Двухслойные течения жидкостей с испарением на границе раздела при наличии аномального термокапиллярного эффекта

УДК 517.9

Двухслойные течения жидкостей с испарением на границе раздела при наличии аномального термокапиллярного эффекта*

О.Н. Гончарова

Алтайский государственный университет

Two-Layer Fluid Flows with Evaporation at an Interface in the Presence of an Anomalous Thermocapillary Effect

O.N. Goncharova

Altai State University

Математическое моделирование стационарных конвективных течений с испарением на границе раздела проводится с помощью точных решений системы уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в двумерном случае. При этом в газопаровом слое учитываются эффекты термодиффузии и диффузионной теплопроводности. Расход газа в верхнем слое считается заданной величиной. На твердых непроницаемых границах канала выполняются условия прилипания для вектора скорости. Нижняя граница предполагается теплоизолированной, а на верхней — определен постоянный поток тепла. На прямолинейной границе раздела, предполагаемой термокапиллярной поверхностью, выполняются кинематическое и динамические условия, условия переноса тепла и баланса массы. Концентрация насыщенного пара определяется как следствие уравнения Клапейрона-Клаузиуса. При этом выполнено условие нулевого потока пара на верхней твердой границе канала. Построенные точные решения могут быть применены для моделирования течений в двухслойной системе жидкости и газа в случае, когда жидкость обладает свойством аномального термокапиллярного эффекта.

Ключевые слова: математическая модель, граница раздела, испарение, точное решение, аномальный термокапиллярный эффект.

БМ 10.14258/izvasu(2015)1.2-18

Введение. Математическое моделирование стационарных двухслойных течений жидкости и газа с учетом испарения через термокапиллярную границу раздела проводится на основе точных решений уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска (см. также [1,2]). Данные решения имеют такой вид, когда только продольная компонента скорости отлична от нуля

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-00163).

Mathematical modeling of stationary convective flows with evaporation at an interface is carried out with the help of the exact solutions of the Boussinesq approximation of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional case. The effects of thermodiffusion and diffusive heat conductivity in the gas-vapor layer are taken into consideration. The gas flow rate in the upper layer of the system is considered as a given. At the fixed impermeable walls of the channel the no-slip conditions for the velocity vector are fulfilled. The lower rigid boundary is assumed to be a heat insulated boundary. The constant heat flux is defined at the upper boundary of the channel. On the straight interface, being a thermocapillary boundary, the kinematic and dynamic conditions, the condition of heat transfer and the mass balance equations are satisfied. The vapor concentration saturation is defined as a sequence of the Clapeyron-Clausius equation, and a condition of zero vapor flux is assumed to be fulfilled at the upper rigid boundary. The constructed exact solutions can be applied for modeling of flows in two-layer gasliquid system for the case when a liquid has a property of the anomalous thermocapillary effect. Key words: mathematical model, interface, evaporation, exact solution, anomalous thermocapillary effect.

и зависит от поперечной координаты, а распределение температуры и давление в верхнем и нижнем слое, а также концентрация пара имеют линейную относительно продольной координаты составляющую. Продольные градиенты температуры и концентрации пара линейно зависят от поперечной координаты, а зависимость продольного градиента давления от поперечной координаты представляет собой квадратичную зависимость. Одной из первых работ, посвященных постро-

ению точного решения в бесконечном горизонтальном канале с испарением на границе раздела «жидкость-жидкость» (без учета термокапиллярности границы раздела), является работа [3]. Построенное в [3] точное решение использовалось также для моделирования течений с учетом диффузии легкой компоненты на границе раздела.

Процитированные здесь решения являются решениями типа Бириха [4] или его обощениями. Точное решение уравнений конвекции Обербека-Буссинека построено в [4] для описания стационарной конвекции жидкости в бесконечной горизонтальной полосе с твердыми непроницаемыми границами или имеющей недеформируемую свободную границу, находящейся в поле силы тяжести, а также под действием постоянного продольного градиента температуры (см. также [5-7]). Следует отметить, что впервые подобная задача была изучена в [8].

В данной работе в верхнем газо-паровом слое учитываются эффекты Соре и Дюфура [9, 10], а на верхней твердой границе рассматривается условие для концентрации пара, выражающее отсутствие потока пара. Построенные точные решения могут быть применены для моделирования течений в двухслойной сиситеме жидкости и газа в случае, когда жидкость обладает свойством аномального термокапиллярного эффекта.

1. Постановка задачи. Пусть система двух вязких несжимаемых жидкостей (жидкости и смеси газа и пара) заполняет бесконечные горизонтальные слои, имеющие твердые верхнюю и нижнюю границы у = Н, у = —1, и границу раздела у = 0. Система уравнений для нахождения скорости (и, V), температуры Т, концентрации С и давления р в стационарном случае записывается в следующем виде:

Здесь р' — модифицированное давление (отклонение от гидростатического давления; р' = р — р g • х; р — плотность (некоторое относительное значение плотности); V — коэффициент кинематической вязкости; х — коэффициент температуропроводности; Б — коэффициент диффузии пара в газе; в — коэффициент теплового расширения; 7 — концентрационный коэффициент плотности, коэффициенты 6 и а характеризуют эффекты Дюфура и Соре соответственно. Система координат (х, у) выбрана таким образом, что вектор силы тяжести g направлен противоположно оси Оу ^ = (0, —д)). Заметим, что подчеркнутые снизу слагаемые и уравнение для концентрации пара в (1) рассматриваются при моделировании течения в верхнем слое.

Пусть решение системы уравнений (1) для жидкости в нижнем слое и системы уравнений для смеси газа и пара в верхнем слое имеет вид

и = щ(у), VI = 0,

Т = К +4у)х+Лг

Здесь индекс г = 1 отвечает жидкости, заполняющей нижний слой, а индекс г = 2 — смеси газа и пара в верхнем слое.

Точные решения вида (2) системы уравнений (1) можно представить следующим образом:

у4 дв1а2 , у3 дв 1А , у2

и 1 = 777--1" ---Ь "77с1 + Ус2 + С3-

24 VI 6 VI 2

Т1 = (А + а12у)х +

у7 (двМ)2

1008 V v1х1

5 1 гдЩ'2 XI ^ VI

+

у6 /дААа|х у5 1 (дРМ? , о 1 V + 144 Ь^Г) + "120 V г/1 + ЗЯ2С1) +

ди ди дх ду

1 др' /д2и д2и р дх \дх2 ду2

+ 777 — (АС1 + 2 а\с2) + ^т — (Ас2 + а^с3)+ 24 Х1 6 Х1

дv дv 1 др' дх ду р ду

у2А

+ -7--С3 + ус4 + с5,

2 Х1

2

дТ

дТ дТ д Т д Т

<9ж ^ <9у ^\дх2 ду2 ^ ^^

^дС ^дС _в/д2С д2С

дх ду дх2 ду2

ди дги дх ду (д2Т д2Т

д2С д2С

+

ду2

. У8 7 . У1 7 . У6 7 . У5 7 . У4 7 .

+ —Кг + + —«5 + —«4 + —к 3 +

8 7 6 5 4 32

+1Г^2 + у + У&о + с8,

43

«2 = + 7Ь2) + 77-(/32А + 761)+

24 V2 6 V2

/д2Т д2Т\\

дх2 ду2

+ уС1 +ус2 +С3,

2

Т2 = (А + а\у)х + Л-В2^2а1 + 7Ь2)+ 1008 V2

+

720

Bi —

+

V2 120

V2

V2

+

+

4 3

+ 2В2с2] + У—\В{с2 + В2с3] + 24 6

+—В\сз +ус4 + с5,

C = (bi + b2y)x+

(в2«2 + Yb2) +

720 v2

h R

L В " aBl

+4

—^ — aB2 YD

5

(в2А + 7bi)} + bi

D

— aB i

+3 Ь2 D — aB2 + У4 Г 24 1 \bi R ID'*131

+2 Ъ2 .D — aB2 + з У ( 6 1 \bi R 1

+

ci + c2+

+

—^ — aB2 D — aB2

сз

+yc6 + c7,

(P2g@2a2 + P2gY{b2)+

p 2 =

2

+y(P29l32A + р2дф\) + p2v2c\ x+

, у8т , Угт , У67 , У5т , У4Т ,

8 7 6 5 4

32 + '+ —fcl + У&О + c8.

2. Граничные условия. Условие Q h

= j p2u2(y)dy будет определять расход

газа

в верхнем слое. На нижней у = —I и верхней у = Н твердых непроницаемых границах области течения должны быть выполнены условия прилипания для скорости М1|у=_; = 0, м2|у=ь = 0. Концентрация пара на верхней границе у = Н удовлетворяет условию отсутствия потока пара на данной границе

y=h

0. Пусть граничный

температурный режим определен следующим образом. Нижняя твердая граница у = —I является теплоизолированной, а на верхней границе у = Н задан постоянный поток тепла: (дТх/ду)|у=_ = 0,

К2(дГ2/ду)1у=к = 0+.

На термокапиллярной границе раздела у = 0, остающейся недеформированной, должны выполняться условия непрерывности скорости и температуры и\|у=о = и2 |у=о, Т11у=о = Т2|у=0. Условие переноса тепла учитывает диффузионный поток пара на границе к1(дТ1/ду) — к2(дТ2/ду) —

—6к2(дС/ду) = —ЛЫ. Здесь Л — скрытая теп-

у=о

лота испарения, а Ы — масса жидкости, испаряющейся с единицы площади поверхности в единицу времени, К1 и К2 — коэффициенты теплопроводности. Уравнение баланса масс на границе раздела имеет вид Ы = —Бр2{(дС/ду)+

. Концентрация насыщенного па-

+а

ра может быть найдена с помощью соотношения С|у=о = С*[1 + е(Т2|у=о — То)] [1,2], С* — концентрация насыщенного пара при Т2 = То, е — параметр, включающий молекулярную массу испаряющейся жидкости, универсальную газовую постоянную, скрытую теплоту испарения, То. Кинематическое условие на границе раздела выполняется автоматически (нормальная составляющая скорости жидкости равна нулю на границе у = 0 ввиду (2)). Проекции динамического условия [9] на вектор нормали и на касательный вектор к границе раздела у = 0 приводят к следующим соотношениям: р1 = р2, Р1^1и1 у = р2^2и2у — атА.

Пусть имеет место линейная зависимость поверхностного натяжения от температуры

= сто - о"т(Т\ - Т),

Коэффициенты ki,ki (i = 0, ...,7), Bi,B2 зависят от исходных параметров задачи рг, щ, \i, вг, D, y, g (i = 1, 2). Коэффициенты q, q (i = 1,..., 8) — константы интегрирования, их значения и соотношения, связывающие параметры bi,b2, aj (i, j = 1, 2), задающие вид точного решения (2), определяются системой граничных условий. При записи решений (3) учтено свойство непрерывности температуры на границе раздела (см. раздел 2), согласно которому aj; = a\ = A, A = const.

где сто,стт — постоянные (сто = ст(Т), ат — температурный коэффициент поверхностного натяжения):

стт = ст

(нормальный термокапиллярный эффект) и

ат = ~о (а > 0), Тг > Т,

(аномальный термокапиллярный эффект, см., например, [9]).

6

y

о

2

2

y

а

Заметим, что Т1 |у=о = Ах + С5, а потому условия (5), (6) сводятся к нахождению координаты х = (Т — съ)/А. Тогда, если А > 0, то неравенство Т\ <Т (см. (5)) будет выполнено при х < х. Если А < 0, то данное неравенство будет выполнено при х>х.В этом случае выбор значения ат определен, согласно (5).

3. Алгоритм нахождения констант интегрирования. (1) В случае если для концентрации пара на верхней стенке канала принимается условие нулевого потока пара, должны выполняться равенства 62 = 0, ф'(Н) = 0 (штрих означает производную по переменной у).

(2) Из условий непрерывности скорости и температуры на термокапиллярной границе у = 0 следует: с3 = с3, с5 = с5, а\ = а\ = А.

(3) Исходя из условия теплоизоляции твердой границы у = —1, имеем: а2 = 0, 0'(—1) = 0.

(4) Тепловой режим на верхней твердой границе у = Н диктует выполнение условий

а2 = 0, 02 (Н) = 0+/к2.

(5) Условие баланса масс приводит к соотношениям М = —Вр2{сц + СКС4), Ъ2 + «а2 = 0. Второе соотношение выполняется тождественно.

(6) Следствиями условия теплопереноса на границе раздела у = 0 являются уравнения к\а\ — к2а\ — 5к2Ъ2 = 0, К4С4 — К2С4 — 5к2~сц = — ХМ, первое из которых выполняется тождественно.

(7) Соотношение для концентрации насыщенного пара выполнится, если 61 = СФеА, с7 = С* + С*Е(С5 - Т0).

(8) Динамические условия диктуют связь между константами интегрирования с2, с2 и с\, Ъ\\ с2 = С2{р2У2)1{р\У\) -атА/(р11У1), с 1 =С1{р2у2)1{р1У1).

(9) Система линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных констант интегрирования сь с2, сз следует из условий прилипания и условия заданного расхода газа

I2 Р,_ I3 д^А атА

"С1 - /-с2 + с3 = —--/-

2 р^1

P1V1

6 V1

P1V1

, ^ 9 , г, А , N

— С! + /1С2 +с3 = - — -2- /32А + 7Ь1), 2 6 V2

Ь2 , Я ^ 9 гп л —с 1 + —с2 + /1с3 = — - — — /М + 7&1 • 6 2 Р2 24 V2

(10) При найденных с2, сз могут быть вычислены и константы С1, С2, сз (см. пункты (2), (8)).

(11) Используя условия равенства нулю коэффициентов 62, а1, а2, приходим к соотношению, определяющему константу интегрирования се из условия ф'(к) =0 при известных Ъ\, с2, С3:

С6 =

д

24 г/2

и.

2

61 п

\ьл

.В

—аВ

—аВ1

С1

с2-1г

61 п

I в ~ аВ\

сз-

Здесь В\ = {ВА - Х2бЬ1)/(ВХ2(1 - аё)). (12) Константа интегрирования С4 должна удовлетворять соотношению С4 = с4п\/{п2 + ХВр2а) — с6 (¿«2 + ХВр2)/(к2 + ХВр2а), которое является следствием условий переноса тепла и баланса массы на границе раздела у = 0. При этом константа интегрирования С4 определяется из условия 0'(—1) = 0 (см. пункты (3), (10)) при найденных С1, С2, сз:

С4 =

14 дв1А2 13 А

ол--Ь Т—С1

24 V1Х1 6 Х1

12 А , А 77 — с2 + /—с3. 2 Х1 Х1

(13) Условие заданного потока тепла на границе у = Н (см. пункт (4)) приводит к соотношению, которое должно быть рассмотрено в качестве условия согласования, диктуемого видом точного решения

в+ ЪА д , , , к3

— = —В1— /32Л + 7&1 + "7Г-В1С1+ к2 24 v2 6

Л-2

В1С2 + 1гВ\Сз + с4.

(14) Массовая скорость испаряющейся с границы раздела жидкости может быть найдена с помощью следствия условия баланса масс

М = —Вр2ас4 — Вр2сц-

Таким образом, константы интегрирования с^ (2 = 1,..., 5), сг (г = 1,..., 7) должны удовлетворять соотношениям, представленным в алгоритме (1)-(14). Пусть С5 = 0. Система уравнений (7) должна быть решена дважды при ат = о7 и ат = —о7 (см. (5), (6)). Таким образом, будет получено два варианта решений (с+, для ат = ~а , (сТ, сг) для сгт = -а (.7 = 1,2,3,4, г = 1,2,3,4,6). При этом уравнение (7) является условием, которому должен удовлетворять параметр 0+, определяющий граничный температурный режим на верхней стенке канала.

Библиографический список

1. Goncharova O.N., Hennenberg M., Rezano-va E.V., Kabov O.A. Modeling of the convective fuid fows with evaporation in the two-layer systems // Interfacial Phenomena and Heat Transfer (IHMT). — 2013. — Vol. 1.

2. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Пример точного решения стационарной задачи о двухслойных течениях с испарением на границе раздела // Прикладная механика и техническая физика. — 2014. — №2.

3. Шлиомис М.И., Якушин В.И. Конвекция в двухслойной бинарной системе с испарением // Гидродинамика. — 1972. — №4.

4. Бирих Р.В О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикладная механика и техническая физика. — 1966. — №3.

5. Саночкин Ю.В. Некоторые задачи о термокапиллярном движении жидкости // ПМТФ. — 1989. — №5.

6. Попов В.В. Смешанная конвекция в двухслойной жидкости // Теоретические основы химической технологии. — 1981. — №ХУ (3).

7. Андреев В.К., Бекежанова В.Б. Устойчивость неизотермических жидкостей. — Красноярск, 2010.

8. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. — М. ; Л., 1952.

9. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Современные математические модели конвекции. — М., 2008.

10. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. — Кн. 1. — М., 1991.