Дифференцируемое отображение аффинного q n и проективного p n пространств

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bermond J.-C., Comellas F., Hsu D.F. Distributed loop computer networks: a survey // J. Parallel Distributed Comput. - 1995. -V. 24. - P. 2-10.

2. Hwang F.K. A survey on multi-loop networks // Theoretical Computer Science. - 2003. - V. 299. - P. 107-121.

3. Монахова Э.А. Структурные и коммуникативные свойства циркулянтных сетей // Прикладная дискретная математика. - 2011. - № 3 (13). - С. 92-115.

4. Нестеренко Б.Б., Новотарский М.А. Клеточные нейронные сети на циркулянтных графах // Искусственный интеллект. -2009. - 3. - С.132-138.

5. Martinez C., Beivide R., Gabidulin E.M. Perfect codes from Cayley graphs over Lipschitz integers // IEEE Transactions on Information Theory. - 2009. - V. 55. - № 8. - P. 3552-3562.

6. Muga F.P., Saldana R.P., Yu W.E.S. Building GraphBased Symmetric Cluster // NECTEC Technical Journal. - 2001. - V. 11. -№ 9. - P. 195-199.

7. Balaban A.T. Reaction graphs // Graph Theoretical Approaches to Chemical Reactivity / eds. D. Bonchev, O. Mekenyan. - Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1994. - P. 137-180.

8. Miller M., Siran J. Moore Graphs and beyond: A survey of the degree/diameter problem // Electron. J. Combin. - 2005. - Dyn. Surv. (DS14). - 61 p.

9. Монахова Э.А. Новая достижимая нижняя оценка числа вершин в циркулянтных сетях размерности четыре // Дискретный анализ и исследование операций. - 2013. - Т. 20. -№ 1. -С. 37-44.

10. Chen S., Jia X.-D. Undirected loop networks // Networks. -1993. - V. 23. - P. 257-260.

11. Dougherty R., Faber V. The degree-diameter problem for several varieties of Cayley Graphs, 1: The Abelian Case // SIAM J. Discrete Math. - 2004. - V. 17 (3). - P. 478-519.

12. Macbeth H., Siagiova J., Siran J. Cayley Graphs of given degree and diameter for cyclic, Abelian, and metacyclic groups // Discrete Math. - 2012. - V. 312 (1). - P. 94-99.

13. Meseznikov D. A construction of large graphs of diameter two and given degree from Abelian lifts of dipoles // Kybernetika. -2012. - V. 48 (3). - P. 518-521.

14. Siran J., Siagiova J., Zdimalova M. Large graphs of diameter two and given degree // Proceedings of the 3d Inter. Workshop on Optimal Networks Topologies IW0NT’2010. - Barcelona: Iniciativa Digital Politecnica, 2011. - P. 347-359.

Поступила 17.04.2013 г.

УДК 514.757.2

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО Qn И ПРОЕКТИВНОГО Pn ПРОСТРАНСТВ

М.А. Аль-Хассани1-2, Е.А. Молдованова1

Томский политехнический университет E-mail: eam@tpu.ru 2Аль-Баера Университет, Ирак

Изучаются поля инвариантных геометрических образов, возникающих при отображении аффинного пространства в проективное пространство. С помощью этих геометрических образов показывается, что с рассматриваемым отображением инвариант-

ным образом возникают отображения аффинного пространства ективного пространства.

Ключевые слова:

Дифференцируемое отображение, многомерные пространства, Key words:

Differentiable mapping, multidimensional spaces, linear subspaces, Введение

Как известно [1-4], дифференцируемые отображения многообразий являются важным разделом дифференциально-геометрических структур на многообразиях.

Данная работа посвящена изучению отображения Vnn:Qn^Pn аффинного Q и проективного Pn пространств. В первом разделе выводятся дифференциальные уравнения этого отображения, которым удовлетворяют компоненты внутренних фундаментальных геометрических объектов Г и Г2 первого и второго порядков в смысле Г.Ф. Лаптева [2, 5]. С помощью этих компонент во втором разделе изучаются поля инвариантных геометрических образов. Эти поля дают возможность аналитически и геометрически доказать, что с отобра-

в многообразия вырожденных и невырожденных нуль-пар про-

линейные подпространства, геометрические объекты, geometrical objects.

жением Vn,n инвариантным образом ассоциируются два отображения fn2n:Qn^M2n и fn2n-1:Qn^M2n-1, где M2n и M2n-1 - многообразия всех невырожденных и вырожденных нуль-пар пространства Pn, соответственно.

Все построения в данной работе носят локальный характер, а функции, встречающиеся в работе, предполагаются функциями класса С".

Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-7].

1. Аналитический аппарат

Рассматривается n-мерное аффинное пространство Qn, отнесенное к подвижному аффинному реперу Q={B,-a} с деривационными формулами и структурными уравнениями

йВ = еава, ёеа =6ьаеь, ___

йва = вь лваь , йвЬ = вса л$с ,

Рассматривается п-мерное эквипроективное пространство Рп, отнесенное к подвижному экви-проективному реперу Р=|А;} с деривационными формулами и структурными уравнениями:

йА1 =aJ¡AJ , йф = аК лаК , Ф = 0,

Здесь предполагается, что линейно независимые аналитические точки АкеРп удовлетворяют условию

[А А......А.1 =1,

т. е. внешнее произведение аналитических точек Ак равно 1. Из (2) и (3) получаем

аК — а° + а! + "' + аП = 0.

1.1. Рассматривается дифференцируемое отображение

V : О ^ Р

п ,п г^п п К*)

аффинного О, и проективного Рп пространств. Реперы О и Р выбираются так, что дифференциальные уравнения отображения (4) имеют вид:

а0 = Аа ва,

Здесь величины Аа1 с учетом (1) и (2) являются компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта

г = {Аа}

отображения (4) в смысле Г.Ф. Лаптева [2, 5], которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

йА + Аа я) - А ва = Аа вв,

Я) = а) -5>0°, А1ь 1= 0.

Заметим, что_геометрически отображение (4) направление и=|В,-а]иаеО переводит в направление х={АД;}хгеР„, т. е.

х = Vnnu =

В данной статье решается задача о нахождении геометрических образов, определяемых компонентами геометрического объекта (6) и продолженного геометрического объекта

Г2 = {Аа , АаЬ },

компоненты которого удовлетворяют дифференциальными уравнениям (7) и

йАаа+4ь я) - аСь в а - а[с вс+

+ АЬ (45‘ + Аа 5) )а0 = А^ в ,

Ааас 1 = 0,

2. Поля инвариантных геометрических образов

2.1. В этом разделе используется, как и выше, следующая система индексов 1,],Ъ,1=1,п

a,b,c,q=l,n. Предполагается, что отображение УпЖ^Рп является невырожденным, т. е.

det[ Al ] * 0.

Поэтому можно ввести в рассмотрение величины B “ по формулам:

BlA = sj, BbAl = sl.

Из (7) с учетом (11) замечаем, что величины Btb удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

dB) + B¡eb - в)aj = B еа, B = - AJqa Bq в).

Рассмотрим следующие величины

Gj = AkabB“B) ^ G; ]= 0;

G = Gkk. CL3)

Из (9) и (12) следует, что величины (13) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

dG‘+Gj ak - g> a,-

-g‘, aj+(s,' s‘ +s‘ sj )< = ff,

dG, - a,Gk + (n +1)40 = Aa ff,

Gk = -Akb BaB -jf.BfB -4.B’B ,

ijc abe i j ab ic j bb i je ’ x '

Найдем те геометрические образы в текущей точке BeQn, которые определяются величинами (13). n

Каждой текущей точке B&Qn в соответствующем проективном пространстве Рп сопоставим гиперплоскость уэД, которая в точечных проективных координатах репера Р определяется уравнением

y О у,  xl = 0.

Из (5), (4) и (15) следует, что совокупность всех направлений u={B,-a]uaeQn, образы которых при отображении Vnn принадлежат гиперплоскости уеР„, образует в Qn гиперплоскость Un-1(y^B, которая в точечных аффинных координатах репера Q определяется уравнением

у^У = 0.

Пользуясь условиями инвариантности точек и гиперплоскостей пространств Qn и Рп в смысле Г.Ф. Лаптева [5] и учитывая (8), (7) и (9), получаем, что гиперплоскость (16) и бесконечно близкая к ней первого порядка вдоль направления v={B,-b}vb пересекаются по (п-2)-плоскости Un_2(y,v)eQn, являющейся характеристикой Ch{Un-1(y)}v в направлении v. Эта (п-2)-плоскость относительно репера Q определяется уравнениями:

Г улу = 0,

1 уЛьиУ = 0.

Из (17) следует, что каждому направлению v={B, -b}vbeQ„ в аффинном прострзанстве отвечает пучок гиперплоскостей U^yv^Ü^yv), определяемых уравнением:

у (А‘аЪиауь + ЯАаиа) = 0, (V6 - фиксированы).

Отсюда следует, что совокупность всех направлений v&Qл типа |veQJ¡ve !7п-1(у^)) образует в пространстве О пучок гиперквадрик Q2n-1(y•,Я)эB, которые в аффинных координатах репера О определяются уравнением:

у (4ьуауь +ыу) = 0.

Асимптотическим гиперконусом этого пучка, не зависящим от Я, будет гиперконус К2ч(у) второго порядка, который определяется уравнением:

К ^

Таким образом, каждой гиперплоскости (15) пространства Рп, отвечающей точке В&Оп, в аффинном пространстве О соответствует гиперконус К2п-1(у). Из (18) с учетом (11) и (13) замечаем, что прообразом гиперконуса К\_1(у)<^Ол при отображении (4) является гиперконус К2п-1(у)сРп с вершиной в точке А0, который в проективных координатах репера Р определяется уравнением:

К2-1

Итак, каждой гиперплоскости уэА0 пространства Рп, соответствующего точке~ВбОв, в этом пространстве отвечает гиперконус К2п-1(у) второго порядка с вершиной в точке А0.

Точке В&Оп в соответствующем проективном пространстве Рп сопоставим точку

2 = 20 А + 2 А.

Полярой этой точки относительно гиперконуса (19) является гиперплоскость ~эА0, которая в проективных координатах репера Р определяется уравнением:

у о у^х21 = 0,

Таким образом, с учетом (16), (20), и (21) получаем, что каждой точке В&Ол отвечает центропроективное преобразование

П

с центром в точке А), соответствующее точке £еР„, которое гиперплоскость у переводит в гиперплоскость у. Из (22) замечаем, что точке В&О в проективном пространстве Рп в силу (13) отвечает гиперплоскость

4_1 = {2 |1ег П

которая в общем случае не проходит через точку А0. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. С каждым отображением

7пп:Оп^Рп в общем случае инвариантным образом ассоциируется отображение

С : Qn ^ М2п

аффинного пространства О в многообразие М2п всех невырожденных нуль-пар |Дп-1;А) проективного пространства Рп.

Проводится с учетом (13), (10) и (11) канонизация проективного репера Р пространства Рп, при которой

G¡ = 0 ^ 4ьб: = 0.

Из дифференциальных уравнений (14) с учетом

(25) получаются следующие дифференциальные уравнения:

«0 = Aß“ , Aa =-^Т Gka .

n + 1

Здесь величины A¡a удовлетворяют в силу (1) и (2) дифференциальным уравнениям:

dA¡a - AJaQ/ - 4У = Aab 0Ь , A [ab ] = 0.

Заметим, что дифференциальные уравнения

(26) и (27) свидетельствуют в соответствии с [7] о существовании канонизации репера P типа (25).

Из (23) следует, что канонизация типа (25) означает, что

Ln-1 =

Отметим, что дифференциальные уравнения (5), (7), (26) и (27) являются дифференциальными уравнениями отображения (24).

2.2. Каждой точке BeQ сопоставим направление

и =

Из (2) и (28) с учетом (26) следует, что вдоль направления и точка A0¡ePn описывает линию с касательной

x=

а характеристика Ch(L„4)u гиперплоскости Ln-1 вдоль направления и, т. е. пересечение Ln-1 со своей бесконечно близкой (L„_j)' первого порядка вдоль и, определяется в точечных координатах xj проективного репера P пространства Pn уравнениями

x0 = 0, Aax¡ua = 0.

Из (29-31) замечаем, что каждой точке BeQ в аффинном пространстве Qn отвечает гиперконус Qn-j второго порядка с вершиной B

Ql-i = {и єQn\x П Ln-i є Ch(Ln -1 )u } который определяется в аффинных точечных координатах аффинного репера Q уравнением:

gabuaub = 0.

Здесь симметрические величины gab определяются по формулам и в силу (27), (11), и (12) удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

gab = 2 A

причем явный вид величин gabc для нас несущественный.

* Из (33) с учетом (11) замечаем, что гиперконус Q/^cQ в точке BeQ, является прообразом гиперконуса Qn-1 eP„ второго порядка с вершиной в точке A0eP„, который определяется уравнением

Cjxkxj = 0.

Здесь симметрические величины Сщ определяются по формулам и в силу (32), (7), (12) и (27) удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

с,= 2АаВа = &*ВаВ ,

йСк] - е„щ - сЩ = ск]а е,

причем явный вид величин Ска для нас несущественный.

Замечание 2.1. Из (34) замечаем, что в общем случае гиперконус О^-1^Рп в точке ВбО является невырожденным, (не вырождается в гиперконус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точкуА0бРп), т. е.

¿¿[С*] * 0.

Поэтому в точке В 6 О можно ввести в рассмотрение симметрические величины С по формулам

СиС]к =8[,

которые с учетом (34) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

йС1 + С1щ‘к + С‘кща = Са е .

Здесь явный вид величин СЦ для нас несущественный.

Замечание 2.2. Из (33) следует, что в общем случае гиперконус в точке В&Ол является

невырожденным, т. е.

¿е%аъ] * 0.

Это дает возможность ввести в рассмотрение симметрические величины gac по формулам:

8ас8съ = К.

которые с учетом (33) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

йг + еъ + £ъ ееь = ^ ее .

Здесь явный вид величин gьш: для нас несущественный.

В каждой точке В&Ол рассмотрим следующие величины:

С = А а 4У; с = АкС.

Здесь величины Ок определяются по формулам (13). Из (14), (35)-(38) и (7) получаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины (39):

йС( + С Щ - С Щ = С ее,

йс, - ^ Щ = ¿‘а е.

Здесь явный вид величин, стоящих при еа, для нас несущественный.

Точке ВбОп сопоставим в соответствующей гиперплоскости Дп-1сРп (28) аналитическую точку Х=х-, отвечающую геометрической точке X.

Из (5), (6) и (31) следует, что множество всех направлений (29) в Оп, образы которых при отображении (4) пересекают гиперплоскость Дп-1сРп в точках СЬ(Дп-1)и, образует в Оп гиперплоскость Гп-1(Х), определяемую в точечных аффинных координатах и“репера О уравнением

х1 А]аиа = 0.

Образ полюса этой гиперплоскости относительно гиперконуса (32) при отображении (4) с учетом (39), (35) и (37) пересекает гиперплоскость Дп-1сРп в точке У с аналитической точкой У=у1А==С1‘х'В1. Такова геометрическая интерпретация центропроективного преобразования

п = {С1}

пространства Рп в себя с центром в точке А0бРп.

Из (22) и_ (40) замечаем, что множество всех прямых 2=(А0Д;)гг бРп, отвечающих точке В&Ол, таких, что соответствующие им произведения центропроективных преобразований П (г) и П* имеют нулевые следы, образует в силу (39) в проективном пространстве Рп гиперплоскость Д*п-1эА0, определяемую в проективных координатах уравнением

¿Х = 0.

Таким образом, с учетом (41) доказана следующая теорема.

Теорема 2.2. С каждым отображением Уп,г:Ол^Рп в общем случае инвариантным образом ассоциируется отображение

/2п-1 : Q ^ М2п-1

<> т ^ п

аффинного пространства О в многообразие М2п-1 всех вырожденных нуль-пар |Д*п-1'А0),(А0еД*п-1) проективного пространства Рп.

Заключение

Теоремы 2.1 и 2.2 свидетельствуют о том, что изучение отображения Упп инвариантным образом в общем случае сводится к изучению отображений /п2п и /п2п-1. Наибольший интерес, по нашему мнению, представляет отображение /п2п. Во-первых, потому что для многообразия М2п применим принцип двойственности: если на многообразии М2п какой-нибудь результат связан с гиперплоскостью Дп-1сРп, входящей в элемент этого многообразия, то аналогичный результат имеет место и для соответствующей точки А0бРп, А0бДп-1, и наоборот. Во-вторых, как будет показано в следующих публикациях, с отображением /п2п-1 инвариантным образом ассоциируется отображение /п2п. Поэтому для изучения отображения /п2п-1можно использовать результаты, имеющие место для отображения /п2п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Евтушик П.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. - 1979. -Т. 9. - С. 3-246.

2. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Тр. Геом. Сем. - 1974. - № 16. - С. 37-42.

3. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Сер. Геометрия. - 1965. - Т. - С. 65-107.

4. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1971. - Т. - С. 153-174.

5. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

6. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТП, 1948. - 432 с.

7. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№2. - P. 231-240.

Поступила 15.02.2013 г.

УДК 517

ПОЛИНОМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ЛОКАЛЬНОМ ДРОБНОМ АНАЛИЗЕ НА ОСНОВЕ d-ОПЕРАТОРА

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: vachurikov@list.ru

Показано, что в локальном дробном анализе имеются достаточно простые интегрируемые функции нецелочисленных порядков, базовая первообразная соответствующего порядка от которых равна нулю.

Ключевые слова:

d-оператор, полиномы дифференцирования, полиномы интегрирования. Key words:

d-operator, differentiation polynomials, integration polynomials.

Введение

В локальном дробном анализе появляются новые функции, зависящие от порядка интегродиф-ференцирования, которые можно назвать элементарными и которые в стандартном анализе или обращаются в константы, в частности в ноль, или вообще теряют смысл, поэтому такие функции в стандартном анализе отсутствуют и их удобно приравнивать к нулю [1, 2].

Аналоги функций стандартного анализа в локальном дробном анализе в общем случае имеют другие свойства, зависящие от их порядка. Более того, для многих функций в локальном дробном анализе имеет место вырождение, когда они имеют не один аналог, а более одного, конечное или бесконечное счётное множество [2, 3].

В частности, в локальном дробном анализе появляются своеобразные функции, которые можно отнести к элементарным функциям локального дробного анализа, которые были названы полиномами дифференцирования.

Полиномы дифференцирования

Определение. Ненулевая интегрируемая функция С-8(х), выражающаяся через дробностепенной ряд

да

^ bkx-k-s; k = 0, 1, 2,3, N; b, s e C; b, s = const,

k=1

с шагом равным 1, будем называть полиномом дифференцирования.

Шагряда - это модуль разности показателей степеней степенных функций любых двух соседних элементов дробностепенного ряда.

Функций, аналогичных полиномам дифференцирования в стандартном анализе, нет.

Теорема. Первообразная порядка s от полинома дифференцирования C-s(x) порядка s равна нулю с точностью до сложения с полиномом интегрирования Cs(x).

Первообразная функция называется базовой первообразной, если её полином интегрирования, в силу его произвольности, приравнять к нулю.

Тогда утверждение теоремы равносильно тому, что базовая первообразная нецелочисленного порядка s от полинома дифференцирования порядка s равна нулю.

Доказательство. Используя d-оператор дробного интегрирования порядка s [3, 4], легко проинтегрировать полином дифференцирования