Методы оценки потенциала арбитражных операций

УДК 336.765

А.А. Носков

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПОТЕНЦИАЛА АРБИТРАЖНЫХ ОПЕРАЦИИ

В условиях глобализации и интеграции мировых финансовых рынков существует настоятельная необходимость в изучении рыночных механизмов, лежащих в основе ценообразования активов, присутствующих на разных рынках. Более глубокое понимание данных процессов полезно как с точки зрения управления финансовыми рынками в целом, так и с точки зрения изучения и внедрения новых низкорисковых механизмов получения прибыли, что особенно актуально ввиду усиления неустойчивости конъюнктуры финансовых рынков, вызванного чередой экономических кризисов последних лет.

Арбитражные операции являются рыночным механизмом, который лежит в основе практически любого фундаментального соотношения, существующего в рыночной экономике. Суть данных операций состоит в одновременном открытии позиций на двух и более рынках с целью получения прибыли из присутствующих на этих рынках расхождений в оценке стоимости одних и тех же или очень близких активов. В [1] нами приведена классификация арбитражных операций относительно фундаментальных соотношений.

Для исследования функционирования механизма арбитражных операций, например для анализа влияния волатильности на доходность арбитражных операций, анализа рыночных процессов, в основе которых лежат арбитражные операции, анализа эффективности финансовых рынков, необходимы методы, позволяющие проводить количественную оценку. В данной статье предлагаются количественные методы оценки потенциала арбитражных операций, которые также могут быть полезны при поиске наиболее подходящих инструментов для проведения арбитража.

Предлагаемые оценки потенциала арбитражных операций выполнены на основе доход-

ности, которую участник финансовых рынков мог получить за прошлые периоды времени, совершая арбитражные операции.

Для проведения подобных оценок необходимо задать определенные условия или критерии, при выполнении которых осуществляется открытие и закрытие арбитражных позиций, т. е. необходимо сформировать модель, посредством которой в прошлом могли проводиться арбитражные операции, и оценить доходность данных операций.

Далее будут представлены две модели оценки доходности по арбитражным операциям. В обоих случаях оценка доходности будет проводиться без учета реинвестирования получаемой прибыли, так как в ином случае необходимо рассматривать доходность торговых сделок, зависящую от инвестируемой суммы и размеров лота, что значительно усложняет рассматриваемые модели.

В первом, наиболее простом, случае мы будем рассматривать расчет максимальной прибыли, которая была доступна участникам финансовых рынков за прошлые промежутки времени. Подобные расчеты проводятся с условием, что арбитражные сделки осуществляются в моменты, наиболее выгодные с точки зрения арбитража. То есть открытие арбитражных позиций происходит в момент максимального расхождения фундаментальных соотношений, существующих в рыночной экономике, а закрытие -в момент их схождения. Естественно, что информация о максимальных расхождениях цен доступна только при рассмотрении ретроспективных данных и отсутствует при реальной торговле, следовательно, получить подобную доходность в реальной торговле практически невозможно.

Во втором случае, для того чтобы приблизить исследуемую модель проведения арбитража к реальным условиям, мы будем задавать крите-

рии открытия арбитражных позиций, построенные только на информации, доступной участникам финансовых рынков на момент открытия арбитражных позиций.

Также для приближения оценки доходности к реальным условиям необходимо ввести определенные ограничения, которые существуют при реальной торговле, например наличие брокерских комиссий при совершении сделок. При проведении реального арбитража комиссии являются существенным фактором, снижающим прибыль по арбитражным операциям.

Рассмотрим первую модель - модель расчета максимальной доходности без дополнительных условий, налагаемых на открытие арбитражных позиций с учетом и без учета брокерских комиссий.

Для дальнейшего изложения введем следующие определения. Арбитражным случаем будем называть случай расхождения и схождения цен от некоторых ценовых пропорций, заложенных в фундаментальных соотношениях, существующих в рыночных экономиках. В этом случае максимальная прибыль будет равна максимальному значению этих расхождений.

В наиболее простом случае при расчете максимальной прибыли в пространственном арбитраже, когда сделки происходят с одним и тем же активом, торговля которым осуществляется на разных рыках [2, с. 44], в состоянии равновесия цены на один и тот же актив на разных рынках должны быть равны. В случае если цены на актив на разных рынках разошлись и сошлись вновь, мы будем рассчитывать максимум этих расхождений - максимальную прибыль, которую мог получить арбитра-жер, использовав этот арбитражный случай. Доходность по данной операции за ¡-й арбитражный случай будет равна (с учетом 252 рабочих дней в году):

У =

( рД - (Ы 252 (Ю,+( 1,

100 %,

рынке 2, цены на котором ниже, за ¡-й арбитражный случай; 1 - срок проведения ¡-й сделки, дн.

В данной формуле знаменатель [(Л), + (Л)] показывает сумму, которая должна быть задействована в ¡-й операции: покупке актива на одном рынке (Р1) и открытии «коротких» позиций (продажи «без покрытия») на другом (Р2) (предполагается, что сумма, необходимая для открытия «коротких» позиций - продажи «без покрытия» равна рыночной цене бумаги на соответствующем рынке).

Для проведения дальнейших расчетов была использована программа ЛшШгоквг (сайт разработчика: www.amibroker.com). В данной программе были исследованы изменения спрэда между инструментами за определенный период. При появлении арбитражных случаев (т. е. случаев отклонения спрэда от нулевого значения и возвращения спрэда к нулевому значению) программа автоматически находит максимум этих расхождений за каждый арбитражный случай. Данное максимальное значение равно максимальной прибыли, которую мог получить ар-битражер, открыв сделку в этой точке и закрыв в момент возвращения спрэда к нулевому значению. Прибыль считается полученной только тогда, когда спрэд вернулся обратно к нулевым значениям.

Для учета влияния брокерской комиссии на доходность введем следующие дополнения. В каждой сделке будем учитывать комиссию К (при проведении расчетов была взята комиссия 0,05 % от суммы сделки), также не будем учитывать арбитражные случаи, максимальная доходность по которым меньше суммарной комиссии за эту операцию. Доходность за один арбитражный случай (У,) с учетом комиссии в годовом исчислении будет рассчитываться по формуле

где (Р1) - цена открытия «короткой» позиции (продажа «без покрытия») на рынке 1, цены на котором выше, за ¡-й арбитражный случай; (Р2) -цена открытия «длинной» позиции (покупки) на

У Щ - ] - [(рХ- + (РД]ТрК% - 2(Рсо,)ТрК%

У =-х

' (Р),+Р),

25

х252100 %,

1

где (Р1), - цена открытия «короткой» позиции (продажа «без покрытия») на рынке 1, цены на

котором выше, за ¡-й арбитражный случай; (Р2) -цена открытия «длинной» позиции (покупки) на рынке 2, цены на котором ниже; (Рс0е) - цена закрытия арбитражной позиций на обоих рынках за ¡-й арбитражный случай (цены на обоих рынках равны); - срок проведения ¡-й сделки, выраженный в днях; К - брокерская комиссия, выраженная в процентах.

Таким образом, условия модели для расчета максимальной доходности с учетом комиссии и всех изложенных выше критериев за один арбитражный случай (У) можно выразить следующим образом:

шах[(РД -(^¡];

Ш - №)] - Ш +

+ (Р2 )1]^К7 - 2(Рое ) К

У =

' 100 %

100 % 25

(P), + (P2),

— 100 %; t

Ш - (P2), ] > + 2(Pd0X) K

Ш + (P2),

K

100%

100%

где max[(p1)i - (P2)I цены за i-й K

[(Pi)i + (P2X

максимум расхождений арбитражный случай,

K общая ко-

100% + 2{Pc'ox) 100 %

миссия за ¡-й арбитражный случай.

Доходность за период будет равна сумме до-ходностей за каждый арбитражный случай, имеющий место быть за исследуемый период:

у = ХУ,

где Y - доходность за i-й арбитражный случай; N - число арбитражных случаев за рассматриваемый период.

С помощью данного алгоритма нами рассчитана максимальная доходность арбитража между обыкновенными акциями ОАО «Полиметалл» и американскими депозитарными расписками (ADR) на акции ОАО «Полиметалл» на Лондонской фондовой бирже (LSE). Один контракт американской депозитарной расписки

равен одной обыкновенной акции ОАО «Полиметалл». Торги по ADR на Лондонской фондовой бирже осуществляются в долларах США. Расчет стоимости ADR на акции ОАО «Полиметалл» производился по следующей формуле: PMTL  RUR, где PMTL - котировка ADR на акции ОАО «Полиметалл», выраженная в долларах США, RUR - котировка валютной пары доллар/рубль.

Спрэд с рассчитанными программой по данному алгоритму максимальными отклонениями (за один арбитражный случай) представлен на рис. 1. Расчет проводился по данным информационного агентства «МФД-ИнфоЦентр» за одну неделю (пять торговых сессий).

Черными стрелками обозначены максимальные отклонения спрэда (моменты открытия арбитражных позиций) в положительной области - точки «продажи спрэда» (т. е. точки, в которых происходит продажа базисного актива, в нашем случае - обыкновенных акций ОАО «Полиметалл», и одновременная покупка эквивалентного количества американских депозитарных расписок - ADR на акции ОАО «Полиметалл»). Белыми стрелками обозначены максимальные отклонения спрэда (моменты открытия арбитражных позиций) в отрицательной области - точки «покупки спрэда» (т. е. точки, в которых происходит покупка базисного актива, в нашем случае - обыкновенных акций ОАО «Полиметалл» и одновременная продажа эквивалентного количества американских депозитарных расписок - ADR на эти акции).

Рост доходности, рассчитанный программой за указанный период (с учетом комиссии), представлен на рис. 2.

На рис. 2 сплошной линией показан рост суммарной доходности по арбитражу за указанный период, верхней пунктирной линией - доходность от операций в положительной области спрэда, нижней пунктирной линией - доходность в отрицательной области спрэда.

Максимальная годовая доходность, рассчитанная по формуле (3), будет равна 604,8 % годовых с учетом комиссии и 790 % без учета комиссии. Такая годовая доходность является предельной доходностью, которая доступна участникам финансовых рынков при условии, что

i = 1

Рис. 1. Спрэд между акциями ОАО «Полиметалл» и ADR на акции ОАО «Полиметалл»

12-

10-

& 8-

о

онд 6-

о

ох

оД 4-

2

0-

Общая доходность

Доходность от сделок в положительной области спрэда

Доходность от сделок в отрицательной области спрэда

125. Ю. 20 Юг 26.10.2010 г27.10.2010 'гЗ.Ю.гОЮ 1 ?S.1D.20"1G

Время, дн.

Рис. 2. Рост доходности за пять торговых сессий по арбитражным операциям между акциями ОАО «Полиметалл» и ADR на акции ОАО «Полиметалл»

они заранее знали в какие моменты необходимо совершать операции. Как отмечалось, эта доходность практически не достижима при реальной торговле, однако она может служить как мера эффективности или неэффективности финансовых рынков.

Теперь сделаем нашу модель совершения арбитражных операций более реалистичной. Для этого изменим критерии, при выполнении которых будут осуществляться арбитражные операции. Для этого критерии усовершенствованной модели должны быть основаны только

на той информации, которая доступна участникам финансовых рынков на момент открытия арбитражных позиций. В большинстве случаев подобные критерии строятся исходя из ретроспективных данных, доступных на момент открытия позиций.

При составлении требуемых условий необходимо учитывать следующее. С одной стороны арбитражные позиции должны открываться в момент наибольшего расхождения в стоимости активов, с другой - если задать слишком жесткие критерии открытия арбитражных пози-

ций, то доходность по арбитражным операциям будет очень низкой, так как сделки будут совершаться очень редко.

Одним из вариантов построения подобных критериев может быть следующий. Используем фундаментальное предположение, применяемое в моделях расчета параметров акций. Доходность акций будем считать случайной величиной с нормальным распределением, в этом случае цены акций будут иметь логнормальное распределение. Таким образом, спрэд, существующий между акциями, должен также иметь нормальное распределение.

В этом случае значение спрэда будет находиться в пределах одного стандартного отклонения с вероятностью 68,3 %, в пределах двух стандартных отклонений (2^) - с вероятностью 95,4 %, в пределах трех стандартных отклонений

- с вероятностью 99,7 %.

Таким образом, только небольшая часть значений спрэда должна превышать два стандартных отклонения, и еще меньшая часть значений будет превышать три стандартных отклонения. Можно предположить, что значения спрэда, находящиеся в пределах от двух до трех стандартных отклонений, являются значениями, очень близкими к максимальным. Следовательно, условием открытия арбитражных позиций мы можем принять достижение значения спрэда двух стандартных отклонений. Условием закрытия арбитражных позиций мы оставим возвращение к нулевому значению.

Стандартное отклонение за m предыдущих значений равно [3, с. 404]:

5 =

1

7 X -

11 = 1

й )2

где 5 - стандартное отклонение величины спрэда; и] - 1-е значения спрэда; й - среднее арифме-

1 т

тическое значение спрэда, и =— Vи.; т - объ-

т;г1 1

ем выборки.

При пространственном арбитраже величину й примем равной нулю, так как это значение соответствует значению спрэда в состоянии равновесия.

Формула (6) стандартного отклонения спрэ-да примет вид

5 =4— V и

т -11=7

Таким образом, условия данной модели с учетом комиссии и с новым критерием открытия арбитражных операций можно объединить следующим образом, за один арбитражный случай (7,):

Ш - (Р2), ] - Ш +

К к

+ (р) __2(Р ) —-_

7 = ]100% )' 100% 252100%,

(РД + (Р2)'

г.

где 5 =

т -

I V и

II = 1

стандартное отклонение

спрэда.

Составив подобный алгоритм в программе Лт'Бгокег, мы получим следующие результаты (рис. 3).

На рис. 3 пунктирными линиями обозначены двойные стандартные отклонения спрэда от нулевого значения, рассчитанные по формуле (7). В данных расчетах объем выборки т = 500.

При данной модели проведения арбитражных операций доходность с учетом комиссии составляет 259 % годовых, а без учета комиссии будет равна 274 % годовых.

Сравнение представленных моделей оценки потенциала арбитражных операций показывает, что каждая из этих оценок имеет свои преимущества и недостатки.

Первая модель - расчет максимальной доходности арбитражных операций является более объективным методом оценки потенциала данных операций, так как не содержит условий, необходимых для открытия арбитражных позиций, которые всегда носят субъективный характер и серьезно влияют на полученные результаты. Данный метод оценки доступен только на ретроспективных данных и содержит информацию, не доступную при реальной торговле, поэтому он не может быть использован, например, для оценки фактической будущей доходности. Однако данная модель может быть полезна

18 -12 -

ю 6 -

у

р.

е о —

о -6-12-

Два стандартных отклонения

>25.10.2010'26 102010 '27.10.201C> <28.10.2010'29.10.2010

Времи, дн.

Рис. 3. Спрэд между акциями ОАО «Полиметалл» и ADR на акции ОАО «Полиметалл»

с точки зрения оценки потенциала отдельных арбитражных пар или групп инструментов и нахождения инструментов, наиболее подходящих для арбитража.

Вторая модель - модель оценки потенциала арбитражных позиций с дополнительными критериями открытия основана только на данных, доступных на момент совершения операции, и может быть применена к оценке будущей доходности арбитражных операций. С помощью подобных моделей, меняя различные критерии открытия арбитражных операций, мы можем выбрать из них те, которые дают наибольшую

доходность на ретроспективных данных и использовать данные критерии в реальной торговле.

Таким образом, рассчитанная нами максимальная доходность по формуле (3) является максимально достижимой доходностью, к которой должен стремиться арбитражер, подбирая параметры моделей, используемых в процессе совершения реальных торговых операций на финансовых рынках, и представляет собой оценку потенциала арбитражных операций, не зависящую от действий отдельных участников рынка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Носков, А. А. Классификация арбитражных операций на финансовых рынках [Текст] / А.А. Носков, Л.А. Гузикова // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2010. - № 4(102). - С. 136.

2. Stephane Reverre The complété arbitrage desk

book / Stephane Reverre // USA, The McGraw-Hill Companies, Inc. - 2001. - P. 509.

3. Халл, Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты [Текст] / Д.К. Халл. -Изд. 6-е. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2007. - C. 1056.