АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

Алейдаров С. М.

Дагестанский государственный университет,

г. Махачкала, Россия

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваем уравнение нейтрального типа с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве со степенным весом. Наличие линейного отклонения аргумента и переменного коэффициента перед производной не позволяет применить преобразование Фурье для исследования уравнения нейтрального типа. Поэтому при рассмотрении вопросов разрешимости и асимптотики мы использовали преобразование Меллина.

Для уравнения нейтрального типа с постоянными операторными коэффициентами получены достаточные условия однозначной разрешимости через резольвенту.

Для уравнения нейтрального типа с переменными коэффициентами получены оценки переменных частей, обеспечивающие однозначную разрешимость.

Получена асимптотическая оценка всех решений уравнения в случае, когда нет однозначности решения.

Ключевые слова: нейтральный тип, степенной вес, разрешимость, гильбертово пространство

К решению линейного дифференциального уравнения с линейным отклонением аргумента нейтрального типа приводит изучение собственных колебаний в волновой среде с периодически изменяющимися граничными условиями. Такими системами являются, например, оптический

резонатор и струна с колеблющейся границей, балки с переменной нагрузкой на конце, а в радиофизике и радиоэлектронике - применяемые в информационных вычислительных и

измерительных устройствах волновые системы с периодически изменяющейся ёмкостью на границе.

Линейная система вида

Ь^Х'(Ь) =

о\ с\

Х(1),

где — = а + р,С • С0 = —а • р и а — р - нецелое число, 1Л1 — Л21 > Щ > 1Л21 > 0 в комплексной области изучено в [1].

В этой работе получена асимптотика фундаментальной системы вида

т=0

при I ^ ю в некотором секторе комплексной аргументом в окрестности особой точки изучено в плоскости. [2]. В этой работе для скалярного уравнения

Структуру решений трехчленного дифференциального уравнения с запаздывающим

г • у'(г) = а(г)у(и) + ъ(г)у(г), 0<х<1

изучается структура решений, определенных Обобщением вышеуказанных уравнений

на ]0;Д[ и рассматривается взаимное влияние на является уравнение, рассматриваемое в этой поведение решений в окрестности особой точки £ = работе.

0 членов с запаздыванием и без запаздывания. В статье мы рассматриваем уравнение

нейтрального типа

т

ти

1=0

с неограниченными операторными коэффициентами

А],А](Ь) : У ^ У,Ю(А]) = V (¿ДО) = X с У,] = 0,1, ...,т,

X, У- гильбертовы пространства, а0 = 1,0 < а.;, Ъ; < 1.

Наличие линейного отклонения аргумента и разрешимости и асимптотики мы использовали

переменного коэффициента перед производной не преобразование Меллина[4].

позволяет применить преобразование Фурье [3] для Будем говорить, что и(Ь) принадлежит

исследования уравнения нейтрального типа. Ь2(Я+,Н), если и(Ь) Е Н и Поэтому при рассмотрении вопросов

ж

.2 дЛ

I11и(т2н-^<+™,

где Н - гильбертовое пространство[5].

Пусть ^и(ь) Е Ь2(Я+,Н).

Тогда

и

и

1/и

сходится в среднем квадратичном на прямой Яе X = а к некоторой функции и (X);

иы=1Ь1 / и(л)<

а+1ж

Л

СХ

сходится в среднем к и( ) , в том смысле, что

пЖ

Iн

Ит I Пи(0-и(С,а)И С2*-1дС = 0

^ж 1 Г ж 2

I 11и(С)112нС2°-1дС = -1 ^(а + Х)^.

Определение 1. Пополнение множества носителями и со значениями в X , имеющих сильно функций и (¿), и(0) = 0 с компактными непрерывные производные в У по норме

ж 1/2 И01Г = Ц ^(Ци^цу + Цш'^фм) ,

х + ЦШ'(Щу)д1) ,а > 0

обозначим через Х1,а.

Определение 2. Пополнение множества компактными носителями и со значениями в У, по сильно непрерывных функций ¡(ь),/(0) = 0, с норме

ж 1/2 |1А01Г = Ц ^Цг^с)

обозначим через У0,(Т. Для уравнения нейтрального типа с

постоянными коэффициентами

ьи

1=0

определим понятие резольвенты. Определение 3. [9] Операторнозначную

функцию

Ш) = (^{А]а-Л - АЬ-Л-1} =0

0

&—1Ж

и

т

назовем резольвентой уравнения (2).

Лемма 1. Оператор Ь^) : Х1,(Т ^ У0,(Т из (2) Пусть и(Ь) любой элемент пространства Х1,(Т.

непрерывен. Оценим квадрат нормы

Доказательство.

т

2 х—' / Г™ 2 Г™

«•(т + 1)У(1 11и(а^11 сН+\ Ь2°-1\.-

2 - 1 / г™ 2 Г™

где

™2 СаЫ + 1) •^а а]1-2Ч2^-111и(а]1)11хй1 ¿=0 0

+ Ь]-2гТ-2^1 г2(Т-111ги'(г)112уй^< САСаЬ^т + 1)\11и(1)111'а)2,

са = \ К + Аз (01 \у, °аь = max{a^-2'7, ь-2г7-21

Отсюда следует, что

11^)11х1,а^у1,а < А™ + 1)САСаЬ.

Лемма доказана. \1Я(Щ\ + Щ • ||Я№1| = 0 (1) на прямой ЯеЛ -

Теорема 1. Для существования и а при У

единственности решения Е Х1,ГТ уравнения (2) тт тт

_ „ к „ ч „.V „ Доказательство. Применяя к уравнению

при любой правой части ГЮ Е У^достаточно, преобразование Меллина [4], получим чтобы резольвента Я (л) была регулярна и

ь

— м-х-1}и(Х) - !(Х),

о=0

0(2.) - Я (2)/(2).

Рассмотрим теперь интеграл

1 га+1™

и (г) - — I г-х 0(2)й2, 2т К-1™

где 0(2) — Я (2) [(2) существует в силу непрерывность функции У (0 при Ь > 0. Для

условий теоремы. Докажем сильную простоты положим а — 0. Тогда

1™

и(ь) - — I Ьа К(—Х)[(-а)йХ

2Л]-™

оценим норму приращения функции

™

Циъ + К) — иШ < I 1(с + ьуЛ — са1\111(—а)Г(—а)1\ ах =

*—™ У

( Ь + К)а — Ьа

-Г

-™

я2

- ¿ЛЯ(—а)/(—¿2)1\ ах<

'у

1 ¡2

{(™1а + 1г)а — 1а\2\ /г™|, _ .,2 \1/2

т\\ ах\ <

У

2Л К \1/у

г-ж чт2 ^ • 1п(1 + —) \

Отсюда следует сильная непрерывность Тот факт, что функция, определяемая

функции и( ). равенством удовлетворяет уравнению, проверяется

непосредственной подстановкой.

Докажем, что и(О Е X1* при ¡(Ь) Е У0'*

Аналогично,

жж

\ С2°-1\1и(С)1\2( = —\ ^(а+и)^^

жж

<с\ \\1(а + с = С1\ 12*-1Ци(1)112уа.

жж

\ 12(7-1\1Ш'(Ь^^а = — \ \\(а + и)Я(а + и)[(а + и)\\ М <

жж

<С2\ \ Ц(а + а) \\2 с^ = С \ 12*-1\1и(1)1\2уа.

Из этих неравенств следует оценка

\1и(т1,(7<с^1тС,

из которой вытекает единственность решения Для уравнения с переменными

уравнения и принадлежность его пространству коэффициентами (1) имеет место следующая X1'*. Теорема 2. Если резольвента Я (Л) регулярна,

Теорема доказана.

\тх)1\ + Щ • \|Д(Я)|| = 0(1),|Я| ^ Ю'ИеЛ = а,

х у

т

(т + 1)^ а-2* ) ,

=0

то уравнение

из X1'* при ¡(Ь) Е У0'*. представим в виде суммы двух слагаемых

¿

т

1и(ь) = ^{^'(Ъ^) + А1и(а11)},

1=0

т

11(1)и(Ь) = ^А1и(а11).

=0

В силу условий теоремы оператор Ь Оценим теперь норму оператора Ь1

непрерывно обратим.

(И <

у

ж

(^(0 и(01\0") = I 12°-1\Ц1(ф(1)1\

0

1

< (т + 1) • ( \\1-1\\1'*

т т

т + 1^а-2*\ ^¡т12*-1\\и(а^)\\2хС1 =

=0 =0 0

ж

= (\\1-1\\1*)-2 I Ь2" • \\и(т2х < (\Ь-1\1'*)-2(\и(С)\1'*)2.

0

Отсюда следует утверждение теоремы. переменными коэффициентами (1) через решение

Получим асимптотическую формулу для соответствующего однородного уравнения. решений уравнения нейтрального типа с Операторнозначную функцию

Ь(А) = ^(А1а-

,а-Л - АЪ

- Л-1

•Е)

=0

будем называть операторным квазипучком [9].

Лемма 2. Если А0 — п — кратный полюс резольвенты Я (Л), то функция

, V1 0п Ь)п-к-1

т=<-Ло!

к=0

где ф0 —собственный вектор ,а ф1,ф2,...,фп-1— присоединенные вектора пучка Ь(?С), соответствующее собственному значению 0, являются решениями уравнения (2) при ¡(Ь) = 0.

Справедливость леммы проверяется непосредственной подстановкой и( ) в уравнение (2).

Теорема 3. Если

\\А1 (< С • Ь-а,] = 0,1,2, ...,т при С ^ ю регулярна в полосе 0 < ЯеА < а за исключением

¿к-1

полюсов А1,А2,... ,Ап кратности

Б1,Б2, . ,Бп соответственно; при

Щ > тах1ЯеАк1, Щ ^ ю в полосе

0 < ЯеА < а; фк, фкк -1— собственный и присоединенные вектора квазипучка Ь(А), соответствующие полюсу А = Ак,

к = 1,2, ...,п,/&) Е У0* П У00, то имеет место асимптотическая формула

и(1) — £ 1-Лк £

^к-е-1

к=1

(Бк — е — Ц

Фе

0,а

<

(гж гж а\1/2

<с• (\ е2'-1\\т\\ум+ \ \т)\\2хТ\ ,

для любого решения и(1) Е Х1,а П Доказательство. Уравнение (1) перепишем

Х1,0уравнения (1) где постоянная С не зависит от так решения и( ).

£{ Ш'

=0

=0

Применив к обеим частям последнего равенства преобразование Меллина на прямой Я = а, получим

!т о

¡(А) —£\ ^Л-1А1(Ь)и(а^)(И}

В силу условий теоремы полюса Я (А) и и (А) в в фигурных скобках регулярна в полосе 0 < ЯеА < полосе 0 < ЯеА < а совпадают, так как выражение а . Пусть эти полюса находятся внутри

прямоугольника

П = [А  0 < ЯеА < а, ЮтА1 < Ъ},

контур которого обозначим через Г. Из леммы Римана-Лебега [3] следует, что

-2

т

п-1

п

е=0

т

т

/ 1-хи(Х)аХ ^ 0 при 1а1 ^ ю

По теореме Коши [5] об интеграле по замкнутому контуру и в силу (6), имеем

п I

^I ^ли

Г к=1 (

0

или

к-1 2п1^-1™

где

к-1

Бк-е-1

(к) Фе ' —

решение однородного уравнения Ш(Ь) — 0, связанное с полюсом Хк резольвенты Я (А.) кратности к .

Оценивая интеграл, получим

п 2

Г™ 1 Г™ ~ 2

I т — ^икЮ \\и(а + Ю\\у^

0 к=0 V

<

п

< С • I Г

0 к=0

<и <

< 2 • I™с2--1 • \\г(г)\\2уаг + 2 <\™ с2--1 • (^ИДО^И^О^ ) ^

<

=0

< 2(\\ГШ0-)2 +2(т+1)1 12*-1 • Ь-2°£\\и(а^)\х<И <

0 1=0

™

I 12°

'п

<с(! г2°-1\\Г(г)\\1<1г+\ \\ит2х<).

™ < 1 мп'-т)

Теорема доказана.

Литература

1. Алиев Р.Г. ФДУ в гильбертовом пространстве. -Махачкала: Издательство ДГУ, 2010. -348с.

2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. -М., 1990.620с.

3. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. -М.:«Наука», 1993г.

4. Колмогоров А.И., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.:«Наука», 2017г.

5. Алейдаров С.М. Конечномерность ядра оператора L в гильбертовом пространстве со степенным весом. Вестник ДГУ, I выпуск, 2011г., с.60-64.

6. Алиев Р.Г., Алейдаров С.М. Разрешимость ФДУ второго порядка в пространствах со степенным весом. Вестник ДГУ, I выпуск, 2014г.,с.109-116.

7. Алейдаров С.М. Асимптотика решений ФДУ первого порядка в гильбертовом пространстве со степенным весом. Фундаментальные и прикладные проблемы

е=0

2

у

2

т

математики и информатики. Махачкала, ДГУ, 2017г., с.24-27.

8. Алейдаров С.М. Существование решений одного частного случая уравнения нейтрального типа в пространствах со степенным весом. . Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики. Махачкала, ДГУ, 2019г., с.14-16.

9. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы фундаментального анализа. -М.2017г., 560с.

10. Алейдаров С.М. Оценка решений ФДУ первого порядка в пространствах со степенным весом. Актуальные проблемы математики и смежные вопросы. Махачкала, ДГПУ, 2018г., с.21-24.

Literature

1. Aliev R.G. FDE in Hilbert space. -Makhachkala: DSU Publishing House, 2010. -348s.

2. Crane S.G. Linear differential equations in a Banach space. -M., 1990.620s.

3. Titchmarsh E. Introduction to the theory of Fourier integrals. -M.: "Science", 1993.

4. Kolmogorov A.I., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. -M.: "Science", 2017

5. Aleidarov S.M. Finite-dimensionality of the kernel of the operator L in a Hilbert space with a power-law weight. DGU Bulletin, I edition, 2011, pp. 60-64.

6. Aliev R.G., Aleidarov S.M. Solvability of second-order FDEs in spaces with power-law weights. DGU Bulletin, 1st edition, 2014, p.109-116.

7. Aleidarov S.M. Asymptotics of solutions of first-order FDEs in a Hilbert space with a power-law weight. Fundamental and applied problems of mathematics and computer science. Makhachkala, DSU, 2017, pp. 24-27.

8. Aleidarov S.M. Existence of solutions of one particular case of an equation of neutral type in spaces with power-law weight. ... Fundamental and applied problems of mathematics and computer science. Makhachkala, DSU, 2019, pp. 14-16.

9. Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Elements of fundamental analysis. -M. 2017, 560s.

10. Aleidarov S.M. Estimation of solutions of first-order FDEs in spaces with power-law weights. Actual problems of mathematics and related issues. Makhachkala, DGPU, 2018, p.21-24.