Графовая модель трехмерных упругих тел в декартовой системе координат

Тырымов А. А. Графовая модель трехмерных упругих тел в декартовой системе координат // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 3. - С. 282-303. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.19

Tyrymov A.A. Evalua Graph model of three-dimensional elastic solids in Cartesian coordinates. PNRPUMechanics Bulletin. 2016. No. 3. Рр. 282-303. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.19

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА

№ 3,2016 PNRPU MECHANICS BULLETIN

http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf7

DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.19 УДК 539.3

ГРАФОВАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

А.А. Тырымов

Волгоградский государственный технический университет, Волгоград, Россия

О СТАТЬЕ

АННОТАЦИЯ

Получена: 20 июля 2016 г. Принята: 25 сентября 2016 г. Опубликована: 30 сентября 2016 г.

Ключевые слова: математическое моделирование, теория упругости, ориентированный граф, напряжения, деформация, матрица жесткости, законы Кирхгофа

Теория графов представляет собой один из разделов дискретной математики с широким диапазоном приложений. Основываясь на простых идеях и элементах (точки и линии), теория графов строит из них богатые разнообразные формы, обеспечивает простой и доступный инструмент построения моделей и средство решения широкого круга проблем.

В работе рассматривается численный метод расчета полей деформаций и напряжений трехмерных упругих тел, дискретной моделью которых служит ориентированный граф как идеализация гипотетических приборов, необходимых для измерения деформированного состояния тела. В соответствии с предлагаемым методом упругая среда разделяется на отдельные элементы плоскостями, параллельными координатным. Для каждого элемента, полученного при декомпозиции, строим элементарную ячейку (подграф), являющуюся его моделью. Она представляет комплект измерителей, установленных на элемент для определения его деформированного состояния. Уравнение элементарной ячейки получаем, пользуясь инвариантом, сохраняющимся при преобразовании элемента в ячейку. В качестве инварианта используем энергию деформации. Описана процедура определения параметров элементарной ячейки. Граф тела конструируем с помощью операции объединения элементарных ячеек. Он отражает характер декомпозиции и является дискретной моделью анализируемого сплошного тела.

Графовый метод позволяет построить линейную аппроксимацию деформаций (соответствует квадратичной функции перемещений) на восьмиузловом шестигранном элементе с 24 степенями свободы. В методе конечных элементов (МКЭ) для такой аппроксимации требуется элемент, имеющий 20 узлов (60 степеней свободы). В результате определяющая система уравнений графового метода содержит уравнений примерно в 3 раза меньше по сравнению с системой, выведенной традиционным способом МКЭ.

Показано, что уравнения равновесия и совместности деформаций на графовой модели обеспечиваются автоматически, как следствие фундаментальных законов Кирхгофа (вершинного и контурного).

© ПНИПУ

© Тырымов Александр Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail:tyrymov2010@yandex.ru Alexander A. Tyrymov - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mai: tyrymov2010@yandex.ru

GRAPH MODEL OF THREE-DIMENSIONAL ELASTIC SOLIDS IN CARTESIAN COORDINATES

A.A. Tyrymov

Volgograd State Technical University, Volgograd, Russian Federation

ABSTRACT

The theory of graphs represents an unsophisticated section of mathematics with a wide range of applications. It is based on the simple ideas and elements such as points and lines. The theory of graphs builds a rich diversity of forms from that, providing efficient tools for construction of models and means of solution to a wide range of problems.

The method of a numerical analysis of the mechanical fields in the deformable body, based on the graph model of an elastic medium in the form of the directed graph, is considered. According to the method applied the elastic medium along coordinate planes divides into separate elements. In line with this notion we establish an elementary cell configuration, a subgraph of an element, by installing hypothetical meters on an element of a solid. Derivation of cell equations, which is based on conversion of an element to a cell, relies on an invariant. We use the deformation energy as the invariant. A procedure to determine parameters of the elementary cell is described. The graph of a whole body is built following the same rule as in an elementary cell. With the use of a unit cell having 24 degrees of freedom, the strain field is approximated by linear polynomials (with corresponds to approximated of the displacement fields by quadratic polynomials). The standard finite-element method requires 60 degrees of freedom (elements with 20 nodes) for the same purpose. The proposed graphical approach thus reduces the number of equations that describe the model.

Kirchhoffs laws (apex and contour) realized in the analyzer are shown to correspond to equations of equilibrium and strain compatibility in the elastic body The equations are of no use when determining the stress-strained state of the body in the explicit form with its model.

© PNRPU

Введение

При численном решении разнообразных задач механики сплошной среды основными достаточно универсальными и широко распространенными являются методы конечных и граничных элементов в различных вариантах и сочетаниях с другими методами. Отличительная особенность этих методов состоит в том, что дискретизации подвергается не сама среда на этапе её моделирования, а уже созданная континуальная модель. Однако в ряде случаев использование дискретных подходов на более ранних этапах разработки и совершенствования моделей механики деформируемого твердого тела может привести к созданию новых эффективных численных схем и алгоритмов. Такие возможности открывает метод анализа полей деформаций и напряжений, использующий в качестве дискретных моделей сплошного тела ориентированные графы. Предлагаемый в работе подход основан на сочетании дискретных и энергетических представлений при моделировании процесса деформирования упругих сред. Дискретная модель при этом строится как первичная модель исследования, а способ перехода от континуума к системе с конечным числом степеней свободы основан прежде всего на физических соображениях. Основой для построения моделей в виде графов служит объективный характер операций измерения выбранных независимых переменных. Как известно, целью любого измерения является установление зависимости между значением переменной и показаниями прибора. В то же время измерение связано как с точками системы, между которыми оно осуществляется, так и с ориентацией измерителя. Эти свойства операции измерения можно представить направленным отрезком, т.е. дугой графа.

ARTICLE INFO

Received: 20 Jule 2016 Accepted: 25 September 2016 Published: 30 September 2016

Keywords:

mathematical simulation, elasticity, directed graph, stress, strain, stiffness matrix, Kirchhoffs laws

С точки зрения операции измерения все переменные вне зависимости от их физической природы могут быть подразделены на два типа - параллельные и последовательные [1, 2]. Параллельные переменные характерны тем, что измеритель подключается к двум точкам системы параллельно потоку энергии. Для измерения последовательных переменных прибор должен быть установлен в разрыв энергетического потока. К параллельным переменным относятся линейные и угловые разности перемещений, относительные скорости и ускорения, деформации, разности давлений, температур, электрических потенциалов и т. д. К последовательным переменным относятся силы, моменты сил, электрический ток, тепловой поток, поток жидкости или газа и другие. Выбор связной пары переменных определяется тем, что произведение последовательной и параллельной переменных должно давать скаляр с размерностью мощности или работы [2, 3].

Анализ системы на основе графового подхода сводится к тому, что 1) среда делится на части, имеющие известное математическое описание (в рассматриваемом ниже случае - закон Гука), 2) для каждой части строится подграф (элементарная ячейка), являющийся моделью этой части среды, 3) элементарные ячейки объединяются в граф - модель анализируемого тела, после чего с помощью матриц, характеризующих структуру графа, и уравнений, описывающих элементарные ячейки, получают уравнения системы в целом.

Вывод определяющей системы уравнений основан на использовании вершинного и контурного законов Кирхгофа [4]. Известно, что граф является моделью физической или технической системы только в том случае, если выбранные при его конструировании переменные удовлетворяют вершинному и контурному законам [2]. Эти законы были установлены Кирхгофом для электрических цепей применительно к токам и напряжениям. Впоследствии оказалось, что они носят фундаментальный характер и применимы ко всем последовательным и параллельным переменным, вне зависимости от их физической природы.

Согласно вершинному закону алгебраическая сумма последовательных переменных, инцидентных любой вершине графа, равна нулю, а в соответствии с контурным законом алгебраическая сумма параллельных переменных на любом замкнутом контуре равна нулю [4].

Дискретная модель деформируемого тела разрабатывалась под влиянием работ Г. Крона [5-8]. Крон, применяя аналоговое моделирование, предложил использовать электрические сети для представления самых разнообразных физических и технических систем. Он разработал эквивалентные электрические сети, предназначенные для моделирования задач гидродинамики, квантовой механики, теории упругости и пластичности, теории электрического и магнитного поля. Основное внимание в своих работах Крон обращал на универсальность возможностей при использовании уравнений, записанных в тензорной форме. Однако в работах не описан алгоритм конструирования эквивалентных электрических сетей и способы определения параметров элементарных ячеек. Подход Крона не получил распространения применительно к задачам механики сплошной среды. В работе [9] Е.Г. Кузовков обратил внимание на то, что при моделировании напряженно-деформированного состояния упругих тел можно обойтись без электромеханической аналогии, если эквивалентную электрическую сеть трактовать как ориентированный граф.

Способ конструирования графовой модели, ее конфигурация, применение специальным образом сконструированных матриц для вывода определяющей системы уравнений применительно к плоской и осесимметричной задачам теории упругости предложены Е.Г. Кузовковым и подробно изложены в [9-14]. В работе [11] на основе графовой модели построен двумерный сингулярный элемент для расчета напряженно-деформированного состояния в окрестности особых точек разреза. Использованию графового метода для анизо-

тропных и неоднородных сред посвящены работы [16, 17]. Графовая модель упругой среды в полярной системе координат рассматривалась в [18]. В данной работе построена графовая модель упругой среды для решения пространственной задачи теории упругости.

1. Конструирование элементарной ячейки

Способ конструирования графа тела связан с процессом измерения полного и независимого комплекта переменных, которые однозначно характеризуют деформированное состояние элементов, полученных в результате декомпозиции.

При построении графа исследуемого тела за исходные удобно взять те переменные, которые измеряются установкой прибора непосредственно на исследуемый объект, т.е. параллельные переменные.

Элементарной ячейкой будем называть подграф, соответствующий одному элементу, полученному при разбиении исходной области на мелкие части.

При определении конфигурации элементарной ячейки в прямоугольной декартовой системе координат область, занятую телом, покрываем сетью координатных плоскостей х = const, y = const, z = const, между узлами которых устанавливаем гипотетические измерители, определяющие абсолютные нормальные деформации 8хх, 8уу, 5zz и деформации 8^, 8ху, 8^, 8^, 8^;, 8yz, обусловленные сдвигом. Рассмотрим шестигранный прямоугольный элемент со сторонами Ах, Ay, Az, расположенными вдоль осей ox, oy, oz соответственно. Комплект переменных, определяющих деформацию элемента, состоит из трех групп. Первая группа включает в себя 8хх, 8у 8xz, вторая - 8ух, 8уу, 8^, третья - 8zx, 8zу, 8zz. В каждой группе одна переменная измеряется между парой точек, лежащих на определяющей оси группы, а две другие - между парой точек, находящихся на осях, перпендикулярных к определяющей. Так, например, 8x2с измеряется между двумя точками оси ох, 8ху - между парой точек, лежащих на оси оу, а 8xz - между двумя точками оси oz. При этом 8хх представляет собой нормальную абсолютную деформацию, а 8^, 8xz - относительные перемещения, вызванные поворотом грани со сторонами Ay, Az. Измерители принимаем в качестве дуг графа, изображаем их направленными отрезками линий, причем ориентация дуг совпадает с ориентацией осей координат. Точки, между которыми проводим измерения, считаем вершинами графа. Здесь подразумевается, что используются идеализированные приборы, т. е. такие, что ножки нескольких из них могут быть одновременно установлены в одну и ту же точку тела. Поскольку одни и те же точки среды участвуют в разных группах измерений относительно осей х, у, z, то при построении графа они представляются разными вершинами. В результате получаем элементарную ячейку прямоугольного шестигранного элемента, имеющую 36 дуг и 24 вершины и состоящую из трех компонент (рис. 1).

Рис. 1. Элементарная ячейка, состоящая из трех компонент Fig. 1. An elementary cell consisting of three components

Вершины с номерами 22, 23, 24 - корни подграфов соответствующих компонент элементарной ячейки. Каждая из дуг графа отображает одну из следующих пар параллельных и последовательных переменных: ( 5хх, /„ ), ( 8уу, /уу ), (522, ), (8уХ, /уХ ), ( 8Ху,

/Ху ), ( 52Х , /2Х ),( 5Х2 , /Х2 ),( 52у , /2у ),( 5у2 , /у2 ), где /ХХ , /уу , /22 и /уХ , /Ху , /2Х , /Х2 , /2у , /у2

нормальные и тангенциальные внутренние силы (обобщенные напряжения). Таким образом, дугам элементарной ячейки соответствует следующая пара векторов:

_ / гхх1 ГХХ4 ^уу! уу4 -Ту2! -Ту24 \

\ )с

{5}с = {5ХХ1,..., 5ХХ4 , 5уу1,..., 5уу4 ,..., 5уг1,..., 5у24 } ,

где символ I обозначает операцию транспонирования, а индекс с указывает на принадлежность переменных отдельной элементарной ячейке.

2. Матрица жесткости прямоугольного шестигранного элемента с линейным полем деформаций

Связь элементарных векторов {^с и {5}с, а также зависимость их от напряжений

{а} и деформаций {в} упругого тела устанавливаем, принимая в качестве инварианта

при переходе к дискретной модели энергию деформации произвольного элемента среды объемом V:

/{.}' {.}* = {Г}С {»}„,

V

где {б}с и ^ }с определяются формулой (1). В результате энергию элемента в виде графа можно представить, с одной стороны, в виде

4

+

{}'{5} =У(/ХХ15 . + /уу5 . + /22'5 . + /ух5 . + 5 . + /2Х5

* с * * с / ' \у хх. л уу. 22. л уХ. л ху. л 2.

.=1

+ /Х2 5 . + /2у. 5 . + 5 .),

Л Х. Л 2уг Л у2. /'

с другой стороны, энергия деформации элемента сплошной среды есть

\

V V

Здесь напряжения связаны с деформациями законом Гука

а ^ =(Х + 2|д)в хх уу гг,

а^ = ^ хх + ( + 2|д)в уу гг,

а22 = ^ хх уу +( + 2|д)в 22,

ху Х2 у2

а =№ху , а =МУ , а =№у2

или в матричной форме

М = [Е]И>

где

_ i_xx _yy _zz _xy _xz _yz\

{o} -{a ,ayyy,a ,axy,a ,ay },

{} = { xx , S yy , S zz , У xy , У xz , Уyz },

а матрица упругости [E] представима в блочном виде

[E]

E„ 0 0 E,

Матрицы [En ] и [E, ] в (6) таковы:

l + 2| l l " 1 0 0 "

[E„ ] = l l + 2| l , [E, ] = 0 0

l l l + 2| 0 0

где l, | - упругие постоянные Ламе.

При определении энергии деформации (3) требуется интегрирование выражения, содержащего неизвестные деформации и напряжения.

Для этого, учитывая дифференциальные зависимости Коши [19], аппроксимируем неизвестные деформации в пределах элемента следующими выражениями:

дих Ouy и и и и

Sxx = a0 + aix + a2y + a3z5 Syy b0 + b1x + Ь2у + b3z5

Sx Oy

S „ =

0uz

Oz

= c0 + c1 x + c2 y + c3 z,

Oux . . . , Ouy —- = d0 + d1 x + d2 y + d3 z, —- = e0 + e1x + e2 y + e3 z, Oy Sx

Ou Ou

= f0 + fx + f2У + f3z, T1 = g0 + glx + g2У + g3 !

Oz

Sx

Ou Ou

—- = h0 + h1x + h2 y + h3 z, —- = i0 + i1 x + i2 y + i3 z. Oz Oy

В результате соответствующую аппроксимацию получают

У xy

Ou Ouy

x , -У У = Ouy , Ouz

Oy Ox

У yz

Oz Oy

У zx

Ouz Ou

Ox Oz

Заметим, что поскольку аппроксимируем деформации, а не перемещения, исключается ряд проблем, возникающих при смещениях элементов как твердого тела. Кроме того, значительно сокращается размер матриц, использующихся в расчетах. В силу закона Гука (4) напряжения принимают вид

а" = ( + 2р)(а0 + а1 х + а2 у + а3 г ) + ^(Ь0 + Ь1 х + Ь2 у + Ь3 г ) + с0 + с1 х + с2 у + с3 г), ауу = ^(а0 + а1 х + а2 у + а3 г) + Ь0 + Ь1 х + Ь2 у + Ь3 2 ) + ^( с0 + с1 х + с2 у + с3 2),

а22 = Х

а ^ = РУ ху = Р[й 0 + е0 +(й1 + е1 ) Х + (й 2 + е2 ) у + (й3 + е3 ) 2 ] а " = РУ Х2 = Р[ /0 + 8 0 +(/1 + §1 ) Х + (/2 + ^ 2 ) у + (/3 + 8 3 ) 2 ]

а ^ = МУ у2 =Р|Л + е0 +(\+ е1 ) Х +(h2 + е2 ) У + (^ + е3 ) 2 ].

Рассматривая шестигранный элемент в форме прямоугольного параллелепипеда, поместим начало координат в центре элемента. Тогда в пределах элемента

—Ах Ах -Ау Ау -А2 А?

-< Х <-, -^ < у -< 2 <-.

2 2 2 2 2 2

Выразим теперь неизвестные коэффициенты в (7) через деформации сторон шестигранного элемента.

Как следует из

Ах

2 х

-Ах 2

дх

Ау

2 дих

5ху =| -т-Лу =

-Ау ду 2

А2 2д

Х

5x2 = =

д2

Полагая в (9) поочередно у = -""2, 2 = -Д", получим при соответствующих комбинациях знаков

5хх1 а0 — ^Ч -Д2а3 ^ 5 ХХ2 =(а0 +Дуа2 -Д2а3 ^

5 - =

Из (12) находим, что

а = 5хх1 + 5ХХ2 + 5хх3 + 5ХХ4 а = 5хх2 — 5хх! + 5 хх3 —5хт4 а = 5хх3 + 5хх4 — 5хх1 — 5хх2

0_ 4ах '2- 2ДхДу ' 3" 2АхА2 '

Аналогично из (10),(11) получаем

5 , +5 2 +5 3 +5 4 5 2 —5 , +5 4 —5 3 5 3 —5 , +5 4 —5 2

1 _ ху! ху2 ху3 ху4 1 _ ху2 ху! ху4 ху3 1 _ ху3 ху! ху4 ху2 ^ ..ч

й0 = Тк , = гт I , й3 = гт : ,

4Ау 2АхАу 2АуА2

/ = 5 Х21 +5Х2 2 +5Х2 3 +5Х2 4 / = 5Х2 2 + 5Х2 4 — 5Х21 — 5Х2 3 / = 5 Х2 2 +5Х2 3 —5Х21 —5Х2 4

0 4А2 ' 1 2АхА2 ' 2 2АуА2 '

На основании контурного закона, алгебраическая сумма параллельных переменных на любом замкнутом контуре их - компоненты элементарной ячейки равна нулю. На рис. 2 в качестве примера представлены четыре из шести контуров, образованных дугами этой компоненты при описании деформации сторон одной из граней элемента.

Рис. 2. Схема выбора контуров при записи уравнений Кирхгофа для параллельных переменных Ux - компоненты ячейки 1 Fig. 2. Scheme of cycles for Kirchhoff s equations for arcs variables of cell 1

Записывая все шесть соответствующих уравнений Кирхгофа, получим

5 xx1 + 5 xy 2 "5 xx 2 "5 xy1 = 0, 5 xx4 + 5 xy 4 — 5 xx3 — 5 xy3 = 0,

5xxx1 + 5xz 4 5xx4 — 5xz1 = 0, 5 2 +5 2- xx 2 xz 2 — 5xx3 "5xz3 : = 0,

5 „1 + 5xy3" "5 xz3" "5 xy1 = 0, 5 xz 4 +5 xy 4 5 xz 2 — 5 xy 2 = 0,

5 -5 = 5 -5 5 -5 = 5 — 5

uxx 2 uxy1 uxy 2' uxx 4 uxx 3 uxy 3 uxy 4'

5 = 5 5 -5 =5

uxx 4 uxz1 ^xz 4' uxx 2 xx3 xz3 uxz 2'

5 = 5 5 — 5 = 5 — 5

uxz 3 uxy1 uxy 3' uxz 4 uxz 2 uxy 2 uxy 4-

откуда

Складывая левые и правые части уравнений (15), а также (16) и (17), получим соответственно

Равенства (18) с учетом (13), (14) дают

а2 _ аз _ /2 _ йъ.

Тот же результат следует из равенства смешанных частных производных:

д2ых _ д2ых д2ых _ д2ых д2ых _ д2ых дхду дудх' дхдг дгдх' дгду дудг

Интегрированием вдоль соответствующих сторон элемента выражений (7), связанных с иу, иг, аналогично предыдущему, найдем еще 18 коэффициентов:

5 , +5 2 +5 3 +5 4 5 2 +5 4 —5 , —5 3

ь _ уу1 уу 2 уу 3 уу 4 ь _ уу 2 уу 4 уу1 уу 3

5 xxx1 — 5 xx 2 + 5 xx 4 — 5 xx3 = 5 xy1 — 5 xy 2 + 5 xy3 5 xy 4,

5xxx1 — 5 xx 4 + 5xx 2 — 5xx3 = 5xz1 — 5xz 4 + 5xz 3 — 5xz2 ,

5 xz1 — 5 xz 3 + 5xz 4 — 5 xz 2 = 5xy1 — 5xy3 + 5 xy 2 5 xy 4.

4 Ay 1 2AxAy

5 3 + 5 4 — 5 0 — 5 , 5 , + 5 0 + 5 3 + 5 и

т _ уу 3 ууу 4 уу 2 уу1 _ ух1 ух 2 ух3 ух4

Ь — , е — "

3 2АуА2 ' 0 4 Ах

5 ух3 + 5ух 2 — 5ух1 — 5ух 4 = 5ух 4 + 5ух3 — 5ух1 — 5ух 2

е2 2ДхАу , е3 2АхА2

h = 5у21 +5у2 2 +5у23 +5у24 , = 5у24 +5у22 -5у2\ -5у23

0 4А2 , hl 2АхА2 :

Ъ =5у3 +5у22 -5у21 -5у24 с =5гг1 +5222 +5223 +5224

2 2АyДz ' 0 4А2 '

5 0 +5 4 —5 , —5 3 5 0 +5 3 —5 , —5 и

с _ 222 224 с _ 221 224

1 2ДхД2 ' 2 2АуД2

. =5 2у\ +5 2у2 +5 2у3 +5 2у4 . =5 2у2 +5 2у4 -5 2у\ -5 2у3

10 4Ау , . 2ДхАу ,

. =5 2у 3 +5 2у 4 -5 2у\ -5 2у 2 8 = 5 2Х\ +5 2X2 +5 2x3 +5 2X4

3 2АуД2 ' 4 Ах '

5 2 +5 3 —5 4 —5 4 5 3 +5 4 —5 , —5 2

ф _ 2Х 2 2x3 2x4 2x4 ^ _ 2x3 2Х 4 2x1 2Х 2

5 2 ЗА А ' 63 _ '

2ДхАу 2ДхД2

Использование контурных законов для дуг иу- и и2-компонент позволяет получить равенства

Ь\ = е2. Ь3 =h2. А=е3. с1 = 83. с2 = *3. =82.

Подставляя напряжения (8) в уравнения равновесия:

даХХ даХу даХ2

дХ ду д2

= 0,

дауу даху дау2 да22 даХ2 дау2 л -+-+-= 0, -+-+-= 0

ду дх д2 д2 дх ду

и пользуясь (19), (20), получим три уравнения относительно оставшихся пока не найденными коэффициентов а\, Ь2, с3, й2, е\,/3, §1, h3, /2:

(Х + 2р) а! + р( й2 +/3 ) = -(Х + р)( Ь\ + с).

(Х + 2р) с3 +р( 8, +/2) = -(Х + р)( а3 +Ь3). С целью их определения дополнительно предположим, что

(Х + 2р) а\ =р( й2 +/3). й2 = /3.

(Х + 2р)с3 =р( 8\ +/2). 8\ =.2.

Интерпретация этих условий состоит в следующем. Представление правой части в уравнениях (22) в виде суммы двух равных слагаемых позволяет произвести группировку коэффициентов, связанных с нормальными и тангенциальными составляющими тензора напряжений, после чего приравнять каждую группу к нулю. Кроме того, предполагая «равноправность» переменных введем условие на изменение компонент деформаций

ды

сдвига. Так, например, условие d2 = / из (23) означает, что —- - угол поворота к оси Ох

ду

линейного элемента, параллельного оси Оу, изменяется по переменной у точно так же,

Оых л

как изменяется по 2-, т.е. угол поворота к оси Ох линейного элемента, параллельного

дг

оси Ог. В этом случае

О2ых О 2ых

ду2 Ог2 '

В результате найдем значения оставшихся коэффициентов:

а = К1

Ь2 = К1 (а2 + С2 ), е1 = Ь = К 2 (а2 + С2 ) ,

Сз = К (аз + Ьз), gl = ¡2 = к2 (аз + ¿3),

где

к = -

х + д

К2 =-

х + д

4д '

2 (Х + 2д) Кроме того, используя (19), (20) имеем

^ = /з = К2 ( + gз ) е1 = Из = К2 (d1 + ¡з ) gl = ¡2 = К2 (( + И2 ).

С помощью найденных коэффициентов деформации внутри шестигранного элемента можно представить в виде

где

И

L„

0

0 Lt

1

2АхАуАг

¡11 ¡12 ¡1,12

¡21 ¡22 ¡2,12 0

¡з1 ¡з2 ¡з,12 ¡4,1з ¡4,14 " " ¡4,зб

0 ¡5,1 з ¡б,1з ¡5,14 ¡6,14 " " ¡5,зб "' ¡б,зб

Элементы матрицы ^п ] таковы:

111 = 0,5 АуАг - уАг - 2 Ау, /12 = 0,5 АуАг + уАг - гАу, 11з = 0,5АуАг + уАг + гАу, 114 = 0,5АуАг - уАг + гАу, 115 = 1ц = -К -Аг, ¡16 = ¡18 = К хАг, ¡19 = 1Ш = -К1 хАу,

4,10 = 4,12 = К1ХАУ' 121 = 124 = -К1 У^, /22 = /2з = К1 УА2,

/25 = 0,5 АхАг - хАг - гАх, /26 = 0,5АхАг + хАг - гАх,

/27 = 0,5 АхАг - хАг + г Ах, /28 = 0,5 АхАг + хАг + ¿Ах,

129 = 12,12 = - К1 УМ 12,10 = 12,11 = К1 УAx, 131 = 132 = - К1 гАУ

133 = /34 = К1 гАу, /35 = /36 = - К1 г Ах, 137 = /38 = К1 г Ах, /39 = 0,5 АхАу - хАу - уАх, 1310 = 0,5АхАу + хАу + уАх, 1311 = 0,5АхАу - хАу + уАх, 1312 = 0,5АхАу + хАу - уАх. Элементы матрицы [Ь (] имеют следующий вид:

/4Д3 = 0,5АуАг - (1 + К2) уАг - гАу, /^ = 0,5АуАг + (1 + К2) уАг - гАу, /415 = 0,5АуАг + (1 + К2) уАг + гАу, /^ = 0,5АуА2 - (1 + К2) уАг + гАу, /417 = 0,5АхАг-(1 + К2 )хАг - гАх, /418 = 0,5АхА + (1 + К2) хАг - гАх, /419 = 0,5АхАг-(1 + К2 )хАг + гАх, /420 = 0,5АхАг + (1 + К2) хАг + гАх,

14,21 14,22 = -К уАу, 14,23 14,24 = К2 уАу,

14,29 = 14,30 = - К 2 хАх, 14,31 14,32 = К2 хАх,

15,13 = 15,16 = - К2 гАг, 15,14 = 15,15 = К2 гАг,

/521 = 0,5 АуАг - уАг -

/5 25 = 0,5АхАу-(1 + К2 )хАу - уАх, /5 26 = 0,5АхАу + (1 + К2) хАу + уАх, /5 27 = 0,5АхАу-(1 + К2 )хАу + уАх, /5 28 = 0,5АхАу + (1 + К2) хАу - уАх,

15 33 — 15 36 — К2xAx, 15 34 — 15 35 — К2xAx,

/ = / = - К ¿АЯ / = / = К г Аг

'6,17 '6,19 »6,18 '6,20

16,25 = 16,27 = - К2 УAУ, 16,26 = 16,28 = К2 УAУ,

/6 29 = 0,5АхА - хАг-(1 + К2 )гАх, /6 30 = 0,5АхА + хАг1-(1 + К2) гАх, /631 = 0,5АхА - хА2 + (1 + К2 )гАх, /6 32 = 0,5АхА + хАг1 + (1 + К2) гАх, /633 = 0, 5АхАу - хАу-(1 + К2 )уАх, /634 = 0,5АхАу + хАу + (1 + К2) уАх, /635 = 0, 5АхАу - хАу + (1 + К2 )уАх, /6 36 = 0, 5АхАу + хАу-(1 + К2) уАх. Подставляя {в} из (24) в (2), получим

{Г Ус {«У = /{*}' [Ь ]{б}> = № 4]{б)с.

к V V )

Отсюда после сокращения на {8} и транспонирования имеем

{Г}с = ] М^.

V

Используя теперь закон Гука ( 5), получим

{Г } =Дь]' [E][L ]{«},*.

V

Таким образом, уравнение элементарной ячейки приобретает следующий вид:

{Г}С =[К]С {б}с ,

где матрица жесткости элементарной ячейки [К] определяется выражением

[К ]=.и № ]*.

V

Поскольку матрица из (25) транспонированная , а также матрица [Е] из (6) блочные, то уравнение (29) можно представить в виде

Г,

К- 0 0 К.

[8, 8.

где связь между нормальными составляющими {Г,}, {8,} определяется матрицей

[К, ] = /[L. ]' [Е, ][Ц ]Л,

V

а вторая часть между тангенциальными составляющими {Г.}, {8.} - матрицей

[К.] = {[^] [Е.][Ц]dv.

Используя матричное умножение и последующее интегрирование, находим элементы матриц (з0) и (з1).

Матрица [К, ] и [ К {] имеют следующую структуру:

[к, ] =

[К. ]

"[К: [к;

[К1 0 0 0

[К [К

[к1,1 ] [К1,2] [К-3]

[К-2 ] [к22 ] [к2з ]

[к,3 ] [к2з ] [к,3 ]

[к:3 ]

[к 2

0 0

[к

0

[к зз [к з4 0 0

0 0

[к з [к 4 0

[к 4

0 0

[к [к

0 0 0

[к 46 ] [к 56 ] [к 66 ]

Элементы матриц ^ , ..., |кбб] получены аналитически в явном виде, но здесь не приводятся из-за их громоздкости.

3. Сходимость аппроксимации графового метода

Важно отметить, что континуальную модель сплошной среды удается полностью восстановить из ее дискретной модели в виде ориентированного графа. Покажем, что при уменьшении размеров сетки вершинный и контурный законы приводят к выполнению уравнений равновесия и совместности деформаций теории упругости, что влечет за собой сходимость приближенного решения к точному.

Рассмотрим граф тела, состоящего из восьми элементов (рис. 3).

Он состоит из трех компонент их, иу и иг. Для наглядности каждая компонента графа тела изображена на рис. 4 в виде двух частей. Компоненты их, иу и иг для элементов верхнего слоя представлены на рис. 4, а, б, в, для элементов нижнего слоя - на рис. 4, г, д, е. Поэтому узлы нижней грани для первой составляющей части и верхней грани для второй составляющей части общие.

В соответствии с нумерацией центральная вершина графа тела получила для соответствующей компоненты номер 40, 41, 42 соответственно.

Согласно вершинному закону алгебраическая сумма последовательных переменных на каждой вершине графа равна нулю. Если дуга выходит из вершины, то силу, действующую на соответствующую точку элемента, принимаем положительной, если дуга входит в вершину - направление считаем отрицательным. В соответствии с этим для центральной вершины 40 их-компоненты получим

гхх3 . гхх3 гхх 2 . гхх2 гх2 2 . гх2 2 /*хг3 . гх13 гхх4 . гхх 4 — /1 + / 2 — /5 + /б — /1 + /5 — /2 + /б — /3 + /4 —

У*хх1 . гхх1 гх2 4 . гх2 4 гх11 . гх11 -рху1 . ,тху1 гху 2 . гху 2 /^ОЧ

7 + /8 — /3 + /7 — /4 + /8 — /б + /8 — /5 + /7 —

-/х3 + /4ху3 - /х4 + /3ху 4 = о.

Здесь нижний индекс показывает номер ячейки, к которой относилась дуга.

Разложим значения внутренних сил элемента относительно их значений в смежных элементах в ряд Тейлора. Сохраняя два члена в разложении, получим

Рис. 3. Тело, состоящее из восьми элементов Fig. 3. A solid consisting of eight elements

/*xx3 _ r.

2 — f1

xx3 + pfl

dx

-Ax + , fT2 = f

rxxl _ P

f8 — f 7

xxl + c/7

xxl

7 Ax + ••,

rxyl _ .fxyl

f 8 — f6

dx

df6xy1 dy

Ay-

dfx

xx 2 fxx 2 , 4/5

5

df

xx 4 _ _fxx4 : 4/3

dx

-Ax + ••,

rxx4 _ rx

J4 — f3

rxy2 _ rxy 2

f 7 - f 5

xx4

3 Ax + ••,

dx

djr

dy

Ay-

dfxy3

ff - J2xy3 Ay+•

dy

rxy4 _ rxy4

f 3 - f1

dfl

xy 4

dy

-Ay +

cxz 2

Of Ofx

ft = ft Az + ••, fX2 = ft Az + ••, Oz Oz

xz 4

Ofxz3 Of

rxz3 rxz3 . 4/2 Л^ i rxz4 rxz4 4/3 .

f6 = f 2 + Az + "S f7 = f3 + Az +

Oz

cxz4 _ ./x4 , ^</3

Oz

Рис. 4. Компоненты графа Ux, Uy, Uz: (а), (б), (в) - для ячеек элементов 1, 2, 5 и 6; (г), (д), (е) - для ячеек элементов 3, 4, 7 и 8 Fig. 4. Components of a graph Ux, Uy, Uz: а, б, в for cells 1, 2, 5, 6: г, д, е for cells 3, 4, 7, 8

Подставляя (33) в (32), имеем

/ , /г, дт3, д/х4 ^+( д/г , д/?2, е/х3, д/?4 4

дх дх дх дх

ду

д/Г +/Г1 +/_ +д/х

дг дг

дг

дг

ду ду

Дг = 0.

ду

Ду+

Пользуясь теперь формулой (28) и матрицей (25) и выражая внутренние силы через напряжения, уравнение (34) после изменения порядка операций дифференцирования и интегрирования представим в виде

1 Г д

^ХХДуДТД^ дХ К7" + 112 + 113 + 114 )" + ( + 122 + 123 + 124 ) * + ( + 132 + 133 + 134 )" ] + д

+ ДУ ду [(74,17 + 14,18 + 14,19 + 14,20 )^ + ((,17 + 15,18 + 15,19 + 15,20 )" + ((б,17 + 16,18 + 16,19 + 16,20 )^ ] +

+Д £ [((4.5 + .26 + .27 + .28 ) ' + (( + ^5,26 + + .28 )о " +

+ ((6,25 + 16,26 + 16,27 + 16,28 ) °^ ]} ^ = 0.

Подставляя в последнее равенство значения (26), (27), получим

I

дахх да - +

^ дах +

Л

У у дх ду дг у

= 0,

откуда при произвольной области У следует первое уравнение из (21).

Точно так же уравнения вершинного закона для вершины 41 иу - компоненты и вершины 42 иг - компоненты

У*уг 2 , гуг 2 -СугЗ . .гугЗ гуг 4 . гуг 4 -Суг1 . -СухЗ . тухЗ

1 + /5 _ /2 + ./^6 _ .7^3 + .А _ /4 + /8 _ /1 +/2 _

_/у*2 + /у*2 _ /--у«4 + /^4 _ + /ух1 _ /гуу4 + /-УУ4 _ /-.УУ3 + /уу3 _

5 6 3 _/Т + /Т_/Г + /Г = 0,3 2 4

У'гхЗ , ггхЗ ггх 2 , />гх2 />гх4 , />гх4 />гх1 , />гх1 /г 2 , /г 2 /г 3 ,

1 + /2 _ /5 + /6 ~ /3 + /4 _ /7 + /8 _ + /5 _ / 2 +

. Х223 Р 224 , /г4 /^1 , /^1 /»ГУ4 , .ггу4 /»ГУ2 . .ргу2 /^1 1 /^1

+/6 _ /з + /7 _ /4 / 8 ~ 1\ + /З _ /5 + /7 ~ /6 ¿8 ~

_/Т + /43 = 0.

приводят к двум другим уравнениям равновесия (21).

Покажем теперь, что контурный закон приводит к уравнению совместности деформаций. Рассмотрим сначала контуры, образованные дугами ячеек 1 и 3 их - компоненты графа (рис. 5, а):

^ + 51ху2 _ ^хх2 _ 51ху1 = 53хх1 + д1у2 _ 2 _ 53у1 = 0.

Здесь и ниже верхний индекс показывает номер ячейки, к которой относится дуга. Поскольку

из (35) получим

Зхх 2 8зх1,

81 . +81 2 _81 . +83 2 _83 2 _83. = 0. хх1 ху 2 ху1 ху 2 хх2 ху1

Рис. 5. Схема к записи контурных уравнений: а - для дуг Ux - компоненты ячеек 1 и 3; б - для дуг Ux - компоненты ячеек 1 и 5; в - для дуг Uz - компоненты ячеек 1 и 3 Fig. 5. Scheme of cycles for Kirchhoff s equations: а - for arcs of cell 1 and 3 (Ux Component); б - for arcs of cell 1 and 5 (Ux Component); в - for arcs of cell 1 and 3 (Uz Component).

Разложим деформации 81а.2, 83хх2 в ряд Тейлора, сохраняя в разложении по два члена:

51 2-5\ + d5-

xx2 xx1

dy

Ay; 5L -53x1 +

^ Ay.

dy

Отсюда, используя (36), получим

d

Г d51 ^ 51x1 Ay

5L 2 -5L +-

V

dy

J

dy

Ay.

След0вательн0, 5lx1 "5L2 - 5L -5L -

^d51

xx1

d 25

xx1

dy dy

Ay Ay.

Но 5L1 -5xn -5L -5L2 --

d5x

Ay.

dy

^d51„1 d2 5> ^

Поэтому

5xx1 5xx 2

^ dy dy J

Разлагая в ряд Тейлора деформации 5' 2,5.L, 2, получим

Ay Ay.

55 x

5, -51 1 +

xy2 xy1 dx

xy1 Ax, 5^ -51^1 + -

51

Jxy1

dy

Ay,

d5

xy1

c3 _ Cj i

5xy2 -5xy1 + dx

A -5.xy1 +

Г d51 ^ 51xy1 +d5f Ay

dy j dx

Ax.

Подставляя найденные отсюда выражения для 8^2 -б1^, 8^2 -8^, а также (38) в (37), получим

Г d51 1 d251 1 ^ " Ay

xy1

xy1

dx dydx

Ax -

Г^ d25L_ ^

xx1

dy dy2

Ay Ay - 0.

3

Учитывая, что 5x

du du

—- Ax, 5xy «—- Ay, из (39) имеем

dx dy

d

2 i

dux

d2

Г du Л

dy2 V dx J dxdy

V dy J

- 0.

Рассматривая разность контуров, образованных дугами ячеек 1 и 2 иу - компоненты графа (рис. б, а),

б1 , -б2, +81 2 -б2 2 - б1 2 + б2 2 - б1 , +82, = 0,

ух1 ух1 уу 2 уу 2 ух2 ух2 уу1 уу1 7

после аналогичных преобразований получим

d2 Г duv Л d2 Г duv Л

dy

dxdy

V dx J

dx2

- 0.

V чг J

Рис. 6. Схема к записи контурных уравнений: а - для дуг Uy - компоненты ячеек 1 и 2;

б - для дуг Uz - компоненты ячеек 1 и 2 Fig. 6. Scheme of cycles for Kirchhoffs equations: а - for arcs of cell 1 and 2

Из уравнения (40) и (41), следует

d2 Г dux Л d2 Г duv Л d2 Г dux duv Л

dy V dx J dx V dy J dxdy V dy dx J

- 0

или первое из уравнений совместности деформаций в традиционной записи [19]

ду2 дх2 дхду Совершенно аналогично получим:

1) разности контуров ячеек 1 и 5 их - компоненты

б1 1 -б5, +б1 4-б54-б1 4 + б54-б1 1 + б51 = 0

хх1 хх1 х^4 х^4 хх4 хх4 хг1 хг1

приводят к уравнению

d2s xx d2 Г du

dz dxdz

dz

2) разности контуров ячеек 1 и 2 Uz - компоненты

51 1 -5^1 +51 4-524 -51 4 + 52 4 -511 + 521 -0

zx1 zx1 zz 4 zz 4 zx4 zx4 zz1 zz1

к уравнению

d 2s z

d2 Г du.

dx2 dxdz V dx J' 3) разности контуров ячеек 1 и 3 Uz - компоненты

51zz1 -5jz1 + 5zy3 -5jy3 5zz3 + 5L -51v1 + 5jy1 - 0

к уравнению

d 2s z

d

2 rdu, ^

dy dydz

Vdy J

4) разности контуров ячеек 1 и 5 Uy - компоненты

5yz1 +5УУЗ -5VZ3 -5УУ1 -5iz1 -5L3 +5iz3 + ^1 - 0

к уравнению

d 2s

УУ

dz dydz

d2 г du^ л

dz

Рис. 7. Схема к записи контурных уравнений Uy - компоненты: а - для ячеек 1 и 5;

б - для ячеек 1 и 2

Fig. 7. Scheme of cycles for Kirchhoff s equations: а - for arcs of cell 1 and 5 (Uy Component);

б - for arcs of cell 1 and 2 (Uy Component).

Складывая уравнения (42) и (43), а также (44) и (45), получим еще два уравнения совместности деформаций

d2s zz , d2sxx d2уxz d2szz , d2svv d2y.

I yz

dx2

dz dxdz

ду2 дz2 дyдz

Покажем, что выполняются также оставшиеся три уравнения совместности деформаций [19]. Рассмотрим , например, уравнение

.дГ ^ . дуxz , дУ ху \ дх

1 yz + ^ I xz + ' xv

dx dy dz

- 2

d 2s x

dydz

С учетом дифференциальных зависимостей Коши запишем его в виде

Г d2 Г duv Л d2 Г duv ЛЛ Г d2

dxdz

Vdx J

d2

+ -

dx2

' dux

V dz JJ d

duz

d

2

dxdy V dx J dx V dv JJ

du,

Л

2 rdux^

dxdy V dz J dxdz V dv J dydz V dx

- 2-

d2 Г dux

Используя контурный закон, покажем, что

д2 (диу Л д2 (дм Л

дхд,

_У_

дх

V

д2 (дм.

дх2

у дг у

= 0

дхду

д2

д2 (дм, ^

дх ,

дих

дх2

ду

= 0,

2

дхду У д,

д2 (дих

дхд,

д2

дм ду

дих

Л

дхду У дг У дуд, у дх у Действительно, разность контуров ячеек 1 и 2 иу - компоненты (рис. 7, б) дает

ЗУх! _ 5Ух1 + 5У,4 _ ^4 _ ЗУх4 + ^4 _ 5У,1 + ^ = С помощью разложений в ряды Тейлора и равенства 81 4 = 82;г1 получим

д81

8 У, 4 =8У,1 + Дх,

дх

8 У, 4 =81, +

2

}уг1

д8У,1 Дх = 81 + А

Дх 8 уг 4 + дх

(

дх

д81

у,1

8-1 + дх

Дх

Дх,

у

д81 д81 81 4 =81 1 Дг, 821 =811 Дх,

ух4 ух1 дг ух1 ух1 Ох

82х 4 =8 У-. +

2

ух1

ддк д,^+дЁУх1 Дх+а

дг дх дг

(

д81

ух1

8ух1 + дх

Дх

V

Дг.

Пользуясь (53), из (52) получим

д^ ДхДг ^ Дх2 = 0.

дхдг

дх2

Так как

дм

ух

ох^ 8у

и

дг

-Дг,

то после подстановки (55) в (54) и сокращения на Дх2 Дг приходим к (48).

Точно так же уравнение (49) может быть получено из контурных законов, примененных к дугам ячеек 1 и 2 иг - компоненты, а уравнения (50) и (51) из тех же законов для контуров их - компоненты ячейки 1, изображенных на рис. 3. В результате из справедливости равенства (47) следует уравнение совместности деформаций (46).

Аналогично доказывается выполнение двух последних уравнений совместности деформаций

2

d2s d Г dy dy dy Л

_y^ - ' yz + ' xy u Ixz

dxdz dy V dx dz dy J'

xz

2

d 2s „ =d_(dyx^ +dyiL _dyxL '

dxdy dz V dy dx dz

J

Таким образом, уравнения равновесия и совместности деформаций, входящие в традиционную постановку задач теории упругости, на графовой модели обеспечиваются автоматически, как следствие присущих графу фундаментальных зависимостей - вершинного и контурного законов. В связи с этим меняется роль уравнений равновесия и совместности деформаций - из основных соотношений при определении напряженно-деформированного состояния они превращаются во вспомогательный инструмент, позволяющий проконтролировать правильность построения графовой модели.

1. С помощью графового подхода построена матрица жесткости для восьмиузлового шестигранного упругого элемента с 24 степенями свободы при линейной аппроксимации деформаций. В методе конечных элементов (МКЭ) для такой аппроксимации требуется элемент, имеющий 20 узлов (60 степеней свободы) [20]. В результате определяющая система уравнений графового метода содержит уравнений примерно в 3 раза меньше по сравнению с системой, получаемой традиционным способом МКЭ.

2. Показано, что фундаментальные законы теории графов (вершинный и контурный) обеспечивают выполнение условий равновесия и совместности деформаций для любого элемента, полученного при разбиении исходной области на мелкие части.

Библиографический список

1. Oster G., Auslander D. Topological representation of thermodynamic system. Part 1: Basic concepts // J. Franklin Inst. - 1971. - Vol. 292. - No. 1. - Р. 1-17.

2. Trent H. Isomorphism between oriented linear graphs and lumped physical systems // J. of the Acoustical Soc. of America. - 1955. - Vol. 27 - No. 3. - P. 500-527.

3. Trent H. On the construction of schematic diagrams for mechanical systems // J. of the Acoustical Soc. of America. - 1958. - Vol. 30 - No. 8. - P. 795-800.

4. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. - М.: Мир, 1984. - 454 с.

5. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика. - М.: Наука, 1972. - 542 с.

6. Крон Г. Тензорный анализ сетей. - М.: Советское радио, 1978. - 720 с.

7. Kron G. Equivalent circuits of the elastic field // J.Appl. Mech. - 1944. - Sept. - Vol. 11. -P. A149-A161.

8. Kron G. Tensorial analysis and equivalent circuity of elastic structures // J. Franklin Inst. -1944. - Vol. 238. - No. 6. - P. 399-442.

9. Кузовков Е.Г. Конфигурация и параметры графовой модели упругого тела // Пробл. прочн. - 1986. - № 4. - С. 98-103. D0I:10.1007/BF01524081

10. Кузовков Е.Г. Уравнения состояния графовой модели упругого тела // Пробл. прочн. -1986. - № 5. - С. 112-117. DOI: 10.1007/BF01522789

11. Kuzovkov E.G. Axisymmetric Graph Model of an Elastic Solid // Пробл. прочн. - 1996. -№ 6. - С. 83-103. DOI: 10.1007/BF02209319

Выводы

12. Кузовков Е.Г. Графовая модель упругой среды в декартовой системе координат // Пробл. прочн. - 1993. - № 12. - С. 60-70. DOI: 10.1007/BF00774638

13. Кузовков Е.Г. Графовая модель упругого тела в смешанных переменных // Пробл. прочн. - 1986. - № 6. - С. 88-92. DOI: 10.1007/BF001523964

14. Кузовков Е.Г., Тырымов А.А. Графовые модели в плоской и осесимметричной задачах теории упругости / ИУНЛ ВолгГТУ. - Волгоград, 2010. - 128 с.

15. Тырымов А.А. Сингулярный элемент графовой модели упругой среды в декартовой системе координат // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4, № 4. - C. 125-136. DOI: org/10.7242/1999-6691/2011.4.4.47

16. Тырымов А.А. Осесимметричная графовая модель упругого тела с переменным модулем упругости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия: Физико-математические науки. - 2012. - № 2. -C. 103-114. DOI: 10.14498/vsgtu914

17. Тырымов А.А. Численное моделирование и анализ напряжённо-деформированного состояния анизотропного массива горных пород на основе графового метода // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2012. - № 5. - C. 52-66. DOI: 10.1134/s1062739148050061

18. Тырымов А.А. Графовая модель упругой среды в полярной системе координат // Изв. вузов. Машиностроение. - 1999. - № 1. - С. 3-15

19. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.

20. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

References

1. Oster G., Auslander D. Topological representation of thermodynamic system. Part: 1. Basic concepts, J. Franklin Inst., 1971, vol. 292, no. 1, pp. 1-17.

2. Trent H. Isomorphism between oriented linear graphs and lumped physical systems, J. of the Acoustical Soc. of America, 1955, vol. 27, no. 3, pp. 500-527.

3. Trent H. On the construction of schematic diagrams for mechanical systems, J. of the Acoustical Soc. of America, 1958, vol. 30, no. 8, pp. 795-800.

4. Svami M., Thulasiraman K. Grafy, seti i algoritmy. M.: Mir, 1984. - 454 s. [Graphs, Networks and Algorithms.New York:John Wiley, 1981, 592 p.]

5. Kron G. Diakoptics - Piecewise Solutions of Large Scale Systems. London: MacDonald, 1963.

6. Kron G. Tensor Analysis of Networks. London: MacDonald, 1965.

7. Kron G. Equivalent circuits of the elastic field // J.Appl. Mech. - 1944. - Sept. - Vol. 11, рр. A149-A161.

8. Kron G. Tensorial analysis and equivalent circuity of elastic structures // J. Franklin Inst., 1944, vol. 238, no. 6, рр. 399-442.

9 Kuzovkov E.G. Configuration and parameters of the graph models of an elastic body, Strength of Materials, 1986, vol. 18, no. 4, pp. 528-534. DOI: 10.1007/BF01524081

10. Kuzovkov E.G. Eguations of state the graph model of an elastic body, Strength of Materials, 1986, vol. 18, no. 5, pp. 698-704. DOI: 10.1007/BF01522789

11. Kuzovkov E.G. Axisymmetric graph model of an elastic solid, Strength of Materials, 1996, vol. 28, no. 6, pp. 470-485. DOI:10.1007/BF02209319

12. Kuzovkov E.G. Graph model of elastic medium in the Cartesian system of coordinates, Strength of Materials, 1993, vol. 25, no. 12, pp. 904-914. DOI:10.1007/BF00774638

13. Kuzovkov E.G. Graph model of an elastic body in mixed variables, Strength of Materials, 1986, vol. 18, no. 6, pp. 807-813. DOI:10.1007/BF001523964

14. Kuzovkov E.G., Tyrymov A.A. Grafovye modeli v ploskoj i osesimmetrichnoj zadachah teorii uprugosti.[ Graph model in plane and axisymmetric problems of the theory of elasticity] Volgo-grad:IUNL VolgGTU, 2010, 128 p.

15. Tyrymov A.A. Singuljarnyj jelement grafovoj modeli uprugoj sredy v dekartovoj sisteme koordinat [A singular element of graph model of an elastic medium in a cartesian coordinate system]. Vychislitel'naja mehanika sploshnyh sred - Compatational Continuum Mechanics, 2011, vol. 4, no. 4, pp. 125-136. DOI: org/10.7242/1999-6691/2011.4.4.47

16. Tyrymov A.A. Osesimmetrichnaja grafovaja model' uprugogo tela s peremennym modulem uprugosti [Axisymmetric graph model of an elastic solid with varying modulus of elasticity]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Serija: Fiziko-matematicheskie nauki, 2012, no. 2 (27), pp. 103-114. D0I:10.14498/vsgtu914

17. Tyrymov A.A. Numerical modeling and analysis of the stress-strain state in an anisotropic rock mass by the method of graphs, Journal of Mining Science, 2012, vol. 48, is. 5, рр. 812-824. DOI: 10.1134/s1062739148050061

18. Tyrymov A.A. Grafovaja model' uprugoj sredy v poljarnoj sisteme koordinat [The graph models of an elastic medium in polar coordinates]. Izvestija vuzov. Mashinostroenie, 1999, no. 1, pp. 3-15.

19. Demidov S.P. Teorija uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Vysshaja shkola, 1979, 432 p.

20. Gallager R. Metod konechnyh jelementov. Osnovy [Finite Element Analysis: Fundamentals]. Prentice-hall, 1975, 428 p.