Анализ алгоритмов расчета аэродинамических сил действующих на криволинейный контур

DOI: 10.18454/IRJ.2016.54.211

Бубенчиков А.А.1, Белодедов А.Е.2, Булычев И.С.2, Шепелев А.О.2 1 Кандидат технических наук, 2магистрант, Омский государственный технический университет Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №16-08-00243 а АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ ДЕЙСТВУЮЩИХ

НА КРИВОЛИНЕЙНЫЙ КОНТУР

Аннотация

В статье рассмотрена проблема проектирования лопастей ротора типа Савониуса. Приведен обзор методов и алгоритмов расчета аэродинамических сил, действующих на криволинейный контур в режиме отрывного обтекания, с целью выбора оптимальной конструкции ротора Савониуса. Были проанализированы и сравнены два алгоритма расчета, основанные на численном методе в механике жидкостей и газов, а именно на методе дискретных вихрей. В ходе сравнения было установлено, что один из алгоритмов, представленных в обзоре является наиболее многозадачным.

Ключевые слова: ветроэнергетика, аэродинамика, криволинейный контур, ротор Савониуса.

Bubenchikov A.A.1, Belodedov A.E.2, Bulychev I.S.2, Shepelev A.O.2

1PhD in Engineering, ^Undergraduate student, Omsk State Technical University This work was supported by grant RFBR and №16-08-00243 ANALYSIS OF ALGORITHMS FOR THE CALCULATION OF THE AERODYNAMIC FORCES ACTING

ON THE CURVILINEAR CONTOUR

Abstract

The article considers the problem of designing the blades of a Savonius rotor. An overview of the methods and algorithms of calculation of the aerodynamic forces acting on a curved contour in the regime of separated flow, to select the optimal design of a Savonius rotor. Was analyzed and compared two algorithms of calculation based on numerical method in the mechanics of liquids and gases, namely, on the method of discrete vortices. During the comparison it was found that one of the algorithms presented in the review is the most multi-tasking.

Keywords: wind energy, aerodynamics, curvilinear contour, the Savonius rotor.

В результате проведенного обзора конструктивных решений энергоустановок на основе возобновляемых видов энергии и анализа работ, посвященных исследованиям аэродинамики вертикально-осевых ветроэнергетических установок, установлено следующее:

1. Большая часть производства электроэнергии в настоящее время приходится на энергоустановки, использующие традиционные источники энергии. Электростанции на таких источниках усугубляют экологическое положение за счет загрязнения окружающей среды, обусловленного выбросами вредных веществ в атмосферу. Для формирования экологически благоприятной структуры энергобаланса России всё чаще рассматривается возможность привлечения в топливно-энергетический баланс нетрадиционных возобновляемых источников.

Одним из перспективных направлений в этой области является использование ветровой энергии, так как эти установки не имеют выбросов вредных веществ в атмосферу.

2. На современном этапе развития нетрадиционной энергетики накоплено значительное количество конструктивных решений вертикально-осевых ветроэнергетических установок с использованием ротора типа Савониуса, но отсутствуют точные данные, позволяющие судить о влиянии геометрических размеров ротора на различные характеристики энергоустановки, а также отсутствует методики по оптимизации параметров и выбора конструкции ротора. Таким образом, необходимость и актуальность получения этих данных, которые в дальнейшем могут быть использованы при проектировании и строительстве энергетических установок подобного рода очевидна.

В связи с этим в рамках статьи была поставлена задача обзора методов и алгоритмов расчета аэродинамических сил, действующих на криволинейный контур в режиме отрывного обтекания, с целью выбора оптимальной конструкции ротора Савониуса.

Основные преимущества вертикальноосевых ветроустановок с роторами Савониуса [1, 2]:

- отсутствие необходимости ориентации на ветер, и, как следствие, простота конструкции, обусловленная отсутствием специальных ориентирующих устройств;

- большой начальный момент (возможность страгивания ротора ВЭУ практически из любого начального азимутального положения при весьма малых скоростях ветра);

- невысокая угловая скорость вращения по сравнению с горизонтальноосевыми ВЭУ, и, следовательно, низкие центробежные нагрузки;

- простота крепления лопастей, что снижает конструктивные требования к ним;

- возможность размещения электротехнического оборудования в основании ВЭУ, что снижает требования к жесткости опоры, а также уменьшает стоимость технического обслуживания и ремонта.

Расчет характеристик ВЭУ с вертикальной осью вращения серьёзно осложняется некоторыми особенностями их аэродинамики. Лопасти, находящиеся дальше других в направлении набегающего потока, работают в вихревом следе, образующемся за лопастями, которые находятся с наветренной стороны ротора. Возникновение следа связано с наличием у лопастей острых кромок. Вихревой след вносит в поток серьезные возмущения, и его параметры (скорость, направление течения) могут в значительной степени отличаться от параметров на бесконечном удалении от ротора. Таким образом, процесс обтекания лопастей является нелинейным нестационарным, и для его описания не могут применяться подходы, основу которых составляет линейная теория крыла конечного или бесконечного размаха.

Обусловленное мировой тенденцией отказа от использования углеводородов как основного источника энергии расширение доли ветроэнергетики в мировой энергетике требует создания более совершенных методов конструирования ВЭУ. Увеличение линейных размеров роторов как неизбежное следствие увеличения их мощности обусловило необходимость учета нагрузок на лопасти, взаимовлияния лопастей, изучения скоростей потока вблизи ротора и в вихревом следе за ним.

М. И. Ништ, И. А. Белов и А. И. Шуб [3] провели в плоской постановке численные исследования нестационарного отрывного обтекания изолированного тонкого профиля в форме дуги окружности, установленного под произвольным углом атаки в дозвуковом потоке несжимаемой жидкости, заложив, таким образом, основу для моделирования аэродинамики ротора Савониуса. В. Островой [4] создал математическую модель ВЭУ с ротором Савониуса на основе МДВ в плоской постановке задачи, позволяющую получать картины вихревых следов за ротором, поля скоростей потока вблизи него и мощностные характеристики ВЭУ. Но при этом, к сожалению, рассматривался лишь установившийся режим работы ветроустановки, т.е. при постоянных оборотах. Другим важным недостатком этой работы является использование лишь плоской постановки задачи, что заведомо не позволяет учесть влияние удлинения лопастей ротора на его характеристики.

Также в плоской постановке МДВ В. К. Вашкевичем и В.В. Самсоновым был разработан способ определения мощностных характеристик для ветроустановок с ротором Дарье [5]. При этом среда полагалась идеальной, а обтекание безотрывным. При помощи типичного для МДВ интеграла Коши - Лагранжа вычислялись нормальные силы на профиле, которые затем использовались для расчета тянущих (окружных) сил, который основывался на известных аэродинамических характеристиках профиля лопасти. Недостатком этой работы также является исследование лишь установившегося режима работы ВЭУ.

В. Самсонов [6] также использовал для расчета аэродинамических характеристик ветроколес с вертикальной осью вращения импульсную теорию, в которой нагрузки на лопастях определяются исходя из условия баланса энергии между двумя областями (по отношению к ветроколесу) — наветренной и подветренной. Главным недостатком этого метода является неучет образования зон обратного течения, существенно влияющих на характеристики роторов.

Д. А. Редчиц [7] для создания математической модели ротора Савониуса использовал осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье - Стокса, замкнутые при помощи моделей турбулентности (RANS). Основным недостатком его работы также является использование лишь плоской постановки задачи. Д. А. Редчиц рассматривал не только установившийся режим работы ротора: большое внимание было уделено процессу раскрутки ротора и самой возможности его пуска из произвольного начального азимутального положения. Но в указанной работе, несмотря на рассчитанные коэффициенты крутящего момента, не определялись мощностные характеристики ВЭУ и зависимость их от геометрии ротора.

В последнее десятилетие в зарубежной литературе появляется все больше работ, посвященных вертикальноосевым ветроэнергетическим установкам, в первую очередь с ротором Савониуса. Много работ посвящено численному (с использованием сеточных методов) и натурному моделированию классических [8-10] и новых конфигураций роторов Савониуса — винтовых [11-14], многоярусных [15, 16], с центральным телом и складывающимися лопастями [17], с направляющими пластинами и дефлекторами различных конфигураций [18-20]. Изучается также возможность работы роторов Савониуса в воде, с использованием энергии приливов и отливов [21 -23]. Существуют работы, посвященные исследованию систем ротор Савониуса - ротор Дарье (см., например, [24, 25]). В связи с все большим распространением крупных высотных зданий активно обсуждаются конфигурации роторов, пригодные для установки на крышах небоскребов.

В 2013 г. была опубликована работа [26] франко-канадской группы ученых, которые провели исследования энергетической эффективности двух роторов Савониуса различного удлинения в пространственной постановке методом RANS с использованием коммерческих пакетов СD-Adapco Star-ССМ+ и CFdesign 2010. Решение столь сложной задачи, безусловно, требует весьма значительных вычислительных мощностей, поэтому в обозримом будущем такой подход вряд ли получит широкое распространение на предприятиях, специализирующихся на производстве ВЭУ.

Для расчета аэродинамики ротора Савониуса используются численные методы в механике жидкостей и газов. Это обусловлено тем, что большинство процессов в аэродинамике может быть описано системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных - уравнений Навье-Стокса.

Все численные методы в механике жидкостей и газов можно условно разделить на сеточные и вихревые методы.

Сеточные методы особенны тем, что они являются дискретизацией не только поверхности самого объекта, но и окружающего его пространства. Они включают в себя метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод конечных объемов. При использовании таких методов ставится задача моделирования явления турбулентности: прямое численное моделирование турбулентности, метод моделирования крупных вихрей, метод с применением уравнений Рейнольдса, замкнутых при помощи моделей турбулентности, метод моделирования отсоединенных вихрей, а также группа методов «частицы в ячейках».

В вихревых методах используется иной подход - отсутствие сетки, и использование свободных вихревых частиц. К ним относятся метод вязких доменов, метод дискретных вихрей (МДВ). Метод вязких вихревых доменов базируется на решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости с использованием лагранжевых координат.

Метод дискретных вихрей имеет сравнительно небольшую вычислительную сложность при вполне достаточной для инженерных расчетов точности. Это обусловлено тем, что в своей классической постановке МДВ не учитывает вязкости жидкости, это не вносит существенной погрешности в случае ветроэнергетической установки с роторами Савониуса, потому что влияние жидкого трения на эксплуатационные характеристики в этом случае невелико. Именно поэтому большинство алгоритмов расчета аэродинамических характеристик ротора типа Савониуса основаны на этом методе.

Алгоритмы исследующие конструкционные особенности ротора и алгоритмы, уточняющие аэродинамические параметры. Одним из наиболее точных является алгоритм, представленный Сизовым Дмитрием Александровичем [27]. Он состоит из следующих пунктов:

1) Постановка задачи и ввод исходных данных (граничных условий). Задача формируется в нестационарной постановке, поэтому все условия должны выполнятся в каждый расчетный момент времени. При численном решении непрерывные функции изменения кинематических параметров во времени заменяются совокупностью их дискретных значений через равные промежутки безразмерного времени.

2) Построение вихревой схемы. Непрерывный вихревой слой и вихревые следы моделируются присоединенными дискретными вихрями. Это позволяет перейти к системе линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить относительно напряженностей присоединенных дискретных вихрей. Для составления системы используется условие непротекания. Циркуляции свободных вихрей, сошедших в поток, со временем не изменяются.

3) Проверка номера расчетного шага. При этом начинает циклически выполняться процедура, соответствующая одному расчетному шагу это, повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто заданное количество шагов. Расчетная часть шага включает в себя:

a) рассмотрение схода свободных вихрей;

b) формирование матрицы и решение системы уравнений относительно циркуляций;

ф вычисление кинематических параметров ротора;

d) вычисление скорости потока в точке (вычисление безразмерных давлений и крутящего момента при повороте ротора расчет нового положения свободных вихрей, визуализация процесса обтекания);

e) расчет динамических параметров ротора;

4) Построение графиков

В результате выполнения алгоритма происходит исследование на основе уравнений Навье-Стокса, выполняется анализ вихревых структур при обтекании ротора Савониуса, исследование его аэродинамических параметров, что позволяет исследовать и оптимизировать конструкцию ротора.

Несмотря на многочисленные труды в области нелинейной теории крыла, вопросы моделирования схода вихревых следов с разомкнутого контура при его нестационарном отрывном обтекании до сих пор остаются актуальными.

Процедура дискретизации по времени позволила свести исходную начально-краевую задачу к решению двух задач, одна из которых представляет собой задачу Коши, связанную с решением нелинейного дифференциального уравнения (1) для момента времени tn, п > 1, при задании начальных условий в момент времени tn-1, а другая является краевой задачей для рассматриваемого момента времени tn .

^ ^ IV /

М

гш]

Уравнение (1) для моментов времени tn п > 1, линеаризуется уравнением:

2,

и

Краевая задача для каждого момента времени tn, п > 1, сводится к решению системы уравнений (3), (4), (5).

1т\ещ*°*)

1 у Гт Ю 1 уу Ги__П( ч

= О

7 =

Ъ]( 32п) = п - (¿п)УОч,-, ¿п)А¿п = о ,

И = и,П=1 4=1,2.

11 ,п > 1,

Отметим, что уравнение (5), определяющее координаты свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура, являются нелинейными и требуют построения дополнительного алгоритма решения.

Алгоритм численного решения задачи, предложенный Говоровой Анастасией Ивановной [28], включает в себя определение перепада давления на контуре, что становится возможным после решения кинематической задачи. Кроме того, на каждом временном шаге вычисляются также скорости схода вихревых следов и интенсивности вихревого слоя в точках схода. Эти величины необходимы для решения нелинейных уравнений (5).

Общая структура алгоритма численного решения рассматриваемой задачи отражена в блок-схеме (рис. 1).

Рис. 1 - Блок-схема алгоритма численного решения задачи

Приведем описание алгоритма по данной блок-схеме:

1. Постановка задачи (задание граничных условий);

2. Процедура дискретизации по времени;

3. Определение новых положений дискретных вихрей. В данном пункте происходит дискретное моделирование контура и вихревых следов. После численного расчета дискретные вихри моделируются точечными вихрями, что позволяет составить системы уравнений для определения интенсивностей дискретных вихрей. После составления системы уравнений, становится возможным численное решение задачи Коши для определения координат свободных дискретных вихрей.

4. Определение координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сошедших с контура.

Этот шаг включает в себя поиск положений, непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей, или корней нелинейных уравнений (6):

г1

ш/с

Особенность нелинейных уравнений (6) состоит в том, что их решение зависит от решения всей задачи, и функция (5(п' ^2п)) 'П > 1 ,] = 1 , 2, зависит от комплексной координаты. Будем решать эти уравнения методом перебора значений безразмерных величин 811п,81.1п в безразмерной области О = [0,1] х [0,1]. Хотя такой способ занимает достаточно много машинного времени при расчете, но он позволяет найти численно все возможные решения этих уравнений в заданной области, что помогает увидеть их структуру.

Поиск нулей функции ( 8[п, 8^) для каждого момента времени Лп проводится последовательно (независимо друг от друга): сначала для кромки А при фиксированном начальном положении г^,к(Ь^) дискретного вихря, непосредственно сошедшего с кромки В , затем для кромки В при найденной координате т.^к ( Ьп) дискретного вихря, непосредственно сошедшего с кромки А. Итак, опишем алгоритм решения уравнения (6) для кромки А, ] = 1.

При численном решении область О заменяется сеткой с шагом к = 1/Ык , где N число разбиений промежутка [0,1]. Заметим, что сетка накладывается на ту четверть локальной координатной плоскости А^пъ в которой находится вихревой след (рис. 2).

Ь .

С1

Рис. 2 - К определению положения непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей

Алгоритм поиска решений уравнений (6) состоит из двух вложенных циклов.

ЦИКЛ 1 по переменной к = 1,...,Ык .

1. Задаем величину

2. ЦИКЛ 2 по переменной к2 = 0,...,Ык . Заметим здесь, что значение к2 = 0 определяет расположение свободного дискретного вихря по касательной к контуру.

2.1 Задаем величину 8\п (к2) = к21г.

2.2 Определяем очередное положение свободного дискретного вихря, непосредственно сошедшего с кромки А, по формуле:

4п

Здесь в^х, вцх - углы между осями А^,Ох и АцьОх соответственно.

2.3 Определяем интенсивности Гт(Лп), т = 1,...,Ы, присоединенных дискретных вихрей и Г]„п, Г^,п непосредственно сходящих с контура свободных дискретных вихрей из системы уравнений. Теперь, при задании координат г]шп , эта система замкнута и линейна.

2.4 По найденным значениям интенсивностей аппроксимируем функцию у(5,4) при 5 Е [с0,с3], определяющую интенсивность вихревого слоя, моделирующего пластинку Ь. Эта аппроксимация позволяет вычислить значение М0,4) = ¡Л).

2.5 Определяем скорость схода Wl(tn) на кромке А по формуле

IV,

(Ьп) = Яе{[V(гч, Ьп) - и(гч, Ьп)] е1 в*)},п > 1,] = 1 , 2 . .

2.6 Находим значение функции

/„ 1(81п,82п) = VГшп(Ьп) - ^х(Ьп)У(0' Ьп)ДЬп .

2.7 Проверяем знак произведения (для к2 = 1,...,Ык ). Отрицательное значение произведения

свидетельствует о наличии нуля рассматриваемой функции на промежутке [ . Здесь

- номер нуля функции, соответствующего значению . Находим этот нуль с заданной

точностью.

После завершения работы двух циклов имеем множество решений уравнения (6). Причем одному значению безразмерной величины может соответствовать несколько значений и наоборот.

Аналогичным образом находятся нули функции для кромки В при найденном значении

положения свободного дискретного вихря, непосредственно сошедшего с кромки А.

5. Расчет интенсивностей, присоединенных и непосредственно сходящих с контура свободных дискретных вихрей. Интенсивности присоединенных дискретных вихрей на контуре и интенсивности непосредственно сошедших с контура свободных дискретных вихрей в момент времени tn, определяются решением системы уравнений при заданных (определенных из предыдущего шага) координатах свободных дискретных вихрей, непосредственно

сошедших с контура.

6. Расчет локальных характеристик в точках схода вихревых следов. На основе расчета значений интенсивностей присоединенных дискретных вихрей для каждого момента времени tn, в точках схода вихревых следов вычисляются следующие локальные характеристики:

- интенсивность вихревого слоя, моделирующего контур;

- скорости схода вихревых следов.

7. Расчет перепада давления на контуре. На основе расчета значений суммарных интенсивностей присоединенных дискретных вихрей для каждого момента времени tn, определяется перепад давления на контуре в точках его разбиения.

8. Расчет комплексных скоростей свободных дискретных вихрей. Для определения новых положений свободных дискретных вихрей в следе в момент времени tn+1, необходимо вычислить значения комплексных скоростей в этих точках в момент времени tn .

Данный алгоритм позволяет увеличить количество решений задач отрывного нестационарного обтекания разомкнутых контуров, а также проводить расчет динамических характеристик, в том числе перепад давления контура в точках, координаты сходящих дискретных вихрей и скорость схода вихревых следов.

Таблица 1 - Сравнение алгоритмов расчета криволинейного контура

Алгоритм Сизова Д.А. Алгоритм Говоровой А.И.

1. Постановка задачи Возможна пространственная и плоская постановки задачи

2. Система дискретных вихрей представлена Присоединенными дискретными вихрями Присоединенными дискретными вихрями и вихрями непосредственно сошедшими с контура

3. Задача рассчитана Системой линейных алгебраических уравнений Системой нелинейных алгебраических уравнений

4. Рассчитываемые параметры - вычисление кинематических параметров ротора; - расчет динамических параметров ротора; - расчет динамических параметров контура;

5. Реализация результатов расчета Данный алгоритм позволяет провести исследование на основе уравнений Навье-Стокса. При работе с алгоритмом выполняется анализ вихревых структур при обтекании ротора Савониуса, исследование его аэродинамических параметров, что позволяет исследовать и оптимизировать конструкцию ротора. Данный алгоритм позволяет увеличить количество решений задач отрывного нестационарного обтекания разомкнутых контуров.

В зависимости от постановки задачи расчета возможно использование одного из приведённых выше алгоритмов.

Список литературы / References

1. Ветроэнергетика / под ред. Д. де Рензо; пер. с англ.; под ред. Я. И. Шефтера. - М.: Энергоатомиздат, 1982. - 272 с.

2. Onawumi A. S. A Review of Savonius Wind Turbine as a Source of Energy Generation in Nigeria / A. S. Onawumi, O. S. Olaoye // International Journal of Emerging trends in Engineering and Development. - 2011. - Issue 1. - Vol. 3. - pp. 325336.

3. Белов И. А. Численное исследование отрывного обтекания криволинейных поверхностей / И. А. Белов, М. И. Ништ, Л. И. Шуб // Научно-методические материалы по аэродинамике летательных аппаратов; под ред. М. И. Ништа. -М.: ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1981. - С. 89-124.

4. Островой А. В. Метод дискретных вихрей в задачах отрывного обтекания ортогональных роторов ветросиловых установок: дис. ... канд. тех. наук: 01.02.05 / Островой Александр Владимирович. - Самара: СГАУ им. академика С. П. Королева, 2003. - 183 с.

5. Вашкевич К. П. Расчет аэродинамических характеристик ветроколес вертикально-осевого типа с использованием метода дискретных вихрей / К. П. Вашкевич, В. В. Самсонов // Промышленная аэродинамика. Аэродинамика лопаточных машин, каналов, струйных аппаратов и ветровых нагрузок. - 1998. - Вып. 3 (35). -С. 159-170.

6. Самсонов В. В. Усовершенствованный метод расчета аэродинамических характеристик ветроколес вертикально-осевого типа, основанный на импульсной теории / В. В. Самсонов // Промышленная аэродинамика. Аэродинамика лопаточных машин, каналов, струйных аппаратов и ветровых нагрузок - 1998. - Вып. 3 (35). - С. 171-182.

7. Редчиц Д. А. Моделирование нестационарных турбулентных течений при обтекании подвижных тел сложной геометрии на основе уравнений Навье - Стокса / Д. А. Редчиц // Вестник Харьковского национального университета. Серия «Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления». -2009. - №847. - С. 150-166.

8. Gupta R. Flow Physics of a Three-Bucket Savonius Rotor using Computational Fluid Dynamics (CFD) / R. Gupta, K. K. Sharma // International Journal of research in Mechanical engineering and technology. - 2011. - Issue 1. - Vol. 1. - pp. 46-51.

9. Kamojia M. A. Experimental investigations on single stage modified Savonius rotor / M. A. Kamojia, S. B. Kedare, S. V. Prabhu // Applied Energy. - 2009. - Vol. 86. - pp. 1064-1073.

10. Tong Zhou Numerical study of detailed flow field and performance of Savonius wind turbines / Tong Zhou, Dietmar Rempfer // Renewable Energy. -2013. -Vol. 51. - pp. 373-381.

11. Damak A. Experimental investigation of helical Savonius rotor with a twist of 180° / A. Damak, Z. Driss, M. S. Abid // Renewable Energy. - 2013. - Vol. 52. - pp. 136-142.

12. Kamojia M. A. Performance tests on helical Savonius rotors / M. A. Kamojia, S. B. Kedare, S. V. Prabhu // Renewable Energy. - 2009. - Vol. 34. - pp. 521-529.

13. Saha U. K. On the performance analysis of Savonius rotor with twisted blades / U. K. Saha, M. Jaya Rajkumar // Renewable Energy, - 2006. - Vol. 31. - pp. 1776-1788.

14. Saha U. K. Twisted bamboo bladed rotor for Savonius wind turbines / U. K. Saha, P. Mahanta, A. S. Grinspan, P. S. Kumar, P. Goswami // Journal of the Solar Energy Society of India (SESI). -2005. - Vol. 4. - pp. 1-10.

15. Menet J.-L. A double-step Savonius rotor for local production of electricity: a design study / J.-L. Menet // Renewable Energy. - 2004. - Vol. 29. - pp. 1843 -1862.

16. Saha U. K. Optimum design configuration of Savonius rotor through wind tunnel experiments / U. K. Saha, S. Thotla, D. Maity // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. -2008. - Vol. 96. - pp. 1359-1375.

17. Bo Yang Fluid dynamic performance of a vertical axis turbine for tidal currents // Bo Yang, Chris Lawn. - Renewable Energy. - 2011. - Vol. 36. - pp. 3355-3366.

18. Buripin Deda Altan. An experimental study on improvement of a Savonius rotor performance with curtaining / Buripin Deda Altan, Mehmet Atilgan, Aydog, Ozdamar // Experimental Thermal and Fluid Science. - 2008. - Vol. 32. - pp. 1673-1678.

19. Kailash Golecha. Influence of the deflector plate on the performance of modified Savonius water turbine / Kailash Golecha, T.I. Eldho, S.V. Prabhu // Applied Energy. - 2011. - Vol. 88. - pp. 3207-3217.

20. Pope K. Effects of stator vanes on power coefficients of a zephyr vertical axis wind turbine / K. Pope, V. Rodrigues, R. Doyle, A. Tsopelas, R. Gravelsins, G. F. Naterer, E. Tsang // Renewable Energy. - 2010. -Vol. 35. - pp. 1043-1051.

21. Bin Yaakob O. Computer simulation studies on the effect overlap ratio for Savonius type vertical axis marine current turbine / O. Bin Yaakob, K.B. Tawi, D.T. Suprayogi Sunanto // IJE Transactions A: Basics. - 2010. - Vol. 23. - No. 1. - pp. 7988.

22. Nahidul Khan. On scaling laws for Savonius water current turbines / Nahidul Khan, Michael Hinchey, Tariq Iqbal, Vlastimil Masek // Journal of Ocean Technology. - 2010. - Vol. 5. - No. 2. - pp. 93-101.

23. Nahidul Khan. Performance of Savonius rotor as a water current turbine / Nahidul Khan, Michael Hinchey, Tariq Iqbal, Vlastimil Masek // Journal of Ocean Technology. - 2009. - Vol. 4. - No. 2. - pp. 72-83.

24. Gupta R. Comparative study of a three-bucket Savonius rotor with a combined three-bucket Savonius -three-bladed Darrieus rotor /R. Gupta, A. Biswas, K. K. Sharma // Renewable Energy. -2008. - Vol. 3- pp. 1974-1981.

25. Gupta R. Sharma Flow physics of a combined Darrieus-Savonius rotor using computational fluid dynamics (CFD) / R. Gupta, K. K. Sharma // International Research Journal of Engineering Science, Technology and Innovation. - 2012. - Vol. 1(1). -pp. 1-13.

26. Pope K. Effects of stator vanes on power coefficients of a zephyr vertical axis wind turbine / K. Pope, V. Rodrigues, R. Doyle, A. Tsopelas, R. Gravelsins, G. F. Naterer, E. Tsang // Renewable Energy. - 2010. -Vol. 35. -pp. 1043-1051.

27. Сизов Д.А. Развитие и применение метода дискретных вихрей в задачах аэродинамики и динамики ротора Савониуса: дис. ... канд. тех. наук: 01.02.05 / Сизов Дмитрий Александрович. - Казань: Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, 2013. - 153 с.

28. Говорова А.И. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.07 / Говорова Анастасия Ивановна. - Омск: Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, 2015. - 92 с.

Список литературы латинскими символами / References in Roman script

1. Vetrojenergetika [Wind energy] / edited by. D. de Renzo; trans. from English; edited by Ja. I. Sheftera. - M.: Jenergoatomizdat, 1982. - 272 pp. [in Russian]

2. Onawumi A. S. A Review of Savonius Wind Turbine as a Source of Energy Generation in Nigeria / A. S. Onawumi, O. S. Olaoye // International Journal of Emerging trends in Engineering and Development. - 2011. - I. 1. - V. 3. - P. 325-336.

3. Belov I. A. Chislennoe issledovanie otryvnogo obtekanija krivolinejnyh poverhnostej [Numerical study of separated flow around curved surfaces] / I. A. Belov, M. I. Nisht, L. I. Shub // Nauchno-metodicheskie materialy po ajerodinamike letatel'nyh apparatov [Scientific and methodical materials on aerodynamics of aircraft]; edited by. M. I. Nishta. - M.: VVIA named by prof. N. E. Zhukovskogo, 1981. - P. 89-124. [in Russian]

4. Ostrovoj A. V. Metod diskretnyh vihrej v zadachah otryvnogo obtekanija ortogonal'nyh rotorov vetrosilovyh ustanovok [The method of discrete vortices in the separated flow task orthogonal rotors of wind turbines] : dis. ... of PhD in Engineering: 01.02.05 / Ostrovoj Aleksandr Vladimirovich. - Samara: SGAU named by academic S. P. Koroleva, 2003. - 183 p. [in Russian]

5. Vashkevich K. P. Raschet ajerodinamicheskih harakteristik vetrokoles vertikal'no-osevogo tipa s ispol'zovaniem metoda diskretnyh vihrej [The calculation of the aerodynamic characteristics of the propeller vertical-axis type using the method of discrete vortices] / K. P. Vashkevich, V. V. Samsonov // Promyshlennaja ajerodinamika. Ajerodinamika lopatochnyh mashin, kanalov, strujnyh apparatov i vetrovyh nagruzok [Industrial aerodynamics. Aerodynamics of impeller machines, channels, jet devices and wind loadings]. - 1998. - V. 3 (35). - P. 159-170. [in Russian]

6. Samsonov V. V. Usovershenstvovannyj metod rascheta ajerodinamicheskih harakteristik vetrokoles vertikal'no-osevogo tipa, osnovannyj na impul'snoj teorii [An improved method for the calculation of the aerodynamic characteristics of the propeller vertical-axis type based on the impulse theory] / V. V. Samsonov // Promyshlennaja ajerodinamika. Ajerodinamika lopatochnyh mashin, kanalov, strujnyh apparatov i vetrovyh nagruzok [Industrial aerodynamics. Aerodynamics of impeller machines, channels, jet devices and wind loadings] - 1998. - V. 3 (35). - P. 171-182. [in Russian]

7. Redchic D. A. Modelirovanie nestacionarnyh turbulentnyh techenij pri obtekanii podvizhnyh tel slozhnoj geometrii na osnove uravnenij Nav'e - Stoksa [Modeling unsteady turbulent flows in the flow of moving bodies of complex geometry on the basis of the Navier - Stokes equations] / D. A. Redchic // Vestnik Har'kovskogo nacional'nogo universiteta. Serija «Matematicheskoe modelirovanie. Informacionnye tehnologii. Avtomatizirovannye sistemy upravlenija» [Bulletin of the Kharkiv national university. Series "Mathematical modeling. Information technologies. Automated control systems"]. - 2009. - V. 847. -P. 150-166. [in Russian]

8. Gupta R. Flow Physics of a Three-Bucket Savonius Rotor using Computational Fluid Dynamics (CFD) / R. Gupta, K. K. Sharma // International Journal of research in Mechanical engineering and technology. - 2011. - I. 1. - V. 1. - P. 46-51.

9. Kamojia M. A. Experimental investigations on single stage modified Savonius rotor / M. A. Kamojia, S. B. Kedare, S. V. Prabhu // Applied Energy. - 2009. - V. 86. - P. 1064-1073.

10. Tong Zhou. Numerical study of detailed flow field and performance of Savonius wind turbines / Tong Zhou, Dietmar Rempfer // Renewable Energy. -2013. -V. 51. - P. 373-381.

11. Damak A. Experimental investigation of helical Savonius rotor with a twist of 180° / A. Damak, Z. Driss, M. S. Abid // Renewable Energy. - 2013. - V. 52. - P. 136-142.

12. Kamojia M. A. Performance tests on helical Savonius rotors / M. A. Kamojia, S. B. Kedare, S. V. Prabhu // Renewable Energy. - 2009. - V. 34. - P. 521-529.

13. Saha U. K. On the performance analysis of Savonius rotor with twisted blades / U. K. Saha, M. Jaya Rajkumar // Renewable Energy, - 2006. - V. 31. - P. 1776-1788.

14. Saha U. K. Twisted bamboo bladed rotor for Savonius wind turbines / U. K. Saha, P. Mahanta, A. S. Grinspan, P. S. Kumar, P. Goswami // Journal of the Solar Energy Society of India (SESI). -2005. - V. 4. - P. 1-10.

15. Menet J.-L. A double-step Savonius rotor for local production of electricity: a design study / J.-L. Menet // Renewable Energy. - 2004. - V. 29. - P. 1843 -1862.

16. Saha U. K. Optimum design configuration of Savonius rotor through wind tunnel experiments / U. K. Saha, S. Thotla, D. Maity // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. -2008. - V. 96. - P. 1359-1375.

17. Bo Yang Fluid dynamic performance of a vertical axis turbine for tidal currents // Bo Yang, Chris Lawn. - Renewable Energy. - 2011. - V. 36. - P. 3355-3366.

18. Buripin Deda Altan. An experimental study on improvement of a Savonius rotor performance with curtaining / Buripin Deda Altan, Mehmet Atilgan, Aydog, Ozdamar // Experimental Thermal and Fluid Science. - 2008. - V. 32. - P. 1673-1678.

19. Kailash Golecha. Influence of the deflector plate on the performance of modified Savonius water turbine / Kailash Golecha, T.I. Eldho, S.V. Prabhu // Applied Energy. - 2011. - V. 88. - P. 3207-3217.

20. Pope K. Effects of stator vanes on power coefficients of a zephyr vertical axis wind turbine / K. Pope, V. Rodrigues, R. Doyle, A. Tsopelas, R. Gravelsins, G. F. Naterer, E. Tsang // Renewable Energy. - 2010. -V. 35. - P. 1043-1051.

21. Bin Yaakob O. Computer simulation studies on the effect overlap ratio for Savonius type vertical axis marine current turbine / O. Bin Yaakob, K.B. Tawi, D.T. Suprayogi Sunanto // IJE Transactions A: Basics. - 2010. - V. 23.- P. 79-88.

22. Nahidul Khan. On scaling laws for Savonius water current turbines / Nahidul Khan, Michael Hinchey, Tariq Iqbal, Vlastimil Masek // Journal of Ocean Technology. - 2010. - V. 5. - P. 93-101.

23. Nahidul Khan. Performance of Savonius rotor as a water current turbine / Nahidul Khan, Michael Hinchey, Tariq Iqbal, Vlastimil Masek // Journal of Ocean Technology. - 2009. - V. 4.- P. 72-83.

24. Gupta R. Comparative study of a three-bucket Savonius rotor with a combined three-bucket Savonius -three-bladed Darrieus rotor /R. Gupta, A. Biswas, K. K. Sharma // Renewable Energy. -2008. - V. 3- P. 1974-1981.

25. Gupta R. Sharma Flow physics of a combined Darrieus-Savonius rotor using computational fluid dynamics (CFD) / R. Gupta, K. K. Sharma // International Research Journal of Engineering Science, Technology and Innovation. - 2012. - V. 1(1). - P. 1-13.

26. Pope K. Effects of stator vanes on power coefficients of a zephyr vertical axis wind turbine / K. Pope, V. Rodrigues, R. Doyle, A. Tsopelas, R. Gravelsins, G. F. Naterer, E. Tsang // Renewable Energy. - 2010. -V. 35. -P. 1043-1051.

27. Sizov D.A. Razvitie i primenenie metoda diskretnyh vihrej v zadachah ajerodinamiki i dinamiki rotora Savoniusa [The development and application of the method of discrete vortices in the problems of aerodynamics and dynamics of rotor Savonius]: dis. ... of PhD in Engineering: 01.02.05 / Sizov Dmitrij Aleksandrovich. - Kazan': Kazan National Research Technological University named by A.N. Tupolev, 2013. - 153 p. [in Russian]

28. Govorova A.I. Matematicheskoe modelirovanie nestacionarnogo otryvnogo obtekanija razomknutogo kontura [Mathematical modeling of the unsteady separated flow in an open contour]: dis. . of PhD in Physics and Mathematics: 01.01.07 / Govorova Anastasija Ivanovna. - Omsk: Omsk State University named by. F.M. Dostoevskiy, 2015. - 92 p. [in Russian]