Элементы структурной механики деформируемого твердого тела

УДК 539.3

ЭЛЕМЕНТЫ СТРУКТУРНОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Some principles of the description of multilevel continuum are considered for analysing microstructure.

Непосредственный континуальный подход в механике сплошной среды ограничен наличием микроструктуры (субструктуры) каждого реального материала, которая проявляется в качественном изменении физических свойств на некотором уровне. Поэтому при феноменологическом описании материала часто вводятся многоуровневые континуумы.

С другой стороны, необходимость описания дефектов структуры (дислокации, вакансии, внедрения и т. п.) привела к так называемой континуальной теории дислокации, основы которой изложены в блестящей работе Кренера [I]. В этой теории внутренние напряжения, возникающие в телах при неоднородном и необратимом деформировании, могут быть описаны в рамках классической теории упругости путем расширения геометрического аппарата, традиционно используемого в механике деформируемого твердого тела (МДТТ).

Наконец, макроскопическая среда первого уровня является, вообще говоря, неоднородной и при ее использовании важную роль могут играть методы осреднения МДТТ [3]. Ниже мы коснемся элементов описания континуума с учетом микроструктуры, причем для простоты рассмотрим случай малых деформаций, евклидовой геометрии.

Победря Б.Е.

Abstract

L Двухуровневое описание континуума

Пусть каждая точка

макроконтинуума

сама представляет собой микроконтинуум (второй уровень) с объемом точки которого описываются координатами Тогда каждой точке

микроконтинуума, принадлежащего точке припишем

плотность р^{х,%). Радиус-вектор этой точки обозначим через £). Центр

масс микрообъема И** можно описать радиусом-вектором г

к,-

где р(х) - макроплотность вещества:

Введем радиус-вектор r'(x,g) по формуле

г

Тогда для векторов скорости , и ч 0г{х) , ч & / л

имеем в соответствии с (1.1)-(1.3):

р(х)Р(*) = ~Ь Iр‘х)(х,ф(х)(х,ф{'4 ,

V у

= V + У ’

Введем также в каждой точке микроконтинуума скорость диффузионного

потока

]{х){х,4) = р(х){хУ4)[у(х){х,4)- V(дг)] = р(х)*'

и массовую концентрацию вещества с

с(х)(х,4) = Р{х){х,%) / р{х).

Из (5.5) - (1.8) видно, что

7777/ \УХ>(^^=0, \с<^(х,4^ = 1.

> у

Сформулируем теперь три основных постулата механики сплошной среды:

о сохранении масс

й

Л

ау = о:

об изменении количества движения

й_ <и

| р{х¥х}<1у4

„Ы

у

|р(х,Г(х)^

с1Т

<ІУ +

и оо изменении момента количества движения

й_

Л

\г{х) х р^Г^йУ, у

ау +

I

I г +А,(х)</^

у<*>

здесь

введены плотность массовых сил и плотность

поверхностных сил ^<х1(х,4^, распределенных по поверхности Т}х\

/ )

ограничивающей микрообъем У , в каждой точке дг поверхности 2, ограничивающей макрообъем У.

Следствием постулата (1.10) является уравнение неразрывности, которое при эйлеровом описании движения имеет вид:

Ор / \

“ +Му\р\А = 0.

СІ

Если же в каждом микрообъеме протекает Л' химических реакций со скоростью Jр (/?= 1,2,...,^ , то имеем

а аслг' "/г”г?г’,г

где - некоторые стехиометрические коэффициенты [3]. При осреднении левой И

правой частей (1.14) по микрообъему получим уравнение неразрывности (1.13), ибо

І) \ £ »р(*,ФАх>£)аУ( = 0 '

Для получения следствий из постулата (1.11) воспользуемся определением (1.5). а также

\р\х)^х)аУ,=рНх),

У уЫ

Ї7) 1^аУ4 = ^(х).

Тогда получим уравнения движения сплошной среды </у -

“л' рГ + *.'

где учтено, что

5

причем и = пр, - единичный векгор нормали в точке (х/.д^.дгз) поверхности £ . а ё, - ортонормированный репер [4], а = сг^ё1ё] - тензор напряжений.

Выразим теперь в (1.12) радиус-вектор через сумму г и г' согласно (1.3) и введем обозначения:

Ы7)  р\х)Р

* у{х)

7/й) \>:'р\х)Р

* у

7ХГ) \-г'.Б\х)аУ, = &х),

* ум

где величина J(x) характеризует момент инерции микрообъема и вообще говоря является тензором, т.е. вместо J(х)а(х) следовало бы писать

J<5 = Jij

Однако, следуя общепринятым обозначениям [5], мы примем форму записи (1.20). Здесь <ы - так называемый спин-вектор [5]

Лф

"-24>

М{х) - массовый распределенный момент, а поверхностный распределенный момент, который может быть записан по аналогии с (1.19) в виде

&х) = &П', а О-25)

где ц = - тензор моментных напряжений. Из постулата (1.12) с учетом

уравнений движения (1.18) получим:

йю - - йО.

/— = /Л/+ё, х5, +~-.

А Лх,

2, Кинетика двухуровневого континуума

Можно ввести сразу кинематическое описание, соо тветствующее принятому допущению о малости деформаций. Однако иногда при таком описании вектор перемещения теряет свой физический смысл [6].

Поэтому рассмотрим два состояния: отсчетную конфигурацию с радиусом

вектором г}х\х,4) и актуальную - с радиусом-вектором г^

лагранжевыми координатами микрообъема.

Тогда вектор перемещения можсг быть определен следующим образом:

й

Расстояние между двумя бесконечно близкими точками отсчетной конфигурации определяется с помощью величины

= (1г}х) - <Ка[х) = — -^— йхЧх’ +

0г' дх‘

&}х) &:х) , яУ] <%!х>

+ —-- • +2 --—"  - ,

04' 04‘ ъ 0Х: 041 ь

а расстояние между этими же частицами в актуальной конфигурации - с помощью величины

лг

(1Б2 = <1г^'’  <1г' =---т-.-йх‘(1х! +

0Х 0Х1

0?{х) &'х) ,. ; ЯгКх) 0Г{х)

+------Г-----Л4' <14! +2------——йх'й?.

04' 04‘ 0х' 041 ь

Меры деформации естественно определить полуразностью выражений

и

ОБ2 ~(152 . . , .

--------—- = е1^х'йх1 +еуЛ4‘<14] +6>У7</дг'^у.

Из сравнения (2.2) - (2.4) имеем, учитывая (2.1):

1 ( ей 0й 0й 0й ^

6,) 2

Ґ 0й 0й (Ш _ ^

г • г Н--------------г • в  + г • Є.

04' 04> 04' ’ 04‘ '

/[ 0й 0й 0й 0й

0:  — “ * Г + Г ' Є і + Г * Є

4 2\0х' 04> 0х‘ > 04> '

Тогда в случае малых деформаций имеем:

^1 + ^1 дх, дх-

є,

дії: — і

0 —----------^-------

" ъ &,

/Г диі ди^

-ч=

Лі

Поэтому за кинематические характеристики можно принять величины  и спин-вектор со с компонентами /

а>ь =Є,.,

«7*

Ш: Эн*

В качестве другого возможного набора кинематических характеристик можно принять тензоры дисторсии р и /?':

Однако в силу того, что элементарная работа внутренних сил из соображений размерности может быть записана в виде

ЗА = аи3р1 ] + ,

где аз,: - так называемый тензор изгиба-кручения [7]

ти = а>и,

наибольшее распространение получил так называемый континуум Коссера [5], для которого принимается, что микроконтинуум не может деформироваться: = 0.

Для такого континуума система шести уравнений (1.18) и (1.26) замыкается определяющими соотношениями типа

ач = ^

где Р() и (7,у- некоторые операторы представленных аргументов. В частности для упругой среды (2.13) имеет вид:

а1) - СіікіРкІ "* Ду */**/)

Мі) = ВчкіРкІ + Діїкі^кі’

3. Основные соотношения континуальной теории дислокаций

Если тело, в котором отсутствуют какие-либо напряжения (состояние А), подвергнуть внешнему воздействию (напряжению, нагреву, радиоактивному облучению и т. п.), а затем убрать эти воздействия, тело может не вернуться в исходное состояние. В нем могут остаться собственные напряжения (состояние Б), освободиться от которых, оставаясь в трехмерном пространстве, нельзя.

Однако мы можем мысленно разрезать тело на бесконечно малые объемные элементы (микрообьемы) и каждый такой элемент разгрузить. В результате тело нарушит свою связность (состояние В) [1].

Все три состояния (А, Б, В) отнесем к одной системе координат {х,,х2,х3}. Разность координат одной и той же материальной частицы состояний Б и А назовем полным вектором перемещений и . Разность координат состояний В и Б -

вектором упругих перемещений й и, наконец, состояний В и А - вектором пластических перемещений йр .

Разность двух векторов перемещений е двух бесконечно близких точках каждого состояния обозначим соответственно через <5й°,<5й,<5йр .

Введем тензоры дистсрсии Р°,р, рр по формулам

8и] = , <4 = , 8и>. = ДА;

Очевидно, что ёи° представляет собой полный дифференциал Л-

Каждый тензор дисторсии может быть разбит на симметричную и антисимметричную части Например.

Р0~£и+е0как.

где

Еч "т 4,7) 5 2 й; +Д-) •

Очевидно, что пластические деформации ер не удовлетворяют условиям

совместности. Тензор несовместности определяется соотношением [1]

т] = -1пк е = -V х £рх V - V х б’х V

или в компонентах:

7/у = }тпекп,1т =£ / тпекп,1т-

Тензор плотности дислокаций а легко определить, зная пластическую деформацию:

а--/?рхУ = -/?хУ,

откуда вытекает

а-V = 0.

В компонентной записи соотношения (3.7) и (3.8) имеют соответственно

вид:

а1 т~ ~^тк) ^1}, к =£т Ду, *

«,т,ш=0.

Тензор изгиба-кручения (2.12) в бе^индексной форме вводится следующим

образом:

се = т  V .

В случае односвязного тела с дефектами при обходе по замкнутому контуру

г

^ -

7

мы получаем гак называемый общий вектор поворота дислокаций Q и общий вектор Бюргерса h [7].

Считая тензор изгиба-кручения ее независимы:.! от спин-вектора J». т.е.

невыполнимыми соотношения (2.12) и (3.11), можно ввести тензор плотности дислокаций в:

=

Очевидно

в-У = 0.

Вводя плотность внедрения дисклинаций у по формуле

tr<e = y

получим связь между заданными распределениями дефектов а, в, у :

а = -ex V — у 1+свт,

где / - единичный тензор. В компонентах выражение (3.17) имеет вид

aim = €mSg ь'у,к ' 7Sim + №mi

Таким образом, при наличии дефектов и при заданных плотностях их распределения а, О, у . задача определения статических внутренних

напряжений заключается в решении девяти уравнений

т} = V х ex V = -V х а-V х

и девяти уравнений

V х аех V -- -V х 9

относительно девяти компонент тензора напряжений а и девяти компонент

тензора моментных напряжений ц . При этом заданы определяющие соотношения

' 1 к1 ^*г/ШМк1*

№1] ~ Иуиак1

и. кроме того, на границе тела Т. заданы граничные условия

ачп)\1: =5?-

и условия равновесия среды

\ I

ГОи

—e- + pF

d\j

+fc in cf t .П/, kl

dx

= 0.

= 0.

X

Если среда рассматривается неоднородной, то применяя метод осреднения, описанный, например, в [3], можно исходную задачу свести к рекуррентной последовательности решения двух специальных за<чач: для однородной среды с

эффективными характеристиками и неоднородной на "ячейке периодичности" для

определения этих эффективных характеристик.

Библи<прафический список

1. Kroner Е, Kontinuums theorie der Versetrungen unci Eigenspannungen. Erg. and Math. 1958. 5 1 - 179.

2. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика.- М.: Мир. 1964.- 456с.

3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984,- 336с.

4. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу.М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986,-264с.

5. Nowacki W. Teoria niesymetrycznej.- Warszawa, PWN, 1981,- 380s.

6. Победря Б.Е. О взаимосвязи геометрической и физической нелинейности в теории упругости и о смысле перемещений// Изв. АН Арм.ССР. Механика.-1987.-T.XL. №4.-С. 15-26.

7. Де Вит Р. континуальная теория дислокаций,- М.: Мир, 1977.- 208с.