Некоторые приемы переформулирования текстов алгебраических задач в процессе поиска их решения

#

Приведенный выше материал, естественно, не исчерпывает всего многообразия работы по данному направлению - умению выделять взаимопроникающие элементы геометрических фигур. Однако он показывает определенную систему заданий, при выполнении которых достигается и эта одна из важных задач обучения геометрии в школе.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виситаева М. Б. Эксперимент. Об изучении пропедевтического курса геометрии в школах Чеченской Республики // Математика в школе. -2007.- № 5.- C. 26-30.

2. Visitaeva М. Eléménts interpénétrants des figures [Взаимопроникающие элементы геометрических фигур] // Problèmes, exercices et jeux créatifs:

Actes du Colloque International Franze, Saint-Sor-lin d'Arves, 5-9 mai 2008. - Saint-Sorlin d'Arves: Editions du JIPTO, 2008. - S. 78-81.

3. Виситаева М. Б. Классификация содержания математических способностей учащихся 5-6 классов при изучении геометрического материала: Моногр. - Грозный: ФГУП «ИПК «Грозненский рабочий», 2009.

4. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Академия, 2003.

5. Журавлев Б. Б. О математическом зрении // Математика в школе. - 1940. - № 5. - С. 72-76.

6. Якиманская И. С. Уровни анализа, синтеза и абстракции при чтении чертежа у учащихся IV-VIII классов // Вопросы психологии. - 1959. -№ 1. - С.114-126.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ПЕРЕФОРМУЛИРОВАНИЯ ТЕКСТОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ПРОЦЕССЕ ПОИСКА ИХ РЕШЕНИЯ

SOME REFORMULATION TECHNIQUES OF ALGEBRAIC TASK TEXTS IN THE PROCESS OF PROBLEM SOLVING

Г. Н. Кимаковская

В методической литературе указано, что переформулирование учащимися текста задачи способствует ее пониманию, однако сами приемы переформулирования не указаны. В статье показано, как часть приемов переформулирования, предлагаемых лингвистами, также можно использовать и при переформулировании текстовых задач.

G. N. Kimakovskaya

Methodological literature points out that reformulation of text tasks by pupils contributes to better understanding of the problems, however the reformulation techniques themselves are not stated. The article shows how some of the reformulation techniques suggested by linguists can be also used while reformulating text tasks.

Ключевые слова: алгебраические задачи, переформулирование текстовых задач, приемы переформулирования.

Keywords: algebraic problems, reformulation of text tasks, reformulation techniques.

Наиболее популярно среди педагогических психологов определение, данное Л. М. Фридманом, что текст - это модель реальной ситуации [1, с. 1617]. Ситуация, описанная в тексте задачи, является ее содержанием. Для того чтобы ее представить и построить соответствующую ей модель, ученику приходится текст переформулировать. Л. М. Фридман считает, что процесс переформулирования - это перемоделирование заданной ситуации, результатом которого должна стать ее математическая модель. В алгебраических задачах это уравнение.

Переформулирование, как отмечает К. А. Слав-ская, с одной стороны, является результатом предшествующего хода мысли решающего, а с другой -отправным пунктом ее дальнейшего развития [2].

Психологов и методистов всегда интересовали и интересуют процессы переформулирования. В свое время Н. П. Ерастов в качестве приемов перефразировки выделял следующие: замену одних слов другими, вставки новых слов и оборотов, сокращение фразы, перестановки слов и оборотов [3].

А. В. Шевкин выделяет переформулирование как способ решения нестандартных задач [4]. Как считает автор, переформулирование превращает сложные для решения задачи в более простые. В процессе переформулирования происходит «переосмысление» условия задачи. Таких задач, когда их переформулирование используется как метод решения, не так много, но они встречаются и в конкурсных экзаменах.

Ф

В настоящее время ни у кого не вызывает сомнения, что переформулирование предполагает знание специальных правил и приемов, которые выделены как лингвистами, так и специалистами по переводу с одного языка на другой. В то же время в психолого-педагогической литературе приводятся примеры, на какой язык и сколько раз необходимо осуществить переформулирование, чтобы решить задачу, однако о самих приемах переформулирования ничего не говорится.

Известно, что действительность отражается в сознании людей с помощью образов, представлений и элементов системы языка. Это составляет семантический уровень языка. Семантический язык обладает рядом особенностей, обеспечивающих гибкость языка владельца. К ним относятся:

а) связь с ситуацией;

б) взаимодействие всех внутриязыковых уровней;

в) возможность множественного отображения одной и той же ситуации, что позволяет переформулировать текст.

Процесс переформулирования осуществляется на основе лексических средств языка и специальных правил. Кстати, если говорят об изменениях лексических средств одного предложения, то употребляют термин «перефразирование», а применительно к тексту - «переформулирование».

К настоящему времени в лингвистике правил перефразирования установлено достаточно много (только И. А. Мельчук приводит более 50). Однако мы считаем, что в практике обучения решению текстовых математических задач достаточно воспользоваться лишь некоторыми из них. К ним относятся следующие виды перефразирования:

1. Синонимическая замена предполагает перевод в другие лексические средства при сохранении одного и того же выражения семантического языка. Пример: У одной закройщицы было 15 м ткани, у другой - 12 м. Сколько платьев они скроили, если на одно расходовалось (затрачивалось, тратилось, уходило) 3 м?

2. Конверсия - изменение характеристик слов, входящих в предложение, при сохранении выражения семантического языка. Пример: Кондуктор видел поезд, который двигался со скоростью 40 км/ч, в течение 10 сек. Какова длина поезда? - Поезд, который двигался со скоростью 40 км/ч, прошел мимо кондуктора за 10 сек. Какова длина поезда?

3. Интерпретация - прием растолкования смысла с помощью других слов при сохранении выражения семантического языка. Пример: По маршруту курсируют с интервалами в 3 км три вагона. Один из них находится на расстоянии 1 км от другого. Каково расстояние третьего вагона от ближайшего к нему? В задаче следует интерпретировать слова «курсируют» и «интервал», имеющих иностранное происхождение: «курсировать - совершать регулярные поездки»; «интервал -расстояние между вагонами».

4. Операционные изменения связаны с заменой глаголов другой формой в соединении с наречием или другими формами лексем. Пример: Половина класса участвовала в конкурсе. Треть стала победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5? - Половина класса приняла участие в конкурсе. Треть в нем победила. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5?

5. Замена другой частью речи при сохранении частично выражения семантического языка. Пример: Туристы прошли 12 км, или 1/3 маршрута. Какова длина маршрута? - На пройденную туристами 1/3 часть маршрута приходится 12 км. Какова длина маршрута?

6. Обработка связана с превращением субъекта в объект и наоборот, или глагол заменяется другим с разного рода уточнениями. Специалист изготовляет некоторое количество деталей за 3 часа. Ученик такое же количество деталей изготовляет за 6 часов. Сколько времени им потребуется для изготовления такого же количества деталей, если они будут работать одновременно? - Специалистом изготовлено некоторое количество деталей за 3 часа. Учеником - за 6 часов. Сколько времени потребуется для изготовления того же количества деталей, если они будут работать одновременно?

7. Результат - это правило превращения глагола в возвратную форму: Если открыт первый кран, 600-литровый бак будет наполнен за 20 мин. Если открыт второй - за 10 мин. За какое время бак будет наполнен, если открыты оба крана? - Когда открыт первый кран, 600-литровый бак наполнится за 20 мин. Когда открыт второй - за 10 мин. За какое время бак наполнится, если открыты оба крана?

Все лексические правила с необходимостью предусматривают и синтаксические изменения. Очевидно, что при перефразировании одного предложения могут быть использованы сразу несколько приемов. Тем более что при переформулировании текста может быть использовано одновременно несколько способов.

В литературе упоминается четыре модели умственных действий по переводу слов естественного языка на научные термины.

1. Перевод осуществляется на основе установившихся ранее ассоциативных связей. Такие связанные вместе слова естественного языка с научными терминами или арифметическими действиями называют «заготовками». Например, в сознании ученика в начале обучения арифметике устанавливается связь предлогов «в» и «по» с умножением или делением, а предлога «на» - со сложением или вычитанием. Наречие «вдвое» («втрое» и т. д.), «поровну» и другие - также с действиями умножения или деления, а утвердительные словосочетания «на столько-то больше (или меньше)» требуют сложения или вычитания. Используя на уроке математики понятие скорости и встретив данный термин в тексте естественного языка, решающий задачу не задумывается над его интерпретацией и, возможно, не зная его истинного смысла, употребляет в качестве термина научного языка. Однако смысл этих понятий, обозначенных одним и тем же сло-

#

вом, разный. Зачастую ученики, особенно младших классов, связывают понятие скорости с изменением времени. В то же время важно, чтобы они понимали, что «скорость» характеризует изменение измеряемой величины в единицу времени.

2. Перевод на основе выделения смысла выражения путем его интерпретации. В лингвистике такой перевод называют переводом посредством аналога. Психологи считают, что интерпретация служит основой для перевода человеком воспринятых слов на свой «внутренний» язык и имеющихся знаний. Л. М. Фридман пишет: «Когда субъект принимает задачу, он приспосабливаете к себе, меняет формулировку отдельных условий задачи, одни слова и выражения отбрасывает, другие заменяет определениями, переставляет отдельные части задачи и т. д. В результате его задача является субъектной моделью полученной. Если он этого не сделает, то его попытки решить задачу не будут иметь успеха» [1, с. 55-59].

В качестве примера приведем выражение, использованное в одной из задач: «Токарь должен обработать 240 деталей к определенному сроку». Оно может быть перефразировано: «Кто-то в результате работы должен сделать какое-то число деталей». Число - это математическое понятие. И когда в предписании будет сказано: «выделить, в явной и неявной форме, все заданные в тексте величины», то 240 деталей будет выделено как величина, показывающая результат работы. Однако для этого учащиеся должны понимать, что обработка деталей - работа, результат работы измерен количеством деталей.

3. Третий вид перевода носит название адекватной замены. Умственная деятельность в данном случае напрямую не связана с ситуацией, но является переходом на более высокий уровень абстракции. Она выполняется как синонимическое перефразирование на основании потери ряда эмпирических признаков категориальных связей и соблюдения известного в логике закона идемпотентности («той же силы»). Так, выражение «Токарь, усовершенствовав резец, стал обрабатывать в час на 2 детали больше» при переводе фразы на более абстрактный уровень будет выглядеть иначе: «Изменение инструмента (резца) повысило скорость работы на 2 детали в час». В данном случае упускаются подробности: усовершенствование именно резца, и работа осуществляется как обработка деталей. Сама ситуация осталась той же, но выражение переведено на другой уровень абстракции при соблюдении закона идемпотентности. Такой вид перевода необходим при краткой записи условия задачи. Так, задача «Токарь должен обработать 240 деталей к определенному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше и поэтому выполнил работу на 4 часа раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?» после использования приемов перевода будет иметь следующий вид: «Токарь должен обработать 240 деталей. Изменение инструмента (резца) повысило скорость его работы на 2 детали в час, что позволило вы-

полнить работу на 4 часа раньше срока (скорость работы больше). Определить, какова должна была быть скорость работы токаря?» Если ученик знаком с понятием «производительность», то он при переводе вместо слов «скорость работы» может использовать термин «производительность». Перемоделированный на достаточно высокий уровень абстракции текст может быть без труда переведен на язык математических символов. Скорость работы (производительность) -р, время - £, результат работы - А. Зная основное отношение по В. И. Крупичу, что А = р £ , получаем р = А . Записываем математическую модель - уравнение и решаем его.

4. Перевод осуществляется при содержательной замене (следствия причиной, причины процессом и т. д.). Такой вид перевода осуществляется при обращении к ситуации, составляющей сюжет задачи. Аналогичный вид перевода имеет место, когда один и тот же объект или явление могут быть обозначены разными языковыми средствами одного и того же языка на одном и том же уровне абстракции.

Второй и четвертый прием выполняются при обращении к ситуации, составляющей содержание текста.

В качестве примера рассмотрим задачу: Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый. На мишени обнаружено 40 пробоин. Сколько раз попал каждый, если известно, что у первого стрелка на один неудачный выстрел приходилось в 5 раз больше удачных выстрелов, чем у второго стрелка.

При решении данной задачи переформулируем текст (осуществим перевод с помощью адекватной и содержательной замены), заменяя выражение «обнаружено 40 пробоин» на выражение «сумма удачных выстрелов равна 40. Слово «попал» интерпретируем словами «сделал удачных выстрелов». Другими словами, заменяем следствие причиной. Далее, применяя знания, как определяется число, приходящееся на единицу, слова «приходится на один неудачный выстрел» интерпретируем как «частное от деления числа удачных выстрелов на число неудачных». В итоге текст задачи принимает вид: «Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый. Сумма удачных выстрелов - 40. Частное от деления числа удачных выстрелов на число неудачных у первого стрелка в 5 раз больше, чем у второго. Сколько удачных выстрелов сделал каждый?»

Получить математическую модель ситуации, то есть составить уравнение, используя символы математического языка, не составит труда: пусть х - число попаданий первым стрелком, тогда 40 - х - число попаданий второго, тогда число промахов первого стрелка: 30 - х, число промахов второго: 30 - (40 - х). Так как «частное от деления числа удачных выстрелов на число неудачных у первого стрелка в 5 раз больше, чем у второго», то можем получить математическую модель ситуации, то есть составить

уравнение

- = 5 •-

40 - х

, решив которое мы

30 - х " 30 - (40 - х) получим два корня: х = 80 и х = 25. Учитывая, что исходя из условия х - целое, положительное число, меньшее 30,

Ф

мы приходим к выводу, что второй корень не удовлетворяет условию задачи. Значит количество удачных выстрелов первого стрелка равно 25, а второго 15.

В ходе обучения переформулированию было отмечено, что ученики при анализе ситуации легче его осуществляют с использованием логической формулы «если... -то...». Покажем это на примере решения задачи:

Расстояние между двумя поселками равно 9 км. Дорога имеет подъем, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъеме равна 4 км/ч, на равнинном участке 5 км/ч, а на спуске - 6 км/ч. Сколько километров составляет равнинный участок, если пешеход проходит расстояние от одного поселка до другого и обратно за 3 ч 41 мин?

Анализируем условие задачи: три участка дороги -три ситуации - подъем, ровный участок и спуск. Движение направлено в две стороны - туда и обратно. Величина участков (их три) не изменяется. Происходит переформулирование текста при обращении к ситуации. Использование логической формулы «если. - то...» облегчает совершить содержательное перефразирование.

Пешеход проходит расстояние в 9 км от одного поселка до другого и обратно за 3 ч 41 мин. Дорога имеет подъем, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъеме равна 4 км/ч, на равнинном участке 5 км/ч, а на спуске - 6 км/ч. Если при движении в одну сторону участок дороги представляет подъем, то при движении обратно это спуск, а спуск становится подъемом. Соответственно, на первом и третьем участке скорость меняется. Если менялась скорость, то время прохождения каждого участка туда и обратно разное. На равнинном участке скорость не менялась. Сколько километров составляет равнинный участок?

Запишем из условия задачи: ^ + з2 + 53 = 9 км. Общее время движения в обе стороны

г = г1 + г2 + г3 + г4 + г5 + г6 = 221 мин,

причем гз = г4. Зная основное отношение, записываем математическую модель ситуации, заданную текстом задачи, то есть составляем уравнение:

П. + П. + 2^ + ^ + ^ =

221

"60

ч.

Решаем уравнение и получаем ответ: равнинный участок 52 = 4 км.

Сопоставление исходного текста задачи с его переформулированным вариантом показывает, что в тексте происходит как сокращение, так и увеличение информации. И если Н. П. Ерастов говорил о сокращениях и добавлениях при перефразировании предложения, то это еще в большей степени относится к текстам задач, поскольку здесь аналогичные изменения происходят при обращении к ситуации, без чего не может быть и понимания текста.

Эксперименты показывают, что обучение учащихся приемам переформулирования текста естественного языка на математический язык значительно повышает эффективность обучения переводу текста задачи в новую математическую модель.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фридман Л. М. Психологический анализ задачи: проблемные ситуации и задачи // Новые исследования в психологии и возрастной физиологии. - М.: Педагогика, 1970. - С. 16-17, 55-59.

2. Славская К. А. Мысль в действии. Психология мышления. - М.: Политиздат, 1968. - С. 208.

3. Ерастов Н. П. Проблемы мышления в речевой деятельности: Автореф. дис. ... д-ра психол. наук. - М., 1971.

4. Шевкин А. В. Текстовые задачи в школьном курсе математики: Лекции 1-4. - М.: Пед. ун-т «Первое сентября», 2006. - 168 с. - С. 6.