Имитационно-поисковое повышение эффективности управления шаговым двигателем

Однако при увеличении количества аккумуляторов и зарядных станций целесообразно применять алгоритм критического пути, который дает приемлемые результаты при малом времени решения задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коффман Э.Г. Теория расписания и вычислительные машины. -М.: Наука, 1987.

2. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1977.

3. Алексеев О.Г. Комплексное решение применения методов дискретной оптимизации.- М.: Наука, 1987.

Р. А. Нейдорф, А.А.Солоха

ИМИТАЦИОННО-ПОИСКОВОЕ ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ШАГОВЫМ ДВИГАТЕЛЕМ

Сущность задачи. Одним из наиболее эффективных и перспективных приводов микромашин и приборов, требующих повышенной точности позиционирования, является шаговый двигатель (ШД). Однако от этих же движителей, зачастую, требуется высокое быстродействие (приводы лазерных и электромагнитных исполнительных устройств) в сочетании с экономичностью режима потребления энергии (пространственно изолированные управляемые объекты типа космических летательных аппаратов и пр.).

Предельная скорость вращения ШД определяется максимальной частотой управляющих прямоугольных импульсов. Из теории оптимального управления [1] известно, что одноимпульсное управление с ограничением по величине воздействия может обеспечить предельное по быстродействию позиционирование только для объектов первого порядка. Однако как натурное исследование реальных образцов ШД, так и анализ их математических моделей показывает, что порядок математической модели (ММ) ротора ШД как объекта управления (ОУ) не ниже третьего, а переходные процессы (ПП) позиционирования его ротора характеризуются колебательностью и значительным перерегулированием (рис. 1).

ротора шагового двигателя

Это обстоятельство, с одной стороны, не позволяет использовать ШД на предельном быстродействии, т.к. при выборе предельной частоты управляющих импульсов приходится резервировать длительность последних с учетом времени затухания ПП. С другой стороны, функционально не обусловленные, а, следовательно, паразитные колебания тока в обмотках ШД приводят к необратимым потерям электроэнергии.

Возможный подход к повышению эффективности управления ШД состоит в том, что предельное быстродействие любого ОУ при ограниченном значении управляющего воздействия достигается, во-первых, при апериодическом характере ПП позиционирования, а, во-вторых, на последовательности импульсов переменного знака и длительности, но предельной амплитуды, обеспечивающих такую апериодичность на минимальном временном интервале. В связи с этим представляет интерес задача построения такого управляющего генератора, который вырабатывал бы не прямоугольные импульсы, а серии модулированных по времени и амплитуде импульсов, обеспечивающие монотонное предельное быстродействие ПП на одном шаге поворота ротора ШД. Этот результат позволит повысить как экономичность энергопотребления двигателя, так и предельную скорость его вращения.

Обоснование способа оптимизации. Несомненно, наилучшим способом решения задачи оптимизации является аналитический. Однако исследования указывают на значительные трудности реализации такого подхода к задаче. Как показано в работах [2, 3] даже упрощенная модель ШД, расчетная схема которого представлена на рис. 2, представляется в виде существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений

Рис. 2. Эквивалентная схема ШД

di 1 , ч

Нт = у(usa-rsa (a -Kr(*>M-cos(P) +М• ira • sm(P)-wr);

dt Lsa

di и l i \

-T =^-iusb-г^*ъ-Kr(*>M•sin(e)-M• ira-cos(p)^wr);

dt Lsb

= Kr(*);

dt

de

dt ~Wr’

d- = p( -Mc -bwr), dt J

где іш,іЬ,іт - токи в обмотках статора и ротора; иш,п,Ь,пга - напряжения

на обмотках; г ш,тьЬ,тга - активные сопротивления обмоток; Ьш,Ць,

Ьга = Ьг0 + Ьг1-оо,(4-в) - индуктивности обмоток; М- взаимная

индуктивность; в - угловое положение ротора; wr -- угловая скорость; М0

- момент сопротивления; Ме - электромагнитный момент; J - момент

инерции ротора; р - число пар полюсов.

В модели (1) используется следующее обозначение:

КгС)=(іаа,-Ь,ь - (0 + ( -2-І,,- ,«і(2-р)2 •) +М2-ооі(Р)-(Ь. - Ь,ь)У х

х[Ь,.,-Ь,Ь - (и„ - Гга '„) + 4-Ь,1 ^г-'га - Ь,а -Ь,Ь - 4- Р) +

+ М • ,Іп( Р)-Ь.-(г,ь^ь - и,Ь) + 05 М2 • ,Іп( 2  Р)-Іга-М’г-(Ьш - Ь,Ь ) +

+М • Lsa • Lsb * Wr * (íSa • Sin(P) - isb • COs(P)) + +M • COs(P) • Lsb ' (Гa • isa - UsaÁ

Электромагнитный момент (см. [4]) определён уравнением

Me = M • isb • ira • C0S

Величина формируемого электронным коммутатором напряжения на каждой из статорных обмоток описывается условиями

если gc(t)=1 то usa = E;rsa = г+2-RqN;

[если„п >0 то u.a =-(E+2-UD);rsa= г + 2- RoN; eoiu(gc(t)=0)&(g(t-h)=1)mol sa sa J sc ON

[еслиш ^0 m0 usa =0; rsa= ROFF

еслиgc(t) = -1 mo usa =-E; rSa = r + 2-Ron; V ’

{ewwsa<0mou.a = E+2-Ud; rs= r + 2-RoN; e^u(g(t)=0)&(g(t - h)=-1) mol sa sa D sa Ю№

\еслиш ^ 0 m0 usa = 0; rsa= ROFF

Для краткости условия приведены для одной обмотки, т. к. для второй они аналогичны. При этом в (3) приняты следующие обозначения: ga(t) -задание для формирователя импульсов (ga(t)=1 - на обмотке положительный импульс; ga(t)=0 - обмотка обесточена; ga(t)=-1 - на обмотке отрицательный импульс); h - шаг интегрирования; E -напряжение источника электропитания; Ud - прямое падение напряжения на диоде; г - активное сопротивление обмотки двигателя; RoN << Roff -

сопротивления открытого и закрытого транзисторного ключа.

Решить аналитически систему (1) на фоне условий (3), а, тем более, оптимизировать это решение не представляется возможным. В такой ситуации обычно прибегают к поисково-экспериментальным методам. Однако в данной задаче и этот путь связан со значительными трудностями и даже риском вывода исследуемых двигателей из строя. На действующей электрической машине необходимо реализовывать осторожные эксперименты типа эволюционного планирования, что значительно затягивает решение задачи.

Однако при достаточной степени адекватности математической модели (ММ) ШД (1) задачу поисковой оптимизации можно разбить на два этапа. На первом этапе предлагается решение выбора и приближенной параметрической оптимизации структуры управления ШД по его адекватной имитационной модели, а на втором осуществлять экспериментальную параметрическую «доводку» решения, необходимую из-за значительного разброса индивидуальных свойств двигателей, связанных с погрешностями изготовления.

Опорные данные имитационного исследования ММ ШД. Исследуемая математическая модель состоит из уравнений (1), (2) и (3). Управляющими воздействиями являются: ga(t), gb(t). Основным

выходным сигналом - угловое положение ротора (в), которое имеет ряд

устойчивых положений, отстоящих друг от друга на угол п/ 2 эквивалентной электрической машины или на один шаг. Начало отсчёта угла в совмещено с осью статора as.

Параметры модели, используемые далее для расчётов:

Lsa=6.0 мГн, Lsb~Lsa, Lr0=0.6 мГн, Lri~Lr0*0.7,

Rra=70 Ом; Ron=3 Ом; R0ff=4000 Ом;

M=Lsa*0.5; J=2*10*(-8) кг/м2; Mü=2*10A(-5) Нм; k=2*10A(-5).

Начальные условия: Isa=0 A; Isb=0 A; Ira= 0.15 A; в = -п/2; wr=0.

Если бы ставилась только задача повышения быстродействия ШД, основным показателем качества ПП при смене позиции ротора поворотом на угол в следовало бы считать время т затухания ПП при заданной

«трубке» 8р его затухания

т: V t £= [О, —— т = тах t ) / Л >8р.

Однако критерий оптимизации, построенный на оценке (4), будет иметь разрывный характер, что сильно затрудняет применение классических поисковых методов, и заставляет прибегать к плохо обусловленным методам т.н. «недифференцируемой оптимизации». В связи с этим в исследовании отдано предпочтение интегральной оценке качества, применяемой на экспериментально подобранном диапазоне времени Т =0,01

й = }к•

О

где к=1000 - весовой коэффициент, обеспечивающий удобство

оперирования результатами; в = 0 - заданное положение ротора ШД.

Выбор структуры управления ШД. В рамках концепции ограниченного по амплитуде управления прямым поиском было найдено несколько сочетаний управляющих сигналов, обеспечивающих движение ротора на один шаг (см. рис.3, 4 и 5).

і Д рад

___________і_________і__________і_________і__________і____і____і__________і_________і__________і_________і

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

Рис. 3. Управление одним коротким импульсом

Рис. 4. Управление одним длинным импульсом

, Д рад 1.1% +5%

-5%

Управление Т3=4мс

і, сек —1—

0.002 0004 0.006 0.008 0.01

0.002 0004 0.006 0.008 І, СЄК

Т1=1.6мс

Т2=0.7мс

_1_

_1_

і, сек

-I---------Ц

О 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

Рис.5. Управление двумя импульсами

Для условного начального положения ротора Р = -ж/2 (см. рис.2) положительный импульс напряжения (да(1) = 1) на фазе аб, обмотки статора считается «разгоняющим по ходу» или просто «разгоняющим». Тогда, отрицательный импульс напряжения (дЬ(1)=-1) на фазе Ь3 будет «разгоняющим против хода», или, при действии положительного импульса на фазе аб, (да(1)=1), «останавливающим» импульсом напряжения.

Для одного «разгоняющего» импульса (при да(1) = 1; дЬ(1)=0), подаваемого на фазу аобмотки статора (см. рис. 3, 4), найден диапазон

длительностей импульса 1,2 мс-6,0 мс. Это обеспечивает затухание траектории изменения углового положения ротора с уменьшением длительности установления, перерегулированием и амплитуды затухающих колебаний.

Более длительный управляющий импульс не обеспечивает эффективного достижения предела позиционирования, потому что первая составляющая магнитного момента из (2) равна нулю (т. к. іь «0), а

вторая - М • іаа • іга • $іп(в) ^ 0 при в ^ 0 . В окрестности точки в = 0

третья составляющая электромагнитного момента (2) обеспечивает удержания ротора около полюса статора и зависит от конструкции двигателя.

Другой вариант управления шаговым двигателем показан на рис. 5. В этом случае на фазу аб, обмотки статора подаётся «разгоняющий»

импульс напряжения, а на фазу Ь3, через некоторое время, -

«останавливающий» отрицательный импульс напряжения. Найденная подбором такая структура управления ШД обеспечивает меньшую амплитуду колебаний и попадание графика изменения углового положения ротора в 5 % трубку регулирования за 2,26 мс, т.е. значительно быстрее «традиционного» варианта.

Экспериментально-имитационная параметрическая

оптимизация управления ШД. Выбранная выше структура

двухимпульсного управления ШД параметрически определяется тройкой величин Ти = (Г1,Т2,Т3). Таким образом, параметрический синтез закона управления ШД сводится к отысканию оптимального по критерию (5) значения вектора .

Ввиду гладкости интегрального критерия имитационную оптимизацию удалось осуществить методом крутого спуска на основе трехфакторного двухуровневого эксперимента и его полуреплик. Для наглядной

иллюстрации влияния параметров импульсов на качество ПП позиционирования ротора ШД и хода экспериментальной оптимизации на рис. 6 показан набор графиков, соответствующий покоординатным изменениям длительностей управляющих импульсов относительно номинального значения (Т1=1.6мс; Т2=0.7мс; Т3=3мс) на интервалах варьирования ЛТ1 = 0,1 мс, ЛТ2 = 0,2 мс. Иными словами, проиллюстрировано изменение качества ПП при постановке двухфакторного трёхуровневого эксперимента, как составляющей трехфакторного эксперимента. Средний график показывает ПП в центре плана; верхний правый соответствует длительностям управляющих импульсов Т1 и Т2 увеличенным на интервал варьирования и т. д. Влияние этих факторов на качество ПП видно достаточно наглядно.

Для более объективной оценки влияния по совокупности опытов проводимых в ходе исследования для параметрической области расположения экспериментального оптимума получено уравнение

регрессии

у = Ь0 + Ъ1 • Т1 + Ъ2 • Т2 + Ъ3 • Т3 + Ъ12 • Т2 + Ъ13 • Т3 + Ь23 • Т2 • Т3 + + Ъи • Т12 + Ъ22 • Т22 + Ъ33 • Т32 + Ъ123 • Т1 • Т2 • Т3,

где у - аппроксимация оценки качества ПП; Ъi - коэффициенты уравнения.

Рис. 6. Иллюстрация влияния параметров управления на ПП

Здесь Е - динамическая ошибка, определяемая как наибольшее отклонение траектории от задания на временном интервале от первого попадания траектории в 0.5% трубку до конца наблюдения. Численное исследование уравнения (6) дает приближенное значения оптимальных параметров выбранной двухимпульсной структуры управления ШД - Ти =(1.6132 мс., 0.6866 мс., 3.7002 мс).

Экспериментальная проверка показала хорошую близость этого результата к реальным свойствам ШД как ОУ.

Исследование влияния погрешности, с которой может работать реальный формирователь импульсов, показало, что отклонение на 5%

временных характеристик управления от оптимального изменение интегральной оценки качества ПП не превышает 3%.

Таким образом, подобранное управление, форма импульсов которого изображена на рис. 5, обеспечивает практическую гладкость критерия оптимизации и выигрыш в быстродействии перевода ротора на один шаг по сравнению с одноимпульсным управлением на 31 %. Гладкий характер зависимости (6) для критерия (5) свидетельствует о том, что ШД обладает определенной робастностью относительно векторного управления, и вариация параметров последнего в окрестности найденного оптимума не приведет к заметному снижению быстродействия и повышению колебательности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воронов А.А.. Теория автоматического управления. В 2-х ч. -М.: ВШ.,1986.

2. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин.- М.: ВШ, 2002.

3. Солоха А.А. Математическая модель шагового двигателя // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-17: Сб. трудов XVII Междунар. научн. конф. Т5. Под общ. ред. В. С. Балакирева. -Кострома. 2004.

4. Нейман Л.Р. Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники -Л. Энергия, 1967 .

5. Ахназарова С. Л., Кафаров В. В. Оптимизация эксперимента в химической технологии.-М. 1987.

А. А. Солоха, В.Г. Кобак

ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ШАГОВЫМ ДВИГАТЕЛЕМ

Сущность проблемы. Схема преобразования энергии в системе управления шаговым двигателем (ШД) показана на рис. 1. Энергия электрической сети 1 преобразуется в постоянное напряжение и передаётся формирователю импульсов 3, который подаёт их на двигатель М. Потери энергии, возникающие при преобразовании переменного напряжения в постоянное, минимизируются с помощью активного корректора коэффициента мощности3.

1 2 3

Рис. 1. Схема преобразования энергии

Выделим две основные причины появления потерь энергии в ШД. Во-первых, колебательное движение ротора, наблюдающееся в

3 Рассмотрение таких устройств выходит за рами статьи