Оптимальное управление процессами лесозаготовок: уравнения состояний

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ЛЕСОЗАГОТОВОК: УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЙ

С.Б. ЯКИМОВИЧ, докторант МГУЛа

В существующей практике моделирования объектов лесозаготовок разработаны адекватные уравнения движения - динамики или динамического равновесия - для лесных машин и оборудования, их рабочих и режущих органов - манипуляторы, формирующе-зажимные устройства, системы отмера длин и пр., - транспортных, трелевочных и погрузочных средств и т. д. То есть тех объектов лесозаготовок, которые описываются зависимостями теории механики [1-4].

Имеется достаточная для практических приложений теория проектирования технологических машин лесозаготовок, содержащая теорию резания, законы механики и сопротивления материалов, статистические методы, методы моделирования и оптимизации [2, 5-7]. В качестве информации для проектирования используются статистические оценки, законы распределения и другие результаты по объектам проектирования лесозаготовок.

Разработаны также математические модели технологического оборудования [4, 8], характеризующие энергосиловые показатели проектируемых объектов. Объекты технологического характера - технологические схемы, схемы последовательности движения лесных машин и др. - отражаются расчетными выражениями, позволяющими оценить, в основном показателями затраченной энергии или работы, тот или иной вариант эвристически разработанной технологической схемы [5, 9].

Отметим также, что вследствие особенностей исторического развития все излагаемые теории, способы и математические модели в определенной степени обособлены друг от друга и объединяются лишь посредством приложения к тем или иным функциям и структуре объекта проектирования. В

основном этими объектами являются либо лесозаготовительная машина, либо технологическая схема лесозаготовок - лесосеки, лесопромышленного склада.

Например, теория резания и модели производительности имеют объединяющее множество в виде и, и о/, скоростных показателей 1-х технологических действий лесозаготовительной машины по преобразованию предмета труда (в дальнейшем ПТ), определяющих в одном случае технологическую составляющую производительности при обработке ПТ, а в другом - мощность, необходимую для реализации этой обработки, пиления и пр. Аналогично, цикловые составляющие переместительного характера определяются из уравнений кинематики или динамики лесных машин, либо с использованием статистических оценок, полученных в ходе непосредственных наблюдений. Изложенные детерминированные модели уточняются посредством их стохастических аналогов [5].

И при всем перечисленном, до сих пор в теории и практике лесозаготовок отсутствуют модели - уравнения состояний, -характеризующие и описывающие технологические процессы (ТП) лесозаготовок совокупно, как процессы изменения объема при обработке и перемещении (транспортировки) обрабатываемого ПТ, являющиеся основными процессами лесозаготовок и реализующие основную цель производства [10].

В то же время специфические процессы атомной энергетики или химического производства [11, 12] получили достаточно подробное описание такого вида и, как следствие, оптимизацию траекторий ТП и оптимальное управление процессами в практических приложениях. Иначе, в теории лесозаготовок оптимизируется не процесс, как это понимается в теории оптимального управле-

ния [11, 12], а системы на основе существующих или сгенерированных и, отраженных моделированием, отдельных их составляющих (компонентов).

К таким составляющим относятся лесозаготовительные машины, оборудование, комплекты машин, запасы, технологические схемы, потоки - переместительные и транспортные, - включающие перечисленные компоненты и другое. Они описываются компонентными уравнениями и объединяются в системы различными способами по различным системообразующим признакам

- функциональным, предметным, - но не как системы, отражающие эволюцию процесса. Однако технологический процесс лесозаготовок необходимо рассматривать целостно, как единое, как математическую топологическую модель, описывающую полностью присущие ему - процессу - свойства, представленные в его определении, в том числе и изменение объема ПТ в процессе переработки. Эта модель базируется на уравнениях равновесия и непрерывности [10,13].

При дальнейшем изложении будем придерживаться следующей терминологии, определяющей содержание понятия процесса лесозаготовок. Определение технологического процесса лесозаготовок дано в [8 и 9]. Под процессом в оптимальном управлении понимается траектория и соответствующий ей закон управления - программа управления. Операция, то есть операционный процесс, - это совокупность технологических и переместительных действий для получения определенного состояния ПТ. Например, раскряжевка - сортименты, продольная распиловка-пиломатериал.

Технологическое действие, то есть обрабатывающий процесс, - это обработка -резание, деление, отделение, пиление и т. д.

- предмета труда посредством рабочего хода

- надвигание, подача и т. д. Переместительное действие, то есть перемещение, переместительный процесс, - это вспомогательное перемещение ПТ - отмер длин, выравнивание, холостой ход и т. д. - в операции. Транспортировка - это перемещение предмета труда в идеальном ТП или предмета

труда и транспортного средства в реальном ТП к конечной позиции маршрута [10,13].

Дифференциальные уравнения для

переместительных и транспортных процессов лесозаготовок

В общем виде уравнение движения любого объекта, исходя из законов динамики твердого тела, имеет вид

(О

где т - масса движущегося объекта;

11 - ускорение объекта; (индекс t означает переменную, по которой берется производная);

- силы сопротивления движению и

силы, его обеспечивающие.

В отраслевых приложениях это уравнение, или система уравнений, реализуется для всех перемещаемых или перемещающихся объектов как уравнение тягового баланса [1] и имеет вид касательной силы тяги:

гкд = р{±р1 + рш± дт1'+ ,

где ^ = в/= §т/,

С - полный вес перемещающегося объекта;

/- коэффициент сопротивления качению и (или) волочению, а также протаскиванию (перемещению) ПТ при его обработке;

^ - зависит от профиля трассы транспортировки и положения объекта, от того находится на спуске или подъеме движущийся объект, т. е. ^ является функцией от текущего значения расстояния транспортировки ^(7);

гш =—^-------сила сопротивления воз-

душной среды;

8т1, - сила инерции (+ при разгоне, -при торможении, физически знак учитывается направлением ускорения и в уравнениях обычно используется один знак - +) при нестационарном режиме движения;

д - коэффициент, учитывающий инерцию вращающихся масс привода и определяется по эмпирической формуле S =l,04+0,05i2K„; iKn - передаточное число коробки передач, для предмета труда и прицепа 5=1;

FkP - сила сопротивления движения прицепа или волочения (протаскивания) предмета труда, определяется аналогично из четырех выше перечисленных составляющих.

Определим Fkp в формуле (2), как F$ в связи с тем, что в уравнении ТП, кроме ранее перечисленных сил , эта составляющая включает некоторые дополнительные специфические силы, имеющие место при переработке ПТ (изменении объема). Например, сопротивление перемещению при силовом резании или при совмещении транспортировки ПТ и его обработке, сопротивление от технологических перемещений либо ПТ, либо режущего органа. Причем составляющие Fd имеют различные координаты приведения, а не только координаты крюка в отличие от Fkp.

Заменим также обозначение Fkd на более общее FeH в связи с тем, что уравнение баланса включает в себя составляющие, отражающие переработку ПТ в технологическом процессе и отличающиеся другими законами движения и численными значениями при преобразовании перемещений или сил привода к линейным проекциям перемещений или сил этих составляющих. После проведения замен и преобразуя выражение (2), имеем дифференциальное уравнение состояния

_ ¥п*и ~Fd 8(f cos a ± sin a) mS S

Выражение (3) отражает уравнение состояний процесса движения для любого объекта лесозаготовок со скоростью до 30 км/ч. Например, представив массу ПТ в виде функции т = pV(t), р - объемная масса ПТ, приняв 5=1, имеем уравнение движения предмета труда (описание переместительных и транспортных действий) с изме-

няемой массой (объемом) в идеальном технологическом процессе [13]. Либо, представив массу т как сумму масс лесной машины тм и массы изменяемого объема ПТ {тт = рУ(0); т = тм + рУ(0, имеем описание транспортного процесса (транспортировка ПТ с изменяемой массой) системы «Лесная машина - ПТ» в режиме рабочего хода. При этом, аналогично, корректируются значения

Уравнение состояния для обрабатывающих (разделяющих) процессов, изменяющих объем предмета труда лесозаготовок.

Для процессов лесозаготовок, характеризующихся изменением объема ПТ (технологические действия) в ходе его переработки от начального до конечного состояния, дифференциальное уравнение состояния, разрешенное относительно первой производной, характеризующей скорость изменения объема ПТ, имеет в общем виде следующее выражение:

ли _ _ _ __

К'=—=/о^,25, •*,."< '=!.».

где Уы - математическое ожидание объема отделяемого компонента ПТ на г'-м технологическом действии;

- матожидание (среднестатистическое) суммы площадей сечений для /-го технологического действия и соответствующего ему /-го состояния ПТ: пиление при валке -поваленное дерево, раскряжевка -сортименты и т. д.;

- удельная работа резания на г'-м технологическом действии;

И, и ц - соответственно, матожидания скоростей подачи и резания; п - количество технологических действий и соответствующих им состояний ПТ.

Вывод уравнения (4) сопровождается установлений ряда соответствий. Основная проблема здесь это проблема увязки предложенного метода описания траекторий ТП

[13] с существующими теориями, моделями описания и оценки эффективности систем лесозаготовок. Решается она в следующей последовательности:

1) определяется соответствие V' и производительностей Д 1-х технологических действий, которые (производительности) детально рассмотрены в существующей теории;

2) определяется соответствие между Д и энергосиловыми выражениями теории резания;

3) на основе уравнений силового или энергетического баланса конструируются дифференциальные уравнения состояния для описания и выбора траекторий, с оценкой эффективности ТП лесозаготовок.

Для реализации первого пункта изложенной методики необходимо дать определения существенных свойств, характеризующих различие и связь V/ и Д.

Скорость изменения объема ПТ в точке по маршруту в форме первой произ-

водной по времени— = V - показывает, на Ш

сколько изменяется (уменьшается) объем ПТ основного технологического потока или какой объем отделяемой компоненты ПТ для ответвляющихся технологических потоков отделяется в единицу времени , а в форме первой производной по координате расстоя-

м 17/ «

ния — -V. - на сколько изменяется объем

а

ПТ или какой объем отделяемой компоненты ПТ отделяется при его перемещении на единицу длины маршрута ТП.

В отличие от V' производительность П (Пч, Пш, Дмин, Д) относится к операции и показывает, сколько пропущено и переработано сырья - вход, отражающий начальное состояние ПТ; или получено готовой продукции - выход, отражающий конечное состояние ПТ, в единицу времени. Причем объем отделяемой компоненты ПТ в формулах производительности не учитывается. Производительность - это объем ПТ, прошедший через сечение основного потока технологического процесса в единицу времени [13]. Понятие сечения потока имеет

эквивалент в практике лесозаготовок -технологическое действие (операция).

Исходя из данных определений устанавливается содержательное и формализованное аналитическое соответствие между V'

и Я, (/ = Гй - количество возможных состояний в рассматриваемом ТП, / = 0 определяет начальное состояние ПТ). Графическое представление изложенного дано на рисунке, где производительность представлена на входе Д по начальному и на выходе Д+/ по конечному состояниям ПТ для каждого действия; А/ -промежуток времени, в течение которого произошло изменение ОТ V/ ДО

Для практики лесозаготовок, оперирующей с производительностью, Дг определяется интервалом времени, необходимым для переработки определенного объема V, например, время цикла операции. На основе рисунке, где производительность на 1-м технологическом действии отражает переработанный объем в единицу времени, и при этом наблюдается изменение Ум относительно предыдущего V,, очевидно, что

У,-У,

1+1 _

д/

Я.

Здесь П, =-^-,пм= ^

Ц+Р* =1,л V,.,

(5).

Далее

Иш

Д)->0

У,-Ум _У(0-У(* + А0 Д/ А*

У(0-У(/ + АО

и при

Д*

йУ_

й1

= У'-

У1 ’

У,-У,

1+1 _

Дг

Д. ^вых Д'

пм=у;

При согласованности по производительностям машин в комплекте (У,-Ум), определяет производительность Д г'-й операции. Технологические процессы такого рода будем называть согласованными. В противном случае в (У,-Ум) входит также и величина запасов, создаваемых различными видами неравномерности потоков лесозаготовок [5]. Зависимость (6) определяет соответствие между традиционными выражениями технологической или цикловой производительностей машин на той или иной операции

(действии) и скоростью изменения объема ПТ при представлении процесса в виде траектории изменения объема ПТ.

При реализации второго пункта ранее представленной методики для (6) выражается Д, и устанавливается соответствие зависимости производительности от энергосиловых выражений теории резания, опреде-

ляющих технологические работу и затраты энергии. В работах [8, 14] представлены связь между энергоемкостью и объемом обрабатываемого ПТ, а также зависимости цикловой производительности от мощности Псм= ЯМ, Ум) для сучкорезных, раскряжевочных и сучкорезно-раскряжевочных лесоскладских установок различных типов.

Рисунок. Графическая интерпретация соответствий между пооизводительностью

Однако, здесь в моделях отражены отдельные машины и нет разделения на энергосиловые составляющие по перемещению ПТ и изменению его объема. Для проектирования оптимальных траекторий ТП и оптимального управления необходима функция - коэффициент или переменная в функции времени, - отражающая связь между динамическими показателями ТП - объемными V' и энергосиловыми, представленным в теории резания соотношением кЬНи/ь, отражающими текущее состояние в каждый момент времени. Причем эта переменная, в дальнейшем переменная приведения кпр, может быть принята в качестве управления.

Изложенное определяет необходимость вывода иных, чем в [8, 14] соотношений связи, отражающих динамические свойства ТП и разрешенных относительно V'.

Конструирование уравнений состояния и зависимости переменной приве-

дения кпр осуществляется на основе уравнения баланса сил сопротивления при делении древесины

Л.=

известного основного соотношения теории резания

Г,-Ши/и,

и выражений (5), (6) V' ,=Д - Д+д где Д -производительность ПО 1-му состоянию ПТ -по выходу конечной продукции для согласованного процесса. В (7) составляющая

внешней силы, для выполнения технологической работы.

Исходя из выражения (7) (поправочными коэффициентами на породу, влажность и пр. можно пренебречь при измерительных шкалах отношений и необходимостью обеспечения сопоставимости сравниваемых траекторий), известного эмпириче-

ского выражения [7] удельной работы резания к = kQ l(upbpl)и и. = tu/v , имеем

k = kp/

Здесь кр (принимает значение в зависимости от р) - константа, учитывающая вид пиления: при поперечном - круглыми пилами кр = 8,5-105/Г0,15 (р = 0,15), цепными кр =2,65-Ю5/г0И(р = 0,33); при продольном -для круглых пил кр = 31,5-105 lt°'33(p -

0,33), для ленточных пил кр - 36,5-105 /t0,3i (р = 0,33), для ленточных вдоль волокон 12-Ю5//0,33; t - шаг зубьев, принимается, для сопоставимости процессов, постоянным и одинаковым для всех видов пиления, возможен вариант включения в выражение (9); р - аналогично, показатель вида пиления, при поперечном круглыми пилами 0,15, цепными - 0,33, при продольном круглыми пилами 0,33, ленточными - 0,33 (в торец и вдоль волокон); pt - показатель, равный 0 (ноль) при продольном и 0,5 при поперечном пилении круглыми пилами или 0,33 -цепными пилами.

Далее из выражений (8), (9) получаем

Fp=kpb°-p'\u/v)

или при включении шага зубьев

Fp=k(p°-p')rp(u/vf-p)-H.

При обрезке сучьев Fp для сучкорезных машин не является функцией скорости, а зависит лишь от удельной силы силового резания кр =315-104rfc , где dc - диа-

1C

метр сучка; aic - поправочные коэффициенты. Тогда усилие при отделении сучьев

FPc =315-юХ2|"|а(с. Полное усилие при об-

к

резке сучьев определяет выражение Fn = Fpcic + FT , ic - количество одновременно срезаемых сучьев; Ft - сила трения, возникающая в процессе обрезки. Величина F„ является постоянной. Полученное выражение F,, в дальнейшем может корректироваться, с целью отражения в общем технологи-

ческом процессе скорости изменения объема ПТ при отделении сучьев в процессе силового резания, посредством введения соответствующего коэффициента согласования скорости изменения объема м3/ед.врем. и силовых составляющих. В целом выражение уравнения баланса сил при технологических действиях по обработке ПТ имеет вид

=Рпр + крЬ"-р')

Коэффициент

0, если обрезка сучьев отсутствует или выполняется фрезами, цепными

о _ и иными подобными режущими органами .

1, в противном случае

Аналогично при и-0 отсутствуют соответствующие ВИДЫ пиления, ССо = коэффициент отжима при пилении. Анализ выражения (11) показывает, что интенсивность изменения сил сопротивления при (пилении) делении древесины и соответствующей им определяет составляющая (и/ь)(1'р\ которая представляется функцией времени в задачах оптимального управления. В свою очередь, составляющая и этого же выражения определяет технологическую производительность [8, 17] как переработку определенного объема ПТ в определенный промежуток времени (м3/ед. времени). Технологическая производительность дает количественную оценку действий по разделению древесины.

Например, при раскряжевке это подача (надвигание) пилы и пиление ПТ (рабочий ход пилы). Аналогично и для других действий. Перевод к цикловой (конструктивной) производительности, определяемой достигнутым уровнем техногенеза машин и оборудования лесозаготовок, осуществляется посредством введения соответствующих коэффициентов - коэффициент цикловой производительности машины; коэффициент, учитывающий степень совмещения рабочих и обратных ходов [8].

Тогда, представим технологическую производительность в виде выражения

АТ-Ут(0

*,(0

где ДТ - заданный постоянный интервал времени выполнения технологической работы при преобразовании текущего состояния ПТ и, одновременно, шаг дискретности [18] для адекватного описания реализации технологического процесса длиной Т,с.;У„т -объем предмета труда, принятый за единицу при переработке в ходе операций технологического процесса - пачка, хлыст, сортимент и т. д.; / (/)-время рабочего хода при

делении древесины.

,.21-

деления и(0

Время * (О

Ч\1)

раскряжевка; для продольной распиловки, 1С

ствола

для поперечного и(0

- валка,

длина сортимента; /_(0 =

для обрезки

сучьев, 1ос- длина зоны обрезки сучьев.

Значения длин в числителе представленных выражений отражают рабочий ход, который обозначим как Кх. Для уровня лесосеки рабочий ход принимается постоянным и равным ]£я. + ^1С. +1Ж на основании

того, что доля его при длине хлыста равной 25 м, в общем перемещении ПТ по лесосеке составляет не более 8 %, которые в свою очередь составляют 1 % при отображении в виде функционала [13]. Для уровня рабочей позиции время рабочего хода определяется в соответствии с параметрами операции, выполняемой на этой позиции.

На основе уравнений (И) и (12), полагая /3 = 0 (сопоставимые принцип деления древесины и режущий инструмент), устанавливается связь производительности,

м3/ед. времени, в объемных единицах и скоростных режимах деления древесины в линейных единицах. Из уравнения

...

Подставив данные (13) в (11), имеем

и(0 =

кЬ"-’" Н •

/М'Н

•о

Подставив данные (14) в (12), имеем

/7(0 =

/»<»)-»

•и(0

Я.

Дискретный аналог V,, определяемый на основе фактических значений технологических производительностей лесных машин, имеет следующее выражение:

к:=д-д=дя..

В связи с тем, что дискретный аналог скорости изменения объема V] отражает изменение производительности при переходе от Я/ до Я,+;, то с несущественной погрешностью достаточно отразить это изменение подстановкой данных (15) в (16):

V.: =-

л.

\

Рі-1

Л.

/+1

Л-

кЬ"-"-"-Нм •

И+Н

Анализ выражения (17), определяющего разность производительностей по входу и выходу при Дг-»0, определил для него переменные и постоянные величины. К постоянным ОТНОСЯТСЯ кс =ка=к. Ь,

Р/ Р/+1 р 1

Ри - Ри» = Р\ . Р, - Рм = Р . Я;=Я/+;=Я, ОСо,

Их1 = я, м = Лг. Перечисленные величины могут также рассматриваться и как переменные состояния в интервале между входом и выходом. Приведение их к постоянным осуществляется усреднением по г и (г+1) состояниям. Тогда Н1М=(Н,+НМ)12,Ь1М,

[ьги> + 2, кпм = (к„ +кры )/2. Анало-

гично определяются Юс ц+1, р

Далее выражение (17) преобразуется в

AV

V =-

'і.і+1

'/,1+1

Ft

' Иijti

I

J>U+H

где AV . . =V . ""M+l ml

”1,1+1

. Это определяет

величину объема, отделенного от основного потока компонента ПТ, при согласованных технологических производительностях процесса.

Для несогласованных по производительностям процессов, по причинам неравномерности стохастического или систематического характера [5], ДУ .. , определяет

""1,1+1

также сумму объема, отделенного от основного потока компонента ПТ и запаса, между смежными технологическими действиями. В дальнейшем, исходя из поставленной цели, рассматриваем сопоставимые процессы, согласованные по производительности. Теоретически ДУ . . . -V. -у. , . Переменные ™г,г+1 г г+1

А V,,,,, и V - точнее функции этих переменных от времени, подлежащие определению, -предполагается использовать в качестве управлений. Скорость резания г) в рамках одного технологического действия может быть постоянной для оптимального управления ТП в целом или переменной в функции времени и(г) для оптимального управления операцией.

Для ТП, в целом, при г = 1,п, п - количество операций и соответствующих состояний или порядковый номер последнего технологического действия, образующего конечное состояние ПТ, выражение скорости изменения объема имеет вид

ДУ

-1,1+1

Ft

I

R„

Сопоставление выражений (18), (19) с (6), при Дг -> 0 с учетом (15) определяет

следующее представление У, для непрерывного процесса:

АУто(0'

У =-

kpb

Я-

•и(0

R

ч„>,

В выражении (20) v(t), AVM(t) являются управлениями, входящими в уравнение состояния и предназначенные для определения в ходе решения задачи оптимального управления ТП. Возможно также принятие в качестве управления р, однако при этом должны вводиться в качестве управления совместно p(t) и p(t+&t), в связи с затруднительным аналитически выражением разности {рі-рм).

Для существующих лесозаготовительных машин дискретные значения v(t), ДУ«.(0 могут быть поставлены в соответствие цикловой производительности посредством коэффициента производительности машины [17], характеризующего степень использования времени цикла

Система уравнений состояний технологического процесса лесозаготовок

Технологический процесс лесозаготовок в целом описывается системой дифференциальных уравнений, должных быть разрешенными относительно первой производной и включающими в себя дифференциальные уравнения и системы (3), (20). Закон изменения F«„ определяется:

1) либо из условия постоянства номинальной мощности Ne„;

2) либо с учетом эксплуатационной внешней скоростной характеристики для ДВС [1].

Первый случай обусловлен наивысшей производительностью при делении древесины в режиме N = const [3] и высокой эффективностью двигателей постоянной мощности с высоким значением коэффициента приспособляемости [1]. Подобные двигатели обеспечивают постоянство мощности в широком диапазоне частоты вращения коленчатого вала. Тогда выражение силы FeH, необходимой для выполнения технологиче-

ской и транспортной работы, в безразмерных единицах I и V имеет вид

Р... =

N.

Для формализации функции распределения мощности Ыеп в безразмерном представлении (21) на выполнение технологической и транспортной работы в режиме совмещения или раздельного выполнения рассмотрим систему уравнений баланса сил и мощности

[л.+Л». =/гм ;

Ы /;=лг

где, и Л,,,/1’»,,, соответственно, векто-

ры и модули технологической и транспортной или переместительной сил. Выразив Л^„ из уравнения (21) и преобразовав его на основе первого уравнения системы (22), получим + у;2 = (Л. + ^.„Э-^+У/2 • Тогда

имеем систему

Решение системы (23) относительно и Лгвя имеет следующий конечный результат:

Л..

а/К2+С а,-у,’) ’

=

_ ^

Тогда, подставляя данные (24) в (20), вместо /<>«„ и (25) в (3) вместо ^вя, получим систему дифференциальных уравнений ТП

С +1? -У, зС/созо^та)

рУ,8р;-+1;- (/'-V,) <5

’кд/; -л/у;г+С

У =-

-Я •

1

Р-1

Л.

В представленной системе V,, р, // &р, 1X0. ДКт(Г), £>, Н, Ях в общем случае являются функциями времени и имеют соответствующее функциональное представление при оптимальном, по определенному функционалу, процессе. Однако, как отмечалось ранее, условия сопоставимости сравниваемых ТП и вывод уравнения непрерывного процесса на основе анализа бесконечно малых, позволяют определять р, кр, Ь, Н, Ях как постоянные. В системе также нашло отражение совмещенное или раздельное выполнение во времени транспортной и технологической работы.

В системе (26) все уравнения являются неявными функциями относительно /ДУ'/, преобразовать которые к явному виду не представляется возможным. Недостатком подобного представления является многозначность [16] , выражающаяся для дифференциальных уравнений в нескольких решениях при одних и тех же начальных условиях. Очевидно, приведение к однозначности здесь реализуется на основе физической сути поставленной задачи и граничными конечными условиями.

Кроме того, невозможность разрешения системы (26) относительно первых производных, как это принято в постановках задач оптимального управления, определяет специфичность постановки и необходимость поиска и применения корректного численного метода решения. Исходя из изложенного более корректным, при некотором снижении физической наглядности модели, будет представление уравнений состояния с использованием выражения для формализации распределения мощности с размерными переменными

N..

•и(0

Однако здесь распределение мощности и внешней силы между переместительными (транспортными) и технологическими (обрабатывающими ПТ) действиями отражается посредством коэффициента в функции

времени крп((), подлежащего определению при решении задачи оптимального управления. Тогда выражение (27) для транспортного процесса будет иметь вид

N...

для технологического

Подставляя данные (29) в (20) вместо и (28) в (3) вместо Рп(т, получим систему дифференциальных уравнений ТП с возможностью разрешения относительно первых производных:

, _ *>, #

' рУ,8-1, 8

ДУ •

V' =

1,'крЬ^п'

^

V

[1-

1,к Н •

•и(0 = -

-ХП,-ПМ)

Я.

Система (30) дифференциальных уравнений технологического процесса лесозаготовок приводится к виду, необходимому для определения управлений (законов управления) и,, обеспечивающих движение и изменение объема ПТ по оптимальной траектории. В качестве управлений (рулей) нг необходимо выбрать те переменные системы (30), которые могут быть реализованы на практике.

Анализ системы (30) с изложенной позиции определил выбор в качестве возможных управлений следующие переменные: скорость перемещения ПТ // или I" и крп, 1X0, AVпT(0• Они характеризуют процесс и определяют требования к лесозаготовительной машине (комплекту машин), как к объекту, изменяющему объем ПТ (выполняющему технологические действия) с его перемещением, и определяют соотношения переменных теорий производительности и резания древесины связью вида

ДК-

Управление скоростью движения (перемещение ПТ) достаточно просто реализуется практически известными средствами. Управление 1X0 определяет, с одной стороны, режимы резания - программу изменения скорости резания в процессе перехода от одного состояния ПТ к другому - и обоснование вида режущего устройства на основе сравнения программных и известных из практики значений скорости резания; а с другой - интервал изменения производительности при переработке / и 1+1 компонентов ПТ.

Управление ДУли/О определяет объем отделенного компонента ПТ от основного потока, согласованного по производительности процесса, то есть классифицирует, выделяет в процессе, технологическое действие -обрезка сучьев, раскряжевка и т. д. - и также влияет на интервал изменения производительности между технологическими действиями.

Произведение А оУ=1Х0-ДУпл/О характеризует быстроту скорости изменения объема ПТ (аналог - ускорение) и может быть принято как эквивалент, вместо управления отдельными составляющими. Управление кр„(1), 0 < < 1, посредством соот-

ветственного распределения мощности, определяет степень совмещения переместительных (транспортных) и технологических действий.

Реализация оптимальных программ управлений £рп(0. /'ь^ХО и ДУ„т(0 определяет два варианта проектных решений.

Первый - для существующих машин и комплектов на основе сопоставления оптимальных и существующих крп(1), //, 1X0> АУпт(0 Для известных режущих органов, стохастических характеристик ПТ по его компонентам, скоростей подач и транспортировки [13] подбирается оптимальный комплект машин, с присущей ему последовательностью операций.

Однако выбор из известного множества машин лесозаготовок существенной новизны в теорию и практику лесозаготовок не привнесет. Здесь, при множестве публикаций по результатам выбора того или иного комплекта машин, новизну несут лишь сам способ выбора и постановка задачи на его основе. Очевидно, если сопоставить результаты данного способа и множества других, известных в теории и практике лесозаготовок, будут получены достаточно близкие комплекты, при условии, если выбор производился для идентичных критерия и ограничений и если способы работают корректно.

Второй - по определенному закону управления кр„(г), //,1X0 и для опти-

мального процесса на основе выражений (38) и (39) определяются технологические требования к проектируемым машинам по технологической производительности и скоростным режимам резания и переместительные требования по скорости перемещения (транспортировки) ПТ. Цикловая производительность вычисляется посредством пересчета по известным выражениям с коэффициентом цикловой производительности машины. Также при заданных начальных условиях по крп(1), //, гХО и ДУпт(0 и по синтезированным фазовым траекториям К = «V, =/КШ;,ьАУ^)на

основе уравнений (18), (19) и (27) выявляется последовательность г и (/+/) раздельных или совмещенных транспортно-переместительных и технологических действий. Степень совмещения во времени технологических и транспортно-переместительных действий определяется значениями крп(1) или Г,и П

Обозначив, как это принято в теории оптимального управления [11, 12, 15],

крп(1)'=иг1, АУпТ=иг2, У=игз и вводя новые переменные СОСТОЯНИЯ Х1=1{, Х2=1/, Хз=У, для разрешения системы (30) относительно первых производных, получим следующую преобразованную систему дифференциальных уравнений процесса:

=-«2

А',, g

х, =-

х2крЬ"-'0 - Я •

1

I-р

Я.

Система дифференциальных уравнений (31) описывает траекторию и динамику изменения объема ПТ в пространстве и времени по маршруту технологического процесса и определяет ограничения (уравнения состояний) в постановках задач оптимального управления технологическими процессами лесозаготовок.

Литература

1 Лесные машины: Учебник для вузов,

Г.М. Анисимов, С.Г. Жендаев, А.В. Жуков, и др-М.: Лесн. пром-сть, 1989. - 512 с.

2 Алябьев В.И. Оптимизация производственных процессов на лесозаготовках. - М.: Лесн. пром-сть, 1977. - 232 с.

3 Залегаллер Б.Г., Ласточкин П.В., Бойков С.П. Технология и оборудование лесных складов. -М.: Лесн. пром-сть, 1984. - 352 с.

4 Александров В.А. Динамические нагрузки в лесосечных машинах.-Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1984.-152 с.

5 Редькин А.К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов. - М.: Лесн. пром-сть, 1988. - 255 с.

6 Андреев В.Н., Герасимов Ю.Ю. Принятие оптимальных решений: теория и применение в лесном комплексе. - Йоэнсуу: Издательство университета Йоэнсуу, 1999.-200 с.

7 Бершадский А.Л. Резание древесины. - М.: Гос-лесбумиздат,1956. - 328 с.

8 Прохоров В.Б. Эксплуатация машин в лесозаготовительной промышленности. - М.: Лесн. пром-сть. - 304 с.

9 Кочегаров В.Г., Бит Ю.А., Меньшиков В.Н. Технология и машины лесосечных работ. - М.: Лесн. пром-сть, 1990. - 392 с.

10 Редькин А.К., Якимович С.Б. Способ моделирования и проектирования технологических процессов лесопромышленого комплекса // Лесной вестник,- М.: МГУЛ, 2000. - № 4, - С. 55 - 69.

11 Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа - М.: Наука, 1981. - 448 с.

12 Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978. -

488 с.

13 Якнмович С.Б. Измерение и проектирование технологических процессов лесопромышленного комплекс;! / МарГТУ. - Йошкар-Ола, 1997. - 29 с.

Лен... ВИНИТИ, № 1931-В97.

14 1илегаллер Б.Г. Технология работ на лесных склпдач. - М.: Лесн. пром-сть, 1980. - 232 с.

15 Математическая теория оптимальных процессов / А.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкре-лидзе, и др. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

16 Мышкис А.Д. Математика для втузов: Специальные курсы. - М.: Наука, 1971.-63! с.

17 Амалицкий В.В., Санев В.И. Оборудование и инструмент деревообрабатывающих предприятий. - М.: Экология, 1992. - 480 с.

18 Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анали* случайных данных / Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

ВЛИЯНИЕ НАДЕЖНОСТИ СТАНКОВ НА ЗАГРУЗКУ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНИЙ ЛЕСООБРАБАТЫВАЮЩИХ ЦЕХОВ

А.А. ШАДРИН, доцент каф. технологии и оборудования лесопромышленного комплекса, к. т. н.

На показатели качества функционирования технологических процессов лесообрабатывающих цехов существенное влияние оказывает надежность применяемых станков. Поток отказов станков в технологической линии цеха воздействует одновременно с колебаниями продолжительности циклов обработки заготовок на каждом станке. Проведенные ранее исследования показали, что на загрузку лесообрабатывающих линий преимущественное влияние оказывает поток отказов входящих в неё станков, связанных с их надежностью [1].

Аналогичные результаты получены при имитации на ЭВМ технологического процесса лесообрабатывающего шпалорезнотарного цеха. При этом имитировалась работа технологической линии, состоящей из окорочного станка (ОС), делительного (шпалорезного) станка (ДС), станков тарного отделения (ТО) и рубительной машины (РМ).

В качестве входных параметров при имитации технологического процесса на ЭВМ использовались показатели надежности станков, определенные в работах [2,3,4].

Наименее надежным станком в технологической линии является делительный станок ЦДТ-7Ш, показатели надежности которого при моделировании варьировались в следующих пределах:

- интенсивность отказов Ходе = 0,59-0,022 отк/ч;

- интенсивность восстановления Хвдс = 0,666-2,0 рем/ч.

На рисунке приведен график зависимости загрузки технологической линии от интенсивностей отказов и восстановления станков в цехе.

Из графика видно, что загрузку технологической линии можно существенно повысить, увеличив надежность делительного станка до уровня, когда интенсивность отказов его будет соответствовать интенсивности отказов тарного отделения (Ходе = Хото =: 0,022 отк/ч). При этом загрузка линии возрастает на 10 - 12 %. Из приведенного графика также видно, что особенно эффективно повышение надежности делительного станка на участке от Ходе = 0,059 отк/ч (время наработки на отказ 1Н.0 = 17 ч) до Ходе = 0,033 отк/час (г„.0. = 30 ч).

Результаты имитационного моделирования показывают, что при совместном повышении надежности головного делительного станка и станков тарного отделения до уровня надежности окорочного станка, Хоос = Ходе = Хото = 0,0166 отк/ч, загрузка технологической линии возрастает ещё на 2-3%. Дальнейшее совместное повышение надежности окорочного, делительного станков и станков тарного отделения не приводит к существенному росту загрузки рассматриваемой технологической линии.