Исследование напряженно-деформированного состояния неоднородных тел методом граничных уравнений

ВЕСТНИК 7/2012

УДК 539.3 + 517

А.А. Ходжибоев

ТТУ им. акад. М.С. Осими

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрено решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния неоднородного сооружения, опирающегося на упругой полуплоскости. На линиях контакта частей сооружения друг с другом и с полуплоскостью соблюдается условие неразрывности по деформациям и напряжениям, и на этой основе составляется разрешающая система граничных уравнений. Коэффициенты при неизвестных для сооружения определяются на основе фундаментальных решений Кельвина, а для полуплоскости — на основе решений Миндлина. Разработанные математическая модель и алгоритм расчета реализованы для исследования напряженно-деформированного состояния грунтовой плотины.

Ключевые слова: неоднородность, граничные уравнения, граничные элементы, полуплоскость, контактная линия, фундаментальное решение, грунтовая плотина, плоское деформированное состояние, система разрешающих уравнений.

Вопросы определения напряженно-деформированного состояния неоднородных тел являются актуальными. В механике неоднородных тел рассматриваются три основных типа неоднородности: непрерывная, кусочно-однородная и стохастическая. В [1] рассматриваются задачи, связанные с непрерывной неоднородностью материала. Определению напряжений в упругом полупространстве со сферической полостью с учетом неоднородности среды посвящена статья [2]. Вопросы определения термоупругих напряжений в неоднородном цилиндре рассмотрены в [3]. Плоская задача теории упругости для радиально-неоднородных тел решена в [4]. Приближенный метод решения смешанной краевой задачи для неоднородного цилиндра отражен в [5]. Численно-аналитическое решение плоской задачи для неоднородного упругого кольца изложено в [6]. Исследование напряженно-деформированного состояния пересекающихся пластин из разнородных материалов с использованием объемных конечных элементов произведено в [7, 8].

Рассмотрим решение задачи по определению напряженно-деформированного состояния неоднородной плотины на основе модели «основание-сооружение» в условиях плоской деформации. Введем обозначения: — внутренняя область полупространства; Г0 — часть граничной поверхности полупространства, на которой опирается плотина; Г^ — граница на бесконечности; 0.к + Гк (к = 1,2,3) — подобласти, из которых состоит тело плотины; ц0, V,,— упругие постоянные полупространства; цк, vk (к = 1,2,3) — упругие постоянные соответствующих подобластей

плотины; Р0 = (р0х, р0) — напряжения, заданные на внешней поверхности плотины; д = (дх, ду) — объемные силы; рк = ук / g — плотность; ук — объемный вес; g — ускорение свободного падения; п — внешняя нормаль к поверхности тела; п, s — локальная система координат; х, у — глобальная система координат.

Предполагая, что перемещения и напряжения на контурах имеют кусочно-постоянный характер изменения, строим расчетную модель системы «основание-сооружение», которая показана на рис. 1, где через М1, М2,... обозначены номера крайних точек контуров (элементов). Обозначения N81, N52,...., с одной стороны, указывают

96

© Ходжибоев А.А., 2012

на последовательность расположения контуров при их обходе с целью интегрирования, а с другой стороны, несут информацию о количестве постоянных граничных элементов на данной поверхности. Элементы NS7 и NS12 были использованы как вспомогательные при переходе из одной подобласти в другую, а затем они были исключены из алгоритма. Итого в расчетной модели принимают участие 13 элементов, 10 из которых являются контактными границами, а 3 элемента принадлежат внешней поверхности плотины. На контактных границах выполняются условия непрерывно-

Рис. 1. Модель неоднородной плотины, взаимодействующей с полупространством

Дискретное преобразование граничных интегральных уравнений, записанных для полуплоскости и кусочно-однородного тела плотины, приводит к четырем системам алгебраических уравнений, которые могут быть представлены в матричной форме [9]. На граничной поверхности Г0, которая состоит из элементов N81, N82 и N83, матричное уравнение записывается в виде

" А о

о -E -F

G

-H„

г г{0},

где блочные векторы перемещений и напряжений состоят из аналогичных векторов, соответствующих трем элементам поверхности основания.

Квазидиагональные матрицы A0 и D0 содержат блоки из единичных матриц, а блочные матрицы E0, F0, G0, H0 являются квадратными порядка N0 = NS1 + NS2 + + NS3, вдоль диагонали которых расположены квадратные подматрицы

A =

о о

о

A22 о

о о

A,

Е =

^31 32 ^33 _

Матричное уравнение, соответствующее подобласти П1 с тремя контурными элементами (N84, N85, N86), два из которых (N84, N85) являются контактными границами, представляется в виде

A B Е,

C D G H,

G H.

_ - -IР

Для подобластей П2 + Г2 и + Г3 матричные уравнения записывают аналогично (2).

Окончательную систему уравнений для всей области получаем объединением матричных уравнений четырех подобластей с учетом условий совместности и равновесия на контактных границах. В результате получим систему разрешающих уравнений, которую можно представить в компактной форме

[ А]{Х} = {В},

ВЕСТНИК

7/2012

где вектор неизвестных состоит из четырех блоков {X} =(ихиуРхРу ),

состоящих из компонентов перемещений и напряжений, принадлежащих 13 контурным элементам:

их = (их1 их2 их3 их5 их6 их, их

10 их

и у = (иу1 и у 2 и у 3 и, 5 и у 6 и, 9 иуЮ иуМ) ,

Рх =( Р Рх 2 Рх 3 Рх5 Рх 9 ) , Ру =( Ру1 Ру 2 Ру 3 Ру5 Ру9 ) •

Вектор свободных членов формируется с учетом объемных сил и нагрузки, заданной на верховой и низовой гранях плотины, а также от фильтрационного противодавления на подошву плотины

{в} = (0 в в2 в3).

На втором этапе расчета вычисляются компоненты векторов перемещений и напряжений в локальной системе координат

Третий этап расчета связан с определением перемещения и напряжения в точках внутри подобластей. Поля перемещений во внутренних точках описываются формулой Сомильяна [10].

Реализацию алгоритма рассмотрим на примере неоднородной плотины (рис. 2), на которую могут действовать следующие нагрузки: вес плотины ()к, гидростатическое давление со стороны верхнего бьефа Ж1, фильтрационное противодавление на подошву плотины Ж2, сейсмическое воздействие 81. Численные исследования проведены на примере неоднородной земляной плотины с геометрическими параметрами:

а = с = 160 м, Ь = 60 м, к = 87 м, Н0 = 82 м, а1 = с1 = 172 м, Ь0 = 36 м и упругими параметрами грунта основания, упорных призм и ядра: V0 = 0,3; V! =у3 = 0,3, у1 = у3 = 2,2т/м3;V2 = 0,4, у2 = 2,2т/м3.

120 100 80 60 40 20

40 35 30

Рис. 2. Распределение касательных напряжений на контуре полуплоскости

Результаты получены при дискретном представлении всей границы на 154 постоянных граничных элементах. На рис. 2—3 приведены графики изменения напряжений и перемещений на контурах системы «основание-сооружение» при следующих данных:

1 — Е0 = 2,4-104; Е1 = Е3 = 1,2-104; Е2 = 0,6-104тс/м2;

2 — Е0 = Е1 = Е2 = Е3 = 2,4-104 тс/м2;

3 — Е0 = 1,2-104; Е = Е3 = 1,2-104; Е2 = 2,4-104 тс/м2.

98

/ББМ 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 7

40

35

30

25

20

15

10

0

u м

i y'

i

- 1

M4-1 2 м 1

,- 3

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

Рис. 3. Вертикальные перемещения контура полуплоскости

Анализ результатов показывает, что в точках линии контакта сооружения с полуплоскостью со стороны верхнего бьефа наблюдается концентрация касательных напряжений, а на распределения вертикальных перемещений точек линии контура полуплоскости влияют механические характеристики частей сооружений и полуплоскости.

Библиографический список

1. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М. : Изд-во АСВ, 2002. 288 с.

2. Определение напряжений в упругом полупространстве со сферической полостью с учетом неоднородности среды / В.И. Андреев, А.Б. Золотов, В.И. Прокопьев, В.Н. Сидоров // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. № 6.

3. Андреев В.И., Гасилов В.А., Смолов А.В. Расчет термоупругих напряжений в неоднородном цилиндре // Вычислительные методы и математическое моделирование : тезисы докладов. Шушенское, 1986.

4. Андреев В.И. Об одном методе решения в перемещениях плоской задачи теории упругости для радиально-неоднородного тела // Прикладная механика. 1987. Т. 23. № 4. С. 16—23.

5. Андреев В.И. Приближенный метод решения смешанной краевой задачи для неоднородного цилиндра // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. № 2. С. 8—11.

6. Андреев В.И., Керимов К.А., Смолов А.В. Численно-аналитическое решение плоской задачи для неоднородного упругого кольца // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 53. Киев, 1989. С. 62—67.

7. Киселев А.П., Гуреева Н.П., Киселева Р.З. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности многослойных панелей // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2009. № 4. С. 37—40.

8. Определение напряжений в зоне пересечения пластин при плоском нагружении на основе МКЭ / А.П. Киселев, Н.П. Гуреева, Р.З. Киселева, В.В. Леонтьева // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2012. № 2. С. 55—62.

9. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2000. 282 с.

10. Новацкий В. Теория упругости. М. : Мир, 1975. 872 с.

5

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторе: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой строительной механики и сейсмостойкости сооружений факультета строительства и архитектуры, Таджикский технический университет (ТТУ) имени академика М.С. Осими Министерства образования Республики Таджикистан, 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджабовых, д. 10, +992 918 89 35 14, hojiboev@mail.ru.

Для цитирования: Ходжибоев А.А. Исследование напряженно-деформированного состояния неоднородных тел методом граничных уравнений // Вестник МГСУ. 2012. № 7. С. 96—100.

ВЕСТНИК 7/2Q12

A.A. Khodzhiboev

EXAMINATION OF THE STRESS-STRAIN STATE OF HETEROGENEOUS BODIES THROUGH THE EMPLOYMENT OF THE METHOD OF BOUNDARY EQUATIONS

The subject matter of the article represents a solution to the problem of the stress-strain state of a heterogeneous structure resting on the elastic half-plane. The condition of continuity of deformations and stresses alongside the line of contact between the sections of the structure and between the structure and the half-plane is observed; the system of boundary equations is derived on the basis of the above. Coefficients associated with unknown values of the structure are identified with the help of Kelvin's fundamental solutions, while the coefficients associated with the half-plane are identified on the basis of the Mindlin's solutions. The mathematical model and the analytical algorithm developed by the author are implemented within the framework of the examination of the stress-strained state of an earth dam.

Analysis of application of the algorithm has proven that concentrated shearing stresses emerge in the area of the upper wall alongside the line of contact between the structure and the half-plane, while mechanical properties of sections of the structure and the half-plane influence the distribution of vertical relocations of the half-plane contour line.

Key words: heterogeneity, boundary equations, boundary elements, half-plane, contact line, fundamental solution, earth dam, system of equations.

References

1. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Several Problems and Methods of Mechanics of Heterogeneous Bodies]. IVIoscow, ASV Publ., 2002, 288 p.

2. Andreev V.I., Zolotov A.B., Prokop'ev V.I., Sidorov V.N. Opredelenie napryazheniy v uprugom po-luprostranstve so sfericheskoy polost'yu s uchetom neodnorodnosti sredy [Identification of Stresses in the Elastic Half-space with a Spherical Enclosure with Account for the Heterogeneity of the Medium]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Analysis of Structures]. 1980, no. 6.

3. Andreev V.I., Gasilov V.A., Smolov A.V. Raschet termouprugikh napryazheniy v neodnorodnom tsilindre [Calculation of Thermo-elastic Stresses inside a Heterogeneous Cylinder]. Vychislitel'nye metody i matematicheskoe modelirovanie [Computational Methods and Mathematical Modeling]. Abstracts of reports, Shushenskoye, 1986.

4. Andreev V.I. Ob odnom metode resheniya v peremeshcheniyakh ploskoy zadachi teorii upru-gosti dlya radial'no-neodnorodnogo tela [About One Solution in Respect of Displacements within the Framework of the 2D Problem of the Theory of Elasticity in Respect of a Radially Heterogeneous Body]. Prikladnaya mekhanika [Applied Mechanics]. 1987, vol. 23, no. 4, pp. 16—23.

5. Andreev V.I. Priblizhennyy metod resheniya smeshannoy kraevoy zadachi dlya neodnorodnogo tsilin-dra [Approximate Solution of the Mixed Boundary Value Problem for a Heterogeneous Cylinder]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Analysis of Structures]. 1989, no. 2, pp. 8—11.

6. Andreev V.I., Kerimov К.А., Smolov A.V. Chislenno-analiticheskoe reshenie ploskoy zadachi dlya neodnorodnogo uprugogo kol'tsa [Numerical-analytical Solution of the 2D Problem in Respect of a Heterogeneous Elastic Ring]. Soprotivlenie materialovi teoriya sooruzheniy [Strength of Materials and Structural Theory]. Kyev, 1989, no. 53, pp. 62—67.

7. Kiselev A.P., Gureeva N.P., Kiseleva R.Z. Ispol'zovanie trekhmernykh konechnykh elementov v raschetakh prochnosti mnogosloynykh paneley [Application of Three-Dimensional Finite Elements in Analysis of Strength of Multi-Layered Panels]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Structures]. 2009, no. 4, pp. 37—40.

8. Kiselev A.P., Gureeva N.P., Kiseleva R.Z., Leont'eva V.V. Opredelenie napryazheniy v zone pere-secheniya plastin pri ploskom nagruzhenii na osnove MKE [Identification of Stresses in the Zone of Intersecting Plates in the Event of 2D Loading Based on FEM]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Structures]. 2012, no. 2, pp. 55—62.

9. Nizomov D.N. Metod granichnykh uravneniy v reshenii staticheskikh i dinamicheskikh zadach stroitel'noy mekhaniki [Method of Boundary Equations Employed to Resolve Static and Dynamic Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2000, 282 p.

10. Novatskiy V. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Mir Publ., 1975, 872 p.

About the author: Khodzhiboev Abduaziz Abdusattorovich — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Chair, Department of Structural Mechanics and Seismic Resistance of Structures, Tajik Technical University named after academic M.S. Osimi, 10 Akademikov Radzhabovyh St., Dushanbe, 734042, Republic of Tajikistan; hojiboev@mail.ru; +7 (992) 918-89-35-14.

For citation: Khodzhiboev A.A. Issledovanie napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya neodnorodnykh tel metodom granichnykh uravneniy [Examination of the Stress-Strain State of Heterogeneous Bodies through the Employment of the Method of Boundary Equations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 96—100.

100

ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 7