Влияние силы Бассэ на направление дрейфа включения в стоячей волне

УДК 531.3

ВЛИЯНИЕ СИЛЫ БАССЭ НА НАПРАВЛЕНИЕ ДРЕЙФА ВКЛЮЧЕНИЯ В СТОЯЧЕЙ ВОЛНЕ

ГУБАЙДУЛЛИН Д.А., ОСИПОВ П.П., ЗАКИРОВ А.Н ИММ КазНЦ РАН

Исследован дрейф включения в стоячей синусоидальной волне при различных числах Рейнольдса и Струхаля под действием сил вязкости, присоединенных масс, Архимеда и Бассэ. Показано, что для заданной плотности включения при увеличении частоты стоячей волны рано или поздно достигается пороговое значение частоты, выше которого волновая сила меняет направление. Для различных чисел Рейнольдса и Струхаля найдены зависимости квадрата порогового коэффициента увлечения от относительной плотности включения, с учетом и без учета силы Бассэ. Установлено существование порогового значения относительной плотности включения. При переходе плотности включения через пороговое значение направление волновой силы меняется. Исследовано влияние силы Бассэ на пороговое значение относительной плотности включения. Показано, что учет силы Бассэ оказывает особенно сильное влияние на пороговые кривые для неплотных включений. При увеличении числа Струхаля пороговое значение плотности включения уменьшается.

Ключевые слова: дрейф частицы, волновое поле, сила Бассэ.

Введение. В акустических полях на включение действуют различные силы: Стокса, силы типа Озеена, силы Архимеда и присоединенных масс, а также сила Бассэ, Магнуса и другие. Осцилляции несущей среды могут вызвать дрейф включения. Этот эффект широко используется в волновых технологиях очистки и коагуляции. Общие вопросы дрейфа включений в акустических полях достаточно хорошо исследованы. В литературе [1, 2] описана математическая модель динамики частицы без обратного влияния на динамику несущей фазы. В работах [3,4] исследован дрейф включения в

х

стоячей синусоидальной волне несущей среды V = и(х)8т ю t, и (х) = ид8т %— при

малых числах Рейнольдса под действием сил вязкости, присоединенных масс и силы Архимеда. Показано, что в стоячей волне при малых частотах преобладает волновая сила, вызванная вязким трением. В этих режимах неплотные включения дрейфуют в сторону пучности стоячей волны, а плотные - к её ближайшему узлу. При больших частотах преобладает волновая сила, вызванная инерцией, а направление дрейфа меняется. В работе [5] показано, что при больших числах Рейнольдса также происходит смена направления результирующей волновой силы при превышении пороговой частоты. Для определения направления волновой силы удобно использовать

диаграммы пороговых значений цр (О) (квадрат порогового коэффициента увлечения

2 2

Цр = 1/(1 + (ют) ) в зависимости от числа плотности включения О, при переходе через

которые направление результирующей волновой силы меняется на противоположное.

© Д.А. Губайдуллин, П.П. Осипов, А.Н. Закиров Проблемы энергетики, 2015, № 1-2

л

Построены универсальные диаграммы «пороговых» кривых др (О/ при различных

числах Рейнольдса и Струхаля. При увеличении чисел Рейнольдса и Струхаля

пороговые значения др (О/ заметно уменьшаются, т.е. пороговые частоты возрастают.

В [6] предложено использовать диаграммы ускорения дрейфа. В работе [7] исследовано изменение направление дрейфа включения в периодической ударной волне в резонаторе.

Несмотря на большое количество исследований дрейфа включения, вопрос о влияние силы Бассэ на направление дрейфа включения изучен слабо и является целью настоящей работы.

Постановка задачи. Система уравнений динамики включения без учета сил гравитации имеет вид

^2

Ж 2

—2 = _^ + 1^ + — ЯеVОГ^ + У1 Ъ

Ж т I 6 60 ) {81 8х 1

А. I 8и _ Жгг.

т -Г^зурй 2 йу ие\

же

Л¿Дсе 2 8х же J^/7-ë'

2г

где Х2, г2 - положение и скорость включения; Яе = Р11VI _ г2 | — - относительное

д

число Рейнольдса, г - радиус включения; О = 3р - безразмерный параметр,

2 + р

~ л

Р=Р1/Р2 - относительная плотность несущей среды; тг = 2 / Г 1= ц 2~/ (Д -

время релаксации включения для стоксова режима обтекания; т^ - время

установления стоксова режима обтекания; т = (1 + 0,5 ~/ту = Тд / (3О/ - время

релаксации включения с учетом присоединенных масс. В настоящей работе ограничимся исследованием дрейфа в плоской стоячей волне. Обезразмеривение. Вводя безразмерные величины

* х^ * V] * * *

х* = —, V* = ——, V* = —, ( = , е =ше, ь и 0 и0

„ шЬ

число Струхаля аг = — и опуская звездочку, динамика включения описывается

и0

задачей Коши:

г йх^ 1 —^ = — V2

л аг 2

Жг2 3О ( 1 г— 1 ч

+ т8}! +1181 ] + 3°I(8ц + v2 сг1 йг:

ск аг 8х) 4к «Шсе Sr сх же

Х2 (0) = 0,75, V2 (0) = 0, v1 (х, I) = 8Ш( пх/ sin I, где К = шг /и , Яе = Яе0 | V2 _г^ |, Яе0 = Р1 Ц)2г/д.

Поиск пороговых кривых. Численные эксперименты показали, что в нестоксовом инерционном режиме обтекания также возникает смена направления волновой силы при превышении пороговой частоты. Поэтому представляет интерес получение кривых для безразмерной пороговой частоты ют при различных значениях Reg и относительных плотностей флюида р . В настоящей работе, однако, вместо этого

определяется пороговое значение др в зависимости от числа плотности D.

о

Преимуществом координат D, др перед координатами р, ют является ограниченность

области диаграммы ввиду условий 0 < D < 3, 0 < др < 1. Для чисел Reg = 0,01; 10; 100 и различных чисел Струхаля для каждого из значений D = 0,01; 0,02; ...; 2,99; 3,0 находилось пороговое значения др , при переходе через которое включение меняло направление дрейфа. Решалось семейство задач о дрейфе включения из стандартного положения Х2 (0) = 0,75, V2 (0) = 0 при различных частотах, и по знаку средней скорости в течение первых десяти периодов определялось направление дрейфа. Сначала оно определялось для малых ют = 0,01. Далее безразмерная частота колебаний увеличивалась до тех пор, пока не происходила смена направления дрейфа. Таким образом, находились пороговые значения др , при переходе через которые включение

меняло направление дрейфа.

Численные эксперименты. Учет силы Бассэ резко увеличивает время численного расчета. В связи с этим было проведено распараллеливание вычисления интеграла Дюамеля:

« »<в>

с помощью библиотеки MPI. Распараллеливание проводилось на трех компьютерах, объединенных локальной сетью. В каждом узле tn = n A t область интегрирования разбивалась на три примерно равные части

~ ^Д t _ £2A t __tn _

--= f /

^ 0 ^ kf t ^ kf t

Каждый из интегралов вычислялся по формуле трапеций. Например, второй интеграл

2 'T_ 2 /k-1 + /k,

k2A t __k=k2 _ _

f /(9) = --= X JkЛ+ Jk (Jn-tk

^ k,A t ^ k=k1 2

k=ko

Л -1 + л

к=kl ^n - к + 7n -

Распараллеливание позволило увеличить скорость вычислений в 4 раза. Расчеты показывают, что для заданной плотности включения при увеличении частоты стоячей волны ю достигается пороговое значение квадрата коэффициента

увлечения др , при переходе через которое волновая сила меняет свое направление на

противоположное. На рис. 1 и 2 показаны семейства зависимостей порогового значения

др от числа плотности О при различных числах Струхаля для стоксова режима без

учета и с учетом сил Бассэ. Ир 0.8

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О

г Л

1

1

0.5 1 1.5 2 2.5

Рис. 1. Зависимость порогового значения от числа плотности. Без учета силы Бассэ. Ие0 =0,01, 8г=10

Ир 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О

1 2 3

-

: _2 \

1

0.5 1 1.5 2 2.5

Рис. 2. Зависимость порогового значения от числа плотности. С учетом силы Бассэ.

Ие0 =0,01, 8г=10

Без учета силы Бассэ для всех пороговых кривых существует единое пороговое значение числа плотности, при переходе через которое меняется направление волновой силы. Учет силы Бассэ приводит к возникновению разных пороговых значений числа плотности.

На рис. 3 и 4 показаны семейства зависимостей порогового значения Др от числа

плотности Б при различных числах Струхаля для нестоксова режима без учета и с учетом силы Бассэ.

Цр0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

1

4 — \ у/У \\

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Рис. 3. Зависимость порогового значения от числа плотности. Без учета силы Бассэ. Яе0 =10 , 8г=10

Рис. 4. Зависимость порогового значения от числа плотности. С учетом силы Бассэ. Яе0 =10 , Бг=10

2

На рис. 5 и 6 показаны семейства зависимостей порогового значения Др от числа плотности Б при различных числах Струхаля для нестоксова режима при большом числе Рейнольдса Яед = 100 без учета и с учетом сил Бассэ.

Ц^О.6

0.5

Рис. 5. Зависимость порогового значения от числа плотности. Без учета силы Бассэ. Яе0=100, Бг=10

Рис. 6. Зависимость порогового значения от числа плотности. С учетом силы Бассэ. Re0 =100, Sr=10

Расчеты показывают, что учет силы Бассэ оказывает особенно сильное влияние на пороговые кривые для неплотных включений. При увеличении числа Струхаля

пороговое значение цр для плотных включений уменьшается. Пороговое значение

плотности включения уменьшается (число плотности D увеличивается).

Summary

The inclusion drift in a standing sinusoidal fluid-velocity wave at various Reynolds and Strouhal numbers under the action of the viscous force, the virtual mass force, the

© Проблемы энергетики, 2015, № 1-2

buoyancy force and Basset force has been investigated. For a given inclusion density, as the standing wave frequency increases, its threshold value, above which the direction of the wave force reverses, is attained sooner or later. For various Reynolds and Strouhal numbers (with and without Basset force), the dependences of the squared threshold drag coefficient on the inclusion density number have been found. These dependences show that with increasing Reynolds and Strouhal numbers the threshold value of the squared drag coefficient decreases markedly. Basset force influence on a threshold value has been investigated. It has been shown, that Basset force influence most on threshold values of low-density inclusions.

Keywords: the inclusions drift, wave field, Basset force.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Москва: Наука, 1987. Часть 1, 2.

2. Ганиев Р.Ф. Украинский Л.Е. Нелинейная волновая механика и технология. Москва: Изд. R&C Dynamics, 2008. 712 с.

3. Губайдуллин Д.А., Осипов П.П. Влияние гидродинамических сил на дрейф включений в волновых полях // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2010. №1-2. С.3-13.

4. Губайдуллин Д.А., Осипов П.П. О некоторых режимах дрейфа включений в акустических полях//ИФЖ. 2011. Т.84, №2. С. 255-262.

5. Губайдуллин Д.А., Осипов П.П. Влияние чисел Рейнольдса и Струхаля на направление волновой силы, действующей на включения в стоячей синусоидальной волне// ИФЖ. 2013. Т. 86. №1. С. 50-58.

6. D.A. Gubaidullin, P.P. Osipov. Diagrams for drift acceleration of inclusion in acoustic field/ Proc. EAC2013, Prague 1-6 sep. 2013.

7. D.A. Gubaidullin, P.P. Ossipov. Numerical simulation of particle drift in acoustic resonator with periodic shock wave/ Applied mathematics and computation, 2013. V. 219, №9, pp. 4535 - 4544.

Поступила в редакцию 18 декабря 2014 г.

Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ. -мат. наук, член-корр. РАН, директор Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН (ИММ КазНЦ РАН). Тел: 8(843)236-52-89. E-mail: gubajdullin@mail.knc.ru.

Осипов Петр Петрович - д-р физ.-мат. наук Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН (ИММ КазНЦ РАН). Тел: 8(903)3882133. E-mail: petro300@rambler.ru.

Закиров Адель Наилевич - магистр 2-года обучения Института механики и математики Казанского Федерального Университета. Тел: 8(937)5996727. E-mail: adel.zakirov@gmail.com.