Конечноэлементный анализ применимости прикладных теорий расчета пьезоэлектрического устройства накопления энергии стековой конфигурации

Ле В. Зыонг

Конечноэлементный анализ применимости прикладных теорий расчета пьезоэлектрического устройства накопления энергии стековой конфигурации

Введение

Пьезоэлектрические устройства накопления энергии являются альтернативным источником энергии, которые позволяют собирать энергию от маломощных источников в окружающей среде, например, вибрация от качающихся мостов, движущихся механизмов и т.д. Устройства накопления энергии, в частности, пьезоэлектрические широко изучаются в различных областях техники от аэрокосмической области до бытовых устройств и этим обусловлен интерес их исследования [1 - 11].

В последнее время были изучены различные подходы к моделированию пьезоэлектрических устройств накопления энергии. Большинство моделей были созданы на основе системы с одной степенью свободы - «пружина с инерционной массой». Работы [1 - 5] посвящены построению моделей ПЭГ на основе колебаний механической системы с сосредоточенными параметрами. Использование таких систем является удобным модельным подходом, так как позволяет получить аналитические зависимости между выходными параметрами ПЭГ (потенциалом, мощностью и т.п.) и электрическими, механическими характеристиками и сопротивлением внешней электрической цепи. Задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений состоящих из уравнения движения с учетом пьезоэлектрического эффекта [2 - 4]. В работе [5] на основе этих моделей проведен учет случайных колебаний ПЭГ. В работе [6] использован метод Релея-Ритца на основе разложения по собственным формам колебаний. В работе [7] построено решение в аналитической форме для одномерной модели устройства. В работе [8] разработана

модифицированная модель [6] для определения оптимальных параметров ПЭГ. В работе [9] исследование тонкой биморфной пьезопластины проводится в рамках приближенной теории на основе уравнений Тимошенко. В работе [10] исследуется вопрос оптимизации конструкции изгибного ПЭГ в зависимости от условий крепления. Одним из средств улучшения характеристик ПЭГ является использование пьезокомпозиционных материалов, так в работе [11] представлены результаты вычислительных экспериментов по определению характеристик пористой пьезокерамики по методологии, включающей метод эффективных модулей.

В настоящей работе изучаются области применимости этих упрощенных моделей на основе строгих трехмерных математических постановок для упругих и электроупругих сред и анализа их конечноэлементных аналогов в пакете ANS YS.

1. Приближенная и точная постановка задачи

В работе рассматривается ПЭГ являющийся главным элементом устройства накопления энергии, имеющий стековую конструкцию, где активный элемент состоит из одного (рис. 1а, 1б) или нескольких слоев пьезокерамики (рис. 1в), поляризованных по толщине в форме короткого цилиндра и переходных упругих слоев такого же радиуса. Верхняя и нижняя торцевые поверхности пьезодиска полностью электродированы. Весь пакет заключен в цилиндрический корпус, жестко закрепленный по нижнему основанию. Рассматриваемое устройство включается в электрическую цепь с активным сопротивлением RH (рис. 1а).

Рис. 1. Модель ПЭГ стековой конфигурации. а) свободная боковая поверхность (первая модель); б) условия гладкого контакта (вторая модель); в) модель с несколькими слоями пьезокерамики; г) эквивалентная модель с сосредоточенными параметрами.

Рассматривается ПЭГ для двух моделей с различными механическими условиями на боковой поверхности. В первой модели (рис. 1а) только нижняя поверхность пьезоэлемента закреплена в подвижной системе и совершает вертикальные колебания вместе с ней, во второй цилиндрическая поверхность пьезоэлемента закреплена по радиальному направлению -условия гладкого контакта (рис. 1 б).

При этом задается у^) - вертикальное перемещение нижней поверхности ПЭГ:

у

где у0 - амплитудное колебание (у0 = 0,1 мм), / - частота вынужденных колебаний в Гц.

В конструкции использовались следующие материалы: пьезоэлемент -пьезокерамика Р7Т-5Н; инерционный элемент - сталь. Значения электроупругих модулей керамики Р7Т-5Н приведены в таблице 1.

Таблица № 1

Материальные константы пьезокерамики Р7Т-5Н:

СЕ (ГПа) СЕ 12 (ГПа) СЕ 13 (ГПа) СЕ (ГПа) СЕ 44 (ГПа) е31 (Кл/м2) е33 (Кл/м2) е15 (Кл/м2) 811 / 80 833/ 80

126 55 53 117 35.3 -6.5 23.3 17 1710 1470

3

80 = 8,85 х10-12 Ф/м; плотность р = 7,5 х 103 кг/м ; £ = 0,05 - коэффициент демпфирования.

Упругие свойства изотропных материалов задаются с помощью модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона V. Характеристики конструкционных

3 3 11

материалов - сталь: плотностьр = 7,8 х 103 кг/м ; модуль Юнга Е = 2,1 Х1011 Па; коэффициент Пуассона V = 0,3.

Эквивалентная механическая модель. Для ПЭГ стековой конфигурации, работающего на частоте близкой к собственной, эквивалентная модель с одной степенью свободы (рис. 1г) может быть построена на основе сочетания уравнений актуатора и датчика, полученного для электромеханически-связанных систем [1]:

м .и а)+сиа)+к ма) - в уа)=-м. уа)

1 (2) я

вм($) + ср Ур () + — ¥р () = 0

1Н

Из уравнений (2) можно определить значение выходного потенциала Ур по формуле [1]:

^=А, ак-а

м у в V[1 - (1 + 2^а)П2 ]2 + [(24 + (1 + к] )а)П - аО3]2

ПЭГ характеризуется двумя собственными частотами: резонансная частота /п соответствует коэффициенту демпфирования 4 = 0, сопротивлению активной нагрузки Ян ^ 0 (короткое замыкание) и антирезонансная частота /ап - 4 = 0, Ян ^^ (разомкнутой цепи). Значения/„ и /а„ можно выразить в виде [1]:

1 [К и ,2

/п=пм' и ч 1+к*.у„ ,

/ с €??S

0 = ^, а = 2т$пСЯн , 4 =---; К = , в = -^3-р

/„ „ Р Н 2М(2П У И' Ир

где V - напряжение; С - коэффициент эффективного демпфирования; Ср -

эффективная емкость. О - отношение частота; а - безразмерные постоянные времени; ке - жесткость пьезоэлектрического слоя, когда система находится в состоянии короткого замыкания; в - силовой коэффициент; К -эффективная жесткость; 8р - площадь поверхности пьезоэлемента; Ир -

высоты пьезоэлемента; и м - эффективная масса, можно записать в виде [1]

мр

м = мт ,

п

Mm - масса инерционная; Mp - масса пьезоэлемента; n - коэффициент

приближенной эффективной массы (в [1] принято, что коэффициент n = 3).

Основной целью работы является исследования области применимости одномерной модели (2) - (6) с помощью ее сравнения с конечноэлементным расчетом в программных пакетах ACELAN и ANSYS.

Континуальные постановки задач электроупругости. Стековое пьезоэлектрическое устройство накопления энергии (рис. 1а, 1б) представляет собой составное упругое и электроупругое тело, которое совершает малые колебания в подвижной системе координат. Прямолинейное вертикальное движение этой системы (рис. 1) задается законом y(t), в соответствии с которыми движется основание устройства. В этих условия достаточно адекватной математической моделью функционирования устройства является начально-краевая задача линейной теории электроупругости [12].

Рассмотрим некоторый пьезопреобразователь Q, представленный набором областей Qj = Qpk; k = 1,2,..., Np; j = k со свойствами

пьезоэлектрических материалов и набором областей Qj = Qem; m = 1,2,..., Ne;

j = Np + m со свойствами упругих материалов. Будем считать, что физико-

механические процессы, происходящие в средах Qpk и Qem, можно адекватно

описать в рамках теорий пьезоэлектричества (электроупругости) и упругости. Для пьезоэлектрических сред Qj = Qpk предположим, что выполняются

следующие полевые уравнения и определяющие соотношения:

PpkU + ad]pu-V-о = f;; V-D = 0,

о = с* ••

£ =

где p(x) - плотность материала; u(x, t) - вектор-функция перемещений; о -тензор механических напряжений; f - вектор плотности массовых сил; D -трехмерный вектор индукции электрического поля; с* - тензор четвертого

ранга упругих модулей, измеренных при постоянном электрическом поле; е

- тензор пьезомодулей третьего ранга; £ - тензор деформаций; Е -трехмерный вектор напряженности электрического поля; ср(х, г) - функция электрического потенциала; э5 - тензор второго ранга диэлектрических проницаемостей, измеренных при постоянной деформации; ай],вй],дй -

неотрицательные коэффициенты демпфирования [12], а остальные обозначения стандартны для теории электроупругости, за исключением дополнительного индекса "]", указывающего на принадлежность к среде О

с номером /

Для сред О= 0ет с чисто упругими свойствами будем учитывать

только механические поля, для которых примем аналогичные (7) - (9) полевые уравнения и определяющие соотношения в пренебрежении электрическими полями и эффектами пьезоэлектрической связности.

К уравнениям (7) - (9) добавляются механические и электрические граничные условия, а также начальные условия в случае нестационарной задачи, среди которых отметим условие на электроде ее связанным с электрической цепью устройства накопления энергии.

1= I ,

„

5,,

где I - ток в цепи, который в случае свободного электрода равен нулю. В работе рассматриваются случаи подключения к электрической цепи с активным сопротивлением.

2. Численные расчеты

Как оказалось значение коэффициента приближенной эффективной массы п зависит от геометрических параметров конструкции и граничных условий. В настоящей работе изучено влияние значения высоты пьезоэлемента Ир, массы инерционной мт и площади поверхности

пьезоэлемента 5р на этот коэффициент для двух моделей в случае

свободного электрода.

В начале рассматривается влияние высоты пьезоэлемента Ир, инерционной массы Мт, и площади поверхности электрода 8р на первую резонансную частоту /п для двух модель (расчеты проводились в АКБУБ). Полученные зависимости резонансных частот от высоты пьезоэлемента Ир, изменяющейся в интервале 1 ^ 20 мм приведены на рис. 2.

„х 1СГ

1 - м = ю г, s = 1 см 2 2 -М = 5 Г, S = 1 СМ2 1 -М = ЮГ, S = 1.5СМ2

i

1.8

1 6

1.4

12

08

0 6

0.4

0 2

х 10J

-1 М = ЮГ, S = 1 СМ2 ->-2 -М = 5 Г. S = 1СМ2 -М = ЮГ, S = 1 5СМ2

А

10 12 14 16 18 20 hp

10 12 14 16 18 20

hp

а) б)

Рис. 2. а) - первая модель; б) - вторая модель.

Далее рассматривается зависимость значения коэффициента n, входящего в формулу (6), от значения высоты пьезоэлемента hp,

инерционной массы Mm и площади поверхности электрода Sp.

Значение коэффициента n находится из условия совпадения частот резонанса, вычисленных по соотношениям (4) и, рассчитанных с помощью конечноэлементной модели в пакете ANS YS (рис. 2). Полученные зависимости значения коэффициента приближенной эффективной массы n от высоты пьезоэлемента hp, инерционной массы Mm, и площади поверхности

электрода S для двух моделей представлены на рис. 3.

а) б)

Рис. 3. а) - первая модель; б) - вторая модель.

Из рис. 3 видно, что для обеих моделей значение коэффициента п возрастает с ростом высоты пьезоэлемента Ир, и площади поверхности

электрода 8р, но убывает с ростом инерционной массы Мт. Значение

коэффициента п для первой модели меньше, чем для второй модели.

В итоге можно заключить, что значение коэффициента п не равно фиксированному значению 3 (как заявили авторы в [1]). Значение коэффициента п изменяется и зависит от геометрических параметров конструкции. Для второй модели, при значении 8р = 1 см (это значение был

использовано в статье [1]), значение коэффициента п возрастает с ростом высоты пьезоэлемента Ир, и принимает значение 2,7218 (~ 3) при высоте

Ир = 20 мм. Таким образом, при использовании метода моделирования на

основе систем с сосредоточенными параметрами нужно иметь в виду, что значение коэффициента п зависит от параметров устройства. Результаты, представленные на рис. 3 позволяют в зависимости от высоты пьезоэлемента И , инерционной массы Мт, и площади 8 выбрать значение коэффициента

п.

3. Сравнение выходного потенциала

В работе рассматривается выходное напряжение ПЭГ для второй модели в зависимости от частот вынужденных колебаний, изменяющихся в интервале 10 ^ 80 кГц.

В начале сравнится выходное напряжение V, вычисленное по соотношениям (3) и У2, рассчитанное с помощью конечноэлементной модели, т.е. изучается влияние геометрических параметров устройства на значения коэффициентов п и Х = V2/ Ух. Полученные результаты показывают, что значения коэффициента п и X изменяются в зависимости от геометрических параметров устройства и величины активного сопротивления ЯН .

Так, при значении инерционной массы Мт = 10 г, площади поверхности электроде 8р = 1см , полученные значения коэффициента п и X в зависимости от значений высоты пьезоэлемент Ир, и активной сопротивления ЯН представлены в таб. 2.

Таблица № 2

Значения коэффициента п и к

Кн 0,1 кОм 1 кОм 10 кОм 0,1 МОм 1 МОм

п 1,81 1,81 1,81 1,61 1,61

Ьр = 10 мм

X 1 1 1 1,02 1,02

п 2,73 2,73 2,73 2,68 2,68

Ьр = 20 мм

1,12 1,12 1,12 1,18 1,18

Результаты, представленные в таб. 2, показывают, что значение коэффициента п равно значению, рассчитанному выше (рис. 3) при не большом активном сопротивлении ЯН. При этом полученные зависимости выходного потенциала от частот вынужденных колебаний представлены на рис. 4а и 4б для значения высоты пьезоэлемента Ир = 10 мм и Ир = 20 мм

соответственно. Значения коэффициентов п и X соответствуют таб. 2. При этом кривые 1, 2 соответствуют ЯН = 100 Ом; кривые 3, 4 - ЯН = 1 кОм; кривые 5, 6 - ЯН = 10 кОм; кривые 7, 8 - ЯН = 0,1 МОм; кривые 9, 10 - ЯН = 1 МОм;

а) - Mm = 10 г, Sp = 1 см2, hp = 10 мм б) - Mm = 10 г, Sp = 1 см2, hp = 20 мм Рис. 4. Кривые 1,3,5,7,9 соответствуют расчетам по формулам (3); кривые

2,4,6,8,10 - расчетам в ANS YS.

Сравнение результатов расчетов при установленных параметрах модели (коэффициенты пи Л) показывает достаточно хорошее их совпадение, особенно в области частот, близких к резонансной частоте.

Далее рассматривается выходное напряжение V в случаях, когда пьезоэлемент состоит из одного или двух, и четырех слоев пьезокерамики (рис. 1в). В том случае, когда устройство включено в электрическую цепь с активным сопротивлением RH = 1 кОм. Значения hp = 20 мм, Mm = 10 г и Sp = 1

см2. Полученные зависимости выходного потенциала от частот вынужденных колебаний представлены на рис. 5.

Рис. 5. - Зависимость электрического потенциала от вибрационной частоты.

Из рис. 5 видно, что значение электрического потенциала возрастает с ростом числа пьезоэлектрических слоев.

Выводы

Из приведенных выше результатов можно сделать следующий вывод, что при использовании метода моделирования систем с сосредоточенными параметрами, настройка каждой модели зависит от геометрических характеристик и конструкций модели. Метод исследования, который построен на модели с сосредоточенными параметрами дает первоначальное понимание проблемы, это приближение ограничивается одиночным режимом вибраций и в нем отсутствуют некоторые важные аспекты, связанные с формами колебаний и точным распределение деформаций, которые оказывают влияние на электрический отклик. В работе изучены области применимости модели на основе сосредоточенных параметров с одной механической степенью свободы с помощью ее сравнения с конечно-элементным расчетом в пакетах ACELAN и ANSYS. Исследование показало влияние структурных параметров на электрический отклик и необходимость учета этого обстоятельства при использовании упрощенных моделей. Проведенные расчеты результаты, которых представлены в виде графиков и таблиц позволяют выбрать рациональные коэффициенты приближенной эффективной массы n, для их использования в одномерных моделях.

Литература:

1. DuToit N.E., Wardle B.L. Expérimental vérification of models for microfabricated piezoelectric vibration energy harvesters [Text] // AIAA J, 2007. -Vol.45. - pp.1126-1137.

2. Roundy S., Wright P.K. A piezoelectric vibration based generator for wireless electronics [Text] // Smart Materials and Structures, 2004. - Vol.13. -pp.1131-1144.

3. DuToit N.E., Wardle B.L., Kim S. Design considerations for MEMS-scale piezoelectric mechanical vibration energy harvesters [Text] // Journal of Integrated Ferroelectrics, 2005. Vol.71. - pp.121-160.

4. Standards Committee of the IEEE Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control Society "IEEE Standard on Piezoelectricity", IEEE, New York, 1987. -pp.1-66.

5. Adhikari S., Friswell M.I., Inman D.J. Piezoelectric energy harvesting from broadband random vibrations [Text] // Smart Materials and Structures, 2009. -Vol.18. - 115005 (pp.1-7).

6. Sodano H.A., Park G., Inman D.J. Estimation of Electric Charge Output for Piezoelectric Energy Harvesting [Text] // Journal of Strain, 2004. - Vol.40. -pp.49-58.

7. Erturk A., Inman D.J. Analytical Modeling of Cantilevered Piezoelectric Energy Harvesters for Transverse and Longitudinal Base Motions // In: Proceeding of the 49th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, Schaumburg, IL, 7 -10 April 2008, Schaumburg, IL.

8. Liao Y., Sodano A.H. Model of a Single Mode Energy Harvester and Properties for Optimal Power Generation [Text] // Smart Materials and Structures, 2008. - Vol.17. - 065026 (14pp), ISSN 0964-1726

9. Шляхин Д. А. Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013, №1. -Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1516 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

10. Мартыненко А.В. Исследование параметров осесимметричного изгибного пьезоэлектрического преобразователя при различных граничных условиях [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010, №3. -Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2010/206 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

11.Наседкин А.В., Шевцова М.С. Сравнительный анализ результатов моделирования пористой пьезокерамики методами эффективных модулей и конечных элементов с экспериментальными данными [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013, №2. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1615 (доступ свободный) -Загл. с экрана. - Яз. рус.

12.Белоконь А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств [Текст] // Прикладная математика и механика, 2002. - №.3. - С.491-501.