Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевой пластиной

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1

И. Н. Макаренко, С. Б. Филиппов

УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНОЙ*

1. Введение. Почти во всех работах, посвященных задачам о подкрепленных оболочках, шпангоут рассматривается как круговой стержень [1]. Такая модель хорошо работает для узкого шпангоута, но не подходит для случая, когда ширина шпангоута достаточно велика.

В настоящей работе мы рассматриваем шпангоут как тонкую пластину, а не как стержень. Предложена новая модель потери устойчивости тонкой цилиндрической оболочки, находящейся под действием равномерного бокового внешнего давления и подкрепленной кольцевой пластиной на краю. Получены асимптотические формулы для определения жесткости кольца в его плоскости. Эти формулы использованы для оценки критического давления подкрепленной цилиндрической оболочки. Результаты асимптотического анализа подтверждаются численными результатами, полученными методом ортогональной прогонки.

2. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим задачу о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния цилиндрической оболочки, подкрепленной по краю кольцом, под действием равномерного бокового внешнего давления р (рис. 1). Предположим, что оболочка и кольцевая пластина изготовлены из одного и того же материала, кольцо имеет прямоугольное поперечное сечение.

Выберем за единицу длины радиус цилиндрической оболочки К и введем на срединной поверхности цилиндрической оболочки безразмерную координату в — длину дуги меридиана, на срединной поверхности пластины — радиальную координату х, а также координату р € [0, 2п] —угол в окружном направлении. Для цилиндрической оболочки в € [в1, в2], для пластины х € [1,1 + Ь], где Ь — безразмерная (отнесенная к радиусу К) ширина кольцевой пластины. Окружность в = в2, х =1 является параллелью сопряжения оболочек.

Предположим, что цилиндрическая оболочка имеет безразмерную толщину Н, кольцевая пластина — толщину Нр; I = в2 — в1 —безразмерная длина цилиндра.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00257). © И. Н. Макаренко, С. Б. Филиппов, 2005

и

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцом.

Уравнения устойчивости конической оболочки можно использовать для описания потери устойчивости как цилиндрической оболочки, так и кольцевой пластины. После разделения переменных систему уравнений устойчивости конической оболочки запишем в безразмерном виде [2, 3]:

Б' + + ^ + = 0,

Г)/ I В г) I гол г±2 I л

+ "В^1 + -В^ - -Щ + Б

т$2я2 - (В^1ь1)'

0.

Здесь штрих обозначает дифференцирование по в для цилиндра (по х для пластины); т — число волн по параллели; В(в) —расстояние от точки срединной поверхности оболочки до оси вращения; Й2(в) —главный радиус кривизны срединной поверхности оболочки; Л = (1 — ¿2)р/(ЕН) —искомый параметр нагружения; Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона; — проекции перемещений точек срединной поверхности

на направления касательной к меридиану, касательной к параллели и внешней нормали к поверхности оболочки соответственно; Т1,Т2,Б — нормальные и сдвигающее усилия; Н — крутящий момент.

Усилия Qi, Б выражаются через перемещения и, V, ад по формулам

Я1 = М[ + ^{М1-М2) + 2ЩН, д2 =

Их = ¡4(к1 + VK2), М2 = ¡4(к2 + vкl),

Т1 = £1 + V£2, Т2 = £2 + V£1, Н = ¡4

с _ 1 — у (В', пг.Л „ _ „,/ „ _ т„, , В', , и>

Ь — —^—~~ ~Б~ ~В )' 1 ~ ' 2 ~~ ~Б ~Б~

«1=^1, «2 = ^2 + ^1, 01 = -«Л =

где ^1,^2 —углы поворота элемента срединной поверхности вокруг тангенциальных осей; £х,£2 —относительные удлинения волокон, связанные с линиями главной кривизны; кх, К2 —компоненты изгибной деформации поверхности; л — малый параметр, связанный с безразмерной толщиной оболочек. Для цилиндрической оболочки обозначим этот параметр ц1: ¡4 = Н2/12, для кольцевой пластины — ¡2: ¡2 = Нр/12.

Будем записывать величины, характеризующие цилиндрическую оболочку, буквами с верхним индексом (1), а характеризующие кольцевую пластину — с верхним индексом (2). Тогда

В

2

Функция ¿1(5) в системе (1) —решение безмоментной задачи,

1 ( В* \

*(1к)00 = 2 к = 1,2, где Й2 = Й2(52)' в* = в^)-

На свободном крае х = 1 + Ь кольцевой пластины выполнены условия

Т1 = М1 = Б = Q1 =0.

Кроме того, для цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной под прямым углом по параллели в = в2, х = 1, должны быть выполнены условия непрерывности перемещений, усилий, угла поворота $1 и момента Ы\ [3]:

1.

-,

,

-,

т(2) _ Н п(1) ^ - 1ГРЧ1 '

д12)

Н гр

7(1), $

$

М-

Нр

Б

р Нр

Для определения критического давления воспользуемся асимптотическим методом интегрирования уравнений устойчивости, предложенным П.Е.Товстиком [2]. Приближенное уравнение для определения критического внешнего давления цилиндрической оболочки имеет вид

4

^-«,0 = 0,

где

Л 4 8

4 Ао - цт

а =

причем

«о

Тю = (1 - »2)ц

о

Бо

1- V

(1 - v2)vо

Здесь «о, «о, Тю и Бо — главные члены в асимптотических разложениях перемещений и полубезмоментных усилий.

Для того чтобы получить граничные условия для уравнения (5) на подкрепленном крае в = в2, необходимо разделить краевые условия исходной задачи на главные и дополнительные. Критерий, по которому следует проводить разделение, и разделение простейших граничных условий на краях оболочки описаны в работе [2]. В некоторых случаях для получения главных и дополнительных условий необходимо составлять линейные комбинации исходных граничных условий. Из главных условий, путем отбрасывания второстепенных членов получают приближенные граничные условия для уравнения (5).

3. Граничные условия в задаче об устойчивости цилиндра, подкрепленного стержнем. В случае Ь ^ 1 кольцо, изображенное на рис. 1, можно рассматривать как круговой стержень. Приближенное решение задачи об устойчивости цилиндрической оболочки, подкрепленной круговым стержнем, и подробный асимптотический анализ условий сопряжения рассмотрены в [3].

В случае жесткой заделки края в = в1 граничные условия для уравнения (5) имеют вид ^

«о = «о = 0,

а условия сопряжения на параллели в = в2, х =1 записываются как

Т1

1о

0, Бо + с«о = 0,

где

с = то \ Jx +

2р (2)'

1 + 6 у

В приведенных выше формулах

¥

4д3^4т6( Лк +

4

{¥ (2и> =

(1 — г/2)1/4 л/2 то2

{Б (2),ТХ}, =

2(1 + 1/)Н

Тк

1

е

1Х —безразмерный момент инерции поперечного сечения относительно оси х, 1к —безразмерный фактор крутильной жесткости, — безразмерная площадь поперечного сечения шпангоута, е — эксцентриситет шпангоута.

4. Граничные условия в задаче об устойчивости цилиндра, подкрепленного пластиной. Если ширина кольца Ь ~ 1, то будем рассматривать шпангоут как кольцевую пластину, а не как стержень. Для того, чтобы получить граничные условия сопряжения оболочки с пластиной, надо решить задачу о деформации пластины (рис. 2).

Рис. 2. Система координат на кольцевой пластине.

Жесткость тонкой пластины на изгиб мала по сравнению с ее жесткостью на растяжение-сжатие и сдвиг, поэтому ограничимся исследованием уравнений, описывающих деформацию пластины в ее плоскости:

/ ,™2

и + 6Щь'~(1 + -у)Щь = 0,

= О,

х х х

где

+ ц- - -И - 7и^и + 5§у' - (1 + 7)Цу = О, х х х

/ 2 1У" + _ _ _ ¿Щи' -

1 - V . 1 + и

7= -, о = -.

' 2 ' 2

В уравнениях (8) сделаем замену переменной х = ег. Принимая во внимание, что получим систему уравнений с постоянными коэффициентами:

>2 Г1

^Мг — и — /ут2и + —

Л2 Л

^ ~ ~ т2у ^ ~ ^ ^ = 0-

Решение системы (9) ищем в виде и = Аев, V = Вев. Подстановка этих решений в (9) дает систему линейных уравнений для определения А и В:

(02 - 1 - 7Ш2)А + ш(6а - 7 - 1)В = 0, т(-6а - 7 - 1)А + (7а2 - 7 - т2)В = 0.

Приравняв нулю определитель системы (10), получим уравнение

04 - 202(т2 + 1) + (т2 - 1)2 = 0,

имеющее четыре вещественных корня

01 = т - 1, 02 = т + 1, 03 = -т - 1, 04 = -т + 1.

Общее решение системы (9) имеет вид

4 4

]ГОкЛк в^, V = ]Т Ск Бк в^,

4

и

к=1 к=1

где Ск —произвольные постоянные. Подставляя в1, в, вз, в4 в (10) находим отношения Лк/Бк для к = 1, 2, 3,4:

-А-1 = —В\ = 1; А2 = - 1 + Ш, В2 = 1 + Х-

А3 = В3 = 1; = 1 + В4 = 1-Х

6т' 2 6т

_ ^ __ 2

6т' 4 ¿т'

Общее решение системы (10) таким образом приобретает вид

М(2) = С^х™-1 + С2(-1 + + Сзх-™-1 + С4( 1 + ^)х-т+\

„(2) = -Сгх™-1 + С2( 1 + ^)хт+1 + Сзх-™-1 + С4(1 -

С помощью формул (2), (3), (11) находим

Т[2) = 2С17(т - 1)х™-2 - 2С727(та+1^та-2)х--

-27(т + 1)С3х-т-2 - 2С47(та+1тота~2Ы~т, 5(2) = -2С17(т - 1)жт-2 + 2С27(т + 1)жт-

-27(т + 1)С3ж-т-2 - 2С47(т - 1)ж-т

Предположим, что т ^ 1. Будем использовать нулевое приближение к решению краевой задачи для цилиндрической оболочки, пренебрегая слагаемыми 0(т-2), поэтому и в формулах (12) отбросим слагаемые 0(т-2) по сравнению с 1, считая что

- ~ т — 1, - с; т + 1.

тт

Теперь рассмотрим условия, которые должны выполняться на параллели сопряжения цилиндрической оболочки и пластины. Опирание на мембрану (шарнирный край) предполагает, что жесткость пластины на изгиб равна нулю, а жесткость на растяжение бесконечна. В этом случае Ы((2) = ^12) = 0, v(1) = = 0, и граничные условия на краю в = в2 цилиндрической оболочки имеют вид

= ^ = т(1) = ы(1) = 0.

Предположим, что пластина не сопротивляется изгибу, но имеет конечную жест-сть на растяжение. Тогд =0 следуют условия

кость на растяжение. Тогда, как и в случае опирания на мембрану, из равенств Ы{ =

Т1

но

„..(1) _ „.(2) „.(1)_„.(2) от _ К а(2) /->(!)__,.

Н ^

Пусть ширина пластины достаточно велика. Тогда решения, убывающие при удалении от внешнего края пластины, можно не учитывать при выводе граничных условий на краю в = в2 цилиндрической оболочки. Полагая в (11) С\ = С2 = 0, получим

«Я =C3x-m-1+C4(l + ^)x-m+1, =C3x-m-1 + C4(l-^-)x-m+1.

у от J у от )

Из первых двух равенств (14) находим выражения для C3 и C4:

3 - Щ ' °4 --Ôi-'

ге а=1+2х =1__2_ 2

ГД ai ôm' а'2 ôm' ôm

Граничные условия для уравнения (5) при s = S2 находятся после выделения двух главных условий из условий (13) и двух последних условий (14). В рассматриваемой задаче условие

T

является главным. Чтобы получить второе главное условие, составим линейную комбинацию условий

S(1) — mQl1, сохраняя только главные члены:

1 + Y h

Принимая во внимание, что S(1) — mQ(1) ~ S01)m-3, w(1) ~ wg1) и wg1 ~ — vg1 получим второе главное условие в виде

ïm5

^1}+«;о = 0, где

Таким образом, условия сопряжения (15), (16) цилиндрической оболочки с пластиной оказываются такими же, как условия сопряжения (7) цилиндра со стержнем, только константа c в этом случае имеет другой вид.

Теперь вернемся к решению задачи об устойчивости цилиндрической подкрепленной по краю пластиной. Так же как и в случае подкрепления стержнем общее решение уравнения (5) ищется в виде линейной комбинации функций Крылова:

v0 = AS

Здесь

S (z) = ch z + cos z, V (z) = sh z — sin z, U(z)=ch z — cos z, T (z) = sh z + sin z.

Подставим (17) в граничные условия жесткой заделки левого края оболочки (6) и условия сопряжения (15), (16) и приравняем нулю определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными A,B,C,D. Получим уравнение для определения а, которое можно представить в виде

-feos al -\—-—- ] —

с \ ch al ) a

После определения наименьшего корня уравнения (18) искомое значение параметра нагружения находим по формуле

. ((1 - v2)a4 , 4 Л

Л ~ mm --тг--Ь М т

m у m6 у

5. Численное интегрирование уравнений устойчивости оболочек. Задача об устойчивости сопряженных оболочек, нагруженных равномерным боковым внешним давлением, с математической точки зрения эквивалентна отысканию собственных значений некоторой однородной краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем обозначения

У1 = u, У2 = v, уз = w, У4 = $i, У5 = Ti, У6 = S, У7 = Mi, ys = Qi и преобразуем систему (1) — (2) к нормальной форме

dy 8

—¡^ = ^2aik

k=i

Ненулевые коэффициенты aik при интегрировании системы (19) на интервале [si, S2], соответствующем цилиндрической оболочке, определяются формулами

ai2 = a42 = -mv, ai3 = ag5 = v, ai5 = -аз4 = a7g = 1, a2i = -a56 = m,

«26 = а43 =-а87 =-т2г/, а47 = а62 = С«г2(1 - v2)(\ + /4),

ц i

a63 = Cm(1 - v) (1 + v + ¡j,4(m2 - m2v + 2v)) , a65 = (m (v - 2^|(1 - v)) , a67 = Zm(2 - v), a7i = -2(1 - v)m2p4, a74 = 2(1 - v)m2p'f, a76 = -4mp'f,

a.82 = (1 - v2)m{ 1 + jj,fm2) - Am, а8з = (1 - ^2)(1 + nfm4) - Am, где С = 1 Л. 4 •

1 +

При интегрировании системы (19) на интервале [1,1 + b], соответствующем пластине, ненулевые коэффициенты a^k определяются следующими формулами:

aii = a44 = -biv, ai2 = - a65 = -cv, ai5 = -a34 = a78 = 1, a2i = -a56 = c,

0,22 = —(188 = bl, (126 = l—jyi a43 = —187 = ~C2V, CJ47 = , CJ51 = Ь2(1 — V2),

M2

a52 = a6i = bic(1 - v2), a55 = a77 = bi(v - 1), a62 = c2(1 - v2), a63 = -2c^|(1 - v)(2b2 + c2), a64 = -2bic^(1 - v)(2 + v), a66 = -2bi, a73 = ag4 = bic2^|(1 - v)(3 + v), a74 = м!(1 - v) (bf(1 + v) + 2c2) , 83 = c2(l - (c2(l + v) + 2Ь2) , где = ^ = с = Щ = jf^.

Граничные условия жесткой заделки края s = si цилиндра в новых переменных принимают вид

У1 = У2 = Уз = У4 = 0,

а условия (4) на параллели сопряжения в = в2, х = 1 цилиндрической оболочки и пластины выглядят следующим образом:

(2) (1) У1 = Уз ,

(2) _ h_ (1) - А У5 ,

(2) (1) У2 = у2 ,

уЗ ) =

У(1) У1,

и У 6 \ У — и У 7 ^ tip tip

У? =

yi2) = -M]-

Up

Численное решение краевой задачи (19)—(23) проводилось в данной работе методом ортогональной прогонки [4].

6. Пример расчета. На рис. 3 и 4 приведены результаты расчетов по асимптотическим формулам для двух различных моделей и методом ортогональной прогонки для цилиндрической оболочки безразмерной длины I, подкрепленной пластиной на краю. Край цилиндра жестко заделан, край пластины свободен. По оси абсцисс откладывалось отношение к = Ъ/Нр (где Ъ — безразмерная ширина кольцевой пластины, Нр —ее безразмерная толщина), по оси ординат — значения величины 105 • Л (где Л — искомый наименьший параметр нагружения) для различных значений к.

Л - 105

35,0 32,5 30,0 27,5 25,0 22,5 20,0 17,5

" - - " - - - - - —

2 / ^

/ / /

! / 7

f

//

/

20 40 60 80 100

Рис. 3. Зависимость Л • 105 от к для подкрепленной цилиндрической оболочки при Н = 0.01, Нр = 0.002.

Л - ю5

35,0

30,0

25,0

20,0

.--

2 / /

7/ ! Г

> // г /

//

25 50 70 100 125 150 175 200

Рис. 4- Зависимость Л • 105 от k для подкрепленной цилиндрической оболочки при h = 0.01, hp = 0.001.

Рассматривались конструкции со следующими параметрами:

h = 0.01, l = 3.0, R = 0.1778 м, v = 0.3, E = 2.06 • 1011 кг/(м • с2), hp = 0.002 (рис. 3), hp = 0.001 (рис. 4), b = к • hp.

Рис. 3 соответствует случаю, когда толщина пластины в пять раз меньше толщины цилиндрической оболочки, рис.4 — когда пластина в десять раз тоньше цилиндра.

На каждом из рисунков изображены три кривые. Кривая 1 (штрих) показывает зависимость значений 105 • Л от к, найденных для стержневой модели с учетом эксцентриситета шпангоута e = b/2. Прямая линия 2 соответствует значениям минимального параметра нагружения, полученным по асимптотическим формулам для цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевой пластиной.

И, наконец, кривая 3 —это результат решения краевой задачи методом ортогональной прогонки. Для каждого фиксированного к (т. е. фиксированной длины пластины) находилась серия параметров нагружения Л(т) при числе волн по параллели т от 0 до 12, а затем из всех параметров нагружения выбирался наименьший:

Л* = min Л(т).

m

Излом, который виден на кривой 3 (рис.3 и 4), соответствует переходу от одного числа волн по параллели m, при котором параметр нагружения Л оказывается наименьшим, к другому.

При малых к результаты расчета методом прогонки близки к асимптотическим результатам, полученным с использованием стержневой модели шпангоута. При увеличении к, что соответствует увеличению ширины шпангоута, результаты численного расчета практически совпали со значениями, которые были найдены по асимптотическим формулам для цилиндра, подкрепленного кольцевой пластиной.

Summary

I. N. Makarenko, S. B. Filippov. Buckling of a thin cylindrical shell joint with an annular plate.

Buckling of a thin cylindrical shell joint with an annular thin plate under uniform external lateral pressure is considered. The narrow plate is considered as a circular beam. If the plate width is not small, then a new model of buckling is proposed. With the help of a well-known asymptotic method approximate explicit formulas for the parameter of critical external pressure are obtained. The asymptotic and numerical results obtained by a sweep method are in close agreement with each other.

Литература

1. Tian J., Wang C. M., and Swaddiwudhipohg S. Elastic buckling analysis of ring-stiffened cylindrical shell under general pressure loading via ritz method. Thin walled structures. Vol. 35. 1999. P. 1-24.

2. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

3. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 196 с.

4. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973. Т. 1. 590 с.

Статья поступила в редакцию 27 мая 2004 г.