Некоторые свойства полунормальных функторов

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 16, 2009

УДК 515

М. А. Добрынина

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУНОРМАЛЬНЫХ ФУНКТОРОВ

В данной работе рассматриваются вопросы о нормальности пространства максимальных 3-сцепленных систем, а также о построении максимальной сцепленной системы с заданным носителем. Изучается вопрос о существовании подфунктора функтора суперрасширения, аналогичного функтору континуальной экспоненты. Также получен результат о степенных спектрах по-лунормальных функторов, сохраняющих точки взаимной однозначности.

§ 1. Введение и формулировка основных результатов

В работе Ван Милла [7] в 1983 г. было рассмотрено пространство максимальных к-сцепленных систем компакта X — Ак (X), а также показано, что при к > 2 пространство Ак(X), как правило, не компактно.

А. В. Иванов в 1986 в работе [8] определил Nк (X) как пространство полных к-сцепленных систем и в работе [3] доказал, что Ак (X) всюду плотно в Nк (X) для любого компакта X без изолированных точек. Естественно возникает вопрос о других свойствах пространства Ак(X), в частности, о нормальности пространства. В данной работе приведен пример компакта X, показывающий, что при к = 3 пространство Ак(X) может не быть нормально.

В 2004 г. в статье Е. В. Кашубы [2] был приведен пример построения максимальной сцепленной системы (МСС) £ из суперрасширения пространства X с носителем вирр(£), совпадающим с X, при X = [0,1]. В данной работе этот алгоритм обобщается для всех сепарабельных пространств X. Также получены следующие результаты о существовании маскимальных сцепленных систем с заданным носителем:

© М. А. Добрынина, 2009

Если в X найдется открытое сепарабельное подпространство, то существует МСС £ такая, что supp(£) = X.

Пусть X сепарабельно. Тогда для любого кардинала ц существует МСС £ из суперрасширения А(Хм) такая, что supp(£) = Xм.

Одним из классических примеров функторов является функтор exp и его подфунктор expc. Пространство exp(X) состоит из замкнутых подмножеств пространства X, а его подпространство expc(X) — из связных замкутых подмножеств X, то есть из точек exp(X) со связными носителями. Вполне естественно возникает вопрос, нельзя ли, используя определение носителя, аналогичным образом задать подфунктор функтора суперрасширения, рассмотрев подпространство Ac(X) пространства A(X), состоящее из максимальных сцепленных систем со связными носителями. Также интересен вопрос о сохранении связности носителей систем при отображениях максимальных сцепленных систем.

В даннойв работе приведен пример пространства X, показывающий, что множество максимальных сцепленных систем со связными носителями может не быть замкнуто в A(X), откуда следует, что Ac(X) не попадает в категорию компактов для данного X. Также получен более общий результат для всех связных сепарабельных пространств:

Пусть X — связно и сепарабельно. Тогда множество МСС со связными носителями всюду плотно в A(X).

Для непрерывных отображений максимальных сцепленных систем получен следующий результат:

Существует непрерывное отображение f : X ^ Y и МСС £ G A(X) со связным носителем такая, что носитель МСС n = Af (£) несвязен.

Тем самым доказано, что операция Ac не является ковариантным функтором.

В работе А. В. Иванова, Е. В. Кашубы, посвященной обобщенной теореме Катетова для полунормальных функторов, был построен пример неметризуемого компакта, в частности, удовлетворяющего следующему свойству:

для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности по-лунормального функтора F со степенным спектром spF = {1, k,... } пространство Fk (X) наследственно нормально.

В связи с этим возникает вопрос о связи свойства сохранения точек взаимной однозначности полунормальным функтором и его степенного спектра.

В данной работе получены следующие результаты.

Пусть F — полунормальный функтор, сохраняющий точки взаимной однозначности и spF = {1, k,... }. Тогда k < 3.

Пусть F — полунормальный функтор и spF = {1,k},k < 2. Тогда F сохраняет точки взаимной однозначности.

В случае степенного спектра {1, 3} возможно как сохранение по-лунормальным функтором точек взаимной однозначности, так и не сохранение.

§ 2. Предварительные сведения

В данной работе мы рассматриваем исключительно компактные хаусдорфовы пространства, все отображения предполагаем непрерывными. Далее компактное хаусдорфово пространство будем называть компактом. Замыкание множества F в топологическом пространстве X будем обозначать [F]х, или просто [F], если ясно, о каком пространстве идет речь. Дискретные пространства мощности ц будем обозначать, следуя [6], как D(y«). В работе рассматриваются только ковари-антные функторы, действующие в категории компактов Comp. Необходимые определения, а также определения функторов exp, expcX, expK можно найти в [5] и [4]. Определение функтора Nk можно найти в [8].

Система замкнутых подмножеств £ называется k-сцепленной, если пересечение любых ее k элементов непусто. При k = 2 будем называть систему сцепленной.

k-сцепленная система £ называется максимальной k-сцепленной (МкСС), если она не содержится ни в какой другой k-сцепленной системе.

Определим пространство Ak. Для всякой полной k-сцепленной системы определен непустой носитель

supp(£) = [U{Fa : Fa — минимальный по включению элемент£}].

Пространство, состоящее из МкСС с конечными носителями, с топологией, открытую предбазу которой образуют множества вида

O(U) = {£ G Ak(X) : существует такое F G £, что F С U},

где и — открыто в X, будем обозначать, следуя [3], Ак (X).

В отличие от случая к = 2, при к > 2 пространство Ак, как правило, не является компактом.

Имеет место следующий результат (см [3]).

Теорема 1. [Ак (X)] = Nк (X) для любого компакта X без изолированных точек.

Заметим, что данный результат имеет место также для пространства всех максимальных к-сцепленных систем с описанной выше топологией.

Приведем определения свойства нормальности ковариантных функторов.

Функтор Т называется мономорфным, если для любого вложения г : У ^ X отображение Т(г) : Т(У) ^ Т(X) также является вложением.

Мономорфный функтор Т сохраняет пересечения, если для любого компакта X и любой системы {Уа : а € А} замкнутых подмножеств X имеет место равенство

Т(П{Уа : а € А}) = П{Т(Уа) : а € А}.

Функтор Т называется непрерывным, если он перестановочен с операцией перехода к пределу обратного спектра.

Непрерывный мономорфный сохраняющий пересечения функтор называется полунормальным, если он сохраняет точку и пустое множество (см. [5]). Все рассмотренные выше функторы являются полу-нормальными.

Если Т — мономорфный функтор, то для любой точки а € Т определен носитель вирр(а) следующим образом:

вирр(а) = П{У С X : а € Т(У)}.

Заметим, что для функтора Nк данные определения носителей точек также совпадают.

Для любого натурального п через Тп обозначается множество

Тп^) = {а € Т(X) : | вирр(а)| < п}.

Для каждого п € N обозначим Т^^) = Т,^) \ Тп-!^). При этом считаем (То^) = 0).

Степенным спектром функтора Т называется следующее множество

5р(Т) = {к : к € N Т(к)кк = 0.}

Будем говорить, что полунормальный функтор Т сохраняет точки взаимной однозначности, если для любого отображения / : X ^ У и любой точки у € У такой, что |/-!(у)| = 1, отображение Т(/) : Т(X) ^ Т(У) также взаимнооднозначно в точке у € У С Т(У) : |(Т (/))-!(у)| = 1.

Имеют место следующие предложения (см. [9]).

Предложение 1. Суперрасширение А сохраняет точки взаимной однозначности.

Предложение 2. Функтор ехрк не сохраняет точки взаимной однозначности при К = {1, 3}.

§ 3. Пространство максимальных 3-сцепленных систем

Пример 1. Существует компакт X такой, что пространство А3^) не является нормальным.

Положим X = А(о>о) х А(^), где А(о>о), А(о>1) — Александровские компактификации дискретных пространств Д(о>о) и ^(^1) соответственно; {хо}, {уо} — наросты соответствующих компактификаций. Пусть В = {жо}х(А(^)\{уо}), С = (А(^о)\{хо}) х{уо}, ¿о = (хо,уо).

Построим непересекающиеся замкнутые в А3^) множества Н и Н следующим образом.

Возьмем последовательность точек хп € А(^о)\{жо}, хп = п, тогда хп ^ хо при п ^ то.

Пусть ¿о, ¿2 € X \ (В и С и {¿о}), ¿о = ¿°. Положим ¿п = (хп,уо), ¿п+! = (хп+!,уо). Пусть ^ = {^°, ¿2, ¿п}, ^п = {z0,z2,zn+!}, ^П =

{^1, ¿п, ¿п+1 }, Лп = {^о , ¿п, ¿п+! }.

Система = {Л,}4=! является 3-сцепленной. Значит, она может быть достроена до некоторой М3СС £п.

Построим П3СС £ следующим образом. Возьмем систему п, состоящую из множеств Ф1 = {¿о, ¿о} и Ф2 = {¿о, ¿о}. В качестве £ возьмем пополнение системы п.

Проверим, что £п ^ £ в N3^) при п ^ то.

Пусть 0(иь..., ит)(У!,..., Ук) — произвольная окрестность £. Тогда ¿о € П^и,. Значит, существует по : для п > по имеем ¿п, ¿п +! €

П™^. Кроме того, в каждое множество и, попадет как минимум одна из точек ¿о, г^. Значит, как минимум одно из множеств Лп или Л4 лежит в и, при п > по. Из того, что для любого ] и любого элемента Л € £ У П Л = 0 следует, что либо ^ € У, либо ¿о € У .В первом случае получим, что у П = 0 для любых п, г. Для остальных у положим их пересечение равным У. Так как ¿о € У, существует п! : для п > п! имеем ¿п,£п+! € У. Тогда У П = 0 для п > п!. Взяв п2 = тах{по,п!}, получим, что для

п > п2 £п € 0(иь...,ит)(У,...,Ук).

В качестве Н рассмотрим последовательность М3СС {£п}^=!. Построим множество Н следующим образом. Для произвольных уа,уь € А(^!) \ {уо}, уа = уь положим 4 = (хо,уа), ¿Ь = (хо,уь).

пусть ^ = к^а}, ^аь = ^^¿ь}, ^ = ^¿а,^ь}, ^ =

{^, ¿Ь}. Система п0ь = и{^,ь}4=! является 3-сцепленной. Значит, она может быть достроена до некоторой М3СС паь. Положим Н =

[и^а ,^Ь ев {паЬ}].

Докажем, что Н П Н = 0. Пусть £п € Н. Рассмотрим ее окрестность 0(и)(X), где и = {¿0} и ({хп,хп+!} х (А(ш!) \ {¿0})). Тогда для любых а, Ь получим, что ^ь П и = 0, и, значит, паь не лежит в 0(иXX). То есть 0(иXX) П Н2 = 0.

Покажем, что для Н и Н в А3^) не существует непересекаю-щихся окрестностей.

Пусть О! и О2 — произвольные окрестности множеств Н и Н2 соответственно. Без ограничения общности можно считать, что

о! = и о£п; о2 э и Опаь,

где О£п = О(ип,..., ит), ОпаЬ = (Ж“ь,..., ЖкаЬ) — базисные окрестности систем £п и паь соответственно в А3 (X).

Заметим, что из построения систем £п следует, что для любой окрестности О£п и для любого фиксированного г выполнено игп э {х;} х (А(ш!) \ Кп), где I = п или I = п + 1, Кп — некоторое конечное подмножество А(Ш!) \ {уо}. Также хотя бы одна из точек ¿0, попадает в ип для каждого г.

Аналогично, из построения систем паь следует, что для любой окрестности Опаь и для любого фиксированного ] выполнено э {ус} х

(А(о>о) \ Кс), где с = а или с = Ь, Кс — некоторое конечное подмножество А(^о) \ {хо}. Также хотя бы одна из точек ¿0, ^ попадает в для каждого _?’.

Далее, для любой £п € Н положим О^п = П{игп : ¿п € и"}; О^п+! = П{ип : ¿п+! € и"}, где и" — из определения О£п.

Аналогично, для любой паь € Н положим О^ = П{Ж“Ь : ¿'а € Ж“ь}; О4 = П{Ж“Ь : ¿Ь € Ж“ь, где Ж“ь} — из определения ОпаЬ.

Из свойств пространства X и сделанных выше замечаний следует, что существуют такие точки ¿а, ¿Ь € В и такие номера па, пь что для п > тах{па,пь} верно: О^ ПО^п = 0, О^ПО^п+! = 0, О^ЬПО^п = 0,

О4 П О^п+! = 0.

В таком случае, для данных а, Ь, п, Опаь П О£п = 0. Докажем это.

Вначале проверим, что для любых ¿,^’, Н следующие пересечения непусты: и” П и]1 П ^*ь = 0; и," П Ж“ь П ^ь = 0.

Рассмотрим первое пересечение. Возможны два случая. Если и" П ип = {¿0, }, то как мимнимум одна из точек ¿0, попадает в ,

значит, игп П ип ПЖ^*ь = 0. В другом случае ¿; € и," П ип, где I = п или

I = п+1, ¿С € Ж^*ь, где с = а или с = Ь. При этом и"Пи" Э Оя;, ЖаЬ Э О^. Тогда так как Оя, П О^; = 0, получим, что и" П и" П = 0.

Для второго пересечения проверка полностью аналогична.

Итак, можно рассмотреть открытое в А3 множество О£п П Опаь = О(ип,..., ит, Ж“ь,..., Жк*ь). Проверим, что оно непустое. Для удобства переименуем множества и",..., ит в и,..., ит; ..., Жк в

ит+!,..., ит+к. Для любых наборов индексов г, _?’, Н возьмем по точке х*,],л, в каждом пересечении и, П и П и, (точки могут совпадать для разных пересечений) и положим Ф; = {х,,],, : х,,],, € и;}. Система, состоящая из множеств Ф;, очевидно, является 3-сцепленной и лежит в О(и!,..., ит+к.) Достроим ее до максимальной в пределах множества и;= !,...,т+кФ; (подмножествами данного множества), а затем возьмем ее пополнение £ (см. [3]). Мы получим М3СС С с конечным носителем, лежащую в О(и!,..., ит+к) = О£п П Опаь С О 1 П О2.

Итак, в пространстве А3^) нашлись такие замкнутые непересека-ющиеся множества Н и Н2, что пересечение любых их окрестностей непусто. Значит, А3^) не является нормальным.

§ 4. О носителях максимальных сцепленных систем

В данном параграфе предполагаем IX| =2. В основе доказательства следующей леммы лежит пример, построенный Е. В. Кашубой в работе [1].

Лемма 1. Для любого сепарабельного пространства X существует МСС £ такая, что вирр(£) = X.

Доказательство. Пусть А — счетное всюду плотное подмножество X. Его точки можно пронумеровать в некоторой последовательности: го, г !, Г2,.... Сформируем множества Лп следующим образом:

Л = {го, Г !}, Л2 = {Г0,Г2}, Л3 = {г !,Г2,Г3}, Л4 = {го, Г3, Г4}, ...

Л2к = {го,Г3,Г5, . . . ,Г2к-!,Г2к},

Л2к + ! = {г !,Г2,Г4,Гб,...,Г2к ,Г2к + ! }, . . .

Как видно из построения, множества Л" образуют сцепленную систему. Эта сцепленная система может быть дополнена до некоторой МСС £.

Легко проверить, что элементы Лп являются минимальными по включению. Их объединение содержит в себе множество А. Значит, вирр(£) = X.

В следующем предложении предполагаем, что X бесконечно.

Предложение 3. Если в X найдется открытое сепарабельное подпространство, то существует МСС £ такая, что вирр(£) = X .

Доказательство. Пусть А открытое сепарабельное подпространство X, Н — счетное всюду плотное в А подмножество. Точки множества Н можно пронумеровать в некоторой последовательности: го, г 1, г2,.... Сформируем множества Л" следующим образом:

Л1 = {го,г 1}, Л2 = {го,г2}, Л3 = {г 1,г2,г3}, Л4 = {го,г3,г4}, ...

Л2к = {го,г3,г5,гг,...,г2к- 1 ,г2к },

Л2к + 1 = {г1,г2,г4,гб,...,г2к ,г2к + 1}, ...

Далее, пусть В = X\А. Без ограничения общности можно считать, что |В| > 1. В качестве п возьмем систему, состоящую из множеств Л" и {х}, где х € В, и множества В. Система п является сцепленной по построению. Эта сцепленная система может быть дополнена до некоторой МСС £.

Проверим, что множества Л" и {х} — минимальные по включению элементы системы £. Предположим, что это не так. Пусть существует Ф € £ такой, что Ф С Лп и {х} для некоторых п, х. Пусть у € Лп и {х} \ Ф.

Если у = х, х € В, то Ф П В = 0.

Если у = х, то у = г,. Тогда (Л" \ г,) П Лк = 0 для некоторого Лк. Значит, Ф П (Лк и {¿}) = 0 для всех я = х, ^ € В.

Итак, множества Лп и {х} являются минимальными по включению элементами системы £, а их объединение всюду плотно в X.

Значит,

вирр(£) 2 [ и (Лп и {х})] = X.

п=1,2,...

Доказательство закончено.

Предложение 4. Пусть / : X х У ^ X проекция, У сепарабельно, и существует МСС £х с носителем вирр(£х) = X. Тогда существует МСС £ из А^ х У) такая, что вирр(£) = X х У и А/(£) = £х.

Доказательство. Так как У сепарабельно, то, согласно лемме 1, существует МСС £у такая, что вирр(£у) = У. Построим систему п следующим образом:

п = {Л х О : Л € £х, О € £у}.

Сцепленность системы п следует из сцепленности систем £х и £у. Дополним систему п до некоторой МСС £ произвольным образом.

Проверим, что элементы вида Л, х О] являются минимальными по включению системы £, если Л,, О] — минимальные по включению элементы систем £х и £у соответственно. Предположим, что это не так. Пусть найдется Ф € £ такой, что Ф С Л, х О]. Пусть z € (Л, х О]) \ Ф. Тогда z = (х, у), х € Л,, у € О]. Так как Л,, О] — минимальные по включению, найдутся такие элементы Лк и Оп систем £х и £у соответственно, что Лк П Л, = х; Оп П О] = у. Тогда (Лк х Оп) П (Л, х О]) = ¿. Значит, (Лк х Оп) П Ф = 0, в то время как (Лк х Оп) € £.

Получаем, что вирр(£) Э [У{Л х О] : Л,, О] — минимальные по включению элементы систем £х и £у}]. Значит, вирр(£) = X. Из построения системы £ следует, что А/(£) = £х.

Предложение 5. Пусть X сепарабельно. Тогда для любого кардинала м существует МСС £ из А^м) такая, что вирр(£) = Xм.

Доказательство. Пространство Xм разлагается в обратный спектр Я = {Xа,ра : а, 7 < м}, где Xа = П7<а X7 ( X7 = X для любого 7 < а} ) а : Xa ^ Xв — естественная проекция произведения на подпроизведение.

Далее, согласно лемме 1, для X1 = X существует МСС £ такая, что вирр(£) = X1. Положим £1 = £.

Для X2 = X х X согласно Предложению 2 существует МСС (обозначим ее С2) такая, что supp(£2) = X2, Ap2(£2) = Сь

Предположим, что для всех y меньших фиксированного ß < м уже построены МСС £7 такие, что supp(£7) = X7 и для ^ < y ApJ(С7) = Сй . Возможны два случая:

1. ß = y +1 для некоторого y < М. Тогда из того, что X — сепарабельно и существует такая МСС С7, что supp(£7) = XY, согласно Предложению 2 следует, что существует МСС Св, что supp(£g) = Xe и Арв (Св) = С7. Тогда для всех а < ß выполнено ApO^a) = Ара ◦

АР^ (Св) = ^а.

2. ß — предельное. Тогда Xe = lim Se, где Sa = {Xа,ра : а, y < ß}.Тaк как функтор суперрасширения непрерывен, пространство A(Xe) совпадает с пределом спектра Sa = {A(Xа), Ара : а, y < ß}

Ясно, что Св = {Са : а < ß} — нить спектра Sa по построению. Следовательно, Св Є A(Xe). Докажем, что suppte) = Xe.

Известно, что pa(suppСв) 3 supp(A(/)(Св)), и, так как А(/)(Св) = Са, то pa(supp Св) = Xa для любого а < ß. Так как носитель — замкнутое подмножество предела обратного спектра, справедлива формула:

supp Св = P|(pa)-1(pa(supp Св)).

а

Значит, supp(£a) = Xe.

Таким образом, для всех а меньших м существуют МСС Са такие, что supp(Ca) = Xа и для ß < а Apa(Ca) = Св.

Рассмотрим обратный спектр Sa = {A(Xa),Apa : а, y < м}. Его предел lim S совпадает с пространством A(Xм). В качестве С возьмем С = {Са : а < м} — нить спектра Sa. Тогда С Є A(Xм). Аналогично предыдущему получим, что supp^) = limS = Xм.

§ 5. О максимальных сцепленных системах со связными носителями

Пример 2. Существует непрерывное отображение / : X ^ Y и МСС С Є A(X) со связным носителем такая, что носитель МСС п = А/(С) несвязен.

Рассмотрим в качестве Y отрезок [0,1], в качестве X — произведение отрезков [0,1] х [0,1], и пусть / : X ^ Y — проекция на сомножитель.

Точки го,г1,г2,г3 возьмем следующим образом: го = {0, 0}, г1 = {1, 0}, г2 = {1,0}, г3 = {1,1}.

Проведем построение МСС £ аналогично доказательству леммы 1. Занумеруем точки некоторого счетного всюду плотного подмножества X \ {го,..., г3} в некоторой последовательности, начиная с г4: г4, г5, гб,... Сформируем множества Л" следующим образом: =

{го,г1}, = {го,г2}, Л = {г1,г2,г3}, Л = {го,г3,г4} ... Л2к =

{го,г3,г5,гг, . . . ,г2к-1,г2к}, ^2к-1 = {г1,г2,г4,гб, . . . ,г2к,г2к+1} ....

Положим £0 = {Л,}°=1. Она может быть достроена до некоторой МСС £.

Легко проверить, что множества Л" являются минимальными по включению элементами системы £ и, следовательно, вирр(£) = X.

Пусть п = А/(£), /(^¿) = Ф,. Тогда из построения Л" и выбора точек г, следует, что для любого элемента Ф € п, Ф содержит либо Ф1, либо Ф2, либо Ф3. Тогда

вирр(п) = [ и Ф,] = {/(го),/(г1),/(г2)}

¿=1,2,3

— несвязное подмножество У.

Теорема 2. Пусть X — связно и сепарабельно. Тогда множество МСС со связными носителями всюду плотно в А^).

Доказательство. Пусть О(и1,..., ип) — произвольное базисное открытое в А^) множество. Докажем, что существует МСС с конечным носителем £, лежащая в 0(^1,..., ип).

Без ограничения общности можно считать, что п > 3 и П"=1и, = 0. Иначе возьмем х € П"=1и,. Тогда МСС со связным носителем £х = {Л : х € Л, Л замкнуто в X} лежит в 0(и1,..., ип).

Так как X не имеет изолированных точек, в каждом пересечении и, П и при г = ] можно выбрать по точке х] так, чтобы все они были различны. Объединение всех выбранных точек, лежащих в и,, обозначим за Ф,. Тогда система £о = {Ф, : г = 1,..., п}, очевидно, сцеплена. Дополним ее до максимальной в пределах множества и"=1Ф, (подмножествами этого множества) и возьмем ее поплнение £. Мы получим МСС с конечным носителем, лежащую в 0(и1,..., ип).

Так как £ — максимальная, в ней найдутся такие минимальные по включению элементы (обозначим их за и Л2) и точка уо € Л ,

что П = {уо}. Остальные минимальные по включению элементы системы £ обозначим как Л,, г > 3.

Далее, рассмотрим некоторое счетное всюду плотное в X множество ф, не пересекающее вирр(£).

Точку у1 возьмем следующим образом: у1 € ^и, : уо € и,} П ф. Занумеруем оставшиеся точки ф в некоторой последовательности, начиная с у2: у2, у3, у4,...

Построим следующие множества:

О0 = Л, О? = Л и {у1}, О0 = (Л \ {уо}) и {уьу2}, О3 =

Л и{у2,у3}, О0 = (Л \{уо}) и{уьу3,у4},..., О°к = (Л \{уо}) и {У!, У3, у5, . . . , У2k-!, у2к}, О2к+1 = Л2 и {У2, У4, Уб, . . . , у2к, у2к+1}

Для всех Л,, таких, что Л, П = уо положим О, = Л, и {у1}. Для остальных Л, положим О, = Л,. Заметим, что в этих обозначениях

О1 = Л = О0, О2 = Л и{у1} = О0.

Рассмотрим систему по, состоящую из множеств О, и О0. Система по будет сцепленной по построению. Она может быть дополнена до некоторой МСС п.

Проверим, что все точки множества ф попадут в объединение минимальных по включению элементов МСС п.

Пусть это не так. Предположим, найдется Н € п такой, что Н С О0 и у] € О0 \ Н при > 1. При = г положим к = + 1, при

] < г положим к = . Из построения множеств О0 будет следовать,

что Ок П О0 = у]. Значит, Н П Ок = 0. Полученное противоречие доказывает, что вирр(п) 2 [ф] = X.

Проверим, что п € 0(^1,..., ип).

Так как £ € 0(и1,..., ип), для любого г = 1,..., п найдутся Л] € £, такие, что Л] С и,. Если О] = Л], то О] С и,. Если же О] = Л] и {У1}, то уо € Л] С и,. Напомним, что точка у1 лежит в тех же и,, что и уо. Тогда у1 € и,, и О] С и,.

Итак, для произвольного базисного открытого в А^) множества 0(и1,...,ип) нашлась МСС п со связным носителем, лежащая в 0(иь...,ип).

В частности, если положить X равным отрезку [0,1] с интервальной топологией, может быть получен следующий пример:

Пример 3. Существует пространство X такое, что множество МСС со связными носителями не замкнуто в А^).

Тем самым доказано, что операция Ас не является ковариантным функтором.

Кроме того, для несвязных компактов имеет место следующий результат:

Предложение 6. Пусть X несвязно. Тогда множество МСС со связными носителями не является всюду плотным в А^).

Доказательство. Пусть X представимо в виде X = А и В, где А П В = 0, А, В — открыто-замкнутые подмножества X. Возьмем точки х1 € А, х2, х3 € В и такие их окрестности Ох,, чтобы 0х1 С А, 0х2 С

В, 0х3 С В, 0х2 П 0х3 = 0. Положим и1 = 0х1 и 0х2, и2 = 0х2 и 0х3, и3 = 0х1 и0х3. Рассмотрим систему £о, состоящую из множеств = {х1,х2}, Л = {х2,х3}, Л3 = {х1,х3} и достроим ее до МСС £. Ясно, что £ € 0(и1, и2, и3), а значит 0(и1, и2, и3) = 0.

Пусть МСС 7 € 0(и1,и2,и3). Тогда найдутся минимальные по включению элементы Ф, € 7 такие, что Ф, С и,. Так как и П и3 С А, и2 С В, то Ф1 П Ф3 С А, Ф2 С В. Значит, эирр^) П А = 0, вирр(7) П В = 0. Значит, для любой МСС 7 € 0(^1, и2, и3) ее носитель несвязен.

§ 6. О степенных спектрах полунормальных функторов

Предложение 7. Пусть Т — полунормальный функтор, сохраняющий точки взаимной однозначности и врТ = {1, к,... }. Тогда к < 3.

Доказательство. Предположим противное. Пусть к > 4. Рассмотрим дискретное пространство X мощности к. X представимо в виде X = А и В, где А П В = 0, |А| > 2, |В| > 2. Пусть а € А, Ь € В. Рассмотрим отображение /1 : X ^ Аи{Ь} такое, что /.(А) = А, /.(В) = Ь и отображение /2 : X ^ В и {а} такое, что /2(В) = В, /2(А) = а.

Далее, пусть У = {а, Ь} и отображение $1 : А и {Ь} ^ У действует по правилу $1 (А) = а, $1 (Ь) = Ь, а отображение $2 : В и {а} ^ У действует по правилу $2(В) = Ь, $2 (а) = а. Таким образом, $1 о /1 = $2 о /2.

Пусть точка £ € Т(X) такая, что вирр(£) = X. Тогда для п1 = Т(/1)(£) 18ирр(п1)| = 1, так как |А| < к. При этом 8ирр(п1) = {Ь}, иначе Т не сохраняет точки взаимной однозначности.

Действительно, пусть 8ирр(п1) = {г} = {Ь}, тогда |/-1(г)| = 1. Так как существует 7 € Т(X) такая, что вирр(7) = /-1(г), получим, что Т(/1X7) = п1 = Т(Д)(£). То есть прообраз точки г = п1 при отображении Т(/1) состоит более, чем из одной точки.

Положим F(gi)(ni) = ¿i, тогда supp(Ji) = b, так как gi(b) = b.

С другой стороны, для П2 = F(/2)(£) выполнено supp(n2) = {a}, аналогично предыдущему случаю. Пусть F(#2X^2) = ¿2, тогда supp(^2) = {а}.

Получим, что ¿1 = ¿2 и, следовательно, F(gi) о F(/1) = F(#2) 0 F(/2). В то время как gi о /i = #2 о /2 — противоречие.

Предложение 8. Пусть F — полунормальный функтор степени < 2. Тогда F сохраняет точки взаимной однозначности.

Доказательство. Пусть / : X ^ Y и y G Y произвольная точка, такая, что |/-i(y)| = 1. Проверим, что отображение F(/) : F(X) ^

F(Y) также взаимнооднозначно в точке y G Y С F(Y). Допустим, существует £ G F(X) такая, что F(/)(£) = У и supp(£) = {zi, z2}. Ясно, что Zj = x для некоторого i. Очевидно, что /(zi) = /(22) = /(x) = y. Значит, zi = Z2 = x и точка £ G F(X) совпадает с точкой x G F(X).

То есть |(F(/))-i(y)| = 1. Полунормальный функтор степени 1 является тождественным и, значит, он автоматически сохраняет точки взаимной однозначности.

В случае степенного спектра {1,3} возможно как сохранение по-лунормальным функтором точек взаимной однозначности (функтор А), так и несохранение (функтор expK).

Resume

In the paper the normality of the space of maximal 3-linked systems is studied as well as the problem of building a maximal linked system with given support. The answer to the question, whether it is possible to define a superextension’s subfunctor in the same way as continious exponent functor with the use of support’s concept, is given. It is also proved, that for seminormal functors, preserving one-to-one points, spF = {1, k,... }, where k < 3.

Список литературы

[1] Fedorchuk V. Cellularity of covariant funktors / V. Fedorchuk, S. Todorcevic // Topology and its Applications. 1997. V. 76. P. 125-150.

[2] Вакулова Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем /

Е. В. Вакулова // Труды ПетрГУ. Сер. Матем. 2004. Вып. 11. С. 3-8.

[3] Иванов А. В. Теорема о почти неподвижной точке для отображений пространства максимальных k-сцепленных систем / А. В. Иванов // Вопросы геометрии и топологии. 1986. С. 31-40.

[4] Иванов А. В. О степенных спектрах и композициях финитно строго эпиморфных функторов /А. В. Иванов // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 2000. Вып. 7. С. 15-28.

[5] Федорчук В. В. Общая топология. Основные конструкции / В. В. Фе-дорчук, В. В. Филиппов //М.: Изд-во МГУ, 1988.

[6] Энгелькинг Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. М.: Мир, 1985.

[7] Mill Jan van. An almost fixed point theorem for metrizable continua /Jan van Mill // Archiv der Mathematik. 1983. V40. P. 159-169.

[8] Иванов А. В. О пространстве полных сцепленных систем / А. В. Иванов // Сибирский математический журнал. 1986. № 6. С. 95-110.

[9] Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов / Е. В. Щепин // Успехи математических наук. 1981. Т. 36. № 3. С. 3-62.

[10] Иванов А. В. О наследственной нормальности пространств вида F(X) / А. В. Иванов, Е. В. Кашуба // Сибирский математический журнал. 2008. № 4.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33