Течение в погранично^ слое в области локализованного подвода или отвода тепла

Том XVI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

198 5

№ 3

УДК 532.526.2

ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ,1 СЛОЕ В ОБЛАСТИ ЛОКАЛИЗОВАННОГО ПОДВОДА ИЛИ ОТВОДА ТЕПЛА

В. А. Кузьминский

Методом сращиваемых асимптотических разложений решена задача о течении в пограничном слое сжимаемой жидкости при подводе или отводе тепла, локализованном на обтекаемой поверхности. Получены возмущения динамических характеристик потока и простые формулы для возмущений местного и среднего тепловых потоков. Результаты работы могут быть использованы при выборе элементов конструкции и при калибровке поверхностных датчиков измерения трения.

Задача о возмущении течения газа в пограничном слое посредством локализованного на обтекаемой поверхности подвода или отвода тепла имеет практический интерес, в частности, при измерении местного трения с помощью тепловых поверхностных датчиков. Во всех имеющихся работах, в которых решается эта задача, получены возмущения температуры и теплового потока при адиабатической температуре стенки для невозмущенного течения (см., например, [1]).

В данной работе анализируются возмущения тепловых и динамических характеристик течения на поверхности с теплообменом и изучаются свойства возмущений теплового потока применительно к датчику для измерения трения.

Рассмотрим двумерное обтекание поверхности тела потоком вязкого сжимаемого газа со скоростью и00, статической температурой Тх, давлением роо и плотностью роо. Пусть выделение или поглощение тепла происходит на элементе поверхности с характерным размером I и расположенном достаточно далеко от носовой части профиля. Предполагаем, что теплопроводность газа X и вязкость газа ц, линейно зависят от температуры, выделение (поглощение) тепла достаточно мало, чтобы возмущения течения в пограничном слое описывались линейными уравнениями, и число Рейнольдса Re» = роо «со ^¡х"1 > 1 (б — толщина невозмущенного пограничного слоя). Предположим далее:

1/Ь = а « 1.

Вводим e = (a2Res)~1/3 С 1. Из анализа уравнения энергии следует, что вблизи стенки, где происходит локализованное выделение (поглощение) энергии, возникает вязкая область (область 1 на рис. 1) распространения возмущений с масштабами х*~1, у*~г1. При сделанных

предположениях из линеаризованных уравнений Навье—Стокса следует, что в этой области локализованное на стенке возмущение температуры Т* порождает такого же порядка возмущение плотности р*, возмущение продольного компонента скорости и*~<агТ*, возмущение вертикального компонента скорости и*~ае2Т* и возмущение давления

у7777777777777

Рис. 1

р*~а?г2Т*. Поэтому в рассматриваемой области вводим переменные

= t) = y*

и асимптотические разложения для характеристик движения и* = a£«oo/(x, т]) + ... , v* = as2 titx) <р (x, •/})+...,

P* = P соЧ(Х, n) + ••• ,

р* = а2е2р00и10к(х, Trj> —f— — , T*=T00Q(X, i) + агГоо 6, (л;, tj) + .... Звездочкой помечены размерные величины.

Введем переменные и функции для невозмущенного движения: х0 = Re«. У =У*Р, = «оо и (*0. У)> Т* = ^оо Т(х0, у), v*Ret> = UooV(x0, у), р* = PccU2coP(x0), ?* = ?хр(х0, у).

Разложив характеристики невозмущенного движения в ряд Тейлора вблизи у = О и подставив (1) — (3) в линеаризованные уравнения Навье—Стокса и энергии, получим в рассматриваемой вязкой области при е->0 для функций f, ф, я, г, 0 и 0i систему уравнений:

P« (/ + ?')+ «¿«1 = 0, 1С' = 0, рто 6 + ГГда = О,

I

P«, и (•»)/+ <Р) + те = Twf" + uwW, Twb" — Pr?wuw -ф,

тЛ

Рг Ри иш = Рг рж г; <? + 2Тт Ъ' +

Здесь и в дальнейшем штрих сверху означает дифференцирование по нормальной к обтекаемой поверхности координате, точка сверху — по продольной координате, Рг — число Прандтля, индексом т помечены величины на стенке.

Необходимо найти решение системы (4), удовлетворяющее граничным условиям

/(7] = о) = сР(7)=о) = б1(71 = о) = о, е(Ч=.о) = ев(*),

0.

и затухающее при у*-+оо. Потребуем, чтобы функция удовлетво-

рю

ряла условиям Дирихле на промежутке —оо<д;<оо и ^ | Лх

—со

сходился. Тогда область подвода или отвода тепла локализована вблизи значения абсциссы х0 и задается распределением возмущений температуры 0№(х) достаточно общего вида.

При решении системы уравнений (4) рассмотрим два случая: во-первых, положим Tw = 0 и будем интересоваться только возмущениями температуры и теплового потока; во-вторых, рассмотрим поведение возмущений при значении числа Прандтля Рг=1. В первом случае два последних уравнения,'системы (4), имеющие вид

0" — ar¡ PrÓ = 0,

eí - a-f¡ Pr 6', = (р - 5Tw uw) (2TW uw )~l 7,6", необходимо решить при условиях

6(7¡ = O) = 0«,(*), 6(7) + сю)->0; \

61(П = 0) = 0, 9,(^-00)^0. J

Решение задачи (6) —(7) имеет вид:

1

6 t¡) = j ([Л/?, (С)-BR2 (С)1 sin ix+[AR2 (Q+BR1 (С)] cos ~¡x} db

где

6i (х, п) = j (С) sin -[х + Я2 (О cos -pe] d-¡, о

С = r¡ (ay Рг)1/3, а = pw uw Тñ1 ,

Q (С) = qt (E) + iq% (C) = 0,2 ¿C(/?-W) (Ai - B)p¡[2Tw u'w (ат Рг)1/3]

_ со

оо

В^^УЪ)-1 | 6.(0 со+

— 00

/? (С) = (С) + ¿/?2 (С) — экспоненциально убывающее при С -»сю решение уравнения

И" - КД = 0.

Функции /?((С) и Rг(í) приведены в табл. 1. Здесь /» — градиент давления для невозмущенного течения. Из (8) следует, что

Таблица 1

С Ri R2 í Ri R*

0 1 1 4,5 —0,006^2 0,00546

0.5 0.85086 0,52144 5,0 —0,00039 0,00382

1.0 0,64451 0,14493 5.5 0,00108 0,00127

1.5 0.40490 -0,07594 6.0 0.00070 0,00001

2.0 0,19206 —0,14895 6,5 0,000018 -0,00022

2,5 0,05009 —0,12663 7,0 -0,000024 —0,00011

3,0 —0,01533 —0,07108 7.5 -0,000035 -0,000016

3,5 —0,02791 —0,02444 8,0 —0,000013 0,000008

4,0 -0,01812 -0,00060

2. Во втором случае, при значении числа Прандтля, равном единице, решение задачи (4) —(5) можно представить в виде:

/= 0, r{x, r¡) = — pw Tñ16 (х, r¡),

СО

ев (х, -ц) = (' [Gj (С) sin -¡х -f G2 (С) cos тх] d~¡, <Г

?

7l(x) = \ [Ü! sin yx + П2 eos -¡x] d~¡,

o

со

61 (X, f¡) = , (C) Sin -¡X + #2 eos -pe] ú^,

o

где G (С) = O, (C) + ¿G2 (С) = (aT)l/3 P^1 + iB) [R' - R' (0)], H (С) = Hx (C) + + iH2 (0 = a0 Rl + («0 К + 0,5 а, С + 0,2 ia2 С )R — 0,2 w2 C2 R', П = II, + + Ш2 = uw a1'31~2'3 (В - iA) R' (0), a = Pw uw K = K, + iK2 = = 0,87965—0,2357 i, a„ = - Tw Hf1'3 a-2'3 [Tw uw)~l ,

a^—{A + iB) Tw (ау)~1/3 T~\ a2 = (B - M) (5ГШ — (атГ'/3 (2ГЮ ¿4)-1;

функция Ь(х, v¡) представлена первым из соотношений (8) при значении числа Прандтля Рг= 1.

Функция R0(Q, являющаяся решением задачи

+ */?„ = £; Ro (0) = 0, (С — оо) — — С In С,

рассчитана в работе [2] и приведена в табл. 2 вместе с производной.

Таблица 2

£ Ro г Ror . Rol К i

0 0,00000 0,35561 0,00000 0,52360

0,5 0,03855 —0,20044 0,18362 0,21956

1.0 -0,19718 -0,73619 0,23406 0,00031

1,5 —0.68797 -1,21417 0,20273 -0,10778

2,0 — 1.39639 — 1,60326 0,14138 —0,12590

2,5 -2,27506 — 1,89613 0,08479 —0,09605

3,0 —3,27907 —2,10864 0,04694 —0,05591

3,5 —4,37472 -2,26716 0,02707 —0,02604

, 4.0 —5,54122 —2,39528 0,01846 —0,01056

4.5 —6.76740 —2,50750 0,01485 —0,00500

5,0 -8,04713 —2,61003 0,01275 -0,00376

5,5 —9,37610 -2,70458 0,01095 —0,00348

6,0 — 10,75046 —2,79164 0,00930 —0,00305

6,5 —12,16660 —2,87182 0,00792 —0,00249

. 7.0 -13.62128 —2,94597 0,00680 —0,00197

7.3 -15,11171 т-3,01495 0,00592 -0,00158

8,0 —16,63549 —3,07947 0,00520 —0,00130

Соотношения (10) в рассматриваемом приближении описывают в области х*~1, у*~г1 решение системы (4) с граничными условиями (5) на стенке. Видно, что это решение не затухает при т]->-оо(|—>-оо).

Поэтому рассмотрим область 2 (рис. 1) с масштабами х*~1, у*~1. В этой области возмущения описываются линеаризованными уравнениями Эйлера. Используя принцип сращивания асимптотических разложений решения для возмущений в областях 1 и 2 (рис. 1) и анализируя линеаризованные уравнения Эйлера, получим, что в области 2 для возмущений следует ввести переменные

х = х*1~\ ц2=у*1~1 и асимптотические разложения для характеристик, движения

и* — as2 и«,/2(*iT¡2)+ •• > í>* = as2 tica <P2 C^i 71г)+ ••• , p* = a2 s2poo (xí t¡2) -f ... , р* = а£2раог2(л:1 r¡2) -f ... , Г*—as2 Г«, 62 (.*;, т]2)-{- .•• .

Разложив характеристики невозмущенного движения в ряд Тейлора вблизи у = 0 и подставив (14) и (12) в линеаризованные уравнения Эйлера и энергии, получим при а-^0 и е^-0 для функций /2, ф2, я2, г2 и 62 в области 2 систему уравнений:

(r.¡ + тг2) Y¡2 = 2ТГ2 , ¡>w Uw Tj2 <р2 + ТГ2 = о, /2 + 2 = о,

г2 + рто е2 = о, и т)2 е2 + 74, ?2 = о.

Решение системы уравнений (13), сращиваемое при е-Ч) с решением (10) в области 1, можно записать следующим образом:

со

Л = — (р и)-1 J T^tn.sin чх + II2cos -pe] d-¡,

и

00

?2 (x,r¡2) = (Рши)-1 J" [П2 sin -¡х — n¡ eos -\х] d~¡,

и

00 _

Ч (X, r¡2) — j (1 + f K]s) e [nt sin -¡x + n2 eos -pe] d~x,

и

oo

в2(х,%)=== (p u'w)~l Tw j [I^sin-rx-flLjCos-pc]^,

o

Г, (X, r¡2) = — Tñ1 ?w e2 (x, T¡2); IT, + Ш2 = а113 т"2/3 uw (В - i A) R' (0).

Используя (14), можно получить оценку

Л,<?2, е2}к + ос

Таким образом, при значении числа Прандтля Рг=1 и Тшф0 соотношения (2), (8), (10), (12) и (14) описывают возмущения характеристик течения в пограничном слое, появляющиеся в результате подвода или отвода тепла на участке обтекаемой поверхности, расположенном достаточно далеко от передней критической точки, продольный размер которого порядка /<Сб, где б—толщина пограничного слоя невозмущенного течения в области подвода или отвода тепла. Эти возмущения удовлетворяют граничным условиям (5) на стенке и, в соответствии с (15), затухают на расстояниях порядка I в направлении по нормали к обтекаемой поверхности.

Полученное решение зависит от распределения температуры на стенке в области подвода (отвода) тепла. Единственное ограничение на эту функцию состоит в требовании существования интеграла

оо

11 6 (•*) I йх. Это обстоятельство позволяет обеспечить практически

— со

любой характер затухания возмущений при |я|->оо на масштабах области подвода (отвода) тепла.

3. Перейдем к возмущениям теплового потока. При этом будем предполагать, что подвод или отвод тепла осуществляется на участке поверхности, длина которого строго равна / и начало отсчета координаты х расположено в точности в середине этого участка.

Определим местный безразмерный коэффициент теплоотдачи от возмущений следующим образом:

Ки

где тепловой поток

Чт

и характерный перепад температур

Т

Д = Т1 | Ь„{х)йх.

_ _1_

2

Будем интересоваться только средним значением коэффициента теплоотдачи на отрезке I

2

Используя полученные выше значения возмущений температуры и подставляя соотношения (16) — (18) в (19), получим:

1) в случае теплоизолированной поверхности для невозмущенного течения

/1ЯеЛ 2/з I .

Nu = i4e

2) в случае, когда число Прандтля равно единице,

/ / Re,Л 2/з , . и'

Nu = ^„(PeTe)«^_?j + 0,1 (тда Res)-1 -j-p — A2 щ- 4- о (г), (21) где местный коэффициент напряжения трения в невозмущенном потоке ^ = = Tw u'w Ree-1 ,

1/2 ОО CO

Г (2/3) J J" e» (g) j" 71'» сов Г7 (6 — je)--J-] d-r dg

А _ -1/2 -oo 0_[_i__/00ч

Л0_--3---- f

1^9 Г (4/3) ^bw(x)dx

1/2

[£, У1 (х) +- £2 У2(х)]ах

Л = 1 -

-1/2

| 6ТО (лг) -1/2

00 оо

П (*) = I' («)| Яп [т (6 - х) - ^ (К,

_~ п ± ^

У2(*) = ]Х(0|сО8

7(6-

Л,

/2*2

Г

= 0,0563,

Г

'2— _ 3_

У"2и/9Г

Г (4/3) .

- 2^, Г

з

. /9 Г

= 0,04617,

Г (с) — Гамма-функция.

Соотношения (20) и (21) связывают значения безразмерного коэффициента теплоотдачи для возмущений с местным коэффициентом напряжения трения в невозмущенном пограничном слое. Зависимости такого типа используются для построения калибровочных кривых поверхностных датчиков, для измерения трения и других характеристик пограничного слоя. Результаты данной работы получены для плоского течения и могут быть использованы только для моделирования, в некотором смысле, какого-либо сечения поверхностного датчика. Имея это в виду, коэффициент Л о, содержащийся в (20) и (21) и определяемый соотношением (22), можно рассматривать как коэффициент чувствительности, который зависит от распределения возмущения температуры 0№(д:) в окрестности чувствительного элемента (в данном случае в интервале I поверхности, где подводится или отводится тепло).

В работе [1] решается задача только для возмущений температуры при =0 и получено соотношение (20) для распределения

1 1л: |< 0,5

при котором Л0=0,8072. Для этого распределения 0№(л:) из формулы (22) данной работы получается в точности такое же значение Л0.

Практически материал стенки является теплопроводным и распределение (24) не реализуется. С другой стороны, на практике распределение температуры 0«, (л:) неизвестно, и измерить его затруднительно. Поэтому с целью изучения влияния распределения температуры 0щ(^) на величину Л0 рассмотрим

М*)-0 +&х + а'Xя)-1 а >2, |&|<2а,

где а и Ь — параметры.

2 — «Ученые записки ЦАГИ» № 3

17

Два типичных представителя этого семейства функций при а = 2; 6 и Ь = 3; —10 приведены на рис. 2. Результаты расчета зависимости Аа(а, Ь) для распределения (25) при 20^а>2 представлены на рис. 3.

Видно, что при наименьшем значении а=2 величина Л0 изменяется приблизительно от 0,01 до 1. С ростом а величина А0 принимает значение, практически не зависящее от Ь. Это связано с тем, что при а->оо максимумы функции 6№(я) становятся резко выраженными и сосредоточены вблизи точки х = 0. Максимальные значения Л0 достигаются при отрицательных значениях Ь. Это свойство более отчетливо иллюстрируется на рис. 4, где представлена зависимость Ао(а, хтах),где лгтах =

ь

= — -^-—координата максимума функции 0№ (х). Видно, что наибольшие значения А0 достигаются в том случае, когда максимум распределения температуры 9ю(х) располагается на правом конце интервала подвода или отвода энергии.

В качестве чувствительного элемента поверхностного датчика измерения трения часто используется тонкая металлическая пленка, по которой пропускается электрический ток. Предположим, что пленка расположена на поверхности внутри интервала —0,5<л:<0,5. Будем интересоваться значениями величины Л0(а, Ь) при условии, что электрическое сопротивление пленки постоянно и равно значению, соответствующему распределению температуры (24). Эти значения А0 представлены на рис. 3 кружками. Видно, что в зависимости от распределения температуры вдоль пленки с постоянным электрическим сопротивлением значение А0 может отличаться в два раза.

На рис. 5 приведены значения величины А2(а, Ь), описываемой уравнением (23) и входящей в выражение для безразмерного коэффи-

диента теплоотдачи. В отличие от А0 максимальные значения А2(а, Ь) достигаются при Ь>0. Можно показать, что НшЛ2 = 1.

Используя свойства решения задачи, рассмотренной в данной работе, можно получить оценку величины возмущения температуры Т*, обеспечивающей возможность линеаризации уравнений во всей области распространения возмущений: Т* < (I2 Res/S2)-1/3 Тсс,

На основании изложенного можно заключить, что при подводе или отводе тепла, локализованного на малом участке поверхности с характерным продольным размером I, (о > I > 8 ИеГ1'2), возмущения течения в пограничном слое затухают в пристеночном слое с толщиной порядка I. При этом выяснено, что безразмерный коэффициент теплоотдачи для возмущений существенно зависит от характера распределения возмущений температуры.

Результаты данной работы могут быть использованы при выборе элементов конструкции и при калибровке тепловых поверхностных датчиков измерения трения.

ЛИТЕРАТУРА

1. S репсе D. A. and Brown G. L. Heat transfer to a quadratic shear profile. — J. of Fluid Mech, 1968, vol. 33, part 4.

2. Зубцов А. В., Пономарев В. И. Асимптотическое решение задачи об обтекании волнистой поверхности плоским потоком вязкой жидкости.— Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. III, № 2.

Рукопись поступила 16/XII 1982 г. Переработанный вариант поступил 12/VII 1984 г.