Математические модели оптимального управления динамическими структурами данных

УДК 681.142.2+519.2

Е.А. АКСЕНОВА, А.В. СОКОЛОВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ ДАННЫХ

Abstract: This paper concerns issues related to building mathematical models and optimal algorithms of LIFO-stacks, FIFO and priority queues control. These models were constructed as 1, 2 and 3-dimensional random walks.

Key words: dynamic data structures, stack, FIFO-queue, priority queue, Markov chain, random walks.

Анотація: У роботі запропоновані математичні моделі та оптимальні алгоритми керування такими динамічними структурами даних, як LIFO-стеки, FIFO-черги, пріоритетні черги. Як моделі розглянуті одновимірні, двовимірні та тривимірні випадкові блукання.

Ключові слова: динамічні структури даних, стек, FIFO-черга, пріоритетна черга, ланцюг Маркова, випадкові блукання.

Аннотация: В работе предложены математические модели и оптимальные алгоритмы управления такими динамическими структурами данных, как LIFO-стеки, FIFO-очереди, приоритетные очереди. В качестве моделей рассмотрены одномерные, двумерные и трехмерные случайные блуждания.

Ключевые слова: динамические структуры данных, стек, FIFO-очередь, приоритетная очередь, цепь Маркова, случайные блуждания.

1. Вступление

Такие базовые структуры данных, как LIFO-стеки и FIFO-очереди, используются при разработке прикладного и системного обеспечения широкого класса задач. В приложениях, наиболее критичных к использованию ресурсов, алгоритмы работы с ними реализуются аппаратно. Например, при разработке стековых компьютеров [1] (или RISC-процессоров) для управления стеками в двухуровневой памяти (регистры - оперативная память) использовались специальные алгоритмы, а не универсальные алгоритмы кэш-памяти. Еще один пример - алгоритмы работы с очередями, необходимые при разработке встроенных операционных систем, управляющих потоками пакетов в Internet, таких, например, как Cisco IOS [2], где требования на время обработки пакетов маршрутизатором очень жесткие. Механизм страничной виртуальной памяти здесь не используется, и вся работа происходит в нескольких пулах оперативной памяти.

FIFO-очереди используются в компьютерных сетях, операционных системах, графических системах, устройствах промышленной автоматики. Ряд фирм выпускает микросхемы, реализующие работу с несколькими параллельными FIFO-очередями на одном кристалле. Число очередей и длина каждой очереди устанавливаются программным путем на этапе инициализации устройства.

В некоторых приложениях, например, в системах моделирования, в сетевых маршрутизаторах, в операционных системах для организации работы с несколькими процессами применяются очереди с приоритетами, в которых основными операциями являются операция включения элемента с заданным приоритетом (ключом) и операция получения и удаления элемента с наивысшим приоритетом. Для представления приоритетных очередей можно применять упорядоченные и неупорядоченные списки и массивы или специальные структуры данных, в которых организован поиск по ключу (приоритету).

В данной работе рассмотрим представление очереди по приоритетам в виде нескольких FIFO-очередей. Преимуществом такого способа представления является то, что при этом не требуется хранить в памяти ключи (приоритеты), так как приоритет определяется просто номером FIFO-очереди. Но возникает проблема оптимального разбиения памяти между FIFO-очередями.

© Аксенова Е.А., Соколов А.В., 2009

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 1

Здесь предложены математические модели и оптимальные алгоритмы управления такими динамическими структурами данных, как ЫРО-стеки, Р!РО-очереди, приоритетные очереди. Рассматривались последовательный, связный и страничный способы представления двух, трех и четырех стеков и двух и трех очередей в памяти одного уровня, а также одного, двух и трех стеков в двухуровневой памяти.

2. Оптимальное управление одним стеком в двухуровневой памяти

Пусть мы работаем со стеком, значительно превосходящим выделенный для него участок быстрой памяти размера т . В этом случае в быстрой памяти всегда хранится вершина стека, а остальная часть находится в памяти второго уровня. Ставится задача определить, как производить перераспределение стека между уровнями памяти, чтобы минимизировать средние временные затраты. Под перераспределением будем понимать перепись х0+1 верхних элементов стека с памяти второго уровня в быструю память, если быстрая память стала пустой (теперь, после исключения элемента, в быстрой памяти будет х0 элементов), или выталкивание т — х0 +1

элементов на второй уровень и, возможно, перепись х0 — 1 верхних элементов стека в начало быстрой памяти, если произошло ее переполнение (теперь, после включения нового элемента в стек, в быстрой памяти станет х0 элементов).

В качестве математической модели процесса рассмотрим случайное блуждание на состояниях х0 —1,0,1,..., х,...,т — 1,т,т +1, где х - число верхних элементов стека в быстрой

памяти. Будем считать, что вероятность перехода из состояния х в х +1 (увеличение длины стека на единицу в результате включения нового элемента) равна р , а из х в х — 1 (уменьшение длины стека на единицу в результате исключения одного элемента) равна q = 1 — р. Блуждание начинается в состоянии х0 , а перераспределение происходит в состояниях —1 и т +1.

Попадание в состояние —1 означает, что вершина стека стала пустой и нужно обратиться к верхнему элементу стека в памяти второго уровня, а попадание в состояние т +1 означает, что после заполнения быстрой памяти мы должны включить еще один элемент в стек. Нашей целью является определение такого состояния х0 (1 < х0 < т), в которое происходит переход после

перераспределения памяти, чтобы оно доставляло оптимальное значение соответствующей функции критерию. Если не учитывать стоимость обменов, то нашей целью является минимизация среднего числа обращений к памяти второго уровня. Следовательно, необходимо найти такое х0,

которое максимизирует математическое ожидание времени работы до перераспределения памяти при условии, что процесс начинается в этом состоянии.

Заметим, что наша модель сводится к задаче о разорении игрока [3], если общий капитал игроков равен т + 2 , а капитал первого игрока равен х0 +1. Тогда поглощение в состоянии т +1

эквивалентно выигрышу первого игрока, а в — 1 - его разорению.

Показано, что оптимальное значение вершины стека выражается по следующей формуле:

т

х0 = —, если р = q = 1/2,

р

1 »Л1/ ' И / *-/И

х0 = 1о§ ---------1 ^—;—-, если р ф д.

Также рассмотрена задача определения оптимального значения х0 с учетом затрат на

перераспределение стека [4]. Некоторые специалисты [5] считают, что модель классического случайного блуждания недостаточно точно описывает поведение стеков, а более адекватной была бы модель, в которой вероятность следующей операции со стеком зависит от того, какая операция была предыдущей.

Рассмотрим состояние процесса после очередного переполнения или опустошения вершины стека (при этом предполагаем, что в памяти второго уровня остается невершинная часть стека, то есть это опустошение не последнее), когда в быстрой памяти остается х0 верхних

элементов стека так, что процесс начинается из состояния х0 .

Пусть в начальный момент времени вершина стека с некоторыми вероятностями может перейти вправо или влево. Затем вероятности переходов изменяются следующим образом: если мы перешли в состояние х0 —1 , то возвращаемся в состояние х0 с вероятностью р1 и переходим

в состояние х0 — 2 с вероятностью 1— р1, а если перешли в состояние х0 +1 , то возвращаемся в

состояние х0 с вероятностью р2 и переходим в состояние х0 + 2 с вероятностью 1— р2. То есть

параметры р1 и р2 определяют вероятность возвращения в то состояние, из которого мы перешли в заданное, в зависимости от того, произошло исключение или включение элемента.

Заметим, что в случае р1 = р2 = р вероятность вернуться не зависит от операции, которая произошла со стеком, а в случае р1 = р2 =1/2 имеем классическое симметричное случайное блуждание. Задача оптимального управления вершиной стека в рамках этой модели решалась в [6].

3. Оптимальное управление двумя стеками

Пусть в памяти объема т расположены два стека, растущие навстречу друг другу. В этом случае место их встречи можно рассматривать как случайную величину. Пусть известно, что на каждом шаге с вероятностью р может произойти исключение элемента из одного из стеков и с

вероятностью 1 — р может произойти включение информации в один из стеков. Обозначим через М(т,р) математическое ожидание случайной величины шах(к^к2), где кх и к2 - длины стеков при встрече. Д. Кнут [7] поставил задачу разработать математическую модель этого процесса и установить вид функции М (т, р).

В работах [8-11] была построена математическая модель процесса в виде двумерного случайного блуждания в треугольной области с двумя отражающими экранами и одним поглощающим экраном. Рассмотрим обобщение этой задачи.

Пусть в памяти объема т расположены два стека, растущие навстречу друг другу и превосходящие объем быстрой памяти. В этом случае в быстрой памяти хранятся только вершины обоих стеков, а остальные части - в памяти второго уровня. Если же вершина одного из стеков стала пустой или стеки заполнили всю быструю память, происходит перераспределение стеков и обмен с памятью второго уровня. Наша задача - минимизировать среднее число перераспределений памяти, то есть максимизировать среднее время работы до перераспределения памяти. Будем считать, что при перераспределении мы всегда приходим к некоторому заданному состоянию памяти, после чего начинается следующий этап работы.

Обозначим через х1 текущую длину первого стека, а через х2 - второго. Тогда в качестве

математической модели процесса имеем случайное блуждание по целочисленной решетке в

области х1 > 0, х2 > 0, х1 + х2 < т с вероятностями из точки с координатами (х1,х2) : д1 -

сдвинуться влево, р1 - вправо, д2 - вниз, р2 - вверх. Цель - определить такое состояние

(х10, х20) , при котором среднее время блуждания до поглощения на прямой х1 + х2 = т +1 и на

прямых х1 = —1, х2 = —1 было максимальным при условии, что процесс начинается в состоянии

(х10,х20). Также рассматривалась задача оптимального управления двумя параллельными стеками в двухуровневой памяти [12]. Предполагалось, что вершины двух стеков растут навстречу друг другу в быстрой памяти, к которой разрешен доступ нескольких параллельных процессоров.

4. Оптимальное управление тремя стеками

Пусть в памяти объема т единиц расположены три стека. Двум стекам, растущим навстречу друг другу, отведено 5 единиц памяти, а третьему стеку т — 5 единиц. Обозначим через х1, х2, х3 текущие длины стеков. В этом случае в качестве модели имеем трехмерное случайное блуждание в треугольной призме с тремя отражающими экранами х1 = —1 , х2 = —1, х3 = —1 и двумя

поглощающими экранами х1 + х2 = 5 +1, х3 = т — 5 +1. Задача определения оптимального

начального распределения памяти заключается в определении значения 5 и установлении нумерации стеков (т.е. определении стека, размещаемого отдельно от пары других) так, чтобы максимизировать среднее время блуждания внутри призмы до поглощения на ее границе при условии, что процесс блуждания начинается в начале координат.

Построены математические модели метода работы со стеками в случае, если два стека растут навстречу друг другу с концов памяти, а третий стек растет навстречу им обоим одновременно, начиная с некоторой средней точки в случае связного и страничного представления трех стеков, а также математическая модель и алгоритм оптимального управления тремя стеками в двухуровневой памяти в случае, если два стека растут навстречу друг другу, а третий расположен отдельно.

5. Оптимальное управление FIFO-очередями

Предложены математические модели и алгоритмы оптимального управления двумя и тремя последовательными циклическими FIFO-очередями в памяти одного уровня, когда в качестве критерия оптимальности выбрано среднее время до переполнения памяти, и если целью оптимизации является минимизация доли потерянных элементов (пакетов) на бесконечном времени, а также математические модели, предназначенные для анализа связного и страничного методов управления двумя и тремя FIFO-очередями в памяти одного уровня [13].

Нами был предложен новый метод реализации работы с несколькими последовательными циклическими FIFO-очередями, когда очереди двигаются по кругу друг за другом. В этом методе память заранее не делится между очередями, а очереди двигаются по кругу друг за другом, начиная с некоторого начального места в памяти. В этом случае, если одна из очередей стала пустой, то вторая может занимать всю доступную область памяти, пока не догонит сама себя. Если же оживет вторая очередь, то ее можно пустить с середины свободного участка или с некоторой оптимальной точки, которая зависит от вероятностных характеристик очередей.

Заметим, что два стека, направленные навстречу друг другу, это заведомо лучший метод в сравнении с раздельным хранением стеков. В случае же очередей, например, Д. Кнут считал [7], что эффективно работать в общей памяти с двумя последовательными очередями нельзя. Но, видимо, он не рассматривал возможности того, что две очереди могут двигаться по кругу одна за другой. Анализ этого метода представления для двух очередей производился с помощью разработанной имитационной модели.

6. Выводы

В статье предложена математическая модель метода представления приоритетной очереди в виде нескольких FIFO-очередей. Решается задача оптимального управления приоритетными очередями для случая двух очередей.

Математические модели представлены в виде случайных блужданий по целочисленным решеткам в различных областях. Разработаны алгоритмы нумерации состояний и алгоритмы построения соответствующих поглощающих или регулярных цепей Маркова и вычисления значения критерия оптимальности для связного и страничного представлений и нахождения оптимального разбиения памяти для последовательных представлений. Доказаны теоремы, устанавливающие вид необходимых матриц. Обсуждаются результаты численных экспериментов с разработанными программами. Работа поддержана грантом РФФИ № 06-01-00303.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Koopman P. Stack Computers. - Ellis Horwood, 1989. - 232 p.

URL:http://www.ece.cmu.edu/~koopman/stack computers/index.html.

2. Боллапрагада В. и др. Структура операционной системы Cisco IOS / В. Боллапрагада, К. Мэрфи, Р. Уайт. -Вильямс, 2002. - 197 c.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1964. - 498 p.

4. Соколов А.В. Математические модели и алгоритмы оптимального управления динамическими структурами данных. - Петрозаводск: Изд-во ПГУ, 2002. - 215 c.

5. Ertl Anton M. Stack caching for interpreters // SIGPLAN'95 Conf. Program. Lang. Des. and Implem. (PLDI). - 1995.

- June. - P. 315 - 327.

6. Аксенова Е.А. и др. Исследование немарковской модели управления стеком в двухуровневой памяти / Е.А. Аксенова, А.А. Лазутина, А.В. Соколов // Программирование. - 2004. - № 1. - С. 1 - 10.

7. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. - М.: Мир, 1976. - Т. 1. - 712 с.

8. Соколов А.В. О распределении памяти для двух стеков // Автоматизация эксперимента и обработки данных.

- Петрозаводск: Изд-во Карельского филиала АН СССР, 1980. - С. 65 - 71.

9. Yao A.C. An analysis of a memory allocation scheme for implementating stacks // SIAM J. Computing. - 1981. -

N 10. - P. 398 - 403.

10. Flajolet P. The evolution of two stacks in bounded space and random walks in a triangle // Lec. Notes Computer

Sci. - 1986. - Vol. 223. - P. 325 - 340.

11. Random walks, heat equation and distributed Algorithms / G. Louchard, R. Schott, M. Tolley et al. // J. Comput. Appl. Math. - 1994. - N 53. - P. 243 - 274.

12. Аксенова Е.А., Соколов А.В. Оптимальное управление двумя параллельными стеками // Дискретная математика. - 2007. - №1. - С. 67 - 75.

13. Аксенова Е.А., Соколов А.В. Некоторые задачи оптимального управления FIFO-очередями // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Методы и средства обработки информации". - М.: Изд. отдел ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005. - С. 318 - 322.

Стаття надійшла до редакції 23.09.2008