Выбор метода мониторинга технологического процесса

УДК 658.562.3

ВЫБОР МЕТОДА МОНИТОРИНГА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

В.И. Нечаев, Ю.В. Нечаев

Рассмотрен пример выбора метода мониторинга для нестационарного авто-коррелированного процесса. Показано применение контрольных карт различных типов: групповых средних и групповых размахов, индивидуальных значений и скользящих размахов, экспоненциально взвешенного скользящего среднего, кумулятивных сумм. Проведён сравнительный анализ результатов пробного мониторинга. Сформулированы рекомендации по выбору метода мониторинга для конкретного процесса.

Ключевые слова: нестационарный процесс, автокоррелированный процесс, мониторинг процесса, статистическая управляемость процесса, контрольные карты.

Реальные технологические процессы в различных отраслях промышленности являются нестационарными и автокоррелированными по самой своей сути, т.е. даже когда они находятся в состоянии статистической управляемости [1]. В существующих методах мониторинга процессов явно или неявно принимается, что значения контрольного показателя статистически управляемого процесса представляют собой стационарный временной ряд без автокорреляции. Однако методы мониторинга обладают некоторой устойчивостью к отклонению свойств исследуемого процесса от тех допущений, на которых базируется тот или иной метод.

Внедрение мониторинга технологических процессов в производственную деятельность требует решения как минимум двух проблем:

выбор метода мониторинга;

выбор объёма (числа наблюдений) фазы 1.

Эти проблемы не имеют формального решения. Их можно и нужно решать путём соединения понимания характера конкретного технологического процесса с пониманием статистических свойств конкретного метода мониторинга [2]. Целесообразно осуществить пробный мониторинг процесса с применением различных методов, используя для этого предварительно собранные или взятые из архива данные (временной ряд значений контрольного показателя).

Рассмотрим в качестве примера пробный мониторинг процесса обработки детали. Контрольным показателем процесса является отклонение фактического размера детали от номинального, выраженное в микрометрах. В нашем распоряжении имеется временной ряд, содержащий 200 наблюдений (значений контрольного показателя). Контрольные карты строятся по наблюдениям фазы 1. Чтобы определиться в дальнейшем с рациональным объёмом фазы 1, проведём исследование в трёх вариантах, выбирая для фазы 1 соответственно 60, 100 и 160 наблюдений. Вычисление ос-

новных показателей описательной статистики для временных рядов фазы 1 и фазы 2 и полного временного ряда даёт полезную предварительную информацию о процессе (табл. 1). Кроме того, среднее значение и стандартное отклонение в фазе 1 необходимы для построения контрольных карт. Существенное различие средних значений на разных участках временного ряда показывает нестационарность ряда. Коэффициент автокорреляции ряда (при единичном лаге), превышающий 0,5, показывает значительную ав-токоррелированность ряда.

Таблица 1

Основные статистические показатели процесса ___________

Статистический показатель Фаза 1 Фаза 2 Фаза 1 Фаза 2 Фаза 1 Фаза 2 Полный ряд

Число наблюдений 60 140 100 100 160 40 200

Среднее значение -4,00 -0,43 -5,20 2,20 -7,06 20,75 -1,50

Стандартное отклонение 50,67 43,57 47,28 44,06 46,36 35,94 45,84

Коэффициент автокорреляции 0,51 0,52 0,50 0,59 0,52 0,49 0,54

Для пробного мониторинга процесса построим контрольные карты следующих типов:

- карты групповых средних и групповых размахов;

- карты индивидуальных значений и скользящих размахов;

- карта экспоненциально взвешенного скользящего среднего;

- карта кумулятивных сумм.

Карты групповых средних и групповых размахов строим в соответствии со стандартом [3].

1. Выбираем число групп т в фазе 1.

2. Выбираем объём группы п = 4.

3. Вычисляем групповые средние

1 п

Х = — X Х1 + ], I = п (¿' -1), I = 1,...,т, п

]=1

где х^ - наблюдения (значения контрольного показателя).

4. Вычисляем групповые размахи

Щ = Хmax,i — xmm,i, ^ = 1,к,т ,

где хтах!, хт^! - максимальное и минимальное значения контрольного

показателя в / -й группе.

5. Вычисляем среднее значение групповых средних

_ 1 т

х = — X хг.

тг=1

6. Вычисляем среднее значение групповых размахов

_ 1 т

я = - X Щ.

т г =1

7. Вычисляем нижнюю Ьх и верхнюю их контрольные границы для групповых средних

Ьх = х — А я, их = х + А я,

где А = 0,729 - расчётный коэффициент для п = 4.

8. Вычисляем нижнюю Ьщ и верхнюю и я контрольные границы для групповых размахов

ЬЯ = »3 Я , ия = ^4 Я , где »3 = 0, »4 = 2,282 - расчётные коэффициенты для п = 4.

Сигналом о выходе процесса из состояния статистической управляемости является выполнение хотя бы одного из условий

Хг < Ьх , Хг > их, яг > ия.

Группы, в которых обнаруживается статистическая неуправляемость процесса, будем называть сигнальными группами.

Контрольные карты групповых средних и групповых размахов для варианта мониторинга с фазой 1, содержащей 25 групп (100 наблюдений), приведены на рис. 1 и 2. На картах показаны графики групповых средних и групповых размахов и соответствующие контрольные границы.

Карта групповых средних показывает выход процесса из состояния статистической управляемости: за нижнюю контрольную границу - в точках 3, 22, 31 и 36; за верхнюю контрольную границу - в точках 5 и 44.

Карта групповых размахов показывает выход процесса из состояния статистической управляемости в точке 4.

Отметим, что точки 3, 4, 5 и 22 находятся в фазе 1. Считается, что фаза 1 используется только для расчёта контрольных границ, а собственно мониторинг процесса с использованием карт осуществляется в фазе 2. Но рассматриваемый пример ещё раз подтверждает известный вывод о том, что контрольные карты Шухарта работают с начала процесса [4].

Карты групповых средних, построенные по фазе 1 объёмом 15 групп (60 наблюдений) и 40 групп (160 наблюдений), показали выход процесса: за нижнюю границу - в точках 3, 22, 31и 36; за верхнюю границу - в точках 5 и 44. Карта групповых размахов, построенная по фазе 1 объёмом 15 групп показала выход процесса за контрольную границу в точке 4, а аналогичная карта при фазе 1 объёмом 40 групп показала выход за контрольную границу в точках 4 и 15.

60 40 20 0

-/10 -60 -80 -100

Рис. 1. Контрольная карта групповых средних

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Рис. 2. Контрольная карта групповых размахов

Таким образом, контрольные карты групповых средних и групповых размахов (классические контрольные карты Шухарта) показывают высокую устойчивость результатов мониторинга реального технологического процесса, т.е. процесса нестационарного, автокоррелированного и далёкого от нормального закона распределения.

Карты индивидуальных значений и скользящих размахов строим в соответствии со стандартом [3].

1. Выбираем число индивидуальных значений (наблюдений) т в

фазе 1.

2. Вычисляем скользящие размахи

Яг =|Хг — Хг—1, г = 2,.,т.

3. Вычисляем среднее значение наблюдений

1т

Х = — X Хг. т г =1

4. Вычисляем средний скользящий размах

_ 1 т

я = -4 X я,.

т — 1 г=2

5. Вычисляем нижнюю Ьх и верхнюю их контрольные границы для индивидуальных значений

_ 3 - _ 3 -

Ьх = х-Я , их = х +-------Я ,

Л т ' Л т '

й 2 й2

где й 2 = 1,128 - расчётный коэффициент для п = 2.

6. Вычисляем нижнюю Ьщ и верхнюю ищ контрольные границы для скользящих размахов

ЬЯ = »3 Я , ия = »4 Я , где »3 = 0, »4 = 3,268 - расчётные коэффициенты для п = 2.

Сигналом о выходе процесса из состояния статистической управляемости является выполнение хотя бы одного из условий

Хг < Ьх , Хг > их , яг > ия.

Точки, в которых обнаруживается статистическая неуправляемость процесса, будем называть сигнальными точками.

Контрольные карты индивидуальных значений и скользящих раз-махов, построенные по фазе 1 объёмом 100 наблюдений, приведены на рис. 3 и 4. На картах показаны графики индивидуальных значений и скользящих размахов и соответствующие контрольные границы.

Карта индивидуальных значений показывает выход процесса из состояния статистической управляемости: за нижнюю контрольную границу

- в точках 13, 60, 61, 121 и 122; за верхнюю контрольную границу - в точках 20, 44 и 177.

Карта скользящих размахов показывает выход процесса из состояния статистической управляемости в точках 16, 60, 62, 121, 149 и 199. Точки 13, 16, 20, 44, 60, 61 и 62 находятся в первой фазе, т.е. карты индивидуальных значений и скользящих размахов также могут работать с начала процесса.

Карты индивидуальных значений, построенные по фазе 1 объёмом 60 и 160 наблюдений, показали выход процесса: за нижнюю границу - в точках 13, 15, 60, 61, 121 и 122; за верхнюю границу - в точках 20, 44 и 177. Карты скользящих размахов, построенные по фазе 1 объёмом 60 и 160 наблюдений, показали выход процесса за контрольную границу в точках 16, 60, 62, 121, 149 и 199.

Рис. 3. Контрольная карта индивидуальных значений

ІГ', ГО^ІЛ^-ІЧ'-ГООІ-0*НГЧ--ГОО^ІЛ»НГ*--ГОТ>ІЛ»НГЧ--ГОО^І-П»-НГЧ--ГОО^ІЛ»-НГЧ^'0^ і-Чі—«рдрС ГП ^ ^ Ш ІО Ю І4« ГО О СГ» О э и N ГМ О го 'І' О IП ю ю N го по СГ> СГі

Рис. 4. Контрольная карта скользящихразмахов

Таким образом, результаты мониторинга с применением карт индивидуальных значений и скользящих размахов оказались практически не зависящими от объёма фазы 1.

Рассмотрим далее применение контрольной карты экспоненциально взвешенного скользящего среднего (карты EWMA).

Карту EWMA строим в следующей последовательности [5].

1. Выбираем число наблюдений т в фазе 1.

2. Вычисляем среднее значение наблюдений

1 т

X = — ^ Х1 . тг=1

3. Вычисляем стандартное отклонение наблюдений

а

т -

ї

1 т

т г=1

4. Для обнаружения малых и умеренных отклонений процесса выбираем коэффициент фильтрации к = 0,25 и граничный коэффициент Н = 2,9 [6].

5. Вычисляем одношаговые прогнозы наблюдений

Ег =(1 - к)Ег_1 + кхг, г = 1,...,т, £0 = Хо,

где хо - целевое значение контрольного показателя. Так как в рассматриваемом примере контрольным показателем является отклонение размера детали от номинального значения, то хо = 0 .

6. Вычисляем стандартные отклонения одношаговых прогнозов

і = 1,...,т .

— 1 -(1 - к )2і

2 - к '

7. Вычисляем значения нижней Ь і и верхней и і контрольных границ для одношаговых прогнозов наблюдений

Ьі = Е0 - ИБі, ^ = Ео + ИБі, і = 1,...,т .

Сигналом о выходе процесса из состояния статистической управляемости является выполнение хотя бы одного из условий

Еі < Ьі, Еі > иі .

Карта EWMA содержит график одношаговых прогнозов наблюдений и графики контрольных границ.

Карты EWMA, построенные по фазе 1 различного объёма, обнаружили выход процесса из состояния статистической управляемости в следующих точках:

- при фазе 1 объёмом 60 наблюдений - в точках 13, 14, 15, 61, 62, 122, 123, 124, 177, 178;

- при фазе 1 объёмом 100 наблюдений - в точках 12, 13, 14, 15, 61, 62, 122, 123, 124, 148, 175, 177, 178;

- при фазе 1 объёмом 160 наблюдений - в точках 12, 13, 14, 15, 61, 62, 88, 122, 123, 124, 148, 175, 177, 178.

Карта EWMA демонстрирует высокую устойчивость относительно объёма фазы 1 и работоспособность в этой фазе.

С практической точки зрения существенным недостатком карты EWMA является слишком большая свобода или, лучше сказать, неопреде-лённость выбора параметров карты, а именно значений коэффициента фильтрации к и граничного коэффициента Н .

В заключение рассмотрим применение контрольной карты кумулятивных сумм (карты CUSUM).

Карту CUSUM строим в следующей последовательности [5].

1. Выбираем число наблюдений т в фазе 1.

2. Вычисляем среднее значение X и стандартное отклонение а наблюдений в фазе 1 по аналогии с картой EWMA.

3. Задаём типовые значения параметров карты:

- ожидаемый сдвиг среднего значения наблюдений, выраженный в величинах стандартного отклонения, 8 = 1;

- вероятность ложных сигналов о выходе процесса из состояния статистической управляемости а = 0,01.

4. Вычисляем значения положительной Рг и отрицательной N кумулятивных сумм

8а Л

х0 _ + Рг-1

Рг

max

0; хг

2

: 1,

Ро = 0;

У

Иг = min

0; хг - хо + ^г + Иг-1 V 2

г = 1,..., m, N о = 0.

5. Вычисляем верхнюю U и нижнюю L контрольные границы

U:

—ln d

r

V 2 У

L = -U.

Сигналом о выходе процесса из состояния статистической управляемости является выполнение хотя бы одного из условий

Рг > U, Иг < L .

На карте CUSUM изображаются графики положительной и отрицательной кумулятивных сумм и линии верхней и нижней границ. Выход графика положительной кумулятивной суммы за верхнюю границу означает, что произошёл положительный сдвиг (увеличение) среднего значения контрольного показателя. Выход графика отрицательной кумулятивной суммы за нижнюю границу означает, что произошёл отрицательный сдвиг (уменьшение) среднего значения контрольного показателя. Пока сохраняется сдвиг среднего значения кумулятивная сумма увеличивается по модулю и остаётся за контрольной границей, поэтому в качестве сигнальной точки принимается первая точка, вышедшая за контрольную границу.

Карта CUSUM позволяет определить момент сдвига среднего значения. Предполагается, что сдвиг происходит в точке, начиная с которой кумулятивная сумма постоянно растёт по модулю до перехода через контрольную границу. Основным недостатком карты CUSUM является необходимость задавать величину изменения среднего значения, которую мы хотим обнаружить.

Карта CUSUM, построенная по фазе 1 объёмом 60 наблюдений, обнаружила непродолжительные сдвиги среднего: отрицательные - в точках

9, 121 и 141 (сигналы о выходе процесса из состояния статистической управляемости поданы в точках 14, 124 и 148 соответственно); положительный - в точке 155 (сигнал подан в точке 175). Карты CUSUM, построенные по фазе 1 объёмом 100 и 160 наблюдений, показали сдвиги средне-

го: отрицательные - в точках 9, 60, 121 и 141 (сигналы поданы в точках 13, 61, 123 и 147 соответственно); положительный - в точке 155 (сигнал подан в точке 173).

Таким образом, карта СОБЦМ также показала устойчивость по отношению к объёму данных в фазе 1 и работоспособность в этой фазе.

Общие итоги мониторинга приведены в табл. 2, где обозначено:

- GAGR - карты групповых средних и групповых размахов;

- ^МК - карты индивидуальных значений и скользящих размахов;

- EWMA - карта экспоненциально взвешенного скользящего среднего;

- СШЦМ - карта кумулятивных сумм.

Для карт с группировкой наблюдений указаны первые точки сигнальных групп.

Таблица 2

Сигнальные точки контрольных карт различных типов

GAGR ^МЯ EWMA сшим GAGR ^мя EWMA сшим

9 121 121

12 122 122

13 13 13 13 123 123

14 124

15 141

16 147

17 148

20 149

44 173 173

60 175

61 61 61 177 177

62 62 178

85 199

Нетрудно заметить, что из 26 полученных сигнальных точек 18 точек указаны только одной из карт, 6 точек - двумя картами, одна точка -тремя картами и одна точка - всеми картами. Такое расхождение в результатах усложняет проблему выбора метода. Для выбора метода мониторинга, наиболее подходящего для конкретного технологического процесса, целесообразно выполнить пробный мониторинг различными методами (по аналогии с рассмотренным выше примером) и провести тщательный анализ процесса специалистами-технологами с целью поиска специальных причин, нарушающих состояние статистической управляемости процесса. По-видимому, только сопоставление результатов статистического и технологического исследования процесса поможет сделать обоснованный выбор метода мониторинга.

Список литературы

1. Bisgaard S., Kulahci M. Quality Quandaries: Using a Time Series Model for Process Adjustment and Control // Quality Engineering. 2008. Vol. 20. No. 1. P. 134 - 141.

2. Адлер Ю.П., Максимова О.В., Шпер В.Л. Контрольные карты

Шухарта в России и за рубежом: краткий обзор современного состояния (статистические аспекты) // Стандарты и качество. 2011. № 8. URL: http://ria-stk.ru/upload/image/stq/2011/N8/082011-1 .pdf (дата обращения:

06.08.2012)

3. ГОСТ Р 50779.42-99 (ИСО 8258-91). Статистические методы. Контрольные карты Шухарта. М.: Стандартинформ, 1999. 35 с.

4. Уилер Д., Чамберс Д. Статистическое управление процессами: Оптимизация бизнеса с использованием контрольных карт Шухарта. М.: Альпина Бизнес Букс, 2009. 409 с.

5. Клячкин В.Н. Статистические методы в управлении качеством: компьютерные технологии: учеб. пособие для вузов. М.: Финансы и статистика, 2007. 304 с.

6. Abbasi S.A. On the Performance of EWMA Chart in the Presence of Two-Component Measurement Error // Quality Engineering. 2010. Vol. 22. No. 3. P. 199 - 213.

Нечаев Владимир Иванович, канд. техн. наук, доц., vi_nechaev@mail.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Нечаев Юрий Владимирович, аспирант, unique_foto@mail.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE CHOICE OF TECHNOLOGICAL PROCESS MONITORING METHOD

V.I.Nechaev, J. V.Nechaev

The example of monitoring method choice for the non-stationary autocorrelated process is considered. Application of various control charts types is shown: group average and group ranges, individual values and moving ranges, exponential weighed moving average, cumulative sums. The comparative analysis of trial monitoring results is carried out. Recommendations for choice of monitoring method for particular process are formulated.

Key words: non-stationary process, autocorrelated process, process monitoring, incontrol process, control charts.

Nechaev Vladimir Ivanovich, candidate of technical science, docent, vi_nechaev@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Nechaev Yury Vladimirovich, postgraduate, unique_foto@mail.ru. Russia, Tula, Tula State University