Эффективные по времени вязкоупругие модули типа Хашина–Штрикмана

УДК 539.376

Эффективные по времени вязкоупругие модули типа Хашина-Штрикмана

А.А. Светашков, Н.А. Куприянов, К.К. Манабаев

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Работа посвящена развитию метода построения приближенные решений краевые задач линейной вязкоупругости. Данный метод основан на математической общности процедур определения эффективные характеристик неоднородные упругих тел (композитов) и вязкоупругих тел, проявляющих ярко выраженную неоднородность механических свойств во времени. В механике композитные материалов широко используются эффективные модули Хашина-Штрикмана, полученные в предположении неоднородности полей напряжений и деформаций в упругом композите и являющиеся неулучшаемыми эффективными характеристиками из всех, которые могут быть найдены без учета геометрии включений. Для вязкоупругих тел вывод выражений новых эффективных линейно-вязкоупругих характеристик получен на основе применения принципа соответствия упругих и вязкоупругих задач. Предполагается, что исходная вязкоупругая среда представляет собой двухкомпонентное тело, один из компонентов которого имеет свойства, определяемые парой эффективные по времени модулей лагранжевого типа, свойства другого компонента задаются двумя эффективными модулями кастильянового типа. Из ранее установленных свойств эффективных по времени модулей лагранжевого и кастильянового типов следует выполнение неравенств, необходимых для построения вязкоупругой модели, основанной на выражениях эффективных по времени характеристик типа Хашина-Штрикмана. Используя найденные новые эффективные по времени характеристики, получено решение задачи о нагружении линейно-вязкоупругого полупространства равномерно-распределенной нагрузкой. Расчеты, проведенные для широкого диапазона изменения вязкоупругих свойств материала, дают совпадение с аналитическим решением в пределах 2-3 % для случая, когда объемное поведение упруго, и в пределах 10-15 % для общего случая задания вязкоупругого сдвигового и объемного поведения.

Ключевые слова: эффективные по времени модули, вязкоупругие операторы, ядра ползучести и релаксации, неравенства, энергетическая эквивалентность, удельная потенциальная энергия, краевые задачи, относительная погрешность

Time effective viscoelastic moduli of the Hashin-Shtrikman type

A.A. Svetashkov, N.A. Kupriyanov, and K.K. Manabaev National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

The paper centers on the development of a method for construction of approximate solutions of linear viscoelastic boundary problems. The method is based on mathematical generalization of the procedures used to determine effective characteristics of heterogeneous elastic solids (composites) and viscoelastic solids with clearly defined time inhomogeneity of mechanical properties. In mechanics of composite materials, the effective moduli on the Hashin-Shtrikman principle are much used; they are obtained on the assumption of inhomogeneous stress and strain fields in an elastic composite and are unimprovable effective characteristics among all which can be found with neglect of inclusion geometry. New linear viscoelastic expressions for viscoelastic solids are derived on the conformity principle of elastic and viscoelastic problems. It is assumed that the initial viscoelastic medium is a two-component solid in which one component displays properties determined by a pair of Lagrangian-type time effective moduli and the other displays properties specified by two Castigliano-type effective moduli. From the earlier found properties of Lagrangian- and Castigliano-type time effective moduli follows validity of inequalities necessary for construction of a viscoelastic model based on expressions for time effective characteristics of the Hashin-Shtrikman type. Using the new time effective characteristics, a solution of the uniform loading problem for a linearly viscoelastic halfspace is derived. The calculations performed in a wide range of variation in viscoelastic properties of the material agree with analytical solution to an accuracy of 2-3 % for elastic bulk behavior and to an accuracy of 10-15 % for the general case of viscoelastic shear and bulk behavior.

Keywords: time effective moduli, viscoelastic operators, creep and relaxation kernels, inequality, energy equivalence, specific potential energy, boundary-value problems, relative error

1. Введение

Особенностью постановки краевых задач линейной вязкоупругости [1-3] является необходимость учета наследственно-временных свойств компонент напря-

женно-деформированного состояния. Как следствие, напряжения, деформации и перемещения, возникающие в линейно вязкоупругом теле под действием граничных нагрузок, могут быть рассчитаны путем решения инте-

© Светашков А.А., Куприянов Н.А., Манабаев К.К., 2013

гродифференциальных систем уравнений, описывающих квазистатическое равновесие конструкции. В итоге фактическая размерность решаемой задачи увеличивается на единицу по сравнению с упругим расчетом. В общем случае мы будем иметь трехмерную решаемую краевую задачу наследственной упругости по пространственным переменным плюс зависимость решения от истории изменения нагрузок во времени за промежуток [0, {\. При численной реализации задач линейной вязкоупругости последнее обстоятельство накладывает повышенные требования к ресурсам быстродействия ЭВМ.

Одним из направлений, представляющих воздействие интегрально-наследственного оператора на историю изменения во времени некоторой функции /^), является использование приближений вида [4, 5]:

G У' =\ R

о

Здесь R(t) — функция сдвиговой релаксации, определяемая из испытаний на релаксацию путем измерения процесса затухания напряжений при постоянной деформации.

Согласно (1), результат процедуры интегрирования истории изменения / (t) на интервале [0, t] может быть приближенно представлен в виде произведения двух функций времени g(t) и f(t). Функцию g(t) можно определять различными способами. Точное равенство в соотношении (1) будет выполняться, если использовать собственные векторы и собственные значения интегрального оператора О .

Один из способов определения g(t) основан на теории эффективных по времени модулей. Согласно [3, 6], эффективные по времени характеристики можно найти из условий максимальной эквивалентности удельных потенциальных энергий искомой линейной вязкоупругой среды с определяющими уравнениями вида:

Яу 0) = 1К 0 - Т)Аву (т) = О * ву

0

о(г) = 1 к (г -т)ае(т) = к * е

и среды сравнения с определяющими уравнениями в виде закона Гука, в которых упругие константы являются некоторыми функциями времени:

Яу

Здесь g(t), к^) — функции объемной релаксации; Яу(г), ву (г) — соответственно девиаторы напряжений и деформаций; ст(0, е(t) — шаровые тензоры.

Найденные эффективные по времени модули имеют вид [3, 5, 6]:

ЯL(t) = О* kL(t) = к*

Яс(г) = (О-'ну1, кс(;) = (к~ХН)-1.

(о, г < о,

Здесь Н(г) = 11 о — ступенчатая функция Хевисайда; яL (г), kL (г), яс (г), кс (г) — соответственно эффективные по времени модули сдвига и объемного сжатия лагранжевого и кастильянового типов. Операторы О _1, К _1 взаимообратны интегральным операторам

О , К , т.е. О _1О = I, К -1 К = I, где I — единичный оператор.

Эффективные модули (4) имеют следующие свойства:

а) в моменты времени t = 0, ^ совпадают с соответствующими упруго-мгновенными и длительными модулями;

б) являются положительно определенными;

в) выражения эффективных по времени модулей не зависят от вида граничных нагрузок и способов аппроксимации материальных функций релаксации и ползучести.

2. Вывод выражений новых эффективных модулей

При выводе выражений эффективных по времени модулей типа Хашина-Штрикмана будем исходить из условия выполнения принципа соответствия или упруго-вязкоупругой аналогии.

Для упругого двухкомпонентного композита, у которого модули объемного сжатия и сдвига связаны неравенствами

к > К2, О1 > О2,

эффективные упругие характеристики Хашина-Штрик-мана имеют вид [7]:

О ' = О2 + -

У

О" = О1 +

1 + 6(К2 + 2О2)(1 -у)!

О1 - О2 5 (3К2 + 4О2)О2

1 -У

1

+ 6 (К + 2О0У

О2 - О1 5 (3К1 + 4О1)О1

,_КХК2 + 4/3(1 -У1О2 К2 + 4/3 У1О2 К1

К =

К + 4/3 О2-У1

к„ = К1Кг + 4/3 У1О1К1 + 4/3 (1 -У1)О1Кг

К1 + 4/3 О2 -У1

При этом для О', О" , К', К" предполагается выполнение «вилки» Хашина-Штрикмана:

О' < О < О", К' < К < К".

Здесь О, К — точные значения модулей упругости неоднородного упругого тела; у, у1 — удельное объемное содержание одного из компонентов.

Обоснование применимости принципа соответствия рассмотрим на примере второго соотношения из (6). Его можно переписать в виде:

1 -у

о" = О +

1+6 О2 - О1 (К + 2О1) у 5 О1 3К1 + 4О1

Умножим обе части данного равенства на произвольную функцию времени / кроме того, в знаменателе дроби произведем тождественные преобразования. Тогда

°У = Оlf + (О2 -Оl)f х 1-у

х________________1_____________

1+ 6(О2 -О1)У (К1 + 2Ох)Уу •

5 ОхУ (3К1 + 4О0У Заменим теперь упругие константы на операторы и учтем, что воздействие последних на функцию времени /'(г) имеет приближенное представление вида:

°;У = Я а О)У ({)’ К у = ка (О у (t), а = 1, 2.

В качестве пар Ка (г), Оа (г) (а = 1, 2) возьмем эффективные модули кастильянового и лагранжевого типов [3, 6]

К1(0 = кс(0> °1({) = ЯсОX

К2(г) = ^(г)’ °2</) = ЯL(t).

Можно показать, что эффективные по времени модули лагранжевого и кастильянового типов, определенные соотношениями (4), связаны между собой неравенствами

Я с а) ^ Я L а X кс

Следовательно, неравенства (5) будут выполнены.

Таким образом, выражения (6), (7) при заменах О' ^ ^ О' (г), О" ^ О"(г), К ^ К '(г), К" ^ К "(г) и равенства (8) можно назвать эффективными по времени модулями типа Хашина-Штрикмана:

° (0 = Я L(t) +

У

+

1

_______________+ 6 (kL(t) + 2gL(t))(1-Y) :

gc

G' (t) = g c(t) +

, 1 -Y

l

_+ 6 (kc(t) + 2g c(t)) Y

gL

K (t) =

kc

kc

K' (t) =

Жс 0 Ж 0) + 4 Уі Яс

Жс0) + 4 Я ь

Единственными неопределенными параметрами в соотношениях (10) остаются удельные объемные содержания компонента, свойства которого определяются парой эффективных по времени характеристик я с(г),

кс(0- _

Для определения способа задания у и у рассмотрим предельные свойства соотношений (10). Положим

kC(t) = kL(t) = K0 = const.

Тогда при gL

G\t) ^ G'(t).

В этом случае величина у принимает значение равное единице, что соответствует наличию единственного компонента, который занимает весь объем тела, со свойствами, удовлетворяющими условию gC(t) = gL(t). Поскольку эффективные по времени модули gC(t), gL(t) одинаковы для моментов времени t = 0, <», то отсюда можно сделать вывод о представлении у в виде функции времени, принимающей значения между 0 и 1 при 0 < t < «>.

В соответствии с вышеизложенным запишем функцию у(t) в виде:

у

Будем исходить из того обстоятельства, что параметр а должен представлять характеристики вязкоупругого материала. Из анализа кривых изменения во времени функций у (t) было выбрано следующее соотношение между а и tmin:

а tmin = V3,

где tmin — координата минимума функции у (t). При

заданных функциях времени gC(t), gL(t) величину tmin можно найти из решения уравнения

gC(tmin )gL (tmin ) g L(tmin) g C(tmin) = 0.

Аналогичным образом представим функцию времени Yj(t) в виде:

Yl

Анализ кривых изменения во времени функций y1 (t) дает следующее соотношение между а1 и tjnin:

а1 tmin = V6,

где tmin — координата минимума функции Y1(t).

3. Аналитическое решение задачи о нагружении вязкоупругого полупространства

3.1. Общий случай вязкоупругого поведения

Для оценки точности приближенных решений задач линейной вязкоупругости, которые можно получить на основании выражений эффективных по времени модулей Хашина-Штрикмана, определяемых с помощью соотношений (9), (10), необходимо иметь аналитическое решение краевой задачи линейной вязкоупругости. Рассмотрим задачу о нагружении вязкоупругого полупространства нагрузкой, равномерно распределенной по кругу радиуса a [1]. Усилия S на границе полупространства задаются соотношениями

S = -^4(1 -gl/2),

2па

о

gl/2

1

1 +1/2Юо

ю0 =-

,о

3K0

Здесь Р — интенсивность погонной нагрузки; К0, О0 — упруго-мгновенные модули сдвига и объемного сжатия.

Для случая, когда модуль объемной упругости не постоянен, зададим операторы вязкоупругой релаксации, описывающие объемное и сдвиговое поведение, в виде:

К X = Ко[1 -^э а(-т -А.1 )]х,

О *х = Оо[1 -ХЭ*а (-т)]х, где т = X + у; X, у, А1, у1 — параметры материальных функций релаксации, определяемые из испытаний; Э а (-в) — дробно-экспоненциальный оператор Работ-нова [8]:

Э а (-в)X = 1 Эа (-в, Т) Х(Т) dT.

о

Ядро оператора Э а (-в) задается в виде:

^

Э а (-в, г) = £-^-----------,

а «То Г[(1 + я)(1 + а)]

где в > 0, -1 < а < 0, X < в, Г[х] — гамма-функция Эйлера. Вязкоупругие операторы ползучести, обратные (13), имеют вид:

K

1x = -^[1+ А1Э а (-ml )]x,

О “1 х = — [1 + ХЭ а (-т + X)]х.

Оо

Для нахождения точного решения необходимо знать аналитическое представление оператора я*2:

Я*2 = (1 + ю*/2)-1, —* = 2°*/(3К*).

Пользуясь алгеброй дробно-экспоненциальных операторов [8], находим

я*2 х=

Постоянные aa, ^ (а =1,2) определяются с помощью соотношений:

1 , ± 4„„ , т , 4„ Х2

Г1,2

—

d d2 - 4mml + 4mxl + 4mlx2

АА1 ^

2 + —о

m -ml

—о

x0 =

2 + —

-Ai +-

' Ai -JAl.

al =

rtl

a2 =

r2 - r1 r1 - r2

Таким образом, соотношения (15), (18), (19) дают аналитическое решение поставленной задачи при задании функции x(t) равной P(t) — функции изменения во времени граничной нагрузки (в дальнейшем принимается P(t) = P0h(t), где P0 = const).

3.2. Случай отсутствия объемной релаксации

Как показывают экспериментальные исследования [9, 10], подавляющее большинство вязкоупругих материа-

лов и полимеров не обладают объемной ползучестью и релаксацией. В этом случае объемное поведение будет описываться с помощью соотношений закона Гука, а операторы сдвиговой релаксации и ползучести зададим в виде:

О* х = О (1 -ХЭХ+у) х,

G*_1 x ^ 1(1 + АЭY) x,

Э^х = 1 в т)x(т)dт.

Для случая объемной упругости —* = 2° /(3Ко), а расшифровка воздействия оператора связной ползучести А.А. Ильюшина на произвольную функцию х(г) имеет вид [11]:

Я*2 х = Т+2— [1 + ХЦЭ* ]х,

2 + —о

q = A + y-A^, ц =

—о

—0 =-

2G

, '-*-'0

2 + —0 0 3K0

4. Построение приближенных решений с эффективными по времени модулями

Методика построения приближенных решений задач наследственной теории упругости основана на замене упругих констант, входящих в аналитические представления упругих усилий и деформаций, на эффективные по времени характеристики. В соответствии с вышесказанным сделаем замены в выражении упругого усилия 5:

2Яп (0

зкп

Здесь п = 1, 2, 3, 4 принимает значения, соответствующие выбранным способам назначения эффективных по времени характеристик. Положим:

Яі(0 = Я с(t), Я 2(г) = Я ь(гX

Яг(г) = G' (г), Ял(!) = G' (г).

Аналогично определим индексацию объемных эффективных характеристик кп (г). Кроме того, зададим фойгтовские и рейссовские усреднения для эффективных по времени модулей сдвига типа Хашина-Штрик-мана, входящих в (10) [12]:

0¥(г) = рв' (г) + (1 -р)0" (г),

1 1 ,1 ч 1

-----= Р^— + (1 _Р)^—.

0К

Таким же способом зададим еще одну пару эффективных характеристик объемного сжатия:

КР(0 = рК (г) + (1 -Р1) К (г),

1 - 1 п-л 1

К* (г) р1 К (г) + ( р1) К"(г).

Здесь р и р1 — удельное объемное содержание в вязкоупругом теле материала. В общем случае р будет отлично от у (г), входящего в (10), как и р1 отлично от у1(г),

Таблица 1

81 82 8з 84 85 86

П = 20, п1 = 10 Максимальное отклонение, % 0

У1 =1 9.0 22.0 8.60 5.5 8.50 8.50

у = 0.01 У1 = 0.1 5.7 12.4 5.40 7.5 5.35 5.35

у1 = 0.001 1.7 2.3 1.69 1.4 1.68 1.68

П = 20, п1 = 20

У1 =1 8.5 34.3 12.30 10.50 11.30 11.30

у = 0.1 у1 = 0.01 1.60 6.7 1.37 1.00 1.30 1.30

у1 = 0.001 1.82 6.0 1.56 1.32 1.52 1.52

определяемого по (13). В дальнейшем примем р = у ^),

р1 = У[(0-

В целях компактного представления численных результатов придадим парам эффективных по времени характеристик ), Кр^) и ), ) индексы 5

и 6, т.е. положим:

85 (0 = СбОX к5(0 = КР(0.

8б(0 = кб0) = Кя(0-

5. Анализ численных результатов

Численные расчеты аналитического и приближенных решений для задачи о нагружении вязкоупругого полупространства равномерно распределенной нагрузкой Р(^) были проведены при следующих значениях параметров функций сдвиговой релаксации, заданных в виде экспонент X = 0.24 мин-1, у = 0.001 мин-1, =

= 120 МПа. Объемные вязкоупругие свойства задавались с помощью функции релаксации, имеющей также экспоненциальное представление с параметрами Х1 = = 0.1 мин-1, у1 = 0.001 мин-1, К0 = 360 МПа.

В дальнейшем параметры материальных функций варьировались путем изменения показателя соотношений скоростей релаксации объемных и сдвиговых свойств

V = У[/ У-

Безразмерный показатель соотношения скоростей изменялся в пределах от 1 до 100. Кроме того, варьировались показатели, отвечающие за отношения упруго-мгновенных модулей сдвига и объемного сжатия к соответ-

ствующим длительным значениям. Данные безразмерные показатели определяются соотношениями

П =

Х + у

Х1 + У1

У  У[

Значения п, П1 варьировались в пределах от 5 до 20.

В табл. 1 приведены максимальные отклонения приближенных решений (с эффективными по времени модулями 8п, кп, п = 1, 2, ..., 6) от точного при их численной реализации. Рассмотрен случай постоянной скорости сдвиговой релаксации и варьируемой скорости объемной релаксации при П=П1 = 20.

В табл. 2 представлены максимальные отклонения численных результатов приближенных решений с эффективными модулями 8п, кп, п = 1, 2, ..., 6 от аналитического при постоянной скорости объемной и варьируемой скорости сдвиговой релаксации для П=П1 = 20.

Результаты в табл. 1 и 2 получены при значениях показателей п = 20, п1 = 10,20. Как известно [3, 4], относительные отклонения приближенных от точных решений краевых задач линейной вязкоупругости пропорциональны данным показателям. Таким образом, содержание табл. 1, 2 иллюстрирует максимальные погрешности, которые могут быть получены на основе применения эффективных модулей лагранжевого и кас-тильянового типов, пары эффективных модулей типа Хашина-Штрикмана и пары усредненных по Фойгту и Рейссу эффективных характеристик.

В общем случае, когда и сдвиговые, и объемные характеристики механического поведения меняются по

Таблица 2

81 82 8з 84 85 8 6

П = 20, п1 = 20 Максимальное отклонение, %

У = 1 1.85 6.60 0.60 0.40 0.58 0.58

у = 0.1 у1 = 0.001 1.80 6.50 1.55 1.35 1.54 1.54

у = 0.01 1.60 6.00 1.54 1.24 1.53 1.53

П = 20, п1 = 20

У = 1 1.80 6.53 0.67 0.45 0.63 0.63

у = 0.1 у1 = 0.01 1.60 6.70 1.37 1.00 1.30 1.30

у = 0.001 8.40 34.60 16.70 8.10 8.10 8.10

§а(<)-

§2(1), МПа

0.64

ёМ 81(0,

g2(t), МПа

0.67

0.58

0.49

0 8з(*)>, ^), МПа- б

йт'СО 0.85- 8з(±) ^ .. ,

" :  1 -1/ 0.79- 0.73- 0.67- 0.61- И V / ///  1// 1// ^ ё4

0 0.8 1.6 2.4 3.2 1, 103 мин 0 0.8 1.6 2.4 3.2 1, Ю3мин

ё2(0 0 8з©, g4(tX МПа' 0 8а<Х>

-11  1 0.74- 0.68- / I/ 1  /' 1

-1| I 1 1 1 1 1  0.62- 1 1 1 1 1

С 40 80 1 1 1 ^ 120 160 1;, мин 0 40 80 1 1 1 ^ 120 160 1;, мин

8а(*Х ё1(0, , g2(t), МПа' 0.981- 0 ёз(0> -g4(t), МПа 0.981- 0

0.963 - \ 0.963

0.945 -0.927 -0.909  1 \ \ 810) 1 \ и2аг< А© 0.945- 0.927- 0.909-

Ш), Ш)

С 2 4 6 81;, 103 мин ( ) 2 4 6 81;, 103 мин

Рис. 1. Графики сравнения числовых результатов аналитического и приближенных решений: ga ^) — аналитическое решение, расчеты с модулями gl

Таблица 3

gl 1 1 g 2 1 gз 1 1 g 4 | 1 g 5 | g 6

Максимальное отклонение, %

П = 5 1.25 0.150 1.07 1.07 1.07 1.07

п = 10 1.60 0.153 1.37 1.40 1.37 1.37

0 2 = п 1.83 0.160 1.53 1.58 1.53 1.53

закону наследственной упругости, представляет интерес сравнение приближенных решений с точным для различных скоростей затухания процессов сдвиговой и объемной релаксации. В табл. 1 приведены результаты расчетов для фиксированных медленной и умеренной скоростей сдвиговой релаксации при изменении ско-

рости объемной релаксации на 3 порядка. Максимальная погрешность наблюдается в том случае, когда скорости объемной и сдвиговой релаксации близки по величине. Применение эффективных модулей Хашина-Штрикмана заметно уменьшает максимальные отклонения (до 50 %) приближенных от аналитического решения. Еще более тесные оценки дают расчеты на основе фойгтовского и рейссовского осреднений эффективных по времени характеристик типа Хашина-Штрик-мана.

В табл. 2 при прежних значениях показателей п, П1 приведены результаты расчетов для случая фиксированных (медленной и умеренной) скоростей объемной релаксации при варьировании скорости сдвиговой релаксации. Качественно данные расчеты подтверждают результаты, приведенные в табл. 1.

Случай отсутствия объемных упруго-наследственных свойств иллюстрирует табл. 3. Здесь расчеты, проведенные для различных значений показателя п = 5, 10, 20, дают максимальные отклонения результатов приближенных расчетов от точного примерно на порядок меньше, чем для случаев задания упруго-наследственных объемных свойств.

Анализ полученных результатов, приведенных в табл. 1-3, показывает, что: 1) новые эффективные по времени характеристики (модули типа Хашина-Штрик-мана) дают более близкие приближения к аналитическому решению (на 3-50 %) по сравнению с расчетами, проведенными на основе эффективных по времени модулей типа Лагранжа и Кастильяно; 2) еще меньшие отклонения от аналитического точного решения дают модификации эффективных характеристик типа Хаши-на-Штрикмана, полученные на основе фойгтовского и рейссовского осреднений.

В табл. 3 приведены максимальные отклонения приближенных решений с эффективными модулями ,

п = 1, 2, ..., 6 от аналитического при объемной упругости п = 5, 10, 20.

На рис. 1 даны кривые изменения во времени результатов аналитического решения ga (^ и решений, полученных на основе эффективных модулей яп (^, п = 1,2,

3, 4.

Рисунок 1 иллюстрирует временной характер и скорости сходимости приближенных решений к аналитическому в различных временных масштабах протекания релаксационных процессов в вязкоупругом теле.

На рис. 1, а-г графики соответствуют случаю преобладания объемной скорости релаксации над сдвиговой.

Противоположную картину сходимости по времени результатов приближенных расчетов к аналитическому решению дают графики на рис. 1, д-з, соответствующие случаю преобладания сдвиговой скорости релаксации над объемной.

6. Выводы

Применение новых эффективных по времени вязкоупругих модулей типа Хашина-Штрикмана в расчетах напряженно-деформированного состояния упруго-наследственных тел показало, что они дают более высокую степень точности аппроксимации линейно-вязкоупругих свойств по сравнению с эффективными характеристиками лагранжевого и кастильянового типов.

Выражения новых модулей не зависят от вида граничных нагрузок и способов аппроксимации материальных функций релаксации и ползучести.

Предлагаемые модули являются положительно определенными и в моменты времени г = 0, го совпадают с соответствующими упруго-мгновенными и длительными модулями.

Литература

1. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. - М.: Наука, 1970. - 280 с.

2. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с.

3. Светашков А.А. Прикладные задачи механики вязкоупругих материалов. - Томск: Изд-во ТПУ, 2012. - 205 с.

4. Малый В.И., Труфанов Н.А. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости анизотропных нестареющих материалов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - № 6. - С. 148-154.

5. Светашков А.А., Куприянов Н.А. Применение энергетического метода к определению эффективных по времени модулей линейной вязкоупругости // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - №2 3. - С. 6973.

6. Светашков А.А. Эффективные по времени модули линейной вязкоупругости // Механика композитных материалов. - 2000. - №2 1. -С. 96-107.

7. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

8. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977. - 383 с.

9. Гольдман А.Я. Прогнозирование деформационно-прочностных свойств полимерных и композиционных материалов. - Л.: Химия, 1988. - 272 с.

10. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. - М.: Высшая школа, 1976. - 277 с.

11. Павлов С.М., Светашков А.А. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости // Изв. вузов. Физика. - 1993. - № 4. -С.128-137.

12. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982.- 334 с.

Поступила в редакцию

_________________________ 07.11.2012 г.

Сведения об авторах

Светашков Александр Андреевич, д.ф-м.н., проф. ТПУ, svetashkov@tpu.ru Куприянов Николай Амвросьевич, к.т.н., доц. ТПУ, kupr88@gmail.com Манабаев Кайрат Камитович, асс. ТПУ, kai1985@mail.ru