Формирование математической модели механизма привода утюга на базе удельных действий

Выводы

На основе преобразованного уравнения Лагранжа второго рода (в данное уравнение введены выражения: кинетической и потенциальной энергии, вычисленные через обобщенные координаты; силы трения) получено уравнение движения механизма привода утюга, выраженное через операторов передачи движения.

Литература

1. Горский Б.Е. Динамическое совершенствование механических систем. - Киев: Техника, 1987. - 200 с.

2. Крысин А.Г., Ширшиков А.М. Математическая модель оптимизации механизма привода утюга упаковочной машины по удельным действиям // Интенсификация процессов, оборудования и управления пищевых производств: межвуз. сб. науч. тр. - Л.: Изд-во ЛТИХП, 1991, - С. 65-72.

3. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. - М.: Наука, 1975, - 639 с.

4. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин: учеб. пособие для вузов. - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1990. - 592 с.

5. Гусев Б.К., Ширшиков А.М. Разработка принципа удельных действий применительно к совершенствованию торгово-технологического оборудования: моногр. - Красноярск, 2011. - 134 с.

---------♦'----------

УДК 648.4:621.01.001 Б.К. Гусев, В.В. Пеленко, А.М. Ширшиков

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИЗМА ПРИВОДА УТЮГА НА БАЗЕ УДЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИЙ

Раннее было сформировано уравнение движения механизма привода утюга, выраженное посредством операторов передачи движения. Но для решения поставленной задачи по определению путей совершенствования торгово-технологического оборудования этого мало. Необходимо построить математическую модель рассматриваемого механизма, не только на базе операторов передачи движения, но и на базе удельных действий. При этом необходимо учитывать полезные затраты в механических средах.

Ключевые слова: математическая и физическая модель, удельное действие, выражение принуждения, крутящий момент, энергия ускорений, количество движения, оптимизация.

B.K. Gusev, V.V. Pelenko, A.M. Shirshikov MATHEMATICAL MODEL FORMATION OF THE IRON DRIVING MECHANISM ON THE BASIS OF SPECIFIC ACTIONS

The equation of iron driving mechanism motion expressed in terms of transferring motion operators was formulated earlier. However, it is not sufficient for solving the problem of defining trade-related and technological equipment improvement methods. It is necessary to create the mathematical model of the considered mechanism not only based on transferring motion operators, but also on the basis of specific actions. In addition, effective outlays in mechanical environments must be also considered.

Key words: mathematical and physical model, specific action, expression for forcing, torque moment, acceleration energy, momentum, optimization.

Расфасовочно-упаковочное оборудование следует отнести к классу машин, предназначенных для преодоления технологических сопротивлений при перемещении рабочего органа с требуемой скоростью [3].

Функцией цели такого класса машин является совершение механической работы силой тЖ на перемещение 8 . При этом ключевым удельным действием принимается удельное действие по Кориолису-Понселе, которое оценивает затраты механической работы при перемещении рабочего органа с заданной скоростью.

Для осуществления динамического анализа необходимо вычислить все удельные действия [2], которые определяют затраты механических средств. При этом необходимо осуществить разбивку рассматриваемого механизма по его узлам, а именно: привод, кулачок, коромысло, тяга, цепь, звездочка, утюг и пружина. Приоритетом при оценке закономерностей изменения удельных действий будет являться ключевое удельное действию по Кориолису-Понселе [1, 4]. Проведем формирование функций принуждения следующих удельных действий.

Удельное действие по Гауссу

Данное удельное действие оценивает конструкции связей (шарниров, стержней), структуру и износостойкость механической системы.

При определении величины данного удельного действия КГс в качестве подынтегральной функции

используется функция принуждения механизма привода утюга

2= 1

где Zi - функция принуждения рассматриваемого ко звена.

Сформируем выражения принуждения для всех звеньев механизма.

Представим систему, состоящую из ротора электродвигателя и шкива, насаженного на вал ротора, в

-, а масса, приходящаяся на единицу

виде однородного диска (рис.1). Радиус диска равен 1{срр=-

площади, равна /л.

тр+тш

Рис. 1. Схема для определения функции принуждения однородного диска Для данного условного диска элементарное принуждение равно [2]

2

1

где Ж - действительное ускорение произвольной точки диска, м/с2;

Ж * - воображаемое по Гауссу ускорение произвольной точки диска, м/с2;

. <Лг „

<3т = /иг— - масса элементарной части диска, кг. ёр

Воображаемое ускорение произвольной точки тела по Г ауссу представляет собой такое ускорение, которое имела бы точку, двигаясь под действием тех же активных сил, если бы с этого момента были установлены наложенные на нее связи [2].

Действительное ускорение произвольной точки диска

-п*

Ж = Ж +Ж ,

где Ж" =ар2г,ЖТ = ерг - нормальная и тангенциальная составляющие ускорения, м/с2. Воображаемое по Гауссу ускорение произвольной точки диска

ц^* = ^ + ж"\жт\

где g - ускорение свободного падения, м/с2 ;

]¥п* = сор2г,Жг* =——г - нормальная и тангенциальная составляющие воображаемого уско-^ р

рения, м/с2 ;

Мкр - крутящий момент на валу электродвигателя, Нм;

.1Р - момент инерции ротора, кгм2.

Произведя соответствующие преобразования, получим выражение функции принуждения привода:

1,85, ч , , РР Jг.

2*,=1>85 |йЕ = -^-

где 1,85 - коэффициент, учитывающий принуждение передаточных механизмов (от электродвигателя до приводной звездочки, расположенной на валу кулачка).

Принимая во внимание рассуждения, приведенные для привода, функциюпринуждения кулачка можно записать в виде

п 2 ґ-^кркул \ 2

1 ср.куж ''Г КУЛ'

I , к ч , 9 и

2‘кул =^(ткуЛ+тзеК +тступ){82 +------------------------------------------------К

где т , тзе, ^ - масса кулачка, приводной звездочки и ступицы, на которую насажены кула-

чок и звездочка соответственно, кг;

Д„„.,.„=^#и+Д~,г+Д.

ср. куя

ступ _

- средний радиус,

М - крутящий момент на валу кулачка, Нм;

^ - момент инерции кулачка, кгм2 .

Используя данную методику, определим функции принуждения для всех узлов, входящих в машину. Для механизма коромысла, исходя из условия о том, что механизм коромысла принимаем за однородный прямолинейный тонкий стержень, (схема для вычисления его принуждения приведена на рис. 2), функция принуждения коромысла (после соответствующих преобразований) будет иметь вид:

1

Да

1 Д2а

2,™ +(^)4 V7/ +т(:17^)2/я-2sшa + g^—lкcosa).

с!2а

2

СІІ

З сіі

йі

йі

Для определения функции принуждения тяги (механизм которого рассматриваем так же, как прямолинейный тонкий стержень с центром масс в точке £ (рис. 3)), вычислим действительное ускорение произ-

вольной точки тяги. На основании этого, произведя необходимые преобразования, получим функцию принуждения тяги.

гу 1 ( 2 Мсс 4 / 2 ,<3 ОС 2 7 2 ((Л/3 4 2, 2 0 \2 1

2г =-даг{^ +(-7-) 4 +(-^г) +(-7-) Л- 1т ~2§(—) /«вшог-

2 Л с/г Л с/1

2^

^-^-1 сова—2g((Щ-j11ТЛт вт р -2{^-)21к{Щ-)21т1т со$>(Р-а) +

&

&

, б/2а 7 Мр

\м2р.

&

+ 2:Ц1/К(—)%/Т зт(/?-«) + +-(—^)2/г2 +g:L-^гlт соз/?-(—х

Л

с12р

,<1а

&

&

3 Ж

&

&

(12р (12а (12р

х——1Т $>т(р-а)——/к —^г1Т со$>{р-а)}.

&

сИ 2 к сИ 2 т

Рис. 3. Схема для определения функции принуждения тяги

Принуждение цепи складывается из принуждения трех участков цепи: участок присоединения к тяге, участок цепи, расположенный на звездочке, и участок присоединения к утюгу (рис. 4).

X = Ъ Т + Ъ ЧК+Ъ Л,.

ц цТ 14ЗВ цУ

Рассматривая цепь, присоединенную к тяге, как ее продолжение, получим принуждение этого участка

цепи:

1 К

ЪцТ =-т I(^{g2 +— )4/,2 +(^-?)2/,2 + А4(/г +А11т!,1т)2 +(^-4)2[/г(/г +/!(Г) +

"г 2 ' Л Л2 Ж 11 Ж2 '

Л2 к £/ег

1,9, „ <^й;Ч9, . „ <^аЧ9, . „ £/“« , „ , . ч . „

+ -/„г_] - 2§(—У}к эт ог + 2g{——Yl эт « + 2g—-lк со$,сс-2g{—Y {1Т +1цТЛцТ)$,т Р -

3 ~ ' Ж к Ж Л- ж

. ч , Лт+1т]

а - к л т цТ

с1ал21 Лрл2п 1 0 7 ч_//? , ^2« 7 ,

л’-’"”'' ’ ° ; -^;г -

2(—)_/ (-№ +Лцт1цт)с05(р-а) + 2^^1к(—у(1т +АцТ1цтЪт(Р-сс) +

„ „ 9 с12 В

+ 2g:—^lcosP + +g:—^lцT со$р-2(:—У1к:—^1т этС р - а) - {:—)21 / —х

</2/?

сГр

Л'

с!а 2 с/2р

с! а &

2

• / « ч ^^2а 1 с12р. , с12сс, (Л2р 1 (п

х$т(р-а)-2—г1к—г1т соъ(р-а)------—1к—^1цТ соэСР~а)}.

Рис. 4. Схема для определения силы, действующей на звездочку

Определив крутящий момент на звездочке, произведя при этом соответствующие преобразования, определим принуждение участка цепи, находящегося на звездочке (рассматриваем его как часть обруча (рис. 5)). Значение функции принуждение этого участка цепи будет иметь вид

4*К„

=^-р{*5+Д»:

" / I/

ж

где 1цзв = —Язв - длина цепи, находящейся на звездочке, м;

2

М - крутящий момент на звездочке, Нм;

цзв

- момент инерции цепи за звездочке, кгм2; угловое ускорение звездочки, С ".

Принуждение участка цепи, присоединенного к утюгу,

ЧУ

Подставив формулы (10) в (11) получим выражение принуждения всей цепи. Принуждение звездочки вычисляется по формуле (1).

І 9 1 2 М 9

2,2=-іи,.{*2+-Л,.2(-Іе=-02Ь

2

2

Л

где тзв - масса звездочки, кг;

- момент инерции звездочки, кгм2.

Принуждения утюга и пружины вычисляются также по формуле (1).

(12Н„ сі2Н,

і

й2 Н

пруж

1 Ы

= ±т (<Т2+'?Р-_______с- + (.

2 тгРУж + лг +<

пруж ч 2

ІІ

2

)2,

где т , тйДЖ - масса утюга и пружин соответственно, кг;

і2 Н

пруж

СІГ

ускорение пружины, м/с2.

Рис. 5. Схема для определения функции принуждения участка цепи, расположенного на звездочке

Подставляя формулы (5)-(11) в формулу (1), получаем функцию принуждения системы, которая является только функцией времени I. Проинтегрировав данную функцию по времени, получаем величину удельного действия по Гауссу КГс.

Удельное действие по Аппелю

Удельное действие по Аппелю КА оценивает действие сил инерции, т.е. характеризует напряженность динамического режима системы. В качестве подынтегральной функции используем функцию энергии ускорений V механизма (рис. 6).

у=Т}7<

г= 1

1 2

где - энергия ускорении /'-го звена.

Энергия ускорений привода, кулачка, коромысла, участка цепи, расположенного на звездочке, и звездочки вычисляется по формуле

^Ф!+Ф4;

где ] 1 - момент инерции рассматриваемого звена механизма, кгм;

<*£ -1 -2 —^- угловая скорость и ускорение этого звена, с , с .

ёг ёг

Энергия ускорения тяги и участка цепи, присоединенного к тяге, вычисляется по формуле

1

где щ, Ji - масса и момент инерции рассматриваемого звена, кг и кгм;

^ - ускорение центра масс этого звена, м/с2.

Энергия ускорений участка цепи, присоединенного к утюгу, утюга и пружины вычисляются по формуле

т/ 1

Уі =-ті

2

{ сі1 Н , '

. Ж2 \

т

где т - масса рассматриваемого звена, кг.

Подставив в характеристики звеньев механизма соответствующие выражения и произведя преобразования, получим выражения энергии ускорений соответствующих механизмов звеньев: для привода

=

ап \г,

пр - ап ^р + 0>р ^

для кулачка

для коромысла

к°р 2~кор(К~ёё

2

іг 1 / г/ 2 ґ . 2 ґСІОС, 4^ 1 , 2 //^\2 / (Л/З \ 4 ^ п

^=-(уяг /к {Нг) +(-!-) Н-^г {(-^) + Нг)} -

2 Ж Ж Л Ж Ж

2 2 2 7 7 /л ч гАч2г^ч2 ^ /л чп <1 а Л В. ,іп1

длятяги -/ЛсовОЯ-аОххК—) {

Ж Ж Ж Ж Ж

-ф'-tg(P-a)}) + JI{£^f +ф‘У,

Ж ж ж

для цепи

тл ^ Ґ ^ /7 /7 ^\2 >N4 ^ /7 7 \2 г/^ А\2 ґ^Р\4~і

V =-{т —(1Т(1 {(——У +(-------------) +-(/г+/г) хГ(—^-) +(—) 1ч 2г 4 I 4---------------Ж к ж’ 4 чг; -1

ц

гёа 2 ёр ёр ё2а ё2р

~1Л1т +^г)С08

Ж Ж) Ж ж ж

-A1lg(fi-aЩ) + J(S2+w*)У, ж

для звездочки

для утюга

для пружины

^,=^„

1 Л2Ни ,

К,-»,

і Жн

Ушж=-мшж{-^Р-)2.

Подставив формулы (21)—(25) в формулу (15), получим функцию энергии ускорений механизма, а затем и удельное действие по Аппелю.

Удельное действие по Лагранжу

Удельное действие по Лагранжу определяет затраты кинетической энергии-времени, действие масс элементов системы, взвешенное по квадратам их скоростей. В качестве подынтегральной функции используется кинетическая энергия Т механизма.

Удельное действие по Эйлеру

Удельное действие по Эйлеру Кэ оценивает затраты потенциальной энергии-времени. В качестве подынтегральной функции принимается модуль приращения потенциальной энергии |ДЯ|, величина которой для отдельных звеньев вычисляется по известным формулам.

Удельное действие по Буридану

В качестве подынтегральной функции принимается удельное действие по Буридану КБ. Используя модуль обобщенной силы |^|, возможно оценить затраты импульса сил.

Удельное действие по Кориолису-Понселе

Удельное действие по Кориолису-Понселе рассчитывается на основе модуля произведения обобщенной силы и скорости, т.е. мощности |^|, и оценивает затраты механической работы.

Удельное действие по импульсу Ким

Данное удельное действие оценивает затраты импульса сил сопротивления и инерции, приведенные к электродвигателю. Подынтегральной функцией является модуль приведенного к оси электродвигателя

момента действующих в системе сил сопротивления и инерции \МШИВ |.

Под приведенным моментом понимаем момент приведенной пары сил сопротивления и инерции, условно приложенной к валу ротора электродвигателя (звено приведения). Величина этого момента определяется из условия: мощность пары равна сумме мощностей сил и пар сил, приложенных к звеньям механизма [1]:

М р =М р +М р +М / +МТР +М р +М р +М р +М р +М р.

грив пр кул кф Т ц зв у пруж гпр

Выражения моментов сил сопротивления и инерции звеньев, приведенных к ротору, имеет вид: для привода

dtp d2(PP ~dt .

для кулачка

\ jf Р т

пр =_ * dt2 dcp/ dt

dtp

p — ( t d cp / і dt

Mкуп = ~{Jкуп —Г - РкупКЦТ.куп COS(<Р + Гі)}

d(pp

dt

для коромысла

Мкор =-{Jкор^г-РкорРцт.кор cos(a + r2)}

da

dt

d<Pp

dt

для тяги

ЛЖ p Г T d2р d(3 da 1 dp dtp

MT =-{mTaT +JT—г------rT(lv cos«------h—Lcosp—)}/—-

T T T T dt2 dt dt 2 dt dt

для цепи

m„

d2 H dH„

d2P dp

M p -M / +M P+M p - та т + H " ~~4 "~4) + J T^-— +

Ц ЦТ цзв цу \ j цТ цТ ц ^2 ^ ' ЦТ ^2

dt dt

Р„ 1 ? dB dH и dtp п

+fx{2^T °^а~^Г{1цТ ~Hn)}i—

для звездочки

dt

MJ =-JA

dt

для утюга

ЛИ ц

р _ ^ Нп . р \ сН .

с!Г у Л <рр

М/ =-

&

для пружины

&Н пруж

м р =-

1У1 ПРУЖ \"'гт'ж т.т пвуж пруж ~ 1 тл'ж ) / „ ’

р =-(т ^ ^ _}_р ,----

' ПРУЖ V пруж 2 пруж пруж ^ пруж / (_^(р

&

для трения

МТ/ =-К

где

— — (Л2 а с!а 2 1 ёа с1р

ат = Ухг1¥хг = ——/к“+- ——/к/гвт(^-а)х с!Г сШ 2 Л Л

сі2 Р с12а

х ((_ _ + +(^— + ^—)спя{р - а)} + - =-^~ =?-1,

сН сН ) с!р с! а 4 с1г А ‘

& &

торов скорости и ускорения центра масс тяги 8Т (рис. 6);

- скалярное произведение век-

2

— — сі2асіа7п <ір /7 1, 1 , п ч

а = I Л,„ Ж>:ии = — — + —(/, +-/,,т )!—/, йшС/? - а) х

Лг Ж Ж 2 Ж

/2 о ^2

/ЯП /Я

Р а - скалярное произведение

й<х ЛР, , г Ж2 , ^.0 „м , , 1

X [(— —Т-) + <гЪг + - а)] + “ГГ & + Л )}

(к (к сф_ с1сс_ ж2 2

& &

векторов скорости и ускорения центра масс цепи, присоединенной к тяге;

К - коэффициент, учитывающий трение (значения приведены ниже).

Рис. 6. Схема для определения скалярного произведения векторов скорости и ускорения тяги

Удельное действие по Виттенбауэру

В качестве подынтегральной функции в выражении удельного действия по Виттенбауэру используется произведение модуля приведенного момента (сил сопротивления и инерции) на скорость вращения вала ротора электродвигателя. Данное удельное действие оценивает затраты работы сил сопротивления и инерции.

Удельное действие по Декарту

Данное удельное действие оценивает затраты количества движения-времени звеньев (механизм привода утюга) и его можно представить в виде двух интегралов. В качестве подынтегральной функции первого интеграла берется сумма модулей количества движения звеньев, входящих в механизм. Выражение для определения количества движения будет иметь вид:

для кулачка

кул кул

<1(р

&

Я

цТкул '

для коромысла

кор кор

сіа

&

-Я

цТкор '

для тяги

для цепи

т„

7й .

Кц =^{1цТУ8цч +-8ІП (/?-«)_ + #,

&

&

для утюга

с1Ну

к>=т>^г-

для пружины

где Г5Г = тяги, м/с;

с1НПруЖ

сіі

пруж пруж

у

/2 1

їк н—

* 4

^Р V 2 &р

\йі )

1Т — —1Т со$ф-а - скорость центра масс 8Т

& & "

У5цц +^)2^ + 21цт)2 ~2^1кЛ{1т + 21чт)СО<Р~а) -СКОрОСТЬ центра

масс 8ЦГ цепи, присоединенной к тяге, м/с.

Подынтегральной функцией второго интеграла является сумма моментов (по модулю) количества движения звеньев. Моменты количества движений будут иметь вид:

ц

для привода

для кулачка

для коромысла

для тяги

I =J ^PjL-

Snn np dt ’

L =J ^

Sxxy кул ^ ’

da

Skko кор ’

L -jW.

J^ST T . ’

at

для цепи

^sii Lstm +LStn3 J цТ

dp_

dt

ty36 36 ;

для звездочки

LSss J зеРз

Выводы

В границах математической модели оптимизации динамики механического привода удалось сформировать систему математических моделей и алгоритмы вычисления удельных действий. В результате появилась возможность проводить не только качественный и количественный анализ уровня совершенства механизма, но и осуществлять синтез аналогов имеющих более качественные характеристики.

Литература

1. Артоболевский И.И. Теория машин и механизмов. - М.: Наука, 1975. - 639 с.

2. Горский Б.Е. Динамическое совершенствование механических систем. - Киев: Техника, 1987. - 200 с.

3. Горский Б.Е., Гохлернер Л.С. Выбор ключевого критерия оптимизации механических систем // Изв. вузов. Стр-во и архитектура. - 1987. - №2. - С. 109-112.

4. Гусев Б.К., Ширшиков А.М. Разработка принципа удельных действий применительно к совершенствованию торгово-технологического оборудования: моногр. - Красноярск, 2011. - 134 с.

--------♦'-----------