Акустические возмущения разной геометрии в смеси жидкости с пузырьками нерастворимого газа

УДК 532.529:534.2

АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИИ В СМЕСИ ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ НЕРАСТВОРИМОГО ГАЗА

Д.А. ГУБАЙДУЛЛИН, А.А. НИКИФОРОВ

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань

Изучено распространение сферических и цилиндрических волн давления малой амплитуды в двухфазных смесях жидкости с пузырьками нерастворимого газа с учетом акустической разгрузки пузырьков. Для случая осевой и центральной симметрии в рамках динамики и теплофизики многофазных сред представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения пузырьковой жидкости. Получено единое общее дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками нерастворимого газа в плоском, сферическом и цилиндрическом случаях, которое не зависит от расстояния до оси или центра симметрии. С помощью метода быстрого преобразования Фурье выполнены расчеты по распространению импульсных возмущений типа гауссовой кривой в смеси воды с пузырьками воздуха. Показано сильное влияние геометрии процесса и объемного содержания дисперсной фазы в двухфазной смеси жидкости с пузырьками нерастворимого газа на эволюцию слабых импульсов в пузырьковой жидкости.

Проблема распространения малых возмущений в смесях жидкости с пузырьками газа является одной из актуальных проблем механики и акустики многофазных систем. Большинство работ по акустике пузырьковых жидкостей посвящено изучению распространения и затухания плоских монохроматических волн. Различные аспекты волновой динамики и акустики смесей жидкостей с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. Сравнение теории и эксперимента по распространению плоских гармонических возмущений малой амплитуды в смеси жидкости с пузырьками газа приведено в работе [3]. Представлены зависимости фазовой скорости и затухания от частоты возмущений. В статье [4] показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей. Получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в плоском случае. В настоящей работе изучается динамика импульсных возмущений малой амплитуды в смеси жидкости с нерастворимым газом в сферическом и цилиндрическом случаях.

Для описания течений пузырьковых смесей методами механики сплошных гетерогенных сред необходимо сделать следующие два главных допущения [1]:

1) размеры пузырьков многократно превышают молекулярнокинетические размеры, то есть они содержат большое число молекул. Однако при этом:

2) размеры пузырьков значительно меньше расстояний, на которых осредненные или макроскопические параметры смеси или фаз меняются существенно, то есть много меньше характерных длин рассматриваемых волн.

© Д. А Губайдуллин, А. А. Никифоров Проблемы энергетики, 2005, № 1-2

ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА

Первое допущение позволяет использовать классические представления и уравнения механики сплошных однофазных сред для описания микропроцессов в масштабах отдельных пузырьков. Второе допущение дает возможность описывать макроскопические процессы распространения волн в пузырьковых жидкостях в рамках представлений сплошной среды о совокупности взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, осредненно отражающих взаимодействие внутри фаз и между ними.

Для упрощения задачи математического описания пузырьковых сред помимо двух главных допущений используются следующие упрощения [1]:

- смесь монодисперсная, то есть в каждом элементарном макрообъеме пузырьки присутствуют в виде сферических включений одного и того же радиуса

а, причем объемная концентрация пузырьков а2 не очень велика (а2 << 1).

- непосредственным взаимодействием и столкновениями пузырьков друг с другом можно пренебречь. Эффектами хаотического (в частности броуновского) движения пузырьков и эффектами циркуляционного движения внутри пузырьков также можно пренебречь.

- процессы слипания (коагуляции), дробления и образования новых пузырьков отсутствуют.

Наряду с перечисленными выше допущениями при описании пузырьковых жидкостей в настоящей работе используется также следующие допущения:

- вязкость и теплопроводность проявляются лишь в процессе межфазного взаимодействия и не проявляются в макроскопических процессах переноса импульса и энергии.

- Плотность газа р2 много меньше плотности несущей жидкости р°

о о

Р2 <<Р1.

- Среднемассовая температура несущей жидкости постоянна:

Ti = To = const (Р2 << Pi, С1 ~ C2, Pi = aipo),

здесь pO, Pi, ai (i = 1, 2 ) - истинная, средняя плотности и объемная концентрация i-ой фазы; Ci - удельная теплоемкость i-ой фазы при постоянном давлении.

- Давление газа внутри пузырьков является однородным, т.е. волновыми движениями в газе внутри отдельных пузырьков можно пренебречь (характерное время выравнивания давлений в газе значительно меньше характерного времени пульсаций a/wo , где wo - характерная скорость радиального движения).

- Уравнения состояния фаз имеют вид

P° “Р°0 = С12(P1 -РоЬ Р2 =P2R2T2,

где p, R2 - давление, газовая постоянная соответственно. Сжимаемость жидкости полагается малой: (p° — P°o)/P°0 << 1, учитывается в линейном приближении влияния среднего давления в жидкости Р1 на ее истинную плотность P°. Газ в © Проблемы энергетики, 2005, № 1-2

пузырьках рассматривается как калорически совершенный газ с показателем адиабаты у2 (у2 = С2/сх2 , ег2 = с2 - ^2, сх2 - удельная теплоемкость дисперсной фазы при постоянном объеме).

1. В системе координат, связанной с невозмущенной средой, линеаризованные уравнения массы, импульса, числа пузырьков и давления в пузырьках для возмущений параметров среды имеют вид:

Ф.

ы

+ Ро

(ду' у'

— + (к1 + к 2)—

дг г

= 0;

(у1

Ро

= 0 ;

ді дг

дп' г

"дГ+По

ёу' ,, .

— + (к1 + к 2)— дг г

= 0;

ЁР2

ді

3У2 Р0 . %2 -1) _

-------^--------------^ ,

«0

а0

да'

ді

Заметим, что здесь и далее при значениях параметров к1 = к2 = 0 система уравнений (1) описывает плоские волны в декартовых координатах [4], при к1 = 1, к2 = 0 - цилиндрические волны в цилиндрических координатах, при

к1 = 1, к2 = 1 - сферические волны в сферических координатах. Здесь и далее р°, р, у, р, п - соответственно истинная и средняя плотность смеси, скорость, давление и число пузырьков в единице объема; а, w , - радиус и радиальная скорость пузырьков; q - интенсивность теплообмена. Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз; штрихи обозначают возмущения параметров; индекс 0 - начальное невозмущенное состояние.

Выражения для определений плотности смеси р, объемной концентрации

пузырьков а2 и уравнение для учета сжимаемости жидкости в линейном приближении будут иметь вид:

° (л \ 4 3 ° °

Р = Р1(1 -а2 ) а 2 = п , Р1 =Р10 +

Р1 - Р0

С?

Для учета тепловой диссипации записывается уравнение теплопроводности внутри пузырьков и граничные условия в линейном приближении [5]:

Р 20 с2

дТ2

/ \

г < а0'

Т2= Т0, q = 2

г = а0 ,

ґдТ2л дг)

а0

ЁТ2

дг

=0, г=0,

+

где Т2 - температура газа внутри пузырька; X2 - коэффициент теплопроводности

газа; г - расстояние от центра пузырька.

Полагаем, что скорость радиального движения состоит из двух слагаемых, а именно: м>г, описываемого уравнением Рэлея-Ламба, и из акустической добавки

™А [4]:

Р2 - Р1

w = ^ + WA , WA = —-------гту.

р1 о^а"3

Линеаризованное уравнение радиального движения пузырьков с учетом конечности объемного содержания пузырьков и отсутствия фазовых переходов будет иметь вид (пренебрегаем поверхностным натяжением) [1]

01 «о «о

где к - показатель политропы газа; цэф - эффективная вязкость (л, эф =щ + ц(Т)); ц(Т) = 3(^ 1) рО «о^ V 2Т )га - эффективная вязкость

радиального движения жидкости вокруг газовых пузырьков; V 2 - коэффициент

температуропроводности газа; ф^1) ^ ^ 1’1а2о _а2о^/аю - поправочный коэффициент при локально-равномерном расположении по расстоянию друг от друга пузырьков (при а2(,3 << 1) или Фо^ 3,6а2о - поправочный коэффициент при хаотичном расположении друг от друга распределении пузырьков (при а 2о << 1).

Будем исследовать решения системы линейных уравнений (1)-(3), имеющих вид прогрессивных волн для возмущений параметров в виде:

Ц' = Ацехр[г((*х -ю*)] - для плоского,

Ц' = Ац ехр

Ц' = Ац -^ехр^^С*г -ю*)] - для сферического случаев,

Г

(ц = р, V, Р , «),

где Ац - амплитуда возмущения параметра; Н(К*г) - функция Ханкеля; К* -комплексное волновое число; ю - частота возмущений. Подставив возмущения параметров (скорости, давления, плотности и радиуса пузырьков) и их производные в систему уравнений (1)-(3), можно получить единое дисперсионное

© Проблемы энергетики, 2005, № 1-2

соотношение, определяющее распространение как плоских, так сферических и цилиндрических возмущений в смесях жидкости с пузырьками нерастворимого газа, по виду совпадающее с [4]:

а

10

С2

С

72 ©

—I

г \ га

к©ц

ч Р;

где ©г = ©

= © а л/к ; Со = Са^к ;

©а =

3 Р0

,л (0К о 2 ’

(1 — Ф1 )Р10«0

с =

'-'а .

Р0

р10а10а 20

й =1 + 3(у2 — 1)(у — %2; у = ^/©«0/У2Т>) ^ ;

©

Ц 4Н- эф

X = 1 — 1©га ; га = «0(С 1а20)—1.

2. Исследуем особенности распространения импульсных возмущений малой амплитуды в жидкости с пузырьками газа. Рассмотрим смесь воды с пузырьками воздуха при давлении рю = 0.1 МПа и температуре Тщ = 300 К. Для проведения

расчетов используем методику, изложенную в [6].

Рассмотрим эволюцию импульсов давления типа гауссовой кривой, создаваемых на границе пузырьковой завесы, когда начальная форма импульсов описывается функцией вида

р(0, () = ехр|— ( — и )/ N )2 ],

1

где - половина длительности импульса, 1* = 0.001 сек; N - параметр, определяющий ширину пика импульса, N = 0.0004. Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения (5) при использовании подпрограмм быстрого преобразования Фурье [7].

На рис. 1 показано влияние геометрии процесса на распространение слабого импульса давления типа гауссовой кривой в воде с пузырьками воздуха (а0=10-4м). Показаны плоский (кривая а), цилиндрический (кривая Ь) и сферический (кривая с) случаи. Числовые указатели у кривых соответствуют расстоянию в метрах от начала координат.

Распространение импульсных возмущений существенно зависит от расстояния до оси или центра симметрии, что определяет значительно более сильное затухание сферических и цилиндрических импульсных возмущений по сравнению с плоским случаем.

На рисунках 2, 3 представлена эволюция слабого импульса давления типа

гауссовой кривой в воде с пузырьками воздуха (а0 = 10 4 м) для цилиндрического

(рис.2) и сферического (рис.3) случаев при различных объемных содержаниях газа: а 20 =0.001 (сплошная линия) и а 20 =0.01 (штриховая линия).

Увеличение объемного содержания пузырьков приводит к существенному уменьшению скорости распространения импульсного возмущения. Это связано с тем, что увеличение объемного содержания пузырьков из-за роста числа пузырьков приводит к увеличению межфазной поверхности, что оказывает существенное влияние на межфазное взаимодействие.

Учет акустической разгрузки пузырьков приводит к быстрому затуханию высокочастотных составляющих импульса при его эволюции. В результате характер и форму импульса определяют низкочастотные гармоники, вследствие чего импульс распространяется с равновесной скоростью Се .

Проведенные исследования показали, как распространение и затухание импульсных возмущений в жидкостях с пузырьками нерастворимого газа зависит от геометрии процесса и от объемного содержания пузырьков.

Рис.1. Эволюция импульсного возмущения типа гауссовой кривой в монодисперсной смеси жидкости (воды) с пузырьками нерастворимого газа (воздуха) в плоском (а), цилиндрическом (Ь) и сферическом (с) случаях.

Цифрами у кривых указано расстояние в метрах от места инициирования импульса

Рис.2. Эволюция импульсного возмущения типа гауссовой кривой в монодисперсной смеси жидкости (воды) с пузырьками нерастворимого газа (воздуха) в цилиндрическом случае при различных объемных содержаниях газа: а20 = 0.001 (сплошная линия) и а20 = 0.01 (штриховая линия). Кривая а - начальный импульс, кривые Ь и с соответствуют расстоянию 0.1 и 0.2 м от места инициирования импульса

Рис.3. Эволюция импульсного возмущения типа гауссовой кривой в монодисперсной смеси жидкости (воды) с пузырьками нерастворимого газа (воздуха) в сферическом случае при различных объемных содержаниях газа: а20= 0.001 (сплошная линия) и а20= 0.01 (штриховая линия). Кривая а - начальный импульс, кривые Ь и с соответствуют расстоянию 0.1 и 0.2 м от места инициирования импульса

Работа выполнена по программе ОЭММПУ РАН №15 и в рамках ФЦП «Интеграция» (код проекта А0012), при финансовой поддержке РФФИ (грант № 04-0100107) и фонда НИОКР республики Татарстан.

Summary

Propagation of spherical and cylindrical waves of pressure of small amplitude in two-phase mixtures of a liquid with insoluble gas bubbles is investigated in view of acoustic unloading bubbles. For a case of axial and central symmetry within the framework of dynamics and thermophysics of multiphase systems the set of the linear differential equations of bubbly liquid movement was derived. The general dispersion equation determining propagation of waves in two-phase mixtures of liquid with bubbles of insoluble gas in flat, spherical and cylindrical cases that does not depend on distance up to an axis or the center of symmetry is received. With use the fast Fourier transform algorithm calculations on propagation of weak impulse of pressure such as Gauss curve in mixtures of water with air bubbles are investigated. Strong influence of geometry ofprocess and the volumetric maintenance of a disperse phase in two-phase mixtures on evolution of weak impulses in bubbly liquid is shown.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. - М.: Наука, 1987.

2. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. - Новосибирск: ИТФ, 1983.- 238 с.

3. Kerry W. Commander, Andrea Prosperetti. Linear pressure waves in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments. - J. Acoust. Soc. Am., 1989. - V.85. -№2. - P.732-746.

4. Нигматуллин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К. Проявление сжимаемости несущей жидкости при распространении волн в пузырьковой среде // ДАН СССР.- 1989. - Т.304. -№5. -С.1077-1081.

5. Айдагуллов Р.Р., Хабеев Н.С., Шагапов В.Ш. Учет нестационарного теплообмена в задаче о структуре ударной волны в жидкости с пузырьками // ПМТФ.- 1977. - №3. - С.67-74.

6. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. -Казань: Изд. Казанского математического общества, 1998. - 153с.

7. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. - Препр./ ИТФ СО АН СССР.- 1976. - Т.5. -19с.

Поступила 23.12.2004