О разрешимости одной обратной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка с дополнительным интегральным условием

УДК 517.95

Я. Т. Мегралиев

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Аннотация. Исследована одна обратная задача для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка с несамосопряженными краевыми условиями. Сначала исходная задача сводится к эквивалентной задаче (в определенном смысле), для которой доказывается теорема о существовании и единственности. Далее на основе этих фактов доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

Ключевые слова: обратная краевая задача, псевдогиперболическое уравнение, метод Фурье, классическое решение.

Y. T. Megraliev

ON THE ISSUE OF SOLUBILITY OF ONE BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR A PSEUDOHYPERBOLIC QUARTIC WITH AN ADDITIONAL INTEGRAL CONDITION

Abstract. The article investigates an inverse problem for a pseudohyperbolic quartic with periodical boundary conditions. At first the initial problem is reduced to an equivalent problem, for which the author proves the theorem of existence and uniqueness. Then on the basis of these facts the researcher proves the existence and uniqueness of the classical solution of the initial problem.

Key words: inverse boundary problem, pseudohyperbolic quartic, Fourier method, classic solution.

Введение

Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование таких задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью.

Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Условия такого вида появляются при математическом моделировании явлений, связанных с физикой плазмы [1], распространением тепла [2, 3], процессом влагопереноса в капиллярно-простых средах [4], вопросами демографии и математической биологии, а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики.

Вопросы разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными изучены в работах [5-7]. Обратные задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений были исследованы в работах [8-10].

Целью данной работы является доказательство единственности и существования решений обратной краевой задачи для псевдогиперболиче-

ского уравнения четвертого порядка с интегральным условием переопределения.

1. Постановка задачи и ее сведение к эквивалентной задаче

Для уравнения [11]

Utt

в области Dт ={(x, t ):0 < x < 1,0 < t < Т} рассмотрим обратную краевую за-

дачу при несамосопряженных граничных условиях

ы

начальных условиях

ы

с дополнительным условием

1

0

где f (х,t), ф(х), ^(х), к() - заданные функции, а ы(х,t), а() - искомые функции.

Определение. Классическим решением обратной краевой задачи (1)-(4) назовем пару {ы (х, t),а()} функций ы (х,t) и а(), обладающих следующими свойствами:

1) функция ы (х, t) непрерывна в Dт вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);

2) функция а () непрерывна на [0, Т];

3) все условия (1)-(4) удовлетворяются в обычном смысле.

Справедлива следующая

Лемма 1. Пусть f (х,t)е С^т), ф(х), ^(х)е С[0,1], к(^е С2 [0,Т], к () Ф 0 при t е [0,Т] и выполняются условия согласования:

1 1

|ф(х)<^х = к(0), |^(х")йх = к'(0).

0 0

Тогда задача нахождения классического решения задачи (1)-(4) эквивалентна задаче определения функций ы (х, t) и а (), обладающих свойствами

1 и 2 определения классического решения задачи (1)-(4), из соотношений (1)-(3) и

1

а^)к

0

Доказательство. Пусть {и(х,^,а^)} является решением задачи (1)-(4). Из(4) видно, что

— 1 — 2 I

-Г и

аН —2 >

о о

Проинтегрируем уравнение (1) по х от 0 до 1 и, учитывая условия (2), получим

—2 1 11

—2 Г и

— 0 0 0

Отсюда с учетом (4) и (6) приходим к выполнению (5).

Теперь предположим, что {и (х, ^, а(^} является решением задачи (1)-(3), (5). Тогда из (5) и (7) получаем

л (1 Л (1 Л

Ju

(G й t й T).

Далее в силу (3) и |ф(х)Ох = И(0), |^(х)Ох = И'(0) имеем

0 0

'1 1

|и(х, ґ)ах - И(0) = |ф(х)Ох - И(0) = 0,

0 0

<

1 1 |и (х,0)ах - и'(0) = |^(х)ах - и'(0) = 0.

. 0 0

Из (8) и (9) заключаем, что выполняется условие (4). Лемма доказана.

2. Сведения из теории спектральных задач и введение некоторых пространств

Известно [3], что последовательности функции

X0 (х) = 2,..., Х1к-1 (х) = 4ео8(А*х),...,

X2£

1о (х) = х,..., У2к-1 (х ) = х 0С8(Хкх),...,

¥2к

образуют в Ь2 (0,1) биортогональную систему и система (10) образует

базис в Ь2 (0,1), где А к = 2пк (к = 1,2,...). Тогда произвольная функция

g(х)е Ь2 (0,1) разлагается в биортогональный ряд

g(x)= Z gkXk (x) k =0

где

gk = jg(x)Yk (x)dx (k =

0

Для любой функции g(x)e L2 (0,1) справедлива оценка

<

k=0

L2 (0,1).

При предположениях

g

и g

устанавливается справедливость оценок:

\2 Л 2

to О 1

Z

k=1 2

to 2 1

Z (g2k-1) < 1

k=1 2

2

L2

(2,)(x ) + C-1),

L2

А при предположениях g(x)e С[0,1], gr(x)e L2 (0,1) и g (0 ) = g (1) устанавливается следующее:

to 1

Z ( kg 2k )2 < 2 |g '(x 11 (0„

k=1

to 1

Z(kg2k-1 )2 < ll|g'(x)x + g(x)f ( ) .

k=1 2 2

Далее при предположениях

g

доказывается оценка:

to 1

Z

k=1

L2 (0,1)'

2

TO 1

I(А2+1g2k-1)2 й2 g+l)(x)x + (2i + 1)g(2)(x) k=1 2

С целью исследования задачи (1)-(3), (5) рассмотрим следующее пространство.

Обозначим через в|т [12] совокупность всех функций и (х, ґ) вида

то

и (х,ґ) = 2 ик ()Хк (х),

к=0

рассматриваемых на Бт, для которых ик (ґ)є С[0,Г] и

^т(и) = ||и0(ґ^|^{0 т] ^

I ( Ак ||u2k-1(t)\C[G T]

V к=1

Л/

2 V 2 Г

I (Ак ||u2k (t)\[

C[G,T ]

Л/

/ V к =1

где функции Хк (х) (к = 0,1,2,...) определены соотношениями (10). Норму в этом множестве определим так: ||и(х, ОЦ^з = Jт (и) .

2,T

З

Через Ет обозначим пространство вектор-функций {и(х, ґ), а(ґ)} таких, что и(х,ґ)є Б^т , а(ґ)є С[0,Т]. Снабдим это пространство нормой

3 3

Очевидно, что Ет и Б2,т являются банаховыми пространствами.

3. Исследование существования и единственности классического решения обратной краевой задачи

Так как система (10) образует базис Ь2 (0,1) и система (10) и (11) образует биортогональную в Ь2 (0,1) систему функций, то первую компоненту и(х,ґ) решения {и(х,ґ),а(ґ)} задачи (1)-(3), (5) будем искать в виде

где

к=G

uk (t) = J u( x, t)Yk (x)dx

является решением следующей задачи:

и0(ґ) = *6 (ґ;и,а) (0 < ґ < т);

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

t1 + Ак )к (t) + A^u2k (t) = Fkk (t;u,a) (G йt й T,k = 1,2,...X t1 + Ak )u2k-1 (t) + Aku2k-1 (t) = = Fkk-l(t;u,a)-2Ак(u2k(t) + ukk(t)), (Gй 1 йT, k = 1,2,...); uk (G) = Фk, u'(G) = Vk (k = G,1,2,...),

причем

Fk (t;u,a)=a(t)uk (t)+fk (t), fk (t) = Jf (x,t)Yk (x)dx;

G

1

1

Фк = JФ^)Yk (x)dx, Vk = JV(x)Yk (x)dx (k = G,1,...).

G G

Решая задачу (2G)-(23), находим:

t

ug (t ) = фG +VGt + J (t -т^ (т; u, a )d т;,

u2k (t) = Ф2k cos-kt + ^Vkk sln-kt + Pk

1 f

+—і—J Fkk (т;u, a )sln Pk (t-т)—т; Pk ( + А і

u2k-1 (t) = Ф2к-1 cos Pkt + P- Vkk-1 sln Pkt +

Pk

1 f

+—і—J Fkk -і (т;u, a )sln Pk (t - т)— Pk (+A

k I G

1 + A k

1

\

tф2k sln Pkt + —sln Pkt - t cos Pkt

V Pk

Pk(

2A k (1 - Pk) t Г T

—p—4J JFkk(;u,a)slnPk(t-£)d^

Pk (l + Ak) G U

Б-V 2k

Pk

sln Pk (t-т)— т-

J Fkk (т; u, a )sln Ak (t-т)— т

где

Pk =

Ak

V1+Ak

После подстановки выражения ик ^) ( = 0,1,...) в (19) для определения компоненты и (х, t) решения задачи (1)-(3), (5) получаем

( t Л

((x, t) = 2

Фо

+ V ot + J (t -т^о (т; u, a )d т

I 1

I j Фкк cos Pkt + Pk Vkk sln Pkt -

к=l

1 f

і—^ J Fkk (т;u, a )sln Pk (-т)—т

4(1 - x)sln(2nx) +

Pk t1 + A k)

to f 1 1 t

+1 j Фкк-lcos Pkt vkk-lsln Pkt+—і—уг JFkk-і (т;u, a)sln Pk (- т)—

к =1 1 Pk Pk (1 + A к ) 0

2Aк

Pk Iі+Ak)

2Aк (Pk) Pk (l + A kf

2A к

tф2k sln Pkt + f^sm Pkt -1 cos Pkt

V Pk

^V 2k Pk

Pk Iі + Ak)

J J Fkk (; u, a )sln Pk (т-;)—;

-JFkk (т;u,a)slnPk (t -т)— т

Sl

lnPk (t -т)— т-

4cos(2rckr).

Теперь из (5) с учетом (19) имеем

Ф) = н_1 (t)| н'() - Г/(хt)—х + 4]Г хк (к () + и2к ()) |.

I 0 к=1 ]

Далее из (21) с учетом (25) получаем

А2 (к () + и2к ()) = )к () -и2к (t) =

А 2 Г 1

2 (^2к (t) + и2к (t)) = V1 Ф2к С08 pkt + V2к вш Р^ +

2 1+ А^ I Рк

A к

1+ A

1 Г

----/------2\ j F2 k

Pk (+ A 2) 0

Тогда из (28) имеем

1

a(t) = h 1 (t)jh# (t)-J / (x, t)dx + 4Z~

[ 0 k=11 + Ak

Ф2k cos Pkt + V2k sin Pkt +

Pk

1 f

-----7------j F2k

pk ( + A2) 0

Для изучения вопроса единственности решения задачи (1)-(3), (5) важную роль играет следующая

Лемма 2. Если {и(х,t),а()} - любое решение задачи (1)-(3), (5), то функции

1

ик

0

удовлетворяют системе (24)-(26).

Замечание. Из леммы 2 следует, что для доказательства единственности решения задачи (1)-(3), (5) достаточно доказать единственность решения системы (27), (29).

Теперь рассмотрим в пространстве ЕТ оператор Ф(и, а) = {Ф1(и, а),Ф2 (и, а)} :

Ф1(и, а) = и (х, t) = ^ йк ^) Хк (х),

к=0

Ф2(и, а) = а (0,

где ), и.2к (0, и.2к-l(t) и ) равны соответственно правой части (24), (25),

(26) и (29).

Очевидно, что

1/л/2 <Рк <1, 0< 1 -р| <

Pk

<

<-

3 •

Учитывая эти соотношения, имеем

С[0.т і

+Тл/Т

/ N 1

(Т V2

J| fo (Т)2 d Т

V 0

+ т \a

Z

V к=1

у V к=1

л У2

+2V2

Z (^k |v2k ^

V к =1

2уі2Т

( Т

л Уі

JZ(Xk|f2k (Т))2dТ 0 k=1

(то л /2

(

V к=1 1

Zl ^k|u2k-1 (t

V к =1

(

lc[0.T ]

2 ( <л/1о

то

л К

Л

х . 2к-1 у V к =1 у

( Т

+V20 Z (к |v2k-11) +УІ20Т JZ(Xk|f2k-1 (Т)і) dТ

V к=1 у V 0 к=1

1

2

+ л/10Г

л 12

(

V к=1

+'ТИ1ф.!г] Z(Лк llu2k-1(t ^ ІC[0.T і

1/

2 ^/z ( то Л/2

^ ZI Ф2к |2

V к =1 у

-(42 + т )V20

(то л /2

V к=1 у

2л/ї0Т

( Т

л К

JZIf2k (т)| dТ

0 к=1

+2^°Т (Т + 1)|la(t c[0.T ] Zl lu2k (t )\lc[0.T і

V к=1

л X

lla(t )H

C[o.T і

<

h-1

C[0.T і

h " (t) - J f (x. t )dx

( то л 1/ /2 ( то л 1/ /2 ( то л

+4 Z *-2 Zl Ф2к I2 + V2 Z к 2к |2

V к=1 у 1 к 1

C[0,T і 1/

+

+V2T

( T

л Уг

{Zl f2k (T)|2 d^

0 k=1

^T\\a(t^|С[о,т] Zllu2k(t)|[

,k=1

C[0,T ]

г

л X

k=1

lC[0,T ]

(

v k =1

г

' lla(t^C[0,T] ZIlM2k (t)\C[0,T]

л Уг

Предположим, что данные задачи (1)-(3), (5) удовлетворяют следующим условиям:

1. Ф(х)е С2[0,1],ф»е 12(0,1),Ф(0) = ф(1),Ф'(1) = 0, ф'(0) = ф'(1).

2. у(х)е С2[0,1],уда(х)е /2(0,1),у(0) = у(1),у'(1) = 0, у"(0) = У(1).

3. /(х, X) е С(ВТ), /х (х, X) е /2(О), /(0, X) = /(1, X) (0 < X < Т).

4. А(X)е С2 [0,Т], И(X) Ф 0 при Xе [0,Т].

Тогда из (30)-(33) с учетом (12)-(18) соответственно получаем

II/, (0,1) + Т1Их )з"

Ь (t )||C10T 1-1ф(х )х"

]хК (0,1) +

+T>/T|f

v k=1

C[0,T 1

4 1/

г у2

;^l Их I и

^llfx (*t1D ) + 2Л T||a(t)|c[0,T 1 Zl ^ IK (t)|c[0,T]

(

V k =1

л V

2 V2

;

k=1

C[0,T 1

4 1/

г V2

+л/Ю| |У(х) х + 3v'(x)|i2(01) + ^V5T (T + 1) I fx (х, t) х + f (х, t )|| и) +

+vr° t| |ф(х (04)+(-я+t ^Мх ц1г (04)+^ (t+ц| f (x t ^

+^л/Ют (T +1)11 a (t

C[0,t 1

( °

v k=1

C[0,T 1

N V

г V2

(

+

Zl ^k\u2k (t

V k =1

C[0,T 1

N V

г V2

\\a(t )H

C[0.T і

<

h-1

C[0.T і

h" (t) - J f (x. t )dx

C[0.T і

+

1/

( то у2

Z ь-2

V к=1 у

x)l L2(0.1) + Im( x)ll

( x.t )l L2(Dt ) +

llf (x.t )H

IC[0.T і

(

T (01) + + У)11a(t^ C[0Tі Zllu2k(t)|

L2(0.1) V к=1

2

C[0.T і

2

где

Теперь из (34)-(36) имеем

1“(xt>lkr < А1(т) + В1(т)|" <*-t)В2.г

Ai

+V5 ф

L2(0.l) ''

+2,/3T

+

В, (T) = T2 + 2J2T + 2л/ШГ(T + 1).

L| (0.1) +

Примем обозначения:

C[0.T ]

h"(t)- J f (x. t)dx

+ 4

c[o.l]

1/

( то л/2

Z ь-2

V к=1 у

+'/2IM* >L (,;»)+Mf (x. t ^! + Ilf (x. t)||,

L2

Тогда из (37) ясно. что

C[0.T ]

( то л/2

Zь -

л-2

V к=1 у

IIC[0.T і

(Лт +1).

L|(0.1)_

lla(t)lc[0.Tі < A2(T) + В2(Т^1a(tІC[0.Tі llu(x.t)ll

IC[0.T іГ'"’- 'ІІВ|,

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Из неравенств (38), (39) заключаем

IIй (х,X )1в2,Т +1И ( )|| с[0,т ]< А (Т) + в (т )11а (X )11 С[0,т ]11и ^ Я,

В2

где

А(Т) = А1 (Т) + А2 (Т), В(Т) = В (Т) + В2 (Т).

Итак, доказана следующая Теорема 1. Пусть выполнены условия 1-4 и

В(Т)(А(Т) + 2) < 1.

Тогда задача (1)-(3), (5) имеет в шаре К = Кк (||< Я = А(Т) + 2) из

3

Ет единственное решение.

Доказательство. В пространстве Ет рассмотрим уравнение

г = Фг,

где г = {и, а] , компоненты Фу (и, а) (/ = 1,2) оператора Ф (и, а) определены

правыми частями уравнений (27), (29) соответственно.

Рассмотрим оператор Ф

получаем, что для любых г,^,^ е К% справедливы оценки:

11Ф43 2 А

Тогда с учетом (41) из оценок (43). (44) следует. что оператор Ф действует в шаре К = К% и является сжимающим. Поэтому в шаре К = К% оператор Ф имеет единственную неподвижную точку {“. о}. которая является решением уравнения (42). т.е. {“.о] является в шаре К = К% единственным решением системы (27). (29) .

-------------------- ”3.т,

непрерывные производные “х (X. I) . “хх (х. I) в Бт .

Далее. из (20)-(22) с учетом (15). (16) имеем

Функция “ (х. I) как элемент пространства в|т. непрерывна и имеет

llu0(t )И

IC[0.T і то

||f (x. t) + a(t )u( x. t )|| C[0.T і

L2

л у2

<

Z

V k=1

V3(1 + ||a(t^|c[o Tpllu(x.t^1 в|T llfx(x.t)H

IIC[0.T і

L2

V к=1 у

Z(^k||u2k-1(t^C[0,T 1) < "s^5(3 + lla(t)C[0,T 1)l\U(X,^11 B|3 +

то

2

(0,1) V к=1

J

Отсюда следует, что ип (х, ^), иШх (х, ^) непрерывны в .

Легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (3) и (5) удовлетворяются в обычном смысле.

в силу леммы 2 оно единственное. Теорема доказана.

С помощью леммы 2 из последней теоремы вытекает однозначная разрешимость исходной задачи (1)-(4).

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1 и

1. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференциальные уравнения. - 1980. - Т. 16, № 11. -С. 1925-1935.

2. Cannon, J. R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy / J. R. Cannon // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 5, № 21. - P. 155-160.

3. Ионкин, Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н. И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. -1977. - Т. 13, № 2. - С. 294-304.

4. Нахушев, А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приближения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод / А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения. - 1982. - Т. 18, № 1. - С. 72-81.

5. Капустин, Н. Ю. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии / Н. Ю. Капустин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33, № 1. - С. 115-119.

6. Кожанов, А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений / А. И. Кожанов, Л. С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 9. - С. 1166-1179.

7. Гордезиани, Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили // Математическое моделирование. -

Значит, ju (х, t), a (t)} является решением задачи (1)-(3) и (5), причем

0

0

Тогда задача (1)-(4) имеет в шаре K = KR (||< R = A (T) + 2 j из Ej

единственное классическое решение.

Список литературы

2000. - Т. 12, № 1. - С. 94-103.

8. Прилепко, А. И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А. И. Прилепко, А. Б. Костин // Математический сборник. - 1992. - Т. 183, № 4. - С. 49-68.

9. Прилепко, А. И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - Т. 43, № 4. - С. 562-570.

10. Камынин, В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения / В. Л. Камынин // Математические заметки. - 2005. - Т. 77, № 4. - С. 522-534.

а2

11. Габасов, С. А. Об уравнении Гм -ul + u = 0 и некоторых связанных

2xxxx

at

с ним задачах / С. А. Габасов, Б. Б. Оразов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1986. - Т. 26, № 1. - С. 92-102.

12. Худавердиев, К. И. Исследование одномерной смешанной задачи для одного класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейной операторной правой частью / К. И. Худавердиев, А. А. Велиев. - Баку : Чашыоглы, 2010. - 168 с.

References

1. Samarskiy, A. A. O nekotorykh problemakh teorii differentsial'nykh urav-neniy / A. A. Samarskiy // Differentsial'nyye uravneniya. - 1980. - T. 16, № 11. - S. 19251935.

2. Cannon, J. R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy / J. R. Cannon // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 5, № 21. - P. 155-160.

3. Ionkin, N. I. Resheniye odnoy krayevoy zadachi teorii teploprovodnosti s ne-klassicheskim krayevym usloviyem / N. I. Ionkin // Differentsial'nyye uravneniya. -1977. - T. 13, № 2. - S. 294-304.

4. Nakhushev, A. M. Ob odnom priblizhennom metode resheniya krayevykh zadach dlya differentsial'nykh uravneniy i yego priblizheniya k dinamike pochvennoy vlagi i gruntovykh vod / A. M. Nakhushev // Differentsial'nyye uravneniya. - 1982. - T. 18, № 1. - S. 72-81.

5. Kapustin, N. YU. O spektral'nykh zadachakh so spektral'nym parametrom v granichnom uslovii / N. YU. Kapustin, Ye. I. Moiseyev // Differentsial'nyye uravneniya. - 1997. - T. 33, № 1. - S. 115-119.

6. Kozhanov, A. I. O razreshimosti krayevykh zadach s nelokal'nym granichnym usloviyem integral'nogo vida dlya mnogomernykh giperbolicheskikh uravneniy / A. I. Kozhanov, L. S. Pul'kina // Differentsial'nyye uravneniya. - 2006. - T. 42, № 9. -

S. 1166-1179.

7. Gordeziani, D. G. Resheniya nelokal'nykh zadach dlya odnomernykh kolebaniy sredy / D. G. Gordeziani, G. A. Avalishvili // Matematicheskoye modelirovaniye. -2000. - T. 12, № 1. - S. 94-103.

8. Prilepko, A. I. O nekotorykh obratnykh zadachakh dlya parabolicheskikh uravneniy s final'nym i integral'nym nablyudeniyem / A. I. Prilepko, A. B. Kostin // Ma-tematicheskiy sbornik. - 1992. - T. 183, № 4. - S. 49-68.

9. Prilepko, A. I. Svoystva resheniy parabolicheskogo uravneniya i yedinstven-nost' resheniya obratnoy zadachi ob istochnike s integral'nym pereopredeleniyem / A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matemati cheskoy fiziki. - 2003. - T. 43, № 4. - S. 562-570.

10. Kamynin, V. L. Ob obratnoy zadache opredeleniya pravoy chasti v paraboli-cheskom uravnenii s usloviyem integral'nogo pereopredeleniya / V. L. Kamynin // Ma-tematicheskiye zametki. - 2005. - T. 77, № 4. - S. 522-534.

a2

11. Gabasov, S. A. Ob uravnenii __ru -u 1 + u = o i nekotorykh svyazannykh s nim

at2

zadachakh I S. A. Gabasov, B. B. Orazov II Zhurnal vychislitel'noy matematiki i ma-tematicheskoy fiziki. - 198б. - T. 2б, № 1. - S. 92-102.

12. Khudaverdiyev, K. I. Issledovaniye odnomernoy smeshannoy zadachi dlya od-nogo klassa psevdogiperbolicheskikh uravneniy tret'yego poryadka s nelineynoy opera-tornoy pravoy chast'yu I K. I. Khudaverdiyev, A. A. Veliyev. - Baku : Chashyogly, 2010. - 1б8 s.

Мегралиев Яшар Топуш оглы кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Бакинский государственный университет

E-mail: yashar_aze @ mail.ru

Megraliev Yashar Topush ogly Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of differential and integral equations, Baku State University (Azerbaijan, Baku,

23 Academica Zakhid Khalilova str.)

УДК 517.95 Мегралиев, Я. Т.

О разрешимости одной обратной краевой задачи для псевдогипербо-лического уравнения четвертого порядка с дополнительным интегральным условием / Я. Т. Мегралиев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). -С.19-33.