Чувство числа и математическая успешность у 16-17-летних юношей

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 159.9

ЧУВСТВО ЧИСЛА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ УСПЕШНОСТЬ У 16-17-ЛЕТНИХ ЮНОШЕЙ

И. РОСС1, А.В. БУДАКОВА2*, А.С. МАЛЫХ3, В.С. ВОРОБЬЕВ2' 4

1 Голдсмитс колледж, Университет Лондона, Лондон, Великобритания;2 ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет», Томск, Россия;3 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Москва, Россия;4 ФГНУ «Психологический институт» РАО, Москва, Россия

Взаимосвязи между такими когнитивными способностями, как чувство числа и математическая успешность, мало изучены. В предыдущих исследованиях высказано предположение о наличии связи между интуитивным ощущением числа и развитием математических способностей. Задачей данного исследования стал анализ групповых различий в чувстве числа в связи с математической успешностью, невербальным интеллектом и уверенностью в себе. В исследовании приняли участие 56 юношей 16-17-летнего возраста средней школы, прошедших вступительные испытания (учащиеся гимназий), а также учащиеся средней общеобразовательной школы, не проходившие их. Учащиеся гимназий показали значимо лучшие результаты по математике, чем учащиеся общеобразовательных школ. При этом дисперсии в гимназиях были значительно уже, чем в общеобразовательной группе. Уровень общего интеллекта был также выше у учащихся гимназий. Однако учащиеся обоих типов школ обнаружили одинаковый уровень чувства числа и уверенности в своих математических способностях. Из результатов следует, что чувство числа и математическая самооценка не являются значимыми факторами в формировании отличных математических достижений в этом возрасте.

Ключевые слова: математическая успешность, чувство числа, юношеский возраст.

Введение

Числа наполняют нашу жизнь. В современном западном обществе математика занимает важное место в иерархии человеческой деятельности, тем не менее к настоящему времени нет полного понимания того, что приводит к развитию математических способностей. Счет - одно из главных умений, осваиваемое человеком еще в детском возрасте, которое используется повседневно для вычислительных целей. В современном, технологически все усложняющемся социуме существенно возрас-

© Росс И., Будакова А.В., Малых А.С., Воробьев В.С., 2012

* Для корреспонденции:

Будакова Анна Владимировна психологический факультет, Национальный исследовательский Томский государственный университет 634050 Томск, пр. Ленина, 36

тает потребность в изучении математики. Человек должен адаптироваться к новым задачам, и соответственно большее внимание должно уделяться изучению таких областей, как наука, технологии, инженерия, математика (Science, Technology, Engineering and Mathematics - STEM). Для того чтобы повысить интерес к этим областям как возможным вариантам для выбора карьеры, необходимо понимать механизмы, лежащие в основе математического развития.

Одним из психологических конструктов, лежащих в их основе, может быть так называемое чувство числа. Согласно Dehaene S. (2010) [4], чувство числа является быстрым, автоматическим, несимволичным и не поддается самонаблюдению. Оно позволяет быстро оценить, сколько объектов представлено в сознании, есть ли разница между количеством элементов в различных множествах, как меняется число при проведении простых операций на сложение и вычитание и т.д.

(Dehaene S., 2011) [4]. Описание количеств не является точным, и, согласно закону Вебера, минимальное различие между двумя множествами, показывающими фиксированный уровень различий, меняется прямо пропорционально величине числа (например, 5 отличается от 10 так же, как 10 отличается от 20 пропорционально, но если данные пропорции представлены в виде несимволических объектов, различить первые два легче, чем вторые). Чувство числа представляется амодальным и невербальным, а также чувствительно к изменению среды (например, яркость, громкость и т.д.). Все это дает возможность предположить, что арифметическая интуиция базируется на перцептивной системе приближенных чисел. Уже в 6 месяцев младенцы могут различать соотношение множества в пропорции 2:1 (доля Вебера 1,0), но не могут различать соотношения 3:2 (доля Вебера 0,5). Кроме того, в ряде работ было установлено, что чтение и счет связаны, а дислексия и дискалькулия могут быть сопутствующими расстройствами. Исследования показали, что проблемы с числовой информацией возникают при функциональных нарушениях в правой теменной доле мозга. То-биас Данциг (1967) теоретически предположил, что «чувство числа» присуще не только человеку, но и животным [3]. Действительно, в целом ряде исследований на животных в экспериментах продемонстрировано, что они в состоянии различать количество объектов, хотя и в ограниченной степени. Эволюционный смысл этой способности связан с необходимостью распределения пищи, требуемой для выживания.

Другим важным фактором, влияющим на достижения, отношение и даже выбор карьеры, может быть уверенность в себе. Влияние самоуверенности на математическую успешность оказалось столь же сильным, как и общие умственные способности (Hacket G. & Betz N.E., 1989) [8]. В настоящее время идут дискуссии о том, действительно ли более уверенные в себе учащиеся достигают более высоких результатов в математике за счет уверенности в своих способ-

ностях, то есть за счет большей мотивации и лучшей саморегуляции, чем учащиеся, не уверенные в себе (Pintrich P.R. & Schunk D.H., 1999) [15]. Связь между уверенностью в себе и математическими способностями была обнаружена в исследованиях Luo Yu.L.L., Kovas Y., Haworth C.M.A. & Plomin R. (2011) [11]. Несмотря на большое количество работ, посвященных чувству числа в младенчестве, детском и взрослом возрасте, его связь с математическими навыками до сих пор не полностью раскрыта. И хотя наиболее эффективным будет лонгитюд-ное исследование, настоящая работа станет первым шагом к пониманию связи между когнитивными и личностными особенностями и математическими достижениями подростков из простых школ и из гимназий, в которых обучаются только успешно сдавшие специальный экзамен учащиеся.

Целью данного пилотного исследования стал анализ роли чувства числа и уверенности в себе в математической успешности у подростков.

Методика

В исследовании приняли участие 56 учеников старших классов (юноши 16-17 лет) двух типов школ - гимназии (39 учеников) и обычной общеобразовательной средней школы (17 учеников). Ученики в гимназии отбирались по результатам экзамена, который включал в себя оценки KS2, уровень 5 и выше по английскому языку, математике и невербальному мышлению [reasoning] (гимназия 1) и вербальному мышлению (гимназия 2). Все ученики имели нормальное или скорректированное до нормального зрение (очки, линзы) и свободно владели английским языком. В качестве диагностического инструмента была использована Интернет-версия тестовой батареи (http://research. inlab.co.uk), разработанной в Международной лаборатории междисциплинарных исследований индивидуальных различий в обучении (Голдсмитс колледж, Университет Лондона).

Для оценки чувства числа использовали следующие методы исследования.

1. Определение чувства числа (Numerosity Discrimination).

Стимульный материал и параметры оценки для этого теста были предоставлены автором теста Justin Halberda. Испытуемым демонстрируются массивы из желтых и синих точек, смешанные и различающиеся по размеру (рис. 1). Им требуется решить, содержит ли предъявляемый массив больше желтых или синих точек, и нажать на нужные клавиши на клавиатуре. Сти-мульный материал содержит 150 статических фотографий с массивами желтых и синих точек, число которых колеблется от 5 до 21 точки каждого цвета, отношения массивов в двух цветах составляют от 1:3 и до 6:7. Презентация является одинаковой для всех испытуемых. Массив остается на экране в течение 400 мс, максимальное время ответа составляет 8 сек. Если ответа не дается в течение этого времени, то ответ записывается как неправильный и появляется сообщение на экране, которое требует нажатия пробела для следующего задания. Сообщение исчезает через 20 сек. и следующее задание отображается только после нажатия нужной клавиши. Основная серия теста предваряется инструкцией и тренировочной серией, которую можно повторить.

Рис. 1. Вид экрана при тестировании чувства числа. Светлые кружки соответствуют желтому цвету, темные - синему

Тест состоит из нескольких блоков общей численностью 50 заданий. В конце каждого блока можно сделать перерыв и возобновить тестирование позже (кнопка возврата). Программа записывает точность ответов и время реакции.

2. Тест «Верно или неверно?», или «Математическая беглость» (по-английски - Problem Verification Task).

Стимульный материал, предъявляемый испытуемым на экране, состоит из уже решенного математического примера в верхней его части и «ключей»: «Верно = А», «Неверно = О» и «Не знаю = Л» в нижней части экрана (рис. 2). Нужно решить, верно или неверно выполнен каждый пример, и в течение 10 сек. нажать соответствующую клавишу на клавиатуре. Индикатор времени расположен в правой верхней части экрана, чтобы показать испытуемым оставшееся на решение время. Если ответ не дан в обозначенное время, программа автоматически переходит к следующему заданию. Этот тест состоит из 48 математических заданий на арифметические действия с числами и дробями. Программа регистрирует показатель - количество правильных ответов.

ям- 1 а • "

7 1 9

14 7 14

Jusl forlestin А О "пза Л

Рис. 2. Пример задания теста «Верно или неверно»

Кроме того, испытуемые выполняли 3-й тест (заполняли Опросник самооценки своих математических способностей

- OECD Programme for International Student Assessment, www.pisa.oecd.org [13]).

Для оценки невербального интеллекта использовали 4-й тест «Прогрессивные матрицы Равена» (Raven J. et al., 1996) [16].

Результаты

Описательная статистика результатов исследования по 3 тестам приведена в таблице 1.

Таблица 1

Средние значения и стандартные отклонения для чувства числа, математической беглости и невербального интеллекта

Зависимыми переменными в трех анализах ANOVA были чувство числа, математическая беглость и уровень общего интеллекта. На рисунке 3 показаны полученные данные о связи уверенности в себе с математической беглостью. Также был проведен анализ post-hoc (множественные сравнения) для оценки групповых различий.

Методы Среднее значение Стандартное отклонение N

Чувство

числа

Школа 1 120,50 (8,93) 16

Школа 2 114,18 (9,48) 22

Контрольная 115,79 (7,67) 14

группа

Математиче-

ская беглость

Школа 1 42,87 (4,22) 15

Школа 2 41,07 (5,89) 24

Контрольная 30,57 (13,94) 14

группа

Матрицы

Равена

Школа 1 16,31 (4,92) 13

Школа 2 14,62 (3,51) 21

Контрольная 12,00 (3,13) 10

группа

Средние значения по тесту математической беглости для двух гимназий составили M=41,97(5,06), что на 27% выше, чем средние значения участников из общеобразовательных школ: M=30,57(13,94).

Данные были обработаны с помощью дисперсионного анализа смешанного дизайна (2X3 ANO VA). Для анализа были взяты два фактора: уверенность в себе (самоуверенность) с двумя уровнями (высокий/низкий) и тип школы - гимназия 1, гимназия 2 и контрольная группа. В свете предыдущего исследования (Halberda J. et al., 2008) [9], в котором была обнаружена значимая связь между чувством числа и математической успешностью у подростков, для выявления групповых различий в показателях успешности был выбран уровень значимости 0,05.

Рис. 3. Средние значения тестов на математическую беглость как функция типа учебного заведения и уверенности в себе

Учащиеся гимназии 1 получили самые высокие результаты в решении задач, однако показатели их уверенности в себе были несколько ниже, чем у учащихся гимназии 2, которые получили более низкие показатели решения задач. Но результаты тестов и тех, и других оказались значительно выше, чем у учащихся контрольной группы из общеобразовательной школы. Это показывает, что результаты в большей степени зависели от типа учебного заведения, чем от уверенности в своих математических способностях. Большинство участников тестов обнаруживало высокий уровень уверенности в себе: средний показатель уверенности в себе (медиана = 29) был близок к наивысшему результату - 32 (высокая степень уверенности).

Самый высокий результат по тесту «чувство числа» составил 120 баллов (максимум = 150), наблюдались достоверные различия между средними результатами гимназии 1 и гимназии 2 (р=0,041). Однако результаты не показали значимого влияния типа учебного заведения на результа-

ты по тесту «чувства числа» (Б(2,4б)=1,363, р=0,133). Значимой связи между типом учебного заведения и чувством уверенности в тесте на чувство числа не отмечалось (Б(2,4б)=0,761, р=0,237).

Результаты теста на математическую беглость выявили достоверное влияние типа учебного заведения на математическую беглость (Б(2,47)=7,662, р=0,001). Однако влияние уровня уверенности в себе на математическую беглость было незначимым (Б(1,47)=0,131, р=0,360). Значимой связи между типом учебного заведения и чувством уверенности в математической беглости не обнаружено (Б(2,47)=0,298, р=0,372). Множественные сравнительные тесты выявили значимое различие между гимназией и обычной школой и наблюдался большой разброс в стандартном отклонении (5,05 по сравнению с 13,94).

Результаты теста Равена продемонстрировали незначимое влияние типа учебного заведения на интеллект (Б(2,38)=0,755, р=0,239). Также наблюдалось отсутствие влияния уверенности в себе на интеллект (Б(1,38)=1,604, р=0,107). Кроме того, не было найдено связи между типом учебного заведения и показателями интеллекта (Б(2,38)=0,688, р=0,204). Множественные сравнения выявили значимые различия в результатах учащихся первой гимназии и обычной школы: р=0,018 (1,667, стандартная ошибка).

Определение множественной регрессии, которая позволила бы выдвинуть предположение о различиях во взаимосвязях между переменными в двух группах - невозможно ввиду малого размера выборки данного пилотного исследования. Работа по пополнению выборки ведется в настоящее время.

Обсуждение

Целью данной работы было исследование феномена чувства числа в качестве основы математического обучения. В частности, требовалось углубить знания о

данном феномене в свете работ Халберда и коллег (Halberda J. et al., 2008) [9], продемонстрировавших роль чувства числа в прогнозировании математической успешности. Главными вопросами, на которые отвечает данное исследование, являются: будет ли чувство числа в середине и конце подросткового возраста (16-17 лет) связано с математической успешностью группы и существуют ли различия между учащимися в двух типах учебного заведения по уровню общего интеллекта и математической самооценке. Зависимыми переменными были результаты теста на чувство числа, математической беглости и теста Равена.

Данные, собранные в ходе этого исследования, показывают, что испытуемые из гимназий набрали значительно более высокие баллы при тестировании на математическую беглость; однако тест на чувство числа (тест точек) не установил достоверного различия между двумя типами учебных заведений (гимназия в сравнении с общеобразовательной). Различия между двумя группами по тестам Равена были небольшими, что расходится с идеей о том, что невербальный интеллект является хорошим предиктором способности решать математические задачи (Burke H.R., 1985) [2].

Кроме того, самоуверенность практически не повлияла на результаты ни одного теста. Данные настоящего исследования противоречивы, но ввиду незначимых влияний они не подтверждают гипотезу о групповых различиях в чувстве числа у юношей 16-17 лет как функции типа учебного заведения по отношению к математической беглости. Это противоречит выводам Halberda J. et al. (2008) [9] о том, что чувство числа может прогнозировать математическую беглость, и утверждению о его стабильности и улучшении с возрастом.

Однако это, возможно, потребует лон-гитюдного исследования, которое позволило бы получить полную картину раз-

вития чувства числа от дошкольного до получения высшего образования. Не исключено, что на большей выборке наши результаты могли бы подтвердить выводы Halberda J. et al., 2008 [9] и Mazzocco M.M.M. et al., 2011 [12].

Групповые различия были ожидаемы вследствие того, что в гимназиях осуществляется отбор верхнего процентиля поступающих в них детей в соответствии с результатами по вступительным экзаменам, включающим в себя высокий уровень знания английского языка, математики и невербального мышления. В свою очередь, поступающие в общеобразовательные школы не подвергаются отбору. Это означает, что наиболее интеллектуально одаренные и хорошо обученные дети поступают в гимназии, поскольку было установлено, что невербальное мышление является хорошим показателем флюидного интеллекта (Burke H.R., 1985) [2], необходимого атрибута при решении задач.

Как заключили Гиари и его коллеги [7], определенный уровень интеллекта во время поступления в среднюю школу (11-летний возраст) объясняет около 60% индивидуальных различий на таких государственных испытаниях, как GCSE (в Великобритании) по математике в возрасте 16 лет, что говорит в пользу выводов данного исследования, сравнивающего два типа учебных заведений. В возрасте 11 лет учащиеся гимназий проходят отбор в школы, в которые принимают только лучших учеников.

Предположение Бандуры (Bandura A., 1997) [1] о том, что учащиеся могут испытывать проблемы с математикой ввиду недостатка навыка, может быть справедливо в случае учащихся общеобразовательных школ, результаты которых по тесту математической беглости были значительно ниже.

Причина их неспособности оптимизировать свои навыки, судя по всему, заключалась не в низкой самооценке (одно из утверждений Бандуры), поскольку, согласно опроснику, они были достаточно

уверены в своих математических способностях. Soltez F., Szucs D. & Szucs L. (2010) [18] не нашли связи между чувством числа и математической беглостью у детей 4-7 лет, вместо этого подчеркивая вероятность более сложных каузальных связей, что также подтверждается в нашем исследовании.

Очевидно, вывод о том, что 20% популяции имеют от средней до тяжелой степени нарушения числовой обработки, требует дальнейшего исследования. Генетические объяснения (Docherty S.J. et al., 2010) [5] того, что математические способности и нарушения определяются многими генетическими маркерами и, таким образом, являются умеренно наследуемыми, имеют последствия для дальнейшего изучения и понимания процессов математического развития.

Действительно, из данных вытекает, что индивиды (дети) имеют множественные репрезентации (Siegler R.S. & Opfer J.E., 2003) [17], из чего можно сделать вывод об опоре на соответствующие системы с течением времени и увеличением опыта работы с числами. На то, какая репрезентация используется, влияет числовой контекст. Чувство числа является преимуществом во время неожиданных числовых вычислений, которые требуют приблизительной оценки, поскольку оно непроизвольно.

Однако в математических задачах более высокого уровня могут быть востребованы более сложные, требующие больших усилий стратегии кодирования и поиска. Общая иерархическая вычислительная модель чувствительных к числам нейронов Стоянова и Зорзи (Stoianov I. & Zorzi M., 2012) [19] предполагает, что чувство числа выступает как статистическая характеристика образов чисел в комплексных сетях сенсорных входов. Это может объяснить более низкий (хотя статистически незначимый в данном исследовании) результат учащихся общеобразовательных школ, которые меньше

занимались арифметикой, по сравнению с учениками гимназий, имевшими для этого лучшие условия.

Интересен факт, что учащиеся обоих типов школ показали высокий уровень математической самооценки. Учащиеся общеобразовательных школ могли переоценить свои способности (Pajares F. and Kranzler J., 1995) [14]. Они могли испытывать трудности при решении очень сложных или очень знакомых задач (Lane J. & Lane A., 2001) [10] или могли подойти к решению с пониженной мотивацией и усилием, рассчитывая на легкий успех.

Для настоящего исследования существуют ограничения. Во-первых, вследствие ограничения во времени отбора участников и тестирования, некоторые данные оказались неполными, но испытуемые, которые не смогли заполнить необходимую информацию во время сбора данных, не были исключены из анализа ввиду небольшого количества испытуемых и неоднородности выборки, что, скорее всего, имело негативные последствия при обнаружении различий.

Во-вторых, многие учащиеся подписывались на участие, но не выполняли тесты. Это может быть следствием того факта, что длительное и интенсивное тестирование, несмотря на наличие возможности брать 10-минутные перерывы, было воспринято как чересчур длительное юношами, которые в этот период своего развития испытывают значительные нейробиологические, социальные и психологические изменения (Galvan A. et al., 2006) [6]. В-третьих, экспериментатор обладал ограниченным контролем над участниками, которые могли не следовать инструкциям прохождения теста, предполагающим работу в тихом помещении, в отсутствие отвлекающих стимулов.

В будущих исследованиях на подростках следует ограничить время тестирования 25 минутами, чтобы увеличить количество испытуемых и качество их участия. Также необходимо исследовать роль зри-

тельной памяти в чувстве числа, рассматривая такие переменные, как рабочая память, включая визуальную систему ввода и редактирования графической информации, большие числа, оценку величины на числовой линии, чтобы исследовать их прогностическую силу по отношению к математической успешности. Это поможет сравнить различные аспекты чувства числа и то, как они связаны с более сложной математикой при контроле возраста, пола и невербального интеллекта. Для оценки индивидуальных или групповых различий могут быть использованы смешанный дизайн ANOVA для определения статистических различий и множественная стандартная регрессия для исследования того, что в данном случае прогнозирует математическую успешность.

Заключение

В будущем сотрудничество между специалистами в областях нейронауки и образования будет играть крайне важную роль в развитии, применении и оценке образовательных программ, что станет возможно при должном понимании механизмов работы мозга, социальных и психологических воздействий, имеющих место при обучении математике, обучении и увеличении потенциала в области STEM.

Из настоящего исследования можно сделать вывод, что за понимание математики ответственно несколько систем. Проведенное исследование не подтвердило более ранний вывод о том, что чувство числа связано с математической успешностью в этом возрасте. Знания большего количества математических понятий и способность видеть связи между различными математическими областями были выше у учеников гимназий, учебная программа которых сложнее, чем в общеобразовательных школах.

Судя по всему, в математических способностях задействованы более сложные причинно-следственные связи, включая

нейробиологические, генетические, когнитивные, социальные и другие факторы. В конечном итоге лонгитюдные исследования, определяющие механизмы, лежащие в основе чувства числа и способностей к математике, важны и должны стать источником большего количества информации о психологических системах, отвечающих за развитие математических способностей.

Работа выполнена в ходе исследований по гранту Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования, № 11.G34.31.0043.

Литература

1. Bandura A. Self-efficacy: The Exercise of Control. - New York: Freeman, 1997. - 604 p.

2. Burke H.R. Raven's Progressive Matrices (1938); More on norms, reliability, and validity // Journal of Clinical Psychology. - 1985. -Vol. 41(2). - P. 231-235.

3. Dantzig T. Number: The Language or Science. 4th ed. - N.Y.: Free Press, 1967. - 340 p.

4. Dehaene S. The number sense: How the Mind Creates Mathematics (Revised and updated Ed.). - New York: Oxford University Press, 2011.

5. Docherty S.J., Davis O.S.P., Kovas Y, Meaburn E.L, Dale P.S., Petrill S.A., et al. A ge^me-wide association study identifies multiple loci with mathematics ability and disability // Genes, Brain and Behaviour. - 2010. - Vol. 9(2). - P. 234-247.

6. Galvan A., Hare Т., Voss H., Glover G., and Casey B.J. Risk-taking and the adolescent brain: Who is at risk? // Developmental Science. - 2006. - Vol. 10. - F8-F14.

7. Geary D.С. and Hoard M.K. Numerical and arithmetical deficits in learning-disabled children: Relation to dyscalculia and dyslexia // Aphasiology. - 2001. - Vol. 15(7). - P. 635-647.

8. Hackett G., and Betz N.E. An exploration of the mathematics self-efficacy/mathematic performance correspondence // Journal for

Research in Mathematics Education. - 1989. -Vol. 20. - P. 261-273.

9. Halberda J., Mazzocco M.M.M., and Feigenson L. Individual differences in nonverbal number acuity correlate with maths achievement // Nature. - 2008. - Vol. 455(7213). - P. 665-668.

10. Lane J., and Lane A. Self-efficacy and academic performance // Social Behaviour and Personality: An International Journal. - 2001. -Vol. 29(7). - P. 687-693.

11. Luo Yu L.L, Kovas Y, Haworth C.M.A. and Plomin R. The aetiology of mathematical self-evaluation and mathematics achievement: Understanding the relationship using a cross-lagged twin study from ages to 12 // Learning and Individual Differences. - 2011. - Vol. 21(6). - P. 710-718.

12. Mazzocco M.M.M., Feigenson L, and Halberda J. Preschoolers' precision of approximate number system predicts later school mathematics performance // PLoS ONE. - 2011. - Vol. 6(9). e23749. doi:10.1371/journal.pone.0023749.

13. OFSTED Report 100225 (2011): Tackling the challenge of tow numeracy skills in young people and adults, www.ofsted.gov.uk/publica-tions/100225. Retrieved: 16/11 /2011.

14. Pajares F., and Kranzler J. Self-efficacy beliefs and general mental ability in mathematical problem-solving // Contemporary Educational Psychology. - 1995. - Vol. 20. - P. 426-443.

15. Pintrich P.R., & Schunk D.H. Motivation in education: Theory, research and applications. -Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.

16. Raven J.C, Court J.H., and Raven J. Manual for Raven's Progressive Matrices and Vocabulary Scales. - Oxford: Oxford University Press. -1996.

17. Siegler R.S., and Opfer J.E. The development of numerical estimation: Evidence for multiple representations of numerical quantity // Psychological Science. - 2003. - Vol. 14(3). - P. 237-243.

18. Soltesz F., Szucs D., Szucs L. Relationships between magnitude representation, counting and memory in 4- to 7-year-old children: a developmental study // Behavioural and Brain Functions. - 2010. - Vol. 6(13). - P 1-14. doi: 10.1186/1744-9081-6-13.

19. Stoianov I., and Zorzi M. Emergence of a visual number sense' in hierarchical generative models // Nature Neuroscience. - 2012. -Vol. 15(2). - P. 194-196.

NUMBER SENSE AND MATHEMATICAL ACHIEVEMENT IN 16-17 YEAR OLD MALE STUDENTS

Y. ROSS1, A.V. BUDAKOVA2, A.S. MALYKH3, V.S. VOROBYEV2 4

1 Goldsmiths, University of London, London, UK;2 National Research Tomsk State University, Tomsk, Russia;3 National Research Nuclear University «Moscow Engineering Physics Institute», Moscow, Russia;4 Psychological Institute RAE, Moscow, Russia

The relationship between cognitive abilities such as number sense and the acquisition of mathematical skills is poorly understood. Previous studies have suggested a link between intuition of number and development of mathematical achievement. The current study investigated group differences in number sense, mathematical fluency, general intelligence, and mathematical self-efficacy. Web-based measures of number sense (numerosity), mathematics achievement, non-verbal intelligence, and self-efficacy were administered to a sample of 56 male 16-17-year-old sixth form students from selective entry grammar schools and non-selective comprehensive secondary school in a mixed factor experimental design. Students from Grammar Schools showed significantly better results in mathematics, than students from non-selective schools. The variances in grammar schools were significantly narrower than that in the unselected group. The general intelligence scores were also overall higher in the grammar schools in comparison to the unselected group. However, the levels of number sense and of mathematical self-evaluation were similar in both types of schools. These results suggest that number sense and mathematical self-evaluation do not contribute to the development of excellent mathematical abilities at this age.

Keywords: number sense, mathematical achievement, school age.