колебания модели сходились к стационарному значению, при больших отклонениях модель после одного колебания выходила из области устойчивости и апериодически достигала упоров.

ч> Г у

20° • 30°

-5Л  15"

-30'  0

-55° --АГ

-во0 --30°

Рис. 9. Ограниченность области устойчивости для статически неустойчивой модели

Подтвердился также вывод о влиянии жесткости загрузочных пружин в канале курса на область устойчивости. На рис. 10 показаны автоколебания, которые наблюдаются для модели на пружинах при угле атаки а0 = 35°. При загрузке модели более мягкими пружинами автоколебания исчезают. Это в точности совпадает с результатами качественного анализа математической модели.

Таким образом, результаты эксперимента качественно подтверждают результаты математического анализа.

У^ЗОм/с; <х=35°; 9тв—МГ; Ъ,^к2 Ц кц — \г

,я Г

О 2 ¥ В 0 2 Ь 6 Т,с

Рис. 10. Возникновение автоколебаний при увеличении жесткости пружин

Исследования динамики модели самолета в АДТ на шарнире с двумя степенями свободы по крену и рысканию выявили следующие особенности:

1. Несбалансированность модели по тангажу может привести к потере устойчивости бокового движения; тип потери устойчивости — апериодический или колебательный — зависит от аэродинамических производных устойчивости продольного и бокового движения, а также соотношения установочного и балансировочного углов атаки.

2. Загрузка модели пружинами по курсу и крену существенно расширяет область устойчивости движения и позволяет проводить исследования со статически неустойчивыми по тангажу моделями.

Полученные в ходе эксперимента динамические процессы подтверждают теоретические выводы о возникновении неустойчивости и могут быть использованы для идентификации стационарных и нестационарных аэродинамических характеристик бокового движения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 94-01-00508).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бюшгенс Г. С., С ту дне в Р. В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. — М.: Машиностроение. — 1979.

2. Гуськов Ю. П., Загайнов Г. И. Управление полетом самолетов. — М.: Машиностроение,— 1980.

3. Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: Наука.— 1961.

4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука.— 1978.

5. Goman М., Khrabrov A., Usoltsev S. Stability analysis of semi-free aircraft model in wind tunnel // Abstracts of XVIII-th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics.— Haifa. August, 1992.

6. Hsu C.-H., Lan С. E. Theory of wing rock // J. of Aircraft.— 1985.

Vol. 22 , N 10.