Теория начальных линейных отношений применительно к архитектурной ординации

УДК 72.03:72.05 ДОЛГОВ А. В.

Теория начальных линейных отношений применительно к архитектурной ординации

В предыдущих статьях, размещенных в журнале «Академический вестник УралНИИ-проект РААСН» (2016, № 1, 2), посвященных ординационному анализу, были многократно найдены характерные крайние и средние отношения ординат, раскрывающих алгоритм построения той или иной архитектурной формы.

Ключевые слова: ординация в архитектуре, линейные отношения, взаимосвязь, принципы пропорционирования архитектурных форм.

DOLGOV A. V.

THEORY ELEMENTARY LINEAR RELATIONSHIPS IN RELATION TO ARCHITECTURAL ORDINATION

In previous articles, published in the journal AKADEMICHESKIJ VESTNIK URALNIIPROEKT RAASN (2016, No. 1,2), dedicated to coordinating analysis, were repeatedly found typical of the extreme and average attitude of the ordinate, revealing algorithm for the construction of a particular architectural form.

Keywords: ordination in architecture, linear relationship, correlation, principles of proporcionaria architectural forms.

Долгов

Александр

Владимирович

кандидат архитектуры, профессор, член-корреспондент РААСН, директор Филиала ФГБУ «ЦНИИП Минстроя России» УралНИИпроект

e-mail: mail@uniip.ru

Статья продолжает ряд работ, представляющих новый подход к пониманию ординационной системы в архитектуре. Понятие «ординация» является важнейшим для классической архитектуры, но было частично забыто в XX в. под влиянием модернизма и позднейших течений архитектуры. В теории ординации интересны и продуктивны не только ее влияние на трактовку архитектурной формы как целого, но и возможность математического, научного обоснования тех или иных архитектурных решений любого периода. В статье представлено простейшее изложение теории начальных линейных отношений как основы для понимания смысла основных ор-динационных соотношений, связанных с крайним и средним делениями отрезка на части.

Возникновение линейных отношений при делении отрезка на части

Одна лишь констатация частого употребления крайних и средних отношений для определения размеров целого и его элементов в архитектурных формах не раскрывает смысл этого факта. Как его объяснить? Что является причиной — основной идеей установления цепочек размеров, получаемых из ряда членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, равным-?

Корд

Мы даже не можем дать ответ на вопрос: какое деление — крайнее или среднее пер-

вично? И, вообще, не стоит ли внимательней присмотреться к началам самого акта деления линейного отрезка на части, ведь еще отец Павел Флоренский в первой строке своего труда «Иконостас» писал: «Все началось с того, что кто-то поделил мир надвое».

В целях нашей работы позволим себе подобное действие в отношении абстрактного отрезка А.

A

Ь

ч

Произведя деление отрезка А, мы получим отрезки М и т.

т М

I-1-1

М > т А = М + т

Таким образом, произвольное деление отрезка на 2 части без всяких мыслительных действий дает нам две новые абсолютные величины.

Не привлекая никакого математического аппарата, мы можем определить путем наложения одного отрезка на другой, на сколько один больше другого1. Тем самым, получим величи-

1 Способ наложения одной линейной величины на другую для выяснения очень часто использовал Евклид в «Началах».

ну, которую обозначим Б. Ее также можно отнести к абсолютным величинам, как и А, М и т. Эти величины натуральные, линейные, т. е. такие, размер которых нагляден.

При помощи простейших арифметических действий их можно выражать друг через друга: А - В = 2т; М - В = т; т - В = 2т - М. Дадим этим величинам названия: А — начальное целое (делимое); М — мажор (большая часть делимого отрезка); т — минор (меньшая часть делимого отрезка); Б — разница между мажором и минором. Поскольку все эти величины могут быть определены и без знания математики как натуральные, то их можно считать начальными, исходными.

Они предшествуют величинам относительным, устанавливающим кратность между начальными величинами. Таких относительных величин всего 12.

Делимое

A M m D

M m B

A 1 A A A

A 1 m B

M M M M

A M 1 B

m m m m

A M m

D B B B 1

В

М — часть разницы мажора и минора в мажоре; В

--часть разницы мажора и минора в миноре.

т

В случае среднего деления отрезка А (исходной линейной

М

величины) на части М и т возникает их отношение —.

Мт Обозначим его: — = С, т

С — отношение среднего деления.

Теперь мы можем все 12 отношений, приведенных выше, представить через С и 1, а после свести их в таблицу взаимосвязанных отношений величин, возникающих при деле-

М С

нии исходной величины на 2 части в отношении — = С.

т

Делимое

A M m D

1 M/A m A B/A

A C 1 C -1

C +1 C +1 C +1

A/M m/M B/M

M C +1 1 1 C -1

C C C

m A/m C +1 M/m C 1 B/m C -1

A/B M/B m/B

D C +1 C 1 1

C -1 C -1 C -1

Назовем их: А

М — мажорное отношение; А

--минорное отношение;

т

А

В — кратность разницы мажора и минора к исходной

величине;

Такую же таблицу отношений начальных величин мы можем составить и для соотношения всего отрезка A к его большей части M : A/M = к.

Это привычное для нас по предыдущему опыту анализа отношений ординат значение коэффициента ординации.

Делимое

M — обратное мажорное отношение; A

M

--начальное отношение;

M

—— кратность мажора к разнице мажора и минора; m

A "

m

M

m

B

D

A ~

обратное минорное отношение; обратное начальное отношение; кратность минора к разнице мажора и минора; часть разницы мажора и минора в исходной ве-

A

M

D

A/M k

A/m

k k -1

AjB

k 2 - k

M

M/A

1

k

Mlm 1

k -1

M/B 1

2 - k

m a

k -1 k

m m k -1

m/B

k -1 2 - k

D

B/A

2 - k k

B/M

2 - k

B/m

2 - k k -1

m

1

m

1

1

m

1

В результате мы получаем целую систему относительных величин, взаимосвязанных между собой, в основе которой лежат величины абсолютные, натуральные, связанные арифметически.

Через приведенные нами формулы мы можем вычислить натуральные размеры основных частей ордера, т. е. произвести обратные действия: от заданного коэффициента ординации получить все начальные натуральные величины, зная хотя бы одну из них.

Посмотрим, нет ли прямого соответствия в пределах допустимых погрешностей между основными размерными характеристиками ордера и системой начальных величин.

Допустим, что А — высота всего ордера.

Величины М и т в простейшей ордерной схеме себя не обнаруживают. а

А вот величина Б = —--- имеет свой аналог — это

к

нижний диаметр колонны при высоте всего ордера, равной А.

Заметим, что если за А мы примем величину колонны, то величина Б определит малый диаметр колонны ё.

Зная, что Н

Н„,

к

-, мы увидим,что

Б

= к,

Б

С +1

То, что получится та же сама величина, можно проверить на любом примере.

Допустим, А = 11, а М = 6; т = = А (2 - к) = 11(2 -1,833...) = ^ = к = 1,833... = ' Б = М - т = 6-5 = 1.

5; к = - = 1,8333... т

С

Теперь — через С.

- М

т

1,2; при А = 11; М = 6; т = 5.

Б

2 2 22 = 1.

что и подтверждается многочисленными примерами анализа ординационных отношений.

Точно так же мы можем определить Б через среднее

отношение С:

А

антаблемент з

'К ^ о к

Л А к А

О н

н А < 1 1

D

✓

Иллюстрация 1. Схема ордера с основными размерными параметрами

А

С +1 = 1,2 +1 2,2

Таким образом, хоть через среднее, хоть через крайнее отношение мы можем определить основные параметры элементов ордера:

♦ высоту всего ордера;

♦ высоту колонны;

♦ нижний диаметр колонны;

♦ верхний диаметр колонны.

Изобразим схему ордера для наглядности расположения определяемых расчетами основных размерных параметров (Иллюстрация 1).

Таким образом, удалось связать в единую систему начальные величины, возникающие от произвольного деления исходного абстрактного отрезка А, и получаемые путем вычислений, используя ордерные отношения С и к, линейные параметры основных частей ордера. Результаты ординационного анализа обрели теоретическую опору, обоснование через начальные величины и отношения между ними, возникающие в момент разделения отрезка на части. Такое разделение может быть случайным, но может быть и осмысленным, когда выбирается

Иллюстрация 2. Геометрическое построение для нахождения Б, М, т величины А по задаваемому отношению К и С

для создания ордерного строя совершенно определенное соотношение, обладающее особенными свойствами.

Хорошо известно существование канонов Поликлета и Лисиппа, фиксирующих в качестве некой авторской нормы для работы скульптора соотношение человеческого роста и расстояние от земли до яремной впадины на теле человека.

У Поликлета это соотношение равно 1,25, а у Ли-сиппа 1,2.

И тот, и другой создали идеальные скульптурные образы, следуя собственным канонам.

Аналогично и в архитектуре. Разные ордера имеют разные главные ординационные отношения, но от этого не становятся негармоничными.

По всей вероятности, при их проектировании (ординации) достаточно последовательно использовать выбранное соотношение для определения размерных параметров элементов ордера, в чем нам еще предстоит убедиться на конкретных примерах анализа ордерных форм. Однако, благодаря разработке инструментально-

Иллюстрация 3. Применение ординационного анализа. Выявление начальных линейных величин и главного ордерного соотношения на фасаде Парфенона

аналитического метода архитектурных ординат и теории начальных линейных величин, стало возможным вести целенаправленный поиск существенного в системах их формообразования.

Построение геометрических фигур, устанавливающих наглядную взаимосвязь основных величин ордерного строя

Попробуем придумать геометрическую фигуру, позволяющую наглядно воспроизводить начальные ордерные величины в зависимости от заданного крайнего или среднего отношения.

Допустим, нам надо определить величины М, Б и т для некого отрезка А (Иллюстрация 2).

1 Проведем две параллельные прямые, удаленные друг от друга на расстоянии А.

2 На нижней параллельной прямой отложим произвольный отрезок ЕВ, разделенный на две части в заданном отношении ЕЬ: Ь'В = М : т = С.

3 Из точек ЕЬ'В проведем под произвольным углом зеркально симметричные лучи. При пересечении лучей с верхней параллельной прямой получим точки В, Ь, Е'; сами лучи пересекутся в точках Е и Я.

4 Спроецируем точки Е и Я на исходный отрезок А и получим точки Е' и Я', делящие А на три части, в которых есть отрезки, равные М, т и Б, соответствующие заданному на отрезке ЕВ пропорциональному делению.

Таким образом, данное геометрическое построение позволило, не прибегая к расчетам, построить на отрезке А величины М, т и Б.

На основании предложенной геометрической фигуры, состоящей из двух зеркальных углов, заключенных меж-

ду параллельными направляющими, вполне возможно создание универсального инструмента для получения основных величин ордерного порядка по заданному или установленному соотношению С или К. Однако на столе архитектора его вполне могут заменить угольник и линейка, используемые со смыслом.

Графоаналитические примеры использования метода архитектурных ординат и теории начальных линейных отношений

Проверим, как работают в связке метод архитектурных ординат и теория начальных линейных отношений. Для примера возьмем фасад Парфенона и убедимся в существенности сделанных нами выводов о неразрывной связи линейных величин, используемых для определения параметров здания и его частей.

На Иллюстрации 3 наглядно показаны взаимосвязи размерных величин на фасаде Парфенона. Удалось связать горизонтальные размеры стереобата (А1, А2, А3) и восстанавливаемые с их уровней величины мажоров и минора, им прямо соответствующие: А1 = М1 + т1; А2 = М2 + т2; А3 = М3 + т3.

Расчетно и графически точен коэффициент ордина-ции, полученный от соотношения всей высоты ордера к высоте колонны, подтвержденный соотношением высоты конька фронтона от верхней ступени стереобата к высоте всего ордера, а также всеми другими величинами, в том числе и диаметрами колонн, осевыми расстояниями между колоннами, имеющими разные величины по краям и в средней части портика и т. д. Он равен Корд = 1,3152.

2 Степень точности приблизительная, так как использовался обычный измерительный инструмент, прикладываемый к графическому изображению.

Все эти величины и размеры наглядны и очевидны. Между ними легко устанавливаются логические взаимосвязи. Полученный графоаналитический чертеж гораздо яснее запутанных построений и объяснений через «золотое сечение», многократно проведенных различными авторами. Он связывает целое и части не при помощи сакрального отношения, а через ключ ординационного анализа, синтезированного с теорией начальных линейных отношений.

Тем самым на практике подтверждаются эффективность и объективность результатов проведенной аналитической работы, указывающих направление дальнейшего приближения к истине.

В последующем мы применим данный метод для рассмотрения большого количества архитектурных объектов: от деталей до зданий. Тогда мы сможем сделать выводы о методах достижения единства множественности, в основе которого лежат выявленные нами особенности линейных соотношений архитектурных форм.

Заключение

Нам удалось разработать и применить графоаналитический метод архитектурных ординат, который показал пронизанность всей совокупности линейных размеров целого и его элементов устойчивыми отношениями, вычисленными нами и определенными как коэффициент ординации — корд и как среднее отношение — С.

В поисках объяснения данного феномена была предложена теория начальных линейных отношений, позволившая выделить важнейшие натуральные абсолютные величины, возникающие в момент произвольного разделения абстрактного отрезка на части. Между ними были установлены отношения кратности, позволившие создать систему количественно взаимосвязанных величин А, М, т и Б.

Таким образом, ординационный анализ и теория начальных линейных величин были связаны в единый аналитический инструмент, позволивший раскрыть в первом приближении более общие закономерности ордерного формообразования, проиллюстрировав их на примере Парфенона.

Пройденный исследовательский путь от частностей к общему является индуктивным по своей сути. Намеченные в нем теоретические предположения получили подтверждение в практике анализа линейных размерных отношений архитектурных форм, в силу чего могут считаться достоверными.

Рациональность установленных соотношений линейных размеров архитектурных форм и величин, их характеризующих, подтверждена изображением геометрического построения фигуры, позволяющей без вычислений определять размеры исходных начальных величин. При необходимости данное геометрическое построение может быть воплощено в конструкции нового измерительного инструмента, а разработанный метод архитектурных ординат и теория начальных линейных отношений стать прикладными в аналитической работе архитектора по исследованию особенностей применения ордерных форм.

Список использованной литературы

1 Афанасьев А. Резьба по дереву. Творческие задачи мастера по дереву. М. : ЭКСМО, 2006. 536 с.

2 Барбара Д. Комментарий к десяти книгам об архитектуре Витрувия. М. : Изд-во Всесоюз. академии архитектуры, 1938. 478 с.

3 Гримм Г. А. Пропорциональность в архитектуре. М. : ОНТИ, 1935. 148 с.

4 Долгов А. В. Инструментальный аналитический метод архитектурной ординации: к постановке проблемы // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 1. С. 16-18.

5 Долгов А. В. Пример ординационного анализа архитектурных форм Пантеона в Риме // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 2. С. 59-61.

6 Долгов А. В. Геометрическая прогрессия и архитектурная ординация // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 4. С. 56-59.

7 Долгов А. В. От мысли к плоскости // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2016. № 2. С. 38-41.

8 Земпер Г. Практическая эстетика. М. : Искусство, 1970. 320 с.

9 Лебедева Г. С. Новейший комментарий к трактату Витрувия «Десять книг об архитектуре». М. : Изд-во «Еди-ториал УРСС», 2003. 160 с.

10 Лосев А. Ф. Диалектика художественной формы. М. : Академ. проект, 2010. 415 с.

11 Лосев А. Ф. Философия имени. М. : ООО «Академ. проект», 2009. 302 с.

12 Мак-Грю Ч. Б. Двери и порталы в итальянской архитектуре: обмеры и фотографии. М. : Изд-во Академии архитектуры СССР, 1949. XI. 194 с.

13 Поллион Марк Витрувий. Об архитектуре. Л. : ОГИЗ : СОЦЭКГИЗ, 1936. 340 с.

14 Радзюкевич А. В. Пропорционально-метрологические и геометрические особенности формообразования римского Пантеона // Архитектурное формообразование и геометрия. М. : URSS, 2012. С. 183-194.

15 Палладио Андреа. Четыре книги об архитектуре в двух томах. М. : Изд-во Всесоюз. академии архитектуры, 1936. 140 с.

16 Таруашвили Л. И. Эстетика архитектурного ордера. М. : Архитектура, 1995. 179 с.

17 Флоренский П. А. Иконостас. М. : Азбука, 2013.

18 Architectural theory from the Renaissance to the present // TASCHEN. 2006. 375 p.

19 Semper G. The Four Elements of Architecture. New York, Cambridge, 2010. 314 p.