Термо-вязкоупругие деформации хряще- вой ткани при лазерном изменении раз- меров и формы

ВЕСТНИК Югорского ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 г. Выпуск 2 (13). С. 64-70

УДК 534.1

термо-бязкоупругие деформации хрящевой ткани при лазерном изменении размеров и формы

А. И. Омельченко, Э. Н. Соболь, О. И. Баум Введение

Изучение вязкоупругих деформаций при гипертермии биотканей представляет интерес для медицины, в частности, при лазерном изменении размеров и формы хрящевой ткани. Хрящ - это высоко гидратированная ткань, которая содержит до 80 весовых % воды, связанной в эндогенных наноструктурах живых организмов. Такие структуры - протеогликано-вые агрегаты, образующие в ткани плотную матричную сеть, прочность которой определяет основные механические свойства хрящевой ткани. Эта ткань подвергается дегидратации в результате лазерного теплового воздействия, а при температуре + 70° C связанная вода переходит в свободную форму.

Согласно структурной организации хрящевого матрикса, свободная вода может быть подвижной и перемещаться по каналам из теплой зоны в холодные области ткани. Нагрев ткани лазерным излучением ближнего инфракрасного диапазона (длина волны 1,56 мкм), в основном поглощающимся во внутритканевой воде, вызывает ее термическое расширение. Это создает гидравлическое давление на ткань и ее деформацию. При выключении лазера давление падает и происходит релаксация механических напряжений, а новая форма ткани сохраняется.

В работе [1, с. 1686] было получено решение одномерного дифференциального уравнения, описывающего деформации и релаксацию напряжений в пористой среде с конечной гидравлической проницаемостью, в случае плоско напряженного состояния. Это состояние реализуется в области лазерного нагрева хряща за счет термического расширения воды, нагретой в слое ткани. Область лазерного нагрева импульсно-периодическим лазерным излучением с высокой скважностью (T/x) определяется глубиной оптического поглощения и размерами лазерного пучка.

В этой работе [1, с. 1686] была разработана простая одномерная модель, учитывающая вязкоупругую релаксацию термических напряжений в матриксе ткани. В модели рассмотрена задача поршневых колебаний, возбуждаемых термическим расширением внутритканевой жидкости и периодически нагреваемой импульсами лазерного излучения. В приближении гауссова пучка лазерного излучения, поглощаемого в слое ткани толщиной не менее «оптической толщины», получено аналитическое решение для деформаций и напряжений. Подобная задача механики ткани решалась Mow V C. и др. [2, с. 245] для вынужденных колебаний, возбуждаемых периодической внешней силой, которая приложена к поверхности хряща. Решение такой задачи получено авторами в виде рядов.

Целью данной работы является изучение термо-вязкоупругих деформаций в хрящевой ткани при импульсно-периодическом лазерном нагреве. В данной задаче вынужденные колебания вязкоупругой среды возбуждаются объемной периодической силой лазерного нагрева воды. В результате решения этой задачи получено простое аналитическое выражение, позволяющее объяснить частотную зависимость вязкоупругого отклика ткани и формы регистрируемого сигнала.

Материалы и методика эксперимента

Эрбиевый волоконный лазер с длиной волны 1,56 мкм и средней мощностью излучения до 4 Вт (производства ИРЭ-Полюс, модель ЛС 2) использовался для облучения хряща (свежий носовой хрящ телят 3-х-леток). Хрящ был выделен, разрезан на части, из которых были изготовлены хрящевые диски диаметром 5 мм и толщиной 1-1,5 мм. Образцы хранились в физ. растворе до использования в экспериментах. Хрящевые образцы ткани контактно, через световод 0 600 мкм облучались импульсно-периодическим лазерным излучением при интенсивности + 102 Вт/см2.

Для изучения деформаций проводилась видеорегистрация изображения диска ткани с частотой 25 кадров/с в течение всего периода облучения, покадровая видеообработка и регистрация гидравлического давления с помощью коаксиального пъезодатчика, надетого на световод. По результатам видеообработки определялась кинетика деформаций, а гидравлические измерения использовались для определения внутренних напряжений. Для определения радиальных деформаций проводилось теоретическое моделирование вязкоупругих деформаций ткани при периодическом лазерном нагреве внутритканевой жидкости.

Теоретическая модель

Рассмотрим задачу о релаксации напряжений, вызванных термическим расширением воды нагретой лазерным пучком (диаметром а), падающим нормально к поверхности цилиндрической хрящевой пластины, толщиной И и радиуса Я (рис. 1).

Будем рассматривать случай широкого пучка Я & а & Н, случай узкого пучка рассмотрен в [1, с. 1686]. Считается, что пластина заключена между двумя твердыми, гладкими, непроницаемыми поверхностями.

Так как пластина ограничена 2-мя плоскостями, между которыми она может свободно скользить, не создавая касательных напряжений, будем рассматривать релаксацию напряжений за счет только радиальных перемещений.

Дифференциальное уравнение для радиальных перемещений в тонком круглом диске из пористой гидратированной ткани с конечной проводимостью имеет вид:

кЕк Аиг = 2^ + кЕки,

где к - гидравлическая проводимость матрикса, а Ек - модуль упругости коллагенового матрикса на сжатие.

Второе слагаемое в правой части уравнения описывает релаксацию радиальных напряжений, согласно закону Дарси.

Будем считать, что V (0 источник аксиально-симметричных нестационарных деформаций, находится в объеме цилиндра V = ка2Н (рис. 1), в котором периодический нагрев жидкости приводит к радиальному источнику гидравлического давления:

1

Рн = -11- 1

р I *0 \ рн

где О - термический коэффициент расширения воды, Ьн - модуль объемного сжатия.

В случае нагрева воды синусоидально-модулированным лазерным излучением, подъем температуры хряща:

т = Т0+ 4Ж2 81п2ш.

река Н 4 '

Так как гидравлическое давление в области нагрева приложено к окружающему хрящевому матриксу, деформации последнего будут определяться деформацией коллагеновых волокон.

Отсюда, применяя принцип Сен-Венана для объемного источника напряжений, можно найти нестационарный источник деформации е (г), действующий на границе области. Источником перемещения ткани на границе пучка е (г, а) = -1 бг (г, а) —1 Рн (г) будем считать

Ек Ек

создаваемое нагретой водой гидравлическое давление, которое в условиях квазистационар-ного нагрева можно определить согласно:

Рн

Рн река Н ^ '

Для нахождения временной зависимости радиальных деформаций Ц в хрящевой пластине, необходимо решить следующую краевую задачу:

кЕк ДЦ = 2Ц + кЕк^Цр

с граничным и (г, г) = Ц (г, г), г = а & г = Я и начальным условием Ц (а, 0) = 0.

В качестве граничного условия используем условия отсутствия напряжений на краю пластины г = Я, зажатой в пористом ограничивающем цилиндре диаметром 0 = 2Я.

Радиальные напряжения на границах г = (а, Я) можно определить согласно уравнению Дюамеля-Неймана [5, с. 50]:

Як

, ч [ео8т2Ш, г = а ще е (г° = I 0, г = Я

Записывая радиальную часть лапласиана в (1) в цилиндрической системе координат [3, с. 13], определим уравнения, описывающие радиальные деформации:

Цт+ЦЬ-Ц) = ы,

Як (^ + и 1 + 2Пк ^ - ^1 -^От- Ш2 ш ° г = а

Л. (^ + Ц) + 2Пк = 0, г = Я

Ек Рн река2Н ‘ 0, г = Я

Ц(а,0) = 0,

уЕ

где Як, Пк - постоянные Ламэ для коллагена ц. = С; Як =

((1 + у)(1 - 2у)) '

Решим дифференциальное уравнение для радиальных перемещений методом разделения переменных, для этого сначала перейдем к безразмерным независимым переменным:

Э2 и . 1 ЭU Ц \ _ а2 ди _ эu

-,2 + ^ Л

2р2 р 2р р2

кЕк Эг Эх

гг а

где р = —, х = —, Х0 = УЁГ-. а ’ х^ кЕк

Положим Ц = Я(р) Т(х), тогда получим радиальное уравнение Бесселя, имеющее своим решением линейную комбинацию функций Бесселя первого порядка 1 и 2-го рода:

1( ЭЯ +1 ЭЯ - я т = 1 эт = -

Я ( Эр2 р Эр р2

Т Эх

Получим уравнения:

+ X2 т =0.

ЭЯ + 1 ЭЯ - 4 + X2Я = 0.

2р2 р 2р р

Решением уравнения (12а) является:

т = с,ехр (-х2 кЕкг).

Общим решением второго уравнения (12б) будет линейная комбинация 2-х функций [6, с. 161]:

Я = Сг J\

но, учитывая, что К (о. рО " - з, при р' " 0, введем условие ограниченности решения и положим Сз = 0 :

Я = С2/1

Таким образом, радиальная деформация описывается функцией Бесселя второго рода:

Цг (г, г) = С» ехр (-хП ) / (х»

где постоянная х» находится из начальных условий, а Сп - из граничных: х» - корень уравнения / (хп) = 0;

С» Я.е

Отсюда при х = 0 получаем:

С» =

/0 (р) - ^ +2Ц(/0 (р) -

р р Як р

= Р0хБШ шх.

Р0х81П Шх

Як/0 ы[1 + 2Ц(1- р/Щ) ' ч яд р0 /0 (р0)/.

Окончательно запишем выражение для радиальных деформаций:

Ц(г, г) = О! Б1п2

Ш / ехр (- кЕк х.

г

„п 2 а2

Рн рекаН

Напряжения в хрящевом матриксе, согласно (6), можно найти:

Я. + 2ц.

1 - хп

а (хп а Я/0 (

бг

/0 (хп 2а

•Л (х» 2а

Я. + 2Цк

1 -

2а

•Л(х» 2а

/0 (хп 2а

где Щ| - мощность лазерного излучения, ш = 2к/, / - частота модуляции интенсивности лазерного излучения;

р - плотность хряща; е - удельная теплоемкость воды;

к - коэффициент гидравлической проводимости хряща; Е. - модуль Юнга;

Я. , Цк - константы Ламэ;

Я

Я

/0 (а к , / (а к - функции Бесселя;

хп - корень уравнения /1 (х») = 0.

Константы Я., Цк для коллагенового матрикса определяются согласно [4, с. 31; 5, с. 49]:

уЕ.

Цк — Ок, Як —

((1 + у)(1 - 2у)) '

Обычно Е. & О., а коэффициент Пуассона у для резиноподобных материалов равен

0,45-0,49.

Применяя разложения функций /0 (хп ), / (хп -2^) в (20) в ряд по степеням -2^, найдем:

бг

Результаты и обсуждение

Временные зависимости радиальных перемещений ткани и напряжений на расстоянии г = Я /2 представлены на рис. 1.

Согласно рисунку 1, зависимости деформаций и напряжений от времени имеют характер затухающих колебаний. Кроме того, из рисунка следует, что деформации ткани ограничены в области лазерного воздействия г = Я /2 и достигают некоторого экстремума при г = 0,0015 х0. Величина х0, согласно (11), может быть найдена из экспериментальных данных работы [7, с. 270], х0 + 103 с.

и(г, 0

а 0005

ООО]

<ШМ5 ^ 0.002

0.00’5

0.0025

Рис. 1. Временные зависимости радиальных перемещений ткани

при периодическом лазерном нагреве

Расчет деформаций и напряжений в хрящевой ткани на расстоянии г = 1,5 а показал, что при времени воздействия г = 1,5 • 10-2 х0 в ткани устанавливаются постоянные деформации, а напряжения уменьшаются.

Это соответствует экспериментально установленным значениям времени релаксации напряжений для лазерной инженерии хрящей [8, с. 204]. На рис. 2 показаны временные за-

висимости деформаций и напряжений, рассчитанных для случая периодического нагрева хрящевой пластины толщиной 2 мм лазерным пучком, диаметром а = 2 мм, мощностью 1 Вт, на расстоянии от оси пучка г = 1,5 а.

Рис. 3 демонстрирует радиальные распределения деформаций и напряжений, рассчитанных для пластины толщиной 2 мм, нагреваемой лазерным пучком диаметром а = 2 мм, мощностью 1 Вт, на расстоянии 0 < г < 1,1 а, вне пучка.

Полученные временные зависимости радиальных перемещений и напряжений качественно согласуются с экспериментальными данными, полученными для теплового воздействия импульсно-периодического лазерного излучения Ег-волоконного лазера на хрящевую ткань, в случае плоско напряженного состояния [1, с. 1684].

В данном случае отличия расчетных значений напряжений от измеренных величин гидравлического давления (рис. 2б) могут быть связаны как различием в модуле упругости ткани, который считался постоянным в расчетах, так с отличиями величины проводимости ткани, изменяющейся на порядок от исходной величины [7, с. 270].

Анализ радиальных распределений деформаций и напряжений, представленных на рис. 3, показал их заметное изменение в пределах размеров лазерного пучка, что согласуется с результатами оптоакустических измерений [1, с. 1683].

и. мм

Р, МРа

1

1

03

0

10 20 30 , с

о

10 20 30 { с

Рис. 2. Зависимости деформаций - а) и напряжений, - б) в хрящевой ткани, нагреваемой периодическим лазерным пучком диаметром 0,6 мм, мощностью 1 Вт и частотой повторения импульсов / = 0,5 Гц (1 - расчет, 2 - эксперимент).

и*1СҐ

а* 10

-1

0

2

I

0

0.5

Г

Рис. 3. Зависимости деформаций - а) и напряжений, - б) от радиального смещения вдоль хрящевой пластины, нагреваемой периодическим лазерным пучком диаметром 2 мм, мощностью 1 Вт

Заключение и выводы

Радиальные перемещения и релаксация напряжений хрящевой ткани, нагреваемой импульсно-периодическим лазерным пучком конечного размера, могут быть найдены из решения задачи неоднородного периодического нагрева слоя пористой гидратированной ткани в приближении вязкоупругой среды. Импульсно-периодический нагрев хрящевой ткани приводит к зависящей от времени релаксации напряжений.

Радиальные перемещения ткани ограничены в области теплового действия лазерного пучка, приводящего к вязкоупругой релаксации термических напряжений за конечное время.

ЛИТЕРАТУРА

1. Omelchenko A. Control of Tissue Mechanics upon the Repetitive-pulse Laser Heating of Cartilage / A. Omelchenko , V Bagratashvili, E. Sobol, A. Karabutov // Laser Physics. - 2006.

- V. 16 ; №. 12.

2. Mow VC. Sinusoidal Confined Compression Problem (ch.8). Biphasic and Quasi-linear

theories for cartilaginous tissue. In : Biomechanics of Diarthrodial Joints / VC. Mow , et al.

V 1. Ed. Mow VC. - N.Y. : Springer, 1990.

3. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц.

- М. : Наука, 1987. - Т.7.

4. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Д. Гудьер. - М. : Наука, 1979.

5. Шемякин Е. И. Введение в теорию упругости. - М. : МГУ, 1993.

6. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы : пер. с англ. - М. : Наука, 1978.

7. Омельченко А. И. Оптомеханические испытания гидратированных биологических тканей при лазерном изменении их размеров и формы / А. И. Омельченко, Э. Н. Соболь // Квантовая Электроника. - 2008. - Т. 38 ; № 3.

8. Соболь Э. Н. Лазерная инженерия хрящей / Э. Н. Соболь и [др]. ; под ред. В. Н. Багра-

ташвили, Э. Н. Соболя, А. Б. Шехтера. - М. : ФизМатЛит, 2006.