Система для выбора и анализа многокритериальных решений с неполными предпочтениями

Литература

1. Добронец Б. С., Попова О.А. Численный вероятностный анализ неопределённых данных Сибирский федеральный университет, Институт космический и информационных технологий. Красноярск, 2014.

2. Dobronets B.S., Popova O.A. Improving the accuracy of the probability density function estimation (2017) Journal of Siberian Federal University — Mathematics and Physics, 10 (1). pp. 16-21.

3. Dobronets B., Popova O. Numerical probabilistic approach for data nonparametric analysis // Applied methods of statistical analysis. Nonparametric approach. Proceedings of the international workshop. 2015. С. 376-384.

4. Dobronets B.S., Popova O.A. The numerical probabilistic approach to the processing and presentation of remote monitoring data // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Техника и технологии. 2016. Т. 9. № 7. С. 960-971.

5. BillardL., Diday E. (2006). Symbolic Data Analysis: Conceptual Statistics and Data Mining.

Wiley.

About approaches to the data aggregation in dependence restoration problems

Olga Arkadevna Popova, Ph.D., Associate Professor Computer Science Dept., Institute of Space and Information Technology,Siberian Federal University

New approaches to data processing for the functional dependencerecovery on the basis of piecewise polynomial aggregation are considered. An approach is proposed for constructing regression dependencies on the basis of aggregated time series in the form of Hermitian cubic splines. Questions of the accuracy of aggregation are studied.

Keywords: numerical probability analysis, piecewise polynomial models, spline aggrega-tion,functional dependence recovery, regression modeling.

УДК 519.816

СИСТЕМА ДЛЯ ВЫБОРА И АНАЛИЗА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ С НЕПОЛНЫМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ

Владислав Владимирович Подиновский, д-р техн. наук, профессор,

e-mail:podinovski@mail.ru, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,

http://www.hse.ru,

Михаил Андреевич Потапов, канд.физ.-мат.наук, вед. научн. сотр.,

e-mail-.pma@com2com.ru, Институт автоматизации проектирования РАН, http://www.icad.org.ru, Андрей Павлович Нелюбин, мл. научн. сотр., e-maiLmlubm@gmail.com, Институт машиноведения РАН, http://www.imash.ru, Иван Сергеевич Соловьёв, мл. научн. сотр., e-mail.ivan.solovyev@phystech.edu, Институт автоматизации проектирования РАН, http://www.icad.org.ru Александр Александрович Павлов, мл. научн. сотр., e-maihckidoz@gmail.com, Институт автоматизации проектирования РАН http://www.icad.org.ru

В докладе представлены варианты реализации согласительных решений для многокритериальных задач выбора, которые анализируются методами теории важности критериев и

используются при нечетких предпочтениях, в диалоговой системе, предназначенной для широкого круга приложений.

Ключевые слова: интерактивный выбор и анализ, многокритериальные решения, нечеткие предпочтения, диалоговая система.

1. Введение

Для решения многокритериальных задач привлекается в той или иной форме (в зависимости от используемого метода) информация о предпочтениях лица, принимающего решение (ЛИР), на основе которой строится математическая модель (его) предпочтений. Чаще всего для этого используются параметрические функции ценности или бинарные отношения предпочтения. Практически в силу ряда объективных и субъективных причин (например, из-за сложности анализируемой задачи или недостатка времени и квалификации ЛИР во всех аспектах задачи) не всегда удается получить полную информацию о предпочтениях ЛИР, и поэтому для параметров в функции ценности или отношении предпочтения оказываются известными только множества возможных значений (например, величин весов критериев в аддитивной функции ценности).

Существует несколько подходов к решению задач при неполной (нечеткой) информации о предпочтениях [1]. Часть таких подходов основывается не только на информации о предпочтениях ЛИР, но и на тех или иных эвристических соображениях. Решения, полученные в рамках таких подходов, названы в [2-4] согласительными, так как для их применения нужно осознанное согласие ЛИР. Согласительные решения, основанные на суррогатных (в частности, центроидных) весах критериев предлагались применительно к моделям предпочтений, основанным на аддитивной функции ценности [5 - 10]. В докладе представлена реализация методологии согласительных решений (как альтернативы, получаемые с использованием центроидных значений параметров модели предпочтений, так и максимально правдоподобно оптимальные, или мп-оптимальные альтернативы) для многокритериальных задач выбора, которые анализируются методами теории важности критериев (ТВК) [11, 12].

Доклад подготовлен в ходе проведения исследований в 2016-2017 годах, которые финансировались Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 1601-00404 А).

2. Математическая модель. Дальнейшее изложение опирается на следующую математическую модель ситуации выбора в условиях определенности при многих критериях, которая используется в теории важности критериев (ТВК):

= < X,/1, ...,/т, 10, я >,

где Х - множество альтернатив, или вариантов, планов, стратегий, ... (число их не менее двух), /¡, ..., /т - критерии (т>2), т.е. функции /: X ^ Х0, где Х0 с Яе = (- да, + да) - область значений критериев (множество шкальных оценок), Я - бинарное отношение нестрогого предпочтения (оно играет роль модели предпочтений ЛИР).

Критерии / образуют векторный критерий / = /1, /т). Иредполагается, что каждый из критериев независим по предпочтению от остальных и его большие значения предпочтительнее меньших. Каждая альтернатива х из множества X характеризуется её векторной оценкой у(х) = /(х) = /1(х), /т(х)). Множество всех векторных оценок (как достижимых, которые соответствуют альтернативам и составляют множество У = / (X), так и гипотетических) есть 7=. Сравнение альтернатив по предпочтительности

сводится к сопоставлению их векторных оценок. Отношение нестрогого предпочтения Я определяется на множестве 2: соотношение уЯ^ означает, что векторная оценка у не менее предпочтительна, чем векторная оценка 2. Отношение Я заранее неизвестно: оно конструируется (восстанавливается) в процессе разработки модели М на основе информации о предпочтениях лица, принимающего решение (ЛИР). Далее полагается, что

отношение R есть частичный квазипорядок (оно рефлексивно: yRy верно для любого yeZ, и транзитивно: для любых y, z, u е Z из yRz и zRu следует yRu).

В ТВК (см. обзоры в [11, 12]) для конструирования отношения R предполагается использование информации о предпочтениях, содержащей сведения двух типов - о важности критериев и об изменении предпочтений вдоль множества Zo. Эта информация может быть качественной или количественной. Качественная информация о важности основана на строгих определениях понятий равенства критериев в важности и превосходства в важности одного критерия над другим и представляется в виде упорядочения всех критериев по важности. Количественная информация о важности основана на строгом определении понятия превосходства в важности одного критерия над другим во столько-то раз и представляется в виде интервальных или же точечных оценок степеней превосходства в важности одних критериев над другими. Разработаны специальные методы получения качественной и количественной информации о важности.

Первоначально предполагается, что шкала критериев всего лишь порядковая. Качественная информация об изменении предпочтений вдоль множества Zo представляется в виде упорядочения разностей значений ценности шкальных оценок. Количественная - в виде интервальных или точечных оценок отношений таких разностей. Разработаны специальные методы получения такой информации.

Для различных сочетаний указанных видов информации о важности критериев и об изменении ценностей оценок из Zo разработаны аналитические и алгоритмические решающие правила, задающие на множестве векторных оценок квазипорядок R". Этот квазипорядок является связным, если все оценки являются точечными. Указанные решающие правила реализованы в компьютерной системе поддержки принятия решений DASS [13, 14].

3. Система DASS (Decision Analysis Support System) для выбора и анализа многокритериальных решений [13]:

- реализует эффективные и свободные от ошибок округления методы построения отношений предпочтения на основе теории важности критериев [11];

- позволяет решать задачу в рамках итеративного подхода, используя вначале более надежную и простую - качественную информацию о важности критериев и их шкале, а затем, при необходимости, более сложную количественную информацию -интервальную или точную.

Первая версия системы была создана в 2006 году. Она включала в себя базовый интерфейс для ввода предпочтений и имеющиеся на тот момент методы построения отношения предпочтения в рамках подхода теории важности критериев. Последующие версии системы создавалась на протяжении 2012-2016 годов и продолжает развиваться в настоящее время. В ней добавлены новые и улучшены прежние методы сравнения альтернатив по предпочтению, что стало результатом теоретических разработок последних лет [12]. В последней версии системы DASS 2.4 реализованы процедуры получения согласительных решений [2-4].

Указанная версия системы используется в ряде курсов по принятию решений в Высшей школе экономики и МФТИ, а также применялась и планируется к использованию при решении ряда практических задач. Ограниченная (числом используемых критериев не более четырех) версия системы DASS имеется в свободном доступе на сайте http://www.mcodm.ru/soft/dass. На этом же сайте можно найти много интересных и полезных материалов по теории важности критериев и ее приложениям.

В системе DASS реализован итеративно-фрагментарный подход [9] к решению многокритериальных задач, предполагающий последовательное, по мере необходимости, уточнение модели предпочтений P на основе постепенно усложняющейся информации о предпочтениях (переход от качественной к количественной информации о важности критериев и совершенствование их шкалы от порядковой до количественной).

Методы системы разделены на три группы - методы теории важности критериев, методы общей теории многокритериального выбора и вспомогательные методы. Мно-

гокритериальный выбор предусматривает попарное сравнение вариантов по предпочтительности при помощи вышеуказанных подходящих методов и выделении всех недоминируемых вариантов. Ири решении конкретной задачи на каждом очередном шаге интерактивной процедуры многокритериального выбора от лица, принимающего решение, и/или экспертов получается дополнительная информация о важности критериев и/или их шкале. А затем с использованием всей накопленной информации сравниваются по предпочтительности варианты из множества недоминируемых, полученного на предыдущем шаге, и исключаются доминируемые. Таким образом, множество недоминируемых вариантов постепенно сужается. Ироцедура заканчивается, как только будет выделен один недоминируемый вариант, который следует рассматривать как наилучший (оптимальный), или же окажется невозможным уточнять информацию о важности критериев и их шкале для дальнейшего сужения множества недоминируемых вариантов.

Система включает в себя следующие компоненты:

- систему ввода данных (специальное «диагностическое» меню);

- средства создания и ведения архива данных по анализируемым задачам и полученным решениям;

- библиотеку математических алгоритмов;

- пользовательский интерфейс, включая систему диалога типа меню.

- систему помощи на русском языке.

Настройка на нужную предметную область в системе осуществляется путем ввода информации об анализируемых объектах, а также ввода требований и предпочтений путем использования специального «диагностического» меню. Основные условия:

- система ориентирована на задачи индивидуального многокритериального выбора в условиях определенности; Результатом работы системы является реализация многокритериального выбора анализируемых объектов;

- рассматриваются только дискретные задачи многокритериального выбора (т.е. задачи с конечным множеством вариантов решений);

- предполагается, что все критерии имеют общую шкалу.

В системе используются следующие варианты информация о важности критериев:

- нет информации («отсутствует»);

- качественная (см. пример на рис. 1 слева);

- количественная (известны значения коэффициентов важности критериев или же только интервалы для их отношений, см. пример на рис. 1 справа).

- РС сЬоке ш.хт!

Текущая категория: Критерии

Общие | информация о важности

и

Информация о О Отсутствует

(8) ¡Качественная! О Количественная

Критерий Относительно следующего

Производительность равноважен

Уровень_шума важнее

Ка ч еств о_м о н ито ра важнее

Сб аланси ров а н ность

< >

Раээ - РС сИсже ги.хт1

Текущая категория: Критерии

0

О&щие Информация о важности

I

Недонинируемьн варианты

Информация о О Отсутствует О Качественная (•) Количественная

Количественная информация ( О Интервальная ©Точная;

во сколько раз

Производител равноваже Уровень_шумг 1,000

Уровень_шумг важнее Качество_мон1 1,750

Качество_мон1 важнее Сбалансирова 2,000

Рис. 1. Ввод в системе БЛ88 2.4 качественной и количественной информации об относительной важности критериев

Ядро системы DASS составляет библиотека dass.lib, которая содержит:

- Структуру данных для задачи принятия решения;

- Функции для проверки корректности введенных данных и их изменений;

- Набор решающих правил для сравнения двух вариантов по предпочтительности;

- Методы подготовки множества вариантов к отбору (выстраивание последовательности сравнений, вычисление функции полупредставления для ускорения отбора), а также методы обработки информации о доминировании.

4. Изменения в решающих правилах

Ниже представлена блок-схема набора решающих правил для сравнения двух вариантов по предпочтительности в случае разных типов информации о предпочтениях (dr - сокращение decision rule). При уточнении информации об относительной важности критериев мы перемещаемся снизу вверх по ячейкам этой таблицы. При уточнении информации о росте предпочтений вдоль шкалы критериев мы перемещаемся слева направо по ячейкам этой таблицы. Таким образом, в процессе решения задачи мы переходим от одних решающих правил к другим.

Таблица 1

Блок-схема типов информации о предпочтениях ЛПР и соответствующих

решающих правил

Информация о важности критериев Количественная Коэф. важности ^ - заданы точно dr3_1 dr3_2 dr3_3 dr3_4

1 < 1 < а' < г dr2_1 dr2_2 dr2_3 dr2_4

Качественная Критерии упорядочены: 1У/+1 или /~/+1 dr1_1 dr1_2 dr1_3 dr1_4

Отсутствует dr0 - сравнение по Парето

Информация о предпочтениях Порядковая шкала Шкала I порядковой метрики dk < Vk+1 Vk < uk Vk+2 ~ Vk+1 Шкала интервалов

Качественная Количественная

Информация о росте предпочтений вдоль шкалы

Для решающих правил ёг2_1, ёг2_2, ёг2_4, ёг3_3 существуют аналитические формы, вычислительная сложность которых линейно зависит от входных параметров (числа критериев т или числа градаций шкалы [15]. Однако используемая в них схема вычислений потенциально могла привести к неверному результату сравнения из-за накопления ошибок округления.

Теоретическое рассмотрение позволило свести решающее правило ёг1_3 к подобной аналитической форме [16]. Задача билинейного программирования ёг2_3 решается перебором вершин одного из многогранников, после чего сводится либо к ёг3_3, либо к ёг2_4 [17]. Таким образом, все выделенные в таблице решающие правила сведены к однотипной схеме. Кроме того, при их реализации удалось избавиться от потенциальных ошибок округления.

Задача ёг1_2 была отдельно изучена. Были получены алгоритмическое решающее правило, а также алгоритм построения объясняющей цепочки [18].

Для шкалы первой порядковой метрики (задачи ^1_2, ^2_2, ^3_2) в дальнейшем предполагается помимо случая убывания скорости роста предпочтений вдоль шкалы критериев

^ - ^ > Vз - ^ > ... > У9 - V !

допускать также случай возрастания этой скорости [19]:

V2 - V1 < V3 - V2 < ... < Vд - Vд-1 .

Эта модификация затронет и алгоритмы в решающих правилах ^1_3, ^2_3, dr3_3, так как количественная информация о шкале должна уточнять качественную.

5.Согласительные решения

В версии системы 2.4 были реализованы методы поиска согласительных

решений при неполной информации о предпочтениях ЛИР [2-4]. Рис. 2 и 3 показывают, как выглядит интерфейс системы при решении демонстрационного примера задачи выбора конфигурации компьютера по 4 критериям. Иользователю системы предлагается выбрать один из двух способов получения согласительных решений:

1) Рассчитать значения целевых функций альтернатив с использованием центро-идных значений параметров предпочтений;

2) Найти максимально-правдоподобно оптимальную альтернативу.

Для каждого типа информации о предпочтениях ЛИР (см. Таблицу 1) были разработаны свои алгоритмы для каждого из этих двух способов. В данном примере рассматривается случай, когда критерии упорядочены по важности (см. рис. 1), а шкала критериев полагается порядковой.

На рис. 2 приведены результаты расчёта центроидных параметров предпочтений (коэффициентов важности критериев и ценностей шкальных оценок). На основе этих параметров посчитаны значения целевой функции для недоминируемых альтернатив, которые упорядочены в соответствии с этими значениями.

На рис. 3 приведены результаты расчёта по каждой недоминируемой альтернативе вероятности того, что эта альтернатива является оптимальной.

Результаты, получающиеся при решении задачи этими двумя способами, могут отличаться, как в данном примере. Иервый способ предлагает выбрать альтернативу СопГ-8, а второй - альтернативу СопМ.

>

Оэбб - РС сИогсе ги.хт!

Текущая категория: Согласительные решения

^^^ Способ решения

Критерии ©Центроидные значения параметров

г |  I  I  (3 Максимально правдоподобно оптимальные альтернативы

! среди недоминируемых вариантов:

Значение функции ценности

СопТ-8 0,722

СопМ 0,708

СопТ-б 0,681

СопМ 0,660

Сог^-5 0,660

решения

А

Значения коэффициентов важности: Сбалансированность: 0,083 Уровень_шума: 0,361 Производительность: 0,361 Качество_монитора: 0,194

Ценности шкальных оценок 1 :0,000 2:0,250 3:0,500 4:0,750 5:1,000

Рис. 2. Результаты расчета функции ценности альтернатив с использованием центроидных значений параметров предпочтений

Рис. 3. Результаты поиска мп-оптимальной альтернативы

6. Новые интерфейсные решения

В следующей третьей версии системы планируется перейти к новой технологии разработки интерфейса ф, которая обеспечивает:

- Кроссплатформенность. Программа должна работать не только под Windows, но и в других ОС. Причем обеспечивается не только запуск приложения, но также учитываются специфики отдельных ОС (например, различный способ хранения настроек приложения).

- Возможность переключения языка интерфейса. Для этого предоставляются готовые программные средства, а также удобные инструменты для переводчика.

- Функционал по работе с концепцией «модель-представление». Использование концепции «модель-представление» резко снижает затраты на проверку корректности введенных данных, а также избавляет пользователя от ввода дублирующей информации. Использование этой технологии также упростит синхронизацию ввода данных альтернативными методами - ввод чисел в таблицу и графический ввод.

- Упрощение формата хранения задачи.

- Расширение справочной системы, а именно: создание контекстной справки, позволяющей узнать краткую информацию, наведя курсор на тот или иной объект в интерфейсе.

7. Выводы. Авторы считают, что в данной работе новым является описание современного состояния и перспективных направлений дальнейшего развития теории важности критериев и основанной на этой теории системы DASS 2.4 и некоторых её практических приложений.

Литература

1. Подиновский В.В. Анализ решений при множественных оценках коэффициентов важности критериев и вероятностей значений неопределенных факторов в целевой функции // Автоматика и телемеханика. 2004. № 11. С. 141-159.

2. Подиновский В.В. Согласительные решения многокритериальных задач выбора // Математические проблемы управления. 2017. № 2. С. 17-26.

3. Подиновский В.В. Согласительные решения многокритериальных задач выбора // Информационные технологии в науке, образовании и управлении: Материалы Международной конференции IT + S&E16 (Гурзуф, 22.05. - 01.06.2016 г.) / Под ред. Е.Л. Глориозова. М.: ИНИТ, 2016. С. 117-123.

4. Нелюбин А.П., Подиновский В.В., Потапов М.А. Согласительные решения в теории важности критериев // Информационные технологии в науке, образовании и управлении: труды межд. конф. IT + S&E16 (Гурзуф, 01.10-11.10.2016 г) / под. ред. проф. Е.Л. Глориозова. М.: ИНИТ, 2016. Осенняя сессия. С. 53-59.

5. Stillwell W.G., Seaver D.A., Edwards W. A comparison of weight approximation techniques in multiattribute utility decision-making // Organizational behavior and human performance. 1981. V. 28. P. 62 - 77.

6. Solymosi T, Dompi J. Method for determining the weights of criteria: the centralized weights // European journal of operational research. 1985. V. 26. P. 35 - 41.

7. Barron F.J. Selecting a best multiattribute alternative with partial information about attribute weights // Acta psychologica. 1992. V. 80. P. 91-103.

8. Edwards W., Barron H.F. SMARTS and SMARTER: improved simple methods for multiattribute utility measurement // Organizational behavior and human decision processes. 1994. V. 60. P. 306-325.

9. Roszkowska E. Rank ordering criteria weighting methods - a comparative overview // Optimum: studia ekonomiczne. 2013. V. 65. № 5 (65). P. 14-33.

10. Barron F.J., Barret B.E. Decision quality using ranked attribute weights // Management science. 1996. V. 42. P. 1515-1523.

11.Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: Учебное пособие. - М.: Физматлит, 2007.

12. Теория важности критериев: современное состояние и направления дальнейшего её развития // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16 -19 июня 2014 г. ИПУ РАН [Электронный ресурс]. М.: ИПУ РАН, 2014. С. 7697-7702. http://vspu2014.ipu.ru/node/8581 / Подиновский В.В., Потапов М.А., Нелюбин А.П., Подиновская О. В.

13. Подиновский В.В., Потапов М.А. Теоретические основы и системы поддержки принятия многокритериальных решений // Материалы XXXIV Международной конференции "Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе" (20 - 30 мая 2007 г., Гурзуф, Украина). Приложение к журналу «Открытое образование». 2007. С. 87-89.

14. Подиновский В.В. Анализ задач многокритериального выбора методами теории важности критериев при помощи компьютерных систем поддержки принятия решений // Известия АН. Теория и системы управления. 2008. № 2. С. 64-68.

15. Подиновский В.В. Интервальная информация о важности критериев в анализе многокритериальных задач принятия решений // Научно-техническая информация. Серия 2. Информационные процессы и системы. 2007. № 6. С. 15-18.

16. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Методы оптимизации в анализе многокритериальных задач принятия решений при интервальной информации о важности критериев или ценности шкальных градаций // Научно-техническая информация. Серия 2: Информационные процессы и системы, 2011. № 8. С. 22-29.

17. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Билинейная оптимизация в анализе многокритериальных задач методами теории важности критериев при неточной информации о предпочтениях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. № 5. С. 802-813.

18. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Алгоритмическое решающее правило, использующее ординальные коэффициенты важности критериев со шкалой первой порядковой метрики // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012, Т. 52, № 1. С. 48-65.

19. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Аналитические решающие правила для упорядоченных по важности критериев со шкалой первой порядковой метрики общего вида // Автоматика и телемеханика. 2014. № 9. С. 97-107.

System for multicriterial choice and analysis with incomplete preferences

Vladislav Vladimirovich Podinovskii, professor, National research university Higher School of Economics

Mihail Andreevich Potapov, leading research scientist, Institute of Computer Aided Design of the RAS

Andrey Pavlovich Nelyubin, junior research scientist, Mechanical Engineering Research Institute of the RAS

Ivan Sergeevich Solovyev, junior research scientist, Institute of Computer Aided Design of the RAS

Alexandr Alexandrovich Pavlov, junior research scientist, Institute of Computer Aided Design of the RAS

We demonstrate implementation of conciliative solutions for multicriterial choice problems that are analyzing by methods of criteria importance theory and used under imprecise preferences in a dialog system intended for wide range of applications.

Key words: interactive choice and analysis, multicriteria decision making, imprecise preferences, dialog system.

УДК 519.816

РЕПЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ

ЗАДАЧ

Владислав Владимирович Подиновский, д-р техн. наук, профессор, e-mail: podinovski@mail.ru, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики ",

http://www.hse.ru

Введено понятие реперной функции. Она оцифровывает все элементы конечного упорядоченного множества так, что для тех его элементов, которые могут играть роль реперных