Решение дифференциального уравнения для определения инвестиционных приоритетов

УДК 638.354.8

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРИОРИТЕТОВ

В.Н. Колпачев, А.Н. Овсянникова

В статье рассматривается модель для определения инвестиционных приоритетов диверсифицированной компании с учетом изменения структуры производственных мощностей с целью перелива ресурсов предприятия в наиболее перспективные сферы

Ключевые слова: инвестиция, предприятие, приоритет, уравнение

При анализе деятельности диверсифицированной компании большое внимание уделяется сопоставлению уровней рентабельности, эффективности различных видов производимой продукции. Результаты такого сравнения дают основу для принятия решений об избавлении от убыточных или низкорентабельных сфер деятельности и расширении высокодоходных направлений. Подобная реорганизация требует определения инвестиционных приоритетов, изменения структуры производственных мощностей с целью перелива ресурсов предприятия в наиболее перспективные сферы.

При построении моделей в условиях неполной информации будем рассматривать принцип наилучшего ожидаемого результата. В этом случае предполагается задание вероятностной меры на допустимой области параметров [1,2].

Производственный процесс рассматривается в общем виде, т.е. анализируется только количественная связь «вход - выход». Будем считать функцию «затраты - выпуск» случайной, поскольку зависимость между физическим объемом произведенной продукции (или ее стоимостной оценкой) и количеством использованных при этом ресурсов (объемом капитальных вложений, стоимостью основных и оборотных фондов), во-первых, подвержена воздействию случайных факторов (неопределенность в характеристиках технологического комплекса, уровнях поставок внешних ингредиентов, уровне спроса на конечную продукцию), а, во-вторых, сам процесс построения производственной функции на основе реальной статистической информации о функционировании предприятия в предыдущие периоды не является абсолютно формализованной процедурой, а в большой степени определяется возможностями, навыками и информацией, доступной исследователю.

Процесс развития каждой технологии в самом общем, приблизительном виде может быть описан логистической кривой, определяемой дифференциальным уравнением

Колпачев Виктор Николаевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 276-40-07 Овсянникова Алла Николаевна - ВИВТ, аспирант, тел. (473) 271-16-25

— = а

М

где уф - значение объема выпуска рассматриваемой сферы деятельности, / - параметр, выражающий совокупные затраты по данному направлению в стоимостной форме, а - положительная постоянная, у1 и у2 - положительные константы, ограничивающие (соответственно снизу и сверху) производственный результат функционирования данного направления. При этом у1 - это нижняя граница у(^, выражающая исходные, стартовые, предельно низкие возможности технологии, а у2 - ее технологический предел, характеризующий ее предельно высокие возможности.

С увеличением затрат на функционирование рассматриваемого направления деятельности предприятия (в какой бы форме они не измерялись) его технологически значимый результат может лишь возрастать [3], поэтому у(() представляет собой монотонно возрастающую функцию на всей области определения.

Логистическая (8-образная) кривая (рисунок), описывающая жизненный цикл каждого отдельного направления деятельности организации (рисунок), обычно рассматривается как модель динамики различных кумулятивных величин, которые способны накапливаться и в каждый момент образуют некоторый фонд, от объема которого существенно зависит скорость дальнейшего роста или убывания данных величин. В рассматриваемом случае такой величиной является размер капитала каждой сферы деятельности.

Тот факт, что, согласно уравнению (1), первая производная (скорость роста) величины у прямо пропорциональна отрыву этой величины от ее стартовых возможностей, означает, что у(ґ) растет тем быстрее, чем больше этот отрыв. С другой стороны, пропорциональность первой производной значению (^2-У) означает замедление роста величины у(ґ) по мере приближения ее к своему технологическому пределу.

Решением уравнения (1) служит функция

у(Х> = п +

©()+ь

при произвольном Ь>0, где

©() = ехр[а  (у2 - уг)  (]. После несложных преобразований функция (2) может быть приведена к виду

у(0 =

к

1+Ь е~а

Предположим, что связь между стоимостью производственных фондов (с1,г = 1,п} различных сфер деятельности предприятия и стоимостной оценкой произведенной продукции и оказанных услуг { ({ ), I = 1, п} в среднем может быть представлена в виде функции

) = Е у і

і = 1

где у/Х]) имеет вид (2’), в то время как действительный выпуск (объем производства, чистая прибыль), который мы обозначим через Б(х1, х2, х„ % ), является случайной функцией затраченных ресурсов (капитальных вложений в рассматриваемый период, стоимости основных и оборотных фондов), т.е.

Р

где % - случайная величина, такая, что

Е(%) = 0.

Случайная величина % характеризует возможные отклонения реального объема от его среднего значения Е(хь х2, Хп), т.е. % означает степень неожиданности, непредвиденности результатов при данных затратах и определяется для каждого направления деятельности следующим образом

у, уі

у,

где уг - фактический объем прибыли в г-ой сфере, yi - рассчитанный по формуле (2’). Относительно вида распределения случайной величины % можно сделать следующие предположения:

0, если 2 <Зг;

Р

1, если 2 > З2,

где 0(2) - функция распределения вероятностей случайной величины % , а Зг (г=1, 2) - коэффициенты, принимающие значения из интервала (0, 1) и определяющие амплитуду колебаний реального объема выпуска вокруг своего среднего значения.

Для каждой сферы производственной деятельности эти коэффициенты могут быть найдены следующим образом. По имеющимся опытным данным для г-го направления распределения об

объеме вложенных средств х‘ в момент времени t и

соответствующего полученного эффекта у‘ строится математическая зависимость вида (2’). Затем для каждого момента времени определяем относительные отклонения фактических значений у‘ от

теоретических у, :

А = Д

-у,

Найдем верхнюю

3'2 = тах А,

и нижнюю границы

З! = тіп А,

отклонений. Полагая, что существующая зависимость не изменит своего характера, предположим

З/ <%, <Зг2.

Задача максимизации ожидаемой чистой прибыли сводится в рассматриваемом случае к определению

тах Ш

x1, х2 , , Хп

п ___

при ограничениях ^ х < Т , Хг > 0, = 1, п .

г=1

Если о случайной величине % известно только то, что она принимает значения из интерва-

(З4)з ) ^ ^

ла З1 ,З2), то исходя из принципа максимума энтропии, следует использовать равномерный на этом интервале закон распределения. Тогда зависимость общего эффекта от варианта распределения средств с учетом неопределенности характеристик производственного процесса примет вид

№хп)=Е

і=1

к,

(

1 +

32 +З 2

Л

Имея временной статистический ряд вложений и соответствующих полученных доходов длины Ы, эмпирическая функция распределения вероятностей случайной величины % также может быть построена с помощью метода «скользящих окон».

Пример. Рассмотрим применение изложенного метода к задаче распределения средств (Т=2000) между тремя возможными направлениями, каждое из которых описывается логистической функцией дохода. Приведенная далее табл. 1 содержит исходные данные для определения коэффи-

циентов аналитического выражения (1-й, 2-й и 3-й столбцы).

Таблица 1

1 функция

мо- мент вре- мени, г Значения аргумента, X Зна- чения функ- ции, Уточн Значения функции, Уприбл отно- ситель ное откло- нение

1 100.00 580.09 600.00 0.03

2 200.00 604.24 630.00 0.04

3 450.00 662.21 610.00 -0.08

4 300.00 627.88 590.00 -0.06

5 1,100.00 789.70 800.00 0.01

2 функция

мо- мент вре- мени, г Значения аргумента, X Зна- чения функ- ции, У Значения функции, Уприбл отно- ситель ное откло- нение

1 150.00 565.92 515.00 -0.09

2 170.00 583.50 610.00 0.05

3 210.00 611.90 630.00 0.03

4 280.00 644.15 623.00 -0.03

5 400.00 668.66 670.00 0.00

3 функция

мо- мент вре- мени, г Значения аргумента, X Зна- чения функ- ции, У Значения функции, Уприбл отно- ситель ное откло- нение

1 270.00 757.75 740.00 -0.02

2 320.00 943.27 920.00 -0.02

3 345.00 999.29 1,100.00 0.10

4 500.00 1,095. 03 1,150.00 0.05

5 620.00 1,099. 55 1,080.00 -0.02

Найденные параметры кривых приведены в табл. 2.

Таблица 2

№ кривой п/п к Ь а

1 1000 0.8 0.0010

2 680 0.89 0.0099

3 1100 100 0.0200

Пятый столбец табл. 1 содержит относительные отклонения точного значения дохода от аппроксимированного (определяется по формуле (6)), а табл. 3 верхние и нижние границы отклонений.

__________________________________Таблица 3

1 кривая

Верхняя граница 0.04

Нижняя граница -0.08

2 кривая

Верхняя граница 0.01

Нижняя граница -0.08

3 кривая

Верхняя граница 0.01

Нижняя граница -0.09

Опираясь на метод имитационного моделирования, построена выборка, каждый элемент которой представляет собой вектор. Координата вектора - это доля вложений в одну из сфер деятельности. Таблица 4 представляет собой основную рабочую таблицу задачи. Ее последний столбец содержит ожидаемое значение дохода для соответствующего варианта распределения, вычисляемое по формуле (10).

Таблица 4

х1 х2 х3 всего вложе ний доход 1-го на- прав- ления доход 2-го на- прав- ления доход 3го на-правления Вало- вый доход

337 777 525 1639 625.0 664.6 1138.7 2428.3

1842 113 44 1999 871.4 515.1 26.9 1413.4

456 1320 13 1789 651.5 664.8 14.6 1331.0

135 1667 70 1872 577.9 664.8 44.5 1287.3

1339 61 421 1821 811.7 447.2 1117.2 2376.2

580 777 551 1908 678.1 664.6 1140.0 2482.7

1829 74 3 1906 870.1 465.7 12.0 1347.8

1394 421 80 1895 819.3 655.8 53.9 1529.0

1345 215 217 1777 812.5 601.2 495.7 1909.4

448 1133 269 1850 649.8 664.8 781.7 2096.3

1732 232 30 1994 860.2 610.2 20.4 1490.8

81 984 787 1852 565.0 664.8 1141.8 2371.7

1558 310 126 1994 840.3 638.4 126.2 1605.0

860 236 234 1330 733.6 612.2 592.3 1938.0

1374 294 103 1771 816.6 634.1 83.1 1533.8

659 648 343 1650 694.5 663.9 1033.5 2391.8

1180 591 72 1843 788.2 663.2 46.2 1497.5

1863 46 69 1978 873.4 425.0 43.7 1342.1

1247 669 47 1963 798.4 664.1 28.5 1490.9

Максимальное значение дохода составило 2482.7 и соответствует распределению суммы 1908 ед. В следующей пропорции (580; 777; 551). Следующий наиболее выгодный вариант вложений (доход - 2428.3 ед.) предполагает распределение 1639 ед. между тремя направлениями в соотношении (337, 777, 525), т.е. каждому направлению и в первом и во втором случае соответствует примерно одинаковая доля общей суммы.

Литература

1. Ануфриев И.К., Бурков В.Н., Вилкова Н.И., Рапацкая С. Т. Модели и механизмы внутрифирменного управления. М.: ИПУ РАН, 1994. - 72 с.

2. Бакунец О.Н., Домудь Н.И., Колпачев В.Н., Потапенко А.М. Управление стратегией диверсификации в случае векторной модели целей. // Научный вестник ВГАСУ. Серия: Управление строительством. 2005. -Вып. №1. - С. 34-38.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Воронежский институт высоких технологий

THE DECISION OF THE DIFFERENTIAL EQUATION FOR DEFINITION OF INVESTMENT PRIORITIES

V.N. Kolpachev, A.N. Ovsyannikova

In clause the model for definition of investment priorities диверсифицированной the companies in view of change of structure of capacities with the purpose перелива resources of the enterprise in the most perspective spheres is considered

Key words: the investment, the enterprise, a priority, the equation

А.М. Модель управления стратегией диверсификации. // В кн. Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики. Труды 1-ой международной конференции по проблемам строительства и энергетики. Тула, 2003. - Т. 1. -С. 218- 225.