Перепутывание двух дипольно-связанных атомов, взаимодействующих с двухмодовым тепловым полем в резонаторе с высокой температурой

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2012. № 9

ФИЗИКА

УДК 130.145

ПЕРЕПУТЫВАНИЕ ДВУХ ДИПОЛЬНО-СВЯЗАННЫХ АТОМОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ДВУХМОДОВЫМ ТЕПЛОВЫМ ПОЛЕМ В РЕЗОНАТОРЕ С ВЫСОКОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ1

© 2012 Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин2

Рассмотрено перепутывание двух дипольно-связанных двухуровневых атомов с невырожденными двухфотонными переходами, взаимодействующих с тепловым двухмодовым полем в идеальном резонаторе. Показана возможность значительного увеличения степени атомного перепутывания при наличии атомной когерентности в случае больших значений средних чисел тепловых фотонов.

Ключевые слова: двухатомная модель, атомное перепутывание, невырожденные двухфотонные переходы, дипольное взаимодействие, атомная когерентность.

Введение

Перепутывание играет центральную роль во многих процессах квантовой теории информации. Проблема создания, усиления и управления перепутыванием в различных сложных системах имеет большое практическое значение для квантовой обработки информации и квантовых вычислений. Для приложений в физике квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни. Долгоживущие атом-атомные перепутанные состояния наблюдались в ряде экспериментов с ионами и атомами в магнитных и оптических ловушках [1]. Однако в реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное перепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей квантовых вычислений. Поэтому с практической точки зрения основная задача при получении и использовании атомных перепутанных состояний заключается в том, чтобы предотвратить, минимизировать или использовать влияние шума. Недавно в ряде работ была высказана идея о том, что в некоторых случаях диссипация и

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (государственное задание № 2.2459.2011).

2Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), Мастюгин Михаил Сергеевич (mast12basket@rambler.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

шум могут, напротив, являться источником перепутывания. В частности, в работе [2] показано, что тепловой шум может индуцировать перепутывание двух двухуровневых атомов в идеальном резонаторе. Позднее результаты работы были обобщены на случай двух неидентичных атомов, атомов с вырожденными и невырожденными двухфотонными переходами (см. ссылки в [3]). При этом было показано, что при двухфотонном взаимодействии степень перепутывания атомных состояний может значительно превосходить соответствующую величину для однофотонного взаимодействия. Как хорошо известно, диполь-дипольное взаимодействие атомных систем является естественным механизмом возникновения атомного перепутывания. Наличие диполь-дипольного взаимодействия атомов, в частности, может привести к значительному увеличению степени перепутывания двух атомов, взаимодействующих с модой теплового поля в идеальном резонаторе [4]. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно включить, уменьшая относительное расстояние между атомами в резонаторе. Причем расстояние между атомами в резонаторе можно легко контролировать. В настоящее время в современных магнитных ловушках Пауля охлажденные ионы могут быть заперты на расстояниях порядка длины волны излучения. В этом случае параметр диполь-дипольного взаимодействия становится сравнимым с константой диполь-фотонного взаимодействия. В результате такие экспериментальные установки могут быть использованы для генерации значительной степени перепутывания атомов, даже при наличии шума. Еще одним механизмом, позволяющим увеличить степень пе-репутывания атомных систем, взаимодействующих с электромагнитными полями, является использование когерентных атомных состояний. Как известно, перепуты-вание связано с принципом суперпозиции в квантовой механике. Атомная когерентность может привести к различным квантово-оптическим явлениям, таким как пленение излучения, электромагнитная индуцированная прозрачность и др. В последние годы было показано, что атомная когерентность играет важную роль в возникновении, усилении и управлении перепутыванием. В цикле работ [5; 6] исследовано влияние атомной когерентности на перепутывание системы двух атомов с различными типами переходов, взаимодействующих с одно- и двухмодовы-ми тепловыми полями в идеальных резонаторах. При этом показана возможность значительного увеличения степени атомного перепутывания при наличии атомной когерентности. В настоящей работе нами исследовано влияние атомной когерентности на степень атомного перепутывания двух двухуровневых атомов, взаимодействующих посредством невырожденных двухфотонных переходов с двухмодовым шумом в идеальном резонаторе, при наличии диполь-дипольного взаимодействия между атомами.

Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома, резонансно взаимодействующих с двухмодовым квантовым электромагнитным полем в идеальном резонаторе посредством невырожденных двухфотонных переходов, при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия между атомами. В представлении взаимодействия гамильтониан такой модели можно представить в виде:

1. Модель

2

г=1

где а+ и а^ - операторы рождения и уничтожения фотонов '-той резонаторной моды (' = 1,2), К+ и К- - повышающий и понижающий оператор в г-м атоме (г = 1, 2), д - константа взаимодействия атомов с полем и О - константа прямого диполь-дипольного взаимодействия атомов.

Обозначим через | +) и | —) возбужденное и основное состояние двухуровневого атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида | а, в) =| а) | в), где а, в = +, —. Атом-полевая система в идеальном резонаторе обладает унитарной динамикой, которая в представлении взаимодействия описывается оператором эволюции вида и(£) = ехр(— гНЬ/К) . Если система, включающая атомы и поле, находится в начальный момент времени в чистом состоянии, то ее вектор состояния в любой момент времени в представлении взаимодействия имеет вид |Ф(£)) = и(£)|Ф)(0). В двухатомном базисе | +, +), | +, —), | —, +), | —, —) оператор эволюции и(£) для модели с гамильтонианом (1) записан как

и (*) =

и11 и12 и1з и14

и21 и22 и2з и24

из1 из2 изз из4

и41 и42 и4з и44

Здесь

А А А

иц = 1 + 2аха^—- а+а+, и14 = 2аха^—- ах а2, и41 = 2а+а+—- а+1а+2,

АЛЛ

А

В

А В В

и44 = 1 + 2а+а+ — аха2, их 2 = и 13 = ах а2 —, и21 = изх = — а+а+

В ~в'

и24 = из4 = — а1а2, и42 = и4з = а+а+ —

и22 = изз =

ехр Г—г§ (а + в)^ { д }

—^-^-— \ [1 — exp(гgвt)]а + 2в ехр(^(3а + в)^] + в[1 + exp(гgвt)] \

4в I 2 )

и2з = из2

ех^—г§ (а + в)^ { д }

—^-^-— \ [1 — exp(гgвt)]а — 2в ехр(^(3а + в)£] + в[1 + exp(гgвt)] \

4в I 2 )

где

А = exp

gа,

—г—£

{ (gв ) а . (gв )}

< еоБ — £ + г— Бт — £ > — 1

1 \ 2 ) в \ 2 л

В = exp —I-(а + в)£ [1 — exp(гgвt)]

и а = —, А = 2(а1а2а+а+ + а+а+ а1а2), в = у^8(а1а2а+а+ + а+а+а1 а2) + а2.

Пусть в начальный момент времени резонаторное поле находится в двухмодо-вом тепловом состоянии

№ (0) = Pl(nl)P2(n2)|nl,n2}{nl,n2|,

где pi(ni) = пПг/(1 + ni)ní и ni - среднее число тепловых фотонов в г-й моде, а атомы в когерентных состояниях вида

|Ф1 (0)) = cos0i|+) + е1ф1 sinв^-), |Ф2(0)> = cos02\+) + е1ф2 sinв2\-).

Здесь в1 и в2 обозначают амплитуды поляризованных атомов и ф1 и ф2 - относительные фазы состояний двух атомов. Начальная атомная матрица плотности атомов может быть тогда записана в виде

Pa(0) =

( Р11(0) Р12(0) Р13(0) Р14 (0) ^

Р12

Р13

^ PÍ4(0) р24(0) Р34(0) Р44(0) у

где матричные элементы равны

р11(0) = cos2 в1 cos2 в2, р12(0) = cos2 в1 cos в2 sin в2е—1ф2, р13(0) = cos в1 sin в1 cos2 в2е—1ф1, р14(0) = cos в1 sin в1 cos в2 sin в2е—1(ф1+ф2), р22(0) =cos2 в1 sin2 в2, р23(0) = cos в1 sin в1 cos в2 sin в2е—г(ф1—ф2\ р33(0) = sin2 в1 cos2 в2,р24(0) = cosв1 sinв1 sin2 в2е-1ф1, р34(0) = sin2 в1 cosв2 sinв2е—1ф2,

Р44(0) = 1 - Р11(0) - Р22(0) - Р33(0). Для вычисления критерия перепутанности атомов необходимо найти редуцированную атомную матрицу плотности

PA(t) = TrpU(t)pF(0)  pa(0)U + (t).

В результате с использованием явного вида оператора эволюции (2) для атомной матрицы плотности получаем

PA

Р11 Р12 Р13 Р14

* Р12 Р22 Р23 Р24

* Р13 * Р23 Р33 Р34

* Р14 * Р24 * Р34 Р44

где

с с , A \

P11(t) = Е Е P1(n1)P2Ырп(0) 1 + 2(n1 + 1)(n2 + 1) ,ni + 1'n2+1

ni=0 П2 = ^ ^n1 + 1,n2 + 1 /

О

X + 2(П1 + 1)(П2 + 1) f"1 + 1'"2+^ +(Р22(0)+Р32(0)+Р23(0)+Р33(0))П1П2 ^n1^2 ^ +

n1+1,n2+1

в2 n1 ,n2

СО то

+4 P1 (n\)p2 (n2)Р44(0)П1П2(П1 - 1)(n2 - 1) —^2"

\ An1 —1,П2-1 \

n1 =2 n2=2

СС

n1 —1,n2 — 1

P12(t)= Е Е Pl(nl)P2(n2)(Pl2(0)(U22 )n1,n2 + Pl3(0)(U|2)nl,n2 )х

n1 =0 n2=0

х + 2(щ + 1)(n2 + 1)Ап1+1,П2+Л + V Л21 +1 ,n2 + 1 /

X

то то в в*

+ Е 53^l(ni)Р2(п2)(Р24(0) + Р34(0))п1п2 —0 "1 — '"2 — , "1 = 1 "2 = 1 W"!'"2 W"1-1'"2— 1

то то

P13W = £ 53Р1(П1)Р2(П2)(Р12(0)(^3Ф2)"1'"2 + P13(0)(U3s)"i'"2 )х "1=0"2=0

х ( 1 + 2(n1 + 1)(n2 + 1)—"1 + 1'"2+Л + V А"1 + 1'"2 + 1 J

то то в в

B"1 '"2

Û"1'"2 @"1-1'"2 —1

+ УЗ 53^1(П1 )Р2 (n2 )(р24 (0) + Р34(0))П1П2

n1=1 n2=1

А"1 + 1'"2 + 1

"1'"2 в"1 —1'"2—1

"1 + 1'"2 + 1 ,

то то / —

Р14 (t) = 53 53 P1(n1)P2(«2)p14 ( 1 + 2(П1 + 1)(П2 + 1) —

"1=0 "2=0 V Л"1 +1 '"2 + 1

х + 2(П1 + 1)(П2 + 1) + Р1(0)Р2(0)Р14(0^1 + 2—^ ) +

А"1—1'"2—1J V ^1'1

—"1+1'Л , „ , s ( 1 , 0 —1'"2 + 1

+ Е Р1(П1)Р2(0)Р14 ( 1 + 2+ g Р1 (0)Р2(П2)Р14 f1 + 2 ^—1'"2+Л ,

то то в 2 Р22(t) = £ 53 Р1(П1)Р2(П2^ Р11(0)(П1 + 1)(П2 + 1)' ¿Г + 1' +

"1+1'"2 + 1|

_ _ . 02

"1 =0 "2 = 0 V "1 + 1'"2 + 1

+Р22 (0)(U^22 )"1 '"2 (U22)"1'"2 + Р32(0)(^23 )"1'"2 ,"2 + Р23 (0)(^22)"1 '"2 ^"щ +

то то 2 — - \B"1 — 1'"2 — 1\

+Р33 (0)(U23)"1 '"2 (U23 )"U"J + 53 ЕР1(п1)Р2(п2)Р44(0)пт^^

"1 =0 "2 = 0 "1—1'"2 —1

то то в 2 Р23^=Е EP1(rn)P2M Р11(0)(П1 + 1)(П2 + 1)1 "1+1'"2+11 "1 =0 "2 = 0 \

02

0"1 + 1'"2 + 1

+

+Р22 (0)(U22 )"1 '"2 (U32)*"1'"2 + Р32(0)(^23 )"1'"2 (U32)*"1 "2 + Р23 (0)(U22)"1 " (^"щ +

тото

в

+Р33(0)(U23)"1 '"2 (U33)"1'"J + Е ЕР1(П1)Р2(П2)П1П2Р44(0) 0"1'"2 ,

"1 = 1 "2 = 1 "1 '"2

ТО ТО

в * в

Р24^ Е ЕР1(Щ)Р2(П2)(П1 + 1)(П2 + 1)(Р12(0)+ Рц(0)) д"1"2 в"1 + 1'"2 + 1 +

0"1 ."о I -I -- 1-1

"1=0 "2=0 0"1'"2 0"1 + 1'"2 + 1

то

+ Е Р1(П1 )Р2(0)(Р24(0)(U22)"1 '0 + Р34(0)(^23)"1'0) +

"1 =1

+ Е Р1(0)Р2Ы(Р24(0)(и22) 0'"2 + Р34(0)(и23)0'"2 ) + "2 =1

+Р1(0)Р2(0)(Р24(0)(^22)0'0 + Р34(0)(^23)0'0) +

тото

+ УЗ Е Р1(п1)Р2(п2)(Р24(0)(и22)"1'"2 + Р34(0)(и23)"1'"2 )х

"1 =1 "2 =1

—

X 1 + 2ЩП2 - "1 —1'"2 —1

^"1 — 1'"2 — 1

Ы*) £ £ Р1(Щ)Р2(П2)Р11(0Н (П1 + 1)(П2 + 1) В"1 + 1'"2 + 11 +

пТ=0 П2 = 0 V ^П1 + 1,„2 + 1

П1 ,П2 + Р32(0)(^33)П1,П2 (и32) П1 ,П2 + +Р22(0)(и32)щ,П2 (и32) П1 ,П2 + Р33(0)(и33)П1,П2 (и3з) П1 ,П2

1 1 @П1— 1 ,П2 — 1

П1 = 1 П2 = 1 1 ' 2

ж ж в * I в

Р34(*) £ £Р1(П1)Р2(П2)Р11(0)(П1 + 1)(П2 + 1)В"1 + 1'"2+1

П1 = 1 „2 = 1 РЩ'П2 Уп1 + 1'П2 + 1

ж

+ Е Р1(П1)Р2(0)(Р24(^32) П1 '0 + р34(и33)П1'0 +

П1 = 1

ж

+ £ р1(0)р2(п2)(р24(^32) 0'П2 + р34(и33)0'П2 +

П2 = 1

+р1(0)р2(0)(р24(^32)0'0 + Р34(^33)0'0 +

СО со

+ Е £р1(щ )Р2 (^2 )(Р24 (0)(^32 )п1'П2 + Р34(0)(^33)п1'П2 )х П1=1П2=1

А*

х ( 1 + 2п1п2 п1—1п2—1

Л.

п — 1'п2 — 1

2. Вычисление параметра перепутывания и обсуждение результатов

Для определения степени атом-атомного перепутывания мы использовали параметр Переса Хородецких [1], который определяется следующим образом:

£ = "2 £ Р—,

г

где р— - отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита (атома) матрицы (4). Для неперепутанных состояний е = 0. Для перепутанных состояний 0 < е ^ 1. Максимальной степени перепутывания соответствует значение е = 1.

Результаты численного моделирования параметра перепутывания (5) для различных параметров рассматриваемой модели показаны на рис. 1, 2. На рис. 1 показана зависимость степени атомного перепутывания для различных значений среднего числа тепловых фотонов в резонаторе при наличии и отсутствии атомной когерентности. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением резонатора с высокой температурой. Такой случай соответствует большим значениям среднего начального числа фотонов в модах, т. е. П1,П2 ^ 1. Из рисунка хорошо видно, что в отсутствие атомной когерентности атомное перепутывание для рассматриваемой модели практически не возникает, что согласуется с результатами нашей работы [4]. При этом с увеличением среднего числа фотонов в модах интенсивность заметно уменьшается. Для когерентных атомных состояний максимальная степень перепутывания возрастает примерно на порядок и достаточно слабо зависит от

среднего числа тепловых фотонов в моде. На рис. 2 представлена зависимость степени атомного перепутывания при наличии и отсутствии атомной когерентности от параметра диполь-дипольного взаимодействия в случае n\ = = 20. Из рисунка хорошо видно, что для когерентного начального атомного состояния степень атомного перепутывания слабо зависит от параметра диполь-дипольного взаимодействия. Увеличение параметра дипольной связи приводит лишь к уменьшению периода осцилляций параметра перепутывания.

e

30

a

e

б

Рис. 1. Временная зависимость атомного перепутывания для различных значений среднего числа тепловых фотонов: ni = n2 = 10 (a); ni = n2 = 40 (б). Начальные состояния атомов: |Ф(0))i = |+), |Ф(0))2 = |—) (штриховые линии), |Ф(0))1 = (1/л/2(|+) + |—)), |Ф(0))2 = (1/л/2(|+) ——)) (сплошные линии). Параметр диполь-дипольного взаимодействия а = 0,1

e

e

a б

Рис. 2. Временная зависимость атомного перепутывания для различных значений параметра диполь-дипольного взаимодействия: а = 0,3 (а); а =1 (б). Начальные состояния атомов: |Ф(0))1 = |+), |Ф(0))2 = |—) (штриховые линии), |Ф(0))1 = = (1/V2(|+) + |—)), |Ф(0))2 = (1/V2(|+) — |—)) (сплошные линии). Среднее число фотонов в тепловых модах ni = Н2 = 20

Таким образом, в настоящей работе нами исследовано атом-атомное перепу-тывание двух дипольно-связанных атомов, взаимодействующих посредством невырожденных двухфотонных переходов с двухмодовым тепловым полем высокой интенсивности. При этом показана возможность управления атомным перепутыва-нием за счет выбора степени когерентности в атомной системе в начальный момент времени. Найдено, что при использовании начальных атомных когерентных

gt

gt

10

20

40

50

60

10

20

30

40

50

60

gt

gt

10

15

20

25

30

10

15

20

25

30

состояний в рассматриваемой системе удается достичь высокой степени атомного

перепутывания (е ~ 0, 2) даже в случае достаточно интенсивного теплового шума.

Литература

[1] Schumacker D., Westmoreland M.D. Quantum Processes, Systems and Information. New York: Cambridge University Press, 2010. 469 p.

[2] Entanglement induced by a single-mode heat environment / M.S. Kim [et al.] // Phys. Rev. 2002. V. A65. P. 040101.

[3] Башкиров Е.К., Ступацкая М.П. Перепутывание двух атомов, взаимодействующих с тепловым полем // Компьютерная оптика. 2011. Т. 35. № 2. С. 243-249.

[4] Bashkirov E.K., Stupatskaya M.P. The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms induced by nondegenerate two-mode thermal noise // Laser Physics. 2009. V. 19. P. 525-530.

[5] Coherence-enhanced entanglement between two atoms at high temperature / Y.-H. Hu [et al.] // Chin. Phys. 2008. V. 17. № 5. P. 1784-1790.

[6] Hu Y.-H., Fang M.-F. Coherence-enhanced entanglement induced by a two-mode thermal field // Comm. Theor. Phys. 2010. V. 54. P. 421-426.

Поступила в редакцию 25//X/2012; в окончательном варианте — 25//X/2012.

ENTANGLEMENT OF TWO DIPOLE-COUPLED ATOMS INTERACTING WITH TWO-MODE THERMAL FIELD IN THE CAVITY WITH HIGH TEMPERATURE

© 2012 E.K. Bashkirov, M.S. Mastygin3

The entanglement of two dipole-coupled atoms with nondegenerate two-photon transitions interacting with two-mode field in lossless cavity has been investigated. The possibility of considerable growth of atomic entanglement is shown in the case of great mean values of thermal photons.

Key words: two-atom model, atomic entanglement, nondegenerate two-photon transitions, dipole interaction, atomic coherence.

Paper received 25/IX/2012. Paper accepted 25//X/2012.

3Bashkirov Evgeniy Konstantinovich (bash@ssu.samara.ru), Mastygin Mikhail Sergeevich (mast12basket@rambler.ru), the Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.